METODA MORFOMETRIJE IN RAČUNALNIŠKE OBDELAVE VRTAČ (S 3 SLIKAMI) A METHOD OF DOLINE MORPHOMETRY AND COMPUTER PROCESSING (WITH 3 FIGURES) FRANCE šUšTERšIC SPREJETO NA SEJI RAZREDA ZA NARAVOSLOVNE VEDE SLOVENSKE AKADEMIJE ZNANOSTI IN UMETNOSTI DNE 31. OKTOBRA 1985 Vsebina Izvleček - Abstract UVOD .•.•.. ZAMISEL METODE MERILNI POSTOPEK PRERACUNAVANJE TERENSKIH PODATKOV IZVREDNOTENJE MERSKIH PODATKOV IZLOCANJE PERIODIČNIH MOTENJ CELOSTNA SLIKA VRTAČE SPLOSNE UGOTOVITVE . . . . . LITERATURA 81 ( 3) 81 ( 3) 83 ( 5) 84 ( 6) 85 ( 7) 87 ( 9) 89 (11) 90 (12) 93 (15) 95 (17) A METHOD OF DOLINE MORPHOMETRY AND COMPUTER PROCESSING (Summary) . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 (19) Naslov - Address Franc šUšTERšIC, dipl. ing. geol., raziskovalni sodelavec Inštitut za raziskovanje krasa ZRC SAZU Titov trg 2 6623/J Postojna Jugoslavija r Acta carsologica XIII (1984), 79-98, Ljubljana, 1985 Izvleček UDK 519.6:551.448 551.448.519.6 Sušteršič France: Metoda morfometrije in računalniške obdelave vrtač. Prikazana je metoda za kvantitativno proučevanje vrtač. Obsega vse stopnje od terenskega merjenja, prek matematjčnih osnov numeri,čne obdelave do računalni­ ške obdelave podatkov. S pomočjo meritev 72 merskih točk v vrtači dobimo 5 X 6 podatkovno matriko, ki vsebuje informacijo o velikosti in obliki vrtače. Izdelani so računalniški programi, ki omogočajo uporabo tudi raziskovalcu brez posebnega ma- tematičnega predznanja. Abstract UDC 519.6:551.448 551.448.519.6 Sušteršič France: A method of doline morphometry and computer processing. A method of quantitative doline processing is presented. It encompasses the terrain surveying, mathematical derivation of proper formulas, and computer pro- cessing the data. Having processed 72 mesuring points data of a doline, one obtains a 5 X 6 data matrix, containing information about the doline dimensions and shape. The computer pro,grams were done to make the method accesiable to the users wJthout wide mathema.tical knowledge. UVOD Vrtače so ne samo najbolj opazne, temveč najbolj značiilne prave kraške globeli, če sprejmemo danes najbolj razši;rjeno mnenje, da jih tako ali drugače oblikuje krajevno zbrana padavinsika voda. Njihova osnovna cen:trična oblika jih uvršča med temeljne gradnike modela čistega krasa (F. š uš ter š i č, 1982). Tako ni čudno, da so bile že zgodaj deležne posebne pozornosti; meritve vrtač, ki jih je izvajal J. C vij i c (1895), pa spadajo med prve poskuse me- ritev geomorfnih pojavov sploh. Zato nekoliko preseneča, da meritve vrtač, ki so jih bolj ali manj po Cvi- jicevih metodah do danes izvajali različni raziskovalci, pravzaprav mso dale večjega vpogleda v nastajanje in oblikovanje vrtač (P. La v a 11 e, 1968, P. W. W i 11 i a ms, 1972, J. N. Jennings, 1975, G. M o z 6 si et al., 1978, M. Da y, 1983, A. E. O g de n, 1984, A. E. S o to, et al., 1984, J. W. T r o ester, et al., 1984). Značilno je, da sta se Williams in Jennings, ki sta se tej meto- delogiji najbolj posvetila, v nadaljnjem delu preusmerila drugam, čeprav v bistvu negativnih rezultatov svojih raziskav ne poudarjata. Podobno lahko ugotovimo, da pri podrobnem raziskovanju vrtač na trasi avtoceste Vrhnika-Postojna-Fernetiči, kar je izvršil Inštitut za raziskovanje krasa SAZU (P. Habič, 1969, 1970, 1972, 1974, 1978) morfometrija, kot jo pojmujejo prej navedeni avtorji ni igrala večje vloge in da so pomembnejši zaključki izhajali iz drugačnih podatkov. Končno ni odveč, če ugotovimo, da se v svoji obsežni monografiji v vrta- čah H. C rame r (1941) Cvijicevim parametrom izogiba, čeprav je njegovo delo v veliki meri zasnovano statistično. Moramo se torej vprašati, kako da je eden v krasoslovju in celo v geo- morfologiji prvih kvantitativnih pristopov ostal tako rekoč jalov. Razumljiv je pomislek, da merjenje vrtač in potem izvrednotenje podatkoy ni bilo zastav- ljeno tako, da bi lahko dalo pričakovane rezultate. 81 4 Acta carsologica XIII, 1984 (1985) Predpostavko, da izraža oblika (gr. morphe) trenutne ravnotežne razmere in preteklost nekega geomorfnega sistema, večina, četudi različno mislečih raziskovalcev, siprejema za pravilno. Vsekakor ni razloga, da bi na tem mestu o njej podvomili. Ce si z izrazom »-metrija« predstavljamo merjenje (gr. me- tron = mera), bi morali pri korektno izpeljani morfometriji dobiti kvantita- tivne podatke o neki obliki, v našem primeru o obliki vrtače. Iz Cvijicevega besedila (l. c) je jasno razvidno, da gornjega ni imel v mi- slih. Oblike vrtač je vizualno opredelil kot skledaste, lijakaste in oknaste. S stotinami terenskih meritev daljših oz. prečnih premerov ter globin je določil njihov velikostni red. Razmerje med globino in premerom mu je omogočifo približno oceno, v katero skupino vrtača spada. Prav nič pa tako ni povedal o njeni obliki, saj posameznih oblik ni predhodno kvantitativno definiral. Enako je izpeljal poprečni naklon pobočij, tako da je izračunal arcustangens razmerja med globino in polmerom vrtače. Do danes večina merilcev vrtač bolj ali manj ponavlja isti postopek, oz. izpeljuje še nekatere dodatne parametre (P. W. W i 11 i a ms, o. c., 155, K. Pater s on, 1980, 111). Pozabljajo pa, da je Cvijic vrtače tako le umerjal, obliko in vse ostalo, kar izhaja iz nje, pa določal »na oko«. Njegovemu po- stopku merjenja torej nevede pripisujejo morfometrično vsebino, ki je ni na- meraval, niti ni mogel imeti. To p!:'avzaprav ni presenetljivo. Golo terensko merjenje je z opremo, s katero običajno razpolagamo, zamuden posel. Podrobnejše in natančnejše ter tako ciljem morfometrije bližje merjenje vrtač je tako rekoč onemogočeno. Po- zabiti tudi ne smemo, da do pojava računalnikov kako obsežnejše preračuna­ vanje ne bi bilo smotrno. Cvijecevi nasledniki so merili bolj ali manj nerepre- zentativne ekstreme, ne da bi se vprašali, ali tako sploh moremo dobiti želeno informacijo (I. S. Eva n s, 1972, D. M. Mar k, 1975). Ker so ekstremne· vrednosti običajno tudi statistično nestabilne, je lahko razumeti, da dosti več kot Cvijic tudi njegovi nasledniki niso mogli ugotoviti. Žal so pri svojem delu uporabili oz. vpeljali neustrezen termin, kar je zameglilo možnost resničnega razvoja. Slejkoprej bi bilo v našem primeru namesto »morfometrija« ustrezneje pisati »fenomenometrija«, če si kot pojav (gr. phainomenon) predstavljamo vrtačo. Parametrov, ki določajo obliko (kar je le ena izmed geometrijskih lastnosti tega pojava) pa nismo niti definirali! Pri sistematičnem proučevanju krasa se pogosto srečamo z vprašujem učinkovitejšega merjenja vrtač, ki bi bilo po eni strani še dovolj gospodarno, po drugi pa bi z njim zbrali tiste parametre, ki dejansko izražajo obliko (= morphe). Ker je bistvo vsakega takšnega merjenja v določanju prostorskih koordinat posameznih informativno pomembnih točk, se problematika osre- dotoči na dve vprašanji, in sicer na izbor merskih točk ter na izbor matema- tičnega modela, ki ga priredimo merskim točkam in z njim nadomestimo ana- logno informacijo. Ker razpolagamo z okrog 500 geodetskimi meritvami vrtač in načrti v merilu 1 : 1000 (P. Habič, 1969, 74), sem najprej pretehtal njihovo morfo- metrično informativnost. Žal, so ti podatki z morfometričnega stališča neupo- rabni. Bolj kot sorazmerno majhno merilo načrtov, moti sam način terenskega merjenja, namreč standardna tahimetrija„ Po tej metodi izmerimo primerno 82 F. šušteršič, Metoda morfometrije in računalniške obdelave vrtač število točk vzdolž t. i. terenskih linij. Vmesne vrednosti kasneje interpolira- mo ročno ali linearno. Zamisel terenskih linij izhaja iz drobnega fluvialnega reliefa in tako nasilno pojačuje krasu manj pomembne linearne podrobnosti, bistvene, ki so centrične, pa opušča. Dobljeni podatki so popolnoma uporabni za umerjanje vrtač, kot izhodišče morfometriji pa odpovedo. Za to potrebu- jemo način merjenja, ki naj čim bolj ustreza zahtevam morfometrije. Vnaprejšnje nepoznavanje podrobne geometrije vrtač nam narekuje, da merimo koordinate točk po slučajni ali pravilni mreži. Ker nam druga pot omogoča matematično bistveno lažje in gospodarnejše prijeme (T. E. H. W hit- t e n, M. E. V. K o e 11 i g, 1973), sem se odločil vzorčevati po zvezdasti mreži s središčem v najgloblji točki vrtače. Pri izboru matematičnega modela je teoretično neskončno mnogo poti. Dejansko pa smo vezani na zelo pičel izbor funkcij, ki se že same po sebi dovolj približajo obliki vrtače. Oblika sinusoide je že doslej najbolj razširjen_ čeprav le deskriptivno utemeljen model prereza vrtače. Zato je razumljivo, da pride trigonometrični polinom in z njim tudi ostale Fourierjeve tehnike v najožji izbor pri modeliranju vrtač. Kot pa je pokazala nadaljnja raziskava. je to med preprostimi matematičnimi orodji sploh najbolj prikladno. Pri dodelovanju metode sem se lahko oprl na C. L. Sta b 1 er j e v o (1968) delo, v katerem je obdelal možnosti uporabe Fourierjevih tehnik pri klasifi- kaciji tektonskih gub. Ker je podobnost med tektonskimi gubami in morfo- logijo vrtač v prerezu očitna, je precej temeljnih vprašanj, ki se enako nana- šajo tudi na vrtače, rešil že Stabler in mi je bilo potrebno le nadaljevati v tej smeri. Julija 1983 sva z M. Trobičem poskusno izmerila dvajset vrtač v Lanskem vrhu severno od Planinskega polja in vzporedno razvila tudi tehnologijo mer- jenja. V nadaljnjih mesecih sem razvil in preizkusil matematične postopke za obravnavo merskih podatkov. Za rutinsko obdelavo sem izdelal programski paket v jeziku BASIC, s pomočjo katerega lahko raziskujemo vrtače na mi- kroračunalniku Sinclair ZX Spectrum. V začetni fazi raziskovanja sem se dejansko lahko posvetil le formalnemu razvoju tehnologije. Kljub temu pa sem se že ob samem preizkušanju posa- meznih postopkov lahko dokopal do spoznanj, ki so bistveno razširila doseda- nje znanje o vrtačah. Menim, da vrtač s pomočjo Fourierjevih tehnik ne le gospodarno izmerimo - in potem predstavimo petdeset in večkrat natančneje kot doslej - temveč da to odpira tudi nove poti razumevanja vrtač. ZAMISEL METODE Izhajamo iz splošne ugotovitve, da so vrtače po zunanjem izgledu in (do- mnevnem) nastanku centrične globeli. V najglobljo točko, ki jo imejmo za središče, postavimo koordinatno izhodišče. Z njega nato žarkasto posnamemo primerno sodo število polrezov, vzdolž katerih merimo višine posameznih točk nad najnižjo točko. Zaradi nadaljnjega preračunavanja je smotrno, da postavimo polreze v enakih kotnih razdaljah. V izračunu neizmerjene predele polrezov med posameznimi merskimi toč­ sami nadomestimo s trigonometričnim polinomom, katerega koeficiente izra- 83 6 Acta carsologica XIII, 1984 (1983) čunamo iz merskih podatkov. Kvadrate posameznih amplitud običajno prika- žemo kot linije na periodogramu, kjer nam dajejo linijski spekter. Pri sintezi lahko opustimo posamezne valovnice. To učinkuje kot pasovno cedilo in loči želeno informacijo od motnje, ki ostane v izpuščenem pasu. Po- membno je le, da vemo, v katerem spektralnem pasu se motnja nahaja. Tako izračunan trigonometrični polinom da prečiščeno sliko polreza, ki se merskim podatkom prilega po kriteriju najmanjših kvadratov, polje podatkov pa se koristno zmanjša. MERILNI POSTOPEK Merilni postopek podajam podrobno razčlenjen v posamezne korake, tako da ga je čim laže ponoviti. Koraki so opremljeni s številkami, ki služijo po- drobnemu komentarju v nadaljevanju. 1. Določimo najglobljo točko vrtače, jo označimo s količkom in postavimo teodolit. 2. Določimo smer prvega polreza in aretiramo inštrument. 3. Določimo mesto oboda v smeri prvega polreza in tam zabijemo količek. 4. Napnemo merilno vrvico z označeno metražo tako, da visi med manjšo rogovilico (spodaj) in večjo rogovilico (zgoraj), ob enem pa natanko nad obema količkoma (Sl. 1/a). 5. Na merilni vrvici odčitamo razdaljo med obema količkoma in določimo višino vrvice nad njima. 6. Dobljeno razdaljo delimo s predvidenim številom meritev in izračuna­ mo njihove posamezne metraže. 7. Postavimo lato h količku na obodu, naravnamo teodolit na primeren naklonski kot, ga fiksiramo in odčitamo. 8. Citamo lato pri srednji niti na križu. 9. Postavljamo lato na mesta, izračunana v šestem koraku in čitamo pri .srednji niti na križu. 10. Ko smo odčitali vse podatke v izbrani smeri, inštrument sprostimo in ga premaknemo v novo smer. 11. Vrnemo se h koraku 3. in ponovimo postopek v novi smeri. 12. Ko so izmerjeni vsi polrezi, tahimetrično posnamemo še vse ostale za- nimive točke, npr. mesta geoloških meritev, vzorčevanja itd. Opisani postopek je enostaven in dovolj hiter. V praksi so pomembne še nekatere neizogibne podrobnosti, ki pa sicer ne spadajo v samo merjenje: l. Najglobljo točko vrtače praviloma težko določimo, je pa tudi sicer pre- cej nestabilna. Tu se moramo pač ravnati po zdravi pameti. Na srečo pa za matematično izvrednotenje podatkov niti ni tako bistveno, ali smo dobro zadeli. 2. Za računski postopek je prva smer seveda čisto poljubna. Koristno pa je, da si z njo že vnaprej zagotovimo kako pomembno informacijo. Na poli- .gonu v Lanskem vrhu sem jo določil kot zaokroženo poprečno vrednost smeri 84 r F. Šušteršič. Metoda morfometrije in računalniške obdelave vrtač 7 vpada skladov na območju meritev. Tako sta prvi in četrti polrez vedno pra- vokotna na s,lemenitev. 3. Težko je določiti tudi mesto oboda in dostikrat pomaga premislek več kot toga navodila. Kot splošno pravilo lahko postavimo edino pogoj, da po- bočja od oboda proti središču konvergirajo, izven vrtače pa so bolj ali manj prema. Na srečo lahko pri nadaljnjem obravnavanju ugotovimo vsaj to, ali smo mesto oboda določiti pravilno in ev. naknadno popravimo meritve. 4. Merilna vrvica naj bo napeta toliko, kot pri umerjanju. Ce je razdalja med rogovilicama tolikšna, da bi poves že motil določanje položaja late, jo v sredini previdno podpremo. Ker gre pri določanju položaja late le za razmer- ja, si lahko privoščimo tudi opaznejši poves. V tem primeru bo razdalja med količkoma precenjena. Kontroliramo tako, da pri prvem čitanju lato odčitamo še pri zgornji in spodnji niti. Razdaljo tedaj izračunamo s formulami, običaj­ nimi pri tahimetriji. 5. Pri napenjanju merilne vrvice bi le težko dosegli, da bi bila ničla nad enim izmed količkov. Ce označimo odčitek nad spodnJim količkom z l1, odči­ tek nad zgornjim pa z lL, je poševna razdalja med njima (L) kar L = lL - l1• 6. Prva meritev bo pri dolžini vrvice lL. Naslednja bo toliko bliže središču vrtače, za kolikor korakov smo se pač odločili. Ce je teh korakov N, bo druga meritev pri h = IL - LIN tretja pa pri f3 = fL- 2 LIN itd. Na poligonu v Lanskem vrhu sem izbral število korakov N = 12. 7. Pomembno je, da je naklonski kot daljnogleda (a) ves čas isti. To mo- ramo upoštevati pri čiščenju vrtače. 8. Kot pri običajni tahimetriji, čitamo lato z milimetrsko natančnostjo. 9. Ce naletimo na izračunanem mestu na kak štor, lato po plastnici umak- nemo nekoliko v stran. Tega pa ne storimo v primeru škrapelj, skal samic itd. Vse to šteje v izmerjeno obliko vrtače in takšno motnjo odstranimo ra- čunsko. Zato je negotovost manjša, kot če bi »resnično površje vrtače« določali subjektivno. 10. Po želji in potrebi lahko čitamo lato še na drugih mestih v polrezu. Ne smemo pa pozabiti razdalje na merilni vrvici! 11. Na poskusnem poligonu v Lanskem vrhu sem meril v šestih smereh, oddaljenih za 60 °. 12. Po potrebi lahko izmerimo še poljubno število doadtnih polrezov. Ne smemo pa zato opustiti osnovnih, ki morajo imeti enake kotne razdalje. Po opisanem postopku merjenje posameznega polreza ne traja kaj več kot deset minut. Težave pa se pojavijo, če je vrtača preveč zaraščena. Mnogo- krat traja čiščenje dosti dlje, kot merjenje samo. PRERACUNAVANJE TERENSKIH PODATKOV Ne glede na to, kako bomo postopali pozneje, moramo terenske podatke spraviti v obliko, ki je primernejša rutinski uporabi. Kot smo merili posa- mezne polreze, jih tudi obravnavamo posamič. Zanima nas dolžina posamez- nega polreza, njegov višinski razpon in seveda relativne višine posameznih merskih točk. 85 8 Acta carsologica XIII, 1984 (1985) a Sl. 1 Način merjenja polreza in preračunavanje terenskih podatkov Fig. l. The semiprofile surveying procedure and processing the terrain measuring data S slike (1 b) razberemo odnose med naslednjimi količinami: R dolžina polreza Z višinski razpon polreza h1 višina inštrumenta hL odčitek na lati (srednja nit) a. naklonski kot posamezne vizure Povezuje jih enačba: h1 + R tgr,., = Z + hL žal sta v njej dve neznanki, namreč R in Z. Zato daljnjih zvez. Iz slike 1/c, kjer nastopajo še količine: J3 dx dL L naklonski kot merilne vrvice - višina merilne vrvice nad spodnjim količkom - višina merilne vrvice nad zgornjim količkom poševna razdalja vzdolž merilne vrvice 86 (1) moramo iskati še na- F. Sušteršič, Metoda morfometrije in računalniške obdelave vrtač 9 razberemo še: (2) in R = L cosf3 (3) Enačbe (1), (2) in (3) združimo in preuredimo. Namesto tga pišemo kar T, namesto izraza (h1 - hL - d1 + dL)/L pa pišimo B! Sledi: sinf3 - T cosf3 = B (4) Pri trigonometrični enačbi (4) upoštevamo samo pozitivno rešitev in do- bimo: cosf3 = TB + Vr 2 - B2 + 1 T2 + 1 Dolžino polreza (R) dobimo naravnost iz enačbe (3). (5) Združimo in preuredimo enačbi (1) in (2) ter upoštevamo enačbo (5), pa dobimo višinski razpon: z = R tga. + h1 - hL (6) Enačba (1) je popolnoma splošna in zato velja za poljubno točko v pol- rezu: (7) Ce smo posamezne zaporende meritve označili s celimi števili, začenši od 1 na obodu vrtače, je: ri = R (N + 1 - i) I N (8) Z N smo že prej označili število meritev v polrezu. IZVREDNOTENJE MERSKIH PODATKOV Po izvršenem preračunavanju terenskih podatkov smo informacijo o posa- meznem polrezu spravili v obliko: - azimut polreza - dolžina polreza - relativne višine točk vzdolž polreza. Da je središčni prerez kolikortoliko pravilne vrtače v grobem podoben posameznemu ciklu valovnice, je očitno na prvi pogled. Žal pa je ena temelj- nih ugotovitev mojih meritev prav to, da so si še najmanj korelirani diame- tralno nasprotni polrezi. Zato je nujno, da obravnavamo polreze posamič. Pri tem bomo morali manjkajoči del valovnice nadomestiti z zrcaljenjem, sicer bi trigonometrična interpolacija izgubila svoj smisel. 87 10 Acta carsologica XIII, 1984 (1985) b 2m 1 ,J ~.ef-~~~~~-~~~~-~ d f 30• -10cm ~-~--~-----~- o :j-n 10:-n 15m Srn 10m Sl. 2. Obdelava polreza 3 (azimut 35 °) vrtače št. 70 a - Dvakratno zrcaljenje polreza b - Prvotna oblika polreza in njegovo vzorčevanje c - Fourierjev spekter polreza d - Rekonstrukcija polreza s pomočjo celotnega spektra e - Rekonstrukcija polreza s pomočjo dolgovalovnega paketa f - Rekonstrukcija kratkovalovnega paketa g - Naklon zbistrenih pobočij po1reza (v stopinjah) Flig. 2. The semiprofile Nr. 3 (dir. 35°), doline Nr. 70 processing a - Twofold semiprofile ref:lecting b - The natura! semiprofile shape and the way of sampling c - The semiprofi1e Fourier spectrum d - The semiprofile reconstruction using the whole spectrum e - The semiprofile reconsitructlion using the 1ong wave pack f - The short wave pack reconstruction a g 15m g - The band pass filtered semiprofile slope inclination (in degrees) 88 s F. Sušteršič, Metoda morfometrije in računalniške obdelave vrtač 11 Pri zrcaljenju moramo upoštevati dve osnovni zahtevi. V najgloblji točki, torej pri dnu, mora tudi zrcaljena krivulja ohraniti vrednost odvoda (naklo- na) enako nič, na obodu pa mora tudi zrcaljena krivulja ohraniti prvotno vrednost odvoda. Zahtevam je zadoščeno, če z zaporednim lihim in sodim zrca- ljenjem dosežemo simetrijo IV vrste (J. N. Bron štej n, K. A. Semen- d j a j e v, 1980, 644), kot je prikazano na sliki 2/a. Za nadaljnje preračunavanje moramo podatke prilagoditi uporabljenemu tipu simetrije. To dosežemo tako, da višinam posameznih točk nad dnom (z1) odštejemo višino točke na obodu (zL =z1 = Z). Oddaljenost od središča ozna- čimo namesto z r 1 z Xn, kjer je n = N + 1 - i. Tedaj velja: Točka dno pobočje obod Koordinate: Prvotne razmere: r = O, z= O T = T1, Z= Zi r=R, z=Z Nove razmere: X 0 = O, Yo = -Z Xn = Rn!N, Yn = Z1 - Z XN = R, YN = o Koeficiente trigonometričnega polinoma tedaj izračunamo po enačbi: N-1 a (2k+1) = JI..!!_ + -2- ~ Yn cos r 1tn (2k + 1) 1 N N ~ l2N n=l k = 0,1,2, ... N - 1 (9) kar je v diskretni obliki zapisana splošnejša enačba, ki jo za simetrijo IV vrste podajata Bronštejn in Semendjajev (o.c.). Zaradi tipa simetrije nastopajo sa- mo kosinusovi koeficienti lihih harmonskih števil. Da izračunamo položaj poljubne točke na polrezu, uporabimo običajno formulo za Fourierjevo sintezo: N-1 y(x) = 2 a2k+1 cos l (2k + 1) ;; 1 (10) k=O Za abscisne vrednosti, kjer je x = n, dobimo seveda nazaj prvotne ordi- natne vrednosti {Yn), Neodmerjene vrednosti vmes pa nadomestimo z mate- matično konstrukcijo. Presečišča s plastnicami izračunamo s kakim iterativ- nim postopkom, npr. bisekcijo. IZLOCANJE PERIODICNm MOTENJ Spomnimo se še enkrat, da nam pomenijo koeficienti a2k+i amplitude va- lovnic s harmonskimi števili r = 2k + l. Posamične valovne dolžine izraču­ namo iz enačbe; A2k+1 = 4 NI (2k + 1) R (11) 89 12 Acta carsologica XIII, 1984 (1985) Ker smo v polrezu izmerili dvanajst točk in iz teh izračunali dvanajst koeficientov, je nekaj valovnic daljših od polreza, nekaj pa zagotovo krajših. Harmonskemu številu 23 (= 2 X 11 + 1) pripada npr. val dolžine A23 =0,1737 NR, oz. 5.75 cikla na polrez. Sedaj se lahko odločimo, kaj bomo imeli za motnjo in kaj za prvotno ob- liko vrtače. Najobičajnejša motnja, ki jo opazimo že pri prvi terenski meritvi, so razne škraplje oz. izdanki žive skale. Prav ti se nam kot nekakšni valovi vrinjajo na pobočja vrtače in nam včasih celo otežujejo določiti mesto oboda. Ker smo obliko polreza razstavili na posamezne valovnice, se moramo samo odločiti, katere bomo opustili. Glede na to, da so vrtače centrične, je smiselno opustiti vse tiste, ki imajo dva ali več ciklov na polrez. Iz enačbe (11) lahko izračunamo, da pride pri harmonskem številu r = 2k + 1 = 7 na polrez 1,75 cikla, pri harmonskem številu r = 9 pa 2,25 cikla. Tako nam prve štiri valovnice s harmonskimi števili 1, 3, 5 in 7 (dolgo- valovni paket) sestavljajo osnovno obliko polreza, preostale, s harmonskimi števili od 9 do 23, pa kratkovalovni paket v katerem so zbrane motnje, če jih obravnavamo v čisto geometrijskem smislu. Za zbistreno inforr.i.acijo o posa- meznem polrezu potrebujemo tedaj samo prve štiri Fourierjeve koeficiente in dolžino polreza. Ker smo na terenu morali odmeriti 15 količin, je prihranek okrog 65 %. V enačbi (10) tedaj upoštevamo samo dolgovalovni paket in rekonstruira- mo osnovno obliko polreza (brez motenj). Ce pa želimo proučevati le-te, sinte- tiziramo njihovo obliko iz kratkovalovnega paketa. Na sliki 2 je prikazan ves postopek od vzorčevanja polreza, preko periodograma do sinteze dolgovalov- nega oz. kratkovalovnega paketa. Ce enačbo (10) odvajamo na x, dobimo tangens naklonskega kota površja v poljubni točki polreza, vendar v njegovi smeri. To pomeni, da je na ta načm dobljeni naklon enak gradientu le v primeru, če je vrtača popolnoma cen- trična. Lahko uporabimo le dolgovalovr;ii paket in dobimo prvo informacijo o zbistreni obliki polreza. Računamo po enačbi: 3 -1t ~ l 1tX l tgcp = y'(x) = 2 N a2k+1 (2k + 1) sin (2k + 1) 2 N (12) k=O S kotom ep smo označili zbistreni naklon pobočja vrtače v poljubni točki polreza, gledano od središča proti obodu. CELOSTNA SLIKA VRTACE Posamezen polrez torej lahko podamo z vektorjem, katerega elementi so prvi štirje Fourierjevi koeficienti in njegova dolžina. Ce smo v vrtači izme- rili npr. šest polrezov, je cela vrtača opisana z matriko, ki jo sestavlja ustrez- nih šest vektorjev. Fourierjeve koeficiente dolgovalovnega paketa spravimo v polje dimenzij 4 X 6. Dodamo zgoraj še vektor-vrstico, v katerem zberemo 90 F. Sušteršič, Metoda morfometrije in računalniške obdelave vrtač 13 dolžine posameznih polrezov. Za vrtačo, označeno na poligonu s št. 70, do- bimo: 19,28 15,60 16,34 16,57 18,34 18,05 -4,96 -3,84 -2,79 -4,40 -5,55 -6,46 -0,09 -0,95 -0,73 -0,54 -0,91 -0,53 0,15 -0,07 -0,08 -0,06 0,68 0,37 -0,32 -0,10 -0,11 0,12 0,04 -0,09 Količine so podane v metrih. Vsak stolpec vsebuje podatke enega polreza. če seštejemo spodnje štiri elemente posameznega stolpca, dobimo negativno vrednost višinskega razpona v tem polrezu. V gornji vrstici je zbrana informacija o obsegu, v spodnjem minorju pa o obliki vrtače. Prostorske koordinate najgloblje točke in smer prvega polreza moramo seveda zabeležiti posebej, da je potem naša informacija res popolna. Nad vektorji-stolpci, ki nam v gornji matriki predstavljajo posamezne polreze, lahko sedaj izvajamo različne operacije numerične taksonomije, oz. prepoznavanja vzorcev. Podobno, kot je C. L. Sta b 1 er (o. c., 347) preprosto klasificiral gube na osnovi odnosov med prvo in tretjo valovnico, lahko tudi mi razvrstimo polreze vrtač v skupine, ki jih določa sorodna geomretrija. Glede na svojstveno obliko polrezov, pa sistem ni dvodimenzionalen, kot je v slu- čaju gub, temveč štiridimenzionalen. Zato bo grafična slika pač nekoliko bolj zapletena. Cvijicevi modeli (o. c.) imajo v tem sistemu točno določeno mesto. Iz dolžine polrezov in višinskega razpona, ki ju za vsak polrez vsebuje gornja matrika, lahko s pomočjo osnovnih enačb Fourierjeve sinteze izraču­ namo tudi ves potek oboda vrtače. Ker so te enačbe v prav vseh učbenikih, jih na tem mestu izpuščam. Na sliki 3 sta prikazana tloris in stranski ris oboda malo prej obravnavane vrtače. Doslej smo se ukvarjali le s točkami vrtače, ki jih zajemajo neposredne meritve oz. krivuljčna interpolacija merskih podatkov. S podobnimi razmiš- ljanji, ki pa so nekoliko bolj zapletena, lahko izračunamo poljubno točko v vrtači. Neposredno lahko izračunamo obliko izmerjenega polreza. Ta naj bo v splošni obliki podana s parom enačb: R = R (lj;) Z= Z(r) o;;;;lj;<21t o< r = R (41) in Podobno nam obliko oboda določa par enačb: R = R (41) H = H (41) 0;;;;41<21t o;;;;lj;<21t in (13) (14) (13) (15) Imenujmo prvo prostorsko krivuljo (en. (13, 14) polreznica drugo (en. 13, 15) pa obodnica. Zelimo dobiti koeficiente polreznice s poljubnim azimutom. Te bi lahko izračunali, če bi poznali višine vsaj nekaterih točk vzdolž tega polreza, saj njegovo dolžino in višinski razpon lahko dobimo neposredno iz obodnice. 91 14 Acta carsologica XIII, 1984 (1985) a + o iOm ..J.... b 5m 4m 2m o' !Oa° 2oo' 30o' 92 F. šušteršič, Metoda morfometrije in računalniške obdelave vrtač 15 Ce se želimo vnaprej ukvarjati z zbistreno obliko vrtače (kar je skoraj vedno slučaj) nam zadostujejo le štiri take točke. Definirajmo sedaj štiri ob- likovnice, ki potekajo skozi štiri pravilno razporejene točke vseh (poznanih in nepoznanih) polrezov. Njihove aplikatne vrednosti v znanih polrezih izraču­ namo iz zbistrenih spektrov posameznih polrezov, medtem ko so njihove raz- dalje od središča kar R (\jJ) 4 n n = 1, 2, 3, 4 (16) Očitno je četrta oblikovnica identična z obodnico. Sedaj imamo podatke, da izračunamo Fourierjeve koeficiente enačb posameznih oblikovnic, ki jih opisujeta enačbi Tn = R0 (\jJ hn = Hn (\jJ) in (17) (18) Z njihovo pomočjo izračunamo aplikate štirih točk (pravzaprav treh, ker po eno dobimo že iz obodnice), odtod pa po enačbi (9) iskane Fourierjeve koe- ficiente. Sinteza po enačbi (10) nam da višino nad dnom poljubne točke v poljub- nem polrezu. Z bisekcijo lahko ob uporabi enačbe (10) izračunamo točke na izbranih plastnicah vzdolž vsakega polreza, kar nam omogoči, da izrišemo sliko vrtače s plastnicami tako natančno, kot želimo, oz. kot nam dovoljuje informacija, zbrana v gornji matriki (sl. 3/a). SPLOŠNE UGOTOVITVE Predstavljena metoda se je izkazala kot terensko dovolj gospodarna in učinkovita, tako da bistveno prekaša vse doslej znane mi postopke merjenja vrtač. Pri obdelavi podatkov se je pokazalo, da dvanajst merskih točk vzdolž posameznega polreza povsem zadostuje. Pač pa je šest polrezov na vrtačo, ko- likor smo jih merili doslej, komaj dovolj. Priporočljivo bi bilo njihc>vo število povečati vsaj na osem. Cvijiceve parametre lahko izračunamo neposredno iz dobljenih podatkov. Zastavlja pa se vprašanje, ali sploh imajo kakšen večji smisel. Iz slike 3, kjer je prikazana najpravilnejša izmed izmerjenih vrtač, je razvidno, kako malo osnovano bi bilo nadaljnje sklicevanje na daljši oz. krajši premer in globino. Vrtače so pač premalo pravilne, da bi tako o njih mogli povedati kaj bistve- Sl. 3. Vrtača št. 70 a - Tloris z izračunanimi plastnicami b - Stranski ris oboda kot funkcija azimuta polmera Fig. 3. Doline Nr. 70 a - The computed ground plane conture Iines b - The computed lip elevations above the bottom point, as the function of the radius direction. 93 16 Acta carso!ogica XIII, 1984 (1985) nega. Prav tako je jasno, da je iskanje povprečnega naklona strel v prazno. Nakloni se vzdolž polreza oz. plastnice, kot smo lahko ugotovili iz celote po- datkov, precej zakonito spreminjajo (Sl. 2/g). V nadaljnjem bo potrebno ugo- toviti te zakonitosti, jih matematično izraziti in opisati s primernimi para- metri. Le-ti bodo ustrezneje nadomestili sedanji »poprečni naklon«. Pri obdelavi doslej znanih podatkov so se pokazale nekatere doslej manj opažene ali manj znane zakonitosti, ki bi se jim kazalo v bodoče bolj posvetiti. Že s slike lahko opazimo, da je predstavljena vrtača vsaj dvožrelna, če ni raz- lično učinkovitih središč odnašajo celo več. Prav tako bi sama pobočja morda laže kot s stožcem opisali s piramido z zaobljenimi robovi. Ploskve te pira- mide se jasno prilegajo znanim strukturnim smerem in pri nadaljnjem pro~ učevanju bomo verjetno laže določili vsebino povezave med tektoniko in obli- kovanjem vrtač. S slike 2/f lahko razberemo, da je v kratkovalovnem paketu dobro izra- ženo onduliranje z valovno dolžino okrog 3 m. To se presenetljivo sklada z V. Nemčev o (1970, 65) planetarno dimenzijo reda 22, ki meri 3.041 m. Ker se to ponavlja v različnih vrtačah in različnih polrezih ni odveč vprašanje, ali skladanje ni kaj več kot slučajno. O tem bodo morale več povedati na- daljnje raziskave. H koncu ne smem zamolčati manj ugodnih plati uporabljene metodolo- gije. Živoskalna pobočja in osrednji sediment smo upoštevali kot enakovredna medija, čeprav lahko pričakujemo, da informativno nista enakovredna. Ugo- tovljena oblika vrtače je torej zgolj formalna in izraža trenutno stanje. Dokler nam tehnična sredstva v mejah gospodarnosti ne omogočajo drugačnih po- segov, bomo raziskovali pač površinsko morfologijo vrtač. Kasneje pa bo po- trebno obravnavati živoskalno kotanjo zase in ilovnato polnilo zase. Ogrodje našim meritvam dajeta najgloblja točka vrtače in obod. Nakazal sem že, da ju je večkrat težko določiti. Po bistrenju podatkov se lahko celo izkaže, da smo ju določili napačno. Na srečo to matematične obdelave ne moti - v najslabšem primeru nekoliko podaljša preračunavanje. Jasno pa kaže, na kako šibkih nogah stojijo raziskave, ki precenjujejo informativnost Cviji- čevih parametrov. Opisani postopek merjenja in numerične obdelave vrtač priporočam vsa- komur, ki bi si želel ukvarjati s podrobnejšim proučevanjem vrtač. Zato so računalniški programi resnim interesentom vedno na razpolago. 94 F. Sušteršič, Metoda morfometrije in računalniške obdelave vrtač 17 LITERATURA B e c k, B. F., 1984 (ur.): Sinkholes: their geology, engineering & envirorunental impact, Proceedings of a conference sponsored by the Florida Sinkhole Research Institute, 15-17 Oct., 1984, Orlando, A. A. Balkema, 1-429, Rotterdam, Boston. B •r on štej n, J. N., Semen d j a je v, K.A., 1963: Matematični priročnik, Založba Zivljenje i:n tehnika, 1-699, Ljubljana. C ho r I e y, R., J., 1972: Spatial analysis in geomorphology. Harper & Row, 1-394, New York, Evanston, San Francisco, London. C rame r, H., 1941: Die Systematik der Karstdolinen. Neues Jahrbuch fur Minera- logie, Geologie, und Palaontologie, Beilage-Band, Abt. B. 85, 293-382. C vij i c, J., 1895: Karst, geografska monografija. 1-135, Beograd. Davi s, J. C., 1971: Statti.stics and data analysis in geology. Willey, 1-550, New York. Da y, M., 1983: Doline morphology and development in Barbados. Annals of the Association of American Geographers, 73 (2), 206-219. Eva n s, I. E., 1972: General morph=etry, derivations of altitude and descriptive statistics. V: R. J. Chorley (ur.), Spatial analysis ... , 17-89. Habič, P., 1969: Preiskave vrtač v trasi avtoceste Vrhnika-Postojna. Elaborat v arhivu IZRK ZRC SAZU Postojna, 1-31. (V prilogi geodetska izmera vseh vrtač v trasi). Ha bi č, P., 1970: Poročilo o kraških pojavih na območju projektiranih va,riant avtoceste Senožeče-Divača-Sežana. Elabora,t v arhivu IZRK ZRC SAZU Po- stojna, 1-4. Ha bi č, P., 1972: Kras med Senožečami in Sežano. Elaborat v arhivu IZRK ZRC SAZU Postojna, 1-31. Habič, P., 1974: AC Senožeče-Divača-Sežana, poročilo o vrtačah. Elaborat v arhivu IZRK ZRC SAZU Pootojna, 1-20. (V prilogi geodetska izmera vseh vrtač v trasi). Habič, P., 1978: Razporeditev kraških globeli v dinarskem krasu. Geografski vest- nik 50, 17-29. Jennings, J. N., 1975: Doline morphometry as a morphogenetic tool; a New Zea- 1and example. New Zealand Geographer, 31 (1), 6-28. La v a 11 e, P., 1968: Karst depression morphology in South central Kentucky. Geo- grnfiska Annaler, 50 A, 2, 94-108. Mar k, A. M., 1975: Geomorph=etric parametres: a review and evaluation. Geo- grafiska Annaler, 57 A, 3-4, 165-177. M e z o s i, G., B a ran y, I., T 6 t h, I., 1978: Karstmorphometrische Untersuchungen im Gebirge Aggtelek. Acta universitatis Szegediensis, Acta Geographica, 18, 131-140. Nemec, V., 1970: The law of regular structurnl patterns: its applica.tion with specia1s regard to mathematical geology. V: D. F. Merriam (ur.), Geostatistics, Plenum press, 63-78, New York, London. O g de n, A., 1984: Methods for describing and predicting the occurence of sink- holes. V: Beck., B. F., (ur.): Sinkholes ... , 177-182. Pat e r s on, K., 1980: Closed depresions in limestone areas: some teaching aproa- ches fur the physicaJ geogrnpher. Geography, No. 287, Vol. 65, Part 2, 107-118. S o t o, A. E., Mora I e s, W., 1984: Collapse sinkholes in the blanket sands of the Puerto Rico ka.rst belt. V: Beck, B. F., (ur): Sinkholes ... , 143-146. Sta b I er, C. L., 1968: Simplified Fourier a.nalysis of fold shapes. Tectoruphysics, 6 (4), 343-350. šušte r š i č, F., 1982: Nekaj misli o oblikovan01Sti kraškega površja. Geografski vestnik 4„ 19-28. T r o ester, J. W., White, E. L., W h i,t e, W. B., 1984: A compari,son of sinkhole depth frequency distributions in tempera,te and 'trnpic kam regions. V: Beck, B. F., (ur.): Sinkholes ... , 65-73. 18 Acta carsologica XIII, 1984 (1985) W hit ten, T. E. H., K o e 11 i g, M. E. V., 1973: Spline-surface interpolation, spatial filtering and trend surfaces for geological mapped vartables. Mathematical geo- logy, 5, 2, 111-126. W i 11 i a ms, P. W., 1972: The analysis of spatial characteristics of karst terrains. V: R. J. Chorley (ur.), Spatial analysis ... , 133-163. 96 F. Sušteršič, Metoda morfometrije in računalniške obdelave vrtač A METHOD OF DOLINE MORPHOMETRY AND COl\'IPUTER PROCESSING (S ummary) The dolines are among the first metrically processed geomorphic phenomena (J. Cvijic, 1895) and one may wonder, why our insight into their real shape and for- mative processes has remained up till now quite limited. Severa! researchers tried to s;udy them more or less in the way Cvijic had outldned, but their work hasn't fulfilled all their expectations. So one may state that something must be wrong wi