von vr. Franz Rittn van Marnik. Lehrbuch der Arithmelik und Algebra nebst einer Aufgaöen-Sarnrnlung für die oberen Massen der Mittelschulen. Wrerundzwanzigste unveränderte ArrfLuge. Laut h. Ministerial-Erlass vom 13. November 1892, Z. 24753, zum Lehrgebrauche an Mittelschulen mit deutscher Unterrichtssprache allgemein zugelassen. Preis broschiert 1 fl. 60 kr., gebunden 1 fl. 85 kr. Wien. Druck und Verlag von Carl Gerold's Aohn. 1893. Das Recht der Übersetzung behält sich der Verfasser vor. , o-i. S.00L I) Inhalts-Verzeichnis. Seite Einleitung 1 Erster Abschnitt. Additiv« und Subtraktion. I. Addition mit absoluten ganzen Zahlen 4 II. Subtraktion mit absoluten ganzen Zahlen 6 III. Erweiterung des Zahlengebietes durch die Subtractiou II 1. Negative Zahlen .II 2. Addition und Subtraction mit algebraischen ganzen Zahlen .... 13 Zweiter Abschnitt. Multiplikation und Division. I. Multiplikation mit absoluten ganzen Zahlen 16 II. Division mit absoluten ganzen Zahlen 21 IH. Multiplikation und Division mit algebraischen ganzen Zahlen 28 IV. Zahlensysteme 29 V. Theilbarkeit der Zahlen .33 VI. Erweiterung des Zahlengebietes durch die Division als Theilung 44 Gebrochene Zahlen ..44 1. Gemeine Brüche ..45 2. Decimalbrüche 49 VII. Unendlich große und unendlich kleine Zahlen und Grenzwerte der Veränderlichen 58 VIII. Verhältnisse und Proportionen 61 1. Verhältnisse 61 2. Erweiterung des Zahlengebietcs durch die Division als Messung ... 63 Irrationale Zahlen 63 3. Proportionen 64 4. Anwendung der Proportionen 69 Dritter Abschnitt. Gleichungen des ersten Grades 74 I. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten 75 II. Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten 77 III. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades 81 IV Vierter Abschnitt. Potenzieren, Radicieren und Logarithmieren. ^nte I. Potenzen mit positiven ganzen Exponenten 85 II. Wurzeln mit positiven ganzen Exponenten 88 III. Potenzen und Wurzeln mit negativen und gebrochenen Exponenten.... 98 IV. Erweiterung des Zahlengebietes durch das Radicieren.101 Imaginäre und complexe Zahlen 101 V. Quadrieren und Cubieren, Ausziehen der Quadrat- und Cubikwurzel ... 104 VI. Logarithmen 115 Fünfter Abschnitt. Gleichungen des zweiten Grades 12? I. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten 128 II. Höhere und Exponentialgleichungen, welche sich auf quadratische Gleichungen zuriickführen lassen 183 III. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten 138 Sechster Abschnitt. Unbestimmte Gleichungen. I. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades 141 II. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades 148 Siebenter Abschnitt. Kettenbrnche 151 Achter Abschnitt. Progressionen. I. Arithmetische Progressionen 159 II. Geometrische Progressionen 161 III. Zinseszins- und Rentenrechnung 165 Neunter Abschnitt. Combinationslehre. I. Permutationen, Combinationen und Variationen 171 II. Binomischer Lehrsatz 178 III. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung 184 Anhang. I. Höhere numerische Gleichungen .198 II. Geometrische Darstellung der imaginären und der complexen Zahlen Aufgabrn-Sammlung. I. Addition und Subtraction. 1. Addition mit absoluten ganzen Zahlen 215 2. Subtraction mit absoluten ganzen Zahlen 215 3. Addition und Subtraction mit algebraischen ganzen Zahlen .... 217 v n. Multiplication und Division. Seite 1. Multiplication mit absoluten ganzen Zahlen.217 2. Division mit absoluten ganzen Zahlen.220 3. Multiplication und Division mit algebraischen ganzen Zahlen . . . 223 4. Zahlensysteme.224 5. Theilbarkcit der Zahlen.225 6. Gebrochene Zahlen.227 7. Verhältnisse und Proportionen mit Anwendungen.235 III. Gleichungen des ersten Grades. 1. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten.242 2. Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten .... 243 3. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades.245 IV. Potenzieren, Radicieren und Logarithmieren. 1. Potenzen mit positiven ganzen Exponenten.254 2. Wurzeln mit positiven ganzen Exponenten. 255 3. Potenzen und Wurzeln mit negativen und gebrochenen Exponenten . - 261 4. Imaginäre und complexe Zahlen.263 5. Quadrieren und Cubieren, Ausziehen der Quadrat- und Cubikwurzel . 265 6. Logarithmen.268 V. Gleichungen des zweiten Grades. 1. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten.271 2. Höhere Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen. . . 277 3. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten.279 VI. Unbestimmte Gleichungen. 1. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades.284 2. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades.286 VII. Kettenbrüche.288 VIII. Progressionen. 1. Arithmetische Progressionen.290 2. Geometrische Progressionen.293 3. Zinseszins- und Rentenrechnung.296 IX. Combinationslehre. 1. Permutationen, Combinationen und Variationen.302 2. Potenzen von Binomen.304 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 304 X. Höhere numerische Gleichungen.308 üsr - ! .M, .-i.'4«'.' .... .... .. . , ... / ,. , , .n . .'. - . . . ' .^ ... ' ' '. .^ . .. . ... . - - - -.- ". '7u. Einleitung. Z. I. Jedes Object, das aus Theilen derselben Art besteht oder aus solchen bestehend gedacht werden kann, wird Größe genannt. Jede Größe ist einer Vermehrung oder Verminderung fähig. Die Wissenschaft von den Größen heißt Mathematik. Die Menge der in einer Größe enthaltenen gleichartigen Theile nennt man die Quantität der Größe. Um eine Größe in Beziehung aus ihre Quantität zu bestimmen, nimmt man eine bekannte Größe derselben Art als Einheit an und untersucht, wie oft dieselbe in der zu bestimmenden Größe enthalten ist. Der Ausdruck, welcher dieses angibt, heißt Zahl. Insofern eine Größe durch eine Zahl ausgedrückt wird, nennt man sie eine Zahlgröße. Jener Theil der Mathematik, welcher sich mit der Untersuchung der Zahlgrößen beschäftigt, heißt Arithmetik. Z. 2. Jede Zahlenbildung beginnt mit dem Setzen der Einheit. Indem man zu der Einheit noch eine Einheit, zu der dadurch gebildeten Zahl wieder eine Einheit nnd so fort hinzusetzt, erhält man die Reihe der natürlichen Zahlen. Man kann die natürliche Zahlenreihe bildlich darstellen, indem man auf eine gerade Linie von dem Punkte 0 aus nach einer bestimmten Richtung gleiche Strecken aufträgt; die Endpunkte dieser Strecken versinnlichen die auf einander folgenden Zahlen. 0123456789 Eine solche Linie soll Zahlenlinie heißen. Wir werden später, sowie in dem Gebiete der Zahlen neue Zahlenformen auftreten werden, auch an der Zahlenlinie das angefangene Bild entsprechend vervollständigen. Die Einheit selbst, sowie jede durch wiederholtes Setzen derselben gebildete Zahl wird eine ganze Zahl genannt. Um anzugeben, dass keine Einheit gesetzt sei, bedient man sich des Ausdruckes Null (0). Die Null ist daher als der Ausgangspunkt jeder Zahlenbildung zu betrachten. Močnik, Arithmetik und Algebra. 1 2 In der natürlichen Zahlenreihe entsteht jede Zahl aus der vorher¬ gehenden durch Hinzufügen einer Einheit, und aus der folgenden durch Weg¬ nehmen einer Einheit. Durch das Hinzufügen, bezüglich Wegnehmen einer Einheit von einer Zahl zur andern fortschreiten, heißt zählen; das erstere Vorwärtszählen, das letztere rückwärtszählen. Jenes kann an der natürlichen Zahlenreihe ohne Ende fortgesetzt werden, dieses nur, bis auch die erste Einheit weggenommen und man zur Null gelangt ist. tz. 3. Zahlen, welche eine bestimmte Menge von Einheiten ausdrücken, heißen besondere Zahlen; sie werden durch Ziffern bezeichnet. Zahlen, welche irgend eine Menge von Einheiten darstellen, heißen allgemeine Zahlen; sie werden durch Buchstaben ausgedrückt. Zahlen, welche erst bestimmt werden sollen und daher noch unbekannt sind, bezeichnet man gewöhnlich mit den letzten Buchstaben des Alphabetes. Je nachdem die Arithmetik nur besondere oder auch allgemeine Zahlen in Betracht zieht, heißt sie die besondere oder die allgemeine Arithmetik. Z. 4. Wird beim Zählen die Art der Einheit ganz unberücksichtigt gelassen, so heißen die dadurch gebildeten Zahlen reine oder unbenannte Zahlen; wird aber beim Zählen auch die Art der Einheit ausgedrückt, so ent¬ stehen benannte Zahlen. Man erhält demnach durch a maliges Setzen der unbenannten Einheit die unbenannte Zahl a, durch a maliges Setzen einer benannten Einheit bl die benannte Zahl abl, in welcher bl die Benen¬ nung heißt. Z. 5. Zwei Zahlen (überhaupt zwei Größeu), welche dieselbe Menge von Einheiten enthalten, heißen einander gleich. Um anzuzeigen, dass a und Io gleich sind, schreibt man a — ko; in diesem Falle ist immer auch b — a. Ein Ausdruck von der Form a — io heißt eine Gleichung; d — a ist die Umkehrung der Gleichung a — b. Zwei Zahlen (überhaupt zwei Größen), welche nicht dieselbe Menge von Einheiten enthalten, heißen ungleich, und zwar heißt diejenige, zu der noch etwas hinzugesetzt werden muss, um die andere hervorzubringen, die kleinere, die andere die größere. Dass a größer als b ist, drückt man durch a > aus; in diesem Falle ist auch d kleiner als a, was durch ib < a bezeichnet wird. Ausdrücke von der Form a > k oder b < a nennt man Ungleichungen. Bezeichnen a und l> zwei beliebige Zahlen (oder Größen), so muss ent¬ weder a > b, oder a — l>, oder a < k sein, wofür man auch schreibt a b>. Z. 6. Von gegebenen Zahlen durch vorgeschriebene Verbindung derselben zu einer andern gesuchten Zahl übergehen und letztere dadurch bestimmen, heißt rechnen. Die Zahl, zu welcher mau durch das Rechnen gelangt, heißt das Resultat der Rechnung/ Jede Darstellung einer Rechnung in Zeichen heißt eine Formel. Jede Rechenvorschrift, für welche eine besondere Bezeich¬ nung eingeführt ist, heißt eine Operation. 3 In eine Zahlenverbindung an die Stelle der allgemeinen Zahlen (Buch¬ staben) besondere Zahlenwerte setzen und mit diesen die vorgeschriebenen Rech¬ nungen ausführen, heißt substituieren. Das Zählen ist die einfachste Art des Rechnens; alle anderen Rech¬ nungsoperationen können daraus abgeleitet werden. Das Fortschreiten in der natürlichen Zahlenreihe von einer gegebenen Zahl aus um eine gegebene Zahl von Einheiten heißt die Addition; die Umkehrung dieser Operation die Subtracti on. Die Addition gleicher Zahlen heißt Multiplication, und die Umkehrung derselben Division. Die Mul¬ tiplikation gleicher Zahlen führt auf Zahlen höheren Ranges; die Rechnung, durch welche diese gefunden werden, heißt die Potenzierung, aus deren Umkehrung sich die Radi cierung (das Wurzelausziehen) und die Loga¬ rithmierung ergeben. Die Gesetze der hier angedeuteten Operationen zu untersuchen, bildet die Hauptaufgabe der Arithmetik. Die Lehre über die Anwendung dieser Gesetze auf die Lösung von Aufgaben, indem man die Beziehungen zwischen den unbekannten und bekannten Zahlen durch Gleichungen ausdrückt und aus diesen die Werte für die unbekannten Zahlen sucht, heißt Algebra. Häufig werden diese beiden Theile der Mathematik als Ganzes mit dem gemeinschaft¬ lichen Namen allgemeine Arithmetik bezeichnet. Z. 7. Die Mathematik stützt ihre Lehren auf gewisse Sätze, die man unmittelbar als wahr anerkennt, die daher nicht bewiesen zu werden brauchen, aber auch nicht bewiesen werden können. Solche Grundwahrheiten werden Grundsätze (Axiome) genannt. Sätze, deren Richtigkeit erst aus anderen, bereits als wahr anerkannten Sätzen hergeleitet werden muss, heißen Lehrsätze; diese müssen bewiesen werden. Z. 8. Allgemeine mathematische Grundsätze. 1. Jede Größe ist sich selbst gleich. 2. Sind zwei Größen einer dritten gleich, so sind sie auch unter ein¬ ander gleich. 3. Werden mit gleichen Größen gleiche Veränderungen vorgenommen, so erhält man gleiche Größen. 4. Das Ganze ist gleich allen seinen Theilen zusammengenommen. 5. Das Ganze ist größer als ein Theil desselben. Erster Abschnitt. Addition und SudtrAction. I. Addition mit aösokuten ganzen Zahlen. K. 9. 1. einer Zahl a eine Zahl b addieren heißt, eine Zahl e suchen, welche so viele Einheiten enthält, als u und b zusammen. Man schreibt u -st l> — o und nennt u und i> die Summanden und u -st i> die Summe; o heißt der Wert der Summe. Um anzuzeigen, dass eine Zahlenform oder Zahlenverbindung als ein Ganzes, als eine einzige Zahl angesehen werden soll, schließt man dieselbe zwischen Klammern ein. Der Wert der Summe a -st d kann hiernach auch durch den cinge- klammerten Ausdruck sch -st b) dargestellt werden. Um die Addition zweier Zahlen s. und k auszuführen, schreitet man in der Zahlenreihe von u ausgehend um so viele Einheiten vorwärts, als ihrer d enthält; die Zahl, zu der man dadurch gelangt, ist die gesuchte Summe. Folgesatz. Ist ein Summand 0, so ist die Summe dem an¬ dern Summanden gleich. 0 -st u — a, u -st 0 — u, 0 -st 0 — 0. 2. Unter der Summe mehrerer Zahlen versteht man die Summe, welche erhalten wird, indem man zu der Summe der beiden ersten Zahlen die dritte, zu der neuen Summe die vierte Zahl, u. s. w. addiert. Es ist demnach u "st "st o sch -st st) -st o, a -st b> -st o -st ä — fsch -st -st es -st ck, u. s. f. H. 10. Eine Summe, welche entsteht, indem man dieselbe allgemeine Zahl öfters als Summand setzt, wird abgekürzt dadurch bezeichnet, dass man die allgemeine Zahl nur einmal anschreibt und vor dieselbe die Zahl setzt, welche anzeigt, wie vielmal die allgemeine Zahl als Summand vorkommt; z. B. Ä "st Ä "st Ä -st Ä -st Ä 5U. In dem Ausdrucke 5u heißt dann s. die Hauptgröße und 5 der Coefficient. Der Coefficient kann auch eine allgemeine Zahl sein; z. B. ms,— g,-stu-stu-stu-st..(ill mal). 5 Ausdrücke, welche dieselbe Hauptgröße haben, heißen gleichnamig, z. B. 5a und 6a, 3 x und x. Ausdrücke, welche verschiedene Hauptgrößen haben, heißen ungleichnamig, z. B. 3a und 7l>, 5x und 5^. ß. II. Eine Summe bleibt unverändert, wenn man die Sum¬ manden untereinander vertauscht. (Das Commutationsgesetz der Addition.) a -st l) l) -st a. a st- l) -st 6 L -st 6 -st id l) -st Ä st— 6 l) -st o -st a . Denn die Zahl der in den Summanden enthaltenen Einheiten bleibt dieselbe, in welcher Reihenfolge sie auch vorkommen mögen; es muss daher auch der Wert der Summe derselbe bleiben. Verbindung der Addition mit sich selbst. Z. 12. 1. Zu einer Summe wird eine Zahl addiert, indem man sie zu einem der Summanden addiert. (a -st b) -st o — (a -st o) -st 1» — a st- (b st- e). 2. Zu einer Zahl wird eine Summe addiert, indem man die Summanden einzeln addiert. a -st (st -st o) — (a -st st) -st o — (a st- o) -st st. Die Richtigkeit dieser zwei Sätze, welche die Associationsgesetze der Addition bilden, folgt unmittelbar aus dem Commutationsgesetze in K. 11. ß. 13. Gleichnamige Ausdrücke werden addiert, indem man ihre Coefficienten addiert und die erhaltene Summe als Coefficienten vor die gemeinsame Hauptgröße setzt. uaa -st na — (na st- n)a. Beweis. rna — a-sta-sta-st..(m mal), na--a-sta-sta-st..(n mal), daher ma-stna — a-sta-sta-st..(in-st n)mal — (in -st n)a. Z. B. 3ast-4a — (3-st4)a — 7a. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch dir Addition. tz. 14. 1. Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches. Ist a — st und o — ä, so ist a st- o — st -st ä. Folgt unmittelbar aus Z. 8, 3. 2. Gleiches zu Ungleichem addiert gibt Ungleiches mit dem¬ selben Ungleichheitszeichen. Ist a > st und o — ä, so ist a -st o > st -st ä. Beweis. Es sei vr die Zahl, welche man zu 5 addieren muss, um a zu erhalten, also a — st -st rv, so ist nach 1. a-sto — st-st>vst-ä. Nun ist st- rv -st ä > st st- ä (tz. 8, 5), folglich auch a -st L > st -st ä. 6 3. Ungleiches zu Ungleichem mit demselben Ungleichheits¬ zeichen addiert gibt Ungleiches mit eben so gestelltem Ungleich¬ heitszeichen. Ist n > st und o > ck, so ist n -st o > st -st ä. Beweis. Es sei o — ä -st rv, so hat man nach 2. a-sto>st-st-ä-strv. Nun ist st -st ä -st > st -st ä (H. 8, 5), folglich umsomehr s. -st v > st -st ck. II. Subtraction mit absoluten ganzen Zahlen. K. 15. Von einer Zahl s, eine Zahl k subtrahieren heißt, aus a als der Summe zweier Zahlen und st als dem einen Summanden den andern Summanden e suchen. Man schreibt n — st —ch und nennt a den Mi¬ nuend, i> den Subtrahend und s,— i> die Differenz; o oder auch der eingeklammerte Ausdruck (s,— st) heißt der Wert der Differenz (Rest). Eine Differenz ist also ein Ausdruck für diejenige Zahl, zu welcher der Subtrahend addiert den Minuend gibt; oder es ist (a — st) -st st — a. Um die Subtraction zweier Zahlen s. und st auszuführen, schreitet man in der Zahlenreihe vom Minuend u aus um so viele Einheiten zurück, wie der Subtrahend st anzeigt; die Zahl, zu welcher man dadurch gelangt, ist die gesuchte Differenz. Die Subtraction kann an der natürlichen Zahlenreihe nur dann aus¬ geführt werden, wenn der Subtrahend nicht größer als der Minuend ist, indem man sonst, weil die natürliche Zahlenreihe rückwärts mit 0 abbricht, vom Mi¬ nuend nicht um so viele Einheiten zurückschreiten könnte, wie der Subtrahend anzeigt. Bei den folgenden Sätzen werden wir daher vorläufig voraussetzen, dass die Subtrahenden der vorkommenden Differenzen nicht größer als ihre Minuenden sind. K. 16. Aus dem Begriffe der Subtraction ergeben sich nachstehende Folgesätze, l. Addiert man zu der Differenz zweier Zahlen den Subtrahend, so erhält man den Minuend. (a — st) -st st — a; st -st (n — st) — a. 2. Subtrahiert man von der Summe zweier Zahlen den einen Summanden, so erhält man den zweiten Summanden. (a -st st) — a — st; (n -st st) — st — a. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man dieselbe Zahl zu ihr addiert und von ihr subtrahiert. n — (a -st st) — st; a — (n — st) -st st. 7 Die Addition und die Subtraktion sind demnach einander entgegen¬ gesetzt; letztere ist eine inverse Operation der ersteren. In der commu- tativen Eigenschaft der Addition liegt der Grund, dass es zu derselben nur eine inverse Operation gibt; es ist gleichviel, ob der erste oder der zweite Summand gesucht wird, da man beide unter sich vertauschen kann. 4. Ist der Subtrahend dem Minuend gleich, so ist die Differenz gleich Null. u - 8,-0. 5. Ist der Subtrahend 0, so ist die Differenz dem Mi¬ nuend gleich. a — 0 — a, 0 —0 — 0. Verbindung der Subtrartion mit sich selbst und mit der Addition. 8- 17. Von einer Summe wird eine Zahl subtrahiert, indem man sie von einem der Summanden subtrahiert. (a st- st) — o — (a — o) st- st — n st- (st — o). Beweis, s.) Soll (s, — o) st- st die richtige Differenz der Zahlen u st- st und o sein, so muss man, wenn man zu ihr den Subtrahend o addiert, den Minuend a st- st erhalten (ß. 15). Nun ist wirklich i(a — o) -ststi -sto l(u — o) st-oi -st st (8. 12, 1) a st-st (8- 16, 1), also (a — o) st- st eine richtige Lösung der Aufgabe. st) Ebenso ist la st- (st - o)! st- o ast- !(st - o) st- o! (8. 12, 1) a st- st (8- 16, 1), also ist auch die zweite Form a st- (st — o) der Differenz richtig. Folgesatz. Soll zu einer Zahl eine zweite addiert und eine dritte davon subtrahiert werden, so ist es für das Resultat gleichgiltig, in welcher Reihenfolge man addiert oder subtrahiert. 8- 18. Zu einer Differenz wird eine Zahl addiert, indem man sie zu dem Minuend addiert oder von dem Subtrahend subtrahiert. (u — st) st- o — (u st- o) — st — u -— (st — o). Beweis. Dass (a —st) st- cr — (s. st- o) — st ist, ergibt sich aus 8.17, Folges. Aus der Erklärung einer Differenz (8- 15) lässt sich ferner folgern, dass auch u — (k — o) — (a — st) st- o ist; denn f(a — st) st- es st- (b — o) — (u — st) st- so st- (st — o)f (8- 12, 1) — (a — st) st- st (8- 16, l) — a. 8- 19. Bon einer Differenz wird eine Zahl subtrahiert, indem man sie von dem Minuend subtrahiert oder zu dem Subtrahend addiert. (a — st) — o — (a — o) — st — a — (st st- o). Beweis. Sowohl (a — o) — st als a — (st st- o) entspricht der in 8- k5 für die Differenz aufgestellten Erklärung. Denn es ist 8 i(s — o) — st! -st o — !(s — o) -st o! — I) (8- 18) — a 6 (8- 16, 1); und ebenso is. — (d -s- o)! -j- e — n — !(st -sto) — o! (K. 18) — s, 5 (8- 16, 2). Folgesatz. Sollen von einer Zahl zwei Zahlen subtrahiert werden, so darf man entweder dieselben einzeln in beliebiger Reihenfolge, oder auch sogleich ihre Summe subtrahieren. tz. 20. 1. Von einer Zahl wird eine Summe subtrahiert, indem man die Summanden einzeln subtrahiert. a — (st -st o) — (s — st) — o — (s, — <>) — st. Ergibt sich durch Umkehrung der in 8- 19 bewiesenen Gleichungen. 2. Zu einer Zahl wird eine Differenz addiert, indem man den Minuend addiert und den Subtrahend subtrahiert. s -st (st — o) — (a -st st) — e — (a — o) -st st. Folgt durch Umkehrung der Gleichungen in Z. 17. 3. Von einer Zahl wird eine Differenz subtrahiert, indem man den Minuend subtrahiert und den Subtrahend addiert. s — (st — o) — (s, — st) -st o — (s, -st o) — st. Ergibt sich durch Umkehrung aus 8- 18. 8.21. 1. Eine Summe bleibt unverändert, wenn man zu dem einen Summanden eine Zahl addiert und von dem andern Summanden dieselbe Zahl subtrahiert. Es ist u st-st ---s -st !(st - o) -st o! (8- 16, 3) (u ^ °) -st (st - o) (ß. 12, 2); L st s -st !(st -sto) - o! (8- 16, 3) — (a - o) -st (st c-) (8- 20, 2). 2. Eine Differenz bleibt unverändert, wenn man zu dem Minuend und dem Subtrahend dieselbe Zahl addiert oder von beiden dieselbe Zahl subtrahiert. Es ist s, — st — s. — !(st -st o) — o! (8-16, 3) — (s -st o) — (st -st o) (8- 20, 3); s —- st — s — l(st — o) -st v! (8-16, 3) — (s — o) — (st — o) (8. 20, 1). 8- 22. Gleichnamige Ausdrücke werden subtrahiert, indem man die Coefficienten subtrahiert und die erhaltene Differenz als Coefficienten vor die gemeinsame Hauptgröße setzt. mu —n s, — (m — n) u. Beweis, mu — u-stu-stu-st.. .(mmal), ns — s,-sts,-sts,-st...(n mal), daher ms — us — s-sts-sts-st...(m — n) mal — (m — n) s. Z. B. 5s, — 2a — (5 — 2) a — 3 s. 8- 23. Sollen in einer durch die Zeichen -st und — vorgeschriebenen Verbindung von Zahlen die dadurch angezeigten Operationen in der Reihen- 9 folge, wie diese Zahlen mit ihren Zeichen von links nach rechts vorkommen, vollzogen werden, so kann man, ohne der Bestimmtheit dadurch Abbruch zu thun, die Klammern weglassen. Hiernach kann man s(a -s- k) Z- of -s- ä — a -s- b -s- o -s- ä, s(u — li) of — ä — a — k -s- o — ä, — b) — vj — ä — g. — d — e — ä setzen. Ein Zahlenausdruck, welcher mehrere durch Addition und Subtraction verbundene Bestandtheile enthält, heißt ein mehrgliedriger Ausdruck oder ein Polynom. Die einzelnen Bestandtheile heißen Glieder, und zwar die mit dem Zeichen -s- versehenen die additiven, die mit dem Zeichen — versehenen die subtractiven Glieder des Ausdruckes. Das mit keinem Zeichen versehene erste Glied wird als additiv angesehen. Ein zweigliedriger Ausdruck wird insbesondere ein Binom, ein drei¬ gliedriger ein Trinom genannt. Ein Ausdruck, welcher nur ein Glied enthält, heißt ein eingliedriger Ausdruck oder ein Monom. Folgesätze. 1. In einem mehrgliedrigen Ausdrucke ist die Reihenfolge der additiven und subtractiven Glieder ganz will¬ kürlich. Folgt ans Z. 1k, Z. 17, Folges., und 8- 19, Folges. 2. Jeder mehrgliedrige Ausdruck lässt sich in eine Differenz verwandeln, deren Minuend die Summe aller additiven, und deren Subtrahend die Summe aller subtractiveu Glieder ist. a-s-1) — o-s-ä — o— a-f-k-s-ä — v — 6 — (a, -s- k -s- ä) — (o -s- o) (8- 19, Folges.). 8- 24. 1. Zu einer Zahl wird ein mehrgliedriger Ausdruck addiert, indem man die Glieder desselben einzeln zu der Zahl addiert oder von ihr subtrahiert, je nachdem sie in dem Ausdrucke additiv oder subtractiv Vorkommen. a, (b — o — ä-i-s — 1) — a-s-l) — o — ä-j-s — 1. Beweis, a -s- (l> o — ä-s-s — 1) -- a Z- s(b Z- o) - (o Z- ä Z- k)j (Z. 23, Folges. 2) sa -s- (b -F «)) - (o -j- ä -s- 1) (§. 20, 2) — a 4- 4- a — e - 6 — 1 (8- 12, 2, und 8- 20, 1) a 4- d - o - ä 4- e - f (8- 23, Folges. 1). 2. Von einer Zahl wird ein mehrgliedriger Ausdruck sub¬ trahiert, indem man die Glieder desselben einzeln von der Zahl subtrahiert oder zu ihr addiert, je nachdem sie in dem Ausdxucke additiv oder subtractiv Vorkommen. a, —- (l) — o — ä-s-o — 1) — a — b-s-o-s-ä — 6 -s- 1. Der Beweis wird ähnlich, wie bei dem vorhergehenden Satze, geführt. 10 8. 25. 1. Jeder mit Klammern eingeschlossene Ausdruck kann ohne Klam¬ mern dargestellt werden, indem man, wenn vor der Klammer das Zeichen 4- steht, die Klammern ohne alle weitere Veränderung weglässt, dagegen, wenn vor der Klammer das Zeichen — steht, allen Gliedern, die eingeschlossen waren, die entgegengesetzten Zeichen gibt. Man nennt diese Umformung das Auflösen der Klammern. Z. B. a— f21>-s-(3o — 4ä)j — a — s21d -j- 3o - 4ckj — a. — 21o — 3o -st 4ck. 2. Umgekehrt können in jedem mehrgliedrigen Ausdrucke mehrere Glieder in eine Klammer gesetzt werden, indem man, wenn die Klammer nach dem Zeichen -st beginnt, alle Glieder mit unveränderten Zeichen innerhalb derselben folgen lässt, dagegen, wenn die Klammer nach dem Zeichen — beginnt, jedem der eingeschlossenen Glieder das entgegengesetzte Zeichen gibt. 3. Ein mehrgliedriger Ausdruck, in welchem gleichnamige Zahlen Vorkommen, wird auf einen einfacheren Ausdruck redu eiert, indem man zuerst die additiven, dann die subtractiven gleichnamigen Zahlen addiert und die zweite Summe von der ersten subtrahiert. Z. B. 6a — ba — 3a -st 8a.— 2a — (6a -s- 8a) — (5a -s- 3a -j- 2a) — 14a — 10a — 4a. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Subtraetion. Z. 26. 1. Gleiches von Gleichem subtrahiert gibt Gleiches. Ist a — la und o — ck, so ist a — o — 6 — ä. Folgt unmittelbar aus tz. 8, 3. 2. Gleiches von Ungleichem subtrahiert gibt Ungleiches mit demselben Ungleichh eitszeich en. Ist a > l> und o — ck, so ist a — o > b — <1. Beweis. Wäre nicht a — o > d — ck, so müsste a — o < b — ä sein; dann wäre bezüglich auch (a — o) -st v < (d — ä) -st ä (tz. 14, 1 und 2), daher a < b (Z. 16, 1), was gegen die Voraussetzung ist. 3. Ungleiches von Gleichem subtrahiert gibt Ungleiches mit entgegengesetztem Ungleich hei tszeichen. Ist a — 5 und o > ä, so ist a — o < d — ä. Beweis. Wäre a — v > l> — ä, so müsste in beiden Fällen (a — o) -st v > (I) — ck) -st ä (Z. 14, 2 und 3), daher a > 6 (Z. 16, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. 4. Ungleiches von Ungleichem bei entgegengesetzten Un¬ gleichheitszeichen subtrahiert gibt Ungleiches mit dem Ungleich¬ heitszeichen des Minuends. 11 Ist L > b und o < ck, so ist n — o > i) — ä. Beweis. Wäre a — o < 5 — ä, so müsste in beiden Fällen (n — o) st- o < (5 — ä) st- ä (tz. 14, 2 und 3), daher n > d (Z. 16, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. HI. Erweiterung des Zakjkengevietes durch die Subtraction. 1. Negative Zahlen. Z. 27. Bisher wurde (Z. 15) bei jeder Differenz a — d die Voraus¬ setzung gemacht, dass der Subtrahend b nicht größer als der Minuend n ist. Ist d > n, so ist die gesuchte Differenz n — 5 in der Reihe der natürlichen Zahlen nicht zu finden; die Subtraction ist in diesem Zahlengebiete unmöglich. Soll die Subtraction für ganz beliebige Werte des Minuends und des Sub- trahends möglich gemacht werden, so sind wir genöthigt, unser Zahlengebiet zu erweitern und in dasselbe a — Id für den Fall, dass 5 > a ist, als eine neue Zahlenform aufzunehmen. Dieser neuen Zahlenform werden wir eine solche Bedeutung geben, dass die Gesetze, welche bei der Subtraction für die als natürliche Zahlen vorausgesetzten Differenzen entwickelt wurden, auch für die neu eingeführten Zahlen ihre Giltigkeit behalten. (Princip der Er¬ haltung der Operationsgesetze.) Wendet man auf die Differenz n — b, wo l> — a st- n sei, den Satz in K. 20, 1 an, so erhält man n — 5 — a — (a st- n) — (a, — a) — n — 0 — n, oder, wenn man die neue Differenz 0 — n durch — n ausdrückt, a — Io — — n. Die mit dem Vorzeichen — versehene Zahl —n nennt man eine negative Zahl. Im Gegensätze zu den negativen Zahlen werden dann die bisherigen Zahlen der natürlichen Zahlenreihe positive Zahlen genannt und als solche mit dem Vorzeichen st- versehen. Die Bedeutung einer negativen Zahl ergibt sich aus der Gleichung 0 — n — — n, aus welcher nach dem allgemeinen Begriffe einer Differenz (— n) st- n — 0 folgt (K. 15). Eine negative Zahl — n bedeutet also eine Zahl, welche mit der natürlichen (positiven) Zahl n durch die Addition verbunden 0 gibt. Da sich hiernach die Zahlen st- n und — n in ihrer Vereinigung durch die Addition gegenseitig aufheben, heißen sie einander entgegengesetzt. Um die positiven und die negativen Zahlen an einer einzigen Zahlen¬ reihe darzustellen, braucht man nur die ursprüngliche Reihe der Zahlen, welche von 0 aus durch das Vorwärtszählen gebildet wurden, so zu erweitern, dass 12 das Zählen im entgegengesetzten Sinne, d. i. das Rückwärtszählen, welches bisher bei 0 seine Grenze fand, nun auch über 0 hinaus, und zwar in den negativen Zahlen fortgesetzt wird. Dadurch entsteht die zweiseitige Zahlenreihe ... -4, —3, —2, —1, 0 -stl, ^2, -st3, -st4,... in welcher je zwei vorwärts und rückwärts von 0 gleichweit abstehende Zahlen einander entgegengesetzt sind. Die hier begründete Erweiterung des Zahlengebietes lässt sich ganz ein¬ fach an der Zahlenlinie versinnlichen. —5 —4 —3 —2 —1 v -stl -st2 -s-3 4-4 -j-5 7 o X Um von der Zahl 5 die Zahl 3 zu subtrahieren, schreitet man rechts in der Zahlenlinie von der Stelle 5 um 3 Einheiten zurück; man gelangt zu der Stelle x, und es ist x — 5 — 3 — 2. Ist umgekehrt von der Zahl 3 die größere Zahl 5 zu subtrahieren, so müssten, damit die Subtraction ausgeführt werden könne, links von 0 noch Punkte liegen, zu welchen man dann durch das Fortschreiten nach rückwärts gelangen würde. Verlängert man daher die ursprüngliche Zahlenlinie über den Anfangspunkt 0 hinaus in der entgegengesetzten Richtung, trägt auch hier gleich große Strecken auf und schreitet sodann von 3 aus um 5 Einheiten zurück, so gelangt man zu der Stelle und es ist — Z — 5; zu derselben Stelle kommt man auch, indem man von 3 aus zuerst nm 3, und dann noch nm 2 Einheiten zurückschreitet; mithin ist auch — 3 — 3 — 2 — 0 — 2, wofür man — 2 schreibt, folglich 3 — 5 — — 2. Durch dieselbe Schlussweise überzeugt man sich, dass je zwei gleichweit vom Nullpunkt entfernte Stellen der Zahlenlinie durch dieselbe Zahl bezeichnet werden, dass jedoch die Zahlen, welche auf derjenigen Seite, die der ursprüng¬ lichen Richtung entgegengesetzt ist, liegen, das beständige Vorzeichen — haben. Dann muss man aber den Zahlen in der ursprünglichen Richtung der Zahlcn- linie das Vorzeichen -j- geben; denn schreitet man von 0 in der ursprünglichen Richtung um 2 Einheiten vorwärts, so gelangt man zu der Stelle 0 -st 2 — -st 2. Z. 28. Die mit Vorzeichen versehenen Zahlen werden relative oder algebraische Zahlen genannt, im Gegensätze zu den Zahlen ohne Vor¬ zeichen, welche absolute Zahlen heißen. Jede algebraische Zahl besteht aus einem Vorzeichen und einem ab¬ soluten Werte. Das Vorzeichen -st pflegt man als selbstverständlich dort wegznlassen, wo es ohne Störung des Sinnes und des Zusammenhanges einer Rechnung geschehen kann. K. 29. Größen, wie Bewegung nach vorwärts und nach rückwärts, Steigen und Fallen, Vermögen und Schulden, Höhe über und unter dem Meeresspiegel, Zeiten vor und nach Christi Geburt u. dgl., welche in dem 13 einen und in dem entgegengesetzten Sinne gezählt werden können, so dass gleich¬ viel von beiden Zählungen 0 gibt, heißen entgegengesetzte Größen. In der Mathematik bezeichnet man die eine von zwei entgegengesetzten Größen, gleichviel welche, aber consequent, mit -j-, die andere mit —. Hätte man z. B. die Zeit, wann ein Ereignis 0 stattfand, aus folgender Angabe zu rechnen: a Jahre nach Christo fand ein Ereignis statt, b Jahre später ein Ereignis 13 und o Jahre früher als L das Ereignis 0; so wäre der gesuchte Zeitpunkt x — a -s- io — e. Käme nach Einsetzung der Werte für n, io, e ein Resultat — n zum Vorschein, so hieße dies: das Ereignis 0 fand n Jahre vor Christo statt. Allgemein: Ein negativer Wert —-n für eine gesuchte Größe x bedeutet stets, dass die Größe gemessen wird durch n Einheiten, aber in einem Sinne, welcher dem ursprünglich in die Rechnung eingeführten entgegengesetzt ist. 2. Addition und Subtraction mit algebraischen ganzen Zahlen. Z. 30. Der durch die Ausnahme der negativen Zahlen erweiterte Zahl- begrisf hat zur Folge, dass auch die Begriffe der Operationen an¬ gemessen erweitert werden müssen, damit sie auch auf algebraische Zahlen anwendbar werden. Zwei algebraische Zahlen addieren heißt diejenige Zahl suchen, welche so viele positive und so viele negative Einheiten enthält, als die beiden Summanden zusammen. Dieser Erklärung gemäß muss die in K. 9, 1, für die Ausführung der Addition gegebene Vorschrift bei algebraischen Zahlen dahin erweitert werden, dass man in der Zahlenreihe vom ersten Summand aus in derjenigen Richtung, welche das Vorzeichen des zweiten Summands angibt, um so viele Einheiten fortschreitet, wie der absolute Wert dieses zweiten Summands anzeigt. Folgesätze. 1. Addition einer positiven Zahl ist Addition des absoluten Wertes derselben; Addition einer negativen Zahl ist Subtraction des absoluten Wertes derselben. Bedeutet b eine absolute Zahl, so ist n -F (-H- b) — a -j- io, n -s- (— io) — a — l>. 2. Zwei gleich bezeichnete Zahlen werden addiert, indem man ihre absoluten Werte addiert und dieser Summe das gemeinsame Vor¬ zeichen gibt. (-H- ») -j- k) — (s- -s- d), (— a) -j- ( io) — — (n Z- b). 3. Zwei ungleich bezeichnete Zahlen werden addiert, indem man den kleineren absoluten Wert von dem größeren subtrahiert und dieser Differenz das Vorzeichen des größeren absoluten Wertes gibt. (ch- n) -s- (— b) — -s- (n — io), oder — (io n), (— a) -s- (-j- io) — — (» — io), oder — -i- (Io — a). 14 4. Zwei entgegengesetzte Zahlen geben zur Summe Null (heben sich gegenseitig auf). (si- a) -s- (— a) — 0, (— a) si- (-si a) — 0. Z. 31. Für das Subtrahieren algebraischer Zahlen bleibt die im ß. 15 aufgestellte allgemeine Erklärung unverändert gütig. Es darf nur die dort für die Ausführung der Subtraction gegebene Vorschrift bei algebraischen Zahlen dahin ausgedehnt werden, dass man in der Zahlenreihe vom Minuend aus in derjenigen Richtung, welche der durch das Vorzeichen des Subtrahends ausgedrückten entgegengesetzt ist, um so viele Einheiten fort¬ schreitet, wie der absolute Wert des Subtrahends anzeigt. Folgesätze. 1. Subtraction einer positiven Zahl ist Subtraction des absoluten Wertes derselben; Subtraction einer negativen Zahl ist Addition des absoluten Wertes derselben. Bedeutet 5 eine absolute Zahl, so ist s. — (Z- 5) — u — 1), a — (— K) — a -s- 5. 2. Zwei algebraische Zahlen werden subtrahiert, indem man zum unveränderten Minuend den Subtrahend mit entgegengesetzten Vorzeichen addiert. (Z- g.) — (Z- d) — (si- a) — d — (Z- a) Z- (— d) (K. 30, Folges. 1), (Z- re) — (— k) — (si- a) -s- d — (si- s.) -s- (Z- ll), (- u) - (^ d) ^ (- a) - b (- z) (_ (- „)__(- z,) ^ (_-,) _^ d -- (- n) -si 1>). ß. 32. Eine Summe, deren Summanden algebraische Zahlen sind, heißt eine algebraische Summe; z. B. (-si re) -j- (- k) -si (- o) (-si ä) -j- (- 4). Die Differenz je zweier algebraischer Zahlen kann als eine algebraische Summe dargestellt werden (ß. 31, Folges. 2). 1. Jeder mehrgliedrige Ausdruck kann in eine algebraische Summe verwandelt werden, indem man die Rechnungszeichen als Vor¬ zeichen betrachtet und dann die Zahlen als Summanden annimmt. a — d — o -s- ä — (Z- a) Z- (— ll) -j- (— o) -j- (Z- ä). Folgt aus tz. 30, Folges. 1. 2. Umgekehrt: Jede algebraische Summe kann in einen mehr¬ gliedrigen Ausdruck verwandelt werden, indem man die Additions¬ zeichen und die Klammern weglässt und dann die Vorzeichen als Rechnungs¬ zeichen ansieht. ("ch v.) si- (— si- (— v) -j- (Z- ck) -j- g, — Id — o -j- ä. 3. Eine algebraische Summe bleibt unverändert, wenn man die Summanden unter einander vertauscht. Folgt aus 2. und 1. mit Zuziehung des Z. 23, Folges. 1. 15 Z. 33. Man ist übereingekommen, bei algebraischen Summen die Additions¬ zeichen und die Klammern für die einzelnen Summanden wegzulassen. In dieser Form unterscheidet sich eine algebraische Summe von einem mehrgliedrigen Ausdrucke nur dadurch, dass die Rechnungszeichen -s- und — des letzteren in der ersteren als Vorzeichen, d. i. die additiven und subtractiven Glieder des letzteren in der ersteren bezüglich als positive und negative Summanden zu betrachten sind. Auf den Wert beider hat diese verschiedene Bedeutung der Zeichen, wie aus Z. 30, Folgesatz, erhellt, keinen Einfluss. Daraus folgt mit Rücksicht auf tz. 24, 1 und 2: 1. Zu einer Zahl wird eine algebraische Summe addiert, indem man ihre einzelnen Summanden mit unveränderten Vorzeichen zu der Zahl hinzufügt. 2. Von einer Zahl wird eine algebraische Summe sub¬ trahiert, indem man ihre einzelnen Summanden mit entgegengesetzten Vor¬ zeichen zu der Zahl hinzufügt. Z. 34. Alle für die absoluten Zahlen abgeleiteten Sätze über die Summen und Differenzen lassen sich schließlich auf das Commutationsgesetz der Addition (K. 11) zurückführen. Dieses Gesetz gilt aber (nach K. 32, 3) auch für algebraische Zahlen; folglich gelten alle bisher für die abso¬ luten ganzen Zahlen erwiesenen Sätze auch für die algebraischen ganzen Zahlen. Zusätze. 1. Die Ungleichheit zweier Zahlen (Z. 5) muss nun dahin erklärt werden, dass von zwei Zahlen diejenige die kleinere ist, zu welcher man eine positive Zahl addieren muss, um die andere zu erhalten. Ist m > n, so ist — m < — n. Ferner ist allgemein -s- m >- 0, —m<0 und — m < -s- n. 2. Die vorstehende Erklärung muss man festhalten, wenn die Sätze über die Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Addition und Subtraction W. 14 und 26) auf algebraische Zahlen ausgedehnt werden sollen. Zweiter Abschnitt. WnltlplicAtion und Dibrsrvn. I. Muktiplication mit absolute« ganzen Zahlen. Z. 35. 1. Eine Zahl a mit einer Zahl d multiplicieren heißt, a so vielmal als Summand setzen, als d Einheiten enthält. Man nennt a den Multiplicand, d den Multiplikator und beide Factoreu; die Zahl, welche man durch das Multiplicieren erhält, heißt das Product. Das Product ist demnach eine Summe gleicher Summanden; der Multiplicand ist einer dieser gleichen Summanden; der Multiplikator zeigt au, wie viele solche Summanden gesetzt werden sollen. Der Multiplicand kann eine benannte Zahl sein; der Multiplikator ist immer eine unbenannte Zahl. Das Product aus dem Multi¬ plikand a und dem Multiplikator l> bezeichnet man durch a X oder a.b (d. i. s, bmal), oder, wenn beide Faktoren allgemeine Zahlen sind, auch bloß durch a i>. Das Product zweier ganzer Zahlen wird auch ein Vielfaches des Multiplicands genannt. Z. B. 12 — 4.3; 12 ist das Zfache von 4. Folgesätze, a) Ist der Multiplikand 1, so ist das Product dem Multiplikator gleich. k) Ist der Multiplicand 0, so ist auch das Product 0. a) 1. a — a, ll) 0. g, — 0. 2. Unter dem Pro ducte mehrerer Zahlen versteht man das Product, welches erhalten wird, indem man das Product der beiden ersten Zahlen mit der dritten, das neue Product mit der vierten Zahl, u. s. w. multipliciert. Hiernach ist a.lz.e — (a i>).o, a.ll.o.ä — f(a d).«s.<1 u. s. w. Z. 36. Ein Product, dessen Faktoren einander gleich sind, wird abge¬ kürzt dadurch bezeichnet, dass man nur einen Factor anschreibt und ihm rechts oben die Zahl beisetzt, welche anzeigt, wie vielmal derselbe vorkommt; z. B. a.a.a.a.u — s? 17 Ein Product gleicher Factoren heißt eine Potenz; die Anzahl der gleichen Factoren heißt der Potenzexponent, auch bloß Exponent, und der Factor, der so vielmal vorkommt, als der Exponent anzeigt, die Basis oder Grund¬ zahl. In der Potenz a">, welche gelesen wird: „a zur inten" (Potenz erhoben) oder „a mit m potenziert", ist a die Basis, in der Exponent. Die zweite Potenz a? nennt man insbesondere auch das Quadrat, die dritte s? den Cubus von a. Wenn in einem mehrgliedrigen Ausdrucke mehrere Potenzen derselben Basis vorkommen, so pflegt mau wegen der leichteren Übersicht die einzelnen Glieder nach den Potenzexponenten zu ordnen, indem man entweder mit der höchsten Potenz anfängt nnd dann immer niedrigere Potenzen folgen lässt, oder indem man von der niedrigsten Potenz der gemeinsamen Basis zu immer höheren Potenzen übergeht. Im ersten Falle heißt der Ausdruck nach fal¬ lenden, im zweiten nach steigenden Potenzen der gemeinsamen Basis geordnet. So ist z. B. der Ausdruck x' — 4x^/ -st 6xV — 4x^ si- nach fallenden Potenzen von x, und zugleich nach steigenden Potenzen von geordnet. ß. 37. Ein Product bleibt unverändert, wenn man die Factoren unter einander vertauscht. (Das Commntationsgesetz der Multiplikation.) Es sei a mit d zu multiplicieren. Bildet man d Reihen, deren jede a Einheiten enthält, nämlich 1 si- 1 4- 1 -si 1 4- ... (amal) -s-l-s-lsi-l-j-l-j-... -P. (d mal), so erhält man offenbar gleich viele Einheiten, ob man die Einheiten aller Hori¬ zontalreihen, oder die Einheiten aller Verticalreihen zählt. Im ersten Falle erhält man a dmal, also a.d, im zweiten d amal, also d.a. Es ist daher a.d — d.a. Der Satz gilt auch für jede beliebige Zahl von Factoren. Da nämlich in dem Producte mehrerer Factoren je zwei auf einander folgende Factoren bei ungeänderter Stellung der übrigen vertauscht werden dürfen, so kann durch wiederholtes Vertauschen zweier solcher Factoren jeder Factor an jede vor¬ geschriebene Stelle gebracht werden. So ist z. B. für drei Factoren a . d . e — a . o . d — o . a . d — o.d.a — d.o.a — d.a.o. Hier wurde vorausgesetzt, dass die Factoren unbenannt sind. Ist der Multiplicand eine benannte Zahl aL, wo dl die Benennung bezeichnet, so hat mau aL.d — (ad) L — (da) dl; allein es ist auch ddl.a — (da) dl, Močnik, Arithmetik und Algebra. 2 18 folglich aL.b — dL.a (Z. 8, 2). Man darf also auch in diesem Falle die Factoren verwechseln, sobald dabei die Benennung des Multiplicands auf den früheren Multiplicator, der nun als Multiplikand auftritt, übertragen wird. Z. B.: 8 fl. X 5 5 fl. X 840 fl. Folgesatz. Der Coefficient kann als Factor der Hauptgröße, vor welcher er steht, betrachtet werden. 3a — a-j-a-j-a — a.3 — 3.a. Zusatz. Damit dem Commutationsgesetze der Multiplikation allgemeine Giltigkeit gewahrt bleibe, muss man auch l.a —a.1 und O.a — a.O annehmen dürfen. Dadurch erhallen dann auch die Ausdrücke a.1 und a.O, welche nach der im Z. 35 gegebenen Erklärung der Multiplikation keinen Sinn haben, ihre ganz bestimmte Bedeutung. Es ist nämlich a.1 —l.a —a und a.O — O.a — 0; d. h. a) Eine Zahl mit 1 multipliciert gibt sich selbst zum Produkte. b) Eine Zahl mit 0 multipliciert gibt 0 zum Produkte. Verbindung der Multiplikation mit sich selbst. ß. 38. 1. Ein Product swird mit 'einer Zahl multipliciert, indem man einen Factor mit ihr multipliciert. (al)).o — (ao).ll — a.(llo). 2. Eine Zahl wird mit einem Produkte multipliciert, indem man sie mit dem einen Factor, und das erhaltene Product mit dem andern Factor multipliciert. a.(do) — (all).o — (ao).ll. Diese zwei Sätze, welche die Associationsgesetze der Multipli¬ kation heißen, folgen junmittelbar aus dem in Z. 37 erwiesenen Commu¬ tationsgesetze. H. 39. Potenzen derselben Basis werden multipliciert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert, a'" a" — a°^°. Beweis, a^.a"— a.a.a.... (mmal) .a.a.a.... (nmal) — a . a . a.... (m -s- n) mal — L^°. Verbindung der Multiplikation mit der Addition und Subtraktion. 8- 40. 1. Eine Summe wird mit einer Zahl multipliciert, indem man jeden Summanden mit dieser Zahl multipliciert und die Theil- producte addiert. (a -s- ll).m — am -j- km. 19 Beweis, (a ff- b). m — (a ff- b) ff- (a ff- b) -ff- (a ff- b) ff- .. (m mal) — a ff- a ff- a ff- .. (m mal) ff-bff-bff-bff-..(m mal) (K. 11) — am -j- lam. 2. Umgekehrt: Zwei Produkte, welche einen gemeinsamen Factor haben, werden addiert, indem man die Summe der nicht gemeinsamen Factoren mit dem gemeinsamen Factor multipliciert. am ff- bm — (a ff- b).m. Z. 41. 1. Eine Differenz wird mit einer Zahl mnltipliciert, indem man den Minuend vnd den Subtrahend mit dieser Zahl multipliciert und das zweite Prodnct vom ersten subtrahiert. (a — b).m — am — dm. Der Beweis wird ähnlich wie zn Z. 40, 1, geführt. 2. Umgekehrt: Zwei Produkte, welche einen gemeinsamen Factor haben, werden subtrahiert, indem man die Differenz der nicht gemein¬ samen Factoren mit dem gemeinsamen Factor multipliciert. am — l>m — (a — b).m. Die durch Z. 40, 2 und §. 41, 2 ausgedrückten Operationen nennt man das Herausheben des gemeinsamen Factors. Z. 42. 1. Eine Zahl wird mit einer Summe multipliciert, indem man sie mit jedem Summanden multipliciert und die Theilproducte addiert. a.(m ff- n) — am -s- an. Beweis. a.(m -s- n) — (m -s- n).a (Z. 37) — wa ff- na (H. 40, 1) — am ff- an (Z. 37). 2. Eine Zahl wird mit einer Differenz multipliciert, indem man sie mit dem Minuend und dem Subtrahend mnltipliciert und von dem ersten Prodncte das zweite subtrahiert. a. (m — n) — am — an. Der Beweis ist dem vorigen analog. Die in den KZ. 40—42 angeführten Sätze heißen die Distributions¬ gesetze der Multiplication. Z. 43. 1. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einer Zahl multipliciert, indem man jedes Glied desselben mit dieser Zahl multipliciert und den einzelnen Produkten die Zeichen der Glieder des MultiplicandS gibt, (a — b — o ff- ä — a) l — al — bl— el -j- äl — ol. Folgt aus Z. 40, 1 und §. 41, 1. 2. Eine Zahl wird mit einem mehrgliedrigen Ausdrucke multipliciert, indem man sie mit jedem Miede desselben multipliciert und die einzelnen Produkte additiv oder subtractiv zusammenstellt, je nachdem sie aus der Multiplication mit additiven oder subtractiven Gliedern hervorgchen. a (b — o — cl ff- 6 — l) — ab — ao — aä ff- as — al. Folgt ans Z. 42. s* 20 3. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einem mehrglied¬ rigen Ausdrucke multipliciert, indem man den ganzen Multiplikand, d. i. jedes Glied desselben, mit jedem Miede des Multiplicators multipliciert und die einzelnen Producte additiv oder subtractiv zusammenstellt, je nachdem die bezüglichen Factoren gleiche oder verschiedene Rechnungszeichen haben. (a —b-j-o) (ä —s —k)^-aä —bä-j-oä— ao-s-bo —oo— ak-j-bl—ol. Folgt aus 1 und 2. ß. 44. Bei mehrgliedrigen Ausdrücken, welche nach den Potenzen derselben Basis fortschreiten, erhält man, wenn dieselben gleichartig geordnet sind, durch die Multiplication des Multiplicands mit den einzelnen Gliedern des Multiplicators Theilproducte, welche ebenso geordnet sind. Man schreibt diese Theilproducte, um sie leichter zu reducieren, so an, dass ihre gleichnamigen Glieder unter einander zu stehen kommen. Z. B. 4s?— 3a — 4 Multiplicand 3g?— 7a -s- 5 Multiplicator 12a'- 9a°—12g? — 28g? -j- 21s? -s- 28a -f- 20s? — 15a - 20 12 s? — 37g? -s- 29 a' -s- 13a — 20 Product. Zusah. Insbesondere erhält man: 1. (a -s- b)2 — (a -s- b) (a -s- b) — a? -s- 2ab -f- 1?, und 2. (g — b)^ (a — b) (a — b) a^ — 2ab -s- b^; d. h. Das Quadrat der Summe oder der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe der Quadrate dieser Zahlen, bezüglich ver¬ mehrt oder vermindert um das doppelte Product derselben. 3. (g -j- b) (a — b) — a^—. 1?; d. h. Das Product aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz ihrer Quadrate. 4. (g? — ab -s- k?) (a -j- b) — g? -j- 1?. 5. la? -s- ab -f- 1?) (g — b) — a^ — b^. 6. (a- - a^b -s- al? — b°) (a Z- b) -- a' — b^. 7. (s? -f- a^b -s- al? -s- b°) (a — b) a^ — b'. tz. 43. Aus den Sätzen der vorhergehenden Paragraphen lassen sich für die Bestimmung des Produktes von irgend zwei Gliedern beliebiger Ausdrücke folgende Regeln zusammenfassen: 1. Rückfichtlich des Zeichens ist das Product zweier Glieder additiv oder subtractiv zu setzen, je nachdem diese Glieder gleiche oder verschiedene Rechnungszeichen haben. 2. Der Coefficient des Productes zweier Glieder ist das Product aus den Coefficienten dieser Glieder; denn 3a.4b — 3.a.4.b — 3.4.a.b — 12ab. 21 3. Die Hauptgröße des Productes zweier Glieder erhält man, indem man die Factoren, welche in den Hanptgrößen dieser Glieder Vorkommen, (in alphabetischer Ordnung) neben einander stellt. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Multiplikation. Z. 46. 1. Gleiches mit Gleichem multipliciert gibt Gleiches. Ist a — und o — 6, so ist ao — 66 (K. 8, 3). 2. Gleiches mit Ungleichem multipliciert gibt Ungleiches mit demselben Ungleichheitszeichen. Ist a — 6 und o > 6, so ist ao > 66. Beweis. Es sei o — 6 -st so ist (nach 1) ao — 6 (6 -st cv), oder ao — 66 -st 6 v (8- 42, 1). Nun ist 66 -st 6 rv > 66 (8- 8, 5), somit auch ao > 66. 3. Ungleiches mit Ungleichem bei demselben Ungleichheits¬ zeichen multipliciert gibt Ungleiches mit demselben Ungleich¬ heitszeichen. Ist a, > 6 und o > 6, so ist ao > 66. Der Beweis ist unter Zuziehung von 2 und 8- 42, 1 dem vorigen ähnlich. II. Division mit absoluten ganzen Zahlen. 8- 47. Eine Zahl u durch eine Zahl 6 dividieren heißt, aus a als dem Producte zweier Zahlen und 6 als dem einen der Factoren den anderen Factor suchen. Man nennt das gegebene Product a den Dividend, den gegebenen Factor 6 den Divisor, den gesuchten Factor den Quotienten, und bezeichnet den letzteren mit a : 6 oder Ein Quotient ist also ein Ausdruck für diejenige Zahl, welche mit dem Divisor multipliciert den Dividend gibt; oder es ist -i-. o — a. d Die Division ist, wenn der Multiplicator als Divisor gegeben ist, im Begriffe wesentlich verschieden von der Division, in welcher der Multiplicand als Divisor gegeben ist. Im ersten Falle ist die Division ein Theilen, wobei der Theil gesucht wird, welcher so vielmal genommen, wie der Divisor anzeigt, den Dividend hervorbringt; der Divisor ist in diesem Falle eine un¬ benannte Zahl, der Dividend kann auch eine Benennung haben, welche dann auch der Quotient erhält. Z. B. 15 fl.: 3 — 5 st. Im zweiten Falle ist die Division ein Messen (Verhältnis), wobei untersucht wird, wie vielmal der Divisor in dem Dividend enthalten ist; ist hier der Dividend benannt, so 22 muss auch der Divisor benannt, und zwar mit dem Dividend gleichnamig sein; der Quotient ist eine unbenannte Zahl. Z. B. 15 fl. : 3 fl. — 5. Der Quotient, als reine Zahl betrachtet, ist jedoch bei gleichem Dividend und gleichem Divisor in beiden Fällen derselbe (Z. 37), so dass man bei der Entwicklung der Divisionsgesetze diese beiden Arten der Division nicht weiter zu unterscheiden braucht. Um die Division auszuführen, sucht man entweder in der Zahlen¬ reihe diejenige Zahl auf, welche so vielmal gesetzt, wie der Divisor anzeigt, den Dividend gibt; oder man subtrahiert wiederholt den Divisor zuerst vom Dividend, dann von dem jedesmal erhaltenen Reste so oft als möglich; die Zahl, welche anzeigt, wie vielmal die Subtraction verrichtet werden kann, ist der Quotient. Die Division zweier Zahlen kann an der natürlichen Zahlenreihe nur dann ausgeführt werden, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors (Z. 35, 1) ist. Wir werden daher bei den folgenden Sätzen vorläufig voraussetzen, dass die Dividenden der vorkommenden Quotienten Vielfache ihrer Divisoren sind. Z. 48. Folgesätze. 1. Multipliciert man den Quotienten zweier Zahlen mit dem Divisor, so erhält man den Dividend. (s,: 1>). 5 — u; U. (s, : 5) — n. 2. Dividiert man das Product zweier Zahlen durch den einen Factor, so erhält man den andern Factor. — s>; s,l) : lo — a. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sic mit einer Zahl multipliciert und durch dieselbe Zahl dividiert. g, — (s,.l>) : l>; g. — (n : Die Multiplikation und die Division sind demnach einander entgegen¬ gesetzt; letztere ist eine inverse Operation der ersteren, und zwar die ein¬ zige, da es wegen der Bertauschbarkeit zweier Factoren gleichgiltig ist, ob der erste Factor oder der zweite gesucht wird. 4. Jede Zahl durch sich selbst dividiert gibt 1 zum Quotienten. s. : n — 1; denn 1. n — a. 5. Jede Zahl durch 1 dividiert gibt sich selbst zum Quotienten. n : 1 — u; 1:1 — 1. 6. Ein Quotient, dessen Dividend Null, und dessen Divisor von Null verschieden ist, ist gleich Null. 0 : a — 0; denn O.a —0. 7. Ein Quotient, dessen Dividend von Null verschieden, und dessen Divisor Null ist, ist unmöglich. a : 0 oder ist, wenn a nicht Null ist, unmöglich; denn es gibt keine Zahl, welche mit 0 multipliciert das Product n gibt. 8. Ein Quotient, dessen Dividend und Divisor Null sind, ist unbestimmt. 24 --^.o — (ß. 50) — (§. 48, 1), und auch 50)-^(8- 48, 2). Folgesatz. Soll eine Zahl durch zwei Zahlen dividiert werden, so darf man entweder durch dieselben einzeln in beliebiger Reihenfolge, oder auch sogleich durch ihr Product dividieren. ß. 52. 1. Eine Zahl wird durch ein Product dividiert, indem man sie durch den einen Factor, und den erhaltenen Quotienten durch den andern Factor dividiert. a a a v— — : e — — : v. de v e Ergibt sich durch Umkehrung der im Z. 51 bewiesenen Gleichungen. 2. Eine Zahl wird mit einem Quotienten multipliciert, indem man sie mit dem Dividend multipliciert und durch deu Divisor dividiert. d ad a i a.— — — — —. v. e e e Folgt durch Umkehrung der Gleichungen in H. 49. 3. Eine Zahl wird durch einen Quotienten dividiert, indem man sic durch den Dividend dividiert und mit dem Divisor multipliciert. da ae a: — — e b b Ergibt sich durch Umkehrung aus Z. 50. K. 53. 1. Ein Product bleibt unverändert, wenn man den einen Factor mit einer Zahl multipliciert und den andern durch dieselbe Zahl dividiert. ab — av.(b : o) — (a: o). bo. Es ist ab — a. sich : o).o! (H. 48, 3) — ao.(b : o) (H. 38, 2); ab — a. !(b.o) : oi (Z. 48, 3) — (a : o).bo (H. 52, 2). 2. Ein Quotient bleibt unverändert, wenn man den Divi¬ dend und den Divisor mit derselben Zahl multipliciert oder beide durch dieselbe dividiert. L se a : t> d bo b : c' Es ist 3)E(Z- 52, 3); V - (Z- 3) - (8- 52, 1). Die voranstehenden Sätze über die Division ZH. 49—53 sind ganz analog den Sätzen über die Subtraction Z. 17—21. Z. 54. Potenzen derselben Basis werden dividiert, indem man von den Exponenten des Dividends den Exponenten des Divisors subtrahiert und die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert. Beweis. Damit hier die Division nach Z. 47 ausführbar sei, muss vor¬ ausgesetzt werden, dass n nicht größer als m sei. Man setze m n ff- -vr, oder in — n — rv, wo auch v — 0 sein kann: dann ist — a» . g." : (Z. 39) — n" (Z. 48, 2) — Zusatz. Nach diesem Satze ist gN^-I . A« — A^ und Z," I A» — A» Da aber die Ausdrücke tU und a" nach der im Z. 36 gegebenen Erklä¬ rung einer Potenz keinen Sinn haben, so muss für dieselben, damit der obige Satz auch für die angeführten zwei Fälle Geltung behalte, erst die Bedeutung festgestellt werden. Nach den bisher entwickelten Divisionsgesetzen ist nun .. A« — H mrd A« . All . folglich jsl a' gleichbedeutend mit a, und L° gleichbedeutend mit 1. a) Die erste Potenz einer Zahl ist dieser Zahl selbst gleich. b) Die nullte Potenz einer Zahl ist gleich 1. Verbindung der Division mit der Addition und Subtraktion. Z. 55. 1. Eine Summe wird durch eine Zahl dividiert, indem man jeden Summanden durch sie dividiert und die so erhaltenen Theilquotienten addiert. a-j-d a , b IQ IQ IQ ' Beweis. ff- . in — —. in ff- —. m (K. 40,1) — u ff- d (Z. 48,1). Umgekehrt: Zwei Quotienten mit gleichem Divisor werden addiert, indem man die Summe ihrer Dividenden durch den gemeinsamen Divisor dividiert. H. 56. 1. Eine Differenz wird durch eine Zahl dividiert, indem man den Minuend und den Subtrahend durch dieselbe dividiert und von dem ersten Quotienten den zweiten subtrahiert. Ä — d A b IQ IQ IQ ' Beweis. !--—. na — . na-—. na (Z. 41,1) — a, — k (8. 48,1). j IQ QI) IQ IN xo , / VS,/ 2. Umgekehrt: Zwei Quotienten mit gleichem Divisor werden subtrahiert, indem man die Differenz ihrer Dividenden durch den gemein¬ samen Divisor dividiert. tz. 57. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird durch eine Zahl dividiert, indem man jedes Glied desselben durch diese Zahl dividiert und den einzelnen Quotienten die Rechnungszeichen der Glieder des Dividends gibt. 26 L — d — 6-s-ä — 6 _ A b e . ä 6 in m in ni' Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich aus Z. 55, 1, und 8- 56, 1. K. 58. Es sei der Quotient wo und L mehrgliedrige, und zwar gleichartig geordnete Ausdrücke bedeuten, zu entwickeln. Da der Dividend das Product aus dem Divisor L und dem Quotienten ist, so ist nach 8- 43, 3 und 8- 44 das erste Glied in das Product aus dem ersten Gliede in L und dem ersten Gliede im Quotienten. Man findet daher das erste Glied g des Quotienten, indem man das erste Glied des Dividends durch das erste Glied des Divisors dividiert, und es ist L" 1 4- x, wo X den noch fehlenden Theil des Quotienten vorstellt. Zur Bestimmung von x hat man X- 4 -4 - (8- 48, 3) (8. 56, 2); daher ist Man erhält also den noch fehlenden Theil des Quotienten, indem man mit dem ersten Gliede des Quotienten den Divisor multipliciert, das erhaltene Product von dem Dividend subtrahiert und den Rest durch den Divisor dividiert. Auf der wiederholten Anwendung der Formel 4- — -s- beruht nun folgendes Verfahren für das Dividieren zweier mehrgliedriger Ausdrücke: Man dividiere, nachdem die Glieder des Dividends und des Divisors gleichartig geordnet wurden, das erste Glied des Dividends durch das erste Glied des Divisors; dadurch erhält man das erste Glied des Quotienten; mit diesem Theilquotienten multipliciere man den ganzen Divisor und subtrahiere das Product vom ganzen Dividend. Mit dem Reste verfahre man dann ebenso, wie mit dem ursprünglichen Dividend, um das zweite Glied des Quotienten zu erhalten, u. s. f. Z. B.: (3a," — 4ab - 45») : (3a, -s- 2d) a — 2d 3a- -si 2ad — 6ad — 4d? — 6ad — 4b>2 4- _ 4- 0 Zusatz. Insbesondere erhält man: (a? — l?) : (a -s- d) — a — d, und (a" — d") : (a — d) — a -s- d ; d. h. 27 Die Differenz der Quadrate zweier Zahlen dividiert durch die Summe oder die Differenz dieser Zahlen gibt bezüglich die Differenz oder die Summe derselben Zahlen. Z. 59. Mit Rücksicht auf die vorhergehenden Sätze lassen sich zur Be¬ stimmung des Quotienten zweier Glieder beliebiger Ausdrücke folgende Regeln zusammenstellen: 1. Bezüglich des Zeichens ist der Quotient zweier Glieder additiv oder subtractiv zu setzen, je nachdem die beiden Glieder gleiche oder verschiedene Rechnungszeichen haben. (Folgt aus Z. 43 und K. 48, 2.) 2. Der Coefficieut des Quotienten zweier Glieder ist der Quotient der Coefficienten dieser Glieder. 3. Die Hauptgröße des Quotienten zweier Glieder ist die Haupt¬ größe des Dividends nach Weglassung derjenigen Factoren, welche auch im Divisor vorkommen, und zwar in gleicher Anzahl, als sie im Divisor ent¬ halten sind. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Diviüon. K. 60. 1. Gleiches durch Gleiches dividiert gibt Gleiches. Ist a d und c ä, so ist (8- 8, 3). 2. Ungleiches durch Gleiches dividiert gibt Ungleiches mit demselben Ungleichheitszeichen. Ist a > l> und o — 6, so ist Beweis. Wäre nicht so müsste sein; dann wäre be- bezttglich auch (8- 46, 1 und 2), daher a < k (tz. 48, 1), was gegen die Voraussetzung ist. 3. Gleiches durch Ungleiches dividiert gibt Ungleiches mit entgegengesetztem Ungleichheitszeichen. Ist a — si und o > ä, so ist Beweis. Wäre —so müsste in beiden Fällen -^-.o>^-.cl (Z. 46, 2 und 3), daher a > (K. 48, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. 4. Ungleiches durch Ungleiches mit entgegengesetztem Un¬ gleichheitszeichen dividiert gibt Ungleiches mit dem ersten Un¬ gleichheitszeichen. Z k Ist a > d und o < ä, so ist Beweis. Wäre so müsste in beiden Fällen (Z. 46, 2 und 4), daher a < b (8. 48, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. 28 III. Multiplikation und Division mit algeöraischen ganzen Zahlen. K. 61. Ist der Multiplikator eine positive Zahl Z- n, also gleich der absoluten Zahl n, so ergibt sich schon aus der allgemeinen Erklärung der Mul¬ tiplikation in Z. 35: (4- s).(-s- n) — (4- a).Q — -s-a-ch-n-s-A-i-. .(nmal) — -s- an, und (— a).(4- n) — (— a).n — — a — u — a —. .(nmal —) — an. Dagegen hat die Multiplikation mit einem negativen Multiplikator — n nach der obigen Erklärung keinen Sinn. Damit auch eine solche Multi¬ plikation Bedeutung erhalte, darf man nur den durch die Formel a (na — n) — am — an ausgedrückten Satz, der in Z. 42, 2, für m >n bewiesen wurde, auch dann als fortbestehend gelten lassen, wenn m — o wird. Man erhält dann (4- a).(— n) — (->- a).(o — n) — a.o — an — o — an — — an, und (— a). (— n) — (— a). (o — n) — — a . o — (— a. n) — o — (— a n) — o 4" an — -ch an. Mit einer negativen Zahl multiplicieren heißt demnach, das Entgegengesetzte des Multiplicands mit dem absoluten Werte des Multiplikators multiplicieren. Die voranstehenden Ergebnisse (4-n).(4-n) — 4-an, (—a).(Z-n) — — an, (— a). (— n) — Z- a n, (-s- a). (— n) — — an, kann man in den folgenden Satz zusammenfassen: Zwei gleich bezeichnete Faktoren geben ein positives, zwei ungleich bezeichnete Faktoren geben ein negatives Product. Folgesätze. 1. Das Product zweier algebraischer Zahlen bleibt nngeändert, wenn man dieselben unter einander vertauscht. Es ist 4: a. -tz- i> — 4^ ab, und -Fb.4^a — 4^ba — 4:ab (K. 36); daher 4:a.-Fb — 4-b.4-a. Ebenso.folgt 4b a.— b — — b.4: a. 2. Das Product von beliebig vielen positiven Zahlen ist positiv. 3. Das Product von lauter negativen Zahlen ist positiv, wenn die Anzahl der Factoren ein Vielfaches von 2 ist, sonst negativ. 8- 62. Für die Division algebraischer Zahlen gilt der Satz: Der Quotient zweier algebraischer Zahlen ist positiv oder negativ, je nachdem dieselben gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben. (4- a) : (4- b) — 4- (— a) : (4- b) — — 10° und K < 10°^. ß. 68. Die bekannten Vorschriften für das Rechnen mit dekadischen ganzen Zahlen beruhen auf den Sätzen, welche für das Rechnen mit mehr¬ gliedrigen Ausdrücken, die nach den Potenzen derselben Basis geordnet sind, gelten, wobei jedoch wegen der einfacheren Darstellung der dekadischen Zahlen durch neben einander geschriebene Ziffern auf den Rang dieser Ziffern stets Rücksicht genommen werden muss. Transformation der Zahlen aus einem Zahlensysteme in rin anderes. Z. 69. Die beim Schreiben dekadischer Zahlen eingeführte Abkürzung tritt in entsprechender Weise auch beim Anschreiben der Zahlen in einem nicht- 32 dekadischen Zahlensysteme ein. So bedeutet 5342, im Systeme der Grundzahl 6 geschrieben, was wir durch 5342 s6j ausdrücken wollen, 5.6° -s- 3.62 4. 4.6 2. Auch die Rechnungsoperationen mit nichtdekadischen Zahlen werden nach den gleichen Gesetzen, wie die mit dekadischen Zahlen, ausgeführt. Ausgaben. 1. Eine in einem nichtdekadischen Zahlensysteme geschriebene Zahl in das dekadische Zahlensystem zu übertragen. Man bilde die auf einander folgenden Einheiten des gegebenen Systems, multipliciere jede derselben mit der Ziffer des betreffenden Ranges und addiere die Producte. Ist z. B. 32013 s4s in das dekadische Zahlensystem zu übertragen, so hat nian 4°---1 3.256 --- 768 4^---4 2. 64--- 128 4^16 1. 4--- 4 4°-^ 64 3. 1 -- - 3 4" --- 256 903 also 32013 s4j --- 903 slOs. 2. Eine Zahl des dekadischen Zahlensystems in ein nicht¬ dekadisches Zahlensystem, dessen Basis gegeben ist, zu über¬ tragen. Man bilde die auf einander folgenden Einheiten des neuen Systems. Dann dividiere man die gegebene Zahl durch die höchste dieser Einheiten, welche in ihr enthalten ist, den Rest durch die nächstkleiuere Einheit, den neuen Rest durch die weiter folgende Einheit, u. s. f. Die gefundenen Quotienten sind die Ziffern der gegebenen Zahlen in dem neuen Systeme. Ist z. B. die dekadische Zahl 487 in das System der Grundzahl 6 zu übertragen, so hat man 6° --- 1 487 : 216 — 2 6'--- 6 55: 36 ---1 6° --- 36 19 : 6 --- 3 6° 216 1 : 1 --- 1 also 487 slOj --- 2131 s6s. 33 V. Weilöarkeit der Iahten. Z. 70. Eine Zahl a heißt durch eine andere Zahl k> th eilbar, wenn sie durch dieselbe dividiert eine ganze Zahl zum Quotienten gibt. Der Divi¬ dend s, heißt in diesem Falle ein Vielfaches (ß. 35, 1) von d, und b ein Maß von a. Eine Zahl, welche nur durch die Einheit und durch sich selbst theilbar ist, wird eine absolute Primzahl, auch bloß Primzahl genannt; jede andere Zahl heißt eine zusammengesetzte Zahl. Eine Zahl, durch welche zwei oder mehrere andere Zahlen theilbar sind, wird ein gemeinsames Maß dieser Zahlen genannt. Unter dem größten gemeinsamen Maße mehrerer Zahlen versteht man die größte Zahl, durch welche diese Zahlen theilbar sind. Zahlen, welche außer der Einheit kein gemeinsames Maß haben, heißen Primzahlen gegeneinander oder rela¬ tive Primzahlen. Eine Zahl, welche durch zwei oder mehrere andere Zahlen theilbar ist, heißt ein gemeinsames Vielfaches dieser Zahlen. Unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen versteht man die kleinste Zahl, welche durch alle jene Zahlen theilbar ist. Ist eine Zahl a durch eine andere d nicht theilbar, so heißt die Zahl r, welche erhalten wird, wenn man von dem Dividende a das größte Vielfache von b, welches darin vorkommt, z. B. dy, subtrahiert, der Rest der Divi¬ sion. Es ist also r — s. — d-lz-j-o):m — somit m ein Maß von a -j- d si- o. 2. Jedes gemeinsame Maß zweier Zahlen ist auch ein Maß ihrer Differenz. Beweis. Es sei a : m — « und b : m — /Z; dann ist a — m «, i> — mA und a — d—m« — mO; folglich (g. — t>): m — « — A 3. Jedes Maß einer Zahl ist auch ein Maß jedes Vielfachen der Zahl. Beweis. Es sei u : m — dann ist a — m« und up —mp«; folglich ap: m — p«. Z. 72. Aufgabe. Das größte gemeinsame Maß zweier Zahlen zu finden. Mo Lnik, Arithmetik und Algebra. 3 34 Man dividiere die größere der beiden Zahlen durch die kleinere, sodann den Divisor durch den Divisionsrest, den neuen Divisor durch den neuen Rest, u. s. f., bis endlich eine Division ohne Rest aufgeht; der letzte Divisor ist das größte gemeinsame Maß der zwei gegebenen Zahlen. Beweis. Sind a und io, wo a > io, die zwei gegebenen Zahlen nnd gibt Zunächst ist klar, dass man bei fortgesetztem Dividieren endlich an einen Rest — 0 kommen müsse, weil der jedesmalige Rest eine ganze Zahl und wenigstens um 1 kleiner als der Divisor, welcher der vorhergehende Rest war, sein muss. Ist nun — 0, so folgt, wenn man die oben links stehenden Gleichungen von unten anfangend betrachtet, dass i-g ein Maß von i^, daher (nach Z. 71) auch von dem Vielfachen r., g,, also auch ein Maß von der Summe rg ch" r,, d. i. von ist; dass r. ferner ein Maß von i^g,, also auch von -s-i-z, d. i. von io, und endlich auch ein Maß von b somit auch von iocz, fi- r,, d. i. von a ist. ist demnach ein gemeinsames Maß von a und io. Es sei andererseits m irgend ein gemeinsames Maß von a und io. Dann folgt durch Betrachtung der oben rechts stehenden Gleichungen: m ist ein Maß von dem Vielfachen i, also auch von der Differenz n — iocz„ d. i. von r^; daher ist m auch ein Maß von r^' -s- a -s- 26' -j- 6 und a' — d' gesucht werden. (3a-> - 2a- — 3ai>' Z- a 26' Z- d) : (a' - 6') -- 3a — 2 3a^ — 3a6' - 4- (a' - 6') : (a 6) a - 6. -2a'Z-a^-26'Z-6 — 2a' Z-26' Das gesuchte gr. g. Maß ist also -s- — der letzte Divisor a -6 6. -s- a -s- 6 Rest. tz. 73. Aus der im Z. 72 begründeten Kettendivision zwischen zwei Zahlen ergeben sich nachstehende Folgesätze: 1. Jedes gemeinsame Maß zweier Zahlen ist auch ein Maß des größten gemeinsamen Maßes derselben. Folgt aus dem zweiten Theile des Beweises zu Z. 72. 2. Ist bei der Kettendivision für a und 6 der letzte Divisor gleich 1, so sind a und b relative Primzahlen; und umgekehrt. 3. Sind a und 6 relative Primzahlen, so ist das größte gemeinsame Maß von ap und 6 p gleich p. Denn die Kettendivision für a und 6 gibt als letzten Divisor 1; setzt man nun in dieser Kettendivision statt a und l> die Zahlen ap und 6 p, d. i. multipliciert man jede der in Z. 72 angeführten Gleichungen mit p, so wird der letzte Divisor, also das größte gemeinsame Maß von ap und 6 p, gleich p. Auf analoge Weise lässt sich folgern: 4. Sind a und l> relative Primzahlen, so ist das größte gemeinsame Maß von ap und 6 auch das größte gemeinsame Maß von p und 6. Von dem Satze 4. macht man häufig bei der Aufsuchung des größten gemeinsamen Maßes zweier allgemeiner Ausdrücke Anwendung, indem man, um die Kettendivision aussühren zn können, einen der beiden Ausdrücke mit einer Zahl multipliciert oder durch eine Zahl dividiert, welche zn dem andern Ausdrucke relativ prim ist. Beispiel: Man suche das gr. g. Maß von 10x' Z- 14x — 12 und 7x' Z- 22x 4- 16. Damit die Division der beiden Ausdrücke in ganzen Zahlen ausgeführt werden könne, multipliciere man den ersten mit 7, welche Zahl kein Maß des zweiten Ausdruckes ist; man hat dann (70x' Z- 98x — 84): (7x' Z- 22x -s- 16) 10 70 x' Z- 220x Z- 160 — 122 x —244. 3* 36 Wird der Rest — 122 x — 244 durch die Zahl — 122, welche kein Maß des früheren Divisors ist, dividiert, wodurch man x -s- 2 erhält, so ergibt sich als weitere Rechnung: (7x- -st 22x -st 16): (x -si 2) 7x -j- 8 7x? si- 14x -s- 8x -s- 16 Das gr. g. Maß ist also x -j- 2. -s- 8x -st 16 0 74. 1. Ein Quotient, welcher mit jeder von zwei rela¬ tiven Primzahlen multipliciert eine ganze Zahl zum Producte gibt, ist selbst eine ganze Zahl. Beweis. Es seien a und 6 relative Primzahlen und die Producte (x : cz) s, und (p : : st eine ganze Zahl sein. 4. Ist eine Zahl gegen zwei oder mehrere andere Zahlen eine relative Primzahl, so ist sie es auch gegen das Product derselben. Beweis. Es sei m eine relative Primzahl gegen a, st und o. Wäre a st o : m eine ganze Zahl, so müsste nach 3. auch st e : m, und dann aus dem¬ selben Grunde auch o : m eine ganze Zahl sein, was jedoch der Annahme widerspricht. 5. Die Potenzen zweier relativer Primzahlen sind selbst relative Primzahlen. Beweis. Sind L und b relative Primzahlen, so muss nach 4. auch Ä gegen k b, ferner b d gegen n a, ebenso a a gegen b b ll, u. s. w., allgemein gegen eine relative Primzahl sein. 8- 75. Ausgabe. Das größte gemeinsame Maß mehrerer Zahlen zu finden. Ist das gr. g. Maß der Zahlen s, 5, o und ä zu finden, so suche man zuerst das gr. g. Maß von n und b, dieses sei in; dann suche man das gr. g. Maß von na und o, dieses sei n; endlich suche man das gr. g. Maß von n und ä, dieses sei p; p ist dann das gr. g. Maß von n, i>, o, ä. Beweis. Nach der Voraussetzung enthält m alle gemeinsamen Primfactoren von s, und b; n enthält alle gemeinsamen Factoren von m und o, also auch von a, b und o; p endlich enthält alle gemeinsamen Factoren von n und ä, folglich auch von a, b, o und ä; p ist also das gr. g. Maß von a, b, o und ä. Beispiele. 1) Man suche das gr. g. Maß von 1554, 3552 und 5143. 1554 3552 2 222 444 3 0 2 222 5143 23 0 703 37 6 222 ist das gr. g. Maß von 1554 und 3552; 37 ist das gr. g. Maß von 222 und 5143, also auch von 1554, 3552 und 5143. 2) Man suche das gr. g. Maß von 3x? — 2x^ — 5^, 2x^ -s- 9x^ -s- 7^ und 2x? — 2^fi Als das gr. g. Maß von 3x?— 2x^ — 5^ und 2x?-s-9x^--s-7^ erhält man x -s- Von x -s-^ und 2x^ — 2^ ist firner x-fix das gr. g. Maß, welches daher zugleich das gr. g. Maß der gegebenen drei Ausdrücke ist. 2. Gemeinsames Vielfaches der Zahlen. Z. 76. Ausgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu finden. Man suche zu den zwei gegebenen Zahlen das gr. g. Maß, dividiere durch dieses eine der beiden Zahlen und multipliciere mit dem Quotienten die andere; das Product ist das gesuchte kleinste gemeinsame Vielfache. Beweis. Es seien a und die gegebenen Zahlen. Haben diese kein gemeinsames Maß, so ist ihr Product a b selbst zugleich ihr kl. g. Viel¬ faches. Sind aber n und b nicht relative Primzahlen, so sei m ihr gr. g. Maß, und zwar n: in — d : m — A wo « und /1 keinen gemeinsamen Factor mehr enthalten können; man hat dann n — in «, 5 — in Jedes Vielfache von a. muss also die Factoren m und «, jedes Vielfache von b muss, 38 die Factoren m und /?, und daher jedes gemeinsaine Bielfache von a und 6 die Factoren m, « und enthalten; das Product nun, welches nur diese drei Factoren enthält, wird das kleinste g. Vielfache von a und 6 sein. Das kl. g. Vielfache von s. und 6 ist also ma/3 — — a (6 : m) — m/1.« — 6 (a : ui). Beispiele. 1) Man suche das kl. g. Vielfache von 648 und 972. 648 972 1 324 ist das gr. g. Maß. 0 324 2 648 : 324 2; 972.2 1944, oder 972 : 324 3; 648.3 1944; kl. g. Vielfaches 1944. 2) Es soll das kl. g. Vielfache von 9a'x'— 46'x' und 9a'x' — 12a'6x7' -f- 46'7' gefunden werden. Das gr. g. Maß dieser Ausdrücke ist 3a'x— 267'. Man hat dann (9a'x' — 123'6x7' 46^') - - 267') - 3a'x — 267'; daher ist (9a'x' — 46'7') (3a,'x — 267') 27u°x" — 18a'6x'7° — 12a'6'x7' -f- 86'7° das gesuchte kl. g. Vielfache. Z. 77. Ausgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache meh¬ rerer Zahlen zu finden. Man suche zuerst das kl. g. Vielfache zweier Zahlen, dann das kl. g. Vielfache des eben gefundenen Vielfachen und der dritten Zahl, und fahre auf diese Art bis zur letzten gegebenen Zahl fort. Das zuletzt gefundene kl. g. Vielfache ist zugleich das kl. g. Vielfache aller gegebenen Zahlen. Beweis analog mit dem Beweise in dem Z. 75. 3. Theilbarkeit dekadischer Zahlen. Z. 78. Eine dekadische Zahl N ist durch p theilbar, wenn die Summe der Producte aus ihren einzelnen Ziffern und den¬ jenigen Resten, welche aus der Division ihrer dekadischen Ein¬ heiten durch p entstehen, durch p theilbar ist. Beweis. Es sei die dekadische Zahl N -- a. -s- 6.10 -s- 0.10' -f- ... -s- 6.10° gegeben, in welcher 3, 6, 0, ... 6 die aufeinander folgenden Ziffern von der Rechten gegen die Linke bezeichnen. Dann ist x 1 , , 10 , io-, , . 10° — — L.-6 6.-60.-6 ... 4- 6. —. I> k> I> ? p 10 , r. 1()2 . i-z 10» . >-» Ist NUN — ... — c^-s--^-, so hat man 39 x — K' p (q, -st 4 e ( » sein. Es sei nun n : p — x, also n — px, wo x eine ganze Zahl bezeichnet; dann wäre auch n: x — x, also n durch x theilbar. Aus n < s?, und x > a folgt aber u : p < a, oder x < a. Es müsste daher unter der obigen Annahme n durch eine Zahl x < s. theilbar sein, was gegen die Vor¬ aussetzung ist. n muss also eine Primzahl sein. tz. 18. Aufgabe. Alle Primzahlen bis zu einer gegebenen Grenze zu bestimmen. Man bilde die Quadrate der natürlichen Zahlen, bis das letzte Quadrat die gegebene Grenze überschreitet: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100... Es sind dann Primzahlen diejenigen Zahlen zwischen 1 und 4, welche mit Ausschluss der 1 durch keine Zahl unter 2 theilbar sind, also 1, 2 und 3; ferner diejenigen Zahlen zwischen 4 und 9, die mit Ausschluss der 1 durch keine Zahl unter 3 theilbar sind, also 5 und 7; u. s. w. Die Richtigkeit folgt aus Z. 80. Z. 82. Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich, und zwar nur auf eine Art, in lauter Primfactoren zerlegen. Beweis. Jede zusammengesetzte Zahl a muss wenigstens in zwei Factoren zerlegt werden können, wobei der Factor 1 ausgeschlossen bleibt; diese lassen sich, wenn sie zusammengesetzte Zahlen sind, wieder in Factoren zerlegen, die entweder schon Primzahlen oder selbst wieder zusammengesetzte Zahlen sind; wird im letzteren Falle das Zerlegen fortgesetzt, so muss man, da die Factoren immer kleiner werden, endlich lauter Primzahlen als Factoren erhalten. Sind nun m, n, p, o —a.b.o; 21 a'mx? — 3.7.a.a,.m.x.x. Für die Zerlegung der Polynome in Factoren lassen sich keine allge¬ meinen Regeln geben; es sollen daher hier nur häufiger vorkommende specielle Fälle betrachtet werden. 1. Ein Polynom, dessen alle Glieder ein gemeinsames Maß haben, wird nach Z. 40, 2, und H. 41, 2, in zwei Factoren zerlegt, indem man das gemein¬ same Maß als den einen Factor heraushebt und als den andern Factor den 42 Quotienten setzt, welcher aus der Division des gegebenen Ausdruckes durch jenes gemeinsame Maß hervorgeht. Z. B.: 1) 3ax — 4lox — x (3a — 4 Io), 2) 20x^ — 16x3 -s- 12x? — 4x^ (5x^ — 4x -ff 3). 2. Insbesondere folgt aus Z. 44, Zusatz: 1) a- -ff 2aff -s- (n -s- io) (a Z- io), 2) a^ — 2 alo -ff lo^ — (a — io) (a — io), 3) a^ — — (a -ff ff) (a — ff); ferner allgemein: 4) 3?°^ -p. ff2-->4.l — (g, -p. 1)) __ ^Sm-1 p, g^Sm-S 1)2 — . . -p. 1)-m^ 5) a^r — (a — ff) (a^ -j- io -ff a^-^ ff° -ff .. -ff ff^-°), 6) a^^ — io?" — (a -ff ff) — a^^^ io -ff 1)2 — , — 7) a^ — — (a — io) si- S?"-? 1) _p_ g,2m-S 1)2 1)Sm-I^ 3. Ein Trinom von der Form x- mx^ n)-- kann in zwei Factoren häufig dadurch zerlegt werden, dass man den Coefficienten m des zweiten Gliedes, je nachdem n positiv oder negativ ist, als die Summe oder als die Differenz zweier Zahlen darstellt, die als Product n geben, und hierauf die gemein¬ samen Factoren heraushebt. Z. B.: 1) x" -ff 6x -ff 8 x" -ff (4 -ff 2) x -ff 8 x' -ff 4x -ff 2x -ff 8 — x (x -ff 4) -ff 2 (x -ff 4) — (x -ff 4) (x -ff 2). 2) x?—5x^-ff6^2 — —(3-ff2)x^-ff6^^ — x^ — 3x^ — 2x^-ff6^^ — x (x—3^) — 2^ (x — 3^) — (x — 3)0 (x — 2)0. 3) a^ -ff 3a — 10 a? Z- (5 — 2) a — 10 a^ -ff 5a — 2a — 10 — a (a -ff 5) — 2 (a -ff 5) — (a -ff 5) (a — 2). Z. 85. Aufgabe. Das größte gemeinsame Maß zweier oder mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfactoren zu finden. Man zerlege jede der gegebenen Zahlen in ihre Primfactoren und hebe unter diesen diejenigen Factoren heraus, welche in allen Zahlen gemeinsam vorkommen, und zwar jeden so oft, als er in jeder der gegebenen Zahlen enthalten ist; das Product dieser Factoren ist das gesuchte gr. g. Maß. Beweis. Das so gebildete Product ist, da alle Factoren desselben in sämmtlichen gegebenen Zahlen enthalten sind, gewiss ein gemeinsames Maß derselben; es ist aber auch das größte, weil, sobald man noch einen Factor hinzufügen würde, durch dieses Product nicht mehr alle gegebenen Zahlen theilbar wären. Beispiel. Suche das gr. g. Maß von 300 und 420. 300 2.2.3.5.5, gr. g. Maß - 2.2.3.5 60. 420 - 2.2.3.5.7; Z. 86. Ausgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfactoren zu finden. 43 Man zerlege alle gegebenen Zahlen in ihre Primfactoren und nehme aus diesen alle verschiedenen Factoren, und zwar jeden so oft, als er in irgend einer gegebenen Zahl am öftesten vorkommt; das Product dieser Factoren ist das gesuchte kl. g. Vielfache. Beweis. Das so gebildete Product ist, da es alle Factoren einer jeden der gegebenen Zahlen enthält, offenbar ein gemeinsames Vielfaches derselben; es ist aber auch das kleinste g. Vielfache, weil man keinen jener Factoren weg¬ lassen darf, ohne dass das Product aufhören würde, durch alle gegebenen Zahlen theilbar zu sein. Beikpiel. Man suche das kl. g. Vielfache von 60, 108 und 1050. 60 -- 2.2.3.5, 108 — 2.2.3.3.3, 1050 -- 2.3.5.5.7; kl. g. Vielfaches — 2.2.3.3.3.5.5.7 18900. Z. 87. Haben von einer Reihe gegebener Zahlen zwei oder mehrere ein gemeinsames Maß, so kann man, ohne das kl. g. Vielfache zu ändern, anstatt dieser Zahlen ihr gemeinsames Maß nur einmal, und zugleich die Quotienten setzen, welche aus der Division jener Zahlen durch das gemein¬ same Maß hervorgehen (Beweis zu ß. 76). Ist ferner eine der gegebenen Zahlen ein Maß von einer andern größeren, so kann die kleinere Zahl ohne Änderung des kl. g. Vielfachen ganz unberücksichtigt gelassen werden. Hierauf beruht folgendes praktische Verfahren, das kl. g. Viel¬ fache mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfactoren zu finden: Man lasse in der Reihe der gegebenen Zahlen diejenigen weg, welche in andern größeren ohne Rest enthalten sind, dividiere von den übrigen so viele als möglich durch eine absolute Primzahl und schreibe die Quotienten sowie die nicht theilbaren Zahlen unter die früheren Zahlen. Ebenso verfahre man mit der neuen und jeder etwa folgenden Reihe, bis man zuletzt nur relative Primzahlen erhält. Das Prodnct dieser letzteren und der absoluten Primzahlen, durch welche dividiert wurde, ist das gesuchte kl. g. Vielfache. Beispiel. Man suche das kl. g. Vielfache von 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 50. 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 50 9, 12, 16, 45, 25 2 6, 8, 45, 252 3, 4, 45, 25 2 4, 9, 5^5 kl. g. Vielfaches — 4.9.5.2.2.2.5 — 7200. 44 VI. Krweiterung des Aasikeugebietes durch die Division als Weikuug. Gebrochene Zahlen. Z. 88. Bisher wurde (Z. 47) bei jedem Quotienten vorausgesetzt, dass der Dividend a ein Vielfaches des Divisors b, dass also a eine der Zahlen b, 2b, 3b, 4b,... ist, weil nur in diesem Falle die Division an der Reihe der ganzen Zahlen ausgeführt werden konnte. Soll die Division für ganz beliebige Werte des Dividends und des Divisors möglich gemacht werden, so ist man genöthigt, für den Fall, wo a kein Vielfaches von b ist, als eine neue Zahlenform in die Arithmetik einzuführen. Man nennt in diesem allgemeinen Sinne, wo a kein Vielfaches von b ist, den Quotienten im Gegensätze zu den bisher betrachteten ganzen Zahlen eine gebrochene Zahl oder einen Bruch; a heißt der Zähler, b der Nenner des Bruches. Die neue Zahlensorm wird nun so definiert werden, dass den Gesetzen, welche bei der Division für die als ganze Zahlen vorausgesetzten Quotienten abgeleitet wurden, auch für die Brüche die Giltigkeit gewahrt bleibe. Wendet man auf den Quotienten dem man auch die Form geben kann, den Satz in tz. 49 an, so erhält man a 1 .a 1 V — — "d ' Die Bedeutung des Bruches ergibt sich dann aus dem durch die Gleichung -^-.b —1 ausgedrückten Begriffe eines Quotienten; d. i. bedeutet eine Zahl, welche b mal als Summand gesetzt 1 gibt. Theilt man daher eine Einheit in b gleiche Theile, so stellt ein solcher Theil, da er bmal als Summand gesetzt wieder die Einheit gibt, die Zahl vor. Der Bruch . a bedeutet dann die Zahl, welche entsteht, indem man die Einheit in b gleiche Theile theilt, und einen solchen Theil amal als Summand setzt. Brüche sind daher Zahlen, deren Einheit ausdrücklich als ein Theil der ursprünglichen Einheit angegeben ist. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleiche Theile die ursprüngliche Einheit getheilt werden soll, damit ein solcher Theil die neue Einheit des Bruches gebe; der Zähler zeigt an, wie vielmal der Bruch die durch den Nenner gegebene Einheit enthält. 45 Um den gebrochenen Zahlen auch in der Zahlenreihe ihre entsprechende Stellung anzuweisen, muss man für einen bestimmten Nenner b die Reihe der ganzen Zahlen in sich dadurch erweitern, dass man den Abstand je zweier auf¬ einander folgenden Zahlen dieser Reihe, d. i. jede ursprüngliche Einheit, durch Einschaltung neuer Zahlen in so viele gleiche Theile theilt, wie der Nenner b anzeigt, und einen solchen Theil als eine neue Einheit annimmt, um mit ihr zu zählen; man erhält dadurch die Zahlenreihe b ' b ' b ' b ' --- welche die Zahlenreihe der ktel genannt wird. Die durch Einschaltung von Brüchen ausgefüllte Zahlenreihe heißt die Bruchzahlenreihe für den bezüglichen Nenner. Solche Reihen können durch Zahlenlinien versinnlicht werden. So hat man für die Reihe der Drittel: -2 _ -1 c> _ -1-1 -i-s 7 A L -4. o -i-l- 12 s 's v 7 'Z 3 3 3 3 "3 3 3 3 3 3 3 3 3 Z. 89. Ein Bruch, welcher kleiner als l, dessen Zähler also kleiner als der Nenner ist, heißt ein echter Bruch, jeder andere ein unechter Bruch. Ein Bruch, dessen Zähler eine dekadische ganze Zahl, und dessen Nenner eine Potenz von 10 ist, wird ein Decimalbruch genannt; jeder andere Bruch heißt ein gemeiner Bruch. 1. Gemeine Brüche. Allgemeine Sähe. Z. 90. Aus dem Begriffe eines Bruches folgt: 1. Jeder Bruch gibt mit seinem Nenner multipliciert den Zähler zum Producte. . b — 1, . d u. b , b 2. Von zwei Brüchen, die gleiche Nenner haben, ist jener der größere, welcher den größeren Zähler hat. 3. Von zwei Brüchen, die gleiche Zähler haben, ist jener der größere, welcher den kleineren Nenner hat. Z. 91. 1. Jeder unechte Bruch kann in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruche verwandelt werden. Ist a > k, so ist — a : d q 4- wo q die größte ganze Zahl, welche in dem Quotienten a : b vorkommt, und r den Divisionsrest, daher weil r < b sein muss, einen echten Bruch vorstellt. Ein Ausdruck von der Form g -s- heißt eine gemischte Zahl. 46 2. Jede ganze Zahl kann in der Form eines Bruches mit gegebenem Nenner dargestcllt werden, indem man das Prodnct aus der ganzen Zahl und dem gegebenen Nenner als den Zähler des Bruches aunimmt. Es ist (8> 48, 3). Ein Bruch, dessen Zähler ein Vielfaches des Nenners, der also einer ganzen Zahl gleich ist, heißt ein uneigentlicher Bruch. 3. Ein Bruch bleibt (seinem Werte nach) unverändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliciert oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. 53 2). d bn d : n / ß. 92. Aufgaben. 1. Einen gegebenen Bruch auf einen gege¬ benen neuen Nenner zu bringen, welcher ein Vielfaches des früheren Nenners ist. Man dividiere den neuen Nenner durch den früheren Nenner und multipliciere mit dem Quotienten den früheren Zähler; das Product ist der gesuchte neue Zähler. Die Richtigkeit der Auflösung folgt aus H. 91, 3. Um z. B. auf den Nenner dm zu bringen, hat man dm: d — m; a.m — g,m; also 7 ' o bin 2. Zwei oder mehrere Brüche auf den kleinsten gemein¬ samen Nenner zu bringen. Man suche das kl. g. Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche, welches zugleich der neue kl. g. Nenner ist, und bringe (nach Aufg. 1) die gegebenen Brüche auf diesen neuen Nenner. Beispiel. Es sollen die Brüche auf den kl. g. Nenner gebracht werden. Das kl. g. Vielfache aller Nenner, somit der kl. g. Nenner, ist 4do?ä. Man erhält dann a _ 2ae2ä 3 in _ Zeäin 4n _ 16 bn 21» 4be2Z? 4 de 4de2^ e^ä 4de2<1' 3. Einen Bruch, dessen Zähler und Nenner ein gemein¬ sames Maß haben, abzukürzen, d. i. ohne Änderung des Wertes durch kleinere Zahlen auszudrücken. Man dividiere Zähler und Nenner durch ihr gemeinsames Maß. o 4sirl 2sw 12L?dx2 4ad ' 6bn Ibn ' 15scx» 5cx' 47 Ein Bruch, dessen Zähler und Nenner relative Primzahlen sind, heißt auf die einfachste Form gebracht. Zusatz. Durch das Abkürzen allgemeiner Brüche kann häufig die für besondere Substitutionen in denselben auftretende Unbestimmtheit behoben werden. So gibt der Bruch x — a den unbestimmten Wert Durch das Abkürzen aber erhält man x2- s- (x 4- s) (x - 3.) X 4- Ä 2 X — 23 2 (x — Ä) 2 ' welcher Bruch für x — a den bestimmten Wert — s. anuimmt. Nechnungsoperationen mit gemeinen Brüchen. 8- 93. Brüche mit gleichen Nennern werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und dieser Summe den gemeinsamen Nenner gibt. st- — — (tz. 55); IN ' in in /7 , in an , in An-^-in Z, -s- - - - -s- - --. 'n n ' n n 8- 94. Die Summe zweier Brüche bleibt unverändert, wenn man die Summanden mit einander vertauscht. ... Ä . t> ÄN . dm LN-j-dm bin4-^n lst st- — — H .(8- 11) — st- — (8. 55) - st- — (8- 91, 3). 8- 95. Zwei Brüche mit gleichen Nennern werden sub¬ trahiert, indem man die Zähler subtrahiert und der Differenz den gemein¬ samen Nenner gibt. --- (8- 56); NI IN NI L b AN bin LN — bin NI n INN NI II INN Zusatz. Insbesondere erhält man Ä -4 b s — d . Ä 4-v i 3— v u-, und auch - 6 — — . Es ist also a — — b, und heißt deshalb das arithmetische Mittel zwischen u und ll. 8- 96. Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multi- pliciert, indem man den Zähler mit ihr multipliciert oder den Nenner durch sie dividiert. A A NI Ä — m — — - lz. 50). K v b : in / 48 IN — 1, daher der umgekehrte Wert - m - ui (8- 96, 2) — (8- 96, 1). 2. Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Zähler durch sie dividiert oder den Nenner mit ihr multipliciert. -7- : m — —7— — 7— (Z. 51). d b dm 8- 97. Die Multiplication einer Zahl mit einem Bruche hat nach der in Z. 35 aufgestellten Erklärung der Multiplication keinen Sinn. Dieselbe muss, damit auch die Multiplication mit einem Bruche Bedeutung erhalte, entsprechend erweitert werden, was mit Rücksicht auf 8- 52, 2, in folgender Weise geschieht: Eine Zahl a mit einem Bruche multiplicieren heißt, den sovielten Theil von a, wie der Nenner n des Bruches anzeigt, sovielmal als Summand setzen, wie der Zähler in des Bruches anzeigt. Aus dieser Erklärung ergeben sich folgende Sätze: 1. Eine Zahl wird mit einem Bruche multipliciert, indem man sie durch den Nenner dividiert und den Quotienten mit dem Zähler multipliciert. a..^- — .in — —. HL L 2. Ein Bruch wird mit einem Bruche multipliciert, indem man dem Producte der Zähler das Prodnct der Nenner als Nenner gibt. L K ' L 3. Das Product zweier Brüche bleibt unverändert, wenn mau die Factoren unter einander vertauscht. (tz. 37) (nach 2). d n kn ud n d 8. 98. Wenn zwei Zahlen zum Producte 1 geben, so heißt jede der umgekehrte oder reciproke Wert der andern. So ist a . — 1, — ' a , L von a, der umgekehrte Wert vou 8- 99. Für die Division durch eineu Bruch ergibt sich: 1. Eine Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man sie durch den Zähler dividiert und den Quotienten mit dem Nenner multi¬ pliciert, oder indem man sie mit dem reciproken Werte des Bruches multipliciert. m L L a : — — — . n — a . —. L IN IN Beweis. Es ist — a, und auch a. —— a. 1 IN / n X IN / n 2. Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man ihn mit dem reciproken Werte desselben multipliciert, oder indem man dem Quotienten der Zähler den Quotienten der Nenner als Neuner gibt. 49 Es ist (nach 1); oder Hiernach ist — a : ll, d. h. der Quotient zweier Brüche mit gleichen Nennern ist gleich dem Quotienten ihrer Zähler. 8- 100. Ein Bruch, dessen Zähler oder Nenner, oder beide zugleich wieder Brüche sind, heißt ein gebrochener Bruch. Er ist nichts anderes, als eine angezeigte Division von Brüchen, und kann daher in einen gewöhnlichen Bruch verwandelt werden, indem man diese Division wirklich ausführt. Z. B. » -r rn A , AZ, «i An rrk ad an I » o — 7" « . - » , —— * —— - . d in oniin n in o in n bin n n 8- 101. Alle bisher für die ganzen Zahlen erwiesenen Lehr¬ sätze gelten auch für die gebrochenen Zahlen. Denn alle jene Lehrsätze beruhen auf den Eommutationsgesetzen n st- 3 — k> st- n und n . k» — k> . a; diese zwei Gesetze aber gelten, wie in Z. 94 und Z. 97, 3 bewiesen wurde, auch für Brüche. 2. Decimalbrüche. ß. 102. Die allgemeine Form eines Decimalbruches (ß. 89) ist wo und m beliebige dekadische ganze Zahlen bezeichnen. Die Decimalbrüche werden ohne Nenner angeschrieben; man braucht nur im Zähler von der Rechten gegen die Linke so viele Ziffern durch einen Punkt, den Deci malpunkt, abzuschneiden, als der Potenz¬ exponent von 10 im Nenner Einheiten enthält. Sollten nicht genug Ziffern vorhanden sein, um sie abschneiden zu können, so werden die fehlenden links durch Nullen ersetzt; ebenso ergänzt man auch die Stelle vor dem Decimal- Pnnkte, wenn für dieselbe keine Ziffer übrig bleibt, durch die Null. Z. B. 78-317, ^.^ 0-5483, 0'00037. Die Ziffern rechts nach dem Decimalpunkte werden Decimalen genannt, stellt demnach einen Decimalbruch mit m Decimalen dar. M o L nik, Arithmetik und Algebra. 4 50 Bezeichnet man in dem Decimalbruche welcher 4 Decimalen enthält, die Zahl vor dem Decimalpunkt durch p, und die Decimalziffern in der Ordnung gegen die Rechte durch «, st, S, so ist p.10' -s- «.10» -ff st. 10' -ff ^.10 Z- S, daher L x.10«-ff«.10S-l-st.tv2-P-7.10-ffS^^ , st , 7 S M 10« 10 102 10^ 10«' Es bedeutet also die Zahl, welche links vor dem Decimalpunkte steht, eine ganze Zahl; die erste Decimale bedeutet Zehntel, die zweite Hundertel, die dritte Tausendtel, die vierte Zehntausendtel, u. s. w. In einer nach dem dekadischen Zahlensysteme (Z. 66) geschriebenen ganzen Zahl bedeutet jede Ziffer an der nächstfolgenden Stelle gegen die Rechte den lOten Theil von dem, was sie an der vorhergehenden Stelle gilt. Dasselbe Gesetz findet auch bei den Decimalen statt, da ein Zehntel der lOte Theil von einem Einer, ein Hundertel der lOte Theil von eineni Zehntel, u. s. w. ist. Die Decimalbrüche sind also eine Erweiterung des dekadischen Zahlen¬ systems in der Art, dass die Reihe der dekadischen Zahlenordnungen Tausender, Hunderter, Zehner, Einer nicht mehr mit den Einern abbricht, son¬ dern sich nach demselben Gesetze, indem jede niedrigere Einheit als der zehnte Theil einer Einheit der nächst höheren Ordnung angenommen wird, noch unter die Einer hinab in Zehnteln, Hunderteln, Tausendteln,... fortsetzt. Der Decimalpunkt scheidet die ursprüngliche Reihe der Zahlenordnungen von dieser Fortsetzung. Hiernach ist .. .e.10- fi- 6.10' -ff u.10 -ff L "g Z- -ff . die allgemeine Form einer Zahl des dekadischen Systems, wo L, a, 6, o ... die Ziffern der Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, ..., und «, /k, ^, ... die Ziffern der Zehntel, Hundertel, Tausendtel, ... bezeichnen. Folgesätze. 1. Der Wert eines Decimalbruches wird nicht geändert, wenn man den Decimalen rechts beliebig viele Nullen anhängt. 2. Der Wert jeder Decimalzahl ist kleiner als eine Einheit der ihrer höchsten geltenden Ziffer unmittelbar vorausgehenden höheren Stelle; z. B. 0-00783 <-^2. Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Dcrimalbruch. tz. 103. Um einen gemeinen Bruch in einen Decimalbruch zu verwandeln, dividiere man den Zähler u durch den Nenner 6 und bringe im Quotienten nach den Ganzen, an deren Stelle bei einem echten Bruche eine Null gesetzt wird, den Decimalpunkt an. Dem sich ergebenden sowie jedem etwa weiter folgenden Reste hänge man eine Null an und setze 51 die Division sort, bis diese endlich ohne Rest aufgeht oder, wenn dieses nicht eintritt, bis man die gewünschte Anzahl Decimalen erhalten hat. Beweis. Es ist ».io-- ->.ro°--b , d v.10-° 10°° Wenn man nun bei dem oben vorgezeichneten Divisionsverfahren an die betreffenden Reste nach und nach m Nullen anhängt, was dasselbe ist, als wenn man zu dem Zähler a auf einnial m Nullen hinzugefügt hätte, so wird dadurch a mit 10^ multipliciert; und indem man dann die im Quotienten a.10^:k erhaltenen letzten m Ziffern als Decimalen annimmt, wird dieser Quotient durch 10°> dividiert. Z. B. ^-^3-0:4^0-75 A-- 329 : 125 2-632 20 790 0 400 250 0 Zusätze. 1. Damit sich ein gemeiner Bruch in einen Decimalbruch genau verwandeln lasse, muss a.10" bei hinreichend großem m durch 1i theilbar sein. Dieses ist aber, wenn a und l> relative Primzahlen sind, nach ß. 74, 3 nur dann möglich, wenn 10°° durch l> theilbar ist, d. h. wenn 5 keinen von 2 und 5 verschiedenen Factor enthält. In allen Fällen, wo der Nenner b entweder die Factoren 2 und 5 gar nicht, oder außer denselben noch andere davon verschiedene Primfactoren enthält, kann der auf die einfachste Form gebrachte Bruch durch keinen endlichen Decimalbruch dargestellt werden. Es lässt sich jedoch immer nähe¬ rungsweise ein Decimalbruch entwickeln, welcher von dem gegebenen gemeinen um weniger verschieden ist, als jede noch so kleine gegebene Zahl. Denn ist a.lO'" durch k nicht theilbar, so kann der Quotient als eine gemischte Zahl angesehen werden. Setzt man also wo r < 5 ist, so ist s, p . r 3. P _ V " 1i)m "i" d.iom' ""O 1— d . x - 10° 102° o io»° 104° > - - - Multipliciert man diesen Ausdruck mit IO, so erhält man x. IO — i> -s- ^7- st--s--i^ . Subtrahiert man nun den früheren Ausdruck von dem letzten, so folgt x.1O— x — 6, oder (IO— 1) x — 6, v x — io° — 1' 0'4 -g- Z-; lo-ool — Io — Io gemischt periodischer Decimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man die der Periode vorangehenden Decimalen sammt der Periode als ganze Zahl zusammenstellt, davon die der 53 Periode vorangehenden Decimalen, ebenfalls als ganze Zahl betrachtet, sub¬ trahiert und diese Differenz als Zähler, als Nenner aber eine Zahl annimmt, die mit so vielen 9, als die Periode Ziffern enthält, und so vielen rechts folgenden Nullen, als Decimalen der Periode vorangehen, geschrieben ist. Beweis. Es seien k> die Ziffern der Periode, u die Anzahl derselben, ferner a die der Periode vorangehenden Decimalen und m ihre Anzahl, dann ist der gesuchte Decimalbruch _ A . b , b . b X Igm > 1gm^-SL I N" - - - Multipliciert inan diesen Ausdruck zuerst mit 10°^°, dann mit 10°>, so x.lO^^u.lO^b-s-^^-^^... x.10- Subtraction der letzten zwei Ausdrücke ergibt sich x.10-^° — x.lO'u — a.10°Z-b — a, oder x.10>° (lO° — 1) — (a.10°-s- lo) — a, — (a.10° -tz V) — L X — (10°— 1). 10m ' s)-2l5 215-2 213 990 990 330' erhält man Durch uud daraus B. Rechnungsopcrationrn mit unvollständigen Decimalbrüchcn. ß. 105. Indem wir die allgemeinen Vorschriften für das Rechnen mit Decimalzahlen als bekannt voraussetzen, werden wir hier nur die bei den Rechnungsoperationen mit unvollständigen Decimalbrüchen sich ergebenden Ab¬ kürzungen näher untersuchen. Stellt ein Decimalbrnch irgend einen Zahlenwert, der entweder aus der Rechnung selbst oder aus einer angestellten Messung hervorgegangen ist, nicht völlig genau, sondern bloß nähernngsweise dar, so heißt er ein unvollständiger Decimalbruch, im Gegensätze zu einem vollständigen oder geschlossenen, der in seinen Zahlen vollkommen genau ausgedrückt ist. Dass ein Decimalbruch unvollständig ist, wird durch angehängte Punkte angedeutet; z. B. 3'14... Auch ein geschlossener Decimalbruch kann, wenn für einen bestimmten Zweck eine geringere Genauigkeit genügt, zu einem unvollständigen abgekürzt werden, wenn man eine oder mehrere seiner letzten Decimalziffern weglässt. Die Differenz zwischen einem unvollständigen Decimalbruche und dem genauen Zahlenwerte, den er angenähert darstellt, heißt der Fehler des Decimalbruches. In den meisten Fällen ist der Fehler selbst nicht genau bestimmbar; er wird dann dadurch beurtheilt, dass man eine Größe angibt, 54 welche der Fehler nicht erreichen oder wenigstens nicht überschreiten kann. Diese Größe heißt eine Fehlergrenze des genäherten Decimalbruches. In Beziehung auf die Fehlergrenze beim Abkürzen eines Decimalbruches ergibt sich aus dem 2. Folgesatze zu Z. 102 Nachstehendes: 1. Ist die erste weggelassene Ziffer kleiner als 5, so beträgt der Fehler weniger als eine halbe Einheit der letzten noch beibehaltenen Stelle. 2. Ist die erste weggelassene Ziffer größer als 5, oder 5 mit nach¬ folgenden geltenden Ziffern, so ist der Fehler größer als eine halbe, aber kleiner als eine ganze Einheit der letzten beibehaltenen Stelle. Man kann daher auch in diesem Falle den Fehler des abgekürzten Decimalbruches kleiner als eine halbe Einheit der letzten beizubehaltenden Stelle machen, indem man die Ziffer an dieser Stelle um 1 erhöht (corri giert). 3. Ist die erste weggelassene Ziffer 5 mit nachfolgenden Nullen, so ist es gleichgiltig, ob man die letzte beibchaltene Ziffer unverändert lässt oder um 1 erhöht; der Fehler ist in beiden Fällen eine halbe Einheit dieser letzten Stelle. Ein unvollständiger Decimalbruch kann daher immer durch einen geschloffenen mstelligen Decimalbruch a so genau dargestellt werden, dass der Fehler eine halbe Einheit der mten Stelle nicht überschreitet, dass also «...zwischen a — und «-f- liegt. Unter dieser Voraussetzung bedeutet z. B. 5'83.. eine Zahl zwischen 5'825 und 5'835, 5'830.. „ „ „ 5'8295 „ 58305. Der Grad der Genauigkeit einer angenäherten Zahl hängt nicht allein von der Fehlergrenze, sondern auch von der Größe der Zahl ab; er wird gewöhnlich durch die Angabe bestimmt, wie oft die doppelte Fehler¬ grenze, d. i. eine Einheit der niedrigsten Stelle der angenäherten Zahl in dieser enthalten ist. Hiernach ist die Genauigkeit der Zahl 9'32.. gleich 9'32 : 0'01 — 932. Von zwei angenäherten Zahlen heißt daher diejenige die genauere, welche in Einheiten ihrer niedrigsten Stelle ausgedrückt eine größere Gesammtzahl dieser Einheiten darstellt. So sind z. B. die Zahlen 5'74.. und 0'574.., wiewohl sie nicht dieselbe Fehlergrenze haben, gleich genau, da jede 574 Einheiten ihrer niedrigsten Stelle enthält; dagegen ist 6'825.. genauer als 43'9.., da 6825 > 439 ist. Eine vollständige Zahl ist genauer als jede angenäherte. Beim Rechnen mit unvollständigen Decimalbrüchen ist cs von Wichtig¬ keit, zu wissen, mit welchem Grade der Zuverlässigkeit das Rechnungsresultat in jedem Falle bestimmt werden könne, woraus sich daun auch umgekehrt folgern lässt, welche Genauigkeit die gegebenen Zahlen haben müssen, damit das Resultat bis zu einer bestimmten Decimalstelle verlässlich gefunden werde. 55 Addition und Subtraktion unvoll Bändiger Decimalbrüche. ß. 106. 1. Da die Summe mehrerer unvollständiger Decimalbrüche nur in jenen Stellen verlässlich sein kann, welche in jedem Summanden ver¬ bürgt sind, so kürzt man alle Summanden auf gleich viele Decimalstellen ab. Die Fehlergrenze der Summe ist dann, da die Fehler aller Summanden möglicherweise in demselben Sinne wirken können, gleich so vielen halben Einheiten der letzten Stelle, als die Zahl der Summanden angibt. 2. Auch beim Subtrahieren unvollständiger Decimalbrüche kürzt man dieselben aus so viele Decimalstellen ab, als in jeder der beiden Zahlen ver¬ bürgt sind. Die Fehlergrenze der Differenz beträgt dann eine Einheit der letzten Stelle. Abgekürzte Multiplikation. Z. 107. Will man das Product zweier mehrstelliger Decimalzahlen nicht vollständig, sondern nur bis zu einer bestimmten Stelle entwickeln und in die Rechnung keine überflüssigen Zahlen einbeziehen, so wendet man die abge¬ kürzte Multiplication an. Darunter versteht man folgendes Verfahren: 1. Man setzt die Einer des Multiplikators unter die niedrigste Decimal- stelle des Multiplicands, welche im Produkte noch angestrebt wird, und schreibt daneben die übrigen Ziffern des Multiplikators in umgekehrter Reihenfolge; dann haben die Producte aus je zwei unter einander stehenden Ziffern gleichen Rang mit der niedrigsten im Producte verlangten Ziffer. 2. Man multipliciert mit jeder Ziffer des umgekehrt geschriebenen Multipli¬ kators die gerade darüber stehende sowie die weiter folgenden höheren Ziffern des Multiplicands und schreibt die dadurch erhaltenen abgekürzten Theilproducte so an, dass ihre niedrigsten Ziffern, da sie von gleichem Range sind, unter einander zu stehen kommen. Um jedoch die niedrigste Ziffer eines jeden Theil- Productes möglichst sicher zu erhalten, multipliciert man bei der Entwicklung desselben zunächst noch die erste im Multiplicand weggelassene Ziffer und addiert die daraus sich ergebenden Zehner als Correctur zu der niedrigsten Ziffer des Theilproductes. 3. Die abgekürzten Theilproducte werden addiert. Die Fehlergrenze des abgekürzten Produktes beträgt so viele halbe Ein¬ heiten der niedrigsten Stelle, als die Anzahl der Theilproducte angibt. Man kann aber die Fehlergrenze meist bis auf eine halbe Einheit dieser Stelle herabdrücken, wenn man in jedem Theilproducte nicht die niedrigste verlangte Stelle corrigiert, sondern noch die ihr folgende niedrigere Ziffer möglichst genau entwickelt und die aus der Summe dieser Ziffern sich ergebende Correctur erst im Endproducte berücksichtigt. Es sei z. B. das Product 48'179 X 13'5645 bis auf 3 Decimalstellen zu entwickeln. 56 In g,) ist die Multiplication vollständig ausgeführt, in d) abgekürzt auf 3 Decimalstellen mit der Correctur der einzelnen Theilproducte (Fehlergrenze 0'002), in o) abgekürzt mit der Entwicklung der 4ten Decimalstelle und mit entsprechender Correctur des Endproductes (Fehlergrenze 0'0002). Z. 108. Das Product zweier unvollständiger Decimalzahlen kann höchstens mit derjenigen Genauigkeit angegeben werden, welche das Product des minder genauen Factors mit der höchsten Ziffer des andern Factors erhält; dieses Product aber ist in der niedrigsten Stelle unsicher, da die Correctur un¬ bekannt ist. Um daher das Product zweier unvollständiger Decimal¬ zahlen mit erreichbarer Genauigkeit zu bestimmen, nehme man den ungenaueren Factor zum Multiplicand, setze unter seine vorletzte Ziffer die höchste geltende Ziffer des andern Factors, die übrigen Ziffern desselben aber in umgekehrter Ordnung, und multipliciere sodann abgekürzt. Z. B. 1) 2'916.. X 4'378.. 2) 4517 X 6863.. 87 34 715 4 11 66 4 274 5 s 87 s 34 3 s 204 69 2 3 4 8 —42-77.. 310'0.. Zur Bestimmung der Fehlergrenze des Productes zweier un¬ vollständiger Decimalzahlen a.. undl>.., deren Fehlergrenzen bezüglich « und /1 sind, hat man (a «) (1> U: /1) — al, — U: g. 1) « Un a Die Fehlergrenze ist also, da das Glied «/3 als gegen die übrigen ver¬ schwindend klein weggelassen werden kann, im ungünstigsten Falle, wo « und /3 gleichbezeichnet sind, gleich g,/3 -j- 1>«. Um demnach die Fehlergrenze des Productes zu erhalten, multipliciert man jeden Factor (in der Praxis gewöhnlich nur dessen höchste Stelle) mit der Fehlergrenze deö andern Factors und addiert diese Producte. 57 Ist der eine Factor a eine vollständige Zahl, also « — 0, so ist die Fehlergrenze des Productes gleich ast. In dem obigen Beispiele 1) ist die Fehlergrenze des Productes — 3 X 0'0005 -j- 4 X 0'0005 — 0'0035' in dem Beispiele 2) ist die Fehlergrenze 5 X 0 005 — 0 025. Abgekürzte Division. Z. 109. Will man den Quotienten zweier mehrstelliger Decimalzahlen mit Vermeidung jeder überflüssigen Rechnung nur bis zu einer bestimmten Decimalstelle entwickeln, so bedient man sich der abgekürzten Division. Diese ist die Umkehrung der abgekürzten Multiplication und besteht in folgendem Verfahren: 1. Man sucht die erste Ziffer des Quotienten und bestimmt ihren Rang. Aus dem Range dieser Ziffer und aus der Anzahl der im Quotienten ver¬ langten Decimalen ergibt sich, wie viele geltende Ziffern des Quotienten man im ganzen zu bestimmen hat; man nimmt dann so viele höchste Ziffern des Divisors, als ihrer der Quotient enthalten soll, als ersten Divisor an. 2. Bei jeder folgenden Division lässt man, anstatt zu dem Rest eine neue Ziffer oder eine Null dazu zu setzen, im Divisor rechts eine Ziffer weg, multipliciert jedoch mit jeder neuen Ziffer des Quotienten zunächst die erste im Divisor weggelassene Ziffer und nimmt aus dem Ergebnisse die Correctur für das Product aus dem abgekürzten Divisor und der entsprechenden Ziffer des Quotienten. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis mit der Division durch die erste Ziffer des Divisors die Rechnung abschließt. Es sei z. B. der Quotient 125'083563:8'195 bis auf 2 Decimal- stellen zu entwickeln. n) Vollständige Division. b) Abgekürzte Division. 125'08 3563 : 8'195 15'2634 125 08 ! 3563 : 8 - ,1,9,5 — 15 26.. §. 110. Der Quotient zweier unvollständiger Decimalzahlen kann nicht genauer sein als die ungenauere dieser Zahlen. Um daher den Quotienten zweier unvollständiger Decimal¬ zahlen mit erreichbarer Genauigkeit zu bestimmen, nimmt man im Dividend und im Divisor nur so viele Stellen in Betracht, als die ungenauere der beiden Zahlen gestattet, und dividiere abgekürzt. Z. B. 58 I) 148'47.. :6'A4,5..- 23'77.. 2) 17'837..: 5',2,7M63'382.. 23^7 2 014 4 83 432 46 10 1 Sind allgemein a., und d., zwei unvollständige Decimalbrüche, « die Fehlergrenze des ersten, O die Fehlergrenze des zweiten, so hat man zur Bestimmung der Fehlergrenze des Quotienten den Ausdruck s ^7 « Ä. _ ab t>« — »b d« V — b (b K b (d ^7 siX' Im ungünstigsten Falle sind « und /? entgegengesetzt bezeichnet; dann ist, wenn man im Nenner A als gegen d verschwindend klein vernachlässiget, die Fehlergrenze gleich °d„ : d. Um daher die Fehlergrenze des Quotienten zu erhalten, multipliciert man in der Praxis den auf seine höchste Stelle abgekürzten Quotienten mit der Fehlergrenze des Divisors, addiert zum Producte die Fehlergrenze des Divi- dends und dividiert die Summe durch die höchste Stelle des Divisors. Ist der Dividend n eine vollständige Decimalzahl, also « — 0, so ist die Fehlergrenze des Quotienten ^-/1:8. Ist der Divisor 8 eine vollständige Decimalzahl, also — 0, so ist « : 5 die Fehlergrenze des Quotienten. In dem obigen Beispiele 1) ist die Fehlergrenze des Quotienten (20 X 0'0005 -8 0'005) : 6 — 0'0025; in dem Beispiele 2) ist 0'0005 : 5 — 0'0001 die Fehlergrenze. VII. Unendlich große und unendlich kleine Größen und Grenzwerte der Veränderlichen. Z. 111. Größen, denen man während einer Rechnung oder Entwicklung einen bestimmten unveränderlichen Wert beilegt, heißen constant, im Gegen¬ sätze zu den veränderlichen oder variablen Größen, welche jeden beliebigen, ihrer Natur angemessenen Wert annehmen können. Eine veränderliche Größe (Zahl), deren absoluter Wert so im Wachsen begriffen ist, dass er größer wird, als jede beliebige absolute Constante, heißt unendlich groß. Man bezeichnet sie durch cx>. Eine veränderliche Größe (Zahl), deren absoluter Wert so im Abnehmen begriffen ist, dass er kleiner wird als jede beliebige absolute Constante, heißt unendlich klein. 59 Lehrsätze. 1. Die Summe einer endlichen Anzahl von unendlich kleinen Summanden ist unendlich klein. Sind v, ^... unendlich kleine Größen, und ist ihre Anzahl m eine endliche Zahl, so ist auch § -st v -st § -st.. unendlich klein, d. i. kleiner als jede beliebige Constante o. Denn theilt man o in m beliebige constante Theile «, st, ..., so wird z < «, -v < st, ? < 7, ..also § -st v -st L -st - - < o. 2. Ein Product, dessen Multiplicand unendlich klein, und dessen Multipticator eine constante, von Null verschiedene Zahl ist, ist unendlich klein. Folgt aus 1. 3. Ein Product, dessen Multiplicand constant und von Null verschieden, und dessen Multiplicator unendlich klein ist, ist unendlich klein. Um zu beweisen, dass für ein unendlich kleines n das Product Xu kleiner als eine beliebige Constante 6 wird, darf man nur n ; dann wird < 0. 5. Ein Quotient, dessen Dividend constant und von Null verschieden, und dessen Divisor unendlich klein ist, ist unendlich groß. Der Beweis ist analog dem Beweise zu 4. Z. 112. Wenn eine veränderliche Größe X bei fortwährendem Zu- oder Abnehmen sich einer konstanten Größe X, ohne dieselbe zu erreiche», so nähert, dass die Differenz zwischen ihnen unendlich klein wird, so heißt X der Grenz¬ wert (limss) von X. Diese Bezeichnung wird ansgcdrückt durch lim X X. Der Grenzwert einer unendlich kleinen Größe ist Null. Jedoch ist Null selbst nicht unendlich klein, da Null nicht veränderlich, sondern constant ist. Zusatz. Aus dem Satze 4, iu Z. 111, ergibt sich lim - — 0 für n — oc>. Wird diese Beziehung, wie es häufig geschieht, kürzer durch die Gleichung ausgedrückt, so ist hier unter dem Zeichen 0 nicht die absolute Null, sondern eine unendlich kleine Zahl zu verstehen. 60 In demselben Sinne gebraucht man auch den reciproken Ausdruck welcher in dieser Auffassung mit dem in ß. 48, 7 angeführten Satze nicht im Widerspruche steht. K. 113. Lehrsätze. 1. Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der Grenzwerte der Summanden. 2. Der Grenzwert eines Prodnctes ist gleich dem Produkte der Grenzwerte der Factoren. 3. Der Grenzwert eines Quotienten ist gleich dem Quo¬ tienten des Grenzwertes des Dividends durch den Grenzwert des Divisors. Sind X und 8 die Grenzwerte zweier zusammengehöriger Veränder¬ lichen X und X, und sind § und v positive und negative Zahlen, die sich der Null nähern, wenn X und X sich den Grenzwerten X und 8 nähern, so kann man X — X -j- § und X — 8 -s- v setzen. Dann ist X Z- X - XZ- 8 -j- Z- v), XX --- X8 -s- (X-o Z- 8^ -st tzv), X — L LZ — Ln X L > 8 (6 -st v)' Nähern sich nun X und X ihren Grenzwerten X und 8, also Z und u der Null, so werden (K. 111, 1 und 3) -st v, Xu -st 8§ -st §v, 8^ — X v unendlich klein; daher ist 1) lira (X -st X) — lini X 4- liin X, 2) lim XX — tim X lini X", 1. X lim X Z) UM X Iim X K. 114. Sind zwei constante Größen Grenzwerte derselben Veränderlichen, so sind sie einander gleich. Ist X limX und 8 lim X, so ist X 8. Denn wäre dem absoluten Werte nach X > 8, so müsste dem absoluten Werte nach X > X > 8 sein. Man theile nun X — 8 in zwei ungleiche Theile, von denen der kleinere m sei; dann wird X —X oder wird als Verhältnis gelesen: a verhält sich zu 6, oder kürzer: a zu k>. Den Dividend s, nennt man das Vorderglied, den Divisor b das Hinter¬ glied des Verhältnisses. Zwei Verhältnisse, welche denselben Zahlenwert haben, sind einander gleich. Das durch Vertauschung der Glieder eines Verhältnisses a : l> entstehende Verhältnis b: a heißt das umgekehrte oder reciproke Verhältnis der Zahlen a und 6; im Gegensätze zu demselben wird dann a : d das gerade Verhältnis dieser Zahlen genannt. Aus dem Begriffe eines Verhältnisses folgt: 1. Das Vorderglied eines Verhältnisses ist gleich dem Hintergliede multipliciert mit dem Quotienten (Z. 48, 1). 2. Das Hinterglied eines Verhältnisses ist gleich dem Vorderglicde dividiert durch den Quotienten (K. 48, 2). 3. Ein Verhältnis bleibt (seinem Werte nach) unverändert, wenn man Vorder- und Hinterglied mit derselben Zahl multi¬ pliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert (Z. 53, 2). Durch Anwendung des 3. Satzes kann man a) jedes Verhältnis, dessen Glieder Brüche enthalten, mit ganzen Zahlen darstellen; b) jedes Verhältnis, dessen Glieder ein gemeinsames Maß haben, durch dieses abkürzen. H. 116. Multipliciert man in zwei oder mehreren Verhältnissen alle Borderglieder und ebenso alle Hinterglieder mit einander, so bilden die Producte ein neues Verhältnis, welches im Gegensätze zu den gegebenen einfachen Verhältnissen ein zusammengesetztes Verhältnis genannt wird. Sind z. B. a: i> o : <1 s : k einfache Verhältnisse, so ist aos: bäk ein zusammengesetztes Verhältnis. Gröhcnvcrhültnisse. Z. 117. Zwischen zwei Größen kann nur dann ein Verhältnis statt¬ finden, wenn dieselben gleichartig sind. Das Verhältnis zweier gleichartiger 62 Größen ist gleichbedeutend mit dem Verhältnisse zweier unbenannter Zahlen, welche ausdrücken, wie vielmal eine dritte Größe derselben Art als Maß in jeder der beiden Größen enthalten ist. Ausgabe. Das größte gemeinsame Maß zweier gleichartiger Größen zu finden. Man nehme, wenn A und 8 die gegebenen Größen sind, von der größeren A die kleinere 8 so oft weg, als es angeht; sodann in gleicher Weise von 8 den etwa gebliebenen Rest von diesem Reste 8^ wieder den neuen Rest K2, u. s. w. Kommt man bei einer dieser Messungen auf einen Rest kn — 0, so ist der letzte nicht verschwindende Rest das gr. g. Maß der beiden gegebenen Größen. Die Begründung dieses Verfahrens, das mit dem in ß. 72 angegebenen Vorgänge bei der Auffindung des gr. g. Maßes zweier Zahlen übereinstimmt, ist analog mit dem dort geführten Beweise. Hier werden zwar auch, wie bei der Aufsuchung des gr. g. Maßes zweier ganzen Zahlen, die Reste stets kleiner, man muss jedoch nicht immer, wie dort, schließlich einen Rest — 0 erhalten. Wenn man bei dem obigen Verfahren niemals auf einen Rest — 0 kommt, so weit man die Messungen auch fortsetzcn würde, so haben die beiden Größen kein gemeinsames Maß. Ein Beispiel zweier solcher Größen bieten die Hypotenuse und die Kathete eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieckes (Geometrie K. 107). Zwei Größen, welche ein gemeinsames Maß haben, heißen kommen¬ surabel; zwei Größen, welche kein gemeinsames Maß haben, inkommen¬ surabel. ß. 118. 1. Das Verhältnis zweier kommensurabler Größen ist entweder eine ganze oder eine gebrochene Zahl. Sind die Größen A und 8 kommensurabel, und ist ihr gemeinsames Maß in A m mal, in 8 n mal enthalten, so ist wo für den Fall, dass m durch n theilbar ist, eine ganze Zahl, sonst einen Bruch darstellt. 2. Das Verhältnis zweier inkommensurabler Größen kann a) weder eine ganze noch eine gebrochene Zahl sein; es lässt sich jedoch ll) als Grenzwert eines veränderlichen Bruches mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit bestimmen. a) Sind A und 8 zwei inkommensurable Größen, so kann weder — in noch sein; denn im ersten Falle wäre dann 8 selbst, im zweiten ein gemeinsames Maß von A und 8, was gegen die Voraussetzung ist. d) Theilt man 8 in n gleiche Theile und nimmt einen solchen Theil wiederholt von A weg, bis der letzte Rest kleiner wird als so hat man, 63 wenn dies nach ni maligem Wegnehmen der Fall ist, > in. — und < (m -j- 1). II - u ' folglich nach Z. 60, 2, In diesem Falle liegt also das Verhältnis zwischen zwei Brüchen ""d deren Unterschied wenn man n hinlänglich groß annimmt, beliebig klein gemacht werden kann. Das Verhältnis ist demnach der Grenzwert, dem sich der veränderliche Bruch um größer n wird, also — liin wenn u — so wird. L Q so mehr nähert, je 2. Erweiterung des Zahlengebietcs durch die Division als Messung. Irrationale Zahlen. 8- 119. Das Messen zweier incommensurabler Größen führt auf Ver¬ hältnisse, die sich durch die bisher betrachteten Zahlen nicht ausdrttcken lassen; man ist deshalb genöthigt, den Zahlenbegriff entsprechend zu erweitern. Dieses geschieht durch Einführung der irrationalen Zahlen. Eine irrationale Zahl ist eine Zahl, welche sich weder durch eine ganze noch durch eine gebrochene Zahl, sondern nur als Grenzwert eines veränderlichen Bruches ausdrücken lässt. Die Werte, welche dieser veränder¬ liche Bruch annimmt, indem er sich der Grenze nähert, heißen Näherungs¬ werte der irrationalen Zahl. Im Gegensätze zu den irrationalen Zahlen werden die bisher betrachteten Zahlen, die ganzen und gebrochenen, rationale Zahlen genannt. Hiernach ist (K. 118) das Verhältnis zweier Größen und L, wenn sie commensurabel sind, eine rationale Zahl, dagegen, wenn sie incommen- surabel sind, eine irrationale Zahl. Das Zeichen für die irrationale Zahl ist lim wo n ohne Ende zunimmt und m die größte ganze Zahl angibt, welche für den jedesmaligen Wert von n in dem Quotienten enthalten ist. Die Brüche und sind für irgend einen besonderen Wert von n auf genaue Näherungswerte dieser irrationalen Zahl. Ein periodischer Decimalbruch ist eine rationale Zahl (A. 104, 2 und 3). Auch die irrationalen Zahlen können durch eine Zahlenlinie versinnlicht werden. Eine unbegrenzte gerade Linie stellt durch die von einem ihrer Punkte, 64 dem Anfangspunkte, zu beiden Seiten gleich weit abstehenden Punkte die Reihe der positiven und negativen ganzen Zahlen dar. Werden zwischen je zwei Punkte dieser Linie beliebig viele ebenfalls gleich weit von einander entfernte Punkte eingeschaltet, so wird durch diese die Reihe der Brüche mit beliebigen Nennern dargestellt. Je mehrere solche Punkte man einschaltet, desto näher rücken sie aneinander, bis sie bei einer ins Unendliche fortschreitenden Ein¬ schaltung, wie die irrationalen Zahlen es fordern, in eine stetige Zahlenlinie übergehen. So lange man sich auf die rationalen Zahlen beschränkte, hatte man immer noch nicht alle Punkte der Linie; erst die irrationalen Zahlen in Verbindung mit den rationalen lassen jeden Punkt der Linie als die Versinn- lichnng einer Zahl erscheinen. Z. 120. Mit irrationalen Zahlen rechnen heißt, mit ihren Näherungswerten rechnen und den Grenzwert suchen, von welchem das Resultat unendlich wenig differiert, wenn die Näherungswerte der irrationalen Zahlen von ihren Grenzwerten selbst unendlich wenig differieren. Da nach dieser Erklärung die Resultate der Rechnungen mit irrationalen Zahlen durch die bezüglichen Rechnungsresultate ihrer Näherungswerte bestimmt werden, diese aber rationale Zahlen sind, so gelten alle für rationale Zahlen erwiesenen allgemeinen Operationsgesetze auch für die irrationalen Zahlen. 3. Proportionen. K. 121. Die Gleichstellung zweier gleicher Verhältnisse heißt eine Pro¬ portion. Ist n : ii> — H und o: ä — H, so ist auch a, : l> — o: ä; dieser Ausdruck ist eine Proportion und wird gelesen: a verhält sich zu l), wie sich o zu ä verhält, oder kürzer: n zu d, wie « zu ä. Das erste Glied a und das vierte ä nennt man die äußeren, das zweite l> und das dritte o die inneren Glieder; auch heißen n und o die Vorderglieder, b und ä die Hinterglieder der Proportion. Das vierte Glied insbesondere wird die vierte Proportionale zu den ersten drei Gliedern genannt. Sind in einer Proportion die inneren Glieder gleich, so heißt dieselbe eine stetige Proportion, z. B. a, : l> — l, : o. Das innere Glied wird die mittlere (geometrische) Proportionale oder das geometrische Mittel zu n und o, und o die dritte stetige Proportionale zu u und d genannt. Grühmproportianen. ß. 122. Sind die Glieder einer Proportion lauter unbenannte Zahlen, so heißt dieselbe eine Zahlenproportion, sonst heißt sie eine Größen¬ proportion. Wenn zwei Arten von Größen so von einander abhängen, dass zu einer na fachen Größe der einen Art auch eine in fache Größe der andern Art gehört, so heißen die beiden Arten von Größen gerade proportioniert; z. B. Ware 65 und Preis. Wenn dagegen zu der in fachen Größe der einen Art nur der inte Theil von der Größe der andern Art gehört, so heißen die beiden Arten von Größen verkehrt proportioniert; z. B. die Zahl der Arbeiter und die Arbeitszeit bei gleicher Leistung. Lehrsatz. Sind zwei Arten von Größen für je zwei commen- surable Werte der einen Art gerade oder verkehrt proportioniert, so sind sie es auch für je zwei incommensurable Werte derselben. Beweis, n) Es seien und zwei Größen der einen Art, L und L' die zugehörigen Größen einer andern von der ersten abhängigen Art, und es sei für den Fall, dass und kommensurabel sind, — L : Um zu beweisen, dass die Verhältnisse und L : 1U auch dann gleich sein müssen, wenn und inkommensurabel sind, theilt man in n gleiche Theile, wo n beliebig groß angenommen werden kann, und nimmt einen solchen Theil von rnmal, d. i. so oft weg, als es angeht; dann bleibt, da und inkommensurabel sind, von noch ein Rest übrig, der jedoch kleiner als ist; es ist daher L L , N H N wo der Unterschied 4 zwischen 4 und 4 - durch Vergrößerung von n beliebig klein gemacht werden kann. Da 4^ und kommensurabel sind, so sind nach der Voraussetzung die zu 4^, und gehörigen Größen der zweiten Art 4^, L und und muss auch -< L < , oder — < < —-— em. ir n ' nL ll ' Die irrationalen Verhältnisse und sind demnach Grenzwerte des¬ selben veränderlichen Bruches folglich nach Z. 114 einander gleich. d) Ebenso wird der Beweis geführt, wenn die beiden Arten von Größen verkehrt proportioniert sind. In den hier folgenden Untersuchungen können wir uns daher auf Pro¬ portionen beschränken, deren Verhältnisse rational sind. Beziehungen unter den Gliedern einer Proportion. Z. 123. In jeder Zahlenproportion ist das Product der äußeren Glieder gleich dem Produkte der inneren Glieder. Es sei a : d — o : ä. Multipliciert man die Quotientengleichung 4 — 4 mit 6ä, so erhält man folglich nä — do. Moönik, Arithmetik und Algebra. 5 66 Folgesätze. 1. In einer stetigen Zahlenproportion ist das Quadrat der mittleren Proportionale gleich dem Produkte der beiden anderen Glieder. Ist a : 6 — 6 : o, so ist 6' — ao. 2. Jedes äußere Glied einer Zahlenproportion ist gleich dem Producte der beiden inneren Glieder dividiert durch das andere äußere Glied; und jedes innere Glied ist gleich dem Pro¬ ducte der beiden äußeren Glieder dividiert durch das andere innere Glied. Ist a : d — o: ä, daher aä — bo, so ist de de - , aä sä a — — z— , d —-, und v —-, o — —7—. ä a , e d 8- 124. Aus zwei gleichen Produkten lässt sich eine Pro¬ portion bilden, indem man die Faktoren des einen Produktes zu äußeren, die Faktoren des andern Produktes zu inneren Gliedern macht. Es sei aä — b>o, daher auch do — ack. Dividiert man diese gleichen Ausdrücke folgeweise durch dä, oä, ad und ao, so ergeben sich folgende Proportionen: a:d — o:ä, o:ä — a:d, a:o — d:ck, d:ä — a:e, ck : k — v : a, o : a — ä : d, ä:o—d:a, d:a — ä:o. tz. 125. Eine Proportion auflösen heißt, aus drei gegebenen Gliedern einer Proportion das noch unbekannte Glied finden. a) Eine Proportion wird aufgelöst, indem man aus dem Ver¬ hältnisse, dessen beide Glieder gegeben sind, den Quotienten sucht und aus diesem und dem gegebenen Gliede des andern Verhältnisses (nach 8- 115, 1 oder 2) das unbekannte Glied bestimmt. d) Eine Zahlenproportion wird am einfachsten nach 8- 123, Folgest 2, aufgelöst. Z Aus x: 2ß— 15 : 3 findet machß a) 15 : 3 — 5, x'— 2.5 — 10; oder d) x 10;sjdahe< 10 : 2 — 15 : 3 die vollständige Proportion. Umformung von Proportionen.' 8- 126. 1. Jede Zahlenproportion bleibt richtig, wenn man a) die inneren Glieder unter sich, d) die äußeren Glieder unter sich, o) die inneren Glieder mit den äußeren vertauscht. 67 Es sei a: 1» — o: ä, daher aä — ko. Dann finden nach Z. 124 auch folgende Proportionen statt: a) a : o — 6 : ä, b) ä: 6 — o: s., o) 4» : n — ä: e. Die Umformung o) kann man auch mit jeder Größenproportion, die Umformungen a) und l>) nur mit solchen Größenproportionen vornehmen, in denen alle Glieder gleichartig sind. 2. Eine Proportion bleibt richtig, wenn man ein äußeres und ein inneres Glied mit derselben Zahl multipliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. Folgt aus K. 115, 3, und Z. 126, 1. Durch Anwendung dieses Satzes kann man a) jede Proportion, in welcher Brüche vorkommen, mit ganzen Zahlen darstellen; 4>) jede Proportion, in welcher ein äußeres und ein inneres Glied ein gemeinsames Maß haben, durch dieses abkürzen. Z. 127. 1. In jeder Proportion verhält sich die Summe oder Differenz der ersten zwei Glieder zum ersten oder zweiten, wie die Summe oder Differenz der letzten zwei Glieder zum dritten oder vierten. Ist u: 6 — o: ä, a — k H, o — ä): a — (o ä) : v. Auf ähnliche Weise erhält man (u U- U): b — (o U: ä) : ä. 2. In jeder Proportion verhält sich die Summe der ersten zwei Glieder zu deren Differenz, wie die Summe der letzten zwei Glieder zu deren Differenz. Es ist (a fi- d) : (s, — d) — (by -j- 6) : (bq — b) — () — (0 -s- ä): (o — ä). 3. In jeder Proportion gleichartiger oder unbenannter Zahlen verhält sich die Summe oder Differenz der Vorder¬ glieder zur Summe oder Differenz der Hinterglieder wie jedes Borderglied zu seinem Hintergliede. Vertauscht man in der Proportion a : b — 0 : ä die inneren Glieder, so erhält man u : 0 — 6 : ä. Nach 1. ist dann (a 0) — a : (b ä) : d, 68 und nach Vertauschung der inneren Glieder (a -l- o) : (d ä) — a : d; folglich auch (a. il: o) : (d ä) — o : 6. Verbindung mehrerer Proportionen. Z. 128. Werden mehr als zwei Verhältnisse einander gleichgesetzt, so entsteht eine fortlaufende Proportion; z. B. — d:n — o:p — ... Diese fortlaufende Proportion schreibt man auch so an: a:d:o... — wobei alle Vorderglieder auf einer, alle Hinterglieder auf der andern Seite des Gleichheitszeichens stehen. In jeder fortlaufenden Proportion gleichartiger oder unbenannter Zahlen verhält sich die Summe aller Borderglieder zur Summe aller Hinterglieder, wie irgend ein Vorderglied zu seinem Hintergliede. Hat man die fortlaufende Proportion n : m — d : n — o : p, so folgt ans Z. 127, 3 (a -j- b -j- o) : (m -s- n -s- x) — g, : m — d : n o: p. Z. 129. 1. Wenn man in zwei oder mehreren Zahlen- proportiouen die gleichstelligen Glieder mit einander multi- pliciert, so bilden die Producte wieder eine Proportion. Sind die Proportionen g, : d — o : ä, 1: K — d : lr, m : n — p : r gegeben, so istaä —do, 11c — ^d, mr —np. Multipliciert man diese Producteugleichungen mit einander, so ergibt sich aätdmr — do^dup, oder akrn.lldr — d^n-odp, und hieraus nach Z. 124 atm : dZn — odp : ädr. Mau sagt, die letzte Proportion ist aus den gegebenen zusammengesetzt. 2. Wenn man die gleichstelligen Glieder zweier Zahlen¬ proportionen durch einander dividiert, so bilden die Quotienten wieder eine Proportion. 69 Ist L : b — o : ä und so hat man aä —Ko und klr — ^K. Dividiert man die erste Producten- gleichung durch die zweite, so erhält man de , a ä b e oder-^^.- und hieraus ab e ä 5 § k ' ' Harmonische Proportionen. 8- 130. Drei Zahlen a, k, o bilden eine harmonische Proportion, Wenn (a, — k) : (K — o) — a : o ist; k heißt daun die mittlere harmo¬ nische Proportionale oder das harmonische Mittel zwischen a und o. Ausgabe. Zu zwei gegebenen Zahlen die dritte harmonisch proportionierte zu finden. Aus (a — k): (k —- o) — s, : o folgt ao — k o — ak — ao, daher 2) »ud ' 2s.e Die dritte Gleichung gibt den Satz: Das harmonische Mittel zwischen zwei Zahlen ist gleich dem doppelten Producte derselben dividiert durch ihre Summe. Vergleichung zwischen dem arithmetischen (Z. 95, Zusatz), dem geometrischen (Z. 121 und 123, Folges. 1) und dem harmonischen Mittel. 4. Anwendung der Proportionen. Angewandte Aufgaben mit einfachen Verhältnissen. 8- 131. Die Lösung von Proportionsaufgaben, deren Größen in ein¬ fachen Verhältnissen stehen — die sogenannte einfache Regeldetri — beruht auf folgendem Satze, welcher sich unmittelbar aus dem Begriffe der geraden und verkehrten Proportionalität ergibt: Sind zwei Arten von Zahlen gerade oder verkehrt propor¬ tioniert, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der einen Art bezüglich gleich dem geraden oder dem umgekehrten Ver¬ hältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art. Z. 132. Ein Betrag, der sich auf die Zahl 100 bezieht, wird Pro cent genannt. Bei der Procentrechnung rechnet man entweder von, oder auf, oder in Hundebt, je nachdem die Menge, von welcher die Procente bestimmt 70 werden, mit der Grundzahl 100 selbst, oder mit 100 vermehrt um das Procent, oder mit 100 vermindert um das Procent gleichartig ist. Bezeichnet p das Procent und b den Ertrag von der Menge ro, so hat man folgende Proportionen: a) bei der Rechnung von Hundert d : p — m: 100, also d — d) „ „ „ ans Hundert d :pm:(100-s-x), „ d — o) „ „ „ in Hundert d : x — m: (100—p), „ d — Angewandte Ausgaben mit zusammengesetzten Verhältnissen. Z. 133. Die Lösung von Aufgaben, deren Größen in zusammengesetzten Verhältnissen stehen — die sogenannte zusammengesetzte Regel detri — beruht auf folgendem Satze: Hängt eine Art von Zahlen von mehreren anderen Arten so ab, dass sie mit denselben einzeln genommen theils gerade, theils verkehrt proportioniert ist, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der ersten Art gleich dem zusammengesetzten Verhältnisse aus den einfachen bezüglich gerade oder umgekehrt genommenen Verhältnissen zwischen den zugehörigen Zahlen jeder andern Art. Beweis. Es sei die Zahl A von den Zahlen L, 6 so abhängig, wie ,, „ o, wo die mit gleichlautenden Buchstaben bezeichneten Zahlen zu derselben Art gehören, und es seien die Zahlen der ersten Art mit den Zahlen der zweiten Art gerade, mit den Zahlen der dritten Art verkehrt proportioniert. Heißt « eine Zahl der ersten Art, welche zu den Zahlen b, 6 gehört, so hat man folgende Reihen zusammenhängender Zahlen: A, L, 0; «, b, 6; a, b, o. Da die Zahl « aus A entsteht, indem sich L in 1> ändert, und die Zahlen dieser zwei Arten gerade proportioniert sind, so hat man A: « — D : 1). Da ferner a aus « hervorgeht, wenn sich 6 in o verändert, und die Zahlen dieser zwei Arten verkehrt proportioniert sind, so hat man « : a — o : 0. Durch Multiplikation dieser beiden Proportionen ergibt sich A« : s.« — Lo : K6, oder A : a — Do:bO, in welcher Proportion der oben ausgestellte Satz enthalten ist. 71 Z. B. Wenn 20 Arbeiter, weiche täglich 12 Stunden arbeiten, in 5 Wochen einen Damm von 375 Meter Länge zustande bringen; in wie viel Wochen werden 12 Arbeiter, welche täglich 10 Stunden arbeiten, einen eben solchen Damm von 600 Meter vollenden? 20 Arb. 12 St. täglich 5 Woch. 375 Meter Länge 12 „ 10 „ „ x „ 600 „ „ x : 5 — 20 : 12 12: 10 _600 : 375 x : 1 — 16 : 1; daher x — 16 Wochen. Z. 134. Bezeichnet 2 die einfachen Zinsen, welche ein Capital 0 in 3 Jahren zu k Procent gibt, so hat man zur gegenseitigen Bestimmung dieser Größen folgende zusammengesetzte Regeldetri: 100 fl. Cap. in 1 Jahre k fl. Zins 2 : k 0 : 100 0 ,, ,, „ ,, ,, —_ ' 1 also 2 : ? 63 : 100 und 100 2 — 6k3, aus welcher Formel sich die bekannten Sätze für die Lösung der Aufgaben über die einfache Zinsrechnung herleiten lassen. Die Theilregcl. Z. 135. Soll eine gegebene Zahl in mehrere Theile, welche sich wie andere gegebene Zahlen verhalten, getheilt werden, so geschieht dieses durch die Theilregel oder Gesellschaftsrechnung. Die Zahlen, durch welche das Verhältnis der Theile ausgedrückt wird, heißen Verhältniszahlen. Ist nur eine Reihe von Verhältniszahlen gegeben, so wird die einfache, sind mehrere Reihen von Verhältniszahlen gegeben, so wird die zusammen¬ gesetzte Theilregel angewendet. Es seien bei der einfachen Theilregel s die zu theilende Zahl, a, d, o und 3 die Verhältniszahlen. Werden die gesuchten Theile durch n, x, und 2 bezeichnet, so hat man die fortlaufende Proportion: n : x : ^ : 2 — a : l> : e : ä, oder n:a — x:l> — ^:o — 2:3, daher nach Z. 128 (n-i-x-s-^Z-2):(g.-l-t>-s-o-s-ä) — u:a x : id — 2:3. Da nun n-s-x-i-^-i-2 — s sein muss, so erhält man 8 _ s . u — -a; X— 8 _s 72 ß. 136. Die zusammengesetzte Theilregel lässt sich auf die ein¬ fache zurückführen. Es sei eine Zahl s mit Bezugnahme auf mehrere Umstände in drei Theile zu theilen, die sich in einer Beziehung wie a : k : o, in einer zweiten Beziehung wie ä: s: b, und in einer dritten Beziehung wie § : K : k ver¬ halten. Heißen x, /, 2 die noch unbekannten Theile, so muss sich x : nicht nur wie a : k, sondern auch wie ä: o und wie Z : K verhalten; es muss also das Verhältnis x : gleich sein dem zusammengesetzten Verhältnisse aus a : k, ä : s, : K, also dem Verhältnisse ack§ : kok. Ebenso muss z- : 2 — koll:obk sein. Es besteht demnach die Forderung, die Theile x, 2 so zu bestimmen, dass der Bedingung x:^:2 — aäA:b>sk:obk genüge geleistet werde, was eine Aufgabe der einfachen Theilregel ist. Z. B. Zu einer Unternehmung vereinigen sich drei Personen: gibt 8000 fl. auf 5 Monate, L 4000 fl. auf 6 Monate, 0 2000 fl. auf 8 Monate her. Die Unternehmung wirft einen reinen Gewinn von 460 fl. ab; wie viel davon wird jede der drei Personen erhalten? 8000 fl. durch 5 Mon. L 4000 „ „ 6 „ 0 2000 „ „ 8 „ 40000 5 24090 3 16009 2 460: 10 46 46.5 230 fl. 46.3-^138 „ 46.2 — 92 „ 460 fl. Die Kettenregel. Z. 137. Wenn die Beziehung zwischen zwei Größen nicht unmittelbar bekannt ist, sondern erst durch eine zusammenhängende Aufstellung bekannter Zwischenbestimmungen gesucht werden muss, so wendet man die Ketten¬ regel an. Es sei folgende Aufgabe zu lösen: betragen? Diese Aufgabe kann kürzer so angeschrieben werden: xN — a-K, wenn s/ K —KL, . K'L oO, " > — mN, wo X, a, k, k^ 0, (?, m unbenannte Zahlen, und L, 0, Ll die Arten oder Benennungen derselben vorstellen. 73 Um das gesuchte Resultat zu erhalten, verwandelt man die gegebenen a Einheiten der Art zunächst in (^) Einheiten der Art L, dann die gefundenen Einheiten der Art L in 0) Einheiten der Art 6, und diese endlich in (x) Ein¬ heiten der Art LI. Dabei ergeben sich nach den angegebenen Bedingungen folgende Proportionen: : p — a : ah 2:0 — : bh x: m — 2 : oh woraus nach Z. 129, 1 folgt: x: dom — a : a^oh und ad 6 m X — - .2) Aus dem in 1) angegebenen Ansätze der Aufgabe und dem in 2) für x erhaltenen Ausdrucke ergibt sich für die Kettenrechnung folgendes Praktisches Verfahren: 1. Man schreibe x mit seiner Benennung an und rechts daneben die gegebene Größe, deren Betrag gesucht wird und die daher mit x gleichen Wert hat. Darunter setze man alle Mittelbeziehungen, und zwar fange man jedesmal links mit einer Größe an, welche mit der nächstvorhergehenden rechts von gleicher Art ist; rechts neben jede Größe kommt diejenige Größe, welche mit ihr gleichwertig ist. So wird fortgefahren, bis man rechts eine Größe erhält, die mit x gleichnamig ist. 2. Man dividiere das Product aller rechts stehenden unbenannten Zahlen durch das Product aller links unter x stehenden; der Quotient gibt den gesuchten Wert von x. Z. B. Wenn in England 1 Quarter Weizen 36 Shilling kostet, welches ist der entsprechende Preis für 1 Hektoliter in st. ö. W.? (11 Quarter — 32 Hekto¬ liter, 20 Shilling — 1 Pfund Sterling, 10 Pfd. Sterl. — 120 st. ö. W.) Dritter Abschnitt. Gleichungen des ersten Grades. ß. 138. Die Gleichstellung zweier Zahlenausdrücke, welche gleichen Wert haben, wird eine Gleichung genannt. Z. B. s, — a, (x -st 2)? — x? st- 4x -st 4, 5x — 8 — 3x. Die Größen, welche einander gleichgestellt werden, heißen Theile der Gleichung und können einzeln wieder aus mehreren Gliedern bestehen. In der Gleichung 5x — 8 — 3x ist 5x — 8 der erste, 3x der zweite Theil; der erste Theil besteht aus zwei Gliedern 5x und — 8. Man unterscheidet identische und Bestimmungsgleichungen. Eine Gleichung, in welcher ein Zahlenausdruck sich selbst oder einer bloßen Umformung dieses Ausdruckes gleichgesetzt wird, heißt eine identische Gleichung; z. B. a — a, (x st-2)? — x?-st 4x st-4. Eine identische Gleichung bleibt für jeden beliebigen Wert der darin vorkommenden allge¬ meinen Zahlen richtig. Jede Formel für eine arithmetische Operation bildet eine identische Gleichung. Eine Gleichung, in welcher der eine Theil nicht durch bloße Umformung ans dem andern hergeleitet werden kann, welche also auch nicht für alle, sondern nur für bestimmte Werte der in ihr enthaltenen unbestimmten Zahlen richtig ist, heißt eine Bestimmung sgleichung, auch bloß Gleichung im engeren Sinne. Z. B. die Gleichung 5x — 8 — 3x ist nur richtig, wenn man für x den Wert 4 setzt. Die in einer Bestimmungsgleichung unbestimmt gelassenen Zahlen heißen Unbekannte und werden gewöhnlich durch die letzten Buchstaben x, 2... des Alphabets bezeichnet. Die Bestimmnngsgleichungen dienen dazu, aus den durch sie ausgedrückten Beziehungen zwischen den bekannten und unbekannten Zahlen die letzteren zu bestimmen. Die Werte der Unbekannten, welche einer Gleichung genügen, nennt man die Wurzeln der Gleichung; diese Werte bestimmen, heißt die Gleichung auflösen. Die Wurzeln einer Gleichung müssen, statt der Unbekannten in dieselbe substituiert, die Gleichung zu einer identischen machen. Z. 139. Nach der Anzahl der Unbekannten, welche in einer Gleichung Vorkommen, unterscheidet mau Gleichungen mit einer, mit zwei und mit mehreren Unbekannten. Z. B. 5x — 8 —3x ist eine Gleichung 75 mit einer, 5x— 3^ — 8 eine Gleichung mit zwei, 7x —3^— 5s-st 5 eine Gleichung mit drei Unbekannten. Eine Gleichung, in welcher keine der Unbekannten in einer höheren als der ersten Potenz und auch kein Product mehrerer Unbekannten vorkommt, heißt eine Gleichung des ersten Grades oder eine lineare Gleichung. Eine Meichung, welche außer der Unbekannten nur besondere Zahlen enthält, heißt eine numerische oder Ziffergleichung; z. B. 4x—3 — 5. Eine Gleichung, welche außer den Unbekannten auch allgemeine Zahlen enthält, heißt eine Buchstabengleichung; z. B. ax — st — ox -st ä. I. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten. Z. 140. Das Auflösen der Gleichungen des ersten Grades beruht auf dem Grundsätze: Wenn man mit gleichen Größen gleiche Ver¬ änderungen vornimmt, so erhält man wieder gleiche Größen. Dieser Grundsatz lässt sich durch folgende Sätze näher ausdrücken: 1. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man zu beiden Theilen derselben eine und dieselbe Zahl addiert, oder von beiden Theilen dieselbe Zahl subtrahiert. Nach diesem Satze kann man jedes Glied des einen Theiles mit dem entgegengesetzten Vorzeichen in den andern Theil bringen (transponieren), wie auch gleiche Glieder in beiden Theilen weglassen. Z. B. aus x -st a — st folgt x — st — a, „ 3x-stin — s,-st in „ 3x — a. 2. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man beide Theile derselben mit derselben Zahl multipliciert. Mit Hilfe dieses Satzes kann man jede Gleichung von den Nennern befreien, insbesondere auch den Coefficienten der Unbekannten, wenn er negativ ist, durch die Multiplication beider Theile mit — 1, d. i. durch Veränderung aller Vorzeichen, positiv darstellen. Z. B. aus — st — v folgt x — ast — no, „ — x —— 5 „ x —5. 3. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man beide Theile derselben durch dieselbe Zahl dividiert. Hiernach kann man eine Gleichung, deren beide Theile einen gemein¬ samen Factor haben, durch diesen abkürzen, insbesondere auch deu Coeffi- cicnten der Unbekannten, wenn er von 1 verschieden ist, wegschaffen. Z. B. aus 6x — 4 folgt 3x —2, „ 3x — 2 „ x 76 Zu dem vorstehenden Satze muss bemerkt werden, dass ein gemeinsamer Factor der Gleichung, welcher die Unbekannte enthält, durch Division nicht ausgeschieden werden darf, weil sonst die transformierte Gleichung nicht mehr alle Wurzeln der gegebenen Gleichung enthielte. Dividiert man z. B. beide Theile der Gleichung (x — 1) (x — 2) — 3 (x — 1) durch x — 1, so ent¬ hält die neue Gleichung x — 2 — 3 nur die Wurzel 5, während die gegebene Gleichung auch durch die Wurzel 1 befriedigt wird. ß. 141. Aus den in Z. 140 angeführten Sätzen ergibt sich für die Auflösung der Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbe¬ kannten folgendes Verfahren: 1. Enthält die Gleichung Brüche, so werden die Nenner weggeschafft, indem man beide Theile der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Viel¬ fachen aller Nenner multipliciert. (Wegschaffung der Brüche.) 2. Kommen in der Gleichung durch Klammem verbundene Ausdrücke bor, so werden die Klammern durch wirkliche Ausführung der angezeigten Operationen ausgelöst. (Auflösung der Klammern.) 3. Alle Glieder, welche die Unbekannte enthalten, werden in den ersten Theil der Gleichung gebracht und zusammengezogen; die übrigen Glieder werden in den zweiten Theil übertragen und ebenfalls reduciert. (Trans¬ ponieren und Reducieren.) 4. Man befreit die Unbekannte von ihrem Coefficienten, indem man beide Theile der Gleichung durch denselben dividiert. (Division durch den Coefficienten der Unbekannten.) Durch diese Transformationen erhält man schließlich als Auflösung x — a, wo x die Unbekannte und a, ein nur aus bekannten Zahlen bestehender Ausdruck ist. Eine Gleichung des ersten Grades mit einer Unbekannten hat nur eine Wurzel. Um sich von der Richtigkeit der Auflösung zu überzeugen, darf man nur den gefundenen Wert für die Unbekannte in die gegebene Gleichung sub¬ stituieren und die Ausdrücke auf beiden Seiten auf die einfachste Gestalt bringen. Erhält man beiderseits dasselbe Resultat, d. i. wird die Gleichung zu einer identischen gemacht, so ist die Auflösung richtig. Beispiele. 1) 4^2x — 36. Ausl.: x — 10x — 180 Probe: — 2.20 — 36 x — lOx - 180 5 — 9x —— 180 4 — 40 — 36 x — 20. 4 — 4. 77 2)6(x— 2) —2(3x-j- 1) 14 — 4 (2x-s-3) 6x — 12 — 6x 6x — 6x -j- 8x 8x x 3) ax -s- b — a^x -j- ax — a^x — 3^ — l> (g, — a^)x — -— k X 1. II. Gleichungen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Zlnöekannten. 8- 142. Eine Gleichung mit zwei Unbekannten ist unbestimmt; man kann für die eine Unbekannte jeden beliebigen Wert annehmen und nach Ein¬ setzung desselben durch Auflösung der entstehenden Gleichung einen zugehörigen Wert für die andere Unbekannte finden. Diese Unbestimmtheit hört auf, wenn noch eine zweite Gleichung mit denselben Unbekannten gegeben ist, welcher der ersten und zweiten Gleichung gleichzeitig genügen sollen, indem man dann aus beiden Gleichungen durch Wegschasfung einer Unbekannten eine einzige Gleichung mit nur einer Unbekannten bildet und diese auflöst. Aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine dritte Gleichung her¬ leiten, welche die eine Unbekannte nicht mehr enthält, heißt diese Unbekannte eliminieren. Z. 143. Eliminations-Methoden. 1. Die Comparations-Methode. Man bestimmt den Wert der¬ selben Unbekannten aus beiden Gleichungen, setzt diese Werte einander gleich und löst die dadurch erhaltene Gleichung, welche nur die andere Unbekannte enthält, auf. Sind allgemein die Gleichungen ax -s- — e a^x -s- denselben a , X — - daher, weil und x in beiden Gleichungen dieselben Werte haben sollen, e — sx — s'x e — _ e' — b I/ ' L ' 14 — 12 12 -j- 2 — 16 2. a , b d 4) 2a — 2ax -f-Ux — l> Ux—2ax —3 —2a (b—2a) x — U —2a gegeben, so erhält man aus 6 — ax — a^x 78 Aus diesen Gleichungen ergibt sich dann — b' e — b <:' _ s — L' e 2. Die Substitutions-Methode. Man sucht den Wert einer Unbe¬ kannten aus einer Gleichung und substituiert denselben in die andere Gleichung; dadurch erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, welche dann aufgelöst wird.. Beispiel. 6x — 13^ — 48, 2x -s- 3)' — 16. Aus der ersten Gleichung folgt x — ; wird dieser Wert in die zweite Gleichung substituiert, so hat man 2.ig^ woraus 0 folgt. Substituiert man diesen Wert von in den Ausdruck 48-4-13/ . .... 484-13.0 2 X — ——-, so findet man X — —-— 8. 3. Die Methode der gleichen Coefficienten. Man verschafft in beiden Gleichungen der zu eliminierenden Unbekannten durch Multiplication aller Glieder mit einem geeigneten Factor gleiche Coefficienten und addiert oder subtrahiert die neuen Gleichungen, je nachdem diese Coefficienten ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben; die dadurch erhaltene Gleichung mit einer Unbekannten wird dann aufgelöst. Beispiel. 4x -s- 19^ — 11, 6x- 57^ — 17. Um bei x gleiche Coefficienten herbeizuführen, multipliciert man die erste Gleichung mit 3, die zweite mit 2; man erhält 12x-j-57^— 33 f .. 67^— 67, also — 1. Wird dieser Wert von in die erste Gleichung substituiert, so erhält man 4x -j- 19.1 — 11, woraus x — — 2 folgt. 4. Die Methode der unbestimmten Coefficienten (Bözout'sche Methode). Man multipliciert die eine Gleichung mit einer unbestimmten Zahl w und addiert sie in dieser Gestalt zu der andern Gleichung. Wählt man nun w so, dass der Coefficient der zu eliminierenden Unbekannten — 0 wird, so kann dann aus der neuen Gleichung die andere Unbekannte gefunden werden. Beispiel. 3x -j- 4^ — 24, 5x — 3^ — 11. Multipliciert man die erste Gleichung mit m und addiert sie dann zu der zweiten, so ergibt sich (3m -j- 5) x -s- (4m — 3) — 24m -j- 11. 79 Um zu eliminieren, setzt man 4m — 3 — 0, also m — dann hat man (3 - st~ 5) x — 24. st- 11, woraus x — 4 folgt. Wird x eliminiert, indem man 3m st- 5 — 0, also m — — setzt, so erhält mau — 3. Zusätze, a) Welche von den vier Eliminations-Methoden in jedem besonderen Falle am vorteilhaftesten anzuwenden sei, muss aus der Beschaffen¬ heit der Coefficienten der Unbekannten beurtheilt werden. Gewöhnlich bestimmt man nur den Wert der einen Unbekannten nach einer der angeführten vier Methoden und substituiert dann den gefundenen Wert in eine der gegebene» Gleichungen, woraus sich der Wert für die zweite Unbekannte ergibt. i>) Kommen in den gegebenen Gleichungen nur die reciproken Werte der Unbekannten vor, so ist es am einfachsten, diese reciproken Werte selbst als die eigentlichen Unbekannten anzusehen und aus ihnen nachträglich die ursprünglichen Unbekannten zu berechnen. Z. B. 2.3 5 2 . --— 13 und- — — 4. / x Setzt man — x^ und — ^st so hat man 2x^ -j- 3^ — 13 und 5rU — 2)^ — 4, und findet zst — 2, / — 3, woraus dann x — folgt. Z. 144. Die in ß. 143, 1 aus den allgemeinen Gleichungen ax -j- b)- — o, kllx st- — o' erhaltenen Werte wo — v 0' 30^ — ab' — Lir — lassen ersehen, dass es Fälle gibt, in denen die gegebenen zwei Gleichungen Mr Bestimmung der in denselben vorkommenden zwei Unbekannten nicht geeignet sind. 1. Die Werte von x und sind unbestimmt, wenn aill — ast, und l^o — K o", ist 1 positiv, und es gibt eine bestimmte Zeit, nach welcher die Körper zusammentreffen. Wenn 0'— o", also 0'— v" — 0, so wird D —-^-s die Auflösung ist unmöglich. Ist für diesen Fall auch ä — 0, d. h. gehen die Körper gleichzeitig durch den¬ selben Punkt, so wird D — die Auflösung ist unbestimmt, d. i. die Körper haben, da sie in jedem Augenblicke zusammen sind, nicht einen, sondern unendlich viele Zeitpunkte des Zusammentreffens. Ist endlich 0^ < 0", so wird 1 woraus folgt, dass in diesem Falle die Auflösung der Aufgabe, so wie sie gestellt wurde, unmöglich ist, was auch schon an sich einleuchtet, indem sich der Hintere Körper 8? langsamer als der vordere L" bewegt, beide also nicht nur nie zusammentreffen, sondern sich von ein¬ ander immer mehr entfernen. Um übrigens auch dem negativen Werte von R eine Deutung zu geben, darf man nur in der gegebenen Aufgabe die Frage im entgegengesetzten Sinne stellen, nämlich: Vor wie viel Zeiteinheiten waren beide Körper zusammengetroffen? Dann gibt der negative Wert von R positiv genommen eine Auflösung der so geänderten Aufgabe und drückt aus, dass die zwei Körper vor > Zeiteinheiten zusammengetroffen waren. U) Setzt man — ä für ä, d. i. nimmt man an, dass der Punkt vor¬ wärts von liege, so erhält man —-^^7-—-^7-^-; es gelten daher hier die unter a) für 1^, gewonnenen Resultate bezüglich von L", e" und umgekehrt. a) Setzt man endlich — 0" für o", d. i. nimmt man an, dass sich der Körper L" gegen in entgegengesetzter Richtung bewege, so wird 1 — 0' e" ' Wenn ä positiv ist, bedeutet R die Zeit, nach welcher die Körper Zusammentreffen. Für ä — 0 wird auch R — 0, d. i. wenn die zwei Körper gleichzeitig von demselben Punkte abgehen, so sind sie eben zur Zeit des Abganges zusammen. Ist ä negativ, dann wird D — — , d. i. die beiden Körper waren vor Zeiteinheiten zusammengetroffen. Wird aus der obigen Grundgleichung nicht 1, sondern eine andere allgemeine Größe bestimmt, so erhält man dadurch die Lösung für eine andere verwandte Aufgabe. Die algebraische Auflösung einer allgemeinen Aufgabe 6* 84 beantwortet daher nicht bloß die unmittelbar gestellte Aufgabe, sie liefert zugleich die Auflösung für eine ganze Gruppe von verwandten Aufgaben und zeigt den inneren Zusammenhang, in welchem dieselben unter einander stehen; insbesondere dienen die negativen Werte dazu, um die Beschränkungen auf¬ zuheben, welche in eine Aufgabe gelegt wurden, und um dadurch diese in ihrer Allgemeinheit vollständig zu lösen. 5) Man theile die Zahl 58 in zwei Theile so, dass der eine Theil um 16 kleiner sei als der andere. Bezeichnet man den größeren Theil durch x und den kleineren durch so muss nach den Bedingungen der Aufgabe x st- — 58 und x — st- 16 sein, aus welchen Gleichungen x — 37, — 21 folgt. Diese Aufgabe kann auch mittels einer einzigen Gleichung mit einer Unbekannten aufgelöst werden. Ist nämlich x der größere Theil, so ist 58 — x der kleinere, und es muss x — 58 — - x st- 16 sein, woraus x — 37, daher 58 — x — 21 folgt. 6) Man hat zwei gleichartige Stoffe; von dem ersten ist der Wert einer Einheit — a, von dem zweiten — 6. Man soll aus beiden eine Mischung machen, die m Einheiten enthält und von welcher jede Einheit den Wert e hat. Wie viele Einheiten muss man von jedem Stoffe zu dieser Mischung nehmen? Es wird vorausgesetzt, dass der Wert der Mischung gleich ist den Werten der dazu verwendeten Stosse. Bezeichnet x die Anzahl der Einheiten, welche man von dem ersten Stoffe nehmen muss, und / die Anzahl der Einheiten, welche man von dem zweiten Stoffe nehmen muss, so ist X st- — na und ax -st d/ " om, daher Die Aufsuchung des Mischungsverhältnisses der beiden Quantitäten x : — (o — k): (a — o) bildet die sogenannte Alligationsrcchnung. Vierter Abschnitt. HotmÜEn, Kadicrercn und Rllgnntlsmicren. I. Potenzen mit positiven ganzen §Lponenten. Z. 148. ^inc Zahl n zur nten Potenz erheben oder mit u Potenzieren heißt, n nmal als Factor setzen (K. 36). a ist die Grund¬ zahl oder Basis, n der Potcnzexponent und das erhaltene Product p die nte Potenz von a. Man schreibt — p. Eine Potenz ist demnach ein Product gleicher Factoreu. Folgesätze. n)1--^1. 6)0" --O. Zulatz. Die vorstehende Erklärung hat zunächst nur dann einen Sinn, wenn der Exponent eine ganze positive Zahl und > 1 ist. Das Princip der Erhaltung der Operationsgesetze führt jedoch die Nothwendigkeit herbei, den ursprünglichen Potenzbcgrisf zu erweitern. Eine solche Erweiterung enthalten schon die im Zusatz zu Z. 54 abgeleiteten Sätze s? — a und a" — 1. Später wird der Potenzbegriff auch auf negative und gebrochene Expo¬ nenten erweitert werden. Verbindung des Potenzierens mit sich selbst. tz. 149. Die Potenz einer Potenz bleibt unverändert, wenn man die Exponenten unter einander vertauscht. (n">)" — Beweis. Ordnet man die gleichen Factoren der Potenz (»'")'> in n Reihen, deren jede den Factor n mmal enthält, nämlich a.a.L.a.... (mmal) a . a . a . a.... n . n . a . a.. . . (n mal), so erhält man offenbar n m n mal als Factor, mag man die m Factoren einer Horizoutalreihe nmal, oder die n Factoren einer Verticalreihc mmal als 86 Factor setzen. Im ersten Falle erhält man n mal als Factor, also (a")°, im zweiten m mal als Factor, also (u°)". Es ist daher (a-)° (a°)°. Dieser Satz behält, wie leicht zu zeigen ist (ß. 37), seine volle Giltigkeit auch dann, wenn mehr als zwei Potenzexponenten gegeben sind. Z. 150. 1. Eine Potenz wird mit einer Zahl potenziert, indem man die Basis mit dem Producte beider Exponenten potenziert. (u'°)° — Folgt aus dem Beweise in ß. 149. 2. Umgekehrt: Eine Zahl wird mit einem Producte poten¬ ziert, indem man sie mit dem einen Factor, und die erhaltene Potenz mit dem andern Factor potenziert. Verbindung des Potenzierens mit der Multiplikation und Division. tz. 151. 1. Ein Product wird mit einer Zahl potenziert, indem man jeden Factor mit ihr potenziert. Beweis, (ab)'" — u5.ai).a.i).o.i).... (mmal) — a.u.a.u.. (mmal) .6.6.6. l>. . . (mmal) (Z. 37) — u°>.6-°. 2. Umgekehrt: Potenzen desselben Exponenten werden multi- pliciert, indem man das Product der Grundzahlen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. ß. 152. 1. Ein Quotient (Bruch) wird mit einer Zahl poten¬ ziert, indem man Dividend und Divisor mit ihr Potenziert. t b k Der Beweis ist demjenigen zu Z. 151, 1 analog. 2. Umgekehrt: Potenzen desselben Exponenten werden divi¬ diert, indem man den Quotienten der Grundzahlen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. Folgesatz. Die Potenz eines auf die einfachste Form gebrachten echten oder unechten Bruches kann nie eine ganze Zahl sein. Folgt aus 1. unter Beiziehung von ß. 74, 5. 8. 153. 1. Potenzen derselben Basis werden multipliciert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert. . u" — a"» °. Dieser Satz wurde schon in ß. 39 bewiesen. 2. Umgekehrt: Eine Zahl wird mit einer Summe potenziert, indem man sie mit jedem Summanden potenziert und die erhaltenen Potenzen multipliciert. 87 Z. 154. 1. Potenzen derselben Basis werden dividiert, indem man die gemeinsame Basis mit einer Zahl potenziert, welche gleich ist dem Exponenten des Dividends weniger dem Exponenten des Divisors. — n" - °. Die Richtigkeit dieser Gleichung für m > n und m — u wurde in 8- 54 bewiesen; die Bedeutung derselben für m < u wird weiter unten (8- 175) besonders untersucht werden. 2. Umgekehrt: Eine Zahl wird mit einer Differenz potenziert, indem man sie mit dem Minuend und mit dem Subtrahend potenziert, und die erste Potenz durch die zweite dividiert. Zusatz. Mit Potenzen, welche ungleiche Exponenten und ungleiche Grund¬ zahlen haben, wird die Multiplication und Division auf dieselbe Art wie mit allgemeinen Zahlen überhaupt vorgenommen. Die in den 88- 151—154 angeführten Sätze bilden die Distributions¬ gesetze des Potenzierens. Das commutative Princip findet bei den Potenzen nicht statt, da s?" von im allgemeinen verschieden ist. Verbindung des Potenzierens mit der Addition und Subtrartion. 8- 155. Für das Addieren und Subtrahieren von Potenzen, sowie für das Rechnen mit mehrgliedrigen Ausdrücken, in denen Potenzen vorkommen, gelten die bezüglichen, für allgemeine Zahlen überhaupt abgeleiteten Sätze. Eine Zusammenziehung des Resultates kann nur dann stattfinden, wenn die Potenzen sowohl gleiche Grundzahlen als gleiche Exponenten haben. Die auf einander folgenden Potenzen eines Binoms oder Polynoms kann man einfach durch die Multiplication erhalten. Die Entwicklung des Quadrates und des Cubus insbesondere wird in den 88- 185 und 191 gezeigt, das allgemeine Gesetz der höheren Potenzen im 8- 279 näher untersucht werden. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Potenzierung. 8. 156. 1. Gleiche Zahlen mit gleichen Zahlen potenziert geben Gleiches. Ist a — l>, so ist auch — b" (8- 8, 3). Folgesatz. Wenn man alle Glieder einer Proportion mit der¬ selben Zahl potenziert, so erhält man wieder eine Proportion. Ist a: 5 — o: ä, so muss auch (s,: — (o : ä)°>, folglich a" : d" — o" : G. 152, 1) sein. 2. Ungleiche Zahlen mit gleichen positiven Zahlen potenziert geben Ungleiches mit demselben Ungleichheitszeichen. Ist a > b, so ist (8- 46, 3). Folgesatz. Wenn a 1, so ist bezüglich a" 1- 88 3. Gleiche Zahlen mit ungleichen Zahlen potenziert geben Ungleiches mit demselben oder mit dem entgegengesetzten Ungleichheitszeichen, je nachdem die Basis größer oder kleiner als 1 ist. Ist m > n, so hat man für n > 1, ; für s. < 1, Folgt aus tz. 97. 4. Ungleiche Zahlen, von denen wenigstens die eine größer als 1 ist, mit ungleichen positiven Zahlen bei demselben Ungleich¬ heitszeichen potenziert, geben Ungleiches mit dem gemeinsamen Ungleichheitszeichen. Ist a > d und zugleich s, > 1, ferner m > n, so ist n"" > i>°. Denn nach 3. ist >- ast nach 2. o? > daher umsomehr > d". Potenzen mit algebraischer Basis. K. 157. 1. Eine positive Basis gibt mit einer ganzen Zahl potenziert immer eine positive Potenz. (st- st- a . st- a, . -j— a. st" ....nmal —s— 61, Folges. 2st 2. Eine negative Basis gibt mit einer geraden ganzen Zahl potenziert eine positive, mit einer ungeraden ganzen Zahl potenziert dagegen eine negative Potenz. (— — — a,— g,.—a.—s... .2umal — st- (A. 61, Folges. 3). (— — —L.—u.—a.— s.. . .(2n -i- 1) mal — -— II. Wurzeln mit posttwerr ganzen Exponenten. tz. 158. Aus einer Zahl n die nte Wurzel ausziehen, oder die Zahl a durch n radicieren heißt aus der Potenz n und dem Expo¬ nenten n die Basis suchen. Die gegebene Potenz a heiß: der Radicand, oder geradehin die Zahl, der gegebene Exponent n der Wurzelexponent und die gesuchte Basis p> die nte Wurzel aus a. Man schreibt st/a — p. Eine Wurzel ist also ein Ausdruck für diejenige Zahl, welche mit dem Wurzelexponenten potenziert den Radicand gibt; oder es ist — A. Die zweite und die dritte Wurzel einer Zahl nennt man bezüglich Quadratwurzel und Cubikwurzel. K. 159. Folgesätze. 1. Potenziert man eine Wurzel mit dem Wurzelexponenten, so erhält man den Radicand. (1/a)° n. 89 2. Radiciert man eine Potenz durch den Potenzexponenten, so erhält man die Basis. l/(a->) a. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sie mit einer Zahl potenziert und durch dieselbe Zahl radiciert. s. — a — (st/a)". Hiernach kann jede Zahl in Form einer Wurzel dargestellt werden; s z. B. b Das Potenzieren und das Radicieren sind demnach einander entgegen¬ gesetzt; letzteres ist eine inverse Operation des ersteren. 4. Die erste Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl selbst. 1 Da — a, so ist j/s, — a. Für die erste Wurzel wird daher weder der Exponent l, noch das Wurzel¬ zeichen angeschrieben. Bei der zweiten oder Quadratwurzel wird das Wurzel¬ zeichen, aber nicht der Exponent 2 angeschrieben, so dass f/rr so viel als 2 f/u bedeutet. 5. 6. I^O^O. Rationale und irrationale Wurzeln. Z. 160. t. Die nte Wurzel aus einer ganzen Zahl a ist ent¬ weder eine ganze Zahl oder sie ist irrational. Beweis. Man bilde die r> ten Potenzen der aufeinander folgenden ganzen Zahlen, mit Hinzufügung der Null, nämlich 0", 1°, 2", 3", ... (p -f- 1)°, . - - Es sind nun zwei Fälle möglich. a) Entweder ist a gleich einer dieser Potenzen, z. B. a — x>"; dann ist — p eine ganze Zahl. 5) Oder a liegt zwischen zwei aufeinander folgenden solchen Potenzen, etwa zwischen p° und (p -st- 1)°, wo dann f/a zwischen zwei aufeinander¬ folgende ganze Zahlen p und p -st- 1 fällt, somit keine ganze Zahl sein kann. Dann lässt sich aber f/a auch durch keinen Bruch vollkommen genau dar¬ stellen; denn wäre f/a p Z-wo und r relative Prim¬ zahlen sind, so müsste a — einer ganzen Zahl sein, was nach Z. 152, Folgest, unmöglich ist. 90 Dagegen lässt sich in diesem Falle f/a als Grenzwert eines veränder¬ lichen Bruches mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit bestimmen. Da nämlich f/a zwischen p und x -st 1 liegt, so vermehre man x nach und nach um ..., wo m eine ganze Zahl bezeichnet, und bilde Weil nun a keiner dieser Potenzen gleich sein kann, so muss es noth- wendig zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgende solche Potenzen fallen, etwa zwischen -st und (x -st , wo o < m ist. Dann ist i 6 _, 6 -s- 1 n 6 6-4-1 f/a liegt also zwischen zwei Brüchen p -st i und p -j-, deren i " v Differenz ist. Setzt man für fsta die Zahl x> -j- -, so begeht man einen Fehler, der kleiner als ist. Da aber in beliebig groß, daher beliebig klein gemacht werden kann, so lässt sich f/a als Grenzwert, dem sich der ver¬ änderliche Bruch x -st umsomehr nähert, je größer m wird, mit jeder beliebigen Genauigkeit bestimmen. Es ist f/a — lina (p -st wenn na — oo , 6 6 ! 1 wird; p -st und x -j-— sind für jeden besonderen Wert von ua auf i " genaue Näherungswerte von f/a. Ist also die nte Wurzel aus einer ganzen Zahl nicht wieder eine ganze Zahl, so ist sie eine irrationale Zahl (Z. 119). 2. Die nte Wurzel aus einem Bruche ist entweder ein Bruch oder eine irrationale Zahl. Der Beweis wird, indem man zunächst die Reihe der Potenzen . M M-M l'-r-st - bildet, analog wie zu 1. geführt. Zusatz. Da wir die folgenden Sätze sämmtlich aus dem allgemeinen Begriffe einer Wurzel, welcher durch die Gleichung — u gegeben ist, ableiten werden, so sind dieselben sowohl für rationale als für irrationale Wurzeln giltig. 91 Verbindung -es Radieierens mit sich selbst und mit dem Potenteren. Z. 161. Eine Potenz wird durch eine Zahl radiciert, indem man die Basis durch sie radiciert, oder indem man den Potenzexponenten durch den Wurzelexponenten dividiert. n n — (l/a)-» — a°. Beweis, a) Soll die richtige Wurzel sein, so muss sie mit dem Wurzelexponenten u potenziert den Radicand geben (K. 158). Wirklich ist l(s/a)-°l° — !(1/a)°!» (8- 149) a-° (Z. 159, 1). 5) Ebellso ist auch, wenn m durch u theilbar vorausgesetzt wird, Folgesatz. Soll eine Zahl potenziert und radiciert werden, so ist es gleichgiltig, in welcher Reihenfolge man diese Rech¬ nungsoperationen vornimmt. 8- 162. Eine Wurzel wird mit einer Zahl potenziert, indem man den Radicand mit ihr potenziert, oder indem man den Wurzelexponenten durch den Potenzexponenten dividiert. (s/a)-° f/(a») f/a. Beweis. Dass (s/a)^ — ist, ergibt sich aus 8- 161, Folges. Aus der Erklärung einer Wurzel (K. 158) lässt sich ferner folgern, dass auch "f/a — (1/a)^ ist, wenn n durch m theilbar vorausgesetzt wird; denn j(I>L)-°!^ (f/a)--^ K 150, 1). — (l/»)n — g, G. 159, 1). Z. 163. Eine Wurzel wird durch eine Zahl radiciert, indem man den Radicand durch sie radiciert, oder indem man die Wurzelexponenten multipliciert. 1/ (1>a) (s/a) s/a. Beweis. Beide Formen der Wurzel entsprechen der in 8- 158 auf¬ gestellten Erklärung derselben. Denn es ist QM QM N ls/ (s/L)>-° — !(I/a)°>! (8- 162) — s/a; und auch (;7a)m — s/a (Z. 162) 1/a. 92 Folgesatz. Soll eine Zahl durch zwei Zahlen radiciert werden, so darf man entweder durch dieselben einzeln in beliebiger Reihenfolge, oder auch sogleich durch ihr Product radicieren. K. 164. 1. Eine Zahl wird durch ein Product radiciert, indem man sie durch den eiueu Factor, und die erhaltene Wurzel durch den andern Factor radiciert. 1/ (s/u) (I/u). Ergibt sich durch Umkehrung der in K. 163 bewiesenen Gleichungen. 2. Eine Zahl wird mit einem Quotienten (Bruche) potenziert, indem man sie mit dem Dividend potenziert und durch den Divisor radiciert. n Q — s/(g.°>) — (s/u)"-. Ergibt sich durch Umkehrung der Gleichungen in Z. 161. 3. Eine Zahl wird durch einen Quotienten (Bruch) radiciert, indem man sie durch den Dividend radiciert und mit dem Divisor potenziert. j/a — (j/^ s/(n°°). Folgt durch Umkehrung aus K. 162. tz. 165. Die Wurzel aus einer Potenz bleibt unverändert, wenn man den Wurzel- und den Potenzexponenten mit derselben Zahl multipliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. ii L ütL nx Es ist s/a" — — a°i> — 1/(n°°r); v -° - k mx 1/gw — - r — - r). Zusatz. Nach diesem Satze kann man s.) jede Wurzel in eine andere umformen, deren Wurzelexponent ein Vielfaches des gegebenen Wurzelexponenten ist, folglich auch zwei oder mehrere Wurzeln mit einem gemeinsamen Wurzel¬ exponenten darstellen; d) jede Wurzel, in welcher der Wurzel- und der Potenz¬ exponent ein gemeinsames Maß haben, dadurch abkürzen. s 10 Sind z. B. die Wurzeln s/n, 1/6", s/cU gegeben, so ist 30 ihr kleinster gemeinsamer Wurzelexponent und man hat so 8 so IO so 4/t? —I/V°, Verbindung des Nadirierens mit der Multiplikation und Division. Z. 166. 1. Ein Product wird durch eine Zahl radiciert, indem man jeden Factor durch sie radiciert und die erhaltenen Wurzeln multipliciert. 93 (ab) .j/d. Beweis. (s/a)->. (1/d)° (tz. 151, 1) a . d (tz. 159, 1). 2. Umgekehrt: Wurzeln desselben Wurzelexponenten werden multipliciert, indem man die gemeinsame Wurzel aus dem Producte der Radicanden auszieht. Sind Wurzeln, welche ungleiche Exponenten haben, zu multiplicieren, so müssen sie zunächst mit einem gemeinsamen Wurzelexponenten dargestellt werden (Z. 165, Zusatz). Zusätze, a) Mit Hilfe des ersten Satzes kann man, wenn der Radicand einen Factor enthält, aus den: sich die verlangte Wurzel ausziehen lässt, diesen Factor vom Wurzelzeichen befreien. Z. B. 1/ (g? . d) 1/ (a"). 1/l> al/k. 6) Nach dem zweiten Satze kann man mit Beiziehung von Z. 159, 3 umgekehrt jeden Factor einer Wurzel unter das Wurzelzeichen bringe», indem man ihn mit dem Wurzelexponenten potenziert und diese Potenz mit dem Radicand multipliciert. Z. B. aj/b 1/ (ach . j/b (a"d). H. 167. 1. Ein Quotient (Bruch) wird durch eine Zahl radiciert, indem man Dividend und Divisor durch sic radiciert und die erste Wurzel durch die zweite dividiert. Beweis. (§. 152, 1) (Z. 159, 1). 2. Umgekehrt: Wurzeln desselben Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die gemeinsame Wurzel aus dem Quotienten der Radicanden auszieht. Sind Wurzeln, welche ungleiche Exponenten haben, zu dividieren, so werden sie früher auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten gebracht. Folgesatz. Die Wurzel aus einem auf die einfachste Form gebrachten Bruche kann keine ganze Zahl sein. Die Vergleichung der Sätze ZZ. 161—167 über das Radicieren mit den U. 17—21 über die Subtraktion und mit den ZZ. 49—53, dann 55 und 56 über die Division lässt die Analogie zwischen den inversen Rechnungsarten der ersten, zweiten und dritten Stufe recht deutlich erkennen. 94 Verbindung des Radicierens mit der Addition und Sudtraetion. K. 168. Die Addition und Subtraction der Wurzeln, sowie das Rechnen mit mehrgliedrigen Ausdrücken, in denen Wurzeln Vorkommen, wird nach den für allgemeine Zahlen überhaupt aufgestellten Regeln vollzogen. Eine Zusammen¬ ziehung findet statt, wenn die Wurzeln sowohl gleiche Radicanden als gleiche Wurzelexponenten haben. Manchmal können auch Wurzeln mit ungleichen Radi¬ canden, wenn sie denselben Exponenten haben, durch Zerlegen der Radicanden in Factoren (Z. 166, Zusatz a) mit einem gemeinsamen Radicand dargestellt werden. Z. B. -l/9o?.5o—s/-16i?.5o -f-^25vH ^3al/^ —46l/5^-f-5ol/5^^(3a —46 Z-5o)1^5^. Wie man aus algebraischen Summen die Quadrat- und Cubikwurzel auszieht, wird in den ßtz. 187 und 193 gezeigt werden. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Radicierung. tz. 169. 1. Gleiche Zahlen durch gleiche Zahlen radiciert geben Gleiches. Ist a 6, so ist (8- 8, 3). Folgesätze, a) Wenn man alle Glieder einer Proportion durch dieselbe Zahl radiciert, so erhält man wieder eine Proportion. Ist : l, — o : ä, so ist auch j/A: 6 — o : ä, oder 1/a : 1/6 1/o: 1/ä (tz. 167, 1). 6) Die mittlere geometrische Proportionale zwischen zwei Zahlen ist gleich der Quadratwurzel aus dem Produkte dieser Zahlen. Ist a : 6 — 6 : o, so ist 6^ — ao (Z. 123, Folges. 1), daher 6 — (Z. 169, 1). 2. Ungleiche Zahlen durch gleiche radiciert geben Ungleiches mit demselben Ungleichheitszeichen. Ist a > 6, so ist 1/a > 1/6. Beweis. Wäre 1/a < 1/6, so müsste bezüglich nach Z. 156, 1. oder 2. (1/a)" < (1/6)", also a^6 sein, was gegen die Voraussetzung ist. Folgesatz. Ist a 1, so ist bezüglich auch 1/u 1. 3. Gleiche Zahlen durch ungleiche Zahlen radiciert geben Ungleiches, und zwar mit dem entgegengesetzten oder mit dem¬ selben Ungleichheitszeichen, je nachdem der Radicand größer oder kleiner als 1 ist. 95 Ist m > n, so ist für a > 1, f/a < f/n; für a < 1, 1/a > s/a. Beweis. Wäre für a > 1, so wäre bezüglich nach K. 156, 1. oder 2. > (1/^s.)^ oder g? > während wegen m>n nach Z. 156, 3. n°> > a? sein muss. Ebenso wird der Beweis für n < 1 geführt. 4. Ungleiche Zahlen, von denen wenigstens die eine größer als 1 ist, durch ungleiche Zahlen bei entgegengesetztem Ungleich¬ heitszeichen radiciert geben Ungleiches mit dem Ungleichheits¬ zeichen der Radicanden. Ist 8, > b und zugleich a > 1, ferner n < m, so ist s/a > 1/b. Beweis. Nach 3. ist s/s, > s/a, nach 2. ist > s/b; folglich um¬ somehr f/a > 1/d. Umformung von irrationalen Wurzelausdrücken. ß. 170. Ausdrücke, in denen irrationale Wurzeln Vorkommen, lassen sich manchmal durch entsprechende Umstaltung auf eine Form bringen, die für die Rechnung mehr Bequemlichkeit bietet. Ausgabe. Einen Bruch, dessen Nenner ein irrationales Monom oder Binom ist, ohne Änderung seines Wertes mit einem rationalen Nenner darzustellen. (Rationalmachen des Nenners.) Der vorgelegte Bruch kann eine der folgenden Formen haben: 2 2 2 ^<1 1. Um einen Bruch von der Form , wobei m > n ist, mit einem rationalen Nenner darzustellen, multipliciere man Zähler und Nenner mit Es ist s s 10 „ „ m m 3 f/'a 31/a.s/a^ 31/3? --— —-- —-— -—-. 96 2. Um einen Bruch von der Form — oder mit einem rationalen Nenner darzustellen, multipliciere man Zähler und Nenner mit a 1/d oder f/a f/d. Es ist 2 — 2 (a VS) 2 (» ^ V d) L /S (L 5^ VS) (L b) L- — b 2 2 (^-> I/ b) 2 (/s^ >/b) u^lli US (/» ^ >/b) (>/^ 4- US) L — 5 Z- B. 2 2 4-/3 4 4 US 4- /3 3. Um einen Bruch von der Form 3 , 3 (5 4-1/2) 15 4- 3 1/2 5—1/2— 52 — 2 — 23 v- - -- b - >/L). 4t t t (2-1-1/3) (1/5-1/3)-, (24- /3) (US-U3) (US 4-1/3) - VS —1/3 2 2 2 u»r 4: US» Ua°v4:US»>ci u^ 4: UL wo der Kürze halber mn — r, a"? — A und — 8 gesetzt wird, mil einem rationalen Nenner darzustellen, multipliciere mau Zähler und Nenner des letzten Bruches mit dem Polynom r r I' r r 1/Lr-l f/H. L 4- f/^r-s/ W ^ .. . (^ 1)1-4 f/v . 1/-2 -1- (^ 1)r-I VLr-l Man erhält dadurch A -U n als den neuen Nenner. Z. B. -g—— 2 (U U -1- I/s» I> -1- 1/s2b2 -1- 1/abS -1- Vd«) V» — US L —b §. 171. Aufgabe. Die Summe oder die Differenz der Qua¬ dratwurzeln aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen, von welchen die eine irrational ist, in eine einzige Quadrat¬ wurzel zu verwandeln. Ist f/a Z- f/ b rU f/a — f/b die gegebene Summe oder Differenz zweier Quadratwurzeln, wobei a als positiv und größer als f/d vorausgesetzt wird, so hat man (f/a / f/Z 4U f/g,— l/kP 2a 2 f/^I^ daher, wenn man beiderseits die Quadratwurzel auszieht, f/a 4- f/d rU f/a — f/l> — 2a 2 f/a^ — 1). Diese Umformung lässt sich besonders dann mit Bortheil anwenden, wenn s? — d eine vollständige Quadratzahl ist. Z. B. f/4 4- 1/7 -s- s/ 4^1/7 — fX8 Z- 2 f/ 16- - 7 f/8 /- 2 f/9 — f/14; ^/6 /4/1l — f/6 - l/l! — f/12-21/36-11 - f/12 — 21/25 f/2. 97 Z. 172. Ausgabe. Die Quadratwurzel aus einem irrationalen Binom in die Summe oder die Differenz zweier Quadratwurzeln zu verwandeln. Ist s/a 1/d die gegebene Quadratwurzel, so hat man, wenn a. positiv und a > 1/b ist, nach K. 171 s/Hst/d st- s^g/^s/b j/2a -f- 2 —X st- f/ b — 1/ u — 1/b — 1/2a — 2 sf/^ — daher durch Addition und Subtraction dieser Gleichungen Die Umformung ist nur dann Vortheilhaft, wenn a? — b eine voll¬ ständige Quadratzahl ist. Z. B. l/IH61/2^l/lHl/72 Zusatz. Haben die beiden Glieder des Binoms a 1/b einen gemein¬ samen irrationalen Factor, so wird derselbe vor der Transformation heraus¬ gehoben. Z. B. 4 ^31/2-1/10^2.1/3-i?5^1/2-( (^5- 1). Z. 173. Ausgabe. Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte im Radicand vorkommt, von der Wurzel zu befreien. (Rational¬ machen der Gleichung.) Man transformiere die Gleichung so, dass in einem Theile die Wurzel allein steht, und potenziere dann beide Theile mit dem Wurzelexponenten. Um eine Gleichung, in welcher die Unbekannte im Radicand vorkommt, aufznlösen, muss dieselbe immer zunächst rational gemacht werden. Beispiele. 1) l/2x -st 3 -- 5 (l/2x Z)- 52 2x st- 3 — 25 2x — 25 — 3 2x 22 X — 11 2) 1 st-1/4x2—5x st-4.—2x 1/4x2 — 5x st- 4 — 2x — 1 (1/ 4x2 — 5 x st- 4)2 — (2 x — 1)2 4x2 —5x st- 4 — 4x2—4x st-1 — 5x st- 4x — 1 — 4 — x — — 3 x — 3 Moönik, Arithmetik und Algebra. 7 98 Wurzeln mit algebraischem Radicand. 8- 174. 1. Jeder geraden Wurzel aus einem positiven Radicand entsprechen zwei gleiche und entgegengesetzte Werte. 2. Jeder ungeraden Wurzel aus einem positiven Radicand entspricht ein positiver Wert. 3. Jeder ungeraden Wurzel aus einem negativen Radicand entspricht ein negativer Wert. Beweis. Nach ß. 157 ist p)2" — -s- L, (Z- — -s- b, (— — — b, wo a und t> die durch Potenzierung sich ergebenden absoluten Zahlenwerte bedeuten. Daraus aber folgt nach Z. 158 2n_ 2v-l-1_ 2ll-j-1 — 5 — Z- cz, d — — n ist, beschränkt. Ist nun in < n, und zwar na Z- p — n, so führt die Anwendung der obigen Gleichung auf eine Potenz mit negativem Exponenten; es ist : s? — — u-r. Damit daher das durch die obige Gleichung ausgesprochene Gesetz allgemeine Geltung habe, ist man genöthigt, auch den Potenzen mit negativen Exponenten eine Bedeutung beizulegen, durch welche auch sie auf den ursprüng¬ lichen Potenzbegriff zurückgeführt werden. Diese Bedeutung ergibt sich sogleich, wenn man den Quotienten, welcher a-r darstellen soll, in einer andern Form entwickelt. Man hat M . 2 LM S" ' 4- x LIN. Lk sk' Mithin ist a-r — Eine Potenz mit negativem Exponenten ist demnach der reciproke Wert derselben Potenz mit positivem Exponenten. Folgesätze, a) Da ist, so ist anch n-? — . Eine Zahl a zur (—p)ten Potenz erheben heißt daher, den reciproken Wert von a p mal als Factor setzen. 99 d) Aus a ? — folgt a?. g » — 1, folglich ist auch a? — Man kann daher jede Potenz, die im Zähler eines Bruches als Factor vorkommt, als Factor in den Nenner, und umgekehrt, übertragen, wenn man das Vor¬ zeichen des Exponenten in das entgegengesetzte verwandelt. K. 176. Mit Rücksicht auf tz. 175 lässt sich die in Z. 102 ausgestellte allgemeine Form eines Decimalbruches . I-.E ^».10 L -c L, 4- -c... auch so darstellen: ...o.10° st-ll.lO^ a.K) _f_ L -j_ «.10-l st- /1.10-2 st- 7.10-s -s-..., und sind daher — 1, — 2, — 3,... bezüglich die Rangexponenten (K. 67) der ersten, zweiten, dritten, ... Decimalziffer. Hieraus folgt: 1. Der Rangexponent der höchsten von Null verschiedenen Ziffer eines echten Decimalbruches ist negativ und absolut genommen gleich der Anzahl aller Nullen, welche dieser Ziffer vorangehen, die Null vor dem Decimalpunkte mitgezählt. Z. B. in dem Decimalbruche 0'000783 hat die höchste Ziffer 7 den Rangexponenten —4. 2. Bedeutet 17 einen Decimalbruch, dessen höchste Ziffer den Rang¬ exponenten — n hat, also einen echten Decimalbruch, dessen höchste Ziffer an der nten Decimalstelle steht, so ist 17 >10-° und 17< 10-°^ll Z. B. 0-00935 > und 0'00935 < Z. 177. Alle bisher erwiesenen Lehrsätze von den Potenzen mit positiven Exponenten gelten auch für Potenzen mit nega¬ tiven Exponenten. Um dies an den einzelnen Sätzen zu beweisen, darf man nur die Potenzen mit negativen Exponenten dnrch die reciproken Werte derselben Potenzen mit positiven Exponenten ausdrücken, dann die angedcuteten Rechnungen durch¬ führen und in den Resultaten, wenn darin Ausdrücke von der Form vor¬ kommen, wieder zu Potenzen mit negativen Exponenten zurückkehren. Z. B. (st- a)-° — "i (— g.) 2n — — st- a 2°. 1 Lw »tU x)—ll - »lU _ _ _ _ — N. a. .s, — a . — a 8-°- : a° : a" u. s. w. 7* 100 Z. 178. Eine Wurzel mit negativem Wurzelexponenten ist gleich dem reciproken Werte derselben Wurzel mit positivem Wurzelexponenten. Es ist 1/a — also Zusatz. Negative Wurzelexponenten pflegt man zu vermeiden, indem man das Negative in den Potenzexponenten verlegt. 2. Gebrochene Exponenten. H. 179. Das Radicieren von Potenzen führr nach den in HZ. 161 und 162 erwiesenen Gleichungen 1/ (n") — und (f/a)'" — für den Fall, dass bezüglich m durch n oder n durch in uicht theilbar ist, auf Potenzen und Wurzeln mit gebrochenen Exponenten. Um die Giltigkeit dieser Regeln von den besonderen Werten der Exponenten m und n unabhängig zu machen, müssen die Begriffe der Potenz und Wurzel so erweitert werden, dass sie auch für gebrochene Exponenten ihre bestimmte Bedeutung erhalten. Ans den obigen Gleichungen ergeben sich nun unmittelbar folgende Erklärungen: 1. Eine Potenz mit gebrochenem Exponenten ist die sovielte Potenz der Grundzahl, als der Zähler anzeigt, radiciert durch den Nenner. a-- — 1/ (g,--). 2. Eine Wurzel mit gebrochenem Exponenten ist die sovielte Wurzel aus dem Radicand, als der Zähler anzeigt, potenziert mit dem Nenner. f/a — (1/a)°>. m Q Zusatz. Aus s/'a — s/a" — a" folgt, dass sich jede Wurzel mit gebrochenem Exponenten als eine Potenz mit gebrochenem Exponenten darstellen lässt. Da man deshalb Wurzeln mit Bruchexponenten in die Rechnung gar nicht einzuführen pflegt, so beschränken wir uns hier auf Potenzen mit gebrochenen Exponenten. H. 180. Alle bisher erwiesenen allgemeinen Sätze von den Potenzen gelten auch für Potenzen mit gebrochenen Exponenten. 101 Um dieses an den einzelnen Sätzen nachzuweifen, braucht man nur die Potenzen mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln zu verwandeln, dann die angedeuteten Rechnungen auszuführen und in den Resultaten die Wurzeln wieder in Potenzen mit Bruchexponenten umzuformen. Z. B. n 4 n, v, .a« — a ->4 ; 4 4 / _ iX'-r _ I » °,; u. f. w. Zusatz. Da sich alle Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten darstellen lassen, so ist die Lehre von den Wurzeln schon in den Sätzen von den Potenzen enthalten. IV. Erweiterung des Zaßkengevietes durch das Htadicieren. Imaginäre und complexe Zahlen. 2n tz. 181. In tz. 174 blieb noch der Ausdruck 1^ — a zu untersuchen übrig. Da weder eine positive, noch eine negative ganze, gebrochene oder irrationale Zahl, noch auch Null, mit einer geraden Zahl potenziert eine negative 2v Zahl hervorbringen kann, so ist — a in der stetigen Folge der bisher 2n betrachteten Zahlen nicht zn finden. Man nimmt daher I/"— a als eine neue Zahlenform an und nennt sie eine imaginäre Zahl; im Gegensätze zu ihr bezeichnet man die ganzen, gebrochenen und irrationalen Zahlen mit dem gemeinsamen Namen reelle Zahlen. Nach dem bereits in tz. 27 erwähnten Principe der Erhaltung der Operationsgesetze wird man die neue Zahlenform so definieren, dass die bisher für reelle Zahlen entwickelten Gesetze auch noch für das Rechnen mit den imaginären Zahlen ihre Geltung behalten. Diese Erklärung der neuen Zahlen- 2v form liegt in der Gleichung (ss^— s. Für n — 1 und u — 1 erhält man f/^1 als die einfachste Form einer imaginären Zahl. Auf diese kann schließlich auch jede andere imaginäre Zahl zurückgeführt werden; z. B. b f/^1-, wenn d die absolute Quadratwurzel aus a ist. 102 s —1 heißt die imaginäre Einheit; sie wird nach Gauß fast allgemein mit dem Buchstaben i bezeichnet. Ihre Definition ist durch die Gleichung ? — — 1)^ — — 1 gegeben. Das Zahlzeichen ds/ — 1 oder d i, das die Form eines Prodnctes einer reellen Zahl d mit der imaginären Einheit hast wird eine rein ima¬ ginäre Zahl genannt. Das Zahlzeichen a Z- di, welches die Form einer Summe einer reellen und einer rein imaginären Zahl hat, heißt eine complexe Zahl; a ist ihr reeller, di ihr imaginärer Bestandtheil. Zwei complexe Zahlen von der Form a Z-di und a — di heißen conjngiert. Der Ausdruck a -f- di ist die allgemeine Form für alle möglichen Zahlen; er enthält für a — o und d — o die Null, für d — o alle reellen Zahlen, für a — c> alle rein imaginären Zahlen, und, wenn a und d von Null »erschieden find, alle complexen Zahlen. Über die geometrische Bedeutung der imaginären und complexen Zahlen enthält der Anhang dieses Lehrbuches eine abgesonderte Untersuchung. Hier sollen nur die wichtigsten formalen Verbindungen dieser Zahlen betrachtet werden. Indem dabei nach dem Princip der Permanenz die Operationsgesetze für reelle Zahlen ihre Anwendung finden, rechnet man mit der imaginären Zahl di der Form nach so, als wenn das Zahlzeichen i eine reelle Zahl vor¬ stellen würde; nur tritt noch die Bestimmung hinzu, dass überall ? durch — 1 zu ersetzen ist. Rechnungsoperationrn mit rein imaginären Zahlen. H. 182. Ist eine imaginäre Zahl von der Form s/ — a der Rechnung zu unterziehen, so muss sie früher auf die Form s/a.'s/— 1 — d s/ — 1 — di, wo d — s/a ist, gebracht werden. I. Addition und Subtraction. ai -f- di — (a -i- d)i; ai — di — (a — d)i. Die Summe zweier imaginärer Zahlen ist demnach auch imaginär; ebenso die Differenz zweier ungleicher imaginärer Zahlen. 2. Multiplication. g,i.d — adi, ebenso a.di—adi; ai.di—ad.i? — ad.—1 — — ad. Das Product aus einer imaginären und einer reellen Zahl ist ima¬ ginär, das Product zweier imaginärer Zahlen reell. 3. Division. b b bi bi? k bi d' 103 Eine imaginäre und eine reelle Zahl geben also einen imaginären, zwei imaginäre Zahlen einen reellen Quotienten. 4. Potenzieren. Man hat ? — — 1, — jst.i — — st st —i-.i^ —? —4- st — st.i — -st j, u. s. w. allgemein st° — 4-1, — 4- i, st°->-^ — — 1, - - i. Ferner ist (ai)° — a° . st. Die Potenz einer rein imaginären Zahl ist demnach reell oder ima¬ ginär, je nachdem die bezügliche Potenz von i reell oder imaginär ist. Rechnungsoperationen mit complexcn Zahlen. Z. 183. 1. Das Gleichsein zweier complexer Zahlen a -st di — o -stäi kann nur die Bedeutung haben, dass a — o und b — ä ist. Denn sonst wäre (a — o) — (ä — b) i, d. i. eine reelle Zahl gleich einer imaginären, was ein Widerspruch ist. 2. Ebenso kann die Gleichung a -st bi — 0 nur daun stattfiuden, wenn sowohl a — 0 als auch b — 0 ist. K. 184. 1. Die Addition zweier complexer Zahlen a-st bi und e -st äi erfolgt nach der Gleichung (a -st bi) -st (o -st äi) — (a -st o) -st (b -st ä) i. Die Summe zweier complexer Zahlen besteht demnach aus der Summe der reellen und der Summe der imaginären Bestandtheile der beiden Sum¬ manden; sie ist im allgemeinen auch eine complexe Zahl. Reell ist immer die Summe zweier conjugierter Zahlen; denn (a-stbi)-st(a —bi) —2a. 2. Die Subtraction zweier complexer Zahlen a -st bi und o -st äi wird bestimmt durch die Gleichung (a -st bi) — (o -st cli) — (a — o) -st (b — ä) i. Zwei complexe Zahlen geben im allgemeinen eine complexe Zahl zur Differenz. 3. Wird die Multiplication zweier complexer Zahlen a -stbi und o -st äi formal ausgeführt und dann i^ durch — 1 ersetzt, so hat man (a -st bi) (o -st äi) — ao -st bei -st aäi — bäst — (ao — bä) -st (bo -st aä)i. Das Product zweier complexer Zahlen ist im allgemeinen auch eine complexe Zahl. Reell ist immer das Product zweier conjugierter Zahlen; denn (a -st bi) (a — di) — s? -st b°. 104 4. Um zwei complexe Zahlen a st- bi und e st- äi durch einander zu dividieren, darf man nur Dividend und Divisor mit der zu dem Divisor conjugierten Zahl mnltiplicieren, wodurch man auf eine Division durch einen reellen Divisor geführt wird. s-s-bi — (s -b bi) (e — äi) (se-j-bä) 4- (be — Lä)i e -b äi (o -s- ä i) (e —ä i) c- -j- ä- ^Lv-j-bä , be — sä. — «2 Z2 "N o2 Der Quotient zweier komplexer Zahlen ist auch eine complexe Zahl. Durch das eben angeführte Verfahren kann auch jeder Bruch, dessen Nenner eine complexe Zahl ist, mit einem reellen Nenner dargestellt und sonach in eine complexe Zahl verwandelt werden. Z. B. 3-p i — (8 4-i) (2 — 5i) — 11 — 13i — n 13. 24-5i — (2 -p 5i) (2 — 5i) 29 29 29^' 5. Die Potenz einer complexen Zahl ist im allgemeinen wieder eine complexe Zahl. (s, 4- bi)? — (a -st bi) (n st- bi) — (ast — b?) st- 2abi; (a st- bi)^ — (n st- bi)? (a st- bi) — — 3ab?) st- (3a?b — b^)i; u. s. w. 6. Die in KZ. 171 und 172 für die Quadratwurzeln aus irrationalen Binomen abgeleiteten Formeln gelten, wie aus der Ableitung selbst hervorgeht, auch für die Quadratwurzeln aus complexen Zahlen, und zwar ist hier ihre Anwendung von der dort aufgestellten Bedingung, dass a positiv und größer als s/b sein muss, ganz unabhängig. Z. B. /l7^i 4- s/l — i — j/2 4- 2 j/1 — st — 1^2 4- 2 1/2. 1/44-3 44-1/164-9 4- 4 -1^16 4- 9 - (3 1/2 st- 1^^2) ^^(3 -st1^1> I/ /^1 — I/O st- s/o^st-Q 4^ ^/ -1/stH ^^(i^i^mys V. Kuadrieren und ßuliieren, Ausziehen der Kvadrat- und der Lubilrwurzek. 1. Quadrat und Quadratwurzel. 8- 185. Ausgabe. Eine algebraische Summe zum Quadrat zu erheben. Man entwickle das Quadrat nach folgendem Bildungsgesetze: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt sein eigenes Quadrat. 105 2. Jedes folgende Glied gibt zwei Bestandtheile: das doppelte Product aus der Summe aller vorangehenden Glieder mit diesem Glieds, und das eigene Quadrat. 3. Die Summe aller so gebildeten Bestandtheile ist das gesuchte Quadrat. Beweis. Man hat zunächst (a -s- l;)' — (s. ff- 1>) (s, -s- l>) — -s- 2al> -s- l)2; d. i. das Quadrat eines Binoms ist gleich der Summe aus dem Quadrate des ersten Gliedes, dem doppelten Producte beider Glieder und dem Quadrate des zweiten Gliedes. Ferner ergibt sich für einen dreigliedrigen Ausdruck a ff- d ff- o, wenn man denselben als Binom ansieht, dessen erstes Glied s. ff- b, dessen zweites Glied e ist, (a ff- b ff- o? -- s(u b) -ff os? (g ff)- 2 (a b) off- — a? 2 al, -j- d? 2 (a -s- 5) o -s- v". Gilt überhaupt das hier für zwei und für drei Glieder nachgewiesene Gesetz für einen ngliedrigen Ausdruck a -ff d ff- o ff- .. -ff cz -ff r, so muss dasselbe auch für einen (n -ff 1) gliedrigen Ausdruck u -ff 1> -ff o ff- .. -ff g ff- r -ff 8 richtig sein; denn (a ff- b -ff o -ff .. -ff r ff- 8)? — s(a ff- b ff- o -ff . . ff- 10"-ff aber < 10", so ist idff > aber < 102"; das Quadrat I72 hat also mindestens 2u — 1 Ziffern und höchstens 2 n Ziffern. Theilt man daher das Quadrat von der Rechten gegen die Linke in Abteilungen zu zwei Ziffern, wobei die erste Abtheiluug links auch nur eine Ziffer enthalten kann, so hat man im Quadrate so viele Abteilungen, als die Quadratwurzel Ziffern hat. 3. Da erhellt, dass bei einem Decimalbruche das Quadrat auf gleiche Weise wie bei einer dekadischen ganzen Zahl gebildet 107 wird; nur muss man im Quadrate des Zählers doppelt so viele Decimalen abschneiden, als deren der gegebene Decimatbruch enthält. 4. Erhebt man einen unvollständigen Decimalbruch zum Qua¬ drat, so ist (nach K. 108) die Fehlergrenze des Quadrates gleich den: doppelten Producte des Decimalbruches (bezüglich seiner höchsten Stelle) mit dessen Fehlergrenze. So erhält man z. B. 5'168. st — 26'71.. mit der Fehlergrenze 2 X 5 X 0-0005 --- 0-005. Z. 187. Aufgabe. Aus einer algebraischen Summe die Qua¬ dratwurzel auszuziehen. Aus dem Gesetze (Z. 185), nach welchem die Bestandtheile einer mehr¬ gliedrigen Zahl in ihrem Quadrate zusammengestellt erscheinen, lässt sich für das Ausziehen der Quadratwurzel aus einem geordneten Polynom folgendes Verfahren ableiten: 1. Das erste Glied des geordneten Polynoms ist das Quadrat des ersten Wurzelgliedes. Man findet daher das erste Glied der Wurzel, wenn man aus dem ersten Miede des Nadicands die Quadratwurzel auszieht. Das Quadrat des ersten Wurzelgliedes wird von dem Radicand subtrahiert. 2. Die ersten zwei Glieder des Restes enthalten die Bestandtheile, welche aus dem folgenden Miede der Wurzel hervorgehen, und zwar ist das erste Glied des Restes das Product aus der doppelten bereits gefundenen Wurzel und aus den: folgenden Miede der Wurzel. Dividiert man daher das erste Glied des Restes durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel, so erhält man das folgende Glied der Wurzel. Man bildet nun die Bestandtheile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Quadrate gibt, indem man zu dem Doppelten der früheren Wurzel das neue Glied addiert und die Summe mit diesem Gliede multipliciert, und subtrahiert das Product von dem Reste des Polynoms. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest, so ist das gegebene Polynom ein vollständiges Quadrat und die erhaltene Quadrat¬ wurzel rational; bleibt aber ein Rest übrig, so ist die Wurzel irrational. Z. B. jZ-st -s- 6x° — -st — 30x Z- 25 — -st -st 3x — 5 x? -s-6-st— -st : (2-st-st 3x).3x -s- 6-st -s- 9-st — 10-st - 30x -s- 25 : (2x° -s- 6x — 5). - 5 — 10-st — 30x -st 25 -st -st — 0 108 Z. 188. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche ein vollständiges Quadrat ist, die Quadratwurzel auszuziehen. 1. Man theile die Zahl von den Einern angefangen in Abtheilungen von je zwei Ziffern, wobei die höchste Abtheilung auch nur eine Ziffer ent¬ halten kann, suche die größte Zahl, deren Quadrat in der höchsten Abthei¬ lung enthalten ist, und schreibe sie als erste Ziffer der Wurzel an. Das Quadrat der ersten Wurzelziffer wird von der höchsten Abtheilung des Radi- cands subtrahiert. 2. Zu dem Reste setze man die folgende Abtheilung des Radicands herab, dividiere die dadurch gebildete Zahl nach Weglassung ihrer letzten Ziffer durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel und schreibe den Quo¬ tienten als neue Ziffer in die Wnrzel und zugleich als Ergänzung zu dem Divisor. Den so ergänzten Divisor multipliciere man mit der neuen Wurzel¬ ziffer und subtrahiere das Product sogleich während des Multiplicierens von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen Ziffer. 3. Dieses Verfahren setze man fort, bis alle Abtheilungen des gegebenen Radicands in Rechnung gezogen worden sind. Die Richtigkeit dieses Verfahrens ergibt sich aus K. 186. Z. B. I/ 5MH38M 2438 194 : 44 18 38 : 483 3 8944 : 4868 0 Zusätze. 1. Da I/ Mii ist, so folgt, dass mau aus einem Decimalbrnche die Quadratwurzel nach demselben Verfahren auszieht, wie aus einer ganzen Zahl; nur muss man den Decimalbruch vom Decimal- punkte aus nach rechts und links in Abtheilungen von je zwei Stellen theilen und in der Wurzel den Decimalpunkt setzen, bevor die erste Abtheilung von Decimalen in Rechnung gezogen wird. Z. B. IM 27s56 12-34 52 : 22 8 27 : 243 98 56 : 2464 0 2. Um aus einem gemeinen Bruche die Quadratwurzel zu ziehen, zieht man dieselbe aus Zähler und Nenner. - ^144 ^144 _ 12 Z B. I/ 529 — j/529 23' ß. 189. Ausgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein vollständiges Quadrat ist, die Quadratwurzel zu ziehen. 109 Ist die ganze Zahl a kein vollständiges Quadrat, so ist nach H. 160 irrational und lässt sich nur näheruugsweise bestimme». Man ziehe dabei aus a auf die in Z. 188 angegebene Weise die Quadratwurzel, bis die letzte Abtheilung in Rechnung gezogen ist, setze dann nach der zuletzt erhaltenen Wurzelziffer den Decimalpunkt und rechne auf dieselbe Art weiter, indem man jedem Reste für die folgende Abtheilung zwei Nullen anhängt. Die Rechnung wird so lange fortgesetzt, bis man die gewünschte Anzahl von Decimalstellen erhalten hat. Beweis. Multipliciert man die ganze Zahl a mit K?", d. h. hängt man derselben mmal zwei Nullen an, und ist 6 die größte ganze Zahl, welche in enthalten ist, also b < 10^°' < 6 -Z 1, oder 6 < 10'" . s/a. < d -s- 1, so ist s/s. liegt demnach zwischen den Brüchen und deren Differenz ist; folglich ist der Fehler, den man begeht, wenn s/a — gesetzt wird, kleiner als somit kleiner als eine Einheit der letzten berechneten Decimalstelle. Z. B. 1/^50 -- 18-708.. 250 : 28 2600 : 367 310000 : 37408 10736 Zusähe. 1. Auf gleiche Weise wird auch beim Quadratwurzel-Ausziehen aus einem Decimalbruche, welcher kein vollständiges Quadrat ist, die Rechnung beliebig weit fortgesetzt, indem man zunächst in der letzten Abtheilung rechts, wenn sie nur eiue Ziffer enthalten sollte, die fehlende durch eine Null ergänzt und dann dem übrig gebliebenen, sowie jedem folgenden Reste zwei Nullen anhängt. Bei Periodischen Decimalbrüchen treten selbstverständlich die entsprechenden Ziffern der Periode an die Stelle der anzuhängenden Nullen. 2. Um aus einem gemeinen Bruche, dessen Zähler und Neuner nicht Quadratzahlen sind, die Quadratwurzel auszuziehen, verwandelt man ihn entweder in einen solchen Bruch, dessen Nenner eine Quadratzahl ist, und zieht dann die Wurzel aus Zähler und Nenner; oder man verwandelt den gemeinen Bruch in einen Decimalbruch und zieht dann aus diesem die Quadratwurzel. Z. 190. Abgekürztes Verfahren beim Ausziehen der Qua¬ dratwurzel. Hat man von der Quadratwurzel einer Zahl nach dem gewöhnlichen Verfahren die ersten in Ziffern gefunden, so darf 110 man, um noch m — 1 weitere richtige Wurzelziffern zu erhalten, nur den letzten Rest durch die doppelte bereits gefundene Wurzel dividieren. In der Ausführung wird dabei die abgekürzte Division angewendet und im Divisor sogleich die letzte Ziffer weggelafsen. Beweis. Bezeichnet a den Radicand und b die bereits gefundenen ersten m Ziffern der Quadratwurzel, so kann man unbeschadet der Allgemeinheit die ersten in Abteilungen in a, und daher auch die m ziffrige Zahl l) als Ganze annehmen, weil es für die Ziffernfolge der Wurzel gleichgiltig ist, nach welcher Abtheilung des Radicands man den Decimalpunkt setzt; dann werden die weiter folgenden Wurzelziffern Decimalen vorstellen. Setzt man nun ^/g, — b -j- x, wo x den noch fehlenden Theil der Wurzel ausdrückt, so muss (b -s- x)? — a, oder 1/ -j- 2bx -j- x? — s, daher « _ >,2 v2 2bx — a, — 1)2 — x? und x — - sein. Wenn nun für x der Quotient , wo a — b^ den letzten bei der Wurzelausziehung gebliebenen Rest und 2 b die doppelte bereits gefundene Wurzel bedeutet, gesetzt wird, so ist der Fehler, den man begeht, gleich v2 1 Aber x < 1 und 2 b > 10"^, daher jedenfalls kleiner als l woraus folgt, dass der Quotient mindestens m — 1 weitere richtige Wurzel¬ ziffern gibt. Zusätze. 1. Wenn aus einer ganzen Zahl oder einem vollständigen Decimalbruche die Quadratwurzel mit 2m — 1 oder 2m geltenden Ziffern zu bestimmen ist, so sucht man bezüglich nur die ersten m oder m -j- 1 Ziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren der Quadratwurzel-Ausziehung, die folgenden aber nach der obigen Vorschrift durch die abgekürzte Division. Hat man z. B. 1/138 auf 5 Decimalstellen genau, also im ganzen mit 7 geltenden Ziffern zu bestimmen, so sucht man die ersten 4 Ziffern durch das Radicieren, die letzten 3 durch die abgekürzte Division. Die Rechnung steht: j/1M ^ 11-74734.. 38 : 21 1700 : 227 11100 : 2344 1724 : 2,3,4,8 80 10 1 112 4213- 4- 3. 4^.2 3. 4 .2' 2- 3. El 3. 42 .1? 1- 3.4212.3 3.421 .32 3- 64 9 159 9 67 27 6 48 8 529 1 2 26 1 516 113 74 778091597 Zusätze. 1. Der Cubus einer dekadischen ganzen Zahl hat entweder dreimal so viele Ziffern als diese Zahl, oder um zwei Ziffern oder um eine weniger. Beweis analog wie zu Z. 186, Zusatz 2. 2. Da m iöL ist, l'o ^lgt, dass man bei Decimalbrüchen vom Cubus des Zählers 3 mal so viele Decimalen abschneiden müsse, als deren der gegebene Decimalbruch hat. 3. Erhebt man einen unvollständigen Decimalbruch zum Cubus, so ist (nach K. 108) die Fehlergrenze des Cubus gleich dem dreifachen Pro- ducte aus dem Quadrate und der Fehlergrenze des Decimalbruches. H. 193. Aufgabe. Aus einer algebraischen Summe die Cubik- wurzel zu ziehen. I. Man ziehe die Cubikwurzel ans dem ersten Miede des geordneten Radicands; diese ist das erste Glied der Wurzel. Der Cubus des ersten Wurzel¬ gliedes wird von dem Radicand subtrahiert. 2. Man dividiere das erste Glied des Restes durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel; der Quotient ist das folgende Glied der Wurzel. Man bilde dann die Bestandtheile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Cubus hervorbriugt, nämlich das dreifache Quadrat des bereits gefundenen Wurzeltheiles mnltipliciert mit dem neuen Gliede, das Dreifache des vorhergehenden Wurzeltheiles multipliciert mit dem Quadrate des neuen Gliedes und den Cubus dieses Gliedes, und subtrahiere die Summe dieser drei Bestandtheile von dem früheren Reste des Radicands. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist die Cubikwurzel rational; bleibt ein Rest, so ist sie irrational. Die Ableitung dieses Verfahrens aus H. 191 geschieht auf ähnliche Weise, wie im Z. 187 das Verfahren der Quadratwurzel-Ausziehung aus Polynomen aus Z. 185 hergeleitet wurde. 113 Beispiel. 3 67» -s- 21^ —447^ 4. 637^-547 -s- 27^ 7- - 27 4- 3 — 67° 4- 217^ — 447- : 37^ — 67° 4- 127^ — 87^ — 867" 4^ 63^- 547 -4 27 : 37'- 127- -4 1272 ff- 97^-367-^-3672 4-2772 — 547-427 0 8- 194. Ausgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche ein vollständiger Cubus ist, die Cubikwurzel auszuziehen. 1. Man theile die Zahl von den Einern angesangen gegen die Linke in Abtheilungen von je drei Ziffern, wobei die höchste Abtheilung auch nur zwei oder eine Ziffer haben kann, suche die größte Zahl, deren Cubus in der höchsten Abtheilung vorkommt, und schreibe sie als erste Ziffer in die Cubik¬ wurzel. Den Cubus der ersten Wurzelziffer subtrahiere man von der ersten Abtheilung des Radicands. 2. Zu dem Reste setze mau die nachfolgende Abtheilung herab, dividiere dann die dadurch entstandene Zahl mit Weglassung der letzten zwei Ziffern durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel und schreibe den Quotienten als neue Ziffer in die Wurzel. Dann bilde man die Bestand¬ teile, welche diese neue Wurzelziffer im Cubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl multipliciert mit der neuen Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl multipliciert mit dem Quadrate dieser neuen Ziffer, und ihren Cubus; schreibe den ersten Bestandtheil unter den Dividend, jeden folgenden aber um eine Stelle weiter gegen die Rechte und subtrahiere die Summe der so angesetzten Bestandteile von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen zwei Ziffern. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man alle Abtheilungen des Radicands in Rechnung gezogen hat. Die Richtigkeit des Verfahrens beruht auf Z. 192. Z. B. 1^78^9 53^589 — 429 64 149.53 : 48...3. 42 3.42.2.. . 96.. 3.4.22.. . 48 2-... 8 4 8 65 5,89 : 5292...3.422 3.422.9.. . 4 7 628.. 3.42 . 92... 102 0 6. 9-... 7 29 Moenik, Arithmetik und Algebra. 0 8 114 Zusatz. Wie man beim Ausziehen der Cubikwurzel aus einem Decimal- oder einem gemeinen Bruche zu verfahren habe, ersieht man leicht aus dem für das Quadratwurzel-Ausziehen in ß. 188, Zusatz 1 und 2, angegebenen Verfahren. 8- 195. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein vollständiger Cubus ist, die Cubikwurzel zu ziehen. Ist der Radicand keine dritte Potenz einer ganzen Zahl, so ist die Cubik¬ wurzel irrational und kann nur näherungsweise berechnet werden. Das dabei anzuwendende Verfahren entspricht demjenigen, das wir in Z. 189 für die Quadratwurzel-Ausziehung aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein Quadrat ist, angegeben haben; nur müssen hier den einzelnen Resten für jede Abtheilung drei Nullen angehängt werden. Zusatz. Auch bezüglich der Vorschrift für das Ausziehen der Cubikwurzel aus Decimal- oder gemeinen Brüchen, welche nicht vollständige Cubik- zahlen sind, verweisen wir auf die analogen Bemerkungen in Zus. 1 und 2 zu 8. 189. ß. 196. Abgekürztes Verfahren beim Ausziehen der Cubik¬ wurzel. Wenn man von der Cubikwurzel einer Zahl nach dem gewöhnlichen Verfahren die ersten na Ziffern berechnet hat, so erhält man noch na — 1 weitere verlässliche Ziffern, indem man den letzten Rest durch das dreifache Quadrat der bereits gefun¬ denen Wurzel dividiert. Beweis. Es sei u der Radicand und b bezeichne die bereits berechneten ersten m Ziffern der Cubikwurzel, wobei b ohne Änderung der noch fehlenden Wurzelzisfern als eine ganze Zahl vorausgesetzt werden darf. s Setzt man f/u — b -j- x, wo x die weiter folgenden Ziffern der Wurzel bedeutet, so ist (d -s- x)3 — u, oder 1? -s- 31i?x -j- 3bx? -l- x^ — a, daher —. 1»3 v2 v3 3d^x — a — —3bx^—x^, und x —-g- wobei u — l? der letzte bei der Wurzelausziehung gebliebene Rest, und 31? das dreifache Quadrat der bisher gefundenen Wurzel ist. Der Fehler, welcher begangen wird, wenn man für x den Quotienten setzt, ist demnach wo x < 1 und 1> > 1<>-i ist, so dass bei der Beurtheilung des Fehlers das Glied als gegen verschwindend gar nicht in Betracht kommt; ist aber kleiner als wird x durch den Quotienten auf m — 1 Ziffern genau bestimmt. 115 s Ist z. B. 1/0-083066534 auf 5 Decimalen genau zu bestimmen, so sucht man die ersten drei Ziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren der Cubik- wurzel-Ausziehung, die zwei folgenden durch die abgekürzte Division. Zusatz. Durch das voranstehende Verfahren erhält man in der Cubik- wurzel eines unvollständigen Decimalbruches 2m —1 verlässliche Ziffern, wenn der Radicand m geltende Abtheilungen zu drei Ziffern hat. VI. Logarithmen. 1. Bon den Logarithmen überhaupt. 8- 197. Eine Zahl a durch eine andere Zahl 6 logarith¬ mieren heißt, den Potenzexponenten suchen, mit welchem b als Basis potenziert werden muss, um a als Potenz zu geben. Die Zahl b ist die Grundzahl oder Basis, die als Potenz gegebene Zahl a heißt der Logarithmand oder geradezu die Zahl (Humsrus), und der gesuchte Potenzexponent der Logarithmus. Ist a — 6°, so ist n der Logarithmus der Zahl a für die Basis Id; mau hat dafür die Bezeichnung I0A Ust) — u. Werden die Logarithmen durchgängig auf eine bestimmte Basis, z. B. 10, bezogen, so schreibt man statt des letzten Ausdruckes kürzer Ic>K a — n, wobei die Basis 10 als bekannt vorausgesetzt wird. Dem Potenzieren entsprechen zwei inverse Operationen, das Radicieren und das Logarithmieren, je nachdem die Basis oder der Exponent gesucht wird, da diese beiden nicht commutiert werden können. Z. 198. Folgesätze. 1. Potenziert man die Basis mit dem Lo¬ garithmus, so erhält man den Logarithmand. Ist Io§ na-, — u, so ist — a. 2. Der Logarithmus der Basis in Bezug auf diese Basis selbst ist gleich 1. 1oA bst) — 1; denn k/ — b. 3. Der Logarithmus von 1 ist für jede Basis gleich 0. loZ Ist) — 0; denn — 1. 4. Für eine positive Basis hat eine negative Zahl keinen reellen Logarithmus. Denn sowohl als d-" — gibt ein positives Resultat. K. 199. Der Inbegriff der Logarithmen der in natürlicher Ordnung aufeinander folgenden Zahlen für eine bestimmte Basis bildet ein logarith¬ misches System. 8* 116 Da durch das Potenzieren einer reellen negativen Zahl nicht alle mög¬ lichen positiven Zahlen erzeugt werden können, jede Potenz von 1 aber wieder 1 ist, so kann nur eine reelle positive und von 1 verschiedene Zahl als Basis eines Logarithmensystems angenommen werden. Im Gebrauche sind nur zwei logarithmische Systeme, nämlich das gemeine oder Brigg'sche sür die Basis 10, und das natürliche oder Neper'sche für die irrationale Basis 2'718281828..., welche man aus der Summierung der unendlichen Reihe 1 st- st- — st---I- — -s- ... — 1 > 1.2 1.2.3 1.2.3.4 erhält und gewöhnlich mit dem Buchstaben s bezeichnet. Allgemeine Sähe über die Logarithmen. Z. 200. Der Logarithmus eines Prodnctes ist gleich der Summe aus den Logarithmen der Factoren. Es sei für die Basis d Io§ N — m, IoA Ist — n, IoZ k — x, also Ll — Ist — b", ? — bv; dann ist Älstk — ; d. i. IoK Nist? — m st- n st- x, oder Io§ NIstk — Io§ N st- IoA Ist -s- IoA?. Z. B. IoZ 6 — Io§ 2 st- loZ 3. Io§ 30 — Io§ 2 st- lo^ 3 st- ioA 5. Sind für eine Basis die Logarithmen aller Primzahlen bekannt, so lassen sich aus denselben durch bloße Addition auch die Logarithmen aller zusammen¬ gesetzten Zahlen ableiten. 2. Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich dem Logarithmus des Zählers weniger dem Logarithmus des Nenners. Es sei für die Basis 6 loK Ai — m, IoZ Ist — n; also Ai — b", Ist — dann ist folglich IoA — m — n — IvA Ai — IoA Ist. Z. B. Io§ -A- Io§ 29 - lox 31. IoA 35'29 IvA - ioA 3529 - Io§ 100. 3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Logarith¬ mus der Basis multipliciert mit dem Potenzexponenten. 117 Es sei für die Basis b, lox LI — m, also LI — b'°; dann ist Ll-> — d---», und daher lox M — mp — p IoA LI. Z. B. 1o§ 8-^3 Io§ 8. IvA (2a)^ — 3 IvA 2^ — 3 (lo^ 2 -s- loZ a). ^o^ — 2 IoKx -s- ioA - 4 (Io§ m -j- IoK n). 4. Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Logarith¬ mus des Radicands dividiert durch den Wurzelexponenten. Es sei für die Basis b, Io»- LI — m, also LI — dann ist x x m f/N — — 1) x, daher I°§ I/LI s p p Z. B. Io§ 1/75 - 5 i 3 Io? IvA a -s- 4 loA X — IoA ß. 201. 1. Für dieselbe Basis gehören zu gleichen Zahlen auch gleiche Logarithmen; und umgekehrt: zu gleichen Logarithmen gehören auch gleiche Zahlen. Ist b die Basis und l>^ — LI, d" — LI, so muss, wenn LI — LI ist, auch m — n, d. i. IvA LI — IoZ Li sein. (Folgt indirect aus §. 156, 3.) Ist umgekehrt lox LI — lox LI, also m — n, so muss nach Z. 156, 1, auch k" — d°, d. i. LI — LI sein. 2. Für eine Basis, welche größer als I ist, gehört zu der größeren Zahl auch ein größerer Logarithmus; und umgekehrt: zu dem größeren Logarithmus gehört auch eine größere Zahl. Ist 6'" — LI, d° — X und LI > LI, so muss für 6 > 1 auch m > o, also IoA LI > IvA LI sein. (Folgt indirect aus 1. und aus §. 156, 3.) Ist umgekehrt IoA LI > Io§ LI, so folgt ebenso aus Z. 156, 3, LI > X. 3. Dieselbe Zahl hat für verschiedene Grundzahlen auch verschiedene Logarithmen. Ist IvK ÜM — x und IoA Xst; — g, wo L und d als verschiedene Zahlen vorausgesetzt werden, so ist X — W und X — 6'', daher L? — b'r. Wäre nun p — IvsslOts) 2. Von den Brig g'schen Logarithmen» Z. 2V2. Unter dem Brig g'schen Logarithmus einer Zahl versteht man den Potenzexponenten, mit dem die Basis 10 potenziert werden muss, um jene Zahl als Potenz zu geben. 1. Die Brigg'schen Logarithmen allerZahlen, welche größer als 1 sind, sind positiv; die Brigg'schen Logarithmen aller positiven Zahlen, welche kleiner als 1 sind, sind negativ. Beweis. Eine Zahl, welche größer als 1 ist, ist entweder eine dekadische Einheit 10°, wo u eine positive ganze Zahl bezeichnet, oder sie liegt zwischen zwei dekadischen Einheiten 10°-' und 10°; ihr Logarithmus ist daher bezüglich n oder zwischen n — 1 und n eingeschlossen, also in jedem Falle positiv. Eine positive Zahl, welche kleiner als 1 ist, ist entweder eine dekadische Einheit — 10-°, oder sie liegt zwischen zwei dekadischen Einheiten 10-°4' und 10-°; ihr Logarithmus ist daher bezüglich — n oder zwischen — n -j- 1 und — u eingeschlossen, also in jedem Falle negativ. 2. Der Brigg'sche Logarithmus einer ganzen oder gebro¬ chenen Zahl, welche eine dekadische Einheit ist, ist eine ganze Zahl. Folgt aus dem Beweise zu 1. 119 3. Der Brigg'sche Logarithmus einer ganzen oder gebro¬ chenen Zahl, welche keine dekadische Einheit ist, ist eine irratio¬ nale Zahl. Beweis, a) Ist X keine dekadische Einheit, sondern zwischen zwei auf einander folgenden dekadischen Einheiten 10° und 10°^' enthalten, wo n eine positive oder negative ganze Zahl oder auch Null bedeutet, so liegt der Loga¬ rithmus von X zwischen n und n -s- 1, und ist somit keine ganze Zahl. Er kann aber auch kein Bruch sein. Denn wäre IoK X — wo p und Ex relative Primzahlen seien, so müsste 10 >- — X, oder 10^ — X" sein. Damit jedoch diese Gleichung möglich sei, müssten 10^? und M aus denselben Prim- factoren bestehen; es dürfte also X keine anderen Factoren als 2 und 5, bezüglich und und müsste auch beide in gleicher Anzahl enthalten; dann aber wäre X selbst eine dekadische Einheit, was der Voraussetzung wider¬ spricht. Es kann demnach IoA X, wenn X keine dekadische Einheit ist, weder durch eine ganze Zahl, noch durch einen Bruch genau dargestellt werden. b) Der Logarithmus von X lässt sich jedoch durch Angabe von Nähe¬ rungswerten, zwischen denen er liegt, mit jedem beliebigen Grade von Genauigkeit annäherungsweise bestimmen. Da X zwischen 10° und 10°^ ent¬ halten ist, so liegt IvA X zunächst zwischen den Näherungswerten n und n -s- 1; aus diesen aber lassen sich andere immer genauere Näherungswerte ableiten. Liegt nämlich X allgemein zwischen zwei Zahlen u und v, daher (nach §. 201, 2) lox X zwischen lox u und lox v, welche letztere bekannt seien, so ist nach K. 200, 4, auch der Logarithmus von v, d. i. von der mittleren geometrischen Proportionale zwischen u und v bekannt. Weil nun v zwischen u und v liegt, so muss X entweder zwischen f/uv und u, oder zwischen nv und v fallen, daher auch Io§ X entweder zwischen loZ f/^uv und lox u, oder zwischen loK f/uv und IvA v liegen. In jedem Falle ist also IvA X zwischen zwei engere Näherungswerte eingeschlossen als früher, und durch eine wiederholte Anwendung dieser Schlussweise können die Werte, zwischen welchen IvS X liegt, so nahe aneinander gerückt werden, als man will. Z. 203. Ausgabe. Von einer gegebenen Zahl den Brigg'schen Logarithmus zu berechnen. 1. Eine Auflösung dieser Aufgabe beruht auf dem in H. 202, 3, unter i>) gegebenen Beweise, nach welchem der Logarithmus einer Zahl zwischen immer engere Näherungswerte eingeschlossen und dadurch so genau, als man will, berechnet werden kann. 120 Es sei z. B. der Logarithmus von 13 zu berechnen. 13 liegt zwischen 10 und 100, loA 13 „ „ IoA 10—1 und IoA 100 — 2; Differenz der Näherungswerte: 2 — 1 — 1. s/"10.100 — 31'6227766 — u, IoA u — 4 (IoZ 10 -ff IoA 100) — 1'5; 13 liegt zwischen 10 und a, IoA 13 „ „ IoK 10 — 1 und IoK s. — 1'5; Differenz der Näherungswerte: 1'5 — 1 — 0'5. -s/^10 u — 17'7827942 — 6, IvK 6 — (IvK 10 -s- IoZ u) — 1'25; 13 liegt zwischen 10 und d, IoZ- 13 „ „ IvA 10 — 1 und IvK 6 — 1'25; Differenz der Näherungswerte: 1'25— 1 — 0-25. Da nun 13 zwischen s und r, und folglich auch IoK 13 zwischen loZ- s und Io§ r liegt, diese beiden Logarithmen aber in den 5 ersten Decimalstellen übereinstimmen, so ist auf 5 Decimalen genau Ic>K 13 — 1'11394. 121 Auf diesem mühsamen Wege berechnete Heinrich Brigg dis Logarithmen der Prim¬ zahlen von 1 bis 20000, und von 90000 bis 100000 mit 14 Decimalstellm, und später Adrian Vlacq die noch fehlenden der Primzahlen von 20000 bis 90000. 2. Einfacher und kürzer ist der nachstehende Rechnungsvorgang: Man berechnet durch wiederholtes Ausziehen der Quadratwurzel 10°» —1/10^ 3-162278, 4 1O°-ss i/iy — i/1/io 1/3 -162278 1 - 778279, 8 4 10» 1/10 1/1/10 1/1-778279 1'333521, IS 8 10°'°°-» i^io l/i/io - 1/1-333521 1-154782, u. s. w., und stellt die Resultate, wie folgt, in eine Tabelle zusammen: Mit Hilfe dieser Tabelle kann nun der Logarithmus jeder Zahl durch bloße Divisionen und eine Addition berechnet werden. Ist z. B. der Logarithmus von 13 zu bestimmen, so dividiere man 13 durch die höchste darin enthaltene ganze Potenz von 10; 13 : 10 1-3. Den Quotienten dividiere man durch die nächstniedrigere, in der Tabelle enthaltene Potenz, den neuen Quotienten wieder durch die nächstniedrigere Potenz, u. s. w. Man erhält 1 - 3 : 10°'°°-» — 1-3:1'154782 — 1 -125754, 1-125754 : 10°'°-"-» — 1-125754 : 1'074608 — 1'047595, 1-047595 : 10°'"°°-» — 1 047595 : 1'036633 — 1 010575, 1-010575 : 10°'°°°°°° — 1 010575 : 1'009035 — 1'001526, 1-001526 : 10° °E — 1 001526 : 1'001125 — 1'000400, 1-000400 : 10°'°°°'-- 1-000400 : 1'000281 1'000119, 1-000119 : 10°'°°°°°' — 1'000119 : 1'000070 — 1'000049, 1'000049 : 10°'°°°°'» — 1'000049 : 1'000035 — 1'000014, 1-000014 : 1O° °°»oo4 — 1-000014 : 1-000009 — 1'000005, 1'000005 : 10°'°°°°°- — 1-000005 : 1'000004 — 1'000001, 122 Hieraus ergibt sich — 10.1()0'°62S 100'0SI2S,1OO'ESSS 100'00Sg0e.1()0'v0v488 , ^oo-vvoiss ^oo-oooosi ^OO'voooiS, K)O'VVV004, K)O'00OV0L und durch Addition der Potenzexponenten von 10 13 — 10"»»^ daher ist auf 5 Decimalen genau 1o§ 13 — 1'11394. Zusatz. Noch kürzere Methoden zur Berechnung der Logarithmen bietet die höhere Analysis. Z. 204. Da im Brigg'schen Systeme mit Ausnahme der dekadischen Einheiten alle übrigen rationalen Zahlen irrationale Logarithmen haben und diese annäherungsweise durch Decimalbrüche dargestellt werden, so besteht ein Briggfcher Logarithmus im allgemeinen aus Ganzen mit angehängten Decimalziffern. Man nennt die im Logarithmus enthaltenen Ganzen die Charakteristik (Kennziffer) des Logarithmus, die anqehänqten Decimalen die Mantisse desselben. Für positive Zahlen, welche kleiner als 1 sind, ist der Logarithmus, also dessen Charakteristik und Mantisse negativ. Negative Mantissen Pflegt man übrigens in der Rechnung zu beseitigen; man führt statt derselben positive Mantissen mit einer negativen Charakteristik ein, indem man den negativen Logarithmus von einer Zahl subtrahiert, die um 1 größer ist als die Charakte¬ ristik, wodurch eine positive Mantisse zum Vorschein kommt, und dann diese um 1 größere Zahl als negative Charakteristik hinter die Mantisse setzt. Z. B. — 2-34 467 r-- 3 — 2-34467 — 3. — 0 65 533 — 3. Z. 205. Die Charakteristik des Brigg'schen Logarithmus einer dekadischen Zahl ist gleich dem Rangexponenten der höchsten Ziffer dieser Zahl. Es sei n der Rangexponent der höchsten Ziffer der Zahl a, wobei v eine ganze positive oder negative Zahl oder auch die Null bezeichnen kann; dann ist a > 10° und a < 10°^, daher loZ s, > n und Ic>K » < n ff- 1. Es ist also Io§ a — o -s- «, wo « positiv und < 1 oder auch Null ist; folglich ist n die Charakteristik des Logarithmus von a. Folgesätze, a) Die Charakteristik des Logarithmus einer Zahl, welche Ganze enthält, ist positiv und um 1 kleiner als die Anzahl der Stellen, welche die . Ganzen einnehmen (H. 67, Folgest 1). 123 b) Die Charakteristik des Logarithmus eines echten Decimalbruches ist negativ und absolut genommen gleich der Anzahl aller Nullen, welche den geltenden Decimalziffern vorangehen, die Null vor dem Decimalpunkte mit¬ gezählt (ß. 176, 1). 8- 206. Wenn man irgend eine Zahl mit einer Potenz von 10 multipliciert oder durch eine Potenz von 10 dividiert, so wird dadurch in ihrem Brigg'schen Logarithmus nur die Cha¬ rakteristik geändert, während die Mantisse dieselbe bleibt. ES ist loZ (a.10") — IvA a -f- Io§ 10" — IoA n fi- m, a — Io§ 10" — 1oK n — in. Es wird also der Logarithmus von a um die ganze Zahl m im ersten Falle vermehrt, im zweiten vermindert, d. h. er erhält eine andere Charakte¬ ristik, während die Mantisse ungeändert bleibt. So ist z. B. IoA 7124 3-85 272; daher lox 712400 — lax 7124 Z- Io§ 100 — 3'85 272 Z- 2 — 5'85 272; Io§ 71-24 — lass 7124— Io§ 100 3'85272 — 2 — 1'85272. Folgesatz. Die Mantisse eines Logarithmus hängt bloß von der Zifsernfolge der Zahl ohne Rücksicht auf deren Rang ab. Logarithmentafeln. ß. 207. Die Logarithmen aller Zahlen von 1 bis 10000 oder von 1 bis 100000, und zwar erstere auf 5 oder 6, letztere auf 7 Decimalen berechnet, hat man in besonderen Tafeln, welche Logarithmentafeln heißen, zusammen¬ gestellt. Diese enthalten nur die Mantissen der Logarithmen, da die Charakte¬ ristik in jedem Falle nach Z. 205 bestimmt werden kann. Mit Hilfe solcher Tafeln findet man durch ein ganz einfaches Verfahren, das in den denselben vorausgeschickten Anleitungen näher angegeben ist, zu jeder Zahl den entsprechenden Logarithmus, und umgekehrt zu jedem gegebenen Logarithmus die zugehörige Zahl*). H. 208: Rechnungsoperationen mit den Brigg'schen Loga¬ rithmen. In Beziehung auf die Rechnungsoperationen mit Logarithmen sind im allgemeinen dieselben Regeln zu beobachten, wie für dekadische Zahlen über¬ haupt; nur hat man dabei noch Folgendes zu berücksichtigen: ») Eine ausführliche Belehmng über die Einrichtung und den Gebrauch solcher Tafeln findet man in der Einleitung zu den von mir herausgebenen fünfstelligen Logarithmentafeln zum Schulgebrauche. Wien, bei Gerold. 124 1. Erhält man beim Addieren der Logarithmen zwei Charakteristiken, eine positive und eine negative, so werden diese in eine einzige zusammen¬ gezogen. Z. B. 3'10 589 2-56 814 0-21 340 — 2 0-08 105 - 4 5-96 848 —6 — 0'96848 — 1. 2. Ist beim Subtrahieren der Minuend kleiner als der Subtrahend, so addiere man, um im Reste eine negative Mantisse zu vermeiden, zu dem Minuend so viele positive Einheiten, dass er größer wird als der Subtrahend, und setze dann auch als Charakteristik des Restes so viele negative Einheiten. Z- B. 4-3 - 3 1 - 45 025 3-57 892 0-87 133 — 3. 3. Wird ein Logarithmus mit negativer Charakteristik mit einer Zahl multipliciert, so muss im Producte die neue negative Charakteristik mit der etwa erhaltenen positiven zusammengezogen werden. Z. B. (0-53 115 — 2) X 5 2-65 575 - 10 ^0-65 575 — 8. 4. Ist ein Logarithmus mit negativer Charakteristik durch eine Zahl zu dividieren, so muss die negative Charakteristik, wenn sie durch diese Zahl nicht theilbar ist, um so viele Einheiten vergrößert werden, dass sie dadurch theilbar wird; eben so viele Einheiten müssen aber dann auch als Ganze zu der positiven Mantisse gesetzt werden. Z. B. (0'41 509 — 7): 5 — (3'41 509 — 10): 5 — 0-68 302 — 2. ß. 209. Anwendung der Brigg'schen Logarithmen. Durch die allgemeinen Sätze, die in Z. 200 entwickelt wurden, ist man imstande, die Multiplikation in eine Addition, die Division in eine Sub¬ traktion, das Potenzieren in eine Multiplikation und das Radicieren in eine Division zu verwandeln. Kommen unter den gegebenen Zahlen negative vor, so betrachtet man sie einstweilen als absolute Zahlen, führt damit die Rechnung durch und bestimmt das Vorzeichen nachträglich in dem gefundenen Resultate. 1. Multiplikation der Zahlen mit Hilfe der Logarithmen. Bestimme das Product aus 1'0954, 0'91567, — 3'1571 und 1'00782. 125 Es ist lox 1-0954 —0-03 957 io^ 0-91567 — 0-96174—1 Io§ 3-1571 ^ 0'49 928 (n) IvK 1-00782 — 0-00 338 IoA des Productes — 0'50 397 — IoA 3'1914; also 1-0954 X 0-91567 X — 3'1571 X 1'00782 — — 3'1914. 2. Division der Zahlen mit Hilfe der Logarithmen. 1) Es soll der Quotient 528 : 737 oder bestimmt werden. -f- 1 — 1 lax 528 - 2-72 263 IvK 737 — 2-86 747 _ 1oK — 0-85 516 — 1, folglich 0'7164. 2) Bestimme den Wert des Bruches x — 87osi' IvA 3-4156 —0-53 347 IoA 4'023 — 0'60 455 — 1'13 802 IoK 1'2378 — 0-09 265 IoZ 5'87091 — 0-76 871 lo^ x — 0'27 666, also x 1-8909. 3. Potenzierung einer Zahl mit Hilfe der Logarithmen. 1) Es soll die 20ste Potenz von 1'025 gesucht werden. Io§ 1-025 0-010724 Io§ (1-025)2° — 0-214480, also (1-025)2° 1-6386. 2) Bestimme 1oA 329 2-51 720 IvA 67 1-82 607 0-69113 X 1'065 5 601 69113 4146g 345k 0-73 605, somit 5'4456. 126 4. Radicierung einer Zahl mit Hilfe der Logarithmen. Es sei die 5te Wurzel aus 10 zu bestimmen. Io§10 — 1-00 000 s ——"- IoK 1/10 — 0-20 000, s also 1/10— 1-5849. ß. 210. Auflösung einfacher Exponentialgleichungen. Man unterscheidet algebraische und transscendente Gleichungen; in den ersteren kommt die Unbekannte nur als Basis einer Potenz, in den letzteren unter einer der Formen s,*, Ic>§ x, sin x, u. dgl. vor. Eine Gleichung von der Form s? — i> heißt insbesondere eine Exponentialgleichung. Die Auflösung der Exponentialgleichungen beruht aus der Anwendung des Satzes: Sind zwei Zahlen einander gleich, so sind auch ihre in Bezug auf dieselbe Basis genommenen Logarithmen einander gleich. 1. Gleichungen von der Form s? — d. Nimmt man von beiden Theilen die Logarithmen, so wird der Exponent x in einen Factor verwandelt; man erhält Ic>§ (s^) — Io§ 1», oder x Ic>K a — IoA 6; daher ist d X ISA s' Um z. B. die Gleichung 5* 37 aufzulösen, hat man X IvA 5 — Io§ 37, und somit „ . ^0N 1 56820 lox 5 0 69897 2. Gleichungen von der Form 1/a — 5. Nimmt man hier beiderseits die Logarithmen, so erhält man ^.loZ s — IvK 1), daher IvK s, — x Io§ b, und Io§ b' So gibt die Gleichung 1/2 — 10 den Wert x — — 0'30103. Fünfter Abschnitt. Gleichungen des Meilen Grades. K. 211. Um eine Gleichung auflösen zu können, muss sie zuerst ans eine solche Form gebracht werden, dass die Unbekannte in keinem Gliede als Nenner oder als Radicand erscheint, dass alle Glieder, welche die Unbekannte enthalten, in dem ersten Theile der Gleichung nach den fallenden Potenzen derselben auf einander folgen, dass endlich der Coefficient der höchsten Potenz der Unbekannten eine ganze positive Zahl ist. Eine so geformte Gleichung heißt geordnet. Das Ordnen der Gleichungen besteht in den Transformationen, welche nach ß. 141 bei der Auflösung der Gleichungen des ersten Grades in An¬ wendung kommen, und wenn die Gleichung irrational ist, in der Wegschaffung der Wurzeln nach Z. 173. Beispiele. 1) x(2x-s-3) —2x 2) 2x —M3^--3 5x(2x-s-3)—(6—3x) — lOx —M.3x — 3 — 2x 10x2 ff- 15x — 6 ff-3x — lOx 3x^9—12x ff-4x° 10x2 ff- 15x ff-3x— 10x —6 3x ff-12x — 4x2 — 9 lOx^ ff- 8x — 6 —ffx^ff- 15x — 9 5x^ 4x — 3. 4x2— 15x — — 9. Bemerkung. Wenn aus einer irrationalen Gleichung die Quadratwurzel durch Erheben zum Quadrate weggeschasft wird, so enthält häufig die neue Gleichung Wurzeln, die der gegebenen nicht angehören. Man hat daher in diesem Falle nachträglich noch zu untersuchen, welche der für die Unbekannte gefundenen Werte die ursprünglich gegebene Gleichung erfüllen. So erhält man in dem Beispiele 2) aus der Gleichung 2x — M3 x — 3 durch Quadrieren die Gleichung 4x2 — 15 x — — 9, welcher die Werte x — 3 und x — genügen; von diesen befriedigt jedoch nur der erste x — 3 die gegebene Gleichung, der Wert x — genügt ihr nicht, gehört dagegen einer andern Gleichung 2x ff- M3x — 3 an, aus welcher nach Wegschaffung der Wurzel dieselbe Gleichung 4x2 — 15 x — — 9 entsteht, wie aus 2x — M3x — 3. 128 K. 212. Der höchste Potenzexponent der Unbekannten in einer geordneten Gleichung bestimmt den Grad derselben. Eine Gleichung, in welcher, nachdem sie geordnet wurde, die höchste Potenz der Unbekannten die zweite ist, heißt eine Gleichung des zweiten Grades oder eine quadratische Gleichung. Ist die höchste Potenz der Unbekannten die dritte, vierte oder eine höhere, so heißt die Gleichung bezüglich vom dritten, vierten oder einem höheren Grade. Wenn in einer Gleichung mehrere Unbekannte vorkommen, so wird der Grad derselben durch die höchste Summe der Potenzexponenten der Unbekannten eines Gliedes in der geordneten Gleichung bestimmt. I. Guadratische Gleichungen mit einer Unbekannten. Z. 213. Die allgemeine Form einer geordneten Gleichung des zweiten Grades ist px^ -st Hx — r, wo p, H, r beliebige bekannte Zahlen darstellen. a) Wird der Coefsicient p von x? gleich 0, so verwandelt sich die qua¬ dratische Gleichung in eine Gleichung des ersten Grades Hx — r und fällt daher hier außer Betracht. st) Wird das von x freie Glied r — 0, so hat man px^ -st hx — 0, oder x (px -st H) — 0. Da ein Product 0 wird, wenn ein Factor 0 ist, so wird die vorstehende Gleichung befriedigt, wenn man entweder x — 0, oder px -st H — 0, d. i. x — — setzt. Der Gleichung genügen also zwei Werte. Dass hier x durch die Division nicht ausgeschieden werden darf, ist schon in Z. 140, 3, bemerkt worden. e) Ist <1 — 0, so wird px^ — r, oder x? — —. Eine solche Gleichung, in welcher die Unbekannte nur in der zweiten Potenz vorkommt, heißt eine reine oder binomische quadratische Gleichung. Allgemein stellt x^ — a eine binomische Gleichung des unten Grades dar. ä) Sind p, H und r sämmtlich von 0 verschieden, so heißt die Gleichung px? -st Hx — r eine gemischte oder vollständige Gleichung des zweiten Grades. Reine quadratische Gleichungen. H. 214. Um eine reine quadratische Gleichung x? — st aufzulösen, darf man nur aus beiden Theilen die Quadratwurzel ausziehen; man erhält x -st I/st. 129 Eine reine quadratische Gleichung hat also zwei entgegengesetzte Wurzeln; ist b positiv, so sind diese reell; ist t> negativ, so sind sie imaginär. Zu demselben Resultate gelangt man auch, wenn man die gegebene Gleichung auf die Form x° - 5 — 0, oder x? — — 0, oder (x — ss/b) (x -j- f/b) — 0 bringt. Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man entweder x —- — 0, d. i. x — ^/d, oder x — 0, d. i. x — — 1/l> setzt. Beispiele. x" — 9, x^ 15, x'^ — 7, x — ^9 — 3. x — A- ^15. x — Gemischte quadratische Gleichungen. Z. 215. Die allgemeine Form einer geordneten gemischten Gleichung des zweiten Grades ist px^ -i- HX — r oder, wenn man beide Theile der Gleichung durch p dividiert, x^ -st X — x n Setzt man — a und — — k, so erhält man als Normalform, von der bei der Auflösung immer auszugehen sein wird, x^ -st ax — 5. Um eine in der Normalform gegebene quadratische Gleichung aufzu¬ lösen, wird man zunächst den ersten Theil zu dem vollständigen Quadrate eines Binoms ergänzen. Betrachtet man x^ als das Quadrat des ersten Gliedes, somit x als das erste Glied, ferner ax oder 2.x.-^- als das doppelte Product beider Glieder, so ist das zweite Glied, und es fehlt, damit das Quadrat des Binoms x -st vollständig werde, noch das Quadrat Addiert man daher zu beiden Theilen der Gleichung so ergibt sich »2 -> 2 x^ -st ax -i—— -4—st 5, oder und wenn man aus beiden Theilen die Quadratwurzel auszieht, Moönik, Arithmetil und Algebra. 9 130 Hiernach hat auch jede gemischte quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Dieselben sind 3,2 , . reell und ungleich, wenn der Ausdruck 4- 5 Positiv, reell und gleich, wenn dieser Ausdruck Null, complex und conjugiert, wenn derselbe negativ ist. Beispiele. 1) x? — 6x — 7 3-^9 —6xch-3-^7 si- 9 (x — 32 — 16 x — 3 — j/16 x — 3 — 4 x — 3 4 x — 7, oder x — — 1. 2) x'4-7x^ —12 49^ 12/ 4 X 4- 7 --- -t- 7,1 X — — 3, oder X — — 4. Z. 216. Anstatt zur Auflösung einer gemischten quadratischen Gleichung in jedem besonderen Falle die in Z. 215 durchgeführte vollständige Entwicklung zu wiederholen, kann man die Wurzeln auch sogleich aus der allgemeinen Formel ableiten. Dieselbe enthält den Satz: In einer auf die Normalform gebrachten gemischten qua¬ dratischen Gleichung ist die Unbekannte gleich dem halben Coeffi- cienten der erstenPotenz der Unbekannten mit entgegengesetztem Vorzeichen, vermehrt oder vermindert um die Quadratwurzel aus der algebraischen Summe des Quadrates dieses halben Coefficienten und des von der Unbekannten freien Gliedes. Beispiele. 1) r? — 6x 16. x ^3-l-l/9-i-16 — 3^ 1^25 — 3 -U 5; x —3-j-5 — 8, oder x — 3 — 5 — — 2. 2) x? — 10 x — — 25. x —5^1/25 — 25 — 5U-0 — 5. Die Gleichung hat zwei gleiche Wurzeln x — 5. 3) x? — 2x 4- 2 — 0; in der Normalform x? — 2x — — 2. x — 1 — 1 iN 131 Zusatz. Sind in der allgemeinen quadratischen Gleichung x--stux —st die bekannten Zahlen u und st irrational, z. B. u — und st — 1/8, so dass die Gleichung die Form -st ^I.x -- 1^8 annimmt, so erhält man Bei allen Gleichungen dieser Art kommt man aus einen Ausdruck von der Form f/cz. Wie ein solcher Ausdruck bestimmt, d. i. wie aus einem irrationalen Binom die Quadratwurzel ausgezogen wird, ist in Z. 172 gezeigt worden. Beziehungen zwischen den bekannten Zahlen einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln. Z. 217. Jede geordnete quadratische Gleichung erhält, wenn man das von x freie Glied in den ersten Theil überträgt, die Form x° -st ^.x -st 8 -- 0 und heißt dann auf Null reduciert. Man nennt in diesem Falle den ersten Theil x? -st x -st 8 das Gleichungstrinom. Ist m eine Wurzel der Gleichung x^-st^x-stL — 0, so heißt x — m ein Wurzelfactor derselben. 1. Das Gleichungstrinom einer jeden quadratischen Glei¬ chung ist durch ihren Wurzelsactor theilbar. Es ist (x" -st ^x -st 8): (x — m) — x -st -st m) x? — mx — -st (^. -st m) X -st 8 (^. -st m) x — m — u? — -st Rest — m- -st -st 8. Da m eine Wurzel der vorgelegten Gleichung ist, also für x in das Trinom x? -st ^.x -st 8 substituiert, dieses auf Null reduciert, so ist der frühere Rest ust -st ^.va -st 8 — 0, und daher (x? -st ^x -st 8): (x — ru) — x -st -st m). 2. Jede quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln. Setzt man in dem obigen Ausdrucke (x? -st ^x -st 8) : (x — m) — x -st (Z. -st w) -st m — — u, so wird 9* 132 (x^ -st x -st 8): (x — m) — x — n, folglich X.2 -st X -st 8 — (x — m) (x — n). Da nun der Ausdruck x2 -st ^x -st 8 nicht nur für x — w, sondern auch für x — u in Null übergeht, so ist nicht nur m, sondern auch n eine Wurzel der Gleichung x2 -st ^.x -st 8 — 0. 3. Die Gleichung x2 -st x -st 8 — (x — m) (x — n) liefert ferner den Satz: Das Gleichungstrinom einer jeden quadratischen Gleichung ist gleich dem Products ihrer Wurzelfactoren. 4. Aus derselben Gleichung ergibt sich x'^ -st .4.x -st 8 — x^ — (m -st u) x -st (— m. — u), folglich — — m — n und 8 — — m.— u. Der Coefficient des zweiten Gliedes ist also gleich der Summe, und das dritte, von der Unbekannten freie Glied dem Products aus den entgegengesetzt genommenen Wurzeln. H. 218. Folgerungen: I. Eine auf Null reducierte quadratische Gleichung kann oft sehr einfach durch Zerlegung des Gleichungstrinoms in zwei binomische Factoren aufgelöst werden. Z. B. 4x^-23x-st 15^0. Da 4x2 — 23x -s- 15 4x2 — 20x — 3x -st 15) — 4x (x — 5) — 3 (x — 5) — (4x — 3) (x — 5) ist, so wird die gegebene Gleichung befriedigt, wenn man entweder 4x — 3 — 0 oder x — 5 — 0 setzt. Die Gleichung hat also die zwei Wurzeln x — und x — 5. 2. Wenn man in einer auf Null reducierten quadratischen Gleichung das von x freie Glied in zwei Factoren zerlegen kann, welche den Coefficienten von x zur Summe geben, so erhält man durch die Zeichenänderung derselben sofort die beiden Wurzeln der Gleichung. Z. B. An der Gleichung x2 — 5x -st 6 — 0 erkennt man auf den ersten Blick, dass -st 6 das Product der Zahlen — 2 und — 3 ist, welche — 5 zur Summe geben; die beiden Zahlen entgegengesetzt genommen, nämlich -st 2 und -st 3, sind also Wurzeln der vorgelegten Gleichung. 3. Mit Beachtung des Satzes 4. in H. 217 lässt sich aus den Vor¬ zeichen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung auch aus die Vorzeichen ihrer Glieder und umgekehrt aus den Vorzeichen der letzteren auf jene der ersteren schließen. 4. Aus x?-st ^x-st 8 — (x— m) (x — n) ergibt sich: Sind die Wurzeln m und n der Gleichung x2-st^x-st8 — 0 reell, so wird der Ausdruck x^ -st ^.x -st 8 für jeden Wert von x, welcher zwischen m und n liegt, negativ, dagegen für jeden Wert von x, welcher größer als die größere, oder kleiner als die kleinere beider Wurzeln ist, positiv. Sind aber die 133 Wurzeln der obigen Gleichung imaginär, etwa p -j- Z. B. Der Gleichung xst — 27 — 0, welche sich auch so darstellen lässt: (x — 3) (x? st- 3 x st- 9) — 0, wird genüge geleistet, wenn man x — 3 — 0, oder wenn man x^st-3xst-9 — 0 setzt. Dadurch ergeben sich die drei Wurzelwerte x — 3, x — i (— 1 st- sZ— 3), x — 1 — sZ— 3). d) Die binomische Gleichung des vierten Grades x^ — a — 0 oder (x^ — s/a) (x^ st- s/a) — 0 wird durch x? — s/a — 0 und x^ st- IZa — 0 befriedigt; sie hat somit die Wurzeln X — U: sZ s/a und X — Un ^z—a. Z. B. Die Gleichung x^ st- 1 — 0 oder x^ — (sZ—1)? — (x^ — sZ—1) (x^ st- sZ— 1) — 0 hat folgende vier Wurzeln: x — "j/ sZ— 1 — (1 st- sZ— 1) und x — ^/— ^Z^l — u- (1 — jZ—1). Gleichungen von der Form x^ st- ax^ — 1>. 8- 221. Höhere Gleichungen, welche nur zwei Potenzen der Unbekannten von solcher Beschaffenheit enthalten, dass der eine Potenzexponent das Doppelte des andern ist, lassen sich immer auf quadratische zurückführen; man darf nur die niedrigere Potenz durch eine neue Unbekannte ausdrücken. 135 a) Um die Gleichung -st ax^ — b aufzulösen, setze man x" — / folglich x^" — dann hat man /' -st a/ — und daher Wird nun statt / wieder der Wert x" restituiert, so ist -st st somit, wenn man aus beiden Theilen die mte Wurzel auszieht, Z. B. x' —13x'-st36 —0. Setzt man x' — /, so hat man /' — 13/ -st 36 — 0, welche Gleichung 2 4 2^2' also / — 9 oder / — 4 gibt. Man hat daher, da x 1// ist, x — 1/9 — rt: 3, oder x — 1/4 — 2. d) Ist die Gleichung (x?° -st -st -st a (x'° -st px° -st — d aufzulösen, so setze man (x?° -st p x° -st -s- x^-i -f- a» -s- .. ^ Uz— b-ix 1 — 0. Eine reciproke Gleichung hat die Eigenschaft, dass der reciproke Wert jeder ihrer Wurzeln ebenfalls Wurzel der Gleichung ist. Hat z. B. die reciproke Gleichung x^-s-ax^fi-dx^-s-ax-j-l — 0 die Wurzel v, ist also -j- a -s- d-s- av -j- 1 — 0, so ist auch eine Wurzel der Gleichung. Denn durch die Substitution x — -- erhält der erste Theil der gegebenen Gleichung den Wert -s- k.^2 -s- -s- 1 — (1 -s- -s- 6 v? -s- a -s- ^), welcher Wert ebenfalls — 0 ist. Jede reciproke Gleichung, welche nicht den fünften Grad übersteigt, lässt sich auf quadratische Gleichungen zurückführen. a) Das Polynom einer reciproken Gleichung des dritten Grades x^ -s- ax? ax 10 lässt sich in zwei Factoren zerlegen, von denen der eine bezüglich x rll: 1 und der andere das Trinom einer quadratischen Gleichung ist. Vereinigt man z. B. in der Gleichung x^ -s- ax? -s- ax -s- 1 — 0, die Glieder, welche dieselben Coefficienten haben, so erhält man (x° -s- 1)-s-ax (x -s- 1) — 0, oder, da x- -s- 1 — (x fi- 1) (x? — x -s- 1) ist, (x -s- 1) (x" — x -f- 1 -fi- ux) --- 0. Dieser Gleichung wird genüge geleistet, wenn man entweder x -s- 1 — 0 oder x° -t- (a — 1) x -s- 1 — 0 setzt, wodurch man drei Wurzelwerte erhält. Auf gleiche Weise geschieht die Auflösung der Gleichung x^ fi- NX? — ax — 1 — 0. 137 d) Es sei die reciproke Gleichung des vierten Grades x^ ÄX^ -s- l)x^ -s- ÄX -s- 1 — 0, in welcher dieselben Coefficienten gleiche Vorzeichen haben. Dividiert man durch x? und vereinigt dann die Glieder mit denselben Coefficienten, so erhält man (x? fi- a (x -j- -j- b -i- 0. Setzt man nun x -s- so ist x? -s- 2 -s- glsg x^ -s- — 2, folglich durch Substitution in der obigen Gleichung 2 -j- -s- 1> — 0, und ^-^2. Wird jeder dieser Werte in die Gleichung x-s--^- — eingesetzt, so erhält man, da diese Gleichung in Beziehung auf x vom zweiten Grade ist, für jeden Wert von v zwei Werte für x, also im ganzen vier Wurzeln für die vorgelegte Gleichung. o) Das Polynom der reciproken Gleichung des vierten Grades x^ -s- ax^ — LX — 1 — 0, in welchem dieselben Coefficienten entgegengesetzte Vorzeichen haben, lässt sich in zwei Factoren zerlegen, von denen der eine x" — 1, der andere das Trinom einer quadratischen Gleichung ist. Die obige Gleichung lässt sich zunächst so darstellen: (x^ — 1) -s- ax (x? — 1) — 0. Nun ist x^ — 1 (x^ -s- 1) (x° — 1); man hat also (x? — 1) (x? -l- 1 -s- ax) — 0. Setzt man x?-1 —O,soerhältman x —1; setzt manx^-s-1 -s- ax-0, so ergibt sich — 2 it: 2^ — 4 2 Die Gleichung hat also vier Wurzeln. ä) Jede reciproke Gleichung des fünften Grades x° -s- LX^ -s- l)x^ dx? LX 1 — 0 kann auf zwei Gleichungen zurückgeführt werden, von denen die eine x 1 — 0 und die andere eine reciproke Gleichung des vierten Grades ist, in welcher dieselben Coefficienten gleiche Vorzeichen haben. Die erste gibt bezüglich x — 1 oder x — -s- 1, die zweite wird nach d aufgelöst und gibt vier Wurzeln. Exponentialgleichungen. ß. 223. Diese werden mit Hilfe der Logarithmen aufgelöst. a) Gleichungen von der Form -s- pa* — q. 138 Setzt man s? — so erhält man 7' 4- — g, also z, >/^ ^- q, °"d d»h«r lox s. Z. B. 4^ -st 5.4^ — 36 gibt für 4? — ^, 4- 5^ — 36, woraus — 4- — 4 und — 4^ — — 9 folgt; somit x — 1. Der andere Wert x — gibt keine reelle Auflösung. X 2x k) Gleichungen von der Form I/a-stpI^a — g. 2x Für I/a — v wird -st P)" — 9, folglich ^--l/s,-— D-U- 4- c;, und daher x — ,_ 2 1°^- X 2x 2x Z. B. Aus 51/64 — 6 f/64 — 8 erhält man für 1/64 — . 4, los 64 6 tos 2 o v^ — 6v — 8, daher v — 2 oder —-und x — — 3. 5' 2 WZ 2 2 tox 2 Der zweite Wert von X ist nicht reell. III. Huadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Z. 224. Enthält eine quadratische Gleichung mehrere Unbekannte, so lassen sich diese, wie bei den Gleichungen des ersten Grades, nur dann bestimmt an¬ geben, wenn so viele von einander unabhängige und einander nicht widersprechende Gleichungen vorhanden sind, als Unbekannte bestimmt werden sollen. Die Auf¬ lösung geschieht auch hier nach den in Z. 143 angegebenen Eliminationsmethoden, durch welche man schließlich anfeine einzige Gleichung mit einer Unbekannten kommt. Die Endgleichung übersteigt jedoch häufig den zweiten Grad und kann dann nach den bisher vorgetragenen Lehren nicht gelöst werden. Beispiele. ) X — d nach der Comparationsmethode. Aus diesen zwei Gleichungen folgt: x — daher a — oder geordnet x — — az? — — U, woraus sich 7 — d, und somit x — k ergibt. 139 nach der Substitutionsmethode. x? — 64 25 Man könnte hier mit Rücksicht auf Z. 217, 4, auch so schließen: Wenn zwischen zwei Größen x und 7 die beiden Gleichungen x -st — a x^ — d gegeben sind, so sind x und die Wurzeln der Gleichung x2 — sx -st b — 0 2) x -7 7 x- -st- 2^2 118 Wird der Ausdruck x — -st 7, welches aus der ersten Gleichung folgt, in die zweite substituiert, so hat man -st 7)2 -st 2 ^2 — 118, oder geordnet -- welcher Gleichung die Wurzeln — 3 und entsprechen. Werden diese Werte von / in den Ausdruck x — -st- 7 substituiert, so erhält man x — 10, oder x — — 3) — 89 1 X? Zg i nach der Methode der gleichen Coefficienten. Durch Addition und Subtraction dieser Gleichungen erhält man 2x2 128 2^ -- 50 Z. 225. Einfacher und sicherer, als nach den gewöhnlichen Eliminations¬ methoden, erfolgt in vielen Fällen die Auflösung durch geschickte Verbindung und Zerlegung der gegebenen Gleichungen, und insbesondere durch zweckmäßige Einführung neuer Unbekannten. Man sucht zunächst die Summe, Differenz, das Product oder den Quotienten der Unbekannten und entwickelt dann erst aus diesen Größen die Werte der Unbekannten selbst. Bei symmetrischen, d. i. solchen Gleichungen, welche unverändert bleiben, wenn in denselben zwei Unbekannte x und gegen einander vertauscht werden, führt meistens die Substitution — ix zum Ziele. Durch Anwendung dieser Vortheile lassen sich auch einige höhere Gleichungen mit zwei Unbekannten anflösen. Beispiele. 1) X^ -s- ^2 — g,. — b. Multipliciert man die zweite Gleichung mit 2, und verbindet die neue Gleichung mit der ersten durch Addition und durch Subtraction, so erhält man (x -s- ^)2 — a -s- 2b, daher x-st^ — ^^a-st2b, (x — ^)2 — g. — 2b; x — — — 2b; folglich x — -i- (j/a -st- 2b -st- — 2b), (1^ a -st 2 b — — 2b). Dieselben Werte von x und x- Gleichungen — tx substituiert. erhält man auch, wenn man in den gegebenen 140 2) — s.7, 4- — irx. Bringt man die Gleichungen auf die Form (x 4- 7) — a, und (x -i- l) k, so erhält man durch Multiplikation und Division (x 4- — »d und daher (x-s-^ — 4r^ad und — 4: woraus sich X ^4bs^b L — b L— b o Löse die beiden Gleichungen auch durch die Substitution 7 — tx auf. 3) x^ — a, X2 — b, ^2 — o. Multipliciert man die ersten zwei Gleichungen mit einander und dividiert das Product durch die dritte, so erhält man x? — daher x — 4: Auf ähnliche Art findet man ,»/^ad , I /"bc V' 4) Xzrfi-X2 — a, x^4-^2 — 1), X2 4" ^2 — o. Setzt man x^ — x", X2 — ^2 — 2^, so hat man x' 4- — L, x' 4- 2' L- b, 4- 2^ -- 0. Daraus folgt a-t-b — c , 2-4 e— b , b 4-0 — 2 X -- X7 -—2- ; 7 2 -2-; 2^ 72 — —2-; ' dann erhält man, wie in 3), « /° (» 4- b — e) (s e — b) " 2(d4-°-ch V — -4 1/^ (L-i-b —e) (b4-e —L) 2(2-40—b) ' 2 — 4: l (2 4-° — b) (b-4 e 2(a-4b-o) Sechster Abschnitt. Unbestimmte Gleichungen. I. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades. Z. 226. Aührt eine Aufgabe auf weniger Gleichungen, als Unbekannte zu bestimmen sind, so kann man durch wiederholtes Eliminieren der Unbekannten immer zuletzt eine einzige Gleichung mit zwei oder mehreren Unbekannten erhalten. Wird aus dieser Gleichung die eine Unbekannte durch die übrigen ausgedrückt, so kann man für diese letzteren unendlich viele verschiedene Werte setzen, und erhält dann auch für die erste Unbekannte unendlich viele Werte. Eine solche Gleichung ist daher unbestimmt. Häufig wird bei derlei Aufgaben die Zahl der Auflösungen durch die Forderung beschränkt, dass die Werte der Unbekannten ganze, oder ganze und zugleich positive Zahlen sein sollen. In diesem Falle heißt die Aufgabe eine Diophantische. Auflösung in ganzen Zahlen. Z. 227. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades lässt keine Auflösung in ganzen Zahlen zu, wenn die Co efficienten der Unbekannten einen gemeinsamen Factor haben, durch welchen das bekannte Glied nicht theilbar ist. Beweis. Es sei die auf die einfachste Form gebrachte Gleichung ax -s- — o, wo a, d, o beliebige ganze Zahlen darstellen. Haben a und l> das gemein¬ same Maß m, durch welches o nicht theilbar ist, so hat man ^-.x -s- Da nun und ganze Zahlen sind, so können nicht zugleich x und ganze Zahlen sein, weil sonst auch -^-.x -s- folglich auch eine ganze Zahl wäre, was gegen die Voraussetzung ist. K. 228. Eine Gleichung des ersten Grades mit zwei Unbe¬ kannten, deren Coefficienten relative Primzahlen sind, hat unendlich viele Auflösungen in ganzen Zahlen. 142 Beweis. 1. Die Gleichung ax 4- — e, wo a und d relativ prim sind und a als positiv vorausgesetzt werden kann, lässt immer eine Auflösung in ganzen Zahlen zu. Denn substituiert man in den aus dieser Gleichung folgenden Ausdruck <-— x —- a für nach und nach die a Werte 0, 1, 2, 3,... a — 1 und dividiert die dadurch sich ergebenden a Werte von o — durch a, so müssen die dabei erscheinenden Divisionsreste sämmtlich verschieden ausfallen. Sind nämlich m und u zwei von den Zahlen 0, 1, 2... a — 1, und würden o — loru und o — du durch a dividiert denselben Rest r geben, so dass o — bm — acz-s-r und o — bu — ae^-s-r wäre, so erhielte man, wenn man beide Gleichungen subtrahiert, b (m — u) — a (^ — 1 —"2 5 — — «2 -s- Uz; Uz „ Uz — 1— 5llg. Hieraus ergibt sich durch allmähliche Substitution Ul — — 1 -st 5u. -j- Uz — 1 -j- 6 Uz, — 1-stl - 6Uz-st1 - 5 Uz— 3 - 11 Uz, x — 9 — 6 22 Uz — 1 -st 6 Uz — 2 -st 28 u«, wo Uz jede beliebige ganze Zahl sein kann. Zusatz. Die Methode von Lagrange, eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades mit Hilfe der Kettenbrüche in ganzen Zahlen aufzulösen, wird weiter unten (K. 248) angeführt werden. Z. 23V. 1. Um ein System von zwei Gleichungen mit drei Unbekannten in ganzen Zahlen aufzulösen, leitet mau aus demselben durch Elimination eine Gleichung mit zwei Unbekannten ab und löst dieselbe nach einer der in K. 229 angeführten Methoden auf. Substituiert man dann die gefundenen allgemeinen Werte dieser beiden Unbekannten in eine der Glei¬ chungen, welche auch die dritte Unbekannte enthalten, und löst dieselbe als eine zweite unbestimmte Gleichung auf, so ergeben sich zuletzt die zusammen¬ gehörigen Ausdrücke für alle drei Unbekannten. 2. Um eine unbestimmte Gleichung mit mehr als zwei Unbe¬ kannten in ganzen Zahlen aufzulösen, wendet man die in ß. 229 unter II. Mo knik, Arithmetik und Algebra. 10 146 entwickelte Reductionsmethode an. Man kommt auch hier zuletzt immer auf eine Gleichung, in welcher die eine Unbekannte 1 zum Coefficienten hat, und erhält dann durch gehörige Substitution die allgemeinen Ausdrücke für die Unbekannten der gegebenen Gleichung, in denen jedoch meist mehrere Hilfs- Unbekannte erscheinen. Auslösung in ganzen und positiven Zahlen. tz. 231. Die Gleichung ax -j- lo^ — o hat eine begrenzte, die Gleichung ax — — o eine unbegrenzte Anzahl von Auf¬ lösungen in ganzen positiven Zahlen. Beweis. 1. Zur Auslösung der Gleichung ax -j- d)" — e in ganzen Zahlen hat man die Formeln x — « — l>u, st- au. Sollen nun x und positiv sein, so muss « — Ku > 0 und /1 st- au > 0, also u -< -7- und u >- b L sein. Man erhält daher nur für solche ganze Werte von u, welche zwischen den Grenzen und — liegen, ganze und positive Werte von x und ) . 2. Der Gleichung ax — Kv — o genügen die ganzen Werte x — « st- Ku, / — O st- au. Damit x und )- positiv seien, muss «st- Ku > 0 und st st- au > 0, also u > — und u > — — b s sein. Da es unendlich viele ganze Werte von n gibt, welche > — nnd zugleich > — sind, so können auch x und unendlich viele ganze und positive Werte haben. tz. 232. Aufgabe. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades in ganzen positiven Zahlen aufzulösen. Man stellt zuerst die allgemeine Lösung in ganzen Zahlen auf und beschränkt dann die noch willkürlichen Werte für die Hilfs-Unbekannte so, dass die Ausdrücke für die Unbekannten der gegebenen Gleichung positiv werden. Beispiele. 1) Es soll die Gleichung 13x -j- 19^ — 356 in ganzen positiven Zahlen aufgelöst werden. Zur Auflösung in ganzen Zahlen erhält man x — 42 —- 19u, — 10 st- 13 u. Damit nun x und )' positiv seien, muss 42 — 19u > 0, also u < und — 10 -j- 13u > 0, also u > sein. 147 Für ir können daher nur ganze Werte zwischen den Grenzen und somit nur die zweite Werte u — 1 und u — 2 gesetzt werden. Die Gleichung lässt also zwei Auflösungen in ganzen und positiven Zahlen zu: für n — 1 wird x — 23, — 3; „ u — 2 „ x — 4, — 16. 2) Man löse die Gleichung 13x -s- 17)' — 77 in ganzen und positiven Zahlen auf. Die Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst gibt — 17u, / — 3 -s- 13u. Damit 2 — 17u > 0 und 3 -s- 13u > 0 werde, muss u < und u > — sein. Da man für u nur ganze Zahlen, die Null mitgerechnet, setzen darf, so kann die einzige Substitution u — 0 für x und v ganze und positive Werte geben; man erhält dafür x — 2 und ) — 3. 3) Die Gleichung 7x —17^ — 50 in ganzen positiven Zahlen auf¬ zulösen. Die ganzen Werte von x und enthalten die Formeln x — 17u Z- 12 und )i — 7u -s- 2, aus denen man sogleich erkennt, dass für u keine negativen Werte, dagegen 0 und alle positiven ganzen Zahlen gesetzt werden dürfen. Die Aufgabe hat unendlich viele Auslösungen; 4) Der Bruch soll als Summe zweier Brüche dargestellt werden, deren Nenner 7 und 11 sind. Heißen x und )- die Zähler der gesuchten Brüche, so hat man oder 11 x -s- 7)- 230. 7 ' II 77' ' Diese Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst gibt x — 5 —- 7u, — 25 -i- 11 u. Damit 5 — 7u > 0 und 25 -s- 11u > 0 werde, muss u < L und ii > — gesetzt werden. Diesen Bedingungen entsprechen für u nur die drei Werte 0, — 1, — 2. Man hat daher für ii — 0 ...x— 5, )i — 25; „ ii — — 1.. -x — 12, — 14; „ n — — 2...x 19, 3. Die gesuchten Brüche sind demnach und oder und oder und io* 148 Damit nun x und ganze positive Zahlen seien, muss zunächst ä durch Lx -s- O theilbar sein; man zerlegt daher cl in alle seine Factoren, nimmt II. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades. K. 233. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten ist Ax? -s- 8x^ -s- 0/' -s- vx Z- 8^ -s- 8 — 0. Dabei sind zwei Hauptfälle zu unterscheiden: entweder kommt die eine Unbekannte, z. B. 7, nur in der ersten Potenz, oder es kommen beide Unbekannten in der zweiten Potenz vor. Im ersten Falle erhält man für einen von x abhängigen Ausdruck in rationaler, im zweiten in irrationaler Form. In beiden Fällen genügen der Gleichung unendlich viele Werte von x und die Zahl der Auflösungen wird jedoch gewöhnlich durch die Bedingung beschränkt, dass für quadratische Gleichungen, in denen die eine Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommt, x und ganze positive, für Gleichungen dagegen, in denen x und in der zweiten Potenz vorkommen, dieselben überhaupt ratio¬ nale Zahlen sein sollen. Die Schwierigkeiten bei der Lösung der unbestimmten Gleichungen des zweiten Grades sind ungleich größer und mannigfaltiger, als bei den unbe¬ stimmten Gleichungen des ersten Grades. Hier sollen nur die wichtigeren hieher gehörigen Aufgaben untersucht werden. Z. 234. Aufgabe. Eine quadratische Gleichung mit zwei Un¬ bekannten, von denen die eine nur in der ersten Potenz vor¬ kommt, in ganzen positiven Zahlen aufzulösen. Kommt nur in der ersten Potenz vor, so hat die quadratische Gleichung zwischen x und die Form Ax? -s- 8x7 -s- Ox -s- 87 -s- 8 0, wo A, L, O, I) und 8 als ganze Zahlen, und überdies die Coefficienten der Unbekannten als relative Primzahlen (Z. 228) anzunehmen seien. Löst man die Gleichung nach auf, so folgt ^x2— Ox —L oder, wennman wirklich dividiert, bis der Rest kein x mehr enthält, ein Ausdruck von der Form mx -s- u-s- Sind m, u, p Brüche, so erhält man durch Multiplication mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner eine Gleichung von der Form 149 für x nur solche ganze positive Werte, für welche Lx fi-v ein Factor von ä ist, und wählt dann von diesen Werten selbst nur diejenigen, für welche auch positiv wird. Beispiel. Es sei 2x^ -s- 3x^ — 4x — 2^ — 20 — 0 in ganzen posi¬ tiven Zahlen aufzulösen. Man erhält 1S6 - — — 2x2 4x 20 — 2 U- 8 > -g- . 3x —2 3 X N- "9" 3x—2' daher 9^ - 6x 8 Z- Nun sucht man alle Factoren von 196 (K. 83, Zusatz) und setzt 3x - 2 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196, daher x — 1, 4, 2, 3, 5^, 10, 17, -4°, 66. In )- — —ist der Nenner für jeden ganzen positiven Wert von x positiv; damit auch der Zähler positiv werde, darf man für x nur solche ganze positive Werte setzen, welche kleiner als 5 sind. Von den obigen Werten von x sind demnach nur 1, 2, 3 brauchbar, und man findet drei Auflösungen in ganzen positiven Zahlen: x — 1, 2, 3; X — 22, 5, 2. Z. 235. Aufgabe. Eine quadratische Gleichung mit zwei Un¬ bekannten, von denen eine nur in der zweiten Potenz vorkommt, in rationalen Zahlen aufzulösen. Die allgemeine Form einer solchen Gleichung ist ^2 — -j- lrx fi- o. Die Auflösung soll hier nur für einige einfachere Fälle gezeigt werden. 1. Es sei a — rc? ein vollständiges Quadrat. Man setze / — s/m^x? fi-bxfi-o — mx-j-p, also m^x^ -j- 6x fi- o — m^x? -s- 2mpx -s- pfi ^2 _ L woraus x — — b — 2mp folgt, wo p eine beliebige rationale Zahl bedeutet. Hiernach wird MXfi- p p bp-mp2 -^ rational. ^2 Z Ist z. B. — ,^9x^ Z- 5x -s- 3, so erhält man x — 1— und -, wo mau für x^jede beliebige ^rationale Zahl, p — ausgenommen, setzen kann. Für p — 1 wird x — 2 und — 7. 150 2. Es sei o — n? ein vollständiges Quadrat. Man setze — s/ g,x? -ststx -stu? — p x -st n, also nx? -st stx -st u? — p?x? -st 2uxx -st n? 2np — d . I nx2 — bp-stLil Woraus x — —-—— und v — px -st u — —-Z- a — - A — p- folgt, wo x irgend eine rationale Zahl bedeutet. 3. Es lasse sich der Ausdruck nx? -st kx -st o in zwei rationale Factoren zerlegen, was nach Z. 219, 2, erfüllt wird, wenn die Gleichung ax^-ststx-sto — 0 rationale Wurzeln hat. Sind : a den Quotienten mit dem Reste r„ u : „ ,, i i -b —_> i 12 ß. 239. Ausgabe. Einen endlichen Kettenbruch in einen ge¬ meinen Bruch zu verwandeln. Man vereinige das letzte Glied des Kettenbruches mit dem Nenner des vorletzten zu einem unechten Bruche und dividiere dadurch den Zähler 1 dieses vorletzten Gliedes; den erhaltenen Bruch vereinige man wieder mit dem Nenner des vorhergehenden Gliedes und dividiere dadurch den Zähler 1 desselben, und setze dieses Verfahren bis zum ersten Gliede fort. Z- B. > i i — Man rechnet: 8 I- -1. — 41- A —. — 128. A- __ As.. 5 5 ' 41 41' o 41 12K 128' 5 Dl" . . -4^ 553. _ 128 128 — 128' 553 "" 553' 153 Näherungsbrüche und ihre Eigenschaften. K. 240. Bricht man einen Kettenbruch bei irgend einem Gliede ab und verwandelt den bis dahin reichenden Kettenbruch mit Vernachlässigung der folgenden Glieder in einen gemeinen Bruch, so heißt dieser ein Näherungs¬ bruch des ganzen Ketteubruches, und zwar der erste, zweite, dritte..., je nachdem man nur das erste, oder die ersten zwei, drei, .... Glieder in Anspruch nimmt. Bezeichnet man für den Kettenbruch ' - > 4t st- - - die auf einander folgenden Näherungsbrüche durch , so ist Ni - 4i ' ^2 -'n st- Ng- " Z- u. s. w. 4s Bei einem endlichen Kettenbruche stellt der letzte Näherungsbruch zugleich den Erzeugungsbruch selbst dar. K. 241. Der Zähler eines Näherungsbruches (vom dritten an) ist gleich dem Producte aus dem Zähler des vorhergehenden Näherungsbruches und dem Nenner des neu hinzukommenden Gliedes, vermehrt um den Zähler des zweitvorhergeheuden Näherungsbruches; ebenso ist der Nenner eines Näherungs¬ bruches gleich dem Producte aus dem Nenner des vorhergehenden Näherungsbruches und dem Nenner des neu zugezogenen Gliedes, vermehrt um den Nenner des zweitvorhergehenden Näherungs¬ bruches. Beweis. Für die ersten Näherungsbrüche erhält man: 4? 2,^ 1, q,. 2g «s 2g — 1 ^g — 4i st- — .p. st.,, daher 4i „ 4i 4s st^ 4i 4s st^ 4s - 4r 2z ^is st- ^st--^--1 > 4s 4-4g st-1 4-4-st-1 4s 1_ 4s 4g st- 1 4s 4g st- 1 4i 4s 4s st- 4i st- 4s 4i 4s 4s st- 4: st- 4s (4i 4s st- l) 4s st- 4i 4s 4g st- 1 oder daher 2, — 2. st- 2„ 1s st- "s ^2 4s st-"l woraus hervorgeht, dass das obige Gesetz für den dritten Näherungsbruch richtig ist. 154 Gesetzt nun, dasselbe Gesetz gelte für den uten Näherungsbruch, so dass —1 Ofn -s- —2 —1 —2 sei. Um aus dem uten Näherungsbruche den (u -s- 1)ten zu erhalten, darf mau mit Rücksicht auf die Glieder des Kettenbruches, welche zu und gehören, nur in dem ersteren -s- statt cz» setzen. Man erhält dann 2«^ i 1-^.1 " 2a—i (t^ll ljn.j-I -j- 1) -j- 2» —2 Un-j-i l > „ ^n-1 (in -I114.I -1- 1)L e—11 u» u-1 -j- L _ (2ii—I Ull 4- 2-1-s) czu^i -s- 2ll—1 - (^°-i 1° -l- N°-s) 4--I-1 4- ' Gilt daher das obige Bildungsgesetz für den uten Näherungsbruch, so ist es auch für den (u -s- 1)ten richtig. Nun gilt dieses Gesetz, wie gezeigt wurde, für den dritten Näherungsbruch, also gilt es auch für den vierten, folglich auch für den fünften, u. s. w.; folglich gilt dasselbe allgemein. Mit Rücksicht auf die hier nachgewiesene Eigenschaft lassen sich aus den zwei ersten Näherungsbrüchen ohne Schwierigkeit alle nacheinander folgenden Näherungsbrüche und daher bei einem endlichen Kettenbrnche auch der Erzeu¬ gungsbruch bestimmen. hat mau daher Z. B. Für den Kettenbruch 1 22__3 As — 2' — 7; 2,^ 3.4-st 1^ 13,^-- 7.44- 2-. 30; ^--13.5-^ 3-- 68,^- 30.5-^ 7^-157; -- 68.6 -s- 13 -- 421, - 157.6 -st 30 -- 972; AI; oder Nenner 2, 3, 4, 5, 6, «,-<7 1 3 13 68 421 Naherungsbruche 157, 972' Der letzte Näherungsbruch stellt zugleich den Erzeugungsbrnch des gege¬ benen Kettenbruches dar. 8- 242. Die Näherungsbrüche mit ungeradem Stellenzeiger sind größer, die Näherungsbrüche mit geradem Stellenzeiger sind kleiner als der vollständige Wert des Ketteubruches. 155 Beweis. Drück! man die nach dem ersten, zweiten, dritten, .... Gliede weggelassenen Theile des Kettenbruches durch x„ x.,, x,, ... aus, so ist Hl i- Hi ""I-I 1 Nun ist < lli -F daher > ^-, oder Ferner ist q. < lls -F x», daher -- > - v , somit auch o, -i- 4s 42 > folglich oder < 4- 4s 42-l-Xz Durch dieselbe Schlussweise ergibt sich 2-, A Ä , ^7>^' ,. w.; allgemein und <-^. Xsw-i d Asm d Folgesatz. Der vollständige Wert eines Kettenbruches liegt immer zwischen zwei unmittelbar ans einander folgenden Näherungsbrüchen. K. 243. 1. Die Differenz zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden Näherungsbrüchen ist gleich einem Bruche, dessen Zähler 1 und dessen Nenner das Product der Nenner der beiden Näherungsbrüche ist. Beweis. Es ist 2ü—i Ao 2v—i l . Nv-i " rr»-i Nu ' 2» ^n4-i _ 2n 4^4-e ^i" i _ —I — 2a—1 —I ttn — ttn—l) (t^n 1 -s- ttn —i) Hiernach ist allgemein der Zähler des Bruches, welcher die Differenz ausdrückt, das Entgegengesetzte des Zählers von dem Bruche für die Differenz also für die nächstvorhergehende Differenz. Nun ist dieser Zähler für die erste Differenz, d. i. für _ ^L. _ 4s F 1 ff- 1 4i 4i 4s 4i (4i 4s ^2 gleich -s- 1, demnach für die zweite Differenz — 1, und so fort für die auf einander folgenden Differenzen abwechselnd -s- 1 und — 1. 2. Die Differenz zwischen einem Näherungsbruche und dem vollständigen Werte eines Kettenbruches ist absolut genommen kleiner als ein Bruch, dessen Zähler 1 und dessen Nenner das Quadrat des Nenners des Näherungsbruches ist. 156 Da der vollständige Wert des Kettenbruches immer zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgenden Näherungsbrüchen liegt, so ist der Unterschied -absolut genommen kleiner als der Unterschied U 1 Wegen ^4-1 > ist nun ^4.1 > und daher auch 2r> ä 1 Xv d Zusatz. Da < E < daher 1 1 11^ N't "As «Z > NZ > Nk ' so folgt, dass jeder folgende Näherungsbruch von dem vollständigen Werte des Kettenbruches um weniger verschieden ist, als der vorhergehende, dass sich also die auf einander folgenden Näherungsbrüche diesem Werte immer mehr nähern, bis der letzte, wenn es einen gibt, mit ihm zusammenfällt. Z. 244. Zähler und Nenner eines jeden Näherungsbruches sind relative Primzahlen. Für die Näherungsbrüche und ist (Z. 243,1) absolut genommen 2^—1 —2^ i^In—1 — 1- Wären nun und nicht relative Primzahlen, sondern sie hätten ein gemeinsames Maß m, so wäre m auch ein Maß von ^-1 (K. 71) und folglich ein Maß von 1, was nicht möglich ist. tz. 243. Zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgende Näherungsbrüche lässt sich kein Bruch einschalten, dessen Nenner nicht größer ist, als der größere Renner der beiden Näherungs¬ brüche. Gesetzt, es würde der gemeine Bruch zwischen den Näherungsbrüchen und liegen, so müsste absolut genommen oder daher 2^ — Is» p 1 sein, was nur möglich ist, wenn der Nenner g > ^„4.1 ist, weil 2^ g — p eine von 0 verschiedene ganze Zahl, also > 1 sein soll. Folgesatz. Jeder Näherungsbruch drückt den vollständigen Wert des Kettenbruches genauer aus als jeder andere Bruch, der einen kleineren Nenner hat. 157 i wo i i *2 ' >/14 — 2 5 5 — /14 4- 3 Anwendungen der Kettendrüche. 8- 246. Aufgabe. Das Verhältnis zweier großer Zahlen durch kleinere möglichst genau darzustellen. Man verwandelt den Berhältnisquotienten in einen Kettenbruch und bestimmt dessen Näherungsbrüche; diese drücken den gesuchten Quotienten in den kleinsten Zahlen mit der größten Annäherung an dessen wahren Wert aus. (ß. 245, Folges.) Z. B. Man soll die Verhältniszahl der Peripherie eines Kreises zu dessen Durchmesser, d. i. 3 1415926 durch kleinere Zahlen möglichst genau ausdrücken. 3 1415926 — 31415926 c> I4i9^d — looooooo — /14 — 3 — i Xs 1/1?- 3 ' welches wieder > i urzel durch die Näherungswerte eines Kettenbruches zu bestimmen. Es sei f/a zu bestimmen. Man suche die größte darin enthaltene Zahl und setze f/a — q -j- wo — 1/a — q < 1, daher x, — > 1 sein muss. Nun suche man wieder die größte in enthaltene ganze Zahl und setze x^ — -s- wo <1 und x, — > 1 sein muss. Setzt man dieses Verfahren fort, und sind die größten in x?, Xz, ... enthaltenen ganzen Zahlen «z,, iz, .so hat man Durch die ans dem erhaltenen Kettenbruche hervorgehenden Näherungs¬ werte kann s/a mit jeder beliebigen Schärfe berechnet werden. Ist z. B. f/14 zu bestimmen, so hat man folgende Rechnung: 1/14 -- 3 Z- t/14 — 2_ , , Z- 1 1 1 — /14 -st 3 X- /14 — 3 5 — ^^5 5 /14 4- 2 , /14 — 2 ^2 — ^/14 — 2 2 2 2 /14 4-2 i , /14 — 3^i -- o — /14 - 3 — g — X, — 1 158 so dass die Nenner 1, 2, I, 6 immer wiederkehren. Man hat also Die Näherungswerte sind: ^,.11 ^5101116333449 3027 O' 1' l-' "27"' 31 ' 89' 120' 809' ''' Setzt man s/14 — — 3'741656..., so ist der Fehler kleiner als — 0'0000015...; es ist also s/14 auf 5 Decimalen genau bestimmt. , 1 Z. 248. Aufgabe. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades mit Hilfe eines Kettenbruches in ganzen Zahlen aufzu¬ lösen. (Lagrange'sche Methode.) Um für die Gleichung ux 6)- — 0, wo a, l> und e positive Zahlen sind, eine Auflösung in ganzen Zahlen zu erhalten, verwandelt man in einen Kettenbruch und berechnet den vorletzten Näherungswert desselben — Da also scz — i>p — 1 (Z. 243, 1), daher auch ' aog —dop — U: 0 ist, so haben x und die absoluten Werte und ep, und zwar mit denjenigen Vorzeichen, welche mit Rücksicht auf die Vorzeichen der vorgelegten Gleichung der identischen Gleichung aoo; —6 c: p — 0 genügen. Beispiel. Es soll 9x -s- 29^ — 15 in ganzen Zahlen aufgelöst werden. Man verwandle in einen Kettenbruch und bestimme den vorletzten Näherungsbruch Da also 9.13 — 29.4 — -s- 1 und 9.13.15 —29.4.15-^15ist,so knldenx^13.15^195,^—4.15^ — 60 eine Auflösung der Gleichung in ganzen Zahlen, und man erhält dann (ß. 228, 2) als allgemeine Lösung x — 195 — 29u, — — 60 -s- 9n, wo die Hilfs-Unbekannte n eine willkürliche ganze Zahl bezeichnet. Achter Abschnitt. Progressionen. ß. 249. tLine Folge von Zahlen, welche nach einem bestimmten Gesetze fortschreiten, heißt eine Reihe, mich Progression. Jede dieser Zahlen wird ein Glied der Reihe genannt. Die Zahl, welche anzeigt, die wievielte Stelle in der Reihe ein Glied einnimmt, heißt der Zeiger dieses Gliedes. Eine Reihe heißt steigend oder fallend, je nachdem die auf einander folgenden Glieder immer größer oder immer kleiner werden. Eine Reihe interpolieren heißt, zwischen je zwei auf einander fol¬ gende Glieder eine bestimmte Zahl von Gliedern einschalten, welche mit den Gliedern der gegebenen Reihe wieder eine Reihe derselben Art bilden. I. Arithmetische Mrogressionerr. Z. 250. Eine arithmetische Progression ist eine Reihe, in welcher die Differenz je zweier auf einander folgenden Glieder (das vorhergehende als Subtrahend genommen) dieselbe Zahl ist. Diese constante Differenz heißt die Differenz der Progression. So sind 1, 4, 7,10,13,16,19,22,... und 50, 47, 44, 41, 38, 35, 32, 29,... arithmetische Progressionen; in der ersten ist 3, in der zweiten —3 die Differenz. 1. In einer arithmetischen Progression ist jedes Glied gleich der Summe aus dem ersten Gliede und dem Producte der Differenz mit dem um 1 verminderten Zeiger des Gliedes. Beweis. Bezeichnet allgemein das nte Glied und ä die Differenz der Progression, so ist — g,,, a» — Z- 6, Z- 2 ä, Z- 3ä, u. s. w. Der Satz ist also für die Anfangsglieder richtig. Gilt aber derselbe für irgend ein Glied a«, so dass a, -j- (n — 1) ä ist, so muss er auch für das nächstfolgende Glied giltig sein; denn 160 Äll-I-I — a» -si ä — Ul si- (u — 1) ck si- ä — u, "si uä. Hieraus folgt, dass der obige Satz allgemein gütig ist. Die Formel a» — a, -si (u — 1) ä heißt das allgemeine Glied der Progression, weil daraus, wenn man für u nach und nach 1, 2, 3, 4,... setzt, alle Glieder der Progression abgeleitet werden können. 2. In einer arithmetischen Progression ist die Summe irgend einer Anzahl von Anfangsgliedern gleich dem Products aus der halben Anzahl dieser Glieder und der Summe des ersten und letzten Gliedes. Beweis. 'Ist a« das nte Glied der Reihe, so ist u» — ä das nächst¬ voranstehende, u» —2ä das diesem vorangehende Glied, u. s. f. Drückt man nun die Summe der ersten u Glieder durch 8» aus, so ist 8» — a, si- (Ul si- ck) -si (Ul -si 2 cl) -si ... -si (u» — 2 ä) si- (a» ck) -si La- Schreibt man die Glieder in umgekehrter Ordnung, so ist auch s» — u» -si (u» — ck) -si (a» —2ä) -si... -si (u, -si 2ä) -si si" ä) -si »l- Durch Addition dieser beiden Ausdrücke erhält man, da je zwei unter einander stehende Glieder u^ -si u» zur Summe geben, 28»— (Ulsi-Ull)si-(Ul-siu»)-si(u,-siu»)si- . - -"si(Ul"siu»)-si(al-siu»)si-(Ulsi-u»). Hier kommt u, si- u,> so oft als Summand vor, als Glieder angenommen werden, also u mal; daher 2o» — u (u, -si u»), und s» — (u, si- u»). Diese Formel heißt das Summenglied der arithmetischen Progression. Beispiel. Man suche das allgemeine und das Summenglied der Reihe der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11.. Da u, — 1, ck — 2 ist, so hat man u» — 1 -si (u — 1). 2 — 2u — 1, (1 si- 2u — 1) — vsi. So ist z. B. — 2.15 — 1 — 29, und — 15^ — 225. tz. 251. Die beiden von einander unabhängigen Gleichungen a» — -si (u — 1) ä und 8» — (Ui -si u») enthalten fünf Größen u„ ä, u, u», 8»; es kann also aus je dreien derselben durch Elimination jede der beiden andern berechnet werden. Dadurch erhält man 20 verschiedene Aufgaben. Sind z. B. ä, u, u», gegeben, so findet man aus der ersten Gleichung — a» — (n — 1) ä, und dann aus der zweiten 8» — >u» — (u — 1) ä si- a»i — l2u» — (u — 1) ä!. 161 8- 252. Eine arithmetische Progression zu interpolieren. Sind zwischen die Glieder und einer arithmetischen Progression, deren Differenz ff ist, i- Glieder einzuschalten, die mit und wieder eine arithmetische Progression bilden, so ist das erste und das (r -s-2)te Glied der neuen Progression, daher, wenn die Differenz derselben mit 6, bezeichnet wird, ff- (r ff- 1)— yff- yff a ^8' ^8' ^8' ^8' "8' ^8' ^8' II. Geometrische Progressionen. K. 253. Eine geometrische Progression ist eine Reihe, in welcher der Quotient je zweier aufeinander folgender Glieder (das vorhergehende als Divisor genommen) dieselbe Zahl ist. Dieser constante Quotient heißt der Quotient der Progression. So sind 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ... 1 ff. ff_ ff. -ff. . ' 3' 9' 27' 81' 243' 729' ' ' ' geometrische Progressionen; in der ersten ist 3, in der zweiten ff der Quotient. 1. In einer geometrischen Progression ist jedes Glied gleich dem Producte aus dem ersten Gliede und der sovielten Potenz des Quotienten, als der um 1 verminderte Zeiger des Gliedes anzeigt. Beweis. Bezeichnet a« das nte Glied und cz den Quotienten der Pro¬ gression, so ist 3 — A j f — 8^ y, »z — a, gff' 8,, — a, 9^ u. st w. Der Satz ist also für die Anfangsglieder richtig. Gilt er aber für irgend ein Glied a», so dass a» — a, cst^' ist, so muss er auch für das nächst¬ folgende Glied gelten; denn — a» . g — a, 9°^.9-2, g°. Močnik, Arithmetik und Algebra. 162 Hieraus folgt, dass der obige Satz allgemein giltig und dass daher Lll — das allgemeine Glied einer geometrischen Progression ist. 2. In einer geometrischen Progression ist die Summe von u Anfangsgliedern gleich dem Producte aus dem ersten Gliede und der uin 1 verminderten uten Potenz des Quotienten divi¬ diert durch den um 1 verminderten Quotienten. Beweis. Bezeichnet die Summe von u Anfangsgliedern, so ist Sn — L; -s- q -st a, 1, so wird mit dem wachsenden n auch cst und daher auch 8„ über jeden angebbaren Wert hinaus zunehmen. Eine steigende geo¬ metrische Progression ist demnach stets divergent. Ist dagegen < 1, so nähert sich beim unendlichen Wachsen von u, 9- ohne Ende der Null und dem endlichen Grenzwerte , welcher daher die Summe der unendlichen Reihe ist. Eine fallende geometrische Progression ist demnach stets convergent. 163 Z. B. Für die Reihe 1, i» welcher — 1, ist, hat man s — , — 2; d. h. je mehrere Glieder der Reihe man addiert, desto mehr nähert sich die Summe der Zahl 2, ohne jedoch je dieselbe wirklich zu erreichen. Eine arithmetische Progression ist, wie man aus der Summenformel sn — -p au) sogleich ersieht, immer divergent. Jeder periodische Decimalbruch kann als eine fallende geometrische Progression dargestellt und als solche summiert, d. i. in einen gemeinen Bruch verwandelt werden. Z. B. 0-25 -st ^-4-^-4- - — 2ö 8- 255. Mittelst der beiden von einander unabhängigen Gleichungen a» — h"-« und , von denen die zweite auch durch 8^ — ersetzt werden kann, lassen sich aus je dreien der fünf Größen a„ g, u, und 8» durch Elimination die beiden anderen bestimmen. Sind z. B. n, 8„ gegeben, so erhält man aus der zweiten Gleichung — (g —1)s» <1°-1 ' und dann aus der ersten Gleichung hll-l — 1) Sy K. 256. Aufgabe. Eine geometrische Progression zu inter¬ polieren. Schaltet man zwischen die Glieder und einer geometrischen Pro¬ gression, deren Quotient ist, r Glieder ein, die mit und wieder eine geometrische Progression bilden, so ist in dieser a«, das erste und ^4-1 das (r -s- 2)te Glied; man hat daher, wenn der Quotient der neuen Progression mit bezeichnet wird, — ai- - es ist aber auch aic-m — - — 1)3! bg" zu bestimmen. Multipliciert man beide Theile dieser Gleichung mit g, so ist gg» — abcz -st (a -st 4)b ji Z- (b — 1)-^- 2. Werden die Zinsen nicht jährlich, sondern nach dem c^tcn Theile eines Jahres (halbjährig, monatlich) kapitalisiert, so ist in der Gleichung I) und in den daraus abgeleiteten Formeln s — 1 -s- und für u die Zahl r> cz zu setzen. 3. Die obigen Gleichungen können auch auf andere Größen, wenn dieselben in einem constanten Verhältnisse wachsen, z. B. auf die Zunahme der Bevölkerung eines Landes, des Holzstandes eines Waldes u. dgl., angewendet werden. Beispiele. 1) Wie hoch wächst ein Capital von 2518 fl. in 12 Jahren zu 5A Zinses¬ zinsen an? — 2518.1-05'2 loss 1-05-0 021 189 12IOA1-05 — 0-25 427 IoK 2518 — 3-40 106 IvA 3,^2 — 3 65 533, also a/2 — 4522 fl. 2) Welchen Barwert hat ein nach 11 Jahren zahlbares Capital von 1000 Kronen zum Zinsfüße 1-04? 1000 — 1-04"' IvK 1000 3-00 000 lox 1-04 — 0-017 033 11 IvK 1-04 0-18 736 loss a — 2-81 264, also Barwert a — 649'59 Kronen. 167 3) Ein Capila! von 2000 fl. ist bei 4^ Zinseszinsen auf 4469 fl. 84 kr. angewachsen; wie lange war dasselbe angelegt? 4469 84 2000.1 04°, also lox 4469-84 — lox 2000 0-34927 1 - -W^Ö4- 0^17033 20'905. . Setzt man n — (20 -j- t) Jahre, so ergibt sich, da 2000 fl. nach 20 Jahren auf 2000.1'04^° — 4382'2 fl. anwachsen und daher die Differenz 4469 - 84 — 4382 - 2 — 87 - 64 fl. der einfache Zins des Capitals 4382 - 2 fl. für die Zeit t ist, nach K. 134 t — 4382 2.4 Jahr, und sonnt n — 20-^ Jahre. Z. 262. Zweite Fundamental-Ausgabe. Durch u Jahre wird am Anfänge oder am Ende eines jeden Jahres ein Betrag r gezahlt; zu welchem Werte wachsen alle diese Beträge zur Zeit der letzten Zahlung an, wenn man pA Zinseszinsen rechnet? Die Zeit von der ersten bis zu der letzten Zahlung beträgt Q — 1 Jahre; setzt man daher 1 -Z — s, so ist (Z. 261) zur Zeit der letzten Zahlung der Wert der 1. Zahlung — r 6°-*, 2 ff ff ff ff — , „ „ „ (n-2)ten „ — r o°, „ „ „ (n-l)tcn „ — i- s, „ „ „ nten „ — r; daher die Summe aller dieser Werte 8n — r -j- re re? -s- . . . -s- rs°-" -s- re°^, oder mit Rücksicht auf ß. 253, 2 ,.^^>...11). Aus dieser Gleichung können auch r und n bestimmt werden, wenn die übrigen Größen gegeben sind. Die Bestimmung von e übersteigt, da man dabei auf eine Gleichung des (n— 1)ten Grades kommt, die Grenzen dieser Anleitung. Beispiele. 1) Jemand legt durch 10 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres 230 Kronen zu 5A Zinseszins an; welchen Wert haben diese Anlagen an, Anfänge des lOten Jahres? 230.(1-05"- I) 23 0.0-62889 ZWAW Kronen. 0 05 0 05 2) Jemand legt durch 15 Jahre am Ende eines jeden halben Jahres eine sich gleichblcibende Summe in eine Sparcasse, welche bei dem jährlichen Zinse 168 u 5S halbjährig capitalisiert, und erwirbt sich dadurch zur Zeit der letzten Zahlung ein Guthaben von 3292'71 fl.; wie groß ist die jedesmalige Einlage? Hier muss man 30 Zeitperioden rechnen und als Zinsfuß 1'025 annehmen; man hat daher 3292'71 — -1—Ö?Ö25-i mithin 3292-71.0-025 fl. K. 263. Auf die voranstehenden zwei Hauptaufgaben lassen sich alle mehr oder weniger zusammengesetzten Aufgaben über die Zinseszinsrechnung zurück- führcn. Aufgaben. 1) Ein zum Zinsfüße s angelegtes Capital a wird durch n Jahre am Ende eines jeden Jahres um den Betrag r vermehrt oder vermindert; welchen Wert hat es am Ende dieser Zeit? Am Ende des nten Jahres ist der Wert des Capitals ». (nach tz. 261) as", und der Wert aller n Beträge r, um welche das Capital am Ende eines jeden Jahres vermehrt oder vermindert wird (nach Z. 262), i der Endwert des so vermehrten oder verminderten Capitals ist also 8 — 1 Ist im Falle der Verminderung r > s, (o — 1), d. i. r > also r größer als der jährliche Zins des Capitals u, so wird der Endwert dieses Capitals von Jahr zu Jahr kleiner, bis endlich das Capital erschöpft ist. 2) Ein unverzinsliches Capital u ist nach m Jahren, ein unverzinsliches Capital 6 nach n Jahren, wo n > m ist, fällig; in welchem Verhältnisse stehen u) ihre Barwerte, ii>) ihre Werte nach n Jahren bei dem Zinsfüße s? Der Barwert des Capitals a ist der Barwert des Capitals 6 ist daher das Verhältnis der Barwerte : io. Nach n Jahren ist der Wert des ersten Capitals des zweiten d, daher das Verhältnis dieser Werte wie früher, as"-" : 6. Zusatz. Sollen zu verschiedenen Zeiten fällige Capitalsbcträge mit einander verglichen werden, so muss man sie immer auf denselben Zeitpunkt reducieren. Da aber das Verhältnis ihrer Werte für jeden Zeitpunkt dasselbe ist, so lange ihr Zinsfuß ungeändert bleibt, so ist es an sich ganz gleichgiltig, welcher gemeinsame Zeitpunkt für die Vergleichung gewählt wird. Gewöhnlich werden entweder die Barwerte oder die Werte nach Ablauf des gegebenen Zeitraumes berechnet und mit einander in Vergleichung gesetzt. 169 3) Ein Anlehen s, soll durch eine am Ende eines jeden Jahres zu zahlende Rate r in u Jahren getilgt (amortisiert) werden; wie viel muss die Jahresrate r bei dem Zinsfüße s betragen? Der Barwert aller Jahresraten muss dem Schuldcapital gleich sein. u Jahresraten, jede — r, haben zur Zeit der letzten Zahlung, d. i. am Ende des nten Jahres, den Wert ihr Barwert ist also b — d Da 6 — a sein muss, so hat man » daber r — D s-> (s — i) — oayer r -- - 4) Nach wie viel Jahren sind von einem auf Zinseszins zu 5^ aus¬ geliehenen Capital von 1060 fl. noch 167'22 fl. übrig, wenn am Ende eines jeden Jahres 80 fl. zurückgezahlt werden? Nach u Jahren. Das Schuldcapital 1060 fl. hat nach u Jahren den Wert 1060.1'05° fl.; die u jährlichen Rückzahlungen L 80 fl. haben nach u Jahren den Wert fl.; es ist daher 1060.1 -05° 167-22, und somit 71 638 — 1oA 27 lox 1'05 — 20 Jahre. Rentenrechnung. Z. 264. Die Berechnung von Zinseszinsen kommt insbesondere bei der Rentenrechnung vor. Unter einer Rente versteht man einen in festgesetzten gleichen Zeit¬ terminen (meistens am Ende jedes Jahres) zahlbaren Geldbetrag, dessen Bezugsrecht durch eine vorher gezahlte Geldsumme, die Einlage, erworben wird. Die Einlage wird entweder auf einmal oder jährlich entrichtet und heißt dann bezüglich Mise oder Prämie. Die Rente ist gewöhnlich constant; sie kann aber auch nach einem bestimmten Gesetze veränderlich sein. Eine Rente heißt Zeit rente, wenn die Zahl der Termine, in denen sie gezahlt wird, genau bestimmt ist; Leibrente dagegen, wenn sie bis zum Tode des Empfängers fortdauert. Hier soll nur von Zeitrenten die Rede sein. Ausgaben. 1) Welchen Barwert hat zum Zinsfüße s eine Rente, welche durch n Jahre am Ende eines jeden Jahres in dem gleichen Betrage i- fällig ist? n Jahresrenten, jede — r, haben zur Zeit des letzten Bezuges, d. i. am Eude des u ten Jahres, den Wert ihr Barwert ist also i — r(s° - U 0 — g» (s - 1)' 170 2) Welche Prämie muss durch a Jahre am Anfänge eines jeden Jahres zum Zinsfüße o an eine Versicherungsanstalt geleistet werden, damit diese sodann das Capital s auszahle? Die Jahresprämien müssen bis zum Anfänge des nten Jahres zu dem Werte s anwachsen. л Prämien, jede — r, sind zur Zeit der letzten Zahlung, d. i. am Anfänge des nten Jahres, wert; man hat daher r . . .. 8 (s — 1) --—7 — 8, und >omit I- — ——. 8 - 1 ' tzll — 1 3) Jemand will an eine Versicherungsbank durch ni Jahre am Anfänge eines jeden Jahres einen bestimmten Betrag a einzahlen, um sich durch die nachfolgenden n Jahre den Bezug einer am Ende eines jeden Jahres zahl¬ baren Rente r zu sichern; wie viel wird die jährliche Einzahlung bei dem Zins¬ füße o betragen müssen? Der Barwert aller Prämien muss dem Barwerte aller Rentcnbezüge gleich sein. м jährliche Prämien, jede — a, haben zur Zeit der letzten Zahlung, d. i. am Anfänge des raten Jahres, den Wert ihr Barwert ist also . L (SM — 1) — SM-1 (s — 1)- a Jahresrenten, die am Ende des (m -j- 1)ten Jahres beginnen, und deren jede — r ist, haben zur Zeit des letzten Bezuges, d. i. am Ende des (m-st a)ten Jahres, den Wert - -; ihr Barwert ist also (8-1)' Da nun — k sein nmss, so hat man («" - 1) — -- (°" — i) daber a — " gm-l (8 __ 1) — (8 — 1)' (8M — 1)' Aus der letzten Gleichung kann auch r, m oder a bestimmt werden, wenn die übrigen Größen gegeben sind. 4) Eine Jahresrente r steige jährlich, und zwar a Jahre hindurch in einer arithmetischen Progression mit der Differenz ä; wie groß ist deren Bar¬ wert zum Zinsfüße s? Die am Ende der einzelnen Jahre zu beziehenden Renten sind r, r Z- ä, r -j- 2 ä, . .., r -j- (a — 1) 6, und die Summe der Barwerte — D -U r 6 ! r 4- 2ä . . r -s- (ll — ya tz tz2 tz3 l" ' gn oder nach Z. 257 d - 8^71)2 - 1) - n (e - 1)s. Neunter Abschnitt. CombinAtronslebre. 1. Permutationen, Kombinationen und Variationen. Z. 265. Gegebene Dinge nach einem bestimmten Gesetze in Gruppen zusammenstellcn, heißt combinieren im weiteren Sinne des Wortes. Die einzelnen Dinge werden Elemente, und die ans ihnen gebildeten Gruppen Complexionen genannt. Zur schriftlichen Darstellung der Combinationen ist es am zweckmäßigsten, die Elemente durch die in natürlicher Ordnung auf einander folgenden Zahlen, welche Zeiger oder Indices heißen, zu bezeichnen. Diese Zeiger bestimmen die Rangordnung der Elemente, so dass jenes Element das höhere ist, welches einen größeren Zeiger hat. Von zwei Complexionen heißt jene die höhere, in welcher von der Linken aus zuerst ein höheres Element vorkommt; z. B. die Complexion 1342 ist höher als jene 1324. Die niedrigste Com- plexion ist diejenige, in welcher kein höheres Element vor einem niedrigeren steht, in welcher also die Elemente in natürlicher Ordnung ans einander folgen; und jene die höchste, in welcher kein niedrigeres Element vor einem höheren steht, somit alle Elemente in umgekehrter Ordnung vorkommen. Werden die Elemente, anstatt durch Zeiger, durch Buchstaben bezeichnet, so ist dasjenige Element als ein höheres zu betrachten, welches im Alphabete später vorkommt. Alle Combinationen scheiden sich ihrer Natur nach in Versetzungen -und Verbindungen. Bei den Versetzungen fasst man die verschiedene Anordnung der gegebenen Elemente, bei den Verbindungen ihre Aus¬ wahl in bestimmter Anzahl ins Auge. Wird nicht nur auf die Anzahl und Auswahl der Elemente, sondern gleichzeitig auch auf die Anordnung derselben Rücksicht genommen, so kommen Verbindungen und Ver¬ setzungen vereint vor. Hiernach unterscheidet man drei Arten des Combinierens: das Per¬ mutieren, das Combinieren im engeren Sinne, und das Variieren. Bei jeder dieser drei Combinationsarten kommt die wirkliche Bildung der Complexionen und die Zahl derselben in Betracht. 172 1. Permutieren. ß. 266. Permutieren heißt, gegebene Elemente auf jede mögliche Weise versetzen, so jedoch, dass in jeder Complexion alle Elemente vorkommen. Die Anzahl aller möglichen Permutationen von n Elementen bezeichnet man durch (Permutationszahl von u), die Anzahl der Permutationen von genannten Elementen, z. B. von a, st, st, o durch st (ast st o). Bildung der Permutationen. Z. 267. Um von mehreren gegebenen Elementen alle möglichen Permu¬ tationen zu bilden, schreibe inan zuerst die niedrigste Complexion der gegebenen Elemente an, leite aus dieser die nächst höhere, aus dieser wieder die nächst höhere, u. s. w. ab, bis man zur höchsten kommt. Man erhalt aber aus jeder schon aufgestellten Complexion die nächst höhere, indem man, in dieser Complexion von rechts nach links fortschreitend, das erste Element aufsucht, an dessen Stelle aus den rechts folgenden ein höheres gesetzt werden kann, sodann dieses höhere Element an jene Stelle schreibt und die links vvran- Anzahl der Permutationen. K. 268. 1. Sind alle möglichen Permutationen von u verschiedenen Elementen gebildet und tritt zu diesen Elementen noch ein neues dazu, so kann dasselbe in jeder der früheren Permutationen den ersten, oder den zweiten,..., oder den (u -j- 1)ten Platz, also u -st 1 verschiedene Stellungen einnehmen, so dass aus u -st 1 Elementen (u -st 1)mal so viel Permutationen entstehen, als aus u Elementen. Es ist also stil^-I — ?ii - (u -st 1). Da nun ein Element nur eine einzige Stellung zulässt, so ist — 1, daher st. 1.2, k. — 1.2.3, u. s. w.; allgemein st° — 1.2.3. — (u — 1) u; d. h. die Permutationszahl von mehreren verschiedenen Ele¬ menten ist gleich dem Producte der natürlichen Zahlen von 1 bis zu der Zahl, welche die Anzahl der Elemente ausdrückt. 173 Das Product 1.2.3.4.... (n— 1).n wird durch das Symbol n!, zu lesen: „Facultät von u", bezeichnet. Es ist daher kg ^3st...x^n!. 2. Wenn unter den gegebenen ll Elementen p gleiche Vorkommen, so betrachte man diese einstweilen als verschieden; dann ist die Anzahl aller- möglichen Permutationen n!. Denkt man sich diese Permutationen so in Abteilungen gebracht, dass sich die Permutationen einer Abtheilung bloß durch die gegenseitige Stellung der als verschieden betrachteten p Elemente von einander unterscheiden, während die übrigen Elemente dieselbe Stelle einnehmen, so enthält jede dieser Abteilungen so viele Permutationen, als man hier aus p Elementen bilden kann, also p! Permutationen. Wenn man nun die als verschieden betrachteten Elemente wieder als einander gleich annimmt, so gelten alle p! Complexionen einer Abtheilung nur für eine Permutation; je p! von den n! Permutationen gehen in eine einzige über, und man hat somit nur verschiedene Permutationen. Befinden sich unter den gegebenen u Elementen außer den p gleichen Elementen noch andere gleiche Elemente, so wiederholen sich die Schlüsse in gleicher Weise, und ist daher die Anzahl aller verschiedenen Permutationen. 3. Sind unter den gegebenen n Elementen n — k einander gleich, und die übrigen k Elemente ebenfalls einander gleich, wie z. B. in dem Producte sg jst di? Permutationszahl derselben ll! — 1.2.3.. .(n — K) (n — K) -j-1)...(» — 2) (n — 1) ll (ll— L)! k! 1.2.3...(ll— ii).1.2.3 . k Dividiert man Zähler und Nenner dieses Bruches durch 1.2.3.. .(u—lr.) und schreibt die dann übrig bleibenden Factoren des Zählers in umgekehrter Ordnung, so hat man ul ll (ll — I) (ll — 2) ... (ll — k-s-1) (ll — k)! k! 1. 2. 3 . . . k ' Der letzte Bruch, dessen Zähler ein Product von k Factoren, die von u beginnend nm 1 abnehmen, und dessen Nenner das Product von Ir Factoren ist, die von 1 beginnend um je 1 wachsen, wird durch das Symbol zu lesen: „n über lr", ausgedrückt. Es ist also Mah. MS ( ( ; — I-Izt sür >c — n -j- 2, .. . 174 2. Combinieren. Z. 269. Combinieren im engeren Sinne heißt, gegebene Elemente so mit einander verbinden, dass jede Complexion dieselbe bestimmte Anzahl aus den gegebenen Elementen enthält, wobei jedoch nur solche Complexionen, in welchen nicht dieselben Elemente vorkommen, als verschieden gelten. Je nachdem die Verbindungen je zwei, drei, vier,... Elemente enthalten, nennt man sie Combinationen der zweiten, dritten, vierten, ... Classe, oder auch Amben, Ternen, Quaternen, u. s. w. Die Ele¬ mente selbst können als Combinationen der ersten Classe angesehen werden und heißen als solche Unionen. Man unterscheidet ferner Cvmbinationen ohne und mit Wieder¬ holungen; bei jenen darf in einer Complexion ein Element nur einmal, bei diesen auch öfter vorkommen. Die Anzahl aller möglichen Combinationen der rten Classe aus u Ele¬ menten ohne Wiederholungen wird durch 6,s, die Anzahl derselben mit Wieder¬ holungen durch 67''' bezeichnet. Bildung der Combinationen. Z. 270. .1. Um aus gegebenen Elementen alte Amben ohne Wieder¬ holungen zu bilden, stelle man jedes Element vor jedes höhere Element. Sind einmal die Combinationen einer bestimmten Classe gebildet, so erhält man aus denselben die Combinationen der nächst höheren Classe, indem man jedes Element vor jede frühere Complexion, in der lauter höhere Ele¬ mente vorkommen, setzt. So erhält man aus den vier Elementen i>, o, <1, s nachfolgende Amben ohne Wiederh. Ternen ohne Wiederh. do, dä, ds; doä, kos, däs; oä, os; oäo; äs; u. s. w. 2. Um ans gegebenen Elementen alle Amben mit Wiederholungen zu bilden, setze man jedes Element vor sich selbst und vor jedes höhere Element. Hat man einmal die Combinationen irgend einer Classe mit Wieder¬ holungen gebildet, so erhält man aus denselben alle Combinationen der nächst höheren Classe, indem man jedes Element vor jede frühere Complexion, in der keine niedrigeren Elemente Vorkommen, setzt. So geben die vier Elemente a, d, o, ä Amben mit s an, ad, ao, aä; so, sä; Wiederhol. I dd, do, dä; ää; 175 Ternen mit Wiederhol. aas, Lat), aao, aaä, u55, a5o, s,5ä, aoo, aod, aää; 555, 55o, 554, 5oo, 5oä, 544; ovo, ao4, o44; 444; u. s. w. Zusatz. Einfacher gestalten sich die Combinationen mit Wiederholungen, wenn man jede Combination als Product anffasst. So geben die Elemente a und 5 folgende als Producte betrachtete Combinationen mit Wiederholungen der 2ten Classe: a5, 5°; „ 3ten „ a^5, a5^, 5^; „ 4ten „ a^5, a"5', a5^ 5^; nten „ a°, a°^5, a°^5",.. .a.5"^, 5°. Zahl der Combinationen ohne Wiederholungen. 8- 271. Verbindet man jedes von n gegebenen Elementen mit jedem der übrigen n — 1 Elemente, so erhält man alle Amben, und zwar jede 2mal, z. B. die Ambe a5, indem man a mit 5, und indem nian 5 mit a ver¬ bindet. Da sich sonach n (n — 1) paarweise gleiche Amben ergeben, so ist die Anzahl aller verschiedenen Amben von n Elementen — o (n — i) — 2 ' Hat man überhaupt alle Combinationen der rten Classe ohne Wieder¬ holungen von n Elementen und verbindet jede dieser 0,l Combinationen mit jedem der darin nicht vorkommenden n — r Elemente, so enthalten die sich ergebenden 6ü-(n — r) Verbindungen alle Combinationen der (r -s- 1)ten Classe, und zwar eine jede derselben (r -st 1)mal, da sie aus jeder der r -st 1 Com¬ binationen der vorigen Classe, in denen eines der jetzt in ihr vorkommenden Elemente fehlte, entstanden ist. Die Zahl aller verschiedenen Combinationen der (r -s- 1)ten Classe von n Elementen ist daher Da nun 0° — ist, so hat man folglich ll (° - 1) (° - 2) (° - 3) - allgemein 8 (ll — 1) (n — 2).. .(ll — r -st 2) (ll — I' -st 1) . ^»^1.2.3 . . . st — 1) . r ' 176 oder mit Rücksicht auf die im K. 268, 3 eingeführte Bezeichnung Zahl der Combinationen mit Wiederholungen. ß. 272. Sind u Elemente gegeben und verbindet man jedes Element mit sich selbst und noch mit allen n Elementen, auch sich selbst nicht ausgenommen, so geben die erhaltenen n (n st- 1) Verbindungen alle Amben mit Wiederholungen, und zwar jede 2 mal. Die Anzahl aller verschiedenen Amben von n Elementen mit Wiederholungen ist also " Sind überhaupt alle Combinationen der rten Classe mit Wiederholungen von n Elementen gebildet und verbindet man jede dieser 0^ Combinationen zuerst mit jedem der r Elemente, welche darin vorkommen, und dann noch mit allen n Elementen, so enthalten die sich ergebenden 0"'st(n -st r) Verbin¬ dungen alle Combinationen der (r -st 1) Classe mit Wiederholungen, und zwar jede (r -st 1)mal. Denn enthält eine bestimmte Combination der (r -st 1)ten Classe ein Element n nur einmal, so ist sie aus derjenigen Combination rter Classe, welche mit ihr sämmtliche Elemente bis aus a gemeinsam hat, einmal entstanden, und zwar eben durch Verbindung mit a. Enthält ferner dieselbe Combination der (r -st 1)ten Classe ein anderes Element l> st mal, dann ist sie auch aus derjenigen Combination rter Classe hervorgegangen, welche ihre sämmtlichen Elemente, jedoch l> nur (st — 1) mal enthält, und zwar ist sie aus dieser Combination gerade st mal entstanden, (st — 1)mal nämlich, indem man sie mit jedem in ihr vorkommenden st, und einmal, indem man sie mit st als einem der n Elemente verbunden hat. Hieraus geht hervor, dass jede Combination der (r -st 1)ten Classe so oft entstanden ist, als die Zahl ihrer Elemente beträgt, also (r -st 1)mal. Es ist daher / 1 - x. 1' Da nun Ost? — ist, sg hat man folglich (° st-2) (°st-y " s w.; allgemein _ il (ii st- 1) (li -st 2). .(ii -st r — 2) (n -str — 1) . 2 . 3 ... (r — 1) . r Schreibt man in dem letzten Bruche die Factoren des Zählers in um¬ gekehrter Ordnung, wodurch der Bruch die Form (» st- r — 1) (ll -st r — 2). ,(ll -st 2) (u -st 1).u 1 . 2 .. .(r — 2) (r — 1).r annimmt, so kann man denselben nach der im tz. 268, 3 eingeführten Be- 177 zeichnungsweise durch ausdrücken. Es ist daher 0",r — / " 1 s _ / u Z- 2 V s^,r _ /ll-s-r — I ° 12/' — 13/'"' — I r 3. Variieren. 8- 273. Variieren heißt, gegebene Elemente so miteinander verbinden, dass jede Complexion dieselbe bestimmte Anzahl aus den gegebenen Ele¬ menten enthält, wobei jedoch auch solche Complexionen, in welchen dieselben Elemente in verschiedener Anordnung Vorkommen, als verschieden gelten. Variationen sind demnach permutierte Combinationen. Wie die Combinationen, unterscheidet man auch die Variationen in die der ersten, zweiten, dritten,... Classe, ferner in Variationen ohne und mit Wiederholungen. Die Anzahl aller möglichen Variationen der rten Classe aus n Ele¬ menten ohne Wiederholungen wird durch Vl>, und die Zahl derselben mit Wiederholungen durch bezeichnet. Bildung der Variationen. K. 274. Die Variationen einer bestimmten Classe erhält man, indem man aus den gegebenen Elementen alle Combinationen derselben Classe bildet und dann von jeder Combination die Permutationen aufstellt. Die Variationen können aber auch unmittelbar gebildet werden. 1. Um aus gegebenen Elementen die Variationen der zweiten Classe ohne Wiederholungen zu bilden, setzt man jedes Element vor jedes der übrigen Elemente. Sind überhaupt die Variationen irgend einer Classe ohne Wiederholungen gebildet, so erhält man aus denselben die Variationen der nächst höheren Classe, indem man jedes Element vor jede frühere Variation, in welcher dieses Element nicht vorkommt, setzt. So geben die Elemente 1, 2, 3, 4 folgende Variationen ohne Wieder¬ holungen der 2. Classe: der 3. Classe: 12, 13, 14; 123, 124, 132, 134, 142, 143; 21, 23, 24; 213, 214, 231, 234, 241, 243; 31, 32, 34; 312, 314, 321, 324, 431, 342; 41, 42, 43; 412, 413, 421, 423, 431, 432; u. s. w. 2. Um aus gegebenen Elementen die Variationen der zweiten Classe mit Wiederholungen zu erhalten, setzt mau jedes Element vor jedes Element, auch sich selbst nicht ausgenommen. Moänil, Arithmetik und Algebra. 12 178 Hat man bereits die Variationen irgend einer Classe mit Wiederholungen dargestellt, so bildet man aus denselben die Variationen der nächst höheren Classe, indem man jedes Element vor jede frühere Variation setzt. Aus den beiden Elementen s, und b erhält man folgende Variationen mit Wiederholungen der 2. Classe: der 3. Classe: aa, atz; aau, aal), aba, abb; ba, baa, bab, bba, bbb; u. s. w. Zahl der Variationen ohne Wiederholungen. 275. Die Anzahl der Combinationen der rten Classe aus n Ele¬ menten ohne Wiederholungen ist aus jeder solchen Combination lassen sich durch Permutation der r Elemente r! Variationen der rten Classe ohne Wiederholungen bilden; folglich ist — ^"^.r! — n (n — 1) (n — 2).. .(n — r -s- 2) (u > — r -j- 1). Zahl der Variationen mit Wiederholungen. 276. Sind n Elemente gegeben, so gibt jedes derselben n Varia¬ tionen der zweiten Classe mit Wiederholungen, somit ist r? die Anzahl aller solcher Variationen. Ist überhaupt die Anzahl aller Variationen der rten Classe mit Wieder¬ holungen von n Elementen bekannt, so ist, da jede solche Variation durch Ver¬ bindung mit allen n Elementen n Variationen der (r -j- 1)ten Classe gibt, — V^.n. Da nun V»° — n" ist, so hat man V""' — u°, folglich V"'' — n^; allgemein V7-' n'. II. Winomischer Lehrsatz. 8- 277. Unter dem binomischen Lehrsätze versteht man das Gesetz, nach welchem die Potenz eines Binoms in eine Reihe entwickelt wird. Jede Potenz eines Binoms mit einem ganzen positiven Exponenten kann aus dem Producte mehrerer Binome, welche das erste Glied gemeinsam haben, hergeleitet werden, indem man in denselben auch die zweiten Glieder gleichsetzt. So geht das Product (a -j- b) (a -s- o) (a -j- ä) (a -s- o) (a ch- k), wenn man v — ä — o — f^b setzt, in die Potenz (u -j- b)^ über. 8- 278. Das Product mehrerer Binome, welche ein Glied gemeinsam haben. 179 Um das Product (a -j-b) (a -j- o) (a -f- ä) (a -j- s)... zu entwickeln, multipliciere man zuerst die ersten zwei Binome mit einander, ihr Product mit dem dritten Binom, u. s. w. Man erhält (a -s- d) (a -s- o) — s? -s- (l> -j- o) a -s- l> o, (n -s- d) (a -s- o) (a -s- ä) — a? -s- (d -s- o -s- ä) ä-(bo-j-bä-j-oä)a-j-boä, (a -s- l>) (a -j- o) (s. -f- ä) (a -j- s) — -j- (b -j- o -j- ä -i- s) -j- (bs -j- bä -j- bs -s- oä -s- os äs) -s- (bsä-^bo6->'bäs-boäs)Ä-s-l)säs, u. s. w. ' Das in diesen Producten herrschende Gesetz ist leicht zu ersehen. Das erste Glied eines jeden Produktes ist die sovielte Potenz von a, als Binomial- factoren gegeben sind: in den folgenden Gliedern nehmen die Exponenten von a in natürlicher Ordnung ab, bis im letzten Gliede — 1, d. i. gar kein a erscheint. Der Coefficient des ersten Gliedes ist 1, der Coefficient des zweiten, dritten, vierten, ... Gliedes ist bezüglich die Summe der Combi¬ nationen der ersten, zweiten, dritten, ... Classe aus den zweiten Gliedern der Binome, jeder dieser Complexionen als ein Product der darin vorkommenden Elemente aufgefasst. Gilt nun dieses Bildungsgesetz für ein Product von n Binomialfactoren a -j- b, a -b - -a -p- P, so dass (a -j- d) (a -b o).. .(g, -j- p) — a? -j- 8, (b.. x>) -P- 8z (b.. p) ^--2 -f-.. -j- 8n-i (b.. p) a -n 8° (b.. p) ist, wo allgemein 8k (d..p) die Summe aller Combinationen der Kten Classe aus den n Elementen b, o,..p, die einzelnen Complexionen als Produkte aufgefasst, bezeichnet, so gilt dasselbe Gesetz auch, wenn noch ein neuer Factor a -j- 9 dazntritt. Man erhält nämlich (a -j- b) (a -P o)... (a -j- p) (g. -j- . .p) -s- 8z (i>. .x).. .) (a -s- 0).. .(a -s- p) (a -s- 1) — -s- 8^ (b.. <1) -s- 8z (1> -. 1) -ch .. ^8o(b..) (a, -s- 0) (a. -s- ä)... (a -s- p) — -s- 8, (b. .p) ->-82 (d. .p) -P 8, (b..p) -s- . . . -s- 811-1 (b. .p) a -s- 8i-(b. .p) die zweiten Glieder 0 — ä — ... — p — b, so wird (a -s- l>) (s, -s- 0) (a Z- ä) ... (a -f- p) — (a -s- ferner 8, (b..p) — b-s-o-s-..-s-p — — ^^1), 8z (i). -p) — b 0 -s- dü -f- .. -s- op — l? -s- l? -s- .. -s- l>- — 8z(d..p) — l>oä-s-l>06-s-..-s-mop — b^-j-1>°-s-..-s-l)^ — 8a-i (1>. .p) lioä. .mo -s- la"-* -j-.. -s- 8o (tr. -p) — t>oä .. mop — l>° — Durch die Substitution in den obigen Ausdruck erhält mau daher für den binomischen Lehrsatz die Formel (a -j- b)° a" -s- -s- -s- (°) -s- ... f ° -s-d°. VH — 1/ VH/ In dieser Formel herrscht folgendes Bildungsgesetz: 1. Die Potenzen des ersten Gliedes a des BinomS erscheinen fallend, jene des zweiten Gliedes d steigend geordnet. Der Exponent von a ist im ersten Gliede gleich dem Potenzexponenten u des Binoms, in jedem folgenden 181 Gliede um 1 kleiner und wird im letzten Gliede — 0, woraus zugleich folgt, dass die ganze Reihe ein Glied mehr hat, als der Potenzexponent n des Binoms Einheiten enthält. Die Exponenten von d nehmen umgekehrt von 0 bis Q zu. Die Summe der Exponenten von n und t> ist in jedem Gliede gleich o. 2. Der Binomialcoefficient des ersten Gliedes ist 1; der Coefficient des zweiten, dritten, vierten, ... (K -s- 1)ten Gliedes ist bezüglich die Zahl der Combinationen der ersten, zweiten, dritten ... Kten Classe ohne Wieder¬ holungen von n Elementen. 3. Ist das zweite Glied k des Binoms negativ, so wird das zweite, vierte,... überhaupt jedes geradstellige Glied der Reihe negativ; man hat daher (a — 1>)° s,° — k -j- j 1? —... -j- (— 1)° i") 1)°. Hiernach ist in der Binomialreihe (a d)" allgemein das (Ir -s- 1)te Glied gleich (4- 1)" 1?. Beispiele. 1) (x fi- a)° — — -s- -s- -s- g,° — x° -s- 6ax° -s- 15a^x^ -s- 20n^x^ -s- 15a^x^ -s- 6a°x -j- s?. 2) (3x - 2^ -- -- (3x)' - ^)-(3x)-.27 fi- (3x)-. (2^ - A.3x.(2^ -s- (2^ — 81x^ — 4.27x427 -f- 6.9x4 47' — 4.3x.8^ Z- I67' — 81x' — 216x^7 -s- 216x^" — 96xv° -j- I67'. 3) Das 7te Glied von (2x' — 87)" ist (— 1)° A . (2x')s-°. (87)" — 84.8 x°. 7297° — 489888 x°7°. K. 280. Wir lassen nun auch noch eine zweite Entwicklung des binomi¬ schen Lehrsatzes folgen, die unmittelbar auf der Combinationslehre beruht. Multiplicieren wir a Z- d mit a -f- d, das Product wieder mit a -s- k, u. s. w., schreiben aber dabei, damit das Bildungsgesetz leichter erkannt werde, in jedem Theilpro duete zuerst den Multiplicator an, und machen in den Re¬ sultaten vorläufig auch von der Potenzbezeichnung für die gleichen Mctoren keinen Gebrauch. Es ist a-j-b (g, Z- sp)- (a -s- b) (a, fi- t>) — aa -f- -s- 1)8, -fi 1>1)j (a -s- K)- — (a, -s- l>)^ (a fi- b) — aaa fi- «-ab -s- ada -f- abkl -fi 1)88, -s- 1) 8 1) -s- 1)1)8 -f-1>1>1)j u. s. w. 182 Vergleicht man diese Resultate mit den Variationen mit Wiederholungen aus a und b in K. 274, 2, so sieht man sogleich, dass die Bestandthcile der 2ten Potenz des Binoms a -j- b aus den Gliedern desselben auf gleiche Weise gebildet werden, wie dort aus den Elementen a und si die Variationen der 2ten Classe mit Wiederholungen zusammengestellt wurden, dass daher (a -s- d)? gleich der Summe aller Variationen der 2ten Classe mit Wieder¬ holungen aus den Elementen a und l> ist, wenn man jede Variation als Pro¬ duct betrachtet; dass ebenso (a -si 3)^ die Summe aller Variationen der 3ten Classe mit Wiederholungen von a und b ist, jede Variation als Product auf¬ gefasst. Da auch die Entwicklung jeder höheren Potenz von s, 4- l>, wenn sie aus die angedeutete Weise geschieht, mit dem Bildungsgesetze der Variationen der entsprechenden Classe mit Wiederholungen aus n und ll in Übereinstimmung bleibt, so folgt, dass allgemein (a -s- die Summe aller Variationen der nten Classe mit Wiederholungen aus den Elementen s, und l> ist, wenn mau jede Variation als Product auffasst. Die Variationen erhält man aber auch, wenn man die Combinationen derselben Classe bildet und diese permutiert. Die Combinationen der uten Classe mit Wiederholungen aus den Elementen s, und b, als Producte betrachtet, sind nach tz. 270, Zusatz, u", a?-?!)?, .. l)°. Diese Combinationen müssten permutiert und die dadurch entstehenden Variationen als Producte addiert werden. Da aber alle Variationen, die aus der Permutierung derselben Combination hervorgehen, dieselben Elemente ent¬ halten und somit als Producte betrachtet der Combination selbst gleich sind, so braucht man die Permutationen nicht wirklich zu bilden, sondern wird, um die Summe aller Variationen zu erhalten, jede Combination sogleich mit ihrer Permutationszahl multiplicieren und dann alle diese Producte addieren. Die Permutatiouszahlen für die oben aufgestellten Combinationen sind nun nach A. 268, 3, folgeweise 1 i ° 1. ' lik' lk-'" in - i/' Es ergibt sich sonach, wie in Z. 279, (a -si ll)° — g" -s- (°) -si -s- ... -s- -s- . . . si- s -j-d°. Zusatz. Genau auf dieselbe Art, wie hier die Binomialformel entwickelt wurde, kann auch der polynomische Lehrsatz, d. i. eine Formel für (a-s-b-s-e-s-ä-s- ..)", abgeleitet werden, da diese Potenz der Summe aller Variationen der nten Classe mit Wiederholungen aus den Elementen a, b, o, ä,... gleich ist, wenn man jede Variation als Product auffasst. Um daher die nie Potenz eines gegebenen Polynoms zu erhalten, darf man nur aus den Gliedern desselben die Combinationen der nten Classe mit Wieder- 183 Holungen bilden, jede derselben als Product betrachtet mit der zugehörigen Permutationszahl multiplicieren und die erhaltenen Producte addieren. K. 281. Beziehungen zwischen den Binomialcoefficienten. 1. Je zwei vom Anfänge und vom Ende gleich weit ab¬ stehende Binomialcoefficienten sind einander gleich. Der (K 1)te Binomialcoefficient vom Anfänge ist /nX _ L (ll — I). . .(n — k -s- 2) (v — Ir -s- 1) — 1.2.(k — 1).Ic - Der (Ir -f- 1)te Binomialcoefficient vom Ende ist der (n — Ir fi- 1)te vom Anfänge, also / ° ° (n - 1) ... (k-l-2) (i--l-1) z n — k 1 1.2... (n — k — 1) (n — k) Multipliciert man Zähler und Nenner des ersten Bruches mit (L Z- 1) (1r 2) ... (n - Ic - 1) (n - Ir), so erhält man s-J ° (n- 1)..(n-k-s-1) (->-L)...(L-s-2) (k-s-Y . 1.2... .k (L-z-1).. — L — 1) (ll — k) ' folglich ist Zusah. Aus der letzten Gleichung ergibt sich für lr — 0 2. Die Summe aus dem lcten und (K -s- 1)ten Binomial¬ coefficienten einer Potenz ist gleich dem (k -j- 1)ten Binomial¬ coefficienten der um 1 höheren Potenz. ist / 1 — » (° —i). si» — k-s-3) (° — K-s-2 ) 1 —Ic-i-2) (ll-k-j-l) , , VK/ — 1.2.(k —1).k , vuc-cc fi 1 -) -l- <9 - l» (n -s- 1) n (n — 1). . .(u — k -s- 2) ill -P l 1.2.S. k . k /' Mittelst dieses Satzes kann man aus den Binomialcoefficienten irgend einer Potenz jene der nächst höheren Potenz durch bloße Addition ableiten. Man erhält dadurch für die auf einander folgenden Potenzen eines Binoms folgende Coefficienten (Pascal'sches Dreieck): 1 1 1 1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 u. s. w. 184 3. Die Summe aus den (lr-f-1)ten Binomialcoefficienten der lrten, (lr -s- 1)ten, (Ic ch- 2)ten, ... bis nten Potenz ist gleich dem (lr -s- 2)ten Coefficienten der (n -s- 1)ten Potenz. Addiert man diese Gleichungen, so ergibt sich, da sich die Glieder auf der zweiten Seite paarweise aufheben und — 0 ist, die Gleichung Z. B. für k — 2 ist 4. Die absolute Summe aller Binomialcoefficienten für die nte Potenz ist gleich 2°. 5. Die algebraische Summe der abwechselnd positiven und negativen Binomialcoefficienten ist gleich Null. 6) - N K - - »° i:) - a - - °- III. Klemmte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die absolute und einfache Wahrscheinlichkeit. 8- 282. Sind unter mehreren gleich möglichen Fällen einige dem Eintreffen eines bestimmten Ereignisses günstig, die übrigen dagegen un¬ günstig, so heißt das Verhältnis der Anzahl jener Fälle, welche dem Ein¬ treffen des Ereignisses günstig sind, zu der Anzahl aller gleich möglichen Fälle die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen dieses Er¬ eignisses. 185 Bezeichnet a die Zahl der einem Ereignisse günstigen und 1) die Zahl der ihm ungünstigen Fälle, so ist, wenn die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen jenes Ereignisses durch v ansgedrückt wird, a —-,-v. a -f- b Je mehr Fälle dem Eintreffen des Ereignisses günstig sind oder je größer a ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden des Ereignisses; sind alle Fälle günstig, so ist das Stattfinden gewiss, und man hat, da b — 0 ist, als das mathematische Symbol der Gewissheit v — 1. Ä Je weniger günstige Fälle Vorkommen, desto geringer wird auch die Wahrscheinlichkeit; ist gar kein Fall günstig, so ist das Eintreffen des Ereig¬ nisses unmöglich, und hat man, da a — 0 ist, für das mathematische Symbol der Unmöglichkeit o n v ----- 0. v Im gewöhnlichen Leben heißt ein Ereignis wahrscheinlich, wenn zweifelhaft, wenn v r und unwahrscheinlich, wenn ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintreffen werde, heißt die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit. Sie wird durch einen Bruch dargestellt, dessen Zähler die Anzahl aller ungünstigen und der Nenner die Anzahl aller gleich möglichen Fälle ist. Bezeichnet man die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit durch rst, so ist daher v -st v' — — 1, s -st b' A -st b d. h. die Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen eines Ereignisses und jener für das Nichteintreffen gibt die Einheit, somit die Gewissheit; was auch ganz natürlich erscheint, da es gewiss ist, dass jenes Ereignis entweder eintreffen oder nicht eintreffen muss. Aus V -st — 1 folgt v?, — 1 — rr. Beispiele. Wirft man zwei Spielwürfel und L, deren sechs Flächen nach der Reihe mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 Punkten oder Augen bezeichnet sind, so sind in Bezug auf die Zahlen, welche auf den oberen Flächen der beiden Würfel zu stehen kommen, folgende 36 Fälle gleich möglich: 186 a) Um die Summe 5 zu werfen, sind 4 Fälle günstig, nämlich 14, 23, 32, 41. Die Wahrscheinlichkeit, mit beiden Würfeln 5 Augen zu werfen, ist also go — 9 - Dieser Ausdruck, welcher anzeigt, dass in 9 Würfen die Summe 5 einmal geworfen werde, ist jedoch nicht so zu verstehen, als wenn man in den ersten 9 Würfen die Summe 5 gerade einmal werfen müsste; man kann diese Summe vielleicht gar nicht, oder gerade einmal, oder auch mehr als einmal werfen; aber wenn man sehr viele Würfe macht, so wird sich das Verhältnis der Anzahl der Würfe, worin man 5 wirft, zu der gesanimten Anzahl der Würfe umsomehr dem Verhältnisse 1 : 9 nähern, je länger das Spiel fortgesetzt wird. Der wirkliche Erfolg wird der durch Zahlen ausgedrückten Wahr¬ scheinlichkeit um so näher kommen, je größer die Anzahl der Versuche ist; und in diesem Sinne ist die mathematische Wahrscheinlichkeit stets aufzufassen. d) Die Wahrscheinlichkeit, die Summe 5 nicht zu werfen, ist 1 — «) Die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen 3 und 5 zu werfen, ist, da nur zwei Fälle 35 und 53 günstig sind, ä) Die Wahrscheinlichkeit, einen Pasch, d. i. zwei gleiche Zahlen zu werfen, ist Die relative Wahrscheinlichkeit. K. 283. Die bisher betrachtete Wahrscheinlichkeit, wobei nur ein Ereignis an und für sich betrachtet wird, heißt die absolute Wahrscheinlich¬ keit, im Gegensätze zu der relativen, welche sich auf die Vergleichung zweier Ereignisse bezieht. Bei der relativen Wahrscheinlichkeit zieht man unter den möglichen Fällen nur diejenigen in Rechnung, welche entweder dem einen oder dem andern der beiden Ereignisse günstig sind, während alle übrigen Fälle unbeachtet bleiben. Sind für verschiedene Ereignisse s Fälle gleich möglich, und vergleicht man nur die Ereignisse und L, deren einem m und dem andern u Fälle günstig sind, so ist die relative Wahrscheinlichkeit IV für das erste Ereignis und diö relative Wahrscheinlichkeit für das zweite Ereignis . Man kann die relativen Wahrscheinlichkeiten auch aus den absoluten her¬ leiten. Es ist nämlich, wenn man die absoluten Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse und L beziehungsweise durch rr und v' bezeichnet, NI N 8'8 88 Die relative Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist also gleich dem Quotienten aus der absoluten Wahrscheinlichkeit jenes Ereignisses und der Summe der absoluten Wahrschein¬ lichkeiten der beiden Ereignisse. 187 Z. B. In einer Urne sind 4 weiße, 6 blaue und 8 rothe Kugeln. Die absolute Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, ist „ rothe „ „ „ „ daher die relative Wahrscheinlichkeit, eher eine weiße als eine rothe Kugel zu ziehen, eher eine rothe als eine weiße Kugel zu ziehen, Die mlnmniengesthtc Wahrscheinlichkeit. K. 284. Beruht die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf der Berechnung mehrerer einfacher Wahrscheinlichkeiten, so heißt eine solche Wahrscheinlichkeit eine zusammengesetzte. Sie ist zweifacher Art; entweder schließt sich das Eintreffen der einzelnen Ereignisse gegenseitig aus und es kann unter mehreren fraglichen Ereignissen nur eines ftattfinden, oder es sollen zwei oder mehrere Ereignisse in Verbindung miteinander gleich¬ zeitig oder nacheinander eintreffen. ß. 285. Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines von mehreren Ereignissen, die sich gegenseitig ausschließen. Ist s die Anzahl aller gleich möglichen Fälle, von denen m dem Ereignisse^., n dem Ereignisse L, p dem Ereignisse 0,... also m ff- n 4- P- - - für das Ein¬ treffen irgend eines unter den Ereignissen L, 6,... günstig sind, so ist, wenn man die absoluten Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse durch -nch n", rr"',... und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines dieser Ereignisse durch bezeichnet, ^"^^...und s ' s ' s ' mff-^p-ff... oder 8 8 3 8 4V v' ff- -ff n"' ff- ..., d. i. die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines von mehreren sich gegenseitig ausschlicßenden Er¬ eignissen ist gleich der Summe der absoluten Wahrscheinlich¬ keiten der einzelnen Ereignisse. Z. B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne, in welcher 6 gelbe, 8 rothe und 10 weiße Kugeln sind, eine farbige Kugel zu ziehen? Die W., eine gelbe Kugel zu ziehen, ist die W., eine rothe Kugel zu ziehen, ist daher die W., eine farbige Kugel zu ziehen, 24 24 — 24 12' 188 Z. 286. Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen meh¬ rerer Ereignisse. Es sei die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen zweier Ereig¬ nisse und 8, von denen dem ersteren ua^ Fälle günstig und n' Fälle ungünstig, dem letzteren ru" Fälle günstig und n" Fälle ungünstig sind. Die absoluten Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse sind , iw ,, m" uv ff- m ' w" -i- n" Da nun jeder der ull dem Ereignisse günstigen Fälle mit jedem der na" dem Ereignisse 8 günstigen Fälle zusammen eintreffeu kann, so gibt es für das Zusammentreffen beider Ereignisse ull na" günstige Fälle. Die Anzahl aller- möglichen Fälle ist (nll ff- ill) (na" ff- n"), da jeder der nll ff- nll bei möglichen Fälle mit jedem der na" ff- n" bei 8 möglichen Fälle Zusammentreffen kann. Es ist daher die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Ereignisse und 8 zusammen eintreffen, -l*?- nü m" m" , „ VV --— - - . (m' ff- w) (in" ff- n") in^ ff- ' in" ff- n" Sind ebenso rv^, rv", ... die absoluten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen der einzelnen Ereignisse ^.,8,0,-.., so erhält man die Wahr¬ scheinlichkeit für das Zusammentreffen aller dieser Ereignisse rv'rv"rv"'..., d. h. die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen mehrerer Ereignisse ist gleich dem Producte aus den absoluten Wahr¬ scheinlichkeiten für das Eintreffen der einzelnen Ereignisse. Z. B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln auf den ersten Wurf die Summe 5, auf den zweiten die Summe 7 zu werfen? 4 Die W., auf den ersten Wurf die Summe 5 zu werfen, ist die W., auf den zweiten Wurf die Summe 7 zu werfen, ist daher die W. für das Zusammentreffen dieser beiden Ereignisse Z. 287. Wahrscheinlichkeit für das wiederholte Eintreffen desselben Ereignisses. Ist v die absolute Wahrscheinlichkeit, dass irgend ein Ereignis eintreffe, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass jenes Ereignis 2-, 3-, 4-,...rmal nach¬ einander eintreffe, ^2 — rVz — — rv.rv.v.rv — — v. v.-w-... .rmal — 189 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mehrere male nach einander stattfinde, ist also gleich der sovielten Potenz der Wahrscheinlichkeit für das einmalige Eintreffen, als Wieder¬ holungen stattfinden sollen. Z. B. Wie groß ist die W., mit zwei Würfeln 3 mal nacheinander die Summe 7 zu werfen? — Die W., die Summe 7 einmal zu werfen, ist also die W., die Summe 3mal nach einander zu werfen, — Wenn ein Ereignis wiederholt stattfinden soll, so tritt zuweilen der Fall ein, dass nach jedem Eintreffen desselben sowohl die Anzahl der möglichen als die der günstigen Fälle um 1 kleiner wird. In diesem Falle ist, wenn die Wahrscheinlichkeit für das erste Eintreffen eines solchen Ereignisses ausdrückt, die Wahrscheinlichkeit für das r malige Wiederholen desselben m m — 1 — 2 m — r-j-1 n - . <- . - . . . -'- 8 8 - 1 8 — 2 8 - r -j- 1 ' Z. B. Die W., aus einer Urne, welche 8 weiße und 6 schwarze Kugeln enthält, 4mal nach einander eine weiße Kugel zu ziehen, wenn jede gezogene Kugel nicht wieder in die Urne zurückgelegt wird, ist 8 7 6 — io 14'13 ' 12 ' 11 143' Z. 288. Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Combina¬ tionen zweier Ereignisse. Sind s gleich mögliche Fälle, von denen m' dem Ereignisse und m" dem Ereignisse 8 günstig sind, so ist, wenn. — — v und — — w 8 8 gesetzt wird, die Wahrscheinlichkeit, dass eintrifft „ nicht eintrifft „ 8 eintrifft.... „ 8 nicht eintrifft .. ,, eintrifft, 8 nicht .. „ nicht eintrifft, aber 8 „ nur oder 8 eintrifft „ und 8 beide eintreffen „ und 8 nicht beide eintreffen.. „ weder noch 8 eintrifft ..... iv 1 - v" 1 --iv" (1 -v") (1 -vst IV" rv' (1 — w") st- (1 — 1V^) ^v" v" 1 - w" (1—ivst (1 — w") „ von und 8 wenigstens eines eintrifft, also oder 8, oder auch beide... 1—(1 — iv^) (1 — iv") Z. B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln in zwei Würfen wenigstens einmal 9 Augen zu werfen? 190 Hier ist ve' — und ve" — daher die gesuchte Wahrscheinlichkeit I - (1 _ ^-) (i - 1 - Mathematischer Hoffnungswert. Z. 289. Ist mit dem Eintreffen eines Ereignisses ein bestimmter Gewinn verbunden, so hat derselbe vor dem Eintreffen jenes Ereignisses einen Wert, welcher von dem Grade der Wahrscheinlichkeit abhängt, die für das Stattfinden des Ereignisses vorhanden ist; man nennt diesen Wert den mathematischen Hoffnungswert oder die mathematische Erwartung. Trifft das Ereignis gewiss ein, so darf man auch vor dem Eintreffen desselben den vollen Gewinn erwarten. Sind aber für das Stattfinden des Ereignisses a Fälle günstig und b Fälle ungünstig, so wird das Ereignis unter a ff- 5 Fällen nur in a Fällen eintreffen und daher auch der Gewinn nicht mit dem vollen Werte, sondern nur mit dem sovielten Theile desselben, als die Wahrscheinlichkeit w, ihn zu erhalten, anzeigt, erwartet werden können. Heißt daher ll der mathe¬ matische Hoffnungswert und A der anzuhoffende Gewinn, so ist ü — - j-7- . K s ff- b o d. h. der mathematische Hoffnungswert eines Gewinnes ist gleich dem Produkte aus dem Gewinne und der Wahrscheinlich¬ keit desselben. Z. B. Jemand setzt auf zwei Nummern einer Zahlenlotterie, welche 90 Nummern enthält, 1 st. und gewinnt, wenn seine beiden Nummern gezogen werden, 240 ff.; wie groß ist der mathematische Hoffnungswert? Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Nummern einen Ambo zu machen, ist 4005 — 801' daher ll — . 240 — — 2g7 st- Z. 290. Bei Versicherungen, Wetten und Glücksspielen wird eine be¬ stimmte Summe eingesetzt und dafür im günstigen Falle eine bestimmte Summe gewonnen. Jede rechtmäßige Versicherung, sowie jedes rechtmäßige Glücksspiel beruht auf dem Grundsätze: Der Einsatz muss dem mathematischen Hoffnungswerte des Gewinnes gleich sein. Heißen s' und s" die Einsätze zweier Spieler, welche die Wahrscheinlich¬ keit w' und w" haben, einen Gewinn A zu erhalten, so ist o' — A und g" —-sv" daher s' : o" — w': v", d h die Einsätze müssen den Wahrscheinlichkeiten, zu gewinnen, proportioniert sein. Z. B. wettet gegen Ich dass er mit zwei Würfeln einen Pasch wirft. Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen, ist für für L es müssen sich also auch die Einsätze der beiden Spieler, wenn die Wette rechtmäßig sein soll, 1 5 wie oder wie 1:5 verhalten, d. h. L muss 5 mal so viel setzen als 191 Wahrscheinlichkeit in Beziehung aus die Lebensdauer des Menschen. 8- 291. Durch Vergleichung der Sterbelisten, die für zahlreiche Orte und durch viele Jahre hindurch geführt wurden, ist mau zu Tabellen gelangt, welche augeben, wie viele von einer bestimmten Anzahl in demselben Jahre geborener Menschen in den aufeinander folgenden Jahren noch am Leben sind. Solche Tabellen heißen Sterblichkeits- oder Mortalitätstafeln. Wir theilen nachstehend eine solche Tafel mit. Süßmilch-Banmann'sche Sterblichkeitstafel. Diese Tabelle, welche sich auf 1000 in demselben Jahre Geborene bezieht, enthält in der ersten mit n überschriebenen Spalte die Altersjahre der Personen, in der zweiten mit a» bezeichneten die Zahl der im Alter von n Jahren noch Lebenden. Die Differenz zweier Zahlen der Lebenden gibt die Anzahl der in dem bezüglichen Zeiträume Gestorbenen. So sterben z. B. vom 20. bis zum 30. Lebensjahre 491 — 439 — 52 Personen. Die Zahl der im n ten Alters¬ jahre Gestorbenen ist gleich tz.292. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine njährigc Person das Alter von n -j- p Jahren erreichen werde, darzustellen. Von a» im Alter von n Jahren lebenden Personen leben im Alter von n -s- p Jahren noch Personen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine n jährige 192 Person das (n -1- p)te Jahr erreichen werde, ist demnach, da die Anzahl der günstigen nnd die Anzahl aller gleich möglichen Fälle angibt, rr — — — . Die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit, dass nämlich eine n jährige Person das (u -s- p) te Jahr nicht erleben werde, ist — 1 — Beispiele. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 24jährige Person das bOste Jahr erreichen werde? tis» — - 0-637. 2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Eheleuten, von denen der Mann 40, die Frau 30 Jahre alt ist, beide das 60 sie Jahr erreichen werden? Die Wahrscheinlichkeit, das 60ste Jahr zu erreichen, ist für den Mann — , für die Frau — , daher die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit, dass beide das 60ste Jahr erleben, — 0'2686. Ledensverjichcrungsrechnung. tz. 293. Verpflichtet sich eine Versicherungsanstalt, einer Person oder deren Rechtsnachfolgern gegen eine zu entrichtende Geldsumme iu einem bestimmten Falle, welcher von dem Leben oder Tode einer oder mehrerer Per¬ sonen abhängt, einen gewissen Capitalsbetrag oder eine bestimmte Leibrente (tz. 264) zu zahlen, so heißt der bezügliche Vertrag ein Lebensversicherungs¬ vertrag. Bei allen Rechnungen über Lebensversicherungen wird der Grundsatz festgehalten, dass der Barwert der Zahlungen, welche die Versicherungsanstalt von den unter gleichen Bedingungen versicherten Personen zu empfangen hat, gleich sei dem Barwerte der Zahlungen, welche die Anstalt an diese Ver¬ sicherten zu leisten hat. Unter der Reserve (Prämienreserve) eines Versicherten in einem gege¬ benen Zeitpunkte versteht man den Betrag, welcher sich ergibt, wenn man den Barwert der von ihm noch weiterhin zu leistenden Zahlungen von dem Bar¬ werte seiner künftigen Bezüge subtrahiert. Die Reserve gibt den Wert der Versicherungs-Polizze für jenen Zeitpunkt an. Wir beschränken uns hier auf einige besonders wichtige Aufgaben. K. 294. Ausgabe. Eine n jährige Person will bei einer Ver¬ sicherungsanstalt ein Capital 0 so versichern, dass dieses nach p Jahren, wenn die Person damals noch lebt, au dieselbe aus¬ gezahlt werden soll, dass dagegen, falls die Person während der p Jahre stirbt, die eingezahlte Summe zu Gunsten der § Anstalt verfällt; wie groß ist der Betrag N (Mise), welcher an die Anstalt sogleich einzuzahlen ist? (Versicherung aus den Lebensfall.) 193 Wenn alle Personen, welche in der Sterblichkeitstafel bei dem Alter n angegeben sind, unter denselben Bedingungen der Versicherungsanstalt bei¬ treten, so haben sie zusammen LI . a.« einzuzahlen. Von den Personen leben nach p Jahren noch an diese hat die Anstalt je 6, also im ganzen den Betrag 6 . zu zahlen, dessen Barwert, wenn hier wie auch in den folgenden Aufgaben der Zinsfuß durch 6 bezeichnet wird, —— beträgt. Da nun die Barwertc der Einnahmen und der Ausgaben der Anstalt gleich sein sollen, so hat man die Gleichung N . — 6 . ^2, daher U — 0 . SP , / Lll tzk Zu demselben Resultate gelangt man auch durch folgende Schlussweise, die ebenso bei den späteren Aufgaben angewendet werden kann. Die Wahr¬ scheinlichkeit, dass die n jährige Person das (n -l- p)te Jahr erreichen und dass also die Auszahlung des versicherten Capitals 6 wirklich erfolgen werde, ist daher (nach Z. 289) der mathematische Hosfnungswert dieses Capitals 6 . und sein Barwert 0 . Es ergibt sich daher, wie früher, LI — 0 . Es sei in diesem Falle die Reserve R des Versicherten, wenn er K Jahre alt ist, zu bestimmen. Die Versicherungssumme, welche die Anstalt an die ihr beigetretcnen Personen, wenn sie n -s- p Jahre alt werden, auszu¬ zahlen hat, beträgt 6 . hievon entfällt gegenwärtig, da nur noch Lx Personen leben, auf einen Versicherten, der nach n si- p — Ir Jahren fällige Betrag 6 . -^2. Die Reserve ist demnach, da keine weitere Einzahlung zu leisten ist, gleich dem Barwerte dieses Betrages, also Beispiel. Wie groß ist der Betrag, den ein Vater bei 5A Zinseszins an eine Versicherungsanstalt einzahlen muss, damit diese seinem 10jährigen Sohne, wenn er das 24ste Jahr erreicht, ein Capital von 2000 st. auszahle? ^-2000.^-^.- 894'32 st. Zu diesem Betrage kommt noch ein Verwaltungskostenzuschlag. Wenn der Sohn 20 Jahre alt wird, ist seine Reserve N 2000 — 1578-37 fl. ü— 2000.—— 491.1-05« ' Z. 295. Ausgabe. Wie groß ist der Betrag LI, den eine njährige Person an eine Versicherungsanstalt sogleich ein- zahlen muss, damit sie, so lange sie lebt, am Ende eines jeden Jahres eine Leibrente 8 beziehe? (Rentenversicherung.) Močnik, Arithmetil und Algebra. 194 Versichern sich Lu Personen vom Alter u unter gleichen Bedingungen, so Huben sie LI.Nn einzuzahlen. Von diesen Personen leben am Ende des 1., 2., 3.,... Jahres noch a^z... Die Anstalt hat daher an Renten auszuzahlen L . L . a^s, L . - - - Die Summe der Barwerte dieser Rente ist i i , V ' 6 ' 6^ ' tzb wobei die Reihe innerhalb der Klammern bis an das Ende der Sterblichkeits¬ tafel fortzusetzen ist. Setzt man die Barwerte der Einnahmen und der Ausgaben der Ver¬ sicherungsanstalt gleich, so ergibt sich U . L . rI! 4- rZr . j, «d daher oder wenn man den für L — 1 sich ergebenden Betrag durch r» bezeichnet, also .v setzt, LI — L. r». Die Reserve für das Alter k der Person ist dann gleich k L : i,. Die Berechnung von r„, welches den Bar wert der Renteneinheit für das Alter u darstellt und ein Hauptelement der Versicherungsrechnung bildet, gestaltet sich meistens sehr mühsam und weitläufig. Wir geben in der nachfolgenden Tabelle die für 4A und 5A bereits ausgerechneten Werte V0N Nu- Die Construction einer solchen Tafel geschieht am einfachsten auf fol¬ gende Weise: Nach der Formel 1) ist r^i -s- -s- -. also 1 -s rn4-r _ 1 i Ln^-I , . 1 _ 1 s V s > - - - und folglich I-u — 2). Man bestimmt nun, z. B. für 4A, zuerst, und zwar nach der Formel 1) —. — I, ^^ — 0-48077- Sgt 1-04 2 ' 104^" 400« sodann nach der Formel 2) „ — »st (1 -l- rgi) — 2.1-48077 — o .i »9S-1-04 — 3.1-94 hierauf nach derselben Formel i-g», dann folgeweise r^,, r,,, u. s. f., was mit Hilfe der Logarithmen leicht auszuführen ist. 195 Barwert einer Renteneinheit nach der Süßmilch-Baumann'schm Sterblichkeitstafel für und 5A berechnet. Beispiel. Welchen Betrag muss eine 47jährige Person emzahlen, um sich eine Leibrente von 200 Kronen zu sichern, die Zinsen zu 4A gerechnet? N 200.r„ 200.11'527 2305-4 Kronen. 196 Z. 296. Aufgabe. Eine ujährige Person will bei einer Anstalt ein Capital 0 versichern, das nach ihrem Tode ihren Erben ausgezahlt werden soll; wie groß ist der Betrag LI, den sie sogleich ei nzu zahlen hat? (Versicherung auf den Todesfall.) Treten der Anstalt a„ Personen unter gleichen Bedingungen bei, so muss die Summe ihrer Einzahlungen, nämlich LI. gleich sein dem Bar¬ werte aller Capitalien, welche von der Anstalt für die gestorbenen Personen an deren Erben zu zahlen sind. Von a» Personen leben nach einem Jahr noch die Zahl der Gestorbenen des ersten Jahres ist also a« — a.2-1-1. Ebenso sterben im 2., 3.,... Jahre — a^-i-z, . Die Anstalt hat also am Ende des 1., 2., 3.,... Jahres an die Erben der Gestorbenen die Capitalsbeträge 0 .. (an U-ll-^-l), 0 . (a.2-1-1 02^-2), 0 . (a2-1-2 Un^-g), . . . zu zahlen. Die Summe der Barwerte aller dieser Zahlungen ist f »2 — »2-1-1 , »2^-1 — »2-1-2 , »2-1-2 — , f s N" -w gS "W - - - - 0. ? Pl - -I--I-..)-I-^7-I--I-..)s — o -'"j. wenn der Ausdruck -j- -j-.. ^ durch ersetzt wird (Z. 295). Somit ist LI . - a.„ ^1 — (s — 1) daher LI . ^1 - (e - 1) r^. Ebenso ist die Reserve für die Person, wenn sie lr Jahre alt ist, k — . ^1 — (s — 1) r^. Beispiel. Welches Antrittsgeld hat eine 36jährige Person bei 5A Zinsen an eine Versicherungsanstalt zu zahlen, damit nach ihrem Tode ihre Erben eine Summe von 2500 st. erhalten? LI . (1 - 0-05 . r^) -r . (1 — 0-05.12'452) 898'54 st. 8- 297. Aufgabe. Eine njährige Person will gegen eine am Anfänge jedes Jahres zahlbare Prämie k ein Capital 0 ver¬ sichern, das bei ihrem Absterben an die Erben ausbezahlt werden soll; man suche die Beziehung zwischen k und 0. 197 Nimmt man wieder a» Personen vom Alter n an, so beträgt die von ihnen gleich beim Eintritte an die Anstalt zu zahlende Prämie zusammen ? . a.. Nach 1, 2,... Jahren leben noch a^z... Personen; diese zahlen an Prämien k . . Der Barwert aller Prämien ist also . u» (1 -s- r») (8. 295). Der Barwert aller Leistungen der Anstalt an die Erben der Versicherten ist, wie in der Aufg. 8- 296, fl — l> — 1) r„j. Man hat daher k . Lu (1 -s- i-n) — . Lll^l — (e — 1) rns, oder ' I>.(1Z-i.°)^.f1-(s-1)-.,j. Die Reserve für das Alter k der Person ist gleich der Differenz der auf diesen Zeitpunkt bezogenen Barwerte der künftigen Bezüge und Prämien, also k^.s1-(s-1)-^-kf1-st^, oder, wenn man für k den Wert aus der früheren Gleichung substituiert und dann den Ausdruck reduciert, R 6 . I -s- rn Beispiel. Eine 55jährige Person will auf den Todesfall ihren Erben ein Capital von 4000 Kronen versichern; welche jährliche Prämie hat sic bei Verzinsung einzuzahlen? 4000 1 -0 04^ 4000 1-0'04^'630 222'2 Kronen. 1-04 1-Pi-gg 1-04 14- 9 639 Für die obige Person wäre nach 10 Jahren die Reserve k 4000 . 4000. ^ 972-3 Kronen. 1 -s- rzz 10 639 Anhang. I. Köyere numerische Gleichungen. Z. 298. Die allgemeine Form einer numerischen Gleichung des mten Grades mit einer Unbekannten ist -s- A, -s- Az x°>^^ -s- ... -s- Am-r x -s- Am — 0, wo die Coefficienten A,, A., ... Am besondere positive oder negative Zahlen bedeuten, einige von ihnen auch Null sein können. Ein von der veränderlichen Zahl x abhängiger Ausdruck wird eine Function von x genannt und durch ck (x), k' (x), go (x), ... bezeichnet. Setzt man daher das Polynom x^ -s- A^ x^-e -s- A, x.E-2 Z- .. . Z- A^^ X -s- Am — l (x), so kann mit Hilfe dieser Bezeichnung die obige Gleichung durch k (x) — 0 dargestellt werden. Allgemeine Sähe über die Gleichungen. Z. 299. Fundamentalsah. Jede Gleichung k (x) — x'° -j- A^ x"^l -s- Az x"'^^ Z- .. -s- X -s- Am — 0 hat mindestens eine Wurzel. Für diesen Satz gibt es mehrere sehr scharfsinnige Beweise, die jedoch alle die Grenzen dieses Buches überschreiten. Wir werden daher hier den Satz geradezu als wahr annehmen und ihn sodann den weiteren Unter¬ suchungen zugrunde legen. Z. 309. 1. Ist a eine Wurzel der Gleichung k (x) — 0, so ist l (x) durch x — a theilbar. 2. Umgekehrt: Ist l (x) durch x —a theilbar, so ist a eine Wurzel der Gleichung k (x) — 0. Beweis. 1. Es ist x">-- Z- L, X-- 8z x-b Z- .. -Z Lm-2 x -s- 8m-i > oder, wenn x-°-^ Z- 8, x--2 8z x—» -s- .. Z- 8m-2 x -s- 8m-i -- (x) gesetzt wird, 199 (x) -i- — daher f (x) (x - a) F (x) Z- L, wo der Rest R, wenn einer übrig bleibt, x nicht enthalten kann. Substituiert man für x den Wert a, so ergibt sich ck (a) — R. Da aber a eine Wurzel der Gleichung f (x) — 0 ist, so muss k (n) — 0, und also auch R — 0 sein, d. h. k (x) ist durch x — a theilbar. x — a, heißt ein Wurzelfactor (ß. 217) der Gleichung f (x) — 0. 2. Ist 1 (x) durch x — a theilbar, so muss k — 0, also k (x) — (x — n.) k, (x), mithin k (a) — 0 sein, d. h. a ist eine Wurzel der Gleichung f (x) — 0. Z. 301. 1. Das Polynom jeder auf Null reducierten Gleichung ck (x) — 0 vom mten Grade lässt sich in m Binomialfactoren von der Form x — a zerlegen. 2. Jede Gleichung des mten Grades hat m Wurzeln. Beweis. 1. Es sei a, eine Wurzel der Gleichung t"(x) — 0 vom mten Grade; nach Z. 300 ist dann 1 (x) — (x — a,) 1, (x), und 1, (x) ein Polynom vom (m — 1)ten Grade. Die Gleichung F (x) — 0 hat aber eben¬ falls eine Wurzel folglich ist F (x) — (x — a,) (x); die Gleichung F (x) — 0 vom (m — 2) ten Grade hat ebenfalls eine Wurzel folglich ist F (x) — (x — Lz) tg (x), u. s. w. Schließlich erhält man tm-s (x) — (x — Sm-i) km-i (x), wo dann die Gleichung k^-i (x) — 0 vom ersten Grade noch eine Wurzel hat, so dass tm-i (x) — x — wird. Durch allmähliche Sub¬ stitution ergibt sich demnach 1 (x) — (x - L,) (x - Äz) (x - Äz) ... (x - Äm-l) (x - Lm). 2. Aus dem letzten Ausdrucke folgt, dass k (x) für jeden der m Werte a., a,, Lg, .. Null wird, dagegen für keinen andern von diesen verschiedenen Werten a» Null werden kann; d. h. die Gleichung k (x) — 0 voni mten Grade hat m Wurzeln, aber auch nicht mehr als m Wurzeln. Die Wurzeln selbst sind entweder reell oder imaginär, und im ersten Falle entweder ganze oder gebrochene oder auch irrationale Zahlen; auch könuen zwei oder mehrere Wurzeln einander gleich sein. Folgesatz. Wird das Polynom einer auf Null reducierten Gleichung durch einen Wurzelfactor derselben dividiert, so erhält man das Product aller übrigen Wurzelfactoren zum Quotienten. Betrachtet man daher diesen Quo¬ tienten als eine Gleichung, so sind die Wurzeln derselben zugleich Wurzeln der ursprünglichen Gleichung. Z. 302. In jeder auf Null reducierten Gleichung ist der Coefficient des ersten Gliedes 1, der Coefficient des zweiten Gliedes gleich der Summe der mit entgegengesetzten Zeichen genommenen Wurzeln, der Coefficient des dritten, vierten, ... Gliedes gleich der Summe der Combinationen zweiter 200 dritter, ... Classe, das letzte von x freie Glied gleich dem Pro¬ ducts aller mit entgegengesetzten Zeichen genommenen Wurzeln. Beweis. Sind 3„ 3,, 3,, ... 3m die Wurzeln der Gleichung k (x) — x"> -s- I., -st ^2 fi" -st .. -st -st I.» — 0, so ist nach Z. 301 ck (x) — (x — 3>) (x — a,) (x — 3z) ... (x — 3m). Entwickelt man nun das letzte Product nach dem Bildungsgesetze in Z. 278 in ein Polynom, so ist, da die Coefficienten der gleichnamigen Glieder in beiden Polynomen von k (x) gleich sein müssen, — — (^i -st Ng -st 3z -st - - -st ^m), I... — 3^ 3^ -st 3^ 3z -st 3^ 3^ -st .. -st 3m—i 3m, — — (32 3z 3z -st 3^ 3z 3^ -st .... -st 2 Nm—I 3m), J^m — ( 1)m 3^ 3z 3z ... 3m—I 3m- Folgesatz. Jede Wurzel einer Gleichung ist ein Factor ihres letzten Gliedes. Z. 303. Mechanisches Verfahren zur Bestimmung des Quo¬ tienten und der Größe 1 (a) für einen beliebigen Wert von a. Ist k (x) — x^ -st x"-* -st I.» -st ... -st J.M-1 x -s- ^.m, und x°-- st- 8, x-- -st 82 x-°-- -st... -st 8m-- x -st 8m-i Z- so erhält man nach dem gewöhnlichen Divisionsverfahren 8^ 3 -st 82 3' -st 3 -st 8z 3^ -st 7^2 3" -st ^.2 N -st I.-, 8m—1 — 3^ -st I., 3"^ ' -st J-2 -st ... -st ^m—2 3 -st J-m-1, 8 3^ -s- 3"—-st J^2 3,1"—' -st ... -st J.W—1 3 -st Der Rest 8 ist, wie man sieht, das Resultat der Substitution x — 3 in dem gegebenen Polynom k (x), also 8 — k (3). Substituiert man den Wert jedes dieser Coefficienten in dem Ausdrucke für den nächstfolgenden, so ergibt sich 8, — a -s- I,, 82 n (3 fi- ^1) a -s- 8^ 3 's— 8z — (3? -s- 3 -s- 3 -s- — 8» 3 -s- 7^.-, 8m—L — 8m-s a -s- ^.m—1, 8 8m—I 3 -s- Es ist also der erste Coefficient des Quotienten gleich dem ersten Coeffi¬ cienten des Dividends (hier 1); jeder folgende, z. B. der Irte Coefficient des Quotienten wird erhalten, indem man den vorhergehenden mit 3 multipliciert und zum Producte den kten Coefficienten des Dividends addiert. 201 Die auf einander folgenden Coefficienten des Quotienten kann man demnach nach folgendem Schema bilden: 1 .... ^m—I _A 6^ a 82 6m—2 a 6m—1 a 1 6, 62 6 . . . . 6mH 6 Erhält man 6 — 1(a) — 0, so ist a eine Wurzel der Gleichung k (x) -- 0. Es sei z. B. 1(x) — x^ -s- 2x^ — 13 x? — 14x 4-24 — 0, so hat man für x — 4 1 >2 -13 —14 4-24 ,> _ -f-4 4-24 >44 -s-120 1 >6 > 11 4-30 4- 144; also gibt ^^ den Quotienten > 4- 6x? 4- 11x -s- 30 und den Rest 6 — 1(4) — 144, woraus auch folgt, dass 4 keine Wurzel der vorgelegten Gleichung ist. Für x — 3 hat man 1 4-2 — 13 — 14 4-24 4- 3 4- 15 4- 6 —24 1 4- 5 4- 2 — 8 0; somit ist — x° 4- 5x? 4- 2x — 8 und 6 — 1 (3) — 0, also 3 eine Wurzel der Gleichung. Z. 304. Bringen zwei reelle Werte x — a und x — d in der Function 1 (x) entgegengesetzt bezeichnete Resultate hervor, so muss zwischen a und d mindestens eine reelle Wurzel der Glei¬ chung 1 (x) — 0 liegen. Beweis. Es sei 1 (x) — x" 4- ^4 x°^ 4- x°°^^ 4- ... 4- e^m-I X 4- l^m — 0. Setzt man statt x überall x -s- l>, wo ll sehr klein ist, so ist 1 (x 4- lc) — (x 4- 6)" — (x 4- 4- ... 4- ^.M-L (x 4- ll) 4- ^-m, oder, wenn man diesen Ausdruck entwickelt und nach den steigenden Potenzen von ll ordnet, 1 (x 4- b) — 1 (x) 4- 0, b. 4- O2 4- Oz I? > - - - und 1 (x 4- k) — 1(x) — 0, ll -s- Oz 4- 6z -s- ..., woraus folgt, dass für sehr kleine Änderungen ll auch t (x) sehr wenig zu- oder abnimmt, dass also, wenn x sich stetig ändert, auch k (x) sich stetig ändert. Lässt man daher x alle Zwischenwerte von a und 6 durchlaufen, so wird auch 1 (x) stetig aus 1 (a) in 1 (b) übergehen und muss während dieses Überganges, wenn 1(a) und 1(b) entgegengesetzt bezeichnet sind, mindestens einmal durch Null durchgehen. 202 Zusatz. Sind k(a) und k(d) entgegengesetzt bezeichnet, so kann, da nach zweimaliger Änderung des Vorzeichens dasselbe ungeändert bleibt, k (x) von x —a bis x —b auch 3mal, 5mal, allgemein (2n-s- 1)mal aus dem Positiven ins Negative und umgekehrt übergehen und während dieses Über¬ ganges Null werden; d. i. es können, wenn f (a) und k (b) entgegengesetzte Vorzeichen haben, zwischen a und d auch mehrere reelle Wurzeln der Gleichung f (x) — 0, jedoch immer nur in ungerader Anzahl, liegen. tz. 305. Sind die Coefficienten in der Function k(x) ganze Zahlen, so sind alle rationalen Wurzeln der Gleichung f(x) — 0 ebenfalls ganze Zahlen. Wäre die gebrochene Zahl in welcher p> und —2 -j- . . . -j- ^.m-1 X -f- — 0 die Coefficienten oder einige derselben gebrochene Zahlen, so lässt sich dieselbe immer in eine andere Gleichung transformieren, deren Coefficienten ganze Zahlen sind, indem für x überall wo g das 204 kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner aller gebrochenen Coefficienten ist, gesetzt und dann mit multipliciert wird. Alle rationalen Wurzeln der transformierten Gleichung sind ganze Zahlen und können nach K. 307 gefunden werden; wird jede derselben durch dividiert, so erhält man die Wurzel der gegebenen Gleichung 5 (x) — 0. Bestimmung der irrationalen Wurzeln. K. 309. Sind die Wurzeln einer Gleichung mit ganzen Coefficienten nicht ganze Zahlen, so sind sie irrational (Z. 305). Wenn man in der Gleichung die auf einander folgenden ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3, .. substituiert, so lässt sich nach Z. 304 aus den Vorzeichen der Resultate erkennen, zwischen welchen Zahlen als Näherungswerten die einzelnen positiven irrationalen Wurzeln dieser Gleichung liegen und es handelt sich dann nur darum, aus den gefundenen Näherungswerten die dazwischen liegende Wurzel mit jedem geforderten Grade der Genauigkeit zu berechnen. Die Bestimmung der negativen irrationalen Wurzeln kann auf die Berechnung der positiven Wurzeln zurück¬ geführt werden (H. 306). Für die annäherungsweise Berechnung der irrationalen Wurzeln gibt es verschiedene Methoden, von denen wir hier nur zwei betrachten wollen. Z. 310. I. Newton'fche Näherungsmethode. Es sei x, eine Wurzel der Gleichung 5 (x) — x"> -st X"-* -j- ^2 -st - - - -st ^.M-1 X -st — 0 und u ein angenäherter Wert dieser Wurzel, so dass x,— u -st st ist. Allgemein ist 5(x -st st) (x 4- st)-° st- ^(x -st st)«-» -st.. .st st.m-i(x st) -st -0, oder, wenn man den Ausdruck nach den Potenzen von st ordnet, ck (x st st) — 5 (x) st st k) (x) 4- l?tg (x) 4- ststz (x) 4- . .., Wo k) (x) — mx«-» st (m — 1) x«-- 4-.. 4- ^-i ist, und (x), 5, (x),.. gleichfalls von st unabhängig sind. Für x — a wird daher 5 (u st st) 5 (u) st st5, (u) st Ii-52 (n) st st st- (n) 4- - - - Da a st st eine Wurzel der Gleichung, also 5 (u st st) — 0 werden soll, so ist st so zu bestimmen, dass 5 (u) -st stt) (u) -st ll-52 (u) st stst, 0) 4- 0 wird. Ist nun st < 1, so sind st-, I?,.. noch kleiner; man erhält daher, wenn man die Glieder mit st-, l? ... vernachlässigt, näherungsweise 5 (a) st st 5, (u) — 0, folglich st — — und s. -st st — a — als einen Näherungswert der Wurzel. 205 Wendet man auf a, denselben Vorgang an, wie früher auf a, so erhält man __ k(^) li(--l) als einen zweiten noch genaueren Näherungswert; u. s. w. Beispiel, I (x) — x^ — 4x? — 7x -j- 4 — 0. Für x — 0 wird I (0) — -j- 4, für x — 1 wird t (1) — — 6, woraus folgt, dass eine Wurzel der Gleichung zwischen 0 und 1 liegt. Da f, (x) — 3x^ — 8x — 7 ist, so hat man für die erste Annäherung a^0, L(a)^^4, ch (a)^-7; u, — 0 fi- — — 0-5. .. Für die zweite Annäherung ist a, — 0'5, k(u,) — — 0'375, (a,) — — 8'25; - 0 375 . - a.2 — 0-5 — ^7^ — 0-4o. Für die dritte Annäherung hat man ^0-45, 5(az) — 0-131125, (^) — — 9'9925; , 0'131125 u, — 0-4o -j- g.ggzg- — 0-463. Für die vierte Annäherung hat man Lz 0-463, 0-000776847, I, (^) — — 10'060893; ^- 0-463->^776847 ^0-4630 7721, welcher Näherungswert auf 8 Decimalstellen genau ist. Auf dieselbe Art können wir auch die andern Wurzeln der Gleichung finden. Einfacher ist es jedoch, sogleich die Quotientengleichung ^0^4630 7 7 21 " 3'53692279 X - 8'63878683 0 zu entwickeln und sadann die quadratische Gleichung aufzulösen. Aus dieser ergeben sich x — 5'1985 2321 und x— — 1'6616 0042 als die beiden anderen Wurzeln der gegebenen Gleichung. Z. 311. II. Dir Regula KUsi. Häufig wird auch die folgende Auflösungsmethode, die unter dem Namen der ksAuIa Lisi bekannt ist, vortheilhaft angewendet. Ist x, die zn berechnende Wurzel der Gleichung I (x) — 0 und erhält man für zwei Substitutionen a, und 6 die Resultate I (a) und k (b), so liegen a und 6 dem wahren Werte x, um so näher, je weniger I (a) und I (b) von 0 verschieden sind; es bezeichnen daher x> — a— « und x, — i> — st die Fehler der Substitutionen, und I i» und 1 (i>) die Fehler der Resultate. Mit Rücksicht auf Z. 310 ist k (a) I (x, — «) ^ I (x,) — «ch (x.) fi- «^2 (x,) — ->5, (x,) l (d) I (x, — st) I (x,) — stst (x.) -st st^» (x,) — st'Ig (x,) wo (x>, ti, (x,), kg (x> .. . von « und st unabhängig sind. 206 Da k (x;) — 0 ist, so folgt, wenn « und sehr klein sind, annäherungs¬ weise t" (a) — — «ch (x,), k (b) — — (x>), und daher k (s) « _ Xi — L M - d. h. die Fehler der Resultate verhalten sich so wie die Fehler der Substitutionen. Aus diesem näherungsweise richtigen Satze ergibt sich dann bk (s) — Li (d) . (b — a) e (s) als ein genauerer Wert für die gesuchte Wurzel. Nimmt man sodann wieder diesen neuen Wert als die eine Substitution, und je nach dem Resultate derselben entweder einen der früheren Näherungs¬ werte oder auch einen andern entsprechend erscheinenden Wert als die zweite Substitution an, so erhält man nach der letzten Formel einen noch genaueren Wert für x^; n. s. w. Es sei z. B. die Gleichung 1 (x) — xch — x? ch- 5x — 6 — 0 gegeben. Man hat u ^1, b — 2, k (6) — -s- 8; daher Ich-^1'1- u, — 1 -1, k (^) — 0-329, (zu klein) b^1-2, 0-288; '2-1'1 153. Uz 1-153, k-(uz) — — 0-031601, (zu klein) 1 -16, k (t>z) 0 - 015296; , 0'000221207 u. 1-153 - o.gE - 1 15^2, welcher Wert die Wurzel auf 5 Decimalen genau gibt. Die LsKulu talsi lässt sich auch bei transcendenten Gleichungen anwenden. Es sei z. B. die Gleichung x^ — 10 aufzulösen. Man erhält daraus xIoKx — 1, daher 1 (x) — x IoA x — 1 — 0. Da offenbar x > 2 und x<3 sein muss, so versuchen wir die Substitution 2-5. Für u — 2 - 5 ergibt sich 1 (a) — — 0 - 00515. Daraus folgt, dass 2'5 zu klein ist, jedoch der Wurzel schon sehr nahe kommt; wir nehmen daher 2'51 als zweite Substitution an und erhalten 6^2-51, k (Io) -s-0-00318; daher nach der kobulu tulsi 2-5-^o__E5i5^ 2.^ welcher Wert auf 5 Decimalen richtig ist. 207 II. Geometrische Darstellung der imaginären und der campieren Zahlen. 1. Geometrische Darstellung der imaginären Zahlen. Z. 312. Stellt XX' die unbegrenzte Zahlenlinie, OX die positive und OX' die negative Richtung dar, so nimmt der Punkt 0 die Stelle der Null ein; alle denkbaren positiven ganzen, gebrochenen und irrationalen Zahlen haben Zahle nebe ne hinaustretcn. auf OX, ebenso alle negativen Zahlen auf OX' ihre Stelle und sind dort bestimmbar. Eine Erweiterung des Zahlengebietes in der Längenrichtung der Zahlenlinie ist nicht möglich, weil dieselbe in dieser Richtung lückenlos bereits durch die reellen Zahlen ausgefüllt wird. Es bleibt daher, nm auch die imaginären Zahlen darzustellen, bloss die seitliche Erweiterung übrig, d. i. man muss aus der Zahlenlinie in die Zieht man durch den Nullpunkt 0 der Zahlenlinie XX' ans diese eine Senkrechte H' und beschreibt aus 0 mit dem Halbmesser 0^ — b einen Kreis, welcher jene Senkrechte in den Punkten k und L' schneidet, so ist nach einem bekannten Satze der Planimetrie sowohl OK als OK' die mittlere Proportionale zwischen den Abschnitten 0^. und 0^.' der als Durchmesser angenommenen Strecke Wird daher 0^. — -j- b und 0^' — — b gesetzt, so hat man OK? — -j- b. — b — — l?, woraus OH — — k? — b — I — bi folgt. OK' unterscheidet sich von OK bloß durch die entgegengesetzte Lage, so dass, wenn man OK — Z- bi annimmt, OK' — — bi gesetzt werden muss. Wenn man nun die Zahlen Z- b und -— b durch diejenigen Punkte und der Zahlenlinic XX' repräsentiert, deren Abstände vom Nullpunkte nach Größe und Richtung durch diese Zahlen angegeben werden, so erscheint es consequent, als Repräsentanten der Zahlen -j-bi und —bi die Punkte L und 8' anzunehmen. Die imaginären Zahlen finden daher ihre Darstellung auf einer Geraden, welche auf der ursprünglichen Zahlenlinie in deren Null¬ punkte senkrecht steht. In den Zahlenansdrücken -j-b —b.-s-l, -s-bi —b.-j-i, — b^b. —k, -bi^b.-i drückt der absolute Wert b aus, dass jede dieser Zahlen b Einheiten ent- 208 hält; die Zeichen aber, oder im erweiterten Sinne die Richtungsfactoren -s- 1, -j- i, — 1, — i zeigen an, dass die la Einheiten bezüglich in den Richtungen OX, OX, OXch OX^ zu zählen sind. Die Gerade XX^ nennt man die reelle, die Gerade XX' die ima¬ ginäre Zahlenlinie. 2. Geometrische Darstellung der complexen Zahlen. tz. 313. Die reelle Zahlenlinie X X< kann als die Abscissenachse und die imaginäre Zahlenlinie XX^ als die Ordinatenachse eines rechtwinkligen Coor- dinatensystems betrachtet werden. Legt man durch die beiden Achsen eine Ebene und nimmt die reellen Zahlen s, und b einer complexen Zahl a -s- bi als Coordinaten eines Punktes Ll, und zwar u als Abscisse und b als Ordinate an, so ist dadurch die Lage dieses Punktes in der Ebene unzweideutig bestimmt; umgekehrt entspricht einem Punkte N, dessen Coordinaten s. und b gegeben sind, eine einzige complexe Zahl, welche die Abscisse a des Punktes als reellen Bestandtheil und die Ordinate b als reellen Factor des imaginären Bestandtheils enthält. Der Punkt Ll erscheint sonach als der geo¬ metrische Repräsentant der complexen Zahl g, -t- bi. Man gelangt zu diesem Punkte der Zahlenebene, wenn man vom Nullpunkte auf der reellen Achse die Strecke a, und dann senkrecht darauf die Strecke l> aufträgt. Ebenso ergibt sich, dass die complexen Zahlen — a -s- bi, — s. — bi, -s- a — bi bezüglich durch die Punkte U", dargestellt werden. Lässt man a und b alle reellen Zahlenwerte von — so bis -s- cx> stetig durchlaufen, so erhält der Punkt N, welcher in der Zahlenebene die complexe Zahl a -s- bi darstellt, alle in dieser Ebene möglichen Lagen. tz. 314. Eine besonders wichtige Form nehmen die complexen Zahlen an, wenn zu ihrer Darstellung statt der rechtwinkligen die Polarcoordinaten angewendet werden. Ist U der Punkt der Zahlenebene, welcher die complexe Zahl a -s- bi darstellt, und ist ON —r der Abstand desselben vom Coordinatenanfangs- punkte und Ä1OX — y> der Winkel, welchen ON mit der positiven Abscissenachse bildet, so ergibt sich aus Ä — r oos

) die reducierte Form, r der Modul und y) das Argument der complexen Zahl a -st bi. Zur Bestimmung von r und dienen die Gleichungen r — -st b^, vos P — — a SIN go — — b wo r stets positiv zu nehmen ist und P zwischen den Grenzen 0 und 2 liegend vorausgesetzt wird. Da r die absolute Länge des Radiusvectors OLl und go den Winkel desselben mit der reellen Achse angibt und daher durch die complexe Zahl a -st bi — r (oos go -st i 8in ^>) der Radiusvector OLI der Länge und der Richtung nach bestimmt ist, so wird zur Darstellung der complexen Zahl statt des Punktes N sehr häufig auch der Radiusvector (OLI) angenommen, wobei die Klammern andeuten, dass OLI nach Länge und Richtung be¬ trachtet wird. 3. Geometrische Deutung der algebraischen Operationen mit complexen Zahlen. Z. 315. Da die formalen Verbindungen complexer Zahlen, wie aus Z. 183 hervorgeht, im allgemeinen wieder auf complexe Zahlen führen, so lässt sich, wenn man gegebene complexe Zahlen durch Punkte oder Strecken darstellt, auch das Resultat ihrer Verbindung wieder durch einen Punkt oder durch eine Strecke darstellen. Jeder Rechnung mit complexen Zahlen ent¬ spricht hiernach die geometrische Aufgabe, aus gegebenen Punkten oder Strecken einer Ebene nach vorgeschriebenen Gesetzen andere Punkte oder Strecken zu construieren. Um diese Gesetze festzustellen, werden wir den Definitionen der Rech¬ nungsoperationen eine solche allgemeine Fassung geben, dass dieselben auch für complexe Zahlen anwendbar werden, und dass in ihnen zugleich die bezüglichen für das Rechnen mit reellen Zahlen gegebenen Erklärungen als besondere Fälle enthalten sind. Addition und Subtraction complexer Zahlen. 8. 316. Wir definieren die Summe zweier Zahlen allgemein als die Zahl, zu welcher man gelangt, wenn man von dem ersten Summand in derselben Weise fortschreitet, wie man von der Null aus zu dem zweiten Summand gelangt. 1. Es sei zu bestimmen die Summe der complexen Zahlen (a -st bi) -st (o -st ä i). Ist OA — a, cVN b, 06 o, OLl ä, so stellt der Punkt LI die complexe Zahl a -st bi und der Punkt Ll die complexe Zahl o -st cki dar. Moönik, Arithmetik und Algebra. 210 Von Null aus gelangt man zu dem zweiten Summand U) indem man auf der reellen Achse die Strecke 00 — o und hierauf parallel zur imagi¬ nären Achse die Strecke 0N — ä aufträgt. Man wird daher nach der obigen Erklärung der Addition vom ersten Summand LI ans zuerst parallel zur reellen Achse die Strecke Lik — o und hierauf parallel zur imaginären Achse die Strecke kR — ä auftragen. Der Punkt k, zu dem man dadurch gelangt, stellt die gesuchte Summe dar. Da dieser Punkt, wie man sogleich sieht, die complexe Zahl (s, -s- o) -s- (b -s- ä) i repräsentiert, so hat man (a -j- bi) -s- (o -s- äi) — (a -fi o) -s- (b -s- ä)i. Zwei complexe Zahlen werden demnach addiert, indem man ihre reellen Bestandtheile für sich, und ihre imaginären Be- standtheile für sich addiert. Dieselbe Regel wurde auch in Z. 183, 1. bei der formalen Behandlung der complexen Zahlen der Addition derselben zugrunde gelegt. 2. Einfacher gestaltete sich die graphische Ausführung der Addition, wenn man als Repräsentanten der complexen Zahlen ihre Radienvectoren annimmt. Stellt der Radiusvector (OLl) die complexe Zahl a-s-bi und (OLl) die complexe Zahl e -s- äi dar, so muss man, um ihre Addition auszuführen, von dem ersten Summand (OLl), d. i. von dessen Endpunkte Ll aus in der Richtung und um die Länge des zweiten Summands (Olis) fortschreiten, wodurch man zu dem Punkte k, gelangt; der Radiusvector (Ok) stellt dann die gesuchte Summe dar. Da 0 R offenbar die Diagonale eines Parallelogramms ist, das von den Seiten OLl und OH gebildet wird, so kann man sagen: Die geometrische Summe zweier complexer Zahlen ist die vom Nullpunkte ausgehende Diagonale des von ihren Radien¬ vectoren gebildeten Parallelogramms. Z. 317. Die Subtraction zweier complexer Zahlen ergibt sich unmittelbar aus der Addition. Stellt der Radiusvector (OK) den Minuend und (ON) den Subtrahend dar, so betrachte man OK als Diagonale und Oll als eine Seite eines Parallelogramms; die andere vom Nullpunkte ausgehende Seite (OLl) dieses Parallelogramms stellt dann die gesuchte Differenz dar. Multiplikation und Division complexer Zahlen. 8- 318. 1. Das Product zweier Zahlen definieren wir allgemein als die Zahl, welche aus dem Multiplikand in derselben Weise entsteht, wie der Multiplikator aus der positiven reellen Einheit entstanden ist. 211 Es sei a -s- k i mit o -s- ck i zu multiplicieren. Nehmen wir 0 L als die positive reelle Einheit an; (ON) stelle den Multiplicand und (OH) den Multiplicator dar. Der Multiplicator (OK) ist aus der positiven /sx reellen Einheit OK entstanden, indem man in der Richtung derselben das ofache dieser Einheit und / dann senkrecht darauf das ä fache derselben Einheit / / auftrug. Auf dieselbe Weise ist nun das Product ! aus dem Multiplicand (OH) zu bilden. Man wird // ! in der Richtung des Multiplicands (O N) das // ofache dieses Multiplicands und dann senkrecht darauf das ä fache des Multiplicands auftragen, 0 L ^4 K t? 2" X wodurch man zu dem Punkte k gelangt; der Radius¬ vektor (OK) stellt dann das gesuchte Product dar. Zur Bestimmung der Coordinaten des Punktes k erhält man aus der Ähnlichkeit der Dreiecke OKD und ON^. OD:a —o:1 und KD: b — o : 1; daher O D — a o und k D — ko. Ebenso folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke KKH und OA^. k<^:b—ä:1 und k 0 ' a — ä : 1; daher k 0 — k ä und k 0 — a ä. Es ist also 08 — OD — KO — u,o — dä, und k8^R0-s-KD^aä-k1)o, folglich (0 k) der Repräsentant der complexen Zahl (a o — dä) -i- (aä -j- bo) i, und somit (a -s- P i) (o -s- äi) — (uo — d ä) -s- (a ä -s- i> o) i. Hiedurch ist auch die Richtigkeit der in Z. 183, 3. für die Multiplication komplexer Zahlen gegebenen Vorschrift nachgewiesen. 2. Ganz einfach stellt sich die Multiplication zweier komplexer Zahlen, wenn dieselben in der reducierten Form gegeben sind. Es sei das Product (oos Z- i sin y>>). r» (oos -k i «in zu bestimmen. Man nehme OK — -s- 1 an, (ON) stelle den Multiplicand und (OH) den Multiplicator dar. Der Multiplicator (OH) ist aus der positiven Einheit OK entstanden, indem man diese in der Zahlenebene um 0 um den Winkel yo., drehte und in dieser Richtung die r. fache Länge der Einheit auftrug. Man wird daher ebenso auch den Multiplicand (ON) um den Winkel drehen und in der neuen Richtung die ofache Länge dieses Multiplicands austragen, wodurch man (OK) als das gesuchte Product erhält. 14* 212 Da nach der Construction zu (OR) der Modul A IX r2 und das Argument y-x -st gehört, so hat man // r^ (oos -st i siu 2 st- »in ?x) // — Drz. loos st- yx) st- i »in (^» st- P-)>- / / Das Product zweier complexer Zahlen / / ist eine complexe Zahl, deren Modul gleich ist /XM dem Products der Moduln und deren Argu- ment gleich ist der Summe der Argumente der Factoren. 0' Aus der voranstehenden Entwicklung folgt, dass die Dreiecke OAU und OList ähnlich sind. Zu demselben Resultate, das wir oben auf graphischem Wege abgeleitet haben, gelangt man auch, wenn man die beiden complexen Zahlen nach der für reelle Zahlen geltenden Vorschrift multipliciert und dann ? durch — 1 ersetzt. Man erhält nämlich IX (oos yx st- i oill 2x). I>2 (oos yx st- i sill yx) soos yx oos Pg st- sin y>, siu I ' s-st i (sin oos P? st- oos siu ^>2)! — r, rz.loos (-x -st P.) st- E (^ st- y>»)!. Z. 319. Der Quotient zweier complexer Zahlen n, (oos yx st- i siu y>,) : ix (oos -st i siu «pz) ergibt sich durch Umkehrung der in tz. 318, 2. gelösten Multiplications- aufgabe. Stellt in der bezüglichen Figur das Product (OK) den Dividend iX (oos yx -st i siu^x) und der eine Factor (O iU) den Divisor ix (oos yx st-i siuyx) dar, so gelangt man zu dem Quotienten (Ölst) als dem andern Factor, indem man ein dem Dreiecke ONU ähnliches Dreieck OLX so construiert, dass die mit 0N homologe Seite 0L der Einheit gleich ist. Dann ergibt sich OX : ix — 1 : ix, daher Ölst — >°2 Der Modul des gesuchten Quotienten (O dl) ist also das Argument desselben ist - U0K — — yx- Man hat demnach -st 1 siu P») r» seos rg (eos ^-z -st 1 siu Pz) rz Potcnsteren und Radicierrn einer complexen Zahl. ß. 320. 1. Wir beschränken uns hier auf den Fall, wo der Exponent eine ganze positive Zahl ist, und bilden zunächst ein Product mehrerer com¬ plexer Zahlen. Da das für das Multiplicieren complexer Zahlen der reducierten 213 r-orm in K. 318, 2. nachgewiesene Gesetz auch dann, wenn mehr als zwei Factoren vorhanden sind, seine Giltigkeit behält, so hat man r (oos P -s- i sin y>) . r' (eos -s- i sin y,') . r" (oos Z- i sin <)... — rr^r" .. leos (go ff- -s- y," -s- .Z- 1 ziu (y> ff- y/ -s- Setzt man nunr r" , )!° — (oos n P — i siu n y>)... 1). Diese Gleichung ist unter dem Namen der Moivre'schen Binomial- formel bekannt; sie enthält den Satz: Die nte Potenz einer complexen Zahl ist wieder eine com- Plexe Zahl, deren Modul gleich ist der nten Potenz des Moduls der Basis und deren Argument gleich ist dem ufachen Argumente der Basis. 2. Setzt man in der Gleichung 1) r° — und uP — , daher r — und so ergibt sich ^oos ff- i siu (vos -s- i sin P,), somit (oos ff- i sin (oos ff- i sin Wird hier go, durch ff- 2Irsr ersetzt, wo Ir irgend eine ganze Zahl, die 0 mit eingeschlossen, bedeutet, so nimmt die Gleichung, da sin (qo, ff-2Ir-r) — sin und LOS -s- 2irrr) — oos ist, folgende Gestalt an: (oos sin^)^ — ^oos -p. ; zin -2), wodurch die nte Wurzel aus einer complexen Zahl dargestellt wird. Substituiert man für lr nach und nach die Zahlen O, 1, 2, 3,.. .n — 1, so erhält man aus der Gleichung 2), da die Winkels, . nicht um 2-r, sondern um differieren und daher nie gleichzeitig gleiche Sinus und gleiche Cosinus haben können, n verschiedene Werte. Außer diesen aber kann die obige ute Wurzel keine anderen Werte annehmen. Denn jede für k gesetzte Zahl, die in der Reihe 0, 1, 2,..n — 1 nicht enthalten ist, lässt sich durch — «n ff- /1 ausdrücken, wo « irgend eine von 0 verschiedene ganze Zahl, § aber irgend eine Zahl der obigen Reihe bedeutet. Durch diese Sub¬ stitution geht über in ff- 2«-r, welcher Winkel jedoch gleichen 214 Sinus und gleichen Cosinus hat mit dem Winkel , der schon einmal durch die Substitution lr — hervorgebracht wurde. Die nte Wurzel aus einer complexen Zahl hat demnach n verschiedene Werte. Folgerungen, n) Setzt man in der Gleichung 2) r^ — 1 und — 0, so erhält man —7—2kir . . . 2kn s/ 4- 1 — 008 -I 8IN -, '° ll n ' woraus hervorgeht, dass s/-s- 1 n verschiedene Werte hat. Damit einer der¬ selben reell werde, muss sin — 0 sein, was aber, da lr nicht größer als n — 1 wird, nur für k — 0 oder Ir — stattfinden kann. Der zweite Wert ist für ein ungerades n nicht möglich, s/ -s- 1 hat also, wenn n gerade ist, zwei reelle Werte -s- 1 und — 1, und wenn n ungerade ist, nur einen reellen Wert Z- 1; die übrigen Werte sind imaginär. d) Setzt man in der Gleichung 2) r^ — 1 und — -r, so ergibt sich - (2K-P1)" , . - (2k-s-1)-r s/ —I — OOS --—--I 81Q -— L ' N , welcher Ausdruck n verschiedene Werte liefert. Damit einer derselben reell werde, muss sin 1)" — o sein, was nur für k — " möglich ist. Von den n Werten ist daher für ein ungerades n ein einziger, nämlich — 1, reell; für ein gerades n sind alle Werte imaginär. v) Da g, — s/g, . 1 ist, so folgt, mit Rücksicht auf die Vieldeutigkeit von 1, dass der nten Wurzel einer jeden positiven oder- negativen Zahl n verschiedene Werte zukommen, welche erhalten werden, indem man die absolute Wurzel 's/'a mit allen Werten von 1 multipliciert. Aufgaben-Sammlung. I. Addition und Suötraction. 1. Addition mit absoluten ganzen Zahlen. Verbindung der Addition mit stch selbst. (KZ. 12 und 13.) 23. <(3a -s- 46) 4- 2o! -4 !6a 4- (46 4- 5o)l. 24. l(2x -s- 3^) 4- (5x 4- 2^)> 4- s!4x -4 (5x -s- ^)> 4- 6^s. 27. 8a-4 76 -46o-45ä 28. 3in -4 2n -6 6p 4" 5l^ 9a-4 66 -4 7o-4 4ä in-s-3n Z-5p-s-6<^ 7 a 4- 5 6 4- 8 e -4 6 ä 5m -4 6n -6 2p -4 4<^ 29. (7a 4- 66) -4 (16 a -4 36) 4- (13 a -4 206) -4 (5a 4- 66). 30. (6x -4 7)i 4- 5^) -6 (5x -6 6^ -s- 7^) -s- (2x -6 3r) -s- (x -6 3^ -s- 4^) -s- (4x -s- 2^ 2). 2. Subtraktion mit absoluten ganzen Zahlen. Verbindung der Subtraktion mit sich sctbst und mit der Addition. (ZZ. 17-25.) 1. 4a —2a. 2. 4a-4a. 3. (x-j-7) —2. 4. (6p-s-5) —3p. 216 38. (3x — 5)' — 72) -4 7x -4 4^ — 32) — (6x — 3/ -4 102). 39. 7a — (3o — 6d) - (6a — 3o) - 3d -4 (3» — 80). 49. (8 m — 5^) -d l(2^ — 7m) — (^ — x)f. 41. (x -4 ^) — fx — la — (^ — m)lf. 42. 2x — f(3a -4 4x) — (4x — 1)f — (x — 2a — 2). 43. (8m — 5x) — (2m — 3n — 4x) 4- f(3x — 2n) — (4m -4 3n)f. Berechne die Werte folgender Ausdrücke für a — 4, d — 3: 44. (8a -4 7d) — (5a — 4d) — (2a — d); 45. 8a4-(7d-5a)—l(4d —2a) —dl; 46. 8a 4- (7d — 5a) — l4d — (2a — dl; 47. (8a 4- 7d) — l5a — (4d - 2a) — dl. Bestimme für X - 4x — (3). 4- 2-), X — 2x -4 (4^ — 82) und — x — (2^ — 42) die Ausdrücke: 48. X-4(X —2); 49. X - (X 4-2); 50. X - (X — 2). Bestimme folgende Ausdrücke: 51. -4 !L - (0-4 v)l; 52. - lL 4- (6 - v)l; 53. ^.-4 lL —(6 —v)!; 54. lL —(6 — v)>; wenn — 6a — (2d 4- 3o), 8 — 3a 4- (3d — 4o), 6 2a - ( d 4- 0), v a — (4d — 2e) ist. 217 3. Addition und Subtraktion mit algebraischen ganzen Zahlen. (Z8. 30-33.) 12. Berechne x (x — 2) 4- (x — 4) — (x — 6) für x 4. 13. (x 4- — 2) — (x — )^ 4- 2) 4 (— X 4- )l 4- s) — (— X — 7 4- --)- 14. s(a — b) — bs — (b — a). 15. 5m — s3m — (— n 4- w)s. 16. x 4- f(x — — (7 — x)s. 17. x — f(x 4- 2) — (— x 4- 2)). 18. 2a 4- 35 — i2a — s— 2b 4- 3b - i(2a 4- 3b) - (2a — 3bW. 19. s!(a—b) 4(b—0)! - io —(ä-o)!s-s-0 4- !ä 4 (-«-«)!)- 20. (6x47^ — i — 6 x -f- 7 — s(6 x — 7 /) — (6 x — 7 ^) — 6 xs!s. — s6x — !(6x — 7^) — (6 4- 7^)>s. II. Muttiplication und Division. 1. Muttiplication mit absoluten ganzen Zahlen. Verbindung der Muttiplication mit sich selbst. (88- 38 und 39.) Verbindung der Muttiplication mit der Addition und Subtraction. (88- 40-45.) 218 47. 3^-^ 4- 552 — 352. 48. 5x — 57-f-6a — 65. 49. s. (3x 4- 2) — 35 (3x 4- 2) 4- 2a (3x -j- 2). Addiere 50. 8mx 4- 5n7 3m x — 7 2/ mx — 8117 51. 62'- 9a'4- 12s? - 4- 82 2a' —3a -^4 Subtrahiere 219 1V5. (15 a 4- 9 d) (15 a — 9 6). 106. (g^ 4- 6°) (a-° — 6°). 107. (3g--26-)(3g-4-26-). 108. (5x--4 3x^) (5x-- 3x^). 109. (mxb 4- (mx^ — 4- 2n^- (mx^ 4- uz?). 110. (3g- 4- 56-) (3 g- - 56-) - (3g- 4- 7d") (2g- — 46-). 111. (5x -4 a) (2x — g.) — (4x -— 3g) (7x 4- ^) 4- (3x — a) (6 x -4 2 a). 112. (5a — 26-4 1)-7. 113. (2x-4 5^ — 32).4x^2. 114. (m-4 2ii? — 3m-).5m. 115. (g--4 »g— 9).6s?. 116. (8x^-4-5x-^- —3x^).12x-^-. 117. (3-^ 4-2r?--5^ 4-4-0.62-, 118. (4m- — 3m-n -4 2mn- — ii-).3m-ii-. 119. (3x- 4- 5x -4 7).5x — (4x- — 6x — 8).3x. 120. miip.(10m— 7a 4-4p). 121. 3gx.(g--4 ax-4 x-). 122. 5a-.(3x-—8x^-4 2^-). 123. x4(x-— x-4-x — 1). 124. 4g?64(5g-6° - 7g-6- — 5a"6 - 3a°). 125. 7x-/.(2x-zr — 2xz? — 3x2-4- 3^-2) -4 x-)'-. (14x^ — 21^2). 135. (16 x' -4 8x-^ 4- l") (4x- - /")- 136. (4g' - 12a-d° -4 96°) (2g- - 36'). 137. (2x' 4- 3x' 4- 4x- 3x 4- 2) (x - 1). 138. (a- 4- 2g6 4- d-) (» 4- d) (a- - 2g6 4- d-) (a — d). 139. (5x- -4 4x — 3) (4x -> 8) — (4x- — 3x - 6) (5x -4 4). 140. (-? - g- g- - a -4 1) (a 4- Y- 141. (a^ 4- a- 4^ 1) — 1)- 142. (g-— g-4-— 1) (a 4-1)- 143. (a° 4- -4 4- -4 a -4 1) (^ — 1). 144. (x° - x^ 4- x^- 4- x^' 4- - ^7° -i- )"°) (x 4- )")- 145. (x' 4- x°7 4- x-^ 4- x^ 4- (x - 7). 146. (x° — x^ 4- x^- — X-7- 4- x)? - ^°) (x 4- 7> 147. (x-- 4- 4- 7°) (x - l). Welche Gesetzmäßigkeit lässt sich in den Multichlicationen 140. bis 147. erkennen? 148. (x^ — x^" 4- x^ 4- x-" -4 x" — 1).(x^ -4 1). 149. (x 4- 1) (x 4-2) (x 4-3). 150. (x-4 3) (x — 2) (x 4 4)- 151. (x 4- a) (x -4 5) (x 4- 0). 152. (x — a) (x — 6) (x — 0) (x — ä). 220 153. 155 157 160. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171 172 173. 174. 175. 176 (a 4-d 4-o)-. 154. (3x-2^-4-)-. izg. (a 4-d)°. 158. (a —4)-. 159. (2x^3?)-. (ax- —4^)-. 161. (8a--4 7t?)-. 162. (a x-- 4°)-. (3a- — 4a-4 4- 6Ld- - 24-) (4a- — 3a4 4- 4-). (5x^ — 2x- — 3x- — 2x -4 7) (6x- -4 4x — 7). (4x- — 3x? 4- 2x — 1) (7 x- — 5x2 4- 3x — i) (a- -4 2^4 4- Lab? -4 4-) (a- -2^4-4 2a4- — 4-). (2a-4-3a42 — 44- 4- 5)(2a-4 - 3a4-44- —5). (ax- 4- 4x2 4- ox 4- ä) (wx- 4- -4 px -4 ° 4- 2 x-" ^2° — 4 x>° 7-° 4- 4 ^4-) (^Sm 4- 2 x^° -4 2 ^2°). (m^ 4- 4m- -4 6ra- 4- 4m -4 1) (ra- — 310.2 4- 3m — 1). (a -4 b -4 o) (a — 4 -4 e) (a -4 t> — o). (a° — 2a4 4- 342) ^2 __ 242) (2a- — 34-). (s? — 4a — g) (»2 — 4 a -4 6) (a? -4 4a — 6). (4x2 — 3x4-2) (3x- 4- 2x — 1) (x2 — 2x — 3). (9.2 -4 2a4 — 2ae 4-42 — 24c> o-) (g? 4- 2a4 4-2ae4- 42 — 24 o 4- <-2). sx- 4- (a -4 4) x -4 (s.2 -4 42)^ sx- — (a — 4) x 4- (^2 — 42)^. 2. Division mit absoluten ganzen Zahlen. Verbindung der Division mit sich selbst und mit der Multiplieation. (88. 49-54.) 221 34. 37. 4V. 43. 46. 48. 50. 52. 55. 56. IS-.tz. SS. s--^. -"4 «2. .7:^. :-^2. 45. 6a-m-x.^^. 47. 49. 4a-14m : (2ab-: m). 51. n m 6am 3a sm^x 4 nix 255u * 51)' ' 4- b) x-: (a — d) 7-) : (x : (a — d) 7). . I'j/n . 4 ' X- / ' 1 X? ' X2/) ' L 4 Verbindung der Division mit der Addition und Subtraetion. (§8. 55-59.) X — 7 ' X — X — 17x -^- 12x 3x — 7^ , 2x — 3^ X-I-7 x-j-/ 77. (45am— 255m 4-35om): 5m. 78. (2a- — 6a-5 4- 30a5-) : 2a. 79. (5m^x-—4m-x? — 3m-x-):m-x. 80. (10x^2 — 25x-7^2- — 15x^-2- 4- 5x^2<) : 5x7-2. 81. (6am — 12i>m-(-5an — lObn) : (6m5u). 82. (a^-4 2a5 4-5-): (a-4 d). 83. (x° - 2x7 4-7°°) - - 7)- 222 84. (4x'- 9^') : (2x-4 3)4. 86. (x"° — )'°) : (x>° — )°). 88. (a»-4 b») : (a 4-d). 90. (a° — 6°) : (a 4-d). 92. (a°-4 6») : (a-4 6). 85. (16a' —6') : (4a — 6). 87. (81m»—16v») :(9m'4-4n»> 89. (a»-4 6»): (a — 6). 91. (a» — 6»): (a — 6). 93. (a° — 6') : (a — 6). Welche Gesetze herrschen in den Quotienten 88. bis 93.? Wann lässt sich die Summe oder Differenz gleich hoher Potenzen zweier Zahlen durch die Summe oder Differenz dieser Zahlen ohne Rest theilen? 94 96. 98. 100. 102. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. 117. 118. 119 120. 121 122. 123. 124 125. (X?m . (x HZ (xSm ; (x — ^-). 97. (xSm-l-l 4- 99 - ^.4 101.. (s?w -4 1) : (gw -4 1). 103. (14x' — 31x -4 15) : (2x — 3). (x'-° — 1): (x -4 1). (xS-- — 1) : (x — 1). ^2m-^L 4- 1) : (x -4 1). (x2m4-i — 1) : (x — 1). (81 x« —167°) : (3x'-2^). (1 - 2x 4- x' - 6x' -4 8x»): (1 - 2x). (6x' — 11x» — 9x' 4- 19x — 5) : (3x — 1). (3a'x' — a6x^ — 26')') : (ax — 6)). !(120 — 326x 4- 329x' — 146x» 4- 24x'): (4 — 3x)! : (6 — 7x -4 2x'). (2-7x4-16x'-17x»4-12x'):i(2-7x4-12x'-9x»):(2-3x)!. (20u? - 18a'6 4- 4a»6') : (4a? - 2a6). (4a- - 16a" 4- 7a 4- 20) : (2a — 5). ^-2m * ^^2m —— ^-2m-42 I ^2l^-^»2 ^3n ^34 . (m' — 2n?n' n') : (m' 4- 2mv 4- v'). (6a' — 5a- 4- 4a' 4- 11a — 4) : (2a' — 3a 4- 4). (12x' — x-)' — 32x'v' -4 x)» 4- 20)'): (4x' 4- x) — 5)'). (2 - 7x 4- 16x' — 25x- 4- 24x' — 16x°): (2 — 3x 4- 4x'). (15a' 4- 8a»6 — 41a'6' -4 10a6» 4- 86') : (5a' -4 6a6 — 86'). (63)» -4 10a')» — 155a')-' -4 10a»)' 4- 63a») : (9)-' — 5a')' — 7a'). (49a» 4- 6a' — 51a' — 25) : (7a? — 6a' 4- 3a — 5). (4x? 4- 15x')' 4- 10x')' — 9)») : (2x» 4- x') 4- 4x)' 4- 3)?). (4 4-5a —16a'—4a-4-4a'— 5a'4-4a»): (4 —3a 4-2a' —ay. (32 4- 104x 4- 100x' -4 26x- - 13x' 4- x') :(8 -4 12x 4- 6x' —x»). (27a» — 33a'6 — 45a'6' 4- 71a»6» — 36a6' 4- 166») :(9a»-2a'6 —5a6'4-46-). (!x- -4 (a 4- 6 — o) x' 4- (a6 — ae — 6o) X — a6o> : (x 4- a)^ 223 3. Multiplikation und Division mit algebraischen ganzen Zahlen. 7. 9. 11. 13. 15. 18. 20. 22. 23. 24. 25. 26. 3. (-a-).(-3a). 6. (—8a^).(2a^). (-4x-).2^. 7 ad.(— do). 8. 5aV.(-3b^). 10. (—12m-x7-).(—4x^). 12. (--,).(-d).(-o). 14. (—5x).(-5x).(-x). 17. (—4x^)-. 19. 4x°7-2.(- x7-2-).(- 2x-2> 21. 3dx^°.(—4b-x^).2dx-. 1. 7a.(-4). 4. (—3x).(5x7). (— 6a«).3a-x. al>-7-.(— a-t>). 7.(-3).(-5). (— M7).(—M7).(—w)'). (—2x)-. 16. (^3a-)-. (— 2a^).3ad-.5a^l>x. 3ax.(— 4s>7).(— 2dx).ad.(— bbx). a-x7>(— mx^).u7-.(— b2-).(— dmx).(— du^). 2ax.(— 667) — (— 8bx).(— s.7) -s- (— 3ab).(— 7x^). 8.(- 3) - (- 5).(- 6) - 9.(- 2) -s- (- 7).(- 5). Berechne den Ausdruck x- — 6x — 16 für x — 8 und für x — — 2. Multiplikation algebraischer Zahlen. (K. 61.) 2. 5 27. Welche Form nimmt der Ausdruck an, wenn sich 1) x in — x, 2) x in — x und 7 in — 7, 3) x in — x, 7 in — 7 und 2 in — 2 ver¬ wandelt? 28. (5x —47).(—3a). 29. (3a — 5d-f-7).(-2m). 30. (—3x^3x—1).(-5x"). (5-s-4a —3a-).(-6a-7). 32. 8x-I- (2x — 37).— 4. 33. (7a2-4l?).(—2l?)-f-14a-l?. 34. (6x2 — 5^2).(— 2x7-2) -f- 8x7-.f— 3^- — 4x-2)f. 35. (5 — 7x -f- 6x-).(— 3x-) -s- (97- -f- 4x- — x).2x. 36. (a« — 4a-d -s- Oa-d- — 4ad- d«).(— 2ab). 37. (a k).(-2a-f-3b). 38. (—ax^I^)-. 39. (a -f- d — 0) (— a -f- d -f- 0). 40. (— x- -i- 2x7 — 4- 2x7 1^)- 41. (—3x-I-57 — 72) (—7x — 57-s-32). 42. (a -f- d — 0) (a -f- b) ch- (a — d -f- 0) (a -f- e) -j- (— a d ch- 0) (d -f- 0). 43. (a -f- d -s- 0) (a -j- b — 0) (a — b -f- 0) (— a -j- d -f- 0). Division algebraischer Zahlen. 44. (—4x):4. 45. 8ab : (—2a). 46. (—6bx-): (—dx). 47. 18a^:(—6a«). 48. (—12m«): (—4m-). 49. (—14a«b-): 2a?b. 50. (—15x^7-) : 3x7«. 51. 9ab-o-x : (—3ai>2o). 52. (—288a-°^--) : 9a-°-^«. 53. (— 25a°^°br) : (—5a°l>k-«). 54. 2ll-^-3x^2m—v—x » (— H 3n-s-4p-^-w—n— 224 55. Berechne - x > für x 8. 56. (24a°d° —15^l?):(-3a«t?). 57. (18am^^°— 27i>m^-s-36«^) : (—3^). 58. (1 — x^) : (1 — x°"). 59. (1 — a^): (1 — a). 60. (6x° - 23x' -s- 24x — 10) : (— 2x 4- 5). 61. (30x^ 4- 2x^ — 16x^ -s- lOx — 2) : (— 5x? 4- 3x — 1). 62. (27 — 51x — 125x' — 2x" -s- 30x") : (— 3 -f- 8x 4- 6x'). 63. (1 — 15x -f- 72x' — 54x' — 405x^ — 243 x"): (- 1 -s- 6x -s- 9x"). 4. Zahlensysteme. (KZ. 64-69.) 1. Verwandle in dekadische Zahlen die folgenden Zahlen aus Zahlen¬ systemen mit der neben ihnen angezeigten Grundzahl: a) 211021220 f3s; d) 103223013 f4s; o) 852076 f9s; ä) 58329 f12f. 2. Verwandle die dekadische Zahl 2897 in eine Zahl a) des Systems f2f, b) des Systems f5s, o) des Systems f6s, ä) des Systems f8s. 3. Verwandle a) 520613 f7s in eine Zahl des Systems f4f; 5) 12112012 f3s. f8f; o) 110100101 f2f. „ f5s. Führe folgende Rechnungsoperationen aus: 4. 240978 -f- 97477 Z- 504336 Z- 378264 -s- 615089 flOs. 5. 321402 -s- 114324 -,-403122 -s- 213440 302113 f5s. Mache hier, wie auch in den weiter folgenden Aufgaben, welche nichtdekadische Zahlen enthalten, die Probe, indem du die gegebenen Zahlen in das dekadische Zahlensystem ver¬ wandelst und dann die verlangte Operation ausführst. 6. 57016 -4 124560 4- 36425 4- 61433 4- 225347 M 7. 2120221 -s- 1012112 4- 1221012 -s- 2111021 f3s. 225 5. Thcilbarkeit der Zahlen. Größtes gemeinsames Maß. (ZZ. 72—75.) Suche das gr. g. Maß folgender Zahlen: 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 14 15 16 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 637 und 4277; 1404 und 8658; 7774 und 3718; 14539 und 25728; 39215 und 73997; 1701, 6426, 10521; 2. 2091 und 1353; 4. 3552 und 5143; 6. 27671 und 21708; 8. 55660 und 66055; 10. 24955 und 338625; 12. 120582, 145530, 167706. 12a? Z- 7a 4- 1 und 6a' Z- 11s. Z- 3; x- — 49x — 120 und x? Z- lOx Z- 25; 4m- — 16m' -s- 23m — 20 und 6m' — 7m — 20; a- — a'b -f- 3ab' — 3b- und s? — 5ab -f- 4b'; x- -s- 6x' -f- 5x' — 12 und x° Z- 4x' Z- x' — 6; 67- -f- I67' — 22^ Z- 40 und 97- — 27^' -j- 35^ — 25; 28a' -s- 10a- 39s? -ch 7a ch- 15 und 14a- — 37a' -s- 15a — 25; 3?' — 82- Z- 112' — 82 -f- 3 und —- 92' -Z 92 — 7; 15x' -f- IOx-7 -j- 4x'^' Z- 6x7- — 3)0 und 12x- -f- 38x'/ Z- 16x7' — IO7-; 6x° - 4x' — 11x- — 3x' — 3x — 1 und 4x'-1-2x- — 18x'-l-3x —5; 6x' — 5x' — 1, 5x- — 4x — 1 und 2x' — 2; a' — 4a- Z- 8a' — 4a -s- 7, a' — 2a- 4- 10a 7 und a- __ 5g? 4- ilg — 7. Kleinstes gemeinsames Vielfaches. (§Z. 76 und 77.) Suche das kl. g. Vielfache folgender Zahlen: 25. 874 und 943; 26. 561 und 1530; 27. 1716 und 2222; 28. 6987 und 8083; 29. 816, 765, 697; 30. 259, 3219, 7548. 31. x- — 3x'/ Z- 3x)0 — 1"° und 2 (x' - 7'); 32. a- — 49a - 120 und a' -f- 10a Z- 25; 33. 6x- — 13x' — 45 x — 25 und x- 4- 2x^ 20x 25; 34. a' -f- 3a- 4- 6a' 4- 5a Z- 3 und g? 4- 2s? 4- 2a 4- 1; 35. 2s? — a' —2a- —2a'—4a —1 und 2a« — s? — 5a-— 5s? — a; 36. 21x- 4- 20x' — 3x — 2, 6x- — 11x' — 12x 4- 5 und 3x- — 10x'- 9x 4-4. Moenik, Arithmetik und Algebra. 15 226 Theilbarkeit dekadischer Zahlen. (M 78 und 79.) Durch welche von den Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25, 100, 1000 sind folgende Zahlen theilbar: Zerlegung in Factoren. W. 81—87). 40. Gib alle zwischen 1 und 200 liegenden Primzahlen an. Zerlege folgende Zahlen in ihre Primfactoren: 41. a) 420; b) 504; o) 1260; ä) 1694; o) 2025. 42. a) 2268; 6) 3075; o) 3828; ä) 5376; o) 10528. 43. a.) 76a«; 6) 66ab'; o) 26x').'; ä) 72a«b'; s) 60ax'2^. Suche alle Prim- und alle zusammengesetzten Factoren folgender Zahlen: 44. a) 48; Io) 180; o) 210; ä) 315; o) 810. 45. a) 18ab; 1») 36x'; o) 27mr?; ä) 165x^2; s) 114an'x«. Zerlege nach 8- 84, 1. in zwei Factoren: 46. 18ab —15ao. 47. 9x' —24x).. 48. —4 a« 4-6 a'. 49. ax^).' -b bx«).« 4" vx')^. 50. a«b'x — a'b'x'-s-ab'x«. 51. 5x«r4 — 15x'--« 4-25x-4. Zerlege nach tz. 84, 2. in Factoren: Zerlege nach Z. 84, 3. in zwei Factoren: 227 89. 91. 93. 95. 97. 98. Suche mittelst Zerlegung in Factoren das gr. g. Maß folgender Zahlen: 84 und 308. 9V. 360 und 680. 108, 450 und 540. 92. 560, 620 und 760. 693, 819 und 945. 94. 504, 756, 1260 und 1764. 12aox, 14s?x und 16ax4 96. 10x?)?, 5x^ und 20x^4 n? -s- 2mu -st i? und n? — i?. — 2at) — 85^ und 4- 2ad — 3ad^ — 61?. 99. x« - 10x'^ -f- 16)? und x« -st 2i?)? - 80)-4 100. 102. 104. 106 108. 110. 112. 113. Suche mittelst Zerlegung in 300 und 620. 120, 168 und 182. 3, 4, 6, 10 und 25. 4, 5, 6, 12, 18, 25, 70. 4, 6, 7, 26, 35, 40, 56. a, 2s?, 3g,I?, 12astm. Factoren das kl. g. Vielfache der Zahlen: 101. 240 und 486. 103. 105, 144 und 270. 105. 2, 5, 9, 20, 21 und 24. 107. 10, 12, 14, 15, 16, 18, 21. 109. 8, 12, 16, 24, 32, 36, 256. 111. 6amn, lOam^n, 5k?n4 m, 5n?, 3n, 8mu und 15m (m — u). 3x, x — 2, 5 (x -f- 2), 20 (x° — 4) und 6 (x -st 2)4 5. Gebrochene Zahlen. a) Gemeine Brüche. Formänderung der Brüche, (ß. 92.) 1. Stelle die Brüche , mit dem gemeinsamen Nenner 24 dar 2. Bringe die Brüche^, auf den Nenner 30a bx)-. Bringe folgende Brüche auf den «,^2 3 3 o- 3' 77' 8' 12' 1 5 18 25 O' 7F' 7 ' 35' 56' - L - 1 s— 2 ->- 3 »4-1' ->4-2' ->4-3' o x 4-1 x2-j-2x 3x x2 — 1 X— 1' x2 - 1 ' X-f-1' x?-41- 0 1 — Ä 1-st» 14-^ 1 — 2 a - " 1 -st L- 1 — L' 1—»2' 1-j-2->- Kürze folgende Brüche ab: . 45 114, . 840 . 34 54' d) 250' <0 1020' kleinsten gemeinsamen Nenner: .7 s 13 8 11 4 — — — — — 8 , 16^ 20, 15, 12' 1 5 a 3be 4äs5 m, 3 m- , 4 mb, 5m^' 8 ? 4- 1 / — 1' X 4- 1' 7^ — 1' »2 1 -j- 2 -> 4- ->2 ^2' 1-2»4-->2- „ 1824, . 4096 7008' b) 7424- 15* 228 . S.12.18 6.12.20.28, . 6.21.24.36.75 4710727' O) 4 8.16.30 ' 8.27.50.56.60' > 391 637. . 765 . .. 2079. . 9082 3.) ggg', V) 819, 0) z^4' 7029' 67735' 14. Bestimme den Wert von —— ^1.2.^3 .^4.5 sür n — 6, dann für n — 8, und kürze die erhaltenen Brüche ab. Berechne: 30. für x^2. 31. für x a. x2 — 4 > 2 x2 — 3sx-j- S.2 x2-U6x—16... „ „o — 4x2 — 3x18 ... „ 32. ox — — 8. 33. s x — o. x2-s-5x—24 3xS—22x2^-L1x—36 34. Eür 2 und für 7^-2. Addition und Subtraetion der Brüche. W. 93 und 95.) 4x > 2x o/» 3m m 1^1' 36. LHk-7 a I) , a — b a -^- d a — d , 37. -Z—38. —- 2^-d. Drücke die letzten zwei Formeln mit Worten aus. 229 63. a- Z- 3^ -j- 3a -Z 1 — 4a 81. Zähler und Nenner des Bruchec vermindert werden; wie groß und dem jedesmal entstehenden 82 o ff- 3x2 — z — 3x2 9 — 4x2 Z 4, 4x2' 84 — ?_ 5 . 4 ' 2x — 1 3x — 1^2x — 3' 8« 2x -l- 3^ _ 2x — 3x 6x (2x— 3^) 6x(2x-j-3x)' ! -ff sollen 1) um m vermehrt, 2) um m ist die Differenz zwischen dem gegebenen neuen Bruche? 3 »2 — 4s-i-5,4»24-gg. — 6 8». gz — 7 > 8s — 9 2x ! 3x -j- 1 4x — 3 "O- x — I x — 2 x — 3 ' s2-^5sb — b2 s — b »2 -j- 4sd-j-4I>2 " s 4- 2d' 230 2x — 5x — 6x 5/ . 3x-s-4x 9x-^-3x I2x-^-4x"" 3x-^-x' «g -_ _ 4-l-2s^2s. 2-l-s--i2- 91. -^- - 4. ^1. X — x x2 —xx ' 2xx ^17^- 2m — 4n 1 M — Sn 3 m — 3 v., 2 6 M — 6 ii' 92. —_ u__i_ _ x2 — ^2 (x ^2 (x — ^)2' O» »d , Le . bo L-j-b^s-j-a^b-s-e' 3-^-d— o .L— d-s-o . d-^-e— s sd " Le "1" de ' - „ 5 3 — 8 d . 3 3— b L — 4b . 3 -j- 5 b L-s-b 3 — b s-,-d L — b' n^ 1 > _1_2d__23_ ' 3 -j- d 3- b »2 — H2 32-^- 2 3 b -s- d2' l>8 7 'N 1 1 7—1 1 7^-i- 1 , 7^ — 2x -j- 1 7— 1^7^1^7^ — 1^7^-^2^-j-l' oo s - I.L^ - L -j- 1 L-j-I.L^-s-L-^-l 2» — 4 3 -j- 1 ^2^1 3"^^ ^2^ »4 — 1' L d Le , de (s — e) (d — o) (L — d) (d — e) (3 — b) (Z. — e)' 101 ---!---!- - -- L — (b -s- e) b — (L -^- e) o — (L -s- b) 102. a d -j- o) -i- a d o). 103. x x -i- x 23 3d 4 el /s 2d , 3el 4 5"/ 1 2"^ 1 2xx > 7^^ > ^7 > 17^ ^ 3 ^9/^X6 5 12 /' 4sd 3d2l /4L2 3»d _ 2b2 y 1 "2"/ IS" 4 3 /' — 5x2 -i- 9 X -z- 14 3x — S . X — 4 2x2 3x — 2 x 2 'l" x — 2' IN« 3Ul -j- D 2m -^- 3n . 3iii2 — mn — 6^ 2 3l»2 — MII 12M2— 4n2 18M2n — K M 1)2 ' — - X3 105. - — 9zi _ 2x —3/ ._ 3x -^- 4/ s ___ 1 6x2 — 11 xx-j-3^2 2x2 — 7xzi-s- 6x2 3x2 __ 7x^ 2^2' x —2x > 2x2 _j_ 2xx _ 4^7 s — ^1 2x — x "7 2xx-j- 3x2 4x2 -j-4xx — Z^2' 231 Multiplikation und Division rines Bruches durch eine ganze Zahl. (Z. 96.) 114. ^.Zc. UL ^.2-». IM V. 118. ^.2d. II». - d>. ISO. (» 4. 121. (I 4 1- -). 1-2. - l).2^. IW. 4 Z 4 ^,.12°. IS«, >25. D 4 ^4. ,^4. >2» l^-1^-^)^-1I>127. 64^Z'-^> l28. s- - 2-d°- «- 4>. 4 - Z)-««--' - s.i i->. Multiplieation und Division durch einen Bruch. (W. 97—100). 232 156. 2a2 — ax 3,2x3 — ax^ 3.x — x2 ' 2a — X / X -j- m _ 2x x x — in / x — m x2 -j- m2* 157. X- -j- 2 X 9 x3 — 8 x x^ — Sx- 12 ' x -j- 7 ' 159 / »b 8- 8 X 353 ^25 " 35- " 4b») - 4^s- / 3 m 2 m m- X ux- — 1 I^IU- 1 w-s-1 11)2 — 1/' M / v2 v2 162. i , , Ix (x -I- x) X (x — 7) -1- /2 V /^ ^ X -c)' / ' V x -s- 7/ »° A- - - Y> (N /- Ikti / p^2 2pxb 3x^X /4x2x2 3xx3 2x4X ^2<^2^s 'N 4^«/ ^3^-7- 'N /' 167. 17V. 173. 175 177 179. 181 183. 184 185 186. 2am:^. 168. 6^x: — ^. 169. 12^5':^. v 2x x^^ (x -i- ^): 171. 3v : (l - (^__^2).^. 8x3^2^ 4n)2ll2^ 15irn)2x3 ' 5x^2^3' /8x3 2x2) 2x I27^s — 9^2/ - /3x3 9x2 x/X n n n 10 j / 8x° 27aSx , /2x2 I27x/ /3x2-197- 12s4^X . 14»8 3a- 'n x2 ^'12^^33 / 3x^ _ 4x-x- 8x- 4^^ . 872 L-b- n H 'b2' " »3 7s^7 -^- 288.37- 488-73 -^- 3687^ z3 7 — 27 ^12s--I-8 —6 6»2 — a — 2 <128--8 —6 68- -I- 8 — 2 328^X^ 483x 27b^7^ ' 9K37' 21bx-73 143-7-2 25 8-0 23'455-0-x' 174. 176 178. 180. 182. 233 187. — 2sb 2-»b — 4s-b —d- zg - 2»2bj c - zab — L b2 LSb - b2> <2^2 — 3ud —2b2 2»2 —zb f' ^.»st-bl — «b 196. Bestimme den Bruch (i v)?i — -.. m — u u — p für x — —-—, v — , ' m -j- Q , Q -j- P — M P -j- Ul' d) Decimalbrttche. Verwandeln gemeiner Brüche in Deeimalbrüchc und umgekehrt. (88. 103 und 104.) Verwandle folgende gemeine Brüche in Decimalbrüche: Rechnen mit unvollständigen Deeimalbrüchen. (88- 105—110.) 9. Kürze auf 3 Decimalstellen ab: a) 25'7917, d) 3'14159, o) 0'8398, ä) 81'57924. 19. 0'91654 st- 0 17357 -f- 0'23408 st- 0'16999 st- 0'879. (3 Decim.) 11. 19-3875... st- 23 473.. st- 38'378.. st- 8'4531.. st- 0'082.. 234 12. Verwandle die Glieder der Reihe 1 1 !_ _ 1.2.3 2.3.4 3.4.5 10.11.12 in Decimalbrüche nnd berechne die Summe auf 3 Decimalen. 13. Berechne ebenso auf 4 Decimalstellen die Reihe -i_— _i__1- - ->---1- -- 2^ 2.4^ 2.4.6^ 2.4.6.8^2.4.6.8.10^2.4.6.8.10.12' 14. 88'9397 - 51'4823. (2 Dec.) 15. 4'37147 — 1'6392. (3 Dec.) 16. 8-2315 — 3-5678. 17. 35'79.. — 10'809. 18. 3-1415.9-2587. (3 Dec.) 19. 0'9156.23'851. (2 Dec.) 20. 12 - 0748.1 - 91345. (4 Dec.) 21. 81 - 2867.0 -1234. (3 Dec.) 22. 8-14739.7-10936.2-51446. (4 Dec.) 23. 1'045.1'045.1'045.1'045. (6 Dec.) 24. Bestimme auf 4 Decimalen p — -st 6 -st o) (a -st 6 — o) (a — 6 -st o) (6 -st o — a) für a — 1-30785, 3 2'09122, v — 2'80116. 25. Berechne die Reihe 1 i - m— 1 z (m- 1)(2m-1) „s —, (w —Y (2m —1) (3m-1) . ui 2^2'^^ 2.3.mS 2.3.4.m« für m — 3 und X — 0'015 auf 7 Decimalstellen. 26. 834 X 2'1335.. 27. 0'37 X 15'0816.. 28. 2-955.. X 0'1563.. 29. 604.. X 0'0085.. 30. 28'1354.. X 7'089.. 31. 0'1956.. X 0'8091.. 32. Gib in den Produkten 26. bis 31. die Fehlergrenze an. 33. 35. 37. 39 41 42. 45'12345 : 3'8265. (3 Dec.) 13-794 : 28-376. (4 Dec.) 754-06 : 0'649. (2 Dec.) 7-24257 : 19'14. (3 Dec.) 34. 986-256 : 127'85. (2 Dec.) 36. 0'7123 : 43'566. (4 Dec.) 38. 3-1416 : 7'825. (3 Dec.) 40. 0-436861 : 18'547. (4 Dec. 1 Kilogramm — 1'785523 Wiener Pfund; wie viel Kilogramm beträgt 1 Wiener Pfund? (5 Dec.) 5-3145.3'4906 . 7'2084.3- ^449' Dec.) 4» 3'027.8'257 9 > 9-461.6-3047' 1 '1 44. 0'35791.0'46802.0'14235.0'37281 0'41885.<>89134.0'15786.0 "->9173' (4 Dec.) 45. 3'187:5-3185.. 46. 912'857:0'118.. 47. 53-4428:9-157. 48. 71'293..: 8'8764. 49. 0-3497.. : 4-284.. 50. 9 2737..: 0'0856.. 51. 0-00869.. : 3-846.. 52. 30'2582..: 0'71356.. 53. Gib in den Quotienten 45. bis 52. die Fehlergrenze an. 235 7. Verhältnisse und Proportionen. a) Verhältnisse. GZ. 115 und 116.) 1. Drücke folgende Verhältnisse in ganzen Zahlen aus: ^8'O'8> ^16'12' ^25'^20^ ^18 ' 9"' e) 8-^-: 2-02; 1)0'215:3'0816; ^) (^ - b): 2. Kürze folgende Verhältnisse ab: a) 10 : 24; 6) 72 : 56; o) 120 : 48; ä) ax (in^ — n^) : all (m -s-n). 3. Drücke folgende Verhältnisse in den kleinsten ganzen Zahlen aus: n)4:6^; ll) 12^:8^; o)-^-:1^; ä) 15^:6^. b) 0-75:0'625; 1) 3'208:1'28; x) 4. Von zwei Körpern legt in jeder Minute 80 Meter, 96 Meter zurück; wie verhalten sich ihre Geschwindigkeiten? 5. Der Körper legt in a Zeiteinheiten dieselbe Strecke zurück, wie in a^ Zeiteinheiten; in welchem Verhältnisse stehen ihre Geschwindigkeiten? 6. Ein Meter verhält sich zu einem Wiener Fuß, wie 174:55; wie ver¬ hält sich ein Decimeter zu einem Wiener Zoll (^Wiener Fuß)? 7. Welches Verhältnis besteht in Österreich zwischen Gold und Silber, da aus 1 Kilogramm feinen Goldes 164 Stücke zu 20 Kronen und aus 1 Kilogramm feinen Silbers 90 Gulden — 180 Kronen geprägt werden? 8. Wie verhalten sich die Flächen zweier Rechtecke, von denen das eine 28 Meter lang und 15 Meter breit, das andere 25 Meter lang und 16 Meter breit ist? 9. Von zwei Dampfmaschinen kann die eine in a Secunden ll Kilogramm o Meter hoch, die andere in rll Secunden lll Kilogramm e' Meter hoch heben; wie verhalten sich die Leistungskräfte dieser Maschinen? k) Proportionen. (88- 123-129.) Löse folgende Proportionen auf: 10. x:5-^:^. 11- : - - < - 5. 12. 4^:4^ x:8^. 13. 3^:5^ 7^-x. 14. x : 0-35 — 2-38 : 1'25. 15. 14'35 : 218'275 — 9'18 : x. 16. 17. x:3^n?:^. mph 18. 19 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31 32. 33. 236 x : (m — 2n) — (6m 4- 8n) : (2m — 4n). (6a — 5b): x — (12a^ — 4ab — 5bH : (8a^ — 2ab — 3b"). — L M -s /b 4- 2^ : X — ^b 4" X. ' (x -si : X — b : o / >_ v x: (a — x) — —n:- a -j- b 3 — d/ ' b^' mit Rücksicht auf Z. 127, 1. Führe an der Proportion 20a (a si- b) : 12a 25 (a" — b^) : 15 (a — b) die in den ZZ. 126 und 127 bezeichneten Formänderungen durch. Wenn a:b — 2:3, b:e — 4:9, o:ck — 3:5 und ä : s — 3 : 8 ist, wie verhält sich a : b : o : ä: o? Gegeben ista:ä — 4:3, v:ä — 5:6, b:s — 20:9, b:1 — 5:9; e : o — 3 : 5; wie verhält sich a:b:e:ä:s:k? Ein Kilogramm verhält sich zu einem deutschen Pfund wie 2 : 1, ein deutsches Pfund zu einem Londoner Pfund wie 43 : 39, ein russisches Pfund zu einem Londoner Pfund wie 65: 72; wie verhält sich a) das Londoner Pfund, b) das russische Pfund zu einem Kilogramm? o) Anwendung der Proportionen. Angewandte Ausgaben mit einfachen Verhältnissen. (W. 131 und 132.) 17 Kilogr. einer Ware kosten 15 fl. 64 kr.; a) wie viel kosten 43 Kilogr.; b) wie viel Kilogr. erhält man für 35 fl. 88 kr.? Wenn die Luft auf eine Fläche von 1s- Quadratdecimeter einen Druck von 154 Kilogramm ausübt, welcher Luftdruck lastet auf einer Fläche von 1 Quadratmeter? Ein Land von m Quadratmeilen zählt r Einwohner; a) wie viele Ein¬ wohner kommen bei gleicher relativer Bevölkerung auf n Quadratmeilen; b) auf wie viele Quadratmeilen kommen s Einwohner? Das Vorderrad eines Wagens hat a Meter, das Hinterrad b Meter im Umfange; wie oft hat sich ersteres umgedreht, wenn letzteres m Umläufe gemacht hat? Ein sich gleichförmig bewegender Körper legt in a Secunden b Meter zurück; a) wie viel Meter legt er in t Secunden zurück; b) in wie viel Secunden legt er 8 Meter zurück? Die Geschwindigkeiten zweier sich bewegender Körper verhalten sich wie o : <4; wie viel Zeit braucht der zweite zu einem Wege, zu welchem der erste t Stunden braucht? 237 34. Von einem Gasometer, welches ll-2 Cubikmeter fasst, werden für eine gewisse Zeit 92 Laternen mit Gas versorgt; wie viel Cubikmeter muss ein Gasometer halten, um 148 Lampen auf ebenso lange Zeit mit Gas zu versehen? 35. Ein Manuskript gibt 162 Seiten, jede zu 50 Zeilen; wie viele Seiten wird es geben, wenn auf jede Seite 45 Zeilen kommen? 36. Ein Vorrath von Lebensmitteln reicht für s, Personen auf b Tage; für wie viele Personen reicht der nämliche Vorrath o Tage länger? a — 72, b — 52, a — 65. 37. Das aus Platin angefertigte, im Archive zu Paris aufbewahrte Llotrs Prototyps ist bei der Temperatur des schmelzenden Eises nach den neuesten astronomischen Messungen der 10000856ste Theil eines Meri¬ dianquadranten unserer Erde. Bei wie viel Grad der lOOtheiligen Scala würde dieser Meterstab, wie ursprünglich angenommen wurde, genau eine dem 10000000 sten Theile des Erdquadranten gleiche Länge haben, wenn der Ausdehnungscoefstcient bei Platin für jeden Grad der Temperatur¬ erhöhung 0-00000856 ist? 38. Eine Stadt hat 13750 Einwohner; wie viel sind 12A dieser Bevöl¬ kerung ? 39. Wie viel betragen 3A «) auf Hundert, st) von Hundert, in Hun¬ dert a.) von 3758 st.? 6) von 2908 Kronen? o) von 5230'65 Franken? 40. Jemand kauft eine Ware für a, st.; wie theuer muss er dieselbe ver¬ kaufen, um pA zu gewinnen? 41. Eine Ware wird mit pA Gewinn für a. Kronen verkauft; wie viel kostete dieselbe im Einkäufe? 42. Jemand kauft für 3480 st. Ware, erhält aber bei contanter Bezahlung 3-^-A Sconto (Nachlass); wie viel beträgt der Scnnto, wenn er a) von Hundert, b) auf Hundert gerechnet wird? 43. Jemand erhält für eine verkaufte Ware nach Abzug von 2A Provision 2174 Kronen; wie viel beträgt die Provision? (Rechnung in Hundert.) 44. Ein Staatslos im Nominalwerte von 250 st. wird im Curse 122'25 (für 100 des Nominalwertes) gekauft; wie viel kostet es? 45. Jemand kauft eine Eisenbahn-Actie von 200 st., welche jährlich 5A Zinsen trägt, für 186 st.; zu wie viel legt er sein Geld an? 46. Ein Capital bringt in t? Jahren 2 Kronen Zins; a) wie viel Zins bringt es bei gleichem Procent in t Jahren; l>) in wie viel Jahren bringt es 2' Kronen Zins? 47. Zu wie viel A muss ein Capital angelegt werden, damit es in l? Jahren ebensoviel Zins bringe, als es in t Jahren zu pA Zius bringt? 238 Angewandte Ausgaben mit zusammengesetzten Verhältnissen. 133 und 134.) 48. a Kilogramm Garn geben b Meter Leinwand von o Centimeter Breite; «) wie viel Meter Leinwand von Centim. Breite geben s/ Kilogr. desselben Garns; fl) wie breit wird die Leinwand, wenn aus a/ Kilogr. Garn 1/ Meter gefertigt werden; wie viel Kilogr. Garn braucht man, um Ick Meter Leinwand von cck Centim. Breite zu erhalten? 49. Aus einer gewissen Quantität Wolle können 16 Stück 108 Centimeter breites Tuch verfertigt werden, wenn das Stück 35 Meter hält. Aus einem Theile der Wolle werden 5 Stück 98 Centimeter breites Tuch ver¬ fertigt, jedes Stück zu 32 Meter; wie viele Stück 1 Meter breites Tuch, das Stück zu 28 Meter, können aus dem Reste verfertigt werden? 50. Eine Mühle mahlt auf a Gängen bei 5 Umdrehungen pr. Minute in o Secunden ä Hektoliter Getreide; auf wie viel Gängen können bei 1/ Umdrehungen pr. Minute in cck Stunden e' -s- e" -s- o"' 4^---' Diese Rechnung heißt die Terminrechnung; man wendet dabei gewöhnlich die vom Procent unabhängige Berechnung von Hundert an. 70. Jemand hat 2000 fl. nach 2^ Monaten, 1500 fl. nach 8 Monaten, 3000 fl. nach 10 Monaten, 2500 fl. nach 1 Jahre 4 Monaten unver¬ zinslich zu zahlen; wann muss die Zahlung geschehen, wenn die Summe aller jener Terminzahlungen auf einmal erlegt werden soll? Theilregel. (ZZ. 135 und 136.) 71. Zu einem Unternehmen gibt 3100 Kronen, 8 3500 Kronen, 0 4200 Kronen her; wenn nun dabei 324 Kronen gewonnen werden, wie v-.cl kommt auf jeden? 72. Es soll die Zahl 3710 in 4 Theile getheilt werden, welche sich zu ein¬ ander verhalten, wie die Brüche 73. Vier Gemeinden, von denen 738 fl. 42 kr., 8 815 fl., 6 513 fl. 65 kr., D 618 fl. 83 kr. Steuern zahlt, sollen nach Verhältnis der Steuern zu einer Schulbaulichkeit, deren Kosten sich auf 924 fl. 30 kr. belaufen, beitragen; welcher Beitrag entfällt auf jede Gemeinde? 74. Eine Summe von s Kronen ist in drei Theile a, 3, o so zu theilen, dass sich a: i> — m : L und d : o — p : cz verhalte. 75. Unter drei Personen sind 3960 Kronen so zu vertheilen, dass 8 doppelt so viel als und 6 3 mal so viel als 8 bekomme; wie viel erhält jeder? 76. Drei Personen sollen 9150 fl. so unter einander theilen, dass so oft 5 fl. als 8 3 fl., und 6 so ost 3 fl. als 8 4 fl. erhalte; wie viel erhält jede Person? 77. 8 Kronen sind in 4 Theile a, b, e, ck so zu theilen, dass s.: ä — m : n, k : ä — x : H und o : l> — r : s sei. 78. Ein Zwanzigkronenstück enthält Gold und Kupfer; wie viel Gold und wie viel Kupfer braucht man, um 1000 Zwanzigkronenstücke zu prägen, da 147-6 Stücke 1 Kilogramm wiegen? 241 79. Eine Erbschaft von 18420 Kronen soll unter 4 Personen getheilt werden, dass L 1-, 6 und 1) den Rest erhalte. Vor der Theilung stirbt jedoch und die übrigen drei theilen nun auch den Antheil des im Verhältnisse ihrer ursprünglichen Antheile unter sich. Wie viel bekommt jeder? 80. Drei Gemeinden erhalten für geleistete Erdarbeiten 750 ft. Aus der Gemeinde arbeiteten 11 Mann durch 10 Tage zu 9 Stunden, aus der Gemeinde L 9 Mann durch 9 Tage zu 10 Stunden, aus der Gemeinde 0 15 Mann durch 5 Tage zu 6 Stunden täglich. Welchen Antheil an jener Entlohnung wird jede der drei Gemeinden haben? 81. beginnt am Anfänge des Jahres ein Unternehmen mit einem Fonde von 8000 Kronen; nach zwei Monaten tritt L mit .5000 Kronen und noch zwei Monate später auch 0 mit 3000 Kronen dazu. Beim Jahresabschlüsse zeigt sich ein Gewinn von 1059 Kronen; wie viel bekommt jeder davon? Kettenregel. (Z. 137.) 82. Wie viel Meter find 2135 russische Fuß, wenn 55 Meter — 175 Wiener Fuß und 82 russische Fuß — 79 Wiener Fuß sind? 83. Wie viel Londoner Pfund wiegt ein Londoner Cnbikfuß reines Wasser, da 1 Cubik-Decimeter davon 1 Kilogramm wiegt? (25 Londoner Cubikfuß — 708 Cubik-Decimeter, 86 Londoner Pfund — 39 Kilogr.) 84. Ein Einkronenstück enthält 835 Tausendtheile feinen Silbers und 165 Tausendtheile Kupfer; wie viel Gramm wiegt es, wenn 40 Ein¬ kronenstücke 167 Gramm feinen Silbers enthalten? 85. Wie viel fl. ö. W. ist ein deutsches Zehnmarkstück wert, da 139 * Zehn¬ markstücke 500 Gramm feinen Goldes, 45 fl. ö. W. 500 Gramm feinen Silbers enthalten, wenn sich dem Werte nach Gold zu Silber wie 18 : 1 verhält? 86. Welchen Wert in Kronen hat 1 Ducaten, da 164 Stücke zu 20 Kronen 1 Kilogramm feinen Goldes und 81^? Ducaten 280'668 Gramm Gold, das 986 g Tausendtheile sein ist, enthalten? 87. Ein Wiener Kaufmann bezieht von Hamburg Kaffee zu 78 Pfennig das Hamburger Pfuud; wie viel H gewinnt er, wenn die Spesen 50A betragen und in Wien das Kilogr. zu 1 fl. 56 kr. verkauft wird? (1 Hamb. Pfund — 0'5 Kilogr., 100 Pfenn. — 1 Mark und 100 Mark — 58 fl.) Man beginnt den Ansatz: x fl. Einnahme geben 100 fl. Ausgabe, wenn u. s. w. Moönik, Arithmetik und Algebra. 16 242 III. Gleichungen des ersten Grades. 1. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten. (W. 140 und 141.) 1. X s, — k. 3. a — X — t). 5. 5xZ-8^43. 7. a-j-lix —ox — ä 9. 92 — 27^^11. II. 5-j-(2 x — 15) x. 13. 3(x —5)^4(10 —2x). 15. (a -4 t>) x — 2a — (a — t>) x. 2. x — a — b. 4. ax — t>. 6. 17-4 8x^71 —x. 8. 3x — 2a-4 t> — a — 5t>. 10. 7x-i-12 6x 4-20. 12. 9 — (5 — 2x) 3x 4- 1. 14. 5 (x — 2) — 2x — 2 (x — 1). 16. a (x — b) — t> (a — x) — o. 17. m (x — a) — u (x — t>) — (a -4 tr) x. 18. 3 (2x 4- 9) — 9 (4 4- x) -- 3 (5 x) - 2 (x 4- 6). 19. (x 4- u) : (x — a) — t> : o. 20. (8x — 1) : (4x 4- 2) (6x — 9) : (3x — 4). 21. (a — ^) -4 (6 — — a° — 3d4 22. (2 — x) (3 — x) — (4 4- x) (3 -4 x). 23. (2 4- I) — 1) — 2^ -4 -4 1- 24. (2 4- x) (2x -4 1) 4- (2 — x) (2x — 1) — 0. 25. x (x — 2a) — (t) — x)' — 3t)^ — 4a4 26. (x 4- 2) (x 4- 3) — 4 (x 4- 4) (5 4- x) — 10. 27. l3 — 2) — 5!. 5 — 4 (2). — 6) — 19. 28. 5 (x 4- 10) - 4 !160 - 3 (3x — 2) 4- 2x! 2 — x. 29. 5 !3 4- (2x — 7)t — 7 (x 4- 5) -4 3 3 14 (3 — x) — xt — 70. 30. Löse die Gleichung 2s — n (a^ 4- Nu) nach allen darin vorkommenden allgemeinen Zahlen auf. 243 43. 45. 47. 49. 50. 51. 44 X " k X 9x-s-8 „ 3x 2 6x-j-5 2x-s-1' L^b^o gb^so^dc' *o. L-j-K b— L , 4- b2 s — b 'X L 4- b ' 2 ' 13 — 65 x — 5 4 2x — 10' 8x —3 3x-i-4 2x —1 — x-s-1 ^-.X-4ad d — a -71-X. a -j- b ji 4- a bs _ t a 4-b a 4-d > )a— b X. L-^-1 2—1 _ 22 , 7 3 —-5-^4-- 55. (a4-b)^-^—— —^-s- —- o^. V6 ao Lv ' e 56. —--?— X—2 X — 6 X — 4 X—8 Z? * 1 1 1 se — ex bä — äx sä — äx be — ex' 58. 4 (2x -4 5) 4- 3 (2x — 3) — 4 (5x — 7) --r 1. 59. 4 (3x - 7) — 22 (8x - 63) — (2x Z- 3)^. 69- 4 (4 (x -4 1) -4 3^ -s- 2! - 4) -- 1. 3'07x , X— 0'08 3x „ 61. ^- 0-00925. 66. 69. 72. 73. 76. 2. Gleichungen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Unbekannten. (W. 142-145.) 8x — 5)? — 25, 3x -j- 7^ — 36. 7x 4- 8)' - 23, 14 x — 4)? — 6. 67. 3x4-4)? —4, 12x — 6)? — 5. 70. 6x4-8)? —7, 2x 4- 6)? — 4. 68. 16)? — 25 2 — 7, 5r — 24)? — 9 71. 3^4-52^93, 4^4- 72— 128. x 4. )- — s,) Wie findet man ans der Summe zweier Zahlen und deren x j Differenz die beiden Zahlen selbst? g.x-4)? —m, 74. x 4-w)'— a, 75. a (x-4 7) — m, X — )? — 11. X — N)? — 5. 6 (x )?) — u. )^ax4-b, 77. )?^2x4-3, 78. 4x 4-3)? 9, )? — g/x 4-51. )-4-1—4x-^3. 8x 3)? 27. 16* 244 79. 3x —4/--4, 80. x 4-2/— 30, 81. ^x-^^2, 82. 85. 87. - 4. 83. I 5 x _ 1 7 -I- 4 2' ir -j- 7 — w -l- x' L _ lll m — L — x' ux — 6/ — s? -4 14, 6x -4 4" 6^. 3x , x 1,2 , --4-^-^ 9, 84. X Z' ' X — x X 4^ y 2 _ 3 x ' 3x — 7/ 2x—9' 86. 4- d ° e c ' »d^do so 88. (a -4 o) X -4 (k — o) / — 2 bL, (d — o) x -4- (b -4 o) / — 2 a o, 89 ._-_-_—_-_ ' 3 4- d s — b 3 4^ d' 90. -^-4--^^2, a -s- o ' a — d , 1 »-,-b^s — b s — d' 2x —b 2x — s _ y s d 2 x , 4sb s — d 3 »4 d 32— H2' 92. 2x — s 2/ 4^ d s -s- d s^ sb ' O-, c> . , , 4sb2 —2s(s2 — d2) 93. X — / — 2u 4- 6 4- ^2114, 2-, ax —- 6/ — (u -j- 94. ^M^/-424, x - 234 — ^z^-. 96. 5x : 8 — (/ -4 5) : 2, 3x : 8 — (/ — 2): 1. 3 — d , (32 ->- l>2) — 2sd (32 — b2 4- 1) 3 4- d 32 — l>2 95. 41x - 32-75/ -- 10 42, 5 2x — 36/ 4- 2'5 — 0. 97. (4x 4- /): (2x — /) — 16 : 5, (2x-4 7/): (x -4 8)^14:5. 98. (3x 4- 2v — 4) : (2x 4- 3/ — 1) 3 : 2, (x - 2/ —3):(2x-3/ —6)^2:3. 99. x 4- 3/ — 39, 3 x -4 2^ — 48, 4/ - 32 18. 101. 3x 4- / 4- 22 13, X -4 2/ 4- 32 — 17, 2x -4 3/ 4- 2 — 12. 103. ki x -4 Ki 4- <4 2 — <1„ Ä2X 4- i>2/ -4 Vz2 — 62, ÄzX -4 -4 12 3 — A 4- 4- — 23 10 k s — ^o. 105. 0'4x4-0'5^4-0'72 — 51, 0'3x 4- 0 4^ 4- 0'52 — 38, 0 2x 4- 0-3^ 4- 0-42 — 29. 107. x 4-4-612, ^^^^^-612, 4- 612. 118. —5^4-62— 6, 3u 4- — 5x-j- I — 32— 3, — u 4— 4iv 4— 2x 5^- —!— — 6, u — v4- X — ^4- r: — 3, u -4 ^4- 4- -4 2 — 15. 3. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades. (W. 146 und 147.) 119. Das 3fache und das 4fache einer Zahl beträgt zusammen 196; wie groß ist die Zahl? 246 126. Von welcher Zahl ist der siebente Theil um 8 kleiner als der dritte Theil? 121. Wenn man eine Zahl mit 15 multipliciert, zu dem Producte 20 addiert, die Summe durch 4 dividiert und von dem Quotienten 14 subtrahiert, so erhält man das 3fache der fraglichen Zahl; welche Zahl ist es? 122. Wie heißt die stetige geometrische Proportion, deren drei Glieder um gleichviel größer sind als 1, 3 und 6? 123. Die Zahl a soll in zwei Theile so getheilt werden, dass das in fache des ersten Theiles um ä größer sei als das ufache des zweiten Theiles. 124. In welche zwei Theile muss man 60 zerlegen, damit der größere Theil durch den kleineren dividiert 2 zum Quotienten und 3 zum Reste gebe? 125. Eine Zahl a in solche zwei Theile zu zerlegen, dass deren Quotient der gegebenen Zahl selbst gleich sei? 126. Welche Zahl muss man vom Zähler und vom Nenner des Bruches subtrahieren, damit der neue Bruch gleich werde? 127. Welche Zahl muss zum Zähler des Bruches addiert und vom Nenner desselben subtrahiert werden, damit der erhaltene Bruch der reciproke des früheren sei? 128. Wenn man zum Zähler und Nenner eines Bruches 7 addiert, so erhält er den Wert subtrahiert man vom Zähler und Nenner 2, so erhält er den Wert Welches sind Zähler und Nenner des Bruches? 129. Zwei Zahlen werden mit denselben zwei Ziffern geschrieben und ver¬ halten sich wie 13 : 31; welche Zahlen sind es, wenn ihre Summe 88 beträgt? 13V. Vermehre ich eine zweiziffrige Zahl um das 9 fache ihrer Einer, so er¬ halte ich 80; vermehre ich sie dagegen um 18, so erscheinen in der Summe ihre Ziffern in umgekehrter Ordnung; wie heißt die zweiziffrige Zahl? 131. Jemand wird nach 10 Jahren doppelt so alt sein, als er vor 4 Jahren war; wie alt ist er jetzt? 132. Ein Vater ist jetzt 48, sein Sohn 21 Jahre alt; vor wie viel Jahren war der Vater 10 mal so alt als sein Sohn? 133. Ein Vater ist 36, sein Sohn 10 Jahre alt; wie viel Jahre muss der Vater noch leben, damit er gerade doppelt so alt werde, als es dann sein Sohn sein wird? 134. ist jetzt mmal so alt und wird nach a Jahren u mal so alt sein als L; wie alt ist wie alt L? Welche Beziehung muss zwischen ra, n und n stattfinden, damit die Auflösung einen Sinn habe? (Z. 147, Beispiel 3.) 247 135. Ein Vater ist gegenwärtig 3 mal so alt als sein Sohn; vor 12 Jahren war er 9 mal so alt als der Sohn. Wie alt ist jeder? 136. Ein Knabe sagt: meine Mutter ist 25 Jahre älter als ich, mein Vater ist 5 Jahre älter als die Mutter, und wir alle zusammen haben 91 Alters¬ jahre. Wie alt ist der Knabe, die Mutter, der Vater? 137. Bei der Theilung einer gewissen Summe erhält 1000 fl. und des Restes, L des neuen Restes und noch 500 fl. darüber, 0 die noch übrigen 2500 fl. Wie groß ist die Summe, wie viel erhält wie viel 8? 138. Bei der Theilung einer gewissen Summe erhält I. a fl. mehr als derselben, 8 1> fl. mehr als des Restes, 6 den neuen Rest, welcher o fl. weniger beträgt als der ganzen Summe. Wie viel erhält jeder? 139. Unter drei Personen wird eine bestimmte Summe so vertheilt, dass 8 20 Kronen weniger als 7^., und 6 20 Kronen weniger als 8 bekommt; die ganze Summe ist um 25 Kronen größer als das 4fache dessen, was 0 bekommt. Wie viel erhält jeder? 140. Ein Vater schenkt seinem Sohne für jede fehlerfreie Aufgabe 10 Heller; für jede fehlerhafte Ausgabe dagegen muss der Sohn dem Vater 5 Heller zurückzahlen. Bei 20 Aufgaben ergab sich nun, dass dem Sohne von den erhaltenen Geschenken 80 Heller übrig blieben; wie viele Aufgaben hat er ohne Fehler, wie viele fehlerhaft gearbeitet? 141. Jemand dingt einen Gärtner auf einen Monat (30 Tage); er verspricht ihm während dieser Zeit die Kost, und für jeden Tag, an dem er arbeitet, fl.; für jeden Tag, an dem der Gärtner nicht arbeitet, muss dieser dem Herrn fl. für die Kost bezahlen. Nach einem Monat erhielt der Gärtner 18 fl.; wie viele Tage hat er gearbeitet und wie viele nicht? 142. Zwei Arbeiter sollen einen Graben von 435 Meter Länge reinigen; der eine macht täglich 42 Meter, der andere 45 Meter fertig; wann wird die ganze Arbeit fertig sein? 143. Zwei Fässer enthalten 351 Liter Wein; nimmt man aus dem ersten den sechsten und aus dem zweiten den dritten Theil heraus, so bleibt in beiden gleichviel übrig. Wie viel Liter enthält jedes Fass? 144. In jedem von zwei Fässern ist eine gewisse Menge Wein. Gießt man aus dem ersten in das zweite so viel, als jetzt darin ist; dann aus dem zweiten in das erste so viel, als schon darin ist; dann wieder aus dem ersten in das zweite so viel, als darin übrig geblieben war, so enthalten beide Fässer gleich viel Wein, nämlich 72 Liter. Wie viel Liter enthielt jedes Fass? 145 146 147 148. 149 150 151 152. 153 154 155. 156 248 In einer Gesellschaft waren 2 mal so viel Männer als Frauen; nachdem 8 Männer mit ihren Frauen weggiengen, blieben noch 4 mal so viel Männer als Frauen. Wie viel Männer und Frauen waren anfangs da? In einem Landtage, in welchem 64 Abgeordnete stimmten, wurde ein Antrag mit einer Stimmenmehrheit von 10 angenommen. Wie viele stimmten dafür, wie viele dagegen? In einer Fabrik arbeiten 62 Arbeiter, theils Meister, theils Gesellen; jeder Meister erhält täglich 2 fl., jeder Geselle nur die Hälfte davon; würde man jedem Meister von seinem Lohne 0'4 fl. abziehen und dafür jedem Gesellen so viel zulegen, so möchte der tägliche Lohn um 12'8 fl. mehr betragen. Wie viele Meister und wie viele Gesellen sind es? und 8 machen eine Wette von 12 Kronen; gewinnt so hat er dreimal so viel Geld als 8; verliert er, so hat er nur doppelt so viel als 8. Wie viel Geld hat jeder? Drei spielen mit einander; im ersten Spiele verliert der erste an jeden der anderen so viel, als jeder von diesen bei sich hatte; im zweiten Spiele verliert der zweite an den ersten und dritten so viel als jeder derselben hat; im dritten Spiele verliert der dritte an den ersten und zweiten so viel als jeder hat; nach geendigtem Spiele hat jeder 24 Kronen. Wie viel hatte jeder am Anfänge des Spieles? Die Vorderräder eines Wagens haben 35 Decim., die Hinterräder 44 Decim. im Umfange; wenn nun ein Vorderrad von I. bis 8 387 Umdrehungen mehr gemacht hat als ein Hinterrad, a) wie vielmal hat sich jedes umgedreht, i>) wie viel Meter ist von 8 entfernt? Jemand verkaufte eine Ware mit 3A Verlust für 1784'8 fl.; wie viel hatte er im Einkäufe dafür gegeben? Ein Kaufmann verkauft den Centner einer Ware für 161 Kronen und gewinnt dabei 15H; wie theuer hatte er den Centner eingekauft? Wie groß ist das Capital, das mit Zurechnung von 5A Zinsen in 4 Jahren auf 2808 fl. anwächst? Wie lange muss ein Capital zu angelegt bleiben, damit die Zinsen des Capitals betragen? Zwei Capitalien sind auf Zinsen angelegt, 4400 Kronen ä 5A und 5500 Kronen a 4^^ ; in welcher Zeit werden sie zusammen 1870 Kronen Zinsen gebracht haben? Von zwei Capitalien, deren Summe 5330 Kronen beträgt, ist das erste zu 5A, das zweite zu 4^ angelegt; wie groß ist jedes, wenn das erste doppelt so viel Zins trägt als das zweite? 249 157. Für eine nach vier Jahren fällige Schuld bezahlt jemand bar 2400 fl., der Discont beträgt 480 fl.; wie viel A Discont werden jährlich gerechnet? 158. Ein Kaufmann hat zwei Sorten einer Ware, von der einen kostet das Kilogr. 60 kr., von der andern 40 kr.; er will von beiden eine Mischung von 80 Kilogr. bereiten, die er zu 45 kr. das Kilogr. verkaufen kann. Wie viel Kilogr. muss er dazu von jeder Sorte nehmen? 159. Ein Weinhändler hat zweierlei Weine, von dem ersten kostet das Hekto¬ liter 120 Kronen, von dem zweiten 64 Kronen; er will durch Mischung 7 Hektoliter zu 80 Kronen bekommen. Wie viel Hektoliter wird er von jeder Gattung zu der Mischung nehmen müssen? 160. Wie viel Kupfer (Gehalt — 0) muss man mit 26 Kilogr. Silber, das 0'9 fein ist, legieren, um 0'52 feines Silber zu erhalten? 161. Zu 24 Kilogr. 0'8 feinem Silber werden 12 Kilogr. einer andern Silbersorte hinzugesetzt, wodurch die Mischung 0'75 fein wird; welchen Feingehalt hat die zweite Sorte? 162. Jemand hat drei Metallstücke, deren jedes aus den Metallen k, 0 besteht. Das erste Stück enthält von a,, von L kr,, von 0 e, Dekagr.; das zweite Stück enthält von von L b,, von 6 o? Dekagr.; das dritte Stück enthält von Lz, von L bg, von 6 Dekagr. Man will nun eine Composition bilden, welche von X a Dekagr., von L b Dekagr., von O o Dekagr. enthalten soll. Wie viel Dekagr. muss man dazu von jedem der drei Metallstücke nehmen? Wird S; -p b; -t- Ä2 -ch t>2 -t- Lz — 82, »Z ch bg -p vz — Sg gesetzt, so erhält man folgende Gleichungen: 82 8z — lj s, «2 Sz ' X «27 . Lg2 0 S; -2 Sz 163. Von drei Metallstangen enthält die erste 4 Dekagr. Gold, 8 Dekagr. Silber, 12 Dekagr. Kupfer, die zweite 8 „ „ 10 „ „ 2 „ „ die dritte 10 „ „ 6 „ „ 14 » ,, Aus diesen will man durch Legierung eine Metallstange erhalten, welche 10 Dekagr. Gold, 10 Dekagr. Silber und 11 Dekagr. Kupfer enthält; wie viel Dekagr. muss man von jeder der drei Metallstangen dazu nehmen? 250 164. Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die erste Röhre allein in a, durch die zweite allein in b Stunden. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt sein, wenn man das Wasser durch beide Röhren zugleich fließen lässt? Man setze die gesuchte Zeit — x und den Cubikinhalt des Behälters — v. Die erste Röhre allein füllt in x Stundens, die zweite Röhre allein n beide Röhren füllen also in x Stunden -s- d. i. den ganzen Behälter — v. Man , , vx vx , X , X , ab hat demnach — -j- v; oder — -f- — 1, x — 165. Ein Wasserbehälter kann durch drei Röhren gefüllt werden; die erste Röhre allein füllt das Gefäß in 4 Stunden, die zweite Röhre allein in 6 Stunden, die dritte Röhre allein in 12 Stunden. In wie viel Stunden wird der Wasserbehälter gefüllt, wenn man das Wasser durch alle drei Röhren zugleich fließen lässt? 166. Ein Wasserbehälter kann durch drei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die Röhren k, und R, a, durch L, und Lz in 1>, durch kz und k» in o Stunden; wie viel Zeit braucht jede Röhre allein dazu, um den Behälter zu füllen? 167. Zu einer Arbeit erbieten sich drei Personen, V und 0; und L würden zusammen die verlangte Arbeit in 18 Tagen liefern können, und 6 zusammen könnten dies in 12 Tagen, L und 6 zusammen in 9 Tagen. In welcher Zeit kann die Arbeit durch alle drei Personen zusammen geleistet werden? 168. Zwei Körper vom specifischen Gewichte 8, und s, sollen so mit einander verbunden werden, dass der entstehende Körper p Kilogr. wiege und das specifische Gewicht s habe; wie viel Kilogr. eines jeden Körpers hat hat man zu nehmen? Da die Summe der ^absoluten Gewichte der beiden Bestandtheile dem abso¬ luten Gewichte der Verbindung, und ebenso die Summe der Cubikinhalte der Bestandtheile dem Inhalte der Verbindung gleich sein soll, so hat man, wenn die Verbindung x Kilogr. des ersten und Kilogr. des zweiten Körpers enthält, X -f- / — x und-s- — — -e-, und daher 8g 8 X und 7 8 (8i - 8z) 8 (8; — 82) Die Auflösung ist nur möglich, wenn 8 zwischen und 8z liegt. 169. Wie groß sind die specifischen Gewichte zweier Körper und L, wenn a Kilogr. vom ersten und d Kilogr. vom zweiten zusammen das speci¬ fische Gewicht s, dagegen a, Kilogr. vom ersten und Kilogr. vom zweiten zusammen das specifische Gewicht s, haben? 251 17V. Eine aus Gold und Silber gemachte Krone des Königs Hiero von Sy- racus wog 20 Pfund, unter Wasser getaucht nur 18^- Pfund; wenn nun Gold im Wasser scheinbar und Silber von seinem Gewichte verliert, wie viel Gold und wie viel Silber war in der Krone? 171. Ein Pendel, das u Millimeter lang ist, macht bei der Acceleration A in einer Minute n Schwingungen; wie lang muss ein anderes sein, das bei der Acceleration in einer Minute Schwingungen machen soll? x-g,- 172. Das Secundenpendel hat in Paris eine Länge von 0-99385 Meter; wie lang muss ein Pendel sein, das in Wien in jeder Minute 80 Schwin¬ gungen machen soll, wenn die Acceleration für Paris 9-809, für Wien 9'808 Meter beträgt? 173. Ein Dampfschiff legt in einer Stunde stromaufwärts einen Weg von 10'2 Kilometer, stromabwärts einen Weg von 17-7 Kilometer zurück; welchen Weg würde das Schiff durch die Kraft der Maschine allein (bei stillstehendem Wasser), welchen Weg durch die Kraft des Stromes allein (bei stillstehender Maschine) in einer Stunde zurücklegen? 174. Zwei Körper L? und L" bewegen sich auf einer geraden Linie in der¬ selben Richtung von den Punkten und gleichförmig mit den Geschwindigkeiten und o". Der Körper L' verlässt den Punkt welcher um ck Längeneinheiten rückwärts von liegt, um t Zeit¬ einheiten später, als der Körper L" den Punkt verlässt. Nach wie viel (1) Zeiteinheiten, von dem Abgänge des Körpers L" von an gerechnet, werden beide Zusammentreffen? (Vergl. H. 147, 4.) Der Körper L' legt den Weg o' (? — t), der Körper L" den Weg <-" r zurück; die Differenz beider Wege ist die Distanz ä, daher (r — t) — c" r — ck und daraus 1 ä <;/ — e" ' Discutiere dieses Resultat s) für positive Werte von ä, t, <:' und o" und für e' e"; b) für a o; °) für t o; a) für e" < o. 175. Behalte die Daten der vorhergehenden Aufgabe und bestimme die Ent¬ fernung (v) des Punktes, in welchem die beiden Körper Zusammentreffen, von dem näher gelegenen Punkte e" 1 -j- ä) v --- e" ? - ^7-^- 176. und sind durch eine Eisenbahn verbunden, deren Endpunkte 225 Kilometer von einander abstehen. Bon geht gegen ein Personenzug ab, der in jeder Stunde 30 Kilometer znrücklegt; zu gleicher 252 Zeit geht von gegen ein Lastenzug ab, der in jeder Stunde 20 Kilometer zurücklegt. Wann begegnen sich die beiden Züge? 177. Vom Orte aus geht des Morgens 5 Uhr eine Locomotive ab, welche in 4'5 Stunden 105 Kilometer zurücklcgt. Eine halbe Stunde später wird von aus, welcher Ort 52'5 Kilometer hinter L/ liegt, der ersten Locomotive eine zweite nachgesendet, die 105 Kilometer in 3 Stunden führt. Wann wird die zweite Locomotive die erste einholen? 178. Ein Courier LU geht von nach ^", ein anderer Courier LI" von nach LU tritt die Reise um 5 Tage früher an als Ll", dagegen legt LI" täglich 20 Kilometer mehr zurück als LU. Nachdem LI" 240 Kilometer zurückgelegt hatte, trifft er mit LU zusammen und dann brauchte LU noch 4 Tage bis und LI" noch 6 Tage bis lU. Wie viel Kilometer hat jeder täglich zurückgelegt und wie groß ist die Entfernung zwischen H und ^"? 179. und sind durch eine 152 Kilometer lange Eisenbahn verbunden. Von geht um 8 Uhr 30 Min. vormittags ein Zug nach iL" ab mit der Geschwindigkeit von 10 Meter per Secunde; an demselben Vormittage um 9 Uhr 15 Min. geht von ein Zug mit der Geschwindigkeit von 9 Meter per Secunde nach ab. Wann und in welcher Entfernung von begegnen sich diese Züge? 180. Ein Courier soll von -L aus einem Regimente, das vor 6 Tagen von dort abmarschiert ist und täglich 28 Kilometer vorwärts geht, Ordre bringen. In welcher Entfernung von dem gemeinschaftlichen Abgangsorte wird er dasselbe erreichen, wenn er täglich 84 Kilometer zurücklegt? 181. Von lU geht ein Courier, welcher täglich 14 Meilen zurücklegt, nach ; zu gleicher Zeit wird von H." ein Courier, welcher dem ersten nach 5 Tagen begegnen soll, nach abgeschickt. Wie viel Meilen muss der zweite Courier täglich zurücklegen, wenn die Entfernung 150 Meilen beträgt? 182. Um 8 Uhr morgens fährt von nach 1L" ein Eilwagen, der jede Stunde 9 Kilometer zurücklegt; 20 Minuten nach 2 Uhr nachmittags verlässt ein Dampfwagen den Ort 1L" und langt auf einer neben der Landstraße liegenden Eisenbahn, indem er stündlich 30 Kilometer zurücklegt, zu derselben Zeit in an, zu welcher der Eilwagen in iL" ankommt. Wie groß ist die Entfernung zwischen und iL"? 183. Von nach sind 315 Kilometer. Um Mittag geht von ein Eilwagen ab, der 10 Kilometer in der Stunde macht. Um wie viel Stunden früher muss von eine Fahrpost, die in der Stunde nur 6 Kilometer zurücklegt, abgehen, damit sie mit dem Eilwagen gleichzeitig in eintreffe? 253 184. Zwei Körper bewegen sich von den Punkten Ick und deren Entfernung ä Meter beträgt, gegen einander. Fängt der erste ick Stunden früher an sich zu bewegen, so treffen sie 1" Stunden nach dem Abgänge des zweiten zusammen; fängt der zweite t" Stunden früher an sich zu bewegen, so treffen sie Stunden nach dem Abgänge des ersten zusammen. Wie viel Meter legt jeder in einer Stunde zurück? 185. Einem Körper X", welcher in jeder Zeiteinheit o" Längeneinheiten zurücklegt, folgt t Zeiteinheiten später von demselben Punkte aus ein zweiter Lck, welcher in jeder Zeiteinheit 1-^. 123. 4-2 3 3 3 124. 5a1^12?- 2x1^27^ 125. 4 1/3 x - 21/ 24^5-1^192 x. 126. j/^1/^ 4- 31/^s/^. 127. 3 al/Il/I — 2j/^^?I-. 128. l/4x^— 5/l/x^— x)/4x^ 4-1/25 x^^. 129. 4 ^1 4- a' — ^9 4- 9a' - 2 j/x^ 4- a' x^ -s- l/x^ (1 4- 130. (X — Zf) -z- . -g — X^ 1/^ ^ 4- X 1/^ . P< x^ — 2 X -s- ß< X ' D< X 3 3 3 3 3 131. (1/a — 21/5/1/x. 132. (3 ^/2^ 4-4) .^4^ 133. (21/8 — 7 1/18 —1/50 -j- 41/72). 1/2. 134. (4 -1- 3 1/2) (3 — 21/2). 135. (8 — 31/5) (7 4- 211/5). 136. (s 4-1/5) (a — 1/5). 137. 1/3 4 1/5). 1^3 —1/5. 138. ^/x 4- 4- l/2x^ . x 4- — 1/2x^. 139. 1/ a -5 x ->- 1/ a — x. 1/ a -5 x — 1/ a — x. 140. (1/x 4-1/> 4-)// (1/x 4- - ^)- 141. (1/' a 4- 5 — 1/a 4-1/5) (1/ s, 4- d 4- - l^d). 142 ^-51/^"X —1/x2—I 1 — /x . 3 1/ X 1 3 X ->- /x x-1/x^-4l x4l/^HIl' 1-51/x^l-^x^ 1-x ' S s s 3 S 144. (j/ X 4- 1)2 4° 1^x — 1)2 4- j/ X? — l) 0^ X -4 1 — ^x — 1). 145 146 147 148. 150 4 4 (31/7-541/3) (21/7—2 1/3). (I/a5 4- 3 1/x^) (5^/a5 -(- 41/x/). 4444 (1/x - 1/^) (1/x 1/7) (I/ X > )/ ^). s s s (3 1/8 — 51/20) : 1/2. 149. (l/^ 4-l/a^): l^ld. (21/54 — 31/2): 1/2. s 151. (6)/x 4-8x) :21/x. 152. (I/ax — ^/ox -5 — 1/^02) : (j/a — 1/o)- 153. (L - 5) : (1/L - 1/5).'^ 154. (x - ^) : (^x - I/7). 155. 1 /' /m 4 s/ - /ll' 259 Umformung von irrationalen Wurzelausdrücken. (KZ. 170—173.) Befreie folgende Brüche von dem irrationalen Nenner: 260 203. 205. ^/ x^ ff- 1/x^ — / x2 — 1/x^— 4 ff2 -/ 2 ff3 3 1/2 4 2 1/3 — 2 ,/6' 204. j/ 2x — 3 1/ x 2N6 21/5-41/10 31/2-1-4 1/5—2 1/10' Verwandle folgende Summen und Differenzen von Quadratwurzeln in eine Quadratwurzel: 217. j/ 2 -ff 1/3 ff- l/2 --1/3. 218. l/3 ff-1/5 ff- j/ 3—1/5. 219. 1/'12 -ffl/23 — 1/12—1/23. 220. j/ 3 -ff 21/2 - l/3 — 21/2. 221. 1/5 ff-21/6 1/5 — 21/6. 222. l/ll ff-61/2 1/11—61/2. 223. I/ 7ff-21/10^1/7—"2 1Ž10. 224. j/l4-ff61/5 /14-61/5. 225. /^-ff 2 a 1/1/^/ I/1 — 2a/l-/a/ 226. /2a -ff 2/a^- - 6" /2a — 2 Verwandle jede der folgenden Quadratwurzeln in die Summe oder die Differenz zweier Quadratwurzeln: 239. j/ x ff- -ff 2 /x^. 240. ^/x^ -ff ^2 -ff 2x / ^2. 241. /x" — 2^ /x'-// 242, j/2/ff////////. 243. /a- ff- ff- /"/ 2/ab (/-// 244. / 10a« -ff aV ff- 6a° l/^H". 261 Löse folgende irrationale Gleichungen auf: 245. 2 1/x — 1 — 4. 246. l/4x'4-8x—11 — 2x -s- 1. 247. ^2x -s- 1 4- 5 4 (/2x ^-1-1). 248. (d — af/x) : (a - P f/x) - a (d' — 1): k (»' — 1). 249. f/xH>f/x-1^p. 250. 1/1/44-1/1^1^1/414^ 251. 1/2 -^1/24^ ^2. 252. l/xf/l/'pl/... 253. 4-^x4-1/44^ 254. 1^H§1 1/1^1 a. 255. 1/ch^1-f-1/d^ s/ a — x 256. /8x - 7 —-/ /.71/. -- l/2x 4- 3. 1^2x4-3 257. x —2a-1/x'-5^(x-a) !l — l/x^-d-s 258. 3l/x — 2 1/v — 9, l 31/^1^ j — 259. l>1^x-s-a^-r g.l)(o4-ä), 260. 2 l/x 4-5 — 3/7 - 2 — 3, ä1^x4-e1//^eä(a4-d). 3 1/^-/5 — 4//-^2--5. 261. 6, 262. 4- 2, Vx V7 ' f/x- 2 1/74-2 _4^ _15_8_ 1 /x I>7 ' 1/^x7172 1/14^2 — Wurzeln mit algebraischem Radicand. (8- 174.) S 3 3. Potenzen und Wurzeln mit negativen und gebrochene» Exponenten. Negative Exponenten. (M. 175—178.) 1. Bestimme die Werte folgender Potenzen: a) 2-«, 5) 6-2, 0) 4-s, ä) 0-4-4 s) 0 125-', 262 2. 3. o) nl^x-^, 13L-2b-IoS 8x^^—5 2"2 ' >, e) "j/L"'"". Form ohne negative —L 1/a°.1/u. —L 1/u : 1/a. —s , /- L—StzSo—s R/ X—6^s Befreie von den negativen Exponenten: n) 2x?^-2, k) Z^K-s, .. SX--> x 1 a) b) 4^-zx-2' Bringe auf die Form von ganzen Zahlen: . 5x 2LX-S mSxS 12a-^d ") b-i ' ^s^-2' 25x-»x2- Berechne und stelle die Resultate mit positiven Exponenten dar: Gebrochene Exponenten. /, 1)1/2. Berechne und stelle die Resultate als Wurzeln und Potenzen mit positiven ganzen Exponenten dar: 72. (xl-st ^l) (xl — M 73. (2a —3dl) (5al st-6dy. 74. (a st- a4 — g,l — ar) (1 -st a^ -st a- -st ar). 75. (6x4 — 8x4-st 3x44— 4x44): (3x^ — 4x4). 78. (24 a- -st a4 -st -): (6 ar -st ar st- st). 77. (2a4 st- 36-yst 78. (x-l —?l)°. 4. Imaginäre und komplexe Zahlen. (88. 181-184.) 7. ^/-4 — 2 1^—36-st 1/—100. 8. 2a 1/^^—b 1/^4^. 9. 12. 15. 17 18. 19 20 22 24. 26 27. 28. 29. 33. 36. 38. 39. 41 42. 43 44. 45 46. 48. 50. 52. 53. 264 i. -j- i. 10. -j- i. — i. 11. — i. — i. 5i.3. 13. l/^^.l/^^4 14. 1/^2,-i/H7^. a i/—a. — k. 1/—6. 16. 1/—x^-l/——x^4 1/— ad . i/— a^b . 1/— g.!?. 1/— a°54 (l/^ 4- 1/-K) (1/^ _ (1/-2-41^-3-1/-4) (1/-2-1/-3-41/-4). i/—ad:1/b. 21. 1/—nk:l/— b. x:l/H^. 23. 1/80:21/^. 5 1/^6 :1/^3. 25. f/— x/ : 1/- x^. (i/— ad -j- 1/— s.o) : 1/— a. (1/- 20 — (/- 15 : j/— 5. (4 1/^8 — 8 1/^12 4- 12 j/^/16) : 4 1/^4. I". 30. i4 31. 44 32. i". (l/^3>4 34. (- l/^W. 35. (a j/- kx)4 (3 2i) 4-(6-4 5i). 37. (4n-4 bi)^(2n — 3ki). (1 - 1/^4) 4- (3 — 1/^25) — (2 — 1/^49). (3 4-2i) (3 — 2i). 40. (5 4-6i) (3 — 4i). (i/a 4- i/— k) (^/ n — 1/ — d). (1/2 -4 2 1/HH (1/2 - 2 1/^H. (x 4- 1 -4 1/^H (x 1 - 1/^3). (x -4 1) (x — 1) (x 4- i) (x — i). (a -4 ki) (» — ki) (v 4- di) (o — di). Multipliciert man hier den ersten und zweiten, den dritten und vierten Factor und dann die Producte mit einander, hierauf ebenso den ersten und dritten, den zweiten und vierten Factor, und dann die erhaltenen Producte, so geben die beiden Endproducte die merkwürdige Gleichung (»2 -s- 1>2) («2 _s_ z2) — (z,. — dä)2 -4 (a27_ff? ^2— ^-ff--g-^. 13. ^ff-^o 5ä) I4b2^3b 2/ (— 3, ff- d ff- 0)- ff- (a — d ff- 0)- ff- (a ff- d a)-. f(a ff- x)- ff- (d - z,)-f" - f(a ff- x)- - (d - z,??. 266 17. 2492. 21. 1357092. 25. 0-738.. 2. 18. 50192. 22. 46120482. 26. 0 1509..2. 19. 729022. 23. 5-912. 27. (782)2. 20. 732152. 24. 0-8872. 28. 317'. Ausziehen der Auadratnmrzel. (M. 187—190.). 29. 1/4^ —128,5-f-91?. 30. l/9m'— 12n?i?-st 4n'. 31. l/(x'- 68X° -st lln^x^- 6n°x -st a'!. 32. 1/(168° 4- 16m° -st 4m' — 16m° — 8m2 4- 4!. 33. j/i16n° — 24a' -st 25a' - 20n° 4- 10a- _ 4g. _st 1). 34. 1/(97° - 127° 4- IO7' - 287° 4- 1772 - 87 4- 16. 35. (25 — 70a 4- 13982 - 2368° 4- 235a' — 198a° 4- 121n°). 36. 1/40-168,' — 2-48° — 0-16826 4- 98? 4- 1-286 4- 0'0464. — »/^9x6 xö 26x^ , 53xb 2x2 20 x —"1 g^4 ' 3x2^ O^. 38. j/l-stx — 1-st-^-x — -^x^-st^x---^x'-st... 39. ^/824-6^8^/1 4-^--.. 40. l/82-6^8^/l- Bestimme mit Rücksicht auf die Aufg. 38., 39. und 40. mit 4 Decimalstellen: 76. 1/50^1/72 4- 1 77. 1/79 -- 1/9^2^.. 78. 1/26 . 79. 1/146. 80. 1/35. 81. f/220. 267 Cubirren. 82. (2x4- 3^)4 83. il - «« 88. (^^-f-2^ —3)4 90. (1 —2x —3x'-!-4x-)'. 84. (O-8x-4-0-5^)- blb 8^7 /3^ -i / ' ^''^8x2 9 s)' 89. (x^ —3X). 4-2^)4 91. (1 - 2s?-f-4s4-8s°)4 0--L-/N' (5s- —4dx^)'. Aussehen der Cubikwurzel. (ZK. 193—196.) s 106. 1/"a^x° — 3s^6x^^^ 4- 3st>^x^^^ — t/^4 8 107. 1/!8x« — 36x° -f- 78x' — 99x" 78x" - 36x 4- 8l. 8 108. j/ r64x°—144s, x°4- 204s ^x« - 171sV 4- 102»«x' - 36 s°x 4- 8 s°). 109. 1/l8s — 60 1^^?6 -j- 150 — 125bl. s 11i^ » -Zs/ 6 X , 15x2 10x3 45x^ , 27x5 27x6"! ß/ I, a 2 A2 Z.3 4 2 a5 8 Ab 3 111. s 3 3 -- 3 i 112. ^^^b^s 1/ 1->-A^..113. 1^s° — b^sj/ 1 — -z^.. 125 l/^^-- 126.1/32-856... 127.1/0 00008427... z/ 1601613 Berechne folgende irrationale Wurzeln auf 5 Decimalen. 268 Bestimme mit Rücksicht auf die Aufg. 111., 112. und 113. in 4 Decimalen: s » 139. s/ 65 s/4^ 4- 1^ .. 141. s/218. 142. 1/130. Z » 140. 1/24 — 1^3-— 3 — .. 143. 1/62, 144. 1/508. 6. Logarithmen. x —1 5 x —1 x-j-1 2' L —x 1 — bx 1 — LX b — X ' t/3^p9 — 2x. 4-n4 14 bx2-j-Z2 1 ._ 1 _2x 1-j-1^1 -X 1— t^l—X b _2»2__ 2^2 x -s- )/4 x — 144 19. -i- 2b. 1-j-2x 1 —2x 21. 1^33 4- 2x — x^ x 4- 1- «rs > IX' - x-l-a —b ^s. L/ x-j-a— l/ x — a — Ns- 14l-j-x4-14l—X L 14l44i — 14l^4i b ' 3 3 1^145 4-x -1- l4l45 — x —1/5145. 29. (x - 3) (x —2)^0. 31. x' —4x-^21. 33. x-15x 56 0. 35. x^ — 4x 4-4 — 0. 37. x^ — 6x-s-7 — 0. 39. x2-4 9x4-5^0. 41. x^—7x^7. 43. 5x'4-7x^24. 45. 5x^4-13x4-17^0. 47. 16x^-24x4-11^0. 49. X--0-9x^0-1. 51. x'4-1-28x^ 0-3825. 53. x?-s- 0'685x — 0'1141. 30. (2x —5) (3x 4- 8) ^0. 32. X? —12x —35. 34. x^ 4- x — 56 — 0. 36. x^ — 2x — 15. 38. x? —13x^140. 40. x'4-19x-s-10 0. 42. 1? 4-2x4-4 — 0. 44. 12x^ —20x —3. 46. 18x^ 4- 3x — 10. 48. x^ — 12x 4-100 — 0. 50. x' —6-8x4-10-92^0. 52. x' —0'2392-0-81 x. 54. X-- 8-712X- 7-23726. -s-2ax — 2ak-j-1)2. 56. —2a1>x — a*^4 — (a -j- 5) x -^- a5 — 0. 58. x^ — (a — 5) x — a 5 — 0. 273 Für welche Werte von x werden folgende Ausdrücke positiv, und für welche Werte negativ? 1V1. X--8x-p-16. 192. x--3x-4. 103. x? -s- 8x -s- 15. 104. x^ — 14x -s- 45. 105. x'—6x-^9. 108. X- —4x-^5. 107. 2x^-x-2^2(x'4- -^ - 1). 108. — 2x- - x -s- 10 — 2 (x-^ — 5). 109. 8x^4x-1. 110. 12 —x-6x'. Bilde Gleichungen, welche folgende Wurzeln haben: 124. 2 -s- 1/"— 1 und 2 — s/- 1. Zerlege folgende Trinome in Factoren: Anwendung der quadratischen Gleichungen mit einer Unbekannten. 139. Welche Zahl gibt mit ihrer Hälfte multipliciert 162? 140. Das Product aus dem dritten und vierten Theile einer Zahl beträgt 108; welches ist die Zahl? 141. Welche Zahl muss um ä vermehrt und um ä vermindert werden, damit das Product der beiden neuen Zahlen a sei? 142. Das 12 fache einer Zahl um 45 vermehrt gibt das Quadrat derselben; welches ist die Zahl? 143. Wenn man zu einer Zahl 40 addiert und die Summe durch die unge¬ änderte Zahl dividiert, so ist der Quotient um 2 kleiner als die ursprüng¬ liche Zahl; wie groß ist diese? Maänik, Arithmetik und Algebra. 274 144. Wenn man eine gewisse Zahl um 5 vermehrt und um 5 vermindert, so ist die Summe der Quadrate der so erhaltenen Zahlen 178; welches ist die Zahl? 145. Welche Zahl gibt zu ihrem reciproken Werte addiert a zur Summe? 146. Suche zwei Zahlen, deren Summe 30 und deren Product 189 ist. 147. Die Zahl 15 in zwei Theile so zu theilen, dass die Summe ihrer Quadrate 113 wird. 148. Die Zahl 15 in zwei Theile zu theilen, deren Quadrate sich wie 4 : 9 verhalten. 14S. Eine Zahl a in zwei Theile so zu zerlegen, dass der eine Theil die mittlere geometrische Proportionale zwischen a und dem andern Theile wird. 15V. Eine Strecke von der Länge a in zwei solche Abschnitte zu theilen, dass die Differenz ihrer Quadrate dem Rechtecke der Abschnitte gleich sei. 151. Eine Strecke a in zwei Abschnitte so zu theilen, dass ihr Product p sei. 152. In einem rechtwinkligen Dreiecke, dessen eine Kathete das 6s fache der andern ist, beträgt die Hypotenuse 82 Meter; wie groß ist jede der beiden Katheten? 153. Jemand kauft für 117 st. Weizen, und zwar kostet jedes Hektoliter davon um 4 st. weniger als Hektoliter find; wie viel Hektoliter Weizen hat er gekauft? 154. Jemand kaufte für 400 Kronen Tuch; hätte das Meter 1 Krone weniger gekostet, so würde er für jenes Geld 20 Meter mehr erhalten haben. Wie viel Meter hat er gekauft? 155. Wie lautet die Lösung der vorigen Aufgabe, wenn anstatt 400, 1 und 20 die allgemeinen Zahlen a, d und o gesetzt werden? 156. Die Kosten einer Reise, welche mehrere Personen unternommen, betragen - > 432 st.; da zwei Personen frei gehalten wurden, musste jede der übrigen Personen um 3 fl. mehr bezahlen. Wie viel Personen waren es? 157. Ein Vater hinterließ seinen Kindern ein Vermögen von 14400 fl. zu gleichen Theilen; bald nach seinem Tode starben zwei Kinder, und es erhielt infolge dessen jedes der übrigen Kinder um 1200 fl. mehr, als es sonst bekommen hätte. Wie viele Kinder hinterließ der Vater? 158. Ein Mittagessen, bei dem doppelt so viel Herren als Damen speisten, kostete 176 Zehner; jeder Herr zahlte doppelt so viel Zehner, als Herren waren, und jede Dame dreimal so viel Zehner, als Damen waren. Wie viel Herren und wie viel Damen waren da? 159. Ein Baumgarten bildet ein Rechteck, in welchem 560 Bäume in gleichen Entfernungen von einander stehen; eine Reihe nach der Länge enthält 275 8 Bäume mehr als eine Reihe nach der Breite. Wie viele Bäume stehen in jeder Reihe? 16V. Ein Acker von 6936 Quadratmeter Inhalt hat die Gestalt eines Recht¬ eckes, in welchem die Länge um 34 Meter länger ist als die Breite; wie groß ist die Länge und wie groß ist die Breite? 161. In einem Rechtecke, dessen Länge um n Meter länger ist als die Breite, beträgt die Diagonale ä Meter; wie groß sind die Seiten? 162. Der Umfang eines Rechteckes ist 2 a, der Flächeninhalt 6; wie groß sind die Seiten? 163. Wir groß ist der Halbmesser eines Kreises, wenn die Maßzahlen des Flächeninhaltes und des Halbmessers 8 zur Summe geben? 164. Um welche Strecke muss man den Halbmesser r eines Kreises verlängern, damit die vom Endpunkte der Verlängerung an den Kreis gezogene Tangente die Länge a habe? 165. Jemand leiht 5600 Kronen zu einem gewissen Zinsfüße ans; von den Zinsen des ersten Jahres verwendet er 152 Kronen für sich, den Rest schlägt er zum Capital, welches dann im zweiten Jahre 256'5 Kronen Zinsen bringt. Zu wie viel A war das Capital ausgeliehen? 166. Jemand erhält von einem Capitale 120 fl. Zinsen und von einem zweiten, welches um 6000 fl. größer ist und 2A mehr einbringt als das erste, 450 fl. Zinsen; wie groß sind die beiden Capitalien? 167. Man lässt einen Stein in einen Brunnen fallen und zählt t Secunden, bis man das Aufschlagen des Steines im Wasser hört. Wie tief ist der Brunnen, wenn die Acceleration Z-, und die Geschwindigkeit des Schalles o ist? Die Zeit t ist die Sumnie aus der Zeit r, welche der Stein zum Falle bis in die Tiefe des Brunnens braucht, und aus der Zeit r', in welcher der Schall aus der Tiefe des Brunnens in unser Ohr gelangt. Da sowohl die von dem Steine, als die von dem Schalle zurückgelegte Strecke der Tiefe x des Brunnens gleich ist, so I 2 X hat man nach den Gesetzen der Physik x — und x — er', daher r — — und r' — Es ist somit -s- — t, woraus man erhält X —(e-s-xt^1/o2-s-2ext). 168. Berechne die vorhergehende Aufgabe für t — 3 Secunden, A — 9'81 Meter und o — 332'35 Meter. 16S. Wie viel Zeit braucht ein mit der Geschwindigkeit o senkrecht in die Höhe geworfener Körper, um die Höhe ll zu erreichen? In x Secunden würde der Körper vermöge der ihm ertheilten Geschwindig keit die Höhe ex erreichen; in derselben Zeit würde der Fallraum desselben 18* 276 170. 171 172. betragen, wo § die Acceleration bedeutet. Für die wirklich zurückgelegte Strecke ü hat man demnach die Gleichung Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit o senkrecht in die Höhe ge¬ worfen, t Secunden später wird ein zweiter Körper mit der Geschwin¬ digkeit in die Höhe geworfen; nach wie viel Secunden erreicht dieser mit dem ersten die gleiche Höhe? Discussion der erhaltenen Gleichung. Zwei Körper L? und L" bewegen sich auf einer geraden Linie gleich¬ förmig und in derselben Richtung zu gleicher Zeit von den Punkten und L", von denen um ck Längeneinheiten rückwärts von liegt, und kommen beide nach t Zeiteinheiten zu dem Punkte L. Dabei braucht der Körper zu einer Längeneinheit ^Zeiteinheiten weniger als L". Wie viel (O) Längeneinheiten beträgt die Entfernung des Punktes L und ^"? b) Für die Zeit, nach welcher die Punkte die kleinste Entfernung haben werden, hat man t --- —7^ . /-2 Discussion. a) Soll t reell sein, so muss ä2(e^2 e"2)> (e^ä" — o"ä^)2 0^ alsock>^^ ^ n sein. Die kleinste Entfernung, in welche die Punkte kommen können, ist demnach ä — - - — dagegen Zeiteinheiten; -^--bnät. Welche Bedeutung haben in dieser Gleichung negative Werte von v, ck, t, n? Zwei Punkte bewegen sich gleichförmig mit den Geschwindigkeiten o' und o" auf zwei sich rechtwinklig schneidenden geraden Linien zu dem Schnitt¬ punkte hin. Ihre Entfernungen vom Schnittpunkte find zu einer gewissen Zeit und ä". Nach wie viel (t) Zeiteinheiten werden die beiden Punkte die Entfernung ä von einander haben? Nach t Zeiteinheiten ist die Entfernung des Punktes vom Schnittpunkte — t, 1^" —/1" „ kk f, „ kk „ — v, folglich nach dem Pythagoräischen Lehrsätze ä2 — sä' — e' t)2 (ck" — o" t)2, und daher verhalten, haben die Entfernung ä. In welchem Punkte ihrer Verbindungsstrecke wird ein dritter Körper von beiden gleich stark angezogen? 175. In welcher Entfernung von der Erde würde zwischen dieser und dem 51800 Meilen von ihr entfernten Monde ein Körper schweben bleiben, wenn die Masse des Mondes der Erdmasse beträgt? 2. Höhere und Exponentialgleichungen mit einer Unbekannten, welche sich auf quadratische Gleichungen furücksühren lassen. (88. 220-223.) Löse folgende höhere Gleichungen auf: 15. x« — 13x--s-36 — 0. 16. 6x'-11x-^35. 4x4 2x2 Z 17. x'-4x-^45. 18. 19. x°-s-27 28x°. . 20. 3x°-7x'-6. 21. (x -s- a)- 4- i>- 22. x" -s- 260. ' X / 1 82 . x2 -s- 3 _ 1 23. (x — 2)'4- (^n?2)2 —-9 - 24. 17—^2 —x-u-3- 25 27. 29. 31 32. 33. 34. 35. 36. 37. 39. 41 43 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 53. 55. 57. 59. 61. 63. 64. 278 26 x 1/25 - x- 12. 4 S S 1/x —8f/x —9. 28. f/x^ — 31/x° — 54. 3 3 1/x'— — n 4-1/x. 30. 1/x°4-ax° —d. (x^ -j- a x)* -1- 5 (x^ 4- ax) — o. Setze x2-p LX — (x' - 3)" — 7 (x-- 3) -4 6 0. (2x' — 3x -1- E 22x° — 33x 4- 1- x? — 8x4-5 — 2 l4x"— 8x4-40. Setze x? — 8x — 2x- 4- 3 l/x- — x 4- 1 2x -4- 3. (2x ^^2l^ — (2x4- 1^2^ - 1260. Löse folgende reciproke Gleichungen auf: x° 4-x'4- x 4-1 0. 38. x° 4-3x» —3x —1 0. xb 4- ^ 4- -4 1 0. 40. x°- ^4- — 1 0. 2xb4-3x° —3x —2^0. 42. 5x-— 21x° — 21x-4 5 — 0. x' — 2x» 4- 2x^ — 2x 4- 1 0. x* — 12x' 4- 29x' — 12x 4- 1 0. x' ——8x- — 4- 1 — 0. 2x^ 4- 5x^ — 5x — 2 — 0. 24x« — 50x° — 173x^ — 50x 4- 24 — 0. x° —-g- -4 X- — x^ 4 -Ö -1 -r- 0. 36x° — 15x' — 29x^ — 29x^ — 15x -f- 36 — 0. Löse folgende Exponentialgleichungen auf: X x^-1 x^-2 1/a — I/. 51. 2^-145. 52. 1/2 — 4^4 3 2^ 41/9. 3.4^42 — 4.Z x . xi°xr — 578. 3x--45^s — 1200. 6-7^ 4- 7^ 301. !°47'^ Id.S-4-S. 2x x 51/34-31/3^ 10. 54. 1/g. — 5.o^4^. 56. 3^ — 100 (3^ — 1). 58. 1/ x/st^ — 10. 66. — 1. 62. 3.4^-^4» 5.4x--x4-2 — 28. 3x 6x 65. 131/10 — 51/10 — 25. 279 3. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Setze 1 4? — v- 32 34 36. 38. 39. 41 43. 45 47 48. 5Ü. 51 260 , , /-X — 2Ü x-s-y x-^x x'-^ 7^ — 34. Setze x2 — — u^. 11 — 5 " 6 ' x^7 -n x^ — 30. Setze rx — u, x 4- — v. X (x -s- 7 -s- 2) — L, 7 (x -i- 2) — b, 2 (x -s- 7 -s- 2) — 0. x^L d)2 0. 0, x : 7 7 : 2, x -s- 7 -s- 2 — 26, 7" 2° — 364. -s- 2' -s- — 425. 40. x: 7 — 2 : u, x u — 13, 1- 7° 94, x <> -i- --) — 45, 37. -4- — — 22. X/ ' X2 — -s- — 40. 4- - -- 42. xx > Auflösung: x — -j- -^- 1 x" -s- 7°^ a, X -s- 7 — k. x^ -s- 7^ — », 1 Setze x -s- 7 — b. j x — 7 x'^- 7^ 97, 1/x - I/7 1. 42. x^ — 7^ — a, x —7 — d. 44. x^ -s- 7^ — a, x —7 — d. 46. x-^7^-72, 1>x > ^7 - 6. x" -s-7- --1512,1 x^7 -j- x7^-- 1440. / x? (x -s- 7) ^7 a, 7' (x -s- 7) -- 6. Suche zuerst x -s- dann xx. 49. (x -s- 7) (x'-s-7^) — L, (x — 7) (x- — 7^) — b. -i- -s- x — 7 — a, 1 (x^ -s- 7") (x — 7) -- s>. j Setze x^ -j- ^2 — X - — V. x° -s- 7^/ X7 — 9, 1 -i- 1^x7 — 18. 1 Setze 7 — t2x, 281 52. x 4- (x 4- )4 4- (x -ff 2)4 4- (x 4- 3^) — 3, x (x (x -4 2^) (x 4- 3)') o. 53. 55. —lb ^1/5b2-j-4m) und Z'— I^5b»^4m, Man erhält wenn -j- I44e — m gesetzt wird, x (x 4- )-)2 (x 4- 2)?) — p, 54. x^ 4- (x 4- 2)^)^ — 8. X -ff X)^ — 5, 56. X- 4- X-)-2 o. X (x 4-(x 4-2).) (x 3).) p, (x 4- 2^ — (x 4- )4^ — ä. X -ff X)^ -ff X)^ — 6, x" 4- x^2 -s- x^)^^ — o. In der Aufgabe 56. erhält man zunächst xx — -^-7-^ und dann durch 2 v Substitution in den beiden Gleichungen und durch weitere Transformationen (d- 4- ° m) und 24b-^) 4- -- 4" m), wenn 1^(3 d2 — 0) (3e — KL) — gesetzt wird. Anwendung der quadratischen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 57. Das Product zweier Zahlen ist 64, ihr Quotient 4; wie heißen die beiden Zahlen? 58. Man suche zwei Zahlen, deren Quadrate 45 zur Summe und 27 zur Differenz geben. 59. Die Zahl 18 in zwei Factoreu zu zerlegen, deren Quadrate 27 zur Differenz geben. 60. Zwei Zahlen verhalten sich wie 3 : 4, die Summe ihrer Quadrate ist 100; welche Zahlen sind es? 61. Der Zähler und der Nenner eines Bruches betragen zusammen 33. Ware der Zähler um 39, und der Nenner um 20 größer, so würde der Bruch doppelt so groß sein; welches ist der Bruch? 62. Von welchen zwei Zahlen ist das Product um 84 kleiner als die Summe der Quadrate, und um 44 größer als die Differenz der Quadrate? 63. Dividiert man eine zweizisfrige Zahl durch das Product ihrer Ziffern, so erhält man 6; vertauscht man die Ziffern, so ist die so erhaltene Zahl um 9 größer als die gesuchte; wie heißt die Zahl? 64. Der Unterschied der Quadrate zweier Zahlen beträgt 88; vergrößert mau die erste Zahl um 2 und die zweite um 3, so beträgt der Unterschied der Quadrate nur 81; welches sind die beiden Zahlen? 65. Suche zwei Zahlen von der Beschaffenheit, dass ihre Summe, ihr Product und die Differenz ihrer Quadrate gleich sind. 66. In einem Rechtecke, dessen Flächeninhalt 1 ist, verhält sich die Länge zu der Breite wie m : n; wie groß ist die Länge und wie groß die Breite? 282 67. In einem Rechtecke ist die Diagonale ä und das Verhältnis m : n der Seiten gegeben; wie groß sind die Seiten? 68. Wie groß ist der Umfang eines Rechteckes, dessen Diagonale ä und dessen Flächeninhalt 1 ist? 69. Die Diagonale eines Rechteckes von bestimmter Länge und Breite ist ä; vergrößert man die Länge um m und die Breite um n, so wird die Diagonale >2, ferner l> — ^»2 — 2 2 1)4 ' 4 so folgt L -2p - und X -- (Vergleiche auch Aufgabe 249, Seite 261.) 52. Die Summe zweier Quadrate a? 4. si- in die Summe zweier anderer Quadrate zu verwandeln. b? --- x2 4- ^2, Setzt man / — IZ-i? (b x) (b — x) — a -si I> (b — x), . 2»x-sii>p^— I) 2bp— -4 a 10 folgt X ---und X --4HZ-- 53. Drei Zahlen von solcher Beschaffenheit anzugeben, dass die Summe der Quadrate der beiden ersten dem Quadrate der dritten Zahl gleich sei. X? 4- — ^2. — u2 Setzt man für beliebige Werte s2 -4 ^2 — (z -4 n)4 so folgt daraus s — m? -4 u2 und s 4- n — —-si-, daher > 2n 9 /m2 4-n2l2 oder, wenn man mit in? multipliciert, (n,2 — u2)2 4- (2mo)2 — (in- 4- u2)2. Demnach sind X — m2 — n2, / — 2 mn, 2 — in2 -si n2 rationale Werte von x, 7, welche der vorgelegten Aufgabe genügen, mögen für m und u was immer für rationale Zahlen gewählt werden. Nimmt man für w und u ganze Zahlen, so erhält man auch für x, r ganze Zahlen. 288 Diese Aufgabe hat in der Planimetrie ihre Anwendung, um rechtwinklige Dreiecke zu erhalten, deren Seiten commensurabel sind (Pythagoräische Dreiecke). Drücken x und x die Katheten aus, so ist 2 die Hypotenuse, und man hat für m — 2 3 u — 1 2 x — 3 5 7 -- 4 12 2 — 5 13 4! 4 l! 3 5 5 6 2 4 1 15 8 17 7 21 6 24 20 40 25^29 41 35 12 37 6 5 11 60 61 54. Vier Zahlen von solcher Beschaffenheit anzugeben, dass die Summe der Quadrate der ersten drei dem Quadrate der vierten Zahl gleich sei. z,2 --- u2. Setzt man s2 -s- ^2 ^2 —, x)^, so erhält man m2-s-n2 — x2 8 ---L. und s -s- x - 2ch- ' ^igüch yt /m2-j-ir2 —p2V2 /iu2-s-»2 I---— t -l- w2 -l- u2 — i---— t 2x / 1 2p oder, wenn man mit 4x2 multipliciert, (m2 -s- Ii2 — p2)2 _s_ (2m x)2 -s- (2up)2 (m2 -s- u2 -s- pS)2. Daher ist X — ir>2 -s- n2 — p2^ — 2mp, L — 2up und u — m2 -s- u2 -s- p2. Diese Aufgabe findet in der Stereometrie ihre Anwendung, um rechtwinklige Parallelepipede zu erhalten, in denen die drei Kanten und die Diagonale commen¬ surabel sind. VII. Kettenörüche. (88- 238-248.) Verwandle folgende Brüche in Kettenbrüche: rst-s-r-s-t _ 6 12x2-s- i7x _s_ 7 prst-s-pr-s- pt -s- st-s-1' 24 x2-s-46 x?-s-35 x-s-10' Verwandle folgende Kettenbrüche in gemeine Brüche: 289 Näherungsbrüchc. Verwandle folgende Brüche in Kettenbrüche und bestimme deren Nähe¬ rungsbrüche: 11 u> "1. ,>100 .157 rr) d) , o) ä) «) gsz- 12. a)^Z; d)A^; o)0-3ö7; 3) 0'8282; 0) 2'7041. 13. Gib die ersten fünf Näherungswerte des Decimalbruches 0'65438 und die Fehlergrenze eines jeden derselben an. 14. Verwandle in einen Kettenbruch und weise an den Nähernngsbrüchen die in den ZK. 242 und 243 begründeten Eigenschaften nach. 15. Ein Wiener Pfund hat 0'56006 Kilogramm; welches sind die ersten fünf Näherungswerte dieser Berhältniszahl? 16. Ein Liter ist — 0'70685 Wiener Maß; suche die Näherungswerte. 17. Ein österr. Zehnkronenstück enthält 3'04818, ein deutsches Zehnmarkstück 3'58423 Gramm feines Gold; drücke das Verhältnis zwischen diesen beiden Goldmünzen in kleineren Zahlen möglichst genau aus. Der Näherungsbruch gibt die Relation: 1 Krone — 0-85 Mark. 18. Der synodische Monat, d. i. die Zeit von einem Neumonde zum andern, hat 29'53059, das tropische Sonnenjahr 365'24222 Tage; bestimme die ersten acht Näherungswerte des Verhältnisses beider Zeiträume. Auf dem sechsten Näherungsbruche welcher ausdrückt, dass 19 Sonneujahre sehr nahe 235 synodische Monate ausmachen, beruht der Meton'sche Cyklus von 19 Jahren, nach deren Verlauf die Mondesphasen wieder nahezu auf die nämlichen Tage des Jahres fallen, sowie die goldene Zahl, welche anzeigt, das wievielte Jahr in diesem Cyklus ein bestimmtes Jahr ist. Berechne mittelst der Kettenbrüche folgende irrationale Quadratwurzeln auf 5 Decimalen: Moinik, Arithmetik und Algebra. 19 290 VIII. Progressionen. 1. Arithmetische Progressionen. W. 250—252.) Suche das allgemeine und das Summenglied der arithmetischen Reihen: 1. 1, 2, 3, 4, 5, 6,.... 2. 2, 4, 6, 8, 10/ 12,... . 3. —28, —25, —22, —19,.... 4. 100, 97, 94, 91,.... 5. 100, 92^-, 85, 77^-, 70,.... 6. Wie groß ist die Differenz einer Progression, deren erstes Glied 109, und deren 34stes Glied 10 ist? 7. Mit welcher Zahl sängt eine Progression an, deren Differenz 5, und deren 27stes Glied 139 ist? 8. Eine Progression fängt mit 1 an und steigt nach der Differenz 5; das wievielte Glied ist 116? 9. Das erste Glied einer arithmetischen Progression ist 20, die Zahl der Glieder 10, das letzte Glied —16; wie groß ist die Summe? 10. Wie viele Anfangsglieder einer Progression muss man addieren, um 2808 zur Summe zu erhalten, wenn das erste Glied 2 nnd die Diffe¬ renz 10 ist? 11. Die Summe einer Progression, deren Differenz 3 und deren letztes Glied 97 ist, beträgt 1612; wie groß ist a) das erste Glied, b) die Anzahl der Glieder? 12. Leite die allgemeinen Formeln ab, durch welche aus je dreien der Größen a,, ä, n, Lu und s» (tz. 251) die beiden anderen bestimmt werden. Löse folgende Aufgaben: 291 23. Interpoliere in der Reihe 1, 5, 9, 13, 17, 21,... zwischen je zwei Glieder 8 Glieder, so dass wieder eine arithmetische Progression entsteht. 24. Zwischen p und sollen r Glieder interpoliert werden, wie groß ist das vte dieser Glieder? 25. Wie viele Zahlen muss man zwischen 16 und 250 einschalten, damit man eine arithmetische Progression mit der Summe 1995 erhalte? 26. Wie viele durch p theilbare Zahlen liegen zwischen 0 und a? 27. Wie viele Zahlen, welche durch 6 theilbar sind, liegen zwischen 0 und 100? Wie groß ist ihre Summe? 28. Die Zahl 225 soll in mehrere Theile so getheilt werden, dass jeder folgende um 2 größer als der vorhergehende, und der letzte 29 ist. Wie groß ist der erste Theil und wie groß die Anzahl der Theile? 29. Eine Summe Geldes wird unter mehrere Personen so vertheilt, dass die erste 80 Kronen und jede folgende 4 Kronen weniger bekommt; die letzte erhält 28 Kronen. Wie viel Personen sind betheilt worden, und wie groß ist die ganze Geldsumme? 30. Ein Diener war bei einem Herrn 6 Jahre im Dienste und erhielt in jedem folgenden Jahre 12 sl. an Lohn mehr, als im vorhergehenden, zusammen 900 fl. Wie viel erhielt er das erste, wie viel das letzte Jahr? 31. Es ist ein Brunnen von 12 Meter Tiefe zu graben; für das erste Meter zahlt man 4 fl. 40 kr., für jedes folgende 40 kr. mehr; wie viel zahlt man für das letzte Meter, wie viel für den ganzen Brunnen? 32. Ein Körper legt in der ersten Secunde a Meter, in jeder folgenden ä Meter mehr zurück als in der vorhergehenden, a) Wie groß ist der in u Secunden zurückgelegte Raum; b) in welcher Zeit legt der Körper s Meter zurück? 33. Ein frei fallender Körper durchläuft in der ersten Secunde 4'9 Meter, und in jeder folgenden 9'8 Meter mehr als in der vorhergehenden; wie groß ist der Fallraum der 5ten Secunde, wie groß der Fallraum in 5 Secunden? (Der Widerstand der Luft bleibt unbeachtet.) 34. Eine vertical in die Höhe geschossene Kugel legt in der ersten Secunde 200 Meter und in jeder folgenden 9'8 Meter weniger zurück; wie hoch wird sie steigen und in wie viel Zeit wieder auf die Erde zurückfallen? 35. Um einen Punkt herum liegen 6 anstoßende Winkel, von denen jeder folgende um 9° 12' größer ist als der vorhergehende; wie groß sind die einzelnen Winkel? 36. Jemand setzt in die Lotterie auf eine Nummer 20 kr. und, solange er nicht gewinnt, jedes folgendemal um 20 kr. mehr als das vorhergehende- mal. Wenn nun der Treffer einer Nummer mit dem 14fachen Einsätze 19* 292 bezahlt wird, bei welchem Spiele würde der Gewinnende sein ganzes, bis dahin eingesetztes Geld zurückerhalten? 37. Eine unverzinsliche Schuld wird in sechs Jahreszahlungen getilgt. Im ersten Jahre bezahlt man 600 Kronen, in jedem folgenden um eine bestimmte Summe mehr; für das sechste Jahr beträgt die Zahlung 850 Kronen; wie groß ist die ganze Schuld? 38. Ein Capital o wird nach n Jahren sammt den einfachen Zinsen zu x zurückgezahlt; wie viel beträgt die Zahlung? 39. Durch n Jahre wird nm Anfänge eines jeden Jahres ein Capital o zu p A auf einfache Zinsen angelegt; zu welchem Werte s find sämmtliche Anlagen bis zum Schluffe des nten Jahres augewachsen? 8 — 0 ! n (" -l- 1) Ist 200 j' 40. Das dritte Glied einer arithmetischen Reihe ist 5, das siebente 11; wie groß ist das zehnte Glied? 41. Die Summe der ersten 6 Glieder einer arithmetischen Progression ist 17, das vierte Glied ist 3; wie heißt die Progression? 42. In einer arithmetischen Progression beträgt die Summe der ersten 5 Glieder 75, die Differenz zwischen dem fünften und zweiten Gliede 18; wie groß ist a) das erste Glied, d) die Differenz? 43. Vier Zahlen bilden eine arithmetische Progression, deren Differenz 4 ist; das Product der letzten zwei Zahlen beträgt 165; welche Zahlen sind es? 44. Zwei arithmetische Progressionen haben gleich viele Glieder, die erste fängt mit 1 an und endet mit 15, die zweite fängt mit 3 an und endet mit 24; wie groß ist die Summe jeder Reihe? (Die Lösung führt auf eine unbestimmte Gleichung.) 45. In einer arithmetischen Reihe, deren Glieder die Summe der gleich¬ stelligen Glieder zweier arithmetischen Progressionen mit den Anfangs¬ gliedern 2 und 3 sind, ist das nte Glied 9n — 4. Wie heißen die beiden Progressionen, wenn die Differenz der zweiten doppelt so groß ist als die Differenz der ersten? 46. Die Summe von drei Zahlen, welche eine arithmetische Progression bilden, ist 36, die Summe ihrer Quadrate 482; welche Zahlen find es? 47. Vier Zahlen bilden eine arithmetische Progression; ihre Summe ist 2, ihr Product 40; welche Zahlen sind es? (Vergl. Aufgabe 52, Seite 281.) 48. In einer arithmetischen Progression von vier Gliedern ist das Product aller Glieder 880, die Differenz der Quadrate der beiden mittleren Glieder 39; welche Progression ist es? 49. Zwei Körper bewegen sich gleichzeitig von I. aus in derselben Richtung; der eine legt in einer Secunde 20 Meter zurück, der andere in der ersten 293 Secunde 12 Meter und in jeder folgenden 2 Meter mehr als in der vorhergehenden. Nach wie viel Secunden holt dieser den ersten ein? 2. Geometrische Progressionen. (8Z. 253-257.) Suche das allgemeine und das Summeuglied der geometrischen Reihen: 1.5,15,45,135 2. 6, 4^-, 3?-, H,.. . 3. 10 5, 2 625, 0-65625,.... 4. 3, —12, 48, —192,.... 5. Wie groß ist das erste Glied einer Progression, deren Quotient 1^-, deren 7tes Glied 68^ ist? 6. Wie viele Anfangsglieder der geometrischen Progression 1, 3, 9, 27,... muss man addieren, um 3280 zur Summe zu erhalten? 7. Wie groß ist der Quotient einer Progression, deren erstes Glied 2, deren 12tes Glied 4096 ist? 8. Wie groß ist die Summe der ersten 8 Glieder der geometrischen Progression , K? i>s a, — b, —,-Z-,... 9. Bestimme die Summe der Reihe >_-- > -- 10. Leite die allgemeinen Formeln ab, durch welche aus je dreien der Größen cz, u, und (8- 255) die beiden anderen bestimmt werden. Sind »i, n und s» gegeben, so erhält man für g und a»; sind u, Lu und »n gegeben, für »i und g Gleichungen des (n — 1)ten Grades. Löse folgende Aufgaben: 294 Bestimme die Summe folgender Progressionen: 19. 1-stx-stx°-stxS-st...-st x°-- 4- x"-st 20. x^ 4- x^ 4- 4- xz^^ -st 21. a° — a°st 4- a'st- — a-st- -st o?l? — ast° -st st°. 22. Suche in der Progression 1 -st -st -st -st - - - a) die Summe der ersten 2, 3, 4, 5, 6 Glieder, st) die Summe der Reihe selbst. Bestimme die Summe folgender fallender Reihen: 2« 24 1 -^-4--^ -—-st 2 4 8 16 4 16 64 ' 25- 26. 1 - -st -st ^ - ... für st < a. a ' a2 a3 ' A4 i 27. Die Summe eiuer fallenden geometrischen Progression, die mit 1 beginnt, ist 3; wie groß ist ihr Quotient? 28. Wie heißt das fünfte Glied einer fallenden geometrischen Reihe, deren Quotient und deren Summe 20 ist? 29. Ein rein periodischer Decimalbruch x mit der nziffrigen Periode st soll in einen gemeinen Bruch dadurch verwandelt werden, dass man ihn als eine fallende geometrische Progression darstellt und diese summiert. (Vergl. Z. 104, 2.) 30. Verwandle ebenso in gemeine Brüche: a) 0-6; st) 0-81; o) 0'105; ä) 8'7. 31. In einem gemischt periodischen Decimalbruche x seien st die Ziffern der Periode, n die Anzahl derselben, ferner a die der Periode vorangehenden Decimalen und m ihre Anzahl; verwandle den Decimalbruch mit Anwendung der geometrischen Progression in einen gemeinen Bruch. (Vergl. 8- 104, 3.) 32. Bestimme ebenso a) x — 0'64; st) x 0'1254; e) x — 9'3513. 33. Zwischen 5 und 405 sollen 3 Glieder so eingeschaltet werden, dass dann alle fünf Glieder eine geometrische Progression bilden. 34. Interpoliere zwischen je zwei Glieder der Progression 1, 10, 100, 1000,... 5 neue Glieder. 35. Zwischen 1 und sind 11 Glieder einer geometrischen Progression zu interpolieren. (Anwendung in der Tonlehre.) 36. Interpoliere zwischen x^ und noch 7 Glieder, so dass eine geometrische Progression entsteht. 37. Zwischen das erste und zweite Glied der Reihe 16, ^,--- sollen mehrere Glieder so eingeschaltet werden, dass sie mit 16 und eine 295 geometrische Progression bilden und mit diesen 31-^ zur Summe geben; wie viele Glieder sind einzuschalten und wie heißen sie? 38. Eine Summe von 248 Kronen soll unter 5 Personen so vertheilt werden, dass jede folgende doppelt so viel als die vorhergehende erhalte; wie viel erhält jede? 39. Jemand setzt sechsmal in die Lotterie; das erstemal 10 Kreuzer und jedes folgendem«! doppelt so viel als für die frühere Ziehung; das sechstemal gewinnt er und es wird ihm der letzte Einsatz 4800 mal zurückgezahlt. Wie viel betragt dieser Gewinn und wie viel hat er im ganzen eingesetzt? 4V. Es legt jemand im Monate Jänner einen Kreuzer zurück, in jedem folgenden Monate 3 mal so viel als im vorhergehenden; wie viel hat er im ganzen Jahre zurückgelegt? 41. Eine Schuld von 13000 Kronen soll in 4 Raten, deren jede 3mal so groß ist als die vorhergehende, zurückgezahlt werden; wie groß ist jede Ratenzahlung? 42. Der Erfinder des Schachspieles erbat sich als Belohnung die Summe Weizenkörner, die herauskommt, wenn für das erste Feld des Schach¬ brettes 1 Korn, für das zweite 2, für das dritte 4, und so fort für jedes folgende der 64 Felder doppelt so viel Körner gerechnet werden als für das vorhergehende. Wie viel Tonnen L 1000 Kilogramm würden diese Körner ausmachen, wenn 20000 Körner 1 Kilogramm wiegen? 43. In einem Fasse sind 100 Liter Wein. Man nimmt daraus 1 Liter und gießt dafür 1 Liter Wasser hinein; aus dieser Mischung nimmt man wieder 1 Liter und gießt eben so viel Wasser hinein. Wie oft kann man so ver¬ fahren, bis in der Mischung nur noch 50 Liter Wein übrig sind? 44. Ein Lichtstrahl verliert bei dem Durchgänge durch eine Glasplatte seiner Intensität; wie groß wird diese noch sein, wenn er durch 10 hinter¬ einander aufgestellte Platten hindurch gegangen ist? 45. Der Recipient einer Luftpumpe enthält 5'3 Cubikdecimeter, der Stiefel sammt dem Verbindungsrohre 0'6 Cubikdecimeter; nach wie viel Kolbcn- zügen wird die Luft im Recipienten nur noch den lOten Theil der ursprünglichen Dichtigkeit betragen? 46. Drei Zahlen, von denen die zweite um 15 größer ist als die erste, die dritte um 60 größer ist als die zweite, bilden eine geometrische Pro¬ gression; welche Zahlen sind es? 47. Die Summe von drei Anfangsgliedern einer geometrischen Reihe ist 156, das erste Glied 16; wie groß ist der Quotient? 296 48. Die Summe des ersten und dritten Gliedes einer geometrischen Pro¬ gression ist 9^-, die Summe des zweiten und vierten Gliedes 14^-; wie heißt die Progression? 49. Acht Zahlen bilden eine geometrische Progression, die Summe der ersten vier ist 15, die Summe der letzten 240; welche Zahlen sind es? 50. In einer geometrischen Progression ist die Summe des dritten und vierten Gliedes d, die Differenz des dritten und fünften ä; bestimme den Quotienten und das erste Glied. 51. In einer geometrischen Progression von 10 Gliedern ist die Summe der ungeraden Glieder 36905, die Summe der geraden 110715; wie groß ist der Quotient, wie groß das erste Glied? 52. Die Summe dreier Zahlen, welche eine geometrische Progression bilden, ist 21, die Summe ihrer Quadrate 189; welche Zahlen sind es? (Vergl. Aufg. 56, Seite 281.) 53. Zerlege jedes Glied der geometrischen Progression 3, 48, 768, 12288,... in 4 Theile so, dass alle diese Theile untereinander wieder eine geo¬ metrische Progression bilden? 54. Multipliciere die gleichstelligen Glieder der arithmetischen Progression a, 2n, 3n, 4n,.. . und der geometrischen Progression 1, g, ... ? 60. Bestimme die Summe von u) 5, b) 8, e) 12 Anfangsgliedern der Reihe 1» -j- 2° -s- 3° st- 4° Z- ... 3. Zinseszins- und Rentenrechnung. (88- 261-264.) 1. Zu welchem Werte wächst ein Capital von 5800 Kronen in 15 Jahren bei 5S Zinseszins an? 2. Jemand legt 5042 sl. in eine Sparcasse, welche die Einlagen zu 4A und zwar halbjährig verzinset, ein; nach 20 Jahren behebt er das Capital sammt Zins und Zinseszins; wie groß ist die Summe? 297 3. Wie viel werden 7324-2 Kronen bei 4-^-A Verzinsung nach 23-^-Jahren wert sein, wenn man die Zinsen ganzjährig zum Capitale schlägt? 4. Der Bestand eines Waldes wird gegenwärtig auf 42350 Cnbikmeter geschätzt; wie groß wird derselbe bei einem jährlichen Zuwachs von 3A nach 10 Jahren sein? 5. Ein Land hat gegenwärtig 548200 Einwohner, wie groß wird die Be¬ völkerung bei einer jährlichen Zunahme von I^A nach l 4 Jahren sein? 6. Ein Capital von 9000 Kronen ist nach 10 Jahren unverzinslich fällig; wie groß ist sein Barwert, wenn Zinseszinsen zu 5S gerechnet werden? 7. Für ein durch 9 Jahre zu 4-^-A Zinseszins angelegtes Capital erhält man 5234 fl.; wie groß war das ursprüngliche Capital? 8. Eine Stadt zählt gegenwärtig 36230 Einwohner; wie groß war bei einer jährlichen Zunahme von 2A die Bevölkerung vor 30 Jahren? 9. Ein Waldbestand wird gegenwärtig auf 180000 Cubikmeter veranschlagt; wie stark war derselbe vor 15 Jahren, wenn man annimmt, dass er sich während dieser Zeit regelmäßig jährlich um 3A vermehrt hat? 1V. Ein Capital von 7537-8 Kronen wächst in 20 Jahren mittelst Zinses¬ zinsen aus 20000 fl. an; zu wie viel A war es verzinset? 11. 3200 fl. sind vor 80 Jahren angelegt worden und während dieser Zeit sammt Zinseszins auf 34059'83 fl. angewachscn; zu wie viel A war das Capital angelegt? 12. Wien hatte zu Ende 1869 622927, zu Ende 1880 726105 Einwohner; wie viel A beträgt die jährliche Zunahme der Bevölkerung? 13. In wie viel Jahren wird ein Capital a bei Zinseszins wmal so groß als es ursprünglich war? Hier muss man s s» — m a setzen, daher ist n — 14. In welcher Zeit verdoppelt sich ein Capital zu 5A Zinseszins? 15. In wie viel Zeit wird ein Capital zu 4A Zinseszins a) bei ganz¬ jähriger, 1,) bei halbjähriger Capitalisiernng auf das Dreifache anwachsen? 16. In wie viel Jahren erhöht sich die Bevölkerung eines Ortes bei 1 A jährlicher Zunahme von 5200 Einwohnern auf 9433 Einwohner? 17. Von einer Schuld von 10000 Kronen werden nach 3 Jahren 2500 Kronen, nach 6 Jahren 1000 Kronen bezahlt; wie groß ist noch die Schuld nach 10 Jahren, wenn 5A Zinseszinsen gerechnet werden? 18. Ein Capital s. wird zum Zinsfüße <; verzinst, die Verwaltungskosten betragen vA und werden am Ende jedes Jahres abgerechnet; zu welcher Summe wächst das Capital in n Jahren an? 298 19. Durch 20 Jahre werden zu Anfang eines jeden Jahres 200 Kronen angelegt; zu welchem Werte werden diese Capitalien bei 4A Zinseszins zur Zeit der letzten Anlage angewachsen sein? 20. Jemand erspart jährlich 280 sl. und legt diese am Ende eines jeden Jahres auf 5A Zinseszinsen an; über welche Summe wird er nach 15 Jahren auf diese Weise verfügen können? 21. Durch n Jahre wird jährlich ein Capital r zum Zinsfüße o angelegt, die Verwaltungskosten betragen jährlich vA und werden am Ende des Jahres abgerechnet; zu welcher Summe sind diese Capitalsbeträge zur Zeit der letzten Anlage angewachscn? 22. Jemand hat durch 12 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres den gleichen Geldbetrag zu 4-^-A Zinseszins angelegt, und bezieht dafür nach dieser Zeit 1939 sl. 18 kr.; wie groß war die jährliche Einlage? 23. Ein Capital von 12500 Kronen ist nach 7 Jahren fällig; es soll durch gleiche, am Anfänge eines jeden der 7 Jahre zahlbare Summen getilgt werden. Wie groß sind die Theilzahlungen bei 5S Zinseszins? 24. Wie hoch müssen die am Ende eines jeden Jahres zu leistenden Abschlags¬ zahlungen sein, damit eine nach 10 Jahren unverzinslich fällige Schuld von 8000 Kronen getilgt werde, den Zins zu 4A gerechnet? 25. Ein Gutsbesitzer will seine Feldfrüchte im veranschlagten Werte von 6800 sl. gegen Hagel versichern; wie hoch wird die Assecuranz-Gesellschaft die jährliche Versicherungsprämie bei 5A Zinseszins ansetzen, wenn angenommen wird, dass der Hagelschlag die Feldfrüchte jener Gegend durchschnittlich alle 16 Jahre gänzlich vernichtet? 26. Ein zu 4^A Zinseszins ausstehendes Capital von 5000 Kronen wird am Ende jedes Jahres um 500 Kronen vermehrt; wie hoch wird es in 8 Jahren anwachsen? 27. Von einem Walde, dessen jährlicher Zuwachs 2-^-A beträgt, ist der gegenwärtige Bestand 145678 Cubikmeter; wie groß wird der Bestand nach 18 Jahren sein, wenn am Ende eines jeden Jahres 1175 Cubik¬ meter gefällt werden? 28. Jemand will eine Schuld von 10000 Kronen, die zu 5^ zu verzinsen ist, in 10 gleichen Jahresraten abtragen; wie groß wird eine Raten¬ zahlung sein? 29. Dem Vormunde eines Kindes von 5 Jahren wird eine Summe von 6000 Kronen mit der Verpflichtung überwiesen, das Kind bis zum 18ten Jahre zu erziehen; welches ist der Betrag des nachschussweise zahlbar angenommenen jährlichen Erziehungsgeldes, wenn 5A Zinseszinsen berechnet werden? 299 36. Eine Stadt will bei einer Bank ein Anlehen mit der Verpflichtung auf¬ nehmen, dasselbe durch einen am Ende jedes Jahres zahlbaren Betrag von 28000 Kronen binnen 25 Jahren zu tilgen; welche Summe wird die Bank der Stadt bei 5S Zinseszins darleihen? 31. Wie viel bleibt von einer Schuld von 26000 fl. bei 5A Zinseszins nach 10 Jahren übrig, wenn für Zinsen und Tilgung eines Theiles der Schuld jährlich 2000 fl. gezahlt werden? 32. Wie groß ist ein auf Zinseszinsen zu 4-^-A angelegtes Capital, wenn von demselben bei einer am Ende eines jeden Jahres eintretenden Vermin¬ derung um 250 Kronen nach 15 Jahren noch 1300 Kronen übrig sind? 33. Ein Vater hinterlässt seinen 5 Kindern ein Vermögen von 20000 fl., welches zu 5^ Zinseszins angelegt ist; davon beziehen die Kinder am Ende eines jeden Jahres 1500 fl. Wie viel erhält dann jedes der Kinder nach 6 Jahren, wenn der Rest des Vermögens zu gleichen Theilen unter sie vertheilt wird? 34. Jemand kauft ein Haus und bezahlt den Kausschilling dadurch, dass er durch 20 Jahre am Schlüsse eines jeden derselben eine Abschlagszahlung von 1200 Kronen leistet; wie groß ist der Kaufpreis, wenn jede Abschlags¬ zahlung zugleich 5A Zinsen für die noch unbezahlte Schuld enthält? 35. Wie viel muss man am Schlüsse eines jeden Jahres zu einem Capitale von 4500 fl. hinzufügen, damit es sich bei 4A Zinseszins in 6 Jahren verdopple? 36. Jemand hat ein Capital von 12532 Kronen zu 4-^A ausstehen und gebraucht davon jährlich 1000 Kronen; nach wie viel Jahren wird das Capital erschöpft sein? 37. Ein Wald, dessen Bestand auf 150000 Cnbikmeter Holz mit einem jähr¬ lichen Zuwachs von 2A veranschlagt wird, soll innerhalb 12 Jahren abgestockt werden; wie viel Holz wird man jährlich schlagen, um jedes Jahr gleich viel Holz zu erhalten? 38. Eine Eisenbahn-Gesellschaft macht eine Anleihe von 4 Millionen Kronen zu 5A und will dieselbe dadurch amortisieren, dass sie jährlich 250000 Kronen zur Zinsenzahlung und theilweisen Tilgung des Anlehens verwendet; nach wie viel Jahren wird die Schuld getilgt sein? 39. Jemand ordnet in seinem Testamente an, dass seinem treuen Diener bis zu dessen Tode jährlich 100 fl. ausgezahlt werden. Die Erben werden mit dem Diener einig, ihm dafür auf einmal einen Betrag von 1200 fl. zu zahlen. Wie viel Jahre müsste der Diener noch leben, wenn er von dem Übereinkommen weder Schaden noch Vortheil haben sollte, die Zinsen zu 5A gerechnet? 300 40. Jemand nimmt bei einer Sparcasse ein Capital von 8000 fl. auf, das er durch gleiche Teilzahlungen, die am Ende eines jeden Jahres fällig sind, in 15 Jahren tilgen will; wie groß ist eine Theilzahlung, wenn die Sparcasse verausgabte Gelder mit 5A, empfangene dagegen mit 4A Zinseszins in Rechnung bringt? 41. Ein Herr will seinem Diener bei einer Versicherungsanstalt ein nach 11 Jahren zahlbares Capital von 1000 fl. versichern; welchen Betrag muss er an die Anstalt zahlen, wenn dieselbe zu 5A verzinst? 42. Welchen Barwert hat eine durch 14 Jahre am Ende jedes Jahres mit 420 fl. zu leistende Rente, wenn 4A Zinsen gerechnet werden? 43. Jemand verkauft eine nachschnssweise Jahresrente von 620 Mark, die er noch durch 10 Jahre zu genießen hat; wie viel wird er dafür erhalten, wenn 4A Zinseszinsen gerechnet werden? 44. Ein Vater will für seinen Sohn, wenn dieser das 24ste Jahr erreicht hat, eine Summe versichern; er zahlt zu diesem Zwecke von der Geburt des Sohnes angefangen bis zu jener Zeit an eine Versicherungsanstalt am Anfänge jedes Jahres 400 fl. Welchen Betrag wird die Anstalt bei 5A Zinseszins nach 24 Jahren auszuzahlen haben? 43. Jemand will für seinen Sohn bei einer Bank eine Summe von 1000 fl. versichern, welche dieselbe beim Beginne des löten Jahres auszahlen soll; welchen jährlichen Betrag muss er am Anfänge eines jeden Jahres bis zu jener Zeit zum Zinsfüße 1'045 leisten? 46. Ein Capital von 20000 fl. soll bei 4A Zinseszins durch eine jährliche Rente getilgt werden, die vom Ende des ersten Jahres beginnt und 30 Jahre dauert; wie groß muss die Rente sein? 47. Jemand erlegt 12000 fl. zu 4A und will dafür durch 24 Jahre am Ende jedes derselben eine Rente beziehen; wie groß wird dieselbe sein? 48. Bei einer Anstalt werden 1000 fl. gegen Entrichtung einer jährlichen Prämie von 27 fl. versichert; nach wie viel Jahren ist bei 4-^A das versicherte Capital durch Prämien gedeckt? 49. Ein Capital von 8000 fl. soll durch die nachschussweise jährliche Rente von 801'12 fl. bei 4A Zins getilgt werden; wie lange mnss die Rente gezahlt werden? 50. Wie viele Jahre hat eine nachschussweise Rente zu laufen, die jährlich 600 fl. beträgt und gegenwärtig einen Wert von 10000 fl. hat, die Zinsen zu 5A gerechnet? 51. Jemand versichert bei einer Anstalt auf den Todesfall 5000 fl. und muss am Anfänge jedes Jahres eine Prämie von 180 fl. zahlen; wenn er 301 nun nach 24 Jahren stirbt, wie groß ist der Gewinn oder Verlust der Anstalt bei 4A Zinseszins? 52. Wie groß muss die Jahresreute sein, die 10 Jahre hindurch zu zahlen ist, wenn sie einen gleichen gegenwärtigen Wert haben soll mit einer Jahresrente von 500 Kronen, die 15 Jahre zu laufen hat, die Zinses¬ zinsen zu 4A gerechnet? 53. Jemand hat eine Jahresrente von 1800 Mark auf 30 Jahre zu beziehen; er wünscht aber statt derselben eine größere auf 20 Jahre zu haben; wie groß wird diese bei 4-^-A Zins sein? 54. Eine Jahresrente r, die zum Zinsfüße s durch n Jahre zu zahlen ist, soll in eine andere r^ zum Zinsfüße verwandelt werden; wie viel Jahre wird die neue Rente zu zahlen sein? 55. Jemand will durch 18 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres eine bestimmte Summe bezahlen, damit nach Verlauf dieser Zeit er selbst oder eine andere Person 10 Jahre hindurch eine am Ende jedes Jahres fällige Jahresrente von 500 Kronen genieße; wie groß ist die jährlich zu zahlende Summe, wenn 5^ gerechnet werden? 56. Welche Einlage muss man durch 20 Jahre am Anfänge jedes Jahres an eine Versicherungsanstalt machen, um nach Verlauf dieser Zeit bei 4A Verzinsung eine Jahresrente von 300 st. durch 12 Jahre zu gemeßen? 57. Jemand zahlt durch 30 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres 68 Kronen in eine Rentenbank, welche zu 4A verzinst; welche nachschussweise Rente wird ihm die Bank durch die 7 folgenden Jahre geben? 58. Welche nachfchussweise Jahresrente wird man durch 15 Jahre beziehen, wenn mau vorher durch 25 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres einen Betrag von 125 st. eingezahlt hat und 5A Zinseszinsen rechnet? 59. Jemand hält sich noch auf 20 Jahre für arbeitsfähig; wie viel muss er in dieser Zeit jährlich auf Zinsen L 4^-A legen, um nach Ablauf der¬ selben noch 15 Jahre eine Jahresrente von 300 Kronen zu genießen? 60. Jemand, der sich noch 15 Jahre für arbeitsfähig hält, spart in dieser Zeit jährlich 250 fl. und legt sie zu 4A auf Zinsen an; wie lange kann er dafür nach Ablauf jener Zeit eine Jahresrente von 400 fl. ansprecheu? 61. Eine Rente, welche im ersten Jahre 400 fl. beträgt und in jedem folgenden Jahre um 50 fl. wächst, wird 10 Jahre hindurch am Ende eines jeden Jahres ausgezahlt; welches ist ihr Barwert, wenn 4 ^ Zinses¬ zinsen gerechnet werden? 302 IX. Kombinationslehre. I. Permutationen, Combinationen und Variationen. Permutationen. (W. 266—268.) 1. Wie viele und welche Permutationen erhält man aus den Buchstaben des Wortes KOAX? 2. Stelle für die Elemente alloäs lexikographisch die Permutationen dar, die 1) mit a, 2) mit o anfangen. 3. Bilde die Permutationen aus den Elementen aaabllo. 4. Wie groß ist die Zahl der Permutationen aus a°t?? 5. Wie viele vierzisfrige Zahlen gibt es, deren jede die Ziffer 3, 0, 7, 4 enthält? 6. Wie viele fünfziffrige Zahlen enthalten die Ziffer 6 2mal, die Ziffer 3 2 mal und die Ziffer 5 I mal? 7. Wie viele neunzisfrige Zahlen lassen sich aus den neun arabischen Ziffern bilden, wenn die Ziffern jeder Zahl ungleich sein sollen? 8. Wie oft können 5 Tischgenoffen ihre Plätze am Tische wechseln, bis sie in allen Ordnungen gesessen sind? 9. Wie viele verschiedene Stellungen geben 3 weiße, eine blaue und 2 rothe Kugeln? Combinationen. ) eine 12-, o) 18-, cl) 36-, s) 55jährige Person nach 20 Jahren nicht mehr am Leben sei? 35. Ein Mann ist 50, seine Frau 40 Jahre alt. Wie groß ist die Wahr¬ scheinlichkeit, dass nach 20 Jahren a) noch der Mann lebe, b) noch die Frau lebe, o) noch beide leben; dass ä) schon der Mann todt sei, o) schon die Frau todt sei, k) schon beide todt seien; dass ^) der Mann die Frau überlebe, ir) die Frau den Manu überlebe, i) wenigstens eines noch lebe, k) wenigstens eines schon todt sei, 1) nur eines noch lebe? Lebensversicherungsrechnung. (ZK. 293—297.) 36. Welchen Betrag muss man an eine Versicherungsanstalt für ein 2jähriges Kind einzahlen damit dieses nach erreichtem 24sten Lebensjahre, falls es dann lebt, ein Capital von 3500 Kronen erhalte, die Zinsen zu 4A berechnet? 37. Ein 34jähriger Mann zahlt in eine Versicherungsanstalt 1000 fl.; welches Capital wird ihm die Anstalt nach 16 Jahren, falls er noch lebt, bei 5-6 Verzinsung auszahlcn? Wie groß ist seine Reserve nach 10 Jahren? 38. Zwei Eheleute, welche gegenwärtig 30 und 25 Jahre alt sind, wollen ein Capital von 4000 Kronen versichern, das ihnen nach 30 Jahren, wenn sie dann noch beide leben, ausgezahlt werden soll; welchen Betrag müssen sie an die Versicherungsanstalt bei 4A Zins einzahlen? 39. Wie groß ist bei 4A Zinseszins der gegenwärtige Wert einer Leibrente, welche eine 36jährige Person nm Ende eines jeden Jahres im Betrag von 280 Kronen zu beziehen hat? 308 40. Eine 56jährige Person will sich eine jährliche Leibrente von 300 fl. ver¬ sichern; wie viel hat sie bei 4A Verzinsung an eine Rentenbank sogleich einzuzahlen? Wie groß ist die Reserve nach 8 Jahren? 41. Eine 45jährige Person kauft sich mit einer Einlage von 6000 Kronen eine Jahresrente, welche von dem Ende des laufenden Jahres angefangen bis an das Lebensende dauern soll; wie groß ist die Leibrente bei 5A Zinseszins? 42. Ein 60jähriger Diener erhält von seinem Herrn für seine vieljährige treue Dienstleistung ein Abfertigungscapital von 2000 fl.; welche lebens¬ längliche Rente kann er sich bei 4A Zinseszins dafür kaufen? 43. Eine u jährige Person wünscht nach p Jahren eine Leibrente ö, zahlbar am Ende jedes Jahres, zu erhalten; wie groß wird die Einlage N für eine solche auf p Jahre ausgeschobene Leibrente sein? 44. ist 42 Jahre alt und will auf den Todesfall seinen Erben ein Capital von 4800 Kronen versichern; welche Einlage muss er zu diesem Zwecke bei 4A Zinseszins bei einer Versicherungsanstalt machen? Wie groß ist die Reserve nach 12 Jahren? 45. Eine 38jährige Person zahlt an eine Versicherungsanstalt 1000 fl. ein; welches Capital wird dafür bei 5A Verzinsung nach ihrem Tode die Anstalt an die Erben auszuzahlen haben? 46. Welche Prämie muss eine 32jährige Person zu Anfang jedes Jahres zahlen, um bei ihrem Ableben den Erben eine Summe von 2000 Kronen zu sichern, den Zinseszins zu 4A gerechnet? Wie groß ist die Reserve für diese Person, wenn sie 45 Jahre alt wird? 47. Eine u jährige Person will sich gegen eine am Anfänge jedes Jahres zahlbare Prämie ? ein Capital 0 so sichern, dass ihr dieses nach lr Jahren, wenn sie daun noch lebt, ausgezahlt werden soll; welche Beziehung findet zwischen k und 6 statt? ? . 6^ (1 -s- rn) — —I 6 . I'n-j-k—ij 0 . 48. Ein Vater zahlt an eine Versicherungsanstalt zu Anfang jedes Jahres eine Prämie von 300 Kronen, damit die Anstalt seiner neugebornen Tochter, falls sie das 18 te Jahr erreichen sollte, ein gewisses Capital auszahle; wie groß wird dieses bei 5A Verziusung ausfallen? X. Köhere numerische Gleichungen. Bestimme für folgende Gleichungen den Quotienten und das Resultat 1 (a) uach K. 303: 1. x« — 5x2 — itzx Z- 72 — 0 M a — 2. 2. x° — Ox^ Zgx — 24 — 0 für a — 3. 309 3. x^ -4 3x^ — 39x2 — 47 x -4 210 — 0 für a — 4 und a — 5. 4. x^ — 2x^ -j- 5x? -f- 7x — 93 — 0 für s, — 3 und n — — 4. 5. x^ — 13 x^ -f- 46 x^ — 52 x -j- 168 — 0 für u — 3, a — 6 und u — 7. 6. x^ -i- 2x^ — 41 x^ — 42x -j- 360 — 0 für u — 3, a — 4 und a — — 6. 7. x^ -j- 5x^ — 5x^ — 25x^ -4 4x -4 20 — 0 für a — — 3 und a — 4. 8. x° — 6x" — 28x' — 158 x' — 9x'- - 536x -4 420 0 für a — 5 und L — — 5. IV 23 O : O — a, wo s, eine beliebige Zahl bedeutet; denn a.0 — 0. Der Ausdruck ist daher ein Symbol der Unbestimmtheit. Verbindung der Division mit sich selbst und mit der Multipliration. ß. 49. Ein Product wird durch eine Zahl dividiert, indem man einen der Factoren durch sie dividiert. a . d — — —. k — a. —. 6 6 6 Beweis, a) Ist ^-.i> der richtige Quotient der Zahlen u, d und o, so muss er, mit dem Divisor o multipliciert, den Dividend n b geben (8- 47). Nun ist wirklich (Z. 38, G. 48, 1). b) Ebenso ist auch ein richtiger Ausdruck für den Quotienten ab . denn (Z. 38, 1) u.d (§. 48, 1). Folgesatz. Soll eine Zahl mit einer zweiten multipliciert und durch eine dritte dividiert werden, so ist es gleichgiltig, in welcher Reihenfolge man multipliciert und dividiert. 8- 50. Ein Quotient wird mit einer Zahl multipliciert, indem man den Dividend mit ihr multipliciert oder den Divisor durch sie dividiert. Z, Ä6 a d K d : 6 Beweis. Dass-^-.v —ist, ergibt sich aus 8- 49, Folges. Aus der Erklärung eines Quotienten (8- 47) lässt sich ferner folgern, dass auch ist; denn ^.oj.(i>:o)^.jo.(b:o)j (8- 38, 1) ^.b (8- 48, 1)^u. 8- 51. Ein Quotient wird durch eine Zahl dividiert, indem wan den Dividend durch sie dividiert, oder den Divisor mit ihr multipliciert. A Ä : 6 A -7— : 0 — —-— — 77-—. b d d6 Beweis. Beide Formen des Quotienten entsprechen der in 8. 47 aus¬ gestellten Erklärung desselben. Denn es ist 111 2. Dasselbe abgekürzte Verfahren findet insbesondere auch beim Aus¬ ziehen der Quadratwurzel aus einem unvollständigen Decimalbruche statt. Man findet durch dieses Verfahren, wenn der Radicand in geltende Abtheilungen hat, deren jede mit Ausnahme etwa der ersten links zwei Ziffern enthält, in der Wurzel im ungünstigsten Falle 2m — 1 verlässliche geltende Ziffern. 2. Cnbus und Kubikwurzel. tz. 191. Aufgabe. Eine algebraische Summe zum Cubus zu erheben. Man entwickle den Cubus nach folgendem Gesetze: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt seinen eigenen Cnbus. 2. Jedes folgende Glied liefert drei Bestandtheile: das dreifache Quadrat der Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit diesem Miede, die dreifache Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit seinem Quadrate, und seinen eigenen Cubus. 3. Die Summe aller so gebildeten Bestandtheile ist der verlangte Cubus. Beweis. Zunächst ist (a -s- b)° — (a -st st)2 (n st- d) — (nst -st 2 a i> -st. tst) — -st 3s?b -st Zali? d. h. der Cubus eines Binoms ist gleich der Summe aus dem Cubus des ersten Gliedes, dem dreifachen Quadrate des ersten Gliedes multipliciert mit dem zweiten Gliede, dem dreifachen ersten Gliede multipliciert mit dem Quadrate des zweiten Gliedes, und dem Cubus des zweiten Gliedes. Der weitere Gang des Beweises ist ähnlich wie im 8- 185. 192. Ausgabe. Eine dekadische Zahl zum Cnbus zu erheben. 1. Alan erhebe die erste Wurzelzisfer zum Cubus. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bilde man drei Bestandtheile: das Product aus dem dreifachen Quadrate der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Ziffer, das Product aus der dreifachen vorangehenden Zahl und dem Quadrate dieser Ziffer, und ihren Cubus. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander geschrieben, dass jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addiert. Die Richtigkeit dieses Verfahrens folgt aus 8- 191. Um z. B. den Cnbus von 4213 4000 st- 200 st- 10 -st 3 zu bestimmen, hat man, wenn die Nullen mit Beachtung des Stellenwertes weggelaffen werden, folgende Rechnung: