i
i
“Lokar-sedmica” — 2010/6/14 — 8:10 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1988/1989)
Številka 1
Strani 41–47
Mojca Lokar:
ČAROVNA SEDMICA
Ključne besede: matematika, naloge.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/923-Lokar.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
CAlUJVNA SEDNICA
Veliki matematiki se ne ukvarjajo le s težkimi problemi. Tako je
tudi v zbirki romunskega matematika Dmitrija Pompeiuja zanimiva
naloga:
Veš, daje stomilijonsko število AB0398246 deljivo s 317. Poi-
šči cifre A, B in Ol
Kako bi rešili nalogo? Lahko bi ugibali in naredili preizkus. Če
je prava zadnja možnost, ne bi omagali? Imamo kar 900 možnosti,
ker na mesto A lahko postavimo devet cifer (1 ali 2 ali 3...9), na
mesti B in O pa po deset cifer (O ali 1 ali 2...9). Tudi deljenje s
tako velikim (trimestnim) številom je zamudno. Z računalniškim
programom ne bi bilo težko. Vendar računalnjka nimamo vedno
pri roki, hišni računalniki pa tudi običajno ne morejo računati s
tako velikimi celimi števili. V slednjem primeru si lahko pomagamo
drugače, a o tem kdaj drugič. Danes bomo računali brez pomoči
računalnika.
Pompeiu, bistra glava, je rešil nalogo s preprostim sestavljan-
jem cifer. Problem je prevedel na množenje in uporabil nenavadno
lastnost števila 7, enice v številu 317.
Najprej si oglejmo število 7. Množimo ga po vrsti z vsemi
enomestnimi števili:
7777777777
x 0123456789
O7 14 21 28 35 42 49 66 63
Pozabimo na desetice, poglejmo le enice: O, 7, 4, 1, 8, 5, 2,
9, 6, 3. Dobili smo zopet vsa enomestna števila vendar v drugem
vrstnem redu. To imenujemo permutacija (prerazporeditev).
0123456789
0741852963
Vsa enomestna števila nimajo te lastnosti. Recimo število 6:
41
ABC398246
6666666666
x 0123456189
o6 12 18 24 30 36 42 48 54
Če spet pogledamo le enice, imamo
0123456189
0628406284
V tem primeru druga vrsta ni permutacija prve, ker lihe cifre
ne nastopajo.
Vrnimo se k naši nalogi. Prevedemo jo na mnoienje: 311 krat
neko neznano število (recimo mu ...RSTUVWXYZ, kmalu bomo
videli koliko mestno je) mora biti enako ABC398246.
Mnoiimo:
311
x ...RSTUVWXYZ
1s celim neznanim številom
1 s celim neznanim številom
nato še 3 z neznanim številom.
---------Vse tri vrste seštejemo,
seveda pazimo na podpisovanje.
Kako? Neznanih števil je sedaj več kot prej in še vemo ne,
koliko jih jel Pa vendar poiskusimo.
Enico dobimo le, ko 1 množimo z Z. Torej mora biti 1 krat Z
enako številu, ki ima za enico 6. Naša permutacija pove, da mora
biti Z enako 8. Druge mošnosti ni. Pišimo zdaj 8 na mesto Z in
množimo ...RSTUVWXY8 z 311. To lahko storimo, saj vrstni red
členov pri mnoienju ni važen (vseeno je ali množimo 8 8 1 ali 1 z
8).
42
.. .RSTUVWXY8
x 311
2536
. . .- - - - H J KL
ABC398246
Jasno je, da mora biti:
Zato mora biti
8 množeno s 311
Y mnošeno s 311
X množeno s 311
Nadaljujemo z W V U T SR . . .
L+3=4
L=1
Poglejmo naprej: 1 krat Y mora biti (L) 1. Permutacija nam
pove, da je to momo le, če je Y enak 3. Ko dopolnimo še drugo
vrstico (množimo z Y oziroma 3), dobimo:
.. .RSTUVWX38
x 311
2 636
951
... ---DEFG
ABC398246
Zdaj mora biti
8 množeno 8 311
3 mnoleno s 311
X množeno s 311
Nadaljujemo z W VU T SR ...
5 + 5+ G =I'OJ 2 [število, ki ima enico 2)
G=2
Tabelapermutacijenam pove, da 2 dobimo, če 1 množimo 8 6, zato
X=6
43
Nadaljujmo:
...RSTUVW638
x 317
2536
951
19 02
...---EJ K
ABC39 8246
Veljati mora
8 mnošeno 8 317
3 m.noleno 8 317
6 mnošeno 8 317
W množeno 8 317
Nadaljujemo z VU T SR ...
2+9+O+K +1 ='" 8
Zaradi prenosa desetic (5 + 5 + 2 = 12), je prišteta še l. Torej
mora biti
K=6
Iz permutacije vidimo, da moramo množiti z 8, če hočemo dobiti
enice 6, zato mora biti ~
W=8
...RSTUV8638
x 317
44
2536
951
1902
2536
-FEJ
ABC398246
8 mnošeno 8 317
3 mnoleno 8 317
6 mnoleno 8 317
8 mnošeno 8 317
V mnošeno 8 317
Nadaljujemo z U T SR . ..
Veljati mora
9 +3+J +1 ='" 9~ J = 6 m V = 8
. . .R S TU88638
x 317
Zdaj je
2536
951
1902
2536
2 536
. ..FE
AB 0398246
8 množeno B 317
3 množeno B 317
6 množeno B 317
8 množeno B 317
8 množeno B 317
Umnoženo 8 317
Nadaljujemo z T SR ...
. . .RST988638
x 317
2536
951
1902
2536
2536
2863
313398246
8 množeno 8 317
3 množeno 8 317
6 množeno 8 317
8 množeno 8 317
8 množeno 8 317
9 množeno 8 317
!e imamo rešitev.
A=3 B=l 0=3
45
Neznano število, s bterim smo mnošili, je šestmestno. Toliko mest
smo potrebovali, da smo s podpisovanjem prišli dovolj v levo (nad
A).
Preprosto, bj? Ali se da tako :Ilra.čunstvo:ll uporabiti tudi v
drugih . rib?pnme .
Tak postopek smo lahko uporabili, ker pri množenju števila 7
s števili medOin 9 vedno dobimo različno število za enico. Ampak,
ali je 7 edino enomestno število s to lastnoatjo1 Da vsa niso taka,
smo že videli. Tudi vsa soda lahko takoj izločimo, kerpri množenju
ne dobimo lihih števil. 7 ni edino enomestno število s to lastnostjo,
saj nam da.
množenje s 3
0123456789
0369258147
množenje z 9
0123456789
0987654321
Tudi množenje z 1 nam da. permuta.cijo
0123456789
0123456789
Ker je spodnja vrstica popolnoma enaka. zgornji (ni nobene
spremembe), to permuta.cijo imenujemo identiteta.
Pompeiujevo :Il sestavlja.nko" lahko razširimo še na množenje
števil zenicami 1, 3 ali 9.
Poskusi še ti! Najdi cifre A, B in C v številu ABC8682, ki je
deljivo natančno z 213. (Rditev: A =1, B =9, C =1)
Kaj je nenavadnega. v številih 1, 3, 7 in 9, da nam dajo per-
muta.cij01 zdi se da lihost. Pa vendar, tudi 5 je liho število, te
lastnosti pa nima. 1, 3, 7 in 9 so natančno tista enomestna. števila,
ki so si tuja zlO. (Števili sta si tuji, če rasen 1ni nobenega števila,
46