Bestimmuug der Zeit, des Meridians und der geographischen Breite eines Ortes, Bestimmuug absoluter Hohen und der Declination der Gestirne. Naeh theilweise neuen verbesserten Methoden und Formeln bearbeitot von M. Vodušek, Professor am k. k. Gymnasium in Laibach. Lailbach 1878. Druck von Ig. v. Kleinmayr & Ped. Bamberg. Im Selbstverlage des Verfassers. Alle Reehte vorbehalten. Vorrede. I)ie Arbeit, die icli hiemit der Oeffentlichkeit, iibergebe, ist die Frncht meiner Mussestunden, die ieb, oline gerade Facbmann zu sein, seit einer Reihe von Jaliren mit Vorliebe der Astronomie zuwandte. Wer die Gesehichte dieser Wissenschaft kennt, wird wissen, dass gerade Dilettanten derselben viel geniitzt haben, und wird daher mein Unternebmen entschuldigen. Was nun die Arbeit selbst anlangt, so war mein Hauptbestreben dahin gerichtet, dieses \vichtige und ins praktische Leben am meisten eingreifende Kapitel der Astronomie auf eine moglichst einfache, aber dennoeh streng wissenschaftlicbe Weise zu bearbeiten. Dabei bin ich aber im allgemeinen nicht auf bereits breit getre- tenen Wegen gewandelt, sondern suchte einen kiirzeren, wo er moglick war. einen langeren, wenn er vortheilhafter \var. Die Resultate. zu denen ich gelangte, sind tkeihveise ganz neu, wie sich der kundige Leser selbst iiber- zeugen mag. Die Vortheile, welche correspondirende Hohen bieten, sind hier melir, als es bisher gesehah, ausgebeutet, ebenso ist die Metkode der Circum- meridianhohen auf einen lioheren Standpunkt gestellt worden, von \vo aus ein weites Feld beherrscht, wird. F tir die Messungen vermittelst des Theodo- liten, dieses so niitzliehen Iustrumentes, ist ein grosser Spielraum gewonnen, nebenbei aber auch dem Sextanten die ihm gebtibrende Steliung gevvakrt worden. Die Bestimmung der geographischen Breite aus den Beobaelitungen des Polarsterns gestaltet sich hier sehr einfach und elegant; es ware auch zu mindern, wenn ein Štern, der docli die gunstigsten Chancen zur Bestim¬ mung der Polholie bietet, eines derartigen Apparates bediirfte, wie man ihn in den Biichern angegeben lindet. Icli kann versichern, dass ich auf die Arbeit grosse Muhe und Sorgfalt verwendet, dieselbe luit unter meinen Han- den viele Phasen durchgemacht, bevor sie diese Gestalt angenommen; ich empfehle sie daher allen Freunden der Astronomie eben demselben liebevollen Studium, mit welchem sie von mir behandelt vvorden ist. Laibaeh, 18. Mai 1878. Der Verfasser. Einleitung. Vor allem mogen hier einige Bemerkungen aus deri Grundlehren der Astronomie Platz finden und einige Formeln entwickelt werden, die damit zusammenhangen. Die beigefiigte Figur stellt uns das Himmelsgewolbe dar, inmitte dessen sicli die Erde mit dem gemeinschaftlichen Mittelpunkte O betindet; in S sei die Sonne oder irgend ein Štern, im Punkte M an der Erdoberflache befinde si eh der Beobacbter, welcher daher um den Erdradius MO vom Mittelpunkte O entfernt ist. Der Erdbalbmesser, von \velchem Standpunkte auf der Sonne aus gemessen, betragt im Mittel 8 • 85” (Horizontalparallaxe); vernachlassigen wir indesseu diese Kleinigkeit und denken uns den Beobacbter im Mittel¬ punkte O befindlicb; iiber sick hat er das Zenit Z, unter sich das Nadir IV; HEGRie ist sein \vahrer Horizont. Wie ZN auf HR, so stehen alle grossten Kreise, welche das Zenit mit dem Nadir verbinden, auf dem Horizonte senk- recbt, wie z. B. ZSEN. Alle diese grossten Kreise, deren wir uns eine Unzalil denken konnen, werden Verticalkreise genannt. Dies ist das sogenannte Horizontalsystem, rvelches sicli jedermann selbst durch eine sehr einfacbe Vor- richtung anschaulicb machen kann; man braucht nur eine ebene Holz- oder Steinplatte horizontal zu stellen, was vermittelst der Libelle sehr leicbt gescbeben kann. Ueber der Platte hange man einen Faden auf, der unter- halb mit einern kleinen Gewichte, z. B. mit einem spitz auslaufenden Blei- stiicke, beschwert ist (Gnomon). Die horizontal gestellte Platte stellt die Ebene HEGRie vor, und der dariiber aufgehangte Faden hat, die Erde als vollkommene Kugel angenommen, die Richtung der Linie N Z. Wenn das Blei mit seiner Spitze die Ebene beriihrt, zeigt es den Punkt M oder nach der friiheren Annahme den Punkt O an. Das zweite System, das hier zur Sprache kominen soli, ist das des Aequators. ADQid ist der Aequator, senkrecht auf ihm steht die Himmels- axe Ep; P ist der Nordpol, p der Siidpol; jeder grdsste Kreis auf der Him- melskugel, der beide Pole verbindet, wie z. B. PSGp, steht auf der Aequator- ebene senkrecht. Solche grdsste Kreise, deren wir uns ebenfalls unzahlige denken konnen, werden Declinations- oder Stundenkreise genannt. Der Kreis PZQRpNAH verbindet sowol beide Pole als auch das Zenit mit dem Nadir; er steht daher sowol auf der Aequatorebene als auch auf der Ebene des Horizontes senkrecht. Dieser grdsste Kreis ist mithin zugleiek 5 Declinations- und Verticalkreis und wird der Meridian des Ortes M genannt. Sobald die Sonne oder ein anderes Gestirn in seiner taglichen Bevvegung unter diesen Kreis tritt, hat es fiir den betreffenden Tag entweder die grosste Hobe oder die grosste Tiefe erreicht, je nachdem der Eintritt auf der Siid- oder Nordseite des Poles erfolgt. Dieser Eintritt eines Gestirnes unter den Meridian eines Ortes wird Culmination genannt, die Sonne oder der Štern culminirt, * und es gibt demnach eine obere und untere Culmination. Wenn man die beiden Punkte H und JR , in denen der Meridian den Horizont scbneidet, mit einander verbindet, so erhalt man die Mittagslinie MB\ B ist der Sudpunkt, H der Nordpunkt auf der Ebene des Horizontes; B ist nemlich naher dem Sfidpol, H naher dem Nordpol gelegen. Die Mittagslinie kanu auf der oben erwahnten Platte ermittelt werden, wenn man das Ende des Schattens, den der Faden im Augenblicke der Sonnenculmination wirft, mit dem Punkte O , wo das Blei die Ebene beriihrt, verbindet. Wie man zur Kenntnis der Culminationszeit der Sonne gelangt, wird spater umstandlich erortert werden. QZ , d. i. die Entfernung des Zenites vom Aequator, wird die geographi- sclre Breite des Ortes M genannt und ist, wie leicbt zu berveisen ist, der Polbohe PH gleick. Wir werden diese Grosse in der Folge immer mit cp bezeiclinen. Die Erganzung der geographisehen Breite zu 90° oder der Bogen QB = PZ \vird Aequatorhohe genannt; diese Grosse vvird mit i/' bezeichnet werden; es ist also cp + ip = 90°, sin (p — cosi}i und coscp> = sinili. Im Svsteme des Horizontes sind die beiden Coordinaten ES — h oder die Hohe und EB — -ŽC EZB — co oder das Azimut des Gestirnes. (Das Wort Azimut ist arabischen Ursprungs und bedeutet so viel als Weg, Pfad.) Die Erganzung von ES zu 90° oder der Bogen ZS — z wird Zenitdistanz genannt Im Aequatorsysteme sind die beiden Coordinaten BS — d oder die Declination und J)Q = DPQ — A oder der Stundemvinkel des Gestirnes. Die Erganzung von DS zu 90° oder der Bogen PS = p wird Poldistanz genannt. Im spbarischen Dreiecke PZS sind also die Seiten PZ=i)0 — (p = y, PS = W — d=p, ZS = 90—h = z, die gegeniiberliegenden Winkel P SZ = C, PZS — 180—w, DPQ — A. Der Winkel C am Štern wird gewohnlich der parallaktische Winkel genannt. In jedem spharisehen Dreiecke ist nun, wie bekannt, cosa = cosbcosc-p -f- sin b sin c cos A und sin a sin B — sin b sin A; wenn man ferner bedenkt, dass sin (180 — w) = sinco und cos(180 — tu) = — cosio ist, so ergeben sich folgende Gleichungen: sin h = sin
, h , d auf die Zeitbestimmnng am geringsten wird, wenn sirno sein Maximum erreicht, oder fiii' oj = 90°, d. i. im ersten Verticalkreise. Man wird daher immer gut thun, im ersten Vertical oder wenigstens in der Nahe desselben zu messen, wenn man vermittelst dieser Methode die Zeit genau bestimmen will. Weil d A =-—, so wird ftir co = 90° oder im ersten Vertical d A = o. d. b. cos cp tg oj Fehler in cp werden bier auf die Zeitbestimmung ganz einflusslos bleiben; ferner ist einleuchtend, dass die Zeitbestimmung in sehr boben Breiten und bei Sternen mit grosser Deelination sehr ungiinstig ausfallen muss, weil sicli in diesen Fallen coscp und cos d ihrem Minimum nahern und der Betrag von d A immer grosser werden muss, wenn auch die Fehler in cp, li und d klein sind. Setzt man — — cos cp sin oj — o, so muss sin oj —o oder oj — o° oder dA ' 180° werden, d. h. die Hohen erreichen ihr Maximum und Minimum im Meri¬ dian, wo nemlich co = o° oder 180° ist, ein Satz, der scbon in der Einleitung ausgesprocben wurde, aber erst bier seine Begriindung gefunden hat; aus — = — coscp sin co sieht man auch, dass U/JL die Aenderungen in der Hoben- bevvegung in der Nahe des ersten Vertiealkreises am grossten sind, weil coscp sin co bier den grdsstmoglichen Wert bekommt. 3.) Eine andere, und zwar sehr vortheilhafte Methode der Zeitbestim¬ mung ist die vermittelst correspondirender Hohen. Zu diesem Ende messen wir vor- und nachmittags in gleicben Hohen und notiren dabei die Zeit an unserer Uhr. Vormittags, als die Sonne die Hohe h erreichte, zeigte die Uhr t, als sie nachmittags vvieder diese Hohe h passirte, notirten wir an der Uhr t ', wobei wir aber von 12* weiter zahlen 13*, 14* u. s. w. statt der gewohnlichen Zahlung 1*, 2* u. s. w. Wenn \vir unseren Beobachtungsort inzvvischen nicht verandert haben und auch die Deelination unveranderlich angenommen wird, so sind die Grossen cp, h, d, von denen allein die Grosse des Stundemvinkels abhangig ist, ftir beide Beobachtungen dieselben. Daher ist auch A dem abso¬ luten Werte nach nachmittags dasselbe wie es vormittags war, nur die Zeichen sind verschieden. Wenn nun auch x der Stand unserer Uhr eine constante Grosse ist, wie wir bei einer gut regulirten Uhr annehmen diirfen, so ist vormittags t =12 A~ 9 — A —x nachmittags t' = 12 + g + A — ,x daher ist t' t — 2 ~ 24 -J- 2g — 2 x 12 +• g — x t' —t t' —t 2 = 2 A — A Nach Nr. 1 dieses Abschnittes bezeichnet aber 12 +# — x — T den Augen- blick der Culmination, wie ihn unsere Uhr gibt; ohne also den Meridian zu kennen, sind \vir auf diese einfache Al t zur Kenntnis von T gelangt, und nicht 14 allein dies, \vir erfahren aueh den Stundenwinkel, der zur Hohe h, in der wir beobachtet, gehort, durch eine einfache Subtraction. Die Grossen h , d, deren Beschaffung oft grosse Muhe kostet, kommen gar nicht in die Rechnung, man braucht sie daher auch nicht zu kemien. nur so viel ist notkwendig, dass die beiden Hohen, in denen wir vor- und nacbmittags beobachten, gleich sind, der genaue Betrag derselben kan n uns aber auch unbekannt bleiben. Daraus erhellt, dass fur diesen Zweek ein Instrument luureicht, welches die Messung gleicher Hohen zulasst, im tibrigen aber sehr unvollkommen sein kann, so z. B. kann die Theilung des Kreises, auf dem die Hohen abgelesen werden, sehr ungenau sein, nur so viel ist nothig, dass man nacbmittags genau in dieselbe Hohe einzustellen im Stan de ist, in der man vormittags gemessen Hat. Fur die Be- diirfnisse des gewohnlichen Lebens geniigt der Sextant von Eble, nur wird es der grossern Genauigkeit wegen angezeigt sein, das Rossbaar mit einem langen Menschenhaare zu vertauschen, wobei naturlich dann auch das Blei verringert werden muss. Beispiel. Am 4. Oktober 1876 beobachtete der Verfasser in Gorz fol- gende Sonnenhohen am Sextant von Eble und notirte die folgenden Uhrzeiten: Das arithinetische Mittel aus allen t' -j- t betragt 23* 31’" 12", daher t —~- = 11* 45“ 36*. Die Zeitgleichung fUr diesen Tag betrug g = — 11“ 25*, u daher 12 + g — 1 V' 48“ 35”; ,r — 12 + g - --"t - = 2“ 59», die Uhr ging um so viel zu spat. 4.) Die Resultate, die wir auf diese Art erlangen, \verden bei den Sternen immer, bei der Sonne aber nur zur Zeit des Sommer- und Wintersolstit.iums genau sein, denn zu diesen beiden Zeiten iindert sich die Declination der Sonne einige Tage hindurch fast, gar nicht; ganz anders ist es um die Zeit der Aequinoctien, hier erreicht die Aenderung der Declination von einem Mil tag zum anderen ihr Maximum, vpelches heutzutage (1877) 23' 23" betragt, also beinahe 1' in einer Stunde. Aber auch in der Zeit, welche zwischen diesem Maximnm und Minimum liegt, sind die Aenderungen in der Declination der Sonne, von welcher unsere ganze Zeitbestimmung abhangt, so bedeutend, dass sie d ort, wo es sich um Genauigkeit handelt, nicht vernachlassiget vverden konnen. Wenn die Declination und daher auch der Tag {abuimmt w ‘ rc * * Sonne nachmittags in die correspondirende Hdhe treten, d. h. ftir gleiche q und h wird der Stundenwinkel nachmittags [ j' ausfallen,- als er vormittags war. Wenn vormittags zn der Hdhe h der Stunden\vinkel A und die Declination S gehorten, wird nachmittags zu ebenderselben Hdhe A' und> wird stets klein bleiben. So wird man das Azimut des Polarsterns fiir jeden Stundenwinkel mit grosster Sicherheit recknen, und man tkut daker nicht gut, wenn man bei Breitenbestimmungen aus den Beobachtungen des Polarsterns dem Azimut so angstlick aus dem Wege geht, wie es bisker nock immer gescliieht, die Rechnung wird deswegen um nickts richtiger, dafiir aber um vieles langer und umstandlicher. Die Beobachtungen, mbgen sie nun am Spiegelsextant oder am Tiieodolit gemackt vvorden sein, -fferden aber immer mit geivissen Feklern, die von der 3 * 36 Unvollkommenheit unserer Sinne herriihren, behaftet sein (denn von anderen Fehlern, die etwa in der Aufstellung oder Mangelhaftigkeit des Instrumentes ihren Grund haben, soli bier nicbt die Rede sein); man wird das Resulsat, \velches eine einzige Beobachtung liefert, nie fiir hinlanglich zuverlassig balten konnen, sondern man wird die Beobacbtungen vervielfaltigen und das aritb- metiscbe Mittel aus allen Resultaten als eine der Wahrheit am meisten ent- sprechende Grosse annehmen. Weil aber die Berechnung der gesucbten Grosse aus den einzelnen Beobacbtungen oft sebr umstandlicb ware, na- mentlicb wenn die Zahl derselben gross ist, so ziebt man lieber eine Reibe unmittelbar aufeinanderfolgender Beobacbtungen in eine einzige zusammen. Hat man z. B. bei den Beobacbtungen vennittelst des Spiegelsextanten meb- rere Stundenvvinkel i \. r 2 , r 3 , . . r n und die entsprechenden Hohen h t . h 2 , h d , . . h n notirt, so nimmt man das arithmetische Mittel aus allen Zeiten, also 6 + r S + *8 + und sucbt die zu dieser Mittelzeit r gehorige Hohe h. Diese Hbhe h kann als eine Function von u betracbtet vverden, also h — f( V), und so gilt fiir eine jede einzelne Beobachtung h t = /’(r 1 ), h 2 = f(r 2 ). h 3 = f(r s ). h„ = f(r„). Man kann dies auch so schreiben: \ — f(r +•K = f( T + 'G— ih h 3 — + t s—"*),. h n = f(r -f- tn f(% + Tj— C) v). Nach dem Satze von Taylor ist aber f(?) + df(x) d r 1 (n— x ) + d 2 f(r) (Tj— t) 2 d v 2 + oder h j h -R h 2 — h + h 3 — h + d h d i d 2 h (tj — r) 2 t dY 2 ~ r - + d h d x (;t 2 —t) d 2 h (t 2 — r) 2 dr 2 2 d h d % (Fs—- v) + d 2 h di 2 — 2- + K — h + d - ( t „— t) Durcb Addition erhalt man d 2 h (v„ — t) 2 dr 2 2 ' hi + ^2 + h 3 H ■ • I h n 7 ,dh d 2 li 71 Ji —j— 7 — Jb /1 T -j— -=—- ^ T* Z/It 2 + d t ~ “ 1 d t 2 2 \vobei der Kiirze halber Z die Summe der einzelnen Differenzen At und der Quadrate derselben At 2 bezeicknet, also Z A t — (r 1 t) (t 2 t) -j- (t 3 —• t) -f- . . -)- (r n — t) — t x -J- t 2 -j- t 3 -f- + • . + T n — m ZAt 2 = K—i)*+ (t 2 —t) 2 + (*,— *)* + . . + (;c n ~T) 2 Unserer Voraussetzung gemass ist aber Z A t = O, daher verscbwindet das betreffende Glied und man hat h \ + h 2 -f- h 3 -j - . . h n n d 2 h Z A t 2 d t 2 2 n Dieser Ausdruck fur h sagt, dass das arithmetische Mittel aus allen d 2 h JZ z/ t 2 beobachteten Hobeii noch einer Correction — -=—= . —— bedarf. um jener ar 2 n Mittelzeit t als Hoke dienen zu konnen. Ebenso iverden wir bei den Be- obachtungen am Theodolit sagen. dass das arithmetische Mittel aus allen C ? 2 trn* z/ f 2 “ bedarf, um der Mittelzeit r Azimuten noch einer Correction d t 2 2 n als Azimut dienen zu konnen, so dass ti = + ^8 • • + > 9 7i d 2 ti d T* ZJt 2 2 n Es handelt sich nun darum, die Werthe der beiden Differentialquotienten d 2 li d 2 ti und zu ermitteln. Den ersteren tindet man aus der Grundgleichung dr 2 d t 2 sin h = sin cp sin D -f- cos cp cos D cos r d h _ cos (p cos D sin r dr . cos h d 2 h s — — cos cp cos I) . d r 2 cos h cos r + sin h sin t dh d t cos 2 h cos cp cos D cos 2 h cos z — cos cp cos D sin h sin 2 r cos h ' cos 2 h Aus den Gleichungen in 2*) erhalt man aber cos cp, cos D sin 2 r = — cos 2 Ji sin ti sin v: wenn man dies einsetzt, so ist d 2 h cosepcos D , ... . y \ ——- = — —-—-— (cost — sm ti sm v sm h) dr 2 cos n oder vermoge der Gleichung in 9*) cos t — cos ti cos v + sin ti sin v sin h d 2 h cos cp cos I) cos cp sin ti cos ti cos v T—s = — — z —=- COS ti COS V = -: - dr 2 cos h smr Den letzteren kann man bequem berechnen aus der Gleichung in 6*) cos cp tg D — cos t sin cp — cot -ti sin t, man hat . sin t d & O = — sm t sin cp d t + — • «, a ti sm 2 ti — cot ti cos t dr Wenn man mit sin ti multiplicirt und ordnet sm t sin ti d ti — (cos ti cos T + sin ti sin % sin cp) d i oder vermoge der Gleichung in 9*) cos v d ti sin ti = ;- COS)' d t sm t cos ti cos t + sin ti sin t sin cp , dti cosD oder - v - = — t cos v. dr, cos h dti d r Daraus folgt 38 Der Werth fiir ist uns schon bekannt, den fiir ~ 7 - bestimmen wir d T CIT aus der Gleicbung in 6*) cos I) tg cf sin z dv sin* v cot r sin t -j- cost sin Z), es ist + cot r cos t d t — sin z sin D d z Wenn man mit sin r multiplicirt und ordnet sin t sm v d v — (cos t cos r — sin r sin v sin D) d t oder vermoge der Gleichung in 9*) cos d d v sin v „ . , ~ - = —— cos d oder auch dr sim dr COS T COS V - dr cos g cos h - sin t sin v sin D COS d. Setzt man die Werthe fiir - 7 - und ‘ oben ein. so bat man d% d t d 2 -n _ d z 2 — oder weil cos 2 v sin d cos a cos 2 v — sin O cos d sin 2 v sin d cos z cos v sm z ■ sin 2 }' : (Pd- cl t 2 ■ cos 2 v sin d sm*z (cosz cos v —- cos d- cos 2 v) Wenn man die Werthe der beiden Differentialquotienten in die obigen Formeln einfiibrt und alles in Sekunden des Bogens ausdriickt, so ist: K + ^2 + ^3 + • ■ + hn cos (p sin d cos d cos v . 2 Jz 2 d = Ti = dl + \ + ^3 + • • j (Tji + 2062 64 - 8" . 2 n sim sin d (cos % cos v — cos d cos 2v) . S Jz 2 206264'8" . 2 nsin 2 z 2 Jz 2 muss in Sekunden des Bogens ausgedriickt \verden. weil derNenner aucb diesen Namen tragt. Recbnet man nun 2 J z 2 in Minuten der Zeit, wie es immer am meisten angezeigt sein wird, so muss man zuletzt nocb mit dem Quadrate der Verwandlungszahlen, also mit 60 2 Xlo 2 multipliciren, um 2Jz 2 in Sekunden des Bogens zu erhalten. Hebt man nun den Factor 60 ž X 15 2 T oi dessen Logarithmus 0-2930299 ist, heraus, so bat man 2X20b264'8 ° h = ] h + h + h +■■ ■ + [ 0 - 2930299 ] C 0 S( T : ’ sin ‘ J C0S ' iC0Sv ^Jz 2 d = 'Ji + >^2 + d 3 -f- . . + [0-2930299] sm z n sin d (cos z cos v — cos d cos 2v) 2 Jz 2 n '- 1 sin 2 z ' n wobei, me wir nocbmals betonen, 2 J z 2 in Minuten der Zeit gerechnet wird, das Resultat aber in Sekunden des Bogens erscbeint. Um den Mechanismus der Recbnung an einem Beispiele zu zeigen, wollen wir die oben fiir den 3. Juni 1877 mitgetheilten zehn Beobachtungen auf eine einzige reduciren; dort waren die 39 Das arithmetisclie Mittel 21°45'48 - 48" 100° 10' 36*5“ 5*25 M 12-05® =81°18'0-75" = r^j^ = 93‘7461 Vor allem berechnen vvir v aus der Formel cos v — cos ■& cos t + + sin &sin r sin q. wo <7 = 45° 56' 3" angenommen wird und '> indessen dem gefundenen arithmetischen Mittel aus allen Azimute gleick gesetzt werden soli: Ig cos <’) — 9-2472028» Ig cost = 9-1797162 8-4269190» Ig sin v — 9’9931130 cos & cos t —— 0’0267251 Ig sim = 9-9949742 sin & sim sin q = + 0‘6990992 Ig sin g — 9'8564516 cosv = 0-6723741 9-8445388 Ig cos v — 9-8276110 v = 47° 44' 58" 2v — 95° 29' 56" Ig cos q = 9'8422874 Ig sin /c = 9'9931130 Ig cos » = 9-2472028» Ig cos v = 9-8276110 _ ( „ 0-2930299 7 Ž/JT* lg~Y {) =1 9719532 1-1751973» Ig sin r = 9-9949742 1-1802234»' — 15-14" h = 21° 45' 48-48" — ® = 100° 10' 36-5" + Ig cos t— 9-1797162 costcosv— 0-1017014 Ig cos v = 9-8276110 cosVcos2r= — 04)169312 9-0073272 ( ) = + 0-0847702 Ig cos O = 9'2472028 Ig cos 2v — 8-9814854» 82286882», Ig ( ) = 8-9282423 Ig sin & = 9-9931130 0- 2930299 lg±?l- = 1-9719532 1- 1863384 Ig sin 2 r= 9’9899484 15-14"= 21° 45'33-34" 15-7" =100° 10' 52-2" 1-1963900 + 15-72“ Man hat daher die zusammengekorigen Werthe 7 ; = 81° 18'0-75", ■» — 100° 10' 52-2", h = 21° 45' 33‘34" Anmerkung 1.) Man kbnnte auch vom arithmetischen Mittel der Azimute ausgelien und die dazu gehorige Hohe und Stundenwinkel berechnen; die Sache gestaltet sicli ganz ahnlich, wie friiher, doch wollen wir die Losung dieser Aufgabe dom Leser uberlaesen, um nicht Formeln auf Formeln zu haufen. 40 Anmerkung Ž.) Die beiden Correctionen, deren Ausdruck oben gegeben ist, werden, wie man sieht, sehr klein ausfallen, wenn sinx in der Niihe seines Maiimums =1 sich befinaet oder wenn nahe x = 90° ist, kingegen wird in der Niihe des Meridians diese Cor- rection nicht unbedeutend, und da miisste man in der Taylor’sohen Reihe um ein Glied mehr entwickeln und auch den dritten Diiferentialquotienten zu Rathe ziehen. Deskalb pflegt man bei der sogenannten Methode der Circummeridianhoken die Culminationshbhe lieber aus den einzelnen Beobacktungen abzuleiten und nimmt zuletzt das arithmetische Mittel aus allen Resultaten. Beobachtet man den Polarstern in der Niihe der grossten Digression, so ist nicht nur sin x nahe an seinem Masimujn, sondern es wird auch cos v und sin H im Ziihler nahe am Minimum und die Correction verschwindend klein. 3.) Nach diesen einleitenden Bemerkungen wollen wir an unsere eigent- liche Aufgabe, die Bestimmung der geographischen Breite eines Ortes, gehen. Man kat nemlich fiir eine Reilie von correspondirenden Hohen sin D = sin cp sin ii x — cos cp cos ii t cos \ sin I) = sin cp sin h 2 — cos cp cos \ cos sin D — sin cp sin h- d — cos cp cos h f> cos sin D = sin cp sin h„ — cos cp cos h n cos />„ Aus der Verbindung von nur zwei Hohen ergibt sick sin cp sin \ — cos cp cos h ± cos -Up = sin cp sin h 2 — cos cp cos h 2 cos oder sin cp (sin — sin h 9 ) = cos cp (cos h t cos ^ — cos h 2 cosD 2 ) und daraus , cos h t cos i)p — cos Ju cos S« \ sm h x — sin h 2 Es entstekt nun die Frage, wie beschaifen diese ztvei Beobacktungen sein miissen, damit \vir am sichersten zum Ziele gelangen, oder mit anderen Worten, wann und in welcker Himmelsgegend miissen wir keokackten, damit die unvermeidlicken Beobacktungsfekler den geringsten Einfluss auf cp aus- iiben? Dariiber wird uns die Differentiation der Gleichung «) den besten Aufsckluss geben. Wenn man die hier zu Grunde gelegte Formel sin D = = sin cp sinh — coscp cosh cos » f > differencirt und alle darin vorkommenden Grossen als veranderlich annimmt, so kommt: dl) — cos x dcp + cos v dh —cos cp sin x di). Man bat daher analog wie oben d D = cos x x dcp + cos ip dh x + cos cp sin x t d& 1 dl) — cos x 2 dcp -f- cos v 2 clh 2 + cos cp sin x 2 d)t 2 . Bleibt man hier stehen, so wie friiher, so erhalt man cos x 1 dcp- s r cos >p dh t + cos cp sinx t df) 1 = cos x 2 dcp 4- cos v 2 dh 2 + cos cp und daraus ,/ __ cos v a dih — cos ip dh x + coscp (sinx 2 dD 2 — sinx x d Sp) COS Tj — COS X s Soli nun dcp recbt klein werden oder sollen Fehler in den beobachteten Iioben und Azimuten so wenig als moglicb auf cp eimvirken, so muss der 41 Nenner cost 1 — cost 2 recht gross werden. Das Maximum, dessen dieser Nenner fahig ist, ist aber offenbar =1 — (— 1) = 2; es ist nemlich immer und bei allen Sternen in der oberen Culmination % = 0 °, daber cost = l, und in der unteren Culmination t — 180 °, daher cost — — 1 . Wenn wir daher die Hobe in der oberen Culmination mit //, die in der unteren mit X bezeichnen und bedeuken, dass in der unteren Culmination stets ‘t — 180 °, in der oberen bingegen bei Sternen, die im Siiden vom Zenithe culminiren, # = 0° ist, so erhalten wir aus a) . cosH+cosX W — X , . H — X, , ‘ s f = sin H- sin X = Mt ~T“ = < 90 -—>• “ ,5 » nA H— X . , H — X 7 dX — dH 1 = 90 - - —, oder ip = ——— und d cp — -g- Man siebt, dass die geograpbische Breite am bequemsten und sichersten aus der Verbindung der beiden Culminationshoken oder durch Messungen im Meridian gefunden wird. Setzt man in die Grundgleichung sin li = sin cp sin D + + cos cp cos D cos t fiir die obere Culmination h — H, cost — 1, fiir die un- tere h = X , cost — — 1 , so bekommt man sinH = sin cp sin D ■+ cos cp cos D sinX — sincpsinD — coscpcosD ; daraus erbalt man cos (90 — H) — cos (q — D) oder, wenn g < D, auch cos (90 — H) = = cos (D — cp) , mithin ist fiir die obere Culmination entweder 90 — H = = cp' — D oder, \venn cp < D ist, 90 ■— H — D — cp. Fiir die untere Cul¬ mination ist — sin X — cos {cp -f- D) oder cos (90 + X) — cos (g + D), mit¬ hin 90 + X — cp +• D. Verbindet man die erste und dritte dieser drei Meridiangleichungen, so bat man fiir Sterne, deren D << (p ist, H-X n H+X 2 ’ 1 2 Verbindet man die zweite und dritte Gleichung, so hat man fiir Sterne, deren D > cp ist und man 90 — D — p setzt, H+ X H~X cp = i P = 2 Auf diese Art erbalt man also nicht nur die geograpbische Breite, son- dern auch die Declination des Gestirnes; dies ist wol die einfachste und zuverlassigste Methode zur Bestimmung dieser beiden Grossen; wahrend aber cp und D mit dem Hohenfehler des Instrumentes behaftet hervorgehen, er- scheinen xp und p von diesem Febler ganz befreit, vorausgesetzt. dass die Tbeilung des Hohenkreises fehlerfrei ist und man dH = dX setzen kann. Wir seben aber iiberhaupt welchen Štern, wenn h positiv ist, d. h. wenn der Štern liber unserem Horizonte sich befindet; ein Štern wird also in seiuer oberen Culmination sichtbar sein und daher beobachtet werden konnen, wenn // = 90 — (cp — D) positiv ausfallt oder wenn 90 > cp — I) oder D > c p — 90 oder I) > — cp ist; in Gorz z. B., dessen Aequatorhohe 44° 4' betragt, werden diejenigen Sterne in der oberen Culmination beobachtet werden konnen, deren 42 I) >■ — 44° 4' ist; daher vvird man Sterne, deren siidliebe Declination mehr als 44° 4' betragt, in Gorz uiemals selien, wol aber alle ubrigen. Ftir die untere Culmination bat man immer X = cp + D — 90°; daraus folgt, dass X so lange positiv bleibt, als
90° oder D > ip ist. Sterne also, deren Declination grosser ist als die Aequatorhbbe des Ortes, werden auch in der unteren Culmination siclitbar sein; solclie Sterne gehen mitbin nie miter; man liennt sie Circumpolarsterne. Diese werden demnacb unserem Zvrecke am besten dienen. Ftir
0° ist.
Sterne, bei denen U’ < D < g ist, sind Circumpolarsterne und scbneiden
den Meridian in der oberen Culmination auf der Siidseite des Zenithes; ftir
diese muss also 90 — (p D der Winkel v
niemals in den zweiten oder dritten Quadranten zu stehen kommen, sondern
bewegt sich in den Grenzen zwischen +90° und'—90°. Wenn man weiters
den Differentialquotienten
dv
cos cp
costi zu Rathe zieht, so sieht man, dass
dr cos h
dem Werthe cos ti = 0 oder ti = 90° ein Maximum in v entspricht, oder
der Winkel v wird am grossten, wenn die Sonne oder iiberhaupt ein Štern
von der Kategorie q> O I) in den ersten Verticalkreis tritt. Den Betrag dieses
Maximums findet man aus der Gleichung cos cp sin ti = cos TT sin v , wenn man
%. Ist qp > D, so bleibt sin v < 1 oder
cos D
ti- ~ 90° setzt, dann ist sin v
4 *
v < 90°; ist cp — D, so ist sin v = 1 oder v = 90°; ist cp < D, so vvird
sin v unmoglich, das heisst, es existirt kein derartiges Maximum fur v , son-
dern der Winkel v durchmisst den ganzen Kreisbogen.
Bei Sternen also, deren I) < q ist, denn nur von diesen ist hier und in
der friiheren Nummer die Rede, ist ftir v nur ein Maximum unter 90° mog-
lich, vvelches dainals eintritt, vvenn der Steni im ersteu Vertical sicli befindet
und cos c = ^ — ist. Je eber = 90°,
% = 0 °.
Aus dem Gesagten ergibt sich, dass Beobachtungen solcber Sterne, deren
Declination nur um vveniges kleiner als die geograpkische Breite ist, vom
besten Erfolge sein vverden, und zvvar sollen dieselben im ersten Vertical oder
doch recht nahe an demselben gescheben, damit v nabe bei 90° bleibt. Da
V V .
vverden cot und ty — fast gleich und der Einheit sehr nabe; es bieten mit-
Z z
hin beide Differentialformeln gleich gunstige Chancen, und man vvird sovvol
— als audi ^ mit beinahe gleicher Sicherbeit rechnen konnen, wo-
raus dami H und h sicli ergibt. Weil h nabe an 90° ist, so vvird ein Fekler
im Azimut fast einflusslos, und ist die geographiscke Breite, mithin aucb IJ,
ziemlich gross, so vvird audi der Einfluss der Febler in der Zeit sebi' berun-
tergedriickt erscheinen. Ebenso vverden Febler in cp , vvovon man einen Nahe-
rungsvverth kennt, fast ohne Einfluss bleibeu, da vvegen des grossen h sovvol
sin ( h — I)) als aucb sin (h -j- IJ) dem Nenner cos cp im Werthe nabe gleicb-
komrnen. Hier kann man nun sovvol in correspondireuden Hoben oder, vvenn
der Meridian aus friiheren Beobachtungen genau ermittelt ist, auch in corre-
spondirenden Azimuten beobacbten. Aus der Gleichung 90 — H — cp — D
findet man dann die geograpbische Breite, vvenn die Declination des Sternes
bekannt ist; mit dem verbesserten ip vvird dann die Rechnung vviederkolt oder
die gefundenen Grossen aus der Differentialformel corrigirt. Auf diese Art
erbalt man nicht nur //, sondern aucb h und, vvenn man die beobachtete
Hohe aucb am Hohenkreise abgelesen bat, den Collimationsfehler des In-
strumentes.
Weil die Sterne, die nahe am Zenith voriibergehen, vvenigstens in Breiten
liber 45° Circumpolarsterne sind, so vvird man dieselben auch in der Nahe
der unteren Culmination beobacbten konnen; vvenn man nun aus solcken
Beobachtungen die untere Culminationshohe ableitet, vvie dies vveiter unten
gezeigt vverden vvird, so findet man durch Verbindung beider Culminations-
bolien nicht nur die geographiscbe Breite, sondern auch die Declination des
53
beobachteten Sternes. Man kan n aber auch nach Nr. 4 dieses Abschnittes
verfahren, was besonders in niederen Breiten lohnend sein wird. Diese Art
der Bestimmung der geographischen Breite bat den grossen Vortheil, welcben
keine andere Methode bieten kann, dass sicli die Fehler in den Hohen gegen-
seitig aufheben, wie schon in Nr. 3 erwahnt wurde, und rp geht aus der Rech-
nung richtig hervor, wenn auch der Collimationsfehler unbekannt sein solite.
Wir haben bisher vorziiglich den Theodolit im Auge geliabt, womit aller-
dings eine Vervielfaltigung der Beobachtungen moglich ist; indessen pflegt
man diese Sterne gewohnlich nur im ersten Vertical, und zwar am Passagen-
instrumente zu beobackten, wobei aber ein Chronograph nothwendig ist, vvenn
man genaue Resultate erzielen will. Da im ersten Vertical cos <4 = 0 und
& &
tg = cot — = 1 ist, so iibergehen die Reihen a) und c) in die folgenden zwei
Z Z
JU ' " Ji Tj \ Tj Ji 7/ 2 Tj
— 0 = tg -sinxp —k tg 2 .sin 2v)- tg s ' sin3xp — tg* ~ sin 4tg + . . . .
Z Z Z ' Z o Z 4 Z
/j j Z Tj \ T \ T \ Tj
—— =tg -sinip-}- -tg 3 —sin2y-{---tg s --sin3y--tg* — sin igi . . . .
Z Z ' 2 2 o Z 4 Z
Daraus erhalt man dureh Addition und Subtraction
T~ 2 ^ Z Tj
90 — h = z — 2tg --- sin y + — tg 8 - sin 3i p + - tg b — sin fyip ... d)
Z o Z O z
Tj 2 Tj 2 Tj
90 — Hp=z= tg 3 -sin2-w -- tg* - sm4ip-f- - tg 6 - sin + . . . e)
Beide Reihen werden schnell convergiren, da unserer Voraussetzung
gemass (nemlich cos % — nahe = 1) tg ~ sehr klein ist.
tgg 2
Beispiel (aus Briinn ow p. 313): Der Štern/? Draconis geht sehr nahe
dureh das Zenitli von Berlin. Dieser Štern wurde nun am mittleren Faden
eines auf der Sternwarte im ersten Verticale aufgestellten Passageninstrumentes
beobachtet. Die halbe Zwischenzeit der Beobachtungen betrug 17“ 2D75 S ;
es war alšo t = 4°20'26'25“, daher|=2°10' 13125“; fernerD=52°25'26-77".
Als Naherungsvverth gelte g = 52° 30'
Ig 2 tg T - sin xp = 3'9785097,
Z
Ig | tg 3 l .sin 4i p = 0-8397716
Igtg 3 T — sin 2 ip== 2 - 4565839,
Z
9517-21
6-915“
Ig Jr tg* % - sin 4 rp = 9’0267951
Z Z
286-143“
90 — h = z — 2° 38'44-13“
h = 87° 21' 15-87“
90 — H=Z= 0° 4'46-25“
H— 89° 55' 13-75“
0-106“
64
Aus der Gleichung 90 — H=cp — D erhalt man nun cp = 52° 30' 13-02",
ferner bekommt man aus sin v = —1 als Maximum v = 86° 33' 26" und damit
cosD
dH— dh = 0-043 dV + 0’574 dr — 0‘059 dtp
dH + dh — 0-049 d(t — 0'648 dr + 0‘061 dtp
und daraus
dH — 0-046 d<) — 0-037 dr + 0'001 dtp
dh = 0-003 dO — 0-611 dr + 0'06 dtp
Wenn wir also cp um 13-02" zunehmen lassen, so nimmt H um 0-013",
h um 0-78" zu, und man hat schliesslieh
H = 89° 55' 13-76", h = 87° 21' 16 65", q, = 52° 30' 13'01".
7.) Bei Sternen, deren Declination grosser ist als die geogra-
phische Breite des Beobachtungsortes, die also zvvischen Zenitk und Pol
culminiren, ist in der oberen Culmination h — H, t = 0 0 , <7= 180°, v — 180°.
Es ist mithin wieder
cos h cos o = — cos tp sin D -f- sin q cos D cos r
cos H — + cos cp sin D — sin q cos D
2 sin cp cos D sin 2 —
A
cos H + cos h cos o- = — sin cp cos D (1 — cos r)
Schafft man cos h cos S- auf die redite Seite und addirt beiderseits cos h,
so ist cos H + cos h = cos li (1 — cos d-) — 2 sin cp cos J) sin 2 —
folglich
sin H — sin h
cos H 4- cos h
cos cp, cos D sin 2
'S' . T
cos h sin 2 — — sin q cos D sin 2 —
z z
(j,
Substituirt man fur cos D und dividirt durch sin 2 wie obeninNr. 5, so ist
A
tg
H—h
. A r
cos cp cot tg
A A
1 — sin cp cot — ta -
v 2^2
-j-
n ; setzt man cot — tq - — n, so hat man
d . r ’ 2 J 2
tg
H—h
ncoscp
7 )
2 1 — nsincp
Wenn man oben, statt zu addiren, cos li beiderseits subtrahirt, so wird
T
cos h — cos H — cos h (1 + cos it) + 2 sin cp cos D sin 2 --, mithin
A
cos h — cos H
{b 7:
cos h cos 2 — + sin cp cos I) sin 2 0
sin H — sin h
woraus man, wie in Nr. 5, erhalt
r
cos cp cos I) sin 2 —
tg
H+ h
2~
1 + tg-tg-sing
. &. T
tg ^g-cosg
i) x
setzt man tg-Ag-
, £ Z
= N. so ist
fg
H + h _ 1 -f- N s in ep
2 N cos ep
Schreitet man nun zur Differencirung der beiden Gleichungen y) und d),
so muss man vor allem bedenken, dass in der oberen Culmination der Sterne
von der Kategorie ep <; D die Gleiehung 90 — H = D — ep besteht und
daher <111 = dep — dl) ist. Substituirt man ftir dl) den oben in Nr. 5 unter
B gefundenen Werth und setzt aueh dli wieder her, so erbalt man
— cos li do -f- cos 1) cos v dr — sin h sin O dep
dH
sm v
dH — dh
^ _ cos h cos v dD — cos Ddr + sin D sim dep
sin v
Es ist demnacb dem obigen Verfahren gemass
sin {h +
1
{cos D dr — cos h dl) ) cot * • -f- ^
d H -f- dh = — {cos D dr + coshdlt)tg + j 1
cos ep
sin {h —
cos ep
-+- dep
— } ] d —j— *» 3 sm 3 1 p -\- —n^sin 4 ip . f)
Aus der Gleiehung fiir die grosste Digression der Circumpolarsterne,
cos T)
nemlich sin D = -- erhellt, dass, je naher ein Štern dem Pole zu liegt.
cos (p
desto geringer seine Bewegung im Azimute sein wird und »9- immer weniger
von 180° sich entfernt; dies vvird um desto mehr der Fali sein, je kleiner
&
dabei die geographische Breite des Ortes ist. Dadurch wird cot - und mithin
auch n sehr klein, und die Reihe wird selbst fiir grosse Stundemvinkel rascli
convergiren; dabei wird der Coefficient von dep stets klein bleiben, weil der
Unterschied zwischen h und II nie gross sein wird. Die Beobachtungen des
Polarsternes {a Ursae minoris) werden unter allen am giinstigsten sein. Setzt
man in der Meridiangleichung 90 — H = D — ep fiir 90 — 1) die Poldistanz p ,
so ist gi = II—p oder mit Beniitzung obiger Reihe
ff> = h — p -j- 2 n sin ip 4- n 2 si.n 2 ip + sin 3 ip + { #sm 4tp . g)
56
Beobachtet man mit einem Sextauten, \vobei aber Zenithsterne vermie-
den werden miissen, so berechnet man das Azimut vvieder aus der Formel
cos li sini 9- == cos D sim. Weil H in diesem Falle von cp, h, D und r ab-
hangt und der in der Differentialformel fiir y) stehende Coefficient von dcp
unverandert bleiben soli, so hat man, iihnlich wie in Nr. 5:
dcp
sin (h + D) sin (h + D) cos v ,
dh -)- „„/ ~a - dl) — sm (li -f- D) tg d-dr +
cos cp cos &
+[>
cos cp cos &
sin (h +
COS (f
welche Gleicbung nichts anderes ist, als die Differentialformel der vorstehen-
den Reihe fiir cp , falls man mit einem Sextanten beobachtet, wobei dcp auf
der rechten Seite den Fehler in der angenommenen, fiir die Rechnung ver-
wendeten, geographischen Breite bedeutet. Weil hier dH = dcp — dl), so
hat man
sin (h -f- D) cos v\
dH = _ ™),
so muss man vor allem bedenken, dass in der unteren Culmination stets
90 + X = cp + D ist, daher dX — dq + dD. Substituirt man den oben
ftir dD eruirten Werth, so ist
cos Mo — cos D cos vdr -|- sin & sin hdcp
dX
sin v
+ dcp
dh =
cos h cos vdo — cos Ddr + sin D sin zdq
sin v
Daraus erhalt man durch Subtraction und Addition
sin (D — h)
cos — . ... I)
o Z
Aus der Gleichung 90 + X = cp . + D erhalt man, wenn 90 — D = p
und die eben angefiibrte Reihe eingesetzt wird
2 i
cp = h + p — 2 k sin ip + sin 2 \p — k‘ d sin 3u> -f- — /c 4 sin 4ip — . . m)
o Z
Die beiden Reiben werden desto rascher convergiren, je kleiner K ist,
Bei Sternen mit hoher Declination, die nur eine geringe Bewegung im Azi¬
mute haben, wie beim Polarstern, wird k immer sehr klein bleiben, und wenn
der Stundenwinkel auch sehr entfernt von 180° ist; man wird daher aus jeder
Beobachtung, deren Stunden\vinkel im zweiten oder dritten Quadranten liegt,
die untere Culminationshohe und aus ihr die geographische Breite des Ortes ab-
leiten konnen, \venn die Declination des Sternes bekanut ist. Die Beobach-
61
tungen des Polarsternes vverden also stets ein vorziigliches Mittel zur Breiten-
bestimmung sein, nur bleiben Fehler in der gemessenen Hohe auch in cp.
Aus der Differentialformel fiir »/) ist ferner ersichtlich, dass namentlicli Fehler
in der Zeit und in der angenommenen geographischen Breite das Resultat
ausserordentlich vvenig beriihren.
Sind die Beobachtungen mit einem Sextanten gemaeht worden, so be-
reehnet man vvieder das Azimut aus der bekannten Formel cos h sin O = cos D sin e.
Bedenkt man ferner, dass der Coefficient von dq> in der Differentialformel
fiir rj) unverandert bleiben muss, so hat man in diesem Falle, ahnlich vvie in
Nr. 5 und Nr. 7,
sin (D — h) ,, sin (D — h) cos v
dh +
d(p -
cos (p cos o
+ 1 -
COS cp COS d
sin (D -
dD — sin (D — h) tg Ode +
■h)
1
| dej:
COS cp
vvelche Gleichung die Differentialform der vorstekenden Reibe fiir cp
ist.
Weil hier dX — dtp
dX =- s ™&-*>
cos cp cos O
dD, so ist
sin (D -
dli -f- 11 -f-
■ h) cos v
+ 1
cos cp cos O
sin (D — h)
j d D — sin (D — h) tg O dr -\~
cos cp
] dep
Beispiel (aus Briinnovv p. 275): Am 12. Oktober 1847 wurde auf der
Sternwarte des Dr. Hiilsmann zu Diisseldorf um 18* 22”* 48'8 S Sternzeit. die
Hohe des Polarsternes h — 50° 55' 30’8" beobachtet; die Rectascension war
a = 1* o"‘ 31'7", D= 88° 29' 52’4"; ein Naherungsvverth sei cp = 51° 13'.
Vorallem istr= 18* 22™‘48-8 s — 1* 5™ 31 'V— 17* 17“ 17’P = 259° 19' 165''.
Weil das Azimut nicht beobachtet vvurde, so muss es berechnet werden.
Ig cos D = 8-4185297 Weil bei den Sternen der Kategorie cp
B)
\vobei dcp auf d er recbten Seite den Fehler in der angenommenen, fur die
Berecknung der beiden Reihen verwendeten geograpbisehen Breite bedeutet.
Man bemerkt, wie ausserordentlich gtinstig sich die Dinge gestalten, wenn
man den Polarstern zur Zeit der grossten Digression beobachtet, denn ein
Fehler in der Zeitbestimmung wird auf die Declination und ein Fehler im
Azimute auf die geographische Breite gar keinen Einfluss iiben, ebenso wird
der Coefficient von dcp sehr klein ausfallen; ferner weil cos D sehr klein ist,,
so wird ein Fehler in der Zeitbestimmung in seinem Einflusse auf cp sehr
heruntergedriickt erscheinen, am ehesten werden noch Fehler im Azimute auf
die Declination einwirken, namentlich in niederen Breiten, wo h ebenfalls
niedrig bleibt. Fehler in der gemessenen Hohe aber werden unvermindert
auf cp iibergehen; dieser Fehler lasst sich aber iiberhaupt fiir cp nicht elimi-
niren bei Beobachtungen solcher Sterne, deren I) >■ .fiir i)
dh + dl) — (cos hdo- — cosDdr)cot dir .fiir k)
1 cos tp 7 7
Betrackten wir die erste dieser beiden Differentialformeln, so sehen wir
bald, dass v reckt klein sein muss, sollten Fehler in 9 und r ihres Einflusses
auf D so viel als moglich beraubt vverden; wir \verden daher mit unseren
Beobacbtungen in die Nahe des Meridians venviesen, d. h. man iindet die
Declination eines Gestirnes sebi' bequem aus der Culminationshoke. Allein
im Meridian wird h = H und folglieb dl) — dcp oder mit anderen Worten,
es werden Fehler in q> unvermindert auf D iibergehen. Will man daher die
Declination aus der Culminationshohe ableiten, so muss = II — D
einzusetzen. Wir kennen g nur naherungsweise und miissen unsere Beobach-
tungen so einrichten, dass Fehler dieser Grosse so vvenig als moglich auf D
einwirken \verden, mit einem Worte, wir miissen dl) in Hinsickt auf g der
Nulle nakebringen. Dies ist aber nur moglich, vvenn h = D wird, denn so
wird dl) = 0 in Hinsickt auf ep. Daraus geht vor allem der vvichtige Satz
kervor, dass wir in solehen Holieu beobachten miissen, die der Decli¬
nation des Gestirnes naliezu gleickkommen. Setzen mrh = T) m die
lx — /) j 2,
Gleichung i), so wird tg —-— = 0, mithin cos —-— = 0, oder 9-\-r= 180°,
2 2
es ist also in diesem Falle sin r — sin O, cosr = — cos o-; aus der Glei¬
chung k) ergibt sich zugleich tg D tg = cosr, woraus man die Zeit be-
rechnen kanil, in welcher die Hohe die Declination des Gestirnes erreicht; ein
Naherungswerth von D muss daher bekannt sein. Die Differentialformel fiir
i) gestaltet sich dann folgendermassen: fiir h — D wird nemlick nach 4.) der
Einleitung
dD = dh + (d9 + dr)
cos
IfJ
sin 2 — cos 2 D
A
5
oder
66
dl)
dh
(di? + dr)
sin 2 1- cos 2 D
Z
w w
cos 2 cos 2 D — sin 2 - s« 2 1)
Dividirt man durch cos 2 -cos 2 D und bedenkt, dass tgDtg = cost,
Z z
so erhalt man zuletzt
dl) = 'dh + d jL±Al t g%
sim y 2
Daraus sieht man ferner, dass neben der Bedinguhg h — b auch sim
in der Nahe des Maximums sich befinden soli. Soli dieses Maximum erreicbt
~w
und % = .? = 90° werden, so muss tgDtg - = cost = 0 sein; dies ist
aber nur moglich entweder fiir D = 0°, oder y> — 0°. Daraus erkellt, dass
\vir uns an Sternen mit hoher Declination nicht versuchen diir-
fen und dass derartige Beobachtungen in hohen Breiten giinsti-
ger ausfallen \v e r d e n als in niedrigen. Da die Sonne in ihrer Decli¬
nation nicht liber e = 23° 27-5' kinausgeht, so wird sie in den Monaten
Mai, Juni, Juli immerhin ein sehr geeignetes Object fiir derartige Messungen
sein. Die beste Zeit ware freilich im Marž und September, wo die Sonne
in der Nahe des Aequators sich befindet, allein weil die Befraction in der
Nahe des Horizontes sehr gross und die Berechnung derselben hier unsicher
ist, so wird man immerhin die Declination auf einen gewissen Betrag heran-
wachsen lassen miissen, um grossere Hohen zu gewinnen; in den genannten
drei Monaten ist auch die tagliche Aenderung in der Declination nicht so
bedeutend, und man wird innner mit gutem Gewissen cos (d' —d) = 1 setzen
konnen, so dass correspondirende Hohen die besten Dienste leisten werden.
h — D
Die Berechnung von tg —-— nach der Formel i) ist nun so bequem
Z
und fiir logarithmische Behandlung so geeignet, dass wir D nicht in eine
Reihe aufzulosen brauchen, obwol wir dies auch thun konnten. Als Beispiel
mdgen die oben fiir den 3. Juni 1877 mitgetheilten Beobachtungen dienen.
Es war nemlicli nach Reduction aller zehn Beobachtungen auf eine einzige
Ji — 21° 45' 33-34", r = 81 6 18' 0-75", .9 = 100° 10' 52'2". Wenn man
cp — 45° 56', mithin v' — 22° 2' als einen Naherungswerth annimmt, so steht
die Rechnung folgendermassen:
- \ ' = 90° 44' 26-48“ Ig
Z
= 9° 26' 25-73"
'lg
O -)- z
>s— H- = 8-1115003”
lg tg = 9-6071366
Z
7-7186369”
~ 9-9940780
— l) = — 0° 18' 13-91"
— D = — 0° 36'27-82"
h— 21° 45' 33-24"
1T~ 22° 22' 1-16"
lg tg
h — D
= 7-7245589
67
Zugleicli findet man dD = dh + 0'41 eh + 0’41 d& ■— 0'015 dtj.
Wenn man das so gefundene D in die Gleiehung i/< = H — D einsetzt,
so ist ip = 66° 25' 59-25" — 22° 22' M6" = 44° 3' 58-09". Weil q um 1-91"
zu klein angenommen wurde, so bedarf D und mithin audi i p noch einer
Correction im Betrage von 1-91" X — 0-015 = — 0-03"; bringen wir noch die
im ersten Abschnitte Nr. 6 berechnete Correction —0-03" an, so ist T) —
= 22° 22' 1-1", ip = 44° 3' 58’15", cp = 45° 56' P85".
Wie man sielit, bleibt der Fehler in der gemessenen Hohe auch in der
Declination, hingegen erscheint die nach dieser Methode bestimmte geogra-
phische Breite von diesem Fehler ganz befreit, weil sich in der Gleiehung
ip = H — D die in H und D steckenden Hohenfehler gegenseitig aufkeben,
vorausgesetzt, dass die Theilung des Hohenkreises eine fehlerlose ist. In den
obengenannten drei Monaten wird man also auch aus Sonnenbeobachtungen
die geographische Breite mit ziemlicher Scharfe bestimmen konnen. — Ist aber
einmal die geographische Breite eines Ortes genau bekannt, so braucht man
sich an die Bedingung h = D nicht zu kehren, sondern man wird die andere
V
Forderung, dass nemlich tg recht klein sein soli, dadurch zu erfiillen trach-
J
ten, dass man in der Nake des Meridians beobachtet. Fiir die Rechnung
stehen dann zwei Wege offen, entweder rechnet man H aus dar Reihe d),
oder man rechnet J) aus der in dieser Nunnner aufgestellten Formel i).
13.) Die Betrachtung der Differentialformel fiir k) bietet uns nichts
Neues; es ist nemlich klar, dass v in der Nake von 90° sein muss, solite die
Berechnung von tg — - und tg - in Hinsicht auf A und t einige Si-
cherheit gewahren, dass man also Sterne, deren J) = 88° 29'52-42"
7i = 50° 55' 30-82',
igtg
h —D
9-5316853» Igtg h ^ I) = 0-4321719
A
dl) = — 0 - 6456 ist. — Als Beispiel
moge das in Nr. 9 gebrachte dienen, wo wir aber annehmen wollen, dass das
Azimut am Limbuš eines Theodoliten abgelesen wurde; dort haben wir gefun-
den, indem wir mit dem Naherungswerthe cp = 51° 13' rechneten, X =
= 49° 43' 28 - 8". Mit ebendemselben Naherungswerthe rechnen vvir nun auch
H aus der Reihe in Nr. 7.
Ig cot
■O-
8‘3105205 K
lg2nsin\p = 3‘8042278,
637D295''
Ig n 2 sin 2w = 2’0879919
122-46"
Igtg- = 0-0814163"
Z*
Ig n = 8-3919368
6371-295
122-46
1-847
0-016
lg-~n B sin3y
O
H
X
0-2665004,
1-847"
lg~ n 4 sinAcp
A
8-2049166
0-016"
h + 1° 48' 15-62"
h — 1° 12' 1-95"
jo
h + 0° 18' 6-83" = 51° 13' 37-63"
1° 30' 8-78,
D = 88° 29' 51-22"
6495-618"
h
1° 48' 15-62"
50° 55' 30-8"
H
52° 43' 46-42"
64
Wenn wir nun auch dcp und dD rechnen, so erhalten wir
dc P = dh — 0 02685 dr + 0-13975 d& — 041062 dq
dD — — 0’64564d<'> + 0 - 0058 dx + 0'0325 dcp.
Weil cp um 37'63" zu klein angenommen wurde, so muss nun sowol cp
als auch D corrigirt werden, und zwar cp um 37'63" X — 0-0062 — —■ 0-23",
D um 37-63“ X 0-0325 = 1*22", somit sind die endgiltigen Werthe q =
— 51° 13' 37-4", D = 88° 29' 52'44"; obwol demnach die Beobachtung ziem-
licb entfernt von der grossten Digression gemacht wurde, so ist das Resultat
dennoch als ein sebi- sicberes zu bezeichnen. Derlei Beobachtungen sind
selbstverstandlich nur am Theodolit auszufiihren; man wird sicb aber nieht
mit einer einzigen Beobachtung begniigen, sondern deren recht viele in der
Nahe der grossten Digression machen und dann vermittelst der in Nr. 2 an-
gegebenen Methode in eine einzige zusammenziehen.
12.) Sterne, deren Declination kleiner ist als die Aequatorhohe, sind in
der unteren Culmination nicht sichtbar; bei diesen wird man also die geogra-
phische Breite entweder nach der in Nr. 4 dieses Abschnittes angegebenen
Methode bestimmen oder auch aus der Meridiangleichung i p = H — D her-
leiten, wenn die Declination bekannt ist. Mit Benutzung der oben fur H
entvvickelten Reihe hat man dann
2 1
ip — h — H + sin ip — m 2 sin 2 ip + -- m, 3 sin 3xp — - m 4 sin 4 ip +
Dies ist ein fur die Sonne sehr haufig angewendetes Verfahren, sowol
zu Wasser als auch zu Lande, wobei H durch Circummeridianmessungen ge-
funden, D aber den Ephemeriden entnommen wird. Unsere Auseinander-
setzung wiirde aber unvollstandig bleiben, wollten wir nicht zeigen, wie man
unabhangig von den Ephemeriden die Declination der Sonne und der Sterne
mit grosser Poldistanz aus Beobachtungen ermitteln kann, um sie dann behufs
Bestimmung von ip in die Meridiangleichung einzufuhren. Zu diesem Ende
wollen wir uns nach einer Gleichung umsehen, in der eine Beziehung zwiscben
einer Hohe ausser dem Meridian und der Declination selbst ausgedriickt ist.
Die Napier’schen Analogien in 7.) der Einleitung bieten uns eine derartige
Beziehung von selbst dar, es ist nemlich
.7
*9
h— D
cos
cos
2 t p h + D
O -C y '2 ' ' • • *)r * 9 — 2 ~
. — x
sm —-—
. x , i v
sm —*gt
- k)
Um zu erfahren, \vie beschaffen die Hohen sein und wo sie genommen
\verden sollen, damit man aus denselben die Declination mit moglichster
Sicherheit ableiten kann, wollen wir diese beiden Gleichungen differenciren,
und zwar auf folgende sehr einfache Weise. Es ist wieder
65
• cos hdo- — cos D cos vdc , sm h cos J) ,
dD = — ---- -|- div
sm v cos