i
i
“kolofon” — 2018/5/3 — 10:34 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JANUAR 2018, letnik 65, številka 1, strani 1–40
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2017 DMFA Slovenije – 2067 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OCENJEVANJE PARAMETROV V BAYESOVI
STATISTIKI
ALEŠ TOMAN
Ekonomska fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 62F15, 62F10
Čeprav začetki Bayesove statistike segajo v drugo polovico 18. stoletja, je svoj razcvet
doživela šele z razvojem računalnikov ob koncu 20. stoletja. V članku bomo na enostavnem
zgledu prikazali ključne korake in lastnosti Bayesovega pristopa k ocenjevanju parametrov.
BAYESIAN PARAMETER ESTIMATION
Although the beginnings of Bayesian statistics date back to the second half of the
18th century, it started to flourish at the end of the 20th century when computers became
widely available. In this paper we go through some basic steps and properties of Bayesian
parameter estimation.
Uvod
Statistika je veda, ki razvija in proučuje metode zbiranja podatkov ter nji-
hove analize in predstavitve. Statistiki pri svojem delu lahko le redkokdaj
razpolagamo s podatki za celotno populacijo ali poznamo natančne lastnosti
opazovanega pojava. Pogosteje imamo na voljo le informacije za nekaj na
slepo izbranih enot, ki sestavljajo slučajni vzorec. Osrednja naloga sklepne
statistike je opisovanje lastnosti populacije ali pojava na osnovi lastnosti, ki
jih opazimo oziroma izmerimo na vzorcu [7].
Obstaja več pristopov k statističnemu sklepanju. Danes je bolj znan
frekventistični pristop, ki so ga v prvi polovici 20. stoletja utemeljili R. A.
Fisher (1890–1962), E. S. Pearson (1895–1980) in J. Neyman (1894–1981).
Za ta pristop so značilne cenilke največjega verjetja, intervali zaupanja ter
preizkušanje domnev [7].
Manj znan, a vse pomembneǰsi je Bayesov pristop. Za njegov začetek
štejemo zapiske T. Bayesa (1702–1761), ki jih je leta 1763 objavil R. Price.
V njih je nakazana znamenita Bayesova formula in razprava o tem, kako
se ob opazovanju pojavov spreminjajo naša prepričanja [6]. Ob koncu 18.
stoletja je P.-S. de Laplace (1749–1827) podrobneje (neodvisno od Bayesa)
predstavil, kako Bayesovo formulo uporabimo v različnih statističnih proble-
mih. Med drugim je iz podatkov o rojstvih v parǐskih porodnǐsnicah ocenil
verjetnost za rojstvo deklice [4]. V nadaljevanju si bomo ogledali podoben
primer.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1 1
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleš Toman
Bayesov pristop je prevladoval v statistiki 19. stoletja. Čeprav je v teoriji
omogočal enostavno analizo zapletenih modelov, je bil v praksi zaradi ra-
čunskih zahtev manj uporaben. Razvoj učinkovitih simulacijskih algoritmov
ter široka dostopnost računalnikov ob koncu 20. stoletja pa sta Bayesovemu
pristopu vrnila mesto v statistični znanosti.
Bayesova formula
Bayesovo formulo pogosto povezujemo z dvofaznimi poskusi, kjer v prvi
fazi nastopi natanko eden od dogodkov iz popolnega sistema dogodkov (hi-
potez) H1, . . . ,Hn in so od tega, kateri se je pripetil, odvisni pogoji poskusa
v drugi fazi, v katerem opazujemo dogodek A [3].
Privzemimo, da poznamo verjetnosti P (H1), . . . , P (Hn) vseh hipotez ter
pogojne verjetnosti P (A|H1), . . . , P (A|Hn) dogodka A glede na posamezne
hipoteze. Formula za popolno verjetnost nam pove, kako izračunati
brezpogojno verjetnost dogodka A v drugi fazi:
P (A) =
n∑
i=1
P (Hi) · P (A|Hi).
Postavimo si še obratno vprašanje: Če vemo, da se je dogodek A v
drugi fazi zgodil, kolikšna je pogojna verjetnost, da se je v prvi fazi zgodila
hipoteza Hi? Odgovor nam da Bayesova formula
P (Hi|A) =
P (Hi) · P (A|Hi)
P (A)
.
Verjetnosti P (Hi) pravimo apriorna, verjetnosti P (Hi|A) pa aposteri-
orna verjetnost hipoteze Hi. Opazimo, da imenovalec v Bayesovi formuli
ni odvisen od i in je pri vseh hipotezah enak. Potrebujemo ga za to, da
se aposteriorne verjetnosti vseh n hipotez seštejejo v 1. Zato v Bayesovi
statistiki pogosto zapǐsemo samo sorazmerje
P (Hi|A) ∝ P (Hi) · P (A|Hi).
Zgled 1. V prvem kozarcu so dobro premešane 4 črne in 4 bele kroglice,
v drugem pa 3 črne in 5 belih. Iz prvega kozarca na slepo izvlečemo eno
kroglico in jo preložimo v drugi kozarec. Tega pretresemo in nato iz njega
na slepo izvlečemo eno kroglico. Kolikšne so verjetnosti dogodkov A, da iz
prvega kozarca izvlečemo belo kroglico, B, da iz drugega kozarca izvlečemo
belo kroglico, in C, da smo iz prvega kozarca izvlekli belo kroglico, če vemo,
da smo iz drugega kozarca izvlekli belo kroglico?
2 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 3 — #3 i
i
i
i
i
i
Ocenjevanje parametrov v Bayesovi statistiki
? ?
Slika 1. Shema dvofaznega poskusa s kroglicami.
Naloga opisuje dvofazni poskus, njegova shema je prikazana na sliki 1.
V prvi fazi iz prvega kozarca izvlečemo kroglico in jo preložimo v drugi
kozarec. Pri tem sta možni dve hipotezi: H1, da izvlečemo črno kroglico,
in H2, da izvlečemo belo kroglico. Ker so v prvem kozarcu 4 črne in 4 bele
kroglice, sta apriorni verjetnosti hipotez
P (H1) = P (H2) =
4
8
=
1
2
.
V drugi fazi poskusa izvlečemo kroglico iz drugega kozarca. Možna sta
dva dogodka (je črna ali bela); v nalogi nas zanima dogodek B, da izvlečemo
belo kroglico. Po formuli za popolno verjetnost izračunamo
P (B) = P (H1) · P (B|H1) + P (H2) · P (B|H2) =
1
2
· 5
9
+
1
2
· 6
9
=
11
18
.
Pri računanju P (B|H1) smo si pomagali z vsebinsko interpretacijo do-
godkov. Če v prvi fazi izvlečemo črno kroglico (pogoj H1), imamo nato v
drugem kozarcu 4 črne in 5 belih kroglic. Verjetnost, da iz njega izvlečemo
belo kroglico (dogodek B), je zato P (B|H1) = 59 . Podobno izračunamo še
P (B|H2) = 69 .
Z Bayesovo formulo izračunamo še aposteriorni verjetnosti hipotez
P (H1|B) =
P (H1) · P (B|H1)
P (B)
=
(1/2) · (5/9)
11/18
=
5
11
<
1
2
,
P (H2|B) =
P (H2) · P (B|H2)
P (B)
=
(1/2) · (6/9)
11/18
=
6
11
>
1
2
.
Ob tem opazimo:
1–11 3
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 4 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleš Toman
• Aposteriorni verjetnosti hipotez se razlikujeta od apriornih. Razlog za
razliko je informacija o dogodku, ki se je zgodil v drugi fazi poskusa.
• Razmerje aposteriornih verjetnosti hipotez (5 : 6) je enako razmerju
pogojnih verjetnosti dogodka B v drugi fazi. To je posledica enakih
apriornih verjetnosti hipotez.
Za končno rešitev zapǐsimo še verjetnosti dogodkov A in C. Ker je
A = H2, je P (A) =
1
2 , in ker je C = H2|B, velja P (C) =
6
11 .
Evrski kovanec in neznani parameter p
Opǐsimo enostaven statistični problem, na katerem bomo prikazali vse ko-
rake Bayesovega pristopa k ocenjevanju neznanih parametrov ter ga na
kratko primerjali s frekventističnim pristopom. Zamislimo si stavo z ne
nujno poštenim evrskim kovancem. Kovanec bomo vrgli enkrat, dobitek pa
prejmemo, če smo pred tem napovedali pravi izid. Na kaj bomo stavili?
Splača se staviti na izid, ki je bolj verjeten.
Pri metu kovanca sta možna dva dogodka: dogodek C, da pade cifra,
ter dogodek G, da pade grb. Ker drugih možnosti ni, je
P (C) + P (G) = 1.
Ker ne vemo, ali je kovanec pošten, označimo P (C) = p ter P (G) = 1−p.
Število p je neznani populacijski parameter (neznana verjetnost) oziroma
lastnost kovanca. Od njega bo odvisna naša stava. Naloga statistike je zanj
podati čim bolǰso oceno.
Privzemimo, da smemo pred stavo z nekaj meti preizkusiti kovanec. Ko-
vanec smo vrgli n = 10-krat in pri tem je cifra padla x = 7-krat. Zaporedje
10 črk, med katerimi se 7-krat pojavi C in 3-krat G, je slučajni vzorec, s
katerim bomo ocenili neznani parameter p. Pri tem bomo uporabili frekven-
tistični ter Bayesov pristop.
V obeh pristopih je pomembna funkcija verjetja fX|P (x|p). Ta po-
daja verjetnost na danem vzorcu izmerjenih vrednosti (x cifer v n metih) v
odvisnosti od neznanega parametra p. V našem primeru je verjetnost, da v
10 metih kovanca opazimo 7 cifer, enaka
fX|P (x|p) =
(
10
7
)
p7(1− p)3.
To je binomsko verjetje. Graf funkcije verjetja je na sliki 2. V frekventistični
statistiki lahko oceno p̂ parametra p določimo z metodo največjega verjetja.
Ta za p̂ izbere tisto vrednost p, pri kateri funkcija verjetja fX|P (x|p) doseže
najvǐsjo vrednost. Zlahka preverimo, da je to pri p̂ = xn = 0,7. Vrednost
prikazuje črtkana navpičnica na grafu na sliki 2.
4 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 5 — #5 i
i
i
i
i
i
Ocenjevanje parametrov v Bayesovi statistiki
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.
00
0.
10
0.
20
p
, , , , , ,
f X
|P
(x
|p
)
0,
0
0,
1
0,
2
Slika 2. Graf funkcije verjetja.
Dobljena točkovna ocena parametra p je korektna, a je navedba zgolj
točkovne ocene lahko zavajajoča. Če bi pri samo enem izmed metov ko-
vanca opazili drugačen izid, bi se naša ocena parametra p spremenila za 0,1.
Več informacij (natančnost naše ocene) o neznanem parametru p predsta-
vimo z intervalom zaupanja. Konstrukcij intervalov zaupanja za neznano
verjetnost je več. Tu bomo uporabili le dve, ki ju zaradi njunih lastnosti
najpogosteje priporočajo za uporabo v praksi [1, 2]. Wilsonov1 95 % interval
zaupanja za p je [0,397; 0,892], Clopper-Pearsonov2 95 % interval zaupanja
pa [0,348; 0,933].
Bayesov pristop
Bayesova statistika neznane parametre obravnava kot (zvezne) slučajne spre-
menljivke, naše védenje o njihovih vrednostih pa opǐse s porazdelitvami,
najlažje z gostoto verjetnosti te slučajne spremenljivke. Bayesov pristop k
ocenjevanju parametrov idejno sledi Bayesovi formuli. Najprej privzamemo
neko apriorno gostoto verjetnosti fP (p) za neznani parameter p in izra-
čunamo verjetje fX|P (x|p) na danem vzorcu izmerjenih vrednosti v odvisno-
sti od parametra p. Pri tem lahko apriorno gostoto verjetnosti izberemo na
osnovi preteklih analiz ali splošnih dognanj. Nato določimo aposteriorno
1Wilsonov 100(1 − α) % interval zaupanja omejujeta vrednosti x+z
2/2
n+z2
±
z
√
n
n+z2
√
p̂(1 − p̂) + z2
4n
, kjer z označuje (1 − α/2)-kvantil standardne normalne po-
razdelitve.
2Spodnja meja Clopper-Pearsonovega 100(1 − α) % intervala zaupanja je α/2-kvantil
porazdelitve Beta(x, n− x+ 1), zgornja meja pa (1 − α/2)-kvantil porazdelitve Beta(x+
1, n− x).
1–11 5
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 6 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleš Toman
gostoto verjetnosti fP |X(p|x) parametra p po Bayesovi formuli
fP |X(p|x) =
fP (p) · fX|P (x|p)
fX(x)
.
Imenovalec fX(x) predstavlja robno (brezpogojno) porazdelitev vzorčnih
vrednosti in ni odvisen od p, zagotovi pa, da je integral aposteriorne gostote
verjetnosti enak 1. Poenostavljeno lahko zapǐsemo samo sorazmerje
fP |X(p|x) ∝ fP (p) · fX|P (x|p)
in nato določimo ustrezno normirno konstanto. Aposteriorna gostota ver-
jetnosti predstavlja naše védenje o neznanem parametru p, potem ko smo
združili naše apriorno znanje in informacije iz podatkov.
Vrnimo se k našemu kovancu. Funkcijo verjetja smo že spoznali. Ker
bomo normirno konstanto v aposteriorni gostoti verjetnosti določili na koncu,
zapǐsemo samo funkcijski del funkcije verjetja
fX|P (x|p) ∝ p7(1− p)3.
Izbrati moramo še apriorno porazdelitev parametra p. Jasno je, da p leži
med 0 in 1, zato je smiselna izbira gostote verjetnosti iz družine porazdelitev
beta [4]. Ta ima dva parametra, označimo ju z α in β. Oglejmo si njene
lastnosti. Naj bo p ∼ Beta(α, β). Gostota verjetnosti spremenljivke p je
tedaj
fP (p) =
1
B(α, β)
pα−1(1− p)β−1 za p ∈ [0, 1],
upanje E(p) = αα+β ter varianca var(p) =
αβ
(α+β)2(α+β+1)
. Tu smo z B(α, β)
označili vrednost funkcije beta. Tudi pri apriorni porazdelitvi lahko ohra-
nimo samo njen funkcijski del, zato zapǐsemo
fP (p) ∝ pα−1(1− p)β−1.
Določiti moramo še parametra α in β; parametrom apriorne porazdelitve
pravimo hiperparametri. Privzemimo, da iz izkušenj vemo, da naj bi bil
kovanec pošten, zato α in β določimo tako, da bo E(p) = 12 . Torej mora
biti α = β. Varianca je tedaj enaka var(p) = 14(2α+1) , standardni odklon pa
σ(p) = 1
2
√
2α+1
. Z njim povemo, kako prepričani smo v poštenost kovanca.
Zaradi enostavnosti izberimo α = 4, kjer dobimo σ(p) = 16 . Graf apriorne
gostote verjetnosti parametra p je na sliki 3.
Z uporabo Bayesove formule ugotovimo, da je aposteriorna gostota ver-
jetnosti parametra p sorazmerna
fP |X(p|x) ∝ p4−1(1− p)4−1︸ ︷︷ ︸
apriorna
· p7(1− p)3︸ ︷︷ ︸
verjetje
= p10(1− p)6.
6 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 7 — #7 i
i
i
i
i
i
Ocenjevanje parametrov v Bayesovi statistiki
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.
0
0.
5
1.
0
1.
5
2.
0
Porazdelitev Beta(4, 4)
p
, , , , , ,
f P
(p
)
0,
0
0,
5
1,
0
1,
5
2,
0
Slika 3. Apriorna gostota verjetnosti parametra p.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.
0
1.
0
2.
0
3.
0
●
Porazdelitev Beta(11, 7)
p
, , , , , ,
f P
|X
(p
|x
)
0,
0
1,
0
2,
0
3,
0
Slika 4. Aposteriorna gostota verjetnosti parametra p.
V zadnjem izrazu prepoznamo obliko gostote porazdelite beta, zato velja
p|x ∼ Beta(11, 7) = Beta(α′, β′).
Graf njene gostote verjetnosti je na sliki 4. Za točkovno oceno parametra
najpogosteje izberemo matematično upanje aposteriorne gostote verjetnosti;
to znaša α
′
α′+β′ = 0,611 in ga prikazuje črtkana navpičnica na grafu na sliki 4.
Natančnost točkovne ocene lahko podamo s standardnim odklonom aposte-
riorne gostote; ta je
√
α′β′
(α′+β′)2(α′+β′+1) = 0,012 in ga prikazujeta vodoravni
puščici na grafu; še pogosteje pa s centralnim intervalom aposteriorne
gostote verjetnosti. 95 % centralni interval dobimo tako, da na levem in
desnem repu porazdelitve odrežemo po 2,5 % verjetnosti [4]. Ustrezna repa
sta na grafu označena s sivo, med njima (med kvantiloma) pa nam ostane
intervalna ocena [0,383; 0,816].
1–11 7
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 8 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleš Toman
Lastnosti Bayesovega pristopa
Konjugirane apriorne porazdelitve. V primeru s kovancem smo opazili, kako
prikladna je bila izbira apriorne gostote verjetnosti iz družine porazdelitev
beta. Tudi aposteriorna porazdelitev je pripadala isti družini porazdeli-
tev. Temu rečemo, da je družina porazdelitev beta konjugirana k binomski
funkciji verjetja. Normirne konstante v aposteriorni gostoti verjetnosti sploh
nismo eksplicitno zapisali, upanje in standardni odklon te porazdelitve pa
smo določili brez uporabe računalnika.
Pri izbiri drugačne apriorne porazdelitve analiza ne bi bila več tako eno-
stavna. Ker moramo integrirati funkcijo fP (p) · fX|P (x|p), lahko račun ana-
litično sploh ni mogoč. To nas privede do uporabe računalnǐskih simulacij
in pojasni, zakaj je Bayesova statistika svoj razcvet doživela šele dve stoletji
po svojem nastanku.
Aposteriorna porazdelitev je kompromis med apriorno porazdelitvijo in
informacijami iz podatkov. Pri apriorni gostoti verjetnosti Beta(α, β) in na
vzorcu opaženih 7 cifrah in 3 grbih, je aposteriorna gostota verjetnosti oblike
f(p|x) ∝ pα−1(1− p)β−1 · p7(1− p)3.
Pri majhnih α in β imata v aposteriorni porazdelitvi vodilno vlogo vrednosti
7 in 3 iz vzorca, pri velikih α in β pa ima vodilno vlogo apriorna porazdelitev
neznanega parametra. V Bayesovi statistiki so aposteriorne porazdelitve
vselej kompromis med apriornimi porazdelitvami in podatki. Pri tem z
rastočo velikostjo vzorca čedalje večji pomen pridobivajo podatki.
Bayesova statistika je subjektivna. Z izbiro hiperparametrov v Bayesovo
analizo vnesemo naše apriorno znanje o proučevanem pojavu, kar je vsekakor
lahko subjektivno, ni pa nujno. Če smo v preteklosti že analizirali drug
evrski kovanec in ugotovili, da je bil pošten, lahko podobno pričakujemo tudi
od kovanca, ki ga proučujemo sedaj, in to izrazimo z izbiro hiperparametrov
apriorne porazdelitve. Kadar vsebinsko podobnih raziskav ne poznamo,
lahko uporabimo neinformativne apriorne porazdelitve. Statistično analizo
lahko ponovimo z različnimi apriornimi porazdelitvami in tako natančno
analiziramo njihov vpliv na končne rezultate [4].
Informativne in neinformativne apriorne porazdelitve
Da bi zmanǰsali očitke subjektivnosti, so v Bayesovi statistiki vpeljali nein-
formativne apriorne porazdelitve. Vrnimo se k družini porazdelitev beta.
Z različnimi izbirami hiperparametrov α in β lahko opǐsemo zelo različna
apriorna znanja. Simetrične porazdelitve dobimo pri izbiri α = β. Grafe go-
stot verjetnosti pri različnih parametrih prikazuje slika 5. Opazimo, da pri
8 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 9 — #9 i
i
i
i
i
i
Ocenjevanje parametrov v Bayesovi statistiki
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
2
4
6
8
             
p
, , , 0, 0, 1,
f P
(p
)
0,
0
2,
0
4
, 0
6
, 0
8
,0
Informativne
α = β = 50
α = β = 20
α = β = 10
Neinformativna
α = β = 1
Slika 5. Družina simetričnih porazdelitev beta.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
5
10
15
                    
p
, , , 0, 0, 1,
f P
(p
)
0
5
10
15
α = 10, β = 60
α = 20, β = 30
α = 30, β = 20
α = 60, β = 10
Slika 6. Družina nesimetričnih porazdelitev beta.
izbiri α = β = 1 dobimo zvezno enakomerno porazdelitev na intervalu [0, 1].
Uporaba te porazdelitve pomeni, da nimamo nikakršnih apriornih znanj o
možnih vrednostih parametra p. Taka porazdelitev je neinformativna.
Če sta parametra α in β različna, porazdelitve beta postanejo nesime-
trične. S takšno izbiro hiperparametrov lahko izrazimo apriorno znanje, da
kovanec ni pošten. Grafe gostot verjetnosti pri različnih parametrih prika-
zuje slika 6.
1–11 9
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 10 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleš Toman
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.
0
1.
0
2.
0
3.
0
●
Porazdelitev Beta(8, 4)
p
, , , , 0, 1,
f P
|X
(p
|x
)
0,
0
1
,0
2,
0
3,
0
Slika 7. Aposteriorna gostota verjetnosti parametra p pri neinformativni apriorni poraz-
delitvi.
Analiza kovanca z neinformativno apriorno porazdelitvijo
Če je apriorna porazdelitev zvezno enakomerna na intervalu [0, 1] oziroma
Beta(1, 1), je aposteriorna gostota verjetnosti
fP |X(p|x) ∝ fP (p)︸ ︷︷ ︸
=1
·fX|P (x|p) = fX|P (x|p)
sorazmerna funkciji verjetja [7]. V našem primeru dobimo p|x ∼ Beta(8, 4).
Njeno upanje je 0,667, standardni odklon 0,131 in 95 % centralni interval
aposteriorne verjetnosti [0,390; 0,891]. Njen graf je prikazan na sliki 7.
Bayes in Laplace sta v svojih delih uporabila neinformativne apriorne
porazdelitve. Laplace jo je utemeljil s principom nezadostnega razloga.
Ta pravi, da moramo, kadar odločamo v popolni negotovosti, vse možne
vrednosti neznanega parametra obravnavati kot enako verjetne [4].
Posodabljanje ocen v Bayesovem pristopu
Denimo, da smo isti evrski kovanec vrgli še 5-krat ter pri tem dobili 2
cifri in 3 grbe. Skupaj smo torej v 15 metih dobili 9 cifer in 6 grbov.
Oglejmo si, kako v statistično analizo vključimo dodatne podatke. Naša
informativna apriorna porazdelitev je bila Beta(4, 4). Z upoštevanjem 7 cifer
in 3 grbov v desetih metih smo v preǰsnjih razdelkih prǐsli do aposteriorne
porazdelitve Beta(4 + 7, 4 + 3) = Beta(11, 7). Podobno lahko sklepamo z
razširjenimi podatki (skupaj 15 metov) in dobimo aposteriorno porazdelitev
Beta(4 + 9, 4 + 6) = Beta(13, 10).
10 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Toman” — 2018/5/3 — 8:24 — page 11 — #11 i
i
i
i
i
i
Ocenjevanje parametrov v Bayesovi statistiki
Obstaja še druga pot. Namesto da analizo začnemo od začetka in zdru-
žimo stare in nove podatke, lahko nove podatke le dodamo zaključkom stare
analize. Pri tem aposteriorno porazdelitev Beta(11, 7) na osnovi začetnega
vzorca uporabimo kot apriorno porazdelitev pri analizi dodatnih podatkov.
Ko upoštevamo 2 cifri in 3 grbe, pridemo do iste končne aposteriorne po-
razdelitve Beta(11+ 2, 7+3) = Beta(13, 10). Zaradi enostavnega dodajanja
novih podatkov v že obstoječo analizo je Bayesova statistika uporabna v
aplikacijah, za katere je značilen avtomatski zajem podatkov.
Sklepne misli
V članku smo predstavili glavne korake Bayesovega pristopa k ocenjeva-
nju neznanih parametrov. Obravnavali smo neinformativne in informativne
apriorne porazdelitve, s katerimi lahko v statistično analizo vključimo naše
predhodno (ne)védenje o neznanem parametru. Na vzorcu zbrane informa-
cije predstavlja funkcija verjetja, ki ima pomembno vlogo tudi v frekven-
tistični statistiki. Z Bayesovo formulo nato predhodno znanje in vzorčne
informacije združimo v aposteriorno porazdelitev, ki opisuje naše védenje o
neznanem parametru po končani raziskavi. Tega najpogosteje povzamemo
z matematičnim upanjem in centralnim intervalom aposteriorne verjetnosti.
Postopek smo si ogledali na primeru ocenjevanja neznane verjetnosti. Izbira
primernih apriornih porazdelitev je v praksi težka naloga in zahteva sode-
lovanje med statistiki in drugimi znanstveniki. Pravi potencial Bayesovega
pristopa zato lahko izkoristimo le z interdisciplinarnim sodelovanjem.
LITERATURA
[1] A. Agresti in B. A. Coull, Approximate is better than »exact« for interval estimation
of binomial proportions, The American Statistician 52 (1998), 119–126.
[2] L. D. Brown, T. T. Cai in A. DasGupta, Interval estimation for a binomial proportion,
Statistical Science 16 (2001), 101–133.
[3] J. A. Čibej, Matematika. Kombinatorika, verjetnostni račun, statistika, DZS, Lju-
bljana, 1994.
[4] A. B. Gelman, J. B. Carlin, H. S. Stern in D. B. Rubin, Bayesian data analysis, 2.
izdaja, Chapman & Hall/CRC, 2004.
[5] H. Hoijtink, Bayesian data analysis, v: The SAGE handbook of quantitative methods
in psychology (R. E. Millsap in A. Maydeu-Olivares), The SAGE, 2009.
[6] S. B. McGrayne, The theory that would not die, Yale University Press, New Haven
& London, 2011.
[7] J. A. Rice, Mathematical statistics and data analysis, 3. izdaja, Thomson Bro-
oks/Cole, 2007.
1–11 11
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 12 — #1 i
i
i
i
i
i
POLARNI SIJ IN ZEMLJINO MAGNETNO POLJE
ALEŠ MOHORIČ
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Odsek za fiziko trdne snovi, Institut Jožef Stefan, Ljubljana
PACS: 92.60.hw, 94.20.Ac, 94.30.Aa
Polarni sij je pojav interakcije Sončevega vetra in Zemljine magnetosfere. Nastane,
ko delci Sončevega vetra zaidejo v termosfero in vzbujajo zračne molekule. Opisane so
lastnosti polarnega sija in mehanizem nastanka.
AURORA AND EARTH’S MAGNETIC FIELD
Aurora is caused by interaction of solar wind and Earth’s magnetosphere. It forms
when particles of the solar wind enter the thermosphere and excite air molecules. The
properties of aurora and its mechanism are described in the article.
Uvod
Polarni sij, na severni polobli imenovan Aurora Borealis na južni pa Aurora
Australis, je svetlobna zavesa, ki se občasno pojavi na nebu. Ima značilne
barve, pogosto zeleno zaradi značilnih atomskih prehodov kisika, včasih se
obarva tudi rdeče, in se s časom spreminja. Vidnost je geografsko omejena na
skrajna poseljena območja (Aljaska, Kanada, Islandija, Norveška). Občasno
pa ga je mogoče zaznati tudi bližje ekvatorju, predvsem na dolgo osvetljenih
fotografijah svetlobno neonesnaženega neba. Najpogosteje se pojavlja v
obdobju povečane Sončeve aktivnosti, seveda pa je viden le v dolgih temnih
nočeh. Sij povzročajo delci Sončevega vetra, ki v Zemljinem magnetnem
polju zavijejo proti polom in na poti s trki vzbujajo molekule v ozračju.
Avroro ljudje poznajo že iz davnine in so jo zaradi rdečega sija imeli
za znanilko vojn in težav. Pojav je z Zemljinim magnetizmom prvi povezal
A. Celsius. Kot vsak optični pojav v atmosferi jo je težko opazovati v
kontroliranih razmerah. Vǐsino plasti, iz katerih izvira sij, je prvi določil J.
Dalton s tem, da je uporabil triangulacijo pri primerjavi opazovanj sija več
opazovalcev na različnih mestih. A. J. Ångström je prvi izmeril svetlobni
spekter avrore in pokazal, da ni posledica sipanja sončne svetlobe na ledenih
kristalih v atmosferi. Seveda je pri raziskavah prihajalo tudi do zmot, tako je
npr. J. B. Biot mislil, da povzročajo avroro delci, ki jih izbruhajo ognjeniki.
Zemljino magnetno polje
Zemljino magnetno polje izvira iz njene notranjosti in se razteza daleč v pro-
stor. Največ izkušenj imamo seveda z bližnjim poljem, s poljem ob površju
12 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 13 — #2 i
i
i
i
i
i
Polarni sij in Zemljino magnetno polje
geografski sever
dol
gostota 
magnetnega 
polja
magnetna
deklinacija
magnetna
inklinacija
geografski 
vzhod
magnetni sever
Slika 1. Komponente Zemljinega magnetnega polja.
Zemlje. Silnice polja tečejo ob ekvatorju približno vzporedno s površjem v
smeri od juga proti severu, navpična komponenta pa je tem večja, čim bližje
pola smo. To lastnost magnetnega polja že dolgo izkorǐsčamo pri navigaciji.
Namagnetena igla, prosto vrtljivo vpeta v težǐsču, se usmeri vzdolž silnice
magnetnega polja in kaže, kje je sever. V magnetnem polu na severni polo-
bli je gostota magnetnega polja usmerjena navpično navzdol, na južni pa
navzgor. Magnetno polje na površini Zemlje opǐsemo s tremi podatki: z
velikostjo gostote magnetnega polja, z odklonom silnice od smeri jug-sever
(magnetna deklinacija) in odklonom od vodoravne ravnine (magnetna inkli-
nacija), kakor kaže slika 1.
Lastnosti magnetnega polja na Zemljini površini se najbolj spreminjajo
z geografsko širino. Poleg geografske lege na polje vpliva tudi sestava tal,
kj
55000
65000
60000
55000
50000
45000
40000
35000
55
00
0
50
00
0
45
00
0
40
00
0
35
00
0
50000
45000
40000
35000
30000
25000
60000
55000
50000
45000
40000
35000
30000
25000
600
00
550
00
500
00
450
00
400
00
5000
0
4500
0
4000
0
35000
30000
40000
35000
35000
30000
35000
70°N 70°N
70°S 70°S
180°
180°
180° 135°E
135°E
90°E
90°E
45°E
45°E
0°
0°
45°W
45°W
90°W
90°W
135°W
135°W
60°N 60°N
45°N 45°N
30°N 30°N
15°N 15°N
0° 0°
15°S 15°S
30°S 30°S
45°S 45°S
60°S 60°S
kj
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
60
40
20
0
-20
-40
-60
-60
-6
0
-60
70°N 70°N
70°S 70°S
180°
180°
180° 135°E
135°E
90°E
90°E
45°E
45°E
0°
0°
45°W
45°W
90°W
90°W
135°W
135°W
60°N 60°N
45°N 45°N
30°N 30°N
15°N 15°N
0° 0°
15°S 15°S
30°S 30°S
45°S 45°S
60°S 60°S
kj
20
-10
10
0
-80
-9020 10 0 -10
-2
0
-3
0
-4
0
-5
0
-6
0
-7
0
0
-30-70
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-20-10010
20
-10
-30
-30
-40
-50
80
90 80
70
60
50
40
30
20
10
0
10
10
0
-10
-20
-10
-10
0 0
70°N 70°N
70°S 70°S
180°
180°
180° 135°E
135°E
90°E
90°E
45°E
45°E
0°
0°
45°W
45°W
90°W
90°W
135°W
135°W
60°N 60°N
45°N 45°N
30°N 30°N
15°N 15°N
0° 0°
15°S 15°S
30°S 30°S
45°S 45°S
60°S 60°S
Slika 2. Lastnosti Zemljinega magnetnega polja na Zemljinem površju: velikost gostote
(levo, interval med krivuljami 1000 nT), magnetna inklinacija (sredina, interval med krivu-
ljami 2◦, rdeče – pozitivno (dol); modro – negativno (gor); zeleno – nič) in magnetna dekli-
nacija (desno, interval med krivuljami 2◦, rdeče – pozitivno (vzhod); modro – negativno
(zahod); zeleno – nič). Vir: NOAA/NGDC & CIRES, ngdc.noaa.gov/geomag/WMM,
pregled NGA in BGS, objavljeno december 2014.
12–25 13
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 14 — #3 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
N
S
11°
os
sever
jug
Slika 3. Magnetno polje Zemlje je podobno polju paličastega magneta. Ker silnice
vstopajo v Zemljo blizu severnega geografskega pola, to pomeni, da je tam južni pol tega
magneta. Magnetni dipol je usmerjen približno nasprotno vzporedno vrtilni osi Zemlje.
spreminjajo pa ga tudi drugi vplivi npr. Sončev veter in procesi v Zemljini
notranjosti. Velikost gostote magnetnega polja je med 25 mikrotesla blizu
ekvatorja in 65 mikrotesla blizu pola. Tri glavne značilnosti magnetnega
polja na Zemljinem površju kaže slika 2.
Zemljino magnetno polje je približno takšno, kot da bi v njenem sredǐsču
tičal dipolni magnet z dipolnim momentom 8 · 1022 Am2 in osjo nagnjeno
pod kotom 11◦ glede na geografsko os (slika 3). Severni pol magnetnega di-
pola leži bliže južnega geografskega pola. Magnetno polje ustvarja v magne-
tohidrodinamskem dinamu inducirani električni tok, ki ga poganjajo tokovi
staljenih zlitin železa na robu Zemljine sredice, kakor demonstrira slika 4.
Zemljino magnetno polje se s časom spreminja, kar je verjetno posledica
kompleksnega sodelovanja masnega in električnega toka v magnetohidrodi-
namskem dinamu Zemlje. Spremembe polja na kraǰsi časovni skali povzroča
tudi Sončev veter. Spreminjanje magnetnega polja lahko opazujemo lokalno
po spreminjanju velikosti, inklinacije in deklinacije. Počasneǰse spremembe
polja preprosto opazimo po potovanju lege severnega magnetnega pola po
Zemljinem površju. Severni magnetni pol je območje, proti kateremu kažejo
magnetni kompasi. Magnetni pol ni na istem mestu kot severni geografski
pol. Geografski pol je točka, ki jo na površju prebada vrtilna os Zemlje.
Magnetni pol se premika po površju in je v zadnjih nekaj stoletjih prepoto-
val razdaljo, ki ustreza velikosti Grenlandije, kakor kaže slika 5. Premika se
dovolj počasi, da so kompasi še vedno uporabni za navigacijo.
14 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 15 — #4 i
i
i
i
i
i
Polarni sij in Zemljino magnetno polje
notranje
jedro
zunanje
jedro
skorja
silnice
Slika 4. Model tokov magme v sredici Zemlje, ki povzročajo Zemljino magnetno polje.
Slika 5. Zemljino magnetno polje se s časom spreminja in zato se magnetni pol seli po
površju. Krivulja kaže lego severnega magnetnega pola v zadnjih stoletjih.
12–25 15
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 16 — #5 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
kenozoik
neogen paleogen kreda jura
mezozoik
Ma
Slika 6. Smer magnetnega polja (proti geografskemu severu ali proti jugu) v Zemljini
geološki zgodovini. Prikaz temelji na raziskavah orientacije magnetizacije kamnin, ki se
strjujejo ob razpokah, kjer tektonske plošče lezejo narazen. Čas je označen v milijonih let
(Ma).
V preǰsnjem odstavku je bilo govora o potovanju pola, kakor je bilo
dejansko izmerjeno. Kaj pa lahko sklepamo o usmerjenosti magnetnega
polja skozi zemeljsko zgodovino? V naključnih časovnih razmikih, ki so
v povprečju dolgi več sto tisoč let, se magnetno polje popolnoma obrne
(slika 6), tako da kaže v drugo smer. Če polje kaže danes proti severu,
je prej kazalo proti jugu. Ta pojav opazimo na kamninah, ki nastajajo
ob robovih razmikajočih se tektonskih plošč. Magnetni delci se v staljeni
kamnini usmerijo v smeri silnic magnetnega polja. Ko se kamnina ohladi in
strdi, ostane namagnetena v smeri gostote Zemljinega magnetnega polja iz
časa svojega nastanka.
Sončev veter in magnetosfera
Zemljino magnetno polje interagira s Sončevim vetrom – tokom nabitih del-
cev s Sonca. Ti delci imajo visoko energijo in hitrosti v povprečju 400 km/s.
Na leto odda Sonce v Osončje okoli milijon ton snovi. Sončev veter je elek-
trično nevtralen, a vsebuje nabite delce: približno enako število elektronov
in ionov, v glavnem protonov. Številska gostota delcev blizu Zemlje je nekaj
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
1750 1800 1850 1900 1950 2000
leto
Slika 7. Wolfovo število za zadnji dve stoletji in pol. Pege so različnih velikosti in se
pojavljajo v gručah, zato število peg pravzaprav ni dobro definirana količina in Wolfovo
število je indikator za povprečno število peg (povzeto po www.sidc.be/silso/datafiles).
16 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 17 — #6 i
i
i
i
i
i
Polarni sij in Zemljino magnetno polje
7
1 2
4
3 5
6
ekliptika
Slika 8. Levo: smeri okoli Zemlje glede na lego Sonca. Desno: daljno Zemljino magne-
tno polje – magnetosfera in njegova značilna območja: 1. udarni val, 2. magnetni ščit,
3. magnetopavza, 4. magnetosfera, 5. severna in 6. južna polovica magnetnega repa, 7.
plazmosfera. Magnetno polje je na poldnevni strani stisnjeno proti Zemlji, na polnočni
strani se raztegne v magnetni rep.
delcev na kubični centimeter. Številska gostota se znatno spreminja z aktiv-
nostjo Sonca. Aktivnost Sonca lahko spremljamo po številu Sončevih peg.
Število se s časom spreminja, kakor kaže slika 7. Že na prvi pogled je zelo
očiten 11-letni cikel. Kadar je aktivnost Sonca zelo velika, lahko polarni sij
opazujemo tudi pri zmernih geografskih širinah.
Delci na poti od Sonca naletijo na Zemljino magnetno polje približno
na razdalji deset Zemljinih polmerov od sredǐsča Zemlje. Tam je gostota
energije Zemljinega magnetnega polja približno enaka gostoti energije Son-
čevega vetra. Magnetno polje se zaradi vpliva Sončevega vetra nenehno
spreminja. Zaradi učinka magnetnega polja pride do Zemlje le približno
tisočina energije Sončevega vetra.
Magnetno polje Zemlje imenujemo magnetosfera in ga delimo na več
območij, ki jih kaže slika 8. Magnetosfero od Sončevega vetra deli ozka
mejna plast – magnetopavza. Območje nad magnetopavzo je udarni val,
ker je tam hitrost Sončevega vetra večja od hitrosti zvoka in se Sončev veter
zgosti ter odteče ob magnetopavzi naprej, podobno kot udarni val pred
premcem ladje. V udarni fronti se delci upočasnijo in plazma se segreje.
Magnetosfera ni okrogla. Na strani obrnjeni proti Soncu je sploščena, na
nasprotni strani pa se raztegne v magnetni rep.
V vesolju sega proti Soncu le manǰsi del silnic Zemljinega magnetnega
polja, na nočni strani pa jih Sončev veter ukrivi stran od Sonca. Silnice blizu
ekvatorja se na poldnevni strani zaključijo same vase že blizu Zemlje. Nabiti
delci Sončevega vetra se ujamejo v vijačnico okoli silnic, zaradi opisanega
poteka magnetnega polja pa vodijo te vijačnice do Zemljine atmosfere le na
omejenem območju. Zato je tudi polarni sij geografsko omejen na relativno
ozek pas okoli polov. Tak pas je prikazan na satelitski sliki 9.
12–25 17
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 18 — #7 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
Slika 9. Satelitska slika južnega pola je sestavljena iz dveh slik, prve v vidnem in druge v
ultravijoličnem delu spektra. Slika v ultravijoličnem delu spektra, ki jo je posnel NASIN
satelit IMAGE, je tu predstavljena v zeleni barvi. Vir: NASA.
sever
hitrost
sila
proton
elektron
sever
jutro poldanveèer
jug jug
jutro
veèer
Slika 10. Skupno magnetno polje Sonca in Zemlje odklanja delce Sončevega vetra v ma-
gnetni rep na polnočni strani Zemlje tako, da se med jutranjo in večerno stranjo vzpostavi
napetost kot pri magnetohidrodinamičnem generatorju (levo, pogled iz poldnevne strani).
Ta napetost pospeši delce v plazmi proti območju v bližini Zemljinih polov. Z rdečima
točkama sta označeni presečǐsči ravnine slike z elipso (črtkano), ki leži v ekliptiki in na
kateri je skupna gostota magnetnega polja Sonca in Zemlje enaka nič. Silnice, ki izvirajo
blizu te elipse, vodijo delce Sončevega vetra proti območjem s sijem.
Silnice Sončevega magnetnega polja prebadajo ekliptiko v smeri od se-
vera proti jugu in magnetni polji Zemlje in Sonca se seštejeta. Nekatere
silnice Zemljinega magnetnega polja so sklopljene s Sončevim poljem, ka-
kor kaže slika 10. V skupnem polju se plazma sončevega vetra odklanja.
Na severnem delu se elektroni odklonijo v smeri urnega kazalca proti večer-
nemu delu Zemlje (relativne smeri so opisane na sliki 8, levo), protoni pa
v nasprotni smeri, proti jutranjemu delu, kakor kaže slika 10. Pojav gene-
rira napetost na tak način kot magnetohidrodinamični generator in deluje
z električno močjo 1012 W. Električna napetost 50 kV požene skozi plaz-
mosfero električne tokove velike 2 · 107 A. Manǰsi del, kaka desetina tega
toka, se sklene skozi atmosfero na polarnem delu in teče vzdolž silnic, ki
so posebej označene na sliki 10 desno. Ta tok imenujemo tudi Birkelandov
18 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 19 — #8 i
i
i
i
i
i
Polarni sij in Zemljino magnetno polje
tok. Električni tok teče proti Zemlji na jutranjem delu, na večernem pa teče
od Zemlje stran. To pomeni, da na večernem delu elektroni padajo proti
Zemlji in se v električnem polju pospešijo do energij 10 keV. Na vǐsinah
100 km povzročajo avroro. Večinoma vzbujajo kisik, ki seva belkasto zeleno
svetlobo z valovno dolžino 557,7 nm. Mehanizem nastanka polarnega sija
pa še ni popolnoma pojasnjen in znan.
Barve polarnega sija so značilne za vǐsino, na kateri sij nastane. Vidni
del spektra barv kaže slika 11. V spektru prevladujejo zelena, vijolična
in rdeča. Katere valovne dolžine sestavljajo spekter, je odvisno od plinov,
ki sestavljajo ozračje. Le manǰsi del svetlobe se sprošča neposredno zaradi
trkov z delci Sončevega vetra. Največkrat so vzbujene molekule ali atomi, ki
nato sevajo, produkti kemijskih reakcij, ki jih vzbudijo ali na katere vplivajo
delci Sončevega vetra. Najpogosteje opažena zelena svetloba je posledica
reakcije:
N+ + O2 → NO+ + O(1S).
Kisik, ki nastane pri tej reakciji, je v vzbujenem stanju in med relaksacijo
O(1S)→ O(1D) + γ
odda foton z valovno dolžino 555,7 nm. Ko se ta kisik vrne v osnovno stanje
s procesom
O(1D)→ O(3P) + γ,
odda še značilno rdečo svetlobo z valovno dolžino 630 nm. Dušik vzbudijo
vpadni elektroni Sončevega vetra, reakcijo opǐse
N2 + e→ N+2 (B
2
+∑
u
) + e+ esekundarni.
Po trku ostane dušikova molekula v vzbujenem vibracijskem stanju, ki lahko
prehaja v druga vibracijska stanja, kar vzbudi fotone s trakastim modro-
400 450
+N2
O O
N2
Ha
500 550
valovna dolžina [nm]
600 650 700
Slika 11. Vidni spekter svetlobe polarnega sija. Izrazite so zelena, vijolična in rdeča.
Trakaste spektre vibracijskih stanj dušika predstavljajo širši pasovi, kisik in vodik pa
prispevata spektralne črte.
12–25 19
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 20 — #9 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
Slika 12. Rdeči in zeleni polarni sij nad Fairbanksom na Aljaski. Vir: Wikipedia.
vijoličnim spektrom. Emisijski spekter nevtralne dušikove molekule obsega
ultravijoličen in rdeč interval valovnih dolžin.
Zelena spektralna črta in rdeči dublet ustrezata relaksaciji kisika z rela-
tivno dolgim relaksacijskim časom – od 1 s do 110 s. Pri normalnem tlaku
blizu Zemljinega površja taka vzbujena stanja hitro relaksirajo s trki z dru-
gimi atomi in molekulami, saj je povprečna prosta pot in s tem čas med
zaporednimi trki relativno kratek. Na vǐsini nad 100 km pa je ozračje mi-
lijonkrat redkeǰse in taka vzbujena stanja lahko relaksirajo z izsevanjem
svetlobe. Značilno rdečo in zeleno barvo polarnega sija kaže slika 12.
Do sedaj smo opisali strukture in barve sija, ki jih povzročajo elektroni.
Protoni se v vǐsjih plasteh ozračja s trki z molekulami plina M (npr. O2 ali
N2) pretvorijo v vzbujen vodik M + p → M+ + H∗.
Vzbujeni vodik nato kaskadno relaksira proti osnovnemu stanju, pri če-
mer seva npr. Lα (ultravijolična svetloba z valovno dolžino 121,57 nm) in
Hα (rdeča, 656,3 nm). Ta sij je na splošno difuzen. Te rdeče svetlobe z očmi
ne moremo razločiti od svetlobe, ki jo oddaja kisik.
Polarni sij je dinamičen pojav in sčasoma spreminja obliko. Sončev veter
ni stalen in hkrati tok nabitih delcev spreminja Zemljino magnetno polje.
Polarni sij je lahko difuzen, pri njem svetlobo opazimo na večjem območju
in območje nima izrazite oblike, ali diskreten. Pri diskretnem prepoznamo
različne oblike, kot so loki, trakovi, zavese, stebri in otočki (slika 13 levo).
Prevladujoča oblika je značilna za geografsko širino in del dneva, v katerem
sij opazujemo, kakor kaže slika 13 (desno). Difuzni sij nastane, ko se delci
z energijami pod 1 keV naključno sipajo na vǐsinah nad 150 km. Tak sij
nastane običajno popoldan in zvečer na južnem robu aktivnega območja.
Diskretni sij povzročijo delci z energijo nekaj keV. Energija teh delcev
je večja, kot je energija delcev v plazmosferi, zato mora obstajati neki me-
20 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 21 — #10 i
i
i
i
i
i
Polarni sij in Zemljino magnetno polje
6
12
18
0
80°
70°
60°
Slika 13. Sij se s časom spreminja in opazimo lahko različne oblike (levo), ki so odvisne od
geografske širine in dela dneva (desno). Krogi na shemi predstavljajo geografsko širino, na
obodu je nanesen lokalni čas, 0 je polnoč. Obarvani trak v obliki loka predstavlja difuzni
sij. Debeleǰsa črta predstavlja stabilen lok, ki se po devetih zvečer začne zvijati in razpade
na več posameznih lokov. Proti jutru se na južnem robu sija začnejo pojavljati svetlobni
otočki. Vir fotografij na levi: Schnuffel2002, Wikipedia.
hanizem, ki te delce pospeši. Ta mehanizem še ni popolnoma znan, možna
razlaga je pospeševanje v električnem polju magnetohidrodinamičnega gene-
ratorja, kot je opisano zgoraj [3]. Zaradi pospeševanja se točka magnetnega
zrcaljenja teh delcev premakne nižje v ozračje in lahko dosežejo vǐsine med
90 km in 150 km, kjer nastajajo diskretne strukture sija.
Oblika diskretnega sija je odvisna od porazdelitve tokov nabitih delcev,
ki tečejo iz plazmosfere proti Zemlji, in oblike Zemljinega magnetnega polja.
Predstavljamo si lahko, da magnetno polje plapola podobno kot zastava v
vetru. Kadar je Sončev veter stabilen, takrat so stabilne tudi diskretne
strukture in sij se le počasi spreminja. Strukture se razpenjajo v smeri
zahod-vzhod. Sunki v Sončevem vetru povzročajo, da se diskretne strukture
spreminjajo, nagubajo in trgajo. Zavese so običajno debele kak kilometer,
dolge več tisoč kilometrov, segajo pa od vǐsine 100 do 500 km. Polarni sij
lahko opazimo preko celega dne, vendar podnevi običajno le v razmerah
polarne noči.
Gibanje nabitega delca v magnetnem polju
Nastanek in dinamika sija sta posledica gibanja nabitih delcev v magnetnem
polju. Dinamiko delcev z nabojem e in maso m v magnetnem polju B opǐse
Newtonov zakon F = ma, v katerem upoštevamo, da na delec deluje Loren-
tzova sila F = ev×B. Pri obravnavi zanemarimo električna polja. V homo-
genem magnetnem polju se delec giblje po vijačnici. Komponenta hitrosti
12–25 21
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 22 — #11 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
delca vzporedna magnetnemu polju v|| se s časom ne spreminja, komponenta
pravokotna na polje v⊥ pa se vrti s krožno frekvenco ω =
eB
m . Vijačnica,
po kateri kroži delec, ima polmer r = mv⊥eB . Če obrnemo magnetno polje v
smeri osi z, se preǰsnje ugotovitve zapǐsejo s komponentami gibalne količine
kot ṗx = −ωpy, ṗy = ωpx in ṗz = 0. Ocenimo polmer vijačnic protonov in
elektronov v Sončevem vetru na razdalji 10 Zemljinih polmerov 10rZ od Ze-
mlje. Za vsakega privzemimo hitrost 400 km/s. Gostoto magnetnega polja
Zemlje ocenimo tako, da upoštevamo padanje gostote polja dipola s tretjo
potenco razdalje. Na površju Zemlje, ob ekvatorju, je gostota magnetnega
polja 30 µT. Na mestu magnetopavze, ki je oddaljeno 10rZ , pa je gostota
magnetnega polja enaka:
Bmp =
r3Z
103r3Z
BZ = 30 nT.
Polmer krožnega loka za proton je torej 140 km, za elektron pa 70 m.
Gibanje delca v nehomogenem magnetnem polju je težje opisati. Oglejmo
si najbolj preprost primer, ko je magnetno polje parabolično in se v smeri
osi z spreminja kot: Bz = B0
(
1 + z
2
z20
)
. Gibanje bomo obravnavali s teo-
rijo perturbacij in Hamiltonovim formalizmom. Gibanje po vijačnici okoli
silnice magnetnega polja razklopimo na gibanje po krožnici, ki ustreza ho-
mogenemu polju, in gibanje sredǐsča krožnice, ki ga povzroči motnja zaradi
nehomogenosti polja. Hamiltonova funkcija, ki opǐse nabit delec v magne-
tnem polju, je H = 12m(p − eA)
2. A je magnetni vektorski potencial, ki
ustreza magnetnemu polju B, in s katerim avtomatično upoštevamo, da je
divergenca magnetnega polja enaka nič: B = ∇×A. S p označimo gibalno
količino delca. Zahtevi za parabolično komponento z magnetnega polja
ustreza potencialno polje A =
(
−12yBz,
1
2xBz, 0
)
, o čemer se zlahka prepri-
čamo z računom: ∇×A =
(
−B0xz
z20
,−B0yz
z20
, B0
(
1 + z
2
z20
))
in ∇ ·∇×A = 0.
Magnetno polje ima torej poleg komponente v smeri osi z tudi komponente
vzdolž osi x in y, da zadosti divergenčnemu pogoju. Tako magnetno polje
kaže slika 14.
Neperturbirana Hamiltonova funkcija ustreza polju Bz = B0 in A0 =(−1
2 yB0,
1
2xB0, 0
)
:
H0 =
1
2m
(
−p20 +
(
px +
1
2
eyB0
)2
+
(
py −
1
2
exB0
)2
+ p2z
)
.
Časovni odvod spremenljivke v Hamiltonovem formalizmu izračunamo s
Poissonovim oklepajem spremenljivke in Hamiltonove funkcije, če spremen-
ljivka eksplicitno ni odvisna od časa. Hitro lahko pokažemo, da se gibalna
22 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 23 — #12 i
i
i
i
i
i
Polarni sij in Zemljino magnetno polje
Slika 14. Parabolično magnetno polje (črne silnice) in tirnica v njem gibajočega se
nabitega delca (modra krivulja). Os z je usmerjena proti desni. To polje imenujemo tudi
polje magnetne steklenice, saj je v njem gibanje nabitih delcev omejeno z magnetnim
zrcaljenjem – vijačnica ima v gosteǰsem polju čedalje kraǰsi korak.
količina nabitega delca v smeri homogenega magnetnega polja ne spreminja:
ṗz = {pz, H0} = 0.
Enako velja za vrtilno količino delca v smeri osi z: lz = xpy − ypx, saj
je {lz, H0} = 0. Ohranja se tudi polmer vijačnice: {(x2 + y2), H0} = 0.
Oglejmo si odvod gibalne količine delca v smeri osi z v paraboličnem polju:
ṗz = {pz, H} = −
eB0
m
z
(
− lz
z20
+
eB0
2mz20
(
x2 + y2
)(
1 +
(
z
z0
)2))
Upoštevajmo pz = mż, e = −e0 (obravnavamo elektron), ω0 = e0B0m , r
2 =
x2 + y2, lz = ω0mr
2 in zanemarimo člen z
(
z
z0
)2
. Tako dobimo:
z̈ = −1
2
ω20
r2
z20
z.
To je enačba nihanja za sredǐsče krožnice, okoli katere elektron ciklotronsko
kroži. Sredǐsče niha s frekvenco ω0r√
2z0
v smeri magnetnih silnic. Amplituda
nihanja je odvisna od začetne hitrosti delca, njegove smeri in lastnosti ma-
gnetnega polja. V našem približku se polmer kroženja ne spreminja. Delec
je ujet med grla steklenice – med območja z gosteǰsim poljem. Pojav, ko
precesirajoči delec spremeni smer gibanja v gosteǰsem magnetnem polju,
imenujemo magnetno zrcaljenje. Magnetno polje, ki lahko zadržuje delec
v omejenem prostoru, ustrezno imenujemo magnetna steklenica. Tirnica
delca v takem polju je vijačnica s korakom, ki je čedalje kraǰsi, dokler delec
ne spremeni smeri gibanja.
12–25 23
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 24 — #13 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič
Statično magnetno polje ne more povečevati energije delca, saj je ma-
gneta sila vedno pravokotna na hitrost delca. Zato je kinetična energija
delca Wk =
1
2m
(
v2‖ + v
2
⊥
)
konstanta gibanja. Ko se delec seli po vijačnici
okoli silnice v območje z večjo gostoto magnetnega polja, se mu krožna fre-
kvenca povečuje sorazmerno z gostoto polja B, polmer krožnice pa ustrezno
manǰsa. Ali se pravokotna komponenta hitrosti spreminja, je odvisno od
tega, katera od količin, frekvenca ali polmer, se hitreje spreminja, saj velja
v⊥ = ωr. Zanki vijačnice, ki jo med gibanjem opǐse nabit delec, pripǐsemo
magnetni moment µ = IS = et0πr
2 = eωr
2
2 . Tudi ta moment je adiaba-
tno ohranjena količina in od tu sledi, da polmer vijačnice pada s korenom
gostote magnetnega polja in torej pravokotna komponenta hitrosti narašča
sorazmerno s korenom gostote magnetnega polja. Ker se kinetična ener-
gija delca ohranja, se mora ustrezno zmanǰsevati komponenta hitrosti delca
vzporedna silnici magnetnega polja, dokler ne pade na nič in potem se smer
potovanja vzdolž osi vijačnice (silnice magnetnega polja) spremeni in pride
do magnetnega zrcaljenja. Pojav orǐse slika 15.
B
F
v
Slika 15. Delec se v nehomogenem polju, ki je gosteǰse na levi in desni strani, giblje po
vijačnici s čedalje manǰsim polmerom in večjo ciklotronsko frekvenco, dokler se njegovo
gibanje vzdolž osi vijačnice ne ustavi in se magnetno zrcali v drugo smer. Ustavljanje je
posledica vzdolžne komponente magnetne sile, ki se pojavi v nehomogenem magnetnem
polju.
Zemljino magnetno polje opǐsemo v prvem približku z magnetnim poljem
dipola pm v izhodǐsču koordinatnega sistema. V točki, ki jo opǐsemo s
krajevnim vektorjem r, polje poda izraz:
B(r) =
µ0
4π
(
3r(pm · r)
r5
− pm
r3
)
.
Usmerimo os z v smeri dipola, upoštevajmo cilindrično simetrijo polja in s
polarnim kotom ϑ izrazimo polje v sferičnih koordinatah
B(r) =
µ0
4π
pm
r3
(2 cosϑer + sinϑeϑ) .
24 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Mohoric” — 2018/5/4 — 7:23 — page 25 — #14 i
i
i
i
i
i
Polarni sij in Zemljino magnetno polje
Magnetno silnico za dano gostoto magnetnega polja B opǐse torej v polarnih
koordinatah izraz r =
( µ0p
4πB
)1/3
sin2 ϑ.
Gibanja delca v dipolnem polju ni enostavno analitično opisati, ni pa
težko poiskati numerične rešitve dinamične enačbe. Za tipičen primer kaže
gibanje delca slika 16. Nabit delec se torej na svoji poti proti Zemljinemu
polu, kjer je gostota polja večja, ustavlja, dokler se na koncu ne začne gibati
v drugo smer (npr. najprej se je delec gibal proti severnemu polu, nato pa
se vrača proti jugu, k ekvatorju). Poleg tega gibanja od severa proti jugu in
nazaj, se zaradi spreminjanja velikosti in smeri magnetnega polja elektron
počasi giblje še proti vzhodu. Elektrone ujame Zemljino magnetno polje na
vǐsini 12.000 do 60.000 km, protone pa na 400 do 12.000 km. Tu je gostota
plazme povǐsana in območje imenujemo tudi van Allenovi pasovi.
Slika 16. Gibanje delca v dipolnem magnetnem polju Zemlje. Prepoznamo ciklotronsko
vijačnico, ki se ovija vzdolž dipolne silnice. Opazimo tudi magnetno zrcaljenje v območju
blizu pola, kjer se magnetno polje zgosti, opazimo pa tudi lezenje delca proti vzhodu.
LITERATURA
[1] K. Schlegel, Polarlicht, K.-H. Lotze, W. B. Schneider (ur.), Wege in der Physikdi-
daktik, Band 5, ISBN 3-7896-0666-9, Palm & Enke, Erlangen in Jena 2002.
[2] S. Chapman, The Earth’s magnetism, Methuen & Co. Ltd. London, 1951.
[3] S.-I. Akasofu, The aurora, The Physics Teacher 17 (1979), 228.
[4] K.-H. Glassmeier, M. Scholer (ur.), Plasmaphysik in Sonnensystem, BI-
Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1991.
[5] M. Kaan Öztürk, Trajectories of charged particles trapped in Earth’s magnetic field,
American Journal of Physics 80 (2012), 420.
[6] G. C. McGuire, Using computer algebra to investigate the motion of an electric charge
in magnetic and electric dipole fields, American Journal of Physics 71 (2003), 809.
[7] www.s.u-tokyo.ac.jp/en/utrip/archive/2013/pdf/06NgYuting.pdf, ogled 8. 12.
2017.
12–25 25
i
i
“KuzmanUros” — 2018/5/3 — 10:22 — page 26 — #1 i
i
i
i
i
i
ZANIMIVOSTI
UGANKE IZ ODDAJE UGRIZNIMO ZNANOST
Dobra uganka je vedno dobrodošla! Morda ne toliko v raziskovalnem, za-
gotovo pa v pedagoškem svetu. Uporabimo jo lahko na številne načine:
za motivacijo, za promocijo, za preverjanje potencialnega kadra ali zgolj
za »utǐsanje« petletnika med vožnjo na morje. To spoznavam vsakič, ko s
pridom žanjem sadove svojega udejstvovanja v oddaji Ugriznimo znanost
(TV SLO). V njej jih gledalcem zastavljam vsak teden in tako je v treh
letih moj nabor postal res raznolik, zato sem se odločil, da nekaj matema-
tično najbolj zanimivih s tem prispevkom v nadaljnjo uporabo predam tudi
vam. Seveda z očitnim opozorilom: ne gre za avtorsko delo! A saj veste,
kaj pravijo . . . Uganka je kot vic! Dokler je cilj zabava, jo smeš povedati
naprej.
Garderobne omarice
V srednji šoli so dijaške omarice označene s števili od 1 do 100. Nekega
dne se sto dijakov postavi v vrsto in odigra naslednjo igro: prvi vse omarice
odpre, drugi pa zapre tiste, ki so označene s sodimi številkami. Nato k
vsaki tretji pristopi tretji in jo bodisi odpre bodisi zapre, odvisno od stanja,
v katerem jo najde. Podobno stori tudi vsak nadaljnji dijak – odpre oziroma
zapre vse omarice, katerih zaporedna številka je deljiva z njegovim mestom
v vrsti. Katere omarice so ob koncu igre ostale odprte?
Rešitev: Uganka je lahko odlična popestritev učne ure o deljivosti števil,
saj hiter razmislek pove, da je število dijakov, ki pristopijo k omarici, enako
številu deliteljev, ki jih ima njena številka. Natančneje, omarica bo ostala
odprta natanko tedaj, ko bo število obojih liho. Zapǐsimo ta pogoj s pomočjo
razcepa na praštevila. Naj bo n neko naravno število in naj bo njegov razcep
enak
n = pk11 · p
k2
2 · · · p
kl
l .
Tedaj mora biti vsako število d, ki ga deli, oblike
d = ps11 · p
s2
2 · · · p
sl
l , 0 ≤ sj ≤ kj .
Deliteljev števila n je torej natanko
(k1 + 1) · (k2 + 1) · · · (kl + 1).
Tak produkt je lih natanko tedaj, ko so lihi tudi vsi njegovi faktorji. To pa
pomeni, da morajo biti vsi eksponenti kj sodi, oziroma, da omarica ostane
odprta natanko tedaj, ko je njena zaporedna številka n popolni kvadrat.
26 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“KuzmanUros” — 2018/5/3 — 10:22 — page 27 — #2 i
i
i
i
i
i
Uganke iz oddaje Ugriznimo znanost
Labod in pošast
Na sredini okroglega jezera plava labod, ki želi poleteti proti svojemu gnezdu.
Za to mora najprej stopiti na obalo, kjer pa ga čaka štirikrat hitreǰsa pošast.
K sreči pošast ni zelo bistra, zato v vsakem trenutku izbere najkraǰso ko-
pensko pot do točke, h kateri se giba labod. Po kakšni poti naj plava labod,
da bo imel ob prihodu na obalo vsaj minimalno prednost?
Rešitev: Jasno je, da labod ne more izbrati direktne poti na kopno, saj bi
bila njegova pot v tem primeru od poti pošasti kraǰsa največ za faktor π.
Ubrati mora torej kak drug, bolj prebrisan način gibanja. Uganka tako lepo
ilustrira razliko med obodno in kotno hitrostjo, saj lahko labod – čeprav je
štirikrat počasneǰsi – kroži okoli sredǐsča z enako kotno hitrostjo kot pošast,
če je radij krožnice, ki jo opǐse, štirikrat manǰsi od polmera jezera. Še več, s
krožnim gibanjem po točkah, ki so še malce bližje sredǐsču, labod z vsakim
obhodom pridobi nekaj kotnih stopinj. Tako se lahko po nekem času znajde
v poziciji, ki jo prikazuje slika (skicirana je le ena od možnih poti). Labodova
direktna pot na kopno je sedaj za faktor 4π3 kraǰsa od poti, ki jo mora do
iste točke preteči pošast. Ker gre za število, ki je večje od 4, ima labod
sedaj dovolj prednosti za varen vzlet.
Nadzvočna hitrost
V letalskem centru so razvili brezpilotno raketo, ki lahko doseže zelo vi-
soke hitrosti. Vendar pa so njen pospeševalni sistem zelo nerodno vezali na
zvočni signal – raketa naj bi vsakič, ko iz postaje sprejme pisk, pospešila
za 100 m/s. Da tak sistem vodenja ni učinkovit, so opazili šele med testi-
ranjem, ko so ugotovili, da raketa po več kot treh piskih ne doseže želene
hitrosti. Zakaj? Kakšno hitrost doseže v takem primeru?
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1 27
i
i
“KuzmanUros” — 2018/5/3 — 10:22 — page 28 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
Rešitev: Ključen podatek pri reševanju uganke je hitrost zvoka, ki v zraku
znaša okoli 340 m/s. Po štirih piskih je raketa torej že tako hitra, da je
signali iz postaje ne dohitijo več. Vendar pozor, to še ni odgovor na drugo
vprašanje. Na sliki je raketa v trenutku, ko jo ujame četrti pisk. Ker se
od tega trenutka dalje giblje z nadzvočno hitrostjo, bo ujela in še enkrat
zaznala tudi vse tri predhodne piske. Njena končna hitrost bo 700 m/s.
Lačna kamela
Trgovec želi 3000 banan prenesti 1000 milj daleč. Za pot ima na voljo ka-
melo, ki lahko nese do 1000 banan, a za vsako miljo poje en sadež. Kolikšno
je maksimalno število banan, ki jih lahko spravi na cilj?
Rešitev: Očitno je, da mora trgovec, če želi na cilj prinesti vsaj kakšno
banano, nekatere dele poti opraviti večkrat. Natančneje, izbrati mora pri-
merna mesta, kjer del tovora odloži in se vrne nazaj. Za to ima na voljo
kar nekaj ekvivalentnih možnosti, izkaže pa se, da je za optimalnost ključna
omejitev, da nobena banana ne bo ostala »ob poti«.
Za začetek premislimo, da rešitev, pri kateri trgovec na začetku pusti 1
banano, ni optimalna. Res, z njo bi lahko svoj kup banan pred začetkom
poti prestavil za 15 milje bližje cilju in dobil problem, v katerem mora 2999
banan prenesti 99945 milj daleč. Z enako organizacijo poti kot prej bi tako
na cilj lahko dostavil vsaj dodatno petino banane.
Nadalje velja, da banane ne smejo ostati niti v vmesnih točkah. Vsaki
rešitvi, ki temu ne zadosti, lahko namreč priredimo ekvivalentno rešitev, v
kateri trgovec tovor najprej dostavi do takega mesta, ter se šele nato ukvarja
z nadaljevanjem poti. Tako dobi nov začetni problem s spremenjenima
razdaljo in številom banan, ter svojo rešitev, ki jo lahko še izbolǰsa.
Upoštevajoč maksimalno možno obremenitev kamele je pot torej smi-
selno razdeliti na tri odseke (slika). Ob predpostavki, da sadeži ne ostanejo
ob poti, je število banan, ki prispejo na cilj, odvisno le od dolžin odsekov A,
28 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“KuzmanUros” — 2018/5/3 — 10:22 — page 29 — #4 i
i
i
i
i
i
Uganke iz oddaje Ugriznimo znanost
B in C, brez škode za splošnost pa lahko predpostavimo tudi, da se trgo-
vec ustavi le v obeh stičǐsčih. Ker bo drugi odsek poti prehojen le trikrat,
lahko kamela po njem prenese največ 2000 banan. Torej mora za pot do
tja pojesti vsaj 1000 banan in je A ≥ 200 milj. Po drugi strani velja, da
vsaka milja prvega odseka trgovca »stane« več banan kot milji preostalih
dveh odsekov. Zato je racionalno, da je njegova dolžina minimalna, A = 200
milj. Podobno določimo tudi razdaljo B = 33313 milj, na kateri kamela poje
nadaljnjih 1000 banan, in ugotovimo, da je optimalno, če se kup s preosta-
limi 1000 bananami znajde na razdalji 46623 milje do cilja. Trgovec tako na
cilj prenese 53313 banane.
Vedno 1089
Tri različne, neničelne cifre razporedite od največje do najmanǰse, tako da
dobite trimestno število. Od njega odštejte število z obratnim vrstnim re-
dom števk (npr. 732 − 237 = 495). Postopek ponovite tudi za dobljeno
razliko, le da tokrat uporabite seštevanje (495 + 594 = 1089). Dokažite, da
je rezultat vedno enak!
Rešitev: Naloga lepo ilustrira pomen desetǐskega zapisa. Denimo, da smo
izbrali števke A, B, in C. Razlika, ki jo dobimo na prvem koraku, je enaka
(100A+ 10B + C)− (100C + 10B +A) = 99(A− C).
Ker velja 9 ≥ A > B > C > 0, je 2 ≤ A − C ≤ 8. Dobimo torej trimestno
število, ki je deljivo z 99. Zanj se lahko hitro prepričamo, da je njegov
desetǐski zapis oblike a9b, kjer je a+ b = 9. Iskana vsota je torej enaka
(100a+ 90 + b) + (100b+ 90 + a) = 101(a+ b) + 180 = 1089.
Einsteinova uganka
Popotnik opazi medveda in začne teči. Najprej steče na jug, nato na vzhod
in nazadnje na sever, vsakič po 100 m. Na koncu se znajde v začetni točki.
Kakšne barve je bil medved?
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1 29
i
i
“KuzmanUros” — 2018/5/3 — 10:22 — page 30 — #5 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
Rešitev: Gre za klasično uganko, ki jo pogosto najdemo v knjigah o ne-
evklidski geometriji. In sicer kot vprašanje: »Ali lahko narǐsemo trikotnik s
tremi pravimi koti!« Odgovor nanj je pritrdilen, ključno pa je, da se naloge
ne lotimo na (neukrivljenem) listu papirja. Na primer, tak trikotnik naj-
demo na sferi, če za oglǐsče izberemo severni pol, za stranice pa dve priležni
vzdolž poldnevnikov in nasprotno vzdolž vzporednika. To je tudi pot, ki jo
je prehodil naš popotnik in torej srečal belega, severnega medveda!
Kakorkoli, čeprav je to že pravilna rešitev, pa se naš razmislek ne sme
končati tu (v številnih virih je nadaljevanje izpuščeno, kar je tudi razlog, da
sem to uganko vključil v svoj izbor). Natančneje, obravnavati moramo tudi
množico poti, ki se nahaja v bližini južnega pola. Denimo, da se popotnik
po 100 m teka na jug znajde na vzporedniku, ki je dolg natanko 100k m za
k ∈ N. S tekom na vzhod bo torej napravil k obhodov južnega pola ter
se nato vrnil v izhodǐsče. Torej, vsaj matematično gledano, je možno tudi,
da se nahaja na Antarktiki . . . A brez panike! Rešitev skoraj stoletje stare
uganke s tem ni ogrožena. Barva medveda je še vedno bela, saj v okolici
južnega pola teh živali ni!
Petek 13.
Neprestopno leto ima tri nesrečne petke. Na kateri dan se začne?
Rešitev: Bolj kot odgovor na to uganko je fascinantno dejstvo, da je rešitev
enolična! Do nje se najlažje prebijemo tako, da v roke vzamemo koledar
neprestopnega leta in z njega po vrsti preberemo 13. dneve v mesecih. Jaz
sem to storil za leto 2017 in dobil
petek, ponedeljek, ponedeljek, četrtek, sobota, torek,
četrtek, nedelja, sreda, petek, ponedeljek, sreda.
Sreče pri izbiri leta očitno nisem imel, saj sta bila lani le dva taka petka.
Vseeno pa mi je zgornje zaporedje zelo v pomoč, saj lahko iz njega razberem,
da obstaja natanko en dan, ki se na 13. mestu pojavi trikrat. V letu 2017
je bil to ponedeljek. Sklepam lahko torej, da bo želeni pogoj izpolnjen
natanko tedaj, ko bo 13. februar padel na petek (v letu 2017 je na tem
mestu ponedeljek). Tako leto se začne na četrtek! Mimogrede, s podobno
analizo lahko ugotovite, da se petek 13. zgodi vsako leto, a ne več kot trikrat
(tudi v primeru prestopnega leta).
Kameleoni
V terariju so kupili 13 modrih, 15 rdečih in 17 zelenih kameleonov. Le-ti
imajo nenavadno lastnost, da se ob srečanju dveh kameleonov različnih barv
30 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“KuzmanUros” — 2018/5/3 — 10:22 — page 31 — #6 i
i
i
i
i
i
Uganke iz oddaje Ugriznimo znanost
oba spremenita v tretjo barvo. Ali se lahko zgodi, da bodo po nekem času
vsi kameleoni enake barve?
Rešitev: Uganka je lahko odlična popestritev deževnega popoldneva, če se
reševanja lotite na empiričen način. Kakorkoli, kot veleva nepisano kolo-
kvijsko pravilo, je odgovor na vprašanje, ki se začne z »ali«, najverjetneje
»ne«. Tako je tudi tokrat, čeprav dokaz terja nekaj originalnosti.
Označimo z M , R in Z število kameleonov treh barv. Ob poljubnem
srečanju kameleonov različnih barv se dve od treh števil zmanǰsata za 1,
eno pa se poveča za 2. To je ekvivalentno spremembi za −1 po modulu
3. Povedano drugače, ne glede na barvo vpletenih kameleonov se ostanek
števil Z, M in R pri deljenju s 3 zmanǰsa za 1. Ker imajo ta števila na
začetku različne ostanke pri deljenju s 3, ni mogoče, da bi v nekem trenutku
dve od njih zavzeli ničelno vrednost (to je potrebni pogoj, če naj bi bili vsi
kameleoni enake barve).
Janez in Marica
Janez in Marica sta na večerjo povabila še dva para. Ob prihodu so se vsi,
ki se niso poznali, rokovali. Marica je nato vsako od oseb vprašala, s koliko
ljudmi se je rokovala, in dobila pet različnih odgovorov. S koliko ljudmi se
je rokoval Janez?
Rešitev: O rešitvi je najlažje razmǐsljati ob pomoči diagrama na sliki (pri-
kazano ni pravilna rešitev). Zagotovo vemo le, da se partnerji med seboj
gotovo niso rokovali, vse druge kombinacije poznanstev so možne. Vsakdo
se je torej rokoval z 0 do 4 osebami, oziroma, ker je Marica dobila 5 raz-
ličnih odgovorov, vsakemu od navedenih števil pripada natanko eden izmed
preostalih udeležencev večerje.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1 31
i
i
“KuzmanUros” — 2018/5/3 — 10:22 — page 32 — #7 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
Pa se vprašajmo, ali bi lahko bil Janez neznan vsem gostom? Odgovor
je negativen, saj bi v tem primeru ponudil roko vsem. Posledično ne bi
obstajal od Marice različen gost, ki se ni rokoval z nikomer. Podobno velja
za možnost, ko se Janez ne bi rokoval z nikomer. V tem primeru ne bi
obstajal od Marice različen gost, ki ne bi poznal nikogar.
Pripǐsimo torej rokovanje s 4 osebami nekemu drugemu gostu, rokovanje
z nikomer pa njegovemu partnerju (to je edina preostala možnost). To
pomeni, da Janez in vsi preostali gostje v tem paru ne poznajo natanko ene,
iste osebe. Je to morda edini gost, ki ga Janez ne pozna? Odgovor je znova
negativen, saj potemtakem ne bi obstajala od Marice različna oseba, ki se
je rokovala natanko trikrat. Končno na tak način zavrnemo tudi možnost,
da se je Janez rokoval natanko trikrat, in zaključimo, da se je Janez rokoval
natanko dvakrat.
Problem dveh ovojnic
Miha je Maji dal na izbiro dve ovojnici in ji povedal, da je v eni dvakrat
toliko denarja kot v drugi. Dovolil ji je tudi, da pokuka v eno izmed njiju.
Maja je odprla prvo ovojnico in v njej zagledala 100 evrov, nato pa razmi-
šljala takole: »Če kuverto zamenjam, dobim bodisi 50 bodisi 200 evrov. Ker
sta oba zneska enako verjetna, je moj pričakovani dobiček, ki ga zaslužim z
menjavo ovojnice, enak 125 evrov. To je več od zneska v ovojnici, ki sem
jo odprla, zato se – statistično gledano – bolj splača vzeti drugo ovojnico!«
Ali je njeno razmǐsljanje pravilno?
Rešitev: Bralec, ki ni preveč pod vplivom klasičnega Monty hall problema,
bo hitro uganil, da je pravilni odgovor negativen. Problem, s katerim sem
se v oddaji soočil tudi sam, pa je, kako to prepričljivo in hkrati laično
utemeljiti. V naslednjem odstavku predstavljam svoj najbolǰsi poskus!
Če je Majino razǐsljanje pravilno, mora delovati tudi ob malce spreme-
njenih pogojih. Pa denimo, da ji Miha ne dovoli odpreti kuvert. Maja tako v
roke vzame prvo ovojnico in razmǐslja: »Če je v njej znesek A, me v sosednji
kuverti čaka bodisi znesek 2A bodisi znesek A/2. Ker je pričakovani dobi-
ček enak 54A, se splača kuverto zamenjati!« To tudi stori! Težava nastopi,
če začne sedaj, ko v rokah drži drugo kuverto, odločitev še enkrat tehtati.
Zgoraj smo opazili, da njen razmislek v resnici ni odvisen od konkretnega
zneska, zato bi se morala po njem znova odločiti za menjavo kuverte. To pa
je v nasprotju z optimalnostjo prve odločitve.
Sedaj si oglejmo še korektno, matematično razlago. Označimo z A zne-
sek, ki ga je videla Maja, z I in II pa slučajni spremenljivki, ki ponazarjata
zneska v obeh ovojnicah. V jeziku matematičnega upanja je Majin razmislek
32 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“KuzmanUros” — 2018/5/3 — 10:22 — page 33 — #8 i
i
i
i
i
i
Uganke iz oddaje Ugriznimo znanost
ekvivalenten računu
E(II) = (2A) · 1
2
+ (A/2) · 1
2
=
5
4
A.
Ta je seveda pomanjkljiv, saj se v korektni obliki glasi takole
E(II) = E(2A|I < II)P (I < II) + E(A/2|I > II)P (I > II)
= E(2A|I < II) · 1
2
+ E(A/2|I > II) · 1
2
= E(A|I < II) + 1
4
E(A|I > II).
Maja torej ni upoštevala, da mora za izračun količine E(II) uporabiti mate-
matično upanje in ne konkretne vrednosti spremenljivke A 6= E(A), dodati
pa bi morala tudi pogoje, pri katerih jo računa. No, malce smo goljufali
tudi mi, saj smo konkretno vrednost A = 100 nadomestili z ustrezno slu-
čajno spremenljivko . . . Kakorkoli, Maja bi morala razmǐsljati takole: »V
kuvertah sta zneska X in 2X. Za nobenega od njiju ne morem trditi, da je
enak videnemu znesku A = 100, zato lahko sklepam le, da bom z menjavo
bodisi zaslužila bodisi izgubila X evrov. Ker sta možnosti enako verjetni,
je pričakovani dobiček menjave ničeln!« Ekvivalentno,
E(II) = E(A|I < II) + 1
4
E(A|I > II) = X + 1
4
(2X) =
3X
2
= E(I).
Pri tem smo upoštevali, da je v primeru, ko je znesek v prvi ovojnici manǰsi
(tj. I < II), znesek A enak X, v nasprotnem primeru pa 2X, ter da ob
takem načinu računanja enak sklep velja tudi za E(I).
Če ste pravi naravoslovec, vas je ta, korektna rešitev verjetno bolj zado-
voljila. Ne vem pa, ali vam bo uspelo z njo o pravilnosti rešitve prepričati
tudi vašo ne-matematično okolico. Meni ni, lahko pa poskusite še sami!
Uroš Kuzman
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1 33
i
i
“Kobal” — 2018/5/4 — 7:12 — page 34 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
VIDAV, SPIRITUS AGENS SLOVENSKE MATEMATIKE
MINULEGA STOLETJA
17. januarja 2018 je minilo sto let od rojstva Ivana Vidava. Ob tej priložnosti
je v organizaciji Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani
in Slovenske akademije znanosti in umetnosti od 26. do 28. januarja 2018
potekalo znanstveno in strokovno srečanje v spomin na akademika, učitelja
in človeka, ki je v sebi združeval skromnost in avtoriteto brez primere. Na
srečanju, ki je potekalo v prostorih Fakultete za matematiko in fiziko UL, je
navzoče najprej nagovoril dekan Fakultete za matematiko in fiziko prof. dr.
Anton Ramšak, v imenu SAZU pa akademik prof. dr. Franci Forstnerič. V
okviru uvodnih nagovorov je bila velika predavalnica Oddelka za matema-
tiko Fakultete za matematiko in fiziko UL, v kateri so potekale slovesnosti,
preimenovana v predavalnico Ivana Vidava.
V prvem plenarnem predavanju z
naslovom Ivan Vidav (1918–2015) –
Njegova vloga in pomen v slovenski
matematiki je prof. dr. Milan Hlad-
nik izjemno celovito in lepo predstavil
oris obsežnega in vsestranskega dela
Ivana Vidava.
Po kraǰsem odmoru je v drugem
plenarnem predavanju z naslovom
Kompleksne kompletne ploskve v kro-
gli akademik prof. dr. Josip Globev-
nik, eden izmed Vidavovih doktoran-
dov, na kar se da dostopen in polju-
den način predstavil svojo rešitev sicer
zapletenega in desetletja odprtega
problema s področja Kompleksne
analize.
Sledila je predstavitev prof. dr. Jo-
sa Vukmana (tudi Vidavovega dokto-
randa) in prof. dr. Jožeta Nemca (filatelista in doktoranda Vidavovega dok-
toranda) Vidavove spominske znamke Pošte Slovenije. Za izid Vidavove
znamke PS ob njegovi stoletnici rojstva gre največja zasluga prav prof. Vuk-
manu in prof. Nemcu.
34 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Kobal” — 2018/5/4 — 7:12 — page 35 — #2 i
i
i
i
i
i
Vidav, Spiritus agens slovenske matematike minulega stoletja
S tem so se osrednje dopoldanske plenarne aktivnosti, ki se jih je udeležilo
okrog sto udeležencev, zaključile. Slovesnosti so se udeležili številni Vidavovi
doktorandi, predstavniki matematičnih oddelkov, fakultet in univerz ter tudi
Vidavova sorodnika.
V popoldanskem času se je nadaljevalo znanstveno srečanje s tremi pre-
davanji: prof. dr. Bojana Magajne Vidav-Palmerjev izrek, prof. dr. Igorja
Klepa Vidavova lema o množici omejenih elementov in posledice v realni
algebraični geometriji ter prof. dr. Bora Plestenjaka Kleinovi teoremi in
večparametrični problemi lastnih vrednosti.
Vzporedno je v popoldanskem času potekalo srečanje za učitelje matema-
tike, na katerem je imel prof. dr. Joso Vukman dalǰse predavanje z naslovom
O Halperinovem problemu.
Nekoliko pozneje pa sta bili v okviru dogodka in Zimske šole matema-
tike in fizike za srednješolce še predavanji prof. dr. Denisa Arčona Kaj je
magnetna resonanca? in prof. dr. Mateja Brešarja Kaj počnejo matematiki?
Strokovne aktivnosti so se nadaljevale v soboto s predavanji doc. dr.
Boštjana Kuzmana Znamenite matematične konstante in verjetnost, prof.
dr. Petra Šemrla Razumevanje nekaterih najpomembneǰsih izrekov Analize
in asistenta dr. Jureta Kalǐsnika Izometrije hiperbolične ravnine za učitelje
matematike, ter v soboto in nedeljo s številnimi delavnicami in aktivnostmi
za dijake v okviru Zimske šole matematike in fizike za srednješolce.
Več informacij o dogodku je dostopnih na spletnem naslovu uc.fmf.
uni-lj.si/vidav/. Ob takem dogodku je z mislijo na »slavljenca« težko
ostati ravnodušen. Glede na obseg in opus Vidavovega dela bi si najbrž
zaslužil večjo, slovesneǰso in tudi javno bolj odmevno obeležbo. Po drugi
strani bi, če bi se vprašali, kaj bi si želel Ivan Vidav, dogodek lahko bil tudi
skromneǰsi. Kot je svoje plenarno predavanje zelo primerno zaključil prof.
Hladnik, bi kljub Vidavovi človeški drži, ki jo pooseblja rek »Non multa,
sed multum« (Ne veliko, ampak tisto dobro), zanj lahko rekli »Multa et
multum« (Veliko in to dobro).
Najbrž je Vidavovo delo in človeško dostojanstvo težko umestiti v današ-
nji čas tudi zaradi sprememb, ki so se zgodile v minulih sto letih, predvsem
pa zaradi težkih preizkušenj in izjemne skromnosti, ki je zaznamovala nje-
govo osebnost. Vidav je sam zase rekel, da je imel veliko srečo, ker je živel v
času, ko je bilo veliko pomanjkanje matematikov in je bil zato vsakdo dober
in pač tudi on. Po njegovih besedah najzanimiveǰsih vprašanj (znanosti)
niti ni razumel, kaj šele, da bi nanje lahko odgovarjal. Živel je v času, ko je
»projekt« pomenil polet na Luno.
Danes je drugače, projekte poznajo že otroci v vrtcu, imamo znanstvene
kavarne, matematikov je veliko, primanjkuje služb tudi za odlične. Odličnost
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1 35
i
i
“Kobal” — 2018/5/4 — 7:12 — page 36 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
je bližje ambicioznim kot skromnim. Za Vidava je bil človek »ulomek med
tistim, kar je in tistim, kar misli, da je«. Po tej formuli je bil Vidav zares
velik. A najbrž pomen te formule bledi še hitreje kot spomin na Ivana
Vidava.
Damjan Kobal
STOLETNICA ROJSTVA PROFESORJA IVANA VIDAVA
(1918–2015)
Akademik profesor dr. Ivan Vidav je bil univerzitetni profesor in znanstvenik,
ki je v drugi polovici 20. stoletja pomembno vplival na razvoj matematične
vede na Slovenskem. Tako na raziskovalnem kot na pedagoškem področju
je s svojim delom in zgledom postavil visoke standarde, ki so vodilo in ob-
veza tudi njegovim naslednikom. Bil je hkrati predan učitelj in priljubljen
mentor številnim generacijam študentov matematike, večkrat je predaval še
nekaterim drugim študijskim skupinam. Njegovo ime so poleg diplomiranih
matematikov in fizikov poznali naravoslovci in inženirji različnih tehnǐskih
profilov, kot vodilni slovenski matematik svojega časa pa je bil znan tudi
drugim slovenskim izobražencem, zlasti v akademskih krogih.
Znanstveno in raziskovalno delo
Vidavovo znanstveno delovanje ima več vrhuncev. Prvega je dosegel že
zgodaj v svoji akademski karieri. Maja 1941 je v doktorski disertaciji z
naslovom Kleinovi teoremi v teoriji linearnih diferencialnih enačb, napisani
že v četrtem letniku rednega študija, samostojno rešil problem obstoja
Fuchsove linearne diferencialne enačbe drugega reda s petimi singularnimi
točkami s predpisanimi eksponenti, katere rešitve omogočajo konstrukcijo
enoličnih avtomorfnih funkcij. S podobnimi matematičnimi problemi se je
nekoč, pred prvo svetovno vojno, ukvarjal in se v svetu uveljavil že njegov
učitelj profesor Plemelj. V svojem mladem študentu je tako našel vred-
nega naslednika in mu odtlej gmotno in strokovno stal ob strani pri prvih
korakih v znanost. O svojih nadaljnjih raziskavah v teoriji linearnih dife-
rencialnih enačb je Vidav poročal na mednarodnem kongresu matematikov
na Harvardu leta 1950 in s tem opozoril znanstveni svet nase. S klasično
matematiko, zlasti s teorijo aproksimacij, se je ukvarjal še v začetku 50. let
med svojimi večkratnimi kraǰsimi študijskimi obiski v Parizu.
Drugi vrhunec se je zgodil, potem ko je sredi 50. let Vidav, tedaj že redni
profesor, začel raziskovati funkcionalno analizo, tedaj še mlado in obetavno
36 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Kobal” — 2018/5/4 — 7:12 — page 37 — #4 i
i
i
i
i
i
Stoletnica rojstva profesorja Ivana Vidava
Slika 1. Ivan Vidav leta 1941, ko je diplomiral, doktoriral in dosegel s svojo disertacijo
prvi večji znanstveni uspeh. Vir: arhiv družine.
matematično disiplino. Ena izmed prvih razprav, leta 1956 v ugledni med-
narodni reviji Mathematische Zeitschrift objavljeni članek z naslovom Eine
metrische Kennzeichnung der selbstajungierten Operatoren, v katerem je
podal novo definicijo hermitskega elementa Banachove algebre, mu je že
prinesla mednarodno prepoznavnost in prodor v sam svetovni vrh razisko-
valcev tega področja. Njegova karakterizacija C∗-algeber med Banachovimi
algebrami ga uvršča med utemeljitelje te teorije. Osnovni izrek ter več
definicij in pojmov se danes imenujejo po njem. Že samo s tem svojim de-
lom si je več kot zaslužil dodatno akademsko čast: leta 1962 je postal redni
član SAZU.
Nadaljnji uspehi profesorja Vidava so povezani z uporabo funkcionalne
analize v fiziki, predvsem pri reševanju linearne Boltzmannove enačbe v
transportni teoriji nevtronov, kar danes štejemo za tretji vrhunec njegovega
znanstvenega dela. Za svoje raziskave na tem področju je prejel leta 1970
Kidričevo nagrado, takrat najvǐsje republǐsko znanstveno priznanje.
Če je bil profesor Plemelj nekoč še osamljen mojster matematike, ki je
svoja največja odkritja dosegel že nekaj let pred prihodom na ljubljansko
univerzo leta 1919 in kasneje praktično ni več znanstveno deloval, pa je bil
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1 37
i
i
“Kobal” — 2018/5/4 — 7:12 — page 38 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
njegov najbolǰsi učenec Vidav pol stoletja kasneje ne le izvrsten razisko-
valec, temveč hkrati tudi že začetnik in utemeljitelj slovenske matematične
šole. Poleg svojih šestnajstih ljubljanskih doktorskih študentov je namreč
neposredno ali posredno vgojil še številne druge slovenske matematike; neka-
teri so danes med vodilnimi v svetu na svojem področju. S svojim delom
in z deli svojih naslednikov je Slovenijo dokončno umestil na matematični
zemljevid sveta.
Pedagoško, organizacijsko in vodstveno delo
Profesor Vidav ni bil le pomemben znanstvenik, temveč tudi zelo spošto-
van profesor. Veliko časa je posvetil pedagoškemu delu; zaradi pomanjkanja
usposobljenih učiteljev je moral v petdesetih, šestdesetih in sedemdesetih
letih sam predavati različne predmete ter izpraševati množico študentov.
Naravoslovcem in tehnikom je do leta 1961 predaval osnove matematike, štu-
dentom matematike pa, prej in kasneje, zelo različne predmete: sprva evk-
lidsko in neevklidsko, afino, projektivno in diferencialno geometrijo, potem
osnovno analizo, teorijo analitičnih funkcij, algebro s teorijo števil, osnove
funkcionalne analize. Bil je izvrsten predavatelj, ki ga je bilo užitek poslušati.
Vedno je predaval na pamet, brez pisnih pripomočkov.
Za študente matematike je napisal vrsto učbenikov, od Vǐsje matematike
v dveh delih (1949 in 1951) in njene nadgradnje, napisane v sodelovanju z
drugimi avtorji (1975 in 1976), do še danes moderne in zelo uporabne Algebre
(1972), Afine in projektivne geometrije (1981) ter Diferencialne geometrije
(1989). Za Vǐsjo matematiko, ki je bila prvi slovenski učbenik visokošolske
matematike in so ga svoj čas uporabljali tudi vsi inženirji in naravoslovci,
ki so pri svojem delu potrebovali matematiko, je prejel leta 1952 Prešer-
novo nagrado. Z zadnjo knjigo, monografijo Eliptične krivulje in eliptične
funkcije (1991), pa je presegel šolski okvir in posegel na takrat aktualno
matematično področje, ki je nekaj let kasneje prispevalo k rešitvi tristo let
starega Fermatovega problema.
Bil je mentor skoraj sto diplomantom in magistrantom. Učil je tako
rekoč vse današnje stareǰse slovenske matematike. Od leta 1960 dalje ni
nobena prenova kurikuluma ali sprememba v študijskem programu potekala
mimo njega. Pod njegovim vodstvom so bile izvedene večje reforme študija,
kot sta bili npr. uvedba programa tehnǐske matematike leta 1960 in podiplom-
skega študija teoretične matematike leta 1971. Na slednjem je bil vodja
in glavni predavatelj; za podiplomske študente je napisal nekaj pomemb-
nih skript in specialnih del iz algebre in funkcionalne analize (npr. o ka-
tegorijah in algebrski K-teoriji 1970, o grupah K0, K1 in K2 1974, o Ba-
38 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Kobal” — 2018/5/4 — 7:12 — page 39 — #6 i
i
i
i
i
i
Stoletnica rojstva profesorja Ivana Vidava
nachovih in C∗-algebrah 1978 in 1979, o linearnih operatorjih na Bana-
chovih prostorih 1982). O vsem tem je tudi predaval; vrsto let je vodil
takrat edini podiplomski seminar iz funkcionalne analize. Poleg tega je o-
snove funkcionalne analize v šestdesetih in sedemdesetih letih vsako drugo
leto učil tudi na podiplomskem študiju fizike. Leta 1985 pa je bil eden od
pobudnikov in prvi predavatelj na novem podiplomskem študiju pedagoške
matematike, namenjenem učiteljem matematike na naših šolah. Na tem
študiju je predaval diferencialno geometrijo še nekaj let po svoji upokojitvi
leta 1986.
Če je bil vse do srede petdesetih let 20. stoletja v Sloveniji na področju
matematike profesor Josip Plemelj tako rekoč edina avtoriteta in vodilni od-
ločevalec, pa je po izvolitvi za rednega profesorja leta 1953 Vidav začel počasi
prevzemati vse več odgovornih funkcij. Postal je predstojnik Prirodoslovno-
matematičnega oddelka Prirodoslovno-matematično-filozofske fakultete in
leta 1956 njen prodekan, prvi dekan na novo ustanovljene Naravoslovne
fakultete leta 1957, nato za Plemljem predstojnik Matematičnega inštituta,
od leta 1961 do 1967 prvi predstojnik oddelka za matematiko na Inštitutu
za matematiko, fiziko in mehaniko, kasneje pa predsednik sveta tega inšti-
tuta. Leta 1960 je nastala Fakulteta za naravoslovje in tehnologijo, kamor
je odtlej spadal tudi študij matematike. Vidav je bil na njej najprej vodja
katedre in po letu 1969 odseka za matematiko, preoblikovanega leta 1975
v samoupravno enoto VTO Matematika in mehanika. Leta 1977 je vod-
stvene funkcije sicer prepustil drugim, a je ne glede na svoje formalne ob-
veznosti ostal do upokojitve nesporni dejanski vodja sprva majhne, a hitro
rastoče matematične družine na omenjeni fakulteti. Vodil jo je preudarno
in smotrno, z velikim občutkom odgovornosti do posameznikov in celotne
skupnosti. Tudi po upokojitvi so bili njegovi nasveti vedno dobrodošli in
zaželeni.
Delo na področju popularizacije matematike
Poleg učbenikov in monografij je profesor Vidav v svoji dolgoletni kari-
eri napisal več strokovnih knjig in veliko člankov, s katerimi je želel širši
javnosti in zlasti mladim, dijakom in tudi osnovnošolcem, približati »kraljico
znanosti«. Mnogi njegovi prispevki v Obzorniku za matematiko in fiziko, od
prvega letnika 1951 dalje pa vse do leta 2006, ter skoraj vsi članki, objav-
ljeni v Preseku v letih od 1976 do 2008, so npr. namenjeni popularizaciji
matematike med šolajočo se mladino in na splošno v javnosti. Enak cilj
zasledujejo njegove knjige v Knjǐznici Sigma: Rešeni in nerešeni problemi
matematike (prva knjiga v tej zbirki leta 1959), Števila in matematične
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1 39
i
i
“Kobal” — 2018/5/4 — 7:12 — page 40 — #7 i
i
i
i
i
i
Vesti
teorije (1965), Teorija števil in elementarna geometrija (1996) ter O del-
jenju z ostankom in še o čem (2016, posthumno). Zadnji dve prinašata
izbor njegovih člankov in različnih drugih tekstov, ki so bili že prej objav-
ljeni v slovenskih matematičnih revijah.
Vidavovi strokovni članki so izhajali v Obzorniku, glasilu Društva mate-
matikov, fizikov in astronomov Slovenije, ki ga je vrsto let pomagal urejati.
Pri društvu je opravljal pomembne funkcije, od 1951 do 1959 npr. najprej
tri leta predsednǐsko in nato podpredsednǐsko; od 1958 do 1974 je bil vodja
tekmovalne komisije, od 1966 do 1992 odgovorni urednik zbirke Sigma, poleg
tega ves čas član in predsednik častnega razsodǐsča idr. Že v 50. letih je
veliko predaval dijakom in učiteljem matematike, pozneje pa je pogosto
s predavanji sodeloval na društvenih seminarjih, vse do konca 90. let 20.
stoletja. Po upokojitvi ga je društvo izbralo za svojega desetega častnega
člana.
Ob vsej tej njegovi, poleg raziskovalnega in pedagoškega dela gotovo
postranski dejavnosti, je morda najbolj presenetljivo, da se mu ni nikoli
zdelo težko spustiti z vǐsine uglednega znanstvenika na nivo, ki je dostopen
povprečnemu diplomiranemu matematiku, študentu in celo dijaku. Običaj-
no se tudi zelo sposobni in ustvarjalni ljudje odločijo za eno ali drugo: bodisi
so bolj raziskovalci in ustvarjalci novega ali pa bolj učitelji oziroma pre-
našalci pridobljenega znanja. Ne samo pri nas, tudi v svetu redko najdemo
matematika, ki bi združeval v sebi tako sposobnost doseganja vrhunskih
znanstvenih rezultatov z umetnostjo podajanja snovi začetniku na preprost
in privlačen način. V tem je bil naš profesor Vidav enkraten in v današnjem
času izrazite specializacije gotovo neponovljiv mojster.
Za svoje dolgoletno predano znanstveno in pedagoško delo ter za svoja
druga prizadevanja v korist slovenske matematike in matematične skupnosti
je prejel najvǐsja državna odlikovanja in nagrade ter univerzitetna priznanja
in časti. Nekaj smo jih že omenili, od drugih naštejmo samo najpomembnej-
še: red zaslug za narod z zlato zvezdo 1978, nagrada Avnoj 1981, Žagarjeva
nagrada za pedagoško delo 1988, državna nagrada za življenjsko delo na
področju znanosti 1992 in zlati red za zasluge leta 2008. Univerza pa mu je
podelila naziv zaslužni profesor leta 1987 in častni doktorat leta 1997.
Vidavova osebnost
Profesorju Vidavu je bila seveda matematika vse na svetu. Z njo se je
aktivno ukvarjal že v svojih gimnazijskih letih, vso svojo akademsko kariero
in še v visoki starosti. Preštudiral je njena obsežna in raznovrstna področja,
do potankosti je poznal njene skrivnosti. Ko smo njegovi učenci in kasneje
40 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1
i
i
“Kobal” — 2018/5/4 — 7:12 — page 41 — #8 i
i
i
i
i
i
Stoletnica rojstva profesorja Ivana Vidava (1918–2015)
sodelavci pri svojem delu naleteli na probleme, smo radi hodili k njemu po
nasvet in strokovno pomoč. Nikoli ni odklonil in čeprav je pogosto najprej
skromno izjavil, da o zadevi ne ve veliko, je vedno našel primerno rešitev;
če ne takoj, pa čez dan ali dva. Z njim se je bilo lepo pogovarjati tudi o
drugih, nematematičnih temah. Veliko reči ga je zanimalo, veliko je prebral
in veliko je vedel. Skoraj o vsaki zadevi je imel izdelano svoje mnenje, čeprav
ga ni vsiljeval drugim. V svojih sodbah je bil zadržan in umirjen, v svojih
odločitvah preudaren. Bil je prijeten in duhovit sogovornik, od katerega
smo se veliko naučili.
Rad je seveda predaval in posredoval svoje bogato znanje študentom.
Kdor je kdaj okusil njegove pedagoške prijeme, tudi ve, kako korekten je
bil pri izpraševanju. Če je bil v mlaǰsih letih, kot pravijo, še dokaj strog in
zahteven, pa je z leti njegova ostrina na izpitih otopela, postal je zelo blag
in uvideven do vseh mogočih študentskih težav ali izgovorov, s katerimi smo
opravičevali svoje neznanje. Nikoli ni bil vzvǐsen, ne do študentov ne do
sodelavcev; skrajno vljuden je bil tudi do naključnih obiskovalcev. Njegove
izjemne intelektualne sposobnosti, izpričane vrline in dobro znane značaj-
ske poteze ga delajo ne samo velikega znanstvenika in učitelja, pač pa tudi
velikega človeka.
Kljub zavidanja vrednim znanstvenim uspehom in veliki avtoriteti, ki
jo je užival, je ostal osebno skromen. Ni hlepel ne po časti ne po denarju.
Sam si je iz svojega žepa plačal marsikatero službeno pot ali se odpovedal
zasluženemu honorarju. Finančno nagrado, ki mu je pripadala kot članu
akademije, je od leta 2000 dalje namenjal za štipendije podiplomskim štu-
dentom matematike in naravoslovja. Danes deluje pri SAZU za te namene
Fundacija akademika Ivana Vidava.
Sklepna misel
Po današnjih merilih profesor Vidav ne spada med matematike z velikim
številom objavljenih znanstvenih del, saj je skupaj z disertacijo napisal samo
štirideset znanstvenih razprav in člankov. Mnogi naši mladi raziskovalci
matematike ga danes po tem kriteriju že močno presegajo. Morda kdo od
njih celo dosega globlje rezultate na kakšnem posameznem matematičnem
področju. Težko pa ga bo kdo prekosil v širini njegove znanstvene misli, v
celovitem razumevanju matematike in v akademskem odnosu do študentov,
sodelavcev in sopotnikov. Tako univerzalnega znanstvenika, učitelja in sve-
tovalca, kot je bil profesor Vidav, slovenski matematiki najbrž nikoli več ne
bomo imeli.
Milan Hladnik
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 1 III
i
i
“kolofon” — 2018/5/3 — 10:34 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JANUAR 2018
Letnik 65, številka 1
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Ocenjevanje parametrov v Bayesovi statistiki (Aleš Toman) . . . . . . . . . . . 1–11
Polarni sij in Zemljino magnetno polje (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–25
Zanimivosti
Uganke iz oddaje Ugriznimo znanost (Uroš Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26–33
Vesti
Vidav, Spiritus agens slovenske matematike minulega stoletja
(Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–36
Stoletnica rojstva profesorja Ivana Vidava (1918–2015)
(Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36–III
CONTENTS
Articles Pages
Bayesian parameter estimation (Aleš Toman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11
Aurora and Earth’s magnetic field (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–25
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26–33
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–III
Na naslovnici: Polarni sij na Jupitru. Fotografija je sestavljena iz dveh slik nareje-
nih s Hubblovim teleskopom. Ena je običajna, pri drugi pa so zaznavali kratkova-
lovno ultravijolično svetlobo. Vir: NASA, ESA in J. Nichols (Univerza v Leicestru).