i
i
“3-1-Omladic-naslov” — 2009/3/26 — 15:00 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 3 (1975/1976)
Številka 1
Strani 9–14
Matjaž Omladič:
ZAGONETNI FERMAT
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/3/3-1-Omladic.pdf
c© 1975 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ZAGONETNI FERMAT
1 . Mi r no življenje
V malem mestecu Beaumont-de-Lomagne na s k r a j n e m jugu Francije,
v vojvodini Gascogni , s e j e 4 . a vgu s ta 1 601 r o d i l e d e n največj ih
matematikov vseh č a sov Pierre de Fermat . Umr l je dobr ih 6 3 let
kasneje, 1 2. januarja 1665 v b l i ž n j e m kraju Cartresu, kjer je tu-
di pokopan.
a življenju č l o veka , kat e rega g e n i j še d a ne s občudu j emo , ve mo
le malo . Njegov oče Dominique je bil trgovec z usnj em in beaumon-
ški uradnik, mati Claire de Long pa je izvirala i z pravniške d r u-
žine. So l a l s e je v rojstnem k r a j u in v bli žnj em Toulou su, kj er
je končal študij prava ter postal sodni uradnik. Kasneje se je
tudi za stalno naselil v Toulousu, se poroč i l i n i mel pet otro k.
Njegova pravniška ka r i e r a je bila počasna in mirna ter je do s egla
svoj vrh takrat, ko je bil imenovan za kraljevega svetnika v lo-
ka l n e m parlamentu v Toulousu. Ne ka ter i viri pričaj o o tem, d a se
je odlikoval po svojem poštenju, o b z i r no s t i in zgle dnem ved e n j u .
Svoj prosti čas je Fermat posvečal matematiki in dosegal izredne
rezultate.
Danes velja za začetnika d i f e r e nc i a l n e ga računa in s k u p a j z
drugim znanim francoskim matematikom Blaiseom Pascalom za tvorca
teorije verjetnosti . Nj e go va verj etno najpomembnejša odkr i t j a pa
sodijo v področje matematike, k i mu danes pravimo teorija števil.
Na žalost nimamo pravega pregleda nad celotnim njegovim matema-
tičnim delom, saj je svoje rezultate r e d ko o bjavljal. Neka j o nje-
govem d elu lahko izvemo iz pisem, ki jih je p i s a l drugim matemati-
kom in fizi ko m svojega časa. Dopisoval si je s Pascalom, Re n e j e m
De s c a r t e s om in mnogimi d r u g im i , po ne katerih virih celo z Isaacom
Newtonom. Navadno je Fermat svoje matematične domisleke pripisal
kar na robove knjig, ki jih je prebiral. Njegov sin Sa mu e l je i-
mel težko delo, ko je poskušal po očetovi smr t i z brati njegovo
delo in ga izdati v knjižni o bliki. Kljub temu je knjiga leta 1679
izšla pod naslovom Varia opera mathematica, ta knjiga pa je hk r a t i
9
tud i edino prlcevanje , k i nam j e ostalo o Fermatovem d e l u . Pre-
ce jšn je š tevi lo Fe r mato v i h t rd itev j e ostalo nedokazanih , bodis i
da so se dok a z i izgubi li, bodis i jih z agone t ni, a gen i a l n i mož n i
n ikdar zap is a l . Ce la dese t le t ja so mi n i l a , preden so n a jbo l jš i
matematiki Evrope uspeli razvozlati nekatere Fe r mato ve uganke .
Ena med nj im i je še dobrih 300 l et po n jegovi smrt i os t a la neraz-
reš ena , to j e sloviti "posledn ji izrek" .
Ka j hitro l a hko izračunamo naklon
sekant e v točki
na klo n t ange nt e
i n t a n ge nto : y =
2 . Tangenta h a krivu ljo
Tangen t a na kr i v u l jo j e ede n n a jpomemb ne jš i h po jmov , k i j ih je
vpe l j a l Fe r mat in p r a v to ga po s t 'a v I j a na če l o ti stih, k i jih da -
nes i ma mo za začetnike di ferencia l nega računa .
Zamis l imo si poljubno krivu l jo v ravnini , npr . tako , k akršna
je n a sl.l in iZberimo t oč ko T na k r i vu l j i . Tisti premic i , ki bo
š l a skozi to točko in se bo najbo l je pri lega l a krivul j i v b l iž ini
te to čke, bomo rekli t angenta n a krivuLjo v d a ni točki . Vprašan j e
je, kako p r i t i do t e premi c e?
I z be rimo s i na krivul j i še dve na dal jni točki P i n Q, eno n pr .
desno , d rugo pa l e vo od točke T . Premica s ko zi ti dve točki j e
sekanta k r i v u Lje. Ce bosta točki začeli drset i po krivul ji vsaka
s svoje strani proti točki T , pa bo sekanta najbrž vse bl ižje t an -
ge nti ! In ko bosta končno točki zdrsnili v T , bo sekanta skoči la
v tange nto!
Že prav , bos te rekl i , toda kako t o izračunat i ? Pa na j bo o d s le j
k r ivu l ja podana kot graf neke f unkci je f( x) ( sl. 2). Na k r ivu l ji
s i izberimo t očko T s ko ordinatam a (x o,f(x O» in to čko P s koo r d i -
nat am a ( xO+h , f (xO +h» . Da ne s si delo poenosta vimo s tem , da drugo
t očko Q kar tako j pos t avimo v T. Na k l o n sekante j e tedaj očitno
1
k s = h 1f( x o+h) - f (x o ) 1,
naklon tangente pa dob i mo , če v
zgo rn ji i z r az postavimo h=O. Fu nk -
cij a , narisan a na s l .2 , ima enačbo
f (x ) = x 2 + 1.
10
Poglejmo si še tole: s mi s elno je re č i, da ima pri nekem š te vi -
lu X o funkcija najvecJo vrednost (maksimum) , če im a v vseh b l iž -
njih točkah manj šo vredno s t. Po do bno lahko de fini ramo min im um
funkcije. Tako im a funkcija na sl. 3 mak s imum v t oč kah xi in X
3
'
mi n i mum pa v točki X
2
' Točkam o beh vrst pravimo s skupno bes edo
LokaLni ekstremi funkcije. Iz slike pa lahko kaj hitro razberemo
tole r es nico: v točkah, kj er ima funkcija e kstre m, so tangente vo-
doravne! To p a pomeni, d a j e v teh to čkah naklon tange nt e na kri -
vuljo enak O.
Funkcija na sl. 2 ima očitno minimum pri x=o in res je tangenta
v točki O, kakor s mo že izračunali, y=i, t o re j vo do r a vna !
3 . Fermatov princip
Fermat pa s e n i ukvarjal samo z ma tema t iko , ampak je včas ih
posvetil svoj čas t ud i neka ter im fizi kalnim pr ob lemom . Med n je-
go va najpomembnej ša odkritja s t e ga področja šte j emo danes nj e-
govo trditev o širjenju svetlobe v optiki. To je znameniti Fer-
matov princip, ki pravi, da se s vetloba širi po taki poti, za k a -
tero porabi naj manj ča s a. Fermato v sodo bnik De s c a r te s je ta prin -
c i p v s vojih p i s mi h žolčno napadal in po s kuš a l pri tem mirnega
Fermata celo ž a l i t i . Descartes je namreč v zve zi s š i r j e n j e m svet-
lobe zagovarjal svoje lomne in odbojne zakone, ki so sicer pravil-
n i , ni pa s previdel, da Fermat v i d i d l j e , s aj so Desc a r te sovi z a -
koni samo e n a izmed posledic Fermatovega principa.
Prejšnje razmišljanje o tangentah nas j e dovolj podko valo, da
bomo znali to razumeti!
(1/) (1/)
l
/
T i
I
h
X o x o+h (x) x , (x)
Slo 2 Slo 3
11
Sl . II Slo 5
Na sl .4 naj pomeni os x mejo med dvema opt ičnima sre astvoma .
Recimo , d a j e n ad os jo x z r ak , pod n jo p a vo da. V sredstvu, ki
lež i nad osjo x , na j ima s vetlo b a hi t ros t v i ' v t istem pod os jo
pa h itros t V 2 . V t očki A (O,a ) prižgemo sve t i lko , e nega izme d žar-
ko v , k i jih s ve t i l k a po šilja na vs e s t r a n i , p r e s t režemo v to čki
E (c , -b).
Vprašamo s e, k ako je s ve t l obn i ž are k , ki smo ga p res t reg l i ,
pot9val do n a s? De n i mo, d a je na mejo med s r e d s t vo ma, t o r e j na
os x , z ade l ž arek v točki T(x , O). Po Fermatovem princ ipu je od
točke A do točke T potova l tako, da j e z a pot po r a bil naj manj č a­
s a . Na t e j pot i je ve s č as po toval z e nako h i t rostj o in z a to iz-
b r a l n a jkr a j šo po t med obema točkama , t o j e dalj i co AT . Od t očke .
T do to čke E pa j e p rav t ako poto val po da lj ic i TE . Iz fizike ve -
mo , da je pot, ki j o nared imo v času t , če s e gibljemo z enakomer-
no h i trost jo v , enaka v· t; če zda j upoštevamo še Pitagorov izrek ,
dobimo , d a j e č as , k i ga je svetlobni žarek porabi l za pot od toč­
ke A do točke T
t i =
AT 1 ,;XZt:'Q'Z"
vi Vi
in č as za po t od t oč ke T do to č ke E
TE 1t 2 v 2 v 2
(c -x ) 2+b '
Ce t o r ej izberemo x i n s tem t očko T, bomo l a hko izračunali čas ,
k i b i ga ž a re k po rabi l , če bi t ud i o n "i z bral " is t o t očko T za
pot od A do E! Ce lo t n i čas z a t o pot t= t17t 2 j e tore j še od visen
od i z bire x , to je f unkcij a spremen l j i vke x! Na s l .5 j e narisan a
12
ta funk c i j a ,
Po Fe rmat o ve m p r incipu mora bit i točka T i z brana tako, d a bo
č as za po t o d A do B i zme d vseh mo žnih na jma n j š i ! Točka T mora
bit i t o r ej i z b r ana t a ko , d a bo fu nkci ja tex) i mela v te j t očki
ekstre m, kar po men i , da bo naklo n t ang ente na funkcij o v te j to č­
k i enak O. Naklon seka nte na k r i vul jo j e :
k = l-ll (x + h)~ +a 2 - ! ( x 2+a2
s h v i O vi O
Po k r a tkem računu do b imo :
k
s
- 2( a-xo) + h
pr i t e m smo po d va i n d va č le na zd r u ž i l i na skupni i me no valec i n
na zna n i način s p rav i l i ko r ene i z š tevc a v imeno va le c . Naklon tan-
gent e dob im o p r i h=O
1 __x _o_ i c - X ok t -v i 1x ~ +a 2 v 2 ( a-xo )2+b 2
Povrn imo s e k sliki 4, t u smo vri s ali kota et in s , Oč it no j e
s in et =
z a t o j e
i n iz pogoja kt =O do bimo
x
sinet
s lne
i n sin e = a - x
,1( a - x) 2 +b 2
To p a j e r avno De s c a r t e s o v l o mni zakon ! Svet l o bn i ž a r ek , k i smo
ga p re s t r egli v t očki B, j e potoval tako, d a j e bil na me j i med
o b e ma optičnima s r eds t v i ma i z polnj e n ta zakon !
4 . Teo r i ja š t evi l in pos ledn j i i zre k
Za ko ne c na j nave d em š e d v a Fermat o va pro b l ema i z t eorije š t e -
v i l . Na j p r e j mor am o me n i t i z name n i t i Fe rmat ov i zre k, k i ga j e k a-
k ih 20 l et po Fe r mato v i s mr t i p r vi dok az a l nem š k i matematik i n
f i l o zo f Go t t f r i ed Wi l h e lm Le i bn i z. Nj egova v s e b i na je k a j prepro -
s t a : Pr i poLj ub ne m narav nem števiLu n i n praš te viL u p je š te vi Lo
M(n , p ) = nP - n
de Lji vo s p I
13
Da bi se prepričali ' o pravilnost i t e t r di t ve , si oglejmo neka -
t e r e p r imere . Tako je npr. M(n,2 ) = n 2 -n = n ( n- 1 ) . Ce j e n de l j i v
z 2, t e daj je očitno tud i M(n,2 ) del jiv z 2 , č e pa n n i deljiv 'z
2 , tedaj je n -1 prav gotovo del j i v z 2 in spet je M(n, 2) d e l j i v
z 2 . S podobn im premislekom se prepričamo, da velja Fe rm a tov iz -
rek v nas ledn jih primerih:
M(n,3 )
M(n ,5 )
M(n,7)
3n - n
5n -n =
7n - n =
n ( n-l) (n+1)
n(n-1)(n+1)(n-2)(n+1) + 5(n 3-n )
n(n-1)(n +1)(n- 2 )(n+ 2)(n -3)(n+ 3)
Ta izrek sodi , kot sem ž e o me n i l , v posebno ve jo matematike,
imenovano teorij a š tevi l, ki se ukvar ja predvsem z naravnimi in
ce l im i števili . Z ač e t k i te matematične teor i je sega j o š e v s t a r i
vek, saj je že starogrš ki ma t ema t ik Diofant iz Al eksa ndrij e za-
s tavljal in reševal probleme , k i sodijo v to vej o. Fermat j e imel
v svoj i knjižnici tudi ne ko i zdajo Diofantove ma t ema t i ke iz leta
1621, ki jo j e vneto prebiral i n včasih tudi zapisoval vanjo na
robove svo je ideje. In prav na robu te k n j i ge so našli trdit ev,
k i se j e g l a s i l a nekako tako : Če je n po Ljubn o naravno š te v i Lo ,
večje k o t 2, pot em ne obstajajo nob ena taka ceLa števila x, y in
Z , d a bi bi la izpolnjena enačba
n nx + y
Ob tej trdit vi j e Fermat zapisal v isto k n j igo , d a pozna
čudovit dokaz za to, d a p a je na robu k n j i g e prema lo prostora,
da bi lahko dokaz zapisal . S tem je Fermat zastavil mat emat ične ­
mu s ve t u uganko , ki je dosle j n i š e nihče razrešil . Naj več j i ma -
temat iki sveta so se ukvar jali s tem " po sle d n j i m i z r e ko m" , t o da
nihče ga doslej n i znal niti do k a z a t i , niti ovreč i !
Jasno je , d a pri n= 2 c elo številske rešitve z gornje enačbe o b -
s t a j a j o ! Reš i tve so tedaj npr. x =3 , y=4 , z=5 ; x =5 , y=1 2, z=1 3 ;
x=7 , y =24, z =25 ; x=8, y= 15 , z =17; itd ., nove r e šitve pa dobimo iz
teh , če vsa t r i š t e v i l a množimo z is t im faktor j em . Tako so reš it -
ve tudi x=6 , y =8, z=1 0; x= 9, y =12, z =1 5; x =1 2 , y =16 , z= 20; itd .
Vi di mo, d a j e r e šitev k a r ne s končno. Tod a že za n= 3,4, 5 i n še za
n e katera d r uga na r a vn a š tev i l a n s o ma temat iki dokaz a l i , da z gor-
nj a enač ba spl o h nima rešit ev .
To pa š e n i vse . Fermat je trd il še mno So v e č!
Matjaž Om ladi č
14