i
i
“Strnad-jojo” — 2010/6/14 — 9:54 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1988/1989)
Številka 3
Strani 132–137
Janez Strnad:
JOJO
Ključne besede: fizika, energija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/930-Strnad.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
1."-'-1'/o,-,L ""
JOJO
Le kdo ne pozna igrače jojo (slika 1)7 Vrvico navijemo na vreteno med kole-
soma iz lesa ali iz kake druge snovi. Nato krajišče vrvice držimo v roki in jojo
spustimo z vretenom v vodoravni legi. . Jojo sespusti in zopet dvigne skoraj do
enake višine. Igra se ponavlja, dokler jojo ne obmiruje. Po tem spominja jojo na
žogo, ki odskakuje od tal do vse manjše višine. Ne samo, da je jojo počasnejši
kot žoga; kar smo rekli, velja le, če roka, s katero držimo vrvico, miruje. Z gi-
banjem roke lahko dosežemo, da sejojo giblje zelo zapleteno.
Jojo ni edina igrača, katere delovanje lahko pojasnimo s fiziko . V času, v
katerem očitajo fiziki , da se vse bolj oddaljuje od vsakdanjega življenja, utegne
biti razpravljanje o jojoju prav osvežilno . Toda v fiziki vsakdanjega življenja in
v fiziki igrač postanejo pojavi hitro preveč zapleteni.
Preden se lotimo gibanja jojoja, povejmo nekaj iz njegove zgodovine. Z
njim so se igrali vsaj že v stari Grčiji pred okoli dva tisoč leti (slika 2). Poznali
pa so ga tudi na Kitajskem. Od tam so ga v 18. stoletju zanesli najprej v Anglijo,
nato v Francijo in Nemčijo. Tedanji jojoji iz stekla ali slonovine so bili precej
dragoceni.
Ime jojo je skoval v prijavi patentnemu uradu ameriški poslovnež šele leta
1930. V sodelovanju z lastnikom časopisov je tedaj povzročil največjo jojojev-
sko mrzlico vseh časov. Časopisi so vsiljivo vabili na tekmovanja z jojojem; na
tekmovanje pa se je lahko prijavil samo tisti, ki je pridobil tri nove časopisne
naročnike. Poročajo, da so leta 1931 v tridesetih dneh v Philadelphii prodali
kar tri milijone jojojev. Dandanes je mogoče kupiti jojo kot dokaj ceneno otro-
ško igračo, nekatera podjetja pa jojoje z znamenji svojih izdelkov delijo v
reklamne namene. Današnji jojoji so navadno iz lesa ali iz plastične snovi.
-
Slika 1. Jojoji iz zbirke
profesorja W. BUrgerja. Iz
njegovih člankov Das
Jaja - ein physikalisches
Spielzeug, Physikalische
Blatter 39 (1983) 401 in
The Yo-yo: A toy
f1ywheel, American
Scientist 72 (1984) 137
so prevzete slike tega
prispevka.
132
Slika 2. Jojo na antični g~ki posodi (okoli
leta 450 pred našim štetjem).
Slika 3. Jojo s tanko vrvico Ia). Maxwello-
vo kolo lahko obravnavamo kot jojo s
tanko vrvico (b),
a)
b)
Najlaže je obravnavati jaja, če ima tako tanko vrvico, da lahko zanemari-
ma njeno debelina (slika 3). Tedaj lahko privzamemo, da sevrvica ves čas navi-
ja na vreteno z enako debelina, na katero je pritjena, ali se z njega odvija.
Najglobljo točko doseže jaja, ko se odvije vsa vrvica. V bližini najnižje
točke preide vrvica z ene strani vretena na drugo, ko se jaja preneha spuščati in
se začne dvigati (slika 4). To sezgodi tako hitro - v nekaj stotinkah sekunde -
da lahko obravnavamo pojav kot trk, podobno kot odboj žogeod tal.
Nekoliko bolj zapleteno je obvladati jaja z debelo vrvico. Upoštevati mo-
ramo, da se vrvica pri dvigovanju [ojoja navija na vreteno, na katerem je je
navite čedalje več (slika 5). Tako z dvigovanjem narašča navidezna debelina
vretena. Tudi v tem primeru je hitrost v najvišji točki enaka nič in v najnižji
največja, in to enaka kot pri enakem [ojoju z enako dolgo tanko vrvico. V vme-
snih točkah pa je hitrost jojaja z debelo vrvico večja, zato pride ta hitreje iz
najvišje točke v najnižjo in spet nazaj v najvišjo.
Novejši [ojo]] nimajo vrvice pritrjene na vreteno, ampak imajo okoli vrete-
na navito zanko (slika 6). Zaradi tega se jaja v najnižji točki vrti, ne da bi se
133
Slika 4. Gibanje jojoja v bl ižini naJnlzJe
točke lahko obravnavamo kot trk. (zgoraj)
Slika 5. Jojo z debelo vrvico. (desno zgoraj)
Slika 6. Novejši jojo z zanko. (desno)
Slika 7. "Jomega, jojo z možgani." (spodaj)
134
spuščal ali dvigal. V tej točki jojo "spi" - je "len". "Zbudimo" ga tako, da se
udarimo po roki ali hitro sunemo z roko navzgor, in s tem povečamo trenje
med vrvico in vretenom. Zanka tedaj neha drseti po vretenu, se navije nanj in
jojo se začne dvigati enako kot navadni jojo. Tako ima izkušen igralec več
možnosti pri izbiri gibanja jojoja. Ker ni lahko z nenadnim gibom roke "zbudi-
ti" jojo, so si zamislili leni jojo s centrifugalno sklopko. Pod imenom jo mega ga
prodajajo v ZDA za okoli 10 dolarjev (slika 7). Vrvica je pritrjena na zunanji
del ležaja, v katerem se vrti vreteno v najnižji točki. Dokler se jojo hitro vrti, je
torej sklopka odprta. Ko postane vrtenje dovolj počasno, se sklopka zapre,
prepreči vrtenje vretena v ležaju in jojo se začne dvigati.
To še ni vse. Patentni uradi dobivajo nove prijave. Poleg jojoja s trakom
namesto vrvice so začeli izdelovati še druge, bolj zapletene vrste. Razmišljanje
o jojoju ni samo igračkanje, saj so jojoju podobno napravo uporabili pri evrop-
skih umetnih satelitih ESRO I in ESRO II. Raketa, ki je dvignila satelit, se je
zavrtela stokrat v minuti. To je bilo za satelit sam preveč, ta naj bi se zavrtel
samo dvajsetkrat v minuti. Po ločitvi od rakete so zadnjo stopnjo zavrli z
napravo podobno jojoju. Okoli nje sta bili naviti vrvici s telesoma na krajiščih.
Satelit se je začel vrteti počasneje, ko sta se vrvici odvili in telesi odleteli v
vesolje.
Izkušeni igralci z jojojem se ravnajo po občutku. Glavni podatek zanje je
napetost vrvice. Jojoju dovajajo energijo tako, da roko pospešeno premikajo
navzgor, ko se jojo spušča, in navzdol, ko se jojo dviga. Pri tem zmorejo vrago-
lije, ki jim celo z zapletenimi računi ni lahko slediti (slika 8).
***
Pospremimo prejšnje razmišljanje z nekaj enačbami. Izhajamo od izreka o
kinetični in potencialni energiji. Če zanemarimo trenje in upor, ne opravlja dela
nobena zunanja sila razen teže. Zato je vsota kinetične in potencialne energije
konstantna. Če spustimo jojo, ko miruje, vzamemo, da je vsota kinetične in
potencialne energije enaka nič:
.!. mv 2 + .!. J w2 - mgz = O
2 2
Pri tem v potencialni energiji - mgz merimo globino z > O navpično navzdol.
t mv 2 je translacijska kinetična energija, v kateri je m masa jojoja in v hitrost
njegovega težišča. t Jw2 je vrtiIna kinetična energija, v kateri je J vztrajnostni
moment jojoja okoli osi vretena in w kotna hitrost okoli te osi.
Najprej obdelajmo jojo s tanko vrvico z vretenom s konstantnim radijem
ro. Hitrost težišča določa enačba v = car«. Dobimo jo, ko upoštevamo, da se
135
vrvica odvije za obseg vretena, ko se vreteno enkrat zavrti : v =2rrro /to. Pri tem
je to čas enega vrtljaja in w =2 rr/to kotna hitrost.
Iz zapisanih enačb sledi preprosta zveza med hitrostjo težišča in globino
~ =2gzl(1 +J/mr02)
Enačba se le po dodatku v imenovalcu loči od zveze med hitrostjo in globino
pri prostem padanju. Težišče jojoja se spušča ali dviga s pospeškom
g/(1 +J/mr021. ki je manjši od pospeška prostega padanjag.
Najglobjo točko doseže [o]o, ko se odvije vsavrvica z dolžino I in je z = I. V
tej točki se gibanje težišča sunkovito obrne. Pri tem debelina vrvice ni po-
membna.
Pač pa je treba pri jojoju z debelo vrvico upoštevati debelino vrvice pr i
dvigovanju iz najnižje lege. Razmik med kolesoma je navadno precej večji od
širine vrvice, zato moramo vpeljati efektivno debelino vrvice d. Dob imo jo ta -
ko. da ploščino efektivnega osnega preseka vrvice Id izenačimo s ploščino kolo-
barja med vretenom z radijem ro in največjim krogom. ki ga pokrije vrvica, z
radijem rl ' Velja torej Id =rrrl 2 - rrro2. S tem postane efektivna debelina vre-
tena r odvisna od globine . V najnižji točki velja enačba rrr =rrro 2 in je r =ro,
v najvišji točki enačba rrr = rrro 2 + Id in je r = r l . vmes, v globini z. pa
enačba nr" =rrr0 2 +d(J-z) injer=Jrl2 -zd/rr 'slika 10) .
Slika 8. Figura z jojojem, znana kot " ne-
beška raketa".
,..".-------
;,tI" .................
/" ........
I
Slika 10. Efektivni rad ij vretena r in
efektivna debelina vrvice d.
136