OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 OBZORNIK MAT. FIZ. LJUBLJANA LETNIK 59 ŠT. 1 STR. 1–40 JANUAR 2012 C KM Y 2012 Letnik 59 1 i i “kolofon” — 2012/3/23 — 12:56 — page 1 — #1 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, JANUAR 2012, letnik 59, številka 1, strani 1–40 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Marko Petkovšek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Dreven- šek Olenik, Damjan Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re- publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport. c© 2011 DMFA Slovenije – 1865 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. i i “Gora” — 2012/3/15 — 10:42 — page 1 — #1 i i i i i i Z NAJMANJ TRUDA NA ŠMARNO GORO! GAŠPER JAKLIČ1,2,3, TADEJ KANDUČ4, SELENA PRAPROTNIK2 IN EMIL ŽAGAR1,2 1Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani 2Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko 3Primorski inštitut za naravoslovne in tehnične vede, Univerza na Primorskem 4Turboinštitut Math. Subj. Class. (2010): 41A05, 41A15, 65D05, 65D07, 65D17 Iskanje krivulje na ploskvi z danimi omejitvami je v splošnem težak problem. Nanj naletimo npr. v gradbenǐstvu pri gradnji cest in železnic po razgibanem terenu. V tem članku se bomo omejili na problem iskanja vzpona na goro, pri katerem porabimo najmanj energije. Dane so diskretne meritve terena, na podlagi katerih s pomočjo makroelementov kon- struiramo gladek opis reliefa. Energijski funkcional definiramo v odvisnosti od naklona in dolžine poti. Z izračunom energije na robovih polinomskih ploskev zastavljeni problem prevedemo na diskretni problem iskanja najceneǰse poti na mreži polinomskih krivulj. Nu- merični rezultati kažejo, da se dobljene poti dobro ujemajo z naravnimi, kar predstavimo na primeru realnih podatkov. OPTIMAL MOUNTAIN ASCENT Finding a curve on the surface with constraints is a difficult problem frequently enco- untered in civil engineering at road and railway construction. In this article, an optimal mountain ascent (in the sense of energy consumption) will be considered. Discrete terrain data are given. A smooth terrain description is constructed using macroelements. An energy functional which depends on terrain inclination and on path length, is defined. By computing energy on the boundaries of polynomial patches, the problem transforms into a discrete problem of finding the cheapest path on a mesh of polynomial curves. Numerical results indicate that the resulting paths are good approxi- mations of the natural routes. Some examples on real data are presented. Uvod Iskanje optimalne poti med danima točkama na ploskvi je težak problem. Prva težava je predstavitev ploskve in s tem povezan zapis iskane krivulje, vložene na ploskev. Druga težava je kriterij optimalnosti. Tu običajno krivulji pripǐsemo energijski funkcional, s katerim utežimo dele krivulje glede na izbrani kriterij. Bralec lahko več o energijskih funkcionalih krivulj in ploskev izve v [2] ali [7]. Problem je zelo zanimiv v praksi, na primer pri načrtovanju ceste ali železnice po razgibanem terenu. Tu je treba upoštevati več faktorjev, kot Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 1 i i “Gora” — 2012/3/15 — 10:42 — page 2 — #2 i i i i i i Gašper Jaklič, Tadej Kanduč, Selena Praprotnik in Emil Žagar so omejitve naklona, radija ovinkov, geomorfološke lastnosti terena, cena gradnje, ki je vǐsja tam, kjer je treba graditi mostove in tunele, optimiza- cijo pri gradnji (izkop materiala, transport na drugo lokacijo in uporaba za zasipanje). V članku bomo obravnavali bolj enostaven problem, načrtovanje opti- malne planinske poti na vrh gore. Kriterij za optimalnost bo poraba ener- gije. Dobre planinske poti potekajo po naravnih prehodih, strme dele prema- gajo z vzpenjanjem v ključih [4]. Predpostavili bomo, da strmina optimalne poti ni večja od 45◦ in s tem ostali v mejah pohodnǐstva. Med klasične kriterije optimizacije sicer spadajo zahteve, da je dolžina poti najkraǰsa, da je čas vzpona minimalen, da je poraba energije (kalorij) čim manǰsa. Bralec lahko nekaj o tem prebere v [5]. Zvezni variacijski problem iskanja optimalne poti bomo aproksimirali z reševanjem diskretnih problemov. Površja hriba ne moremo opisati eksak- tno, saj imamo običajno dano samo mrežo geodetskih podatkov, ponavadi točk (xi, yi, zi). Zato je prvi korak interpolacija danih podatkov s primerno ploskvijo, za kar bomo uporabili posebno vrsto nedavno razvitih dvorazse- žnih zlepkov, makroelemente [6, 3]. Optimalno pot bomo iskali na krivočrtni mreži njihovih robov. S pomočjo energijskega funkcionala bomo izračunali porabo energije po robovih. Optimizacijski problem bomo tako prevedli na diskretni problem iskanja najceneǰse poti v omrežju, ki ga bomo ugnali z znanim Dijkstrovim algoritmom. Interpolacijski problem in makroelementi V praksi terena nimamo danega v zaključeni obliki s predpisom. Običajno v naravi izmerimo diskretne podatke, iz katerih nato aproksimiramo teren. Relief območja določimo iz točk v prostoru (xi, yi, zi) ∈ R3, i = 1, 2, . . . , V . Eden od načinov je iskanje interpolacijske ploskve, torej take, ki poteka skozi dane točke. Običajno jo zapǐsemo v obliki odsekoma linearne ploskve, saj je taka konstrukcija najbolj enostavna za uporabo. Vendar pa v tem primeru dobimo le zvezno ploskev in za dobro aproksimacijo potrebujemo veliko me- ritev. Ker bomo študirali krivulje, vložene na ploskev, potrebujemo večjo fleksibilnost. Namesto linearnih bomo uporabili odsekoma polinomske plo- skve (zlepke) vǐsjih stopenj. Tako lahko dobimo ploskev, ki je vsaj zvezno odvedljiva, zato bodo tudi iskane krivulje bolj naravnih oblik. 2 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Gora” — 2012/3/15 — 10:42 — page 3 — #3 i i i i i i Z najmanj truda na Šmarno goro! Zapǐsimo problem natančneje. Konveksno ovojnico danih točk vi := (xi, yi) v ravnini označimo z Ω. Definicija 1. Funkciji f : Ω ⊂ R2 → R, ki zadošča pogojem f(vi) = zi, i = 1, 2, . . . , V, pravimo interpolacijska funkcija. Razdelitvi območja Ω na trikotnike z oglǐsči v točkah vi pravimo trian- gulacija območja Ω. Definicija 2. Triangulacija je regularna, če je neprazen presek poljubnih dveh različnih trikotnikov bodisi skupno oglǐsče bodisi skupna stranica. Slika 1. Leva množica ni regularna triangulacija, desna je. Na sliki 1 sta prikazana primera neregularne in regularne triangulacije. Triangulacijo na točkah vi lahko izberemo na več načinov. Na sliki 2 sta prikazani dve različni regularni triangulaciji na istih točkah. Desna trian- gulacija je bolj simetrična. Izkaže se, da je zaradi numerične stabilnosti bolje izbirati triangulacije s trikotniki, ki povezujejo bližnje točke in nimajo premajhnih notranjih kotov. Izbira triangulacije močno vpliva na obliko interpolacijske ploskve. Nad dano triangulacijo želimo konstruirati gladko interpolacijsko funk- cijo, katere zožitev na poljuben trikotnik triangulacije je dvorazsežni poli- nom predpisane stopnje. Razredu takih funkcij pravimo zlepki. 1–10 3 i i “Gora” — 2012/3/15 — 10:42 — page 4 — #4 i i i i i i Gašper Jaklič, Tadej Kanduč, Selena Praprotnik in Emil Žagar Slika 2. Dve različni triangulaciji istega območja glede na dane točke v ravnini. Desna triangulacija je za interpolacijo primerneǰsa. Glavne težave, ki nastanejo pri konstrukciji zlepka, so obstoj in enolič- nost interpolanta, praviloma je treba reševati velik sistem linearnih enačb, oblika zlepka pa ni odvisna samo od bližnjih podatkov (sprememba enega interpolacijskega podatka lahko vpliva na obliko celotnega zlepka). Ome- njenim težavam se izognemo tako, da za reševanje problema uporabimo poseben razred gladkih zlepkov, makroelemente (slika 3). Makroelementi so odsekoma polinomske funkcije, pri katerih se polinomi, definirani na sose- dnjih trikotnikih triangulacije, ” zlepijo“ gladko (po navadi vsaj enkrat zve- zno odvedljivo), obenem pa je konstrukcija posameznih polinomskih delov lokalna. To pomeni, da polinomsko funkcijo, ki definira del makroelementa nad izbranim trikotnikom, določimo samo na podlagi podatkov nad tem tri- kotnikom. Nad stranico, ki je skupna sosednjima trikotnikoma, uporabimo Slika 3. Zvezen linearen interpolant (levo) in C1 gladek makroelement (desno). 4 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Gora” — 2012/3/15 — 10:42 — page 5 — #5 i i i i i i Z najmanj truda na Šmarno goro! enake podatke za konstrukcijo obeh sosednjih polinomov. Zlepek je tako odvisen le od lokalnih podatkov, pri reševanju interpolacijskega problema pa je treba reševati le majhne sisteme linearnih enačb. Dodatna prednost makroelementov je tudi enostaven in učinkovit po- stopek subdivizije, tj. razbitja obstoječe ploskve na več manǰsih delov. Eno izmed možnih subdivizij zlepka dobimo tako, da vsak trikotnik triangulacije razbijemo na tri trikotnike (slika 4), kar razdeli tudi pripadajočo polinom- sko ploskev. Ker z vsakim korakom subdivizije povečujemo število robnih krivulj, lahko omenjeni postopek uporabimo za povečevanje natančnosti op- timalne poti. Slika 4. Osnovna triangulacija (levo) in en korak subdivizije (desno). Energijski funkcional Robne krivulje makroelementa so polinomske krivulje. Zanima nas energija, ki jo porabimo za premik vzdolž ene od njih. Označimo porabo energije na enotsko dolžino poti z M . Očitno je funkcija M odvisna od naklona te- rena v smeri gibanja in ni simetrična glede na gibanje po klancu navzgor ali navzdol. Intuitivno je najlažje gibanje po rahlem klancu navzdol, pri velikih naklonih pa je gibanje navzgor lažje od gibanja navzdol. Z apro- ksimacijo empiričnih meritev po metodi najmanǰsih kvadratov [4] dobimo porabo energije za povprečnega pohodnika v obliki M(s) = 0.2635 + 1.737 s + 4.237 s2 − 2.143 s3 + 1.493 s4. V zgornji izražavi je s tangens naklonskega kota terena v smeri gibanja, M pa merimo v kJ/m. S slike 5 vidimo, da se M obnaša po predvidevanjih. Iz 1–10 5 i i “Gora” — 2012/3/15 — 10:42 — page 6 — #6 i i i i i i Gašper Jaklič, Tadej Kanduč, Selena Praprotnik in Emil Žagar -1.0 -0.5 0.5 1.0 1 2 3 4 5 6 Slika 5. Graf porabe energije na meter prehojene poti (kJ/m) v odvisnosti od naklona poti. Pozitivni naklon pomeni gibanje po klancu navzgor. izkušenj pričakujemo, da bomo pri nekem kritičnem naklonu začeli hoditi v ključih, da bi se izognili prestrmi poti, in bomo kljub nekoliko dalǰsi poti prihranili pri celotni porabi energije. Analiza poti s konstantnim naklonom to potrdi [4]. Pri hoji navzgor je kritični naklonski kot enak 15.6◦, pri hoji navzdol pa 12.5◦. Naj bo r : [0, 1] → R3, kjer je r = (rx, ry, rz)T vektorska funkcija pa- rametra t ∈ [0, 1], robna krivulja makroelementa. Naklon ϕ pri gibanju po krivulji seveda ni konstanten, zato moramo uporabiti infinitezimalne pre- mike. Prispevek energije E na delu loka krivulje d` je enak dE(r) = M(s(t)) d`, kjer je s(t) = tanϕ(t) = ṙz(t)√ ṙ2x(t) + ṙ 2 y(t) . Iz diferencialne geometrije vemo, da je d` = ‖ṙ(t)‖ dt, zato je poraba energije po celotni krivulji enaka integralu E(r) = ∫ 1 0 M(s(t)) ‖ṙ(t)‖ dt. 6 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Gora” — 2012/3/15 — 10:42 — page 7 — #7 i i i i i i Z najmanj truda na Šmarno goro! Tako izpeljani funkcional je posplošitev funkcionala, uporabljenega v [4] za primer konstantnega naklona. Reševanje optimizacijskega problema Z definiranjem energijskega funkcionala v preǰsnjem razdelku lahko zastav- ljeni problem iskanja optimalne poti vzpona prevedemo na iskanje najce- neǰse poti v grafu. Ta problem je dobro poznan in ga zlahka uženemo z Dijkstrovim algoritmom, ki je opisan v naslednjem razdelku. Graf, ki ga kot vhodni podatek zahteva Dijkstrov algoritem, je kar tri- angulacija na točkah vi. Točke grafa so oglǐsča trikotnikov, povezave grafa pa so njihove stranice. Vsaki povezavi e določimo ceno we s pomočjo ener- gijskega funkcionala, tako da je we = E(r), kjer je r krivulja na ploskvi nad stranico, ki ustreza povezavi e. Omenimo še, da smo izbrali triangulacijo, ki je čim bolj simetrična, da ne bi prǐslo do favoriziranja smeri. Triangulacije so podobne triangulaciji s slike 2, desno. Tako zagotovimo tudi morebitno hojo v ključih. Dijkstrov algoritem Dana sta usmerjen graf G = (V,E), kjer sta V množica točk in E mno- žica povezav, ter začetna točka s. Vsaka povezava e ima ceno we ≥ 0. (Cena v praksi lahko pomeni dolžino poti med krajǐsčema povezave, ceno prevoza po poti med krajǐsčema, . . . ) Cena poti P je vsota cen vseh povezav v P. Algoritem določi najceneǰso pot od s do vsake druge točke grafa G. Definiramo množico S točk u, za katere smo že določili dolžino najceneǰse poti c(u) od točke s. To je ” raziskani“ del grafa. Na začetku je S = {s} in c(s) = 0. Za vsako točko v ∈ V − S določimo najceneǰso pot, ki jo lahko dobimo tako, da potujemo po raziskanem delu S do neke točke u in po povezavi od u do v. Torej opazujemo količino c′(v) = min e=uv: u∈S ( c(u) + we ) . Izberemo točko v ∈ V − S, za katero je ta količina najmanǰsa, dodamo v v množico S in definiramo c(v) = c′(v). Zapomnimo si tudi povezavo uv, na kateri je bil dosežen minimum. Iz teh povezav potem rekonstruiramo najceneǰso pot. 1–10 7 i i “Gora” — 2012/3/15 — 10:42 — page 8 — #8 i i i i i i Gašper Jaklič, Tadej Kanduč, Selena Praprotnik in Emil Žagar Najceneǰso pot Pv od s do v dobimo tako, da začnemo v v, se prema- knemo po povezavi, ki smo jo shranili za v, proti u. Zdaj se premaknemo po povezavi, ki smo jo shranili za u. Postopek ponavljamo, dokler ne pridemo do točke s. Več o Dijkstrovem algoritmu je zapisano v [1]. Numerični primeri Za konec si oglejmo primer optimalnih poti na Šmarno goro (slika 6). Iz približno 40.000 podatkov s terena, pridobljenih iz javne baze, smo nad triangulacijo, ki jo dobimo tako, da vsakemu elementu pravokotne mreže dodamo diagonali (slika 2, desno), konstruirali kubični C1 interpolacijski zlepek. Za tri priljubljena izhodǐsča poti na Šmarno goro smo izračunali optimalne poti in jih primerjali z dejanskimi. Tabela 1 prikazuje porabo energije pri vzponu po posamezni poti. Izkaže se, da se izračunane poti dobro ujemajo s potmi v naravi. Na bolj strmih predelih poti se pričakovano pojavijo ključi. Pot iz Tacna čez Spodnjo kuhinjo zavije levo od optimalne poti, pred- videvamo, da zaradi njenega naklona. Za nedeljske sprehajalce je pot pri Spodnji kuhinji prestrma in prezahtevna zaradi korenin, zato naredi ovinek. Pot, ki jo vrne naš algoritem, je bolj direktna in podobna poti, ki velja za tekmovanje ” Rekord Šmarne gore“. Romarska pot z optimalne poti zavije desno, kjer se pridruži Šmarski poti. Del optimalne poti, ki ga izpusti, je precej strm in ni preveč primeren za stareǰse ljudi ali ljudi z manj kondicije. Romarska pot je tako v celoti bolj naporna (ker je dalǰsa), vendar bolj položna od optimalne. Partizanska pot se začne v Šmartnem in nadaljuje ves čas naravnost proti vrhu, medtem ko optimalna pot poteka zelo podobno Šmarski poti (ki se na sedlu pridruži preostalim potem). Tak rezultat ne preseneča, saj so Partizansko pot uporabljali kurirji med drugo svetovno vojno, ki so želeli biti na vrhu v čim kraǰsem času, ne pa z najmanj porabljene energije. Dober oris optimalnih poti dobimo že iz bistveno manj podatkov. Če vzamemo približno 900 podatkov s terena, se optimalne poti (slika 7, levo) dobro ujemajo s potmi s slike 6. S subdivizijo površine lahko pridemo do še bolǰsih rezultatov (slika 7, desno). Na sliki 7, spodaj, vidimo, da odsekoma linearna ploskev preslabo aproksimira pravi relief, zato dobljene optimalne poti niso dobre. 8 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Gora” — 2012/3/15 — 10:42 — page 9 — #9 i i i i i i Z najmanj truda na Šmarno goro! Slika 6. Slika Šmarne gore, nekaj najbolj priljubljenih (tanke črne črte) in izračunanih optimalnih poti (debele sive črte). Izhodǐsče Pot Poraba (kJ) Prihranek (kJ) Razlika (%) Tacen prava 1589 186 11,7 (čez Sp. kuhinjo) optimalna 1403 c. sv. Jurija prava 1484 232 15,6 (Romarska pot) optimalna 1252 Šmartno prava 1403 153 10,9 (Šmarska pot) optimalna 1250 Šmartno prava 1456 206 14,1 (Partizanska pot) optimalna 1250 Tabela 1. Poraba energije pri vzponu na Šmarno goro. 1–10 9 i i “Gora” — 2012/3/15 — 10:42 — page 10 — #10 i i i i i i Gašper Jaklič, Tadej Kanduč, Selena Praprotnik in Emil Žagar Slika 7. Optimalne poti na grobi mreži (levo), na mreži po enem koraku subdivizije (desno) in na odsekoma linearni ploskvi (spodaj). LITERATURA [1] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest in C. Stein, Introduction to Algorithms, Third Edition, The MIT Press, 2009. [2] G. Jaklič in E. Žagar, Shape preserving interpolation by spatial cubic G1 splines, Annali dell’Universita di Ferrara, 54(2), 259–267, 2008. [3] T. Kanduč, Makro elementi, Univerza v Ljubljani, FMF, diplomsko delo, 2009. [4] M. Llobera in T. Sluckin, Zigzagging: Theoretical insights on climbing stategies, J. Theo. Bio, 249, 206–217, 2007. [5] T. Schröter in M.-N. Glöckner, How to Climb a Mountain? Simulating efficient ways to the mountain top, ECMI Newsletter, 46, 2009. [6] L. L. Schumaker in M.-J. Lai, Spline functions on triangulations, Encyclopedia of mathematics and its applications, Cambridge University Press, 2007. [7] J. Wallner, Note on curve and surface energies, Comput. Aided Geom. Design, 24(8– 9), 494–498, 2007. 10 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Strnad” — 2012/3/23 — 12:29 — page 11 — #1 i i i i i i NOV PREIZKUS POSEBNE TEORIJE RELATIVNOSTI JANEZ STRNAD Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 03.30.+p Novi preizkusi posebne teorije relativnosti so imenitni po kakem novem merilnem načinu in ne po tem, da se izidi ujemajo z napovedmi teorije. Zelo natančno merjenje časa je omogočilo preizkus pri hitrosti nekaj deset metrov na sekundo in pri vǐsinski razliki 1 3 metra. A NEW TEST OF SPECIAL RELATIVITY New tests of special relativity are noteworthy for some new method of measurement and not for results agreeing with the predictions of the theory. A very accurate measure- ment of time has made possible tests at speeds of some tens of meters per second and a height difference of 1 3 meter. Današnji fiziki ne dvomijo o posebni teoriji relativnosti. Njen preizkus zbudi pozornost po kaki drugi posebnosti, ne po tem, da se izid sklada z napovedmi. Novi preizkus je omogočilo zelo natančno merjenje časa [1]. Natančno merijo čas z uro s curkom atomov cezija (slika 1) [2]. Cezijeve atome iz izvira ohladijo s tremi pari nasprotno usmerjenih laserskih curkov, pravokotnih drug na drugega. To pomeni, da močno zmanǰsajo hitrost ato- mov. Pri ohladitvi na temperaturo 1 µK je povprečna kinetična energija atoma cezija 32kT = 2.1 · 10 −29 J = 1.3 · 10−10 eV in koren iz povprečnega kvadrata hitrosti vef = √ v2 = 1.4 cm/s. Iz približno deset milijonov cezije- vih atomov nastane gruča, ki se dviga. Dokler niso poznali takega laserskega hlajenja, so se hitri atomi v curku sipali na počasnih in zamisel ni delovala. Gruča cezijevih atomov se v navpični cevi v vakuumski posodi dviga vse počasneje in potem pada. Zaradi podobnosti z vodometom temu pravijo ” cezijev vodomet“. Osnovno stanje atoma cezija je zaradi hiperfine sklopitve spinov jedra in elektrona razcepljeno. V stanju z večjo energijo sta spin 72 jedra 133Ce in spin elektrona vzporedna, tako da je spinsko kvantno število atoma F = 4, v stanju z manǰso energijo pa nasprotno vzporedna, tako da je F = 3. Gruča gre pri gibanju navzgor skozi mikrovalovno votlino, v kateri atomi preidejo v stanje F = 4, in nato po kaki sekundi pade skozi drugo votlino, v kateri atomi sevajo, ko preidejo v stanje F = 3. Potem gručo obsevajo s sedmim, merilnim laserjem in po fluorescenci ugotovijo, koliko atomov je prešlo iz Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 11 i i “Strnad” — 2012/3/23 — 12:29 — page 12 — #2 i i i i i i Janez Strnad Slika 1. Okvirna risba ure na ” cezijev vodomet“. V presečǐsču treh pravokotnih parov laserskih curkov (a-a’, b-b’, c-c’) hladijo curek cezijevih atomov. Nastane gruča (d), ki se počasi dvigne, obmiruje (e) in pade. V mikrovalovni votlini (f) preidejo atomi v vzbujeno stanje in v mikrovalovni votlini (g) sevajo. Nato gručo obsevajo z merilnim laserjem (h) in zaznavajo fluorescentno svetlobo z merilnikom (i) [2]. začetnega stanja v končno. Povratna vez poskrbi, da je teh atomov čim več, in s tem zagotovi, da ima elektromagnetno valovanje kolikor mogoče natančno frekvenco 9 192 631 770 s−1. To frekvenco, ki ji ustreza valovna dolžina približno 3.26 cm, vsebuje dogovor o sekundi. Časovni razmik merijo s štetjem nihajev. Za relativno nenatančnost frekvence ur te vrste navajajo 3.4 · 10−16. 12 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Strnad” — 2012/3/23 — 12:29 — page 13 — #3 i i i i i i Nov preizkus posebne teorije relativnosti Slika 2. Linearna kvadrupolna past za iona 27Al+ in 9Be+ (levo) ter iona 27Al+ in 25Mg+ (desno). Pasti imata pozlačene elektrode, prva iz aluminija, druga iz zlitine bakra in berilija. V drugi sta iona oddaljena 0.4 mm od ostrin. Leta 1953 sta Helmut Steinwedel in Wolfgang Paul predlagala uporabo v kvadrupol razvrščenih podolgovatih elektrod s statičnim in radiofrekvenčnim električnim poljem v masnem spektrometru. Paul je razvil enodimenzionalno in tridimenzionalno past in si leta 1989 s Hansom Dehmeltom delil polovico Nobelove nagrade. – Aluminijeve atome iz izvira ionizira diodni laser pri valovni dolžini 369 nm, magnezijeve atome iz izvira pa barvni laser s podvojeno frekvenco pri valovni dolžini 285 nm [3]. V amerǐskem Državnem inštitutu za standarde in tehnologijo NIST, nek- danjem Državnem uradu za standarde NBS, v Boulderju v zvezni državi Kolorado so v zadnjih letih razvili natančneǰso uro [3], [4]. V njej uporabijo optične prehode osamljenega iona. Ion aluminija 27Al+ ujamejo v linearno kvadrupolno past in ga v njej zadržujejo s statičnim in radiofrekvenčnim poljem (slika 2). Izkoristijo prehod med stanjema 1S0 in 3P0 s frekvenco 1.121 · 1015 s−1 ali valovno dolžino 267.6 nm na ultravijoličnem območju. Aluminijev ion ima dva zunanja elektrona – kot helijev atom. Atom z di- polnim prehodom iz stanja v singletnem delu spektra 1S ne more preiti v stanje v tripletnem delu spektra 3P. Zato je razpadni čas zelo dolg, τ = 20 s, in razpolovna širina ν1/2 = 1/(2πτ) = 8 · 10−3 s−1 zelo majhna. Aluminijev ion nima pripravnega prehoda, ki bi ga bilo mogoče izkori- stiti za lasersko hlajenje. Zato v past poleg aluminijevega iona ujamejo še berilijev ion 9Be+, ki ima tak prehod. Z laserskim curkom ohladijo berilijev ion, ki prek Coulombove sile s sinhronskim hlajenjem ohladi še aluminijev ion. Način je bilo mogoče uporabiti, ko so s stabiliziranimi laserji dosegli manǰso širino črte od 1 s−1. Za relativno nenatančnost frekvence za uro z aluminijevim in berilijevim ionom navajajo 2.3 · 10−17. 11–17 13 i i “Strnad” — 2012/3/23 — 12:29 — page 14 — #4 i i i i i i Janez Strnad Slika 3. Kvantna logična spektroskopija (shematično). Spektroskopski ion 27Al+ opǐsemo z notranjima elektronskima stanjema, osnovnim ψS(0) in vzbujenim ψS(1) in logični ion 9Be+ ali 25Mg+ podobno z osnovnim stanjem ψL(0) in vzbujenim stanjem ψL(1). Gibanje ionov v pasti opǐsemo s stanjema harmoničnega oscila- torja, osnovnim χ(0) in vzbujenim χ(1). S hlajenjem dosežejo začetno stanje ionov ψS(0)ψL(0)χ(0) (A). Prvi sunek laserske svetlobe s frekvenco blizu resonančne frekvence povzroči prehod spektroskopskega iona in prevede iona v sestavljeno stanje (αψS(0) + βψS(1))ψL(0)χ(0) = (αψS(0)χ(0) + βψS(1)χ(0))ψL(0) (B). Pri tem je |α|2 verjetnost, da je spektroskopski ion v osnovnem stanju, in |β|2 = 1− |α|2 verjetnost, da je v vzbujenem stanju. Drugi sunek laserske svetlobe z manǰso frekvenco povzroči prehod spektroskop- skega iona in prevede iona v stanje (αψS(0)χ(0) + βψS(0)χ(1))ψL(0)ψS(0)(αχ(0) + βχ(1))ψL(0) (C). Naposled tretji sunek laserske svetlobe z manǰso frekvenco povzroči pre- hod logičnega iona in prevede iona v stanje ψS(0)χ(0)(αψL +βψL(1)) (D). Tako dosežejo, da stanje spektroskopskega iona preide v stanje logičnega iona z nespremenjenima kon- stantama α in β. Končno sunek laserske svetlobe povzroči fluorescentno sevanje logičnega iona v stanju ψL(0). Frekvenco prvega laserskega curka spreminjajo okoli resonančne frek- vence in s fluorescenco otipajo resonančno krivuljo. S povratno vezjo z akusto-optičnimi modulatorji dosežejo, da je frekvenca čim bliže resonanci. Kvantna logična spektroskopija je pomembna kot osnova kvantnega računanja. Po [5]. Pozneje so izdelali podobno uro z magnezijevim ionom 25Mg+ namesto berilijevega iona. Magnezijev ion ima maso, ki se manj razlikuje od mase aluminijevega iona, zato je sinhronsko hlajenje učinkoviteǰse. Izbolǰsali so še nekaj drugih lastnosti, tako da za relativno nenatančnost frekvence za uro z aluminijevim in magnezijevim ionom navajajo 8.6 · 10−18. Drugi ion, berilijev ali magnezijev, logični ion, ima še drugo vlogo. Med prostima pozitivnima ionoma deluje odbojna sila, iona pa se v polju pasti privlačita. Ta sklopitev, ki jo izkoristijo tudi za hlajenje aluminijevega, spek- troskopskega iona, omogoči, da z obsevanjem ionov s sunki laserske svetobe po premǐsljenem načrtu prek stanja drugega iona ugotovijo stanje alumini- jevega iona. Dokaj zapleteni postopek je znan kot kvantna logična spektro- skopija (slika 3). 14 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Strnad” — 2012/3/23 — 12:29 — page 15 — #5 i i i i i i Nov preizkus posebne teorije relativnosti Slika 4. Točke kažejo izmerjeno relativno spremembo frekvence v odvisnosti od efektivne hitrosti vef . Črtice zaznamujejo efektivno napako pri merjenju te hitrosti. Spremembi hitrosti za 1 m/s ustreza sprememba amplitude nihanja za 3.8 nm [4]. Pri preizkusu so tek ure z aluminijevim in berilijevim ionom primerjali s tekom ure z aluminijevim in magnezijevim ionom. Uri sta bili v različnih laboratorijih. Primerjavo so izvedli po 75 m dolgem svetlobnem vodniku, v katerem so posebej zmanǰsali motnje. Pred tem so v pasti ure z aluminijevim in magnezijevim ionom malo spremenili statično električno polje. Zaradi tega je aluminijev ion zašel malo iz sredǐsča pasti v radiofrekvenčno polje in nihal z njegovo frekvenco νr = 59 MHz. S spreminjanjem statičnega električnega polja so vplivali na amplitudo nihanja iona s0 in s tem na amplitudo hitrosti 2πνrs0 in efektivno hitrost vef = 2πνrs0/ √ 2. Ura z aluminijevim in magnezijevim ionom kaže čas T ′ in ura z aluminijevim in berilijevim ionom čas T . Čas ure T ′ z nihajočim ionom s časom ure T , v kateri ion miruje, veže enačba za podalǰsanje časa: T ′ = T√ 1− v2/c2 = T (1 + 12 v2ef c2 ) . Efektivna hitrost iona je zelo majhna v primeri s svetlobno hitrostjo, zato smo koren razvili v vrsto, upoštevali samo dva člena in kvadrat hitrosti nadomestili s kvadratom efektivne hitrosti. Vzemimo, da povezuje enačba 11–17 15 i i “Strnad” — 2012/3/23 — 12:29 — page 16 — #6 i i i i i i Janez Strnad nihajna časa. Za frekvenci, to je obratni vrednosti nihajnih časov, velja potem enačba: ν ′ = ν(1− 12v 2 ef/c 2). Za relativno razliko frekvenc dobimo:1 ν ′ − ν ν = −12 v2ef c2 . Merjenja so podprla to enačbo (slika 4). Pri tem nismo omenili nekaterih podrobnosti. V nadaljevanju poskusa so spremenili vǐsino ene od ur. To sodi v splo- šno teorijo relativnosti, v kateri je frekvenca ure odvisna od gravitacijskega potenciala φ [6]: ν ′ = ν ( 1 + φ′ − φ c2 ) = ν ( 1 + gh c2 ) . Pri tem smo upoštevali, da je v majhni vǐsinski razliki v bližini Zemlje razlika gravitacijskih potencialov φ′ − φ = gh s težnim pospeškom g in vǐsinsko razliko h. Z laserskim merilnikom vǐsine so ugotovili, da je ura z aluminijevim in magnezijevim ionom 17 cm pod uro z aluminijevim in berilijevim ionom. V tem položaju so merili frekvenco ν skoraj 28 ur. Potem so uro z aluminijevim in magnezijevim ionom dvignili za 33 cm in merili frekvenco ν ′ 11 ur. Za relativno razliko frekvenc so dobili (ν ′ − ν)/ν = (4.1± 1.6) · 10−17 (slika 5). Iz tega izračunamo po zapisani enačbi vǐsinsko razliko (37± 15) cm, kar se zadovoljivo ujema s 33 cm. Merjenje te vrste bi lahko postalo koristno v geologiji in hidrologiji, če bi uspelo še nekoliko povečati natančnost. Tedaj bi bilo mogoče narediti mrežo merilnih postaj, ki bi natanko opredelile geoid in odmike od njega. Veliko natančneǰsi preizkus posebne teorije relativnosti so naredili z ioni litija 7Li+ leta 2007. Ioni so krožili v nakopičevalnem obroču in so jih uporabili kot gibajoče se optične ure [7]. Pri hitrosti ionov 0.03c in 0.064c se je izid na 8.4 · 10−8 natančno ujemal z napovedjo teorije. Opisani preizkus je bil manj natančen, a je pokazal, kako posebna in splošna teorija relativnosti sežeta do vsakdanjih hitrosti in vǐsinskih razlik. Izvedba poskusa pa je zahtevala zapletene merilne naprave in postopke. Ob tem se spomnimo preizkusa, ki sta ga leta 1960 izvedla R. V. Po- und in G. A. Rebka z brezodrivnim sevanjem γ pri Mössbauerjevem pojavu. 1Lahko bi ubrali bližnjico. V splošnem velja za Dopplerjev pojav enačba: ν′ = ν(1 − v cosϕ/c)/ √ 1− v2/c2, v kateri je ϕ kot med zveznico ionov in smerjo valovanja. Enačbo razvijemo v vrsto do kvadratnih členov ν′ = ν(1 − v cosϕ/c)(1 + 1 2 v2/c2) in povprečimo po hitrosti. Ne glede na kot ϕ dobimo ν′ = ν(1 + 1 2 v2ef/c 2), ker je za harmonično nihanje v = 0. 16 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Strnad” — 2012/3/23 — 12:29 — page 17 — #7 i i i i i i Nov preizkus posebne teorije relativnosti Slika 5. Točke kažejo izmerjeno relativno spremembo frekvence v odvisnosti od vǐsine h ure z aluminijevim in magnezijevim ionom. Prvih 14 meritev ustreza prvotni vǐsini te ure, nadaljnja merjenja pa v 33 cm večji vǐsini. Izmerjena povprečna relativna sprememba frekvence je (ν′ − ν)/ν = (4.1± 1.6) · 10−17, izračunana pa gh/c2 = 3.6 · 10−17 [4]. Pri tem sta spreminjala temperaturo absorberja in s tem kvadrat efektivne hitrosti nihajočih atomov železa. Namesto tega kvadrata se je v enačbi pojavila temperaturna razlika. Za odvisnost relativne frekvence od tempe- rature sta dobila podobno krivuljo, kot jo kaže slika 4 [8]. Primerjava med člankoma razkrije, kako se je merilna tehnika razvila v petdesetih letih. LITERATURA [1] J. B. Goss Levi, Relativistic effects seen at everyday distances and speeds, Phys. Today 63 (2010), 16 (11). [2] C. Bergquist, S. R. Jefferts in D. J. Wineland, Time measurement at the millennium, Phys. Today 54 (2001), 37 (3). [3] C. W. Chou, D. B. Hume, J. C. J. Koelemeij, D. J. Wineland in T. Rosenband, Frequency comparison of two high-accuracy Al+ optical clocks, Phys. Rev. Letters 104 (2010), 070802. [4] C. W. Chou, D. B. Hume, T. Rosenband in D. J. Wineland, Optical clocks and rela- tivity, Science 329 (2010), 1630. [5] P. O. Schmidt, T. Rosenband, C. Langer, W. M. Itano, J. C. Berquist in D. J. Wine- land, Spectroscopy using quantum logic, Science 309 (2005), 749. [6] J. Strnad, Razvoj fizike, DZS, Ljubljana 1996, str. 319. [7] S. Reinhardt, G. Saathoff, H. Buhr, L. A. Carlson, A. Wolf, D. Schwalm, S. Karpuk, Ch. Novotny, G. Huber, M. Zimmermann, R. Holzwarth, T. Udem, T. W. Hänsch in G. Gwinner, Test of relativistic time dilation with fast optical atomic clocks at different velocities, Nature Physics 3 (2007), 861. [8] J. Strnad, Paradoks ur v teoriji relativnosti, Obzornik mat. fiz. 9 (1962), 128. 11–17 17 i i “Prelog” — 2012/3/20 — 8:26 — page 18 — #1 i i i i i i ŠOLA ODZIV NA DVA PRISPEVKA O POUČEVANJU IZ 5. ŠTEVILKE OBZORNIKA PETER PRELOG V 5. številki Obzornika 2011 sta izšla dva članka (Babič, Zabret) o slabem stanju v našem šolstvu. Ker se to dogaja hkrati z zanesljivimi znaki svetovne krize, ki bo majhno državo, kot je Slovenija, zagotovo močno prizadela in s tem še dodatno materialno negativno vplivala tudi na šolstvo, me je začudilo to, da v 6. številki Obzornika ni bilo na ta članka nobenega odmeva. Ko je v Delu nekdo pisal svojevoljne trditve o meritvah svetlobne hi- trosti, se je hitro odzval Tomaž Podobnik s FMF, ki se je kot strokovnjak (fizik) čutil DOLŽNEGA (ljudem, bralcem) stvari postaviti na pravo me- sto. Tudi naša avtorja sta začutila potrebo, dolžnost, opozarjati javnost; zakaj sedaj ni strokovnega odziva? Imam neprijeten občutek, da pri nas ni strokovnjakov, ki bi SE ČUTILI DOLŽNE (ljudem, staršem, učencem, uči- teljem, . . . ) V ŠOLI karkoli postavljati na pravo mesto. Pri tem ne mislim na ministra za šolstvo z njegovim birokratskim aparatom vred – ta je trenu- tno tako in tako omrtvičen – ki pa tudi sicer ne more dajati idejnih rešitev, lahko jih samo izvršuje. Ideje za smiselno šolstvo lahko prihajajo od vsepo- vsod in jih je treba tudi resno upoštevati – toda najgloblje in najpametneǰse rešitve vendar pričakujemo od strokovnjakov za šolo, od tistih v vrtcu, prek osnovnih, srednjih šol, fakultet do inštitutov, do učiteljev, ki učijo učitelje. Kje so, ne berejo Obzornika? Ne ”vidijo“ šolstva? Je tudi že učiteljem vse- eno, kaj se dogaja? Že sporočilo, da naš maturant ”nima pojma“, kaj je kocka, sproža obilo vprašanj: kako je mogoča pred maturo taka miselnost, tak način pogovora s profesorico, da ne omenim še (ne)znanja, . . . Iz Babi- čevega članka se vidi, da je zaradi prenapihnjenosti našega pomaturitetnega šolstva zelo verjetno, da bo ta kandidat prej ali slej končal tudi fakulteto in celo doktoriral (si bo pač disertacijo od nekod dal prepisati), direktor lekarn bo še vedno lahko, če je ”sposoben za to“, čeprav ”nima pojma“, kaj je kocka. Učence, ki ”nimajo pojma“, je nesmiselno ocenjevati, izpraševati na iz- pitih, maturi, jim dajati spričevala. Če je takih preveč, je nesmiselno šolsko ocenjevanje na sploh. In če ni ocen, zakaj potem sploh hoditi v šolo? Zato, 18 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Prelog” — 2012/3/20 — 8:26 — page 19 — #2 i i i i i i Odziv na dva prispevka o poučevanju iz 5. številke Obzornika da bi nabirali znanje in našli svoj bodoči poklic? Si s tem znanjem zago- tovili zaposlitev in materialno podlago za svoje življenje, za življenje svoje bodoče družine? Toda to so zaprašeni starinski ideali, ki ne veljajo več in mladim nič ne pomenijo, zanje so odločilna stalǐsča njihovega najstnǐskega okolja, ki je do kakršnegakoli šolskega prizadevanja odklonilno. Vprašanje – ”se grebeš za ocene?“ – lahko deaktivira tudi najsposobneǰsega učenca, za manj sposobne pa je pravi blagoslov za nedelavnost. Seveda bodo kljub temu vsi še naprej hodili v šolo, na študij, tam je njihova druščina – učiti pa se tako in tako ni treba, saj lahko vedno odgovorǐs ”nimam pojma“! Toda tudi odrasli prepogosto odrekajo šoli vzgojno in izobraževalno vre- dnost. Vse šole, od vrtcev naprej, so po njihovo predvsem varstvene usta- nove za cele generacije mladih ljudi, da v času doraščanja ne delajo preveč zgage, da so pod kontrolo. Ta zamisel se pa že krha, dopoldne srečamo v mestu in v lokalih trume šolarjev, ki ”so takrat v šoli“ – kar je zanesljivo zna- menje, da ta kontrolni sistem razpada. Šola razpada! Seveda je šolstvo kljub temu koristno, v šolstvu in ob njem je zaposlenih ogromno ljudi in vsi zaslu- žijo: od študentskih servisov (ki potem s tem denarjem, ki so ga ”prigarali“, kupujejo Bellevue, podjetja, itd. . . . ), gradbenih podjetij, ki gradijo vedno nove šole in popravljajo tiste, ki so jih že prej zgradili, . . . do zaposlenih v šolskih ustanovah, tam celo učitelji zaslužijo plače. Tudi med profesorji niso priljubljeni tisti kolegi, ki dajejo dosti slabih ocen, s tem odvračajo šolarje od vpisa na to šolo in s tem ogrožajo ”delovna mesta“. – Šolarji in njihovo znanje postajata postranski zadevi (”v šoli se tako in tako nič ne naučijo“), nagrajujemo in razveseljujemo jih s priznanji in spričevali, od pikapolonic v vrtcih in maturitetnih spričeval do doktoratov. Organiziramo izlete in čuuudovite maturantske plese! Ali ni vse to imenitno? Seveda pa vzdrževanje takega stanja (državo in nas) nekaj stane, ”znanje ni zastonj“! To je posplošena, šablonska slika šolstva, morda pa je v njej nekaj vzpod- bude za razmǐsljanje! Šolski strokovnjaki, tisti, ki mislite, da imate kaj povedati: postavite stvari na pravo mesto, če to zmorete, primerjajte z de- janskim stanjem, pokažite smeri možnih izbolǰsav! Nakažite jasne smeri izobraževanja novih, modernih učiteljev – saj bodo predvsem oni zmožni uvajati spremembe v šolstvo! Sedanje učitelje na novo motivirajte, da ne bodo hodili v službo samo še zaradi plače in počitnic! O ”pedagoškem erosu“ pa raje ne pǐsite, da tega ne prebere kakšna besna supernapredna mamica in pridrvi z advokati in nas (barabe pokvarjene!) vse spravi na TV, v cajtenge in v arest! 18–19 19 i i “Nekrolog” — 2012/3/20 — 14:00 — page 20 — #1 i i i i i i VESTI JOŽE ANDREJ ČIBEJ, MATEMATIK IN EKONOMIST (1953–2011) Malo slovenskih matematikov je zapustilo za seboj tako obsežno delo na toliko različnih področjih (v matematiki, ekonomiji, bančnǐstvu) kot Jože Andrej Čibej, ki nas je zapustil konec preǰsnjega leta. V spominu vseh, ki smo ga poznali in z njim sodelovali, ne bo ostal le kot dober strokovnjak in plodovit pisec, temveč tudi kot izjemen predavatelj, duhovit sogovornik, zanesljiv sodelavec in čudovit prijatelj, pronicljiv kritik ter vsestransko raz- gledan pokončen mož. Za njim ostaja bogata bibliografija z malo manj kot sedemsto naslovi. Med temi je okoli štirideset izvirnih znanstvenih člankov, več kot deset preglednih znanstvenih člankov, prek sto strokovnih člankov s področja fi- nančne matematike in ekonomije, več monografij ter več priročnikov, zlasti s področja bančnǐstva. Posebej naj omenim še njegovo knjižico Kako banke računajo obresti ; prav v letu 2011 jo je osvežil in izdal pod naslovom Kako računati obresti. Nepozaben pečat so zapustila tudi njegova razumljiva in duhovita stro- kovna predavanja za srednješolske in osnovnošolske profesorje matematike. Precej obsežen je njegov opus učbenikov in študijskih gradiv za matema- tiko za srednje in visoke šole. Med njimi naj izpostavim učbenika za gi- mnazije Matematika. Kombinatorika in Matematika. Verjetnostni račun in statistika, ki sta oba doživela veliko ponatisov in predelav. Prav v zadnjih dneh svojega življenja je končal še učbenik Matematika za poslovno rabo 1. del. Omeniti velja tudi njegove številne članke v različnih strokovnih revijah: Bančni vestnik, Ekonomska revija, Revizor, Naše gospodarstvo, Obzornik za matematiko in fiziko, Denar, Finance, Presek in prispevke v časopisu Delo. Posebno izstopajo njegove mesečne kolumne, ki jih je objavljal konec devetdesetih let v Mladini in v njih duhovito komentiral aktualne družbe- nopolitične dogodke. V mlaǰsih letih je bil Jože Andrej Čibej član ljubiteljskega gledalǐsča v Trbovljah, igralec, režiser in pisec. Za to svoje delo je leta 1999 prejel prizna- nje Tončke Čeč. Iz vse njegove bogate pisne zapuščine veje njegova ljubezen do slovenskega jezika, ki se kaže v njegovem izjemno bogatem besednem zakladu, natančnosti in doslednosti. Milena Strnad 20 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “LegisaPeter” — 2012/3/23 — 12:31 — page 21 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Hal Hellman, Great Feuds in Mathematics, Ten of the Liveliest Disputes Ever, John Wiley & Sons, 2006, 250 str. Avtor je pred tem izdal tri knjige o ve- likih sporih: v medicini, naravoslovju in tehniki. Vse so doživele ugoden sprejem, in tako je založba Wiley pre- dlagala, da napǐse še knjigo o velikih sporih v matematiki. Hellman nad tem ni bil navdušen. Kot pravi, je poslušal nekaj matematičnih predme- tov v okviru magistrskega študija fi- zike, vendar je bilo to že davno. Pred- vsem pa ni poznal zgodovine matema- tike. Matematiko je imel za hladno, logično stroko, kjer nesporazume re- šujejo objektivno in dokončno. Dru- gače od politike, religije in celo naravo- slovja naj v matematiki ne bi bilo pro- stora za čustva in občutljivost. Kako bi lahko obstajali spori v matematiki? Sčasoma pa je spremenil svoje mnenje in ugotovil, da tudi v matematiki sporov ne manjka. Ta uvod me je malce prestrašil, tako da sem se že spraševal, ali je bilo pametno kupiti to knjigo. Na srečo avtor navaja, da se je posvetoval z več matematiki, s strokovnjaki za zgodovino matematike, brskal po knjižnicah in celo pregledal nekatera originalna dela ali pa si dal prevesti odlomke. Recenziji knjige v Zentralblatt in Math Reviews in ocena, ki jo je napisal poklicni matematik na www.amazon.com, so ugodne, čeprav opozarjajo, da je v njej nekaj spodrsljajev. Eden od recenzentov, zgodovinar matematike, pravi, da so viri ponekod zastareli. Dejstvo je, da avtor ponekod – s pridržki – citira E. T. Bella, čigar že več kot šestdeset let stare in zelo popularne zgodbe o matematikih so pogosto močno prepojene z domǐsljijo. Knjiga vsebuje veliko citatov, tako originalnih del kot komentarjev matematikov in zgodovinarjev. Formul je malo: avtor je očitno skušal pisati za širšo publiko. Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 21 i i “LegisaPeter” — 2012/3/23 — 12:31 — page 22 — #2 i i i i i i Nove knjige Vsekakor pa je avtor dober pripovedovalec in se je dela lotil profesionalno. Prvi spor je: Tartaglia proti Cardanu. Enačbo x3 + ax = b je prvi rešil Scipione del Ferro, nekje med 1510 in 1515, vendar rezultata ni objavil. Kasneje je Tartaglia neodvisno prǐsel do rešitve, tudi bolj splošnih kubičnih enačb. Girolamo Cardano je iz Tartaglie izvlekel nekaj podatkov o tej re- šitvi – ni jasno, koliko, saj je bil Tartaglia zelo nezaupljiv – in obdelal vse možne rešitve ter povedal, da ima kubična enačba tri korene, ki so lahko tudi kompleksni. Cardano je imel kasneje dostop do zapuščine Scipia del Ferra in je v knjigi Ars Magna, izdani leta 1545 (ki je vsebovala rešitev ku- bične enačbe) jasno priznal zasluge tako njemu kot Tartagli. Tartaglia je bil vseeno ogorčen in je na smrt zasovražil Cardana. Cardano je bil vsestran- ski in izredno ustvarjalen človek: zdravnik, izumitelj kardanskega zgloba (ki se imenuje po njem), izumitelj odlične kriptografske metode (Cardanova rešetka), avtor prve knjige o verjetnosti: De Ludo Aleae (O igri s kocko). Žal je bil tudi praznoveren in se je ukvarjal z astrologijo. To je izkoristil Tartaglia, ki je leta zbiral obremenilno gradivo, in ga je prijavil inkviziciji. Cardanov lastni sin Aldo je povedal, kje lahko primejo očeta. (Zgodba o Cardanovih potomcih je prava nočna mora.) Tako je Cardano več mesecev preživel v ječi, iz katere ga je rešil nadškof Hamilton. V naslednjem sporu srečamo Descartesa in Fermata. Oba veljata za začetnika analitične geometrije, oba sta, vsak po svoje, izpeljala lomni zakon. Eden od Descartesovih sovražnikov je dobil – brez avtorjevega dovo- ljenja – rokopis njegove Razprave o Metodi in ga dajal naokrog. Dobil ga je tudi Fermat, ki mu ni bila všeč Descartesova izpeljava lomnega zakona. Fer- mat je, drugače od Descartesa, pravilno domneval, da je hitrost svetlobe v steklu ali vodi manǰsa od hitrosti v zraku. Lomni zakon je izpeljal iz načela, da svetloba za prehod iz točke v enem mediju do točke v drugem mediju porabi najmanj časa. Napisal je kritiko Descartesove optike, ne da bi vedel, da je rokopis potoval naokrog brez dovoljenja avtorja. Prav tako mu ni bilo znano, da je Descartes v nekem drugem rokopisu napisal obširneǰso razlago lomnega zakona, a je objavo zadržal, ko je zvedel, kako je inkvizicija privila Galilea. Descartesa je Fermatova kritika razbesnela. Izjavil je, da Ferma- tov ugled temelji na tem, da je parkrat imel srečo pri uganjevanju. (Tudi sicer je bil Descartes precej vzvǐsen in ohol in je podcenjeval dosežke svojih sodobnikov.) Fermat je bil začetnik matematične analize: znal je določati tangente na krivulje, maksime in minime. Descartes pomena in potenciala 22 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “LegisaPeter” — 2012/3/23 — 12:31 — page 23 — #3 i i i i i i Great Feuds in Mathematics Fermatovega dela ni razumel ali hotel razumeti in se je iz Fermata norčeval kot ” gospoda vašega Svetovalca de Maximis et Minimis“. Fermat je bil v polemiki, kot zelo sposoben pravnik, zadržan in subtilen. Descartes je postal slaven in vpliven predvsem zaradi svoje filozofije, ki je pomenila nov pogled na svet. Fermat je ostal bolj v ozadju in se je kasneje preusmeril v algebro in teorijo števil, ki pa sodobnikov ni pretirano zanimala. Teplo ga je tudi dejstvo, da praktično ni objavljal. Rezultate je sporočal v pismih prijateljem, izjemoma je dal od sebe tudi kak rokopis. Fermat je večje priznanje dobil šele po smrti. Tretji spor je Newton proti Leibnizu. Ta spor je znan in se je vlekel stoletja. Leibniz je prvi objavil razpravo o diferencialnem in integralskem računu (1684). Newton je že precej pred tem imel rokopis o uporabi neskonč- nih vrst. Nekatere druge Newtonove rezultate o infinitezimalnem računu pa je objavil šele John Wallis v letih 1693–95. Dejstvo je, da je Leibniz leta 1676 prosil Newtona za podatke o zvezi med neskončnimi vrstami in raču- nanjem ploščin, a je dobil vljudne odgovore, ki so se le dotikali vprašanj. So pa govorili o tem, da obstajajo učinkovite metode za računanje ploščin. Newton same metode ni razkril oziroma jo je skril v anagram (nekakšen rebus). Sprva je kazalo, da se je Newton sprijaznil z dejstvom, da ga je Leibniz prehitel z objavo. Leta 1696 je Johann Bernoulli postavil ” najbi- streǰsim svetovnim matematikom“ problem brahistohrone, se pravi krivulje, po kateri masna točka pod vplivom težnosti najhitreje pride iz ene dane točke v drugo nižje ležečo (ki pa ne leži natančno pod prvo). Newton je bil eden tistih, ki so pokazali, da je rešitev lok cikloide. Leibniz je leta 1699 komentiral rešitve in jih predstavil kot uporabo svoje metode. To je pov- zročilo ogenj v strehi v Angliji. Švicarski matematik Duillier, priseljenec v Angliji in Newtonov prijatelj, je ostro napadel Leibniza in zapisal, da je Newton prvi odkritelj infinitezimalnega računa. Od tu naprej se je spor le še zaostroval in obe strani nista bili posebno izbirčni pri uporabi sredstev. Za- nimivo je, da Newton v sporu sprva neposredno ni sodeloval. Po Leibnizevi smrti pa sta se – podobno kot po smrti drugega Newtonovega zoprnika, Ro- berta Hooka, pokazala ves bes in maščevalnost velikega znanstvenika. Res je, da je Newton po Leibnizevi smrti priredil nekatera dejstva in datume v svojo korist. V tretji izdaji monumentalnega dela Principia pa je izbrisal vse reference o Leibnizu, češ da drugi izumitelj ne zasluži objave. Četrta serija sporov je v družini Bernoulli. Najprej sta tu brata: Jakob in Johann Bernoulli. Oba sta bila sprva tesno za petami Leibnizu, po- Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 23 i i “LegisaPeter” — 2012/3/23 — 12:31 — page 24 — #4 i i i i i i Nove knjige tem pa sta se osamosvojila in v medsebojnem tekmovanju ter ljubosumnosti prǐsla do vrhunskih dosežkov. Slabi odnosi so trajali še po smrti. Jakob je zapustil rokopis odlične monografije o verjetnosti: Ars Conjectandi (Ume- tnost ugibanja). V njej najdemo ” Bernoullijevo“ zaporedje poskusov in s tem povezane formule. Jakobova vdova ni pustila, da bi rokopis izdal Jo- hann; to je osem let kasneje naredil Johannov sin Nicholas. Johann Bernoulli je za velik honorar bogatega francoskega markiza L’Hospitala v Parizu osebno poučeval infinitezimalni račun in kasneje na- daljeval s tem poukom v pismih. Prejemnik pa je iz teh pisem naredil prvi učbenik analize Analyse des infinement petits (1696), ki je bil izredno uspe- šen in je preživel oba matematika. Kot so zdaj ugotovili, učbenik v celoti sloni na Bernoullijevih pismih; so pa v njem odpravljene nekatere Berno- ullijeve napake. Bernoulli je bil ob objavi knjige sprva tiho, kasneje pa se je pritoževal. V spor je prǐsel tudi z angleškim matematikom Brookom Taylorjem. Johann Bernoulli je kasneje postal ljubosumen na svojega sina Daniela. Leta 1734 je moral z njim deliti nagrado parǐske Akademije znanosti. To ga je tako razbesnelo, da je Danielu prepovedal dostop v svojo hǐso v Baslu. Daniel je kasneje postajal vse bolj slaven na področju dinamike tekočin. Odkril je – kot zdaj pravimo – Bernoullijev zakon v hidrodinamiki. Johannu se je nekako posrečilo prehiteti sina z objavo knjige o dinamiki tekočin. Daniel se je pritoževal, da ga je oče oropal sadov desetletnega dela. Vseeno je moral Johann gledati, kako je sinova in ne njegova knjiga postala standardno delo na tem področju. Peti spor je Sylvester proti Huxleyu. Thomas Henry Huxley, rojen leta 1825, je hodil do 10. leta v šolo, ki naj bi bila ena najbolǰsih tovrstnih zasebnih ustanov v Angliji; njegov oče pa je tam učil matematiko. Huxley je nadvse sovražil to šolo. Kot je sam dejal, šoli ni bilo mar za moralni in inte- lektualni razvoj. Tako se je med učenci razvil boj za obstanek, v katerem je bilo po njegovem nasilnǐstvo še najmanǰse zlo. Verjetno se je tu razvil njegov bojeviti in polemični značaj. (Mimogrede, do nedavnega je bilo v angleških zasebnih šolah nasilnǐstvo precej razširjeno in ponekod celo institucionalizi- rano. Ko je laburistična vlada Tonyja Blaira tovrstne običaje prepovedala, je bil v enem od angleških uglednih časopisov objavljen urednǐski komentar, ki je to obžaloval, češ da nasilnǐstvo ” gradi značaj“.) Huxley je postal eden od vodilnih naravoslovcev, s članki o zoologiji nevretenčarjev, geologiji in antropologiji. Huxley je znan predvsem kot ” Darwinov buldog“. Z veseljem 24 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “LegisaPeter” — 2012/3/23 — 12:31 — page 25 — #5 i i i i i i Great Feuds in Mathematics je namreč prevzel nalogo, da polemizira z nasprotniki evolucijske teorije. Ob populariziranju empirične znanosti se je večkrat obregnil ob matematiko. Ta naj bi se ukvarjala le še z dedukcijo in dokazovanjem. Napadel je tudi fizika Williama Thomsona (lorda Kelvina) in njegove matematične izračune. Ta je namreč sklepal z uporabo enačbe za prevajanje toplote, da Zemlja ne more biti stareǰsa od 400 milijonov let. To je bil takrat videti prekratek čas za evolucijo obstoječe biološke pestrosti. Huxley in nekateri sodobniki so, če nekoliko poenostavim, verjeli, da se geološke razmere na Zemlji niso bistveno spreminjale. Obe stalǐsči sta bili, kot vemo danes, napačni. Stalno obregovanje Huxleya ob matematiko je spodbudilo del angleških matema- tikov, da poǐsčejo nekoga, ki bi odgovoril na te napade. Izbrali so Jamesa Josepha Sylvestra, ki je bil tudi sam zelo bojevit. Sylvester je v govoru, ki je bil pozneje objavljen, poudaril, da tudi matematika pogosto sloni na opa- zovanjih, izzivih iz naravoslovja in podobno. S tem se je ta zgodba nekako končala, saj Huxley, ki ni bil osebno izzvan, ni odgovarjal. Naslednja spora sta: Kronecker proti Cantorju, Borel proti Zer- melu. (Na str. 146 imamo spodrsljaj: ” So when Zermelo’s proof of the axiom of choice appeared in Mathematische Annalen in 1904 . . .“ Tudi de- finicija dobro urejene množice ni pravilna.) Borelu aksiom izbire ni bil všeč. Osmi spor je Poincaré proti Russellu. Francoski matematik ni bil nav- dušen nad študijem neskončnosti in logicizmom. Ob branju Russellovih paradoksov je – nekoliko zlonamerno – vzkliknil: ” Logicizem ni več sterilen: poraja protislovja!“ Deveti spor je: David Hilbert proti L. E. J. Brouwerju, formalizem proti intuicionizmu. Spor je šel tako daleč, da je Hilbert, eden od štirih glavnih urednikov revije Mathematische Annalen, s soglasjem dveh drugih glavnih urednikov odstavil pomožnega urednika Brouwerja. Einstein, četrti glavni urednik, se v sporu ni hotel opredeljevati in se je iz celotne epizode norčeval, češ da gre za ” vojno žab in mǐsi“. V tem spopadu je Brouwer odgovoril s hudimi žalitvami. Zadnje poglavje nosi naslov: Platonisti proti konstruktivistom in ima mnogo citatov. Nekaj besed je namenjenih tudi sporom glede pouka matematike. Kot rečeno, je knjiga zanimivo branje. Druga polovica je zaradi pou- darka na osnovah zanimiva tudi za filozofsko usmerjene ljudi. Na internetu sem videl, da jo ponekod v tem smislu uporabljajo celo kot pomožni učbenik. Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 25 i i “Legisa” — 2012/3/20 — 14:02 — page 26 — #1 i i i i i i Kevin Poulsen, Kingpin: how one hacker took over the billion- dollar cybercrime underground, Crown Publishers, New York 2011, 266 str. Knjiga opisuje kariero ame- rǐskega računalnǐskega stro- kovnjaka Maxa Butlerja, ro- jenega leta 1972, ki je ka- sneje spremenil svoje ime v Max Vision. Njegova for- malna izobrazba se je končala po enem letu univerze. Vse- eno je postal ekspert za vdore v računalnǐske sisteme. Po- skusi prijateljev, varnostnih služb in podjetij, da bi nje- gove talente izkoristili v do- bre namene, so bili le polo- vično uspešni, saj mu žilica ni dala, da ne bi ob testiranju računalnǐske varnosti posku- šal narediti še kaka skrivna vratca za nadaljnje vstope in izkorǐsčanje tujih računalni- kov v svoje namene. Že v mladosti je prihajal navzkriž z zakonom, sprva zaradi vandalizma in nasilnǐstva. Ker ni resno jemal opozoril in se ni hotel pogajati z oblastmi, mu je to prineslo več let zapora in konec študija na univerzi. Kasneje je vdrl v računalnǐske sisteme vojaškega letalstva ZDA. Oblasti so mu bile pripravljene pogledati skozi prste, če bi sodeloval z njimi. Vendar ni hotel sodelovati v lovu na druge hekerje. Svoje so naredila tudi stalǐsča neke liberalne odvetnice. Ta je hekerjem na njihovem srečanju sve- tovala, naj ne sodelujejo z oblastmi brez pomoči advokata. Tako je bilo sodelovanja s FBI definitivno konec in se je znova znašel v zaporu. Po iz- pustu so mu kljub vsemu dobri ljudje naročili, naj testira varnostni sistem 26 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Legisa” — 2012/3/20 — 14:02 — page 27 — #2 i i i i i i Kingpin nekega podjetja. Po neuspešnem direktnem napadu je vdrl v osebni raču- nalnik nekega uslužbenca in z ukradenimi podatki končno le prǐsel v sistem. Problem je bil, da je s tem spet presegel svoja pooblastila. Tako je vse teže našel službo in s pomočjo ljudi, ki jih je spoznal v zaporu, je zdrsnil v svet kriminala. Z avtomatiziranim pregledovanjem, z izkorǐsčanjem lukenj v Internet Explorerju, je našel ranljive računalnike v podjetjih in restavra- cijah in iz njih pobiral podatke o kreditnih karticah, ki jih je posredoval svojemu kompanjonu. Ta je izdeloval kopije kartic. Delo zločincem olaǰsuje trmoglavost amerǐskih bank, ki zaradi enkratnih visokih stroškov nočejo za- menjati zastarelega sistema kreditnih kartic z magnetnim trakom. Podatke z magnetnega traku je mogoče z majhnim skenerjem posneti tudi fizično v nekaj sekundah. Knjiga opisuje, kako je (bilo?) v ZDA mogoče nabaviti vso opremo za ponarejanje kartic. Samo v eni restavraciji je našel podatke o petdeset tisoč karticah. Delo so mu olaǰsali nekateri ponudniki informacijskih sistemov, ki so interna omrežja priredili tako, da so za vzdrževanje lahko vanje vstopali na daljavo, te vhode pa so slabo zaščitili. Tudi sicer mnoga podjetja, npr. Amazon, hranijo podatke o kreditnih karticah. To naj bi olaǰsalo naročanje, pomeni pa tudi tveganje. (Verjetno je to eden od razlogov, da morate recimo pri American Expressu za nakup v Amazonu dobiti poprej odobritev.) Max Butler se je vključil v ekskluzivne kriminalne forume na omrežju. Tu udeleženci, skriti za psevdonimi, izmenjujejo izkušnje, novosti, kupujejo in prodajajo naslove in številke bančnih računov, kartic, PIN-e, opremo za ponarejanje ipd. Ti forumi ne poznajo meja. Sam je tu prodajal podatke in obenem vdiral v računalnike drugim nepridipravom in jim kradel infor- macije. Infiltriral se je v bančne sisteme tako, da je uslužbencem poslal osebna sporočila, v katerih je napisal, da so omenjeni v članku v reviji. Od petsto uslužbencev neke banke jih je četrtina kliknila na povezavo na ta neobstoječi članek in mu s tem odprla vrata. Butler je zelo rad vdiral v računalnike čez Wi-Fi omrežja – s 60 centimetrsko parabolično anteno iz najete sobe v kaki visoki zgradbi. Podnaslov te knjige omenja enega od njegovih največjih podvigov – so- Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 27 i i “Legisa” — 2012/3/20 — 14:02 — page 28 — #3 i i i i i i Nove knjige vražni prevzem več kriminalnih forumov. To se mu je posrečilo, ker večina teh forumov ni imela varnostnih kopij. Zbrisal je njihovo vsebino, udeležence pa vključil v omrežje, ki ga je sam kontroliral. Dolgo časa je uporabljal stre- žnik nekega ponudnika informacijskih storitev na Floridi – ne da bi ta za to vedel. Knjigo je težko odložiti. Uspehi in neuspehi represivnih služb pri za- sledovanju glavnega akterja in drugih nepridipravov, vojne in spopadi med zlikovci samimi so zelo napeto branje, (čeprav ni streljanja, divjih zasle- dovanj in nasilje nastopa le na nekaj straneh.) Eden večjih problemov za predstavnike zakona so bili računalniki s kriptozaščito, ki je, kot vemo, lep primer uporabe teorije števil in algebraične geometrije. Glavni akter knjige je uporabljal izraelski DriveCrypt, ki ga je stal 60 USD. (Podoben program je Pretty Good Privacy.) Prav zaradi tega so leta 2007 v sobo Maxa Butlerja vdrli ob dveh zjutraj, ko je dremal, tako da ni mogel ugasniti računalnikov. Po dveh tednih se je vladnim strokovnjakom v kopiji RAM-a (hitrega spo- mina) posrečilo najti geslo. Max Vision (Butler) je bil leta 2009 obsojen na 13 let zapora in povrnitev 27 milijonov dolarjev škode (kar ne bo mogel po- plačati, saj je bil njegov dobiček le majhen delež te vsote, pa še ta denar je bolj ali manj sproti zapravil). Celotna škoda, ki jo je povzročil, je trikratni znesek te vsote. Menda bi zdaj rad doštudiral matematiko ali fiziko. Avtor knjige Kevin Poulsen je sam odsedel nekaj časa v zaporu zaradi vdiranja v računalnike. Zato morda glavnega akterja opisuje nekoliko olep- šano. Sem in tja najdemo tudi kako nedoslednost. Tako knjiga precejkrat opisuje prenose denarja čez ” e-gold“, opis te problematične ” računalnǐske va- lute“, osnovane na rezervah v zlatu, pa je šele v drugi polovici knjige. Sam vsega tehničnega žargona nisem razumel. Večino stvari bi si gotovo lahko pojasnil s kratkim pogledom v Wikipedijo. Glavni obrisi tehnik vdorov in druge zločinske aktivnosti pa so tako dobro opisani, da človek brez težav preskoči nekatere podrobnosti. Knjigo priporočam tudi kot poučno branje, ki vam morda lahko prihrani kako nevšečnost pri uporabi interneta. Peter Legǐsa http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ 28 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Strnad” — 2012/3/20 — 14:02 — page 29 — #1 i i i i i i Andrej Čadež, Teorija gravitacije, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana 2011, 243 strani. Čadeževa Teorija gravitacije se uvršča med najtehtneǰsa dela iz teoretične fizike v slo- venščini. Bralcu odpira izre- dno zahtevno področje med teorijo polja, posebno teorijo relativnosti in splošno teo- rijo relativnosti. V glavnih potezah sledi zgodovinskemu razvoju, a podaja moderno sintezo področja in seže do najnoveǰsih znanstvenih spo- znanj. Nastala je po predava- njih, ki jih je avtor uvedel na Oddelku za fiziko in je pre- izkušena pri delu s študenti. Posrečene so naloge med be- sedilom, ki vabijo bralca, da sproti preizkuša svoje znanje. Vsebino Teorije gravitacije je mogoče razdeliti na tri dele. V prvem delu Uvodu sledijo poglavja Newtonov zakon gibanja in njegove simetrije, Gali- lejeve in Lorentzeve transformacije ter Specialna relativnost in Sile. Drugi, osrednji del zajema poglavja Umeritvena invariantnost gravitacijske teorije ter Enačbe gravitacijskega polja in napetostni tenzor in Ilustracije. Slednje obdelajo napetostni tenzor za idealni plin, vrtilno količino ter elektroma- gnetno in gravitacijsko polje. Poglavjema Gibanje planeta okoli Sonca in Gibanje svetlobe v gravitacijskem polju Sonca sledi v tretjem delu obsežno poglavje Orodja v n-razsežnih prostorih. Na koncu so poglavja Einsteinove enačbe in foliacija prostor-časa ter še Gravitacijsko polje statične sferno simetrične masne porazdelitve in Schwarzschildova črna luknja. Dodan je Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 29 i i “Strnad” — 2012/3/20 — 14:02 — page 30 — #2 i i i i i i Nove knjige seznam pulzarjev v dvojnih sistemih ter seznam literature in posebej tujih učbenikov. V prvem delu podaja avtor z orodji analitične mehanike osnove teorije polja. Sledi teoriji elektromagnetnega polja in zgradi teorijo gravitacijskega polja v približku kvaziravnega prostora. To je sinteza posebne in splošne teorije relativnosti. V njej izpelje klasične relativistične učinke, kot sta sukanje perihelija planetne tirnice in odklon svetlobe v bližini telesa z veliko maso. Najlepši in najbogateǰsi je drugi del knjige. Ilustracije obdelajo zglede, ki jih običajno ne povezujemo s teorijo relativnosti. Bralec tako spozna, da teoriji relativnosti nista le uvedba prostor-časa, Lorentzevih transformacij in ekvivalentnost mase in energije, ampak prinašata nov, bogateǰsi opis celotne fizike, v katerem je pogosto treba prilagoditi in dograditi ustaljene pojme. Tretji del obsega popolno teorijo gravitacije. Avtor uvede matematična orodja za opis splošnih mnogoterosti, n-forme v poljubno dimenzionalnih prostorih z deli Liejevih grup. Izredno abstraktni opis se izteče v splošno formulacijo Riemannovega tenzorja, ki se pojavi v Einsteinovih enačbah gravitacijskega polja. Za močno nelinearni sistem enačb so doslej izdelali le nekaj rešitev specifičnih problemov. Avtor nakaže pomembneǰse od teh rešitev ali – zaradi izjemne zahtevnosti – poroča o njih. Bralcu predstavi tudi noveǰse pojme astrofizike, točno rešitev Keplerjevega problema, dinamiko v bližini črnih lukenj in gravitacijsko lečenje. Čadeževa Teorija gravitacije je dragocena knjiga, prva poglobljena štu- dija na tem področju v slovenščini in zagotovo temeljni vir za dalǰse obdobje. Vsebina je skrbno izbrana in strukturirana za osnovno informacijo in orien- tacijo. Bralec, ki mu ne bo žal truda za reševanje bogatega izbora nalog, pa si bo lahko pridobil tudi operativno znanje in veščino na tem zahtevnem področju. Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 23,99 EUR. Alojz Kodre in Janez Strnad http://www.obzornik.si/ 30 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Hladnik” — 2012/3/23 — 12:54 — page 31 — #1 i i i i i i Anton Suhadolc, Življenje in delo profesorja Riharda Zupančiča, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana 2011, 196 str. Pri DMFA – založnǐstvo je nedavno izšla nova slovenska knjiga. V njej Anton Suhadolc predstavlja zani- mivo osebnost iz zgodovine sloven- ske matematike, profesorja dr. Ri- harda Zupančiča. Po uvodnih opom- bah o tem, kako se je začel zani- mati za to osebo in kako je knjiga nastajala, nas avtor seznani z mno- gimi podrobnostmi Zupančičevega življenja in dela, od njegovega roj- stva v Ljubljani leta 1878, rod- binskih povezav, šolanja, začetkov akademske kariere na Dunaju, nje- govih dveh porok, vojaške službe med prvo svetovno vojno, vrnitve v Ljubljano, njegovih prizadevanj za ustanovitev in delovanje slovenske univerze, odnosov s profesorjem Plemljem in drugimi vidnimi domačimi in tujimi matematiki in fiziki, njegovega odnosa do knjig, jezika, filozofskih pro- blemov, religije, splošnih družbenih in političnih vprašanj tedanjega časa, javnega delovanja pred drugo svetovno vojno in med njo pa vse do njegovega odhoda v Avstrijo in bednih razmer, v katerih je z ženo živel na avstrijskem Štajerskem vse do smrti marca 1949. Rihard Zupančič je mlaǰsim rodovom slovenskih matematikov in širši javnosti skoraj neznana oseba, zato morda ni odveč, da z nekaj poudarki iz knjige opozorimo na njegov pomen za razvoj matematike in visokega šolstva na Slovenskem. Bil je ugleden srednješolski in univerzitetni profesor, ki je že pred prvo svetovno vojno pisal strokovne razprave o pouku matematike v nemške in francoske revije. Kot član avstrijske komisije je za mednarodno komisijo za pouk matematike pod vodstvom Felixa Kleina pripravljal različna poročila Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 31 i i “Hladnik” — 2012/3/23 — 12:54 — page 32 — #2 i i i i i i Nove knjige o stanju na tem področju v naših deželah. S prispevki o pedagoški tematiki se je udeležil dveh mednarodnih matematičnih kongresov, v Rimu 1908 in v Cambridgeu 1912. V tem času je spisal več matematičnih učbenikov za avstrijske srednje šole (v nemščini), s katerimi se je enakovredno postavil ob bok Francu Močniku in Francu Hočevarju. Matematik Eduard Helly je izdal štiri knjižice rešitev k nalogam iz teh učbenikov, ki na žalost še danes čakajo primernega strokovnega ovrednotenja. Tudi Johann Radon, Zupan- čičev kolega in prijatelj na Tehnǐski visoki šoli na Dunaju, ga je visoko cenil kot pedagoga in metodika matematike. Med prvo svetovno vojno je Zupan- čiču po mnogih prizadevanjih uspelo, da so profesorja Plemlja premestili iz Lvova v artilerijski laboratorij na Dunaju, s čimer mu je vsaj olaǰsal vojaško službo, če že ne obvaroval česa huǰsega. Po vojni je sodeloval pri ustanovitvi in organizaciji slovenske univerze ter bil med njenimi prvimi predavatelji; matematiko je predaval že na začasnem visokošolskem tehničnem tečaju od maja do novembra 1919. Postal je njen prvi prorektor (prvi rektor je bil profesor Plemelj) in drugi rektor leta 1920/21, nato pa je bil spet prorektor in kasneje dvakrat dekan Tehnǐske fakultete. Kot predavatelj je uvajal v pouk matematike moderne metode (npr. teorijo množic) in nove standarde (strogost pri formulaciji izrekov in izvajanju dokazov). Dva svoja študenta, Antona Vakslja in Antona Peterlina, je navdušil za prestop s tehnike na štu- dij matematike. Slednjemu je pomagal pri pridobitvi štipendije za študij v Nemčiji. Leta 1938 ga najdemo med ustanovnimi člani slovenske akademije znanosti, med drugo svetovno vojno pa je kot predsednik združenja učiteljev, profesorjev in knjižničarjev večkrat posredoval pri okupacijskih oblasteh za izpustitev zaprtih članov in ponovni sprejem v službo. Kljub temu je bil ju- nija 1945, potem ko je tik pred osvoboditvijo že zapustil Slovenijo, izključen iz akademije ” ker se je postavil na nemško stran“. O svetlih in tudi o manj svetlih trenutkih v akademski karieri Riharda Zupančiča se lahko dodobra poučimo v obravnavani knjigi, ki ponudi bralcu še veliko drugega zanimivega branja. V tretjem poglavju je npr. navedeno rodbinsko drevo Zupančičevih, predstavljeni sta obe Rihardovi ženi, Mari- anne Suppantschitsch in Maria Romana Urbanek, nadalje je podan dokaj podroben (čeprav včasih nepopoln) opis štirinajstih vidneǰsih članov raz- širjene rodbine Suppantschitsch. Med njimi najdemo zanimive osebnosti, 32 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Hladnik” — 2012/3/23 — 12:54 — page 33 — #3 i i i i i i Življenje in delo profesorja Riharda Zupančiča kot je npr. njegov stric pravnik Viktor Suppantschitsch, ki je ob koncu ka- riere postal celo predsednik vrhovnega sodǐsča na Dunaju, obenem pa je bil znan avstrijski filatelist in svetovna avtoriteta na področju razumevanja filatelistične literature; ali pa nečak Richard Riebl, doktor kemije in direk- tor gumarskega inštituta na Javi, strokovnjak za pridobivanje in predelavo kavčuka. V kratkem četrtem poglavju sta opisana dva neuspela poskusa Zu- pančičeve rehabilitacije zaradi izključitve iz akademije znanosti. Leta 1996 je SAZU rehabilitirala preostale tri izključene člane, njega pa ne. Čez pet let je bila na občnem zboru Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije leta 2001 sprožena pobuda akademiji, da se rehabilitira še profe- sorja Zupančiča, to pot opremljena z dodatno dokumentacijo, a je bila tudi ta pobuda po več kot letu dni od akademije brez argumentov zavrnjena. Knjiga vsebuje še kraǰse povzetke v slovenskem, nemškem in angleškem je- ziku. Posebej je na koncu povzeta Povšičeva bibliografija Riharda Zupančiča s seznamom matematičnih razprav in učnih knjig, dopolnjena z nekaterimi neobjavljenimi matematičnimi zapiski in drugimi spisi iz njegove zapuščine (z opombami). Poleg tega so podrobno navedeni viri, iz katerih je črpal avtor, in imensko kazalo oseb, ki nastopajo v besedilu. Knjiga je sad večletnega napornega raziskovalnega dela avtorja, profe- sorja dr. Antona Suhadolca. Poleg neposredne Zupančičeve zapuščine (ohra- njenih je veliko njegovih pisem in raznih zapiskov) ter zgodovinskih in spo- minskih publikacij je avtor pregledal arhive različnih uradnih, državnih in cerkvenih ustanov. Pisal je posameznikom v Sloveniji in v Avstriji, potom- cem Zupančičevih sorodnikov in ljudem, ki so jih poznali. Na osnovi tako zbranih podatkov je sestavil dobro dokumentirano zgodovinsko (in obenem tudi zanimivo psihološko) analizo kompleksne Zupančičeve osebnosti. Obja- vljeno je skoraj šestdeset različnih dokumentov: fotografij, osebnih pisem in dopisov institucijam, spominskih zapisov posameznikov, raznih uradnih od- redb, dopisov, potrdil, obrazcev in seznamov. Zbrano gradivo in podrobno citiranje virov dviga sicer izjemno berljivi knjigi njeno vrednost na raven znanstvene monografije. Vsekakor je na področju proučevanja zgodovine slovenske matematike Suhadolčevo delo edinstveno in brez primere, tako po obsežnosti raziskav, dokumentacijski vrednosti in kulturno-zgodovinskem pomenu. Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 33 i i “Hladnik” — 2012/3/26 — 14:43 — page 34 — #4 i i i i i i Knjiga torej ni matematično delo, kakršne običajno izdaja založba DMFA – založnǐstvo, odkriva pa nam delček pozabljene preteklosti, pomembne za razvoj slovenske visokošolske matematike. S tega vidika je nemara zani- miva tudi za širšo intelektualno javnost, ki ji ni vseeno, kaj se je na duhov- nem, kulturnem in tudi političnem področju dogajalo s Slovenci od začetka 20. stoletja do druge svetovne vojne in po njej. Slovenski matematiki pa z njo vsaj deloma na simbolni ravni poravnavamo svoj dolg do moža, ki je bil še petdeset in več let po smrti zamolčan in izbrisan iz javnega spomina. Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 18,38 EUR. Milan Hladnik Bojan Magajna, Osnove teorije mere, Podiplomski seminar iz ma- tematike, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 2011, 140 str. Knjiga je učbenik za predmet Teorija mere. Poleg snovi za standardni eno- semestrski tečaj v četrtem ali petem letniku študija matematike pa vsebuje še dodatke, tako da bo uporabna tudi za tiste, ki želijo vedeti nekaj več. Teo- rija mere je pomembna tudi za podro- čje verjetnostnega računa. Kot izbirni predmet je celo v nekaterih magistr- skih programih Ekonomske fakultete. Prvo poglavje ima naslov Merljive množice. Začne kot običajno s σ- algebro in pozitivno mero. Karateodo- rijeva konstrukcija pove, kako zunanja mera porodi σ-algebro in mero na njej. Mero na algebri lahko razširimo do zu- nanje mere. Knjiga vpelje pojem polalgebre in polmere. Vse končne unije paroma disjunktnih elementov iz polalgebre sestavljajo algebro in polmero lahko razširimo do mere na tej algebri. Naj bo f : R → R nepadajoča z leve zvezna. Če definiramo µ([a, b)) = f(b)− f(a) (tudi za b = ∞), µ(∅) = 0, µ(−∞, b) = f(b)− f(−∞), do- 34 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Hladnik” — 2012/3/23 — 12:54 — page 35 — #5 i i i i i i Osnove teorije mere bimo polmero. Po prej omenjenih konstrukcijah jo lahko razširimo do mere mf na σ-algebri, ki je porojena z obravnavanimi intervali. To je Lebesgue- Stieltjesova mera. Če je f identična funkcija, je to Lebesgueova mera. Naslednje poglavje ima naslov Merljive funkcije. Poleg standardne snovi vsebuje tudi razdelek Konvergence skoraj povsod, skoraj enakomerno in po meri ter izrek Jegorova. Sledi poglavje o integraciji – najprej za nenegativne in nato še kompleksne merljive funkcije. Na kratko je razjasnjena zveza med Riemannovim in Lebesgueovim integralom na prostoru Rn. Ta snov je na- mreč že vsebovana v knjigi Mirka Dobovǐska [1]. Obravnavana je produktna mera. Tonellijev in Fubinijev izrek govorita o zvezi med dvojnim in dvakrat- nim integralom in o zamenjavi vrstnega reda integracije. Četrto poglavje je namenjeno kompleksnim meram in Lp-prostorom. Peto poglavje je obravnava mere na lokalno kompaktnem Hausdorffovem prostoru X. Izpeljan je izrek Riesza in Markova, ki pravi, da za vsak poziti- ven linearni funkcional ρ na prostoru Cc(X) zveznih funkcij s kompaktnim nosilcem iz X v C obstaja enolično določena Radonova mera µ na X, da je ρ(f) = ∫ X f dµ za vsak f ∈ Cc(X). Nadaljnja snov sta avtomatična regularnost Radonovih mer in aproksimacija z zveznimi funkcijami. Zadnje, šesto poglavje ima naslov Odvajanje mer in funkcij. Definirani sta absolutna zveznost in variacija funkcije. Pokazano je, kako lahko absolut- no zvezno funkcijo izrazimo kot integral njenega odvoda (ki obstaja skoraj povsod). Knjiga odseva avtorjevo veliko in poglobljeno znanje. Formulacije so ja- sne, dokazi elegantni, marsikje imamo odlične dodatne komentarje, ki pove- zujejo snov z drugimi matematičnimi področji ali bralca napotijo v obsežen seznam literature. Veliko je tudi nalog. Nekatere so razmeroma enostavne ali pa imajo dobra navodila. Kot od profesorja Bojana Magajne že priča- kujemo, pa so številni problemi zahtevni. Najtežje naloge so označene z *. Knjiga je zelo dobrodošel prispevek k slovenski matematični literaturi. Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 15,59 EUR. LITERATURA [1] M. Dobovǐsek, Riemannov in Lebesgueov integral v Rn, Izbrana poglavja iz mate- matike in računalnǐstva 36, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana, 1997. Peter Legǐsa Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 35 i i “ipmr” — 2012/3/23 — 12:49 — page 36 — #1 i i i i i i Nove knjige IZBRANA POGLAVJA IZ MATEMATIKE IN RAČUNALNIŠTVA Učbeniki in zbirke vaj iz zbirke Izbrana poglavja iz matematike in računal- nǐstva so v sodelovanju z Oddelkom za matematiko IMFM in Odsekom za matematiko FNT začeli izhajati leta 1972. Tega leta je pod številko 1 izšla knjižica Dinamični sistemi avtorja Franceta Križaniča. Učbeniki in zbirke vaj iz omenjene zbirke so prepoznavni po modri barvi ovitka. Najstareǰsa izdaja v tej zbirki, ki je še vedno v redni prodaji, je številka 6, Rešene naloge iz analize 1 avtorjev M. Dobovǐsek, M. Hladnik in M. Omladič, ki je bila natisnjena kar dvanajstkrat. Študentje prvega letnika še vedno radi sežejo po tej zbirki vaj, saj predstavlja izbor nekaterih najpomembnejsih primerov in vaj iz analize. Kasneje je v sodelovanju z Oddelkom za matematiko Fakultete za mate- matiko in fiziko izšlo veliko naslovov, tako da se danes zaporedno številčenje izdaj v zbirki bliža številki 50. Pri tem seveda niso všteti vsi ponatisi in po- pravljene izdaje, teh je bilo bistveno več. Vse trenutno razpoložljive knjige v zbirki in cenik izdaj lahko najdemo tudi na spletni strani http://www.dmfa- zaloznistvo.si/cenik.htm#ipmr. V nadaljevanju na kratko predstavljamo nekaj naslovov, ki so izšli v zadnjem času. Učbenika z zaporednima številkama 43 in 44, P. Pavešić Splošna topologija in J. Mrčun Topologija, pa smo podrobno predstavili v četrti številki Obzornika za matematiko in fiziko, letnik 56 (2009). Povh Janez, Pustavrh Simona, Fošner Maja, Gorše Pihler Me- lita in Zalar Bojana, MATEMATIČNE METODE V UPORABI, Izbrana poglavja iz matematike in računalnǐstva 42, DMFA–zalo- žnǐstvo, Ljubljana 2010, 272 strani. Knjižica je primerna kot dodatno gradivo za utrjevanje znanja v srednjih in vǐsjih šolah ter na univerzah. Naloge so razporejene v trinajst poglavij, na koncu vsakega poglavja so zbrane nekatere formule in pravila za ponovitev snovi in pomoč pri reševanju nalog ter rešitve nalog. 36 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “ipmr” — 2012/3/23 — 12:49 — page 37 — #2 i i i i i i Izbrana poglavja iz matematike in računalništva Prvo poglavje Uvod obravnava števila ter enakosti in neenakosti, sledijo Matrike in determinante, Sistemi linearnih enačb in neenačb, Vektorji, Zaporedja in vrste, Funkcije, Odvod, Nedoločeni inte- gral, Določeni integral, Diferencialne enačbe, Funkcije več spremenljivk, Kombinatorika in Verjetnostni račun. Nekatere naloge dopolnjujejo slike, ki so jih avtorji še posebej skrbno narisali. Poleg tega je pri nekaterih nalogah opisana tudi pot do rešitve. Naročite jo lahko pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 19,50 EUR. Peter Šemrl, OSNOVE VIŠJE MATEMATIKE I, Izbrana po- glavja iz matematike in računalnǐstva 45, DMFA–založnǐstvo, Lju- bljana 2009, 280 strani. V prvem delu Osnov vǐsje matematike so predstavljena števila, vektorji, sistemi line- arnih enačb in elementarne funkcije. Drugi del bo posvečen zaporedjem, zveznim funk- cijam, odvodu in integralu. Učbenik je v prvi vrsti namenjen štu- dentom naravoslovja in tehnike ob njihovem prvem srečanju z vǐsjo matematiko. Vsako od petih poglavij se konča s podpoglavjema ” Povzetek“ in ” Zahtevneǰse branje“ (le tre- tje poglavje je brez slednjega). V prvem je podana zgoščena obnova posameznega po- glavja, drugo pa je pisano za bralce z nekaj več matematičnega posluha. Knjiga je izvrsten učbenik za študente naravoslovnih in tehnǐskih fakul- tet. Zaradi jasne razlage ga bodo lahko uporabili tudi za samostojen študij, ne le kot dopolnilo k predavanjem. Čeprav knjiga ni namenjena študentom Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 37 i i “ipmr” — 2012/3/23 — 12:49 — page 38 — #3 i i i i i i Nove knjige matematike, bo kot vzporedni učbenik prav prǐsla tudi njim. Našli bodo po- jasnila za enostavne stvari, ki se jih matematikom praviloma ne ” spodobi“ razlagati. A šele razumevanje na osnovni ravni omogoča poglobljen študij. Kot pravi avtor v predgovoru: ” Upam, da bodo ob njej lažje in hitreje ra- zumeli potrebo po matematični strogosti, ki sicer prežema njim namenjene matematične tekste.“ Naposled pa bo knjiga prǐsla prav tudi profesorjem matematike; morda vsaj kot opomin, kako se morajo prilagoditi tisti večini študentov, ki jim znanje in razumevanje matematike ni eden pomembneǰsih življenjskih ciljev. Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 19,99 EUR. Barbara Drinovec Drnovšek in Sašo Strle, NALOGE IZ ANA- LIZE 1 z odgovori, nasveti in rešitvami, Izbrana poglavja iz ma- tematike in računalnǐstva 46, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana 2010, 288 strani. Zbirka je namenjena študentom 1. letnika študijskega programa Matematika. Vsebuje tako naloge, ki jih študenti rešujejo na va- jah, kot tudi naloge s starih kolokvijev in izpitov ter druge naloge. Zaporedje snovi v zbirki je enako kot v učbeniku J. Globev- nika Analiza 1 ; to naj bi študente spod- bujalo k sprotnemu študiju teorije ob re- ševanju praktičnih primerov. V zbirki so tako rutinske kot tudi nekatere težje naloge. Zahtevnost nalog se znotraj obravnave ene snovi praviloma stopnjuje. Vsaj po ena naloga vsakega tipa ima re- šitev. Na začetku obravnave neke snovi so rešitve izdelane bolj podrobno in včasih vse- bujejo tudi povzetek teorije, v nadaljevanju pa so kraǰse. Poleg tega imajo vse računske naloge odgovore, precej nalog ima tudi nasvete. Rešitve so napisane z mislijo na znanje, ki ga ima študent, ko se prvič sreča z nalogo; pri nekaterih nalogah lahko študent kasneje ali pa z uporabo metod, ki pri Analizi 1 niso obravnavane, poǐsče kraǰso ali elegantneǰso rešitev. 38 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “ipmr” — 2012/3/23 — 12:49 — page 39 — #4 i i i i i i Izbrana poglavja iz matematike in računalništva Avtorja študentom priporočata, naj naloge najprej poskušajo rešiti sami, saj bodo le tako lahko preverili, ali obravnavano snov res razumejo. Če na- loge kljub predhodnemu študiju snovi s predavanj in vaj ne znajo rešiti, pa naj si najprej pomagajo z nasvetom, šele nazadnje z rešitvijo. Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 14,99 EUR. Mirko Dobovǐsek, NEKAJ O DIFERENCIALNIH ENAČBAH, Izbrana poglavja iz matematike in računalnǐstva 47, DMFA–zalo- žnǐstvo, Ljubljana 2011, 132 strani. Knjiga je učbenik za predmet Diferenci- alne enačbe pri strokovnem študiju Prak- tična matematika. Prva poglavja so name- njena tudi študentom fizikalne merilne teh- nike, snov pa morajo spoznati tudi študenti drugih matematičnih in nekaterih tehničnih smeri. Noben dosedanji učbenik v slovenskem jeziku ne obsega celotne snovi, obravnavane v tem učbeniku. Poleg tega so vsi napisani na nivoju, ki ne ustreza strokovnemu štu- diju; ali so prezahtevni ali pa premalo zah- tevni. V učbeniku so, tako kot v vsakem ma- tematičnem delu, definicije, trditve, izreki, njihovi dokazi, izpeljave formul, opombe k trditvam in definicijam ter veliko primerov. Vsi izreki seveda niso dokazani. Izbrani so predvsem tisti dokazi in izpeljave, ki niso pretežki. Izpuščene dokaze lahko zainteresirani bralec poǐsče v literaturi, navedeni na koncu knjige. Po vpeljavi uvodnih pojmov avtor v drugem poglavju obravnava enačbe prvega reda, v tretjem enačbe vǐsjih redov, četrto poglavje je posvečeno sistemom linearnih diferencialnih enačb, peto pa diferencialnim enačbam v kompleksnem. V zadnjem poglavju je na kratko predstavljena še Sturm- Liouvillova teorija. Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 10,00 EUR. Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 39 i i “Naloga” — 2012/3/23 — 12:55 — page 40 — #1 i i i i i i VPRAŠANJA IN ODGOVORI Dragi bralci, tokrat vam v premislek ponujamo še eno geometrijsko nalogo, ki jo je pripravil Izidor Hafner. Poleg tega objavljamo še nekaj rešitev naloge iz 3. številke lanskega letnika, ki nam jih je poslal Franc Savnik. Naloga Rombski dvanajsterec 2. vrste je polieder, katerega mejne ploskve so rombi, pri katerih je razmerje diagonal zlato število s = (1 + √ 5)/2. To telo je l. 1960 odkril hrvaški matematik Stanko Bilinski. Izračunaj prostornino telesa kot funkcijo dalǰse diagonale. Še tri rešitve naloge 2, objavljene v OMF št. 3 letnik 58 Naloga je spraševala po številih q1, q2, q3, q4 ∈ Q ter k ∈ Z, za katera velja arctg( √ 5 + √ 3) = q1 arctg(q2 √ 5) + q3 arctg(q4 √ 3) + kπ 2 . Vzamemo števili x = ( √ 5 + √ 3), y = ( √ 5 − √ 3), naravno število n in kota αn = n(arctg x + arctg y), βn = n(arctg x − arctg y). Od tod s seštevanjem dobimo arctg( √ 5 + √ 3) = 12n(αn + βn). Pri reševanju naloge bomo upoštevali osnovne zveze med krožnimi funk- cijami. Rešitve bomo zapisali z naborom števil (qn,1, qn,2, qn,3, qn,4, kn). Da se izognemo opisovanju ponavljajočih se prijemov, reševanje opǐsemo s ta- belo. 40 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Naloga” — 2012/3/23 — 12:55 — page 41 — #2 i i i i i i Vprašanja in odgovori n tanαn tanβn αn = nα1 βn = nβ1 1 −2 √ 5 23 √ 3 π + arctg(−2 √ 5) arctg ( 2 3 √ 3 ) 2 419 √ 5 −4 √ 3 π + arctg ( 4 19 √ 5 ) π + arctg(−4 √ 3) 3 −3459 √ 5 −1027 √ 3 2π + arctg ( −3459 √ 5 ) π + arctg ( −1027 √ 3 ) n Rešitev 1 ( 1 2 ,−2, 1 2 , 2 3 , 1 ) 2 ( 1 4 , 4 19 , 1 4 ,−4, 1 ) 3 ( 1 6 ,− 34 59 , 1 6 ,− 10 27 , 1 ) Zapǐsimo αn = Anπ+arctg(qn,2 √ 5), βn = Bnπ+arctg(qn,4 √ 3); An, Bn ∈ N. Potem je arctg( √ 5 + √ 3) = 1 2n arctg(qn,2 √ 5) + 1 2n arctg(qn,4 √ 3) + An +Bn n π 2 . Z rekurzivno formulo za tangens večkratnega kota in s popolno indukcijo lahko dokažemo, da sta števili qn,2 in qn,4 racionalni za vsak naravni n. Če naloga ne bi zahtevala, da je število kn = (An + Bn)/n celo, bi torej imela neskončno rešitev. Izkaže pa se, da za n ≥ 4 velja ocena 0 < (An+Bn)/n < 1. Za n = 4, 5, 6 jo preizkusimo z računom, za n ≥ 7 pa upoštevamo, da je αn + βn = n(α1 + β1) in arctg(qn,2 √ 5) + arctg(qn,4 √ 3) > −π. Sklepamo, da je An+Bnn < α1+β1 π + 1 n , pri čemer je α1+β1 π < 0.85. Za n ≥ 7 je torej An+Bn n < 1. To pa še ni vse. Prvi dve izmed zgoraj navedenih rešitev imata vsaka svoj par. Zaradi povezav med krožnimi funkcijami namreč velja: Če imata u in v različen predznak, je arctg u + arctg v = arctg ( − 1u ) + arctg ( − 1v ) . Dobimo še rešitvi( 1 2 , 1 10 , 1 2 ,−1 2 , 1 ) in ( 1 4 ,−19 20 , 1 4 , 1 12 , 1 ) . Naloga ima torej vsaj pet rešitev. Tistih, ki jih iz vseh naštetih dobimo upoštevajoč lihost funkcije arctg x, nismo zapisovali. Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 III i i “kolofon” — 2012/3/23 — 12:56 — page 2 — #2 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, JANUAR 2012 Letnik 59, številka 1 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Z najmanj truda na Šmarno goro! (Gašper Jaklič, Tadej Kanduč, Selena Praprotnik in Emil Žagar) . . . 1–10 Nov preizkus posebne teorije relativnosti (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . 11–17 Šola Odziv na dva prispevka o poucevanju iz 5. številke Obzornika (Peter Prelog) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18–19 Vesti Jože Andrej Čibej, matematik in ekonomist (1953–2011) (Milena Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Nove knjige Hal Hellman, Great Feuds in Mathematics, Ten of the Liveliest Disputes Ever (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21–25 Kevin Poulsen: Kingpin: how one hacker took over the billion-dollar cybercrime underground (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26–28 Andrej Čadež, Teorija gravitacije (Alojz Kodre in Janez Strnad) . . . . . . . 29–30 Anton Suhadolc, Življenje in delo profesorja Riharda Zupančiča (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31–34 Bojan Magajna, Osnove teorije mere (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–35 Izbrana poglavja iz matematike in računalništva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36–39 Vprašanja in odgovori Naloge in odgovori (uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–IV CONTENTS Articles Pages Optimal mountain ascent (Gašper Jaklič, Tadej Kanduč, Selena Praprotnik in Emil Žagar) . . . 1–10 A new test of special relativity (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11–17 School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18–19 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21–39 Questions and Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–IV Na naslovnici je relief Šmarne gore z nekaj najbolj znanimi potmi na vrh (črno) in s potmi, ki jih vrne optimizacijski algoritem (rdeče). Glej prispevek na strani 1.