i i “368-Petek” — 2010/5/19 — 8:38 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 6 (1978/1979) Številka 3 Strani 144 Peter Petek: ROJSTNI DAN TETE AMALIJE Ključne besede: matematika, geometrija, enakostranični trikotnik, razrez, bolj za šalo kot zares. Elektronska verzija: http://www.presek.si/6/368-Petek.pdf c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. Je fe-presenetila s tor1 top ta , k i sen j o spel ko enakostranienega 1 k e dele, k i pa mot wTo paw& be tefk! 'Se chlo n6 ve t . -1 , Teta Anal i j a K@t 1vld4ttiv~ ima sbl S - , . . r,.: _ * _ . , . a ;be mgoCe r a z r e z a t f enaka :kq ms-ke trl kotrr4'keiF , u .. . = . - . . i;. - _ . F - i . , , - . - . I : i kot n a j t ! vse m 2 n e naeina rrzre.za, jd d o k a z f,L . . . I - , .@Wa.~fi n3. F - m : ? -4i- .T.'\,? ds& . ~ : + l - c REŠiTVE NALOG ROJ STNI DA N TET E AM ALIJ E - re ši tev s str. 144 Sli ka 1 a) b) c) čl Pa še dok ažimo, da ni drugih možnost i kot na zgo rnji s liki! Oglejm o si dve možnos ti: 1) Vse tr i ko t e ra zre žemo . II ) Vsaj en kot torte osta ne ner a zr ez an . Prva možnost j e nakazana na sl i ki 2, če na pr avimo v vs a k kot s a- mo en rez. Ob s l ik i 2 nam j e kajp ak " j a s no" , da ne mo re mo do bi - ti treh trikotnikov, č e se vsi tri je r e z i ne stika jo ven i s ami t oč k i T . To na š e " pr e pr i ča nje" še utemelj imo z d okaz om. Pr eš t e j mo, koli ko oq l t š č bo naj manj nasta lo . Vsa ko od oq l i š č A , B , C bo zdaj š t e l o dva krat, ke r se bodo pojavi la v d ve h tr i kotn ikih . c Sli ka 2 A c B 183 Torej imamo že šest od devetih oglišf, kolikor jih imajo sku- paj trije trikotniki . Na j bodo zdaj A ' , B ' in C' drug a kr aj i - š č a novih s tranic, ki se za č ne j o v A , B , C (sli ka 2). Seveda j e lahko kat er a od točk A' , B' , c ' tudi na ro bu tr i kot nika . Vsa ka od novo nastal ih tofk pa ustvari vsaj dve nov i ogli š fi, pa naj bo na robu ali v notr an jost i t r i kotn i ka . Torej bo nov i h oglišf pr ev e č , fe niso tri t o č ke A ' , B ' , C ' ena sama t o č ka T . To nam da ravno reši t ev pod al. č e ostane vsaj en kot nerazrezan, bo to tudi kot venem od no- vih trikotnikov; na sliki 3 smo pustili kot pri A ner a zr eza n . Drugi dv e ogl i š fi novega tr ikotnika lež ita zato na s tr ani c a h b in c , Obe hkrati ne moreta pa sti kar v oql i š č i B in C , ker bi sicer trikotni k AB 1 C 1 požrl celo torto. Ostaneta možnosti ( s 1 i ka 3 ) : 1) oglišfe C1 pade v C, ogli šf e B1 v notran jo st s tr a ni c e c - vlogi B1 in C1 sta seve lahko zamenjani . ( B1 pade v B i n C1 v notr a njo s t s t r a ni ce b . ) 2) obe nov i ogl i š č t pade ta v notranjost st ranic. če imamo opravka s prv o možnostjo, nam preostane od torte še t r i kot nik B 1BC , ki ga moramo r a zdeliti na dva tr ikot nika. To na pravi mo t ako , da zveže mo eno od ogl i š f z nas pr otno str anico. če izberemo ogl i š č e c , najdemo rešitev b) s sl i ke 1, f e režemo prek o B 1 , je to rešitev c) , in ogli š f e B da reš ite v f ) . A 18 4 c B S1 ika 3 A c B Ilu str . Alenka Potnik Druga možnost ne prinese nič bistveno novega. Ostanek torte je v tem primeru četverokotnik, ki ga moramo pač razrezati po eni od diagonal, in pristanemo pri rešitvi c). Izčrpali smo vse možnosti, dokazali pa še nekaj več, kot je zahtevala teta Amalija. Kakršenkoli razrez trikotnika na tri trikotnike - ne nujno ploščinsko enake - pade pod eno od možng sti na sliki 1. Ko si želimo delitev na tri ploščinsko enake kose, le v rešitvi pod a) izberemo težišče, v ostalih treh pa odrežemo prvi kos tako, da je delišče na eni tretjini os~ovni­ ce, preostali trikotnik pa delimo po eni od težiščnic. Naloga: Zakaj dobimo z rezi od oglišč do težišča tri ploščinsko enake trikotnike? Peter Petek 185