!n umveickelW KHiniis v - - - - ' '' „ c-Ä neuen österreichischen Waße und Hewichte und das Nechnen mit denselben. Mit besouderer Rücksicht aus die Schule dargestellt von <^> ' _ 3338 - 100V0' Eine Zahl, welche Ganze und Dezimalen, oder auch bloß Dezimalen enthält, heißt eine Dezimalzahl oder ein Dezi¬ ar a lbruch. Eine Dezimalzahl wird gelesen, indem man zuerst die Ganzen, und dann entweder jede einzelne Dezimale mit oder ohne Angabe ihres Stellenwertes, oder alle Dezimalen mit ihrem Gesammtwerte ausspricht. 12 Z. B 43'569 wird gelesen : 43 Ganze, 5 Zehntel, 6 Hundertel, 9 Tauscndtel; oder: 43 Ganze mit den Dezimalen 5, 6, 9; oder endlich: 43 Ganze, 569 Tauscndtel. Die zweite Leseweise wird am häufigsten angcwendet. Eine Dezimalzahl wird angeschrieben, indem man zuerst die Ganzen anschreibt, dann den Dezimalpunkt, und nach diesem die einzelnen Dezimalen nach der Ordnung ihres Stellen¬ wertes setzt. Fehlen die Ganzen oder einzelne Dezimalen, so werden sie durch Nullen ersetzt. Z. B. 48 Ganze, 5 Hundertel, 3 Zehntausendtel schreibt man an: 18 0503. 7 Zehntel wird angeschrieben: 0'7. Der Wert einer Dezimalzahl wird nicht geändert, wenn man ihr eine oder mehrere Nullen vorsetzt oder anhängt, weil dabei die einzelnen Ziffern ihren früheren Stellenwert beibe¬ halten. Z. B. 3'24 — 03-24 003'24 — 3-240 3'24000. III. Das französische metrische System. So wie man bei der Bildung unbenannter Zahlen von der Einheit ausgeht, um mit derselben zu zählen, so muß man auch bei den Maßen und Gewichten bestimmte Grundeinheiten annehmen, nach denen gemessen und gewogen wird. Im französischen metrischen Systeme wurden folgende Grundeinheiten angenommen: Die Grundeinheit des Längenmaßes ist das Meter. Die Einheit für die F lä ch en maße bildet das Quadrat¬ meter d. i. ein Quadrat, dessen Seite 1 Meter ist. 13 Als Grundeinheit des Bodenflächenmaßes wählte man ein Quadrat, dessen Seite 10 Meter beträgt; man nannte es Ar (von dem lateinischen arau, Platz oder Fläche). Als Einheit für die Körpermaße gilt das Kubik¬ meter d. i. ein Würfel, dessen Kante 1 Meter lang ist. Die Grundeinheit des Hohlmaßes ist das Liter d. i. der Inhalt eines hohlen Würfels von Meter Kantcnlänge. (Liter ist die Bezeichnung eines griechischen Maßes.) Als Grundlage des Gewichtes nahm man das Gramm (Name eines griechischen Gewichtes) an, d. i. das Gewicht des in einem hohlen Würfel von Meter Kantenlänge enthalte¬ nen reinen Wassers im luftleeren Raume bei 4 Grad Wärme des lOOtheiligen Thermometers. Das Ster — 1 Kubikmeter als Holzmaß können wir übergehen, da dasselbe für die neue österreichische Maß- und Gewichtsordnung keine Bedeutung hat. Da überdieß das Qua¬ dratmeter und das Kubikmeter als Quadrat und Würfel über der Längeneinheit nach dieser selbst benannt werden, so ergeben sich zur Bezeichnung der Grundeinheiten des metrischen Systems vier verschiedene Namen: Meter, Ar, Liter und Gramm. Insofern es aber Gegenstände gibt, deren Maß oder Ge¬ wicht weit größer oder weit kleiner ist als die Grundeinheit, liegt es nahe, dass man zur Herstellung größerer Maße und Gewichte die Grundeinheiten vervielfachte und zur Herstel¬ lung kleinerer Maße und Gewichte die Grundeinheiten theilte. Dieß geschah schon bei den alten Maßsystemen. So war z. B. der Fuß die Einheit des Längenmaßes; für die Verviel¬ fachung hatte man die Klafter 6 Fuß und die Meile — 24000 Fuß; für die Theilung den Zoll — Fuß und die Linie — Fuß. Die Einheit des Gewichtes war das Pfund; als Vielfaches diente der Zentner — 100 Pfund, als llnter- theilung das Loth — Pfund. 14 So geschieht es auch bei den metrischen Maßen. Während jedoch bei den alten Maßen und Gewichten die Vervielfachungs¬ und Theilungszahlen in keinem natürlichen Zusammenhänge und für das Rechnen meistens sehr unbequem waren, bietet das metrische System für die leichtere Auffassung und Rechnung den nicht zu unterschätzenden Vortheil, dass sowohl die Viel¬ fachen als die Untertheilungen nach dem Dezimalsysteme auf¬ gebaut find. Alle Vielfachen stellen sich als lOfache, 100- fache, lOOOfache oder lOOOOfache, alle Untertheilungen als lOtel, lOOstel, oder lOOOstel der Grundeinheiten heraus. Diese Viel¬ fachen und Theile bekommen ferner nicht, wie in den alten Systemen, besondere Eigennamen, sondern sie behalten den Na¬ men der Grundeinheit, welchem zu näheren Bestimmung gewisse Wörter vorgesetzt werden, die mau, damit sie für alle Völker gleich bleiben, aus der griechischen und lateinischen Sprache ent¬ lehnt hat. Die Vielfachen sowohl des Meters als der darauf be¬ ruhenden Flächen-, Körper- und Gcwichtsmaße benennt man dadurch, dass man dem Namen der Grundeinheit die griechisch en Zahl¬ wörter mit der Endung a oder o, und zwar: Deka für das lOfache, Hekto „ „ lOOfache, Kil o „ „ lOOOfache und Myria „ „ lOOOOfache vorsetzt. Die Untertheilungen werden durch Vorsetzen lateinischer Zahlwörter mit der Endung auf i bezeichnet und zwar durch Deci für den lOten Theil, Centi „ „ lOOsten „ Milli „ „ lOOOsten,, Es wird sonach z. B. das lOOOfache des Meters durch Kilometer, das lOOOfache des Gramms durch Kilogramm, 15 der lOOOste Theil des Meters durch Millimeter, der lOOOste Theil des Gramms durch Milligramm ausgedrückt. Der innige Zusammenhang des metrischen Systems mit unserem Zahlensysteme ist nun aus der folgenden Zusammen¬ stellung klar zu ersehen: D e z i m a l s y st e m. Ganze Ls Ls Einheit Dezimalen Ls Vi Metrisches System. NON Wörter als Vorsatzwörter genügen, um durch entsprechende Zu¬ sammensetzungen alle Maßglieder des metrischen Systems unzwei¬ deutig zu benennen. Die Zusammensetzungen selbst sind so finnig und so einfach, dass 'sie durch Anklingen an zwei zu Grunde gelegte Begriffe sofort die Vorstellung der zu benen¬ nenden Maßgröße mit voller Bestimmtheit Hervorrufen. Nachdem hier das metrische System in seinen allgemeinen Grundzügen dargestellt wurde, wollen wir nunmehr die Einzeln- heiten desselben vorführen. 16 a. Längenmaße. Die'Grundeinheit ist das Meter (m). Maßglieder: 1 Myriameter (^m) — 10000 Meter 1 Kilometer (Sm) — löoo 1 Hektometer (Sm) — 100 „ I Dekameter (vm) — 10 „ 1 Meter (m) — 1 „ 1 Decimeter (äm) — 1 Centimeter («>») — , 1 Millimeter (mm) — '„.'«g „ Man hat also: 1 Lim — 10 ^m — 100 Sm — 1000 Sm — 10000 m, 1 Lm — 10 Sm — 100 vm — 1000 m, 1 Ilm — 10 Dm — 100 m^ 1 Dm — 10 m- 1 m — 10 äm — 100 cm — 1000 mm^ 1 äm — 10 em — 100 mm 1 cm — 10 mm. Jede Maßgröße aus der Stufenleiter der Längenmaße enthält 10 Einheiten der nächstniedrigeren Maßgröße. d. Flächenmaße. Als Flächenmaße dienen allgemein Quadrate, deren Seiten den Längeneinheiten gleich find. Ein Quadrat, dessen Seite 1 Meter lang ist, heißt ein Quadratmeter (^m). Theilt man jede Seite eines Quadratmeters in 10 gleiche Theile und verbindet die gegenüberliegenden Theilungspunkte durch gerade Linien, so entstehen 100 Quadrate, deren jedes ein Decimeter zur Seite hat, also ein Quadratdccimeter (H^m^ ist; 1 s^m hat demnach 100 s^m. Verfährt man auf ähnliche Art mit dem Quadratdeci meter, so erhält man 100 Quadratcentimeter lHßm), und eben so ergibt sich 1 s^cm — 100 s^mm. 17 In gleicher Weise findet man auch, dass 1 Li-u — s 100 1 100s^8m 1 iOO Hjvill und 1 s^vM — 100 Hjn Jede Maßgröße aus der Stufenleiter der Flächenmaße hat also 100 Einheiten der nächstniedrigeren Maßgröße. Die Grundeinheit des Bodenflächenmaßes bildet das Ar (a), d. i. ein Quadrat, dessen Seite 10 Meter oder 1 Dekameter lang ist; 1 Ar ist also gleich t oder 100 m. Maßglieder: 1 Myriar i hach ist, so fasst es 10 solche Schichten von je 100 Kubikdecimeter, daher im ganzen 1000 Kubikdecimeter; also 1 — 1000 Xli-l-n Ebenso folgt, dass 1 — 1000 1 xpem — 1000 XIMM, dass ferner 1 XMrn 1000 Xb^ur, Neue österr. Maße und Gewichte. 2 18 1 Lb^ — 1000 LbRw , 1 Lb»-u — looo Lt>v-n und 1 Lbvm — 1000 Lb-^ ist. Jede Maßgröße aus der Stufenleiter der allgemeinen Körpermaße enthält also 1000 Einheiten der nächstniedrige- ren Maßgröße. Die Grundeinheit des Hohlmaßes bildet das Liter(I), welches rinem Kubikdecimeter gleich ist. Maßglieder: 1 Kiloliter (LI) — 1000 Liter 1 Hektoliter (LI) — 100 „ 1 Dekaliter (VI) — 10 „ 1 Liter (I) — 1 , — 1 LbSm 1 Deciliter (äl) — '/,o „ 1 Centiliter (ol) — „ c 1 Milliliter (wl) — Vl«»,, „ Wir erhalten demnach folgende Zusammenstellung: 1 LI — 10 LI — 100 VI — 1000 I, 1 LI — 10 VI 100 st 1 VI 10 I; 1 I 10 äl^ 100 al 1000 mst 1 äl — 10 ei — 100 wl. 1 al — 10 ml. ä. Gewichte. Die Gewichte wurden aus den Körpermaßen hergeleitet. Die Grundeinheit der Gewichte ist das Gramm (§) d. i. das Gewicht eines Kubikcentimeters destillierten Wassers im Zustande der größten Dichtigkeit. Da jedoch eine so kleine Wassermenge, wie sie ein Kubik- centimeter fasst, nicht leicht genau gemessen und gewogen werden kann.füllte man, um das Urgewicht zu bestimmen, das lOOOfache dieses Rauminhaltes d. i. ein Kubikdecimeter mit reinem Wasser im Zustande seiner größten Dichtigkeit, welche bei 4 Grad Wärme des lOOtheiligen Thermometers vorhanden ist, und wog dasselbe im luftleeren Raume ab. Das so gefundene Gewicht 19 war das lOOOfache eines Gramms, also ein Kilogramm. Ein solches llrgewicht (Lilosramme Prototyps) wurde mit der größten Genauigkeit und Schärfe aus Platin angefertigt und im Reichsarchiv zu Paris aufbewart. Maßglieder: 1 Myriagramm (Ns) — 10000 Gramm 1 Kilogramm (Ls) — 1000 1 Hektogramm (8s) — 100 „ 1 Dekagramm (Vs) — 10 „ 1 Gramm (s) — 1 1 Decigramm (ä§) — V,o 1 Centigramm (o§) — V,o» „ 1 Milligramm (ms) — Vivoo „ Es ist also: 1 — 10 Lx 100 8s --- 1000 vg- 10000 s, 1 Ls -- 10 8s 100 Vs 1000 s, 1 8s — 10 Vs — 100 s, 1 Vs — 10 s; 1 s — 10 äs — 100 «s — 1000 ms, 1 äs — 10 6K — 100 ms, 1 6A " 10 mZ. Aus allen diesen Bestinimungen geht hervor, dass das metrische System, welches aus der Grundeinheit des Längen¬ maßes das Flächen- und Körpermaß, und aus letzterem das Gewicht herleitet, ein in allen seinen Theilen nach einfachen Verhältnissen zusammenhängendes und in sich selbst abge¬ schlossenes Ganzes bildet. Die nicht zu verkennenden Vorzüge, durch welche sich das in Frankreich eingeführte metrische System in Beziehung auf die Einfachheit seiner Gliederung, auf die Leichtigkeit seiner Anwendung in Wissenschaft, Handel und Gewerbe und auf seine Bequemlichkeit für das Rechnen auszeichnet, sowie die großen Vortheile, welche ein einheitliches Maß- und Gewichts¬ system für den internazionalen Verkehr hat, bestimmten sehr 2* 20 bald auch andere Staaten, sich dem metrischen Systeme anzu¬ schließen. Dasselbe wurde bisher in Holland, Belgien, Griechen¬ land, Italien, Spanien, Portugal, Rumänien, in den Staaten des norddeutschen Bundes, in der Türkei, sowie in mehreren außereuropäischen Ländern eingeführt, und ist nun auch in Österreich zur Annahme gelangt. Hoffen wir, dass der Zeit¬ punkt nicht mehr fern sei, wo dieses System von allen Nazionen angenommen, also ein internazionales sein wird. IV. Die neue österreichische Mast- und Gewichts¬ ordnung. Durch das Gesetz vom 27. Juli 1871 wurde auch für Österreich eine neue Maß- und Gewichtsordnung festgestellt, die sich auf das französische metrische System gründet und von demselben nur dadurch unterscheidet, dass jene Maßglieder des französischen Systems, welche für das praktische Leben und für die Zwecke der Wissenschaft entbehrlich erscheinen, in unsere Maß- und Gewichtsordnung nicht ausgenommen wurden, und dass in dieser bei den Gewichten das für die Praxis wich¬ tigste Glied, das Kilogramm, die Einheit bildet. Hier folgen die wesentlichen Bestimmungen dieses Gesetzes mit Rückblicken aus die bisherigen Maße und Gewichte. Z.. Längenmaße. Die Einheit des Längenmaßes, zugleich die Grund¬ lage aller neuen Maße und Gewichte, ist das Meter. Als Urmaß gilt derjenige Glasstab, welcher sich im Besitze der k. k. Regierung befindet, und in der Achse seiner sfärischen Enden gemessen, bei der Temperatur des schmelzenden Eises gleich 999'99764 Millimeter des in dem französischen Staats¬ archive zu Paris deponierten Alster prototipe befunden worden ist. 21 Vielfache: das Myriameter — 10000 Meter, das Kilometer — 1000 „ . Untertheilungen: das Decimeter — Vi» Meter, das Centimeter — '/«m , das Millimeter — Vwu„ „ . Es ist demnach 1 Meter — 10 Decim. — 100 Centim. — 1000 Millim. 1 Decim. — 10 Centim. — 100 Millim. 1 Centim. — 10 Millim. Bisher hatten wir: als Werkmaß den Wiener Fuß L 12 Zoll a 12 Linien, und die Wiener Klafter — 6 Fuß; als Schnittwarenmaß die Wiener Elle — 2'46 Fuß; und als Wegmaß die österr. Meile — 4000 W. Klafter. Außerdem bestanden noch als besondere Maße das Rekru¬ tenmaß und das Pferdemaß. An die Stelle aller dieser verschiedenen Maße tritt nun ein einziges Längenmaß, das Meter mit seinen dezimalen Untertheilungen und Vielfachen. Das Kilometer und Myria¬ meter werden vorzugsweise als Weg- und Meilenmaß dienen- L. Flächenmaße. a) Die allgemeinenFlächenmaße sind die Quadrate der Längenmaße mit folgender Eintheilnng: 1 100 süi<-" — I0M0U00 1 — 1000000 Hs-.> 1 — 100-iM — 1000.0 — 1000000 1 — lOO — 10000 1 — 100 b) Die Einheit des neuen Bodenflächenmaßes ist das Ar — 100 Meter. Das Ar ist also ein Quadrat, dessen Seite 10 Meter Länge hat. 22 Vielfaches: das Hektar — 100 Ar — 10000 ist demnach — 10000 Hektar. Die bisherigen Flächenmaßewaren die s^f Klafter — 36sssfFuß L 144 m Zoll ä, 144 Hf Linien. Als Feldmaß diente das niederösterreichische Joch — 1600 Klafter. 1 österr. Meile — 10000 Joch. Während in dem bisherigen Feldmaße für den beträcht¬ lichen Abstand zwischen Joch und O Klafter kein Mittelglied bestand, werden künftig das Hektar, Ar und Meter eine ebenso einfache als praktisch bequeme Stufenleiter für die Bodenflächenmaße bilden. 0. Körpermaße. a) Die allgemeinen Körpermaße sind die Würfel der Längenmaße mit folgender Eintheilung: 1 LP--- 1000 Lba-n — 1000000 Lb ----- 1000000000 Ll> ------ ILpam— 1000 1000000 Ub------ ILb------ 1000 lvd b) Die Einheit des neuen Hohlmaßes ist das Liter — 1 Kubikdecimeter. Vielfaches: das Hektoliter — 100 Liter. Untertheilungen: das Deciliter — Vi« Liter, das Centiliter— V>«> „ . Es ist demnach 1 Hektol. — 100 Liter — 1000 Decil. — 10000 Centil. 1 Liter — 10 Decil. — 100 Centil. 1 Decil. — 10 Centil. Neben der dezimalen Untertheilung werden im gemeinen Verkehr auch noch das halbe Hektoliter — 50 Liter und halbe, Viertel, Achtel, Sechzehntel und Zweiunddreißigstel Liter ver¬ wendet werden. Die bisherigen Körpermaße waren die Kubikklafter — 216 Kubikfuß L 1728 Kubikzoll a 1728 Kubiklinien. 23 Das Hohlmaß war zweierlei; als Getraidemaß diente der n. ö. Metzen von 1'9471 Kubikfuß, als Flüssigkeits¬ maß der n. ö. Eimer von 1'792 Kubikfnß — 40 Maß L 4 Seidel. Künftighin wird für trockene und flüssige Gegenstände nur ein Maß, das Litermaß, bestehen. Während ferner der bisherige Metzen und Eimer zu dem allgemeinen Körpermaße, dem Kubikfuß, in Verhältnissen standen, die dem Gedächtnisse nur schwer einzuprägen sind, wird als neues gemeinschaftliches Hohlmaß ein Maßglied der allgemeinen Körpermaße selbst, das Kubikdecimeter, unter dem besonderen Namen Liter benützt. I). Gewichte. Die Einheit des neuen Gewichtes bildet das Kilo¬ gramm, welches gleich ist dem Gewichte eines Kubikdecimeters destillierten Wassers im luftleeren Raum bei 4 Grad Wärme des lOOtheiligen Thermometers. Als Urgewicht gilt das im Besitze der k. k. Regierung befindliche Kilogramm aus Bergkristall, welches im luftleeren Raume gleich 999997'8 Milligramm des in dem französischen Staatsarchive zu Paris aufbewarten KiloKramme Prototyps befunden worden ist. Vielfaches: die Tonne — 1000 Kilogramm. Untertheilungen: das Dekagramm — ^«» Kilogramm, das Gramm — Vinvo „ das Decigramm — Vw»«» „ , das Centigramm — '/«moo» „ , das Milligramm— Vw»»«»» „ Es ist demnach 1 Kilogramm — 100 Dekagr. — 1000 Gramm, 1 Dekagr. — 10 Gramm. 1 Gramm — 10 Decigr. — 100 Centigr. — 1000 Milligr., 1 Decigr. — 10 Centigr. — 100 Milligr., 1 Centigr. — 10 Milligr. 24 Bisher hatten wir folgende Gewichte: Das Handelsgewicht: 1 Wiener Zentner — 400 Wiener Pfund L 32 Loth L 4 Quentchen. Das Zollgewicht: IZollpfnnd — ^Kilogramm; das Zollpfund a 30 P o st l o th wird auch bei Postsendungen angewendet. Das Apotheker gewicht: 1 Apothekerpfund — 24 Loth des Handelsgewichtes. Das Gold- und Silbergc wicht: 1 Wiener Mark — 65536 Richtpfennige. Das Jnwelengewicht: 1 Karat — 48^ Wiener Richtpfennige. Statt dieser verschiedenen Gewichte, die unter einander in einem losen, schwer aufzufassenden, mit den Maßen aber in gar keinem Zusammenhänge stehen, werden wir in Hinkunft ein einziges Gewicht haben, das Kilogramm mit. seinem Vielfachen und seinen Untertheilungen. Überdieß steht das neue Gewicht zu dem neuen Körpermaße in einer innigen und sehr einfachen Beziehung, da die Tonne das Gewicht eines Kubik¬ meters Wasser, das Kilogramm das Gewicht eines Kubikdeci- meters Wasser, das Gramm endlich das Gewicht eines Kubikcen- timeters Wasser ist. V. Uorthettc der neuen Maß- und Genrichtsordmurg. Wie jede weitgreifende Neuerung, wird auch der Über¬ gang von der altgewohnten, alle Einrichtungen und Verhält¬ nisse berührenden Maß- und Gewichtsordnung zu der neuen unvermeidlich mit vielseitigen Schwierigkeiten verbunden sein, die jedoch durch die großen und zahlreichen Vortheile des neuen Systems weitaus ausgewogen werden. Die neue Maß- und Gewichtsordnung setzt uns mit den bedeutendsten Völkern Europa's in Übereinstimmung, was für unsere Handelsbeziehungen nur von dem wohlthätigsten Einflüsse 25 sei» kann. So lange der Verkehr mit anderen Nazionen in seiner Kindheit war, wurden auch die Nachtheile, welche die Verschiedenheit in Maß und Gewicht im Gefolge hatte, minder empfunden. Nachdem jedoch in den letzten Dezennien durch die Schienenwege und Telegrafendräte die verschiedensten Nazionen in nahe Berührung gebracht wurden und der Verkehr zwischen denselben einen früher nicht geahnten Aufschwung nahm, erscheint eine Übereinstimmung in dem Maßwesen von unbe¬ rechenbarem Dortheile. Aber auch an und für sich hat das neue Maß- und Gewichtssystem so unverkennbare Vorzüge, dass dessen Einführung als ein großartiger Fortschritt bezeichnet werden muß. Wir haben schon oben beider Erklärung des französischen metri¬ schen Systems Gelegenheit gehabt, die einfache Gliederung und den leicht zu überblickenden Zusammenhang der einzelnen Maßgrößen hervorzuheben. Die Vielfachen und Unterabtheilungen derselben genügen vollkommen, um die größten Messungen bis zu den kleinsten herab mit einer Leichtigkeit und Genauigkeit auszuführen, wie es durch die alten Maße nicht möglich ist. Die Eignung der neuen Maße für den praktischen Gebrauch lässt nichts zu wünschen übrig. Das Meter erscheint zwar im Vergleiche zu dem Fuße als Längenmaß etwas groß, ist aber dessen ungeachtet für wirkliche Messungen besonders praktisch Schon bisher haben unsere Handwerker die Ausdehnungen in der Regel nicht mit einem Maßstabe von l Fuß Länge gemessen, sondern sich meistens eines Wzölligen Maßstabes, der eben dem Meter sehr nahe kommt, bedient. Als Schnittwarenmaß ist das Meter mindestens ebenso handsam als die bisherige Elle. Auch die Untertheilungen des Meters haben eine für die Praxis sehr zweckmäßige Größe. Bei der Abmessung von Bau¬ hölzern z. B. reichte man mit dem Zoll allein nicht aus, es mußten zur genaueren Bestimmung noch Bruchtheile desselben mit hinzugenommen werden; mit dem Centimeter wird man künslighin in solchen Fällen ohne Beiziehung von Brüchen voll- 26 kommen ausreichen. Ebenso zweckmäßig für die praktische Anwen¬ dung stellen sich die neuen Flächen-, Körper- und Gewichts¬ maße heraus. Auch die Vereinfachung, die daraus entspringt,'dass wir statt der vielerlei Längen-, Hohlmaße und Gewichte, die dazu gar nicht oder nur schwerfällig zusammenhängen, künftighin nur ein einziges Längenmaß, ein einziges Hohlmaß und ein einziges Gewicht haben werden, ist nicht gering anzuschlagen. Ein großer Vorzug liegt ferner in der Bezeichnungsweise der neuen Maße und Gewichte. Durch den innigen Zusammen¬ hang der vier Hauptarten von Maßeinheiten mit dem Grund¬ maße wird eine solche Einfachheit in das ganze System gebracht, dass für das volle Verständnis desselben nur 11 Wörter nöthig sind, während die bisherigen Maße und Gewichte 28 ver¬ schiedene, nichtzusammenhängende Grundeinheiten und mindestens doppelt so viele verschiedene Bezeichnungen enthalten. Der weitere Umstand, dass die neuen Bezeichnungen aus todten Sprachen entlehnt sind, wodurch das neue System allen gebildeten Völkern zugänglich gemacht wird, ist insbesondere für Österreich bei der Verschiedenheit der Sprachen in den einzelnen Königreichen und Ländern von großer Wichtigkeit, indem man dadurch der Noth- wendigkeit überhoben wird, entweder diese Benennungen in jede einzelne Sprache zu übersetzen oder durch Annahme von Wörtern aus einer anderen lebenden Sprache das Nazionalgefühl zu verletzen. Der größte Vortheit, den die neuen Maße und Gewichte gewähren, liegt aber jedenfalls in der vollständigen Überein¬ stimmung der dezimalen Abstufung derselben mit der Einrichtung unseres Zahlensystems und in der dadurch bedingten Erleichterung des Rechnens, die bei uns noch dadurch, dass wir auch bereits ein dezimales Münzsystem haben, wesentlich gefördert wird. Allerdings ist, nm diesen Dortheil nach seinem ganzen Umfange nutzbar machen zu können, Vertrautheit mit der Dezimalbruch- rechnung erforderlich; diese Anforderung wird jedoch durch Ver- 27 mittlung der Schule sehr leicht zu erfüllen sein. Die neuen Maße und Gewichte müßen daher, weil sie die Rechnung ver¬ einfachen, als Fördernngsmittel zur Ersparnis der materiellen und geistigen Arbeit auch vom Standpunkte der Ökonomie mit Freuden begrüßt werden. VI. Das Rechnen mit Desiintchahlen. Das Rechnen mit Dezimalzahlen wird nach denselben Vor¬ schriften, wie das Rechnen mit ganzen Zahlen, ausgeführt; nur muß dabei auf die Stellung des Dezimalpunktes genaue Rücksicht genommen werden. I. Addieren und Subtrahieren der Dezimalzahlen. Addizion. Man schreibe die Summanden so unter einander, dass Ganze unter Ganze, Zehntel unter Zehntel, Hundertel unter Hundertel, u. s. w. zu stehen kommen, und verrichte die Addizion wie bei ganzen Zahlen, von der niedrigsten Stelle angefangen. In der Summe erscheint der Dezimalpunkt genau unter den Dezimalpunkten der Summanden. Z. B. 7'836 Man addiert zuerst die Tausendtel und erhält 5'25 dadurch 8 Tausendtel zur Summe. Dann wer- 9'672 den die Hundertel addiert; diese geben 15Hun- 22'758 dertel — 1 Zehntel und 5 Hundertel; 5 Hun¬ dertel schreibt man als solche an, t Zehntel wird zu den Zehnteln weiter gezählt. Bei diesen erhält man 17 Zehntel — 1 Einer und 7 Zehntel zur Summe; 7 Zehntel schreibt man als solche au, setzt den Dezimalpunkt und zählt 1 Einer zu den Einern, wobei man 22 Einer erhält. 28 Subtrakzion. Man schreibe den Subtrahend so unter den Minuend, dass Ganze unter Ganze, Zehntel unter Zehntel, Hundertel unter Hun¬ dertel, u. s. w. zu stehen kommen, und subtrahiere die gleichnamigen Stellen, von der niedrigsten angefangen. Der Dezimalpnnkt erscheint in dem Reste genau unter den übrigen Dezimalpunkten. Z. B. 9'76 1 Hundertel von 6 Hund, bleiben 5 Hundertel; 5'41 4 Zehntel von 7 Zehnt, bleiben 3 Zehntel; 4'35 5 Einer von 9 Einern bleiben 4 Einer. 82'735 7'93 100 15'48 2'108 43'79 67'255 " 5 762 54'21 In den letzten drei Aufgaben denkt man sich die leeren Dezimalstellen rechts im Subtrahend oder im Minuend durch Nullen besetzt. 2. Multiplizieren und Dividieren der Dezimalznhlen. Mnltiplikazion mit 10, 100, 1000, ... Eine Dezimalzahl wird mit 10, 100, 1000, ... multipli¬ ziert, indem man jeder Ziffer derselben einen 10, 100, 1000, . . . mal so großen Wert gibt; dieses wird bewirkt, wenn man den D e z i m a l p u n kt um 1, 2, 3, ... Stellen weiter nach rechts rückt. Z. B. 8'926 X 100 lOOmal 6 Tausendtel sind 6 Zehntel; 892'6 lOOmal 2 Hundertel sind 2 Einer; lOOmal 9 Zehntel sind 9 Zehner; lOOmal 8 Einer sind 8 Hunderte. 29 Ebenso ist 3'145 X 10 31'45 0'358 X 1000 358 35'246 X 100 3524-6 0 9521 x 1000 ^ 952'1 Wenn die Dezimalzahl nicht so viele Stellen hat, als zur Punktvorrückung erforderlich sind, so werden die fehlenden Stellen rechts durch Nullen ersetzt. Z. B. 4-8 X 100 4-80 X 100 480 0'05 X 10000 - 500 Divisio n durch 10, 100, 1OM , ... Eine D ezi- malzaH^wird durch 10, 100, 1000,... div idier t, indem man von dem Werte jeder Ziffer nur den lOten, lOOsten, lOOOstcn, . . . Theil nimmt; dieses wird bewirkt, wenn man den Dezimalpunkt um 1, 2, 3, ... Stellen weiter nach links rückt. Z. B. 184'3 : 100 der lOOste Theil von 1 Hundert ist 1 Einer; 1'843 „ „ „ „ 8 Zehnern sind 8 Zehntel ; „ „ „ „ 4 Einern „ 4 Hundertel; „ 3 Zehnteln,, 3 Tausendtel. 29'5 : 10 — 2-95 7813'16 : 1000 — 7'81316 30'4 : 100 — 0'304 82'3 : 10000 — 0'00823 Multiplikazion mit einer ganzen Zahl. Eine De¬ zimalzahl wird mit einer ganzen Zahl multipli¬ ziert, indem man sie wie eine ganze Zahl damit multipliziert und im Produkte rechts so viele Dezimalstellen abschneidet, als deren der Multi¬ plikand hat. Z. B. 5'83 X 9 9mal 3 Hundertel sind 27 Hundertel — 52'47 2 Zehntel und 7 Hundertel; 7 Hundertel schreibt man an, 2 Zehntel weiden zu dem Produkte der Zehntel weiter gezählt. 9mal 8 Zehntel sind 72 Zehntel, und 2 Zehntel sind 74 Zehntel — 7 Einer und 4 Zehntel; 4 Zehntel schreibt man an, 7 Einer werden weiter gezählt. 9mat 5 Einer sind 45 Einer, und 7 Einer sind 52 Einer. 30 7-123 X 456 Wenn man anstatt 7'123 öas lOOOfache 456 davon, nämlich 7123 nimmt, und dieses mit 42 738 456 multipliziert, so wird auch das Pro- 356 15 dukt 3248088 das 10OOfache des gesuchten 2849 2 wahren Produktes sein; man erhält also 3248'088 das wahre Produkt, wenn man 3248088 durch 1000 dividiert, wodurch man 3248'088 bekommt. 24'03 X 8 0'0285 X 6 192-24 0'1710 39'27 X 53 3'1416 X 152 117 81 6 2832 1963 5 157 080 2081'31 31416 477'5232 Division durch eine ganze Zahl. Eine Dezimal¬ zahl wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man sie wie eine ganze Zahl dividiert und in den Quozienteu den Dezimalpnnkt setzt, bevor man chie Zehntel des Dividends in Rechnung zieht. Bleibt zuletzt ein Rest übrig, so kann die Division fortgesetzt werden, indem man diesem . sowie jedem folgenden Reste eine Null anhängt. Z. B. 184'11 : 34 — 5'4i5 184 Ganze getheilt durch 34 geben 170 5 Ganze, und es bleiben noch 14 141 Ganze — 140 Zehntel. 136 140 Zehntel 4- 1 Zehntel — 141 51 Zehntel; diese durch 34 getheilt 34 geben 4 Zehntel, mit dem Reste 5 170 Zehntel — 50 Hundertel. 170 50 Hundertel 4- 1 Hundertel — 51 --- Hundertel, welche durch 34 ge¬ theilt 1 Hundertel geben; Rest 17 Hundertel — 170 Tausendtet. 170 Tausendtel getheilt durch 34 geben 5 Tausendtet. 31 Bleibt bei fortgesetzter Division kein Rest, so ist der Quozient genau; sonst ist er nur annäherungsweise bestimmt, und zwar um so genauer, je mehrere Dezimalen man entwickelt. Wie viele Dezimalen man zu suchen hat, hängt von der Beschaffenheit der Aufgabe ab. Bedeutet der Dezimalbruch z. B. Gulden, und ist er das Endergebnis der ganzen Rechnung, so genügen drei Dezimalen; wenn aber der Quozient nicht das Endresultat der Rechnung ist, sondern es wäre damit noch eine Multiplikazion vorzunehmen, so müßte er in mehreren Dezi¬ malen bestimmt werden. Multiplikazion mit einer Dezimalzahl. Eine Dezi¬ malzahl wird mit einer Dezimalzahl multi¬ pliziert, indem man die Multiplikazion, nach Weg¬ lassung der Dezimalpunkte, wie bei ganzen Zah¬ len verrichtet, und dann im Produkte so viele Dezimalstellen abschneidet, als ihrer beide Fak¬ toren zusammen haben. Z. B. 32 28'237 X 4'53 453 84711 141185 112948 127'91361 Wenn man 28'237 mit der ganzen Zahl 453 multipliziert, so erhält man 12791-361; nun ist aber 28'237 nur mit 4'53 d. i. mit den lOOsten Theile von 4'53 zu multiplizieren; es wird daher auch das gesuchte Produkt nur der lOOsteTheil von 12791'361 d. i. 127 91361 sein. Bei den meisten praktischen Rechnungen reichen die ersten drei Dezimalen vollkommen aus. Hat nun ein Dezimalbruch mehr Dezimalen, als man braucht, so wird er abgekürzt, indem man die überflüssigen Dezimalen weglässt, dagegen aber die letzte beibehaltene Dezimale um 1 vergrößert (korrigiert), wenn die nächste darauf folgende Dezimale, die man vernach¬ lässigt, 5 oder größer als 5 ist. Z. B. Der obige Dezimalbruch 127'91361 würde mit 3 Dezimalen 127'914, mit 4 Dezimalen 127'9136 heißen. 37'6 X 6'8 0'192 X 0'3 30'08 0'0576 5'92 X 2'8 0'173 X 3'14 4 736 692 1184 173 16'576 519 0'54322 Division durch eine Dezimalzahl. Wenn eine Dezimalzahl durch eine Dezima lzahl zu dividieren ist, so multipliziert man Dividend und Divisor mit 10, 100, 1000, . . je nachdem der Divisor 1, 2, 3,... Dezimalstellen hat; dann hat man eine Dezimalzahl durch eine ganze Zahl zu divi¬ dieren. Z. B. und man hat sodann eine Dezimalzahl 569'6 durch eine ganze Zahl 32 zu dividieren. 2760 : 75 36'8 23 14 : 435 0-0531 . . . 3. Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Dezünalbruch und umgekehrt. Jeder gemeine Bruch kann in einen Dezimalbruch ver¬ wandelt werden. Ist z. B.'^ als ein Dezimalbruch darzustcllen, so hat man — 37 :16 — 2'3125 Der 16te Theil von 37 Ganzen Neue österr. Maße und Gewichte. 3 34 Ein gemeiner Bruch wird daher in einen Dezi¬ malbruch verwandelt, indem man den Zähler durch den Nenner dividiert und die Division über die Einer hinaus fortsetzt, wobei sich die Zehntel, Hundertel, Tausendtel, . . . ergeben, wenn dem jedesmaligen Reste eine Null angehängt wird. So findet man: z 0-5 ; 0-75 4-375 1 -8125 7N 7-48 0'2948... Geht die Division zuletzt ohne Rest auf, so ist der erhal¬ tene Dezimalbruch dem gegebenen gemeinen Bruch genau gleich; sonst drückt er den Wert desselben nur angenähert aus, und zwar um so genauer, je mehrere Dezimalen man entwickelt. Wenn sich bei fortgesetzter Division im Quozienten eine oder mehrere Dezimalen beständig wiederholen, so heißt der Dezimalbruch ein periodischer; z. B. z— 1 : 3 ^ 0-3333 ... ^^5:11^ 0'4545... Ein Dezimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man als Zähler die Dezimalen und alsNenner 1 mit so v ielen Nullen, als Dezimalstellen vorkommen, anschreibt, und den Bruch, wenn es möglich ist, abk.ürzt. Z. B. 0'48 bedeutet 48 Hundertel; wird dieses in Form eines gemeinen Bruches angeschrieben, so hat man o-48 - äch -- A 0-4 - z 18-75 - 18,^0 - 18k 0-336 ZU K 3'079 3,--,. Hat der Dezimalbruch sehr viele Dezimalen, oder ist er ein periodischer, so nimmt man bei dessen Verwandlung in einen gemeinen Bruch im praktischen Rechnen nur auf so viele 35 Dezimalstellen Rücksicht, als die Genauigkeit der Rechnung verlangt. Z. B. Für 0'272727 ... kann man setzen. Da der periodische Dezimalbruch 0'2727 . . . ans dem gemeinen Bruche entstanden ist, so begeht man, wenn dafür gesetzt wird, einen Fehler von — > t'«», also einen Fehler, der viel kleiner als ist. VII. Aas Rechnen mit den neuen Maßen und Gewichten. Wir haben es schon oben als einen wesentlichen Vorzug des metrischen Systems bezeichnet, dass dasselbe wegen seiner streng durchgeführten dezimalen Einthcilung die Rechnung ungemein erleichtert. Die Verwandlungszahlen zwischen den einzelnen Benennungen sind 10, 100 oder 1000, so dass jede Benennung im allgemeinen bezüglich 1, 2 oder 3 Ziffern ent¬ hält. Das Resolvieren und Reduzieren ist ein einfaches Multi¬ plizieren mit 10, 100,1000 oder ein einfaches Dividieren durch dieselben Zablen, und gestaltet sich darum entweder als bloßes Nebeneinanöerfiellen der Bestandtheile einer mehrnamigen Zahl oder als bloßes Zerlegen der Ziffernreihe einer einnamigcn Zahl in Abtheilungcn zu 1, 2 oder 3 Ziffern. Auch die Rcchnungs- operazionen mit mehrnamigen metrischen Zahlen werden, indem man die mehrnamigen Zahlen entweder in die niedrigste Benennung resolviert oder in einen Dczimalbruch der höchsten Benennung verwandelt, auf ein einfaches Rechnen mit dekadischen ganzen oder mit Tezimalzahlen zurückgcsührt. Der ersteren Rechnungsweise werden sich insbesondere diejenigen bedienen, denen die Dezimalbruchrechuung nicht geläufig ist. Was wir hier nur allgemein angedeutet haben, soll nun im nachstehenden naher und ausführlicher erläutert werden. 3* 36 1. Resolvieren der dezimalen Maße. 1. Eine mehrnamige metrische Maßzahl wird in die niedrigste Benennung verwandelt, indem man die Einheiten der auf einander folgenden Be¬ nennungen einfach neben einander stellt und dabei die etwa fehlenden Ziffern durch Nullen ersetzt. Es sei z. B. 17«- 8^--- 5em Zmw in Millimeter zu resol¬ vieren. 17--- sind 170^«-, und 8^--- sind 178 äm; 178äm sind 1780c---, und 5°--- sind 1785««-; 1785°"- sind 17850------, und 3------ sind 17853------ ; also 17--- 8ä--- 5°--- Zwm — 17853 ----->. Ebenso findet man 58 Hektar 36 Ar 18 583618 9 Hektol. 73 Liter 5 Decil. — 9735 Deciliter ; 62 Kilogr. 31 Dekagr. 8 Gramm — 62318 Gramm; 8--> 7em giiuii — 8076 ------; 57 Hektoliter 4 Liter — 5704 Liter; 55 Kub.---- 49 Kub?-° 256 Kub.«--- 55049256 Kub. «---. 2. Die Dezimalen einer metrischen Maßzahl werden in Ganze der niedrigeren Benennungen ver¬ wandelt, indem man immer 1, 2 oder 3 Dezimal¬ ziffern nach rechts als Ganze der nach st niedrige¬ ren Benennung annimmt, je nachdem die bezüg¬ liche Verwandlungszahl 10, 100 oder 1000 ist. Z. B. Wie viel Meter, Decimeter und Centimeter sind 4'37---? Z;--- sind 3ä--i, ^0 HI sind 7-----; also 4'37--- — 4--- 3-^--- 7«---. 37 Ebenso ist 8'5306 8 53 fZ-l-n g s^.«>; 52'278 Hcktol. — 52 Hektol. 27 Liter 8 Decil.; 80'137016Kub.-» — 80. Kub.-» 137 Kub.^-» 16 Kub.^; 904'082 Kilogr. — 904 Kilogr. 8 Dekagr. 2 Gramm; 35'705 Gramm — 35 Gramm 7 Decigr. 5 Milligr. Aufgaben dieser Art enthalten eigentlich das Lesen der dezimalen Maße und Gewichte. 2. Reduzieren der dezimalen Maße. 1. Einheiten einer niedrigeren metrischen Maßzahl werden auf Ganze der höheren Benen¬ nungen reduziert, indem man von der Rechten an- gesangen immer 1, 2 oder 3 Ziffern für sich als Ganze der nächsthöheren Benennung au nimmt, je nachdem sie entsprechende Berwandlungszahl 10, 100 oder 1000 ist. Sind z. B. 41579"»» in Ganze der höheren Benennungen zu verwandeln, so hat man schrittweise 41579""» — 4157or» 9»»» — 415^» 7em 9""» — 4>1w 7vrn 9ININ Ebenso ist 512345 Hß'-" — 51 23 s^m 45 fH""; 1906 Liter — 19 Hektoliter 6 Liter; 81053007 Kub."-» — 81 Kub.-» 53 Kub.^-» 7 Kub.ei»; 531086 Gramm — 531 Kilogr. 8 Dekagr. 6 Gramm. 2. Eine mehrnamige-metrische Maßzahl wird in einen Dezimalbruch der höchsten Benennung ver¬ wandelt, indem man ihre Beftandtheile in natür¬ licher Aufeinanderfolge als die verlangten Dezi¬ malen an nimmt und dabei die etwa fehlenden Benennungen oder Ziffern durch Nullen erseht. 38 Man verwandle z. B. 4"» 3-!-" 5mm in einen Meter- Dezimalbruch. Es ist 3^ 7^> . 5-°-° !»', 9'0736 Hektar; 19 Hektoliter 5 Deciliter — 19'005 Hektoliter; 13 Kilogr. 38 Dekagr 4 Gr. — 13'384 Kilogramm; 5 Gramm 28 Centigr. 7 Milligr. — 5'287 Gramm. In der Lösung von Aufgaben dieser Art besteht das Anschreiben der dezimalen Maße und Gewichte in Form von Dezimalbrüchen. 3. Addieren der dezimalen Maße. Die Addizion mehrnamiger metrischer Ma߬ zahlen wird von der niedrigsten Benennung ange¬ fangen in ganz gleicher Weise, wie bei mehrziff- rigen unbenannten Zahlen, ausgeführt. Man kann übrigens auch alle Summanden in dieselbe niedrigste Benennung oder in Dezimalbrüche der höchsten Benennung verwandeln und dann die Addizion verrichten. Z. B. Z7m gern tzwin 48 , 6 „ — „ 2 „ 19 „ 3 „ 5 „ —„ j 13 m Zäm Zinn 7inm 375-;8>nn> 48602 „ 19350 , 8077 „ 113597min 37'568m 48'602,, 19 35 „ 8'077„ 113 597m Vier Kisten mit Ware wiegen einzeln 136 Kilogr. 68 Dekagr., 142 Kilogr. 37 Dekagr., 144 Kilogr. 85 Dekagr. und 147 Kilogr. 8 Dekagr.; wie groß ist das Gesammtgewicht aller? 39 136 Kilogr. 68 Dekagr. 142 „ 37 ,/ 144 „ 85 ,, 147 „ 8 570 Kilogr. 98 Dekagr. oder 13668 Dekagr. 14237 14485 14708 57098 Dekagr. 570 Kilogr. 98 Dekagr. Ein Landgut umfasst an Bodenflache: 35'Ar 76sO Bau-Area, 82 Ar 55 O Gärten, 34 Hektar 18 Ar 410 Ackerland, 13 Hektar 7 Ar Wiesen und 24 Hektar 74 Ar 50" Waldungen; wie groß ist die ganze Bodenfläche? 35 Ar 760"' 82 „ 55 , 34 Hekt. 18 „ 41 „ 13 „ 7 , — „ 24 „ 74 „ 5 , 73 Hekt. 17 Ar 770'" oder 0'3576 Hektar 0'8255 „ 34-1841 , 13'07 24'7405 , 73 1777 Hektar 73'Hekt. 17 Ar 770" 4. Subtrahieren der dezimalen Maße. Auch das Subtrahieren wird bei mehrnamigen metrischen Maßzahlen auf dieselbe Art, wie bei mehrziffrigen unbenannten Zahlen, ausgefnhrt. Man kann jedoch auch Minuend und Subtrahend in einnamige Zahlen verwandeln und dann die Subtrakzion verrichten. Z. B. 50"' 47äm 550'" .. 547550-" 5'47550" 2 „ 8 , 64 , ' 20864 „ 2 0864 „ 30 ZSO'" 910--- 3389 l O! 3'38910'" In einem Fasse befinden sich 16 Hektoliter 20 Liter Wein; wie viel Wein bleibt noch in demselben, wenn 9 Hektol. 84 Liter 5 Deciliter herausgenommen werden? 40 16 Hektol. 20 Lit. 9 „ 84 „ 5 Decil. 6 Hektol. 35 Lit. 5 Decil. oder 16200 Decil. 9845 „ 6355 Decil. 6 Hekt. 35 Lit. 5 Decil. Eine Ware wiegt sammt der Kiste, worin sie verpackt ist, 218 Kilogr. 43 Dekagr. (Bruttogewich t), die Kiste wiegt 23 Kilogr. 72 Dekagr. (Tara) ; wie groß ist das Gewicht der Ware allein (Nettogewicht) ? Brutto 218 Kil. 43 Dekagr. Tara 23 , 72 , Netto 194 Kil. 71 Dekagr. oder 218'43 Kilogr. 2372 , 194'71 Kilogr. 3. Multiplizieren der dezimalen Maße. Eine mehrnamige metrische Maßzahl wird mit einer unbenannten Zahl multipliziert, indem man den Multiplikand entweder in die niedrigste Benennung, oder in einen Dezimalbruch der höch¬ sten Benennung verwandelt und dann die Multi- plikazion ausführt. Ist z. B. 35 Kilogr. 18 Dekagr. 6 Gramm mit 28 zu multiplizieren, so hat man Ein Wagenrad, das 2^ 3<^n 2^ im Umfange hat, macht 638 Umläufe; welchen Weg legt es zurück? 41 232---- X 638 1856 696 1392 148016----- — liri» 480--- 1-i->- 6----- oder 2-32-° X 638 1856 696 1392 1480'16---. Wie groß war ein Feld, aus welchem 8 Parzellen L 16 Ar 750'" gemacht wurden? 1675 8 oder 16'75 Ar X 8 13100 O'" 134'00 Ar — 1 Hektar 34 Ar — 1 Hektar 34 Ar Bei Flächen- und Körperberechnungcn, in denen die Multiplikazion zur Anwendung kommt, müßen früher die Fak¬ toren auf die niedrigste oder höchste Benennung gebracht werden. Z. B. Ein Acker ist 86--- 4ä°- lang und 37--- 5<^--- breit; wie groß ist sein Flächeninhalt? zg--- — 864^--- 37--- Zäw — Z7Zam 864 375 oder 86--> 4^--- — 86'4--- 37---5 Eisen 7'79^Kilogr wiegt? 12-8-1--- 63 36 Kub.-r--- L 7 79 4-5^--- 57033 640 44352 512 44352 67'60 493'5753 Kilogr. 1-1äm 493 Kil. 57 Dek. 5 Gr. 3 Decigr. 5760 5760 63 360 Kub.am 42 6. Dividieren der dezimalen Maße. Die Division kann als eine Rechnung des Theisens oder des Messens (Enthaltenseins) angewendet werden. Ist eine mehrnamige metrische Maßzahl durch eine unbenannte Zahl zu dividieren (Aufgabe des Theilens), so macht man sie einnamig und verrichtet dann die Division. Z. B. Wie groß ist der 29. Theil von 402 Hektar 81 Ar? 40281 Ar : 29 1389 Ar 13 Hekt. 89 Ar. 29 112 87 258 232 261 261 Eine Treppe von 3-» 3 rechnen; die Hausfrau, die bisher nach Maß und Pfund gekauft hat, wird künftig ihren Bedarf nach Liter und Kilogramm bestimmen; der Landmann, der die Aussaat und den Ertrag der Äcker nach Joch und Metzen berechnet hat, soll das weiterhin nach Hektar und Hek¬ toliter thun. Es wird daher im praktischen Leben, insbesondere während der Zeit des Überganges von den bisherigen Maßen und Gewichten zu den neuen sehr häufig die Notbwendigkeit ein¬ treten, die alten Maßangaben in neues Maß und umgekehrt zu verwandeln, und ebenso die Preise der bisherigen Maßeinheiten in die verhältnismäßigen Preise für die neuen Maße uni^MU gekehrt umzurechnen. lA MWrsÄ 45 Zu allen derlei Berechnungen müßen die Zahlen bekannt sein, welche das Verhältnis der neuen Maße und Gewichte zu den alten angeben. Wir lasten diese Derhältniszahlen nachstehend folgen. a. Langenmaße. 1 Meter 0-5272916 W. Klaft., angenähert «7.» Klaft.; 1 Meter 3'1637496 W. Fuß, , 37« Fuß; 1 Meter ^ 1'286077 W. Men, „ 17» Ellen; 1 Myriameter — 1-318229 ö. Meilen, „ 17rr Weil. 1 W. Klafter — 1'896484 Meter, angenähert 17i» Meter; 1 OMeter — 0'278036 stZKlaft-, angenähert 7<« stZKlaft.; 1 OMeter ^1000931 OF"ß, „ 10 üfFuß; 1 Hektar — 1'737727 n-ö. Joch, „ 17» Joch; IsHMyriam.^ 1-737727 0 Meilen, „ 17»(1'7«>)OM. 1 OKlafter — 3 596652 O Meter, angenähert 37-, O Meter; IO Fuß 0-099907 O Meter, „ 7,« OMeter; 1 n. ö Joch — 0-5754642 Hektar, 7» Hektar; 1 ö.OMeile— 0-5754642 OMyriam. , 7, (°7i««)OMyr. o. Körpermaße. 32 Kub.Fuß 17« Metzen; 17« Eimer; 7 Maß. 1 Kub. Meter — 0'146606 Kub'.' Klaft-, angenäh. 7«» Kub. Klaft. 1 Kub. Meter—31-66695 Kub. Fuß, 1 Hektoliter — 1-626365 Metzen, 1 Hektoliter — 1-767129 Eimer, 1 Liter — 0-7068515 Maß, 46 IKub-Klaft. — 6-820992 Kub. Met., 1 Kub. Fuß. - 0-03157867 Kub. Met., 1 Metzen --0'6148682 Hektol., 1 Eimer 0'565890 Hektol., 1 Maß — 1 414724 Liter, angenäh. 6^/->Kub. Met.; „ '/,2 Kub. Met.; „ ^.»Hektol.; „ V»« Hektol.; „ IVs Liter. <1. Gewichte. V? Loth; 2V, Ap.-Pfd 3^ Mark; 4°/7 Karat. 1 Kilogramm — 1-785523 W. Pfund, angenähert 1 V; Pfund; 1 Dekagramm — 0'571367 Loth 1 Kilogramm — 2-380697 Apoth.-Pfd., 1 Kilogramm 3 562928 W. Mark , 1 Gramm — 4'855099 W. Karat , Wir haben hier zweierlei Verhältniszahlen angeführt; die in Dezimalbrüchen ausgedrücktcn sind ganz genau, wie sie das Gesetz bestimmt; die anderen find nur angenähert und zwar in einfachen gemeinen Brüchen angegeben. Für die genaue Umwand¬ lung der bisherigen Maße und Gewichte in die neuen, und umgekehrt, bestehen umfassende Redukzionstabellcn; diese hat man jedoch nicht immer bei der Hand; auch handelt es sich im gewöhnlichen Leben in vielen Fällen nicht nm die volle Genauig¬ keit, sondern nur um eine angenäherte Vergleichung, für welche die oben rechts stehenden Verhältniszahlen einen hinreichenden Grad der Genauigkeit gewähren. Z. B. Jemand wünscht schnell den Über¬ schlag zu machen, wie viel eine bestimmte Ellenanzahl in Metern beträgt, um darnach seinem Bedürfnisse gemäß kaufen zu können; ebenso wünscht er, schnell und ohne lange Berechnung den Preis einer Elle ungefähr in den Preis eines Meters umzuwandeln. In beiden Fällen genügt eine bloß angenäherte Rechnung. Die angenäherten Derhältniszahlen werden daher beim Übergange 47 von den bisherigen Maßen zu den neuen wesentliche Dienste leisten. Allerdings wird dabei ein Fehler begangen, der jedoch bei den meisten Berechnungen des bürgerlichen Verkehrs gar nicht in Betracht kommt. Der Fehler wird nur dann erheblich, wenn eine größere Zahl von Maßeinheiten umzurechnen ist; n solchen Fällen muß man sich dann der genaueren Angaben bedienen, wobei man je nach dem gewünschten Grade der Genauig¬ keit mehr oder weniger Dezimalstellen in Rechnung zieht. Aus den obigen Verhältniszahlen kann man zunächst ersehen, welche neuen Maße und Gewichte, entsprechend den bisherigen, vorzüglich im Gebrauche stehen werden. Statt der Elle und des zusammenlegbaren 36zölligen Maßstabes wird man den Meterstab benützen; er ist nahe um 2 Zoll länger als der 36zöllige Maßstab und um 8^ Zoll länger als die Elle. Ten Metzen und den Eimer wird das halbe Hektoliter oder das 80 Liter-Gefäß vertreten; dieses ist um 3 Müller- maßel kleiner als der Metzen und nahe um 4^ Maß kleiner als der Eimer. Statt der Maß wird man das Liter, das 14 Seidel weniger enthält; statt des Krügels (1^ Seidel) das halbe Liter, das nur Seidel weniger enthält, gebrauchen. Das Wiener Psund wird durch das halbe Kilogramm ersetzt werden; dieses ist nahe 3^ Loth kleiner als das Pfund. Die Umrechnungsaufgaben lasten sich in zwei Gruppen zusammenfassen: a) Aufgaben, in denen eine alte Maß- oder Gewichtszahl in das neue Maß oder umgekehrt zu verwandeln ist; b) Aufgaben, in denen der Preis einer alten Maß- oder Gewichtseinheit in den entsprechenden Preis der neuen umzu¬ rechnen ist. 4 Umwandlungen der neuen Maße und Gewichte in die alten werden übrigens im praktischen Leben seltener Vorkommen. 48 Die meisten Umrechnungsaufgaben werden mittels der Multiplikazion aufgelöst. Wir lassen hier mehrere solche Aufgaben folgen und fügen einigen auch die Ausrechnung bei. g) Umrechnung der alten Maße und Gewichte in die neuen und umgekehrt. 1. Eine Frau brauchte zu einem Kleide 12 Ellen; wie viel muß sie nun nach Metermaß kaufen? 1 Elle — V» Meter, genauer 0'77756 Meter 12 X '/-> genauer 12 X 0'77756 84 : 9 155512 9z 9'33 Meter. 9-33072 Meter- Der Unterschied beider Resultate ist kleiner als 1 Cen¬ timeter. 2. Ein Gärtner braucht eine Schnur von 65 Fuß Länge; wie viel Meter muß er kaufen? 1 Fuß — °/is Meter, genauer 0'31608 Meter 65 X °/>» genauer 65 X 0'31608 390 : 19 20^ Meter, 1 58040 10 oder nahe 20z Met. 18 9648 20'54520 Met. 3. Welche Länge in Centimeter hat 30zölliges Brennholz? 4. Eine Leinwand ist nach Ellenmaß iz breit; wie viel Centimeter beträgt die Breite? 5. Eine Lokomotive durchläuft stündlich 30 Kilometer; wie viel sind dieß österr. Meilen? 6. Ein Bauplatz hat 168 ^Klafter; wie viel O Meter ist das? 7. Ein Garten ist 42° 2' lang und 27° 2' breit; wie viel Ar beträgt der Flächeninhalt? 8. Wie viel Hektar misst eine Wiese von 3z Joch? 9. Ein Wald hat 1(H Hektar; wie viel Joch beträgt seine Fläche? 49 10. Ein Baumstamm hat 39^ Kubikfuß; wie viel sind es Kubikmeter? 11. Wie viel Kubikklafter sind 37 8 Kubikmeter? 12. Wie viel HektolitK fasst ein Kasten, welcher 4" lang, 3' breit und 2s' hoch ist? 13. Wie viel Liter gehen in ein Fass, das 228 Maß hält? 14 Eine Fuhr Heu wiegt 15 Zentner; wie viel Kilo¬ gramm sind es? 15. In einer Haushaltung braucht man jede Woche 12Loth Kaffee; wie viel Dekagramm in 4 Wochen? 16. Ein Weingarten liefert von 1 Joch 20 Eimer Wein; wie viel Hektoliter kommen hiernach auf 1 Hektar? Hier ist eine doppelte Umrechnung vorzunehmen. Im Kopfe (annäherungsweise): 1 Joch — h Hektar; 1 Eimer — Hektoliter, 16 Eimer sind daher 9 Hektoliter. Wenn nun Hektar Weinland 9 Hektoliter Wein liefern, so liefert Hektar den 4ten Theil, d. i. 2s Hektoliter, und somit 1 Hektar 7mal so viel, d. i. 15s Hektoliter. Schriftlich (genau): 1 Joch — 0'57546 Hektar 16 Eimer — 0' 56589 X 16 339534 9-05424 Hektoliter. Wenn 0'57546 Hektar 9'05424 Hektoliter Wein liefern, so liefert 1 Hektar 9'05424 : 0'57546 15-73 Hektoliter. 3 29964 421340 185180 17- Wie viel Liter Aussaat erfordert 1 Ar, wenn 1 Joch 2s Metzen erfordert? 18. 1 Metzen Weizen wiegt 84 Pfund; wie viel Kilo¬ gramm wiegt 1 Hektoliter Weizen? Neue öftere. Muße uud Gewichts. 4 50 b) Umrechnung des Preises einer alten Ma߬ oder Gewichtseinheit in den Preis der neuen und umgekehrt. 1. Für den Kurrentfuß (laufenden Fuß) Dachrinne verlangt der Spängler 1 fl. 20 Kr.; wie hoch stellt sich der Preis für das Kurrentmeter? Annäherungsweise: i Meter — 3^ Fuß; 1 Meter kostet also 3^mal den Preis, der für 1 Fuß gezahlt wird; 3mal 1 fl. 20 Kr. sind 3fl. 60 Kr., ' von 1 fl. 20 Kr. sind 20 Kr.; 1 Meter kostet also 3 fl. 60 Kr. 4- 20 Kr. — 3 fl. 80 Kr. Genau: 1 2 x 3 16375 632750 3'796500 fl. — 3 fl. 80 Kr. 2. Eine Elle Tuch wird für 4 fl. 34. Kr. verkauft; wie viel kostet 1 Meter? 3. Wie hoch kommt 1 Elle, wenn das Meter 72 Kr. kostet? 1 Elle — Meter, 1 Elle kostet demnach »mal 72 Kr.; von 72 Kr. — 8 Kr-, von 72 Kr. also 7mal 8 Kr. — 56 Kr. Genau: 0 72 X 0'77756 155512 544292 0'5598432 fl. 56 Kr. 4- 1 Hs Fuß Steinplattenpflaster kostet 525 fl.; wie viel beträgt der Preis für 1 fH Meter? 5. 1 s^Meter Baugrund kostet 3 fl. 8 Kr.; wie hoch wird 1 O Klafter gerechnet? 6. Ein Joch Ackergrund kostet 5 fl. 20 Kr.; wie viel kostet 1 Hektar? 7. Wie hoch kommt ein Kubikmeter Bauholz, wenn der Kubikfuß mit 45 Kr. bezahlt wird? 8. Ein Meßen Korn kostet 4 fl. 60 Kr,; wie viel kostet ein Hektoliter? 51 9. Das Hektoliter Wein kostet 32 fl.; wie theuer wird der Eimer gerechnet? 1 Hektol. — '"4 Eimer genauer: Eimer kost. 32 fl. 1 Hektol. 1'76713 Eim. V, „ „ 2fl. 32 fl. : 1-76713 ^ 18 108 fl. 1 . , i8fl. 10. Wie hoch muß der Literpreis gestellt werden, wenn die Maß 48 Kr. kostet? 11. Ein Krügel (1s Seidel) Bier kostet 10 Kr.; wie hoch wird sich Liter stellen? 12. Ein Pfund Kaffee kostet 72 Kr.; welches ist der ent¬ sprechende Preis für 1 Kilogramm? 13. Wie viel kostet 1 Dekagramm Nähseide, wenn das Loth mit 1 fl- 30 Kr. bezahlt wird? 14. Ein Kilogramm feines Silber gilt 90 fl.; wie hoch berechnet sich hiernach 1 W. Mark Silber? IX. Die neuen Maße und Gewichte und der Rechen - unterricht in der Uotksschute. Die neuen Maße und Gewichte dürfen schon voml.Jänner 1873 an benützt, vom 1. Jänner 1876 aber müßen sie als die allein giltigen Maße mit gänzlicher Beseitigung der gegenwärtig im Gebrauche befindlichen allgemein angewendet werden. Mannig¬ fache Schwierigkeiten werden der Durchführung entgegentreten; Vorurtheile aller Art werden zu überwinden sein, da sich der Mensch nur schwer und ungern von alten Gewohnheiten losmacht. Es ist darum die Pflicht eines jeden, schon jetzt zur richtigen Wür¬ digung der neuen Maß- und Gewichtsordnung und zur Erleichterung des Überganges vom Alten zum Neuen in seiner Art beizutragen. Vor allem aber fällt der Volksschule die Aufgabe zu, ihre Schüler in die neue Ordnung einzuführen, damit durch sie auch in den Familien das Verständnis dafür gefördert werde. Die Gesellschaft 4* 52 verlangt von der Schule diesen wichtigen Dienst, den dieselbe auch mit dem sorgfältigsten Eifer leisten muß. Zwar werden besonders die Lehrer auf dem Lande auch Gelegenheit haben oder suchen müßen, die Gemeindeglieder über die neuen Maße und Gewichte zu belehren; allein gewiss ist, dass die Durchführung des neuen Maßsystems nur dann leicht und sicher erfolgen werde, wenn die Heranwachsende Jugend in der Schule sich in dieses System hineingelebt und der Vertrautheit mit demselben auch in den Familien Eingang ver¬ schafft hat. Es tritt daher ganz besonders an die Lehrer der Volks¬ schulen die Forderung heran, sich sobald als möglich mit der neuen Maß- und Gewichtsordnung gründlich bekannt zu machen und ihren Unterricht im Rechnen so einzurichten, dass die aus der Schule tretende Jugend eine vollständige Kenntnis des neuen Maßsystems und eine sichere Gewandtheit im Rechnen mit demselben in's Leben mitnehme. Jede Veränderung in den Münzen, Maßen und Gewichten eines Staates macht sich auch im Rechenunterrichte geltend. Als wir im Jahre 1857 die österreichische Währung ein¬ führten, mußten auch im Rechnen mehrseitige Änderungen vor¬ genommen werden; an die Stelle der Rechnungsvorthcile, welche die frühere Theilung des Guldens in 60 Kreuzer gewährte, traten andere wichtigere Vortheile, die aus der Hnnderttheilung des Guldens entspringen; auch mußte während der Übergangs¬ zeit auf die Umrechnungen aus der Konvenzionsmünze in die österreichische Währung und umgekehrt ein großes Gewicht gelegt werden. Die Einführung der metrischen Maße und Gewichte aber schneidet viel tiefer in das Leben ein als die Änderung der Geldwährnng. Es ist deshalb für jeden Lehrer dringende Pflicht, nicht nur die Schüler zu einer richtigen Auf¬ fassung des metrischen Systems zu führen; er muß auch dar¬ über klar werden, welche Umgestaltung der Rechenunterricht durch die Einführung der neuen Maße und Gewichte erleidet, was in dem bisherigen Rechenunterrichte bleibt und wo Neues an die Stelle des Alten zu setzen ist; er muß sich endlich mit dem 5Z Lehrapparate vertraut machen, der nunmehr beim Nechenunter- richte zu benützen sein wird. 1. Einführung der Schüler in das Verständnis -er neuen Matze und Gewichte. Dass den Schülern beim Rechnungsunterrichte an den gehörigen Orten die Maße und Gewichte erklärt und vargezeigt werden, ist schon bisher immer gefordert worden. Diese For¬ derung verschärft sich aber bedeutend, wenn es sich um neue Maße und Gewichte handelt, weil das Leben hier noch nicht vorarbeitet. Die Schüler müßen mit den Namen der neuen Maße und Gewichte auch die Vorstellungen derselben in sich aufnehmen und diese so innig und lebendig mit ihrem ganzen Vorstellungskreise in Beziehung bringen, dass sie mit Leichtig¬ keit und Sicherheit jede räumliche Größe nach ihnen zu beur- theilen im Stande sind. Bekanntlich spricht man diejenige Sprache am geläufigsten, in welcher man denken gelernt hat. Eben so muß unsere Jugend, um später mit den metrischen Maßen und Gewichten sicher und gewandt umgehen zu könneu, „metrisch denken" lernen, wie sich Dr. Karsten ausdrückt. In den ersten Schul¬ jahren müßen daher künftighin ausschließlich die neuen Maße und Gewichte berücksichtiget werden; die gleichzeitige Behandlung der alten Maße würde nur Verwirrung hervorbringen und auch zwecklos sein, da dieselben, bis die Kinder ihrer Schul¬ pflicht genügt haben, schon längst außer Gebrauch gesetzt sein werden. In den oberen Klassen der Volksschule dagegen, deren Schüler bereits die alten Maße und Gewichte kennen und mit ihnen rechnen gelernt haben, wird mit der Anschauung und Erklärung der neuen Maße und Gewichte auch die Vergleichung derselben mit den bisherigen Hand in Hand gehen müßen, bis allmählich das neue System das gesummte räumliche Vorstellen 54 der Schüler derart beherrscht, dass die alten Maßvorstellungcn von selbst in den Hintergrund treten. Es liegt in der Natur des Unterrichtes, dass in den unteren Schulklassen die neuen Maße und Gewichte nicht sogleich in ihrem systematischen Zusammenhänge, sondern nur nach und nach je nach der fortschreitenden Entwicklung der auf einander folgenden dekadischen Zahlenräume, in denen ihre Verwand- lungszahlen liegen, vorgenommen werden. Die Erlernung der Namen der folgeweise auftretenden Maße und Gewichte geschieht hier, da das System selbst noch nicht erklärt werden kann, nur rein gedächtnismäßig. An jede Erweiterung des Zahlenkreises schließt sich auch eine entsprechende Vervollständigung der Kenntnis der Maße und Gewichte an, welche endlich mit der Erweiterung der Zahlen im unbegränzten Zahlenraume ihren Ab¬ schluss findet. Bon da an und gegenwärtig in allen höheren Klassen werden die metrischen Maße und Gewichte übersichtlich und in systematischer Gliederung vorgeführt, in welcher Bezie¬ hung wir auf die oben ausführlich aufgenommene Darstellung des metrischen Systems verweisen. Rücksichtlich der unterrichtlichen Behandlung und der Ver¬ anschaulichung der metrischen Maße und Gewichte, wofür bei jeder Volksschule nicht nur die wirklichen Maße und Gewichte, sondern auch eine Wandtafel, welche dieselben in natürlicher Größe darstellt, vorhanden sein müßen, mögen hier folgende Andeutungen genügen: a. Längenmaße. Zur Veranschaulichung dient zunächst ein mit den betreffenden Untertheilungen versehener Meterstab, an welchem gezeigt wird, dass man das Meter in 10 Deci¬ meter, das Decimeter in 10 Centimeter und das Centimeter in 10 Millimeter theilt, und dass demnach ein Meter 10 Decimeter, oder 100 Centimeter, oder 1000 Millimeter enthält. Der Lehrer kann dieses auch an der Schultafel anschaulich darstellen, indem er darauf ein Meter zeichnet und dieses vor den Augen der Schüler zuerst in Decimeter, dann in Centimeter, und ein 53 Centimeter noch in Millimeter eintheilt. Es wird den Schülern auch noch ein Bandmaß aus Metallblech von 2, 5 oder 10 Meter Länge gezeigt und bemerkt, dass dieses zum Ausmessen größerer Längen benützt wird. Ein sehr wichtiges Maßglied in der Stufenleiter der Längenmaße ist das Decimeter, nicht nur, weil sich aus ihm sehr leicht alle übrigen Längenmaße ableiten lassen, sondern insbesondere auch darum, weil dasselbe die Grundlage des Hohl- und des Gewichtsmaßes bildet. Um sich die Länge desselben besser einzuprägen, soll jeder Schüler auf seinem Lineal die nebenstehende Zeichnung eines Decimeters haben. Er wird aus derselben unmittelbar die Ein- theilung in Centimeter und Millimeter ersehen. Er¬ füll sich aber auch mittels dieser Zeichnung aus einem starken Bindfaden ein Meter selbst anfertigen, indem er mit Hilfe eines Papierstreifens die gezeichnete Länge des Decimeters möglichst genau zehnmal auf den Bindfaden auftrögt und nach jeder Länge eines Decimeters einen Knoten einbindet. Damit die Schüler mit den neuen Längenmaßen recht vertraut werden, messe man mit dem Meterstabe mehrere im Schulzimmer befindliche Gegenstände, z. B. die Länge und Breite der Schultafel, des Schultisches einer Bank, einer Fensterscheibe. Auch lasse man die Schuler die Länge ihres Mittelfingers, ihres Armes, sowie ihre Körperlänge in Centimeter angeben. Später versuche man Längen nach dem Augenmaße abzuschätzen und lasse der Schätzung jedesmal die wirkliche Messung nachfolgen. b. Flächenmaße. Zur Veranschaulichung dienen: ein Quadratmeter, ein Quadratdccimeter und ein Quadratcentimeter, sämmtlich mit Quadrateintheilung, am besten von starkem Pappendeckel. 56 Werden die Seiten dieser Quadrate mit dem Meterstabe gemessen, so ersehen die Schüler sogleich, was unter einem Quadratmeter, Quadratdecimeter, Quadratcentimeter und Qua¬ dratmillimeter zu verstehen ist. Lasst man dann auch die Qua- drateintheilungen ausmerksam betrachten, so gelangen die Schüler zur Überzeugung, dass 1 s^Meter — 100 Decimeter, 1 ^Decimeter — 100 Centimeter , und 1 HjCentimeter — 100 Hs Millimeter ist. Hat die Schultafel die erforderliche Größe, worauf künftig¬ hin stets Rücksicht zu nehmen wäre, so wird der Lehrer das fH Meter auch auf dieselbe zeichnen, und die Quadrat- eintheilung vor den Augen der Schüler ausführen. Jedenfalls aber wird er die Schüler anleiten, ein Decimeter mit der Eintheilung in 100 sH Centimeter , wohl auch das Centi¬ meter sammt Eintheilung zu zeichnen. Um den Schülern die Vorstellung eines Ar beizubringen, misst der Lehrer im Freien mit dem Bandmaße ein Quadrat ab, das 10 Meter lang und 10 Meter breit ist, lässt in den vier Eckpunkten Pflöcke einschlagen und um dieselben eine Schnur spannen. Die so begränzte Quadratfläche ist ein Ar. Nachdem der Lehrer sodann anschaulich gezeigt hat, dass 1 Ar 100 OMeier enthält, wird er noch beifügen, dass 1 Hektar — 100 Ar eine Quadratfläche ist, welche 100 Meter Länge und 100 Meter Breite hat. o. Körpermaße. Die Vorstellung des Kubikmeters, bas wegen seiner Größe nicht leicht vorgezeigt werden kann, wird vermittelt, indem man um einen Eckpunkt des Schulzimmers an den beiden Wandflächen und an der Bodenfläche Quadratmeter darstellt, und die übrigen Seitenflächen mittels der Kanten durch drei Stäbe veranschaulicht. Dagegen wird das Kubikdecimctcr und Kubikcentimeter aus Holz oder Pappe zur Anschauung gebracht. Auch wird den Schülern gezeigt, wie man sich dieselben selbst anfertigen kann. Nm z. B. das Kubiköccimcter herzustcllen, zeichne man auf 57 einem Streifen Pappendeckel 4 ssjj Decimeter anstoßend neben einander, zu beiden Seiten eines Quadrates noch je Deci¬ meter, ritze die gemeinschaftlichen Seiten dieser Quadrate mit einem scharfen Messer ein wenig ein und biege und klebe die Flächen zu einem Würfel an einander. In ähnlicher Weise wird das Kubikcentimeter gefertigt. Dass 1 Kubikdecimeter — 1000 Kubikcentimeter ist. könnte dadurch veranschaulicht werden, dass man aus 1000 Kubikcentimetern von Holz durch Neben- und Übereinanderlegen einen Würfel bildet, der eben das Kubikdecimeter ist. Da man jedoch nicht mit so vielen Holzwürfeln versehen sein dürfte, so kann das folgende Versinnlichungsmittel angewendet werden: Ein aus Holz verfertigtes Kubikdecimeter, dessen jede Kante in 10 Centimeter und dessen jede Seitenfläche durch eingeritzte Linien in 100 jH Centimeter eingetheilt ist, wird parallel mit einer Seitenfläche in 10 gleiche Platten durch¬ schnitten. Eine dieser Platten wird wieder parallel zu einer der kleinen Seitenflächen in 10 gleiche Säulen, und eine dieser Säulen in 10 gleiche Würfel, deren jeder ein Kubikcentimcter ist, durchschnitten. Jede Säule enthält sonach 10 Kubikcenti¬ meter; jede Platte enthält >0 solche Säulen, also 100 Kubik¬ centimeter; das ganze Kubikdecimeter enthält 10 solche Platten, also 1000 Kubikcentimeter. Aus dieser Anschauung wird von den Schülern auch gefolgert, dass 1 Kubikmeter 1000 Kubikdecimeter, und 1 Kubik¬ centimeter 1000 Kubikmillimeter enthält. Zur Erklärung des Hohlmaßes füllt der Lehrer einen hohlen Würfel von Blech, der inwendig 1 Decimeter lang, 1 Decimeter breit und 1 Decimeter tief ist, also ein Kubik¬ decimeter, mit Wasser und gießt dieses in ein Litergefäß über; die Schüler überzeugen sich dadurch, dass ein Liter denselben Rauminhalt wie ein Kubikdecimeter hat, dass also die Einheit des Hohlmaßes das Kubikdecimeter unter dem Namen Liter ist, welches jedoch wegen des bequemeren Gebrauches eine runde 58 Form erhält. Sollte dem Lehrer nur ein hohler Würfel von Pappe zu Gebote stehen, so würde er denselben mit Sand füllen und durch Umschütten in ein Litergefäß nachweisen, dass Liter und Kubikdecimcter denselben Inhalt haben. — Füllt der Lehrer ein Deciliter lOmal mit Wasser und gießt dieses jedesmal in ein Litermaß, so wird dadurch veranschaulicht, dass ein Liter — 10 Deciliter ist. <1. Gewichte. Hier ist der Zusammenhang der Gewichte mit dem Körpermaße und die Einteilung derselben zur An¬ schauung zu bringen. Der Lehrer nimmt eine Wage, legt auf die eine Wag¬ schale ein leeres Kubikdecimeter in Würfelform oder auch ein Litergcfäß, und auf die andere so viel an Gewicht, als nöthig ist, um das Gleichgewicht der Wage herzustellen. Hierauf füllt er das Gefäß mit Wasser und stellt das Gleichgewicht der Wage durch Hinzulegen neuer Gewichte wieder her. So viel an Gewicht hinzugelegt werden mußte, so viel beträgt das Gewicht eines Kubikdecimeters (Liters) Wasser. Das Gleichgewicht wurde nun durch ein Kilogramm hergesteltt, also ist ein Kilogramm das Gewicht eines Kubikdecimeters Wassers. Es wird noch bemerkt, dass man auch bei der ursprünglichen genauen Bestim¬ mung des Kilogramms auf ähnliche Art verfuhr, jedoch gerei¬ nigtes Wasser bei 4 Grad Celsius und im luftleeren Raume zum Abwägen verwendete. Legt man auf die eine Wagschale 1 Kilogramm, und auf die andere 100 Dekagramm, so ist Gleichgewicht; also 1 Kilo¬ gramm — 100 Dekagramm. Bringt man ebenso auf die eine Wagschale 1 Dekagramm, auf die andere 10 Gramm, so herrscht auch Gleichgewicht; also 1 Dekagramm — 10 Gramm. Das Decigramm, Centigramm und Milligramm sind so kleine Gewichte, dass sie im gewöhnlichen Leben gar nicht in Anwendung kommen, und eigentlich nur beim Abwägeu von Gold und Silber, dann für den Apotheker und Gelehrten Bedeutung haben. 59 2. Einfluss der nenen Matze und Gewichte auf die Gestaltung des Rechenunterrichtes in der Volksschule. Bisher haben wir die Rechenübungen für die ersten Schul¬ jahre nach folgenden Stufen geordnet: 1. Zahlenraum bis 10; 2. Zahlenraum bis 20; 3. Zahlenraum bis 100; 4. Zahlenraum bis lOOO; 5. unbegränzter Zahlenraum. Diese Stufenfolge, die durch die fortschreitende Entwick¬ lung des Zahlengebietes naturgemäß gegeben ist, sowie das dabei anzuweudende unterrichtliche Verfahren werden auch wei¬ terhin ungeänücrt bleiben; nur müßen die angewandten Aufgaben, in denen früher die alten Maße auftraten, künftig in den neuen Maßen ausgedrückt werden. Insofern incm die ersten Zahlen auch durch Würfel veranschaulichen will, was jedenfalls vortheilhast ist, sei bemerkt, dass es sich empfehlen wird, zu diesem Zwecke solche Würfel zu wählen, deren Dimensionen zu den neuen Maßen in einem einfachen Verhältnisse stehen. Da ein Kubikcenti- meter zu klein, ein Knbikdecimeter zu groß ist, so dürste es nm zweckmäßigsten sein, Würfel anzuwcnden, deren Kanten¬ länge 5 Centimeter beträgt. 2 solche Würfel stellen nach der Länge 1 Decimeter, 4 solche Würfel nach der Grundfläche 1 ssZDecimeter, 8 Würfel in gehöriger Zusammenstellung 1 Knbikdecimeter dar. Was deu Gang des weiteren Rechenunterrichtes betrifft, so ließ man früher auf das Rechnen mit unbemannten und einnamigen ganzen Zahlen gewöhnlich das Rechnen mit mehr¬ fach benannten Zahlen folgen und widmete dann eine oft unverhältnismäßig lange Zeit der Behandlung der gemeinen Brüche, während die Dezimalbrüche in vielen Volksschulen gar nicht, in anderen erst am Schluffe des Rechenunterrichtes, und 60 zwar als eine besondere Art der gemeinen Brüche an die Reihe kamen. Durch die Einführung der neuen metrischen Maße und Gewichte erhalten nun die eben genannten Rcchenftoffe eine wesentlich geänderte Bedeutung, die auch für ihre Anordnung maßgebend sein muß. Indem man künftighin im gewöhnlichen Leben nur selten mit gemeinen Brüchen, und selbst da nur mit kleineren Bruchzahlen rechnen wird, werden dagegen allgemein die Dezimalbrüche eine um so größere Wichtigkeit erlangen. Ohne Kenntnis der Dezimalbrüche ist der Bau des metrischen Maß- und Gewichtssystems nicht einmal gut verständlich, noch weniger kann ohne sie eine geschickte und vortheilhafte Anwen¬ dung desselben stattfinden Die Vergleichung der neuen und der alten Maße und die gegenseitige Umrechnung derselben ist mit Genauigkeit nur mit Hilfe der Dezimalbrüche ausführbar. Der Volksschule erwächst daher die Aufgabe, ihre Schüler, damit sie mit den neuen Maßen und Gewichten mit Verständnis und leicht rechnen können, frühzeitig mit der Dezimalrechnung vertraut zu machen, und zwar, sobald dieses durch die natür¬ liche Gliederung des Rechenunterrichtes zulässig erscheint. Die geeignetste Stelle erhalten nun die Dezimalzahlen unmittelbar nach den ganzen Zahlen, da sie eben nur eine Erweiterung unseres dekadischen Zahlensystems sind und in den Operazionen denselben Gesetzen folgen, welche die Schüler für ganze Zahlen kennen gelernt haben Wir werden daher künftighin auf das Rechnen mit ganzen Zahlen sogleich das Rechnen mit Dezimalzahlen folgen lassen. Das Rechnen mit mehrnamigen Zahlen, welches wir sodann vornehmen, gestaltet sich, wenn man die Papier-, Zeit- und Bogenmaße ausnimmt, durchgängig als Dezimalrechnen und findet in diesem seine natürliche Begründung. Den Schluss bilden die gemeinen Brüche, bei deren Behandlung wir jedoch stets die praktischen Bedürfnisse im Auge behalten werden. Soll übrigens der Unterricht im Bruchrechnen einen bil¬ denden und nachhaltigen Erfolg haben, so muß man ihm noch 61 einen Vorbereitungskurs vorausschicken, in welchem die Schüler zunächst im Rechnen mit solchen gemeinen Brüchen, deren Nenner kleine Zahlen sind, und deren Entstehung sich unmit¬ telbar veranschaulichen lässt, tüchtig geübt werden. Es ist dieß das Rechnen mit Halben, Vierteln und Achteln, mit Dritteln, Sechsteln und Zwölfteln, mit Fünfteln und Zehnteln. Abge¬ sehen davon, dass durch diese Vorübungen die sicherste Grund¬ lage für die allgemeine Bruchrechnung gewonnen wird, haben dieselben in Hinblick auf die neuen Maße und Gewichte, nach deren Einführung im gewöhnlichen Verkehr vorzugsweise nur noch Brüche mit kleinen Nennern vorkommen werden, auch den Dorthcil, dass die Schüler, indem sie durch einige Wochen ausschließlich Übungen mit einfachen Bruchzahlen vornehmen, gerade im Rechnen mit denjenigen Brüchen, welche im praktischen Leben am häufigsten auftreten, die vollste Geläufigkeit erlangen. Zu den bisher angedeuteten Rechenübungen treten noch die Umrechnungen der alten Maße in die neuen, und der Preise der ersten in die entsprechenden Preise der letzten dazu. Solche Derwandlungsaufgaben werden während der Übergangsperiode von den alten Maßen und Gewichten zu den neuen ihre beson¬ dere Wichtigkeit haben, später aber von selbst entfallen, sowie die Umrechnung der Konvenzionsmüuze in österreichische Wäh¬ rung, welche zur Zeit der Einführung der neuen österreichischen Geldwährung eine hervorragende Rolle spielte, gegenwärtig nur noch in sehr seltenen Fällen auftritt. In Beziehung auf die Umrechnung der Maße und Gewichte und ihrer Preise bemerken wir, dass für das gewöhn¬ liche Leben einzelne Maße und Gewichte von geringer Bedeu¬ tung sind, dass vorzugsweise nur die Kenntnis folgender 10 Näherungswerte allgemein nothwendig erscheint: 1 Fuß V,s Meter. 1 Elle —V, Meter; 1 Hs „ — Viv OMeter, 1 Joch — V? Hektar; 1 Kubikfuß — Vs- Kubikmeter, 1 Metzen— Vi-Hektol.; 1 Eimer — Hektoliter, 1 Maß — IVs Liter; 1 Pfund — V» Kilogramm, 1 Loth — 1'VtDekagr. 62 Diese Angaben müßen die Schüler nach und nach dem Gedächtnisse einprägen; zugleich werden sie geübt, aus denselben sofort auch die umgekehrten Derhältniszahlen abzuleiten. Z. B. Die Schüler wissen, dass 1 Elle — V» Meter ist; sie sollen nun rasch folgende Schlüsse bilden können: V» Meter — 1 Elle, V» Meter '/7 Elle, 1 Meter - °/7 Ellen IV7 Ellen. In deni voranstehenden haben wir die Übungsstoffe bezeichnet, welche beim Rechnen in den unteren und mittleren Klassen der Volksschulen durchzunehmen sind. In den oberen Klassen wird es sich darum handeln, die gewonnene Fertigkeit zu befestigen und insbesondere die Überleitung von dem eigent¬ lichen Schulrechnen zum Rechnen, wie es im Leben geübt wird, zu bewerkstelligen. Wiederholungsübungen über das Rechnen mit ganzen Zahlen, mit Dezimal- und gemeinen Brüchen, Dreisatz- und Umrechnungsaufgaben werden unter angemessener Erweite¬ rung des früher Gelernten den Ausgangspunkt bilden. Dann folgen Prozent- und Zinsrechnungen, Rechenübungen über die Gesellschafts-, Mischlings- und Kettenrechnung, einige leichtere Aufgaben über die Berechnung der Münzen, Wechsel, Staats¬ papiere und Akzien. Den Abschluss bilden Aufgaben, die ans den verschiedenen Berufszweigen hergenommen und nach ihrem Inhalte zusammengestellt find; in Mädchenschulen werden haus¬ wirtschaftliche Aufgaben, in Landschulen landwirtschaftliche, in Stadt- und Marktschnlen gewerbliche und einfache kaufmännische Rechnungen vorzugsweise zu berücksichtigen sein. Es ist selbst¬ verständlich, dass alle angewandten Aufgaben weiterhin auf die neuen Maße und Gewichte bezogen werden müßen. Was endlich die Flachen- und Körperberechnungen betrifft, so werden diese mit der geometrischen Formenlehre an den geeigneten Stellen in Verbindung zu bringen sein. 3. Lehr- und Lernmittel für den Rechennnterricht. Für die Maße und Gewichte werden ganz neue Lehrmittel beigeschafft werden müßen; die übrigen Versinnlichungsmittel, 63 die bisher beim Rechenunterrichte mit Erfolg angewendet wurden, sind auch weiterhin beizubehalten. Wir führen nachstehend nur den wesentlich erforderlichen und für jede Volksschule unabweisbar beizustellenden Lehr¬ apparat an: a. Zur Veranschaulichung der Zahlen: Die russische Rechenmaschine. 20 Würfel aus Holz von je 5 Centimeter Kantenlänge. Drei Wandtabellen zur Versinnlichung der Zahlen bis 10, bis 100 und bis 1000. b. Zur Veranschaulichung der Maße und Gewichte: Eine Wandtafel mit Abbildungen der neuen österreichischen Maße und Gewichte in natürlicher Größe. *) Ein Meterstab mit der Eintheilung in Decimeter und Centimeter. Bandmaße aus Metallblech von 2, 5 oder 10 Meter- Länge. Ein Quadratmeter auf Pappendeckel mit der Eintheilung in Quadratdecimcter; ebenso ein Quadratdecimeter mit der Eintheilung in Quaöratcentimeter und ein Quadratcentimeter mit der Eintheilung in Quadratmillimeter. Ein zerlegbares Kubikdecimcter von Holz, bestehend aus 9 Platten von 1 Decimeter Länge, 1 Decimeter Breite und 1 Centimeter Dicke, aus 9 quadratischen Säulen von 1 Deci¬ meter Länge, 1 Centimeter Breite und 1 Centimeter Dicke, endlich aus 10 Knbikcentimetern. *) Besonders empschluugswürdig als Wandtafel ist „das neue österreichische metrische Maß und Gewicht" von Ern. Matthcy- Quenet; Selbstverlag des Verfassers in Graz, in Kom¬ mission bei Sallmayer L Co. in Wien. Preis 80 kr., für Schulen 'bei Abnahme von größeren Partien nur 48 kr. Ein hohles, oben offenes Kubikdecimeter von Blech. Ein Liter, ein Halbliter und ein Deciliter als Flüssig¬ keitsmaße. Ein Liter, ein Halbliter, ein Deciliter und ein Halb¬ hektoliter als Getraidemaße. Eine Wage mit den Kilogrammgewichteu. 6. Zur Veranschaulichung der Münzen: Eine Wandtafel mit Abbildungen der österreichisch-unga¬ rischen Gold- und Silbermünzen. ä. Als Lernmittel für die Hand der Schüler dienen endlich Rechenbücher, welche für die neuen Maße und Gewichte eingerichtet sind. Es sei hier bemerkt, dass über Anord¬ nung der hohen Regierung die im k. k. Schulbücherverlage in Wien erschienenen Rechenbücher für Volksschulen durchgängig nach der neuen österreichischen Maß- und Gewichtsordnung umgearbeitet wurden. Inhalt. Skite I. Einleitung ... 3 II. Das Dezimalsystem 9 III. Das französische metrische System 12 IV. Die neue österreichische Maß- und Gewichtsordnung ... 20 V. Dortheile der neuen Maß- und Gewichtsordnung.... 24 VI. Das Retnen mit Dezimalzahlen . 27 VII. Das Rechnen mit den neuen Maßen und Gewichten ... 35 VHI. Umrechnungsaufgaben 44 IX. Die neuen Maße und Gewichte und der Rechenunterricht in der Volksschule . Druck von Karl Gorischek in Wien. Zm k. k. Lchulbücher-Mrlage sind von dem solde« Verfasser erschienen: Ei lies Rechenbuch für Volksschulen, broschiert, 6 Kr. Zweites ReHenbnch für Volksschulen, broschiert, 8 ^r Drittes Rechenbuch für Volksschulen, broschiert, 11 Kr. Biertes Rcchcnbilch sür'Volksschulen, broschiert, 12 Kr. Aiiustcs Rechenbuch für Volksschulen, mit Leinwandrücken, 32 Kr. Für Lehrer: Anleitung zum Gebrauche des ersten Rechenbuches, mit Leinwandrücken, 20 Kr. Anleitmig zum Gebrauche des Mite» Rechenbuches, mit Leinwandrucken, 27 Kr. Anleitung zum Gebrauche des dritten Rechenbuches, mit Leinwandrucken, 42 Kr. T ruck von Karl yorischek in Ri»n.