i
i
“9-1-Milosevic-Ploscina” — 2010/6/2 — 11:34 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 9 (1981/1982)
Številka 1
Strani 21–24
Dragoljub M. Miloševíc, prevod Peter Petek:
PLOŠČINA PRAVILNEGA DVANAJSTKOTNIKA
Ključne besede: matematika, geometrija, ploščina, dvanajstkotnik.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/9/9-1-Milosevic-Petek-dvanajstkotnik.pdf
c© 1981 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
PLOščI NA PRAV ILNEGA DVANAJSTKOTN IKA
Pok a za l i bomo ka ko l ahk o izr a ču n amo p lo šč in o pr avilnega dva-
na j s t ko t ni ka, če poz namo
A) s t ra nico a pravilnega dv an ajstkotnika
B) polmer P dvanaj stkotniku opisanega kroga
A) 1 . nač i n
Nad vsak o drugo st r a n i co pravilnega dva najstk otnika A , A 2 • • •
A
'
2 ( s lika 1) konstru ir amo na notranj i s t r a ni po en ena kos tra -
ni č en tri ko tni k . Lah ko je pok azat i , da njihovi vrhovi
M
"
M2 , •• • Ms predsta vl jajo ogl išča pravi l nega šestko tnika s
s t r a nico a . Ta ko smo dvanaj stkotnik razstavili na 6 s kladn ih
kvadr ato v in 12 s kla dni h en a ko strani čnih t r i ko tn i kov . Zat o je
pl o šč ina enaka
S li k a
2. način
(),H--"-::~--3~O
S li ka 2
Izberemo e ne ga od 12 s kladnih enakokrakih trikotnikov z vr hom
v s r e d i š č u dvanajstkot nika in stra nico a ko t os nov nico (s l ika
2 ) . Kon stru iramo višino na osnovnico 00 , . Pot em i zb e r emo na
2 1
dalji ci OO, t ot ko P tako, da je trikotnik A ,A 2P enakostranite n,
torej < A,PA 2 = < A2PA, = 60 0 • Kot ob vr hu O je enak 360 0 : 12=
= 30 0 , kot OA , A2 ima 75 0 , < OA,P = < OA2P = 15 0 • Tri kotni k
A, A2P je enakostraniten, t r ik o t nik A ,P O pa i ma dva kot enaka
15 0, zato je enakokrak in zato OP = A ,P = a . Vi šina OO , j e
t orej sesta vljena iz vi šine ena kostrani tneg a trik otn ika O, p =
=a 13/ 2 in da l jice OP = a . Tako je ploština trikotni ka A, A20
enaka
p ( M , A 2 O) = a ( a + a 13/ 2 ) / 2 = a 2 (2 + 13) / 4
Ploština dvanajstko tn ika je dvanajstkrat ve t j a
B) 1 . nač i n
Pra vi ln i dva na j s t ko t ni k j e sestavljen iz š e s t i h skl adnih del -
toi dov . Eden od nji h je ABCO na sliki 3 . Diagon ali de lt oi da
sta obe ena ki po lmeru p ot r t a ne ga kroga . Di agonal a BO se kar
uje ma spolmerom, dia gona la AC pa je s t r ani c a pra vilnega še s t -
ko t ni ka in zato spet en aka po lmeru r . Tak o imamo
( P = 6
IJI-t------~ ()
S l i k a 3
2 . način
Sl i ka lj
Na sl iki 4 vid imo tri s t ran ic e pravilneg a dvanaj stk otnik a in
kvadrat, ki smo ga kon struira li nad po lmerom P . Najprej bomo
22
pokazali, da ima ta enakokraki trap ez ABCD i n petko t nik ABCDE
enak i p lošč i ni .
S I ika 5
T o č k i M i n N sta nožišči nor ma l , ki ju ' spust imo i z t o č k B in
C na d ia gona lo AD kva drata . Kot ABC j e kot pra v i l neg dva naj s t -
ko tn ika in za to enak 150°, kot ABM je tako 150 ° - gOo = 60 °
in je trikotni k ABM pol ovica enakostran ičnega. Ke r je < DAE
= 45° in < BAM = 30°, velja < BAE = 15°. Pravo kotn ik MBC N je
polo vi ca kvadrata (MB = ~ BA = i BC = i a ) i n ima plo šči no
a 2 / 2 . Poglejmo s liko 5 ! Po s imetrij i s kl e pamo , da je tr ikot nik
BCE enakostran ičen in zato po p lo šči n i e nak vsot i p lošč i n
t ri ko tni kov ABM i n DCN . Ko ti BAE. BEA . CED in CDE so vs i e nak i
15°, zato j e < DCE = 150 ° . I z točke D potegnemo norma lo na
podaljše k stranice EC in dobimo n o ž i š č e F . Ker je < DCF =
= 180° - 150° = 30° , je tudi tri kotn i k CDF pol ov ic a e na kos t r a -
n i č n e g a in DF = a / 2 . To pa je r av no višin a trikotn i ka CDE na
stranic o CE, ki je e nak a a . P l o š čina trikotnika CDE j e t orej
a 2 / 4 . Isto ve lj a za t ri kotn ik ABE . Vsota njunih pl oščin je
zato a 2 / 2, kar j e ravna p lo ščina pravo ko tnika BMNC. Upoš tevaje
vse p loščinske enako st i vidimo, da ima t rapez ABCD en ako
p loščino kot pe t ko t n i k ABCDE . Ker dasta skupaj po l kvadrata,
je p loščina petko tn ika OABCD enaka trem četrtinam p lošč i ne
23
3 ' kvadrata OABD, t o  je T ~ a .  DvanaJstkotnOk s e s t a v t j a j o  f t irje  
e n s k l  p e t k o t n i t i  s plo i t in i imi  k. Tako doblmo Loneno 
3 P = 4 ' ' ~ ( U A G D )  = 3pa 
1PoZogZ: 
1 .  Upafahf trlspez AECD na s t ikt  4 J n  z njegcvo pomaEjo I e  en- 
krat fzreEurraj plo5t fno pravilnaga dvanajotkotnfka, te  pornai 
njegovo stranfco tzL 
2 ,  Irrazl p log t lno  pravilnega dvanejstkotnika.  Ee poznaS pol- 
mer p vtrtanega kroga. 
DrqsZjab N. WZo8soid 
prev. Peter Fetsk  - - - - - - - -