i
i
“1301-Modic-0” — 2010/7/23 — 11:54 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 24 (1996/1997)
Številka 4
Strani 214–215
Roman Modic:
ZAKLJUČEK TEKMOVANJA MEST
Ključne besede: novice, matematika, matematǐcna tekmovanja, tek-
movanje mest, popularizacija matematike.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/24/1301-Modic.pdf
c© 1997 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ZAKLJU~EK TEKMOVANJA MEST 
ZdjuEek letdnjega te!kmovanja mest je bil v ruskem mestu UgliE, ki leiti 
ob najveEji evropski reki Volgi, 250 km severno od Moskve (kar je sedem 
ur voinje z vlahm). UgliE je mesto a; dolgo zgodovino, o h e r  prik tudi 
veliko &&lo z n d n i h  mrkva. V mestu j e  tudi znana tovarna ur i'Jajka, 
ki, kakor sami reklamirajo svoje izdelke, iadeIqje ure v ruskern stilu, a 
8 evropsk~ natdnOStjo. UddeZenci pa smo si m d o  sapomnili predvsem 
po tern, da so ga kar naprej pokrivali a adaltom, ki ga imajo oEitno na 
pretek: Mesto se raavija in v njem je t e  kar osem prog mestnega avtabusa. 
Po prihodu v UgliE so nas nastanili v dijafikern domu, kjer smo 
pregiveli dolgih deset dni od 31. julija do 9. avgusta. Dolgih =to, ker 
pogoji bivaqja niso bili ravno najbobii (voda ni bila pitna, ni bilo t-, 
hrana pa tudi ni bila ravno ditna). Na sreEo je a-k relo prilagodljiw 
INovice 215 1
bitje in nekako smo se le znašli . Skr atka, udeležencem ni preostalo nič
drugega , kot da se so lotili matematičnih probl emov, saj j e bila to tako
rekoč edina to lažba.
Zaključek te kmovanj a mest je zelo zan imiv, saj ne gre za klasično te k-
movanj e, kjer je za reševanj e nal og na voljo nekaj ur , temveč pr edst avij o
organizatorj i nekaj pr obl em ov (tokr at šest), od katerih je vsa k sestavlj en
iz več nalog , ki počasi osvetljujejo problem in peljejo k rešitvi . Težavnost
nalog se sto pnj uje in nekaj nal ogje bilo pr av zar es te žkih . Vsak udeleženec
je izbral nekaj probl em ov, s katerimi se je ukvarjal kar ves teden. Naju-
speš nejši tekmovalci so na koncu dobili diplom e.
Slovenij o so na konferenci zast op ali dij aki Igor KLEP z Gimnazije
Ptuj , Matij a MAZI z Gimnazij e Bežigrad in Andrej VODOPIVEC z
Gimnazij e Celje, ekipo pa je spremljal Roman MODIC, ab solvent Fa-
kultet e za matematiko in fiziko. Tekm ovalci so se sijajno odrezali, saj so
kljub t ežkim pogojem dela zavzet o reševali naloge in za svoj trud pr ejeli
vsak svojo diplomo.
Tekmovanj e mest postaj a čedalje bolj mednarodno, saj bo pr edvi -
doma čez dve leti zaključek t ekmovanja mest prvič v zahodni Evropi (v
Nemčiji) , kjer si lahko obetamo večj o mednarodno udel ežbo .
Za konec pa še nekaj nal og s tekmovanja:
1. Za katera naravna števila m in -n se da pr avokotnik dimenzij m x TI
pokriti s ploščicami oblike Eb ?
2. Naj bodo I . g in h t aki par om a tuj i polinorni s kompleksnimi koefi-
cient i (polin om a sta si tuj a , če nimata skupnih (kompleksnih) ničel) ,
da je f( x) + g(x) + h(x) = Oza vsa ko kompleksno št evilo x . Potem
stopnj a nob enega izm ed .polin om ov ne presega št evila N - 1, kjer je
N število različnih ničel polin om a f gh .
Namig: Za polinom f( x) = (x -aJ)"(x-a2)' 2 ... (x-an)' n, kjer so
števila a t , . .. , an paroma različna, velja
f' (x) St S 2 Sn--=--+--+ ' '' +--.f( x) x - at x - a2 x-an
3 . Naj bosta f in g tuja nekons t antna polinorna. Potem je
kjer deg označuje stopnjo polinoma.
Namig: Uporabi prejšnjo nalogo .
4. Po i šči nekonstatne paroma tuj e polinome i , g in h , za kat ere velja
t? +g3 = v
Roman Modic