f


UNIVERZA V LJUBLJANI

EKONOMSKA FAKULTETA

MARIJAN BLEJEC

STATISTIČNE METODE ZA EKONOMISTE

Druga, predelana in razširjena izdaja

OBRAZCI, POSTOPKI IN TABELE

LJUBLJANA 1975




































UNIVERZA V LJUBLJANI

EKONOMSKA FAKULTETA

MARIJAN BLEJEC

STATISTIČNE METODE ZA EKONOMISTE

Druga, predelana in razširjena izdaja

OBRAZCI, POSTOPKI IN TABELE

LJUBLJANA 1975

265618

Izdala in založila Ekonomska fakulteta v Ljubljani
Natisnila Univera itetna tiskarna v Ljubljani
Natisnjeno 1000 izvodov

PREDGOVOR

Pri praktični uporabi statističnih metod pogosto potrebujemo le ustrezen obrazec, po¬
stopek ali tabelo, ne pa natančnega opisa metode in teoretičnega ozadja ali zgleda.
Za primer, ko že obvladamo statistične metode, pa potrebujemo ustrezen obrazec,po¬
stopek ali tabelo, je namenjena Zbirka obrazcev, postopkov in tabel, ki je sestavlje¬
na na osnovi učbenika M. Blejec: Statistične metode za ekonomiste, Ekonomska fakul¬
teta v Ljubljani, 1973.

Obrazci so označeni z istimi številkami kot v učbeniku, le da ne tečejo tekoče po
vrstnem redu, ker so nekateri izpuščeni. V kolikor je že iz obrazca mogoče razbrati
postopek, je dan samo obrazec z oznako simbolov, v nasprotnem primeru pa je podrob¬
neje podan postopek za uporabo določene metode.

M. Blejec

Ljubljana, junij 1975

- 1 -

KAZALO

Str.

OBRAZCI IN POSTOPKI

Relativna števila ..   7

Frekvenčne porazdelitve. 11

Kvanti li. 12

Srednje vrednosti.    15

Mere variacije, asimetrije in sploščenosti. 22

Mere koncentracije. 32

Agregatni indeksi. 34

Normalna porazdelitev.  42

Vzorčenje-veliki vzorci. 47

Vzorčenje-mali vzorci.'. 60

Preskušanje domnev.   72

Statistična analiza odločitev. 81

Proučevanje odvisnosti med množičnimi pojavi. 84

Statistično preverjanje kakovosti. 119

Statistično načrtovanje poskusov. 122

Proučevanje dinamike pojavov-časovne vrste. 129

TABELE

Tabela A-B Normalna porazdelitev.- 153

Tabela C t-porazdelitev.  155

- 3 -

Str.

Tabela Č ^-porazdelitev. 156

Tabela D F-porazdelitev.   157

Tabela £ Studentiziran razmik q = (y - y . )/s . 160

v  max mm y

Tabela F Preskus z mediano. 161

Tabela G Preskus s predznačenimi rangi - Wilcoxonov preskus. 162

Tabela H Preskus z vsoto rangov - Man-Withneyev preskus. 163

Tabela 1 Preskus s sekvencami... 164

Tabela J Fisherjeva transformacija Z=-^- In ^—— . 165

Tabela K Ortogonalni polinomi binomskih funkcij. 166

Tabela L Slučajnostna števiia. 169

Tabela M Logaritmi tromestnih števil. 171

- 4 -

OBRAZCI IN POSTOPKI

ŠESTO POGLAVJE
RELATIVNA ŠTEVILA

Strukture ali razčI en i tvena Števila

Enostavne strukture

Strukturni deleži

Y y y

Y° = ; Y ] % = 100~  ;  y i %o = 1000 -^- (6.1)

Pri tem je podatek za del populacije, Y podatek za populacijo, Y° strukturni
koeficient, Y^ %  strukturni odstotek, Y 1 %o pa strukturni delež, izražen v promilih.

Dvojne strukture

Splošne zveze za dvojne strukture

6.6

te N.

Simbolično moremo vse možne deleže dvojnih struktur nakazati takole: Če z
N.„ zaznamujemo kombinacijsko tabelo za število enot in ustrezne robne vso-

X N ad  : N c  = 21 N, n  : N = X N, =E N. zapišemo splošno kombina-
g Ati D a Ati A A B B

cijsko tabelo z vsotami takole

( 6 . 2 )

- 7 -

Ustrezni strukturni deleži na celotno populacijo so

Vrstične ali stolpične strukturne vrste zapišimo takole

( 6 . 3 )

( 6 . 4 )

( 6 . 5 )

P A/B  pomeni strukturne vrste po znaku A pri pogoju, da se podatki nanašajo nc
posamezno vrednost B in

P B/A stru ^ turne vrste  P° zna ^ u  B za posamezne delne populacije po znaku A.

Iz gornjih tabel dobimo naslednje zveze:

N'

N

N

AB

N,

N

AB

N.

N

N.

( 6 . 6 )

AB

P B ‘ P A/B ~ P A • P b/A

iz te zveze pa dobimo dalje obrazec

P

AB

B/A P,

: B • A /B

P B ' P A/B

( 6 . 7 )

- 8 -

Stavek o množenju verjetnosti za odvisne dogodke

Pr (A D B) =Pr(B) . Pr(A/B) = Pr (A) . Pr(B/A)

Bayesov obrazec za inverzno verjetnost

( 6 . 8 )

Pr(B/A) = ^- B i :

g- Pr(B).Pr(A/B)

Strukturni krogi

Preračun strukturnih defežev Yj% v ločne stopinje Sf

st

Y 1  = 3,6 Y 1  %

Y^ = 1,8 Y 1 %

Razmerje med radiji strukturnih krogov '

(6.9)

( 6 . 10 )

( 6 . 11 )

Pri tem pomeni: = znan radij kroga, ki ustreza podatku Y ■  ^ = radij kroga po

datek Y^.

Statistični koeficienti in gostote
Računanje poprečij

X = y-  (X 1  + X 2 + ... + X f ) (6.13)

X = — (4- X +X.+  ...  + X ,4x  ) (6.14)

r Z  o l r~ J z r

Statistični koeficient

Y E

K = ■■■ _ ■ -•  (6.15)

X . i

pri čemer pomeni: K = koeficient, Y = razmični podatek, X = poprečje za trenut¬
ni podatek i =dolžina časovnega razdobja, za katerega računamo koeficient,

E = 100, 1000, 10000, odvisno od tega, na koliko enot trenutnega podatka se nana¬
ša koeficient.

- 9 -

Enostavni indeksi

Enostavni indeks

l 1/0  = 100 . Y 1 A 0  (6.10)

Pri tem pomeni: = podatek, ki ga primerjamo s podatkom Y q . Y q  = podatek, na ka

terega primerjamo. Podatek, na katerega primerjamo, imenujemo bazo ali osno
v o indeksa.

Verižni indeks

'k ■ 100  • Vh < 6 -’»

Pri tem pomeni: Y, = tekoči podatek: Y^ ^ = podatek za predhodni člen; 1^ = veriž¬
ni indeks.

Preračun indeksov na drugo osnovo

J = i 00 (6.12)

yq

- 10 -

SEDMO  POG  L A V J E
FREKVENČNE PORAZDELITVE

Gostota frekvence  g^_

9 k = f k /! k

f^ = frekvenca v razredu k ; = širina razreda k ;

Relativna frekvenca f?_

- k

(7.1)

- 11 -

OSMO POGLAVJE

KVANTIH

Kvantilni rang P

R = rang ,
K v g n t r I j

Mediana  Me

Kvartili

Decili

R = NP + 0,5

P =

R - 0,5
N

Me

y P=0.50

Q 1 y P=0.25 ; Q 2 y P=0.5o ; Q 3 ~ y P=0.75

( 8 - 1 )

( 8 . 2 )

(8.3)

(S.4)

°1  y 0 , l 0  ' °2  y 0,20

°9 y 0,90 ( 8 ‘ 5 )

Centili

C 1 y 0,01 C 2 y Q,02. C 98 y 0,98 !n< “99 y 0,99 ( 8-6 )

Izračun kvartilnih rangov  P iz negrupiranih podatkov

a) Imamo ranžirno vrsto vrednosti enot populacije.

b) V ranžirni vrsti poiščemo, med kateri vrednosti Yq  in pcde vrednost y, za kate

- 12 -

ro iščemo P , tako da velja: yQ^ y <y-| • Vrednosti y^ naj ustreza rang Rq.

c) Rang R , ki ustreza vrednosti y, dobimo z linearno interpolacijo po obrazcu

R = R n  +

y ~ y 0

y l' y 0

(3.7)

d) Kvantilni rang P^ izračunamo iz ranga R^ in obsega populacije po obrazcu

R - 0,5

P =—Z_

y N

Izračun kvanti lov  yp iz negrupiranih podatkov

( 8 . 8 )

a) Za populacijo imamo ranžirno vrsto.

b) Iz danega P po obrazcu

R p  = NP+ 0,5

(8.9)

izračunamo ustrezni rang R.

c) V ranžirni vrsti poiščemo, med katera cela ranga pade izračunani Rp, tako da ve-
Ija: R q $R^<R^  .Rangoma R q  in R^ ustrezata vrednosti y in y^ .

d) Iz teh podatkov izračunamo z linearno interpolacijo kvantil yp po obrazcu:

y P  = y 0 + ‘ y o )  • (R p" R o }  (s• 1  o)

Ocena kvantilnega ranga Piz frekvenčne porazdelitve

a) Iz frekvenčne porazdelitve izračunamo kumulativno frekvenčno porazdelitev F^.

b) Poiščemo, v kateri razred pade vrednost y za katero iščemo kvantilni rang P . Ta
razred imenujemo kvantilni razred in ga zaznamujmo z o . Zanj izpišemo iz frekvenč¬
ne porazdelitve ustrezne vrednosti:

'o,min o o o

c) Iz gornjih vrednosti izračunamo vrednosti y ustrezni rang R^ po obrazcu:

- 13 -

y - y

R = p + f -—PHH

y  o o i

( 8 . 11 )

d) Iz dobljenega ranga pa Izračunamo kvantilni rang P^ po obrazcu:

R - 0,50
p  = _l _

N

( 8 . 12 )

Ce je obseg populacije N velik, iz obrazca 8.12 običajno izpuščamo 0,5, ker je ta
kol ičina za velike populacije nebistvena.

Postopek velja fudi'za frekvenčne porazdelitve z različnimi širinami razredov.

Ocena kvanti lov y iz frekvenčne porazdelitve

a) Iz frekvenčne porazdelitve izračunamo kumulativno frekvenčno porazdelitev Fr.

b) Iz danega P izračunamo ustrezni rang Rp po obrazcu

R = NP+0,5
P

( 8 . 12 )

Če je populacija velika, v obrazcu 8.13 izpustimo 0,5.

c) V kumulativni frekvenčni porazdelitvi poiščemo, med kateri vrednosti kumulativ¬
ne vrste pade R, tako da ie: F < R D  < F, . F ustrezen razred je kvantilni razred.
‘OrlO

Zanj poiščemo v frekvenčni porazdelitvi količine:

y . , i , f in F .
o,mm o o o

d) Iz teh količin izračunamo ustrezni kvantiI y po obrazcu:

v

y - + i

'o,min o

R n  ~  F
P o

(8.13)

Enako kot za kvantilne range velja nakazani postopek tudi za frekvenčne porazdelitve
z različnimi širinami razredov.

- 14 - •

deveto pog lavje

SREDNJE VREDNOSTI

Mediana

Me = y p

‘50

N

£ I y. - Al = min ; če je A = Me (9.1)

Modus

izračun

a) Podatke imamo grupirane v frekvenčni porazdelitvi z razredi z encko širino i. Razre¬
di morajo biti tako veliki, da frekvenčna porazdelitev izraža zakonitost gostitve frek¬
venc.

b) V frekvenčni porazdelitvi poiščemo razred z največjo frekvenco f ^ < f > f + ^ . Raz¬
red z največjo frekvenco (o) imenujmo modalni razred.

c) Modus izračunamo po obrazcu

f  - f t

„ _ , . o -1

M = y . + l -rrr—j—;-

o 'o.mm zr -t,-r. n

o-l -r|

(9.2)

Pri tem pomeni razen že navedenih izrazov: y. . = spodnja meja za modalni razred.

0,min ‘

- 15 -

Aritmetično sredi n o

M y ~ TJ +  y 2  +  ••• + >'N )= Fr J-. y i  "TT (9 - 3)

1=1

Pri tem pomeni: M = aritmetična sredina. Znak M včasih zamenjamo z znakom y

N y y

(y prečna) ; ^ y.=Y = vsota vseh vrednosti v populaciji; £ = splošen znak za seštevcr,je

izraza, ki stoji za njim; y. = posamične vrednosti. Nakazane oznake uporabljamo na
splošno.

a) Aritmeti čna sredina je izpeljana ob predpostavki, da je vrednost y za posa
mezno enoto vsota rezultatov splošnih (M) in posamičnih vplivov (e)

y. — M + e.

i i

b) Aritmetična sredina za linearno zvezo iz več znakov

u = a +
o

r

I

k=l

k y k

(9.4)

(9.5)

ie enaka linearni zvezi iz aritmetičnih sredin

u =a + T  a. y ; M =a + 7 a M,

d Ir • Ir  '1 O ir

O U ' Ir

k=l k k

U  ° k=l * *

(9-6)

M =a
a

(9.7)

Poprečje konstante je enako konstanti in

M, = b.M (9.8)

by y

poprečje znaka, pomnoženega s konstanto, je enako produktu konstante s poprečjem
znaka.

- 16 -

c) Vsota odklonov posamičnih vrednosti y. od aritmetične sredine My je nič

N

I (y. - M ) = 0
=i 1  Y

( 9 . 9 )

d) Vsota kvadratov odklonov posamičnih vrednosti y. od neke konstante A je najmanj¬
ša, če jo A enak aritmetični sredini M

N

SK = £. (y. -A)“; če je: A = M

( 9 . 10 )

e) Sumarno critmetično sredino populacije M izračunamo iz aritmetičnih sredin M, del-

k

nih populacij z obsegi N. po obrazcu,

M =

N, M. + N„M„ + ... + N M
i I _ 2.  2 _ r r

N, + N 0 + + + N
1 2 r

Y  N,M.
k=l K k

L,

N,

■?rS N k M k

Ta način za računanje aritmetične sredine imenujemo tehtano računanje

Splošen obrazec za izračun tehtane aritmetične sredine

M

M k

( 9 . 12 )

Pri tem pomeni: = teža - ponder

Izračun aritmetične sredine iz frekvenčne porazdelitve

neposredna metoda

M =
/

M

y

Vi +f 2 y 2 +  ••• +  V

f + f + ... + f
1 2 r

= Tj ( Vl +  V 2 +  " + f r

- 17 -

y k

= sredina razreda ; f. = frekvenca ; Y = vsota vrednosti v odprtem razredu

Izračun s pomožnim znakom u

y k =  y 0  T  ■ • u k

( 9 . 15 )

M = v + iM
y 'o  u

( 9 . 16 )

M — y + i . -1— f u

y  ® n  L Vk

( 9 . 17 )

yo~ sredina razreda , ki je približno v sredini frekvenčne porazdelitve
Izračun s kumulativami

a) Iz frekvenčne porazdelitve izračunamo iz f, kumulativno frekvenčno porazdeli

tev F k .

b) Seštejemo člene v kumulativni vrsti, razen zadnjega, ki leži pod črto, ki pomeni ob¬
seg populacije N. Vsoto členov iz kumulativne vrste zaznamujemo s C.

c) Aritmetično sredino izračunamo iz dobljenih podatkov po obrazcu

M = v - i . -j“r-
y ' a  N

( 9 . 17 )

Pri tem pomeni: y Q  -sredina zadnjega razreda v frekvenčni porazdelitvi; i = širina
razreda ; C = vsota členov v kumulativni vrsti; N = obseg populacije.

Aritmetična sredina aritmetičnih sredin

M =

^ N k M k

X N k

M,

Iw k R k

R

( 9 . 18 )

( 9 . 19 )

Pri tem pomeni: = tehtana aritmetična sredina količin R^, = ponder-teža za

posamezne vrednosti R. .

- 18 -

H a r m o n i č na sredina H

H =

1


N

1

y 2

N

( 9 . 20 )

H =

W 1
Wl

+ w,

W2

. . +'W

Poprečja iz relativnih štev?!

=  V x k

( 9 . 21 )

( 9 . 22 )

moremo ta obrazec pisati v več oblikah. Iz njega dobimo, da je

in

Y k = x k R k

y k /R

k

lY k

IX

R

K R k

I X k

R

IV R

( 9 . 23 )

( 9 . 24 )

( 9 . 25 )

( 9 . 26 )

( 9 . 27 )

- 19 -

Odvisnost- sumarnega relativnega števila od sestave ponderov

Če preuredimo obrazec 9.26, dobimo

R «■

£x i r i<

— X, <-

-Lx°i<

k‘'k

Podobno dobimo iz obrazca 9.27

(V. 28)

R =

Y

T\7\


T^ž\

(9.29)

Pri tem pomeni: strukturni delež za grupni podatek X^_ ; =Y^/Y

strukturni delež za grupni podatek Y^.

Geometrijska sredina G

N

G =  7 y i ■ y 2

'N

(9.30)

Iz te opredelitve sklepamo, da ima smisel računati'geometrijsko sredino le tedaj, če no¬
ben izmed členov ni negativen ali nič.

I w k

G =.

w*j w2 w

1 • y 2  ' ‘' y r

(9.31)

k =lVk 2 .k N  (9-35)

- 20 -

N

k =

'/v 77

1  N 7  c

(9.36)

ali splošneje

(9.37)

k. , k„ , k„ ....  kKi  = posamični koeficienti dinamike - r  Y = Y t  = začetna vred-
l Z o  IN  o T o

nost pojava •,  = končna vrednost pojava

Odnosi med različnimi vrstami srednjih vrednosti

Mo = M - 3. (M-- Me)

(9.36)

- 21 -

DESETO POGLAVJE

MERE VARIACIJE, ASIMETRIJE IN SPLOŠČENOSTI

Voriocijski razmik R

R = y - y .

' max min

Kvartilni odklon Q

Q-T (< V Q 1>

Poprečni absolutni odklon AD

ad m  = '7$ y _ M

AD

Mie

Tj 11 y - Me  I

AD.. = (Y - Y )

Me N z .  s

pri čemer je Y $  = vsota podatkov, ki so manjši kot mediana}

Y = vsota podatkov, ki so večji kot mediana

AD Me  * T < M , - “ s  >

pri čemer je M^ poprečje iz členov pod, M pa poprečje iz členov nad

( 10 . 1 )

00 - 2 )

( 10 . 3 )

( 10 . 4 )

( 10 . 5 )

( 10 . 6 )

mediano.

- 22 -

(10.7)

AD. . = 2 . P .P (M - M )
M z s z s'

pri tem pomeni: P^ _ N^/N in P^ - N^/N strukturna deleža števila enot pod in

nad aritmetično sredino M, in pa poprečji členov, ki so

pod oziroma nad skupnim poprečjem M.

2

Varianca - Standardni od klon .d . (S -  SD.

ff 2  ■ T3&, - M)

( 10 . 8 )

SD = 6  =-Ve>

(10.9)

Računanje iz negrupiranih podatkov

,2

.2 I/ i

y

2  ^ NZy 2  - (Iy.) 2

N

N'

( 10 . 10 )

=  n  » Ky=Q ; -Q ; Q. - Iyf Q

M

N

( 10 . 11 )

u. = y. - v
i ' \ 7  o

G y = 6 u = K “ /N ; K u = hi

2  (£»)'
N

(10.13)

.. = y. = y > y Q  = poljubna vrednost

računanje iz grupiranih podatkov

Neposredna metoda

6 y  N^V y k “ M v/

(10.14)

- 23 -

Metoda pomožnega znaka u

a) Enako kakor za aritmetično sredino izberemo razred, ki [e nekje sredi frekvenčne
porazdelitve. Vanj postavimo izhodišče znaka u = o, v druge razrede pa navzdol in
navzgor od izhodišča ustrezne vrednosti pomožnega znaka u:

... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...

b) Enako kakor za aritmetično sredino, izračunamo produkte frekvenc f^ z ustreznimi
vrednostmi znaka u^, da dobimo f^u^

c) Produkte f u ponovno pomnožimo z ustreznimi vrednostmi znaka u, : tako dobimo

h k K

vrednosti f, u,2 . •

k k

2

d) Seštejemo frekvence f^, produkte f^u^ in produkte f.

e) Iz teh količin izračunamo varianco po obrazcih

2 ; 2  r  2 ^^k U k^

6 =  4r K : K =£f uf -

y  N u u “"k k

N

(10.15)

Pri tem je: i = širina razreda.
Metoda kumulativ

a) Enako kakor pri računanju aritmetične sredine iz frekvenčne porazdelitve iz f izra¬
čunamo kumulativno vrsto F. Zadnji člen kumulativne vrste (pod črto) je obseg popula¬
cije N.

b) Po enakem postopku kumuliranja izračunamo iz prve kumulativne vrste F drugo kumu¬
lativno vrsto FF. Zadnji člen druge kumulativne vrste FF (pod črto) je C-j .

c) Seštejemo vrednosti členov druge kumulativne vrste (brez člena pod črto). To vsoto
zaznamujmo s

d) Iz teh količin izračunamo varianco po obrazcih

K = 2 C- + C. - C? /N ;

u z I I

K

u

(10.16)

- 24 -

v  vjiorivne vrste moremo računati od zgoraj navzdol ali obratno od spodcj navzgor.
Zo asimetrične porazdelitve je prikladneje začeti izračunavati kumulative na strani asi¬
metrije.

Sheppardov popravek

„2

0 /,P°P

.2

/12

Skupna varianca

( 10 . 17 )

( 10 . 18 )

Pri tem je

tehtana aritmetična sredina grupnih varianc,

6 m  = F^ N k (M k - M ) 2

( 10 . 19 )

(10.20)

Poprečna razlika A .

N

A , ' /N'

O

L L y,)f y 2  n

i<>

A,

2  [( N-, ) c 0  ” 2C ]J

N(N-l)

C in C, so vsote iz kumulativ iz ranžirne vrste
o

Računanje iz grupiranih podatkov

Av f i, + i w- ny ]

A r

k k k+r
N(N-l)

( 10 . 21 )

( 10 . 22 )

( 10 . 23 )

- 25 -

pri čemer so: = grupna vsota razredu k

= kumulativna frekvenca v razredu k

Y  ’ ^ Y k
N = število enot

Razmerje med Q, AD in SP za normalno porazdelitev

Za normalno porazdelitev velja:

Q = 0.6745 6  = 2/3 <T
AD = • 0.7979 5 = 4/5 0"

Relativne mere variacije

Na osnovi variacijskega razmika

2 (y - y . )
v  max 'min

y  . + y

mm max

Na osnovi kvartiinega razmika G^-G/

V Q 1 2 < Q 3- Q l'

M cl ' Q +Q

e 13

Na osnovi poprečnega absolutnega odklona AD

AD

Me

M

AD

M

M

Na osnovi standardnega odklona 6

(10.24)

(10.25)

(10.26)

(10.27)

(10.28)

H 0.29)

- 26 -

No osnovi poprečne rozlike

(10.30)

Koeficiente variacije izražamo kakor je nakazano v gornjih izrazih ali v odstotkih ta
ko, da zgornja razmerja pomnožimo s 100.

AD

M

Me  = Y° - Y° = 2 Y° - 1 = 1 - 2 Y°

Z s z s

(10.31)

AD

M

M

= (Y° - Y $ °) - (N® - N°) = 2 (Y° - N°) = 2 (N° - iy°) (10.32)

1 °
z s

Pri AD^/M pomeni Y^ in Y^ strukturni delež za agregat Y pod oziroma nad popreč
jem M, N° oziroma pa delež enot pod oziroma nad poprečjem M.

KV :

Q.

> q -tt

(10.33)

Relativni odkloni

(10.34)

(10.35)

(10.36)

(10.37)

- 27 -

Standardiziran z - odklon

(10.38)

(10.39)

00.40)

Medtem ko računamo netehfano varianco iz relativnih števil R, po obrazcu

k r

2 _ 1 r- , D  D  .2 P — 1 V D I  v~ 1 k

~ N (R k “ R) ; R  N \  R k N 2uX,

R k k k

(10.41)

je obrazec za računanje variance s tehtanjem
2 1 V" 2 L

x^ x kV R > * R  =

I x i<

(10.42)

Ce upoštevano, da je

Y,

R k X

k

R =

Y

X

(10.43)

dobimo s preračunom iz obrazca 10.42 operativni obrazec


Yk_ Y^

'X. " X

k

(10.44)

2  . 2

Pritemsta ‘tiQ=Y  /X izraza, ki se pogosto pojavljata pri sta¬

tistični analizi.

KV R = -?- = fvi( Q K- Q )

Q,

Q

- 1

(1 0.45)

- 28 -

Varianca iz grupnih poprečij

»M ‘TJ In k (M k -M) 2  =

r k

t— 1  N.

XI

N

— Q - Q'
N K

(10.46)

Mere asimetrije in sploščenosti

Mere asimetrije KA in sploščenosti KS po legi

M - M = 3 (M - M e )

(10.47)

M - M

KA

Mo Q

(10.48)

KA

3 (M-M e)

Me

(10.49)

(Q -M )-(M -Q.) Q„+ Q, - 2 M

r/A — ^ e _ e  ‘  =  ^

Q  ’ Q 3 - Q l " Q 3" Q 1

(10.50)

KS =1.9

Q 3 ' Q 1

D 9" D 1

(10.51)

Mere asimetrije in sploščenosti, izračunane iz momentov

centralni moment stopnje ' S X'

/"V = TT ^ ^

r N - Z  N L \ o  / g- r

M  r

(10.52)
(1 0.53)

d 1 ^3  '  ^2 ~ % “

(10.54)

- 29 -

pomožni momenti

X. = TTl(y-yJ r

zveza  med centralnimi in pomožnimi momenti

A = V - y?

/ 2  2*1

' *3 - 3V 2 V 1 * 2V >

/“4- V 4V 3' , 1 + 6 V? -3

Qiarlier-ov preskus

Z f(uH)" 1 * =Ifu 2 + 4^fu 3  + 6£fu 2 + 4^fu+ N

00 . 55 )

( 10 . 56 )

- 30 -

Tabela 10.11 Shema za izračunanje centralnih momcnfov in mer asimetrije in sploščenosti z zgledom za trdnost konic svedrov

V

U

nt

£N

CO

U

+

lT

co

II

in

o

o

o

o

o

II

CN

CO

CO

m

no

CO

II


o

Cn

CN

co

o

II

CO

X

Nf

I

CO

o

o

CN

O

O

o

o"

I

II

X

CN ^
X

NO cr

co

On

O

<*

»O

CO

CN

Ni¬

co

Nt-

to

CN

co

CN

NO

o

Ni¬

co
co

I

'S*?

II II

CN

CO

U

^CN

U

NO

+

u~

o

IN

o

o

o

0

1

II ■

CO r—

"X

o

o

o

o

o


$ ™
co IZ

NO
NO

o

o

o

J-

I!

o

II

X co

CN

X

CO CN

I +

co

NO

CN

CO

co

o

I

co

N.

CO

NO

CN

CO

co

o"

II

o_

o

CL;

N)

<o

O

co

CN

Nt

(1

CO

to

NO

CO

fe

o

I

II

co

'a

NO

OO

N

d

II

,coo
II

U

CN

~ §
4 - ^

<_T 11

CO

IN.

NO

O

O

o"

+

X

co

co

NO

o

!N

CN

X

co

IN

NO

O

O

o"

II

Os

CN

NO

CN

I!

co

co

co

OO

o

CN

II

CJ

o

Cl

IN

IN

CO

te*

< 5 .

CN

II

CN

to

u

Nf

u T

Co

co

o

i

u

x"

uo

co

CN

C 0

O

o"

I

II

X~

II

to

o

n

'čT

o

U

o

U

co iz

II

lO

SO

NO

I

U

II i-
-

<-> W

o H
XsJ

U-sJ

-|Z

II

=L_


to

Cl

O

CL

=c

N

1

to

- 31 -

ENAJSTO POGLAVJE
MERE KONCENTRACIJE

Ginijev koeficient koncentracije C a ^

A

CA'

A,

A,

2M

A 1, max

Izračun iz negrupironih podatkov

2 C.

Ca — ] _ 1

A i 1 nRč7

C^ in C-j so vsote iz kumulative iz ranžirne vrste posamičnih podatkov

( 11 . 1 )

( 11 . 2 )

Ce je v ranžirni vrsti n enot, za katere nimamo posameznih vrednosti, temveč ie
njihovo vsoto podatkov , C^ korigiramo tako, da mu prištejemo (n-"i)Y^ . Za

rak primer izračunamo Ginijev koeficient koncentracije po obrczcu

CA-,

2C, + (n - 1) Y ]
(N-1)C 0

( 11 . 3 )

Izračun iz grupiranih podatkov

C Ai

L n

k+i

) Y,

N . Y

01-4)

pri čemer so F^, Y^ . N in Y k obrazcu 10.23 pojasnjene količine.

- 32 -

Ce namesto z absolutnimi podatki razpolagamo z relativnimi frekvencami
f^% in sestavo grupnih vsot%  , dobi obrazec 11.4 obliko

c Ai =

7,(F,%+ F^!%) Y k %

1

M _  10000

H i r s c h ma n ov koeficient koncentracije

(11.5)

=

KV

N

;T(y.A) 2 H f  Q./Q -1

6  ' 5-max ^

N - 1

r

n -1

( 11 - 7 )

Pri velikem N dobimo za Hirschmanov koeficient koncentracije približek z naslednjim
obrazcem

V

( 11 . 8 )

p. =y./Y = strukturni delež vrednosti posamezne enote v celotnem agregatu.

Mera koncentracije na osnovi AD

AD

Me

'AD AD

Y - Y

z s  = y° - Y° = 1-2 Y°

Me,max

Y

( 11 . 10 )

- 33 -

DVANAJSTO POGLAVJE
AGREGATNI INDEKSI

Relotivne .spremembe agregatov . Izhajajmo iz osnovne zveze med agre¬
gati in relativnimi števili

Y = X . R = Ix k R k  = Ix . X°R k =X . I  X°R k  02.1)

Agregat Y je torej odvisen od absolutne velikosti agregata X, sestave agregata
X° k  =x k /x in skupinskih relativnih števil R k  — Y k /X k *

iz obrazca 12.2 in 12.4 sledi, da je

Ix°r,

7x° R

O O

( 12 . 5 )

- 34 -

( 12 . 6 )

IX 1 R 1  IX 1 R 1  [X 1 R q

V =  T>Tr =  7  x,r  ' a r

i—  O O 1 O -L-  O O

IX lRl  ZX 1 R 1  [X o R,

*Y rx R 7  X R, * 7X R

o O O 1 O O

Prvi faktor

IX] R,
I X l R o

V*, ‘ 'x/R 0
l xA 1  • 'rA 0

02.7)

( 12 . 8 )

v obrazcu 12.6 kaže sumarno spremembo agregata Y zaradi spremembe grupnih relativ¬
nih števil R^ pri nespremenjenih tekočih ponderih X^ , drugi

IX,'o

7 X R
I- o o

(12.9)

pa podobno kaže spremembo agregata Y zaradi spremembe grupnih vrednosti X pri
nespremenjenih baznih vrednostih R^_ . Podoben pomen imajo indeksi I,
v obrazcu 12.7.

Laspeyeresov in Paaschejev agregatni indeks.

Vsi agregatni indeksi imajo splošno obliko

wz.

_L (12.10)

wz

o

V tem splošnem obrazcu za računanje agregatnega indeksa teže ali ponaeri
w niso vezani na tekoče (1) ali bazne vrednosti (0). Ponderi w morejo biti ooaisi tekoče
ali bazične vrednosti ali kake druge vrednosti. V posebnem primeru, ko so ponderi baz¬
ne količine w , govorimo o Laspeyeresovem agregatnem indeksu

7 w z.

I =i  =±_ii± (12.11)

z/w z/w 7 W z

O o o

- 35 -

v posebnem primeru,, če so ponaeri tekoče količine Wj, po o Paaschejevem agregatnem
indeksu

= P

L w i z -.

n

z/w^ z/w £w,z

1 o

( 12 . 12 )


= L


1 o

'rAt  ' r RA "ix 1 R o  ' ‘XA 0 “ x/R xx o R o

(12.13)

IrA  Paasc ^ e i ev !nde ^ za  R/ l X/ / R  P a  Lcspeyeresov indeks za X.

V “ ‘ra,  * ‘xA P RA ’ L  XA

(12.14)

V l X/R 1  . *RA 0  ! -  RA * P X/R

(12.15)

Laspeyeresov in Paaschejev agregatni indeksi kot tehtane
sredine individualnih indeksov.

N

identitet

IX ] R TX 1 R

ra £x,r Rt

1  ° ZA/ir 2

I Y i

vT

1 ,

IX 1 R 1  Z X 1 R 1  IV,

X/R Y _  X c R

X Y H i x  <y i )

Z*i V>T Z- 1 X

I.

>

I x R

= O >

RA r X R

4- O o

ž x 0 R o ~ 7 Y

_ ° o o L—1  O R

X

Y X l R o
/R  rx R

L.  o O

r X R

4_ O C

I X R *T 7 ~

o O Ap

r x r

*- o O

I Y C

I Y

(Y)

‘r °

o X

I Y C

= M,

X


(12.16)

-36-

spoznamo, da je Pcaschejev agregatni indeks tehtana harmonična sredina iz individual¬
nih indeksov, pri čemer so ponderi tekoče vrednosti . Laspe/eresov indeks pa je teh¬
tana aritmetična sredina z bazičnimi vrednostmi Y kot ponderi.

Fisherjev idealni indeks

I  £ w i z i Z Vi

F / = \/  P / . L , - i

z/w y z/w z/w y £ w ] 2 0  Z

w z
o o

( 12 . 18 )

Agregctni veriž n i' indeksi .  Podobno kot pri enostavnih indeksih, izra¬
čunamo tudi verižne agregctne indekse

E

Z W,_ 1 Z,

'k-1 z k

z.k £w

k-1 - k-1

( 12 . 19 )

po Laspeyeresovem

Z

w k z k

z - k  Z w k 2 k-1

po Paaschejevem obrazcu.

Po logiki, ki velja za enostavne verižne indekse

y, ' y~  y,

‘k/o Y

Y

J_2_

v
' 1

... Y

k-1

'1

( 12 . 20 )

( 12 . 21 )

naj bi dobili agregatni indeks s stalno bazo 0

w z

'k/o " ‘l • ‘2 • ■

y w

L o

Z

z

W 1 z 2

1  Z 1

Z

w. , z .

k-i k

Z w k-i z k-i

( 12 . 22 )

Če vzamemo za osnovo Laspeyersov oorazec In
'k/o =P 1 P 2 ••• P

Z W 1 Z T Z w 2  z 2

k.. £w, z c

Z w 2 z l

Z

W k Z k

Z W L

k-1

( 12 . 23 )

če vzamemo za osnovo Paaschejev obrazec.

- 37 -

Preskusi z agregatnimi indeksi

Preskus o zameni jivosti osnove. Če v enostavnem indeksu zamenjamo
osnovo 0 s tekočo vrednostjo 1, dobimo, da je

z

‘l/O ' ‘o/i

'1

= 1

'1

Od nakazanih cgregatnih indeksov ima to lastnost le agregatni indeks, izračunan po

= \

l/o o/l

IX o Ri [X,R, J[X o  R o I X.R o

I X 1 R 1

I X 1 R C

r x r.

i-  o 1

= 1

(12.24)

Preskus o zamenljivosti sestavin

Ker je Y = XR, velja zo enostavne indekse


Y

O

x i -

X . R
O o

(12.25)

le  lestnosti nimc niti Laspeyeresov niti Pgaschejev indeks. Veljc namreč le:

l y  = L x  • P R  = p x  ‘ L  R ' zarad! česGr  i e

‘Y ^ L X • L R ah ! Y P X ' P R

(12.26)

Pač pa velja preskus o zamenljivosti sestavin za Fischerjev indeksni obrazec, kjer je

F

R

= \J  ly • l y  = I Y  02.27)

Med drugim si je Fischerjev idealni obrazec pridobil prilastek “idealni" zaradi teh dveh
lastnosti, ki enačijo zveze z agregatnimi indeksi z zvezami med enostavnimi indeksi.

- 38 -

Skupinski indeksi

Če z 1^. zaznamujemo indeks i-tega elementa v skupini k (npr. indeks cene za izde¬
lek i iz skupine izdelkov k, z w_. indeksu ! (  . ustrezni ponder (npr. vrednost pro¬
izvodnje), izračunamo skupinski indeks 1, skupine k po obrazcu:

z

3

I

I, ,w .

k! Zl

w, .
KI

I

( 12 . 28 )

o

ponder, izražen kot delež v skupini

skupni agregatni indeks 1 pa podobno izračunamo dalje po obrazcu

Z-  !. w

i _ K k k Ti °

=  f ! k W k

£ w

pri čemer ie w. — , >., . ..,

' k . ki k  k' i k
i k

I w, . wf = w, / J w,

.KI L L '

I

Poprečni indeks cen

Ni o

Pri tem pomeni:

p^ = cena v bazičnem trenutku, p.j = cena v tekočem trenutku,
N = število artiklov, i = poprečni indeks.

Agregatni indeksicen
Laspeyeresov agregatni indeks cen

( 12 . 29 )

( 12 . 30 )

L ..
P

E p i q o
I P o%

( 12 . 31 )

- 39 -

Pgaschejev agregatni indeks cen

£ p l q i

I P o q l

(12.32)

Fisherjev agregatni indeks cen

N L - P =
N p p

Wo

I Po q o

z p ! q l

I P o q l

(12.33)

Agregatni indeksi količin - obsega

Laspeyeresov agregatni indeks količin

_ Z p o q l
Lq  I p o q o

Paaschejev agregatni indeks količin

I p l q l

p =-i-j—

S 7 P, Z

L  H o

Fisherjev agregatni indeks količin

(12.34)

(12.35)

|Z P o q l I p 1 q l

F = \! L .p = \ j- . -

q V q t  q \ £ p^ I P, ^

(12.36)

Reduciranje vrednosti po tekočih cenah na vrednost po cenah v bazičnem razdobiu

Ce je stvarna vrednost proizvodnje, -porabe ali pro¬
meta v tekočem rczdobju = Z P-| P-j , moremo vrednost proizvodnje reducirati nc
cene v bazičnem razdobju  V-j' = £ p q.j , če jo delimo z ustreznim reprezenta¬
tivnim indeksom cen

V,

V

{  Zp 0 q i =  P'

p-

p

Z p i q i

Z p 0 q i

(12.37)

- 40 -

Pri cenah in količinah so napravljene črtice, ker so to cene in količine za reprezenta¬
tivne artikle te skupine, ne pa za vse artikle skupine, kakor je to v izrazih I Pj c i'] in

I p 0 q,•

I nd eksi re c i pročnih pokazovolcev

Za pokazovalce, za katere imajo smisel tudi recipročni pokazovalci, je treba
paziti, da so agregatni indeksi računani tako, da kažejo pravilno smer sprememb
proučevanega pojava. Tako npr. produktivnost dela merimo s količino na enoto časa

q =-

Q

q =-

Q

ali s časom, potrebnim za izdelavo enote izdelka t =-q-  .Ker je pokazovalec
premosorazmeren s produktivnostjo dela, ker je proizvedena količina na enoto

časa večja pri večji produktivnosti, računamo agregatni indeks za ta primer po obrazcu


0^1

'rt  iVo

ali


rt  IV,

( 12 . 38 )

alternativno

v /t

IT v,

y  T v

L  o o

ali

v/j

iVl

IVo

( 12 . 39 )

če gre za različne artikle in vzamemo vrednosti namesto količin.

Pokazovalec t =-Jr pa je pr! večji produktivnosti dela manjši, ker je čas za izdelavo
tol

enote pri večji proizvodnosti dela manjši. Zato računamo agregatne indekse produktiv¬
nosti po obrazcih

"l/Q

I Q o f o

I Q o t l

I Q .t

1 o

t/Q I<Vl

( 12 , 40 )

da so indeksi premosorazmerni s proizvodnostjo dela. Podobno je z vsemi drugimi poaob-
nimi pokazovalci.

L P L ^ in P ^ so indeksi produktivnosti dela, izračunani pri stalni sesta-

q/T a/T v/l v/T

vi časa, L /r - in P pa indeksa produktivnosti dela pri stalni sestavi količin.
t/Q t/Q

- 41 -

TRINAJSTO POGLAVJE

NORMALNA PORAZDELITEV

Gostoto relativne frekvence za normalno porazdelitev

(y-M ) 2

cp,  . = -4— e 2  6-2
T(y) 6" \fW

Porazdelitvena funkcija

y

F°(y) = j?(y)dy

-cP

F (»)  =jW)dy=l

—

y 2  y 2

f°(yi<y<y 2 ) =J®  (y)d y  = Jf( y )  d y  - J f( y )  d y  =F°(y 2 ) - F°(y

y ^ —CD - 00

Standardizirana normalna porazdelitev

■ F°( y  = M + z 6  ) = F°(z)

( 13 . 1 )

( 13 . 2 )

( 13 . 3 )

} ) 0 - 3 . 4 )

- 42 -

Iz lastnosti standardiziranega odklona spoznamo, da se z za normaino populacijo po¬
razdeljuje normalno z = 0 in £T = 1. To porazdelitev imenu jemo standardizi¬
rano normalno porazdelitev.  Ce vstavimo te posebne vrednosti v obrazec za
gostoto relativne frekvence v obrazcu 13.1, dobimo, da je gostota relativne frekvence
za standardizirano normalno porazdelitev

=

(13.5)

porazdelitvena funkcija F°(z) pa

2

z

(13.6)

V tabelah v dodatku imamo tabelirane ordinate (f)  (z) in površine H°(z) za standardizi¬
rano normalno porazdelitev za razmik od 0 do z

z

H (z) = J<j?(z) dz (13.7)

o

V tabelah so dane ordinate za pozitivne vrednosti za z. Ker je normalna porazdelitev
simetrična, velja

H (-z) = - H(z) (13.8)

Za normalno porazdelitev potrebujemo večkrat različno opredeljene površine, tabelirane
pa imamo samo površine H v razmiku od 0 do z. Zato so v sliki 13.3 nakazani odnosi med
posameznimi površinami, ki pridejo v praksi v poštev v različnih primerih.

V tcbeli ordinat Gp( z) in površin H (z) za standardizirano normalno porazdelitvijo so zara¬
di nazornosti standardizirani odkloni z pomnoženi s 100, ordinate (z) in površine
H (z) pa z 10.000.

- 43 -

+ 03

Slika 13.3. Različne površine pod standardizirano normalno porazde¬
litvijo

Gostoto frekvence g(y) za normalno porazdelitev, ki ima obseg
N, aritmetično sredino M in standardni odklon S'  za poljuben y. dobimo iz zveze

1 , y-M  f z 2

s£y) = N 0 (y) = N .-==

T  o f2?

(-

N

5  ‘

2  =


5

(13.9)

tako, da poiščemo najprej z, ki ustreza danemu y, nato v tabelah za standardizirano
normalno porazdelitev poiščeno ustrezno gostoto relativne frekvence <^(z). To pa po¬
množimo s kvocientom N/g" .

Odnosi med standardiziranim odklonom z in ustreznimi relativnimi frekven¬
cami H, G, G, P in P .

Kritični razmiki za normalno porazdelitev

Za normalno porazdelitev moremo v splošnem z določenim tveganjem napoveda¬
ti, kakšna je vrednost enot, ki jo slučajnostno izberemo iz normalne populacije,

na tri različne načine:

c) nakazati moremo razmik, v katerem  je z določeno stopnjo tveganja vrednost,
ki jo ima slučajnostno izbrana enota;

b) nakazati moremo vrednost, nad katero  je z določeno stopnjo tveganja
nost, ki jo ima slučajnostno izbrana enota;

c) nakazati moremo mejo, pod katero  je z določeno stopnjo tveganja
za enoto, ki jo slučcjnostno izberemo iz normal ne populacije.

- 45 -

Prva je dvostranska, drugi dve pa sta enostranski trditvi.

Slika 13. 7 Kritični rczmiki in kritične meje za normalno porazdelitev

Razmik Tveganje

- 46 -

ŠTIRINAJSTO POGLAVJE
VZORČENJE - VELIKI VZORCI

Osnovna populacija OP, vzorec V in populacijo vseh možnih vzorcev PVMV

Enostavno slučajnostno vzorčenje
Ocenjevanje aritmetične sredine z vzorcem s ponavljanjem

M(y) = E (y) = My

( 14 . 3 )

y = aritmetična sredina, izračunana iz vzorca
M = aritmetična sredina v osnovni populaciji

- 47 -

Varianca aritmetičnih sredin vzorcev Var(y)

Var y =  -

(14.4)

Standardni pogrešek ocene za aritmetično sredino SE (y )

___ g- ' ■

SE(y} = y Var y = —*=r

(14.5)

Ocenjevanje aritmetične sredine z vzorcem brez ponavljania

M (y) = E (y) = My

(14.6)

Var (y)

N - n
N

= _X.{1 -f)
n •

(14.7)

P-i tem je S 2  srednji kvadratični odklon za znak y, ki je izračunan po obrczcu
‘ /

N 2

I (7; " My>

s 2  - -ii

N - 1

(14.8)

Točkovna ocena za aritmetično sredino v

y = ~ s  y-, = y /n

i=i

Odklon zaupanja za aritmetično sredino

(14.10)

°(y) = 2 c^= 2 p’ SE( y )

a=2P

Razmična ocena za aritmetično sredino

(14.11)

y - 1.96 . SE (y) K  My 4) y + 1 ,96.SE(y)

(14,12)

- 48 -

Nepristranska ocena variance s

S (>•;■/)

2 i=l
V n - 1

, z

s y. - y /r

za vzorec s ponav ijanjem

r ,2v 2

Es = gr
y y

in za vzorec brez ponavljanja

2 2

E n =

y y

Ocena variance za oceno aritmetične sredine

a) z vzorcem s ponavljanjem

2

va r (y)

b) brez ponavljanja

S  i\i S

var (y) =  ^r' = ~^~  • - f )

Ocenjevanje parametrov z enostavnim slučajno

njem na splošno

Ce z G zaznamujemo pravo vrednost ocenjevanega parametra, z j
tega parametra iz velikega vzorca, je odklon zaupanja za oceno

D p  fe) =’ z p  SE (g)

(14.13)

(14.14a)

i

(14.14b)

(14.15)

(14.16)

tnim vzorče-

pa točkovno oceno
tveganjem O. = 2P

(14.17)

- 49 -

razmik zaupanja pa

S " D (g) <G <  g+ D (g)

( 14 . 18 )

s tveganjem, ki ustreza koeficientu z. Ker v praksi ne poznamo parametrov populacije,
v odklonu zaupanja in razmiku zaupanja nadomestimo pravo vrednost za standardni po¬
grešek SE (g) z oceno iz vzorca se(g). Glede na to je ocena odklona zaupanja

d p fe) ~ 2 p • se (s)

( 14 . 19 )

oceno za razmik zaupanja pa

S - Zp .. se (g) < G< g+ Zp  . se (g)

Ocenjevanje agregata Y

Y =

= £ y. = N . My

N ' _ N

Y s , =Ny =  “ir. 5 ,  y i"~ y

i=l

( 14 . 20 )

( 14 . 21 )

( 14 . 22 )

Var Y , = N Vary = N-(N - n)

si n

( 14 . 23 )

varY = N (N - n)—
sl n

Ocenjevanje strukturnega deleža P

N

P =

N

( 14 . 24 )

( 14 . 25 )

- 50 -

(14.26)

P = p =

2

Var(p) = -2- : <$? = P(1 - P)

Var (p)

S N (N - N )

a N - n  _ 2 ___aj_ a_

n N ‘ a N (N - 1)

2

var (p) =

n

var (p) =

a N - n

N

(14.27)

(14.28)

(14.29)

(14.30)

a n (n - n )

£  _ a _c

S a n (n - 1)

Ocenjevanje števila enot z dano značilnostjo

N

N a  =■■ N —= NP

(14-31)

(14.32)

- 51 -

Simbolika in obrazci za ocene parametrov M/, Y, P in Na so sistematično naka-

- 52 -

Varianca ocen parametrov
z vzorcem brez ponavljanja

N-n

N

Var (y) =-

var (y) = —

N-n

N

Var (Y , )=N(N-n)—var  (Y , )- N (N-n)—
sl n sj n

,, , i a N-n ,  i

Vc ap)=— •— var (p) :

N-n

N

a .s

Var(Na s j)=N(N-n )——  var(N a ^i)= N (N-n)—

Določanje velikosti vzorca pri zahtevani natančnosti

Tabela 14.8 Obrazci za določanje potrebnega števila enot pri dani zanesljivosti

n = število enot za vzorčenje s ponavljanjem ; n' = število enot za vzorčenje
brez ponavljanja, D = oznaka za maksimalni odklon, merjen absolutno; D% = oz¬
naka za maksimalen verjeten odklon, merjen relativno

- 53 -

Ocena po metodi razmerii Y
--- 1 -r, sl

S.

Sx

(14.43)

X - agregat za podatek, ki je v odvisnosti z ocenjevanim podatkom y ; Sx = vsota
podatkov znaka x za vzorec Sy = vsota podatkov y za vzorec

Var Y

.sl

= N (N-n) —— ; S
n r

2 _ I(y-xRf

N - 1

.-iz-

I

va r  Y , = N(N-n) —-
r,sl n

2 _ S (y-xr)
r n - t

2 2 2

Sv -2r Sxy + r Sx Sy ,, , , ,,
^ (U ' 44)

Strot i f i cirano vzorčenje

Ocena agregata s stratificiranim vzorčenjem Y je vsota ocen agregatov v posamez¬
nih stratumih Y. ,
k,sl

V = I Y.
str ^_i k,s!

i

(14.45)

Varianca za oceno agregata s stratificiranim vzorčenjem Var ) P a  i e  vsota va¬
rianc ocen agregatov po stratumih

I S 2

V "<V -J, v “< Y k. i |» -f N k< N k - V T- {UA6 ' 1

k=l k , k

Iz teh dveh obrazcev moremo z upoštevanjem zvez med W, , Y, P in H, razviti po¬
dobne obrazce za prave vrednosti ali ocene parametrov ali varianc za kateregakoli
izmed navedenih štirih parametrov.

Razmestitev enot
proporcionalna razmestitev

n k =  ° N k ;  ° =  "TT = f  04-47)

- 54 -

optimalna razmestitev

\ =a  ■  N k S k ' a = n /Z N k S k

optimalna razmestitev enot glede na stroške

C = C + C = C + [_  č.,. n.
o v o k k

Pri tem pomeni: C =skupni stroški, C Q  = konstantni stroški, C
S, = poprečni stroški za opazovanje ene enote v strafumu, n^
tumu k.

n. = a

k

N k\

;  ° C v^ N k M C  k

Vzorčenje v skupinicah

Vrednost agregata v skupinici k

N k

v ■ A Y «,

Ocena agregata z vzorčenjem v skupinicah

Y , = — S Y,

sk m , , k /

k=l

Varianca ocene agregata z vzorčenjem v skupinicah Var(Y

Var(Y . ) = M(M-m)—^ ; S-“

sk m Y


M

1  ; m y‘

M

Ocena variance za oceno agregata z vzorčenjem v skupinicah

2

varY k =M(M-m)^; s y = Y= “ [  Y k

( 14 . 48 )

(14.49)

v  = variabilni stroški,
= število enot v sfra-

(14.50)

(14.51)

(14.52)

Y k  (14.53)

(14.54)

- 55 -

Interklgsno korelacijo r ,

N’) 2 ' - 1
r (  =-221_

N - 1

=  korelacijsko razmerje ; N = število enot v skupinici
Varianca za oceno za aritmetično sredino Var

2

cr v r

Va ry  = ■ j 1 + (N - 1) r

Sk  N.mi- 1

Varianca za oceno za strukturni delež Var p

sk

Var p sk  = —

=  P . (I-P)
N . m

[l+(N

Sistematično vzorčenje

s = l/F
s = N/n

s = stopinja izbora, f = vzorčni delež
Ocena agregata

Y . = — -Sy = s Sy

sis n '  * 7

Ocena variance agregata var Y  .

(U.55)

(14.56)

(14.57)

(14.55)

(14.56)

(14.57)

Vzorčenje v dveh stopnjah

Oceno agregata Y _ ^

n k
S

1=1

Varianca ocene aqreqata VarY„
-—-—2. st

Y

2.st

M

m

N,

VorY- t  =VarY
2st sk

M J*

"sr £

VarY ^ i

k=i k ' sl

M

varY  = va r Y + -y S va r Y,
2st sk  m 2  k= 1 K '

M, m število enot v populaciji in vzorcu prve stopnje
število enot v drugi stopnji

Vzorčenje v dveh fazah

Ocena agregata z vzorcem v dveh fazah pri metodi razmerij Y„p ^

2 f.

_N

n,

I

S x
1

Sx = vsota podatkov v vzorcu v prvi fazi

1

Sx Sy = vsote podatkov v drugi fazi

2 2

Ocena agregata z vzorcem v dveh fazah pri stratifikaciji Y^

Y = V N  y -  N

str.2f . k.sl .1 k .sl .2 n,

k I

I

ki

’ l k2

S 2 y

pri upoštevanju neodgovorov v anketi

Y

tr.2f

— (Sy + Sy/f j )

n l 1 2 2

(14.59)

sl ( 14 ' 6 °)

(14.61

(14.62)

04.63)

- 57 -

r^/rii vzorčni delež enot v drugi fazi v popula-

Časovno vzorčenje

Časovni agregat Y

Pri tem je razen znanih izrazov fj =
d Ji neodgovorov.

Y = J  y(t)dt

o

Ocena za časovni agregat Y  |

(14.64)

Y , = I —

S y(f.)

(14.65)

Ocena za časovno poprečje

^s| =  — f

(14.66)

Meatem.Ko je točkovna ocena za strukturni delež p% = 1 00-^— , je intervalna ocena

(14.67)

P% = p% t 1 .96 \i P%(]  C ° ~ P %)

' n - 1

Ce je y(t) kakšna druga zvezna ali nezvezna funkcija, ocenimo agregat s točkovno
oceno

Y s  =T  ■ y

c!i z intervalno oceno

Y = Y - 1,96.T —
'J~n~

(14.69)

- 58 -

pri čemer je s ocena standardnega odklona 6  ,  izračunana po obrazcu

y , 2 ' y

- 2 fe|)

9 s y : -r—

y

n - 1

( 14 . 70 )

- 59 -

PETNAJSTO POGLAVJE

VZORČENJE - MALI VZORCI

TEORETIČNE VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Zvezne verjetnostne porozdelitve
Stondordizi rano normalna porazdelitev

Gostota verjetnosti za z = : N(0,1) je

porazdelitvena fgpkcija po jo funkcija zgornjo mojo

z

~ oc

(15.1)

(15.2)

(15.3)

/C "P orazdelitev.

Vsota kvadratov m neodvisnih standardizirano normalnih slučajnostnih spremen¬

ljivk z.

- 60 -

(15.4)

c 2 2 +  2

Sz = z, + z„

z 2  =:X 2 M

se porazdeljuje v porazdelitvi, ki jo imenujemo^C (h kvadrat) porazdelitev. Gosto-

2

ta verjetnosti za-porazdelitev je dana s funkcijo

™_-j

^X 2 )=C K 2.e Z  K 2 ) 2

(15.5)

-To je posebno oblika J_ -porazdelitve s <£>(x) -Cp e X  x k v kateri je
m
2

x =X 2 /2 in t =- m

Porazdelitvena funkcija zaX -porazdelitev je

-v/2

A

F(X 2 ) =j^X 2 ) ^X 2

(15.6)

Iz obrazca za gostoto verjetnosti je razvidno, da je gostota verjetnosti razen od slu-
čajnostne spremenijivke^ odvisna tudi od parametra m, ki ga imenujemo stopi -
nja prostosti.  Stopinja prostosti m je število neodvisnih spremenljivk, iz ka-
2

terih je sestavljen^. •

2  2  2  2
Iz definicije/^ -porazdelitve sledi, da je EX). =  m ; Var X ) = 2 m ^)C  -porazdeli¬
tev je asimetrična v desno, stopnja asimetrije pa se manjša z večanjem števila stopinj

2

prostosti m. Medtem, ko jeX- -porazdelitev za m = 1 tipična J porazdelitev, je za

2

m =‘0 X -P 0rC2 delifev že skoraj simetrična in zelo podobna normalni porazdelitvi.

Ce je število stopinj prostosti m 30, se izraz

-y(z+ \ r 2m-i) 2  (15.7)

2

asimptotično porazdeljuje vX -porazdelitvi z m stopinjami prostosti. Pri tem velja,
da je z = : N(0,1).

- 61 -

odiciiski teorem

X X 2 K)= = X 2 (I m

k=l K  k=l *

05 . 8 )

Študentova t-porazde1i te v

Če se z porazdeljuje standardizirano nor-

2 2
malno, X v hi- kvadrat porazdelitvi z m stopinjama prostosti, inX p° sta neod¬
visna, se siučajnastna spremenljivka,

fX/m

=- = : t(m)

( 15 . 9 )

2

ki je funkcija slučajnostnih spremenljivk z in"X-, porazdeljuje v t- porazdelitvi z m
stopinjami prostosti.

Zc t- porazdelitev je gostota verjetnosti <^>(t) dana s funkcijo

<?(')■ c ,

m+ 1

2

( 15 . 10 )

pri čemer je t slučajnostna spremenljivka, Cj. je

konstanta, ki je odvisna od števila stopinj prostosti, m pa število stopinj prostosti.

F- porazdelitev

„ 2 2

Če sfa"X (m.) inX (m-) neodvisni slučajnostni spre-

2  ^

menljivki, ki se porazdeljujeta vX -porazdelitvi, prva z m^ in druga z rr^ sto¬
pinjami prostosti, se

( m 2 )/ m 2

porazdeljuje v F porazdelitvi z m^ in m^ stopinjami prostosti. Gostota verjetnosti z c
F-porazdelitev je dana s

j F (m.

nu)

( 15 . 11 )

- 62 -

-2

f(F) = C p  . F

1 +

m. +

(15.12)

F-porazdelifev je odvisna od dveh stopinj prostosti: ustreza X v števcu, rru pa

9 ^

v Imenovalcu.

f l-P F p (^ , m 2 )

(15.13)

Zveze  med teoretičnimi s 1 u ča j n os tn i m i spremenljivkami ,

ki so zasnovane na normalni porazdelitvi.  V nadaljevanju da¬
jemo pregiea zvez med s lučajnostnimi spremenljivkami, ki so zasnovane na normalni
porazdelitvi. Razen povzetka že znanih zvez podajamo še nekaj novih, ki slede iz
opredelitev porazdelitev:

y. = :  N(M/j ; (J?); u =£a.y. =: N^M y  =Za.My.; (15.14)

y, neodvisni

z. =: N(0,1)

S zf  =:X 2 (m)

S z. =: N (0,n)
i=l 1

:X 2 0) \^X 2 (1)=:

(15.15)

(15.16)

(S z,r

i

::  "X? (1)

(15.17)

ix?/n

= : t (m) ; t(oo) - : z

(15.18)

2 , \  z
t (m) =

X 2 A

= : F (1, m)

X (m)/m = : F (m, m)

(15.19)

(15.10)

- 63 -

Če iz populacije y = : N (M, (J") izberemo siučajnostni vzorec z n enotami,
velja:

Pri tem sta y in s izračunana iz vzorca po obrazcih

' Ž =  ~~ s / / s 2  = s ^_~ y)  (15.24)

Iz gornjih treh obrazcev je lepo vidna zveza:

r~  2—

Ker je z/\X /m =it(m), dobimo iz 15.21 in 15.23

v - M

, y -~  — \fn =: t(m = n-1)

(15.25)

Če iz dveh populacij, ki imata enaki varianci

2  • 2

=: N(M^; g" ) , y n  = : N(M,; <y)  izberemo vzorca iz prve z iz druge z

r >2  enotami in so:

y l =  '^ _Sy l : y 2 =  ~n^  Sy 2

2 s (y-]- y i ) 2

S 1 n ]  - 1

2

s 2

s (y 2  ~ y ^} 2

(15.26)

velja

- 64 -

( 15 . 27 )

V 2 ~  ( M 2 " M i ^ / n i n

= : t(m = n. + n 0  - 2)
n 1  i- n„ 1 2

2  (n 1  - 1) + (n 2 “l) $ 2

n + n„ - 2
1  2  .

s. 2 2

Ce iz dveh normalno porazdeljenih populacij z (jj in
ca z in n 2  enotami, velja

s 2 /cf 2

= : F (m 1  .  m 2 )

Vse te zveze slede iz definicij za porazdelitve "X j  t in F

Razmične ocene z malimi vzorci

Ocena aritmetične sredine, če poznamo 6*

Ž - Z p  -p < M < y + Zp -pr
^iTn K  V n

Ocena aritmetične sredine, če ne poznamo £

-  t p  (m = n-1) —izr Z M< y + t p  (m = n-1)—p-

y - V

Subjektivna ocena za aritmetično sredino

M = : N (m; )

m ' Z P'°M 4 Z P

izberemo vzor-

( 15 . 28 )

( 15 . 29 )

( 15 . 30 )

( 15 . 31 )

( 15 . 32 )

- 65 -

Boyesovo ocena za aritmetično sredino m n

točkovna ocena mg

1

B

_.2

Ota-

- n

UK

1  + —2_

m cr y  +  y

• n -S«

cd

,.2 2
<5y + n..

M

varianca točkovne ocene mg

Var (mg) =

1

1  + - 2 -

2 2
_ gy ' Oj

d

2  2
+ n.fifc

■'m

porazdelitev točkovne ocene mg

(15.33)

(15.34)

n g _ :  N (M, Var mg)

razmicna ocena

(15.37)

m B " 2 P' * Var m B ^ ^ m B

z .fVaTmT

(15.38)

stopnja informacije za Bayesovo oceno

1 1 . n.

d

mg

2


(15.39)

Ocena razlik med aritmetičnima sredinama: neodvisno vzorca

Dvostransko

*2 " ' V S n, . n.

n l + n 2

1 • 2

f p =t p  ( m = n i + n 2

- - n l + n 2

<M 2 -M 1 <y 2 -y 1+  tp.s.^-^—

2 (n ) -1) (n 2  - !) s“

2) : s =

n, + n_ - 2
1 z

(15.40)

Enostransko

t -s .

y 2‘ y l P|n,n 2

I  n l ' n 2

<( M 2  - M ]

05.41)

- 66 -

O cena razlik med sredinama: odvisna vzorca

a) Izberemo vzorec n enot.

b) Za vsako enoto merimo proučevan podatek pri pogoju 1

y.j. in pri pogoju 2 y^. i = 1,2 ... n

c) Za vsako enoto izračunamo ustrezne razlike

d.=y 2 .-y 1 i 05.42)

d) Iz d; ocenimo poprečno razliko učinka

y 2 "/i

in varianco razlik

2  S (d - d ) 2
S d n - 1

(15.43)

(15.44)

e) Če računamo, da se y 2  in y^. porazdeljujeta normalno, se tudi d. porazdeljuje
normalno. Zato moremo za d uporabiti obrazec za računanje razmičnih ocen za po¬
prečje

d - tp <( AM = M 2  - d +

) n

; oč = 2P

(15.45)

pri čemer je kritična vrednost tp(m=n-l) določena z m — n-1 stopinjami prostosti.

O ce

na za va ri an co

-(n-1)  s 2  , „2 ,(n-l)s 2

•\/2  <  o  <

X (n-1)

1-P

Xp(n-1)

(15.47)

Ocena za razmerje med variancama

(15.48)

- 67 -

(15.49)

s tveganjem CX. = 2P

Nezvezne porazdelitve
H i pergeome tr i č n a porazde litev

H(x/N, N a  : n) =

05.50)

N d n d\ m  N N-N , .. c2 K1

c , x . a n \/ / x v P.(l-P) N-n a a 1 N-n N-n

C(p=—) =  ~ = p ; Var(p —) =—----

05.51)

r N

p =JL  =: N l(E(p) = —; Var p

N (N - N ) , M  1

c v  a 1 N-n {

N (N - 1) n N

i

05.52)

Binomska - Bernoullijevo porazdelitev

B(x/n / P) = f")P X 0  “P) n ' X

05.53)

(nH).P- 1 <• X Mo < (n+1). P

05.55)

Za siučcjnostno spremenljivko x, ki se porazdeljuje v binomski porazdelitvi, veljajo
parametri

- 68 -

slučajnostna spremenljivke x
M(x) = E (x) = nP
Vcr(x) = n P . Q

(nPQ) 7

t r \_  1 - 6 PQ
'2 X  n PQ

slučajnostna spremenljivka p = —

M (p =—)=E(p=^) = P
n n

w / _ x N  P . Q

Var (p= —)= —-

n n

r, (p-f)-

(Q  - P)

(nPQ)

1/2

, x x  1 - 6 P Q
2 ^ = “ )= “P“Q"

N

> (15.56)

Q =1 - P

x=: N (n P; n P Q) y p = —

N (P ; —)

(15.57)

x - n P

\[nPQ

Jpq

» n

sr— - : z

(15.58)

x =x.

£ B(x/n; P)= 0,50+ H (z

Razmična ocena za strukturni delež

x*j + 0.5 - nP

\n PQ

(15.59)

Če iz sluča jnostnega vzorca z n enotami dobimo x enot z dano značilnostjo, določimo
spodnjo in zgornjo mejo zaupanja P % in P% za strukturni odstotek P% po, obrazcih

P % =  100x

s ^(n-K^lJF

1 00 (x+ 1) F

; P% =

(xtl)F +(n-x)

(15.60)

Pri

tem pomeni: F $  = F p [m 1 =2(n-x+l) /  m 2 =2xj ; F 2 =F p [m 1  =2(x+l), m 2 =2(n-x)]

n = velikost vzorca in x = število enot z dano značilnostjo v vzorcu. Prava vrednost
strukturnega deleža P%.je v razmiku

- 69 -

(15.61)

P % ^ P% < P %
s z

s tveganjem oš =2P

Poissonova porazdelitev

Ce je v Bernoullijevem procesu P zelo majhen, n pa zeio velik, in gre v limiti
P*0 in n->oo produkt nP pa proti konstanti A.

lim nP = A.
n-^oo P -J 1  0

(15.62)

verjetnost za x preide v Poissonovo porczdelitev, za katero je verjetnostna porazde¬
litev dana s

P(x; A ) =

(15.63)

Ob teh pogojih preide jo parametri binomske porazdelitve za Poissonovo porazdelitev v
ncslednfo obliko

M x =E(x)=A ;  Varx=A  .  X 1  = 7 =- / t 2  = "J" (15.64)

ocene za parametre

Pr (x - Zp fiT  < A < x + Zp |x) = 1  ~ 2P = 1 - 0 <.

- 2 P = 1 - cx

Rekurzijski obrazci za nezvezne porazdelitve

Hipergeometrična porazdelitev

H(x+1) = H(x)

(n - x) i (N a  - x)

(x -r l)[(N-N Q )-(n-x^l]

= H(x).C(x)

(15.65)

(15.66)

(15.67)

- 70 -

H (x) = H (o) . h(x)

h(x)

( 15 . 69 )

£  H(x)

Binomska porazdelitev

B (x+1) = B (x)

n-x P
x+l Q

( 15 . 70 )

b(x+l) = b(x) -^y- ; b(o) - 1 ;

B(x) =

b(x)

i bW

Poissonova porazdelitev

P(xH) =P(x)

A_

xrl

( 15 . 71 )

( 15 . 72 )

P(*H) = p(x) -4- ; p (o) = 1 ; P(x) = —EŽSL
^ n ,  v

I P M

( 15 . 73 )

- 71 -

ŠESTNAJSTO POGLAVJE
PRESKUŠANJE DOMNEV
Preskušanje enostavnih domnev

(16.1)

(16.2)

(16.3)

y  =:N

(“- 4 )

p r  (y. < y, = M n  +

o "P.

Pr (y > y =  M, - z

4T

) = i - p = i -<x

e;

1  ^ ^

2L \ =

= 1-/3

Slika 16.2 Primerjalni pregled možnih situacij

- 72 -

Preskušanje domnev z velikimi vzorci

Splošen preskus ničelne domneve H : G = G
-- 0  - 0

SE,

g = ocena iz vzorca, G q  = hipotetična vrednost, SE^

Preskus domnev o strukturnih deležih P

P P oo-p)

n

( 16 . 10 )

= standardni pogrešek ocene g

( 16 . 11 )

■Splošen preskus domnev o razlikah med parametri

(g 2  ~ g ! }  ~ (G o2 ~ G oi }

yvar g-j + var g^

( 16 . 12 )

Preskus o razlikah med poprečjema

y 2  " /i

Preskus o razlikah med številom redkih dogodkov iz dveh populacij

( 16 . 13 )

]f h  2 +  h l

h^ = število dogodkov v prvi populaciji
h^ = število dogodkov v drugi populaciji

( 16 . 14 )

- 73 -

Preskušanje domnev z malimi vzorci

Izraz

Preš ku ja n j e

y =: N (M; 6 ?)

domnev o aritmetičnih sredinah . Če velja

, dobimo ničelni domnevi H„ : M = M ustrezen Vzorčni

o o

(16.15)

y - M

f=--- --){7  06.16)

ki ga preskušamo s t (m =  n-1).

Preskus o poprečni razliki za odvisna vzorca

d - D

t =

s d

S  n  ‘ e<.

t a: (m = n - 1)

(16.17)

-12

Pri tem je: D q  = M q2  " M q]  : d = — Sdi ; s d  -

S (d. - d)

n - 1

Po obrazcu

>

a

•t o«, (m = n - 1)

preskušamo ničelno domnevo H c  : D Q  — 0, da razlik mea aritmetičnima sredinama
ni. .

Preskus o poprečni razliki za neodvisna vzorca

y 2  - y, -AM o

n l n 2

\7^T 2 ;  V (m=n i +n 2- 2) ^ s .

(n r l)s 2  + (n 2 -1)s 2

^ + n 2  - 2

( 16 . 18 )

V primeru, da razen predpostavk, da sta obe populaciji normalni s <5^  — <T 2  velja,
da je hipotetična razlika med aritmetičnima sredinama enaka dejanski razliki
( dM o  = AM) se t porazdeljuje v t-porazdelitvi z m = + n 2  ~ 2 stopi njami pro-

- 74 -

' stosfi. Vzorčni izraz uporabljamo za preskušanje ničelne domneve H : A  M = Z)M

o o

Za preskušanje ničelne domneve H Q  : A M = O pa velja

t =

y 2  - y, J  n, n 2

V

n. f n

1 2

(16.19)

Preskušanje domnev o varianci

Preizkušanje domnev o varianci .  Z izrazom

2

L

<To

V 2  (n - l)s
/6 2

)£(m =n-l)

(16.20)

preizkušamo domneve o varianci, če predpostavljamo, da se y porczdeljuje normalno.

Preskušanje domnev o razmerju med vcricnccmc .  Značilnost
razlik med variancama za dva neodvisna vzorca preskušamo z vzorčnim izra¬

zom

F

V m l = n l " 1 ;

n 2 -l)

(16.21)

ki se porazdeljuje v F-porazdelitvi z m^ — n-j - 1 in m 2  — n 2  " 1 stopinjami prostos¬
ti, če je domnevno razmerje enako dejanskemu razmerju in se obe populaciji porazde¬
ljujeta normalno.

2
s  1

F = ~2— ; F P ( m l = n i " 1 )  m 2 = n 2 ” 1  ) (16.22)

s 2

Preskušanje domnev o frekvenčnih porazdelitvah

Preskus domnev o frekvenčnih porazdelitvah.Ceje  stvarna
frekvenčna porazdelitev f rezultat vzorca iz populacije z verjetnostmi P. ,

velja

- 75 -

(16.23)

k 2

V (f;-nP.r 2

5  ' „ p  ' -:X 2 (™-k-l)

I

Ce v obrozcu 16.23 zamenjamo n Pj z ocenami f.'za teoretične frekvence, ki jih
dobimo ob določenih predpostavkah iz vzorca, se

J  (?. -f /) 2

2 -  _J_i—

i=l

fr

= : X (m = k - r)

06.24)

porazdeljuje tudi V/*C porazdelitvi s stopinjami prostosti, ki so enake številu razre¬
dov k, zmanjšane za število zvez r med stvarnimi f. in teoretičnimi f'  frekven-

I I

cami.

Analiza variance

Postopek za analizo variance za en dejavnik v splošnejšem primeru, če je števi¬
lo enot v grupah različno, moremo nakazati v tehle točkah:

a) Iz vsake izmed k grup, katerih razlike proučujemo, izberemo vzorec z n^ enotc-
mi in zanje poiščemo vrednosti za znak y, ., ki ga proučujemo. Indeks k pri y, . po-

KI KI

meni grupo, i pa tekočo številko enote znotraj grupe.

b) Za vsako grupo izračunamo iz posamičnih vrednosti grupne vsote =S y^., iz teh
pa skupno vsoto Y=S

2

c) Izračunamo vsoto kvadratov posamičnih vrednosti S S y^. = Q^. , iz grupnih

2 ki'

vsot yk izraz S Y, /n^ = , iz skupne vsote dc  izraz Y^/n = Q ; ( ^ n^ = n)

d) iz izrazov c obračunamo analizo variance po standardni shemi

- 76 -

Tabela 16.3 Shema za obračun analize variance

Razlike med grupnimi sredinami so značilne na stopnji (X, če je izračunani F večji
kor kritična vrednost F^ (m^=k-l ; =  n - k).

N e para me t ričn e metode za preskušanje domnev
Ne parametrično preskušanje domnev o srednjih vrednostih

Preskus s predznaki

u = a + bx + c/

a = - Me, b = 1, c = 0
a = 0, b = -1 ,c = 1

a = 0, b = -k c = 1

a = -a b =-l, c = 1

u = x - Me
'u = y-x
u = y - kx
u = y-x-a

(1 6.31)

(16.32)

Če postavimo na splošno, da je Me(u) — 0, pomeni to v prvem primeru, ca je
Me(x-Me) = 0, v drugem, da je Me(y-x)=0, v tretjem Me(y-kx) = 0, v četrtem pa
Me(y-x-a) = 0.

Preskus z mediano

Dvostranski preskus : Me(u) = o

Enostranska preskusa : Me{u) ( o : Me(u) > o

- 77 -

(16.33)

z  _ n + - E (n+)  _ rr - n/2  _ 2rr+ - n

VVarrn- l/nA V7T

ali spodnja kritična meja za nrt-
^ =  ~2  ( n  ~ z p^) °Ii s korekturo za nezveznost

rF $  =y (n - 1 - z p '/n+T)

Za male vzorce (do n = 100) so v zbirki tabel dane kritične vrednosti za rrt oziroma
n- za dogovorjene stopnje tveganja, n pomeni število pozitivnih, n pa število ne
gativnih vrednosti za u.

Preskus s predznačenimi rangi  f Wilcoxonov preskus)

a) glede na tip preskusa izračunamo vrednosti u

b) vrednostim u priredimo range po velikosti absolutnih vrednosti u

c) seštejemo range za pozitivne u. Tako dobimo vrednost T.

d) iz tabele za kritične vrednosti presodimo značilnost odklona me(u) od 0.

Preskus z vsoto rangov  (Mann-Withneyov preskus)

c) Numerične podatke preskusnih vzorcev z n^ in n^ enotami (n-j ^  n£) z a primerja¬
ni populaciji združimo. Ko jih uredimo po velikosti, jim po velikosti priredimo
ustrezne range.

b) Seštejemo range za vzorec z n^ enotami (n^ ^ 02 )

c) Dobljeno vsoto rangov T* primerjamo s kritičnimi vrednostmi v tabeli. Kritične
vrednosti v tabeli v zbirki tabel so dane za štiri ravni za enostranske preskuse

C* =P = 0.10, 0,05, 0,01in 0,001.

Če sta n-j in večja kot 10, za preskušanje domneve o enaki porazdelitvi dveh po
pulacij uporabimo zakonitost, da se T porazdeljuje prioližno normalno

T =

f n (n. + n + 1)

N !eco = 1  2  2  —

; Var l'=  —E(T)

( 16 . 34 )

- 78 -

Moč preskusa z vsotami rangov je približno enaka kot moč preskusa za t-preskus. Če
pa populaciji nista normalni, moro biti moč preskusa z vsotami rangov večja kot s
t- preskusom, ncglede na to, de za take primere ne moremo uporabiti t- preskusa, ker
osnovne populacije ne zadoščajo pogojem za uporabo.

Analiza variance z rangi  (Kruska l-Wal lisov test). Podobno kot z
osnovnimi vrednostmi tudi z analizo variance rangov preskušamo domnevo,
da je k vzorcev z n^, n^ • • n, enotami slučajnostno izbranih iz k populacij z ena¬
kimi porazdelitvami. Analizo variance rangov izvedemo po tehle stopnjah.

a) Imamo podatke k vzorcev z nj
ci T n. = n enot.

z- 1

(j = 1,2 ... k) enotami. Skupno imajo vsi vzor-

b) Vrednosti vseh vzorcev, razvrstimo v skupno ranžirno vrsto in enotam v ranžirni vr¬
sti pripišemo range i, 2.n v združeni ranžirni vrsti.

c) Seštejemo range za vzorce iz posameznih populacij v vsote Rj

d) Izračunamo vzorčni izraz

k  R 2

H = ““j-p L - 3(n+l) ; (m=k-l) (16.35)

j=l j

Ce je domneva o enakosti porazdelitev pravilna, se vzorčni izraz H porazdeljuje
približno - porazdelitvi z m = k-1 stopinjami prostosti. Ta približek je praktično
uporaben žo, čc imajo posamezni vzorci več kot 5 enot.

Preskus  s sekvencami

Če je n^ _)> 20 ali n ^  20, moremo uporabiti približek z normalno porazdelitvijo.

Število sekvenc r se za take primere v približku porazdeljuje normalno

r=: N E (r) =

2. n^ r>2

n l + n 2

+ 1 : Var(r) =

(E(r)~ 1) (E(r) - 2)

n l + n 2  ' 1

(16.36)

• 79 -

šfevil o sekvenc pa preskušamo z z - preskusom

2 =  r - E (r)
^Var(r)

Pj = število enot z značilnostjo 1 v vrsti
r >2  =  število enot z značilnostjo 2 v vrsti
r = število sekvenc

( 16 . 37 )

Primerjava z mediano

(n 1  +

n 1  • (n, - 1)
2 ni -l

( 16 . 38 )

Preskus o slučajnosti razporeda z varioncami/v o n
Neumannov preskus^).  Pri preskusu slučajnosti razporeda z varianca¬
mi primerjamo poprečen kvadrat prvih razlik zaporednih členov v proučevani vrsti

n-1

I

i=l


H*1

- 4

z varianco s

=4 £(y : -y> 2

Že če je število enot n 10, populacija normalna, zaporedje pa slučajna tno,
velja, da se izraz

z

■(

TJ


- 1

( 16 . 39 )

porazdeljuje standardizirano normalno. Značilno večji z je izraz veli¬
ke pozitivne povezave med zaporednimi členi, značilno manjši z pa odraz nega¬
tivne povezave med zaporednimi členi.

- 80 -

SEDEMNAJSTO POGLAVJE
STATISTIČNA ANALIZA ODLOČITEV

Tabela 17.2. Splošna matrika dohodkov

S Z  A

= D - D,
S max S A

Odločitev pri gotovosti

E(D a )=  I Pr(S s )D sA  = max
S

E(Z a )= ;  I Pr (S5) = Min

07.1)

07.2)

07.3)

- 81 -

Hurwitczpvo pravilo

.D « ,D . . w , + * D .w
A A min min A max max

D = dohodek

Lineoma funkcija dohodka in točko preloma

°A = f A

p = strukturni delež

D A =

°A +b A

07.4)

07.5)

(17.6)

P q  = točka preloma

0 7.7)

Predpostavi jamo, da je b^> in a^ > • Tako imamo pravilo o odločitvi o ukre¬

pu A^ ali A^ neposredno iz deleža p

Pri odločitvah s tveganjem je sodilo o uspešnosti pričakovana vrednost za dohodek
E( a D) 07-8)

Če je funkcija dohodka linearna, sledi iz obrazca 17.6, da je

E( A D) =E(a A + b A p) = a A + b A  E (p)

07.9)

- 82 -

Pri odločitvahs tveganjem vzamemo, da je ukrep ustreznejši kot A

E( A1 D) > E( A2 D)

iz česar sledi dalje po obrazcu 17.9 in 17.10
a 1  + bj E (p) > a 2 + b 2  E (p)

ali

E (P) <

Po

Analogno je ustreznejša odločitev & 2 '  ,® e  J®

2 '  če  i e

(17.10)

07.11)

07.12)

E(p)> P D

07.13)

OSEMNAJSTO POGLAVJE

PROUČEVANJE ODVISNOSTI MED MNOŽIČNIMI POJAVi

Funkcijska odvisnost

y = ffr)

Korela.cijska odvisnost

y = f (x) + e

Določanje regresijskih krivulj

Metodo grupnih sredin

y =  f(x) + e = f(x)

08.1)

(18.3)

(18.5)

prečna črtica pomeni poprečja

Analitična metoda določanja regresijskih krivulj

Regresi j ska funkcija

y'= f(x; o, b, c.. .) (18.6)

Merilo prilagojenosti

L  (/; “ yp 2  = F(a, b, c...) (18.7)

- 84 -

Mera jakosti odvisnosti

y =y + <y'~  y)+ (y - y') (18.8)

Pri tem pomeni:

y = rezultat splošnih vplivov; (y'~  y ) — rezultat vpliva koreliranega znaka x;
(y - y') = rezultat vpliva drugih, posamičnih dejavnikov.

pojasnjena varianca

4' =  08 . 9 )

nepojasn jena varianca

2

^e =

N

I (y - y'f

( 18 . 10 )

2  _ 2  2

Cy -  Cy +  CT e  (18.11)

Indeks korelacije

i = cry<r

y.x y y

i

y.x

2

\| 1

Standardna napaka ocene

(18.12)

08.13)

08.14)

(18.15)

- 85 -

Linearna odvisnost

Regresijski premici

- 86 -

5 .

6 .

7.

8 .

CK,

= -f = ^;o 2  =b,b
2 K < hxy

C 2

M  =_ČZ_
12  2  2
(J • C

x v y

P

)xy

K

*y

|/ k k

H x y



xy /

9. y' = M  +b. (x - M ) x' = M + b,(y - M )

y 1 . x x 2 y

V shemi [e nazorno nakazan potek za računanje pokazovalcev linearne odvisnosti.
Pogosto posamičnih rezultatov iz točke 1 niti ne pišemo, ker na računskem stroju
dobimo vsote iz točke 2 direktno

Včasih se izkaže tehnično koristno, če obračunamo pokazovalce linearne odvisno¬
sti iz reduciranih vrednosti u=x-x  in v = y - y . Vse količine, razen M =

° °2  2  2  2  x
X o +M u ; M y = >'o +M v 50  'nvariantne in velja ^ ; <5^ = (% ;

C = C

X/ UV

b l = b l
Ixy I uv

b 9  = b 9  ‘ •
2 xy 2 uv

; P  = ?

*xy * uv

Linearna regresija

Linearni regresijski model

y = <X + /2)x + E

Regresi j ska premica

y' =0<+ jlx

Porazdelitev slučajnostne komponente

£«: N ( 0, C 2 )

(18.22)

(18.23)

(18.24)

- 87 -

Porazdelitev slučajnostne spremeni [ivke y

y = : N (E&) «/'=<«■ j&x; 6& )

Ocena regresijske premice

y*  = a + b x

Pogoj po metodi najmanjši h kvadratov

F(a,b) = S (y. - y /) 2  = S (y. - a - bx.) 2  = min
i=l ‘ - i=l '

Normalni enačbi

a n + b Sx : = Sy

2

a S x+ bSx = Sxy

Ocena regresijske premice

y" = y + b(x “ X)

Pri tem je: x =

Sx ; y.  = -7 Sy ; b-^ -

k=Sx 2 -M_ ;  k _=Sxy--52-Jjr

xy

Sxy  -MM

_ S(x - x)(y - y)  _ _ n

xy n - 1 n - 1

n

k

xy

n - 1 '

2.2  ..... 22
s in s sta nepristranski oceni varianc sr- , r- , c
x y r u x u  y  xy

kovariance C

xy

08 . 25 )

08 . 26 )

08 . 27 )

08 . 29 )

08 . 30 )

pa nepristranska ocena

— 88 —

Porazdelitev parametrov za rearesiisko premico

Za oceno regresi jske premice y'

y“ —y  + b (x - x)

(■

se oceni parametrov a in b porazdeljujeta, kot je nakazano v 18.31

y =: N b =^

= : Ni

4 >

X

Nepristranska ocena za varianco je

k 2

k - ^

o y *

/2

S =

e

n - 2

in se porazdeljuje

(n - 2) s


-— = = %  (m = n - 2)

Ocena regresijske premice

y" = y + b (x - x)

je tudi slučajnostna spremenljivka, ker vsebuje y in b.
Pri danem x se y" porazdeljuje normalno ,

(18.31)

(18.32)

(18.33)

(18.34)

y x =y+ b ( x_x )

1: N(E y x = y x =n ? /3(X " X) ; Var y x =

1 +  (x-xf
n k

(18.35)

Oc ene za regresijsko premico y" se zaradi y odklanjajo navzgor ali navzdol od
y'=or+/)(x-x)  paralelno, ali pa so zaradi različnih b strmejše ali položnejše
od y'=oC.+ [b  (x - x ).

- 89 -

Če na koncu opazujemo še posamezne vrednosti y v modelu, spoznamo, da se oce¬
ne y= y+ b(x - x) + e porazdeljujejo tudi normalno z

y x  = :  N(Ey x  = y'=ry- /2, (x - x); Var

n

(18.36)

Vzorčni izraz za oceno rearesiiskega koeficienta

b - (5

s

e

(T =: t (m = n - 2)

(18.37)

Ta obrazec služi za preskušanje- domnev o regresijskem koeficientu ali za računanje
razmika zaupanja za [b  ker velja


= l - oc

(18.38)

Za oceno regresijske premice y" = 7 + b (x - x) pa dobimo ploskev zaupanja, zno¬
traj katere leži z danim tveganjem 0(. = 2P regresijska premica y'=ot+ jb(x  - x).Me¬
je te ploskve so

y+b(;

i x-x )“ tp(n-2) s e \|-~— ■■ < y'=«+^(x-x)<yt-b(x-x)+tp(n-2)s e ^-^

(18.39)

Vzorčni izraz za razliko dveh regresi iški h koeficientov

Če v populaciji 1 opazujemo z vzorcem n^ enot in v populaciji 2 z vzor¬
cem r \2  obnašanje dvojic xy, ki slede nakazanemu modelu, dobimo iz zakoni¬
tosti porazdelitev z in t podobno kot za razliko med aritmetičnima sredinama zako¬
nitosti

nZ  (x-x ) 2

^2 “ b l) " ( h ~  k xl ’ k x2 ^ ^

-T- J k"V ~ k ~ =: t(m = n l +n 2-4)

d \ xl x2 ,

k V 1

2 2 k +  k --Jal-JkL

2 (n l~ 2 ) s el + {n 2" 2) s e2 yl y2 k xl k x2

08.40)

s d = '

n + n 0  - 4

1 2

n-j + n 2  ~ 4

- 90 -

Te zakonitosti uporabljamo za preizkušanje domnev o razlikah med regresijskimi
koeficienti npr. H, : ^  ali H, : fe  " > Afa  itd.

Linearna korelacija

Gostota relativne frekvence za bivariatno normalno porazdelitev

<P (z z ) = -

S x' v

2 * ji

x - M

Pri tem sta z = -

x  'Cf.

? 2{~ f 2 '^

y - M

l 2 2

■=(z - 2 P z z +z)
v ' x y y

(18.41)

z =

y

X-  standardizirano normalni spremen-

x -

Ijivki, ki sta podani s štirimi parametri: M , M , čT ‘ n  • Pefi parameter, ki

x / x y .

opredeljuje bivariatno porazdelitev x,y, je parameter (2. Parameter (O je po defini¬
ciji

y" M y l _ - M x )0 ~ M y j|  _ c >

E z z =E

X y

x - M

er x 6- y

<5^

(18.42)

in je korelocijski koeficient za bivariantno porazdelitev. Korelacijski koeficient
meri stopnjo linearne odvisnosti med x in y , ki je dana z regresijskima premica¬
ma

Regresi iški premici

z' = 9 z ;
y - *

= M +9—^ ■ (x - M

y  < ^

(18.43)

z' = ?z
x ‘:

x " M x + 'l~o^ (y  ‘

08.44)

V primeru čiste korelacijske odvisnosti imamo torej dve regresijski premici. Prva
kaže linearno odvisnost y- od x , druga pa linearno odvisnost x on y. Prvi regre¬
sijski koeficient

- 91 -

(18.45)

pove, za koliko se v poprečju spremeni y, če se poveča x za enoto, drugi regre-
sijski koeficient

(18.46)

pa pove, za koliko se spremeni v poprečju x, če se y poveča za enoto. Sliko 18.10
nakazuje krivulje enake verjetnosti za bivariatno porazdelitev dveh odvisnih spre¬
menljivk. Vrednosti korelacijskega koeficienta ^  leže med -1 in+1 . Ta ima drugače
iste lastnosti, kot korelacijski koeficient, ki ga računamo v primeru, če predstav¬
lja populacijo N dvojic (xy).

Ocena regres?jskih premic iz vzorca

y“ = y + b 1  (x - x )

(18.47)

*" = X + b 2  (y - y) ;

(18.48)

Verjetnostna porazdelitev ocen korelacijskega koeficienta

Pri pogoju, da je ^=0

t(m = n-2)

(18.49)

Fisherjeva transformacija korelacijskega koeficienta in njegova porazdelitev

Z =

_ 1 _

J?

In

1 + r
1 -r

(18.50)

- 92 -

Z ,'’ 4 Z  " Z o ’ f: Vo, 2 --Ij.]

(18.51)


/n-3

Preskušonie domnev o korelocijskih koeficientih
H o ! ? = ?o =  °

, - r  / n  ~ 2
~ iTTr 2 '

Z m = n-2

H o 1  ^ =< ? H ' H o :  ? $ ?H '  H o :  ° * °H

(18.52)

(Z - Z H ) V n - 3 = ■ z

H ° : ? 1=?2

(18.53)

V Z 1

\U-+  —-—g

| rij -3 r>2 ~ 3

(18.54)

Proučitev linearne odvisnosti iz grupiranih podatkov.

Za obsežne populacije ali vzorce proučimo linearno odvisnost iz kore lucij¬
ske tabele . Običajno izvedemo računanje prek pomožnih znakov u = (x-X Q )/i^
in v = (y - y )/i . Shema za računanje pokazovalcev linearne regresije in korela¬
cije  iz korelacijske tabele f je takale:

uv

2 2

a) Shema za -izračunanfe pomožnih količin n, U, V,Zu , Z uv ,L  v (v pravokofni-
kin so zaznamovane tabele, vrste in stolpci, pod njimi in ob njih pa sumarne koli¬
čine)

- 93 -

b) Shema za računanje pokazovaIcev linearne regresije in korelacije iz pomožnih
količin

2

- vVn

Sv  (18.56)
2

v  -21
2 1 K
s = ,

y  n-l

2 -V 2 /
y v

k

; b 2=f

k

x“ =x + b 2  (y-y)

h (y ; x; £ ) = 0

(18.57)

- 94 -

Eksplicitna oblika odvisnosti med x in y

y = f (x; E )
y = f(x; a, b, c...)+ £

Regresijska krivulja

y' = a,b,c...)

(18.58)

(18.59)

(18.60)

Pojasnjena in nepojasnjena varianca

6"^ = Tjl(y'-y) 2  in =-jqr(y-yO= -^1 i  08.61)

Poseben tip r e g r e si j sk e g a modela

kvadratov, ne za y  temveč za Y'= g(y"), ki je funkcija neodvisnega znaka y.

Ce na tem modelu uporabimo metodo najmanjših kvadratov, štejemo kot regresijsko
funkcijo tisto, za katero velja

! O' - Y ') 2  =1 [(g(y) - g(y')] = min (18.64)

Normalne enačbe

N p  •• N

.. Isfj  = ^ ° k  £ f k fj (j -0,1,2...p) (18.67)

(h = 0,1,2..p)

- 95 -

ki jih moremo pisati v razviti obliki:

I*o =
Z^i *
I gf 2 =

I® f p

a o + a 1 I f 1 f 0 +a 2 I f 2 f a +  ••; +Q pI f p f o

a  J-  Vi +  °1 1 f f + a 2^ Vi + +  °p I f p f l

a a^ f o f 2 +a l^ f l f 2 +a 2 If 2 +  •" +a p If p f 2

> I i •

a £f f +oJf f + a 7 f f + ... a Y
o L  op l ip 2 ■ 2 p pr p

Če zaznamujemo vektorja funkcije y in parametrov a

(9^)/ g(y 2 ) ••• g(y N ) = g

(a , a, ... a ) = a

v  o 1 p

in matriko funkcij f(x)

I  f o (x l }  VV. f 0 (x N^

.V^V

moremo sistem normalnih enačb pisati v matrični obliki
g f' = a f f'

Če postavimo, da je gf'= G , ff'= F, je
G = aF in a. = GF ^

(18.68)

(18.69)

(18.70)

(18.71)

(18.72)

- 96 -

Nepojasnjena varianca

2

<%g)

2_

n-

' N
1
Li=i

2

N

Z

i = l

ki 9;

i 1

GF' G 'J

(18.73)

Determinacijski koeficient krivuljčne korelacije

I

2

g(y)/x

2

Q~£(g)

<5g(y)

(18.74)

Regresijski modeli tipa  g(y) = fr +  f (x) +  S.  Poseben primer gor¬

njega splošnejšega modela je regresijski model

g(y) = °< 0 +  Z 3 ! f M +  £ (18.75)

Ce vpeljemo za ta primer transformacijo g(y) =Y in f(x) =X, je regresijski model v
transformiranih znakih linearni model

Y =cx +|3,X+ Z  (18.76)

o 1  I

Take vrste krivuljčne regresije obravnavamo enostavno tako kot linearne odvisnosti
po naslednjih stopnjah:

1 . Glede na poznavanje zakonitosti povezanosti med x in y ali iz korelacijskega
grafikona ugotovimo ustrezni transformaciji Y = g(y), X = f(x).

2. Vrednosti osnovnih znakov x. = x^ .. .x^ in y. =.. .y^ prevedemo v trans¬
formirane znake X. =f(x.) , Y. = g(y.), i =1,2  — N.

3.  Iz transformiranih vrednosti znakov X. in Y. .izračunamo pokazovalce za linearne
regresijo in korelacijo za X in Y

Y'= My + b, (X-M x ) ; b 1

XY

Cx-

;  ^XY

'XY

<T x 6y

(18.77)

- 97 -

4. V regresljskl enačbi med X in Y'  nadomestimo transformirane spremenljivke z f(x)

in g(y')

g(y') = M Y +b -| [ f W " M xl

(18.78)

in y' iz te enačbe izrazimo eksplicitno

y'= h (x ; M x , My . b^ ) (18.79)

5. Koreiaciiski koeficient P.... = v. /  , , . je koeficient linearne korelacije med

'XY n(x),g(y)

,  , značaj mere
.7

(y).fW

f(x) in g(y) in ne med x in y. Glede na znaka x in y ima
krivuljčne korelacije. Prav tak značaj ima za ta primer tudi^

- 98 -

Tabela 18. 12 Regresijske funkcije za različne zakonitosti spreminjanja  spremenljivk x ii

• 99 .

Večparometrski regresiiski model posebnega tipa

Regresijski model

y = | a k f k w + £

Regresijska funkcija

y ' =  | a kV x)

Polinom celih potenc
Regresijska funkcija

a + a, x +
o 1

+

+ a

P

x

P

Sistem normalnih enačb

Sistem normalnih enačb pa je

Njo N kt-j

Z /;*; =1 °k I X |

i=l k=o i=l

j = 0,1,2 ... p
k = o,1,2 ... p

(18.80)

(18.81)

(18.82)

(18.83)

Vsote produktov X f. f. so v tem posebnem primeru enake _X f, f. = £x vsotam
k j k j

potenc znaka x za vse enote populacije.

Pogosto so vrednosti x dane v aritmetičnem zaporedju x. [+ ^ =x. +A  .Vtem
primeru uvedemo namesto x ustrezno transformacijo

u = — — ~ 2  ^  če je N = liho število (18.84'

2(x-x 1 )

u = ———— - (N - 1) če je N =sodo število

Za transformirani u je vsota lihih potenc nič

- 100 -

O S = O, 1, 2 ... p-1

(18.85)

I.

2s+l

medtem ko je vsota sodih potenc

s = 0, 1, 2 ... P

(18.86)

lu 25

odvisna samo od N in s.

Sistem normalnih enačb razpade v ava sistema linearnih enačb. Za polinom četrte
stopnje sta sistema enačb npr. takale:

I y = ° 0 N

° 2 Xu

+ ° 4

v -r* Z

L y v  -  i.u

°3 Iu

V 2 rr 2

1 y u  = ° 2- o

+  °2 2- u

+ o 4  Z u 6

(18.87)

J yu - a. i. U

,1“

r 4  r 4

X y u = a Q ^- u

+ a 1 U 6

1 yu=a N+0,2 U + a.ZLu

o z 4

kt  2 2 y 4 6

2 yu. -° Q Zu +a 2 2_u+a 4 Iu

-c 4 _ y 4 r 6 v 8
>yu - a 2 .  u + a 2. u + a 2 u
A  o 2 4

(18.88)

2 yu =a 1  J u + a 3  2 u
2y° -°]4U + a^ 2. u

Prvi velja za parametre o^, a^, a^ in drugi pa za in a^.
Nepojasnjena varianca

£ = 77

N ..p N

X y 2 , - 2 a k  X )
i=l k=o i=1

(18.89)

- 101 -

( 18 . 90 )

Če predpostavijamo regresijski modei 18.62

g(y)=X a i/ k to +  E ; £=: N( 0 , el

in jr populacije na slučajnastni način izberemo n vrednosti y pri n vrednostih
x, so po gornjih obrazcih izračunani parametri a^ le ocene pravih vrednosti .

2

Nepristransko oceno za pa izračunamo po obrazcu

n-p-1

s g(y.) - Z. k  21 f k  s(yj)

i k i -

( 18 . 91 )

m=n-p-l je število-stopin j prostosti, ker imamov modelu p + 1 parameter.

i . *

Korelacijsko razmerje  jy  x

(T = d „ +  M^2

M

er

( 18 . 92 )

m ^

jy.x =■

TT lN k (M k -M ) 2

Z (y ~ W

( 18 . 93 )

Ivl/H-Y 2 /H
2 _ k K

Vx * Ift.-* 2 /"

Q, - Q

k

Q.. - G

ki

Preskušanje značilnosti za.  ^

Ge so podatki po grupah rezultati slučajnostnih vzorcev, moremo značilnos
za korelacijsko razmerje preskusiti z izrazom

F =

Vx n- k

2' k - 1

( 18 . 94 )

r '^-x

ki se pri istih predpostavkah kot pri analizi variance porazdeljuje v F porazdelitvi
z m-j = k-1 in mj = n-k stopinjami prostosti. Izračunani F torej primerjamo s krr-

- 102 -

ticnimi vrednostmi Fj* (m-j=k-l; ir^ = n-k) pri različnih stopnjah tveganja a .
Z izrazom

2  _ _2

p. _^y.x 'xy n-k

2 ' k - 2

y.x

(18.95)

pa s pomočjo =k-2 ; rr^ = n-k) preskušamo ničelno domnevo H q  : y=ct+(3x+£,

da je y linearno odvisen od x. Seveda morfcmo ta preskus izvesti le, če sta x in
y numerična, .ker drugače ne moremo izračunati korelacijskega koeficienta r

xy

Korelacija ranaa

Spearmanov koeficient korelacije ranga

%■

£i_

N(N 2 -1)

(18.96)

rn tem je: ^  - koeficient korelacije ranga; £  d 2  = Z(R^-R^) 2  = vsota kvadratov
razlik med rangoma za oba znaka.

Preskušanje značilnosti Spearmanovega koeficienta korelacije ranga

r S

\[n - 2

— 2 -
V  “ r s

= t

(18.97)

Asociacija in kontingenca

Kontingenca
Teoretična frekvenca

f t '

f, ■  f

_i<_2_

kg N

(18.98)

- 103 -

Merilo stopnje kontingence

2 r (f u ~ f C>

X = L k l  kg

kg kg

( 18 . 99 )

Y 2 = I  -^ 2 .

x  £  f i s

N =

f 2

L -rh --') N

kg k g / 'k- k a f g /

k. k gg

( 18 . 100 )

Poprečna kvadrati čna kontingenca

p 2  ■ x 2 /n - Z

kg

( 18 . 101 )

Pearsonov koeficient kontingence

- 104 -

Preskušanje domnev o odvisnosti s -preskusom  . Po¬

gosto je kontingenčno tabela rezultat vzorca iz umišljene populacije. Če
velja ničelna domneva, da sta znaka neodvisna, se koeficient kontingence po¬
razdeljuje v'x" porazdelitvi. Število stopinj prostosti je lahko določiti. Od skup¬
no k.g podatkov v kontingenčni tabeli je v vsaki vrsti oziroma stolpcu ena frekven¬
ca odvisna od drugih, ker so vsote frekvenc vezane na robne vsote. Prav zato je
število stopinj prostosti m = (k-l)(g-l).

Homogenost za skupino strukturnih deležev

Za kontingenčno tabelo 2 x r izračunamo ^ po enem izmed obrazcev

, 2

f+ +

; p% = 100—; p% = 100 —

p%(100-p%) k n k

2 " k (p k %-p%)

/L

X 2  --P-

f . f

2 (fr 2

k  n k

(f + ) 2

(18.107)

(18.108)

Čo štejemo ii| enot kot vzorce, značilnost odvisnosti proučujemo z j>( -preskusom
z m = (2—1)(i—1) = r-1 stopnjami prostosti.

Preskušanje enakosti frekvenc

,2  Ih

Ih-n 2

X

f

r r

=—lK- n

- 105 -

Asocrocijo

Za asociacijo, za katero je kontingenčna tabela 2x2,  ki jo moremo pisati simbo¬

lično

( 18 . 10 ?)

je tabela teoretičnih frekvenc

a

(a+c)(a+b)
' N

b'

(b+d) (a+b)

N

(a+c)(c+d)

N

, =  (b+d)(c+d)

(18.110)

Pokazcvalci asociacije, preneseni iz kontingence za 2 x 2 pa so v gornjih simbolih

2 N (od - bc) 2  =  ,  _ .2fj_ J_ +  J_

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) [ a '  k' c '  c *"-

(18.111)

$

2

(ad - bc)^

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(18.112)

Atributivnim znakom v ožjem pomenu, to je znakom z dvema vrednostima, pripiše¬
mo formalne numerične vrednosti: eni 0, drugi pa 1 . Za tak primer moremo iz kom¬
binacijske tabele

- 106 -

izračunati formalno korelacijski koeficient f  . Izkaže se, da je izračunani
koeficient V

V

aa - bc  _

\f (cr+b) (c+d) (a+c) (b+d)

v ozki zvezi s ^ oziroma JU

V

( 18 . 114 )

( 18 . 115 )

Razen nakazanih koeficientov asociacije pogosto izračunavamo Yule-ov koeficient
asociacije Q

Q =

ad - bc-
ad + bc

( 18 . 116 )

Preskušanje domnev o asociaciji . Če so podatki v kontingenčni
tabeli 2x2 rezultat iz vzorca, značilnost asociacije podobno kot za kon-
tingenco preskušamo z ^ -preskusom. Ker je ta preskus le približen, izračunamo po
obrazcu

X

pop

z

(lad-bcl - -j-'j  n
(at- b) (c+d) (a+c) (trrd)

= (| a - a -1

( 18 . 117 )

popravljen (Yatescv popravek). Ker je za asociacijo m - (k—1)(g — 1) (2—1)(2—1) 1,

primeriamo y 2  s kritičnimi vrednostmi za posamezne stopnje tveganja pri m =1
r 1 /L pop

Popravek uporabljamo, če so teoretične frekvence relativno majhne (najmanjša manjša
kot 5).

- 107 -

Preskus z mediono

slabih dobrih

- v prvi polovici « • n/2-o n/2

-v drugi polovici b n/2-b n/2

crt-b n-a-b n

Če za ta primer izračunamo X < dobimo po obrazcu 18.117

^ 2 _ (la-bl - l) 2  n

A-P°P (a+b)(n - a - b)

(18.118)

Neparametrično or e^ku ša nje domnev z a vezana vzorca •
Neparametrična metoda preskušanja razlik za dva vezana vzorca se s prire¬
ditvijo X 2- P resl<usa za  'nediano prevede na preskus s predznaki. Da bi preskusili
domnevo H q  : M e (y 2 ) = Me(/P+D,  izračunamo iz podatkov ^j !n  ^2,1 Z ° dv °

odvisna vzorca izraze u. =  y~. - y.. ~ D . Če velja ničelna aomneva, je število
i ' 2i 11 +

vrednosti u. s pozitivnimi predznaki (f ) in število enot z negativnimi predznaki
(f ) približno enako oziroma v skladu s slučajnostnimi odkloni. V nasprotnem prime¬
ru, če ničelna domneva ne velja, pa razlika med f in f ni odvisna samo od sluča—

2

ja, večja. Za ta primer odvisnosti preskušamo ničelno domnevo s X " preskusom
števila pozitivnih f in negativnih u. f po obrazcu

2 ( If +  -f"l- I) 2

x =-

f +  + f"

(18.119)

Neparametričn? preskus za dva neodvisna vzorca

- 108 -

Če za ta primer priredimo obrazec (18.11), dobimo

(ln-2al-l)%

- _I_!-

^ n -| (n ” D'])

(I n 2  " 2a 2 1  " 0 • n
n 2  (n - n 2 )

ki ga preskušamo s (1) z eno stopinjo prostosti.

Če je n-j = n 2  = n , je obrazec 1 8.120 še enostavnejši

x 2  =-

2(1 n -2a 2 l-ir

Multipla regresija in korelacija

Multipla regresijska odvisnost implicitno

y  = h (x, , X-,..’. x , £ )
^ P

Multipla regresijska odvisnost eksplicitno

y  = f ( X]  , x 2  ... x p ) + £

y'~  f ( x r  x 2  ••• x p )

Varianca zaradi posamičnih vplivov

Linearna multipla regresija

Linearni regresijski podel

y = a + b ] x 1  + b 2 x 2  + -.+ b p X p +6
Regresijska hiperravnina

(18.120)

(18.121)

(18.122)

(18.123)

(18.124)

(18.125)

Y'

o  + b.x, + b„x„ + — b x
o II 2 2 p p

(18.126)

- 109 -

Regresijski model v standardiziranih znakih

y - M x, - M,

Z =-z, =—-1

y c\

x - M„

_ 2  2

' z 2 <r,

x -M
. P P

p <r„

(18.127)

N

Zz=M z =  °; -^Iz 2  = ^=l;  -l£ 2 . z .= r .., i/ |

(18.128)

z y =a * + b l z l + b 2 z 2 4

• • • +  b z + £

p p y .1.2.. .p

(18.129)

Normalne enačbe, parametri b in regresijska funkcija za linearno regresijo standardizi¬
ranih znakov

0 = a

o

r yi = £ b k r kj i =1 ' 2 ”‘P r k  = 1, če je k=i (18.133)
k

Če ta sistem pišemo v razviti obliki, so normalne enačbe za parametre b. naslednje:

r.=b.  + b,r, 1 + ...+ br.
yl 1 2 21 p pl

r . = b. r. 0  + b, + ...+ br,

y2 1 12 2 p p2

r

yp

= b l r lp +b 2 r 2p +

b

P

(18.134)

Če definiramo vektorja r

in b in matriko korelacijskih koeficientov R

- 110 -

(18.135)

moremo sistem normalnih enačb napisati v matrični obliki

r = Rb

(18.136)

Iz tega je dalje

b =R

(18.137)

Če temu sistemu dodamo še enačbo regresijske ravnine

z" = z'b

y

/ \
' z i

P r

i čemer ie z vektor z =

l 2 P/

(18.138)

neodvisnih spremenljivk /ima homogen sistem enačb

z" - z'b = 0 (18.139)

y

r - R b = 0

netrivialno rešitev, če je izpolnjen pogoj

(18.140)

V razviti obliki moremo to enačbo pisati:


-m-

(18.141)

Ce z R . označimo minorje ustrezne prvi vrsti v enačbi 18.141 dobimo, da je

z" R + z,R , + z„ R „ +

y yy  1  y‘ 2 y 2

+ z R =0

p yp

ali z" eksplicitno

y

R , R 0

z"  = - ■ X 1  z , - -lL  z J.
y R 1 R 2

yy yy

R

~_XE.

R p

yy

Multipla linearno odvisnost od dveh neodvisnih znakov

Enačba regresijske zveze je

(18.142)

(18.143)

z y b l z l + b 2 Z 2

ustrezni vektorji b, r in matrika R pa

r yi

r y2 J

b =

Da bi izračunali vektor koeficientov b, moramo najprej poiskati R

-1

(18.144)

(18.145)

- 112 -

-1 1

1 -

12

r 12 C r 21 J

b = if 1  r  = —L

f  1  " r 12'

, „ ,

Vi I

1  " r 12 i _r 21 *'

r y2.

12

r y2~ r 21 r yl

1  - 4 J

08.146)

08.147)

b  = . b  - /r O l^d.

1,2  ' d 2  ,2

" r 12 " r 12

08.148)

Regresijsko funkcijo moremo po 18.141 pisati tudi v obliki determinante:

yi

r y2

z i z 2
1

c  12

21

= 0 -

08.149)

Koeficient in koeficient determinacije multiple korelacije

R  10
y.!2..p

.12... f

1 - Gy-12..p

4

08.150)

TT I ^ ,, = 4r I (z - z") 2  = g/ 'l 2 " P  = 1 - R 2  , 08.151)

N y.12. -p N y y g-2 y.!2..p '

z y  =  I b k Z k

08.152)

- 113 -

(18.153)

2 = Jjl  = r 2

6 *y &y y-12.. P

2  P

^y.12.. p P yk

k=l

o r
r  R

2  -1  _

R v, = r'b = r'R r = .

y .12. .p 1 R 1

Multipla odvisnost od dveh neodvisnih znakov

s 2 1

R 1 n “ fr 1 r  o) • -

y.l2 yI / /2 , _

‘12

Vl + r y2‘ 2r 12 r y

'-4

r V

'.12

1

r 21

yi y 2

1 r ?2

r 2y r 21

r 12

2  . 2 ,
r. + r.-ir, 0 r, r
_ yl y2 _ i2 yl ■

1 -

r 12

Parcialna linearna kor eia cii


= L  b „i*L + £

x  k=l xl< k  ^ X ‘ 12,, P ' Z y |^i “yk^k  ^.12.^

= I b .k 2 t + e

= _ P
"x.!2..p ~ z x “ ^ b x k 2 k

e y.l2..p =2 y - I b yk z k

k=l

(18.155)

(18.156)

1 r  9

2-^ (18.157)

■2

(18.158)

(18.159)

(18.160)

- 114 -

(18.161)

r = r P  = Cgx - 12 --P ' £ y-12..p

x/. 12..p e x .i2.. P  • e y,12.. P  Se x .l2..p 6e x .!2..p

r ~ Z  b , r,

_ xy L  xk ky

r - 1  b , r.

- xy £ y K xx

*y- 12 --p JITr 2 " i_i? z  ,,i- K  ., 1 -k

r X.12.. p r y,.12..p v' x .12..p * y .12. .p

v/T—R 2  ./H* z

(18.165)

=

x / _i y

r. R r

r r'
xy

? R

xy . 12 . .p 77-I x jT-r '

F 8

f R

(18.166)

r ~ r . r .

r  = _ x 1 . y ] _

xy . 1 .f. — 2- K  2 —

V  " r xl V 1 -r yl

(18.167)

= r xy-2 " r xl .2 r y1 .2
r xy.l2 n—2— n  2 -

V  ' r xl.2 r ” r yl .2

(. 18 . 169 )

P a r t ko r e I a ci j sk i koeficient

z y A l z l + A 2.1 2 2.1 + "- +A k.l2...k-l z k.l2...krl +A p.l2.(p-l) z p .12.(p-l) +

+ A . z .

y-1 2 .-p y.12 p

(18.170)

Ta enačba je zapisana tako, da je iz vsake naslednje neodvisne spremenljivke izlo¬
čen linearni vpliv predhodnih.Npr. z^ ^ (1<-1) i e za P‘ s  standardizirane spremenljiv¬
ke k, iz katere je izločen-1,2 (k-1). Zato so vsi z^ ^ med seboj ortogonalni.

Iz tega sledi, da je

o k/ j

(18.171)

z k.l2.(k-l) Z j,12..(j-l) 1 k =

- 115 -

Partkorelacijski koeficient ^ T)

/k.!2..(k-1) r yk.l2..(k-l) Y  R y.22..(k-1)

(18.177)

Sestavo multiple korelacije je nazorno podana s partkorelaci jskimi koeficienti. Ker

i e

‘y =A 1 Z l + A 2.1 Z 2.1 +

A p. 12.. (p-1) Z p. 12.. (p-1)

(18.178)

je aeterminacijski-koeficient multiple korelacije

„2

d*-  - ^ y ip-  _ 1 y?-

y.12. -p N y N' 1 “

A 1 z 1 + A 2.1 2 2.1 +  ••• +A p.l2..(p-l) Z p.l2..(p-l] 2 =

2 2 2
~ A -j- A -f* A

A 1 A 2.1 "■ p. 12. .(p-1)

(18.179)

Ker so z

18.179

12 (k- 1 ,) me< ^ se ^°i ortonormalni. Tako dobimo dalje, da je po 1 8.172 in

_2

2  , 2

Vl2..p y r l ^ y r 2.1 +  y r 3.12 +  ’*' + y r p.l2..(p-l) ( ^ 1  y r k.l2..(k-l) (18-180)

V.12..p r yl" r y2.1 (1_r yl ) + r y 3 . 12 (1  “ ^.12^** +r y P . 12 .

yp.l2.(p-l) (1 " R y.l 2 .(p-l) =

= x

kt=! 'yk.l2..(k-l) (1  " R y.l2.(k-1)

o

.  (18.181)

2  _ 2  2

y r l.H " R y . HI “ R y. H

(18.182)

- 116 -

08.183)

2 2

2 _ R y.Hl " Vh

r ^- H “ 1 - R°

y.H

Celotna varianca, ki je v relativnem enaka 1, je ponazorjena s kvadratom s stranico
1 . Ta kvadrat je v skladu z odnosi med raziskovanimi pokazovaici razdeljen v ustrez*-
ne pravokotnike, katerih ploščina je v sorpzmerju z njihovo velikostjo.

l-R.

'y.H

Slika 18.12 Odnosi med , R 2  . , r^ u  . 2

y • H y.Hl y 1 .H in r yl>H

Multipla krivuljčna regresija in korelacija

Krivulična parabolična regresija drugega reda

P P

y=a+I  bx  + I £ c k ; x u x T + e -
k=l k=l ji k k| k  I

(f*2\

s  t 2 J  f^^metri

V posebnem primeru, če je p=2, dobimo

y=a+b 1  x 1  +  b 2 x 2 + c 11 xJ + c 12 x 1 x 2 + c 22 x 2 2+  e

Prav tako moremo razširiti npr. tudi regresijo y  =a + b'^x"+ cx+ €.

y =af b l^ +  M*2 + C ll x l + c 12'l x r x 2 +c 22 x 2 + £

08.185)

08.186)

, 117 -

Coob-Douglasovo funkcija

b 1  b

y - °  • X]  x 2

oliv  implicitivni obliki

log y - log c - b 1  log x^ + b 2  log x 2  ..

+ b log x + £..
P P

( 18 . 189 )

( 18 . 190 )

Z logaritemsko transformacijo vseh znakov privedemo nakazano regresijo, ki je zna¬
na pod imenom Coob-Douglasova funkcija v multiplo linearno regresijo logaritmov
in jo na to način tudi naprej obravnavamo.

Pomen regresijskih koeficientov b^ postane jasen, če poiščemo parcialni diferen¬
cialni kvocient po x^ iz regresijske funkcije;

y'—  a x

b l b 2

1 x 2

( 18 . 191 )

( 18 . 192 )

Iz tega spoznamo, da je

b

k

V/V

' 3 x k /x k

( 18 . 193 )

parcialni prožnostni koeficient, ki pove, za koliko se relativno spremeni v poprečju
,  če se x^ spremeni relativno za enoto, npr. en odstotek, če so drugi x^ nespre
nenjeni.

- 118 -

DEVETNAJSTO POGLAVJE
STATISTIČNO PREVERJANJE KAKOVOSTI

Statistično preverjanje procesov

Kontrolne karte. y - s karta.  Domnevi: H : M = M in

- - —*- o o

H q : ~ 6^  iz vzorca n meritev y^ -/2 . Y n  preskušamo prek pre¬

skusnih izrazov

^ M o 1 — ^,2 (n - l)s 2  2^ n

z= ——- V n ; y =  -j- ; z ; X (m-n-lj (19.3)

°°  <T 0

Če veljata ničelni domnevi o poprečju in varianci, veljata znani verjetnostni ne-
enačbi

Pr C/ s  = - zp —-^z  < y O, = M „ + Z D  -7=) = 1  “ 2P = 1  “ <*

V n

o P {K

2 2

Pr (s 2  < s = - 2 --) = 1 - P = 1 - «

z /n-4

ki služita kot osnova za preskušanje domnev o M in 0^.
y - karta

zgornja kontrolna črta ZKČ : y = M^ + Zp— j—
osrednja črta OG M

spodnja kontrolna črta SKČ : y^ - - Zp

A

09.4)

- 119 -

t-korta

zgornja kontrolna črta ZKČ:

%

osrednja črta OG

s =
2

4 *i>-

n - 1

i)


Korte za število enot z dano značilnostjo d, strukturni delež p število enot c, ki se red¬

ko pojavljajo .

d = : N fnP; nP(l -P)] ; p% i s  N FP% ; _P% 0 °°- p ° / °) "

L - L n

C =: N ( X , \  )

Iz take zakonitosti dobimo ustrezne SKČ, OKC in ZKČ po obrazcih

( 19 . 5 )

( 19 . 6 )

p%

P% . Q%

P% Q%

X  + Z ? {X  i

* ;( 19 . 7 )

X  - Va I

Prave vrednosti P , P% in A običajno zamenjamo s poprečji iz več vzorcev pri
stabilnem procesu.

Vzorčna kontrola pri prevzemu

Verjetnost L(P) za sprejem skupine z deležem neustreznih izdelkov P

I(P) = j(x)  P x Q n_x

( 19 . 19 )

x=o

- 120 -

Poprečna ali pričakovana izhodna kakovost PIK

PIK = E (P) = P. L(P)+ 0.[l t(P)]= P . L (P)

Najslabša izhodna kakovost PIKM

( 19 . 20 )

PIK = PIKM

max

( 19 . 21 )

Enojni načrt

Večkratni načrt

preverimo
vzorec n
izdelkov

preverimo
vzorec rt^
izdelkov

j

če Je

Sheme za  potek kontrole pri enojnem,dvojnem in večkratnem vzorčnem načrfv.

- 121 -

DVAJSETO POGLAVJE

STATISTIČNO NAČRTOVANJE POSKUSOV

Tabela 20.1 Prvine, statističnega načrtovanja poskusov

Cisto slučajnostni poskus

linearni model

y p . = M+ (P) + e p .

( 20 . 2 )

Če predpostavimo/ da velja ničelna domneva Ho- P 2  ‘" ^p' i e

X(P)=0 ; S 2 p  P 2  ; e p . = rN(0,  (20.3)

- 122 -

Tabela 20.2. Analiza variance za čisto slučcinostn? poskus

Skupaj K = q p . n - 1 (20.4)

Pri tem so qp., qp količine, znane iz enostavne analize variance in izračunane iz
osnovnih podatkov po shemi :

'Pi

! y P ly

Q pi

I Sy

P i

Qn =

1  V 2

T I y P ;

d (/ P ) =

Q =-=~k-  y

q p;  Qp. - Q ; q p  Q p  - Q ;

Nojvečji verjeten odklon

■ Največji verjeten odklon za razliko med poprečjema

d ( A y p )'= V (m e^

2 . s

L 2

SP

(20.5)

( 20 . 6 )

(20.7)

- 123 -

Preskus razlike med poprečjema

Apriorno primerjava

^3  "

V n

= t (m = n - P)

Porazdelitev primerjave P r * ... M p

*-Vk

: t (m = n - P)

T c 2
n L  k

Aposteriorna primerjava

Tukeyev preskus
Studentiziran razmik q

( 20 . 8 )

( 20 . 9 )

y - y ..
max 'min r —

q --- n (20.1 0)

e

Značilnost razlik med sredinama

j y 9  - y-t  I > 8 fa/P) ~F=  (20.11)

2  ' * VT

Slučajnostni bloki

Linearni model

y 3P  = M+ (B) + (P) + e Bp  (20.12)

Porazdelitev poskusnega pogreška

e

BR :

( 20 . 13 )

- 124 -

Pomožne količine

Q Bp = IIy^ p . Q B=i-I y 2 B  Q p =-g-Iyp;

Q = TT y2

bp~ q bp" Q ' p b =q b  - q ; Q p  = Q p-Q ,

(20.1 4 ;

Tabelo 20.5 Shema za analizo variance za poskus v slučainostnih.blokih  15 ^

Poprečni kvadratični odkloni

<2

s

1

b -1

b

I

B=1

(20.16)

Največia verjetna odklona za oceno poprečja in razliko med poprečjema

~2~ rr

-  ; d(A. ,

P

=t *[ m e =(b “ 1 )(p- 1 i)\rV ; d(A V

(20.17)

- 125 -

Lotinski kvodrati

Latinski kvadrat

Vrstni red:

I

Pri tem so: (V) in (S) sta dejavnika, katerih učinek iz sklopa slučajnostnih faktor-

2

jev izločimo, (P) je dejavnik, katerega proučujemo, e^p = :N(0, CT ) pa rezultat
sluča jnostnih vplivov, ki se porazdeljuje normalno.

Tcbela 20.8 Analiza variance ža poskus v latinskem kvadratu

Podobno kot pri že obravnavanih poskusih pomeni:

q vsp =  ^ ^ yvsP; Q v = T^ y v ; Q s = T^ y s ; Q P = p"^ y P ; Q  "^2 y

( 20 . 21 )

q VSP =Q VSP  ~ Q ; q v =GJ V -Q; q S -Q S- Q; q P -G 5 P _G!

- 126 -

Faktorski poskusi

Linearni model

y AB,i =M+  ( AB ) + e AB.i' e ABi N  <sf) (20.24)

Shema za dvofaktorski poskus dveh dejavnikov A in B z n ponovitvami je po stop¬
njah takale:

a) osnovni podatki:

če z v zaznamujemo i-to ponovitev poskusa pod kombinacijo faktorjev A in B
so potrebne vsote dane po znanih pravilih naslednje:

Če je vsak postopek AB ponovljen n krat, če ima dejavnik A v poskusu a vredno¬
sti, dejavnik B pa b vrednosti, imamo v celotnem poskusu n = nab posameznih po¬
skusov.

b) pomožne količine

- 127 -

c) analiza variance

20.9 Analiza variance dvofaktorskega poskuse s ponovitvami

(20.25)

- 128 -

ENAINDVAJSETO POGLAVJE

PROUČEVANJE DINAMIKE POJAVOV - ČASOVNE VRSTE

Oblike časovnih vrst

Kumulativna časovna vrsta K,

-k

•Vi = "k + Y k

K - kumu letiva ; Y. »vrednost v tekočem razdobij k

N K ‘

Vrsta sredin Y

Y. T cr, +  Y 2 + ...Y)

7 -4- <i v w -*vi 4 '4v

Vrsta drsečih vsot S,

k-

S = S. + Y, - Y, =S, + d
kri k k k-r Krk

(2U)

( 21 . 2 )

( 21 . 3 )

( 21 . 4 )

Pri tern pomeni: S. in S ;  , = ustrezne vrednosti v vrsti drsečih vsot; Y. = člen k
K <r 1 'k

v osnovni vrsti; Y. = člen osnovne vrste, ki je zc r členov pred Y ;  ; r = šte-
k~r

vilo členov, iz kolikor so računane vsote ; d, =Y - Y, = razlika ustreznih

r  k k  k-r

vrednosti za Y.

- 129 -

Vrsto drsečih sredin

*k

Ce imajo razmiki, na katere se nanašajo sredine, lihcr število osnovnih razmikov:
r =2rtl, izračunavamo časovno vrsto drsečih sredin po obrazcu

7  =—(Y, + Y 1 +...+Y, + ...Y... ,+Y, ,.) = — S, ,,

*»< r k-i k-p-1 k k+-j r k+*p-l

(21.5)

Če pa sredine veljajo za sodo število osnovnih razmikov (r =2i), računamo
drseče sredine po obrazcu:

Y. =— (4-Y, . + Y ... + ...Y,+ ... Y... . +4-Y. ,.)

k r . 2 k-i k-i+1 k k+i-1 2 kt-i

( 21 . 6 )

V17 "t-M + - +2Y k + - 2Y i*i-l +Y l*i> “

(21.7)

S k+l _S ld-H-l' S k+H-2 S kti' 1 'r d |<+: +S |<+H-l + r C! |<+H-l _S k + r d k+i ' r d k+i+l

Ganttov grafikon
Izračun Ganttovega odstotka

a) Poiščemo, med katera člena in P, . ^ v planski kumulativi pade vrednost dejan¬

ske kumuiative D .

r

P, D < P.
k r k+1 .

‘(21.9)

b) Ganttov odstotek izračunamo po obrazcu: Prvo mesto Ganttovega odstotka je
k - 1. Naslednji dve mesti pa izračunamo po obrazcu:

D  - P,

G, = —---- . 100

k o,

( 21 . 10 )

- 130 -

Enostavni pokazovalci dinamike

Raven  Y^ je osnovna časovna vrsta. Že iz sprememb v ravni sklepamo na smer
in jakost dinamike pojava.

Ce raven časovne vrste izrazimo v primerjavi z nekim stalnim značilnim členom v
časovni vrsti, dobimo vrsto indeksov s stalno osnovo

( 21 . 11 )

Absolutna razlika

(21  . 12 )

pokaže v absolutnih vrednostih spremembo pojava od člena do člena.

Temp rasti ali stopnja rasti

T k  = 100

Y

D


k-1

(21 .13)

pokaže relativno razliko od člena do člena.
Koeficient dinamike

(21.14)

pokaže v obliki koeficienta relativne spremembe od člena do člena.
Enak značaj ima verižni indeks

k

(21.15)

(21.16)

1, = 100 . K.
k k

- 131 -

Tabela 21 .11 . Vrednosti posameznih pokazovalcev dinamike pri različnem gibanju

pojava

Osnovni modeli časovnih vrst

1) y=t + p+c+e+s

2) Y=T (1 + p+ c+ e+s)

3) Y =T  . C (1 + p+  e+  s) • (21-17)

4) Y =T . P . C . E . S

5) Y =T . P. C.E+S

Y = osnovna časovna vrsta, T = trend, P = periodična,v posebnem sezonska komponenta*
C = ciklična komponenta * E = epizodična komponenta * S» slučajnostna komponenta

- 132 -

Trend

Funkcije trenda
1 . Premica: T = a + bx

2 3

2. Parabola druge, tretje ... stopnje: T = a + bx + cx + dx ...

3. Parabola: T = a + b 'J~x~

4. Eksponentna funkcija: T =ab X

r- . X X2

5. Kvadratična eksponentna funkcija: T =ab - c

6. Modificirana eksponentna funkcija: T = k + ab X  (21 .18)

b*-

7. Gomperfzova krivulja: T = Ka

8. Pearl-Reedova logistična krivulja:

1 + ab x

V teh funkcijah pomeni T trend, x čas, a,b,c,d,k, T«> pa so parametri trenda.
Transformacije funkcije trenda

logT = loga + xlogb (21.19)

ker moremo pisati

T'= a'+ b'x

( 21 . 20 )

je i"= logT ; a'=  loga; b'-logb.

Modificirane eksponentne krivulje ne moremo prevesti v željeno obliko, vendar mo¬
remo bolj zamotani funkciji, logistično in Gompertzovo funkcijo, prevesti v modifi¬
cirano eksponentno funkcijo.

Če vzamemo za logistično funkcijo reciprok, dobimo

(21  . 21 )

- 133 -

ali dalje:

T' = k'+ a'b' x

( 21 . 22 )

Pri tem pomeni:

T' = -y- ; k' :

J— i a'=j—  , b' = b

1 oa l C<j

Če Iogaritmiramo Gompertzovo funkcijo, pa dobimo:

Log T = log K + b loga

ali

T'= k'+ a"b


Pri tem pomeni: T'-  logT ; k'- logK ; a'-  loga; b" — b.
Preskus o značilnosti trenda

(21.23)

(21.24)

t =

l - r 2

— •'Jn-2; m = n - 2

pri čemer je: n = število členov v časovni vrsti ; =Spearmanov koeficient med
časom in podatkom Y.

Transformacija tehničnega časa t na čas z izhodiščem v prvem členu

N = 2r+l ;

N = 2r

N--1

t = 2x - (N-l)

(21.25)

Metode za določanje trenda

Metoda delnih vsot

Y =. T + S

(21.31)

IY -IT

(21.32)

- 134 -

i X

Postopek za računanje modificirane eksponentne funkcije 'trenda T = k + od
po metodi delnih vsot posplošimo na poljubno število členov v časovni vrsti!
Če je skupno število členov v časovni vrsti N = 3r, pri tem pa je r. = 2i + 1 liho šte
vilo, ima tehnični čas t za poscmezne člene v časovni vrsti vrednosti ... -3,

-2-1 01+2+3... Parametre k, a in b računamo v tem primeru po obrazcih

b =

1

r

3 2

T7I,

b -1

" 3  “^V-i ) 2

= (2,  -2jb'-

(21.35)

(t 2  -  — 3_I "

b' - 1

‘2 N

~ )

Če je število členov v osnovni časovni vrsti N = 3r, pri čemer je r =2i sodo števi¬
lo, ima tehnični čas t za posamezne člene v časovni vrsti vrednosti ... -3, -1 ,

+ 1, +3 ...

Parametre trenda k,a in b za modificirano eksponentno funkcijo izračunamo v tem
primeru po obrazcih

^7^.  ■

V 1 ,

/ T ? r-1 b - 1

o =(2 -2 )b — T - j

(b -l) 2

k = —/l„- ^

(21.36)

. r  l 2  b 2r -

Pri tem poprečni koeficient dinamike reduciranih vrednosti (Y - k) ni b, ampak b 1

- 135 -

Metod o njjj^ nanišlh kvadratov

gfO = Z Oj, f k  (x)

k=o

r

Z g (V.) f (x.) * z O.
i=l ' H  ' k=o k

N

j, ' K = 0

g(T) =

g(T) = I b t k
k=o k

L i n e a r e n trend

T  = b o +  V

b o~'N^ Y ; b l

Y t

rv 2

i

_ 1 f  nh-A

2 V 3 /

če |e N =2i +1

če je N = 2!

(21.37)

l...r  (21.38)

(21.39)

(21 .40)

(21 .41)

(21.43)

(21.44)

- 136 -

Tabelo 21.20. It 2  za 2 N < 30 .

Linearen trend, transformiran na prvi člen kot izhodišče, izračunamo po obrazcih
T (N - !)

T = j b Q -2- b -j x za  N = 2i + 1

(21.45)

T = jjs - b^ (N-l )j + 2 b^x za N = 2i
Določanje trenda z ortoaonalnimi polinomi

OrtogonalnT polinomi.  Funkcijo trenda, ki je dana s polinomom
stopnje p

T=fa k x' k  ( 21 - 46 )

k=o

moremo transformirati v linearno zvezo ortogonainih polinomov

T-1\-X k (x)  {21 -47)

k=o

Ortogonalni polinom stopnje k

XH.lt -, 1  P'-«)

K '  **

h.=o

- 137 -

[e cela racionalna funkcija sfopnje k, ki ima v odnosu do ortogonalnih polinomov
drugih stopenj tole lastnost

N

Splošen postopek računanja funkcije trenda stopnje p

- 138 -

za  časovno vrsto Y x  ima tele faze:

a) Iz osnovne časovne vrste Y izračunamo vsote kumulativ Cu

x n

(h = 0,1,2.. .p) do stopnje p.

b) Iz matrike konstant d^l in vektorja izračunamo parametre trenda po
obrazcih

2

d, , ID, o , E, E,

'  rd kh C h =E k ; A k =(-l) k T f ; .J-Ji- (21.58)

'h h =k

0 L. ' k “k

T "-.^ A k x k ;

k=o

h =k

(21.59)

Trend, podan kot polinom binomskih funkcij pa je

t :=Iav 0' -£ Ak d u,

(21.60)

Vsoto kvadratov odklonov stvarnih vrednosti Y od vrednosti trenda T: računamo

x x

po obrazcu
N-l

, -N-l , p Ef N-l 0 P  „
P\ 2  = V v 2  _ <r  = v v 2  _ >r s 2

Z. N-Y> * S K-f  B7 ■ K-f-;

x=o x=o k-o k ,x=o k=o

Varianco iz odklonov pa izračunamo po obrazcu

2  -J_

^e N


(21.62)

ali ocenimo po obrazcu

2 =  _J_

S e N-p-1


(21.63)

če gre za slučajnostne odklone od trenda.

- 139 -

Eksponentni trend

T I *

T = a b

Ce jo logaritmiramo, dobimo

log T = loga + x logb

Enako lastnost ima tudi kvadratična eksponentna funkcija

katero z logaritmiranjem prevedemo v obliko

2

log T = loga + x.log b + x . log c

=m;n

Periodične variacije

(21  . 66 )

( 21 . 67 )

(21  . 68 )

( 21 . 69 )

( 21 . 70 )

P

m

100 ( 1 + p )

r m

P = sezonski indeks
m

Metoda vsot

Y. = A (1 + p + e, )
Im v  'm | m '

( 21 . 71 )

(21  . 72 )

Pri tem je Y —osnovni podatek za člen m v periodi 1; p = periodična sesta-
l m r r m

vira za člen m; ej =rezultat posamičnih vplivov.

- 140 -

Za ta primer dobimo pri znanih lastnostih sredin vrsto periodičnih indeksov po temle
postopku:

a) Da bi odstranili posamične vplive, izrcčunamo za vsako obdobje periode iz

ustreznih mesečnih vrednosti za vse periode proučevanega razdobja vsote

S = 7 Y . Zaradi lastnosti, ki jih pripisujemo posamičnim vplivom, velja
m j I  m

S = NA (1 + p ) (21 .73)

m r m

Dobljene vsote so sorazmerne sezonskim indeksom 1+p .

1  ' m

b) Vsote prevedemo v periodične s popravnim faktorjem

c

100  .

r. S n

p

(21.74)

v čiste periodične indekse. Pri tem je P število členov v periodi. Po tem je pe
riodični indeks

P

m

1  00  (1  +

P J

= c .

S

m

Metoda vsot s popravkom za smer razvoja

(21 .75)

Model

Y. = A . b x
I m

i + e.

X

P| + m

(21.76)

Postopek:

a) Iz osnovne časovne vrste, katere členi Y, se nanašajo na leto I in mesec m,

Im

izračunamo mesečne vsote S_ in letne vsote Sr.

b) Število let oziroma period v osnovni časovni vrsti je sodo N = 2r ali liho N = 2rH .

Iz prvih r letnih vsot izračunamo vsoto S^, iz zadnjih r letnih vsot pa vsoto .

(Ce je, N sodo število, so torej v vsoti in vključena vsa leta, če pa je N
liho število, srednji člen ne upoštevamo.

- 141 -

c) Iz in ocenimo popravek za smer razvoja b po obrazcu
6 N ,-

b - ~y ijS'

(21.77)

če je število let sodo (N = 2r), in po obrazcu
6(N+l).-

b = W S s

(21.78)

če je število let liho (N =2i+l)

d) Iz popravnega faktorja b izračunamo geometri jsko zapored je

I, b, b"

11

(21.79)

e) Mesečne vsote popravimo s potencami popravnega faktor ja b

S' = S /b
m m'

(21 .80)

f) Iz popravi jenih vsot izračunamo sezonske indekse po obrazcu

P = 100 (1 + p ) = kS'
m r m' m

(21.81)

pri čemer je

k = 1200/1 S'-

(21.82)

log S' = log - (m-1) logb

(21 .83)

- 142 -

Metoda koeficientov dinamike

Model

Y = A . b (1 + p + £ )
■x m x

{21 .84)

Vrsta koeficientov dinamike je

k, =k =

! m

x-l

: =Y /Y . =Ab A  (1 + p +e )/Ab* (1 + p . + e

x x' x-l m ' r m-1 x-

= b .

I +  Pm

T+"

k = ■■■ rr-y  k = b
m h-2 | Im

+ e'
Pm-1 x

1+  P„

1 +

n-1

(21.85)

( 21 . 86 )

12

G k V k l' k 2 '

1 +

k,, = b

l Z

t = k /b = -rr—
m m: :• 1 -r

m-1

Iz vrste t dobimo s kumulativnim množenjem izraze
m

(21 .87)

(21  . 88 )

1 + P 1

C 1 “ 1  ’ f l ~ 1  ' 1 + p

1+  Pi

12  1  + p 12

1 + Pl 1 + P 2  1 + P 2

C 2 “ C l' t 2 1 + p 12 ’ ‘ l + p, 1 + p

'1

12

(21 .89)

C =C ,.t = -
m m-1 m

C,, =C,,.t,„ =

12 11 12 1 +

= 1

- 143 -

Zcradi iasfnosti sezonske sestavine ( P =  0) vrsto C popravimo s

m m m

K = 1200/ X C in dobimo čiste sezonske indekse po obrazcu
rn m ■

P m = 10 °( 1  +  Pm )=l< - C m ( 21  ‘ 90 )

Metoda kvocientov na vrsto drsečih sredin

Model

Y x = T x (1  +  Pm +e x }  ( 21 ‘ 93 )

K x =V x /T x =A(1  +  Pm + e x > (21-94)

Y = T .C (1 + p + e )

X x X K m X

K =Y /Y =A . (1 + p +e )

im x' x '

m Im

(21.95)
(21 .96)

Postopek določanja sezonskih indeksov po metodi kvocientov na vrsto drse¬
čih sredin izvedemo po gornjem v tehle stopnjah:

I m'

c) Za proučevano časovno vrsto Y, izračunamo vrsto dvanajstmesečnih sredin Y,

Im J

b) Izračunamo vrsto kvocientov K. =Y, /Y, osnovnih podatkov Y, z ustrezni-

im Im Im Im

mi vrednostmi vrste drsečih sredin.

c) v vrstah kvocientov K. za posamezne mesece izračunamo modificirano popreč-

Im

ja. Najprej izločimo za vsak m oba skrajna kvocienta, iz drugih po izračuna¬
mo poprečje K .

m

c) lz K izračunamo popravni faktor c = 1200/Z K .
m mm

e) Sezonske indekse izračunamo po obrazcu

P =100. 0 +  P ) =c . K

m r m m

- 144 -

Sintetičen pokazovalec jakost? periodičnih vplivov

AD P = TrI!P m -  10°l = (P* " 100) (21.97)

Dinamična sezonsko komponenta

1 + p, =l+p + p ,X? + p X?
Im m.o m.l 1  m.2 1

(21 .98)

pri čemer so p sezonski koeficienti, ki nakazujejo poprečno statično sestavino,

p . sezonski koeficienti, ki nakazujejo linearne spremembe v sezonski sestavini
m / * , s

in p 0  sezonski koeficienti, ki nakazujejo kvadratične spremembe v sezonski se-
m, Z

stcvini. Zaradi lastnosti sezonskih indeksov velja:

7p =0; y p . = 0; £ p =0

*~ r m.o *-  m. 1 r m.2

(21.99)

Model časovne vrste z dinamično sezonsko sestavino druge stopnje je torej takle

Y =T .C. (1 + p +p x! + p ' X?+e  ) (21.100)

Im Im Im m.o m .l I r m.2 1 Im

. Dinamično sezonsko sestavino proučimo v tehle fazah:

1 . Iz osnovne časovne vrste po mesecih Y, izračunamo vrsto drsečih sredin Y, .

Im Im

2 . Iz Y,m in Y. izračunamo vrsto kvocientov Y. /Y. = K. •

| ( m  I m Im im

3. Za vsak mesec posebej izračunamo iz letne časovne vrste K| trend

K = 1  + p' + p' , x! + p' ,X, (21 .101)

Im r m.o m.l 1 r m.2 l ' '

4. Dobi jene parametre p , p ; in p . popravimo
mo ml m Z

p =p' -4

m.o m.o 1

2 m P m. o '  P m 1 p ml ” 12^ P m.l ; p m2 P m2 " 12^ p m2

(21  . 102 )

5. IzraVnane sezonske indekse dobimo, če z dobljenimi parametri poiščemo vrste
sezonskih indeksov za  vsak mesec posebej.

- 145 -

Ciklični vplivi

Preskus o značilnosti ciklične sestavine

r - M

z = jo " (21-^3)

r

se porazdeljuje v standardizirani normalni porazdelitvi.Ciklična sestavina je značilna
na stopnji « = 0,05, če je 1,96 lz I <  2,58, na stopnji oC = 0,01, če je

- 146 -

Izločonie iregularnih vplivov

Netehtane sredine

K =
o

K + K ...+  K + ...  K, . + K,
-k -Id-1 o k-1 k

. K t_i-S

Tehtanje z binomskimi koeficienti

12 1:4

14 6 4 1 : 16

1 6 15 20 15 6 1 : 64

Drseči loki: tehtanje
Parabola 2. stopnje

-3 12 17 12 -3 : 35

-2 36763  -2 : 21

Parabola 4. stopnje

5 -30  75  131  75  -30  5 : 231

Standardizacija ciklov

Proučevanje odvisnosti v dinamiki pojavov

Korelacija med časovnima vrstama po izločitvi trenda

~  t y )(z-t z )

ryz - T  ^I(Y-V 2 .I(Z-t/

( 21 . 112 )

(21.113)

(21.114)

(21.115)

- 147 -

Tcbela 21 .31 . Shema za računanje korelacljsklh koeficientov z-izločenim trendom.

' Y2o

f  K.

Zo

r,=

' Yz-i

/ky7i

•ZH

K

YZ*

KYZ3


Z*

Stopnje za računanje ustreznih korelacijskih koeficientov pa so:
a) !z osnovnih časovnih vrst izračunamo kumulativne vsote:

b) Izračunamo izraze:

E iy =  h dfik  ’ Syh

E,- =I d u • S_,
jg ^ hR Zh

h

- 143 -

c) Iz osnovnih časovnih vrst Y , Z izračunamo vsote:

X X

2y x 2  I^z*, Iz 2 .

^ 2  2
d) Kot- kaze shema postopno izračunamo izraze E.../D,, E is/ E f _,/D,, E /D in

hi n tir hZ h bZ  h

jih odštevamo od predhodnih količin K, da dobimo K stopnje h.

Korelacija z odlogom

Avtokorelacija

Y Z
x x + t

Y Y
x x+t

Von Neumannov preskus

nn =

tr,  (/ k+l ~

Z (y k - yf

x»i K  J

(21.118)

Durbin-VVatsonov preskus

N-l

'K-  (e

x = l x+l x

- e )

J^e2-

x

x=l

(21 .119)

ker je po definiciji poprečje iz ostankov enako nič. Vzorčni izraz d je v ozki zve¬
zi s korelacijskim koeficientom avtokorelacije r^ in velja približna zveza
d =2(1 - r-|). Za preskus značilnosti Dutbin-Wafsonovega izraza d je vsebinsko
pomembna enostranska preskušnja, ali je d značilno manjši od 2, kar pomeni, da
je koeficient avtokorelaci je r značilno pozitiven.

V nomogramu v sliki 21 .31 so dane spodnje kritične vrednosti d pri £X=P=,05.m'
pomeni število neodvisnih spremenljivk, ki smo jih vključili v časovno regresijo
za y

- 149 -

Slika 21


.31 Kritične meje d za Durbin-VVatsonov preskus zacč=P

-.05

- 150 -


TABELE

Tabela A NORA/ALf^A PORAZDELITEV

Ploščine H (z)

Opomba:

obrazložitev glej 13.6 - i3.9

■153

Tabela 3 NORMALNA PORAZDELITEV

Ordinate.^/?-'

0 1

2 3

4 5 6

7

8 9

00 -39S9

0 - 1 '  -3970

0-2 -3910

0-3 -3S14

0-4 -36S3

-39S9 -3989
•3965 -396!
•3902 -3894
■3S02 -3790
•36oS -3653

•39SS -39S6
•3956 -395 i
•3SS5 -3S76
■377S -3765
•3637 -3621

•3977 -3973
•3925 -39 IS
•3S36 -3S25
•3712 -3697
•3555 -353S

Opomba: obrazložitev glej od 13.6. - 13.9.

154 -

Tabela C t-PORA ZDE LITE V

Kritične vrednosti tp

Opomba: obrazložitev gle}J5.3.

15 5-

666 0 566 0 066 0 566 0 56 0 . 06 0 08 0 Oi O 09 0 05 0 OKO OKO OH) 010 500 StOO 010 0 500 0

TABELA Č X - PORAZDELITEV
Kritične vrednosti

£ -Nnr>o «r-ocoO “ C 2  C 2  — — — — 221 ®

oc oo m v. vn in fn - a •'"i ~

d m * 00  6 r-4  ir" sc r~- o>" — rs -c se r~ CK c

« n oo r, oenNNvS - m ff. w n-

C  ; f- VO •»J-

VC »d O NC OO Os
\C r~- oc oc — ir

Vi m O >© OO m OC c

ico * n  c a ricc^t


•, mm ccr

'• vO © m CCmCJ- m © <N ij- vc

'JfS M (N m M K-, mr

n — rc 'j O m O m o> f*. ^ — v-, « N m C> N v

h — ri u- cVod — m tt  ve n-' oo © — cn’  n- vi c  ob ©i ©

-— .-rj n n N n N <n  m m m m ni m m m ■«•

r 'G  ^ n m mo


vo •— V) c. r

r-i -d v! \d ob ck -

n C 't K; O n c ? - v ^ N . ^ ?■ — n C to

!XNmNm

— tSfMfNON NNM r

mj OO O N '
m' *t c r- e
- rN <N N N IN n r

C n- oo © — <N m v, sc. r- oc e — r-j r

s © rJ ccoot

— m r- OC O — M r

- oc ck  © — (N m vi nc  ac O'  O

n m in in in  n (N n r

©> © — Nn -j m, C n x CK o- © — r

- N r. Tf C

© m v> ir m —o

'T t  v> vi so os —

» m hN-r
— r~’ fN oo vi -

U 8 t ITI Vj cc •

Tr rj V. OC ©


m, c x C
ve — <c  -
m -f “

•t ^ t c* ^ o.

- ck  r-) sc- o ir

s© cmmm>r m — o o m ec

- (ki oj  rv »NT


o’ © — mi m

.£ T © v. ij-.

O -t O c n

©' ©-CM

vemjv-ern cm — © © ck cc  n- sc sc v

mhr vi >c r-~ oc © ©. © — r 4  m Vmi c r-' se d d d *- n m t*

rd d:>f m iC c r


', c K X *

— m n rN m

fMCKSOm— —
C W d •9 oo n'
m m m ir -c ©

oc CK -<r vn CTv
»ki  m m -er sc oo

i n  r. ir >r m c r« k  x c-©© — in

© vs — vs i* r~ m m ir

O — m-, © — « _ r~ m ©

© C © © — - ri n’  d d

r- oc ck  © © — r

■ X c -T cm  © vi

i sC -»• —

- O mt' n n

*i n  — © vi Mf m 5 - « mn - s

O C - n  m oc «n  sS O v> ©v. — v

O © © © © O — —■ rM ©i d d d 1

2.SCl^„

• — r- © —

6 CCM v
C C © © © O © — —

K X>Jp \0  O K

'O *» , ir <2 ©

; © — r- n x  «j c C n  « m, rv oc v, — oc

r ur’ vi vi *e se rd oc oc ck ck’ c  — — r4 m m

riMnONm
r~’ C -d oc d r-’
-nrs n ir c

* m **■ vs >o n oo © © —r

'CKttffO

vi © m © v.

SPg

- 156 -

Opomba: obrazložitev glej 15.2

TABELA D F-PORAZDEUTEV

a) Kritične vrednosti Fp_.g^

p  - .05

Opomba: obrazložitev glej 15.4

tabela d f-porazdelitev

b) Kritične vrednosti Fp_-Qi

•p  - .01

Opomba: obrazložitev glej 15.4

• 158 -

tabela d F-PORAZDEUTEV

c) Kritične vrednosti Fp_-goi

P  -  .001

Opomba: obrazložitev glej 15.4

159 -

TABELA E ŠTUDENT IZ Iran  RAZMIK q = (v - y . )/s

v  max min y

Opomba: obrazložitev glej 20.6

TABELA F PRESKUS Z MEDIANO
Kritične vrednosti za n

Opomba: obrazložitev glej. 16.41 in 16.42

- 161 -

TABELA g PRESKUS S PREDZNAČENIMI RANGI - WILCOXONOV PRESKUS

Spodnja T s  in zgornja kritična vrednost za vzorce z
n =6(1) 20 enotami


Opomba: obrazložitev glej 16.44 in 16.45

-162

TABELA H PRESKUS ZVSOTORANGOV- MAN-WfTHNEYEV PRESKUS
Spodnja J'  in zgornja T' kritična vrednost za vsote rangov T'

- 163 '

TABELA I PRESKUS S SEKVENCAMI

Spodnja r in zgornja r kritična vrednost za število sekvenc r
za £X=P=*05 in (X=2P=0.10

- 164 -

TABELA J FISHERJEVA TRANSFORMACIJA Z = y In-j^

o) Z = Z(r)

Opomba: obrazložitev glej 18.26

- 165 -

TABELA K ORTOGONALNI POLINOMI BINOMSKIH FUNKCIJ

Matrike ID, za N =2(1)30

166 -

- 167 -

TABELA K (nadaljevanje)

Opomba: obrazložitev glej 21 .68 in 21 .69

- 168 - .

tabela l slučajnostna števila

27 69 90 64 94
92 96 26 17 73
10 27 41 22 02
75 86 72 07 17
85 78 34 76 19

35 07 53 39 49

56 62 33 44 42

36 40 98 32 32

57 62 05 26 06
07 39 93 74 08

68 98 00 53 39
14 45 40 45 04
07 48 18 38 28
27 49 99 87 48
35 90 29 13 86

88 83 55 44 86

90 82 29 70 22
56 19 68 00 91
49 63 22 40 41
07 47 74 46 06

36 69 95 37 28
62 12 69 84 08
35 70 00 47 54
11 88 30 95 28

91 34 23 78 21

04 28 50 13 92
31 64 94 20 96
86 28 36 82 58
79 24 68 66 86
45 13 42 65 29

58 83 87 38 59
52 62 30 79 92
07 75 95 17 77
27 49 37 09 39
11 16 17 85 76

23 76 80 61 56
17 71 90 42 07

82 06 76 34 00
08 33 76 56 76
17 98 64 89 11

28 82 63 57 93
12 84 38 25 90

83 82 45 26 92
63 01 19 89 01
88 32 58 08 51

17 97 41 50 77
63 28 10 20 23

69 57 21 37 98
76 46 33 42 22

26 76 08 36 37

49 36 47 33 31
12 36 91 86 01
97 37 72 75 85
85 13 03 25 62
45 81 95 29 79

84 60 95 82 32

29 73 54 77 62
59 07 60 79 36
76 35 59 37 79
29 54 96 96 16

61 95 87 71 00
17 26 77 09 43

10 06 16 88 29
35 20 83 33 74
35 66 35 29 72

01 91 82 83 16

70 07 11 47 36

11 13 30 75 86
78 13 86 65 69

27 48 24 64 76

88 65 12 25 96
74 84 39 34 13

28 59 72 04 05
74 02 28 46 17
65 74 11 40 14

04 11 10 84 08

95 95 44 99 53

05 46 26 92 00

96 29 99 08 36

97 34 13 03 58

28 97 66 62 52
09 81 59 31 46
54 13 05 61 60

14 97 44 03 44
43 66 77 08 83

90 71 22 67 69

08 81 64 74 49
16 43 59 15 29

26 65 59 08 02
41 32 64 43 44

96 24 04 36 42
03 74 28 38 73
61 97 23 78 67

54 84 65 47 59
65 13 00 48 60

88 61 81 91 61
71 29 92 38 53

27 95 45 89 09
80 86 30 05 14
33 56 46 07 80

90 89 97 57 64
78 03 87 02 67

55 98 66 64 85
87 53 90 88 23
16 81 86 03 11

98 95 37 32 31

09 95 81 80 65

15 91 70 62 53
19 64 09 94 13
85 24 43 61 69

03 15 21 92 21
22 10 97 85 08
94 20 52 03 80
82 03 71 02 68
87 48 13 72 20

169 -

TABELA L (nadaljevanje)

Opomba: obrazložitev glej

99 90 88

43 64 85

15 12 33

86 10 25

01 02 46

79 01 71

33 51 29

38 17 15

29 53 68

58 40 44

22 08 63

93 88 19

29 06 44

42 91 22

68 22 73

66 15 88

51 00 78

21 59 02

26 39 02

60 71 76

41 48 27

21 02 97

68 67 31

04 99 13

77 71 28

92 66 47

83 43 41

85 27 00

12 39 16

31 36 58

60 29 29

27 11 00

81 63 92

63 88 59

79 47 42

20 74 41

17 52 06

12 80 97

49 90 63

42 18 08

14.24

170 -

tabela m

LOGARITMI TROMESTNIH ŠTEVIL

0000
0 IM
07112

mo

1-101

1701
2011
UHO 1
2553

27 «8

8010

aliM

8017

8802

8070
•1100
•18 M
-I 172
402*1

4771
4014
6051
M K. r >

681A

6141

6608

6082

6708

6011

0021

0128

0282

0885

0485

0582

0028
0721
0812
01)02

0000

7070

7100

7218

7824

0012 0080
0158 0102
0S2S 0801
1172 1200

1-102 1522

1700' 181S
2008 2005

2880 2855

2577 2001
2K10 2888

8082 805-1
8218 8208
8111 8101
8080 8055
8820 3K8H

8007 4014

4100 4 ISO
4880 4810
4 1X7 4502

4080 4054

4780 -1800
402S 4012

6005 5070
•6108 6211
6828 6840

5458 6405

5575 65X7

6001 6705

6X00 5x21
6022 6088

0081 0012
0188 01-10
0218 0258

0815 0855'

0141 0454

05-12 0551
0087 0010

0780 0780
0.821 0X80

0011 0020

0008 7007
70X4 7008

7108 7177

7251 7250
7382 7840

“T T

8

0128
0531

osoo

1230

1553

18-17

2121

28X0

2025

2X50

8075

82X1

81X8

3074

3X50

4031
4200
4802
4 51X
4000

4811

4055

5002

6224

5353

5478

5500

5717

5X32

6014

0053

OHIO

0203

0305

0404

0501

0050

0740

0X39

«928

7010

7101

71X5

7207

7348

3

- 171 -

TABELA M (nadaljevanje)

XI- 1975