i
i
“1266-Potocnik-zgodba” — 2010/7/22 — 13:35 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 23 (1995/1996)
Številka 4
Strani 193–196
Primož Potočnik:
ZGODBA O PRAVOKOTNEM TETRAEDRU
Ključne besede: matematika, geometrija, pravokotni trikotniki, tetra-
edri, Pitagorov izrek, Evklidov izrek.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1266-Potocnik.pdf
c© 1996 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
IMatem atika
ZGODBA OPRAVOKOTNEM TETRAEDRU
Za devetimi gor ami in devetimi vodami leži mesto likov in teles. V njem
živijo krogi , trikotniki , kvadrati , kocke, te traedri, razne prizme, ikozaedri
in še mnoga druga čuda
najrazličnej ših obl ik in ve-
likost i. Nekateri so okrogli,
drugi koničasti , tr etji bolj
podolgovati, četrti bolj sti-
snj eni. Vsi pa se strinjajo ,
da je med njimi najimenit-
nejši trikotnik , ki ima en
kot pravi . Med vsemi tri-
kotniki so le njegove st ra-
nice takšne, da zadoščajo
slavni Pitagorav i enačbi
a2 + b2 = c2 .
Med prebivalci mest a pa je tudi debelušček pr avokotni tet ra eder .
Zanj se nihče ne zm eni in zato je zelo nesrečen . Pa vend ar , si pr avi , mora
bit i tudi na meni kaj imeni tnega in zanimivega . Kon ec koncev nisem čisto
navaden te t raeder . Moj e str an ske ploskve so pravokotni t rikotniki (in sem
zato lep vsaj za tri pr avokotn e trikotnike) . Njihove katet e se elegantno
dviguj ejo proti vrhu, hipotenuz e pa obdajajo pr av mično osnovno ploskev .
,....A..~
\
- .- •.••~ '>
• A." • •_ ,
OJ o> ~ • .1
Gotovo tudi zame velja kakšen izrek . Tako ra zmišlja pr avokotni tetrae der,
se gleda v ogledalu in meri t er računa. Na kon cu pa le odkrije nekaj
čudovitega . Steče na ulico in pove vsakemu , ki ga sreča:
Če seštejem kvadrate ploščin svojih stranskih ploskev, do-
bim kvadrat ploščine osnovne ploskve. Torej:
A 2 + B2 + C2 = 7)2 .
111atematika I
To je prišlo na uho tudi mest-
nemu matem atiku . Novica o tak-
šni skladnosti tet raedrovih plos-
kev ga je zelo pr esenetila . Kar je
naš tetr aeder zmeril , j e hotel stro-
kovnj ak preveri ti s svinčn ikom in
papirjem. Narisa l j e poljuben pra-
vokotni tetrae der in razmišljal t a-
kole: Označimo vrh tet raedra
z O in oglišča osnovne ploskve z
A , B, e. Koti <tAOB , «eoc,
<teOA pr avokotnega tet rae dra so
pr avi. Narišimo višino t rikotnika
ABO na AB in nožišče označimo
sT. Nari šimo še višino osnovne
ploskv e (ABC ) skozi C . Zdi se
nam , da im a ta višina ist o nožišče B
T kot višina OTo Preverimo:
A
2 2 2.
~ ------t --+ ----+ --+ ----+
T e AB = (OC - OT)(OB OA )=
---+ ---+ ----+ ---+ ----+---+
= OB oe - OA oe - OT(OB ------+OA) = O.
T e je pravokotn a na st ranico AB in im a krajišče v e in je zato res
višina osnovne ploskv e. Pod obno bi se lahko prepričali še za druge višin e
in ugot ovil i:
Višine stranskih ploskev imajo z višinami osnovne ploskve
skupna no ži š ča.
IMat ematika
P roj icirajmo sedaj vrh tetraedra O pravokotno na osnovni co A BC.
Kaj je projekcija? Iz skice lahko domnevamo, da je to višinska točka H
osnov ne ploskve. Dokažimo:
-----4- ----+- -+ --+ ----+- ---+ ~
OH = OT +TH = OT +kTC , AB OH --+ ---+ ---+ -----+OT AB + k T C AB = O.
Daljica OH j e torej pravokotna na stranico AB in enako bi se prepričali ,
da je pr avokotna t udi na stranico AC. Ker se da vsak vektor v ravnini
--t --t
osnovne ploskve zapisati kot linearna kombinacija vektarjev A B in AC,
j e OH pravokotna na vso ploskev ABC. To pa že pomeni , daje točka H
res pr avoko tna projekcija vrha O na osnovno ploskev . Povedano drugače:
Višinska točka osnovne ploskve je hkrati nožišče t elesne vi-
šine pravokotnega tetraedra.
Sedaj, ko smo opravičiliprivzetke, ki smo jih naredili ob risanju skice,
lahko preverimo trditev našega tetraedra. Z A, B, C označimo ploščine
stranskih ploskev OAB, OBC, OCA in z 7) ploščino osnovne ploskve
ABC. Z a, b, e označimo dolžine st rani c stranskih plosk ev in z d dolžino
stranice AB. V računu bomo potrebovali še dolžini višin OT in CT, ki ju
bomo označili z s in v . Iz skice lahko preberemo:
A = ab
2 '
B - be
- 2 '
C = ca.
2
Nekaj več težav je z računanjem ploščine osnovne ploskve:
dv
7) = 2 '
Trikotnika ATO in AOB sta si podobna, saj imata en kot skupen , drugi
pa je pri obeh kar pravi . Zato velja
s : a = b : d .
Od tod dobimo:
In ker je d2 = a 2 + b2 , sledi:
a2 b2 + b2 e2 + e2 a2
7)2 = =A 2 + B2 + C2 .
4
lV! atematika I
Matematik , ki je bil v mestu likov in teles zelo cenjena oseba (ko bi
vsaj bilo tudi kje drugje tako ...) , se je tako prepričal v pr avilnost tetrae-
drove trditve. Rezultat mu je bil všeč in je zato računal dalj e. Spomnil se
je Evklidovega izreka, ki pravi , da je v pravokotnem trikotniku produkt
osnovnice in proj ekcije katete na osnovnico enak kvadratu kat ete. Ana-
logno je v pravokotnem tetraedru označil projekcijo stranske ploskve na
osnovno z A' in daljico T H z s' . Sedaj je prebral s skice:
ds' dv d2 s' v
A'V=22= -4- '
Trikotnik TOG j e pravokoten in zato velja
s' v = S 2 ,
A'V = (dS) 2 = A 2 .
2
Se pravi, da se tudi pravokotni tetraeder lahko ponaša z
Evkl'idovirn izrekom.
Matematik je računal še in še ter odkril še mnogo zanimivih lastnosti .
Vse to je nato objavil meščanom in ti so sedaj postali pon osni , da živi
med njimi pol eg pr avokotn ega trikotnika še en tak lepotec. Tetraeder se
jim ni zdel več dolgočasen in nezanimiv in vsi so ga vabili v svojo druž bo .
Ugibanje, kaj vse zanimivega je matemat ik še odkrilo pr avokotnem
tetraedru , pa prepuščamo nadobudnim bralcem . Naj le še nami gnemo ,
da se da do neke mere posplošiti t udi višinski izrek . Vprašam o pa se
lahko tudi, ali so pravokotni tetraedri edini takšni tetraedri , ki zadoščajo
posplošenemu Pitagorovemu izreku . Opazimo, da ne (najdi primer!), če
pa pol eg Pitagorove formule zahtevam o še nekaj dodatnih omej itev, res
dobimo tudi zadostni pogoj za pr avokotnost tetraedr a.
Naloge:
1. Naj bosta a in b kat eti , c pa hip otenuza pr avokotnega trikotn ika. Z
v označimo višino na hipotenuzo. Dokaži, da velja
1 1 1 1
v 2 = a 2 + b2 + c2 .
Izpelji analogno formulo za pravokotni tetraeder .
2. Ali j e lahko osnovna ploskev pravokotnega tetr aedra topokotna?
3. V kakšnem odnosu so si nasprotni robovi pr avokotnega tet raedra?
Prim ož Potočnik