Vloga matematičnih reprezentacij v i-gradivih za delo na i-tabli The Role of Mathematical Representations in Interactive iBoard Materials Amela Sambolić Beganović Zavod RS za šolstvo Σ Povzetek Učitelji matematike, ki imajo interaktivno tablo (i-tablo) v razredu in jo tudi uporabljajo, za pouk praviloma ustvarja- jo lastna avtorska interaktivna gradiva (i-gradiva). V članku kritično analiziramo i-gradiva učiteljev matematike za delo na i-tabli v osnovni šoli. Na posameznih listih v i-gradivih (t. i. i-prosojnicah) smo raziskovali, koliko učitelji matematike pripravljajo dejavnosti, ki vključujejo zunanje matematične reprezentacije (enaktivne, ikonične in simbolne) in kakšna je vloga le-teh pri razumevanju matematičnih pojmov. Analiza 588 posameznih listov i-gradiv (t. i. i-prosojnic) za 6. razred na temo aritmetika in algebra ter za 9. razred na temo geometrija je pokazala visok delež ikoničnih in simbolnih reprezentacij pri vsebini geometrija in merjenje v 9. razredu. Prav tako so nas na posameznih i-prosojnicah v i-gradivih zanimale idejne rešitve učiteljev matematike pri ustvarjanju dejavnosti v pove- zavi s programsko opremo i-table, ki težijo rešitvam, iz katerih je mogoče razbrati proces prehajanja med različnimi reprezen- tacijami. Nekatere izmed teh rešitev v članku tudi ponazorimo s primeri posameznih i-prosojnic. Poglobljeno preučevanje posameznih i-prosojnic nam je omogočilo globlji uvid v zna- čilnosti i-gradiv, ki jih učitelji matematike pripravljajo za delo na i-tabli. Izkazalo se je, da se učitelji matematike zavedajo velikih možnosti i-table, vendar jih za zdaj premalo smiselno izkoriščajo. V članku razpravljamo tudi o vlogi učnega gradi- α Matematika v šoli ∞ XXII. [2016] ∞ 066-081 067 va (v našem primeru i-gradiva za delo na i-tabli) pri razvoju matematičnih pojmov in vplivu na znanje učečih se. Članek končamo z napotki za ustvarjanje i-gradiv, ki smiselno in di- daktično ustrezno vključujejo matematične reprezentacije. Ključne besede: pouk matematike v osnovni šoli, i-tabla, i-gradiva, matematične reprezentacije pojmov Σ Abstract Teachers of Mathematics, who have the interactive board (iBo- ard) in the classroom and use it for instructions, create their own original interactive materials (i-materials) as a rule. In the article we critically analyse the i-materials for the i-board in primary school as employed by Mathematics teachers. We explore to what extent they prepare activities involving external mathematical representations (enactive, iconic and symbolic) on the cases of individual sheets in i-materials (i.e. i-slides), and the role of the mentioned representations in understanding mathematical concepts. An analysis of 588 6 th grade individual sheets of i-materials (i.e. i-transparencies) for the topics of Ari- thmetic and Algebra, and for the 9 th grade the topic of Geometry showed a high proportion of iconic and symbolic representati- ons in teaching content Geometry and measurement in the 9 th grade. On individual i-slides in i-materials we also examine the conceptual solutions of Mathematics teachers in creating activi- ties connected to i-board software, which tend towards solutions in which we can note the process of transition between different representations. Some of these solutions in the article are also illustrated by examples of individual i-transparencies. An in- depth study of individual i-transparencies allowed us a deeper insight into the characteristics of i-materials which teachers of Mathematics prepare for the i-board. It turns out that Mathe- matics teachers are aware of the potential of the i-board, altho- ugh they currently aren’t sensibly exploiting it. In the paper we also discuss the role of teaching materials (in our case i-materials for the i-board) in the development of mathe- matical concepts and the impact of teaching materials on stu- dents‘ knowledge. We conclude the article with directions for the creation of i-materials which sensibly and didactically appro- priately include mathematical representation. Keywords: Mathematics lessons in elementary school, i-board, i-materials, mathematical representations of concepts 068 Vloga matematičnih reprezentacij v i-gradivih za delo na i-tabli α Uvod Po letu 2008 opažamo intenzivnejše oprem- ljanje slovenskih šol z i-tablami. Prek raz- pisov Ministrstva za izobraževanje, znanost in šport, na katere so se šole imele možnost prijaviti, je bil sofinanciran nakup i-tabel približno 750 osnovnim in srednjim šolam. V tem času ugotavljamo tudi porast člankov slovenskih učiteljev o uporabi i-table 1 . Uči- telji v člankih pogosto opisujejo i-tablo kot pripomoček, ki jim tudi ob razmeroma pre- prosti uporabi 2 zagotavlja prihranek časa pri pouku. Tudi nekatere druge izkustvene ugotovitve slovenskih učiteljev sovpadajo z navedbami tujih raziskovalcev in strokov- njakov s področja uporabe i-table pri pou- ku. Glede na pregledno literaturo o uporabi i-table predstavljamo nekaj trditev, v katerih je i-tabla tako pri domačih kot tudi pri tujih strokovnjakih opisana kot pripomoček, ki: – obeta večjo podporo poučevanju in učen- ju (BECTA, 2004; Higgins in dr., 2007; Brown, 2002). – vpliva na dvig motivacije učečih se za učen- je (Higgins, Beauchamp, Miller, 2007), – izboljšuje interakcijo med učiteljem, uče- čimi se in učnim gradivom, ki ga uporab- ljamo na i-tabli (Somekh in dr., 2007), – učiteljem omogoča, da z uporabo raz- ličnih multimedijskih elementov (slike, zvoka, videa, animacije) naslovijo tudi ti- 1 Mislimo na objave in predstavitve učiteljev na kon- ferencah mednarodnih konferencah, kot so SirIKT, Vivid, InfoKomTeh, KUPM. 2 Učitelj uporablja i-tablo kot običajno tablo za pisanje ter za prezentacijo različnih predstavitev multimedij- skih elementov (besedil, slik, zvoka, posnetkov idr.). Upravlja jo s pomočjo miške in prek interaktivnega zaslona i-table. Učeči si tudi pišejo na i-tablo in jo uporabljajo za reševanje že vnaprej izbranih oz. pri- pravljenih interaktivnih nalog (Haldane in Somekh, 2005). ste učeče se, ki jim besedilo kot edini vir komunikacije ni dovolj (Higgins, Falzon, Hall, Moseley, Smith F., Smith H., Wall, 2005), – prispeva k dvigu kakovosti poučevanja (Türel in Johnson, 2012). Večina učiteljev, ki uporabljajo i-tablo, ustvarjajo lastna učna gradiva za delo na i-tabli. Nekateri učitelji so veščine za delo z i-tablo in pripravo i-gradiv pridobili na seminarju z naslovom Interaktiven in di- namičen pouk z interaktivno tablo. Namen tega seminarja, ki je nastal v okviru projekta E-kompetentni učitelj 3 , je bil usposobiti uči- telje za izdelavo, oblikovanje in posodabljan- je učnih gradiv z ustreznimi dejavnostmi, ki zagotavljajo večjo podporo pri poučevan- ju in učenju z i-tablo. Učitelji so v okviru tega seminarja izdelovali i-gradivo v skladu s smernicami za izdelavo (priloga 1). Te so vsebovale le nabor tehničnih, vsebinskih in didaktičnih zahtev in niso načrtno spodbu- jale učitelje k ustvarjanju takšnih i-gradiv za matematiko, ki bi vključevala raznovrstne matematične reprezentacije pojmov. I-gradi- vo, ki je nastalo na seminarju, so učitelji pre- izkusili pri pouku in ga nato oddali v spletno učilnico I-tabla, zbiranje gradiv, ki je na por- talu Slovenskega izobraževalnega omrežja (www.sio.si). V omenjeni spletni učilnici je 182 i-gradiv za matematiko. Za raziskovanje vloge mate- matičnih reprezentacij v i-gradivih za delo na i-tabli smo uporabili 20 i-gradiv za 6. raz- red iz tem aritmetika in algebra in 38 i-gra- 3 V Projektu E-šolstvo (http://projekt.sio.si/e-solstvo/), ki se je izvajal od 2008 do 2013, sta bila združena dva projekta:projekt E-kompetentni učitelj in projekt E- -podpora. Cilj projekta E-kompetentni učitelj je bil razvoj in izvedba programov usposabljanja učiteljev in drugih strokovnih delavcev za uporabo IKT. 069 div za 9. razred iz tem geometrija in merjen- je. Za enoto preučevanja smo izbrali en list i-gradiva, tj. i-prosojnico. 208 i-prosojnic za 6. razreda in 380 i-prosojnicah za 9. razred smo uporabili: 1. pri analizi dejavnosti na posameznih i-prosojnicah, ki vključujejo raznovrst- ne matematične reprezentacije pojmov (enaktivne, ikonične in simbolne), in 2. za ilustracijo različnih idejnih rešitev uči- teljev matematike v povezavi s program- sko opremo i-table s poudarkom na tistih rešitvah, iz katerih je mogoče razbrati proces prehajanja med različnimi repre- zentacijami. V nadaljevanju opisujemo vlogo učnega gradiva pri razvoju matematičnih pojmov in vplivu na znanje učečih se – v našem prime- ru i-gradiva za delo na i-tabli. β Vloga in vpliv učnega gradiva Ali lahko pouk matematike poteka brez uč- nega gradiva? Skoraj nemogoče. Učno gradi- vo ima pomembno vlogo v učnem procesu. Učitelj lahko s kakovostnim učnim gradi- vom, ki omogoča primerne (matematične) dejavnosti, zagotovo aktivira učeče se na na- čin, da sami, z lastnim udejstvovanjem, skr- bijo za razvoj matematičnih pojmov in izgra- jevanje znanja. Avtorji teorij učenja (Paiget, 1971; Dewey, 1938; Dienes, 1969; Bruner, 1960) ugotavljajo, da je za razvoj razumevan- ja pojmov pomembna neposredna interak- cije učečega se z okoljem (Post, 1981:110). V našem primeru interakcijo z okoljem ra- zumemo kot manipulacijo z dejavnostmi v učnem gradivu, ki imajo določen matema- tični potencial v smislu razvoja matematič- nih pojmov. Gellert svari (2004:163), da je pri načrtovanju pouka z uporabo učnega gradiva, pri katerem so bolj kot učiteljeve v ospredju aktivnosti učečih se, treba biti pre- viden. Opozarja na dvoje: 1. Pri aktivnostih učečega se v povezavi z ustvarjeno dejavnostjo v učnem gradivu lahko pride do nerazumevanja matema- tičnega potenciala (pri učečih se), na ka- terega so prisegali učitelji in ta (p)ostane neizkoriščen. 2. Učitelj mora upoštevati predhodna ma- tematična znanja in izkušnje učečih se, ki lahko vplivajo na to, kako učeči se razu- mejo in ravnajo z dejavnostmi, pripravlje- nimi v učnem gradivu. Če povzamemo, večjo vlogo pri ustrez- nem razvoju matematičnih pojmov in izgra- jevanju matematičnega znanja ima dogovor med učiteljem in učečimi se, kako (na kak- šen način) uporabljati učno gradivo, kot ne- nadzorovano upravljanje z učnim gradivom (Gellert, 2004: 164). Učno gradivo pri pouku ima na nek način vlogo mediatorja med: – učiteljem in učečimi se ter – med cilji matematičnega pouka in njego- vimi rezultati – matematično izobraženi posamezniki (Gellert, 2004: prav tam) Bučarjeva (2011) je zasnovala učno gradi- vo za delo na i-tabli po načelih poučevanja matematike na razredni stopnji in pri tem izkoristila široko paleto možnosti sodobne informacijsko-komunikacijske tehnologije (IKT). Učno gradivo je uporabila pri po- uku na način, da je s svojimi učnimi pristopi upoštevala potrebe in razvojno stopnjo eks- perimentalne skupine učečih se pri starosti od 6 do 7 let. Z rezultati empirične raziskave je pokazala, da je eksperimentalna skupina učečih se dosegla višje rezultate kot kontrol- na skupina pri preverjanju znanja o telesih, 070 Vloga matematičnih reprezentacij v i-gradivih za delo na i-tabli likih in črtah. V endar opozarja, da zgolj učno gradivo in i-tabla nista dovolj za takšen re- zultat/izid. Ugotavlja, da le z osmišljenimi pristopi poučevanja in skrbno načrtovanim poukom z učnim gradivom pripomoremo k doseganju višjih učnih dosežkov učečih se (Bučar, 2011: 128) Kakovostno učno i-gradivo naj postavi učečega se v središče učnega procesa (Kreuh, Mohorčič, Kač, 2011). Menimo, da bi učitelji, ustvarjalci i-gradiv za delo na i-tabli morali ustvarjati takšne dejavnosti na i-prosojnicah, ki podpirajo razvoj matematičnih pojmov, omogočajo izgrajevanje znanja pri učečih se in spodbujajo aktivno učenje. Pri prikazu oz. predstavitvah matematičnih pojmov učečim se ne smejo manjkati raznovrstne matema- tične reprezentacije (Lipovec, 2013). Zato menimo, da je eden izmed ključnih elementov kakovostnega i-gradiva za ma- tematiko ta, da so v i-gradivu ustrezno in osmišljeno zastopane zunanje matematične reprezentacije. V nadaljevanju definiramo zunanje matematične reprezentacije, opiše- mo, kakšna je njihova vloga pri razumevanju matematičnih pojmov ter nekatere ponazo- rimo na primerih posameznih i-prosojnic. γ Matematične reprezentacije na i-prosojnicah V sodobni literaturi zasledimo različne, a vendar podobne definicije o tem, kaj je to matematična reprezentacija. Beseda repre- zentacija po Slovarju slovenskega knjižnega jezika (SSKJ) pomeni prikaz oz. predstavitev. Hodnik Čadeževa (2007:190) deli matema- tične reprezentacije na notranje (miselne predstave) in zunanje (okolje) in pri tem po- udarja, da sta obe ključnega pomena pri ko- munikaciji v matematiki. V članku se osredin- jamo na zunanje reprezentacije, ker prav te pri pouku matematike v glavnem tudi upo- rabljamo (Hodnik Čadež, 2007: prav tam). Psiholog Jerome Bruner (1964) opredeljuje tri kategorije predstavitve informacij: – enaktivne, – ikonične, – in simbolne reprezentacije. Meni, da prek teh treh kategorij ljudje gra- dimo oz. razvijamo modele notranjega sveta v prav takšnem vrstnem redu, kot je zapisa- no, in poudarja, da so poznejše odvisne od prejšnjih. Raziskave potrjujejo, da so učeči se spo- sobni globljega in bolj fleksibilnega razume- vanja matematičnih pojmov, če so jim ti bili predstavljeni prek različnih matematičnih reprezentacij (Hiebert in Carpenter, 1992; Kaput, 1989; Skemp, 1987; Porzio, 1994). Pozitivni učinki uporabe matematičnih re- prezentacij se kažejo tudi na način, da zado- voljijo potrebe učečih se z različnimi učni- mi slogi (Mallet, 2007). Berthold, Eysink in Renkl (2009) ugotavljajo, da prek različnih matematičnih reprezentacij učečim se omo- gočamo učinkovito učenje, ki vodi do glob- ljega razumevanja in znanja matematične vsebine. Hodnik Čadeževa (2007) pa opo- zarja, da za uspešno učenje matematičnih pojmov ni dovolj, če učečim se omogočimo zgolj manipulacijo z različnimi reprezentaci- jami (na primer s konkretnim in grafičnim materialom). Meni, da je naloga učitelja osmisliti proces manipuliranja, pri čemer naj bi učeči se vzpostavil relacije med različnimi reprezentacijami. Razumevanje matematičnih pojmov pre- poznamo pri učeči se, ki zmorejo prehajati med različnimi reprezentaciji. Zato ni dovolj, da se učitelji matematike, ki ustvarjajo i-gra- 071 divo za delo na i-tabli, zgolj zavedajo pome- na vključenosti raznovrstnih matematičnih reprezentacij. Pomembno je, da te načrtno vključujejo v dejavnosti na i-prosojnicah in pri tem spodbujajo osmišljeno upravljanje z virtualnimi objekti. V nadaljevanju na kratko predstavimo različne idejne rešitve učiteljev na primerih dejavnosti na i-prosojnicah v luči različnih matematičnih reprezentacij. Enaktivne reprezentacije – konkreten virtualni material Enaktivna reprezentacija ustreza konkretni ravni. Uporabljamo jo pri delu s konkretni- mi modeli. Na i-tabli razumemo enaktivne reprezentacije kot dejavnosti, ki jih učitelj pripravi za učenca s konkretnimi virtualnimi objekti. Učitelj se izogiba lastni manipulaci- ji znotraj reprezentacije (in ponavljanju te) kot načinu poučevanja ter spodbuja miselno aktivnost pri učečih se. Pri tovrstnih repre- zentacijah je pomembna izkušnja učenca s konkretnim virtualnim objektom na i-tabli. Na sliki 1 je primer i-prosojnice, na kateri je učitelj načrtoval dejavnost učencev s konk- retnim virtualnim objektom na i-tabli. Ikonične reprezentacije – grafične ponazoritve Ikonična reprezentacija vključuje grafične/ slikovne ponazoritve. Učitelj na i-prosojni- cah načrtuje dejavnosti, pri katerih učenci opazujejo grafične/slikovne ponazoritve, in tudi takšne dejavnosti, pri katerih so učenci spodbujeni, da jih ustvarijo sami. Na sliki 2 je primer i-prosojnice z ikonično reprezenta- cijo, na kateri je vidna tudi ideja o vzpostav- ljanju relacij med različnimi reprezentacija- mi – grafična reprezentacija kot most med konkretno reprezentacijo in matematičnimi simboli (Hodnik Čadež, 2007: 193). [ S l i k a 1] Primer i-prosojnice iz i-gradiva 9. razred na temo geometrija in merjenje 072 Vloga matematičnih reprezentacij v i-gradivih za delo na i-tabli [ S l i k a 2] Primer i-prosojnice iz i-gradiva za 6. raz- red na temo aritmetika in algebra Simbolne reprezentacije – matematični simboli Simbolna reprezentacija se nanaša na sim- bolni/matematični jezik oziroma na repre- zentacijo pojmov v simbolnem svetu. Na sliki 3 je primer i-prosojnic, na kateri je zapi- sana simbolna reprezentacija. δ Raziskovalni problem V članku analiziramo i-gradiva učiteljev ma- tematike, ki so nastala kot rezultat usposab- ljanja na seminarju za delo z i-tablo v letih od 2008 do 2013. Pri preučevanju i-gradiv nas je zanimalo: – koliko so na posameznih listih i-gradiv (t. i. i-prosojnic) zapisane raznovrstne matematične reprezentacije pojmov (iko- nične, enaktivne in simbolne). – idejne rešitve učiteljev matematike pri ustvarjanju i-gradiv: • v povezavi s programsko opremo i-tab- le, ki vključujejo raznovrstne matema- tične reprezentacije pojmov, • o vzpostavljanju relacij med različnimi reprezentacijami. [ S l i k a 3] Primer i-prosojnice iz i-gradiva za 6. razred na temo aritmetika in algebre 073 Rezultati raziskave nam bodo ponudili jas- nejšo sliko o zastopanosti posameznih ele- mentov v i-gradivih in omogočili izboljšanje programa za nadaljnje usposabljanje učitel- jev za delo z i-tablo. ε Metoda Vzorec Učiteljska i-gradiva za delo na i-tabli najde- mo v spletni učilnici za zbiranje i-gradiv za i-tablo na spletnem naslovu http://skupnost. sio.si/course/view.php?id=228. Gradiva, ki so v tej učilnici, so nastala na seminarju In- teraktiven in dinamičen pouk z i-tablo, ki je bil namenjen učiteljem začetnikom pri delu z i-tablo. Med številnimi gradivi, ki so v splet- ni učilnici urejena glede na tip i-table, na kateri se uporabljajo, stopnje izobraževanja in predmet poučevanja najdemo tudi 182 i-gradiv za matematiko. Gradiva, ki smo jih vključili med preuče- vana i-gradiva, so morala ustrezati spodnjim zahtevam: – so namenjena uvodnim uram v zvezi s predvideno matematično vsebino, – so namenjena poučevanju celotnega raz- reda v običajni (neračunalniški) učilnici, – so tehnično brezhibna (se odprejo, lahko jih beremo na računalnikih in uporabimo na i-tabli) in – se nanašajo na eno izmed tem iz veljav- nega učnega načrta za osnovno šolo, in sicer geometrija in merjenje, aritmetika in algebra ali druge vsebine (Učni načrt za matematiko, 2011). Izbrali smo 58 i-gradiv, ki so zadoščala navedenim zahtevam: – 20 i-gradiv oz. 208 i-prosojnic za temo aritmetika in algebra za 6. razred ter – 38 i-gradiv oz. 380 i-prosojnic za temo geo- metrija in merjenje za 9. razred. Način analize Posamezno i-gradivo je praviloma namenje- no eni učni uri in vsebuje več i-prosojnic. Kot enoto analize smo vzeli posamezno i-pro- sojnico v i-gradivih. Ob pregledu posamez- nih listov i-gradiv t. i. i-prosojnicah smo ugotovili zapise: – enaktivnih reprezentacij, tj. konkretnega virualnega materiala, – ikonične reprezentacij, tj. grafičnih pona- zoritev in – simbolnih reprezentacij, tj. matematičnih simbolov. Prisotnost oz. odsotnost posamezne re- prezentacije smo vpisovali v pripomoček za štetje. Pozorni smo bili le na tiste elemente na i-prosojnici, ki so matematično relevan- tni. Primer: na i-prosojnici so zapisana navo- dila za izvedbo neke dejavnosti s simboli. Če navodila niso ključna in matematično rele- vantna, potem v tem primeru na i-prosojnici ni simbolne reprezentacije. Zaradi programske in strojne zmogljivo- sti i-table je mogoče na eni sami i-prosojni- ci pripraviti številne dejavnosti oz. shraniti veliko multimedijskih elementov (besedilo, slike, zvok, posnetki, simulacije). Učitelji so ustvarjali tudi tovrstne t. i. kompleksne i- -prosojnice (slika 4), zato smo na njih ozna- čevali vse zapisane matematične reprezenta- cije. Zaradi smernic za izdelavo i-gradiv (pri- loga 1) so bili učitelji nekako primorani v svoje i-gradivo vstaviti tudi takšne i-prosoj- nice, ki so imele zgolj administrativni namen (slika 5). Sem uvrščamo tiste i-prosojnice, na katerih so informacije, pomembne za učitelja pri uporabi in upravljanju i-gradiva. Primeri 074 Vloga matematičnih reprezentacij v i-gradivih za delo na i-tabli takšnih i-prosojnice so naslovnica i-gradi- va in i-prosojnice, na kateri so napisani cilji učne ure, navodila za izvedbo, kolofon, viri slik, refleksija učitelja o izvedeni uri (Sambo- lić Beganović, 2014). Tovrstne i-prosojnice smo izločili iz vzor- ca in jih nismo upoštevali pri analizi rezul- tatov. η Obdelava podatkov in analiza rezultatov Podatke iz pripomočka za štetje smo obdelali s programom SPSS, za analizo rezultatov pa smo uporabili deskriptivno analizo. Za pri- kaz stanja matematičnih reprezentacij (tudi po posameznih razredih) smo naredili anali- zo frekvenc in vrtilne tabele. Rezultati Med 588 i-prosojnicami, ki smo jih preuče- vali, smo zapis posameznih elementov ravni znanj in načinov reprezentacij matematičnih pojmov našteli na 364 i-prosojnicah, na 224 i-prosojnicah so bili tisti elementi, ki niso bili matematično relevantni. – Na temo aritmetika in algebra za 6. razred smo preučili 208 i-prosojnic, 120 i-pro- sojnic z elementi posameznih ravni znanj in načinov reprezentiranja matematičnih pojmov, na 88 i-prosojnicah so bili ele- menti, ki niso bili matematično relevan- tni. [ S l i k a 4] Primer kompleksne i-prosojnice, ki vključuje grafične in simbolne ponazoritve 075 – Na temo geometrija in merjenje za 9. razred smo preučili od 380 i-prosojnic 244 i-prosojnic z elementi posameznih elementov ravni znanj in načinov repre- zentiranja matematičnih pojmov, na 136 i-prosojnicah so bili tisti elementi, ki niso bili matematično relevantni. Enaktivne reprezentacije so bile na 22 i-prosojnicah (6,0 %), ikonične na 168 i-pro- sojnicah (46,2 %), simbolne na 270 i-prosoj- nicah (74,2 %). 6. razred Aritme- tika in alegebra 9. razred Geome- trija in merjenje Skupaj Enaktivne reprezen- tacije 1 (0,8 %) 21 (8,6 %) 22 (6,0 %) Ikonične reprezen- tacije 17 (14 %) 151 (61,9 %) 168 (46,2 %) Simbolne reprezen- tacije 96 (80 %) 174 (71,3 %) 270 (74,2 %) [Preglednica1] Prikaz prisotnosti posameznih na- činov reprezentiranja matematičnih pojmov glede na razred/temo iz učnega načrta [ S l i k a 5] Primer i-prosojnice z administrativnim namenom 076 Vloga matematičnih reprezentacij v i-gradivih za delo na i-tabli Interpretacija rezultatov Pri pregledu i-gradiv smo preučevali zasto- panost različnih reprezentacij: enaktivnih, ikoničnih in simbolnih. V povezavi z matematičnimi reprezenta- cijami je bil ugotovljen visok delež ikoničnih reprezentacij pri vsebini geometrija in mer- jenje v 9. razredu. To je verjetno posledica tega, da geometrija kot matematična vsebina dopušča uporabo raznovrstnih multimedij- skih elementov (besedilo, slika, zvok, po- snetek, simulacije). Takšen izid je v skladu z navedbami Čadež Hodnikove (2007:192), ki ugotavlja, da so tudi matematični učbeniki, delovni zvezki in drugo matematično gradi- vo prav tako polni grafičnih reprezenatacij, ki se med seboj razlikujejo po domiselnosti, izvirnosti in korektnosti. Avtorica opozarja na matematično vprašljive in didaktično ne- ustrezne reprezentacije v tiskanih matema- tičnih gradivih. Nekatere strokovno vprašlji- ve upodobitve ikoničnih reprezentacij smo tudi sami opazili v preučevanih i-gradivih vendar se jim v pričujočem članku tokrat ne posvečamo. Rezultati so pokazali tudi visok delež dejavnosti na i-prosojnicah z elementi sim- bolne reprezentacije. Tak rezultat je verjetno posledica tega, da številni učitelji matemati- ke v Sloveniji dajejo proceduralnemu znanju prevelik pomen (Žakelj in Cotič, 2004). Pro- ceduralna znanja razumemo kot tista znanja, pri katerih učenci razvijajo zmožnost pozna- vanja in izvedbe postopkov oz. učinkovito obvladovanje algoritmov in postopkov (Ma- gajna, 2004). Zelo nizek delež zastopanosti enaktivnih reprezentacij v i-gradivih (zlasti za 6. razred) pripisujemo temu, da so bili učitelji, katerih i-gradivo smo preučevali, večinoma začet- niki in za nekatere njimi je bilo ustvarjanje lastnih i-gradiv za delo na i-tabli prva tovr- stna izkušnja (Sambolić Beganović, 2014). Priprava i-prosojnic, na katerih bi lahko pre- poznali dejavnosti z elementi enaktivnih re- prezentacij, zahtevajo od učiteljev zelo dobro poznavanje programske in strojne opreme i- -table za pripravo dejavnosti s konkretni vir- tualnimi objekti. Somekh in Haldane (2005) opisujeta učitelje začetnike pri delu z i-tablo kot tiste, ki i-tablo vključujejo v obstoječe načine poučevanja, v osnovi jo uporabljajo kot običajno tablo za pisanje in za prezen- tacijo različnih multimedijskih elementov. Menimo, da tudi matematične vsebine iz aritmetike in algebre dopuščajo manj za pri- pravo domiselnih, izvirnih in korektnih de- javnosti na i-prosojnicah. Poudariti velja, da je bil seminar, ki so se ga med drugimi udeležili tudi učitelji mate- matike in na katerem so nastala i-gradiva za i-tablo, ki smo jih preučevali v pričujočem članku, namenjen vsem strokovnim delav- cem (vzgojiteljem, učiteljem, ravnateljem, ra- čunalnikarjem). Smernice za izdelavo i-gra- div niso vsebovale didaktičnih zahtev po- sameznega predmeta ali področja (priloga 1). To pomeni, da zahteve v smernicah niso načrtno spodbujale učiteljev matematike k ustvarjanju takšnih i-gradiv, ki bi vključeva- la raznovrstne reprezentacije matematičnih pojmov. Zato je nizek delež zastopanosti de- javnosti, ki bi uravnoteženo vključevale raz- lične reprezentacije, pričakovan. Sambolić Beganović (2014) je v i-gradivih preučevala tudi zastopanost različnih vrst znanj (osnovna, konceptualna, proceduralna in problemska znanja), stopnje interaktiv- nosti (ni interaktivnosti, interaktivnost brez povratne informacije, interaktivnost s po- vratno informacijo, izvajalna interaktivnost, modelna interaktivnost) in namene uporabe 077 i-gradiva (operativno-organizacijski namen, administrativni namen, kognitivni namen, povezovalni namen, drugo). V povezavi z vrstami znanja, različnimi stopnjami inte- raktivnosti in namenom uporabe so bili ugo- tovljeni: – visok delež zastopanosti osnovnih znanj na i-prosojnicah (53,2 %). Takšen delež ne preseneča, ker so učitelji v navodilih za izdelavo i-gradiv dobili smernice, ki so jih spodbujale k pripravi i-gradiva, namenje- nega uvodnim uram v zvezi s predvideno matematično vsebino. Zato je razumljivo, da so se učitelji osredinili na spoznavanje pojmov in dejstev v povezavi z obravnava- no vsebino; – višji delež dejavnosti na i-prosojnic, na katerih smo zaznali interaktivnost s povratno informacijo (22,6 %). Takšen rezultat je pričakovan, kajti programska oprema i-table omogoča enostavno pri- pravo kratkih nalog in vprašanj za priklic znanja; – zelo nizek delež zastopanosti modelne interaktivnosti 4 . T akšen rezultat pripisuje- mo termu, da so bili avtorji preučevanih i-gradiv začetniki pri upravljanju z i-tab- lo, za večino je bilo ustvarjanje lastnih i-gradiv za delo na i-tabli prva tovrstna izkušnja; – presenetila sta nizek delež i-prosojnic s kognitivnim namenom 5 (4,6 %) in vi- sok delež i-prosojnic brez interaktivnosti (69,5 %). To pomeni, da na i-prosojni- cah prevladujejo dejavnosti, ki ne spod- 4 Pod modelno interaktivnostjo si na primer lahko predstavljamo mrežo kocke, ki se samostojno »sestavi v površje telesa«, če učeči se šest kvadratov pravilno razporedi v mrežo kocke. 5 I-prosojnica ima kognitivni namen takrat, ko priprav- ljene dejavnosti na i-prosojnici spodbujajo miselno aktivnost učečih se v smislu učenja novih znanj. bujajo miselne aktivnosti učečih se in ne predvidevajo dejanj učencev na i-tabli. θ Sklep Poglobljeno preučevanje i-gradiv učiteljev matematike nam je omogočilo globlji uvid v značilnosti i-gradiv, ki jih učitelji pripravl- jajo za delo na i-tabli. Izkazalo se je, da se učitelji zavedajo možnosti i-table, vendar to za zdaj premalo smiselno izkoriščajo. Naše ugotovitve sovpadajo z izsledki raziskav o i-tabli kot o pomembnem dejavniku, ki vpliva na učiteljevo načrtovanje in pripra- vo na pouk (Hennessy in London, 2013). Pri poglobljenem preučevanju posameznih i-prosojnic v i-gradivih učiteljev matematike smo se omejili na zunanje matematične reprezentacije. Rezultati raziskave ponujajo odgovore na vprašanja, katere matematične reprezentacije so največkrat zapisane oz. prevladujejo na i-prosojnicah in koliko. Po- kazali smo, da v i-gradivih učiteljev matema- tike začetnikov pri delu z i-tablo prevladuje visok delež dejavnosti z elementi simbolne reprezentacije, zlasti pri matematičnih vse- binah iz aritmetike in algebre v 6. razredu. Ugotovitve, ki smo jih izluščili z analizo rezultatov, so nam lahko izhodišče za obli- kovanje napotkov za ustvarjanje kakovostnih i-gradiv pri: – vključevanju dejavnikov, ki so za pouk matematike ključni: ravni znanja, mate- matične reprezentacije, stopnje interak- tivnosti in namen uporabe; – spodbujanju aktivne vloge učečih se (Türel, Johnson, 2012). Dobljeni rezultati ponujajo nove možnos- ti raziskovanja na področju načinov vklju- 078 Vloga matematičnih reprezentacij v i-gradivih za delo na i-tabli čevanja reprezentacij pojmov in njihove ustreznosti. V prihodnje bi bilo smiselno več pozornosti nameniti proučevanje dejavnosti, ki sledijo ideji vzpostavljanja relacij med raz- ličnimi reprezentacijami v povezavi z didak- tičnimi zmogljivostmi programske opreme i-table. Upamo, da je opravljenja analiza dovolj zgovorna in kaže na potrebo po intenzivnih spremebah na področju priprave i-gradiv za delo na i-tabli. κ Literatura 1. Becta (2004). Getting the most from your interactive whiteboard. A guide for primary schools. Pridobljeno na http://www.dit.ie/lttc/media/ditlttc/documents/get- tingthemost.pdf (11. 7. 2014). 2. Berthold, K., Eysink, T . H. S, in Renkl, A. (2009). Assi- sting self-explanation prompts are more effective than open prompts when learning with multiple represen- tations. Instructional Science, 37: 345-363. 3. Bruner, J. S. (1964). The course of cognitive growth. American Psychologist, 19, 1–15. 4. Bučar, U. (2011): Uporaba interaktivne table pri po- uku geometrije v prvem razredu osnovne sole, magis- trsko delo. 5. Cotič, M.,  Žakelj, A. (2004). Gagnejeva taksonomija pri preverjanju in ocenjevanju matematičnega znanja. Sodobna pedagogika, 55(1), str. 182–193. 6. Gellert, U. (2004): Didactic Material Confronted With The Concept Of Mathematical Literacy. Educational Studies in Mathematics 55: 163–179, 2004. 7. Haldane. M., Somekh. B. (2005). A typology of interac- tive whiteboard pedagogies. Paper presented at BERA Conference.University of Glamorgan, Wales. 8. Hiebert, J., Carpenter, T. P. (1992). Learning and te- aching with understanding. V D. A. Grouws (ur.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. str. 65–97. New Y ork: Macmillan. 9. Higgins, S., Falzon, C., Hall, I., Moseley, D., Smith, F., Smith, H., Wall, K. (2005): Embedding ICT In The Literacy And Numeracy Strategies, Final Report. Pri- dobljeno na http://dera.ioe.ac.uk/1617/1/becta_2005_ whiteboardprimarypilot_report.pdf (11.7.2014) 079 10. Higgins, S., Beauchamp G., Miller D. (2007): Revi- ewing the literature on interactive whiteboards. Lear- ning, Media and Technology, št. 32(3), str. 213–225. 11. Hodnik Čadež, T. (2007) Role of different represen- tations of mathematical concepts for learning with understanding. V M. Pavleković (ur.),   Mathematics and children : (how to teach and learn mathematics) : proceeding of the International Scientific Colloquium, Osijek, April 13, 2007. (str. 189–198) Osijek: Faculty of Teacher Education. Pridobljeno na http://www.ufos. unios.hr/DATA/skupovi/01_Zbornik_matematika_ dijete.pdf. 12. Kaput, J. J. (1989). Linking representations in the symbol systems of algebra. V S. Wagner, C. Kieran (ur.), Research issues in the learning and teaching of algebra, str. 167–194. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlba- um Associates Publishers. 13. Kreuh, N., Kač L., Mohorčič, G. (2011): Izhodišča za iz- delavo e-učbenikov, ZRSŠ, Pridobljeno na http://www. zrss.si/pdf/izhodisce-e-ucbeniki.pdf (11. 7. 2014). 14. Lipovec, A. (2013): Posebnosti razredne stopnje. V Suban Ambrož, M., Kmetič, S. Posodobitve pouka v osnovnošolski praksi, Matematika. 1. izd. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo, 2013, str. 30–34. Pridobljeno na http://www.zrss.si/digitalnaknjiznica/Posodobi- tve%20pouka%20v%20osnovnošolski%20praksi%20 MATEMATIKA/#/32/. 15. Magajna, Z. (2004). Ugotavljanje matematičnega znan- ja s pisnimi preizkusi, Matematika v šoli, 11(1), str. 64–83. 16. Mallet, Daniel G. (2007). Multiple representations for systems of linear equations via the computer algebra system Maple. International Electronic Journal of Mathematics Education 2(1), str. 16–32. 17. Post, T. (1981): The Role of Manipulative Materials in the Learning of Mathematical Concepts. In Selected Issues in Mathematics Education (pp. 109–131). Ber- keley, CA: National Society for the Study of Educati- on and National Council of Teachers of Mathematics, McCutchan Publishing Corporation. 080 Vloga matematičnih reprezentacij v i-gradivih za delo na i-tabli 18. Sambolić Beganović, A. (2013): Interaktivnost mate- matičnih i-gradiv za i-tablo v luči treh prispodob učen- ja, Matematika v šoli, letn. 19, št. 3/4, str. 41–53. 19. Sambolić Beganović, A. (2014): Značilnosti interak- tivnih gradiv. V Metljak, M. (ur.). Sodobne teme na področju edukacije II. Pedagoška fakulteta Univerze v Ljubljani, 2014. Pridobljeno s http://www.pef.uni-lj. si/fileadmin/Datoteke/CRSN/PhD/Sodobne_teme_ na_podrocju_edukacije_II.pdf. 20. Skemp, R. R. (1987). The psychology of learning mathematics (Expanded American Edition). Hillsda- le, NJ: Lawrence Erlbaum Associates Publishers. 21. Somekh, B. in dr. (2007): Evaluation of the Primary Schools Whiteboard Expansion Project(SWEEP), Report to the Department for Education and Skills, Becta, London. Pridobljeno Somekh, B., Haldane, M. (2005): A typology of interactive whiteboard pedago- gies. Paper presented at BERA Conference, University of Glamorgan, Wales. 22. Türel, Y. K., Johnson, T. E. (2012). Teachers‘ Belief and Use of Interactive Whiteboards for Teaching and Learning. Educational Technology & Society, 15 (1), 381–394. 23. Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika [Elek- tronski vir] / predmetna komisija Amalija Žakelj ... [et al.]. – El. knjiga. – Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport: Zavod RS za šolstvo, 2011. Pridobljeno na http://www.mizs.gov.si/fileadmin/mizs.gov.si/page- uploads/podrocje/os/prenovljeni_UN/UN_matema- tika.pdf (11. 7. 2014). 081 Priloga 1 Navodila za izdelavo seminarskega gradiva SEMINAR INTERAKTIVEN IN DINAMIČEN POUK Z I-TABLO Vsebinsko-didaktične zahteve za izdelavo i-gradiva za uporabo na i-tabli Splošno V svojem didaktičnem gradivu uporabite vsaj 4 i-prosojnice. Naslovnica Izdelajte naslovnico, ki vsebuje ime in priimek, področje/predmet in temo oz. učno enoto. Na naslovnico vstavite sliko, ki je ustrezno vsebinsko povezana s temo oz. učno enoto. Vstavljanje priponk/povezav V svojem gradivu predvidite povezavo na vsaj en dokument (e-prosojnice in/ali urejevalnik besedil), ki didaktično smiselno dopolnjuje gradivo (npr. priprava na pouk, učni list, dodatne naloge ipd.). V svojem gradivu predvidite povezavo na vsaj eno spletno stran, ki didaktično dopolnjuje izbrano učno temo (npr. dodatne naloge v spletu, kviz, animacije, slikovno gradivo). Vstavljanje ciljev, dejavnosti učencev in učitelja V gradivo vstavite učne cilje, ki jih boste uresničili z izdelanim gradivom, ter predvidite dejavnost učitelja in učencev, tj. na vsaki i-prosojnici dopišite navodila/opombe za delo (Pojasnite, kaj naj učitelj počne s to i-prosojnico.) Uporaba interaktivne i-prosojnice v razredu Eno izmed i-prosojnic dopolnite, s čimer boste prikazali njeno rešitev oz. tabelsko sliko iz razreda (npr. i-prosojnico podvojite in ji dodajte opombe, ki so (bi) nastale med učnim procesom). Dokazila o uporabi v razredu V gradivo vključite fotografije ali posnetek rabe ene izmed i-pro- sojnic na i-tabli v razredu, ki je: – bodisi posnetek reševanja/dopolnjevanja tabelne slike, nastale med učnim procesom (npr. posnetek s kamero ali telefonom), – ali posnetek učenčevega dela na i-tabli, narejen z videozapiso- valnikom (orodjem, ki ste ga spoznali na drugem srečanju). Vstavljanje slik in navajanje virov Na i-prosojnicah uporabite slikovno gradivo iz galerije ali iz dru- gih virov, pri čemer navedite vir. Interaktivna i-prosojnica z osnovnimi orodji V gradivu uporabite lastno kreativno interaktivno vajo, nareje- no z osnovnimi orodji i-table (npr. tabelo, miselni vzorec, igro spomin). Uporaba naprednejših orodij Izdelajte čarobno škatlo ali uporabite katero drugo naprednejše orodje, ki ste ga spoznali na drugem srečanju (posnetek z videoza- pisovalnikom, uvoz/izvoz ppt) in s katerim boste omogočili višje stopnje interaktivnosti, tj. dali takojšno povratno informacijo. Splošna didaktična vrednost gradiva Didaktično gradivo ob koncu seminarja oblikujte tako, da bo izkazovalo učno ciljno usmerjeno celoto, primerno za obravnavo teme v razredu, in bo imelo oznako CC. Nastalo v okviru razvojnega dela področja za i-table, projekt e-Šolstvo, 2008-2013