OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
JULIJ 2020STR 121-160ŠT. 4LETNIK 67LJUBLJANAOBZORNIK MAT. FIZ.
C  KM Y 
2020
Letnik 67
4
i
i
“kolofon” — 2020/12/21 — 13:18 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JULIJ 2020, letnik 67, številka 4, strani 121–160
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
© 2020 DMFA Slovenije – 2130 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
POVABILO V INVERZNE POLGRUPE
GANNA KUDRYAVTSEVA1
Fakulteta za gradbenǐstvo in geodezijo, Univerza v Ljubljani
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko
Math. Subj. Class. (2010): 20M18, 20M20, 20M05
Ključne besede: inverzna polgrupa, simetrična inverzna polgrupa, parcialno delovanje,
razširitev grupe, prosta inverzna polgrupa
V članku predstavimo uvod v teorijo inverznih polgrup. Poseben poudarek je na
simetrični inverzni polgrupi, ki jo sestavljajo vse parcialno definirane injektivne preslikave
iz množice vase, ter na inverznih polgrupah, ki jih dobimo iz grup, ki parcialno delujejo
na polmrežah s pomočjo konstrukcije semidirektnega produkta. Podrobno opǐsemo nekaj
pomembnih primerov inverznih polgrup, ki nastanejo s pomočjo omenjene konstrukcije.
Bralcu tako predstavimo ne le uvod v osnove teorije inverznih polgrup, pač pa tudi uvod
v področje trenutnih aktivnih raziskav iz inverznih polgrup in njihovih posplošitev.
INVITATION TO INVERSE SEMIGROUPS
We present an introduction to inverse semigroup theory with a special focus on the
symmetric inverse semigroup that consists of all partial injective maps from a set to itself,
and also on inverse semigroups which can be obtained from a group acting partially on
a semilattice using a semidirect product construction. We present a detailed description
of several examples which arise from this construction. We thus provide a reader not
only with an introduction to the basics of the inverse semigroup theory, but also with an
introduction to active ongoing research on inverse semigroups and their generalizations.
Uvod
Potreba po vpeljavi inverznih polgrup je prǐsla iz raziskav v diferencialni
geometriji v sredini 20. stoletja. V tistem obdobju je bila teorija grup kot
abstraktna veda o komponiranju obrnljivih preslikav praktično edino po-
glavje algebre, ki je spodbujalo razvoj geometrije. V geometriji pa je po-
gosto naravno obravnavati bijektivne preslikave med različnimi množicami
ali med podmnožicami neke univerzalne množice. S pomočjo teorije grup
takih objektov ni bilo možno opisati, zato je ruski matematik V. V. Va-
gner2 na začetku petdesetih let 20. stoletja predlagal za parcialno definirane
preslikave uporabo operacije kompozituma binarnih relacij in je prvi razvil
osnove teorije takih algebraičnih struktur [12], ki jih je imenoval posplošene
grupe. Neodvisno od Vagnerja je eno leto kasneje iste algebraične strukture
1Avtorica je bila delno podprta s strani programa P1-0288, ki ga financira ARRS.
2ki je sam raje transliteriral svoj priimek Wagner.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4 121
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 122 — #2 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
vpeljal G. B. Preston [10], ki jih je imenoval z njihovim sedanjim imenom
– inverzne polgrupe. Poleg diferencialne geometrije so inverzne polgrupe
kasneje našle uporabo tudi v teoriji C∗-algeber, kombinatorični teoriji grup
in linearni logiki. Inverzne polgrupe se uporabljajo tudi v fiziki, in sicer v
teoriji kvazikristalov ter v fiziki trdne snovi. Več informacij bralec lahko
najde v knjigi [7] in njeni bibliografiji.
Parcialne permutacije
Parcialna permutacija množice X je injektivna preslikava p : X1 → X, kjer
je X1 podmnožica množice X. Množici X1 in p(X1) imenujemo domena in
kodomena parcialne permutacije p in ju označimo z dom(p) in ran(p). Naj
bo I(X) množica vseh parcialnih permutacij množice X. V primeru, ko je
X1 = X in je p : X → X bijekcija, postane parcialna permutacija množice
X kar permutacija. Množico vseh permutacij množice X označimo s S(X).
Če je X1 = X, parcialna permutacija še ni nujno permutacija, na primer
preslikava p : N → N, definirana s predpisom p(n) = n + 1 za vsak n ∈ N,
ni permutacija, ker njena kodomena ni enaka množici N. Če je množica X
končna, potem je parcialna permutacija p permutacija natanko tedaj, ko je
X1 = X.
Rang parcialne permutacije p : X → X je število rang(p) = |X1| =
|p(X1)|, kjer je |X| oznaka za moč množice X. Če je množica X končna,
potem so permutacije množice X natanko tiste parcialne permutacije, kate-
rih rang je enak |X|.
Podobno kot permutacije tudi parcialne permutacije lahko podamo s
pomočjo tabel. Oglejmo si naslednji primer. Naj bo X = {1, 2, 3, 4} in
naj bo p : dom(p)→ X parcialna permutacija množice X, kjer je dom(p) =
{1, 3}, p(1) = 2 in p(3) = 1. Parcialno permutacijo p potem lahko zapǐsemo
v obliki tabele
p =
(
1 2 3 4
2 ∅ 1 ∅
)
. (1)
Ker je p(1) = 2, smo pod številom 1 zapisali število 2. Podobno smo pod
številom 3 zapisali število 1. Pod številoma 2 in 4 pa smo zapisali simbol
prazne množice ∅, s čimer smo označili dejstvo, da 2, 4 6∈ dom(p).
Kompozitum parcialnih permutacij p in q je nova parcialna permutacija
pq, kjer za vsak x ∈ X velja pq(x) = p(q(x)), seveda če je x ∈ dom(q) in
q(x) ∈ dom(p). Če x 6∈ dom(q) ali pa x ∈ dom(q) a q(x) 6∈ dom(p), potem
x 6∈ dom(pq). Ekvivalentno, pq je parcialna permutacija množice X, kjer je
dom(pq) = q−1(dom(p)) = {x ∈ X : q(x) ∈ dom(p)}
in pq(x) = p(q(x)) za vsak x ∈ dom(pq). Da se pokazati, da je tako defi-
nirana operacija kompozituma parcialnih permutacij na množici X asocia-
tivna.
122 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 123 — #3 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
Izračunajmo na primer produkt pq, kjer sta
p =
(
1 2 3 4
2 ∅ 1 ∅
)
in q =
(
1 2 3 4
∅ 1 4 3
)
.
Najprej zapǐsemo nastavek za pq – naslednjo tabelo s prazno drugo vrstico
pq =
(
1 2 3 4
)
in nato zapovrstjo izračunamo pq(n) za n = 1, 2, 3, 4, seveda, če je ta defi-
niran. Ker 1 6∈ dom(q), tudi 1 6∈ dom(pq) in zato v tabeli pod številom 1
zapǐsemo ∅:
pq =
(
1 2 3 4
∅
)
.
Ker je q(2) = 1 in p(q(2)) = p(1) = 2, je 2 ∈ dom(pq) in pq(2) = 2. Zato v
tabeli pod številom 2 zapǐsemo 2:
pq =
(
1 2 3 4
∅ 2
)
.
Ker je q(3) = 4 in 4 6∈ dom(p), potem 3 6∈ dom(pq). Zato zapǐsemo:
pq =
(
1 2 3 4
∅ 2 ∅
)
.
Končno, ker je q(4) = 3 in p(3) = 1, je 4 ∈ dom(pq) in pq(4) = p(q(4)) =
p(3) = 1. Zdaj je produkt pq izračunan:
pq =
(
1 2 3 4
∅ 2 ∅ 1
)
.
Naj bo Y ⊆ X. Označimo z 1Y parcialno permutacijo, za katero je
dom(1Y ) = Y in 1Y (y) = y za vsak y ∈ Y . Na primer, za Y = {1, 3} in
X = {1, 2, 3, 4}, je
1Y =
(
1 2 3 4
1 ∅ 3 ∅
)
.
Spomnimo se, da se neprazna množica S z asociativno binarno operacijo
imenuje polgrupa. Polgrupa S se imenuje monoid, če obstaja tak element
1 ∈ S, da velja 1x = x1 = x za vsak x ∈ S. Ker za vsako parcialno
permutacijo p ∈ I(X) drži p1X = 1Xp = p, je I(X) monoid.
Zastavimo si vprašanje, ali za parcialno permutacijo p ∈ I(X) obstaja
njej inverzna parcialna permutacija. Tu je vse odvisno od definicije inverzne
121–135 123
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 124 — #4 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
parcialne permutacije. Če uporabimo definicijo grupnega inverza, se hitro
vidi, da ima p ∈ I(X) inverz natanko tedaj, ko je p bijekcija, torej, ko je
p ∈ S(X). Zato I(X) ni grupa.
Poskusimo prilagoditi definicijo inverza. Vzamemo parcialno permuta-
cijo p iz (1) in opazimo, da za parcialno permutacijo
q =
(
1 2 3 4
3 1 ∅ ∅
)
velja:
pq =
(
1 2 3 4
1 2 ∅ ∅
)
= 1{1,2} in qp =
(
1 2 3 4
1 ∅ 3 ∅
)
= 1{1,3}.
Produkta pq in qp sta torej identični preslikavi na podmnožicah množice X.
Razen tega s pomočjo preprostega računa vidimo, da je pqp = p in qpq = q.
Zato je smiselno definirati p−1 = q. Na splošno, če je p ∈ I(X), je njen
inverz definiran kot parcialna permutacija p−1, kjer je dom(p−1) = ran(p)
in za vsak x ∈ dom(p−1) drži p−1(x) = y, kjer je p(y) = x. Ker je vsak
element p ∈ I(X) bijekcija med dom(p) in ran(p), njegov inverz p−1 obstaja
in je enolično določen.
Inverzne polgrupe: definicija in prve lastnosti
Inverzne polgrupe in monoidi
Naj bo S polgrupa. Element p ∈ S imenujemo regularen element, če obstaja
tak q ∈ S, da velja pqp = p in qpq = q. Element q potem imenujemo inverz
elementa p. Se pravi, element p ∈ S je regularen natanko tedaj, ko ima
inverz. Naj bo S grupa. Potem je seveda aa−1a = a in a−1aa−1 = a−1 za
vsak a ∈ S. Poleg tega iz enakosti aba = a sledi, da je b = a−1: če enakost
aba = a pomnožimo z a−1 z desne, dobimo abaa−1 = aa−1, se pravi ab = 1.
Če isto enakost pomnožimo z a−1 z leve, podobno dobimo ba = 1. Torej
je po definiciji grupnega inverza b = a−1. Zato je pojem inverza v polgrupi
posplošitev pojma inverza v grupi.
Če je S polgrupa in p ∈ S regularen element, se lahko zgodi, da ima p
več inverzov (to se zgodi na primer v polgrupi vseh transformacij množice
X, kjer je |X| ≥ 2, podrobnosti najdete v knjigi [4]). Polgrupo S imenujemo
regularna polgrupa, če je vsak element s ∈ S regularen.
Polgrupo S imenujemo inverzna polgrupa, če ima vsak p ∈ S natanko
en inverz. Na primer, vsaka grupa je inverzna polgrupa. Polgrupa I(X), ki
smo jo definirali v preǰsnjem razdelku, je, kot smo že preverili, tudi inverzna
polgrupa. Ker ima I(X) identični element, je I(X) tudi inverzni monoid.
Inverzni monoid I(X) se imenuje simetrični inverzni monoid na množici X.
124 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 125 — #5 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
Včasih pravimo, da je I(X) simetrična inverzna polgrupa na množici X.
Obe terminologiji sta korektni, uporaba besede »monoid« poudarja dejstvo,
da je I(X) monoid, uporaba besede »polgrupa« pa tega dejstva posebej ne
izpostavlja.
Inverz elementa a inverzne polgrupe S označimo z a−1. Element a−1 je
torej edini element b, za katerega veljata enakosti aba = a in bab = b. Iz
definicije takoj sledi, da je (a−1)−1 = a.
Element e polgrupe S, za katerega velja e2 = e, imenujemo idempo-
tent. Množico idempotentov polgrupe S označimo z E(S). Vsaka grupa
vsebuje natanko en idempotent – identiteto, polgrupe pa lahko vsebujejo
več idempotentov (ali pa sploh nobenega).
Naj bo S inverzna polgrupa in a ∈ S. Iz (aa−1)(aa−1) = (aa−1a)a−1 =
aa−1 sledi, da je aa−1 ∈ E(S). Podobno je tudi a−1a ∈ E(S). Označimo
d(a) = a−1a in r(a) = aa−1. V primeru S = I(X), je d(a) = 1dom(a) in
r(a) = 1ran(a). Zato idempotenta d(a) in r(a) imenujemo domenski idem-
potent in kodomenski idempotent elementa a.
Lema 1. Naj bo S inverzna polgrupa in e, f ∈ E(S). Potem je ef ∈ E(S)
in ef = fe.
Dokaz. Označimo x = (ef)−1. Iz enakosti (fxe)(fxe) = f(xefx)e = fxe
sledi, da je fxe ∈ E(S). Ker je
(ef)(fxe)(ef) = (ef)x(ef) = ef, (fxe)(ef)(fxe) = (fxe)(fxe) = fxe,
je (fxe)−1 = ef . Po drugi strani, iz eee = e sledi, da je e−1 = e za
vsak e ∈ E(S). Zato je (fxe)−1 = fxe in posledično fxe = ef . Torej je
ef ∈ E(S) in podobno fe ∈ E(S). Ker smo označili x = (ef)−1, je x = ef .
Zato velja ef = fxe = f(ef)−1e = fefe = (fe)(fe) = fe.
Lema 1 nam pove, da je množica E(S) zaprta za množenje in je tako
podpolgrupa polgrupe S. Omenimo še eno ključno lastnost inverza, ki po-
splošuje ustrezno lastnost grupnega inverza.
Lema 2. Naj bo S inverzna polgrupa in a, b ∈ S. Potem je (ab)−1 = b−1a−1.
Dokaz. Po definiciji inverza moramo preveriti, da veljata enakosti
(ab)(b−1a−1)(ab) = ab in (b−1a−1)ab(b−1a−1) = b−1a−1. Z upoštevanjem
tega, da je bb−1, a−1a ∈ E(S), in leme 1, preoblikujemo levo stran prve ena-
kosti v (ab)(b−1a−1)(ab) = a(bb−1)(a−1a)b = a(a−1a)(bb−1)b = ab. Drugo
enakost preverimo na podoben način.
121–135 125
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 126 — #6 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
Naravna delna urejenost
Za elementa a, b inverzne polgrupe S definiramo a ≤ b, če je a = be za neki
e ∈ E(S). Relacija ≤ je refleksivna, ker je a = ad(a), in tranzitivna, ker iz
a = be in b = cf sledi, da je a = cfe in je ef ∈ E(S) na podlagi leme 1.
Pokažimo, da je relacija ≤ antisimetrična. Predpostavimo, da je a ≤ b in
b ≤ a. Po definiciji je b = ae in a = bf , kjer sta e, f ∈ E(S). Potem je
b = ae = bfe = bef . Če enakost b = bef pomnožimo z desne s f , dobimo
bf = bef in tako a = b. Zato je ≤ delna urejenost na S, ki jo imenujemo
naravna delna urejenost.
Naj bo a ≤ b in e ∈ E(S) tak element, da je a = be. Potem je ae = bee =
be = a. Če enakost ae = a pomnožimo z a−1 z leve, dobimo d(a)e = d(a).
Posledično imamo a = ad(a) = bed(a) = bd(a). Zato a ≤ b drži natanko
takrat, ko je a = bd(a). Na podoben način se da pokazati, da enakost a = eb
za neki e ∈ E(S) velja natanko takrat, ko je a = r(a)b.
Spet naj bo a ≤ b, se pravi a = bd(a). S pomočjo leme 2 imamo
a−1 = d(a)b−1. Če to enakost pomnožimo z leve z a in z desne z b, dobimo:
aa−1b = ad(a)b−1b = bd(a)d(a)b−1b = (bb−1b)d(a) = bd(a) = a. Torej je
a = r(a)b. Podobno se da pokazati, da iz enakosti a = r(a)b sledi, da je
a = bd(a). Dokazali smo naslednjo trditev.
Trditev 3. Naj bo S inverzna polgrupa in a, b ∈ S. Naslednje trditve so
ekvivalentne:
1. a ≤ b;
2. a = eb za neki e ∈ E(S);
3. a = bd(a);
4. a = r(a)b.
V primeru a, b ∈ I(X) neenakost a ≤ b drži natanko takrat, ko je a
zožitev elementa b, torej je a = 1ran(a)b = b 1dom(a). Z drugimi besedami,
a ≤ b velja natanko takrat, ko je dom(a) ⊆ dom(b) in a(x) = b(x) za vsak
x ∈ dom(a). Na primer, zožitve parcialne permutacije
a =
(
1 2 3 4
∅ 2 ∅ 1
)
so (
1 2 3 4
∅ ∅ ∅ 1
)
,
(
1 2 3 4
∅ 2 ∅ ∅
)
in
(
1 2 3 4
∅ ∅ ∅ ∅
)
.
Označimo z 0 parcialno permutacijo z dom(0) = ∅. Ker velja a0 = 0a =
0 za vsak a ∈ I(X), parcialno permutacijo 0 imenujemo ničelna parcialna
permutacija.
126 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 127 — #7 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
Polmreže
Oglejmo si še strukturo polgrup, ki vsebujejo zgolj idempotente. Naj bo E
taka polgrupa. Najprej povejmo, da je E avtomatično inverzna polgrupa,
ker ima vsak e ∈ E en sam inverz, in to je ravno element e. Vzemimo
e, f ∈ E. Potem je ef ≤ e, f . Predpostavimo, da je g ≤ e, f . Potem je
g = ed(g) = eg in podobno g = fg. Zato je g = eg = efg in tako g ≤ ef .
Pokazali smo, da je ef največja spodnja meja za elementa e in f glede na
delno urejenost≤ na E. Delno urejeno množico, kjer ima vsak par elementov
največjo spodnjo mejo, imenujemo polmreža. Torej je (E,≤) polmreža in
največja spodnja meja e∧f elementov e in f je enaka ef . Nasprotno, naj bo
(E,≤) polmreža in z e∧f označimo največjo spodnjo mejo elementov e in f .
Potem je E z operacijo ∧ polgrupa, katere elementi so vsi idempotenti. Zato
polgrupe, ki vsebujejo le idempotente, lahko identificiramo s polmrežami.
Pogosto take polgrupe imenujemo kar polmreže. Za inverzno polgrupo S
rečemo, da je E(S) njena polmreža idempotentov.
Enostavno je videti, da so idempotenti polgrupe I(X) natanko parcialne
permutacije oblike 1Y , kjer je Y ⊆ X. Razen tega za Y,Z ⊆ X velja
1Y 1Z = 1Y ∩Z . (2)
To pomeni, da je struktura polmreže idempotentov polgrupe I(X) »po-
dobna« strukturi polmreže potenčne množice P(X) z operacijo preseka pod-
množic. Matematično natančno to opǐsemo z uporabo pojma izomorfizem
polmrež: preslikava Y 7→ 1Y , kjer je Y ⊆ X, je izomorfizem med polmrežo
P(X) in polmrežo E(I(X)). To pomeni, da je dana preslikava bijekcija, ki
zaradi (2) ohranja polmrežno operacijo.
Vagner-Prestonov izrek
Spomnimo se, da nam Cayleyjev izrek pove, da se da vsako grupo natančno
upodobiti v neki simetrični grupi. Z drugimi besedami, vsaka grupa je
izomorfna podgrupi neke simetrične grupe S(X). Ideja dokaza je dokaj
preprosta: poljubno grupo G lahko zvesto upodobimo v simetrični grupi
S(G) s pomočjo leve regularne upodobitve, ki je preslikava ϕ : G → S(G),
g 7→ ϕg, kjer je ϕg(h) = gh za vsak h ∈ G.
Vagner-Prestonov izrek, ki ga je prvi dokazal leta 1953 V. V. Vagner [12]
in eno leto kasneje neodvisno še G. B. Preston [10], je posplošitev Cay-
leyjevega izreka na inverzne polgrupe. Pri tem vlogo simetrične grupe
S(X) prevzame simetrična inverzna polgrupa I(X). Vagner-Prestonov izrek
nam pove, da vsako inverzno polgrupo lahko z levo regularno upodobitvijo
vložimo v simetrično inverzno polgrupo I(S). Leva regularna upodobitev
ϕ : S → I(S) je definirana takole. Najprej opazimo, da za vsak s ∈ S velja
s−1sS = s−1S: očitno je s−1sS ⊆ s−1S, poleg tega pa za a = s−1b ve-
lja a = s−1ss−1b, zato je tudi s−1S ⊆ s−1sS. Zaradi simetrije velja tudi
121–135 127
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 128 — #8 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
ss−1S = sS. Za s ∈ S je dom(ϕs) = s−1sS = s−1S in za t ∈ s−1S je
ϕs(t) = st ∈ ss−1S = sS. Da se pokazati, da je ϕ injektiven homomorfizem
polgrup, glejte [9, Theorem IV.1.6] in [7, 1.5].
Konstrukcija inverznih polgrup iz grup in polmrež
Kot smo že omenili, je vsaka polmreža primer inverzne polgrupe, ki vsebuje
le idempotente. Poleg tega je polmreža idempotentov grupe sestavljena
le iz identičnega elementa. Vidimo, da so polmreže in grupe neke vrste
»ekstremni« primer inverznih polgrup. Zastavimo si vprašanje: ali lahko
iz grup in polmrež konstruiramo nove, bolj zanimive inverzne polgrupe?
Katere inverzne polgrupe dobimo?
Semidirektni produkti grup in polmrež glede na delovanja
Naj bo G grupa in X neprazna množica. Grupa G deluje na množici X (z
leve), če je za vsaka g ∈ G in x ∈ X definiran element g · x ∈ X ter velja:
(gh) · x = g · (h · x) za vsaka g, h ∈ G in x ∈ X;
1 · x = x za vsak x ∈ X.
Element g ·x označujemo tudi s ϕg(x). Tako imamo za vsak g ∈ G definirano
preslikavo ϕg : X → X, x 7→ g ·x. Ker je g−1 ·(g ·x) = x, je ϕg bijekcija, zato
imamo homomorfizem grup ϕ : G → S(X), definiran s predpisom g 7→ ϕg.
Velja tudi obratno: homomorfizem grup ψ : G → S(X) definira delovanje
grupe G na množici X s predpisom x 7→ ψ(g)(x), g ∈ G, x ∈ X. Zato
obstaja bijekcija med delovanji grupe G na množici X in homomorfizmi
G→ S(X).
Naj bo zdaj E polmreža. Predpostavimo, da je podano delovanje grupe
G na E, ki je usklajeno z urejenostjo polmreže E, se pravi, zadošča pogoju:
e ≤ f ⇔ g · e ≤ g · f za vse e, f ∈ E in g ∈ G. (3)
Če za delovanje grupe G na polmreži E velja pogoj (3), pravimo, da G
deluje na E z urejenostnimi avtomorfizmi.
Navedimo primer delovanja grupe na polmreži z urejenostnimi avtomor-
fizmi. Naj bo G simetrična grupa S(X), kjer je X = {1, 2, . . . , n}, in naj bo
E = P(X) polmreža vseh podmnožic množice X glede na operacijo preseka
podmnožic. Za g ∈ S(X) in Y ⊆ X definirajmo
g · Y = g(Y ) = {g(y) : y ∈ Y }.
Enostavno je videti, da smo definirali delovanje G na E z urejenostnimi
avtomorfizmi.
128 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 129 — #9 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
Če imamo podano delovanje grupe G na polmreži E z urejenostnimi
avtomorfizmi, lahko na množici E × G = {(e, g) : e ∈ E, g ∈ G} vpeljemo
strukturo polgrupe s predpisom
(e, g)(f, h) = (e ∧ (g · f), gh). (4)
Hitro se da preveriti, da je E ×G inverzna polgrupa, kjer je
(e, g)−1 = (g−1 · e, g−1).
Dobljeno inverzno polgrupo označimo z EoG in jo imenujemo semidirektni
produkt grupe G in polmreže E glede na podano delovanje.
Semidirektni produkti grup in polmrež glede na parcialna delovanja
Opisano konstrukcijo se da posplošiti z delovanj grup na polmrežah na tako
imenovana parcialna delovanja. Parcialna delovanja se naravno pojavijo v
različnih vejah matematike, glejte pregledni članek [2].
Naj bo G grupa in X neprazna množica. Funkcijo Z → X, kjer je
Z ⊆ G×X, bomo imenovali parcialna funkcija iz G×X v X. Sliko elementa
(g, x) ∈ Z označimo z g · x. Če je (g, x) ∈ Z, je element g · x definiran.
Pravimo, da parcialna funkcija iz G×X v X, (g, x) 7→ g·x, definira parcialno
delovanje grupe G na množici X (z leve), če veljajo pogoji:
(A) če sta definirana h · x in g · (h · x), potem je definiran gh · x in velja
gh · x = g · (h · x);
(B) če je definiran g ·x, potem je definiran g−1 ·(g ·x) in velja g−1 ·(g ·x) = x;
(C) za vsak x ∈ X je 1 · x definiran in enak x.
Za vsak g ∈ G s ϕg ∈ I(X) označimo parcialno permutacijo, za katero je
dom(ϕg) = {x ∈ X : element g · x je definiran}
in za x ∈ dom(ϕg) je ϕg(x) = g ·x. Pogoj (A) nam pove, da je dom(ϕgϕh) ⊆
dom(ϕgh) za vse g, h ∈ G in ϕgϕh(x) = ϕgh(x) za vse x ∈ dom(ϕgϕh). Zato
je parcialna permutacija ϕgϕh zožitev parcialne permutacije ϕgh. Presli-
kava ϕ : G → I(X) tako zadošča pogoju ϕgϕh ≤ ϕgh, kot tudi pogojema
ϕg−1 = (ϕg)
−1 za vsak g ∈ G in ϕ1 = 1X . Take preslikave so posplošitve ho-
momorfizmov in se imenujejo prehomomorfizmi. Podobno kot so delovanjem
grupe G na množici X prirejeni homomorfizmi G → S(X), so parcialnim
delovanjem grupe G na množici X prirejeni prehomomorfizmi G→ I(X).
Parcialna delovanja grup so natanko zožitve delovanj. Predpostavimo,
da je podano delovanje grupe G na množici X, (g, x) 7→ g ·x. Naj bo Y ⊆ X
121–135 129
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 130 — #10 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
neprazna podmnožica in g ∈ G. Najprej opazimo, da se za y ∈ Y lahko
zgodi, da g ·y 6∈ Y . Definirajmo parcialno funkcijo G×Y → Y , (g, y) 7→ g◦y,
kjer je za g ∈ G in y ∈ Y element g◦y definiran natanko tedaj, ko je g ·y ∈ Y
in je v slednjem primeru g◦y = g ·y. Parcialna funkcija (g, y) 7→ g◦y definira
parcialno delovanje grupeG na množici Y , ki ga imenujemo zožitev delovanja
(g, x) 7→ g·x. Obratno, da se pokazati, da je vsako parcialno delovanje grupe
G na množici Y zožitev delovanja grupe G na neki množici X, ki vsebuje Y .
Delovanje grupe G, katerega zožitev je dano parcialno delovanje, se imenuje
globalizacija danega parcialnega delovanja. Več podrobnosti o parcialnih
delovanjih grup lahko bralec najde v člankih [3, 5].
Potrebujemo še naslednjo definicijo. Naj bo E polmreža in I ⊆ E, kjer
je I 6= ∅. Rečemo, da je I urejenostni ideal polmreže E, če za vsak x ∈ I in
vsak y ≤ x velja y ∈ I. Drugo ime za urejenostne ideale je navzdol zaprte
množice.
Naj sedaj grupa G parcialno deluje na polmreži E s preslikavo (g, e) 7→
g · e = ϕg(e) in naj velja naslednji pogoj, ki je podoben pogoju (3):
e ≤ f ⇔ g · e ≤ g · f za vse g ∈ G in e, f ∈ dom(ϕg).
Predpostavimo dodatno, da je za vsak g ∈ G množica dom(ϕg) urejenostni
ideal polmreže E (nato se hitro vidi, da je tudi ran(ϕg) urejenostni ideal
polmreže E). Potem pravimo, da G parcialno deluje na E z urejenostnimi
izomorfizmi med urejenostnimi ideali polmreže E. Na množici
E oG = {(e, g) : g ∈ G, e ∈ ran(ϕg)} (5)
vpeljemo operacijo množenja s predpisom
(e, g)(f, h) = (g · ((g−1 · e) ∧ f), gh) (6)
in operacijo inverza s predpisom
(e, g)−1 = (g−1 · e, g−1). (7)
Ker imamo podano le parcialno delovanje grupe G na polmreži E, je pravilo
(6) neizogibno tehnično bolj zapleteno kot pravilo (4). In sicer, na desni
strani v definiciji produkta ne bi smeli obdržati kar e ∧ g · f , ker se lahko
zgodi, da f 6∈ dom(ϕg). Pogoj e ∈ ran(ϕg) v (5) nam zagotavlja, da je
e ∈ dom(ϕg−1) in zato obstaja g−1 · e. Ker je (g−1 · e) ∧ f ≤ g−1 · e
in je g−1 · e ∈ dom(ϕg), je tudi (g−1 · e) ∧ f ∈ dom(ϕg), saj je množica
dom(ϕg) navzdol zaprta. Z nekaj računanja, ki temelji zgolj na (6) in (7),
se lahko prepričamo, da je množica EoG z operacijama iz (6) in (7) inverzna
polgrupa. Imenujemo jo semidirektni produkt polmreže E in grupe G glede
na podano parcialno delovanje.
130 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 131 — #11 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
Uvod v E-unitarne inverzne polgrupe in McAlisterjev P -izrek
Kasneje bomo navedli nekaj pomembnih primerov inverznih polgrup, ki na-
stanejo iz parcialnih delovanj grup na polmrežah s pomočjo konstrukcije
semidirektnega produkta. V tem razdelku pa si bomo na kratko ogledali
vprašanje, ali morda tvorijo tako nastale inverzne polgrupe kak poseben
razred inverznih polgrup.
Inverzna polgrupa S se imenuje E-unitarna, če za vsak e ∈ E(S) in
s ∈ S iz s ≥ e sledi, da je s ∈ E(S). Obstaja več različnih ekvivalentnih
definicij E-unitarnosti [7, 9]. Omenimo, da je vsaka grupa E-unitarna in-
verzna polgrupa, ker v grupi a ≥ b velja natanko tedaj, ko je a = b. Ni
vsaka inverzna polgrupa E-unitarna. Na primer, če je |X| ≥ 2, simetrična
inverzna polgrupa I(X) ni E-unitarna: za vsak x ∈ I(X) je x ≥ 0, ničelna
parcialna permutacija 0 je idempotent, ni pa vsak x ∈ I(X) idempotent.
Odgovor na vprašanje na začetku tega razdelka prinaša ena od ekvi-
valentnih formulacij [5] slavnega McAlisterjevega P -izreka o strukturi E-
unitarnih inverznih polgrup. Ta pove, da je razred E-unitarnih inverznih
polgrup enak razredu inverznih polgrup, ki se jih da predstaviti kot semidi-
rektni produkt grupe in polmreže glede na parcialno delovanje.
Model Szendreieve za Birget-Rhodesovo razširitev grupe
Navedimo zanimiv in pomemben primer inverzne polgrupe, ki jo konstru-
iramo iz grupe G s pomočjo semidirektnega produkta glede na parcialno
delovanje. Označimo s Pfin(G) množico vseh končnih podmnožic grupe G.
Definirajmo
E = {A ∈ Pfin(G) : 1 ∈ A}.
Na množici E vpeljimo relacijo A ≤ B, če je B ⊆ A. Urejena množica
(E,≤) je polmreža z A∧B = A∪B. Množica {1} je očitno največji element
polmreže E. Poudarimo, da je polmreža E »konstruirana« zgolj iz grupe
G. Za g ∈ G definirajmo
dom(ϕg) = {A ∈ E : g−1 ∈ A} = {A ∈ Pfin(G) : 1, g−1 ∈ A}
in za A ∈ dom(ϕg) naj bo ϕg(A) = gA = {ga : a ∈ A}. Ker je g−1 ∈ A,
je 1 = gg−1 ∈ gA. Torej je gA ∈ E. Da se preveriti, da smo s tem
zares definirali parcialno delovanje grupe G na polmreži E z urejenostnimi
izomorfizmi med urejenostnimi idelali.
Čeprav je konstrukcija preprosta in naravna, tu ne gre za delovanje,
ker enakost ϕgϕh = ϕgh ne drži za vse g, h ∈ G. O tem se najhitreje
prepričamo, če vzamemo g ∈ G, kjer je g 6= 1, in primerjamo elementa
ϕgϕg−1 in ϕ1. Ker je dom(ϕg−1) = {A ∈ Pfin(G) : 1, g ∈ A}, je ran(ϕg−1) =
{A ∈ Pfin(G) : 1, g−1 ∈ A} = dom(ϕg). Zato je dom(ϕgϕg−1) = {A ∈
121–135 131
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 132 — #12 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
Pfin(G) : 1, g ∈ A} in za A ∈ dom(ϕgϕg−1) velja ϕgϕg−1(A) = gg−1A = A.
Torej je ϕgϕg−1 identična preslikava na množici dom(ϕgϕg−1) in je različna
od ϕ1, ki je identična preslikava na E.
Semidirektni produkt polmreže E in grupe G glede na definirano parci-
alno delovanje je množica
E oG = {(A, g) : A ∈ Pfin(G) in 1, g ∈ A}
z operacijama
(A, g)(B, h) = (g(g−1A∪B), gh) = (A∪gB, gh) in (A, g)−1 = (g−1A, g−1).
Inverzno polgrupo E o G je konstruirala Mária B. Szendrei leta 1989 v
članku [11]. Pokazala je, da je konstruirana polgrupa izomorfna prej znani
Birget-Rhodesovi prefiksni razširitvi grupe G in da inverzni monoid E oG
spada v razred tako imenovanih F -inverznih monoidov, ki je vsebovan v
razredu E-unitarnih inverznih monoidov.
Struktura proste inverzne polgrupe
V tem razdelku si bomo ogledali strukturo proste inverzne polgrupe FI(X)
nad množico generatorjev X, in sicer jo bomo konstruirali kot semidirektni
produkt proste grupe FG(X) glede na parcialno delovanje le-te na pol-
mreži, ki jo bomo najlažje definirali s pomočjo Cayleyjevega grafa proste
grupe FG(X). Tako je FI(X) še en primer, tokrat geometrijsko definiran,
semidirektnega produkta grupe in polmreže glede na parcialno delovanje.
Prosta grupa FG(X) in njen Cayleyjev graf
Naj bo X neprazna množica. Množico vseh besed nad X označimo z X∗
in jo imenujemo prosti monoid nad X. Prazno besedo označimo z 1. Naj
bo X−1 = {x−1 : x ∈ X}. Reducirana beseda nad X ∪ X−1 je element
(X ∪X−1)∗, ki ne vsebuje podbesed oblike aa−1 ali a−1a, kjer je a ∈ X. Na
primer, če je X = {a, b}, je prazna beseda 1 reducirana, prav tako beseda
aba−1b2a−1, beseda a3b−1b2a pa ni reducirana, ker vsebuje podbesedo b−1b.
Množico vseh reduciranih besed iz (X ∪ X−1)∗ označimo s FG(X). Na
tej množici definiramo produkt na naslednji način: za u, v ∈ FG(X) je uv
reducirana beseda, ki jo dobimo, če besedo v napǐsemo na desni od besede u
in v primeru potrebe pokraǰsamo vse nastale izraze oblike aa−1 in a−1a, kjer
je a ∈ X. Na primer, če je u = a2b in v = b−1a−1b3, je uv reducirana beseda,
ki jo dobimo, ko pokraǰsamo besedo a2bb−1a−1b3, zato je uv = ab3. Če je
u = a1 . . . an ∈ FG(X), definirajmo u−1 = a−1n . . . a−11 . Da se preveriti,
da je FG(X) grupa. Še več, FG(X) je prosta z X generirana grupa, kar
132 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 133 — #13 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
a a
b−1
b
b−1
b−1
a−1 a
b
b
aa−1
a−1a−1
b
b−1
Slika 1. Cayleyjev graf grupe FG({a, b}): besede dolžine ≤ 2.
Slika 2. Cayleyjev graf grupe FG({a, b}): besede dolžine ≤ 3.
pomeni, da je vsaka druga z X generirana grupa kvocient grupe FG(X),
kjer je kvocientna preslikava identična na generatorjih.
Spomnimo se, da je Cayleyjev graf z X generirane grupe G usmerjen
označen graf Cay(G;X), oglǐsča katerega so elementi grupe G. Oglǐsči u
in v sta povezani s povezavo (u, y, v), kjer je y ∈ X ∪ X−1, če je v = uy.
Povezavi (u, y, v) in (v, y−1, u) imenujemo nasprotni. Na slikah 1 in 2 sta
predstavljena dela Cayleyjevega grafa grupe FG(X) za X = {a, b}. Na
sliki 1 so prikazana oglǐsča, ki pripadajo reduciranim besedam dolžine dva
ali manj, na sliki 2 pa oglǐsča, ki pripadajo reduciranim besedam dolžine tri
ali manj. Za vsaki dve povezani oglǐsči in za vsak par nasprotnih povezav
med njima je na slikah prikazana le ena povezava iz para.
121–135 133
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 134 — #14 i
i
i
i
i
i
Ganna Kudryavtseva
Prosta inverzna polgrupa kot semidirektni produkt glede na parcialno
delovanje
V Cayleyjevem grafu Cay(FG(X);X) bomo za podgrafe privzeli, da hkrati
z vsako povezavo vsebujejo tudi njeno nasprotno povezavo. Naj bo X mno-
žica vseh končnih povezanih podgrafov grafa Cay(FG(X);X) in E množica
tistih končnih povezanih podgrafov grafa Cay(FG(X);X), katerih eno od
oglǐsč je 1. Na množici X vpeljemo relacijo ≤ nasprotne vsebovanosti pod-
grafov, se pravi Γ1 ≤ Γ2 velja natanko takrat, ko je Γ2 podgraf grafa Γ1.
Enostavno je videti, da je ≤ delna urejenost in da je (E,≤) polmreža, kjer
je Γ1 ∧ Γ2 = Γ1 ∪ Γ2.
Za g ∈ FG(X) in Γ ∈ X naj bo gΓ ∈ X podgraf grafa Cay(FG(X);X),
dobljen iz Γ s pomočjo leve translacije za g: njegova oglǐsča so gh, kjer h
teče po oglǐsčih grafa Γ, njegove povezave pa so (gh1, x, gh2), kjer (h1, x, h2)
teče po povezavah grafa Γ. Za g ∈ FG(X) definirajmo
dom(ϕg) = {Γ ∈ E : g−1 je oglǐsče Γ} = {Γ ∈ X : 1, g−1 sta oglǐsči Γ}.
Za Γ ∈ dom(ϕg) naj bo ϕg(Γ) = gΓ. Ker je g−1 oglǐsče Γ, je 1 = gg−1 oglǐsče
gΓ, iz česar sledi gΓ ∈ E. Da se preveriti, da smo s tem definirali parcialno
delovanje grupe FG(X) na polmreži E s pomočjo urejenostnih izomorfizmov
med urejenostnimi ideali. Podobno kot prej tu ne gre za delovanje, in sicer
enakost ϕgϕh = ϕgh ne drži za vse g, h ∈ FG(X).
Semidirektni produkt polmreže E in grupe FG(X) je v tem primeru
množica
E o FG(X) = {(Γ, g) : Γ ∈ X , 1 in g sta oglǐsči Γ}
z operacijama
(Γ, g)(∆, h) = (g(g−1Γ ∪∆), gh) = (Γ ∪ g∆, gh) in (Γ, g)−1 = (g−1Γ, g−1).
Za x ∈ X naj bo Γx graf z oglǐsčema 1 in x in povezavama (1, x, x)
in (x, x−1, 1). Inverzna polgrupa E o FG(X) je generirana z množico
{(Γx, x) : x ∈ X} in predstavlja model proste inverzne polgrupe FI(X).
To pomeni, da je vsaka z X generirana inverzna polgrupa kvocient polgrupe
EoFG(X), pri čemer kvocientna preslikava slika (Γx, x) v x za vsak x ∈ X.
Opisana konstrukcija je poseben primer splošneǰse konstrukcije – t. i.
Margolis-Meakinove razširitve grupne prezentacije [8], v kateri namesto Cay-
leyjevega grafa Cay(FG(X);X) proste grupe nastopa Cayleyjev graf po-
ljubne grupe podane z generatorji in relacijami.
Zaključne opombe
Če v konstrukciji, ki smo jo navedli v preǰsnjem razdelku, dovolimo tudi
nepovezane končne podgrafe Caylejevega grafa Cay(FG(X);X), dobimo
134 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Kudryavtseva” — 2021/1/4 — 8:54 — page 135 — #15 i
i
i
i
i
i
Povabilo v inverzne polgrupe
na podoben način inverzni monoid E o FG(X), kjer je E množica tistih
končnih podgrafov grafa Cay(FG(X);X), katerih eno od oglǐsč je 1. Kot
smo pokazali v nedavnem članku [1], predstavlja dobljeni semidirektni pro-
dukt model prostega F -inverznega monoida. Če pa namesto proste grupe
FG(X) vzamemo poljubno grupo G podano z generatorji in relacijami, do-
bimo F -inverzni monoid, ki ima določeno univerzalno lastnost in združuje
tako Margolis-Meakinovo razširitev kot tudi model Szendreieve za Birget-
Rhodesovo razširitev grupe G.
Za konec naj omenimo še posplošitev inverznih polgrup na tako imeno-
vane omejitvene polgrupe. Slednje so polgrupe, ki za razliko od inverznih
polgrup nimajo operacije inverza, imajo pa dodatni unarni operaciji + in ∗,
ki posplošujeta operaciji a 7→ aa−1 in a 7→ a−1a na inverzni polgrupi. Na
primer, naj bo S = {ϕ ∈ I(X) : ϕ(x) ≥ x za vsak x ∈ dom(ϕ)} ⊆ I(X),
kjer je X = {1, 2, . . . , n}. Za ϕ ∈ S je ϕ∗ = ϕ−1ϕ,ϕ+ = ϕϕ−1 ∈ S, kljub
temu da v splošnem ϕ−1 6∈ S. Polgrupa S je tako primer omejitvene pol-
grupe. Omejitvene polgrupe, konstruirane kot semidirektni produkti mono-
idov in polmrež glede na parcialna delovanja, so predmet aktivnih trenutnih
raziskav, glejte na primer članek [6] in v njem navedeno literaturo.
LITERATURA
[1] K. Auinger, G. Kudryavtseva in M. B. Szendrei, F -inverse monoids as algebraic
structures in enriched signature, Indiana Univ. Math J., sprejeto v objavo, preprint
je prosto dostopen na spletu: www.iumj.indiana.edu/IUMJ/Preprints/8685.pdf,
ogled 20. 12. 2020.
[2] M. Dokuchaev, Recent developments around partial actions, São Paulo J. Math. Sci.
13 (2019), 195–247.
[3] R. Exel, Partial actions of groups and actions of inverse semigroups, Proc. Amer.
Math. Soc. 126 (1998), 3481–3494.
[4] O. Ganuyshkin in V. Mazorchuk, Classical finite transformation semigroups. An in-
troduction, Algebra and Applications 9, Springer-Verlag, London, 2009.
[5] J. Kellendonk in M. V. Lawson, Partial actions of groups, Internat. J. Algebra Com-
put. 14 (2004), 87–114.
[6] G. Kudryavtseva, Two-sided expansions of monoids, Internat. J. Algebra Comput.
29 (2019), 1467–1498.
[7] M. V. Lawson, Inverse Semigroups. The Theory of Partial Symmetries, World Sci-
entific, River Edge, 1998.
[8] S. W. Margolis in J. C. Meakin, E-unitary inverse monoids and the Cayley graph of
a group presentation, J. Pure Appl. Algebra 58 (1989), 45–76.
[9] M. Petrich, Inverse semigroups, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1984.
[10] G. B. Preston, Inverse semi-groups, J. London Math. Soc. 29 (1954), 396–403.
[11] M. B. Szendrei, A note on Birget-Rhodes expansion of groups, J. Pure Appl. Algebra
58 (1989), 93–99.
[12] V. V. Vagner, The theory of generalized heaps and generalized groups, Mat. Sbornik
N. S. 32 (1953), 545–632 (v ruščini).
121–135 135
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 136 — #1 i
i
i
i
i
i
NEVIDNOST
LINDA BITENC1 IN MIHA RAVNIK1,2
1Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani,
2Institut »Jožef Stefan«
Ključne besede: ogrinjalo nevidnosti, transformacijska optika, negativni lomni količnik,
metamateriali
V članku je predstavljena ideja oblikovanja ogrinjala nevidnosti s pomočjo transfor-
macijske optike. Transformacija prostora in s tem geometrija širjenja elektromagnetnega
valovanja je tesno povezana z lastnostmi medija, skozi katerega se valovanje širi, kar po-
meni, da potrebujemo ustrezno krajevno odvisnost lomnega količnika, tudi z negativnimi
vrednostmi. Zahtevano se – v principu, vsaj v zelo določenem frekvenčnem območju in ob
primernem obvladovanju izgub svetlobe – lahko doseže z umetno oblikovanimi optičnimi
metamateriali, katerih lastnosti so posledica njihove strukture na skali pod valovno dol-
žino svetlobe. Predstavljen je tudi eksperiment dvodimenzionalnega cilindričnega plašča
nevidnosti v mikrovalovnem frekvenčnem območju.
INVISIBILITY
In this contribution we present the concept for creating an invisibility cloak using
transformation optics. Coordinate transformation and the geometry of propagation of
electromagnetic waves are closely connected to the properties of the medium through
which the waves travel, meaning that appropriate spatially dependent refractive index
profiles are needed, including with negative values. Negative refractive index is connected
to new material properties which are not present in conventional materials. Today, in
principle, the required material parameters can be realised with the use of optical meta-
materials, whose properties are determined by their structure, subjected to limitations in
the material absorption and sufficient frequency width of the response. We also present
an experiment of two-dimensional invisibility cloak at microwave frequencies.
Uvod
Predmet vidimo, ker zaznamo od njega odbito, oddano ali sipano svetlobo.
Odboj lahko preprečimo z uporabo popolnih absorberjev, katerih pomanj-
kljivost je, da ustvarijo senco, ki opazovalcu izda njihovo prisotnost. Tudi z
ustrezno geometrijo objekta lahko onemogočimo odboj nazaj proti viru ele-
ktromagnetnega valovanja. Omenjena tehnika se uporablja npr. pri letalih,
ki jih želijo skriti pred radarjem. Očitno pa je, da bo na ta način oblikovano
letalo nezaznavno le iz smeri vpadnega valovanja, iz vseh drugih smeri pa ne
bo učinka nevidnosti. Za popolno nevidnost predmeta moramo torej doseči,
da se bo vpadno elektromagnetno valovanje širilo v prostoru enako, kot če
predmeta ne bi bilo. Ker po navadi ne želimo spremeniti lastnosti izbranega
136 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 137 — #2 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
predmeta z namenom, da bi ga naredili nevidnega, oz. bi bilo to zelo težko,
če sploh mogoče, za to uporabimo tako imenovani plašč nevidnosti. S tem
imamo v mislih optično napravo, ki naredi predmet nezaznaven v nekem
frekvenčnem območju elektromagnetnega valovanja, pri čemer posplošimo
pojem nevidnosti, ki ga navadno povezujemo z vidno svetlobo, na – vsaj v
principu – poljubno frekvenčno območje [1].
Svetloba se v prostoru širi tako, da potuje po najkraǰsi optični poti, kar je
znano kot Fermatov princip. V splošni teoriji relativnosti pa se pot svetlobe
lahko ukrivi. Einstein je namreč prǐsel do spoznanja, da gravitacijsko polje
prostor deformira. Spremeni se metrika prostora, ki podaja informacijo o
tem, koliko je prostor na nekem delu stisnjen oz. raztegnjen [5, 20]. Ker je
oblika Maxwellovih enačb invariantna na transformacijo v prostor z novo
metriko, iz tega sledi, da se svetloba širi v skladu z novimi koordinatami,
zaradi česar se žarek pri potovanju mimo telesa z veliko maso (npr. Sonca)
ukrivi. Če bi nam uspelo na podoben način poljubno spremeniti metriko
prostora tako, da bi elektromagnetno valovanje vodili okoli predmeta in nato
nazaj na njegovo prvotno trajektorijo, ga zunanji opazovalec ne bi mogel
zaznati [11, 2].
Pot širjenja svetlobe lahko spreminjamo s pomočjo medija s krajevno
odvisnim lomnim količnikom. Kot primer omenimo lečo, na kateri se žarek
zlomi v skladu z lomnim zakonom. Skratka, optične lastnosti medija, skozi
katerega potuje svetloba, določajo poti žarkov [2, 19]. Na ta način lahko
z uporabo medijev oblikujemo želene učinke geometrije in s tem svetlobo
poljubno usmerjamo, kar nam omogoča zanimive aplikacije, med njimi tudi
plašč nevidnosti. Pristop, ki nam s pomočjo koordinatnih transformacij
omogoča načrtovanje ustreznih lastnosti materialov, ki nato želeno usmer-
jajo elektromagnetno valovanje, imenujemo transformacijska optika [2, 19].
Za ustrezne optične transformacije – torej želene poti in trajektorije sve-
tlobnih žarkov – lahko potrebujemo optične materiale z lastnostmi, ki jih v
naravi ne najdemo, na primer negativni lomni količnik. Zato potrebujemo
optične metamateriale. To so umetno oblikovani materiali, sestavljeni iz
struktur, manǰsih od valovne dolžine elektromagnetnega valovanja, ki do-
ločajo njihove lastnosti. Odziv metamaterialov se lahko izrazi z efektivno
permeabilnostjo in dielektričnostjo, pri čemer se z ustreznim načrtovanjem
njihovih sestavnih (mikro ali nano) struktur doseže želene optične lastnosti
[5, 15].
V nadaljevanju bomo opisali primer transformacij, s katerimi dosežemo,
da se elektromagnetno valovanje izogne delu prostora, v katerega lahko skri-
jemo predmet. Predstavili bomo primer plašča nevidnosti v sferičnih koor-
dinatah. Komentirali bomo tudi pomen negativnega lomnega količnika in
način oblikovanja metamaterialov, s katerimi ga lahko dosežemo.
136–152 137
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 138 — #3 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
Ogrinjalo nevidnosti z uporabo transformacijske optike
Transformacije prostora
Sprememba faze elektromagnetnega valovanja na poti ∆x je enaka (ωc )n∆x,
kjer je ω kotna hitrost, c hitrost svetlobe, n lomni količnik, produkt n∆x
pa imenujemo optična pot. Uvedemo preslikavo ∆x′ = n∆x, ki ohrani
fazo valovanja, hkrati pa predstavlja transformacijo koordinat. Lomni ko-
ličnik je, kot smo že prej omenili, lahko prostorsko odvisen. Uporabili bomo
Maxwellovi enačbi pri izbrani frekvenci in upoštevali linearno konstitutivno
relacijo,
∇×E = −iωµµ0H, ∇×H = iωεε0E. (1)
Ker so Maxwellove enačbe invariantne na koordinatne transformacije, imajo
v novem prostoru enako obliko [11, 2]
∇′ ×E′ = −iωµ′µ0H′, ∇′ ×H′ = iωε′ε0E′. (2)
V novem koordinatnem sistemu zapǐsemo polji E in H ter µ in ε, ki se
transformirata kot tenzorja, saj po navadi postaneta anizotropna. Dobimo
torej [8]
E′(x′) = (AT )−1E(x), H′(x′) = (AT )−1H(x),
ε′ =
AεAT
detA
, µ′ =
AµAT
detA
, (3)
kjer je A Jacobijeva matrika, Ai′j =
∂xi′
∂xj
[14].
Invarianca Maxwellovih enačb na koordinatne transformacije je ključ-
na lastnost, ki nam v transformacijski optiki omogoča tesno povezavo med
preslikavo koordinat in lastnostmi medija. Maxwellove enačbe pretvorjene v
prostor z novo metriko predstavljajo enolično obnašanje svetlobe, lahko pa
ga interpretiramo na dva načina. Pri prvem razumemo, da tenzorja na levi
in desni strani enačaja v enačbah (3) predstavljata iste lastnosti materiala, a
v drugih prostorih (topološka interpretacija). Pri drugi možni interpretaciji
pa sta oba tenzorja zapisana v običajnem prostoru kartezičnih koordinat (v
Evklidski metriki), a predstavljata različne lastnosti materiala (materialna
interpretacija). Razliko lahko vidimo na sliki 1.
Primer (A) predstavlja prazen prostor v kartezičnih koordinatah, v ka-
terem je pot žarka narisana z odebeljeno črto. Primera (B) in (C) predsta-
vljata transformiran prostor, v katerem veljajo Maxwellove enačbe s trans-
formiranimi količinami (2). Primer (B) prikazuje prazen prostor, v katerem
je znotraj kroga z radijem b upoštevana koordinatna transformacija. Slika
(C) prikazuje primer, kjer se ohranijo kartezične koordinate, spremenijo pa
se lastnosti medija na kolobarju med radijema a in b. Na ta način lahko
najprej izračunamo želeno transformacijo praznega prostora in jo nato s
138 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 139 — #4 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
pomočjo enačb (3) prevedemo na lastnosti materiala, ki jih potrebujemo
za dosego želenega učinka [14]. To nam omogoča dejstvo, da imata spre-
memba metrike prostora in lomni količnik medija (oz. ε in µ) enako vlogo
v Maxwellovih enačbah [20].
Slika 1. Prikaz poti žarka, označene z debeleǰso črno črto, skozi prazen prostor kartezičnih
koordinat (A) in skozi transformiran prostor prikazan s transformacijo metrike (B) ter s
profilom lomnega količnika (C).
Do sedaj smo obravnavali poljubno preslikavo. Izkaže pa se, da je koor-
dinatna transformacija, prikazana na sliki 1, tudi ustrezna transformacija za
načrtovanje plašča nevidnosti. Zavedati se moramo, da to ni edina možna
preslikava, je pa enostavna in zato primeren zgled. Obravnavamo dvodi-
menzionalen prostor.
Gre za preslikavo iz tako imenovanega virtualnega oz. elektromagnetnega
prostora, ki je na sliki označen s črko A, v fizični prostor, označen s črko
B. Virtualni prostor je prazen, zato elektromagnetno valovanje sledi ravnim
linijam, ki se v transformiranem fizičnem prostoru zdijo ukrivljene. Presli-
kava namreč točko preslika v krožnico končne velikosti, v našem primeru
z radijem a, in prostor znotraj radija b temu primerno deformira. V delu
prostora r < a se ustvari »luknja«, kamor elektromagnetno valovanje ne
more prodreti, temveč potuje okoli praznega območja ter se nato vrne na
začetno trajektorijo in nadaljuje pot enako, kot če predmeta ne bi bilo. Tako
oblikovana optična naprava ustvari iluzijo, da se elektromagnetno valovanje
širi skozi prazen prostor, medtem ko je notranjost razširjene točke skrita
zunanjemu opazovalcu [11, 6]. S transformacijo na sliki 1 bi torej lahko
oblikovali cilindrično ogrinjalo nevidnosti. S podobno transformacijo lahko
oblikujemo tudi sferično ogrinjalo, če si na shemi namesto krožnic s polme-
136–152 139
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 140 — #5 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
roma a in b predstavljamo sferi. Iz enačb (3) opazimo, da lahko na splošno
komponente transformiranega tenzorja zavzamejo katerokoli vrednost, s tem
pa lahko lomni količnik v materialu, s katerim bi morali nadomestiti trans-
formacijo, zavzame tudi negativne vrednosti. Posledično je bila realizacija
takega plašča nevidnosti do odkritja metamaterialov nemogoča [2].
Primer ogrinjala nevidnosti v sferičnih koordinatah
Slika 2. Trajektorije žarkov elektromagnetnega valovanja skozi del prostora z medijem,
ki ustreza koordinatni transformaciji, prikazani z enačbo (4). Slika predstavlja shemo
prečnega prereza sferičnega ogrinjala nevidnosti.
Predstavimo zgled načrtovanja potrebnega profila lomnega količnika z
uporabo transformacijske optike za primer sferičnega ogrinjala nevidnosti,
ki je prikazano na sliki 2. Uporabimo sferno simetrično preslikavo, ki celoten
volumen krogle s polmerom b preslika v del krogle z notranjim radijem a in
zunanjim radijem b. Določimo transformacijo:
r′ = f(r) =
b− a
b
r + a; 0 ≤ r ≤ b in (4)
r′ = r; r > b.
Preslikava je zvezna, saj na zunanjem radiju oba pogoja določata r′(b) = b.
Da lahko želeno preslikavo dosežemo z optično napravo (medijem) končne
velikosti, je smiselno, da transformacijo definiramo na omejenem prostoru,
medtem ko del prostora r > b ostane nespremenjen.
Ker je transformacija sferno simetrična, velja, da so enotski vektorji v
obeh prostorih ekvivalentni, kar opǐsemo z zvezo,
xi′
r′
=
xi
r
δi′i. (5)
140 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 141 — #6 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
Če izrazimo r′ in ga vstavimo v enačbo preslikave (4), dobimo zvezo med x′
in x, ki jo potrebujemo za izračun Jacobijeve matrike. Z nekaj računanja
lahko zapǐsemo Jacobijevo matriko kot (glej [14])
Ai′j =
∂xi′
∂xj
=
r′
r
δi′j −
axixk
r3
δi′iδkj .
S pomočjo determinante Jacobijeve matrike lahko določimo ustrezne para-
metre medija za izvedbo ogrinjala nevidnosti. S kraǰsim računom lahko
pokažemo, da je determinanta Jacobijeve matrike enaka (glej [14])
detA =
r′ − a
r
(r′
r
)2
. (6)
Zdaj imamo vse potrebne elemente, da izračunamo ε′ in µ′ po enačbi (3).
Ker smo predpostavili, da je prostor koordinat ~r prazen, sta oba tenzorja v
začetnem prostoru enaka identiteti. Z upoštevanjem transformacije dobimo
ε′ in µ′ izražena z enačbo
ε′ = µ′ =
b
b− a
(
I − 2ar
′ − a2
r′4
~r′ ⊗ ~r′
)
(7)
(glej [14]), kjer je I identična matrika.
Iz enačbe (7) želimo izraziti posamezne komponente dielektričnosti in
permeabilnosti. Izberemo orientacijo koordinatnega sistema, za katero vemo,
da se bo izraz poenostavil, torej ~r = (r, 0, 0). Ker je preslikava sferno sime-
trična, je ugodno izbrati sferne koordinate in bazo. V matriki tenzorskega
produkta tako ostane le ena komponenta in dobimo (slika 3) (glej [11])
ε′r = µ
′
r =
b
b− a
(r′ − a)2
r′2
,
ε′φ = µ
′
φ = ε
′
θ = µ
′
θ =
b
b− a
.
Slabosti in omejitve
Dobra lastnost ogrinjala nevidnosti, oblikovanega s pomočjo obravnavane
transformacije prostora, je, da bo delovalo neodvisno od oblike predmeta in
njegove sestave. Poleg tega nam transformacijska optika omogoča neposre-
dno teoretično oblikovanje ogrinjala z ustrezno transformacijo.
Po drugi strani ima obravnavani pristop močne omejitve. Spomnimo se
preslikave prostora iz slike 1. Žarki imajo v novem prostoru dalǰso pot, saj
morajo obiti »luknjo«, hkrati pa mora žarek priti na drugo stran območja
136–152 141
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 142 — #7 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
Slika 3. Odvisnost radialnih (A) in kotnih (B) komponent dielektričnosti in permeabilnosti
od radija pri določeni vrednosti parametrov a in b.
z enako fazo, kot če bi potoval skozi prazen prostor. Zato potrebujemo
frekvenčno odvisne parametre materiala in posledično lahko zadostimo po-
gojem transformacije le pri eni frekvenci [11].
Zavedati se moramo še ene mogoče očitne lastnosti našega ogrinjala.
Opazovalec, skrit v njem, bi bil sicer neviden za zunanjega opazovalca, hkrati
pa bi bil v popolni temi. Namreč, če vodimo svetlobo okrog odprtine, potem
tudi nič svetlobe ne more priti do našega skritega opazovalca in posledično
on ne vidi zunanjega sveta [2].
Preslikava, opisana v poglavju Primer ogrinjala nevidnosti v sferičnih
koordinatah, za realizacijo sicer ne potrebuje negativnih vrednosti lomnega
količnika, a na splošno poljubna preslikava lahko zahteva tudi negativne
vrednosti. Primer preslikave oz. optične naprave, ki zahteva negativni lomni
količnik, je popolna leča (oz. leča z negativnim medijem) [10].
Negativni lomni količnik
Lomni količnik je definiran kot n = cv , kjer je c svetlobna hitrost v vakuumu
in v fazna hitrost svetlobe v snovi [17]. Lahko ga izrazimo tudi kot
n =
√
µε. (8)
Materiali, ki imajo eno od vrednosti ε in µ negativno, dovoljujejo le nepro-
pagirajoče rešitve za elektromagnetno valovanje. To vidimo iz enačbe
|k|2 = εε0µµ0ω2.
142 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 143 — #8 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
Negativni produkt εµ namreč pomeni, da je valovni vektor imaginaren in se
posledično valovanje v materialu eksponentno zaduši. Negativna vrednost
dielektričnosti pri optičnih frekvencah je značilna za kovine, za katere vemo,
da se svetloba v njih ne more širiti. Običajni materiali, ki so prepustni za
elektromagnetno valovanje, imajo pozitivni vrednosti ε in µ, kar pomeni tudi
pozitiven in realen lomni količnik. Očiten zgled za materiale s pozitivnim
lomnim količnikom v vidnem spektru so na primer voda, zrak in steklo.
Sedaj pridemo do vprašanja, ali bi lahko obstajal tudi material, ki bi imel
tako dielektričnost kot permeabilnost negativni. Pri teoretični obravnavi
omenjenega primera je bilo ugotovljeno, ne samo da bi tak material lahko
obstajal, temveč tudi da bi imel zanimive lastnosti, ki jih niso zasledili še pri
nobenem znanem materialu, med drugim bi imel negativni lomni količnik
in povzročil naj bi obraten Dopplerjev pojav [15]. Prvi, ki je proučeval
lastnosti medija z ε in µ < 0, je bil Victor Veselago, ruski fizik, ki je leta
1968 objavil članek [18], v katerem je predstavil naslednja spoznanja.
V primeru, ko sta dielektričnost in permeabilnost negativni, je njun pro-
dukt pozitiven in efektivni lomni količnik realen. Iz tega sledi, da so mate-
riali z ε in µ < 0 prepustni za elektomagnetno valovanje. Vzrok za njihove
drugačne lastnosti izvira iz razlike med fazno in grupno hitrostjo valovanja.
Grupna hitrost, definirana kot vg =
dω
dk , opisuje energijski tok valovanja
in si jo lahko predstavljamo kot hitrost celotnega valovnega paketa. Fa-
zna hitrost, vp =
ω
k , opisuje širjenje valovnega čela, to je množica točk z
enako fazo, kar vidimo kot hitrost potovanja vrhov in dolin. Pri valovanju
v običajnih materialih sta hitrosti, čeprav se lahko razlikujeta po velikosti,
paralelni. Obravnavajmo sedaj posledice negativnih ε in µ. Sprememba
predznaka ε in µ je v Maxwellovih enačbah (1) enakovredna spremembi
predznaka magnetnega polja, medtem ko rešitev valovne enačbe,
∂2E
∂x2
= εε0µµ0
∂2E
∂t2
,
ostane enaka, kar pomeni, da se ohrani tudi valovni vektor. Zaradi inverzije
magnetnega polja ima Poyntingov vektor, definiran kot P = E×H, naspro-
tno smer. Iz tega sledi, da je pri obravnavanih materialih smer energijskega
toka, določena s Poyntingovim vektorjem, nasprotna smeri valovnega vek-
torja, torej se valovi širijo v nasprotno smer kot žarki valovanja, kar je
prikazano na sliki 5 [10, 12].
Ko smo obravnavali omejitve v izvedbi ogrinjala nevidnosti, smo že ome-
nili, da potrebujemo disperzijo. Obravnavajmo sedaj še zahteve na nivoju
energije. Za gostoto energije velja enačba (glej [18])
w =
1
2
∂(εε0ω)
∂ω
E2 +
1
2
∂(µµ0ω)
∂ω
H2, (9)
136–152 143
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 144 — #9 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
ki se v primeru, da ε in µ nista frekvenčno odvisni, poenostavi v enačbo
w =
1
2
εε0E
2 +
1
2
µµ0H
2, (10)
iz katere sledi, da bi bila v primeru, kjer sta tako ε kot µ negativni, skupna
energija negativna, kar pa seveda ni mogoče. Iz tega sledi, da morata biti ε
in µ frekvenčno odvisni [18].
Slika 4. Črni puščici predstavljata smer žar-
kov valovanja torej smer širjenja energije,
medtem ko sivi puščici prikazujeta smer va-
lovnega vektorja na meji med praznim pro-
storom ter sredstvom z negativnim lomnim
količnikom.
Slika 5. S črno puščico je prikazana
smer grupne hitrosti torej smer energij-
skega toka, s puščico sive barve pa smer
valovanja oz. fazne hitrosti v sredstvu z ne-
gativnim lomnim količnikom.
Lomni zakon drži tudi za lom v materiale z negativnim lomnim količni-
kom,
sin θ2
sin θ1
=
n1
n2
,
kjer pridemo do spoznanja, da je lomni kot pri prehodu iz medija s pozi-
tivnim v medij z negativnim lomnim količnikom negativen, kar pomeni, da
žarek ostane na isti strani vpadne pravokotnice, kot je prikazano na sliki 4.
Kot zgled si zamislimo slamico v kozarcu vode. Ker ima voda večji lomni
količnik kot zrak, se svetloba na prehodu med medijema lomi k vpadni pra-
vokotnici, zato se zdi, da je slamica zlomljena. Če bi voda imela negativni
lomni količnik −1, bi bila potopljen in nepotopljen del slamice kot preslikana
čez gladino vode.
Optični metamateriali
Optični metamateriali so umetno narejeni materiali, katerih optične lastno-
sti primarno izhajajo iz njihove praviloma mikroskopske strukture in manj
144 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 145 — #10 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
iz same kemične sestave snovi. Posebej oblikovane sestavne enote določajo
odziv materiala na elektromagnetno valovanje. Zgodovina metamaterialov
sega veliko dlje od njihovega uradnega odkritja. Že v srednjem veku so
bili obrtniki seznanjeni z učinki, ki jih povzročijo steklu dodani kovinski
nanodelci. Tako modificirano steklo ima namreč značilno barvo, odvisno
od velikosti in oblike dodanih delcev. Svetovno znan primer je Likurgova
čaša [21], narejena iz stekla z dodanimi zlatimi nanodelci, ki izvira še iz
rimskih časov. Čaša se zdi zelenkaste barve, kadar je osvetljena od zunaj –
svetloba se torej odbije – in rdečkaste barve, kadar je osvetljena od znotraj,
torej da svetloba potuje skozi steklo čaše. Lastnost je posledica površinskih
plazmonov na površini zlatih delcev [21].
Odziv optičnega metamateriala na elektromagnetno valovanje, ki ima
valovno dolžino veliko večjo od razdalj med gradniki materiala in njihovih
velikosti, lahko opǐsemo z dielektričnostjo in permeabilnostjo, ki predsta-
vljata efektiven odziv sistema. Svetloba ima veliko večjo valovno dolžino od
strukture zlatih delcev v steklu Likurgove čaše, zato vidimo samo efektiven
odziv snovi – torej zeleno ali rdečo barvo. V takem primeru si torej nehomo-
gen material lahko predstavljamo kot homogenega in njegov odziv opǐsemo z
ε in µ. Prednost teh optičnih metamaterialov je, da z ustrezno oblikovanimi
osnovnimi gradniki lahko dosežemo optične lastnosti, kakršnih ne zasledimo
pri običajnih materialih. Med drugim lahko v določenem – praviloma ozkem
– frekvenčnem območju dosežemo hkrati negativne vrednosti ε in µ [15, 12].
Električni odziv materiala
Podobno kot plazmo sestavlja plin nabitih delcev (ionov in elektronov) so
v kovini prosto gibajoči se elektroni, zato se lahko odvisnost dielektrične
konstante kovine opǐse z odvisnostjo dielektričnosti plazme,
ε(ω) = 1−
ω2p
ω2
, ω2p =
ρe2
ε0me
, (11)
kjer je ωp plazemska frekvenca, ρ številska gostota elektronov, e osnovni
električni naboj in me masa elektrona. Iz frekvenčne odvisnosti dielektrične
konstante iz enačbe (11) opazimo, da je za ω < ωp, dielektričnost negativna
(slika 6).
Za kovine je plazemska frekvenca navadno v ultravijoličnem frekvenč-
nem območju [12]. Iz odvisnosti ωp vidimo, da lahko plazemsko frekvenco
zmanǰsamo, če zmanǰsamo številsko gostoto elektronov ali povečamo nji-
hovo efektivno maso. Zahtevano lahko dosežemo z oblikovanjem materiala,
sestavljenega iz prepleta efektivnih »žic«, ki so lahko organizirane v mrežo
[12]. Elektronska gostota je tako efektivno močno zmanǰsana v primerjavi
s celim kosom kovine, saj se elektroni nahajajo le v žicah, med katerimi je
136–152 145
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 146 — #11 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
Slika 6. Shema frekvenčne odvisnosti dielektrične konstante plazme.
veliko praznega prostora.
ρeff =
ρπR2
A2
,
pri čemer je ρ elektronska gostota v žicah, A razdalja med žicami in R
njihov polmer. Poleg tega je efektivna masa elektronov povečana zaradi
lastne induktivnosti žic [12]
meff = ln
(
A
R
)
µ0e
2πR2ρ
1
2π
.
Če so žice tanke in razmaki med njimi primerno veliki, na primer nekaj
mikronov za radij žice in nekaj milimetrov za razmake med njimi, lahko
znižamo plazemsko frekvenco na mikrovalovno območje [12]. Struktura,
prikazana na sliki 7, se tako efektivno obnaša kot redka plazma.
Resonanca v odzivu metamateriala pa nam lahko omogoči večji odziv
materiala v okolici resonančne frekvence, zato se danes široko raziskuje
različne geometrije optičnih metamaterialov. Znan primer so periodično
urejene žice s prekinitvami, katerih dielektrični odziv se opisuje z Drude-
Lorentzovim modelom [10],
ε(ω) = 1−
ω2p − ω20
ω2 − ω20 + iωΓ
,
kjer Γ predstavlja izgube, ωp (plazemska frekvenca) in ω0 (resonančna fre-
kvenca) pa sta določeni zgolj z geometrijskimi parametri na enak način, kot
je bilo predstavljeno na primeru materiala, ki je prikazan na sliki 7. Za
146 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 147 — #12 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
Slika 7. Metamaterial sestavljen iz tankih neskončnih žic, urejenih v osnovno kubično
mrežo.
Slika 8. Primer frekvenčne odvisnosti realne in imaginarne komponente dielektričnosti pri
določeni vrednosti parametrov Γ in ωp (Γ/ω0 = 0,2 , ωp/ω0 = 3).
ω0 < ω < ωp je realni del dielektričnosti negativen (slika 8). S spreminja-
njem resonančne frekvence preko spreminjanja materialnih in geometrijskih
parametrov se lahko torej nastavlja frekvenčno območje, kjer je dielektrič-
nost negativna.
Z Drude-Lorentzovim modelom lahko razložimo tudi, zakaj v naravi ni
znanega materiala z negativnim lomnim količnikom. Odziv snovi določajo
elektroni, vezani v harmonskem potencialu z resonančno frekvenco ω0. Tako
vezani elektroni se obnašajo kot harmonski oscilatorji, ki jih vzbuja oscili-
136–152 147
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 148 — #13 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
rajoče električno polje. Pri frekvencah elektromagnetnega valovanja pod
resonančno nihajoči elektroni lahko sledijo polju in posledično inducirana
polarizacija kaže v smeri polja. Podobno kot relativni odmik glede na smer
vzbujanja pri klasičnem harmonskem oscilatorju, v vzbujanem dielektriku
inducirana polarizacija nad resonančno frekvenco elektromagnetnega valova-
nja spremeni predznak. Nad resonančno frekvenco, in hkrati v njeni bližini,
je odziv materiala torej negativen [10].
Resonančne frekvence dielektričnosti se navadno pojavljajo pri relativno
visokih frekvencah, na primer za kovine v optičnem frekvenčnem območju,
medtem ko so resonance v magnetnih sistemih praviloma pri nižjih frekven-
cah [10]. Negativna dielektričnost in permeabilnost se torej značilno ne
pojavljata v enakem frekvenčnem območju, kljub temu da bi v splošnem
fizikalne zakonitosti dovoljevale obstoj takega materiala [10].
Magnetni odziv materiala
Magnetni odziv tipičnih materialov (na primer kovin) pri frekvencah nad
GHz območjem praviloma postane majhen [7], zato potrebujemo umetno
oblikovane materiale, pri katerih je magnetni odziv prisoten tudi pri vǐsjih
frekvencah.
Magnetni odziv lahko dosežemo s tokovno zanko, podobno kot so pri
naravnih materialih magnetne lastnosti pogosto posledica tokov zaradi kro-
ženja elektronov (spin). Tok po zanki lahko ustvarimo s pomočjo indukcije.
Induciran tok v izbranem metamaterialnem gradniku je navadno (pre)šibek
in sledi, da je šibek tudi magnetni moment zanke. Strukturo zato preo-
blikujemo tako, da dobimo resonančno obliko odziva in posledično veliko
večji odziv v okolici resonančne frekvence. Primer resonančne strukture z
magnetnim odzivom so tako imenovani resonatorji z razcepljenim obročem
(split ring resonators) oz. s kratico SRR, ki so v prikazani geometriji se-
stavljeni iz dveh zank, ki sta na nasprotnih straneh prekinjeni, kot lahko
vidimo na sliki 10. Struktura ima tako induktivnost kot kapacitivnost in se
efektivno obnaša kot nihajni krog z resonančno frekvenco ωmag0 =
√
1
LC [7].
Resonančno odvisnost permeabilnosti lahko vidimo na sliki 9.
Primer materiala z negativnim lomnim količnikom
Poglejmo si sedaj primer materiala, ki združuje strukturo sestavljeno iz
SRR (za magnetni resonančni odziv) in mreže žic (za električni resonančni
odziv). Pri samem oblikovanju materiala je pomembno, kako sestavimo
posamezne enote v dvo- ali tridimenzionalno strukturo, da bomo dosegli čim
večji magnetni odziv. Za čim večjo magnetno aktivnost materiala morajo
biti elementi zloženi tako, da bodo prestregli čim več magnetnega pretoka
[12].
148 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 149 — #14 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
Slika 9. Shema resonančne odvisnosti re-
alne in imaginarne komponente perme-
abilnosti magnetnega materiala, prikaza-
nega na sliki 10, od frekvence.
Slika 10. Shema optičnega metamateriala,
sestavljenega iz resonatorjev z razcepljenim
obročem.
Primer optičnega metamateriala, oblikovanega za mikrovalovne frekven-
ce, je prikazan na sliki 11. V tem frekvenčnem območju je z upoštevanjem
ustrezne geometrije potrebna značilna velikost vzorca materiala velikostnega
reda 1 cm, medtem ko bi morali biti SRR za resonanco pri optičnih fre-
kvencah velikostnega reda 100 nm, kar je veliko težje doseči [7]. Slabost
metamaterialov s kovinskimi strukturami, pri katerih želene odzive materi-
ala dobimo s pomočjo pojavov povezanih s prostimi elektroni v kovini, je,
da so izgube zaradi absorpcije zelo velike. Danes se zato široko razvijajo
vsedielektrični metamateriali [4].
Slika 11. Metamaterial z negativnim lomnim količnikom v mikrovalovnem frekvenčnem
območju. Značilna velikost strukture je velikostnega reda 1 cm [15].
136–152 149
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 150 — #15 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
Eksperimentalna realizacija ogrinjala nevidnosti
Eksperiment, s katerim so po teoretičnih napovedih poskušali realizirati ogri-
njalo nevidnosti, so izvedli leta 2006 [13]. Izbrali so cilindrično geometrijo in
oblikovali dvodimenzionalno ogrinjalo za delovanje v mikrovalovnem obmo-
čju. Za predmet, ki so ga skrili v ogrinjalo, so izbrali prevoden valj. Trans-
formacija prostora je podobna tisti, ki smo jo predstavili v poglavju Primer
ogrinjala nevidnosti v sferičnih koordinatah, le da moramo tu upoštevati
cilindrično geometrijo. Izbrali so elektromagnetno valovanje polarizirano v
smeri osi z, zato so relevantne komponente ε′z, µ
′
r in µ
′
θ.
ε′z =
( b
b− a
)2 r′ − a
r′
, µ′r =
r′ − a
r′
in µ′θ =
r′
r′ − a
. (12)
Za lažje implementiranje lastnosti materiala lahko izberemo reducirane pa-
rametre, ki opisujejo enako disperzijsko relacijo,
ε′z =
( b
b− a
)2
, µ′r =
(r′ − a
r′
)2
in µ′θ = 1. (13)
Disperzija namreč določa dinamiko valovanja v plašču. Edina omejitev te
izbire je, da transformacija na robu plašča ni več zvezna, iz česar sledi, da
se zaradi neujemajoče impedance na prehodu pojavijo odboji. Ogrinjalo
nevidnosti – torej ustrezno konstruiran optični metamaterial – je prikazano
na sliki 12.
Slika 12. Dvodimenzionalno ogrinjalo nevidnosti, ki deluje v mikrovalovnem frekvenčnem
območju [13].
Parameter µ′r ima radialno odvisnost, zato so SSR orientirani tako, da
njihove osi kažejo v radialni smeri, hkrati pa se s spreminjanjem njihovih
geometrijskih parametrov doseže ustrezne vrednosti ε′z in µ
′
r. Za frekvenco,
150 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 151 — #16 i
i
i
i
i
i
Nevidnost
pri kateri naj bi ogrinjalo delovalo, so izbrali 8,5 GHz, iz česar sledi, da
mora biti λaθ ' 10. Na sliki 13 A vidimo primer simulacije, ki upošteva zve-
zen medij. Na sliki 13 B so pri simulaciji upoštevali reducirane parametre,
nezvezen medij in absorbcijo. Primer C predstavlja sipanje na prevodnem
valju brez plašča, primer D na sliki 13 pa predstavlja dejanski eksperiment
z ogrinjalom. Polja na drugi strani predmeta so oslabljena zaradi absorp-
cije materiala, sicer pa vidimo, da ogrinjalo močno zmanǰsa tako senco kot
odboje [13]. Opisan je eden prvih, če ne prvi primer realizacije, je pa da-
nes to široko aktivno področje raziskav, tako osnovnih kot aplikativnih in
industrijskih [16, 3, 9].
Slika 13. Profil elektromagnetnega valovanja, ki vpada na plašč nevidnosti iz slike 14.
Primera A in B predstavljata simulacijo, primera C in D pa predstavljata eksperiment
[15].
Zaključek
Zmožnost poljubnega usmerjanja elektromagnetnega valovanja bi nam omo-
gočila izvedbo številnih zanimivih optičnih naprav, med katerimi je tudi
ogrinjalo nevidnosti. Odkritje metamaterialov in negativnega loma danes
omogoča, da se z razvojem metamaterialov z majhnimi izgubami in magne-
tno aktivnostjo tudi v optičnem frekvenčnem območju praktične izvedbe
načrtovanih naprav vedno bolj približujejo teoretičnim napovedim. V pri-
spevku smo obravnavali primer uporabe transformacijske optike za načrto-
vanje ogrinjala nevidnosti, poleg tega pa smo predstavili, kako lahko obli-
kujemo materiale z negativnim lomnim količnikom ter kakšne so njihove
lastnosti.
136–152 151
i
i
“Bitenc” — 2021/1/4 — 11:08 — page 152 — #17 i
i
i
i
i
i
Linda Bitenc in Miha Ravnik
LITERATURA
[1] P. Alitalo in S. Tretyakov, Electromagnetic cloaking with metamaterials, Materials
Today 12 (2009), 22–29.
[2] H. Chen, C. T. Chan in P. Sheng, Transformation optics and metamaterials, Nature
Materials 9 (2010), 387–396.
[3] P. Cheben, R. Halir, J. H. Schmid, H. A. Atwater in D. R. Smith, Subwavelength
integrated photonics, Nature 560 (2018), 565–572.
[4] S. Jahani in Z. Jacob, All-dielectric metamaterials, Nature Nanotechology 11 (2016),
23.
[5] U. Leonhardt in T. G. Philbin, General relativity in electrical engineering, New Journal
of Physics 8 (2006), 247.
[6] U. Leonhardt in T. Tyc. Broadband invisibility by non-Euclidean cloaking, Science 323
(2009), 110–112.
[7] Y. Liu in X. Zhang, Metamaterials: a new frontier of science and technology, Chemical
Society Reviews 40 (2011), 2494.
[8] G. W. Milton, M. Briane in J. R. Willis, On cloaking for elasticity and physical equa-
tions with a transformation invariant form, New Journal of Physics 8 (2006), 248.
[9] F. Monticone in A. Alù, Metamaterial, plasmonic and nanophotonic devices, Reports
on Progress in Physics 80, (2017).
[10] J. B. Pendry in D. R. Smith, Reversing light with negative refraction, Physics Today
57 (2004), 37.
[11] J. B. Pendry, D. Schurig in D. R. Smith, Controlling electromagnetic fields, Science
312 (2006), 1780.
[12] J. B. Pendry, Negative refraction, Contemporary Physics 45 (2004), 191.
[13] D. Schurig, J. J. Mock, B. J. Justice, S. A. Cummer, J. B. Pendry, A. F. Starr in D.
R. Smith, Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies, Science 314
(2006), 977.
[14] D. Schurig, J. B. Pendry in D. R. Smith, Calculation of material properties and ray
tracing in transformation media, Optics Express 14 (2006), 9794.
[15] D. R. Smith, J. B. Pendry in M. C. K. Wiltshire, Metamaterials and negative refrac-
tive index, Science 305 (2004), 788.
[16] I. Staude in J. Schilling, Metamaterial-inspired silicon nanophotonics, Nature Pho-
tonics 11 (2017), 274–284.
[17] J. Strnad, Fizika 2. del: Elektrika. Optika, Fakulteta za matematiko in fiziko, Lju-
bljana, 2020, 194–200.
[18] V. G. Veselago, The electrodynamics of substances with simultaneously negative values
of ε and µ, Soviet Physics Uspekhi 10 (1968), 509.
[19] L. Xu in H. Chen, Conformal transformation optics, Nature Photonics 9 (2014),
15–23.
[20] The Professor Harry Messel International Science School, Metamaterials and the
science of invisibility – Prof. John Pendry, dostopno na youtu.be/f0iZraLdNuM, ogled
27. 3. 2020.
[21] Lycurgus Cup, dostopno na www.sciencedirect.com/topics/engineering/
lycurgus-cup, ogled 26. 3. 2020.
152 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Orel” — 2021/1/4 — 11:12 — page 153 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Sedemindvajseto mednarodno matematično tekmovanje
študentov
Med 25. in 30. julijem 2020 je potekalo 27. mednarodno matematično tek-
movanje študentov (angl. International Mathematics Competition for Uni-
versity Students). Zaradi pandemije koronavirusne bolezni COVID-19 je
običajno prizorǐsče iz zadnjih let, tj. Blagoevgrad v Bolgariji, zamenjala iz-
vedba na daljavo. Poleg same lokacije tekmovanja je pandemija imela tudi
številne druge posledice. Običajno so slovenske barve zastopali študenti
Univerze na Primorskem in Univerze v Ljubljani. Letos so se tekmovanja
udeležili le študenti prve. Pandemija je pri nas zaradi takih ali drugač-
nih razlogov botrovala tudi nekoliko manǰsemu interesu za sodelovanje. Na
FAMNIT-u1 tako letos nismo izvedli tradicionalnega izbirnega predtekmo-
vanja, priložnost pa so dobili tudi nekateri študenti prvih letnikov ter ne-
matematičnih študijskih programov. Univerzo na Primorskem so zastopali
Arbër Avdullahu (1. letnik magistrskega programa Matematične znanosti),
Besfort Shala (2. letnik dodiplomskega programa Matematika), Ajla Šeho-
vić (1. letnik dodiplomskega programa Matematika) ter Milan Milivojčević
in Jana Ristovska (oba 1. letnik dodiplomskega programa Računalnǐstvo in
informatika). Arbër Avdullahu in Besfort Shala sta prejela pohvalo.
Zaradi nižjih stroškov in olaǰsane logistike je bila globalno gledano ude-
ležba sicer rekordna. Prijavljenih je bilo 564 tekmovalcev, na rezultatni
listi pa je 546 tekmovalcev. Razlika 18 študentov predstavlja unijo tistih, ki
kljub prijavi niso tekmovali, ter tistih, ki so jih ujeli pri goljufanju. Da bi do
slednjega lahko prǐslo, je bilo moč pričakovati že pred začetkom tekmovanja.
Večina študentov je dostopala od doma s pomočjo spletnih aplikacij, kot je
Zoom itd. Na nekaj univerzah, kjer je stanje pandemije to dovoljevalo, pa
so študenti tekmovali na matični univerzi. V vsakem primeru je moral vodja
ekipe poskrbeti, da do goljufanja ne pride. Dodaten riziko varnosti je ležal
v dejstvu, da se tekmovanje v različnih krajih ni začelo istočasno. Slednje je
bilo uvedeno z namenom, da bi bil čas pisanja čim bolj pravičen za vse udele-
žence po vsem svetu. Zaradi vsega omenjenega sem pred tekmovanjem, kot
vodja ekipe, našim študentom zabičal, da se goljufanje enostavno ne splača.
Mlad študent se pogosto ne zaveda, da bi mu tako ravnanje prilepilo črno
piko v velikem delu matematične javnosti, morebitno bodoče iskanje pozicij
za doktorski ali podoktorski študij pa bi bilo izjemno oteženo. Prav tako
sem našim študentom razjasnil, da je že sum na goljufanje več kot dovolj za
nepopravljivo škodo.
1Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Univerze na Pri-
morskem
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 153
i
i
“Orel” — 2021/1/4 — 11:12 — page 154 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
V zadnjih letih so študenti na tekmovanju reševali naloge v dveh dneh,
pri čemer so na vsak dan imeli na voljo pet ur za pet nalog. Letos je bilo
podobno, le da so vsak dan imeli na voljo štiri ure za štiri naloge. Pred-
videvam, da je bilo zmanǰsanje števila nalog uvedeno zato, ker je izvedba
na daljavo terjala dodatna opravila. Veliko študentov doma ni imelo tiskal-
nika, zato se je tekmovalni dan začel s prenosom nalog, ki jih je bilo treba
ročno prepisati. Takoj zatem se je začelo štiriurno reševanje nalog, pri če-
mer je moral vodja ekipe poskrbeti, da so študenti ustrezno odmaknjeni od
računalnika in ne gledajo v monitor. Na koncu so morali študenti liste s
telefonom poslikati, jih z aplikacijo CamScanner2 spraviti v ustrezno obliko
ter naložiti na strežnik. Maksimalen razpon med prvim prenosom nalog in
zadnjim nalaganjem na strežnik je bil za vsako ekipo največ šest ur. Tako
kot vsako leto smo bili vodje ekip tudi letos pozvani, da prispevamo kako
nalogo za morebiten izbor. Sam izbor nalog pa je bil letos nekoliko druga-
čen. Za slednjega je bil sprva napovedan tradicionalen sestanek komisije, ki
bi jo sestavljali vse vodje ekip, a do tega ni prǐslo. Naloge je izbrala jav-
nosti neznana mednarodna skupina vodij. Kar tri izmed osmih nalog, ki so
bile hkrati najslabše rešene, sta predlagala predstavnika Državne univerze v
Sankt Peterburgu. Zakaj je toliko bremena padlo na eno univerzo, ne vem.
Morda je primanjkovalo predlogov zelo težkih nalog. Sicer gre za univerzo z
izjemnimi posamezniki, ki ima bogato tradicijo na tekmovanju. Zmagovalec
letošnje izvedbe, Stanislav Krymskii, je ravno iz te univerze, ekipno pa so
dosegli drugo mesto. Pri ocenjevanju nalog smo si popravljavci pomagali
s programskima rešitvama Dropbox in Zulip Chat. Slednji je bil nepogre-
šljivo orodje predzadnji dan tekmovanja, ko je bil na vrsti boj vodij ekip
za dodatne točke. Tudi tukaj se je najbolje izkazal vodja ekipe iz Sankt
Peterburga, ki je svojim študentom priboril dodatnih 50 točk, od tega kar
18 točk kasneǰsemu zmagovalcu. Zaradi uporabe programa Zulip Chat so
bila vsa tovrstna »barantanja« vidna vsem vodjem ekip. Tako smo lahko
prebrali tudi zapis vodje ekipe iz Sankt Peterburga, ki je zmagovalca opisal
kot čudno osebo, ki ima zelo nenavaden način razmǐsljanja. Zaradi tega naj
bi bili matematični pogovori z njim zelo oteženi, uspešno pa naj bi reševal
vse probleme, ki mu jih zastavijo.
Za konec dodajam tri rešene naloge s tekmovanja. Rimska številka ozna-
čuje dan tekmovanja, arabska pa zaporedno številko naloge. Pri prvih dveh
nalogah je bilo uspešnih kar nekaj študentov, medtem ko je pri zadnji nalogi
le peščica študentov dobila kakšno točko. Rešitev te naloge je tukaj zapi-
sana nekoliko bolj detajlno kot v uradnih rešitvah, ki so na voljo na spletni
strani [2].
2Uporaba omenjene aplikacije [1] bo v času pandemije prǐsla prav marsikateremu pre-
davatelju pri popravljanju domačih nalog.
154 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Orel” — 2021/1/4 — 11:12 — page 155 — #3 i
i
i
i
i
i
Sedemindvajseto mednarodno matematično tekmovanje študentov
II.1. Poǐsči vse dvakrat zvezno odvedljive funkcije f : R → (0,∞), ki zado-
ščajo neenakosti
f ′′(x)f(x) ≥ 2
(
f ′(x)
)2
za vse x ∈ R.
Očitno vsaka konstantna pozitivna funkcija zadošča prepodstavkam. Po-
kažimo, da drugih takih funkcij ni. Naj bo f(x) funkcija iz naloge in naj bo
g(x) = 1f(x) njena recipročna vrednost. Funkcija g je konkavna, saj je
g′′(x) =
2
(
f ′(x)
)2 − f ′′(x)f(x)(
f(x)
)3 ≤ 0
za vse x. Zato za poljubna realna števila a < x < y < b velja
g(x)− g(a)
x− a
≥ g(y)− g(x)
y − x
≥ g(b)− g(y)
b− y
.
Ker sta vrednosti g(a) in g(b) pozitivni, sledi
g(x)
x− a
≥ g(y)− g(x)
y − x
≥ −g(y)
b− y
.
Če pošljemo a proti −∞ ter b proti ∞, dobimo
0 ≥ g(y)− g(x)
y − x
≥ 0,
kar pomeni, da velja g(x) = g(y). Zato sta tako funkcija g kot tudi funkcija
f nujno konstantni.
I.2. Naj bosta A in B dve realni matriki, za kateri velja
rk(AB −BA+ I) = 1,
kjer je I identična matrika velikosti n× n. Pokaži, da velja
sled(ABAB)− sled(A2B2) = 1
2
n(n− 1).
Pri tem je rk(M) rang matrike M , sled(M) pa je vsota vseh njenih diago-
nalnih elementov.
Predpostavka o rangu implicira obstoj takih stolpičnih vektorjev u in v,
da velja
AB −BA+ I = uv>. (1)
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 155
i
i
“Orel” — 2021/1/4 — 11:12 — page 156 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
Če zmnožimo vrstico v> in stolpec u, dobimo sled matrike (1). Zato nam
linearnost funkcije sled in njena lastnost
sled(XY ) = sled(Y X), (2)
ki velja za vse kvadratne matrike X,Y enakih velikosti, porodita enakost
n = sled(I) = sled(uv>) = v>u. (3)
Če še enkrat uporabimo iste lastnosti sledi ter enakost (3), dobimo
sled
(
(AB −BA)2
)
= sled
(
(uv> − I)2
)
= sled
(
u(v>u)v> + I − 2uv>
)
= (v>u− 2) sled(uv>) + n
= (n− 2)n+ n
= n(n− 1). (4)
Po drugi strani iz večkratne uporabe enakosti (2) sledi
sled
(
(AB −BA)2
)
= sled(ABAB +BABA−ABBA−BAAB)
= 2
(
sled(ABAB)− sled(A2B2)
)
,
kar skupaj z enakostjo (4) reši nalogo.
I.3. Naj bo d ≥ 2 naravno število. Pokaži, da obstaja taka konstanta C(d),
za katero velja naslednje. Za vsak konveksen politop K ⊂ Rd, ki je simetri-
čen čez izhodǐsče, in za vsak ε ∈ (0, 1) obstaja tak konveksen politop L ⊂ Rd
z največ C(d)ε1−d oglǐsči, za katerega velja
(1− ε)K ⊆ L ⊆ K.
Študenti so imeli na voljo še naslednje definicije. Naj bo α realno število.
Množica T ⊂ Rd, ki ima neprazno notranjost, je konveksen politop z največ
α oglǐsči, če je enaka konveksni ogrinjači množice X ⊂ Rd, ki ima največ α
elementov, tj. T = {
∑
x∈X txx | tx ≥ 0,
∑
x∈X tx = 1}. Za realno število λ
naj bo λK = {λx | x ∈ K}. Množica T ⊂ Rd je simetrična čez izhodǐsče,
če velja (−1)T = T .
Naj bosta K in ε, kot izhaja iz naloge. V posebnem naj ima množica
K neprazno notranjost. Naj bo vol(K) volumen politopa K. Izberimo
156 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Orel” — 2021/1/4 — 11:12 — page 157 — #5 i
i
i
i
i
i
Sedemindvajseto mednarodno matematično tekmovanje študentov
tako normo ‖.‖ na vektorskem prostoru Rd, da bo politop K enak enotski
zaprti krogli B(0, 1) v njem. Tukaj za x ∈ Rd in r > 0 uporabljamo oznaki
B(x, r) = {y ∈ Rd | ‖x − y‖ < r} in B(x, r) = {y ∈ Rd | ‖x − y‖ ≤ r}.
Norma s tako lastnostjo je sicer podana preko funkcionala Minkowskega
‖x‖ = inf{λ > 0 | λ−1x ∈ K},
preverbo česar prepuščamo bralcu. Izberimo poljubno množico X, ki je
vsebovana v robu množice K (tj. v enotski sferi v prostoru (Rd, ‖.‖)), je
maksimalna glede na inkluzijo, in vsaki njeni različni točki sta med seboj
za vsaj ε narazen glede na normo ‖.‖.
Pokažimo najprej, da je množica X končna, in izračunajmo zgornjo mejo
za njeno moč |X|. Za vsak x ∈ X je krogla B(x, ε/2) vsebovana v razliki(
1 +
ε
2
)
B(0, 1)\
(
1− ε
2
)
B(0, 1) =
(
1 +
ε
2
)
K\
(
1− ε
2
)
K. (5)
Iz trikotnǐske neenakosti namreč za vsak y ∈ B(x, ε/2) sledi
1− ε
2
< ‖x‖ − ‖y − x‖ ≤ ‖y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y − x‖ < 1 + ε
2
.
Poleg tega so vse krogle B(x, ε/2) (x ∈ X) paroma disjunktne. Ker ima
množica (5) volumen enak
(
(1 + ε/2)d − (1 − ε/2)d
)
vol(K), vsaka krogla
B(x, ε/2) pa ima volumen (ε/2)dvol(K), sledi
|X| ≤
(
1 + ε2
)d − (1− ε2)d(
ε
2
)d
=
(2 + ε)d − (2− ε)d
εd
= ε−d
d∑
i=0
(
d
i
)(
εi − (−ε)i
)
2d−i
= ε1−d
dd/2e∑
j=1
(
d
2j − 1
)
ε2j−22d−2j+2
≤ ε1−d
dd/2e∑
j=1
(
d
2j − 1
)
2d−2j+2
= C(d)ε1−d,
kjer smo za konstanto C(d) izbrali število
∑dd/2e
j=1
(
d
2j−1
)
2d−2j+2.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4 157
i
i
“Orel” — 2021/1/4 — 11:12 — page 158 — #6 i
i
i
i
i
i
Vesti
Naj bo konveksen politop L enak konveksni ogrinjači množice X. Inklu-
zija L ⊆ K sledi iz konveksnosti množice K. Pokazati moramo še inkluzijo
(1− ε)K ⊆ L. Denimo, da le-ta ne velja, tj. obstaja neki x0 ∈ (1− ε)K\L.
Ker je množica L konveksna in zaprta, iz izreka o separaciji konveksnih
množic sledi obstoj takega (zveznega) linearnega neničelnega funkcionala f
na (Rd, ‖.‖), da velja maxx∈L f(x) = supx∈L f(x) ≤ f(x0). Brez škode za
splošnost lahko privzamemo, da je ‖f‖ = 1 (sicer f delimo z ‖f‖). Tedaj
velja
max
x∈L
f(x) ≤ |f(x0)| ≤ ‖f‖ · ‖x0‖ = 1− ε.
Za vsak x ∈ L obstaja naravno število n, točke x1, . . . , xn ∈ X in nenega-
tivna števila λ1, . . . , λn, za katera velja x =
∑n
i=1 λixi in
∑n
i=1 λi = 1. Zato
je f(x) =
∑n
i=1 λif(xi) ≤ max1≤i≤n f(xi) in posledično
max
x∈X
f(x) = max
x∈L
f(x) ≤ 1− ε. (6)
Ker je prostor (Rd, ‖.‖) končnorazsežen, je rob množice K, tj. enotska sfera
v tem prostoru, kompaktna. Zato zvezna funkcija |f | doseže maksimum na
njej. Tj., obstaja tak x1 ∈ Rd, da velja ‖x1‖ = 1 in
1 = ‖f‖ = max
‖x‖=1
|f(x)| = |f(x1)|.
Naj bo x2 tisti enotski vektor izmed x1 in −x1, za katerega je f(x2) = 1. Iz
neenakosti (6) za vsak x ∈ X sledi
ε ≤ |f(x2)− f(x)| ≤ ‖f‖ · ‖x2 − x‖ = ‖x2 − x‖,
kar je v nasprotju z maksimalnostjo množice X.
LITERATURA
[1] How To Upload Your Solutions, dostopno na www.youtube.com/watch?time_
continue=43&v=ApJ1fBMByow&feature=emb_title, ogled 3. 11. 2020.
[2] International Mathematics Competition for University Students, dostopno na www.
imc-math.org.uk, ogled 3. 11. 2020.
Marko Orel
158 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 4
i
i
“Razpet” — 2021/1/4 — 8:49 — page 159 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Dörte Haftendorn, Mathematik sehen und verstehen, Werkzeug des Den-
kens und Schlüssel zur Welt, Springer Spektrum, Wiesbaden, 2019, 418
strani.
Knjiga je nastala na podlagi dobro obi-
skanih predavanj, ki jih je avtorica imela
na univerzi Leuphana v Lüneburgu (Spo-
dnja Saška) za študente različnih študij-
skih smeri. Rdeča nit teh predavanj je
bila matematika za vse. V Nemčiji so
namreč opazili, da so po šolah pri ma-
tematiki zadnje čase dajali vse preveč
poudarka na računanje, premalo pa na
razumevanje učne snovi. Avtorica za-
vzema stalǐsče, da je matematiko treba
hkrati videti in jo razumeti. Matema-
tika je zanjo orodje mǐsljenja in ključ do
sveta. Da bi to dosegli, je treba matema-
tiko popestriti, kjer se le da, s slikovnim
materialom. Prav zato je v knjigi veliko lepih barvnih fotografij, slik in gra-
fov, ki ji dajo še dodatno privlačnost. V knjigi seveda pǐse veliko več, kot je
bilo povedanega in prikazanega na predavanjih.
Predavanja so naletela na odličen odziv. Več kot 1000 študentov se je že-
lelo naučiti vsaj nekaj matematike (čeprav univerza Leuphana v Lüneburgu
zagotovo ni posebno velika univerza). Pri tem je avtorica imela opravka s
celim spektrom študentov: od zelo nadarjenih za matematiko prek tistih,
ki jih zanima le njena uporaba, do tistih, ki zanjo niso pokazali posebnega
smisla. Z vizualizacijo je skušala prepričati tudi največje matematične skep-
tike, da je matematika lepa in tudi uporabna. Zato je navedla veliko dobro
izbranih zgledov, na primer iz zgodovine matematike, vsakdanjega življenja,
narave, umetnosti in gradbenǐstva.
V tej obsežni knjigi je v besedi in sliki opisanih deset pomembnih mate-
matičnih področij, in sicer: kriptografija, kodiranje, teorija grafov in vozlov,
fraktali skupaj s kaosom in urejenostjo, funkcije, optimizacija, računalnǐstvo
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4 159
i
i
“Razpet” — 2021/1/4 — 8:49 — page 160 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
in matematika, numerična matematika, stohastika ter geometrija. Vsakemu
od naštetih področij je namenjeno posebno poglavje. Nekatera izmed njih
vsebujejo tudi naloge, katerih rešitve so na koncu knjige. Nekateri matema-
tiki imajo na izbiro področij morda tehtne pripombe, toda za nematematike
je glede na odziv izbira vsekakor primerna. Avtorica je iskala kompromis,
da bi bila enako upoštevana temeljna matematična področja (geometrija,
funkcije) in področja, ki so še posebej primerna za vizualno predstavitev
(kriptografija, kaos). S svojim strokovnim znanjem, izkušnjami in didak-
tično veščino ji je uspelo predstaviti tudi nekatere težje teme.
Opǐsimo na primer na kratko vsebino poglavja o kodiranju. Najprej so
omenjeni notni zapisi v glasbi. V njih so zakodirani toni, njihove dolžine,
načini izvedbe, glasnost, takti, ključi in še kaj. Nato pridejo na vrsto opisi
kodiranj, s katerimi imamo opravka v vsakdanjem življenju (v trgovini, knji-
žnici, bančnǐstvu), a jim ne posvečamo posebne pozornosti. To so na primer
črtne kode EAN za označevanje izdelkov, ISBN za označevanje knjig, ISSN
za označevanje revij, IBAN za označevanje bančnih računov, dvorazsežna
črtna koda QR in Hammingova koda.
Kot naslednji in zadnji primer si malo natančneje oglejmo poglavje o
zelo uporabni numerični matematiki. Z ocenjevanjem napak posameznih
numeričnih metod se ne ukvarja, le opozarja nanje. Najprej obravnava
starodavno iterativno Heronovo metodo za računanje kvadratnega korena
in potek predstavi grafično v koordinatnem sistemu. Sledita sekantna in
Newtonova ali tangentna metoda za iskanje ničel funkcij. Nato so na vrsti
metode za računanje določenih integralov. Najprej je pojasnjeno, kako je
Arhimed izračunal ploščino odseka parabole in kako je Kepler njegov re-
zultat uporabil za približen izračun ploščine lika pod grafom funkcije nad
intervalom. Arhimed in Kepler še nista poznala pojma integrala. Razdelek
o numerični integraciji zaključuje Simpsonova metoda. Tej sledijo polinomi
kot preproste funkcije, še posebej Taylorjevi in interpolacijski polinomi. V
naslednjem razdelku so predstavljeni zlepki, v prvi vrsti kubični in Bézie-
rovi, ter njihova uporaba. Poglavje se nadaljuje s Fourierovimi vrstami, ki
jih poveže z glasbo: s toni in zveni. Morda je nekoliko zgrešeno, da so Fou-
rierove vrste našle mesto v tem poglavju, saj ne omenja nobene numerične
metode za računanje Fourierovih koeficientov. Zadovolji se z načrtovanjem
grafov delnih vsot Fourierovih vrst neke funkcije, s čimer želi pokazati, kako
160 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Razpet” — 2021/1/4 — 8:49 — page 161 — #3 i
i
i
i
i
i
Mathematik sehen und verstehen, Werkzeug des Denkens und Schlüssel zur Welt
se grafi teh delnih vsot z rastočim številom členov približujejo grafu funkcije.
Prav tako ni opisane nobene numerične metode za reševanje diferencialnih
enačb v naslednjem razdelku, niti Eulerjeve ne. Pač pa pokaže uporabnost
polja smeri diferencialne enačbe. Tako polje lahko preprosto narǐsemo z
GeoGebro, ki ima za to poseben ukaz. Polje smeri nakazuje potek rešitve.
Poglavje se konča z razlago o pomembnosti numerične matematike v tehniki,
gradbenǐstvu in medicini.
Desetim glavnim poglavjem, od katerih je vsako posvečeno enemu od
omenjenih matematičnih področij, je na začetku knjige namenjeno uvodno
poglavje, v katerem je razloženo, zakaj in kako je knjiga nastala in kaj je
njen cilj. Nekaj malega je tam zapisanega tudi o zgodovini poučevanja
matematike. Temu sledi obširna razlaga, kaj početi ob branju knjige. Moto
knjige je bolje razumeti brez računanja kot računati brez razumevanja. Pred
začetkom pravih poglavij so njihovi kratki opisi ter nekaj osebnih razmǐsljanj
in pripomb avtorice glede matematike in študija. Zadnje, dvanajsto poglavje
podaja nekaj osnov matematike, kot so izgradnja števil od naravnih do
kompleksnih, dokazovanje z nekaj dobro znanimi primeri in nerešljivi antični
problemi. Kot se za vsako resno matematično knjigo spodobi, sta tudi tej
dodana čisto na koncu zajeten seznam literature in stvarno kazalo.
Po mnenju nekaterih je to kljub nekaterim pomanjkljivostim ena od naj-
bolj priljubljenih knjig iz matematike za mlade v zadnjih letih. Priporočajo
jo vsem, ki jih ta znanost zanima, tudi učencem in dijakom, ki se lahko iz
nje naučijo veliko novega. Knjiga je doživela že tri izdaje (2010, 2016, 2019),
v vsaki noveǰsi izdaji je dodanih nekaj novih matematičnih področij. Do-
polnilo h knjigi je spletǐsče www.mathematik-sehen-und-verstehen.de, od
koder lahko prenesemo številne datoteke, tudi za GeoGebro, s katero imamo
možnost na preprost način spreminjati parametre.
Prof. Dörte Haftendorn, avtorica knjige, rojena leta 1948, je študirala
matematiko in fiziko. Po doktoratu (algebra) je poučevala na gimnaziji
in predavala bodočim učiteljem, inženirjem in informatikom na strokovni
visoki šoli ter na univerzi Leuphana v Lüneburgu (Spodnja Saška). Leta
2013 se je upokojila, z univerzo pa še vedno sodeluje.
Marko Razpet
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4 XV
i
i
“kolofon” — 2020/12/21 — 13:18 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JULIJ 2020
Letnik 67, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Povabilo v inverzne polgrupe (Ganna Kudryavtseva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–135
Nevidnost (Linda Bitenc in Miha Ravnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136–152
Vesti
Sedemindvajseto mednarodno matematično tekmovanje
študentov (Marko Orel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153–158
Nove knjige
Dörte Haftendorn, Mathematik sehen und verstehen,
Werkzeug des Denkens und Schlüssel zur Welt (Marko Razpet) . . 159–XV
CONTENTS
Articles Pages
Invitation to inverse semigroups (Ganna Kudryavtseva) . . . . . . . . . . . . . . . 121–135
Invisibility (Linda Bitenc and Miha Ravnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136–152
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153–158
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159–XV
Na naslovnici: Shema prikazuje trajektorije žarkov elektromagnetnega valovanja
skozi sferično ogrinjalo nevidnosti (glej članek na straneh 136–152).