OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
SEPTEMBER 2020STR 161-200ŠT. 5LETNIK 67LJUBLJANAOBZORNIK MAT. FIZ.
C  KM Y 
2020
Letnik 67
5
i
i
“kolofon” — 2021/2/19 — 8:22 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, SEPTEMBER 2020, letnik 67, številka 5, strani 161–200
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
© 2020 DMFA Slovenije – 2132 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 161 — #1 i
i
i
i
i
i
O PREUREDITVAH VRST S KOMPLEKSNIMI ČLENI
ALEKSANDER SIMONIČ
School of Science
The University of New South Wales (Canberra)
Math. Subj. Class. (2010): 40A05
Lévy–Steinitzov izrek za pogojno konvergentne vrste s kompleksnimi členi pravi, da
je množica vsot, ki jih dobimo po vseh preureditvah, bodisi premica bodisi kompleksna
ravnina. V članku predstavimo podroben dokaz tega izreka.
ON REARRANGEMENTS OF INFINITE SERIES WITH COMPLEX TERMS
The Lévy–Steinitz theorem for conditionally convergent series with complex terms
says that the set of sums we obtain after all rearrangements is either a line or the complex
plane. In the article we present a detailed proof of this theorem.
Uvod
Spomnimo se, da je konvergentna vrsta
∑∞
n=1 zn s kompleksnimi členi po-
gojno konvergentna, če ni absolutno konvergentna, tj. vrsta
∑∞
n=1 |zn| diver-
gira. Absolutno konvergentne vrste so konvergentne, toda obratno ni vedno
res. Priljubljeni primer je alternirajoča harmonična vrsta
1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ · · · = log 2. (1)
Preureditev členov absolutno konvergentne vrste ne spremeni njene vsote.
Formalno definiramo preureditev vrste
∑∞
n=1 zn kot vrsto
∑∞
n=1 zπ(n), kjer je
π : N→ N bijektivna preslikava, tj. π je permutacija množice N. Preureditev
pogojno konvergentne vrste pa lahko spremeni njeno vsoto. Ponazorimo to
z alternirajočo harmonično vrsto. Vzemimo zaporedoma en pozitivni člen
in dva negativna člena:
1− 1
2
− 1
4
+
1
3
− 1
6
− 1
8
+
1
5
− 1
10
− 1
12
+ · · ·
=
∞∑
n=1
(
1
2n− 1
− 1
4n− 2
− 1
4n
)
=
∞∑
n=1
1
2
(
2
2n− 1
− 1
2n− 1
− 1
2n
)
=
1
2
∞∑
n=1
(
1
2n− 1
− 1
2n
)
= log
√
2.
Pri izračunu smo člene razdelili na skupine s tremi členi in potem uporabili
enakost (1). Očitno je vsota preurejene vrste različna od log 2.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 161
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 162 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
Osrednji rezultat o preureditvah pogojno konvergentnih vrst z realnimi
členi je zajet v naslednjem izreku.
Izrek 1. Vsako pogojno konvergentno vrsto z realnimi členi lahko preuredimo
v konvergentno vrsto s poljubno vsoto.
Bernhard Riemann (1826–1866) je v razpravi o razvoju funkcij v trigo-
nometrijske vrste1 zapisal skico dokaza izreka 1 ter omenil, da je to opazil
že Dirichlet v članku iz leta 1829, glej [8, str. 226]. Kakorkoli, danes je
rezultat poznan kot Riemannov preureditveni izrek. Ideja dokaza je izje-
mno preprosta. Najprej opazimo, da vrsti, ki ju sestavimo iz pozitivnih
in negativnih členov prvotne vrste, divergirata. To omogoča, da z doda-
janjem pozitivnih členov vedno presežemo poljubno število, medtem ko z
dodajanjem negativnih členov vedno pridemo pod to število. Ker zaporedje
členov v vrsti konvergira proti nič, lahko s takim postopkom dosežemo, da
preurejena vrsta konvergira proti želeni vrednosti. Kasneje bomo podali
dokaz posplošitve tega izreka (posledica 5), za običajni dokaz glej npr. [3,
str. 318–320].
Izrek 1 obravnava izključno vrste z realnimi členi. Naj bo {zn}∞n=1 za-
poredje kompleksnih števil in
P ({zn}∞n=1) :=
{ ∞∑
n=1
zπ(n) : π je permutacija N in
∞∑
n=1
zπ(n) konvergira
}
⊆C
(2)
množica vsot vseh konvergentnih preurejenih vrst. Lahko je prazna, saj
ne obstaja preureditev divergentne vrste s pozitivnimi členi v konvergentno
vrsto. Absolutno konvergentne vrste pokažejo, da je ta množica lahko le
točka, medtem ko je po izreku 1 lahko tudi premica. Naslednji primer pa
pokaže, da je množica (2) lahko kar cela kompleksna ravnina.
Primer 2. Vzemimo pogojno konvergentno vrsto
∞∑
n=1
1
n
exp
(nπ
2
i
)
.
Označimo z zn njene člene. Zaporedje {z2n−1}∞n=1 je sestavljeno iz pov-
sem imaginarnih števil, medtem ko je zaporedje {z2n}∞n=1 realno. Vrsti∑∞
n=1 z2n−1 in
∑∞
n=1 z2n sta pogojno konvergentni. Naj bosta a in b po-
ljubni realni števili. Po izreku 1 obstajata permutacija π1 množice li-
hih števil in permutacija π2 množice sodih števil, da je
∑∞
n=1 zπ1(2n−1) =
ib in
∑∞
n=1 zπ2(2n) = a. Torej obstaja permutacija π množice N, da je∑∞
n=1 zπ(n) = a+ ib. S tem imamo P ({zn}
∞
n=1) = C.
1Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, Abhan-
dlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1854. To
je bila Riemannova habilitacijska razprava.
162 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 163 — #3 i
i
i
i
i
i
O preureditvah vrst s kompleksnimi členi
Ali obstaja kakšno zaporedje kompleksnih števil, da je množica (2) še
kaj drugega kot le prej našteti štirje primeri? Odgovor je ne!
Izrek 3. Naj bo {zn}∞n=1 zaporedje kompleksnih števil. Množica P ({zn}
∞
n=1)
je bodisi prazna bodisi točka bodisi premica bodisi kompleksna ravnina.
Z drugimi besedami: množica vsot, ki jih dobimo po vseh preureditvah
pogojno konvergentne vrste s kompleksnimi členi, je bodisi premica v kom-
pleksni ravnini bodisi cela kompleksna ravnina.
Izrek 3 je prvi dokazal Paul Lévy (1886–1971) leta 1905 v članku [4], ko
je bil še dodiplomski študent na politehnǐski šoli v Parizu. Lévy je v resnici
obravnaval preureditve vrst s členi v končno razsežnem evklidskem prostoru,
kjer se rezultat glasi, da je P bodisi prazna množica bodisi premik linear-
nega podprostora. Ernst Steinitz (1871–1928) je na pobudo E. Landaua
podrobno naštudiral Lévyjev članek in v njem našel številne pomanjkljivo-
sti, še posebej pri večrazsežnem primeru, ter v seriji člankov [10, 11, 12]
med drugim objavil povsem neodvisen dokaz tega. Groß je iz člankov izlu-
ščil bistvene prijeme ter v [1] objavil poenostavljen dokaz. Steinitz–Großov
pristop je predstavljen v [7]. Neß je v [5] podal drugačen dokaz izreka 3
z uporabo zanimive posplošitve Riemannovega preureditvenega izreka, glej
izrek 4 in posledico 5 v naslednjem razdelku. Ta prispevek bo sledil tej poti.
Morda je zanimivo dejstvo, da kljub naravnosti in starosti izreka 3 do-
kaz ni vsebovan v Knoppovi monografiji [3, str. 398]. Prav tako rezultat
še zdaleč ni tako prepoznaven kot izrek 1. Najverjetneje je glavni razlog
relativno zapleten dokaz. Namen tega prispevka je predstaviti pregledni do-
kaz Lévy–Steinitzovega izreka za vrste s kompleksnimi členi ter ga morda s
tem približati bralcu, ki se je pravkar seznanil z Riemannovim preureditve-
nim izrekom. Za druge rezultate na področju preureditev neskončnih vrst
predlagamo še pregledni članek [2].
Posplošitev Riemannovega preureditvenega izreka
Znameniti poljski matematik Wac law Sierpiński (1882–1969) je v [9] posplo-
šil izrek 1 na preureditve, ki pustijo pozitivne ali negativne člene vrste na
svojem mestu, odvisno od tega, ali je želena vsota večja ali manǰsa od vsote
dane vrste. Ključna metoda v dokazu je naslednji izrek, ki ga dokažemo
podobno kot v [5].
Izrek 4. Naj bo {an}∞n=1 tako zaporedje pozitivnih realnih števil z limito 0,
da vrsta
∑∞
n=1 an divergira. Vzemimo d > 0. Potem je
∞∑
n=1
(
an − aπ(n)
)
= d
za neko permutacijo π množice N.
161–176 163
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 164 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
Dokaz. Naj bo {aλn}
∞
n=1 tako podzaporedje zaporedja {an}
∞
n=1, da vrsta∑∞
n=1 aλn konvergira. To lahko vedno dosežemo npr. s pogojem aλn ≤ 2−n.
Označimo z aµn preostale člene v {an}
∞
n=1, zapisane v enakem vrstnem redu.
Tvorimo novo zaporedje {bn}∞n=1, kjer je bλn = 0 in bµn = aµn . Velja
λn∑
k=1
ak =
λn∑
k=1
bk +
n∑
k=1
aλk
za vse n ∈ N. Ker je zaporedje delnih vsot
∑λn
k=1 ak navzgor neomejeno,
zaporedje delnih vsot
∑n
k=1 aλk pa konvergentno, vrsta
∑∞
n=1 bn divergira.
Za N ∈ N definirajmo DN := −d+
∑N
n=1 (bn − cn), kjer bomo določili člene
zaporedja {cn}∞n=1 z naslednjim algoritmom.
Postavimo c1 = 0 in N = ∅ ter za vsak k ≥ 1 ponavljamo naslednje korake:
(1) Če je Dk ≤ 0, potem je ck+1 = 0;
(2) Če je Dk > 0, potem:
(2.1) če je bk+1 = aµm , potem vzamemo ck+1 = bk+1 in N nadomestimo
z N ∪ {m};
(2.2) če je bk+1 = 0, potem vzamemo ck+1 = aµl za
l =
{
min
(⋃max(N )
j=1 {j} \N
)
, N 6= ∅,
1, N = ∅
in N nadomestimo z N ∪ {l}.
Najprej se prepričajmo, da je vsak korak v algoritmu izvedljiv. Edini
problem bi lahko nastal pri koraku (2.2), saj bi lahko bila množica v min {·}
prazna. Toda v tem primeru bi bili vsi neničelni členi zaporedja {bn}kn=1 že
vsebovani v {cn}kn=1, od koder bi sledilo Dk < 0, kar pa v tem koraku ni
mogoče.
Naj bo Dk ≤ 0. Potem je Dk+1 = Dk natanko tedaj, ko je bk+1 =
0, sicer imamo Dk+1 > Dk. Ker vrsta
∑∞
n=1 bn divergira, po končnem
številu ponovitev koraka (1) vedno pridemo do koraka (2). Recimo, da je
k1 najmanǰse tako število. Potem obstaja l1 ∈ N, da je
Dk ≤ · · · ≤ Dk+k1−1 ≤ 0 < Dk+k1 ≤ aµl1 .
Naj bo Dk > 0. Opazimo, da ponavljanje koraka (2.1) ne spremeni
vsote DN , toda korak (2.2) jo zmanǰsa za aµl . Ponovno nam divergenca
vrste
∑∞
n=1 bn zagotavlja, da po končnem številu ponovitev koraka (2) vedno
164 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 165 — #5 i
i
i
i
i
i
O preureditvah vrst s kompleksnimi členi
pridemo do koraka (1). Recimo, da je k2 najmanǰse tako število. Potem
obstaja tak l2 ∈ N, da je
Dk ≥ · · · ≥ Dk+k2−1 > 0 ≥ Dk+k2 ≥ −aµl2 .
Po preǰsnjih dveh odstavkih obstajajo strogo naraščajoča in neomejena
zaporedja {kj}∞j=1, {l1,j}
∞
j=1 in {l2,j}
∞
j=1 naravnih števil, da za vse N ∈
[kj , kj+1] ∩ N in j ∈ N velja
−aµl2,j ≤ DN ≤ aµl1,j .
Ker je limn→∞ an = 0, to dokazuje limN→∞DN = 0 oz.
∞∑
n=1
(bn − cn) = d. (3)
Določiti moramo še ustrezno preureditev vrste
∑∞
n=1 an. Vsak neničelni
člen zaporedja {bn}∞n=1 se pojavi natanko enkrat v {cn}
∞
n=1 ter obratno.
Pokazali bomo, kako nadomestiti ničelne člene preǰsnjih zaporedij s členi iz
{aλn}
∞
n=1. Vemo, da je j element množice L := {λn : n ∈ N} natanko tedaj,
ko je bj = 0. Recimo, da je za tak j = λn tudi cj = 0. Potem nadomestimo
bj in cj z aλn . Če pa cj 6= 0, imamo cj = aµl , kjer je µl kot v koraku
(2.2). Tedaj velja cµl = 0. Zato nadomestimo bj in cµl z aλn . S takimi
nadomestitvami iz zaporedja {bn}∞n=1 dobimo prvotno zaporedje {an}
∞
n=1,
zaporedje {cn}∞n=1 pa postane
{
aπ(n)
}∞
n=1
za neko permutacijo π množice
N. Naj bo N≤m := {n ∈ N : n ≤ m}. Tedaj imamo
m∑
n=1
(
an − aπ(n)
)
=
m∑
n=1
(bn − cn) +
∑
n∈Lm
an −
∑
n∈L ′m
an,
kjer je Lm := L ∩ N≤m in L ′m := L ∩ {π(n) : n ∈ N≤m}. Ker je vrsta∑∞
n=1 aλn absolutno konvergentna, sta v limiti, ko pošljemo m v neskončno,
vsoti zadnjih vrst v zgornji enakosti enaki. Enačba (3) s tem zaključuje
dokaz.
Posledica 5. Imejmo pogojno konvergentno vrsto z realnimi členi in vsoto
s ter s1 in s2 taki realni števili, da velja s1 ≤ s ≤ s2. Potem obstaja
preureditev, ki pusti vse negativne člene na svojem mestu in je s1 vsota
preurejene vrste. Obstaja tudi preureditev, ki pusti vse pozitivne člene na
svojem mestu in je s2 vsota preurejene vrste.
161–176 165
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 166 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
Dokaz. Naj bo
∑∞
n=1 an = s pogojno konvergentna vrsta z realnimi členi.
Lahko privzamemo s1 < s. Dokazujemo prvi del posledice. Definirajmo
množici N1 := {n ∈ N : an > 0} in N2 := {n ∈ N : an ≤ 0}. Imamo
m∑
n=1
an =
∑
n∈N1∩N≤m
an −
∑
n∈N2∩N≤m
|an| .
Zaradi pogojne konvergence od tod sledi
lim
m→∞
∑
n∈N1∩N≤m
an = +∞.
Po izreku 4 obstaja permutacija π1 množice N1, da velja
lim
m→∞
∑
n∈N1∩N≤m
(
an − aπ1(n)
)
= s− s1. (4)
Naj bo π(n) := π1(n) za n ∈ N1 ter π(n) := n za n ∈ N2. S tem je π
permutacija množice N in
m∑
n=1
(
an − aπ(n)
)
=
∑
n∈N1∩N≤m
(
an − aπ1(n)
)
.
Z upoštevanjem enakosti (4) dobimo
∞∑
n=1
aπ(n) =
∞∑
n=1
(
aπ(n) − an
)
+
∞∑
n=1
an = (s1 − s) + s = s1.
Drugi del posledice dokažemo podobno.
Natančneǰsa oblika Lévy–Steinitzovega izreka za vrste s kompleksnimi
členi
Izrek 3 pove, kakšne oblike je lahko množica P iz (2). Naslednji izrek pa je
njegova podrobneǰsa različica, kjer s tremi paroma disjunktnimi pogoji na
člene vrste določimo vse možne oblike množice P.
Izrek 6. Naj bo
∑∞
n=1 zn konvergentna vrsta s kompleksnimi členi in vsoto
s.
(1) Če obstaja natanko en ϕ0 ∈ [0, π), da vrsta
∑∞
n=1<
{
zne
iϕ0
}
absolutno
konvergira, potem velja
P ({zn}∞n=1) =
{
z ∈ C : <
{
(z − s) eiϕ0
}
= 0
}
.
166 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 167 — #7 i
i
i
i
i
i
O preureditvah vrst s kompleksnimi členi
(2) Če obstajata različna ϕ1 ∈ [0, π) in ϕ2 ∈ [0, π), da vrsti
∑∞
n=1<
{
zne
iϕ1
}
in
∑∞
n=1<
{
zne
iϕ2
}
absolutno konvergirata, potem velja
P ({zn}∞n=1) = {s}.
(3) Če za vsak ϕ ∈ [0, π) vrsta
∑∞
n=1
∣∣<{zneiϕ}∣∣ divergira, potem velja
P ({zn}∞n=1) = C.
Ker primeri pokrijejo vse možnosti, je izrek 3 vsebovan v tem izreku.
Ker je <
{
(z − s)eiϕ0
}
= 0 natanko tedaj, ko je z = s + ae−iϕ0 , a ∈ i · R,
je množica P iz primera (1) premica. Podobna klasifikacija s skalarnim
produktom obstaja tudi v večrazsežnem primeru, glej [7, str. 350].
Ponazorimo uporabo izreka na primeru realne konvergentne vrste∑∞
n=1 an = s. Naj bo ϕ ∈ [0, π). Potem imamo
∣∣<{aneiϕ}∣∣ = |an| ·
|cosϕ|. Če je vrsta pogojno konvergentna, vrsta
∑∞
n=1
∣∣<{aneiϕ}∣∣ konver-
gira natanko tedaj, ko je ϕ = π/2. Torej imamo P ({an}∞n=1) = R, kar je
ravno vsebina Riemannovega preureditvenega izreka. Če pa je vrsta abso-
lutno konvergentna, vrsta
∑∞
n=1
∣∣<{aneiϕ}∣∣ konvergira za vsak ϕ ter s tem
P ({an}∞n=1) = {s}.
Primer 7. Vzemimo pogojno konvergentno vrsto
∞∑
n=1
(−1)n+1
(
1√
n
+ i
1
n
)
.
Označimo z zn njene člene in naj bo ϕ ∈ [0, π). Ker je
zn = (−1)n+1
√
n+ 1
n
exp
(
i arctan
1√
n
)
,
je ∣∣<{zneiϕ}∣∣ = √n+ 1
n
∣∣∣∣cos(ϕ+ arctan 1√n
)∣∣∣∣ .
Ločimo tri primere: ϕ ∈ [0, π/2), ϕ ∈ (π/2, π) in ϕ = π/2. Naj bo najprej
ϕ ∈ [0, π/2). Potem obstajata N ∈ N in ε > 0, da je ϕ + arctan (1/
√
n) ≤
ϕ + ε < π/2 za vse n ≥ N . Torej je
∣∣<{zneiϕ}∣∣ ≥ 1√n cos (ϕ+ ε) za
n ≥ N . Ker je vrsta
∑∞
n=1
1√
n
divergentna, je po primerjalnem kriteriju
tudi vrsta
∑∞
n=1
∣∣<{zneiϕ}∣∣ divergentna. Naj bo sedaj ϕ ∈ (π/2, π). Potem
obstaja N ∈ N, da za n ≥ N velja π/2 < ϕ < ϕ + arctan (1/
√
n) < π
in s tem
∣∣<{zneiϕ}∣∣ ≥ 1√n |cosϕ|. Odtod spet po primerjalnem kriteriju
161–176 167
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 168 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
zaključimo, da
∑∞
n=1
∣∣<{zneiϕ}∣∣ divergira. V primeru ϕ = π/2 imamo∣∣<{zneiϕ}∣∣ = 1/n, kar so členi divergentne harmonične vrste. Sklepamo,
da za vsak ϕ ∈ [0, π) vrsta
∑∞
n=1
∣∣<{zneiϕ}∣∣ divergira. Izrek 6 zagotavlja
P ({zn}∞n=1) = C.
Izkaže se, da je dokaz izreka 6 v primeru (3) najtežji. Pri tem bo koristno
vpeljati in študirati pojem poltraka absolutne divergence.
Poltrak absolutne divergence
Za α ∈ R in β > 0 definirajmo množico
J (α, β) :=
{
reiϕ : r ∈ (0,∞), |ϕ− α| < β
}
.
Za β ∈ (0, π) ta množica predstavlja odprt kot v kompleksni ravnini z vrhom
v 0, kotom 2β in simetralo L (α) :=
{
reiα : r ∈ (0,∞)
}
. Naj bo
∑∞
n=1 zn
pogojno konvergentna vrsta. Če obstaja α0 ∈ R, da vrsta∑
zn∈J (α0,ε)
|zn|
divergira za vsak ε > 0, potem pravimo množici L (α0) poltrak absolutne
divergence.2 Seveda je potem za vsak k ∈ Z tudi L (α0 + 2kπ) poltrak
absolutne divergence.
Za vrsto iz primera 2 so L(0), L(π/2), L(π) in L(3π/2) vsi poltraki
absolutne divergence. Vsaka pogojno konvergentna vrsta z realnimi členi
ima natanko dva poltraka absolutne divergence, L(0) in L(π), kar je res
tudi za vrsto iz primera 7, saj za njene člene velja
arg zn =
{
arctan 1√
n
, 2 - n,
−π + arctan 1√
n
, 2 | n.
Naslednja lema zagotavlja obstoj poltraka absolutne divergence za vsako
pogojno konvergentno vrsto.
Lema 8. Naj bo
∑∞
n=1 zn pogojno konvergentna vrsta. Recimo, da obstajata
α ∈ R in β > 0, da vrsta ∑
zn∈J (α,β)
|zn|
divergira. Potem obstaja α0 ∈ [α− β, α+ β], da je L (α0) poltrak absolutne
divergence.
2Različni avtorji uporabljajo različna imena, npr. »principal direction« v [2], »direction
of accumulation« v [6] in »stark Strahl« v [5].
168 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 169 — #9 i
i
i
i
i
i
O preureditvah vrst s kompleksnimi členi
Dokaz. Dokazujemo s protislovjem. Naj bo Λ := [α− β, α+ β]. Recimo, da
za vsak λ ∈ Λ obstaja ελ > 0, da vrsta
∑
zn∈J (λ,ελ) zn absolutno konvergira.
Potem imamo
[α− β, α+ β] ⊆
⋃
λ∈Λ
(λ− ελ, λ+ ελ) . (5)
Ker je leva množica v (5) kompaktna, obstaja končna podmnožica Λ0 ⊂ Λ,
da (5) velja tudi v primeru, ko Λ nadomestimo z Λ0. S tem imamo∑
zn∈J (α,β)
|zn| ≤
∑
λ∈Λ0
∑
zn∈J (λ,ελ)
|zn| <∞,
kar pa je v nasprotju s predpostavko leme.
V nadaljevanju predpostavimo, da je izpolnjen pogoj (3) iz izreka 6, in
z uporabo preǰsnje leme pokažemo obstoj poltraka absolutne divergence.
Lema 9. Recimo, da je
∑∞
n=1 zn pogojno konvergentna vrsta in za vsak ϕ ∈
[0, π) vrsta
∑∞
n=1
∣∣<{zneiϕ}∣∣ divergira. Potem za vsak α ∈ R obstaja α0 ∈[
α− π2 , α+
π
2
]
, da je L (α0) poltrak absolutne divergence.
Dokaz. Lahko opazimo, da po predpostavki v lemi vrsta
∑∞
n=1
∣∣<{zneiϕ}∣∣
divergira za vsak ϕ ∈ R, saj imamo <
{
zne
iϕ
}
= −<
{
zne
i(ϕ−π)}. Vze-
mimo α ∈ R. Opazimo tudi, da je zn ∈ J (α, π/2) natanko tedaj, ko
je zne
−iα ∈ J (0, π/2) oz. <
{
zne
−iα} > 0. Od tod sledi <{zne−iα} =
−
∣∣<{zne−iα}∣∣ natanko tedaj, ko je zn ∈ C \ J (α, π/2). Če bi bila vrsta∑
zn∈J (α,π/2)
∣∣<{zne−iα}∣∣ konvergentna, bi veljalo
∞∑
n=1
∣∣<{zne−iα}∣∣ = −<{se−iα}+ 2 ∑
zn∈J (α,π/2)
∣∣<{zne−iα}∣∣ ,
kjer je s :=
∑∞
n=1 zn. To pa ni mogoče, saj bi bila s tem vrsta na levi
strani zgornje enakosti konvergentna. Sklepamo, da vrsta
∑
zn∈J (α,π/2) |zn|
divergira. Trditev sedaj sledi iz leme 8.
Trditev 10. Recimo, da je
∑∞
n=1 zn pogojno konvergentna vrsta in za vsak
ϕ ∈ [0, π) vrsta
∑∞
n=1
∣∣<{zneiϕ}∣∣ divergira. Potem za vsak α ∈ R obstajata
taka α1 ∈ [α− π, α] in α2 ∈ [α, α+ π], α2−α1 ≤ π, da sta L (α1) in L (α2)
poltraka absolutne divergence.
Dokaz. Najprej bomo pokazali, da je množica
A := {α : L (α) je poltrak absolutne divergence}
161–176 169
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 170 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
zaprta. Vzemimo ε > 0 in {αn}∞n=1 ⊆ A naj bo konvergentno zaporedje z
limito limn→∞ αn = α. Potem obstaja j ∈ N, da je |αj − α| < ε/2 in vrsta∑
zn∈J (αj ,ε/2) |zn| divergira. Ker pa je J (αj , ε/2) ⊂ J (α, ε), od tod sledi
divergenca vrste
∑
zn∈J (α,ε) |zn| in s tem α ∈ A.
Če je L (α) poltrak absolutne divergence, potem obstaja α′ ∈ (α, α+ π],
da je tudi L (α′) poltrak absolutne divergence. Recimo, da tak α′ ne obstaja
in definirajmo
B := {α0 ∈ [α+ π/2, α+ 3π/2] : L (α0) je poltrak absolutne divergence} .
Po lemi 9 množica B ni prazna. Ker je navzdol omejena in zaprta, ima mi-
nimum α̂ > α+ π. Po lemi 9 obstaja α′′ ∈ [(α̂+ α− π) /2, (α̂+ α+ π) /2],
da je L (α′′) poltrak absolutne divergence. Imamo α < α′′ < α̂ ≤ α+ 3π/2.
Sledi α′′ ∈ B in s tem α′′ ≥ α̂. Ker pa to ni mogoče, predpostavka o
neobstoju α′ ni pravilna.
Vzemimo α ∈ R in definirajmo
C :=
{
α′ ∈ [α− π, α] : L
(
α′
)
je poltrak absolutne divergence
}
.
Po lemi 9 množica C ni prazna. Ker je navzgor omejena in zaprta, ima ma-
ksimum α1. Če je α1 = α, potem α2 = α1 zadošča trditvi. V nasprotnem
primeru po preǰsnjem odstavku obstaja α2 ∈ (α1, α1 + π], da je L (α2) pol-
trak absolutne divergence. To nam zagotavlja α2 − α1 ≤ π. Ker po izbiri
α1 velja še α2 ∈ (α, α+ π], je trditev s tem dokazana.
Trditev 11. Naj bo
∑∞
n=1 zn pogojno konvergentna vrsta.
(1) Če je L (0) poltrak absolutne divergence, potem obstaja tako podzaporedje
{zλn}
∞
n=1, da velja <{zλn} > 0, vrsta
∑∞
n=1<{zλn} divergira in vrsta∑∞
n=1={zλn} absolutno konvergira.
(2) Če je L (π) poltrak absolutne divergence, potem obstaja tako podzapo-
redje {zµn}
∞
n=1, da velja <{zµn} < 0, vrsta
∑∞
n=1<{zµn} divergira in
vrsta
∑∞
n=1={zµn} absolutno konvergira.
Podzaporedji {zλn}
∞
n=1 in {zµn}
∞
n=1 sta disjunktni.
Dokaz. Dokazujemo trditev (1). Izberimo ε ∈ (0, π/3). Ker zaporedje
{zn}∞n=1 konvergira proti 0 in vrsta
∑
zn∈J (0,ε) |zn| divergira, obstaja končno
mnogo členov zλ1 , . . . , zλN1 zaporedja {zn}
∞
n=1, da je λ1 < · · · < λN1 ,
{zλn}
N1
n=1 ⊂ J (0, ε) in 1 ≤
∑N1
n=1 |zλn | ≤ 2. Na podoben način lahko vidimo,
da obstaja končno mnogo členov zλN1+1 , . . . , zλN2 zaporedja {zn}
∞
n=1, da je
λN1 < λN1+1 < · · · < λN2 , {zλn}
N2
n=N1+1
⊂ J (0, ε/2) in 1 ≤
∑N2
n=N1+1
|zλn |
≤ 2. Na ta način konstruiramo strogo naraščajoči zaporedji {Nj}∞j=0 ⊂
170 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 171 — #11 i
i
i
i
i
i
O preureditvah vrst s kompleksnimi členi
N0 in {λn}∞n=1 ⊂ N, da je N0 = 0, {zλn}
Nj+1
n=Nj+1
⊂ J
(
0, ε2−j
)
in 1 ≤∑Nj+1
n=Nj+1
|zλn | ≤ 2. Iz prvega pogoja dobimo <{zλn} ≥ |zλn | cos
(
ε2−j
)
in
|= {zλn}| ≤ |zλn | sin
(
ε2−j
)
za n ∈ {Nj + 1, . . . , Nj+1}. Za m ∈ N0 sledi
Nm+1∑
n=1
<{zλn} ≥
m∑
j=0
Nj+1∑
n=Nj+1
|zλn | cos
ε
2j
≥
m∑
j=0
cos
ε
2j
>
m
2
,
∞∑
n=1
|= {zλn}| ≤
∞∑
j=0
Nj+1∑
n=Nj+1
|zλn | sin
ε
2j
≤ 2
∞∑
j=0
sin
ε
2j
<
4π
3
,
od koder dobimo trditev (1). Dokaz trditve (2) poteka podobno, le da
člene zµn izbiramo iz J
(
π, ε2−j
)
. Pri tem sta tako dobljeni podzaporedji
disjunktni.
Preǰsnji trditvi sta ključni v dokazu primera (3) izreka 6. Najprej opa-
zimo: če je za neko pogojno konvergentno vrsto
∑∞
n=1 zn množica L(α)
poltrak absolutne divergence, je potem L(0) poltrak absolutne divergence
za
∑∞
n=1 zne
−iα. Trditev 10 bo zagotovila obstoj dveh takšnih poltrakov,
medtem ko bo trditev 11 po ustreznih rotacijah priskrbela podzaporedja,
na katerih bomo lahko z uporabo izreka 4 izvajali ustrezne preureditve.
Na tem mestu dodajmo še: če je za pogojno konvergentno vrsto množica
L(α) poltrak absolutne divergence za vsak α ∈ R, je pogoj (3) izreka 6
izpolnjen. To sledi iz preǰsnje opombe in trditve 11. Primer take vrste je
∞∑
n=1
1
n
exp (2πixn),
za x ∈ R \Q. Dokaz ni kratek in ga bomo zato izpustili, glej [5, str. 41–42].
Dokaz izreka 6
V tem zadnjem razdelku bomo dokazali izrek 6 in s tem tudi Lévy–Steinitzov
izrek za vrste s kompleksnimi členi. Dokaz bomo razdelili na tri dele, v
skladu s primeri (1)–(3) v izreku 6.
Dokaz za prvi primer
Po predpostavki izreka obstaja natanko en ϕ0 ∈ [0, π), da vrsta∑∞
n=1<
{
zne
iϕ0
}
absolutno konvergira. Vrsta
∑∞
n=1 zn = s je v tem pri-
meru pogojno konvergenta, saj bi drugače veljalo
∞∑
n=1
∣∣<{zneiϕ}∣∣ ≤ ∞∑
n=1
∣∣zneiϕ∣∣ ≤ ∞∑
n=1
|zn| <∞
161–176 171
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 172 — #12 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
za vsa realna števila ϕ. S tem je tudi vrsta
∑∞
n=1 zne
iϕ0 = seiϕ0 pogojno
konvergentna. Ker vrsta
∑∞
n=1<
{
zne
iϕ0
}
absolutno konvergira, sledi, da je∑∞
n=1=
{
zne
iϕ0
}
pogojno konvergentna vrsta. Vzemimo
s′ ∈ S :=
{
z ∈ C : <
{
(z − s) eiϕ0
}
= 0
}
.
Po izreku 1 obstaja permutacija π množice N, da je
∞∑
n=1
=
{
zπ(n)e
iϕ0
}
= =
{
s′eiϕ0
}
.
Ker je
∑∞
n=1<
{
zne
iϕ0
}
absolutno konvergentna, je
∞∑
n=1
<
{
zπ(n)e
iϕ0
}
= <
{
s′eiϕ0
}
= <
{
seiϕ0
}
. (6)
Torej je
∑∞
n=1 zπ(n) = s
′, kar dokazuje S ⊆ P ({zn}∞n=1). Če je s′ ∈
P ({zn}∞n=1), potem obstaja permutacija π množice N, da velja s′ =∑∞
n=1 zπ(n). Ker vrsta
∑∞
n=1<
{
zne
iϕ0
}
absolutno konvergira, ponovno ve-
lja (6) in odtod s′ ∈ S. S tem imamo S = P ({zn}∞n=1).
Dokaz za drugi primer
Po predpostavki izreka obstajata različna ϕ1 ∈ [0, π) in ϕ2 ∈ [0, π), da vrsti∑∞
n=1 un in
∑∞
n=1wn absolutno konvergirata, kjer smo definirali
un := <
{
zne
iϕ1
}
= <{zn} cosϕ1 −={zn} sinϕ1,
wn := <
{
zne
iϕ2
}
= <{zn} cosϕ2 −={zn} sinϕ2.
Če je ϕ2 = 0, je
∑∞
n=1<{zn} absolutno konvergentna vrsta. Recimo,
da velja ϕ2 6= 0. Potem imamo
∞∑
n=1
(
sinϕ1
sinϕ2
wn − un
)
=
sin (ϕ1 − ϕ2)
sinϕ2
∞∑
n=1
<{zn} .
Ker je leva stran enakosti absolutno konvergentna, sledi, da je tudi v tem
primeru vrsta
∑∞
n=1<{zn} absolutno konvergentna.
Če je ϕ2 = π/2, je
∑∞
n=1={zn} absolutno konvergentna vrsta. Recimo,
da velja ϕ2 6= π/2. Potem imamo
∞∑
n=1
(
cosϕ1
cosϕ2
wn − un
)
=
sin (ϕ1 − ϕ2)
cosϕ2
∞∑
n=1
={zn} ,
od koder sledi absolutna konvergenca vrste
∑∞
n=1={zn}.
Dokazali smo, da je
∑∞
n=1 zn absolutno konvergentna vrsta, torej se po
poljubni preureditvi njenih členov vsota ne spremeni.
172 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 173 — #13 i
i
i
i
i
i
O preureditvah vrst s kompleksnimi členi
Dokaz za tretji primer
Po predpostavki izreka za vse ϕ ∈ [0, π) vrsta
∑∞
n=1
∣∣<{zneiϕ}∣∣ divergira
in
∑∞
n=1 zn = s. Vzemimo s
′ 6= s. Naj bo α ∈ R tak, da velja s − s′ =
|s− s′| eiα. Po trditvi 10 obstajata α1 ∈ [α− π, α] in α2 ∈ [α, α + π], da je
α2−α1 ≤ π ter sta L (α1) in L (α2) poltraka absolutne divergence. Ločimo
primere:
(1) α2 − α1 < π;
(1.1) α1 < α < α2;
(1.2) α1 = α ≤ α2;
(1.3) α1 ≤ α = α2;
(2) α2 = α1 + π.
Vrsta v primeru 7 pokaže, da se (2) lahko zgodi.
Najprej obravnavajmo primer (1). Če velja (1.1), obstajata pozitivni
števili d1 in d2, da je s − s′ = d1eiα1 + d2eiα2 . V primeru (1.2) obstaja
d′1 > 0, da je s − s′ = d′1eiα1 ter v primeru (1.3) obstaja d′2 > 0, da je
s − s′ = d′2eiα2 . Podali bomo dokaz samo za primer (1.1), saj sta dokaza
v primerih (1.2) in (1.3) podobna. Za vrsto
∑∞
n=1 zne
−iα1 je množica L(0)
poltrak absolutne divergence. Po trditvi 11 obstaja podzaporedje {zλn}
∞
n=1
zaporedja {zn}∞n=1, da je
∑∞
n=1<
{
zλne
−iα1
}
= +∞ in
∞∑
n=1
∣∣={zλne−iα1}∣∣ <∞ (7)
Izrek 4 zagotavlja obstoj permutacije π1 množice L = {λn : n ∈ N}, da velja
∞∑
n=1
<
{(
zλn − zπ1(λn)
)
e−iα1
}
= d1,
∞∑
n=1
=
{(
zλn − zπ1(λn)
)
e−iα1
}
= 0,
kjer ničelnost vsote druge vrste sledi iz (7). Če definiramo π̃1(n) := π1(n)
za n ∈ L in π̃1(n) := n za n /∈ L , je π̃1 permutacija množice N, za katero
velja
∞∑
n=1
(
zn − zπ̃1(n)
)
= d1e
iα1 .
S podobnim postopkom, le za vrsto
∑∞
n=1 zπ̃1(n)e
−iα2 in d2, lahko pokažemo
obstoj permutacije π̃2 množice N, da je
∞∑
n=1
(
zπ̃1(n) − zπ̃2(π̃1(n))
)
= d2e
iα2 .
161–176 173
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 174 — #14 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
S tem imamo
∞∑
n=1
(
zn − zπ(n)
)
=
∞∑
n=1
(
zn − zπ̃1(n)
)
+
∞∑
n=1
(
zπ̃1(n) − zπ(n)
)
= s− s′
za π := π̃2 ◦ π̃1. Torej je
∑∞
n=1 zπ(n) = s
′.
Izrek moramo dokazati še za primer (2), torej naj velja α2 = α1 +
π. Za vrsto
∑∞
n=1 zne
−iα1 sta množici L(0) in L(π) poltraka absolutne
divergence. Po trditvi 11 obstajata disjunktni podzaporedji {zλn}
∞
n=1 in
{zµn}
∞
n=1 zaporedja {zn}
∞
n=1, da je
∑∞
n=1 a
+
n = +∞ in
∑∞
n=1 |b+n | < ∞ ter∑∞
n=1 a
−
n = −∞ in
∑∞
n=1 |b−n | <∞, kjer smo definirali a+n := <
{
zλne
−iα1
}
in b+n := =
{
zλne
−iα1
}
ter a−n := <
{
zµne
−iα1
}
in b−n := =
{
zµne
−iα1
}
. Naj
bo {zνn}
∞
n=1 podzaporedje preostalih členov zaporedja {zn}
∞
n=1, zapisanih
v enakem vrstnem redu. Ker je =
{
zne
−iα1
}
= −<
{
zne
(π/2−α1)i
}
, vrsta∑∞
n=1
∣∣<{zneiϕ}∣∣ divergira za vsak ϕ ∈ R in ∑∞n=1 |b±n | < ∞, sledi diver-
genca vrste
∑∞
n=1
∣∣={zνne−iα1}∣∣. Po izreku 1 zato obstaja permutacija π1
množice {νn : n ∈ N}, da velja
∞∑
n=1
=
{
zπ1(νn)e
−iα1} = ={s′e−iα1}− ∞∑
n=1
(
b+n + b
−
n
)
. (8)
Definirajmo an := <
{
zπ1(νn)e
−iα1
}
in bn := =
{
zπ1(νn)e
−iα1
}
. Za naravni
števili n in m, n ≤ m, definirajmo A+(n,m) :=
∑m
j=n a
+
j in A
−(n,m) :=∑m
j=n a
−
j . Ločimo primera, ko je a1 ≤ <
{
s′e−iα1
}
ali a1 > <
{
s′e−iα1
}
.
Recimo, da velja a1 ≤ <
{
s′e−iα1
}
. Potem izberemo naravna števila m1 <
m2 < . . . in k1 < k2 < . . . v
a1 +A
+ (1,m1) + a2 +A
− (1, k1) + a3
+A+ (m1 + 1,m2) + a4 +A
− (k1 + 1, k2) + a5
+ · · · (9)
+A+ (mn + 1,mn+1) + a2n+2 +A
− (kn + 1, kn+1) + a2n+3
+ · · ·
na naslednji način:
(1) m1 ≥ 1 je tako najmanǰse naravno število, da velja
S+1 := a1 +A
+ (1,m1) + a2 > <
{
s′e−iα1
}
;
(2) k1 ≥ 1 je tako najmanǰse naravno število, da velja
S−1 := S
+
1 +A
− (1, k1) + a3 < <
{
s′e−iα1
}
;
174 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 175 — #15 i
i
i
i
i
i
O preureditvah vrst s kompleksnimi členi
(3) m2 ≥ m1 + 1 je tako najmanǰse naravno število, da velja
S+2 := S
−
1 +A
+ (m1 + 1,m2) + a4 > <
{
s′e−iα1
}
;
(4) k2 ≥ k1 + 1 je tako najmanǰse naravno število, da velja
S−2 := S
+
2 +A
− (k1 + 1, k2) + a5 < <
{
s′e−iα1
}
;
(5) in tako dalje z mn+1 ≥ mn + 1, kn+1 ≥ kn + 1 in
S+n+1 := S
−
n +A
+ (mn + 1,mn+1) + a2n+2 > <
{
s′e−iα1
}
,
S−n+1 := S
+
n+1 +A
− (kn + 1, kn+1) + a2n+3 < <
{
s′e−iα1
}
.
Zgornji koraki so vedno izvedljivi, saj za poljubno naravno število n velja
lim
m→∞
A+(n,m) = +∞, lim
m→∞
A−(n,m) = −∞.
Pri tem je (9) preureditev vrste
∑∞
n=1<
{
zne
−iα1
}
. Konstruirali smo tako
permutacijo π množice N, da za vsak n ∈ N velja
lim sup
N→∞
N∑
j=1
<
{
zπ(j)e
−iα1} ≤ S+n , lim inf
N→∞
N∑
j=1
<
{
zπ(j)e
−iα1} ≥ S−n .
Velja še
0 < S+n+1 −<
{
s′e−iα1
}
≤ max
{
a+mn+1 + a2n+2, a
+
mn+1
}
,
min
{
a−kn+1 + a2n+3, a
−
kn+1
}
≤ S−n+1 −<
{
s′e−iα1
}
< 0,
kar zagotavlja limn→∞ S
+
n = limn→∞ S
−
n = <
{
s′e−iα1
}
. Torej je
∞∑
n=1
<
{
zπ(n)e
−iα1} = <{s′e−iα1} .
Opazimo, da velja
∞∑
n=1
=
{
zπ(n)e
−iα1} = ∞∑
n=1
bn +
∞∑
n=1
b+n +
∞∑
n=1
b−n = =
{
s′e−iα1
}
.
Prva enakost velja, ker smo po predpisu (9) v pogojno konvergentno vrsto∑∞
n=1 bn dodali člene absolutno konvergentnih vrst
∑∞
n=1 b
+
n in
∑∞
n=1 b
−
n ,
medtem ko druga enakost velja zaradi (8). Od tod sklepamo
∑∞
n=1 zπ(n) =
s′. V primeru a1 > <
{
s′e−iα1
}
dokazujemo podobno, zato podrobnosti
prepuščamo bralcu. Dokaz izreka 6 je s tem končan.
161–176 175
i
i
“Simonic” — 2021/2/19 — 7:58 — page 176 — #16 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
Zahvala
Avtor se zahvaljuje Živi Kadunc za prvi komentar in recenzentu za kon-
struktivne pripombe.
LITERATURA
[1] W. Groß, Bedingt konvergente Reihen, Monatsh. Math. Phys. 28 (1917), 221–237.
[2] B. Jasek, Transformations of complex series, Colloq. Math. 9 (1962), 265–275.
[3] K. Knopp, Infinite sequences and series, Dover Publications, Inc., New York, 1956.
[4] P. Lévy, Sur les séries semi-convergentes, Nouvelles annales de mathématiques :
journal des candidats aux écoles polytechnique et normale 4e série, 5 (1905), 506–
511.
[5] W. Neß, Über die Umordnung von bedingt konvergenten Reihen, Math. Z. 42 (1937),
31–50.
[6] G. Pólya in G. Szegő, Problems and theorems in analysis. I, Classics in Mathematics,
Springer-Verlag, Berlin, 1998.
[7] P. Rosenthal, The remarkable theorem of Lévy and Steinitz, Amer. Math. Monthly
94 (1987), 342–351.
[8] B. Riemann, H. Weber, R. Baker, C. Christenson in H. Orde, Collected papers, Heber
City, UT: Kendrick Press, 2004.
[9] W. Sierpiński, Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes,
Bull. Intern. Acad. Sci. Cracovie, Série A (1911), 149–158.
[10] E. Steinitz, Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme, J. Reine Angew. Math.
143 (1913), 128–175.
[11] Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme. (Fortsetzung), J. Reine Angew.
Math. 144 (1914), 1–40.
[12] Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme. (Schluß.), J. Reine Angew. Math.
146 (1916), 1–52.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
176 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 177 — #1 i
i
i
i
i
i
NAVIER-STOKESOVA ENAČBA IN ELASTIČNI TRKI
ANDREJ LIKAR
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 47.10.ad, 47.11.j, 47.32.-y
V prispevku pokažemo, da lahko s sledenjem okroglih ploščic, ki drsijo po gladki plošči
in med seboj elastično trkajo, kar dobro rešimo Navier-Stokesovo enačbo v dveh dimen-
zijah. Tak pristop je tako preprost, da ga lahko brez težav obvladajo tudi srednješolci, ki
so vešči programiranja. Poleg laminarnega toka brez vrtincev obravnavamo tudi vrtince
v vodotokih in vrtinec pri iztekanju vode iz kadi.
NAVIER-STOKES EQUATION AND ELASTIC COLLISIONS
We show that one can quite well solve the Navier-Stokes equation in two dimensions
by following discs which slide on a smooth plate and colide elastically. This approach is so
simple that it can be easily used by high-school students with some programming skills.
Beside laminar flows without eddies we deal with eddies in rivers and bathtub vortex.
Gibanje tekočin obravnavamo z Navier-Stokesovo enačbo. Po postavi-
tvi temeljev matematične analize v 18. stoletju so jo v 19. stoletju dognali
znani matematiki. Motiv pa ni bila nuja po opisu gibanja tekočin, temveč
odkritje, da je svetloba transverzalno valovanje. Na začetku 19. stoletja so
menili, da je svetloba valovanje etra, ki mora biti zato podoben trdni snovi,
po kateri se tako valovanje lahko širi. Claude Navier je zapisal enačbo gi-
banja v trdni snovi, ki si jo je predstavljal kot množico delcev, ki so speti s
centralnimi silami. V njej sta edina parametra gostota snovi in njen strižni
modul. Augustine-Louis Cauchy jo je dopolnil z upoštevanjem stisljivosti.
Simon Denis Poisson je reševal Navierovo enačbo in pokazal, da je poleg
transverzalnega valovanja možno tudi longitudinalo valovanje. Za obe je
izpeljal izraza za njuno hitrost širjenja. Pri širjenju svetlobe v etru so se
morali izogniti longitudinalnemu valovanju, zato so etru pripisovali nenava-
dne lastnosti. Po njem naj bi se longitudinalni valovi pri visokih frekvencah
gibali vse hitreje. Pri nizkih frekvencah pa tak eter naj ne bi nudil odpora,
saj se po njem neovirano gibljejo planeti. Navier in Stokes sta po zgledu
enačb za gibanje trdnin zapisala enačbo za gibanje tekočin, ki danes nosi
njuno ime.
Izpeljava enačbe je prav preprosta. Na majhen delček tekočine delujejo
tri sile, in sicer gradient tlaka, teža in viskozna sila. Ko poznamo sile,
izrazimo pospešek tega delčka z njimi, uporabimo torej 2. Newtonov zakon
in že imamo enačbo napisano, torej: masa krat pospešek je enako vsoti vseh
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 177
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 178 — #2 i
i
i
i
i
i
Andrej Likar
sil na delček. Zapisano malo bolj matematično:
dm
D~v
Dt
= d~Fgradp + d~Fg + d~Fvisk .
Viskozno silo lahko enolično povežemo s hitrostnim poljem ~v, sila zaradi
gradienta tlaka je tudi odvisna od hitrostnega polja, le teža pride v enačbo
kot vnaprej dana sila. Tlak v tekočini pa je povezan z njeno stisljivostjo,
ki jo pri vodi in tudi drugih kapljevinah navadno zanemarimo, pa tudi pri
plinih, če ne gre za velike tlačne razlike v toku in s tem povezane razlike v
gostoti plina.
Na levi strani enačbe moramo upoštevati, da opazujemo gibajoči se del-
ček tekočine. Če se postavimo na določeno točko prostora, se zavemo, da
tja vseskozi priteka tekočina od drugod, zato je treba odvod na levi strani
zapisati takole:
D~v
Dt
=
∂~v
∂t
+ (~v~∇)~v .
Prvi člen na desni spremlja spremembe hitrosti v dani točki, drugi pa po-
skrbi, da se pospešek res nanaša na izbrani delček tekočine. In prav ta člen
dodobra zabeli reševanje Navier-Stokesove enačbe. Enačba ni več linearna,
kar zmede tudi še tako izurjene matematike. Prav ta člen predvidi tudi zelo
zamotano gibanje tekočine v turbulentnem toku. Brez njega bi bilo gibanje
tekočin malce dolgočasno. Precej enačb matematične fizike nima takih osve-
žujočih členov, zato so rešitve teh enačb v stilu »pa saj sem vedel«. Končna
oblika Navier-Stokesove enačbe za tekočine ima tole obliko:
%
D~v
Dt
= −∇p+ %~g + µ∇2~v .
Ker se gostota tekočine malo spreminja, mora veljati še tale povezava med
tlakom in hitrostnim poljem:
p = κ∇ · ~v .
Pri majhni stisljivosti tekočine je parameter κ zelo velik in kar dobro velja:
∇ · ~v = 0 .
V malo primerih se jo posreči rešiti v zaključeni obliki, to je z znanimi
funkcijami kraja in časa. Skoraj vedno smo vezani na numerično reševanje
z računalniki. Pri uporabnih in za industrijo pomembnih primerih moramo
poleg zmogljivega računalnika imeti še ustrezne programe, ki so obsežni in
terjajo veliko časa, da jih razvijemo. Zato jih v specializiranih ustanovah
za velik denar kupijo od priznanih razvijalcev. Za vajo jih razvijajo tudi
študenti na tehnǐskih fakultetah, seveda za preproste šolske primere in v
178 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 179 — #3 i
i
i
i
i
i
Navier-Stokesova enačba in elastični trki
osnovni izvedbi brez zahtevnih grafičnih programov. Tudi na FMF se kdaj
pa kdaj študenti lotijo takih nalog pri predmetih, kjer obravnavajo nume-
rično reševanje parcialnih diferencialnih enačb. Ni upati, da bi se takih
nalog lotevali tudi srednješolci, čeprav jim gre programiranje dobro od rok.
Presenetljivo uspešen pa je pristop, ki ga brez težav razumejo tudi ti. Na-
mesto toka tekočine si zamislimo tok togih kroglic, ki se med seboj elastično
odbijajo, prav tako tudi od sten cevi, po katerih se pretakajo. Taka zamisel
sledi iz kinetične teorije idealnih plinov, kjer molekule pri dani temperaturi
elastično trkajo med sabo in se prilagajajo gibanju sten. Poleg neurejenega
termičnega gibanja, kjer se vektor hitrosti dane molekule časovno izpovpreči
v nič, imajo molekule v gibajočem se plinu tudi makroskopsko hitrost, ki
pa ima od nič različno povprečje. Prav tako je pri kroglicah, ki jim sledimo
in sedaj predstavljajo delčke tekočine. Neurejeno termično gibanje kroglic,
kjer je njihova povprečna hitrost enaka nič, spremlja tudi urejeno gibanje, ki
ponazarja njihov, recimo mu, makroskopski tok. S povprečenjem njihovih
hitrosti na danem mestu pridemo do hitrostnega polja tega toka. Pri tem si
ne belimo glave s tlakom, saj se ta vzpostavi sam od sebe in žene kroglice
po toku, pač tako kot pri idealnem plinu, kjer je tlak posledica trkanja mo-
lekul na stene. Prav tako si ne delamo skrbi z viskozno silo, saj je idealni
plin sam po sebi viskozen. Brez težav vgradimo dodatno viskoznost tako,
da ustrezno spremenimo trke, ki potem niso več elastični, saj upoštevajo
viskozno trenje med kroglicami. S to možnostjo se tu ne bomo ukvarjali.
Vse, kar moramo torej narediti na poti do hitrostnega polja, je slediti kro-
glicam in na danih mestih povprečevati njihove hitrosti. To pa še ni vse.
Pri trku s steno dodamo termični hitrosti kroglice še hitrost gibanja stene.
Poskrbeti moramo za smiselno pritekanje kroglic v opazovani del prostora in
za njihovo odtekanje. Skratka, ne uide nam poskrbeti za dane robne pogoje
naloge.
V nadaljevanju se bomo ukvarjali le z dvodimenzionalnimi tokovi, ki so
preprosteǰsi in pregledneǰsi od tridimenzionalnih, poleg tega pa so tudi bolj
nazorni. Namesto kroglic bomo torej obravnavali ravninsko gibanje kakih
sto okroglih ploščic.
Delovni stroj tovrstnega reševanja tokovnih nalog je obravnava elastič-
nega trka ploščic. Le-ta je preprosta in jo obvlada večina srednješolcev.
Vseeno si oglejmo ta stroj.
Na sliki 1 sta ploščici ravno v stiku, enotski vektor, ki povezuje njuni
sredǐsči, smo označili z ~e. Po trku se obema ploščicama spremeni gibalna
količina. Prvi za, denimo, −G~e, pri drugi pa za G~e, pač zaradi ohranitve
gibalne količine. Velikost G določimo iz energijskega zakona, torej
1
2
mv21 +
1
2
mv22 =
1
2
m
(
~v1 −
G
m
~e
)2
+
1
2
m
(
~v2 +
G
m
~e
)2
.
Na levi strani smo zapisali kinetično energijo ploščic pred trkom, na desni
177–186 179
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 180 — #4 i
i
i
i
i
i
Andrej Likar
Slika 1. Razmere pri elastičnem trku dveh ploščic takoj po trku.
pa po njem. Po kraǰsem računu sledi:
G
m
= ~e · (~v1 − ~v2) ,
iz tega pa takoj dobimo hitrosti ploščic po trku. Enotski vektor ~e je lahko v
poljubni smeri, določiti ga moramo za vsak trk posebej. Pri sledenju ploščic
zaznamo trk, ko se sredǐsči približata bolj kot na razdaljo premera. Vmes
ploščice premikamo glede na njihove hitrosti in čas med zaporednimi koraki.
Sedaj se lotimo nekaj nalog. Najprej bomo ocenili uspešnost naše me-
tode na primerih, kjer so rešitve Navier-Stokesove enačbe natančno znane.
Prvi tak primer je Poiseuillov tok po cevi, ki ga obravnavajo v osnovnem
univerzitetnem tečaju fizike. Ker obravnavamo le dvodimenzionalne tokove,
bomo pač obravnavali stacionarni laminarni tok med dvema vodoravnima
ravninama. Navier-Stokesova enačba je v tem primeru preprosta:
µ
∂2u
∂y2
=
∂p
∂x
∂p
∂y
= 0
Skladno s sliko 1 je tok le v smeri osi x, za vektor hitrosti pa velja ~v =
(u(y), 0)T , s čimer je enačbi majhne stisljivosti ∇·~v = 0 zadoščeno. Tlak se
v smeri y ne spreminja, v smeri x pa je njegov gradient konstanten. Leva
180 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 181 — #5 i
i
i
i
i
i
Navier-Stokesova enačba in elastični trki
stran prve enačbe je namreč odvisna le od y, tlak pa od y ni odvisen, kar
pove druga enačba. Če steni mirujeta, je u(y) podan kot:
u(y) =
1
2µ
∂p
∂x
(y2 − ay)
Na spodnji plošči je y = 0, na zgornji pa y = a. To je znani parabolični
hitrostni profil pri Poiseuillovem toku. Tega sedaj primerjamo z doblje-
nim povprečenjem hitrosti ploščic. Na sliki 2 je razvidno, da je ujemanje
dobljenega profila z eksaktnim zelo dobro.
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1  0  0.1  0.2
Slika 2. Hitrostno polje pri Poiseuvillovem toku med dvema ravninama. Prikazani so trije
hitrostni profili vzdolž toka.
Naslednja, eksaktno rešljiva naloga terja določitev toka med dvema kon-
centričnima valjema, kjer se valja vrtita okrog skupne osi. Navier-Stokesovo
enačbo bomo reševali v cilindričnih koordinatah s hitrostnim poljem ~v =
(u, v)T , kjer sta u in v radialni in tangencialni komponenti hitrosti, kot kaže
slika 3.
Enačbi za u in v sta [2]:
%
(
∂u
∂t
+ u
∂u
∂r
+
v
r
∂u
∂ϑ
− v
2
r
)
= −∂p
∂r
+ µ
(
∇2u− u
r2
− 2
r2
∂v
∂ϑ
)
,
%
(
∂v
∂t
+ u
∂v
∂r
+
v
r
∂v
∂ϑ
+
uv
r
)
= −∂p
∂ϑ
+ µ
(
∇2v − v
r2
+
2
r2
∂u
∂ϑ
)
.
∇ · ~v = 1
r
∂(ru)
∂r
+
1
r
∂v
∂ϑ
= 0 .
177–186 181
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 182 — #6 i
i
i
i
i
i
Andrej Likar
Slika 3. Radialna in tangencialna komponenta hitrosti pri opisu toka s cilindričnimi koor-
dinatami.
Pri stacionarnem laminarnem toku je u = 0, tok je torej le v tangencialni
smeri, odvodi po ϑ pa so vsi nič, ker je stacionarno polje od ϑ neodvisno.
Zgornje enačbe se zato močno poenostavijo, spet je enačbi za nestisljivost
tekočine ustreženo in dobimo:
%
v2
r
=
∂p
∂r
,
µ
(
∂2v
∂r2
+
1
r
∂v
∂r
− v
r2
)
= 0 .
Tangencialna hitrost v je odvisna le od r, zato je druga enačba navadna
diferencialna enačba z rešitvama C1r in C2
1
r in splošno rešitvijo:
v(r) = C1r + C2
1
r
.
Konstanti C1 in C2 določimo tako, da dobimo na plaščih valjev predpisani
hitrosti. Naj opozorimo, da je rešitev neodvisna od viskoznosti tekočine,
kar je za primerjavo med našo rešitvijo in eksaktno še posebej ugodno. Od
viskoznosti tekočine je odvisen le čas, v katerem se vzpostavi stacionarno
stanje. Pri zelo majhni viskoznosti je ta čas zelo dolg. Prva enačba pa ni
več diferencialna in je povsem razumljiva: tlačni gradient v radialni smeri
obdrži gibanje izbranega delčka tekočine na krožni poti. Uporabimo jo, če
želimo določiti tlak tekočine med valjema.
182 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 183 — #7 i
i
i
i
i
i
Navier-Stokesova enačba in elastični trki
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0  0.2  0.4  0.6  0.8  1
r - r1
v(r)
Slika 4. Radialna porazdelitev hitrosti pri toku med dvema valjema, dobljena s povpreče-
njem hitrosti ploščic pri danem radiju.
Na sliki 4 je prikazano povprečje hitrosti ~v ploščic po dalǰsem času v
odvisnosti od radija, kjer povprečje opazujemo. Primerjava z eksaktno re-
šitvijo pokaže, da je naša metoda zelo uspešna.
Po ovrednotenju pristopa s tema primerjavama se lotimo še dveh nalog.
Opazujmo tok med ravninama, ki ga zmotimo z oviro. V tok povprek posta-
vimo ploščo, da lahko teče tok le med ploščo in ravninama. Če opazujemo
tak tok v naravi, opazimo za oviro vrtinca. Pojavita se na gladini, tudi ko
skozi mirujočo vodo potegnemo ploščat predmet, morda lopatico ali žlico.
Na sliki 5 je prikazano polje povprečnih hitrosti ploščic po dalǰsem času. Ja-
sno sta vidna vrtinca za oviro, ki se pojavita kmalu po zagonu programa in
sta postopoma vse bolj izrazita. Hitrostno polje smo primerjali z numerično
rešitvijo Navier-Stokesove enačbe. Ujemanje je zelo dobro, kar nas niti ne
preseneča več.
Oglejmo si še zadnji primer. Ko odmašimo odtok v kopalni kadi, začne
voda odtekati. Kmalu se nad odtokom pojavi vrtinec, ki gladino močno
upogne do skoraj navpične smeri. Večkrat slǐsimo mit, da je smer vrtenja
vode v vrtincu posledica Coriolisove sile, ki se pojavi zaradi vrtenja Zemlje
okrog svoje osi. Zato naj bi se na severni polobli voda vrtela v nasprotnem
smislu kot na južni polobli. Domiselni domačini, ki so doma blizu ekvatorja,
za turiste prirejajo celo demonstracijo tega mita. Na eni strani ekvatorja se
res voda v vrtincu vrti v nasprotni smeri kot na drugi strani. Pri tem sta
kadi le nekaj metrov narazen. Čeprav so turisti zadovoljni, pa Coriolisova
sila nima znatne vloge pri vrtenju vode. Ta sila ima vpliv le pri zelo obsežnih
vremenskih dogajanjih. Vrtinec se pojavi zaradi vrtilne količine, ki jo ima
voda pred vstopom v odtok. Zaradi neravnega dna na gibajočo se vodo
deluje navor, odvisen od ovire. Dobljena vrtilna količina, čeprav majhna,
177–186 183
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 184 — #8 i
i
i
i
i
i
Andrej Likar
Slika 5. Vrtinca za oviro v toku.
blizu odtoka zaradi majhnega polmera vrtinca močno pospeši vodo v njem.
Z metodo trkajočih ploščic smo določili hitrostno polje pri iztekanju
vode. Valjasti posodi smo na sredi izrezali odtok. Ploščice, ki so poni-
knile v odtoku, smo ponovno prestavili na zunanji rob posode. Pri mirujoči
posodi je iztekanje in z njim povezano hitrostno polje po pričakovanju pov-
sem radialno, voda ne naredi vrtinca. Pri vrteči se posodi pa je vrtinec lepo
viden (glej sliko 6). Vrtinec se pojavi tudi pri mirujoči posodi, če tok naleti
na oviro, ki mu z navorom podeli vrtilno količino (glej sliko 7).
-2
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-2 -1.5 -1 -0.5  0  0.5  1  1.5  2
Slika 6. Vrtinčasto iztekanje tekočine iz vrteče se okrogle posode.
Čeprav je pojav vrtinca pri praznjenju kopalne kadi na široko znan, pa
natančne fizikalne obravnave dogajanja v vrtincu v literaturi ni bilo zasle-
diti. Septembra leta 2003 so v reviji Physical Review Letters objavili članek
184 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 185 — #9 i
i
i
i
i
i
Navier-Stokesova enačba in elastični trki
-2
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5  0  0.5  1  1.5  2
Slika 7. Iztekanje iz mirujoče posode z oviro.
Slika 8. Fotografije vrtinca pri iztekanju iz okrogle vrteče se posode, iz [1].
z naslovom »Anatomy of Bathtub Vortex«, v katerem so s poskusi in računi
osvetlili ta pojav. Poskus so naredili z vrtečo se valjasto posodo s sredinskim
odtokom na dnu posode. Posoda je bila prirejena tako, da so lahko opazovali
obliko vrtinca in hitrostno polje okrog njega. Na sliki 8 vidimo fotografije
vrtinca pri različnih kotnih hitrostih posode. Hitrostno polje blizu vrtinca
je izredno zapleteno. Prikazali so ga tako, da so na površino vode in na dno
kanili fluorescentno barvo, na dno zeleno, na površino pa rdečo. Presene-
tljive so tokovnice na dnu, ki se v bližini vrtinca dvignejo in nato ukrivijo
navzdol (glej sliko 9). Opažanja so se ujemala z izračuni tokovnega polja.
Naš pristop seveda ne seže tako daleč, da bi osvetlil podrobnosti v vrtincu
in blizu njega. Za kaj takega bi morali ploščice nadomestiti s kroglicami. O
tem pa morda kdaj drugič.
177–186 185
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 186 — #10 i
i
i
i
i
i
Andrej Likar
Slika 9. Hitrostno polje v vrtincu in blizu njega je zelo zapleteno. Deli vode na gladini
so obarvani rdeče, deli na dnu posode pa zeleno. Pri iztekanju se voda z dna povzpne
navzgor, ko je blizu vrtinca. a) fotografija pri iztekanju, b) skica tokovnic; iz [1].
LITERATURA
[1] A. Andresen, T. Bohr, B. Stenum, J. Juul Rasmussen in B. Lautrup, Anatomy of a
Bathtub Vortex, Phys. Rev. Lett. 91 (2003), 104502–1.
[2] W. P. Graebel, Advanced Fluid Mechanics, Elsevier, 2007.
186 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 187 — #1 i
i
i
i
i
i
ZANIMIVOSTI
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa
Občutljivost in specifičnost
Veliko populacijo V = a + b + c + d pacientov, med katerimi je določen del
okužen, testiramo. Testi imajo nekatere pomanjkljivosti. Tako test pri a
okuženih potrdi okužbo. Pri c okuženih pa test da negativen rezultat – to
so lažno negativni ali napačno negativni. To imamo ponazorjeno v spodnji
tabeli.
−−− okužen ni okužen
pozitiven test a b
negativen test c d
Povzemimo: a je število okuženih s pozitivnim testom, c je število oku-
ženih, a z negativnim testom, torej lažno negativnih. In a+ c je število vseh
okuženih.
Količnik
o =
a
a + c
je občutljivost ali senzitivnost testa [4]. To je torej delež pozitivnih (na
testu) med resnično okuženimi.
Pri neokuženih je test pri b osebah pozitiven – to so lažno pozitivni
neokuženi. Pri d neokuženih pa je test pravilno dal negativen rezultat.
Količnik
s =
d
b + d
je specifičnost testa. To je torej delež negativnih (na testu) med tistimi, ki
resnično niso okuženi.
Pomembno je, da vemo oba podatka; en sam je lahko močno zavajajoč.
Imejmo populacijo, ki vsebuje tako okužene kot neokužene. Goljufivi test
T, ki da vsakič pozitiven rezultat, ima stoodstotno občutljivost, saj je c =
d = 0. Ima pa tudi ničelno specifičnost.
Ničvreden test U, ki da vsakič negativen rezultat, ima a = b = 0. Ni
lažno pozitivnih, zato je specifičnost 100 % – občutljivost pa ničelna.
PCR test za COVID-19 zahteva več ur obdelave v laboratoriju, kjer
pomnožujejo genetski material virusa in tako lahko zaznajo virus tudi pri
majhnih koncentracijah. Po Wikipediji [8] (vsi podatki so iz januarja 2021)
ima povprečno občutljivost okrog 95 %. Če smo bolj podrobni, naj bi bila
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 187
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 188 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
občutljivost nekako 70- do 100-odstotna, odvisno od znamke testa in metode
odvzema vzorca.
Povprečna specifičnost naj bi bila okrog 99 % (od 92 do 100 odstotkov).
Delež lažno pozitivnih med neokuženimi je zelo majhen. V skromnem deležu
resnično okuženih pa test neupravičeno kaže odsotnost bolezni. PCR test
velja za »zlati standard«: to je trenutno najbolj cenjen test na tržǐsču.
Je eden od tako imenovanih molekularnih testov; razvijajo pa tudi nove,
drugačne teste te kategorije.
Primer 1. Denimo, da imamo populacijo 10.000 ljudi, med katerimi je dva
odstotka, torej 200 ljudi resnično okuženih. Pri občutljivosti 95 % test da
pri a = 190 okuženih pozitiven rezultat. Deset oseb (c=10), torej en promil
celotne populacije, je lažno negativnih. Nekateri med temi bodo brezskrbno
hodili v službo ali družbo in morda okužili druge. Med 9800 neokuženimi
in pri specifičnosti 99 % jih d = 9702 testira negativno, b = 98 pa lažno
pozitivno. Ti zadnji bodo imeli deset dni izolacije in skrbi, čeprav niso
okuženi. Nekateri med lažno pozitivnimi bodo morda verjeli, da so brez
simptomov preboleli okužbo in da so torej imuni, čeprav to ni res.
V opisanem primeru je b = 98 oseb od a+b = 288 vseh oseb s pozitivnim
testom v resnici brez okužbe. Torej je približno vsak tretji, ki ga je test
označil kot okuženega, brez okužbe. Približno dve tretjini tistih s pozitivnim
rezultatom pa je res okuženih.
Test je izločil izredno velik delež okuženih in če bodo ti res v karanteni, bo
širjenje bolezni bistveno manǰse. Velika večina neokuženih bo vsaj začasno
pomirjena.
Primer 2. Podatki naj bodo kot zgoraj, le da je 30 odstotkov populacije,
torej 3000 oseb okuženih. Pri 95-odstotni občutljivosti nam test pri c =
150 ljudeh da lažno negativen rezultat, a = 2850 oseb pa dobi pravilno
diagnozo. Med 7000 neokuženimi je pri specifičnosti 0,99 en odstotek, torej
b = 70 lažno pozitivnih, d = 6930 oseb pa dobi pravilno negativno diagnozo.
Med vsemi (a + b = 2920 osebami) s pozitivnim rezultatom je le 70, torej
približno 2,4 odstotka, lažno pozitivnih. Torej je med tistimi s pozitivnim
testom približno 97,6 % res okuženih. Problem lažno negativnih pa je seveda
bistveno večji kot v preǰsnjem primeru.
Hitri antigenski testi
Hitri antigenski testi reagirajo na določeno, za virus značilno beljakovino
na njegovi površini. Zato mora biti za pozitiven rezultat v vzorcu dovolj
virusov. Časovni interval v poteku bolezni, v katerem test zazna virus, je
188 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 189 — #3 i
i
i
i
i
i
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa
precej ožji kot pri PCR testu. Tako je občutljivost manǰsa kot pri PCR
testih in je več lažno negativnih. Specifičnost pa naj bi bila enako visoka
kot pri PCR testih. Tako lahko hitro identificiramo zelo kužne osebe. Ti
testi so veliko ceneǰsi in dajo rezultate že v četrt ali pol ure.
Svetovna zdravstvena organizacija (WHO) priporoča, naj uporabljamo
hitre antigenske teste, ki imajo občutljivost vsaj 80 % in specifičnost vsaj
97 %. Evropska ustanova ECDC priporočilo za občutljivost zvǐsuje na vsaj
90 %. V Franciji gredo korak dalje in priporočajo specifičnost vsaj 99 %.
Problem je, če se pri izbiri testa zanašamo na podatke proizvajalcev. Kot
pravi nedavni članek [2] v reviji The Lancet, je za izredno začasno odobritev
testa v ZDA dovolj že, da producent predloži rezultate testiranja na 30
vzorcih. Preizkus je praktično zmeraj narejen na simptomatskih posamez-
nikih (torej ljudeh s simptomi covida-19), ki so bili pozitivni na PCR testu
(torej na osebah z visoko obremenitvijo z virusom). Kateri PCR test je bil
to, proizvajalci ne navajajo. Nekateri proizvajalci v navodilih pravijo, da so
hitri testi mǐsljeni le za simptomatske posameznike. Ti testi so novost na
tržǐsču in zato ni veliko neodvisnih preverjanj občutljivosti in specifičnosti.
Poleg tega so pri danem testu rezultati precej odvisni od izvedbe.
Raziskovalci z Univerze Oxford so v študiji [11] za hitri antigenski test
I kalifornijskega podjetja ugotovili zelo visoko specifičnost: 99,6 %. Med
vzorci, ki so bili na PCR testu pozitivni, pa je ta antigenski test v povprečju
le 77 % spoznal za pozitivne. Če so teste opravljali laboranti, je bil ta delež
nekaj vǐsji (79 %), če priučeno medicinsko osebje, pa 73 %. Če so teste
opravljali laiki (kot je denimo pri uporabi testov doma), je vrednost padla
pod 58 %.
Kasneǰsa analiza [9] istega testa I, opravljena med množičnim testira-
njem v Liverpoolu, je dala občutljivost 40 % in specifičnost 99,9 %. Med
asimptomatskimi osebami z veliko produkcijo virusa je bila občutljivost
66 %.
Amerǐska raziskava [5] hitrega antigenskega testa S na študentski popu-
laciji (ki ni ravno odraz celotne populacije) je pokazala naslednje rezultate:
na simptomatskih posameznikih: občutljivost 80 %, specifičnost 99 %; na
asimptomatskih študentkah in študentih (brez znakov bolezni): občutljivost
41 %, specifičnost 98,4 %.
V francoski študiji [3] za ta isti test S na asimptomatskih osebah navajajo
občutljivost 70 % in specifičnost 99 %. V dovoljenju za začasno uporabo
testa S so navedeni rezultati iz proizvajalčeve študije: občutljivost 96,7 %,
specifičnost 100 %.
Kako se znajti v džungli tako različnih, večkrat nasprotujočih si rezul-
tatov za en in isti test? Kako izbrati dober test? Odgovor so primerjalne
raziskave, kjer neodvisni znanstveniki več testov uporabijo pod istimi pogoji.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 189
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 190 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
Nemški virologi in infektologi so v preprintu [1] preizkušali sedem anti-
genskih testov, večinoma izdelkov velikih znanih podjetij. Pet jih je imelo
specifičnost med 98,5 % in 100 %, eden je imel specifičnost 95 % in eden
specifičnost 88 %. Test z najnižjo specifičnostjo je bil dobesedno premalo
specifičen: zdi se, da je včasih reagiral tudi na viruse gripe in druge podobne
viruse. Vendar je bilo s tem mogoče razložiti le pol lažno pozitivnih rezulta-
tov. Namesto občutljivosti so raje merili, kakšne koncentracije virusa lahko
test še zazna.
Francoska primerjava [3] desetih (verjetno tam najbolj popularnih) hitrih
antigenskih testov je pokazala na asimptomatskih posameznikih občutljivost
od 30 do 50 odstotkov pri devetih testih. En sam test (S) je tu dosegel
vrednost 70 %. Ta test je imel specifičnost 99 %, preostali pa 100 %.
Seznam hitrih antigenskih testov, katerih rezultate so nedavno (15. janu-
arja) priznavali pri vstopu v Francijo, je dalǰsi in je na [10]. Med skoraj pet-
desetimi odobrenimi izdelki je tudi test podjetja Shenzhen Ultra-Diagnostics
Biotec. Ta test je kupila naša država. Ni pa bil vključen v gornji primerjalni
raziskavi. Kot razumemo, je pri nas večinoma uporabljen na asimptomat-
skih osebah.
Primer 3. V populaciji V = 10.000 asimptomatskih oseb je x = 10 %,
torej 1000 oseb okuženih. Hitri antigenski test naj ima za to populacijo
občutljivost 0,5 in specifičnost 0,99. Med 1000 okuženimi jih test odkrije
500. Preostalih 500 okuženih je lažno negativnih. Med 9000 neokuženimi je
en odstotek, torej 90 lažno pozitivnih. Pravilno negativno diagnozo pa dobi
8910 oseb.
Test je torej izločil 500 okuženih in 90 neokuženih posameznikov. Pre-
pustil pa je 500 okuženih.
Hitri antigenski testi spregledajo preceǰsen delež okuženih – predvsem
tiste, pri katerih se bolezen šele razvija. Izločijo pa visok delež (trenutno)
zelo kužnih posameznikov. Če tak test ponovimo po nekaj dneh, bomo
izločili veliko tistih, pri katerih se je pri prvem testu bolezen šele začela.
V Beli hǐsi v ZDA so se zanašali na pogoste hitre antigenske teste, a je
vseeno prǐslo do izbruha bolezni. Treba je pač upoštevati tudi druge ukrepe
za preprečevanje okužb.
Presejalni testi
Problem velikega deleža lažno pozitivnih imamo pri presejalnih testih za
nekatere redke, a resne bolezni. To niso diagnostični testi. Gre za sito,
uporabljeno na veliki populaciji, ki naj bi prepustilo kar se da velik delež oseb
brez problemov in zadržalo praktično vse s problemom. Tako je preostanek
190 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 191 — #5 i
i
i
i
i
i
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa
na situ (to so pozitivni na testu) bistveno manǰsi od testirane populacije. Na
preostanku laže izvedemo dražja, zamudneǰsa presejanja ali bolj agresivne
diagnostične postopke. Udeležencem takih testov je nujno treba pojasniti,
da pozitiven presejalni test še ne pomeni diagnoze. (Tudi testiranje celotne
populacije s hitrimi testi spada med presejalne teste.)
Eden od presejalnih testov bazira na rentgenskih slikah. Razlike med
kakovostjo dela radiologov so lahko preceǰsnje. Branje komaj vidnih lis na
sliki ni enostavno in zahteva veliko pozornosti in izkušenj. Tudi v literaturi
se podatki o senzitivnosti in specifičnosti danega testa precej razlikujejo.
Če se trudimo, da ne bi spregledali tudi najmanǰse potencialno proble-
matične spremembe, se pravi, povečujemo občutljivost, tvegamo več lažno
pozitivnih rezultatov, torej zmanǰsanje specifičnosti. Uravnoteženje obču-
tljivosti in specifičnosti je pogosto delikatna naloga.
Primer 4. Privzemimo, da občutljivost in specifičnost presejalnega testa
znašata 90 odstotkov, torej s = o = 0,9. Denimo, najprej, da je v popu-
laciji delež nediagnosticiranih problemov (kar ustreza okuženim v preǰsnjih
primerih) en odstotek. Pri V = a + b + c + d = 10.000 testiranih ima le
a + c = 100 oseb problem. Med njimi bo a = 90 dobilo pravo diagnozo,
c = 10 pa lažno negativen rezultat. Od 9900 neproblematičnih pacientk
(pacientov) bi b = 990 dobilo lažen pozitiven rezultat, 8910 pa pravilen ne-
gativen rezultat. Na situ je od 10.000 oseb ostalo 1080 ljudi. Med njimi jih
ima le 90 problem, torej le ena dvanajstina ali približno 8,3 odstotka. Lažno
pozitivnih je enajstkrat toliko, kot je resnično ogroženih. Skozi sito je padlo
10 oseb s problemom in ti za zdaj ne bodo deležni nadaljnje obravnave.
Pozitivna in negativna napovedna vrednost
Iz primerov vidimo, da za uspešnost oziroma uporabnost testa nista po-
membni le njegova občutljivost in specifičnost, temveč tudi delež oseb v
populaciji, ki imajo problem. Naj bo V = a + b + c + d celotna populacija.
Označimo z
x =
a + c
V
delež okuženih (problematičnih) oseb v testu.
Torej je a + c = xV in b + d = V − xV = (1 − x)V . Vemo, da je
a = o(a + c) = oxV in d = s(b + d) = s(1 − x)V . Od tod je b = b + d− d =
(1− x)V − s(1− x)V = (x(s− 1) + 1− s)V in c = a+ c− a = xV − oxV =
(x− ox)V .
Vpeljali bomo dve novi merili. To sta pozitivna napovedna vrednost in
negativna napovedna vrednost. Obe ležita na intervalu od 0 do 1 in sta
močno odvisni od deleža x okuženih (problematičnih) oseb.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 191
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 192 — #6 i
i
i
i
i
i
Vesti
Pozitivna napovedna vrednost ali preciznost p testa je za našo tabelo
enaka
p =
a
a + b
.
Število okuženih s pozitivnim testom delimo s številom vseh, ki imajo pozi-
tiven test. Po gornjih računih je
p(x) =
ox
(s + o− 1)x + 1 − s
.
Tako je p ulomljena linearna funkcija spremenljivke x. Pri fiksni občutlji-
vosti o in specifičnosti s je p močno odvisen od deleža okuženih, saj je
p(0) = 0, p(1) = 1.
Pri presejalnih testih je delež x problematičnih oseb v populaciji blizu
0. Ker je p(0) = 0, je pozitivna napovedna vrednost p(x) majhna: na situ
ostane preveč oseb. To je velik problem tako za paciente (pacientke) kot
za javno zdravstvo. Če so za napačne rezultate odgovorne slučajne napake
(šum), pomaga ponovitev presejalnega testa. Recimo, posamezna doda-
tna digitalna rentgenska slika je glede izpostavljenosti sevanju malenkost v
primerjavi z računalnǐsko tomografijo (CT), ki je ekvivalent nekaj sto posa-
meznim slikam. Mogoče so dodatne nenevarne preiskave, kot je ultrazvok.
Včasih pomaga, če originalno sliko neodvisno pregledata dva strokovnjaka,
ki ob nestrinjanju pokličeta še tretjega. Pomembno je, da zmanǰsamo število
nadaljnjih bolj agresivnih diagnostičnih postopkov.
Negativna napovedna vrednost n testa za našo tabelo je število ne-
okuženih z negativnim testom deljeno s številom vseh, ki imajo negativen
test:
n =
d
c + d
.
Ker je c = (x− ox)V in d = s(1 − x)V , je
n(x) =
s(1 − x)
s− (s + o− 1)x
.
Vidimo: n(0) = 1, n(1) = 0. Če je delež x problematičnih (okuženih) maj-
hen, pričakujemo, da bo n(x) blizu 1 in torej negativna napovedna vrednost
visoka.
Oglejmo si še enkrat primer 1. Pozitivno napovedno vrednost smo že
izračunali: p = 190/288 ≈ 66 %. To odraža dejstvo, ki smo ga že povedali:
med pozitivno testiranimi je približno dve tretjini res okuženih.
Med 9712 osebami z negativnim testom je 9702 res neokuženih, torej je
negativna napovedna vrednost izredno visoka: n ≈ 99,9 %. Za posameznika
je pri negativnem testu možnost okužbe skoraj izključena.
192 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 193 — #7 i
i
i
i
i
i
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa
V primeru 2 je pri isti občutljivosti in isti specifičnosti kot v prvem
primeru: p = 2850/(2850 + 70) ≈ 97,6 %. Tolikšen delež je res okuženih
med vsemi, ki so bili na testu pozitivni. Pozitivna napovedna vrednost je
zdaj visoka. Pozitiven rezultat na testu skoraj gotovo pomeni okužbo.
Med 7080 osebami z negativnim testom je 6930 res neokuženih, torej je
negativna napovedna vrednost prav tako visoka: n ≈ 98 %.
Na sliki 1 imamo grafa za pozitivno in negativno napovedno vrednost
(črtkano) pri o = 0,95, s = 0,99.
Slika 1. Pozitivna in negativna napovedna vrednost za o = 0,95, s = 0,99.
V primeru 3 (antigenski test) je med 590 osebami s pozitivnim testom
500 res okuženih, torej je pozitivna napovedna vrednost 500/590 ≈ 85 %.
Med 9410 ljudmi z negativnim testom je 8910 res neokuženih, zato je
negativna napovedna vrednost 8910/9410 ≈ 95 %.
V našem primeru je bilo med 10.000 testi 590 pozitivnih, torej slabih
6 odstotkov. Delež okuženih v testirani populaciji pa je vǐsji in znaša 10
odstotkov. Tudi to ilustrira pomanjkljivosti testa.
Na sliki 2 sta grafa za pozitivno in negativno napovedno vrednost (črt-
kano) pri o = 0,5, s = 0,99.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 193
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 194 — #8 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 2. Pozitivna in negativna napovedna vrednost za o = 0,5, s = 0,99.
V četrtem primeru (presejalni test) smo že izračunali, da je pozitivna
napovedna vrednost zelo nizka in enaka 1/12 ≈ 8,3 %. Kljub temu bi
lahko rekli, da je test opravil svojo nalogo: populacija, ki gre v nadaljnjo
obravnavo, je približno ena devetina prvotne.
Negativna napovedna vrednost pa je izredno visoka in enaka 8910/8920 ≈
99,9 %. To pač pomeni, da si pri negativnem testu lahko oddahnemo: ver-
jetnost, da imamo problem, je izredno majhna.
Če v četrtem primeru povečamo vrednost za x na 5 odstotkov, je pozi-
tivna napovedna vrednost enaka 450/(450 + 950) ≈ 32 %. V tem primeru
ima približno vsaka tretja oseba s pozitivnim testom res problem. Pozitivna
napovedna vrednost je zdaj mnogo bolǰsa. Negativna napovedna vrednost
je enaka 8550/(8550 + 50) ≈ 99,4 % in tako še vedno izredno visoka.
Naloga. V raziskavi [7] je bilo testiranih 122 oseb. Izračunali so, da je bila
občutljivost testa 97 %, specifičnost 64,5 %, pozitivna napovedna vrednost
89 %. Približno koliko oseb je v resnici imelo problem?
Pisanje tega prispevka je spodbudilo branje odlične poljudne knjige The
Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost) Everything [6]. Napisal jo
je Kit Yates, profesor in eden od direktorjev Centra za matematično biologijo
194 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 195 — #9 i
i
i
i
i
i
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa
na Univerzi v angleškem mestu Bath. Čeprav je knjiga izšla pred sedanjo
pandemijo, je njena vsebina še kako relevantna v današnjih razmerah in nam
je bila za vzor, skupaj s predavanji [4] profesorice dr. Maje Petek Šter. Z
veseljem smo uporabili pripombe obeh recenzentov.
(Rešitev naloge: 91–92.)
LITERATURA
[1] V. C. Corman et al., Comparison of seven commercial SARS-CoV-2 rapid Point-of-
Care Antigen 1 tests, preprint, 2020, dostopno na www.medrxiv.org/content/10.
1101/2020.11.12.20230292v1.full.pdf, ogled 25. 1. 2021.
[2] M. C. Fitzpatrick et al., Buyer beware: inflated claims of sensitivity for rapid COVID-
19 tests, The Lancet 397(10268) (2021) 24–25, dostopno na www.thelancet.com/
action/showPdf?pii=S0140-6736, ogled 25. 1. 2021.
[3] S. Fourati et al., Évaluation de la performance diagnostique de neuf
tests rapides antigéniques COVID-19, Assistance publique – Hôpitaux
de Paris, 2020, dostopno na www.aphp.fr/contenu/evaluation-de-la-
performance-diagnostique-de-neuf-tests-rapides-antigeniques-covid-19,
ogled 25. 1. 2021.
[4] M. Petek Šter, Interpretacija rezultatov statističnih testov, Praktična statistika, Me-
dicinska fakulteta, Ljubljana, februar–marec 2016, dostopno na www.mf.uni-lj.si/
application/files/9315/3842/0966/EBM_petek_2.pdf, ogled 25. 1. 2021.
[5] I. W. Pray et al., Performance of an Antigen-Based Test for Asymptomatic and
Symptomatic SARS-CoV-2 Testing at Two University Campuses – Wisconsin, 2020,
CDC Morbidity and mortality weekly report, 1. jan 2021 / 69(5152); 1642–1647, do-
stopno na www.cdc.gov/mmwr/volumes/69/wr/mm695152a3.htmn, ogled 25. 1. 2021.
[6] K. Yates, The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost) Everything, Quercus,
London, 2019.
[7] M. Zeeshan et al., Diagnostic Accuracy of Digital Mammography in the Detec-
tion of Breast Cancer, Cureus 10(4), 2018, dostopno na www.researchgate.net/
publication/324312923_Diagnostic_Accuracy_of_Digital_Mammography_in_
the_Detection_of_Breast_Cancer, ogled 25. 1. 2021.
[8] COVID-19 testing, Wikipedia, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/COVID-19_
testing, ogled 25. 1. 2021.
[9] Expert reaction to Interim Evaluation Report from the Liverpool Covid-19
Community Testing Pilot, Science Media Centre, 2020, dostopno na www.
sciencemediacentre.org/expert-reaction-to-interim-evaluation-report-
from-the-liverpool-covid-19-community-testing-pilot/, ogled 25. 1. 2021.
[10] List of antigen tests authorized for entry to France from UK, dostopno na uk.
ambafrance.org/List-of-antigen-tests-authorized-for-entry-to-France-
from-UK-29434, ogled 25. 1. 2021.
[11] Preliminary report from the Joint PHE Porton Down and University of Oxford
SARS-CoV-2 test development and validation cell : Rapid evaluation of Lateral
Flow Viral Antigen detection devices (LFDs) for mass community testing, do-
stopno na www.ox.ac.uk/sites/files/oxford/media_wysiwyg/UK%20evaluation_
PHE%20Porton%20Down%20%20University%20of%20Oxford_final.pdf, ogled 25. 1.
2021.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 195
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:17 — page 196 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Bojan Mohar je postal član Royal Society of Canada
Bojan Mohar je bil izvoljen v Royal Society of Canada. Ta ustanova ima
tri oddelke. Profesor Mohar je postal član Akademije znanosti, ki je letos
medse sprejela dva matematika.
Kratka obrazložitev pravi:
Bojan Mohar – Oddelek za matematiko na Univerzi Simon Fra-
ser, je v svetovnem merilu vodilni teoretik na področju teorije gra-
fov in je dal globoke prispevke k osrednjim področjem v diskretni
matematiki. Njegovi globoki in fundamentalni rezultati predstav-
ljajo napredek v algebraični, strukturni in topološki teoriji grafov
in so vplivali na teoretično računalnǐstvo, matematično kemijo in
druga polja. Njegovo delo je spremenilo teorijo grafov in zanj je
dobil Eulerjevo medaljo (ki mu jo je podelil Institute of Combina-
torics and its Applications) ter nagrado John L. Synge Award, ki
mu jo je dala prav Royal Society of Canada. Za svoje zasluge je
postal AMS Fellow, SIAM Fellow in Canada Research Chair.
Tu je AMS American Mathematical Society, SIAM Society for Industrial
and Applied Mathematics. Zadnja pozicija pa profesorju Moharju prinaša
radodarno podporo pri raziskovalnem delu. O tem smo že poročali v Ob-
zorniku.
Profesor Mohar vzdržuje tesne stike s slovensko matematiko.
Peter Legǐsa
196 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Kovic” — 2021/2/19 — 8:20 — page 197 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
L. Rempe-Gillen, R. Waldecker, Primality testing for beginners, Student
Mathematical Library Vol. 70, American Mathematical Society, 2014, 244
strani.
S praštevili se srečamo že zelo zgodaj.
Učimo se, da lahko poljubno naravno šte-
vilo, različno od ena, zapǐsemo kot pro-
dukt potenc praštevil. Torej so prašte-
vila osnovni gradnik naravnih števil, in
po tej svoji lastnosti so tudi dobila ime.
Pri iskanju prafaktorjev danega števila
kaj hitro ugotovimo, da na vprašanje, ali
je neko število praštevilo, ne znamo ve-
dno enostavno odgovoriti. Problem poi-
skati algoritem, ki bi v polinomskem ča-
su glede na število znakov v zapisu da-
nega števila (učinkovit algoritem) pri
enakem številu vedno podal enak odgo-
vor (determinističen algoritem), ali je
število res praštevilo, je dolgo časa mučil
matematike. Že v 70. letih so obstajali nedeterministični algoritmi, ki testi-
rajo praštevilskost z visoko verjetnostjo pravilnega odgovora. Leta 2002 pa
so Agrawal, Kayal in Saxena odkrili učinkovit in determinističen test pra-
številskosti, ki je danes znan kot AKS algoritem. Najava rezultata je kmalu
pritegnila veliko pozornosti, objava v prestižni reviji Annals of Mathematics
pa je sledila dve leti kasneje. Osrednji namen knjige je predstaviti natanko
tiste koncepte, ki so potrebni za razumevanje smisla in dokaza omenjenega
rezultata, pri čemer se predpostavlja poznavanje le srednješolske matema-
tike. Iz predgovora je mogoče razbrati, da je knjiga nastala po predavanjih
avtorjev na nemški poletni akademiji za srednješolce leta 2005. Povod za
izvedbo takih predavanj je bila izjemna dostopnost do tako pomembnega in
lepega dosežka, kar je v matematiki prava redkost.
Knjiga je namenjena predvsem mladim matematikom in bolj amaterskim
entuziastom z matematično žilico, ki želijo podrobneje spoznati paradigmo
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 197
i
i
“Kovic” — 2021/2/19 — 8:20 — page 198 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
in prakso modernega matematičnega raziskovanja, v katerem poleg dobrega
poznavanja teorije igrajo (že pri samem oblikovanju hipotez, kot tudi pri
njihovem testiranju in dokazovanju) nepogrešljivo vlogo tudi računalniki,
algoritmi in eksperimentiranje, podobno eksperimentiranju v drugih znano-
stih. Toda to nikakor ne pomeni, da knjiga ni zanimiva tudi za bolj izkušene
matematike.
Knjiga je napisana in oblikovana zelo pregledno, z algoritmi v okvirčkih,
ter z definicijami in izreki na osenčenih poljih. V uvodu je poleg privlačnega
opisa celotne vsebine pojasnjen tudi koncept matematičnega dokaza, razlo-
žen pa je tudi pomen definicij, lem in izrekov. Prav tako so opisani pogosti
simboli in pojmi, ki so stavljeni krepko. Vsi algoritmi so zapisani v prepro-
sti psevdokodi, kar olaǰsa branje programiranja neveščemu bralcu. Knjiga
je razdeljena na dva dela, Osnove in AKS algoritem. Sledita dodatka, na-
menjena odprtim problemom in rešitvam pomembneǰsih nalog, prav tako
seznam literature in uporabljenih simbolov ter stvarno kazalo. Skoraj vsako
poglavje se zaključi z navedbo in kratkim opisom dodatne literature. Ve-
čina podpoglavij na koncu vsebuje naloge, ki pomagajo pri utrjevanju in
razumevanju snovi iz pripadajočega podpoglavja ter poudarjajo lastno ak-
tivnost bralca (angl. learning by doing). Pogosto nalogam sledi še razdelek
z dodatnimi napotitvami na ustrezno literaturo in zgodovinskimi pojasnili
ter zahtevneǰsimi nalogami.
Na kratko preglejmo vsebino knjige. Prvi del, Osnove, vsebuje štiri
poglavja. Prvo obravnava osnovne lastnosti naravnih števil in praštevil.
Spoznamo princip matematične indukcije, pojem deljivosti, osnovni izrek
aritmetike, Evklidov algoritem in Eratostenovo rešeto. Že res, da je Era-
tostenovo rešeto determinističen algoritem za odločitveni problem prašte-
vilskost (angl. primes), ki naj z da ali ne odgovori na vprašanje, ali je
dano število n praštevilo. Toda ta algoritem je daleč od učinkovitega, saj je
njegova časovna zahtevnost polinomska v n, ne pa tudi v log n.
Drugo poglavje je namenjeno algoritmom in računski zahtevnosti. Že
uvodne besede nakazujejo, da na preprosto vprašanje, kaj je algoritem,
ni lahko najti dobrega odgovora. Za ponazoritev pojma algoritem avtorja
posrečeno navedeta algoritma za peko palačink ter za pisanje kriminalnih
uspešnic, nato pa v obliki algoritma zapǐseta še znano Collatzovo funkcijo,
ki sodo število n zamenja z n/2, liho število n pa s 3n + 1. Mimogrede
198 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Kovic” — 2021/2/19 — 8:20 — page 199 — #3 i
i
i
i
i
i
Primality testing for beginners
je predstavljena še slavna in nedokazana Collatzova domneva, ki pravi, da
se ta postopek vselej konča s številom 1. V nadaljevanju sta definirana in
s kopico primerov ilustrirana razreda P in NP, poglavje pa se zaključi z
definicijama nedeterminističnih algoritmov tipov Monte Carlo in Las Vegas,
ki spadata v razred verjetnostnih algoritmov. Metoda Monte Carlo daje
pravilne rezultate le z določeno verjetnostjo, metoda Las Vegas pa vselej
daje pravilen rezultat, toda njen računski čas je lahko neomejen. Cilj knjige
je dokaz trditve praštevilskost ∈ P.
Tretje poglavje je jedro knjige, saj tu spoznamo pojme in orodja iz teorije
števil, na katerih temeljijo vsi moderni testi praštevilskosti. Najpomem-
bneǰsa rezultata sta mali Fermatov izrek ap−1 ≡ 1 (mod p), ki velja za
vsako celo število a tuje praštevilu p, in Eulerjeva posplošitev aϕ(n) ≡ 1
(mod n) za n ≥ 2, kjer je D(a, n) = 1, ϕ(n) pa je število tistih elementov
množice {1, . . . , n−1}, ki so tuja številu n. S tem je povezan tudi red števila
a po modulu n z oznako orda(n), ki je definiran kot najmanǰsi tak eksponent
k ∈ N, za katerega velja ak ≡ 1 (mod n). Izrek lahko uporabimo za nasle-
dnji Fermatov test. Naključno izberimo a iz množice {1, . . . , n − 1}. Če je
D(a, n) 6= 1, odgovorimo »n je sestavljeno število«. V nasprotnem izraču-
namo an−1 po modulu n, za kar obstaja učinkovit algoritem. Če dobljeno
število ni 1, ponovno odgovorimo »n je sestavljeno število«, v nasprotnem pa
»n je morda praštevilo«. Mali Fermatov izrek zagotavlja, da v primeru pra-
števila n algoritem vrne rezultat »n je morda praštevilo«, toda to se lahko
zgodi tudi za sestavljena števila n, npr. za n = 15 in a = 11. Taka števila n
se imenujejo psevdopraštevila glede na osnovo a. Izkaže se, da je število ti-
stih osnov, za katera je n psevdopraštevilo, lahko ϕ(n) ali pa največ ϕ(n)/2.
Če bi vedno veljalo le slednje, bi bil Fermatov test učinkovit algoritem tipa
Monte Carlo (RP) za odločitveni problem sestavljenost (ang. composi-
tes). Žal pa obstajajo Carmichaelova števila, ki so psevdopraštevila glede
na vsako možno bazo. Prvo tako število je 561. Vseeno lahko Fermatov test
popravimo do verjetnostnega algoritma. Gary L. Miller je leta 1976 doka-
zal posebno verzijo malega Fermatovega izreka, ki ga je štiri leta kasneje
Michael O. Rabin uporabil pri konstrukciji Miller-Rabinovega algoritma, ki
dokazuje pripadnost problema sestavljenost razredu RP. V knjigi je
pravilnost delovanja algoritma dokazana v četrtem poglavju, kjer pred tem
spoznamo še osnove kriptografije in RSA metode šifriranja, najpomembnej-
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 199
i
i
“Kovic” — 2021/2/19 — 8:20 — page 200 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
šega primera kriptografije z javnim ključem. Pri tej metodi odločilno vlogo
igrajo javno znana števila, ki so produkt dveh velikih in naključno generi-
ranih praštevil, skriti tudi uporabnikoma RSA šifriranja. Varnost metode
temelji na principu, da je bistveno lažje ugotoviti, da je neko število se-
stavljeno, kot pa ga faktorizirati. Prvi del odlično opravi Miller-Rabinov
algoritem, ki je popularen tudi zaradi svoje hitrosti. Čeprav sta računski
zahtevnosti AKS in Miller-Rabinovega algoritma enaki, je njuna hitrost na
konkretnih primerih težko primerljiva. Učinkovitost izbora naključnega pra-
števila zagotavlja šibka verzija praštevilskega izreka x  π(x) log x, ki je v
knjigi dokazana pred Miller-Rabinovim algoritmom. Do sedaj še nikomur
ni uspelo najti učinkovitega algoritma, ki bi podal faktorizacijo poljubnega
števila, in splošno prepričanje je, da tak algoritem ne obstaja. Bi se pa to
z iznajdbo delujočega kvantnega računalnika spremenilo, saj taki kvantni
algoritmi obstajajo.
Drugi del knjige ima tri poglavja in je namenjen AKS algoritmu. V pr-
vem poglavju izvemo, da prava pot k determinističnemu testu praštevilskosti
pelje preko polinomske različice malega Fermatovega izreka: za praštevilo
p velja (P (X))p ≡ P (Xp) (mod p), kjer je P (X) celoštevilski polinom.
Osnovne lastnosti polinomske modularne aritmetike se obravnavajo že v za-
dnjih dveh podpoglavjih tretjega poglavja v prvem delu knjige. Toda take
kongruence še niso dovolj, potrebno je študirati
(P (X))n ≡ P (Xn) (mod n,Q),
kjer je tudi Q celoštevilski polinom. Ta zapis pomeni, da pri deljenju leve in
desne strani s Q dobimo enak ostanek po modulu n. Posledica Fermatovega
izreka je, da če za neka polinoma P in Q kongruenca ne velja, je n sestav-
ljeno število. Obratno ni vedno res, kot kaže primer (X − 1)24 ≡ X24 − 1
(mod 24, X2−1), ki je bralcu prepuščen v samostojno reševanje. Vprašanje
je, ali obstajata taki majhni množici polinomov P in Q, za katere veljav-
nost pripadajočih kongruenc implicira praštevilskosti števila n. Agrawal,
Kayal in Saxena so dokazali, da takšni množici obstajata. Koraki njihovega
algoritma so presenetljivo enostavni, toda preverba učinkovitosti delovanja
je bistveno težja. V prvem koraku preverimo, ali je n popolna potenca,
za kar obstaja učinkovit algoritem. Če je odgovor negativen, se v drugem
koraku z r sprehodimo po naravnih številih na naslednji način. Najprej se
200 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Kovic” — 2021/2/19 — 8:20 — page 201 — #5 i
i
i
i
i
i
Primality testing for beginners
z Eratostenovim rešetom prepričamo, da je r praštevilo. Če velja r < n
in r deli n, odgovorimo »n ni praštevilo«. Če je r ≥ n, odgovorimo »n
je praštevilo«. Če ne velja nič od tega, izračunamo ordr(n). Drugi korak
ponavljamo, dokler ne dobimo enega od gornjih dveh odgovorov ali dokler
ne velja ordr(n) > (2 log2 n)
2. Če se zgodi slednje, začnemo z izvajanjem
tretjega koraka, kjer preverjamo veljavnost kongruence
(X + a)n ≡ Xn + a (mod n,Xr − 1)
za vsak a ∈ {1, . . . , r}. Če katera od kongruenc ni izpolnjena, odgovorimo
»n ni praštevilo«, sicer pa »n je praštevilo«. Seveda se porajata ključni
vprašanji, ali pravilnost vseh kongruenc res zagotavlja praštevilskost števila
n, in ali lahko vedno učinkovito poǐsčemo tak r, pri čemer mora njegova ve-
likost naraščati kvečjemu polinomsko v log n. Na prvo vprašanje odgovori
osrednji izrek Agrawala, Kayala in Saxene, ki je dokazan v drugem poglavju.
Zahtevane lastnosti števila r so dokazane v zadnjem poglavju knjige, kjer
je pravilnost delovanja AKS algoritma pregledno dokazana po korakih. V
zaključku sledijo še diskusije o hitrosti algoritma, nekaterih odvečnih ome-
jitvah in nadaljnjem razvoju.
Knjigo, ki daje celovit pregled vsega, kar je potrebno za razumevanje
AKS algoritma, zaokrožajo nekateri izreki in odprti problemi s področja
teorije števil in reference za nadaljnji študij. Mnogi slavni odprti problemi
iz teorije števil so navdihnili tudi popularne knjige, kot je npr. Doxiadisova
Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture. Vsem, ki jih zanimajo prašte-
vila in odprti problemi v zvezi z njimi ter odkrivanje zelo velikih prašte-
vil, avtorja svetujeta ogled spletne strani The Prime Pages, dostopne na
https://primes.utm.edu/.
Knjiga izpolnjuje uvodne obljube in ponuja številne priložnosti za njeno
uporabo. Na gimnazijskem matematičnem krožku bi se jo lahko predelalo
v enem letu, program bi bilo mogoče izvesti tudi v obliki delavnic in pro-
jektov na kakšnem od matematičnih taborov. Ker je vsebina knjige na
stičǐsču elementarne in računske teorije števil, je vsebina zagotovo zanimiva
za nadarjene dijake. Vsekakor imamo pred seboj odlično napisano strokovno
matematično knjigo.
Jurij Kovič in Aleksander Simonič
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 XIX
i
i
“kolofon” — 2021/2/19 — 8:22 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, SEPTEMBER 2020
Letnik 67, številka 5
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
O preureditvah vrst s kompleksnimi členi (Aleksander Simonič) . . . . . . . 161–176
Navier-Stokesova enačba in elastični trki (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . 177–186
Zanimivosti
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa (Peter Legiša) . . . . . . . 187–195
Vesti
Bojan Mohar je postal član Royal Society of Canada (Peter Legiša) . . . 196
Nove knjige
L. Rempe-Gillen, R. Waldecker, Primality testing for beginners
(Jurij Kovič in Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197–XIX
CONTENTS
Articles Pages
On rearrangements of infinite series with complex terms
(Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–176
Navier-Stokes equation and elastic collisions (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . 177–186
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187–195
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197–XIX
Na naslovnici: Tok tekočine težko izračunamo, obstajajo pa modeli, ki omogočajo
dovolj natančne računalniške simulacije. Foto: Aleš Mohorič