P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 6 Strani 354-359
Janez Strnad:
DVESTO LET GRAVITACIJSKE KONSTANTE
Ključne besede: fizika, gravitacijski zakon, gravitacijska konstanta, Henry Cavendish, torzijska tehtnica.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1354-Strnad.pdf
© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
DVESTO LET GRAVITACIJSKE KONSTANTE
Gravitacijski zakon je leta 1687 objavil Isaac Newton, ne da bi navedel so-razmernostni kocficient. Newtonov gravitacijski zakon je samo zagotovil, daje privlačna sila med telesoma sorazmerna z rnaso prvega in maso drugega telesa ter obratno sorazmerna s kvadratom razdalje: F oc m^ij/r2. Telesi z masama mi in m 2 sta zelo majhni v primeri z njuno oddaljenostjo t ali pa sta krogelno simetrični in je potrebno upoštevati razdaljo med njunima središčema. Newton je s svojim zakonom, čeprav ni poznal sorazmernost nega koeficienta, uspešno obdelal veliko pojavov, med njimi gibanje planetov okoli Sonca, plimovanje ter precesijo in nutacijo zemeljske osi. Vedel je sicer, kako bi bilo sorazmernost. 11 i kocficient moč določiti, a gravitacijska sila med telesoma v laboratoriju je tako šibka, da je z razpoložljivimi napravami ni mogel izmeriti.
Pozneje so izdelali občutljive torzijuke tehtnice. Na tanko žičko so obesili prečko in merili kot, za katerega seje prečka zavrtela okoli navpične osi, ko so na prečko delovali z navorom. Zasuk je bil sorazmeren z navorom. Pravi mojster pri delu s torzijsko tehtnico je bil Charles August in Coulomb (1736 do 1806), ki je okoli leta 1780 z njo raziskal silo trenja in delovanje zemeljskega magnetnega polja 11a magnetnico. Za to je dobil nagrado, ki jo je razpisala francoska akademija znanosti. Deset let pozneje je Coulomb s torzijsko tehtnico izmeril silo med naelektrenima kroglicama v odvisnosti od razdalje in prišel do zakona, ki ga imenujemo po njem. Couiombov zakon je podoben gravitacijskemu, le da v njem električni naboj stopi na mesto mase. Tudi Coulomb pri svojem merjenju ni določil sorazmernost nega koeficienta, ki ustreza gravitacijski konstanti.
Na misel, da bi občutljivo torzijsko tehtnico uporabil za merjenje gravitacijske sile med telesoma v laboratoriju, je prišel Že okoli leta 1768 angleški naravoslovec John Michell (1724 do 1793). Izdelal je tudi merilno napravo, a prehitela ga je smrt. Michellovo napravo je nazadnje dobil Henry Cavendish in se lotil merjenj, med katerimi je napravo predelal (slika 1). Z vrsto skrbnih merjenj mu je uspelo določiti gostoto Zemlje, o čemer je leta 1798 poročal v razpravi Poskusi za določitev gostote Zemlje v Kraljevi družbi, angleški akademiji znanosti, in jo objavil v njenem glasilu (slika 2). Gravitacijske konstante ni posebej navedel, a vrednost, ki je izhajala iz njegovih merjenj, se ni znatno razlikovala od današnje
k = (6,67259 ± 0,00085) -10"11 Nm2/kg2.
Gravitacijska konstanta je od vseh splošnih konstant izmerjena z najslabšo natančnostjo, kar kaže navedena nenatančnost pri merjenju. Z gravitacij-
Slika 1. Risba Cavendisheve naprave iz leta 1798. Torzijsko tehtnico ko lesene stene GHG ščitile pred vetrom. Na približno 1 m dolgi žički Im je visela vodoravna tanka bakrena prečka hinh z dolžino l — 1,86 m s svinčenima kroglicama x,x na krajiščih. Cavendish je omenil, da je pri prvih poskusih uporabil posrebreno bakreno žičko s premerom 0,2 mm. Toda njen koeficient D je bil premajhen, ker sta se kroglici toliko odklonili, da sta zadeli v ohišje iz mahagonija ABCDDCBAEFFEA. Zato je uporabil drugo nitko z večjim koeficientom D, a ni omenil, za kakšno nitko je šlo. Svinčen: krogli R,F{ z maso po tnj = 158 kg sta biii togo vpeti z lesenimi drogovi rR, rr, rPr in rR, Težišči krogel sla bili v enaki višini kot težišči kroglic in z vrtenjem škripca MM je bilo mogoče približati krogli kroglicama s te ali z druge strani, ne da bi sc bilo treba približati tehtnici. Lego prečke s kroglicama je opazoval z daljnogledoma T,T na slonokoščeni skali z enoto 1,25 mm, ki sta jo osvetljevala svetilki L,L. Na kroglico je bila pritrjen del enake skale, tako da je bilo mogoče meriti še premike za stotino le enote.
sko konstanto zapišemo gravitacijski zakon
_ mim2
t — k -z . r-
V zakon vstavimo težo uteži z maso mi na površju Zemlje F = rn i g. Pri tem sta ¿7 — 9,8 rn/s2 pospešek prostega padanja in r = 6380 km radij Zemlje. Iz zakona izračunamo maso Zemlje
2
m2 = — = 6 ■ 1024 kg
C 4Č9 3
XXI. Experiments to determine ibe Density of the Earth. By Henry Cavendish, Esq. F.R.S. and A.S.
Read June si, 1798.
Many years ago, the late Rev. John Michell, of this Society, contrived a method of determining the density of the earth, by rendering sensible the attraction of small quantities of matter; but, as he was engaged in other pursuits, he did not complete the apparatus till a short time before his death, and did not live to make any experiments with it. After his death, the
Slika 2. Začetek Cavendish evcga članka v Poročilih Kraljeve družbe iz leta 179S.
Z njo dobimo go&toto Zemlje
m 2
¿irr5 3 "
-5.
10'
3 kS
m"
Newton je v Principih zapisal: ''Verjetno je količina vse snovi Zemlje pet ali šestkrat večja, kot če bi jo sestavljala voda." Ce bi zaupal tej svoji oceni za gostoto Zemlje, bi lahko 1i nakazanim računom v obrnjeni smeri lil let pred Cave udi shem vsaj približno določil gravitacijsko konstanto.
Henry Cavendish (slika 3} je bil član premožne angleške družine. Ze njegov oče je naredil nekaj pomembnih poskusov v elektriki. Rojen je bil leta 1731 v Niči, kjer je zaradi šibkega zdravja živela njegova mati. Umrla je dve leti po Henryjevem rojstvu. Študiral je na univerzi v Oambrid-geu in po tedanji plemiški navadi študija ni končal. Bil je izreden eksperimentator, pa tudi pravi čudak. Nenavadno se je oblačil.
Slika 3. Henry Cavendish (1731 do 1810),
jecljal, tla gaje bilo težko razumeti, in se izogibal družbe, posebno ženske. Trdili so, daje "izrekel v svojem življenju manj besed kot kdorkoli, vključno z molčečimi menihi'*. Leta 1760 je postal član Kraljeve družbe. Satn je kril stroške svojega raziskovanja, živel zelo skromno in leta 1810, ko je v Londonu umrl, zapustil premoženje, vredno več kot milijon funtov. Neki fizik je tedaj rekel, da je bil Cavendish "najbogatejši od vseh učenih mož in najbrž najbolj učen od vseh bogatašev".
Leta 1765 je Cavendish meril specifične in talilne toplote trduin in delal poskuse v kemiji. Leta 1766 je poslal Kraljevi družbi razpravo o plinih, ki se jih je navadil loviti nad vodo, "Gorljivi zrak" - pozneje so ga imenovali vodik - je nastal, ko je kovino polil s kislino. Opisal je tudi "fiksirani zrak", to je ogljikov dioksid. Med seboj je primerjal gostoto plinov in ugotovil, da ima vodik nenavadno majhno gostoto, zaradi česar mu je pripisoval nenavadne lastnosti. Cavendish je tudi ponovil poskuse Josepha Priestleya in opazil roso, ki je nastala pri gorenju vodika in ki jo je Priestley prezrl. Zanjo je ugotovil, da je voda in odtlej voda ni več veljala za element. To je približno ob istem času ugotovil tudi James Watt. Prišlo je do dolgotrajnega spora o prvenstvu, ki je bil dodatno zapleten zaradi tedanje navade, da so lahko pisci iu uredniki spreminjali članke v tisku. Spor so zgladili, ko so Watta izvolili v Kraljevo družbo.
Z električno iskro v zraku je Cavendish spojil dušik in kisik ter dobil leta 1795 dušikovo kislino, ko je spojino raztopil v vodi. Nazaduje je ostal mehurček plina s prostornino, manjšo od stotine prvotne prostornine, na katerega iskra ni delovala. To je bil žlahtni plin argon in drugi žlahtni plini, kot so spoznali sto let pozneje. Dotlej je Cavendishevo odkritje zatonüo v pozabo.
Cavendish je nerad objavljal, o svojih električnih raziskovanjih je objavil le težko razumljiv članek leta 1771. William Thomson, lord Kelvin je naletel na njegovo neobjavljeno delo, v katerem je opisal tudi merjenje kapacitete kondenzatorjev. James Clerk Maxwell je poskrbel za objavo Cavendishcvih Električnih raziskovanj leta 1879. Med deli, ki so bila tedaj prvič objavljena, jo bil opiti poskusov, pri katerih si je Cavendish prizadeval izmeriti infiuencirani naboj v notranjosti naelektrene kovinske krogle. Ugotovil je, da je ta naboj enak nič, in po tem sklepal, "da morata biti električni privlak iu odboj obratno sorazmerna s kvadratom razdalje". Meril je kapaciteto kondenzatorjev in upošteval vpliv snovi. Zanimalo ga je tudi prevajanje elektrike in ugotovil je, da ima nasičena raztopina kamene soli 5(10-1 i sock rat večji upor od železa z enako obliko. Znani Ca-vendishev laboratorij' v Cambridgeu, katerega prvi ravnatelj je bil Maxwell
iti na katerem je delovalo lepo število znanih angleških fizikov, ima ime po članu Cavendisheve družine, ki je kot kancler leta 1871 univerzi podaril več tisoč Funtov.
Ponovimo glavne korake Cavendishevega računa. Po tedanji navadi ni zapisal veliko enačb, v glavnem je sklepal z besedami in uporablja! sorazmerje.
Najprej krogli z maso po mj = 159 kg približamo kroglicama z ene strani in z daljnogledom določimo na skali ravnovesno lego prečke (slika 4). Nato krogli približamo kroglicama z druge strani in z daljnogledom določimo novo ravnovesno lego prečke ter ugotovimo, da je zasukana za 5,88 delov skale. Enemu delu skale ustreza ločno merjeni kot 1/7G6, tako da ustreza polovici od 5,88 delov skale ločno merjeni kot ip = = 3,84' 10~3. Za ta kot se zaradi gravitacijskih sil krogel na kroglici zasuče prečka iz ravnovesne lege, v kateri krogel ni v bližini ali pa sta postavljeni simetrično glede na prečko. Središči krogle in kroglice sta v razmiku r = 0, 23 m. Navor dvojice gravitacijskih sil je Dip = Fl in gravitacijska sila je F " Dip/l. Iz gravitacijskega zakona sledi za gravitacijsko konstanto k — r2F/m-im2 = r2Dip/Imirrto-
Slika 4. Legi kroglic iti prečke pri C&vendishevem poskusu v prvi skrajni ravnovesni legi krogel WW in v drugi skrajni ravnovesni legi ww. V obeli legah navor dvojice gravitacijskih sil ¡-(tmirnj/r3 uravnovesi navor žice Dtp, Upoštevali smo, daje z veznica hW (in hw) nagnjena proti prečki za manj kot 90°, delovanje nasprotne krogle na kroglico (/ ■ Kminl2/rs)[t r3/(!2 r3)3''2] pa je bilo zanemarljivo.
Za nihajni čas prečke izmerimo i0 = 14 minut in z njim izrazimo koeficient žičke D pri torziji, ker velja ¿q = An2 J/D, če je J vztrajnostni moment prečke s kroglicama. K vztrajnostnemu momentu prispevata kroglici 2rai('l)'2, prispevek prečke je zanemarljiv. Izraz za D vstavimo v
prejšnjo enačbo in dobimo
2
k=2tt^ g 10_n Nnr m2tl	kg2
Čeprav Cavendish gravitacijske konstante ni navedel neposredno^ je za gostoto Zemlje kot povprečje večjega števila poskusov, ki so dali nekoliko različne izide, dobil 5,48-kratno gostoto vode.
Cavendish je poskus izpeljal tako skrbno, da še danes zbuja spoštovanje. Raziskal je vse mogoče vzroke neželjenih motenj. Da ne bi motil veter, je prečko z žičko in vzvodom zaprl v ohišje iz mahagonija, izračunal je gravitacijsko silo mahagonija na kroglici in se prepričal, da gre le za majhno motnjo, Motila je tudi temperaturna razlika, ki je povzročala tok zraka. Cavendish je poskusil oceniti njen vpliv in je pri poskusu segrel kroglo ter meril zasuk prečke pri različnih temperaturah krogle. Njeno temperaturo je ugotavljal s termometrom, ki gaje vstavil v luknjo v krogli. Naposled je namestil vso napravo v prostoru, katerega temperatura se je kolikor mogoče malo spreminjala.
Sorazmernostni koeficient v Coulombovem zakonu je bilo mogoče določiti Šele potem, ko so vpeljali enoto za naboj. Najprej so jo vpeljali prav preko Coulombove sile. Enaka naboja z 1 absolutno elektrostatično enoto naboja se v razmiku 1 cm privlačita ali odbijata s silo 1 dine, to je 10~5 N. Kolikšna bi bila "absolutna enota mase", če bi jo določili z gravitacijskim zakonom? Telesi s tolikšno maso bi se v razmiku 1 cm privlačili s silo 10-5 N. Iz gravitacijskega zakona sledi z mi — m2 za absolutno enoto mase ml = (10"9/6,7 • 1CTn)1/2 kg = 3,87 kg. Kroglici bi se lahko kvečjemu dotikali in ne bi mogli imeti večjega radija kot | cm. Morali bi
torej imeti gostoto 3,87 kg/f ?r(5 - 1CT3)3 m3 = 7,4 ■ 10fi kg/m3. Nobena snov se tolikšni gostoti niti ne približa, zato ne bi bilo mogoče neposredno izmeriti gravitacijske sile med telesoma z absolutno enoto mase.
Janez Strnad