SAMMLUNG VIEWEG

TAGESFRAGEN AUS DEN GEBIETEN
DER NATURWISSENSCHAFTEN
UND DER TECHN1R

Heft 35

THeorie der

Gezeitenkrafte

Von

Dr. Aloys Mtiller

FRIEDR. VIEWEG d'SOH N BRAUNSCHWEIG

Uie „SammIung Vieweg“ hat sich die Rufgabe gestellt, Wissens-
und Forschungsgebiete, Theorien, chemisch-technische Verfahren usw.,
die im Stadium der Entwicklung stehen durch zusammen-
fassende Behandlung unter Beifugung der wichtigsten Literaturangaben
weiteren Kreisen bekanntzumachen und ihren augenblicklichen Ent-
wicklungsstand zu beleuchten. Sie will dadurch die Orientierung
erleichtern und die Richtung zu zeigen suchen, welche die weitere
Forschung einzuschlagen hat.

Verzeichnis der bisher erscbienenen Hefte siehe 3. und 4. Umschlagseite.

Ris Herausgeber der einzelnen Gebiete, auf welche sich die

Sammlung Vieweg zunachst erstreckt, sind tatig und zwar fiir:

Physik (theoretische und praktisdie, und mathematische Probleme):

Herr Professor Dr. Karl Scheel, Physikal.-Techn.Reidisanstalt,

Chariottenburg;

Kosmische Physik (Rstrophysik, Meteorologie und wissenschaftliche
Luftfahrt — Rerologie — Geophysik):

Herr Geh. Ober-Reg.-Rat Professor Dr. med. et phil. R.

flssmann in GieBen;

Chemie (Rllgemeine, Organische und Rnorganische Chemie, Physikal.
Chemie, Elektrochemie, Technische Chemie, Chemie in ihrer Rn-
wendung auf Kunste und Gewerbe, Photodiemie, Metaliurgie,
Bergbau):

Herr Professor Dr. B. Neumann, Techn. Hodiscbule, Breslau;

Technik (Elektro-, Maschinen-, Schiffbautechnik, Fiugtechnik, Motoren,
Briickenbau):.

Herr Professor Dr.-Ing. h. c. Fritz Emde, Techn. Hochschuie,

Stuttgart;

Biologie (Rllgemeine Biologie der Tiere und Pflanzen, Biophysik, Bio-
diemie, Immunitatsforschung, Pharmakodynamik, Chemotherapie):

Herr Professor Dr. phil. et med. Carl Oppenheimer, Berlin-

Grunewald.

Theorie der Gezeitenkrafte

Von

Dr. Aloys Muller

Mit 17 Abbildungen

Braunschvveig

Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn

19  16

Al 1 e Rechte vorbehalten.

t W


Copyright, 1916, by Friedr. Yieweg &  Sohn, Braun9chweig, Germany.

Vorwort.

Die Schrift will die Diskussion iiber den Ursprung des Kraft-
feldes, dem die charakteristischen Eigenschaften der Tiden ihre
Form verdanken, in lioffentlich endgiiltiger Weise zum Abschlufi
bringen. Weil ich sie gern in weiten Kreisen wirksam šahe, habe
ich durcb sorgfaltige Disposition ihr Verstandnis zu fordern gesucht
und das Mathematische elementar gebalten. Allerdings ist ihre
Mathematik dadurcb etwas ungleichmaCig geworden.

Rottgen bei Bonn, April 1916.

Dr. Aloys Miiller.



*

Inhaltsverzeiclmis.

Seite

Vorwort. III

I. l>as Problem.

§ 1. Die Ursaehen der Oberflachengestaltung der Meere. 1

§ 2. Die charakteristischen Eigenschaften der Tiden. 2

§ 3. Primare und sekundare Ursaehen .. 3

§ 4. Formulierung des Problems. 5

§ 5. Bezeichnungen. 7

II. Die Bewegungsverhaltnisse in den fluterzeugenden Systemen.

§ 6. Allgemeine und numerische Charakterisierung. 8

§ 7. Revolution ohne Rotation.10

§ 8. Andere Darstellung der Revolution ohne Rotation.11

§ 9. Ein Modeli des Sjstems Erde-Mond.15

III. IIangel in den iiblichen Theorien der Gezeitenkrafte.

§ 10. Die Ableitung der fluterzeugenden Beschleunigungen aus den

blofien Differenzen der Gravitationsbesehleunigungen.17

§ 11. Einige Beispiele dieser Ableitung.20

§ 12. Unrichtige Auffassung der Revolution ohne Rotation ..24

§ 13. Einige Beispiele dieser Darstellung.25

§ 14. Nicht hinreiehende Allgemeinheit der Losung.30

IT. Die Relativtheorie der fluterzeugenden Beschleunigungen.

§ 15. Grundlage und Ableitung der Ausdriicke.31

§ 16. Die Gravitationsunterschiede in der Relativtheorie.34

§ 17. Eine einfachere Darstellung der Relativtheorie.35

§ 18. Die fluterzeugenden Beschleunigungen im Nadir.37

V. Die Zentrifugalkraft.

§ 19. Die Ableitung der fluterzeugenden Beschleunigungen in ellip-
tischer Bahn mit Hilfe des herkommlichen Zentrifugalkraft-

begriffes.39

§ 20. Strenge Ableitung des analytischen Begriffes der Zentrifugalkraft

fiir die Kreisbahn.41

VI

Seite

§ 21. Der analytische Begriff der Zentrifugalkraft fiir jede beliebige

Babn.45

§ 22. Die Zentrifugalbesehleunigung und die Methode der Differenz

der Absolutbeschleunigungen.49

§ 23. Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft.50

§ 24. Phanomenologisches zur Zentrifugalkraft.51

VI. Die Zentrifugalkrafttheorie der lluterzeugenden
Beschlennigungen.

§ 25. Die Grundformeln und ihre weitere Analyse . . . t.56

§ 26. Ableitung auf Grund der Potentialtheorie.61

§ 27. Vergleich der Relativtheorie und der Zentrifugalkrafttheorie unter-
einander, mit der Theorie der blofien Gravitationsbeschleuni-
gungen und mit den Tidentheorien.63

VII. Die halbtagigen Perioden der Tiden.

§ 28. Die halbtagige Periode in dem System Erde-Mond.65

§ 29. Die halbtagige Periode in dem System Erde-Sonne.68

§ 30. Die Kombination von Mond- und Sonnentiden.70

VIII. Die Beziehnng der Theorie der fctezeitenkriifte ziim
kopernikanischen VVeltsj stem.

ij 31. Die Theorie Galileis.74

§ 32. Die Beweiskraft der Tiden fiir das kopernikanische System ... 78

I. Das Problem.

§ 1. Die Ursachen der Oberflachengestaltung der Meere.

Wenn man nnter člen Ursachen der Oberflachengestaltung
der Meere die Einfliisse versteht, die die relative Lage des Niveaus
der Meere oder Teile von ihnen zum Erdschwerpunkt hestimmen,
so kann man die hauptsachlichsten in folgender Weise unter-
scheiden:

A. Standig vorhandene oder regelmaCig wirkende
Ursachen.

I. Ursachen irdischen Ursprungs.

1. Die Anziehungskraft der Erde.

2. Die Rotation der Erde.

3. Die Verteilung der Kontinentalmassen.

4. Periodische meteorologische Einfliisse: Wind, Luftdruck,
Regenfall.

II.  U rsachen auCerirdischen Ursprungs.

1. Die Anziehungskrafte von Mond und Sonne.

2. Die Revolution der Erde in den Systemen Erde—Mond
und Erde—Sonne.

3. Die Neigungen der Bahnebenen von Mond und Erde
gegen die Acpiatorebene.

B. Nicht regelmaCig wirkende Ursachen.

1. Seismische Vorgange.

2. Vulkanische Vorgange.

3. Temperatur- und Salzgehaltsanderungen des Meerwassers.

4. Nicht periodische meteorologische Einfliisse, die sich wie
vorhin zerlegen lassen.

Die nicht regelmaCig wirkenden Ursachen interessieren uns
nicht weiter. Von den regelmaCig cvirkenden scheiden wir die-

Aloys Miiller, Gezeitenkrafte. \

2

jenigen aus, die eine symmetrisch um die Erdachse verteilte und
konstante Niveauflache des Meeres herstellen. Es sind dies die
Anziehungskraft der Erde und die Rotationszentrifugalkraft. Die
iibrigbleibenden sind nun die Ursachen der Gesamterscbeinung
der Gezeiten  oder Tiden.  Die Tiden sind eine Wellen-
erscbeinung,  also eine periodische Storung der konstanten
Niveauflache. Da mit allen Wellen in Fliissigkeiten auch Stro-
mungen verbunden sind, die beim Wellenberg in der Fortschrei-
tungsrichtung der Welle, beim Wellental in der umgekehrten
Richtung erfolgen, so gibt es auch Gezeitenstromungen,  die
entsprechend der Wellenlange (bis zu 20 000 km) grobe Bereiche
umfassen.

Das Wort „Tiden“ ist ein plattdeutsches Wort aus der See-
mannssprache. Von dem Plural „die Gezeiten“ bildet man neuer-
dings haufig den Singular „die Gezeit“.

§ 2. Die charakteristischen Eigenseliaften der Tiden.

Um die Ursachen der Gesamterscheinung der Tiden noch
genauer auseinanderhalten zu konnen, miissen wir die Frage nacli
den charakteristischen Eigenschaften der Tiden erheben.

Man darf darunter nicht die praktischen oder fiir den ein-
zelnen Hafenort wichtigsten Eigenschaften verstehen. Die letz-
teren sind Hohe der Flut und Zeit des Eintreffens. Wenn aber
ein Hafenort diese Werte fiir jeden Fali aus seinen Konstanten
oder Tabellen bestimmen kann, dann ist es ihm vollig gleich-
giiltig, ob beispielsweise dieselbe Periode der Tiden, die er kennt,
allgemein gilt oder nicht. Um die charakteristischen Eigenschaften
zu finden, miissen wir von allen ortlichen Besonderheiten ab-
strahieren und deshalb die Erde als Ganzes ins Auge fassen.
Dann ergibt sich sofort als vornehmste Eigenschaft, die die Tiden-
erscheinung charakterisiert, die Tatsache, dah im Durchschnitt an
zwei antipodischen Punkten der Erde Hochwasser bzw. Niedrig-
wasser ist. Ferner lassen sorgfaltige Beobachtungen erkennen,
dah die Amplitude der Nadirflut etwas kleiner ist als die der
Zenitflut. Dieser Unterschied ist aber nicht mit der sogenaunten
taglichen Ungleichheit zu verwechseln; die letztere ist eine Er-
scheinung fiir denselben  Ort auberhalb des Aquators, also ein
Ortswert, und eine Folge der Neigungen der Mond- und Erd-

3

bahn gegen die Aquatorebene (§ 25). Die charakteristischen
Eigenschaften sind also:

1. Die harmonische Dualitat der gleichen Tidenphasen.

2. Der Maximalwert der Zenitflut.

§ 3. Primare und sekundiire Ursachen.

Die Ursachen, von denen die genannten charakteristischen
Eigenschaften der Tiden herriihren, nennen wir die primaren
Ursachen; die ubrigen sind sekundarer  Natur.

Weil in der Tabelle von § 1 die sekundaren Ursachen nicht
alle ausdriicklich aufgezahlt sind, folgen die hauptsachlichsten hier:

1. Die veranderliche Deklination von Mond und Sonne.

2. Die veranderliche Konstellation von Mond und Sonne.

3. Die veranderliche Entfernung von Mond und Sonne.

4. Die Verteilung von Land und Wasser.

5. Die Ablenkung durch die Rotation.

6. Die periodischen meteorologischen Einfliisse.

7. Die Interferenz der Wellen.

8. Das Auftreten freier Wellen,

9. Die Tiefe der Meere.

10. Die Reibung.

Durch den Ausdruck „sekundare“ Ursachen soli nicht gesagt
sein, dah die Wirkung derselben im Vergleich zu der der primaren
Ursachen unbedeutend ware. Das Gegenteil ist der Fali. Nimmt
man die charakteristischen Eigenschaften der Tiden zusammen
mit der die halbtagige Periode bewirkenden Rotation, so erhiilt
man ein ideales Bild der ortlichen Tiden, wie es nirgendwo auf
der Erde existiert. Es gibt niclits an diesem idealen Bild, das
die sekundaren Ursachen nicht innerhalb weiter, teilweise sogar
innerhalb der iiberhaupt moglichen Grenzen zu andern fahig waren.
Um das an einem einzelnen Moment, namlich dem Ein H uti der
sekundaren Ursachen auf das Fortschreiten der Flutwelle, zu zeigen,
kann die beigefiigte Karte der Isorhachien (der Linien gleicher
Hafenzeit) des Atlantischen und Indischen Ozeans nach Airy
dienen [Fig. 1, a-f-S. 1 )]. Sie gibt allerdings nur ein nach unserem

J ) Aus Airy s „Tides and Waves“ nach G. H. Dai-vvin, Ebbe und Flut,
S. 172, 1902.

1  *

Fig. 1

4

lieutigen Wissen sehr verbesserungsbediirftiges und unsicheres
Bild der AVirklicbkeit, besonders was das Fortschreiten der Welle

liber den freien Ozean angeht. Aber sie geniigt fiir unseren
Zweck, zumal es noch keine bessere, wenigstens fiir so grobe Ge-

Isorhachien des Atlantisohen und Indischen Ozeans nach Airy.

5

biete, gibt. Die Linien stellen das Fortschreiten der Welle von
Stunde zu Stunde nach Greenwicher Zeit dar. Die mit XII be-
zeicbneten Linien geben also die Lage der VVellenkamme um
12 Uhr Greenwicber Zeit wieder. Zu derselben Zeit liegen die
Wellentaler auf den Linien VI. Sehr schon zeigt die Karte aucb,
wie das Fortschreiten der Welle an den Kiisten durch Reibung
in flacherem VVasser verzogert wird.

So machtig nun aber auch der Einfiu 6 der sekundaren Ur-
sachen ist, so hat er doch die Wirkung der primaren Ursachen
zur notwendigen Voraussetzung. Ohne die primaren Ursachen
wiirden die sekundaren, wenigstens als Faktoren in der Ge-
zeitenerscheinung, nicht existieren. Damit ist die Bezeichnung
gerechtfertigt.

§ 4. Formulierung des Problems.

Das Problem dieser Schrift laht sich jetzt so formulieren:

Es sollen die primaren Ursachen gefunden \verden,
die zum Verstandnis der charakteristischen Eigenschaften
der Tiden notwendig und hinreichend sind.

Wir wollen also den Ursprung des Kraftfeldes feststellen,
von dem diese Eigenschaften herruhren. Nun hangen aber die
storenden K rafte, ude wir fiir die primaren Ursachen auch
sagen konnen, mit sekundaren Ursachen notwendig zusammen.
So hat z. B. der Mond, dessen Anziehungskraft das in Frage
stehende Kraftfeld mitbestimmt, immer eine bestimmte Deklination,
eine bestimmte Entfernung usw. Es wird deshalb nicht moglich
sein, die Feststellung des Ursprunges des Kraftfeldes roinlich von
der Beschreibung seiner Veranderungen zu trennen. Wir beziehen
aber diese Beschreibung nur insoweit ein, als sie nicht unmittelbar
der Praxis dient. So laht sich denn unsere Aufgabe, zwar etwas
ungenau, aber immerhin am besten als Theorie der Gezeiten-
krafte bezeichnen.

Ausgeschlossen* ist demnach von unserer Darstellung die
Ableitung der charakteristischen Eigenschaften mit ihren Be-
sonderheiten (Hohe, Periode usw.), denn sie wiirde iiber unser
Thema einer Theorie der Krafte hinausgehen. Die Ableitung
hangt nicht nur von den fluterzeugenden Kraften, sondern auch
von der Beschaffenheit des Materials ab, auf das die Krafte

6

wirken. Sie wiirde eine praktische Anwendung der Ausdriicke
fiir die Gezeitenkrafte bedeuten und spezielle Annabmen iiber
die Beschaffenheit der Wasserliiille und der Erde selbst notig
machen. Sie gehort in eine Tidentheorie. Wir wollen lediglicb
ein solcbes Kraftfeld aufsuchen, das uns zum allgemeinsten Ver-
standnis der Form der cbarakteristischen Eigenscbaften verhelfen
kann. Diese allgemeine Form der Eigenscbaften — in Betracht
kommt, wie wir spater seben werden (§ 18), praktisch ausschlieb-
lich die erste — mufi sich aus jeder Tidentheorie ergeben, wie
immer sie sicb auch auf Grund jener speziellen Annahmen dar-
stellen mag. Desbalb konnen wir auch, ohne damit in die An-
wendung zu verfallen, gelegentlich beispielsweise sagen: es ent-
stebt eine Flut.

Damit ware unsere Hauptaufgabe nacb der positiven und
negativen Seite hinreichend deutlich gemacht.

Einiger Worte bedarf es noch dariiber, wie weit wir die
Rotation der Erde ausschliefien und einschliefien. Die Rotation
spielt nach dem Bisherigen eine dreifache Rolle in der Ober-
flachengestaltung der Meere:

1. Sie erzeugt gemeinsam mit der Anziekungskraft der Erde
eine konstante Niveauflache des Wassers.

2. Sie ist die Ursache der halbtagigen Perioden der Tiden.

3. Sie wirkt als sekundare Ursache durch die Ablenkung der
Fluten (analog wie z. B. bei den Passaten).

Die dritte Wirkung gehort obne Zweifel in die Tidentheorie,
ikre Betracbtung fallt also aus unserem Tbema beraus. Ein
Zweifel konnte im Hinblick auf die erste Wirkung bestehen. Nun
ist es gewifi ohne Schwierigkeit moglich, gleichzeitig ali e Krafte
in Betracht zu zieben, die auf einen Punkt der Erdoberflache
\virken, also aucli die Anziehungskraft der Erde und die Rotations-
zentrifugalkraft. Aber es ist zunachst aus einem mehr formellen
Grunde ricbtiger, von diesen beiden abzusehen. Die Tiden be-
sitzen, wie wir schon sagten, den Charakter der Storung einer
konstanten Niveauilacbe. Wenn man also diesen Charakter nicbt
venvischen will, dann darf man die genannten Krafte nicbt zu
den fluterzeugenden Kraften rechnen. Dazu kommt als ausschlag-
gebend ein sachlicher Grund. Die Rotation bat namlich, wie
unsere spateren Ausfiibrungen noch deutlicher zeigen werden,

7

keinen EinfluC auf den wesentliclien Charakter der Tiden. Be-
saGe die Erde n ur Rotation, vare also kein Systemkorper, so
vare eine Tidenerscheinung iiberhaupt unmoglich. Hatte um-
gekehrt die Erde k eine Rotation, vare aber ein Systemkorper,
so viirden die cbarakteristiscben Eigenscbaften der Tiden die-
selben bleiben, die sie in Wirklichkeit sind. Die Amplituden und
die Perioden der Tiden varen dann allerdings geandert, aber das
bedeutet, die Erde als Ganzes betrachtet, keine wesentliche Ande-
rung. Die Beriicksichtigung der Rotation, soweit die erste der
genannten Wirkungen in Betracbt kommt, gehort also nicbt in
eine Theorie der Gezeitenkrafte, sie bat erst in der Tidentheorie
dadurcb zu erfolgen, daG die Ausdriicke fiir die Gezeitenkrafte
auf die Gleichgevichtsform der rotierenden Erde angevandt werden.

In einem Punkte aber miissen vir iiber die Theorie der
Gezeitenkrafte kinausgehen, namlich binsichtlich der zveiten
Wirkung der Rotation. Die halbtagige Periode der Tiden stellt
sicb namlich nacb der Theorie der Gezeitenkrafte, wie sie im
folgenden entvickelt vird, anders dar, als nach der iiblichen
Theorie. Es wird darum notig sein, kurz dar auf einzugehen
(Kap. VII).

SchlieGlich besitzt die Theorie der Gezeitenkrafte noch eine
kaum irgendwo bemerkte, aber interessante und wicktige Be-
ziehung zum kopernikanischen Weltsystem, die vir im SchluG-
kapitel besprechen wollen.

§ 5. Bezeiclmungen.

Jede Bezeichnung ist da, wo sie zuerst angefuhrt wird, er-
klart. Um aber an spateren Stellen das lastige Zuriicksuchen
uberfliissig zu machen, mogen die ofters gebrauchten Bezeichnungen
hier zusammenstehen:

r =  Erdradius
m =  Erdmasse

g —  Fallbeschleunigung an der Erdoberflache
co = Winkelgeschwindigkeit

d —  Abstand eines beliebigen Punktes der Erdoberflache Ton
der Systemachse

M  = Masse des storenden Gestirnes
T  = Umlaufszeit des storenden Gestirnes

8

G —  Einheit der Beschleunigung der g
D =  Entfermmg der Mittelpunkte Erde
A  = Entfernung der Mittelpunkte Erd

Mond- )
Sonnen-j

Anziehung

Mond
Sonne
(Mond
I Sonne

ausgedriickt

in Erdradien

E —  Abstand eines beliebigen Punktes der Erdoberflache vom
Mittelpunkt des storenden Korpers
V =  P>ahngeschwindigkeit der Erde
c = Revolutionszentrifugalbeschleunigung
q  = Kriimmungsradius

z —  wahre Zenitdistanz des storenden Korpers
z'  = scbeinbare „ „ „ „

%  = Stundenwinkel des storenden Gestirnes
le =  Gravitationskonstante

h  und v =  — angehangt — horizontale und vertikale Kom¬
ponente.

Wir setzen die Erde als kugelformig voraus, nehmen also an,
dah die Resultante der Anziehungskrafte der Sonne bzw. des
Mondes genau durck ihren Schwerpunkt geht, den wir mit dem
Massenmittelpunkt und dem geometriscben Mittelpunkt zusammen-
fallen lassen.

II. Die Bewegungsverhaltnisse in den fluterzeugenden

§ 6. Allgemeine und numerische Charakterisierung.

Wir nennen Rotation die Drehung eines Korpers (oder
Systems) um eine durcb den Schwerpunkt des Korpers (oder
Systems) gehende Achse, Revolution die Drehung um eine
auberhalb des Schwerpunktes liegende Achse. Die Revolution
eines Korpers bedeutet also stets die Rotation eines Systems, dem
der Korper angehort.

In jedem der fluterzeugenden Systeme Erde-Mond und
Erde—Sonne fiihren die beiden Korper, wenn man von der Pra-
zession und der Nutation absieht, zwei Arten von Bewegungen
aus: 1. eine Rotation um die augenblickliche Drehungsackse,

2. eine Revolution um die Schwerpunktsachse des Systems.

Systemen.

9

Die Rotationszeit der Erde betragt 24 Stunden, die des Mondes
rund 27,3 Tage, die der Sonne ist nacli der Breite verschieden.
Die Revolutionszeit beiderKorper betragt im System Erde—Mond
27,3 Tage (siderischer Monat), im System Erde-Sonne 356,26 mitt-
lere Sonnentage (sideriscbes Jabr).

Sind m 1  und m 2  die Massen zweier Sjstemkorper, r x  und r 2
die Abstande ibrer Scbwerpunkte yom Systemschwerpunkt, B  der
Abstand ibrer Schwerpunkte voneinander, so berecbnen sich r x
nnd r 2  wie folgt:

n  _ «h

r 2  ~~ m 1

_y\ _ _ rn 2

r x  + r 2 ~  jmj  + m 2
und, da = B,  aucb

r\  __ m 2 _

B m x  -\- m c,

Daraus

B m 2  _ B

1  —  m x  + m 2  ~ l
m 2

Da die Bahn der Erde in beiden Systemen, bezogen auf
den Systemschwerpunkt, eine Ellipse ist'), bat r t  in beiden
Systemen einen Maximal- und einen Minimahvert. Eiir das
System Erde-Mond ist der Maximalwert der Entfernung Erde-
scbwerpunkt—Systemscbwerpunkt 5026 km und der Minimahvert
4403 km. Daraus folgt eine lineare Exzentrizitat der Erdbabn
in diesem System von rund 311 km. Da der Erdradius eine
Lange von 6370 km besitzt, gebt die Systemachse durcb den Erd-
korper, senkrecht zur Zentrale des Systems. Im Perigaum liegt
sie 1967km, im Apogaum 1344km unter der Erdoberflacbe. In
dem System Erde-Sonne liegt der Systemschwerpunkt im Maximum
456km, im Minimum 441 km vom Sonnenschwerpunkt entfernt;
die lineare Exzentrizitat der Sonnenbahn folgt daraus zu 7,5 km.
Praktisch lafit man den Systemschiverpunkt Erde-Sonne in den
Sonnenscbwerpunkt fallen. Desbalb sagt man nach dem ersten

M Strenggenommen beschreibt in dem System Erde-Sonne nicht die
Erde, sondern der Systemschwerpunkt Erde-Mond diese Ellipse. Doch sehen
wir davon ab. Theoretiscb mubte das eine der halbtagigen Hauptsonnen-
tide uberlagerte halbmonatlicbe Tide geben (vgl. § 25).

10

Keplerschen Gesetz, die Sonne stehe in dem einen Brennpunkte
der Erdbahn, und nennt Radiusvektor die Verbindungslinie der
Mittelpunkte Erde—Sonne. Weil aber diese Verhaltnisse des
Systems Erde-Mond in der Tbeorie der Gezeitenkrafte eine ent-
scheidende Rolle spielen, muB man sicb deutlich macben, daB
jene Redeweise ungenau ist. Der Schwerpunkt des Systems
zweier Korper liegt in dem einen Brennpunkt ibrer Babnen, und
die Radienvektoren sind die Verbindungslinien ibrer Mittelpunkte
mit diesem Brennpunkte.

Die Bahn, die der groBere der beiden Korper eines Systems
bei der Revolution bescbreibt, ist ein verkleinertes Bild der Bahn
des kleinen Korpers.

Die Storungen der Bewegungen, auf die wir hier keine Riick-
sicht genommen haben, konnen bei der in § 25 angedeuteten
weiteren Analyse der dort entwickelten Gleichungen einbezogen
werden.

§ 7. Revolution olme Rotation.

Yv T enn wir nach § 4 vorlaufig von der Rotation der Erde ab-
seben, so durften fiir den Pbysiker die folgenden kurzen Be-
merkungen iiber die Art der dann nocb iibrigbleibenden Bewegung
der Erde genugen.

Erteilt man den Punkten der Erde obne Anderung ihrer
relativen Lage eine Verschiebung dx  parallel zur a;-Acbse, 8y
parallel zur y -Achse und 8z  parallel zur ^-Achse, so ist die Be-
wegung des Schwerpunktes durcb die Gleichungen bestimmt

„ -rr

m la‘ = sx <

m

m

d 2  tj

dt 2

dn

dt 2

= ZY,

= ZZ,

wo m  die Erdmasse, X, Y , Z  die in der Ricbtung der positiven
Achsen wirkenden Krafte und f, rj,  g die Koordinaten des Schvrer-
punktes sind. Da nun nach unserer Voraussetzung von der einzig
moglichen Anderung der relativen Lage, namlich der Rotation,
abgesehen wird, so wird die Bewegung aller Punkte der Erde

11

gleich der des Scliwerpunktes sein. Die Bewegung wird also so
vor sich gehen, daB jede beliebige Ebene des Erdkorpers, z. B.
eine Meridianebene, parallel mit sich selbst verschoben wird.
Eine Revolution oline Rotation ist eine reine Translation.
Die allgemeine Charakterisierung einer reinen Translation, daB
alle Punkte identische Vektoren bescbreiben, laBt sich im vor-
liegenden Falle folgendermaBen spezialisieren:

1. Alle Punkte der Erde beschreiben gleich groBe elliptische
Bahnen, deren Ebenen parallel sind.

2. Die Radienvektoren aller Punkte der Erde sind in jedem
Augenblick der Bewegung einander und der Zentrale des Systems
parallel und sind gleich der Entfernung des Erdschwerpunktes
vom Systemschwerpunkt.

Richtige Charakterisierungen der Revolution ohne Rotation
fiir den speziellen Fali der Kreisbahn haben unter anderen
C. A. F. Peters 1 ), Helmert 2 ), W. M. Davis 3 ), G. H. Darvvin 4 * ),
W. Schweydar 6 ), Kriimmel 6 ) gegeben.

§ 8. Andere Darstellung der Revolution ohne Rotation.

Es scheint, daB in diesen einfachen Bberlegungen eine eigen-
artige Schwierigkeit steckt, die so groB ist, daB selbst so aus-
gezeichnete theoretische Physiker vvie W. Thomson, Tait,
W. Voigt  u, a., wie wir noch sehen werden (§ 13), zu einer
falschen Auffassung kamen. Deshalb mag die tTberlegung des
letzten Paragraphen noch einmal einfacher und ausfiihrlicher
wiederholt werden.

Wir betrachten das System Erde—Mond (Fig. 2, a. f. S.). O sei
der Mittelpunkt der Erde, M  der Mond, P  der Systemschwerpunkt.
Die Senkrechte in P  auf O AT ist die Systemachse, wenn die
Bahnebene senkrecht zur Zeichenebene steht. Wir legen ein
rechtwinkeliges Koordinatensystem im Raume fest, und zwar so,

i) C. A. F. Peters, Astron. Nacbr. 91, 2175 und (naoh seinem Zitat)
im Buli. d. Petersburger Akad. 1845, Bd. 3. — 2 ) Helmert, Die mathe-
matischen und physikalisclien Theorien der hoheren Geodasie 2, S. 3 f., 1884,
und Astron. Nachr. 91, 2175. — 8 ) W. M. Davis, Journ. of School Geography

2, 129, 1898. — 4 ) G. H. Darwin, Ebbe und Flut sowie verwandte Er-

scheinungen im Sonnensystem 1902, S. 79 ff. — 6 ) W. Sehweydar, Ann. d.

Hydrogr. u. marit. Meteorol., 35. Jahrg., 1907, S. 179. — 6 ) Kriimmel,

Handb. d. Ozeanographie 2, 209 ff., 1911.

12

dafi die #-Achse in die Systemachse fallt und die ?/-Achse in P
auf der Zeichenebene senkrecht steht; fiir den Zeitpunkt, den die
Figur darstellt, fallt dann die *-Aclise in die Zentrale.

Fig. 2.

Wir denken uns nun zwei beliebige Punkte P 1  und P 2  der
Erde durch eine Gerade verbunden. Diese Gerade bilde mit der
^-ar-Ebene (also mit der Zeichenebene) den Winkel cp.  Versetzen
wir jetzt die Erde in Bewegung, so soli sie dabei keine Rotation
■sveder um ihre Scbwerpunktsacbse nocb um irgend eine andere
Achse machen, es soli also aucb die Schvverpunktsachse sicb
immer selbst parallel bleiben. Dann mulj der Winkel, den P, P 2
mit der z-x-Pbene  bildet, stets gleicb cp  sein, denn P x P 2  hat
offenbar eine feste Lage zu einer beliebigen Ebene im Erdkorper,
etwa zu der Meridianebene, die durch P x  gebt. Diese Meridian-
ebene bildet zu der Zeit, wo die Bewegung beginnt, mit der
•s-z-Ebene einen Winkel cp'  und muB denselben svahrend der Be-
wegung beibebalten, weil nur die Rotation den Winkel einer
Meridianebene mit einer im Raume festen Flache andern kann.
Also behalt aucb die Strecke P X P 2  den Winkel cp  mit der
z-x- Ebene wahrend der Bewegung bei. Da die Punkte beliebig
waren, konnen wir das Resultat in die Worte fassen: Bewegt

sicb die Erde ohne Rotation, so bleibt die Verbindungs-
linie zweier beliebiger Punkte der Erde stets sicb selbst
parallel.

Stellen wir uns jetzt vor, die Strecke P 1 P 2  werde allein im
Raume parallel mit sicb selbst bewegt. Nach der Zeit t  rnogen ibre
Endpunkte in die Raumpunkte P\ P 2  fallen, nach der Zeit 2f in
die Raumpunkte P"P", nach der Zeit 3 1  in die Raumpunkte
P'"P”'  usw. Dann folgt, daB die Strecken P 1 P[,  P 2  P[ , PjP”,
P’P" usw. einander gleicb sind. Dasselbe gilt offensicbtlich fiir
alle Punkte der Strecke P x  P 2 . W iirde also z. B. die Strecke eine

«

13

Kreisbewegung machen, so wiirden alle ihre Punkte gleicli grofje
Kreke beschreiben. Was fiir die Strecke I\ P 2  gilt, gilt fiir jede
Verbindungslinie beliebiger Punkte, also fiir die ganze Erde. Es
ergibt sich somit: Macbt die Erde eine Revolutionsbewegung
ohne Rotation, so beschreiben alle ihre Punkte Babnen,
die derBahn des Schwerpunktes gleicb und derenEbenen
parallel sind.

Die Bahnen sind Ellipsen. Die Bahn des Erdscbwerpunktes
hat als einen Brennpunkt den Systemschwerpunkt. Wir stellen
uns das Sjstem in einem beliebigen Zeitpunkte vor und denken
uns fiir diesen Augenblick von jedem Punkte der Erde seinen
Radiusvektor zu dem zugeborigen Brennpunkte gezogen. Diese
Radienvektoren sind nun nicbt nur gleicb, sondern auch parallel.
Waren sie namlich nicbt parallel, so vare das vorhin gewonnene
Resultat nicht ricbtig. Der Nachveis ist einfacb. I\  und P 2
seien vieder zwei beliebige Punkte der Erde, M 1  und M 2  die zu¬
geborigen Brennpunkte. 1\  il/ 1  und P 2  M, 2  mogen nun zwar gleicb,
aber nicbt parallel sein (Fig. 3). Nun mufi aber 1\  P 2  nach

Fig. 3.

unserem ersten Resultat sich stets parallel bleiben. Soli also
P, Ib mit sich parallel so verschoben verden, dafi I\  und P 2
gleicbe Bahnen um M x  und M a  beschreiben, so ist das im Falle
der Figur nicbt moglich. Kommt P r P 2  parallel mit sich selbst
nacbP^Pj, so konnen die Babnen, die die Endpunkte bescbrieben
haben, gleichgiiltig, welche Form sie besitzen, relativ zu J\I X  und
M a  nicbt gleicli sein, weil Pj nicbt gleich ilf 2  Pj ist. Sind um-
gekehrt die Bahnen von P x  und P 2  gleich, wie bei den ein-
gezeichneten Bahnstiicken (der Einfachheit wegen sind Kreisstiicke
genommen), so ist P"P" veder gleich noch parallel P 1 P 2 . Unser
letztes Resultat schliebt demnach als Voraussetzung die Paralle-
litat der Radienvektoren ein. E in solcher Radiusvektor ist uns

14

bekannt, namlich die Verbindungslinie zwischen Erdschwerpunkt
und Systemschwerpunkt, die stets in der Zentrale des Systems
liegen mufi. Somit haben wir den weiteren Satz: Die Radien-
vektoren samtlicher Punkte der Erde sind bei der Revo-
lution ohne Rotation in jedem Zeitmoment einander und
der Zentrale des Systems parallel.

In den drei Resultaten finden wir die Ergebnisse von § 7
wieder.

Fig. 4.

Fig. 4 gibt ein Bild zweier Phasen der Bewegung. Die Zeicben-

7t

ebene ist die Bahnebene. Der Phasenwinkel betragt — • Die

A

erste Phase (ausgezogen) gibt die Stellung im Apogaum, die zweite

3

(gestricbelt) bei einer wabren Anomalie von — n.  Von drei

Punkten ist die Bahnellipse mit den zugehorigen Brennpunkten
eingezeicbnet, namlich vom Mittelpunkt O und den beiden be-
liebigen Punkten P 1  und P 2 . Die Gleichheit der Bahnen und
Radienvektoren und die Parallelitat der letzteren sind deutlich
zu sehen. Die Exzentrizitat ist iibermafiig grofi angenommen;
iufolgedessen ist der Systemschwerpunkt, der in der ausgezogenen
Phase richtig gezeichnet ist, in der gestrichelten zu nahe an den

15

Mittelpunkt geriiekt. Die den einzelnen Punkten zugehorigen
Brennpunkte, d. h. diejenigen Brennpunkte, die fur sie dieselbe
Rolle spielen wie der Systemschwerpunkt fiir den Mittelpunkt,
sind in dem Volumen einer Kugel von der Grofie der Erde an-
geordnet, deren Mittelpunkt im Systemschwerpunkt liegt und die
mit der Revolution der Systemkorper um die Systemachse rotiert.

§ 9. Ein Modeli des Systems Erde-Mond.

Unter Voraussetzung der Kreisbewegung lietio sich ein aucb
in Schulen brauchbares Modeli des Systems Erde—Mond kon-
struieren, das eine Revolution der Erde ohne Rotation zeigt. Fig. 5

Fig. 5.

gibt eine scbematiscbe Skizze, die natiirlich weder auf konstruk-
tive Einzelheiten sich festlegen noch auf technische Eleganz An-
spruch erheben will.

Die Zahlen 1 bis 8 bezeichnen Rader, und zwar 3 bis 8
Zahnrader. 1 ist das Handrad, dessen Bewegung durch Riemen
auf 2 iibertragen wird. Die gleich  schraffierten Teile sind unter
sich starr verbunden. Die Stiitze b  ist mit der tragenden Unter-
lage U  starr verbunden. Sie tragt nach einmaliger Knickung eine
Achse c,  an der die Zahnrader 4 und 5 befestigt sind. Die hohle
Achse a  lauft auf b.  Auf einer Verlangerung von b  lauft die
gleichfalls hohle Achse d , die die zwei an ihr befestigten Zahn¬
rader 6 und 7 tragt. Der dreimal geknickte Rahmen e ist mit
der Achse a  fest verbunden. Kurz nach der dritten Knickung
tragt er die hohle Achse f,  an der das Zahnrad 8 und die Scheibe 9
befestigt sind. Diese Scheibe stellt die Erde dar. Die Radien

16

von 3 und 4 miissen sich wie 2:1, die Radien von 5 und 6 sowie
von 7 und 8 wie 1:1 verhalten. Die Dimensionen der Scheibe
sind so zu bemessen, dab die Verlangerung von b  die Scbeibe in
einem Punkte treffen wurde, der den vierten Teil des Radius vom
Rande entfernt ist.

Die Wirkungsweise ist leicbt verstandlich. Drebt man das
Handrad, von oben geseben, im Ubrzeigersinne, dann bewegen
sich die Rader 2, 3, 6, 7 in demselben, die Rader 4, 5, 8 und
die Scbeibe im umgekehrten Sinne. Rad 7 bat die doppelte
Winkelgeschwindigkeit des Rades 2 oder des Rabmens e.  Wurde
es dieselbe Winkelgeschwindigkeit besitzen, so \viirden Scbeibe
und Rabmen relativ zueinander nicht rotieren, die Scbeibe wurde
aber relativ zu b  bzw. seiner Verlangerung bei 1 Revolution
1 Rotation im Ubrzeigersinne ausfiihren. Weil aber Rad 7 die
doppelte Winkelgeschwindigkeit besitzt, iibertriigt es die einmalige
in umgekehrtem Sinne auf die Scbeibe und bebt deren Rotation
dadurch auf.

Man konnte die Scbeibe aucb durcb einen Erdglobus er-
setzen, dessen Rotationsachse natiirlicb nicbt in die Achse der
Scbeibe fallen diirfte. Auch der Mond liebe sich anbringen,
indem man den Rahmen e  nacb der zweiten Knickung mit Hilfe
einer Gabel, die die Acbse d  umfaBt, obne sie zu beriibren, ver-
langerte.

Die Scbeibe lafit sich nocb zu einem veiteren wicbtigen
Zwecke benutzen und durfte desbalb niemals ausschliefilich durcb
den Globus ersetzt werden. Man kann in ibrer Mitte ein Stab-
cben und auf dem Stabchen mit der Kreuzung zweier Durch-
messer einen Ring befestigen, dessen Durcbmesser etwa dem der
Scheibe gleich ist. Hangt man dann am ganzen Umfang des
Ringes Faden auf, die an ihren Enden Kiigelchen tragen, so
kann der Apparat die bei der Revolution entstehenden Zentri-
fugalkrafte demonstrieren, von denen wir spater (§ 25) noch
sprechen vverden.

17

III. Mangel in den iiblichen Theorien
der Gezeitenkrafte J ).

§ 10. Die Ableitung der iluterzeugenden Beschleunigungen 2 )
aus den bloiSen Differenzen der Gravitationsbesehleunigungeii.

Die am weitesten verbreitete Auffassung leitet die flut-
erzeugenden Beschleunigungen von den bloBen Differenzen der
Gravitationsbesclileunigungen her. In Fig. 6 sei M  der Mond,

O  der Mittelpunkt der Erde, A  und B  die Punkte, in denen die
Zentrale und ihre Verlangerung die Erdoberflache schneiden.
A  ist der dem Mond nachstgelegene, JB  der ihm entfernteste
Punkt. A  wird starker als O, O starker als JB  vom Monde an-
gezogen. Die Differenz der Anziehungskrafte in A  und O stellt
eine nacb dem Monde hin gericbtete Kraft dar, die Differenz in
O und JB  eine vom Monde weg gericbtete Kraft. Die Wirkung
dieser Krafte ist ein Anschwellen des Wassers in A  und B.  Das
ist der Grundgedanke der genannten Ableitung.

Diese Ableitung befriedigt aus zwei Griinden nicht.

1. Die Anziehungskraft eines Korpers ist von seiner Be-
wegung wenigstens fiir die im vorliegenden Falle in Betracht
kommenden Geschwindigkeiten praktiscb unabhangig. Da nun
jene Ableitung die storenden Beschleunigungen bei den Tiden
ausschliefilich auf die Differenzen der Gravitationsbeschleu-
nigungen zuriickfiihrt, so miissen nacb ibr Tiden von der Art

D Wir sehen von allen Darstellungen ab, die bydrostatische Gesetze
benutzen (vgl. S. Giinther, Handbuch der Geophysik 2  2, 468, 1899), weil
ihre Unzulanglichkeit leieht zu verstehen ist. — 2 ) Wir sagen bald „flut-
erzeugende Krafte“, bald „fluterzeugende Beschleunigungen 11 . Das ist er-
laubt, weil die Ausdriicke fiir die Kraft und fiir die Beschleunigung iden-
tisch werden, wenn, wie wir es stets tun, die Masse, auf die die Kraft wirkt,
gleich 1 gesetzt wird.

Aloys Mtiller, Gezeitenkrafte.

2

18

der wirklichen auch in einem System entstehen, dessen Korper
in relativer Ruhe sind. Beachtet man, daB die relative Ruhe
auch die Rotation des Systems um die Svstemachse ausschlieBt
und nur eine gleichformige Translationsbewegung gestattet, so
werden in einem solchen System mit den Massen m 1  und m 2  die
Niveauflachen durch den Ausdruck

- l  + — 2  _ Const

Q 1 t*2

dargestellt. Zeichnet man sich nach bekannter Methode eine
Reihe solcher Flachen, so findet man, daB der Abstand zweier
solcher Flachen auf der Zentrale bei A  ein Maximum, bei JB  ein
Minimum ist. Das bedeutet fiir unser Problem, daB A  Flut,
B  Ebbe bat').

Um ubrigens diese Verhaltnisse ganz richtig uberblicken zu
lassen, mogen nocb zwei Bemerkungen dienen. Erstens gibt die
vorstehende Gleichung die gemeinsame Gravitationswirkung zweier
Massen auf eine dritte Masse wieder. Als dritte Masse gilt liier
das Wasser. Sobald es sicb um die Gravitationswirkung beider
Massen aufeinander handelt, wird das Bild der Flachen gleicben
Potentials wesentlich anders. Zweitens wird die durch die storenden
Krafte bervorgerufene Anderung in der Verteilung des Wassers
auch selber wieder das Kraftfeld storen, aber nicbt in einem fiir
uns wesentlicben Sinne. Wer sicb dafur interessiert, mag genaueres
bei Tbomson-Tait 2 ) nacblesen.

2. Wir wollen den Grundgedanken der Ableitung fiir einen
Augenblick akzeptieren, also annebmen, daB Tiden von der Art
der wirklichen auch im relativ ruhenden System entstehen konnen.
Fiibren wir jetzt die wirkliche Bewegung des System ein, indem
wir es um seine Acbse rotieren lassen (naturlich wird von der
Rotation der Erde stets abgeseben), so treten neben die Gravi-
tationspotentiale, die ja nach jener Ableitung allein scbon die

B Das Umgekehrte ware der Fali, wenn die Erde kein durcli eine
Hewtonsehe Kraft mit anderen Korpern verketteter Systemkorper ware,
sondern zwangs-weise eine Bewegung ausfuhrte, wie sie die Scheibe des
in § 9 besprochenen Modells macht (der Beweis in § 25); auch die Rotation
\viirde nach dem Bisherigen nichts daran andern. Superponiert man diese
Wirkung mit der im Text besprochenen Wirkung bei relativer Ruhe, so er-
halt man die Kraftebedingungen fiir die tatsachlich vorhandenen Tiden. —
2 ) Thomson-Tait, Handbuch der theoretischen Physik 1, 2, 376f.

19

fluterzeugenden Krafte ergeben, noch die Zentrifugalkraftspoten-
tiale, die, wie wir spater (§ 25) sehen werden, in allen Punkten
der Erde gleich den Gravitationspotentialen von Sonne und Mond
im Mittelpunkte der Erde sind. Das Gesamtpotential ergibt
Niveauflachen, deren Abstand in A  ein Minimum, in B  ein
Maximum ist, d. b. A  bat Ebbe, B  Flut.

Genauer kann uns die folgende einfacbe Elberlegung unter-
ricbten. Die Gravitationsbescbleunigungen in A, O, B  seien |aj|,
|a 0 |, |a a |. Die Richtung nacb dem Mond wird positiv, die Ricb-
tung vom Mond weg negativ gerecbnet. c  bezeicbne die Zentri-
fugalbescbleunigung. Dann ergeben sich die gesamten storenden
Bescbleunigungen in A  und B  gemab der vorstebenden Betracb-
tung aus der folgenden TJbersicbt:

A

+ ( a l  - a o)

— c

+  K — a 0 )  — c
und da \c\ —  |«„|

d -  (®i — 2 ct 0 )

B

■ (a 0  0&2)

■ c

(^0 ~ tt 2 ) ~~ £

— (2 a 0  — a 2 )

Beacbten wir, dab |a 2 1 )> |a 0 j >> ja 2 j ist, so folgt zunachst,
dab — (2 a 0  — a 2 )  eine Flut bedeutet.

Sind ferner r x ,  r 0 , r 2  die zu [a, | , |a 0 [, ja 2 [ geborigen Ent-
fernungen, so ist |« 0 j <1 1 / 3  |« 1 1, wenn r 0  ^ r x  y2 ist, wie sicb
leicbt uberseben labt. Da aber fiir die Systeme Erde—Mond und
Erde^-Sonne r 0  < r x  ]j 2  ist, ist aucb | a 0 1  > J / 2  | a 1 1  J). Demnacb
ist + («i — 2 « 0 ) ein negativer Wert, driickt also im Punkte A
eine Ebbe aus. —

Nun ist es andererseits ricbtig, dab die Differenzen der Gravi-
tationsbeschleunigungen tatsacblicb existieren und in der Tiden-
erscheinung tvirksam sein miissen. Wir seben also: Die Diffe-

1 ) Der kritisehe Wert des Erdradius in dem System Erde—Mond be-
tragt rund 156000km, d. h. \vare der Erdradius groJBer, als dieser Wert
angibt, dann wiirde naeb der in Kede stehenden Ableitung in B  u n d in A
Flut entstehen. Dieses Verhaltnis, wo also der Planetenradius diesen kri-
tisohen Wert iiberscbreitet, ist iibrigens mehrfach in unserem Sonnensystem
verwirklicht, namlich in den Systemen Mars—Phobos, Jupiter—V. Mond,
Saturn—Mimas.

2 *

20

renzen der Gravitationsbeschleunigungen sind zur Ab-
leitung der fluterzeugenden Beschleunigungen notwendig,
aber nicht hinreichend.

§ 11. Einige Beispiele dieser Ableitung.

Die Ableitung der fluterzeugenden Beschleunigungen aus den
bloflen Differenzen der Gravitationsbeschleunigungen nimmt in
der Literatur die mannigfachsten Formen an.

Wir scheiden davon Formen primitivster Art aus. So meinte
z. B. vor langer Zeit in einer interessanten Diskussion iiber das
Problem der Nadirflut 1 ) der Dorpater Physiker Parrot, daJB jeder
Punkt der Erde infolge der anziehenden Kraft, die er auf den
Mond ausiibt, an anziehender Kraft verlore, die er auf die iibrigen
Erdpunkte ausiiben konne; aus dieser Schvvachung, die an den
Punkten A  und B  (Fig. 6) am groflten sei, resultiere Zenit- und
Nadirflut. Man solite kaum glauben, da C man dieser anthro-
pomorphistischen Ivraftauffassung auch gelegentlich heute noch
begegnen kann 2 ).

Die iibrigbleibenden Formen teilen wir in drei Gruppen:

1. Als einfaclister Typus der ersten Gruppe sei die Dar-
stellung bei Supan erwahnt 8 ). Er schreibt: „Unter der Ein-

wirkung des Mondes tritt im Durchmesser AOB  eine Streckung
ein, indem A  ebenso weit von O, wie O  von B  entfernt wird;
da aber der starre Erdkorper an dieser Streckung nicht teil-
nimmt, so entfallt das ganze Plus auf die Wasserhiille, und ihre
hochste Erhebung iiber ihr friiheres Niveau findet an zwei Punkten
statt: an jenem, der den Mond im Zenit hat (A), und an dem
antipodischen Punkt (Nadir, B).  Auf der Ungleichlieit der

2

Anziehung, d. h. auf der Differenz ’ 3  4 ) beruht also die flut-
erzeugende Kraft jedes Himmelskorpers.“

J ) Pogg. Ann. 4, 219, 1825. — 2 ) Z. B. bei Harms, Erdkundlicbe Hilfs-
biioher fiir Lehrerbildungsanstalten 1914, Heft l 2 , S. 50. — s ) Supan,
Grundzuge der physischen Erdkunde 5 , 303f., 1911. Um den Raum mehrerer
Figuren zu sparen, setze ich in den Text der Zitate die Buehstaben der
Fig. 6 ein. — 4 ) d  ist hi er die mittlere Entfernung der Erde von dem
Mond bz\v. der Sonne.

21

Die Darstellung dieser Gruppe ist mit den vorstehenden oder
ihnen ahnlichen Worten immer eine Variation des Gedankens zu
Anfang von § 10: dab die Differenz der Gravitationsbeschleuni-
gungen in O  und B  ein anderes Vorzeichen erhalt als die
Differenz in A  und O.  Das ist eine Beliauptung ohne Begriindung;
es ist nicht abzusehen, woher diese Verschiedenheit in den Vor-
zeicben kommen soli.

2. Die ztveite Gruppe versucht diese Begriindung. Gray tut
es auf folgende Weise 1 ): „Der durch die Masse des Mondes auf

h M

ein Teilcben von der Masse 1 in O ausgeiibte Zug ist ^  2 ).

Ware die vom Monde ausgeiibte Kraft auf jedes Einzelteilchen in
der Erde nach Grobe und Bichtung gleich dieser Kraft auf O 3 ),
so wiirde jedes Teilcben eine Beschleunigung von genau diesem
selben Betrage erfahren, es giibe dann keine Deformation der
Erde oder Anderung der relativen Lage der beweglichen Materie
auf ihrer Oberflacbe. Ferner ist es klar, dati, wenn die Erde
aus einem Gemengsel von Teilcben von gleicher Masse bestande
und jedem dieser Teilcben irgend eine Kraft P, fiir jedes Teilchen
dieselbe in Grobe und Richtung, erteilt wiirde, keine Anderung
der relativen Lage der Teile der Erde erfolgen wiirde. Das Er-
gebnis wiirde nur das sein, iiber jede scbon vorber vorhandene
Beschleunigung genau dieselbe Beschleunigung aller Teile zu
superponieren. Es werde deshalb angenommen, dab auf jedes

h M

Teilcben eine Kraft vom Betrage -=—  pro Masseneinheit in der

JL) 2

O M  entgegengesetzten Richtung wirke; diese bebt die Beschleu¬
nigung der Teilchen in O  oder in seiner Nachbarschaft auf; und
somit ist die Resultante dieser Kraft und der Anziehung des
Mondes die die Anderung der relativen Konfiguration erzeugende
Kraft. Kurz gesagt, wir machen die der Erde als Ganzem vom
Monde erteilte Verschiebung durch eine Gegenverschiebung wieder

D Gray, Lehrbuch der Physik I, deutsch von F. Auerbach, 1901,
S. 634 f. — 2 ) m  = Mondmasse, D  = Entfernung O M.  — 3 ) In der
deutsohen Ausgabe lauten die letzten Worte „nacb Grobe und Richtung
dasselbe wie dieses hier“. Das ist offenbar ungenau iibersetzt. Da ich das
Original nicht zur Hand habe, habe ich die Stelle in dem Zitat geschrieben,
wie sie lauten konnte. Auch andere Stellen des Zitates machen den Ein-
druck, als ob eine bessere \Viedergabe von Grays  Worten moglich sei.

22

riickgangig, um nur ikre Deformation um ikren Mittelpunkt als
festen Punkt iibrig zu behalten.“

Die „Gegenverschiebung“ ersckeint hier als ein Kunstgriff,
der gerade die notigen Werte liefert. In dem als relativ ruhend
vorausgesetzten System Erde-Mond gibt es keine Begriindung
dafiir.

Wiillner macbt die Sacke „leickt durck folgende Betrach-
tung anschaulich“ x ): ..Man babe drei Punkte J, C, B ; die Punkte
A  und B  werden jeder durck eine Kraft gleick 10, um ein
Zaklenbeispiel zu wahlen, gegen C  hingezogen. Nun seien ferner
an den drei Punkten nach gleicher Richtung, z. B. nach recbts
kin, folgende Krafte angebrackt: an B  die Kraft 3, an C die
Kraft 2, und an A  die Kraft 1. Diese Punkte befinden sich ge-
wissermafien in denselben Verhaltnissen wie unsere vorliin be-
trachteten Punkte auf der Erde. In dem Verhaltnis der drei
Punkte zueinander wird nun nichts geandert, wenn wir von jedem
derselben die nacb recbts kin ziehende Kraft 2 fortnehmen. Da-
durck ist der Punkt C  wieder wie anfangs yon keiner Kraft affi-
ziert. Am Punkte B  bleibt aber die Kraft nacb recbts kin, also
vom Punkte C  fortziekend iibrig. An A  zog urspriinglick die Kraft 10
gegen C  nacli recbts, es trat dann nock die Kraft 1 hinzu, spater
aber nakmen wir die Kraft 2 wieder fort; es bleibt also nur die
Kraft 9 nach C  kinziebend iibrig, oder, da wir uns statt der
Kraft 9 die Kraft 10 nacb C  kin und die Kraft 1 von C  fort¬
ziekend denken konnen, so folgt, dafi durck Anbringen jener
Krafte auck bei A  gleicksam eine von C  fortziekende Kraft ent-
stekt, welcke gleick ist der Differenz der von C  und A  nacb
recbts kin wirkenden Krafte. So also auch bei der Erde. Durck
Anziehung des Mondes entsteht an den unter dem Monde und
den ihm gegeniiber an der anderen Seite der Erde liegenden
Punkten gleichsam eine das Wasser vom Mittelpunkte der Erde
fortziekende Kraft.“

Das ist in elementarer Form die Graysche Darstellung.
Was bei Gray  die Gegenversckiebung, das leistet bei Wullner
die Fortnakme der nacb rechts hin ziehenden Kraft 2; auch sie
ist in den angenommenen dynamischen Verhaltnissen nickt be-
griindet.

J ) Wullner, Lehrbuch der Experimentalpliysik 6  1, 192, 1895.

23

Wir werden noch selien, dali Darlegungen, wie die vor-
stehenden, richtig gedeutet werden konnen, wenn man die wirk-
lichen Verhaltnisse zugrunde legt.

Zu dieser zweiten Gruppe gehort auch eine andere viel ver-
breitete Form. Man denkt sich, dali der Erdkorper zufolge der An-
ziehung sich ein wenig zum Monde hin bewege, dah aber die Wasser
im Nadir dieser Bewegung nicht ganz folgen konnen, also ein wenig
hinter ihr zuriickbleiben. Wenn man bei dieser Form, wie es
z. B. Kriimmel in einer friiheren Darstellung*) tut, das System
Erde—Mond als relativ ruhend annimmt, dann ist selbstverstand-
lich keine Annaherung der Erde an den Mond vorhanden, und
die Form besitzt keinen Erklarungswert. Besser ist die Fassung,
die ihr der Mathematiker und Philosoph Drobisch, der die Dis-
kussion mit dem vorhin zitierten Aufsatz von Parrot aufnahm,
gibt * 2 ). Es gibt, so meint er, eine Annaherung, wenn wir die
richtige Vorstellung der Bewegungsverhaltnisse nehmen: Erde und
Mond bewegen sich um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Die
Erde beschreibt also gleichfalls eine Kreisbahn im Monat. Diese
Bewegung der Erde Ulit sich in eine tangentiale und eine zentri-
petale zerlegen, und entsprechend der letzteren, sagt Drobisch,
gibt es ein stetes Fallen und eine štete Annaherung der Erde
an den Systemschwerpunkt bzw. an den Mond.

An dieser Fassung ist die Einsicht bemerkenswert, dah man
ohne Beriicksichtigung der Systemachse nicht veiter kommt.
Aber sie ist ungeniigend durchgefiihrt. Man kann die Kreisbahn
so auffassen, als ob sie in jedem Augenblicke die Resultante
einer normalen und einer tangentialen Komponente sei, als ob
also eine Annaherung stattfande. Aber das ist eine willkiirliche
Vektorenzerlegung. Es existiert in Wirldichkeit keine Annaherung.
Jede Annaherung wurde eine Arbeit der Kraft bedeuten. Unter
Voraussetzung der Kreisbahn bewegt sich aber die Erde auf
Flachen gleichen Potentials, die Zentralkraft leistet also keine
Arbeit. Sobald wir allerdings die volle Wirklichkeit nehmen,
nach der die Bahn der Erde in den Systemen Erde-Mond und
Erde—Sonne eine Ellipse ist, findet wahrend der einen Halfte des
Monats bzw. Jahres eine štete Annaherung der Erde an Mond

!) Kriimmel in A. Scobel, Geograph. Handbuch 6  1, 218f., 1909. —

2 ) Pcgg- Ann. (5, 237, 1826.

24

und Sonne statt, die im Perigaum bzw. Perihel ein Maximum er-
reiclit und eine vierzehntagige bzw. halbjahrige Flut erzeugt. Sie
kommt aber fiir unser vorliegendes Problem offensichtlicb nicht
in.Frage.

Im iibrigen ist iiber diese letzte Form abnlich wie iiber die
ersten dieser Gruppe zu urteilen: sie stellt einen ricbtigen Ge-
danken in einer noch ungliicklicheren Form dar.

3. Die dritte Gruppe gehort nur mehr auflerlich hierber. Zu
ibr zahlen wir alle Autoren, die wenigstens die spater zu be-
sprecbende Relativtheorie der fluterzeugenden Bescbleunigungen
ricbtig bringen, die aber beliaupten, dabei nur mit Gravitations-
bescbleunigungen auszukommen*). Diese Bebauptung bat auf
ibre Ableitung keinen EinfluB, sie ist lediglicb eine nachtrag-
licbe Deutung  dessen, was sie tun. Ihre Besprecbung mag
daber dem Kapitel iiber die Relativtheorie vorbebalten bleiben. —

Diese kurze Ubersicht kann den Fehler der Ableitung der
fluterzeugenden Bescbleunigungen aus den bloflen  Differenzen
der Gravitationsbescbleunigungen nocb in etwas anderem Lichte
zeigen, als es § 10 getan bat. Diese Ableitung bildet  die Diffe¬
renzen zvvischen den Bescbleunigungen im Mittelpunkt  O  und
in den Punkten A  und R, sie faflt die Differenzen aber auf als
Bescbleunigungen gegen die Erdoberf  lache. Das letztere diirfte
sie nur, vvenn sie zuvor nachweisen wiirde, dafl die Erdober-
flache eine der mittleren Gravitationsbeschleunigung an Grofie
gleicbe Bescbleunigung besitzt. Dieser Nachweis ist aber auf
dem Boden ihrer Voraussetzungen unmoglicb.

§ 12. Unriclitige Auffassung der Revolution ohne Rotation.

Die meisten Autoren, die die Notwendigkeit der Beriick-
sicbtigung der Sjstemacbse einseben, legen eine falscbe Vorstellung
der Revolution obne Rotation zugrunde.

Sie sehen die Erde dabei als eine exzentrisch um die System-
acbse sich bewegende Kugel an. Danach wiirde der Punkt A  (Fig. 6,
S. 17) dem Monde stets zugewandt bleiben und die Punkte der
Erde vviirden Kreise bescbreiben, von denen die in einer zur Erd-
babn parallelen Ebene liegenden konzentrisch und deren Mittel-

x ) Z. B. v. Schaper in den „Ann. d. Hydrogr. u. marit. Meteorol. 11
1910, S. 283; 1911, S. 34.

25

punkte samtlick auf der Svstemachse angeordnet vvaren. Anders
ausgedriickt: die Erdoberflache vvkrde gegen ein mit der Zentrale
starr verbundenes Koordinatensystem ruhen.

Diese Bevvegung kann man zerlegen in eine monatlicke Revo-
lution um die Systemachse und eine monatliche Rotation um
eine Achse, die durch den Schwerpunkt der Erde geht, aber
nicht in die Schvverpunktsaclise fallt, sondern der Svstemachse
parallel ist. Die Bewegung der Erde ware also dann das ge-
naue Gegenteil zu der in Wirklichkeit vorhandenen Bewegung
des Mondes, falls man von der Neigung der Scliwerpunktsaclise
des Mondes gegen die Bahn absiekt.

Es stecken zwei Fekler in dieser Auffassung. Erstens ein
metkodischer. Wenn man von der Rotation der Erde abseken
will, so darf man nicht vvillkiirlich eine Art der Rotation bei-
behalten. Die Auffassung steRt die Revolution nicht rein dar.
Ausschlaggehend fur die Beurteilung ist natiirlich der sachlicke
Fekler. Die Erde besitzt die vorausgesetzte monatlicke Rotation
um eine zur Sjstemachse parallele Ackse in Wirklichkeit iiber-
kaupt nicht. Unter den kier angenommenen vereinfackten Be-
dingungen kat sie blok die tagliche Rotation um ikre Schwer-
punktsackse und die monatliche Revolution um die Systemachse.
Die Folge jener falscken Vorstellung ist also, dah bei der Ab-
leitung der fluterzeugenden Beschleunigungen die VVirkung der
monatlicken Rotation zu viel gerecknet wird. Es ist leickt ein-
zusehen, dak die fluterzeugendo Beschleunigung in der Vertikalen

um den Betrag in der Horizontalen um den Betrag

^ 71  ^  zu grok wird, wenn r  den Erdradius, y  den Winkel

zwiscken Erdradius und Zentrale (nicht zwischen Erdradius und
Baknebene), T  die Zeit (1 Monat bzw. 1 Jahr) bezeichnen.

§ 13. Einige Beispiele dieser Darstellung.

Ein paar Beispiele mogen diese allgemeinen Ausfuhrungen
bejegen und verdeutlichen.

1. Thomson und Tait legen *) den Anfangspunkt eines reckt-
vvinkeligen Koordinatensystems in den Mittelpunkt der Erde, die

D Thomson-Tait, Handbuch der theoretischen Physik 1, 2, 374.

26

.s-Achse senkrecht zur Ebene der kreisformigen Babnen und die
a>Acbse in die Zentrale. Bezeichnen nun ra die Winkelgeschwindig-
keit der beiden Korper um den Systemschwerpunkt, a  den Ab-
stand dieses Schwerpunktes vom Erdmittelpunkt, li  den Abstand
der Mittelpunkte, M  die Mondmasse, so ergeben die Gravitations-
potentiale und das Potential der Zentrifugalkraft liir die Gleicbung
einer Sobar Oberflachen, die die Besultierenden der Schwere
und der Zentrifugalkraft iiberall unter recbten Winkeln scbneiden,

m

M

)/x 2 -\-y 2  + z 2  ^{K-x) 2  + y 2  + z 2

y 2 ra 2 [(a — x 2 )-\-y 2 ] — Con st.

In diesem Ansatz von Thomson-Tait steckt jene falscbe
Vorstellung. Fig. 7 stellt im Sinne des Ansatzes einen Schnitt in
der Bahnebene dar. O  ist der Mittelpunkt der Erde, S  der

Fig. 7.

Systemschwerpunkt. Die x-  und die y -Acbsen sind eingezeichnet,
die 0 -Acbse stebt in O  senkrecbt zur Zeichenebene. Differenziert
man die Funktion V 2 ra 2 [(a — x 2 )  ■+ y 2 ]  partiell einmal nach x
und dann nach y,  so erbalt man — ra 2  (a — x)  und co 2 y.  Be-
zeichnet man mit d  den Abstand eines beliebigen Punktes P  von
der Systemackse (nicbt vom Systemschwerpunkt), so sieht man
unmittelbar aus der Figur, dad

d = ]j{a  — x) 2  y 2

27

ist. Die partiellen Differentialguotienten —c/ 2 (a— x)  und ra 2 «/
sind demnach Komponenten der Funktion ra 2  d, und das ist die
(auf die Masseneinheit bezogene) Zentrifugalkraft, die entsteht,
wenn die Erde um die Systemachse als exzentriscke Achse mit
der Winkelgesckwindigkeit ra rotiert.

2. Nacb dieser Kritik ist die Darstellung von W. Voigt oline
weiteres zu beurteilen!). Er will von der Rotation der Erde um
ihre Acbse abseben und setzt Kreisbahnen voraus. Er fahrt dann
fort: „Denken wir den Schwerpunkt . . . des. ganzen Sjstems

ruhend, so rotieren die Zentren beider Ivugeln mit gleichfbrmiger
Geschwindigkeit in konstanten Abstanden um eine durcb ihn
gebende Achse...; ruht, wie angenommen, die Fliissigkeit gegen
ein mit ilmen rotierendes Koordinatensystem, so kann man die
Einwirkung der Bewegung durch die Einfiihrung der Zentrifugal¬
kraft ersetzen und erhalt als gesamtes Potential nach friiheren
Formeln:

E  bedeutet den Abstand eines beliebigen Punktes der Erdober-
flache vom Mondmittelpunkt, h  die Gravitationskonstante.

Man sielit sofort, das ist dieselbe Darstellung wie bei Thomson-
Tait: — \/ 2 ra 2 d 2  ist das Potential der bei der Rotation der Erde
um die Systemachse als eszentrische Achse entstehenden Zentri¬
fugalkraft a 2 d.  Die von Voigt als identisch behandelten Aus-
sagen „Revolution ohne Rotation" und „Ruhen der Fliissigkeit
gegen ein mit den beiden Korpern rotierendes Koordinatensystem“
sind eben nicht gleichbedeutend. Die erstere Aussage bedeutet
vielmehr, dah die Erde in einem derartigen Koordinatensystem,
dessen eine Achse also stets in die Zentrale fallt, eine monat-
liclie Rotation um eine der Systemachse parallele Achse macht.

3. Le Corguille spricht es direkt aus 2 ), daJB bei der Revo-
lution ohne Rotation alle Punkte der Erde mit derselben Winkel-
gesclrsvindigkeit um die auf der Bahn senkrechte Systemachse
rotieren und da (j unter diesen Bedingungen die Zentrifugalkraft
fiir jeden Punkt proportional seinem Abstande von dieser Achse ist.

D W. Voigt, Elementare Mechanik 3 , S. 399f., 1901. — 2 ) Le Cor¬
guille, Etude rationelle des niarees 1896, S. 14.

28

4. Auch Ja urnami behauptet 1 ), die Teile der Erde hatten
zufolge ihrer monatlicheu Revolution desto grofiere Beschleuni-
gungen, je weiter sie von der Rotationsachse entfernt seien.

5. Einen eigenartigen Typus stellt Hoff dar 2 ). Indem er
nur die Sonnentiden beriicksichtigt und der Einfacbheit wegen
die Ebenen des Aquators und der Ekliptik zusammenfallen labt,
will er zunachst den Storungsbetrag fiir jeden beliebigen Punkt
des Aquators ableiten. Zu dem Zwecke ist zuerst die Babn-
geschwindigkeit zu bestimmen. Sie setzt sicb zusammen aus der
konstanten Geschwindigkeit des Erdmittelpunktes und aus der-
jenigen Komponente der rotierenden Bewegung, die in die Rich-
tung der jahrlichen Bewegung fallt. Die Gescbwindigkeit des
Erdmittelpunktes ist

v  _ 2% Ar

'  - JI  5

wo A  hi er die in Erdaquatorialradien ausgedruckte Entfernung
des Erdmittelpunktes vom Sonnenmittelpunkt und T  die Dauer
des sideriscben Jahres bezeicbnen. Zerlegt man nun die rotierende
Bewegung in zwei Komponenten, die eine parallel zur Bahnlinie
des Erdmittelpunktes, die andere senkrecht dazu, so kommt, da
die Zentrifugalbeschleunigung in der Ricbtung der radialen
Komponente gleich Nuli ist und diese Komponente aucb keine
Lageveranderung zum Erdmittelpunkt bewirkt, blofj die erste
Komponente in Betracht, die den Wert

r d

2 nr

——COST
h

besitzt, wenn t x  die Dauer des siderischen Tages und r  den
Stundenwinkel der Sonne bedeuten. Die gesamte Bahngeschwindig-
keit ist demnach gleicb

ir  T ? T , 2 n Ar  2 nr
r — Va—V d  = -  - J- COS T.

Die StbrungsgroOe ergibt sicb nun aus der Differenz der Zentri-
fugalkraft und der Grofje der Sonnenanziehung. Bezeichnen M 1

Jaumann,  Grundlagen der BeweguDgslebre 1905, S. 110 f. — 2 ) Hoff,
aElementare Theorie der Sonnentiden" in den Annalen der Hydrographie
und maritimen Meteorologie 1907, S. 122 ff.

29

die Sonnenmasse (bezogen auf m  — 1) und g  die Fallbeschleuni-
gung, so ist diese Differenz offensichtlich

Da diese Grobe auf den Sonnenmittelpunkt bezogen ist, mufi sie
noch durcb Multiplikation mit cosz  auf den zugehorigen Erd-
radius projiziert werden. Dann beben sicb einige Glieder weg
und es bleibt

■j,  8 n 2 r  „ , 4ji 2 r

P  =- yT C0S T  + C ° S T '

Durcb entsprecbende Multiplikation mit dem Kosinus der Breite
ergibt sicb der Betrag fiir jeden beliebigen Parallelkreis.

Hoff will die so erlialtene Storungsformel auf die Gleich-
gewicbtsform der rotierenden Erde anwenden. Daraus ergibt
sicb, dafi er einen Teil der Kotationszentrifugalkraft zweimal in
Rechnung stellt. Dieser Teil ist leicbt zu finden, wenn wir noch
auf einen anderen Febler Hoffs achten. Er setzt die Zentrifugal-
kraft mit

F 2  =  ( Vg  — Vg) 2
Ar Ar

an. Das darf er aber nicbt, weil die Gescbwindigkeiten V a  und V,j
zu verscbiedenen Badien gekoren, V a  zu Ar, V d  zu r.  Die
Zentrifugalkraft, die von der Gesamtgeschwindigkeit V  berriihrt,
besitzt in AVirklichkeit den Wert

/Zi_Z!V

r J’

F|

das Glied -y-  ist also doppelt in Rechnung gestellt. —

Die besprocbene fehlerhafte Auffassung der Revolution ohne
Rotation kommt aufier in den Arbeiten zur Tbeorie der Tiden
auch gelegentlicb anderswo vor, so z.B. bei v. Šterneck, der den
Einflufi des Mondes auf die Ricbtung und die Grofie der Schwer-
kraft der Erde untersuchen will x ); an seiner Arbeit baben schon
Helmert und Peters diesen Febler getadelt 2 ). Sie tritt aber

J ) Sitzungsber. d. k. Akad. d. Wissensch. Wien 1876. 73. Bd. Math,-
physik. Klasse, II. Abt., S.553ff. — 2 ) Astron. Nacbr. 91, 2175.

30

schon viel friiher auf. Ich finde sie z.B. bei V. Streffleur, der
neben der durcb diese Bewegung entstehenden Zentrifugalkraft
nicht die Anziehungskraft, sondern die Verteilung von Wasser
und Land fiir die Dualitat der Flut verantwortlich macbt').

§ 14. Niclit hinreicliende Allgeineinheit der Losung.

Fiir jeden, der die Notwendigkeit der Riicksichtnahme auf
die tatsachlichen Acbsen einsieht, liegt der Gedanke der Be-
nutzung der Zentrifugalkraft sebr nabe. Auf diese Weise sind
denn z.B. aucb samtliche in § 13 besprochene Autoren verfahren.

Nun bat v. Scbaper mit Recbt darauf aufmerksam ge-
macbt * 2 ), daii der Gebraucb der Zentrifugalkraft im berkommlicben
Sinne nur bei dem Falle der kreisformigen Babn zu dem ricbtigen
Ausdruck der fluterzeugenden Krafte fiibrt, dab er aber bei ellip-
tiscben Bahnen versagt, und zwar um so vollstandiger, je grober
die Exzentrizitat der Ellipse wird. Der Grund liegt darin, dafi
die Zentrifugalkraft gemafi der iiblichen Fassung eine Funktion
des Kriimmungsradius ist, also — mit Ausnabme der Kreisbabn —
nicht der ganzen Zentripetalkraft, sondern nur ihrer Normal-
komponente entgegengesetzt gleicb ist. Fast samtliche Ableitungen
der fluterzeugenden Krafte mit Hilfe der Zentrifugalkraft besteben
also nur fiir den speziellen Fali der Kreisbabn zu recht. Hierber
gehoren z. B. die Ableitungen von Davis, Darwin, Kriimmel
(zitiert in §7), ferner die Darstellungen bei Kunz 8 ), Bidling-
maier 4 ), Levy 5 ), Hatt 6 ) und meine eigenen friiberen 7 ).

Diese Beurteilung setzt allerdings voraus, dab wir ein sicberes
Mittel baben, um die Ricbtigkeit der Ausdriicke fiir die flut¬
erzeugenden Krafte zu erkennen. Dieses Mittel wird das folgende
Kapitel an die Hand geben.

7 ) V. Streffleur, Die Erscheinungen der Ebbe und Flut unter dem
Einflusse der Rotation. Naturw. Abhandl. 1, 115 ff. Wien 1847. — 2 ) Ann.

d. Hydr. und marit. Meteor. 1910, S. 115. — 3 ) Kunz, Theoret. Physik 1907,

S. 169. — 4 ) Bidlingmaier, Ebbe und Flut 1908. — 6 ) Levy, Legons

sur la theorie des marees. I. Partie. 1898, S. 6ff. — 6 ) Hatt, Des marees,

S. 14ff. (Pariš, Gauthier-Villars, ohne Jahr). — 7 ) Aloys Miiller, Elem.

Theorie der Entstehung der Gezeiten 1906; Zur Theorie der Entstehung

der Tiden in Gerlands und Rudolphs Beitragen zur Geophysik 10, Heft 1

und 2.

IV. Die Relativtheorie der fluterzeugenden
Beschleunigungen.

§ 15. Grundlage und Ableitung der Ausdriicke.

Es wurde schon angedeutet, daC es zwei vissenschaftlich in
Betracht kommende Theorien der fluterzeugenden Beschleunigungen
gibt: die Relativtheorie und die Zentrifugalkrafttheorie.

Wir besprechen zunachst die Relativtheorie.

Sie findet ihre Grundlage in einfachen allgemeinen Uber-
legungen der Mechanik. Wir betrachten die Bevegung eines
Punktes P zunachst einmal in bezug auf ein absolutes Koordinaten-
svstem, d. h. auf ein solches, von dem man keine Bewegung relativ
zu einem anderen aussagen will, und bezeichnen seine Ge-
schwindigkeit als die absolute Geschwindigkeit v.  Denken wir
uns veiter einen starren, d. h. mit sich selbst stets kongruenten
Korper K  auch in Bewegung zu diesem absoluten Koordinaten-
system. Dann konnen wir die Bewegung von P auch z\veitens
relativ zu K  betrachten, indem wir uns etwa vorstellen, dali vir
uns auf dem Korper K  befanden und nur die Bewegung von P
relativ zu K  kannten. Die Geschwindigkeit von P  relativ zu K
sei v r .  Schliefllich drittens konnen wir uns P mit K  starr ver-
bunden denken. Infolge dieser Verbindung wird P eine Ge-
schwindigkeit haben, die wir Fiihrungsgeschwindigkeit nennen
und mit v f  bezeicbnen wollen. Unter Umstanden ist Vf  auch die
Geschwindigkeit von K,  jedenfalls ist v f  eine absolute Geschwindig-
keit, d. h. eine Geschwindigkeit relativ zu unserem absoluten
Koordinatensvstcm. Nehmen vir nun an, P werde von K  mit-
gefiihrt und besafie gleichzeitig eine Relativbevegung zu K , so ist
offenbar

V — V r  -J- Vf.

Die Striche sollen anzeigen, dah es sich um geometrische
Addition handelt. Daraus folgt

V r  = V  — Vf.

Fiir den besonderen Fali, daJB K  eine Translationsbewegung
ausfiihrt, ist auch

'lij'  ' ■■  'U/ Uf ^

32

wo die u  die den v  entsprechenden Beschleunigungen bedeuten.
Diese Gleichung gilt nicbt allgemein; fiir den Fali der DrebuDg
kommt noch das Coriolissche Glied hinzu.

Diese Gleichung fafit nun unser vorliegendes Problem. K  ist
die Erde. In Wirklichkeit ist sie nicht vollkommen starr. Sie
wird auch als fester Erdkorper den Storungskraften yon Mond
und Sonne bis zu eiuem gewissen Grade folgen. Aber davon
konnen wir bier absehen. P  ist ein Punkt des Meeres. Das
Meer wird zwar v on K  mitgefiibrt, besitzt aber auch Relativ-
bewegungen zu K.  Wir diirfen nun obne weiteres die Beziehung
der Gesckwindigkeiten in eine solche der Beschleunigungen um-
setzen, weil nach § 7 die in Betrackt kommende Bewegung der
Erde eine reine Translationsbewegung ist. Wir erbalten also die
Belativbeschleunigung eines Punktes des Meeres zur Erde, indeni
wir die Differenz der absoluten Beschleunigung und der Fiihrungs-
bescbleunigung bilden. Weil die letztere selber absolut ist, konnen
wir auch so sagen: wir erhalten die Relativbeschleunigung aus
der Differenz der Absolutbescbleunigungen, indem wir den Punkt
zunachst als freien, dann als starren (d. h. starr mit der Erde
verbundenen) Punkt anseken.

Ist Gr  die Einbeit der Beschleunigung der 1 Anziehung,

so ist

u  =

G-

E*'

Um Uf  zu finden, beachten wir, dah die Verbindung des Punktes
mit der Erde starr ist, daB also die Fiihrungsbeschleunigung die
Beschleunigung des Erdmittelpunktes ist. Demnach '

Uf  :

n 2 '

J)  ist keine Konstante, sondern als Abstand der Mittelpunkte
Erde-j die periodisch sich andernde Snmme der Radien-

vektoren in der Erd- und ^ on( ^ iBahn. Es ergibt sich also

Sonnen-J

- _ G _ G
Ur  "" E 2  D 2

(1)

Dieser Wert u r  ist die fluterzeugende Beschleunigung.

33

Wir wollen nun die geometrische Subtraktion ausfliliren,
indem wir den Wex - t in eine horizontale und eine vertikale
Komponente zerlegen. g

Wir bezeichnen die
Komponenten mit an-
gehangtem h  und v.

In Fig. 8 ist O der
Mittelpunkt der Erde,

M  der Mond, P der
betrachtete beliebige
Punkt. MG  stehtsenk-
recht auf der Ver-
langerung des Kadius
OP. Sehen wir (§ 5)
von der Abplattung des
Erdkorpers ab, was fiir die Tidentheorie durchschnittlich geniigt,
so ist 2$. MOP = z  die wakre, JiMPG —  P die scheinbare
Zenitdistanz des Mondes. Aus der Figur ergibt sich ohne weiteres

Gcosz'  ^

.( 3 )

.. • ( 4 )

.( 5 )

Vereinigt man (2) mit (4) und (3) mit (5), so erhalt man

Gcosz' Gcosz

%l r  ^ -

Mrh  —

G sin z' G sin z

Nun ist

Pa

D 2

cos z =

PG
E  ’

und da PG = OG-

OP  = D cos z  — r  ist, auch

D cos z  — r

~žT~

cos z'

(G)

(V

Aloys Muller, Gezeitenkrafte.

3

34

Setzt man diesen Wert und den aus

E _ sin z

D

sinz'

sich ergebenden Wert von sinz'  in (6) und (7) ein, so kommt

fDcosz  — r cosz

•i rv  = g(-

E  s

u rh  = G D sin z

1

Es Ds

( 8 )

( 9 )

Mit Hilfe der annahernd richtigen Beziebung

Es

^ ^ 3r
1 -j- -p cosz

Ds  ’

dio sich aus der Anwendung des Kosinussatzes auf das Dreieck
OPM  und unter Beriicksichtigung des Umstandes, dah annahernd
1

or

1  — -jjCOSZ

i , 3 »*

= 1  + jjCOSZ

ist, ergibt, wenn man die hoheren als die ersten Potenzen von
~  vernachlassigt, vervandeln sich die Gleichungen (8) und (9)
in die genaherten Gleichungen

Mre = 3C0S 2 Z — \)

3Gr .

Urh  = 22)3 sm22

• (io)
.( 11 )

Das sind die Gleichungen fiir die fluterzeugenden Beschleuni-
gungen, an die jede Tidentheorie ankniipfen muh.

§ 16. Die Gravitationsunterscliiede in der Relativtheorie.

Das letzte Glied von Gleichung (1) wiirde nicht auftreten,
wenn der Punkt keine Beschleunigung besahe, d. h. wenn die
Erde keine Revolution um die Systemachse machte. Dann vare
namlich das System in relativer Ruhe und samtliche auftretende
Beschleunigungen varen reine Gravitationsbeschleunigungen von
der Form des ersten Gliedes der Gleichung. Wir ersehen daraus

35

erstens die Notwendigkeit, die wirklichen Achsen zu beriick-
sichtigen. Zweitens und hauptsachlich gekt aber daraus liervor,
daB die Tiden keine reine Gravitationswirkung sind. Nur an
einem in beschleunigter Bewegung befindlichen Korper konnen
die Gravitationsunterschiede Tiden mit den charakteristiscben
Eigenschaften der wirklichen Tiden liervorbringen. Damit haben
wir neben der ersten notwendigen Bedingung zur Ableitung dieser
Eigenschaften (§ 10) die zweite notwendige gefunden und seben
gleichzeitig, dati diese beiden notwendigen Bedingungen,
namlich 1. die Translationsbewegung der Erde um die System-
achse, 2. die Abhangigkeit der Gravitation von den Koordinaten,
auch hinreicbend sind.

Man konnte sagen: in einem beschleunigt bewegten System
kommt man bei unserem Problem mit den bloBen Differenzen
der Gravitationsbeschleunigungen aus. Aber aus historisch-psycho-
logischen Griinden ist es angebracbt, statt dieser an sicb richtigen
Formulierung das Vorhandensein einer bescbleunigten Bewegung
als eine der beiden notwendigen Bedingungen ausdrticklich hervor-
zuheben.

§ 17. Eine einfacliere Darstellung der Relativtheorie.

Wir wollen noch eine einfache und durcbsicbtige Darstellung
des Grundgedankens der Relativtheorie in Anlehnung an Mach 1 )
bringen. Bei Mach ist allerdings die Translationsbewegung der
Erde um die Systemachse beriicksichtigt; aber nur da, wo die
Betonung dieser Notivendigkeit vorangegangen ist, wird die
Alackscke Darstellung keinem Mifiverstandnis ausgesetzt sein.
Die Erweiterung, die wir im Vergleich zu Mach vornebmen,
kann uns besonders deutlicb die Moglicbkeit eines Verstandnisses
der beiden charakteristiscben Tideneigenschaften zeigen.

Die Punkte A, O, B  (Fig. 6) mogen die nachste, mittlere
und weiteste Entfernung vom storenden Korper besitzen. Be-
trachtet man sie als freie Punkte und nennt, wie in § 10, ihre
Beschleunigungen gegen den storenden Korper j a x  j, [ a 0  j, j a 2  j, so
kann man offenbar diese Beschleunigungen auch schreiben

I “h ( a l  «o) |i | a o  !> I a o  («0 ^ 2 ) |-

J ) Mach, Die Mechanik in ihrer Entwickelung 7 , S. 206 f., 1912.

3*

36

Sieht man sie als starre Punkte an, so kaben sie die Bescbleuni-
gung j « 0 : des Erdmittelpunktes. g  als Eesultante aus der Scbwere-
beschleunigung und der Eotationszentrifugalbescbleunigung der
Erde moge die konstante Niveauflacbe sjmbolisieren, relativ zu
der wir die Bewegungen betracbten. Bezeicbnet man nun wieder
die Bescbleunigungen nacb dem storenden Korper zu positiv. von
ibm ab negativ, so ergeben sicb die Endresultate fur die drei
Punkte folgendermafien:

A
— 9

+ [«0  4 ~ 0?1  -a 0 )]

■p «0

O B

+ 9

+ «0 + K — (“o — a i}\

+ a 0  + C *0

— [g —  ( a i — «o)] 0  9  — («0 — «2)

Daraus lafjt sicb nun zvreierlei schliefien:

1 . In A  und B  ist \g\  vermindert, also begreifen wir, wie
im Zenit und im Nadir Flut entsteben kann.

2 . Die Ausdrucke fur die Bescbleunigungen a 1 !, ja 0 |, ] a 2 1
sind Briicbe, deren Zabler gleicb, deren Nenner die Quadrate
der Entfernungen der Punkte A,  O, B  vom storenden Korper
sind. Bedenkt man, dati A O  = OB  ist, und nennt man A  die in
Erdbalbmessern ausgedruckte Entfernung des Punktes O, so lassen
sicb die Bescbleunigungen

in

anstatt durcb
aucb durcb

als ibre MaJBe darstellen, und die vorbin abgeleiteten Werte,
um die \g\  vermindert ist, vrerden

U, Cio

1

1 I

Weil nun

(A — l ) * 1 2  J . 2

1  1

A 2  (A  +1)2 j

>

1

A + l

A >  A

1

Z+T’

ist, so ist scbon

37

und weil (A  -f- l) 2  — A 2  >> A 2  — (A  — l) 2

ist, in noch hoherem Mafie

' 1 1  L I 1  1

,(A —  l) 2  A 2  j >  A 2  (A +  l) 2 ; ’

Die fluterzeugende Beschleunigung in A  ist also grofier als
die in B.  Dem entspricht die zweite charakteristische Eigen-
schaft der Tiden: Die Zenitflut besitzt einen Maximalwert.

§ 18. Die fluterzeugenden Beschleunigungen im Nadir.

Die fluterzeugenden Beschleunigungen im Nadir sind der
Richtung nach in den Gleichungen (10) und (11) enthalten,
wobei wir z  von 0 bis 180° zahlen. Denn die vertikale Kompo¬
nente ist positiv, wenn 3cos 2 z^>\  ist, also von 0  = 0° bis
z  = 54° 44' und von z =  125° 16' bis z =  180°; in dem zwischen-
liegenden Bereiche ist sie negativ. Die horizontale Komponente
ist positiv, wenn sin  2 z  positiv ist, also von z  = 0° bis z  = 90°,
negativ von z  = 90° bis z  = 180°.

Wenn wir aber in den Gleichungen (6) und (7) auch den
Nadir mit Hilfe der Vorzeichen beriicksichtigen, so ergibt die
Durchrechnung, dali der Unterschied der Grofi e der Zenit- und
Nadirbeschleunigungen aus den Gleichungen (10) und (11) infolge
der Vernachlassigungen herausfallt.

Die Grofie des Verhaltnisses der fluterzeugenden Beschleuni¬
gungen im Zenit und Nadir kann man auf folgende Weise er-
halten. Bezeichnen wir mit Z  und N  die Maximalwerte der
Beschleunigungen im Zenit und Nadir, so ist

z  ~  ®((x—1)‘ —  3*)’

n = e (i-(3^y

Daraus

Z _ 2A* + 3A 2  — l
N  —  2A 3 —3A 2  +  l‘

Dieser Ausdruck enhvickelt sich in die Reihe

^ A^ 2A 2 ^  2 2 A 3

3*

23  A*

+ •

38

Bricht man die Reihe nach dem zweiten Gliede ab, weil die
hoheren als die ersten Potenzen von -4 sehr kleine Groben sind,
so erhalt man

- — l+S-L.

N ~  +  D

Wegen einer falscben Auffassung, der man manchmal be-
gegnet, sei ausdriicklicb darauf hingewiesen, dab dieser Ausdruck
von jeder Theorie der Tiden unabhangig und, abgesehen von den
Vernachlassigungen in der Reihe, vollkommen richtig ist. Aber
das Verhaltnis der fluterzeugenden Beschleunigungen ist
nur in der Gleichgewichtstheorie der Tiden gleich dem Verhaltnis
der Fluthdhen, in Wirklichkeit aber nicht. Das wirkliche Ver¬
haltnis der Maximalwerte der Fluthohen im Zenit und Nadir ist
etwa halb so grob wie das aus der Gleichgewichtstheorie be-
rechnete.

Z

Die numerische Rechnung gibt flir das Verhaltnis ^  bei den

Mondtiden ungefahr den Wert 1,05, bei den Sonnentiden ungefahr
1,000 13. In der Praxis wird dieser Unterschied bei den Sonnen¬
tiden natiirlich ohne weiteres vernaclilassigt. Bei den Mondtiden
konnte man sich durch Superposition einer ganztagigen und einer
halbtagigen Flut helfen. Nennt man h z  die Hohe der Zenitflut
so erhalt man unter den Voraussetzungen der Gleichgewichts-
theorie ein Bild der Wirklichkeit, wenn man eine ganztagige

V

Flut mit der Hohe 3 ^-7 j*  und eine halbtagige mit der Hohe

K

annimmt, wobei wieder von der Beziehung Gebrauch

gemacht ist, dab annahernd

1

ist. Aber aus dem vorhin genannten Grande kann dieser Unter¬
schied auch bei den Mondtiden ohne nennenswerten Fehler prak-
tisch unberiicksichtigt bleiben.

39

V. Die Zentrifugalkraft.

§ 19. Die Ableitung der fluterzeugenden Besclileunigungen
in elliptischer Balm mit Hilfe des herkommlichen
Zentrifugalkraftbegriffes.

Bevor wir zur zweiten der in § 15 erwahnten Theorien der
fluterzeugenden Beschleunigungen, der Zentrifugalkrafttheorie, iiber-
gehen, miissen wir ihre Grundlage, die Zentrifugalkraft, einer
Betrachtung unterziehen. Nicht nur bestehen im allgemeinen die
verscbiedensten Auffassungen dieser Kraft, im besonderen bat
aucb ibre Benutzung in der Tkeorie der fluterzeugenden Be¬
schleunigungen ein Problem aufgeworfen, das in § 14 schon be-
riikrt wurde. Es lal.it sich zeigen, d a C bei einer Bewegung, wie
sie die Rerolution der Erde um die Svstemacbse ist, ein e Zentri¬
fugalkraft auftreten und in der Erscheinung der Tiden mit-
wirken mu 1.1. Sobald man aber die wirkliche, elliptiscbe Babn
beriicksichtigt, stimmen die Formeln mit den aus der Relativ-
tbeorie erhaltenen, die unzweifelhaft richtig sind, nicht mehr
iiberein. Das wollen wir zunachst nach\veisen.

Es mogen noch bedeuten

« und b  die grobe und kleine Halbachse der Bahn-
ellipse der Erde  in beiden Systemen,
s den Radiusvektor dieser Bahnellipse,
p den Kriimmungsradius,

-tj)  den Winkel zwischen s  und p.

Fiir den Endpunkt jedes r  ist

G

und c = —
P

Projiziert man c  auf s, so kommt

F 2

c' —  — cos  i p.
Q

Ferner ist (vgl. § 15)

G(D cos e — r)

Uv  ~ Eb  ’

und

V 2 cosip cosz

GDsins

V 2 cosip sin z

Uh  — E 3

40

Die Projektion der gesamten Babnbescbleunigung Uf  =
auf q  ergibt

, G COS
U f— —Jp

Demnacb ist

G cos xp  _ F 2

D 2  ~ “ ~q '

Setzt man diesen Wert in die Gleicbungen der c'-Kompo-
nenten ein, so erbalt man

,  G cos 2 1 /> cos z

Cv  — S 2  ’

_ Gcos 2 t sinz

Ch  — S 2  ’

und weil, wie sicb aus den bei Salmon-Fiedler 7 ) mitgeteilten
Formeln leicbt ableiten lal.it,

. b

cosip —

auch

c h  =

ys(2a — s)’
G b 2  cos z
s D  (2 a  — s) ’

G b 2  sin z

s D  (2 a  — s)

Als Komponenten der fluterzeugenden Bescbleunigung ergeben

sicb also

G(Dcosz  — r)

Ur v  -

Gb 2 cosz

Mrh  —

E 3
G D sin z

s B  (2 a — s)  ’

G b 2  sin z

E 3  s B  (2 a —  s)

Mit Hilfe der fiir Gleicbung (10) gebraucbten Beziebung

zwischen E  und D  folgen daraus die Gleicbungen

U r h  -

G cos z

D 3

G sin z
JP

D + 3 r cos z ■
, 3r cos z

3r 2

b°-D

cos z
b 2

D s  (2 a  — s)

-sV’

D

s(2a — s)

x ) Salmon-Fiedler, Analytisclie Geometrie der Kegelschnitte. I 7 ,
1907, S. 410.

41

Das sind, wie man sofort sieht, die Gleichungen (10) und (11)
mit den Zusatzgliedern

Wenn diese Zusatzglieder auch praktisch wenig bedeuten
mogen, so sind sie doch nacb den Untersncbungen des letzten
Kapitels theoretisch falsch. Dieses Ergebnis zusammen mit dem zu
Anfang dieses Paragraphen erwahnten Umstande, dali Zentrifugal-
krafte auftreten und wirksam sein miissen, legt nur eine Folge-
rung nahe, dab namlich nicbt der Zentrifugalkraftbegriff iiber-
baupt, sondern nur die herkommliche Form desselben zur
Ableitung der fluterzeugenden Bescbleunigungen unbraucbbar ist.
Die Bestatigung wird der folgende Paragraph enthalten.

§ 20. Strenge Ableitung des analytisclien Begriffes

Da man die Zentrifugalkraft in die Mecbanik meistens wenig
gliicklich mit Hilfe des Prinzips der actio und reactio einfiihrt,
so sei zunachst in engem AnschluC an Kirchhoff *) eine strenge
Ableitung fiir die Kreisbahn gegeben, die geeignet ist, den Be-
griff von einem Standpunkte aus klarzumachen.

Wir stellen uns das Problem, zu untersuchen, wie sich die
Differentialgleichungen der Bewegung andern, wenn sie auf ein
rotierendes Koordinatensystem bezogen werden.

Es sei ein System von materiellen Punkten gegeben, das
beliebigen Kraften und beliebigen Bedingungsgleicbungen unter-
worfen ist. Die Lage der Punkte zur Zeit t  beziehen wir gleicbzeitig
auf zwei Koordinatensysteme, ein ungestrichenes und ein ge-
strichenes. Das ungestricbene System betracbten wir als ruhend,
das gestrickene als mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um
eine feste Acbse rechtliiufig rotierend. Die Anfangspunkte mogen
zusammenfallen, die z -Acbse und die P- Acbse legen wir in die
Acbse der Drehung. m  bedeute fiir diesen Paragraphen die
Masse eines Punktes, x, y, s  seine Koordinaten im ungestrichenen,

der Zentrifugalkraft fiir die Kreisbahn.

i) Kirchhoff, Vorlesungen iiber Blecbanik 4  1897, S. 86ff.

42

x', y', 2  im gestrichenen System, X, Y, Z  die Komponenten der
auf den Punkt wirkenden Kraft zur Zeit t  im ungestrichenen,
X 1 , Y', Z'  im gestrichenen System. d x, 8y, 82  seien den Achsen
parallele virtuelle Variationen im ungestrichenen, 8x', 8y', 82'  im
gestrichenenSystem. Nachdem d’AlembertschenPrinzip haben wir

E

m

d 2 x

Jt 2 "

Unser Problem ist gelost, wenn wir in diese Gleichung die
Buchstaben des gestrichenen Systems eingefiihrt haben.

Man sieht zunachst leicht, dah die Gleichungen fiir die Ver-
tauschbarkeit der Koordinaten der beiden Systeme im vorliegenden
Falle lauten x  __ x ' cosa t  — y' s in a t  j

y  = x'sinat  + y'cos at  !. (13)

2=2'  J

Fiir die Variationen gelten die entsprechenden Gleichungen

8  x — 8  x' cosat  — 8  y' sin at )

8y — 8x'sinat-\-8y'cosat \ .( 14 )

82 = 82'  J

Differenzieren wir die Gleichungen ( 13 ) nach t,  so kommt

dx dx' , dy' . , , ,

= -t—  cosat — —fr sm at  — a x sinat  — a y cos a t,
dt dt dt

dy dx' . , , dy' ,  , , . . . ,

-fj  = -jjsmat  -f - -jj cos at a x'cosat  — ay smat,

CtZ CIZ Cl t

d2  _ d2'

dt dt

Die nochmalige Differentiation nach t  ergiht

d 2 y' ■  , n  dx . .

■ smat  — 2  a sm a t
dt 2  dt

d 2 x d 2 x'  ,
dP=Tp' xs, °‘-
d

— 2 a—j-cos at  — a 2 x'cosat a 2 y'sinat,

Cl t

d 2 y d 2 x' . ,  , d 2 i/  , , n  dx'

~  == -tj-— smat  + -f-cosat  4 - 2 a-, T cosat
dt 2  dt 2  dt 2  ' dt

d n'

— 2  w — Z-sin at  — a 2  x'sinat  — a 2 1/ cosat,

dt J

d 2 2  _ d 2 2'

dt 2  ' Ut 2

43

Beachten wir nun noch, dafi

X8x + Y8y + Z8s = X'8x' + Y'§y'  -f Z'8z'
ist, weil es sich dabei um die Arbeit derselben Kraft fiir die-
selbe Verriickung ihres Angriffspunktes bandelt. Jetzt konnen
wir die Vertauschung in Gleichung (12) vornehmen. Wir erhalten

m

d 2 x'

-X’ — mco 2 x' — 8x'
at 2  ott J

+ (m d ( ^ — Y'—nico i y'-\-m2co 8y'

(m

d P

Z') 8s'.

(15)

Vergleicht man diesen Ausdruck mit (12), so ergibt sicb
folgeudes. Man kann das gestricbene Sjstem als ruhend anselien,
wenn man zu den Kraften des gestrichenen Systems noch be-
stimmte Krafte hinzufiigt. Die Komponenten dieser letzten Krafte
auf unseren Punkt sind

Y"  = m(a 2  y'  — 2 to ?

Z"  = 0.

Diese Komponenten lassen sich in die beiden Gruppen zerlegen

m a 2 x'
m  to 2 y'

und

m  2 to

»K 2 to

dy'

~dt

dx'

dt

0

0.

Jede dieser Gruppen stellt eine Kraft dar. Die zweite Kraft
tritt dann nicht auf, wenn der Punkt gegen das gestrichene
System ruht; denn dann ist

dx' _ dy' _

dt ~ dt

Fiir diesen Fali, der uns allein interessiert, bleibt die Kraft
iibrig, deren Komponenten die erste Gruppe darstellt. Diese
Kraft hat die Grobe

m co^x ' 2  + y ' 2

44

und stellt einen auf der Achse der Drehung senkrechten im d von
ihr ab gerichteten Vektor dar. Diese Ivraft nennen wir
Zentrifugalkraft.

Wir andern noch die Bedingungen der Losung etwas ab und
nehmen zunachst an, dab die Bedingungsgleichungen zwischen
x\ y', z'  die Zeit nicbt entbalten. Dann kann man fiir 8x\ 8;/,
8 z'  in Gleichung (15) setzen dx', dy', d z',  weil das jetzt virtuelle
Variationen der x', y', z'  in der Zeit d t  sind. Man erhalt

Nehmen wir schlieblich noch an, dab die Lage des Systems
durch eine Variable bestimmt ist, so kann man aus (16) die
Bewegung des Systems berechnen. Man sieht, dab also auch
unter diesen Voraussetzungen die Rotation des Systems durch
Einfiihrung der Zentrifugalkraft ersetzt werden kann.

Daraus ergibt sich deutlich ein Sinn der Zentrifugalkraft,
den wir den analytischen Sinn nennen wollen. Will man das
Kraftfeld eines rotierenden Korpers beschreiben, so kann man
ihn als ruhend ansehen, mub aber dann zu den im Buhzustande
an ihm wirkenden Kraften noch die sogenannte Zentrifugalkraft
kinzufiigen. Man darf diese Auffassung nicht mibverstehen. Sie
gilt nur fiir die analytische Darstellung: anstatt, wie es in diesem
Paragraphen geschehen ist, von einem Prinzip ausgehend die
Anderung der Bewegungsgleichungen bei einem rotierenden System
zu suchen, kann man unmittelbar das Resultat von Gleichung (16)
benutzen. Wer aber aus der obigen Fassung des analytischen
Sinnes folgern wiirde, dab in der Wirklichkeit an einem rotierenden
Korper keine Zentrifugalkraft existiere, wiirde im Irrtum sein;
in irgend einer Form existiert sie in der Wirklichkeit. Wir
kommen spater noch auf diese Frage zuriick. Hier soli nur dem
Irrtum vorgebeugt werden, die Zentrifugalkraft wegen dieses
analytischen Resultates als Scheinkraft oder ahnlich zu be-
zeichnen; es bleibt vorlaufig offen, ob es andere Griinde fiir
diese Bezeichnung gibt.

45

Noch eine weitere Bemerkung ist anzukniipfen. Die Ent-
wickelung dieses Paragraphen hat gezeigt, dab die analytiscbe
Auffassung der Zentrifugalkraft vollstandig klar und keinem
Zweifel unterworfen ist. Damit ist die zu Anfang von § 19 auf-
gestellte Bebauptung, dab die Zentrifugalkraft in den Systemen

Erde— eine Rolle spielen muli, bewiesen; fabt man die

Balin der Erde in beiden Fallen als Kreisbakn, so bat man das
Recht, obne weiteres die Ergebnisse von Gleicbung (16) zu be-
nutzen. Rechnet man mit dem ublicben Zentrifugalkraftbegriff
fiir die elliptiscbe Babn und erbalt, wie § 19 zeigte, falsche
Resultate, so kann demnacb der Grund nur darin liegen, dab der
iiblicbe Ausdruck nicbt allgemein genug ist. Die Vermutung am
Scblub von § 19 ist damit bestatigt.

§ 21. Der analjtisclie Begriff der Zentrifugalkraft
fiir jede beliebige Babn.

Die Mecbanik kennt bisher eine Zentrifugalkraft nur bei
krummliniger Beivegung. Der allgemeinste Ausdruck fiir die
absolute Grobe der an einem Punkte mit der Masse m  auftretenden

F 2

Zentrifugalkraft ist nach ibr m -Im Falle der Kreisbabn mit

dem Radius r  ist q — r.

Wir wollen im folgenden zeigen, dab bei jeder bescbleunigten
Bevregung eines anziebenden Korpers ’) sein Kraftfeld nur dann
vollstandig bescbrieben wird, wenn zu den Kraften des Ruli-
zustandes oder — was dasselbe bedeutet zu den Kraften der
geradlinig - gleicbformigen Bewegung nocb Krafte hinzugefugt
werden, die uberall von derselben allgemeinen Form sind. Inso-
fern sie die relativen Lagen der Teile des Korpers storen konnen,
kann man sie Storungskrafte nennen. Wir fiibren die Unter-
suchung der Reihe nacb fiir jede Art von Bewegung.

1. Die geradlinig gleicbformige Bewegung.

Ist der Korper mit dem Mittelpunkt O  (Fig. 6) in geradlinig
gleicbformiger Bewegung auf der durcb die Punkte A  und B

D Wir beschranken uns auf diesen besonderen Fali, weil er unser
Problem einschliefit. Die Behauptung gilt im iibrigen allgemein.

46

gehenden Geraden, so besitzen gemah dieser Voraussetzung samt-
liche Punkte relativ zu 0 lediglicb die Beschleunigungen — g  bzw.
d- g.  Es tritt also keine Storung auf.

Eine andere tlberlegung fiihrt zu demselben Ergebnis. Wegen
der Relativitat der Bewegung darf man den geradlinig gleich-
formig bewegten Korper in Ruhe und das Koordinatensystem,
auf das seine Bewegung bezogen wird, gegen ihn in umgekehrtem
Sinne bewegt denken. Die Falle der Ruhe und der geradlinig
gleichformigen Bewegung sind also bezliglich des Ivraftfeldes
identisch.

2. Die geradlinig beschleunigte Bewegung.

Die Storung ergibt sich dabei schon, wenn wir die Punkte
A, O, B  so ansehen, als ob sie der die Bescbleunigung erzeugenden
Kraft frei folgen konnten. Ibre Entfernungen vom Orte der
anziehenden Kraft seien r x , r s , r 3 , so dali also (r 2  — r x ) = (r 3  — r 2 )
ist. Wir stellen uns vor, die Kraft finge in einem bestimmten
Augenblicke an zu wirken. In diesem Augenblicke sind die Be-

scbleunigungen von A, O, B  gleich wenn g  die Einbeit

r i r 3

der Bescbleunigung 'der anziehenden Kraft ist. Nennen wir die
Wege, die die drei Punkte als freie nach t  Sekunden zuriicklegen
wtirden, s x , s 2 , s s , so ergeben sich die folgenden Entwickelungen:

t »

Unterschiede der Entfernungen nach

Die letzten Glieder der Formeln in der dritten Kolonne
zeigen, dati das Kraftfeld sich lediglich unter dem EinfluB der
anziehenden Kraft und der Bewegung so geandert bat, als ob
eine abstofiende Kraft von O aus den Punkten A  und B  die
Beschleunigungen

erteilt habe.

“G;-h)  und  •‘Grti)

47

Mit Hilfe der Methode der Relativbeschleunigung als Differenz
der Absolutbeschleunigungen (§ 15) labt sich dieses Resultat ver-
allgemeinern. Die drei Punkte A, O, JB  als freie Punkte be-
trachtet, mogen die Beschleunigungen [a-f-da|, |a|, a  — ča| be-
sitzen. Als starre Punkte haben sie die Beschleunigung \a\.  Mdr
erhalten also das Schema

A O B

'— 9  + 9

-j— a  d— d a d -  a d -  o  — d a

d- a -j -  ^ . d -  ^

— (y — 8a ) 0 + {9 —  d «)

Die von den Storungskraften herriihrende Beschleunigung d a
lafit sich fiir jeden beliehigen Punkt sofort festsetzen, wenn wir
mit r p  die Entfernung des Punktes vom Orte der anziehenden
Kraft, mit r m  die Entfernung des Mittelpunktes von diesem Orte
bezeichnen. Die Beschleunigung ist dann

3. Die Bewegung in kreisf ormiger Bahn.

Man erkennt, dah die von den Storungskraften herriihrende
Beschleunigung S a  dieselbe Form wie in der vorhergehenden
Nummer annehmen muh.

Iv 2 .

Weil im vorliegenden Falle — s  = -y  isti wenn v  die Bahn-

T m  v

geschvrindigkeit, l  den Bahnradius bedeutet, so kann die Be¬
schleunigung die Form

, > _ v l

+  r; l

annehmen.

4. Die Bewegung in beliebiger krummliniger Bahn.

Zerlegt man die anziehende Kraft in die Normal- und die
Tangentialkomponente, so gilt fiir die erstere das Resultat von
Nr. 3, fiir die letztere das Resultat von Nr. 2. Das Gesamtresultat
ist auch hier eine Relativbeschleunigung von der Form, die Nr. 2
angibt.

Man kann auch unmittelbar die Methode der Relativ¬
beschleunigung als Differenz der Absolutbeschleunigungen an-

4S

wenden und sieht dann, dalj das Ergebnis schon in § 15 vorweg-
genommen war. —

Wir fassen die Resultate der Nr. 2, 3 und 4 zusammen. An
jedem Punkte eines Korpers (mit Ausnahme des Schwerpunktes)
treten bei einer beschleunigten Bewegung in beliebiger — auch
gerader — Babn storende Krafte auf, die die relative Lage der
Punkte zum Schwerpunkt zu andern sucben. Diese Krafte liaben
fiir jede Bahn dieselbo Form

wenn die Masse, auf die sie wirken, gleicb 1 gesetzt wird. Zur
vollstandigen Bescbreibung des Kraftfeldes des Korpers mulj man
also zu dem im Ruhzustande Torhandenen ersten Gliede dieser
Kraft das zweite vektoriell hinzufiigen.

Im Falle der Kreisbahn ist es iiblich, das zweite Glied — ~

V m
V 2

dieser Kraft, das, wie wir wissen, dann auch gleich- j  ist, als

Zentrifugalkraft zu bezeicbnen. Weil dieses Glied aber bei allen
Bahnen in derselben Form auftritt, nennen wir es allgemein
Zentrifugalkraft. Die Berechtigung und die Notwendigkeit dieser
Verallgemeinerung liegen also in der Gleichheit der dynamischen
Verbaltnisse begrundet, die aucb dieBenutzung desselben Wortes
zur Bezeichnung der Kraft notwendig macbt. Der Gebrauch des
besonderen Wortes „Zentrifugalkraft“ ist gestattet, weil nicbts im
Wege stebt, jede Bescbleunigung nach dem Orte einer Kraft hin
als zentripetal, jede umgekehrte Beschleunigung als zentrifugal
zu bezeicbnen. Selbstverstandlich kommt es uns nicht auf das
Wort an, sondern nur auf den Nachweis, dalj man eine grob ere
Gruppe von Erscheinungen unter demselben, mebrfacb bin-
gescliriebenen mathematischen Ausdruck zusammenfassen mub, als
es in der Mechanik bisber iiblich war. Sachlicb kennt ubrigens
die Mechanik die Tangentialkomponente unserer Storungskraft
(Nr. 4) unter dem Namen Reaktionskraft oder ahnlioken Namen
schon. Aber es feblt ibr die Zusammenfassung der gleicben
dynamischen Verhaltnisse unter demselben Begriff, und weil die
Zentrifugalkraft in der Mechanik bei nicht kreisformigen krumm-
linigen Bewegungen scbwerlicb einmal benutzt zu \verden pflegt,

49

hatte sie kaum Gelegenheit, zu dieser Erkenntnis zu gelangen.
Moglich ware die Benutzung sckon, z. B. beim Problem der Pra-

zession x ).

Wenn man die Ausdrucksweise von Voigt gebrauchen will i) 2 ),
die aber, wie wir nock seben werden, bereits eine physikaliscke
Deutung entkalt, also nicbt mebr rein analjdisch ist, so kann
man auch sagen: Die Zentrifugalkraft ist eine Aufierung der
Richtungs- und Geschwindigkeitstragheit. Weil die Mechanik sie
bisber lediglicb als Auberung der Ricktungstragheit auffabte, fallt *
sie nur bei der Kreisbabn mit dem berkommlicben Begriffe zusammen.

§ 22 .  Die Zentrifugalbesclileunigung

und die Methode der Differenz der Absolutbeschleunigungen.

Die vorstehenden Dberlegungen gestatten noch eine wichtige
Folgerung: Die Metbode, die Relativbeschleunigung aus
der Differenz der Absolutbeschleunigungen abzuleiten,
ist identiscb mit der anderen, sie aus dem Zusammen-
fassen von Gravitations - und Zentrifugalbeschleuni-
gungen zu finden. Die letztere ist in gewissem Sinne eine
Abkurzung der ersteren.

Vielleicht ist nocb eine andere Formulierung vorteilhaft.

Wir vrollen unter Vektormenge eines Systems die Anzabl
der Vektoren versteben 8 ), deren Angabe der Angabe der Skalare
binzugefiigt werden mub, damit das System vollstandig beschrieben
ist. In dem System zweier anziehenden Korper kann nun die
Vektormenge, die fur uns in Betracbt kommt, in doppelter Weise
dargestellt werden:

1. als Gravitationsbeschleunigung und (bescbleunigte) Gesclrvin-

digkeit,

2. als Gravitationsbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung.

i) Ioh habe den verallgemeinerten Begriff der Zentrifugalkraft zuerst

ausgesprochen in den Ann. d. Hydr. u. marit. Met. 1910, S. 149, naher be-

griindet in der Programmschrift „tlber eine Verallgemeinerung des Begriffes

der Zentrifugalkraft", 1912. Ungefakr gleichzeitig hat O. Franzius ihn

eingefiihrt (Zeitschr. f. Arebitektur- u. Ingenieur\vesen 1910, S. 300 f.; Ann.

d. Hydr. u. marit. Met. 1911, S. 83 ff.), ohne ihn aber systematisch zu ent-
\vickeln und ohne zu erkennen, daJ3 mit seiner Hilfe der Gegensatz zwischen

den beiden Theorien der fluterzeugenden Krafte weggeschafft wird. —
2 ) Voigt, El. Mech., S. 53. — 3 * * * * ) Tensoren einbegriffen.

Aloys Mtiller, Gezeitenkrafte.

4

50

Man kann also sagen: Die Zentrifugalbeschleunigung ist

das Resultat einer besonderen Auffassung der Vektormenge eines
rotierenden Systems.

Um MiGveratandnisse fernzuhalten, mufi nocli zweierlei be-
merkt werden. Erstens bedeutet Vektormenge keine Summierung
von Vektoren. Zweitens ist die Vektormenge auch nicht e in
Vektor, der bei den beiden genannten Auffassungen in Kompo-
nenten zerlegt wird. Im Grande driickt die erste dieser Auf¬
fassungen die Anfangsbedingungen aus, bei denen die Uber-
legungen iiber das Kraftfeld einsetzen, die zweite ein Resultat auf
dem Wege dieser Uberlegungen.

§ 23. Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft.

Um auf unserem allgemeineren Standpunkte diese beiden
Begriffe in einem dem iiblichen analogen Sinne zusammenbringen
zu konnen, baben wir zuvor einige Befinitionen notig.

Wir kniipfen an die friihere Betrachtung der Punkte als
freie und als starre an. Stellen wir uns jeden Punkt eines Korpers
in den von uns betrachteten Systemen als starr vor, so wird er
eine bestimmte Babn, eine geradlinige oder eine krummlinige,
bescbreiben. Wir denken uns nun, dad jeder Punkt diese selbe
Babn, die er als starrer Punkt bescbreibt, als freier Punkt durch-
lauft, dab er also den Cbarakter des freien Punktes mit der
Bahn des starren Punktes vereinigt. Diese Vereinigung ist
nur moglich, wenn wir die Starrheit ersetzt denken durch
Krafte, die geeignet sind, die Punkte in diesen Bahnen zu fiihren.
Jeder Punkt muBte seine eigene derartige Kraft besitzen; diese
Krafte waren voneinander vollstandig unabhangig; es wiirde also
jede so wirken, als ob die anderen nicht vorhanden seien. Ein
derartiges System von Punkt und Kraft nennen wir ein ideales
System, die Kraft eine ideale Zentripetalkraft -  Kraft).
Entsprecbend heifie der Abstand eines Punktes vom Orte seiner
Z,-Kraft sein idealer Abstand, der bei krummlinigen Bahnen zum
idealen Radius oder Radiusvektor wird.

Dazu zunachst einige Beispiele.

Fig. 9 stelle das in § 20, Nr. 2 besprochene System der
geradlinig bescbleunigten Bewegung dar. Z  ist der Ort der tat-
sachlichen Zentripetalkraft (Z t - Kraft). Der Mittelpunkt O  bewegt

51

sich also in der Richtung OZ. Wenn O in O'  angekommen ist,
moge P  in P'  liegen, so dah O'P'  gleick und parallel OP  ist. Dann
ist Z'  der Ort der Z*-Kraft, falls Z Z'  gleich und parallel OP  ist.
Im vorliegenden Falle ist also die Z-Kraft der Punkte im allge-
meinen kleiner als die Z t -  Kraft, z. B. ist Z'P  < ZP\  sie ist der Gr (id e
nach gleich der Z-Kraft, die zum Mittelpunkt des Korpers gehort.

Als zweites Beispiel nehmen wir die Rotation einer Kugel
um ihre Schwerpunktsachse. Die Z r  Kraft eines Punktes der
Afpiatorebene ist mit
seiner Z ( -Kraft iden-
tisch. Fiir jeden an-
deren Punkt liegt der
Ort seiner Zi  - Kraft
in dem Schnittpunkt ^
der Drehungsackse mit
seiner Bakneben e. Dem
Absolutwerte nack ist seine Z,-Kraft kleiner als die Z,-Kraft, und
zwar gleick der mit dem Kosinus der Breite des Punktes multi-
plizierten Zj-Kraft. An den Polen wird also die Z,-K raft Nuli.

Als drittes Beispiel moge die Revolution ohne Rotation dienen.
Wir beriicksichtigen dabei nur die Kraft, mit der der eine Korper
auf den anderen wirkt. Da alle Punkte gleicke Bahnen in parallelen
Ebenen beschreiben, sind die Z-Kraft e in jedem Zeitmoment
der Grofie nack gleick, wakrend die zu den Punkten gehorigeu
Z t -Krafte alle verschieden sind. Die Z, -Krafte sind dem Absolut-
werte nack gleick der Z-Kraft, die auf den Schwerpunkt wirkt.
Jetzt kiinnen wir kurz formulieren:

Die Zentrifugalkraft an einem Punkte eines in besckleunigter
Bewegung befindlicken Korpers ist entgegengesetzt gleich seiner
idealen Zentripetalkraft. Im Falle einer Kreisbahn ist die (auf
die Masse 1 bezogene) Zentrifugalkraft proportional dem Quadrate
der Gesckwindigkeit des Punktes und umgekekrt proportional
seinem idealen Radius.

§ 24. Plianomenologisehes zur Zentrifugalkraft.

Man kann drei Begriffe der Kraft untersckeiden:
a) den analjtiscken Begriff. Er wird benutzt, um mit einem
Worte zu sagen, was sonst umstandlicher in Gleickungen
ausgedriickt werden miifjte;

Fig. 9.

4 *

52

b) den phanomenologischen Begriff. Er sagt Beziehungen
des Ivraftbegriffes zu phjsikalischen Prinzipien und Grund-
begriffen aus, enthalt also eine physikalische Deutung
des analytischen Kraftbegriffes;

c) den metaphysischen Begriff. Er macht Aussagen, die
iiber das, dessen die Physik bedarf, binaus in das Gebiet
philosophischer Ansicbten fiihren.

Den analytischen Begriff der Zentrifugalkraft haben wir im
vorbergehenden besprocken. Alles Metapbysiscbe interessiert uns
hier nicht. Aus der Phanomenologie des Zentrifugalkraftbegriffes
greifen wir zwei Fragen beraus: 1. Ist die Zentrifugalkraft iiber-
baupt pkanomenologisch eine Ivraft? 2. Ist sie phanomenologisch
eine wirkliche oder eine scheinbare Ivraft? Es mogen dann nocli
3. einige erganzende und kritiscbe Bemerkungen folgen. Die
Antworten auf die beiden Fragen bangen naturlicb von der
Phanomenologie des Ivraftbegriffes uberbaupt ab.

Vorerst ein paar Worte zur Terminologie. Die Vorstellungen
und Begriffe der Pbysik sind metaphysisch vieldeutig. Das
soli beifien: Sie steben in keiner eindeutigen, notwendigen Be-
ziebung zu einem pbilosopbiscben Weltbild; man kann sie in
verscbiedenstem Sinne philosophiscli interpretieren. So scbliefit
z. B. die physikaliscke Diskontinuitatsvorstellung, popularer und
ungenau gesprochen: der Begriff des Atoms, keine Stellungnabme
zu einer metaphysischen Auffassung der Wirklicbkeit in sicb.
Erkenntnistheoretiker jeder Nuance konnen  den Begriff des
Atoms in ibr Weltbild aufnehmen. Naturlicb wird er durchweg in
jedem eine andere Bedeutung annehmen; das ist eben der Ausdruck
seines Cbarakter der metaphysischen Vieldeutigkeit. Wir bezeichnen
infolgedessen das Weltbild der Physik mit seinen samtlicken Vor¬
stellungen und Begriffen als pbanomenologiscb.

1. Beim ersten Punkte miissen wir wieder eine Scheidung
vornebmen: Wir trennen die rein pbysikaliscben von den logisch-
pbysikalischen Begriffeu. Was im Kraftbegriff an Axiomatischem,
Apriorischem, ErfabrungsgemaBem, Konventionellem usw. stecken
mag, gehort in eine Diskussion der logischen Grundlagen der
Physik. Damit scheiden wir alle wicbtigeren Streitigkeiten iiber
den Kraftbegriff von unseren Erorterungen aus. Uns genugt der
rein physikaliscke Begriff, der alles, was fur den Betrieb der
Physik notwendig und binreicbend ist, zusammenfaBt.

53

In diesem Sinne ist der Kraftbegriff ein Ordnungsbegriff,
d. b. ein Begriff, der Gruppen von Tatsachen einheitlich zusammen-
fafit, ein Hilfsbegriff zur Klassifikation von Tatsachen. Solcbe
bescbleunigte Bewegungen, die Einbeitlicbkeit zeigen, fassen vir
zu einer Gruppe zusammen und scbreiben die Beschleunigung
einer bestimmten Kraft zu, ohne dali wir dadurch etwas dariiber
aussagen wollen oder konnen, ob der Kraftbegriff nur ein Aus-
druck fiir einen Beschleunigungstypus ist oder ob er etwas Eigen-
artiges, Neues, dariiber Hinausgehendes bezeichnet. Fiir die
Rhysik geniigt es, die Kraft nur als Ordnungsbegriff zu fassen.
Es vare ein Irrtum, deshalb a u s s c k 1 i e fi 1 i c li in dem Kraft¬
begriff ein Hilfsmittel zur Beschreibung von Tatsachen zu
finden. Mitunter — vielleicht sogar meistens — miissen die
Tatsachen zum Zwecke der Subsumtion unter den Begriff erst
interpretiert werden. Oder man miiCte denn dem Worte „Be-
schreibung“ einen vom Herkommlichen ziemlich weit abliegenden
Sinn geben.

Um nun den allgemeinen Kraftbegriff zu finden, fragen
vir, vas jenen, den einzelnen Kraften zugeteilten Gruppen ge-
ineinsam ist. Es ist zveierlei: 1. das Auftreten einer Belation,
die 2. dadurch charakterisiert ist, dafj sie eine Anderung der
Bevegung hestimmt. Von Kraft sprechen vir also bei jeder
beschleunigungbestimmenden Relation. Fiir gevohnlich
schreiben wir die Kraft einem Fundamente der Relation (oder
beiden) zu, falls die Fundamente Korper sind; man sagt, der
Korper „hat“ die Kraft. DaC das nicht notig ist, vird aus dem
Folgenden klar. Am auffallendsten ist vohl bei dieser Definition
der Gebrauch des Begriffes „Relation“ an Stelle des iiblichen
„Ursache“. Wohl auch die Dunkelheit des Ursachenbegriffes
selber, besonders aber der Sachverhalt ist schuld daran. Wir
konnen in der Tat niemals von einem einzigen, d. h. von anderen
ganz isolierten, Korper behaupten, er besitze Kraft; damit eine
Kraft auftritt oder virksam ist, miissen stets mindestens zvei
Korper vorhanden sein. Das Wort „Relation“ tragt also auch den
Hypothesen (vie z. B. der Atberstofitheorie der Gi-avitation) Rech-
nung, fiir die tatsachlich von der „Kraft“ eines einzelnen Korpers
zu sprechen sinnlos vare. Aus dem gleichen Grande — um den
Erfahrungsbestand nicht iiberzubestimmen — ist auch beschleuni-
gungbestimmend, nicht beschleunigung ver ur sachen d gesagt;

54

\vir kennen pbysikaliscb nur eine funktionale Abhangigkeit der
Bescbleunigung v o n der Relation.

Daraus folgt nun, daB wir keinen Grund haben, die Rela-
tionen, die unter den Kraftbegriff fallen, auf solclie einzuschranken,
deren Fundamente Korper sind. Wir miissen pbysikaliseb aucb
solcbe dazu recknen, bei denen die Fundamente selbst wieder
Relationen sind. Und gerade dieser Fali liegt bei der Zentrifugal-
kraft vor. Die Fundamente der Relation, mit der die Zentrifugal-
bescbleunigung eines Punktes funktional verkniipft ist, sind die
beiden Glieder eines Systems, von dem wenigstens das eine, das
durch den Punkt oder ein mit ibm verbundenes Teilsystem
reprasentiert ist, eine Bescbleunigung besitzen muB; mit dem
Auftreten dieser Relation, deren einer Beziehungspunkt — Teil-
system mit einer Bescbleunigung — selber eine Relation sein
muB, tritt auch die Zentrifugalbeschleunigung auf.

Rein pbysikaliscb ist also die Zentrifugalkraft eine Ivraft,
weil sie ein Ordnungsbegriff fiir eine typische Gruppe von Be-
schleunigungen ist.

2. Bei der beliebten Charakterisierung von Kraften als wirk-
liche oder als scbeinbare wird man stets vergeblich nach einem
Kriterium fiir diese Unterscbeidung sucben. Manchmal wird sie
wolil iiber die rein physikaliscbe in eine logiscb - pbysikalisclie
Deutung hiniibergreifen. Trotzdem ist es uns aber aucb auf dem
Boden der bisherigen Ergebnisse moglich, eine solcbe Scheidung
zu machen. Erlauben namlicb Gleicbungen eines Systems es,
auBer den von vornherein vorausgesetzten Kraften noch andere
anzunehmen, die mit den ersteren zusammen die Vektormenge
des Systems iiberbestimmen, so konnen wir sie scbeinbare Krafte
nennen. So sind z. B. die in § 21, Nr. 2 erwahnten abstoBenden
Krafte scheinbare Krafte. Beacbten wir § 22, so ist danach die
Zentrifugalkraft eine wirklicbe Kraft.

Die Ausfiikrungen unter 1. scbeinen auf den ersten Blick ein
Kriterium fiir jene Scheidung an die Hand geben zu konnen, und
icb glaube, daB dieses Kriterium implizite den meisten derartigen
Sckeidungen zugrunde liegt. Man konnte namlicb von einer wirk-
licben Kraft dann sprechen, \venn die Fundamente der betreffenden
Gruppenrelation Korper sind, von einer scheinbaren Kraft, wenn
wenigstens das in Betracht kommende Fundament eine Relation
ist. In diesem Falle ware die Zentrifugalkraft eine scheinbare

55

Kraft. Bedenkt man nun, wie vorhin schon erwiihnt, da.fi dann
vielleicht nocli manche bisher als wirklich angesehene Krafte —
nach der meclianistischen Auffassung sogar alle Krafte — nur
scheinbar sind, dann siebt man, dafi in dem einen Falle die
Charakterisierung der Kraft von Bolehen Bedingungen der Kraft
mitbestimmt ist, die in dem anderen nicbt ausgescblossen sind.
Das ist logisch unzulassig. Allerdings konnte man sich darauf
berufen, dafi man nur nach den beobachtbaren Bedingungen
unterscheiden wolle. Dagegen ware nichts einzuwenden. Aber
dann mag die Relativitat dieser Unterscheidung ein Mafistab fiir
die Grofie ihres Wertes sein.

3. Man findet vielfach die Zentrifugalkraft noch auf andere
Weise, als es hier geschehen ist, zu Prinzipien und Grundbegriffen
der Physik in Beziehung gesetzt. Die beiden wichtigsten Arten
mogen kurz besprochen werden.

Sehr oft ivird die Zentrifugalkraft auf das Prinzip der actio
und reactio gegriindet. Wir setzen natiirlich voraus, dafi dieses
Prinzip richtig verstanden wird x ). Es scheint nun aufier dem
friiher zitierten Franzius niemand bemerkt zu haben, dafi diese
Ableitung, wenn sie richtig ware, notwendig zu der Verallgemeine-
rung des Begriffes fiihren wiirde, wie sie im Torstehenden dar-
gelegt wurde. Es lafit sich aber durch eine einfache Tjberlegung
die Unhaltbarkeit der Ableitung dartun. Denken wir uns zwei
voneinander unabhangige Systeme mit je zwei anziehenden Massen;
die samtlichen Massen und die Entfernungen der Schwerpunkte
in den einzelnen Systemen sollen gleich sein. Die Glieder des
einen Systems mogen relativ und absolut ruhen; man kann sich
ihre Schwerpunkte starr verbunden denken. Die Glieder des
anderen Systems mogen um die Systemachse revolvieren. Dann
sind die reinen Gravitationskraftfelder in beiden Systemen voll-
standig einander gleich. Ware nun die Zentrifugalkraft die reactio
auf die actio der Zentripetalkraft, dann miifiten auch die Zentri-
fugalkrafte in beiden Systemen gleich sein; das ist aber nicht der
Fali, denn in dem starren System tritt keine Zentrifugalkraft auf.

Wohl ebenso haufig wird die Zentrifugalkraft zur Tragheit
in Beziehung gesetzt. Diese Deutung ist nicht falsch, aber sie ist
keine eigentliche Deutung, d. h. kein Zuriickfiihren auf andere

D Gray,  Lehrb. d. Phys. I, S. 141 ff.

56

physikalische Grundbegriffe mehr, weil die Tragheit auch auf dem
Boden der klassischen Mechanik keine selbstandige, elementare
Eigenscbaft zu sein scheint 1 ). Es ist in der Tat schwerlich mog-
lich, den Tragheitsbegriff selbstandig neben den drei Begriffen
der Kraft (f),  der Masse (m) und der Beschleunigung (a) zu defi-
nieren. Die Tragheit erscheint vielmebr als die Eigenschaft der
Masse, die in der Gleichung f = m a  ausgedriickt liegt, voll-
standig bescbrieben. Die Zentrifugalkraft auf die Tragheit zuriick-
fiihren wiirde also lediglich besagen, dah die Kraft, die Masse
und die Beschleunigung in der Weise, wie sie die Zentrifugal-
kraftsformel angibt, funktional verknupft sind.

VI. Die Zentrifugalkrafttheorie der fluterzeugenden
Beschleunigungen 2 ).

§ 25. Die Grundformeln und ihre iveitere Analyse.

Um das Ergebnis des letzten Kapitels in der Theorie der
fluterzeugenden Beschleunigungen amvenden zu konnen, miissen
wir an die Ausfiihrungen von § 7 bzw. § 8 ankniipfen. Wir haben
dort die Bewegungsverhaltnisse der Erde in den Systemen

Erde = j fiir den Fali der Revolution ohne Rotation cba-

rakterisiert. Diese Revolution ist eine Translation in elliptischer
Bahn. Es miissen also dabei Zentrifugalkrafte auftreten, iiber
die sich auf Grund der Resultate der genannten Paragraphen und
des vorstehenden Kapitels ohne weiteres die folgenden Satze aus-
sprechen lassen:

1. Die Richtungen der Zentrifugalkrafte fiir alle Punkte der
Erde sind untereinander und der Zentrale des Systems parallel.

2. Die Zentrifugalkrafte fiir alle Punkte der Erde sind zu
derselben Zeit einander gleich und sind stets von dem Monde
bzw. der Sonne weggerichtet.

3. Da die Summe der Zentrifugalkrafte der Summe der An-
ziehungskrafte das Gleichge\vicht halten mufi, ist das Potential

J ) Poske, Die Zentrifugalkraft 1909, S. 16 ff. — 2 ) Der Urheber der
richtigen Form der Zentrifugalkrafttheorie fiir die Kreisbahn scheint
W. M. Davis zu sein; vgl. die in § 7 zitierte Arbeit.

57

der Zentrifugalkraft in jedem Punkte der Erde gleich dem Gravi-
tationspotential des Mondes bzw. der Sonne im Schwerpunkte
der Erde.

Die Ableitung der fluterzeugenden Beschleunigungen ist da-
nacb nicbt mehr notig. Selbst wenn man § 22 nicht beriick-
sichtigt, wonach die Zentrifugalkrafttheorie und die Relativtheorie
identisch sind, sieht man sofort, daJB die Ableitung mit den
Gleichungen (2) bis (5) in § 15 einsetzen wiirde, wo jetzt u  die
Gravitationsbeschleunigung, — u f  die Zentrifugalbescbleunigung
bedeuten. Wir erhalten also die Gleichungen (10) und (11).

Wir wollen jetzt die fluterzeugenden Beschleunigungen in
Koordinaten des Ortes und des storenden Korpers ausdriicken.

Wir legen ein Koordinatensystem mit dem Anfangspunkt in P
(Fig. 8, S. 33), und zwar die positive č-Achse nach dem Zenit, die
positive ?/-Achse nach Norden (also in die Meridianebene), die
positive #-Achse nach Westen. Sind X, Y, Z  die Komponenten der
fluterzeugenden Beschleunigungen in diesem System, so ist die
^-Komponente durch Gleichung (10) gegeben. u rh  zerlegen wir
noch einmal nach den beiden anderen Achsen. Ist £ das Azimut,
SO ist 3  fj.y

Bezeichnet man mit cp  die geographische Breite von P, mit d die
Deklination des storenden Gestirnes, so erhalt man aus dem
spharischen Dreieck, das von dem Gestirn, dem Pole und dem
Ortszenit gebildet wird, die bekannten Transformationsformeln
der spharischen Astronomie:

Erganzt man in der ersten dieser Gleichungen cos z  zu 3 cos’ 1  z  — 1,
so bekommt man:

3 ms 2  g  —1 = 3 (sin 2  cp sin 2  8  -f cos 2  cp cos 2  dcos 2  r

cos z  = sin cp sin 8 cos cp cos 8 cos r

sin z- sin t,  = cos  d sin r

sin zcost  — sin 8 cos cp  — cos 8 sin cp cos r

-f 2 cos cp cos 8 sin cp sin 8 cos r)  — 1

= | cos 2  cp cos 2  8 cos  2 r + f sin  2 cp sin  2 8 cos  r
+ | (3 sin 2  d — 1) (3 sin 2  cp  — 1),

• • ( 20 )

58

wobei zur Verwandlung bekaimte trigonometrische Formeln, be-
sonders die Formel

cos 2 a —  2 cos 2 « — 1,

benutzt werden.

Multipliziert man die beiden letzten Gleichungen von (19) mit
der ersten, so kommt

sin z cos z sin  £ = sin 8 cos 8 sin cp sin z cos 2  8 cos (p sin r cos z
sin z cos z cos S, = sin 2  8 sin cp cos cp  -j- sin 8 cos 8 cos 2  cp cos t

— sin 8 cos 8 sin 2  cp cos r  — cos 2  8 sin cp cos cp cos 2 t.
Mit Hilfe der aucb bei (20) gebrauchten Formeln, wozu bier
nocb besonders die Formel

cos  2« = cos 2  u — sin 2  u

kommt, verwandeln sicb diese beiden Gleichungen in die folgenden:
sin  2 z sin  £ — sin  2 8 sin cp sin z  -|- cos 2  8 cos cp sin  2 z
sin2zcos£ =  (3 sin 2 8  — 1 ) sin cp cos cp  -j- sin 2 8 cos 2 cp cos z
— cos 2  8 sin cp cos cp cos 2 z.

Setzt man diese Ausdriicke in (17) und (18) und ferner den
Ausdruck (20) in Gleichung (10) ein, so erhalt man:

3 Gr

X  = — -jjž  (s*w 2 d sin cp sin z  -f- cos 2  8 cos cpsin 2 z)

3 Gr_

2 7J 3

[(3 sin 2  8  — 1) sincp cos cp  -f- sin 2 8 cos 2 cp cos z
— cos 2  8 sin cp cos cp cos 2 z]

Z =

_3 G-r P(3sin 2 8  — 1) (3 sin 2 cp  — 1)

2

4- sin 2 S sin 2 cp cos z

-j- cos 2  8 cos 2  cp cos 2  r j •

( 21 )

Man betrachtet die beiden ersten Komponenten als die eigent-
licben fluterzeugenden Beschleunigungen und scbreibt der dritten,
ohne sie weiter zu beriicksichtigen, lediglich die Wirkung zu, den
Zusammenhang der Wasserteilchen gewissermat>en etwas zulockern.

Die bisherige Analyse bat nun schon die fluterzeugenden
Beschleunigungen in drei Gruppen zerlegt.

Die erste Gruppe — das erste Glied der F-Komponente —
ist von z  unabhangig, verandert sich also mit der taglichen Be-
wegung der Gestirne nicht. Weil die y -  Aclise in der Meridian-
ebene liegt, wirkt sie ausschliefllich in der Richtung des Meridians,

59

und weil sogar bei der groBten Deklination (beim Monde rund
28° 45', bei der Sonne 23° 27') der Klammerausdruck negativ bleibt,
ist sie stets nach dem Aquator gerichtet und bewirkt hier eine
stiindige Anbaufung des Wassers. Sie bat fiir denselben Ort ein
Maximum, wenn 6 = 0 ist, also das Gestirn im Aquator steht.
Ilire Periode erhalt sie von der Anderung der Deklination 6, also
eine 14tagige Periode vom Mond, eine halbjabrige Periode von
der Sonne. Sie verschwindet fiir alle Orte des Aquators und die
Pole und ist fiir die Breite von 45° am groBten.

Die zweite Gruppe — das erste Glied der X-Komponente
und das zweite Glied der F-Komponente — bangt zunacbst ab
von r. Sie hat dieselbe Pbase wieder, wenn r  alle Werte von 0°
bis 360° durchlaufen bat, besitzt also eine ganztagige Periode.
Sie ist ferner eine Funktion von sin  2 6, wird also fiir denselben
Ort Nuli, wenn 6 = 0 ist. Bei (p  = 45° verscbwindet das Glied
der F-Komponente, und weil die positive Achse nacb IVesten
gericbtet ist, stebt die Bichtung der Bescbleunigung dann auf der
Meridianebene senkrecbt. Bei cp  = 0°, also fiir die Orte auf dem
Aquator, verscbwindet. das Glied der X-Komponente und die Be¬
scbleunigung liegt in der Meridianebene. Sie ist im allgemeinen
an den Polen nicbt Nuli. Sie ist die Ursacbe der in § 2 er-
wahnten taglicben Ungleicbbeit.

Die dritte Gruppe — das zweite Glied der X-Komponente
und das dritte Glied der P-Komponente — ist von 2 v  abbangig.
Sie ist wieder in derselben Pbase, wenn r  alle Werte von 0° bis
180° durcblaufen bat, besitzt also eine balbtagige Periode. Da
sie gleicbzeitig proportional cos 2 6 ist, bat sie fiir denselben Ort
bei 6 = 0, also wenn das storende Gestirn im Aquator stebt, ein
Maximum. Fur die Orte des Aquators (q>  = 0°) verscbwindet
das Glied der F-Komponente, die Bescbleunigung wirkt dann senk-
recht zum Meridian. An den Polen ist sie Nuli.

Alle drei Gruppen sind in gleicber Weise von den periodischen
Anderungen des Abstandes D  abhangig, die aber, wie scbon be-
merkt, bei den Sonnentiden im allgemeinen vernacblassigt werden
konnen.

Die fluterzeugenden Krafte lassen sicb auf den allgemeinen
Ausdruck bringen:

F  = K sin (nt F mx).

60

Sie wiirden also einfache harmonische Schwingungen darstellen,
wenn die in K  enthaltenen Groben alle konstant und die Winkel
gleichformig veranderlich waren. Das ist nun zwar nicht der
Fali. Aber man kann samtliche Veranderliche durch die in der
Astronomie gebrauchlichen gleichformigen Winkelgeschwindigkeiten
ausdriicken. Dadurch zerfallen die fluterzeugenden Krafte in eine
Reihe yon Gliedern, die alle Ausdriicke von der obigen Form
sind und die Bedingungen der einfachen harmonischen Schwingung
erfiillen und deren Anzahl man beliebig vermehren kann, indem
man sie als Uberlagerung von Schwingungen der gleichen Art

2  7C

auffabt. Die Periode der Sclrwingungen ist —. Ist A die Wellen-

fl

2  n

n

und ^ stellt die Fortpflanzungsgeschwindig-

lange, so ist m — ^

keit dar. x  bestimmt die Lage des betrachteten Ortes. Wendet
man die Ausdriicke auf die Wasserhiille der Erde an, so entspricbt
jedem Gliede eine Teiltide von der Periode des Gliedes. Da diese
Analyse der Krafte nur fiir die Anwendung auf die Gezeiten-
beobachtungen von Interesse ist, unterlassen wir sie hier. Nur
sei noch die jetzt verstandliche Bemerkung angefiigt, dab man
aucb bei gewissen Mondteiltiden die Grobe I)  als konstant an-
sehen kann.

Um einige Einzelkeiten der Schrift besser verstehen zu
konnen, miissen wir hier einen kleinen Schritt iiber die Theorie
der Gezeitenkrafte hinaus tun. Wir fassen unter der Voraus-
setzung einer vollkommen starren Erde die Wasserhiille als ein
der Reibung unterworfenes schwingungsfahiges System auf. Dann
wirken auf jedes Wasserteilchen im allgemeinen drei Arten von
Kraften: 1. die fluterzeugenden Krafte, 2. eine elastische Kraft,
3. die dampfende Kraft der Reibung. Die Gezeitenkrafte stellen
also nur die auberen Krafte dar, die in der Tidenerscheinung
wirksam sind (zu der Gruppe der auberen Krafte gehoren iibri-
gens auch noch einige der in § 3 genannten sekundaren Ursachen).
Unter dem Einflub dieser drei Arten von Kraften entstehen nun
standig gezwungene Schwingungen, die sich als freie fortpflanzen
und als solcbe langsam abklingen. Trotz dieser komplizierten
Einwirkung fiihrt jedes Teilchen den auberen Kraften analoge
Schivingungen aus, wenn man die elastische Kraft dem Ausschlag,
die Dampfung der Geschwindigkeit proportional setzt. Den Beweis

61

fiir diesen Satz konnen wir liier nicht bringen. Man wird aber
jetzt einigermaBen begreifen, tveshalb die Analyse der Gezeiten-
krafte in der genannten Form gemacbt wird. Weiterhin ersieht
man schon aus diesen allgemeinen tlberlegungen, daB die Hohe
einer Tide nicht einfach der fluterzeugenden Kraft proportional
sein kann. Das ist nicht einmal der Fali, wenn man die aufiere
Kraft allein beriicksichtigt. Dnter der Einwirkung einer Kraft
von der vorhin angeschriebenen Form wird namlich die Hohe der
gezwungenen Welle

in der H  die Tiefe des Meeres bedeutet. Die Gleichung setzt
noch voraus, daB die Wellen in einem relativ schmalen Kanal
entstehen, der auf einem groBten Kreise der Erde liegt.

Wer sich liber die Theorie und Praxis der Analyse genauer
unterrichten will, sei auf die Arbeiten von van der Stok 1 ),
Borgen 2 * ) und G. H. Darwin s ) verwiesen, von denen die erste,
allerdings mit gewissen Vernachlassigungen, eine besonders ein-
fache Darstellung gibt.

§ 26. Ableitung auf Grund der Potentialtheorie.

Die Potentialtheorie gestattet eine elegantere Ableitung, die
im wesentlic,hen den Grundgedanken der Zentrifugalkrafttheorie
enthalt, wenn auch bei manchen Autoren etwas verhiillt. Sie
wird in ahnlicher Weise z. B. von Levy 4 * ), Hatt 6 ), G. H. Dar-
win 6 ), Hough 7 ) gebracht.

Wir beziehen die Punkte des Meeres auf ein mit der Erde
starr verbundenes Koordinatensystem. Wollen wir die Achse als
unbeweglich betrachten, so miissen wir (§ 20) an jedem Punkte
eine Beschleunigung anbringen, die (§ 23) gleich und entgegen-
gesetzt der Beschleunigung J  ist, die der Mittelpunkt der Erde
von dem storenden Gestirn erfahrt, also die Beschleunigung — J.

x ) Van der Stok in den Ann. d. Hydr. u. marit. Met. 1911, S. 227 ff.—

s ) Borgen, Die harmonische Analyse der Gezeitenbeokachtungen, 1885. —

s ) G. H. Darwin in dem Report of the fifty-third meeting of the british
association for the advancement of Science held at Southport 1883. —

4 ) Levy, Legons I, § 4. — 6 ) Hatt, Des marees, § 3. — 6 ) G. H. Dar-

win, Art. Tide in The Encyclopedia Britannica, Bd. XXVI. — 7 ) Hough

in der Enzyklopadie der math. Wissensehaften VI, Bd. I 2 , S. 8f.

62

Da die Komponenten — J x ,  — J y ,  — J z  dieser Ivraft nur von der
Zeit und nicht von den Koordinaten der einzelnen Punkte ab-
liangen, so konnen sie als die partiellen Differentialquotienten
der Funktion

— ( J x x  + Jy V  + '7, z)  = — Jrcos(J r )

betrachtet werden, wo Jr  den Winkel bezeicbnen soli, den der
Radius r  des betreffenden Punktes mit der Richtung der Be-
schleunigung J  bildet. Bis auf eine Konstante stellt also diese
Funktion das Potential der Revolutionszentrifugalkraft dar. Da
die Beschleunigung, die der storende Korper dem Erdmittelpunkt
M

erteilt, gleicb ~  ist, kann man dieses Potential auch scbreiben:

Mr

jj 2  cos  (D r)

und weil D r  = z  ist, endgiiltig

Mr

--JJ^COSZ.

Das Gravitationspotential des storenden Gestirnes in einem
M

beliebigen Punkte ist ■  Beacbtet man, daB
E 2  = D 2  -f- r 2  — 2 Dr cos z

ist, so lautet das Gesamtpotential in einem beliebigen Punkte

M Mr cos z

n =

Vi> 2  -(- r 2  — 2 Dr cos z

D 2

Entwickelt man diesen Ausdruck nach steigenden Potenzen

von jj , so erhalt man

n

M

D  +  2

3 M r 2

D^

COS 2  k

\)

Mr s
2IE

(5 cos 3  z  — 3 cos z)  -j-

M

Wir betrachten ~  als eine Konstante.

Da aber eine addi-

tive Konstante zum Potential ohne Bedeutung ist und da die
Glieder, die die 4. und k oliere n Potenzen von entbalten, ver-
nachlassigt werden konnen, bleibt als Potential

n:

Mr 2

cos 2  z  —\

63

» ;

Mit Hilfe der im letzten Paragraphen schon hergestellten
Erganzung von cos s  nacli Gleichung (19) zu (3 cos 2 s—1)  lafit
sich das Potential so schreiben:

((3 sin 2  8  — 1) (3 sin 2  cp  — IG
n  _ _3 Mr 2 1 3

4 D 3  | sin  2 8 sin  2 cp cos z  I
l -f- cos 2  8 cos 2  cpeos2z  J

Durch entsprechende Differentiation erhalt man die Glei-
cbungen (21).

§ 27. Vergleicli der Relativtheorie
und der Zentrifugalkrafttheorie untereinander, mit der Theorie der
bloBen Gravitationsbeschleunigungen und mit den Tidentlieorien.

1. Der Vergleicb zwischen der Relativtbeorie und der Zen-
trifugalkrafttbeorie ist nach dem Ergebnis von § 22 leicht zu
zieben. Unter den beiden in Kapitel V besprocbenen Voraus-
setzungen, daB der Zentrifugalkraftbegriff 1. im analytiscben
Sinne genommen und 2. verallgemeinert wird, sind die beiden
Theorien nicbt bloti einwandfrei und fiibren zu den gleicben
Resultaten, sondern sind sie geradezu identiscb, stellen sie nur
verschiedene Formen desselben Gedankens dar. Denn dann ist
die Zentrifugalkrafttheorie weiter nicbts als eine besondere Inter-
pretation von Gleichung (1). Betrachtet man sich als im Besitze
des verallgemeinerten Begriffes der Zentrifugalkraft, so kann man
die Zentrifugalkrafttheorie als eine Abkiirzung der Relativtbeorie
anseben. Die Relativtbeorie arbeitet am bequemsten mit Be-
scbleunigungen, die Zentrifugalkrafttheorie kann mit Beschleuni-
gungen und Kraften gleich gut arbeiten. Es ist ungenau zu
sagen, die Relativtbeorie betracbte die Erde in ibrem vvakren
Zustande der Bewegung, die Zentrifugalkrafttheorie in einem ge-
dacbten kunstlicben Zustande der relativen Rube, und ungerecbt,
deshalb die letztere geringer zu vverten. Richtiger und gerechter
ist die Aussage, daB jede Theorie auf ibre Weise der Bewegung
der Erde Rechnung tragt. Bei dieser Sacblage bat es keinen
Sinn zu behaupten, die Relativtbeorie sei die einfacliere, wissen-
scbaftlicb feinere, sie vermeide alle Umwege und Hilfsvorstel-
lungen. Es wird scbwerlicb jemand die Darstellung in § 26
vvissenschaftlich w e ni g er fein finden als die in § 15; daB die Zen-

64

trifugalkrafttbeorie keinen Umweg, eker das Gegenteil bedeutet,
und daB sie die Hilfsvorstellung der Kraft nicht notig liat, borten
wir schon.

Das alles gilt natiirlicb nur unter den gemachten Voraus¬
setzungen. Wo nur der grobere und speziellere Begriff der Zen-
trifugalkraft bekannt ist, ist die Zentrifugalkraftform der Theorie
praktiscb vorzuzieben. Sie wird deshalb in Scbulen und in popu-
lareren Biichern der bessere Weg sein, um die Entstebung der
fluterzeugenden Krafte verstandlicb zu rnacben.

2. Die in § 11 besprochenen Autoren erbalten die ricbtigen
Ausdrucke fiir die fluterzeugenden Bescbleunigungen, trotzdem
sie die feblerbafte Ableitung aus den bloden Differenzen der
Gravitationsbescbleunigungen haben. Der Grund ist nacb den
bisberigen Darlegungen leicbt einzuseben. Weil in jedem flut¬
erzeugenden System das Potential der Fiihrungskraft (§ 15) oder
das der Zentrifugalkraft in einem Punkte der Oberflacbe der
Erde gleicb dem Gravitationspotential deš storenden Korpers im
Mittelpunkte der Erde ist, sind die absoluten Betrage der
Belativbeschleunigungen gegen den Erdboden, wie sie die Ab¬
leitung aus den Gravitationsdifferenzen aufstellt, gleicb denen der
Relativbescbleunigungen nach den beiden ricbtigen Formen der
Tbeorie. Fiigt man im ersteren Falle das entsprecbende Vor-
zeicben binzu, so ist die Fbereinstimmung vollstandig.

3. Es erscheint besonders wicbtig, nocb einmal nacbdruck-
licb zu betonen, dafi unsere samtlicben Entwickelungen
von jeder Tidentbeorie vollstandig unabbangig sind. Sie
stellen allgemeine, unter allen Umstanden geltende Ausdrucke dar,
die auf die W<asser der Erde angewandt werden konnen (§ 4).
Weil eine Kraftwirkung aber nicbt nur von der Kraft, die wirkt,
sondern auch von dem Zustand des Korpers oder Systems, auf
das sie wirkt, abhangig ist, so ist die Gestaltung der Gezeiten
nicbt nur von der Verteilung und Grobe der Gezeitenkrafte, son¬
dern aucli von den Voraussetzungen bestimmt, die man iiber die
Wasserhulle der Erde macbt. Je nacbdem man die Wasserbiille
als ein System ansiebt, das unter Einwirkung der Gezeitenkrafte
in jedem Augenblick im Gleichgewichtszustande ist, oder sie als
ein der Reibung unterworfenes schwingungsfabiges System fabt,
ist die Wirkung derselben Krafte sebr verschieden. Die Tiden-
tbeorien baben die Aufgabe, diese Voraussetzungen so zu ge-

65

stalten, dalj die Resultate, die sicb aus der Anwendung der all-
gemeinen Ausdriicke der Gezeitenkrafte auf sie ergeben, sicb der
VVirklichkeit moglichst anschmiegen; die vollstandige analjtische
Bewaltigung des Tidenproblems ist heute noch nicht moglich.
Sowobl die Verschiedenbeiten in den Resultaten der Tidentheorien
als auch die Nichtiibereinstimmung der wirklichen Gezeiten mit
dem in Betrackt kommenden Kraftfeld der Erde riihren also
nicbt von Ungenauigkeiten in den Ausdriicken der Gezeitenkrafte
her; das Feld dieser Krafte ist allgemein sicher bestimmt.

VII. Die halbtagigen Perioden der Tiden.

§ 28. Die halbtagige Periode in dem System Erde—Mond.

Weil das vorliegende Kapitel sicb nicbt mit den Gezeiten-
kraften, sondern mit einem Einflub der Rotation der Erde auf
die Gestaltung der Gezeiten beschaftigt, ist es von den Tiden-
tbeorien nicbt unabhangig. Man kann ibm entweder die Vorstellung
der Gleicbgewicbtstheorie oder die Theorie der gezwungenen
Wellen zugrunde legen: in beiden Fallen ist die Flut mit den
Kulminationen der storenden Gestirne verknupft. Weil aber diese
Verknupfung unzweifelhaft besteht, trotzdem sogar unter der
Wirkung der freien Wellen die Gezeit unter dem storenden Ge-
stirn invers -sverden kann, so ist die Abhangigkeit von den Yor-
aussetzungen einer Tbeorie auf die Richtigkeit der folgenden
allgemeinen Betrachtungen ohne EinfluB.

Der Grund, wesbalb wir diese Betrachtungen liier einfugen,
ist scbon in § 4 kurz bezeicbnet worden. Fur die Tbeorie der
bloden Differenzen der Gravitationsbescbleunigungen ist die halb¬
tagige Periode kein Problem, sie ist die selbstverstandliche Folge
der einzigen Bewegung der Erde, die die Tbeorie bei den Tiden
kennt, der Rotation. Sobald man aber die tatsaehlichen Achsen
beriicksicbtigt und die Revolution als eine notwendige Bedingung
fur den Ursprung der Gezeitenkrafte erkennt, ergibt sicb, dafi
auch obne die Rotation Gezeitenperioden existieren \vurden. Die
Frage, wie sicb daraus und aus der Rotation die halbtagigen
Perioden ableiten, wollen die folgenden tlberlegungen beantworten.
Teils weil die Verhaltnisse in den beiden fluterzeugenden Systemen

Aloys Miiller, Gezeitenkrafte. 5

66

etwas verscliieden liegen, teils mit Riicksicht auf das folgende
Kapitel fassen wir die Systeme gesondert ins Auge. Der Einfachheit
wegen sehen wir die Revolutionsbevvegung als kreisformig an.

Fig. 10 stellt zweiPhasen der Revolutionsbewegung des Systems
Erde—Mond mit dem Phasenwinkel y  dar. Die Zeichenebene ist

Fig. 10.

P

■ M

die vom Nordpol gesehene
Bahnebene.

Betracbten wir nur die
Rotation der Erde, die
in der Richtung W—O
gescbiebt, so geben die
Punkte 1), B, C  in dieser
Reihenfolge durch die
Zentrallinie, bis nacb einer
Rotation wieder Punkt A
hineinfallt. Die beiden
Flutwellen im Zenit und
Nadir durcblaufen also
den Erdumfang in 24 Stunden, und zwar in der der Rotation ent-
gegengesetzten Richtung 0-W, so dafi jeder Punkt zufolge der
Rotation allein alle 12 Stunden Flut bzw. Ebbe hat.

Fassen wir jetzt nur die Revolutionsbevvegung ins Auge, so
ist auch sie die Ursache einer Bewegung der Gezeiten iiber der
Erdoberflache. Denn infolge der Revoiution durchwandern die
Scbnittpunkte der Zentrale und ihrer Verlangerung mit der Ober-
flache bei einer Revoiution einen grobten Kreis. Bei der ersten
Pbase der Zeichnung entstebt die Flut in A  und B.  Bei der
zweiten Phase kaben sich die Schnittpunkte um y° auf dem Um-
fang verscboben und die Fluten sind in F  und Fj. Nach einer
Drebung von je/ 2 haben C  und D  Flut usw., bis die Schnittpunkte
nach einer  Revoiution wieder in A  und B  liegen. Die Richtung
ist offenbar dieselbe wie die der Revoiution.

Im ganzen existieren also gleichzeitig zwei Bewegungen der
beiden Flutwellen iiber die einmalige Lange des Erdumfanges:
eine infolge der Rotation innerhalb eines Tages in der Richtung
O—W, eine zweite infolge der Revoiution innerhalb eines Monates
in der Richtung W-0. Da die zvrnite der ersten entgegengesetzt
ist und langsamer vor sich geht, wird die erste jeden Tag ein
wenig verzogert.

67

Wir wollen diese Verzogerung bestimmen. Der Mond stebt
fur jeden Schnittpunkt der Zentrale mit der Erdoberflache im
Meridian. Der bequemen Vorstellung wegen denken wir uns die
Erdachse parallel der Systemachse, also senkrecht auf der Zeichen-
ebene. In der ersten Pbase der Zeichnung hat A  den Mond im
Meridian. Gleichzeitig stebe im Meridian von A  ein Fixstern «.
Infolge der Revolution verschiebt sich die Meridianebene von A
parallel mit sich selbst (§ 7); besahe also die Erde nur die
Revolutionsbewegung, so wiirde der Štern « stets im Meridian
von A  bleiben. In der zweiten Pbase hat F  den Mond im Meri¬
dian. Bei der Rotation der Erde in dieser Phase geht die Meri¬
dianebene von A  zuerst durch den Fixstern und ex - st nacli einer
Drebung von y°  durch den Mond. Bei dieser Pbase ist also der
Mond bei seinem Meridiandurchgang um y°  binter dem Fixstern
zuriickgeblieben. Nacb einer Revolution gehen Mond und Štern
wieder gleichzeitig durch den Meridian von A.  In dieser Zeit
hat sich also der Mondmeridiandurchgang um 860° oder, zeitlich
ausgedriickt, um ein en Tag gegeniiber dem Fixsternmeridian-
durchgang verzogert. Die Erde hat in der Zeit eines (siderischen)
Monats soviel Rotationen gemacht, als der Štern a  Meridian-
durchgange fiir A  hinter sich hat, namlich 27,3 Rotationen. Der
folgende Paragrapli wird iibrigens zeigen, dah zu dieser Zahl ein
gewisser Betrag zu addieren ist, weil 27,3 Tage nicht genau gleich
27,3 Rotationen sind; da er aber nur rund 1 Stunde 48 Minuten
betragt, wiirde er die Zahl 27,3 auf 27,37 iindern, so dah wir ihn als
fiir unseren Zweck unwesentlich iibersehen diirfen. Weil nun der
Mond sich in 27,3 Tagen um ein en Tag verzogert, geht er wahrend
eines siderischen Monats in Wahrheit nur 26,3 mal durch den
Meridian von A.  Infolge der Rotation allein ware also die Zenit-
flut in einem Monat 27,3 mal iiber A  in der Richtung 0-W ge-
fiihrt worden; infolge der Revolution ist sie in dieser Zeit einmal
iiber A  in der Richtung W—O gegangen: sie hat demnach A
in Wirklichkeit 26,3 mal in einem Monat passiert. Auf diese
Weise stellt sich die Erfahrungstatsache dar, dah die Mondfluten
mit der oberen und unteren Kulmination des Mondes zusammen-
hangen.

VVeil die Flut zufolge der Revolution allein in 27,3 Tagen
360° durchlaufen -vviirde, wiirde sie in einem  Tage 13° in der
Richtung VV—O zuriicklegen. Diese 13° bedeuten fiir die Rota-

5 *

68

tionsflut eine tagliche Verzogerung von rund 52 Minuten. In der
Tat besitzt die halbtagige Mondflut eine Periode von etwa 12 Stunden
26 Minuten.

Den Zeitraum von 24 Stunden 52 Minuten, also die Zeit
zwischen zwei aufeinander folgenden Mondmeridiandurchgangen
fiir denselben Ort, pflegt man in der Tidentheorie den Mondtag
zu nennen.

§ 29. Die halbtagige Periode in dein System Erde-Sonne.

Fig. 11 stellt zweiPbasen der Revolutionsbewegung dar. S  sei
die Sonne.

Wir nebmen zunachst an, die Erde besitze eine Revolution
obne Rotation. Nach den tTberlegungen des vorhergehenden Para-

graphen sieht man leicht, dati
die Scbnittpunkte der Zentrale
und ibrer Verlangerungmit der
Erdoberfiacbe, also aucb die
Fluten, wahrend der Revolution
nacbeinander in die Punkte F,
D, B, C  fallen und nacb einer
Revolution rvieder in A  und B.
Die Sonnenfluten macben dem-
nacb zufolge der Revolution
allein in einem Jabr einen
Umlauf, und zwar in der Ricb-
tung W-0.

Lassen wir die Voraussetzung
fallen und nebmen die Rota¬
tion hinzu, so tritt zu dieser jabrlicben Flutbewegung noch die
relative Flutbewegung, die infolge der Rotation die Flut in einem
Tage um die Erde fiihrt. Die Ricbtung der letzteren ist O—W.
Die tagliche Bewegung wird also durch die jahrliclie verzogert.

Die Grofie der Verzogerung ergibt sich ahnlich wie beim
Monde. Bei der ersten Phase stebe ein Fixstern « gleiclizeitig
mit der Sonne im Meridian von A.  Wir nehmen nun einmal an,
der Phasenvfinkel der Figur sei so grofi, dafi zwiscben den beiden
Phasen gerade die Zeit einer Rotation liege. Dann siebt man
sofort, dafi die Erde mehr als eine Rotation binter sicb bat, wenn
die Sonne wieder durch den Meridian von A  gebt. Der Štern a

69

passiert also den Meridian friiher, und zwar um den Phasen-
winkel der Figur. Bei einem Phasemwinkel von 90° ist auch die
Sonne 90° von « entfernt. Der Štern « geht also im Vergleich
zur Sonne um so friiher durch den Meridian, je weiter die Ei'de
auf ihrer jahrlichen Bahn vorriickt. Ist die Erde nach einer
Revolution wieder in die Lage der ersten Phase der Figur an-
gekommen, so ist a  der Sonne um 360° voraus. Weil die wahren
Rotationen den Fixsternmeridiandurchgangen entsprechen, hat die
Erde vrahrend einer Revolution eine Rotation mehr gemacht, als
die Anzahl der Sonnenmeridiandurchgange betragt. Die Anzahl
der tatsachlichen Rotationen in einem Jahre betragt also 366, da
die Sonne in dieser Zeit 365 mal durch den Meridian von A  geht.
Zufolge der Rotation allein wiirden demnach die Sonnenfluten
in einem Jahre 366 mal A  in der Richtung O—W passieren, zu¬
folge der Revolution gehen sie in dieser Zeit einmal in der Rich¬
tung W-0 liber A:  sie passieren also A  in Wirklichkeit 365mal
in einem Jahre. So ergibt sich das Erfalirungsresultat, dah die
Sonnenfluten mit der oberen und unteren Kulmination der Sonne
zusammenhangen.

Da die Sonnenfluten infolge der Revolution allein 360° in
365 Tagen durchlaufen, legen sie an einem  Tage 59' zuriick; dem
entspricht eine tagliche Verzogerung von rund 4 Minuten. Da
iibrigens das siderische Jahr genau 365,256 mittlere Sonnentage
besitzt, ist die Anzahl der Erdrotationen 366,256 und der genaue
Wert jener Verzogerung 3 Minuten 56,4 Sekunden. Tatsachlich
verzogert sich der Meridiandurchgang der Sonne taglich um rund
4 Minuten. Die Erfahrung ergibt, dah die lialbtagige Sonnenflut
eine Periode von 12 Stunden besitzt.

Scheinbar driickt dieses letzte Resultat keine Verzogerung
aus, vrahrend sie beim Monde sehr anschaulich ist. Der Grund
liegt darin, daB unsere Zeitrechnung von der Sonne hergenommen
ist, daB infolgedessen die Verzogerung bei der Sonne in die Zeit¬
rechnung aufgenommen ist, beim Monde aber nicht. Wurden
wir die Zeit nach Fixsternmeridiandurchgangen rechnen, also
Sternzeit einfiihren, dann klime die Verzogerung in heiden Fallen
gleich deutlich zum BewuBtsein. In unserer wirklichen Zeitrech¬
nung ist aber ein Tag die von der Erdrotation bewirkte Zeit-
periode -(- ihrer periodischen Anderung und liegt als diese GroBe
der Sonnen- und Mondrechnung zugrunde.

70

§ 30. Die Kombination von Moncl- und Sounentiden.

Was wir im vorstehenden Erfahrungstatsachen nannten, sind
in Wahrheit Analysen der Erfahrung; denn in der Wirklichkeit
kombinieren sicli die Mond- und Sonnentiden. Diese Kombination
findet im allgemeinen durcli Superposition statt. Allerdings nickt
immer. Wenn namlick die Hohe der einzelnen Wellen im Ver-
haltnis zur mittleren Wassertiefe grofi ist, tritt keine einfacbe
Superposition ein. Doch schliefien wir diesen Fali hier aus. Um
nun zu zeigen, wie sicli die halbtagigen Perioden kombinieren,
betrachten wir mit Hilfe der Zeicbnungen 12 bis 15 *) yier be-
sondere Falle etwas naher.

Wir nehmen der Einfacbbeit wegen an, Sonne und Mond
bewegten sich im Aquator und der Beobaclitungsort liege auf
dem Erdaquator. In den Figuren steht links jedesmal der Ver-
tikalkreis des Beobacbtungsortes. In diesem Kreise bewegen sicb
Sonne © und Mond (T. Horizont und Zenit sind eiugezeicbnet.
Die angeschriebenen Zablen bedeuten Ukrzeiten. Aufgang und
Untergang der Sonne legen wir auf 6 Uhr a. m. bzw. 6 Uhr p. m.
Die angeschriebenen Zeiten beziehen sich auf die Sonne. Fig. 13
besagt also z. B. nicht, dah der Mond um 9 Uhr an der be-
zeichneten Stelle steht; um 9 Uhr wird er vielmehr dort sein,
wo 3 Uhr p. m. angeschrieben ist. Mond und Sonne mogen den
Winkelabstand, den sie in jeder Figur innehaben, wahrend 12 Stunden
beibehalten. In Wirklichkeit andern die Hauptebenen von Mond
und Sonne in 12 Stunden ihren Winkelabstand um rund 6°. Weil
aber diese Verschiedenheit der Perioden fiir die Zeit von 12 Stunden
bei der Kleinheit der Zeichnung ohne bemerkbaren EinfluB auf
die Kurven ware, sehen wir davon in der einzelnen Zeichnung
ab. Der Winkelabstand von Mond und Sonne wahrend 12 Stunden
betragt also bei Fig. 12 0°, bei Fig. 13 90°, bei Fig. 14 45°, bei
Fig. 15 135°. Bechts von jedem Vertikalkreise sind die zugehbrigen
Flutkurven gezeichnet. Die Ordinaten sind die Fluthoken, die
Abszissen entsprechen den Sonnenzeiten des zugehorigen Vertikal-
kreises. Die gestrichelten Kurven stellen die Mondtide, die punk-
tierten Kurven die Sonnentide, die ausgezogenen Kurven die kom-
binierte Tide dar. In Fig. 12 sind die Kurven phasengleich, in

B Nach Hann (Die Erde als Ganzes 6 , 1897, S. 316) und Bidlingmaier
(Ebbe und Flut, 1908, S. 29). Ieh habe eine bestimmte Hohenformel benutzt.

71

Fig. 12 bis 15.

72

Fig. 13 um 90°, in Fig. 14 um 45° in dem einen, in Fig. 15 um
45° in dem anderen Sinne gegeneinander verscboben. Die Hohe
der Flut iiber der Niveauflacbe der rotierenden Erde ist naeb
der Form el:

1  Mr*

Ji  = 77  — m  (3 cos 2  g—\)

2 m D 3  v 7

berecbnett). ^  ist als Konstante genommen und bei der Mond-

!) Die Formel laJ3t sioh auf einfache "VVeise ableiten. Das Gewicht
eines Wasserteilchens mit der Masse 1 in der ungestorten Oberflache der
rotierenden Erde sei g.  Es werde von dem storenden Korper mit der
Kraft a  angezogen. Sein wirkliehes Gewicht ist also

9i — 9  — «•

Das Teilchen wird infolgedessen seine Lage so lange andern, bis seine
Hohe h  iiber der ungestorten Oberflache diesem Gewichte g  entspricht und
das Gleichgewicht hergestellt ist. Das ist der Fali, wenn

9  i  =

hm

ist. Da

(r  +

9  =

hm

ist, so folgt mit geringen Vernachlassigungen:

9i

9

C r  + h?

1 +

2 7«


27}

also

9 1

= »(■-”)

a  ist die vertikale Komponente der fluterzeugenden Beschleunigung,
also Gleiehung (10), die wir jetzt schreiben:

h Mr .  ■

a = jy d  (3 cos 3  s — 1).

Wir erweitern a  so, dah sioh der Wert fiir g  einsetzen laflt, und erhalten:

Mr 3

a = g

ml ) 3

(3 cos 2  z  — 1).

Die erste Gleiehung dieser Anmerkung gibt demnach

9-(l ~ ~)  = 9  [i — ^ ( 3  cos 2  * — 1)] •

Daraus folgt sofort die Formel des Textes. Sie ist auf den Voraussetzungen
der Gleichgewichtstheorie abgeleitet und darum ungenau (§ 25). — Wir
haben zur Ableitung die vertikale Komponente benutzt. Die hauptsach-
liehste fluterzeugende Beschleunigung liefert allerdings die horizontale Kom-

73

tide gleich 5, bei der Sonnentide gleich 2 gesetzt. Um die Ver-
haltnisse, auf die es uns hier ankommt, zu veranschaulichen,
konnte ebensogut eine andere Formel fiir die Flutbohe benutzt
werden. Versetzt man Mond oder Sonne um 180°, so wiirde das
bedeuten, daC an Stelle der Zenitflut die Nadirflut tritt. An den
Kurven wiirde sich dabei nicbts andern. Tbeoretiscb mufi ten die
Flutbohen etwas kleiner werden (§ 18), praktiscb ware das
unmerkbar.

Fig. 12 stellt die Verhaltnisse bei Neumond, Fig. 13 beim
letzten Viertel dar. Zu beiden ist nichts zu bemerken, weil bei
Phasengleicbheit und bei einer Phasenverscbiebung von 90° unter
den gemachten Voraussetzungen eine Anderung der „Gesamt-
periode“ gegen die Einzelperioden nicbt eintreten kann.

Anders bei Fig. 14. Um 9 Uhr stebt der Mond im Zenit.
Die Mondtide bat also ein Maximum, wahrend die Sonne erst
vor 40 Minuten angefangen hat, eine Flut zu erzeugen, die nun
standig wachst, bis sie beim Stand der Sonne im Zenit ihr Maxi-
mum erreicbt. Das Hochwasser der kombinierten Tide tritt in-
folgedessen eine Stunde nacb dem Zenitdurchgang des Mondes
ein, das Niedrigwasser etwa 40 Minuten nacb der unteren Kul-
mination.

Das umgekebrte Bild zeigt Fig. 15. Wahrend die Mondtide
zum Maximum ansteigt, sinkt die Sonnentide. Aber so, dali das
Hochwasser der kombinierten Tide eintritt, bevor der Mond im
Zenit steht. Der Flutberg eilt dem Monde um eine Stunde voraus.
Das Niedrigwasser tritt etvva 40 Minuten vor der unteren Kul-
mination ein.

ponente. Aber so falscb, wie van der Stok in seiner friiher (§ 25) zitierten
Arbeit es darstellt, ist der Gebraucb der vertikalen Komponente durchaus
nicht. Er findet mit Hilfe der horizontalen Komponente den Abstand zwi-
sehen Niedrigwasser und Hochwasser der Mondtide zu 54 cm. Unsere Formel
hat bei z  = O das Maximum

31 r*

m D 3

Fiir die Mondtide gibt das 3(5 cm. Da sich nun nach der Gleiohgewichts-
theorie die Tiefe des Niedrigwassers zur Hohe des Hochwassers, relativ zur
ungestorten Oberflache, wie 1 : 2 verhalt (zum Beweise setze man das
Minimum von h  bei z  = 90° in das Verhaltnis zum Maximum), so stimmt
der erhaltene Wert mit dem Werte van der Stoks vollstandig iiberein.

74

Zum SchluJB noch zwei Bemerkungen:

Die Kurven konnen natiirlicli auch iiber den Einflufi der
Kombination auf die Flut bobe unterrichten. Fig. 12 stellt die
Springflut, also das Maximum der kombinierten Flut dar, Fig. 13
die jS T ippflut, also das Minimum der kombinierten Flut. Fig. 14
und 15 zeigen Verhaltnisse zu Zeitpunkten zwischen diesen beiden.

Eine viel grofiere Phasenverschiebung der Einzeltiden gegen-
iiber der Phase der Kraft kann durcb die am Schlusse von § 25
betrachteten Verhaltnisse der Wirklichkeit entstehen, so dali
sogar, wie scbon im Anfang von § 28 bemerkt wurde, unter dem
storenden Gestirn Niedrigwasser eintreten kann. Ihre Grobe
hangt von der Tiefe des Wassers und der geographischen Breite
des Ortes ab.

Ein naheres Eingehen auf diese beiden Punkte liegt aufier-
halb unseres Themas.

VIII. Die Beziehung der Theorie der Gezeitenkrafte
zum kopernikanischen Weltsystem.

§ 31. Die Theorie Galileis.

Der. Gedanke, die Tiden zu einem Beweise fiir die
Richtigkeit des kopernikanischen Systems zu benutzen,
stammt von Galilei. Er hat ihn schriftlich zuerst in Aufzeich-
nungen niedergelegt, die er 1616 fiir den Kardinal Alexander
Orsini schrieb; sie wurden gegen Ende des vorigen Jahrhunderts
in der Vatikanischen Bibliothek wiedei’gefunden und 1899 von
der Akademie der Nuovi Lincei veroffentlicht. Ausfiihrlicher hat
er ihn 1632 in dem Dialog iiber die beiden Weltsysteme be-
handelt x ).

In Fig. 16 steht die Sonne in S; A, D, JB, C  sind Punkte der
Oberflache der Erde. A  ist der der Sonne zunachst liegende,
B  der am weitesten entfernte Punkt. Die Pfeile geben die Rich-
tung der taglichen Rotationsbewegung der Erde und der Revolu-
tionsbewegung in der als Kreis gezeichneten jahrlichen Bahn an.

!) G. Galilei, Dialog iiber die beiden hauptsachlichsten Weltsysteme,
das ptolemaisčhe und das kopernikanisebe. tlbersetzt von E. StrauB, 1891,
S. 434—485.

75

Die tagliche Bewegung ist der jahrlichen entgegengesetzt gerichtet
in A,  gleich gerichtet in B.  Die Gesamtgesclmindigkeit ist also
in A  kleiner, in B  grofier als die Geschwindigkeit, die bei einer
Art von Bewegung allein vorhanden ware. Die Punkte des Erd-
umfanges, die sich bei der tiiglichen Bewegung dem. Punkte B
nahern, erfahren eine immer starker \verdende Bescbleunigung,
\veil die in die Richtung der taglicben fallende Komponente der
jahrlichen Bevvegung stets grofier wird; entsprechend erhalten die
dem Punkte A  sich nahernden Punkte eine immer starker werdende
Verzogerung. Die Beschleunigung er-
reicht in B,  die Verzogerung in A  ein
Maximum. Die Meere der Erde sind
also im Laufe des Tages standig wech-
selnden Beschleunigungen und Verzoge-
rungen unterworfen. Die Folgen macht
Galilei in einem Vergleich mit den
Barken klar, die das Siifiwasser von
Lizza Fusina fiir Venedig herbeiholen.

„Stellen wir uns vor, eine solche Barke
komme mit mafiiger Geschwindigkeit
durch die Lagune daher und fahre das
Wasser, womit sie beladen ist, ruhig
dahin. Nun aber erleide sie eine merkliche Verringerung ibrer Ge-
schwindigkeit, sei es, daJB sie aufs Trockene auflauft oder sich sonst
ein Hindernis ihr in den Weg stellt. Dann wird das in der Barke
befindlicbe Wasser nicbt sofort, wie diese selbst, den erlangten An-
trieb verlieren, sondern ibn beibebalten und vorne nach dem Bug
binstromen; dort wird es merklich steigen, am Hinterteile dagegen
sinken. Wenn aber umgekehrt bei dem rubigen Dahingleiten der
Barke eine merkliche Zunahme der Geschwindigkeit stattfindet,
so wird das darin befindliche Wasser sich nicbt gleich an diese
gewohnen, sondern seine Langsamkeit be\vabren, zuruckbleiben,
also nach dem Hinterteile sich in die Hohe stauen, vorne hin-
gegen sich senken“ (S. 444). So, meint Galilei, mufi es aucb
den Meeren unter dem taglichen Wechsel der Bescbleunigung
und Verzogerung ergehen, und dieses Sinken und Steigen sind
Ebbe und Flut. Die Tatsacbe der Gezeiten ist also ein Beweis
fiir das Dasein einer doppelten Bewegung der Erde und damit
fur die Eichtigkeit des kopernikaniscben Systems.

Fig. 16.
B

76

Man mufi beachten, daB Galilei durch diese tlberlegung
nicht bloB die Sonnentiden, sondern die Gesamterscheinung der
Gezeiten in den Grundziigen erklaren will.

Diese Theorie stebt nun hauptsachlich in zwei wichtigen
Punkten mit der Erfahrung in "VViderspruch: 1. Es folgt aus ihr
nur eine eintagige Tide. 2. Sie ergibt eine Tide, die stets zur
gleicken Tageszeit eintritt.

Den zweiten Punkt bat Galilei ganz unbeachtet gelassen.
Das erste Bedenken sucbt er durch Beriicksichtigung der von
GroBe und Tiefe abhangigen Eigenschwingungen der Meere zu
heben, die unter Umstanden von so bedeutendem Einflufi sein
sollen, daB die Wirkung der primaren Ursachen dagegen zurlick-
tritt. Nimmt man die Voraussetzung Galileis einmal an, dann
ist diese Losung nicht nur im Prinzip richtig, sondern auch
hochst elegant und eine Vorahnung der heutigen Wellentheorie
der Tiden.

Aber die Voraussetzung Galileis laBt sich nicht aufrecht
halten. Die richtige Betrachtung — und damit eine indirekte
Widerlegung — ist leicht 1 ). Es ist im Sinne Galileis nicht
notig, daB die Erde eine jahrliche kreisformige Bahn beschreibt.
Auch eine gleichformige Bewegung in gerader Linie miiBte nach
ihm dieselbe Wirkung haben, weil er ja die durcli die Kreisbahn
gegebene Beschleunigung gar nicht benutzt. Nach friiheren Uber-
legungen (§ 21, 1) tritt nun infolge einer solchen Bewegung keine
Storung im Gravitationsfeld eines Korpers auf. Die Rotation der
Erde andert an diesem Resultat auch nichts; sie schafft, wie wir
schon mehrmals betonten, nur eine konstante Niveauflache. Im
ganzen ist also der Fali derselbe, wie wenn die Erde mit relativ
ruhendem Schwerpunkt rotiere.

Schwieriger ist die direkte Widerlegung und das Heraus-
stellen des Fehlers. Wenn man sich des Vergleiches mit der
Barke erinnert, so kann man sagen, die Erde sei eine Vereinigung
von GefaBen, die mit Wasser gefiillt sind. Damit die von Galilei
an der Barke beschriebenen Wirkungen eintreten, miissen diese
GefaBe beschleunigt oder verzogert werden. Ist also die Galileische
Auffassung der Erdbewegung richtig, dann wiirde die Halbkugel

B Mach,  Mechanik, S. 209.

77

der Erde, die der jahrlichen Bewegung abgewandt ist, sich standig
in beschleunigter, die andere standig in verzogerter Bewegung
befinden; ilire Winkelgeschwindigkeiten miifiten, auch unter ihren
einzelnen Teilen, verschieden sein. Besafie ein solcber rotieren-
der Himmelskorper etwa am Aquator die Rotationsgeschwindig-
keit v  und ware die Revolutionsgescliwindigkeit ebenfalls gleicli v,
dann miiBte nacb Galilei der Punkt A  ruhen. Das sind alles
ganz unsinnige Folgerungen, die aber aus der Art, wie Galilei
die Bewegung bebandelt, notwendig hervorgehen. Oder man
konnte fragen: In bezug auf welcbes Koordinatensystem findet
denn jene Beschleunigung und Verzogerung statt oder wiirde der
Punkt A  in dem letztbetrachteten Falle ruhen? Darf man die
tagliche Gescbwindigkeit auf die jahrliche projizieren und diese
Projektion als einen Zuwachs der taglichen Bewegung ansehen?
Wo bleibt die andere Komponente? Diirfte man nicht mit dem-
selben Rechte die tagliche Geschwindigkeit auf die jahrliche pro¬
jizieren und dort von einer ^erzogerung und Beschleunigung
sprechen? Jeder Punkt der Erde hat natiirlich in bezug auf ein
im Fixsternsystem ruhendes Koordinatensystem beide Geschwindig-
keiten und dementsprecliend ist seine Bewegungsmenge verandert.
Aber Galilei setzt die jahrliche Bewegung zweimal in
Rechnung, einmal dadurch, dah er die Erde ihre jahrliche Balin
beschreiben lafit, und fiirs zweite durch die Komponente, die er
der taglichen Bewegung zuteilt. Er faBt die jahrliche Bewegung
gleichzeitig auf als eine Rotationsbewegung in einem im Mittel-
punkte der Erde festliegenden Koordinatensystem, dessen eine
Achse in die Richtung der jahrlichen Bewegung fallt; denn nur
bei einer Beschleunigung in diesem Koordinatensystem konnten
die Wirkungen entstehen, die er sich denkt.

Der Ansatz der Theorie Hoffs (§ 13) ist im Grunde mit
dem Galileis identisch, nur mit dem Unterschiede, dah Galilei
die jahrliche Bewegung mit der taglichen kombiniert, ivahrend
Hoff die tagliche mit der jahrlichen kombiniert und infolgedessen
die tagliche Bewegung zweimal in Rechnung stellt, in dem er sie
noch einmal als Drehbewegung um die Sonne faBt. Man er-
kennt, daB auch der Fehler der iibrigen in § 13 besprochenen
Ableitungen dem Galileis ahnlich ist.

Es ist auch nicht uninteressant, daB eine der Galileischen
ahnliche tJberlegung in der Ballistik hei der Theorie der Bahn

78

rotierender Geschosse in der Luft angewandt wird J ); es handelt
sicli dabei um den Einflud der vorhin apgedeuteten Anderung
der Bewegungsmenge auf das umgebende Medium und dessen
Riickwirkung auf das Geschofi.

§ 32. Die Beweiskraft der Tiden fiir das kopernikanische Sj steni.

So oft die Frage uacb der Beweiskraft der Tiden fiir das
kopernikanische System auf dem Standpunkte der iiblichen Theorie
der Gezeitenkrafte (§ 10) aufgeworfen wurde, mu G te die Antwort
verneinend ausfallen. Denn weil nach ihr die Tiden auch in
einem relativ ruhenden System entstehen konnen, sind sie keine
Beweismittel fiir die Beivegung des Systems.

Sobald man aber die Bewegung des Systems als notwendiges
Element in die Theorie der Gezeitenkrafte aufgenommen hat, be-
kommt die Frage ein anderes Aussehen. Allerdings hat gerade
das Moment, das als Beweismittel fiir Kopernikus auf den ersten
Blick in Betracht zu kommen seheint, namlich die Verzogerung
der Sonnenfluten (§ 27), gar keine beweisende Kraft. Denn diese
Verzogerung stellt eine Analyse der Erfahrungstatsachen dar, die
nur auf der Voraussetzung des kopernikanischen Systems
durchgefiihrt vverden kann. Mit anderen Worten: die Erfahrungs¬
tatsachen der Sonnentiden — solange sie rein als Erfahrungs¬
tatsachen ohne jede Analyse genommen werden — konnen vom
ptolemaischen Standpunkte aus erkliirt vverden. Versuchen wir,
uns fiir einige Augenblicke in diesen Standpunkt hineinzudenken.
Wurden innerhalb desselben die Erscheinungen von Ebbe und
Flut irdischen Kraften zugeschrieben, dann lag natiirlich darin
iiberhaupt kein Motiv, das iiber den ptolemaischen Rahmen hin-
ausdrangte. Aber der leicht feststelibare Zusammenhang der
Tiden mit Sonne und Mond war schon im Altertum bekannt.
Man wuKte zwar die gesetzmafiige Verkniipfung nicht. Tjberall,
wo man sie sich nicht auf irgendeine Weise, z. B. mit Hilfe der
Warme, herzustellen suchte, wurde darum, wie auch heute noch
in den naiven Naturbetrachtungen, die Tatsache gewissermaCen zum
Gesetz. Der Ptolemaiker, der also auch die Art des Zusammen-
hanges nicht deuten konnte, vermochte durch den einfachen Hin-
weis auf die Erfahrung jedem Einwand, der aus der Tidenerschei-

x ) Cranz, Lehrbuoh der Ballistik I, 1910, S.291 f.

79

nung gegen sein System hatte erhoben werden konnen, die Spitze
abzubrechen. Ist fiir ibn (Fig. 17) O die feststebende Erde, S  die
sich um sie drehende Sonue, so mub erfahrungsgemaB in A  und B
Flut entsteben. Steht die Sonne in S x ,  so ist die Flut in A x
und B x  usw. In einem Tage vandert also jede Flut in Ab-
bangigkeit von der Kulmination
der Sonne in der Richtung O—W
einmal iiber die Erde, wie immer
man sicb aucb die Verknupfung
mit der Sonne denken mag.

Um diesen Gedankengang
ricbtig werten zu konnen, darf
man aber nicbt vergessen, daC das
ptolemaiscbe System nicbt bloB
den Stillstand der Erde und die
Bewegung der Gestirne um sie
bedeutet, sondern aucb die ganze Mecbanik und Pbysik jener
Zeiten mit umfafit. Nur auf dem Boden einer solchen primitiven
Mecbanik ist es moglich, das ptolemaiscbe System mit der Er-
fabrung in Ubereinstimmung zu bringen.

Denken wir aber im Sinne der beutigen Mechanik, so ist
diese Moglichkeit ausgescblossen. Wir wissen dann vielmebr, da
wir den ursachlicben Zusammenbang der Tiden mit Sonne und
Mond als erfahrungsgemaC bestatigt anseben diirfen, mit voller
Bestimmtheit folgendes: Selbst wenn das System Sonne-Mond-
Erde so, wie es der Ptolemaiker annimmt, moglicb ware, konnten
keine Tiden vom Charakter der wirklichen Tiden entstehen; denn
wenn die Erde fest fbdert ware, wurde es bloG Zenitfluten, keine
Nadirfluten geben (§ 10), ausgenommen selbstverstandlich den
einen Fali, dafi Sonne und Mond in Opposition standen. Die
Tatsache der halbtagigen Periode ist obne die Annabme einer
Bewegung der Erde, die nicbt um die Botationsacbse erfolgt,
unerklarbar. Weil nun die genauere Beobacbtung ohne Scbwierig-
keit Sonnen- und Mondtiden unterscheiden lafit, so ist das ptole¬
maiscbe System insofern prinzipiell durcbbrochen, als die Be-
wegung der Erde um wenigstens z\vei nicht mit der Rotations-
achse zusammenfallende Acbsen sicber ist. Damit ist gewiG der
kopernikaniscbe Standpunkt nicht rein erreicbt; man bedurfte aber
nur der Kenntnis der Umiaufszeiten, um von bier aus die genaue

v

S,

80

Einsicht in die Massen- und Entfernungsverhaltnisse von Sonne,
Mond nnd Erde zu erlangen 1 ). Historisch war natiirlich der
Gang der Dinge umgekehrt. Nicht die Mechanik war ein Motiv
zur Umgestaltung des Systems, sondern das System ein Motiv
zur Neugestaltung der Mechanik. Aber alles das, was man keute
als wirkliche Beweise fiir Kopernikus in Handen hat, ist erst

D Unterscheiden wir die zu Mond und Sonne gehorigen GroBen durch
angehangte 1 und 2, so ergibt sich aus der Hohenformel (§ 30) fiir den
Fali - = 0: 7,i _ Jf, D*

7i 2  —  JMa ' D, 3 ’

Nach dem 3. Keplerschen Gesetze ist
D 3

Tfim + MJ  =  Ti(M 2  + m)'

Daraus

M 3  -f m _ Bi T?
m  + Ji, ~~ D, 3  ' r ff

Da ~ und —- kleine GroBen sind, konnen wir auf der linken Seite im
J/ 2  m

Zahler m =  0, im Nenner Ji, = 0 setzen und erhalten:

Pl  _ Mt Ti

n 3  ~~ m ' t; !  '

Diese Gleichung, mit der ersten kombiniert, liefert:

m__ h  2  Ti
M x  ~ h , ’ T*

Die GroBen auf der rechten Seite sind beobachtbar, so daB sich
aus ihnen das Verhaltnis der Erdmasse zur Mondmasse berechnen laBt.
Selbstverstandlich miiBte man zur genaueren Berechnung die exakte Hohen¬
formel (§ 25) verwenden. Nun ergibt ferner die Theorie der Planeten-
bewegung, dah die Konstante s

z    2 n D  ‘ 2

_  VI  + m‘~t

ist, wo die GroBen M  (bezogen auf die Sonnenmasse), B  und T  fiir den-
selben Planeten gelten miissen. Benutzen wir die Erde, so konnen \vir in
erster Annaherung m  = 0 und D =  1 setzen und erhalten k.  Setzt man
rveiter in der letzten Gleichung J/-, = 0, D  = D lt  T = T lt  so kann man
daraus mit Hilfe des jetzt bekannten k  die GroBe D lt  bezogen auf die Ent-

fernung Erde = Sonne, also das Verhaltnis ,  berechnen. Mit dessen

M

Hilfe erhalt man aus der ersten Gleichung und daraus, in Verbindung

iu g

vi M

mit -n-  , auch —- • Wiederholt man mit diesen Werten die Berechnung

M 1  m

von k,  dann von D, usw., so bekommt man genauere Werte. Zur Berech¬
nung absoluten GroBen sind natiirlich andere Mittel erforderlich.

81

dann gefunden worden, als ernstliche Zweifel an der „Richtig-
keit“ seines Systeins kaum mehr moglich waren.

So ist denn Galilei unbewuBt im Rechte gewesen, als er
die Tiden als Beweis fiir Kopernikus aufstellte. Das soli keine
Elirenrettung Galileis in Sachen seiner Gezeitentheorie sein; sie
\var in der Hauptsache verfeklt und hat nur durch Berucksich-
tigung der Eigensckwingungen auf ein neues, fruchtbares Moment
aufmerksam gemacbt, dessen Ausnutzung indes mit den Mitteln
der damaligen Mecbanik unmoglich war. Aber die Ehrenrettung
ware auch nicht notig. Galilei war im Rechte, wenn er obne
„Beweise“ das kopernikanische System gegen jede Autoritat vertrat;
denn es war dem ptolemaischen in der Deutung der Erscheinungen
weit iiberlegen und das letztere besafi ebensowenig „Beweise“.

Man findet gelegentlich die Behauptung, das kopernikanische
und das ptolemaische. System seien identiscb, wenigstens fiir
solcbe, die nur relative Bewegung kennen. Weil wir nun die
Theorie der Gezeitenkrafte auf die Relativbewegung gegriindet
haben, konnte es scheinen, als ob an der Richtigkeit des Resul-
tates dieses Paragraphen ein grundsatzlicher Zweifel moglich
ware. Das ist aber nicht der Fali. Identiscb sind die beiden
Systeme nur fiir den rein phoronomischen Standpunkt, nicht fiir
den dynamischen. Wegen der genaueren Formulierung und Be-
griindung muC auf andere Ausfiihrungen verwiesen werden 1 ).

Es ist vielleicht auch nicht iiberfliissig, noch zu bemerken,
dati die Uberlegungen liber die Beweiskraft der Tiden fiir das
kopernikanische System ebenfalls von jeder Tidentheorie unab-
hangig sind, trotzdem sie sich nicht nur auf die Betrachtung der
Gezeitenkrafte beschranken. Ihre einzige Voraussetzung, die liber
die Theorie der Gezeitenkrafte hinausgeht, ist die, dah unter der
Einwirkung dieser Krafte an zwei entgegengesetzten Stellen der
Erde Flutwellen entstelien. Diese Voraussetzung muC aber jede
Tidentheorie machen, weil sie in dieser allgemeinen Form eine
notwendige Konsequenz der Anwendung der Ausdriicke fiir die
Gezeitenkrafte ist, gleicligiiltig, welche Annahmen die Theorie fiir
diese Anwendung macht.

!) Aloys Miiller, Das Problem des absoluten Raumes und seine Be-
ziehung zum allgemeinen Raumproblem 1911, S. 63 f.

Aloya Miiller, Gezeitenkrafte.

6

Vom Verfasser der vorliegenden Schrift erschien ferner
im Verlage von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig:

Das Problem des absoluten Raumes
und seine Beziehung zum
allgemeinen Raumproblem

Von Dr. flloys Miiller.

X, 154 S. 1911. Geheftet M. 4,—, gebunden M. 4,80.

(Bd. 39 der Sammlung ,,Die Wissenschaft“.)

I n h a 11.

Einleitung.

ErsterTeil. Log i sc h-p hysi k a I i sche Theorie des absoluten
Raumes. 1. Das phoronomische Weltbild. II. Die Dynamik des
phoronomischen Weltbildes. III. Die Versuche zur Konstruktion des
dynamischen Weltbildes: Der erste Weg. IV. Die Versuche zur Kon¬
struktion des dynamischen Weltbildes: Der zweite Weg. V. inertial-
system und absoluter Raum. VI. Logik des absoluten Raumes.
Vil. Das Tragheitsprinzip und die Tragheitswirkungen.

Zweiter Teil. Phiiosophische Theorie des absoluten Raumes.

I. Die allgemein logische Begriindung des absoluten Raumes.

II. Metaphysik des absoluten Raumes. III. Die Grundlagen der
Metaphysik des absoluten Raumes in der modernen Physik.

DritterTeil. Die nichteuklidischen Geometrien und der ab-
solute Raum. — SchluB. — flnhang. — Verzeichnis der
zitierten Literatur.

. . . . Die scharfsinnige, musterhafte klare (Jntersuchung be-
handelt eine wichtige Grenzfrage der Philosophie und mathe-
matischen Naturwissenschaft. Sie sucht zu zeigen, daB der
vielgeschmahte absolute Raum zu den unentbehrlichen logisch-
physikalischen Voraussetzungen eines widerspruchslosen Welt-
bildes gehort. Daneben finden die berechtigten Anspriiche
der Relativisten eine verstandnisvolle Wtirdigung. Gberhaupt
verfolgt der Verfasser eine konziliatorische Tendenz. Daher
sein methodischer Vorsatz, so weit wie moglich die erkenntnis-
theoretische Neutralitat zu wahren. Die auf reichen Details
fuBende Schrift kann auch den Fernerstehenden zum BewuBt-
sein bringen, daB phiiosophische flufklarung mit den vitalsten
Interessen unserer modernen exakten Naturforschung zu-
sammenhangt. Literar. Zentralblatt fur Deutschland.

Bisher erschienene Hefte der

Sammlung Vieweg

Heft 1. Dr. Robert Pohl und Dr. P. Pringsheim-Berlin: Die licht-
elektrischen Erschefnungen.  Mit 36 Abbildungen. M. 3,—.

Heft 2. Dr. C. Freiherr von Girsewald-Berlin-Halensee: Peroxydeund
Persalze.  M. 2,40.

Heft 3. Diplomingenieur Paul Bčjeuhr-Charlottenburg: DerBleriot-
Flugapparat und seine Benutzung durch Pegoud vom Stand-
punkfe des Ingenieurs.  Mit 26 Abbildungen. M. 2,—.

Heft 4. Dr. Stanislaw Loria-Krakau: Die Lichtbredmng in Gašen als
physikalisches und chemisches Problem.  Mit 3 Abbildungen und
1 Tafel. M. 3,—.

Heft 5. Professor Dr. A. Gockel-Freiburg i. d. Schweiz: Die Radio-
aktivitat von Boden und Quellen.  Mit 10 Abbildungen. M. 3,—.

Heft 6. Ingenieur D. Sidersky-Paris: Brennereifragen: Kontinuierliche
Garung der Rubensafte.  — Kontinuierliche Destillation und
Rektifikation.  Mit 24 Abbildungen. M. 1,60.

Heft 7. Hofrat Professor Dr. Ed. Donath und Dr. A. Groger-Brunn:
Die flussigen Brennstoffe, ihre Bedeutung und Beschaffung.
Mit 1 Abbildung. M. 2,—.

Heft 8. Geh. Reg.-Rat, Professor Dr. Max B. Weinstein-Berlin: Krafte
und Spannungen. Das Gravitations- und Strahlenfeld.  M. 2,—.

Heft9/10. Geh. Reg.-Rat, Professor Dr. O. Lummer-Breslau: Verflussi-
gung der Kohle und Herstellung der Sonnentemperatur.  Mit
50 Abbildungen. M. 5,—.

Heft 11. Dr. E. Przybyllok: Polhohen-Schwankungen.  Mit 8 Abbil¬
dungen. M. 1,60.

Heft 12. Professor Dr. Albert O p pel-Halle a. S.: Gewebekulturen und
Gewebepflege im Explantat.  Mit 32 Abbildungen. M. 3,—.

Heft 13. Dr. Wi lh el m Foerster-Berlin: Kalendenvesen und Kalender-
reform.  M. 1,60.

Heft 14. Dr. O. Zoth-Graz: Uber die Natur der Mischfarben auf Grund
der UnduIationshypothese.  Mit 3 Textfiguren und 10 Kurven-
tafeln. M. 2,80.

Heft 15. Dr. Siegfried Valentiner-Clausthal: Die Grundlagen der
Quantentheorie in elementarer Darstellung.  Mit8Abbild. M. 2,60.

Heft 16. Dr. S i e g f r i e d Va 1 e n t i n e r - Clausthal: Rnwendung derQuanten-
hypothese in der kinetischen Theorie der festen Korper und der
Gase. In elementarer Darstellung.  Mit 4 Abbildungen. M. 2,60.

Heft 17. Dr. Hans Witte-Wolfenbuttel: Raum und Zeit im Lichte der
neueren Physik.  Eine allgemeinverstandliche Entwicklung des
raumzeitlichen Relativitatsgedankens bis zum Relativitats-
prinzip. Mit 17 Abbildungen. M. 2,80.

Heft 18. Dr. Erich H u p k a-Tsingtau: Die Interterenz der Rontgen-
strahlen.  Mit 33 Abbildungen und 1 Doppeltafel in Lichtdruck.

M. 2,60.

Wendenl

Univerzitetna knjižnica Maribor

58579/35

Bisher erschienem .

Sammlung | : |

terner:  001800881

Heftl9. Prof. Dr. Robert Kremann-uraz: uie

steUung von Legierungen aus wasserigen Losungen.  Mit 20 flb-
bildungen. M. 2,40.

Heft20. Dr. Erik Liebreich-Berlin: Rost und Rostschutz.  Mit 22 flb-
bildungen. M. 3,20.

Heft21. Prof. Dr. Bruno Glatzel-Berlin: E/ektrische Methoden der
Momentphotographie.  Mit dem Bild des Verfassers und 51 flb-
bildungen. M. 3,60.

Heft22. Prof. Dr. med. et phil. Carl O p p en h ei m er-Berlin : Stotf-
wechselfermente.  M. 2,80.

Heft23. Dr. Alfred Wegen er-Marburg: Die Entstehung der Kontinente
und Ozeane.  Mit 20 flbbildungen. M. 3,20.

Die Hartung der Fette.

M. 3,—.

Heft24. Dr. W. Fahrion-Feuerbach-Stuttgart
Mit 4 flbbildungen.

Heft 25. Prof. Dr. fl. W a s s m u t h - Graz: Grund/agen und Anwendungen
der statistischen Mechanik.  Mit 4 flbbildungen. M. 2,80.

Heft 26. Dr. fl. Lipschiitz - Bern: Zur allgemeinen Physio/ogie des
Hungers.  Mit 39 flbbildungen. M. 3,—.

Heft27. Prof. Dr. C. Doelter-Wien: Die Farben der Mineralien, ins-
besondere der Ede/steine.  Mit 2 flbbildungen. M. 3,—.

H eft 28. Dr. W. F a h r i o n - Feuerbach-Stuttgart: Neuere Gerbemethoden
und Gerbetheorien.  M. 4,—.

Heft29. Dr. Erik Hagglund-Bergvik (Schweden): Die Sulfitablauge
und ihre Verarbeitung auf Alkohol.  Mit 6 flbbild. M. 2,—.

Heft30. Dr. techn. M. Vidmar-Laibach : Moderne Transformatoren-
fragen.  Mit 10 flbbildungen. M. 2,80.

Heft 31. Dr. Heinr. F a B bend er- Berlin : Die techn ischen Grundlagen
der Elektromedizin.  Mit 77 flbbildungen. M. 3,20.

Heft 32/33. Prof. Rudolf Richter-Karlsruhe: Elektrische Maschinen
mit Wicklunqen aus Aluminium, Zink und Eisen.  Mit 51 flbbild.

M. 6,—.

Heft 34. Oberi ng. Carl Beck m a n n - Berlin - Lankwitz: Haus - und

Geschafts-Te/ephonanlagen.  Mit 78 flbbildungen. M. 3,—.

Heft 35. Dr. fl 1 o y s M ii 11 e r - Bonn : Theorie der Gezeitenkrafte.  Mit
17 flbbildungen. M. 2,80.

Heft 36. Prof. Dr. W. K u m m e r - Ziirich: Die Wahl der Stromart fur
elektrische Bahnen.  Mit 7 flbbildungen. Im Druck.