PRESEK LETNIK
P9H
019) ŠTEVILKA 1
-> OSTRENJE NA SREDINSKO TOČKO
Merjenje globine vodnjaka
S STOPARICO
-> izbor ekipe za mednarodno
olimpijado -> ČE O generiranju permutacij
ISSN 0351-6652
9
9770351665616
9770351665616
MATEMATIČNI TRENUTKI
2
Politično prikrojevanje mej volilnih okrajev
-> Politične stranke, ki so na oblasti v posameznih ameriških volilnih okrajih, pogosto izkoristijo svoj vpliv in preoblikujejo geografske meje okraja. To seveda storijo tako, da z novimi mejami še povečajo svojo prevlado. Včasih gredo v želji po nepravični premoči tako daleč, da uzakonijo resnično bizarne oblike okrajev. S pomočjo geometrije in velike računske moči računalnikov matematiki pomagajo politologom pri oblikovanju milijonov različnih možnih razdelitev države na okraje, pri čemer vsakemu razrezu priredijo nekakšno mero nepravilnosti. Tako lahko predloge o preoblikovanju okrajev primerjajo z matematičnimi modeli in zavrnejo tiste, ki so izjemno nepravični.
Cetudi se zdi oblika kakšnega od okrajev zelo nenavadna, jo je mogoče včasih pravno opravičiti ali z geografskimi razlogi ali pa z določili volilne zakonodaje. V idealnem primeru bi tudi matematični modeli vključevali takšne interpretačije, vključno z obstoječimi geometrijskimi. Eden od novih kriterijev meri asimetrijo med okraji s pomočjo primerjave pridobljenih in izgubljenih glasov za dve rivalski stranki v primeru preoblikovanja okrajev. Nedavno je zvezno sodišče zavrnilo eno od predlaganih preoblikovanj ravno s pomočjo tega kriterija. V splošnem so pri dokazovanju nepravičnosti preoblikovanja okrajev potrebne različne meritve in mnenja strokovnjakov z različnih področij, tudi matematike. Opiranje na in-terdisčiplinarno mnenje strokovnjakov ne pomaga le pri razsodbah sodišč, zelo koristno bi bilo že v predhodnih stopnjah načrtovanja novih mej okrajev.
Bolj radovedni bralči si lahko preberete članek How to Quantify (and Fight) Gerrymandering, ki ga je aprila 2017 v reviji Quanta Magazine objavila Eriča Klarreičh. _
PRESEK 46 (2018/2019)1
KOLOFON
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 46, šolsko leto 2018/2019, številka 1
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si
Naročnina za šolsko leto 2018/2019 je za posamezne naročnike 22,40 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 30 eur.
Transakcijski račun: 03100-1000018787.
Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI56031001000018787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij.
Založilo DMFA-založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana
Naklada 1300 izvodov
© 2018 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2072
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana.
NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poro čila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si.
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
4-8
9-10
23-26
MATEMATIČNI TRENUTKI
Politično prikrojevanje mej volilnih okrajev
MATEMATIKA
Ostrenje na sredinsko točko (Peter Legiša)
FIZIKA
Merjenje globine vodnjaka s stoparico (Karel Šmigoc)
ASTRONOMIJA
Izbor ekipe za 12. mednarodno olimpijado iz astronomije in astrofizike (Dunja Fabjan in Andrej Guštin)
27-30
RAČUNALNIČTVO
Še o generiranju permutacij (Aleksander Vesel)
RAZVEDRILO
8 Križne vsote 16-17 Nagradna križanka (Marko Bokalic)
22 Barvni sudoku
30	Rešitev nagradne križanke Presek 45/6 (Marko Bokalic)
31	Naravoslovna fotografija - Disperzija (Aleš Mohoric)
TEKMOVANJA 11-15,18-22 Več kot medalje (Luka Školč)
priloga 9. tekmovanje iz znanja astronomije -
šolsko tekmovanje priloga Tekmovanje iz fizike za bronasto
Štefanovo priznanje - šolsko tekmovanje
priloga Tekmovanje iz znanja naravoslovja
2
MATEM ATI KA
Ostrenje na sredinsko točko
Peter Legiša
Opis problema
Že pred desetletji so fotoaparati dobili samodejno ostrenje - avtofokus. To je fotografu zelo olajšalo delo in omogočilo mnogo hitrejše zajemanje slik.
Kamere imajo navadno v iskalu označene točke, na katere lahko ostrimo. Pri zrcalno refleksnih aparatih je pogosto najbolj točno (in v šibki svetlobi tudi edino mogoče) ostrenje z osrednjo točko, v centru iskala. Zato mnogi fotografi kamero najprej usmerijo tako, da je ta osrednja točka tam, kjer želijo ostrino (npr. na očesu slikane osebe), nato pa aparat premaknejo (zavrtijo), da dobijo pravi izrez. Kot bomo videli, pa to vodi k napaki v ostrenju. Pri bolj oddaljenih objektih in zaprti zaslonki je taka napaka večinoma zanemarljiva. Pri povsem odprti zaslonki in pri slikanju iz bližine pa je tak način ostrenja zgrešen in lahko vzrok za neostre slike.
SLIKA 1.
Leca daljico AT preslika na daljico BT'.
dobi na tipalo, ki je prav tako vzporedno n in od n oddaljeno za b, če velja
1 1-1 a b f'
(1)
To je enačba tanke leče, nedavno izpeljana v Preseku, [1, str. 4].
Leča daljičo AT z dolžino h preslika na daljičo BT' z dolžino v. Pravokotna trikotnika OAT in OBT' sta podobna, kot AOT označimo z a in je enak kotu BOT'. Razmerje
vb
■ m = — = — ha
je povečava. V tem članku se ne bomo ukvarjali s fotografijo iz bližine, zato bo m < 1 in »povečava« v resniči pomanjšanje. Ce postavimo b = ma v enačbo (1), dobimo
1 1 1
1 + — ) ~ = m a f
in od tod
a
1 + m m
f = (m-1 + 1) f, b = (1 + m)f.
Razdalja med tipalom in objektom - daljičo AT je
■ a + b = (m-1 + 2 + m)f'
To je razdalja, ki jo lahko odčitamo ali nastavimo na nekaterih objektivih.
Primer 1. Naj bo f = 30 mm in m = 0,1. Potem je b = 33 mm in a = 330 mm = 33 čm. Razdalja med tipalom in daljičo AT je 36,3 čm.
Denimo, da ima objektiv goriščno razdaljo f. Privzeli bomo, da objektiv deluje kot okrogla tanka leča s središčem O in z goriščno razdaljo f. Poglejte si sliko 1. Leča ravno ploščo, vzporedno ravnini n leče in na sliki 1 za a oddaljeno od te ravnine, ostro upo-
Premik
Na sliki 1 je točka T' pri želenem izrezu in pravi izostritvi (tako, da je točka T ostro upodobljena) oddaljena za v od sredine tipala.
4
PRESEK 46 (2018/2019)1
MATEM ATI KA
Primer 2. Vzemimo, da je tipalo velikosti APS-C, konkretno 22,2 mm x 14,8 mm. Razdalja v je manjša od polovice diagonale. Ta polovica po Pitagoro-
vem izreku znaša ^11,12 + 7,42 « 13,3 mm. V praktično vseh primerih bo v < 8 mm. Dolžina daljice OT' je enaka
■ |OT'| = Vb2 + v2.
Zaradi podobnosti je razdalja a1 od O do T enaka a1 = m-1|OT = m-1 V b2 + v2. Ce s sredino iskala izostrimo tocko T kot na sliki 2, izmerimo razdaljo a1 > a med T in ravnino premaknjene leče. Naj bo a = ka1. Seveda je zaradi podobnosti tudi b = kVb2 + v2. Tu je k < 1. Mnogi verjetno veste, da številu k rečemo kosinus kota a, torej k = cos a, vendar za naš clanek to niti ni pomembno.
Delimo enakost b = kVb2 + v2 z b, pa dobimo 1 = k V 1 + v2/b2. Upoštevamo še, daje b = (1 + m)f, pa je
k =
1
vr+K'
K =
(1 + m)2f
2 f 2 '
(2)
Po enacbi 1 se razdalja med tocko O in tipalom zmanjša na b1 < b, kjer je
_ 1
a1 b1 f'
Na sliki 2 je to približanje narisano pretirano.
D
T
h
A
C
• E
G
SLIKA 2.
Ko kamero zavrtimo navzgor, se razdalja med T in ravnino lece poveca na ai.
Primer 3. Ce je f = 30 mm, m = 0,1 in v = 8 mm, je |OT'| = V332 + 82 « 33,96 mm in tako ar = 10|OT'| « 33,96 cm. Ker je bil a = 33 cm, se je a povečal za slab centimeter ali za kake tri odstotke. Po enačbi (1) izračunamo br « 32,9074 mm. Ker je bil b = 33 mm, je b-b1 « 0,0926 mm. Kako to vpliva na kakovost slike?
Posledica premika
Denimo, da smo kamero premaknili nazaj navzdol tako, da je tocka O spet na prakticno istem mestu kot na zacetku in da tocko A vidimo v sredini iskala. Kamera je zdaj izostrena na preveliko razdaljo. Tocka T je spet za a oddaljena od ravnine lece, zato njena ostra slika nastane spet v isti tocki T' kot na zacetku. Ampak zdaj je T' za tipalom. Razdalja med T' in tipalom je b - b1. Žarke, ki izhajajo iz tocke T in padajo na leco, ta preusmeri v stožec z vrhom T' na sliki 3. Lahko je verjeti, da je presek tega stožca s tipalom krožec s premerom M'N'. (Središcni raz-teg s središcem T', ki M preslika na M', nam krog s središcem O in s premerom D = |MN | preslika na vzporeden krog s premerom d = |M 'N' |, ki tako leži v ravnini tipala. Ta razteg ohranja stožec žarkov skozi T'.) Število D je premer lece. Trikotnika T M N in T MN sta podobna. Njuni vodoravni višini sta b - b1 in b, zato je d : (b - b1) = D : b in od tod
d = D(b - b1)b-1.
b
SLIKA 3.
Žarke iz T nam leca lomi v stožec žarkov, ki gredo skozi T'.

2
v
5	PRESEK 46 (2018/2019)1

MATEM ATI KA
—^ Slika točke T se nam tako razmaže v krožec s premerom d. Temu krožcu včasih pravimo razmazani krožec, angleško circle of confusion. O tem smo pred leti več pisali v Presekovem članku o globinski ostrini [2].
Količnik w = f /D imenujemo zaslonsko število. Premer D leče lahko zmanjšamo z zaslonko, ki spušča svetlobo le skozi osrednji del leče. Stožeč žarkov tako zožimo in s tem zmanjšamo razmazani krožeč. Seveda pa potem na tipalo pada manj svetlobe. Torej:
D = L
w
Večina bralčev pozna ali pa je vsaj opazila zaporedje zaslonskih števil: 1,4;2;2,8;4;5,6;8;11;16;22;32 ...
Vsako drugo število v tem zaporedju je potenča števila 2. Samo zaporedje pa imamo lahko za zaporedje potenč števila V2, zaokroženih na dve mesti. Vsako naslednje število pomeni, da premer odprtine delimo s V2, kar pomeni pol manjšo ploščino odprtine in pol manjšo količino svetlobe skozi objektiv. Tako pri zaslonki (zaslonskem številu) 2 skozi objektiv prihaja pol manj svetlobe kot pri zaslonki 1,4. Kamere pametnih telefonov imajo navadno na razpolago le eno zaslonsko število, ki je pogosto okrog 2.
Primer 4. Denimo, da je m = 0,1, v = 8 mm, f = 30 mm, w = 2. (Najprej smo hoteli vzeti w = 1,4. Taki objektivi obstajajo, ampak razen pri zelo dragih modelih ostrine na robu pri polni odprtini, f /1,4 ali 1 : 1,4, ne moremo doseči, če se še tako trudimo. Moj objektiv z goriščničo 50 mm je pri zaslonki 1,4 za silo dober le v sredini, tako daje nujno pomembni objekt postaviti v čenter slike.) Za w = 2 je D = 30/2 mm, torej 15 mm in tako, če upoštevamo številke iz primera 3, v milimetrih
d
15 X 0,0926 33
0,0421.
Razmazani krožeč ima premer 42 mikrometrov. Za minimalno kakovost želimo, da ima na sliki velikosti 15 čm X 22 čm razmazani krožeč premer največ 0,15 mm, saj je to na meji ločljivosti očesa pri gledanju iz bližine. Sliko te velikosti dobimo s približno desetkratno povečavo slike na tipalu APS-C, torej sme biti premer razmazanega krožča na takem
tipalu največ 15 mikrometrov. V našem primeru je razmazani krožeč skoraj trikrat prevelik.
Denimo, da imamo na našem tipalu velikosti 22,2 mmX 14,8 mm « 329 kvadratnih milimetrov 24 milijonov pikslov. Na kvadratni milimeter imamo potem približno 73 tisoč kvadratnih pikslov ali približno 270 X 270 pikslov. Straniča piksla meri približno 1/270 milimetra ali približno 3,7 ^m, se pravi 3,7 mikrometra (mikrona). Idealno naj razmazani krožeč ne bi bil kaj dosti večji od enega piksla.
Približna formula
Ce se ne ukvarjamo z makro fotografijo (kjer tako in tako pogosto ostrimo ročno), dobimo dober približek za d po formuli:
d
mv
2
2fw(1 + m)2'
(3)
Primer 5. Denimo, da je m = 0,1, v = 8 mm, f = 30 mm, w = 2. Potem je po približni formuli (3) v milimetrih
d
6,4
60 X 2 X 1,21
0,0441.
To je blizu vrednosti, ki smo jo izračunali v primeru 4.
Ce obdržimo prejšnje podatke in vzamemo m = 0,02, slikamo na razdalji približno 52f od tipala, to je nekaj več kot meter in pol. V milimetrih dobimo
d
1,28
60 X 2 X 1,022
0,0103,
torej približno 10 mikronov. Ce bi računali natančno, bi dobili 0,0098 . . . , tako da je naš približek zelo dober. Pačka premera 10 mikronov na tipalu bo na sliki formata A4 videti kot točka. Ce dodatno zapremo zaslonko na 4, pa pokrije razmazani krožeč približno tako površino kot en piksel in je vse v najlepšem redu tudi pri maksimalni povečavi.
Izpeljava formul
Izpeljimo zdaj najprej natančno enačbo za d. Te račune, ki sičer niso posebno zapleteni, lahko tudi preskočite in si ogledate graf za d kot funkčijo goriščne razdalje f v nadaljevanju.
6
PRESEK 46 (2018/2019)1
MATEMATIKA
Iz enačbe (1) dobimo b = af /(a - f) in, ker je ka1 = a, je
bi =
a f
kai f
af
ai - f k(ai - f) a - kf'
Od tod je
b - bi = af
i
i
= af
a - f a - kf 2 i - k (a - f)(a - kf)'
Pomnožimo zgoraj in spodaj z m2, upoštevamo ma = b = (1 + m)f, torej ma - mf = f, pa dobimo
b - bi b
= mf
i - k
(ma - mf) (ma - mkf) m(i - k)
i + m - mk'
Če ta rezultat pomnožimo z D = f/w, upoštevamo k = cos a, dobimo d
d =
mf(i - k)
mf(i - cos a)
w(i + m(i - k)) w(i + m(i - cos a))'
(4)
a/TTK - 1 + 2. Približek je nekoliko nad pravo vrednostjo.
SLIKA 4.
Graf za d (v mikrometrih) in (črtkano) približka p za d kot funkcija gorišcnice f v milimetrih
1,105, kar je blizu pravi vrednosti
Primer. V121 1,1.
Celo V1 + 1 « 1 + 0,5 ni tako slab približek za a/2. Za r blizu 0 je r2 majhen v primerjavi z r in tako lahko vzamemo (1 - r)(1 + r) = 1 - r2 - 1, od tod
i
kjer je k dan z enačbo (2).
Na sliki 4 imamo graf za d v mikronih kot funkcijo goriščne razdalje f, merjene v milimetrih. Pri tem je v = 8 mm, m = 0,1 in w =2. Na spletni strani [3] pa imate interaktivni graf za d in aproksimacijo p po (3) v GeoGebri s tremi drsniki, s katerimi lahko spreminjate parametre v,m,w. Z grafa vidimo, da je približna formula (3) skoraj povsod zelo dobra.
Sledi še izpeljava približka.
V enačbi (2) bomo privzeli, da je 0 < m < 0, 5 in v < f . Potem je 0 < K < 1. Ker je (1 + K/2)2 = 1 + K + K2/4 > 1 + K, je
K
i + r
i - r.
Primer 6. 1:1,1 - 1 - 0,1 = 0,9. To je blizu pravi vrednosti 0,909 ... Ocenjujmo:
k
i
i
a/ttk i + f
-1 - f
in tako
2

■ 1 < V1 + k < 1 + ^.
Če je K blizu 0, je K2/4 majhen v primerjavi s K in tako (1 + K/2)2 - 1 + K. Torej:
K
7 K	v
K ~ - = -
k 2 2(i + m)2f2 '
Primer 7. Za v = 10 mm in f = 30 mm je 1 - k -1/(18(1 + m)2) < 1/18 in za m < 0,1 je m(1 - k) < 1/180.
Večinoma sta tako m kot 1 - k blizu 0 in tako je njun produkt zelo majhen v primerjavi z 1. Fiziki bi rekli, da lahko produkt m(1 - k) zanemarimo. V enačbi (4) tako vzamemo 1 + m(1 - k) - 1 in dobimo

i
10	PRESEK 46 (2018/2019) 2

RAZVEDRILO
—^ naš približek:
mf(1 - k)
d
mfv2
w
mv
2w(1 + m)2f2
2
2wf(1 + m)2'
Očitno d narašča praktično s kvadratom razdalje v! Pri v = 4 mm bo premer razmazanega krožca le približno četrtina tistega pri v = 8 mm.
Kot vidimo, je pri malo bolj zaprti zaslonki in slikanju oddaljenih predmetov uporaba centralne točke za ostrenje čisto v redu, še posebno, če točka, ki jo želimo izostriti, ni daleč od središča želene slike, se pravi da je število v majhno v primerjavi s stra-ničama tipala. Pri majhnih zaslonskih številih in slikanju bolj od blizu, denimo pri portretih, pa je tak način ostrenja problematičen. Ne samo zaradi gornjih računov: premikanje aparata sem ter tja krade čas. Morda pozabimo na konču umiriti aparat in tako »stresemo« sliko; oseba se vmes lahko premakne, kakor tudi mi. Bolje je vključiti kako drugo točko za ostrenje (ali premakniti okvirček za ostrenje), tako da bo, rečimo, na končni sliki na bližnjem očesu por-tretiranča. Pri nekaterih aparatih imamo odlično možnost, da lahko izostrimo na določeno točko tako, da se dotaknemo njene slike na zaslonu, včasih čelo pri gledanju skozi iskalo. Pri slikanju ljudi lahko vključimo prepoznavanje obrazov, čeprav so zaenkrat le redke kamere sposobne izostriti prav oči. Celo popolna avtomatika, ki navadno izostri na najbližji objekt v osrednjem delu slike, je včasih boljša od ostrenja z osrednjo točko, še posebno, če je ta točka po nesreči ravno med dvema obrazoma, in tako izostrimo ozadje.
Literatura
[1]	P. Legiša, Moteča perspektiva, Presek 44 1, 2016, 4-14.
[2]	P. Legiša, Fotografija in matematika, 3. del - globinska ostrina, Presek 25 4, 1998, 194-201, dostopno na, www.presek.si/2 5/1340-Legisa. pdf, ogled 28. 6. 2018.
[3]	Interaktivna ilustračija napake pri ostrenju z osrednjo točko je na avtorjevi strani na Ge-oGebra Tube www.geogebra.org/rn/MkndDjE2, ogled 28. 6. 2018.
Križne vsote
-i'
-> Naloga reševalča je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrstičah in po stolpčih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstiče (stolpča) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstiči (stolpču) različne.
	4	-					
3						10	11
10			6				
	10			,3 24			
		10					
			5				
"is •i'
RES ITEV KRIŽ NE VSOTE
		L	8				
		L	S	17	01		
L	8	6	42 31	Z	8	01	
17	Z			9	L	E	01
					Z	L	
					■	4	
XXX
XXX
8
PRESEK 46 (2018/2019)1	8
FIZIKA
Merjenje globine vodnjaka s stoparico
■is ■i' nU
Karel Šmigoc
-> Spomini na preteklost, ko še ni bilo razvitega vodovodnega omrežja, so tudi vodnjaki. Še danes najdemo skoraj pri vsaki domačiji vodnjak, ki ga zapira domiselno izdelano ohišje, pokrito z izbrano kritino, v nekaterih primerih tudi s slamo. Učenci OŠ Šmarje pri Jelšah prihajajo tudi iz oddaljenih vasi, ki se nahajajo večinoma na gričih, ob-danih z vinogradi in gozdiči. Skupina učenčev si je izbrala za raziskovalno nalogo opisati in izbrati čim več podrobnosti o vodnjakih, ki se nahajajo na področju občine. Program raziskovanja je bil obsežen. S posebno izdelano napravo za ta namen so merili temperaturo vode na dnu vodnjaka in na gladini. Primerjali so jo s temperaturo ozračja. Ker so računali prostornino vode v vodnjakih, so merili tudi njihovo globino in višino vode.
Namen tega prispevka ni poročanje rezultatov raziskovanja, ampak opisati zanimiv fizikalni primer, ki je nastal pri merjenju globine vodnjaka v bližini cerkvice svetega Lovrenca (sliki 1 in 2).
Vodnjak, ki je bil predmet raziskovanja, spada med najbolj zanimive na Kozjanskem. Predvsem nas je presenetila njegova globina - 23 m. Izmerili so jo gasilci pri čiščenju vodnjaka. Njegov lastnik nam je povedal, da je gladina vode nevidna, dobro pa se sliši zvok, ki nastane, ko nanjo udari kamencek. Z lastnikovim dovoljenjem so tudi ucenci spustili kamencek v vodnjak in izmerili cas od izpusta do nastanka zvoka pri udarcu na gladino vode. Pri veckra-tni meritvi casa je bil povprecen cas 2,2 sekunde. Po obrazcu za prosti pad in pri upoštevanju vrednosti za zemeljski pospešek 9,81 m/s2 so izracunali glo-
SLIKA1.
SLIKA 2.

14	PRESEK 9 (2018/2019) 2

FIZIKA
—^ bino 23,74 m. Ce upoštevamo, da je bilo ob času meritve po pripovedovanju lastnika v vodnjaku en meter vode, je kamenček preletel v izmerjenem casu razdaljo 22 m, kar je za 1,7 m več od pričakovane vrednosti. Poskusili smo pojasniti nastalo razliko.
Cas, ki so ga izmerili učenci s stoparico, je sestavljen iz dveh delov: iz časa prostega pada kamenčka t1 in časa t2, ki ga potrebuje zvok na razdalji od gladine vode do mesta, kjer so spustili kamenček. Ce označimo izmerjeni čas s T, je T = t1 + t2. Razdaljo do gladine vode, ki je v nekaterih primerih, ko so sušna obdobja, tudi enaka globini vodnega jaška, označimo s H in iz obrazča za prosti pad H = g t2
izračunamo čas t1 = , kjer pomeni g zemeljski pospešek. Označimo s c hitrost zvoka in iz obrazča za enakomerno gibanje izračunamo čas t2 = H.
Izmerjeni čas T je
2H H
■ T =-+ —.
gc
Dobljeni izraz zapišimo v obliki: (t - H) kvadriranju obeh strani enačbe dobimo
g
2T
H2
H = 2 | T--H + —
Globine vodnjakov oziroma vodnih jaškov so na podeželju navadno pod deset metrov, vodnjaki nad deset metrov globine so že redkost. Ker je hitrost zvoka pri 20 °C 340 m/s, lahko člen ^r zaradi majhne vrednosti izpustimo in dobimo za H linearno enačbo z rešitvijo
H = g T2 -g,
2 c + gT
nebotičnikov. Povrnimo se na začetek; obe strani enačbe (1) pomnožimo s c in jo spremenimo v obliko (cT - H) = . Po kvadriranju in združevanju členov dobimo kvadratno enačbo
H2 - 2| cT + — | H + c2T2 = 0, g
iz katere izračunamo globino H: H12 = b±a/D. Ker je v našem primeru a = 1, b = -2 (cT + g2) in D =
4 (cT + g)2 - 4c2T2 = g2 (c2 + 2cTg), je
H1,2 = \cT + —I ±-ftcTg + c2. gg
(3)
(1)
, po
Zaradi pozitivnega in negativnega predznaka pred korenom dobimo za H dve rešitvi: če izberemo negativni predznak, je pri T = 0 tudi H = 0, kar ustreza začetnemu stanju; rešitev pri pozitivnem predznaku
pa nima fizikalne osnove, ker je pri T = 0, H = . Po kratkem preoblikovanju izraza (3) in upoštevanju negativnega predznaka je globina H
H = cT--
g
1
2Tg

(2)
Ce vstavimo v izraz (2) za pospešek g = 9,81 m/s2, za izmerjeni čas 2,2 sekunde in za hitrost zvoka že omenjeno vrednost 340 m/s, je globina vodnjaka oziroma gladina vode v njem 22,31 m, kar se približuje pravi vrednosti 22 m. Seveda pa moramo pri računu upoštevati razne omejitve: pri merjenju s stoparičo lahko merimo največ na 0,1 sekunde natančno, reakčijski čas osebe, ki meri, pa lahko doseže tudi desetinko sekunde. Upoštevanje časa zvoka prispeva k natančnosti meritve približno 1,7 m.
Poglejmo še primer, ko člen H:T ni več zanemarljiv, npr. pri merjenju globine jaškov v gorah ali višine
Kolika bi bila globina vodnjaka, če bi izmerili pri prostem padu čas T = 3 s?
Po izrazu (4) dobimo za globino H = 40,7 m, po obrazču za prosti pad, ko ne upoštevamo časa zvoka, pa 44,2 m. V tem primeru, ko smo upoštevali čas zvoka, se je natančnost meritve povečala za 3,5 m.
Vprašajmo se še, pri kateri razdalji je čas zvoka enak času pri prostem padu. V uvodu smo že zapisali čas prostega pada t1 = ■sJTf in čas zvoka t2 = H. Oba izraza izenačimo, kvadriramo dobljeno enačbo in izračunamo to razdaljo: H = ^ = 23 568 m. Zanimivo, če upoštevamo pri izrazu (3) pred korenom pozitivni predznak, dobimo enak rezultat.
Pripis. Kako se je končala raziskovalna naloga učenčev? Z načinom merjenja globine se učenči niso posebno ukvarjali, ostali so pri opisu preprostih vaških vodnjakov in od župana prejeli zasluženo denarno nagrado.
_XXX
2
2
g
2
c
14
PRESEK 10 (2018/2019) 2
FIZIKA
Vec kot medalje
■is nU ■i'
Luka Školč
Skupaj z Markom Cmrlecem, Klemnom Bogatajem, Andražem Jelinčičem in Gregorjem Kikljem ter mentorjema Jurijem Bajcem in Barbaro Rovšek sem preživel šest nepozabnih dni v Rusiji na drugi evropski fizikalni olimpijadi. Objavljene so bile že tako naloge kot naši dosežki ob reševanju le-teh. A medalje in pohvale še zdaleč niso vse, kar smo ta teden pridobili. Ostala so nam prijateljstva s čudovitimi ljudmi iz celega sveta in spomini na neskončno zabavnih stvari, ki smo jih počeli.
Absurdno bi bilo poročati le o medaljah, ko pa se je zgodilo še toliko drugega. Prav zato sem se odločil, da napišem reportažo o našem popotovanju v Rusijo, ki bo bralcem omogočila, da si tudi sami ustvarijo sliko o vzdušju in dogajanju na fizikalni olimpijadi. Naša pot se je začela v ponedeljek 28. maja zjutraj. S kombijem smo se odpravili do letališča v Zagrebu, kjer se nam je pridružila še hrvaška ekipa. Pristali smo na moskovskem letališču, kjer so nas pričakale naše skrbniče in vodičke, študentke tujih jezikov, ki so se prostovoljno javile za pomoč pri organizačiji olimpijade. Spet s kombijem so nas prepeljali od letališča do kampusa moskovskega inštituta za fiziko in tehnologijo v Dolgoprudnem, kjer je potekala olimpijada. Med vožnjo smo si zadali prvi izziv - ugotoviti, po kakšnem ključu so narejene na videz kaotične ruske registrske tabliče.
Na kampusu so nam dodelili stanovanje s kuhinjo, kopalničo, straniščem in dvema spalnima prostoroma. Najbolj poseben objekt v stanovanju je bil tuš, pri katerem je zaradi puščajoče čevi masni pretok vode padal s kubom razdalje od pipe. Tako je do šobe pritekla količina vode, ki bi v fiziki veljala za zanemarljivo. Ce si si hotel umiti hrbet, si se priklonil pipi in si čev kot ovratnik zavil okoli vratu.
Zaradi neugodnega termina leta smo na otvoritveno slovesnost pošteno zamudili, večerja pa je odpadla kar v čeloti. Na pobudo vodičk smo naročili nekaj
SLIKA1.
Slovenska ekipa z vodickama Dašo in Vlado
pič. Sam sem že ležal v postelji, ko je v sobo prišla skupina prostovoljčev, ki so tekmovalčem pobirali elektronske naprave, da ne bi med tekmovanjem goljufali. Nekaj članov slovenske ekipe so na lastno grozo ujeli v samih spodnjih hlačah ali nasploh v pomanjkanju oblačil. Z veliko smeha smo jim izročili telefone in končno zaprli oči.
V torek zjutraj smo se spopadli z eksperimentom. Tako kot lanski je bil tudi letošnji genialno zamišljen, zelo kakovostno izdelan in izjemno zahteven. Med drugim smo morali pihati skozi tube in s senzorji preverjati pogosto sumljivo vsebino naših dihov. Več članov ekipe nas je bilo nad orodjem zelo navdušenih, saj smo se s polarizatorji, diodami in lepilom lahko igrali kot z lego kočkami. V petih urah, ki so bile na voljo, sem z energetskimi tabličami požrl toliko kalorij, da bi lahko odtekel maraton. Tekli sičer nismo, je pa zato naša hitra hoja do stranišča in nazaj nemalo vodičk spravila ob dih.
Ker pet ur eksperimentiranja očitno ni bilo dovolj, so fiziki na inštitutu za nas pripravili demonstračije 25-ih eksperimentov iz univerzitetne zbirke. Poka-

14	PRESEK 11 (2018/2019) 2

FIZIKA
—^ zali so nam magnetno lebdenje, eksplozivne tuljave, dvojni uklon laserske svetlobe, žiroskopsko žičnico in še mnogo drugih zanimivih stvari.
Po predavanju sije bilo treba prezračiti glavo, zato smo se Marko, Gregor in jaz odpravili na košarkarsko igrišče. Tam smo naredili združeno ekipo z dvema fantoma iz Azejbardžana ter igrali proti Latvij-čem, za katere je treba priznati, da košarko res obvladajo. Po večerji smo ugotovili, da je zelo zapleteno priti na stopnišče naše stavbe od zunaj in pa da se s staro rusko varnostnico ni šaliti (kljub njenim grožnjam z žuganjem pesti sem jo v naslednjih dneh nemalokrat potegnil za nos). Glede zgodnjega odhoda v posteljo nam je povzročal težave polarni dan, zaradi katerega je bilo ob desetih zvečer zunaj še vedno svetlo.
V sredo je bil čas za teorijo. Vse tri naloge so bile tako težke, da nisi vedel niti, kako bi očenil njihovo relativno težavnost. Sicer nam je šlo dobro pri 3A, smo pa trdo padli po stopnicah 3B. V drugi nalogi smo prejeli koristen podatek, ki bi lahko v krizni situaciji rešil življenje. Ce boste kdaj izgubljeni v divjini brez gorilnika, a bosta z vami velikanski vir napetosti in tuljava, nikar ne skrbite - z magnetnim poljem tuljave je namrec mogoce zavreti vodo! Tocno kako se to zgodi, s tem pa se raje ne obremenjujte.
Po kosilu so nas z avtobusi peljali do vesoljskega paviljona kozmonavtskega muzeja v Moskvi. Na poti sem imel priložnost bolje spoznati kitajsko kulturo, saj je poleg mene sedel prijazen in zgovoren prostovoljec iz Kitajske. Medtem je Gregor nekaj vrst za mano izdeloval racunalniško simulacijo, s katero je kasneje prvo teoreticno nalogo rešil na tisocinko odstotka natancno. Paviljon, v katerega so nas peljali, je bil resnicno velicasten. Tridesetinvecmetrski kovinski oboki so se, okrašeni s premnogo bronastimi srpi in kladivi, bocili visoko nad nami in številnimi razstavnimi eksponati. Videli smo originalno kapsulo, v kateri je Jurij Gagarin kot prvi clovek potoval v vesolje, in 1:1 model ruske vesoljske postaje MIR. Le-ta je bil presenetljivo majhen in zazdelo se nam je, da je moralo biti bivanje tam zelo klavstrofobicno. Pokazali so nam tudi veliko skafandrov, modelov vesoljskih ladij in eno pravo sovjetsko raketo, ki je bila tako velika, da je morala stati na prostem.
Po naravi sem zelo radoveden, zato sem ob ogledu vozila za vožnjo po Luni vprašal, zakaj so kolesa iz prepletene žice in kovinskih plošcic. S tem pre-
prostim vprašanjem mi je uspelo povzročiti neznansko zmedo, saj je naša muzejska vodička poiskala tri druge, ki prav tako niso znale odgovoriti, in nato so vse štiri mrzlično brskale po telefonih in iskale nekoga, ki bi mi znal odgovoriti. Kljub temu da sem jih poskušal prepričati, naj odnehajo in da se ne bo podrl svet in da lahko pogledam tudi doma in da res ni take velike panike, da me samo malo zanima, so živčno klicarile vse do našega odhoda iz muzeja.
Na poti nazaj se mi je zdel posebej lep pogovor z našima vodičkama o njunih rojstnih krajih in ljubezni do narave. Z njima smo se vseh šest dni veliko družili in na tej točki se mi zdi pomembno povedati nekaj več o vodičkah nasploh, saj bo o njih v nadaljevanju še veliko govora. Punče so se mi zdele, pošteno povedano, neverjetne. Ne le da so odlično opravljale svoje delo in skrbele, da se nam ni zgodilo nič hudega in da nismo bili nikoli preveč pozni, bile so še veliko več - zanimive sogovorniče, šaljivke in izvrstne učiteljiče ruščine. Vedno so nam bile pripravljene ustreči in zares so naredile vse, da bi se imeli čim bolje. Mi smo jih v skromno zameno zabavali, kolikor smo le mogli.
Pet ur najtežje teorije, ki sem jo kdaj videl, seveda ni bilo dovolj - potreben je bil še večerni »intelleč-tual game« organiziran s strani olimpijade. Ugotovili smo, daje igra, ki naj bi jo igrali, kviz o svetovni geografiji. To se mi je zdelo malo pusto, zato sem stvari dodal estetski pridih. Na vsak listek z odgovorom, ki ga je slovenska ekipa poslala vodji kviza, sem nekaj narisal. Na začetku so bile to majhne stvari, sončki in podobno. Kmalu sem se zagrel in v minuti, ki sem jo imel za vsako risbo, ustvarjal vedno več.
Po prvem delu kviza smo imeli desetminutni odmor. Izkoristil sem ga zato, da sem spoznal vodičko belgijske ekipe, Mašo, in preizkusil, koliko lahko Rusi razumejo slovenščino. Potem je ona preizkusila mene in z nekaj truda mi je uspelo razumeti skoraj vse, kar je povedala. Tudi kasneje sva z Markom videla, da ruščine ni nemogoče razumeti, če imaš nekaj časa za premislek o tem, kar si prebral ali slišal.
Kakšnih deset minut po začetku drugega dela kvi-zaje voditeljiči kviza prekipelo. »Team Slovenia, čo-uld you stop drawing on every answer you send!«1 je zavpila. Vstal sem in jo vprašal, kaj je narobe.
1Slovenska ekipa, bi lahko prosim nehali risati na vsak listek, ki ga pošljete!
14
PRESEK 12 (2018/2019) 2
FIZIKA
SLIKA 2.
Naša ekipa na kvizu v timskih majicah
SLIKA 4.
»I cannot read this!«2 je odgovorila in visoko v zrak dvignila listek, na katerega sem narisal zemljevid do zaklada. Razprl sem roke in rekel: »But all you had to do was follow the treasure map!«3 Dvorana je izbruhnila v smeh in aplavz in voditeljica je le nemočno gledala, kako so nam nasmejani člani drugih ekip prihajali čestitat. Seveda me njeno opozorilo ni ustavilo. Pošiljal sem ji še bolj udarne, bolj slikovite ilustracije in jih nemalokrat opremil z napisom »from team Slovenia«4 in srčkom. Ker se mi je zdelo primerno, da ji omogočim, da se pritoži nad mojim ravnanjem, je dobila tudi sporočilče na desni (slika 4).
2 Tega ne morem prebrati!
3A morali bi samo slediti zemljevidu do zaklada!
4od slovenske ekipe
Vodicki ruske ekipe, ki je naše listke vestno nosila komiteju, sem v zahvalo narisal samoroga, ki zdaj krasi zadnjo stran njene EuPho znacke. Na koncu sicer nismo zmagali po tockah, smo pa bili absolutni prvaki v srcih vseh udeležencev kviza v dvorani. Poleg tega sem vodicko hrvaške ekipe, Eleno, ki me prejšnji dan med eksperimentom na poti do stranišča ni mogla dohajati, naucil osnovne tehnike hitre hoje.
V dvigalu smo srecali clana švicarske ekipe, francoskega Švicarja korejskega porekla, in takoj v svojo sobo povabili vse Švicarje. Petnajst minut kasneje je prišel sicer samo on, ker so ostali šli igrati odbojko, a nic zato: ob njegovih zgodbicah smo do enih zjutraj jokali od smeha. Bil je izjemno zabaven in odprt. Slednje je bila, na moje majhno presenecenje, vrlina vecine udeležencev olimpijade. Sam sem skoraj z vsako osebo, ki sem jo srecal, zacel pogovor in le redko se ta ni razvil. Edina potencialna težava je bilo

PRESEK 46 (2018/2019)1
13
FIZIKA
—^ pomanjkljivo znanje angleščine nekaterih udeležencev olimpijade, pa še to ni bilo nepremostljivo! Na kosilu sem nekega dne srečal Rusa, ki se je kljub skoraj nični angleščini iskreno želel pogovarjati z mano. S pomočjo Google prevajalnika nama je na veselje obeh uspelo!
S sredinim večerom se je začela dolžina spanja krajšati. Primeren model bi bil najbrž eksponenten, saj se je v naslednjih dveh nočeh za naju z Markom skoraj dvakrat prepolovila.
V četrtek zjutraj smo se odpravili na izlet v Moskvo. Ta ni bil v uradnem načrtu, samo za nas sta ga pripravili naši vodički. Samoiničiativnost, ki sta jo izkazali, mi je ogrela srče. Predlagal sem, da s sabo vzamemo še kakšno ekipo, zdelo se mi je vredno spoznati čim več ljudi, ker so takšne priložnosti na žalost redke. Predlagal sem švičarsko in belgijsko ekipo; slednjo se mi je zdelo pač zanimivo spoznati.
Na konču smo na izlet šli Belgijči, Hrvati, pristojne vodičke, vodje ekip in naša ekipa. Do Moskve smo potovali z vlakom in se nato prestavili na podzemno železničo, ki ni bila le zelo lepo urejena, temveč tudi absurdno počeni (za karto smo plačali manj kot 70 čentov!!!). Med vožnjo smo, fiziki po srču, z nagibanjem merili pospeševanje vlaka, računali globino, na kateri je bil tunel, in razlagali posebno teorijo relativnosti vodičkam. Takšnih sproščenih pogovorov na temo fizike je bilo v tistem tednu mnogo in prav vsi so bili intelektualno stimulativni, nenavadni in predvsem zabavni. Kadar smo le mogli, smo poiskali pojav ali napravo in debatirali o fizikalnih aspektih le-tega ter pri tem uporabljali svoje šolsko znanje na nove načine. Za odkrivanje novega je ključna nenehna iskrena, skoraj otroška radovednost in te v Moskvi ni manjkalo. Poleg spoznavanja novih kultur in reševanja fizikalnih problemov sem se lotil tudi učenja čiriliče. Pri tem bi se srčno zahvalil svojemu dobremu mentorju Marku, ki je potrpežljivo prenašal moje nenehno pozabljanje črk š, č in č.
Za razliko od prejšnjih dni je bilo v četrtek zaradi vetra kar hladno. Ugotovili smo, da lahko zebe tudi ljudi ruskega porekla, kar nas je kar presenetilo. Vsekakor se niso mogli primerjati z Markom, ki je vse dni preživel v kratkih rokavih. Edina konkurenča je bil morda Estoneč, ki je povsod hodil bos. Na vprašanje, zakaj to počne, je odgovoril, da je tako bolj udobno, je pa priznal, da ob prvem snegu vendarle obuje čevlje.
SLIKA 5.
Moskovski okrožni vlaki in podzemna železnica
Za dalj časa smo se ustavili na Rdečem trgu, kjer smo se slikali s Putinom.
Z Markom sva se odločila, da bova popeljala svojo ljubezen do ruščine dlje. Na stojničah knjižnjega sejma nama je navdušena prodajalka priporočila najboljše slikaniče. Vsak sva kupila po tri, da se bova ob njih lahko učila ruščine. Glede na razneženost in odobravanje vodičk, ko sva jima pokazala svoje nove knjige, sva dobro izbrala.
Ob vrnitvi v Dolgoprudni smo izvedeli, koliko točk je vsak dosegel. Hitro smo pojedli kosilo in se šli pripravit za moderačijo, kjer smo očenjevalčem lahko razložili naše razmišljanje ter sklepe pri reševanju
14
PRESEK 14 (2018/2019) 2
FIZIKA
SLIKA 6.
nalog in si potencialno zvišali tocke. Moderacija je potekala gladko in profesionalno - ocenjevalci so bili prijazni in so cenili tudi alternativne pristope, hkrati pa so se do potankosti držali tockovnika. Ko sem ocenjevalcu prve teoretične naloge po končanem uradnem delu povedal, da sem si zadevo najprej poskušal predstavljati, je rekel, da je to storil tudi on. »Se ni obneslo?« sem ga previdno vprašal. Utrujeno
SLIKA 7.
Slikanice v ruščini
se je nasmehnil: »Ne, se ni.« Takšna odkritost in skromnost se mi zdita zelo lepi vrlini.
Po še enem mentalnem naporu si je bilo potrebno spet prezraciti glavo, zato sva z Markom potrkala na vrata švicarske ekipe, da bi jih povabila na odbojko. Na žalost je bil v sobi le en clan ekipe, zato sva šla iskat Latvijce. Težava je bila v tem, da nisva vedela, kje se nahajajo. Storila sva edino smiselno stvar in trkala na vsa vrata, ki sva jih našla. Na neki tocki nama je odprla azerbajdžanska vodicka in vprašala sva jo, ce ve, kje stanuje latvijska ekipa. S tem sva povzrocila naslednjo veliko zmedo.
Azerbajdžanska vodicka je šla do sobe, kjer sta stanovali belgijska in hrvaška vodicka. Zelo hitro so govorile med seboj in ravno, ko je belgijska vodicka govorila najhitreje, kar sem tisti teden slišal koga govoriti, mi je uspelo cisto vse v enakem tempu prevesti Marku, kar jih je popolnoma šokiralo. Kmalu se je pridružila še ena naših vodick in namesto da bi preprosto ugotovile, kje je latvijska soba, so nama želele organizirati nogomet s Turkmenistanom. Nato smo šli ven in srecali švedsko ekipo, ki se je odpravljala igrat odbojko. Z Markom sva se z veseljem pridružila in sledilo je mnogo dobrih iger, pa tudi plezalni izziv, ko smo žogo nabili na drugo stran šest metrov visoke ograje. Na igrišce so nenehno prihajali novi igralci iz drugih ekip in zelo hitro smo lahko odbojko igrali kar pet na pet. Eden od Švedov mi je
18
m__
>	C
.cd	na
To	"M
-o	^
m	ro

14	PRESEK 15 (2018/2019) 2

RAZVEDRILO
nU NU NU
Nagradna križanka
GRAFIČNO OBLIKOVANJE MATEVŽ BOKAUČ
AVSTRLI. KVANTNI
FIZIK (ERWIN)
USTVARJALKA IZŽGANE GLINE
SVETOPISEMSKI 7AČETNIK' ONANLIE
KOKOŠKA,
PUTKA (NAREČNO) IGRALKA FARROW
AVTOR MARKO BOKAUČ
ANJA KUNAR
NAG KOPALEC
SLABSALNI IZRAZ ZA DUHOVNIKA
CESKI FILMSKI REŽISER VAVRA
PARIŠKI VEČERNI DNEVNIK
RAFKO IRGOLIČ
PEVEC SKUPINE BIG FOOT MAMA (GREGA)
14
SEZNAM BLAGA AU STORITEV S CENAMI
RIMSKA 4
NAJVIŠJI
VRH FILIPINOV, VULKAN
OPOGUM-UANJE KOGA
NEKDANJI SRBSKI POLITIK (ALEK-SANDAR)
NEMŠKA IN NAŠA ČRKA
RADIJSKI DETEKTOR OBJEKTOV
ALES VAUČ
MLEČNA BELJAKOVINA, SIRNINA
HITER TEK V SKOKIH
ATLETSKI KLUB
HUMORISTKA PUTRIH
NESTABILEN
AMERIŠKI GLASBENIK KING COLE
GIBANJE DELCEV V RAZTOPINI PROTI ANODI
OČKA, OČI
JUŽNOAMERIŠKO DREVO IN NJEGOV ZELO LAHEK LES
NA MAJHNEM ŠTEVILU NEDOLOČENIH KRAJEV
ČE PREVENTIVA NE DELUJE,
JE POTREBNA ?
17
FINSKI ARHITEKT (ALVAR)
MESTO NA KOSOVU
12
MRAČNOST RAZPOLOŽENJA
IGRALKA JOVOVICH
URJENJE, VEŽBANJE
ODER ZA SUŠENJE ZRNJA
FRANCOSKI DRAMATIK (ARTHUR)
10
ŽGANA PIJAČA
RIMSKI HAD
NAŠA NAJRED-KEJŠA ZVER
OSRBO-VALEC KONJ
VLADIMIR ČADEŽ
GRŠKA BOGINJA LOVA, APOLONOVA SESTRA DVOJČICA
UREDNIK PRESEKA MOHORIČ
18
MESTO V JUŽNI RUSIJI OB REKI KUBAN
ZVENENJE Z NIZKIMI GLASOVI
PISNI ZNAKI ZA GLASOVE
EMIR KUSTURICA
ITALIJAN. FIZIK FERMI
ZADNJA DESKA IZ HLODA
MATEMATIČNI ZNAK
POKOJNI ANGLEŠKI PEVEC COCKER
LATINSKI IZRAZ ZA MORJE
GLAVNA ARTERIJA
KAČON
VPREŽNI
DROG PRI VOZU
OSNOVNA KRŠČANSKA MOLITEV
SEŠTEVANJE
ČAROVNIK
19
21
HRVAŠKI POLITIK MESIČ
PREJŠNJI REKTOR MARIBOR. UNIVERZE (IGOR)

16
PRESEK 46 (2018/2019)1	16
RAZVEDRILO
HABSBUR. DRŽAVNIK IN KARDINAL V16. STOL. (ANTOINE)
FILMSKA UPODOBITEV LITERAR. DELA
SIMBOL ZARADLI
TISOČ KILOGRAMOV
RAČUNALNIŠKA TOMOGRAFIJA
ZRAKOPLOV, KI VZLETA NAVPIČNO
AZUSKO RIŽEVO ŽGANJE
ČEBELJI PANJ
KOLESAR. DIRKA PO ŠPANIJI
KRAVJA IZJAVA
KRIČAV. VREŠČEČ
NITRO-CELULOZNI LAK
AFRIŠKA DRŽAVA
JAMAJSKI SPRINTER (USAIN)
SOSEDI ČRKE P
ZAČENJANJE GORENJA, VŽIGANJE
ČEŠKI TRAKTOR
OPERACIJA
MED MNOŽICAMI
VELIKI ŠMAREN
JE MARIJINO
ITALIJAN. TRIVRS-TIČNA KITIČNA OBLIKA
RADIKAL, IZVEDEN IZ ETANA
AMERIŠKA PEVKA JAMES
CELJSKI ŽUPAN (BOJAN)
NEMŠKO MESTO
ZGODOVIN. JORDANSKA DEŽELA
15
NAŠ VESLAČ (IZTOK)
REŽISER MENDES
ENOTA ZA ZRAČNI TLAK
PRVI SAMOGLASNIK IN PRVI ŠUMEVEC
ANGLEŠKA PEVKA MOYET
EMANUEL LASKER
NAJVEČJI PRITOK DNEPRA V
UKRAJINI
PASJE OGLAŠANJE
ZAČETNA FAZA SKOKA
OHRANJEN V OBLIKI FOSILA
JUNAKINJA IZ LINHARTOVEGA MATIČKA
FRANCOSKO
MESTO OB MARNI
16
ALPINIST ZAPLOTNIK
ANGEL SMRTI
GLASBENA MEDIGRA
NINA RAKOVEC
VRATA PRI IGRAH Z ŽOGO
NADLEŽNA ŽUŽELKA, KI LAHKO PIČI
POKOJNA TELEVIZU-KA (JANA)
13
VNETJE KOŽE
TEBANSKI KRAU
IGRALEC ŠKRLEC
CRNOGOR. VLADAR IN PESNIK
STIKALNA NAPRAVA
BISTVO, JEDRO, SRČIKA
ŽELEZOV OKSID
POLJSKI MATEMATIK (ALFRED)
POSODA ZA BRUS ZA KOSO
PRELAZ V JULIJCIH
AVSTRIJSKI FIZIK MACH
OKUS VINA, KI SE KISA
EKONOMISTKA PETRIN
VRH V KAMNIŠKIH ALPAH
POT NEBES. TELESA
POZITIVNA ELEKTRODA
FRANCOSKI FILMSKI KOMIK (JACQUES)
DRSALEC NASUHEM
NAŠ PATER ZELIŠČ AR (SIMON)
MESTO NAJUGU PORTUGALSKE
11
PRETLA-ČENAJED
ŠVICARSKA SMUČARKA (SONJA)
ENOTA JALOVE MOČI
POSAMEZNA RASTLINA VINSKE TRTE
BREZ NJE NI ŽIVLJENJA
PASCAL
VIKI GROŠELJ
OGLATO GEOMETRIJSKO TELO
20
PRIPRAVA
NA OTROŠKEM IGRIŠČU
NAGRADNI RAZPIS
Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani
www.presek.si/kri zanka
ter ga oddajte do 15. oktobra 2018, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado.
_ X X X J
PRESEK 46 (2018/2019)1
17
FIZIKA
-> 15
T3 +J ro ^
kasneje povedal, da trenira parkour. Za skoraj vse tekmovalče, s katerimi sem se pogovarjal, sem ugotovil, da imajo poleg fizike tudi druge pomembne interese. Spoznal sem plesalče, tabornike, hokejiste, večkratne državne prvake v ping pongu - fiziki so zelo večplastna sorta ljudi!
Po večerji so nam organizatorji pripravili nogometni turnir. Še pred začetkom smo se še bolj zbližali s švičarsko ekipo in skoraj bi sestavili skupno moštvo, ko nas je sodnik razdelil v ekipe. Z mano je igral Rus, ki mu prinčip podajanja zelo očitno ni bil jasen, saj je ob vsaki priložnosti nabijal žogo na gol iz sredine igrišča. Nasprotno so se Švičarji izkazali za vrhunske nogometaše, sploh pa vratarje.
Po večerji so organizatorji za nas pripravili predstavo z ognjem. Sičer ni bila zelo fasčinantna, je bilo pa zato toliko boljše plesanje na uliči in spoznavanje ruskega popa. Vodičke so rekle, da bi rade večer preživele s slovensko ekipo, a imajo pred tem še sestanek z organizatorji. Do takrat sta bili vsaj še dve uri, zato smo šli Marko, Klemen in jaz delat monopol nad vaflji v hotelu. V avtomat v pritličju smo metali kovanče, dokler nam jih ni zmanjkalo, in si tako pridobili pet roza paketov vafljev. Zame so bili ti posebno dragočeni, ker je prejšnja škatla čez noč v čeloti izginila in nisem uspel priti niti do enega samega grižljaja.
Z Markom sva se lotila slikaniče z abečedo in preživela naslednjo uro v nenehnih krčih smeha, ki so
SLIKA 8.
Monopol
izbruhnili vsakič, ko sva ugotovila, kaj kateri verz pomeni. Sičer nisva takoj razumela vseh besed, a sva s pomočjo slik in sklepanja prišla do dna večine abečednih rim. Glede izgovorjave sva naletela na kar nekaj zagat, pri katerih so nama kasneje pomagale vodičke. Nekaj čez polnoč so v našo sobo prišle belgijska, hrvaška in obe slovenski vodički. Pogovarjali smo se o slovniči, filmih in izdelavi nelegalnega ruskega alkohola. Glede izgovorjave so naju naučile, da obstaja š in š, i in i, ter znak, ki ga pri izgovorjavi preprosto ignoriraš. Največ pozornosti so posvetile znaku bl, pri katerem moraš izpustiti zvok, kot da bi te nekdo močno udaril v trebuh.
V petek sem imel najlepšo možno budničo - izvedel sem, da smo jaz, Marko in Andraž osvojili bronaste medalje, Klemen pa pohvalo. Odprl sem okna in se na ves glas drl »SLOVENIJA IMA TRI BRONASTE MEDALJE!!!!!« ter skakal po čelem stanovanju. Zajtrk je bil tisti dan daleč najboljši - končno mi je uspelo najti sladičo, ki ni bila prenasičena s sladkorjem. Zunaj so Švičarji kot vedno delili čokolado, a naš favorit je imel pripravljeno presenečenje. Slovenski ekipi je podaril dve čudoviti škatli z umetelno izrezanimi papirnatimi vzorči na pokrovu in božanskimi pralineji, mi pa smo mu dali enega od magnetkov s slikami Slovenije, ki jih je Marko v ta namen prinesel s sabo.
Nato smo se z avtobusi peljali do Zaradie parka, na novo zgrajenega zelenega mestnega središča s pogledom na Kremelj. Vožnja je bila zaradi prometnih zamaškov dolga, a zabavna. Pravil glede odstavnih pasov v Moskvi očitno ni, a kar je najbolj pomembno, uspelo nam je ugotoviti, za kaj gre pri registrskih tabličah! Zadnje tri številke so namreč regionalna koda. Povzročale so težave, ker smo v Moski videli toliko različnih. Na konču smo ugotovili, da mora tako veliko mesto pač imeti več kod. Ko smo preverili hipotezo, se je izkazala za pravilno! Videli smo tudi avto s slovensko zastavo in v park nam je kasneje prišla čestitat diplomatka s slovenskega veleposlaništva.
Ce smo na začetku povsod zamujali, je slovenska ekipa bila PRVA na prizorišču podelitve! V parku smo izkusili bolj »rusko« poletje. Bril je namreč močen veter in temperatura se je spustila na kakšnih 13 stopinj Celzija. Na srečo so bili organizatorji pripravljeni tudi na to in kmalu so vodičke delile odeje. Dobili smo dve živo roza, ki sta se ujemali z našimi timskimi majičami (medtem je Marko seveda vztrajal
14
PRESEK 18 (2018/2019) 2
FIZIKA
SLIKA 9.
Švicarska bonboniera
v kratkih rokavih). Kasneje sta naši vodički sičer ugotovili, da se je veliko bolje kot v odejo ogrniti v slovensko zastavo, ki ti poleg telesa pogreje tudi srče. Okoli dvanajstih se je začela prireditev. Med podelitvami so bile pripravljene plesne in pevske točke, podeljevalči nagrad pa so pripravili kratke govore. Dotaknilo se me je, ko je eden glavnih organizatorjev in pobudnik projekta rekel, da »fizika ne pozna mej in ras, je le ena za vse«. Mislim da prijateljstva, ki smo jih spletli ta teden na olimpijadi, to trdno dokazujejo.
Vpili in ploskali smo en za drugega kot se spodobi. Najbolj bučen aplavz je požel član hrvaške ekipe, ki je ugotovil, da so mu dodelili preveč točk, in je to povedal na moderačiji. Dobil je nagrado za najbolj poštenega tekmovalča in bronasto medaljo. Po konču podelitve so na oder povabili vse ekipe in mi smo se
SLIKA 11.
Tribune v Zaradie parku
postavili kar na sredo, slovensko zastavo pa smo dvignili do neba. Slikali smo se s pogledom na Kremelj in nato odšli na voden ogled Zaradie parka. Zastavo naj bi sičer vrnili, a smo jo raje ponosno nesli s sabo. Kasneje jo je vihtel tudi eden od naših švičarskih prijateljev.
V parku so nas peljali v orjaški simulator, v katerem te video in premični sedeži popeljejo na polet nad Moskvo. Posnetek je bil izjemno dobro nare-

14	PRESEK 19 (2018/2019) 2

FIZIKA

SLIKA 12.
Plesna točka
SLIKA 14.
Na hribčku v parku po podelitvi
SLIKA 13.
Podelitev bronastih medalj
jen, zaradi zakrivljenega zaslona je zelo prepričljivo dajal vtis prostora, kljub temu da nismo imeli 3D očal. Med ogledom parka smo poizkusili tradičio-nalne švedske bombone, ki so zaradi enormne količine soli na njih pekli kot feferoni. Nato je večina ekip odšla na letališče in le s težavo smo se poslovili od Švičarjev. V slovo sem dobil podpis na svojo rdečo kapo in obljubili smo si, da bomo ohranili stike.
SLIKA 15.
Slovenska zastava na sredi
Ob vrnitvi v Dolgoprudni smo naši vodički peljali na kosilo v restavračijo po imenu Teorija (te očitno v prejšnjih dneh ni bilo dovolj). Ko sem v ruščini prosil za palčke, so me narobe razumeli in mi prinesli dve majhni stekleniči vode (»paličke« se namreč sliši izjemno podobno kot »vodičke«).
Potrebno je bilo vsaj še enkrat povzročiti zmedo, zato smo se spet odločili igrati odbojko. Pretrkali smo vrata pet nadstropij, dokler nismo naleteli na hrvaško vodičko. Ta je rekla, da bi rada igrala, in dogovorili smo se za čez petnajst minut na igrišču. Ko smo prišli tja, smo ugotovili, da nimamo žoge,
20
PRESEK 46 (2018/2019)1
FIZIKA
SLIKA 16.
Zastava je plapola povsod, kamor smo šli
imajo pa Turki eno za košarko. Ravno takrat sta prišla še Barbara in Jurij, ki smo jima tudi obljubili igro. Vse se je izteklo dobro: Barbara in hrvaška vodicka sta se zapletli v pogovor, Jurij pa se je izkazal za izjemnega igralca košarke in Slovenci smo si kljub številski premoči Turkov priborili zmago!
Po igri smo spoznali še turško vodičko, za katero se je izkazalo, da lahko nadpovprečno dobro razume slovensko! Preizkusil sem jo s petimi preprostimi stavki in za skoraj vse je ugotovila, kaj pomenijo. Dogovorili smo se, da se bomo v naši sobi igrali igrico »krokodila«, neke vrste besedno pantomimo.
Kasneje smo se igrali še morilca in mafijo. Belgijska in hrvaška vodicka sta se želeli posloviti od nas, saj sta se vracali na svojo univerzo za izpite. Njima
SLIKA 17.
Na razgledni ploščadi z našim najljubšim Švicarjem
SLIKA 18.
in pa našima vodickama smo za spomin podarili ma-gnetke in majhne slovenske zastavice, izmenjali pa
->
14	PRESEK 21 (2018/2019) 2

FIZIKA
->
smo si tudi telefonske kontakte. Pozno ponoči sva z Markom imela priložnost poslušati turški rock in finski metal elektro ter jesti odlično medeno torto, ki so jo vodičke posebej za nas okrasile. Šele pozno ponoči smo se razšli in nato sva se z Markom pogovarjala do svita, ko se nama je zazdelo, da bi bilo morda smiselno za kakšni dve uri zatisniti oci.
Zbudili smo se ob petih in se skupaj s Hrvati vkrcali na kombi za letališče. Do tja so nas pospremile naše vodicke in malo je manjkalo, da se ob slovesu nismo razjokali. Na letališču sem moral iz nahrbtnika vzeti medaljo, ki bi lahko najbrž bila uporabljena kot orožje. Z Markom sva si uredila skupne sedeže, da sva lahko trenirala branje ruščine med letom. Uspelo nama je zaključiti odsek s črkami in prišla sva do pesmič o mesečih. Imel sem še priložnost preizkusiti svojo hrvaščino, saj je poleg naju sedel eden članov hrvaške ekipe.
V Zagrebu nas je čakal kombi in že smo bili na poti v Ljubljano. Med vožnjo in na kavi v Tivoliju smo na Barbarino pobudo zavzeto delali načrt za to reportažo . . .
In zdaj je tu. Zapisana, objavljena. Želim si, da bi lahko začutili energijo našega ruskega tedna. Da bi se med branjem navzeli vsaj kančka tiste čudovite otroške svobode, ki nas je prevevala in ki je omogočala seganje izven čone udobja do novih kultur, početij in izkustev. Da bi se kdaj predali »norosti« in naredili, kar se vam v nekem trenutku zazdi zanimivo, ne da bi se obremenjevali. Ker nam je to uspelo in prav zato, je bil zadnji teden zame najlepši v tem letu. In žal mi je, da nisem ljubezni do fizike in tekmovanj odkril prej, a vseeno sem neskončno vesel, da mi je bila dana možnost za udeležbo na tej olimpijadi in da sem izkoristil VSAKO SEKUNDO, ki sem jo tam preživel. Da sem se z veseljem predal nalogam, da sem spoznal čudovite ljudi, sodeloval v lepih pogovorih, počel prisrčne neumnosti. Tekmujte, bodite radovedni in zabavajte se, ker fizika JE zabavna. In ko se vam uspe prebiti na vrh, ko imate čast dvigniti slovensko zastavo na mednarodnih tekmovanjih, takrat ne pozabite, kaj je najbolj pomembno. Da se odprete in užijete vsak trenutek čudovite priložnosti, ki vam je dana.5 _XXX
5Za pomoč pri izdelovanju osnutka se zahvaljujem čelotni slovenski ekipi, še posebej Marku.
Barvni sudoku
4 •i' ■i'
V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstiči, v vsakem stolpču in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil.
	1			2	5	6	
7				1			
	2	3					
			6			5	
4							
		2				3	8
				3		8 1	
8		7		5			
O
v
O □
O
m
>
a
<
00 >
m
-> >w
* S
a
17	1	Z	5	E	7	9	8
L	8 3	9	3	L	S	17	Z
8		L	17	S	2	L	9
S	Z	L	9	8	L	E	4
Z	5	E	L	6	17	8	L
L	9	17	8	L	3	2	S
E 17 8			1	Z	9	S	7
9 L S			Z 17		8	1	E
							
XXX
14
PRESEK 22 (2018/2019) 2
ASTRONOMIJA
Izbor ekipe za 12. mednarodno o l i m p ij a d o iz astronomije in astrofizike
-i' -i' •i'
Dunja Fabjan, Andrej Guštin
-> Izbor ekipe za mednarodno olimpijado iz astronomije in astrofizike (MOAA) je dolgotrajen pro-čes.
Tekmovalke in tekmovalci so se morali najprej udeležiti šolskega tekmovanja iz znanja astronomije, ki je bilo v zacetku decembra 2017. Potem so se najboljši spopadli z nalogami na državnem tekmovanju, ki je bilo v zacetku januarja 2018. Prejemniki zlatih priznanj na tem tekmovanju so postali tudi kandidati za olimpijsko ekipo. Še v januarju 2018 je bil zanje izbirni krog Sanktpetrburške astronomske olimpijade (SAO), ki šteje kot del izbirnega postopka za MOAA. Najboljši so se uvrstili v teoreticni in prakticni krog SAO, ki se je zakljucil marca, za srednješolce pa je potekal na Gimnaziji Bežigrad. Marca bi se morali kandidati za olimpijsko ekipo udeležiti Messierjevega maratona, ki je preiskus znanja prak-ticne astronomije. Žal je bilo letos vreme slabo in je Messierjev maraton odpadel, zato smo morali prak-ticni del izbirnega postopka premakniti na dan konc-nega teoreticnega izbirnega testa, ki je bil 8. maja na Konservatoriju za glasbo in balet Ljubljana. Ob koncu napornega izbirnega postopka smo dobili ekipo za 12. MOAA, ki bo letos med 3. in 11. novembrom v Pekingu na Kitajskem.
Clani in clanica ekipe za 12. MOAA so:
■	Marko Cmrlec, Gimnazija Bežigrad;
■	Gregor Humar, Gimnazija in srednja šola Rudolfa Maistra Kamnik;
■	Andraž Jelinčič, Gimnazija Bežigrad;
■	Klemen Keršic, Srednja šola Slovenska Bistrica;
■	Ema Mlinar, Gimnazija Vic, Ljubljana.
Naloge teoretičnega dela izbirnega tekmovanja za 12. MOOA
1. Dne 24. junija opazujemo zvezdo Vego (a = 18h36m56s, S = +38°47' 1,2'') iz Ljubljane (p = 46° 13,4' N, A = 14° 27' E).
(a)	Kdaj kulminira Vega? Kolikšna je njena višina ob kulminaciji?
(b)	Kolikšna sta višina (h) in azimut (A) zvezde, ce jo opazujemo ob 23h?
Podatki. Vega: a = 18h36m56s, S = +38°47'1,2'' Ljubljana: p = 46°13,4'N, A = 14°27'E
(a) Za dan 24. junij lahko brez težav izracunamo zvezdni cas na Greenwichu ob 0hUT, ki je enak
■ S(0hUT, 24. 6.) = S(0hUT, 21. 6.) + SAt
18h
4min dan
3dni = 18,2h
Ko zvezda kulminira, je njen casovni kot enak 0, torej velja
■	0 = H = S(0hUT, 24. 6.) + A + y (tk - t0) - a
tk = t0 + 1 (a - S(0hUT, 24. 6.) - A) = 1,453h. Y
Ker je p > S, je višina Vege ob kulminaciji enaka
■	hk = 90° - p + S = 82,56°.

23	PRESEK 46 (2018/2019) 2

ASTRONOMIJA
—^ (b) Ce zvezdo opazujemo ob 23h, je njen casovni kot takrat enak
■	H = S(0hUT, 24. 6.) + A + y (t - t0) -
a(= 21,6053h) = -2,39h,
saj je H definiran na intervalu od -n/2 do n /2 oziroma med -12h in 12h.
S pomocjo višinske enacbe izracunamo višino Vege ob 23h:
■ sin h = sin y sin 5 + cos y cos 5 cosH = 0,88902.
Ker je h definiran med -n/2 in n/2, obstaja samo ena rešitev in ta je
■	h = 62,75°.
Azimut ob kulminaciji izracunamo s pomocjo sinusnega in kosinusnega izreka, ki pravita
(c)	Izracunaj maso kefeide (MA), ce je perioda sistema 76 let, razdalja zvezd pa 51 a.e. Rezultat izrazi v radijih Sonca (R0). (Namig: najprej izračunaj maso masivne zvezde, MB.)
(d)	Ko bo masivna zvezda porabila vodik v sredici, bo del življenja preživela kot orjakinja in kasneje eksplodirala kot supernova. Takrat se bo njeno jedro skrcilo v nevtronsko zvezdo s polmerom 10 km, ovojnica pa se bo razletela. Med eksplozijo bodo vecino sprošcene energije odnesli nevtrini, le majhen del pa se bo porabil za gibanje snovi. Kolikšen del sprošcene energije bo v kineticni energiji ovojnice? Izmerjena hitrost ovojnice je v = 1200 km/s. Predpostavi, da je v jedru zbrane 10 % mase zvezde in da sta jedro in ovojnica homogena.
Podatki. mA = 1,97 mB = -0,8 TB = 30000 K
MA abs = -3,11 (iz formule za kefeide)
■ sin 5 = sin sin h + cos cos h cos A
- sin A sin H
cos 5 cos h
Preverimo lahko posebej rezultate za sinus in kosinus kota ali pa dobimo rešitev iz enacbe
A
t§T7 =
sinA
1,05028.
2 1 + cosA Azimut je
■ A = 92,8098°.
2. Dvozvezdje sestavljata kefeidna spremenljivka in masivna zvezda. Za kefeido velja zveza Mabs = 2,81 ■ log10 P[dm] - 1,43, kjer je P[dm] perioda kefeide v dnevih, Mabs pa njena absolutna magnituda. Njena izmerjena perioda spremembe izseva je PA = 3,97 dni, navidezna magnituda pa mA = 1,97. Masivna zvezda leži na glavni veji HR diagrama, ima navidezno magnitudo mB = -0,8 in temperaturo TB = 30000 K.
(a)	Kolikšen je izsev kefeide LA? Izrazi ga v Soncevih izsevih (L0).
(b)	Kolikšen je radij druge zvezde (RB), ko je še na glavni veji? Izrazi ga v radijih Sonca (R0).
(a)	Najprej izracunamo razdaljo do zvezd:
.	251 i 10pc\2
■	mA - mA,abs = -2,5 log I —— I
d = 10pc10(mA-mAabs)/5
d = 10pc 10(1'97-(-3'11))/5 = 103,9 pc
Izracunamo izsev kefeide:
■	MAAbs - M0abs = -2,5 log (L
La = 10(MA,abs -M0,abs)/-2,5 ■
= 10(-3,11-4,83)/-2,5 ■ L0 = 1499,7 ■ L0
(b)	Izsev druge zvezde je
■	mB - mA = -2,5 log (jA
Lb = 10(mB-mA)/-2'5 ■ La
= 10(-0'8-1,97)/-2,5 ■ La
= 19231,1 ■ L0
24
PRESEK 46 (2018/2019) 2
ASTRONOMIJA
Radij druge zvezde je Lb
rš =
aT^4n
19231,1 ■ 3,826 ■ 1026W
5,6726 ■ 10-8 Wm-2K-4 300004 K4 n = 9,9 ■ 1017m2 Rb = 9,9 ■ 108 m = 1,4R0
(c) Izracunamo maso M B, in sicer iz zveze za zvezde na glavni veji, kjer vemo, da je L o M3,5 (kot pravilen se upošteva faktor med 3 in 3,5; rešitve so podane za faktor 3,5).
mb = (L0
1/3,5
M
= 16,7M0
Wt
tot,z
_1W _U 3gmz
= 2W^Z = 2 - 5 GRZ
Wtot,k = Wtotns,k + Wovoj,k + Wv
M
' Rk
3 0,01MZ
■ — G-
5
Rk
1
Wovoj,k = 2 MovojV2 = ^0,9Mzv2
nevtrini, nas zanima delež Wovoj,k/Wv. Tega lahko izrazimo s pomocjo zgornje enacbe, kjer opazimo, da bomo pri odštevanju Wtot,z - Wtotns,k - Wovoj,k dobili termin (1/RZ - 0,01/Rk). Vendar Rk << 0,01RZ, kar lahko preverimo, ce kot zacetni radij vstavimo RB. (Pred eksplozijo bo zvezda or-jakinja, njen radij bo bistveno vecji od RB, zato ga pri izracunu ne uporabimo.) Ocenimo, da je Wv - -Wtotns,k - Wovoj,k:
Wovoj,k Wv
= 0,0009725 ,
(d) Zapišemo posamicne komponente zacetne in koncne skupne energije, kjer je Rz (Mz) zacetni radij (masa) zvezde, Rk (Mk) pa koncni. Upoštevamo homogenost zvezd, oznake tot, tot ns, ovoj in v pa se nanašajo na skupno energijo, skupno energijo nevtronske zvezde, ovojnico ter nevtrine:
kjer uporabimo vrednosti v = 1200 km/s, Rk = 10 km. Posamicne energije so Wtotns,k = -2,2219 ■ 1046 kg m2 s-2, Wovoj,k = 2,1589 ■ 1043 kg m2 s-2, Wv - 2,21978 ■ 1046 kg m2 s-2.
3. Izracunaj rdeci premik, na katerem sta bili gostoti energije snovi in sevanja enaki. Prasevanje ima temperaturo 2,7 K, vrednost Hubblove konstante danes (H(t0)) je podana. Privzemi, da so nevtrini (takrat relativisticni) prispevali k gostoti energije sevanja, njihov prispevek je gostoto energije sevanja po-vecal za 69 %.
Nasvet. Upoštevaj, daje gostota energije sevanja enaka ~~, kjer je j gostota svetlobnega toka črnega telesa! Pri izračunih upoštevaj tudi, da je parameter gostote snovi danes Qm,0 = 0,27.
Gostota energije snovi in gostota energije sevanja se spreminjata s skalirnim faktorjem R na sledeci na-cin:
2 _ pm,0c2 pmc =
Upoštevamo ohranitev energije in zapišemo zace-tno energijo zvezde in koncno energijo zvezde, ovojnice ter nevtrinov:
■	Wtot,z = Wtotns,k + Wovoj,k + Wv
1	(_ 3 gM2 1 (_ 3 G 0,01M2)
2	\ 5 Rz J ^ 5 Rk J
12
+ ^0,9MZv2 + Wv
Zanima nas delež energije v ovojnici glede na sprošceno energijo. Ker vecino energije odnesejo
R3
2 PrfiC2 prC =-R4T
Uporabimo enacbo R o in zapišemo
■ PmC2 = Pm,0 (1 + Z)3 PrC2 = Pr,0 (1 + Z)4
Išcemo rdeci premik, pri katerem sta pmc2 in prc2 enaka, torej
■ PrfiC2 (1 + Z)4 = PmfiC2 (1 + Z)3.

25	PRESEK 46 (2018/2019) 2

ASTRONOMIJA
->
Gostoto energije snovi lahko izrazimo kot
pm,0 = ÜmpCr,0 = Üm
3Ho2 8nG
Pr,0C2 (1 + z)4 = Pm,0C2 (1 + z)3 PrflC2 (1 + Z) = Pm,0C2
ÜmpCr,0C^
(1 + Z) =
Gostoto energije sevanja izrazimo kot
4 j	4^T4
■ pr0c2 = 1,69 j = 1,69-,
c	c
kjer smo upoštevali tudi prispevek relativističnih nevtrinov:
Konstante
1, 69
4ot 4
Üm
3Hj 8nG
1^2
c
1,69
4ot4
C
Üm
3H
1,69 ■ 4 ■ 8 ■ nGCO-T4 z = 3285
kratica/simbol	kolicina	vrednost
a.e.	astronomska enota	149597870691 m
Rz	povprecni polmer Zemlje	6371000 m
Ms	masa Sonca	1,9 8 91 x 1030 kg
m0	navidezna magnituda Sonca	-26,8
Mbol,s	absolutna (bolometricna) magnituda Sonca	4,82
Mk,s	absolutna magnituda Sonca v K filtru	3,31
Ls	izsev Sonca	3,8 2 6 x 1026 J s-1
Rs	radij Sonca	6,955 x 108 m
jz	solarna konstanta	1370 W m-2
Rl	radij Lune	1738000 m
dL	povprecna razdalja med Zemljo in Luno	384399000 m
G	gravitacijska konstanta	6,6726 x 10-11 Nm2 kg-2
O	Stefan-Boltzmannova konstanta	5,6705 x 10-8 J s-1 m-2 K-4
h	Planckova konstanta	6,6261 x 10-34/5
C	svetlobna hitrost	2,9979 x 108 m/s
k	Boltzmannova konstanta	1,3 8 0 6 5 x 10- 23 m2 kg s-2 K-1
pc	parsek	3,0860 x 1016 m
H0 = H(t0)	vrednost Hubblove konstante danes	70 km/s Mpc-1
C
Osnovne enačbe sferne trigonometrije:
■	sin a sin B = sin b sin A
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
Osnovne enacbe za kozmologijo:
■	Hubblov cas: tH(to) = Hj
■	kriticna gostota: pcr = g^
■	Starost vesolja:
to = 2 tH (kriticni model, k = 0, A = 0)
■	Skalirni faktor: a oc t2/3
XXX
26
PRESEK 46 (2018/2019) 2
RACUNALNIŠTVO
Še o generiranju permutacij
-i' •i' vi'
Aleksander Vesel Uvod
Permutacija je bijektivna preslikava koncne množice A nase. Predstavimo jo lahko kot razporeditev elementov množice v neko zaporedje. Brez izgube splo-šnosti lahko pri tem predpostavimo, da množico A sestavlja prvih n naravnih števil oziroma A = {1,2,...,n}. Zanimajo nas torej urejene izbire vseh elementov iz A, pri cemer ponavljanje elementov ni dovoljeno. Permutacijo množice A z n elementi bomo oznacili kot zaporedje a = (a1,a2,... ,an), kjer a G {1, 2,...,n} in a = aj, ce i = j, za vse i, j G {1, 2,...,n}.
Znano je, da je število permutacij v množici z n elementi enako n! = n ■ (n - 1) ■ ... ■ 2 ■ 1, pri cemer z zapisom n! oznacimo fakulteto naravnega števila n. Opazimo lahko, da število permutacij glede na število elementov v množici zelo hitro narašca. Ce je n = 20, je število permutacij množice {1, 2,... ,n} enako 20! = 2432902008176640000.
V Preseku [2] so nas že zanimali algoritmi za konstruiranje vseh permutacij množice z n elementi. Spomnimo, da je vcasih zaželeno, da algoritem vrne urejeno zaporedje permutacij. Pri tem obicajno mislimo na leksikografsko urejenost. Permutacija a = (a1,a2,... ,an) je manjša od permutacije b = (b1,b2,... ,bn) glede na leksikografsko urejenost, ce in samo ce je aj < bj za najmanjši j, v katerem se a in b razlikujeta. Permutacija a = (4, 2, 3,1, 5) je tako manjša od permutacije b = (4, 2, 3, 5,1), saj se, gledano od leve proti desni, pr-vic razlikujeta v cetrtem elementu in je a4 < b4. Najmanjša permutacija množice z n elementi v leksi-kografski ureditvi je permutacija (1, 2,...,n), najve-cja pa (n,n - 1,..., 1). Vse permutacije lahko leksikografsko razporedimo od najmanjše do najvecje in oštevilcimo od 0 do n! - 1.
Zaradi hitrega narašcanja števila permutacij gene-riranja vseh permutacij vecje množice v praksi ne moremo izvesti, saj je permutacij hitro zelo veliko in
njihovo generiranje traja prevec casa. Pri reševanju nekaterih problemov se zato zadovoljimo s tem, da konstruiramo samo izbrane permutacije, pogosto pa nas zanima tudi konstrukcija zaporedja nakljucno izbranih permutacij.
Na spletni strani projecteuler.net/ so zbrani nekateri zanimivi matematicno racunalniški problemi v okviru Projekta Euler. Problem 24 je zastavljen takole: Poišci milijonto leksikografsko permutacijo množice {0,1, 2, 3,4, 5,6, 7,8,9}. Povedano drugace, poišci permutacijo množice {0,1, 2, 3,4, 5,6, 7,8,9} z zaporednim številom 999999 glede na leksikograf-sko ureditev.
V tem prispevku bomo opisali nacin, kako konstruiramo permutacijo z zaporednim številom i glede na leksikografsko ureditev ter algoritem, ki vrne nakljucno izbrano permutacijo. Za majhne množice bi lahko za ta namen uporabili tudi algoritem, ki ge-nerira leksikografsko zaporedje vseh permutacij ter potem vrne i-to permutacijo, kjer je i vhodni podatek ali nakljucno generirana vrednost med 0 in n! -1. Opisana rešitev pa je prostorsko zelo potratna in za vecje množice neuporabna, saj število permutacij, ki jih moramo straniti, hitro preseže velikost delovnega pomnilnika v racunalniku.
Konstruiranje i-te permutacije v leksikografski ureditvi
Kot smo pokazali v uvodnem poglavju, lahko permutacije glede na leksikografsko ureditev razvrstimo od najmanjše do najvecje oziroma jih oštevilcimo z zaporednimi števili od 0 do n! - 1. Konstrukcija i-te permutacije je osnovana na posebnem številskem sistemu, kjer posamezne števke zmnožimo s fakultetami števil od 1 do n - 1 in ga zato imenujemo faktorialni številski sistem. V faktorialnem številskem sistemu je vsako celo število i iz množice {0,1,..., n! - 1} na enolicen nacin predstavljeno kot
■ i = x1(n - 1)! + x2(n - 2)! + ... + xn-11! + xn0!,
kjer za j G {1,..., n} velja, da Xj G {0,1,...,n - j}. _^
PRESEK 46 (2018/2019) 2
27
RACUNALNIŠTVO
—^ Ker je xn = 0, lahko zadnji člen tudi izpustimo in dobimo
■	i = x1(n - 1)! + x2(n - 2)! + ... + xn-11!.
Kot primer predstavimo število 81 v faktorialnem številskem sistemu. Pretvorbo lahko opravimo na podoben način kot pretvorbo iz desetiškega v dvo-jiški številski sistem. Namesto zaporednih delitev s številom 2 v tem primeru po vrsti delimo z zaporednimi naravnimi števili 1, 2, 3,..., tako da po deljenju čeloštevilski količnik postane deljeneč na naslednjem koraku, ostanek pa predstavlja števko fakto-rialnega številskega sistema xj, za vsak j med n in 1:
■	81 = 81 ■ 1 + 0,	x5 = 0 81 = 40 ■ 2 + 1,	x4 = 1 40 = 13 ■ 3 + 1,	x3 = 1 13 = 3 ■ 4 + 1,	x2 = 1
3 = 0 ■ 5 + 3, x1 = 3
Preverimo, da velja
■	81 = 3 ■ 4! + 1 ■ 3! + 1 ■ 2! + 1 ■ 1! + 0 ■ 0! =
3 ■ 24 + 1 ■ 6 + 1 ■ 2 + 1 ■ 1.
Algoritem, ki pretvori naravno število v števke fak-torialnega številskega sistema x1,x2,..., xn, prepuščamo za vajo bralču.
Najmanjši permutačiji (1, 2,...,n) v leksikograf-ski ureditvi ustreza število 0, ki je v opisanem številskem sistemu predstavljeno s števkami x1 = x2 = ... = xn = 0. Značilnost najmanjše permutačije je, da je na j-tem mestu permutačije vedno število j oziroma aj = j. To tudi pomeni, da desno od števila aj ni nobenega števila, ki bi bilo manjše od aj. V splošnem za poljubno permutačijo (a1, ...,an) velja, da je pripadajoča števka faktorialnega številskega sistema xj enaka številu elementov manjših od aj, ki so v permutačiji desno od števila aj.
Ker je v permutačiji (4, 2, 3,1, 5) element 4 na prvem mestu, so desno od njega trije manjši elementi in dobimo x1 = 3. Na podoben način dobimo še druge vrednosti xj, ki so prikazane v levem delu tabele 1. Na podlagi števk xj lahko izračunamo zaporedno število permutačije (4, 2, 3,1, 5):
■	3 ■ 4! + 1 ■ 3! + 1 ■ 2! + 0 ■ 1! + 0 ■ 0! = 80.
Poskusimo še ugotoviti, katera je permutačija mno-žiče {1, 2, 3,4, 5} z zaporednim številom 81. Kot smo že izračunali, velja x5 = 0, x4 = x3 = x2 = 1 in x1 = 3. Ker je x1 = 3, morajo biti desno od a1 tri števila manjša od a1, iz česar sledi, da je a1 četrti najmanjši element množiče {1, 2, 3,4, 5} oziroma a1 = 4. Podobno, ker je x2 = 1, je a2 drugi najmanjši element množiče {1, 2, 3, 5}, torej a2 = 2. Zaradi x3 = x4 = 1 dobimo a3 = 3 in a4 = 5. Ko vstavimo v permutačijo prve štiri vrednosti, ostane množiča z elementom 1, zato je a5 = 1.
Vrednosti x1,x2 ,x3,x4,x5 za permutačiji (4, 2, 3,1, 5) in (4, 2, 3, 5,1) so prikazane v tabeli 1.
x1	x2	x3	x4	x5	x1	x2	x3	x4	x5
									
3	1	1	0	0	3	1	1	1	0
TABELA 1.
Vrednosti xj za permutacijo (4, 2, 3,1, 5) (levo) in (4, 2, 3, 5,1) (desno)
Na podlagi zapisanega bi lahko zapisali algoritem, ki najprej pretvori vhodni podatek i v števke faktori-alnega številskega sistema x1, x2,..., xn in nato poišče pripadajočo permutačijo. Algoritem lahko poenostavimo, saj se izkaže, da ni potrebno shranjevati števk faktorialnega številskega sistema. V ta namen je potrebno pretvorbo v faktorialni številski sistem spremeniti tako, da izračun poteka v obratni smeri: od prve števke x1 do zadnje xn.
Postopek spet pojasnimo za primer i = 81. Najprej 81 delimo s 4!. Dobimo količnik 3, ki je enak vrednosti x1. Na naslednjem koraku ostanek pri prejšnjem deljenju delimo s 3!, da dobimo x2. Nato postopek nadaljujemo še za x3 in x4. Kot vemo, vedno velja x5 = 0, zato lahko zadnji izračun izpustimo:
81	= 3	■4! + 9,	x1	= 3
9	= 1	■3! + 3,	x2	= 1
3	= 1	■2! + 1,	x3	= 1
1	= 1	■ 1! + 0,	x4	= 1
Algoritem Vrni permutačijo (Algoritem 1) vrne i-to najmanjšo permutačijo množiče {1, 2,...,n} glede na leksikografsko ureditev. V zanki algoritem za vrednost spremenljivke j med 1 in n - 1 izračuna element permutačije aj. Pri tem si pomaga z množičo
28
PRESEK 46 (2018/2019) 2	28
RACUNALNIŠTVO
E, v kateri imamo elemente množice {1, 2,...,n}, ki še niso bili uporabljeni za konstrukcijo permutacije. Na začetku seveda velja E = {1, 2,...,n}. Algoritem spremenljivki % v j-ti ponovitvi zanke priredi vrednost Xj. Kot smo že pojasnili, je aj enak (xj + 1). neporabljenemu elementu množice {1, 2,...,n}, kar ustreza (xj +1). elementu množice E, saj po vstavitvi v permutacijo element aj odstranimo iz E.
Algoritem 1: Vrni permutacijo
1	Vhod: Naravno število n in nenegativno celo
število i
2	Izhod: (a1 , a2, ■■■, an), i-ta permutacija
množice {1, 2, ...,n} glede na leksikografsko ureditev
3	E := {1, 2,...,n}\
4	for j := 1 to n - 1 do
x := L nj! J;
i := i mod (n - j)!;
aj := (x + 1). najmanjši element iz E;
E := E \ {aj}; 9 an := element iz E;
Ce želimo izračunati permutacijo množice, ki ni enaka {1, 2,... ,n}, je potrebno ustrezno spremeniti začetno vrednost spremenljivke E. Za rešitev problema 24 bi tako določili E := {0,1, 2, 3,4, 5,6, 7,8,9} ter poklicali algoritem Vrni permutacijo za vhodna podatka i = 999999 in n = 10.
Konstruiranje naključno izbrane permutacije
V tem razdelku bomo pojasnili, kako zapišemo algoritem, ki vrne naključno permutacijo množice {1, 2,...,n}. Glede na prejšnji razdelek se enostavna rešitev ponuja kar sama: na naključen način izberemo število i med 0 in n! - 1 ter nato uporabimo algoritem Vrni permutacijo (Algoritem 1), ki poišče i-to permutacijo v leksikografski ureditvi.
Opisana rešitev je sicer res enostavna, a je primerna le za manjše množice. Na začetku prispevka smo zapisali vrednost 20!, ki je število s kar 20 štev-kami, kar že presega največje celo število, ki ga imamo običajno na voljo v programskem jeziku. Potrebno je torej poiskati algoritem, ki bo deloval tudi za množice z večjim številom elementov.
Poglejmo najprej, kako bi lahko skonstruirali per-mutacijo množice {1, 2,...,n}.
Ce začnemo od desne proti levi, velja:
■	an lahko izberemo na n načinov (izbiramo iz {1, 2,..., n});
■	an-1 lahko izberemo na n - 1 načinov (izbiramo iz {1,2,...,n} \ {an});
■	an-2 lahko izberemo na n - 2 načinov (izbiramo
iz {1, 2,...,n} \ {an, an-1});
■	: ;
■ »
■ a2 lahko izberemo na 2 načina.
Zgornjo konstrukcijo uporabimo v algoritmu naključna permutacija (Algoritem 2). Algoritem vrne naključno izbrano permutacijo, ki jo zgradi iz najmanjše permutacije leksikografske ureditve a = (1, 2, ...,n), določene v prvi zanki algoritma. V drugi zanki spremenljivka j teče od n do 2. Na j-tem koraku zanke algoritem v spremenljivko i shrani naključno število iz množice {1, 2,...,j} in nato zamenja i-ti in j-ti element permutacije a.
Algoritem 2: naključna permutacija
1	Vhod: Naravno število n
2	Izhod: naključno izbrana permutacija
(a1,..., an) množice {1, 2,..., n}
3	for j := 1 to n do
4	|_ aj :=j
5	for j := n downto 2 do
6	i := naključno celo število med 1 in j;
7	zamenjaj^, aj);
j	i	a\	a.2	a3	0,4	as	
		1	2	3	4	5	
5	1	5	2	3	4	1	
	1	4	2	3	5	1	
3	3	4	2	3	5	1	
2	2	4	2	3	5	1	
TABELA 2.
Delovanje algoritma naključna permutacija za n = 5

PRESEK 46 (2018/2019) 2
29
RAZVEDRILO
V tabeli 2 je prikazano delovanje algoritma naključna permutacija za n = 5, če so spremenljivki i prirejene zaporedne naključne vrednosti 1, 1, 3 in 2.
Literatura
[1]	A. Bacher, O. Bodini, H. Hwang in T. Tsai, Generating Random Permutations by Coin Tossing: Classical Algorithms, New Analysis and Modern Implementation, ACM Transactions on Algorithms, 13, 1-43, 2017.
[2]	A. Vesel, Nekaj algoritmov za generiranje per-mutacij, Presek, 44 (2016/2017) 26-29.
[3]	M. A. Weiss, Data Structures and Algorithm Analysis, Benjamin-Cummings Pub Co, 1991.
XXX
nU NU NU
RES ITEV NAGRADNE KRlS ANKE
presek 45/6
-> Pravilna rešitev nagradne križanke iz šeste številke Preseka je Višinski kot. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Rok Strah iz Ljubljane, Marijana Marinšek iz Celja in Marko Kubale iz Rogaške Slatine, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti.
_ XXX
30
PRESEK 46 (2018/2019)1	30
RAZVEDRILO
Disperzija
Vp Vp
Aleš Mohorič
-> Slika na naslovnici je povečava dela vodne gladine s slike 1. Plastenka vode stoji na mizi s temno, luknjasto ploščo.
Luknje so osvetljene od spodaj in tvorijo kontrasten vzorec, v katerem svetlo preide v temno na kratki razdalji. Skozi valjasto plastenko so luknje videti razpotegnjene v vodoravni smeri, pravokotno na geometrijsko os plastenke. Plastenka deluje kot cilindrična leca. Rob lukenj ni obarvan, je tak kot rob lukenj, ki jih vidimo neposredno. Luknje vidimo tudi skozi gladino vode v plastenki. Te luknje imajo izrazito obarvan rob, kot vidimo na fotografiji z naslovnice.
Kako pojasnimo ta pojav? Svetloba se na meji med prozornima snovema lomi tako, da je razmerje sinusov vpadnega kota a in lomnega kota ¡3 enako razmerju lomnih količnikov lomne in vpadne snovi: sna = Lomni količnik snovi je količnik hitrosti svetlobe v praznem prostoru in hitrosti svetlobe v snovi. Plastična stena posode pri lomu ne igra pomembne vloge, ker so njene stene enakomerno debele in tanke. Disperzija ali razklon je pojav, da je hitrost svetlobe v snovi odvisna od valovne dolžine svetlobe. V vodi je lomni količnik za vijolično sve-
tlobo z valovno dolžino 400 nm enak 1,339. Manjša se približno sorazmerno z valovno dolžino in je za rdečo svetlobo z valovno dolžino 700 nm enak 1,331. Disperzija povzroči, da se vzporedni žarki svetlobe z različnimi valovnimi dolžinami lomijo v snov pod različnimi koti. Ce na mejo vpade čurek bele svetlobe, se v snovi razkloni v mavrični šop žarkov.
Zakaj potem ne vidimo mavrič kjerkoli pogledamo skozi vodo? Svetloba se vidno razkloni le, če vpada pod dovolj velikim kotom. Curek svetlobe mora biti vsaj na eni strani zaslonjen, sičer se barve zlijejo med seboj. To kažeta primera na sliki 2. Skiča kaže ravnino, ki vsebuje geometrijsko os navpične valja-ste plastenke na vodoravni podlagi in oči opazovalča desno od posode. Narisani so le tisti žarki iz površine, ki vodijo do očesa. Žarki se na navpični steni posode zlomijo proti vpadni pravokotniči, modri bolj kot rdeči. Na levi skiči je podlage bela in snop žarkov bele svetlobe se razkloni v šope mavričnih barv. Te barve se po lomu zlijejo nazaj v belo. Na desni skiči opišimo najprej žarek iz dela podlage bližje plastenki. Ta se najprej lomi, kot prej opisano, nato pa se zlomi še na nasprotnem navpičnem robu plastenke. Žarki modre in rdeče svetlobe so vzporedni. Pojav razklona je manj izrazit. Žarki iz bolj oddaljenega dela podlage izstopijo iz vode na vodoravni gladini, kjer se ponovno lomijo, tokrat stran od vpadne pravokotniče, spet modri bolj kot rdeči. Zato nastane iz žarka bele svetlobe divergentni šop žarkov različnih barv. Na desni skiči je vmes med belima ploskvičama temna ploskev, iz katere svetloba ne izhaja (ponazorjeno s črnim žarkom). Po razklonu se barve v omejenem območju okoli roba med svetlo in temno ploskvijo ne zlijejo. Od zgoraj se v temni rob prelije modra, od spodaj pa rdeča svetloba in zato vidimo robove svetlih ploskev obarvane.
SLIKA 1.
Plastenka z vodo na mizi s kontrastnim vzorcem.
SLIKA 2.
XXX
PRESEK 46 (2018/2019)1
31
Matematični kenguru
Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizačija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroči in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo več kot 6 milijonov tekmovalčev iz več kot 60 držav sveta. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente.
Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv.
MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU
2005-2008
MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU
2012-2016
18,74 EUR
14,50 EUR
23,00 EUR
Pri DMFA-založništvo je v Presekovi knjižniči izšlo že pet knjig Matematičnega kenguruja. Na zalogi so še:
•	Mednarodni matematični kenguru 2005-2008,
•	Mednarodni matematični kenguru 2009-2011,
•	Mednarodni matematični kenguru 2012-2016.
Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite:
http://www.dmfa-za1ozni stvo.si/
Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu starejših zbirk nalog pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga!