i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 18 — #1 i
i
i
i
i
i
ŠOLA
MATEMATIČNE SPOSOBNOSTI PRI OTROCIH:
NEKAJ VROJENEGA, NEKAJ PRIDOBLJENEGA, A
VEDNO LAHKO VIR ZADOVOLJSTVA
TINA BREGANT
Univerzitetni rehabilitacijski inštitut – URI Soča
Ljubljana
Ocenjevanje številčnosti neke skupine, primerjanje dveh vrednosti oziroma količin ter
osnovno seštevanje (dodajanje) in odštevanje (odvzemanje) so biološko določene sposobno-
sti, ki so prirojene tako nekaterim živalim kot ljudem. Že novorojenček razlikuje nekatere
količine, z zorenjem možganov pa ta sposobnost še napreduje, tako da lahko ljudje kasneje
razločujemo količine, ki se tudi zelo malo razlikujejo med seboj. Razumemo tudi velike
količine. Kasneje ta vrojena znanja nadgradimo z uporabo števk, simboličnim učenjem in
učenjem algoritmov. Matematične kompetence se povezujejo z zgodnjimi zaznavnimi in
gibalnimi izkušnjami, telesno shemo in celo s socialno-čustvenimi kompetencami, ki smo
jih razvili v otroštvu znotraj družine. Ker so tudi matematične kompetence v otroštvu
tiste, ki določajo kasneǰso akademsko uspešnost, lahko razumevanje njihovega razvoja
pomaga oblikovati spodbude pri usvajanju matematičnih veščin.
MATHEMATICAL ABILITIES IN CHILDREN: SOME INBORN, SOME
ACQUIRED BUT ALWAYS A POTENTIAL SOURCE OF PLEASURE
Numerosity, comparison of two values or quantities as well as addition and subtrac-
tion are biologically inherent abilities in people and some animals, too. A newborn can
already distinguish between some quantities. Through development her ability increases
up to the adult level where even small differences are detected and big quantities are
understood. Later on, we add to inborn abilities the use of numbers, symbolic learning,
and learning of algorithms. Mathematical competences are linked to sensory and motor
experiences, body scheme, and even socio-emotional competencies we have acquired wi-
thin the family during childhood. By understanding how mathematical abilities develop
we can create opportunities and encourage mathematical competences which determine
academic success later in life.
Uvod
»Za božjo voljo, prosim te, odnehaj! Boj se je toliko kot strasti in čutne
obsedenosti, saj ti bo prav tako vzela ves čas, tvoje zdravje, mir v duši
in srečo v življenju!« moleduje Farkas Bolyai svojega sina Jánosa Bolyaija
(eden od očetov neevklidske geometrije), da naj le odneha s proučevanjem
hiperbolične geometrije [8].
18 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 19 — #2 i
i
i
i
i
i
Matematične sposobnosti pri otrocih
Za večino ljudi je matematika zelo abstrakten, čutom nedostopen, šolski
predmet, ki jim je vrh tega grenil veselje pri pouku. Matematik Zagier celo
napǐse, da večina ljudi ne more niti od daleč razumeti, da obstaja povezava
med matematiko in zadovoljstvom in da jih straši že zgolj misel na mate-
matiko [23]. Da obstaja povezava med matematiko in umetnostjo, je morda
lažje razumeti, če se spomnimo renesanse, ko so umetniki poskusili prene-
sti naš tridimenzionalni svet na dvodimenzionalno platno; če pomislimo na
uganke, ki jih je postavil M. C. Escher; če se ozremo na arabske mozaike in
na fraktale. Da se matematika lahko napaja iz uporabne umetnosti, kot je
kvačkanje, pa je pokazala latvijska matematičarka Daina Taimina [12].
Matematiko in njene zakonitosti lahko spremljamo povsod, ne le na ra-
čunih pri trgovcih, tehtanju sadja pri branjevkah in nakupu varčnega avto-
mobila. Vseprisotnost matematike v našem življenju je fascinantna. Če je
matematično mǐsljenje del naših miselnih procesov, kdaj in kje se v našem
umu prične porajati matematično mǐsljenje?
V prispevku se bomo sprehodili skozi otrokov razvoj. Na poti od zaznavno-
telesnega do abstraktnega bomo lahko uvideli, zakaj je spodbujanje mate-
matčnih kompetenc pomembno za otrokov razvoj in čemu šele po usvojenih
matematičnih veščinah v matematiki lahko tudi uživamo in občutimo le-
poto, celo strast, ki nas lahko zasvoji za celo življenje.
Telesna shema in matematične sposobnosti
Človeški možgani so omreženi za prepoznavo antropomorfnih struktur, kar
opazimo že pri novorojenčkih, ki z zanimanjem opazujejo človeške obraze
in tako spodbujajo svoj čustveni, socialni in miselni razvoj. Nekatere funk-
cionalne raziskave kažejo, da smo omreženi tudi za prepoznavo simetrije.
Za zaznavanje prostora in našega mesta v njem je zelo pomembna telesna
shema. Osna simetrija in »človeškost« naših teles sta pri oblikovanju tele-
sne sheme izjemnega pomena. Vemo, da nekateri bolezenski procesi shemo
porušijo oz. jo v otroškem obdobju, ki je zanjo ključno, ne izgradijo dovolj
funkcionalno.
Prostorske predstave, ki so ključne tako pri geometriji kot pri umetno-
sti, otrok prične usvajati zelo zgodaj, takrat ko pričenja oblikovati lastne
telesne sheme: ko leži na hrbtu kot dojenček in z roko namensko poseže
po predmetu okoli tretjega meseca starosti. Sprva je njegov poseg v pro-
stor negotov: premočan ali prešibak, nenatančno usmerjen na predmet, a
sčasoma se dojenček izuri in s spoznavanjem svojega telesa poseže ne le z
roko po predmetu, pač pa tudi s telesom v prostor: prične s kotaljenjem,
18–24 19
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 20 — #3 i
i
i
i
i
i
Tina Bregant
plazenjem, kobacanjem in okoli prvega rojstnega dne tudi shodi. S celim
telesom otrok spoznava, kaj je daleč in kaj blizu; kaj je več in kaj manj. Nje-
govo telo mu omogoča razumeti osnovne koncepte: več-manj, močno-̌sibko,
daleč-blizu, ostro-topo, ravno-ukrivljeno itd. Prve koračnice otroku omo-
gočijo novo modalnost: matematične količine spoznava s celim telesom, ko
koraka po taktu in s celim telesom občuti zaporedje in ritem. Otroci pravi-
loma štejejo na prste in tudi mi, odrasli, ker imamo 10 prstov, uporabljamo
desetǐski sistem, čeprav je dvanajstǐski sistem preprosteǰsi za uporabo.
Ljudje smo praviloma šele v obdobju šolanja sposobni abstraktnega mi-
šljenja, ko se nam ni več treba zanašati na telesno shemo. Marsikdo pa
tega prehoda iz telesnega v abstraktni svet ne zmore nikoli. Sposobnost
abstraktne koncepte preigrati le z miselnim procesom, brez vpletenosti svo-
jega telesa, je za naše možgane precej zahtevno opravilo, za katero je treba
poleg bioloških danosti in dobrega delovanja osrednjega živčevja tudi veliko
vaje in urjenja. Kljub temu so še vedno nekateri koncepti označeni s telesno
shemo.
Lakoff in Nunez sta uporabila sistem metafor (teorijo kognitivnih ali
konceptualnih metafor), v katerem predlagata aritmetiko kot način zbiranja
predmetov oziroma aritmetiko kot gibanje vzdolž osi [15]. Če ste desnični,
kar velja za večino zdrave populacije, in uporabljate evropski način pisanja
od leve proti desni, potem je za vas vse, kar je večje, bolǰse in prihodnje,
umeščeno na vašo desno. Zahodnoevropejci smo znani po linearnem razmi-
šljanju, z numerično osjo, ki se pričenja na levi in po velikosti raste proti
desni [6]. Pri poskusih s številčnimi vrednostmi na ekranih smo pri pritisku
na gumb, kot reaktivnem času prepoznave vrednosti, pri večjih količinah hi-
treǰsi z desnico kot levico. Podobno za nas velja pri vertikalni številčni osi,
kjer vǐsje za nas pomeni tudi večje. Zanimivo, da tudi odrasli to zaznavamo
s celim telesom. Tako so preiskovanci pri generiranju števil ob premikih
telesa navzgor generirali večje vrednosti, kot če so se premikali navzdol [11].
Če so preiskovanci kimali navzgor, so generirali vǐsje vrednosti, kot če so
kimali z glavo navzdol [22]. Naši možgani poleg tega enačijo modalnosti.
Tako razumemo večje napisano številko tudi kot količinsko večjo od drobno
napisane [21] in količino pikic precenimo, če prekrivajo večjo površino [13].
Miselne predstave smo v otroštvu namreč izoblikovali s pomočjo telesa.
Celo tako abstraktne koncepte, kot je negativnost, npr. zakaj je zmnožek
dveh negativnih števil pozitiven, nekateri strokovnjaki razlagajo s konkre-
tnimi primeri [14].
Ob procesiranju števil in količin se v možganih aktivira temenski reženj,
20 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 21 — #4 i
i
i
i
i
i
Matematične sposobnosti pri otrocih
pri čemer je aktivacija podobna kot pri procesiranju prostorskih informa-
cij [4]. Temu se ne izognejo niti študenti matematike, ki celo pri razlagi
integralov uporabljajo značilne geste, ki sovpadajo z osnovnimi količinskimi
pojmi (desno-levo, vǐsje-nižje) [17].
Aritmetika in občutek za količino
Poznavanje števil je nujno za razumevanje matematike. Razvoj aritmetičnih
sposobnostih ne temelji zgolj na pridobivanju izkušenj in učenju, temveč so
nam nekatere aritmetične sposobnosti, predvsem občutek za količino, vro-
jene [16]. Ocenjevanje številčnosti neke skupine, primerjanje dveh števil po
velikosti ter osnovno seštevanje ali dodajanje in odštevanje ali odvzemanje
so biološko vrojene ločene sposobnosti. Presoja, kje bo veverica našla več
orehov ali v kateri čredi je možnost ulova največja, določa obstoj osebka in
vrste. Živali sicer zelo verjetno ne štejejo v lingvističnem pomenu štetja.
Torej živali ne štejejo ena, dve, tri, . . . pač pa imajo vrojeno sposobnost do-
ločanja in razločevanja količine. Gre najverjetneje za evolucijsko prednost
teritorialnih živali, ki jim ta sposobnost omogoča določiti teritorij, kjer je
več hrane za celotno čredo [3].
Že majhni otroci zmorejo prepoznati različne količine. Otroci se med
seboj sicer precej razlikujejo, kdaj usvojijo določene veščine, drži pa pred-
sodek, ki velja med vzgojitelji in učitelji, da so tisti otroci, ki prej in bolj
uspešno rešujejo matematične probleme, tudi kasneje akademsko bolj uspe-
šni. V laičnem jeziku takim otrokom rečemo, da so »pametni«. Zanimivo
je, da aritmetične sposobnosti otrok korelirajo tudi z nekaterimi socialnimi
veščinami in čustvenimi vedenji [9], kar pa je v nasprotju s predsodkom, da
so ti otroci »samotarji« in nezainteresirani za družbo.
Že dojenčki so sposobni razlikovati množici z različnimi elementi, šte-
vilčnost pa dojemajo amodalno. Pri šestih mesecih ločijo množici, katerih
število elementov je v razmerju 1: 2, s starostjo pa se to razmerje hitro iz-
bolǰsuje [7]. Petletni otroci že ločijo skupini, katerih število elementov je v
razmerju 7: 8 [10]. Sposobnost primerjanja dveh količin se začne razvijati
šele po 15. mesecu starosti, preštevanja pa se otroci naučijo spontano, z uče-
njem jezika. Govor otroku omogoči, da števila dobijo abstrakten, simbolni
pomen, s tem pa se odpre pot k simbolni aritmetiki. Otroci v predšolskem
obdobju računajo po intuiciji, v šoli pa aritmetika temelji na učenju postop-
kov za reševanje problemov. Pri šolskem usvajanju matematičnih znanj pre-
vzame glavno nalogo spomin in avtomatizacija procesov, pri čemer intuicijo
zapostavimo. Vendar so raziskave pokazale, da je intuicija zelo pomembna
18–24 21
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 22 — #5 i
i
i
i
i
i
Tina Bregant
in je celo napovedni dejavnik razvoja matematičnih kompetenc skozi celotno
šolanje.
Uspeh pri matematiki – spodbuda na jezikovnem, socialnem in
čustvenem področju
Zanimivo in morda celo intrigantno je spoznanje, da na uspešnost učencev
pri pouku matematike vplivajo odnosi. Recipročnost odnosov med šolo in
domom je tako pomembna, da so otroci bolj osredotočeni na šolske naloge,
in zanimivo, hkrati tudi bolj uspešni pri matematiki, če njihovi starši mislijo,
da so njihovi otroci uspešni [1]. Ravno obratno pa nezaupanje v otrokove
sposobnosti vodi v splošno učno manjuspešnost in tudi slabše matematične
kompetence. Zanimivo, da starši, zlasti očetje, s trajanjem šolanja poveču-
jejo zaupanje v sinove matematične kompetence, medtem ko jih za hčere
zmanǰsujejo. Kako matere razumejo otrokove matematične sposobnosti, pa
določa formalno in neformalno matematično znanje ter tudi uspešnost, pri
čemer je materino znanje matematike tisto, ki določa formalni nivo znanja
otroka [2].
Predšolske izkušnje in spodbudno predšolsko okolje je tisto, ki določa ka-
sneǰse uspehe pri matematiki [5]. Učinki obogatenih materialov, dejavnosti
in interakcij med vzgojitelji-učitelji in učenci v najzgodneǰsih letih učenja se
kažejo še štiri leta po učinkoviti intervenciji, usmerjeni v matematiko [19].
Če spodbujamo učenje matematike pri ekonomsko in socialno manj pri-
vilegiranih učencih, pri njih pride do bolǰsega uravnavanja in zmanǰsanja
težavnih vedenj, pridobijo več samonadzora in pripadnosti šoli in učenju.
Bolj pogosto kot pred intervenco so pridružena pozitivna socialno-čustvena
vedenja [9].
Matematične sposobnosti se povezujejo s pismenostjo. Tako pričetki opi-
smenjevanja sovpadajo tudi s štetjem in preprostimi operacijami seštevanja
in odštevanja. Predšolski otrok, ki zmore pripovedovati zgodbo in jo osve-
tliti z logičnimi opisi sosledja dogodkov in morda celo z več vidikov, je po
nekaterih raziskavah kasneje tudi pri matematiki uspešneǰsi [18]. Vzrok je
verjetno v tem, da pri usvajanju matematičnih veščin ne gre zgolj za fono-
loško spretnost, pač pa za prepoznavanje in reševanje besedilnih problemov
ter širši nabor spretnosti. Dobre matematične sposobnosti se povezujejo
z jezikovnimi spretnostmi do te mere, da intervencijski programi, ki spod-
bujajo matematično pismenost, vplivajo na statistično značilen, količinsko
merljiv porast jezikovnih spretnosti [20].
Z govorom se otrokom odpre pot k simboličnemu računanju. Do tretjega
22 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 23 — #6 i
i
i
i
i
i
Matematične sposobnosti pri otrocih
leta starosti otroci štejejo avtomatično, brez težav do 10. Triinpolletni otrok
že zazna napako v preštevanju, do četrtega leta pa usvoji osnovni princip
preštevanja, tj. da je vsak predmet štet le enkrat in da si števila morajo
slediti zaporedno. Domnevamo, da gre za vrojeno sposobnost, ki spremlja
sposobnost spontanega učenja jezika. Šele po četrtem letu starosti otroci
začnejo razumeti, čemu je preštevanje namenjeno, tj. da končno število po-
meni število vseh elementov v skupini.
Matematične sposobnosti se ne povezujejo s sposobnostjo in hitrostjo
poimenovanja in izražanja, ki so tudi eno od meril kognitivnega razvoja.
Podatki iz raziskav nakazujejo, da so matematično »sposobneǰsi« posamez-
niki bolǰsi ne toliko v priklicu aritmetičnih znanj, pač pa v delovanju vǐsjih,
kognitivnih procesov, zlasti pri procesiranju matematičnih simbolov. Te
procese lahko zaznamo s slikanjem s funkcijsko magnetno resonanco (fMRI).
Pri dobrih matematikih ti procesi zelo aktivno potekajo v levem angularnem
girusu, ki je pri njih bolj dejaven kot pri slabih matematikih.
Sklep
Kljub temu da je ljudem občutek za količino in števila vrojen, ima tudi uče-
nje aritmetike z začetkom že v predšolskem obdobju velik vpliv na razvoj
kasneǰsih matematičnih sposobnosti. Dobra telesna shema, ki smo jo kot
malčki zgradili na podlagi zaznav in gibanja telesa, ter poznavanje količin
in števil sta temelj za pozneǰse uspešno razumevanje matematike. Uporaba
matematične intuicije pri izgradnji miselnih modelov in hkrati uporaba arit-
metike in razumevanja algoritmov se ne izključujeta, pač pa dopolnjujeta,
in le tako lahko pričakujemo, da bo razumevanje matematike bolǰse, razvoj
matematičnih kompetenc pa hitreǰsi in uspešneǰsi. V matematiki bomo
lahko uzrli lepoto in v njej preprosto – uživali.
LITERATURA
[1] K. Aunola, J. E. Nurmi, M. K. Lerkkanen, in H. Rasku-Puttonen, The role of
achievement-related behaviors and parental beliefs in children’s mathematical perfor-
mance, Educational Psychology 23 (2003) 4, 403–421.
[2] B. Blevins-Knabe, L. Whiteside-Mansell in J. Selig, Parenting and mathematical
development, Academic Exchange Quarterly 11 (2007) 2, 76–80.
[3] T. Bregant, Ali je matematika doma le v človekovih možganih, Proteus 75 (2013) 5,
209–216.
[4] T. Bregant, Nevrokognitivne osnove numeričnega procesiranja, Psihološka obzorja 21
(2012) 3/4, 69–74.
18–24 23
i
i
“Bregant” — 2016/5/11 — 8:51 — page 24 — #7 i
i
i
i
i
i
Tina Bregant
[5] J. Brooks-Gunn, A. S. Fuligni in L. J. Berlin, Early child development in the 21st
Century: Profiles of current research initiatives, New York: Teachers College Press
(2003).
[6] S. Dehaene, S. Bossini in P. Giraux, The mental representation of parity and number
magnitude, Journal of Experimental Psychology: General 122 (1993), 371–396.
[7] S. Dehaene, N. Molko, L. Cohen in A. J. Wilson, Arithmetic and the brain, Current
Opinion in Neurobiology 14 (2004), 218–224.
[8] T. Denes, Real face of Janos Bolyai, Notices of the American Mathematical Society
58 (2011) 1, 41–51.
[9] J. Dobbs, G. L. Doctoroff, P. H. Fisher in D. H. Arnold, The association between
preschool children’s socio-emotional functioning and their mathematical skill, Journal
of Applied Developmental Psychology 27 (2006), 97–108.
[10] L. Feigenson, S. Dehaene in E. Spelke, Core systems of number, Trends of Cognitive
Science 8 (2004) 7, 307–314.
[11] M. Hartmann, L. Grabherr in F. W. Last, Moving along the mental number line:
Interactions between whole-body motion and numerical cognition, Journal of Experi-
mental Psychology: Human Perception and Performance 38 (2012) 6, 1416–1427.
[12] D. W. Henderson in D. Taimina, Crocheting the hyperbolic plane, Mathematical In-
telligencer 23 (2001) 2, 17–28.
[13] F. Hurewitz, R. Gelman in B. Schnitzer, Sometimes area counts more than number,
Proceedings of the National Academy of Sciences, USA, 103 (2006), 599–604.
[14] M. Kline, Mathematics for the nonmathematician, Toronto, Canada: General Publi-
shing Company (1967).
[15] G. Lakoff in R. E. Nunez, Where mathematics comes from, New York: Basic Books
(2000).
[16] T. Levstek, T. Bregant in A. Podlesek, Razvoj aritmetičnih sposobnosti, Psihološka
obzorja 22 (2013), 115–121.
[17] T. Marghetis in R. Nunez, The motion behind the symbols: A vital role for dynamism
in the conceptualization of limits and continuity in expert mathematics, Topics in
Cognitive Science (2013), 1–18.
[18] D. K. O’Neill, M. J. Pearce in J. L. Pick, Predictive relations between aspects of
preschool children’s narratives and performance on the Peabody Individualized Achi-
evement Test – Revised: Evidence of a relation between early narrative and later
mathematical ability, First Language 24 (2004), 149–183.
[19] E. S. Preisner-Feinberg, M. R. Burchinal in R. M. Clifford, The relation of preschool
child-care quality to children’s cognitive and social developmental trajectories through
second grade, Child Development 72 (2001) 5, 1534–1553.
[20] M. Shayer in M. Adhami, Realizing the cognitive potential of children 5–7 with a
mathematics focus: Post-test and long-term effects of a 2-year intervention, British
Journal of Educational Psychology 80 (2010) 3, 363–379.
[21] H. J. Tzelgov, Is three greater than five: The relation between physical and semantic
size in comparison tasks, Memory & Cognition 10 (1982), 389–395.
[22] B. Winter in T. Matlock, More is up . . . and right: Random number generation along
two axes, v M. Knauff, M. Pauen, N. Sebanz, I. Wachsmuth (Eds.), Proceedings of
the 35th Annual Conference of the Cognitive Science Society, Austin, TX: Cognitive
Science Society (2013), 3789–3974.
[23] D. Zagier, The beauty of numbers, MaxPlanckResearch – The Science Magazine of
the Max Planck Society (2012) 1, 12–17.
24 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1