i
i
“kolofon” — 2020/3/12 — 9:11 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, NOVEMBER 2019, letnik 66, številka 6, strani 201–240
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2019 DMFA Slovenije – 2113 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
OD INTEGRALOV DO OGRLIC1
BARBARA DRINOVEC DRNOVŠEK
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko
Math. Subj. Class. (2010): 26-01, 26A42
V članku obravnavamo nalogo, ki so jo reševali madžarski študenti matematike na
memorialnem tekmovanju Miklós Schweitzer.
FROM INTEGRALS TO NECKLACES
In the paper we consider a problem which was given to Hungarian students of ma-
thematics at the Miklós Schweitzer Memorial Competition.
Uvod
Madžarsko matematično društvo od leta 1949 organizira memorialno tek-
movanje Miklós Schweitzer, ki je namenjeno študentom matematike na Ma-
džarskem. Naloge na tem tekmovanju so zahtevne, študenti jih rešujejo 10
dni, pri reševanju pa smejo uporabljati kakršno koli literaturo. Naloge sodijo
v različna matematična področja, ki jih študenti spoznajo na univerzitetnem
in magistrskem študiju: algebra, analiza, geometrija, kombinatorika, opera-
torska teorija, teorija množic, teorija števil, topologija, verjetnost in druga
[7]. Objavljene so na spletu [8] ter v knjižni obliki z rešitvami [2, 5].
V članku bomo obravnavali nalogo iz leta 1995:
Naloga 1. Naj bosta f in g integrabilni funkciji na intervalu [0, 1], za kateri
velja
∫
1
0
f(x) dx =
∫
1
0
g(x) dx = 1.
Pokaži, da obstaja tak interval I ⊂ [0, 1], da velja
∫
I
f(x) dx =
∫
I
g(x) dx =
1
2
.
V. Totik je v članku [6] napisal sedem različnih študentskih rešitev zgor-
nje naloge iz analize z uporabo zelo različnih matematičnih rezultatov, ki se-
gajo na področja kombinatorike, geometrije in topologije. Predstavili bomo
1Del članka je avtorica predstavila udeležencem Seminarja za učitelje matematike UL
FMF dne 20. 9. 2019.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6 201
Barbara Drinovec Drnovšek
dve rešitvi naloge 1, spoznali bomo problem ogrlice in ga s pomočjo naloge
rešili ter predstavili njeno ekvivalentno formulacijo.
V nalogi lahko uporabimo katero koli od običajnih definicij integrabil-
nosti: Riemannovo, Lebesguovo ali Riemann-Stieltjesovo.
Če v nalogi vzamemo f = g, potem iz integrabilnosti funkcije f sledi,
da je integral kot funkcija zgornje meje, F (x) =
∫ x
0
f(t) dt, zvezna funkcija
na intervalu [0, 1]. Zato funkcija F doseže vse vrednosti med F (0) = 0 in
F (1) = 1, torej doseže tudi vrednost 1
2
, tj. obstaja x ∈ [0, 1], za katerega
velja F (x) = 1
2
in interval I = [0, x] reši nalogo.
Z uvedbo nove spremenljivke enostavno izpeljemo, da lahko interval [0, 1]
zamenjamo z drugim zaprtim intervalom. Če vrednosti obeh integralov v
predpostavki zamenjamo z a ∈ R, potem je treba v zaključku 1
2
zamenjati
z a
2
.
Nalogo je dovolj rešiti za kakšno gosto podmnožico integrabilnih funkcij,
npr. za zvezne funkcije ali za stopničaste funkcije: denimo, da sta funkciji
f in g limitni funkciji zaporedij (fn)n in (gn)n, torej da velja
lim
n→∞
∫
1
0
|f(x)− fn(x)| dx = 0, lim
n→∞
∫
1
0
|g(x)− gn(x)| dx = 0
in denimo, da velja
∫
1
0
fn(x) dx =
∫
1
0
gn(x) dx = 1.
Če je naloga rešljiva za funkciji fn in gn, potem obstajata števili an in bn,
0 ≤ an < bn ≤ 1, za kateri velja
∫ bn
an
fn(x) dx =
∫ bn
an
gn(x) dx =
1
2
.
Ker sta zaporedji (an)n in (bn)n omejeni, obstajata konvergentni podzapo-
redji (ank)k in (bnk)k z limitama a in b. Z upoštevanjem pravila o aditivnosti
domene in trikotnǐske neenakosti dobimo
∣
∣
∣
∣
∣
∫ b
a
f(x) dx−
∫ bnk
ank
fnk(x) dx
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∫ bnk
ank
f(x) dx−
∫ bnk
ank
fnk(x) dx+
∫ ank
a
f(x) dx+
∫ b
bnk
f(x) dx
∣
∣
∣
∣
∣
≤
∫
1
0
|f(x)− fnk(x)| dx+
∫ ank
a
|f(x)| dx+
∫ b
bnk
|f(x)| dx.
202 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
Od integralov do ogrlic
Vsi trije členi v vsoti konvergirajo proti 0, ko pošljemo k proti neskončno,
zato velja
∫ b
a
f(x) dx = lim
k→∞
∫ bnk
ank
fnk(x) dx =
1
2
.
Ker enak sklep velja za funkcijo g, je interval I = [a, b] rešitev naloge za
funkciji f in g.
Rešitev z uporabo ovojnega števila
Ovojno število orientirane sklenjene krivulje v ravnini, ki ne vsebuje izho-
dǐsča, prešteje, kolikokrat krivulja obkroži izhodǐsče. Če je krivulja gladka,
ovojno število določimo tako, da preštejemo, kolikokrat krivulja orientirano
preseka poltrak skozi izhodǐsče, ki krivuljo seka transverzalno.
Formalno ovojno število definiramo takole: Naj bo γ : [a, b] → R2 \
{(0, 0)} zvezna preslikava, za katero velja γ(a) = γ(b). Potem je njena
zaloga vrednosti γ(I) orientirana sklenjena krivulja v ravnini. Točko γ(t) za-
pǐsemo v polarnem zapisu z r(t) in ϕ(t), pri čemer velja γ(t) = (r(t) cosϕ(t),
r(t) sinϕ(t)). Spomnimo se, da točka γ(t) določa polarni kot ϕ(t) do več-
kratnika 2π natančno. Ker je γ zvezna preslikava, lahko s pravilno izbiro
tega večkratnika dosežemo, da je funkcija ϕ zvezna na intervalu [a, b]. Ker
je γ(a) = γ(b), je razlika ϕ(b) − ϕ(a) celoštevilski večkratnik števila 2π.
Ovojno število γ je
ϕ(b)− ϕ(a)
2π
.
Iz zapisanega sledi, da je ovojno število preslikave γ celo število. Natančno
definicijo ovojnega števila in izpeljavo njegovih osnovnih lastnosti najdemo
v [4].
b b
Slika 1. Krivulji z ovojnima številoma 1 in 2.
201–210 203
Barbara Drinovec Drnovšek
Naj bo V zvezno vektorsko polje na D ⊂ R2 in K ⊂ D orientirana
enostavno sklenjena krivulja, tj. orientirana sklenjena krivulja brez samo-
presečǐsč. Izberimo zvezno parametrizacijo γ : [a, b] → K krivulje K, ki
določa dano orientacijo. Če V nima ničel na K, je ovojno število zožitve V
na K ovojno število preslikave V ◦ γ in ni odvisno od izbire parametriza-
cije γ. Ovojno število zožitve zveznega vektorskega polja V na K prešteje,
kolikokrat se V zasuka okrog izhodǐsča, ko potujemo po K v izbrani smeri.
Izrek 2. Naj bo V : D̄ → R2 zvezno vektorsko polje na zaprtem enotskem
disku, ki nima ničel na robu bD. Če je ovojno število zožitve V na bD
neničelno, potem ima V ničlo na D.
Dokaz. Denimo, da V nima ničle na D. Za r ∈ [0, 1] definiramo γr(t) =
V (reit), t ∈ [0, 2π]. Potem je γr parametrizacija orientirane sklenjene krivu-
lje v ravnini, ki ne gre skozi izhodǐsče. Ovojno število γr je zvezno odvisno
od parametra r in ima vrednosti v Z, zato je konstantno. Ker je ovojno
število γ0 enako 0, je ovojno število γr enako 0 za vse r ∈ [0, 1], kar je v
nasprotju s predpostavko. Dokazali smo, da ima V ničlo na D.
Rešitev naloge z uporabo izreka o ovojnem številu:
S T označimo trikotnik {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}. Zvezno vektorsko polje
U : T → R2 definiramo s predpisom
U(x, y) =
(
∫ y
x
f(t) dt−
1
2
,
∫ y
x
g(t) dt−
1
2
)
.
Če je (x, y) ∈ T ničla vektorskega polja U , potem interval I = [x, y] reši
nalogo.
Ker je trikotnik T homeomorfen zaprtemu enotskemu disku D̄, lahko
uporabimo izrek 2: Če vektorsko polje U na bT nima ničle, potem ima U
ničlo v notranjosti T , čim ima U na bT neničelno ovojno število. Za t ∈ [0, 1]
po definiciji U izračunamo U(t, t) = (−1
2
,−1
2
) in
U(0, t) + U(t, 1) = (0, 0). (1)
Od tod ocenimo ovojno število U na bT : Iz točke (0, 0) potujemo po robu
bT v pozitivni smeri. Vektorsko polje U je na diagonali konstantno. Zasuk
U vzdolž horizontalne stranice od U(1, 1) = (−1
2
,−1
2
) do U(0, 1) = (1
2
, 1
2
) je
π do celoštevilskega večkratnika 2π natančno, kajti vektorja sta si nasprotno
enaka. Iz (1) sledi, da je zasuk U vzdolž vertikalne stranice, ko nadaljujemo
potovanje v pozitivni smeri, enak zasuku U vzdolž horizontalne stranice, ko
potujemo v pozitivni smeri (glej sliko 2). Polarna kota se seštejeta, torej je
zasuk vektorskega polja U vzdolž bT enak 2π do celoštevilskega večkratnika
4π natančno, zato je ovojno število U |bT neničelno. S tem smo rešili nalogo.
204 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
Od integralov do ogrlic
(1, 1)
(0, 0)
T
Slika 2. Primer vektorskega polja U na bT .
Rešitev z uporabo Borsuk-Ulamovega izreka
Izrek 3. Naj bo T : Sn → Rn zvezna preslikava iz n razsežne enotske sfere.
Potem obstaja točka x ∈ Sn, za katero velja T (x) = T (−x). Če je preslikava
T liha, potem velja T (x) = T (−x) = 0.
Borsuk-Ulamov izrek v posebnem primeru pove, da obstajata antipodni
točki na ekvatorju z enako temperaturo in antipodni točki na Zemlji, ki
imata enako temperaturo in enak zračni tlak. Dokaz bomo izdelali v primeru
n = 1, splošen primer pa je bil obravnavan v Obzorniku [3].
Dokaz. Funkcijo f : [0, 2π] → R definiramo s predpisom f(x) = T (eix).
Funkcija f je zvezna in velja f(0) = f(2π). Zvezno funkcijo g : [0, π] → R
definiramo s predpisom g(x) = f(π + x)− f(x). Izračunamo g(0) = f(π)−
f(0) in g(π) = f(2π) − f(π) = f(0) − f(π) = −g(0). Bodisi je g(0) = 0
ali pa je g v krajǐsčih intervala nasprotno predznačena, zato ima ničlo. Za
ničlo x funkcije g velja 0 = g(x) = T (eix+iπ) − T (eix) = T (−eix) − T (eix).
Našli smo antipodni točki na S1, v katerih T doseže enako vrednost.
Rešitev naloge z uporabo Borsuk-Ulamovega izreka:
Za (x, y, z) ∈ S2 naj bo
Xf (x, y, z) = sgnx
∫ x2
0
f(t) dt+ sgn y
∫ x2+y2
x2
f(t) dt+ sgn z
∫
1
x2+y2
f(t) dt,
pri čemer smo s sgn označili funkcijo predznak, ki pozitivnemu številu in
ničli priredi 1, negativnemu številu pa −1. Če so vse komponente točke
(x, y, z) ∈ S2 neničelne, potem je Xf zvezna v točki (x, y, z), ker je integral
zvezna funkcija svojih mej, funkcija predznak pa je v neničelnih točkah
201–210 205
Barbara Drinovec Drnovšek
zvezna. Če je ena od komponent točke (x, y, z) ∈ S2 enaka 0, potem ustrezna
funkcija sgn sicer ni zvezna v 0, vendar je omejena in je pomnožena z zvezno
funkcijo, ki ima v 0 vrednost 0, zato je ustrezni člen v vsoti zvezna funkcija.
S tem smo dokazali, da je Xf zvezna funkcija na S
2.
Preslikavo T : S2 → R2 definiramo s predpisom
T (x, y, z) = (Xf (x, y, z), Xg(x, y, z)).
Ker sta funkciji Xf in Xg zvezni in lihi, je preslikava T zvezna in liha,
zato ima po Borsuk-Ulamovem izreku ničlo. Označimo jo z (x̄, ȳ, z̄). Med
števili x̄, ȳ in z̄ imata natanko dve enak predznak: če bi bila vsa tri enako
predznačena, bi po predpostavki o f sledilo, da je Xf (x̄, ȳ, z̄) ∈ {−1, 1},
kar pa ni res. Če imata ȳ in z̄ enak predznak, potem velja
∫ x̄2
0
f(t) dt =
∫
1
x̄2
f(t) dt in
∫ x̄2
0
g(t) dt =
∫
1
x̄2
g(t) dt. Ker je
∫
1
0
f(t) dt =
∫
1
0
g(t) dt = 1,
sledi, da za I lahko vzamemo [0, x̄2]. Podobno premislimo, da če imata x̄ in
z̄ enak predznak, lahko vzamemo I = [x̄2, x̄2 + ȳ2], če pa imata x̄ in ȳ enak
predznak, lahko vzamemo I = [x̄2 + ȳ2, 1]. S tem smo rešili nalogo.
Problem ogrlice
Problem 4. Pirata imata ogrlico, na kateri je v naključnem vrstnem redu
nanizanih 2k belih in 2k črnih biserov. Določi najmanǰse število rezov, s
katerimi ogrlico pravično razdelimo med pirata.
Iščemo torej najmanǰse število rezov, s katerimi razrežemo ogrlico in nato
vsakemu od piratov damo natanko k belih in k črnih biserov. Z rešitvijo
naloge bomo dokazali, da sta dovolj dva reza. Rešitev problema ogrlice se
da izpeljati tudi direktno iz Borsuk-Ulamovega izreka [1].
Izberemo biser na ogrlici in ga indeksiramo z 1, nato se premikamo po
ogrlici v pozitivni smeri. Zaporedju belih in črnih biserov priredimo funkciji
f, g : [0, 4k) → R takole: če je m-ti biser bel, naj bo
f |[m− 1,m) ≡ 1 in g|[m− 1,m) ≡ 0,
sicer pa
f |[m− 1,m) ≡ 0 in g|[m− 1,m) ≡ 1.
Integral funkcije f po intervalu s celoštevilskima krajǐsčema prešteje
bele bisere na ustreznem delu ogrlice, integral g pa prešteje črne bisere.
Zato velja
∫
4k
0
f(t) dt =
∫
4k
0
g(t) dt = 2k. Rešitev naloge zagotavlja obstoj
intervala I ⊂ [0, 4k], za katerega velja:
∫
I
f(t) dt =
∫
I
g(t) dt = k.
206 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
Od integralov do ogrlic
b b b bbc bc bc bc
1 2 3 4 5 6 7 8
1 f
1 2 3 4 5 6 7 8
1 g
Slika 3. Primer ogrlice in prirejenih funkcij f in g.
Če ima I celoštevilski krajǐsči, potem integral f po I prešteje število
belih, integral g po I pa prešteje število črnih biserov, torej lahko ogrlico
pravično razdelimo z dvema rezoma.
Denimo, da je I = [a, b], kjer je a = ⌊a⌋ + α in b = ⌊b⌋ + β, pri čemer
je vsaj eden od α, β ∈ [0, 1) neničeln. Sledi, da je α = β, sicer vsaj eden od
integralov po I ni naravno število. Podobno sklepamo, da je f(a) = f(b)
in g(a) = g(b). V tem primeru velja
∫
I
f(t) dt =
∫ ⌊b⌋
⌊a⌋ f(t) dt in
∫
I
g(t) dt =
∫ ⌊b⌋
⌊a⌋ g(t) dt, torej je na intervalu [⌊a⌋ , ⌊b⌋] natanko k belih in k črnih biserov.
Ekvivalentna trditev
Trditev 5. Dva igralca mečeta kovanec. Če pade cifra, igralec dobi en evro,
sicer izgubi en evro. Denimo, da sta oba igralca v nekem časovnem intervalu
dobila 2n evrov. Potem obstaja časovni interval, v katerem sta oba dobila n
evrov.
Dokazali bomo, da sta trditev 5 in naloga 1 ekvivalentni.
Najprej pokažimo, kako trditev 5 izpeljemo iz naloge. Recimo, da sta
oba igralca dobila 2n evrov po k metih kovanca. Zaporedju metov prvega
201–210 207
Barbara Drinovec Drnovšek
igralca priredimo funkcijo f : [0, k) → R takole: če je pri m-tem metu padla
cifra, naj bo f |[m − 1,m) ≡ 1, sicer pa f |[m − 1,m) ≡ −1. Zaporedju
metov drugega igralca priredimo funkcijo g na enak način. Integral funkcije
f po intervalu s celoštevilskima krajǐsčema je dobiček oziroma izguba prvega
igralca v ustreznem času. Zato velja
∫ k
0
f(t) dt =
∫ k
0
g(t) dt = 2n. Rešitev
naloge zagotavlja obstoj intervala I = [a, b], za katerega velja
∫
I
f(t) dt =
∫
I
g(t) dt = n.
Če sta a in b celi števili, potem smo dobili ustrezni časovni interval.
Sicer lahko zapǐsemo a = ⌊a⌋ + α in b = ⌊b⌋ + β, kjer je vsaj eno od števil
α, β ∈ [0, 1) neničelno.
• Če α 6= β, potem vsaj eden od integralov funkcij f in g po I ni celo
število, kar je protislovje.
• Če je α = β 6= 1
2
, potem sta integrala funkcij f in g po I lahko ce-
loštevilska samo v primeru, ko je f(a) = f(b) in g(a) = g(b). V tem
primeru velja
∫
I
f(t) dt =
∫ ⌊b⌋
⌊a⌋ f(t) dt in
∫
I
g(t) dt =
∫ ⌊b⌋
⌊a⌋ g(t) dt, torej je
[⌊a⌋ , ⌊b⌋] ustrezni časovni interval.
• Denimo, da je α = β = 1
2
. Potem velja bodisi f(a) = f(b) in g(a) = g(b)
bodisi f(a) 6= f(b) in g(a) 6= g(b), kajti sicer bi bil en integral lih,
drugi pa sod. V prvem primeru lahko ponovimo sklep iz preǰsnje točke,
v drugem primeru pa velja:
∫
I
f(t) dt =
∫ ⌊b⌋
⌊a⌋+1 f(t) dt in
∫
I
g(t) dt =
∫ ⌊b⌋
⌊a⌋+1 g(t) dt, torej smo v obeh primerih dobili ustrezni časovni interval.
Dokazali smo, da trditev 5 sledi iz naloge 1.
Dokažimo še obratno: denimo, da trditev 5 drži. Nalogo 1 je dovolj
dokazati za zvezni funkciji f in g, ki ustrezata predpostavki. Ker sta zvezni,
sta omejeni, torej obstaja M ∈ R, da velja |f(x)| ≤ M in |g(x)| ≤ M za vse
x ∈ [0, 1]. Funkciji
F (x) =
1
M
∫ x
0
f(t) dt in G(x) =
1
M
∫ x
0
g(t) dt
sta zvezno odvedljivi in velja F ′(x) = 1
M
f(x) ter G′(x) = 1
M
g(x). Zato ve-
ljata oceni |F ′(x)| ≤ 1 in |G′(x)| ≤ 1 za vse x ∈ [0, 1]. V nadaljevanju bomo
dokazali, da lahko funkciji F in G enakomerno poljubno dobro aproksimi-
ramo z zveznima kosoma linearnima funkcijama, ki imata enaki vrednosti v
0 in 1 ter imata na vsakem linearnem delu naklon 1 ali −1.
Naj bo m ∈ N. Za vsak l ∈ {0, 1, . . . ,m} obstaja natanko en j ∈
Z, za katerega velja F ( l
m
) ∈ [ j−1
m
, j
m
) in definiramo pm(
l
m
) = j−1
m
. Po
208 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
Od integralov do ogrlic
Lagrangeevem izreku velja |F (x + 1
m
) − F (x)| = 1
m
|F ′(c)| ≤ 1
m
za neki
c ∈ [x, x + 1
m
], od tod sledi pm(
l+1
m
) − pm(
l
m
) ∈ {− 1
m
, 0, 1
m
} za vsak l ∈
{0, 1, . . . ,m− 1}. Definiramo še
pm(
2l+1
2m
) =
{
pm(
l
m
) + 1
2m
, pm(
l+1
m
) ≥ pm(
l
m
)
pm(
l
m
)− 1
2m
, pm(
l+1
m
) < pm(
l
m
)
.
1
1
b b b
b
b
bF
p5
Slika 4. Aproksimacija funkcije F s kosoma linearno funkcijo p5.
Za vse l ∈ {0, 1, . . . , 2m − 1} velja |pm(
l+1
2m
) − pm(
l
2m
)| = 1
2m
, zato
lahko pm razširimo do zvezne kosoma linearne funkcije na [0, 1], ki ima na
vsakem linearnem delu naklon ±1. Za vsak l ∈ {0, 1, . . . ,m− 1} in za vsak
x ∈ [ l
m
, l+1
m
] z uporabo trikotnǐske neenakosti dobimo
|F (x)− pm(x)| ≤ |F (x)− F (
l
m
)|+ |F ( l
m
)− pm(
l
m
)|+ |pm(
l
m
)− pm(x)|
≤ 1
m
+ 1
m
+ 1
m
= 3
m
, (2)
pri čemer smo pri oceni prvega člena upoštevali, da je |F ′| ≤ 1, pri drugem in
tretjem členu pa ocena velja po definiciji funkcije pm. Na enak način funkciji
G priredimo funkcijo qm. Ker imata F in G v krajǐsčih intervala [0, 1] enaki
vrednosti, imata pm in qm v krajǐsčih intervala [0, 1] enaki vrednosti.
Funkciji pm priredimo izide 2m metov kovanca za prvega igralca takole:
če je naklon pm na intervalu [
l
2m
, l+1
2m
] enak 1, je rezultat cifra, sicer grb.
Na enak način funkciji qm priredimo izide metov drugega igralca. Ker je
pm(0) = qm(0) in pm(1) = qm(1), igralca po 2m metih dobita enako. Ker
je število metov sodo, je njun dobiček sodo število 2n. Z uporabo trditve 5
dobimo časovni interval [am, bm], v katerem sta oba igralca dobila n evrov.
Na tem intervalu sta oba igralca vrgla enako cifer (in enako grbov), njun
dobiček na tem intervalu pa je bil enak polovičnemu dobičku na koncu, zato
201–210 209
Barbara Drinovec Drnovšek
velja
pm(bm)− pm(am) = qm(bm)− qm(am) =
1
2
(pm(1)− pm(0)).
Po definiciji funkcije F velja
∫
1
0
f(x) dx = M(F (1)− F (0)) = M(pm(1)− pm(0) + o1),
pri čemer z uporabo ocene (2) dobimo |o1| <
6
m
. Podobno izpeljemo
∫ bm
am
f(x) dx = M(F (bm)− F (am)) = M(pm(bm)− pm(am) + o2),
kjer je |o2| <
6
m
. Sedaj izračunamo
∫ bm
am
f(x) dx = M(pm(bm)− pm(am) + o2) =
1
2
M(pm(1)− pm(0)) +Mo2
=
1
2
∫
1
0
f(x) dx−
1
2
Mo1 +Mo2 =
1
2
+Mo3,
kjer je |o3| <
9
m
. Podobno velja za G in qm. Sedaj nadaljujemo podobno
kot v začetku uvodnega razdelka: v omejenih zaporedjih (am)m in (bm)m
obstajata konvergentni podzaporedji in za njuni limiti a in b velja
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
g(x) dx =
1
2
.
Torej smo rešili nalogo.
LITERATURA
[1] N. Alon in D. B. West, The Borsuk-Ulam theorem and bisection of necklaces, Proc.
Amer. Math. Soc. 98 (1986), 623–628.
[2] Contests in higher mathematics (Hungary, 1949–1961). In memoriam Miklós Schwe-
itzer, (G. Szasz, L. Geher, I. Kovacs, L. Pinter, eds), Akadémiai Kiadó, Budapest,
1968.
[3] K. Kelvǐsar, Borsuk-Ulamov izrek, Obzornik Mat. Fiz. 63 (2016), 41–52.
[4] R. Narasimhan in Y. Nievergelt, Complex analysis in one variable, Second edition.
Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2001.
[5] G. J. Szekely (Ed.), Contests in Higher Mathematics, Springer, New York, 1996.
[6] V. Totik, A tale of two integrals, Amer. Math. Monthly 106 (1999), 227–240.
[7] Miklós Schweitzer Competition, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Mikl%C3%B3s_
Schweitzer_Competition, ogled 22. 11. 2019.
[8] Problems of the Miklós Schweitzer Memorial Competition, dostopno na www.math.
u-szeged.hu/~mmaroti/schweitzer/, ogled 22. 11. 2019.
210 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 211 — #1 i
i
i
i
i
i
KONGRUI VEČKOTNIŠKIH ŠTEVIL
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 11D09
Kongruum je tako naravno število N , za katerega obstajajo naravna števila x, y in
z, za katera velja y2 − x2 = z2 − y2 = N . Pokazali bomo, da lahko pojem kongrua
posplošimo, če kvadrate v definiciji ustrezno zamenjamo z večkotnǐskimi števili.
CONGRUA OF POLYGONAL NUMBERS
Congruum is a positive integer N , for which there exist positive integers x, y, and z
such that y2 − x2 = z2 − y2 = N . We will show that the concept of congruum can be
generalized by replacing squares in the definition by the corresponding polygonal numbers.
Uvod
Besedo kongruum je v matematiko vpeljal Leonardo iz Pise (1170–1250) v
svoji knjigi Liber quadratorum, ki jo je dokončal leta 1225 in je prevedena
tudi v angleščino. Njen prevod [2] je opremljen s številnimi opombami in
komentarji. Latinska beseda congruus pomeni soglasen, skladen, primeren,
prikladen. V Liber quadratorum obravnava Leonardo nekatere probleme,
ki so povezani s kvadrati naravnih in racionalnih števil. Eden od teh je
tudi problem kongrua, ki je bil v Leonardovem času že zelo star, saj je že
antični matematik Diofant v 3. stoletju v svoji knjigi Aritmetika obravnaval
podobne probleme, kasneje pa tudi perzijska matematika Al Hazin (900–
971) in Al Karadži (953–1029). Po Leonardu so se s problemom spopadali
še drugi, na primer Pierre de Fermat (1607–1665) in Leonhard Euler (1707–
1783). Problem še do danes ni v celoti rešen.
Naravno število N je kongruum, če obstajajo naravna števila x, y in z,
pri čemer je x < y < z, tako da veljata relaciji
x2 +N = y2, y2 +N = z2. (1)
Če iz zgornjih enačb izločimo N , dobimo enačbo x2 +z2 = 2y2, iz katere
sklepamo, da sta x in z iste parnosti.
Pri tem se poraja glavno vprašanje. Ali pri danem N naravna števila
x, y in z, ki zadoščajo enačbama v (1), sploh obstajajo in kako jih učinko-
vito najti? Izkaže se, da ni vsako naravno število kongruum. Že Leonardo
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6 211
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 212 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
iz Pise je v [2] dokazal, da nobeno kvadratno število ni kongruum. Dokaz ni
ravno preprost. Najdemo ga na primer v [3] pod iztočnico Kongruenčna šte-
vila. Slovenski avtorji si pri tem niso enotni: nekateri uporabljajo pridevnik
kongruenčen, nekateri pa kongruenten.
Do kongruov hitro pridemo s pitagorejskimi trojicami (a, b, c), kjer so
a, b in c naravna števila, a < b in a2 + b2 = c2. Števili a in b sta kateti, c
pa hipotenuza ustreznega pravokotnega trikotnika. Uporabimo enakosti, ki
sledita iz zadnje relacije:
(b− a)2 + 2ab = c2, c2 + 2ab = (b+ a)2. (2)
Za x = b− a, y = c, z = b+ a in N = 2ab sta izpolnjeni relaciji (1).
Na ta način dobimo vse kongrue. Če je namreč N kongruum, obstajajo
naravna števila x, y, z, pri čemer je x < y < z, tako da veljata enačbi (1).
Trojica (a, b, c) = ((z − x)/2, (z + x)/2, y) je pitagorejska, ker velja
a2 + b2 =
1
2
(z2 + x2) =
1
2
(y2 +N + y2 −N) = y2 = c2.
Za pitagorejsko trojico (a, b, c) pa očitno veljata enačbi (2).
Za najmanǰso pitagorejsko trojico (a, b, c) = (3, 4, 5) dobimo x = 1, y =
5, z = 7 in N = 24. Res veljata enakosti
12 + 24 = 52 in 52 + 24 = 72.
Pitagorejska trojica (a, b, c) je primitivna, če števila a, b in c nimajo
skupnega faktorja. V primitivni pitagorejski trojici (a, b, c) je eno od števil
a in b liho, eno sodo, število c pa je vedno liho. Primitivne pitagorejske
trojice (a, b, c) generiramo z dvema naravnima številoma p in q s formulami
a = p2 − q2, b = 2pq, c = p2 + q2,
kjer sta si p in q tuji števili različnih parnosti ter p > q. Če se pri tem
zgodi, da je a > b, števili a in b med seboj preprosto zamenjamo. Vsaka
pitagorejska trojica je produkt neke primitivne z nekim naravnim številom
(glej na primer [4]).
Hitro pa vidimo, da je za vsako naravno število λ število λ2N kongruum,
če je le N kongruum. Že Leonardo iz Pise pa je v [2] dokazal, da je število
24 najmanǰsi kongruum in da je vsak kongruum deljiv s 24. Slednje je
ugotovil z obravnavo števila N = 2ab v (2), ki ga je vzel v razstavljeni
obliki N = 4pq(p− q)(p+ q).
Neskončno zaporedje kongruov se začne s
24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720, 840, 864.
Kongrue dobimo s formuloN = 2λ2ab z vstavljanjem katet a in b primitivnih
pitagorejskih trojic (a, b, c) in naravnimi števili λ. Kot smo že videli, je 24
kongruum, zato je kongruum tudi 96 = 22 · 24.
212 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 213 — #3 i
i
i
i
i
i
Kongrui večkotniških števil
Primer 1. Pitagorejska trojica (5, 12, 13) nam zaradi enakosti (2) da kon-
gruum 2 · 5 · 12 = 120, in sicer za x = 7, y = 13 in z = 17, kar nam prinese
72 + 120 = 132 in 132 + 120 = 172.
Omenimo še kongruentna števila. Naravno število M je kongruentno, če
obstajajo pozitivna racionalna števila x, y in z, pri čemer je x < y < z, tako
da veljata relaciji
x2 +M = y2, y2 +M = z2.
Enakovredna definicija sloni na relacijah (2). Naravno število M je kongru-
entno, če obstaja pravokotni trikotnik z racionalnimi stranicami in ploščino
M . Kongruentna števila so v tesni zvezi z eliptičnimi krivuljami. Več o tem
lahko preberemo na primer v [5].
Vsak kongruum je kongruentno število, vsako kongruentno število pa
ni kongruum, pač pa je produkt nekega kongruuma s kvadratom nekega
pozitivnega racionalnega števila. Neskončno zaporedje kongruentnih števil
se začne s
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28.
Kongruentna števila dobimo prav tako kot kongrue N , ki jih delimo z nji-
hovimi največjimi možnimi kvadratnimi faktorji.
Primer 2. Pitagorejska trojica (9, 40, 41) nam da kongruum N = 2·9·40 =
720 = 122 · 5, zato je M = 5 kongruentno število. Za x = 31, y = 41 in
z = 49 veljata po (2) enakosti
312 + 720 = 412 in 412 + 720 = 492.
Če ju delimo z 122, dobimo(
31
12
)2
+ 5 =
(
41
12
)2
in
(
41
12
)2
+ 5 =
(
49
12
)2
.
To je neposredni dokaz, da je 5 kongruentno število. Rezultat je poznal že
Leonardo iz Pise in ga uporabil na matematičnem tekmovanju leta 1225 v
prisotnosti cesarja Friderika II.
Večkotnǐska števila
Večkotnǐska (mnogokotnǐska, poligonalna) števila V
(k)
n so povezana s pravil-
nimi k-kotniki in sestavljajo pri izbranem k neskončno številsko zaporedje,
ko n teče po naravnih številih. Zato številom V
(k)
n pravimo k-kotnǐska šte-
vila. Uvedemo jih kot n-te delne vsote aritmetičnega zaporedja s prvim
členom 1 in diferenco d = k − 2 (glej na primer ([1, 3])). Kot je znano, je
211–220 213
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 214 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
n-ti člen takega zaporedja enak 1 + (n− 1)(k− 2). Vsota prvih n členov pa
je enaka produktu aritmetične sredine prvega in zadnjega člena s številom
členov, torej
V (k)n =
n
2
(2 + (n− 1)(k − 2)). (3)
V posebnih primerih dobimo za k = 3 trikotnǐska števila Tn, za k = 4
kvadratna Qn in za k = 5 petkotnǐska Pn:
Tn = V
(3)
n =
n(n+ 1)
2
, Qn = V
(4)
n = n
2, Pn = V
(5)
n =
n(3n− 1)
2
.
Večkotnǐska števila V
(k)
n za n > 1 klasično ponazorimo kot število točk v
oglǐsčih in na stranicah n−1 pravilnih k-kotnikov v skupni ravnini. Pri tem
njihove stranice naraščajo v aritmetičnem zaporedju. Vsi k-kotniki imajo
skupno oglǐsče A, iz A izhajajoči stranici pa ležita na skupnih poltrakih s
krajǐsčem v A. Oglǐsča mnogokotnikov označimo z debeleǰso točko, nato
na stranice znotraj kota med poltrakoma dodamo toliko takih točk, da bo
število točk na vseh stranicah posameznih k-kotnikov enako. Število vseh
točk take figure je V
(k)
n . Pri tem je V
(k)
1 = 1 in V
(k)
2 = n za vsak k ≥ 3.
Na sliki 1 levo je predstavljeno četrto petkotnǐsko število. Številke na sliki
pomenijo, do kod je treba prešteti točke, da dobimo ustrezno petkotnǐsko
število. Prva štiri petkotnǐska števila so 1, 5, 12, 22.
Večkotnǐska števila lahko ponazorimo tudi pahljačasto. Vzamemo pol-
traka s skupnim krajǐsčem A. Poltraka naj oklepata primerno velik kot.
Nato v tem kotu med poltrakoma načrtamo krožne loke s sredǐsčem v A,
njihove polmere pa izberemo v aritmetičnem zaporedju. Na prvi lok in na
poltraka v enakih razdaljah nanesemo 1+(k−2) točk, na drugega 1+2(k−2),
. . . , na n-tega 1 + n(k − 2) točk. Vseh točk, skupaj z A, na taki figuri je
ravno V
(k)
n . Na sliki 1 desno je pahljačasto predstavljeno četrto petkotnǐsko
število.
Z večkotnǐskimi števili so se ukvarjali že pitagorejci, v 1. in 2. stoletju
Nikomah iz Gerase, v 3. stoletju Diofant iz Aleksandrije, kasneje pa tudi
Fermat, Euler, Lagrange, Cauchy in drugi.
V nadaljevanju članka uporabljamo pahljačasto predstavitev večkotni-
ških števil, ki jo je za večje k laže izdelati z računalnikom kot klasično, v
kateri uporabimo pravilne k-kotnike.
Kvadratna števila x2, y2 in z2 nastopajo v (1), to je v definiciji kongrua.
Sedaj pa v relacijah (1) nadomestimo kvadratna števila u2 z večkotnǐskimi
V
(k)
u za u ∈ {x, y, z} in k ≥ 3, pri čemer so x, y in z naravna števila, za
katera je x < y < z. Število N pa nadomestimo z nekim naravnim številom
N (k). Dobimo relaciji
V (k)x +N
(k) = V (k)y , V
(k)
y +N
(k) = V (k)z . (4)
214 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 215 — #5 i
i
i
i
i
i
Kongrui večkotniških števil
Slika 1. Klasična in pahljačasta predstavitev števila P4 = 22.
Če taka naravna števila x, y, z in N (k) obstajajo, bomo število N (k) ime-
novali k-kongruum. Običajni kongrui so 4-kongrui, ki smo jih definirali v
Uvodu. Videli smo, da le-ti obstajajo. Zastavlja se seveda vprašanje, ali ob-
stajajo k-kongrui za vse k ≥ 3. Za 3 ≤ k ≤ 12 se da ob pomoči računalnika
neposredno ugotoviti, da obstajajo.
Predpostavimo, da naravna števila x, y, z in N (k) v (4) obstajajo. Potem
se relaciji (4) z upoštevanjem formule (3) izražata takole:
x
2
(2 + (k − 2)(x− 1)) +N (k) = y
2
(2 + (k − 2)(y − 1)),
y
2
(2 + (k − 2)(y − 1)) +N (k) = z
2
(2 + (k − 2)(z − 1)).
Če ju preuredimo in odpravimo ulomke, dobimo enakovredni relaciji
(2(k − 2)x− (k − 4))2 + 8(k − 2)N (k) = (2(k − 2)y − (k − 4))2,
(2(k − 2)y − (k − 4))2 + 8(k − 2)N (k) = (2(k − 2)z − (k − 4))2.
Ker je k ≥ 3 in x ≥ 1, so števila
X = 2(k− 2)x− (k− 4), Y = 2(k− 2)y− (k− 4), Z = 2(k− 2)z− (k− 4)
in
M (k) = 8(k − 2)N (k)
naravna in zadoščajo sistemu diofantskih enačb
X2 +M (k) = Y 2, Y 2 +M (k) = Z2.
211–220 215
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 216 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Pri tem je X < Y < Z in M (k) običajni kongruum. Če izločimo M (k) iz
zgornjih enačb, dobimo diofantsko enačbo
X2 + Z2 = 2Y 2.
Enačba ima trivialno rešitev X = Y = Z = n za vsako celo število n. Ta ne
pride v poštev. Vemo pa tudi, da morata biti X in Z iste parnosti. Enačbo
pomnožimo na obeh straneh z 2 in jo zapǐsemo v obliki
(Z −X)2 + (Z +X)2 = (2Y )2.
To pa pomeni, da morajo števila Z −X,Z +X, 2Y sestavljati pitagorejsko
trojico. Zato obstaja primitivna pitagorejska trojica (a, b, c), kjer je a < b
in a2 + b2 = c2, in naravno število λ, tako da veljajo zveze
Z −X = λa, Z +X = λb, 2Y = λc.
Ker je v primitivni pitagorejski trojici (a, b, c) število c vedno liho število,
mora biti λ sodo število: λ = 2µ. Število µ je naravno. Potemtakem lahko
zapǐsemo
Z −X = 2µa, Z +X = 2µb, Y = µc.
Iz prvih dveh enačb izrazimo X in Z. Zapǐsimo po vrsti:
X = µ(b− a), Y = µc, Z = µ(b+ a).
To so naravna števila. Ustrezni kongruum je
M (k) = Y 2 −X2 = µ2(c2 − (b− a)2) = 2µ2ab,
ki je tudi naravno število. Nazadnje imamo
x =
µ(b− a) + k − 4
2(k − 2)
, y =
µc+ k − 4
2(k − 2)
, z =
µ(b+ a) + k − 4
2(k − 2)
. (5)
Tu pa nastane težava, ker števila x, y in z niso vedno naravna.
Da dobimo rešitev problema, je treba izbrati primitivno pitagorejsko
trojico (a, b, c) in naravno število µ tako, da bodo x, y in z naravna števila.
Pripomnimo, da so b−a, b+a in c liha števila. Za k-kongruum N (k) dobimo
preprost izraz
N (k) =
µ2ab
4(k − 2)
. (6)
Število M (k) = 8(k − 2)N (k) = 2µ2ab je običajni kongruum.
Pogoj, da je 8(k−2)N kongruum, je zato potreben pogoj, da je naravno
število N k-kongruum. Pogoj pa ni zadosten. Število 12 ni 3-kongruum,
216 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 217 — #7 i
i
i
i
i
i
Kongrui večkotniških števil
čeprav je 8 ·12 = 96 kongruum, saj je 22 +96 = 102 in 102 +96 = 142. Če bi
število 12 bilo 3-kongruum, bi morala veljati relacija (6), to je µ2ab/4 = 12
oziroma µ2 = 48/(ab), pri čemer je µ naravno število, a in b pa tuji si kateti
primitivnega pitagorejskega trikotnika. To pomeni a ≥ 3, b ≥ 4 in ab ≤ 48.
V poštev pride samo a = 3 in b = 4, kar nam da µ = 2 in po (5) necele x, y
in z. Zato 12 ni 3-kongruum.
Primeri
Iskanja k-kongruov si ne moremo zamisliti brez uporabe ustreznih računalni-
ških programov. Napisati je treba program, ki nam bo iskal pri danem k
naravna števila x, y in z po zgoraj razvitih formulah. Generiranje primi-
tivnih pitagorejskih trojic (a, b, c) s parametroma p in q ne dela težav. V
program vključimo tudi parameter µ. Vse tri parametre spreminjamo do
neke, morda precej visoke vrednosti, in prej ali slej nam le uspe najti na-
ravna števila x, y in z. To je sicer groba metoda, ki pa nam za manǰse k le
da rezultate. Oglejmo si nekaj izbranih primerov.
1. Za trikotnǐska števila Tn je 3-kongruum T = N
(3) = µ2ab/4 in pri
naravnih številih x, y, z, kjer je x < y < z, mora veljati
Tx + T = Ty, Ty + T = Tz.
Za neko primitivno pitagorejsko trojico (a, b, c) in naravno število µ morajo
biti števila
x =
µ(b− a)− 1
2
, y =
µc− 1
2
, z =
µ(b+ a)− 1
2
,
ki jih dobimo iz (5), naravna. Faktor µ mora biti liho število. Za primitivno
pitagorejsko trojico (a, b, c) = (8, 15, 17) in µ = 1 dobimo x = 3, y = 8, z =
11 in T = 30. Število 8T = 240 je običajni kongruum. Grafično ponazo-
ritev predstavlja slika 2. Slika tudi ponazarja, kako bi v grškem antičnem
gledalǐsču lahko posedli 30 v rdeče in 30 v modro oblečenih oseb, pri čemer
število sedežev z vǐsino narašča za 1, pri tem pa v rdeče oblečene osebe
polno zasedajo nekaj zaporednih vrst, takoj za njimi pa v modro oblečene
osebe polno zasedajo nekaj nadaljnjih zaporednih vrst.
Do takega problema pridemo tudi, če v zaporedju naravnih števil ǐsčemo
števila
x+ 1, x+ 2, . . . , y; y + 1, y + 2, . . . , z,
za katera velja
(x+ 1) + (x+ 2) + · · ·+ y = (y + 1) + (y + 2) + · · ·+ z.
211–220 217
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 218 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 2. T3 + 30 = T8, T8 + 30 = T11.
Najmanǰsi tak primer je 1, 2; 3 za x = 0, y = 2 in z = 3, ker je 1 + 2 = 3. Ta
izjema je v skladu s 3-kongruum, če privzamemo, da je T0 = 0.
Za pitagorejsko trojico (a, b, c), v kateri je b−a = 1, je lahko x katerokoli
naravno število ali 0. Za (a, b, c) = (3, 4, 5) vzamemo µ = 2x+ 1 in dobimo
y = 5x+2 in z = 7x+3. Ustrezni 3-kongruum je T = 3(2x+1)2. Prav tako
z (a, b, c) = (20, 21, 29) za µ = 2x+ 1 dobimo 3-kongruum T = 105(2x+ 1)2
in y = 29x+ 14 ter z = 41x+ 20. Števila 8T so, kot smo že videli, običajni
kongrui. To se pravi, da so števila 24(2x + 1)2 in 840(2x + 1)2 običajni
kongrui.
Opazimo, da je v teh primerh 3-kongruum T deljiv s 3. Ni pa težko
dokazati, da je vsak 3-kongruum deljiv s 3. Neskončno zaporedje 3-kongruov
se začne s 3, 15, 27, 30, 42, 75, 90, 105, 135, 147, 165, 243, 252.
2. Za kvadratna števila Qn je 4-kongruum Q = N
(4) = µ2ab/8 in pri
naravnih številih x, y, z, kjer je x < y < z, mora veljati
Qx +Q = Qy, Qy +Q = Qz.
Za neko primitivno pitagorejsko trojico (a, b, c) in naravno število µ morajo
biti števila
x =
µ(b− a)
4
, y =
µc
4
, z =
µ(b+ a)
4
,
ki jih dobimo iz (5), naravna. Faktor µ mora biti deljiv s 4. Za primitivno
pitagorejsko trojico (a, b, c) = (3, 4, 5) in µ = 8 dobimo x = 2, y = 10, z = 14
in Q = 96. Grafično ponazoritev predstavlja slika 3.
3. Za petkotnǐska ali pentagonalna števila Pn je 5-kongruum P = N
(5) =
µ2ab/12 in pri naravnih številih x, y, z, kjer je x < y < z, mora veljati
Px + P = Py, Py + P = Pz.
218 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 219 — #9 i
i
i
i
i
i
Kongrui večkotniških števil
Slika 3. Q2 + 96 = Q10, Q10 + 96 = Q14.
Za neko primitivno pitagorejsko trojico (a, b, c) in naravno število µ morajo
biti števila
x =
µ(b− a) + 1
6
, y =
µc+ 1
6
, z =
µ(b+ a) + 1
6
,
ki jih dobimo iz (5), naravna. Faktor µ mora biti liho število. Za primitivno
pitagorejsko trojico (a, b, c) = (33, 56, 65) in µ = 1 dobimo x = 4, y =
11, z = 15 in P = 154, ki je najmanǰsi 5-kongruum. Običajni kongruum je
število 24P = 3696. Grafično ponazoritev predstavlja slika 4.
Slika 4. P4 + 154 = P11, P11 + 154 = P15.
211–220 219
i
i
“Razpet” — 2020/3/12 — 8:12 — page 220 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
4. Tako lahko nadaljujemo s kongrui v nedogled. Za primere vze-
mimo šestkotnǐska ali heksagonalna števila V
(6)
n = n(2n − 1), sedemko-
tnǐska ali heptagonalna števila V
(7)
n = n(5n − 3)/2, osemkotnǐska ali ok-
tagonalna števila V
(8)
n = n(3n − 2), devetkotnǐska ali eneagonalna števila
V
(9)
n = n(7n−5)/2, desetkotnǐska ali dekagonalna števila V (10)n = n(4n−3),
enajstkotnǐska ali hendekagonalna števila V
(11)
n = n(9n− 7)/2 in dvanajst-
kotnǐska ali dodekagonalna števila V
(12)
n = n(5n−4). V tabeli navajamo po
en primer za 4 ≤ k ≤ 12. Dobljeni so ob pomoči računalnika. Več primerov
bi zahtevalo veliko dalǰsi članek.
k (a, b, c) (x, y, z) µ N (k)
4 (3,4,5) (1,5,7) 4 24
5 (33,56,65) (4,11,15) 1 154
6 (20,21,29) (1,22,31) 6 945
7 (65,72,97) (1,10,14) 1 234
8 (33,56,65) (8,22,30) 4 1232
9 (133,156,205) (2,15,21) 1 741
10 (88,105,137) (11,86,121) 10 28875
11 (279,440,521) (63,203,280) 7 167090
12 (95,168,193) (15,39,53) 4 6384
Za konec
Problemi v zvezi s k-kongrui so približno enaki kot s klasičnimi kongrui. Ali
obstajajo k-kongrui za vsa naravna števila od 3 naprej? Katera števila so
k-kongrui? Kako jih učinkovito najti? Kako poiskati ustrezna števila x, y
in z? Ali imajo k-kongrui neko uporabnost?
Za najvztrajneǰse pa še splošna naloga. Za naraščajoče aritmetično za-
poredje (ak)
∞
k=1 z diferenco d, kjer so ak naravna števila, izdelajte metodo
za iskanje indeksov x, y in z (x < y < z), za katere velja enakost
ax+1 + ax+2 + · · ·+ ay = ay+1 + ay+2 + · · ·+ az.
LITERATURA
[1] E. Deza in M. Deza, Figurate numbers, World Scientific, Hackensack (NJ) 2012.
[2] L. P. Fibonacci, The book of squares, Academic Press, Boston in drugje 1987. Prevod
L. E. Sigler.
[3] J. Grasselli, Enciklopedija števil, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana 2008.
[4] I. Vidav, Algebra, Mladinska knjiga, Ljubljana 1972.
[5] I. Vidav, Eliptične krivulje in eliptične funkcije, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana 1991.
220 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Kovic” — 2020/3/10 — 9:20 — page 221 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
James Stewart, Calculus, Early transcendentals, Eight Edition,
International Metric Version, Cengage Learning 2016, 1182 strani.
Zajetni učbenik, ki sijajno združuje te-
orijo in prakso (tj. matematične vsebine
in njihove aplikacije), je premǐsljeno za-
snovan tako, da študentu predstavi tako
uporabnost kot lepoto infinitezimalnega
računa. Sledi najnoveǰsim pedagoškim
usmeritvam, ki vključujejo tudi razno-
vrstno uporabo računalnikov, od vizu-
alizacije do numeričnega in grafičnega
eksperimentiranja. Ne posveča se zgolj
razvoju tehničnih kompetenc, osredotoča
se na konceptualno razumevanje, ki ga
razvija predvsem s skrbnim izborom problemov, v skladu z maksimo, da je
umetnost poučevanja umetnost pomagati študentom pri odkrivanju oziroma
raziskovanju določenega področja. Težavnost problemov se v vsakem poglav-
ju počasi stopnjuje, v razponu od takšnih, ki preverjajo zgolj razumevanje
osnovnih konceptov in usvajanje osnovnih računskih veščin, do zahtevneǰsih
problemov, ki vključujejo aplikacije in dokaze.
Po besedah avtorja je učbenik napisan v skladu s t. i. Četvernim pravilom
(angl. Rule of four), ki priporoča, da je snov predstavljena geometrijsko,
numerično, algebraično ter verbalno. Opremljen je s številnimi barvnimi
diagrami, slikami, fotografijami ter podprt z dodatnimi materiali, dostop-
nimi na spletni strani stewartcalculus.com. Poleg obilice standardnih,
računskih in dokazovalnih nalog, ki so večini tradicionalno šolanih študen-
tov najbolj domače, ponuja tudi nestandardne samostojne ali timske izzive
oziroma projekte: aplikativne projekte (ki naj bi posebej ugajali študen-
tovi domǐsljiji), laboratorijske projekte (ki vključujejo uporabo tehnologije),
raziskovalne projekte (pri katerih študent prepoznava vzorce ali raziskuje
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6 221
i
i
“Kovic” — 2020/3/10 — 9:20 — page 222 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
določene vidike geometrije) in pisne projekte (pri katerih je treba napisati
kratek esej, npr. o tem, kako je prǐslo do nekega matematičnega odkritja
v zgodovini matematike). Tak pristop seveda omogoča razvoj neprimerno
več študentovih kompetenc kot tradiconalni pristop, ki poudarja predvsem
računske in dokazovalne veščine in nagrajuje zlasti zmožnost pridnega učenja
metod in postopkov, ne postavlja pa v ospredje konceptualnega razumevanja,
ne razvija veselja do samostojnega in timskega eksperimentiranja in razisko-
vanja (ne zgodovine matematike ne novih matematičnih področij) in ne
spodbuja razvijanja študentovih kompetenc ustne in pisne ubeseditve mate-
matičnih vsebin, ki na določeni stopnji, npr. ko je treba začeti pripravljati
seminarje ali pisati znanstvene članke, postanejo prav tako nepogrešljive.
Knjigo zaokrožajo številni dodatki, od diagnostičnih testov za preverjanje
predznanja študentov (potrebnega za razumevanje infinitezimalnega računa)
do seznamov formul in vprašanj za preverjanje konceptualnega razumevanja
za vsako od dvanajstih poglavij. Ta poglavja so: 1. Funkcije in modeli, 2.
Limite in odvodi, 3. Pravila odvajanja, 4. Uporabe odvodov, 5. Integrali, 6.
Uporabe integralov, 7. Integracijske tehnike, 8. Nadaljnje uporabe integralov,
9. Diferencialne enačbe, 10. Parametrične enačbe in polarne koordinate, 11.
Zaporedja in vrste, 12. Vektorji in prostorska geometrija.
Med številnimi odlikami knjige je vredno izpostaviti nekaj primerov,
kako zna avtor poudariti bistveno in pritegniti bralčevo pozornost. Tako
npr. v uvodnem poglavju Pregled infinitezimalnega računa (angl. A Preview
of Calculus) predstavi nekaj osnovnih problemov in konceptov (problem
računanja ploščin, problem iskanja tangent, pojem hitrosti, pojem limite
zaporedja in pojem vrste), ki so po eni strani vodili k razvoju infinitezi-
malnega računa, po drugi strani pa študentu omogočajo hitro osnovno ori-
entacijo po področju in razumevanje temeljnih idej, saj se da njihovo vsebino
dovolj jasno predstaviti še pred uvedbo natančnih definicij; te so se tudi v
zgodovini matematike tako ali tako pojavile šele z dolgoletnim zamikom,
potem ko so jih matematiki dolgo uporabljali nerigorozno, brez skrbi za
strogost definicij.
222 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Kovic” — 2020/3/10 — 9:20 — page 223 — #3 i
i
i
i
i
i
Calculus, Early transcendentals
Avtor v vsakem poglavju jasno poudari nekaj temeljnih resnic, ki lahko
študentu zelo olaǰsajo razumevanje sicer zahtevne in obsežne snovi. Tako
npr. eksplicitno pove, da so temeljni objekt, s katerim se ukvarja infinite-
zimalni račun, funkcije. Ker se da s funkcijami modelirati najrazličneǰse
pojave in procese v naravi in družbi, je potrebno, da jih znamo analizirati, na
različne načine računati z njimi, pa tudi proučevati, razvijati in interpretirati
matematične modele, v katerih nastopajo. Pri študiju funkcij je nepogrešljiv
pojem limite, na katerem temeljijo tudi pojmi zveznosti, odvoda in integrala.
Avtor meni, »da bi dejansko lahko definirali infinitezimalni račun kot tisti
del matematike, ki se ukvarja z limitami« (str. 8).
Za primerjavo omenimo, da je v knjigi Sterling K. Berberian: A First
Course in Real Analysis, Springer-Verlag, 1994, na strani 80 podan pre-
cej drugačen pogled: »V elementarnem kalkulusu sta koncepta zveznost in
odvodi naslikana z istim čopičem in ta čopič se imenuje ›limite‹; to je do-
bro, da se pokaže enotnost v procesih infinitezimalnega računa. Vendar, ko
pogledamo ta koncepta natančneje, vidimo, da sta precej različna: zveznost
ima opraviti z interakcijo med funkcijami in odprtimi množicami, medtem
ko diferenciabilnost vključuje še algebraično strukturo obsega realnih števil
(nenehno imamo opravka z ›diferenčnimi kvocienti‹)«.
Poglavje o diferencialnih enačbah uvaja misel, da matematični model
pogosto privzame obliko diferencialne enačbe. Čeprav pogosto ni mogoče
najti eksplicitne formule za rešitev diferencialne enačbe, pa lahko grafični in
numerični pristop omogočita vsaj kvalitativno razumevanje raziskovanega
procesa, ki ga modelira dana enačba.
Knjiga, ki je napisana zelo jasno in je tudi pregledno urejena, bo ugajala
vsem študentom in učiteljem matematike, ki si želijo infinitezimalni račun,
tudi če o njem že vedo zelo veliko, spoznati na drugačen, moderneǰsi način, z
veliko poudarka na konceptualnem razumevanju, nazornosti razlage, števil-
nih zanimivih zgledih ter praktičnih aplikacijah in privlačnih projektih.
Jurij Kovič
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6 223
i
i
“Forstneric” — 2020/3/10 — 9:21 — page 224 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Zoisova nagrada za življenjsko delo akademiku Josipu Globevniku
Akademik prof. dr. Josip Globevnik, zaslužni profesor Fakultete za mate-
matiko in fiziko Univerze v Ljubljani, je v letu 2019 prejel Zoisovo nagrado
za življenjsko delo na področju matematike, natančneje, kompleksne ana-
lize. To naravno ponujeno priložnost želim izkoristiti za kratko predstavitev
njegovega življenja in dela.
Josip Globevnik je bil rojen v Ljubljani. Matematiko je študiral na Uni-
verzi v Ljubljani, kjer je diplomiral leta 1968. Zatem je leta 1971 magistriral
na Univerzi v Zagrebu pri prof. dr. Svetozarju Kurepi z delom Ulomljene
potence operatorjev, leta 1972 pa je doktoriral iz matematike na Univerzi v
Ljubljani pri prof. dr. Ivanu Vidavu z disertacijo Analitične funkcije s kon-
stantno normo. Po doktoratu se je intenzivno usmeril v raziskovalno delo
na področju kompleksne analize (del matematične analize) in je kot prvi
Slovenec po akademiku Josipu Plemlju navezal vrsto tesnih stikov s tujimi
raziskovalci na tem področju; več o tem v nadaljevanju. V letih 1968–73 je
bil asistent za matematiko, v letih 1973–78 docent, 1978-83 izredni profesor
in od leta 1983 do upokojitve leta 2012 redni profesor na Univerzi v Lju-
bljani. Do leta 1988 je poučeval matematiko na Fakulteti za arhitekturo,
gradbenǐstvo in geodezijo, od 1988 dalje pa na Fakulteti za naravoslovje in
tehnologijo ter kasneje Fakulteti za matematiko in fiziko. Leta 2013 je bil
imenovan za zaslužnega profesorja Univerze v Ljubljani. V letih 1979–86 je
bil predstojnik Oddelka za matematiko na Inštitutu za matematiko, fiziko
in mehaniko v Ljubljani, v letih 1993–95 pa je bil predstojnik Oddelka za
matematiko na Univerzi v Ljubljani. V tem obdobju se je izpod okrilja Fa-
kultete za naravoslovje in tehnologijo oblikovala vrsta neodvisnih fakultet,
med njimi Fakulteta za matematiko in fiziko. Pri njenem ustanavljanju je
skupaj s prof. dr. Martinom Čopičem, ki je tedaj vodil Oddelek za fiziko,
Globevnik odigral ključno vlogo.
Vse od svojega doktorata v letu 1972 dalje je bil Globevnik vodilni slo-
venski strokovnjak na področju kompleksne analize. Njegovo raziskovalno
delo je bilo pionirske narave na več pomembnih področjih, ki so na kratko
opisana v nadaljevanju, in je vodilo v nove smeri raziskovanja, ki so danes
zelo aktualne. V času svoje kariere je bil na vrsti dalǰsih gostovanj na po-
membnih tujih univerzah in raziskovalnih ustanovah, še posebej v ZDA. Bil
je gostujoči docent na University of Kentucky (ZDA, 1973/74) in gostujoči
profesor na University of Washington v Seattlu (ZDA, 1978/79, dva trime-
stra v 1984, dva trimesta v 1989/90, en trimester v 1996), na University
of Wisconsin v Madisonu (ZDA, prvo polletje 1985/86), na University of
California v San Diegu (ZDA, en trimester v 1992, en trimester v 2004)
224 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Forstneric” — 2020/3/10 — 9:21 — page 225 — #2 i
i
i
i
i
i
Zoisova nagrada za življenjsko delo akademiku Josipu Globevniku
Slika 1. Josip Globevnik
in na University of Michigan v Ann Arborju (ZDA, prvo polletje 2001/2).
Kraǰsi čas je gostoval na Universidade Federal v Riu de Janeiru (Brazilija),
na Trinity College v Dublinu (Irska), na Univerzi Bar-Ilan v Ramat Ganu v
Izraelu, na Institutu Mittag-Leffler v Stockholmu (Švedska) in na Université
Paul Sabatier v Toulousu (Francija). Z vabljenimi predavanji se je udeležil
dolge vrste mednarodnih konferenc o različnih področjih kompleksne ana-
lize. S predavanji je obiskal več univerz v Evropi, ZDA, Izraelu, Koreji in
na Kitajskem. Od leta 1974 dalje je član American Mathematical Society.
Globevnik je vseskozi sledil novim raziskovalnim trendom in je delal na
zelo raznovrstnih problemih. V številnih od njih je vpeljal nove metode,
ki so jih kasneje začeli uporabljati tudi drugi raziskovalci. Vselej sta mu
bili najbolj pomembni kakovost in popolnost dosežkov; ničesar ni želel ob-
javiti, dokler ni imel natanko izdelanih vseh podrobnosti in je bil povsem
prepričan, da je njegova rešitev pravilna oziroma da, kot je pogosto rad de-
jal, »drži vodo«. V tem pogledu je Globevnik nadaljeval tradicijo vrhunskih
slovenskih matematikov Ivana Vidava in Josipa Plemlja, torej svojega mate-
matičnega očeta in deda. To zavzetost za vrhunsko kakovost in inovativnost
raziskovanja je prenašal tudi na svoje študente in znanstvene sodelavce. Vse-
lej je poudarjal, da odlična znanost in še posebej matematika lahko nastaja
kjerkoli in ne samo v pisarni, najbolǰse ideje pa se v resnici le redko kdaj
pojavijo ob sedenju za pisalno mizo ali ob računalniku. Vsa svoja znan-
stvena dela je najprej izjemno vestno lepopisno napisal z nalivnim peresom
na papir v toliko iteracijah, da je nastal končni izdelek, ki ga je šele nato
obdelal računalnǐsko.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6 225
i
i
“Forstneric” — 2020/3/10 — 9:21 — page 226 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
V svoji karieri je Globevnik objavil 116 originalnih znanstvenih del, sko-
raj vse v mednarodnih matematičnih revijah, od tega večino v visokokako-
vostnih revijah, ki po kriteriju faktorja vpliva sodijo v prvi kvartil. Vrsta
njegovih del je bila objavljenih v najelitneǰsih matematičnih revijah, kot
so Annals of Mathematics (2 objavi, od tega ena v letu 2015), Inventiones
Math., American J. Math., Math. Annalen, Transactions of the American
Math. Soc., Crelle’s J. in drugih. V svojih delih je obravnaval probleme iz
komplekse analize in sorodnih področij, med njimi zaloge vrednosti vektor-
skih holomorfnih funkcij, robne lastnosti holomorfnih funkcij več spremen-
ljivk in analitičnih množic, prave holomorfne vložitve območij v kompleksni
ravnini v dvorazsežni kompleksni evklidski prostor, integralske karakteri-
zacije holomorfnih funkcij ene spremenljivke in integralske karakterizacije
robnih vrednosti holomorfnih funkcij več spremenljivk, analitične diske z
robovi v maksimalno realnih podmnogoterostih in karakterizacije robnih
vrednosti holomorfnih funkcij s principom argumenta. Leta 2015 je z ele-
gantno in presenetljivo konstrukcijo kompletne kompleksne hiperploskve v
enotski krogli evklidskega prostora poljubne dimezije več od 1 podal po-
polno rešitev problema Paula Yanga iz 1977; ta rezultat je bil objavljen v
eni izmed najelitneǰsih matematičnih revij Annals of Mathematics in je bil
izbran med najbolǰse dosežke slovenske znanosti na področju naravoslovja
in matematike v Sloveniji po izboru ARRS v letu 2015.
Kljub temu da je do leta 1988 poučeval matematiko na Fakulteti za ar-
hitekturo, gradbenǐstvo in geodezijo, je bil Globevnik že v svojem zgodnjem
obdobju znanstveno in kot mentor prisoten tudi na Oddelku za matematiko
tedanje Fakultete za naravoslovje in tehnologijo, kamor je nato prǐsel kot re-
dni profesor leta 1988. Zatem je dolgo vrsto let predaval temeljna predmeta
iz matematične analize v 1. in 2. letniku študija matematike ter osnovni
predmet iz kompleksne analize. Občasno je predaval tudi podiplomske ozi-
roma doktorske predmete iz analize. Bil je zelo priljubljen predavatelj, saj
je predaval izredno nazorno in zavzeto, z njemu lastno energijo in karizma-
tičnostjo. Vselej se je osredotočal na bistvene ideje, ki jih je na koncu dalǰsih
dokazov rad ponovno povzel in posebej poudaril.
Z namenom razvoja kompleksne analize in sorodnih področij v Slove-
niji je že leta 1975 ustanovil Seminar za kompleksno analizo na Oddelku
za matematiko, ki deluje brez presledka vse do danes. Okrog njega se je
postopoma oblikovala raziskovalna skupina za kompleksno analizo, ki je da-
nes osrednja in najbolj aktivna skupina na področju matematične analize
v Sloveniji in predstavlja jedro programske skupine Analiza in geometrija
pri ARRS. Podpisani sem bil njegov prvi študent s področja analize funkcij
več kompleksnih spremenljivk, vendar me je po enem letu usmeril na na-
daljevanje doktorskega študija k svojemu sodelavcu, profesorju Edgarju Lee
Stoutu na University of Washington v Seattlu, ZDA, kjer je bil Globevnik
226 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“Forstneric” — 2020/3/10 — 9:21 — page 227 — #4 i
i
i
i
i
i
Zoisova nagrada za življenjsko delo akademiku Josipu Globevniku
gostujoči profesor v letu 1978/79 in še večkrat kasneje. Njegovi naslednji
študenti, sedanji člani skupine za kompleksno in harmonično analizo, so bili
Miran Černe (magisterij 1989, doktorat pri meni leta 1994 na University of
Wisconsin-Madison, ZDA), Darja Govekar Leban (doktorat 1999), Oliver
Dragičević (diploma 1998, magisterij 2001, doktorat l. 2003 pri Alexandru
Volbergu na Michigan State University, East Lansing, ZDA), Barbara Dri-
novec Drnovšek (magisterij 1996, doktorat 2003), in Marko Slapar (diploma
1997, doktorat l. 2003 pri Johnu Eriku Fornaessu na University of Michigan
v Ann Arbor, ZDA). Poleg navedenih je Globevnik pomagal vrsti slovenskih
študentov z različnih področjih matematike pri iskanju ustreznih kontaktov
in možnih mentorjev v tujini ter pri pisanju priporočilnih pisem. Tudi pisec
pričujočega prispevka je med tistimi srečneži, ki jih je Globevnik s svojo
modrostjo in dobrim nasvetom v pravem trenutku usmeril na dobro pot in
jim tudi kasneje stal ob strani.
Za svoje znanstveno delo je Globevnik prejel vrsto nagrad in priznanj.
Prva med njimi je bila leta 1975 nagrada za raziskovalno delo na matema-
tični balkanijadi v Bolgariji. Leta 1976 je prejel nagrado Borisa Kidriča za
vrhunske znanstvene dosežke (enakovredno sedanji Zoisovi nagradi). Leta
1985 je bil izvoljen za izrednega člana Slovenske akademije znanosti in ume-
tnosti (SAZU), leta 1989 pa je postal njen redni član. V letih 2008–14
je opravljal funkcijo tajnika III. razreda SAZU za matematične, fizikalne,
kemijske in tehnǐske vede. Leta 2017 je bil izvoljen za rednega člana medna-
rodne inženirske akademije v Moskvi (naslednica inženirske akademije Sov-
jetske zveze). Kot je bilo že uvodoma omenjeno, je leta 2019 prejel Zoisovo
nagrado za življenjsko delo.
Za zaključek naj še enkrat poudarim, da je bil Josip Globevnik med
prvimi matematiki v Sloveniji, ki so v 70. letih kljub tedaj zelo skromnim
sredstvom za znanstveno delo na področju matematike bistveno prispevali k
odprtju naše dežele v svetovne tokove raziskovanja na tem področju. To je
zelo velika stvar, ki jo je težko povsem razumeti v luči današnjih, bistveno
ugodneǰsih razmer. Številnim mladim matematikom je širokogrudno poma-
gal odpirati vrata v svet z vzpodbujanjem in s priporočili za študij na dobrih
tujih univerzah. Ta njegov prispevek k razvoju matematike v Sloveniji je po
mojem mnenju prav tako pomemben kot njegovi prvorazredni raziskovalni
dosežki, ki bodo ostali viden del svetovne zakladnice znanja na področju
matematične analize.
Ob prejemu Zoisove nagrade za življenjsko delo profesorju Josipu Glo-
bevniku, našemu dragemu Pikotu, v svojem imenu ter v imenu sodelavcev
programske skupine Analiza in geometrija iskreno čestitam ter mu želim še
naprej veliko zadovoljstva z matematiko.
Franc Forstnerič
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6 227
i
i
“kazalo” — 2020/3/12 — 8:12 — page 228 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in fiziko 66 (2019)
številke 1–6, strani 1–240
Članki — Articles
Generatorji praštevil (Janko Bračič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10
Bertrandov postulat (Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11–21
O enačbi Korteweg-de Vries (Timotej Lemut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22–29
Trikotnik, enakoosna hiperbola in Bernoullijeva lemniskata
(Marko in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–53
Difuzijska traktografija (Aleš Mohorič, Igor Serša in Matic Noč) . . . . . . . 54–63
Katakavstika Bernoullijeve lemniskate (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . 81–89
Homopolarni motorji (Robert Hauko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90–104
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti:
Leonardo in matematika (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–131
Nobelova nagrada odkriteljema planetov drugih zvezd
(Tomaž Zwitter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132–145
Novosti na splošni maturi 2021 pri predmetu matematika
(Iztok Banič, Jaka Erker, Mateja Fošnarič, Alojz Grahor,
Tatjana Levstek, Mateja Škrlec in Janez Žerovnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–171
Podhlajene vodne kapljice v ozračju (Gregor Skok in Jože Rakovec) . . . . 172–183
Od integralov do ogrlic (Barbara Drinovec Drnovšek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–210
Kongrui večkotnǐskih števil (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211–220
Iz zgodovine — Miscellanea
Zanimiva knjiga o mehaniki in nekaj spominov na profesorja Kuhlja
(Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35–39
Mere, merska reforma in nekaj zgodovine v Močnikovih učbenikih
(Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67–74
G. Cardano, The Rules of Algebra (Ars Magna) (Jurij Kovič) . . . . . . . . . 75–III
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti:
Renesančni človek (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105–113
Spomini na študijska leta in profesorja Plemlja
(Marko in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146–151
228 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6
i
i
“kazalo” — 2020/3/12 — 8:12 — page 229 — #2 i
i
i
i
i
i
Letno kazalo
Nove knjige — New books
Mario Livio, The Equation That Couldn’t Be Solved (Jurij Kovič) . . . . . 30–33
Robin Wilson, Euler’s Pioneering equation (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . 33–34
Carlo Rovelli, Zapovrstje časa (Alojz Kodre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184–186
Elena Deza in Michel Marie Deza, Figurate Numbers
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187–190
James Stewart, Calculus, Early transcendentals (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . 221–223
Vesti — News
Vabilo za predloge priznanj DMFA Slovenije za leto 2019
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Obvestilo (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–III
MaRS 2019 (David Gajser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–66
Predsednik Pahor podelil srebrni red za zasluge DMFA Slovenije
(urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–117
Šestindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Marjan Jerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117–XI
Sedemdeset let DMFA Slovenije, 72. občni zbor DMFA Slovenije
(Pripravila Janez Krušič in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152–158
Srečanje »Women of mathematics on the Mediterranean shores«
na Bledu in Srečanje mladih raziskovalcev v matematiki
(Marjeta Kramar Fijavž, Jasna Prezelj, Anja Petković) . . . . . . . . . . . . . 159–XV
Profesor Frederick Duncan Michael Haldane, častni član
DMFA Slovenije (Urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190–191
Kristijan Kocbek, Margareta Obrovnik Hlačar, Jožef Senekovič in
Sašo Strle novi prejemniki priznanj DMFA Slovenije
(Urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192–195
Blinčeve nagrade (Aleš Mohorič, urednik za fiziko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196–197
Zoisove nagrade in priznanja ter Puhove nagrade in priznanja 2019
(za urednǐstvo: Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197–XIX
Zoisova nagrada za življensko delo akademiku Josipu Globevniku
(Franc Forstnerič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224–227
Letno kazalo (urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228–229
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 6 229
i
i
“kolofon” — 2020/3/12 — 9:11 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, NOVEMBER 2019
Letnik 66, številka 6
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Od integralov do ogrlic (Barbara Drinovec Drnovšek) . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–210
Kongrui večkotniških števil (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211–220
Nove knjige
James Stewart, Calculus, Early transcendentals (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . 221–223
Vesti
Zoisova nagrada za življensko delo akademiku Josipu Globevniku
(Franc Forstnerič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224–227
Letno kazalo (uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228–229
CONTENTS
Articles Pages
From integrals to necklaces (Barbara Drinovec Drnovšek) . . . . . . . . . . . . 201–210
Congrua of polygonal numbers (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211–220
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221–223
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224–229
Na naslovnici: Geometrijska predstavitev figurativnih števil (glej članek na stra-
neh 211–220).