i i “10-2-Klinc-Voscilnica” — 2010/6/3 — 10:09 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 10 (1982/1983) Številka 2 Strani 68–72 Dedomir Klinc: VOŠČILNICA DEDKA MRAZA Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/10/10-2-Klinc.pdf c© 1982 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. MATEMATIKA VOščILN I CA DEDKA MRAZA Pomislite, člani matematičnega krožka osnovne šo le v Modri po- ljani SG letos prejeli novoletno čestitko od samega dedka Mraza . "Obi lo za dovo ljstva, sreče in uspehov ob odkrivanju i n r eševa - nju matematični h problemov i n ob va š em de lu nasplo h vam že l i dedek Mraz ," je pisalo v v o š č il n i ci. De de k Mraz pa se ve da ne bi bi l dedek Mraz, če ne bi vošč i lu pr i - ložil tudi dari la . Svoje vo šč i lo je namreč dedek Mraz v svečani pisavi, kot se njemu spodobi, zapisa l na pravokoten list papir - ja, ki pa ga je tako umetelno prepogni l, da je list postal kar sam s e bi pisemska ovojnica. Bila je to pisemska ovojnica pravokotne oblike, podobna pa ven- dar ne čisto taka, kot so tiste običajne. Odpirala se je namreč ne kam bolj nenavadno, kar poglejte sliko 1! Sl ika 68 Sami vidi te, bist ri m oč e m krožkar je v i z Modr e pol j ane pa tudi ni ušlo , da pr avokot en list oapir j a , pr e pognj en v pra vokot no pi- sems ko ovo jni co , ne more biti le go l o n a klučje. Tako pr epognje - na v oš čilni c a je očitno na ka zoval a problem. In ka j naj bi t a ko navdu šene raziskovalce , kot s o krožk ar ji iz Modre polj ane, bolj razveselilo, kot če jim kdo podari nov , še neobdelan problem, toliko bolj, če to stori s am dedek Mraz! Prvo vprašanje , ki so si ga kr ožk arji po t emelj item ogledu voš- č i l n ice postavil i, j e bil o oč i t n o : kako neki je dedku Mraz u us - pelo s samim prepogibanjem pravokotnega lista dobiti spet p ravo - kotno ovojnico? In dr ugo : ali lahko kakršen koli pravokoten list , to rej list , ki ima obliko pravokotnika z dol žinama s t r a n i c v po- ljubnem r a zme r j u, prepognemo tako , da iz njega nastane o vo jnica , ki tako ze lo spominja na pise msko? Vprašanja, predpostavke in ugotovitve so se porajale še in ' š e , kar eno iz drugega je nastajalo. Da pa ne bi vseg a le našteval in da bi ostalo ne kaj razisk ovalnega zadovoljstva tudi za vas, ki ver jetno ni ste prejeli r a vno ta kega pisma, pogle jmo l e, kak o ' so s i krož ka r ji iz Modre poljane orga niziral i de l o. Dobro veste , da nas je v vsa ki delovni s kup ini vedno neka j t a- kih , ki na j r aj e za grabimo pr oblem konkretno , ki smo, r ek l i bi , bol j e ksp e rimentalno navda hnjeni . Ravno ta ko pa i ma vsa ka delov- na s kupina tudi neka j ta kih č l a n o v , ki se nalog lotevajo ra je s preudarkom, nekako bolj teoretično, za kar največkrat potrebuje- jo le papir in svinčnik. Uspešnost delovne skupine je seveda od- visna od sodelovanja prvih in drugih. Prav zap rav sodelov an je med en imi in dru gimi č l a n i matematičn e ga kr ožka i z Modre po l j ~ne ob s amem zač et ku , ko so se lot il i prob- lema v o ščilni ce ded ka Mra za , ni s tek l o ta ko idea lno. Začetn a zagnanos t in nest rpnost, ki jo vsi dobro poznamo, ko prvič do- jamemo problem , j e bi la kr i va , da s e je pre cej članov kro ž ka lot ilo prepogibanj a papirja ka r takoj. Zanesli so s e pač na i z - kušnj e , še bo l j pa na občute k , i n mogoče tudi na sre čo, da bi že s samim prepogibanjem ugotovili pravilo, po katerem iz pra- vokotne ga lista papirja dobi š pravok otno ovojnico. No in medtem 69 ko se je kup pomečkan i h li s t ov pod klopjo veča l, je skup ina (si- cer l e na videz) bolj umerjen i h raziskova lcev z risa njem skic ugotov i la, da je ome njeni prob lem prepog iba nja pravzaprav isto- veten s prob lemom, kako včrt a t i v dani pravokotnik nov p ravo - k o tn ik tako , da bo le -ta imel v s a ogl i šča na st ranicah p re j šn je - ga (sl .2 ) in bo njegova ploščina polo vica p r e j šnje . Sl ika 2 Ne vem, a li je bi l vse bol j grozeči kup po mečkan ih li s t ov a l i pa spoz nanje, da brez sode lovanja vseh č la nov ne gre, vzrok, da so se krožkarj i ko nčno l e l ot ili prob lema s ložno in na is- t em koncu. Na loge so opredel i li nekako tako le: Poi s kati pravi lo, po kate re m bomo .z načrtova nje m že vna- prej določ i li r obove preg i bov l i s t a v kuverto. Prever it i z dokazom, ali to pravi lo ve lja za pravokotne li s t e kakrš- ni h kol i mer . Pre verit i, a li je to ed i ni možen n a č i n . Iz - de lati nekaj ovoj nic . Prever iti, a l i ob reševanj u prob le ma pr i dobljena spoz nanja l ah ko uporab i mo t udi v drugih oko li - ščinah. In ko nč no, ali do tod reše n proble m ne vodi še na - prej k novim r azi s koval nim možnost im in na loga m. Povem vam še to, das o 4 a l~ g e kar zadoyoljivo . . " " l i ., sicer ne vem, b.i Ti pa so. touč~ nc,i iz nanje učencev 6. in 7. r az j-eda, pr e dvs em tisto o 'zr ca l j enj i h in o obodnihinsrediščnih koti n'je za izdelaVo ovojn ice kar zadostovalo . . UČenci o ~ m'ihq razr'edov 1 pa so v'o ~ j;;. . <,;;: 70 ve rjetno našli še kaj imenitne jšega . Prepri čan s em, da bo i zdelav a ovojni ce ka j hitro uspel a tudi vam . Pa š e kaj v eč! č e imate ka j delovnih, t or ej tovari š kih s t i kov z ost alim i matem ati čnimi kr ožki , jim l ahko v tak i ovoj - ni ci pošljete nalog o, ki s t e jo na isto ali podobno temo stuh- tali s ami . če pa goj i t e pri jatel js ke s t i ke celo s ka kšnim sred - nješolskim kr ož kom, jim v ovojni ci lahko pošljete recimo ta kle problem: AB CD = ao o o o o s:c z: DA b o o o o o AiB I ClV I a l BIC I DIA 1 b l ---- ----------- AnB I CD ann n EC z: DA bn n n n n BO ~ = Cn+IDn +1 an +1 n+1 n + l Sl i ka 3 Bn+ICn +1 = Dn +IAn +1 bn+l Pa še: "Nikar se prezgodaj ne razjezite!" ne pozabite pripisati s r e dnj e š ol cem. 71 Kagt i kot t u d t sami dobro veste, fa zaplatenost warsikaterega takega probfena odv isna t u d l od tega . do kod ga nsaerava r e h - valec - g l e d e na svoja frkuSnje i n rnanje - raziskovati.