Blaise Pascal DUH GEOMETRIJE PREMISLEKI O GEOMETRIJI NASPLOH 1. del, ki zadeva duha geometrije oziroma resnično metodo1 Pri preučevanju resnice imamo lahko tri glavne smotre: prvega, da jo odkrijemo, ko jo iščemo, drugega, da jo dokažemo, ko jo posedujemo, in tre- tjega, da jo razmejimo od neresničnega, ko jo preiskujemo. O prvem ne govorim: obravnavam zlasti drugega in le-ta obsega tretjega. Če namreč poznamo metodo dokazovanja resnice, bomo obenem obvladali tudi tisto metodo, s katero jo razmejujemo, saj bomo to, če je resnica natančno do- kazana, uvideli že ob pretresanju tega, ali dokaz, ki ga podajamo, ustreza pravilom, ki jih poznamo. Geometrija, ki se odlikuje na teh treh področjih, je razvila umetnost od- krivanja neznanih resnic; to umetnost imenuje analiza, o le-tej pa bi bilo po tolikih odličnih delih, ki so bila napisana, zaman razpravljati. Sam namreč želim podati le umetnost dokazovanja in razjasnjevanja že najdenih resnic, tako da bo njihov dokaz neovrgljiv; v ta namen pa moram zgolj razložiti tisto metodo, po kateri se ravna geometrija; te umetnosti se namreč v celoti naučimo ob njenih primerih, čeprav ob njih ne podaja nika- kršnega diskurza. Ker pa ta umetnost sestoji iz dveh glavnih stvari, prve, da dokaže vsako propozicijo posebej, druge, da razporedi vse propozicije v naj- boljšem redu, jo bom razdelil na dva razdelka, izmed katerih bo prvi vseboval pravila vodenja geometričnih, to se pravi metodičnih in popolnih demonstracij, drugi pa bo obsegal pravila geometričnega, to se pravi metodičnega in dovrše- nega reda: tako da bosta oba skupaj vsebovala vse, kar bo potrebno za vo- denje sklepanja, da dokaže in razmeji resnice, ki jih nameravam podati v ce- loti. 1 Naslov se v izvirniku glasi Réflexions sur la géométrie en général (première partie concernant l'esprit de la géométrie ou la véritable méthode). (Vse opombe so prevajalčeve.) Blaise Pascal: Duh geometrije 25 RAZDELEK I O metodi geometričnih, to se pravi metodičnih in popolnih demonstracij Vodenje, ki se ga moramo držati, da bi demonstracije napravili preprič- ljive, lahko najbolje pojasnim tako, da razložim tisto vodenje, po katerem se ravna geometrija; tega pa ne morem napraviti v celoti, ne da bi poprej orisal neko še bolj izvrstno in dovršeno metodo, ki pa je l judje nikoli ne bi mogli doseči: kar namreč sega preko geometrije, nas presega; in vendar je nujno spregovoriti tudi o tej metodi, čeprav ji je nemogoče slediti, še bolj nemogoče pa uspeti v eni in drugi. To znanost sem v ta namen izbral prav zato, ker edina pozna resnična pravila sklepanja in — ne da bi se ustavljala ob pravilih silogizmov, ki so tako naravna, da jih ni moč prezreti — vztraja in gradi na resnični metodi vodenja sklepanja o vseh stvareh, ki je skoraj nihče ne pozna, ki pa jo je zelo koristno poznati, saj iz izkušnje vemo, da med enakovrednimi duhovi in v enakih okol- nostih uspe in si pridobi povsem novo veljavo tisti, ki poseduje geometrijo. To, kaj je demonstracija, hočem potemtakem pojasniti na primeru de- monstracij geometrije, ki je med znanostmi o človeku (les sciences humaines) skorajda edina, ki proizvaja nezmotljive demonstracije, ker se pač edina ravna po resnični metodi, medtem ko so vse druge znanosti po neki naravni nujnosti zavezane nekakšni zmedi, ki jo znajo konec koncev prepoznati edino geometri. Ta resnična metoda, ki bi tvorila nadvse odlične demonstracije, če bi jo bilo seveda moč doseči, bi bila sestavljena iz dveh glavnih stvari: prve, da ne bi uporabila nobenega izraza, katerega smisel ne bi bila poprej razločno raz- ložila, druge, da ne bi nikoli postavila nobene propozicije, ki je ne bi bila po- prej dokazala z že znanimi resnicami; to se pravi, da bi — z eno besedo — definirala vse izraze in dokazala vse propozicije. Da pa bi sam sledil redu, ki ga razlagam, moram pojasniti, ka j razumem z definicijo. V geometriji priznavamo samo tiste definicije, ki jih logiki imenujejo no- minalne definicije, to se pravi samo tista imena, pripisana stvarem, ki smo jih jasno označili s povsem znanimi izrazi; govorim namreč zgolj o teh definicijah. Koristnost in uporabnost nominalnih definicij je v tem, da razjasnijo in okrajšajo diskurz tako, da s samim imenom, ki ga podamo, izrazijo tisto, kar bi bilo sicer moč povedati le z več izrazi,2 tako da pripisano ime ostane brez vsakršnega drugega smisla, če ga seveda ima, in ima zgolj tisti smisel, ki mu ga namenimo. Vzemimo zgled nominalne definicije: če moramo pri številih razlikovati med tistimi, ki so deljiva na dva enaka dela, in tistimi, za katera to ne velja, tedaj — zato, da bi se izognili pogostnemu ponavljanju te zahteve — številu pripišemo ime na tale način: vsako število, ki je deljivo na dva enaka dela, imenujem parno število. To je geometrična definicija: to pa zato, ker smo — potem ko smo jasno označili neko stvar, namreč vsako število, ki je deljivo na dva enaka dela — tej stvari pripisali ime, ki ga razbremenimo vsakega drugega smisla, če ga seveda ima, in mu namenimo smisel označene stvari. ! Prim. Galilejev premislek, ki ga ob slovitem paradoksu o skodeli razvije Salviati: »notate intanto che cosa sono le definizioni de i matematici, che sono una imposizion di nomi, o vogliam dire abbreviazioni di parlare, ordinate ed introdotte per levar lo stento tedioso che voi ed io sentiamo di presente per non aver convenuto insieme di chiamar, v. g,, questa superficie, nastro circolare, e quel solido acutissimo della scodella rasoio rotondo«, Discorsi e dimostrazioni matematlche intorno a due nuove scienze, Galileo, Opere, ed. F. Brunetti , Torino 1980, vol. II, str. 598. 26 Vestnik IMS 1981/2 Iz tega je videti, da so definicije povsem arbitrarne in da jim nikoli ni moč oporekati; zakaj nič ni bolj dopustnega kot neki stvari, ki smo jo jasno označili, pripisati povsem poljubno ime. Treba je zgolj biti pozoren na to, da svobode, ki jo imamo pri da j an ju imen, ne zlorabimo tako, da dvema različ- nima s tvarema pripišemo isto ime. Ne da ka j takega ne bi bilo dopustno, če le razlikujemo med konsekven- cami in konsekvenc ene stvari ne prenesemo na konsekvence druge. Ce pa zapademo te j slabosti, se ji vselej lahko postavimo po robu z nekim nadvse gotovim in učinkovitim zdravilom; to je, da definicijo v duhu posta- vimo na mesto definirane stvari, da imamo torej definicijo vselej pred očmi do te mere, da vsakokrat , ko govorimo, denimo, o parnem številu, natanko vemo, da gre za število, ki je deljivo na dva enaka dela in da sta definicija in def inirana stvar v mislih povezani in neločljivi do te mere, da brž ko v di- skurzu izrazimo eno od obeh, duh le-tej nemudoma pritakne drugo. Zakaj geometri in vsi tisti, ki postopajo metodično, stvarem pripisujejo imena zgolj zato, da bi okrajšali diskurz, in ne zato, da bi zožili ali kakorkoli spremenili predstavo o stvareh, o katerih razpravljajo. Trdijo namreč, da krat- ke izraze, ki j ih uporab l ja jo edino zato, da bi se izognili zmedi, ki jo povzroča mnoštvo besed, duh vselej dopolni s celotno definicijo. Ničesar namreč ni, ka r bi zvijačne prevare sofistov odvračalo učinkoviteje in silneje kakor prav ta metoda, ki jo moramo imeti nenehno pred očmi in ki že sama zadošča za odpravo nevšečnosti in dvoumnosti vseh vrst. Zdaj, ko so te stvari jasne, se vračam k razlagi resničnega reda, ki je — kot sem dejal — v tem, da definira in dokaže vse. Ta metoda bi bila zagotovo si ja jna, vendar pa je povsem nemožna: očitno je namreč, da bi prvi izrazi, ki bi j ih hoteli definirati, predpostavljali neke predhodne izraze, na ka tere bi oprli njihovo razlago, in da bi prve propozicije, ki bi jih hoteli dokazati, prav tako predpostavljale neke druge, ki bi bile pred n j imi ; potemtakem je jasno, da prvih izrazov in prvih propozicij nikoli ne bi dosegli. Zato ob napredovanju raziskave neizogibno naletimo na osnovne besede (les mots primitifs), ki j ih ni moč več definirati in na principe, ki so tako jasni, da za nj ihov dokaz ni moč več na j t i principov, ki bi bili še bolj jasni. Iz tega je videti, da so l j ud j e zavezani neki naravni in nepreklicni nemoči, da bi lahko katerokoli znanost obravnavali v nekem povsem dovršenem redu. Vendar pa se nam zaradi tega še ni treba odpovedati vsakršnemu redu. Obstaja namreč nek red, to je red geometrije, ki je sicer manjvreden, to pa zato, ker je m a n j prepričljiv, in ne zato, ker bi bil manj gotov. Ta red ne definira in ne dokaže vsega — in prav v tem zaostaja za povsem dovršenim redom; predpostavlja pa zgolj stvari, ki so po naravnem umu (la lumière na- turelle) jasne in nespremenlj ive — in prav zato je povsem resničen, saj ga tam, k je r je diskurz pomanjkl j iv , vzdržuje narava. Ta red, najpopolnejši kar jih obvladajo l judje , ni v tem, da definira oziroma dokaže vse, niti v tem, da ne definira oziroma ne dokaže ničesar, temveč v tem, da vztraja na sredi, da torej ne definira jasnih in vsem l judem razumljivih stvari, pač pa da definira vse ostale; da ne dokazuje vseh l judem znanih stvari, pač pa da dokaže vse ostale. Prot i temu redu se pregreši jo tako tisti, ki poskušajo vse definirati in vse dokazati, kot tisti, ki tega ne storijo pri stvareh, ki niso razvidne same po sebi. Blaise Pascal: Duh geometrije 27 Prav tega reda se v celoti naučimo ob geometriji. Geometrija namreč ne definira nobene izmed naslednjih stvari: prostora, časa, gibanja, števila, ena- kosti, niti številnih podobnih, zakaj ti izrazi — vsem tistim, ki razumejo jezik — tako naravno označujejo stvari, katerih pomen izražajo, da bi njihovo raz- jasnjevanje več prispevalo k nejasnosti kot k razumevanju. Zakaj nič ni bolj negotovega kot govoričenje tistih, ki poskušajo definirati te osnovne besede. Cemu pravzaprav sploh pojasnjevati, ka j razumemo z be- sedo človek? Mar ni vsem dobro znano, katera je tista stvar, ki jo označujemo s tem izrazom? In v čem na j bi bila domnevna prednost Platonove razlage, da je človek dvonogo bitje brez perja? Kot da predstava, ki jo imam po naravi 0 človeku, ki pa je ne znam izraziti, ne bi bila bolj jasna in bolj gotova od te, ki mi jo s svojo odvečno in celo smešno razlago ponuja Platon,3 saj človek ne zgubi svoje človeškosti, če je ob nogi, kot je kopun ne pridobi, če je ob perje. So pa tudi taki, ki gredo celo do tega nesmisla, da besedo razlagajo s samo besedo. Poznam nekoga, ki je svetlobo definiral takole: »Svetloba je svetlobno gibanje svetlih teles«;4 kot da bi bilo besedi svetlobno in svetlo moč razumeti brez besede svetloba. Ne moremo pa se lotiti definicije biti, ne da bi zašli v ta nesmisel: zakaj nobene besede ni moč definirati, ne da bi začeli z besedama to je, bodisi da ju izrečemo, bodisi da ju imamo zgolj v mislih. Da bi torej definirali bit, bi mo- rali reči to je in potemtakem definirano besedo uporabiti v sami definiciji. Iz tega je že razvidno, da obstajajo besede, ki jih ni moč definirati; in če narava te vrzeli ne bi zapolnila tako, da je vsem l judem namenila enako pred- stavo, bi bilo naše celotno izražanje nejasno; tako pa te besede uporabljamo z enakim zaupanjem in enako gotovostjo, kot če bi bile razložene povsem ne- dvoumno: narava sama nam je namreč brez besed namenila neko razumevanje le-teh, ki je bolj jasno od tistega, ki si ga lahko z našimi razlagami pridobimo v umetnosti. Da je definiranje nemogoče in odvečno, ne trdim zato, ker bi vsi l judje imeli enako predstavo o bistvu stvari. Cas, denimo, je izraz te vrste. Kdo bi ga sploh lahko definiral? In čemu se česa takega sploh lotevati, saj si vsi l judje predstavljajo, na ka j merimo, ko govorimo o času? Kljub temu pa obstajajo precej različne domneve o bistvu časa. Nekateri pravijo, da je čas gibanje neke nastale stvari,5 drugi, da pred- stavlja merilo gibanja.6 Zato tudi ne trdim, da je narava teh stvari znana vsem: kar je znano vsem, je zgolj povezava med imenom in stvarjo; tako da ob iz- razu čas vsi pomislijo na isto stvar: kar že zadošča za to, da tega izraza ni treba definirati, čeprav ta vtis — ob preučevanju tega, ka j je čas — zgubimo, brž ko se lotimo temeljitejšega preudarka; definicije so namreč primerne zgolj 1 Platon, Politik 266e. ' Pascal ima v mislih častitega očeta Noela, ki je zapisal: »La cinquième est une preuve péremptoire du plein, puisque la lumière, ou plutôt l 'illumination, est un mouvement lumi- naire des rayons, composés des corps lucides qui remplissent les corps transparents, et ne sont mus luminairement que par d'autres corps lucides . . .«, Pascal pa mu v pismu z dne 29. oktobra 1647 odgovarja z besedami: »La période qui précède vos dernières civilités, définit la lumière en ces termes: La lumière est un mouvement luminaire de rayons composés de corps lucides, c'est-à-dire lumineux: où j'ai à vous dire qu'il me semble qu'il faudrait avoir premièrement défini ce que c'est que luminaire, et ce que c'est que corps lucide ou lumineux: car jusque-là je ne puis entendre ce que c'est que lumière. Et comme nous n'employons jamais dans les définitions le terme du défini, j 'aurais peine à m'accommoder à la vôtre, qui dit que la lumière est un mouvement luminaire des corps lumineux. Voilà, mon Père, quels sont mes sentiments . . .«, Pascal, Oeuvres complètes, ed. J . Chevailer, Pléiade, Galli- mard, Paris 1954, str. 1441 in 377. 1 Prim. Platon, Timaj 38c. • Prim. Aristotel, Fizika 220a: »čas je število gibanja (arithmàs kinéseos) glede na preje in pozneje«. 28 Vestnik IMS 1981/2 za označevanje stvari, ki jih imenujemo, in ne zato, da bi razkrile njihovo naravo. Ne da bi morda ne bilo dopustno gibanja neke nastale stvari imenovati čas, zakaj — kot sem pravkar dejal —, nič ni bolj arbitrarnega kot prav de- finicije. Toda vsled te definicije bosta zdaj obstajali dve stvari z imenom čas: prva je tista, ki jo vsi naravno razumejo s to besedo in ki jo vsi, ki govorijo naš jezik, imenujejo s tem izrazom; druga pa bo gibanje neke nastale stvari, zakaj tudi gibanje nastale stvari bomo zdaj — v skladu z novo definicijo — ime- novali čas. Treba se bo potemtakem izogibati dvoumnostim in razlikovati med konsek- vencami. Zakaj iz tega še ne bo sledilo, da je stvar, ki jo naravno razumemo z besedo čas, tudi dejansko gibanje neke nastale stvari. Ti dve stvari smo sicer lahko povsem svobodno enako poimenovali, vendar pa nimamo svobode, da bi ju po naravi uskladili tako kot po imenu. Ce torej izrečemo naslednjo trdi tev: »Čas je gibanje neke nastale stvari,« se moramo vprašati, ka j razumemo z besedo čas, to se pravi, ali ji puščamo njen utečeni in splošno sprejeti smisel, ali pa ji ga odvzemamo zato, da bi ji podelili smisel gibanja nastale stvari. Če jo namreč razbremenimo vsakega drugega smisla, tedaj temu ni moč oporekati, zakaj v tem primeru bomo imeli opraviti s povsem arbitrarno definicijo, zaradi katere pa bosta zdaj — kot sem dejal — obstajali dve stvari z istim imenom. Če pa besedi čas pustimo njen utečeni smisel in kl jub temu trdimo, da je to, kar razumemo s to besedo, prav gibanje nastale stvari, tedaj je temu moč oporekati. To namreč ni več arbi- t rarna definicija, temveč propozicija, ki jo je treba šele dokazati, če ni razvidna že sama po sebi; v tem primeru pa bi ta propozicija predstavljala princip ozi- roma aksiom in nikakor ne definicije, zakaj iz te izjave pač ni razvidno, da beseda čas pomeni isto stvar kot gibanje neke nastale stvari; razvidno pa je, da je to domnevno gibanje istovetno s tistim, kar si zamišljamo z izrazom čas. Če sam ne bi vedel, v kolikšni meri je neizogibno poznati te stvari do po- tankosti in kako pogosto v vsakdanjem pogovoru in v znanstvenih razpravah prihaja do zapletov, kot je ta, ki ga navajam kot zgled, se ob tem ne bi ustav- ljal. Toda iz izkušenj, ki jih imam o zapletih pri razpravljanju, se mi zdi, da glede duha jasnosti (l'esprit de netteté) — zaradi katerega pravzaprav pišem to razpravo bolj kot zaradi predmeta, ki ga v njej obravnavam — pač ni moč pretiravati. Kaj t i koliko je takih, ki menijo, da so definirali čas, rekoč, da predstavlja merilo gibanja, in mu obenem vendarle pustili njegov utečeni smisel! Vendar so s tem postavili propozicijo, ne pa definicije. Koliko je takih, ki menijo, da so definirali gibanje, rekoč motus nec simpliciter actus nec mera potentia est, sed actus entis in potentia? In vendar, če besedi gibanje pustijo njen utečeni smisel, kot sicer to počnejo, tedaj to ni definicija, temveč propozicija; s tem, da ne razlikujejo med tistimi definicijami, ki jih imenujejo nominalne defini- cije in ki so dejansko arbitrarne, dopustne in geometrične, in definicijami, ki jih imenujejo realne definicije, ki pa nikakor niso arbitrarne, temveč so pod- vržene oporekanju, realne definicije postavljajo prav tako samovoljno kot nominalne; in ker — po neki arbitrarnosti, ki je ob realnih definicijah enako nedopustna, kot je dopustna ob nominalnih — vsakdo definira isto stvar po svoje, vso stvar v celoti zapletejo in se sami — ker pač opuščajo vsak red in zgubljajo jasni uvid — zgubijo in zaidejo v nerazrešljive zagate. Blaise Pascal: Duh geometrije 29 V te nerazrešljive zagate pa nikoli ne bomo zašli, če sledimo redu geo- metrije (l'ordre de la géométrie). Ta razsodna znanost je namreč precej daleč od tega, da bi definirala osnovne besede, kot so prostor, čas, gibanje, enakost, večina, manjšanje, celota in druge, ki jih l judje razumejo sami od sebe. Toda razen naštetih so vsi ostali izrazi, ki jih uporablja, definirani in razjasnjeni do te mere, da za razumevanje kateregakoli izmed nj ih ne potrebujemo slo- varja; tako da so ti izrazi — z eno besedo — povsem razumljivi ali po narav- nem umu ali pa po definicijah, ki jih podaja geometrija. Tako se torej geometrija izogne vsem slabostim na katere je moč naleteti z ozirom na prvo točko, ki je v tem, da definira samo tiste stvari, ki jih je treba definirati. Enako ravna tudi z ozirom na drugo točko, ki je v tem, da dokaže tiste propozicije, ki niso razvidne same po sebi. Ko je namreč dosegla prve znane resnice, se ob le-teh ustavi in terja, da jih sprejmemo, ker pač nimamo ničesar bolj jasnega, da bi jih dokazali; tako da so vse propozicije, ki jih postavi geometrija, v celoti dokazane ali z naravnim umom ali pa z dokazi. Iz tega sledi, da ta znanost ne definira in ne dokaže vseh stvari edino zato, ker je to nemogoče. Ker pa nas narava oskrbi z vsem tistim, česar ta znanost ne nudi, njen red sicer ne prinaša neke nadčloveške popolnosti, odli- kuje pa ga vsa tista popolnost, ki je ljudem dosegljiva. Zdelo se mi je umestno, da že na začetku te razprave podam t o l e . . . Nemara bo zvenelo nenavadno, da geometrija ne more definirati nobene izmed stvari, ki predstavljajo njene glavne predmete: geometrija namreč ne more definirati ne gibanja, ne števil in ne prostora; vendar pa geometrija pre- udarja prav o teh treh stvareh in v skladu z raziskovanjem vsake izmed njih privzema naslednja tri različna imena: mehanika, aritmetika, geometrija; ob tem slednje pripada tako rodu kot vrsti. Ne bomo pa presenečeni ob pripombi, da je v tej čudoviti znanosti, ki navezuje zgolj na najbolj enostavne stvari prav enostavnost tista lastnost, ki tem stvarem podeli status njenih predmetov in obenem onemogoča njihovo definicijo; tako da je izostanek definicije prej prednost kot pomanjkljivost, ker ne izhaja iz njihove nejasnosti, temveč nasprotno, iz njihove izjemne raz- vidnosti, ki je tolikšna, da ima vso gotovost demonstracij, čeprav nima njihove prepričljivosti. Geometrija potemtakem predpostavlja, da vemo kaj je tisto, kar razumemo z besedami: gibanje, število, prostor; ne da bi se po nepotreb- nem zadrževala ob definiciji gibanja, števila in prostora, prodira v njihovo naravo in odkriva njihove čudovite lastnosti. Gibanje, število in prostor, ki po besedah Deus fecit omnia in pondere, in numero, et mensura7 zaobsegajo celotno vesolje, odlikuje neka vzajemna in nujna vez. Gibanja si namreč ne moremo predstavljati brez stvari, ki je v gibanju; ker pa je stvar, ki je v gibanju ena sama, ta enota predstavlja izvor vseh števil; in končno, ker je gibanje možno edino v prostoru, lahko uvidimo, da so te tri stvari vsebovane v prvi. Še celo čas je vsebovan v n je j : zakaj gibanje in čas sta vzajemno povezana; hitrost in počasnost, ki predstavljata zgolj razliki v gibanju, sta namreč s časom v nekem nujnem razmerju. Potemtakem obstajajo lastnosti, ki so skupne vsem stvarem; spoznanje teh lastnosti pa ostri duha za dojetje še večjih čudes narave. ' Modr 11, 21. 30 Vestnik IMS 1981/2 Največje čudo narave predstavljata dve neskončnosti, ki ju srečamo pri vseh stvareh, t j . neskončna velikost in neskončna majhnost. Naj je namreč neko gibanje še tako hitro, vselej si lahko zamislimo še hitrejše in pospešimo tudi slednje; in tako vselej v neskončnost, ne da bi kadar- koli dospeli do gibanja, ki bi bilo tako hitro, da ga ne bi mogli več pospešiti. In obratno, na j je neko gibanje še tako počasno, vselej ga lahko še upočasnimo, prav tako tudi slednjega; in tako naprej v neskončnost, ne da bi kadarkoli dospeli do tiste stopnje počasnosti, ki je ne bi mogli več upočasniti na ne- skončno mnogo drugih stopenj počasnosti, ne da bi obenem zapadli v miro- vanje. Naj je neko število še tako veliko, vselej si prav tako lahko zamislimo še večje in še eno, ki presega slednje; in tako naprej v neskončnost, ne da bi kadarkoli dospeli do števila, ki ga ne bi bilo moč več povečati. In obratno, na j je neko število — denimo ena stotina ali ena desettisočina — še tako majhno, vselej si lahko zamislimo še manjše; in tako vselej v neskončnost, ne da bi kadarkoli dospeli do ničle oziroma niča. Naj je neki prostor še tako velik, vselej si prav tako lahko zamislimo še večji prostor in še en prostor, ki je še večji; in tako naprej v neskončnost, ne da bi kadarkoli dospeli do prostora, ki ga ne bi bilo moč več povečati. In obratno, na j je neki prostor še tako majhen, vselej si lahko zamislimo še manjši prostor in tako naprej v neskončnost, ne da bi kadarkoli dospeli do nedeljivega dela (l'indivisible), ki ne bi imel nobene razsežnosti več. Enako je s časom. Vselej si namreč lahko zamislimo daljši čas, ne da bi dospeli do najdaljšega, in krajši čas, ne da bi dospeli do hipa in do čistega niča t ra janja . To se pravi — z eno besedo — kakršnokoli je gibanje, število, kakršenkoli je prostor, čas, vselej obstaja neko hitrejše in neko počasnejše gibanje, neko večje in neko manjše število, nek večji in nek manjši prostor, nek daljši in nek krajši čas: tako da vse naštete stvari vztrajajo med ničem in neskončnostjo in so obenem ves čas neskončno oddaljene od obeh skrajnosti. Vseh teh resnic ni moč dokazati in vendar prav te resnice predstavljajo osnove in principe geometrije. Ker pa vzrok njihove nedokazljivosti ni njihova nejasnost, temveč nasprotno njihova izjemna razvidnost, sam izostanek dokaza ne predstavlja pomanjkljivosti, temveč prej prednost. Iz tega vidimo, da geometrija ne more definirati svojih predmetov ne dokazati svojih principov; to pa zaradi enega samega, a dobrodošlega razloga, da namreč tako predmete geometrije kot njene principe odlikuje izjemna na- ravna jasnost, ki razum prepričuje uspešneje kot diskurz. Je sploh ka j bolj očitnega od resnice, da je namreč neko število, kakršno- koli pač je, moč vselej povečati, da ga je moč podvojiti, da je moč podvojiti hitrost nekega gibanja, da je prav tako moč podvojiti tudi prostor? Lahko sploh kdo dvomi, da nekega števila, kakršnokoli pač je, ni moč razpoloviti, da ni moč razpoloviti tudi te polovice? Mar bi ta polovica že pred- stavljala nič? Kako bi tedaj ti polovici, ki bi predstavljali dve ničli, sploh lahko tvorili število? Mar ni moč nekega gibanja — naj je še tako počasno — prav tako vselej upočasniti za polovico, tako da bo isti prostor premerilo v dvakratnem času, in to upočasnjeno gibanje še upočasniti? Mar bi bilo to že čisto mirovanje? Kako bi bilo namreč v tem primeru sploh mogoče, da bi ti polovici hitrosti, ki bi predstavljali dve mirovanji, tvorili začetno hitrost? Blaise Pascal: Duh geometrije 31 Mar ni moč potemtakem tudi nekega prostora — na j je še tako majhen — vselej razdeliti na dvoje in ti polovici spet na dvoje? In kako bi bilo sploh mogoče, da bi ti polovici, ki sta združeni tvorili prvo razsežnost, zdaj pred- stavljali dva nedeljiva dela brez vsake razsežnosti? Človek ne poseduje nobenega naravnega spoznanja, ki bi gornjim spozna- njem predhajalo in jih prekašalo v jasnosti. Vendar pa se najdejo tudi du- hovi — sicer nadvse odlični glede vseh ostalih stvari —, ki jih te neskončnosti odbijajo do te mere, da nanje nikakor ne morejo pristati. Nikoli nisem poznal nikogar, ki bi mislil, da nekega prostora ni moč po- večati. Naletel pa sem na posamezne sicer nadvse sposobne ljudi, ki so za- trjevali, da je prostor moč razdeliti na dva nedeljiva dela, pa na j to zveni še tako nesmiselno. Prizadeval sem si. da bi dognal, v čem bi lahko tičal vzrok njihovega nerazumevanja in odkril, da obstaja en sam poglavitni vzrok, ki je v tem, da si enostavno ne znajo zamisliti neskončno deljivega kontinuuma, iz česar sklepajo, da kontinuum pač ni neskončno deljiv. Človekova naravna bolezen je, da verjame, da mu je resnica dosegljiva neposredno — zato je vselej pripravljen zanikati vse, kar mu je nedoumljivo —, medtem ko dejansko naravno pozna le laž, za resnične pa ima lahko le tiste stvari, katerih nasprotje mu nastopi kot neresnično. Prav zato moramo — ob vsaki nezamisljivi propoziciji — odložiti sodbo o njej in je nikakor ne smemo zanikati že zaradi njene nezamisljivosti, temveč preučiti njeno nasprotje; če bo to nasprotje očitno napačno, lahko trdno vztrajamo pri prvi propoziciji, na j je še tako nedoumljiva. Prenesimo to pravilo na predmet naše razprave. Ni geometra, ki ne bi verjel, da je prostor neskončno deljiv. Brez tega principa pač ni moč biti geometer kot ni moč biti človek brez duše. In vendar ni geometra, ki bi to neskončno deljivost v celoti doumel; v to nezamisljivo resnico pa se lahko prepričamo edino na osnovi enega samega, a gotovo za- dostnega razloga, da namreč zelo dobro razumemo, da je trditev, da bi ob deljenju prostora lahko dospeli do nekega nedeljivega dela, to se pravi dela, ki ne bi imel nikakršne razsežnosti več, pač napačna. Je sploh kaj bolj nesmiselnega od trditve, da ob neprestanem deljenju kakega prostora vendarle dospemo do dela, katerega polovici sta nedeljivi in brez vsake razsežnosti, ter da tako ta dva niča razsežnosti skupaj tvorita neko razsežnost? Zakaj tiste, ki si delitev predstavljajo na ta način, bi želel vprašati, če si jasno zamišljajo, kako se dva nedeljiva dela st ikata: če se namreč stikata v celoti, sta eno in sta tako oba skupaj nedeljiva; če pa se ne stikata v celoti in se torej stikata samo v enem delu, imata več delov ter potemtakem nista nedeljiva. Ce torej priznavajo, da je njihova propozicija enako nezamisljiva kot naša — kar navadno tudi priznajo, ko jih privijemo —, na j obenem uvidijo, da resničnosti teh stvari pač ne gre presojati po naši zmožnosti zamišljanja le-teh, saj je nujno gotovo, da je eno od obeh nasprotij resnično, čeprav sta obe nezamisljivi. Te namišljene težave, ki se merijo zgolj ob naši nemoči, na j ra je pri- merjajo z naslednjimi naravno razumljivimi in trdnimi resnicami: če bi bilo namreč res, da je prostor sestavljen iz nekega določenega končnega števila nedeljivih delov, bi iz tega kajpada sledilo, da bi eden izmed dveh kvadratov, to se pravi enakostraničnih pravokotnikov, ki bi bil dvakrat večji od drugega, 32 Vestnik IMS 1981/2 vseboval tudi dvakrat večje število nedeljivih delov. Naj si torej ta nasledek dobro vtisnejo v spomin in se zatem urijo v sestavljanju točk v kvadrate vse dotlej, dokler jim ne bo uspelo sestaviti dveh kvadratov, izmed katerih bo eden vseboval dvakrat večje število točk kot drugi — brž ko jim bo to uspelo, se bodo morali vsi geometri tega sveta pač vdati. Ce pa je kaj takega že po naravi nemogoče, če torej obstaja nekakšna nepresegljiva nemožnost, da bi lahko iz točk sestavili kvadrata, izmed katerih bi eden vseboval dvakrat večje število točk kot drugi — kot bi sam pokazal na tem mestu, če bi stvar zaslužila, da se ob n je j ustavljamo —, na j iz tega pač potegnejo sklep. Da bi jim pomagali iz težav v katere bodo zašli, ko si bodo poskusili za- misliti, da lahko nek prostor vsebuje neskončnost deljivih delov, to pa kljub dejstvu, da to neskončnost preletimo v zelo kratkem času, jih je treba opozoriti, da tako nesorazmernih stvari kot sta neskončnost deljivih delov in kratek čas, v katerem jih preletimo, pač ne gre primerjati. Naj raje primerjajo celoten prostor s celotnim časom, t j . neskončno število deljivih delov prostora z ne- skončnim številom hipov tega časa; na ta način bodo uvideli, da neskončnost deljivih delov preletimo v neskončnosti hipov, t j . majhen prostor v kratkem času — v tem pa že ni več naj t i tistega nesorazmerja, ki jih je tako osupnilo. Navsezadnje, če se jim zdi trditev, da nek majhen prostor vsebuje prav toliko delov kot nek velik prostor, nenavadna, naj poskusijo razumeti, da so deli majhnega prostora tudi sorazmerno manjši; da bi se privadili na spoznanje te vrste, na j z majhno lečo pogledajo nebesni svod, in v vsakem delu leče bodo videli en del neba. Ce pa nikakor ne morejo doumeti, da je moč dele, ki so tako majhni, da uhaja jo zaznavi, deliti na enak način kot nebesni svod, za to pač ni boljšega zdravila kot da jih pogledajo s povečevalnim steklom, ki to drobno točko poveča do velikanske gmote; tako si bodo zlahka zamislili, da bi bilo moč te dele s pomočjo neke še bolj umetelno brušene leče povečati celo do velikosti nebesnega svoda, katerega razsežnost občudujejo. Zdaj, ko so torej ti predmeti videti zlahka deljivi, pa na j si prikličejo v spomin, da zmore narava neskončno več kot umetnost. Zakaj navsezadnje, kdo jim je zagotovil, da te leče kakorkoli spremenijo naravno velikost teh predmetov oziroma da vzpostavijo dejansko velikost, ki jo je spremenila in zožila oblika našega očesa, tako kot pomanjševalne leče? Nadvse neprijetno je zgubljati čas s tovrstnimi malenkostmi, vendar se je občasno treba ubadati tudi z neumnostmi. Duhovom, ki so jim te stvari razumljive zadošča, če rečemo, da dva niča razsežnosti pač ne moreta tvoriti razsežnosti. Ker pa so tudi taki duhovi, ki skušajo to spoznanje obiti sklicujoč se na ta čudežni ugovor, da lahko namreč dva niča razsežnosti vendarle tvorita razsežnost na enak način kot tudi dve enoti izmed katerih nobena ni število, ob združitvi tvorita število, jim je treba odvrniti, da bi lahko na povsem enak način ugovarjali, da tudi dvajset tisoč mož tvori armado, čeprav nobeden izmed njih ni armada, da tudi tisoč hiš tvori mesto, čeprav nobena izmed njih ni mesto, da tudi deli tvorijo celoto, čeprav nobeden izmed njih ni celota, ali — če naj ostanemo pri številčnih primerjavah —, da tudi dve dvojki tvorita štirico in deset desetič stotico, če- prav nobena dvojka ni štirica niti desetica stotica. Vendar pa postopek te vrste, ko s tako neenakimi primerjavami zamenju- jejo nespremenljivo naravo stvari z njihovimi arbitrarnimi in poljubnimi imeni, ki so odvisna zgolj od muhave narave ljudi, ki so jih sestavili, nikakor ne Blaise Pascal: Duh geometrije 33 zrcali pravega duha. Jasno je namreč, da smo ime armada dali tisoč možem, ime mesto večjemu številu hiš, ime desetica desetim enotam prav z namenom, da bi poenostavili diskurz; jasno je, da se iz te arbitrarnosti poraja jo imena kot so enota, dvojka, štirica, desetica, stotica, t j . imena, ki so sicer v naših očeh različna, čeprav te stvari po svoji nespremenljivi naravi dejansko pripadajo istemu rodu in so vse med sabo sorazmerne, se torej razlikujejo zgolj z ozirom na več ali manj — vendar pa zaradi teh imen dvojka še ni štirica, niti hiša ni mesto nič bolj kot mesto ni hiša. Pa vendar, čeprav hiša ni mesto, pa navzlic temu ni nič mesta; med ne biti neka stvar (n'être pas une chose) in biti n jen nič (en être un néant) je namreč razlika. Da bi namreč stvar temeljito razumeli moramo vedeti, da je edini razlog zaradi katerega enota ni uvrščena med števila, v naslednjem: ker so Evklid in prvi avtorji, ki so obravnavali aritmetiko, imeli opraviti z več lastnostmi, ki so ustrezale vsem številom razen enoti, so le-to — v skladu s svobodo, za katero smo že dejali, da jo imamo, da lahko definicije postavljamo po svoji volji — izključili iz pomena besede število enostavno zato, da bi se izognili ponavljanju, da je namreč neko določeno lastnost naj t i v vseh številih razen v enoti. Zato bi iz pomena besede število lahko prav tako izključili tudi dvojko in trojko oziroma karkoli, če bi le hoteli; izključimo lahko prav vse, s po- gojem, da to jasno povemo. Kot lahko po drugi strani enoto in ulomke kadar- koli uvrstimo med števila, kar smo ob splošnih propozicijah tudi dejansko prisiljeni storiti, da bi se izognili vsakokratnemu ponavljanju, da je namreč neko določeno lastnost naj t i v vseh številih, tudi v enoti in ulomkih. Prav v tem nedefiniranem smislu sem enoto razumel v vsem kar sem o n je j zapisal. Toda sam Evklid, ki je enoti odrekel ime število, kar je sicer lahko povsem svobodno storil, je — zato, da bi pokazal, da enota vendarle ni nek nič števila, temveč da nasprotno pripada istemu rodu — homogene količine definiral z besedami: količini, pravi, pripadata istemu rodu tedaj, ko lahko ena izmed obeh, ko je večkrat pomnožena, preseže drugo. Ker pa enota tedaj, ko je večkrat pomnožena, kajpada lahko preseže katerokoli število, prav po svojem bistvu in po svoji nespremenljivi naravi pripada istemu rodu kot števila, to pa v smislu istega Evklida, ki ni hotel, da bi se imenovala število. Kar pa ne velja za neki nedeljivi del z ozirom na razsežnost; nedeljiv del se namreč od razsežnosti ne razlikuje zgolj po imenu, ki je kajpada povsem poljubno, temveč se v skladu z definicijo homogenih količin razlikuje tudi po rodu, saj je — četudi poljubno mnogokrat pomnožen — tako zelo daleč od tega, da bi lahko presegel razsežnost, da lahko vselej tvori zgolj en sam nedeljivi del; kar je seveda naravno in nujno, kot je bilo že pokazano. Ker pa ta dokaz gradi na definiciji teh dveh stvari, t j . nedeljivega dela in razsežnosti, bomo to de- monstracijo razvili in povzeli. Nedeljivi del je tisto, kar nima nobenega dela, razsežnost pa tisto, kar ima več ločenih delov. Gornjima definicijama dodajam naslednje: trdim namreč, da dva nedeljiva dela ob združitvi ne tvorita razsežnosti. Ob združitvi se namreč nedeljiva dela stikata vsak v enem delu; torej dela, v katerih se nedeljiva dela stikata nista ločena, saj se v nasprotnem primeru pač ne bi stikala. Nedeljiva dela pa po svoji definiciji nimata nobenih drugih delov, kar pomeni, da nimata ločenih delov in potemtakem — v skladu z defi- nicijo razsežnosti, ki vključuje ločitev delov — nista razsežnost. 3 Vestnik IMS 34 Vestnik IMS 1981/2 Lahko bi pokazali, da iz istega razloga povsem enako velja za vse druge nedeljive dele, ki jih dodamo prvima dvema. Nedeljivi del torej — čeprav poljubno mnogokrat pomnožen — nikoli ne bo tvoril razsežnosti. Nedeljivi del potemtakem — v skladu z definicijo stvari istega rodu — ne pripada istemu rodu kot razsežnost. Tako torej dokažemo, da nedeljivi deli ne pripadajo istemu rodu kot šte- vila. Iz tega sledi, da dve enoti lahko tvorita število, ker pač pripadata rodu števil, da pa dva nedeljiva dela ne tvorita razsežnosti, ker kajpada ne pripadata istemu rodu. Iz tega vidimo, kako neutemeljeno je vzporejanje razmerja med enoto in števili z razmerjem med nedeljivimi deli in razsežnostjo. Ce pa bi hoteli pri številih naj t i primerjavo, ki bi ustrezno zrcalila raz- mer je med nedeljivim delom in razsežnostjo, tedaj je to lahko le razmerje med ničlo in števili, zakaj ničla ne pripada istemu rodu kot števila, saj le-teh ob množenju ne more preseči: tako da je ničla resnični nedeljivi del števila kot je nedeljivi del resnična ničla razsežnosti. Podobno razmerje bomo našli med mirovanjem in gibanjem, med hipom in časom; mirovanje in hip sta namreč heterogena z ozirom na svoji količini, saj lahko ob neskončnem množenju — na enak način in iz istega razloga kot nedeljivi deli razsežnosti — vselej tvorita le nedeljiva dela. Potemtakem bomo med temi količinami našli neko popolno u jemanje : vse te količine so namreč neskončno deljive, ne da bi kadarkoli sovpadle s svojimi nedeljivimi deli, tako da vse vztrajajo na sredi med ne- skončnostjo in ničem. V tem je torej to čudovito razmerje, ki ga je narava vzpostavila med temi stvarmi, in tisti čudežni neskončnosti, ki ju je postavila pred ljudi, ne zato, da bi si ju poskušali zamisliti, temveč z namenom, da bi ju občudovali; če naj ta premislek sklenem še z zadnjo pripombo, bi pristavil, da sta ti neskončnosti kljub dejstvu, da sta neskončno različni, vendarle vzajemno povezani, to pa tako, da spoznanje ene nujno vodi k spoznanju druge. Tako pri številih, iz dejstva, da jih je moč povečati, neizogibno — in to nadvse jasno — sledi, da jih je vselej moč tudi pomanjšati: če lahko namreč neko število množimo denimo do 100 000, lahko vselej vzamemo tudi njegov stotisoči del tako, da ga delimo s številom s katerim smo ga množili; tako bo ob spremembi celega števila v ulomek vsak množitelj postal delitelj. Tako da neskončno množenje nujno vključuje tudi neskončno deljenje. Enako razmerje med tema dvema neskončnostima lahko opazimo tudi v prostoru; to se pravi, da iz dejstva, da je nek prostor mogoče neskončno po- daljšati sledi, da ga je moč tudi neskončno pomanjšati kot je razvidno iz na- slednjega primera: če skozi lečo opazujemo ladjo, ki se neprestano oddaljuje v ravni črti je jasno, da se bo mesto na prosojnem telesu kjer označimo neko poljubno točko ladje ves čas dvigalo sorazmerno z oddaljevanjem ladje. Ce se torej pot ladje razteza v neskončnost, se bo to mesto na prosojnem telesu ne- prestano dvigalo, in vendar ne bo nikoli sovpadlo s točko na katero pade vodoravni žarek, ki vodi od očesa k leči, tako da se bo tej točki ves čas pri- bliževalo, ne da bi kadarkoli sovpadlo z njo.8 Tako iz neskončnosti razsežnosti 8 Pascal se na tem mestu opira na zakon optike, ki ga je v petem razdelku Dloptrike: Des Images qui se forment sur le fond de l'oeil formuliral Descartes (prim. Descartes, Discours de la méthode suivi d'extraits de la Dioptrique, Garnier-Flammarion, Paris 1966, str. 138—139), po katerem je razdalja med »ladjo« in »lečo« v obratnem sorazmerju z višino podobe na »prosojnem telesu«. Bolj ko se torej ladja oddaljuje in gre proti neskončnosti, bolj se višina sprevrnjene podobe manjša in gre proti nič, to se pravi proti »točki, na katero pade vodoravni Blaise Pascal: Duh geometrije 35 ladjine poti sledi nujna konsekvenca, namreč neskončna in neskončno majhna delitev tistega majhnega prostora, ki ostaja pod točko vodoravnega žarka. Tisti, ki jih ta razlaga ne bo prepričala, tisti torej, ki bodo še naprej živeli v prepričanju, da prostor ni neskončno deljiv, ne morejo ničesar trditi glede geometričnih demonstracij; čeprav so lahko vsestransko razgledani, pa bodo v geometriji ostali neuki: prav lahko je namreč biti nadvse učen človek in slab geometer. Tisti pa, ki bodo te resnice jasno doumeli, bodo lahko v tej dvojni ne- skončnosti, ki nas obdaja z vseh strani, občudovali veličino in moč narave ter se ob tem čudovitem premisleku — ko se bodo videli umeščene med neskonč- nostjo in ničem razsežnosti, med neskončnostjo in ničem števila, med neskonč- nostjo in ničem gibanja, med neskončnostjo in ničem časa — naučili spoznavati sami sebe. Na osnovi tega se bodo naučili ocenjevanja svoje prave vrednosti in tistega razmišljanja, ki velja več kot vsa ostala geometrija. Čutil sem se dolžnega, da se lotim tega obsežnega preudarka v prid vsem tistim, ki te dvojne neskončnosti sicer ne razumejo pa jih je vanjo vendarle moč prepričati. In čeprav je bržčas mnogo takih, ki so dovolj razumni, da bi to dvojno neskončnost lahko doumeli tudi brez tega preudarka, se vendarle lahko primeri, da ta razprava, ki bo nujno potrebna za nekatere, ne bo povsem ne- koristna za druge. Prevedel Miran Božovič 3* žarek, ne da bi kadarkoli sovpadla z njo«. Ta Pascalov primer skoraj dobesedno povzema Logika Port-Royala, prim. Arnauld in Nicole, La logique ou l'art de penser, Flammarion, Paris 1970, str. 365—366.