P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 5 Strani 258-260
Jože Grasselli:
NESREČNO ŠTEVILO 13 JE SREČNO
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1350-Grasselli.pdf
© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2009 DMFA - založništvo
NESREČNO ŠTEVILO 13 .JE SREČNO
Ljudski glas pravi, daje število 13 nesrečno. Matematika pozna srečna števila in 13 je med njimi.
Poljski matematik Stanislav Ulani je živel v Ietili 1909 do 1984, Dolgo je deloval v Ameriki. Tam je izšla leta 1960 njegova "Zbirka matematičnih problemov"7. V tej knjigi je prvič govor o srečnih številih. Pozneje so se z njimi ukvarjali še drugi.
Postopek, po katerem je Ulam opredelil srečna števila, imenujemo Ulamovo rešet.o, Ponazorimo na zgledu, kako to rešeto seje.
Določiti hočemo srečna števila, do 50. Zapišemo vsa. naravna števila od 1 do 50. podčrtamo 1 in prečrtamo vsako drugo število
1. X3, /h, ... 47, ^ 49, -/(. Ko Izpustimo prečrtana števila, dobimo zaporedje
1, 3. 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49.
Prvo nepodčrtano število v tem zaporedju je 3; podčrtajmo ga in prečrtaj mo vsako tretje število (ker smo podčrtali število 3)
1, 3, /7, 9, j/ 13, 15, 19, 21, 25. 27, 31, 33, 37, 39, ^ 43, 45, tf. 49 .
Odvržemo prečrtana števila in pridemo do zaporedja
1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21. 25, 27, 31, 33, 37, 39, 43, 45, 49. (1)
Število 7 je v zaporedju (1) prvo, ki je nepodčrtano. Podčrtamo ga in v (1) prečrtamo vsako sedmo število
1, 3. 7, 9. 13, 15, 21. 25, 27. 31, 33, 37, ^ 43, 45, 49.
Ko izpustimo prečrtana števila, imamo zaporedje
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 27, 31, 33, 37, 43, 45, 49. (2)
Sedaj v (2) podčrtamo 9 in prečrtamo vsako deveto število
1, 3, L 9, 13. 15, 21, 25, ^ 31, 33, 37, 43, 45, 49.
Izpustimo prečrtano število 27 in smo pri zaporedju
1, 3, 7, 9. 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 45, 49.	(3)
V (3) podčrtamo 13 in prečrtamo vsako trinajsto število
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33. 37. 43, X 49.
Treba je torej 45 odvreči in ostane zaporedje
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49.	(4)
Ker je v (4) prvo nepodčrtano število 15, bi ga v naslednjem koraku podčrtali in iz (4) izpustili vsako petnajsto število. Toda v (4) je le trinajst členov, zato je sejanje končano. Števila, ki so imela "srečo", da niso bila prečrtana in odvržena, so srečna. Srečna števila do 5(J so tako podana z zaporedjem (4), 13 je eno od njih.
Iz napravljenega zgleda je jasno, kako presejemo srečna števila do naravnega števila a. Za a = 100 najdemo, da so srečna števila do 100
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67,
69. 73, 75, 79, 87, 93, 99.	^
Mislimo si sedaj, da izhajamo iz zaporedja vseh naravnih števil
1, 2. 3, 4, 5,..., n, n + 1,...
in ga presejemo z Ulamovim rešetom. Števila, ki ostanejo, so srečna; neskončno jih je. prvih triindvajset podaja zaporedje (5).
Ob opazovanju srečnih števil se porajajo raznovrstna vprašanja. Iz (5) vidimo, da so med srečnimi števili do 100 štirje kvadrati 1 = l2, 9 = 32, 25 = 52, 49 = 72. Ali je v zaporedju vseh srečnih števil neskončno kvadratov?
Praštevilo je srečno ali pa tudi ne. Po (5) je npr. praštevilo 3 srečno, praštevilo 5 pa ne. Do 100 je 25 praštevil, med njimi so srečna 3. 7,13. 31. 37,43, 67, 73, 79, kot pove (5). Ali je neskončno praštevil, ki so srečna?
Srečno število je zmeraj liho, saj Ulamovo rešeto vsa soda števila odvrže. Včasih sta zaporedni lihi števili obe srečni. Iz (5) preberemo, da so med srečnimi števili do 100 pari te vrste
1,3; 7,9; 13,15; 31,33; 49,51; 67,69; 73,75.
Takšnim parom pravimo srečni dvojčki. Ali je neskončno srečnih dvojčkov?
Začetna soda števila se dajo izraziti z vsoto dveh srečnih števil. Tako
je
2 = 1 + 1	12=3 + 9
4 = 1 + 3	14 = 1 + 13
6 = 3 + 3	16 = 3+13
8 = 1 + 7	18 = 3+15
10 = 3 + 7	20 = 7 + 13
(Včasih je takih izrazitev vet. Npr. 16 = 1 + 15 = 3 + 13 = 7 + 9.) Ali je vsako sodo naravno število vsota dveh srečnih števil? Na nobeno od zgornjih vprašanj odgovor ni znan. Do 100 je 25 pr as te vil, srečnih števil je 23; do 200 je prastevil 46, srečnih števil 39. Naj pomeni A{x) število prastevil. B(x) število srečnih števil do naravnega števila x. Uugnali so. da gre kvocient proti 1, ko rase x čez vse meje. Pri velikem x je torej do x približno toliko srečnih števil, kot je do x prašlevil.
Oglejmo si sedaj naravna števila oblike n = 3f + 2. t - 0.1.2.....Če
je I sod, je n sod in odpade pri prvem sejanju. Cc je t lih, je t = 2s + 1, s — 0, 1, 2,..., in rt = 6« + 5; iz (*) se vidi, da so ta števila odvržena pri
drugem sejanju. To pomeni, da število oblike 3£ + 2, t — 0.1,2.....nikoli
ni srečno. Srečna so tako lahko le števila, ki so deljiva s 3 ali pa puščajo pri delitvi s 3 ostanek t. Seveda je tudi med temi mnogo takih, ki niso srečna.
Literatura
S. Ulam, A Collection of Mathenmtical Problems. 1960. Članek M. Gardnerja v Mati», ZnteJJ, 19 (1997), 2. str. 26 29.
Naloga
Poišči srečna števila a) do 200, b) do 500, c) do 1000.
.Jože Graase.lli