Gradbeni vestnik • letnik 68 • oktober 2019 246 OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI OPTIMIZATION OF A STEEL PIPE WITH STIFFENER RINGS FOR HIGH-PRESSURE PENSTOCK prof. dr. Stojan Kravanja, univ. dipl. inž. grad. stojan.kravanja@um.si doc. dr. Tomaž Žula, univ. dipl. inž. grad. tomaz.zula@um.si Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo Smetanova 17, 2000 Maribor Znanstveni članek UDK 624.014.2:627.844(497.4) Povzetek l Članek obravnava optimizacijo jeklenega visokotlačnega cevovoda z ojačitvami, vgrajenega v izvrtan tunel v hribino. Cevovod je dimenzioniran kot samonosil- na jeklena cilindrična lupina s krožnimi ojačitvami brez sodelovanja hribine in okoliške- ga betona. Optimizacija cevovoda je izvedena z nelinearnim programiranjem, NLP . V ta namen je bil modeliran optimizacijski model PIPEOPT-SR. Optimizacijski model vsebuje namensko funkcijo mase jeklene konstrukcije, ki je podvržena sistemu pogojnih (ne) enačb iz statične analize in dimenzioniranja cevovoda v skladu s priporočili C.E.C.T. V sklepu članka je predstavljen primer optimizacije visokotlačnega cevovoda z ojačitvami črpalne hidroelektrarne Kozjak, locirane v bližini Maribora. Ključne besede: optimizacija, nelinearno programiranje, NLP, jeklena cev z ojačitvami, visokotlačni cevovod Summary l The paper deals with the optimization of a steel pipe with stiffener rings for high-pressure penstock built in a bored tunnel. The penstock is designed to be self-re- sistant steel cylindrical shell with stiffener rings, constructed without the assistance of the surrounding concrete and rock. The optimization of the penstock is performed by the non-linear programming approach, NLP . For this purpose, an optimization model PIPEOPT-SR was developed. The model comprises the mass objective function of the steel structure, which is subjected to the design and dimensioning constraints, defined according to C.E.C.T. Recommendations. A numerical example at the end of the paper presents the optimization of the high-pressure penstock with stiffener rings for the Pump Hydropower Plant Kozjak, located close to the city of Maribor, Slovenia. Key words: optimization, non-linear programming, NLP, steel pipe with stiffener rings, high-pressure penstock prof. dr. Stojan Kravanja, doc. dr. Tomaž Žula•OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI Gradbeni vestnik • letnik 68 • oktober 2019 247 OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI•prof. dr. Stojan Kravanja, doc. dr. Tomaž Žula 1•UVOD Članek obravnava optimizacijo jeklenega visokotlačnega cevovoda z ojačitvami, vgra- jenega v izvrtan tunel v hribino. Tovrstni visokotlačni cevovodi se gradijo za dovajanje vode pod visokim tlakom za hidroelektrarne. V nasprotju z referencami ([Kravanja, 2014], [Kravanja, 2015]), kjer je bil jekleni cevovod obravnavan kot gladka cev brez ojačitev, je v tem prispevku obravnavan cevovod kot samonosilna jeklena cilindrična lupina z navarjenimi krožnimi ojačitvami (slika 1). Sodelovanje hribine in okoliškega betona pri nosilnosti jeklene cevi ni upoštevano. Ojačitve je smiselno navariti na jekleno cev povsod tam, kjer je cev obremenjena z znatnim zunanjim vodnim tlakom. Računsko dobimo zaradi upoštevanja ojačitev tanjšo steno cevi ter nižjo maso in izdelavne stroške jeklene konstrukcije. Jeklena konstrukcija obbetoni- ranega cevovoda v hribini je namreč v sploš- nem obremenjena tako z notranjim kakor tudi z zunanjim vodnim tlakom, zato je treba narediti: – izračun jeklenega cevovoda na notranji tlak, kjer poleg hidrostatičnega tlaka mirujoče vode upoštevamo še hidrodinamični vpliv prehodnih pojavov (vodni udar padajoče vode iz akumulacijskega jezera v prazno cev) brez upoštevanja zunanjega tlaka na cev, – izračun jeklenega cevovoda na zunanji tlak podzemne vode (višina terena nad cevjo) pri praznem cevovodu. Ker standardi Evrokod ([SIST EN 1993, 2007a], [SIST EN 1993, 2007b]) podajajo samo določena splošna izhodišča za di- menzioniranje cevovodov, in ne obravna- vajo cevovodov, vbetoniranih v tunele, smo pri enačbah dimenzioniranja uporabili C.E.C.T.- priporočila [C.E.C.T. Recommendations, 1979]. Osnovno teorijo stabilnosti cilindričnih lupin, obremenjenih z zunanjim tlakom, je podal [Timoshenko, 1940], teorijo cilindričnih lupin s krožnimi ojačitvami pa so pozneje še razvijali ([Amstutz, 1950], [Amstutz, 1953]) in [Kollbrunner, 1956]. Slednja teorija je upo- števana tudi v priporočilih C.E.C.T. Soavtor zadnjega citiranega dela inž. Milosavljević je bil vodja biroja v nekdanji Metalni, kjer so sprojektirali in zgradili veliko visokotlačnih cevovodov svetovnih referenc. Leta 1979 je Metalna dokončala izgradnjo 1400 m dolgega visokotlačnega cevovoda za hidroelektrarno Bajino Bašto v Srbiji s premerom 4,20 m–6,30 m in vodnim tlakom 95 barov. Uporabili so japonsko jeklo HT780 z natezno trdnostjo 780 N/mm 2 . Vodilni kon- struktor cevovoda je bil inž. Janez Raztresen, vodja biroja za cevogradnje. Leta 1985 so konstruktorji Metalne pod vodstvom inž. Ja- neza Raztresena sprojektirali in izdelali tlačni cevovod Chiew Larn, Tajska, s premerom 1 1,20 m in tlakom 12 barov, ki je še danes uvrščen med največje cevovode na svetu [Kravanja, 1988]. Za to elektrarno je bil izde- lan tudi takrat drugi največji razdelilnik na svetu dolžine 80,7 m, z vstopnim preme- rom cevi 1 1,20 m, tremi izstopnimi premeri 6,00 m, obremenjenimi z vodnim tlakom 12 barov. Konstruktor razdelilnika je bil prof. dr. Janez Kramar ([Kramar, 1985], [Kramar, 1990]). V Chiew Larnu je bilo uporabljeno japonsko jeklo SHT50A z natezno trdnostjo 500 N/mm 2 . Kar nekaj inženirjev raziskovalcev se danes ukvarja z optimizacijo cevovodov. Optimizacijo majhnih hidroelektrarn in ce- vovodov s celoštevilskim programiranjem zasledimo v viru [Tapia, 2018], optimizacija tunelov hidroelektrarn z genetskim algorit- mom je opisana v [Fathi-Moghadam, 2013], optimizacijo cevovoda z ojačitvami so z enostavnim genetskim algoritmom in direkt- nim iskanjem predstavili v [Bai, 2013], opti- mizacijo armature cevovoda s programom ABAQUS so prikazali v [Wu, 2012], opti- mizacijo cevovoda nadalje obravnava vir [Gu, 201 1], optimizacija cevovoda z ge- netskim algoritmom je obravnavana tudi v [Haghighipour, 2010], optimizacija pre- reza cevovoda in črpalne hidroelektrarne z evolucionarnimi algoritmi je opisana v [Anagnostopoulos, 2008], stabilnost cevo- voda z nevtronskimi mrežami in simuliranim ohlajanjem so opisali v [Dong, 2008] in op- timizacijski model jeklenega obbetoniranega cevovoda z uporabo ANSYS Optimization Toolbox je opisan v [Li, 2008]. S ciljem, da bi znižali izdelavne stroške jeklenih cevovodov, smo tudi mi izvedli optimizacijo, in sicer optimizacijo mase jeklene stene cevo- voda in krožnih ojačitev. Optimizacijo smo vršili z nelinearnim programiranjem, NLP . Raz- vili/sprogramirali smo optimizacijski model jeklenega cevovoda z ojačitvami PIPEOPT-SR. V ta namen smo definirali namensko funkcijo mase jeklenega cevovoda, ki je podvržena (ne)linearnim pogojem nosilnosti in napetosti cevi. V model je treba podati vhodne podat- ke, kot so premer cevi, obtežba (notranji in zunanji vodni tlak), materialne karakteristike jekla (napetost tečenja) in dolžina cevnega odseka. V optimizaciji so potem izračunani optimalna masa cevi, debelina stene cevi, prerez krožnih ojačitev in njihovi medsebojni razmaki. Slika 1• Jekleni cevovod s krožnimi ojačitvami. Gradbeni vestnik • letnik 68 • oktober 2019 248 3•OPTIMIZACIJSKI MODEL PIPEOPT-SR V skladu z opisano NLP modelno formulacijo smo za optimizacijo jeklenega cevovoda z ojačitvami zmodelirali optimizacijski model PIPEOPT-SR (PIPE OPTimization with Stiffener Rings). Model smo zapisali v višjem alge- brajskem modelnem jeziku GAMS (General Algebraic Modelling System), glej [Brooke, 1988]. Model sestavljajo vhodni podatki (ska- larji), spremenljivke in namenska funkcija, ki je podvržena sistemu linearnih in nelinearnih pogojnih enačb ter neenačb. Faktor varnosti za notranji tlak. Standard »SIST EN 1993-4-3:2007, Evrokod 3: Projekti- ranje jeklenih konstrukcij – 4.-3. del: Cevovo- di« predpisuje tri različne delne faktorje za obtežbo: γ F = γ F1 = 1,39 naravno (ruralno) okolje, γ F = γ F2 = 1,50 polurbano okolje brez proti- poplavne obrambe, γ F = γ F3 = 1,80 polurbano okolje s proti- poplavno obrambo. Delni faktor varnosti odpornosti materiala je v SIST EN 1993-4-3:2007 določen kot γ M = 1,0. Odločimo se za srednji delni faktor varnosti obtežbe γ F = 1,50. Skupni faktor varnosti za notranji tlak potem znaša: C ip = γ F · γ M = 1,50, ki ga enakega določajo tudi C.E.C.T.-priporočila. Faktor varnosti za zunanji tlak. Delna fak- torja varnosti pri izračunu stabilnosti cevi na zunanji tlak sta definirana v standardu »SIST EN 1993-1-6:2007, Evrokod 3: Projektiranje jeklenih konstrukcij – 1.-6.del: Trdnost in sta- bilnost lupinastih konstrukcij«: γ F = 1,50 in γ M1 = 1,1. Skupni faktor varnosti za zunanji tlak po Evrokodu tako znaša: C ep = γ F · γ M1 = 1,65 (C ep v C.E.C.T.-priporočilih znaša 1,60). Omeniti velja, da smo na konkretnem primeru visokotlačnega cevovoda Kozjak z investitor- jem, Dravskimi elektrarnami Maribor, pred- vsem zaradi velikih premerov cevi, ki znašajo tudi več kot 4,0 m, in zaradi problematike varjenja jekel visokih trdnosti faktor varnosti za zunanji tlak definirali višje: C ep =1,80. Enačbe optimizacijskega modela so zapisane enako, kot jih definirajo C.E.C.T.-priporočila. Ker je fak- tor varnosti odpornosti materiala γ M že zajet v skupnih faktorjih varnosti C ip in C ep , v enačbah modela ne nastopa projektna napetost tečen- ja f y,d , pač pa samo napetost tečenja jekla f y . Ostale napetosti in vsi drugi izrazi v modelu imajo enake nazive kot v C.E.C.T.-priporočilih. Nepopolnosti. Pri dimenzioniranju jeklene cev- ne lupine na zunanji tlak moramo upoštevati nepopolnosti, tj. odstopanje dejanske krožnice izdelane cevi od idealne krožnice ter prazen razmak med jekleno cevjo in betonom. Vi- sokotlačni cevovod je treba izdelati in vgraditi v skladu s predpostavljenimi nepopolnostmi, saj bi vsaka prekoračitev imela za posledico manjšo nosilnost. Po C.E.C.T.-priporočilih mo- ramo pri dimenzioniranju cevi na zunanji tlak upoštevati naslednje tri nepopolnosti: η = 0.01R koeficient ovalnosti cevi ( η ≤ 0.01R), kjer je R notranji radij cevi, U = 0.2e koeficient lokalnega radialnega odstopanja od idealne krožnice cevi (U ≤ 0.2e), kjer e predstav- lja debelino stene cevi, zmanj- šano za korozijski dodatek, in j/R = 1.0 ‰ prazna vrzel med jekleno cevjo in okoliškim betonom (j = 0.001R). Skalarji (vhodni podatki) v modelu so: C ip faktor varnosti za notranji vodni tlak [-], C ep faktor varnosti za zunanji vodni tlak [-], cor korozijski dodatek na jekleno pločevino [cm], E modul elastičnosti jekla [kN/ cm 2 ], j R =j/R razmerje med prazno vrzeljo med cevjo in okoliškim betonom j ter notranjim polmerom cevi R [-], f y napetost tečenja jekla [kN/cm 2 ], L sect dolžina odseka cevovoda [cm], p in notranji vodni tlak [kN/cm 2 ], p ex zunanji vodni tlak [kN/cm 2 ], R notranji polmer cevi [cm], u e =U/e razmerje med največjo notranjo deviacijo cevi U in teoretično debelino stene cevi e [-], ε= η/R razmerje med največjim koefi- cientom ovalnosti cevi η (devi- acija med idealno krožnico pol- mera cevi in radialno navzven deformirano ovalno cevjo) in notranjim polmerom cevi R [-] φ koeficient, ki definira najvišjo možno elastično napetost v jek- 2•MODELNA FORMULACIJA N L P Ker so enačbe nosilnosti in napetosti jeklene konstrukcije visokotlačnega cevovoda neline- arne in nelinearna je tudi namenska funkcija mase cevovoda, smo optimiranje izvedli z nelinearnim programiranjem, NLP . Problem nelinearnega programiranja zapišemo v naslednji obliki: (NLP) V zgornji formulaciji pomeni x vektor zveznih spremenljivk, definiranih znotraj svojih spod- njih mej in zgornjih mej x LO in x UP . Nelinearna namenska funkcija je določena z izrazom f(x). Le-ta je podvržena sistemu pogojnih (ne) enačb. Izraz h(x)=0 predstavlja sistem ne- linearnih pogojnih enačb, izraz g(x)≤0 pa sistem nelinearnih pogojnih neenačb. Matrična neenačba Ax≤a določa sistem linearnih enačb in neenačb. Vse funkcije f(x), h(x) in g(x) mora- jo biti nelinearne, zvezne in zvezno odvedljive. Učinkovitejše metode rešujejo NLP problem z neposredno zadostitvijo Karush-Kuhn-Tuck- erjevega pogoja, glej vire ([Karush, 1939], [John, 1948], [Kuhn, 1951]). Najpomemb- nejše metode, s katerimi rešujemo problem nelinearnega programiranja, so: – metoda reduciranega gradienta (Reduced Gradient Method, RG), glej [Wolfe, 1967], – posplošena metoda reduciranega gradien- ta (Generalized Reduced Gradient Method, GRG), glej [Abadie, 1969], – razširjeni Lagrangian (Augmented Lagran- gian, AL), glej ([Powell, 1969], [Hestenes, 1969]), – zaporedno kvadratno programiranje (Suc- cessive Quadratic Programming, SQP), glej [Powell, 1978]. Komercialni računalniški programi za izračun problemov nelinearnega programiranja so NP- SOL za SQP, MINOS za RG, programi GRG2, LS- GRG, CONOPT za GRG in LANCELOT za AL itd. prof. dr. Stojan Kravanja, doc. dr. Tomaž Žula•OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI Gradbeni vestnik • letnik 68 • oktober 2019 249 lu (kjer še velja Hookov zakon) [-], ν Poissonov koeficient [-], ρ prostorninska masa jekla [kg/ cm 3 ]. Spremenljivke optimizacijskega modela: a 0 svetli razmak med stojinama ojačitve [cm], A 0 površina prečnega prereza ojačitve (s sodelujočim delom stene cevi) [cm 2 ], e teoretična debelina stene cevi e=t-cor [cm], e 0 teoretična debelina stojine ojačitve [cm], h 0 višina stojine ojačitve [cm], I 0 vztrajnostni moment prereza ojačitve [cm 4 ], L razmak med ojačitvami cevi [cm], L 0 širina spodnje pasnice ojačitve – tj. sodelujoča širina stene cevi [cm], mass masa jeklenega cevovoda (ste- na cevi in ojačitve) [kg], p cr L,min manjši zunanji kritični tlak [kN/ cm 2 ], p cr L,pipe zunanji kritični tlak v ovalni cevi med dvema ojačitvama [kN/ cm 2 ], p cr L,ring zunanji kritični tlak v ojačitvi [kN/cm 2 ], R 0 polmer do horizontalne težiščne osi ojačitve [cm], t debelina stene cevi [cm], te debelina stojine ojačitve [cm], Y 0 razdalja med krajnim vrhom ojačitve in horizontalno težiščno osjo [cm], α stabilizacijski faktor [-], β faktor oslabitve gladke cevi zara- di splošne ovalnosti (izražen z η=0.01R) [-], γ faktor oslabitve gladke cevi zara- di navzven radialno deformirane ovalne cevi (izražen z U>0,1e) [-], σ N normalna obodna napetost v steni cevi [kN/cm 2 ], σ N0 normalna obodna napetost v ojačitvi [kN/cm 2 ], σ N0,min manjša normalna obodna na- petost (ki ustreza manjšemu zu- nanjemu kritičnemu tlaku p cr L,min ) [kN/cm 2 ]. Namenska funkcija, enačba (1), predstav- lja v optimizacijskem modelu maso odseka ojačanega cevovoda dolžine L sect . Prvi izraz enačbe definira maso stene cevi, medtem ko drugi in tretji izraz predstavljata maso ojačitev, glej sliki 1 in 2. (1) Pogojne (ne)enačbe. V primeru, ko je cevo- vod obremenjen z notranjim vodnim tlakom, se jeklena cevna lupina radialno raztegne in nasloni na okoliški beton in kamenino. Prosta cev bi se v tem primeru vzdolžno skrčila. To krčenje preprečita okoliški beton in kamenina. Zato se poleg obodnih nateznih napetosti v steni lupine σ θ pojavijo še vzdolžne natezne napetosti σ x zaradi preprečene deformacije (kontrakcije). Zaradi nastalega dvodimenzio- nalnega napetostnega stanja so primerjalne napetosti v cevi σ eq zmanjšane za 1 1 %. Projektna napetost v cevi (C ip · σ eq ) mora biti manjša od napetosti tečenja jekla f y , kar je v modelu definirano s pogojno enačbo (2). Zmanjšana napetost v cevi σ eq , Poissonov koeficient za jeklo ν in obodna napetost v steni lupine σ θ so podani z enačbami (3) do (5). (2) Kjer je: (3) (4) (5) Jekleni cevovod mora prenesti obtežbo zuna- njega vodnega tlaka p ex . Enačba (6), s katero preverimo stabilnost stene cevi med dvema krožnima ojačitvama, predstavlja izračun zu- nanjega kritičnega tlaka p cr v ovalni cevi v skladu s priporočili C.E.C.T. (6) Pri tem je zunanji kritični tlak idealne (brez napak oblike) cevi brez ojačitev definiran z enačbo (7). (7) Kjer je: (8) Faktor oslabitve gladke cevi zaradi ovalnosti β je v skladu s [Kollbrunner, 1956] določen z enačbo (9) za največji možni koeficient ovalnosti cevi η=0,01·R. (9) (10) Kjer je: (1 1) (12) Slika 2• Prečni prerez krožne ojačitve. OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI•prof. dr. Stojan Kravanja, doc. dr. Tomaž Žula Gradbeni vestnik • letnik 68 • oktober 2019 250 (13) (14) (15) Stabilizacijski faktor α je podan z enačbo (16). Ker so krožne ojačitve cevi v izvrtani hri- bini zalite z okoliškim betonom, so v betonu v svoji bočni smeri vpete in se ne morejo bočno zvrniti, lahko v skladu z določilom 8.4.2.1.a C.E.C.T.-priporočil računsko zmanjšamo raz- make med krožnimi ojačitvami L. Ta zman- jšani razmak L f izračunamo po enačbi (18). (16) Kjer je: (17) (18) Visokotlačni cevovodi, vgrajeni v izvrtane tunele v hribini, se zaradi večje varnosti obravnavajo brez sodelovanja okoliškega be- tona in hribine. Skladno s C.E.C.T.-priporočili se računajo kot samostojna jeklena konstruk- cija. Zato je treba preveriti stabilnost krožnih ojačitev z enačbama (19) in (20), tj. z neenač- bo C poglavja 8.4.2.2. priporočil C.E.C.T., kjer je σ N0 normalna obodna napetost v ojačitvi, p cr L,ring pa je zunanji kritični tlak v ojačitvi. (19) (20) Karakteristike prečnega prereza krožne ojačitve izračunamo z enačbami (21)-(29). Krožna ojačitev (slika 2) je v bistvu votli pra- vokotni jekleni prerez, pri čemer sta dve stojini in zgornja pasnica navarjene na jekleno steno cevi, ki s svojo sodelujočo širino L 0 računsko predstavlja spodnjo pasnico ojačitve. (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) Normalna obodna napetost v ojačitvi σ N0 mora biti manjša od najvišje elastične na- petosti v jeklu, zato v cevovodu velja Hookov zakon, kar izračunamo z enačbo (30). (30) Največji projektni zunanji vodni tlak na cev (C ep ·p ex ) mora biti manjši od zunanjega kritičnega tlaka v cevi p cr L,pipe kakor tudi od zunanjega kritičnega tlaka v ojačitvi p cr L,ring . Pri tem izračunamo zunanji kritični tlak p cr L , pri katerem jeklena cev z ojačitvami še izkazuje svojo odpornost/stabilnost. Le-ta je po enačbi (31) določen kot manjša vrednost izmed obeh zunanjih kritičnih tlakov v cevi p cr L,pipe in ojačitvi p cr L,ring . Zatem preverimo enačbo (32). (31) (32) Elastično obnašanje jeklenega materia- la pri obtežbi zunanjega tlaka preverimo z enačbami (33)-(37), pri čemer je normalna obodna napetost v steni cevi σ N definirana z enačbo (34), manjša normalna obodna napetost σ N0,min , ki ustreza najmanjšemu zu- nanjemu kritičnemu tlaku p cr L,min , pa z enačbo (35). (33) (34) (35) (36) (37) 4•OPTIMIZACIJA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA KOZJAK Optimizacijski model PIPEOPT-SR smo upo- rabili pri optimizaciji visokotlačnega cevovo- da črpalne hidroelektrarne Kozjak pri Mari- boru. Bodoča elektrarna ima že izgrajeno akumulacijsko jezero velikosti 3 milijone m 3 vode, kjer je načrtovana elektrarna z dvema Francisovima reverzibilnima turbinama moči 2x220 MW. Strokovnjaki IBE Ljubljana so leta 201 1 izdelali idejni projekt elektrarne in izvedli osnovno dimenzioniranje poševnega cevovo- da [Močnik, 201 1]. Načrtovanih je bilo več variant jeklenega visokotlačnega cevovoda, obremenjenega z vodnim tlakom več kot 100 barov, dolžine do 2400 m in več. Za varianto 1 so npr. načrtovali porabo 12751,98 ton jekla kvalitete S 460. Varianto vertikalnega visokotlačnega cevovoda so načrtovali leta 2012 [Močnik, 2012]. Na Fakulteti za gradbeništvo Univerze v Mari- boru (danes je to Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo, FGPA UM) smo v letih 201 1–2012 izvedli optimizacijo vseh predvidenih variant poševnega visoko- tlačnega cevovoda [Kravanja, 201 1]. Na kon- cu smo optimirali še vertikalne variante ce- vovoda [Kravanja, 2012]. Poleg optimizacije cevovoda smo izdelali navodila za projektante. Za reševanje optimizacijskega problema smo uporabili nelinearno programiranje (NLP). Op- timirali smo variante z gladko jekleno cevjo brez ojačitev, glej [Kravanja, 2015], kakor tudi variante cevovodov s krožnimi ojačitvami. Namen optimizacije je bil izračunati optimalno maso variant cevovoda, pri čemer bi dobili tudi vse potrebne dimenzije cevi in ojačitev. Podobno kot v viru [Kravanja, 2015] tudi v tem članku predstavljamo optimizacijo dveh variant: – poševni cevovod - varianta 1, tj. cevovod z najdaljšo dolžino (optimalna masa gladke cevi brez ojačitev znaša 9967,41 tone jekla S 690 [Kravanja, 2015]) in – vertikalni cevovod, tj. cevovod z najvišjim zunanjim tlakom (optimalna masa gladke cevi brez ojačitev je 3165,34 tone jekla S 690 [Kravanja, 2015]). prof. dr. Stojan Kravanja, doc. dr. Tomaž Žula•OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI Gradbeni vestnik • letnik 68 • oktober 2019 251 4.1 Optimizacija variante poševnega visokotlačnega cevovoda z ojačitvami – varianta 1 Varianta 1 (z asinhronim generatorjem) ima predvideno dolžino visokotlačnega cevovoda 2471,03 m, glej sliko 3. Ker se bosta na vrhu dva vertikalna odseka dolžin po 67,97 m izdelala iz stene cevi z najmanjšo možno de- belino, smo optimirali samo preostalo dolžino cevovoda L=2335,09 m. V izračunu smo upoštevali jeklo visoke trd- nosti, drobnozrnate strukture in dobre vari- vosti, poboljšano jeklo kvalitete S 690Q. Za omenjeno varianto smo optimirali 6 dolžinskih odsekov cevi dolžin od 144,10 m do 619,78 m z notranjimi radiji R=1,95 m (D=3,90 m) do R=2,15 m (D=4,30 m), z največjim notranjim vodnim tlakom 102,830 bara in največjim zunanjim vodnim tlakom 46,388 bara, glej preglednico 1. Nadaljnji vhodni podatki, ki smo jih vstavili v optimizacijski model PIPEOPT- SR, vsebujejo vrednosti naslednjih konstant: C ip =1,5, C ep =1,8, cor=0,2 cm, f y =69,0 kN/ cm 2 (S 690Q, t ≤ 50 mm), f y =65,0 kN/cm 2 (S 690Q, t > 50 mm), E=21000 kN/cm 2 , ν=0,3, φ=0,7, j R =j/R=0,001, ε= η/R=0,01, u e =U/e=0,2 in ρ=0,00785 kg/cm 3 . Optimizacijski model PIPEOPT-SR smo za 6 različnih cevnih odsekov variante 1 uporabili 6-krat in izvedli 6 izračunov, glej preglednico 1. Slika 3• Prerez skozi poševni visokotlačni cevovod Kozjak. x (m) p in (m) p ex (m) D (m) t (mm) ΔL (m) ΣG (kg) 0,00 1028,30 150,00 3,9 41 144,10 cev: 574 214 108,15 926,19 200,00 3,9 37 356,87 cev: 1 282 025 465,00 885,62 348,53 3,9 36 465,02 cev: 1 624 983 rebra: 147 007 skupaj: 1 771 990 930,00 832,76 463,88 4,1 45 363,66 cev: 1 672 831 rebra: 160 086 skupaj: 1 832 917 1205,00 589,65 369,28 4,1 36 385,66 cev: 1 416 143 rebra: 161 487 skupaj: 1 577 630 1480,00 293,91 42,06 4,3 15 619,78 cev: 989 302 rebra: 83 941 skupaj: 1 073 243 Jekleni cevovod skupaj: 2335,09 8 1 12 019 Preglednica 1• Optimalna masa poševnega cevovoda z ojačitvami Kozjak – varianta 1. OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI•prof. dr. Stojan Kravanja, doc. dr. Tomaž Žula Gradbeni vestnik • letnik 68 • oktober 2019 252 (x=0,00 m in x=108,15 m) ni bilo treba doda- jati ojačitev, saj je potrebna debelina cevi z ojačitvami znašala enako kot v primeru gladke cevi (brez ojačitev). To se je zgodilo zato, ker se na teh dveh odsekih pojavi največji notranji vodni tlak in relativno majhen zunanji tlak, ki ni bil merodajen. Pripomniti velja, da smo ce- vovodu s privaritvijo krožnih ojačitev zmanjšali maso jekla za 18,6 %, saj optimirana masa gladke cevi (brez ojačitev), glej vir [Kravanja, 2015], znaša 9967,41 tone jekla. 4.2 Optimizacija variante vertikalnega visokotlačnega cevovoda z ojačitvami Dolžina vertikalnega visokotlačnega cevovoda znaša 784,06 m, glej sliko 4. Optimizacijo te variante smo prikazali v tudi viru [Kravanja, 2018], kjer pa nismo izvedli primerjave dob- ljene mase z maso gladkega cevovoda brez ojačitev. Tudi pri tej varianti smo predvideli jek- lo visoke trdnosti S 690Q. Za omenjeno varian- to smo optimirali 16 dolžinskih odsekov cevi (5 v spodnjem delu, 5 v srednjem delu in 6 v zgor- njem delu cevi) dolžin od 9,00 m do 81,00 m z notranjimi radiji R=1,60 m (D=3,20 m) do Slika 4• Prerez skozi vertikalni visokotlačni cevovod Kozjak. Za vsak odsek smo v model v modelnem jeziku GAMS vstavili vse potrebne vhodne podatke in definirali začetne vrednosti spremenljivk ter njihove spodnje in zgornje meje. Zatem smo izvedli optimizacijo, ki smo jo vršili z optimizacij- skim podprogramom GAMS/CONOPT2 [Drudd, 1994], ki NLP računa po metodi reduciranih gra- dientov. Model PIPEOPT-SR vsebuje 809 vrstic, 16 skalarjev, 23 spremenljivk, 28 osnovnih pogojnih (ne)enačb, 23 dodatnih neenačb mej spremenljivk in 2 ukazna stavka. Ker optimizacij- ski model ni obsežen, je znašal računski čas optimizacije odseka cevi manj kot 1 sekundo. Delovni čas, ki še vključuje vnos podatkov in interpretacijo rezultatov, je znašal 10 minut. Skupni delovni čas izračuna celotnega cevovo- da z vsemi odseki je tako znašal samo 1 uro. Optimalni rezultat predstavlja najmanjšo iz- računano možno maso 81 12,02 tone jekla visokotlačnega cevovoda z ojačitvami. Dob- ljene so tudi bile potrebne debeline t jeklene stene 15 mm do 45 mm in dimenzije krožnih ojačitev (reber), glej preglednico 1. Ugotovili smo, da prvima dvema cevnima odsekoma R=2,00 m (D=4,00 m), z največjim notran- jim vodnim tlakom 94,920 bara in največ- jim zunanjim vodnim tlakom 78,290 bara, glej preglednico 2. V optimizacijski model PIPEOPT-SR smo vstavili še naslednje kon- stante: C ip =1,5, C ep =1,8, cor=0,2 cm, f y =69,0 kN/cm 2 (S 690Q, t ≤ 50 mm), f y =65,0 kN/ cm 2 (S 690Q, t > 50 mm), E=21000 kN/ cm 2 , ν=0,3, φ=0,7, j R =j/R=0,001, ε= η/R=0,01, u e =U/e=0,2 in ρ=0,00785 kg/cm 3 . Zgornje vhodne podatke smo v model PIPEOPT-SR vstavili 16-krat za 16 različnih cevnih odsekov. Zatem smo s podprogramom GAMS/CONOPT2 izvedli 16 NLP-optimizacij. Celotni delovni čas izračuna cevovoda vseh 16 odsekov je znašal okoli 3 ure. Izračunali smo maso jekla vertikalnega cevovoda z ojačitvami v višini 2592,55 tone. Izračunali smo tudi optimalne debeline stene cevi t od 8 mm do 61 mm in prereze ojačitev (reber), glej preglednico 2. Visokotlačnemu cevovodu smo s privaritvijo krožnih ojačitev zmanjšali maso jekla za 18,1 %, saj optimirana masa gladke cevi (brez ojačitev), glej vir [Kravanja, 2015], znaša 3165,34 tone jekla. prof. dr. Stojan Kravanja, doc. dr. Tomaž Žula•OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI Gradbeni vestnik • letnik 68 • oktober 2019 253 x (m) prerez p in (m) p ex (m) D (m) t (mm) ΔL (m) jeklo ΣG (kg) 0,00 1 949,20 782,90 3,20 62 81,00 S 690 cev: 403 998 rebra: 23 944 skupaj: 427 942 81,00 4 883,00 733,90 58 54,00 cev: 251 647 rebra: 15 501 skupaj: 267 148 135,00 6 817,60 679,90 54 54,00 cev: 234 005 rebra: 15 168 skupaj: 249 173 189,00 8 752,10 625,90 47 54,00 cev: 203 233 rebra: 15 105 skupaj: 218 338 243,00 10 686,70 571,90 43 36,66 cev: 126 074 rebra: 10 348 skupaj: 136 422 Spodnji del: 1 299 023 279,66 11 642,20 535,20 3,40 43 54,00 S 690 cev: 197 160 rebra: 16 687 skupaj: 213 847 333,66 13 576,70 481,20 39 54,00 cev: 178 612 rebra: 15 827 skupaj: 194 439 387,66 15 51 1,30 427,20 35 54,00 cev: 160 106 rebra: 15 635 skupaj: 175 741 441,66 17 445,80 373,20 31 54,00 cev: 141 643 rebra: 15 477 skupaj: 157 120 495,66 19 380,40 319,20 27 31,70 cev: 72 336 rebra: 8 144 skupaj: 80 480 Srednji del: 821 627 527,36 20 341,90 287,50 3,60 25 54,00 S 690 cev: 120 687 rebra: 22 210 skupaj: 142 897 581,36 22 276,50 233,50 21 54,00 cev: 101 265 rebra: 14 925 skupaj: 1 16 190 635,36 24 21 1,00 179,50 17 54,00 cev: 81 886 rebra: 15 282 skupaj: 97 168 689,36 26 145,60 125,50 12 54,00 cev: 57 722 rebra: 16 349 skupaj: 74 071 743,36 28 78,10 69,50 8 31,70 cev: 22 565 rebra: 10 020 skupaj: 32 585 775,06 29 39,80 37,80 4,00 8 9,00 cev: 7 1 16 rebra: 1 869 skupaj: 8 985 Zgornji del: 471 896 Jekleni cevovod skupaj: 2 592 546 Preglednica 2• Optimalna masa vertikalnega cevovoda z ojačitvami Kozjak. OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI•prof. dr. Stojan Kravanja, doc. dr. Tomaž Žula Gradbeni vestnik • letnik 68 • oktober 2019 254 6•LITERATURA Abadie, J., Carpenter, J., Generalization of the Wolfe reduced gradient method to the case of nonlinear constraints, Optimization, New York: Aca- demic Press, 37–47, 1969. Amstutz, E., Das Einbeulen von Schacht- und Stollenpanzerungen, Schweizerische Bauzeitung 68 (9), 102–105, 1950. Amstutz, E., Das Einbeulen von vorgespannten Schachtund Stollenpanzerungen, Schweizerische Bauzeitung 71 (16), 229–231, 1953. Anagnostopoulos, J. S., Papantonis, D. E., Simulation and size optimization of a pumped-storage power plant for the recovery of wind-farms rejected energy, Renewable energy 33 (7), 1685–1694, 2008. Bai, X. L., Jia, Q. P ., Su, H. L., Optimal Design of the Stiffener Penstock Structure in a Hydropower Station, Civil engineering, architecture and sus- tainable infrastructure II, pts 1 and 2, Applied Mechanics and Materials 438–439, 561–564, 2013. Brooke, A., Kendrick, D., Meeraus, A., GAMS - A User's Guide, Scientific Press, Redwood City, CA, 1988. C.E.C.T., Recommendations for the design, manufacture and erection of steel penstocks of welded construction for hydro electric installations, European Committee for boilermaking and kindred steel structures, Prepared by the »Penstock« Section, 1979. Dong, W. S., Tang, K. D., Hou, X. M., Liu, X. M., Research on the stability problem of hydroelectric station penstock under external pressure, 2008 International symposium on intelligent information technology application, vol II, Proceedings, IEEE Computer Soc, Los Alamitos, CA, 508-+, 2008. Drudd, A. S., CONOPT – A Large-Scale GRG Code, ORSA Journal on Computing 6 (2), 207–216, 1994. Fathi-Moghadam, M., Haghighipour, S., Samani, H. M. V., Design-Variable Optimization of Hydropower Tunnels and Surge Tanks Using a Genetic Algorithm, Journal of water resources planning and management-ASCE 139 (2), 200-208, 2013. Gu, H., Yan, G. H., Analysis on Dynamic Response and its optimized design of Penstock and Expansion Joint Structure in Hydropower Station, Advanced building materials, pts 1-4, Advanced Materials Research 250-253 (1-4), 2892–2896, 201 1. Haghighipour, S., Fathi-Moghadam, M., Optimization of hydropower conveyance systems, Journal of food agriculture & environment 8 (2), 1093–1096, 2010. Hestenes, M. R., Multiplier and gradient methods, J. Optim. Theory Appl. 4, 303–320, 1969. John, F., Extremum problems with inequalities as subsicliarv conditions, Studies and Essays presented to Richard Courant on his 60th birthay, New York: Interscience, 187–204, 1948. Karush, W., Minima of functions of several variables with inequalities as side conditions, Department of Mathematics, University of Chicago, Chicago, 1939. Kollbrunner, C. F., Milosavljević, S., Beitrag zur Berechnung von auf Ausendruck beanspruchten kreiszylindrischen Rohren, Verlag Leemann, Zürich, 1956. 5•ZAKLJUČEK V prispevku smo predstavili optimizacijo jeklenega cevovoda s krožnimi ojačitvami, kakršne se uporabljajo pri gradnji visoko- tlačnih cevovodov. Omenjene ojačitve nava- rimo na jekleno cev povsod tam, kjer je cev obremenjena z znatnim zunanjim vodnim tlakom. Optimizacijo smo opravili z neline- arnim programiranjem, NLP . V ta namen smo razvili optimizacijski model, kjer je namenska funkcija mase jeklene konstrukcije cevovoda podvržena pogojnim (ne)enačbam nosilnosti in napetosti. Upoštevana sta dva obtežna primera: notranji vodni tlak z upoštevanjem vodnega udara padajoče vode iz akumulacij- skega jezera v prazno cev in zunanji vodni tlak, ki je enak višini podtalnice – terena nad cevjo. Pogojne (ne)enačbe so definirane v skladu s priporočili za visokotlačne cevo- vode C.E.C.T. V modelu smo definirali enačbe odpornosti cevi na notranji vodni tlak, kjer smo upoštevali zmanjšane napetosti v cevi pri nastopu dvoosnega napetostnega stanja zaradi preprečene kontrakcije. Nadalje smo definirali enačbe stabilnosti stene cevi med dvema krožnima ojačitvama in enačbe sta- bilnosti krožnih ojačitev na zunanji vodni tlak. Na koncu članka smo prikazali optimizaci- jo jeklene cevi z ojačitvami visokotlačnega cevovoda črpalne hidroelektrarne Kozjak pri Mariboru. Optimirali smo dve varianti, in sicer poševni in vertikalni cevovod z ojačitvami. Prvi cevovod (varianta 1), to je poševni cevovod z ojačitvami, je dolg 2471,03 m, načrtovan z notranjimi premeri od 3,90 m do 4,30 m in obremenjen z največjim notranjim vodnim tlakom 102,830 bara ter največjim zunanjim vodnim tlakom 46,388 bara. Za ta cevovod smo izračunali optimalno maso 81 12,02 tone jekla S 690Q. Za drugo varianto, to je vertikalni cevovod z ojačitvami, dolžine 784,06 m, premerov 3,20 m do 4,00 m, obremenjen z največjim notranjim vodnim tlakom 94,920 bara in največjim zunanjim vodnim tlakom 78,290 bara, smo izračunali optimalno maso 2592,55 tone jekla S 690Q. Rezultati optimizacije pokažejo, da če jekleni gladki cevi (brez ojačitev) visokotlačnega cevovoda Kozjak privarimo krožne ojačitve, bistveno povečamo stabilnost konstrukcije na zunanji tlak in zmanjšamo maso jekla za več kot 18 %. prof. dr. Stojan Kravanja, doc. dr. Tomaž Žula•OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI Gradbeni vestnik • letnik 68 • oktober 2019 255 Kramar, J., Računalniško podprto snovanje razdelilnih delov tlačnih cevovodov: odpravljanje ozkih grl v konstrukcijskem procesu, Strokovni bilten 2 (2), 31–35, 1985. Kramar, J., Raztresen, J., Bradač, J., Ocepek, M., The design and construction of the Chiew Larn penstock system, International water power & dam construction 42 (7), 32–35, 1990. Kravanja, S., Faith, Š., Raztresen, J., Zelenko, B., Bedenik, B., Visokotlačni cevovod, jeklena obloga in razdelilnik za hidroelektrarno Chiew Larn na Tajskem, Gradbeni vestnik 37 (4/5/6), 86–90, 1988. Kravanja, S., The optimization of penstock with the recommendations for the design of steel liner and the collaboration of the rock, The recommen- dations for the dimensioning and optimization of steel penstock, (Optimizacija cevovoda z izhodišči za načrtovanje jeklene obloge in sodelovanja hribine, Izhodišča za dimenzioniranje in optimizacijo jeklenega cevovoda), Kozjak PSP, Faculty of Civil Engineering, University of Maribor, 201 1. Kravanja, S., The optimization of penstock with the recommendations for the design of steel liner and the collaboration of the rock, Variant the Verical penstock, The recommendations for the dimensioning and optimization of steel penstock, (Optimizacija cevovoda z izhodišči za načrtovanje jeklene obloge in sodelovanja hribine, Varianta vertikalni cevovod – kaverna, Izhodišča za dimenzioniranje in optimizacijo jeklenega cevovoda), Kozjak PSP, Faculty of Civil Engineering, University of Maribor, 2012. Kravanja, S., Optimization of steel penstock in a bored tunnel, High performance and optimum design of structures and materials, International Conference on High performance and optimum design of structures and materials, HPSM/OPTI 2014, WIT transactions on the built environment 137, WIT Press, Southampton, 337-345, 2014. Kravanja, S., Optimizacija jeklene gladke stenske obloge visokotlačnega cevovoda, Gradbeni vestnik 64, 280–286, 2015. Kravanja, S., Optimization of a steel penstock with stiffener rings, E-GFOS 9 (17), 64-73, 2018. Kuhn, H. W., Tucker, A. W., Nonlinear programming, Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berkeley: University of California Press, 481–492, 1951. Li, H. W., Ning, H. M., Yang, Z. S., The Optimal Design Model of Steel-lined Reinforced Concrete Penstock Based on ANSYS, Proceedings of first international conference of modelling and simulation, vol VI: Modelling and simulation in architecture, civil engineering and materials, 31–35, 2008. Močnik, I., Kimovec, J., Penstock dimensioning, 3. civil construction design, Penstock, Kozjak PSP, IBE Ljubljana, 201 1. Močnik, I., Technical Report, 3. civil construction design, 3/18 Penstock – cavern type, Kozjak PSP, IBE Ljubljana, 2012. Powell, M. J. D., A method for nonlinear constraints in minimization problems, Optimization, New York: Academic Press, 238–298, 1969. Powell, M. J. D., A fast algorithm for nonlinearly constrained optimization calculations, Proceedings 1977 Dundee Conference on Numerical Analysis, Lecture Notes in Mathematics, Belin: Springer-Verlag, 1978. SIST EN 1993-1-6:2007, Evrokod 3: Projektiranje jeklenih konstrukcij -1-6.del: Trdnost in stabilnost lupinastih konstrukcij, 2007a. SIST EN 1993-4-3:2007, Evrokod 3: Projektiranje jeklenih konstrukcij -4-3.del: Cevovodi, 2007b. Tapia, A., Millan, P ., Gomez-Estern, E., Integer programming to optimize Micro-Hydro Power Plants for generic river profiles, Renewable energy 126, 905–914, 2018. Timoshenko, S., Theory of plates and shells, 1st edition, McGraw-Hill Book Company, New York and London, 1940. Wolfe, P ., Methods of nonlinear programming, Nonlinear Programming, Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 97–131, 1967. Wu, H. L., Du, X. F., Qin, S. H., Li, Y., Li, Q., Influence of Concrete Tension Softening Properties on the Steel-liner Reinforced Concrete Penstock, Applied mechanics and materials I, pts 1-3, Applied Mechanics and Materials 275–277, 1544-+, 2012. OPTIMIZACIJA JEKLENEGA VISOKOTLAČNEGA CEVOVODA Z OJAČITVAMI•prof. dr. Stojan Kravanja, doc. dr. Tomaž Žula