P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 28 (2000/2001) Številka 3 Strani 136-139
Janez Strnad: PROTI TOKU
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/28/1441-Strnad.pdf
© 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
PROTI TOKU
Neka nemška televizijska postaja, je z namenom, da bi med učenci širila zanimanje za naravoslovje, razpisala natečaj za predloge za perpetuum mobile. Med dopisi je dobila predlog nekega učenca za napravo, ki "sicer tli pravi perpetuum mobile, a v nasprotju s podobnimi predlogi deluje". Treba je bilo vložiti še precej dela, preden je učenec ob pomoči strokovnjakov izdelal model naprave. To je bila ladjica brez motorja, ki je plula proti toku (slika. 1).
Slika 1. Model broda proti toku, ki gaje ob pomoči strokovnjakov izdelal nemški učence. Model se je s hitrostjo 5 metrov na. minuto gibal proti Loku s hitrostjo 40 metrov na minuto. Slika je vzeta iz članka W. Biirger. Dos GegenstromschiiF, Plivsikalische Blatter 54 (1998) 1131. Razmerju v\,jv = 1/8 ustrezajo razmerja, a = 1, b = 2,8 in V2/r = 3,8.
Večina vas bo rekla, da kaj takega ni mogoče. Pa je. Vendar plovilo, ki se je prepuščeno samo sebi gibalo proti toku, ni bilo prosto, ampak z vrvjo povezano z okolico. Zato je bolje govoriti o brodu, Brod ima preprosto zgradbo. Trup izpodriva vodo in poskrbi za vzgon. Na sredi je na trnp preko iežajev pritrjena prečna gred s kolesoma z lopaticami. Lopatice koles na levem in desnem boku segajo v vodo. Voda preko lopatic poganja gred, da se vrti in se nanjo navija vodoravna vrv. Drugo kraj išče vrvi je pritrjeno v točki sredi toka pred brodom, denimo, na sredi mostu. Brod se giblje proti toku, ko se vrv navija na gred.
Pospremimo prejšnje trditve s preprostimi enačbami. Voda deluje na potopljeni del trupa s silo, katere komponenta navpično navzgor je vzgon F[ in vodoravna komponenta v smeri toka. upor broda F\. Na brod deluje navpično navzdol teža Fg, ki jo uravnovesi vzgon. Na potopljeni del lopatic deluje še sila. tekoče vode J3 v smeri toka, to je upor lopatic, in na gred sila. vrvi F v nasprotni smeri toka (slika 2).
F	C	[¥t	----	-
				
	v			r2
		F2		
Slika 2, Sile in komponente sile. ki delujejo na brod v vodoravni smeri.
V ravnovesju, ko brod miruje ali se enakomerno giblje, je vsota komponent vseh sil v navpični in vodoravni smeri enaka 0:
F{ ~ Fg = 0 ,; ^1+^2—^ = 0.
V ravnovesju je enaka 0 tudi vsota vseh navorov. Računajmo jih glede na os gredi, ker lahko v ravnovesju poljubno izbiramo os. Glede na to os delujeta navoT upora lopatic r2F^ in v nasprotni smeri navor vrvi tF. Ročica je pri prvem razdalja sredine potopljenega dela lopatice od osi r2 in pri drugem polmer gredi r. Navora sta v ravnovesju:
r2F2 -rF = 0.
Iz enačb F = F\ + F2 in t2F2 — rF odpravimo silo vrvi in preostane enačba
F\ r2
rFi = (t*2 — r)F2 ali — = —— 1.
Kaj je z navorom sile vode na trup? Okoli izbrane osi vrtljivi trup se zaradi navora upora r\Fi tnalo zasuče. tako da se sprednji del broda malo globlje potopi in zadnji del malo bolj pogleda iz vode. Pri tem je r\ razdalja premice upora trupa od osi. Zato se prijemališče vzgona v težišču potopljenega dela vode premakne malo proti sprednjemu delu broda, prijemališče teže pa ostane na sredi. Navor dvojice sil teže in vzgona IF[ uravnovesi navor upora. Premici teh sil sta v razdalji l (slika 3).
Pomagali smo si z dvema približkoma. V vodo sega več lopatic z različno dolgimi deli. Zato sta F2 in r2 povprečni vrednosti. Po površini trupa porazdeljeno silo upora nadomestimo s silo F\, ki prijemlje v težišču čelnega preseka potopljenega dela trupa, po prostornini potopljenega dela trupa porazdeljeni vzgon F[ pa prijemlje v težišču i z p odri njenega dela vode.
	n		l	F	i	
V	J		\		1—v	
				1	•9	
Slika 3. Sile in komponente, ki delujejo na brod v navpični smeri na mirujoči vodi (a). Med gibanjem proti toku navor dvojice teže in vzgona t /- .' uravnovesi navor npora trupa rj .Fj (b).
Vzemimo, da je hitrost vode tolikšna, da lahko upor trupa Fi in lopatic Fn izračunamo s kvadratnim zakonom, po katerem je upor sorazmeren s koeficientom upora cs čelnim presekom ovire S in s kvadratom hitrosti vode glede na oviro. Upora sta potem v razmerju
F\ _ c,tI S j vf _	+
F2 cll2S2v% cn2S2(v 4- vb - vhr2/r)2 '
Indeks 1 zadeva potopljeni del trupa, indeks 2 pa potopljeni del lopatice. Hitrost broda glede na vodo sestavljata hitrost Vode glede na obalo v in hitrost broda glede na obalo — v¡¡ v nasprotni smeri: Vi = v — (—ffc) = v + + Vb, Hitrost srednjega dela lopatic glede na vodo je za Vb^/r manjša: i>2 — V + 1,7, — VbT2/r. Hitrost sredine potopljenega dela lopatice glede na brod je namreč enaka u>r2 s kotno hitrostjo gredi ui. Hitrost broda glede na obalo pa določa hitrost, s katero se vrv navija na gred s polmerom r in je Vb = ujr, tako da je u> = Vbfr.
Vpeljimo koeficienta a = cuiSi j€¿282 in i) = ro/r— 1 ter izračunajmo razmerje hitrosti broda glede na obalo in hitrosti vode glede na obalo:
fi, _ \/b— va v v/f^-H '
Iz enačbe izhaja, da mora veljati Ti j T — 1 = b > a, če naj se brod giblje proti toku. čim večji je upor broda, tem daljše morajo biti lopatico.
Z enačbo je mogoče izračunati, pri katerem razmerju b je pri danem razmerju a hitrost broda največja. Enačbo odvajamo po b in odvod postavimo enak 0, pa dobimo zvezo	=	+ 1), iz katere sledi
vi,/v = 1 /3/). Čim daljše morajo biti lopatice, tem manjša je hitrost broda. Brod z velikim uporom doseže zelo majhne hitrosti. V mejnem primeru ustreza temu primeru kolo z lopaticami, ki se vrti na. mestu, na primer na zasidranem brodu.
Fizika - Rešitve nalog	139
Mlinska kolesa ob rekah so poznali že v davnini in taka kolesa na zasidranih ladjah v rekah vsaj od leta 537, ko so Goti med obleganjem prebivalce Rima pregnali na ladje. Pozneje se je ta rešitev precej razširila in so kolesa z lopaticami na zasidranih ladjah na rekah poganjala mline, žage, črpalke. Pri nas poznamo take mline na Muri- Vojaški inženir Konrad Keyscr je leta 1405 narisal načrt za brod proti toku. Morda je Denis Papin, najprej Huygensov pomočnik v Parizu in nato Boylov pomočnik v Londonu, kije prvi zgradil parni stroj na znižani tlak, leta 1707 uporabil tak brod na Fuldi v Nemčiji, Vendar ni nobenega nedvoumnega poročila, da bi kak brod, ki bi se gibal proti toku, izkoristili za prevoz ljudi ali tovora. Razlog za to v času pred uvedbo parnih strojev lahko najbrž iščemo v ceneni delovni sili. Težaki so hodili ob obali in z vrvmi ladje vlekli proti toku. Težava je bila najbrž tudi v temT da brod zahteva raven tok reke in most ali drugo pripravno točko, na katero pritrdimo kraj išče vrvi. Danes ta okolju prijazna rešitev ni uporabna, ker regulirane reke tečejo počasi in bi se brod z velikim uporom proti toku gibal še počasneje,
Janez Strnad