VPRAŠANJA IN ODGOVORI
Dragi bralci, v četrti številki preǰsnjega letnika smo zastavili nalogo o ge-
pardu, ki lovi gazelo. Veseli smo, da je naloga naletela na dober odziv, in v
povzetku odgovorov vam bomo predstavili glavni oris rešitve. Seveda smo
imeli odgovor
”
na zalogi“ in se z izjemo nekaterih podrobnosti ujema s ti-
stim, ki ga je v knjigi
”
Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun“
opisal že France Križanič. Na to rešitev so nas opozorili tudi pozorni bralci.
Povzemimo nalogo: v začetku je gazela v izhodǐsču koordinatnega sis-
tema, ko opazi geparda pa začne bežati v smeri osi y s hitrostjo v0. Gepard
je na začetku na osi x pri koordinati −x0 < 0, nato pa lovi gazelo s stalno
hitrostjo v1 tako, da je vseskozi usmerjen proti gazeli. Gepard ujame gazelo
v točki (0, y0).
Gibanje geparda je opisano s parametrično krivuljo t 7→ (x(t), y(t)).
Očitno je t 7→ x(t) strogo naraščajoča funkcija, zato lahko gepardovo pot
opǐsemo z grafom funkcije y = y(x). Ker je gepard vseskozi obrnjen proti
gazeli, je smerni koeficient tangente na krivuljo y(x) v točki, ki jo gepard
doseže ob času t, enak:
tgϕ =
dy
dx
= y′ =
y − v0t
x
. (1)
Iz te enačbe želimo eliminirati čas, zato jo prepǐsemo v xy′ = y − v0t in
odvajamo po x: y′ + xy′′ = y′ − v0t
′, kjer t′ označuje dt/dx. Komponenta
gepardove hitrosti v smeri osi x je
dx
dt
= v1 cosϕ =
v1
√
1 + y′2
.
Če to upoštevamo v preoblikovani enačbi (1), dobimo
xy′′ = −k
√
1 + y′2 ,
kjer smo označili k = v0/v1. V enačbi lahko ločimo spremenljivki
dy′
√
1 + y′2
= −k
dx
x
in integriramo. Integral na levi spada med osnovne integrale in ga lahko
napǐsemo kot arsh y′ ali pa kot dolgi logaritem ln(y′ +
√
y′2 + 1). Dobimo
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 39
Rešitev naloge Gepard in gazela
arsh y′ = −k ln |x| + c. Začetni pogoj narekuje, da je odvod gepardove
krivulje enak nič, saj je gepard obrnjen proti gazeli, ki je takrat v izhodǐsču:
0 = − lnxk0 + c in zato
y′ = sh ln
xk0
|x|k
= sh ln
xk0
(−x)k
.
Z uporabo shx = 1
2
(ex − e−x) dobimo
y′ =
1
2
(
xk0
(−x)k
−
(−x)k
xk
0
)
.
Ponovno integriramo in upoštevamo začetni pogoj y(−x0) = 0:
y =
1
2
(
(−x)k+1x−k
0
1 + k
−
xk0(−x)
1−k
1− k
)
+
x0k
1− k2
. (2)
Na podoben način pridemo do enakega rezultata, če najprej zapǐsemo
dolžino poti, ki jo do trenutka t opravi gepard: s = v1t. Pot izrazimo še s
krivuljnim integralom in dobimo zvezo:
t =
1
v1
∫
x
x0
√
1 + y′2 dx . (3)
V tem času gazela priteče vzdolž osi y do v0t. Ker je gepard usmerjen proti
gazeli, velja
y′ =
y − v0t
x
=
y − k
∫
x
x0
√
1 + y′2 dx
x
.
Enačbo pomnožimo z x in odvajamo po x. Spomnimo: če odvajamo integral
neke funkcije po spremenljivki v meji, je tak odvod enak vrednosti funkcije
na meji: d
dx
∫
x
konst
f(u) du = f(x). Dobimo seveda enako kot prej
y′ + y′′x = y′ − k
√
1 + y′2 .
Pot geparda za tri različna razmerja hitrosti k = 0.1; 0.5; 0.8 kaže slika
1. Kadar je gepard le malo hitreǰsi od gazele (k → 1), se krivulja skoraj
asimptotično približuje navpični osi in lov lahko traja zelo dolgo.
Čas, ki ga gepard potrebuje, da ujame gazelo, bi lahko izračunali iz (3).
Lažje pa pridemo do istega rezultata, če izračunamo čas, ki ga do konca
porabi gazela. Konec se zgodi v točki (0, y0) na osi y. Te točke ni težko
40 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
Rešitev naloge Gepard in gazela
Slika 1
izračunati iz (2): y0 =
kx0
1−k2
. Do te točke gazela teče s konstantno hitrostjo
v0 in za pot potrebuje
t =
x0
v1(1− k2)
.
Pri k → 1 gre čas t → ∞. Za k > 1 bi dobili t < 0, kar pa ni fizikalno
smiseln rezultat. Če je gepard počasneǰsi od gazele, je seveda ne bo ujel.
Povejmo še zgodbo o kmetu in prašičku. Kmet stoji v oglǐsču kvadratne
ograde, v oglǐsču diagonalno nasproti zeva luknja, prašiček pa je v sosednjem
oglǐsču. Prašiček se v trenutku, ko začnemo meriti čas, požene s hitrostjo
v0 proti luknji, kmet pa, enako kot prej gepard, s hitrostjo v1 ves čas teče v
smeri proti prašičku. Kolikšna vsaj mora biti kmetova hitrost, da prašička
ujame pred luknjo? Najmanǰso hitrost potrebuje v mejnem primeru, ko
prašička ujame pri luknji. Krivulja gibanja kmeta je enaka kot pri gepardu.
Kmet ujame prašička, če je y(x = 0) = x0, saj smo privzeli kvadratno
ogrado. Pogoju zadosti k, ki je rešitev enačbe k = 1−k2. Fizikalno smiselna
rešitev je k = (
√
5− 1)/2 oziroma v1 = (
√
5 + 1)v0/2 ≈ 1.618v0.
Ob obravnavi naloge z gepardom se je cenjenemu bralcu porodila po-
dobna zanimiva naloga, ki vam jo podajamo v premislek. Ime naloge je
Gospod Hulot in njegov pes gresta na sprehod. Pes je na vrvici, ki jo g. Hu-
lot kraǰsa z enakomerno hitrostjo. Po kakšni krivulji se giblje pes, če g. Hulot
koraka s konstantno hitrostjo naravnost v smeri pravokotno na začetno smer
vrvice?
Aleš Mohorič
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 III