Analiza prehodnega pojava pri merjenju lezenja viskoelastičnih materialov Analysis of the Transient Phenomena in Creep Experiment of Viscoelastic Materials R. Cvelbar, I. Emri, Fakulteta za strojništvo, Laboratorij za eksperimentalno mehaniko, Aškerčeva 6, Ljubljana Predstavljena je analiza prehodnega pojava pri izvedbi meritve modula lezenja viskoelastičnih materialov. Merilni sistem je popisan s šestmasnim mehanskim modelom. Pripadajoča diferencialna enačba je rešena za primer začetnih in robnih pogojev, ki zadovoljivo popišejo razmere v fazi obremenjevanja preizkušanca. Izdelan je kriterij (model), ki omogoča optimalno izbiro hitrosti (časa) obremenjevanja. Kriterij je eksperimentalno preverjen. Primerjava meritev s teoretičnim popisom prehodnega pojava potrjuje pravilnost postavljenega modela. Ključne besede: Lezenje, relaksacija, prehodni pojavi, dinamika The analysis of transient phenomenon in creep experiment of viscoelastic materials is presented. The test ing apparatus has been m ode led as mechanical system with six degree offreedom. The derived differential ecjuation of motion has been solvedfor prescribed boundary and initial conditions. An simple criterion, which enables selection of the optimal speed of loading, has been developed. The proposed criterion has been tested experimentally. The comparison of the theoretical and ex-perimental results has confirmed the correctness of the analytičal model. Key words: Creep, relaxation, transient phenomena, dynamics 1 Uvod Polimerni in kompozitni materiali postajajo vse pomembnejši tudi na inženirskih področjih. Uporaba teh viskoelastičnih materialov za izdelavo konstnikcijskih elementov, obremenjenih s temperaturo, vlago in/ali mehansko obremenitvijo, zahteva dobro poznavanje njihovih mehanskih lastnosti. Mehanske lastnosti viskoelastičnih materialov pri konstantnih robnih pogojih popisujejo materialne funkcije; v primeru strižne obremenitve sta to funkciji (modula) lezenja J(t) in re-laksacije G(t). Modula sta definirana kot odziv materiala na koračno obremenitev, ki je za modul lezenja napetost in za modul relaksacije deformacija V nadaljevanju se bomo omejili na analizo procesa merjenja modula lezenja pri strižni obremenitvi. Lezenje tipičnega konstrukcijskega materiala (konstrukcijski materiali so običajno zamreženi), izpostavljenega obremenitvi, se pri sobni temperaturi po približno 109 sekund (cca. 10 let) praviloma stabilizira. Merjenje modula znotraj takega časovnega intervala je v praksi zelo težko izvedljivo in to iz dveh razlogov. Prvič: v fazi tehnološkega postopka je material izpostavljen obremenitvam v obliki hitrih sprememb temperature in tlaka, kar ima za posledico počasno spreminjanje vseh fizikalnih lastnosti materiala; fenomen poz- namo kot fizikalno staranje materiala3. Pojav je posebno izrazit v bližini temperature faznega prehoda. V primeru merjenja funkcije lezenja v daljšem časovnem intervalu bo prišlo do interakcije obeh procesov. Rezultati, ki jih dobimo, so zato neuporabni. Drugič: natančno vzdrževanje konstantnih izo-termnih in vlažnostnih pogojev pri tako dolgi meritvi je tehnično izjemno zahtevna naloga. Obema problemoma se izognemo z uporabo principa superpozicije časa in temperature4 . V skladu s tem principom izvršimo meritve znotraj krajših časovnih intervalov pri različnih temperaturah. Tako dobljene segmente nato premaknemo vzdolž logaritemske-časovne skale in konstruiramo sumarno krivuljo-funkcijo lezenja. Da se izognemo opisanim težavam morajo biti posamezne meritve ustrezno kratke; optimalna dolžina posameznga segmenta je okoli štiri dekade. Zahtevo po čim "krajši" meritvi, lahko izpolnimo tako, da čas meritve premaknemo čim dalj v smeri negativne logaritemske skale. V realnem času to pomeni, da moramo pričeti z merjenjem čim bliže trenutku t = 0, ko obremenimo preizku-šanec. Če bi z meijenjem pričeli v trenutku t = 10 4 sekunde, bi štiri dekade dolgo meritev izvedli že v eni sekundi. Na žalost te zahteve ni mogoče enostavno izpolniti, ker naletimo na vrsto problemov. Nekaj teh problemov je analiziranih v nadaljevanju. 2 Opis problema V skladu z linearno teorijo viskoelastičnosti je strižni modul lezenja J(t) definiran kot odziv materiala na koračno obremenitev v obliki strižne napetosti. Koračne obremenitve v praksi ne moremo izvesti, zato jo simuliramo z ramp funkcijo, i.e., preizkušanec obremenimo do željenega napetostnega stanja ct0 z izbrano hitrostjo čr0 = cto / to , kjer je to čas obremenjevanja. Začetni del meritve je zaradi te zamenjave do časa, pri katerem je odziv sistema na obremenitev v obliki ramp funkcije enak odzivu, ki ga dobimo pri koračni obremenitvi, neuporaben 5. S povečevanjem hitrosti obremenjevanja se ta časovni interval neuporabne meritve zmanjšuje proti nič. Istočasno rast hitrosti obremenjevanja povečuje lastno nihanje preizkušanca in merilne naprave. Tako nastopi območje prehodnega pojava, znotraj katerega so rezultati meritve neuporabni. Z zmanjševanjem hitrosti obremenjevanja se bo intenziteta nihanja zmanjševala proti nič. Napaka meritve je torej sestavljena iz napake zaradi zamenjave obremenitve v obliki koračne funkcije z ramp funkcijo in napake, ki se pojavi zaradi nihanja celotnega merilnega sistema. Časovni interval, znotraj katerega so rezultati meritve neuporabni, je torej pogojen z obema pojavoma. Če hitrost obremenjevanja povečujemo, bo prevladovala napaka zaradi nihanja sistema, v primeru zmanjševanja hitrosti obremenjevanja pa napaka zaradi zamenjave koračne funkcije obremenitve z ramp funkcijo. Prvi problem je čisto teoretične narave (izhaja iz definicije modula lezenja), zato je za samo izvedbo meritve pomembnejši problem prehodnega pojava, i.e., problem nihanja celotnega merilnega sistema. V nadaljevanju je podana analiza prehodnega jx>java pri meijenju strižnega modula lezenja za merilne naprave, pri katerih je obremenitev realizirana s pomočjo uteži. Predstavljen je analitični model, ki omogoča izbiro optimalnega časa obremenjevanja danega preizkušanca. Kot primer je analiziran prehoden pojav na merilni napravi-torziometeru, ki je bil razvit in izdelan v laboratoriju, kjer delata avtoija tega prispevka6. 3 Opis merilne naprave in mehanskega modela Na sliki 1 je shematično prikazan primer naprave za merjenje strižnega modula lezenja, kjer je torzijska obremenitev realizirana s pomočjo uteži. Na shemi je prikazan samo tisti del naprave, ki služi za ustvarjanje torzijskega momenta in meijenje deformacije preizkušanca. Ostali deli merilne naprave (komora za zagotavljanje izotermnih in konstantnih vlažnostnih pogojev ter sistem za zbiranje podatkov), ki ne vplivajo na potek prehodnega pojava, niso prikazani. Detaljni opis celotne naprave je podan drugje 6. Mehanski model merilne naprave je prikazan na sliki 2. Ii in Is popisujeta vpliv uteži za napenjanje vrvice, I2 in I4 vpliv masnih vztrajnostnih momentov ležajev vrvice, I« maso za obremenjevanje, I3 pa masni vztrajnostni moment elementov, na katere je vpet preizkušanec (na sliki 1 so ti elementi označeni z D, E, I, J, K, L, M in N). ki, k2, le«, ks, in k* so togosti posameznih delov merilne vrvice med masnimi elementi. k3 predstavlja torzijsko togost preizkušanca, ki je bil jeklena paličica (elastično telo) konstantne togosti, ker nas zanimajo dinamične lastnosti merilne naprave. C - vodilo G - merilna vrvica H - ležaj merilne vrvice B - zgornja čeljust A - preizkušanec D - spodnja čeljust H - glavni ležaj I - obremenitveno kolo J - torno kolo l<_- torni drog L - merilni ležaj proti utež F - utež O - utež za obremenjevanje P_- naprava za obremenjevanje x1(s) x2(s) x3(s) f(s) ki L s o O 1 k2 I, s C] 2 Is'. Q3 x5(s) X (s) x4(s) k4 ks A3 m4 k6 □ L S' 6 Slika 2. Mehanski model naprave za meijenje lezenja. Figure 2. Mechanical model diagram of the creep apparatus. 4 Analitična določitev kriterija za izbiro optimalne hitrosti obremenjevanja Gibalna enačba opisanega modela je v Laplace-ovem prostoru podana v obliki, (1) Slika 1. Shema naprave za meijenje lezenja. Figure 1. Schematic ofthe apparatus for creep compliance measurements. kjer je [1] masna matrika, {x(s)} vektor generaliziranih pomikov, [k] togostna matrika in {f(s)} vektor generaliziranih vzbujevalnih sil. Obremenitev preizkušanca s torzijskim momentom izvedemo z maso 16 , ki jo spustimo z napravo za spuščanje. Sistem je ob času nič in v fazi obremenjevanja izpostavljen razmeram, ki jih popisuje komplet robnih in začetnih pogojev za časovni interval 0< t to. Robni pogoji sil vzbujanja za prvih pet mas ostanejo nespremenjeni, robni pogoj šeste pa je Fo6 = L g- Ko rešimo sistem za čas t > to in če zanemarimo vpliv višjih lastnih frekvenc, ker prispevajo manj kot 2% 7, dobimo rešitev za deformacijo preizkušanca: x (t) = mS] K.. 1 + sin(fl>, (t -10))~ sin( a j) ) (3) kjer je m3i element modalne matrike [M], ®i je prva (najnižja) lastna frekvenca, K„ je element togostne matrike, F01 pa sila vzbujanja prve mase v sistemu glavnih koordinat. Kot merilo intenzitete prehodnega pojava definiramo koeficient 4,(0= 3 jnax ijt 2sin(0.5«,/o) (4) kjer je x3>m ax—MAX{X3(t)}, X3)st pa velikost statične deformacije preizkušanca pri dani obremenitvi. Spreminjanje intenzitete prehodnega pojava (stopnje prenihanja) v odvisnosti od časa obremenjevanja je na sliki 3 prikazano s črtkano črto. Na isti sliki je s polno črto prikazana tudi ovojnica funkcije (4), ki povezuje točke največjih odstopanj. Enačba ovojnice je (0 = — pr. max x 0 ' (5) S Eksperimentalna verfikacija modela Predlagani kriterij za izbiro optimalne hitrosti obremenjevanja preizkušanca smo preverili na napravi za merjenje procesa lezenja torzijsko obremenjenih preizkušancev, predstavljeno v poglavju 3. Zanimale so nas dinamične karakteristike preiz-kuševalnega sistema, zato smo meritve izvedli z okroglim elastičnim kovinskim preizkušancem 7, premera 1,47 mm in dolžine 57 mm. Na sliki 3 so prikazani rezultati meritev stopnje prenihanja (prvega prenihaja) v odvisnosti od časa obremenjevanja to. Masa obremenjevanja je bila enaka 22,56 grama. Analitično določene stopnje prenihanja 100 o 90 m 80 C 70 CD C BO 50 0) a. 40 ra C 30 o. o 20 D 10 0 V3 [ \ k— \ -j n 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Čas vzbujanja t0(s) 4.5 in predstavlja kriterij za izbiro optimalne hitrosti obremenjevanja preizkušanca. Analiza postavljenega kriterija in primerjava z meritvami prehodnega pojava na napravi, opisani v poglavju 3, je podana v razpravi. Slika 3. Primerjava izmeijenih in izračunanih stopenj prenihanja. Figure 3. Comparison of the measured and analytically predicted levels of overshooting. 6 Diskusija in sklep Ovojnica na sliki 3, ki povezuje točke največjih odstopanj, prikazuje predikcijo stopnje prenihanja v odvisnosti od časa obremenjevanja. Enačba ovojnice (5) predstavlja kriterij za izbiro optimalnega časa obremenjevanja. Pri izbrani dopustni stopnji prenihanja lahko iz enačbe (5) izračunamo minimalni potrebni čas obremenjevanja. Iz oblik funkcij (4) in (5) predstavljenih na sliki 3, je razvidno, da bo dejanska analitično predpostavljena stopnja prenihanja (4) manjša ali pa enaka tisti, ki jo predpisuje predlagani kriterij (5). Na sliki 3 so prikazani tudi rezultati meritev stopnje prvega prenihaja v odvisnosti od časa obremenjevanja to. Sistem za spuščanje uteži (masa 6) ni omogočal natančne izbire hitrosti obremenjevanja, zato rezultati meritev niso enakomerno porazdeljeni. Iz slike je razvidno, da so glede na analitično rešitev (4), prikazano s črtkano črto, izmerjene vrednosti zamaknjene. Do zamika pride zaradi prisotnosti dušenja, ki ga v analitični rešitvi nismo upoštevali. Na isti sliki je s polno črto vrisan tudi predlagani kriterij. Ujemanje z rezultati meritev je dobro. Na osnovi predstavljene analize lahko sklenemo, da predlagani kriterij dobro popiše prehodni pojav in ga lahko uporabimo za določitev optimalne izbire časa (hitrosti) obremenjevanja pri izvedbi meritev lezenja. Ta kriterij bo kot nadgradnja vključen v programski paket za krmiljenje meritev torzijskega lezenja na predstavljeni napravi. 7 Literatura 1 N.W. Tschoegl. The Phenomenological Theory of Linear Viscoelastic Behavior, Springer-Verlag, Berlin, 1989 2 J.J. Aklonis, W.J. MacKnight. Introduction to Polimer Vis-coelasticity, Second Edition, John Wiley and Sons, New York, 1983 3 L.C.E. Struik. Physical Ageing in Amorphous Polymers and Other Materials, Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, 1978 4 M.L. Williams, R.F. Landel, J.D. Ferry, J. Am. Chem. Soc.,77, 3701-3712 (1955) 5 I. Emri, Strojniški vestnik, 78, 140-146 (1985) 6 P. Metlikovič (Magistrska naloga). Analiza procesa lezenja viskoelastičnih materialov pod vplivom strižne obremenitve, Fakulteta za strojništvo, Ljubljana, 1989 7 R. Cvelbar (Diplomska naloga), Analiza prehodnega pojava pri merjenju lezenja viskoelastičnih materialov, Fakulteta za strojništvo, Ljubljana, 1992