i i “kolofon” — 2017/12/8 — 8:32 — page 1 — #1 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, SEPTEMBER 2017, letnik 64, številka 5, strani 161–200 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Grega Rihtar. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi- nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij. c© 2017 DMFA Slovenije – 2055 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. PO SLEDEH NEKE GEOMETRIJSKE KONSTRUKCIJE MARKO RAZPET IN NADA RAZPET Pedagoška fakulteta Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 01A55, 51M04, 51M15 V prispevku obravnavamo nekatere geometrijske konstrukcije trikotnika z dano osnov- nico c, vǐsino vc nanjo in razliko α− β kotov ob osnovnici. Nalogo je Josipu Plemlju dal leta 1891 njegov profesor matematike Vincenc Borštner na ljubljanski gimnaziji. Plemelj je nalogo rešil na originalen način. ON THE TRACKS OF A GEOMETRIC CONSTRUCTION In this contribution we discuss certain geometric constructions of a triangle with a given base c and altitude hc to the base, and the difference α−β between the angles at the base. The problem was posed in the year 1891 to Josip Plemelj by his mathematics teacher Vincenc Borštner in secondary school in Ljubljana. Plemelj has solved the problem in an original way. Uvod Ob okroglih obletnicah slavnih matematikov se po navadi znova poveča zani- manje zanje. Dne 22. maja 2017 smo v Plemljevem seminarju na Jadranski ulici 19 v okviru Seminarja za zgodovino matematičnih znanosti skromno počastili točno 50. obletnico smrti našega velikega matematika akademika prof. Josipa Plemlja (1873–1967). V ta namen smo povabili prof. Antona Suhadolca, enega izmed redkih še živečih Plemljevih študentov, da nam je povedal nekaj iz življenja in dela našega svetovno znanega matematika. Prof. Suhadolc je pred leti urejal Plemljevo pisno zapuščino, ki je sedaj shra- njena v Arhivu Republike Slovenije (ARS) v Ljubljani. Ob tem zahtevnem in hvalevrednem delu je odkril marsikaj zanimivega, kar pred desetletjem še ni bilo splošno znano, predvsem o težavah s pridobivanjem profesorjev fizike v prvih letih po ustanovitvi ljubljanske univerze leta 1919. Njen prvi rektor je bil namreč ravno prof. Plemelj. Čeprav je imel možnosti, da bi svoje znanstveno delo nadaljeval na kakšni že utečeni univerzi, se je raje posvetil ljubljanski, na kateri je dolga leta predaval matematiko bodočim profesorjem matematike in fizike ter inženirjem, in sicer vse do upokojitve leta 1957. Šte- vilni Plemljevi študentje so ostali tudi na visokih in vǐsjih šolah, napredovali v profesorje in nadaljevali s širjenjem matematičnega znanja. V glavnem je vse, kar je o prof. Plemlju povedal prof. Suhadolc, zapisano v članku [10]. Še Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 161 Marko Razpet in Nada Razpet več pa je o prof. Plemlju in njegovem delu zapisal njegov najbolǰsi študent, akademik prof. Ivan Vidav (1918–2015) v [11]. Kot dijak ljubljanske klasične gimnazije se je Plemelj vnaprej sam naučil toliko matematike, da je lahko inštruiral dijake vǐsjih letnikov, zlasti matu- rante. Tako se je laže spopadal z revščino, ki so jo tolkli v njegovi družini. Ni pa ostal le pri gimnazijski matematiki, posegel je tudi po vǐsji. Plemljev profesor je bil Vincenc Borštner (1843–1917), ki je spoznal in spoštoval nje- govo nadarjenost za matematiko. Zato je Plemelj zlahka nadaljeval študij matematike na Dunaju. Ob tej priložnosti se spodobi, da navedemo nekaj osnovnih, manj znanih podatkov o Vincencu Borštnerju. Z vztrajnim iskanjem se jih najde na svetovnem spletu. Rodil se je 8. januarja 1843 v Lažǐsah, vasici, ki sedaj spada pod občino Laško. Gimnazijo je obiskoval v Celju in Mariboru, nato je študiral na graški univerzi. Leta 1870 je bil imenovan za asistenta za vǐsjo matematiko in fiziko na graški tehnǐski visoki šoli. Obenem je poučeval kot učiteljski kandidat na neki graški gimnaziji, od 1871 pa nadaljeval s pedagoškim delom na celovški in ljubljanski gimnaziji. V Ljubljani se je prof. Borštner na lastno željo upokojil leta 1903. Umrl je pred sto leti, 31. maja 1917 v Ljubljani. V Celovcu je 1875 objavil razpravo Zur Theorie der Potenzen von Kre- isen und Kugeln (O teoriji potenc krogov in krogel). Borštner je objavljal svoje strokovne prispevke tudi v celovškem Kresu, leposlovnem in znanstve- nem listu, v katerem je na primer leta 1881 objavil v treh nadaljevanjih prispevek Spektralna analiza kot pripomoček v astronomiji, naslednje leto pa O telegrafičnih vremenskih poročilih, prav tako v treh nadaljevanjih. Pisal je tudi ocene knjig, na primer leta 1881 Oko in vid Jakoba Žni- daršiča (1847–1903) in pozneje dveh predelanih Močnikovih učbenikov za aritmetiko in geometrijo. Baje je Plemelj kot dijak rad prebiral Borštner- jeve astronomske prispevke v Kresu, zato ni čudno, če se je navduševal nad astronomijo. Prof. Borštner je prǐsel v našo zgodovino matematike morda predvsem zaradi konstrukcijske naloge, ki jo je narekoval iz neke zbirke mlademu petošolcu Plemlju leta 1891: (A) Konstruiraj trikotnik, če poznaš stranico c, vǐsino vc in razliko kotov α− β. Pri tem vzamemo, da je α > β, ker je za α = β naloga trivialna. Seveda je pri tem mǐsljena klasična konstrukcija, samo z neoznačenim ravnilom in 162 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 Po sledeh neke geometrijske konstrukcije šestilom. Plemelj je nalogo rešil, najprej analitično, nato pa še konstruk- cijsko v veliko profesorjevo zadovoljstvo. Rešitev sicer ni bila taka, kot je bila v zbirki in kakršno je pričakoval profesor. Vsaj dve rešitvi, drugačni od Plemljeve dijaške, pa sta bili znani že vsaj 60 let pred tem dogodkom, kot bomo videli pozneje. Plemelj je o tej nalogi še večkrat razmǐsljal, zlasti med novoletnimi počitnicami, in našel več drugačnih konstrukcij. Sicer pa je znano (glej na primer [11]), da se je prof. Plemelj ukvarjal s težkimi pro- blemi v teoriji potenciala, diferencialnih in integralskih enačb, analitičnih funkcij ter algebri in teoriji števil. Pri prebiranju virov v zvezi z nalogo (A) pa naletimo na nekaj težav in nejasnosti. Ni znano, ali je prof. Plemelj svojo konstrukcijo trikotnika pred letom 1949 kje javno predstavil. Zgodilo pa se je, da je novembra tega leta na Bledu potekal 1. kongres Zveze jugoslovanskih društev matematikov, fizikov in astronomov, kjer je Plemelj kot domačin imel govor o svojem življenju in delu. Ob tej priložnosti je pokazal tri konstrukcije svojega trikotnika: dve lastni in tisto iz Borštnerjeve zbirke. Prispevek s konstrukcijami vred je bil objavljen v Beogradu leta 1951 v zborniku kongresa, v Ljubljani pa šele 101 leto po Plemljevi dijaški rešitvi, to se pravi leta 1992, in sicer v Obzorniku za matematiko in fiziko (glej [7]), kar ni nič čudnega, saj v času kongresa v Sloveniji še nismo imeli matematične strokovne revije, kaj šele znanstvene. Imeli smo pa Proteus, ilustriran časopis za poljudno naravoslovje. V času kongresa je izhajal njegov 12. letnik, njegov dolgoletni urednik pa mu je bil prof. Lavo Čermelj (1889–1980). Čermelj je v Proteus vpeljal rubriko Za bistre glave, v kateri je postavljal vprašanja z različnih področij naravoslovja, fizike in matematike, v naslednjih številkah pa je objavljal in komentiral odgovore bralcev. Ko je Čermelj izvedel, da je prof. Plemelj na blejskem kongresu govoril tudi o konstrukcijski nalogi (A), je takoj v rubriki Za bistre glave objavil Vprašanje št. 6 (več v [3]). To je verjetno naredil z namenom, da bi bralci našli še kakšno rešitev. Zapisal je, da je sam Plemelj že našel kakih dvajset različnih rešitev. Najprej se je verjetno na urednikovo prošnjo odzval sam prof. Plemelj in v Proteus poslal tri rešitve iz svoje zbirke: tisto iz Borštnerjeve zbirke in dve svoji, od katerih je zadnja tista iz njegovih dijaških let, pri kateri si je pomagal s trigonometrijo. Vse so bile objavljene v [8]. Kot kaže, je to bila prva objava njegovih trikotnikov v tiskani obliki. Prispele so tudi rešitve nekaterih bralcev, ki pa so bile pomanjkljive. Ing. Mitja Brodar, ki je našel pravilno rešitev, pa je bil prepozen in je prǐsel na vrsto v naslednji številki Proteusa, to je v [2]. Zanimanje za konstrukcijo še ni upadlo, kajti bralec Ivan Munda je poslal še eno pravilno rešitev, ki je pristala v [6]. Še nekaj bralcev je poslalo rešitve, ki pa so bile pomanjkljive 161–170 163 Marko Razpet in Nada Razpet in so zato ostale neobjavljene. Urednik je dopisal, da so vse pravilne rešitve bralcev že v Plemljevi zbirki. Tako je Proteus odigral pomembno vlogo tudi na področju matematike. Toda na omenjeni blejski konferenci je prof. Plemelj povedal, da je sam našel še devet različnih rešitev, zadnjo, kot je sam dobesedno zapisal v [7], v noči 1. januar 1940, po Silvestru 1939. Poleg teh je dve rešitvi dobil od drugod. Potožil pa je tudi, da nima naslova Borštnerjeve zbirke nalog, ker si ga ni zapomnil. Tako zbirko sta mu pokazala v Černovicah, kjer je služboval kot profesor matematike, dva študenta. V njej je bila tudi ome- njena naloga iz Borštnerjeve zbirke. Žal si naslova te zbirke ni zapisal. Tako ostane odprto vprašanje, katero zbirko je uporabljal prof. Borštner. Pač pa je prof. Plemelj na ljubljanski klasični gimnaziji našel Wiegandovo knjigo [12] z geometrijskimi nalogami. V [7] je v njenem naslovu uporabil izraz Obergymnasien (vǐsje gimnazije) namesto höhere Lehranstalten (vǐsje učne zavode), kar je nekoliko oteževalo iskanje po svetovnem spletu. S pravilnim naslovom pa Wiegandovo knjigo zlahka najdemo celo v elektronski obliki. O avtorju Augustu Wiegandu ne vemo veliko, znano pa je, da je leta 1845 poučeval matematiko na realki v nemškem mestu Halle ob Saali. V tem mestu je od leta 1869 deloval Georg Cantor (1845–1918), oče teorije mno- žic. Wiegandova zbirka [12] iz leta 1865 vsebuje raznovrstne konstrukcijske naloge z obrazložitvami in rešitvami za trikotnike, štirikotnike in krožnice. V njej najdemo na strani 147 nalogo: (B) Konstruiraj trikotnik, če poznaš kotno simetralo iz enega ogli- šča, iz drugega pravokotnico nanjo, v tretjem oglǐsču pa kot. Za to nalogo prof. Plemelj v [7] pove, da je povezana z nalogo (A) in da je dobil novo, prav lepo konstrukcijo. Ko ǐsčemo knjige, mimogrede najdemo tudi kakšno, ki je nismo pri- čakovali. Tako smo naleteli na obsežno zbirko konstrukcijskih nalog [4] z obrazložitvami in rešitvami. Zbirka je izšla v letih 1831 in 1832 v dveh delih na 860 straneh, v vsakem so dodane izvedene geometrijske konstrukcije na posebnih listih na koncu. V obeh knjigah je skoraj 2300 nalog. Že v prvem delu je na strani 136 rešena naloga (A) z natančno razlago. Uporabljena je metoda dopolnitve trikotnika v enakokrak trapez, kar najdemo v bistvu tudi v [2, 7]. V drugem delu spet najdemo na strani 298 pod zaporedno številko 1720 nalogo (A) z analizo in rešitvijo, ki se opira na izrek o potenci točke glede na krožnico. Popolnoma možno je, da so pozneǰse zbirke nalog črpale primere ravno iz te knjige, morda tudi Borštnerjeva zbirka. 164 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 Po sledeh neke geometrijske konstrukcije Avtorja zbirke [4] sta Hermann pl. Holleben in Paul Gerwien, v času njenega izida polkovnika pruske vojske in učitelja v kadetskem korpusu. Gerwien je leta 1833 v reviji, ki jo je ustanovil August Leopold Crelle (1780– 1855) in izhaja še danes pod imenom Journal für die reine und angewandte Mathematik, objavil članek, v katerem dokaže izrek, da lahko poligona, ki imata enaki ploščini, z ravnimi črtami razrežemo na iste poligone. Izrek po Farkasu Bolyaiju (1775–1856), ki je izrek dokazal leta 1833, in Gerwienu imenujemo Bolyai–Gerwienov izrek. Kot poseben primer lahko kvadrat ali njemu ploščinsko enak enakostranični trikotnik razrežemo na sedem triko- tnikov, iz katerih lahko sestavimo oba lika. Nekaj geometrijskih konstrukcij Ker nas je zanimalo, koliko rešitev naloge (A) je prof. Plemelj v resnici na- šel, smo (I. Hafner, P. Legǐsa in avtorja) stopili v ARS. Ker je tamkaǰsnja Plemljeva zapuščina obsežna, vsebuje 19 enot, smo natančneje pregledali enoto številka 3 in v njej našli na več listih geometrijske konstrukcije, za katere pa ni popolnoma razvidno, ali so popolne ali samo delne. Najbolj za- nimiv je list stenskega koledarja za november 1939, na katerem je na hrbtni strani več konstrukcij. Za nekatere pa je treba šele ugotoviti, kaj predstav- ljajo, saj posebnih pojasnil, ki smo jih vajeni pri takih rečeh, skorajda ni. Nekatere konstrukcije so pa vendarle zelo očitno rešitve naloge (A). Nekaj zares elegantnih rešitev, do katerih se pride brez uporabe kotnih funkcij, predstavljamo v pričujočem prispevku. Konstrukcij, ki so bile objavljene v [2, 5, 8, 9], tukaj ne bomo ponavljali. Rešitev naloge (A), ki jo je prof. Vidav obravnaval v akademskem letu 1952/53 pri geometriji in je objavljena v [9], se le malo razločuje od rešitev v [1, 2, 4]. Bralec, ki želi bolje razumeti konstrukcije v nadaljevanju, naj jim sledi z geometrijskim orodjem, še bolje pa z računalnǐskim programom za dina- mično geometrijo (na primer GeoGebro), da bo lahko z lahkoto spreminjal podatke. Kajti samo z gledanjem rešitev se bo bolj malo naučil. 1. Oglejmo si najprej rešitev naloge (B) iz Wiegandove zbirke [12], ki jo omenja prof. Plemelj v [7]. Poznamo simetralo sγ kota γ iz oglǐsča C trikotnika ABC, razdaljo p oglǐsča A od te simetrale in kot β (slika 1). Zaradi enostavnosti vzemimo, da je β manǰsi od pravega kota. Enak pogoj bomo v nadaljevanju privzeli za kot ε = α − β v nalogi (A). Za večje kote potekajo konstrukcije podobno, le da je treba tu pa tam daljice podalǰsevati na eno ali drugo stran. Najprej narǐsemo simetralo sγ = CF kota γ in njeno razpolovǐsče ozna- 161–170 165 Marko Razpet in Nada Razpet Slika 1. Rešitev naloge (B). čimo z M . Oglǐsče B leži na krožnici K, s katere se daljica CF vidi pod kotom β. (Takšno krožnico znamo narisati s pomočjo zveze med sredǐsč- nimi in obodnimi koti. Sredǐsče O′ trikotniku CFB očrtane krožnice je vrh enakokrakega trikotnika CFO′ z osnovnico CF in kotom med krakoma 2β.) Z naslednjim premislekom bomo prǐsli do točke B. Predstavljajmo si, da nam je trikotnik ABC že uspelo narisati. Skozi točko A potegnemo pravokotnico na simetralo CF , ki seka stranico BC v točki E, CF pa v točki G. Trikotnik AEC je enakokrak. Zato točka E leži na premici q, ki je vzporedna simetrali CF in je od nje oddaljena za p. Skozi točko F potegnemo pravokotnico r na CF in njeno presečǐsče s premico q označimo z D. Štirikotnik FDEG je pravokotnik in |DE| = |FG|. Tudi točka D je od simetrale CF oddaljena za p, zato jo znamo enostavno konstruirati. Z N označimo presek premice q in stranice AB. Trikotnika AFG in FND sta skladna, ker sta podobna pravokotna trikotnika z enako dolgo istoležno kateto |AG| = |FD| = p. Zato je |FG| = |ND|. Od prej vemo, da je |DE| = |FG|, zato je BD težǐsčnica trikotnika NBE. Trikotnika FBC in NBE imata skupno oglǐsče B, stranici NE in FC sta si vzporedni, preostali dve stranici pa se pokrivata, zato sta si podobna in njuni težǐsčnici iz B se pokrivata. Sedaj znamo skonstruirati točko B. Po eni strani leži na krožnici K, po drugi strani pa na težǐsčnici trikotnikovNBE in FBC skoziB. Ta težǐsčnica poteka skozi razpolovǐsči D in M točki B nasprotnih stranic NE in FC. Po 166 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 Po sledeh neke geometrijske konstrukcije korakih poteka konstrukcija takole. Narǐsemo daljico CF , določimo njeno razpolovǐsče M in konstruiramo krožnico K. Na pravokotnici r na daljico CF v točki F za p stran od F označimo točko D. Oglǐsče B iskanega trikotnika je presek premice skozi M in D ter krožnice K. Oglǐsče A pa je presečǐsče premice skozi B in F ter vzporednice s daljici CF , za p stran od CF , na nasprotnem bregu kot B. Nazadnje izrǐsemo trikotnik ABC. 2. Kakšno povezavo ima naloga (B) z nalogo (A)? Naj bo ABC trikotnik z osnovnico c, vǐsino vc nanjo in običajno označenimi koti (slika 2). Točka A ′ naj bo presek poltraka CA in premice skozi B, ki oklepa z BA kot β in se ne pokriva z BC. Potem je daljica BA simetrala kota pri B v trikotniku A′BC. Točka C je od BA oddaljena za vc. Kot α je zunanji kot trikotnika A ′BA in je zato enak vsoti njegovih notranjih nepriležnih kotov: α = ∢BA′A+β, iz česar dobimo ∢BA′A = α− β = ε. Trikotnik A′BC po (1.) že znamo konstruirati. Vlogo kota β odigra kot ε, simetrale sγ stranica c, razdalje p pa vǐsina vc. Točko A dobimo kot presečǐsče stranice A′C s simetralo kota pri B trikotnika A′BC (slika 3 levo). Slika 2. Pojasnilo k rešitvi naloge (A) s pomočjo naloge (B). Konstrukcijo lahko precej poenostavimo z zrcaljenjem preko nosilke stra- nice AB (slika 3 desno). Pri tem trikotnika A′BA ni treba risati. 3. Zanimiva je tudi naslednja rešitev naloge (A), ki jo najdemo v [1]. Da bi jo razumeli, si oglejmo trikotnik ABC, ki je standardno označen, razlika ε = α − β pa naj bo manǰsa od π/2 (slika 4). Trikotniku očrtamo krožnico K s sredǐsčem v točki O, načrtamo simetralo s stranice AB in njuno presečǐsče označimo z M . Skozi C potegnemo stranici AB vzporednico q, ki seka simetralo s v točki D. Najprej se prepričajmo, da polmer OC s 161–170 167 Marko Razpet in Nada Razpet Slika 3. Ena od rešitev naloge (A). simetralo s oklepa kot ε. Očitno je ∢COA = 2β, ∢OAC = π/2 − β in ∢MAO = α − ∢OAC = α − (π/2 − β) = α + β − π/2. Zato je ∢AOM = π/2 − ∢MAO = π/2 − (α + β − π/2) = π − α − β. Nazadnje je res ∢DOC = π − 2β − (π − α− β) = α− β = ε, kar je bilo treba preveriti. Slika 4. Rešitev naloge (A) s podobnostjo trikotnikov. Nato si na simetrali s izberemo poljubno točko O′ pod premico q in narǐsemo trikotniku AOC podoben trikotnik A′O′C ′, pri čemer oglǐsče C ′ leži na premici q, stranica O′C ′ je vzporedna z OC in zato oklepa kot ε s simetralo s, stranica O′A′ pa vzporedna z OA. Trikotnika AOC in A′O′C ′ sta enakokraka, točke D,A in A′ pa kolinearne. 168 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 Po sledeh neke geometrijske konstrukcije Sedaj se da iskani trikotnik preprosto konstruirati. Najprej narǐsemo stranico AB z dano dolžino c, načrtamo njeno simetralo s, vzporednico q stranici AB na dani vǐsini vc, označimo z D presečǐsče premic s in q, nakar na s nekje pod q izberemo točko O′ in skoznjo pod danim kotom ε načrtamo premico, ki seka q v točki C ′. Skozi C ′ načrtamo krožni lok K′ s sredǐsčem v O′. Lok K′ naj seka premico skozi A in D v točki A′. S tem je trikotnik A′O′C ′ določen. Stranici A′C ′ skozi A potegnimo še vzporednico, ki preseka q v točki C, ki je tretje oglǐsče iskanega trikotnika. Izrǐsemo trikotnik ABC. Če je π/2 < ε < π, poteka konstrukcija enako, le da točko O′ izberemo nad premico q, v primeru ε = π/2 pa na q. V slednjem primeru lahko C ′ na q, levo od D, poljubno izberemo. 4. V [1], pa tudi v [5, 6], je rešitev naloge (A), ki temelji na izreku o potenci točke glede na krožnico. Izraz je leta 1826 uvedel Jakob Steiner (1796–1863), sam izrek pa je poznal že Evklid (Elementi, 3. knjiga, trditev 36), le da mu ni tako rekel. Obsežno delo [4] Steinerjevega izraza še ne uporablja. Dokaže pa se ga preprosto s podobnimi trikotniki. Do elegantne rešitve naloge (A) pridemo po obravnavi trikotnika ABC, ki mu očrtamo krožnico K in njegovo sredǐsče označimo z O (slika 5 levo). V trikotniku načrtamo tudi vǐsino vc. Podobno kot v preǰsnji rešitvi hitro ugotovimo, da je kot med to vǐsino in polmerom CO enak ε = α − β. V oglǐsču C konstruiramo na K tangento t, ki seka premico p, to je nosilko stranice AB, v točki T . Po izreku o potenci točke glede na krožnico velja: |TC|2 = |TA| · |TB| = |TA| · (|TA| + c). Tangenta t pa oklepa s p tudi kot ε. Za uspešno konstrukcijo trikotnika je treba najti le še razdaljo |TA|. To pa nam uspe s pomožno krožnico K′, ki ima premer c in se v C dotika t. Skozi T in sredǐsče O′ krožnice K′ potegnemo premico, ki K′ seka v točkah E in F . Tedaj prav tako po izreku o potenci točke glede na krožnico velja |TC|2 = |TE| · |TF | = |TE| · (|TE| + c). Ker ima kvadratna enačba x(x+ c) = |TC|2 eno samo pozitivno rešitev, je |TA| = |TE|. Konstrukcija trikotnika ABC je sedaj na dlani. Načrtamo vzporedni premici p in q v medsebojni razdalji vc. Na p izberemo točko T in skoznjo načrtamo premico t, ki oklepa s p kot ε. Njeno presečǐsče s q označimo s C. Načrtamo krožnico K′, ki ima premer c in se v C dotika t. Sredǐsče K′ označimo z O′ in skozi T ter O′ potegnemo premico, ki K′ seka v točkah E in F . Krožna loka s sredǐsčem v T skozi E in F sekata p v točkah A in B. Načrtamo trikotnik ABC, ki je rešitev naloge. Rešitev naloge (A), ki se nekoliko razlikuje od tiste v [1, 5, 6], najdemo tudi v [4]. Levo na sliki 5 je konstrukcija iz [1], pri kateri začnemo s fiksirano točko T oziroma C, desno pa iz [4], pri kateri začnemo s fiksno stranico AB. 161–170 169 Marko Razpet in Nada Razpet Slika 5. Rešitvi naloge (A) s potenco točke glede na krožnico. Za konec Od devet v [7] in kakih dvajset v [3] omenjenih rešitev naloge (A) smo v [1, 2, 7, 6, 9] našli šest bistveno različnih. Zato ostaja še veliko dela, da ugotovimo, kaj je s preostalimi. Še vedno pa ne znamo odgovoriti na vprašanje, iz katere zbirke je prof. Borštner izbral nalogo (A). Kolega Izidor Hafner je nekaj rešitev naloge (A) obdelal s programom Mathematica in jih objavil na svetovnem spletu: demonstrations.wolfram. com/ThePlemeljConstructionOfATriangle/ LITERATURA [1] AS 2012, Plemelj Josip, škatla 3, mapa 58, J. Plemelj, Razni matematični zapiski in rokopisi. [2] M. Brodar, Odgovor na vprašanje št. 6, Za bistre glave, Proteus 12 (1949/50), 8, 285. [3] L. Čermelj, Vprašanje št. 6, Za bistre glave, Proteus 12 (1949/50), 4/5, 166. [4] H. Holleben, P. Gerwien, Aufgaben-Systeme und Sammlungen aus der ebenen Geo- metrie, I. in II. del, G. Reimer, Berlin 1831 in 1832. [5] D. S. Modic, Trikotniki, Math, Ljubljana 2009. [6] I. Munda, Odgovor na vprašanje št. 6, Za bistre glave, Proteus 12 (1949/50), 9, 323–324. [7] J. Plemelj, Iz mojega življenja in dela, Obzornik mat. fiz. 39 (1992), 6, 188–192. [8] J. Plemelj, Odgovor na vprašanje št. 6, Za bistre glave, Proteus 12 (1949/50), 7, 243–245. [9] I. Pucelj, Plemljev trikotnik in negibne točke transformacij, Obzornik mat. fiz. 62 (2015), 1, 12–14. [10] A. Suhadolc, O profesorju Josipu Plemlju, Obzornik mat. fiz. 57 (2010), 2, 53–57. [11] I. Vidav, Josip Plemelj, Ob stoletnici rojstva, DMFA, Ljubljana 1975. [12] A. Wiegand, Geometrische Aufgaben für höhere Lehranstalten, druga izdaja, Braun- schweig, C. A. Schwetschke und Sohn, 1865. 170 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 ŠOLA O MEDNARODNI ANALIZI TRENDOV ZNANJA – TIMSS ADVANCED 2015 ALEŠ MOHORIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Ali šolski sistem, v katerem delamo, v katerem se izobražujemo, nudi znanje in kompetence za prihodnost? Ali je njegovo financiranje smotrno? Ali je sistem vreden vloženega truda, ali potrebuje izbolǰsave? Kaj vpliva na kakovost šolskega sistema, kaj imajo skupnega uspešni in kaj neuspešni sistemi? To, ali vsaj del, so vprašanja, ki si jih zastavljajo vlade, učitelji, učenci in njihovi starši. Država znaten del proračuna (slika 1, [1]) namenja za šolstvo, pravzaprav celoten proračun pa napolnimo davkoplačevalci s pri- hodki iz dela, ki temelji na znanju, pridobljenem v danem šolskem sistemu. Učitelji, ki čutimo poučevanje kot poziv, želimo vedeti, ali dobro oprav- ljamo svoje delo in kaj lahko storimo, da ga izbolǰsamo. Interes učencev je v tej zgodbi najbolj izrazit. Čemu vlagajo svoj trud, ali so ob tem zadovoljni, kaj odnesejo od tega procesa? Vse to pomembno vpliva na njihovo konku- renčnost, ko vstopijo na trg dela. Posredno seveda njihovo znanje vpliva 1475 M€ 15% 1298 M€ 14% 1021 M€ 11% 2054 M€ 22% 581 M€ 6% 1077 M€ 11% 322 M€ 3% 685 M€ 7% odhodki, skupaj 9527 M€ javni dolg, plačila v EU pokojninsko varstvo socialna varnost izobraževanje, znanost, kultura, šport ekonomska in zunanja politika, javna uprava varnost trg dela promet podjetništvo in konkurenčnost, 143 M€, 1% kmetijstvo, gozdarstvo, 441 M€, 5% okolje in prostor, energija, 334 M€, 4% zdravje, 97 M€, 1% Slika 1. Slovenski proračun za leto 2017. Petina gre za šolstvo in šport, [1]. Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 171 Aleš Mohorič tudi na uspešnost celotne družbe. Dobro znano je in vse raziskave kažejo, da bodo v prihodnji družbi prevladovali visoko izobraženi delavci in ne pro- izvodni delavci. Ta trend kažejo diagrami na sliki 2. Potreba po ročnem delu se stalno manǰsa, saj to delo prevzemajo roboti in stroji. Rutinsko delo prevzemajo roboti ne le v proizvodnji, za trakom, temveč tudi v poklicih, ki so nekdaj veljali za intelektualne. Kar pomislite, kdaj ste nazadnje stali pred okencem v banki? Po vprašanju, ali je naš šolski sistem dober, pride na vrsto vprašanje, kako kakovost sistema testirati? Seveda, eden od testov je kakovost življe- nja v določeni državi, ki pa je lahko odvisna še od kopice drugih dejavnikov, kot npr. zalog naravnih surovin, geostrateškega položaja. Kakovost šolskega sistema najlažje testiramo tako, da primerjamo med seboj znanje primerlji- vih vzorcev populacije v različnih državah. Izbira vzorca ni enostavna, saj se šolski sistemi med seboj razlikujejo ne le po kakovosti, temveč tudi po organiziranosti in učnih načrtih. Primer različnih izobraževalnih sistemov 0 10 20 30 40 50 60 70 80 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 delovna mesta po sektorjih v ZDA, % vseh zaposlitev storitve proizvodnja javna uprava kmetijstvo vir: US Bureau of Labour Statistics 0 0,5 1 zobozdravnik športni trener kemijski inženir urednik gasilec igralec zdravstveni tehnik ekonomist pilot mehanik nepremičninski… preprodajalec računovodja verjetnost za robotizacijo poklica leta 2013 vir: "Future of employment: How susceptible are Jobs to Computerization?", C. Frey, M. Osborne 0 10 20 30 40 50 60 1980 1990 2000 2010 2020 zaposlitve po vrsti dela v ZDA, milijoni nerutinska ročna rutinska ročna rutinska miselna nerutinska miselna vir: Economist 75 80 85 90 95 100 105 1996 1998 2000 2002 2004 skupen zaton delovnih mest v proizvodnem sektorju EU ZDAJaponska Britanija vir: IXIS 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 1975 1985 1995 2005 2015 delež delovnih mest rutinski poklici nerutinski poklici vir: US Census Slika 2. Nekaj pokazateljev trendov in potreb znanja. Že površna ekstrapolacija kaže, da bodo v prihodnosti veliko dela prevzeli roboti, prevladovali bodo nerutinski, intelektualni poklici v storitveni dejavnosti. 172 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 O mednarodni analizi trendov znanja – TIMSS Advanced 2015 kaže slika 3, obsežneǰsa primerjava pa je v [2]. Zaradi razlik v učnih načr- tih ni nujno, da bodo učenci enake starosti imeli enako znanje podobnega predmeta. Pravzaprav bi lahko bilo merilo za znanje, pri enaki kakovosti poučevanja, kar število ur poučevanja nekega predmeta. Nadaljnje vprašanje je, pri katerem predmetu sploh lahko primerjamo znanje med vzorci različnih sistemov? Zgodovina zaradi različnih narodnih poudarkov ne pride v poštev, ravno tako ne znanje slovnice. Vsem šolskim sistemom sta skupna matematika in naravoslovje, ki se v vǐsjih stopnjah povsod deli enako na fiziko, kemijo in biologijo. To so torej primerni pred- Slovaška trajanje programa (leta)starost učenca detske jasle materska škola zgodnje otroško izobraževanje in skrbstvo (ne pod okriljem ministrstva za šolstvo) zgodnje otroško izobraževanje in skrbstvo v okviru ministrstva za šolstvo) primarno izobraževanje obvezno redno izobraževanje kombinirano šolanje in praksaobvezno izredno izobraževanje stopnja ISCED 0 ISCED 1 ISCED 2 ISCED 3 ISCED 4 ISCED 5 ISCED 6 ISCED 7 sekundarno splošno izobraževanje sekundarno poklicno izobraževanje posekundarno neterciarno izobraževanje redno terciarno izobraževanjeenotna struktura zakladna škola gymnazium konzervatorium stredna odborna škola 1. stupen 2. stupen univerzita/vysoka škola stredna odborna škola konzervatorium Romunija starost učenca trajanje programa (leta) cresa gradinita scoala primara gimnaziu invatamant postliceal invatamant profesional liceu universitate liceu filiera teoretica/ liceu filiera vocationala/ liceu filiera tehnologica 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0 1 2 3 4 5 6 Slovenija trajanje programa (leta)starost učenca vrtec osnovna šola gimnazija srednja poklicna in strokovna šola univerza/visokošolski zavod višja strokovna šola 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Slika 3. Izobraževalni sistemi se v grobem delijo na primarno, sekundarno in terciarno izobraževanje. Primarno izobraževanje je na splošno enako za celotno populacijo, v sekun- darnem pa prihaja do delitev med splošnim in poklicnim izobraževanjem. Starost prehoda med različnimi stopnjami je v grobem povsod enaka, največja razlika med sistemi se poja- vlja pri meji med primarno in sekundarno stopnjo. Diagram kaže slovenski izobraževalni sistem. Za primerjavo sta dodana še slovaški in romunski. Že hitri pogled kaže nekatere podobnosti pa tudi očitne razlike. Primerjava vseh evropskih sistemov je narejena v [2]. 171–181 173 Aleš Mohorič meti, pri katerih lahko primerjamo znanje populacije različnih držav. Ko sta vzorec in predmet testiranja izbrana, je naslednje vprašanje, ka- kšen test uporabiti, čemu dajati poudarke? Pri izbiri testa se moramo za- vedati praktičnosti izvedbe. Testirati moramo tako, da je vrednotenje testa kar se da objektivno, upoštevamo, da med reševanjem testa testiranec ne dobi povratne informacije in temu moramo prilagoditi testna vprašanja. Te- ste lahko razvrstimo po različnih kriterijih [3]. Po enem delimo naloge na naloge odprtega in zaprtega tipa. Pri nalogah zaprtega tipa je možen le en odgovor, pri nalogah odprtega pa več, odvisno od predpostavk in reše- vanja. Seveda je prvi način lažji za vrednotenje, drugi pa bolje preverja razumevanje konceptov. Med zaprte naloge tipično sodijo izbirne naloge, kjer vprašanju ponudimo več odgovorov, od katerih je le en pravi. Sem sodi tudi večina računskih nalog. Zaprte naloge jasno predstavijo vse potrebne podatke, na razpolago je primeren algoritem, ki zagotavlja pravilno rešitev. Odprte naloge so problemi, ki so sicer jasno formulirani, poti do rešitve pa so lahko različne, naloge zahtevajo ovrednotenje rešitev, vsi podatki niso podani, za njihovo rešitev lahko izberemo različne algoritme, obstaja več možnih pravilnih rešitev problema. Glede na osnovno predpostavko, ki jo naredi reševalec problema, so možne različne rešitve. V posameznih vrstah nalog lahko nadalje razločimo različne elemente, ki jih ločimo po značilnostih in ciljih ter eden ali več hkrati lahko nasto- pajo v posamezni nalogi. Element naloge, ki ga imenujemo povej čim več, je problem brez določenega dokončnega pravilnega odgovora. Izhodi- šče problema je npr. le skica ali graf, na podlagi katerega učenci postavijo različne fizikalne probleme. Take naloge nudijo učencem priložnosti, da tre- nirajo razmǐsljanje, podobno razmǐsljanju, ki ga med reševanjem problemov uporabljajo eksperti. Element vsebinsko bogatih problemov pozornost z iskanja formul preusmerja k uporabi fizikalnih pojmov in razmislekov v okolǐsčini, podobni vsakdanjemu življenju. Opisi okolǐsčin so gostobesedni in problemi so kompleksni. Rešitev začnemo iskati tako, da filtriramo ne- bistvene informacije, ocenimo manjkajoče količine in sprejmemo ustrezne predpostavke. Pravzaprav je sprejemanje predpostavk eden izmed ključnih korakov v analizi problema, ki se ga pogosto niti ne zavedamo, oziroma so predpostavke že narejene v samem opisu problema. V tradicionalnih na- logah jih skorajda ne omenjamo oziroma se jih ne zavedamo. Vendar je prav ta veščina pomembna pri realnem reševanju problema, postavljanju hipoteze in matematičnem opisu rešitve. Element inverznega problema poda ali enačbo ali diagram oziroma graf, ki opisuje neki proces, naša na- loga pa je opisati razmere, ki ustrezajo tej predlogi, in sestaviti besedilo ustrezne naloge, ki jo potem lahko rešujejo drugi. Na ta način odvračamo reševalce od zgolj naslanjanja na matematične izraze in njihove pretirane 174 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 O mednarodni analizi trendov znanja – TIMSS Advanced 2015 uporabe. Skozi te naloge tudi poudarjamo ključno vlogo enot pri obravna- vanju problemov. Sestavljanje problemov od nas zahteva, da pripravljen začetek trditve nadaljujemo s fizikalno smiselnimi pojmi. Tutorske vaje so gradiva, ki upoštevajo tipične težave z izbrano snovjo, sestavljena so tako, da izbolǰsajo reševanje problemov iz te snovi in nas soočajo s konfliktom med napačno (alternativno, naivno) predstavo in pravilnim razumevanjem. Naloge z razvrščanjem so učinkovite za izbolǰsanje konceptualnega razu- mevanja in vrednotenja ciljev. V njih razvrščamo fizikalne situacije, sisteme ali količine glede na različne kriterije. Naloge vrednotenja in naloge s preverjanjem rešitve so problemi, pri katerih na različne načine kri- tično analiziramo že rešene naloge ali razmǐsljanja. Pri tovrstnih nalogah je lahko tipično predstavljen celoten postopek reševanja (s tipičnimi napa- kami). Lahko je tudi opisan eksperiment in so priloženi podatki v povezavi z njim. Poiskati moramo povezave med spremenljivkami, predvidimo od- visnosti oziroma preverimo podano rešitev naloge. Vrednotenje rezultatov je tudi sicer pogosta komponenta pri vseh drugih nalogah. V vrednotenje spada tudi analiza limitnih primerov, smiselnost velikostnih redov rezulta- tov, konsistentnost. Naloge z več možnimi rešitvami nimajo le enega pravilnega odgovora. Odgovor je odvisen od vnaprej sprejetih predpostavk, ki narekujejo strategijo reševanja problema, in analize končnih rezultatov, ki lahko vodi v spremembo predpostavk in nove rešitve. Ne-̌stevilski pro- blemi so zastavljeni tako, da spodbujajo kvalitativno razmǐsljanje. Naloge tipa oceni fizikalno količino so naloge, pri katerih moramo oceniti vre- dnosti določenih količin, potrebnih za rešitev (takšne naloge, kjer ocenju- jemo le velikostni red odgovora, so znane tudi kot Fermijevi problemi). S smiselnimi predpostavkami in enostavnim računanjem omejimo razpon vre- dnosti, med katerimi je prava rešitev. Naloge za razvijanje sposobnosti simbolnega razmǐsljanja so pari problemov, prvi s številskimi podatki in potrebno računsko rešitvijo in drugi s potrebno simbolno rešitvijo. Znano je, da dijaki težje razumejo rešitev, zapisano z enačbo in simboli, kot pa konkre- tno rešitev s številskim rezultatom. Take naloge laǰsajo te težave. Naloge z meritvami vodijo do rešitev preko analize danih podatkov nekega eks- perimenta. Vsi našteti tipi nalog na različne načine preverjajo razumevanje konceptov, do različne globine in predstavljajo vsak svojevrsten izziv pri vrednotenju odgovorov. Pri raziskavi se tipično omejimo na bolj zaprte tipe nalog, da olaǰsamo enakovrednost vrednotenja rezultatov. Hkrati s testiranjem znanja je v raziskavi smiselno ugotavljati tudi oko- lǐsčine, ki zaznamujejo določen izobraževalni sistem, npr. delež proračuna namenjen šolstvu, računalnǐsko opremljenost, odnos staršev in učiteljev do pouka. To omogoča določitev pomembnih parametrov in olaǰsa prilagajanje izobraževalne politike. 171–181 175 Aleš Mohorič Ena od mednarodnih raziskav, ki ustreza opisanim kriterijem, je Trends in International Mathematics and Science Study z akronimom TIMSS. To je mednarodna raziskava znanja matematike in naravoslovnih predmetov med četrtošolci, to so učenci na prehodu med razrednim in predmetnim poukom, in osmošolci, to so učenci pred prehodom na sekundarno izobraževanje. V raziskavi TIMSS Advanced vzorec sestavljajo dijaki na koncu sekundarnega šolanja. TIMSS Advanced primerja znanje preduniverzitetne matematike med bodočimi maturanti splošnih gimnazij in znanje fizike med dijaki, pri- javljenimi na maturo iz fizike. TIMSS poteka že vrsto let, kar omogoča ugotavljanje trendov. TIMSS 2015 je bil že 6. po vrsti, TIMSS Advanced pa teče od leta 1995 in je bil izveden v tretje. V raziskavi TIMSS za če- trtošolce je sodelovalo 49 držav s 312.000 učenci, za osmošolce 39 držav z 270.000 učenci, v TIMSS Advanced pa je sodelovalo devet držav. Geograf- sko pokritost razberemo s slike 4. V Sloveniji raziskavo koordinira Pedagoški inštitut in rezultati raziskave so predstavljeni na spletu [4]. V raziskavi so poleg učencev sodelovali tudi učitelji, ravnatelji in starši četrtošolcev tako, da so izpolnili vprašalnik s podatki o dejavnikih pouče- vanja in učenja, podpori doma, predšolskem znanju, pogojih za poučevanje, stalǐsčih do znanja ter študijskih in poklicnih namenih. Rezultati med osnovnošolci Slovenijo uvrščajo v znanju matematike pro- ti vrhu sredine, v naravoslovju pa tik pod sam vrh. Osmošolci se relativno bolje uvrščajo kot četrtošolci. Rezultate kaže slika 5. Rezultati primerjave so med gimnazijci manj zanesljivi, saj je vzorec dosti manǰsi. Lestvici dosežkov za matematiko in fiziko kaže slika 6. V Slo- veniji so podatke o znanju matematike zbirali ločeno tudi za maturante, ki so matematiko izbrali na vǐsji ravni (VR). Med znanjem dijakov, ki matema- tiko opravljajo na maturi na osnovni ravni (OR), in tistimi, ki jo opravljajo na vǐsji ravni, se kaže velika razlika. Po splošnem uspehu v znanju matema- tike se je Slovenija odrezala slabo in je pristala tik nad dnom. Upoštevati je Slika 4. Države, ki so leta 2015 sodelovale v raziskavi TIMSS (levo) in TIMSS advanced (desno). 176 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 O mednarodni analizi trendov znanja – TIMSS Advanced 2015 matematika 4. razred Singapur 618 Hong Kong 615 Južna Koreja 608 Tajvan 597 Japonska 593 Severna Irska 570 Ruska federacija 564 Norveška 549 Irska 547 Anglija 546 Belgija 546 Kazahstan 544 Portugalska 541 ZDA 539 Danska 539 Litva 535 Finska 535 Poljska 535 Nizozemska 530 Madžarska 529 Češka 528 Bolgarija 524 Ciper 523 Nemčija 522 Slovenija 520 Švedska 519 Srbija 518 Avstralija 517 naravoslovje, 4. razred Singapur 590 Južna Koreja 589 Japonska 569 Ruska federacija 567 Hong Kong 557 Tajvan 555 Finska 554 Kazahstan 550 Poljska 547 ZDA 546 Slovenija 543 Madžarska 542 Švedska 540 Norveška 538 Anglija 536 Bolgarija 536 Češka 534 Hrvaška 533 Irska 529 Nemčija 528 Litva 528 Danska 527 Kanada 525 Srbija 525 Avstralija 524 Slovaška 520 Severna Irska 520 Španija 518 matematika, 8. razred Singapur 621 Južna Koreja 606 Tajvan 599 Hong Kong 594 Japonska 586 Ruska federacija 538 Kazahstan 528 Kanada 527 Irska 523 ZDA 518 Anglija 518 Slovenija 516 Madžarska 514 Norveška 512 Litva 511 Izrael 511 Avstralija 505 Švedska 501 Italija 494 Malta 494 Nova Zelandija 493 Malezija 465 465 Turčija 458 Bahrajn 454 Gruzija 453 Libanon 442 Katar 437 naravoslovje, 8. razred Singapur 597 Japonska 571 Tajvan 569 Južna Koreja 556 Slovenija 551 Hong Kong 546 Ruska federacija 544 Anglija 537 Kazahstan 533 Irska 530 ZDA 530 Madžarska 527 Kanada 526 Švedska 522 Litva 519 Nova Zelandija 513 Avstralija 512 Norveška 509 Izrael 507 Italija 499 Turčija 493 Malta 481 477 Malezija 471 Bahrajn 466 Katar 457 Iran 456 Tajska 456 Slika 5. Dosežki učencev v raziskavi TIMSS. Levo: dosežki četrtošolcev v matematiki in naravoslovju. Desno: dosežki osmošolcev v matematiki in naravoslovju. S sivo so označene države, ki statistično ne odstopajo bistveno od Slovenije. Seznam kaže le najbolǰsih 28 uvrščenih. treba sicer še, da je slovenski vzorec zajemal bistveno večji del generacije kot v drugih državah. Rezultat dijakov, ki so maturo iz matematike opravljali na vǐsji ravni, pa je izvrsten in Slovenijo uvršča na prvo mesto. Pokritost populacije zgolj s tem vzorcem ne odstopa od pokritosti vzorcev v najbolje uvrščenih državah. To kaže, da so v visoko uvrščenih državah v raziskavi sodelovali le najbolǰsi dijaki. Na podlagi rezultatov bi težko sodili, kateri izobraževalni sistem je bolǰsi. Očitno je, da naš sistem, kadar ima opravka z motiviranimi dijaki, dosega dobre rezultate. Pri fiziki so se dijaki uvrstili na prvo mesto, kar nas lahko navdaja s ponosom in je svojevrstno priznanje in nagrada za izobraževalce bodočih učiteljev in stalno strokovno izobraže- vanje aktivnih učiteljev ter predano delo vseh, učiteljev, oblikovalcev učnih načrtov in seveda dijakov. Ko primerjamo rezultate raziskave TIMSS zadnjih let opazimo trend naraščanja znanja v osnovni šoli. Trend raziskave TIMSS Advanced kaže, da je znanje slovenskih maturantov stabilno. Trende kažejo grafi na sliki 7. Analiza okolǐsčin, ki je bila izvedena hkrati s testi znanja, pokaže, da se slovenski dijaki v primerjavi z vrstniki v tujini manj radi učijo in imajo bolj odklonilen odnos do naravoslovja. Odklonilen odnos je še posebej izrazit do matematike med dijaki, ki opravljajo maturo iz matematike na osnovni ravni. Rezultate kaže slika 8. Odgovori staršev kažejo manǰse zaupanje v šolski sistem kot v tujini. Tako so starši le 17 % učencev ocenili, da si šola zelo prizadeva za akadem- 171–181 177 Aleš Mohorič preduniverzitetna matematika Slovenija, VR 549 8,2 Ruska federacija 6h+ 540 1,9 Libanon 532 3,9 ZDA 485 11,4 Portugalska 482 28,5 Francija 463 21,5 Slovenija 460 34,4 Norveška 459 10,6 Švedska 431 14,1 Italija 422 25,5 preduniverzitetna fizika Slovenija 531 7,6 Ruska federacija 508 4,9 Norveška 507 6,5 Portugalska 467 5,1 Švedska 455 14,3 ZDA 437 4,8 Libanon 410 3,9 Italija 374 18,2 Francija 373 21,5 Slika 6. Dosežki maturantov v matematiki (levo) in fiziki (desno). V prvem stolpcu pre- glednice so naštete države, v drugem dosežek, v tretjem pa odstotek pokritosti populacije z vzorcem. 450 470 490 510 530 550 570 1995 2000 2005 2010 2015 matematika maturanti matematika 8 matematika 4 fizika, maturanti naravoslovje 4 matematika, VR naravoslovje 8 Slika 7. Rezultati raziskav za slovenske učence in dijake iz preteklih let. sko uspešnost otroka, medtem ko je mednarodno povprečje 60 %. Le ena tretjina naših otrok ima starše z zelo pozitivnim odnosom do učenja mate- matike in naravoslovja (mednarodno dve tretjini). Starši slabo ocenjujejo znanje matematike in bralne pismenosti otroka ob vstopu v šolo, saj jih le za 7 % otrok meni, da imajo veliko znanja (mednarodno povprečje 21 %), za 52 % pa jih meni, da imajo malo znanja (mednarodno povprečje 25 %). Poročilo staršev o tem, kolikšna sta bila otrokova pismenost in zgodnje zna- 178 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 O mednarodni analizi trendov znanja – TIMSS Advanced 2015 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 š t . to č k naklonjenost učenju matematike 0 20 40 60 80 zelo srednje ne Si Si, VRM Si, ORM medn. 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 naklonjenost učenju fizike 0 20 40 60 80 zelo srednje ne Si medn. o d st o te k š t . to č k o d st o te k Slika 8. Kako radi se dijaki, ki so sodelovali v raziskavi TIMSS Advanced, učijo, primer- jano z njihovim uspehom. Korelacija med slabim dosežkom in nenaklonjenostjo učenju je izrazita. Za primerjavo so dodani tudi mednarodni rezultati. Levo: matematika, desno: fizika. Slovenski dijaki so manj naklonjeni učenju v primerjavi z dijaki drugod po svetu. nje matematike ob vstopu v prvi razred osnovne šole, kaže, da ima zgodnje učenje vpliv na znanje prav do četrtega razreda. Med dijaki, ki so bili v Sloveniji testirani v znanju fizike, je bilo zgolj 30 % deklet, kar kaže na zaskrbljujoč upad zanimanja za naravoslovje in matematiko med dekleti. Dekleta tudi dosegajo slabše rezultate. Trende v dosežkih ločeno po spolu v matematiki in fiziki kaže slika 10. Podrobneje si oglejmo še fizikalne vsebine, ki so bile preverjane s testi. Vsebinska področja, ki so jih pokrivali testi, so vključevala: mehaniko in termodinamiko (sile in gibanja, ohranitveni zakoni, toplota in temperatura) v obsegu 40 %, elektriko in magnetizem (elektrika in električna vezja, ma- gnetizem in indukcija) v obsegu 25 % ter valovanje, atomska in jedrska fizika v obsegu 35 % časa za reševanje. Poleg tematskih področij je pomemben vidik testa težavnost in komplek- snost nalog ter globina znanja (taksonomska stopnja), ki jih preverja test. Med sposobnostmi, ki so bile preverjane, so bile tudi ocenjevanje fizikalnih 171–181 179 Aleš Mohorič 0 10 20 30 40 50 60 zelo srednje manj zavzetost poučevanja matematike Si medn. 0 10 20 30 40 50 60 70 zelo srednje manj zavzetost poučevanja fizike Si medn. Slika 9. Kaj o zavzetosti poučevanja svojih učiteljev mislijo dijaki v Sloveniji? Za primerjavo so dodani mednarodni rezultati. Slovenski dijaki na splošno menijo, da so njihovi učitelji manj zavzeti za poučevanje, kot menijo vrstniki po svetu. 420 440 460 480 500 520 540 560 580 1995 2008 2015 matematika dekleta dekleta VRM dekleta ORM fantje fantje VRM fantje ORM 460 480 500 520 540 560 580 1995 2008 2015 fizika fantje dekleta Slika 10. Grafi kažejo dosežke v znanju matematike (levo) in fizike (desno) v zadnjih letih, ločeno po spolu. Razlika med dekleti in fanti je očitna. V Sloveniji je v raziskavi znanja fizike na preduniverzitetnem nivoju sodelovalo 70 % fantov in 30 % deklet. Razmerje pri matematiki je 60 % deklet in 40 % fantov. količin, presoja različnih razlag za neujemanje izmerjenih in izračunanih vrednosti, primerjava uporabnosti različnih materialov za določeni namen na podlagi grafov, opis postopka, s katerim lahko določimo natančnost neke naprave, predlog, kako izbolǰsati opisano metodo merjenja neke fizikalne količine. 180 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 O mednarodni analizi trendov znanja – TIMSS Advanced 2015 V primerjavi s TIMSS Advanced 2008 je opažen premik testov k prever- janju procesnih znanj, znanj povezanih z načrtovanjem poskusov in analizo merskih podatkov, nalog, ki zahtevajo ocenjevanje fizikalnih količin. To- vrstna znanja so vključena tudi v najnoveǰse standarde in direktive glede naravoslovnih znanj po svetu (npr. NGSS v ZDA) in (sicer počasi, toda tudi po zaslugi raziskav, kot je TIMSS) prihajajo tudi v naš prostor/maturo. Na koncu si oglejmo še trende celotne raziskave. Trendi znanja mate- matike in fizike maturantov v vseh državah so prikazani na sliki 11 in prav- zaprav kažejo zaskrbljujočo sliko. Trendi so negativni in znak za ukrepanje politike ter stroke, da najde vzroke. Z rezultati raziskave je naša država po- stala drugim zgled za izobraževalni sistem, ki dosega visoko matematično in naravoslovno znanje, vendar tudi izstopa po nizkih stalǐsčih, ki so povezana z dosežki. 350 400 450 500 550 600 1995 2000 2005 2010 2015 matematika Francija Italija Libanon Norveška Ruska federacija Slovenija Švedska ZDA 350 400 450 500 550 600 1995 2000 2005 2010 2015 fizika Francija Italija Libanon Norveška Ruska federacija Slovenija Švedska ZDA Slika 11. Trendi znanja maturantov pri matematiki (levo) in fiziki (desno) v državah, ki so sodelovale v raziskavi TIMSS Advanced. LITERATURA [1] Sprejeti proračun, dostopno na www.mf.gov.si/si/delovna_podrocja/proracun/ sprejeti_proracun, ogled 26. 6. 2017. [2] European Commission/EACEA/Eurydice, 2016. The Structure of the European Edu- cation Systems 2016/17: Schematic Diagrams. Eurydice Facts and Figures. Luxem- bourg: Publications Office of the European Union. [3] N. Zabukovšek, Študija priljubljenosti fizike in vključevanja dijakov in dijakinj k po- uku predmeta v povezavi z izbiro in uspešnostjo reševanja treh tipov nalog, Magistrsko delo, Univerza v Ljubljani, 2016. [4] TIMSS Slovenija blog, dostopno na timsspei.splet.arnes.si/?page_id=678, ogled 26. 6. 2017. 171–181 181 i i “Jerman” — 2017/12/8 — 9:32 — page 182 — #1 i i i i i i VESTI ŠTIRIINDVAJSETO MEDNARODNO TEKMOVANJE ŠTUDENTOV MATEMATIKE Na letošnje mednarodno tekmovanje študentov je prǐslo kar 331 tekmovalcev z vsega sveta in vodje 71 ekip. V prvih letih tekmovanja je organizator prof. John Jayne z londonske univerze UCL poskušal izvesti tekmovanje na različnih koncih Evrope, zadnjih deset let pa je tekmovanje vsako leto v Bolgariji. Kampus Amerǐske univerze v Blagoevgradu je ena od redkih institucij, ki lahko na približno spodoben način in ob razumnih stroških vsako leto poskrbi za toliko udeležencev. Vse kaže, da bo Blagoevgrad postal stalna lokacija tekmovanja. Tekmovanje je potekalo sredi najhuǰsega vročinskega vala med 31. juli- jem in 6. avgustom 2017. Vsem tekmovalcem gre posebna pohvala, da jim je uspelo v neklimatiziranih prostorih ne le preživeti ves teden, temveč tudi dvakrat po pet ur reševati težke matematične naloge. Ljubljansko univerzo so zastopali Juš Kosmač, Samo Kralj, Severin Mejak, Lenart Treven in Živa Urbančič, primorsko pa Daniil Baldouski, Filip Božič in Arber Avdullahu. Za reševanje nalog je potrebno znanje, ki ga večina študentov pridobi v prvih dveh letih študija matematike. Naloge so bile letos zelo težke, kljub temu pa sta kar dva tekmovalca dosegla vse možne točke. Zanimivo je, da kar osem prvouvrščenih študentov prihaja z univerz iz Tel Aviva ali iz Sankt Peterburga. Živa Urbančič in Arber Avdullahu sta dobila pohvalo, Juš Kosmač, Le- nart Treven, Severin Mejak in Samo Kralj pa tretjo nagrado. Jušu Kosmaču je žal le za eno točko ušla druga nagrada. Slika 1. Ljubljanska ekipa v Rilskem samostanu. 182 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 i i “Jerman” — 2017/12/8 — 9:32 — page 183 — #2 i i i i i i Štiriindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike Podrobnosti o tekmovanju lahko najdete na spletni strani www.imc-math. org. Bralci Obzornika lahko svoje znanje matematike preverijo na naslednjih zelo simpatičnih nalogah. Rimska številka označuje dan tekmovanja, arab- ska pa zaporedno številko. Praviloma je prva naloga vedno najlažja, potem pa težavnost narašča do pete naloge, ki je večinoma nedostopna. II.1. Naj bo f : [0,∞)→ R zvezna funkcija z limito v neskončnosti lim x→∞ f(x) = L ∈ R ∪ {±∞}. Pokaži, da velja lim n→∞ ∫ 1 0 f(nx) dx = L. Nalogo se da rešiti na več načinov. Najbrž najbolj naraven način je substitucija t = nx, ki zamenja meje iskanemu integralu in tako omogoči uporabo ocene v neskončnosti. Obstaja pa tudi kraǰsa in bolj zvita rešitev. Naj bo F (t) = ∫ t 0 f(x) dx. Za t > 0 velja ∫ 1 0 f(tx) dx = ∫ t 0 f(u) du t = F (t) t . V primeru limt→∞ F (t) = ±∞ lahko uporabimo L’Hospitalovo pravilo, ki pove lim t→∞ F (t) t = lim t→∞ f(t) 1 = L. Limita limt→∞ F (t) je končna le v primeru L = 0. Tudi takrat je limt→∞ F (t) t = 0 = L. Zato je limn→∞ F (n) n = L. I.3. Zaporedje matrik (An)n je podano rekurzivno s pravilom A1 = [ 0 1 1 0 ] , An+1 = [ An I I An ] , n ∈ N. Pokaži, da ima matrika An n+ 1 različnih lastnih vrednosti λ0 < λ1 < . . . < λn z algebrajskimi večkratnostmi ( n 0 ) , ( n 1 ) , . . . , ( n n ) . Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 183 i i “Jerman” — 2017/12/8 — 9:32 — page 184 — #3 i i i i i i Vesti Slika 2. Primorska ekipa. Tudi to nalogo se da rešiti na več načinov. Najhitreje pridemo do rešitve, če izračunamo karakteristični polinom matrike An+1: ∆An+1(λ) = ∣∣∣∣An − λI, II, An − λI ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣0, I − (An − λI)2I, An − λI ∣∣∣∣ = = ∣∣∣∣I − (An − λI)2, 0An − λI, I ∣∣∣∣ = (I − (An − λI))(I + (An − λI)) = = ( (1 + λ)I −An )( An − (λ− 1)I ) = ∆An(λ+ 1)∆An(λ− 1). Matrika A1 ima lastni vrednosti −1 in 1. Zadnji račun pokaže, da vsaka lastna vrednost λ matrike An porodi lastni vrednosti λ − 1 in λ + 1 ma- trike An+1. Tako ima recimo matrika A2 vse lastne vrednosti −1− 1 = −2, −1+1 = 0, 1−1 = 0 in 1+1 = 2, matrika A3 pa lastne vrednosti −3,−1(3×), 1(3×) in 3. Dokaz lahko zaključimo z indukcijo, še lažje pa je, če si she- matsko predstavljamo, da se nove lastne vrednosti z ustrezno algebrajsko večkratnostjo pojavijo vsakič v novi vrstici Pascalovega trikotnika. I.3. Za vsako naravno število m naj P (m) pomeni produkt vseh naravnih deliteljev števila m (npr. P (6) = 36). Za dano naravno število n de- finirajmo zaporedje (an)n z začetnim členom a1 = n in rekurzivnim pravilom ak+1 = P (ak), k ∈ N. Ali za vsako množico S ⊆ {1, 2, . . . , 2017} obstaja takšen začetni člen a1 = n, da velja: Za vse 1 ≤ k ≤ 2017 je člen ak popoln kvadrat natanko za k ∈ S? 184 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 i i “Jerman” — 2017/12/8 — 9:32 — page 185 — #4 i i i i i i Štiriindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike To je res. Za zaporedje si lahko izberemo kar potence števila dva, pri čemer soda potenca pomeni popoln kvadrat. Pokažimo, da zahtevi ustreza zaporedje ak = 2 pk za primerne potence pk. Velja ak+1 = P (ak) = P (2 pk) = 1 · 2 · 22 · · · 2pk = 2 1 2pk(pk+1). Za 1 ≤ m ≤ 2017 bomo potence pk konstruirali induktivno, tako da bo za 1 ≤ k ≤ m veljalo pk+1 = 12pk(pk + 1) in bo pk sodo število natanko za k ∈ S. V primeru m = 1 vzamemo p1 = 0, če 1 ∈ S, in p1 = 1 sicer. Pri- vzemimo, da smo za neki m < 2017 že dobili zaporedje (pk)k z želenima lastnostma za k ≤ m. V primeru k = m + 1 je morda konstruirano zapo- redje že pravo. Če ni, ga zamenjamo z novim zaporedjem z novim začetnim členom p′1 = p1 + 2 m in enakim rekurzivnim pravilom p′k+1 = 1 2p ′ k(p ′ k + 1). Pokažimo, da velja p′k ≡ pk + 2m−k+1 (mod 2m−k+2): p′k+1 = 1 2p ′ k(p ′ k + 1) ≡ 12(pk + 2 m−k+1)((pk + 1) + 2 m−k+1) = = 12pk(pk + 1) + 2 2m−2k+1 + 2m−k(2pk + 1) ≡ ≡ 12pk(pk + 1) + 2 m−k ≡ pk+1 + 2m−(k+1)+1 (mod 2m−(k+1)+2). Zato je pk ≡ p′k (mod 2) za k = 1, . . . ,m in pm+1 ≡ p′m+1 + 1 (mod 2), ravno to pa smo želeli doseči. II.4. Zaporedje zvezno odvedljivih funkcij (fn)n, fn : [0, 1)→ R, je definirano s f1 = 1 in rekurzivno s pravilom f ′n+1 = fnfn+1 na (0, 1), fn+1(0) = 1. Pokaži, da za vsak x ∈ [0, 1) obstaja limita limn→∞ fn(x), in določi limitno funkcijo. Iz zapisane diferencialne enačbe sledi integralska enačba fn+1(x) = exp (∫ x 0 fn(t) dt ) . Lahko je videti, da je preslikava Φ: C([0, 1))→ C([0, 1)) s predpisom Φ(f)(x) = exp (∫ x 0 f(t) dt ) monotona. Ker na (0, 1) velja f2(x) = e x > 1 = f1(x), je fn+1(x) > fn(x) za vse n ∈ N in x ∈ (0, 1). Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 185 i i “Jerman” — 2017/12/8 — 9:32 — page 186 — #5 i i i i i i Vesti S pomočjo odvajanja vidimo, da negibna točka f preslikave Φ na pro- storu {h ∈ C([0, 1)) : h(0) = 1} zadošča diferencialni enačbi exp (∫ x 0 f(t) dt ) f(x) = f ′(x), zato je f2 = f ′, f(0) = 1. Rešitev enačbe je funkcija f(x) = 11−x . Ker je f1 < f na (0, 1), z indukcijo dobimo fn+1 = Φ(fn) < Φ(f) = f za vse n ∈ N. Tako je na (0, 1) zapo- redje (fn)n naraščajoče in navzgor omejeno, zato obstaja končna limita g. Pokazali bomo, da je g = f . Velja g(0) = limn→∞ fn(0) = 1. Ker je f1 = 1, iz integralske enačbe sledi, da za vse n velja fn > 0 na [0, 1). Iz iste enačbe od tod sledi, da so vse funkcije fn naraščajoče. Tudi odvodi f ′ n+1 = fnfn+1 so naraščajoči, zato so fn konveksne funkcije. Tako je tudi g konveksna in posledično zvezna na intervalu (0, 1). Funkcija g je zvezna tudi v točki 0, ker je 1 = f1 ≤ g ≤ f in je limx↘0 f(x) = 1. Tako smo pokazali, da zaporedje zveznih funkcij na kompaktnem intervalu konvergira k zvezni funkciji, zato je konvergenca enakomerna na vsakem intervalu [0, 1− ε], ε ∈ (0, 1). Enostavna ocena pokaže, da je pri fiksnem ε funkcija Φ zvezna na pro- storu C([0, 1− ε]). Pokažimo, da je g negibna točka preslikave Φ. V nasprotnem primeru bi obstajala x ∈ [0, 1− ε] in η > 0, tako da bi bilo |Φ(g)(x)−g(x)| > η. Zaradi zveznosti Φ obstaja δ > 0, da je v supremum normi ‖Φ(ḡ)− Φ(g)‖ < 13η, če je ‖ḡ − g‖ < δ. Vzemimo dovolj velik N , da je ‖fn − g‖ < min{δ, 13η} za n ≥ N . Tedaj je ‖fn+1 − Φ(g)‖ = ‖Φ(fn)− Φ(g)‖ < 13η. Tako pridemo do protislovja: |fn+1(x)− Φ(g)(x)| > |Φ(g)(x)− g(x)| − |g(x)− fn+1(x)| > η − 13η. Ker je f edina negibna točka preslikave Φ na prostoru {h ∈ C([0, 1−ε]) : h(0) = 1}, je g = f na intervalu [0, 1 − ε]. To velja za poljuben ε ∈ (0, 1), zato je lim n→∞ fn(x) = 1 1− x za x ∈ [0, 1). Marjan Jerman 186 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 i i “Mohoric” — 2017/12/8 — 8:18 — page 187 — #1 i i i i i i Zoisove nagrade in priznanja ter Puhova priznanja za leto 2017 ZOISOVE NAGRADE IN PRIZNANJA TER PUHOVA PRIZNANJA ZA LETO 2017 Zoisove nagrade, Zoisova priznanja in Puhova priznanja so slavnostno po- delili 23. novembra 2017. Odbor RS za Zoisovo nagrado, Zoisovo priznanje, priznanje ambasador znanosti in Puhovo priznanje je letos podelil Zoisovo nagrado za življenjsko delo, tri Zoisove nagrade za vrhunske dosežke, pet Zo- isovih priznanj in tri Puhova priznanja. Med prejemniki so tudi trije člani Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. Urednǐstvo vsem prejemnikom nagrad in priznanj čestita za nagrade in priznanja ter želi še veliko raziskovalnih uspehov. Slika 1. Letošnji prejemniki Zoisovih nagrad, Zoisovih priznanj ter Puhovih priznanj. Foto: MIZŠ Zoisovo nagrado za življenjsko delo na področju teorijske fizike mehke snovi je prejel prof. dr. Slobodan Žumer. »Dr. Slobodan Žumer, redni pro- fesor fizike na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani ter raziskovalni svetnik na Institutu Jožef Stefan, je najvidneǰsi slovenski stro- kovnjak za teoretično fiziko anizotropnih mehkih snovi in med vodilnimi na svetu. Njegovi vrhunski raziskovalni dosežki in mednarodno sodelovanje ter zlasti tesno sodelovanje z našimi eksperimentalnimi fiziki so temelji, na ka- terih je nastala »ljubljanska šola fizike tekočih kristalov«, priznana kot eden od vodilnih centrov za anizotropne mehke snovi na svetu. Prof. dr. Slobodan Žumer je velik del svojih raziskav posvetil fiziki anizotropnih mehkih snovi, predvsem ograjenih in koloidnih tekočih kristalov. S člankom, objavljenim leta 1986 v znanstveni reviji Applied Physics Letters in citiranim več kot Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 187 i i “Mohoric” — 2017/12/8 — 8:18 — page 188 — #2 i i i i i i Vesti 900-krat, je postal soutemeljitelj raziskovalnega polja dispergiranih tekočih kristalov, za kar je leta 1990 dobil Kidričevo nagrado. Sledil je mednarodni patent, na katerem je temeljil začetek industrijske proizvodnje pametnih stekel, ki se še vedno proizvajajo, kar dokazuje uporabno vrednost temelj- nih raziskav. V zadnjem obdobju se je usmeril v proučevanje topoloških defektov ter spletov in vozlov v nematskih koloidih, kjer je s sodelavci dose- gel preboj s teoretično napovedjo nematskega spletanja. Delo je omogočilo razcvet novega področja topološke mehke snovi. Prof. dr. Žumer je objavil več kot 270 znanstvenih člankov, ki so citi- rani več kot 9000-krat. Izpostaviti je treba niz del v znanstvenih revijah iz skupin Nature in Science, kar 30 del v Physical Review Letters ter več kot 100 vabljenih in plenarnih predavanj na mednarodnih konferencah. Medna- rodna znanstvena skupnost ga je tudi počastila z izvolitvijo za predsednika mednarodne zveze za tekoče kristale International Liquid Crystal Society in člana Evropske akademije znanosti in umetnosti. Kvantitativni opis nagrajenčevega dela je impresiven, pomembnost nje- govih raziskav pa še najbolje razumemo, če ob pogledu na tekočekristalni zaslon pametnega telefona pomislimo, da je k nadaljnjemu razumevanju in razvoju zapletenih tekočekristalnih sistemov z možnostmi za nove tehnolo- gije pomembno prispeval prav prof. Slobodan Žumer s svojo ljubljansko skupino sodelavcev.« Zoisovo priznanje za pomembne znanstvene dosežke na področju diskre- tne matematike je prejel izr. prof. dr. Martin Milanič. »Dr. Martin Milanič raziskovalno deluje na področju diskretne matematike in teoretičnega ra- čunalnǐstva na Univerzi na Primorskem. Njegova bibliografija obsega več kot 70 izvirnih znanstvenih člankov in poglavje v znanstveni monografiji, odmevnost njegovega dela pa izkazuje več kot 290 čistih citatov v zadnjih desetih letih. Dr. Milanič v svojem raziskovalnem delu poseben poudarek namenja študiju strukturnih in algoritmičnih vidikov grafovskih razredov. Njegovi najpomembneǰsi raziskovalni prispevki temeljijo na novih konceptih in ugo- tovitvah v teoriji grafovskih razredov (ekvistabilni in CIS grafi, pragovni koncepti in dominacija), na uvedbi novih grafovskih parametrov na področju povezanosti in dominacije v grafih (separabilnost in Grundyjevo dominan- tno število), na študiju računske zahtevnosti optimizacijskih problemov na grafih in omrežjih (neodvisna množica, vektorska povezanost, viralni mar- keting) ter na razvoju modelov in odkrivanju novih možnih uporab metod teorije grafov in kombinatorične optimizacije v bioinformatiki. S svojim raziskovalnim, mentorskim in organizacijskim delom tako ključno prispeva k razvoju tega podpodročja matematike v Sloveniji.« 188 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 i i “Mohoric” — 2017/12/8 — 8:18 — page 189 — #3 i i i i i i Zoisove nagrade in priznanja ter Puhova priznanja za leto 2017 Zoisovo priznanje za pomembne znanstvene dosežke na področju jedrske magnetne resonance materialov je prejel prof. dr. Gregor Mali. »Dr. Gre- gor Mali je vǐsji znanstveni sodelavec na Kemijskem inštitutu v Ljubljani in izredni profesor za področje fizike na Univerzi v Novi Gorici. Ukvarja se z razvojem in uporabo metod jedrske magnetne resonance za študij materia- lov za shranjevanje energije ter ločevanje in shranjevanje plinov. V slovenski prostor je prvi vpeljal visoko ločljivo jedrsko magnetno resonanco v trdnem, ki omogoča vpogled v zgradbo materialov in procese v njih na atomski ravni. Vpeljevati je začel tudi računske metode, s katerimi je mogoče napovedati parametre, merljive z magnetno resonanco. Računske metode skupaj z ma- gnetno resonanco povezuje v tako imenovano NMR-kristalografijo, to je nov celostni način določanja zgradbe materialov. Še posebej odmevno je njegovo delo na področju analize heterogenih in neurejenih poroznih sistemov, ki je pritegnilo zanimanje za sodelovanje številnih uglednih raziskovalnih skupin iz tujine, na primer skupine iz Leuvna v Belgiji, Versaillesa v Franciji in Cambridgea v Veliki Britaniji.« LITERATURA [1] http://www.mizs.gov.si/si/medijsko_sredisce/novica/article/55/10272/, ogled 27. 11. 2017. Aleš Mohorič PROF. DR. PETER KRIŽAN ČLAN SAZU V razred za matematične, fizikalne, kemijske in tehnǐske vede Slovenske akademije znanosti in umetnosti so letos sprejeli člana Društva mate- matikov, fizikov in astronomov prof. dr. Petra Križana. Za to čast kolegu čestitamo! Prof. dr. Peter Križan je sodelavec Oddelka za fiziko Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani in Instituta Jožef Stefan. Prof. Križan je doktoriral na Univerzi v Ljubljani. Podoktor- sko raziskovanje je opravil na nemškem elektron- skem sinhrotronu DESY v Hamburgu, kot gostu- joči profesor pa je predaval na Univerzi v Nagoji na Japonskem. Njegovo raziskovalno delo spada v fiziko osnovnih delcev in je v glav- nem povezano z raziskovanjem procesov, nastalih pri trkih elektronov in Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 189 i i “Mohoric” — 2017/12/8 — 8:18 — page 190 — #4 i i i i i i Vesti pozitronov visokih energij, z identifikacijo nabitih delcev in detekcijo foto- nov. Sodi med vodilne mednarodne osebnosti v fiziki osnovnih delcev, veliko je prispeval k mednarodnemu ugledu Slovenije na tem področju. Je avtor velikega števila zelo citiranih člankov v mednarodnih revijah, član uredni- ških odborov mednarodnih znanstvenih revij, pogost vabljeni predavatelj na univerzah in raziskovalnih institucijah, organizator in član več znanstvenih svetov konferenc in konferenčnih serij ter član vrste strokovnih odborov s področja fizike osnovnih delcev. Urednǐstvo UMRLA JE FIELDSOVA NAGRAJENKA Sredi julija 2017 je umrla dobitnica Fieldsove medalje, iransko-amerǐska matematičarka Maryam Mirzakhani, stara komaj štrideset let. Njeno delo smo na kratko prestavili v OMF [1]. Kot smo izvedeli šele sedaj, je v času prejema tega najvǐsjega priznanja na področju matematike dosegla etapno zmago v boju s težko boleznijo. Vendar je bila od zdravljenja tako oslabljena, da se je bala, da ne bo mogla priti na podelitev v Seul leta 2014. Na koncu je v Južno Korejo le prǐsla, vendar ni imela napovedanega predavanja. Šest kolegic, med njimi tudi takratna predsednica Mednarodne matematične zveze (IMU) Ingrid Dau- bechies, jo je varovalo pred preveč vsiljivimi reporterji. Poročena je bila s češkim matematikom in profesorjem na Univerzi Stan- ford Janom Vondrákom in zapustila je šest let staro hčerko Anihito. Islam- ska republika Iran njenega zakona z nemuslimanom ne priznava, zato mož in hčerka nimata vstopa v to državo. Šestdeset poslancev iranskega parla- menta je po njeni smrti vložilo predlog, da ustrezni zakon spremenijo, tako da bi osebe iz takih zakonov le lahko obiskale sorodnike. LITERATURA [1] P. Legǐsa, Miriam Mirzakhani je kot prva ženska dobila Fieldsovo medaljo, Obz. mat. fiz. 61 (2014), 195–200. Peter Legǐsa 190 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 i i “Mohoric” — 2017/12/8 — 8:18 — page 191 — #5 i i i i i i Poletna šola devetošolcev v Plemljevi vili POLETNA ŠOLA DEVETOŠOLCEV V PLEMLJEVI VILI Po več letih premora je od 19. do 23. junija letos v Plemljevi vili na Bledu spet potekala nagradna poletna šola za učence zaključnega razreda osnovne šole. Za 19 devetošolcev, nagrajenih na državnem tekmovanju iz mate- matike, fizike ali astronomije, smo izvedli pester strokovni program: delav- nice kombinatorike (dr. Boštjan Kuzman), geometrije (mag. Milan Mitrović) in fizike z astronomijo (dr. Barbara Rovšek) sta dopolnili še predavanji o taksi geometriji (dr. Marko Slapar) in o umiranju zvezd (dr. Andreja Gom- boc). Kot pedagoški sodelavki sta pri izvedbi ves teden sodelovali študentki Ana Petek in Teja Koprivnikar. Zadnji dan so udeleženci obiskali tudi Anti- muzej Dežela fizike z zanimivimi fizikalnimi eksperimenti, sicer pa so pester teden začinile še številne športne in družabne aktivnosti – sprehod v blejski Vintgar, odbojka na mivki, kopanje v jezeru, družabni večeri ob namiznih igrah in kitari. Ob zaključku smo poleg fotoutrinkov prisotnim staršem na kratko predstavili tudi življenjsko pot prof. Plemlja in se zahvalili Turizmu Bled za finančno podporo letošnji poletni šoli. Upam, da nam bo oživljeno tradicijo poletnega dela z osnovnošolci pod okriljem DMFA Slovenije uspelo nadaljevati tudi prihodnje leto. Slika 2. Udeleženci Poletne šole devetošolcev v Plemljevi vili. Boštjan Kuzman Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 191 i i “Nagrade” — 2017/12/8 — 8:22 — page 192 — #1 i i i i i i DR. PETER LEGIŠA – NOVI ČASTNI ČLAN DMFA SLOVENIJE Sedemdeseti občni zbor DMFA Slovenije je 20. oktobra na predlog upravnega odbora za novega častnega člana DMFA Slovenije imenoval dr. Petra Legǐso. Dr. Peter Legǐsa je diplomiral na Oddel- ku za tehnično matematiko Fakultete za naravoslovje in tehnologijo (FNT) v Ljub- ljani. Na podiplomskem študiju je bil na univerzi Tulane v New Orleansu (ZDA). Ta- ko pri magisteriju kot tudi pri doktoratu je bil njegov mentor prof. dr. Ivan Vidav. Na podoktorskem izpopolnjevanju je bil na kalifornijski univerzi v Berkeleyu. Ves čas je bil zaposlen na Fakulteti za matematiko in fiziko, nazadnje kot izredni profesor za področje Analize in algebre. Legǐsevo znanstveno delo lahko razde- limo na dve obdobji: od leta 1974–1981 in po letu 2006. V prvem ob- dobju je dosegel lepe rezultate na področju C*-algeber in predvsem Bana- chovih algeber, ki so izhajali iz magistrskega dela in doktorske disertacije pri prof. Vidavu (takrat je nastal tudi njun skupni članek), in določenih rezul- tatov, povezanih s to problematiko. Za to prvo obdobje je Peter Legǐsa leta 1980 prejel prvo nagrado za mlade balkanske raziskovalce na 5. balkanijadi v Turčiji. Večina strokovnega dela v obdobju 1981–2006 se je nanašala na učne načrte, učbenike ter uvajalne in redne seminarje za učitelje matematike. V sodelovanju z drugimi avtorji je napisal šest srednješolskih učbenikov matematike. Sam je kasneje napisal še sedem srednješolskih učbenikov in jih večkrat preoblikoval in izbolǰseval. O izkušnjah, ki si jih je pridobil pri tem delu, je napisal nekaj prispevkov s področja matematičnega izobraže- vanja. Napisal je tudi priročnik za srednješolske profesorje matematike. Vsi učbeniki (in priročnik) so doživeli ponatise. Priobčil je več kot 30 strokovnih člankov za Obzornik za matematiko in fiziko (OMF), vsaj pet pa tudi za Naše razglede. Svoje znanje fizike je združil z zanimanjem za fotografijo in napisal več strokovnih člankov v zvezi z optiko in fotografijo, predvsem v Preseku. Njegov fotoaparat je nepogrešljiv na različnih srečanjih matematikov. Za delo na področju izobraževanja je Peter Legǐsa leta 2000 prejel na- grado Republike Slovenije na področju šolstva. 192 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 i i “Nagrade” — 2017/12/8 — 8:22 — page 193 — #2 i i i i i i Nagrade DMFA Tudi njegovo pedagoško delo je pestro. Od izvolitve v naziv docenta je imel predavanja iz Matematike I in Matematike II za študente kemije, kemijske tehnologije, tekstilne tehnologije in montanistike na FNT, preda- vanja iz Teorije mere ter več seminarjev za študente matematike. Vrsto let je imel predavanja iz Analize I in Analize II, nato iz Matematike III in IV za študente fizike. Imel je predavanja iz Funkcionalne analize za študente matematike. Predaval je tudi Linearno algebro na univerzitetnem študiju računalnǐstva na Fakulteti za računalnǐstvo in informatiko. Večkrat je pre- daval na podiplomskem študiju (raziskovalna smer), in sicer C*-algebre ter Linearne topološke prostore. Bil je eden od nosilcev predmeta Sodobne metode poučevanja matematike na Pedagoški smeri podiplomskega študija. Od leta 1980 je vodil podiplomski seminar iz Analize. Ko se je ta razcepil, je do spomladi 2008 vodil podiplomski seminar iz funkcionalne analize, na katerem je tudi veliko predaval. Bil je mentor pri 43 diplomskih delih in pri dveh vǐsješolskih diplomskih nalogah. Prav tako je bil mentor pri treh magistrskih delih in komentor pri enem magistrskem delu ter komentor pri dveh doktoratih. Peter Legǐsa je opravljal tudi številne funkcije. V akademskih letih 1991/92 in 1992/93 je bil predstojnik Oddelka za matematiko in mehaniko FNT. Od leta 1980 je sodeloval pri izdelavi učnih načrtov ter katalogov znanj za matematiko v srednji šoli. V letih 1992–96 je bil predsednik Re- publǐske predmetne maturitetne komisije za matematiko. V letih 1995–1999 je zastopal matematiko in deloma naravoslovje v Nacionalnem kurikularnem svetu in v Področni kurikularni komisiji za gimnazije. V letih 1999–2007 je bil član Komisije za dodiplomski študij Senata Univerze v Ljubljani. Na vseh teh funkcijah se je uspešno zavzemal za pomembnost matematike v izobraževanju. V letu 1994 je sodeloval pri organizaciji 1. kongresa matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. Kot predsednik nacionalnega komiteja za matematiko pri DMFA (1994– 2004) je opravil večino dela pri vzpostavitvi recipročnosti z American Mathe- matical Society (AMS), kar je našim članom dalj časa omogočalo članstvo v tem društvu za izredno nizko ceno. Prav tako je vzpostavil sodelovanje z European Mathematical Society (EMS) in International Mathematical Union (IMU) in se udeleževal njihovih srečanj. O tem je redno poročal v OMF in biltenih društva. Veliko odgovornega dela je Peter Legǐsa opravil in še opravlja kot glavni urednik našega glasila OMF (2012–2017) in kot glavni urednik Preseka (2012–2017). Svoje bogato strokovno znanje vedno rad deli s študenti in kolegi, bodisi na društvenih seminarjih ali drugih srečanjih, kot velik ljubitelj narave pa aktivno sodeluje tudi v Društvu za opazovanje in proučevanje ptic (DOPP). Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 193 i i “Nagrade” — 2017/12/8 — 8:22 — page 194 — #3 i i i i i i Vesti Jana Draksler, prejemnica priznanja DMFA Slovenije Jana Draksler poučuje matematiko na OŠ Frana Kranjca v Celju že 22 let, prej pa je 13 let poučevala na OŠ Hu- dinja Celje. Ima strokovni naziv svet- nica. Ves čas spremlja novosti pri poučevanju in jih uspešno vključuje ne le v redni pouk, temveč tudi v krož- ke in priprave dijakov na tekmovanja. Učno snov podaja sistematično in ra- zumljivo in s tem omogoča učencem uspešno nadaljnje šolanje. Jana Draksler je soavtorica štirih učbenikov, delovnih zvezkov in priroč- nikov za učitelje za matematiko v o- snovni šoli: Skrivnosti števil in oblik 6, 7, 8 in 9, je soavtorica kompleta Plonk za matematiko, je tudi soavtor- ica zbirke vaj za pripravo na nacionalno preverjanje znanja iz matematike: Znam za več + . Kar 30 let je mentorica mladim raziskovalcem pri pripravi več kot 35 raziskovalnih nalog, ki so se redno uvrščale med najbolǰse, tako v občinskem kot v državnem merilu, 27 let je članica občinske komisije Mladi za Celje, večkrat je bila organizatorica področnih in državnih tekmovanj s področja matematike in logike. Leta 2004 je na strokovnem srečanju DMFA Slovenije v Cerknem pred- stavila projekt Brihtne bučke. Je avtorica dveh obsežneǰsih razstav o življe- nju in delu Jurija Vege in Alberta Einsteina (šolska avla 2004 in 2005), men- torica mladim tekmovalcem na tekmovanjih iz matematike, logike, razve- drilne matematike in na drugih noveǰsih tekmovanjih s področja matematike in logike (bober, logična pošast, genius logicus, prvaki znanja), na katerih so njeni učenci redno osvajali zlata in srebrna priznanja ter nagrade na državni ravni. Zanima jo tudi svet znamk in je mentorica mladim filatelistom. Jana Draksler je predana učiteljica in si vedno najde čas za dodatno razlago tako težje učečim se učencem kot tudi nadarjenim in vedoželjnim tekmovalcem. Svoje obširno znanje in bogate izkušnje je vedno pripravljena deliti tudi z drugimi mentorji mladim tekmovalcem. 194 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 i i “Nagrade” — 2017/12/8 — 8:22 — page 195 — #4 i i i i i i Nagrade DMFA Dr. Marko Jagodič, prejemnik priznanja DMFA Slovenije Doc. dr. Marko Jagodič je končal štu- dij enopredmetne fizike na Pedagoški fakulteti Univerze v Mariboru. Dok- toriral je leta 2010 na Fakulteti za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru (UM FNM), na področju raziskav magnetizma v kvazikristalih. Že od leta 2005 je vključen v peda- goško delo na UM FNM pri različnih predmetih na študiju fizike. Nekaj let je vodil tudi vaje iz fizike na Fakulteti za gradbenǐstvo in geodezijo Univer- ze v Ljubljani. Od leta 2013 je redno zaposlen na II. gimnaziji v Mariboru, kjer uči fiziko na splošnem programu in programu mednarodne mature, ra- ziskovalno pa je aktiven na Inštitutu za matematiko, fiziko in mehaniko v Ljubljani. Z delom DMFA je tesno povezan od leta 2008, ko je prvič sodeloval pri organizaciji in izvedbi raziskovalnih dnevov za srednješolce na Bledu. Na raziskovalne dneve v Plemljevo vilo na Bledu DMFA Slovenije vsako leto povabi 16 najuspešneǰsih dijakov z državnega tekmovanja v znanju fizike. Marko Jagodič že vrsto let skrbi, da raziskovalni dnevi odlično potekajo. Sam opravi vsa potrebna administrativna dela, vodi delavnice in če je treba, pripravlja tudi obroke za udeležence. Z dijaki se pogovarja tudi o študiju fizike na fakultetah in jih navdušuje za nadaljnji študij ne le fizike, temveč tudi drugih naravoslovnih ved in matematike. Enako odlično opravlja pedagoško poslanstvo tudi na II. gimnaziji Mari- bor. Vsako leto pripravi več raziskovalnih nalog, ki jih pod njegovim vod- stvom izvedejo dijaki. O izredno kakovostnem mentorskem delu pričajo priz- nanja na državnih srečanjih s področja fizike, zlasti pa nagrada, ki sta jo prejela dijaka pod njegovim mentorstvom na mednarodnem sejmu znanosti in tehnike (Intel ISEF) leta 2015. Poleg neposrednega dela z mladimi je Marko Jagodič avtor poljudnih člankov v reviji Življenje in tehnika ter dnevniku Večer in tako skrbi za popularizacijo fizike med mladimi in širše v javnosti. Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 195 i i “Nagrade” — 2017/12/8 — 8:22 — page 196 — #5 i i i i i i Vesti Zinka Muhič, prejemnica priznanja DMFA Slovenije Zinka Muhič je diplomirala na Peda- goški akademiji. Kot predmetna uči- teljica matematike in fizike se je za- poslila na OŠ Katja Rupena (danes OŠ Center), kjer dela že dobrih 38 let. Vsa leta poučuje matematiko v vǐsjih razredih osnovne šole, po potrebi pa tudi fiziko. Pod njenim mentorstvom so števil- ni učenci osvojili zlata priznanja iz matematike, logike, razvedrilne mate- matike, matemčka in iz logičnih pošasti. Pri delu z nadarjenimi učenci jo je najbolj pritegnilo področje razvedril- ne matematike, kjer učenci širijo in poglabljajo znanje matematike, utrjujejo algoritmično mǐsljenje, računske spretnosti in prostorsko predstavljivost, sistematično in logično sklepajo ter se navajajo na samostojno raziskovalno delo in uporabo matematične lite- rature. Dobre strategije reševanja nalog, ki jih odkriva z zavzetim delom, uspešno posreduje ne le svojim učencem, temveč tudi kolegom in študentom Pedagoške fakultete. Kot uspešna mentorica je ob 20-letnici tekmovanj iz logike, leta 2005, prejela priznanje Zveze za tehnično kulturo Slovenije. Vrsto let je poprav- ljala naloge z državnih tekmovanj iz logike, tri leta je bila članica državne komisije za pripravo nalog iz matematike za osnovnošolce pri DMFA. Vsa leta je prizadevno sodelovala v komisijah za tekmovanja na matematičnem področju. Aprila letos je prejela nagrado Mestne občine Novo mesto za pomembneǰse trajne uspehe na vzgojno-izobraževalnem področju. Ves čas službovanja skrbi za lastno strokovno izpopolnjevanje, redno se udeležuje študijskih skupin in strokovnih seminarjev, ki jih organizirajo Zavod za šolstvo in šport, DMFA Slovenije in organizatorji posameznih tek- movanj. S svojim delom na šoli in zunaj nje skrbi za popularizacijo mate- matike med mladimi. Na podlagi predlogov pripravila Nada Razpet 196 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 5 i i “Saksida” — 2017/12/8 — 8:26 — page 197 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Krešimir Veselić, Damped Oscillations of Linear Systems, Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, 2011, 212 strani. Knjiga je posvečena obravnavi dinamičnih sistemov, ki jih lahko opǐsemo s sistemom navadnih diferencialnih enačb Mẍ+ Cẋ+Kx = f(t). (1) Z x = x(t) je označena vektorska funkcija časa oziroma pot t 7→ x(t) v Rn. Vse tri ma- trike M , C in K so konstantne, realne in si- metrične, f(t) pa je vektor nehomogenosti. Matriki M in K sta največkrat pozitivno definitni, C pa ne. Z zgornjo enačbo lahko opisujemo majhna nihanja mnogih zanimi- vih sistemov, ki jih najdemo v naravi, pred- vsem pa v teoriji kontrole, strukturni me- haniki in mnogih drugih vejah inženirstva. Znana primera sta zaporedje poveznih mas, vzmeti ter dušilcev in zaporedje skupaj postavljenih krogo- tokov, ki vsebujejo po dve tuljavi, kondenzator in upor. Sosednji krogotoki so sklopljeni z medsebojno indukcijo. V prvem primeru je dušenje podano z dušilci, v drugem pa z upori. S stalǐsča teoretičnega matematika je enačba (1) enostavna. Je linearna in koeficienti so konstantni. Torej jo znamo analitično rešiti. Kot že rečeno, pa se za tako enačbo zanimajo zlasti inženirji in aplikativni znanstveniki. Ti pa potrebujejo konkretne, numerične rešitve in ne le simbolično zapisanih analitičnih. Poleg tega hočejo delovanje sistema tudi razumeti. Struktur- nega mehanika lahko na primer zanima, kam v sistem bi moral vstaviti dušilec, da bi čim bolj učinkovito odpravil neželene vibracije sistema. Če rešimo sistem (1) v prvotnih koordinatah, bomo verjetno dobili zelo zaple- teno krivuljo v R2n, iz katere bomo težko kaj pametnega razbrali. Ljudje so od nekdaj poskušali razumeti zapletena gibanja v naravi tako, da so si predstavljali, da so na neki način sestavljena iz enostavnih gibanj. Zelo star Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 197 i i “Saksida” — 2017/12/8 — 8:26 — page 198 — #2 i i i i i i Nove knjige primer takega gledanja so antični poskusi razložiti gibanje planetov s cikli, epicikli, epiepicikli . . . Zelo velik korak je v teh naporih napravil Joseph Fourier, ko je časovni razvoj porazdelitve toplote v telesu opisal kot vsoto (superpozicijo) harmoničnih nihanj. Na mnoga gibanja v naravi in tehniki je dejansko smiselno gledati kot na superpozicije enostavnih nihanj. Če so opazovana gibanja sistema majhna, torej, če se sistem le malo oddaljuje od kake svoje ravnovesne lege, lahko ta gibanja dovolj verodostojno opisujemo z linearnimi diferencialnimi enačbami oziroma s sistemi linearnih diferenci- alnih enačb. Cilj Veseličeve knjige je priprava teoretičnih orodij, s pomočjo katerih bo lahko numerični matematik sistem (1) učinkovito in predvsem zanesljivo predstavil kot superpozicijo razklopljenih enostavnih sistemov in nato sistem rešil. Na ta način bo dobil zanesljive in verodostojne rešitve in tudi razume- vanje sestave sistema. V knjigi ni numeričnih algoritmov, so pa teoretična orodja, ki konstrukcijo kvalitetnih numeričnih algoritmov omogočajo. S po- močjo teh orodij lahko numerični matematik identificira tiste konfiguracije parametrov, ki lahko vodijo do nesmiselnih numeričnih rešitev. Z dodatno pazljivostjo se bo torej lahko nesmiselnim rešitvam izognil. Knjiga je napisana zelo jasno in natančno. Kljub temu, da prinaša zah- tevno in aktualno snov, je zelo berljiva, saj ne zahteva posebnega pred- znanja. Vse potrebno je razloženo sproti. Knjigo lahko bere vsak študent matematike ali fizike, ki ima za seboj tretji letnik bolonjskega študija. Ven- dar je za razumevanje pomembnosti in dejanskega pomena rezultatov po- trebna solidna mera i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, sa ustrezne optike običajno nimajo zelo dobr ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slik z ogromn šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamer h pa lahko kombinacija nekak vostnega zoom obje tiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ma ematične kulture i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del i formacije a originalni sliki (veči o a nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih p datkov i originala ne moremo več natančno rekonstru rati. Na tipični sliki im kvantiz r na matrika mnogo ničel, predvsem v desne spodnjem delu. Zgor j omenjena matrika Q obi- čajno sliko s isne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali a nimajo posebne struktu e, rec mo razpršena matrika. Kvantizir na matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z veliki senzorjem (APS-C ipd.) stavitev na fino (an- gleš o fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi lementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo p d 8 mm bo kva tizacijska matrika v načinu fine imela ele ente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nima o zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko na aj z istolež imi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo i verzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotn sli e našega kv drat . Na sli ah z mehk mi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robu ten. Manǰ i pr blem se pojavi pri slikah z g mno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z grom o šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni ka erah pa lahko kombinacij kov stnega zoom obj kt v in neprilagodlji ega stiskanja trav k spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafič ih podrobnosti. Za ma ǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Z zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, z zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakov stih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tu i pr stokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa j mogoč velik razred fu kcij pop lnoma rekonstru- irati iz njih vih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, i ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L, ], kjer je L > 0. P tem je f določena 70 Ob ornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Med matema iki, ki se jim av- t r zah aljuje a koristne komentarje in pravke ro opisa knjige, najdemo tudi našega profesorja Antona Suhadolca. Profesor Suhadolc je s svojimi odličnimi predavanji o diferencialnih enačbah navduševal mnoge generacije matematikov, med njimi tudi pisca teh vrstic. Knjigo priporočamo v branje vsem, ki jih zanimajo numerični problemi reševanja diferencialnih enačb in vloga, ki ju imata linearna algebra in line- arna geometrija na tem področju. Za tiste, ki jih zanima, opǐsimo tematiko knjige nekoliko podrobneje. Matrike M , C in K so konstantne, torej znamo sistem (1) analitično rešiti. Sistem (1) n enačb drugega reda prevedemo na sistem 2n enačb prvega reda po običajnem postopku. Vpeljemo novo neodvisno vektorsko 198 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Saksida” — 2017/12/8 — 8:26 — page 199 — #3 i i i i i i Krešimir Veselić, Damped Oscillations of Linear Systems spremenljivko y(t) = (x1(t), x2(t)), kjer je x1 = x, x2 = ẋ. Tedaj je x(t) rešitev (1) natanko takrat, ko je y(t) rešitev homogenega sis- tema ẏ = By + g(t), (2) kjer je B = ( 0 I −M−1K −M−1C ) in g(t) = ( 0 M−1f(t) ) . Ker je B konstantna matrika, dobimo splošno rešitev enačbe (2) z ekspo- nenciacijo tB in nato z variacijo konstante. Torej y(t) = Exp(tB)·c+ ∫ t 0 Exp((t−τ)B)·g(τ)dτ, c ∈ R2n poljubna konstanta. (3) V tej uvedbi novih spremenljivk zamenjamo opazovanje rešitvenih krivulj x(t) : R → Rn v konfiguracijskem prostoru Rn, ki parametrizira lege sis- tema, z opazovanjem rešitvenih krivulj (x(t), ẋ(t)) : R → Rn × Rn = R2n v faznem prostoru R2n, ki parametrizira i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za ma ǰ e risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo g fe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 rava i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni s iki (večinoma neza imiv del), se zadovoljili s približki nekat rih drugih podatkov in originala ne moremo več nata čno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kv ntizirana m trik mnogo ničel, predvs m v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrik Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elem ntov ničel ih, preostali p nimajo posebne struk ure, rečemo razp šena matrik . Kvantizirana matrik je torej praviloma razp šena. V fotoapar tu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fi o (an- gleško fine) da kv ntizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elem nti, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonal pod 8 mm bo kvantizacijska matrik v nači u fi e im la elem nte recimo od 1 o 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zel dobre ločljivosti. Pri deko iranju pomn žimo atriko nazaj z istoležnimi elem nti kvan- tizacijske matrike in opravimo nverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našeg kv drata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temni i del slike to deluje si ajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter n obusten. Manǰsi problem s pojavi pri slikah z ogromn podrobnostmi, kot s trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromn šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinac ja nekakovostnega zoom bjektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrob osti. Za m nǰse risbe in grafike profesi nalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal n podlagi JPEG priljubljeni, za zd j še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zv ka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitaliz c j Nekat ri štude ti na zpit h rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. V ndar p je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz nj hov rednosti na diskretni m ožici toˇk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj i tervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem j f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 stanja siste a. Ta uvedba novih sprem nljivk j srz Hamiltonovega formalizma. Pri dov lj splošnih iz- birah matrik M , C in K in pri večini izbir začetnih pogojev c = (x(0), ẋ(0)) so rešitve y(t), podane s (3), zelo zapletene krivulje v R2n. Neposredno opazovanje teh krivulj nam običajno ne da dobrega vpogleda v način delo- vanja sistema (1). Zato poskušamo poiskati take koordinate prostora R2n, da bodo v teh koordinatah naše rešitve enostavneǰse, laže razumljive krivu- lje. Natančneje, zapleteno gibanje y(t) poskuša o prikazati kot razumljivo superpozicijo več enostavnih, razklopljenih gibanj. V primeru, ko so vse tri matrike M , K in C hkrati diagonalizabilne glede na relacijo kongruentnosti, lahko sistem razklopimo kar v konfiguracijskem prostoru. Naj bo P preho- dna matrika, za katero so P T M P , P T K P in P T C P diagonalne, in naj bo P · ξ = x. Tedaj je sistem (1) ekvivalenten sistemu n med seboj neodvisnih skalarnih enačb µj ξ̈j + γj ξ̇j + κj ξj = gj(t), j = 1, . . . , n. Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 199 i i “Saksida” — 2017/12/8 — 8:26 — page 200 — #4 i i i i i i Nove knjige Pri tem je (g1(t), g2(t), . . . , gn(t)) T = P T · f(t) in P T M P = diag(µ1, . . . , µn), P T K P = diag(κ1, . . . , κn), P T C P = diag(γ1, . . . , γn). Sistem se torej razklopi v n neodvisnih dušenih harmoničnih nihanj s spod- bujanji gj v eni prostorski dimenziji. Čeprav sta dve realni simetrični matriki vedno hkrati diagonalizabilni v smislu kongruentnosti, pa generična izbrana trojica takih matrik ni diagonalizabilna v tem smislu z eno samo prehodno matriko. Razklopitev zgornje oblike dobimo torej le izjemoma. V splošnem je zato bolj smiselno sistem poenostavljati v faznem prostoru. Predpostavimo, da je matrika B diagonalizabilna v običajnem smislu. V faznem prostoru sistem (2) razklopimo tako, da diagonaliziramo matriko B. Sistem (2) razpade na 2n neodvisnih linearnih diferencialnih enačb prvega reda η̇i = αiηi + φi(t), i = 1, . . . 2n, pri čemer so αi lastne vrednosti matrike B. Na prvi pogled torej izgleda, da nam naš problem ne bo povzročal pre- velikih preglavic. Vendar ni tako. Če hočemo zgornjo razklopitev za neki konkreten sistem poiskati numerično, lahko zaidemo v težave. Reševanje lastnega problema (zlasti velikih) matrik je s stalǐsča numerične matema- tike zelo težak problem. Seveda pa so različne vrste matrik v tem pogledu različno i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v n činu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi eleme ti k an- tizacijske matrike in opravimo inverzno tr sformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi ed svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoo objektiva in eprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 neprijetne i i : i i ti li l i i i i l i li i i i i i l , l ili i li i i i i i i l i i. i i i li i i i i i i l, l . i i li i i li . i i, i i l i l i , li i , . i i i il . li i i . i l i i i i i i l i, li i i . i i i , . i li i li i l i i i i i l l i , i i i l l l i i. i i i i i l i i l i i i i i i i an i . i i li li . li i i i m li i i i i li li l i . l i i , i i . i l i i li i, , . l li i i i , i i i i i i . li i , i i i i i . i i l i i i i n il l i i i i l l . i i l i i i i. i i i l i l . l l i il l i, i i . i li i i . l i i i i . i i i i i i i . i . li i l i i i i i i i i i i . i i [ ] . i , i i i: l [ , ] l r i t. . ( ) Spomnimo se, da je kvadratna matrika N normalna, če anjo velja NTN = NNT . Znano je, da je reševanje lastnega problema za nenormalne matrike bolj zahtevno kot za normalne. Odstopanje matrike od normalnosti lahko na enostaven način kvantitativno merimo. In bolj ko matrika odstopa od normalnosti, težji je numerični lastni problem za to matriko. Sistem (1) lahko prevedemo na sistem prvega reda na veliko načinov. Naj bosta W1 in W2 poljubni realni obrnljivi n × n matriki. Nove koordinate z = (z1, z2) lahko vpeljemo s predpisom z1 = W1 x, z2 = W2 ẋ. (4) Matrika koeficientov sistema se v teh koordinatah glasi F = ( 0 W1W −1 2 −W2M−1KW−11 −W2M−1CW−12 ) . 200 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Saksida” — 2017/12/8 — 8:26 — page 201 — #5 i i i i i i Damped Oscillations of Linear Systems Glede na vlogo normalnosti bi radi izbrali taki matriki W1, W2, da bo ma- trika F čim manj odstopala od normalnosti. To dosežemo takole: Naj bosta K = L1L T 1 , M = L2L T 2 (5) poljubna razcepa matrik M in K iz (1). Če v (4) vzamemo za W1 matriko L1 in za W2 matriko L2, dobimo za matriko F izraz A = ( 0 L1L −T 2 −L−12 L1 −L−12 CL−T2 ) . V knjigi je dokazan zanimiv in pomemben izrek, ki pravi sledeče: med vsemi matrikami F matrika A najmanj odstopa od normalnosti. Pri tem sta razcepa (5) poljubna. Lahko gre za razcep Holeskega, za pozitivno de- finitna korena, ali pa za kak drug razcep. Poleg minimalnega odstopanja od normalnosti ima matrika A še eno zelo pomembno lastnost. Je namreč J-simetrična. To pomeni, J ·A · J = AT , J = ( I 0 0 −I ) . kjer je I enotska matrika dimenzije n × n. Lahko je videti, da ima diago- nalizabilna J-simetrična matrika J-ortogonalen sistem lastnih vektorjev. Vektorja v1, v2 sta J-ortogonalna, če zanju velja 〈v1, v2〉J = (v1)TJv2 = 0. Nedefinitnost psevdoskalarnega produkta 〈−,−〉J je vzrok mnogih težav pri numeričnem reševanju lastnih problemov J-simetričnih matrik. Če je ma- trika dušenja C enaka nič, potem je matrika A simetrična in te težave izgi- nejo. Dušenje je torej vir pomembnih numeričnih problemov pri obravnavi sistema (1). Glavnina knjige je namenjena linearno algebraični in linearno geometrijski obravnavi J-simetričnosti. Knjiga sicer ne ponuja konkretnih numeričnih rešitev in algoritmov. So pa v njej navedena mnoga dejstva o J-simetričnosti, ki so lahko zelo koristna za matematika, ki poskuša čim bo- lje numerično reševati lastne probleme matrik, kakršna je zgoraj navedena matrika A, pa tudi bolj splošnih J-simetričnih matrik. Pavle Saksida Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 XIX i i “kolofon” — 2017/12/8 — 8:32 — page 2 — #2 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, SEPTEMBER 2017 Letnik 64, številka 5 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Po sledeh neke geometrijske konstrukcije (Marko Razpet in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–170 Šola O mednarodni analizi trendov znanja – TIMSS Advanced 2015 (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171–181 Vesti Štiriindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike (Marjan Jerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182–186 Zoisove nagrade in priznanja ter Puhova priznanja za leto 2017 (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187–189 Prof. dr. Peter Križan član SAZU (uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189–190 Umrla je Fieldsova nagrajenka (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Poletna šola devetošolcev v Plemljevi vili (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . 191 Nagrade DMFA (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192–196 Nove knjige Krešimir Veselić, Damped Oscillations of Linear Systems (Pavle Saksida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197–XIX CONTENTS Articles Pages On the tracks of a geometric construction (Marko Razpet and Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–170 School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171–181 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182–196 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197–XIX Na naslovnici: Ena od konstrukcij trikotnika z dano osnovnico, višino in razliko kotov ob osnovnici; glej članek na straneh 161–170.