i
i
“kolofon” — 2016/5/12 — 12:18 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JANUAR 2016, letnik 63, številka 1, strani 1–40
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2016 DMFA Slovenije – 1990 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
OBTEŽENA POVPREČJA IN PARADOKS
PRIJATELJSTVA
BRIGITA FERČEC1,2 IN NIKO TRATNIK3
1Fakulteta za energetiko, Univerza v Mariboru
2Center za uporabno matematiko in teoretično fiziko, Univerza v Mariboru
3Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Univerza v Mariboru
Math. Subj. Class. (2010): 91D30
Članek obravnava zanimiv pojav, ki ga lahko opazimo na mnogih področjih življenja,
tj. paradoks prijateljstva. Povezan je s posebno vrsto obteženih povprečij. Zato na začetku
opǐsemo koncept obteženih povprečij skupaj s primeri situacij, v katerih se pogostokrat
pojavi, in si ogledamo del pripadajoče matematične teorije. V zadnjem delu je opisan
paradoks prijateljstva v kontekstu družabnih omrežij. Navedena je povezava z obteženimi
povprečji kot tudi povezave z nekaterimi drugimi področji.
WEIGHTED AVERAGES AND THE FRIENDSHIP PARADOX
The paper describes an iteresting phenomenon which appears in many areas of life
and is known as the friendship paradox. The latter is connected with a special type
of weighted averages in mathematics. Thus, in the beginning the concept of weighted
averages is described as well as its applications and a mathematical interpretation. The
last part describes the friendship paradox as it appears in the context of social networks.
The connection with weighted averages and connections with some other areas are stated.
Uvod
Večina ljudi je seznanjena z idejo računanja povprečja oz. aritmetičnega pov-
prečja neke množice števil. Preprosto seštejemo vse elemente v tej množici
in jih delimo s številom elementov množice. Vendar to deluje samo tedaj,
ko so vsi elementi množice enakovredni oz. obteženi enako. Kot primer
vzemimo povprečje mesečnega računa za elektriko za preǰsnje leto. Sešte-
jemo vrednosti dvanajstih položnic za elektriko za preǰsnje leto in dobljeno
vrednost delimo z 12, saj so obračuni narejeni mesečno.
Sedaj pa recimo, da smo opravljali izpit pri predmetu Matematika, ki je
sestavljen iz treh delov: pisnega dela izpita, domačih nalog in ustnega dela
izpita. Pri večini šolskih predmetov ti trije deli različno prispevajo h končni
oceni, zato je v tem primeru primerno uporabiti obteženo povprečje.
Obteženo povprečje lahko opǐsemo kot povprečje, kjer nekatere vrednosti
prispevajo več kot druge. Pri navadnem aritmetičnem povprečju pa so,
drugače kot pri obteženem, vse vrednosti enakovredne. Formula za obteženo
povprečje se uporablja za izračun povprečne vrednosti določene množice
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1 1
Brigita Ferčec in Niko Tratnik
števil z različnimi stopnjami pomembnosti oz. relevance. Relevanca vsakega
števila se imenuje utež števila.
Vzemimo preprost primer množice števil {1, 2, 3, 4} in izračunajmo pov-
prečje teh števil kot
povprečje =
1 + 2 + 3 + 4
4
= 2,5.
Če bi v tem primeru dali vsakemu številu utež, bi v zgornjem primeru
vsak element množice {1, 2, 3, 4} dobil utež 25% (0,25) in bi povprečje lahko
izračunali kot
povprečje =
0,25 · 1 + 0,25 · 2 + 0,25 · 3 + 0,25 · 4
0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25
= 2,5.
Sedaj pa spremenimo uteži in recimo, da število 1 dobi utež 0,1, število 2
dobi 0,2, število 3 utež 0,15 in število 4 dobi utež 0,55. Vsota uteži je 1 in
vrednost povprečja je
povprečje =
0,1 · 1 + 0,2 · 2 + 0,15 · 3 + 0,55 · 4
1
= 3,15.
Iz zgornjega zelo preprostega primera vidimo, da se tedaj, ko nekatere vre-
dnosti dobijo večje uteži kot druge, spremeni povprečje, ki se približa vre-
dnosti z večjo utežjo.
Koncept obteženih povprečij se veliko uporablja tudi v ekonomiji, še po-
sebej v poslovni in finančni ekonomiji. Kot preprost primer lahko navedemo
investitorja, ki bi rad določil dobiček treh investicij, ki jih imenujmo investi-
cija A, investicija B in investicija C. Recimo, da vloži 25 % svojega denarja
v investicijo A, 25 % v investicijo B in 50 % vloži v investicijo C. Stopnja
dobička za investicijo A je 5 %, za investicijo B 6 % in za investicijo C je
2 %. Če sedaj izračunamo obteženo povprečje glede na navedene podatke,
dobimo povprečni dobiček (izračunan v deležu vloženega denarja)
0,25 · (5 %) + 0,25 · (6 %) + 0,50 · (2 %)
0,25 + 0,25 + 0,50
= 3,75 %.
Če bi investitor uporabljal običajno aritmetično povprečje, potem bi bilo
povprečje 4,33 %. Ta preceǰsnja razlika v izračunu obeh povprečij nam
kaže, kako pomembno je uporabiti pravo formulo za natančno analizo v
podjetjih, kjer je pomembno vedeti, kako donosne so investicije.
Obtežena povprečja pa so tista, ki se velikokrat skrivajo za različnimi
matematičnimi paradoksi. Primer v statistiki zelo znanega paradoksa je
Simpsonov paradoks, ki se pogosto pojavlja v družbenih in zdravstvenih ve-
dah. Le-ta včasih povzroči, da podatki, ki jih gledamo po nekih skupinah,
2 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
Obtežena povprečja in paradoks prijateljstva
kažejo popolnoma drugačen trend, kot če te podatke gledamo združene sku-
paj. Eden izmed bolj znanih primerov tega paradoksa se je zgodil leta 1973
na Univerzi v Berkeleyju. Ko so analizirali vpis na univerzo, so ugotovili, da
so bili moški, ki so se prijavili na študij, sprejeti v 44 % primerov, medtem
pa je bilo pri vpisu uspešnih le 35 % žensk. Univerza je bila deležna številnih
obtožb, povezanih s spolno diskriminacijo, saj so podatki kazali, da imajo
moški večje možnosti, da so sprejeti na študij. Ko so se lotili analize po po-
sameznih oddelkih, pa so ugotovili, da na nobenem oddelku moški niso bili
bistveno bolj uspešni. Ravno nasprotno, na večini oddelkov so bile pri vpisu
malo bolj uspešne ženske. Bistvo se je skrivalo v tem, da različni oddelki
oz. študiji niso bili enako priljubljeni. Izkazalo se je, da so se ženske v veliki
večini prijavljale na zelo priljubljene študije (npr. na angleščino), moški pa
večinoma na manj priljubljene (npr. tehnika in kemija), to pa je bil razlog,
da so bili skupno pri vpisu bolj uspešni.
Takih primerov navideznih paradoksov, kjer so v ozadju obtežena pov-
prečja, je še veliko. V drugem poglavju si bomo ogledali še en paradoks,
ki se da pojasniti z obteženimi povprečji. To je paradoks prijateljstva. V
predzadnjem poglavju pa se bomo seznanili še s posplošenim paradoksom
prijateljstva. Še prej pa se na kratko seznanimo z matematično razlago
obteženih povprečij.
Obteženo povprečje neprazne množice podatkov {x1, x2, . . . , xn} je
x =
∑n
i=1wixi∑n
i=1wi
=
w1x1 + w2x2 + · · ·+ wnxn
w1 + w2 + · · ·+ wn
,
kjer je wi utež, ki pripada podatku xi. Zato podatki z večjo utežjo prispevajo
več k obteženemu povprečju kot pa podatki z manǰso utežjo. Uteži niso
nikoli negativne, nekatere, vendar ne vse (zaradi deljenja z nič), so lahko nič.
Formula je enostavneǰsa, če so uteži normalizirane, tako da je njihova vsota
1, tj.
∑n
i=1wi = 1. Za takšne normalizirane uteži je obteženo povprečje
preprosto
x =
n∑
i=1
wixi = w1x1 + w2x2 + · · ·+ wnxn.
Opazimo, da lahko uteži vedno normaliziramo s transformacijo uteži w′i =
wi∑n
j=1 wj
, saj je
x =
∑n
i=1wixi∑n
i=1wi
=
∑n
i=1wixi∑n
j=1wj
=
n∑
i=1
wi∑n
j=1wj
xi =
n∑
i=1
w′ixi,
kar je navadno obteženo povprečje.
1–9 3
Brigita Ferčec in Niko Tratnik
Zgoraj navedeno obteženo povprečje je posplošitev aritmetičnega pov-
prečja in se zato imenuje tudi aritmetično obteženo povprečje. Pri aritme-
tičnem povprečju dobi vsak element enako utež. Če vzamemo neprazno
množico {x1, . . . , xn} in za vsak element xi utež wi =
1
n
, dobimo
x =
∑n
i=1
1
n
xi∑n
i=1
1
n
=
1
n
(x1 + x2 + · · ·+ xn)
1
=
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
,
kar je znana formula za aritmetično povprečje.
Obstajata pa tudi obteženo geometrijsko povprečje in obteženo harmo-
nično povprečje, ki vsako zase izhajata iz geometrijskega povprečja in har-
moničnega povprečja.
Paradoks prijateljstva
Dandanes ljudje veliko svojega časa namenimo družabnim omrežjem in po-
vezovanju z ljudmi preko le-teh. Velika večina ljudi pa lahko opazi, da ima
na teh omrežjih manj prijateljev kot večina njihovih prijateljev. Če ste med
njimi tudi sami, potem ne skrbite, saj enako velja tudi za večino vaših pri-
jateljev. To na primer potrjuje tudi obsežna študija Facebooka [3], kjer so
raziskovalci ugotovili naslednji zanimiv rezultat. Najprej so pogledali, koliko
ljudi ima manj prijateljev kot povprečno njegovi/njeni prijatelji. In izkazalo
se je, da to velja za veliko večino uporabikov oziroma za kar 93 odstot-
kov vseh uporabnikov Facebooka. Merili pa so tudi povprečja na celotnem
Facebooku in ugotovili, da imajo uporabniki v povprečju 190 prijateljev,
medtem ko imajo njihovi prijatelji v povprečju 635 prijateljev. Kako točno
so izračunali povprečje prijateljev od prijateljev, bomo videli v zgledu v
nadaljevanju.
Tudi raziskave nevirtualnih družabnih omrežij kažejo enak trend. Ta
pojav je namreč že leta 1991 odkril sociolog Scott L. Feld, ko internetna
družabna omrežja še niso obstajala. Tako imamo tudi v nevirtualnem svetu
večinoma manj prijateljev kot naši prijatelji. To pa seveda nima nikakršne
povezave z osebnostmi, temveč sledi iz matematike. Za katerokoli omrežje,
kjer ima nekaj ljudi več prijateljev kot drugi, velja, da je povprečno število
prijateljev od prijateljev vedno večje kot povprečno število prijateljev. To
trditev bomo v nadaljevanju strogo dokazali. Seveda bomo vedno predpo-
stavljali, da so prijateljstva vzajemna.
Opisani pojav so poimenovali »paradoks prijateljstva« (v angleščini »the
friendship paradox«). Njegova razlaga temelji na posebni vrsti obteženih
povprečij, ki povzročajo različne navidezne paradokse tudi v mnogih drugih
situacijah.
Da bomo lažje razmǐsljali, si za začetek zamislimo zelo preprost primer
družabnega omrežja, ki ga sestavljajo samo štiri osebe. Dajmo jim nasle-
4 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
Obtežena povprečja in paradoks prijateljstva
dnja imena: Marko, Vid, Rok in Miha. Recimo, da ima Marko samo enega
prijatelja – Vida. Vid naj bo prijatelj z vsemi preostalimi, Rok in Miha pa
naj bosta prijatelja še med seboj. Tako dobimo družabno omrežje, predsta-
vljeno na sliki 1.
Slika 1. Primer družabnega omrežja.
Sedaj za vsakega posebej zapǐsimo, koliko prijateljev ima in koliko pri-
jateljev imajo njegovi prijatelji.
Oseba Število Število prijateljev Povprečno število
prijateljev od prijateljev prijateljev od prijateljev
Marko 1 3 3
Vid 3 1; 2; 2 1,67
Rok 2 3; 2 2,5
Miha 2 3; 2 2,5
Takoj opazimo, da ima večina (Marko, Rok in Miha) manj prijateljev,
kot imajo v povprečju prijateljev njegovi prijatelji. Le Vid, ki je bolj »pri-
ljubljen«, ima več prijateljev od svojih prijateljev.
Da bomo lahko to v splošnem pojasnili, označimo z A povprečno število
prijateljev ljudi v omrežju (povprečje števil v drugem stolpcu tabele) in z
B povprečno število prijateljev od prijateljev (povprečje števil v tretjem
stolpcu tabele). Izračunajmo povprečji A in B za dani primer.
A =
1 + 3 + 2 + 2
4
= 2
B =
3 + (1 + 2 + 2) + (3 + 2) + (3 + 2)
8
= 2,25
Opazimo, da za dani primer družabnega omrežja velja A < B. V nada-
ljevanju pa bomo dokazali, da ta neenakost velja za čisto vsako družabno
1–9 5
Brigita Ferčec in Niko Tratnik
omrežje, v katerem nimajo vsi enakega števila prijateljev. Dejstvo, da je
povprečno število prijateljev strogo manǰse od povprečja prijateljev od pri-
jateljev, je razlog za nastanek omenjenega pojava, saj ima zaradi tega večina
ljudi manj prijateljev kot povprečno njihovi prijatelji.
Preden pa se lotimo strogega dokaza, poskušajmo zgornjo neenakost
razložiti intuitivno. V ta namen zapǐsimo povprečje B nekoliko drugače.
Ker ima Vid 3 prijatelje, ga bodo tudi trije omenili kot prijatelja in zato se
bo v števcu števila B trikrat pojavilo število 3, torej 3 ·3 = 32. Podobno ima
Rok 2 prijatelja, zato bosta tudi dva omenila število 2, ko bosta naštevala,
koliko prijateljev imajo njuni prijatelji, in tako se bo v števcu pojavil člen
22. Podobno pa bo tudi Miha prispeval 22 in Marko 12. Tako je
B =
32 + 22 + 22 + 12
8
.
V povprečju B števila prijateljev pred seštevanjem še kvadriramo, s tem pa
damo dodatno težo velikim številom, in zato je B > A. Povprečje B je torej
obteženo povprečje z utežmi, ki so kar enake vrednostim, katerih povprečje
računamo, saj velja
B =
3 · 3 + 2 · 2 + 2 · 2 + 1 · 1
3 + 2 + 2 + 1
.
Takoj opazimo še, da je v imenovalcu števila B vsota števila prijateljev vseh
oseb (v našem primeru 1+3+2+2 – vsota števil v prvem stolpcu). Očitno
bo to vedno res.
Končno se lotimo še splošnega primera, ko imamo v družabnem omrežju
n ljudi. Ugotovitev zapǐsimo kot izrek.
Izrek 1. V poljubnem družabnem omrežju, v katerem nimajo vsi enakega
števila prijateljev, označimo z A povprečno število prijateljev, z B pa pov-
prečno število prijateljev od prijateljev. Potem velja 0 < A < B.
Dokaz. Naj ima družabno omrežje n ljudi. Prvi naj ima x1 prijateljev,
drugi x2 prijateljev in tako naprej vse do zadnjega, ki ima xn prijateljev.
Povprečje prijateljev A v splošnem primeru zlahka izračunamo in dobimo
A =
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
.
S pomočjo že znanih razmislekov pa ugotovimo tudi, da je povprečno število
prijateljev od prijateljev
B =
x1
2 + x2
2 + · · ·+ xn
2
x1 + x2 + · · ·+ xn
.
6 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
Obtežena povprečja in paradoks prijateljstva
Seveda je A > 0 in B > 0, saj je povprečje pozitivnih števil vedno pozitivno.
Zapǐsimo naslednji račun.
(x1 −A)
2 + (x2 −A)
2 + · · ·+ (xn −A)
2
n
=
=
x1
2 + x2
2 + · · ·+ xn
2
n
− 2A ·
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
+A2 =
=
x1
2 + x2
2 + · · ·+ xn
2
n
−A2.
Če izraz (x1−A)
2+(x2−A)2+···+(xn−A)2
n
, ki ga v statistiki imenujemo varianca,
označimo z Var(x), dobimo
x1
2 + x2
2 + · · ·+ xn
2
n
= A2 +Var(x).
To enakost delimo z A in dobimo
B = A+
Var(x)
A
.
Ker je vedno Var(x) ≥ 0 (in Var(x) = 0 samo tedaj, ko je x1 = x2 = · · · =
xn), za vsako družabno omrežje, kjer nimajo vsi enakega števila prijateljev,
velja A < B.
Opazimo, da lahko paradoks prijateljstva formuliramo na dveh nivojih:
za posameznika in za družabno omrežje. Paradoks prijateljstva za družabno
omrežje smo zapisali v zgornjem izreku. Na nivoju posameznika pa para-
doks velja, če ima posameznik manj prijateljev kot povprečno njegovi/njeni
prijatelji. Omenili pa smo že, da na nivoju posameznikov paradoks velja za
veliko večino članov omrežja.
Seveda si lahko vsako družabno omrežje naravno predstavimo z grafom,
kjer vozlǐsča grafa (točke) predstavljajo ljudi, pri tem pa sta dve vozlǐsči
sosednji (to pomeni, da je med njima povezava), ko sta ustrezni osebi med
seboj prijatelja. Graf družabnega omrežja, ki smo ga obravnavali prej, vi-
dimo na sliki 2. Pri tem je očitno, da stopnja vozlǐsča (število sosedov
vozlǐsča) pomeni število prijateljev ustrezne osebe. Paradoks prijateljstva v
jeziku teorije grafov torej pove, da je povprečna stopnja vozlǐsč v grafu, v ka-
terem nimajo vsa vozlǐsča iste stopnje, vedno manǰsa kot povprečna stopnja
njihovih sosedov. Tudi raziskovalci, ki so proučevali Facebook, so opazovali
lastnosti njegovega grafa. Ugotovili so na primer tudi, da kar 99,91 odstotka
njegovih vozlǐsč (ljudi) pripada isti povezani komponenti. To pomeni, da
lahko med temi za poljubna dva najdemo pot v grafu, ki ju povezuje.
1–9 7
Brigita Ferčec in Niko Tratnik
Slika 2. Graf, ki prikazuje družabno omrežje s slike 1.
Posplošeni paradoks prijateljstva
Paradoks prijateljstva torej obravnava eno značilnost posameznikov, to je
število njihovih prijateljev, oziroma stopnjo vozlǐsča v ustreznem grafu. Ven-
dar pa imajo posamezniki tudi druge karakteristike, kot so na primer spol,
starost, poklic ipd. Zato so v članku [1] paradoks prijateljstva posplošili
tako, da ga lahko formuliramo za poljubno značilnost vozlǐsč, ki se da iz-
raziti s številom. Kadar za značilnost izberemo stopnjo vozlǐsča, pa kot
poseben primer dobimo paradoks prijateljstva. To posplošitev so poimeno-
vali posplošeni paradoks prijateljstva. Nato so proučevali še mrežo znanstve-
nih člankov in prǐsli do podobnih rezultatov kot pri običajnem paradoksu
prijateljstva. Ugotovili so, da imajo na primer vaši soavtorji zelo verjetno
več soavtorjev, več citatov in tudi več objav kot vi. Oglejmo si posplošeni
paradoks prijateljstva bolj natančno.
Vozlǐsča v grafu bodo označena z naravnimi števili, karakteristika voz-
lǐsča i naj bo xi, njegova stopnja pa di. Posplošeni paradoks prijateljstva
bomo zdaj obravnavali na nivoju posameznika in ne več na nivoju omrežja.
Pravimo, da posplošeni paradoks prijateljstva velja za vozlǐsče i, če je izpol-
njen naslednji pogoj:
xi <
∑
j∈N(i) xj
di
, (1)
kjer je N(i) množica vseh sosedov vozlǐsča i. Takoj opazimo, da če izbe-
remo xi = di, posplošeni paradoks prijateljstva postane običajni paradoks
prijateljstva.
V nadaljevanju bomo na kratko pogledali verjetnost in statistiko v omrež-
ju soavtorstev, kot so to naredili v članku [1]. V ta namen bomo s P (d, x)
označili verjetnost, da vozlǐsče s stopnjo d in karakteristiko x zadošča enačbi
(1). Seveda velja, da se pri fiksnem d z večanjem vrednosti x verjetnost
P (d, x) manǰsa. Raziskovalci so proučevali dve informacijski bazi: Physical
8 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
Obtežena povprečja in paradoks prijateljstva
Review journals (PR) in Google Scholar profile dataset of network scienti-
sts (GS). Za vozlǐsča v grafu so vzeli vse avtorje, pri tem pa med dvema
avtorjema obstaja povezava, če sta skupaj napisala kakšen članek. Omrežje
PR je vsebovalo 242592 vozlǐsč, omrežje GS pa 29968. Pri tem so opazovali
naslednje karakteristike vozlǐsč: število soavtorjev, število citatov, število
objav in povprečno število citatov na objavo.
Raziskovalci so podatke obdelali statistično, pri tem pa so med drugim
računali, kolikšna je povprečna verjetnost H, da posplošeni paradoks prija-
teljstva velja (pri tem so torej upoštevane vse verjetnosti P (d, x)). Ugotovili
so, da je za vsako izmed proučevanih karakteristik ta verjetnost zelo velika,
kar pomeni, da posplošeni paradoks prijateljstva velja za veliko večino vo-
zlǐsč v omrežju. Na primer za število soavtorjev je ta verjetnost 0,934, za
število citatov je 0,921, za število objav pa 0,912. Le za povprečno število
citatov na objavo je ta verjetnost nekoliko manǰsa, in sicer 0,720. S tem so
torej ugotovili, da kot pri običajnem paradoksu prijateljstva, tudi za druge
karakteristike velja, da imajo pri veliki večini vozlǐsč manǰso vrednost kot
pri njihovih sosedih.
Uporaba v praksi
Kot mnoge matematične ideje je tudi ta paradoks pripeljal do zanimivih
praktičnih aplikacij. Nedavno je vzpodbudil sistem zgodnjega opozarja-
nja za odkrivanje izbruhov nalezljivih bolezni. V študiji, ki so jo opravili
na Harvardu v času pandemične gripe leta 2009, sta znanstvenika Nicholas
Christakis in James Fowler spremljala status gripe v veliki skupini naključno
izbranih študentov in njihovih prijateljev. Nenavadno, prijatelji so zboleli
dva tedna pred naključno izbranimi študenti, domnevno zato, ker so bili na
splošno bolj povezani znotraj družabne mreže, kar tudi pričakujemo iz para-
doksa prijateljstva. V drugih okolǐsčinah je lahko dva tedna dolgo prehodno
obdobje, kot je bilo to, zelo koristno, da organi za javno zdravje načrtujejo
odziv na okužbe, preden le-te napadejo množice.
LITERATURA
[1] Young-Ho Eom, Hang-Hyun Jo, Generalized friendship paradox in complex networks:
The case of scientific collaboration, Scientific Reports 4, 4603 (2014).
[2] Scott L. Feld, Why your friends have more friends than you do?, American Journal
of Sociology 96 6, (1991) 1464–1477.
[3] J. Ugander et al., The Anatomy of the Facebook Social Graph, arXiv:1111.4503v1
(2011).
[4] S. Strogatz, Friends You Can Count On, The New York Times (2012), http:
//opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/17/friends-you-can-count-on/,
ogled: 28. 1. 2016.
[5] Friendship paradox, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Friendship_
paradox, ogled: 28. 1. 2016.
1–9 9
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 10 — #1 i
i
i
i
i
i
OBIČAJNI IN EKSOTIČNI HADRONI
SAŠA PRELOVŠEK KOMELJ
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Odsek za teoretično fiziko, Institut Jožef Stefan, Ljubljana
PACS: 12.38.Gc, 14.40.Pq, 14.40.Rt
Običajni hadroni so barioni in mezoni. Prvi so sestavjeni iz treh valenčnih kvarkov
(qqq), drugi pa iz valenčnega kvarka in antikvarka (qq̄). V zadnjem desetletju so ekspe-
rimentalno prvič opazili zanimiva stanja, ki bi lahko ustrezala eksotičnim tetrakvarkom
(q̄qq̄q) in pentakvarkom (qqqqq̄). Posvetili se bomo vprašanju, kaj vemo danes o običajnih
in eksotičnih hadronih na podlagi fundamentalne teorije – kromodinamike. To vpraša-
nje ni preprosto, ker močna sila v hadronih ne dovoljuje perturbativnega teoretičnega
pristopa.
CONVENTIONAL AND EXOTIC HADRONS
Conventional hadrons are baryons (qqq) and mesons (qq̄). Experiments have recently
found candidates for exotic tetraquarks (q̄qq̄q) and pentaquarks (qqqqq̄). This article
sheds light on what is known about the conventional and the exotic hadrons based on the
fundamental theory of strong interactions – Quantum ChromoDynamics (QCD). This is
not a simple problem, since the strong force in hadrons does not allow the perturbative
theoretical treatment.
Uvod
Hadroni so sestavljeni iz kvarkov, za slednje pa danes velja, da so osnovni
nedeljivi delci. Običajna narava je sestavljena iz kvarkov u in d, saj ob-
stajata tako v protonu (uud) kot v nevtronu (ddu). Drugi štirje kvarki
s, c, b, t so težji in živijo le kratek čas, potem ko jih ustvarijo pri različnih
eksperimentih.
Kvarke v hadrone veže močna sila, ki je ena od štirih osnovnih sil. Močna
sila veže tudi protone in nevtrone v jedra, kjer prevlada nad odbojno ele-
ktrično silo med pozitivno nabitimi protoni. Na razdaljah, ki so večje od
velikosti jeder, je vpliv močne sile zanemarljiv. Prenašalci močne sile so
brezmasni gluoni, podobno kot so prenašalci elektromagnetne sile brezmasni
fotoni. Osnovna teorija močne interakcije med kvarki in gluoni se imenuje
kvantna kromodinamika.
Skušali bomo odgovoriti na več vprašanj. Vprašali se bomo, ali sta masi
protona in nevtrona le merljivi količini, ali ju lahko izračunamo v kromodi-
namiki? Predstavljata namreč več kot 99 % mase vidnega vesolja. Prispevek
mirovnih mas treh valenčnih kvarkov k masi protona in nevtrona je manǰsi
10 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 11 — #2 i
i
i
i
i
i
Običajni in eksotični hadroni
od 3 %; za ta prispevek je odgovoren Higgsov mehanizem, ki daje maso
kvarkom. Velika večina mase protona in nevtrona pa je posledica vezavne
energije kvarkov zaradi močne interakcije, ki je tema tega prispevka. Ali
lahko mase preostalih mezonov in barionov izračunamo s pomočjo kromo-
dinamike? Ali iz kromodinamike sledi obstoj eksotičnih tetrakvarkov in
pentakvarkov? In naposled – zakaj ta vprašanja niso bila že davno rešena?
Problem pri teoretičnem študiju hadronov
Primerjajmo kromodinamiko z elektrodinamiko, kjer so bila analogna vpra-
šanja že davno rešena. Elektrodinamika je teorija, ki opisuje fotone oziroma
elektromagnetno valovanje ter nabite delce. Sile temeljijo na enem samem
vozlǐsču na sliki 1a. Vozlǐsče je točka Feynmanovega diagrama, kjer se stika
več linij; v elektrodinamiki predstavlja interakcijo elektrona s fotonom. Veli-
kost interakcije podaja osnovni električni naboj e0 oziroma α = e
2
0/(4π0~c),
ki ima pri nizkih energijah1 vrednost približno α ' 1/137.
Slika 1. Vozlǐsča v elektrodinamiki (a) in kromodinamiki (b) ter odvisnost vozlǐsča
α2s = g
2
s/(4π) od (Qc)
2 = (pc)2 − E2, kjer sta p in E gibalna količina in energija fotona
oziroma gluona [11] (c). Oznake: foton γ, elektron e, kvark q, gluon G.
Kromodinamika je teorija, ki opisuje gluone in kvarke ter interakcije med
njimi zaradi tako imenovanega barvnega naboja. Vozlǐsče med kvarkom in
gluonom je sorazmerno s sklopitvijo gs, kot kaže slika 1b. Gluoni so barvno
nabiti, zato interagirajo tudi med seboj (fotoni so električno nevtralni in
1Efektivna skopitev e0(Q
2) med fotonom in elektronom pravzaprav pomeni vsoto vseh
Feynmanovih diagramov, ki vodijo do interakcije elektron-elektron-foton. Izkaže se, da
e0(Q
2) rahlo raste z naraščajočim Q, ki je definiran na sliki 1. To je povezano s tvorbo
virtualnih parov e+e− in senčenjem naboja elektrona. Iz analognih razlogov se spreminja
tudi efektivna močna sklopitev gs(Q
2), le da ta z naraščajočo energijo občutno pada.
10–17 11
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 12 — #3 i
i
i
i
i
i
Saša Prelovšek Komelj
vozlǐsča med fotoni ni). Vozlǐsča med gluoni so odgovorna za naraščanje
sklopitve gs(Q
2) s padajočo gibalno količino gluonov Q, kot prikazuje slika
1c. S padajočo energijo αs raste in pri hadronskih energijah pod GeV na-
raste na vrednost blizu αs ' 1.
Elektro-magnetno interakcijo med dvema elektronoma na sliki 2 lahko
razvijemo po številu vozlǐsč, kjer Feynmanov diagram z dodatnim parom
vozlǐsč e0 prispeva k verjetnostni amplitudi α ' 1/137-krat manj. V per-
turbativnem pristopu lahko torej želeno natančnost dosežemo z izračunom
nekaj najnižjih redov po α. Pri interakcijah med dvema kvarkoma pa dia-
gramov na sliki 2 z več vozlǐsči gs ne moremo zanemariti, ker pri hadronskih
energijah velja αs ' 1. Potreben je neperturbativen pristop, ki sešteje ne-
skončno vrsto diagramov.
Slika 2. Feynmanovi diagrami, ki prikazujejo perturbativni razvoj po številu vozlǐsč za
interakcijo med elektronoma (levo) in kvarkoma (desno).
Kromodinamika na mreži
Neperturbativni pristop temelji na popotnem integralu. V kvantni mehaniki
je pričakovana vrednost za propagacijo delca iz točke ~x1 ob času t1 do točke
~x2 ob času t2 sorazmerna z∫
D~x(t) eiS/~ , S[~x(t)] =
∫ t2
t1
Ldt , L[~x(t)] = 12m~̇x
2 − V (~x). (1)
Funkcionalni integral D~x(t) pomeni vsoto vseh poti ~x(t) ob zahtevi ~x(t1) =
~x1, ~x(t2) = ~x2, kar prikazuje slika 3a. Vsaka pot je utežena z eksponentnim
faktorjem, ki je odvisen od klasične akcije S[~x(t)] za to pot. V klasični
mehaniki potuje delec po poti z najmanǰso akcijo.
Teoretično ogrodje za kromodinamiko (kot tudi za elektrodinamiko) je
kvantna teorija polja, ki temelji na kvarkovskih poljih q(~x, t) = q(x) in
gluonskih poljih G(~x, t) = G(x). Polje je fizikalna količina, ki ima vrednost v
vsaki točki prostor-časa x podobno kot elektromagnetno polje. Pričakovano
vrednost neke količine C(q,G) v kvantni teoriji polja izrazimo s popotnim
12 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 13 — #4 i
i
i
i
i
i
Običajni in eksotični hadroni
integralom
〈C〉 ∝
∫
Dq(x) Dq̄(x) DG(x) C(q,G) eiS/~ , S =
∫
d4x LQCD[q(x), G(x)].
(2)
Funkcionalni integral tu pomeni vsoto po vseh konfiguracijah (oblikah) kvar-
kovskih in gluonskih polj, ki se razpenjajo nad štirirazsežnim prostor-časom.
Primer konfiguracije polj je prikazan na sliki 3b, funkcionalni integral pa
narekuje vsoto po vseh konfiguracijah. Prispevek vsake konfiguracije je ute-
žen z eiS/~ kot v kvantni mehaniki, akcija S pa je odvisna od kvarkovske
in gluonske konfiguracije, kot narekuje Lagrangeeva gostota kromodinamike
LQCD[q(x), G(x)] (podrobnega izraza ne bomo potrebovali).
Analitičen izračun (2) je mogoč le za poenostavljene teorije, nikakor pa
ne za kromodinamiko. V kromodinamiki na mreži popotni integral (2) izra-
čunamo numerično za končno in diskretno mrežo točk prostor-časa na sliki
3c. Mrežni razmik je običajno okoli a ' 0,05 fm, velikost mreže pa 3−6 fm,
kar zaobjame večino hadronov. Seštejemo po končnem naboru gluonskih
in kvarkovskih konfiguracij najrazličneǰsih oblik; primer je prikazan na sliki
3b. Ta pristop se je izkazal kot najzanesljiveǰsa neperturbativna metoda
in se danes na široko uporablja2 za kromodinamiko ter tudi druge kvantne
teorije polja, kjer perturbativni pristop ni mogoč.
Slika 3. Popotni integral v kvantni mehaniki (a); primer kvarkovskih in gluonskih kon-
figuracij pri popotnem integralu v kvantni teoriji polja (b); mreža (c).
Običajni stabilni hadroni
Najprej so bile na mreži izračunane mase hadronov, ki ne razpadejo prek
močne interakcije. Ti hadroni so na mreži stabilni, saj popotni integral (2)
vsebuje le močno interakcijo, ne pa tudi elektromagnetne in šibke. Da bi s
tem popotnim integralom izluščili maso hadrona, izračunamo pričakovano
vrednost 〈C〉 za fizikalno količino, ki jo imenujemo korelacijska funkcija C(t).
Le-ta ustreza verjetnostni amplitudi, kjer kreiramo stanje s kvantnimi števili
2Baza http://arxiv.org/archive/hep-lat je posvečena teoriji polja na mreži.
10–17 13
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 14 — #5 i
i
i
i
i
i
Saša Prelovšek Komelj
hadrona ob času t = 0 ter stanje anihiliramo ob času t. Za proton na primer
kreiramo uud s spinom 1/2 in pozitivno parnostjo, za pion pa ud̄ s spinom
0 in negativno parnostjo. Časovno odvisnost C(t) lastnega stanja z energijo
E = (m2Hc
4 + ~p2c2)1/2 v kvantni mehaniki podaja
C(t) ∝ e−iEt/~ = e−EtE/~ → C(tE , ~p = 0) ∝ e−mHc
2 tE/~, (3)
na mreži pa uporabljamo evklidski čas tE = it, zato korelacijske funkcije pa-
dajo eksponentno s časom. Dejansko v C(t) propagira linearna kombinacija
lastnih stanj z izbranimi kvantnimi števili. S prilagajanjem izračunane 〈C〉
(2) z izrazom C(tE) ∝
∑
Ane
−EntE/~ izluščimo lastne energije En oziroma
mase mHn hadronov z danimi kvantnimi števili.
Slika 4. Mase čarmonijevih mezonov c̄c: izračunane [10] (križci) in izmerjene [11] (črte).
Stanja z maso nad okoli 3900 MeV/c2 razpadajo prek močne interakcije, zato pri teh
energijah rezultati konvencionalne metode [10] niso zanesljivi.
Tako so bile s kromodinamiko na mreži določene mase vseh barionov in
mezonov, ki so stabilni glede močne interakcije. Edini vhodni podatek so
parametri, ki nastopajo v LQCD, torej mase kvarkov ter močna sklopitvena
konstanta gs. Najnatančneǰsi izračun mase protona in nevtrona vodi do
mp ' mn = 936±25±22 MeV/c2 [6] in mn−mp = 1.5±0.16±0.23 MeV/c2
[5]. Oboje se znotraj napake ujema z izmerjenimi vrednostmi, pri čemer je
prispevek mase treh valenčnih kvarkov manǰsi od 20 MeV/c2. Izračunane
mase čarmonijevih mezonov c̄c z različnimi kvantnimi števili [10], prikazuje
jih slika 4, se prav tako razmeroma dobro ujemajo z eksperimentom [11].
Z merjenji se skladajo tudi rezultati za mase vseh drugih hadronov, ki ne
razpadajo prek močne interakcije, na primer Λ, Σ, Ω, K, D, B, Ds, Bs, Bc,
b̄b, . . .
14 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 15 — #6 i
i
i
i
i
i
Običajni in eksotični hadroni
Hadroni, ki močno razpadajo
Večina hadronov pa je hadronskih resonanc, ki se tvorijo pri sipanju dveh
hadronov H1H2 → H → H1H2 in potem hitro razpadejo prek močne inte-
rakcije. V eksperimentu jih opazijo pri merjenju preseka σ(E) za sipanje
dveh hadronov H1H2 v odvisnosti od njune težǐsčne energije E. Sipalni
presek σ je količina, ki pove, kolikšen delež curka hadronov H2 se bo pri
vpadu na H1 odklonil. Hadronska resonanca se kaže kot vrh v preseku pri
E = mHc
2, njen razpadni čas pa je s širino vrha Γ povezan prek τ = ~/Γ.
Primeri σ(E) za eksotične resonance so prikazani na sliki 5. Mase hadron-
skih resonanc ne moremo izračunati, kot je navedeno v preǰsnjem poglavju.
Namesto tega na mreži simuliramo sipanje H1H2, izluščimo sipalni presek
σ(E) v odvisnosti od težǐsčne energije E ter od tod maso in razpadni čas
resonance. Simulacija sipanja na mreži je velik izziv, kljub temu pa smo ne-
davno v pionirskih simulacijah tako prvi izluščili konvencionalne resonance
s kvarkom s [16] in kvarkom c [10, 8].
Slika 5. Vrh v preseku pri težǐsčni energiji J/ψ π+ okoli mJ/ψπ ' 3.9 GeV nakazuje
na možnost obstoja kratkoživega tetrakvarkovskega stanja Z+c (3900) [4] (levo). Vrh pri
težǐsčni energiji J/ψ p okoli mJ/ψp ' 4.4 GeV pa na morebiten obstoj pentakvarkovskega
stanja P+c (4450) [9] (desno). Oznake delcev: p = proton, J/ψ = c̄c, π
+ = d̄u.
Eksotični hadroni
Vsi opaženi eksotični hadroni razpadajo prek močne interakcije, zato je nji-
hov teoretični opis velik izziv, dokončnih odgovorov na nekatera vprašanja
pa še ni.
Do razcveta spektroskopije eksotičnih hadronov je prǐslo leta 2003, ko so
v eksperimentu Belle odkrili čarmoniju podobno stanje X(3872) [2]. Stanje
10–17 15
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 16 — #7 i
i
i
i
i
i
Saša Prelovšek Komelj
je morda nenavadna hadronska molekula D0D̄∗0 = (ūc)(c̄u), saj njegova
masa skoraj točno sovpada z mD0 +mD̄∗0 , tej hipotezi pa so v prid še druge
opažene lastnosti. Prvi dokaz za obstoj tega stanja v kromodinamiki na
mreži je bil predstavljen v [14], kjer smo simulirali sipanje D0D̄∗0. Izluščili
smo σ(E) in ugotovili, da obstaja vezano stanje D0D̄∗0 malce pod maso
mD0 +mD̄∗0 . Prav take lastnosti ima opaženo stanje X(3872).
Leta 2013 so v eksperimentih BESIII and Belle opazili kandidata za te-
trakvarkovsko stanje Z+c (3900) [4, 3], ki ne more biti običajen mezon q̄1q2.
To stanje razpada v J/ψ π+, zato naj bi bilo sestavljeno iz kvarkov c̄cd̄u
kot razpadna produkta J/ψ = c̄c in π+ = d̄u. Eksperimentalna indikacija
za obstoj kratkoživega stanja c̄cd̄u je resonančni vrh v preseku na sliki 5,
obstajajo pa še druge razlage za opažen vrh. Po eksperimentalnem odkritju
smo prvi določili lastna stanja z relevantnimi kvantnimi števili na mreži. V
zanimivem energijskem območju smo našli le pričakovana lastna stanja dveh
hadronov (J/ψ π+, DD̄∗, . . . ), dodatnega lastnega stanja, ki bi ustrezalo
resonanci Z+c (3900), pa nismo našli [15, 13]. Dokončnega odgovora o izvoru
vrha na sliki 5 še ni, vendar naši rezultati kažejo na to, da vrh najverjetneje
ni posledica kratkožive resonance s tetrakvarkovsko strukturo, temveč ne-
česa drugega. Ker je vrh opažen malce nad mD +mD̄∗ , je morda posledica
močne sklopitve med kanaloma J/ψ π+ in DD̄∗, kot je mogoče sklepati tudi
na osnovi kasneǰse simulacije skupine HALQCD [7].
Dve morebitni stanji s tetrakvarkovsko strukturo b̄bd̄u je opazil eksperi-
ment Belle leta 2011 [1]. Prva preliminarna indikacija za morebiten obstoj
takega stanja na mreži temelji na izračunu potenciala V (r) za sistem v od-
visnosti od razdalje r med b in b̄ v limiti mb →∞ [12].
LHCb je odkril kandidata za pentakvarkovsko stanje P+c (4450), ki ne
more biti običajen barion q1q2q3. Stanje se kaže kot vrh v preseku za sipanje
protona in piona na sliki 5 [9]. Če je vrh posledica obstoja kratkoživega
P+c (4450), potem mora vsebovati kvarke uudud̄ kot razpadna produkta p
(uud) in π+ (ud̄). Tudi v tem primeru so mogoče manj eksotične razlage za
obstoj vrha. Simulacija opaženih pentakvarkovskih stanj na mreži je velik
izziv, zato bomo morali na rezultate prvih simulacij in na odgovore počakati
še nekaj časa.
Sklep
V eksperimentih so nedavno opazili hadrone, ki morda predstavljajo nena-
vadne tetrakvarke ali pentakvarke. Teoretični študij hadronskih lastnosti
zahteva neperturbativno obravnavo. Najzanesljiveǰsi pristop je kromodina-
mika na mreži, ki temelji na numeričnem izračunu popotnega integrala. Ta
16 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 17 — #8 i
i
i
i
i
i
Običajni in eksotični hadroni
pristop vodi do prave mase protona, nevtrona in vseh drugih hadronov, ki
ne razpadajo prek močne interakcije. V zadnjih letih se je izkazal za uspe-
šnega tudi pri sipanju dveh hadronov, kar vodi do informacije o nestabilnih
hadronskih resonancah. Privedel je tudi že do nekaj delnih odgovorov na
morebiten obstoj opaženih stanj s tetrakvarkovsko strukturo.
LITERATURA
[1] Belle Collaboration, I. Adachi, Observation of two charged bottomonium-like reso-
nances, arXiv:1105.4583.
[2] Belle Collaboration, Observation of a narrow charmoniumlike state in exclusive B →
KππJ/ψ decays, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 262001.
[3] Belle Collaboration, Z. Liu et al., Study of e+e− → π+π−J/ψ and Observation of
a Charged Charmonium-like State at Belle, Phys. Rev. Lett. 110 (2013) 252002,
arXiv:1304.0121.
[4] BESIII Collaboration, M. Ablikim et al., Observation of a charged charmoniumlike
structure in e+e− → ππJ/ψ at
√
s = 4.26 GeV, Phys. Rev. Lett. 110 (2013) 252001,
arXiv:1303.5949.
[5] BMW collaboration, S. Borsanyi et al., Ab initio calculation of the neutron-proton
mass difference, Science 347 (2015) 1452–1455, arXiv:1406.4088.
[6] BMW collaboration, S. Dürr et al., Ab-Initio Determination of Light Hadron Masses,
Science 322 (2008) 1224–1227, arXiv:0906.3599.
[7] HALQCD Collaboration, Y. Ikeda et al., Fate of the Tetraquark Candidate Zc(3900)
in Lattice QCD, arXiv:1602.03465.
[8] C. B. Lang, L. Leskovec, D. Mohler in S. Prelovsek, Vector and scalar charmonium
resonances with lattice QCD, arXiv:1503.05363.
[9] LHCb Collaboration, R. Aaij et al., Observation of J/ψp Resonances Consistent with
Pentaquark States in Λ0b → J/ψKp Decays, Phys. Rev. Lett. 115 (2015), 072001,
arXiv:1507.03414.
[10] D. Mohler, S. Prelovsek in R. Woloshyn, D Pi scattering and D meson resonances
from lattice QCD, Phys. Rev. Lett. D87 (2013) 034501, arXiv:1208.4059.
[11] Particle Data Group Collaboration, K. A. Olive et al., Review of Particle Physics,
Chin. Phys. C38 (2014) 090001.
[12] A. Peters, P. Bicudo, K. Cichy in M. Wagner, Investigation of BB̄ four-quark systems
using lattice QCD, arXiv:1602.07621.
[13] S. Prelovsek, C. B. Lang, L. Leskovec in D. Mohler, Study of the Z+c channel using
lattice QCD, Phys. Rev. Lett. D91 (2015), 014504, arXiv:1405.7623.
[14] S. Prelovsek in L. Leskovec, Evidence for X(3872) from DD∗ scattering on the lattice,
Phys. Rev. Lett. 111 (2013) 192001, arXiv:1307.5172.
[15] S. Prelovsek in L. Leskovec, Search for Z+c (3900) in the 1
+− Channel on the Lattice,
Phys. Rev. Lett. B727 (2013) 172, arXiv:1308.2097.
[16] S. Prelovsek, L. Leskovec, C. Lang in D. Mohler, Kπ scattering and the K∗ decay
width from lattice QCD, Phys. Rev. Lett. D88 (2013), 054508, arXiv:1307.0736.
10–17 17
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 18 — #1 i
i
i
i
i
i
ŠOLA
MATEMATIČNE SPOSOBNOSTI PRI OTROCIH:
NEKAJ VROJENEGA, NEKAJ PRIDOBLJENEGA, A
VEDNO LAHKO VIR ZADOVOLJSTVA
TINA BREGANT
Univerzitetni rehabilitacijski inštitut – URI Soča
Ljubljana
Ocenjevanje številčnosti neke skupine, primerjanje dveh vrednosti oziroma količin ter
osnovno seštevanje (dodajanje) in odštevanje (odvzemanje) so biološko določene sposobno-
sti, ki so prirojene tako nekaterim živalim kot ljudem. Že novorojenček razlikuje nekatere
količine, z zorenjem možganov pa ta sposobnost še napreduje, tako da lahko ljudje kasneje
razločujemo količine, ki se tudi zelo malo razlikujejo med seboj. Razumemo tudi velike
količine. Kasneje ta vrojena znanja nadgradimo z uporabo števk, simboličnim učenjem in
učenjem algoritmov. Matematične kompetence se povezujejo z zgodnjimi zaznavnimi in
gibalnimi izkušnjami, telesno shemo in celo s socialno-čustvenimi kompetencami, ki smo
jih razvili v otroštvu znotraj družine. Ker so tudi matematične kompetence v otroštvu
tiste, ki določajo kasneǰso akademsko uspešnost, lahko razumevanje njihovega razvoja
pomaga oblikovati spodbude pri usvajanju matematičnih veščin.
MATHEMATICAL ABILITIES IN CHILDREN: SOME INBORN, SOME
ACQUIRED BUT ALWAYS A POTENTIAL SOURCE OF PLEASURE
Numerosity, comparison of two values or quantities as well as addition and subtrac-
tion are biologically inherent abilities in people and some animals, too. A newborn can
already distinguish between some quantities. Through development her ability increases
up to the adult level where even small differences are detected and big quantities are
understood. Later on, we add to inborn abilities the use of numbers, symbolic learning,
and learning of algorithms. Mathematical competences are linked to sensory and motor
experiences, body scheme, and even socio-emotional competencies we have acquired wi-
thin the family during childhood. By understanding how mathematical abilities develop
we can create opportunities and encourage mathematical competences which determine
academic success later in life.
Uvod
»Za božjo voljo, prosim te, odnehaj! Boj se je toliko kot strasti in čutne
obsedenosti, saj ti bo prav tako vzela ves čas, tvoje zdravje, mir v duši
in srečo v življenju!« moleduje Farkas Bolyai svojega sina Jánosa Bolyaija
(eden od očetov neevklidske geometrije), da naj le odneha s proučevanjem
hiperbolične geometrije [8].
18 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 19 — #2 i
i
i
i
i
i
Matematične sposobnosti pri otrocih
Za večino ljudi je matematika zelo abstrakten, čutom nedostopen, šolski
predmet, ki jim je vrh tega grenil veselje pri pouku. Matematik Zagier celo
napǐse, da večina ljudi ne more niti od daleč razumeti, da obstaja povezava
med matematiko in zadovoljstvom in da jih straši že zgolj misel na mate-
matiko [23]. Da obstaja povezava med matematiko in umetnostjo, je morda
lažje razumeti, če se spomnimo renesanse, ko so umetniki poskusili prene-
sti naš tridimenzionalni svet na dvodimenzionalno platno; če pomislimo na
uganke, ki jih je postavil M. C. Escher; če se ozremo na arabske mozaike in
na fraktale. Da se matematika lahko napaja iz uporabne umetnosti, kot je
kvačkanje, pa je pokazala latvijska matematičarka Daina Taimina [12].
Matematiko in njene zakonitosti lahko spremljamo povsod, ne le na ra-
čunih pri trgovcih, tehtanju sadja pri branjevkah in nakupu varčnega avto-
mobila. Vseprisotnost matematike v našem življenju je fascinantna. Če je
matematično mǐsljenje del naših miselnih procesov, kdaj in kje se v našem
umu prične porajati matematično mǐsljenje?
V prispevku se bomo sprehodili skozi otrokov razvoj. Na poti od zaznavno-
telesnega do abstraktnega bomo lahko uvideli, zakaj je spodbujanje mate-
matčnih kompetenc pomembno za otrokov razvoj in čemu šele po usvojenih
matematičnih veščinah v matematiki lahko tudi uživamo in občutimo le-
poto, celo strast, ki nas lahko zasvoji za celo življenje.
Telesna shema in matematične sposobnosti
Človeški možgani so omreženi za prepoznavo antropomorfnih struktur, kar
opazimo že pri novorojenčkih, ki z zanimanjem opazujejo človeške obraze
in tako spodbujajo svoj čustveni, socialni in miselni razvoj. Nekatere funk-
cionalne raziskave kažejo, da smo omreženi tudi za prepoznavo simetrije.
Za zaznavanje prostora in našega mesta v njem je zelo pomembna telesna
shema. Osna simetrija in »človeškost« naših teles sta pri oblikovanju tele-
sne sheme izjemnega pomena. Vemo, da nekateri bolezenski procesi shemo
porušijo oz. jo v otroškem obdobju, ki je zanjo ključno, ne izgradijo dovolj
funkcionalno.
Prostorske predstave, ki so ključne tako pri geometriji kot pri umetno-
sti, otrok prične usvajati zelo zgodaj, takrat ko pričenja oblikovati lastne
telesne sheme: ko leži na hrbtu kot dojenček in z roko namensko poseže
po predmetu okoli tretjega meseca starosti. Sprva je njegov poseg v pro-
stor negotov: premočan ali prešibak, nenatančno usmerjen na predmet, a
sčasoma se dojenček izuri in s spoznavanjem svojega telesa poseže ne le z
roko po predmetu, pač pa tudi s telesom v prostor: prične s kotaljenjem,
18–24 19
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 20 — #3 i
i
i
i
i
i
Tina Bregant
plazenjem, kobacanjem in okoli prvega rojstnega dne tudi shodi. S celim
telesom otrok spoznava, kaj je daleč in kaj blizu; kaj je več in kaj manj. Nje-
govo telo mu omogoča razumeti osnovne koncepte: več-manj, močno-̌sibko,
daleč-blizu, ostro-topo, ravno-ukrivljeno itd. Prve koračnice otroku omo-
gočijo novo modalnost: matematične količine spoznava s celim telesom, ko
koraka po taktu in s celim telesom občuti zaporedje in ritem. Otroci pravi-
loma štejejo na prste in tudi mi, odrasli, ker imamo 10 prstov, uporabljamo
desetǐski sistem, čeprav je dvanajstǐski sistem preprosteǰsi za uporabo.
Ljudje smo praviloma šele v obdobju šolanja sposobni abstraktnega mi-
šljenja, ko se nam ni več treba zanašati na telesno shemo. Marsikdo pa
tega prehoda iz telesnega v abstraktni svet ne zmore nikoli. Sposobnost
abstraktne koncepte preigrati le z miselnim procesom, brez vpletenosti svo-
jega telesa, je za naše možgane precej zahtevno opravilo, za katero je treba
poleg bioloških danosti in dobrega delovanja osrednjega živčevja tudi veliko
vaje in urjenja. Kljub temu so še vedno nekateri koncepti označeni s telesno
shemo.
Lakoff in Nunez sta uporabila sistem metafor (teorijo kognitivnih ali
konceptualnih metafor), v katerem predlagata aritmetiko kot način zbiranja
predmetov oziroma aritmetiko kot gibanje vzdolž osi [15]. Če ste desnični,
kar velja za večino zdrave populacije, in uporabljate evropski način pisanja
od leve proti desni, potem je za vas vse, kar je večje, bolǰse in prihodnje,
umeščeno na vašo desno. Zahodnoevropejci smo znani po linearnem razmi-
šljanju, z numerično osjo, ki se pričenja na levi in po velikosti raste proti
desni [6]. Pri poskusih s številčnimi vrednostmi na ekranih smo pri pritisku
na gumb, kot reaktivnem času prepoznave vrednosti, pri večjih količinah hi-
treǰsi z desnico kot levico. Podobno za nas velja pri vertikalni številčni osi,
kjer vǐsje za nas pomeni tudi večje. Zanimivo, da tudi odrasli to zaznavamo
s celim telesom. Tako so preiskovanci pri generiranju števil ob premikih
telesa navzgor generirali večje vrednosti, kot če so se premikali navzdol [11].
Če so preiskovanci kimali navzgor, so generirali vǐsje vrednosti, kot če so
kimali z glavo navzdol [22]. Naši možgani poleg tega enačijo modalnosti.
Tako razumemo večje napisano številko tudi kot količinsko večjo od drobno
napisane [21] in količino pikic precenimo, če prekrivajo večjo površino [13].
Miselne predstave smo v otroštvu namreč izoblikovali s pomočjo telesa.
Celo tako abstraktne koncepte, kot je negativnost, npr. zakaj je zmnožek
dveh negativnih števil pozitiven, nekateri strokovnjaki razlagajo s konkre-
tnimi primeri [14].
Ob procesiranju števil in količin se v možganih aktivira temenski reženj,
20 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 21 — #4 i
i
i
i
i
i
Matematične sposobnosti pri otrocih
pri čemer je aktivacija podobna kot pri procesiranju prostorskih informa-
cij [4]. Temu se ne izognejo niti študenti matematike, ki celo pri razlagi
integralov uporabljajo značilne geste, ki sovpadajo z osnovnimi količinskimi
pojmi (desno-levo, vǐsje-nižje) [17].
Aritmetika in občutek za količino
Poznavanje števil je nujno za razumevanje matematike. Razvoj aritmetičnih
sposobnostih ne temelji zgolj na pridobivanju izkušenj in učenju, temveč so
nam nekatere aritmetične sposobnosti, predvsem občutek za količino, vro-
jene [16]. Ocenjevanje številčnosti neke skupine, primerjanje dveh števil po
velikosti ter osnovno seštevanje ali dodajanje in odštevanje ali odvzemanje
so biološko vrojene ločene sposobnosti. Presoja, kje bo veverica našla več
orehov ali v kateri čredi je možnost ulova največja, določa obstoj osebka in
vrste. Živali sicer zelo verjetno ne štejejo v lingvističnem pomenu štetja.
Torej živali ne štejejo ena, dve, tri, . . . pač pa imajo vrojeno sposobnost do-
ločanja in razločevanja količine. Gre najverjetneje za evolucijsko prednost
teritorialnih živali, ki jim ta sposobnost omogoča določiti teritorij, kjer je
več hrane za celotno čredo [3].
Že majhni otroci zmorejo prepoznati različne količine. Otroci se med
seboj sicer precej razlikujejo, kdaj usvojijo določene veščine, drži pa pred-
sodek, ki velja med vzgojitelji in učitelji, da so tisti otroci, ki prej in bolj
uspešno rešujejo matematične probleme, tudi kasneje akademsko bolj uspe-
šni. V laičnem jeziku takim otrokom rečemo, da so »pametni«. Zanimivo
je, da aritmetične sposobnosti otrok korelirajo tudi z nekaterimi socialnimi
veščinami in čustvenimi vedenji [9], kar pa je v nasprotju s predsodkom, da
so ti otroci »samotarji« in nezainteresirani za družbo.
Že dojenčki so sposobni razlikovati množici z različnimi elementi, šte-
vilčnost pa dojemajo amodalno. Pri šestih mesecih ločijo množici, katerih
število elementov je v razmerju 1: 2, s starostjo pa se to razmerje hitro iz-
bolǰsuje [7]. Petletni otroci že ločijo skupini, katerih število elementov je v
razmerju 7: 8 [10]. Sposobnost primerjanja dveh količin se začne razvijati
šele po 15. mesecu starosti, preštevanja pa se otroci naučijo spontano, z uče-
njem jezika. Govor otroku omogoči, da števila dobijo abstrakten, simbolni
pomen, s tem pa se odpre pot k simbolni aritmetiki. Otroci v predšolskem
obdobju računajo po intuiciji, v šoli pa aritmetika temelji na učenju postop-
kov za reševanje problemov. Pri šolskem usvajanju matematičnih znanj pre-
vzame glavno nalogo spomin in avtomatizacija procesov, pri čemer intuicijo
zapostavimo. Vendar so raziskave pokazale, da je intuicija zelo pomembna
18–24 21
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 22 — #5 i
i
i
i
i
i
Tina Bregant
in je celo napovedni dejavnik razvoja matematičnih kompetenc skozi celotno
šolanje.
Uspeh pri matematiki – spodbuda na jezikovnem, socialnem in
čustvenem področju
Zanimivo in morda celo intrigantno je spoznanje, da na uspešnost učencev
pri pouku matematike vplivajo odnosi. Recipročnost odnosov med šolo in
domom je tako pomembna, da so otroci bolj osredotočeni na šolske naloge,
in zanimivo, hkrati tudi bolj uspešni pri matematiki, če njihovi starši mislijo,
da so njihovi otroci uspešni [1]. Ravno obratno pa nezaupanje v otrokove
sposobnosti vodi v splošno učno manjuspešnost in tudi slabše matematične
kompetence. Zanimivo, da starši, zlasti očetje, s trajanjem šolanja poveču-
jejo zaupanje v sinove matematične kompetence, medtem ko jih za hčere
zmanǰsujejo. Kako matere razumejo otrokove matematične sposobnosti, pa
določa formalno in neformalno matematično znanje ter tudi uspešnost, pri
čemer je materino znanje matematike tisto, ki določa formalni nivo znanja
otroka [2].
Predšolske izkušnje in spodbudno predšolsko okolje je tisto, ki določa ka-
sneǰse uspehe pri matematiki [5]. Učinki obogatenih materialov, dejavnosti
in interakcij med vzgojitelji-učitelji in učenci v najzgodneǰsih letih učenja se
kažejo še štiri leta po učinkoviti intervenciji, usmerjeni v matematiko [19].
Če spodbujamo učenje matematike pri ekonomsko in socialno manj pri-
vilegiranih učencih, pri njih pride do bolǰsega uravnavanja in zmanǰsanja
težavnih vedenj, pridobijo več samonadzora in pripadnosti šoli in učenju.
Bolj pogosto kot pred intervenco so pridružena pozitivna socialno-čustvena
vedenja [9].
Matematične sposobnosti se povezujejo s pismenostjo. Tako pričetki opi-
smenjevanja sovpadajo tudi s štetjem in preprostimi operacijami seštevanja
in odštevanja. Predšolski otrok, ki zmore pripovedovati zgodbo in jo osve-
tliti z logičnimi opisi sosledja dogodkov in morda celo z več vidikov, je po
nekaterih raziskavah kasneje tudi pri matematiki uspešneǰsi [18]. Vzrok je
verjetno v tem, da pri usvajanju matematičnih veščin ne gre zgolj za fono-
loško spretnost, pač pa za prepoznavanje in reševanje besedilnih problemov
ter širši nabor spretnosti. Dobre matematične sposobnosti se povezujejo
z jezikovnimi spretnostmi do te mere, da intervencijski programi, ki spod-
bujajo matematično pismenost, vplivajo na statistično značilen, količinsko
merljiv porast jezikovnih spretnosti [20].
Z govorom se otrokom odpre pot k simboličnemu računanju. Do tretjega
22 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 23 — #6 i
i
i
i
i
i
Matematične sposobnosti pri otrocih
leta starosti otroci štejejo avtomatično, brez težav do 10. Triinpolletni otrok
že zazna napako v preštevanju, do četrtega leta pa usvoji osnovni princip
preštevanja, tj. da je vsak predmet štet le enkrat in da si števila morajo
slediti zaporedno. Domnevamo, da gre za vrojeno sposobnost, ki spremlja
sposobnost spontanega učenja jezika. Šele po četrtem letu starosti otroci
začnejo razumeti, čemu je preštevanje namenjeno, tj. da končno število po-
meni število vseh elementov v skupini.
Matematične sposobnosti se ne povezujejo s sposobnostjo in hitrostjo
poimenovanja in izražanja, ki so tudi eno od meril kognitivnega razvoja.
Podatki iz raziskav nakazujejo, da so matematično »sposobneǰsi« posamez-
niki bolǰsi ne toliko v priklicu aritmetičnih znanj, pač pa v delovanju vǐsjih,
kognitivnih procesov, zlasti pri procesiranju matematičnih simbolov. Te
procese lahko zaznamo s slikanjem s funkcijsko magnetno resonanco (fMRI).
Pri dobrih matematikih ti procesi zelo aktivno potekajo v levem angularnem
girusu, ki je pri njih bolj dejaven kot pri slabih matematikih.
Sklep
Kljub temu da je ljudem občutek za količino in števila vrojen, ima tudi uče-
nje aritmetike z začetkom že v predšolskem obdobju velik vpliv na razvoj
kasneǰsih matematičnih sposobnosti. Dobra telesna shema, ki smo jo kot
malčki zgradili na podlagi zaznav in gibanja telesa, ter poznavanje količin
in števil sta temelj za pozneǰse uspešno razumevanje matematike. Uporaba
matematične intuicije pri izgradnji miselnih modelov in hkrati uporaba arit-
metike in razumevanja algoritmov se ne izključujeta, pač pa dopolnjujeta,
in le tako lahko pričakujemo, da bo razumevanje matematike bolǰse, razvoj
matematičnih kompetenc pa hitreǰsi in uspešneǰsi. V matematiki bomo
lahko uzrli lepoto in v njej preprosto – uživali.
LITERATURA
[1] K. Aunola, J. E. Nurmi, M. K. Lerkkanen, in H. Rasku-Puttonen, The role of
achievement-related behaviors and parental beliefs in children’s mathematical perfor-
mance, Educational Psychology 23 (2003) 4, 403–421.
[2] B. Blevins-Knabe, L. Whiteside-Mansell in J. Selig, Parenting and mathematical
development, Academic Exchange Quarterly 11 (2007) 2, 76–80.
[3] T. Bregant, Ali je matematika doma le v človekovih možganih, Proteus 75 (2013) 5,
209–216.
[4] T. Bregant, Nevrokognitivne osnove numeričnega procesiranja, Psihološka obzorja 21
(2012) 3/4, 69–74.
18–24 23
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 24 — #7 i
i
i
i
i
i
Tina Bregant
[5] J. Brooks-Gunn, A. S. Fuligni in L. J. Berlin, Early child development in the 21st
Century: Profiles of current research initiatives, New York: Teachers College Press
(2003).
[6] S. Dehaene, S. Bossini in P. Giraux, The mental representation of parity and number
magnitude, Journal of Experimental Psychology: General 122 (1993), 371–396.
[7] S. Dehaene, N. Molko, L. Cohen in A. J. Wilson, Arithmetic and the brain, Current
Opinion in Neurobiology 14 (2004), 218–224.
[8] T. Denes, Real face of Janos Bolyai, Notices of the American Mathematical Society
58 (2011) 1, 41–51.
[9] J. Dobbs, G. L. Doctoroff, P. H. Fisher in D. H. Arnold, The association between
preschool children’s socio-emotional functioning and their mathematical skill, Journal
of Applied Developmental Psychology 27 (2006), 97–108.
[10] L. Feigenson, S. Dehaene in E. Spelke, Core systems of number, Trends of Cognitive
Science 8 (2004) 7, 307–314.
[11] M. Hartmann, L. Grabherr in F. W. Last, Moving along the mental number line:
Interactions between whole-body motion and numerical cognition, Journal of Experi-
mental Psychology: Human Perception and Performance 38 (2012) 6, 1416–1427.
[12] D. W. Henderson in D. Taimina, Crocheting the hyperbolic plane, Mathematical In-
telligencer 23 (2001) 2, 17–28.
[13] F. Hurewitz, R. Gelman in B. Schnitzer, Sometimes area counts more than number,
Proceedings of the National Academy of Sciences, USA, 103 (2006), 599–604.
[14] M. Kline, Mathematics for the nonmathematician, Toronto, Canada: General Publi-
shing Company (1967).
[15] G. Lakoff in R. E. Nunez, Where mathematics comes from, New York: Basic Books
(2000).
[16] T. Levstek, T. Bregant in A. Podlesek, Razvoj aritmetičnih sposobnosti, Psihološka
obzorja 22 (2013), 115–121.
[17] T. Marghetis in R. Nunez, The motion behind the symbols: A vital role for dynamism
in the conceptualization of limits and continuity in expert mathematics, Topics in
Cognitive Science (2013), 1–18.
[18] D. K. O’Neill, M. J. Pearce in J. L. Pick, Predictive relations between aspects of
preschool children’s narratives and performance on the Peabody Individualized Achi-
evement Test – Revised: Evidence of a relation between early narrative and later
mathematical ability, First Language 24 (2004), 149–183.
[19] E. S. Preisner-Feinberg, M. R. Burchinal in R. M. Clifford, The relation of preschool
child-care quality to children’s cognitive and social developmental trajectories through
second grade, Child Development 72 (2001) 5, 1534–1553.
[20] M. Shayer in M. Adhami, Realizing the cognitive potential of children 5–7 with a
mathematics focus: Post-test and long-term effects of a 2-year intervention, British
Journal of Educational Psychology 80 (2010) 3, 363–379.
[21] H. J. Tzelgov, Is three greater than five: The relation between physical and semantic
size in comparison tasks, Memory & Cognition 10 (1982), 389–395.
[22] B. Winter in T. Matlock, More is up . . . and right: Random number generation along
two axes, v M. Knauff, M. Pauen, N. Sebanz, I. Wachsmuth (Eds.), Proceedings of
the 35th Annual Conference of the Cognitive Science Society, Austin, TX: Cognitive
Science Society (2013), 3789–3974.
[23] D. Zagier, The beauty of numbers, MaxPlanckResearch – The Science Magazine of
the Max Planck Society (2012) 1, 12–17.
24 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Mohoric” — 2016/5/12 — 12:15 — page 25 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
V SPOMIN PROFESORJU JANEZU STRNADU
Novembra se je v dvainosemdesetem letu od
nas poslovil najplodoviteǰsi sodelavec Ob-
zornika, kolega fizik, zaslužni profesor Uni-
verze v Ljubljani, dr. Janez Strnad. Njegov
članek je izšel še v predzadnji izdaji revije,
v zadnjem letniku pa je prispeval k polovici
številk.
Spoznal sem ga, ko sem prestopil prag
univerze. Brucem nam je predaval Fiziko,
osrednji predmet našega študija. S svojim
resnim in zavzetim načinom, pripravljeno-
stjo odgovoriti na vsa vprašanja, pošteno-
stjo ter odličnostjo pri ocenjevanju je pu-
stil pečat generacijam fizikov. Na predava-
njih smo lahko slutili, da ve mnogo več, kot
pove. Izvrstno je poznal tako učno snov
kot težave, ki spremljajo njeno razumeva-
nje. Ta globoki vpogled je imel zato, ker je
temeljito poznal zgodovino fizike. To plat svoje razgledanosti je pokazal v
predavanjih Razvoj fizike in v pisanju poljudnih in strokovnih člankov za
večino slovenskih časopisov in naravoslovno usmerjenih revij. V tej vlogi
sem ga kot urednik spoznaval prav do zadnjih dni.
Janez Strnad je bil rojen leta 1934 v Ljubljani. Po osnovni šoli in nižji
gimnaziji v Slovenj Gradcu ter vǐsji gimnaziji v Mariboru se je vpisal na
Fakulteto za naravoslovje in tehnologijo. Po študiju tehnǐske fizike je postal
asistent na današnjem Oddelku za fiziko. Kasneje je študiral na inštitutu za
teoretično fiziko univerze v Heidelbergu. Leta 1963 je opravil doktorat in bil
izvoljen za docenta. Leta 1969 je bil izvoljen za izrednega profesorja in leta
1974 za rednega profesorja. Na Oddelku za fiziko Fakultete za naravoslovje
in tehnologijo in kasneje Fakultete za matematiko in fiziko je dolgo časa
predaval Fiziko študentom fizike v prvem in drugem letniku in Razvoj fizike
v tretjem.
Njegovo raziskovalno delo je manj znano, saj se skoraj izgubi v obsežnem
opusu drugih del. Pa vendar, Janez je bil tudi izvrsten raziskovalec, z obja-
vami v tako prestižnih revijah, kot sta Science in Nature. Raziskovalno se je
ukvarjal z difuzijo nevtronov, posebno teorijo relativnosti in jedrsko fiziko
in je delal na Odseku za teorijsko fiziko na Institutu Jožef Stefan. Zanimala
ga je tudi didaktika fizike, posebno teorije relativnosti in kvantne fizike. Na
Obzornik mat. fiz. 63 (2015) 1 25
i
i
“Mohoric” — 2016/5/12 — 12:15 — page 26 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
tem področju je objavil veliko znanstvenih člankov. Skupaj skoraj sto. So-
deloval je z inštitutom za didaktiko fizike univerze v Giessenu, kjer je bil na
obisku večkrat po nekaj mesecev. Pozornost je posvečal tudi posredovanju
fizike širši javnosti.
V angleščini in nemščini je objavil prek
sto raziskovalnih in strokovnih člankov
in šestdeset referatov, s katerimi je veči-
noma sodeloval na mednarodnih sestan-
kih. Objavil je tudi več kot štiristo stro-
kovnih in poljudnoznanstvenih člankov v
slovenščini, predvsem v Obzorniku za ma-
tematiko in fiziko, Preseku in Proteusu.
V časopisih in revijah je objavil več kot
sto štirideset prispevkov.
Skupaj z Wilfriedom Kuhnom je ob-
javil v nemščini knjigo Quantenfeldtheo-
rie. Photonen und ihre Deutung (1995).
Napisal je štiridelni univerzitetni učbenik
za fiziko in učbenik ter del učbenika za
srednjo šolo.
V knjigi Atom vodi igru, Školska knji-
ga, Zagreb 1973, je prispeval poglavje Vri-
jeme u specijalnoj teoriji relativnosti. Knjižici Merim platno, trak na vatle
in Prapok prasnov požene v dir mlaǰsim bralcem dajeta pregled čez merje-
nje razdalj in razvoj Vesolja. Knjiga Iz take so snovi kot sanje obravnava
zgradbo snovi, Zgodbe iz fizike pa to, kako fiziki prihajajo do novih spo-
znanj. Knjiga Fiziki. Trinajst portretov je nastala po nizu radijskih oddaj o
življenju pomembneǰsih fizikov. Precej knjig in knjižic je objavil pri Društvu
matematikov, fizikov in astronomov. V Presekovi knjǐznici so izšle knjižice
Začetki sodobne fizike, Relativnost za začetnike, Začetki kvantne fizike, Jožef
Stefan. Ob stopetdesetletnici rojstva in Do Newtonovih zakonov.
V knjižnici Sigma so izšle Kvantna fizika, Relativnost, Posebna teorija
relativnosti, Mala kvantna fizika, Vozi me, avto, v daljave, Svet nihanj in
valovanj, Mala zgodovina vesolja, O poučevanju fizike, 100 let fizike in Mala
zgodovina Dopplerjevega pojava. V Podiplomskem seminarju iz fizike ali
v Izbranih poglavjih iz fizike so izšle knjižice Fazna, skupinska in signalna
hitrost, Poskusi v posebni in splošni teoriji relativnosti, Kvantna fizika za
začetnike, Na pot v kvantno elektrodinamiko, Na pot k Schwarzschildu in
Homogeno gravitacijsko polje. Med posebno in splošno teorijo relativnosti.
Sodeloval je še pri izdaji izpitnih vprašanj in zbirk nalog ter uredil in
prevedel več knjig. Sodeloval je v urednǐskem odboru Proteusa. Sodeloval
je pri Slovarju slovenskega knjǐznega jezika in pri Enciklopediji Slovenije.
26 Obzornik mat. fiz. 63 (2015) 1
i
i
“Mohoric” — 2016/5/12 — 12:15 — page 27 — #3 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
Za svoje delo je dvakrat prejel nagrado Sklada Borisa Kidriča, plaketo
Pavla Grošlja in Levstikovo nagrado. Dobil je tudi več priznanj Društva
matematikov, fizikov in astronomov. Leta 2001 je bil imenovan za častnega
člana društva.
Na Obzorniku pušča neizbrisljiv
pečat. V njem je objavil sko-
raj tristo prispevkov. Bil je član
urednǐskega odbora 1964–1973,
področni urednik 1974–1992, od-
govorni urednik 1974–1976,
1981–1983, 1985–1990 ter glavni
in odgovorni urednik 1977–1980.
Njegovo marljivost, skrom-
nost in pripravljenost na pomoč
bom pogrešal. Kot prijatelj mi
bo ostal v toplem spominu. Kot
urednik sem se lahko vedno za-
nesel na njegovo besedo in plo-
dovitost. Enkrat mi je zaupal,
da slovenske revije izhajajo pre-
počasi za vse, kar lahko napǐse.
Vedno je imel v zalogi kako zani-
mivo besedilo. Pisati je znal za
širšo javnost kot tudi za zelo zahtevne bralce. In to v velikem obsegu. Nje-
gov opus obsega več kot 1700 enot. Med njimi niso le članki, ampak tudi
obsežneǰsa dela. Njegovi učbeniki, še posebej univerzitetni učbeniki fizike,
spadajo med temeljno literaturo študija fizike.
Njegovo delo poznajo tako mlaǰsi kot stareǰsi bralci Obzornika. Prvi
članek je objavil že v letu 1955 in temu je sledilo šestdeset let nepretr-
ganega objavljanja. V prispevkih se je dotikal vseh področij fizike – od
moderne fizike, interpretacij kvantne mehanike, zamotanosti posebne teo-
rije relativnosti, kozmologije prek odkritij na področju osnovnih delcev ter
do zgodovinskega pregleda razvoja znanosti.
Skozi pogovore, ki so se spletali ob tem, ko mi kaj ni bilo jasno in je bil
internet preslab učitelj ali pa je on potreboval kako pomoč pri računalniku,
sem ga spoznaval tudi kot osebo, ne le kot fizika. Skromen, prijazen, marljiv
in razgledan. Čeprav je proti koncu b́ıl naporen boj z boleznijo, se to v
njegovem delu ni kazalo. Še danes je v pripravi kar nekaj besedil, ki jih je
pisal prav do zadnjega dne. Neizbežni konec je sprejel mirno, racionalno,
tako kot je sprejemal naravne zakone. Tudi to je lekcija, ki mi jo je dal in
mi bo ostala v srcu.
Aleš Mohorič
Obzornik mat. fiz. 63 (2015) 1 27
i
i
“Hladnik” — 2016/5/12 — 12:17 — page 28 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
V SPOMIN PROFESORJU JOŽETU GRASSELLIJU1
Profesor Grasselli, rojen 24. novem-
bra 1924, pripada prvi generaciji slo-
venskih matematikov, ki je na filo-
zofski fakulteti v Ljubljani študirala
matematiko takoj po koncu druge
svetovne vojne in je imela kasneje pi-
onirsko vlogo pri njeni uveljavitvi na
slovenskih srednjih šolah in na lju-
bljanski univerzi. Po diplomi leta
1951 je učil na gimnazijah v Mur-
ski Soboti in v Celju, potem pa so
ga leta 1957 povabili za asistenta na
tehnǐsko fakulteto v Ljubljani. Po
enoletnem izpopolnjevanju v tujini v
študijskem letu 1959/60 je leta 1961
doktoriral pri profesorju Ivanu Vi-
davu z disertacijo Sebi adjungirani
elementi v Banachovi algebri brez
enote. Postal je najprej predavatelj,
nato leta 1963 docent, leta 1974 iz-
redni profesor in leta 1980 redni profesor za matematiko. Ves čas je bil
zaposlen na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani,
na kateri se je leta 1991 tudi upokojil.
Po prvem obdobju, v katerem se je ukvarjal s funkcionalno analizo, ta-
krat dokaj novim področjem matematike, je njegova velika ljubezen postala
teorija števil, o kateri je od leta 1966 dalje napisal preceǰsnje število stro-
kovnih člankov v Obzorniku za matematiko in fiziko, po letu 1985 tudi v
Preseku. Predvsem pa je o teoriji števil napisal vrsto temeljnih in nujnih
knjižnih del. Njegova prva knjiga Osnove teorije števil, ki je izšla v zbirki
Sigma leta 1966, je bila predelana leta 1975 in povsem obnovljena leta 2009 s
spremenjenim naslovom Elementarna teorija števil. V osemdesetih in devet-
desetih letih so v zbirki Matematika-fizika izšla njegova Algebraična števila
(1983), v zbirki Sigma pa Diofantske enačbe (1984) in Diofantski priblǐzki
(1992). Leta 2008 je matematično javnost še enkrat presenetil z obsežnim in
v slovenski matematični literaturi edinstvenim delom Enciklopedija števil, v
katerem je na skoraj 700 straneh matematično obrazložil več kot 160 gesel.
S članki in knjigami je teorijo števil populariziral kot le redkokateri slovenski
1Povzeto po govoru na pogrebu.
28 Obzornik mat. fiz. 63 (2015) 1
i
i
“Hladnik” — 2016/5/12 — 12:17 — page 29 — #2 i
i
i
i
i
i
V spomin profesorju Jožetu Grasselliju
matematik svojo disciplino. Iz njegovih knjig smo se je učili tako študentje
matematike kot tudi vsi drugi, ki so jo pri svojem delu potrebovali.
Profesor Grasselli je bil matematično aktiven še v visoki starosti. S
svojim nekdanjim mentorjem in kasneǰsim kolegom profesorjem Vidavom sta
še pred nekaj leti večkrat razpravljala in skupaj premǐsljevala o matematiki.
Občasno je tudi obiskoval matematično knjižnico in se zanimal za novosti
iz teorije števil.
Vrsto let je predaval osnovno matematiko kemikom in kemijskim tehno-
logom, pogosto tudi tekstilcem, farmacevtom in gradbenikom ter še komu.
Poleg formul, definicij in izrekov je bodoče inženirje učil predvsem mate-
matičnega razmǐsljanja in natančne formulacije problemov, ki se pojavljajo
v tehnǐskih strokah. Pri njegovih predavanjih so mnogi prvič spoznali vre-
dnost matematične eksaktnosti, ki je podlaga naravoslovnim in tehnǐskim
vedam. Številnim generacijam slušateljev je ostal v spominu kot strog, a
izredno korekten in pošten učitelj ter kot odličen predavatelj. Študente
matematike pa je v osemdesetih letih in tudi še nekaj let po upokojitvi učil
linearne in abstraktne algebre. Poglavje o linearni algebri, ki ga je napisal za
Vǐsjo matematiko II, je študentom še danes koristen študijski pripomoček.
Večkrat je tudi vodil seminarje ter na podiplomskem študiju za pedagoge
predaval različna poglavja iz teorije števil. V tem obdobju je bil priljubljen
mentor skoraj štiridesetim diplomantom matematike.
Prispeval je tudi k delu in razvoju matematične skupnosti na ljubljanski
univerzi; od 1969 do 1971 je bil predstojnik matematično-fizikalnega od-
delka, prej in potem nekaj let njegov namestnik, kasneje pa je imel vrsto
drugih, manj pomembnih funkcij. Prav tako je bil aktiven v društvenem
življenju, kjer je že konec petdesetih let sodeloval pri izvedbi matematičnih
krožkov, predavanj in tekmovanj za srednješolce ter bil tajnik društva. Ka-
sneje je večkrat predaval tudi na društvenih seminarjih za učitelje. Funkcijo
predsednika DMFA Slovenije je opravljal v letih 1967 do 1970, potem pa
bil konec sedemdesetih let član nadzornega odbora. Leta 1994 je bil zaradi
zaslug izbran za častnega člana društva.
Tako kot redno delo univerzitetnega učitelja je tudi vse svoje dodatne
dolžnosti, celo najvǐsje, opravljal vestno in z veliko mero odgovornosti, če-
prav se ni nikoli rad silil v ospredje. Med kolegi in sodelavci je bila poleg
bogatega znanja teorije števil cenjena zlasti njegova neverjetna delavnost,
skromnost, vljudnost in nevsiljiva prijaznost. Bil je tiste vrste dragoceni
sodelavec, brez katerih noben sistem ne more dobro delovati. Bil je profesor
stare šole v najbolǰsem pomenu besede.
Hvala mu za vse, kar je dobrega storil za slovensko matematiko!
Milan Hladnik
Obzornik mat. fiz. 63 (2015) 1 29
i
i
“Golli” — 2016/5/12 — 12:17 — page 30 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
PROFESOR MITJA ROSINA – OSEMDESETLETNIK
Že nekaj mesecev je minilo od 80. roj-
stnega dneva profesorja Mitje Rosina,
enega najbolj zavzetih fizikov v slo-
venskem prostoru. Težko bi našli fi-
zika, ki lahko poveže toliko stvari okoli
nas s fiziko. Ta okrogla obletnica je
primerna, da si ogledamo njegove pri-
spevke.
Rodil se je 3. maja 1935 v Lju-
bljani. Po diplomi iz tehnǐske fizike
leta 1959 se je najprej zaposlil na In-
stitutu Jožef Stefan in nato kot asi-
stent na Katedri za fiziko Fakultete
za naravoslovje in tehnologijo. Ra-
ziskovalno delo je nadaljeval na Insti-
tutu Jožef Stefan. Doktoriral je leta 1964 z disertacijo Dipolno stanje pri
nesferičnih jedrih. Raziskovalno je ostal zvest jedrski fiziki vse do danes.
Leta 1965 je bil izvoljen za docenta in nato za izrednega profesorja leta
1971. Za rednega profesorja je bil izvoljen leta 1977. Leta 2001 je postal
zaslužni profesor na ljubljanski univerzi.
Profesor Rosina je bil na številnih izpopolnjevanjih in gostovanjih na
tujih univerzah in inštitutih: na univerzi v Brightonu (VB), na univerzi v
Seattlu (ZDA) kot gostujoči docent, na univerzi v Kingstonu (Kanada), na
Inštitutu Maxa Plancka v Heidelbergu, na univerzi v Coimbri (Portugalska),
na jedrskih inštitutih v Molu (Belgija) in Krakovu (Poljska), na univerzi v
Davisu (ZDA) kot distinguished visiting professor , na univerzi v Antwer-
pnu, v mednarodnem centru za teoretsko fiziko v Trstu, če naštejemo le
najvažneǰsa. Ta sodelovanja kažejo na njegovo izjemno komunikativnost.
Nova znanja, ki jih je prinesel domov, je uspešno delil med svoje ljubljanske
sodelavce.
Dodiplomcem je predaval predvsem Jedro in osnovne delce. Predmet je
zastavil kot osnovni predmet za splošno izobrazbo vseh fizikov, kot utrditev
razumevanja kvantne fizike in problema več teles in kot osnovo za razu-
mevanje jedrskih meritev. Kot tak je predmet preživel razne reforme in si
utrl pot v tradicionalni repertoar študija fizike pri nas. Predmet je bil pri
študentih priljubljen in pri domačih nalogah so radi in uspešno sodelovali,
saj so bili problemi izvirni in zanimivi, profesor Rosina pa jim je posvetil
30 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Golli” — 2016/5/12 — 12:17 — page 31 — #2 i
i
i
i
i
i
Profesor Mitja Rosina – osemdesetletnik
veliko časa za poglobitev razumevanja. Občasno je predaval tudi Kvantno
mehaniko, Fiziko 1, Toploto, Elektromagnetno polje in Optiko.
Podiplomcem je predaval Teorijo osnovnih delcev in jedra in jo zasta-
vil dovolj široko, da so predavanja služila slušateljem atomske, jedrske in
delčne fizike. Predaval jim je tudi Vǐsjo kvantno mehaniko, ki jo je napravil
privlačno in razumljivo za vse, zlasti uvod v Feynmanove grafe, tako da je
večina študentov prǐsla na izpit takoj po predavanjih. Napisana skripta so
bila primeren poenostavljen uvod v teorijo polja. Podiplomce pedagoge je
vpeljal v Fiziko delcev in snovi. Večkrat je predaval učiteljem fizike v okviru
stalnega strokovnega izpopolnjevanja.
Bil je mentor 14 diplomantom, 5 magistrandom in 5 doktorandom. Na-
pisal je več učbenikov: Jedrska fizika (1969, 1977, 1981), Vǐsja kvantna
mehanika (1995) ter pri založbi Springer skupaj s profesorjem Bogdanom
Povhom iz Heidelberga Streuung und Strukturen (2002) in angleško verzijo
Scattering and Structures (2005).
V več kot 50 letih delovanja na področju jedrske fizike in fizike delcev
je profesor Rosina opravil vrsto zanimivih raziskav. V teoretični jedrski fi-
ziki je raziskoval strukturo lahkih jeder in kolektivna vzbujanja jeder zlasti
pri fotonuklearnih reakcijah. Razširil je metodo vzbujanja delec-vrzel s pri-
mesmi dveh delcev in dveh vrzeli in tako rešil problem strukture dipolne
veleresonance. Reševal je konceptualne probleme za razumevanje in prikaz
kolektivnih stanj, kvantnomehanskih tokovnic pri vrtečih se jedrih in kohe-
rentnih rotacijskih stanj jeder in molekul. Soustvarjal je nove metode za
reševanje problema več teles: variacijski račun gostotne matrike – njegovo
ime nosi sklop izrekov o pogojih, ki jim morajo zadostiti gostotne matrike
–, metodo rodovne koordinate za jedrske spektre in za trke nukleona na nu-
kleonu v modelu s kvarki, projekcijo dobrih kvantnih števil za deformirana
jedra in za mezonski oblak v nukleonu.
V teoriji osnovnih delcev je raziskoval sisteme kvarkov: efektivno silo
med kvarki, jedrsko silo kot residualno silo med gručami kvarkov, reso-
nančna stanja dveh barionov, mezonski oblak v nukleonu, vzbujena stanja
mezonov in vezane sisteme dveh mezonov. Poudariti velja pionirsko delo,
ki ga je opravil skupaj s sodelavci pri študiju jedrske sile, ki je posledica
barvne sile med kvarki iz obeh gruč, ki tvorita nukleone. To delo je vo-
dilo do prvih uspešnih predlogov za opis dibarionskih resonanc, ki jih lahko
tvorita gruči kvarkov. V modelu je uspešno napovedal lego dibarionskih re-
sonanc, ki nastanejo pri trkih devterona na atomskih jedrih. Nadaljevanje
dela je vodilo do študija vloge mezonskega oblaka v nukleonu pri statičnih
in dinamičnih lastnostih nukleona. Njegova zasluga je vpeljava metode za
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1 31
i
i
“Golli” — 2016/5/12 — 12:17 — page 32 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
projekcijo dobrih kvantnih števil pri variacijskem računu strukture nukle-
ona. Skrbno je študiral uporabnost in konsistentnost različnih modelov za
opis hadronov kot gruče kvarkov, oblaka kvarkov in antikvarkov ter gluon-
skega oblaka. Raziskoval je povezavo modelov s kromodinamskimi izračuni
na mreži ter fazni prehod med jedrsko snovjo in kvarkovskim plinom. Po-
zornost je posvetil konkretnim napovedim, kot so število pionov v nukleonu,
naravi mezona sigma ter vezanemu stanju dveh težkih mezonov. Večinoma
v soavtorstvu je predvsem v tujem tisku objavil 55 znanstvenih člankov, 56
objavljenih referatov in predavanj ter 24 strokovnih člankov.
Profesor Rosina je bil tudi med organizatorji številnih znanstvenih sre-
čanj, od mednarodnih letnih šol iz fizike v Hercegnovem na začetku kariere,
letnih srečanj jedrskih fizikov Jugoslavije, pa tja do petih mednarodnih znan-
stvenih srečanj doma in dveh na Mednarodnem centru za teoretično fiziko
v Trstu. Profesor Rosina je spiritus movens mednarodne znanstvene delav-
nice iz hadronske fizike, ki od leta 1999 vsako poletje poteka v Plemljevi
hǐsi na Bledu. Zavzeto skrbi tako za strokovni program kot za raznovrstne
spremljevalne kulturne in športne dejavnosti, ki prispevajo k ustvarjalnemu
in sproščenemu ozračju na srečanjih in dodatno utrjujejo vezi med razisko-
valci z vseh koncev sveta. Bil je tudi pobudnik in sedaj sourednik zbornika
prispevkov udeležencev Blejske delavnice iz fizike, ki jo izdaja DMFA – zalo-
žnǐstvo. Naj omenimo še vrsto uspelih obiskov slovenskih naravoslovcev pri
fizikalnih ustanovah v sosednjih državah, ki jih še vedno skrbno organizira
profesor Rosina skoraj vsako leto.
Pri vsem svojem delu je našel čas, da je pripravil predavanja iz zanimivih
fizikalnih tem za profesorje fizike na srednjih šolah, pa tudi za dijake na
poletnih šolah mladih fizikov. Mladim je namenil vrsto zanimivih fizikalnih
novosti, ki so izhajale v rubriki Igre narave v Obzorniku za matematiko in
fiziko. Še vedno organizira opazovanja sončnega mrka, kadar in kjer ga je le
mogoče dobro opazovati. Oddaljenost od Ljubljane pri tem skoraj ni ovira.
Za svoje delo je dobil profesor Rosina več priznanj in nagrad. Že kot
študent je prejel Prešernovo nagrado za študente 1957 in 1960 za diplomsko
delo. Leta 1960 je dobil nagrado Borisa Kidriča (predhodnica Zoisove na-
grade) za skupinsko delo Meritev totalne fotonuklearne absorpcije v Al, Si,
S, P in Cs, s sodelavci leta 1974 nagrado Sklada Borisa Kidriča za uspe-
šne raziskave problema več teles v jedrski fiziki z naslovom Nov pristop h
kolektivnim stanjem preko stanj delec-luknja in razvoj metode rodovnih ko-
ordinat in še enkrat leta 1983 s sodelavci nagrado Sklada Borisa Kidriča
za delo Raziskave interakcije med nukleonoma in dibarionske resonance v
kvarkovskem modelu.
32 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Golli” — 2016/5/12 — 12:17 — page 33 — #4 i
i
i
i
i
i
Profesor Mitja Rosina – osemdesetletnik
Vedno je imel smisel za timsko delo in uvajanje mladih v težavno pro-
blematiko. Pri tem je zlasti poudarjal potrebo po kombinaciji shematskih
modelov, pomembnih za razumevanje problema, in podrobnih računov, ki
omogočajo primerjavo s fenomenološkimi pristopi. Pri sodelovanju s tujimi
skupinami je zlasti poudarjal potrebo po interdisciplinarnosti in po primer-
javi različnih inačic modelov.
Ne nazadnje bodi omenjeno tudi požrtvovalno delo profesorja Rosine v
Društvu matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. Gotovo je on tisti
fizik med nami, ki najbolje povezuje fizike z matematiki in astronomi. Dolga
leta je član nadzornega odbora društva in zastopnik fizikov pri Evropskem
fizikalnem društvu. V letih 1987–1990 pa je bil predsednik društva.
Sedaj je član urednǐskega odbora revije National Geographic Slovenija
za področje fizike in je na voljo za posvetovanje o člankih.
Naj zapǐsemo, da je Mitja Rosina raziskovalec, profesor in človek v naj-
bolj žlahtnem pomenu besede. Zaželimo mu še naprej uspešno in prijetno
življenjsko pot ob dobrem zdravju!
Zvonko Trontelj in Bojan Golli
OBVESTILO
V Obzornik za matematiko in fiziko, letnik 49, št. 2, str. 62–63, in na domači
strani DMFA http://www.dmfa.si/pravilniki/Pravilnik_Drustvena
Priznanja.html je objavljen Pravilnik o podeljevanju društvenih priznanj.
Vabimo vas, da pisne predloge (z utemeljitvami) v skladu s tem pra-
vilnikom za letošnja priznanja pošljete do 15. septembra 2016 na na-
slov: DMFA Slovenije, Komisija za društvena priznanja, Jadran-
ska ul. 19, 1000 Ljubljana.
Predsednik DMFA Slovenije: prof. dr. Matej Brešar
VABILO
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije in Fakulteta za nara-
voslovje in matematiko v Mariboru vabita na strokovno srečanje in 68. občni
zbor, ki bosta 14. in 15. oktobra 2016 na Fakulteti za naravoslovje in mate-
matiko v Mariboru.
Urnik in povzetki predavanj bodo objavljeni na spletni strani društva:
www.dmfa.si v začetku septembra. Vljudno vabljeni.
Predsednik DMFA Slovenije: prof. dr. Matej Brešar
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1 33
i
i
“Kozarski” — 2016/5/11 — 7:35 — page 34 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
STROKOVNI SEMINAR DELO Z MATEMATIČNO
NADARJENIMI UČENCI
DMFA Slovenije je 5. in 6. februarja na Pedagoški fakulteti v Ljubljani
organiziralo seminar z naslovom Delo z matematično nadarjenimi učenci.
Seminarja se je udeležilo 65 večinoma osnovnošolskih učiteljev matematike,
ki so prisluhnili 11 predavateljem različnih profilov in ustanov. Vse pred-
stavitve, predavanja ali delavnice so bile zanimive in poučne.
Prvo predavanje z naslovom Matematični dokaz kot izziv za nadarjene
osnovnošolce je pripravil dr. Zlatan Magajna, docent za didaktiko mate-
matike in elementarno matematiko na Pedagoški fakulteti UL. Dotaknil se
je treh vidikov uvajanja dokazovanja in poudaril, da naj učenci sami začu-
tijo potrebo po prepričljivem utemeljevanju pri pouku matematike. Zato je
nujno izbrati učne vsebine in zglede, ki so za uvajanje učencev v tak način
razmǐsljanja primerni, na primer na področju geometrije.
O dokazovanju v geometriji je predaval tudi mag. Milan Mitrović, učitelj
matematike na OŠ Sava Kladnika Sevnica, ki z obsežnim znanjem geometrije
pogosto pomaga srednješolcem pri pripravah na matematična tekmovanja.
Predstavil je šest različnih dokazov Pitagorovega izreka, primernih za razu-
mevanje na nivoju osnovnošolske matematike.
Na seminarju so kot predavateljice sodelovale tudi učiteljice z bogatimi
izkušnjami in prakso iz osnovne šole. Prva med njimi je bila ga. Katja Kme-
tec, učiteljica matematike na OŠ Brinje Grosuplje, ki je na seminar pripeljala
nekaj svojih učencev, da so za udeležence skupaj izpeljali delavnico Mate-
matični triki in čarovnije. Triki so zanimivi vsem učencem, nadarjenim pa
ravno njihovo razkrinkanje pomeni izziv. Prisotni učenci so predstavili ne-
kaj zabavnih trikov, ki se jih da pojasniti z osnovnošolsko matematiko, in
navdušili udeležence.
Dr. Lucija Željko, učiteljica matematike na OŠ Sostro in doktorica na
področju razvojne psihologije, je predstavila Izkušnje z akceleracijo mate-
matično nadarjenih osnovnošolcev. Kadar se matematično nadarjenost pri
otrocih opazi že v zgodnjih letih, je takim učencem treba omogočiti učenje s
hitreǰsim tempom. V kakšni obliki bo izvedeno, pa je odvisno tudi od soci-
alnih dejavnikov in ne zgolj od učenčevih intelektualnih sposobnosti. Poleg
teoretične in pravne podlage je bilo predstavljenih tudi nekaj načinov dela
iz prakse. Med naloge, ki jih zlahka reši nadarjen tretješolec, sodi denimo
preštevanje vseh kvadratov na šahovnici.
Še nekaj idej za delo z nadarjenimi matematiki je v prispevku z naslovom
34 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Kozarski” — 2016/5/11 — 7:35 — page 35 — #2 i
i
i
i
i
i
Strokovni seminar Delo z matematično nadarjenimi učenci
Ustvarjalnost in sodelovanje tlakujeta pot do raziskovalne naloge predstavila
ga. Vesna Harej, učiteljica matematike in fizike na OŠ Dravlje, ki poleg po-
učevanja v razredu vodi tudi matematične tabore in je že vrsto let uspešna
mentorica mladim raziskovalcem, ki s svojimi raziskovalnimi nalogami za-
sedajo najvǐsja mesta na državnem nivoju. Pri pisanju raziskovalnih nalog
učenci pridobijo tudi mnogo drugih veščin, kot na primer jasno izražanje
svojega mnenja ali učinkovito predstavitev svojega znanja. Doslej so učenci
pod njenim mentorstvom raziskovali vsebine iz verižnih ulomkov, krivulj,
tlakovanj ravnine, trikotnǐskih števil, poliedrov in še marsičesa.
Za širjenje obzorja na področju poliedrov je na seminarju poskrbel dr.
Izidor Hafner. Njegova delavnica Poliedrski izzivi je bila postavljena kot
neke vrste razstava, kjer so si udeleženci lahko ogledali modele raznih poli-
edrov, jih otipali ali celo sestavili in poskušali rešiti zastavljene izzive.
Delavnica Metoda Lajosa Pósa in raziskovalno učenje za nadarjene je
bila izvedena v dveh delih in je potekala v angleškem jeziku. Vodil jo je dr.
Peter Juhász, raziskovalni sodelavec na Inštitutu za matematiko A. Renyi in
učitelj matematike na šoli Sz. István v Budimpešti, sicer pa tudi organizator
matematičnih taborov za nadarjene. Predstavil je metodo za samostojno od-
krivanje matematičnih konceptov in razvijanje matematičnega razmǐsljanja
ob ustrezno izbranih nalogah, ki jo je utemeljil znameniti Erdösev učenec
Lajos Pósa. Zastavil je po več nalog hkrati in povedal, da uspešni reševalci
ne smejo drugim izdati rešitve, za ustvarjalnost pa je nujno tudi to, da po-
leg nalog iz izbranega področja vedno zastavimo še nekaj povsem drugačnih
primerov. Problemi so se stopnjevali od lažjih k vse bolj zahtevnim ali pa
so s posplošitvijo naenkrat postali lažji. Bi znali na primer med šestimi na
videz enakimi utežmi samo z dvema tehtanjema poiskati utež, ki je malce
težja od drugih petih, če imate na voljo ravnovesno tehtnico? Koliko največ
pa je lahko vseh uteži, da bi še vedno zagotovo našli težjo utež samo z dvema
tehtanjema?
Še ena delavnica, kjer so udeleženci prav tako aktivno sodelovali in si
belili glave z raznovrstnimi problemi, je bila delavnica Nerešeni matematični
problemi za osnovnošolce. Kako ironično, kajne? Delavnico je pripravil dr.
Boštjan Kuzman, zaposlen na Pedagoški fakulteti UL ter na Inštitutu za
matematiko, fiziko in mehaniko. Med učitelji je poznan tudi kot aktiven
in prizadeven promotor matematike med mladimi. Udeležence je spomnil
na nekaj bolj znanih nerešenih problemov v matematiki in predstavil nekaj
takih, ki so manj znani, a so primerni tudi za osnovnošolce. Poskusite
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1 35
i
i
“Kozarski” — 2016/5/11 — 7:35 — page 36 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 1. Dr. Juhász je predstavil principe dela z nadarjenimi učenci. (Foto: Lucija
Žnidarič)
razporediti števila od 1 do 8 v dva klobuka tako, da za vsako število v
posameznem klobuku velja, da ni vsota dveh drugih števil iz istega klobuka.
Bi znali tako razporediti tudi števila od 1 do 9? Ne skrbite, slednje ne
gre. Za 5 ali več klobukov pa sploh ni znano, koliko največ števil lahko
razporedimo na tak način.
Matematično zelo poglobljeno je bilo predavanje Tlakovanje s kvadrati
dr. Milana Hladnika, upokojenega profesorja Fakultete za matematiko in
fiziko UL. Predstavil je znameniti problem tlakovanja pravokotnikov in rav-
nine z enako velikimi ali morda s samimi različnimi kvadrati ter številne
zanimive rezultate različnih matematikov s tega področja. Bi znali kvadrat
razdeliti na 9 med seboj različnih kvadratov? Kakšna je v tem primeru
stranica največjega kvadrata? Obravnava problema je segala od sistema
linearnih enačb do teorije grafov in analogij iz fizike.
Da pa je bil seminar kar se da pester, niso predavali samo matematiki. O
vzgoji nadarjenih otrok je govoril tudi specialni pedagog g. Marko Juhant,
poznan tudi po predavanjih za starše in priročnikih za vzgojo. Poudaril
je pomen mentorja in preveliko vmešavanje staršev, ki se pogosto odločajo
36 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Kozarski” — 2016/5/11 — 7:35 — page 37 — #4 i
i
i
i
i
i
Strokovni seminar Delo z matematično nadarjenimi učenci
Slika 2. Dr. Hladnik je razlagal o tlakovanju pravokotnika s kvadrati. (Foto: Lucija
Žnidarič)
namesto svojih otrok. Menil je, da morajo nadarjeni dobiti dovolj zahtevne
izzive in da težavnosti ne smemo zamenjati s količino, saj to vodi v izgubo
motivacije in dolgočasje.
Za konec omenimo še prispevek dr. Marinke Žitnik, uspešne raziskovalke
v Laboratoriju za bioinformatiko na Fakulteti za računalnǐstvo in informa-
tiko UL. Njen prispevek z naslovom Mladi talenti po poti matematike in
računalnǐstva je pravzaprav povzemal njeno zgodbo in predstavil nadaljnje
možnosti sposobnih mladih talentov. Tudi ona je poudarila, da sta na poti
do uspeha potrebna lastna volja in želja po učenju ter srečanje pravih men-
torjev na pravih mestih, ki te znajo usmeriti naprej in ti pokazati nadaljnjo
pot.
Povzetek o seminarju bi sklenila z mislijo, da je bilo prav vsako preda-
vanje po svoje zanimivo in je prispevalo svoj delček k popolni celoti. Tudi
organizacija seminarja je bila na visoki ravni in ne dvomim, da bomo v
prihodnje deležni še več podobnih dogodkov.
Lara Kozarski
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1 37
i
i
“Kovic” — 2016/5/11 — 7:38 — page 38 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Miklós Bóna, A Walk Through Combinatorics, World Scientific
Publishing Co. Ptc. Ltd. 2013, 550 strani.
Učbenikov kombinatorike je, tako kot to da-
nes velja že skoraj za vsako področje ma-
tematike, zelo veliko, in čeprav dostikrat
obravnavajo zelo podobne teme, niso vsi
enako zanimivi in vredni pozornega branja.
Knjiga »Sprehod po kombinatoriki« s pod-
naslovom Uvod v preštevanje in teorijo gra-
fov je bila od prve izdaje 2011 že dvakrat
ponatisnjena, kar samo po sebi zgovorno
priča o njeni uporabnosti pri pouku kom-
binatorike. K njenemu uspehu je zagotovo
pripomoglo več dejavnikov, od katerih je
morda najpomembneǰsi posrečena kombina-
cija strokovnosti in berljivosti oziroma lepo
uravnotežena tehtnost vsebine in zanimi-
vost idejne, jezikovne in slikovne prezenta-
cije obravnavane tematike, pri kateri teorijo
(definicije, izreke, dokaze, formule, metode,
itd.) lepo dopolnjujejo številni primeri in naloge, ki kažejo, kako na kom-
binatorične probleme pogosto naletimo ne le v matematiki, ampak tudi v
vsakdanjem življenju.
Vsako od 20 poglavij se začne z duhovitim naslovom, ki gre v srž dolo-
čene teme, npr.: 1. poglavje: Sedem je več kot šest. Dirichletovo načelo, 2.
poglavje: En korak naenkrat. Metoda matematične indukcije, 8. poglavje:
Funkcija je vredna veliko števil. Rodovne funkcije, 16. poglavje: Vsaj ne-
kaj reda. Delne urejenosti in mreže, 19. poglavje: Čim prej, tem bolje.
Kombinatorični algoritmi, itd.
Na kratko preletimo vsebino posameznih poglavij.
Knjiga se začne z obravnavo Dirichletovega načela, za katerega avtor
pravi, da uteleša eno od najprivlačneǰsih lastnosti kombinatorike, in sicer
možnost, da dobimo zelo močne rezultate z zelo preprostimi sredstvi. Primer
uporabe tega načela je dokaz (s protislovjem!) presenetljive trditve, da je
imel vsak danes živeči človek v obdobju zadnjih 1000 let nekega prednika
A, za katerega je obstajala neka oseba P, ki je bila hkrati prednik tako očeta
kot mame osebe A. Primer zanimive naloge s tega področja pa je npr. tale:
38 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Kovic” — 2016/5/11 — 7:38 — page 39 — #2 i
i
i
i
i
i
A Walk Through Combinatorics
»Na našem dvorǐsču so štirje kupi kamenja. Kamne preložimo na pet kupov.
Dokaži, da sta vsaj dva kamna na manǰsem kupu kot prej.«
V drugem poglavju, posvečenem matematični indukciji, so zanimive
predvsem naloge s področja t. i. močne indukcije, kjer pri dokazu indukcij-
skega koraka oziroma veljavnosti trditve pri n+ 1 upoštevamo njeno veljav-
nost pri vseh številih 1, 2, . . . , n. Preprost primer uporabe tega algoritma
je naslednja naloga: »Naj bo f(0) = 1, f(1) = 2, in naj bo f(n + 1) =
f(n− 1) + 2f(n), če je n ≥ 1. Pokaži, da je potem f(n) ≤ 3n.«
Bralce, ki so se v srednji šoli mučili z različnimi formulami za prešte-
vanje, bo razveselila tabela v 3. poglavju, v kateri so lepo urejene formule
za permutacije, kombinacije in variacije. A ko že mislǐs, da ti je končno
vse jasno, že trenutek zatem v grozi spoznaš, da si v svojem učenju že spet
na začetku (tipična frustracija v matematiki na vseh nivojih!), ko ti avtor
zastavi nalogo: poǐsči število H3(r) vseh magičnih kvadratov 3 × 3 z vsoto
elementov v vsaki vrstici in stolpcu enako r oziroma (kot da bi to bilo kaj
bistveno lažje!) dokaži, da je to število enako vsoti nekih treh binomskih
simbolov!
Kdor se vseeno prebije do četrtega poglavja, je za svoj trud bogato
nagrajen, saj tam najde binomski izrek in podobne identitete, katerih dokazi
so, kot pravi avtor, morda še pomembneǰsi kot identitete same, v katerih
leva in desna stran enačbe pomenita dva različna načina, na katera lahko
preštejemo isto množico objektov; prav o takšne vrste argumentu sanjajo
kombinatoriki, ko dokazujejo razne identitete. Bralca, ki pozna binomski
izrek, bo zagotovo navdušila njegova posplošitev: multinomski izrek, pa
tudi posplošitev binomskega izreka za izraz (1 + x)m, kjer je m poljubno
realno število.
Peto poglavje, posvečeno particijam, se začne s problemom, na koliko
načinov lahko razdelimo 20 žog 4 otrokom. Potem spoznamo Ferrerjeve
diagrame (ki jim drugi avtorji pravijo tudi Youngovi tableauxi), nazoren
način za predstavitev particij. S preprostim trikom zrcaljenja teh diagramov
prek glavne diagonale zlahka vidimo, da je število particij števila n v največ
k delov enako številu particij števila n v dele, ki niso večji od k. Pregledna
tabela s formulami olaǰsa spoznavanje različnih vrst enumeracij in olaǰsa
reševanje ustreznih nalog.
V šestem poglavju so obravnavane permutacije kot funkcije, to pa omo-
goča preučevanje ciklov v njih. Spoznamo tudi Stirlingova števila prve in
druge vrste.
Sedmo poglavje je posvečeno pravilu vključitve in izključitve, z upo-
rabo katerega lahko rešimo znani problem, na koliko načinov lahko n go-
stov po zabavi v temi izbere napačen klobuk oziroma koliko je permuta-
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1 39
i
i
“Kovic” — 2016/5/11 — 7:38 — page 40 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
cij n elementov brez fiksnih točk; za to število D(n) dobimo lepo formulo
D(n) = Σni=0(−1)i n!i! .
Osmo poglavje predstavi eno najmočneǰsih orodij enumerativne kombi-
natorike: tehniko rodovnih funkcij (ki jo je med prvimi uporabljal že Eu-
ler!). Rodovna funkcija zaporedja a0, a1, a2, . . . je formalna potenčna vrsta
G(x) = Σ∞n=0anx
n. Če so členi zaporedja podani z začetnim členom in
neko rekurzivno enačbo, npr. a0 = 50, an+1 = 4an − 100, potem lahko tako
enačbo pomnožimo z xn+1 in seštejemo, kar nam da neko enačbo za rodovno
funkcijo, v gornjem konkretnem primeru dobimo G(x)−a0 = 4xG(x)− 100x1−x
oziroma G(x) = a01−4x−
100x
(1−x)(1−4x) , od koder po razcepu na parcialne ulomke
dobimo koeficient pri xn, v konkretnem primeru an = 50 · 4n − 100 · (4
n−1)
3 .
V devetem poglavju spoznamo osnove teorije grafov le toliko, kolikor je
potrebujemo za nekatere preproste kombinatorične probleme.
V desetem poglavju najdemo nekaj dokazov Cayleyeve formule, da je
število dreves na n vozlǐsčih v1, v2, . . . , vn enako n
n−2. V enem od dokazov
odigra pomembno vlogo (n − 1) × (n − 1) matrika L0, katere elementi li,j
imajo vrednost stopnje vi, če je i = j, vrednost −1, če je i 6= j in sta vozlǐsči
vi in vj povezani, ter vrednost 0 sicer, kjer je 1 ≤ i, j ≤ n. Izkaže se, da je
število vpetih dreves polnega grafa na n vozlǐsčih Kn enako det L0 = n
n−2.
Enajsto poglavje lepo ponazori problem barvanja vozlǐsč grafa s prime-
rom iz vsakdanjega življenja, kjer telefonska družba načrtuje gradnjo oddaj-
nikov, kjer morata vsaka dva, ki sta si bliže od 50 milj, delovati na različnih
frekvencah. Spoznamo pojem kromatičnega števila in dvodelnih grafov (ti
imajo kromatično število 2) ter pojem prirejanja.
Dvanajsto poglavje obravnava planarne grafe, Eulerjevo poliedrsko for-
mulo in Spernerjevo lemo.
Trinajsto poglavje predstavi osnove Ramseyjeve teorije, ki se je začela
s preprostim opažanjem, da so v množici šestih ljudi vselej trije, ki se med
seboj vsi poznajo, ali pa trije, ki se med seboj ne poznajo. Določitev Ram-
seyjevih števil R(k, l), to je minimalnih števil, za katera velja, da če pobar-
vamo vsako od povezav polnega grafa Kn z rdečo ali modro barvo, potem
je v tem grafu neki monokromatski podgraf Kk s samimi rdečimi poveza-
vami ali neki monokromatski podgraf Kl s samimi modrimi povezavami, je
v splošnem precej težek problem. Eksistenca teh števil je sicer zagotovljena
(pri pogoju k, l ≥ 2), niso pa znana niti za nekatere pare majhnih števil
k, l. Vseeno pa se da iz rekurzivne zveze R(k, l) ≤ R(k, l − 1) + R(k − 1, l)
izpeljati npr. oceno za simetrična Ramseyjeva števila R(k, k) ≤ 4k−1.
V štirinajstem poglavju je obravnavan problem števila permutacij Sn(q)
dolžine n brez določenih vzorcev, npr. brez vzorcev tipa q = 132 (kjer je
prvi element manǰsi od tretjega, ta pa manǰsi od drugega). Dokazane so
40 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Kovic” — 2016/5/11 — 7:38 — page 41 — #4 i
i
i
i
i
i
A walk Through Combinatorics
zveze, kot npr. Sn(1342) < Sn(1234) < Sn(1324) (za n > 4).
Petnajsto poglavje prikaže presenetljivo uslugo, ki jo lahko kombinato-
riki naredi verjetnostni račun: tako npr. za simetrična Ramseyjeva števila
dobimo spodnjo mejo R(k, k) > 2k/2 s pomočjo naslednjega preprostega
trika: pred barvanjem vsake od povezav polnega grafa Kn z modro in rdečo
barvo mečemo kovanec, ki odloči o rdeči oziroma modri barvi povezave.
Izkaže se, da je verjetnost p dogodka, da ne dobimo nobenega monokro-
matskega Kk podgrafa, večja kot nič, kar pomeni, da obstaja vsaj en tak
monokromatski podgraf. Podrobneǰsa analiza nam po nekaj vrsticah raču-
nanja da omenjeno spodnjo mejo za R(k, k).
Šestnajsto poglavje obravnava delne urejenosti in mreže in vpelje razme-
roma zahteven pojem Möbiusove funkcije delne urejenosti ter z njo povezane
Möbiusove formule inverzije. Za mreže obstajajo preprosteǰsi načini raču-
nanja te funkcije.
Sedemnajsto poglavje obravnava blok dizajne, uporabne npr. pri pro-
blemu odpravljanja napak pri kodiranju.
Osemnajsto poglavje prešteva neoznačene strukture (npr. drevesa z ne-
označenimi vozlǐsči), pri čemer si pri preštevanju pomaga z grupo simetrij
danega objekta.
Devetnajsto poglavje se namesto problemu, na koliko načinov lahko
opravimo neko delo, posveča vprašanju, kako to narediti čim hitreje. Obrav-
nava nekaj osnovnih kombinatoričnih algoritmov, kot so npr. algoritmi sor-
tiranja (BubbleSort, MergeSort) in algoritmi na grafih (najceneǰsa vpeta
drevesa, problem najkraǰsih poti).
Dvajseto poglavje se dotakne problema računske kompleksnosti algorit-
mov, Turingovega stroja in temeljnega problema P = NP?
Knjiga, pospremljena z izdatno bibliografijo, zainteresiranega bralca v
vsakem poglavju posebej napoti k avtorjem, ki so pomembno prispevali
k danemu področju. Težavnostni razpon nalog tako sega od preprostih,
namenjenih le temu, da se pobliže seznanimo z definicijami, do zahtevneǰsih
na samem robu trenutno znanega.
Tudi morebitni podrobneǰsi študij knjige »Sprehod po kombinatoriki« bo
zagotovo, kot pravi avtor v predgovoru, bralca prepričal, da je raziskovanje,
poučevanje in učenje kombinatorike vselej zabavno. Ker tega ni mogoče reči
prav za vse matematične discipline, pa tudi ne za vse knjige o kombinatoriki,
je izbira gornje knjige kot enega od možnih uvodov v kasneǰsi resneǰsi študij
kombinatorike dobra izbira čtiva za vse, ki jih zanima diskretna matematika
in bi o njej radi izvedeli kaj več!
Jurij Kovič
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1 III
i
i
“kolofon” — 2016/5/12 — 12:18 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JANUAR 2016
Letnik 63, številka 1
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Obtežena povprečja in paradoks prijateljstva
(Brigita Ferčec in Niko Tratnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9
Običajni in eksotični hadroni (Saša Prelovšek Komelj) . . . . . . . . . . . . . . . . 10–17
Šola
Matematične sposobnosti pri otrocih: nekaj vrojenega, nekaj
pridobljenega, a vedno lahko vir zadovoljstva (Tina Bregant) . . . . . . 18–24
Vesti
V spomin profesorju Janezu Strnadu (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–27
V spomin profesorju Jožetu Grasselliju (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . 28–29
Profesor Mitja Rosina – osemdesetletnik
(Zvonko Trontelj in Bojan Golli) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–33
Obvestilo (Matej Brešar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Vabilo (Matej Brešar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Strokovni seminar Delo z matematično nadarjenimi učenci
(Lara Kozarski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–37
Nove knjige
Miklós Bóna, A walk Through Combinatorics (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . 38–III
CONTENTS
Articles Pages
Weighted Averages and the Friendship Paradox
(Brigita Ferčec and Niko Tratnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9
Conventional and exotic hadrons (Saša Prelovšek Komelj) . . . . . . . . . . . . 10–17
School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18–24
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–37
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38–III
Na naslovnici: Standardni model osnovnih delcev opisuje osnovne gradnike sno-
vi in interakcije med njimi. Razpredelnica na naslovnici kaže osnovne delce stan-
dardnega modela: 12 fermionov in 5 bozonov. Kvarki u in d skupaj z elektroni
tvorijo to, kar v običajnem svetu razumemo kot snov. Kvarke drži v jedru skupaj
sila, ki jo posredujejo gluoni g, elektrone pa v atom vežejo fotoni gama.