48 Povzetek Opisan je poskus, ki je primeren tudi za maturante. Analiza meritve ohlajanja nekoliko segre- tega bolometra poteka po dveh poteh. Dijaki tako spoznajo, kako pri numeričnem računanju s spreminjanjem parametra modelsko krivuljo prilagodimo izmerkom. Dodana je še analitična rešitev, ki pa v tem primeru ne prekaša numerične, saj izhaja iz približka, hkrati pa tudi zah- teva poznavanje infinitezimalnega računa. Zaradi poceni opreme in dobrih rezultatov učitelje vabimo, da s to meritvijo dopolnijo nabor vaj za maturante. Ključne besede: poskus, ohlajanje, analiza meritev Cooling Abstract An experiment is described which is also suitable for secondary school graduates. An analysis of the measured cooling time of a slightly heated bolometer is conducted in two ways. Se- condary school students thus learn how to adjust the model curve to the measurements by changing the parameter during numerical calculations. An analytical solution is added, whi- ch in this case does not surpass the numerical one, as it is based on an approximation and simultaneously requires the knowledge of infinitesimal calculus. In light of the inexpensive equipment and good results, teachers are invited to add this measurement to their collection of exercises for secondary school graduates. Keywords: experiment, cooling, analysis of measurements Ohlajanje mag. Tine Golež Škofijska klasična gimnazija, Ljubljana Uvod Excel je program, ki naj bi ga med šolanjem spoznali vsi dijaki. Čeprav ni v prvi vrsti name- njen fiziki, nam lahko pride še kako prav. Seveda glavna prednost programa ni ta, da omogoča računanje koordinat telesa pri prostem padu ali vodoravnem metu. Za omenjena pojava zna- mo zapisati natančne analitične enačbe že v srednji šoli, zato je program le hitrejši računar. Smiselno je, da ga uporabimo za numerično računanje, kadar ne poznamo analitične rešitve. Študent sicer zna zapisati analitično rešitev za lego in hitrost padajočega telesa, ko upor zraka ni zanemarljiv. V srednji šoli pa se prezahtevnim računom izognemo tako, da padanje razde- limo na kratke časovne intervale in znotraj vsakega privzamemo, da je sila konstantna. T ako že dijak, ki še ne zna infinitezimalnega računa, z numeričnim računanjem v Excelu pravilno napove lego in hitrost telesa v poljubnem trenutku [1]. Včasih pa tudi višja izobrazba ne pomaga, saj analitične rešitve preprosto ni. T ak primer je ohlajanje telesa, kadar moramo upoštevati tako ohlajanje s konvekcijo kot tudi s sevanjem. T edaj ne moremo napisati izraza T(t) [2]. Ker imamo na šolah za tak poskus dovolj opreme, bomo v nadaljevanju predstavili pot, ki je nadvse primerna za srednje šole. Izdelava merilnika Bolometer izdelamo kar sami. Potrebujemo približno pol kilograma svinca in kovinski po- krovček s premerom okoli 10 cm. V pokrovčku stalimo svinec in dobimo tanek disk. S strani Fizika v šoli 49 Didaktični prispevki ga nekoliko prebodemo, da vanj lahko vstavimo temperaturni senzor. Z vrtanjem v svinec so lahko težave, bolje se obnese kar žebelj. Uporabili smo senzor za merjenje temperature znam- ke V ernier. Seveda disk tudi stehtamo. Da bo disk postal bolometer, ga moramo še počrniti. Saje, ki jih naredi plamen sveče, so pov- sem primerne. Disk držimo tik nad plamenom, da ogenj malo dušimo. Če ima namreč pla- men premalo kisika, se količina saj še poveča. Potem disk položimo na debelejši stiropor. Če ga uporabimo kot bolometer, ga obdamo z drugim stiroporom, ki je tudi debel in ima ustrezno luknjo. Ob sončnem dnevu merimo segrevanje in od tod solarno konstanto (slika 1), [3, 4]. Program sam izračuna najboljšo premico skozi izmerke segrevanja, mi pa na osnovi tega izračunamo, kolikšni gostoti energijskega toka smo izpostavljeni. Ohlajanje je praktično za- nemarljivo, točke zares ležijo skoraj na premici. Za merjenje ohlajanja bolometer obdamo s tanjšim stiroporom, ki je debel enako kot bolome- ter (slika 2). S segrevanjem ni težav, preprosto ga osvetlimo z močnejšo žarnico. Mi navadno uporabimo kar 200-vatno, ki jo držimo kakih 10 cm nad bolometrom. Teoretični uvod T emperature dotikajočih se teles stremijo k izenačenju. Predmet, ki ima višjo temperaturo od okolice, se bo zato ohlajal. Največkrat so v igri vsi trije načini prehajanja toplote. Vsekakor bo predmet s prevajanjem segreval zrak okoli sebe; zato se bo pojavil vzgon, ki bo povzročil dvigovanje zraka, kar pa je že konvekcija. Seveda se bo predmet ohlajal tudi s sevanjem. T emperature so tri: temperatura predmeta, temperatura zraka in temperatura sobe. Ne sme- mo namreč spregledati, da se predmet sicer ohlaja s sevanjem, a da nanj sevajo tudi vse stene Slika 1: Bolometer, pripravljen za merjenje solarne konstante. Slika 2: Bolometer, pripravljen za meritve med njegovim ohlajanjem. Program sam izračuna najboljšo premico skozi izmerke segrevanja, mi pa na osnovi tega izračunamo, kolikšni gostoti energijskega toka smo izpostavljeni. Ohlajanje je praktično zanemarljivo, točke zares ležijo skoraj na premici. 50 sobe, tako da je ohlajanje s sevanjem daleč manj izdatno, kot bi bilo v vesolju (ali zunaj v jasni noči). Seveda na srednješolski stopnji nekatere stvari poenostavimo. Privzeti smemo, da sta temperatura sobe in zraka kar enaki. Oznaka T S bo torej temperatura okolice, uporabili pa jo bomo tako v enačbi za konvekcijo kot tudi v izrazu za sevanje. Prevajanje in konvekcijo bomo zapisali s skupnim členom. T a je odvisen od površine telesa, ki se ohlaja, prav tako pa tudi od temperaturne razlike in od koeficienta h, ki ga bomo s to meritvijo določili. Stefanov zakon opiše sevanje. Privzamemo, da gre za črno telo, saj je svinčeni disk, ki ga bomo uporabili kot bolometer, primerno počrnjen, tako da ima emisivnost – posebno še v območju IR-svetlobe – res kar 1. Zapišimo povedano z enačbo za ohlajanje. Prvi člen na desni strani se nanaša na konvekcijo (skupaj s prevajanjem), drugi pa na sevanje: . Minus nakazuje, da se bo temperatura zniževala. Žal enačba – tudi če je zapisana kot diferen- cialna in ne kot diferenčna, kot je tu – nima analitične rešitve v obliki T(t) = … Ohlajanje bo razmeroma počasno; tudi tedaj, ko bomo bolometer ohlajali z dodanim ven- tilatorjem. Zato lahko ohlajanje razdelimo na korake po eno sekundo. Privzamemo, da je temperatura po eno sekundo konstantna, in izračunamo, koliko toplote je bolometer oddal s konvekcijo (z vključenim prevajanjem) in koliko s sevanjem. Seveda se bralec sedaj vpraša, kako lahko to storimo, ko pa še ne vemo, kolikšna je vrednost koeficienta h. Za ta koeficient si izberemo vrednost na primer 10. Potem izračunamo, za koliko se je bolometer ohladil. Celotni postopek ponovimo z ravnokar izračunano temperaturo. Vse te korake bo opravil kar Excel, le prvi ukaz moramo zapisati. T ako bomo na grafu dobili dva niza podatkov: izmerjene in izračunane temperature. Koeficient h spreminjamo toliko časa, da se točke izračunanih temperatur prilegajo izmerjenim. Ko poznamo koeficient, izračunamo delež toplote, ki ga je telo oddalo z enim in drugim načinom ohlajanja. Seveda primerjamo tudi ohlajanje z narav- no konvekcijo in ohlajanje z ventilatorjem. Pričakujemo, da se pri vsiljeni konvekciji znatno zmanjša delež ohlajanja s sevanjem, saj se predmet ohladi bistveno hitreje. Meritev in izračun Bolometer osvetljujemo z močnejšo žarnico. Segrejemo ga do 52 °C. Potem se malo oddaljimo in sprožimo meritev. Za ohlajanje z naravno konvekcijo počakamo kar 1100 sekund. Merilni sistem naj izmeri temperaturo vsako sekundo. Najprej v delovni list zapišemo nekaj podatkov o meritvi. V celico F2 vpišemo temperaturo sobe, ki se v polju F3 preračuna v kelvine. V celico G2 vpišemo vrednost za koeficient h. Iz- beremo kar vrednost 10 (ko sta pozneje oba niza točk na grafu, vrednost toliko časa spremi- njamo, dokler se izračunani izmerki ne ujemajo z izmerjenimi). V celico H2 vpišemo povr- šino tistega dela bolometra, ki se ne dotika stiropora (gre za počrnjeno zgornjo ploskev valja – izgubo toplote na ploskvah, ki sta v stiku s stiroporom, lahko zanemarimo), v celico I3 pa vrednost Stefanove konstante. 1 F G H I 2 Ts h S sigma 3 24 10 0,007539 5,67E-08 4 297 Na ta delovni list prilepimo še izmerke. Naj bo prvi izmerek tisti, ko je bila temperatura na- tančno 50 °C. Čas t = 0 bo v celici D5, temperatura pa v celici E5. Najprej vse temperature spremenimo v kelvine. T a stolpec dodamo na desno. Potem v celico H5 prepišemo začetno temperaturo. V celico H6 zapišemo ukaz, ki bo izračunal novo temperaturo. Od prejšnje tem- Stefanov zakon opiše sevanje. Privzamemo, da gre za črno telo, saj je svinčeni disk, ki ga bomo uporabili kot bolometer, primerno počrnjen, tako da ima emisivnost – posebno še v območju IR- svetlobe – res kar 1. Fizika v šoli 51 Didaktični prispevki perature (Tpr) bomo odšteli toliko, za koliko se je zaradi vseh načinov ohlajanja zmanjšala v tej sekundi. Gre za izraz, ki ga bomo pozneje zapisali v ustrezni obliki za Excel: . T ako izračunamo temperaturo v trenutku t = 1 s. Sedaj je čas, da zapišemo enačbo za temperaturo v naslednji sekundi v celico H6 z ustreznimi simboli, kot jih zahteva Excel: =H5-($G$2*$H$2*(H5-$F$3)+$H$2*$I$2*(H5^4-$F$3^4))/(0,623*130*0,5). T a celica (H6) je v spodnji tabeli, ki je del Excelovega lista, osenčena. Potem le še s »potegom navzdol« izračunamo preostalih tisoč in nekaj vrednosti. Seveda dodamo še stolpec z model- skimi temperaturami v stopinjah Celzija. Od vrednosti v stolpcu H odštejemo 273. t T T[K] T model [ °C] T model [K] Kon. Sev. kon/vse 0 50,00 323 50 323 114,4 172,5 0,399 1 49,96 323 49,97 322,97 114,3 172,3 0,399 2 49,93 322,9 49,95 322,94 114,2 172,1 0,399 Program nariše graf z vrednostmi v stolpcih D (vodoravna os, čas), E in G (obe temperaturi, izmerjena in modelsko izračunana). Sedaj spreminjamo vrednost konstante h v celici G2, do- kler teoretični izmerki ustrezno ne prekrijejo izmerjenih. Pri opisani meritvi je bila ustrezna vrednost koeficienta h enaka 4,4. Graf izmerjene temperature (črna debela krivulja) in modelsko izračunane temperature (tanj- ša rumena krivulja). Gre za ohlajanje brez ventilatorja. Zanima nas, kolikšen je delež oddane toplote s konvekcijo (z vključenim prevajanjem) glede na vso oddano toploto. T o zapišemo z izrazom: , ki smo ga izračunali v stolpcu M. Pričakovano se delež nekoliko povečuje, saj se z nižanjem temperaturne razlike ohlajevanega telesa in okolice hitreje zmanjšuje delež sevanja, a razlika ni velika. Medtem ko je na začetku konvekcija predstavljala 40 % ohlajanja, ga je na koncu (pri temperaturi 33 °C oziroma 9 °C nad temperaturo sobe) 42 %. Poskus ponovimo, a tokrat na bolometer usmerimo manjši ventilator, ki ga sicer uporabljamo za hlajenje v vročih poletnih dneh. Izberemo najmanjšo možnost pihanja. T okrat smo merili le deset minut in navkljub krajšemu času se je bolometer bolj ohladil. Zanima nas, kolikšen je delež oddane toplote s konvekcijo (z vključenim prevajanjem) glede na vso oddano toploto. 52 Ohlajanje z vsiljeno konvekcijo. Ohlajali smo do nižje temperature kot pri naravni konvekciji. Prilagajanje krivulje kaže, da je najustreznejši koeficient h enak 26. T okrat konvekcija (z vključenim prevajanjem) pomeni od 79 do 81 % ohlajanja; pri nižji temperaturi je delež večji. Približna analitična rešitev Diferencialna enačba za ohlajanje: , nima analitične rešitve v obliki T(t). Iz zadrege se rešimo s približkom. Upoštevamo, da se temperatura sobe ne bo veliko razlikovala od začetne temperature svinčenega diska in tudi od vseh naslednjih vrednosti ne, saj bodo razlike vse manjše. Zato namesto oznake T 0 pišemo kar T. Privzamemo torej, da je izraz »T – T S « majhen (seveda ne smemo pozabiti, da gre za kelvine; temperatura v sobi bo nekako 295 K, medtem ko bo začetna temperatura segretega diska 323 K, kar pomeni, da razlika res ne bo velika). Zapišemo: . Izraz preuredimo: . Pri prvem oklepaju na desni strani enačbe seveda ne trdimo, da sta temperaturi skoraj enaki, saj bi potem dobili nič. Pri drugem oklepaju pa upoštevamo omenjeno (skoraj) enakost tem- peratur in dobimo: . Z upoštevanjem tega približka dobi enačba za ohlajanje preprostejšo obliko, saj spremenljivka T nastopa le na prvo potenco: . Oziroma: . Pred integriranjem spremenljivki ločimo: . Rezultat integracije je: . Pričakovano se delež nekoliko povečuje, saj se z nižanjem temperaturne razlike ohlajevanega telesa in okolice hitreje zmanjšuje delež sevanja, a razlika ni velika. Medtem ko je na začetku konvekcija predstavljala 40 % ohlajanja, ga je na koncu (pri temperaturi 33 °C oziroma 9 °C nad temperaturo sobe) 42 %. Fizika v šoli 53 Didaktični prispevki Iz te enačbe pa znamo izraziti časovno odvisnost T(t): . Računalniški program bo skozi izmerke T(t) narisal najboljšo eksponentno krivuljo. Izraču- nal bo tudi parameter A, ki ustreza izrazu: . Iz te enačbe izračunamo iskani koeficient h, saj vse druge vrednosti poznamo. Ne pozabimo, da moramo temperaturo v tem ulomku pisati v kelvinih! (Preostali zapisi temperature v enač- bi T(t) so lahko v °C!) Po tej poti na koncu še izračunamo, kolikšen delež oddane toplote je posledica sevanja in kolikšen prevajanja ter konvekcije skupaj. Začetna temperatura je bila 50 °C, temperatura sobe 24 °C in čas ohlajanja 1100 sekund. Računalnik je izračunal, da je konstanta A = 0,001017. Zaokrožili bomo končni rezultat. Enoto poznamo, je s -1 . Iz enačbe: Izrazimo h: Upoštevamo še fizične lastnosti bolometra. Masa je 0,623 kg, polmer diska 0,049 m, specifična toplota svinca pa 130 Jkg -1 K -1 . Koeficient h je zato enak: Le 46 % celotnega ohlajanja je povzročila konvekcija (s prevajanjem), kar 54 % pa sevanje. Rezultat se ne razlikuje veliko od numerično izračunanega. Slika 3: Ohlajanje ob naravni konvekciji. Program je izračunal enačbo ustrezne eks- ponentne krivulje, ki ima v začetnem tre- nutku vrednost 26 in se najbolje prilega iz- merkom. Po tej poti na koncu še izračunamo, kolikšen delež oddane toplote je posledica sevanja in kolikšen prevajanja ter konvekcije skupaj. 54 Ohlajanje z ventilatorjem Začetna temperatura je bila 50 °C, temperatura sobe 23 °C in čas ohlajanja 600 sekund. Računalnik je izračunal, da je konstanta A = 0,003037. T okrat je koeficient h pričakovano večji: . T o pomeni, da kar 82 % ohlajanja povzroči konvekcija (vključno s prevajanjem). Komentar Analitično rešitev načeloma cenimo bolj kot numerični izračun. A kadar analitična rešitev ne obstaja, gotovo najdemo kak približek oziroma poenostavitev diferencialne enačbe. Ker je »cena približka« odstopanje od izmerkov, dobi nekaj »točk prednosti« spet numerični izračun. Včasih je imel veliko »negativnih točk«, saj je zahteval dolgotrajno računanje. Ob današnjih računalnikih pa ta zadržek povsem odpade. Pri opisani meritvi opazimo, da se iz približka izpeljana analitična rešitev in numerični iz- račun nekoliko razlikujeta. Po vsej verjetnosti lahko bolj verjamemo vrednostim, ki smo jih dobili z numeričnim računom. Ne smemo spregledati, da smo numerično obravnavo izpeljali iz fizikalnih zakonitosti ohla- janja in tako dobili podatek o deležu ohlajanja. Prav nobenega smisla ne bi imelo, če bi Excel izračunal »trendno črto« v obliki polinoma skozi izmerke, saj nam koeficienti tega polinoma ne bi znali odgovoriti na zastavljeno vprašanje. Pri interpolaciji bi sicer imeli dobre približke, pri ekstrapolaciji pa bi tak polinom odpovedal. Numerično dobljena krivulja ali analitična krivulja (iz približka) pa bi se izkazali tako pri interpolaciji kot ekstrapolaciji, pa še z deležem ohlajanja sta nas seznanili. Program Excel torej fiziki ponudi kaj pametnega le tedaj, ko ga znamo »vpreči« v fizikalne zakonitosti modela merjenega pojava. Šele ustrezno modeliranje iz »pisarniškega programa« naredi iz njega pripomoček, ki je koristen za fizika. Viri [1] Golež, T. (1997). Excel – prvi koraki. Fizika v šoli, 2(3), str. 36–40. [2] Kukman, I. (2008). Sevanje črnega telesa. Fizika v šoli, 13(14), str. 7–13. [3] Kham, B. (2002). Viški tabor 2001. Fizika v šoli, 7(9), str. 30–35. [4] Golež, T. (2013/2014). Crni kalorimetar kućne izrade, Matematičko fizički [Zagreb], str. 95–100. Slika 4: Ohlajanje ob vsiljeni konvekciji. Pri opisani meritvi opazimo, da se iz približka izpeljana analitična rešitev in numerični izračun nekoliko razlikujeta. Po vsej verjetnosti lahko bolj verjamemo vrednostim, ki smo jih dobili z numeričnim računom.