MATEMATIKA
Krožna konstanta in skrivnostni rokopis
Marko Razpet
-» O številu n, krožnem številu ali krožni konstanti, to je o razmerju med obsegom in premerom kroga, je bilo v Preseku že veliko napisanega. Kljub temu pa ne bi škodilo, ce celotno zgodbo dopolnimo še z nekaterimi, verjetno za marsikoga manj znanimi dejstvi. Morda je celo pravi cas, da to naredimo, kajti v letu 2014 praznujemo 260-letnico rojstva barona Jurija Vege in 200-letnico rojstva viteza Franca Močnika. Oba matematika sta omenjena v nadaljevanju.
Dolgo časa, od Arhimeda iz Sirakuz (živel je približno od leta 287 do leta 212 pred našim štetjem) pa vse do Isaaca Newtona (1643-1727), so število n računali z metodo krogu včrtanih in očrtanih pravilnih večkotnikov, po tako imenovani arhimedski metodi. Najbolje to razumemo, če začnemo s pravilnim šest-kotnikom, izračunamo njegov obseg in ga delimo s premerom kroga, kateremu je bil včrtan (tabela 1). Dobimo prvi približek za število n. Nato preidemo na pravilni 12-kotnik, včrtan istemu krogu, izračunamo njegov obseg in ga delimo s premerom kroga. Dobimo drugi, boljši približek za število n. Sledi pravilni 24-kotnik in nov približek za n. Tako nadaljujemo do pravilnega 3 ■ 2n-kotnika, pri čemer na vsakem koraku iz straniče prejšnjega pravilnega več-kotnika izračunamo straničo naslednjega pravilnega večkotnika.
Krogu s polmerom r = 1 včrtamo in očrtamo pravilni n-kotnik s straničo sn oz. Sn. Oba razdelimo na enakokrake trikotnike z vrhom v središču O kroga (slika 1). Na sliki sta načrtana dva taka enakokraka trikotnika: tisti od včrtanega n-kotnika ima osnov-ničo AB z dolžino sn, oni od očrtanega n-kotnika pa ima osnovničo CD z dolžino Sn.
SLIKA 1.
Stranici krogu včrtanega in očrtanega večkotnika.
Kot ob vrhu je 2n/n (na sliki je označena poloviča tega kota) in brez težav izrazimo straniči
■	sn = 2 sin(n/n), Sn = 2 tg(n/n)
ter ustrezna obsega, on = nsn in On = nSn. Očitno je s6 = 1 in S6 = 2V3/3.
Kaj je dolžina daljiče ali pa iz daljič sestavljene krivulje, je lahko razumeti, medtem ko je dolžina poljubne krivulje, s tem pa tudi dolžina krožnega loka, nekoliko težji pojem. Vzdolž krivulje od začetne točke Z proti končni točki K po vrsti poljubno izberemo točke T1,T2,..., Tm-1 in seštejemo razdalje:
■	|ZT1| + IT1T2I + ... + |Tm-1K|.
To je približek dolžine krivulje med Z in K. Ce kakšno točko na krivulji med Z in K dodamo, dobimo kvečjemu več. Za razdalje namreč velja trikotniška neenakost. Toda točke od Z do K lahko izberemo
4
PRESEK 41 (2013/2014) 5	13
MATEMATIKA
na nešteto načinov in dobimo nešteto ustreznih vsot dolžin. Katero sedaj izbrati za dolžino krivulje? Navadno nobene od teh. Za dolžino vzamemo natančno zgornjo mejo l, to je najmanjšo zgornjo mejo vseh vsot dolžin, dobljenih na opisani način. Ce so vse te vsote navzgor omejene, potem natanko eno tako število l zaradi narave realnih števil tudi obstaja in ga imenujemo dolžina krivulje med točkama Z in K.
Sedaj nas zanima krožni lok med točkama A in B na sliki 1. Izberimo na tem loku točki X in Y. Njuni pravokotni projekčiji na tetivo AB sta X' in Y'. Da-ljiči X'X in Y' Y podaljšamo do točk X" in Y" na daljiči AD oziroma DB. Očitno je zaradi lastnosti trikotnikov |X'Y'| < |XY| < |X"Y"|. Ce vzdolž krožnega loka od A do B kakorkoli po vrsti izberemo točke T1,T2,..., Tm-1, potem je zaradi prejšnje ugotovitve
■ Sn = |AB| < |ATi| + IT1T2I + ... + |Tm-iB| < |AD| + |DB| = Sn.
Torej obstaja dolžina ln krožnega loka med A in B in velja. sn < ln < Sn. Obseg kroga l je seveda nln in posledično je nsn < nln < nSn, zato za obseg kroga l za vsak n velja relačija on < l < On. Za razmerji med obsegoma in premerom krogu včrtanega in očrtanega pravilnega n-kotnika, ki ju ustrezno označimo s nn = on/2 in nn = On/2, ter za razmerje med obsegom in premerom kroga, to je n = l/2, velja za vsak n relačija nn < n < nn. Z rastočim n se razlika nn - nn manjša in je za dovolj velik n manjša od še tako majhnega pozitivnega števila. Pri tem zaporedje {nn} narašča, zaporedje {nn} pa pada proti istemu številu, to je ravno n. Vsak nn je spodnji, vsak nn pa zgornji približek števila n.
Naloga 1. Načrtajte grafa funkčij % ^ sin x/x in x ^ tgx/x na intervalu (-n/2,n/2) in s pomočjo grafov preverite, da zaporedje [n_n} narašča, zaporedje {Wn} pa pada proti istemu številu, in sičer proti številu n.
Med straničama sn in s2n ter med Sn in S2n obstajata zvezi
S2n = V 2 -V 4 - sn, S2n = 2
4 + Sn - 2
Sn
(1)
Z relacijama (1) lahko izračunamo zgornje in spodnje približke števila n, to je n2n in n2n. Nekaj približkov, zapisanih na 10, izračunanih pa na nekaj več decimalk, je zbranih v tabeli 1- Avtor seveda ni računal približkov v tej in naslednjih tabelah tako, kot so delali nekoč, ampak z računalniškim programom derive, ki obvlada veliko dečimalk.
n	nn	nn
6	3,00000 00000	3,46410 16151
12	3,10582 85412	3,21539 03091
24	3,13262 86132	3,15965 99420
48	3,13935 02030	3,14608 62151
96	3,14103 19508	3,14271 45996
192	3,14145 24722	3,14187 30499
384	3,14155 76079	3,14166 27470
768	3,14158 38921	3,14161 01766
1536	3,14159 04632	3,14159 70343
3072	3,14159 21059	3,14159 37487
6144	3,14159 25166	3,14159 29273
12288	3,14159 26193	3,14159 27220
24576	3,14159 26450	3,14159 26707
49152	3,14159 26514	3,14159 26578
98304	3,14159 26530	3,14159 26546
196608	3,14159 26534	3,14159 26538
393216	3,14159 26535	3,14159 26536
TABELA 1.
Spodnji in zgornji približki števila n.
Naloga 2. Zapišite izraza za s2n in S2n ter preverite relačiji (1) s trigonometričnimi formulami.
Namesto s pravilnim šestkotnikom lahko začnemo tudi s kvadratom- Delo je očitno zamudno in nekateri so tako računali v potu svojega obraza število n tudi po več let. Samo ugibamo lahko, o čem so pri tem razmišljali. Je pa res, da je razvoj znanosti terjal vedno bolj natančne vrednosti matematičnih in drugih konstant.
Pomembno vlogo pri računanju števila n, pravzaprav t = 2n, je odigral zdravnik, matematik in astronom Al-Kaši, ki se je rodil okoli leta 1380 v Iranu, znanstveno pa deloval v Samarkandu v današnjem Uzbekistanu, kjer je leta 1429 tudi umrl. Znan je po marsičem, omenimo le nekaj njegovih

PRESEK 41 (2013/2014) 5
13
MATEMATIKA
—^ del. Na veliko decimalk je izračunal sin1° z itera-cijo, o Čemer smo že pisali v Preseku, z uporabo pravilnega 3 ■ 228-kotnika paje okoli leta 1424 našel na devet šestdesetiških mest za celim delom število: t = 6; 16, 59, 28,01, 34, 51,46,14, 50. Zapis pomeni t = 6 + 16 ■ 60-1 + 59 ■ 60-2 + 28 ■ 60-3 + ..., kar je v desetiškem sistemu t = 6,283 185 307179 5864 in je pravilno na 16 decimalk.
Druga zanimivost je kosinusni izrek za ravninske trikotnike. Izrek povezuje stranice trikotnika a,b,c z enim njegovim notranjim kotom, npr. s kotom y, ki je nasproti stranice c: c2 = a2 + b2 - 2ab cos y. Do Al-Kašija sta bila znana kosinusna izreka (za stranice in kote) za sferne trikotnike, ki so ju uporabljali v astronomiji. Kosinusni izrek za ravninske trikotnike je v bistvu zapisal že Evklid v svojih Elementih, le da ni uporabljal funkcije kosinus, ampak ustrezno pravokotno projekcijo. Ko je kosinusni izrek, ki ga je odkril Al-Kaši, prišel na Zahod, so ga nekateri imenovali Al-Kašijev izrek. Francozi v Franciji mu še vedno pravijo Théorème d'Al-Kashi, v drugih deželah, kjer govorijo francosko, pa Loi des cosinus, kar dobesedno pomeni kosinusni zakon.
Ludolph van Ceulen (1540-1610) je polovico svojega življenja porabil za izracun števila n po arhi-medski metodi in svoje delo okronal s 35 tocnimi decimalkami. Ocitno se je uporabljena metoda izcr-pala.
Do Newtona bistvenega napredka v racunanju decimalk števila n ni bilo. Newton ga sicer ni izracu-nal na vec kot 15 decimalk, je pa uporabil novost, in sicer številske vrste. Vzel je krog, omejen s kro-žnico x2 + y2 = x, od katerega je s premico x = 1/4 odrezal odsek, in zapisal njegovo plošcino S na dva nacina: kot razliko plošcin krožnega izseka z notranjim kotom 2n/3 in temu vcrtanega enakokrakega trikotnika ter z integralom funkcije x ~ Vx - x2 na intervalu [0,1/4]:
1 2n_ 1 . 2n _ 2
S 2 ■ 22 ■ 3 2 ■ 22 ■sin 3 2
1/4
Vx - x2 dx.
Ker je že poznal binomsko vrsto, mu to ni bilo težko, brez zadrege jo je členoma integriral in nazadnje dobil:
n = M ■ 2 _ 24 V n(2n - 2)!
• + 2 24¿1 (2n + 3)24n+i(n!)2.
SLIKA 2.
Krožni odsek, ki nam pomaga izraziti število n.
Seštel je nekaj členov dobljene vrste, izračunal še a/3, pri čemer je vse delal na primerno število decimalk in leta 1666 našel približek za število n na 15 decimalk natančno. Tabela 2 kaže, kako raste število točnih dečimalk, ko v zgornji vrsti upoštevamo prvih m členov in dobimo približke nm števila n.
m
10 20 30 40 50 60

3,14159 26541 3,14159 26535 3,14159 26535 3,14159 26535 3,14159 26535 3,14159 26535
65068 11554 89793 35498 89793 23846 89793 23846 89793 23846 89793 23846
17997 46458 34596 47026 26864 65927 26433 83300 26433 83279 26433 83279
4
TABELA 2.
Približki števila n po Newtonovi metodi.
0
6
PRESEK 41 (2013/2014) 5	13
MATEMATIKA
V tistih casih je bila že znana vrsta
arctg x = ^ (-1)
n0
x
2n +1
2n 1
(2)
ki konvergira, Ce je |x| < 1. Ponovno jo je odkril James Gregory (1638-1670). Ponovno zato, ker jo je poznal že Indijec Madhava iz Sangamagrame (13401425) v obliki, ki jo dobimo, Ce v (2) x zamenjamo s tg pri Cemer mora za konvergenco veljati
I tg< 1.
Vrsta (2) konvergira tem hitreje, Cim manjši je x. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) je vedel, da za x 1 dobimo vrsto
n
=4
n0
(-1)n 2n + 1 '
ki pa zelo pocasi konvergira. Za borih deset tocnih decimalk števila n je treba sešteti kakšnih pet milijard njenih Členov.
Abraham Sharp (1653-1742) je v vrsto (2) vstavil x = V3/3, dobil po poenostavitvi vrsto
n = 2V3 ^
(-1)n
n=0
3n(2n + 1)
(3)
in uspel leta 1699 najti 71 točnih decimalk števila n. Formula je nerodna zaradi faktorja V3, ki ga je treba tudi izracunati na veliko število decimalk.
Na srečo pa imajo trigonometrične funkcije adi-cijske izreke s svojimi posledicami, s katerimi dosežemo mnogo hitrejšo konvergenco. Ena takih je Machinova formula
n = 4(4 arctg1 - arctg 239)
(4)
There are various other ways of finding the Length, or Areas of particular Curve Lines, or Plirtes, which may very much facilitate the PraQice; as for Infrance, in che Circle, the Diameter is to Circumference as 1 to
16
5
4
23P
16
5s
x-K
16
—,ÎSW:
= This Series (among others for the fame purpofe, and drawn from the fame Principle) I re-ceiv'd^ from the Excellent Analyft, and my much E-fteem'd Friend Mr, tfobn Jdachin ; and by means thereof, Va?i Cenlen's Number, or that in Art. ¿4.38. may be Examin'd with all deiireable Eafe and Dif[>atcb.
poimenovana po Johnu Machinu (1680-1751), ki je oba clena v (4) po formuli (2) razvil v vrsti, seštel dovolj Členov in izračunal število n na 100 pravilnih decimalk. Pri tem je očitno potekal ves račun samo z racionalnimi števili. William Jones (1675-1749) je leta 1706 v delu Synopsis Palmariorum Matheseos opisal Machinov uspeh z vsemi stotimi decimalkami števila n, avtorja zelo pohvalil glede natancnosti in predlagal, da se krožno konstanto oznaci s n, ker je to prva crka grške besede nepi^épeia, kar pomeni obod, krog (slika 3). To besedo uporablja tudi Ev-klid v svojih Elementih. Formulam, ki so oblike (4), v
SLIKA 3.
Kako je William Jones označil krožno konstanto.
katerih je lahko tudi vec clenov z arctg racionalnega števila, pravimo formule Machinovega tipa.
Thomas Fantet de Lagny (1660-1734) je bil še bolj vztrajen kot Sharp, kajti z vrsto (3) je leta 1719 izračunal število n na 127 decimalk, dve leti kasneje pa je bil rezultat objavljen. Prvih 112 decimalk je v De Lagnyjevem rezultatu tocnih, 113. decimalka pa je napacna (namesto 8 je zapisano 7), naslednje, od 114. do 127. pa so pravilne. Morda gre pri ne-srecni 113. decimalki le za napako pri prepisovanju ali stavljenju v tiskarni. Kot kaže, se dolgo vrsto let z racunanjem števila n nihce ni vec resno ukvarjal in kot najboljši dotakratni rezultat so po matematicnih besedilih navajali objavljeni De Lagnyjev približek z napako na 113. decimalki vred.
Leonhard Euler (1707-1783) je pri vsem svojem ogromnem delu razvil tudi nekaj formul Machinovega tipa za izracun števila n. Sam z racunanjem krožne konstante ni izgubljal dragocenega casa, iz-racunal je na hitro le 20 njenih decimalk leta 1755. S svojim velikim vplivom pa je dosegel, da se jo še danes oznacuje s n, kar je prvi predlagal omenjeni Jones.
Baron Jurij Vega (1754-1802) je uporabljal formule Machinovega tipa in leta 1789 poslal akademiji znanosti v Sankt Peterburg svoj izracun števila n na 143 decimalk z opisom postopka vred. Bil je prepri-can, da je 140 decimalk tocnih, v resnici pa jih je bilo tocnih samo 126. Je pa odkril, da je 113. De Lagny-jeva decimalka 8, ne pa 7. Akademija je z objavo zakasnila: namesto leta 1791 je luc sveta Vegov n v Rusiji ugledal šele leta 1795. Toda Vega je najbrž sam

PRESEK 41 (2013/2014) 5
13
MATEMATIKA
ugotovil napako in leta 1794 v dodatku k svoji Popolni zakladnici logaritmov objavil število n na 140 decimalk, od katerih pa so zadnje štiri spet napačne. Isti rezultat so ponatisnili še 15 let po Vegovi smrti v njegovem učbeniku. Ker boljšega rezultata tisti čas ni bilo, nihče pravzaprav ni vedel, katere decimalke od 126. naprej so pravilne.
Sledi glavno presenečenje. Leta 1822 je Bernhard Friedrich Thibaut (1775-1832), profesor matematike v Gottingenu, v svojem učbeniku objavil 157 deči-malk števila n. Na tamkajšnji univerzi je takrat deloval tudi Carl Friedričh Gauft (1777-1855), najboljši takratni matematik sploh. Pravijo, da Gauft ni nič kaj rad predaval, kajti Thibaut ga je kot predavatelj popolnoma zasenčil. Od kod sedaj Thibautu število n na toliko dečimalk? Ce pa pozorno pogledamo v njegov učbenik, opazimo napako že na 10. dečimalki: namesto 5 piše 9. Naslednja napaka je na 108. de-čimalki: namesto 6 stoji 3. Potem sledijo pravilne dečimalke vse do 127. Sledita popolnoma napačni dečimalki 4 in 6, za katerima pa je šest pravilnih de-čimalk, samo da so za dve mesti pomaknjene v desno. Sledi dečimalka 1, ki je napačna, nato pa kar 19 pravilnih dečimalk, ki so za tri mesta pomaknjene v desno. Zadnji dve, 156. in 157. pa sta napačni. Verjetno so napake nastale pri prepisovanju ali stavljenju v tiskarni, kajti v naslednji izdaji učbenika leta 1831 sta popravljeni 10. in 108. dečimalka, izpuščene so vrinjene dečimalke 4, 6 ter 1 in tako natiskano število n je popolnoma pravilno na 152 dečimalk. Napačni sta le zadnji dve, 0 in 2, kar se lepo vidi v tabeli 3, v kateri je zapisanih nekaj dečimalk, od vključno 126. naprej.
V tabeli 3 kratiča in letniča pomenita, kdo in kdaj je približek števila n objavil oz. poslal v objavo: L — De Lagny, V — Vega, T — Thibaut, R — Rutherford, D — Dase. Prečrtane števke so napačne, podčrtane pa odveč. Thibaut je sičer opisal postopek za izračun, ni pa navedel, od kod mu 154 dečimalk, od tega kar 152 pravilnih.
Leta 1841 je William Rutherford (1798-1871) objavil 208 dečimalk števila n, ki ga je izračunal po formuli Mačhinovega tipa. Opisal je postopek in zapisal, da se njegov izračun zagotovo ujema na 152 dečimalk z izračunom na rokopisu, ki leži v Radčliff-ski knjižniči v Oxfordu. Fizik John Radčliffe (16521714) pa je tisti, po katerem je knjižniča dobila ime. Žal je bilo kljub vsemu trudu samo teh 152 dečimalk
		111 3 4 5 0 0 0
	prav	46095505822317253594081284811174...
L	1719	46
V	1789	447672138611733138
V	1794	460955058226136
T	1822	46460055051822317253504081284802
T	1831	46095505822317253594081284802
R	1841	46095505822317253594081284847378...
D	1844	46095505822317253594081284811174...
TABELA 3.
Zadnje decimalke objavljenih približkov števila n.
tocnih, vse nadaljnje pa napačne, o cemer Rutherford ni mogel vedeti, ker boljšega rezultata ni bilo. Na vprašanje, ki ga mu je nekdo zastavil leta 1842 glede rokopisa v Oxfordu, je odgovoril, da ga sicer sam ni videl, da pa o njegovem obstoju ne dvomi, češ daje naveden z vsemi do takrat znanimi decimal-kami v Penny Cyclopaedia, Vol. XIX iz leta 1841. Pod geslom Quadrature of the circle je res opisana vsa problematika v zvezi z obsegom in ploščino kroga ter seveda z računanjem števila n. Med drugimi je omenjen tudi Vega in njegovih 140 decimalk. Pomemben pa je zapis, da je grof Franz Xaver Zach (1754-1832), priznani astronom, seznanil Montucla o Radcliffskem rokopisu. Francoz Jean-Etienne Montucla (1725-1799) je bil uveljavljeni zgodovinar matematike. Ce je to res, je nekdo izracunal število n na 152 tocnih decimalk že pred letom 1800. Ocitno pa so ga prepisovali in pošiljali naokoli. Verjetno ga je tako dobil tudi Thibaut. Ostaja pa popolna skrivnost, kdo je avtor omenjenega rokopisa. Novejše uradne kronologije števila n v Radcliffskem rokopisu niti ne omenjajo.
Leta 1844 je Johann Martin Zacharias Dase (18241861) izracunal 200 tocnih decimalk števila n po neki drugi formuli Machinovega tipa. Formulo je izpeljal Leopold Karl Schulz von Straßnitzki (1803-1852). Rezultat je bil objavljen v nemški reviji Crelle's Journal, kar je popularno ime za Journal für die reine und angewandte Mathematik, ki izhaja še danes, ustanovil pa jo je leta 1826 matematik August Leopold Crelle (1780-1855).
8
PRESEK 41 (2013/2014) 5	13
MATEMATIKA
Nevertheless the ratio was consecutively carried to 75 places by Abraham Sharp, to 100 by Machin, and to 128 places by De Lagny, and at the end of the last century to 140 places by Vega. And Baron Zach informed Montucla that he had seen a manuscript in the Radclifife Library at Oxford, in which it was carried to 154 places.
Vegas result, which, as far as it goes, is confirmed by those of Machin and De Lagny, is as follows:—
3* 14169 26535 89793
14169
58209 74944 62148 08651
32823
93846 /8164 06647
26433 06286 09384
83279 20899 46095
50289 86280 60562
41971 «9399 37510 34845 34211 70679 26136
But the Oxford manuscript gives as the ending (according to Montucla)—
46095 50582 23172 53594 08128 4802
SLIKA 4.
Penny Cyclopaedia 1 841; detajl.
Straftnitzki takoj za petimi vrsticami decimalk števila n predstavi Daseja iz Hamburga kot nadpovprečnega racunarja, sposobnega računanja na pamet z dolgimi vecmestnimi števili. Dase se je preživljal s tem, da je po gostilnah za denar na pamet računal s takimi števili. Ravno zaradi izjemne sposobnosti je Straftnitzki najel Daseja kot nekakšno živo računalo, da mu je izračunal krožno konstanto na 200 decimalk, in to v dveh mesecih. Mimogrede omeni tudi dokument v Radcliffski knjižnici in ujemanje Dase-jevega izračuna na prvih 152-ih decimalkah. Prosil je celo oblasti, da bi mlademu Daseju pomagale najti primerno službo. Žal je Dase prej umrl, preden je dobil stalno zaposlitev.
Straftnitzki, rojen v Krakovu, je študiral matematiko, fiziko in še nekatere druge vede na Dunaju. Med letoma 1827 in 1834 je predaval matematiko na ljubljanskem liceju in našega Franca Močnika (18141892), bodočega matematičnega pedagoga in pisca matematicnih ucbenikov, navdušil za študij matematike. V Ljubljani je Straftnitzki imel več javnih predavanj iz višje matematike in astronomije. Iz Ljubljane je odpotoval v Lvov, kjer je leta 1834 doktoriral in postal univerzitetni profesor. Nazadnje pa se je ustalil na Dunaju, kjer je razmeroma mlad umrl.
Za konec omenimo, daje Rutherford še enkrat stisnil zobe in število n leta 1853 izračunal na 440 točnih decimalk. Takrat je bilo drugače: primerjal se je lahko z Williamom Shanksom (1812-1882), ki je istega leta izracunal 527 tocnih decimalk. _XXX
Prostornina sodov
nU sU NU
Janez Strnad
-> Johannes Keplerje sicer najbolj znan po treh zakonih o gibanju planetov (1609 in 1618). Odkril pa je tudi veČino spoznanj geometrijske optike, ki jo vsebujejo današnji srednješolski učbeniki. Med drugim je tako navedel približek a/fi = n za lomni zakon, ki ga tedaj še niso poznali in ga še dandanes uporabljamo pri preprostih računih za leče. Obravnaval je tudi sestave leč ter predlagal daljnogled z dvema zbiralnima lečama. Po obliki snežink je sklepal, da kristale sestavljajo gosto naložene kro-gliče.
Leta 1613 je trta obilno obrodila in na donavski obali v Linzu so živahno trgovali ter nalagali sode z vinom na ladje. Tudi Kepler je kupil nekaj sodov. Postal je pozoren na to, kako je trgovec izmeril prostornino vina in določil ceno. Skozi odprtino na sredi zgornjega dela ležečega soda je poševno segel do dna z merilno palico. Na palici je odčital, do kod je segalo vino, in po tem dolocil ceno. Kepler spo-cetka temu ni zaupal in se je zadeve lotil z matematiko. Hitro je sestavil kratek rokopis, ki pa je obtical pri tiskarju. Kasneje je v njem popravil napake in besedilo dopolnil; leta 1615 je tako izšla Nova stere-ometrija vinskih sodov. V njej je izracunal prostornino 92 razlicnih teles, ki so nastala z vrtenjem dela krožnice, elipse, parabole ali hiperbole. S tem je Kepler naredil enega od korakov proti diferencialnemu racunu, ki sta ga kasneje razvila Isaac Newton in Gottfried Wilhelm Leibniz (slika 3). Telesa je poimenoval po plodovih s podobno obliko: jabolko, sliva, limona. . . Paul Guldin, s katerim si je Kepler dopisoval, je opozoril, da so nekateri Keplerjevi sklepi le
->
PRESEK 41 (2013/2014) 5
9