i
i
“1441-Vidav-OPerfektnih” — 2010/8/23 — 9:29 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 28 (2000/2001)
Številka 3
Strani 140–147
Ivan Vidav:
O PERFEKTNIH (POPOLNIH) KVADRIH
Ključne besede: matematika, geometrija, teorija števil, diofantske
enačbe.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/28/1441-Vidav.pdf
c© 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Mat ematika I
o PERFEKTNIH (POPOLNIH) KVADRIH
b
a
b
Perfekt ni (po polni) kvader imenuj em o tak kvader , pri katerem se izražajo
dolžine robov, te lesne diagonale in diagonal vseh st ranskih ploskev s celimi
(torej naravnimi) števili. Pravzap rav smemo tako imenovati vsak kvader ,
pri katerem so vse naštete dol žin e racion alna števila ali pa so med seboj v
racionalnih razme rj ih. Če so namreč vse racionalne, se pravi ulomki, po-
množim o robove z naj manjšim skupnim imen ovalcem teh ulomkov. Tako
dobimo podob en kvader , pri katerem se vse navedene do lžine izražaj o z
naravnimi števili. Če pa so vsa razmerja med njimi racionalna, lahko
izberem o enoto za dolžino tako, da so potem vse te količine cela števila.
Ali v t em sm islu pe rfekt ni kvadri obstajajo?
Kvad er je te lo v trirazsežnem prostoru. V ravnini ima pravokotnik
vlogo kvadra . Po analogij i bi imenovali pravokotnik "perfekten", če se
izražaj o dolžin e njegovih stranic in diagon ale z nar avn imi šte vili, oziroma,
kar je v bist vu isto , z racionalnimi števili.
Diagon ala razdeli pravokotnik na dva
skladna pravokotna t rikotnika s katetama
a in b, hipot enuza pa je diagonala d
(slika 1). Zato velja po Pitagorovem
izreku zveza
a
Slika 1.
Pri "perfektnem" pr avokotniku so a , b, d nar avna števila , ki zadoščajo tej
enačbi . Takih trojk a, b, d je nešt eto , imenujem o jih pi t agorejske t rojke,
naj manj ša med nj imi je a = 3, b = 4 in d = 5.
Če razširimo obravnavo na pravokotnike, pri katerih so do lžine a, b, d
racionalna števila, sme mo vzeti , da je ena izm ed nj ih enaka 1, np r. b = 1
(ustrez no dalji co smo izbrali za enoto dolžine). Zgornja enačba se zdaj
glasi
(1)
Iz nj e dobimo d2 - a2 = 1. Če levo st ran razst avimo v produkt , lahko
zapišemo enačbo (1) v obliki
(d+a )(d- a) = 1. (la)
Denimo, da pozitivni racionalni števili a in d zadoščata (1) , t orej t udi
(la) . Očitno je d > 1. Postavimo d + a = t , kjer je t prav tako racionalen
IMat ematika
in večj i od 1, sa j je t = d + a > d > 1. Iz (la) dobimo zdaj d - a = l i t ,
od tod pa izračunamo
t 2 - 1
a= - -
2t '
t 2 + 1
d=--
2t
t > 1. (2)
Za vsako racionalno rešitev enačbe (1) obstaj a pot emtakem tako racio-
nalno število t > 1, da se a in d izražat a z obraz cema (2) . Narobe je pr av
tako res: Izberimo si poljubno racionalno število t -=J. O in ga vst avimo v
leva izra za (2). Dobljena a in d st a racionalni št evili, ki zadoščata enačbi
(1), kar pokaže preprost račun . Če sta a in d pozitivn a - taka sta, kad ar
je t > 1 - določata a in b = 1 pravokotnik z racionalnimi st ranicami in
racionalno diagonalo d.
Pripomba. Kadar je t < 1, je bodisi a bodisi d negativno število. V
tem primeru je dolžina ust rezne stranice ena ka la l (oziroma diagonale IdI).
Racionalno šte vilo t > 1 lahko zapišemo v obliki ulomka t = »t«.kjer
sta števec P in imenovalec q naravni tuji si št evili in P > q. Če to vst avimo
v (2) , se a in d izražata v obliki te h-le ulomkov
Pomnožimo stran ici a in b = 1 s skupnim imenovalcem 2pq , pa dobimo
podoben pr avokotnik, ki ima st ra nici in diagonalo
b = 2pq , (3)
Slika 2.
a
Za vsak par naravnih št evil p in q, p > q, so tako dobljeni a, b, d pitago-
rejska trojka.
Vzemimo zdaj kvad er z rob ovi
a, bin c (slika 2). Zaznamujmo z d te-
lesno diagonalo (telesne diagonale so
štiri, so pa med seboj enake) , z dl , d2
in d3 pa diagon ale stranskih ploskev .
Pri tem je dl diagonala osnovnega
pr avokotnika s st ranicama a in b, d2 c
diagonala st ranskega pr avokotnika s
stran icama a in c, d3 pa diagonala
stranskega pravokotnika s stranica-
ma b in c. Po Pit agorovem izreku
dobimo zveze
(4)
Matematika I
Telesna diagonala d je hipot enuza pr avokotnega t rikotnika s katetama
dl in c (slika 2). Zato je di + c2 = d2 , oziroma, če upošt evamo prvo
enačbo (4) ,
(5)
Pri poljubno izbr anih po zit ivnih šte vilih a, b, c i zračunamo iz (4) in
(5) st ranske diagon ale d l , d2 , d3 in te lesno diagon alo d. Če so a, b, c cela
(oziroma racionaIn a ) števila, pa dobljeni dl , d2 , d3 in d niso vse lej cela
(nit i racionalna) šte vila .
Kakor sm o poved ali na začetku, je za obstoj perfektnega kvadra
dovolj , če najdem o po zit ivn a racionaIna števila a , b, C, dl , d2 , d3 in d, ki
zadoščajo enačbam (4) in (5). Od slej bomo torej iskali racion alne reš itve.
Zdaj sm emo vzeti, da je C = 1 (t retj i rob kvadra smo izbrali za enoto
dolžine) . Enačbe (4) in (5) dobijo po tem to le ob liko
in
a
2 + 1 = d~ , (4a )
(5a )
Denimo, cia im amo kakšno racionalno rešitev. Dru ga in tret ja enačba
(4a) imata obliko enačbe (1) . Če se spomnimo, kako clobimo racion alne
rešitve enačbe (1) , viclimo, cia obstajata taki racion alni št evili večj i ocl 1,
imenujmo j u zdaj x in y , cia je
m
y2 _ 1
b= - -
2y
y2 + 1
d3 = - - ·2y
(6a)
(6b)
Kor lahko zapišemo enačbo (5a) v obliki
in st a d] in cl racionaIna , obstaj a racionalno št evilo z > 1, cia je
Z 2 - 1
dl = ---') ,
~ z
Z 2 + 1
d - --. - 2z (6c)
I Mat ematika
Če vstavimo dobljene izraze za a, b in dl v prvo enačbo (4a) , ki smo jo
pomnožili s 4, dobimo tole zvezo
(7)
P ovzemimo, kaj smo doslej ugotovili : Če obstaja pe rfektni kvader ,
lahko najdemo racionalna števila x, y , Z , vsa večja od 1, ki zadoščaj o
enacbi (7). Vzem imo zdaj, obratno, da od nič različna racionalna št evila
x , y , z ustrezajo te j enačbi . Potem so
x 2 -1
a- ---
- 2:1: '
y2 -1
b=--
2y
c= l
racionalni robovi kvadra, pri katerem se izražaj o st ranske diagon ale dl ,
d2 , d3 in t elesna diagonala d z obrazci (6a) , (6b) in (6c) . Vsa ta št evila
so racion alna. Štiri enačbe (4a) in (5a) smo tako nadomestili z eno samo
enačbo (7) .
Takoj vidimo, da je enačba (7) izpolnjen a , če post avimo x 2 = 1, z =
= y , ali pa y2 = 1 in z = x . V prvem primeru je a = O, v drugem b = O.
Kvader se je izrodil v pravokotnik. Če pa je z 2 = 1, pove enačba (7) , da
mora bi ti x 2 = 1 in y 2 = l. (Leva stran je namreč vsota dveh kvadratov
in je enaka nič samo ted aj , kadar sta oba sumanda enaka nič.) Zdaj je
a = b = O, tako da se je kvader izrodil v dalj ico. Pravi perfektni kvader
nam da le taka trojka x, Y, z racion alnih števil, ki so vsa večja od 1 in
zadoščajo enačbi (7) . Ali obs t a ja taka t ro jka? Odgovora na to vprašanje
ne vem . Doslej niso še našli perfektnega kvadra ni ti niso dokazali , da ga
ni . Z računalniki so ugotovili samo to, da je do lžina najmanj šega roba
perfek t nega kvadra (z rob ovi , ki so cela števila) večja od 109 , seveda, če
t ak kvad er sploh obsta ja.
Pripomba. Ni posebno težko ugotoviti, da ima enačba (7) rešitev, pri
kateri so racionalni x, y , z vsi večji od 1, brž ko prem ore kak šn o rešitev ,
pri kateri je x 2 =1- 1 in y2 =1- 1. Ker nast opajo x, y in z v (7) samo
v kvadratih, je namreč ta enačba izp olnj en a t ud i tedaj , kad ar kakšn o
neznanko zame njamo z nj eno nasprotno vrednostjo, npr. x z -x. Prav
tako pa sme mo vsako neznanko zamenjati z njen o recipročno vrednostjo,
t orej x z l i x. S takimi zame njavami pridem o iz vsake rešitve, pri kateri
je x 2 =1- 1 in y2 =1- 1, do rešitve, kjer so vse neznanke večje od 1.
Zast avimo si zdaj vprašanje , ali obstaj aj o kvadri z racionalnirni ro-
bovi in racionalnimi st ranskimi diagon alami. Torej ne zaht evamo več, da
naj bi bila t udi te lesna diagonala d racionalna,
144 Matematika I
(8)
Če si izberemo poljubni racionalni št evili x in y , ki st a obe večji od
1, nam dajo obrazci (6a) in (6b) kvader z racionalnimi robovi a, b, C = 1
in racionalnima diagonalama d2 in d3 . Vstavimo izraza za a in b v prvo
enačbo (4a) in dajmo levo stran na skupni imenovalec. Potem je pred
nami enačba
y2(X2 - 1)2 + X2(y2 - 1)2 2
4x2 y2 = dl .
Diagon ala dl je racionaIna, če je ulomek na levi kvadrat racionalnega
št evila . Za to pa zadošča, da je šte vec kvadrat racionalnega števila, saj
je imenovalec kvadrat racionalnega števila 2xy. Števec lahko zapišemo v
obliki
Izberimo zdaj racionalni števili x in y t ako, da bo med njima zveza
(9)
Potem je števec enak 4, iz (8) pa dobimo dl = l / xy in je tudi diagonala
dl racionaIna . Pripadajoči kvader im a robove
x 2 - 1
a= - - -
2x '
st ranske diagonale pa so
y2 _ 1
b=--
2y
C = 1 , (10a )
1
dl = -,
x y
(lOb)
Vs a ta števila so racionaIna . Kvader ima potemtakem racionalne robove
in racionalne st ranske diagonale. Seved a morata racionalni št evili x in y
zadoščat i enačbi (9). Kako taka št evila dobimo?
D enim o, d a j e y i= O. D elimo enačbo (9) z y2 in pos tavimo
x
- = uy ,
2
- = V.
Y
(11)
Če sta x in y racionaIna, st a taka tudi u. in v . Med njima pa je t ale zveza
(9a)
I Mat ematika
Kakor vem o, se vsaka racionalna rešitev te enačbe izraža v obliki
t2 - 1
u =--
2t '
t2 + 1
v = - -
2t
(12)
pr i primerno izbranem ra cionaln em št evilu t -=f O. Za vsak racionalen t -=f O
pa st a t ako dobljena u in v racion alna in zadoščata enačbi (9a). Iz enačb
(11) in (12) zdaj lah ko izračunamo
t 2 - 1
x= 2--
t 2 + 1 '
4t
Y = t 2 + 1 . (13)
Ker si lah ko racionalni t poljubno izberemo, določata obrazca (13)
nešteto parov racionalnih števil x, Y, ki zadoščajo enačbi (9) . For mule
(1Oa) in (l Ob) pa določaj o nešt et o kvadrov, pri kater ih so dol žine rob ov
in st ra nskih diagonal racionaln e. Npr. za t = 2 imamo x = 6/5 , Y = 8/5 .
Robovi in st ranske diagonale pripadajočega kvadra so
11
a = -
60 '
b = 39
80 '
c = 1 , d _ 25
1 - 48 '
d _ 61
2 - 60 '
d = 89
3 80 '
Pom nožimo robove z 240, ki je naj manjši skupni imenovalec vseh navede-
nih ulom kov, pa dobimo tale pod obni kvad er , ki ima za robove in st ran ske
diagon ale cela števila
Telesna diagonala d = )73 225 = 5)2929 pa je iracion alna.
Racionaln o šte vilo t lahko zapišemo v obliki ulomka t = p/q , kjer sta
p in q naravni t uji si števili. Če to vstavimo v izra za (13), dobimo
4pq
Y = -;:---::-p2 + q2 .
P reprost , čeprav nekoliko dolgovezen in za to dolgočasen račun , ki ga bralec
lahko preskoči , pokaže, da se robova a in b izražata takole
3p4 _ 10p2q2 + 3q4
a = 4(p2 _ q2)(p2 + q2) ,
Matematika I
Skupni imenovalec ob eh ulo mkov na desni je 8pq(p2 _ q2)(p 2 + q2) =
= 8pq(p4 - q4). Če z njim pomnožimo a, b in c = 1, dobimo kvader z
robovi
a = 2pq(3p4 _ 10p2q2 + 3q4) , b = (p2 _ q2)(14 p2q2 _ p4 _ q4) ,
C = 8pq(p4 _ q4) .
(14)
Vsa števila na desni so cela, če sta t aka p in q. Stranske diagonale se
izraža jo pri t em kvadru s celimi št evili, in sicer so
dl = (p2 + q2)3 , d2 = 2pq(5p4 _ 6p2q2 + 5q4) ,
d3 = (p2 _ q2)(p4 + 18p2q2 + q4) .
Te formule je po znal že Leon ard Euler. Povedat i pa je treb a , da nam ne
dajo vseh (nepodobnih) kvadrov, pri kateri so do lžin e robov in st ranskih
diagonal cela št evila .
Nešt eto je kvadrov, ki imajo za robove in telesno diagonalo cela
števila . Dobimo jih z rešitvami enačbe (5) , to je, enačbe
v naravnih šte vilih a , b, c in d. Najpreprostejša med njimi se glasi a =
= b = 2, C = 1, d = 3. Kako dobimo vse njene rešitve v celih številih ,
pa lahko br alec zve iz knj ige J. Grassellija, Diofantske enačbe (Ljubljana,
1984) , na st r. 64~68.
Ali obstajajo t ud i kvadri , pri katerih se izražajo dolžin e robov, t elesne
diagonale in dveh st ranskih diagonal z naravnimi šte vili? Ob stajaj o.
Najmanj ši tak kvader ima robove
a = 104 , b = 153 , C = 672 . (15)
Tu je telesn a diagonala d = 697 , st ranski diagonali dl = 185 in d3 = 680
se izražata s celima številoma , diagonala d2 = 6V10l0l pa je iracionalna.
Navedeni primer seve da ni edini t ak kvader. Ob st aj aj o parametri č ni
ob razci, podobni obrazcem (14), ki daj o neštet o kvad rov s to lastnostjo,
vendar so bolj zapleteni, kakor so (14) , in t ud i izpeljava je do lgoveznejša .
Zato j ih t u ne bomo navaj ali .
Mat ematika
~ G
l ' ,
1 \. "
I , ,
I , ,
I ' ,
I \. \. \. \.
I ~ - - -- - - - -- ~ F
: : E d3 1
D !;, - - - - -:---- - - :
" 1 I, I I
, I I
" I I
, I I
Ba
Slika 3.
A
Vzemimo po ljuben kvader, pr i
katere m se izražaj o dolžine robov
a , b, c, te lesne diago nale d in
dve h st ranskih diagonal dl in d3
z nar avnimi šte vili. Naj bod o A,
B, C, D oglišča spodnje osnov ne
ploskve, E, F, G, H pa oglišča
zgornje (slika 3) . Točke A , B , C in
G določajo tristrano piramido (te-
t raeder), ki ima za osnov no ploskev
trikotnik ABC s stranicami a, b,
dl , njeni stranski robovi pa so c,
d in d3 . Vsi se izražaj o s celimi
števili. Mejne ploskve so št irje pravokotni t rikot niki: Os novna ploskev
ABC in stranska ploskev BCG st a polovici pr avokotnikov ABCD in
BCGF; v st ran skem trikotniku ACG leži stranica AC (to je diagonala dd
v osnovni ploskvi kvadra in je zato pravokotna na stra nice CG, ki je t ret j i
rob kvadra; v trikot niku ABG pa je stranica A B rob kvadra in je zato
pravokotna na st ranico BG (to je diagonala d3 ) , ki leži v stranski ploskvi
CB FG kvadra. Če so stranice pravokot nega trikot nika cela števila , je
t udi njegova ploščina, ki je enaka polovici produkta katet, celo število (v
pitagorejski t rojki je vselej ena kateta sodo število, glej enačbe (3)) .
Vzemimo za zgled kvader z robovi (15). Za ploščine Pl , P2, P3 in P4
stranskih ploskev tetraedra ABCG dobimo tale števila
1
P: = "2 ab = 7 956 ,
1
P2 = "2 bc = 51 408 ,
1
P4 = "2ad3 = 35360 .
1
P3 = - cd ] = 62 160 ,
2
Prostorn ina V tetraedra ABCG pa je šest ina pr ostornine kvadra, saj
je ploščina Pl osnov ne ploskve ABC polovica ploščine osnovne ploskve
ABC D kva dr a , višina pa je pr i obeh te lesih enaka c, to rej V = iabc. V
našem pri meru je prost ornina V = 1 782 144, se pr avi celo število.
Tako smo ugot ovili to le: Vsak kvader , pri katerem se izražaj o rob ovi ,
t elesna diagon ala in dve stranski diagonali z nar avni mi števili, določa
t ris trano pirami do (te traeder ), pri kat eri se izražajo rob ovi , ploščine stran-
skih ploskev (to so t riko t niki ) in (izkaže se) t udi prostornina z naravnimi
števili.
Ivan Vidav