UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTEATA ZA ELEKTROTEHNIKO OSNOVE ELEKTROTEHNIKE I ELEKTROSTATIČNO POLJE TOKOVNO POLJE ENOSMERNO VEZJE DEJAN KRIŽAJ LJUBLJANA 2019 _____________________________________________________ Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID=302290688 ISBN 978-961-243-393-2 (pdf) _____________________________________________________ URL: http://lbm.fe.uni-lj.si/images/osnove/OE1_2019.pdf Založnik: Založba FE, Ljubljana Izdajatelj: Fakuleta za elektrotehniko, Ljubljana Urednik: prof. dr. Sašo Tomažič 1. izdaja Grške črke: grške nove grške Trigonometrija v slovenščini črke črke Kot / Kot/ Sin Cos Tan Α α alfa a stopinje radiani Β β beta b Γ γ 0 0 0 1 0 gama g Δ δ delta d 30 π/6 1/2 3 / 2 1 / 3 Ε ε epsilon e Ζ ζ dzeta dz, z 45 π/4 2 / 2 2 / 2 1 Η η eta ē Θ θ theta th 60 π / 3 3 / 2 1 / 2 3 Ι ι jota i, j Κ κ kapa K 90 π/2 1 0 nedoločen Λ λ lambda l Μ μ 180  0 -1 0 mi m Ν ν ni n 270 3 / 2 -1 0 nedoločen Ξ ξ ksi x Ο ο omikron o Π π pi p Ρ ρ ro r Skalarni produkt: Σ σ sigma s    Τ τ tau t a b ab cos( ) Υ υ ipsilon Y Φ φ fi Ph Tabela odvodov: Χ χ hi ch http://sl.wikipedia.org/wiki/Tabela_odvodov Ψ ψ psi Ps Ω ω omega ō Tabela integralov: http://sl.wikipedia.org/wiki/Tabela_integralov © D.K., 2019 1 Spoštovani študenti! Pred vami je obnovljena in razširjena skripta/učbenik za predmet Osnove elektrotehnike 1. Zakaj sem se odločil za razširitev že tako obsežne tematike? V bistvu ne gre za razširitev teoretičnega dela, ki ostaja več ali manj enak, pač pa za dodatna podpoglavja, ki so nekako v oporo teoretičnemu delu. Pa ne toliko v smislu razumevanja teorije, pač pa kot njena nadgradnja. Pogosto se študentom dozdeva, da si s poznavanjem osnovne teorije elektrotehnike (elektromagnetike) v praksi ne morejo kaj dosti pomagati, saj se dozdeva, kot da je to predmet, ki študente šele uvaja v osnovne skrivnosti elektrotehnike, v višjih letnikih pa bo mogoče s skupnim znanjem šele kaj resnega narediti. Želim vas prepričati, da to ni res. Da že temeljna znanja, ki jih boste pridobili, omogočajo osnovno razumevanje narave elektromagnetnih pojavov in s tem razumevanje osnovnih principov, ki so v ozadju delovanja določenih naprav. Najprej je torej potrebno razumeti, kako določena naprava deluje. Vse principe delovanja seveda ne moremo obravnavati v predmetu Osnove elektrotehnike 1, ki se posveča predvsem pojavom elektrostatike in enosmernega tokovnega polja. Kljub temu pa zadoščajo za razumevanje delovanja marsikatere naprave ali razumevanje določenega pojava. Na primer za razumevanje principa delovanja fotokopirnega stroja ali laserskega tiskalnika. Za njegovo uporabo v bistvu ne potrebujemo znanja elektrotehnike, drugače pa je, če ga želimo popraviti, kaj šele izboljšati način delovanja. Še višji nivo pa je, da tako napravo izumimo. Včasih izgleda, kot da je že vse izumljeno, kot da ni prostora za nove izume in včasih tudi, da je Slovenija premajhen prostor za kakšne pomembnejše izume. To je delno res, saj razvoj določenega izdelka, recimo farmacevtskega, lahko stane več sto milijonov, prav tako izdelava novega avtomobila, da o raketah ne govorimo. Vedno pa se najde določeno področje ali niša, kjer lahko naredimo preboje, nekaj novega, nekaj, kar se drugi niso spomnili. Zakaj ne bi bili vi tisti, ki bi prišli do neke novosti? Nekaj dopolnilnih podpoglavij se posveča zgodovinskim zanimivostim, nekaj pa je tudi takih, ki kažejo, da so tudi mnoga nova dognanja in rešitve povezana s temelji elektrotehniške znanosti. Virov znanja je v današnji dobi ogromno, kdor želi priti do virov, jih bo našel. Literature o elektrotehniki je ogromno, že v Sloveniji lahko pridete do različnih virov, tudi na področju osnov elektrotehnike. Ta učbenik je torej le en od mnogih, ki se jih lahko poslužite. V Sloveniji imamo kar bogato zgodovino poučevanja predmeta elektrotehnika. Zanimivo je vzeti v roke delo prof. Milana Vidmarja Predavanja o znanstvenih osnovah delovne elektrotehnike, ki datira iz leta 1952. V tedanjem obdobju je bilo pomembno predvsem področje električnih strojev in elektrifikacije, kasneje je šele sledilo obdobje elektronike, avtomatike, telekomunikacij. Kljub temu so bili osnovni zakoni elektrike tedaj že dodobra znani in se do danes niso spremenili. Spremenil se je morda le poudarek in način poučevanja. Za njim je sledilo mnogo predavateljev Osnov elektrotehnike in vsak je odvzel kakšen del in tudi kakšnega dodal. V zadnjem obdobju velja omeniti prispevek kolega Antona Sinigoja z delom Osnove elektromagnetike (PDF), ki vsebuje tvarino obeh predmetov, tako Osnov elektrotehnike 1 kot Osnov elektrotehnike 2. Delo, ki se bo morda komu zdelo avtorsko nekoliko posebno je sicer precej teoretično, a je z leti postalo prečiščeno in lahko šteje kot referenca za nadaljnja dela na tem področju. V čem je torej poseben ta učbenik? Vsi učbeniki za osnove elektrotehnike obravnavajo več ali manj isto snov. Gre pa za način predstavitve, ki je pri vsakem avtorju nekoliko drugačen. Gre tudi za različne poudarke. Nekateri želijo biti zelo teoretično koncizni, morda malo »matematični«, drugi pa matematični del zmanjšajo na najmanjšo možno miro. Sam poskušam biti nekje vmes. Preveč poenostavljanja ni pametno, saj so elektromagnetni pojavi dejansko precej zapleteni. V bistvu bi bila obravnava teh pojavov še mnogo bolj zapletena, če ne bi imeli koncepta električnega in magnetnega polja. Če bi želeli direktno izračunati učinke elektromagnetnih sil, npr. silo med telesi, energijo ali inducirano napetost, bi brez uporabe koncepta električnega in magnetnega polja »polomili vse svinčnike«. Električno in magnetno polje torej obravnavamo zato, ker nam olajšajo razumevanje elektromagnetnih pojavov. Moje osnovno vodilo je, da je potrebno tekst napisati čim bolj preprosto, ne pa preveč. Če zadeve preveč poenostavimo, je pač nevarno, da veljajo le v zelo omejenih primerih, kot na primer le za konstantni tok. Razumevanje osnovnih spoznanj elektrotehnike poteka na več nivojih. Osnova je sicer pretvorba fizikalnih zakonitosti v model, ki je najpogosteje v obliki © D.K., 2019 2 matematičnega zapisa, pogosto z integrali ali odvodi. To nam omogoča, da predvidimo (izračunamo) učinke električnih pojavov. Ni pa tudi vse v matematiki, računanju. Sicer bi se namesto elektrotehnikov z elektriko bavili matematiki. Ko se enkrat pride do ustrezne enačbe (modela), matematikom ni para, prej pa mora delo opraviti nekdo, ki razume ali poskuša ustrezno razumeti elektromagnetne pojave. Into je drug nivo, če je prvi matematični, je drugi povezan z razumevanjem osnovnih konceptov, povezav. Ključno za ta predmet je določen občutek za električno (in pri OE2 magnetno) polje. Ker gre v določeni meri za abstraktne pojme, je potrebno najti način, da se z njmi »spopademo« ali bolje, da jih sprejmemo, razumemo. Zato je ta učbenik prepreden z dodatnimi grafičnimi prikazi, vsebuje povezave na animacije, simulacije in druga računalniška orodja, ki nam pomagajo razumeti električne pojave. Morda še beseda o virih napisanih v tujih jezikih. Najpogosteje študenti posegajo po virih v angleškem jeziku, čeprav je jasno, da je mnogo dobre literature tudi v drugih jezikih, npr. nemškem, francoskem, ruskem. Pa nič zato, že angleške dobre literature je vrh glave. Klasičnih tekstov je mnogo, zato bom omenil le nekaj takih za bolj pogumne, ki bi se želeli spopasti s še malo višjim nivojem teorije elektromagnetike. Osnovni problem razumevanja teh tekstov je, da mi obravnavamo osnovne zakone elektrotehnike le z integralskimi enačbami, medtem, ko drugi v večini primerov preidejo tudi na t.i. diferencialni zapis enačb. Uporabo takega zapisa sam sicer običajno malo nakažem, ne spada pa med obvezno znanje, saj nam za obravnavo z diferenciali umanjka matematično znanje. [Nekoliko je problematično, da predmetoma Osnove elektrotehnike I in 2 ne sledi nujno nadaljevanje, ki bi nadgradilo to osnovno znanje teorije še z zapisi v diferencialni obliki in iz tega sledeča pika na i: izpeljava elektromagnetnega valovanja in njegovih posledic. Upam, da bo v prihodnosti več posluha za to nadgradnjo, ki je včasih veljala za klasiko, pa so jo kasneje »povozili modernejši predmeti«] . Učbenik s klasično predstavitvijo teorije elektromagnetike, ki je našemu predznanju še kar dostopen, je Electromagnetics od Branislava M. Notaroša. Morda nam je njegov način predstavitve bolj domač tudi zato, ker gre za delo profesorja, ki je drgnil šolske klopi v rajnki Jugoslaviji, sedaj pa poučuje na Colorado State University. Kakšen izvod bi se našel tudi v naši knjižnici. Od starejših učbenikov, ki pa so pogosto obnovljeni, velja omeniti vsaj Electricity and Magnetism E.M. Purcella, ki je leta 1952 dobil Nobelovo nagrado za delo na področju nuklearne magnetne resonance (v bistvu velja za izumitelja te metode). (Obstaja tudi srbo-hrvaška verzija tega učbenika – Electricitet i Magnetisam, morda zanimiv za tiste, ki jim slovenščina ni materni jezik). Našel sem tudi PDF verzijo učbenika na spletu (povezava), ni pa nujno, da bo s časom obstala. Nekonvencionalno delo je tudi Feynman lectures of physics, avtorja Richarda P. Feynmana, ki velja za morda najbolj popularen učbenik fizike na svetu. Za elektrotehniko je zanimiv predvsem drugi del, ki obravnava poglavja elektromagnetike. Feynman je bil v vseh pogledih zanimiv človek, slovel je tako po svojem izjemnem fizikalnem znanju - dobil je tudi Nobelovo nagrado (1965) za dela na področju kvantne elektrodinamike, kot tudi po pronicljivosti in radoživosti (avtobiografija Surely You're Joking, Mr. Feynman! ali What Do You Care What Other People Think?) in zanimanju za popularizacijo znanosti. Okoli leta 1960 je bil pozvan s strani Caltech univerze (California Institute of Technology), da osveži študij osnov fizike s spoznanji moderne fizike. Tega se je lotil zelo resno in v njegovem samosvojem stilu, od koder izvirajo trije zvezki (lecture notes), ki sicer ne nastopajo v nobenem kurikulumu kot obvezno čtivo, kljub temu pa so zaradi originalnosti misli in prezentacije ostali kot znamenitost in referenca. Feynaman je kot predavatelj na Caltech nastopil le eno leto. Dela so dostopna tudi na spletu: http://www.feynmanlectures.caltech.edu. Mnogo je tudi modernih učbenikov za fiziko, ki vključujejo poglavja iz elektrotehnike, torej tudi elektrostatike in tokovnega polja, kar je naše zanimanje pri predmetu OE1. Velja omeniti učbenik Fundamentals of Physics, ki je znan kot učbenik avtorjev D. Hallidaya in R. Resnicka (ki tudi nista bila prva avtorja), vendar je trenutno avtor- editor desete izdaje J. Walker. Gre za dobro razdelano delo, tako oblikovno kot strokovno, ki je prešlo mnogo oči in vsebuje mnogo dodatkov, video ilustracij, online pomoči, animacij in podobno. Kakšen izvod bi se našel tudi v naši knjižnici, najde pa se tudi kakšna PDF verzija na spletu. Primeren je tudi kot dodatna literatura za fizikalne predmete. Na koncu velja omeniti še študijski material MITOpenCourseWare znamenite ameriške univerze MIT (Massachusetts Institute of Technology), ki je prosto dostopen na spletu. Praktično ni tematike, ki je tam ne bi © D.K., 2019 3 našli, za nas pa je zanimiv predvsem predmet Electricity and Magnetism, ki se z leti sicer spreminja, v osnovi pa pokriva področje električnega in magnetnega polja. Zainteresiranemu bralcu torej literature zagotovo ne bo zmanjkalo. Potrebno je torej najti pravo ravnovesje, med študijem in delovanjem. Problem aktivnega delovanja je morda v sami snovi, ki pogosto zahteva za učinkovito delo določeno opremo, ki študentu ni dostopna. Tu sam vidim dve poti: prva so aktivnosti z uporabo računalnika, ki ga zagotovo tudi sami posedujete. Elektrotehnika se namreč vedno bolj opira na raznorazna računalniška orodja, od preprostejših programov za izračune enačb, do bolj kompleksnih programov za simulacijo elektromagnetnih pojavov. Tehniki se zelo pogosto poslužujemo programov kot so Matlab ali njegovi brezplačni kloni (Octave, SciLab), lahko pa tudi programskih jezikov, od katerih bi izpostavil predvsem programski jezik Python. S temi orodji se da marsikaj postoriti, bolj poglobljeno znanje pa koristi tudi kasneje, pri znanstveno-raziskovalnem delu, pa tudi v podjetjih. Za numerične simulacije lahko poskusimo napisati tudi svoje programe, obstajajo pa tudi bolj zahtevni programi za simulacije (Comsol, Ansys, ..) ali pa nekoliko manj zahtevni, kot npr. Argos2D ali FEMM. Če imate veselje za raziskovalno delo, pa imate na voljo naslednjo pot: poiščete informacije o laboratoriju, ki se ukvarja s tematiko, ki vam je blizu. Z veseljem vas bodo vključili v njihovo raziskovalno delo, pogosto pa vam lahko tudi omogočijo, da realizirate svojo idejo. Je pa tako kot pri vseh stvareh: potrebno je biti vztrajen in tudi malo pogumen. Srečno na poti, Dejan Križaj, 2019 Učbenik je dostopen na spletni strani Laboratorija za bioelektromagnetiko, na google drive-u in s časom verjetno še kje drugje. Osnovna pojasnila za uporabo učbenika: Zvezdica (*) pred naslovom podpoglavja pomeni, da gre za dodatno poglavje, ki ne spada med obvezno snov. Pomembnejše enačbe so označene z barvami: - Enačbe označene zeleno prestavljajo osnovne zakone in temeljne zveze. - Enačbe označene rumeno sledijo ali se nanašajo na osnovne zakone in temeljne zveze. - Enačbe označene turkizno označujejo konkretne zveze za izračune, izpeljane iz pomembnih zvez ali osnovnih zakonov. PS: čeprav gre za obnovljeno/razširjeno verzijo učbenika, se še vedno prikradejo napake. Nekaj starih je odstranjenih, verjetno pa so se prikradle nove. Ker sem se odločil dati to verzijo na splet v PDF formatu v celoti, ne bo težko dopolniti ali popraviti teksta, če se pojavi potreba. Zato vas pozivam, da javite napake, pa tudi predloge za dopolnitve ali spremembe. Morda bo namesto mene urejal nadgradnje kdo drug, zato odpiram poseben email naslov osnove.elektrotehnike.dk@gmail.com, ki bo vaše pripombe javljal trenutnemu urejevalcu. Hvala. © D.K., 2019 4 Kazalo KAZALO POGLAVIJ 0. Uvod .......................................................................................................................... 7 1. Naboj in tok .............................................................................................................. 16 2. Coulombov zakon ...................................................................................................... 28 3. Električna poljska jakost ............................................................................................ 33 4. Porazdelitve nabojev ................................................................................................. 40 5. Koordinatni sistemi ................................................................................................... 45 6. Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev ....................................................... 50 7. Gaussov zakon .......................................................................................................... 63 8. Delo in potencialna energija ...................................................................................... 72 9. Potencial in napetost ................................................................................................ 78 10. Prevodnik v električnem polju ................................................................................ 92 11. Zveza med E in V .................................................................................................. 100 12. Gibanje nabojev v električnem polju .................................................................... 103 13. Električni dipol ..................................................................................................... 110 14. Okovinjenje ekvipotencialnih ploskev ................................................................... 118 15. Metoda zrcaljenja ................................................................................................ 124 16. Kapacitivnost ....................................................................................................... 131 17. Dielektrik v električnem polju ............................................................................... 138 18. Energija ............................................................................................................... 159 19. Kondenzator ........................................................................................................ 169 20. Časovno konstantno tokovno polje ...................................................................... 182 21. Viri napetosti ....................................................................................................... 200 22. Enosmerna vezja – osnovni zakoni ....................................................................... 215 23. ELEKTRIČNI VIRI ................................................................................................... 218 24. OSNOVNA ELEKTRIČNA VEZJA .............................................................................. 223 25. Moč ..................................................................................................................... 241 26. Analiza enosmernih vezij ..................................................................................... 246 27. Stavki (Teoremi) .................................................................................................. 255 © D.K., 2019 1 Kazalo KAZALO - RAZŠIRJENO 0. Uvod 7 Osnovne enačbe (zakoni), ki opisujejo električne pojave 9 Osnovne veličine 10 Merske enote in pisanje enačb 11 Označevanje 11 Gradniki snovi 12 Prevodniki, izolatorji, polprevodniki, dielektriki 12 ** Elektrenje s trenjem 13 * Matematični uvod – integral in odvod 14 Druge oblike integracij 14 Od naklona do odvoda 15 1. Naboj in tok 16 Naboj (elektrina) 16 Zakon o ohranitvi naboja 16 Električni tok (kontinuitetna enačba) 17 Predznak toka 19 odvajanje funkcij 20 Kontinuitetna enačba 22 Naboj kot integral toka 22 Konstanten tok 26 * Izračun in izris rezultatov 27 2. Coulombov zakon 28 Zapis sile v vektorski obliki 29 Superpozicija sil 31 3. Električna poljska jakost 33 Superpozicija električnega polja 34 Prikazovanje električne poljske jakosti v prostoru 35 * Prikaz električnega polja v 2D in 3D prostoru 36 * Kako je prišlo do koncepta električnega polja? 37 4. Porazdelitve nabojev 40 Volumska gostota naboja 40 Površinska gostota naboja 41 Linijska gostota naboja 41 * Gekon uporablja elektrostatiko za plezanje 42 5. Koordinatni sistemi 45 Kartezični koordinatni sistem 45 Valjni (cilindrični) koordinatni sistem 46 Krogelni (sferični) koordinatni sistem 48 6. Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 50 Polje točkastega naboja 50 Polje porazdeljenih nabojev 51 Postopek za določitev polja porazdeljenih nabojev 52 * Matematični priročnik 54 Električna poljska jakost enakomerno naelektrene tanke palice – premi naboj 55 Polje enakomerno naelektrene daljice 56 Polje v osi naelektrenega obroča 58 Polje v osi naelektrenega diska 59 Polje naelektrene ravnine 60 Primerjava potekov polja 61 7. Gaussov zakon 63 Silnice 63 Pretok električnega polja 63 Pretok nehomogenega polja skozi neravno površino 64 Pretočne cevke ali gostotnice 65 Pretok polja po celotni (zaključeni) površini 65 © D.K., 2019 2 Kazalo Pretok polja točkastega naboja skozi zamišljeno površino krogle 66 Pretok polja skozi zaključeno površino poljubne oblike v kateri se nahaja množica nabojev 66 Vpliv nabojev zunaj zaključene površine na pretok polja skozi notranjost površine 67 Naelektrena krogla 68 Naelektrena valja z isto osjo = koaksialni kabel 69 Naelektrena ravnina 70 * Kdo je prvi »izumil« Gaussov zakon 71 8. Delo in potencialna energija 72 Delo po poljubni poti in velikosti sile 72 Delo električne sile 73 Delo električnih sil ni odvisno od poti 74 Delo po zaključeni poti 75 Potencialna energija 75 Potencialna energija sistema nabojev 76 Delo kot razlika potencialnih energij sistema 77 9. Potencial in napetost 78 Električni potencial 78 Potencial v okolici točkastega naboja Q 79 Potencial sistema točkastih nabojev 80 Potencial pri zvezno porazdeljenih nabojih 80 Potencialno polje je skalarno polje 81 Ekvipotencialne ploskve 81 Električna napetost 83 Drugi Kirchoffov zakon 83 Osnovni primeri izračuna napetosti, polja in potenciala za: ploščati, valjni in sferični kondenzator 84 Dve ravni vzporedni naelektreni plošči: ploščni kondenzator 84 Koaksialni kabel (valjni kondenzator) 86 Krogelni (sferični) kondenzator 89 10. Prevodnik v električnem polju 92 Prevodnik v zunanjem električnem polju 92 Površina prevodnika je ekvipotencialna ploskev 93 Elektrostatična indukcija ali influenca 94 Polje znotraj votline prevodnika – faradayeva kletka 94 Naboj v votlini prevodnika 94 Prenos naboja na zunanje stene prevodnika 95 Električno polje na površini prevodnika 96 Razlika med poljem naelektrene ravnine in poljem na površini prevodnika 96 Sila na naboj na površini prevodnika 97 * Xerografija 98 11. Zveza med E in V 100 Izračun električne poljske jakosti iz potenciala in obratno 100 12. Gibanje nabojev v električnem polju 103 Energija delca med gibanjem 104 Primerjava velikosti gravitacijske in električne sile 105 * Simulacije s programom EJSS 105 Prebojna trdnost, prebojna napetost 106 * 2. eksperiment Josepha Johna Thomsona (1856 - 1940) 107 * Elektroforeza 108 13. Električni dipol 110 Električni dipol 110 Električni dipolni moment 110 Polarne in nepolarne molekule 111 Dipol v električnem polju 112 Potencial v okolici električnega dipola 113 Električno polje dipola 115 Način izračunavanja sile na dipol iz spremembe električne energije 116 * Izračun sile na dipol iz spremembe električne poljske jakosti 116 © D.K., 2019 3 Kazalo Potencialna energija dipola 117 14. Okovinjenje ekvipotencialnih ploskev 118 Polje med okovinjenimi ekvipotencialnimi ploskvami 118 Sistem dveh premih nasprotno naelektrenih nabojev 119 Ekvipotencialne ploskve polja dveh premih nabojev so krožnice (plašči valjev) 120 Dva prevodna valja enakega polmera priključena na vir napetosti 121 15. Metoda zrcaljenja 124 Prevodni valj nad zemljo (upoštevanje ekscentričnosti) 124 Daljnovodna vrv nad zemljo (zanemaritev ekscentričnosti) 125 Kapacitivnost med vrvjo in zemljo 127 Računanje polja in potenciala v okolici daljnovodnih vrvi nad zemljo 128 Zrcaljenje točkastega naboja na kovinski krogli 130 16. Kapacitivnost 131 Kondenzator kot »koncentriran« element 131 Merjenje kapacitivnosti 132 Računanje kapacitivnosti 132 Kapacitivnosti osnovnih struktur 133 Kondenzatorska vezja 135 Zaporedna vezava kondenzatorjev 135 Vzporedna vezava kondenzatorjev 135 Enačbe potrebne za analizo splošnega kondenzatorskega vezja 137 17. Dielektrik v električnem polju 138 Dielektrik vstavljen v zračni kondenzator 138 Relativne dielektričnosti in prebojne trdnosti materialov 139 Fizikalna razlaga spremembe kapacitivnosti ob uporabi dielektrika 140 1) Ploščni kondenzator naelektren s prostim nabojem med ploščama 140 2) Ploščni kondenzator pri priključeni fiksni napetosti med ploščama 141 Vektor polarizacije 141 Površinska gostota polariziranega naboja 142 Električna susceptibilnost 143 Modificiran Gaussov zakon in vpeljava vektorja gostote električnega pretoka - D. 143 Zveza med D in E 145 Zveza med P in D 145 Načini izračunavanja polja v dielektrikih za preproste strukture, kjer lahko uporabimo princip simetrične porazdelitve naboja in uporabimo modificiran Gaussov zakon 145 Povečanje kapacitivnosti zaradi vstavitve dielektrika v kondenzator pri priključeni napetosti 149 * Piezoelektriki 150 * Mikrofoni 152 Mejni pogoj za normalno komponento polja 154 Mejni pogoj za tangencialno komponento polja 155 Polje na meji dielektrika in kovine 156 * Sila med dielektriki / dielektroforeza 157 18. Energija 159 Ponovitev: delo električnih sil, potencialna energija, napetost in potencial 159 Energija posameznega naboja pri preletu električnega polja 159 Potencial v okolici osamljenega naboja in energija sistema dveh nabojev 159 Potencialna energija sistema točkastih nabojev 160 Energija v polju kondenzatorja 162 Določitev kapacitivnosti iz energije v kondenzatorju 164 Energija elektrostatičnega sistema porazdeljenih nabojev 164 Gostota energije in energija polja 165 Gibalni procesi – sila na naelektrena telesa 166 1) Primer gibalnih procesov naelektrenih teles brez priključenega vira napetosti 166 2) Primer gibalnih procesov pri priključeni napetosti 167 Izračun sile iz spremembe kapacitivnosti 167 19. Kondenzator 169 Kondenzator kot naprava za shranjevanje naboja 169 © D.K., 2019 4 Kazalo Kondenzator kot naprava za shranjevanje električne energije 171 Pomembne lastnosti kondenzatorjev 172 * Tipi kondenzatorjev 173 * Numerično računanje elektrostatičnih polj 177 20. Časovno konstantno tokovno polje 182 Gostota toka 182 Kontinuitetna enačba 184 Časovno konstantno tokovno polje 185 Tok v snovi 187 Konvektivni tok 187 Konduktivni tok 188 Ohmov zakon v diferencialni obliki 189 Temperaturna odvisnost specifične upornosti 192 Joulov zakon 193 Mejni pogoj za J 195 Dualnost tokovnega in elektrostatičnega polja 197 * Realni kondenzator 199 21. Viri napetosti 200 Generatorska sila 200 Generatorska napetost 201 Tokokrog 202 Zn/Cu baterija 204 Svinčeva baterija – akumulator 205 Nikelj – kadmijeve baterije (Ni-Cd) 206 Nikelj – metal – hidridne baterije 206 Litij – ionske baterije 206 * Sončna celica 209 * Atmosferska elektrika 211 22. Enosmerna vezja – osnovni zakoni 215 1. Kirchoffov zakon 215 2. Kirchoffov zakon 216 Ohmov zakon 217 Označevanje smeri tokov in napetosti na elementih vezja 217 23. ELEKTRIČNI VIRI 218 Idealni napetostni vir 218 Realni napetostni vir 218 Breme, priključeno na realni napetostni vir 219 Idealni tokovni vir 220 Realni tokovni vir 220 Vzporedna in zaporedna vezava virov 221 ** Določitev delovne točke pri nelinearnem bremenu 222 24. OSNOVNA ELEKTRIČNA VEZJA 223 1. Zaporedna vezava uporov 223 2. Vzporedna vezava uporov 223 3. Napetostni delilnik 224 4. Tokovni delilnik 226 5. Napetostni delilnik s potenciometrom 226 6. Mostično vezje 227 7. Transformacija zvezda – trikot 228 Temperaturne lastnosti uporov 229 Merilni inštrumenti 230 Voltmeter 230 Ampermeter 231 * DODATNO: Merilni inštrumenti v praksi 232 * Dodatno: Na kratko o senzorjih temperature 235 * Dodatno: Wheatstonov mostič 237 25. Moč 241 © D.K., 2019 5 Kazalo Moč na bremenu 242 Maksimalna moč na bremenu 244 Izkoristek bremena 244 26. Analiza enosmernih vezij 246 1. Metoda Kirchoffovih zakonov (metoda vejnih tokov) 246 Teorija grafov (na kratko) 247 Zapis in reševanje sistema enačb 248 2. Metoda zančnih tokov 250 Reševanje sistema dveh enačb 250 3. Metoda spojiščnih potencialov 251 Reševanje sistema enačb s pomočjo Kramerjevega pravila 252 * Analiza vezij s programskim orodjem SPICE 254 27. Stavki (Teoremi) 255 1. Stavek superpozicije 255 2. Stavek Thévenina 256 Določitev Théveninove nadomestne napetosti in upornosti 256 3. Stavek Nortona 258 Maksimalna moč na bremenu – drugič 258 4. Stavek Tellegena 261 © D.K., 2019 6 Uvod 0. 0. Uvod Po vrsti, kot so hiše v Trsti. Naše spoznavanje električnih pojavov in zakonitosti bo temeljilo na postopnosti. Od preprostejših konceptov do bolj zahtevnih. Razlago električnih pojavov začnemo z ugotovitvijo, da so električni pojavi posledica učinkov električnih nabojev, elektronov in protonov ter da se naboj ne more izničiti niti ne more nastati. Preprosto je. Iz tega tudi sledi zakon o ohranitvi naboja. Če se naboj na določenem telesu ne ohranja pač pa se povečuje ali zmanjšuje, je to posledica odtekanja ali pritekanja nabojev, kar predstavimo s konceptom električnega toka. Med enako predznačenimi naboji deluje odbojna, med nasprotno predznačenimi pa privlačna sila. To opišemo s Coulombovim zakonom. Bolj splošen je pojem električnega polja, ki pravzaprav izhaja iz Coulombove sile. Je tudi bolj abstrakten, a se kasneje izkaže zelo pomemben. Nadalje se bomo srečali s pojmom potenciala oziroma potencialne energije. Če namreč dva enako predznačena naboja približamo, moramo opraviti določeno delo, saj deluje sila v smeri ločevanja. S tem smo povečali potencialno energijo (sistema) nabojev. Iz tega koncepta izhaja tudi pojem električnega potenciala oziroma električne napetosti. Nato sledijo pojmi kapacitivnosti, gostote električnega pretoka, dielektričnosti, susceptibilnosti, različnih vrst gostote naboja, električnemu dipolu, vektorju polarizacije, gostoti energije, gostoti moči, moči, energiji, gostoti toka, specifični prevodnosti, itd. Zelo veliko pojmov, pravzaprav veličin (fiziki bi rekli količin), s katerimi opisujemo električne pojave. In te veličine so med seboj v določenih relacijah. Pa si za uvod poglejmo primer naelektritve dveh prevodnih teles. Zakaj prevodnih? Zato, da se elektroni v njiju lahko prosto gibljejo. (V neprevodnih telesih so vezi med atomi takšne, da gibanje elektronov zelo omejijo ali celo onemogočijo). Sedaj ti dve telesi naelektrimo. To lahko naredimo na različne načine, npr. se vsakega dotaknemo z že predhodno naelektrnim telesom ali pa ju preprosto priključimo na vir, katerega lastnost je, da ima naboje že ločene (oziroma jih sproti ločuje elektrokemijska sila). Telesa se pogosto naelektrijo tako, da se med seboj drgnejo. Temu pojavu rečemo triboelektrika. Ta pojav je fizikalno nekoliko težje opisati, v splošnem pa lahko rečemo, da imajo nekateri materiali težnjo, da elektrone oddajajo in s tem postanejo pozitivno naelektreni, drugi pa imajo težnjo po sprejemanju elektronov (postanejo negativno naelektreni). Nekaj več o tem je v podpoglavju na koncu uvodnega poglavja. Ko vir sklenemo s prevodnima telesoma, se na njiju prenese električni naboj. Slika 0-1 to prikazuje na preprost, konceptualen način. Brez uporabe enačb. Samo toliko, da opišemo procese, ki potekajo. Ne znamo pa povedati npr. koliko naboja se je preneslo ali v kolikšnem času, kam se bo ta naboj postavil, itd. Odgovore na ta vprašanja lahko dobimo na dva načina: s pomočjo eksperimenta ali s pomočjo ustreznega matematičnega modela. Slika 0-1: Levo: prikaz priklopa prevodnih teles na vir. Desno: prikaz naelektritve teles ob priklopu. © D.K., 2019 7 Uvod 0. Najbolj neposreden in odločujoč je eksperiment. Če ta pokaže drugačen efekt, kot ga pričakujem konceptualno, potem je naš koncept razumevanja napačen ali vsaj pomanjkljiv. In ga je potrebno spremeniti ali dopolniti, tako, da se bo skladal z opazovanji. Enako velja za matematični koncept. Če se rezultat matematičnega modela ne sklada z opazovanji, je naš model pomankljiv ali pa smo se zmotili pri njegovi uporabi (npr. pri izpeljavi ali izračunu). Zakaj torej ne poskušamo spoznati in razumeti električne pojave izključno z opazovanjem eksperimentov? Predvsem zato, ker je to precej zamudno in je tudi pogosto težko izvesti eksperimente, ki vključujejo izključno en sam pojav, ki ga želimo opazovati. Zato se tudi pogosto rezultati eksperimentov ne ujemajo popolnoma z rezultati matematičnega modela. Kljub temu, če nam le uspe zgraditi dovolj dober matematični model, nam le ta omogoča razumevanje vpliva različnih parametrov (dejavnikov) na električni pojav in predvsem kvantifikacijo. Omogoča nam torej določitev velikosti vpliva posameznih parametrov. To pa je področje elektrotehnike oz. to so znanja, ki jih želi imeti elektrotehnik, da bi lahko električne pojave ne le razumel pač pa jih tudi izkoristil, uporabil. Vrnimo se zopet k našemu (zaenkrat) virtualnemu eksperimentu, s katerim poskušamo opisati proces elektrenja. Konceptualno smo ta proces opisali le delno ustrezno, fizikalno pa celo precej napačno. Zakaj? Zato, ker se po prevodnikih lahko premikajo le elektroni, ki so (po dogovoru) negativnega predznaka. Kaj torej predstavljajo tisti plusi na levem prevodnem telesu? Fizikalno gledano ti plusi predstavljajo elektrone, ki so odšli iz svojih ravnovesnih leg na + elektrodo vira. Plusi torej predstavljajo pomanjkanje elektronov, minusi pa njihov presežek. Iz konceptualnega vidika torej ni napačno prikazovati pluse kot nasprotje minusov, niti ni narobe prikazovati premikanje plusov, le zavedati se je potrebno, da gre v resnici za premikanje elektronov v nasprotno smer. Poleg tega je v jedrih atomov, ki so izgubili elektrone, presežek protonov, ki pa imajo pozitivni naboj, ki je po velikosti enako velik kot naboj elektrona. (Obstaja pa tudi premikanje plusov, na primer v primeru gibanja pozitivnih ionov v tekočinah). Na sliki smo označili tudi smer pretakanja nabojev (tako pozitivnih kot negativnih). Pretakanje nabojev imenujemo električni tok in ga označimo s črko i. Katera označitev je potrem pravilna i+ ali i-? Začuda je tako, da je pravilnejša označitev i+ , saj po dogovoru električni tok definiramo kot gibanje pozitivnih nabojev. In še en detajl. Ugotovili bomo, da se naboji po prevodniku porazdelijo le po površini in ne tudi v notranjosti prevodnih teles, kot kaže Slika 0-1. Poleg tega se jih več nabere na mestih, ki so bliže drugemu telesu. Zakaj pa se potem ne naberejo kar vsi na tistem mestu? Zato, ker se istoimenski naboji (+ in + ter - in -) odbijajo, nasprotnoimenski (+ in -) pa privlačijo. Konceptualno lahko s tem poznavanjem popravimo prvotno sliko (Slika 0-2). Slika 0-2: Popravljena slika naelektritve dveh prevodnih teles. Upoštevamo enotno označitev toka (levo) ter to, da se naboji porazdelijo po površini prevodnega telesa in tudi nekoliko več tam, kjer sta telesi bližje drug drugemu (desno). © D.K., 2019 8 Uvod 0. Kakšna pa je povezava med napetostjo vira in množino naboja na prevodnih telesih. Zanimivo je, da je ta povezava linearna, to pomeni, da povečanje napetosti vira sorazmerno poveča množino naboja na telesoma. To linearno povezavo lahko prikažemo grafično (Slika 0-3), pa tudi matematično. Slika 0-3: Levo: grafični prikaz povezave med napetostjo vira in množino naboja med prevodnima telesoma. Desno: prikaz ekvivalentnega električnega modela. Matematično to zapišemo v obliki Q  kU , kjer je k neka konstanta. Običajno jo označimo z veliko črko C in jo imenujemo, nič drugače kot, kapacitivnost. Velja torej Q  CU . Poleg tega električne pojave elektrotehniki pogosto poenostavimo tako, da jih prikažemo v obliki električnih ekvivalentnih vezij. Naš primer elektrenja bi lahko prikazali kot preprosto vezje, v katerem napetostni vir priključimo na kondenzator, ki s svojima dvema elektrodama shematično nakazuje dve ločeni prevodni telesi. Te uvodne vrstice nakazujejo, v kateri smeri bomo začrtali naše »potovanje«. Električne pojave bomo želeli spoznati in razumeti tako, da bomo podrobno raziskali same temelje, osnovne zakonitosti, ki opisujejo naravo električnih pojavov. Uporabili bomo različne načine, od opazovanja eksperimentov do konceptualnega razumevanja, simulacij ter matematične obravnave. Slednji se nikakor ne želimo izogniti, saj z matematičnimi relacijami (enačbami) dobimo orodje, ki nam omogoča inženirski pristop izkoriščanja električnih pojavov z načrtovanjem in izdelavo električnih elementov, sklopov, naprav, itd. OSNOVNE ENAČBE (ZAKONI), KI OPISUJEJO ELEKTRIČNE POJAVE Osnovne veličine v elektrotehniki, s katerimi opišemo elektromagnetne pojave, so električna poljska jakost E, gostota električnega pretoka D, gostota magnetnega pretoka B in magnetna poljska jakost H. Torej ne napetost in tok, kot bi morda pričakovali. So pa seveda te veličine z napetostjo in tokom neposredno povezane. Prav tako povezave med temi osnovnimi veličinami niso tako preproste, kot smo v prejšnjem odstavku ugotavljali za povezave med nabojem ter napetostjo. Za razumevanje povezav med E, D, B in H potrebujemo nekaj matematičnega znanja. Tega si bomo pridobili spotoma. Vseeno jih zapišimo, da bomo videli, kaj nas še čaka, oziroma, do kam bi radi prišli. Enačbe so znane kot Maxwellove enačbe in so zapisane tako v integralni kot diferencialni obliki:   D   D H  d l  i  i  J     kond d A    ali rot H J kond c kond t    t  (0.1) L A  B  B E  d l    d A   ali rot E   t  t  (0.2) L A © D.K., 2019 9 Uvod 0. B  d A  0  ali div B  0 (0.3) A D  d A  d V   ali div D   (0.4) A Da bi jih bolje razumeli potrebujemo čas in tudi nekaj matematičnega znanja. Vidimo, da jih zapišemo z integralnim računom, da so veličine večinoma vektorske (razen  , ki je gostota naboja), da gre za različne tipe integracij, po površini, po liniji, po volumnu, itd. Če bi jih znali »brati«, bi lahko iz prve enačbe zaključili, da električni tok in/ali sprememba električnega polja povzroča magnetno polje, iz druge enačbe pa, da sprememba magnetnega polja povzroča električno polje. To pa je tudi osnova za razumevanje elektromagnetnega valovanja. Iz tretje enačbe sledi, da magnetno polje nima ne začetka ne konca, je samo vase zaključeno, iz četrte pa, da so vir električnega polja električni naboji. Toliko zaenkrat. Naj ponovim, da so enačbe le navržene, in to zato, da vidimo, da osnovnih enačb (zakonov) v elektrotehniki ni veliko in da niso zapisane s tokom in napetostjo (Ohmov zakon) pač pa z relacijami med električnim in magnetnim poljem. Na tem bo tudi poudarek v dveh semestrih. Na razumevanju pojmov povezanih z električnim in magnetim poljem, njihovim pomenom za razumevanje električnih pojavov in njihovim vplivom na okolico. Šele, ko bomo električno in magnetno polje sposobni ovrednotiti, ga bomo lahko poskušali »ukrotiti« oziroma uporabiti nam v korist. OSNOVNE VELIČINE Veličine, ki jih bomo obravnavali večinoma že poznate. Npr. električni naboj (v elektrotehniki pogosto imenujemo tudi elektrina), tok, napetost, moč, energija, itd. Iz srednje šole poznate tudi določene relacije med njimi, na primer povezavo med tokom in nabojem Q  It , med napetostjo in tokom U  IR ipd. Ugotovili bomo, da so te zveze le pogojno ustrezne, npr. Q  It le v primeru, ko je tok konstanten in U  IR le za določene tipe elementov (linearnih uporov). Poleg tega tudi definicije določenih veličin niso najbolj preproste. Na primer definicija električne napetosti, ki je definirana kot delo, ki ga opravi električna sila pri premiku enote naboja (1 C) od enega do drugega mesta. Zanimivo je, da (tudi) v Sloveniji nismo popolnoma usklajeni pri uporabi določenih izrazov – terminologiji. Tako na primer v tehniki uporabljamo izraz veličina, v fiziki pa količina. V tehniki uporabljamo izraz kapacitivnost, fiziki pa kapaciteta. Spodaj je del izpisa SSKJ – Slovarja Slovenskega knjižnega jezika (fran.si) za geslo električni upor. Ugotovimo, da obstaja več rab tega izraza, v tehniki oz. fiziki kot lastnost snovi (4), v elektrotehniki pa kot predmet – element (5). Kaj je pravilno, tu ne bomo razpravljali. V tekstu uporabljam ustaljene elektrotehniške izraze. V pomoč pri prevajanju elektrotehniških izrazov iz ali v tuje jezike lahko pride prav VEČJEZIČNI PRIROČNIK IZRAZOV IN DEFINICIJ ZA ELEKTROTEHNIKO IN ELEKTRONIKO. © D.K., 2019 10 Uvod 0. MERSKE ENOTE IN PISANJE ENAČB Za vsako veličino uporabljamo določen simbol, običajno eno črko abecede, pogosto grške*. Simbol za napetost je U, za tok I, temperaturo T itd. Opazili ste že, da pišemo simbole za veličine poševno. To pa zato, da jih ločimo od merskih enot, kratko kar enot, ki jih pišemo pokončno. Kot primer zapišimo U  5 V . Med številsko vrednostjo in enoto je praviloma presledek. Mersko enoto predstavimo z imenom in simbolom. Ime enote za napetost je volt, simbol pa V. V svetu se je uveljavil sistem merskih enot, ki ga s kratico imenujemo SI (Sisteme International). Obsega sedem osnovnih enot in vrsto izpeljanih†. Osnovne enote so kilogram (kg), meter (m), sekunda (s), amper (A), kelvin (K), kandela (cd), mol (mol), radian (rad) in steradian (sr). Izpeljane enote pa so na primer m/s za hitrost itd. Zanimivo je, da je električni tok edina električna veličina, ki spada med osnovne enote (kilogram, meter, sekunda, Amper). Bolj natančne definicije osnovnih enot si preberite v Uradnem listu RS št.26/2001 (http://www.uradni- list.si/1/objava.jsp?urlid=200126&stevilka=1594), ali pa v množici drugih spletnih strani, npr. http://www-f1.ijs.si/~ziherl/standardi.pdf. OZNAČEVANJE V elektrotehniki pogosto uporabljamo predpone k merskim enotam. To je potrebno zato, ker je red velikosti veličin zelo različen. Kapacitivnosti so pogosto reda mikro, nano ali piko faradov (F, nF, pF), uporabljajo se napetosti od mikro voltov do mega voltov itd. Zveze nam prikazuje preglednica: vrednost ime predpona primer Intelova 65 nm tehnologija SRAM spominskih celic. Na mm2 je nekaj 10-15 femto f fA (femto amper) 10 milijonov takih tranzistorjev. 10-12 piko p pF (piko farad) 10-9 nano n ns (nano sekunda) 10-6 mikro  µT (mikro tesla) 10-3 mili m mV (mili volt) 103 kilo k kΩ (kilo ohm) 106 mega M MW (mega vat) 109 giga G GJ (giga džul) 1012 tera T TW (tera vat) * Simboli za veličine so bolj ali manj ustaljeni. Tako se za tok uporablja črka i, za napetost U itd. Ker pa nam v določenih primerih zmanjka črk ali pa se na drugih področjih uporabljajo iste črke uporabljajo za označevanje drugih veličin, je v določenih primerih potrebno biti previden in pravilno rabo razbrati iz »konteksta«. Npr., simbol  (grška črka ro) se uporablja kot simbol za volumsko gostoto naboja a hkrati tudi za specifično električno prevodnost. Podobnih primerov je še mnogo. † Pogosto v literaturi zasledimo uporabo drugih merskih enot, kot smo jih navajeni. Te so lahko posledica uporabe drugega merskega sistema (npr. CGS: centimeter-gram-sekunda), kjer se na primer namesto enote tesla za gostoto magnetnega polja uporablja enota gauss. V konkretnem primeru je pretvorba direktna 1 T = 104 gaussa. Načeloma je uporaba starih enot prepovedana, zaradi inercije uporabnikov pa jih (še posebno v praksi) še vedno pogosto uporabljamo. Zato je v določenih primerih dobro poznati tudi enote, ki naj se ne bi več uporabljale. © D.K., 2019 11 Uvod 0. GRADNIKI SNOVI Zavedati se moramo, da so električni pojavi posledica lastnost naše narave, ki je sestavljena iz atomov, ti pa iz jedra iz protonov, nevtronov in oblaka elektronov. Elektroni in protoni imajo lastnost, ki ji rečemo naboj. Elektroni imajo negativni naboj, protoni pa pozitivnega. Predznak nabojev je seveda naša odločitev. Prvi je koncept pozitivnih in negativnih nabojev vpeljal Benjamin Franklin. Čisto lahko bi se lahko Franklin odločil tudi za obratno pojmovanje. PREVODNIKI, IZOLATORJI, POLPREVODNIKI, DIELEKTRIKI Dokler ima atom enako število pozitivnih in Benjamin Franklin (1706-1790) je bil izjemen politik negativnih nabojev, je nevtralen. Atomi so običajno (pisec ameriške ustave) pa tudi izjemen znanstvenik. vezani med seboj z bolj ali manj močnimi vezmi. V Prvi je ločil naboje na pozitivne in negativne, izumil kovinah atomi tvorijo močne vezi, pri katerih je del izraze baterija, naboj, prevodnik, pozitivni in negativni naboj itd. Najbolj znan (in tudi nevaren) je njegov elektronov zelo šibko vezan na jedro in se z lahkoto dokaz, da je strela električen pojav. To je pokazal z od jedra odcepi in se »prosto« giblje po materialu. eksperimentom z zmajem, ki se ob dežju namoči in postane prevoden. Ob strelah se del toka razelektritve Zato za kovine smatramo, da so dobri prevodniki. prenese preko zmaja na zemljo. Iz teh raziskav sledi Nasprotni primer so izolatorji. Pri izolatorjih ni tudi njegov izum strelovoda. prostih ali pa je zelo malo prostih elektronov, ki lahko delujejo kot nosilci toka. Zato so izolatorji slabi prevodniki električnega toka. Poseben primer predstavljajo polprevodniki. Že ime samo pove, da so njihove sposobnosti prevajanja električnega toka slabše od prevodnikov a boljše od izolatorjev. Čisti polprevodniki so običajno izolatorji (npr. silicij ali germanij). Če pa jim vstavimo primesi (npr. z mikrotehnološkim procesom dopiranja), postanejo te snovi bolj prevodne. Prevodnost teh snovi torej lahko spreminjamo, še posebno pa je zanimivo, da je I-U karakteristika ustrezno dopiranih polprevodniških elementov pogosto nelinearna. Na tak način realiziramo polprevodniške elemente, ki jih poznamo kot diode, tranzistorje. Te lahko integriramo v mikroelektronske komponente (integrirana vezja)*. Poseben primer so še superprevodniki, snovi, ki pri določeni temperaturi izgubijo uporovne lastnosti. Dielektriki so v osnovi izolatorji, torej slabo ali sploh ne prevajajo električnega toka. Tako jih imenujemo zato, da poudarimo njihove dielektrične lastnosti, ki opisujejo njihovo zmožnost polarizacije v električnem polju. Te lastnosti izkoriščamo v elementih, ki jih imenujemo kondenzatorji za povečanje zmožnosti shranjevanja električne energije (naboja). * Gordon E. Moore, soustanovitelj podjetja Intel, je že leta 1965 zapisal znamenito ugotovitev, da se gostota tranzistorjev na integriranem vezju veča eksponentno s časom – vsaki dve leti se približno podvoji. V podjetju Intel so leta 2007 prikazali zmožnost proizvajati tranzistorje velikosti 45 nm na 300 mm veliki silicijevi rezini. (http://en.wikipedia.org/wiki/Moore's_law). © D.K., 2019 12 Uvod 0. ** ELEKTRENJE S TRENJEM En najbolj razširjenih načinov naelektritve in razelektritve je s pomočjo trenja dveh predmetov. To se nam dogaja neprestano, le da v določenih primerih to tudi začutimo kot npr. kratko razelektritev ko želimo prijeti za kljuko avtomobila. Fizikalna razlaga tega pojava je precej zahtevna, zato tudi ni enoznačne razdelitve na materiale, ki se bolj ali manj naelektrijo. Obstajajo različne lestvice (vrste), ki se lahko razlikujejo v vrstnem redu, drži pa, da bodo suhe roke,usnje,lasje in podobno vedno na pozitivni strani vrste, kar pomeni, da se bodo ob trenju z drugimi materiali večinoma naelektrile pozitivno (oddale elektrone). Na drugi strani lestvice so materiali kot PVC, silikon in teflon, ki se rade naelektrijo negativno (vežejo elektrone). Taki lestvici rečemo triboelektrična lestvica (vrsta), pojavu pa triboelektrični ali tudi torna elektrika. Materialom, ki so na skrajnih mestih lestvice se je potrebno izogibati v primerih, ko je nevarnost elektrostatične razelektritve z eksplozijo. Slika prikazuje raziskave triboelektričnih lastnosti različnih materialov. Za meritve se uporablja t.i. Faradayeva čaša (Faraday’s cup) in Faradayeva kletka ter merilni inštrument: elektrometer. Več si poglejte na spletu. Ključne besede: triboelectricity, triboelectric series, Faraday cup, electrometer, ... © D.K., 2019 13 Uvod 0. * MATEMATIČNI UVOD – INTEGRAL IN ODVOD Potrebna predznanja niso toliko povezana s predznanji iz elektrotehnike, čeprav je predvsem na začetku nekoliko lažje tistim študentom, ki že imajo določene izkušnje in znanje o električnih pojavih. Potrebna predznanja, ki jih najbolj pogrešamo, so predvsem matematična. Že v uvodnih poglavjih bomo ugotovili, da brez infinitezimalnega in integralnega računa (odvodov in integralov) ne bo šlo, saj so že najosnovnejše relacije med električnimi veličinami pogosto izražene z uporabo le teh. In kako to, da se je bilo v srednji šoli mogoče izogniti tem zapisom in kljub vsemu obravnavati elektrotehniške pojave? Zato, ker se jih je obravnavalo zelo poenostavljeno. Npr., če je tok I skozi določen presek (žice) konstanten, je množina naboja, ki se pretoči skozi ta presek v času T enaka zmnožku toka in časa, torej Q  IT *. Kaj pa če tok ni ves ta čas konstanten? Potem nam da enačba napačen rezultat. Pravilnega dobimo šele z integracijo toka po času torej Q  i d t  . Pri tem moramo še označiti, od katerega do katerega časa računamo pretečen naboj. To zapišemo tako, da pod znak za integral napišemo začetni čas (npr. t a), nad znak pa končni čas (npr. t b). Ustrezen zapis za pretečen naboj v tb času od t  a do t b je torej Q i d t  . Temu rečemo meje integracije, torej rečemo, da integriramo od ta časa t a do t b. Prvemu integralu (brez označenih meja) rečemo nedoločen integral, drugemu (z označenimi mejami) pa določen integral. Pri matematiki se boste poučili, kako se računa integrale. V končni fazi gre za določena pravila oz. postopke, ki jih je potrebno znati. Večina integralov, ki jih bomo mi uporabljali, so zelo preprosti in so dostopni v vsakem matematičnem priročniku. Velja tudi opozoriti, da vsi integrali niso (analitično) rešljivi, torej ne moremo zapisati končne enačbe, v katero bi le še vstavili vrednosti in izračunali rezultat. V resnici lahko zelo hitro pridemo do takih zapisov integralov, ki nimajo analitične rešitve. Še posebno pogosto je to pri reševanju konkretnih problemov v praksi. Edini izhod nam ponuja numerično reševanje s pomočjo računalnika. Nekaj več o tem v nadaljevanju. DRUGE OBLIKE INTEGRACIJ Podoben primer je integracija hitrosti po času. Rezultat je pot, ki jo objekt s hitrostjo v opravi v tem času. Če se hitrost spreminja le v smeri X osi, potem je pot, ki jo opravi objekt s hitrostjo v  x x v d t  . x Hkrati vemo, da je hitrost lahko različno velika v različnih smereh, zato jo je potrebno pisati kot vektor v . Rezultat integracije vektorja hitrosti po času pa je pot (v 3D), ki jo objekt s hitrostjo v opravi: r  d v t  . Ni pa nujno, da integracija vedno poteka po času. Zelo pogosto namesto časa nastopa pot. Če se npr. določena veličina, npr. sila, spreminja po poti, dobimo kot rezultat integracije delo, ki jo pri tem sila * Pri avtomobilskih akumulatorjih se pogosto poda kapaciteta akumulatorjev v amerskih urah (Ah), kar po enačbi Q  IT ustreza definiciji naboja. Gre za množino naboja, ki ga lahko izkoristimo. V praksi je ta množina odvisna tudi od načina porabe. Pri večjih obremenitvah (večjih tokih) se »kapaciteta« svinčenih akumulatorjev zmanjša. Za več vpiši Penkert’s law v Google. © D.K., 2019 14 Uvod 0. opravi. Če se sila spreminja le v smeri X osi, kar lahko označimo z F x, dobimo z integracijo po poti vzdolž X osi energijo W  F d x  , kjer je sedaj d x diferencial poti. Bolj zapleteno integracijo pa x x dobimo v splošnem primeru, ko se sila po poljubni poti tudi poljubno spreminja. V tem primeru moramo tako silo kot pot opisati z vektorjema ( F in r ), diferencial poti pa z vektorjem d r . Po definiciji (to pomeni, da smo si mi izbrali tak način izražanja), je delo po poti odvisno le od tiste sile, ki deluje v smeri poti. To pa dobimo s skalarnim produktom, ki (po definiciji) predstavlja produkt dveh vektorjev in kosinusa vmesnega kota ( C  A  B  AB cos ) . V našem konkretnem primeru to AB pomeni, da en del celotnega dela (tisti del na diferencialno majhni razdalji d r ) dobimo s skalarnim množenjem vektorja sile in diferenciala poti d W  F  d r , celotno delo pa z integracijo W  F  d r  . Vse te, in tudi druge, oblike integralov bomo v nadaljevanju potrebovali, zato potrebujemo tako njihov »fizikalni« pomen, kot tudi matematični način reševanja integralov. OD NAKLONA DO ODVODA Poleg integracije, ki nam »govori« o kumulativnem seštevanju prispevkov, so pogosto relacije med fizikalnimi veličinami povezane s hitrostjo sprememb določene veličine. Če imamo veličino podano grafično (npr. kot spremembo opravljene poti po času), lahko dobimo hitrost spremembe poti v času (kar tudi običajno poimenujemo hitrost) iz naklona funkcije v določenem časovnem intervalu, npr  t . Recimo, da nas zanima hitrost spremembe poti (hitrost) ob času t. To naredimo tako, da naredimo razliko vrednosti funkcije (poti) v času t in nekoliko kasneje (ob času t  t  ), torej x   x( t  t  )  x( t) in jo delimo s časovnim intervalom  t . Dobimo velikost spremembe poti v x  spremembi časa, kar je hitrost v( t)  t . V konkretnem primeru nismo uporabili enačaja, ker je hitrost ob času t izračunana s pomočjo kvocienta diferenc odvisna od izbire intervala  t , v katerem izračunamo hitrost. Najbolj natančno bi določili hitrost ob času t tako, da bi časovni interval zmanjšali proti nič. Dobili bi naklon krivulje ob času t, ki predstavlja tangento na krivuljo v tej točki. Z d x x  limitiranjem intervala  t proti nič dobimo odvod, ki je definiran kot  lim  0 d t t t  , kar je tudi eksaktno d x enako hitrosti v  . (V splošnem sta tako pot kot hitrost vektorja in je ustreznejši (pravilnejši) zapis d t d r v  ). d t © D.K., 2019 15 Naboj in tok 1. 1. Naboj in tok Vsebina poglavja: naboj, zakon o ohranitvi naboja, tok, predznak toka, kontinuitetna enačba. NABOJ (ELEKTRINA) Vsi naboji prispevajo k električnim pojavom. V tem smislu bi morali pri analizi v principu upoštevati vse naboje v atomu, molekuli, snovi, tako elektrone kot protone. V praksi pa je pogosto dovolj, da se osredotočimo le na vplive presežkov nabojev, saj je njihov vpliv na električne pojave največji. Omenili smo že enoto naboja 1 C (Coulomb ali slovensko kulon). Najmanjša vrednost naboja je naboj elektrona, ki je približno 1,602.10-19 C in ker je ta naboj negativen, moramo upoštevati še negativen  predznak. 1 C je torej mnogo elektronov. Koliko? 19 18 1/1, 602 10  6,2510 . To pa je veliko delcev in da bi obravnavali vpliv vsakega posebej je praktično neizvedljivo. Bolj pogosto obravnavamo naboje v smislu njihove koncentracije oziroma gostote porazdelitve. ZAKON O OHRANITVI NABOJA Kako nastaja naboj? Ugotovitve kažejo, da naboj ne more iz nič nastati, niti se ga ne da izničiti. To dejstvo opišemo kot zakon o ohranitvi naboja, ki je fundamentalen (osnovni) zakon. Pravi, da je v izoliranem sistemu vsota vseh nabojev konstantna. Izoliran sistem predstavlja prostor z naboji, ki pa ne morejo iz tega prostora izhajati ali vanj vstopati.  Q  konstanta (1.1) i znotraj i izoliranega sistema Slika 1-1: Sistem izoliranih nabojev pred (levo) in po spremembi porazdelitve naboja. Množina naboja znotraj izoliranega sistema se ne spremeni, lahko pa se prerazporeja. Če je konstanta (vsota nabojev) pozitivna, govorimo o presežku pozitivnih nabojev, če je negativna o presežku negativnih nabojev, če pa je enaka nič, je sistem nevtralen (ima enako število pozitivnih in negativnih nabojev). Pri vseh prej omenjenih primerih razelektritve in naelektritve gre torej za prerazporejanje naboja. Naboj torej ne more »iz nič« nastati niti ne more »izginiti«. V tem smislu lahko rečemo, da je neuničljiv. Fizikalno – matematično rečemo, da je relativistična invarianta, je količina, ki se ne spremeni, tudi če se sistem giblje s hitrostjo blizu svetlobne. (To pa ne drži za maso, ki se ob velikih hitrostih spreminja v skladu z znano povezavo med maso in energijo delcev (Einstein). Torej za © D.K., 2019 16 Naboj in tok 1. maso ne moremo trditi, da velja zakon o ohranitvi mase. Ta velja le, če so hitrosti sistema majhne v primerjavi s svetlobno hitrostjo. Kar pa zelo pogosto drži.) Primer upoštevanja zakona o ohranitvi navoja: Vzemimo izoliran sistem, v katerem imamo tri telesa. Dve nevtralni, na enem pa je presežek pozitivnega naboja 10 mC. Ob stiku teh treh teles se prenese 5 mC na eno, 2 mC pa na drugo telo. Koliko naboja je ostalo na prvotno naelektrenem telesu? V skladu z zakonom o ohranitvi naboja mora veljati Q  Q  Q  10 mC , 1 2 3 tako pred stikom teles kot po stiku. Po stiku teles je Q  5 mC , Q  2 mC , iz česar sledi 2 3 Q  10 mC- Q  Q  3mC . 1  2 3  V neposredni povezavi z zakonom o ohranitvi naboja je tudi kontinuitetna enačba, ki opisuje povezavo med električnim tokom in nabojem. ELEKTRIČNI TOK (KONTINUITETNA ENAČBA) Nosilci električnega toka so naboji, rečemo jim lahko tudi elektrine. Če ti mirujejo, električnega toka ni. Tako kot ni vodnega toka, če je jez zajezen. Če pa jez odpremo, da lahko voda steče po strugi ali po cevi, pa seveda govorimo o vodnem toku. Tako je tudi pri elektriki. Če se naboji »pretakajo« iz enega mesta na drugo, govorimo o električnem toku. Več kot je v določenem času prenesenega naboja, večji tok je tekel v tem času. To shematično prikazuje spodnja slika za dva različna primera. V primeru a) se prenaša enaka množina naboja (v nadaljevanju bomo govorili o gostoti naboja) vendar z različno hitrostjo, v primeru b) pa je hitrost gibanja nabojev enaka, se pa razlikuje po množini naboja. Slika 1-2: Konceptualni prikaz povezave med tokom in gibanjem nabojev. V primeru a) je tok v desnem vodniku večji, ker se naboji gibljejo z večjo hitrostjo, v primeru b) pa je tok v desnem vodniku večji zato, ker se pretaka večja množina naboja. © D.K., 2019 17 Naboj in tok 1. Povezavo med tokom in nabojem matematično zapišemo kot kvocient pretečenega naboja skozi pretečen naboj določen presek v določenem času: TOK = oziroma kot spremembo množine naboja čas pretakanja sprememba naboja na določenem telesu v določenem časovnem intervalu TOK = . Več kot bo sprememba časa pretečenega naboja in to v čim krajšem času, večji bo tok. Če ta zapis zapišemo s simboli za tok, naboj in čas dobimo Q( t  t  )  Q( t) Q  i   ( t  t  )  t t  , (1.2) kjer je Q( t) naboj na telesu ob času t, Q( t  t  ) pa naboj ob času t  t  . Q  torej predstavlja množino pretečenega naboja v časovnem intervalu  t . Slika 1-3 prikazuje način določitve toka iz spremembe naboja v spremembi časa. Kot vidimo, je velikost toka enaka naklonu premice v Q-t grafu: večji naklon pomeni večji tok. V limiti, ko je sprememba časa izredno majhna, je tok enak naklonu tangente na krivuljo Q( t). Slika 1-3: Električni tok je enak hitrosti spreminjanja množine naboja na telesu. Z manjšanjem časovne spremembe med dvema odčitkoma ugotovimo, da določimo tok iz naklona tangente na Q-t krivulji ob želenem času. Večji naklon pomeni večji tok, smer naklona pa smer toka. Primer določitve toka iz spremembe naboja: Naboj na telesu se linearno veča s časom. Ob času t = 1 s je Q = 20 C, ob času t =5 s pa 40 C. Določimo tok pritekanja naboja. Q  40 μC  20 μC Izračun: I    4 μC/s  4 μA t  5 s  . 1 s Z besedami: Hitrost elektrenja je 4 C/s oziroma, telo se elektri s konstantnim tokom 4 A. Iz slike (Slika 1-3) je razvidno, da je za natančno določitev toka v določenem trenutku (času) potrebno vzeti čim manjše časovne intervale  t , v idealnem primeru tako kratke, da gre  t  0 . V tem Q  primeru dobimo bolj splošno definicijo toka v obliki i  lim  , kar pa v matematiki predstavlja t  0 t definicijo odvoda. Električni tok lahko torej definiramo kot odvod naboja po času, kar zapišemo kot © D.K., 2019 18 Naboj in tok 1. d Q  i . (1.3) d t PREDZNAK TOKA Po dogovoru je smer toka v smeri premikanja (pretakanja) pozitivnega naboja. Npr. tok 2 A iz leve v desno predstavlja pretakanje 2 C naboja na sekundo iz leve v desno. Če nas zanima tok v smeri naboja na določenem telesu, usmerimo tok v smer naboja in velja zveza d Q i   v smeri pritekanja . (1.4) d t Če pa je smer toka stran od opazovanega naboja, je potrebno uporabiti negativni predznak (v smeri odtekanja pozitivnega naboja): d Q i   v smeri odtekanja . (1.5) d t Slika 1-4: Razlaga predznaka pri zvezi med nabojem in tokom. Po definiciji je smer toka določena s pretakanjem pozitivnega naboja. Slika 1-5: Shematski prikaz določitve predznaka in velikosti toka: glede na določeno smer premikanja nabojev na sliki, sta toka i1 in i2 pozitivna, i3 pa je negativen. © D.K., 2019 19 Naboj in tok 1. ODVAJANJE FUNKCIJ Odvod predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Če imamo funkcijo y, ki je odvisna d y od argumenta x (kar matematično zapišemo y=f(x)), zapišemo odvod funkcije y (po x-u) kot ali tudi na d x kratko y’ in je enak limiti spremembe funkcije y (  y ) ob spremembi x-a (  x ), ko gre le-ta proti nič: d y  y ' y   lim . definicija odvoda (1.6) d x    x 0 x V limiti, torej v točki T na krivulji y(x), predstavlja odvod smerni koeficient tangente na krivuljo. Slika 1-6: Na sliki imamo funcijo y(x) ter tangento na funkcijo v točki T. Odvod funkcije y v točki T je enak naklonu tangente. Večji kot je naklon, večji je odvod.Na sliki spodaj je odvod funkcije izrisan za vse točke - kot funcija x-a (rdeče). Preiskusite program Desmos (desmos.com), da izrišete poljubno funcijo in njen odvod. Pri tem si lahko pomagate z že izdelanim primerom http://tinyurl.com/desmos-odvod Nekaj osnovnih odvodov (elementarnih) funkcij prikazuje zgornja Tabela, povzeta po tabeli iz Wikipedije http://sl.wikipedia.org/wiki/Tabela_odvodov. Odvod konstante c je pričakovano enak 0, saj je sprememba funkcije ob spremembi x-a enaka 0. Odvod premice y=x pa je 1, saj je hitrost spreminjanja te funkcije vedno enaka. V splošnem je potrebno upoštevati še pravila za računanje odvodov (glej tabelo na desni), npr. kako odvajamo vsoto ali razliko dveh funkcij, funkcijo pomnoženo s konstanto, produkt dveh funkcij, itd. Primer izračuna odvodov z upoštevanjem pravil odvajanja: ' y  2 x  3  y  2 2 ' y  4 x  y  4  2 x  8 x ' y  5sin(2 x  2)  y  5cos(2 x  2)  2  10cos(2 x  2) V zadnjem primeru odvajamo funkcijo, ki je oblike sin( t) , kjer je t  2 x  2 , zato je potrebno upoštevati pri izračunu odvoda zadnje pravilo o odvajanju sestava funcij (kompozitum), da se najprej odvaja funkcijo sinus, potem pa še fukcijo t ( d y d y d t   ). d x d t d x © D.K., 2019 20 Naboj in tok 1. Primer izračuna toka iz spremembe naboja: Naboj na pozitivni sponki akumulatorja je konstanten – se ne spreminja s časom. Kolikšen je električni tok, ki izhaja iz sponke? Matematično lahko zapišemo, da je naboj na pozitivni sponki enak Q( t)  Q . Iz osnov matematike vemo, da je odvod konstante 0 enak nič, torej bo ta tok seveda enak nič. Do enakega rezultata pridemo z razmislekom, da ker ni odtekanja naboja tudi ni toka. Kaj pa, če recimo na akumulator priključimo žarnico in se naboj na pozitivni sponki akumulatorja manjša linearno, npr. v 10 sekundah za 12 C? Ta primer lahko izračunamo z enačbo (1.2) in dobimo Q  12 C C i   1,2 1,2 A t  . Za izračun toka z odvajanjem naboja po času pa potrebujemo najprej 10 s s matematičen zapis (formulo) funkcijske odvisnosti naboja od časa. V našem primeru je ta 12C Q( t)  Q  t . Če računamo tok stran od pozitivne sponke, uporabimo enačbo (1.5) in zapišemo 0 10 s d Q  12C i         1, 2A . d t  10 s  Vprašanje: Kaj pomeni pozitivni predznak toka? Odgovor: To, da s pozitivne sponke odtekajo pozitivni naboji s »hitrostjo« 1,2 C/s, oziroma bolje - s tokom 1,2 A. Vprašanje: Kakšen pa je v resnici način gibanja nabojev v prevodnikih? Odgovor: Kot smo že ugotovili, v prevodniku prevajajo elektroni, kar pomeni, da gre v resnici za prenos elektronov preko žarnice v smeri pozitivne sponke, kjer smo imeli prej višek pozitivnih nabojev oziroma pomanjkanje elektronov. Vprašanje: Ali steče tok skozi žarnico šele tedaj, ko do nje pridejo elektroni iz akumulatorja? Razmislite in odgovorite sami. Še en primer izračuna toka z odvajanjem naboja po času: Naboj na pozitivni elektrodi kondenzatorja t    se spreminja eksponentno po enačbi 10 s Q( t)  51 e  mC . Določimo tok naelektritve, če smer   toka označimo v smeri pozitivne elektrode. Izračun: Glede na označitev, moramo uporabiti enačbo t t t          d Q d 1 10s 10 s 10 s i   51 e  mC  5  e mC   0,5 e mA . v smeri +     elektrode d t d t      10s  Pozitivni rezultat pomeni, da teče v smeri pozitivne elektrode pozitiven naboj. In še: ker smo določili funkcijsko obliko toka v odvisnosti od časa, lahko sedaj izračunamo tok ob poljubnem časovnem trenutku. Na primer, ob času t=0 s je tok 0  5  0 10 s i( t  0 s)  0,5 e mA = 0,5 mA ( e  1) , ob času 5 s pa je 10 s i( t  5 s)  0,5 e mA  0,3 mA . Za grafičen prikaz časovnega poteka naboja in toka poglej poglavje * Izračun in izris rezultatov. © D.K., 2019 21 Naboj in tok 1. KONTINUITETNA ENAČBA d Q Enačbo i(t)   imenujemo tudi kontinuitetna enačba, saj v smislu zakona o ohranitvi naboja d t pove, da v kolikor iz električno zaključenega sistema izhajajo naboji, je to posledica električnega toka. Kontinuitetna enačba je torej posledica zakona o ohranitvi električnega naboja. NABOJ KOT INTEGRAL TOKA Kaj pa če merimo tok v smeri telesa in nas zanima naboj, ki se ob tem pretaka oziroma naboj, ki se kopiči na telesu?* Za začetek uporabimo definicijo toka kot spremembo množine naboja v časovnem Q  intervalu oz. enačbo (1.2): i  t  . Spremembo množine naboja dobimo torej z množenjem toka s časovnim intervalom: Q   i t  (1.7) Če tok v intervalu določanja ni konstanten, je potrebno vzeti krajše časovne intervale. Naj se tok spreminja tako, da v času t  teče tok i t  teče tok i t  teče tok i 1 1, v času 2 2, v času 3 3, itd, kot prikazuje Slika 1-7a. V času t  torej steče i t  naboja, v času t  steče i t  , itd. Celotni naboj, ki preteče od 1 1 1 2 2 2 začetnega intervala t  do zadnjega intervala t  , je 1 n Q  i t   i t   i t   .... i t  , (1.8) 1 1 2 2 3 3 n n kar matematično bolj elegantno zapišemo z izrazom n Q   i t  . (1.9) i i i 1  Kaj pa, če se tok ne spreminja skokovito pač pa brez skokov, matematično bi rekli zvezno? Tak primer prikazuje modra krivulja na sliki (Slika 1-7b). V tem primeru ugotovimo, da smo z enačbo (1.8) izračunali naboj le približno, saj smo v diskretnih intervalih pri seštevanju upoštevali prevelik tok. Do bolj natančnega izračuna bi prišli, če bi vzeli manjše časovne intervale, kot prikazuje primer c. Če pa želimo določiti pretečen naboj popolnoma natančno, moramo vzeti intervale izjemno kratke, v matematičnem jeziku rečemo infinitezimalno kratke. Če časovne diference (  t ) zmanjšujemo (matematično rečemo limitiramo) proti nič, dobimo t.i. diferencial časa, kar matematično zapišemo v obliki d t  lim t  . Če torej seštejemo vsoto produktov toka s časovnimi diferencami, ki jih limitiramo t  0 * To je tudi najbolj pogost način merjenja električnega naboja – posredno, s pomočjo merjenja električnega toka. V ta namen uporabljamo naprave, ki imajo zelo veliko notranjo upornost in jih imenujemo elektrometri ali tudi Coulomb – metri. Nekaj več o tem je zapisano v dodatnem poglavju na strani 207. © D.K., 2019 22 Naboj in tok 1. n proti nič, dobimo natančen izračun pretečenega naboja Q  lim  i t  . Ta zapis v krajši obliki i t  0 i 1  zapišemo kot integral toka »po času«: t n n Q  lim  i t   i d t  . (1.10) i i t  0 i 1  t 1 Slika 1-7: Prikaz izračuna naboja s seštevanjem produktov toka in čas in b) z integracijo. c) Za izračun pretečenega naboja v določenem časovnem obdobju uporabimo določeni integral. Rezultat integrala je površina pod krivuljo. Rezultat integracije je torej pretečen naboj od začetnega časa do končnega časa integracije in grafično predstavlja površino pod krivuljo i( t) od začetnega časa t , do končnega časa t : a b tb Q  i d t  (1.11) ta Matematično je torej naboj določen kot integral toka po času. Primer izračuna naboja iz toka: Izračunajmo naboj, ki steče skozi žico s tokom na sliki od časa 0 s do časa 5 s. Izračun: Uporaba formule Q  iT , kjer bi bil T čas 5 sekund, ne pride v poštev, ker tok v tem času ni konstanten. Najenostavneje izračun opravimo »grafično«, saj vemo, da mora biti rezultat površina pod krivuljo, kar je v našem primeru površina trikotnika. Rezultat je torej 2  5 / 2  5 ali bolj korektno, z upoštevanjem enot: © D.K., 2019 23 Naboj in tok 1. 2 A  5 s Q   5 As  5 C . 2 In kako bi ta rezultat dobili z integralom? Najprej moramo zapisati tok kot funkcijo časa. Ker je ta funkcija premica, mora biti tok kot funkcija časa oblike i  kt , kjer je k konstanta, ki jo moramo določiti iz grafa. Najenostavneje tako, da si izberemo eno točko na premici, recimo ob času 5 s, kjer je tok 2 A. Ti vrednosti vstavimo v enačbo i  kt in dobimo 2A  k 5s od koder je k  2A / 5s oziroma 2 tb 5s k  A / s = 0,4 A/s . Nato upoštevamo enačbo (1.11) in zapišemo Q  i d t  kt d t   . Sedaj je 5 t 0s a potrebno poznati pravila integracije, ki vam morajo biti v osnovi znana iz srednje šole, vsaj za najpreprostejše primere, kot je ta. Na kratko: rezultat bo oblike 2 kt / 2 , pri čemer pa je potrebno upoštevati še meje integracije in sicer tako, da se najprej v rezultat vstavi končni čas (zgornjo mejo integracije) in nato odšteje rezultat z vstavljenim začetnim časom (spodnjo mejo integracije): k 5s2 k 0s2 k 5s2 5s 5s 2 Q  k d t t  kt / 2     . Sedaj le še vstavimo vrednost konstante in dobimo 0s 2 2 2 0s 2 2A 25s Q   5As = 5 C . Rezultat je seveda enak, kot smo ga dobili iz izračuna površine pod 5s 2 krivuljo. Način izračuna z integracijo deluje nekoliko bolj zapleten kot izračun površine pod krivuljo. Kar tudi je. Vendar ne gre drugače, še posebno, če je oblika krivulje bolj zapletena. Tedaj drugega načina ni, oziroma, vedno nam preostane še numerična metoda izračuna vsote, še posebno v primerih, ko integral ni analitično rešljiv. Za numeričen izračun uporabimo računalnik. Poglejmo si še en način, ki nas privede do enačbe za izračun naboja z integracijo toka. Sedaj izhajamo d Q iz (končne) enačbe za izračun naboja kot odvoda toka po času (1.4) ali (1.5) i   . Enačbo d t množimo z d t in dobimo d i t  d Q . Sedaj le še integriramo obe strani in dobimo    Q( t) i d t konst  . Z besedami: naboj je integral toka po času. (1.12) Dobili smo zapis z nedoločenim integralom, zato smo zraven dopisali konstanto. Konstanta je odvisna od naboja, ki je bil na telesu pred vklopom toka. Lahko bi integral zapisali tudi kot določen integral z integracijo po času od nekega časa t 0 do časa t: Q( t ) t d Q   i d t   , kar dá končno obliko Q( t ) t 0 0 t Q( t)  Q( t )  i d t  . (1.13) 0 t 0 Predznak pred integralom je pozitiven, če je tok usmerjen v smer »kopičenja« naboja Q( t) . © D.K., 2019 24 Naboj in tok 1. Slika 1-8 prikazuje oblike časovne spremembe množine naboja (ali pretečenega naboja) za različne oblike časovnih sprememb toka. Puščica nakazuje, da velja relacija v »obe smeri«. Če je tok v smeri telesa konstanten to pomeni, da se na njem linearno povečuje naboj; in tudi, če se naboj na telesu povečuje linearno, to pomeni, da je tok v smeri telesa konstanten. Slika 1-8: Levo: časovni potek tokov. Desno: časovni potek pretečenega naboja. Primer izračuna naboja iz časovnega poteka toka: Ob času t = 0 s priklopimo akumulator naelektren s 500 C na breme. Iz pozitivne sponke akumulatorja je v vezje konstanten tok 0,2 A. Koliko naboja je na pozitivni sponki akumulatorja ob času t = 10 minut? Poglejmo si tri različne pristope k izračunu:: 1. Izračunamo pretečen naboj in ga odštejemo od celotnega: t Q ( t  10 min)  (0,2 A)d t  0, 2 A  ( t  t )  0, 2 A 10 min  0, 2 A 10  60 s = 120 A  s  . V času 0 pretečen t 0 10 minut je skozi presek žice prešlo 120 As oziroma 120 C naboja. Na pozitivni sponki ga je torej ostalo še 500 C – 120 C = 380 C. 2. Izračun z nedoločenim integralom (en. (1.12)), kjer moramo dodatno izračunati konstanto: Q( t)   (0,2 A)d t  konst  0  ,2 A  t  konst  . Konstanto določimo iz pogoja Q( t  0)  500 C  konst  500 C . Sledi Q( t)  500 C  0, 2 A  t in Q( t  10min)  500 C  0, 2 A 10min  380 C . 3. Izračun z določenim integralom (en. (1.13)): 10 min 10 min Q( t)  Q( t  0)  (0,2 A)d t  500 C  0, 2 A t  500 C 120 C = 380 C  . 0 min 0 © D.K., 2019 25 Naboj in tok 1. KONSTANTEN TOK Ob konstantnem toku velja linearna zveza med nabojem in tokom t t Q  d I t  I d t  It   . (1.14) 0 0 To zvezo poznamo že iz srednješolske fizike: naboj je produkt toka in časa. Ugotovili smo že omejeno veljavnost zapisa Q  It , saj velja le pri konstantnemu toku. Slika 1-9: Če je tok konstanten, je povezava med tokom in pretečenim nabojem linearna: Q=It. © D.K., 2019 26 Naboj in tok 1. * IZRAČUN IN IZRIS REZULTATOV Obstaja vrsta programov, ki jih uporabljamo za izračun in izris rezultatov. V tehniki je morda najbolj pogosto uporabljen program Matlab, ki pa je žal plačljiv. Kljub temu ga boste uporabili pri mnogih predmetih. Tudi v tej skripti je nekaj primerov uporabe programa Matlab. Skoraj identičen program (po sintaksi) je Octave, ki je v osnovi prirejen za uporabo v Linux okolju, obstaja pa tudi možnost uporabe v Windowsih. Podoben jima je tudi program Scilab in še nekateri drugi. Kdor bi si želel bolj podrobno razjasniti razlike in podobnosti, lahko prebere članek http://profs.scienze.univr.it/~caliari/pdf/octave.pdf. Če ne želite naložiti programa (ov) na svoj računalnik, obstajajo tudi strani na spletu, ki omogočajo t.i. on-line uporabo. Poleg tega je lahko za bolj matematično uporabo zanimiv program Mathematica, ki ima nekoliko specifično sintakso, je pa zelo zmogljiv. Iz inženirskega in programerskega stališča je lahko zanimiv tudi programski jezik Python, ki z uporabo dodatnih knjižnic (Matplotlib) omogoča izrise, ki so zelo podobni programu Matlab. Morda je lahko nekaj zmede le pri inštalaciji ustrezne verzije programa in vizualnega okolja. Nekaj več informacij o uporabi zgoraj omenjenih programov je na spletni strani http://lbm.fe.uni-lj.si pod zavihkom Študij. Primer enostavnega izračuna in izrisa je spletna platforma Desmos (http://Desmos.com). Izberimo primer izračuna toka z odvajanjem naboja po času, kjer je bila podana časovna funkcija naboja t    10 s Q( t)  51 e  mC , tok pa smo izračunali kot   odvod naboja po času: d Q i  . V vrsticah na v smeri elektrode d t levi strani spletne strani preprosto zapišemo enačbe, desno pa se na grafu izrišejo ustrezne krivulje. V konkretnem primeru se naboj eksponentno s časom povečuje (rdeča krivulja), tok pa ravno obratno (zelena krivulja), se s časom zmanjšuje, kar je tudi skladno z definicijo toka: če se naboj s časom hitro spreminja, je tok velik, sicer pa manjši. Zelo podobna, morda še malo »močnejša« v določenih primerih (meni ne dela nedoločen integral), je spletna aplikacija GeoGebra (http://geogebra.org). Na desni je prikazan še primer uporabe programskega jezika Python. V tem primeru nismo izračunali odvoda, pač pa kar zapisali rezultat odvajanja. Če bi s Pythonom želeli izračunati odvod, bi morali uporabiti t.i. simbolno računanje. © D.K., 2019 27 Coulombov zakon 2. 2. Coulombov zakon Vsebina: sila med točkastima nabojema, dielektrična konstanta vakuuma, vektorski zapis sile, superpozicija sil. Že stari Grki so ugotovili, da med naelektrenimi telesi deluje sila, ki jo je William Gilbert leta 1600 v znameniti knjigi De Magnete poimenoval električna sila. Kljub znanstvenim raziskavam je preteklo kar nekaj časa, da je bila dognana zveza med velikostjo sile in naboji, ki to silo povzročajo. Osnovno zakonitost je s pomočjo eksperimenta s torzijsko tehtnico dognal Charles Augustin de Coulomb. Ugotovil je, da je sila med dvema naelektrenima kroglicama proporcionalna produktu nabojev in inverzno proporcionalna kvadratu razdalje med kroglicama. Matematično to zapišemo kot Q Q 1 2 F  k , (2.1) 2 r kjer je k konstanta. Odvisna je od izbire merskega sistema. V sistemu merskih enot, ki je v veljavi dandanes (SI), velja 1 V  m k  in je približno enaka 9 k  9 10 4π A  . s 0 Coulombova torzijska tehtnica, s 0 imenujemo dielektrična konstanta vakuuma* (ali tudi influenčna katero je izvajal poskuse in ugotovil konstanta) in je enaka 12  8,854 10   As/Vm . povezavo med nabojem in silo. 0 Da bi bila enačba točna, morata biti kroglici čim manjši. Eksaktno enačba velja le za tako imenovane točkaste elektrine. To je čista matematična formulacija, saj točkastih nabojev v naravi ni. Še tako majhen naboj ima določen polmer, četudi majhen†. Je pa koncept točkaste elektrine (točkastega naboja) zelo pomemben v elektrotehniki in z njegovo pomočjo izpeljemo izraze za silo med naelektrenimi telesi poljubne oblike. Primer izračuna velikosti sile: Določimo električno silo med dvema točkastima nabojema Q 1 = 2 C in Q 2 = 5 C, ki sta oddaljena za 1 cm. Izračun: Q Q V  m 2μC 5μC VAs 1 2 9 F  k  910  900  900 N 2 2 r A  . s (0, 01 m) m * Pogosto tudi zrak smatramo za prostor brez nabojev, v katerem določamo silo med naboji na enak način kot v vakuumu. Kasneje bomo ugotovili, da je za izračun sil in električnega polja v različnih medijih potrebno upoštevati vpliv samega medija. Ta vpliv opišemo z relativno dielektrično kostanto. Za vakuuma je ta 1, za zrak pa 1,00059. † Polmer elektrona je 2,8179 10−15 m. © D.K., 2019 28 Coulombov zakon 2. Iz rezultata lahko ugotovimo, da smo enoto N(ewton) kar pripisali, saj bi po izvajanju morala biti enota za silo VAs/m. To tudi je ekvivalentna enota za silo, le da je bolj običajno, da silo izrazimo z enoto iz mehanike, newtnom (njutnom). Izračun sile med točkastimi naboji je torej preprost. Potrebno pa je poudariti, da je sila vektorska veličina, saj ima poleg velikosti tudi smer. Kot smo že omenili, je smer sile taka, da se enako naznačena (predznačena) naboja odbijata, nasprotno naznačena pa privlačita. To pravilo moramo le še zapisati v matematični obliki in ga upoštevati pri izračunu sile. Pri tem si pomagamo z vektorskim zapisom. Silo zapišemo kot vektor, hkrati pa z vektorji zapišemo tudi pozicije mest, kjer se naboji nahajajo. Slika 2-1: a in b) odbojna sila med istoimenskima nabojema in c) privlačna sila med nasprotno-imenskima nabojema. ZAPIS SILE V VEKTORSKI OBLIKI Imejmo točkasta naboja Q 1 in Q 2, ki se nahajata v točkah T 1 in T 2, kjer je točka T 1 določena s koordinatami ( x 1, y 1, z 1) in T 2 z ( x 2, y 2, z 2), glej Slika 2-2. Vektor iz koordinatnega izhodišča do točke T 1 označimo z r in ima komponente ( x r s komponentami ( x 1 1, y 1, z 1) ter 2 2, y 2, z 2). Določimo še vektor, ki kaže iz točke T       1 v točko T 2. Ta je r r r oziroma r ( x x , y y , z z ) . 12 2 1 12 2 1 2 1 2 1 Q Q Da bi izračunali vektor sile, moramo velikosti sile, določeni z enačbo 1 2 F  k , dodati še smer. 2 r Smer sile, ki jo naboj Q 1 povzroča na naboj Q 2 bo v smeri vektorja r . Potrebujemo torej vektor, ki 12 kaže v smeri vektorja r , njegova velikost pa je 1. Ta vektor imenujemo enotski vektor in ga dobimo 12 r tako, da vektor r delimo z njegovo absolutno vrednostjo (velikostjo): 12 e  . 12 12 r r 12 Sila na Q 2, ki jo povzroča naboj Q 1, zapisana v vektorski obliki, je 1 Q Q 1 2   F F e . Coulombov zakon. (2.2) 2 Q 12 2 12 4π r  r 0 12 © D.K., 2019 29 Coulombov zakon 2. Zapisana sila je sila na naboj Q 2, če pa želimo izraziti silo na naboj Q 1, moramo obrniti vektor r , 12 oziroma upoštevati F   F . 12 21 Slika 2-2: Sila med nabojema Q1 in Q2. Primer izračuna velikosti sile: Vzdolž X osi sta na razdalji 3 m naboja Q 1 = 2 C in Q 2 = 3 C. Določimo silo na Q 2. 6  6 2 10  310 Izračun: 9 3 F  9 10 N  6 10 N . 2 3 Če si narišemo skico ugotovimo, da bo smer sile v smeri osi X. Silo lahko torej zapišemo kot vektor 3 F e    x 6 10 N . Primer izračuna vektorja sile: Določimo električno silo med točkastima nabojema Q 1 = 2 C in Q 2 = -5 C. Q 1 se nahaja v točki T 1(1,0,2) cm, naboj Q 2 pa v točki T 2(2,3,1) cm. Izračun: Zapišimo točki z vektorjema r in r ter tvorimo vektor 1 2 r  (2 1,3  0,1 2) cm  (1,3, 1  ) cm . Enotski vektor dobimo tako, da delimo vektor z njegovo 12 absolutno vrednostjo: 2 2 2   r  r (1,3, 1)cm (1,3, 1) 1  3  ( 1  ) cm  11 cm 12    12 in e . 12 r r 11cm 11 12 Sila na naboj Q 2 je torej 1 Q Q 1 2μC ( 5  μC) (1,3, 1  ) 1 2 F  F  e   2 Q 12 2 1 r 2 2 4π r 4π 11cm 11 0 12 0 . 11 V  m 10 A  s (1, 3, 1  ) 9  9  10  24  ,7 (1,3, 1  ) N -4 2 1110 m 11 Rezultat je negativen, torej sila kaže v nasprotno smer kot vektor r , kar je seveda pravilno, saj sta 12 naboja nasprotnega predznaka in se torej privlačita. Dodatno: Kolikšna je komponenta sile v smeri določene osi? Pomnožimo komponente z 24,7 in dobimo: F  2  4,7 N e  74 N e  24,7N e . 12 x y z © D.K., 2019 30 Coulombov zakon 2. SUPERPOZICIJA SIL Kaj pa če imamo tri ali več nabojev? Kako določimo silo na določen naboj? Določimo jo preprosto s seštevanjem posameznih prispevkov sil. Matematično temu rečemo superpozicija in princip seštevanja sil kot superpozicija sil. Sila na Q 1 bi bila torej enaka vsoti sil med nabojema Q 1 in Q 2, Q 1 in Q 3, Q 1 in Q 4, itd. F  F  F  F      (2.3) 1 Q 2 Q 1 Q 3 Q 1 Q 4 Q 1 Q Slika 2-3: Primer superpozicije sil. Odpri povezavo in premikaj naboj ter opazuj vpliv sil na naboj: http://tinyurl.com/superposition-field (brskalnik mora omogočati Flash animacije) Primer superpozicije sil: Poleg nabojev Q 1 in Q 2 iz gornjega primera imamo še naboj Q 3 = 3 C, ki se nahaja na mestu T 3(2,3,-3)cm. Določimo (skupno) silo na naboj Q 2. Izračun: Silo med nabojema Q 3 in Q 2 je nekoliko lažje izračunati, saj je razdalja med nabojema 1 cm (razlika samo v smeri z osi). Ker je en naboj pozitiven drugi pa negativen, bo sila na Q 3 v smeri naboja Q 2, torej v smeri –z osi. Rezultat bo torej 1 Q Q 1 3μC ( 5  μC) 3 2 F  e  ( e )  32 2 12 r 2 4π r 4π (4cm) z 0 32 0 12 V  m 15 10 A  s 9  9  10 e  84,38 e N -4 2 16 10 m z z Skupni seštevek je F  F  F            32 24, 7 N e 74 N e 59, 68N e ( 24.7, 74, 59.68)N . 2 12 x y z Dva možna pristopa k računanju Coulombove sile: 1. matematičen, pri katerem določimo vektorje r r r e in nato vstavimo v enačbo 1 , 2 , 12 , 12 r 1 Q Q 1 2 F  F  e . (kot v prvem primeru) 2 Q 12 2 12 4π r  r 0 12 2. z razmislekom, pri čemer posebej določimo smer sile in velikost sile in nato zapišemo F  eF F . (kot v drugem primeru) © D.K., 2019 31 Električna poljska jakost 3. 3. Električna poljska jakost Vsebina poglavja: definicija električne poljske jakosti, superpozicija električnega polja. Pojem električne poljske jakosti je en najpomembnejših konceptov v elektrotehniki. V osnovi abstrakten pojem se bo kasneje izkazal kot ključen za določanje napetosti, energije in drugih pomembnih veličin. Električna poljska jakost je definirana kot sila na enoto pozitivnega naboja Q 1 C : t F  E . (3.1) Q t Električno poljsko jakost v poljubni točki v prostoru določimo tako, da v to točko postavimo poskusni (testni) naboj Qt in določimo silo na ta naboj. Nato silo delimo silo s poskusnim nabojem Qt in dobimo električno poljsko jakost. Q Q Med točkastima nabojem Q in Q t je sila t 2 4π , kjer je r razdalja med nabojema (Slika 3-1). r 0 1 Q Q Q Električna poljska jakost na mestu naboja Q   t je torej t E . 2 2 Q 4π r 4π r t 0 0 Ker pa je tako sila kot električna poljska jakost vektorska veličina, moramo upoštevati še smer. Ta je v smeri vektorja r, ki je usmerjen od mesta naboja Q do testnega naboja Q t. Slika 3-1: Vektor električne poljske jakosti v točki T , ki je na na oddaljenosti r od točkastega naboja Q. Električna poljska jakost na oddaljenosti r od točkastega naboja Q je torej enaka Q  E er 2 . (3.2) 4 ε r 0 Primer izračuna električne poljske jakosti: Določimo električno poljsko jakost v koordinatnem izhodišču (0, 0, 0) cm, če se v točki T 1(1,0,2) cm nahaja Q = 2 C. Izračun: Izračuna se lahko lotimo na enak način, kot da bi določali silo na (pozitivni) naboj Q t v točki (0, 0, 0). © D.K., 2019 33 Električna poljska jakost 3. Q Q 1 Q  2μC (1, 0, 2) t t F  ( e )    t Q 2 r 2 4π r 4π 5cm 5 0 0 6  V  m Q  2 10 A  s (1, 0, 2) 9 t 7  9  10   Q 1,6110 (1,0, 2) V/m -4 2 t A  s 5 10 m 5 Električna poljska jakost pa je F t Q 7 7 E   1  ,6110 (1,0,2)N/C = 1  ,6110 (1,0,2) V/m . Q t Enota za električno poljsko jakost je V/m. Iz primera vidimo, da lahko smer električne poljske jakosti določimo kot smer sile na namišljen pozitivni naboj. V principu je vseeno, kako velik je ta testni naboj, saj vidimo, da v enačbi sploh ne nastopa – v enačbi nastopa naboj, ki povzroča silo na testni naboj. Naboj 1 C je zelo velika količina naboja, ki ga je (1) realno nemogoče zbrati v točki (v malem radiju) in (2) tak naboj bi vsekakor predstavljal izrazito veliko silo na okoliške naboje in povzročil njihovo premaknitev. Zato je bolj natančna definicija za električno poljsko jakost, da je to sila na majhen poskusni pozitivni naboj, matematično F E  lim . (3.3) Q 0 t Q t V čem je potem razlika med silo in električno poljsko jakostjo? Pomembna konceptualna razlika je v tem, da je mogoče sile določati le med naboji, medtem ko je električna poljska jakost definirana v vsaki točki v prostoru. SUPERPOZICIJA ELEKTRIČNEGA POLJA Kako določimo električno poljsko jakost v točki, če je v okolici več nabojev? Enako kot smo določali silo na naboj v okolici več nabojev. V točko postavimo poskusni naboj, izračunamo silo na poskusni (pozitivni) naboj kot superpozicijo posameznih prispevkov sile ter nato delimo s poskusnim nabojem. Oziroma, določimo električno poljsko jakost za vsak naboj posebej in prispevke seštejemo. E  E  E  E  ...   E 1 2 3 i (3.4) i Slika 3-2: Več nabojev in električna poljska jakost v točki kot superpozicija električnih poljskih jakosti posameznih nabojev. © D.K., 2019 34 Električna poljska jakost 3. PRIKAZOVANJE ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI V PROSTORU Ker je polje definirano v vsaki točki prostora, pomeni, da lahko v vsaki točki prostora ponazorimo polje z vektorjem, ki kaže smer in velikost polja v točki. Običajno se sprijaznimo s tem, da rišemo vektorje električne poljske jakosti v določenih točkah v prostoru in tako prikažemo vektorsko polje. Z nekoliko znanja programiranja lahko tudi sami izdelamo program, ki bi prikazoval električno polje v prostoru za poljubno porazdelitev nabojev. Za hitre izračune in vizualizacijo v elektrotehniki pogosto uporabljamo Matlab ali njegovo zastonjsko različico Octave (ali tudi SciLab), vedno bolj popularna pa je tudi uporaba programskega orodja Python. Seveda pa je mogoče že na spletu dobiti že izdelane vizualizacije električnega polja – in druge. Na spodnji sliki je prikazan primer že izdelane aplikacije (s programom EJSS – Easy JavaScript Simulations), ki omogoča vizualizacijo vektorjev polja v prostoru v okolici naelektrenih točkastih nabojev. Slika 3-3: Primer uporabe programa EJSS za vizualizacijo porazdelitve električne poljske jakosti v prostoru prikazane (levo) za en sam naboj in (desno) za tri naboje. Barva puščice predstavlja velikost polja v določeni točki. Naboje v aplikaciji lahko poljubno premikamo. http://tinyurl.com/ejss-field O animacijah in simulacijah na spletu: z brskanjem po spletu z iskalnimi gesli kot so “electrostatic animations simulations” in podobno, lahko pridemo do spletnih strani, ki omogočajo razne načine vizualizacije polja. Lahko so samo animacije, kot na primer na strani od PenState UNI ali pa MITOpenCourseWare, ali pa simualcije kot npr. Phet ali primer s povezavo na sliki zgoraj. Mnogo je aplikacij, napisanih v programskem jeziku Java, ki jih novejši brskalniki zaradi varnosti ne omogočajo zagnati. Te aplikacije, ki imajo pogosto končnico .jar (Java Archive), npr. tale, je potrebno najprej naložiti na računalnik in nato zagnati. Seveda morate imeti predhodno naloženo Javo, ki je za običajno rabo brezplačna. Podobno brskalniki pogosto omenogočajo prikazovanje Adobe flash aminacij. Če spletni strani zaupate, je preprosto vključiti prikazovanje Flash animacij. Recimo teh. © D.K., 2019 35 Električna poljska jakost 3. * PRIKAZ ELEKTRIČNEGA POLJA V 2D IN 3D PROSTORU Pogosto prikazujemo velikost polja v prostoru z 2D ali 3D prikazom z obarvanjem, pri čemer lahko na enem grafu prikažemo le eno komponento E-ja, npr. Ex ali le Ey. Pogosto pa z obarvanjem prikažemo absolutno vrednost polja Slika 3-4: Prikaz električne poljske jakosti v okolici točkastega naboja: z vektorji in barvo. Desno je 3D prikaz, kjer višina in barva predstavljata velikost polja. Slika 3-5: 2D in 3D prikaz električne poljske jakosti za polje v okolici dveh prevodnih naelektrenih valjev. Na dveh slikah na levi je prikazano električno polje v okolici dveh valjev naelektrenih z naboji nasprotnega predznaka (levi valj z negativnim, desni pa s pozitivnim nabojem), na desni pa dva valja z enako predznačenim nabojem (pozitivnim). Smer polja prikazujejo puščice (vektorji), velikost pa tako velikost puščic, kot tudi obarvanost – toplejša barva predstavlja večjo poljsko jakost. © D.K., 2019 36 Porazdelitve nabojev 4. * KAKO JE PRIŠLO DO KONCEPTA ELEKTRIČNEGA POLJA? Električno polje je koncept razlage električnih pojavov, ki je izrazito oblikoval razvoj elektromagnetike. Največ zaslug za to ima Michael Faraday (1791-1867), angleški raziskovalec, ki kljub pomankljivi izobrazbi velja za enega največjih znanstvenikov v zgodovini človeštva. Več o njegovem delu bomo izvedeli v drugem semestru, saj so njegova odkritja najbolj znana na področju magnetike. Ravno s tega področja izhaja njegovo razmišljanje o (magnetic) lines of force, torej nekakšne linijah magnetne sile, ki so prisotne povsod v prostoru, vidne pa so na primer v okolici trajnih magnetov ali tokokrogov, če v njihovo bližino nasujemo železne opilke. Ti se usmerijo v smer magnetnega polja, če je le sila dovolj velika. To je bistvena razlika v primerjavi s konceptom učinka na daljavo, ki se je ponujal iz Coulombovih raziskav. Zanimivo je, da dandanes raziskovalci zgodovine znanosti razmišljajo, da je Faradayu pomanjkanje matematičnega znanja celo pomagalo, da je izredno izostril svoje raziskovalno delo in razmišljanja o električnih pojavih. Tudi sam Faraday ni kaj dosti dal na matematiko, leta 1831 je v pismu Mary Somerville npr. zapisal, da ne verjame v večji pomen matematike v zgodovini znanosti. Še posebno je to zagovarjal zato, ker Ampere, ki je matematično razdelal lastnosti magnetnega polja (znameniti Amperov zakon bomo spoznali v naslednjem semestru), ni predvidel rotacije električnega toka okoli trajnega magneta, kar je Faraday pokazal v eksperimentu, kjer je pokazal rotacijo prevodne palice s tokom v živem srebru, v katerega je bil vstavljen trajni magnet (to bomo imenovali princip homopolarnega motorja). Če bi bila Amperova teorija tako dobra, je razmišljal Faraday, bi sam predvidel ta pojav. Linije magnetne sile (lines of force) smo v slovenščino prevedli kot silnice. To teorijo je Faraday še nadalje razdelal s konceptom molekularne teorije elektrike, kjer je v bistvu vpeljal koncept etra, kot neke hipotetične vseobsegajoče substance, v kateri delujejo električne in magnetne sile. Faraday je eksperimentalno ugotovil, da nekatere snovi privlačijo, druge pa odbijajo magnetno polje, kar poznamo kot pojem paramagnetizma in diamagnetizma. Pravo povezavo med razmišljanjem Faradaya in matematično formulacijo je naredil James Clerc Maxwell (1831-1879), ki je v predgovoru znamenitemu delu Electricity and Magnetism zapisal bistvo Faradayevega razmišljanja (ne prevajam): »Before I began the study of electricity I resolved to read no mathematics on the subject till I had first read through Faraday’s Experimental Researches on Electricity. I was aware that there was supposed to be a difference between Faraday’s way of conceiving phenomena and that of the mathematicians, so that neither he nor they were © D.K., 2019 37 Porazdelitve nabojev 4. satisfied with each other’s language. I had also the conviction that this discrepancy did not arise from either party being wrong. I was first convinced of this by Sir William Thomson, to whose advice and assistance, as well as to his published papers, I owe most of what I have learned on the subject. As I proceeded with the study of Faraday, I perceived that his method of conceiving the phenomena was also a mathematical one, though not exhibited in the conventional form of mathematical symbols. I also found that these methods were capable of being expressed in the ordinary mathematical forms, and these compared with those of the professed mathematicians. For instance, Faraday, in his mind’s eye, saw lines of force traversing all space where the mathematicians saw centres of force attracting at a distance; Faraday saw a medium where they saw nothing but distance; Faraday sought the seat of the phenomena in real actions going on in the medium, they were satisfied that they had found it in a power of action at a distance impressed on the electric fluids. Suppose a small positively electrified body to start from a point close to a positively electrified surface, and suppose it to move always in the direction in which it is urged by the force acting on it, it will, of course, be repelled by the surface, and will move away along some path straight or curved, and will continue to move indefinitely, the force diminishing as it proceeds, unless it meet with a negatively electrified surface, which will attract it, and coming into contact with this surface its career will terminate. The path traced out by such a small electrified body constitutes Faraday’s line of force, which is therefore a line whose direction at any point is that of the resultant force at that point. Such lines of force always proceed from positively electrified surfaces, and terminate upon negatively electrified surfaces; or, failing this, they must proceed to infinity. Lines of force proceeding from a positively electrified body placed in a room, unless there be other negatively charged bodies in the neighbourhood, will in general terminate upon the walls, floor, and ceiling of the room, or upon objects in the room in electrical communication with these. Faraday thus conceived the whole of the space in which electrical force acts to be traversed by lines of force which indicate at every point the direction of the resultant force at that point. But Faraday went further than this: he conceived the notion of causing the lines of force to represent also the intensity of the force at every point, so that when the force is great the lines might be close together, and far apart when the force is small; and since the force in the neighbourhood of a small charged body is proportional to the charge, he endeavoured to accomplish this object by drawing from every positively electrified surface a number of lines of force proportional to its charge, and causing a similar number of lines of force to terminate in every negatively electrified surface.« Maxwell je tudi nadgradil sam koncept silnic z vpeljavo dodatnega pojma »tubes of force«, ki ga mi imenujemo gostotne cevke. Gre za cevke, katerih steno oblikujejo silnice. Večja kot je gostota teh cevk na telo, večja sila deluje na tem delu telesa. Gostotne cevke obravnavamo v poglavju o Gaussovem zakonu, saj nas nadalje pripeljejo do pomembnega koncepta pretoka polja oz. fluksa, s katerim povežemo npr. električno polje in naboj na telesu ali pa magnetno polje in inducirano napetost. Faraday in Maxwell sta ključno prispevala k razumevanju električnih pojavov. Nancy Forbes in Basil Mahon v knjigi »Faraday, Maxwell and the Electromagnetic Field« s podnaslovom How two Men Revolutionized Physics pravita: © D.K., 2019 38 Porazdelitve nabojev 4. Maxwell je razdelal Faradayeva razmišljanja in jih zapisal v znamenitem delu »On Physical Lines of Force« v matematični formulaciji, v 20-ih enačbah z 20-imi neznankami. Dandanes jih zapišemo v vektorski obliki z le štirimi enačbami (prvi je to naredil Oliver Heaviside leta 1884). Poleg tega je Maxwell nadgradil Faradayevo teorijo etra s konceptom polja (morja, ang. sea) molekularnih vrtincev (molecular vortices). Koncept molekularnih vrtincev je povezal s Faradayevim konceptom silnic, pa tudi s konceptom akcije na daljavo in ugotavljal, da sile, ki delujejo med magneti in vodniki s tokom povzročijo v okolici (mediju) določen pritisk, ki je drugačen v vsaki točki prostora in deluje v različnih smereh in da je smer najmanjšega pritiska ravno v smeri silnic. Koncept molekularnih vrtincev ni bil prav dobro sprejet v znanstveni sferi, saj je bil tudi mnogo bolj zapleten kot koncept učinka na razdaljo in tudi Faradayevega koncepta silnic. Poleg tega tudi njegovih 20 enačb ni bilo najbolj enostavo razumeti, zato njegova teorija elektromagnetnega polja ni bila hipoma sprejeta. Zapisana je bila v obliki parcialnih diferencialnih enačb, kar je seveda nekaj popolnoma drugega kot preprost Coulombov zakon. Veličino njegovega zapisa je pokazala šele naslednja generacija fizikov kot so Hertz, Lorentz in Einstein. Dandanes tako električne pojave razdelamo na dveh »nivojih«. Na osnovnem nivoju imamo koncept (elektro- magnetnega) polja, na drugem nivoju pa imamo fizične strukture, telesa, ki se jih lahko dotaknemo in merimo, na njih pa delujejo sile, mehanske napetosti, energije. Na primer, če želimo izračunati silo na določeno naelektreno telo, naprej izračunamo električno polje v prostoru, potem pa s pomočjo določene matematične operacije določimo še silo na to telo. Na podoben način, če želimo izračunati energijo v prostoru električnih nabojev, naprej izračunamo električno polje v prostoru, nato pa integriramo kvadrat električne poljske jakosti po prostoru. Koncept električnega in magnetnega polja je tako ključen za razumevanje električnih pojavov in tudi izračunavanje njihovega učinkovanja. Koncept etra pa je še vedno stvar znanstvenih (filozofskih) razmišljanj in presega ta zapis. Več o tem ponuja npr. Wikipedia v https://en.wikipedia.org/wiki/Aether_theories. Slike iz Maxwellovega dela »On Physical lines of Force«, 1861 (Philosophical Magazine, Volume 21 & 23 Series 4, Part I & II; Part III & IV). Fig. 2 prikazuje Maxwellov skico miselnega konstrukta molekularnih vrtincev, ki prenašajo mehansko silo v prostoru. © D.K., 2019 39 Porazdelitve nabojev 4. 4. Porazdelitve nabojev Vsebina poglavja: volumska, površinska in linijska porazdelitev naboja in zapis z ustrezno gostoto naboja. Spoznali smo že koncept točkastega naboja, za katerega pa smo že rekli, da ga v naravi ni. Najmanjši naboj je naboj elektrona, s svojo maso, volumnom in kvantizirano množino naboja. Nadaljnji problem je, da je množine osnovnih enot naboja, ki jih moramo vzeti v poštev običajno zelo veliko. Če samo malo podrgnemo, se med telesi prenesejo milijoni elektronov. Mi pa smo sposobni »na papirju« izračunati silo na nekaj točkastih nabojev. No, v principu bi lahko s superpozicijo izračunali tudi silo med nekaj milijoni nabojev. Kar pa ni običajno. Potrebno je najti nek drug način obravnave naelektrenih teles. Našli ga bomo v konceptu določitve različnih tipov porazdelitve naboja v prostoru. Predpostavili bomo, da je naboj zaradi velike količine delcev porazdeljen zvezno. V tem smislu bomo definirali tri načine porazdelitve nabojev: volumsko, površinsko in linijsko porazdelitev naboja. VOLUMSKA GOSTOTA NABOJA Volumsko gostoto naboja uporabljamo za opis nabojev, ki so, kot ime samo pove, porazdeljeni po volumnu. Opišemo ga z gostoto volumske porazdelitve naboja . Enota je C/m3. Če je tak naboj Q enakomerno porazdeljen po volumnu, lahko gostoto volumskega naboja določimo kot   , V oziroma celotni naboj kot Q  V  . Če naboj ni po celotnem volumnu porazdeljen enakomerno, lahko enakomerno porazdelitev smatramo le v nekem zelo omejenem malem delu celotnega volumna  V . Del celotnega naboja je torej Q    V  in če ta delček limitiramo (naredimo infinitezimalno majhen), dobimo d Q   d V . Celoten naboj dobimo z integracijo posameznih prispevkov po volumnu: Q  d V  . * (4.1) V Slika 4-1: Volumska gostota naboja. Levo prikaz neenakomerne porazdelitve nabojev, desno določitev volumske gostote naboja. * Tu se prvič srečamo z integracijo, ki jo je potrebno izvesti po volumnu. Zapis diferenciala volumna dV je odvisen od izbire koordinatnega sistema, v kartezičnem je preprosto zmnožek diferencialov razdalje v smeri osi X (dx), smeri osi Y (dy) in smeri osi Z (dz): d V  d x  d y  d z . To pomeni, da bo pri izračunu potrebno integrirati 3x oziroma uporabiti trojni integral. Ekvivalentno bi torej enačbo (4.1) zapisali v obliki Q  d x d y d z  , v določenih knjigah pa najdemo tudi zapise v obliki 3 Q  d r  in podobno. © D.K., 2019 40 Porazdelitve nabojev 4. POVRŠINSKA GOSTOTA NABOJA Površinsko gostoto naboja uporabljamo za opis naboja, ki je porazdeljen po površini. Opišemo ga z gostoto površinske porazdelitve naboja . Enota je C/m2. Če je tak naboj enakomerno porazdeljen Q po površini, lahko površinsko gostoto naboja določimo kot   , oziroma celotni naboj kot A Q   A. Bolj pogosto je, da ta naboj ni porazdeljen enakomerno .   Tedaj velja zveza Q A le za en majhen del celotnega naboja na neki majhni površini, torej Q     A. Če ta delček limitiramo (naredimo infinitezimalno majhen), dobimo d Q    d A . Celotni naboj dobimo z integracijo posameznih prispevkov po površini: Q    d A  . (4.2) A Slika 4-2: Površinska gostota naboja. LINIJSKA GOSTOTA NABOJA Linijsko gostoto naboja uporabljamo za opis naboja, porazdeljenega po liniji (npr. žici). Opišemo ga z gostoto linijske porazdelitve naboja q. Enota je C/m. Če je tak naboj enakomerno porazdeljen po Q liniji dolžine l, lahko linijsko gostoto naboja določimo kot q  , oziroma celotni naboj kot Q  ql . l Če ta naboj ni porazdeljen enakomerno, velja zveza Q  ql le za en majhen del celotnega naboja na neki majhni razdalji, torej Q   q  l  . Če ta delček limitiramo (naredimo infinitezimalno majhen), dobimo d Q  q  d l . Celotni naboj dobimo z integracijo posameznih prispevkov po liniji: Q  q  d l  . (4.3) L Slika 4-3: Linijska gostota naboja. (Kmalu pa se bomo soočili še z enim problemom. Če bi poznali porazdelitev naboja, bi še nekako izračunali posledice, torej električno poljsko jakost in sile med naboji, telesi. Običajno pa te porazdelitve niti ne poznamo, poznamo pa recimo napetosti med telesi. Potrebno bo torej poiskati še zvezo med napetostjo in porazdelitvijo naboja. A o tem kasneje.) © D.K., 2019 41 Porazdelitve nabojev 4. * GEKON UPORABLJA ELEKTROSTATIKO ZA PLEZANJE Gekon je vrsta plazilcev, podoben našemu kuščarju. Posebni so po tem, da imajo specifičen način oglašanja, od koder izhaja tudi njihovo ime (po Indonezijsko). Tako pravi wikipedija…. Zanimivi pa so tudi zato, ker imajo izjemno sposobnost hoje po zelo strmem terenu. To njihovo posebnost je menda ugotavljal in opisal tudi sam Aristotel. Še posebno nenavadno pa je, da so nedavno znanstveniki ugotovili, da jim to omogoča uporaba elektrostatičnih sil (Izadi et al, 2014). Pred tem so predvsem smatrali, da to Gekonom omogočajo adhezijske sile (Autumn, 2006; Gravish et al, 2010). O tem odkritju so poročali vsi pomembnejši mediji, ki pokrivajo novice iz znanosti in tehnike (sciencenews.org, newscientist.com, physicsworld.com, nbcnews.com in drugi). V raziskavi so postavili gekona na bakreno površino prevlečeno s plastjo teflona in PDMS materiala (guma, ki se jo pogosto uporablja v mikromehanskih elementih). Ob stiku gekona s površino so zaznali (izmerili) precejšen tok, s pomočjo katerega so ugotavljali naelektrenost gekonovih nog. Struktura gekonovih nog je zelo zanimiva (glej sliko), saj je sestavljena iz velikega števila zelo tankih (nanometrskih) dlačic, ki naj bi omogočale zelo dober oprijem s tlemi. Izadi s sodelavci pravi, da jim te dlačice ob stiku s podlago omogočajo precejšnjo izmenjavo električnega naboja, ki je posledica naelektritve ob kontaktu. Pri tem se gekonove dlačice naelektrijo močno pozitivno, plast teflona pa negativno. V prevodni plasti pod teflonom ob tem pride do elektrostatične indukcije; naboj se prerazporedi tako, da je zgornja prevodna plast pozitivno naelektrena, spodnja pa negativno. Če prevodno plast priključimo na merilnik toka (drugi kontakt ozemljimo), steče skozi ampermeter negativen naboj (elektroni), kar zaznamo kot tok. Izmerjena gostota naboja je bila 1,6 mC/m2 na teflonski podlagi in 1,3 mC/m2 na PDMS podlagi (glej sliko). S tem zagotovo raziskav plezalnih sposobnosti gekona še ni konec. Tudi avtorji sami ugotavljajo, da zagotovo na plezalne sposobnosti vplivajo tudi druge sile, predvsem van der Wallsove in kapilarne sile, kot so tudi domnevali že drugi raziskovalci. © D.K., 2019 42 Porazdelitve nabojev 4. Dodatno:  Zanimivo je, da so raziskovalci na osnovi opravljenih raziskav uspešno izdelali in preiskusili že kar nekaj materialov, ki naj bi posnemali mehanizme, ki jih uporablja pri plezanju gekon (Menon et al., 2004). Podobne raziskave izvaja tudi ameriška vojaška raziskovalna agencija DARPA (http://www.darpa.mil/program/z-man ). Izadi H, Stewart K M E and Penlidis A 2014 Role of contact electrification and electrostatic interactions in gecko adhesion Role of contact electrification and electrostatic interactions in gecko adhesion J. R. Soc. Interface 11 2014.  Zelo moderne so raziskave na področju »žetja energije« (ang. energy harvesting) s pomočjo triboelektričnega pojava. Potrebno je poiskati dva materiala, ki se zelo različno elektrita; enega, ki rad sprejema elektrone in se posledično naelektri negativno in enega, ki rad oddaja elektrone in se torej naelektri pozitivno. Ta dva materiala prevlečemo s prevodnikom in pritisnemo skupaj. Ob trenju se bolj ali manj elektrita, kar pa se odraža tudi v prevleki iz prevodnega materiala, v kateri se inducira naboj nasprotnega predznaka. Pojav elektrostatične indukcije sicer obravnavamo v poglavju 10 – Prevodnik v polju. Gre pa za to, da se v prevodniku inducira naboj nasprotnega predznaka kot je v triboelektričnem materialu. Več kot je naboja v triboelektričnem materialu, več se ga tudi inducira v prevodniku. Od kod pride ta naboj? Izmenjuje se preko bremena, priključenega med dvema prevodnima kontaktoma. Če triboelektrična materiala stiskamo oz. upogibamo, se bolj ali manj elektrita, posledično se več ali manj inducira naboja na prevodnih elektrodah in s tem teče več ali manj toka skozi breme. Ena od možnih materialov sta poliester PET in kapton. Več v članku »Triboelectric Nanogenerator: A Foundation of the Energy for the New Era » objavljenem v Advanced Energy materials leta 2018: https://www.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1002/aenm.201802906 . © D.K., 2019 43 Porazdelitve nabojev 4. Slika: Nekaj primerov eksperimentalnih triboelektričnih nanogeneratorskih naprav: a) zajemanje energije s pritiskanjem, b) izkoriščanje vetra za triboelektrenje, c) triboelektrika z drsenjem, d) uporaba oscilacije vode, e) tkanina za triboelektriko, f) transparenten tribogenerator za sledilno ploščico (touchpad), h) vodni tribogenerator, i) izkoriščanje tribogeneracije ob rotaciji, j) tribo-vložek za v čevlje, k) izkoriščanje tribogeneracije z drsenjem, l) izkoriščanje rotacijske energije. Vir: Z. L. Wang, »Triboelectric nanogenerators as new energy technology and self-powered sensors – Principles, problems and perspectives«, Faraday Discussions, 2014. © D.K., 2019 44 Koordinatni sistemi 5. 5. Koordinatni sistemi Vsebina: kartezični, valjni (cilindrični) in krogelni (sferični) koordinatni sistem. Točka v koordinatnem sistemu. Diferencialni elementi v koordinatnih sistemih. Zakaj uporabljati več koordinatnih sistemov (KS), če nam je kartezični koordinatni sistem (KKS) najbolj poznan in najbolj razumljiv? Odgovor je preprost: zato, ker je v določenih primerih izračun mnogo bolj preprost z izbiro drugega koordinatnega sistema. Če je naboj na primer porazdeljen po površini valja, se sama po sebi ponuja kot najbolj primerna izbira za matematični opis porazdelitve naboja uporaba valjnega koordinatnega sistema. Če se naboj nahaja na površini krogle, uporabimo krogelni koordinatni sistem. Itd. Za koordinatne sisteme, ki jih obravnavamo mi, je značilno to, da so vse ravnine, ki ga oblikujejo, med sabo pravokotne. Takim koordinatnim sistemom rečemo ortogonalni. KARTEZIČNI KOORDINATNI SISTEM Točko v kartezične koordinatnem sistemu (KKS) določimo s presekom treh ravnin. V KKS so to tri ravnine: x  x 1 y  y . 1 z  z 1 Koordinate v KKS določa trojček ( x,y,z). Slika 5-1: Kartezični koordinatni sistem. Vzdolž vsake osi lahko določimo diferencial dolžine. Dobimo ga z limitiranjem (zmanjševanjem proti nič) majhnega dela dolžine: d l  lim  L . V smeri osi X je to d x, v smeri osi Y je d y in v smeri Z je d z. V  L0 splošnem lahko diferencial poti v KKS zapišemo kot vektor: © D.K., 2019 45 Koordinatni sistemi 5. d l  e d x  e d y  e d z ali krajše x y z . d l  (d , x d y, d z) Če pomnožimo vse tri diferenciale dolžine dobimo majhen – diferencialen volumen zapisan v obliki d V  d x  d y  d z . Ploskvice tega diferencialnega volumna imenujemo diferenciali ploskev in so d x  d y , d x  dz in dy  d z . Pogosto jim bomo dodali še smer, ki bo pravokotna na površino. To imenujemo smer normale na površino. Kvadratku površine d x  d y bi torej pripisali smer osi Z. Velja torej: d A   x ex d y d z d A   y ey d x dz d A   z ez d x d y Slika 5-2: Smer normale je pravokotna na površino telesa. VALJNI (CILINDRIČNI) KOORDINATNI SISTEM Točka je v valjnem koordinatnem sistemu (CKS) določena s presekom treh ravnin: r  r 1    1 z  z 1 Prva ravnina je plašč valja, druga je polravnina okoli Z osi, ki jo določa kot φ, tretja pa ravnina z eno vrednostjo koordinate Z. Koordinate v CKS sestavlja torej trojček ( r,, z) . Diferencial poti je d l  e d r  e r d  e d z . r  z Diferenciali površine so d A  e r d  d z , r r d A  e dr  d z   , d A  e r d  d r . z z © D.K., 2019 46 Koordinatni sistemi 5. Pogosto je potrebno upoštevati le funkcijske spremembe v smeri osi R (rotacijska simetrija), V tem primeru je diferencial v smeri osi Z določen z d A  2π r d r z Diferencial volumna je d V  d rr dd z . Slika 5-3: Valjni koordinatni sistem. Desno smeri enotskih vektorjev. Primer določitve ploščine diska: Določimo ploščino diska z notranjim polmerom 1 cm in zunanjim polmerom 6 cm. Izračun: Vzamemo diferencial površine, ki kaže v smeri osi Z in zapišemo dvojni integral 6 cm 2π 6 cm 6cm 2 r 2 2 2 A  dA  r d r d  2 r d r  2π  π (6 cm)  (1 cm)   35π cm     z   2 0 1 cm 1cm 1 cm . Primer določitve naboja na površini plašča valja:: Po površini plašča valja višine 2 m in polmera 5 cm se spreminja površinska gostota naboja z izrazom  2     sin μC/m   . Določimo naboj na plašču valja.  2  Izračun: Uporabimo zvezo Q   d A  , kar v našem primeru pomeni A 2π 2π 2m       2 Q  sin μC/m  r d   d z  5 cm  cos  2 μC/m 2 m =          2    2   0 0 0 0,1 4 μC = 0,4μC. © D.K., 2019 47 Koordinatni sistemi 5. KROGELNI (SFERIČNI) KOORDINATNI SISTEM Točka je v krogelnem koordinatnem sistemu (SKS) določena s presekom treh ravnin r  r 1    1   1 Prva ravnina je plašč krogle, druga je površina stožca (kjer je  (theta) kôt od osi Z navzdol), tretja pa polravnina znana iz CKS. Koordinate v SKS sestavlja torej trojček ( r,,) . Diferencial poti je d l  e d r  e r d  e r sin()d . r   Diferenciali površin so 2 d A  e r sin()dd , r r d A  e r sin()dd r   , d A  e r d r d   . Pogosto je potrebno upoštevati le funkcijske spremembe v smeri radija (rotacijska simetrija). V tem primeru je diferencial v smeri radija določen z dA  4π r d r  Diferencial volumna je 2 d V  r sin()d r dd . Slika 5-4: Krogelni koordinatni sistem. © D.K., 2019 48 Koordinatni sistemi 5. Primer določitve volumna krogle: Določimo volumen krogle polmera R. Izračun: Vzamemo diferencial volumna krogle 2 d V  r sin()d r dd in ga integriramo π 2π R R 3 3 r π 2π 4π R 2 V  r sin()d r dd  (cos())     . 0 0 3 3 0 0 0 0 Povzetek diferencialov poti, površine in volumnov za kartezični, valjni in krogelni koordinatni sistem: Kartezični k.s. Cilindrični k.s. Sferični k.s. d l dx, dy, dz d r, d r ,d z d r, d r , r sind d A d x.d y, d x.d z, d y.d z r dd z, d d r z, r dd z 2 d r d r, r sind r d, r sindd d V d x.d y.d z r d d r d z 2 r sind d r d Tudi pri GPS signalih se uporabljajo ustrezni koordinatni sistemi. Več: http://www.navigator.si/povezave/koordinatni_sistemi.htm Kartezični kordinatni sistem: http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system Polarni koordinatni sistem: http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system © D.K., 2019 49 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. 6. Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev Vsebina: polje točkastega naboja, dela celotnega naboja in polje porazdeljenih nabojev. Izrazi za izračun polja v okolici premega naboja, naelektrene daljice, enakomerno naelektrenega obroča, diska in ravnine. POLJE TOČKASTEGA NABOJA Spoznali smo že definicijo električne poljske jakosti (str. 33) ter enačbo za izračun polja v okolici osamljenega točkastega naboja ( r je vektor od točke, kjer se nahaja naboj Q, do točke, kjer določamo polje): Q E  e Polje točkastega naboja (6.1) r 2 4π r 0 SLIka 6-1: Polje točkastega naboja: levo prikaz polja v prostoru z vektorji, desno: porazdelitev polja vzdolž osi . Nadalje smo ugotovili, da je število presežkov ali primanjkljajev osnovnih nabojev (elektronov) na telesih pogosto zelo veliko, kar pomeni, da se že ob manjšem drgnjenju dveh teles prenese med telesi milijone in milijone elektronov. Da bi izračunali električno poljsko jakost, ki jo povzročajo ti naboji, bi potrebovali mnogo računanja, da bi z upoštevanjem superpozicije lahko izračunali prispevek polja vsakega naboja posebej in vplive sešteli. Tak način računanja bi bil zelo zamuden in nepraktičen, čeprav v pedagoške namene lahko uporabljamo tudi tak postopek. Tak način izračunavanj se pogosto uporablja tudi v raziskavah osnovnih Primer izračuna in prikazovanja sil delcev, kjer pa se upošteva tudi lastnosti trkanja delcev. med naboji s programom JaCoB. Zato potrebujemo način za izračun polja velike množine nabojev, ki jih predstavimo z gostoto njihove porazdelitve: ta je lahko volumska, površinska ali linijska. © D.K., 2019 50 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. POLJE PORAZDELJENIH NABOJEV Ustrezen izraz za izračun električne poljske jakosti porazdeljenih nabojev dobimo tako, da izhajamo iz Q polja točkastega naboja E  e in trdimo, da bo enačba ustrezna tudi za izračun polja, ki ga r 2 4π r 0 povzroča neka mala množina naboja Q  , ki se nahaja na majhnem prostoru (majhnem v primerjavi z Q  razdaljo r):  E  e . r 2 4π r 0 Teoretično lahko s seštevanjem prispevkov posameznih delov celotnega naboja (superpozicijo) izračunamo električno poljsko jakost za poljubno porazdelitev naboja (Slika 6-2): Q  i E    E   e (6.2) i i r 2  r i 4π 0 i Ta način je primeren za numerično integracijo, ki se je poslužimo v primerih, ko problem ni analitično rešljiv*. Slika 6-2: Izračun polja v točki T. Levo: Q povzroča v točki T polje  E. Desno: seštevanje posameznih prispevkov naboja. Analitično rešitev dobimo tako, da s procesom limitiranja diferenčnih vrednosti dobimo izraz za diferencial polja, ki ga povzroča diferencial naboja (Slika 6-3): d Q d E  e r 2 4π r . (6.3) 0 Vpliv vseh delnih vrednosti oz. diferencialov naboja seštejemo s superpozicijo, ki v zveznem prostoru predstavlja integracijo: d Q  E e  2 4π r  r . Izraz za izračun polja porazdeljenih nabojev (6.4) po vseh 0 Q-jih * V praksi imamo na razpolago še nekaj drugih možnih načinov reševanja, ki jih bomo omenili v nadaljevanju. © D.K., 2019 51 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. Slika 6-3: Diferencial naboja (dQ) v točki T povzroča diferencial polja dE. Za izračun električne poljske jakosti, ki jo povzroča celoten naboj, integriramo prispevke naboja po vsem prostoru. (r je razdalja od dQ-ja do točke v kateri računamo polje.) POSTOPEK ZA DOLOČITEV POLJA PORAZDELJENIH NABOJEV Zapišimo postopek, po katerem določimo električno poljsko jakost za porazdeljene naboje z uporabo d Q enačbe E  e  , kjer je r vektor od mesta diferenciala naboja d Q do mesta, kjer 2 4π r  r po vseh 0 Q-jih računamo električno poljsko jakost; er je enotski vektor vektorja r (Slika 6-3). 1) Naelektreno strukturo umestimo v ustrezen koordinatni sistem. Če bo struktura, na kateri se nahaja naboj, v obliki žice, bo najbolj primerna uporaba cilindričnega koordinatnega sistema, če bo naboj v volumnu krogle, bo primeren sferični KS., itd. Naboji, ki povzročajo polje so porazdeljeni po volumnu, površini ali liniji. V tem smislu bo diferencial volumna/površine/linije na katerem se nahajajo naboji enak d V/d A/d l. Ustreznega določimo glede na izbran koordinatni sistem v skladu s sledečo tabelo: Kartezični k.s. Cilindrični k.s. Sferični k.s. d l dx, dy, dz d r, d r ,d z d r, d r , r sind d A d x.d y, d x.d z, d y.d z r dd z, d d r z, r dd z 2 d r d r, r sind r d, r sindd d V d x.d y.d z r d d r d z 2 r sind d r d 2) Glede na izbran koordinatni sistem in porazdelitev naboja določimo ustrezen diferencial naboja. Če je naboj porazdeljen po volumnu uporabimo d Q  d V , če je po površini d Q   d A in če je po liniji d Q  d q l . Na primer, če se naboj nahaja vzdolž palice, postavljene na osi X, bo d l  d x in d Q  d q x . Če se naboj nahaja na površini valja, bo potrebno uporabiti izraz d Q   d A , pri čemer bo pri izbiri valjnega koordinatnega sistema d A  d r d z , itd. 3) Na neko poljubno mesto na naelektrenem telesu postavimo diferencial naboja. Nato določimo vektor r od mesta diferenciala naboja d Q do točke v kateri želimo izračunati polje. (Pogosto je ta del še najbolj zahteven in terja nekaj geometrijskega znanja). Običajno ga določimo kot razliko vektorja, ki iz izhodišča določa točko T in vektorja, ki iz izhodišča kaže na mesto, kjer se nahaja diferencial naboja d Q. d Q 4) Zapišemo diferencial polja d E  e in vstavimo predhodno določena d Q in r. r 2 4π r 0 5) Diferencial polja integriramo, pri čemer moramo določiti še meje integracije. Meje integracije so določene s koordinatami, ki zajamejo celoten naboj. 6) Rešimo integral in v rešitev vstavimo vrednosti mej integracije. V nadaljevanju bomo po zgornjem postopku določili polje v okolici naelektrene ravnine, premice, obroča, naelektrenega diska in ravnine. © D.K., 2019 52 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. Primer izračuna električne poljske jakosti v okolici tanke enakomerno naelektrene palice: Določimo električno poljsko jakost h = 5 cm stran od sredine enakomerno naelektrene tanke palice dolžine l = 10 cm. Na palici je enakomerno porazdeljen naboj Q = 2 C. Izračun: Postopamo po postopku opisanem na strani 52: 1. Palico postavimo v koordinatni sistem. Primeren je valjni koordinatni sistem. Naj bo sredina palice v središču k.s. in Z os usmerjena vzdolž palice. Točka T, v kateri želimo izračunati polje, je od središča k.s. oddaljena za razdaljo r. Glede na izbran koordinatni sistem je d l = d z. 2. Določimo d Q, ki je v našem primeru, ker gre za linijsko porazdelitev naboja, enak d Q  q  d l  q  d z . 3. Postavimo d Q na neko poljubno mesto na palici, oddaljeno od izhodišča za z. Od d Q do točke, kjer iščemo vrednost polja, narišemo vektor R in ga izrazimo s koordinatami: 2 2 R  z  r . (Pozor: glede na opis postopka na strani 52 smo spremenljivko r spremenili v veliki R, saj smo z malim r označili razdaljo od sredine k.s. do točke T.) 4. Sedaj diferencial polja v točki zapišemo v obliki d Q . q d z d E   . d E moramo v principu 2 4π R 4π  2 2 z  r 0 0  zapisati v obliki vektorja, saj se vektor (tako velikost kot s mer) električne poljske jakosti spreminja za različne lege d Q-ja, kar pomeni, da jih moramo seštevati vektorsko. Da bi se temu izognili, lahko upoštevamo, da d Q na zrcalni strani Z osi povzroča polje, ki je v iskani točki usmerjeno tako, da vsota kaže v smeri radija (glej skico desno)). To pomeni, da se komponente v smeri osi z izničijo in zadostuje seštevati le komponente polja, ki so usmerjene v smer radija: r d E  d E  cos( )  d E  . (6.5) r 2 2 z  r l / 2 .d q z r 5. Seštevek prispevkov naredimo z integracijo (po z-ju!): E = d E    r r   4π z r  l  2 2 2 2 / 2 0 z r l / 2 qr d z E =  (6.6) r 4π   l  z r 3/2 2 2 0 / 2 Rešitev integrala (glej naslednjo stran) in vstavitev zgorn je in spodnje meje da končni rezultat: l / 2   qr z q 2 l / 2 ql E =     (6.7) r  2 4π  r   2 2      0 z r 1/2 2 2 4π r ( l / 2) r 4π r ( l / 2) r 0 2 2 0  l/2 Na koncu le še v enačbo (6.7) vstavimo vhodne podatke, pri čemer q  Q / l  20 μC/m .Dobimo 5 E  2,54 10 V/m . r © D.K., 2019 53 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. * MATEMATIČNI PRIROČNIK Pri računanju integralov naletimo na take, ki jih ne znamo rešiti na pamet. V teh primerih, in tudi v pomoč pri drugih matematičnih problemih, se poslužimo matematičnih priročnikov. Pri nas je še najbolj v veljavi uporaba matematičnega priročnika Bronštejn (Tehniška založba Slovenije), ki je doživel že vrsto ponatisov. Če na primer 𝑟 iščemo rešitev integrala ∫ 𝑑𝑟, moramo iskati integrale z osnovo 𝑋 = 𝑥2 + 𝑎2. Iskanju ustreza oblika (𝑟2+𝑧2)3/2 𝑥 1 𝑟 1 integrala ∫ , ki ima rešitev − , torej v našem konkretnem primeru ∫ 𝑑𝑟 = − . √𝑋3 √𝑋 (𝑟2+𝑧2)3/2 (𝑟2+𝑧2)1/2 Vedno bolj pa se za izračunavanje integralov in odvodov uporabljajo tudi programska orodja kot npr. Wolfram Mathematica. Licenco za uporabo tega programa lahko pridobijo tudi študenti FE (https://www.fe.uni- lj.si/studenti/programska_oprema/) . Obstajajo pa tudi že »on-line« spletna orodja, ki omogočajo tovrstne izračune, npr. www.mathportal.org (ki verjetno v »ozadju« poganjajo program Mathematica). © D.K., 2019 54 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST ENAKOMERNO NAELEKTRENE TANKE PALICE – PREMI NABOJ Zanimivo je pogledati, kolikšno polje dobimo, če je naelektrena palica neskončno dolga. V tem primeru moramo meje integracije iz prejšnjega izračuna (en. (6.6)) postaviti v + in – neskončnost oz. limitirati razdaljo l v enačbi (6.7) proti neskončnosti. Dobimo    qr z q 2 l / 2 q E = .    . (6.8) r 4π     r   z  r 3/2 2 2 2 4π r( l / 2) 2π r 0 0 0  Dobimo izredno pomemben rezultat, to je, da polje z razdaljo od tanke, neskončne, naelektrene palice upada z 1/ r. (Vemo že, da polje v okolici točkaste elektrine upada s kvadratom razdalje.) Neskončno dolgo in tanko naelektreno palico lahko smatramo kot naelektreno premico, zato taki strukturi tudi rečemo premi naboj (prema elektrina). Zapišimo polje premega naboja še enkrat, tokrat v vektorski obliki: q E  e r 2π r . POLJE V OKOLICI PREMEGA NABOJA (6.9) 0 Slika 6-4: Trije različni načini prikaza polja v okolici premega naboja. Desno primerjava med spremembo velikosti polja z oddaljenostjo od premega naboja (Eq) in točkastega naboja (EQ). Določitev smeri električne poljske jakosti naelektrene premice je odvisna od izbire in postavitve premice v koordinatni sistem. Primer prikazuje spodnja slika (Slika 6-5). q E( T )  e E  1 z 2π z 0 1 q E( T )  e E  2 x 2π x 0 2 Slika 6-5: Primer določitve smeri polja naelektrene premice glede na umestitev v koordinatni sistem. © D.K., 2019 55 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. POLJE ENAKOMERNO NAELEKTRENE DALJICE Izhajamo lahko iz rešitve za polje v okolici premega naboja (enačba (6.6)) in namesto sredinske umestitve določimo razdalji od koordinatnega izhodišča do levega roba z l 1 in do desnega roba z l 2. Slika 6-6: Polje v okolici enakomerno naelektrene daljice. Radialno komponento polja dobimo z rešitvijo integrala l 2 qr d z E =  , ki je (6.10) r 3/ 2 2 2 4π0   l z r 1   l 2     qr z q l l    2 1 E =     . (6.11) r  2 4π     r   2 2 4π r    0 z r 1/2 2 2 2 2 0 ( l ) r ( l ) r   2 1   1 l Enostavnejšo obliko tega zapisa dobimo, če uporabimo izraz za kosinusa notranjih kotov (glej sliko): q E =    . (6.12) r cos( ) cos( ) 2 1  4π r 0 Na podoben način bi lahko določili še Z komponento polja, kjer bo z l 2 .d q z z d E  d E  sin( )  d E  in E = d E    . (6.13) z z z 2 2 2 2 z  r 2 2   4π z r z  r 1 l 0   Rešitev integrala je (lahko rešimo z vpeljavo nove spremenljivke 2 2 t  z  r ):   q r r q E =        (6.14) z sin( ) sin( ) 2 1  2 2 2 2 4π r     4π r 0 l r l r 0  2 1  Če združimo radialno in z komponento polja dobimo končno enačbo*: q E   e cos( )  cos( )  e sin( ) sin( )   1 2   2 1  (6.15) 4π r z  r 0 * Enačba je v drugi literaturi lahko predstavljena z drugimi koti in je tem smislu spremenjena. Potrebno je torej pravilno določanje kotov  in  . 1 2 © D.K., 2019 56 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. Ker je premi naboj le poseben primer naelektrene daljice, dobimo iz gornje enačbe tudi enačbo za premi naboj, ko velja    0 . Tedaj je cos(0) 1 in sin(0)  0 . Sledi enačba za premi naboj. 1 2 Primerjava velikost polja v okolici naelektrene daljice s poljem naelektrene premice in točkastega naboja: q Primerjamo enačbi q E   e cos( )  cos( )  e sin( )  sin( )  E  er , daljica   1 2   1 2  in premi 4π r z  r 2π r 0 0 Q E  točke er . Vzemimo za primer naelektreno tanko palico dolžine d = 10 cm z enakomerno 2 4π r 0 porazdeljenim nabojem 2 C in primerjajmo velikost polja s poljem v okolici premega naboja z enako gostoto naboja in točkastega naboja z enako velikostjo celotnega naboja. Primerjava pokaže, da je velikost polja naelektrene premice in daljice enaka za majhne razdalje od tanke palice (razdalja dosti manjša od dolžine palice), da pa je za razdalje, ki so dosti večje od dolžine palice bolj primeren približek polja tanke palice s poljem točkastega naboja. Razdalja (cm) E daljice (kV/m) E premice (kV/m) E točke (kV/m) 0,1 359 359 1797 1 35 36 179 2 17 18 45 5 5 7 7 10 2 3 2 100 0,17 0,36 0,17 11 10 10 10 /m 9 10 t / Vso 8 k 10 jaak ljs 7 o 10 pan tric 6 k 10 leE 5 10 4 10 -3 -2 -1 0 10 10 10 10 Razdalja od naelektrene daljice / cm Slika 6-7: Primerjava med velikostjo polja v oddaljenosti od tanke naelektrene palice (polna zelena črta) in premega (črtkana modra črta) ter točkastega naboja (točkasta rdeča črta). log-log skala! Polji premega naboja in naelektrene palice sta primerljivi za majhne razdalje, za večje pa je polje palice primerljivo polju točkastega naboja. © D.K., 2019 57 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. POLJE V OSI NAELEKTRENEGA OBROČA V tem primeru uporabimo cilindrični koordinatni sistem in zapišemo del naboja kot d Q  d q l  q  d r  . Če označimo z a polmer obroča, velja d Q  q d a  . Označimo d Q na skici in potegnemo vektor r od d Q do točke na Z osi, ki je od središča obroča oddaljena za razdaljo z. Razdalja od d Q do točke na Z osi je 2 2 R  a  z . Slika 6-8: Prikazi za izračun polja v osi enakomerno naelektrenega obroča. Ugotovimo, da se pri seštevanju prispevkov d Q-jev ohranjajo le komponente polja v smeri osi Z (Slika 6-8, desno), kar pomeni, da moramo določiti le prispevek te komponente in ga integrirati. Pišemo z d Q d E  d E  cos( )  d E  in d E  . (6.16) z R 2 4π R 0 d Q z qa d z  d E    . (6.17) z 2 4π R R 4π  2 2 0 a  z 0 3/2 Sedaj ugotovimo, da integriramo po kotu in da nobena od spremenljivk v enačbi ni funkcija kota, od koder sledi: 2π 2π d qaz  qaz qaz E = d E   d     . (6.18) z z 4π  a  z 3/2 4π  a  z 3/2 2  a  z 3/2 2 2 2 2 2 2 po Q-jih 0 0 0 0 0 Zapišimo ta rezultat še v vektorski obliki: qaz E  ez 2 2 3/ 2 2 ( a  POLJE V OSI NAELEKTRENEGA OBROČA (6.19) z ) 0 100 m/V 80 / ts Slika 6-9: Polje v osi naelektrenega obroča. ok 60 Polmer obroča je 2 cm, na njem je enakomerno aj a (linijsko) porazdeljen naboj 0,1 nC . ksjlop 40 ancirtk 20 elE 00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Razdalja / m © D.K., 2019 58 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. POLJE V OSI NAELEKTRENEGA DISKA Polje v osi naelektrenega diska izračunamo na podoben način kot za druge strukture. Disk umestimo v cilindrični koordinatni sistem in uporabimo zapis naboja s površinsko gostoto naboja d Q   d A . d A je diferencial površine, ki ga določimo iz poznavanja diferencialnih površin v cilindričnem koordinatnem sistemu (tabela na strani 52) . Uporabimo d A  d r  d r  , torej d Q   d r d r  . Skiciramo disk v cilindričnem koordinatnem sistemu, postavimo d Q na neko poljubno razdaljo r od središča diska, razdaljo od d Q do točke T, kjer računamo polje in je za razdaljo z oddaljena od središča diska, pa označimo z R. Velja 2 2 2 R  r  z . Narišemo d E v d Q točki T in ga zapišemo v obliki d E  . Nadalje ugotovimo, da se radialne 2 4π R 0 komponente polja odštevajo, seštevajo pa se prispevki polja v smeri osi Z. V tem smislu zapišemo diferencial komponente polja v smeri osi Z, pri čemer je kot 𝛿 kot med vektorjem d E in Z osjo: z d Q z  r d z d r  d E  d E  cos  d E     z 2 3 R 4π R R 4π R 0 0 Z dvojno integracijo – po radiju in po kotu - dobimo: 2π a a      a rz z r z   z E  d d r   2π d r   r  z        z  1 1 2 2 1/ 2 ( ) 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 0 2 2 4π ( r  z ) 4π ( r  z ) 2 2 z   0 0 0 0 0 0 0 a z  Nekoliko še lahko spremenimo obliko enačbe in dobimo   z   E  1     . (6.20) z 1 cos( ) 2 2 2   2 0 a z  0 Polje v osi naelektrenega diska določimo torej iz enačbe*:   z   E  e       z 1 ez 1 cos( ) ; za z > 0. (6.21) 2 2 2   2 0 a z  0 Polje naelektrenega diska je največje 15000 na površini in upada z razdaljo, DISK medtem ko je polje obroča pri z = 0 OBROC enako nič (Slika 6-10). V oddaljenosti m/ je velikost polja podobna. V / 10000 ts okaj aksj Slika 6-10: Primerjava polj vzdolž osi Z lop naelektrenega obroča (črtkana zelena anci 5000 črta) in naelektrenega diska (polna modra rtkel črta). E 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Razdalja vzdolz Z osi / m * Enačba velja za pozitivne z-je. Za negativne je potrebno spremeniti predznak polja, saj to kaže v smeri negativne Z osi (za   z z  pozitivni naboj na disku). Bolj splošna oblika je torej E  e   z    2 2 2 z   0 R z  © D.K., 2019 59 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. POLJE NAELEKTRENE RAVNINE Naelektrena ravnina je le poseben primer naelektrenega diska. Enačbo za polje v okolici (neskončne) ravnine dobimo iz enačbe (6.21) za primer, ko gre radij diska v neskončnost oziroma, ko gre   π/2 . Tedaj je  E  e z 2 . POLJE NAELEKTRENE RAVNINE (velja za z > 0) (6.22) 0 To je pomemben rezultat in kaže, da je polje v okolici naelektrene ravnine neodvisno od višine nad ravnino. Neskončne ravne površine seveda ni, lahko pa je to dober koncept v mnogih poenostavljenih primerih. Uporabili ga bomo tudi pri izračunu polja v ploščnem kondenzatorju, kjer je ena plošča naelektrena s pozitivnim, druga pa z negativnim nabojem. Polje znotraj ploščnega kondenzatorja bo torej očitno vsota prispevkov vsake posamezne plošče. Enačba, ki smo jo izpeljali, velja za pozitivne z-je. Za negativne z-je je potrebno predznak spremeniti, torej Slika 6-11: Polje naelektrene ravnine.    E ez za z < 0. (6.23) 20 Primer izračuna polja med ravnima naelektrenima ploščama*: Ravni plošči sta naelektreni z nabojema Q  2  0 pC . Določimo električno poljsko jakost med ploščama, če je površina ene plošče 20 cm2. Izračun: Kot smo že omenili, je polje med ploščama vsota prispevkov vsake plošče, torej     Q E  e    x ex ex , kjer je 8   10 C/m . 2 2  A 0 0 0 Dobimo E  1, 23 kV/m ex . * Velja opozoriti, da v kolikor sta naelektreni plošči prevodni, se v resnici več nabojev nabere na robovih plošč (sjaj se plusi med seboj »ne marajo« in enako velja za minuse). Iz tega sledi, da bo poenostavljen izračun dokaj natančen (in še to predvsem bolj v sredini med ploščama) predvsem v primeru, ko sta plošči precej skupaj v primerjavi z njenimi dimenzijami. © D.K., 2019 60 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. PRIMERJAVA POTEKOV POLJA 1. PRIMERJAVA MED POLJEM TOČKASTEGA NABOJA IN NAELEKTRENEGA OBROČA pokaže, da je potek polja popolnoma različen v bližini naelektrenih struktur, saj polje točkastega naboja narašča s približevanjem naboju proti neskončnosti, v središču naelektrenega obroča pa je polje enako nič. V večji oddaljenosti od obroča oziroma točkastega naboja pa sta ti polji vedno bolj podobni. 4 x 10 9 16 TOCKASTI NABOJ TOCKASTI NABOJ 8 NAELEKTREN OBROC 14 NAELEKTREN OBROC /m m/ 7 V / 12 t / V 6 t s s o o k ka ja 5 j 10 a a k k ljs s 4 jl o o 8 p p a a n 3 ncir 6 tric t k 2 k le el E E 4 1 0 2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 Razdalja / m Razdalja / m Slika 6-12: Primerjava med poljem v oddaljenosti od točkastega naboja in v osi naelektrenega obroča. Oba imata enako velik naboj (0,1 nc, polmer prstana je 2 cm). Levo: polje v bližini obroča. Desno: polje v Q oddaljenosti od obroča. V oddaljenosti od obroča postane izraz E  e enakovreden izrazu r 2 4 r 0 qaz E  e , v bližini obroča (razdalja manjša od nekaj polmerov obroča) pa je razlika velika z 2 2 3/ 2 2 ( a  z ) 0 (polja naelektrenega obroča na sliki levo ne vidimo, ker je bistveno manjši od polja točkastega naboja). 2. PRIMERJAVA MED POLJEM TOČKASTEGA IN PREMEGA NABOJA pokaže, da polje točkastega naboja mnogo hitreje (s kvadratom razdalje) upada z razdaljo kot polje premega naboja (1/ r). 5 x 10 4 TOCKASTI NABOJ Slika 6-13: primerjava med 3.5 PREMI NABOJ poljem točkastega (modra črta) /m in premega naboja (zelena črta). 3 Polje točkastega naboja upada s t / Vs kvadratom razdalje (1/r2), polje o 2.5 k premega pa z razdaljo (1/r). jaak 2 ljs o p 1.5 an trick 1 leE 0.5 00 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 Razdalja / m © D.K., 2019 61 Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev 6. 3. PRIMERJAVA MED POLJEM NAELEKTRENEGA DISKA IN NAELEKTRENE RAVNINE V inženirskem smislu je potrebno vedno poiskati tisto strukturo, ki najbolj primerno opisuje električno polje. Na primer, če imamo opravka z enakomerno naelektrenim televizijskim zaslonom in nas zanima električno polje 1 cm stran od zaslona, je dovolj natančno, če upoštevamo zaslon kot neskončno naelektreno ravnino, če nas zanima polje naelektrenega zaslona 10 ali 15 m stran od ekrana, pa bi bilo mnogo bolj primerno zaslon smatrati kot točkast naboj, še bolj pa kot naelektren disk (ni pa tudi težko izpeljati eksakten izraz za polje v okolici enakomerno porazdeljenega naboja na ravni plošči). 30 1 RAVNINA DISK 0.9 25 /m 0.8 t / V e 20 s ni o n 0.7 v k ar ja E/ a a 0.6 k 15 ksi ljs d o E 0.5 e p jr a e n 10 mz 0.4 a tric R kle 0.3 E 5 0.2 0 0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Razdalja / m Razdalja / m Slika 6-14: Primerjava med poljem naelektrenega diska in neskončne ravnine z enako velikim površinskim nabojem. Polmer diska je 8 cm. Desna slika kaže razmerje med poljem diska in poljem ravnine. Tik ob površini je izračun ustrezen, na razdalji polmera diska pa je polje diska 38 % polja ravnine. POVZETEK IZPELJANIH ENAČB: Polje naelektrene premice (premi naboj, prema elektrina): q E  e r 2π r 0 Polje naelektrene daljice: (položene vzdolž Z osi) (glej sliko za razlago kotov): q E   e cos( )  cos( )  e sin( ) sin( )   1 2   1 2  4π r z  r 0 Polje v osi naelektrenega obroča (polmer obroča = a): qaz E  ez 2 2 3/ 2 2 ( a  z ) 0 Polje naelektrene ravnine (normala v smeri osi Z):  E   e z 20 © D.K., 2019 62 Primeri uporabe Gaussovovega zakona 7. 7. Gaussov zakon Vsebina poglavja: silnice polja, gostotne cevke (gostotnice), homogeno in nehomogeno polje, pretok električnega polja, Gaussov zakon. V tem poglavju bomo spoznali Gaussov zakon v integralni obliki, ki je v osnovi posledica Coulombovega zakona, torej dejstva, da polje v okolici točkastega naboja upada s kvadratom razdalje. Da bi razumeli njegov pomen, se moramo najprej seznaniti s pojmi kot so silnice polja, pretočne oz. gostotne cevke in električni pretok. SILNICE Električno poljsko jakost v prostoru lahko prikažemo z vektorji v prostoru. Če vektorje povežemo z linijami, le te imenujemo silnice polja. Prikaz s silnicami je zelo primeren in pogost način prikaza polja. (Konceptualno jih je vpeljal Michael Faraday, ki jih je imenoval lines of force.) Ker so silnice usmerjene v smeri polja, bi po silnici potoval naboj, če bi ga postavili v polje*. Pri tem moramo predpostaviti, da vstavitev tega naboja v polje ne bi spremenila samega polja, saj bi tak naboj tudi deloval s silo na tiste naboje, ki ustvarjajo polje v katerem potuje. Slika 7-1: Levo prikaz polja v prostoru z vektorji (silnice s tanko črtkano črto), desno prikaz s silnicami. PRETOK ELEKTRIČNEGA POLJA Nadalje je potrebno spoznati koncept pretoka električnega polja skozi ploskev.† Električnemu polju, ki je povsod enako veliko (konstantno) in ima enako smer, običajno rečemo homogeno polje. Če je homogeno polje usmerjeno pravokotno na ravno ploskev ploščine A, potem je pretok skozi to površino določen kot produkt polja in ploščine: E  A . (V nekem smislu je pretok polja povezan s količino naboja iz katerih izhajajo silnice. Na površini naelektrenega telesa se izkaže produkt E  A direktno sorazmeren množini naboja.) * Če bi se hkrati gibalo več nabojev, bi lahko bila njihova trajektorija gibanja različna od silnic, saj bi tudi med premikajočimi se naboji delovala določena sila. † Koncept pretoka nekega vektorja skozi določeno površino je splošen pojem, ki se pogosto uporablja za opis določenih veličin in ga pogosto imenujemo fluks. V nadaljevanju bomo spoznali novo veličino, gostoto električnega pretoka, ki jo bomo označili s črko D in bo za prazen prostor enaka  E . 0 © D.K., 2019 63 Primeri uporabe Gaussovovega zakona 7. Če je ravna ploskev postavljena v smeri homogenega polja, je pretok enak nič, če pa je pod določenim kotom, je potrebno upoštevati kosinus vmesnega kota, pri čemer je to kot med normalo (pravokotnico) na površino in smerjo električnega polja E  A cos( ) . Po definiciji skalarnega produkta lahko to zvezo zapišemo tudi s skalarnim produktom vektorja polja in vektorja površine, pri čemer je potrebno ponovno poudariti, da je smer vektorja površine določena z normalo na površino (smerjo, ki je pravokotna na površino). Pretok homogenega polja skozi poljubno postavljeno ravno površino je enak skalarnemu produktu (vektorja) električnega polja in vektorja površine (ki ga določa normala na površino).   E  A Pretok homogenega električnega polja preko ravne ploskve (7.1) e Slika 7-2: Pretok homogenega električnega polja skozi ravno ploskev: a) pravokotno (   EA e ), b) vzporedno (   0   EA  e ), pod kotom ( cos e ). Primer izračuna pretoka skozi ravno ploskev: Določimo pretok homogenega električnega polja velikosti 5 kV/m, ki je usmerjen pod kotom 300 na normalo ravne površine določene s pravokotnikom dimenzij 3 x 4 m2. Izračun: 1. način: Prikažemo polje v koordinatnem sistemu in zapišemo vektorja E in A: E  e           E E exE sin ey E cos E  sin , cos ,0 A  e    y A 0, 1,0 A E  A  E sin,cos,00, 1  ,0 A  EA cos 2. način: Poiščemo komponento polja, ki je pravokotna na površino, to je E  E cos  4,33 kV/m . n Sedaj le še pomnožimo normalno komponento polja s ploščino in dobimo pretok 2 3   4,33 kV/m12m  5210 Vm . E PRETOK NEHOMOGENEGA POLJA SKOZI NERAVNO POVRŠINO Kaj pa če polje ni homogeno in/ali površina skozi katero računamo pretok ni ravna? Tedaj bomo dobili pravilen izraz za pretok na že poznan način: najprej zapišemo pretok za neko diferenčno majhno površino, na kateri bi homogenost približno veljala, torej za   E   A. To bi veljalo eksaktno, če bi  A e © D.K., 2019 64 Primeri uporabe Gaussovovega zakona 7. limitirali proti nič. V limiti dobimo diferencial pretoka d  E  d A , celotni pretok pa je* e   E d A  e . Pretok polja za poljubno obliko polja in površine (7.2) A Pri izračunu električnega pretoka je torej potrebno upoštevati skalarni produkt vektorja polja in vektorja diferenciala površine. V smislu skalarnega produkta je torej potrebno upoštevati le komponento polja, ki je v smeri normale na površino: E n. Enačbo (7.2) torej lahko zapišemo tudi v obliki   E d A  . (7.3) e n A Enaćba (7.3) z besedami: pretok električnega polja skozi poljubno površino je enak integralu normalne komponente električnega polja po tej površini. PRETOČNE CEVKE ALI GOSTOTNICE Tudi pretok električnega polja lahko ponazorimo na enak način kot ponazarjamo silnice polja, le da sedaj govorimo o gostotnih ali pretočnih cevkah, silnice pa ponazarjajo le stene gostotnih cevk. Večji pretok električnega polja dosežemo, če zajamemo več pretočnih cevk. V poljubnem preseku gostotne cevke je enak pretok. Slika 7-3: Pretok električnega polja znotraj gostotnic je konstanten (enako velik na poljubnem preseku). PRETOK POLJA PO CELOTNI (ZAKLJUČENI) POVRŠINI Sedaj pa si poglejmo vrednost tega pretoka po celotni - zaključeni površini. Včasih ji rečemo tudi Gaussova površina. To pomeni, da nas zanima pretok polja skozi površino krogle ali skozi vseh šest stranic kocke ali pač poljubne površine, ki v celoti zaobjame določen objekt. Pri tem niti ni potrebno, da računamo pretok skozi neko površino telesa, lahko je to popolnoma namišljeno (abstraktno) telo. Matematično integracijo po zaključeni površini naznačimo s krogcem v sredini simbola integrala: Pretok polja skozi zaključeno površino = E  d A  (7.4) A * Ponovno velja opozoriti, da je bisten element izračuna pretoka vektorja skozi površino uporaba skalarnega produkta dveh vektorjev. V konkretnem primeru vektorja električne poljske jakosti E in vektorja (diferenciala) površine, pri čemer je smer vektorja površine določena z normalo (pravokotna smer) na površino: A  en A . © D.K., 2019 65 Primeri uporabe Gaussovovega zakona 7. PRETOK POLJA TOČKASTEGA NABOJA SKOZI ZAMIŠLJENO POVRŠINO KROGLE Vzemimo kar najpreprostejši primer, kjer je naboj Q postavljen v središče krogelnega koordinatnega sistema in računamo pretok skozi neko zamišljeno površino krogle polmera r (hkrati integriramo po obeh kotih ker med seboj integraciji (funkciji) nista odvisni): 2π π Q Q 2π π Q 2 E  d A  e  e r sin()d d     (cos())     (7.5) 2 r r 0 0 4 r 4π  A 0 0 0 0 0 Ugotovimo, da je ta integral sorazmeren naboju, ki se nahaja v središču namišljene krogle. Ali je to naključje, ali to morda velja za poljubno postavitev naboja znotraj namišljene krogle? Z razmislekom, da lahko naboj zamaknemo iz središča koordinatnega sistema, pa se število pretočnih cevk, ki »sekajo« površino krogle, ne spremeni, lahko ugotovimo, da bo rezultat enak tudi za poljubno postavitev naboja Q znotraj (namišljene) krogle polmera r (Slika 7-4). Slika 7-4: Število pretočnih cevk, ki sekajo površino namišljene krogle je enako za poljubno postavitev naboja znotraj krogle. Enako velja za poljubno obliko površine zaključenega objekta. PRETOK POLJA SKOZI ZAKLJUČENO POVRŠINO POLJUBNE OBLIKE V KATERI SE NAHAJA MNOŽICA NABOJEV Nadalje lahko razmislimo, kolikšen je pretok električnega polja, če se v prostoru z zaključeno površino nahaja več nabojev. Razmislek je podoben kot v prejšnjem primeru. Pomagamo si z veljavnostjo superpozicije polja  E  E  E   2 E 3 ... in zapišemo: 1   Qi Q Q E  d A     E  E  E ... znotraj A 1 2 i             2 3 d A E d A E d A   (7.6) 1 1 2    A A A A 0 0 0 Slika 7-5: Pretočne cevke več nabojev, ki jih zajamemo z namišljeno površino krogle (ali poljubno zaključeno površino). © D.K., 2019 66 Primeri uporabe Gaussovovega zakona 7. VPLIV NABOJEV ZUNAJ ZAKLJUČENE POVRŠINE NA PRETOK POLJA SKOZI NOTRANJOST POVRŠINE Kaj pa naboji, ki se nahajajo zunaj zaključene površine? Ugotovimo lahko, da sicer elektrine zunaj zaključene površine povzročajo polje na površini objekta, vendar je pretok polja v objekt enako velik kot pretok polja iz objekta. Slika 7-6: Pretok polja skozi zaključeno površino v kateri ni nabojev je enak nič. Če se v zunanji okolici površine nahajajo naboji, je pretok polja, ki vstopa v prostor enak pretoku polja, ki izstopa iz tega prostora. Povzemimo ugotovitve: Pretok električne poljske jakost skozi sklenjeno (zaključeno) površino je enak zaobjetemu naboju (algebrajski vsoti nabojev) deljeno z  . Ta zapis imenujemo Gaussov 0 zakon. Q znotraj A   E d A   . GAUSSOV ZAKON (7.7) A 0 Pomen Gaussovega zakona: 1) Ugotavlja izvornost električnega polja. Električno polje izvira iz pozitivnih nabojev in se zaključuje (ponira) na negativnih. 2) Omogoča izračun naboja v določenem prostoru ob poznavanju električnega polja na mejah tega prostora. 3) Omogoča izračun električnega polja v primeru simetrične porazdelitve naboja. V tem primeru namreč polje ni funkcija spremenljivk integracije. 4) Gaussov zakon smo spoznali v t.i. integralni obliki. Zapisan je namreč z integralom in velja po določeni površini. Poznamo tudi zapis Gaussovega stavka v diferencialni obliki, ki določa povezavo med električnim poljem in nabojem (gostoto naboja) v točki v prostoru. Ta zakon je en od osnovnih zakonov, ki opisujejo naravo električnega polja. Gaussov zakon je znan tudi kot ena od štirih Maxwellovih enačb, ki v celoti opisujejo elektromagnetne pojave. 5) S pomočjo Gaussovega zakona lahko z uporabo numeričnih metod določimo porazdelitev električnega polja za poljubno obliko porazdelitve naboja v prostoru. Oglejte si tudi primere vizualizacije gostotonic (silnic) na strani http://www.vizitsolutions.com/portfolio/catalog/. Opisan je tudi način izdelave animacij s HTML5. © D.K., 2019 67 Primeri uporabe Gaussovovega zakona 7. PRIMERI IZRAČUNOV Z UPORABO GAUSSOVEGA ZAKONA NAELEKTRENA KROGLA Krogla polmera R ima enakomerno volumsko porazdelitev naboja Q. Določimo električno poljsko jakost znotraj in zunaj krogle. Izračun polja znotraj krogle: Znotraj krogle si zamislimo zaključeno površino krogle s polmerom r r z), tako, da se prispevek nabojev na notranjem in zunanjem plašču ql  ql izničita: E 2π rl    0   . 0 0 Slika 7-8: Polje znotraj koaksialnega kabla NAELEKTRENA RAVNINA S pomočjo Gaussovega zakona določimo polje v okolici naelektrene površine. Izračun: Zapišemo Gaussov stavek skozi namišljeno kocko, katere polovica je na eni strani ravnine in polovica na drugi strani. Skozi stranske površine je pretok enak nič, skozi normalni pa je enak E  d A  EA  EA  2 EA  . Desna stran enačbe je A Q  A sorazmerna zaobjetemu naboju    . Z združitvijo 0 0  dobimo E  , kar je enak izraz, kot smo ga dobili v prejšnjem poglavju. 20 © D.K., 2019 70 Primeri uporabe Gaussovovega zakona 7. * KDO JE PRVI »IZUMIL« GAUSSOV ZAKON No, glede na ime bi seveda trdili, da Gauss, vendar zgodovina znanosti ugotavlja, da je primer nekoliko bolj zapleten. Gre za primer ugotavljanja prehoda k dimenzionalnega integrala v k-1 dimenzionalnega. Npr, za prehod iz integracije funkcije po volumnu v integracijo po površini. Ta princip sta uporabljala že Lagrange in Laplace konec 18 stoletja, v določeni obliki (za tri posebne primere) pa je ta princip pokazal Gauss leta 1813. Ni pa ga dokazal. To je storil šele Michael Ostrogradski leta 1826. S teoremom, ki je znan tudi kot divergenčni teorem, se je ukvarjal tudi Poisson in Green, sama znana imena v znanosti. Zanimanje za ta teorem je izviralo iz neposredne povezave z matematično formulacijo fizikalnih pojavov. Gaussa je zanimalo področje magnetne privlačnosti, Ostrogradskega teorija prenosa toplote, Greena električni in magnetni pojavi, Poissona pa elastična telesa. Divergenčni teorem bi tako lahko imenovali tudi teorem Ostrogradskega ali tudi kako drugače. Gaussov teorem torej ni vezan le na področje elektrotehnike pač pa širše, saj ugotavlja izvornost polja. Če gre za polje, ki so posledica električnih nabojev, je to polje izvorno, saj polje izhaja iz pozitivnih in se zaključuje pri negativnih nabojih. Zato je integral (normalne komponente) polja po zaključeni ploskvi sorazmeren naboju  znotraj te ploskve. Zakon, zapisan v diferencialni obliki, je še bolj kompakten in se zapiše v obliki div E  . Ta 0 zapis je še posebno primeren za numerično izračunavanje polja, kar v kratko obravnavam v poglavju *. Divergenčni (Gaussov) zakon se uporabi tudi za zapis kontinuitetnega zakona (iz električno zaključenega sistema lahko naboj izhaja le v obliki toka) in celo osnovnih lastnosti magnetnega polja, kot bomo ugotovili v naslednjem semestru. Tudi gravitacijski zakon se lahko zapiše s tem zakonom, saj je gravitacijsko polje usmerjeno na telesa z maso. Enako velja za pretok tekočin, kjer tudi velja divergenčni zakon. Da ne bo pomote, Johann Carl Friedrich Gauss v vsakem primeru velja za pomembnega matematika in znanstvenika. Vsaj kar se tiče uporabe njegovih dognanj na področju elektrotehnike, velja poleg divergenčnega teorema omeniti njegov pomemben prispevek k uporabi kompleksnega računa, Gaussove verjetnostne porazdelitve, pomembno delo pa je opravil tudi (v sodelovanju z Wilhelmom Webrom - tudi pomembno ime v elektrotehniki) na področju magnetike, s čimer si je kasneje tudi prislužil poimenovanje enote za magnento polje (dandanes se uporablja enota Tesla). Pravzaprav se včasih celoten sistem enot cgs (centimeter-gram- sekunda) pogosto imenuje tudi kot Gaussov sistem enot. Skupaj z Webrom sta tudi skonstruirala enega prvih telegrafov in modificiran magnetometer (magnetometer, naprava za merjenje magnetnega polja velja tudi za Gaussov izum) ter celo način za kodiranje abecede. © D.K., 2019 71 Delo in potencialna energija 8. 8. Delo in potencialna energija Vsebina: Delo kot integral sile na poti, delo električne sile, delo po zaključeni poti, potencialna energija, potencialna energija sistema nabojev, delo kot razlika potencialnih energij. V srednješolski fiziki je veljalo, da je delo enako produktu sile in dolžine poti, torej, če vzdolž poti dolžine l deluje sila F, le ta opravi delo A  F  l . Če torej potiskamo voziček v smeri poti dolžine 5 m s silo 100 N opravimo delo 500 Nm ali 500 J. Kaj pa, če voziček potiskamo s silo 100 N v smeri, ki je pod kotom 600 na smer poti? V tem primeru moramo glede na definicijo dela upoštevati le tisto komponento sile, ki deluje v smeri poti. Komponenta sile, ki je pravokotna na pot pač ne opravi nič dela v smeri poti. Delo je torej A  F  l  cos( ) =100 N5mcos(600) = 250 J. Ugotovimo, da je za izračun dela primerna uporaba skalarnega produkta A  F  l . Slika 8-1: Premikanje vozička s konstantno silo v smeri poti (levo) in pod kotom 600 na smer poti (desno). DELO PO POLJUBNI POTI IN VELIKOSTI SILE Kaj pa če sila ni konstantna na poti in poleg tega ne deluje vedno v isti smeri glede na pot? Potem lahko zapišemo delo le za en mali (diferenčni) odsek, da dobimo tisti del sile, ki deluje v smeri poti pa uporabimo skalarni produkt. Diferenčni del sile na poti l  je torej  A  F  l  . Z limitiranjem dobimo iz diferenc diferencial dela: d A  F  d l , celotno delo pa je seveda integracija po poti od začetne točke do končne točke: A  d A  F  d l   . (8.1) L Slika 8-2: Levo: sila na poti = delo. Desno: delo električnih sil na poti od točke T1 do T2. © D.K., 2019 72 Delo in potencialna energija 8. DELO ELEKTRIČNE SILE Kako pa izračunamo delo električnih sil ( A e) na naboje? Na popolnoma enak način. Upoštevamo, da je sila na naboj v električnem polju enaka F  QE , torej bo delo za premik naboja Q v električnem polju iz točke T 1 v točko T 2 (glej Slika 8-2) enako T T 2 2 A  A  QE  d l  Q E  d l   . (8.2) e 12 T T 1 1 Primer izračuna dela električnih sil pri premiku naboja: Vzemimo dva pozitivna naboja oddaljena za d = 1 cm z množino naboja Q = 10 nC. Koliko dela opravi naboj za premik na polovično razdaljo? Izračun: naboja postavimo vzdolž X osi, levega v izhodišče k.s., desnega pa za razdaljo d v smeri X osi. Izračunali bomo delo, potrebno za premik desnega naboja v levo. Da bi lahko izračunali delo, moramo desni naboj postaviti na neko poljubno mesto vzdolž X osi, oddaljeno za razdaljo x od levega naboja. Q Polje na mestu desnega naboja je E  e , d l pa je usmerjen v smeri – X osi*. x 2 4π x 0 Slika 8-3: Premik desnega naboja v smeri levega naboja. T x  d / 2 d / 2 2 2 2 Q Q  1  A  QE  d l  Q e ( e d x)      12 x   2 4π x  x 4π  x  T x  d 0 0 d 1 1 2 2 Q  1 1  Q Vs       9  10   1010 C2 9 9 2 -1 5 10 m  9  10 J 4π  d / 2 d  4π d Am 0 0 (Enak rezultat bi dobili, če bi premaknili levi naboj iz izhodišča v točko T 2) Dobljen rezultat je negativen, kar pomeni, da bi bila za premik potrebna neka zunanja sila ( A z), ki bi opravila to delo†. Veljati mora torej: A  A  0 z e . (8.3) * Kljub temu, da je dl usmerjen v smeri –X osi ni njegova vrednost  e d x l  e  x  x  x  e x , pač pa d ( ( d )) . x x † Kar je logično, saj sta oba naboja pozitivna in se torej odbijata. Delo bi bilo pozitivno, če bi bila naboja nasprotnega predznaka. © D.K., 2019 73 Delo in potencialna energija 8. Primer izračuna dela električnih sil pri premiku naboja: Določimo delo za premik desnega naboja v desno za d/2. Rezultat je T 3 d / 2 3 d / 2 2 2 QQ Q  1  A  QE  d l  e ( e d x)      12 x   2 4π x  x 4π  x  T d 0 0 d 1 2 2 Q  1 1  Q  2  Vs  1 9 9 2 2 -1 5      1  910  (10 10 C)  10 m  310 J     4π  3 d / 2 d  4π d  3  Am 3 0 0 Rezultat je pozitiven, saj polje opravi delo 30 J: delec se premakne v drugo točko pod vplivom električne sile. Zakaj je rezultat mnogo manjši kot v prejšnjem primeru? Slika 8-4:P premik desnega naboja stran od levega. DELO ELEKTRIČNIH SIL NI ODVISNO OD POTI Kolikšno pa bi bilo delo, če bi ga opravili po drugi poti? Izračunajmo delo za enak premik kot v prejšnjem primeru, le po drugi poti. Izberimo to pot tako, da bo šla najprej v smeri kota za 450, nato v smeri radija do r = 2,5 cm in nato nazaj za kot 450 do končne točke. Ugotovimo lahko, da je v smeri kota ( d l  e d r   ) polje enako nič, saj je polje v vsaki točki usmerjeno radialno. Torej Pri kolesarjenju pogosto končamo na je produkt integracije E  d l v smeri kota enak nič in je istem mestu kot smo začeli. Če bi šlo rezultat enak kot prej. za delo električnih sil, bi bilo (po definiciji) na koncu delo enako nič. Ker je rezultat integracije polja neodvisen od poti lahko Kako pa je z energijo? vzamemo dve poljubni poti in zapišemo E  d l  E  d l   . 1 L 2 L Slika 8-5: Delo električnih sil od točke T1 do točke T2 po poti L1 in poti L2 je enako. © D.K., 2019 74 Delo in potencialna energija 8. DELO PO ZAKLJUČENI POTI Ker velja (glej Slika 8-5) E  d l  E  d l   , integracija v nasprotni smeri pa spremeni predznak 1 L 2 L integralu E  dl   E  dl   E  dl    , lahko pišemo  2 L 2 L 1 L E  dl  E  dl  E  dl  E  dl  E  dl  E  dl  0       . L    1 L ( 2 L ) 1 L 2 L 1 L 1 L Prišli smo do pomembnega rezultata, da je krivuljni integral električne poljske jakosti po poljubni zaključeni poti (zanki) enak nič: E  d l  0  . ZAKON POTENCIALNOSTI ELEKTROSTATIČNEGA POLJA (8.4) L Ta zapis imenujemo zakon o potencialnosti električnega polja, in ima (skoraj) enako veljavo kot Gaussov zakon, spada torej med osnovne zakone elektromagnetnega polja. Skoraj pa zato, ker je zakon v obliki enačbe (8.4) primeren za obravnavo elektrostatičnega polja, če pa je polje dinamično (naboj ni statičen), je potrebno ta zakon nadgraditi. V nadgrajeni obliki ga bomo obravnavali v drugem semestru in ga poimenovali Faradayev zakon. S krogcem v simbolu integrala označimo t.i. zaključen integral. Če gre za integracijo po poti, je to potem integral po zaključeni poti, če pa gre za integracijo po površini, to pomeni integracjo po celotni površini telesa. POTENCIALNA ENERGIJA Slika 8-6: S premagovanjem sile težnosti pridobivamo (gravitacijsko) potencialno energijo. Na sliki je primer profila pete etape kolesarske poti po okolici Grosupelj, ki je primerna za tiste, ki želijo neposredno spoznavati povezavo med delom in energijo ter zakonitosti integralov po zaključeni poti. Vir: http://www.grosuplje.si. Določimo delo, ki bi bilo potrebno za premik enega od nabojev iz prejšnjega primera v neskončnost. Opravljeno delo bi bilo: © D.K., 2019 75 Delo in potencialna energija 8.   2  2 2 Q Q  1  Q  1 1  Q A  QE  d l  Q e  ( e d r)             1 2 4π r r  r 4π  r  4π  r 4π r   (8.5) T r 0 0 r 0 1 0 1 1 1 1 Slika 8-7: Delo pri prenosu naboja od točke T do neskončnosti. Če sta oba naboja pozitivna, pomeni, da je sila med njima odbojna, torej smo morali opraviti določeno delo, da ta naboja spravimo v določeno lego (točko T). Delo, ki smo ga pri tem opravili je enako delu električnih sil pri premiku iz točke T v neskončnost. Lahko rečemo, da je imel sistem (naboj) pred premikom v neskončnost določeno energijo, ki se je nato porabila za prenos. Ta potencialna energija je ravno enaka delu električnih sil za premik naboja v neskončnost. Če uporabimo simbol W za zapis električne potencialne energije, to simbolično zapišemo kot   W ( T ) A ( T T ) e  (8.6) Delo, potrebno za prenos naboja Q od neke točke T do neskončnosti, je enako električni potencialni energiji tega naboja v točki T. Primer izračuna potencialne energije sistema nabojev: Določite elektrostatično potencialno energijo sistema dveh nabojev velikosti 10 Nc, oddaljenih za 1 cm. Izračun: Izračun smo že opravili, saj je ta energija enaka delu polja za premik enega od nabojev od začetne lege do neskončnosti:  2 2 Q  1 1  Q W  A  QE  d l         9μJ . e 1 4π  r 4π r   T 0 1 0 1 1 Komentar: na tem mestu lahko vpeljemo tudi koncept električnega potenciala. POTENCIALNA ENERGIJA SISTEMA NABOJEV Kolikšna pa je energija skupine (sistema) nabojev? Postopamo tako, kot da bi imeli najprej na končnem mestu naboj* Q 1, nato na mesto oddaljeno od Q 1 za r 12 pripeljemo iz neskončnosti naboj Q 2.  Q Q Za to je potrebno delo 1 2 A  QE d l   . Da pripeljemo poleg še naboj Q 1 3 potrebujemo 4π r T 0 12 1 Q Q Q Q delo 1 3 2 3  , saj moramo sedaj opraviti delo tako zaradi sile med Q 1 in Q 3 kot tudi Q 2 in 4π r 4π r 0 13 0 23 Q 3. * Za postavitev naboja Q 1 na določeno mesto ne potrebujemo nobenega dela, saj imamo predhodno sistem brez nabojev in torej brez polja. V nadaljevanju pa seveda vsi nadaljnji naboji prispevajo k polju – delu. © D.K., 2019 76 Delo in potencialna energija 8. Q Q Q Q Q Q Energija sistema treh nabojev bo torej 1 2 1 3 2 3   . V nadaljevanju bomo ta rezultat 4π r 4π r 4π r 0 12 0 13 0 23 prikazali še nekoliko drugače. Slika 8-8: Potencialna energija sistema nabojev. Desno način grajenja potencialne energije z dodajanjem nabojev iz neskončnosti. DELO KOT RAZLIKA POTENCIALNIH ENERGIJ SISTEMA Imamo sistem nabojev porazdeljenih po prostoru in torej določeno električno potencialno energijo. Sedaj premaknemo enega od nabojev iz izhodiščnega mesta T 1 na drugo mesto ( T 2) in pri tem opravimo določeno (pozitivno ali negativno) delo. Če je to delo pozitivno, je delo opravilo elektrostatično polje, energija sistema pa je po premiku manjša kot pred premikom. V nasprotnem primeru (delo negativno) mora delo opraviti neka zunanja sila, kar pomeni, da je končna energija sistema večja kot pred premikom. Delo potrebno za premik naboja od T1 do T2 je enako razliki potencialnih energij sistema nabojev pred in po premiku: ( A T  T )  W ( T )  W ( T ) 1 2 1 2 (8.7) Slika 8-9: Delo električnih sil za premik naboja iz točke T1 do točke T2 je enako razliki potencialnih energij sistema pred premikom (Wpot (začetek)) in po premiku (Wpot (konec)). Na začetku poglavja smo kot primer izračunali delo za premik naboja Q 2 oddaljenega za d od naboja Q 1 na polovično razdaljo. To smo naredili z integracijo sile pri premiku. Sedaj lahko enak rezultat Q Q dobimo s pomočjo zgornje enačbe, saj je začetna energija sistema 1 2 W  , končna pa zac 4π d 0 Q Q Q Q 1 2 W  , delo pa 1 2 A  W  W   , enako kot smo dobili z integracijo. zac 4π d 2 zac kon 4π d 0 0 © D.K., 2019 77 Potencial in napetost 9. 9. Potencial in napetost Vsebina poglavja: Električni potencial - definicija, potencial v okolici točkastega naboja, potencial sistema točkastih nabojev, potencial v okolici zvezno porazdeljenih nabojev, ekvipotencialne ploskve, električna napetost, Kirchoffov zakon. ELEKTRIČNI POTENCIAL Ugotovili smo že, da je električna potencialna energija naboja Q na mestu T enaka delu pri prenosu tega naboja od točke T v neskončnost oziroma do mesta, kjer je energija enaka nič:  T ( V 0) W ( T )  Q E  d l  Q E  d l   . (9.1) T T W ( T ) Normirano potencialno energijo imenujemo električni potencial Q T ( V 0) V ( T )  E  d l  (9.2) T Enota za potencial je J/C = V. Številčno je torej električni potencial enak delu polja električnih sil za premik enote naboja (1 C) od točke T do neskončnosti. Ali obratno: Če poznamo potencial v določeni točki, bo energija potrebna za prenos naboja v polju električnih sil iz neskončnosti do te točke enaka produktu naboja in potenciala: W ( T )  QV ( T ) ali tudi, če se na mestu T nahaja naboj Q (ali pa ga na to mesto postavimo) in ga sila polja premakne do mesta, kjer je polje enako nič, pridobi energijo W ( T )  QV ( T ) . Slika 9-1: Levo: sistem nabojev, zanima nas potencial v točki T. Desno: potencial definiran kot delo za prenos naboja iz točke T v neskončnost. © D.K., 2019 78 Potencial in napetost 9. POTENCIAL V OKOLICI TOČKASTEGA NABOJA Q Določimo potencial v okolici točkastega naboja. Z upoštevanjem definicije za potencial kot normirane potencialne energije, zapišemo (na določeno oddaljenost r od naboja Q postavimo testni naboj Q t in določimo delo, pri prenosu tega naboja od r do neskončnosti):  W ( r) 1 Q Q V ( r)   Q e  e d r   (9.3) t 2 Q Q 4π r r  r 4π r t t r 0 0 Slika 9-2: Levo: zanima nas potencial v okolici osamljenega točkastega naboja. Sredina: izračun potenciala kot delo testnega naboja od točke T proti neskončnosti. Desno: Velikost potenciala v odvisnosti od oddaljenosti od naboja. Ponovimo ta pomemben rezultat: potencial točkastega naboja se z oddaljenostjo od naboja manjša z 1/ r in je enak Q V ( r)  (9.4) 4π r 0 90 80 70 V 60 l / k 50 iacn 40 teoP 30 20 10 0 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Razdalja / m Slika 9-3: Porazdelitev potenciala v okolici točkastega naboja v preseku (levo) in v 3D prikazu (desno), kjer je velikost potenciala prikazana tako z barvo kot z višino. Potencial se v bližini naboja hitreje krajevno spreminja. Tako bi se tudi povečevala energija sistema dveh nabojev, če bi se naboja približevala. Primer izračuna potenciala v okolici točkastega naboja: Določimo potencial v okolici točkastega naboja Q = 10 nC pri r = 1 cm. 9 Q V  m 10 10 C Izračun: Velja 9 V ( r  1 cm)   910  9kV 2 4π r A  . s 10 m 0 (To tudi pomeni, da bi bila energija potrebna za premik naboja 1 C iz neskončnosti do razdalje 1 cm od naboja 10 nC enaka 9 kV  1 As = 9 kJ, energija za prenos naboja 2 nC pa W  2 nC  9 kV 18 μJ .) © D.K., 2019 79 Potencial in napetost 9. POTENCIAL SISTEMA TOČKASTIH NABOJEV Q Ugotovili smo, da je potencial v okolici enega točkastega naboja enak V  , kjer je r razdalja 4π r 0 od točke T, kjer iščemo potencial, do točke, kjer se nahaja naboj Q. Ker velja superpozicija polja, lahko tudi potencial določimo kot superpozicijo posameznih delnih prispevkov normirane energije. Za sistem točkastih nabojev bo torej potencial v točki T enak Q Q 1 N Q 1 2 V ( T )   ... i   , (9.5) 4 r 4 r 4  r 0 1 0 2 0 i 1 i kjer so r 1, r 2 itd razdalje od naboja Q 1, Q 2, itd do točke T, kjer računamo potencial. Slika 9-4: Izračun potenciala v točki T sistema točkastih nabojev. Primer izračuna potencala med dvema točkastima nabojema: Določimo potencial v sredini med dvema točkastima nabojema Q = 10 nC oddaljenima za 2 cm. Q Q Q  V  m Izračun: 1 2 9 9 -1 V    2  29.10 1010 C100 m 18 kV 4π r 4π r 4π 1cm A  . s 0 1 0 2 0 POTENCIAL PRI ZVEZNO PORAZDELJENIH NABOJIH Za porazdelitev točkastih nabojev smo ugotovili, da lahko potencial določimo kot vsoto 1 N Q i V   . (9.6) 4π  r 0 i 1 i Če je porazdelitev naboja zvezna moramo vzeti en mali del celotnega naboja in z limitiranjem vsote delnih prispevkov dobimo 1 N Q  d Q V  lim i    oziroma 4π    Q  r r i 4π 0 0 1 i po vseh 0 Q-jih d Q d V  4π r . (9.7) 0 r je razdalja od mesta, kjer se nahaja d Q do točke kjer iščemo potencial. Odvisno od načina porazdelitve naboja (po površini, volumnu, liniji) določimo potencial kot © D.K., 2019 80 Potencial in napetost 9. d V V  (9.8)  4π r V 0  d A V   4π r A 0 q d l V   4π r L 0 Slika 9-5: Izračun potenciala porazdeljenega naboja s seštevanjem (integracijo) delnih prispevkov naboja . Na sliki je narisan diferencial naboja, točka T kjer računamo potencial in razdalja r od d Q do točke T. Primer izračuna potenciala porazdeljenih nabojev: Izračunajmo potencial vzdolž Z osi za enakomerno naelektren tanek obroč polmera a z nabojem Q, ki leži v ravnini z = 0. d q l Ker je naboj porazdeljen enakomerno po obroču lahko uporabimo enačbo V   , ki jo 4π r L 0 Q 2 a 2π qa d Q zapišemo v obliki 2π a V     . 2 2 2 2 2 2       0 4π a z 4π a z 4π a z 0 0 0 Ugotovimo lahko, da je način računanja potenciala podoben računanju električne poljske jakosti, le da je običajno nekoliko bolj preprosto. Predvsem zato, ker je potencial skalarna veličina, polje pa vektorska. Pogosto zato električno polje določimo posredno, tako, da najprej izračunamo potencial, nato pa iz potenciala še električno poljsko jakost. Kako, bomo spoznali v nadaljevanju. POTENCIALNO POLJE JE SKALARNO POLJE Potencial lahko določimo v vsaki točki prostora neodvisno od porazdelitve nabojev, enako, kot je veljalo za električno poljsko jakost. Je pa za razliko od električnega polja, ki je vektorsko polje, potencial skalarna veličina in tvori skalarno polje. EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE Če povežemo točke z enako velikostjo potenciala dobimo ploskev, ki jo imenujemo ekvipotencialna ravnina ali bolje ekvipotencialna ploskev. V primeru osamljenega točkastega naboja so ekvipotencialne ploskve krožnice, oz. v 3D površine krogle. Običajno jih rišemo tako, da je razlika potencialov med vsako naslednjo ploskvijo konstantna. © D.K., 2019 81 Potencial in napetost 9. Primer določitve ekvipotencialne ploskve v okolici točkastega naboja Q = 10 nC. Q Ugotovili smo že, da velja za potencial v okolici točkastega naboja enačba V ( r)  . Ugotovili 4π r 0 smo tudi, da je ta potencial na razdalji 1 cm enak V ( r  1 cm)  9 kV . Potencial 9 kV je torej enak v vseh točkah, ki so od točkastega naboja oddaljeni za 1 cm, kar prikažemo z lupino krogle (v 2D z krožnico) polmera 1 cm. Kje pa se nahajajo ekvipotencialne ploskve s potenciali 8 kV, 7 kV itd.? Preprosto: enačba, ki jo je potrebno rešiti za ekvipotencialno ploskev s potencialom 8 kV bo Q 9 10 10 10    8 kV   r  Q / 8 kV4π  9 9  m  0,01125 m = 1,125 cm 8kV 0 3 4 r 8 . 10 0 8kV 8 Naslednja ekvipotencialna ravnina bo pri r = 1,125 cm  1, 285 cm itd. V splošnem nas 7kV 7 zanimajo ekvipotencialne ploskve, katerih potenciali se razlikujejo za konstantno razliko napetosti, v našem primeru za 1 kV). Za ekvipotencialne ploskve v okolici točkastega naboja lahko ugotovimo, da se vrstijo v geometrijskem zaporedju. Slika 9-6: Prikaz ekvipotencialnih ploskev v okolici točkastega naboja. Ugotovimo, da je razmik med ekvipotencialnimi ploskvami manjši v bližini naboja, kar je v skladu z 3D prikazom na (Slika 9-3). (V osnovi ekvipotencialne ploskve niso krožnice pač pa bi bile površine krogel torej nekakšne lupine v okolici točkastega naboja) Slika 9-7: Grafično na več načinov lahko prikazujemo ekvipotencialne ploskve. Na podoben način so npr. določene izohipse, kot točke z enako višinsko razliko. Na sliki levo je razviden profil različnih vzpetin in ustrezne izohipse. Vir: HTTP://WWW.O-4OS.CE.EDUS.SI/GRADIVA/GEO/ZEMLJEVID/VSE.HTM. Podobno lahko pri razlagi vremena uporabljamo izobare (črte z enakim pritiskom), lahko tudi druge veličine, pomembne za razlago vremena: temperatura, hitrost dviganja vetra. Vir: HTTP://WWW.PRO-VREME.NET/INDEX.PHP?ID=107. © D.K., 2019 82 Potencial in napetost 9. Slika 9-8: Simulacija porazdelitve ekvipotenticialnih ploskev in silnic. Na spletni strani lahko premikate in dodajate naboje ter opazujete spremembe: http://tinyurl.com/equipot-lines . Dodaten komentar: ekvipotencialne ploskve se sicer pravilno izrisujejo, ni pa med sosednjimi enaka napetost, kar je sicer običaj pri risanju ekvipotencialnih ploskev, saj iz tega, kjer so bolj zgoščene razberemo področja z večjim električnim poljem. ELEKTRIČNA NAPETOST Ugotovili smo že, da lahko delo potrebno za premik naboja med dvema točkama določimo iz razlike potencialne energije sistema nabojev pred in po premiku. Če to delo opravi testni naboj 1 C govorimo o električni napetosti med dvema točkama. Električna napetost je torej številsko enaka delu polja električnih sil potrebnem za prenos enote naboja iz točke T1 do točke T2: T 2 Q E  d l  t T 2 A ( T  T )  Q W ( T ) W ( T ) 1 2 t 1 2 T 1 U     E d l  . (9.9) 12 Q Q Q t t t T 1 Električna napetost je torej enaka razliki potencialov:   T 2 U  V ( T )  V ( T )  E d l  E d l  E d l    . ELEKTRIČNA NAPETOST (9.10) 12 1 2 T T T 1 2 1 DRUGI KIRCHOFFOV ZAKON Ugotovili smo, da električno napetost med dvema točkama določimo z integracijo električne poljske jakosti po poljubni poti od ene do druge točke. Obenem smo ugotovili, da je ta integral enak nič, če je pot zaključena sama vase (glej Zakon potencialnosti, str. 75) . Torej bi lahko pisali: T T T T 1 2 3 1 E  d l  E  d l  E  d l  E  d l       E  d l  U  U      U  0      1 2 N L T T T T 1 1 2 N 1  Vsota vseh napetosti po zaključeni poti (zanki) je torej enaka nič, kar imenujemo tudi 2. Kirchoffov zakon: N   U 0 i (9.11) i 1  © D.K., 2019 83 Potencial in napetost 9. OSNOVNI PRIMERI IZRAČUNA NAPETOSTI, POLJA IN POTENCIALA ZA: PLOŠČATI, VALJNI IN SFERIČNI KONDENZATOR DVE RAVNI VZPOREDNI NAELEKTRENI PLOŠČI: PLOŠČNI KONDENZATOR Ravni vzporedni plošči površine A = 58 cm2 sta oddaljeni za d = 10 cm in imata naboj  Q  2  0 nC . Določimo polje, potencial in napetost med ploščama, pri čemer predpostavimo homogenost polja med ploščama (polje neskončnih naelektrenih ravnin). Mikroelektronska industrija uporablja tehnologijo mikromehanske obdelave (MEMS) za realizacijo mikronskih struktur. Na sliki integracija merilnika pospeškov, z elektroniko. Merilnik pospeškov je v osnovi sestavljen iz niza ploščnih kondenzatorjev. Slika 9-9: Levo: dve ravni nasprotno naelektreni plošči Ene stranice so fiksno vpete, druge pa se postavljeni v koordinatni sistem z normalo v smeri osi x. Desno: lahko premikajo. Z merjenjem spremembe kapacitivnosti lahko določimo hitrost napetost in polje med dvema ravnima (nasprotno) naelektrenima spremembe – pospešek. ploščama. http://www.aero.org/publications/helvajian/ . Plošči postavimo v koordinatni sistem, recimo tako, da je Pospeškometre uporabljamo v avtih za normala na površino v smeri osi X in da ima leva elektroda zaznavanje trkov, v prenosnih telefonih za zaznavanje premikov, nagibov, itd. pozitivni naboj. Ob predpostavki enakomerne porazdelitve Q 20 nC naboja je   . Dobimo 2    5 μm/m . A 2 40 cm   Električno polje med ploščama je superpozicija polj dveh plošč in je enako* E  e  2  e . x 2 x   0 0 Napetost med ploščama dobimo z integracijo polja med ploščama: T 2 d   U  E  d l  e  e d x  d   x x   T 0 0 0 1 * Tu smo predpostavili polje v okolici dveh naelektrenih ravnin. V resnici sta dve vzporedni plošči omejenih dimenzij, zato velja aproksimalcija le delno, torej predvsem tedaj, ko je površina plošč velika v primerjavi z razdaljo med ploščama. © D.K., 2019 84 Potencial in napetost 9. 6  2 5 10 A  s/m Izračun: U  0,1m  56,5 kV .  A  s 12 8,854 10 V  m  Iz primera ugotovimo, da je električna poljska jakost med ploščama konstantna in enaka  E   . Takemu polju, ki je enako usmerjeno in konstantno rečemo tudi homogeno polje. 0   Če v enačbi za napetost med ploščama zamenjamo  E  , dobimo 0 U U  Ed oziroma E  . (9.12) d To sta enačbi, ki ju poznamo že iz srednješolske fizike. Ugotovimo lahko, da sta enačbi ustrezni za izračun polja ali napetosti, vendar le v tem konkretnem primeru, torej, za polje oz. napetost med dvema ravnima enakomerno naelektrenima ploščama. To seveda ne zmanjšuje pomembnosti izraza, pač pa velja le kot opozorilo, da se ga ne bi uporabljalo nekritično. Če polje med dvema točkama ni homogeno, je potrebno napetost med točkama izračunati s pomočjo integrala električne poljske jakosti po poti. To bomo prikazali z naslednjim primerom (koaksialni kabel). Določimo še potencial med ploščama ploščnega kondenzatorja: če ozemljimo desno elektrodo (elektrodo, ki ima negativni naboj), bo potencial med elektrodama ( V ( x  d )  0, V ( x  0)  U ): d   V ( x)  e  e dx  ( d  x)  . (9.13) x x   x 0 0 Ker je polje med ploščama konstantno, se potencial (po pričakovanju) spreminja linearno. Če ozemljimo levo elektrodo, bo potencial med elektrodama: 0   V ( x)  e  e dx    x  . V ( x  0)  0, V ( x  d )  U  (9.14) x x   x 0 0 Slika 9-10: Levo: ekvipotencialne ploskve med in v okolici dveh nasprotno naelektrenih ravnih plošč. Ugotovimo, da so med ploščama ekvipotencialne ploskve enakomerno razmaknjene, v okolici pa ne (bolj goste so ob robovih elektrod). Desno: vektorji električne poljske jakosti skupaj z ekvipotencialnimi ploskvami in velikostjo električne poljske jakosti (večje polje bolj rdeča barva). Za lažje opazovanje so vektorji polja prikazani enako veliki neodvisno od velikosti polja. © D.K., 2019 85 Potencial in napetost 9. KOAKSIALNI KABEL (VALJNI KONDENZATOR) Med žilo in oklopom zračnega koaksialnega kabla je napetost 2 kV. Določimo linijsko gostoto naboja na žili in oklopu ter maksimalno električno poljsko jakost, če je polmer žile r n = 2 mm, r z = 5 mm. Oklop in žila sta iz prevodnega materiala. Koaksialen kabel za visokofrekvenčni prenos signalov ima več dielektričnih omotov. http://www.smarthome.com/851081.html Slika 9-11: Koaksialni kabel s priključitvijo napetosti med oklopom in žilo. Izračun: Najprej moramo predpostaviti enakomerno porazdelitev naboja na žili in oklopu. Predpostavimo pozitivni naboj na žili (+ q) in negativni na oklopu ( -q). Električno poljsko jakost med žilo in oklopom določimo s pomočjo Gaussovega zakona. Na neki razdalji r od osi kabla izračunamo pretok el. polja skozi plašč valja (na velikost polja na radiju r vpliva le zaobjeti naboj). Dobimo enačbo, ki je identična enačbi za polje v okolici preme elektrine (naelektrene premice) *: ql q E  2π rl  in E  oziroma r  r 2π r 0 0 q E  e . (9.15) r 2π r 0 Ali je površinska gostota naboja enako velika na oklopu in na površini žile? Odgovor je NE. Enako velik je celotni naboj, za gostoto naboja pa velja: Q( r )   2π r l  Q  ( r )    2π r l , torej bo n n n z z z r n     . (9.16) z n rz * Podobno bi izvajali, če bi izhajali iz enakomerne površinske gostote naboja na površini žile  ( r  r )   : n n  ( A r )  2 r l  r  r E  2π n n rl  n n n n E   n n E  e r  in r oziroma . Enačba je seveda enakovredna prejšnji, saj velja 2 rl  r r  r 0 0 0 0 Q  ql   2π r l , oziroma q   2 r . n n n n © D.K., 2019 86 Potencial in napetost 9. r 2 mm 2 V konkretnem primeru bo torej n           . z n n r 5 mm 5 n z Pogosto nas zanima tudi gostota površinsko porazdeljenega naboja. Iz izpeljanih enačb dobimo q  2π r  E( r ) n n n    oziroma    E( r ) . (9.17) n 2π r 2π r  n 0 n 0 n 0 n 0 Da bi lahko določili q ali  , moramo zapisati še izraz za napetost med žilo in oklopom. Napetost med oklopom in žilo dobimo z integracijo polja med kontaktoma: r r z z q q r U  E  e d r  e  e d r  ln z   (9.18) r r 2π r  r 2π r r r 0 0 n n n Porazdelitev potenciala je odvisna od izbire mesta ničelnega potenciala. Če pripišemo potencialu oklopa potencial nič, torej V ( r )  0 , bo potencial v poljubni točki znotraj kabla z rz q r V ( r)  E  e d r  ln z  . (9.19) r 2π r r 0 Znotraj žile ni polja (kar lahko pokažemo z Gaussovim stavkom), potencial je torej v notranjosti žile enak kot na površini. Podobno lahko pokažemo tudi za oklop. In še izračun linijske gostote naboja (iz enačbe za napetost):  A s 12 2π8,854 10 2π  0 3 V m q  U  210 V   0,121μC/m . r 5 mm 0 ln ln r 2 mm n Električno polje je maksimalno pri najmanjšem radiju, torej pri r n: 3 q U 2 10 V E  e  e max r r E  1,09MV/m max 2π r r 0 z n  5 3 r ln n 2 10 m ln rn 2 Ponovimo pomembne rezultate iz tega primera: q r Napetost med žilo in plaščem koaksialnega kabla je U  ln z , 2 r 0 n q  r Električno polje je E  e ali n n E  e r 2 r r  r 0 0 U oziroma izraženo z napetostjo E  er . r r  ln z rn Površinska gostota naboja pri r    n je E( r ) . n 0 n © D.K., 2019 87 Potencial in napetost 9. Izračun in izris poteka potenciala in polja znotraj koaksialnega kabla: 6 x 10 2000 2 ] /m ] t [Vs l [V o ia k c 1000 n 1 jaa te k o ljs P o l. p E 0 0 0 0. 0 5 1 1. 1 5 2 2. 2 5 3 3. 3 5 4 4. 4 5 5 -3 Razdalja [m] x 10 1 Slika 9-12: Električna poljska jakost in potencial znotraj koaksialnega kabla. % PRIMER IZRISA POLJA IN POTENCIALA KOAKSIALNEGA KABLA S PROGRAMOM MATLAB % Koaks_E_V.m e0=8.854e-12; U=2000; rn=2e-3; ro=5e-3; q=U*2*pi*e0/(log(ro/rn)); R=0:1e-5:ro; E=zeros(length(R),1);V=E; E=q/(2*pi*e0)./R; V=q/(2*pi*e0)*log(ro./R); for i=1:1:length(R) if R(i): e v  v  . Po trku z atomom se z t me elektron odbije v naključno smer, zato je začetna hitrost v povprečju enaka nič, celotna povprečna hitrost pa je enaka Q E e v  t . t je povprečni čas med trki in ga označimo s  . Za kovine je ta velikosti 10-14 s, za pline pa 10-9 s. me Povprečni hitrosti pogosto s tujko (angleško) rečemo hitrost drifta, po slovensko bi morda prevedli v hitrost odnašanja. Pišemo torej lahko Q E e v   , od koder razpoznamo zapisano linearno zvezo med povprečno hitrostjo in električno d me Qe poljsko jakostjo v   E , kjer je mobilnost enaka    . me © D.K., 2019 188 Tokovno polje 20. Konstanto  (mi) imenujemo mobilnost in je snovna lastnost (tako kot električna susceptibilnost oz.       relativna dielektrična konstanta). Izpeljimo enoto za mobilnost:     2 m V m         s  m   Vs  . OHMOV ZAKON V DIFERENCIALNI OBLIKI Z upoštevanjem zveze med povprečno hitrostjo gibanja nabojev in električno poljsko jakostjo, lahko gostoto toka zapišemo kot     J v E (20.10) oziroma J   E , OHMOV ZAKON V DIFERENCIALNI OBLIKI (20.11) kjer konstanto*  (gama) imenujemo specifična električna prevodnost in je enaka†    . Dobili smo pomemben izraz, da je gostota toka v prevodnikih sorazmerna električni poljski jakosti. Tak tip toka imenujemo konduktivni (prevodni), ker z njim ustrezno opišemo prevajanje toka v prevodnikih. Konstanto sorazmernosti imenujemo specifična električna prevodnost (gama), celoten izraz pa kar Ohmov zakon v diferencialni obliki. Poglejmo zakaj: Vzemimo pravokoten kos prevodnika dolžine l in preseka A z znano specifično prevodnostjo. Med konca prevodnika priključimo napetost. Znotraj prevodnika je homogeno električno polje, iz zveze za l napetost U  E  d l  pa dobimo: 0 l l l l l J I I I U  E  dl  E  dx  d x  d x  d x  l        . (20.12) A  A  A 0 0 0 0 0 ali pa takole: * Pogosto v tuji (posebno angleški) literaturi za specifično električno prevodnost namesto simbola  zasledimo simbol . Mi smo  že uporabili za površinsko gostoto naboja, zato v izogib nevarnosti zamenjave uporabimo . Je pa tako, da se pogosto podvajanju enot ne moremo izogniti, pravilen pomen je pač potrebno razbrati iz konteksta. † Izraz    lahko zapišemo tudi drugače, če gostoto nabojev izrazimo s koncentracijo mobilnih elektronov n:   nQe 2 nQ  . Sledi e   . Ta izraz sicer ne da točnih vrednosti za specifično prevodnost, saj je vendarle nekoliko poenostavljen, m kljub temu pa je iz njega razvidno, da imajo snovi z večjo koncentracijo prostih elektronov večjo specifično prevodnost. Poleg tega večja masa pomeni manjšo prevodnost, kar je predvsem pomembno pri prevajanju ionov. Poleg tega se povprečni čas trkov manjša z višanjem temperature, saj tedaj atomi bolj vibrirajo in so trki v povprečju pogostejši. © D.K., 2019 189 Tokovno polje 20. E 1 U A I  J  d A  d A  d A  U      (20.13) l  l A A A Slika 20-7: Pravokoten kos prevodnika priključen na vir napetosti (levo) lahko modeliramo kot vezje z uporom, priključenim na vir napetosti. Če dobljen izraz zapišemo nekoliko drugače, prepoznamo Ohmov zakon v znani (integralni) obliki: I l U  l  I  IR  , (20.14) A  A kjer je l R   A (20.15) električna upornost. Enota je  (Ohm). Določimo še enoto za specifično prevodnost. Če je enota za upornost Ohm, potem ugotovimo, da 1 S lahko specifično prevodnost izrazimo kot , pogosto tudi kot (Siemens na meter). Ω m m Iz enačbe za upornost je razvidno, da je upornost med dvema elektrodama odvisna tako od električnih kot geometrijskih lastnosti. Enako smo ugotavljali tudi za kapacitivnost. Inverzno vrednost od specifične prevodnosti imenujemo specifična upornost (enota je .m): 1  l   R   , . (20.16) A Običajno je podana ena ali druga vrednost, v določenih primerih (predvsem v elektrolitih) pa mobilnost nabojev. Tu je potrebno ločiti način prevajanja v tekočinah in prevodnikih. V tekočinah prevajajo tako elektroni kot ioni (pozitivni in negativni), medtem, ko v prevodnikih prevajajo samo elektroni. Obstajajo tudi posebne snovi, ki jim rečemo polprevodniki, pri katerih lahko električne lastnosti spreminjamo z dodajanjem primesi. Kos kristala silicija je izolator, zelo slab prevodnik, ki pa lahko postane dober prevodnik, če mu dodamo primesi. To dodajanje poteka pri zelo visokih temperaturah, nad 1000o. Način prevajanja je odvisen od tipa dodanih primesi. Če je dodana snov fosfor (pri čemer se med kristalno rešetko silicija le vsake toliko vrine kakšen atom fosforja), © D.K., 2019 190 Tokovno polje 20. imenujemo tak tip polprevodnika n-tip, saj vsebuje določeno število šibko vezanih elektronov, ki se lahko (dokaj) prosto gibljejo ob priključeni napetosti. Če dodamo siliciju atome bora se v kristalno rešetko silicija vrinejo atomi bora, ki ustvarijo pomanjkanje elektronov, kar imenujemo vrzel. Izkaže se, da tudi takšno pomanjkanje elektronov lahko deluje kot prevodnik. V polprevodniku prevajajo tako elektroni kot vrzeli. Primer izračuna upornosti palice: Specifična prevodnost bakra je 5,7 107 S/m. Določimo upornost ravne palice pravokotnega preseka stranic 1x2 mm2 in dolžine 5 m. l Izračun: Uporabimo enačbo R   in določimo upornost A 5 m R   44 mΩ 7 6  2 5, 7 10 S/m  2  . 10 m Primer izračuna napetosti koraka pri udaru strele: Določimo napetost koraka pri udaru strele s tokom 20 kA, če je čovek oddaljen za r 1 = 15 m stran od udara. Specifična prevodnost zemlje je 10-4 S/m, razdalja koraka je s = 0,8 m. Izračun: Predpostavimo homogeno porazdelitev gostote toka, ki je na radiju r od mesta udara strele v tla enaka I I I J ( r)    . Ker je gostota toka vektorska 2 2 ( A r) 4π r 2π r 2 I J I veličina, jo kot vektor zapišemo kot J  e   r . Iz Ohmovega zakona sledi polje E e 2 2π r r 2  2π r . r r r 2 2 2 I I d r I  1 1  Napetost koraka je U  E  dl  e  e d r         . 12 r 2 r 2 2 r 2 r 2 r r  s   r r r 1 1 1 1 1 I s U   107 kV 12 2π r ( r  . s) 1 1 Iz primera smo ugotovili, da lahko nastopi pri udar strele ob razkoraku do precej velike napetosti med stopaloma. Ta je lahko v določenih primerih tudi nevarna za človeka (in živali). Po preprosti enačbi za 200  (Ω  m) izračun še dovoljene napetosti koraka* U  , ki da približno 10 kV pri izbrani koraka,max čas trajanja specifični prevodnosti, ugotovimo, da smo pri 15 m znotraj nevarne cone. Ocenimo lahko varno razdaljo, pri čemer bomo predpostavili r s (sicer bi morali rešiti kvadratno enačbo): 1 I s I s U   r  . Za U koraka,max 2 1,min koraka,max = 10 kV dobimo kritično 2 r 2 U 1,min koraka,max razdaljo približno 50 m. Pri toku 1 kA je ta razdalja 16 m, pri 200 kA pa kar 160 m. * Z.Cheng: »Calculation of step voltage near lightning current«, IEEE 2004. © D.K., 2019 191 Tokovno polje 20. Pri manjših specifičnih upornostih tal je maksimalna (kritična) napetost koraka manjša, kljub temu pa je varnostna razdalja večja2. Primer izračuna ozemljitvene upornosti: Izračunajmo ozemljitveno upornost, če je ozemljilo v obliki prevodne polkrogle v zemlji s specifično prevodnostjo 10-4 S/m. Polkrogla ima polmer 0,5 m. Izračun: Predpostavili smo določen tok I v kroglo, ki povzroči med I  1 1  točkama T    1 in T 2 napetost U  . Napetost med 12 2π r r  1 2  I površino krogle in neskončno okolico  r  r , r   bo torej U  , torej bo upornost 1 0 2  0 2π r 0 U 1 ozemljila enaka 0 R    . Za izbrane vrednosti je upornost ozemljila enaka 3,2 k. To je I 2π r 0 kar velika vrednost za ozemljitveno upornost, ki naj bo v praksi čim manjša; v praksi se smatra kakovostna ozemljitev z upornostjo manjšo od 5 . Pri izbrani specifični prevodnosti zemlje bi bil potrebni polmer krogle za 5  ozemljilo kar 320 m. Kar seveda ni smiselno ozemljilo. V praksi se okoli objekta položi ozemljitvena žica ali mreža, če pa je specifična prevodnost tal večja, zadostuje tudi posebno oblikovan ozemljitveni klin. V posebnih primerih se specifično prevodnost tal lahko poveča z določenimi substancami, ki se jih vlije v področje ozemljitve in strnjene predstavljajo lokalno povečano specifično prevodnost tal. Specifične prevodnosti tal se gibljejo od vrednosti nekaj deset mS/m (močvirna tla) do 0,1 mS/m (skalna tla). TUDI ZANIMIVO: Merjenje specifične prevodnosti tal, merjenje ozemljitvene upornosti. TEMPERATURNA ODVISNOST SPECIFIČNE UPORNOSTI V nekaterih primerih je zaželeno, da se uporovne lastnosti s temperaturo čim bolj spreminjajo. Če jih na primer izkoriščamo za določanje temperature. V drugih pa je nezaželena, saj spreminja pogoje delovanja vezja, itd. Pogosto zadostuje, da uporabimo linearen zvezo, torej, da predpostavimo linearno spreminjanje specifične upornosti s temperaturo: ( T )  ( T ) 1 T  T . (20.17) 0   0    imenujemo temperaturni koeficient, ki je običajno podan pri sobni temperaturi T 0 = 200. Za večino prevodnikov je temperaturni koeficient pozitiven, kar pomeni, da se specifična upornost snovi veča s temperaturo, kar pomeni, da se z višanjem temperature veča tudi upornost prevodnega kosa materiala. To lahko zapišemo kot (zgornjo enačbo množimo z l/A): R( T )  R( T ) 1   T  T (20.18) 0   0   © D.K., 2019 192 Tokovno polje 20. Snovne lastnosti nekaterih prevodnikov: SNOV  (S/m) (Ωm) 1 ( K  ) baker 5,7 107 1,75 10-8 0,0039 zlato 4,1 107 2,44 10-8 0,0034 aluminij 3,5 107 2,86 10-8 0,0041 silicij 3,9 10-4 2,56 103 -0,07 voda 2 10-4 5 103 zemlja 10-5-10-2 105-102 steklo 10-12 1012 guma 10-17 1017 JOULOV ZAKON Joulov zakon opisuje segrevanje v snovi zaradi trkanja elektronov z atomi v snovi. Diferencial dela, ki ga opravi diferencial elektrine d Q v polju E, se pretvori v toplotno energijo l d W  d A  d Q E  d l  d Q  U  . (20.19) t e e 0 d W Moč je definirana kot (časovna) hitrost spreminjanja energije P  , ki je v našem primeru d t d W d Q t P   U  IU . (20.20) d t d t Dobimo že znano enačbo za moč pri enosmernih signalih: 2 2 P  IU  I R  U G . (20.21) Definiramo lahko tudi gostoto moči in sicer kot moč na enoto volumna. V majhnem volumnu je diferencial moči enak d P  p  d V , kjer p imenujemo gostota moči, d V pa je diferencial volumna. Hkrati lahko diferencial moči zapišemo kot d P  d I  d U   J  d A E  d l    J  E  d V . Prikaz gostote moči v lomljenemu vodniku: bolj Gostoto moči lahko torej izrazimo kot produkt »vroča« barva = večja gostota moči. Vektorji gostote toka in električne poljske jakosti, bolj kažejo gostoto toka, ki je večja ob ožinah in natančna izpeljava pa pokaže, da je potrebno ostrih robovih. vzeti skalarni produkt obeh veličin: p  J  E . (20.22) © D.K., 2019 193 Tokovno polje 20. Enota za gostoto moči je W/m3. Z upoštevanjem Ohmovega zakona v diferencialni obliki J   E lahko gostoto toka zapišemo tudi kot 2   p E (20.23) 2 J ali kot p   . Celotno (izgubno) moč v prevodniku določimo kot integral gostote moči v volumnu: P  d p V  J  d E V   . (20.24) V V Ta zapis imenujemo tudi Joulov zakon v integralni obliki. MEJNI POGOJI V TOKOVNEM POLJU Podobno kot pri elektrostatičnem polju, izhajamo iz dveh osnovnih zakonov. Iz J  d A  0  sledi A (podobno kot iz D  d A  0  ), da se ohranja normalna komponenta gostote toka: A J  J n 2 n 1 . (20.25) Če upoštevamo Ohmov zakon v diferencialni obliki  J   E , velja v primeru, da na meji ni prostih nabojev  E   E 2 n 2 1 n 1 (20.26) Slika 20-8: »Lom« gostote toka na meji dveh medijev z različnima prevodnostima. Iz zakona o potencialnosti polja pa sledi, da se ohranja še tangencialna komponenta električne poljske jakosti: © D.K., 2019 194 Tokovno polje 20. J J t 2 t 1  E  E t 2 t 1 oziroma   (20.27) 2 1 Z deljenjem z mejnim pogojem za tangencialno komponento polja dobimo tan( )  1 1  , (20.28) tan( )  2 2 kjer sta kota definirana med normalo in smerjo polja. Iz enačbe ugotovimo, da je v primeru velikih razlik med specifičnimi prevodnostmi dveh materialov (recimo na meji prevodnik/izolator) tok v prevodniku neodvisno od kota gostote toka v izolatorju praktično vzporedna z mejo. Primer izračuna prehoda toka iz izolatorja v prevodnik: Vektor gostote toka je usmerjen pod kotom 1o iz izolatorja z 10  10  S/m na prevodnik s specifično i prevodnostjo 7  10 S/m . Določite kot odklona vektorja gostote toka v prevodniku. p Izračun: 7 tan( ) p 10 S/m 15 0   tan( ) 10    90 . 0 1  0 tan(1 ) 10 S/m p p Tokovna gostota v prevodniku je praktično vzporedna s prevodnikom. MEJNI POGOJ ZA J Če upoštevamo bolj splošno obliko Gaussovega zakona D  d A    , ugotovimo, da mora biti A razlika normalnih komponent gostote električnega pretoka enaka površinski gostoti naboja: D  D   n 1 n 2 (20.29) Pri tem smo upoštevali, da je smer polja iz medija z indeksom 2 v medij z indeksom 1. V tej smeri kaže tudi normala na površino. Ker pa sta normalni komponenti gostote toka enaki (glej en. (20.25)), kar zapišemo kot J  J  J in hkrati velja Ohmov zakon v diferencialni obliki  J   E , iz (20.29) sledi n 1 n 2 n  E   E   1 n 1 2 n 2 in torej     1 2  J     n   . (20.30)  1 2  © D.K., 2019 195 Tokovno polje 20.   Iz enačbe ugotovimo, da bo, razen v posebnih pogojih (ko velja 1 2    ), na meji dveh dielektrikov 1 2 prišlo ob prevajanju toka zaradi razlike med električnimi lastnostmi materialov do presežne ploskovne gostote naboja. Primer izračuna naboja na meji dveh prevodnikov: Vzemimo žico sestavljeno iz kosa bakra, aluminija in bakra. Velja 7   5,6.10 S/m in Cu 7   3,510 S/m . Določimo površinsko gostoto naboja na meji, če teče skozi prevodnike tok z Al gostoto toka 1 A/mm2. Izračun: Vzemimo, da teče tok iz leve proti desni. Na meji Cu/Al bo veljalo  1 1  14  2       J  9,510 C/m 0 n    Al Cu  .Ker je specifična prevodnost aluminija manjša od specifične prevodnosti bakra (dielektričnosti pa sta enaki 1), bo na meji Cu/Al v smeri toka presežek pozitivnega naboja, na meji Al/CU pa negativnega naboja.  1 1  Nadalje lahko ugotovimo, da bo polje na površini enako E   /      J . n 0 n    Al Cu  Dodatno: Če si zamislimo, da je namesto aluminija vmes plast izolatorja z zelo majhno prevodnostjo      i i , bo iz enačbe za površinski naboj   J   E   E , kar je znan izraz iz i Cu  n i n i n   i i elektrostatike. Povzetek:  Zaradi velikih razlik v specifičnih prevodnosti med izolatorjem in prevodnikom, je pri ne- direktnem vpadu gostote toka na prevodnik v prevodniku dominantna tangencialna komponenta gostote polja, v izolatorju pa normalna komponenta električnega polja.  Na meji dveh snovi z različnimi električnimi lastnostmi pride ob prehodu toka iz enega v drug material do kopičenja pozitivnega ali negativnega naboja. Na meji izolator/prevodnik je ta naboj kar enak  E , kar je znan rezultat elektrostatike. © D.K., 2019 196 Tokovno polje 20. DUALNOST TOKOVNEGA IN ELEKTROSTATIČNEGA POLJA Vzemimo dve prevodni telesi, priključeni na enosmerno napetost U. Med telesoma je medij katerega električne lastnosti določata specifična prevodnost in relativna dielektričnost. Prevodni telesi lahko smatramo za ekvipotencialki, električno polje med telesoma se porazdeli v skladu z zakonitostmi elektrostatičnega polja. Obstaja neposredna zveza med gostoto toka in električno poljsko jakostjo: J   E , pa tudi D gostoto pretoka J   E    , torej so gostotne cevke za obe polji enaki. V tem smislu govorimo o dualnosti obeh polj. Če izračunamo porazdelitev električnega polja, poznamo tudi porazdelitev tokovnega polja. Torej mora obstajati tudi neka neposredna zveza med kapacitivnostjo in upornostjo med dvema telesoma: D  dA  E  dA   U Q  A A RC        I U J  dA  E  dA    (20.31) A A  Ponovimo rezultat: RC  . (20.32) Praktična uporaba tega izraza je velika. Vzemimo, da znamo izračunati kapacitivnost med dvema prevodnima telesoma. Potem lahko iz izraza za kapacitivnost zelo enostavno dobimo tudi izraz za upornost. V principu je izraz za prevodnost kar enak izrazu za kapacitivnost, le dielektričnost moramo  zamenjati s specifično prevodnostjo: G  C  . Na primer, kapacitivnost ploščnega kondenzatorja je  A   A  A C  , upornost pa G  C   . d  d   d © D.K., 2019 197 Tokovno polje 20. Primer izračuna s pomočjo dualnosti električnega in tokovnega polja: Med dve prevodni palici okroglega preseka polmera r 0 = 2 mm, razmaknjeni za 2 cm priključimo napetost 10 V in ju potopimo za l = 3 cm v prevodni medij. Izmerimo tok 0,2 mA. Določimo upornost med elektrodama in specifično prevodnost medija. Izračun: V poglavju o okovinjenju ekcipotencialk smo imeli primer dveh nasprotno naelektrenih valjev, kjer smo z upoštevanjem ekscentričnosti določili napetost med valjema kot q  s  d / 2  r  q  d  r  0 U  ln   , brez upoštevanja ekscentričnosti pa 0 U  ln   . Od tod je π s  d / 2  r π r 0  0  0  0  Q ql π l kapacitivnost 0 C    . Iz pogoja dualnosti določimo prevodnost med palicama U U  d  r  0 ln   r  0   π l G  C    . d  r  0 ln   r  0  0, 2 mA π 0,03 m 3  Specifična prevodnost dobimo kot G   20 μS     39,310 m , 10 V  22 mm  ln    2 mm  od koder sledi   509 S/m . © D.K., 2019 198 Tokovno polje 20. * REALNI KONDENZATOR Do sedaj smo ločeno obravnavali kondenzator in upor, čeprav je v realnosti tako upor kot kondenzator element, ki ima med dvema prevodnima kontaktoma snov, katere električne lastnosti so podane z relativno dielektrično konstanto in specifično prevodnostjo. Za obravnavo realnega kondenzatorja moramo vzeti primer časovno spreminjajočega se toka, saj v enosmernih razmerah kondenzator v idealnih razmerah ne prevaja toka, v realnih pa ima določeno upornost in tok prevaja. Realni kondenzator priključimo torej na vir izmenične napetosti u g in določimo tok skozi realni kondenzator. Slika 20-9: Levo: realni kondenzator priključen na vir napetosti Ug. Desno: preprost model realnega kondenzatorja upošteva njegovo notranjo upornost. Zaobjemimo enega od kontaktov kondenzatorja in uporabimo zakon o ohranitvi naboja (kontinuitetno enačbo): dQ J  dA   . (20.33)  dt A Levi člen je enak razliki izstopnega (v kondenzator) in vstopnega toka (iz vira) J d  A  Gu  i  g g , A desni pa poljskemu toku v kondenzatorju, ki je posledica časovne spremembe naboja na površini kontaktov d Q d( Cu ) g  . (20.34) d t d t Velja torej d u g Gu  i  C  . (20.35) g g d t Dobimo diferencialno enačbo (linearno, prvega reda), katere rešitev je zveza med napetostjo in tokom na kondenzatorju. Ugotovimo, da lahko tok skozi kondenzator (enak toku i g) ločimo na dva toka, enega zaradi ohmske upornosti, drugega pa zaradi kapacitivnih lastnosti: d u i( t) g  i  Gu  C g g . (20.36) d t Ta ločitev je seveda lahko samo modelna. Znotraj kondenzatorja je to hkraten in neločljiv pojav. Pri obravnavi kondenzatorja smo že omenili vzporedno, pa tudi serijsko upornost, ki je pomemben podatek za kakovost kondenzatorja. V praksi pa je lahko kondenzator modelno zelo kompleksen element, ki vsebuje več idealnih uporov, kondenzatorjev ter tudi tuljavo. © D.K., 2019 199 Viri napetosti 21. 21. Viri napetosti Vsebina poglavja: elektromotorna sila, generatorska napetost, električni tokokrog, baterije, sončna celica. GENERATORSKA SILA Do sedaj smo se ukvarjali le z učinki električnega polja, ne pa tudi z načinom, kako sploh ustrezno matematično opisati ločevanje naboja in generiranje napetosti. Vzemimo na primer naelektren kondenzator, ki ima ločene pozitivne in negativne naboje. Smer elektrostatičnega polja je od + nabojev proti – nabojem, tako v notranjosti kot v zunanjosti kondenzatorja. Slika 21-1: Naelektren kondenzator z ločenimi naboji in elektrostatičnim poljem v notranjosti in zunanjosti. S pomočjo elektrostatičnega polja ni mogoče ločevati nabojev. Če bi upoštevali le elektrostatično polje ( Ees) za katero velja, da je delo električnih sil po zaključeni poti enako nič E  d l  0  es , ugotovimo, da to polje ne more biti generatorsko, da to polje ni L sposobno ločevanja nabojev, pač pa le združevanja. Torej mora biti neka druga sila, ki omogoča ločevanje nabojev nasprotnega predznaka. Tej sili lahko rečemo generatorska ali razdvajalna sila. V angleškem jeziku se pogosto uporablja izraz electromotive force, poslovenjeno bi ji rekli elektromotorna ali elektro-generatorska sila. Označimo jo z F , pripadajoče električno polje pa g Fg E  g . Vzemimo, da znotraj kondenzatorja deluje generatorska sila, ki je sposobna razdvajanja Q nabojev. Hkrati, ko deluje generatorska sila in razdvaja naboje, se vzpostavlja tudi elektrostatična sila, ki pa je usmerjena v nasprotno smer. Na elektrodah se ustvarja akumulacija naboja, ki je v ravnovesju taka, da je E  E  0 . g es Slika 21-2: V kondenzatorju (bateriji) deluje generatorska sila, ki razdvaja naboje in jih »nalaga« na elektrodi. © D.K., 2019 200 Viri napetosti 21. GENERATORSKA NAPETOST Poglejmo, koliko je integral E  d l , če  L je E sumarna električna poljska jakost, ki vključuje tako generatorsko kot elektrostatično silo. L 1 naj bo pot znotraj, L 2 pa zunaj kondenzatorja, pri čemer naj bo L 2 usmerjena v nasprotno smer. Za elektrostatično polje E es velja E  d l  E  d l  0  E  d l  E  d l .     es es es es L L  L L L 1 2 1 2 Ker pa električno polje v kondenzatorju ni le elektrostatične narave, velja E  d l    E  E          g l E l E l E l U    es  d d d d es es g g , torej velja tudi L   1 L 2 L 1 L 2 L 1 L E  d l  E  d l  U   es es g . L L 1 2 Ali drugače: Znotraj kondenzatorja je elektrostatično polje (v stacionarnem stanju) enako veliko a nasprotno usmerjeno generatorskemu in je torej   E  E  dl  0, preostane del es g 1 L E  dl  U  es g . (21.1) L 2 Generatorska napetost je usmerjena od + naboja proti – naboju, enako kot elektrostatično polje in nasprotno smeri generatorskega polja. Povzetek: Integral E  dl  , ki ne vsebuje le elektrostatične električne poljske jakosti, pač pa tudi sile L drugega izvora, ni nujno enak nič, pač pa neki napetosti, ki ji rečemo generatorska napetost E  dl  U   . (21.2) g L V naslednjem semestru (OE2) bomo ugotovili, da je ta integral različen od nič tudi v primeru časovno spreminjajočega se magnetnega polja skozi zanko. © D.K., 2019 201 Viri napetosti 21. TOKOKROG Slika 21-3: Tokokrog iz generatorskega in bremenskega dela. Desno model ekvivalentnega vezja Zaključimo generator v tokokrog s ploščnim kondenzatorjem s presekom A, razmikom med ploščama l in specifično prevodnostjo  . Ponovno pogledamo, kako lahko razdelamo integral E  d l  0  . es L Integral razdelimo na pot znotraj vira in preko kondenzatorja s prevodnim materialom. Ker je sedaj zaradi toka v tokokrogu E  E  0 , bo znotraj generatorja es g J E  d l  U  E  d g l  U  d l    . Enako velja za integral znotraj prevodnika es g g g  L L L g 1 1 1 J E  d es l  d l   . es  L L R 2 2 Če predpostavimo homogeno polje v preseku A tako za generatorski medij, kot za breme, dobimo: I / A I / A l l E  dl  U   dl  d l  U I   I  0    . es g g    A  A L L g L R g R 1 2 Prvi člen je generatorska napetost, drugi člen predstavlja padec napetosti na notranji upornosti vira, tretji pa padec napetosti na bremenskem prevodniku (uporu):    U IR IR 0 g g R . (21.3) Ugotovimo, da je ločevanje med generatorsko upornostjo in napetostjo mogoče le modelno, v realnosti pa sta ta dva elementa vezij integrirana v eni strukturi. Tak princip generacije naboja si lahko predstavljamo v bateriji (akumulatorju), kjer ločevanje naboja nastopa zaradi elektro-kemijskih reakcij. . © D.K., 2019 202 Viri napetosti 21. * BATERIJE Galvani in Volta. Zanimiva je zgodba nastanka Voltinega izuma, ki je povezana s poskusi Luigija Galvanjija, Voltinega sonarodnjaka, ki je presenečeno ugotavljal, da mrtvi žabji kraki reagirajo na dotik s kovino, kar je razlagal z živalsko elektriko (slika desno). Volta je tej teoriji nasprotoval in trdil, da je to posledica zunanje generirane napetosti. To je tudi dokazal z uporabo elektrike shranjene v Leidenski steklenici ali pa z bimetalom, torej s stikom dveh različnih kovinskih materialov. Dandanes vemo, da smo tudi ljudje sestavljeni iz celic, ki za svoje delovanje uporabljajo elektrokemijske principe in da je prenašanje signalov živčnih celic električne narave. Torej je imel delno Galvani prav, obstaja živalska elektrika, le da je bila njegova interpretacija napačna. V njegovem primeru je bil rezultat trzljaja električni sunek, ki je bil zunanje (ekstrinsično) in ne notranje kreiran. Voltini eksperimenti in dognanja so mu prinesli pomembna priznanja (nagrada Royal Society leta 1791, Copleyeva nagrada leta 1974) in veliko slavo. Raziskave je nadaljeval v smeri povečanja napetosti, ki je bila zelo šibka (manj kot 1 V) in jo je bilo težko zaznati s tedaj najpopolnejšimi elektrometri. Uspelo mu je z zaporedno povezavo skodelic z elektrolitom in bimetalnimi elektrodami. Povezal je diske iz cinka in srebra ter vmes dodal šibko kislino ali slano vodo in dobil Voltino kaskado, pri kateri se je napetost na skrajnih koncih povečevala v sorazmerju s številom uporabljenih členov. Zgodovinsko je morda zanimivo, da je njegovo delo močno podprl Napoleon, ki mu je podelil naziv vitez (Conte) in celo pokojnino. Hkrati je Napoleon, ki se je zavedal pomena novih odkritij, razpisal nagrado 60000 frankov za vsakogar, ki bi dosegel podobne dosežke kot Franklin in Volta. Leta 1881 na prvem internacionalnem električnem (elektrotehničnem) kongresu v Parizu, so v čast Volti po njemu poimenovali enoto za napetost. © D.K., 2019 203 Viri napetosti 21. ZN/CU BATERIJA Vzemimo primer dveh elektrod, ene iz cinka (Zn) in druge iz bakra (Cu). Če med elektrodi vlijemo tekočino, ki ji rečemo elektrolit, med elektrodama zaradi elektrokemijske reakcije nastane t.i. galvanski člen. Če je elektrolit žveplena kislina H2S04, le ta v vodi disociira (tvorijo se ioni) na ione H+ in S0 2- 2- 4 . H+ ioni se nabirajo na bakrovi elektrodi, kjer tvorijo presežek pozitivnega naboja. Ioni S04 se nabirajo na cinkovi elektrodi, tam tvorijo cinkov sulfat in presežek negativnega naboja. Na Cu elektrodi se tvori presežek pozitivnega naboja. Vzpostavi se napetost, ki jo lahko izkoristimo kot generatorski vir napetosti. Ob priključitvi bremena (upora) na baterijo v priključnih žicah steče tok (elektronov), ki zmanjšuje količino generiranega naboja. Elektrokemijska reakcija nadomešča porabo naboja dokler je v elektrolitu dovolj ionov ali dokler se cinkova elektroda ne iztroši.* Slika 21-4: Baterija iz bakrene in cinkove elektrode v elektrolitu iz razredčene žveplene kisline. Na bakreni elektrodi poteka redukcija (poraba e-), na cinkovi pa oksidacija (izločanje e-) Kemijsko bi lahko reakcijo zapisali Zn + CuSO4 = ZnSO4 + Cu. Vodikovi ioni imajo pomanjkanje elektrona, ki priteče iz tokokroga na bakrovo elektrodo preko priključnih žic kot električni tok. Vodikov ion pridobi iz bakrene elektrode elektron in se izloči iz elektrolita. Temu procesu rečemo redukcija. Na cinkovi elektrodi se vrši oksidacija (izločanje presežnih prostih elektronov) pri čemer nastaja cinkov sulfat, ki se useda na dnu posode. Faraday je z eksperimenti ugotovil, da je količina snovi, ki se nabere na elektrodah (v našem primeru baker) sorazmerna toku, ki steče skozi priklopne žice. Količina elektrike, ki je potrebna za en ekvivalent kemične akcije (ki ustreza kemični reakciji potrebni za izločitev 1g vodika iz kisline), je enaka enemu Faradayju, kar ustreza naboju 96494 amperskih sekund. Za zgornjo reakcijo ,v kateri sta udeležena ena enota cinka in ena enota bakra, ustreza generacija naboja 2 F ali 193 988 C. Poskuse s podobno baterijo je prvi delal Alessandro Volta v Italiji, ki se po njem imenuje Voltova celica ali Voltin člen. Kovinske elektrode imajo negativen potencial glede na raztopino. Da bi jih lahko * Priznati je potrebno, da se napetost med dvema različnima kovinama pojavi že brez delovanja elektrolita, torej pri neposrednem stiku dveh kovin. Ta napetost je posledica različnih izstopnih del različnih kovin in je med drugim temperaturno odvisna. Zato stik dveh različnih kovinskih materialov izkoristimo kot senzor temperature. Tak spoj pa ne more delovati kot generator toka, razen v primeru, da na tak spoj delujemo z zunanjo silo. Na primer, da spoj segrevamo ali ohlajamo. © D.K., 2019 204 Viri napetosti 21. primerjali med seboj, jih primerjamo s potencialom t.i. referenčne elektrode, ki je iz platine z dodatki vodika. Tako primerjane elektrodne napetosti so za različne materiale sledeče: zlato 1,5 V platina 1,2 V srebro 0,8 V oglje 0,74 V baker 0,34 V železo -0,44 V cink -0,76 V aluminij -1,67 V Če torej sestavimo t.i. galvanski člen iz elektrode iz bakra in cinka, bo med njima napetost 0,34 V – (0,76 V) = 1,2 V. SVINČEVA BATERIJA – AKUMULATOR Druga znana baterija je svinčeva baterija, v kateri imamo dve elektrodi, eno iz svinca, drugo pa iz svinčevega dioksida. Kot elektrolit nastopa razredčena žveplena kislina. Elektroda iz svinčevega dioksida ima za dobra 2 V višjo napetost od svinčeve. Z vezavo šestih takih celic dobimo baterijo z izhodno napetostjo 12 - 14 V (avtomobilski akumulator). Reakcija, ki poteka je sledeča: na negativni elektrodi: Pb + SO 2- 4 = PbSO4 + 2e na pozitivni elektrodi: PbO2 + Pb + 2H2SO4 + 2e = 2PbSO4 + 2H2O Na obeh elektrodah nastaja svinčev sulfat, kar pomeni, da je ob popolni razelektritvi napetost med elektrodama enaka nič. Kot vemo, je mogoče te tipe baterij ponovno naelektriti, pri čemer s tokom ustvarimo generacijo svinca na eni in svinčevega dioksida na drugi elektrodi. Proces je torej reverzibilen. 2PbSO4 + 2H2O = PbO2 + 2H2SO4 + Pb Slika 21-5: Baterija iz svinčeve elektrode in iz elektrode iz svinčevega dioksida.Na obeh elektrodah ob porabi nastaja svinčev sulfat. Zanimivo je to, da se med razelektritvijo manjša, med naelektritvijo pa veča koncentracija kisline, medtem ko ostane napetost celice več ali manj konstanta. V tem smislu nam merjenje napetosti na akumulatorju ne predstavlja posebno natančnega merila »polnosti«. Slika 21-6: Karakteristika naelektritve in razelektritve baterije (napetost – čas). Vir: T.R. Crompton: Battery reference book, Newnes, 2000. © D.K., 2019 205 Viri napetosti 21. Svinčene baterije so verjetno še vedno najbolj razširjene. Predvsem se uporabljajo v avtomobilski industriji. Njihova prednost pred ostalimi je nizka cena, visoka napetost na celico in »dobra« življenjska doba (mnogokratno polnjenje). Slabosti pa velika teža, slabe nizko-temperaturne lastnosti in ne sme biti v stanju razelektritve za daljše obdobje. V prodaji so tudi t.i. zaprti tip akumulatorjev (suhi), katerih prednost je, da jim ni potrebno dolivati elektrolita / destilirane vode. Pri standardnih svinčenih baterijah namreč lahko posebno pri koncu elektritve ali pri prekomerni naelektritvi pride do elektrolize žveplene kisline, pri čemer se kreirata kisik in vodik, kar v končni konsekvenci lahko škodno vpliva na karakteristiko baterije. Novi tipi baterij omogočajo, da generiran kisik in vodik tvorita vodo. Pri razelektritvi ima svinčeva »celica« določeno notranjo upornost; standardni tip D ima pri napetosti celice 2 V notranjo upornost 10 m. NIKELJ – KADMIJEVE BATERIJE (NI-CD) so mehansko trdne in imajo dolgo življenjsko dobo. Imajo tudi dobro nizkotemperaturno karakteristiko in so hermetično zaprte. Imajo pa višjo ceno kot svinčene ali nikelj-cinkove baterije. V grobem jih po izdelavi delimo na dva tipa: celice z debelimi ploščami v katerih je aktiven material stisnjen v perforiran metalni trak v obliki žepkov ali cevčic in na celice s sintranimi ploščami, v katerih je aktivni material deponiran v porozne reže metala. Posebno slednje imajo majhno notranjo upornost in sposobnost velike obremenitve. Uporabljajo se na primer v biomedicinskih napravah, igračkah, itd. Vsebujejo toksične substance. NIKELJ – METAL – HIDRIDNE BATERIJE Omogočajo večjo gostoto energije (energija na kilogram teže), vendar manjše število ponovnih polnjenj kot nikelj-kadmijeve baterije. LITIJ – IONSKE BATERIJE So trenutno najpogosteje uporabne baterije v prenosnikih, mobilnih in drugih aparatih, kjer je potrebna velika gostota in obnovljivost energije . Litij je najlažji kovinski element, ima zelo velik elektrokemijski potencial in torej omogoča zelo velike gostote energije. Veliko razvoja je bilo potrebnega, da so se odpravile težave temperaturne nestabilnosti litijeve elektrode pri ponovnih polnjenjih, ker je prihajalo do eksplozij baterij. Da bi se izognili težavam, so litij nadomestili z litij-ionsko elektrodo, ki ima sicer nekoliko manjšo gostoto energije, je pa bolj varna. Prve tovrstne baterije so začeli proizvajati in tržiti pri Sony-ju leta 1991. Obstaja več različnih tipov litij-ionskih baterij, ki se predvsem razlikujejo materialu iz katerega sta anoda in katoda. Anoda je najpogosteje iz grafita, katoda pa iz kobalta ali magnezija. Elektrolit je iz litijeve soli (LiPF6, LiBF4, or LiClO4). Napetost ene celice je višja kot pri drugih celicah, običajno med 4,1 V in 4,2 V. Precej pomembno je, da se te napetosti ne preseže. Hitrost polnjenja je približno 3h za 1 C naboja. © D.K., 2019 206 Viri napetosti 21. Slika 21-7: Polnilni tok in napetost za litij-ionsko baterijo. Vir: http://www.electronics- lab.com/articles/li_ion_recon struct/ Običajno litij-ionske baterije potrebujejo določeno zaščitno vezje, ki baterijo izklopi, če je napetost celice večja od 4,3 V ali če temperatura celice preseže 90oC. Tipična življenjska doba Li-ionskih baterij je 300 do 500 polnjenj/praznjenj. Neugodno je, da ob koncu življenjske dobe običajno baterija še vedno kaže visoko napetost, bistveno pa se zmanjša njena kapacitivnost. Poveča se tudi notranja upornost baterije Namesto »klasičnega« elektrolita iz litijevih soli, se v zadnjem času uporablja tudi bolj kompaktne snovi – polimere. Te tipe baterij imenujemo litij-ionske polimerske baterije. Prednost teh baterij je cenejša izdelava, manjši volumen in manjša teža, saj jih lahko oblikujemo v obliki folij (slika desno), pa tudi večja gostota energije (130-200 W/kg in 300 Wh/L). Slika 21-8: Primerjava baterij po gostoti energije, notranji upornosti, času polnjenja, itd. Vir: www.cadex.com © D.K., 2019 207 Viri napetosti 21. Slika 21-9: Levo: primerjava prednosti litijevih baterij pred ostalimi glede na gostoto energije. Desno: napetostne karakteristike v(t) raznih tipov baterij. Vir: T.R. Crompton: Battery reference book, Newnes, 2000. a) b) c) d) Razvoj na področju materialov vsako leto prinese nove izboljšave in možnosti uporabe. Slika zgoraj prikazuje novice na strani https://www.sciencedaily.com/news/matter_energy/batteries/ z dne 6 septembra 2017: a) Magnezijeve baterije bodo morda zamenjale sedaj najbolj uporabljene litij- ionske, saj niso vnetljive in imajo poleg tega veliko gostoto shranjevanja naboja (400 mAh/g). b) Implantabilne baterije so lahko problem , še posebno, če niso biokompatibine, kot npr. trenutno popularne litij-ionske baterije. Kitajskim znanstvenikom je uspelo izdelati fleksibilno baterijo z raztopino natrijevega sulfata (Na2SO4), ki spada med biokompatibilne materiale. Imajo pa te baterije tudi zanimiv stranski učinek, saj pospešujejo pretvorbo raztopljenega kisika v hidroksidne ione, kar pa je lahko zanimivo za biomedicinske aplikacije, kjer se želi z deoksigenacijo doseči spremembo pH-ja in s tem omejevanjem rasti npr. rakavih celic. c) ob raziskavah litij-zrak baterij (Li-CO2) so Kitajski in Japonski znanstveniki ugotovili, da princip delovanja omogoča pretvarjanje izpustov CO2 v zraku v trdno obliko – prašne delce . To pa predstavlja možnost izkoriščanja za čiščenje izpustov CO2-ja v zraku. d) ameriški raziskovalci so razvili baterije, ki delujejo na principu gorivne celice, kjer so “gorivo” biološke celice, ki ob aktivaciji – stiku z elektrolitom v obliki sline generirajo napetost, ki zadostuje za nekaj mikrovatov moči. Možna uporaba je v biomedicinskih “point-of-care” aplikacijah – to so aplikacije, ki omogočajo uporabo neposredno na mestu– ob pacientu. Pa smo spet na začetku – pri Galvaniju in Volti …. © D.K., 2019 208 Viri napetosti 21. * SONČNA CELICA Alternativen vir energije omogoča uporaba sončnih celic. Te postajajo ob zahtevah po uporabi “čistejše” energije vedno bolj zaželene. Zato si na kratko poglejmo osnoven princip delovanja. Spodnja slika prikazuje tipično sestavo sončne celice. Osnova je polprevodniška struktura in na njej formiran t.i. pn spoj, na spodnji strani je metalizirana elektroda, na zgornji pa ima antirefleksni film in grabljasto strukturo zgornje electrode. Slika 21-10: Levo: Sončna celica sestavljena iz polprevodniškega pn spoja. Na površini je antirefleksni sloj, ki povečuje absorpcijo svetlobne energije. Desno: ob stiku p in n tipa polprevodnika pride do prerazporeditve nabojev in vgrajenega električnega polja. Sončni žarki imajo dovolj veliko energijo, da povzročijo generacijo para elektron-vrzel. Če se to zgodi v (osiromašenem) področju električnega polja, se naboja ločita, presežki pa povzročijo tok v sklenjenem tokokrogu. Čist in nedopiran polprevodniški material (recimo Si ali Ge) je izolator. Njegova specifična prevodnost je zelo majhna. Če pa ga dopiramo z določenimi atomi, recimo fosforja (P) ali bora (B), se ti atomi vgradijo v kristalno strukturo silicija. Dopiranje se vrši na zelo visoki temperaturi (čez 1000o C). Z dopiranjem vnesemo v kristalno strukturo silicija atome (primesi), ki s sosednjimi atomi silicija tvorijo nezaključene vezi, kar v končni obliki pomeni, da je v primeru vgrajenega atoma fosforja na mestu fosforja višek elektrona, ki je zelo šibko vezan na atom in je praktično prosto gibljiv. Na ta način lahko s kontrolo množine (koncentracije) dopiranih atomov uravnavamo prevodnost polprevodniškega materiala. Tak tip polprevodnika imenujemo n (negative) tip. Kljub določeni koncentraciji prostih (šibko vezanih) elektronov v snovi, pa je ta material še vedno električno nevtralen. Če podobno dopiramo silicij z atomi bora, tvori atom bora z okoliškimi vezmi silicija nezaključeno vez, kar predstavlja pomanjkanje elektrona, kar imenujemo vrzel. Tak tip polprevodnika imenujemo p (positive) tip. Tudi tak tip polprevodnika je prevoden, le da je mobilnost vrzeli manjša kot mobilnost elektronov. Zanimiv pa je stik dveh polprevodnikov različnega tipa. Ob stiku se tvori t.i. pn spoj. Tu pride zaradi izenačenja potenciala na meji do prerazporeditve nabojev, kar pomeni, da postane del prevodnika na meji brez nosilcev naboja in s tem ne več nevtralen. Ostane vezan naboj, ki ustvari vgrajeno električno polje. To polje kaže od n-tipa proti p-tipu polprevodnika. To vgrajeno polje se veča z večanjem t.i. zaporne napetosti, torej tedaj, ko je na zunanji sponki n-tipa bolj pozitiven potencial kot na zunanji sponki p-tipu polprevodnika. V tem primeru skozi prevodnik teče le majhen, © D.K., 2019 209 Viri napetosti 21. zaporni tok. V nasprotnem primeru pa zunanja napetost povzroči zmanjšanje vgrajenega polja in poveča prevodno progo. Ko zunanji vir vgrajeno polje (pri pn diodi iz Si pri cca. 0,7 V) izniči, postane pn spoj prevoden in tok hitro (eksponentno) naraste. pn dioda je tipičen nelinearen element in osnovni element vseh polprevodniških struktur. Za delovanje sončne celice pomembna generacija parov elektron-vrzel. Če ta generacija, povzročena od absorbcije fotonov, nastopi v osiromašenem področju (kjer je vgrajeno polje), to polje potegne elektrone v nasprotni smeri polja, vrzeli (pozitivni naboj) pa v smeri polja. Ti naboji zmanjšajo vgrajeno polje in hkrati povzročijo presežek negativnih nabojev v n-tipu in presežek vrzeli v p-tipu polprevodnika. Povzročijo neravnotežje, ki ga lahko zmanjšamo, če tako strukturo kratko sklenemo oziroma, če nanjo priključimo določeno breme. Skozi breme steče tok, ki povzroči ponovno vzpostavitev ravnotežja. Če je fotogeneracija konstantna, je konstanten tudi tok, ki teče skozi priključeno breme. Dobimo generator toka. Razvoj sončnih celic ne zastane. Obstaja mnogo različnih materialov (monokristalne, amorfne, polikristalne, ...), ki jih je mogoče uporabiti kot osnovo za sončno celico (glej spodnjo sliko). Bistveno za splošno rabo pa je pravo razmerje med ceno in izkoristkom celice. V iskanju celice s čim večjim izkoristkom je bil nedavno (2018) udeležen tudi Laboratorij za fotovoltaiko in optoelektroniko naše fakultete, saj je podoktorski študent sodeloval pri razvoju heterospojnih tandemskih celic z izkoristkom do 25,5%. Slika prikazuje izboljšave izkoristka različnih tipov sončnih celic s časom. © D.K., 2019 210 * ATMOSFERSKA ELEKTRIKA Ene prvih eksperimentov z atmosfersko elektriko je izvajal Bejamin Franklin. Morda najbolj znanj je njegov eksperiment z zmajem, ki ga je spuščal med nevihtami in na ključu, ki je bil obešen na konec vrvice zaznaval iskrenje. S tem je dokazal, da gre pri atmosferskih pojavih za električne pojave. Iz te ugotovitve sledijo tudi njegovi predlogi zaščite pred udarom strel, na primer z ozemljitvijo (slika desno). Glede na zgodovino elektrotehnike pa je njegov velik prispevek, da je razvrstil električni naboj na le dve vrsti, na pozitivnega in negativnega. Ugotovil je tudi, da je naboj na oblakih negativen, na površini zemlje pa pozitiven. Ta ugotovitev se sklada tudi z današnjimi meritvami, ki pa kažejo, da to večinoma velja le tedaj, ko je nad površino zemlje naelektren oblak, v običajnih vremenskih razmerah (fair weather conditions) pa je površina zemlje negativno naelektrena. Električni pojavi v atmosferi so tako zapleteni, da se še dandanes porajajo različne teorije, še posebno o tem, kako se naelektrujejo in razelektrujejo oblaki. Od obširne literature bi morda veljalo zainteresiranega bralca usmeriti na lekcije E. Philip Kriderja iz Univerze v Arizoni (iz njih so potegnjene slikice) ali pa na knjigo Atmospheric Electrostatics Larsa Wåhlinga (dostopna na spletu). Slika na desni (iz prve lekcije) opisuje osnovne električne pojave v atmosferi: 1) zemlja deluje kot sferični kondenzator; zemlja je pretežno negativno naelektrena, atmosfera je pretežno pozitivno naelektrena, nosilci pozitivnega naboja so aerosoli (majhni delci v zraku, ki so slabo mobilni), 2) na površini zemlje je v običajnih razmerah polje velikosti 100-300 V/m usmerjeno v smeri zemlje, 3) električno polje deluje na naboje v atmosferi, kar zaznamo kot tok pozitivnih nabojev v smeri zemlje. Če je prevodnost atmosphere ocenjena na 2.10-14 1/m in je polje na površini zemlje 200 V/m, je gostota toka 𝐽 = 𝛾𝐸 = 4. 10−12 A/m2. Če to pomnožimo s površino zemlje dobimo celoten tok na površino zemlje cca 2000 A. Gostoto naboja na zemlji dobimo iz 𝜎 = 𝜀0𝐸 ≅ 2. 109 A , m2 celoten naboj je tako 𝑄 = 𝜎𝐴 = 106 C. Površina zemlje se torej očitno s časom razelektruje in to s tokom 2000 A. 𝑄 106 C Torej bi se morala razelektriti v času (iz 𝑄 = 𝐼. 𝑡 sledi ) 𝑡 = = = 500 s. To se očitno ne 𝐼 2000 A zgodi, torej mora biti nekj mehanizem stalnega elektrenja zemljinega ozračja oziroma neka generatorska sila, ki to omogoča. (Kot vemo iz teorije, to ne more biti elektrostatično polje). Ena od možnosti je, da se to dogaja ob pojavu strele, ko se razelektri naboj med oblakom in zemljo, se v resnici tudi naelektri atmosfera. To teorijo prikazuje slika C.T.R. Wilson-a iz leta 1920 (C. Saunders, Charge Separation Mechanisms in Clouds). Negativni naboj na spodnjem delu oblaka se v obliki strele © D.K., 2019 211 razelektri na površini zemlje, ki je zaradi elektrostatične indukcije pozitivno naelektrena. Ta t.i. konvektivna teorija izhaja iz vedenja, da nad površino zemlje prevladujejo pozitivno naelektreni delci, ki se v običajnih vremenskih razmerah s konduktivnim tokom razelektrujejo na površino zemlje, ob nastanku oblakov pa jih konvekcija dvigne v oblake. Tam se pritrdijo na delce v oblaku, hkrati pa ti pozitivni naboji pritegnejo negativne naboje iz ozračja, ki se kot koprena navlečejo okoli pozitivnih nabojev. Ta negativni naboj se že bolj približa površini zemlje in še poveča količino pozitivnih nabojev v ozračju pod oblakom in njihovo dodatno konvekcijo. Poleg te teorije je trenutno najbolj uveljavljena t.i. ne- indukcijska teorija znan tudi kot (Reynolds, Brook, Gourley proces). Ta izhaja iz vedenja, da se v nevihtnih oblakih združujejo ledena zrnca v večje delce (sodra), ki zaradi teže padajo proti tlem, ob tem pa trkajo z drugimi zmrznjenimi delci, pri čemer (triboelektrenje) pride do prerazporeditve naboja. Pri temperaturi pod -15 stopinj naj bi se sodra naelektrila bolj negativno in se zadrževala v sredini oblaka, pozitivno naelektrene snežinke pa naj bi prevladovale v zgornjem delu oblaka. Pri temperaturi večji od -15 stopinj pa naj bi bil proces naelektritve obrnjen. Iz tega izhaja več načinov razelektritve. Naelektrenost oblakov ima namreč lahko različne oblike; običajno je dipolarna (ločena + in – področja), lahko pa tudi tripolarna ali še bolj kompleksna. Večina razelektritev je “negativnih”, to pomeni, da se razelektri negativni naboj v oblaku. Občasno pa je lahko razelektritev tudi “pozitivna”, ko se razelektri pozitivni naboj v oblaku. Slednje naj bi bile pogosto po velikosti toka celo mnogo večje od negativnih. Ugotavljanje porazdelitve naboja v oblakih ni ravno enostavno. Običajno se v ta namen uporablja letala ali balone, ki imajo ustrezno merilno opremo. Porazdelitev naboja v oblaku se ne meri neposredno, pač pa se jo določa posredno, preko merjenja električnega polja. Slika spodaj prikazuje še nekoliko bolj kompleksno obliko porazdelitve nabojev znotraj nevihtnega oblaka (Stolzenburg M., Marshall T.C. (2009) Electric Field and Charge Structure in Lightning- Producing Clouds v knjigi Lightning: Principles, Instruments and Applications. Springer). Na desni je izmerjena električna poljska jakost na področju vzgornika (updraft) in iz nje izpeljana porazdelitev potenciala (integral polja). Porazdelitev naboja sledi iz uporabe Gaussovega zakona. Kot zanimivost, © D.K., 2019 212 se največje izmerjene vrednosti polja znotraj nevihtnega oblaka gibljejo okoli vrednosti 300 kV/m, kar pa je 10x manj, kot je prebojna trdnost zraka (3000 kV/m), ki naj bi bila potrebna za iniciacijo preboja –torej začetek nastanka strele.... Torej, raziskovanja atmosferske elektrike še zdaleč ni konec. © D.K., 2019 213 3 DEL: ENOSMERNA VEZJA © D.K., 2019 214 Enosmerna vezja – osnovni zakoni 22. 22. Enosmerna vezja – osnovni zakoni Vsebina poglavja: elementi enosmernih vezij, Ohmov zakon, Kirchoffova zakona. Enosmerna vezja so vezja, v katerih so vsi viri konstantni – enosmerni. Načeloma ta vezja lahko vsebujejo tudi kondenzatorje in tuljave, vendar pri analizi enosmernih vezij v stacionarnem stanju smatramo, da toka skozi kondenzator ni, medtem ko pri tuljavi upoštevamo le njeno ohmsko upornost. Zato bomo v poglavjih, namenjenih enosmernim vezjem, analizirali le vezja, ki so sestavljena iz uporov in tokovnih in napetostnih virov. V ta namen potrebujemo (matematično) povezavo med tokom in napetostjo na elementih vezja (uporih) ter splošne lastnosti toka in napetosti pri enosmernih signalih. Vse te zakone smo že spoznali v poglavjih iz elektrostatike in tokovnega polja, zato jih bomo v tem poglavu le na kratko povzeli. 1. KIRCHOFFOV ZAKON Prvi Kirchoffov zakon sledi iz zakona o ohranitvi naboja. Če v določeno (zaključeno) telo pritekajo naboji in se v njem ne kopičijo, morajo v enaki množini tudi iz njega izhajati. Pri tokovnem polju smo to zapisali v obliki J  d A  0  , če pa razdelimo površino telesa na N delov iz katerega izhaja N tokov A mora veljati I  I  I  ....  I  0 (22.1) 1 2 3 N ali v bolj strnjeni obliki N  I  0 . (22.2) i i 1  Pri tem ne pozabimo, da imajo tokovi, ki odtekajo iz vozlišča, negativen predznak. Ta zapis imenujemo prvi Kirchoffov zakon. Če telo zmanjšamo v »točko«, dobimo stik tokovodnikov v spojišče. Za vezja 1. Kirchoffov zakon opišemo kot: vsota vseh tokov v spojišče (ali iz spojišča) je enaka nič. I I 3 1 I 2 I 4 Slika 22-1: Vsota tokov v spojišče mora biti enaka nič: 1 KZ. Primer uporabe 1. Kirchoffovega zakona: V spojišče so povezani štirje vodniki. Po prvem priteka tok 4 A, po drugem odteka tok 2 A in v tretjem priteka tok 1 A. Določimo tok v četrtem vodniku. Izračun: Velja I  I  I  I  0 od koder sledi I   I  I  I   4A  2A 1A  3A  . 4  1 2 3   1 2 3 4 © D.K., 2019 215 Enosmerna vezja – osnovni zakoni 22. 2. KIRCHOFFOV ZAKON Drugi Kirchoffov zakon sledi iz zakona o nevrtinčnosti oz. potencialnosti električnega polja, od koder sledi, da je integral električnega polja (oz. dela električnih sil) po zaključeni poti enak nič: E  d l  0  . L Če ta integral zapišemo v obliki delnih padcev napetosti za M odsekov, mora veljati U  U  ....  U  0 . (22.3) 1 2 M Ta zapis velja po poljubni zaključeni poti, torej tudi znotraj zaključene poti v vezju, kjer je potrebno upoštevati padce napetosti na vseh elementih vzdolž zaključene poti. V strnjeni obliki zapišemo 2. Kirchoffov zakon v obliki M  U  0 . (22.4) i i 1  In z besedami: vsota padcev napetosti v (zaključeni!) zanki je enaka nič. U 3 + U U g 2 U 1 Slika 22-2: Idealni napetostni generator in zaporedno vezani upori v zanki. Po 2. Kirchoffovem zakonu mora veljati, da je vsota vseh padcev napetosti v zanki enaka nič (U  U  U  U  0 ). g 1 2 3 Primer uporabe 2. Kirchoffovega zakona: Na enosmerni vir napetosti 12 V priključimo dva upora. Na enem je padec napetosti 4 V. Kolikšna napetost je na drugem uporu? Izračun: U  U  U  12V  4V  8V . 2 g 1 © D.K., 2019 216 Enosmerna vezja – osnovni zakoni 22. OHMOV ZAKON Ohmov zakon opisuje zvezo med tokom in napetostjo pri konduktivnem prevajanju toka v snoveh. Pri obravnavi tokovnega polja smo ugotovili, da se naboji v snovi gibljejo z neko povprečno hitrostjo, kar se odraža v linearni povezavi med električno poljsko jakostjo in gostoto toka. To zapišemo v obliki J   E , kjer je  (električna) specifična prevodnost. Ta zapis smo imenovali Ohmov zakon (v diferencialni obliki). Z integracijo električne pojske jakosti vzdolž smeri gostote toka v elementu lahko izrazimo zvezo med tokom in napetostjo na elementu v obliki U  RI , (22.5) kar je običajen zapis Ohmovega zakona za vezja. * (Pri obravnavi v nestacionarnih razmerah običajno za tok in napetost uporabljamo manjhne črke: u  Ri .) Slika 22-3: Levo: tok in napetost na uporu; Desno: grafično prikazana karakteristika upora. Analogno izrazu upornost lahko uporabimo tudi izraz prevodnost. Velja G  1 / R . Enota za prevodnost je S (Siemens). Ohmov zakon bi tako lahko pisali tudi v obliki I  U / R ali pogosto kot I  GU . Koristno se je spomniti še izraza za upornost ravnega vodnika specifične prevodnosti  , l dolžine l, s presekom A: R   . A OZNAČEVANJE SMERI TOKOV IN NAPETOSTI NA ELEMENTIH VEZJA Na vseh elementih vezja imamo določeno smer napetosti in toka. Na viru označimo smer napetosti od sponke plus proti sponki minus, na bremenu pa lahko smer toka ali napetosti določimo poljubno. Ne pa tudi obeh. Smer toka na bremenu določa tudi smer napetosti in obratno ( U  IR ). * Zvezo med napetostjo in tokom na določenem elementu vedno lahko poiščemo, ni pa vedno linearna. V elektrotehniki pogosto uporabljamo elemente, kot so diode in tranzistorji. Pri teh ravno izkoriščamo njihove nelinearne lastnosti med tokom in napetostjo za usmerjanje, ojačanje ipd. Ohmov zakon v smislu linearne zveze med tokom in napetostjo je omejen na tiste elemente, kjer pač velja linearnost – to pa so linearni upori, ki jih bomo uporabljali pri analizi enosmernih vezij. Omejenost Ohmovega zakona ne sme zmanjšati njegovega zgodovinskega in praktičnega pomena. Kar se tiče zgodovine elektrike se je potrebno zavedati, da so bili sprva pojmi kot so naboj, tok in napetost še popolnoma nejasni in so različni raziskovalci uporabljali različne pojme. Ohm je na tem področju razjasnil razlike med napetostjo in tokom. Poleg tega seveda zvezo med tokom in napetostjo v elektrotehniki zelo pogosto uporabljamo in je za »enostavne« elemente pogosto upravičena linearna zveza. © D.K., 2019 217 Električni viri 23. 23. ELEKTRIČNI VIRI Vsebina poglavja: idealni in realni napetostni vir, idealni in realni tokovni vir, delovna točka . Ločimo dva vira tipa virov: napetostne in tokovne. Obravnavali bomo idealni tokovni in napetostni vir ter realni tokovni in napetostni vir. Ugotovili bomo, da sta realna vira ekvivalentna, če imata enaki I-U karakteristiki. IDEALNI NAPETOSTNI VIR Idealni napetostni vir zagotavlja na zunanjih sponkah konstantno napetost neodvisno od obremenitve. Tej napetosti rečemo tudi napetost odprtih sponk oziroma napetost prostega teka. I-U karakteristiko idealnega napetostnega vira zapišemo kot U  U . 0 I I + U g U - U =U U o g Slika 23-1: Simbol za idealni napetostni vir, napetost odprtih sponk in karakteristika vira. Problem predstavitve (uporabe) idealnih virov je v tem, da je tok kratkega stika pri napetostnem viru neskončen (ker je notranja upornost idealnega napetostnega vira enaka nič). V realnih razmerah je potrebno upoštevati še notranjo upornost vira. Za tak vir uporabimo izraz realen vir, kljub temu, da je v realnosti lahko električna karakteristika vira v praksi še bolj zapletena. REALNI NAPETOSTNI VIR Napetost na zunanjih sponkah idealnega napetostnega vira je konstantna - neodvisna od priključenega bremena. Takih virov v praksi seveda ni. Če na realni napetostni vir priključimo breme z majhno upornostjo, se napetost na zunanjih sponkah vira zmanjša, pogovorno rečemo, da se »sesede«. Vsak vir ima namreč določeno notranjo upornost in ob priključitvi vira na breme steče tok, ki povzroči padec napetosti na tako bremenu, kot tudi na notranji upornosti vira. Kar tudi pomeni, da na zunanjih sponkah vira nimamo več napetosti odprtih sponk, pač pa napetost, ki je zmanjšana za padec napetosti na notranji upornosti vira. Realni napetostni vir ponazorimo z zaporedno vezavo idealnega napetostnega vira in zaporedno vezanega upora. Če na zunanjih sponkah realnega napetostnega vira ni priključeno breme, je seveda tok enak nič in ni padca napetosti na notranji upornosti vira. Napetost na priključnih sponkah je enaka napetosti odprtih sponk: U  U  U . Če pa priključimo breme, se napetost na priključnih sponkah zmanjša za g o padec napetosti na notranji upornosti vira: U  U  IR . Karakteristika realnega napetostnega vira (23.1) g g © D.K., 2019 218 Električni viri 23. I R I g + I U U K g - U = o U U g Slika 23-2: realni napetostni vir: levo) električna shema, desno) karakteristika vira. To enačbo lahko prikažemo tudi grafično in ji rečemo karakteristika vira. Na abscisi označimo napetost, na ordinati pa tok (lahko tudi obratno). Enačba predstavlja enačbo premice, ki jo najlažje določimo v točkah, kjer premica seka napetostno in tokovno os. Ko je tok enak nič, je U  U  U , to o g je stanje odprtih sponk, napetosti pa rečemo napetost odprtih sponk. Ko pa je napetost enaka nič, je tok enak I  U / R . To pa je stanje kratkega stika, toku rečemo tok kratkega stika ali kratkostični k g g tok. Med točkama kratkega stika in napetostjo odprtih sponk mora potekati premica, ki ji rečemo karakteristika realnega napetostnega vira. BREME, PRIKLJUČENO NA REALNI NAPETOSTNI VIR Če na realni napetostni vir priključimo breme (upor), je njegova delovna točka (napetost in tok skozi breme) določena z velikostjo upornosti bremena. Matematično dobimo delovno točko tako, da združimo karakteristiki bremena in vira. Dobimo R I  U  IR . Tok v b g g U U vezju bo torej g I  , napetost na bremenu pa g U  R . R  R b R  R g b g b Delovno točko lahko določimo tudi grafično. Če je breme upor, je njegova (matematična) karakteristika U  R I in predstavlja enačbo b premice z eno točko v izhodišču. Naklon premice predstavlja upornost. Velik naklon predstavlja majhno upornost, majhen naklon pa veliko upornost. Če narišemo to zvezo v graf poleg karakteristike realnega vira, dobimo v presečišču delovno točko. Slika 23-3: Levo: shema realnega napetostnega vira s priključenim bremenom. Desno: karakteristika realnega napetostnega vira in karakteristika priključenega bremena. V presečišču dobimo delovno točko. © D.K., 2019 219 Električni viri 23. Primer izračuna delovne točke: Na 9 V baterijo z notranjo upornostjo 1  priključimo breme z upornostjo 5 . Določite napetost in tok na bremenu grafično in analitično. U 9 V Izračun: g I   1,5A , U 1,5A5 Ω = 7,5 V . D.T. R  R 1 Ω + 5 Ω D.T. g b IDEALNI TOKOVNI VIR Idealni tokovni vir na svojih sponkah zagotavlja tok, ki je neodvisen od priključitve bremena. Matematično zapišemo karakteristiko takega vira kot I  I . Če sponke takega vira kratko sklenemo, 0 bo tekel tok kratkega stika, kar predstavlja tudi nazivni tok tega vira. I I I U g Ig U Slika 23-4: Levo) simbol za idealni tokovni vir. Desno) karakteristika idealnega tokovnega vira. REALNI TOKOVNI VIR Je sestavljen iz idealnega tokovnega vira s tokom I g in vzporedno vezane upornosti R g. Če ni priključenega bremena, je na zunanjih sponkah napetost enaka U  R I . Če na zunanji sponki g g priključimo breme (upor R b), se tok skozi breme zmanjša za tok skozi notranjo upornost vira: I  I  U / R . Karakteristika realnega tokovnega vira (1.2) g g Ta enačba predstavlja (matematično) karakteristiko realnega tokovnega vira, ki jo prav tako lahko grafično prikažemo. Pri kratkem stiku je napetost na bremenu enaka nič, tok pa je kar enak toku idealnega tokovnega vira: I ( U  0)  I  I . Pri odprtih sponkah pa je tok I enak nič, napetost pa je k g enaka napetosti odprtih sponk U  I R . Če karakteristiko narišemo kot U-I diagram, dobimo zopet o g g premico. V presečišču s karakteristiko bremena pa delovno točko. © D.K., 2019 220 Električni viri 23. I I I I g g R U g U =I o R U g g Slika 23-5: Realni tokovni vir: levo) shema, desno) karakteristika realnega tokovnega vira. Ugotovimo lahko, da se karakteristika realnega tokovnega vira lahko prilega karakteristiki realnega napetostnega vira. V tem smislu sta to (matematično gledano) dva ekvivalentna vira. Če primerjamo karakteristiki ugotovimo, da bo analogija veljala tedaj, ko bo U  I R . g g g Vprašanje: Kdaj torej govorimo o napetostnem in kdaj o tokovnem viru? Ko imamo vir z zelo veliko notranjo upornostjo nam le ta zagotavlja dokaj konstanten tok (dokler je upornost bremena dosti manjša od notranje upornosti vira), če pa je notranja upornost vira zelo majhna, nam to na zunanjih sponkah zagotavlja konstantno napetost. VZPOREDNA IN ZAPOREDNA VEZAVA VIROV Enako kot upore lahko zaporedno vežemo tudi napetostne vire in s tem dosežemo višjo skupno napetost na zunanjih sponkah. To je tudi običajno narejeno pri mnogih elektronskih aparatih, kjer je na primer za delovanje naprave pri 6 V potrebno povezati zaporedno štiri 1,5 voltne baterije. Podobno lahko z vzporedno vezavo tokovnih virov dosežemo vir z večjim nazivnim tokom. + U g1 Ig -+ U g2 Ug - I I I g1 g2 g3 + U g3 - U  U  U  U I  I  I  I g g 1 g 2 g 3 g g 1 g 2 g 3 Slika 23-6: Zaporedna vezava napetostnih virov in vzporedna vezava tokovnih virov. © D.K., 2019 221 Električni viri 23. ** DOLOČITEV DELOVNE TOČKE PRI NELINEARNEM BREMENU Če je napetost na sponkah bremena neka nelinearna funkcija toka skozi breme, je pogosto analitičen izračun delovne točke otežen. V teh primerih je posebno primeren grafičen način določanja delovne točke. Tipičen primer je na primer dioda, element, ki ima nizko upornost pri pozitivnih in zelo visoko pri negativnih napetostih (ali obratno, odvisno od priključitve). Pri diodi je v prevodni smeri tok eksponentno odvisen od napetosti: kU I  I e , v zaporni smeri pa je tok do določene napetosti 0 majhen, če pa je ta napetost presežena, pride do preboja. Ob preboju tok skozi diodo močno naraste in lahko pride do trajne poškodbe ali uničenja elementa. Delovno točko diode priključene na realni napetostni vir določimo grafično tako, da določimo točko preseka nelinearne karakteristike bremena (diode) in linearne karakteristike realnega vira. I IDT U U DT Slika 23-7: Primer določanja delovne točke pri priključitvi diode na realni napetostni vir. Na enak način lahko določimo tudi delovno točko tranzistorja. Na sliki 23.9 je prikaz tipične vezave npn tranzistorja in grafičen način določitve delovne točke (napetost in tok na emiterju) v odvisnosti od baznega toka. Slika 23-8: Primer določanja delovne točke pri tranzistorski vezavi. Nelinearne so karakteristike tranzistorja, ki so prikazane za različne vrednosti baznega toka. (Vir: http://www.electronics- tutorials.ws/transistor/tran_2.html) © D.K., 2019 222 Osnovna električna vezja 24. 24. OSNOVNA ELEKTRIČNA VEZJA Vsebina poglavja: zaporedna in vzporedna vezava uporov, napetostni in tokovni delilnik, mostično vezje, transformacija zvezda – trikot, temperaturna odvisnost upornost. 1. ZAPOREDNA VEZAVA UPOROV Če so zaporedno vezani upori priključeni na vir napetosti, se napetost porazdeli na posamezne upore: N U  U  U  ....  U   U . Ker pa skozi vse upore teče skupen (isti) tok, velja 1 2 N i i 1  N U  IR  IR  ....  IR  I R  R  ..  R  I  R  IR (24.1) 1 2 N  1 2 N  i nad i 1  N Nadomestna upornost zaporedno vezanih uporov je seštevek posameznih upornosti: R   R . nad i i 1  U U U U U 1 2 3 4 I R R R R 1 2 3 4 Slika 23-9: Zaporedna vezava uporov. Primer izračuna zaporedne vezave uporov: Določimo nadomestno upornost zaporedne vezave uporov z upornostmi 30 , 100  in 1 k. Izračun: R  R  R  R  1130  . nad 1 2 3 2. VZPOREDNA VEZAVA UPOROV Skupni tok vzporedno vezanih uporov je enak vsoti tokovi skozi posamezne upore I  I  I  ...  I . 1 2 N Ker so vzporedno vezani upori na skupni (enaki) napetosti, velja N U U U 1 U I    ..   U   . (24.2) R R R  R R 1 2 N i 1 i nad I Slika 23-10: Vzporedno vezane upornosti. R R R3 1 2 U © D.K., 2019 223 Osnovna električna vezja 24. Vzporedno vezane upore lahko torej nadomestimo z nadomestno upornostjo, za katero velja 1 N 1 N   . Če to izrazimo s prevodnostmi dobimo G   G . Pri vzporedni vezavi uporov nad i R  R nad i 1 i i 1  tvorimo torej nadomestno upornost s seštevanjem njihovih prevodnosti, pri zaporednih pa upornosti. Primer izračuna vzporedne vezave uporov: Določimo nadomestno upornost vzporedne vezave uporov z upornostmi 30 , 100  in 1 k. Izračun: G nad = 1/30 S + 1/100 S +1/1000 S = 0,044 S, kar ustreza R nad = 22,556 . 3. NAPETOSTNI DELILNIK Napetostni delilnik dobimo tako, da na napetostni vir priključimo dva zaporedno vezana upora in »odvzemamo« napetost na enem od uporov. R U 1 1 + U g Slika 23-11: Napetostni delilnik. Zanima nas napetost na uporu R2. Vzemimo, da nas zanima napetost na uporu R U 2. Tok skozi zaporedno 2 R2 U vezana upora je g I  R  , od koder je R 1 2 U g R 2 U  IR  R  U 2 2 2 g R  R R  . Dobili smo načbo, ki jo v elektrotehniki zelo pogosto R 1 2 1 2 uporabljamo, zato si jo velja vtisniti v spomin. Ponovimo končni rezultat: R 2 U  U . (24.3) 2 g R  R 1 2 Primer izračuna napetostnega delilnika: Iz napetostnega vira z napetostjo 12 V želimo s pomočjo napetostnega delilnika dobiti napetost 9 V, pri čemer tok skozi upore ne sme preseči vrednosti 1 mA. U Izračun: Veljati morda g I  1mA R  R  12 kΩ . Če izberemo npr. R  oziroma R 1 2 1 2 R  R  20 kΩ , bo tok skozi upora 0,6 mA, od koder dobimo R  15 kΩ . 1 2 2 Poleg matematične oblike je zelo pomembno, da si predstavljamo odvisnost napetosti na uporu od vrednosti uporov tudi grafično. Očitno napetost na uporu R 2 ni linearno odvisna od vrednosti upornosti R 2. Kako bi si lahko skicirali potek odvisnoti napetosti na R 2 od upornosti R 2? Tako, da poskušamo poenostaviti enačbo z razmislekom, kakšna bi bila oblika enačbe za zelo majhne R 2 in zelo velike R 2: © D.K., 2019 224 Osnovna električna vezja 24. - pri R 2, ki so mnogo manjši od R 1 (matematično R R ) bo R 2 1 2 zanemarljivo velik v R primerjavi z R 1 in bo enačba približno enaka 2 U  U . Pri majhnih vrednostih R 2 2 bo R 1 torej napetost na R 2 linearno odvisna od velikosti R 2. - pri R 2, ki so mnogo večji od R 1 (matematično R R ) bo R 2 1 1 zanemarljivo velik v R primerjavi z R 2 in bo enačba približno enaka 2 U  U  U . Pri velikih vrednostih R 2 2 bo R 2 torej vsa napetost generatorja na uporu R 2. Pomagajmo si izrisati grafično odvisnost napetosti U 2 (R 2) z računalnikom. Programov, ki jih lahko v ta namen uporabimo je zelo veliko. Načeloma ni pomembno katerega uporabimo, sta pa se v (elektro)tehniki uveljavila predvsem dva profesionalna programa: Matlab in Mathematica. Poglejmo si, kako bi uporabili program Matlab. V ukazni vrstici programa vpišemo naslednje vrstice: U=10 % izbrana napetost generatorja R1=5 % izbrana upornost R1 R2=0:1:100 % tvorimo vrednosti uporov R2 od 0 po 1 do 100 U2=U*R2./(R1+R2) % enacba za izracun napetosti na R2 (deljenje z ./ ) plot(R2,U2) % ukaz za izris grafa U2(R2) xlabel('upornost R2') % zapis osi X ylabel('napetost U2') % zapis osi Y 10 8 2 6 t Ustoep 4 an 2 00 20 40 60 80 100 upornost R2 SLIKA: Sprememba napetosti na bremenu v odvisnosti od upora R 2. © D.K., 2019 225 Osnovna električna vezja 24. 4. TOKOVNI DELILNIK Podobno kot napetostni delilnik, pogosto v elektrotehniki uporabljamo tudi I tokovni delilnik, ki ga sestavljata dva vzporedno vezana upora. Slika 23-12: Tokovni delilnik. Zanima nas tok skozi upor R2. R R 1 2 Določimo tok skozi upor R 2: I I2 I  I  I , kjer sta I  U / R in I  U / R . Dobimo 1 1 2 1 1 2 2 R  R I  U / R  U / R  U 1 / R 1 / R  1 2  U . Napetost je torej 1 2 1 2 R  R 1 2 R  R R  R 1 R 1 2 U  I , tok skozi upor R 2 pa 1 2 1 I  U / R  I   I . Končni rezultat je R  R 2 2 R  R R R  R 1 2 1 2 2 1 2 podoben (vendar ne enak) kot pri napetostnem delilniku. Zaradi pogoste uporabe si ga tudi velja zapomniti. Zato ga ponovimo: R 1 I  I . (24.4) 2 R  R 1 2 5. NAPETOSTNI DELILNIK S POTENCIOMETROM a) brez upoštevanja bremenske upornosti Poznamo več različnih tipov potenciometrov. Tu bomo obravnavali le linearne, take, katerih x spremembo upornosti lahko zapišemo kot R  R , kjer je R upornost potenciometra med x l skrajnima legama, l dolžina prevodne proge, x pa dolžinski del, katerega upornost je R x (glej sliko). Če potenciometer priključimo na vir napetosti U g, je napetost na uporu R x enaka Ug x U  IR  R . Z upoštevanjem zveze R  R pa dobimo x x x R x l U U x x g g U  R  R  U . (24.5) x x g R R l l Napetost na uporu R x se linearno spreminja z lego drsnika. Rl-x + + U R U g g U U x R x x Slika 23-13: Neobremenjen in obremenjen napetostni delilnik z linearnim potenciometrom. © D.K., 2019 226 Osnovna električna vezja 24. b) z upoštevanjem bremenske upornosti Če upoštevamo še priključitev bremena na upor R b, velja U  U U U x x x   . Po preureditvi dobimo nekoliko bolj zapleten izraz za napetost na zunanjih R R R l  x x b x sponkah kot s pomočjo enačbe Error! Reference source not found. : U  U , kjer je x x(1  x / l) n  l n  R / R . b 1 0.9 0.8 0.7 0.6 1 0.5 Up n=0,01 0,1 x=0:0.01:1; for n=[0.01,0.1,1,10,100] 0.4 Ux=x./(1+x.*(1-x)*n) 0.3 10 plot(x,Ux) 0.2 hold on % ohrani graf 0.1 end 100 xlabel('x'); 00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x ylabel('Ux'); Slika 23-14: U  b za različna razmerja n R / R . n = 0,01, 0,1, 1, 10, 100. Večjo linearnost se doseže pri b n 1 , torej tedaj, ko je bremenska upornost dosti večja od upornosti uporovnega delilnika. 6. MOSTIČNO VEZJE Slika 23-15: Mostično vezje. Eno zelo pogosto v praksi uporabljenih vezij je t.i. mostično vezje, ki ga pogosto imenujemo tudi Wheatstonov mostič. R R Zakaj most? Zato, ker premostimo dva napetostna delilnika in 1 3 + merimo napetost med upori. Zgradimo ga iz napetostnega U most U delilnika z uporoma R g 1 in R 2 ter delilnika z uporoma R 3 in R 4. R Napetost na uporu R 2 je 2 U  U , na R 2 4 pa R  R R R 2 4 1 2 R 4 U  U . Mostično napetost dobimo z uporabo 2 K.Z: 4 R  R 3 4 R R  R R  2 4 2 4 U  U  U  U  U  U    . Zanimiva situacija nastopi, ko je most 2 4 R  R R  R R  R R  R 1 2 3 4  1 2 3 4  mostična napetost enaka nič. Tedaj rečemo, da je mostič uravnotežen, pri čemer mora veljati: © D.K., 2019 227 Osnovna električna vezja 24. R R 2 4  . Sledi R R  R  R R  R oziroma R R  R R , kar bolj pogosto zapišemo 2  3 4  4  1 2  2 3 4 1 R  R R  R 1 2 3 4 v obliki R R 2 4  . (24.6) R R 1 3 Mostično vezje lahko uporabimo za določanje neznane upornosti, ki jo lahko zelo natančno določimo tako, da spreminjamo eno (ali več) vrednosti upora(ov) toliko časa, dokler ni napetost mostiča enaka R nič. Potem je upornost enostavno določljiva iz gornje enačbe, npr: 4 R  R . 2 1 R 3 Wheatstonovo mostično vezavo ne uporabljamo le v enosmernih razmerah temveč tudi pri izmeničnih signalih. Poznamo različne tipe mostičev npr. Wienov, Owenov, Maxwellov itd. (glej dodatek k poglavju). 7. TRANSFORMACIJA ZVEZDA – TRIKOT Pogosto se srečamo z vezavo uporov v obliko, ki ji rečemo trikot, saj so trije upori nameščeni v obliki trikotnika. Druga oblika vezave pa je taka, da so trije upori vezani v skupno spojišče – taki vezavi pravimo vezava v zvezdo. Pogosto si za lažjo analizo vezij pomagamo s t.i. transformacijo vezave trikot v zvezdo in obratno. Če imamo v vezavi zvezda tri spojišča z upori R 1, R 2 in R 3, potem ob transformaciji dobimo vezavo trikot z upori R 12, R 23 in R 32, katerih vrednosti so 2 R 2 R 2 R R  R  in R  , (24.7) 12 R 23 R 31 R 3 1 2 pri čemer je 2 R  R R  R R  R R . (24.8) 1 2 2 3 3 1 3 3 R3 R31 R23 R R 1 2 1 2 R12 1 2 Slika 23-16: Transformacija vezja oblike zvezda v obliko trikot. Zapišimo še obratno pot: če želimo iz vezave trikot preiti v vezavo zvezda, bomo upore določili iz R R 12 31 R  (24.9) 1 R  R  R 12 23 31 © D.K., 2019 228 Osnovna električna vezja 24. In podobno lahko pokažemo še za R 2 in R 3.* TEMPERATURNE LASTNOSTI UPOROV Ko skozi upor teče tok, se nosilci naboja (v uporih običajno elektroni) ne gibljejo premočrtno od ene do druge sponke, pač pa »trkajo« z atomi v snovi. Gibljejo se z neko povprečno hitrostjo, ki pa je odvisna od temperature. Pri višji temperaturi je namreč nihanje atomov večje in s tem tudi število trkov, torej se povprečna hitrost nabojev zmanjša. S tem se tudi zmanjša tok, posredno pa se poveča električna upornost. Meritve pokažejo, da se temperaturna odvisnost upornosti spreminja skoraj linearno s temperaturo, kar lahko zapišemo v obliki R( T )  aT  b , (1.10) kjer sta a in b konstanti, ki ju moramo določiti z meritvijo. Običajno nas zanima sprememba upornosti glede na temperaturo okolice (20 oC), kjer bo R( T )  aT  b . Če enačbi odštejemo, dobimo 20 20  T  T  20 R( T )  R( T )1 a  . Vpeljemo konstanto  , ki jo imenujemo temperaturni koeficient in 20 R( T )  20  pišemo R( T )  R( T ) 1  T  T . (1.11) 20   20  PTC R R=aT+b R NTC T T Slika 23-17: Temperaturna odvisnost upornosti. Tipične vrednosti temperaturnih koeficientov so (v K-1): Železo 0,006; Aluminij 0,0041; Baker 0,0039; Konstantan 0,00003. Vse zapisane vrednosti koeficientov so pozitivne, torej bo upornost železa, aluminija, bakra in konstantana večja pri višjih temperaturah. Okrajšava za pozitivni temperaturni koeficient je PTK, za negativnega pa NTK (ang. PTC in NTC). Slika 23-18: Upornost NTC termistorja se zmanjša z višanjem temperature. Za primerjavo je na sliki prikazana tudi odvisnost upornosti platine od temperature. Vir: katalog firme Murata. * Poskusite sami izpeljati te enačbe. Pot je ta, da mora biti nadomestna upornost med dvema sponkama enaka v obeh vezavah. Veljati mora: R  R  R R  R , R  R  R R  R in še ena zveza za 2 3 23  12 13  1 3 12  31 23  R  R , ki jo zapišite sami. Nato seštejte prvo in tretjo enačbo ter odštejte drugo in dobili boste enačbo za R 1 2 1. © D.K., 2019 229 Osnovna električna vezja 24. Primer izračuna upornosti žice pri spremembi temperature: Kolikšna je upornost bakrene žice pri 80 0C, če je njena upornost pri upornost pri 20 0C enaka10 . Izračun: 0 R   -1 (80 C) 10 Ω 1+0,0039 K  60K 12,34 Ω . Obstaja vrsta elementov, katerim se upornost izrazito spreminja s temperaturo. Tem elementom pravimo termistorji (ang. thermistor = thermal resistor). Njihova uporaba v elektrotehniki je zelo pogosta, od merjenja temperature do kompenzacije temperaturnih lastnosti drugih elementov v vezju, regulacija ampliture, napetosti, alarm, ... MERILNI INŠTRUMENTI Poznamo vrsto merilnih inštrumentov, ki nam omogočajo meritve električnih veličin: voltmeter, ampermeter, ohmeter, vatmeter in drugi. Običajno so bili ti inštrumenti analogni in so bili zasnovani na osnovnih principih lastnosti magnetnega polja. Večinoma so za prikaz uporabljali inštrumente z vrtljivimi tuljavicami. Sodobni inštrumenti so večinoma digitalni, izdelani z uporabo elektronskih elementov. Največji problem merilnih inštrumentov je njihova omejena točnost merjenja, ki je pogosto določena s ceno naprave. Omejeno točnost naprav je potrebno upoštevati pri natančnejših meritvah. S problemi merjenja se ukvarja posebno področje elektrotehnike – metrologija. VOLTMETER Voltmeter je inštrument za merjenje napetosti. Simbol je krog s črko V v sredini kroga. Idealni voltmeter bi bil tak, ki bi ga priključili med merilni sponki in se razmere v vezju ne bi spremenile. V resnici ima vsak voltmeter določeno notranjo upornost, ki je velika, ni pa neskončna. Zamislimo si, da merimo napetost odprtih sponk. S priključitvijo voltmetra bomo spremenili razmere v vezju, saj bo skozi voltmeter stekel določen tok, ki pri odprtih sponkah ne bi. RV RV=inf. V V Slika 23-19: Voltmeter: priključitev, razlika med idealnim in realnim voltmetrom. Razširitev merilnega območja voltmetra je mogoča z dodanim preduporom, ki ga vežemo zaporedno voltmetru. S tem izvedemo že omenjen napetostni delilnik. © D.K., 2019 230 Osnovna električna vezja 24. Primer izračuna predupora za razširitev merilnega območja voltmetra: Vzemimo, da voltmeter meri do 5 V (merilno območje), želimo pa meriti do 100 V, pri čemer je notranja upornost voltmetra 100 k. Določimo predupor tako, da bo voltmeter kazal 5 V tedaj, ko bo na zaporedno vezavo voltmetra in predupora priključena napetost 100 V. 5 V Izračun:100 V  IR  5V ; I   R 1900 kΩ 1,9 MΩ . p p 100 k Ω AMPERMETER Ampermeter je inštrument za merjenje toka. Umestimo ga v vejo, v kateri želimo meriti tok. Simbol za ampermeter je krogec s črko A v sredini krogca. Tudi ampermeter ni idealen inštrument. V idealnih razmerah naj bi bila notranja upornost ampermetra čim manjša, torej taka, ki ne bi povzročila dodatnega padca napetosti na inštrumentu. V resnici ima neko malo notranjo upornost. R s R =0  A R A A A A Slika 23-20: idealni ampermeter (levo), ampermeter z notranjo upornostjo (sredina), razširitev merilnega območja ampermetra s souporom (desno) Prav tako kot voltmetru lahko tudi ampermetru povečamo merilno območje, vendar sedaj tako, da upor vežemo vzporedno z ampermetrom. Tak upor imenujemo tudi soupor ali kar po angleško »šant« (ang. shunt). S tem del toka, ki bi ga sicer meril ampermeter preusmerimo v vzporedno vejo. Primer izračuna soupora za razširitev merilnega območja ampermetra: Želimo meriti tok 30 A, pri čemer nam inštrument kaže največ 10 A. Notranja upornost ampermetra v tem merilnem območju je 0,2 . Določimo upornost soupora. Izračun: Ker ampermeter meri največ 10 A, moramo predvideti, da bi pri toku 30 A v vzporedni veji tekel tok 20 A. Napetost na ampermetru pri 10 A je 2 V, ta napetost mora biti tudi na souporu v 2 V vzporedni veji. Veljati mora torej R   0,1 Ω . s 20A Vprašanje: Kako realiziramo tako male vrednosti souporov? © D.K., 2019 231 Osnovna električna vezja 24. * MERILNI INŠTRUMENTI V PRAKSI Dandanes se najpogosteje uporablja digitalne merilne inštrumente (ang. DMM – digital multimeters), ki tipično omogočajo merjenje napetosti, ki so večje od 1 µV, tokov, večjih od 1 µA in upornosti, ki so manjše kot 1 GΩ. Te omejitve so povezane predvsem z viri šumov, ki so pri uporih sorazmerne korenu upornosti, pasovne širine in temperature. Slika 1 kaže, da je mogoče izmeriti napetosti velikosti 1 µV, če je upornost bremena 1 Ω, delno (z dobrim inštrumentom), če je upornost bremena 1 MΩ in nikakor, če je upornost bremena večja od 1 GΩ, saj s tem posežemo v področje šuma. Poleg tega so tipične notranje upornosti multimetrov velikosti od 10 MΩ do 10 GΩ, kar pomeni, da s takim inštrumentom težko merimo bremena z upornostmi TΩ. Za merjenje skrajnih vrednosti, ki še ne posegajo v področje šuma, se uporabljajo inštrumenti, ki so posebej prilagojeni specifičnim potrebam. Elektrometri se odlikujejo po izredno veliki notranji upornosti (velikosti 100 TΩ = 1014 Ω) in so zato primerni za merjenje zelo velikih upornosti (velikosti več sto GΩ ali tudi PΩ = 1016 Ω) in zelo majhnih tokov (velikosti fA = 10-15 A). Posebna oblika tega inštrumenta je Coulomb-meter, ki zaradi velike notranje upornosti omogoča zelo natančno merjenje naboja (z integracijo toka). Nanovoltmetri so inštrumenti, ki omogočajo merjenje zelo majhnih napetosti, velikosti pV. Pogosto se uporabljajo za natančno merjenje temperature. Pikoampermetri se odlikujejo po natančnem merjenju zelo majhnih tokov. Pogosto v praksi uporabljamo tudi t.i. source-metre (Source meter – SMU), ki združujejo funkcijo vira in merilnega inštrumenta v enem inštrumentu. S takimi inštrumenti lahko na primer izmerimo I-U karakteristiko elementov ali struktur z veliko natančnostjo, omogočajo tudi programabilno nastavljanje oblike signala vira, itd. Slika 23-21: Levo: omejitve merilnega območja zaradi šumov. Desno: prikaz omejitev merilnega območja različnih merilnih inštrumentov (elektrometer, digitalni multimeter (DMM), nanovoltmeter (nVM) Vir: Low level measurements handbook, Keithley. © D.K., 2019 232 Osnovna električna vezja 24. Slika 23-22: Tabela različnih tipov Source-metrov (SMU) podjetja Keithley, ki se razlikujejo po izhodni moči ter merilih območjih. V insertu desno spodaj je prikazan inštrument Keithley 2400. www.keithley.com Kakovost inštrumentov je odvisna od mnogih parametrov (točnost, natančnost (resolucija), ponovljivost, absolutna in relativna negotovost, napaka, sistematična in naključna napaka, itd). Točnost inštrumenta je lahko podana na različne načine (glej slika 3), npr. v procentih merilnega dosega, v procentih izmerjene vrednosti, v ppm (delih na milijon), pogosto tudi kot kombinacija dveh. Točnost tipičnega DMM inštrumenta je na primer zapisana kot ±(0.0005% of reading (izmerjene vrednosti) and 0.002% of range (merilnega dosega)) ali pa tudi kot ±(25 ppm of reading and 5 ppm of range). Če je inštrument npr. izmeril vrednost 250,685 V pri merilnem dosegu 1000 V, potem inštrument zagotavlja, da je izmerjena vrednost znotraj 250 V ±(0.0005% x250 V + 0.002% x1000)= 250,685 V ± 0,021 V. Slika 23-23: Primer prikaza različnega opisovanja merilne točnosti in resolucije (na sliki prikaz relativno glede na signal napetosti 10 V). © D.K., 2019 233 Osnovna električna vezja 24. Slika 23-24: Agilentov univerzalni inštrument U1233A in izsek iz specifikacij o merilnem območju, resoluciji (natančnosti) in točnosti (accuracy). Vir: www.agilent.com Pogosto se resolucijo inštrumenta podaja s številom mest (digitov), ki jih prikazuje inštrument. Inštrument z resolucijo 3½ mest prikaže izmerjeno vrednost na štiri mesta, od katerih je prvo lahko le 0 ali 1, ostala pa so lahko od 0 do 9. Tako lahko tak inštrument pokaže največ vrednost 1999 (counts of resolution). Nekateri inštrumenti lahko na vodilnem mestu prikažejo tudi več kot 0 ali 1, kot na primer Agilentov inštrument U1233A (glej sliko 4), ki omogoča prikaz s 6000 vrednostmi, kar predstavlja resolucijo 3¾ digitov. Tak inštrument ima štirimestno skalo vendar ima resolucijo večjo kot 3½ digitov, saj lahko npr. napetost 62,1234 V prikaže kot 62,12 V, medtem ko bi inštrument z resolucijo 3½ mest prikazal vrednost 62,1. Spletni viri: O šumih: http://www.ti.com/lit/an/slyt470/slyt470.pdf O meritvah: http://www.keithley.com/knowledgecenter/knowledgecenter_pdf/LowLevMsHandbk_1.pdf Slovar izrazov: http://www.lotric.si/sredisce-znanja/slovar-izrazov/ Točnost in natančnosti: http://sl.wikipedia.org/wiki/To%C4%8Dnost_in_natan%C4%8Dnost O multimetrih: http://en.wikipedia.org/wiki/Multimeter © D.K., 2019 234 Osnovna električna vezja 24. * NA KRATKO O SENZORJIH TEMPERATURE Elektrotehniki najpogosteje za merjenje temperature izbiramo med termoelementi, RTD elementi, termistorji ali že izdelanimi namenskimi integriranimi vezji. Termoelementi (lahko tudi termopar ali termočlen, ang. thermocouple) so osnovani na merjenju napetosti spoja med dvema različnima materialoma, ki je odvisna od temperature spoja. Ta pojav imenujemo Seebeckov efekt po Thomasu Johannu Seebecku, ki je leta 1921 ugotovil, da se pri segrevanju dveh različnih kovin pojavi magnetno polje, kar je poimenoval termo-magnetizem. V resnici se na spoju pojavi napetost, ki pa v zaključenem tokokrogu požene tok, ki se ga lahko zazna s kompasom ali drugimi merilniki magnetnega polja. V praksi je termočlen zelo uporaben senzor temperature, še posebno za merjenje zelo visokih ali zelo nizkih temperatur. S kombiniranjem različnih materialov je mogoče pridi do zelo različnih senzorjev različnih občutljivosti in temperaturnih območij. V praksi jih označujemo s črkami abecede. Termočlen tipa J je na primer izdelan iz spoja železa in konstantana in je uporaben v območju od -40 oC do +750 oC. Njegova občutljivost je 50 µV/oC. Slika prikazuje spremembo napetosti termoelementa v odvisnosti od temperature. Več: https://en.wikipedia.org/wiki/Thermocouple RTD (Resistive Temperature Devices) so elementi, katerim se s temperaturo spreminja električna upornost. Običajno so izdelani iz keramičnega nastavka, na katerem je navita žička iz platine ali pa je tanka plast platine nanešena na keramično ploščico. Platina spada med plemenite kovine in ima zelo stabilen (konstanten) temperaturni koeficient v širokem območju. Poleg platine se uporabljajo tudi nikelj ali baker . RTD elementi se običajno imenujejo Pt100 ali Pt1000, kjer je Pt predstavlja ime materiala (platina), 100 ali 1000 pa je upornost elementa pri 0°C. Tipičen temperaturni koeficient je okoli 0.00385 ohmov/ohm°C. V praksi lahko za merjenje temperature z RTD elementom uporabimo preprost napetostni delilnik, bolj pogosto pa se uporabi mostično vezavo. Ta je lahko dvo, tro ali štiritočkovna, odvisno od zahtevane natančnosti. Trotočkovno vezavo na sliki uporabimo tedaj, ko želimo kompenzirati vpliv upornosti priključnih žic. http://www.pyromation.com/Downloads/Doc/Training_RTD_Theory.pdf http://precisionsensors.meas-spec.com/pdfs/rtd.pdf © D.K., 2019 235 Osnovna električna vezja 24. Termistorji (Thermal Resistor) so elementi, katerim se upornost spreminja s temperaturo. Za razliko od RTD elementov, ki vsebujejo temperaturno odvisen prevodnik (običajno platino), termistorji temeljijo na uporabi temperaturno odvisnih keramik ali polimerov. RTD elemente lahko uporabimo v širšem temperaturnem območju (npr. od -200 do +800oC, medtem ko termistorje običajno uporabljamo v bistveno ožjem območju (od -90 do 130oC). Nominalna vrednost upornosti termistorjem je običajno mnogo večja od upornosti RTD elementov, je velikosti 2 kΩ do 10 kΩ. So tudi precej občutljivi na spremembe temperature (občutljivost ~200 Ω/°C). Temperaturna odvisnost ni linearna, običajno jo podamo s t.i. Steinhart-Hart-ovo aproksimacijo tretjega reda: . Poznamo termistorje s pozitivnim (PCT) in negativnim temperaturnim koeficientom (NTC). NTC elementi so izdelani iz sintranih kovinskih oksidov, PTC pa iz keramičnih polikristalnih materialov, npr. barijevega titanata. PCT termistor se lahko uporabi za tokovno zaščito vezij, saj se elementu poveča upornost s temperaturo in s tem omeji tok. Na primer v litijevih baterijah, kjer je potrebno paziti, da se le te ne pregrejejo. PN spoj je tudi primeren senzor temperature. Pri konstantnem toku se padec napetosti na pn spoju polprevodniške diode spremeni za - 2 mV/oC. Ker je pn dioda osnovni element vseh polprevodniških elementov in čipov, se pogosto uporablja znotraj čipov za merjenje temperature čipa ali okolice čipa. Na sliki je primer uporabe namenskega čipa AD590, ki uporablja princip spremembe napetosti na pn spoju in deluje kot element z visoko upornostjo. Tok skozi element se spreminja za 1 µA pri spremembi temperature za 1 oC. © D.K., 2019 236 Osnovna električna vezja 24. * WHEATSTONOV MOSTIČ Wheatstonov mostič je pravzaprav prvi »odkril« Hunter Christie leta 1833, vendar se nekako zasluge prepuščajo Charlesu Wheatstonu, ki je leta 1843 to obliko vezja in način uporabe pojasnil mnogo bolj jasno in enostavno kot Christie. Pri tem velja povedati, da je Wheatstone v svojem delu citiral Christiejevo delo. Za njim so občutljivost mostičnega vezja in njegove izboljšave predlagali mnogi raziskovalci, med njimi William Thomson (kasneje Lord Kelvin), Heaviside, Maxwell. Natančnost merjenje je bila omejena tudi zaradi kakovosti napajanja (baterij) ter galvanometrov, ki so izhajali še iz del Ampera in drugih in so temeljili na principu d'Arsonalovega inštrumenta z vrtljivo tuljavico z dodanim zrcalcem, ki je z odbojem fokusirane svetlobe povečal njegovo občutljivost. Slika: Ena osnovnih izvedenk Wheatstonovega mostiča, ki ga je sam imenoval diferencialni merilnik upornosti. (Hampden-Sydney College,Virginia), na desni »modernejša« izvedba . (Greenslade collection) Vir: Error! Reference source not found. in Error! Reference source not found. . Slika: Kirchoffov mostič temelji na gibljivem (drsnem) kontaktu in omogoča merjenje majhnih upornosti. (Vir: Error! Reference source not found. in Error! Reference source not found. ) Verzijo mostiča z drsnim kontaktom je predlagal Kirchoff in je omogoča natančno merjenje majhnih upornosti. Leta 1865 je James Clerk Maxwell predlagal mostič za merjenje induktivnosti in upornosti, ki se je sprva uporabljal tako, da se je nanj priklopila enosmerna napetost in se je določilo induktivnost iz prehodnega pojava. De Sauty pa ga je prilagodil za merjenje kapacitivnosti. Za tem je bilo predlaganih še mnogo oblik mostičnih vezij, vendar je nov preboj prišel, ko je Max Wien predlagal uporabo mostiča, priključenega na izmenično napetost. Nekateri ta mostič imenujejo tudi Maxwell-Wienov ali de Sauty-Wienov. Njegova prednost je v omogočanju zelo natančnega določaja neznane kapacitivnosti. Podobne mostiče uporabljajo tudi moderni inštrumenti za merjenje impedance – seveda ti, ki uporabljajo mostično metodo. Oliver Heaviside je prvi, ki je vpeljal imena © D.K., 2019 237 Osnovna električna vezja 24. impedanca, kapacitivnosti, induktivnost in predlagal uporabo kompleksnih števil za njihov opis in izračune. Slika: Maxwellov in DeSautyjev mostič za določitev kapacitivnosti iz prehodnega pojava ob vklopu mostiča na enosmerni napetostni vir. Desno: Wienov mostič ,kjer se neznana kapacitivnost določa z uravnovešenjem mostiča pri izmeničnih signalih. (Vir:Error! Reference source not found. ) Moderna uporaba Wheatstonovega mostiča Tudi dandanes sem Wheatstonov mostič pogosto uporablja v praksi. Pogosto ga »najdemo« v modernih senzorskih elementih, kjer je običajno realiziran tako, da je en od uporov spremenljiv in odvisen od določenega parametra (npr. temperature, pritiska, magnetnega polja, kemikalije, itd), drugi pa so fiksno integrirani v elektronskem delu. Na ta način je mogoče zelo povečati občutljivost celotnega senzorja oziroma natančnost merjenja. Slika:Primer uporabe principa Wheatstoneovega mostiča: Zgoraj mikromehansko izdelan senzor naklona. Vir: An optimized MEMS-based electrolytic tilt sensor. Jung et al.: Sensors and Actuators A139 (2007) stran 23–30. © D.K., 2019 238 Osnovna električna vezja 24. Slika: Microbridge Technologies Inc. je leta 2007 predstavil element MBW-303 Wheatstone Bridge Offset Conditioning Network, ki je v osnovi s pomočjo MEMS in CMOS tehnologije izdelan čip posebno prilagojen za uporabo različnih sezorjev vezanih v Wheatstonovo vezavo. Njegova posebnost je, da je mogoče upornosti v mostiču zelo natančno spreminjati (imenujejo re-justors) in s tem povečati občutljivost mostiča. Vir: Microbridge.com Slika: Senzor magnetnega polja, ki temelji na zaznavanju resonance tanke resonančne strukture senzorja skozi katerega teče tok in je izpostavljen zunanjem magnetnem polju. Zaznava poteka preko piezorezistivnih uporov na robovih strukture. Vir: Error! Reference source not found. . Spodaj: primer polprevodniškega senzorja tlaka, ki temelji na spremenljivi upornosti difundiranih uporov na tanki membrani zaradi upogiba ob spremembi pritiska (tlaka) . Vir: Laboratorij za mikrosenzorske strukture in elektroniko na Fakulteti za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani. © D.K., 2019 239 Osnovna električna vezja 24. Slika: Senzor sistema TEM AFM (AFM – Atomic Force Microscopy), ki omogoča merjenje sil velikosti  N in nN, kar omogoča raziskave na področju nanomaterialov. Sam senzor je narejen iz silicija z MEMS obdelavo in pozicioniranjem piezorezistivnih difundiranih uporov v Wheatstonovi vezavi. Vir: Error! Reference source not found. Viri: R. 1: http://en.wikipedia.org/wiki/Wheatstone_bridge R.2: http://physics.kenyon.edu/EarlyApparatus/Electrical_Measurements/Wheatstone_Bridge/Wheatsto ne_Bridge.html R.3: Henry P. Hall: A history of impedance measurements, (http://www.ietlabs.com/pdf/GenRad_History/A_History_of_Z_Measurement.pdf) R.4: Agustín L. Herrera-May, Luz A. Aguilera-Cortés, Pedro J. García-Ramírez, Nelly B. Mota-Carrillo, Wendy Y.Padrón-Hernández and Eduard Figueras (2011). Development of Resonant Magnetic Field Microsensors: Challenges and Future Applications, Microsensors, InTech,( http://www.intechopen.com/books/microsensors/development-of-resonant-magnetic- fieldmicrosensors-challenges-and-future-applications) R.5: A. Nafari: Microsensors for in situ electron microscopy applications, Ph.D. Thesis , CHALMERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY, 2010, Goteborg, Sweden (http://publications.lib.chalmers.se/records/fulltext/127399.pdf) © D.K., 2019 240 Moč 25. 25. Moč Vsebina poglavja: definicija moči, delo, moč na bremenu, maksimalna moč, izkoristek. Moč je merilo za intenzivnost dela, ki ga opravljajo električne sile. Sprememba dela je enaka spremembi električne energije, ki je potrebna npr. za premik naboja za potencialno razliko U, kot smo l ugotavljali v poglavju Joulov zakon (str. 193): d W  d A  d Q E  d l  d Q  U  . e e 0 Hitreje kot se časovno spreminja (ali pretaka) električna energija, večja moč je za to potrebna. Torej je moč določena kot d W P  (25.1) d t d Q Z upoštevanjem povezave med nabojem in tokom I  dobimo d t d W d Q P   U  IU (25.2) d t d t Enačbo (25.2) smo zapisali za enosmerne razmere, ko sta konstantna tako napetost, kot tudi tok na elementu. V splošnem, ko napetost in tok na elementu nista konstantna pač pa sta funkciji časa, pišemo veličine v enačbi (25.2) z malimi črkami, torej v obliki p( t)  u( t) i( t) ali tudi samo p  iu (25.3) Če se moč troši na linearnem uporu (na katerem velja U  RI ), z upoštevanjem Ohmovega zakona dobimo*: 2 P  RI ali 2 P  U / R . (25.4) Enota za moč je vat (W). Če je moč časovno konstantna, je delo A  P dt  Pt  , kjer je t čas opravljanja dela. * Te zveze pogosto imenujemo kar Joulov zakon, saj je James P. Joule leta 1841 prvi prišel do ugotovitve, da je sproščena toplota v prevodniku proporcionalna kvadratu toka, ki teče skozi vodnik. © D.K., 2019 241 Moč 25. Primer izračuna moči na bremenu: Ko priključimo breme (npr. avtomobilsko žarnico) na enosmerni vir napetosti 12 V, je skozenj tok 2 A. Določimo moč na bremenu, upornost bremena in energijo, ki se sprosti na bremenu v času 10 minut. Izračun: Moč je P  UI 12 V  2 A  24W . Upornost je 2 2 R  P / I  24 W / (2 A)  6 Ω . Energija je A  W  Pt  24 W 10  60 s 14400 J 14, 4 kJ . Vprašanje: Ali gre vsa ta energija v toploto (segrevanje)? Vsekakor en del, drugi del pa gre v svetlobno energijo. (Žarnice z žarilno nitko nimajo ravno velikega izkoristka, običajno med 10 in 20 % celotne moči). MOČ NA BREMENU Oglejmo si, kako se moč spreminja na spremenljivem bremenskem uporu, ki ga priključimo na realni napetostni vir. Veljati mora 2  U  2 g P  R I  R   . (25.5) b b b  R R    b g  To ni ravno preprosta funkcija, saj R b nastopa v enačbi dvakrat, tako v števcu, kot v imenovalcu. Poskusimo iz enačbe razbrati, kako se moč na uporu spreminja s spreminjanjem bremenske upornosti. Ločimo lahko tri različna področja: 1) Ko je bremenski upor enak nič, bo moč enaka nič. 2 U 2) Pri majhni upornosti bremena  R R velja približno g P  R , torej pri majhnih b g  2 b R g vrednostih upornosti bremena moč na uporu linearno raste. 2 U 3) Ko je bremenski upor zelo velik velja g P  . Moč na bremenu se bo torej pri velikih R b  1  upornostih bremena zmanjševala obratno sorazmerno velikosti  ~  in se bo z večanjem R  b  očitno zmanjševala proti nič. 4) Vmes, med točko 2 in 3 bo imela funkcija (moč) nek maksimum, ki ga lahko določimo z d P odvajanjem moči po upornosti bremena (  0 ). d R b Rg + U R g b Slika 23-25: Moč na bremenu Rb, ki je priključen na realni napetostni vir. Levo: breme na realnem napetostnem viru, desno: prikaz moči na bremenu v odvisnosti od Rb. © D.K., 2019 242 Moč 25. Primer izračuna moči na bremenu: Določimo moč na bremenu 10 , ki ga priključimo na realni napetostni vir 12 V z notranjo upornostjo 2 . 2  12V  Izračun: P  10Ω  10 W .  2 Ω 10 Ω Vprašanje: Ali lahko to moč dosežemo tudi pri kakšni drugi upornosti? Odgovor je pritrdilen: če enačbo zapišemo tako, da iščemo neznano upornost bremena pri znani moči, dobimo: 102  R 2 2 12 R , kar je kvadratna enačba, ki je s preureditvijo enaka b b 2 10 R 104 R  40  0 b b (Pri zapisu v matematični obliki smo zaradi preglednosti opustili pisanje enot. Ko določimo rešitev moramo pravilno enoto dopisati!) Rešitvi kvadratne enačbe sta dve: že znanih 10 , pa tudi 0,4 . Preprosti ukazi s programom Matlab za izračun in prikaz moči na bremenu: Rb=0:0.1:50 % tvorimo niz vrednosti Rb od 0 do 50 s korakom 0,1 18 Ug=12 16 Rg=2 14 P=Rb*Ug^2./(Rg+Rb).^2 % Izracun moci 12 W / 10 b plot(Rb,P) % izris R an c 8 oM xlabel('Rb / Ohm') 6 ylabel('Moc na Rb / W') 4 2 % če želimo zrisati za več različnih vrednosti, 0 zapišemo enačbe v dadoteko in jo večkrat 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Rb / Ohm poženemo s spremenjeno vrednostjo Rg, pri čemer za risanje na isti graf dodamo ukaz hold on SLIKA: Prikaz moči za različne vrednosti notranje upornosti generatorja (2 , 5  in 10 ). © D.K., 2019 243 Moč 25. MAKSIMALNA MOČ NA BREMENU Vzemimo primer bremena, priključenega na realni napetostni vir, in se vprašajmo, kdaj je na bremenu največja moč. Grafična določitev je seveda enostavna, matematično pa jo določimo pri pogoju, da mora biti naklon premice na funkcijo moči enak nič (vzporeden z X osjo). Ker naklon premice dobimo z odvajanjem, moramo maksimalno moč iskati pri pogoju d P  0 . Ugotovimo, da z odvajanjem dobimo pogoj, da mora biti za maksimalno moč na bremenu d R b upornost bremena enaka notranji upornosti vira*: R  R . (25.6) b g Kolikšna bo tedaj moč? Vstavimo pogoj ( R b = R g) v enačbo za moč in dobimo: 2 U g P  . (25.7) b,max 4 R b Primer izračuna maksimalne moči: Določimo še maksimalno moč iz prejšnjega primera. 2 (12V) To bo tedaj, ko bo R  R  2 Ω , moč pa bo tedaj P  18W . Rešitev se seveda sklada z b g max 4  2 Ω odčitkom maksimalne moči, ki jo poiščemo na grafu. IZKORISTEK BREMENA V smislu zakona o ohranitvni energije se del energije virov prenese na breme, drugi del pa lahko smatramo kot izgubna energija: W  W  W . (25.8) vhodna izhodna izgubna Izkoristek lahko definiramo kot kvocient izhodne in vhodne energije: W izhodna   . (25.9) Wvhodna Ker pa je energija pri enosmernih vezjih sorazmerna moči W  Pt , lahko definiramo izkoristek tudi kot kvocient moči na bremenu in moči vira (virov): P b   (25.10) Pg * 2 2 2 d P  U   U  R P  U    g g d g 2 R b b     2 ( 1  )  0 in nato    1   0  R  R d R  R R   R R  d R  R R   R R      b  g b   g b  R  R 2 b g b  g b   g b  g b © D.K., 2019 244 Moč 25. Izkoristek pogosto zapišemo v procentih, torej kot P b   100% (1.11). Pg Slika 23-26: Vhodna energija se prenese (transformira) na izgubno in izhodno. Wvh W izh Kako se spreminja izkoristek vezja pri bremenu, priključenem na realni napetostni vir? Izkoristek opisuje enačba Wizg 2 P I R R b b b     . (25.12) 2 P I R  R R  R g  b g  b g Pri majhnih bremenskih upornostih gre izkoristek proti nič, pri velikih pa proti vrednosti 1 (100%). (glej sliko) Kakšna pa je razlika med izkoristkom in maksimalno močjo na bremenu? Ugotovimo, da je izkoristek vezja nekaj drugega kot maksimalna moč na bremenu. Največji izkoristek dosežemo pri čim večji upornosti bremena, vendar je tedaj moč na bremenu majhna v primerjavi z maksimalno. Pri maksimalni moči pa je izkoristek vezja ravno 50%. Kako določimo izkoristek povezanih sistemov? Če imamo dva zaporedno vezana sistema, lahko izkoristek določimo kot P P P izh(2) izh(2) iz (1)       , 1 2 P P P vh(1) vh(1) vh(2) torej kot produkt posameznih izkoristkov. Rg=14.32 Rb=0:0.1:100 izkoristek=Rb./(Rb+Rg); P=Rb./(Rb+Rg).^2 plot(Rb,izkoristek,Rb,P/max(P ),'li … newidth',2) xlabel('Upornost bremena / ohm') ylabel('Izkoristek, Moč (normirana)') Slika 23-27: Izkoristek vezja (modra črta) in moč na bremenu ob spreminjanju bremenske upornosti. © D.K., 2019 245 Analiza enosmernih vezij 26. 26. Analiza enosmernih vezij Vsebina poglavja: metoda Kirchoffovih zakonov, metoda zančnih tokov, metoda spojiščnih potencialov. Spoznali smo že oba Kirchoffova zakona in zvezo med tokom in napetostjo na uporu. Zaradi pomembnosti velja ponoviti: N 1. KZ:  I  0 v spojišču (26.1) i i 1  M 2. KZ:  U  0 v zanki (26.2) i i 1  Ohmov zakon: U  RI (povezuje U in I) (26.3) S pomočjo teh zvez lahko analiziramo (določimo tok in napetost na poljubnem elementu vezja) poljubno vezje. Le zapisati moramo ustrezno število enačb in rešiti sistem enačb. Spoznali pa bomo tudi metode, ki nam omogočajo analizo vezij z manjšim številom enačb. Najbolj tipične metode reševanja (analize) vezij so: 1) Metoda Kirchoffovih zakonov 2) Metoda zančnih tokov 3) Metoda spojiščnih potencialov 1. METODA KIRCHOFFOVIH ZAKONOV (METODA VEJNIH TOKOV) Je najosnovnejša metoda, ki se (kot že ime pove) poslužuje uporabe Kirchoffovih zakonov. Način reševanja bomo prikazali na konkretnem primeru. Najprej moramo označiti smeri tokov v vsaki veji. Ta označitev je lahko poljubna, potrebno pa se je zavedati (kot smo že omenili!), da smer toka (skozi upor) določa tudi smer napetosti. Za lažjo analizo bomo označili tudi spojišča vezja ter tri zanke. Toka v veji s tokovnim virom nismo posebej označili, saj ta tok lahko enačimo kar s tokom tokovnega generatorja. Zapišemo lahko štiri enačbe z uporabo 1 KZ: spojišče (0):  I  I  I  0 4 3 5 spojišče (1): I  I  I  0 g 1 4 spojišče (2):  I  I  I  0 1 2 3 spojišče (3):  I  I  I  0 2 g 5 In dve enačbi po 2 KZ: zanka ( J      1): U I R I R I R 0 g 1 1 3 3 4 4 zanka ( J     2): I R I R I R 0 3 3 2 2 5 5 Za zanko J 3 ne zapišemo enačbe saj ni potrebna. Zančni tok J 3 je znan in kar enak (vsiljenem) toku tokovnega generatorja. © D.K., 2019 246 Analiza enosmernih vezij 26. Poglejmo število neznank in število enačb, ki smo jih zapisali. Število neznank je enako številu neznanih vejskih tokov, torej 5. Število enačb, ki smo jih zapisali pa je 6. Ena od enačb je torej odveč, je redundančna. Izkaže se, da je odveč ena od enačb po 1 KZ. Izločimo lahko torej poljubno spojiščno enačbo*. I I g g R R R J3 R 1 1 2 2 I1 I2 I3 + R + R 5 5 U U g g R J R J 3 3 2 1 I5 R I4 R 4 4 Slika 23-28: Vezje s podatki: Ug = 10 V, Ig = 2 A, R1 = 20  , R2 = 5  , R3 = 10  , R4 = 1  , R5 = 40  . TEORIJA GRAFOV (NA KRATKO) Reševanje takega sistema enačb zahteva sistematičen pristop. Pomagamo si lahko s teorijo grafov, kjer najprej narišemo graf vezja, nato drevo vezja in vrišemo dopolnilne veje (kite). Graf vezja narišemo kot vezje, v katerem ostanejo le veje vezja. Drevo vezja sestavimo iz vej vezja, s katerimi moramo doseči vsa spojišča vezja, pri tem pa ne smemo zaključiti nobene zanke. Veje, ki jih nismo uporabili za tvorjenje drevesa, so dopolnilne veje in jih dorišemo s črtkanimi črtami†. R = inf. Slika 23-29: Levo: graf vezja, Desno: drevo vezja in dopolnilne veje – kite. * Seštejte spojiščne enačbe (1), (2) in (3) ter množite z -1. Dobili boste spojiščno enačbo (0). † Vezje, ki ga obravnavamo je nekoliko specifično , ker v eni veji vsebuje idealni tokovni vir. V smislu analize vezij (teorije grafov) take veje ne moremo smatrati kot dopolnilne veje. Za te je značilno, da vsebujejo elemente s končno notranjo upornostjo. © D.K., 2019 247 Analiza enosmernih vezij 26. Število enačb, ki jih moramo zapisati po 1 KZ je torej enako N – 1, kjer je N število spojišč, število enačb po 2 KZ pa je enako številu dopolnilnih vej. V našem primeru bomo potrebovali 4-1 = 3 spojiščne enačbe in 2 zančni enačbi. ZAPIS IN REŠEVANJE SISTEMA ENAČB Sistem enačb rešimo tako, da ga zapišemo v matrični obliki. Upoštevali bomo spojiščne enačbe od (1) do (3)). Npr prvo spojiščno enačbo (1) zapišemo v obliki 1 I  0  I  0  I  1 I  0  I   I , 1 2 3 4 5 g drugo v obliki 1   I 1 I 1 I  0 I  0 I  0 1 2 3 4 5 itd. Koeficiente prepišemo v matriko in dobimo  1 0 0 1 0   I   I  1 g       1  1 1 0 0 I 0 2        0 1  0 0 1   I    I  3 g       R 0 R  R 0 I U  1 3 4   4   g   0 R  R 0 R   I        0  2 3 5 5 Potrebno je le še vstaviti vrednosti in rešiti sistem enačb zapisan v matrični obliki A  x  b (včasih zapišemo tudi kot Ax  b ), kjer je A matrika velikosti 5x5, x vektor neznank (tokovi I 1 do I 5) in b vektor sestavljen iz vrednosti na desni strani matričnega zapisa. Sistem enačb pogosto rešimo z uporabo računalniških programov. S pomočjo Matlaba izračunani vejski toki so I  0  ,2243 A , I  1  ,42953 A itd. 1 2 Sistem enačb rešimo s programom Matlab. Tvoriti moramo matriko A in vektor b ter rešiti sistem enačb tipa Ax=b. Rešitev dobimo z Matlabovim ukazom x=A\b. >> A=[1,0,0,1,0;-1,1,1,0,0;0,-1,0,0,1;20,0,10,-1,0;0,5,-10,0,40] A = 1 0 0 1 0 -1 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 20 0 10 -1 0 0 5 -10 0 40 >>b = [ -2 ; 0 ;2 ;10 ;0]; >> x=A\b x = -0.2243 -1.4953 1.2710 -1.7757 0.5047 © D.K., 2019 248 Analiza enosmernih vezij 26. 2. METODA ZANČNIH TOKOV Metoda zančnih tokov temelji na uporabi 2. K.Z., kjer namesto vejskih tokov uporabimo zančne toke. Slednje tvorimo iz vejskih tako, da je zančni tok v veji, ki ni skupna drugi (sosednji) zanki, kar enak vejskemu toku. Če pa je veja skupna večim zankam, je enak vsoti ali razliki vejskih tokov, odvisno od označitve smeri zančnih tokov. Potrebno število enačb je enako številu dopolnilnih vej. Za analizirano vezje veljajo sledeče zveze med zančnimi in vejskimi toki: J   I 1 4 J  I 2 5 J  I 3 g in I  J  J 3 1 2 I  J  J 2 2 3 Če vejske toke izražene z zančnimi vstavimo v napetostni enačbi po 2. K.Z., dobimo sistem zančnih enačb. Običajno je lažje napisati enačbe tako, da sproti upoštevamo padce napetosti v zanki: zanka ( J        1): U ( J J ) R ( J J ) R J R 0 g 1 3 1 1 2 3 1 4 zanka ( J      2): ( J J ) R ( J J ) R J R 0 2 1 3 2 3 2 2 5 zanka ( J  3): J I 3 g Dobimo sistem treh enačb za tri neznane toke. V osnovi le sistem dveh, saj je tretja že določena: J  I  2 A. 3 g Obstaja še drug pristop k tvorjenju sistema enačb, ki seveda privede do ekvivalentnega zapisa enačb. Pri tem pristopu najprej upoštevamo tok zanke in vse padce napetosti v zanki, ki jih ta tok povzroča. Nato ustrezno prištejemo ali odštejemo še prispevke ostalih zančnih tokov. Primer: J ( R  R  R )  J R  J R  U  0 1 1 3 4 3 1 2 3 g J ( R  R  R )  J R  J R  0 2 2 3 5 1 3 3 2 REŠEVANJE SISTEMA DVEH ENAČB Vstavimo vrednosti v zgornjo enačbo in zapišemo enačbi v matematični obliki (brez enot): J 31 2  20  J 10 10  0 1 2 J 55  J 10  2  5  0 2 1 © D.K., 2019 249 Analiza enosmernih vezij 26. Enačbi z dvema neznankama lahko preprosto rešimo tako, da iz ene enačbe izrazimo eno od spremenljivk in jo vstavimo v drugo enačbo. Npr iz 1. enačbe izrazimo J 2 in dobimo J 2 = 0,1( J 131-50). To vstavimo v drugo enačbo in dobimo 0,1( J 131-50)55- J 110 = 10 in iz nje izračunamo J  1,7757 A in 1 z vstavitvijo te vrednosti v eno od enačb še J  0,5047 A .Ugotovimo lahko, da je dobljeni tok J 2 1 skladen z rešitvijo, ki smo jo dobili po sistemu reševanja Kirchoffovih enačb: J 1 = - I 4. 3. METODA SPOJIŠČNIH POTENCIALOV Metoda temelji na uporabi 1. K.Z., po katerem zapišemo vsoto tokov v spojišče, ki mora biti enaka nič. Toke izrazimo s potenciali spojišč, razen, če je tok v veji znan, npr. tokovni generator. Označimo vsa spojišča in jim pripišemo neznane potenciale. Potencial enega spojišča lahko prosto izberemo. Ponavadi mu priredimo vrednost 0 V (ga ozemljimo). Če se v veji nahaja upor, izrazimo tok v veji s padcem napetosti na uporu ( I  U / R ), napetost na uporu pa z razliko potencialov spojišč. V primeru, da se v veji nahaja tudi napetostni generator, je potrebno vrednost napetosti generatorja ustrezno upoštevati (odšteti ali prišteti razliki potencialov). Število potrebnih enačb je enako N–1, kjer je N število spojišč. V primeru ki ga obravnavamo je to 4– 1=3. Reševanje konkretnega primera: V smislu sistematičnega pristopa bomo predpostavili, da vsi toki izhajajo iz spojišča (čeprav smo jih originalno označili drugače). Spojišče (1): Tok v tej veji določimo iz padca napetosti na uporu R 4. Napetost na tem uporu pa je razlika potencialov spojišč (1) in (0). Ker smo spojišče (0) ozemljili, potencial spojišča (1) pa je V 1, je tudi napetost med spojiščema enaka V 1. Napetost na uporu R 4 je manjša od V 1 za padec napetosti na V  U napetostnem viru, torej je enaka V  U , tok skozi upor R g . Na podoben način 1 g 4 pa je 1 R 4 določimo ostale toke. Za spojišče (1) dobimo V  U  1 g V V 1 2   I  0 , g R R 4 2 za spojišče (2) V  V V V  V 2 1 2 2 3    0 R R R 1 3 2 in za spojišče (3) V  V V 3 2 3  I    0 . g R R 2 5 Dobimo sistem treh enačb za tri neznane potenciale. Vstavimo vrednosti in rešimo sistem enačb: V 10 V  V 1 1 2   2  0 1 20 © D.K., 2019 250 Analiza enosmernih vezij 26. V  V V V  V 2 1 2 2 3    0 20 10 5 % Uporaba Matlaba >> A=[1+1/20,-1/20,0;-1/20,1/10+1/20+1/5 ... V  V V 3 2 3 2     0 ,-1/5;0,-1/5,1/5+1/40] 5 40 A = oziroma 1.0500 -0.0500 0 -0.0500 0.3500 -0.2000  1  1 0 -0.2000 0.2250 V 1   V  2  1   2  20  20 >> b=[-2+10;0;2] b = 1  1 1 1  1 V   V    V  0 8 1 2   3 10  20 10 5  5 0 2 1  1 1  V   V   2 >>V= A\b 2 3   5  5 40  ans = 8.2243 12.7103 20.1869 Potenciali spojišč izračunani s pomočjo Matlaba so: V 1 = 8,2243 V, V 2 = 12,71 V in V 3 = 20,1869 V. Vejske toke določimo iz že zapisanih zvez, pri čemer pa je sedaj potrebno upoštevati predhodno V  V izbrano smer tokov. Tako je na primer tok I 1 enak 1 2  (8, 224 12,71) V / 20 Ω  0  ,2243A. R 2 (Opozorilo: Zaradi preglednosti pisanja enačb namenoma pri vstavljanju številskih vrednosti v enačbe nismo pisali tudi enot. Enačbe smo torej spremenili v matematično obliko. Ko določimo rešitev, pripišemo ustrezne enote). REŠEVANJE SISTEMA ENAČB S POMOČJO KRAMERJEVEGA PRAVILA En od načinov reševanja sistema enačb je z uporabo t.i. Kramerjevega pravila*. Pri tem moramo det( A ) izračunati determinante matrik. Rešitev za potencial V 1 je na primer 1 V  , kjer je 1 det( ) A determinanta matrike A 1,05 0  ,05 0 det( ) A  0,05 0,35 0  ,2 1,05(0,35.0,225  ( 0  ,2)( 0  ,2))  ( 0  ,05)(0,05.( 0  ,225)  ( 0  ,2).0  0 0  ,2 0,225 0  .(0,05.( 0  ,2)  (0,35).0)) det( ) A  0,0401. Determinanto det( A 1) pa dobimo tako, da prvi stolpec matrike A nadomestimo z vektorjem b): * Gabriel Cramer (1704 - 1752): http://en.wikipedia.org/wiki/Cramer's_rule © D.K., 2019 251 Analiza enosmernih vezij 26. 8 0  ,05 0 det( A )  0 0,35 0  ,2  0,330 1 2 0  ,2 0,225 det( A ) Dobimo: 1 V   8,22V . 1 det( ) A © D.K., 2019 252 Analiza enosmernih vezij 26. * ANALIZA VEZIJ S PROGRAMSKIM ORODJEM SPICE Pri bolj kompleksnih vezjih, še posebno, ko analiziramo vezja z dodanimi nelinearnimi elementi, se lahko poslužimo analize vezij s programskimi paketi. En najbolj znanih je zasnovan na Spice simulacijah*. Na spletu je mogoče dobiti vrsto programov, ki temeljijo na Spice simulaciji. Poglejmo si primer uporabe programa 5Spice, ki omogoča tudi uporabo grafičnega vmesnika. Ta je še posebno primeren za popolne začetnike, saj ni potrebno poznati sintakse zapisov, pač pa le nekaj osnovnih pravil. Eno od teh je npr, da je potrebno eno od spojišč ozemljiti. Vsa računalniška orodja, ki temeljijo na Spice simulacijah, temeljijo na enakem načinu zapisovanja (sintakse) povezav med elementi. Slika 23-30: Primer simulacije vezja s programom 5Spice, www.5spice.com. (pomembno pri delu s programom je to, da mora biti eno od spojišč vedno ozemljeno) Spice sintaksa obravnavanega vezja: Ug 1 10 DC 10.0V ; Vg povezuje spojišči 1 in 10, kjer smo spojišče 10 dodali med Ug in R4 Ig 1 3 2 ; Ig je med spojiščema 1 in 3, nejgova vrednost je 2 R1 1 2 20 R2 2 3 5 R3 2 0 10 R4 10 0 1 R5 3 0 40 .DC Ug 10 20 2 ; naredi sken Ug-ja od 10 do 20 V po 2 V in omogoci .PRINT ukaz .PRINT DC I(R1) I(R2) ; izpiše toke na uporih R1 in R2 .END * SPICE je sicer delo univerzitetnega laboratorija (Electronics Research Laboratory, University of California, Berkeley, ZDA), ga pa pod tem imenom poznamo tudi v profesionalnih orodjih (npr. HSPICE in PSPICE) . Pri nas veliko uporabljamo varianto LT SPICE, © D.K., 2019 253 Stavki (Teoremi) 27. 27. Stavki (Teoremi) Vsebina poglavja: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. STAVEK SUPERPOZICIJE Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno iz linearnih elementov z več viri poenostavimo tako, da analiziramo vezje s posamičnim vklopom posameznih virov v vezje. Toke, ki jih izračunamo na tako poenostavljenem vezju na koncu seštejemo (superponiramo). V našem konkretnem primeru bi lahko določili toke v vejah vezja za dve poenostavljeni vezji. V prvem bi bil vklopljen le napetostni vir, v drugem pa le tokovni vir. Izklopljen napetostni vir nadomestimo s kratkim stikom, tokovni vir pa odklopimo - odprte sponke. Ig R R R 1 1 R 2 2 + R + R 5 5 Ug R R 3 3 ‚ ‚, I I 4 R 4 R 4 4 Slika 27-1: Vezje nadomestimo z dvema enostavnejšima vezjema. V prvem vezju obdržimo le napetostni vir, tokovnega pa izklopimo (odprte sponke), v drugem vezju pa obdržimo tokovni vir in odklopimo napetostnega (nadomestimo s kratkim stikom). Primer izračuna toka s pomočjo stavka superpozicije: Določimo tok I 4 s pomočjo metode superpozicije. 1. vezje: Ko izklopimo tokovni vir, lahko vse upornosti združimo v eno (nadomestno) tako, da zaporedno seštejemo upora R 2 in R 5 ter nato obema vzporedno še R 3 ter nato vsem še zaporedno R 1 in R 4. Dobimo nadomestno upornost R nad=( R 2+ R 5)|| R 3+ R 1+ R 4=29,18 . Tok I 4(1) = -10 V/29,18  = – 0,3427 A. (Bodite pozorni na to, da je predznak toka negativen.) 2. vezje: Ko izklopimo napetostni vir, nam ostane vezje, pri katerem ne moremo preprosto seštevati uporov. Zopet moramo uporabiti eno od metod za reševanje vezij. Vzemimo kar metodo zančnih tokov, ki se je za analizo konkretnega vezja izkazala kot zelo primerna. Razlika v že nastavljenih enačbah bo le ta, da sedaj nimamo napetostnega vira: J 31  2  20  J 10  0 1 2 J 55  J 10  2  5  0 2 1 © D.K., 2019 254 Stavki (Teoremi) 27. Izračun nam da vrednosti J 1 = 1,4330 A in J 2 = 0,4424 A. I 4(2) je enak – J 1 in bo torej enak I 4(2) = –1,4330 A . Na koncu seštejemo obe vrednosti in dobimo I 4 = I 4(1) + I 4(2) = –0,3427 A – 1,4330 A = –1,7757 A. Ugotovimo lahko, da je rešitev enaka, kot smo jo dobili z uporabo metode Kirchoffovih zakonov. 2. STAVEK THÉVENINA Théveninov stavek »pravi«, da je mogoče poljubni del linearnega vezja med poljubnima sponkama nadomestiti z realnim napetostnim virom, torej z idealnim napetostnim virom (ki ga imenujemo Théveninov) in notranjo (Théveninovo) upornostjo. Rth + U R Th b Slika 27-2: Shematski prikaz Théveninovega nadomestnega vira. DOLOČITEV THÉVENINOVE NADOMESTNE NAPETOSTI IN UPORNOSTI Napetost Thévenina določimo (izračunamo ali izmerimo) kot napetost odprtih sponk na mestu vezja, ki ga želimo nadomestiti. Théveninovo upornost določimo kot notranjo upornost vezja, merjena (računana) s sponk nadomestitve, pri čemer napetostne vire v vezju kratko sklenemo (kratek stik), tokovne pa razklenemo (odprte sponke). Matematično: Napetost Thevenina je napetost odprtih sponk med sponkama nadomestitve: U  U (27.1) Th o Upornost Thevenina je notranja upornost računano (merjeno) med sponkama nadomestitvepri kratko sklenjenih napetostnih virih in razklenjenih tokovnih virih: R  R (27.2) Th notranja Primer uporabe Theveninovega teorema: Kot primer odklopimo iz vezja iz prejšnjega poglavja upor R 3 in preostalo vezje med sponkama nadomestimo s Théveninovim nadomestnim vezjem. Če iz vezja odklopimo upor R 3 in zapišemo zančno enačbo, dobimo U   J R  R  R  R  I R  R  0 . g  1 2 4 5  g  1 2  © D.K., 2019 255 Stavki (Teoremi) 27. Po ustavitvi vrednosti določimo zančni tok J = 0,91 V. Théveninova napetost je enaka napetosti odprtih sponk med sponkama nadomestitve in je torej enaka vsoti padcev napetosti na uporih R 2 in R     5: U ( J 2 A)5 Ω J 40 Ω 30,91 V . Th Upornost Thévenina je R  ( R  R ) ( R  R )  14,32 Ω . Th 1 4 2 5 Sedaj lahko tvorimo nadomestno vezje in dodamo upor R 3 ter izračunamo tok skozi upor: U Th I  1,270 A . 3 R  R 3 Th Slika 27-3: Levo: primer določitve napetosti Thevenina med odprtima sponkama. Desno: Primer določitve Theveninove upornosti med sponkama pri kratkostičenem napetostnem viru in odklopljenem tokovnem viru. Drug način določanja Théveninove nadomestne upornosti je s pomočjo toka kratkega stika med sponkama nadomestitve. Ta način pride v poštev predvsem tedaj, ko ne moremo preprosto seštevati vzporedne in zaporedne vezave uporov. S pomočjo računalnika najlaže uporabimo kar matriko za izračun tokov po metodi Kirchoffovih zakonov pri čemer bo upornost R 3 = 0 . Dobimo I K = 2,1587 A U 30,91V in Th R   14,32 Ω . Th I 14,32 A K Omenimo še tretjo možnost. Upornost vezja med sponkama pri izklopljenih virih lahko dobimo tudi tako, da na sponki priključimo poljubno izbrano napetost in izračunamo tok v vezje. Iz kvocienta med napetostjo in tokom sledi upornost. V našem konkretnem primeru je ta način v osnovi enak prvemu načinu, saj izračunamo upornost Thévenina kot U I  ( R  R ) ( R  R ) sponk sponk 1 4 2 5 R    ( R  R ) ( R  R ) 14,32 Ω . Th 1 4 2 5 I I sponk sponk Ta način bi prišel v poštev, če upornosti v vezju ne bi mogli kar preprosto seštevati. © D.K., 2019 256 Stavki (Teoremi) 27. 3. STAVEK NORTONA Velja podobna definicija kot za Théveninovo nadomestno vezje, le da v tem primeru poljubni del linearnega vezja nadomestimo z Nortonovim nadomestnim vezjem, ki je sestavljeno iz idealnega IN tokovnega (Nortonovega) vira in vzporedne (Nortonove) notranje RN upornosti. Ker lahko vedno realni napetostni vir nadomestimo z realnim tokovnim, ta zveza velja tudi med Théveninovim in Nortonovim teoremom. V osnovi določimo tok Nortonovega vira kot tok kratkega stika, upornost Nortona pa na enak način kot upornost Thévenina. Velja torej: I  I in tudi I  U / R ter R  R . N K N Th Th N Th MAKSIMALNA MOČ NA BREMENU – DRUGIČ Théveninov stavek je posebno primeren za izračun maksimalne moč na uporu (bremenu). Pri analizi maksimalne moči bremena, priključenega na realni napetostni vir, smo ugotovili, da bo moč na bremenskem uporu največja tedaj, ko bosta bremenska in generatorska upornost enaki. Da dosežemo maksimalno moč, mora biti upornost bremena torej enaka upornosti Thévenina: R  R , (27.3) b( P max) Th maksimalna moč pa bo tedaj 2 U Th P  (27.4). max 4 R b Primer izračuna maksimalne moči na bremenu: V našem vezju smo analizirali razmere moči na bremenskem uporu R 3. Tedaj bo torej 2 2 U (30,91V) R 14,32 Ω , maksimalna moč pa Th P   16,68 W. b( P max) max 4 R 4  14,32Ω b Pogosto rečemo tudi, da je v tem primeru breme prilagojeno na vir. To je torej tedaj, ko je na breme prenešena maksimalna moč iz vira. © D.K., 2019 257 Stavki (Teoremi) 27. Izrišimo moč na bremenu s pomočjo računalnika, pri čemer si bomo zopet pomagali s programom Matlab. Vzemimo izračunani vrednosti U Th = 30,91 in R Th = 14,32  in spreminjajmo R b od 0  do 50  in izračunajmo moč na bremenu. Z Matlabovimi ukazi: Rb=0:0.1:50 % tvorimo niz vrednosti Rb od 0 do 50 s korakom 0,1 Uth=30.91 Rth=14.32 P=Rb*Uth^2./(Rth+Rb).^2 % Izracun moci plot(Rb,P) % izris xlabel('Rb (Ohm)') ylabel('Pb (W)') Ugotovimo lahko, da izris ustreza našim pričakovanjem, da bo torej maksimalna moč na bremenu tedaj, ko bo upornost bremena enaka upornosti Thévenina. Ugotovimo tudi, da vrednost največje moči ustreza izračunani. Kako to ugotovimo z uporabo Matlaba? Z ukazom max(P) izvemo največjo vrednost niza P, v katerem so shranjene vrednosti moči. Dobimo 16,68. Kaj pa vrednost upornosti pri maksimalni moči? Najprej ugotovimo indeks, pri katerem nastopa v nizu maksimalna moč z uporabo ukaza i=find(P==max(P)), nato pa z Rb(i) dobimo vrednost 14,3. Dobljena vrednost se razlikuje od točne za 0,02, kar je za pričakovati, saj smo numerično izračunavali moči le za vrednosti upornosti, ki se razlikujejo za 0,1 . Namen tega pojasnjevanja je v tem, da bi vzpodbudil bralca k uporabi in raziskovanju izjemnih zmožnosti programa Matlab. Moč na bremenu pri spreminjanju bremenske upornosti. © D.K., 2019 258 Stavki (Teoremi) 27. Da se prepričamo v pravilnost izračunov, lahko uberemo še eno pot. Izhajajmo direktno iz izračunavanja tokov v vezju s pomočjo metode Kirchoffovih zakonov ter določimo moč na uporu R 3 pri različnih vrednostih te (bremenske) upornosti. Preprosto, s pomočjo enačbe 2 P  I R . S 3 3 3 pomočjo računalnika lahko zelo hitro določimo maksimalno moč, tudi če formule ne poznamo. Iz že znane matrike:  1 0 0 1 0   I   I  1 g       1  1 1 0 0 I 0 2        0 1  0 0 1   I    I  3 g       R 0 R  R 0 I U  1 3 4   4   g   0 R  R 0 R   I        0  2 3 5 5 spreminjajmo R 3 od 0  do 50  in izračunavajmo tokove ter moč na uporu R 3 in rezultate izrišimo. Dobimo (Matlab): b=[-2;0;2;10;0] % vektor znanih vrednosti / desna stran enacbe II=[] % prazen vektor, potreben za shranjevanje izračunanih vrednosti moči for R3=0:0.1:50 % zanka povecuje upornosti od 0 po 0.1 do 50  A=[1,0,0,1,0;-1,1,1,0,0;0,-1,0,0,1;20,0,R3,-1,0;0,5,-R3,0,40] I=A\b % izracun tokov za dolocen R3 II=[II,I(3)] % shranjevanje vrednosti toka I3 v vektor, ki se zaporedno polni End % konec zanke R3=0:0.1:50 % vektor upornosti P=II.^2.*R3 % izracun moci plot(R3,P) % izris 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Slika prikazuje normirane krivulje toka, napetosti in moči na uporu R 3 v že znanem vezju. Sami ugotovite, katera krivulja prikazuje določeno veličino. To boste ugotovili zelo hitro, če si zamislite Théveninovo nadomestno vezje (Normiranje izvedemo tako, da poiščemo največjo vrednost v nizu (določene veličine) in delimo vse vrednosti s to vrednostjo.) Ukazi v Matlabu: U=R3.*II; plot(R3,II/max(II),R3,P/max(P),R3,U/max(U)) © D.K., 2019 259 Stavki (Teoremi) 27. 4. STAVEK TELLEGENA Stavek Tellegena pravi preprosto to, da je moč bremen enaka moči virov. Pri tem lahko vir deluje v generatorskem načinu (pozitivna moč) ali v bremenskem načinu (negativna moč). To zapišemo kot  P ( i)   P ( j) . (1.5) g b i j V našem konkretnem primeru je moč generatorjev enaka P  U ( I )  I ( V  V )  41,6822 W , g g 4 g 3 1 moč na bremenih pa 2 2 2 2 2 P  I R  I R  I R  I R  I R  41,6822 W . b 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 © D.K., 2019 260 INDEKS ampermeter, 231 koaksialni kabel, 86 baterija, elektrolitska, 171 kondenzator, 131, 169 baterije, 203 kondenzator, lastnosti, 172 Coulombov zakon, 29 kondenzator, ploščni, 84 daljnovodna vrv, 125, 128 kondenzator, realni, 199 delo, 72, 159 kondenzator, sferični, 89 dielektrik, 138 kondenzator, tipi, 173 dipol, 140 kondenzator, valjni, 86 dopolnilne veje, 247 kondenzatorska vezja, 135, 137 drevo vezja, 247 kontinuitetna enačba, 22, 184 dualnost, 197 koordinatni sistemi, 45 ekvipotencialna ploskev, 100, 118 Kramerjevo pravilo, 251 ekvipotencialne ploskve, 81 krogelni koordinatni sistem, 48 električna poljska jakost, 33, 100 Leidenska steklenica, 170 električna susceptibilnost, 143 linijska gostota naboja, 41 električni dipol, 110 maksimalna moč na bremenu, 244 električni dipolni moment, 110 mejni pogoji, 154, 194 energija, 159 merske enote, 11 energija delca, 104 metoda Kirchoffovih zakonov, 246 energija, kondenzator, 162 metoda zančnih tokov, 249 energija, porazdeljen naboj, 164 mobilnost, 189 Faraday, 63, 131 moč na bremenu, 242 faradayeva kletka, 94 modificiran Gaussov zakon, 144 Faradayeva kletka, 95 mostično vezje, 227 Gaussov zakon, 63, 67, 143 naboj (elektrina), 16 gostota dipolskih momentov, 141 naelektrena krogla, 68 gostota električnega pretoka, 144 naelektrena ravnina, 70 gostota energije, 165 nalektrena valja, 69 gostota moči, 193 napetost, 83, 159 gostota polariziranega naboja, 142 napetost, viri, 200 gostota toka, 182 napetostni delilnik, 224 gostotnice, 65 napetostni vir, 218 graf vezja, 247 Ohmov zakon, 189, 217 izkoristek bremena, 244 okovinjenje, 118 Joseph John Thomson, 107 polariziran naboj, 141 Joulov zakon, 193 polje enakomerno naelektrene premice, 56 kapacitivnost, 131 polje naelektrene ravnine, 60 kapacitivnost, dva valja, 134 polje premega naboja, 55 kapacitivnost, koaksialni kabel, 133 polje v osi diska, 59 kapacitivnost, merjenje, 132 polje v osi obroča, 58 kapacitivnost, ploščni kondenzator, 133 potencial, 78, 159 kapacitivnost, računanje, 132 potencial dipola, 113 kapacitivnost, sferični kondenzator, 133 potencial sistema točkastih nabojev, 80 kapacitivnost, valj-zemlja, 134 potencial točkastega naboja, 79 kapacitivnost, vrv - zemlja, 127 potencialna energija, 72, 75, 159, 160 kartezični koordinatni sistem, 45 potencialna energija sistema nabojev, 76 Kirchoffov zakon, 215, 216 površinska gostota naboja, 41 Kirchoffov zakon, drugi, 83 pretočne cevke, 65 pretok električnega polja, 63 tok, konventivni, 187 relativna dielektrična konstanta, 145 tokovni delilnik, 226 relativna dielektričnost, 139 tokovni vir, 220 silnice, 63 tokovno polje, 182 specifična električna prevodnost, 189 transformacija zvezda – trikot, 228 specifična upornost, 190, 192 upornost, 190 Spice, 253 valjni koordinatni sistem, 46 stavek Nortona, 257 vektor polarizacije, 141, 143 stavek superpozicije, 254 vezani naboj, 140 stavek Tellegena, 260 vezava uporov, 223 stavek Thévenina, 255 voltmeter, 230 superpozicija, 31, 34 volumska gostota naboja, 40 temperaturne lastnosti, 229 zakon o ohranitvi naboja, 16 tok, 187 Zakon o potencialnosti elektrostatičnega polja, 75 tok, konduktivni, 188 zrcaljenje, 124 Document Outline 0. Uvod Osnovne enačbe (zakoni), ki opisujejo električne pojave Osnovne veličine Merske enote in pisanje enačb Označevanje Gradniki snovi Prevodniki, izolatorji, polprevodniki, dielektriki ** Elektrenje s trenjem * Matematični uvod – integral in odvod Druge oblike integracij Od naklona do odvoda 1. Naboj in tok Naboj (elektrina) Zakon o ohranitvi naboja Električni tok (kontinuitetna enačba) Predznak toka odvajanje funkcij Kontinuitetna enačba Naboj kot integral toka Konstanten tok * Izračun in izris rezultatov 2. Coulombov zakon Zapis sile v vektorski obliki Superpozicija sil 3. Električna poljska jakost Superpozicija električnega polja Prikazovanje električne poljske jakosti v prostoru * Prikaz električnega polja v 2D in 3D prostoru * Kako je prišlo do koncepta električnega polja? 4. Porazdelitve nabojev Volumska gostota naboja Površinska gostota naboja Linijska gostota naboja * Gekon uporablja elektrostatiko za plezanje 5. Koordinatni sistemi Kartezični koordinatni sistem Valjni (cilindrični) koordinatni sistem Krogelni (sferični) koordinatni sistem 6. Električna poljska jakost porazdeljenih nabojev Polje točkastega naboja Polje porazdeljenih nabojev Postopek za določitev polja porazdeljenih nabojev * Matematični priročnik Električna poljska jakost enakomerno naelektrene tanke palice – premi naboj Polje enakomerno naelektrene daljice Polje v osi naelektrenega obroča Polje v osi naelektrenega diska Polje naelektrene ravnine Primerjava potekov polja 1. Primerjava med poljem točkastega naboja in naelektrenega obroča 2. Primerjava med poljem točkastega in premega naboja 3. Primerjava med poljem naelektrenega diska in naelektrene ravnine 7. Gaussov zakon Silnice Pretok električnega polja Pretok nehomogenega polja skozi neravno površino Pretočne cevke ali gostotnice Pretok polja po celotni (zaključeni) površini Pretok polja točkastega naboja skozi zamišljeno površino krogle Pretok polja skozi zaključeno površino poljubne oblike v kateri se nahaja množica nabojev Vpliv nabojev zunaj zaključene površine na pretok polja skozi notranjost površine Naelektrena krogla Naelektrena valja z isto osjo = koaksialni kabel Naelektrena ravnina * Kdo je prvi »izumil« Gaussov zakon 8. Delo in potencialna energija Delo po poljubni poti in velikosti sile Delo električne sile Delo električnih sil ni odvisno od poti Delo po zaključeni poti Potencialna energija Potencialna energija sistema nabojev Delo kot razlika potencialnih energij sistema 9. Potencial in napetost Električni potencial Potencial v okolici točkastega naboja Q Potencial sistema točkastih nabojev Potencial pri zvezno porazdeljenih nabojih Potencialno polje je skalarno polje Ekvipotencialne ploskve Električna napetost Drugi Kirchoffov zakon Osnovni primeri izračuna napetosti, polja in potenciala za: ploščati, valjni in sferični kondenzator Dve ravni vzporedni naelektreni plošči: ploščni kondenzator Koaksialni kabel (valjni kondenzator) Krogelni (sferični) kondenzator 10. Prevodnik v električnem polju Prevodnik v zunanjem električnem polju Površina prevodnika je ekvipotencialna ploskev Elektrostatična indukcija ali influenca Polje znotraj votline prevodnika – faradayeva kletka Naboj v votlini prevodnika Prenos naboja na zunanje stene prevodnika Električno polje na površini prevodnika Razlika med poljem naelektrene ravnine in poljem na površini prevodnika Sila na naboj na površini prevodnika * Xerografija 11. Zveza med E in V Izračun električne poljske jakosti iz potenciala in obratno 12. Gibanje nabojev v električnem polju Energija delca med gibanjem Primerjava velikosti gravitacijske in električne sile * Simulacije s programom EJSS Prebojna trdnost, prebojna napetost * 2. eksperiment Josepha Johna Thomsona (1856 - 1940) * Elektroforeza 13. Električni dipol Električni dipol Električni dipolni moment Polarne in nepolarne molekule Dipol v električnem polju Potencial v okolici električnega dipola Električno polje dipola Način izračunavanja sile na dipol iz spremembe električne energije * Izračun sile na dipol iz spremembe električne poljske jakosti Potencialna energija dipola 14. Okovinjenje ekvipotencialnih ploskev Polje med okovinjenimi ekvipotencialnimi ploskvami Sistem dveh premih nasprotno naelektrenih nabojev Ekvipotencialne ploskve polja dveh premih nabojev so krožnice (plašči valjev) Dva prevodna valja enakega polmera priključena na vir napetosti 15. Metoda zrcaljenja Prevodni valj nad zemljo (upoštevanje ekscentričnosti) Daljnovodna vrv nad zemljo (zanemaritev ekscentričnosti) Kapacitivnost med vrvjo in zemljo Računanje polja in potenciala v okolici daljnovodnih vrvi nad zemljo Zrcaljenje točkastega naboja na kovinski krogli 16. Kapacitivnost Kondenzator kot »koncentriran« element Merjenje kapacitivnosti Računanje kapacitivnosti Kapacitivnosti osnovnih struktur Kondenzatorska vezja Zaporedna vezava kondenzatorjev Vzporedna vezava kondenzatorjev Enačbe potrebne za analizo splošnega kondenzatorskega vezja 17. Dielektrik v električnem polju Dielektrik vstavljen v zračni kondenzator Relativne dielektričnosti in prebojne trdnosti materialov Fizikalna razlaga spremembe kapacitivnosti ob uporabi dielektrika 1) Ploščni kondenzator naelektren s prostim nabojem med ploščama 2) Ploščni kondenzator pri priključeni fiksni napetosti med ploščama Vektor polarizacije Površinska gostota polariziranega naboja Električna susceptibilnost Modificiran Gaussov zakon in vpeljava vektorja gostote električnega pretoka - D. Zveza med D in E Zveza med P in D Načini izračunavanja polja v dielektrikih za preproste strukture, kjer lahko uporabimo princip simetrične porazdelitve naboja in uporabimo modificiran Gaussov zakon Povečanje kapacitivnosti zaradi vstavitve dielektrika v kondenzator pri priključeni napetosti * Piezoelektriki * Mikrofoni Mejni pogoj za normalno komponento polja Mejni pogoj za tangencialno komponento polja Polje na meji dielektrika in kovine * Sila med dielektriki / dielektroforeza 18. Energija Ponovitev: delo električnih sil, potencialna energija, napetost in potencial Energija posameznega naboja pri preletu električnega polja Potencial v okolici osamljenega naboja in energija sistema dveh nabojev Potencialna energija sistema točkastih nabojev Energija v polju kondenzatorja Določitev kapacitivnosti iz energije v kondenzatorju Energija elektrostatičnega sistema porazdeljenih nabojev Gostota energije in energija polja Gibalni procesi – sila na naelektrena telesa 1) Primer gibalnih procesov naelektrenih teles brez priključenega vira napetosti 2) Primer gibalnih procesov pri priključeni napetosti Izračun sile iz spremembe kapacitivnosti 19. Kondenzator Kondenzator kot naprava za shranjevanje naboja Kondenzator kot naprava za shranjevanje električne energije Pomembne lastnosti kondenzatorjev * Tipi kondenzatorjev * Numerično računanje elektrostatičnih polj Divergenca polja Teorem Gauss-Ostrogradskega Gaussov zakon v posplošeni obliki Poissonova in Laplaceova enačba Numerično reševanje Poissonove enačbe 20. Časovno konstantno tokovno polje Gostota toka Kontinuitetna enačba Časovno konstantno tokovno polje Tok v snovi Konvektivni tok Konduktivni tok Ohmov zakon v diferencialni obliki Temperaturna odvisnost specifične upornosti Joulov zakon Mejni pogoj za J Dualnost tokovnega in elektrostatičnega polja * Realni kondenzator 21. Viri napetosti Generatorska sila Generatorska napetost Tokokrog Zn/Cu baterija Svinčeva baterija – akumulator Nikelj – kadmijeve baterije (Ni-Cd) Nikelj – metal – hidridne baterije Litij – ionske baterije * Sončna celica * Atmosferska elektrika 22. Enosmerna vezja – osnovni zakoni 1. Kirchoffov zakon 2. Kirchoffov zakon Ohmov zakon Označevanje smeri tokov in napetosti na elementih vezja 23. ELEKTRIČNI VIRI Idealni napetostni vir Realni napetostni vir Breme, priključeno na realni napetostni vir Idealni tokovni vir Realni tokovni vir Vzporedna in zaporedna vezava virov ** Določitev delovne točke pri nelinearnem bremenu 24. OSNOVNA ELEKTRIČNA VEZJA 1. Zaporedna vezava uporov 2. Vzporedna vezava uporov 3. Napetostni delilnik 4. Tokovni delilnik 5. Napetostni delilnik s potenciometrom 6. Mostično vezje 7. Transformacija zvezda – trikot Temperaturne lastnosti uporov Merilni inštrumenti Voltmeter Ampermeter * Merilni inštrumenti v praksi * Na kratko o senzorjih temperature * Wheatstonov mostič 25. Moč Moč na bremenu Maksimalna moč na bremenu Izkoristek bremena 26. Analiza enosmernih vezij 1. Metoda Kirchoffovih zakonov (metoda vejnih tokov) Teorija grafov (na kratko) Zapis in reševanje sistema enačb 2. Metoda zančnih tokov Reševanje sistema dveh enačb 3. Metoda spojiščnih potencialov Reševanje sistema enačb s pomočjo Kramerjevega pravila * Analiza vezij s programskim orodjem SPICE 27. Stavki (Teoremi) 1. Stavek superpozicije 2. Stavek Thévenina Določitev Théveninove nadomestne napetosti in upornosti 3. Stavek Nortona Maksimalna moč na bremenu – drugič 4. Stavek Tellegena