Bestimmuug der Zeit, des Meridians und der geographischen Breite eines Ortes, Bestimmuug absoluter Hohen und der Declination der Gestirne. Naeh theilweise neuen verbesserten Methoden und Formeln bearbeitot von M. Vodušek, Professor am k. k. Gymnasium in Laibach. Lailbach 1878. Druck von Ig. v. Kleinmayr & Ped. Bamberg. Im Selbstverlage des Verfassers. Alle Reehte vorbehalten. Vorrede. I)ie Arbeit, die icli hiemit der Oeffentlichkeit, iibergebe, ist die Frncht meiner Mussestunden, die ieb, oline gerade Facbmann zu sein, seit einer Reihe von Jaliren mit Vorliebe der Astronomie zuwandte. Wer die Gesehichte dieser Wissenschaft kennt, wird wissen, dass gerade Dilettanten derselben viel geniitzt haben, und wird daher mein Unternebmen entschuldigen. Was nun die Arbeit selbst anlangt, so war mein Hauptbestreben dahin gerichtet, dieses \vichtige und ins praktische Leben am meisten eingreifende Kapitel der Astronomie auf eine moglichst einfache, aber dennoeh streng wissenschaftlicbe Weise zu bearbeiten. Dabei bin ich aber im allgemeinen nicht auf bereits breit getre- tenen Wegen gewandelt, sondern suchte einen kiirzeren, wo er moglick war. einen langeren, wenn er vortheilhafter \var. Die Resultate. zu denen ich gelangte, sind tkeihveise ganz neu, wie sich der kundige Leser selbst iiber- zeugen mag. Die Vortheile, welche correspondirende Hohen bieten, sind hier melir, als es bisher gesehah, ausgebeutet, ebenso ist die Metkode der Circum- meridianhohen auf einen lioheren Standpunkt gestellt worden, von \vo aus ein weites Feld beherrscht, wird. F tir die Messungen vermittelst des Theodo- liten, dieses so niitzliehen Iustrumentes, ist ein grosser Spielraum gewonnen, nebenbei aber auch dem Sextanten die ihm gebtibrende Steliung gevvakrt worden. Die Bestimmung der geographischen Breite aus den Beobaelitungen des Polarsterns gestaltet sich hier sehr einfach und elegant; es ware auch zu mindern, wenn ein Štern, der docli die gunstigsten Chancen zur Bestim¬ mung der Polholie bietet, eines derartigen Apparates bediirfte, wie man ihn in den Biichern angegeben lindet. Icli kann versichern, dass ich auf die Arbeit grosse Muhe und Sorgfalt verwendet, dieselbe luit unter meinen Han- den viele Phasen durchgemacht, bevor sie diese Gestalt angenommen; ich empfehle sie daher allen Freunden der Astronomie eben demselben liebevollen Studium, mit welchem sie von mir behandelt vvorden ist. Laibaeh, 18. Mai 1878. Der Verfasser. Einleitung. Vor allem mogen hier einige Bemerkungen aus deri Grundlehren der Astronomie Platz finden und einige Formeln entwickelt werden, die damit zusammenhangen. Die beigefiigte Figur stellt uns das Himmelsgewolbe dar, inmitte dessen sicli die Erde mit dem gemeinschaftlichen Mittelpunkte O betindet; in S sei die Sonne oder irgend ein Štern, im Punkte M an der Erdoberflache befinde si eh der Beobacbter, welcher daher um den Erdradius MO vom Mittelpunkte O entfernt ist. Der Erdbalbmesser, von \velchem Standpunkte auf der Sonne aus gemessen, betragt im Mittel 8 • 85” (Horizontalparallaxe); vernachlassigen wir indesseu diese Kleinigkeit und denken uns den Beobacbter im Mittel¬ punkte O befindlicb; iiber sick hat er das Zenit Z, unter sich das Nadir IV; HEGRie ist sein \vahrer Horizont. Wie ZN auf HR, so stehen alle grossten Kreise, welche das Zenit mit dem Nadir verbinden, auf dem Horizonte senk- recbt, wie z. B. ZSEN. Alle diese grossten Kreise, deren wir uns eine Unzalil denken konnen, werden Verticalkreise genannt. Dies ist das sogenannte Horizontalsystem, rvelches sicli jedermann selbst durch eine sehr einfacbe Vor- richtung anschaulicb machen kann; man braucht nur eine ebene Holz- oder Steinplatte horizontal zu stellen, was vermittelst der Libelle sehr leicbt gescbeben kann. Ueber der Platte hange man einen Faden auf, der unter- halb mit einern kleinen Gewichte, z. B. mit einem spitz auslaufenden Blei- stiicke, beschwert ist (Gnomon). Die horizontal gestellte Platte stellt die Ebene HEGRie vor, und der dariiber aufgehangte Faden hat, die Erde als vollkommene Kugel angenommen, die Richtung der Linie N Z. Wenn das Blei mit seiner Spitze die Ebene beriihrt, zeigt es den Punkt M oder nach der friiheren Annahme den Punkt O an. Das zweite System, das hier zur Sprache kominen soli, ist das des Aequators. ADQid ist der Aequator, senkrecht auf ihm steht die Himmels- axe Ep; P ist der Nordpol, p der Siidpol; jeder grdsste Kreis auf der Him- melskugel, der beide Pole verbindet, wie z. B. PSGp, steht auf der Aequator- ebene senkrecht. Solche grdsste Kreise, deren wir uns ebenfalls unzahlige denken konnen, werden Declinations- oder Stundenkreise genannt. Der Kreis PZQRpNAH verbindet sowol beide Pole als auch das Zenit mit dem Nadir; er steht daher sowol auf der Aequatorebene als auch auf der Ebene des Horizontes senkrecht. Dieser grdsste Kreis ist mithin zugleiek 5 Declinations- und Verticalkreis und wird der Meridian des Ortes M genannt. Sobald die Sonne oder ein anderes Gestirn in seiner taglichen Bevvegung unter diesen Kreis tritt, hat es fiir den betreffenden Tag entweder die grosste Hobe oder die grosste Tiefe erreicht, je nachdem der Eintritt auf der Siid- oder Nordseite des Poles erfolgt. Dieser Eintritt eines Gestirnes unter den Meridian eines Ortes wird Culmination genannt, die Sonne oder der Štern culminirt, * und es gibt demnach eine obere und untere Culmination. Wenn man die beiden Punkte H und JR , in denen der Meridian den Horizont scbneidet, mit einander verbindet, so erhalt man die Mittagslinie MB\ B ist der Sudpunkt, H der Nordpunkt auf der Ebene des Horizontes; B ist nemlich naher dem Sfidpol, H naher dem Nordpol gelegen. Die Mittagslinie kanu auf der oben erwahnten Platte ermittelt werden, wenn man das Ende des Schattens, den der Faden im Augenblicke der Sonnenculmination wirft, mit dem Punkte O , wo das Blei die Ebene beriihrt, verbindet. Wie man zur Kenntnis der Culminationszeit der Sonne gelangt, wird spater umstandlich erortert werden. QZ , d. i. die Entfernung des Zenites vom Aequator, wird die geographi- sclre Breite des Ortes M genannt und ist, wie leicbt zu berveisen ist, der Polbohe PH gleick. Wir werden diese Grosse in der Folge immer mit cp bezeiclinen. Die Erganzung der geographisehen Breite zu 90° oder der Bogen QB = PZ \vird Aequatorhohe genannt; diese Grosse vvird mit i/' bezeichnet werden; es ist also cp + ip = 90°, sin (p — cosi}i und coscp> = sinili. Im Svsteme des Horizontes sind die beiden Coordinaten ES — h oder die Hohe und EB — -ŽC EZB — co oder das Azimut des Gestirnes. (Das Wort Azimut ist arabischen Ursprungs und bedeutet so viel als Weg, Pfad.) Die Erganzung von ES zu 90° oder der Bogen ZS — z wird Zenitdistanz genannt Im Aequatorsysteme sind die beiden Coordinaten BS — d oder die Declination und J)Q = DPQ — A oder der Stundemvinkel des Gestirnes. Die Erganzung von DS zu 90° oder der Bogen PS = p wird Poldistanz genannt. Im spbarischen Dreiecke PZS sind also die Seiten PZ=i)0 — (p = y, PS = W — d=p, ZS = 90—h = z, die gegeniiberliegenden Winkel P SZ = C, PZS — 180—w, DPQ — A. Der Winkel C am Štern wird gewohnlich der parallaktische Winkel genannt. In jedem spharisehen Dreiecke ist nun, wie bekannt, cosa = cosbcosc-p -f- sin b sin c cos A und sin a sin B — sin b sin A; wenn man ferner bedenkt, dass sin (180 — w) = sinco und cos(180 — tu) = — cosio ist, so ergeben sich folgende Gleichungen: sin h = sin

, h , d auf die Zeitbestimmnng am geringsten wird, wenn sirno sein Maximum erreicht, oder fiii' oj = 90°, d. i. im ersten Verticalkreise. Man wird daher immer gut thun, im ersten Vertical oder wenigstens in der Nahe desselben zu messen, wenn man vermittelst dieser Methode die Zeit genau bestimmen will. Weil d A =-—, so wird ftir co = 90° oder im ersten Vertical d A = o. d. b. cos cp tg oj Fehler in cp werden bier auf die Zeitbestimmung ganz einflusslos bleiben; ferner ist einleuchtend, dass die Zeitbestimmung in sehr boben Breiten und bei Sternen mit grosser Deelination sehr ungiinstig ausfallen muss, weil sicli in diesen Fallen coscp und cos d ihrem Minimum nahern und der Betrag von d A immer grosser werden muss, wenn auch die Fehler in cp, li und d klein sind. Setzt man — — cos cp sin oj — o, so muss sin oj —o oder oj — o° oder dA ' 180° werden, d. h. die Hohen erreichen ihr Maximum und Minimum im Meri¬ dian, wo nemlich co = o° oder 180° ist, ein Satz, der scbon in der Einleitung ausgesprocben wurde, aber erst bier seine Begriindung gefunden hat; aus — = — coscp sin co sieht man auch, dass U/JL die Aenderungen in der Hoben- bevvegung in der Nahe des ersten Vertiealkreises am grossten sind, weil coscp sin co bier den grdsstmoglichen Wert bekommt. 3.) Eine andere, und zwar sehr vortheilhafte Methode der Zeitbestim¬ mung ist die vermittelst correspondirender Hohen. Zu diesem Ende messen wir vor- und nachmittags in gleicben Hohen und notiren dabei die Zeit an unserer Uhr. Vormittags, als die Sonne die Hohe h erreichte, zeigte die Uhr t, als sie nachmittags vvieder diese Hohe h passirte, notirten wir an der Uhr t ', wobei wir aber von 12* weiter zahlen 13*, 14* u. s. w. statt der gewohnlichen Zahlung 1*, 2* u. s. w. Wenn \vir unseren Beobachtungsort inzvvischen nicht verandert haben und auch die Deelination unveranderlich angenommen wird, so sind die Grossen cp, h, d, von denen allein die Grosse des Stundemvinkels abhangig ist, ftir beide Beobachtungen dieselben. Daher ist auch A dem abso¬ luten Werte nach nachmittags dasselbe wie es vormittags war, nur die Zeichen sind verschieden. Wenn nun auch x der Stand unserer Uhr eine constante Grosse ist, wie wir bei einer gut regulirten Uhr annehmen diirfen, so ist vormittags t =12 A~ 9 — A —x nachmittags t' = 12 + g + A — ,x daher ist t' t — 2 ~ 24 -J- 2g — 2 x 12 +• g — x t' —t t' —t 2 = 2 A — A Nach Nr. 1 dieses Abschnittes bezeichnet aber 12 +# — x — T den Augen- blick der Culmination, wie ihn unsere Uhr gibt; ohne also den Meridian zu kennen, sind \vir auf diese einfache Al t zur Kenntnis von T gelangt, und nicht 14 allein dies, \vir erfahren aueh den Stundenwinkel, der zur Hohe h, in der wir beobachtet, gehort, durch eine einfache Subtraction. Die Grossen h , d, deren Beschaffung oft grosse Muhe kostet, kommen gar nicht in die Rechnung, man braucht sie daher auch nicht zu kemien. nur so viel ist notkwendig, dass die beiden Hohen, in denen wir vor- und nacbmittags beobachten, gleich sind, der genaue Betrag derselben kan n uns aber auch unbekannt bleiben. Daraus erhellt, dass fur diesen Zweek ein Instrument luureicht, welches die Messung gleicher Hohen zulasst, im tibrigen aber sehr unvollkommen sein kann, so z. B. kann die Theilung des Kreises, auf dem die Hohen abgelesen werden, sehr ungenau sein, nur so viel ist nothig, dass man nacbmittags genau in dieselbe Hohe einzustellen im Stan de ist, in der man vormittags gemessen Hat. Fur die Be- diirfnisse des gewohnlichen Lebens geniigt der Sextant von Eble, nur wird es der grossern Genauigkeit wegen angezeigt sein, das Rossbaar mit einem langen Menschenhaare zu vertauschen, wobei naturlich dann auch das Blei verringert werden muss. Beispiel. Am 4. Oktober 1876 beobachtete der Verfasser in Gorz fol- gende Sonnenhohen am Sextant von Eble und notirte die folgenden Uhrzeiten: Das arithinetische Mittel aus allen t' -j- t betragt 23* 31’" 12", daher t —~- = 11* 45“ 36*. Die Zeitgleichung fUr diesen Tag betrug g = — 11“ 25*, u daher 12 + g — 1 V' 48“ 35”; ,r — 12 + g - --"t - = 2“ 59», die Uhr ging um so viel zu spat. 4.) Die Resultate, die wir auf diese Art erlangen, \verden bei den Sternen immer, bei der Sonne aber nur zur Zeit des Sommer- und Wintersolstit.iums genau sein, denn zu diesen beiden Zeiten iindert sich die Declination der Sonne einige Tage hindurch fast, gar nicht; ganz anders ist es um die Zeit der Aequinoctien, hier erreicht die Aenderung der Declination von einem Mil tag zum anderen ihr Maximum, vpelches heutzutage (1877) 23' 23" betragt, also beinahe 1' in einer Stunde. Aber auch in der Zeit, welche zwischen diesem Maximnm und Minimum liegt, sind die Aenderungen in der Declination der Sonne, von welcher unsere ganze Zeitbestimmung abhangt, so bedeutend, dass sie d ort, wo es sich um Genauigkeit handelt, nicht vernachlassiget vverden konnen. Wenn die Declination und daher auch der Tag {abuimmt w ‘ rc * * Sonne nachmittags in die correspondirende Hdhe treten, d. h. ftir gleiche q und h wird der Stundenwinkel nachmittags [ j' ausfallen,- als er vormittags war. Wenn vormittags zn der Hdhe h der Stunden\vinkel A und die Declination S gehorten, wird nachmittags zu ebenderselben Hdhe A' und A oder wenn die Declination wachst, im entgegen- gesetzten Falle negativ. Um diese Correction, oder wie sie von den Astro- nomen genannt wird, die Mittagsverbesserung, bereclmen zu konnen, mussten wir eigentlich A' und A kennen, was zwei selbstandige Rechnungen nach Forrnel 4.) der Einleitung kosten wurde, in denen beiden q> und h dieselben. was aber die Declination anlangt, miisste A’ mit d' und A mit d gerechnet werden. Um aber zweien langen und mit vielen Umstanden verbundenen Rechnungen auszuvveichen, wollen wir eine Forrnel ableiten, nach welcher * direct berechnet werden kann. Wegen der Kleinheit dieser Correc¬ tion wiirde uns die Differentialformel ^ . d d ta a — tgd cosA 7 .. d A — —-irr—, = - A-r - d d cosotgC smA geniigen, allein wir wollen diese Aufgabe auf elementarem Wege losen. Dieser Weg ist zwar etwas umstandlich, aber das Resultat, zu dem wir bei der nun folgenden Auseinandersetzung gelangen werden, diirfte uns fiir die gehabte Miihe entschadigen. Nach dem, was liber correspondirende Hohen friiher ge- sagt wurde, ist nemlich vormittags sin Ji — sin g. sin d + cos q cos S cos A nachmittags sin h = sin q sin cos cp cos d' cos A' 16 Wenn man die erste Gleichung mit cos d\ die zvveite mit cos d multi- plicirt, ist: sin li cos d' — sin q sin d cos d'-f- cos q cos d cos d'cos A sin li cos d = sin q cos d sin d'+ cos q cos d cos d'cos A' Durch beiderseitige Addition und Subtraction erhalt man: sin h (cos d'4- cos d) sin h (cos d'— cos d) sin q sin (d'-f- d) + cos q cos d cos d' ( cos A -f- cos A') sin q sin (d — d') + cos q cos d cos d' ( cos A — cos A'). Daraus ergibt sich . , d —j— d d - sm h c os —-— cos —- . d'+ d d'-(- d : sin q. sm —-— cos —-— A'~\~ A A'~ cos (p cos d cos 6'cos -—-— cos — ; . . . d'+d . d'—d sm h sm —-— sm —-— = : sm q> s m - — d d — d £ _ cos c/ cos d cos d' sin - — — sin —— 4 lL Der Unterschied in der Declination z\vischen der vor- und nachmittagigen Beobachtung d' — d ist eine nur kleine Grosse und betragt hochstens 7' bis 8', daher kann man cos (d' — d) = 1 setzen, um so mehr ist cos „ - — 1, A aus demselben Grunde kann mit gutem Gevvissen cos : A — 1 gesetzt werden; ferner ist cos d cos d' = 1 / s cos (d' — d) + V*cos (d' + d) = ‘/s + A- 1 l i cos (d’A-S)—cos' 2 ^-——. — Weiters ist zu beachten, dass eine Declination bedeutet, welche in der Mitte zwiscben beiden Beobachtungen liegt, also die Declination flir den Augenblick der Culmination ist; vvir wollen diese Declination fortan immer mit D bezeicbnen. Zuletzt ist noch der Umstand ^ eine aus der Beobachtung bestimmte A A zu beriicksicktigen, dass Grosse ist; wir wollen fortan der Kiirze halber A’ + A x setzen, wobei aber x in Bogen zu verwandeln ist. In Beriicksichtigung alles dessen geken die obigen zwei Formeln in folgende iiber: sin h cos D — sin q sin D cos D A- cos q cos 2 D cos c sin h sin D sin 2 d . . d'- — = sm q sm — 2 cosq cos 2 D sin c sin A'—A Aus der ersten dieser beiden Gleickungen ergibt sich unmittelbar sin h = sin cp sin D + cos q cos D cos x . d) A'—A n . . . d — d, . Die ziveite: sin —— (smq A sin h sin D) = cos q cos 2 D sin x sin ■ 2 17 bedarf uoch weiterer Vereinfachung; und zwar kann von liier aus ein doppelter Weg eingeschlagen werden; der erste und zugleich der langere bat folfende Pfade. Es ist nemlicb wieder im Sinne correspondirender Hobeu vormittags sin g = sin h sin d + cos h cos d cos C nachmittags sin cp — sin h sin d' -f- cos h cos d' cos C' Wenn man die erste Gleiehung mit cos d', die zweite mit cos d multipli- cirt, so ist sin c) cos d' = sin h sin d cos d'~j- cos h cos d cos d' cos C sin cp cos d ■= sin li cos d sin d'-j- cos h cos d cos d' cos C' Durch beiderseitige Addition erhalt man sin cp (cos d'-j- cos d) = sin h sin (d'-(- d) cos h cos d cos d' (cos C'- f- cos C) Wenn man nun ganz so wie oben verfahrt, so erhalt man, wenn man Q’ _ (J bedenkt, dass cos —— = 1 gesetzt werden kann, und der Kiirze halber C'+C —-— — v setzt: : sin h sin D + cos h cos I) cos v . sm cp : Ferner ist nacli den Gleichungen 2.) der Einleitung vormittags cos cp sin A = cos h sin C nachmittags cos sin A' = cos h sin C' Durcli beiderseitige Addition bekonunt man: cos h (sin C'+ sin C) cos q (sin A’-+- sin A) . A’+ A AA cos cp sm —-— cos . C+C C— = cos h sin —— - cos —— z z G 2 2 oder nacli den friiheren Voraussetzungen und Bezeichnungen cos q sin % — cos h sin v . y) Wenn wir nun in die obige Gleiehung fiir sinq —sinhsinD aus/9) und filr cos cp sin i aus y) substituiren, so erhalten wir . A’—a ,, . . r— s sm —— cos l) sin v = sm cos v, und daraus sin A'—A sm ■ ■ S) 2 cos 1) tg v Der zweite, kiirzere Weg, den wir ebenfalls betreten wollen, hat fol- genden Verlauf. Wir setzen in die obige Gleiehung, von der wir ausgegangen sind, statt sin li den Werth aus a), dann ist sin - (sin gj — sin cp sin ‘ 2 D — cos cp sin D cos D cos % — ■ .A —A = cos cp cos 2 L> sin % sin - 2 18 oder sin —-— (sin q cos D — cos q sin 1) cos r) — cos q cos 1) sin v sin —— und daraus . A'—A sin —— . 8 '— 8 tg q — ta I) ros % sin —-— • — A' _ A In den Gleichungen 8) und s) sind —--- - und sin v S'— 8 s ) 2 selir kleine Winkel, so dass man statt der Sinuse die Bogen setzen darf; es ist demnach A'—A 8'—8 1 _ 8'—8 tgrp — tg D cos x cos D tg c 2 Wird 2 8'—8 . 2 sin x 2 in Minuten, Sekunden des Bogens ausgedriickt, so konnnt A' _ a A! _ A aueh—-—in Minuten, Sekunden des Bogens; will man aber——— direct in Zeit erhalten, so muss durch 15 dividirt werden, nemlich: A'—A 8 ’— 8 1 8 '— 8 tg q — tg D cos t 30 30 cos Dtgv 30 sin x v rechnet man entweder aus Formel 4.) der Einleitung, wo man aber statt d die Culminationsdeclination D einfiihren muss, oder kiirzer aus der Formel/); in beiden Fallen braucht man einen wenigstens angenaherten Werth von c/. Da die Correction innner klein ausfallen wird, so schadet es nemlich nickt, wenn die eine oder die andere der zur Berechnung nothwendigen Grossen nur naherungsweise bekannt ist. — D und aucb die Differenz d' — d werden am besten den astronomischen Jahrbuchern entlehnt. Es muss aber festgehalten werden, dass D in den bier entwickelten Formeln die Culminationsdeclination und nicbt die Declination im mittleren Mittage bedeutet. Uebrigens, wenn uns die geographische Breite und der Meridian des Ortes schon bekannt sind, und wenn aucli nur naherungsweise, so konnen wir uns mit der Mittagshdhe der Sonne be- helfen. Zur Zeit der oberen Culmination ist nemlich, wie bekannt; immer A = 0°, setzt man diesen Werth in die Gleichung sin h — sin q sin č -f- cos q> cos 6 cos A und bezeichnet die Culminationsdeclination mit D und die Hohe mit H , so ist 90°— H — q> — D, vvoraus cos D = sin (Tj -f- H) folgt. — Mit Hilfe der Cul- minationshohen konnen wir im schlimmsten Falle aucb ( d' — d) ermitteln. Wir messen zu diesem Behufe aucli tagsvorher und tagsnachher die Culminations- hohen und haben auf diese Art, wenn das Wetter uns begiinstiget, fiir drei Tage liintereinander die Culminationshohen H ± . H und H s . Wenn die entsprechen- den Culminationsdeclinationen mit I) 1 , D und l) ?t bezeichnet werden, so ist zu Mittag (wahren) des ersten Tages A = 9' + A — 90 = zweiten = 1) — qi + 11 — 90 Tag der Beobachtung - dritten - 1\ = q -j- H 3 — 90 19 Mittag betragt Der Unterschied in der Declination zvvischen dem ersten und zvveiten also D — 1) 1 — H — H 1 . Der Unterschied zvvisclien dem zweiten und dritten Mittag betragt ebenso I)- 3 — D = II 3 — II. Als Decli- nationsunterschied von Mitternacht bis Mitternacht des Beobachtungstages wird man nun ain zvveckmassigsten das Mittel aus den beiden Unterschieden nehmen, nemlich D a —D 1 H,-H, dieser Unterschied AS — 2 ih - A Ftir eine Stunde des Tages betragt Ha — Hi nachmittagigen Beobachtung 48* 48* sind aber t'—t Stunden veriiossen, Zvvischen der vor- und daher ist s —± n v 30 720 cos D tg v 720 sim y 1 J ’ Hiemit ist dieser Theil unserer Aufgabe vollstandig gelost; man hat daher ftir den Augenblick der Culmination, wie ihn unsere Uhr gibt, , 0 . t -\- t (®8- ®l) t 12 -\-g—x,= — t'A- t __ (®3— ® t )T ( 2 720 sin t T 720 cos D tg v (tg g — tg D gost). Sind mehrere Beobachtungen gemacht worden, wie dies immer zu em- pfehlen ist, so berechnet man die Correction ftir die mittlere Hohe und bringt dieselbe an das arithmetisehe Mittel aus allen an, wobei die erste Formel am besten dienen wird; oder man nimmt aus allen — das aritlime- tische Mittel und rechnet ftir diese Zeit die Correction, wozu sich die zvveite Formel mehr eignen wird, weil die zu dieser Mittelzeit gehorige Hohe nicht in Betracht kommt. Als Beispiel mdge das in Nr. 3 gegebene dienen, vvo wir die Aenderung der Declination in der Zvvischenzeit vernachlassiget haben, und dennoch ist dieselbe im Oktober ziemlich gross. Dort haben wir sechs Beobachtungen, 2 * 20 uncl wenn wir clie Correction nach d c v ersten Formel rechnen, so interpoliren wir als mittlere Beobaclitung die mit Hohe und t' — t = 5* 22“ 58*. Dami ist -c = 2* 41“ 29* = 2-6914* — 40° 22' 15". — Die Declination zur Cul- minationszeit betragt fiir den 4. Oktober 187(5 nach dem Berliner astronomi- schen Jahrbuche D— — 4° 34' 14/5". Vor allem rechnet man v aus der Formel y) Ig cos q ----- 9-8422874 Die Culmin.-Declination fiir den Ig sin t = 9-8113955 5. Oktober 1876 war D z = — 4° 57' 2D4' 9-6536829 3. = * » A = — 4° 11' 43" Ig cos h — 9 - 9454298 D s — l) x =— 46' 17‘1” = — 2777-1" Ig sin v = 9‘7082531 48* + g 3 — g x = 48* — 11“ 43‘42* -+ 11“ 7‘32* = v = 30° 43' 2-3" = 48* — 36 1" = 47* 59” 23'9* = 47'99* Anstatt des Coefficienten 720 im Nenner miissen wir nun in aller Strenge nehmen 15 X 47-99 = 719-85. Hatten wir die Declinationen im mit tl er en Mittag des 5. und 3. Oktober in Rechnung gebracht, so wiirde 720 im Nenner stehen bleiben konnen. Ig (D 3 — D x ) = 3-4435915“ Ig 719-85 = 2-8572420 Igr = 0-4299782 l 9 A —A 30 3-8735697” 2-6297657 1-2438040«' Ig cos I) Ig tg v 9-9986166 9-7739071 2^6297657 A'- A 30 — 17-53* T = V2+9 — Uh 45 m 36 » _|_ 17 ' 5 » ■_ 12 + g = 11 * 11* 45" 48“ 53-5* 35 s geht also um 2“ 4F5* zu x = + 2“ 41-5* spat. — Die Correction — 17’53* kam des Bogens ausgedriickt ist. Die Ulir in Sekunden, weil aucb (]) 3 — D x ) in Sekunden Hatten wir im Nenner 720 gelassen, so ware— 17-527* zum Vorschein ge- kommen; es war also unsere Genauigkeit iiberflussig. 5.) Wollte man Nachmittagsbeobacbtungen mit den Morgeubeobachtungen des nachsten Tages verbinden, was man wegen der Laune des Wetters zu thun mitunter in die Lage kommt, so muss man die Mitternachtsverbesserung berechnen. Dies geschieht ganz nach der obigen Formel, nur muss die De¬ clination und Zeitgleichung fiir Mitternacht durch Rechnung ermittelt und statt der Factor eingefuhrt vverden, d. h. man muss, wie sich dies 48 24 von selbst versteht, J d aus der Declinationsdifferenz der beiden die Beob- achtungen einschliessenden Mittage herleiten. Wenn daher T, g, 1) Grossen simi, die sich auf die Mitternacht beziehen, so hat man t -j— t — ^1) c 12* -f- g — x — t'A~ t (® 2 — 360 cos Dtg v 2 2 21 Hiebei sind t Nachmittagsbeobachtungen, t' Morgenbeobacbtungeii des nacbsten Tages, wo man aber statt 6'', l h u. a. w. zahlen muss 18'*, 19* u. s. w. t bedeutet die balbe Zwischenzeit, wie oben. 6.) Jetzt konnen wir die in Nr. 2 dieses Abschnittes gestellte Aufgabe, nemlich aus einer einzelnen gemessenen Hohe den dazu gehorigen Stunden- winkel zu bereclinen, mit Hilfe der Culminatioilsdeclination der Sonne allein losen, ohne erst die Declination zu suchen, die zur betreffenden Hohe gekort, was immer mit der Sch\vierigkeit verbunden ist, dass man, wenn der Stand der Uhr noch nicht bekannt ist, vielmehr erst gefunden werden soli, sicli zuerst mit einer annahernden Declination begniigen muss und erst nach \vieder- holter Rechnung zu einem richtigen Resultate gelangt. Verbinden wir aber eine beliebige Sonnenhohe mit der Culminationsdeclination i>, so erkalten wir aus der Formel a) sin h = sincp sin D + cos q cos D cost, der wir ftir logarith- mische Rechnung die Form 4.) der Einleitung geben konnen (nur muss D A'A- A statt d gesetzt werden), den Stundenvvinkel t == — ; *" * wenu ™' nun auch die zur betreffenden Hohe gehorige Correction ^ ^ berechnen, so be- lcommen wir dann A und A', zwei Stundemvinkel, vvovon der eine A dem Vormittage, der andere A' dem Nachinittage angehort; das weitere Verfahren ist wie oben in Nr. 2. Als Beispiel nehmen wir das ebendaselbst angefiihrte wieder vor. Die Culminationsdeclination ftir den 3. Juni 1877 betrug nach dem Berliner astronomischen Jahrbuche D = 22° 21' 52-6". Die Rechnung steht nun so: ip — 44° 3' 57” Ig cos s h — 22 13 40 Ig sin (s — h) D = 22 21 52'6 2s = 88 39 29-6 s = 44 19 44'8 s — yj = 0 15 47 '8 Ig tg * s — h = 22 6 4-8 s — D = 21 57 52-2 Ig sin (s — h) — 9'5754717 Ig sin {s- — D) = 9‘5729088 9H483805 = 9-8545112 lgcos(s~ip) = 9-9999954 = 9-5754717 Ig sin (s — D) — 9'5729088 9-4299829 9-5729042 9-5729042 9-8570787 = 9-9285394, = 40° 18' 26-23” — T = 80° 36' 52-46” = = 5* 22 m 27'5 S = 5-3743^ Ig cos s — 9-8545112 Ig cos (s — xp) — 9-9999954 ffššišoee 9'8545066 9-2938739 Ig tg V - = 941469369 A Decl. 2. Juni A = 22° 14' 25-1” 4 . s A — 22 28 56-7 /) 3 I) t = -F- 14' 3To" == 871-6" = 23° 55’ 9-84" v = 47° 50’ 19-68” 22 Ig A - A = 2-9403172 Ig 720 = 2-8573325 ^'+^ = Ig % === 0*7303219 /r/eos/l — 'D9660390 2 lgtyv = 0-0431060 A '— A _ 2 AL'—A 2 3-6706391 2-8664775 6'37" 2-8664775 0-8041616 = Ig 6*37 J' = 5" 22“ 33-87" .4 = 5'* 22“ 21-13" Hatten wir nachmittags in ebenderselben Hohe gemessen, so \viirde als Stundenwinkel 5* 22“ 33‘87" zum Vorsckein kommen. Wollte man jetzt die zu beiden Stundenwinkeln gehbrige Declination d' und d berechnen, so ist d = 22° 21' 52-6" d' = 22° 21' 52'6" Allgemein ist 6 = D 871-6” 48 ” 871-6” 48” A = 22° 20' 15" A' — 22° 23'30-2" d'+d — D = 22° 21'52-6" A A a d' = D + A A A' 48 * 48 * woi und A' in Stunden ausgedriickt sind, da im Nenner ebenfalls 48* stebt. Daraus folgt ^+d = D + A ■A 4'—A d'—d 48* A — A ~f~ A ( A —A ) T 48 ' 2 ~ 48 Indem wir in der obigen Auseinandersetzung in Nr. 4 mit D ver- A tausckten, baben wir mithin in der Declination einen Fehler im Betrage von d'+d — 1 ) A —A A'—A 2 48 2 Nenner im Ausdrucke rechts, damit A' i \ mit 60 2 == 3600", so ist -A— — begangen. Multipliciren wir Zahler und _^4 in Sekunden der Zeit ersckeint, 2 I) = ih ' A A’~ 172800 In unserem Beispiele ist (A — A) = 87D6", Ig (D, — A j = 2-9403172 d'-f-d _ Ig —— = 0-8041602 2 2 A '— A 2 6'37", daher D = 00321” Ig 172800 3-7444774 5-2375437 8-5069337 = Ig 0-0321" Obwol demnach die Zwischenzeit 2 t= 10-7486* betragt, so ist dennoch die mit dem Stundemvinkel t verbundene Culminationsdeclination nocb eine in den Zehnteln der Bogensekunde richtig angenommene Declination. 23 Correction Weil ( D s — Dj) und (A '— .-1) immer gleicb bezeicbuet sind, so ist die A -A A’ _ ^ j ^ - stets positiv, daher immer ——— >> D. Indem A A 172800 wir also die Culminationsdeclination mit dem Stundemvinkel der balben Zwi- schenzeit verbinden, rechnen wir stets mit einer zu kleinen Declination. Um- gekebrt wird die nacb dieser Metbode berecbnete Declination immer etvvas grosser ausfallen, als die Culminationsdeclination, und bedarf streng genommen nocb einer Correction, deren Ausdruck oben gegeben ist. II. Abschnitt. Bestimmung der Zeit und des Meridians. Fiir den Augenblick der oberen Culmination eines Gestirnes, dessen Deelination kleiner als die geographische Breite ist, betragt nieht nur der Stundemvinkel, sondern auch das Azimut und der parallactiscbe Winkel C desselben 0°, was schon die Figur lehrt und \vas sich auch aus den Formeln in 1.) der Einleitung erweisen lasst. Daher gibt das Azimut eines Sternes im Momente der oberen Culmination den Meridian an, oder in unserer Figur den Punkt B. Wenn man daher fiir irgend einen Tag den Augenblick der Sonnen- culmination T= 12 g — x ermittelt bat, oder mit anderen Worten, wenn x, der Stand unserer Uhr, aus Messungen friiherer Tage bereits hekannt ist, so lasst sich T im voraus berechnen, und man braucht nur an der anfangs envahnten Holz- oder Steinplatte das Ende des Schattens, den der Faden im Augenblicke T wirft, zu bezeichnen und diesen Punkt H (denn der Scliatten fallt gegen Norden) mit dem Fusspunkte des am Faden hiingenden Bleies zu verbinden, um die Mittagslinie zu erhalten. Diese Linie HO ist danil jedeu sonnigen Tag im Momente, als die Sonne durch den Meridian des Ortes geht, vom Fadenscliatten bedeckt und zeigt uns den wahren Mittag an. Ist aber einmal die Mittagslinie lixirt, so kann man umgekehrt an jedem sonnigen Mittag den Betrag der Grosse T=12 + ^ — x erfahren, wenn man einfach den Augenblick des Durchganges des Fadenschattens durch die Mittagslinie an seiner Uhr notirt; ist nun auch g , d. i. der Unterschied zvvischen dem wahren und mittleren Mittag, bekannt, so erfahrt man aus obiger Gleichung mit Leichtigkeit x , den Stand der Uhr. Zieht man auf die Mittagslinie eine Senkrechte, so hat man auch den Ost- und Westpuukt. Auf diese Art sind die vier Himmelsgegenden auf der Platte genau bezeichnet und die sogenannte Windrose nun leicht zu vervollstandigen. — Will man den Meridian am Him- melsgewolbe schauen und die Culmination der Gestirne wenigstens beilaufig beobachten, so hiinge man iiber einem beliebigen Punkte der Mittagslinie, docli in ziemlicher Entfernung vom ersten, noch einen zweiten Faden auf, besckwere ihn ebenfalls wegen gehoriger Spannung mit einem Blei und lasse die Spitze des letzteren genau in die Mittagslinie einspielen. Man bringe nun 25 beide Faden zur Ruhe, steli e sich mit dem Auge so. dass ein Fadeu den anderen deckt, und erhebe den Blick zum Himmelsgewolbe, so wird man den Meridian seines Ortes am Himmel schauen. Wer in seiner Wohnung ein Fenster mit siidlicher Lage besitzt, kann mit einiger Miihe alles dies be\verkstelligen. Fine grosse Genauigkeit lasst dies Verfahren selbstverstandlich nieht zu, indessen, wer mit Sorgfalt zu "VVerke geht, darf versichert sein, dass er in der Zeitbestimmung nie einen Feliler liber 10" begeben wird; auch darf man behaupten, dass ein iiber der Mittagslinie aufgehangtes Gnomon bessere und zuverlassigere Dienste leistet, als die beste Sonnenuhr. Mit einer ungleich grosseren Scharfe lasst sich der Punkt R und der Meridian mit Hilfe des Theodoliten bestimmen. Hier schauen wir den Meri¬ dian unseres Ortes, wenn wir dem Fernrohre eine solche Lage geben, dass das Fadenkreuz desselben bei jeder verticalen Bewegung in der Ebene PZQRpH bleibt. Wie tindet man aber R und diese Lage iiberhaupt? Denken wir uns den Theodolit gut rectificirt, unter mehreren (2, 4) Nonien des inneren horizontalen Kreises haben wir uns Einen ansgewahlt und die Nulle desselben genau auf die Nulle des ausseren Kreises oder Limbuš gestellt; wir schliessen nun mit Hilfe der Schraube beide Kreise aneinander und bringen durcli ent- sprechende Bevvegung das Fadenkreuz in genaue Beriihrung mit einem scharf begrenzten Objecte, z. B. mit einem Kreuze oder einem Blitzableiter an welchem Gebaude, welches aber nicht zu na-he, aber auch niclit zu entfernt sein soli von unserem Beobachtungsorte. In dieser Lage wird nun der Limbuš fest- geklemmt, der innere Kreis aber losgeschraubt, damit er nun beliebig gedreht werden kann. Der Limbuš stellt uns die Ebene HERie der Figur oder den Horizont vor, dessen Sudpunkt R wir bestimmen miissen, wenn wir zur Kenut- nis des Meridians gelangen vvollen. Weil wir in der Ebene des Horizontes messen, so haben wir es mit dem Azimute zu tlmn; dieses wird wie der Stundemvinkel von 0° bis 360° gezahlt, wie die Theilung des Limbuš dies von selbst besagt, so dass im Momente der oberen Culmination der Gestirne ihr Azimut genau 360° oder 0° betragt; flir eine andere Zeit ist der Winkel w, mit welchem Buchstaben wir oben das Azimut bezeichnet haben, entweder positiv oder negativ, je nachdem das Gestirn die obere Culmination bereits iiber- schritten oder dieselbe noch nicht erreicht hat, denn vor dieser Culmination kann man statt 360 — oj auch einfach sagen — co, mit einem Worte, die Sache verhalt sich gerade so, wie beim Stunden\vinkel, nur dass letzterer in der Ebene des Aequators gemessen wird. Wiirde also unser Object genau in der Verlangerung der OR gegen Siiden stehen, so wiirden wir am Limbuš im Augenblicke der oberen Culmination eines Gestirnes, das wir mit dem Fadenkreuze verfolgen, genau 360° oder 0° lesen; weil aber das Object wahr- scheinlich diese Lage nicht besitzt, so betrage dessen Abweichung von dieser Richtung oder vom Meridian y (° ' ")• Liegt das Object gegen Osten, so be¬ tragt also dessen Azimut im Sinne der tagliehen Bewegung der Gestirne 360 — y oder einfach — y, liegt es gegen Westen, so ist y positiv. Im Augenblicke 26 der oberen Culmination eines Gestirnes vverden wir mithin am Limbuš 360 — ij ablesen, wo y positiv oder negativ sein kann, je nacbdem das Object gegen Westen oder Osten liegt, und diese Lesung werden wir stets aufsucben, so oft wir im Meridian beobachten wollen. Unsere Aufgabe lasst sich daher aucb so aussprechen: Wie findet man y, das Azimut eines irdischen Objectes? Nehmen wir an, wir hatten zur Zeit t, wo der Mittelpunkt der Sonne die Hohe h erreicbte (sieh Nr. 2 im I. Abschn.), audi am Limbuš abgelesen und den Betrag der Lesung = u gefunden, so wird, wenn co das zu dieser Hohe geborige Azimut der Sonne bedeutet, u — 360 — y + co, wo co positiv oder negativ ist, je nachdem nach oder vor der Culmination gemessen wurde, daraus ergibt sich ij = 360 + «— u. Im oben angefiihrten Falle vvurde in der That auch am Limbuš abgelesen und mit Hilfe des Nonius die Lesung u = 204° 10' 25" gefunden. Wenn man nun das zur Hohe 22° 13' 40" gehorige Azimut rechnet, so ist nach Formel 4.) der Einleitung und den im gegebenen Beispiele augefiihrten Daten: Ig cos (s — \p) = 9‘9999959 Ig sin (s — h) — 9-5752185 9-5752144 9-4277750 0-1474394 Ifjtg~ = 0-0737197 Ig cos s — 9-8546115 Ig sin (s — d) = 9’5731635 9-4277750 ~ — — 49° 50' 22-83" co = — 99° 40' 45-66" Weil die Messung vor der Culmination gemacht vvurde, so ist co negativ, man hat daher g = 360 — 99° 40' 45-7"— 204° 10' 25" = 360° — 303° 51' 10-7" = = 56° 8' 49-3” Weil ij positiv gekommen ist, so liegt das Object um so viel vvestlich vom Meridian oder hat 56° 8' 49’3" vvestliches Azimut. Die Lesung fiir den Sudpunkt 360 — y — 303° 51' 10-7". Es bleibt uns hier noch die Frage zu erortern, vvelchen Einlluss Fehler in cp, h , d auf co ausiiben. Wenn vvir in der Gleichung sin d = sin q sin h — — cos cp cos h cos at die genannten drei Grossen als unabhangig, co aber als die abhangig Veriinderliche annehmen, so ist dd — cos C dh — cos Adcp _ dS cos cp sin A cos C dh — cos A d o/ cos h sin C in unserem Beispiele deo = 1-457 dd — 0-978 dh — 0’238 dtp. Im Allgemeinen sieht man, dass der Einfluss der Fehler in cf, h, d auf co am geringsten vvird, vvenn sin A sein Maximum erreicht; dies ist der Fali um 6 A + g, wo A = 90° ist. Fehler in cp vverden hier ganz einflusslos. Auch ist ersichtlich, dass die Bestimmung des Azimutes in sehr hohen Breiten und grossen Hohen ungiinstig vvird, vveil sich da cosep und cos h ihrem Minimum n v nahern. Aus der Differentialformel — G0S — cos C (sieh III. Abschn. Nr. 2) d A cos Ji v ' 27 ersielit man, dass clie Bewegung im Azimute um die Zeit der Culmination, wo sich cos C seinem Maximum nahert, am grossten wird; diese schnelle Be- wegung ist der Grund, warum die Beobachtung des Durchganges des Faden- schattens durch die Mittagslinie einer gewissen Genauigkeit fahig ist und das Gnomon ein selir annehmbares Mittel zur Zeitbestimmung wird. 2.) Die Metliode der correspondirenden Hohen \vird sich wie bei der Zeitbestimmung auch hier mit Vortheil anwenden lassen. Wenn wir nemlich wie dort vor- und nachmittags in gleiehen Hohen beobaehten und die vormit- tagige Lesung am Limbuš mit u, die nachmittagige mit u' bezeicbnen, so ist fiir constante g, /j, d' vormittags u — 360 — y — to nachmittags ' u' — 360 — y + to u —f- u = 720 — 2 y u -f- u 360 u' — u = 2 to u — u Auf diese Weise erhalt man nicht nur die Lesung fiir den Siidpunkt und das Azimut des Objectes, sondern auch das Azimut fiir die betreftende Hobe. 3.) Fiir Sterne ist diese Reehnung immer genau, und auch fiir die Sonne zur Zeit des Sommer- und Wintersolstitiums, aus Griinden, wie sie oben an- gefiihrt worden sind; zu anderen Zeiten des Jahres aber bat die Aenderung der Declination in der Zwischenzeit denselben Einflušs, wie bei der Zeit¬ bestimmung, und weil wir es hier mit Bogen und nicht mit Zeit zu thun liaben, so wird dieser Einfluss desto fiihlbarer. Wenn zur vonnittagigen Hohe h die Grossen w und d gehoren, so werden bei ebenderselben nachmittagigen Hohe diese Grossen to' und d' sein. Es ist daher vormittags u = 360 — y — to nachmittags u = 360 — y -f- to' m' -j- u — 720 — 2 y + to' — w u '— u = to' -j- to u' -4- u to' — to u' — u _ to -f- to 2 = «60 — y H 2 “2 2 Die Lesung fiir den Siidpunkt: 360 — y u' + u to — to 2 2 ' Der Fehler, den wir begehen, wenn wir die Aenderung der Declination . Dieser Ausdruck to — to in der Zwischenzeit vernachlassigen, betragt daher ist positiv, wenn die Declination wachst, negativ, wenn sie abnimmt. Wegen der Kleinheit der Correction — co ... . u -j— u , . , , —, die wir an —-— anzubrmgen haben, 2 ’ . 2 wurde uns zur Berechnung derselben die oben angefiihrte Differentialform dd dd d to cos q> sin A cos li sin C 28 geniigen, doch wir wolleu aueh hier den elementaren Weg einsehlagen, vveil wir Nebenzwecke verfolgen; nnd zwar ist: vormittags sin d = sin cp sin Ji — cos cp cos Ji cos 10 nachmittags sin d' == sin cp sin Ji — cos cp cos Ji cos to' Durch beiderseitige Addition und Subtraction bekommt man sin d' -(- 'sin d — 2 sin cp sin Ji — cos cp cos Ji (cos co cos co') sin d' — sin d = cos cp cos Ji (cos co — cos co') Daraus ergibt sich . d'+ d d'— d 1 nno _—— rr\ q*m. n /v»v rr /viv n. rns ^ sm ■ d 6'- ~2 C0S 2 ~ sin cp sin Ji , co' -4- co co' cos cp cos h COS —— - cos d'4- d . d'— d 7 . co' -)- co . co’ — co cos —-■— sm —-— = cos cp cos h sm —— sm —-— cos Setzt man wie oben co' 2 d’+d S' č = I). der Culminationsdeclination, cos ——— 1, — co i co —I— co u —u i -— = 1, und der Kiirze halber —-— = d- — —t— so erhalt man 2 2 ^ cos cp cos Ji cos & .£) co’ — co s in D = sin cp sin Ji n • d , . ( . cos D sm —-— = cos r/ cos h sm ir sm 2 1 - 2 Aus den Gleicbungen a), /3) in Nr. 4 des I. Abschnittes und C) in dieser Nununer ergeben sich aber, wie in der Einleitung be\viesen wurde, nothwendiger Weise die folgenden drei Gleicbungen: cos cp sin t = cos Ji sin v } cos j D sin t = cos Ji sin & i.2*) cos cp sin = cos D sin v J von denen die erste schon oben unter y) entwickelt wurde. Substituirt man nun oben entweder fiir cosJisind- oder fur cos cp sin & die Wertbe aus 2*), so wird d'—d sm - co co sm - sm d'—d Wegen der Kleinbeit der Winkel cos cp sm t co' - cos Ji sin v d 2 co d — und - co — ut ~~ 2 ~ 2 d'— d d"— d 2 _ 2 cos cp sin t cos Ji sin v kann man sebreiben Wenn wir den in Nr. 4 des I. Abschnittes fiir hier einsetzen, so ist co '— CO 2 d'— d gefundenen Werth (5D 3 — Ž)Q X _ (® 3 —g)Q T 48 cos cp sin r 48 cos Ji sin v 29 Die Lesung fiir den Siidpunkt lautet demnach _ u + u (%— % oOU - y - -„- 75 - : - 2 48 cos cp sm c w'+ u _ (S ) 3 — x 2 48 cos h sin v Hatte man die Zeit der Beobachtung nicht notirt, so findet man c aus cos li/ der Gleichung sin % — sin ti, so dass man den Meridian audi ohne Hilfe der Uhr bestimmen kann. Wenn ® 3 — in Minuten, Sekunden ausgedriickt ist, so kommt audi in Minuten, Sekunden. Sind mehrere Beobachtungen gemacht vvorden, so ninnnt man aus allen ^ das Mittel und reehnet die Correction fiir die in der Mitte liegende Beobachtung, oder wenn die Uhrzeiten der einzelnen Beobachtungen notirt worden sind, so nimmt man das Mittel aus allen — t ' — t 2 = t und reehnet die Correction fiir diese Mittel- zeit nach der ersten Formel; c muss in Stunden ausgedruckt sein, weil auch im Nenner 48* steht. Es leuchtet vou selbst ein, dass die Beobachtungen so nahe als moglich aufeinander folgen sollen. Bevor wir uns aber zu einem praktischen Beispiele wenden, miissen wir etvvas iiber die Beobachtungsmethode sagen. Es ist nemlich bekannt, dass alle astronomischen Rechnungen und Angaben nur fiir den Mittelpunkt der Himmelskorper gelten. Bei der Sonne aber, deren scheinbarer Durchmesser bei 32' betragt, kann man mit einem Instrumente, wie es der Theodolit ist, nicht unmittelbar den Mittelpunkt messen, \veil wir uns mit dem blossen Auge nie hinlanglich versichern konnen, ob das Fadenkreuz genau im Mittelpunkte der Sonnenscheibe steht oder nicht. Wir konnen uns aber so helfen, dass wir, sobald sich ein Rand der Sonne dem horizontalen Faden nahert. den verticalen so gut als es angeht in der Mitte der Scheibe zu erhalten suchen, was mit Hilfe der Mikrometerschraube allerdings geschehen kann, so dass dann die Beriihrung mit dem horizontalen Faden allemal im Fadenkreuz er- folgt. Auf diese Art ist das Azimut unmittelbar getroffen (Fehler, die liier sehr leicht gemacht werden, miissen durcli eine grossere Anzahl von Be¬ obachtungen ausgeglichen werden); was aber die Hohen anlangt, die zu den einzelnen Momenten der Beriihrung gehoren, so ist von der Hohe h , auf welche die Nulle des Nonius am Hohenkreise eingestellt ist, der Sonnen- halbmesser q entweder abzuziehen oder hinzuzufiigen, je nachdem die Be- riihrung im umgekehrt zeigenden Fernrohre ober- oder unterhalb des horizon¬ talen Fadens erfolgt ist, An die Hohe h + q ist dann noch die Correction wegen Refraction und Parallaxe anzubringen. In der Nahe des ersten Ver- ticals, wo die Hbhenbewegung der Gestirne sehr rasch ist, kann man mit Vor- theil bei einer Holienstellung zwei Sonnenbeobachtungen machen, indem man sowol den Eintritt in den horizontalen Faden als auch den Austritt aus dem- 30 selben notirt. Beobachtet man vormittags, so ist die zum Eintritte gehorige Hohe h — die zum Austritt h + q ; nachmittags ist es gerade umgekehrt, so dass bei der nemlichen Hohenstellung der vormittagige j Austritt / dem nachmittagigen { Eintritt } correspondirt. Als Beispiel mogen die Beobachtungen dienen, die der Verfasser am 3. Juni 1877 zu Gorz auf der kleinen Sternwarte des dortigen k. k. Gymna- siums an einem Theodoliten anstellte (leider \var die dabei venvendete Uhr unzuverlassig, daher die Uhrzeiten corrigirt vverden mussten und nur des Beispiels halber da stehen konnen). Limbuš (die Holien in derselben Reihenfolge wie oben) 31 Das arithmetische Mittel aus allen t'+t t'+t betragt 23* 54™ 5-5», also - = 11* 57"* 2.75", A aus allen t'—t t- betragt es 5* 25“ 12" = 81° 18' O" = 5'42 , ‘ und aus allen «'+ m betragt es 706° 48' 13", also = 303° 54' 6-5" Fiir die beiden Grossen ^ und Y i( . welche von den Astronomen A A der unverbesserte Mittag genannt werden, miissen wir nun die Correction berechnen. Nacb dem Berliner astron. Jabrbucbe war fiir den 3. Juni 1877 D — 22° 21' 52-6", die Zeitgleicbung g — — 2“ 7-48", D 3 — D x — 871-6", ausserdem ist cp = 45° 56' 3" IgtgD — 9-6143148 tgBcosi = 0-062236 IgcoST = 9-1797265 tg q> — 1-03315 IgtgD cost = 8-7940413 Ig 720 = 2-8573325 Ig sin t — 9-9949740 2-8523065 tg cp — tgDcosr = 0-970914 Ig 0-970914 = 9-9871808 Ig D a — D x = 2-9403172 Igr = 0-7339993 Mt A '— A T — 12 -\- g — x = 12 + g = 2 11* 57“ 2-75" 3-6614973 2-8523065 = 0-8091908 = Ig 6'4445". 6-44" = 11* 56“ 56-31, 11 57 52-52 die Uhr geht um so viel zu spat. + 56-21", Ig D s — D x = 2-9403172 Igr = 0-7339993 3-6743165 , 1-5185026 Ig ------ = 2.1558139 = A Ig 48 = 1-6812412 Ig cos

> wird stets klein bleiben. So wird man das Azimut des Polarsterns fiir jeden Stundenwinkel mit grosster Sicherheit recknen, und man tkut daker nicht gut, wenn man bei Breitenbestimmungen aus den Beobachtungen des Polarsterns dem Azimut so angstlick aus dem Wege geht, wie es bisker nock immer gescliieht, die Rechnung wird deswegen um nickts richtiger, dafiir aber um vieles langer und umstandlicher. Die Beobachtungen, mbgen sie nun am Spiegelsextant oder am Tiieodolit gemackt vvorden sein, -fferden aber immer mit geivissen Feklern, die von der 3 * 36 Unvollkommenheit unserer Sinne herriihren, behaftet sein (denn von anderen Fehlern, die etwa in der Aufstellung oder Mangelhaftigkeit des Instrumentes ihren Grund haben, soli bier nicbt die Rede sein); man wird das Resulsat, \velches eine einzige Beobachtung liefert, nie fiir hinlanglich zuverlassig balten konnen, sondern man wird die Beobacbtungen vervielfaltigen und das aritb- metiscbe Mittel aus allen Resultaten als eine der Wahrheit am meisten ent- sprechende Grosse annehmen. Weil aber die Berechnung der gesucbten Grosse aus den einzelnen Beobacbtungen oft sebr umstandlicb ware, na- mentlicb wenn die Zahl derselben gross ist, so ziebt man lieber eine Reibe unmittelbar aufeinanderfolgender Beobacbtungen in eine einzige zusammen. Hat man z. B. bei den Beobacbtungen vennittelst des Spiegelsextanten meb- rere Stundenvvinkel i \. r 2 , r 3 , . . r n und die entsprechenden Hohen h t . h 2 , h d , . . h n notirt, so nimmt man das arithmetische Mittel aus allen Zeiten, also 6 + r S + *8 + und sucbt die zu dieser Mittelzeit r gehorige Hohe h. Diese Hbhe h kann als eine Function von u betracbtet vverden, also h — f( V), und so gilt fiir eine jede einzelne Beobachtung h t = /’(r 1 ), h 2 = f(r 2 ). h 3 = f(r s ). h„ = f(r„). Man kann dies auch so schreiben: \ — f(r +•K = f( T + 'G— ih h 3 — + t s—"*),. h n = f(r -f- tn f(% + Tj— C) v). Nach dem Satze von Taylor ist aber f(?) + df(x) d r 1 (n— x ) + d 2 f(r) (Tj— t) 2 d v 2 + oder h j h -R h 2 — h + h 3 — h + d h d i d 2 h (tj — r) 2 t dY 2 ~ r - + d h d x (;t 2 —t) d 2 h (t 2 — r) 2 dr 2 2 d h d % (Fs—- v) + d 2 h di 2 — 2- + K — h + d - ( t „— t) Durcb Addition erhalt man d 2 h (v„ — t) 2 dr 2 2 ' hi + ^2 + h 3 H ■ • I h n 7 ,dh d 2 li 71 Ji —j— 7 — Jb /1 T -j— -=—- ^ T* Z/It 2 + d t ~ “ 1 d t 2 2 \vobei der Kiirze halber Z die Summe der einzelnen Differenzen At und der Quadrate derselben At 2 bezeicknet, also Z A t — (r 1 t) (t 2 t) -j- (t 3 —• t) -f- . . -)- (r n — t) — t x -J- t 2 -j- t 3 -f- + • . + T n — m ZAt 2 = K—i)*+ (t 2 —t) 2 + (*,— *)* + . . + (;c n ~T) 2 Unserer Voraussetzung gemass ist aber Z A t = O, daher verscbwindet das betreffende Glied und man hat h \ + h 2 -f- h 3 -j - . . h n n d 2 h Z A t 2 d t 2 2 n Dieser Ausdruck fur h sagt, dass das arithmetische Mittel aus allen d 2 h JZ z/ t 2 beobachteten Hobeii noch einer Correction — -=—= . —— bedarf. um jener ar 2 n Mittelzeit t als Hoke dienen zu konnen. Ebenso iverden wir bei den Be- obachtungen am Theodolit sagen. dass das arithmetische Mittel aus allen C ? 2 trn* z/ f 2 “ bedarf, um der Mittelzeit r Azimuten noch einer Correction d t 2 2 n als Azimut dienen zu konnen, so dass ti = + ^8 • • + > 9 7i d 2 ti d T* ZJt 2 2 n Es handelt sich nun darum, die Werthe der beiden Differentialquotienten d 2 li d 2 ti und zu ermitteln. Den ersteren tindet man aus der Grundgleichung dr 2 d t 2 sin h = sin cp sin D -f- cos cp cos D cos r d h _ cos (p cos D sin r dr . cos h d 2 h s — — cos cp cos I) . d r 2 cos h cos r + sin h sin t dh d t cos 2 h cos cp cos D cos 2 h cos z — cos cp cos D sin h sin 2 r cos h ' cos 2 h Aus den Gleichungen in 2*) erhalt man aber cos cp, cos D sin 2 r = — cos 2 Ji sin ti sin v: wenn man dies einsetzt, so ist d 2 h cosepcos D , ... . y \ ——- = — —-—-— (cost — sm ti sm v sm h) dr 2 cos n oder vermoge der Gleichung in 9*) cos t — cos ti cos v + sin ti sin v sin h d 2 h cos cp cos I) cos cp sin ti cos ti cos v T—s = — — z —=- COS ti COS V = -: - dr 2 cos h smr Den letzteren kann man bequem berechnen aus der Gleichung in 6*) cos cp tg D — cos t sin cp — cot -ti sin t, man hat . sin t d & O = — sm t sin cp d t + — • «, a ti sm 2 ti — cot ti cos t dr Wenn man mit sin ti multiplicirt und ordnet sm t sin ti d ti — (cos ti cos T + sin ti sin % sin cp) d i oder vermoge der Gleichung in 9*) cos v d ti sin ti = ;- COS)' d t sm t cos ti cos t + sin ti sin t sin cp , dti cosD oder - v - = — t cos v. dr, cos h dti d r Daraus folgt 38 Der Werth fiir ist uns schon bekannt, den fiir ~ 7 - bestimmen wir d T CIT aus der Gleicbung in 6*) cos I) tg cf sin z dv sin* v cot r sin t -j- cost sin Z), es ist + cot r cos t d t — sin z sin D d z Wenn man mit sin r multiplicirt und ordnet sin t sm v d v — (cos t cos r — sin r sin v sin D) d t oder vermoge der Gleichung in 9*) cos d d v sin v „ . , ~ - = —— cos d oder auch dr sim dr COS T COS V - dr cos g cos h - sin t sin v sin D COS d. Setzt man die Werthe fiir - 7 - und ‘ oben ein. so bat man d% d t d 2 -n _ d z 2 — oder weil cos 2 v sin d cos a cos 2 v — sin O cos d sin 2 v sin d cos z cos v sm z ■ sin 2 }' : (Pd- cl t 2 ■ cos 2 v sin d sm*z (cosz cos v —- cos d- cos 2 v) Wenn man die Werthe der beiden Differentialquotienten in die obigen Formeln einfiibrt und alles in Sekunden des Bogens ausdriickt, so ist: K + ^2 + ^3 + • ■ + hn cos (p sin d cos d cos v . 2 Jz 2 d = Ti = dl + \ + ^3 + • • j (Tji + 2062 64 - 8" . 2 n sim sin d (cos % cos v — cos d cos 2v) . S Jz 2 206264'8" . 2 nsin 2 z 2 Jz 2 muss in Sekunden des Bogens ausgedriickt \verden. weil derNenner aucb diesen Namen tragt. Recbnet man nun 2 J z 2 in Minuten der Zeit, wie es immer am meisten angezeigt sein wird, so muss man zuletzt nocb mit dem Quadrate der Verwandlungszahlen, also mit 60 2 Xlo 2 multipliciren, um 2Jz 2 in Sekunden des Bogens zu erhalten. Hebt man nun den Factor 60 ž X 15 2 T oi dessen Logarithmus 0-2930299 ist, heraus, so bat man 2X20b264'8 ° h = ] h + h + h +■■ ■ + [ 0 - 2930299 ] C 0 S( T : ’ sin ‘ J C0S ' iC0Sv ^Jz 2 d = 'Ji + >^2 + d 3 -f- . . + [0-2930299] sm z n sin d (cos z cos v — cos d cos 2v) 2 Jz 2 n '- 1 sin 2 z ' n wobei, me wir nocbmals betonen, 2 J z 2 in Minuten der Zeit gerechnet wird, das Resultat aber in Sekunden des Bogens erscbeint. Um den Mechanismus der Recbnung an einem Beispiele zu zeigen, wollen wir die oben fiir den 3. Juni 1877 mitgetheilten zehn Beobachtungen auf eine einzige reduciren; dort waren die 39 Das arithmetisclie Mittel 21°45'48 - 48" 100° 10' 36*5“ 5*25 M 12-05® =81°18'0-75" = r^j^ = 93‘7461 Vor allem berechnen vvir v aus der Formel cos v — cos ■& cos t + + sin &sin r sin q. wo <7 = 45° 56' 3" angenommen wird und '> indessen dem gefundenen arithmetischen Mittel aus allen Azimute gleick gesetzt werden soli: Ig cos <’) — 9-2472028» Ig cost = 9-1797162 8-4269190» Ig sin v — 9’9931130 cos & cos t —— 0’0267251 Ig sim = 9-9949742 sin & sim sin q = + 0‘6990992 Ig sin g — 9'8564516 cosv = 0-6723741 9-8445388 Ig cos v — 9-8276110 v = 47° 44' 58" 2v — 95° 29' 56" Ig cos q = 9'8422874 Ig sin /c = 9'9931130 Ig cos » = 9-2472028» Ig cos v = 9-8276110 _ ( „ 0-2930299 7 Ž/JT* lg~Y {) =1 9719532 1-1751973» Ig sin r = 9-9949742 1-1802234»' — 15-14" h = 21° 45' 48-48" — ® = 100° 10' 36-5" + Ig cos t— 9-1797162 costcosv— 0-1017014 Ig cos v = 9-8276110 cosVcos2r= — 04)169312 9-0073272 ( ) = + 0-0847702 Ig cos O = 9'2472028 Ig cos 2v — 8-9814854» 82286882», Ig ( ) = 8-9282423 Ig sin & = 9-9931130 0- 2930299 lg±?l- = 1-9719532 1- 1863384 Ig sin 2 r= 9’9899484 15-14"= 21° 45'33-34" 15-7" =100° 10' 52-2" 1-1963900 + 15-72“ Man hat daher die zusammengekorigen Werthe 7 ; = 81° 18'0-75", ■» — 100° 10' 52-2", h = 21° 45' 33‘34" Anmerkung 1.) Man kbnnte auch vom arithmetischen Mittel der Azimute ausgelien und die dazu gehorige Hohe und Stundenwinkel berechnen; die Sache gestaltet sicli ganz ahnlich, wie friiher, doch wollen wir die Losung dieser Aufgabe dom Leser uberlaesen, um nicht Formeln auf Formeln zu haufen. 40 Anmerkung Ž.) Die beiden Correctionen, deren Ausdruck oben gegeben ist, werden, wie man sieht, sehr klein ausfallen, wenn sinx in der Niihe seines Maiimums =1 sich befinaet oder wenn nahe x = 90° ist, kingegen wird in der Niihe des Meridians diese Cor- rection nicht unbedeutend, und da miisste man in der Taylor’sohen Reihe um ein Glied mehr entwickeln und auch den dritten Diiferentialquotienten zu Rathe ziehen. Deskalb pflegt man bei der sogenannten Methode der Circummeridianhoken die Culminationshbhe lieber aus den einzelnen Beobacktungen abzuleiten und nimmt zuletzt das arithmetische Mittel aus allen Resultaten. Beobachtet man den Polarstern in der Niihe der grossten Digression, so ist nicht nur sin x nahe an seinem Masimujn, sondern es wird auch cos v und sin H im Ziihler nahe am Minimum und die Correction verschwindend klein. 3.) Nach diesen einleitenden Bemerkungen wollen wir an unsere eigent- liche Aufgabe, die Bestimmung der geographischen Breite eines Ortes, gehen. Man kat nemlich fiir eine Reilie von correspondirenden Hohen sin D = sin cp sin ii x — cos cp cos ii t cos \ sin I) = sin cp sin h 2 — cos cp cos \ cos sin D — sin cp sin h- d — cos cp cos h f> cos sin D = sin cp sin h„ — cos cp cos h n cos />„ Aus der Verbindung von nur zwei Hohen ergibt sick sin cp sin \ — cos cp cos h ± cos -Up = sin cp sin h 2 — cos cp cos h 2 cos oder sin cp (sin — sin h 9 ) = cos cp (cos h t cos ^ — cos h 2 cosD 2 ) und daraus , cos h t cos i)p — cos Ju cos S« \ sm h x — sin h 2 Es entstekt nun die Frage, wie beschaifen diese ztvei Beobacktungen sein miissen, damit \vir am sichersten zum Ziele gelangen, oder mit anderen Worten, wann und in welcker Himmelsgegend miissen wir keokackten, damit die unvermeidlicken Beobacktungsfekler den geringsten Einfluss auf cp aus- iiben? Dariiber wird uns die Differentiation der Gleichung «) den besten Aufsckluss geben. Wenn man die hier zu Grunde gelegte Formel sin D = = sin cp sinh — coscp cosh cos » f > differencirt und alle darin vorkommenden Grossen als veranderlich annimmt, so kommt: dl) — cos x dcp + cos v dh —cos cp sin x di). Man bat daher analog wie oben d D = cos x x dcp + cos ip dh x + cos cp sin x t d& 1 dl) — cos x 2 dcp -f- cos v 2 clh 2 + cos cp sin x 2 d)t 2 . Bleibt man hier stehen, so wie friiher, so erhalt man cos x 1 dcp- s r cos >p dh t + cos cp sinx t df) 1 = cos x 2 dcp 4- cos v 2 dh 2 + cos cp und daraus ,/ __ cos v a dih — cos ip dh x + coscp (sinx 2 dD 2 — sinx x d Sp) COS Tj — COS X s Soli nun dcp recbt klein werden oder sollen Fehler in den beobachteten Iioben und Azimuten so wenig als moglicb auf cp eimvirken, so muss der 41 Nenner cost 1 — cost 2 recht gross werden. Das Maximum, dessen dieser Nenner fahig ist, ist aber offenbar =1 — (— 1) = 2; es ist nemlich immer und bei allen Sternen in der oberen Culmination % = 0 °, daber cost = l, und in der unteren Culmination t — 180 °, daher cost — — 1 . Wenn wir daher die Hobe in der oberen Culmination mit //, die in der unteren mit X bezeichnen und bedeuken, dass in der unteren Culmination stets ‘t — 180 °, in der oberen bingegen bei Sternen, die im Siiden vom Zenithe culminiren, # = 0° ist, so erhalten wir aus a) . cosH+cosX W — X , . H — X, , ‘ s f = sin H- sin X = Mt ~T“ = < 90 -—>• “ ,5 » nA H— X . , H — X 7 dX — dH 1 = 90 - - —, oder ip = ——— und d cp — -g- Man siebt, dass die geograpbische Breite am bequemsten und sichersten aus der Verbindung der beiden Culminationshoken oder durch Messungen im Meridian gefunden wird. Setzt man in die Grundgleichung sin li = sin cp sin D + + cos cp cos D cos t fiir die obere Culmination h — H, cost — 1, fiir die un- tere h = X , cost — — 1 , so bekommt man sinH = sin cp sin D ■+ cos cp cos D sinX — sincpsinD — coscpcosD ; daraus erbalt man cos (90 — H) — cos (q — D) oder, wenn g < D, auch cos (90 — H) = = cos (D — cp) , mithin ist fiir die obere Culmination entweder 90 — H = = cp' — D oder, \venn cp < D ist, 90 ■— H — D — cp. Fiir die untere Cul¬ mination ist — sin X — cos {cp -f- D) oder cos (90 + X) — cos (g + D), mit¬ hin 90 + X — cp +• D. Verbindet man die erste und dritte dieser drei Meridiangleichungen, so bat man fiir Sterne, deren D << (p ist, H-X n H+X 2 ’ 1 2 Verbindet man die zweite und dritte Gleichung, so hat man fiir Sterne, deren D > cp ist und man 90 — D — p setzt, H+ X H~X cp = i P = 2 Auf diese Art erbalt man also nicht nur die geograpbische Breite, son- dern auch die Declination des Gestirnes; dies ist wol die einfachste und zuverlassigste Methode zur Bestimmung dieser beiden Grossen; wahrend aber cp und D mit dem Hohenfehler des Instrumentes behaftet hervorgehen, er- scheinen xp und p von diesem Febler ganz befreit, vorausgesetzt. dass die Tbeilung des Hohenkreises fehlerfrei ist und man dH = dX setzen kann. Wir seben aber iiberhaupt welchen Štern, wenn h positiv ist, d. h. wenn der Štern liber unserem Horizonte sich befindet; ein Štern wird also in seiuer oberen Culmination sichtbar sein und daher beobachtet werden konnen, wenn // = 90 — (cp — D) positiv ausfallt oder wenn 90 > cp — I) oder D > c p — 90 oder I) > — cp ist; in Gorz z. B., dessen Aequatorhohe 44° 4' betragt, werden diejenigen Sterne in der oberen Culmination beobachtet werden konnen, deren 42 I) >■ — 44° 4' ist; daher vvird man Sterne, deren siidliebe Declination mehr als 44° 4' betragt, in Gorz uiemals selien, wol aber alle ubrigen. Ftir die untere Culmination bat man immer X = cp + D — 90°; daraus folgt, dass X so lange positiv bleibt, als

90° oder D > ip ist. Sterne also, deren Declination grosser ist als die Aequatorhbbe des Ortes, werden auch in der unteren Culmination siclitbar sein; solclie Sterne gehen mitbin nie miter; man liennt sie Circumpolarsterne. Diese werden demnacb unserem Zvrecke am besten dienen. Ftir

0° ist. Sterne, bei denen U’ < D < g ist, sind Circumpolarsterne und scbneiden den Meridian in der oberen Culmination auf der Siidseite des Zenithes; ftir diese muss also 90 — (p cp oder tr f- > 1, so bleibt der eingeklammerte H) r p Ausdruck immer positiv und cos it infolge dessen immer negativ; das Azimut dieser Sterne bleibt also immer in der Nahe von 180°, und es ist sowol in der unteren als oberen Culmination ,9 = 180°: weil niemals cos .9=0 wird, 43 so kommen diese Sterne nie in den ersten Verticalkreis, sondern culminiren oberhalb zwischen Zenith und Pol. Setzen wir in die Gleichung a) fiir beide Culminationen O- — 180°, so konnnt tg D oder — cos z tgD > 1, so bleibt der ein- geklammerte Ausdruck und mit ikm cos v immer positiv; der Winkel v konnnt in diesem Falle nie in den zvveiten oder dritten Quadranten zu stelien, und ist sowol in der unteren als oberen Culmination v — 0°. Ist liingegen D >> g oder • q von den iibrigen zu unterscheiden; bei den letzteren hat man o = 0°, v — 0°, bei den ersteren aber 0 — 180°, v = 180°. Ebenso ist fiir die untere Culmination immer und ohne Ausnahme die Meri- diangleichung 90 + X = q ist, die Gleichung 90 — H — D — g. Von der Richtigkeit der hier aufgestellten Gleichungen kanu man sich auch iiberzeugen, wenn man in 7.) der Einleitung die betreffenden Werthe fiir r, .7, v einsetzt. Nack diesen Bemerkungen, die sich uns bald als sekr niitzlich emveisen werden, \venden wir uns vvieder unserer Aufgabe zu. 44 4.) Die grosste Declination, welche die Sonne erreichen kann, betragt e — 23° 27'5'; deshalb kann in Gegenden, wie in den unsrigen, wo e < ip, X niemals positiv sein. Diese Orte seben die Sonne nie in der unteren Cul- inination, daher lasst sich fur unsere Gegenden vermittelst der in der friiheren Nummer angegebenen Methode die geographiscbe Breite aus Sonnenbeobach- tungen nicht mit derselben Sicherheit ermitteln, wie aus den Beobachtungen der Circumpolarsterne. Indessen wenn wir uns mit einem halbwegs guten Resultate begniigen wollen, so konnen wir innnerhin aus Sonnenbeobachtungen die geographische Breite nach der oben aufgestellten Hauptformel recbnen, die Beobachtungen aber, die wir zu diesem Zwecke verbinden, miissen so weit als moglich auseinander liegen, damit cos x 1 — cos r 2 in der Differential- formel moglichst gross wird. Jedenfalls konnen wir die obere Culmination beniitzen, wo dann h x = H, cos & 1 — 1, cosv 1 — 1 und sin % 1 — 0 \vird; dann ist cos H — cos h cos & , tg f = dnH-sinh ~ = dH -f- cos v dh + cos 2 sin- 1 ^ H , dessen Fehler auf I) entsprechenden Werthe h — H, cost — 1, cos o = l einsetzen, so ist cos H — cos H — — cos cp sin D + sin cp cos D , daher cos h cos & =» sin cp cos D (1 — cos r) — 2 sin cp cos D srn' 2 — Wenn man cos h cos o auf die rechte Seite schafit und beiderseits cos h addirt, so ist: cos H -j- cos h = cos h + cos h cos O + 2 sin cp cos D sin 2 -- Es ist demnach sin H — sin h cos H + cos h 2 cos cp cos D sin 2 - cos li (1 + cos -0) + 2 sincp cos D sin 2 46 oder £ H — h ^ 2 cos q> cos I) sin ž <}, j- cos h cos 2 — -f- sin q cos D sin 2 — 2 ^ . <4 0 - SIM -- COS - „ , ^ s*n0- 2 2, ... . Es ist aber cos I) = - cos h — -- -— cos h. mithm s*n r 7 T sin cos — J a tg if—A . 0 0 . T cos g sm cos — tg — cos‘ 0 oder tg H—h Setzt man tg \ tg -- A A i sin cp sin - cos 9 — 0 f coscptg - tg - & V 1 + smcptg - tg - S —h m cos cp m, so ist tg 2 1 m sin cp Wenn man oben, statt zu addiren, beiderseits cos h subtrahirt, so erhalt man cos H — cos h = cos h cos it - cos h + 2 sin cp cos D sin 2 also ist cos h — cos H sinH — sin h cos h — cos h cos -0 2 sin g cos D sin 2 — A tg 2 cosgi cos Z) sin 2 ,, , 7 cos h sin 2 - — sina cos D sin 2 H-\-h _ 2 2 2 _ . t cos (jp cos ±) sin 2 . Substituirt man wieder fiir cos D und dividirt durch sin 2 so erhalt man A , tg H-\-h , 0 , t — sm (/ cot — tq ~ ’ 2 v 2 cos cp- cot | tg ~ 0' x Setzt man der Kiirze halber cot — tg — M , so ist A A tg H+h _ 1 — M sin cp ^ 2 ilZ cos g Nachdem nun die oben gedachte Beziehung, und zwar, \vie man sieht, in sehr eleganter Form hergestellt ist, entsteht die Frage, wie besehaffen diese Beobachtungen ausser dem Meridian sein miissen, damit man aus denselben die Culmiuationshohe H mit moglichster Sicherheit ermitteln kann. Die 47 Differentiation der beiden Gleichungen «) und /?) wird uns hieriiber den be- sten Aufschluss geben. Zu diesem Ende miissen wir d H und dh bestimmen. Aus der Meridiangleichung 90 — H — q> — D findet man d H — d D — d (j, . . . . A) Werden die Messungen am Theodolit vorgenommen und auch die Azi¬ mute notirt, so kommt, wie die Gleichungen a) und /?) es beweisen, D gar nicht in Betracbt, der Beobachter ist von der Declination ganz unabhangig; daher miissen wir d D und dann auch d h in Hinsicht auf t, i) und cp er- mitteln, denn nur diese drei Grossen erscheinen auf der rechten Seite der Gleichungen a) und /?). Die Beziehung zwischen D, r, i) und q finden wir ausgedriickt in der zweiten der Gleichungen 6.) nemlich cos ep tg D — — cot A sin t -|- cos t sin q. Wenn man alle darin vorkonnnenden Grossen als veranderlich annimmt und difierenzirt, so erhalt man , T1 , . cos g d D sim d U , n 7 7 , — smgtgUdcp - —p = 2 „- coti) cos rdi — simsmq dr-\-cosT coscpdcp COS~“ jlJ Slfl i' Multiplicirt man mit cos D sim und bedenkt, dass < 0S C|p .ZtlL cos D cos D sin c ... — r—— = cos h, lerner dass cos i) cos t -f- sm it sm % sm q> = sin it ’ ' ' sin cp sin D + cos ep cos D cos r = sinh ist, so erscheint — sin A sin h d cp -f~ sin v d D = cos Ji d o — cos D cos v dr, daher ^ f j cos Ji d O — cos D cos v d r + sin it sin Ji d ep m sin v . ' Aus der ersten Gleichung in 6.), nemlich cos q tg h — cot i sin o — cos it sin g, erhalten wir durch ein ganz ahnliches Verfahren — sin D sim d cp -f- sin v d Ji = cos Ji cos v d o- — cos Ddr, daher cos Ji cos v dl) — cos Ddr -f- sin D sin c d cp sm v , cos v und dJi Es ist demnach cos Ji d 3' sm v C) dH : cos D cos v dr -(- sin O sin h dtp d g, _ cos Ji (1 — cosv)d& -j- cos D (1 • s mr d H — d Ji — -cos v) dr + (sin O sin Ji — sin D sin t) dq sin v d H + dh = cos Ji (1 -)- cos v) d it — cos D (1 -f- cos v) c?r + (sin tt sinh -f- sin D sim) dep smv 1 Es ist aber - ferner ■ cos v 2 sin 2 sm v v v 2 sin ■- cos - -.tg v 1 + cos v V 2 cos 2 - A 2’ sin v _ . v v 2 sin : cos — A 'A d g, — d q. cot sinit sinh sinh cos D sin D sim cos Ji sin D smv cos cp smv cos cp 48 In Beriicksicktigung alles dessen ist d H — dh — ( coshdo ■ -j- cos I) dt) tg * — j 1 — dII -\- dh = (coshdo- — cosDdz)cot^ — 11 — sin (h ■— D) COS (f sin (h + D) COS D ist h — H , daher C — H, mithin H = h '2m sin ip - m 2 sin 2%p + w m 3 sin 3tp O 1 -m i sin4:Xp + . a) Die vorstehende Reihe wird raseh convergiren, wenn m recht nahe an O ist oder wenn die Beobaehtungen recbt nahe ain Meridian gemackt werden; dieselbe wird also bei der Reduction von Circummeridianhohen auf die Cul- minationsbohe vorzugliebe Dienste leisten. Fur einen einzelnen Beobacbtungsort kanu man die Constanten der einzelnen Glieder im Voraus berechnen und sie als stehende Coefficienten in die Reibe einsetzen. Wenn man fiir Gorz ip = 44° 3' 57" annimmt, so ist fiir die obere Culmination eines jeden Ge- stirnes, dessen D < qi ist, die Reibe A-j-[5 - 4577425]m—[5'3141942]m 2 + [5'0080547]m 3 — [3'8274489]m 4 —.. giltig, wo die eingeklammerten Zablen die Logarithmen der in Sekunden des Bogens verwaiulelten Coefficienten bedeuten. Ist ip nur niiherungsvveise be- kannt, so werden natiirlich aucli diese Coefficienten etwas feblerhaft sein, was aber der Genauigkeit von H keinen Eintrag tbut, wenn die Beobaehtungen recbt nahe am Meridian gemackt worden sind; man wird aber durch fort- gesetzte Beobaehtungen y> und mithin auch diese Coefficienten seharf bestim¬ men konnen. Als Beispiel mogen die Sonnenbeobachtungen dienen, die der Verfasser am 3. Juni 1877 in Gorz in der Nahe des Meridians anstellte. Von den 14 (eigentlicb 28) Beobaehtungen soli die erste, die vom Meridian entfernteste, hier vollstandig durchgerecbnet, von den tibrigen aber nur das Resultat mit- getbeilt werden. In der Hobe h — 64° 53' 51'3" wurde auf beiden Seiten des Meridians notirt: an der Uhr am Limbuš t = 11*14™ 32' u = 280° 12' 10" , . A t'= 12 / *39”42 s u = 327° 34'45'' Ig tg ( = 9 3216305 A t '— t = B 25“ 0 S i % = 0" 42” 30 s ~= 0 h 21“ 15 s — 5° 18' 45" —u ■o- 2 : 47° 22'35" 23°41'17-5" 11° 50'39" Igtg - = 8'9684234 A Ig m 8-2900539 4 50 2 lg‘2msin\fj — 3'7477964, Ig m? sin 2 y — 1-8943020, lg-m 3 sin3y = 9-8782164 5594-95" = 1° 33' 14-95" 78’397" = 1' 18'4" 0‘755" H = 64° 53' 51-3" + 1° 33' 14 95" — 1' 184" + 0'75" = 66° 25' 48-6" dH — dh + 0-0656^ + 0-143 de + 0'028<žu<. Als arithmetisches Mittel aus allen 14 Beobachtungen ergab sicb H — 66° 2a' 59-25". Ist darm die Declination des Gestirnes bekannt, so lindet man cp aus der Gleichung 90 — H = cp — D oder, wenn man 90 — g = u> setzt und die Reihe fiir H beniitzt, gi = h — 1) -f- 2msin\p — m 2 sin‘2xp -j- —m 3 sin 3g> — m^sin b) O £ Sind die Beobachtungen vermittelst eines Sextanten gemacht und daher nur die Ilohen und Uhrzeiten notirt worden, so lindet man, wie sebon oben erwahnt, & aus der Gleichung cosJisinti — cosDsini und durch Differen- tiation derselben d!t — (tgh dh — tgDdD + cot% dr) tg■!). Ist die Anzahl der Beobachtungen gross, so wird die Berechnung der einzelnen Azimute wol etvvas unbequem, indessen, weil man es mit der constanten Culminations- declination zu thun hat, wird die Miihe nicht bedeutend, dafiir arbeitet man viel eleganter und mit einer schneller convergirenden Reihe, als es diejenige -j- ist, die aus der Relation sin H — sin h + 2 cos cp cos I) sin 2 - hervorgeht und welche bisher allgemein im Gebrauche war (siehe Briinnow, V. Abschn. 7). Es ist schon oben gesagt worden, dass bi nicht in der Nahe von 90° sein darf, weil da hier ausserordentlich gross werden kann, deswegen muss man Sterne vermeiden, deren Declination der geographischen Breite nahezu gleich- kommt, denn diese Sterne kommen erst dann in den ersten Verticalkreis zu stehen, wenn sie schon nalie an der Culmination sind. Substituirt man den Werth von dbi in die Ditfereutialformel fiir a), so bekommt man nach geho- riger Vereinfachung den Werth von dtl in diesem Falle. Weil aber diese Substitution sehr umstandlich ist, so \vollen wir folgenden sehr einfachen Weg betreten. Vor allem miissen wir bedenken, dass H in dem Falle, als die Messungen mit einem Sextanten vorgenommeu vverden, von den Grossen + jM 3 sin 3g> + 4 Af 4 sin 4ip -j- .... c) V Aus der fur (3) entvvickelten Differentialformel entnimmt man, dass cot ■ recht klein sein muss, sollten Fehler in t und ti einen moglichst geringen Einfluss auf H ausiiben. Es soli also v recht gross sein, womoglich nahe an 180°, in welchem Falle dann cot sich nahe an 0 befinden wiirde. Allein, wie Z wir bereits wissen, kann bei Sternen von der Kategorie D der Winkel v niemals in den zweiten oder dritten Quadranten zu stehen kommen, sondern bewegt sich in den Grenzen zwischen +90° und'—90°. Wenn man weiters den Differentialquotienten dv cos cp costi zu Rathe zieht, so sieht man, dass dr cos h dem Werthe cos ti = 0 oder ti = 90° ein Maximum in v entspricht, oder der Winkel v wird am grossten, wenn die Sonne oder iiberhaupt ein Štern von der Kategorie q> O I) in den ersten Verticalkreis tritt. Den Betrag dieses Maximums findet man aus der Gleichung cos cp sin ti = cos TT sin v , wenn man %. Ist qp > D, so bleibt sin v < 1 oder cos D ti- ~ 90° setzt, dann ist sin v 4 * v < 90°; ist cp — D, so ist sin v = 1 oder v = 90°; ist cp < D, so vvird sin v unmoglich, das heisst, es existirt kein derartiges Maximum fur v , son- dern der Winkel v durchmisst den ganzen Kreisbogen. Bei Sternen also, deren I) < q ist, denn nur von diesen ist hier und in der friiheren Nummer die Rede, ist ftir v nur ein Maximum unter 90° mog- lich, vvelches dainals eintritt, vvenn der Steni im ersteu Vertical sicli befindet und cos c = ^ — ist. Je eber = 90°, % = 0 °. Aus dem Gesagten ergibt sich, dass Beobachtungen solcber Sterne, deren Declination nur um vveniges kleiner als die geograpkische Breite ist, vom besten Erfolge sein vverden, und zvvar sollen dieselben im ersten Vertical oder doch recht nahe an demselben gescheben, damit v nabe bei 90° bleibt. Da V V . vverden cot und ty — fast gleich und der Einheit sehr nabe; es bieten mit- Z z hin beide Differentialformeln gleich gunstige Chancen, und man vvird sovvol — als audi ^ mit beinahe gleicher Sicherbeit rechnen konnen, wo- raus dami H und h sicli ergibt. Weil h nabe an 90° ist, so vvird ein Fekler im Azimut fast einflusslos, und ist die geographiscke Breite, mithin aucb IJ, ziemlich gross, so vvird audi der Einfluss der Febler in der Zeit sebi' berun- tergedriickt erscheinen. Ebenso vverden Febler in cp , vvovon man einen Nahe- rungsvverth kennt, fast ohne Einfluss bleibeu, da vvegen des grossen h sovvol sin ( h — I)) als aucb sin (h -j- IJ) dem Nenner cos cp im Werthe nabe gleicb- komrnen. Hier kann man nun sovvol in correspondireuden Hoben oder, vvenn der Meridian aus friiheren Beobachtungen genau ermittelt ist, auch in corre- spondirenden Azimuten beobacbten. Aus der Gleichung 90 — H — cp — D findet man dann die geograpbische Breite, vvenn die Declination des Sternes bekannt ist; mit dem verbesserten ip vvird dann die Rechnung vviederkolt oder die gefundenen Grossen aus der Differentialformel corrigirt. Auf diese Art erbalt man nicht nur //, sondern aucb h und, vvenn man die beobachtete Hohe aucb am Hohenkreise abgelesen bat, den Collimationsfehler des In- strumentes. Weil die Sterne, die nahe am Zenith voriibergehen, vvenigstens in Breiten liber 45° Circumpolarsterne sind, so vvird man dieselben auch in der Nahe der unteren Culmination beobacbten konnen; vvenn man nun aus solcken Beobachtungen die untere Culminationshohe ableitet, vvie dies vveiter unten gezeigt vverden vvird, so findet man durch Verbindung beider Culminations- bolien nicht nur die geographiscbe Breite, sondern auch die Declination des 53 beobachteten Sternes. Man kan n aber auch nach Nr. 4 dieses Abschnittes verfahren, was besonders in niederen Breiten lohnend sein wird. Diese Art der Bestimmung der geographischen Breite bat den grossen Vortheil, welcben keine andere Methode bieten kann, dass sicli die Fehler in den Hohen gegen- seitig aufheben, wie schon in Nr. 3 erwahnt wurde, und rp geht aus der Rech- nung richtig hervor, wenn auch der Collimationsfehler unbekannt sein solite. Wir haben bisher vorziiglich den Theodolit im Auge geliabt, womit aller- dings eine Vervielfaltigung der Beobachtungen moglich ist; indessen pflegt man diese Sterne gewohnlich nur im ersten Vertical, und zwar am Passagen- instrumente zu beobackten, wobei aber ein Chronograph nothwendig ist, vvenn man genaue Resultate erzielen will. Da im ersten Vertical cos <4 = 0 und & & tg = cot — = 1 ist, so iibergehen die Reihen a) und c) in die folgenden zwei Z Z JU ' " Ji Tj \ Tj Ji 7/ 2 Tj — 0 = tg -sinxp —k tg 2 .sin 2v)- tg s ' sin3xp — tg* ~ sin 4tg + . . . . Z Z Z ' Z o Z 4 Z /j j Z Tj \ T \ T \ Tj —— =tg -sinip-}- -tg 3 —sin2y-{---tg s --sin3y--tg* — sin igi . . . . Z Z ' 2 2 o Z 4 Z Daraus erhalt man dureh Addition und Subtraction T~ 2 ^ Z Tj 90 — h = z — 2tg --- sin y + — tg 8 - sin 3i p + - tg b — sin fyip ... d) Z o Z O z Tj 2 Tj 2 Tj 90 — Hp=z= tg 3 -sin2-w -- tg* - sm4ip-f- - tg 6 - sin + . . . e) Beide Reihen werden schnell convergiren, da unserer Voraussetzung gemass (nemlich cos % — nahe = 1) tg ~ sehr klein ist. tgg 2 Beispiel (aus Briinn ow p. 313): Der Štern/? Draconis geht sehr nahe dureh das Zenitli von Berlin. Dieser Štern wurde nun am mittleren Faden eines auf der Sternwarte im ersten Verticale aufgestellten Passageninstrumentes beobachtet. Die halbe Zwischenzeit der Beobachtungen betrug 17“ 2D75 S ; es war alšo t = 4°20'26'25“, daher|=2°10' 13125“; fernerD=52°25'26-77". Als Naherungsvverth gelte g = 52° 30' Ig 2 tg T - sin xp = 3'9785097, Z Ig | tg 3 l .sin 4i p = 0-8397716 Igtg 3 T — sin 2 ip== 2 - 4565839, Z 9517-21 6-915“ Ig Jr tg* % - sin 4 rp = 9’0267951 Z Z 286-143“ 90 — h = z — 2° 38'44-13“ h = 87° 21' 15-87“ 90 — H=Z= 0° 4'46-25“ H— 89° 55' 13-75“ 0-106“ 64 Aus der Gleichung 90 — H=cp — D erhalt man nun cp = 52° 30' 13-02", ferner bekommt man aus sin v = —1 als Maximum v = 86° 33' 26" und damit cosD dH— dh = 0-043 dV + 0’574 dr — 0‘059 dtp dH + dh — 0-049 d(t — 0'648 dr + 0‘061 dtp und daraus dH — 0-046 d<) — 0-037 dr + 0'001 dtp dh = 0-003 dO — 0-611 dr + 0'06 dtp Wenn wir also cp um 13-02" zunehmen lassen, so nimmt H um 0-013", h um 0-78" zu, und man hat schliesslieh H = 89° 55' 13-76", h = 87° 21' 16 65", q, = 52° 30' 13'01". 7.) Bei Sternen, deren Declination grosser ist als die geogra- phische Breite des Beobachtungsortes, die also zvvischen Zenitk und Pol culminiren, ist in der oberen Culmination h — H, t = 0 0 , <7= 180°, v — 180°. Es ist mithin wieder cos h cos o = — cos tp sin D -f- sin q cos D cos r cos H — + cos cp sin D — sin q cos D 2 sin cp cos D sin 2 — A cos H + cos h cos o- = — sin cp cos D (1 — cos r) Schafft man cos h cos S- auf die redite Seite und addirt beiderseits cos h, so ist cos H + cos h = cos li (1 — cos d-) — 2 sin cp cos J) sin 2 — folglich sin H — sin h cos H 4- cos h cos cp, cos D sin 2 'S' . T cos h sin 2 — — sin q cos D sin 2 — z z (j, Substituirt man fur cos D und dividirt durch sin 2 wie obeninNr. 5, so ist A tg H—h . A r cos cp cot tg A A 1 — sin cp cot — ta - v 2^2 -j- n ; setzt man cot — tq - — n, so hat man d . r ’ 2 J 2 tg H—h ncoscp 7 ) 2 1 — nsincp Wenn man oben, statt zu addiren, cos li beiderseits subtrahirt, so wird T cos h — cos H — cos h (1 + cos it) + 2 sin cp cos D sin 2 --, mithin A cos h — cos H {b 7: cos h cos 2 — + sin cp cos I) sin 2 0 sin H — sin h woraus man, wie in Nr. 5, erhalt r cos cp cos I) sin 2 — tg H+ h 2~ 1 + tg-tg-sing . &. T tg ^g-cosg i) x setzt man tg-Ag- , £ Z = N. so ist fg H + h _ 1 -f- N s in ep 2 N cos ep Schreitet man nun zur Differencirung der beiden Gleichungen y) und d), so muss man vor allem bedenken, dass in der oberen Culmination der Sterne von der Kategorie ep <; D die Gleiehung 90 — H = D — ep besteht und daher <111 = dep — dl) ist. Substituirt man ftir dl) den oben in Nr. 5 unter B gefundenen Werth und setzt aueh dli wieder her, so erbalt man — cos li do -f- cos 1) cos v dr — sin h sin O dep dH sm v dH — dh ^ _ cos h cos v dD — cos Ddr + sin D sim dep sin v Es ist demnacb dem obigen Verfahren gemass sin {h + 1 {cos D dr — cos h dl) ) cot * • -f- ^ d H -f- dh = — {cos D dr + coshdlt)tg + j 1 cos ep sin {h — cos ep -+- dep — } ] d —j— *» 3 sm 3 1 p -\- —n^sin 4 ip . f) Aus der Gleiehung fiir die grosste Digression der Circumpolarsterne, cos T) nemlich sin D = -- erhellt, dass, je naher ein Štern dem Pole zu liegt. cos (p desto geringer seine Bewegung im Azimute sein wird und »9- immer weniger von 180° sich entfernt; dies vvird um desto mehr der Fali sein, je kleiner & dabei die geographische Breite des Ortes ist. Dadurch wird cot - und mithin auch n sehr klein, und die Reihe wird selbst fiir grosse Stundemvinkel rascli convergiren; dabei wird der Coefficient von dep stets klein bleiben, weil der Unterschied zwischen h und II nie gross sein wird. Die Beobachtungen des Polarsternes {a Ursae minoris) werden unter allen am giinstigsten sein. Setzt man in der Meridiangleichung 90 — H = D — ep fiir 90 — 1) die Poldistanz p , so ist gi = II—p oder mit Beniitzung obiger Reihe ff> = h — p -j- 2 n sin ip 4- n 2 si.n 2 ip + sin 3 ip + { #sm 4tp . g) 56 Beobachtet man mit einem Sextauten, \vobei aber Zenithsterne vermie- den werden miissen, so berechnet man das Azimut vvieder aus der Formel cos li sini 9- == cos D sim. Weil H in diesem Falle von cp, h, D und r ab- hangt und der in der Differentialformel fiir y) stehende Coefficient von dcp unverandert bleiben soli, so hat man, iihnlich wie in Nr. 5: dcp sin (h + D) sin (h + D) cos v , dh -)- „„/ ~a - dl) — sm (li -f- D) tg d-dr + cos cp cos & +[> cos cp cos & sin (h + COS (f welche Gleicbung nichts anderes ist, als die Differentialformel der vorstehen- den Reihe fiir cp , falls man mit einem Sextanten beobachtet, wobei dcp auf der rechten Seite den Fehler in der angenommenen, fiir die Rechnung ver- wendeten, geographischen Breite bedeutet. Weil hier dH = dcp — dl), so hat man sin (h -f- D) cos v\ dH = _ ™), so muss man vor allem bedenken, dass in der unteren Culmination stets 90 + X = cp + D ist, daher dX — dq + dD. Substituirt man den oben ftir dD eruirten Werth, so ist cos Mo — cos D cos vdr -|- sin & sin hdcp dX sin v + dcp dh = cos h cos vdo — cos Ddr + sin D sin zdq sin v Daraus erhalt man durch Subtraction und Addition sin (D — h) cos

— . ... I) o Z Aus der Gleichung 90 + X = cp . + D erhalt man, wenn 90 — D = p und die eben angefiibrte Reihe eingesetzt wird 2 i cp = h + p — 2 k sin ip + sin 2 \p — k‘ d sin 3u> -f- — /c 4 sin 4ip — . . m) o Z Die beiden Reiben werden desto rascher convergiren, je kleiner K ist, Bei Sternen mit hoher Declination, die nur eine geringe Bewegung im Azi¬ mute haben, wie beim Polarstern, wird k immer sehr klein bleiben, und wenn der Stundenwinkel auch sehr entfernt von 180° ist; man wird daher aus jeder Beobachtung, deren Stunden\vinkel im zweiten oder dritten Quadranten liegt, die untere Culminationshohe und aus ihr die geographische Breite des Ortes ab- leiten konnen, \venn die Declination des Sternes bekanut ist. Die Beobach- 61 tungen des Polarsternes vverden also stets ein vorziigliches Mittel zur Breiten- bestimmung sein, nur bleiben Fehler in der gemessenen Hohe auch in cp. Aus der Differentialformel fiir »/) ist ferner ersichtlich, dass namentlicli Fehler in der Zeit und in der angenommenen geographischen Breite das Resultat ausserordentlich vvenig beriihren. Sind die Beobachtungen mit einem Sextanten gemaeht worden, so be- reehnet man vvieder das Azimut aus der bekannten Formel cos h sin O = cos D sin e. Bedenkt man ferner, dass der Coefficient von dq> in der Differentialformel fiir rj) unverandert bleiben muss, so hat man in diesem Falle, ahnlich vvie in Nr. 5 und Nr. 7, sin (D — h) ,, sin (D — h) cos v dh + d(p - cos (p cos o + 1 - COS cp COS d sin (D - dD — sin (D — h) tg Ode + ■h) 1 | dej: COS cp vvelche Gleichung die Differentialform der vorstekenden Reibe fiir cp ist. Weil hier dX — dtp dX =- s ™&-*> cos cp cos O dD, so ist sin (D - dli -f- 11 -f- ■ h) cos v + 1 cos cp cos O sin (D — h) j d D — sin (D — h) tg O dr -\~ cos cp ] dep Beispiel (aus Briinnovv p. 275): Am 12. Oktober 1847 wurde auf der Sternwarte des Dr. Hiilsmann zu Diisseldorf um 18* 22”* 48'8 S Sternzeit. die Hohe des Polarsternes h — 50° 55' 30’8" beobachtet; die Rectascension war a = 1* o"‘ 31'7", D= 88° 29' 52’4"; ein Naherungsvverth sei cp = 51° 13'. Vorallem istr= 18* 22™‘48-8 s — 1* 5™ 31 'V— 17* 17“ 17’P = 259° 19' 165''. Weil das Azimut nicht beobachtet vvurde, so muss es berechnet werden. Ig cos D = 8-4185297 Weil bei den Sternen der Kategorie cp = 9-7780026 4379-2" = 1° 12' 59-2" 57‘85" 0-6" X= 50° 55'30-8" — 1° 12'59-2" + 57’85" - 0'6" = 49° 43'28‘8" cp = 50° 55' 30-8" + 1° 30' 7‘6" — 1° 12' 59'2" + 5785'' — 0‘6" = 51 0 13' 36'45" Mit dem so gefundenen cp kann man vvieder in die Reihe eingehen oder eine Correction fiir q und X auch aus der Differentialformel berechnen, denn es lst dep = 0-9745 dh — 0-2109 dD — 0'0249 dr + 0-0263 dep 62 Weil nun

B) \vobei dcp auf d er recbten Seite den Fehler in der angenommenen, fur die Berecknung der beiden Reihen verwendeten geograpbisehen Breite bedeutet. Man bemerkt, wie ausserordentlich gtinstig sich die Dinge gestalten, wenn man den Polarstern zur Zeit der grossten Digression beobachtet, denn ein Fehler in der Zeitbestimmung wird auf die Declination und ein Fehler im Azimute auf die geographische Breite gar keinen Einfluss iiben, ebenso wird der Coefficient von dcp sehr klein ausfallen; ferner weil cos D sehr klein ist,, so wird ein Fehler in der Zeitbestimmung in seinem Einflusse auf cp sehr heruntergedriickt erscheinen, am ehesten werden noch Fehler im Azimute auf die Declination einwirken, namentlich in niederen Breiten, wo h ebenfalls niedrig bleibt. Fehler in der gemessenen Hohe aber werden unvermindert auf cp iibergehen; dieser Fehler lasst sich aber iiberhaupt fiir cp nicht elimi- niren bei Beobachtungen solcher Sterne, deren I) >■ ist. — Als Beispiel moge das in Nr. 9 gebrachte dienen, wo wir aber annehmen wollen, dass das Azimut am Limbuš eines Theodoliten abgelesen wurde; dort haben wir gefun- den, indem wir mit dem Naherungswerthe cp = 51° 13' rechneten, X = = 49° 43' 28 - 8". Mit ebendemselben Naherungswerthe rechnen vvir nun auch H aus der Reihe in Nr. 7. Ig cot ■O- 8‘3105205 K lg2nsin\p = 3‘8042278, 637D295'' Ig n 2 sin 2w = 2’0879919 122-46" Igtg- = 0-0814163" Z* Ig n = 8-3919368 6371-295 122-46 1-847 0-016 lg-~n B sin3y O H X 0-2665004, 1-847" lg~ n 4 sinAcp A 8-2049166 0-016" h + 1° 48' 15-62" h — 1° 12' 1-95" jo h + 0° 18' 6-83" = 51° 13' 37-63" 1° 30' 8-78, D = 88° 29' 51-22" 6495-618" h 1° 48' 15-62" 50° 55' 30-8" H 52° 43' 46-42" 64 Wenn wir nun auch dcp und dD rechnen, so erhalten wir dc P = dh — 0 02685 dr + 0-13975 d& — 041062 dq dD — — 0’64564d<'> + 0 - 0058 dx + 0'0325 dcp. Weil cp um 37'63" zu klein angenommen wurde, so muss nun sowol cp als auch D corrigirt werden, und zwar cp um 37'63" X — 0-0062 — —■ 0-23", D um 37-63“ X 0-0325 = 1*22", somit sind die endgiltigen Werthe q = — 51° 13' 37-4", D = 88° 29' 52'44"; obwol demnach die Beobachtung ziem- licb entfernt von der grossten Digression gemacht wurde, so ist das Resultat dennoch als ein sebi- sicberes zu bezeichnen. Derlei Beobachtungen sind selbstverstandlich nur am Theodolit auszufiihren; man wird sicb aber nieht mit einer einzigen Beobachtung begniigen, sondern deren recht viele in der Nahe der grossten Digression machen und dann vermittelst der in Nr. 2 an- gegebenen Methode in eine einzige zusammenziehen. 12.) Sterne, deren Declination kleiner ist als die Aequatorhohe, sind in der unteren Culmination nicht sichtbar; bei diesen wird man also die geogra- phische Breite entweder nach der in Nr. 4 dieses Abschnittes angegebenen Methode bestimmen oder auch aus der Meridiangleichung i p = H — D her- leiten, wenn die Declination bekannt ist. Mit Benutzung der oben fur H entvvickelten Reihe hat man dann 2 1 ip — h — H + sin ip — m 2 sin 2 ip + -- m, 3 sin 3xp — - m 4 sin 4 ip + Dies ist ein fur die Sonne sehr haufig angewendetes Verfahren, sowol zu Wasser als auch zu Lande, wobei H durch Circummeridianmessungen ge- funden, D aber den Ephemeriden entnommen wird. Unsere Auseinander- setzung wiirde aber unvollstandig bleiben, wollten wir nicht zeigen, wie man unabhangig von den Ephemeriden die Declination der Sonne und der Sterne mit grosser Poldistanz aus Beobachtungen ermitteln kann, um sie dann behufs Bestimmung von ip in die Meridiangleichung einzufuhren. Zu diesem Ende wollen wir uns nach einer Gleichung umsehen, in der eine Beziehung zwiscben einer Hohe ausser dem Meridian und der Declination selbst ausgedriickt ist. Die Napier’schen Analogien in 7.) der Einleitung bieten uns eine derartige Beziehung von selbst dar, es ist nemlich .7 *9 h— D cos cos 2 t p h + D O -C y '2 ' ' • • *)r * 9 — 2 ~ . — x sm —-— . x , i v sm —*gt - k) Um zu erfahren, \vie beschaffen die Hohen sein und wo sie genommen \verden sollen, damit man aus denselben die Declination mit moglichster Sicherheit ableiten kann, wollen wir diese beiden Gleichungen differenciren, und zwar auf folgende sehr einfache Weise. Es ist wieder 65 • cos hdo- — cos D cos vdc , sm h cos J) , dD = — ---- -|- div sm v cos

.fiir i) dh + dl) — (cos hdo- — cosDdr)cot dir .fiir k) 1 cos tp 7 7 Betrackten wir die erste dieser beiden Differentialformeln, so sehen wir bald, dass v reckt klein sein muss, sollten Fehler in 9 und r ihres Einflusses auf D so viel als moglich beraubt vverden; wir \verden daher mit unseren Beobacbtungen in die Nahe des Meridians venviesen, d. h. man iindet die Declination eines Gestirnes sebi' bequem aus der Culminationshoke. Allein im Meridian wird h = H und folglieb dl) — dcp oder mit anderen Worten, es werden Fehler in q> unvermindert auf D iibergehen. Will man daher die Declination aus der Culminationshohe ableiten, so muss

= II — D einzusetzen. Wir kennen g nur naherungsweise und miissen unsere Beobach- tungen so einrichten, dass Fehler dieser Grosse so vvenig als moglich auf D einwirken \verden, mit einem Worte, wir miissen dl) in Hinsickt auf g der Nulle nakebringen. Dies ist aber nur moglich, vvenn h = D wird, denn so wird dl) = 0 in Hinsickt auf ep. Daraus geht vor allem der vvichtige Satz kervor, dass wir in solehen Holieu beobachten miissen, die der Decli¬ nation des Gestirnes naliezu gleickkommen. Setzen mrh = T) m die lx — /) j 2, Gleichung i), so wird tg —-— = 0, mithin cos —-— = 0, oder 9-\-r= 180°, 2 2 es ist also in diesem Falle sin r — sin O, cosr = — cos o-; aus der Glei¬ chung k) ergibt sich zugleich tg D tg = cosr, woraus man die Zeit be- rechnen kanil, in welcher die Hohe die Declination des Gestirnes erreicht; ein Naherungswerth von D muss daher bekannt sein. Die Differentialformel fiir i) gestaltet sich dann folgendermassen: fiir h — D wird nemlick nach 4.) der Einleitung dD = dh + (d9 + dr) cos IfJ sin 2 — cos 2 D A 5 oder 66 dl) dh (di? + dr) sin 2 1- cos 2 D Z w w cos 2 cos 2 D — sin 2 - s« 2 1) Dividirt man durch cos 2 -cos 2 D und bedenkt, dass tgDtg = cost, Z z so erhalt man zuletzt dl) = 'dh + d jL±Al t g% sim y 2 Daraus sieht man ferner, dass neben der Bedinguhg h — b auch sim in der Nahe des Maximums sich befinden soli. Soli dieses Maximum erreicbt ~w und % = .? = 90° werden, so muss tgDtg - = cost = 0 sein; dies ist aber nur moglich entweder fiir D = 0°, oder y> — 0°. Daraus erkellt, dass \vir uns an Sternen mit hoher Declination nicht versuchen diir- fen und dass derartige Beobachtungen in hohen Breiten giinsti- ger ausfallen \v e r d e n als in niedrigen. Da die Sonne in ihrer Decli¬ nation nicht liber e = 23° 27-5' kinausgeht, so wird sie in den Monaten Mai, Juni, Juli immerhin ein sehr geeignetes Object fiir derartige Messungen sein. Die beste Zeit ware freilich im Marž und September, wo die Sonne in der Nahe des Aequators sich befindet, allein weil die Befraction in der Nahe des Horizontes sehr gross und die Berechnung derselben hier unsicher ist, so wird man immerhin die Declination auf einen gewissen Betrag heran- wachsen lassen miissen, um grossere Hohen zu gewinnen; in den genannten drei Monaten ist auch die tagliche Aenderung in der Declination nicht so bedeutend, und man wird innner mit gutem Gewissen cos (d' —d) = 1 setzen konnen, so dass correspondirende Hohen die besten Dienste leisten werden. h — D Die Berechnung von tg —-— nach der Formel i) ist nun so bequem Z und fiir logarithmische Behandlung so geeignet, dass wir D nicht in eine Reihe aufzulosen brauchen, obwol wir dies auch thun konnten. Als Beispiel mdgen die oben fiir den 3. Juni 1877 mitgetheilten Beobachtungen dienen. Es war nemlicli nach Reduction aller zehn Beobachtungen auf eine einzige Ji — 21° 45' 33-34", r = 81 6 18' 0-75", .9 = 100° 10' 52'2". Wenn man cp — 45° 56', mithin v' — 22° 2' als einen Naherungswerth annimmt, so steht die Rechnung folgendermassen: - \ ' = 90° 44' 26-48“ Ig Z = 9° 26' 25-73" 'lg O -)- z >s— H- = 8-1115003” lg tg = 9-6071366 Z 7-7186369” ~ 9-9940780 — l) = — 0° 18' 13-91" — D = — 0° 36'27-82" h— 21° 45' 33-24" 1T~ 22° 22' 1-16" lg tg h — D = 7-7245589 67 Zugleicli findet man dD = dh + 0'41 eh + 0’41 d& ■— 0'015 dtj. Wenn man das so gefundene D in die Gleiehung i/< = H — D einsetzt, so ist ip = 66° 25' 59-25" — 22° 22' M6" = 44° 3' 58-09". Weil q um 1-91" zu klein angenommen wurde, so bedarf D und mithin audi i p noch einer Correction im Betrage von 1-91" X — 0-015 = — 0-03"; bringen wir noch die im ersten Abschnitte Nr. 6 berechnete Correction —0-03" an, so ist T) — = 22° 22' 1-1", ip = 44° 3' 58’15", cp = 45° 56' P85". Wie man sielit, bleibt der Fehler in der gemessenen Hohe auch in der Declination, hingegen erscheint die nach dieser Methode bestimmte geogra- phische Breite von diesem Fehler ganz befreit, weil sich in der Gleiehung ip = H — D die in H und D steckenden Hohenfehler gegenseitig aufkeben, vorausgesetzt, dass die Theilung des Hohenkreises eine fehlerlose ist. In den obengenannten drei Monaten wird man also auch aus Sonnenbeobachtungen die geographische Breite mit ziemlicher Scharfe bestimmen konnen. — Ist aber einmal die geographische Breite eines Ortes genau bekannt, so braucht man sich an die Bedingung h = D nicht zu kehren, sondern man wird die andere V Forderung, dass nemlich tg recht klein sein soli, dadurch zu erfiillen trach- J ten, dass man in der Nake des Meridians beobachtet. Fiir die Rechnung stehen dann zwei Wege offen, entweder rechnet man H aus dar Reihe d), oder man rechnet J) aus der in dieser Nunnner aufgestellten Formel i). 13.) Die Betrachtung der Differentialformel fiir k) bietet uns nichts Neues; es ist nemlich klar, dass v in der Nake von 90° sein muss, solite die Berechnung von tg — - und tg - in Hinsicht auf A und t einige Si- cherheit gewahren, dass man also Sterne, deren J) - <-/, um die Zeit der grossten Digression beobachten muss, um den Fehlern in o und x ihren Einfluss moglichst zu entziehen. Es bleibt aber der Coefficient von d tg -f 2 ’ tg 2 ~ ^ 2 COt 2 Beispiel 1.) In Nr. 6 dieses Abschnittes war ) — 90°, z == 4° 20' 26-25", (f = 52° 30' 13-01", daher | = 18° 44' 53‘5" 90- Ig tg —— - = 9-9670671 A Ig tg | = 9-5307363 Ig tg - ~ D = 9-4978034 Ig tg h ~ J - = 0-4363308 li — D 2 h + D = 17° 27' 54-94" = 69° 53' 21-70" h = 87° 21' 16-64" D = 52° 25' 26-76" dh = 0'003 dd- — 0’611 dr •+- 0’06dq dl) — 0-046 dd- — 0-037 dr + 1-001%. Beispiel 2.) In Nr. 9 dieses Abschnittes war z = 259° 19'16-5", O = 182° 20' 31-7",

= 88° 29'52-42" 7i = 50° 55' 30-82', igtg h —D 9-5316853» Igtg h ^ I) = 0-4321719 A dl) = — 0 - 6456 — //')] dcp = dH = |^1 + clcp = (IX — |l + cos cp cos it sin sin (D — h ) sin (>'>■ — {>’) ]dcf ] dg cos q cos & sin wobei dcp auf der rechten Seite den Fekler im angenommenen und fur die Reclinung ver\vendeten cp bezeicknet; weil cos & immer negativ ist, so wird der Bruck in der Klammer stets negativ ausfallen. Man sieht ferner, dass dieser Bruck seinem Werthe nack nake gleich —1 sein muss, wenn die Correctur recht klein werden und cp sckon aus der Reike selbst mit ziemlicker r d i ]z ^ Sickerkeit kervorgehen soli. Weil nun beim Polarstern sowol ---- cos cp der Werth von sin (D — h) cos q ; als auck sin (■& — i9-') cos V sin O' sin {O- + g') immer 2 nake an + 1 ist, so muss — in der Nahe von — 1 liegen, \vas nur dann sin (g — {>■') 1 sifi ('O' { moglich ist, wenn annahernd —-~ == — 1 oder tt + 9’ = 270°, & ’ srn (g — g ) g — g’ = 90°, oder g = 180°, $•' = 90° wird. Darin liegt otfenbar eine Bestatigung der Annahmen, von denen wir in dieser Nummer ausgegangen sind. Nackdem der aus der Reike kervorgegangene Werth von cp: auf diese Weise corrigirt worden ist, so berechnet man dann z’ noch einmal aus 4.) der Einleitung und erha.lt sonack eine sehr genaue Zeit der beiden Beobach- tungen, womit die ganze Rechnung fur abgescklossen betrachtet werden kann. Da das Azimut des Polarsternes immer in der nacbsten Nake von 180° bleibt und man in der Gegend des ersten Verticales immer einen bekannten Štern von kleiner Declination treifen wird, so ist diese Methode zu jeder Nackt- stunde anwendbar. Weil die z\vei Beobachtungen im Verlaufe von zwei bis 71 drei Minuten abgetkan werden konnen, so wird man auf der See vennittelst des kier angegebenen Verfahrens einzelne Orte der Fabrt scbarf zu fixiren im Stande sein. Beispiel (aus Briinnow pag. 301 umgeformt). Dr. Westpbal bat am 5. Oktober 1822 zu Cairo beobacbtet: a Ursae minoris um 8 h 28“ 17“ in der Hohe h = 30° 58' 144" a Arietis 47“ 30* im Osten in eben derselben Hobe. Die Oerter der zwei Sterne waren an diesem Tage a I) a Ursae minoris O' 1 58“ 1440* 88° 21' 54 3'' « Arietis 1* 57“ 14'00 s 22° 37' 22-7" Eine Naherung sei r/ — 30°. Aus diesen Daten soli die geograpbiscbe Breite von Cairo sowie die Zeit der beiden Beobaehtungen genau ermittelt werden. Nebenbei bemerken wir, dass die Gleichheit der beiden Hohen hier eine zufallige ist, denn die zwei Sterne hatten auch in versckiedenen Hohen beobacbtet werden konnen. Mit den Werthen ip = 60°, h' = 30° 58' 14 4", D' = 22° 37' 22-7'' wird nun t, der Stundenwinkel a Arietis nach Formel 4.) der Einleitung gerech- net; man erhalt x' — — 66° 13' 31'3“ uiid nebstbei &' — — 99° 52' 35"; der Stundenwinkel und das Azimut miissen nemlich negativ genommen wer~ den, weil der Štern im Osten beobacbtet wurde. Nun berecbne man l = = a' — « Q — 0' a '— a — + 58“59'9'’ 0 —©'=— 19“13 s mittlere — — 19“16'16“ Sternzeit 0—0'— — 19“ 16’1(1' l = + 39”43‘74 7 = 9° 55' 56'1", x = % + l — — 56° 17' 35-2". Aus der Gleickung cos h sin o = cos D sin x erhalt man nun als Azimut des Polarsternes & — 181° 35' 10'3", mitbin 90° 47'35-15" Ig cot~ = 8'1412315 M - == — 28° 8' 47-6" Ig tfj~ = 9-7283497« 2 __ Ig 2n sin ip — 3-4225669, 2645-86" 2645-86" + 9-797" Ig n = 7-8695812 Ig n 2 * * * * sin 2 tp = 0-9911181 9-797" == 0° 44' 15-66" Aus der Reihe, die der oberen Culminationshohe entspricht, erhalt man nun, weil p = 1° 38' 5*7", fp = 30« 58' 14-4" — 1° 38' 5‘7" + 0° 44' 15*66" = 30° 4' 24-36". F ur dieses ep muss nun die Correction nach obiger Formel dtp = dH berechnet werden. 72 D- f- = 119° 20' 8-7“ Ig sin (D + h) = 9'9403988 Ig cos ep = 9'9372092 281° 27' 45-3" Ig sin((> — ,9') = 9-9912503” ^costf = 9-999833G” 9-93i649i re igsin o’— 9-9935156» 9-9305584 9-9305584~ <žc/> = dll = — 0-0025 dr/ 0-0010907» — Ig — 1-0025 Weil die geographische Breite um 4' 24-36“ zu ldein angenommen wurde, so betragt diese Correctur 264-36“ X — 0-0025 = — 0 - 66“, mithin ist end- giltig cp = 30° 4' 23-7". Mit dem so gefundenen cp wird der Stundenvvinkel %' des Sternes a Arietis nach Formel 4.) der Einleitung nocbmals berechnet; man fin det t = ■— 66° 14' 24-2", t = — 56° 18' 28-1", \vomit diese Rechnung als ab- geschlossen betrachtet werden kanu. Ist dann A der Stundenwinkel der Sonne, der zur Sternzeit 0' gehort, also zum Augenblicke, in welchem der Aequator- stern beobachtet wurde, so ist, wenn u s die Rectascension der Sonne bezeicli- net, A = G' — a\ %' = Q' — woraus man A = t + a' — a s findet. 15.) Zuletzt wollen wir nocli die Aufgabe bebandeln, wie man aus den Beobachtungen dreier Sterne, die man in gleicher Hohe gemessen liat, und der Zwiscbenzeit der Beobachtungen sowol die Zeit und geographische Breite als aucli die gemessene Hohe selbst bestimmen kann. Es ist nemlich fur eine und dieselbe Hohe bei drei verschiedenen Sternen sin h = sin q sin D -(- cos cp cos D cos r = sin cp sin D' + cos cp cos D' cos t' = = sin cp sinD“ + cos cp cos D" cost" .«) Daraus folgt unmittelbar sin cp (sin D — sin D') — cos q (cos D' cos r' — cos 1) cos r) sin cp (sin D — sin D") — cos cp (cos D” cost "— cos I) cos z) mithin _ cos D' cos % — cos D cos % _ cos D" cost"— cos D cost ^ sin D — sin D' sin D — sin D" Man kann dies auch so schreiben: cos D' cos (t + t’ — t) — cos D cost _ cos D" cos (t -f- t" — t) — cos D cos T sin D —- sin D' sin D — sin D" Bezeicknet man die Sternzeiten der drei Beobachtungen der Reihe nach mit ©, ©’, G" und die entspreehenden Rectascensionen mit «, so ist t — G — a, t' — G' — a', t" = 0" — a", somit hat man t' — t — (a — «')+(©' — 0), t" — t = (a — a") + (©"— ©). VVeil nun sowol die Zwischenzeiten (©'—0) und (©”—0) als auch die Rectascensionsunterschiede der Sterne bekannt sind, so sind auch t'—t und t" — t bekannte Grossen; die obige Gleichung enthalt also nur die eine Unbekannte t, die sich jedenfalls wird finden lassen. Es ist nemlich, wenn der Kurze halber t' — -r = /l, t" — t — V gesetzt wird, cos D' cos (t + Z) — cos D cost _ cos D" cos (t + X') — cos D cos t sin D — sin i)’ sin D — sin D” 73 Lost man cos (r + H) und cos (r + X') auf und bebt cos r heraus, so ist cos r (cos D' cos X — cos D) ■— sin r cos D' sin X _ sin D — sin D' cos r (cos D” cos X' — cos D) — sin r cos D" sin X' sin D — sin D" Dividirt man mit cos r und lost die Gleicliung nach tg r auf, so erbiilt man tgr — _ cosD'(sinD —sinD") cosX-cos D"(sinD-sinD') cos X'-cos D (sin D'-sinD") cos D' (sin D - sin D") sin X - cos D" (sin D - sin D') sin X' Setzt man cos D'(sin D — sinD") = a , cos D" (sinD — sinD') — b, cos D (sin D' — sin D") = c , so ist scliliesslicla , a cos X — b cos X' — c . tgr — -:—^- t .——. 7) a sin X — b sm X Man rechnet also vor allem r aus y), dann cp aus /S) und endlicli h aus einer der Gleicbungen a). Es wird sich empfeblen, die Beobachtungen immer so zu ordnen, dass D > D' > D” wird, denn so fallen die Grossen a, b , c immer positiv aus und eine Irrung ist weniger moglich. — Um nun zu erfahren, \vie die drei Sterne am Himmel vertbeilt sein sollen, damit man durch die Beobachtung derselben ein sicberes Resultat erzielt, mussen wir die zu Gruude gelegte Gleicbung sin h = sin cp sin D -f- cos cp cos D cos c differenciren, und zwar ist bei drei gleicben Hoben dih — — cos XX dcp -f- cos v dD — cos cp sin XX dr dh = — cos XX'dcp: + cosvdD '— cos cp sin XX'dr' dh — — cosXX”dcp-(- cosv"dD "— coscpsin XX"dr" Daraus ergibt sicb (cos XX' — cos XX) dtp = cos v' dD' — cos v clD — cos cp sin d' dr' + cos cp sin XX dr (cos d -"— cos XX) dcp = cosv"clD ”— cosvdD — cos sin 9 ' dl — cos v'dD ') 2 sin - . # -- s;« — + (cos ep sin 9"dl '— cos v"dD") 9 -f- // , cos-:- cos v d L) 2 sin- 9"- 9' . 9"- — sni - ■9 + 2 sin 9"- -9 . 9- — sm- 9 ' 2 2 2 2 Sollen nun Beobachtungsfekler, das ist Fehler in l und l', einen mog- lichst geringen Einfluss auf r und g, iiben, so miissen die Nenner der je z\vei ersten Brucke, welche nemlicb dl und dl' enthalten, zu einem Maximum wer- den. Dieses Maximum kann aber, wie man okne weiteres sieht, den Werth von 2 nicht iibersteigen. Wenn dieses Maximum gewahrt bleiben soli, so 9 "— o muss der in allen vier Nennern auftretende Factor sin 9" —(9-' = 180° werden, den beiden Factoren sin 9 — 9 ' und sin — 1 oder — 9 2 2 aber durck die Zahler Gleichgewicht gehalten werden. Es soli also wenigstens 9—9’ dem numerischen Werthe nach sin . 9 "+ 9 9"+ 9 sni —-— = cos ———, Zt z sm - 9 "— 9 2 sm ■ 9 9' 9 + 9' . — = cos —-— sem. woraus man 9 weil 9‘ man nun auek 2 2 9'— 180° ist, 9" = 90°, 9' 9 + 9' 9' und — 90° = + 270° findet; setzt 9 + 9' — 45°, damit der Bedingung sin- cos 9 + 9' 2 ~ *“ ’ .. 2 2 Gentige geschieht, so ist 9 = 180°; ebendasselbe erhalt man, wenn 9"+ 9 2 iiber in = 135° gesetzt wird. Die beiden Ditferentialformeln gehen dann dl +- dl' cos v dl )'— cos v"dD" 2 dq> — (dl dl') cos g 2 cos cp cos vdD'+ cos v"dl)" — cos v dl). 2 1 2 Wahrend also der erste Štern ein Azimut von 180° haben soli, miissen die beiden anderen Sterne im ersten Verticalkreise sich befinden, der eine im Osten, der andere im Westen; der erste Štern soli zugleick in der Nahe seiner grossten Digression sein, damit cos v = 0 wird. Man sieht, dass den Bedingungen, die an den ersten Štern gestellt werden, der Polarstern am ehesten gerecht werden kann; man wird ihn also stets als ersten Štern \vah- len. Ferner ist ersiehtlich, dass Fehler in der Declination der beiden anderen Sterne in niederen Breiten weniger Einfluss haben werden auf die Zeitbestim- mung, als in hohen, was auch schon sonst woher bekannt ist. Weil nun die Hbhe des Polarsternes namentlich in niederen Breiten von der Grosse g 75 niemals viel verschieden ist, die beiden anderen Sterne aber in eben derselben Hohe gemessen und zugleich im ersten Vertical stehen sollen, so baben wir, um einen Aufschluss liber die Declination der beiden Sterne zu erhalten, die Aufgabe zu losen: Wie gross muss die Declination eines Sternes sein, wenn die Hohe desselben im Augenbiicke, als er in den ersten Verticalkreis tritt, der geographiscken Breite gleichkommen soli? Setzt man cos O = 0 in die zweite der Grundgleichungen sin B = sin cp sin U — cos cp cos h cos v , so ist sin B = sin g> sin h, wenn zugleich cp = h sein soli, so ist sin B — sin 2 cp. Fiir Gorz z. B., dessen geographische Breite nahe 45° 56' betragt, ist lgsin 2 g = 9-7128910, somit. waren fiir diesen Ort Sterne mit einer beilituti- gen Declination von 31° 5' auszuwahlen. Die Declination der beiden Sterne braucht nicht verschieden zu sein, im Gegentbeile ware es sehr vortheilhaft, zvvei Sterne mit gleicher Declination ausfindig zu machen, denn ist D' — B ", so wird in der Gleichung y) c — O, b = a, folglich tg% cos X — cos X' sinX — sinX' X -\- X tg - ■—, also t = X -\-X' 2 Da es in diesem speciellen Falle gleichgiltig sein muss, in \velchem Azimute man beobachtet und wie beschalfen die Declination der Sterne ist, so ware dies wol eine sehr bequeme Methode der Zeitbestimmung in un- bekannter Gegend. Beispiel (aus Briinnow pag. 301). Dr. Westphal hat am 5. Oktober 1822 zu Cairo folgende drei gleiche Sternhohen beobachtet: a Ursae minoris um 8 7 ‘ 28“ 17" a Herculis 31“ 21» im Westen. a Arietis 47"* 30" im Ostem Die Oerter der drei Sterne waren an diesem Tage: a D a Ursae minoris 0 h 58” 14-10" + 88° 21' 54'3" « Herculis 17 ft 6” 34-26" 14° 36' 2“ a Arietis F* 57” 14‘00" 22° 37' 22’7" Vor allem bestimmen wir die Constanten a, b, c, zu diesem Zvvecke ordnen wir die Sterne nach der Grosse der Declination, D = 88° 21' 54-3'', D'= 22° 37' 22-7", D" — 14° 36' 2''. Es ist demnach D + D' .. „„ „„ B - U D + B" 2 B'+B" 55° 29' 38-5' = 51° 28' 58-15“ = 18° 36' 42-35" B — B” 2 B’— B" = 32° 52' 15-8" = 36° 52' 56-15“ = 4° 0' 40-35“ 2 ------ 2 Daraus erhiilt man c = 0-0018914, Iga — 9-5378175, Igb = 94735377. 76 Weiters ist a — a' = — O* 58“ 59'9 S ©'— 0 = 4- 19'* 1 3 S rriittl. = 19“ 16 - 16 s Sternzeit. ©'— 0 = + 0" 19 16'16 s l = — 0* 39“43-74* = — 9° 55' 561" a — a" — — 16* 8“ 20'16 s , ©"— © = + 3“4 S mittlere = 3“4 - 5 s Sternzeit. 0"— 0 = + 0* 3 4'50 s V = — 16* 5“ 15-66® = — 241° 18' 54'9" = 118° 41' 5’1". Somit ist _ 0-339828 + 0-1428137 — 0-0018914 _ 4807503 gX ~ — 0-0595066 — 0-2610194 — " 3205260 t = — 56° 18' 28-09" Der Zweifel, in welcliem Quadranten man % zu suchen habe, wird dadurch behoben, dass man auch %’ und t” berecbnet; in unserem Falle ist t = t + l = — 66° 14' 24-19", t" — % + l' = — 297° 37' 22'99" oder 62° 22' 37-01". Weil nun a Arietis im Osten, a Herculis im Westen beobacbtet wurde, so war der Stundenwinkel des ersteren Sternes negativ, des anderen positiv, was mit der Berecbnung von t und %" stimmt; wiirde diese Ueber- einstimmung nicht zu Stande gekommen sein, so miisste man % in den zweiten Quadranten verlegen, denn es ist bekanntlich — to % — ——— — S% % j COST — COS T Recknet man nocli aus den Gleichungen /?) und «) die beiden Grossen cp und h , so erhalt man cp = 30° 4' 23-72", h = 30° 58' 14’44". Ferner findet man d- = 181° 35' 11-3", '}' = 260° 9' 39", &" — 89° 33' 10", v = 237° 6' 48-9", v' — — 67° 28' 40’8", v" = 63° 24' 38’1". Daraus ergibt sich dr = — 0-54648 dl — 0’456 dl' — 0'0617 dD — 0-2455 dl)' + 0'236 dD", dcp — + 0-4824 dl — 0‘456 dl' + 0-4714(71) + 0'2167 dD’ + 0’23 6dD”. Berichtigung nnd Zusatz. Da die Zeitgleichung veranderlich und daher filr jede Beobaclitung eine andere ist, so erleiden die Ausfuhrungen im Abschnnitte I, Nr. 2 bis 4, eine kleine Modification. Bezeichnet man nemlicb mit y die Zeitgleichung fiir eine beliebige Beobacbtungszeit t und ist x der Stand unserer nacb mittlerer Zeit gekenden Ubr, so ist genau t + x — y + A .1.) \vo A den Stundemvinkel der Sonne oder die wakre Zeit bedeutet. Ist nun Jy‘ die Aenderung der Zeitgleichung in einer Stunde, so betragt diese Aende- rung in A Stunden: A . Jy Sekunden. Daher ist die einer beliebigen Beob- achtungszeit t entsprechende Zeitgleichung y — g + A . Jy% wo g die Zeit¬ gleichung im wahren Mittage des Beobachtungstages nnd A den der Beob- achtung entspreclienden in Stunden ausgedruckten Stundemvinkel der Sonne bedeutet. Setzt man diesen Wert von y in 1.) ein, so bat man t -fSr = g -j- A + A . Jy s .2.) W eil nun A Stunden bezeichnet, so ist A -j- A . Jy s = ( A A. zly\ i h Titoo/ = : A , 3600 + Jy 3600 mithin t + x — g -j- A 3600 -f Jy 3600 3.) Der Bruch o60 ° + ^ driickt aber das Verhaltnis zvvischen Sonnen- 3600 und mittlerer Zeit aus; denn bezeichnet man allgemein ein Intervali Sonnen- zeit mit g und ein Intervali mittlerer Zeit mit g, so hat man die Proportion g : g = 3600 : 3600 + Jy, woraus man erhalt (3600 + Jy) g , _ 3600 . g ^ ‘ U — " 3600 ’ S 3600 + Jy . a) Die Gleichung 3.) sagt.demnach nichts anderes, als dass man den in mittleres Zeitintervall verwandelten Stundenwinkel der Sonne zur Culminations- zeit derselben zu addiren hat, um die mittlere Zeit zu erhalten. Nimmt man die mittlere Zeit t + x = M als bekannt an, so erhalt man aus 3.) die Sonnenzeit A = (M-g) 3600 ' 3600 + Jy 4.) 73 F tir eine Vormittagsbeobachtung wird man nehmen Jy 24'' ’ fiir eine Nachmittagsbeobachtung /ly — wo g x die Zeitgleichung im Mittag des der Beobachtung vorausgehenden und g 3 die des nachfolgenden Tages bedeutet. Will man die ausseržte Genauigkeit erreichen, so wird man y in 1.) vermittelst Interpol at ion bestimmen. Im Beispiele der Nr. 2 im I. Abschnitte ist g = — 2“ 7‘48 4 ', g x = — — 2“ 17'09 s , mithin /ly = 0-4004- 5 , ferner A = — 5 ,! 22“ 2P12 4 = == — 5‘37253*, mithin A . Jy — — 2‘15 s und t + x — — 2“ 7‘48 s — — 5 22™ 21*12' — 2'15 S = — 5 7 ‘24 30'75 s — 18*35 29'25 s nacli astronomi- scber Zahlung; die Uhr zeigte 6 7 ' 34“ 34" friih, oder astronomisch 18'* 34 34 s , daher x — 55'25 s . In correspondirenden Hohen, wovon Nr. 3 und liandeln, ist dann, wenn der Kiirze halber 3600 + Jy 3600 4 des I. Absclin, gesetzt wird, far Nr. 4 (pag. 15) vormittags t = g — A . £ — x nachmittags t' = g -)- A'. ^ — x t -j— t A —• A t — t A -f- A . — g — x H- — -. £ —— = —sr - • g oder T — g — x = t' H- t A'— A A'+ A Es muss daher, streng genommen, die Correction e s in mittlere Zeit venvandelt werden, bevor man sie an das arithmetische Mittel \(t' + O anbringf. Umgekehrt muss die halbe Zwisclienzeit \(t' — t) in Sonnenzeit venvandelt werden, damit sie der Gleichung «) in Nr. 4 als Stundemvinkel dienen kann. Die letztere Forderung ist bei Sonnenbeobachtungen wohl zu beachten, namentlich bei Rechnungen, wie sie im III. Abschnitte vorkommen. Als Aenderung der Zeitgleichung in einer Stunde wird man bei der Me- thode der correspondirenden Hohen am besten setzen Jy = - h ~~, welche Grosse man im Nautical-Almanach fiir jeden Tag des Jahres angegeben findet. Fiir den 3. Juni 1877 ist zly = 0 - 4P, da g 3 = — 1“57‘49 4 , g x = — 2“17 - 09 s betragt, mithin £ — D000114. Wir miissen daher auf Seite 49 sagen: x — = 42-5“: 1-000114 = 12-495“ = 42“ 29‘7 4 = 10° 37' 25‘5". Die Rechnung ist also dort mit einem Stundemvinkel gefiihrt worden, welcher um 4-5'' zu gross ist. Nun ist (auf Seite 50) dH = + 0-143dr; wenn wir daher r um 4-5" abnelimen lassen, so wird dH — 0-143 X —4-5" = —0 - 64'' und H = 66° 25' 48". 79 Ebenso ist auf Seite 66: v = 81-300208°: 1-000114 = 81-29094° = — 81° 17' 27-38"; die dortige Rechnung ist daher mit einem Stundemvinkel gefiihrt worden, der um 33 - 37" zu gross ist; es ist aber (ID — 0 - 41 ch\ wenn wir nun r um 33-37" abnehmen iassen , so ist d D — 0 - 41 X — 33-37" = = — 13-68" und D — 22° 21' 47‘4". Berucksichtiget man diese Forderung auch bei der Berechnung der Mittagsverbesserung y (. 4 ' — A) und ~(oj '— oj) und driickt demnach die Zwi- schenzeit \ (t '— t) in Sonnenzeit aus, so ist die Gleichung č'— d (D s — 2 ~ 48* in aller Strenge richtig. Bei dieser Gelegenheit wollen \vir noch kurz andeuten, wie man Stern- zeit in mittlere Zeit verwandelt und urngekehrt. Bedeutet nemlich wieder /i ein Intervali mittlerer und v ein Intervali Sternzeit, so besteht, wenn U die Anzahl der Tage eines tropischen Jahres bezeiehnet, bekanntlich die Pro- portion u : v = C7: Z7 -j— 1, woraus sich ergibt u.v (U+ Dn ‘ u — u+i’ v ~ ■ TJ . Heutzutage betragt U — 365-2422144 mittlere Tage, mithin ist b) .. r t , = 0-99726956, —■— 1-0027379. - U -j— 1 U Analog wie bei der Forinel 3.) werden wir hier, wo es sich statt der Sonne um den Friihlingspunkt handelt, sagen: Man erlialt die mittlere Zeit, wenn man den in mittleres Zeitintervall verwandelten Stundemvinkel des Friihlingspunktes zur Culminationszeit desselben addirt. — Die Culminations- zeit des Friihlingspunktes erlialt man aus den Ephemeriden, wo man die Sternzeit fiir jeden mittleren Mittag im Jahre angegeben findet; venvan- delt man diese Sternzeit 0 O in mittleres Zeitintervall und nimmt diese Grosse negativ, so bat man die Culminationszeit des Friihlingspunktes in mittlerer Zeit angegeben. Bezeiehnet man dann einen beliebigen Stunden- winkel des Friihlingspunktes oder die Sternzeit mit 0, so ist t + x — ( 0 - ©o). u u+ 1 5.) Nimmt man die mittlere Zeit t sich aus 5.) die Sternzeit M als bekannt an, so ergibt 0 ©n M{U+\) u 6 .) \velche Gleichung einer ahnlichen Deutung faliig ist wie 3.) und 4.) Da 360° die Sternzeit im mittleren Mittage 0 O taglich um = 0‘98564729° = = 3“ 56-555® zunimmt, so findet man diese Sternzeit fiir einen Ort, dessen geographische Lange von dem der Ephemeride zu Grunde gelegten um verschieden ist, werm man zu der in der Ephemeride angegebenen Sternzeit 80 3 7W 5 6* o Si) 6 die Grosse : — - 7 ^- • addirt. Liegt der Ort westlich, so ist k° positiv, 360° liegt der Ort ostlich, so ist k° negativ. Bezeicknet endlick a die Rectascension und A den Stundenwinkel eines Gestirnes, so besteht bekanntlick die Gleichung « + .4 = 0 .7.) Ist dieses Gestirn die Sonne, so driickt die Gleichung 7.) die Beziebung zwiscken Sonnen- und Sternzeit aus. Druekfehler. to* co co' I Cl) Seite 32 lies ——— statt -—-—- in Zeile 12 von unten. Z A Seite 60, Zeile 7 von unten lies k statt K. z