UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO PODIPLOMSKI ŠTUDU MAGISTRSKO DELO NELINEARNI MATEMATIČNI MODEL LETALA IN ANIMACIJA LETA Franc Jenko Mentor: prof. dr. Drago Matko Ljubljana, november 2005 Številka naloge: M-1044/2005 Datum: 8. 9. 2005 Fakulteta za elektrotehniko Univerze v Ljubljani izdaja naslednjo nalogo: Kandidat: FRANC JENKO, univ.dipl.inž.el. Naslov: NELINEARNI MATEMATIČNI MODEL LETALA IN ANIMACIJA LETA Vrsta naloge: Magistrsko delo Tematika naloge: Za potrebe preizkušanja različnih algoritmov vodenja razvijte matematične modele znanih letal in pri tem upoštevajte natančne opise aerodinamike, kinematike, dinamičnih in statičnih zakonitosti ter uporabite nepoenostavljene opise nastopajočih nelinearnosti. Modeli letal naj se v čim več lastnostih (masa, dimenzije, hitrost leta, potisk) ujemajo z realnimi podatki letal. Pri gradnji matematičnih modelov uporabite znane in dostopne podatke, karakteristike profilov pa pridobite simulacij sko s komercialno dostopnim programom Profili. Simulacij ski let zgrajenih modelov letal animirajte s simulatorjem letenja FlightGear Simulator, ki je dostopen v odprti kodi. Matematični modeli morajo biti zgrajeni modularno, izhodni podatki simulacije pa dostopni za namene nadaljnje uporabe, kot so npr. različni algoritmi vodenja. Razvite modele realizirajte v okolju Matlab-Simulink, za animacijo uporabite programsko opremo FlightGear Simulator, za izdelavo realnejše scene animacije pa FlightGear Scenery Designer. Predstojnik katedre: prof. dr. Rihard Karba Dekan: prof. dr. Tomaž Slivnik Zahvala Za mentorstvo se najlepše zahvaljujem prof. dr. Dragu Matku. Za nasvete in strokovno pomoč se zahvaljujem doc. dr. Tadeju Koselu s Fakultete za strojništvo v Ljubljani. Zahvaljujem se tudi vsem drugim, ki so kakorkoli pripomogli k nastanku te magistrske naloge. Zahvaljujem se ženi Eriki za spodbudo in lektoriranje ter očetu Francu za pomoč pri risanju skic. Zahvaljujem se tudi vsem, ki so mi v času študija stali ob strani. Povzetek V prvem poglavju so predstavljene osnovne zakonitosti aerodinamike in enačbe za izračun aerodinamičnih sil vzgona in upora. Podan je koncept letala, ki obravnava letalo kot togo telo, predstavljeni so osnovni pristopi k simulaciji in animaciji leta letala. Drugo poglavje povzema osnovne ideje modeliranja nelinearnega matematičnega modela letala. V tem kontekstu je zajeta definicija koordinatnih sistemov in v njih definiranih veličin. Podrobno so izpeljane enačbe gibanja, ki opisujejo gibanje letala kot gibanje togega telesa. Na letalo v letu deluje vrsta sil in navorov. Od rezultante le-teh je odvisen način leta letala. Režim odklanjanja krmilnih površin določa letalu smer in način leta. Sile in navori, ki so lahko aerodnamičnega izvora, lahko jih povzroča pogon, gravitacija ali veter, delujejo na sestavne dele letala. Opis delovanja sil in navorov na sestavnih delih letala je prav tako zajet v tem poglavju. Tlak, temperatura in gostota zraka močno vplivajo na velikost aerodinamičnih sil, zato so opisani tudi njihovi vplivi. Uravnotežiti letalo, pomeni poiskati takšne odklone krmil in začetna stanja, da letalo ohranja nek stabilen let. Le-tega lahko smatramo za delovno točko in nelinearni model letala v njej lineariziramo. Prikazan je način uravnoteženja letala z optimizacijo, predlagan način linearizacije pa je numerični. V tretjem poglavju so podrobno predstavljene rešitve in pristopi h gradnji nelinearega modela letala, ki jih povzema namensko razvit program SIMDLAV. V tem poglavju je utemeljena razdelitev letala na sestavne dele in prikazani so načini določanja mas in vztrajnostnih momentov sestavnih delov ter aerodinamičnih sil. Predlagani pristopi k opisu aerodinamičnih razmer terjajo številne podatke, katerih viri in izračuni so podani. Model propelerskega in model reaktivnega pogona sta prav tako predstavljena v tem poglavju. Ob koncu tretjega poglavja so opisane simulacijske in animacijske možnosti programa SIMDLAV v okolju Matlab. Četrto poglavje je v celoti namenjeno predstavitvi programa FlightGear Simulator in možnostim animiranja leta letala, katerega simulacij ski model teče v programskem okolju Matlab. V zadnjem poglavju je podan primer uporabe programa SIMDLAV. Na razvitem modelu letala Beaver je testno uporabljen sistem vodenja letala po višini in smeri. Ključne besede: aerodinamične sile in navori, animacija, enačbe gibanja, FlightGear Simulator, koordinatm sistemi, nelinearni model letala, Matlab, optimizacija, pogon, SIMDLAV, simulacija, uravnoteženje, vodenje. Abstract In the first section there are presented basic aerodinamic laws and equations for the calculation of the aerodynamic forces and moments. The basic concept that treats aircraft as a rigid body is shown as well as the basic approach to simulation and animation of an aircarft's flight. The second section summarize the fundamental ideas of modelling the non - linear mathematic model of aircraft. In this context the coordinate systems and the definitions of the sizes are treated. There are precisely derived equations of the aircraft's motion which describes its motion as the motion of a rigid body. During its flight a lot of force and moment components are affected on the aircraft and exact flight conditions depend upon their resultant. Flight conditions and attitude of aircraft are determined by deflections of control surfaces. Forces and moments which affect main consistent parts of aircraft can be produced by aerodynamics of aircraft, by its propulsion, by wind and by gravity. The ways how forces and moments affect the main consistent parts of aircraft are also treated in the second section. Pressure, temperature and density of air fully affect aerodinamic forces. Those influences are also described in this section. To trim the aircraft means to determine the initial conditions of states and deflections of control surfaces in such a degree that a steady - state flight is preserved. Such flight can be considered as an operating point and non - linear aircraft model can be linearized. A trimming facility that uses optimization routine is also shown in the second section and a numerical linearization is suggested. In the third section there are more precisely presented solutions of building a non - linear mathematical model of aircraft and all the solutions are included in developed program application SIMDLAV. In this section the division of aircraft to the main constituent parts is based there and the ways of determining mas and inertial moments as well as aerodinamic forces are also shown. There are presented calculations and sources for data which are required by describing aerodinamic conditions. This section describes the propulsion as well where model of propeler and jet-engine model are presented. The end of the third section deals with simulation and animation possibilities of application SIMDLAV. In the fourth section the FlightGear Flight Simulator is presented. The FlightGear program is used to perform animation of aircraft, whose simulation model runs under Matlab. In the fifth section an example of the use of application SIMDLAV is described. In the last section a regulation sistem that controls altitude and heading is tested on the Beaver aircraft derived by SIMDLAV. Keywords: aerodynamic forces and moments, animation, equations of motion, FlightGear Simulator, frames, non - linear model, aircraft, Matlab, optimization, propulsion, SIMDLAV, trimming, control. To delo posvečam Eriki. Kazalo 1 Uvod 1 1.1 Aerodinamične sile 3 1.1.1 Sila vzgona 6 1.1.2 Sila zračnega upora 6 1.2 Koncept letala 8 1.3 Simulacija in animacija leta 11 1.4 Sklep 13 2 Nelinearni matematični model letala 15 2.1 Model letala 15 2.2 Koordinatni sistemi in definicija veličin 18 2.3 Enačbe gibanj a 23 2.4 Krmilne površine 30 2.5 Aerodinamika letala 33 2.5.1 Glavni sestavni deli letala 35 2.5.2 Sila vzgona in sila upora 36 2.5.3 Aerodinamične razmere na sestavnih delih 41 2.5.4 Aerodinamična razultanta sil in navorov 50 2.6 Gravitacijska sila 55 2.7 Pogon 56 2.8 Veter 60 2.9 Atmosfera 63 i ii Kazalo 2.10 Uravnoteženje modela letala 68 2.11 Linearizacija modela letala 72 2.12 Sklep 76 3 Model letala v programski aplikaciji SIMDLAV 77 3.1 Fizični model letala 78 3.2 Aerodinamični opis letala 86 3.3 Modeliranje pogona 96 3.3.1 Propelerski pogon in metoda elementarne delitve 96 3.3.2 Reaktivni motor 108 3.4 Atmosfera in veter 114 3.5 Simulacija in animacija leta 114 3.6 Primerjava in ostale funkcionalnosti 123 4 Animacija s FlightGear Flight Simulatorjem 129 4.1 FlightGear Fight Simulator 129 4.2 SIMDLA V in FlightGear Flight Simulator 140 5 Vodenje letala DHC-2 Beaver 143 5.1 Osnovne funkcije avtopilota 143 5.2 Avtopilot letala DHC-2 Beaver 146 6 Ugotovitve 161 Priloga A 165 A.l Sile na togo telo 165 A.2 Navori na togo telo 166 A.3 Vrtilna količina 167 A.4 Enačbe gibanja za togo telo 169 Priloga B 173 Literatura 175 Izjava 179 Uporabljeni simboli Vektorji so podani z malimi in velikimi črkami, matrike samo z velikimi črkami. Oboji so pisani s krepkim tiskom, ostale spremenljivke in konstante so podane ležeče. SPREMENLJIVKE IN KONSTANTE IV Uporabljeni simboli Uporabljeni simboli v VI Uporabljeni simboli MATRIKE sistemska matrika linearnega sistema v prostoru stanj vhodna matrika linearnega sistema v prostoru stanj izhodna matrika linearnega sistema v prostoru stanj, ki se nanaša na x izhodna matrika linearnega sistema v prostoru stanj, ki se nanaša na u tenzor vztrajnostnih momentov transformacijska matrika iz koord. sist. letala v koord. sist. Zemlje Uporabljeni simboli vil transformacijska matrika za drugo Eulerjevo rotacijo ® transformacijska matrika za prvo Eulerjevo rotacijo *F transformacij ska matrika za tretj o Eulerj evo rotacij o FUNKCIJE f(t) splošna vektorska enačba za časovni odvod vektorja stanj g(t) splošna vektorska enačba za izhodne spremenljivke INDEKSI o delovna točka, nanašanje na površino Zemlje, morsko gladino 1,2,3 ... vrstni red a aileron (krilce) aero aerodinamične, aerodinamično vin Uporabljeni simboli Uporabljeni simboli ix y smer osi y yz ravnina yz z smer osi z z zračna, zračni 1 Uvod Modeliranje in gradnja simulacijskih modelov je v najbolj splošni obliki lahko zelo zapleten postopek. Zapletenost postopka se na eni strani veča s kompleksnostjo sistema, ki je predmet modeliranja in simulacije, na drugi strani pa zapletenost narašča z zajetimi podobnostmi modeliranih fizikalnih zakonitosti. Simulacijski model je tako vedno rezultat vrste kompromisov, ki so bili sprejeti v postopku modeliranja bodisi zaradi še sprejemljivih poenstavitev, zaradi nujnih poenostavitev, ki sploh omogočajo realizacijo in dajejo še sprejemljive rezultate, ali pa je opis „vseh" odvisnosti preprosto nujen. Pričujoče delo glede omenjenega ni nobena izjema. Se več, v model letala, ki je bil razvit in lahko povzema katerokoli realno letalo, so vključeni približki in ocene nepoznanih parametrov in veličin, ki jih praktično ni mogoče natančno poznati. V podkrepitev slednjega dejstva naj navedem, da bi bilo nadvse koristno natančno poznati lego težišča letala F-16 in vse vztrajnostne momente, če bi želeli biti bolj prepričani, da resnično simuliramo letalo F-16 in ne le „nekaj", kar je tem letalu bolj ali manj podobno. Ker uporabljamo približke in ocene lahko potrdimo le podobnost. Odgovor na vprašanje, kako dober približek realnega letala lahko zgradimo s programsko aplikacijo, ki je rezultat tega dela, bomo podali na koncu. Že predhodno naj poudarim, da bomo to oceno podali z mero uporabnosti dobljenega simulacijskega modela za namene nadaljnje uporabe. 1 2 1 Uvod Jedro pričujočega dela predstavlja nelinearni matematični model letala, ki je zgrajen povsem analitično z velikim številom nelinearnosti in nepoenostavljenimi opisi funkcijskih odvisnosti, z natančnimi opisi aerodinamičnih lastnosti ter upoštevanjem dinamičnih in statičnih podrobnosti. Načini reševanja problematike modeliranja kateregakoli letala, tega kompleksnega sistema, opis zapletenih in neanalitičnih zakonitosti aerodinamike in druge uporabljene rešitve pri izvedbi simulacij skega modela, bodo natančneje predstavljene v naslednjih poglavjih. Prav tako bosta predstavljeni tudi animacija leta in navezava na drugo programsko opremo, ki dokončno vdihne uporabnost programski aplikaciji, ki je rezultat tega dela. Študij tega dela zahteva pozornega bralca in če bo bralec ob tem našel in uporabil kakšno idejo, potem bo delo tudi na ta način koristno. 1.1 Aerodinamične sile 3 1.1 Aerodinamične sile Vsako telo, ki se nahaja v zračnem toku, občuti silo, ki ga vleče v smeri zračnega toka. Ta sila se imenuje sila zračnega upora. Telo, ki se giblje skozi zrak, občuti to silo in ta vedno deluje v smeri, nasprotni od smeri gibanja. To pomeni, da se upira gibanju. Vendar na telesa različnih oblik in velikosti, ki se gibljejo skozi zrak, delujejo različno velike sile. Izkaže se, da je sila upora večja, če je večja čelna površina telesa. Sila upora močno zavisi tudi od oblike telesa in hitrosti gibanja. Če bi imeli v zračnem toku ravno ploščo in bi jo obrnili za nek kot ? (npr. ? = 5°) glede na smer zračnega toka, bi se izkazalo, da rezultirajoča sila ne deluje popolnoma v skladu z zgornjo ugotovitvijo, torej, da "vleče" ploščo samo nazaj, temveč se pojavi tudi sila, ki "vleče" ploščo navzgor, torej pravokotno na smer zračnega toka. Ta navpično usmerjena sila, ki vleče ploščo pravokotno na gibanje zračnega toka, se imenuje vzgonska sila. S poskusi je moč dokazati tudi, da se obe sili, uporovna in vzgonska, povečata, če se poveča hitrost zračnega toka. Velikost obeh omenjenih sil se spremeni tudi, če se spremeni vpadni kot ?. Pri manjšem vpadnem kotu postaneta obe sili manjši, pri večjem vpadnem kotu pa se obe sili povečata. Slika 1.1: Ravna plošča v homogenem zračnem toku Slika 1.1 kaže razmere, ko se neka ravna plošča giblje v vodoravni smeri skozi okoliški zrak s hitrostjo V, glede na smer gibanja pa je nagnjena pod določenim kotom ?. Pri tem je vseeno, ali se plošča giblje skozi mirujoči zrak ali se gibljejo 4 1 Uvod zračne mase in plošča miruje. Vedno je pomembna relativna hitrost gibanja med telesom in zrakom, zato se imenuje ta hitrost relativna hitrost oziroma v letalstvu tudi prava zračna hitrost (torej hitrost glede na zrak). V nadaljnji uporabi bo označena z V. Na sliki 1.1 plošča miruje, premikajo pa se zračne gmote s hitrostjo V. Te gibajoče se zračne gmote, tj. zračni tok, ponazorimo z vzporednimi črtami -tokovnicami. Če so ravne in med seboj enakomerno oddaljene (kot so na sliki 1.1 pred naletom na ploščo), govorimo o homogenem zračnem toku. Ravna plošča spremeni njihov potek, da se poruši prvotno homogeni tok: tokovnice se odklonijo, mestoma zgostijo, vrtinčijo itd. Predvsem pa je moč opaziti, da zračne mase udarjajo na ploskev in jo skušajo odriniti. Na vsak del plošče delujejo majhne zračne sile. Te lahko združimo v eno samo nadomestno (rezultirajočo) zračno silo Fz, ki je na sliki 1.1 prikazana z vektorjem. Za letalstvo je zelo pomembna ugotovitev, da zračna sila Fz na sliki 1.1 plošče (telesa) ne vleče samo nazaj, temveč tudi poševno navzgor. Silo (vektor) Fz lahko razstavimo na njeni dve pravokotni komponenti: komponenta Fu je projekcija celotne zračne sile Fz na smer gibanja, komponenta Fv pa projekcija pravokotno na to smer. Sila Fu "vleče" ploščo nazaj, torej se upira gibanju, sila Fv pa "vleče" ploščo navzgor in se torej upira sili zemeljske privlačnosti. Sila Fu je aerodinamična sila zračnega upora, sila Fv pa aerodinamična sila vzgona. Prva je v letalstvu škodljiva, druga pa koristna. Če dosežemo, da je sila vzgona Fv natančno tako velika, kot je sila teže plošče Ft, in je hkrati njeno prijemalisče natančno v težišču plošče, si obe navpični sili držita ravnotežje Fv = Ft. Slika 1.2 a) prikazuje krilo letala v zračnem toku pod nekim pozitivnim kotom ?. Krilo letala je aerodinamično oblikovano, tako da zračni tok lepo obide krilo in se zrak za krilom ne vrtinci, kar sicer predstavlja povečanje sile upora in je v aerodinamiki nezaželeno. Na sliki 1.2 b) je prikazan graf odvisnosti koeficienta vzgona Cv od vpadnega kota. Lepo lahko vidimo, da koeficient vzgona narašča z večanjem vpadnega kota ?, vendar le do neke meje. Vpadni kot, kjer se začne koeficient vzgona zmanjševati, se imenuje kritični vpadni kot in se označuje kot ?krit. 1.1 Aerodinamične sile 5 a) b) Slika 1.2: Krilo letala v zračnem toku in graf koeficienta vzgona Z večanjem vpadnega kota preko ?krit se koeficient vzgona zmanjšuje, medtem ko se koeficient upora še naprej povečuje. Za nekatere profile (nesimetrične profile) je značilno, da ustvarjajo vzgon že pri vpadnem kotu 0°. To se pozna na grafu tako, da pri vpadnem kotu 0° krivulja seka ordinatno os pri pozitivni vrednosti koeficienta Cv. Takšen profil nima vzgona pri nekem negativnem vpadnem kotu. Na grafu je to tam, kjer krivulja seka abscisno os in v grafu na sliki 1.2 b) ni posebej označeno. Koeficient upora se lahko podobno kot koeficient vzgona prikaže na grafu, kjer je na abscisni osi zopet vpadni kot. Za upor je značilno, da ima vseskozi neko pozitivno vrednost, na grafu pa se to vidi tako, da krivulja ne seka abscisne osi pri nobenem vpadnem kotu. Graf odvisnosti koeficineta upora Cu od vpadnega kota ? na tem mestu ni podan, bo pa več govora o uporu v naslednjih poglavjih in podpoglavjih. Oba koeficienta, tako koeficient vzgona kot koeficient upora, sta pomembna parametra pri analitičnem določanju sile vzgona ter sile upora. 6 1 Uvod 1.1.1 Sila vzgona Računsko se sila vzgona Fv določi po enačbi 1.1: (1.1) Gostota zraka je ?, Cv je količnik vzgona, F je relativna hitrost gibanja in S ploščina krila. Iz enačbe je moč razbrati, da je vzgonska sila močno odvisna (kvadratna odvisnost) od relativne hitrosti, s katero se krilo (telo) giblje skozi zrak. Sila vzgona je sorazmerna površini krila in odvisna od koeficienta vzgona preko vpadnega kota krila. Sila vzgona deluje vedno pravokotno na gibanje in ne nujno le nasproti sili teže, kot bi se iz poimenovanja "vzgonska" lahko razumelo. 1.1.2 Sila zračnega upora Sila zračnega upora nekega telesa, ki se giblje skozi zrak, je odvisna od velikosti in oblike telesa ter seveda od njegove relativne hitrosti V. Sila upora deluje vedno v smeri gibanja tako, da se upira gibanju. Matematično se lahko ta odvisnost poda z enačbo: (1.2) Gostota zraka je ?, Cu je količnik zračnega upora, V je že poznana relativna hitrost gibanja in Sč je čelna ploščina (tj. projekcija telesa, pa tudi krila v smeri gibanja). Ker se čelna ploščina krila z vpadnim kotom spreminja, bi jo bilo potrebno pri določanju sile upora vedno znova izračunavati. Temu problemu se lahko izognemo tako, da namesto čelne ploščine krila upoštevamo ploščino celotnega krila. Le-ta se z vpadnim kotom ne spreminja. Takšno upoštevanje ploščine se vzame v obzir pri določanju koeficienta Cu. Enačba 1.2 dobi z upoštevanjem zgoraj navedenih poenostavitev naslednjo obliko: 1.1 Aerodinamične sile 7 (1.3) V enačbi 1.3 za razliko od enačbe 1.2 nastopa namesto čelne ploščine SČ ploščina krila S, ki je neodvisna od vpadnega kota krila in je konstantna. Namesto koeficienta Cu pa nastopa koeficient Cu, ki upošteva razliko v ploščinah. Enačba 1.3 je zelo podobna enačbi 1.1, razlika je le v koeficientih Cv ter Cu. Iz enačbe 1.3 se vidi, da je tudi sila zračnega upora močno odvisna od hitrosti V, saj velja kvadratna odvisnost. Koeficient C« upošteva vpliv oblike telesa na zračni upor. Ravna plošča Cu=l,ll Telo v obliki kaplje Cu= 0,083 Slika 1.3: Zračna tokovna polja okoli različnih teles Slika 1.3 kaže zračna tokovna polja za dve različni telesi. Čim manjši je koeficient upora, tem manjša je sila upora. Telo v obliki kaplje ima tako več kot 130-krat manjši koeficient upora kot pravokotno na zračni tok postavljena ravna plošča. 8 1 Uvod 1.2 Koncept letala Letalo je togo telo, ki se giblje v prostoru, in na katerega delujejo sile ter navori, ki so različnih izvorov. To so lahko sile, ki so posledica aerodinamičnih zakonitosti, sile, ki nastanejo zaradi delovanja pogona, sile zaradi gravitacije, sile zaradi delovanja vetra, druge sile, ki imajo izvor v neželjenih spremnih učinkih leta, in sile, ki nastanejo zaradi drugih znanih ali neznanih vzrokov. Spremembo smeri leta letala je torej možno doseči le, če na telo delujejo sile, ki spremenijo smer gibanja letala. Vsaka sila, ki deluje na letalo in ima svoje prijemališče izmaknjeno glede na težišče letala, povzroča navor in le-ta povzroča vrtenje letala v prostoru. Na podlagi slednje ugotovitve lahko zaključimo, da je gibanje letala v prostoru v grobem sestavljeno iz dveh vrst gibanja. Prva vrsta gibanja je translatorno gibanje, ki povzroča spremembo lege letala v prostoru, druga vrsta gibanja pa je rotacijsko gibanje, ki povzroča spremembo orientacije oz. lege. Poleg naštetih vrst gibanja je potrebno upoštevati tudi odklone krmilnih površin okrog šarnirnih osi. V končni obliki predpostavimo, da imajo vse sile, ki delujejo na letalo, prijemališče v masnem težišču letala in vsi navori, ki delujejo na letalo, ga vrtijo okrog vrtišča, ki je zopet masno težišče letala. Težišče letala rje torej poseba točka, kjer imajo vse sile, ki delujejo na letalo, svoje prijemališče in vsi navori, ki delujejo na letalo, svoje vrtišče. Točko, ki predstavlja težišče telesa, se izračuna kot točko okrog katere velja ravnovesje navorov vseh masnih točk togega telesa. To pomeni, da je v točki težišča letala zbrana vsa masa letala in v tej točki letalo občuti tudi svojo težo - gravitacijsko silo Ft. Težišče letala je torej prav posebna točka in v nadaljevanju bomo njene lastnosti še večkrat koristno uporabili. Na sliki 1.4 so prikazane razmere na letalu - ravnotežje sil, zaradi lastnosti leta pa je vsota vseh navorov, ki delujejo na letalo enaka 0. Če je pri opisu gibanja zelo primerno uporabljati sile kot rezultante, tj. da delovanje več sil nadomesti ena rezultirajoča, pa si pri opisu razmer na posameznem delu letala z rezultanto ne moremo pomagati prav nič. Nenazadnje moramo do rezultante šele priti, to pa pomeni, da moramo poznati prav vse posamezne prispevke sil. 1.2 Koncept letala 9 Slika 1.4: Letalo v ustaljenem premočrtnem vodoravnem letu Če ob sliki 1.4 razmislimo o sili upora Fu, potem je skupna sila upora letala Fu rezultat vsote sil upora krila, trupa, repnega višinskega stabilizatorja, višinskega krmila, repnega smernega stabilizatorja, smernega krmila pa tudi zakrilc in krilc. Podobno velja tudi za silo vzgona Fv. Zato je potrebno te komponente na nek način tudi določiti. Vse torej sloni na uporabi enačb 1.1 in 1.3. Seveda pa z uporabo zgolj teh dveh enačb ni moč opisati celotne aerodinamike letala, kot bomo videli v poglavju 2. Opis aerodinamičnih zakonitosti je zapleten in zahteven postopek. Na letalo delujejo še druge sile. Pogonsko silo Fm, imenovano tudi potisna sila ali potisk, povzroča vrteča se elisa (propeler), ki poganja tok zraka v nasprotno smer. Ta sila je odvisna od gostote zraka, oblike propelerja, dimenzij propelerja, hitrosti zraka, ki vpada na krake propelerja, in še vrsto drugih vplivnih parametrov. Nenazadnje na let letala pomembno vplivata tudi pozicija in lega motorja na letalu. Na letalo vpliva tudi veter, ki ga odnaša iz začrtane smeri leta. Veter povzroča tudi sile, na katere se letalo odzove tako, da se postavi v lego optimalnega obtekanja zraka. Končno se razmere na letalu spreminjajo tudi zaradi samega načina leta. Če se spreminja način gibanja, splošnem primeru pomeni, da se spreminja način translatornega in rotacijskega gibanja. To nadalje pomeni, da vsaj hitrosti katerihkoli komplementarnih sestavnih delov letala (recimo leva in desna polovica krila, levo in desno zakrilce ...) niso enake. Izkaže se celo, da tudi vpadni koti niso enaki, kar nadalje pomeni, da tudi koeficienti vzgona in upora sestavnih delov letala (leve in desne polovice krila, levega in desnega zakrilca, leve in desne polovice višinskega krmila ...) niso enaki. Posledično niso enake sile vzgona in upora in zato nastanjejo 10 1 Uvod navori, ki vrtijo letalo. Vrtenje zopet ustvarja neenake razmere, spremeni se hitrost gibanja, vplivi se poznajo na potisni sili motorja in na letalo delujejo drugačne sile vetra ... in cikel se zopet ponovi. Naš namen pri tem je jasen. Vse naštete vplive želimo zajeti, opisati in upoštevati ter v vsakem trenutku poznati pozicijo in lego letala v prostoru. 1.3 Simulacija in animacija leta 11 1.3 Simulacija in animacija leta Simulacija leta letala je strogo gledano pravzaprav gibanje objekta v prostoru v 6-prostostnih stopnjah, kar je v tuji literaturi najpogosteje označeno kot 6 DOF (6 degree of freedom). Od tega predstavljajo tri prostostne stopnje gibanja v smereh treh osi Kartezijevega koordinatnega sistema in tri prostostne stopnje vrtenje okrog le-teh koordinatnih osi. Potrebujemo torej tri komponente hitrosti gibanja v smereh koordinatnih osi in tri kotne hitrosti vrtenja okrog teh koordinatnih osi. Izkaže se, kot bomo kasneje pokazali, da je za opis leta letala primerneje uporabiti skupno hitrost leta in dva vpadna kota namesto treh komponent hitrosti. Pri obravnavi dinamike letala v inercialnem koordinatnem sistemu se s spremembo lege letala spreminjajo masni vztrajnostni momenti. To je velika pomankljivost, saj bi bilo na ta način potrebno vedno znova računati vztrajnostne momente letala. Primerneje je uporabiti koordinatni sistem, ki je vezan na letalo (vztrajnostni momenti se z lego letala v njem ne spreminjajo) ter uporabiti Eulerjeve enačbe gibanja za premični koordinatni sistem. S tem pa avtomatično definiramo še en koordinatni sistem, ki je fiksen in ga bomo imenovali kar izhodiščni koordinatni sistem ali koordinatni sistem Zemlje. Na tem mestu velja poudariti, da ne gre za nobeno povezavo s koordinatnim sistemom, v katerem sta definirani zemljepisna dolžina in širina Zemlje, pač pa za povsem neodvisen koordinatni sistem, ki ga postavimo kamorkoli, običajno pa na mestu začetka opazovanja gibanja letala. Popolni opis gibanja letala torej podaja 12 spremenljivk. Od tega jih je 6 definiranih v koordinatnem sistemu letala, preostale pa v koordinatnem sistemu Zemlje. Za opis dinamike letala potrebujemo tudi vztrajnostne momente letala. To so povsem konstrukcijsko pogojene veličine in na način, kot bomo opisali gibanje letala, potrebujemo enkraten izračun vztrajnostnih momentov v koordinatnem sistemu, ki je trdno vpet na letalo in se z njim giblje. V simulacijski sistem letala vstopa tudi sistem krmil, njihov vpliv pa najlažje zajamemo v opisu aerodinamike letala. Zajeti moramo še pogon, gravitacijo, veter, gostoto zraka in še vrsto drugih pomembnih vplivov, za katere ocenimo, da so pomembni in neizogibni pri gradnji simulacijskega modela. Posebej velja poudariti, da sta v našem primeru modeliranje letala in simuliranje leta letala še tesneje povezana v smislu, da 12 1 Uvod kar želimo modelirati in matematično opisati, želimo tudi realizirati v simulacijskem modelu. Ne želimo torej modelirati podrobnosti, ki jih iz takšnih ali drugačnih razlogov ne bi mogli realizirati v simulacij skem modelu. Simulacijski opis gibanja letala je cikličen postopek, kjer potrebujemo za opis lege in pozicije letala v danem trenutku poznane vrednosti spremenljivk v enem (ali več) koraku prej. Gre torej za reševanje diferencialnih enačb in uporabo postopkov reševanja, zato je numerična metoda integracije neizogibna. Postopkov numerične integracije v tem delu ne bomo obravnavali, čeprav so ta znanja še kako dobrodošla. Zlasti obravnava pogreškov metod numerične integracije in vpliv teh metod na stabilnost simulacije. Programski paketi, ki jih bomo uporabili, so kvalitetni in preizkušeni, zato se napakam in pomankljivostim, ki jih vnašajo integracijske in druge numerične metode v simulacijski proces, ne bomo posebej posvečali. Kljub temu je osnove numerične matematike koristno poznati. Že zato, da se znamo napak in pogreškov ubraniti in da jih po nepotrebnem ne pripišemo obnašanju letal. Vedno je koristno poskusiti z dvema integracijskima metodama ali pa spremeniti korak integracije. Posebno nevarnost predstavljajo algebraične zanke, ki se jim skušamo na vsak način izogniti in katerim namenjamo le toliko časa, da omenimo njihov obstoj in nevarnosti. Programsko okolje, v katerem bomo zgradili simulacijski model, je Matlab-Simulink, izdaja R12. Programsko okolje je zelo poznano, razširjeno in je podprto z veliko knjižnicami. Poleg tega je v Matlabu narejenih že nekaj podobnih poskusov modeliranja letala in vsi ti primeri so dostopni na spletu. Poleg osnovnega programa za simulacijo bomo uporabili tudi druge programe, s pomočjo katerih bomo dobili razne podatke ali nam bodo v pomoč pri animiranju leta letala. Profili 2 so komercialno dosegljiv program, s pomočjo katerega lahko dobimo pomembne podatke o profilih, tako obliko profilov kot koeficiente vzgona in upora ter porazdelitev tlaka okrog profila. FlightGear Flight Simulator (FGFS) je program, ki omogoča simulacijo letenja z vizualizacijo območja letenja, kar je lahko katerikoli predel na Zemlji. Program uporablja digitalizirane zemljevide z resolucijo 1 km in uporablja realne teksture terena. V kombinaciji s programom Flight Gear Scenery 1.3 Simulacija in animacija leta 13 Designer (FGSD) lahko uporabnik sam gradi lastne scene in postavlja poljubne 3D objekte. Od vseh funkcionalnosti programa FGFS bomo uporabili zgolj animacijo leta letala nad značilnimi območji v Sloveniji in drugod. Oba programa, FGFS in FGSD, sta dostopna v odprti kodi in sta neodvisna od operacijskega sistema. Kot rezultat in povzetek rešitev, ki so podane v tem magistrskem delu, bo predstavljena programska aplikacija SIMDLAV (Simulacija dinamike letala, animacija in vodenje), ki teče v okolju Matlab-Simulink in je avtorsko delo avtorja te magistrske naloge. Na koncu bodo predstavljene možnosti, ki jih SIMDLAV v povezavi z drugimi programi nudi in podane bodo možnosti uporabe programske aplikacije. 1.4 Sklep V uvodnem poglavju sem podal problematiko, katere iskanje rešitev bo osrednje vodilo tega dela. Podani so osnovni izrazi, ki jih bomo vseskozi uporabljali in na preprost način je predstavljen uvod v aerodinamične zakonitosti. Rešitev povzema programska aplikacija SIMDLAV, njena uporabnost in upravičenost pa bo podana na primerih. 2 Nelinearni matematični model letala 2.1 Model letala Glede na ugotovitve iz uvodnega poglavja lahko za nelinearni matematični model letala predpostavimo in smatramo, da bo sestavljen iz dveh glavnih delov, ki ju je moč obravnavati ločeno. V prvem delu, ki ga bomo imenovali tudi kot del, ki opisuje dinamiko letala in zajema štiri zaključene celote, se določijo vse sile in navori, ki delujejo na letalo. V tem delu so zajete: gravitacijska sila, sile ter navori zaradi delovanja pogona letala, sile in navori, ki delujejo na letalo in so posledica aerodinamičnih sil, ter sile, ki so posledica vetra. Ta del zajema tudi zapletene medsebojne vplive vseh štirih izvorov sil, ki delujejo na letalo. V prvem delu lahko opišemu tudi atmosferske spremenljivke, ki imajo pomemben vpliv na obnašanje letala v letu. Drugi del modela letala pa predstavljajo enačbe gibanja, za katere so aerodinamične sile in navori skupaj z drugimi silami in navori vhodi. Drugi del modela letala opiše gibanje letala v prostoru. Rezultat enačb gibanja je dvanajst spremenljivk, ki opisujejo gibanje (let) letala v prostoru. Če pogledamo na matematični model letala bolj sistemsko, potem so vhodi v sistem odkloni krmil ter vrtljaji motorja [n], spremenljivke stanja predstavljajo odvodi dvanajstih spremenljivk, ki opišejo let letala v prostoru, izhod iz sistema pa je poleg spremenljivk, ki opisujejo let letala, lahko še vrsta drugih parametrov. Veter 15 16 2 Nelinearni matematični model letala predstavlja motnje v sistemu, ki vstopajo na različnih mestih modela letala, križne povezave v sistemu pa predstavljajo medsebojni vplivi sklopov, ki predstavljajo dinamiko letala. Razumljivo je, da nekatere izhodne spremenljivke tvorijo povratno zvezo in predstavljajo vhode v sklope, ki določajo dinamiko letala. Izhod iz nelinearnega matematičnega modela so lahko katerekoli spremenljivke, ki so pomembne pri opisu leta letala, medtem ko se pri realnem letalu pojavi problem merjenja določenih spremenljivk. Pri simulaciji je zato poudarek le na tistih spremenljivkah, ki jih je moč meriti pri realnem letalu in tudi na ta način bomo vzdrževali vzporednost med realnim letalom in modelom. V fazi simulacije je pomembno določiti odklone krmil ter začetne pogoje, da letalo ohranja nek stabilen let (let naravnost, let v zavoju). Takšnemu režimu leta lahko rečemo delovna točka in nelinearni model lahko lineariziramo v delovni točki. Uravnoteženje letala zato igra pomembno vlogo. Slika 2.1 podaja glavne sestavne dele nelinearnega modela letala. Izhodi iz prvega dela so sile, označene z F, in navori, označeni z M, ter s pripadajočim indeksom. Površno lahko po sliki omenimo tudi del, kjer se izvaja numerična integracija, katere problematiko ne bomo obravnavali. V povezavi z delom, kjer se izvaja integracija, omenimo le še začetne pogoje, ki so rezultat postopka uravnotežanja (trimanja) letala, in preprosto povedano predstavljajo način leta letala ob začetku izvajanja simulacije, natančneje povedano pa začetni pogoji pomenijo vrednosti spremenljivk stanj ob času t = 0. Model letala bomo torej obravnavali na način, kot je prikazan na sliki 2.1. Opozoriti velja na povezave med bloki v bločni shemi. Povezave namreč ne gre razumeti dobesedno, in sicer da prav vse spremenljivke, ki jih nadomešča neka vez v bločni shemi, tako ali drugače vplivajo na določen blok v shemi. Vplivajo le nekatere izmed njih. V naslednjih dopoglavjih bomo skušali zajeti, katere spremenljivke vplivajo na katerega od delov, ki določa dinamiko letala in na kakšen način. 2.1 Model letala 17 Slika 2.1: Bločni diagram nelinearnega modela letala 18 2 Nelinearni matematični model letala 2.2 Koordinatni sistemi in definicija veličin Slika 2.2 prikazuje postavitev koordinatnega sistema na letalo in v njem definirane veličine. Koordinatni sistem je vpet na letalo tako, da gre os x vzdolžno skozi trup, os y gre skozi ravnino krila, os z pa je pravokotna na ravnino xy. Vse veličine, ki so podane na spodnji sliki, so vrisane tako, da ponazarjajo pozitivno vrednost. Slika 2.2: Koordinatni sistem letala in definicija veličin Na zgornji sliki definirane veličine s simboli pomenijo: hitrost letala vpadni kot (angle of attack) kot bočnega drsenja (sideslip angle) kotna hitrost vrtenja okrog osi x (roll) kotna hitrost vrtenja okrog osi y (pitch) kotna hitrost vrtenja okrog osi z (yaw) komponenta hitrosti letala v smeri osi x komponenta hitrosti letala v smeri osi y komponenta hitrosti letala v smeri osi z 2.2 Koordinatni sistemi in definicija veličin 19 Fx - sila, ki deluje na letalo v smeri osi x Fy - sila, ki deluje na letalo v smeri osi y Fz - sila, ki deluje na letalo v smeri osi z L - navor, ki vrti letalo okrog osi x M- navor, ki vrti letalo okrog osi y N- navor, ki vrti letalo okrog osi z Relacije med veličinami, ki so podane na sliki 2.2, so podane z enačbami od 2.1 do 2.3 in izpeljane v podpoglavju 2.3. Vse veličine, prikazane na sliki 2.2, so definirane v koordinatnem sistemu letala. Izkaže se, da je v primeru obravnavanja leta letala bolj primerno uporabiti dejansko hitrost letala V, vpadni kot letala ? ter kot bočnega drsenja ? namesto translacijskih komponent hitrosti u, v, w vzdolž osi koordinatnega sistema. Pretvorbo podajajo enačbe 2.1, 2.2 in 2.3: (2.1) (2.2) (2.3) Obraten zapis, kjer so izražene komponete hitrosti vzdolž osi letala, pa so podane z enačbo 2.4, je zapisana v vektorski obliki: u cos a cos P v =V- sin p (2.4) w sin a cos p Poleg koordinatnega sistema, ki je vpet na letalo in se z njim tudi premika, je pri opisu leta letala potrebno imeti še en koordinatni sistem, ki ga imenujemo koordinatni sistem Zemlje in ga označujemo z indeksom E (Earth). Ta koordinatni sistem je fiksen in usmerjen tako, da os xe kaže v smeri severa, os ye kaže v smeri vzhoda in os ze kaže v smeri delovanja gravitacijske sile. Orientacija (usmerjenost) tega koordinatnega sistema je pomembna in za omenjeno orientacijo bomo kasneje navedli pripadajoče enačbe gibanja. Kje ima izhodišče ta koordinatni sistem, je 20 2 Nelinearni matematični model letala popolnoma vseeno. Običajno ga postavimo v točko, kjer začnemo opazovati let letala. S pomočjo tega koordinatnega izhodišča dobimo informacijo o poziciji in legi letala. Pozicijo letala določijo koordinate xe, ye in ze, lego letala pa določajo koti ?,?, (? (Eulerjevi koti). Vseh teh šest spremenljivk je izraženih v koordinatnem sistemu Zemlje. Definicijo veličin v koordinatnem sistemu Zemlje je moč razbrati iz slike 2.3. Slika 2.3: Koordinatni sistem Zemlje ter določanje pozicije in lege S pomočjo slike 2.3 bomo nazorneje razložili pomen veličin, ki opišejo pozicijo in lego letala. Predpostavimo, da sta v začetku opazovanja koordinatna sistema letala in Zemlje popolnoma poravnana (1. korak). Koordinatni sistem Zemlje ima koordinatne osi označene z xe, ye in ze, medtem ko koordinatni sistem letala z osmi x, y, z, sovpada z Zemljinim koordinatnim sistemom in je označen le črtkano. V nadaljevanju letalo nadaljuje svojo pot in ga zopet opazujemo v nekem drugem trenutku (2. korak). Letalo je medtem naredilo neko pot in se glede na Zemljin koordinatni sistem nekoliko zasukalo. Pozicijo letala opišemo s koordinatami xe, ye in ze v koordinatnem sistemu Zemlje, tako da poznamo njegov položaj (položaj težišča T). Na tem mestu velja opozoriti, da je koordinatni sistem Zemlje upoštevan nekoliko drugače, kot je prikazano na sliki 2.3 v 1. koraku. Razlika je le v tem, da je pri simulaciji pozitivna os z usmerjena navzgor in ne navzdol, kot je prikazano na sliki 2.3. Kasneje določene enačbe gibanja so izpeljane za orientacijo koordinatnega 2.2 Koordinatni sistemi in definicija veličin 21 sistema po sliki 2.3, vendar enačbo za višino spremenimo na način, kot ga podaja enačba 2.5: -ze=H (2.5) S to preprosto enačbo navidezno zavrtimo os z koordinatnega sistema Zemlje za 180° glede na sliko 2.3 v 1. koraku, da kaže navzgor. Na ta način ima številčna vrednost višine leta letala pozitivni predznak. Vse ostalo pa ostane nespremenjeno in druge spremembe niso potrebne. Pozicija letala je tako izražena s koordinatami xe, ye, H v koordinatnem sistemu Zemlje. Pri opisu leta letala moramo poznati tudi, kako obrnjen (zasukan) leti, oziroma poznati moramo njegovo trenutno lego glede na neko izhodiščno lego. Po sliki 2.3 se je do drugega koraka opazovanja letalo nekoliko zavrtelo. Zasuke okrog posameznih osi koordinatnega sistema letala opišemo s koti ?, ?, ?. Če se je letalo med letom zasukalo za kot ? okrog osi x koordinatnega sistema letala, za kot 6 okrog osi y koordinatnega sistema letala ter še za kot ? okrog osi z koordinatnega sistema letala, potem natančno vemo, kakšna je lega koordinatnega sistema letala (tudi letala samega) glede na izhodiščno lego koordinatnega sistema Zemlje. Omenjeno določanje lege je bilo sicer preprosto, dejansko pa določanje lege poteka preko transformacijskih matrik, ki opišejo vsako vrtenje posebej. Transformacijske matrike so podane spodaj: cosy/ siny/ 0 (2.6) (2.7) (2.8) Kompletna transformacijska matrika, ki sodeluje pri pretvorbi iz koordinatnega sistema letala v koordinatni sistem Zemlje, se glasi: (2.9) 22 2 Nelinearni matematični model letala Spremenljivke, ki nosijo informacije, pomembne pri opisu leta splošnega togega telesa, imenujemo stanja. Omenjene spremenljivke lahko zapišemo v obliki vektorja, ki ga imenujemo vektor stanj in ga podaja enačba 2.10: (2.10) Vektor stanj po enačbi 2.10 vsebuje spremenljivke, ki vsebujejo informacije za opis gibanja splošnega togega telesa. Za opis gibanja letala je primernejši nekoliko spremenjen vektor stanj. Pri obravnavi letala so bolj uporabne spremenljivke, ki podajajo skupno hitrost letala V, vpadni kot a in kot bočnega drsenja ? namesto komponent hitrosti u, v, w. Pretvorbo med temi spremenljivkami podajajo enačbe od 2.1 do 2.3, vektor stanj, ki je uporabnejši pri opisu gibanja letal, je podan z enačbo 2.11: (2.11) Glede na sliko 2.1 so vhodi v enačbe gibanja sile Ftot in navori Mtot, izhod iz enačb gibanja pa časovni odvod vektorja stanj x. Enačbe gibanja torej podajajo izračun odvodov vseh dvanajstih spremenljivk stanj. Ko so znani vsi odvodi spremenljivk stanj, jih je potrebno samo še integrirati. Ker so spremenljivke stanj izhodi iz integratorjev, hipne spremembe njihovih vrednosti niso mogoče. 2.3 Enačbe gibanja 23 2.3 Enačbe gibanja Dinamika letala je precej kompleksna. Pri opisu nelinearnega modela letala so poleg premikanja letala v prostoru, ki zajema translacijo v treh smereh in rotacijo okrog treh osi, upoštevani še odkloni krmil okrog šarnirnih osi. Letalo je pri analizi dinamike gibanja obravnavano kot togo telo, pri čemer je uporabljen premični koordinatni sistem, vezan na letalo. Enačbe gibanja so rezultat osnovne Newtonove mehanike. Splošni enačbi, ki podajata sile in navore, ki delujejo na togo telo, sta podani spodaj: (2.12) (2.13) Zgornji enačbi opisujeta gibanje togega telesa relativno v inercialnem koordinatnem sistemu. V enačbah podani vektorji pomenijo: V = [UVW]Tje vektor translacijskih komponent hitrosti težišča letala, ?, = [pqr]T je vektor rotacijskih (kotnih) hitrosti pri vrtenju okrog težišča letala, F = [ Fx Fy Fz ]T je vektor vsote vseh zunanjih sil v smereh osi koordinatnega sistema, M = [LMN ]Tje vektor vsote vseh zunanjih navorov letala in m je masa letala. Matrika I je tenzor vztrajnostnih momentov in je podana z enačbo 2.14: (2.14) Pri obravnavi dinamike letala v inercialnem koordinatnem sistemu se s spremembo lege letala spreminjajo masni vztrajnostni momenti. Zato je primerneje uporabiti koordinatni sistem, ki je vezan na letalo (vztrajnostni momenti se z lego letala ne spreminjajo), ter Eulerjeve enačbe gibanja za premični koordinatni sistem. Enačbi 24 2 Nelinearni matematični model letala 2.12 in 2.13 je za simulacijske zahteve potrebno nekoliko spremeniti in izraziti časovne odvode, tako preideta v naslednji obliki: (2.15) (2.16) Enačbi 2.15 in 2.16 skupaj predstavljata zapis v prostoru stanj, ki velja za opis gibanja kateregakoli togega telesa (letalo, ladjo, cestno vozilo ...). Ti dve enačbi predstavljata pomemben del simulacijskega modela letala. Komponente translacijskih in rotacijskih hitrosti, usmerjene in orientirane po oseh koordinatnega sistema, so spremenljivke stanj sistema, medtem ko zunanje sile in navori, usmerjeni in orientirani po oseh koordinatnega sistema, predstavljajo vhode v enačbe gibanja. Zunanje sile in navori so odvisni od spremenljivk gibanja letala. Z drugimi besedami, spremenljivke stanja tvorijo povratno zvezo preko sil in momentov nazaj na vhod enačb gibanja. S to ugotovitvijo je moč združiti omenjeni enačbi v nelinearni sistem v prostoru stanj, ki ga lahko zapišemo: (2.17) (2.18) (2.19) Zgornje tri enačbe je moč zapisati z eno ekvivalentno nelinearno enačbo stanj: (2.20) Vektor stanj je x, u je vhodni vektor in t čas. Iz enačb 2.16 in 2.17 je očitno, da vsebuje vektor stanj x translacijske in rotacijske komponente hitrosti iz vektorjev V in ?. Kasneje bo tem spremenljivkam stanj dodanih še šest dodatnih spremenljivk stanj, ki definirajo pozicijo in lego (orientacijo) letala glede na Zemljo in so potrebne pri rešitvi teh enačb. 2.3 Enačbe gibanja 25 Vektor stanj x očitno vsebuje translacijske in rotacijske komponente hitrosti, tj. elemente iz vektorjev V in ?. Poleg omenjenih spremenljivk stanj so potrebne še spremenljivke, ki podajajo informacijo o prostorski orientaciji letala. Z njihovo pomočjo je moč določiti prispevke sil po komponentah, ki jih prispevata gravitacija in veter. Koordinate v Zemljinem koordinatnem sistemu, kjer se nahaja letalo, sicer niso nujne za rešitev enačb gibanja, so pa uporabne za vrsto drugih namenov. Popoln vektor stanj x je torej sestavljen iz dvanajstih elementov: treh translacijskih hitrosti v koordinatnem sistemu letala, treh rotacijskih hitrosti v koordinatnem sistemu letala, treh Eulerjevih kotov, ki podajajo orientacijo letala relativno glede na Zemljo, dveh koordinat ter višine, ki skupaj določajo pozicijo letala relativno glede na Zemljo. Sestavo vektorja stanj je moč razbrati iz zapisa enačb 2.21 oziroma 2.22: (2.21) Zgradba vektorja stanj x, kije uporabnejši pri opisu letal, je podan spodaj: (2.23) Na tem mestu velja ponovno proučiti sliko 2.1. Ta nam daje grafični prikaz vseh vplivov na dinamiko togega telesa. Vsi sestavni deli slike 2.1 skupaj tvorijo nelinearni sistem letala v prostoru stanj, ki ga podaja enačba 2.17. Vrednosti spremenljivk stanj se določijo z integracijo njihovih časovnih odvodov z upoštevanjem začetne vrednosti vektorja stanj x(0). Z namenom da se določijo časovni odvodi spremenljivk stanj, so spremenljivke stanj povratno povezane z enačbami sil in navorov ter enačbami gibanja. Vse sile in navori morajo biti izraženi v koordinatnem sistemu letala. Do sedaj ni bilo veliko povedanega o časovnem odvodu vektorja stanj i, ki ga je potrebno še integrirati, da dobimo vektor stanj x. Zgradba časovnega odvoda vektorja stanj i podaja sledeča enačba: (2.23) 26 2 Nelinearni matematični model letala Enačbe, iz katerih je moč sestaviti omenjeni odvod vektorja stanj in so dejansko enačbe gibanja, so podane spodaj od 2.24 do 2.35: Ppp, Ppq, ... , Rn so koeficienti, ki so rezultat matričnega množenja in so sestavljeni zgolj iz členov matrike tenzorja vztrajnostnih momentov I. Enačbe za izračun teh koeficientov so podane v tabeli v Prilogi A. V Prilogi A je zajeta tudi izpeljava enačb gibanja za togo telo. Navidez kompliciran zapis sistema enačb, zlasti če upoštevamo še relacije iz tabele A.2 v Prilogi A, se zelo poenostavi, če so vsi trije deviacijski vztrajnosti momenti Jxy, Jxz in Jyz enaki 0. To je takrat, ko je letalo povsem simetrično. Deviacijski vztrajnostni momenti povedo (ne)simetrijo letala glede na ravnine, ki jih napenjajo koordinatne osi koordinatnega sistema letala. Običajno je od vseh treh deviacijskih vztrajnostnih momentov od nič različen le Jxy, ostala dva pa sta enaka 0 ali zelo blizu 2.3 Enačbe gibanja 27 tej vrednosti. Odvisno je od tega, kako simetrično je letalo in od točke, kamor postavimo koordinatno izhodišče. Če je letalo popolnoma simetrično in koordinatno izhodišče postavimo v masno središče (kar je najbolj smiselno) in je koordinatni sistem obrnjen, kot prikazuje slika 2.2, potem sta masna deviacijska vztrajnostna momenta Jxy ter Jyz enaka 0. Če se zgodi, da so vsi izvendiagonalni členi matrike I enaki 0, se enačbe 2.27 do 2.29 v tem primeru poenostavijo v naslednjo obliko: (2.36) (2.37) (2.38) V našem primeru smo izpeljavo naredili za splošen primer nesimetričnega letala. Opozoriti velja, da predznak deviacijskega vztrajnostnega momenta masne točke ni le pozitiven, saj gre za produkt dveh razdalj, ki imata predznak (glede na usmerjenost koordinatnih osi). Razdalje se merijo od vrtišča, tj. masnega težišča letala, kamor je smiselno postavljeno koordinatno izhodišče koordinatnega sistema, ki je vpeto na letalo. Prispevke vseh masnih točk k skupnemu vztrajnostnemu momentu pa je potrbno še sešteti. Enačbe 2.24, 2.25 in 2.26 so nekoliko drugačne, kot bi izhajale iz enačbe 2.15. Veličine, ki v teh enačbah nastopajo, časovni odvod skupne hitrosti letala V, časovni odvod vpadnega kot ? ter časovni odvod kota bočnega drsenja ? so bolj uporabni pri opisih leta letal, kot je bilo omenjeno že prej. Do enačb 2.24, 2.25 in 2.26 pridemo z odvajanjem enačb 2.1, 2.2 in 2.3 po času in pri tem dobimo: (2.39) (2.40) (2.41) 28 2 Nelinearni matematični model letala Z upoštevanjem enačbe 2.1 in enačb od 2.42 do 2.47 v enačbah 2.39 do 2.41 končno dobimo enačbe 2.24, 2.25 in 2.26: u = V cos a cos P, (2.42) v = Vsinj8, (2.43) w = Vsinacosfi, (2.44) F u = — -qw + rv, (2.45) m F v = — + pw-ru, (246) m F w = -?--pv + qu. (2.47) m Opozoriti velja, da so vse veličine, ki nastopajo v enačbah od 2.24 do 2.35 definirane v koordinatnem sistemu letala. Postavitev koordinatnega sistema na letalo je prikazana na sliki 2.2, prav tako so na isti sliki podane vse pomembne veličine ter njihove definicije. V teh enačbah nastopa tudi masa, za katero nelinearni model predpostavlja, da se med letom ne spreminja. Do sedaj so bile razložene diferencialne enačbe za dejansko hitrost letala, vpadni kot letala, kot bočnega drsenja ter tri komponente rotacije. Za rešitev enačb gibanja je potrebno imeti informacije o legi letala relativno glede na Zemljo ter o višini leta letala. Slednje informacije so potrebne, ker nekateri prispevki zunanjih sil (razstavljene komponente gravitacijske sile) in navorov zavisijo od vrednosti teh spremenljivk. Poleg omenjenih informacij je v nekaterih primerih dobro poznati tudi koordinate pozicije letala v fiksnem koordinatnem sistemu Zemlje. Lega letala je določena z Eulerjevimi koti?, ? in ?. Kinematične relacije, ki določajo časovne odvode Eulerjevih kotov, so podane z enačbami 2.30, 2.31 in 2.32. Pozicija letala glede na fiksni koordinatni sistem Zemlje je podana s spremenljivkami xe, ye in ze, časovne odvode teh spremenljivk pa podajajo enačbe 2.33, 2.34 in 2.35. Med koordinatama ze ter H obstaja preprosta relacija H = -ze. V enačbi 2.36 je torej v oklepaju podana koordinata ze. Posledica omenjene relacije med H in ze je, da je pozitivni del osi z koordinatnega sistema Zemlje, ki sicer kaže navzdol, upoštevan, 2.3 Enačbe gibanja 29 kot da kaže navzgor. Do izračuna časovnega odvoda koordinat xe, ye in ze lahko pridemo prek komponent hitrosti z upoštevanjem transformacijske matrike, ki predstavlja prehod iz koordinatnega sistema letala v koordinatni sistem Zemlje. Prehod med koordinatnimi sistemi je moč zapisati na sledeči način: (2.48) Matrika TL->Z je transformacijska matrika med koordinatnima sistemoma letala in Zemlje in je bila določena z enačbo 2.9. Naj ne bo odveč ponovno poudariti, da so Eulerjevi koti ?, ? in ? ter koordinate, ki določajo pozicijo letala xe, ye in H, določeni v fiksnem koordinatnem sistemu Zemlje. Natančnejši opisi enačb, ki so nastopale v tem podpoglavju in ozadje pri njihovi izpeljavi, so podani v Prilogi A ter v [7], [12] in [14]. 30 2 Nelinearni matematični model letala 2.4 Krmilne površine Letalo (na način, kot ga bomo obravnavali) ima za krmarjenje v zraku namenjene štiri vrste odklonskih krmilnih površin, ki lahko nastopajo posamič ali v parih. Za krmilne površine v parih so mišljene površine, ki so paroma nameščene na levi in desni strani letala, če bi ga navidezno razdelili na levo in desno stran z ravnino xz v koordinatnem sistemu letala. Takšne krmilne površine so krilca (ailerons), zakrilca (flaps) ali višinsko krmilo (elevator), ki sega na levo in desno stran. Primer krmilne površine, ki ne nastopa v paru je smerno krmilo (ruder). Da se zagotovijo ustrezni učinki krmarjenja, morajo imeti krmilne površine predpisan režim odklanjanja. Z ustreznim načinom odklanjanja para krmilnih površin lahko dosežemo, da krmilni površini delujeta kot krmilo za določanje nagiba letala (roll). Če je odklon površin nasprotujoč, torej je na eni strani odklon krmilne površine navzgor glede na neko izhodiščno lego, na drugi strani pa je odklon navzdol glede na isto izhodiščno lego ali obratno, povzročata krmilni površini spremembo vzgona z različnima predznakoma kar povzroča navor, ki je po sliki 2.2 označen kot + L ali -L. V tem primeru krmilni površini delujeta kot krilci in sta uporabni za spremembo nagiba letala in posredno na določanje smeri leta. Če se krmilni površini odklanjata na obeh straneh v isto smer, torej na obeh straneh (levi in desni) letala navzgor ali navzdol, potem krmilni površini spreminjata vzgon na levi in desni strani letala enako in zato povzročata navore, ki vrtijo letalo v smereh +M ali -M glede na sliko 2.2. Takšen navor ustreza delovanju bodisi zakrile bodisi višinskemu krmilu. V naši obravnavi bo smerno krmilo le eno (in ne dvojno, kot ju imajo nekatera letala posebne izdelave), odklon katerega povzroča navore, ki vrtijo letalo v smereh + N ali - N. Koncept krmil letala in predznaki odklonov krmilnih površin so podani na sliki 2.4 in enačbah od 2.49 do 2.54: 2.4 Krmilne površine 31 Slika 2.4: Krmilne površine in predznaki odklonov Na sliki 2.4 so prikazane krmilne površine, njihova tipčna razporeditev, način odklanjanja in predznaki odklonov. Drugačna razporeditev krmilnih površin v ničemer ni ovira, pomembni so le predznaki odklonov, ki so definirani glede na koordinatni sistem letala. Zahteva za odklon krilc ?a je eden od vhodov v sistem krmil in hkrati ena od vhodnih veličin v sistem modela letala. Po sliki 2.4 je moč razbrati, da gre za pozitivni odklon, kadar se krmilna površina odkloni v smeri, kot je prikazano na sliki na desni strani letala. Za negativni odklon krmilne površine gre, kadar se krmilna površina odkloni v smeri, kot je prikazana na sliki 2.4 na levi strani letala. Takšna definicija predznakov odklonov sovpada z definicijami predznakov drugih veličin pri opisu letala. Zahteva po odklonu krilc ?a je vhodna veličina v sistem letala. Ta zahteva po odklonu krilc se v modelu upošteva na način, kot je opisano z enačbama 2.49 in 2.50. Desno krilce (?adesnd se vedno odkloni s predznakom, ki ustreza predznaku zahteve po odklonu krilc (?a), levo krilce (?alevi) pa se vedno odkloni z nasprotnim predznakom, kot je predznak zahteve po odklonu 32 2 Nelinearni matematični model letala krilc. Velikost odklona desne in leve krmilne površine v funkciji krilc (\?adesni\, \?alevi\) je vedno enaka zahtevani velikosti odklona \?a\. Na sliki 2.4 so prikazane tudi razmere pri odklonu ostalih krmilnih površin, tudi za primer odklona višinskega krmila ?e. Tako kot ?a je tudi ?e eden izmed vhodov v sistem letala in v sistem krmil. Predznaki odklonov krmilnih površin so enaki kot prej, glede na prejšnje razmere je drugačen le način odklanjanja krmilnih površin. Kadar je podana zahteva po odklonu krmilnih površin v funkciji višinskega krmila, se krmilni površini na levi in desni strani odklanjata v isti smeri. Glede na predznak zahteve ?e se krmilni površini na obeh straneh {?edesni, ?elevi) odklonita z istim predznakom. Velikost odklona desne in leve krmilne površine v funkciji višinskega krmila (\?adesni\, \?alevi\) je vselej enaka zahtevani velikosti odklona \?e\. Razmere za različne zahteve ?e in predznake odklonov na obeh straneh so podane z enačbama 2.51 in 2.52. Opozoriti velja, da je v obravnavanem primeru višinsko krmilo razdeljeno na dva dela, levo in desno polovico, ni pa vedno nujno, da je tako. Če obstaja le eno višinsko krmilo (v enem kosu) potem enačbi 2.51 in 2.52 ne veljata. V tem primeru je odklon celega višinskega krmila enak ?e, predznak odklona pa enak. Zelo podobno velja za krmilni površini, ki sta v funkciji zakrile. Kadar je podana zahteva po odklonu krmilnih površin v funkciji zakrile, se krmilni površini na levi in desni strani odklanjata v isti smeri. Glede na predznak zahteve ?f krmilni površini na obeh straneh {?fdesni, ?flevi) odklonita z istim predznakom. Velikost odklona desne in leve krmilne površine v funkciji zakrile (\?fdesn,\, |?flevi|) je vselej enaka zahtevani velikosti odklona \?f|. Razmere za različne zahteve ?f predznake odklonov na obeh straneh so podane z enačbama 2.53 in 2.54. Enak razmislek velja tudi za smerno krmilo (ruder). Glavna razlika glede na predhodne krmilne površine je v tem, da smerno krmilo ne obravnavamo kot par in ravnina odklanjanja je postavljena drugače kot pri prejšnjih krmilnih površinah. Preprosto definiramo odklon smernega krmila ?r, kot je podano na sliki 2.4. 2.5 Aerodinamika letala 2.5 Aerodinamika letala Opis aerodinamičnih lastnosti letala predstavlja eno težjih nalog pri gradnji nelinearnega modela letala. Hkrati je to del opisa letala, od koder izhajajo glavne lastnosti obnašanja letala v zraku, njegova občutljivost na motnje, lastnosti pri krmarjenju, stabilnost ... V tem podpoglavju se bomo omejili zgolj na opis aerodinamičnih lastnosti in kako čim več zapletenih medsebojnih vplivov zajeti v opis modela letala. Na tem mestu ne bomo komentirali aerodinamike letala s konstrukcijskega stališča, temveč obratno. Skušali bomo čim bolje opisati nek splošen model letala. Pri izpeljavi enačb gibanja smo predpostavljali, da na letalo delujejo tri komponente zunanjih sil in tri komponente zunanjih navorov, ki so bili vsi razstavljeni v kordinatnem sistemu letala. Te komponente sil in navorov lahko zapišemo v vektorski obliki, kot podajata enačbi 2.55 in 2.56: (2.55) (2.56) V vektorju sil F in navorov M so zajete vse sile in navori, ki delujejo na letalo in vstopajo v enačbe gibanja. V komponentah sil in navorov v enačbah 2.55 in 2.56 so zajeti vsi prispevki, ki jih povzročajo glavni sklopi letala, kot prikazuje bločna shema na sliki 2.1. Z upoštevanjem teh ugotovitev lahko komponente sil in navorov iz enačb 2.55 in 2.56 izrazimo še podrobneje. Za sile lahko zapišemo: 34 2 Nelinearni matematični model letala za navore pa: ~ aerodinamika pogon gravitacija ' "-'veter > \ / M = ^ aerodinamika + ^ pogon + ^gravitacija +^veter, (2-61) aerodinamika pogon " gravitacija v veter ' \ • ^-^v Naša naloga je torej sledeča. Določiti moramo po tri komponente sil in navorov, ki jih povzroča celotna aerodinamika letala. V teh šestih komponentah mora biti zajet cel opis aerodinamike letala. 2.5 Aerodinamika letala 35 2.5.1 Glavni sestavni deli letala S stališča aerodinamike oziroma načina, kako opisujemo aerodinamične pojave, je najbolje letalo razdeliti na glavne stestavne dele in na vsakem delu posebej opisati aerodinamične razmere. Več posameznih delov letala lažje natančneje opišemo in za vsak tak del bolje in natančneje poznamo razmere. Za letalo v najsplošnejši obliki lahko trdimo, da ga sestavljajo trup, krilo, repni smerni stabilizator, repno smerno krmilo, repni višinski stabilizator in višinsko krmilo. Poleg tega ima letalo na krilu vgrajen še par krilc in par zakrile. Če letalo katerega od teh osmih sestavnih delov nima, oziroma ima dva dela združena v enem, na splošnosti obravnave ničesar ne izgubimo, opravka imamo le z manj enačbami. Ločeno opisovaje razmer na glavnih sestavnih delih je sicer ugodno, ni pa še zadostno in dovolj natančno. Omenjeni sestavni deli nastopajo v parih. Za letalo lahko razumemo, da je sestavljeno iz parov sestavnih delov, ki nastopata na levi in desni strani letala (leva polovica krila - desna polovica krila, levo krilce - desno krilce ...). Za letalo velja do določene mere simetrija, saj gre pričakovati, da sta leva in desna polovica kar se da enaki. Če bi letalo z ravnino xz navidezno razdelili, bi dobili dve polovici, ki je vsaka zrcalna slika druge polovice. Pričakovali bi, da so potemtakem razmere na desnih sestavnih delih kar najbolj podobne tistim na levi strani. Nenazadnje so v matematičnem modelu vsi podatki za leve sestavne dele docela enaki kot za desne sestavne dele. Razmere pri letalu so sicer res enake na levi in desni strani letala, vendar le, če letalo leti naravnost. V splošnem pa razmere na levi in desni strani niso enake in takrat je potrebno obravnavati levo in desno stran ločeno. Vplive kotnih hitrosti p, q, r je zato potrebno upoštevati, saj brez njihovega upoštevanja ne dobimo dobrih rezultatov, v določenih primerih celo povsem napačne. Načini upoštevanja kotnih hitrosti s stališča aerodinamike letala bodo podani v naslednjih podpoglavjih. Če privzamemo trditev o neenakih razmerah na levi in desni strani letala, potem se število glavnih sestavnih delov poveča. Podrobneje ko skušamo aerodinamične zakonitosti opisati, na več sestavnih delov nam letalo razpade. S takšnim načinom seveda ne gre pretiravati, saj se število sestavnih delov hitro veča in opis postaja neobvladljiv. 36 2 Nelinearni matematični model letala Za modeliranje posameznega sestavnega dela (tisti, ki ne nastopa v paru) uporabimo isti pristop, tj. opis sile vzgona in sile upora, ki za določitev svojega izhoda (sil in navorov) upošteva veličine in stanja lastnega sistema, do katerega pridemo preko stanj celega sistema in geometrije letala. Vsota sil in navorov sestavnih delov letala pa ponovno vpliva na obnašanje letala v naslednjem trenutku. Takšna razdelitev letala na dele je s stališča modeliranja nujna pri opisu modela, zajeti pa so tudi povratnozančni vplivi celotnega sistema na dele sistema ter obratno. 2.5.2 Sila vzgona in sila upora Osnovni enačbi pri opisu aerodinamičnih lastnosti letala sta enačbi za izračun sile vzgona 2.63 ter izračun sile upora 2.64: V uvodnem poglavju v razdelkih 1.1 je že bilo nekaj povedanega o zgornjih dveh enačbah. Enačbi 2.63 in 2.64 se razlikujeta le v koeficientih Cv in Cu, vse ostalo je v obeh enačbah popolnoma enako. Pri razlagi o silah na ploščo v podpoglavju 1.1 je bilo ugotovljeno, da je skupna zračna sila Fz močno odvisna od vpadnega kota a. V enačbah 2.63 in 2.64 je vpadni kot zajet v koeficientih vzgona in upora, tako da lahko zapišemo odvisnost Cv =f(a) in Cu =f(a). Odvisnosti koeficienta vzgona in koeficienta upora od vpadnega kota sta določeni eksperimentalno in se podajata tabelarično ali v grafični obliki. Podrobnejša analiza pokaže, da koeficienta nista le funkciji vpadnega kota, pač pa tudi od t. i. Reynoldsovega števila. 2.5 Aerodinamika letala 37 Izračun Reynoldsovega števila za srednjo aerodinamično tetivo c podaja enačba: Enačba povezuje gostoto zraka ?, hitrost gibanja zraka (letala) V, koficient dinamične viskoznosti ? ter aerodinamično tetivo c. Reynoldsevo število je torej odvisno od spremenljivk, ki se med letom spreminjajo, in od konstantne tetive. Odvisnosti, ki smo jih prej simbolično zapisali, lahko sedaj popravimo: Ker so koeficienti vzgona in upora podani eksperimentalno za določena Re in vpadne kote ?, nimamo vedno možnosti dobiti željenih podatkov (program Profili 2). Zaradi tega moramo pogosto iskati poenostavitve. Ker imamo iz enačb gibanja dostop do hitrosti leta letala V, ker lahko izberemo Re in ker poznamo obliko letala in s tem aerodinamično tetivo c vsakega sestavnega dela, lahko enačbo 2.65 izrazimo na hitrost V in enačbi 2.66 in 2.67 zapišemo v obliki: Na ta način lahko v simulacijskem modelu lažje in hitreje dostopamo do potrebnih podatkov. Če poznamo koeficiente vzgona in upora v določenih točkah, lahko iz zgornjih enačb dobimo s pomočjo dvodimenzijske interpolacije iskane podatke v vseh vmesnih točkah. Primer tako dobljenih podatkov za koeficienta vzgona Cv in upora Cu za profil NACA 2412 sta podana na slikah 2.5 in 2.6. Seveda lahko podatke za koeficineta vzgona in upora podamo v manj natančni enodimenzijski obliki, kar je podano na slikah 2.7 in 2.8. 38 2 Nelinearni matematični model letala Slika 2.5: Koeficient Cv v dvodimenzijski obliki Cu = f(ALPHA, MACH), NACA 2412 Slika 2.6: Koeficient Cu v dvodimenzijski obliki 2.5 Aerodinamika letala 39 Slika 2.7: Koeficient Cv v enodimenzijski obliki Slika 2.8: Koeficient C„ v enodimenzijski obliki 40 2 Nelinearni matematični model letala Razlaga grafov po slikah od 2.5 do 2.8 je podobna, ne glede ali so podatki podani dvodimenzijsko ali enodimenzijsko. Na razlike bomo opozorili sproti. Slika 2.7 prikazuje odvisnost koeficienta vzgona Cv od vpadnega kota a za profil NACA 2412. Karakteristika je podana tako za negativne kot pozitivne vpadne kote. Koeficient Cv pri nekem dovolj velikem negativnem vpadnem kotu spremeni predznak, kar se na sili vzgona pozna tako, da deluje v nasprotno smer kot pri pozitivnem vpadnem kotu. Iz grafa je moč opaziti, da pri vpadnem kotu 0° koeficient vzgona ni enak 0, pač pa ima neko pozitivno vrednost. Vzrok temu je v profilu krila, ki ustvarja nek vzgon tudi pri vpadnem kotu 0° in manj, kar je značilno za nesimetrične profile. Koeficient vzgona doseže vrednost 0 šele pri nekem dovolj velikem negativnem vpadnem kotu, kar pomeni, da krilo ustvarja vzgon, vse dokler ni presežena vrednost tega kota v negativno smer. Opazimo lahko tudi zmanjševanje koeficienta vzgona pri vpadnem kotu, večjem od 14°. Kot, pri katerem začne vrednost koeficienta Cv upadati, se imenuje kritični vpadni kot (akrit). Na sliki 2.8 je prikazana odvisnost koeficienta upora Cu v odvisnosti od vpadnega kota a za profil NACA 2412. Koeficient upora nikoli ne zavzame negativne vrednosti, saj sila upora vedno deluje tako, da se gibanju upira. Vrednost koeficienta Cu tudi ne doseže vrednosti 0, kar bi pomenilo, da profil (telo) nima upora. Poteka grafov na slikah 2.7 in 2.8 sta bila dobljena eksperimentalno in veljata samo za profil NACA 2412. Pri dvodimenzijsko podanih koeficientih Cv in Cu je povsem enako, dodatno se poda še odvisnost od hitrosti, izraženo v Machovem številu. Profil NACA 2412 je primer t. i. nesimetričnega profila. To poleg dimenzijske nesimetrije profila pomeni, da koeficienta vzgona in upora pri enako velikih vendar nasprotno predznačenih vpadnih kotih nista enaka. Simetrični profili imajo v nasprotju z nesimetričnimi profili koeficienta vzgona in upora pri enako velikih vendar nasprotno predznačenih vpadnih kotih enaka. Takšni profili imajo pri vpadnem kotu 0 tudi koeficient vzgona enak nič. Simetrični profili so običajno uporabljeni za stabilizacijske in krmilne površine, zato potrebujemo tudi podatke za večja območja vpadnih kotov, saj odklon krmilnih površin lahko dosežejo razmeroma velike vpadne kote (±25°). 2.5 Aerodinamika letala 41 2.5.3 Aerodinamične razmere na sestavnih delih V razdelku 2.8.1 smo ugotovili, da je bistveno primerneje, če je letalo iz aerodinamičnega stališča sestavljeno iz več glavnih sestavnih delov. Razmere na levi in desni strani letala v splošnem niso enake, zato je letalo aerodinamično opisano s še več sestavnimi deli, razdeljenimi na tiste na levi in tiste na desni strani. Opisi razmer se nanašajo na prijemališča sil, saj so celotni prispevki sil ter navorov sestavnih delov združeni v prijemališčih sil. V nadaljevanju bomo pokazali opis razmer na krilu in odklonski krmilni površini. Povsem enak opis je potreben za vsak sestavni del letala. Krilo je primer fiksnega sestavnega dela, zakrilce pa gibljivega sestavnega dela. Ko letalo zavija, se mu v najsplošnejšem primeru spreminjajo vse tri kotne hitrosti ? , q in r. Letalo se mora najprej zavrteti okrog osi x z neko spremenljivo kotno hitrostjo p za kot ?. Takšna lega omogoča letalu zavijanje. Letalo se tako lahko začne vrteti okrog osi z z neko hitrostjo r in s tem se mu spreminja kot ?. Ob tem se letalu, sicer malo, spremeni tudi višina leta, kar je povezano s kotno hitrostjo q in spremembo kota 6. Da se letalo lahko zavrti okrog osi x, mora ustvariti različno veliki sili vzgona na levi in desni polovici krila, da letalo spremeni smer leta v dvigovanje, mora višinsko krmilo ustvariti ustrezno spremembo vzgona. Za vsako spremembo načina leta je potrebno ustvariti ustrezno spremembo aerodinamičnih sil in s tem navorov, ki omogočijo doseči željen način leta (zavijanje, dvigovanje ...). Ko je željen način leta dosežen, ga je potrebno tudi obdržati tj. ustvariti novo ravnovesje aerodinamičnih sil in navorov. V nadaljevanju bomo skušali aerodinamične sile na dveh primerih opisati. Slika 2.9 prikazuje razmere na desni polovici krila letala pri vrtenju letala okrog osi x. Masno težišče letala je označeno s T, prijemališče aerodinamičnih sil desnega krila pa s Pkd. Skupna hitrost gibanja prijemališča aerodinamičnih sil je vektorska vsota hitrosti gibanja masnega težišča letala in prispevkov zaradi rotacije. Prispevki zaradi rotacije so produkti kotne hitrosti in pripadajoče ročice. Za prijemališče sil smatramo 42 2 Nelinearni matematični model letala točko, kjer prijemlje aerodinamična rezultanta sil posameznega dela. Za razmere, ki so prikazane na sliki 2.9, lahko zapišemo enačbi 2.70 in 2.71: Slika 2.9: Vrtenje letala okrog osi x in razmere na desni polovici krila Slika 2.10: Vrtenje letala okrog osi y in razmere na desni polovici krila Slika 2.10 prikazuje razmere na desni polovici krila pri vrtenju letala okrog osi y. Oznake na sliki so enake kot oznake v prejšnjem primeru, spremenjen je le pogled opazovanja. Prispevke zaradi rotacije podajata enačbi 2.72 in 2.73: 2.5 Aerodinamika letala 43 Slika 2.11 prikazuje razmere na desni polovici krila pri vrtenju letala okrog osi z. Prispevke zaradi rotacije podajata enačbi 2.74 in 2.75: Slika 2.11: Vrtenje letala okrog osi z in razmere na desni polovici krila Opozoriti velja, da smo v enačbah od 2.70 do 2.75 upoštevali razdalje R kot pozitivne. Tako smo s pomočjo predznakov prispevke hitrosti smiselno orientirali glede na koordinatni sistem letala. Poudariti velja, da se med letom lega prijemališč aerodinamičnih sil spreminja in lahko se zgodi, da v enačbah opisani prispevki hitrosti niso pravilno predznačeni, tj. napačno orientirani v koordinatnem sistemu letala. Zato je bolje razdalje R upoštevati kot predznačene in orientirane v koordinatnem sistemu letala. Na ta način dosežemo, da če se lega prijemališča aerodinamičnih sil spreminja, se prispevki rotacijskih hitrosti pravilno prištejejo k skupni hitrosti. Komponente dejanskih translacijskih hitrosti prijemališča aerodinamičnih sil na desni polovici krila so torej: V^^VcosacosP-qR^ -rRyr, (2.76) Vykd=Vsinfi + pR2p +rRxr, (2.77) VM=Vsmacosfi + pR -qRxq. (2.78) 44 2 Nelinearni matematični model letala Vpadni kot a desne polovice krila je tako: skupna sila vzgona in upora desne polovice krila pa je: V enačbah 2.80 in 2.81 pomeni Fvkd silo vzgona desne polovice krila, Fukd silo upora desne polovice krila, Skd je ploščina desne polovice krila, ? je gostota zraka, Cvkd koeficient vzgona desne polovice krila in CUkd koeficient upora desne polovice krila. Razmere na levi polovici krila pri vrtenju okrog osi x opišeta naslednji enačbi: Razmere na levi polovici krila pri vrtenju okrog osi^ opišeta naslednji enačbi: Razmere na levi polovici krila pri vrtenju okrog osi z opišeta naslednji enačbi: Preostale enačbe, ki opisujejo razmere na levi polovici krila so: 2.5 Aerodinamika letala 45 Vpadni kot a leve polovice krila je: skupna sila vzgona in upora leve polovice krila pa je: *?-, = CA«l,)sAV*,+V*,+K\ P-«) F,„ = C,„(at,)St, ^*<+V>V'™). p.93) Iz enačb od 2.70 do 2.93 se vidi, da razmere na levi in desni polovici krila niso enake, zato je nujno potrebno ločiti opis letala po sestavnih delih. V enačbah, ki smo jih uporabili za opis razmer na krilu, indeks d pomeni desno, indeks / pa levo. Indeks k pomeni nanašanje na krilo, indeksi x, y in z pa poudarjajo smeri v koordinatnem sistemu. Primer gibljivega sestavnega dela je krilce. Z odkloni krilc se spreminja vpadni kot in s tem tudi vzgon. Podobno kot velja za krilo, in to smo dokazali, tudi za krilca velja, da razmere na levi in desni strani niso enake. V nadaljevanju bomo z enačbami opisali razmere na levi in desni strani krilc in ob tem v obravnavo uvedli tudi odklone krmilnih površin. Tudi v tem primeru bomo vso obravnavo strnili na prijemališče aerodinamičnih sil. Najprej bomo opisali razmere na desni krmilni površini. Za razmere, ki so prikazane na sliki 2.12, lahko zapišemo enačbi 2.94 in 2.95: vyp=pR,P, (2.94) v,P=pRyp. (2.95) 46 2 Nelinearni matematični model letala Slika 2.12: Vrtenje letala okrog osi x in razmere na desni krmilni površini Slika 2.13: Vrtenje letala okrog osi y in razmere na desni krmilni površini Prispevke zaradi rotacije podajata enačbi 2.96 in 2.97: Slika 2.13 prikazuje razmere na desni krmilni površini pri vrtenju letala okrog osi y. Oznake na sliki so enake kot oznake v prejšnjem primeru, spremenjen je le pogled na sliki. 2.5 Aerodinamika letala 47 Slika 2.14 prikazuje razmere na desni polovici krila pri vrtenju letala okrog osi z. Prispevke na krmilno površino zaradi rotacije podajata enačbi 2.98 in 2.99: -rR„, (2.98) (2.99) Slika 2.14: Vrtenje letala okrog osi z in razmere na desni krmilni površini Tudi v tem primeru velja opozoriti, da smo v enačbah od 2.94 do 2.99 upoštevali razdalje R kot pozitivne. Tako smo s pomočjo predznakov prispevke hitrosti smiselno orientirali glede na koordinatni sistem letala. Se posebno zaradi odklonov krmilne površine se lega prijemališča aerodinamičnih sil spreminja. Zato velja posebno pozornost nameniti sestavi enačb, saj se morajo prispevki zaradi rotacijskih hitrosti v vseh položajih pravilno prištevati skupni hitrosti. Tudi v tem primeru je najbolje predznačiti razdalje glede na odklon. Pri krmilnih površinah, ki imajo odklone, je potrebno posebno pozornost nameniti legi prijemališča sil. Ta lega se spreminja iz vsaj dveh razlogov. Zaradi aerodinamičnih lastnosti (vpadnega kota) in zaradi odklona krmila. Ustrezne spremembe razdalj R pri določanju velikosti prispevkov hitrosti je zato potrebno posebej natančno določiti. Na ta način zajamemo tudi, kot bomo videli kasneje, navore, ki se pojavijo zaradi odklonov krmilnih površin. Komponente dejanskih translacijskih hitrosti prijemališča aerodinamičnih sil na desni krmilni površini (aileronu) so torej: 48 2 Nelinearni matematični model letala Vpadni kot a desne krmilne površine je tako: skupna sila vzgona in upora desne krmilne površine pa je: V enačbah 2.104 in 2.105 je Fvad sila vzgona desnega krilca (ailerona), Fuad sila upora desnega krilca, Sad je ploščina desnega krilca, p je gostota zraka, Cvad koeficient vzgona desnega krilca in Cuad koeficient upora desnega krilca. Razmere na levem krilcu pri vrtenju okrog osi x opišeta naslednji enačbi: Razmere na levem krilcu pri vrtenju okrog osi y opišeta naslednji enačbi: Razmere na levem krilcu pri vrtenju okrog osi z opišeta naslednji enačbi: 2.5 Aerodinamika letala 49 Preostale enačbe, ki opisujejo razmere na levem krilcu so: V^ = V cos a cos P - qRzq + rRyr, (2.112) Vyal=Vsin/3 + pRzp-rRxr, (2.113) Vzal = Vsinacosj3-pRyp-qRxq. (2.114) Vpadni kot a desnega krilca je tako: aal = arctan skupni sili vzgona in upora desnega krilca sta: Fua! = Cual(aal +Sal)Sa!PtrL+Vr+V^- (2.117) V enačbah, ki smo jih uporabili za opis razmer na krilu, indeks d pomeni desno, indeks / pa levo. Indeks a pomeni nanašanje na aileron (krilce), indeksi x, y in z poudarjajo smeri v koordinatnem sistemu. Zaradi splošnosti smo podali le dva primera. Pri postopku opisa aerodinamičnih sil sestavnih delov je potrebno paziti na pravilno upoštevanje prispevkov rotacijskih hitrosti v vseh položajih. Za sestavne dele, katerih aerodinamične sile so odvisne od vpadnega kota ?, velja podoben postopek. Razlika je v izračunu popravljenega vpadnega kota ?, ki se izračuna po enačbi 2.3. V tem primeru tudi sila vzgona deluje v ± smeri os y, medtem ko ima sila upora vedno smer nasprotovanju gibanja. Pri gibljivih krmilnih površinah je potrebno upoštevati še odklone krmilnih površin. V tem razdelku smo podali le osnovno idejo k pristopu opisa sestavnih delov letala. Natančnost vseh zajetih lastnosti je odvisna od zahtev po natančnosti matematičnega modela. Tudi zunanjih vplivov nismo zajeli v obravnavo. Vpadni kot je odvisen od vetra in to lahko upoštevamo v komponentah hitrosti vx, vy in vz vsakega sestavnega dela. Seveda mora biti hitrost vetra izražena v koordinatnem sistemu letala. 50 2 Nelinearni matematični model letala 2.5.4 Aerodinamična razultanta sil in navorov V podpoglavju 2.5.3 smo zajeli vse vplive, ki pomembneje vplivajo na komponente hitrosti v smeri osi koordinatnega sistema letala. Cilj določanja kotnih hitrosti in hitrosti težišča letala je določiti vpadne kote za vsak posamezni del letala. S pomočjo vpadnega kota vsakega sestavnega dela se preko dvodimenzijskih grafov na slikah 2.5 in 2.6 oziroma enodimenzijskih grafov na slikah 2.7 in 2.8 določijo koeficienti Cv in Cu za profil vsakega od sestavnih delov letala. Ko sta znana koeficienta vzgona in upora, se izračunata sili vzgona in upora za vsak sestavni del letala posebej. V enačbe gibanja vstopajo zunanje sile in navori, ki delujejo na letalo. Aerodinamične sile, ki delujejo na letalo, to so sile vzgona in upora, je potrebno razstaviti na komponente v koordinatnem sistemu letala. Prijemališča vzgona in upora glavnih sestavnih delov letala imajo vsak svoje koordinate v koordinatnem sistemu letala, kar pomeni, da so prostorsko razporejeni. Pri razstavljanju sil vzgona in upora na komponente v smereh osi koordinatnega sistema lahko navidezno premaknemo koordinatni sistem v prijemališča sestavnih delov letala. Na ta način je moč komponente sil razstaviti nekoliko nazorneje, sam premik koordinatnega sistema pa na komponente sil ne vpliva. Na sliki 2.15 je prikazan način razstavitve sil vzgona in upora na krilu tj. fiksnem sestavnem delu. Slika 2.16 prikazuje razstavitev sil vzgona in upora na gibljivem sestavnem delu. Na teh dveh slikah gre torej za vzporedno premaknjen koordinatni sistem v prijemališča sil glavnih sestavnih delov letala in ne za več različnih koordinatnih sistemov. Komponente tako razstavljenih sil potem vstopajo v enačbe gibanja. Koordinatni sistem letala se giblje skupaj z letalom in zato je smiselno sile razstaviti v tem koordinatnem sistemu. Ker je glavnih sestavnih delov letala več (desna in leva polovica krilo, desno in levo zakrilce ...) in na vsak sestavni del delujeta sili vzgona in upora, je skupno število razstavljenih komponent v koordinatnem sistemu letala lahko zelo veliko. Kot zgled bomo zopet pokazali razstavljanje zgolj na dveh primerih. Za druge sestavne dele je postopek povsem enak. Koordinatni sistem letala je definiran skupno z nekaterimi veličinami na sliki 2.2. 2.5 Aerodinamika letala 51 Na sliki 2.15 so prikazane razmere na krilu (desno ali levo). Sila vzgona deluje pravokotno na gibanje letala, sila upora pa v smeri gibanja letala, in sicer v nasprotni smeri gibanja. Na sliki 2.15 gre za vpadni kot letala a in ne za vpadni kot leve oziroma desne polovice krila, saj ima koordinatni sistem letala izhodišče v težišču letala. Smer gibanja letala je označena z V in ker je vpadni kot letala a, je kot med negativnim delom osi z in silo vzgona tudi a. Kot, ki ga oklepata negativni del osi x in sila upora, pa je prav tako a. Enačbe od 2.118 do 2.125 opisujejo razstavljanje sil vzgona in upora desne in leve polovice krila na komponente v smeri x in z. Pri teh enačbah velja opozoriti, da so vsi faktorji enačb funkcije vpadnega kota. Tako sili vzgona in upora kot sin(a) so odvisni od vpadnega kota a. Še več. Z negativnim vpadnim kotom sila vzgona spremeni smer delovanja (grafi na slikah od 2.5 do 2.8), sin(a) pa je takrat negativna vrednost. Z enačbami od 2.118 do 2.125 pravilno razstavimo sile vzgona in upora v vseh režimih leta. Dokaz je podan v literaturi [8]. Slika 2.15: Razstavljeni sili vzgona in upora na krilu Desna polovica krila: Fukxd=-Fukdcosa, (2.118) Fukzd=-Fukdsina, (2.119) Fvkxd=Fvkdsina, (2.120) Fvkzd=-Fvkdcosa. (2.121) 52 2 Nelinearni matematični model letala Leva polovica krila: Slika 2.16 prikazuje razmere na desni ali levi krmilni površini, v obravnavanem primeru je to krilce. Krmilna površina je gibljiva, njen kot odklona je določen z odklonom 8a. Ker sila vzgona deluje vedno pravokotno na smer gibanja, sila upora pa v nasprotni smeri gibanja, odklon krmilne površine ne vpliva na smer teh dveh sil (pač pa na njuno velikost). Letalo ima vpadni kot a in zato je koordinatni sistem letala zasukan glede na hitrost leta za kot a. Iz povedanega ter iz slike 2.16 sledi, da odklon krmilnih površin nima neposrednega vpliva pri razstavljanju sil vzgona in upora krmilnih površin na komponente koordinatnega sistema letala. Enačbe, ki opisujejo razstavljanje sil vzgona in upora krmilnih površin, so enačbe od 2.126 do 2.133. Tudi tu velja, da enačbe pravilno opisujejo razstavljanje sil na komponente pri vseh režimih letenja. Dokaz je podan v literaturi [8]. Slika 2.16: Razstavljeni sili vzgona in upora na gibljivem sestavnem delu (krilce) Detajl A 2.5 Aerodinamika letala 53 Desna krmilna površina: Leva krmilna površina: (2.130) (2.131) (2.132) (2.133) Sile, ki delujejo na letalo, so poleg aerodinamičnih še druge, vendar njihov pomen nastopi šele v enačbah gibanja. Cilj aerodinamičnega opisa letala je določiti sile, ki delujejo na letalo zaradi delovanja aerodinamičnih zakonov. Sile, ki jih z omenjenimi zakoni lahko določimo, se razstavijo na komponente v koordinatnem sistemu letala in to je končni rezultat obravnavanja letala s stališča aerodinamike. Združene komponente obravnavanih sil vzgona in upora v koordinatnem sistemu letala podajata enačbi 2.134 in 2.135: Poleg komponent sil po enačbah 2.134 in 2.135 so v splošnem prisotne tudi komponente v smeri Fy. Vsaka sila, ki ima prijemališče na neki razdalji (ročici) od vrtišča, povzroča navor. Sili vzgona in upora sestavnih delov letala nimata prijemališča v težišču letala in zato povzročata navore. Kako določiti sili vzgona in upora za vsak glavni sestavni del letala smo že pokazali, v enačbah 2.134 in 2.135 pa so združene komponente sil vzgona in upora vseh glavnih sestavnih delov letala v koordinatnem sistemu letala. 54 2 Nelinearni matematični model letala Ker vsaka od komponent sil deluje na neki razdalji od vrtišča (težišča letala), tudi vsaka od komponent sil povzroča navor. Vsaka od komponent sil je vzporedna z eno osjo koordinatnega sistema, zato lahko v splošnem vsaka od komponent sil povzroča navor okrog ostalih dveh osi. To velja, če komponenta ne leži v ravnini, ki jo določata preostali dve osi koordinatnega sistema. Definicije navorov so podane na sliki 2.2. Tudi navori so izraženi v koordinatnem sistemu letala. V tem primeru bomo podali le končne enačbe, ki povzemajo prispevke vseh navorov. Postopek določanja navorov, ki jih povzročajo aerodinamične sile sestavnih delov, je enostaven, zahteva le pazljivost pri določanju predznakov navorov in vrste navorov, ki jih povzročajo sile. Enačbe od 2.136 do 2.138 so že končen rezultat za navore, ki jih povzročajo vse aerodinamične sile, izpeljane v prejšnjih poglavjih: Indeksi v enačbah od 2.136 do 2.138 pomenijo sledeče: prva črka iz nabora x, y, z, pomeni, v katero smer delujejo sile, ki povzročajo navor, druga črka iz nabora k ali ? pomeni krilo ali aileron (krilce) in zadnja črka pomeni desno d ali levo /. 2.6 Gravitacijska sila 55 2.6 Gravitacijska sila Komponente gravitacijske sile v koordinatnem sistemu letala podaja spodnja enačba: Teža letala je mg, ? je kot prevračanja {pitch) in ? je kot valjanja (roll) letala. Razumljivo je, da je za določitev komponent sile teže v koordinatnem sistemu letala potrebno poznati lego letala relativno glede na Zemljo. Kota ? in ? sta podana v fiksnem koordinatnem sistemu Zemlje in v enačbi 2.139, kjer nastopata, skupaj s kotnimi funkcijami tvorijo transformacijo sile teže iz koordinatnega sistema Zemlje v koordinatni sistem letala. Pri izpeljavi enačbe 2.139 smo si pomagali s transformacijo, ki jo podaja enačba 2.9. Kot je bilo poudarjeno pri obravnavi enačb gibanja v podpoglavju 2.3, je potrebno vse zunanje sile, ki delujejo na letalo, izraziti v koordinatnem sistemu letala. Komponente sile teže po oseh v koordinatnem sistemu letala so označene v enačbi 2.139 s Fxg, Fyg in Fzg. Podobno je potrebno izraziti tudi navore, ki jih povzročajo zunanje sile v koordinatnem sistemu letala. Sila teže prijemlje v masnem težišču letala in ker se vsaka rotacija letala vrši ravno okrog težišča letala, komponente sile teže zato nimajo ročic in ne povzročajo navorov. Sila teže tako ne povzroča nobenega navora. Po sliki 2.1 se izhodi iz blokov aerodinamike letala, gravitacije ter pogona seštejejo in njihova vsota vstopa v enačbe gibanja. Poudariti velja, da se ločeno seštejejo komponente sil in komponente navorov. Izhod iz bloka gravitacije so tako samo komponente sile teže, navorov zaradi omenjenih vzrokov ni. Natančnejši podatki o transformaciji med koordinatnim sistemom Zemlje in koordinatnim sistemom letala so podani v podpoglavju 2.2. 56 2 Nelinearni matematični model letala 2.7 Pogon Eden osnovnih postulatov fizike je, da vsaka akcija povzroči reakcijo. Iz stališča pogona to pomeni, da mora pogonska naprava, ki povzroča potisk (silo), na nek način povzročiti pospešeno gibanje medija. Če pogonska naprava povzroči takšno pospešeno gibanje medija v eno smer, občuti silo v nasprotni smeri. Letalski propeler tako pospešuje zrak, ki vpada na njegove krake. Pospešuje ga v smeri proti zadku letala in zato na propeler deluje sila v nasprotni smeri pospešenega zraka. Povzročena sila se imenuje potisna sila ali potisk. V kolikor bi na delovanje propelerja pogledali natančneje, bi videli, da propeler pravzaprav poveča hitrost vpadajočega zraka vvhodni tok za ?v. Iz dejstva, da se hitrost na propeler vpadajočega zraka poveča in ob upoštevanju zakona o ohranitvi mase, sledi ugotovitev, da se mora presek vpadajočega toka zraka za kraki propelerja zmanjšati. Ob tem zanemarimo stiskanje zraka. Razmere so ponazorjene na sliki 2.17. ^vhodni tok " ~ - - Vvhodni tok + AV ^ ? ? k. ? Slika 2.17: Delovanje propelerja Pogled na propeler iz strani, kot ga prikazuje slika 2.17, pokaže spremembo preseka toka zraka. Poleg zmanjšanja preseka toka zraka za propelerjem slednji povzroča tudi zavijanje toka zraka (vrtinec). Obnašanje vrtinca za propelerjem je v glavnem odvisno od kotne hitrosti propelerja. Posledica zavijanja toka zraka je zmanjšanje za ustvarjanje potiska razpoložljive energije. Običajno za dobro izdelane propelerje 2.7 Pogon 57 velja, da zaradi omenjenega učinka izgubijo od 1 % do 5 % razpoložljive moči. Zaradi vrtinca, ki ga povzroča delovanje propelerja, nastaja nesimetričen zračni tok, ki lahko povzroča neželjene učinke na sestavnih delih letala za propelerjem (zadevanje ob repne površine letala). Potisk propelerja je odvisen od prostornine zraka, ki ga propeler pospeši v enoti časa. Potisk je odvisen še od velikosti pospeška in gostote zraka. Za hitrost vpadajočega zraka bomo v nadaljnji obravnavi privzeli, da je enaka hitrosti gibanja letala V. Na osnovi fizikalnih izpeljav lahko zapišemo enačbo za izračun potiska: kjer je Fpog potisna sila, D premer propelerja, V hitrost vpadajočega zraka (je enaka hitrosti letala), A v povečanje hitrosti (zaradi propelerja) in p gostota zraka. Iz enačbe 2.140 sledi, da je potisk odvisen od kvadrata premera propelerja in da je proporcialno odvisen od gostote zraka. Povečanje hitrosti toka zraka Av je odvisno od hitrosti vhodnega zraka, zato v splošnem ni res, da se s povečanjem hitrosti V poveča tudi potisk. Bolj pravilna ugotovitev je, da je povečanje potiska odvisno od prirastka hitrosti Av. Za propeler fiksnega premera, ki obratuje v zraku konstantne gostote, hitrost vpadajočega zraka pa je konstantna, je potisk odvisen zgolj od povečanja hitrosti toka zraka. Moč je definirana kot sila, pomnožena z razdaljo v enoti časa. Če označimo razpoložljiv potisk s Fpog in hitrost, s katero letalo leti z V, lahko izračunamo pogonsko moč Pa, ki ji rečemo tudi razpoložljiva moč. Z uporabo relacije: Enačba 2.141 povezuje potisk in moč, ki proizvaja potisk. Cilj je proizvesti čim več potiska s čim manj moči. Ta zahteva privede do pojma izkoristka. Izkoristek propelerja ? je definiran z razmerjem razpoložljive moči Pa in močjo motorja Pe: 58 2 Nelinearni matematični model letala Taka definicija izkoristka je odvisna od hitrosti F, kar pomeni, da se izkoristek približuje vrednosti nič, če gre hitrost V proti nič. To pa zato, ker potisk ne more biti neskončno velik (enačba 2.142). Takšna definicija izkoristka očitno ni uporabna za statične razmere, kar pa niti ni najbolj pomembno. Pomembneje je optimirati izkoristek propelerja pri delovni hitrosti oziroma hitrosti križarjenja letala. Če zanemarimo izgube, je moč, ki jo absorbira propeler, enaka: Iz enačbe 2.144 lahko izrazimo izkoristek ? in grafično prikažemo odvisnost izkoristka od podanih vrednosti moči P, premera propelerja D, gostote ? in hitrosti leta V. Izračunane karakteristike bi lahko dosegli le z idealnimi propelerji, ki ne bi povzročali induciranega upora in drugih neželjenih vplivov. V realnosti je izkoristek za približno 15 % nižji od izračunanih vrednosti. Le visoko učinkoviti propelerji, ki delujejo z majhno obremenitvijo in ugodnim razmerjem P/D2, se približajo teoretični vrednosti. Za določeno moč P je vedno najprimernejša uporaba propelerja z največjim možnim (dopustnim) premerom D. Uporabo propelerjev z večjim premerom običajno omejujejo mehanski in konstrukcijski vzroki (višina podvozja) ali aerodinamične zahteve (hitrost oboda propelerja). Iz grafa na sliki 2.18 izhaja odgovor, zakaj so letala, ki jih poganja človek, ali letala na pogon s sončno energijo, opremljena z velikimi in počasi se vrtečimi propelerji. Takšni propelerji zajamejo veliko prostornino zraka in ga le malo pospešijo in tako dosegajo največje učinkovitosti in izkoristke. Na sliki 2.18 so prikazane odvisnosti izkoristka propelerja od hitrosti leta in razmerja moči motorja ter kvardata premera propelerja. Graf potrjuje ugotovitve o izkoristku propelerja. Pri dani moči motorja bo imel propeler tem večji izkoristek čim večji premer bo imel. Prikazane odvisnosti izkoristkov na sliki 2.18 so dobljene 2.7 Pogon 59 iz enačbe 2.144. Ta enačba ni analitično rešljiva za izkoristek ?, zato je bil graf dobljen s pomočjo numeričnega izračuna z metodo bisekcije. 9265 Slika 2.18: Odvisnost izkoristka propelerja od hitrosti leta in razmerja P/D2 (p = konstanta) Prikazan opis delovanja propelerja je zajemal najosnovnejše enačbe. Teorija, ki je potrebna za podrobnejši opis, je bistveno zahtevnejša, za prvi približek pa nam zadostuje podan opis. V opisu smo seveda predpostavili konstantno gostoto zraka, kar pri večjih višinah nikakor ne drži. V opisu pogona nismo zajeli vplivov kotov namestitve motorja s propelerjem zaradi protimomenta vrtečega propelerja. Poleg tega so nekatere v enačbah uporabljene spremenljivke nepoznane in jim je tudi težko oceniti vrednosti. Za simulacijske namene prikazan opis pogona ni najprimernejši, osvetli pa marsikatero koristno dejstvo. Prav tako nismo obravnavali reaktivnega pogona. Oboje, model pogona s propelerjem in reaktivni pogon bomo natačneje prikazali v sklopu predstavitve aplikacije SIMDLAV, kjer sta bila oba modela pogonov tudi realizirana. 60 2 Nelinearni matematični model letala 2.8 Veter V poglavju 2.3 izpeljane enačbe gibanja veljajo le, če so izpolnjene štiri zahteve iz Priloge A, podpoglavja A.4. Razlaga teh zahtev pomeni tudi, da se koordinatni sistem letala ne sme vrteti in ima lahko le kvečjemu konstantne translacijske hitrosti v inercialnem koordinatnem sistemu. Z ozirom na zahteve 3 in 4 podpoglavja A.4 lahko izberemo koordinatni sistem, ki je fiksen glede na okoliško atmosfero, če veter piha s konstantno hitrostjo Vveter = konst. V tem primeru komponente u, v in w, ki so komponente vektorja hitrosti V, izražajo hitrost letala glede na okoliško atmosfero. Če hitrost vetra, ki je izražena z vektorjem hitrosti Vveter, v posameznih časovnih intervalih, v katerih opazujemo gibanje letala, ni konstantna, ni mogoče fiksirati koordinatnega sistema glede na okoliško atmosfero. To se dogaja pri vzletanju in pristajanju letal, ker se hitrost vetra z višino spreminja. Za lažjo ponazoritev v nadaljevanju bomo zgolj v tem kontekstu uporabili indeks atmosfera, ki bo označeval hitrosti z ozirom na atmosfero v okolici, in indeks zemlja, ki bo označeval hitrosti z ozirom na Zemljo (zemeljski koordinatni sistem). Z vpeljavo teh dodatnih indeksov bomo v tem podpoglavju skušali jasneje razložiti vplive delovanja vetra na letalo. Z upoštevanjem teh indeksov lahko zapišemo novo povezavo med hitrostmi: oziroma z zapisom po komponentah hitrosti, 2.8 Veter 61 komponente vektorja hitrosti Vveter vzdolž osi letala. Enačbo za hitrost lahko sedaj zapišemo: Če slednjo enačbo preoblikujemo, -^--ftxV^, (2.150) dt m lahko posamezne komponente hitrosti vzdolž osi letala zapišemo: F "zemlja = ~^ ~ Ozemlja + ™ zemlja » {2.\S\) Fy V zemlja = + P™ zemlja ~ ^zemlja > (2-152) F Wzemlja =~ PV zemlja + W zemlja ? (2.153) Za izračun aerodinamičnih sil in momentov je nujno potrebno poznati vrednost dejanske hitrosti letala z ozirom na okoliško atmosfero Vatmosfera kot tudi vpadna kota ? in ?. Podobno kot smo podali enačbe od 2.24 do 2.26, lahko z uporabo novih relacij zapišemo: Ktmosfera = — (Fx cos a cos /? + F sin J3 + F2 sin a cos p)+ m -(veter '^veter + Keter )cOSQf COS/? + (pW^ - Wwto, + V^ ) Sffi /? + (2.154) - tVv^ - ?"veter + Keter )*™ " COS /3 , 62 2 Nelinearni matematični model letala Na tem mestu naj takoj opozorimo, da enačbe 2.1 do 2.3 še vedno veljajo, v njih je potrebno zamenjati le V z Vatmosfera.Razliko med enačbami od 2.154 do 2.156 in enačbami od 2.24 do 2.26 lahko ponazorimo z dodatnimi členi, ki jih vnaša veter h komponentam sil, ki delujejo na letalo. Če zapišemo te komponente dobimo: kjer komponente Xveter, Yveter in Zveter predstavljajo "popravke" sil, ki delujejo na letalo v smereh osi glede na atmosfero, ki ne miruje. Komponente sil vetra podajajo spodnje enačbe: Zaradi dodatnih prispevkov sil, ki jih opisujejo enačbe od 2.160 do 2.162, se odzivi hitrosti leta V in vpadnih kotov a ter ? v atmosferi, ki ne miruje, razlikujejo kot odzivi v atmosferi, ki miruje. Zaradi gibanja zračnih mas, delujejo na letalo, ki leti v teh zračnih masah, sile. Te sile stabilizirajo letalo v smer leta, ki zagotavlja, da je kot bočnega drsenja enak 0. Delovanje vetra na letalo ima za neposredno posledico le sile, ki vstopajo v enačbe gibanja. Zaradi teh sil sta dugačna vpadna kota a in ? ter hitrost leta V (2.154, 2.155 in 2.156). Navori, ki zavrtijo letalo v optimalno smer leta pa so v osnovi posledica spremenjenih vpadnih kotov a, ? in hitrosti leta V. 2.9 Atmosfera 63 2.9 Atmosfera Za rešitev enačb stanj so nujno potrebni še nekateri drugi podatki, ki jih bomo omenili v tem podpoglavju. Za izračun teže letala potrebujemo težni pospešek g, ki je odvisen od višine leta, za izračun aerodinamičnih sil pa moramo poznati gostoto zraka p, ki je odvisna od zračnega tlaka pz in temperature T. Pri določanju osnovnih lastnosti atmosfere smo izhajali iz mednarodnega standardnega modela atmosfere ICAO [2]. Zaradi zajema atmosfere v splošnejši obliki bomo podali še nekatere druge lastnosti le-te. Temperatura T se v troposferi glede na mednarodni standardiziran model atmosfere po ICAO izračuna po enačbi: kjer je za temperaturo zraka na nadmorski višini 0 vzeta temperatura To = 288,15 K in temperaturni gradient troposfere X = -0.0065 Krn'1, h je nadmorska višina. Zračni tlak je odvisen od višine, kot podaja osnovna hidrostatična enačba 2.164. Predpostavimo, da lahko za zrak v atmosferi uporabimo zakon za idealne pline po enačbi 2.165: Po izenačenju enačb 2.164 in 2.165 ter zanemarjenju odvisnosti gravitacijskega pospeška g od višine dobimo: kjer je ps zračni tlak, g0 = 9,80665 ms 2 (težni pospešek na morski gladini), Ma je molska masa zraka in Ra =8314,32 JK-1kmol-1 (molska plinska konstanta). 64 2 Nelinearni matematični model letala Statični zračni tlak ps dobimo po integraciji enačbe 2.166: Enačbo 2.167 lahko zapišemo tudi v obliki: kjer je p0 = 101325Nm-2 (zračni tlak na morski gladini), R je specifična plinska konstanta (R = Ra/M0 = 287,05JK-1kg-1) in M0 = 28,9644kgkmol-1 je molska masa zraka na morski gladini. Pri izpeljavi enačbe 2.168 smo integrirali enačbo 2.166 pri konstantnem težnostnem pospešku. To pomeni, da bi dejansko morali zamenjati geometrično višino h z geopotencialno višino Hgeopot. Sicer je geometrična višina h nadmorska višina, geopotencialna višina Hgeopot pa je definirana z enačbo: (2.169) V naši obravnavi obeh višin zaradi manjhne razlike ne bomo posebej razlikovali. Ta poenostavitev je upravičena za simulacije na relativno nizkih višinah. V nadaljnji obravnavi bomo torej uporabljali oznako h za višino leta, zavedali pa se bomo majhne napake, ki jo storimo s to poenostavitvijo. Opozoriti velja, da smo pri obravnavi enačb gibanja za višino leta uporabljali simbol H, vendar povsem izven konteksta geopotencialne višine. Mišljena je zgolj nadmorska višina. 2.9 Atmosfera 65 Slika 2.19: Model temperature po ICAO Model tlaka po standardu ICAO Slika 2.20: Model tlaka po ICAO 66 2 Nelinearni matematični model letala Gravitacijski pospešek g izračunamo po enačbi: kjer je g0 = 9,80665 ms -2 (težni pospešek na morski gladini) in Rzemlje = 6371020 m (polmer Zemlje). Čeprav enačba 2.170 uporablja polmer Zemlje, so enačbe stanj od 2.24 do 2.35 zapisane za raven model Zemlje (ne upošteva ukrivljenosti). Enačba 2.170 povzema le odvisnost težnega pospeška od višine. Omenjenega ne gre spregledati. Slika 2.21: Odvisnost težnega pospeška ni linearna Gostoto zraka p izračunamo iz zračnega tlaka ps in temperature zraka T s pomočjo plinskega zakona za idealne pline po enačbi: 2.9 Atmosfera 67 Podajmo še izračune veličin, ki jih bomo pri naši obravnavi oziroma kasneje tako ali drugače srečali. Dinamični tlak se izračuna iz hitrosti zraka in gostote zraka. Je nujno potreben pri izračunu aerodinamičnih sli in sil pogona zaradi delovanja propelerja. Izračuna se po enačbi: Za letala, ki letijo z velikimi hitrostmi, je pomemben podatek Machovo število M. Machovo število se izračuna: kjer je a hitrost zvoka, ki se izračuna: Če uporabljamo podatke iz vetrovnikov, potem je potrebno upoštevati tudi t. i. dimenzijske efekte, ki prenesejo lastnosti modelov iz vetrovnikov na realne modele. V takih primerih je potrebno poznati Reynoldsevo število, ki se pogosto podaja z izračunom, kjer se upošteva srednja aerodinamična tetiva č. Izračun podaja enačba: Reynoldsevo število, izraženo na dolžinsko enoto je zato: V enačbi 2.176 je ?, koeficient dinamične viskoznosti, ki se izračuna z Sutherlandovo enačbo: 68 2 Nelinearni matematični model letala 2.10 Uravnoteženje modela letala V razdelkih od 2.1 do 2.9 je zajeto vse potrebno za zgraditev preprostega nelinearnega modela letala. V kolikor bi želeli model tudi simulacijsko preveriti, pa bi na tem mestu naleteli na težavo. Pred začetkom simulacije je nujno potrebno določiti začetne pogoje x(t = 0) tj. vrednosti spremenljivk stanj x ob času t = 0, vhode v sistem letala in vhodni vektor v sistem pogona upog. Izvajanje simulacije je pravzaprav ciklično reševanje enačb gibanja in te so diferencialne enačbe 1. reda. Poznani začetni pogoji so torej pogoj za rešitev teh enačb. Vhodi v simulacij ski model letala so odkloni krmilnih površin. Pred zagonom je potrebno poznati ali bolje rečeno določiti vrednosti omenjenim spremenljivkam. Ena od rešitev je, da jih izberemo poljubno. Takšna rešitev se zdi sicer preprosta, ni pa zelo verjetno, da je tudi uporabna. Če pri takšnem določanju spremenljivk stanj pogrešimo že pri eni spremenljivki stanja, so posledice lahko velike. V primeru, da določimo spremenljivko stanja ? različno od 0, bo to v simulaciji pomenilo rotacijo letala okrog osi x, podobno velja tudi za kotni hitrosti q in r. Če pogrešimo pri določanju Eulerjevih kotov to pomeni drugačno lego letala (relativno glede na Zemljo) kot bi želeli. Pogrešek pri določanju odklona krmil ali vrtljajev v sistem pogona povzroči drugačno nadaljevanje leta od želenega. Četudi vsem naštetim spremenljivkam dodelimo vrednost 0, gotovo naletimo na težave pri določanju hitrosti leta V, vpadnemu kotu a ter kotu bočnega drsenja ?. Prav slednji trije (V, a, ?) skoraj gotovo hkrati nimajo ali vsaj ni željeno, da bi imeli vrednost 0. Z določitvijo vrednosti vhodnim vektorjem uaero in upog zagotovimo nadaljevanje leta, torej let ob časih t > 0. Pred začetkom simulacije mora biti tako ustrezno določen celoten vektor spremenljivk stanj x ter vhodi uaero in upog. V primeru ko želimo, da bo letalo letelo v vseh ozirih naravnost, ne sme biti popolnoma nobenega pogreška pri določanju vektorja x ter vhodov uaero in upog, kar nadalje pomeni natančno določitev vseh komponent vektorjev x in uaero ter upog. Izvzete so le koordinate, ki določajo pozicijo letala. Omenjeni način določanja x, 2.10 Uravnoteženje modela letala 69 Uaero in upog gotovo ne more dati zadovoljivih rezultatov, zato je potrebno v proces uravnoteženja letala vključiti teoretične osnove skupaj z optimizacijskim postopkom. Uravnoteženje oziroma trimanje letala pomeni določiti pogoje, pod katerimi letalo ohranja uravnotežen let. Osnovno teoretično ozadje uravnoteženega leta bomo predstavili v nadaljevanju. Ponovno podajmo nelinearno enačbo stanj, ki opisuje dinamiko poljubnega togega telesa: (2.178) Enačbo 2.178 lahko podamo tudi v implicitni obliki: (2.179) kjer je x vektor stanj, u je vhodni vektor vseh vhodov (uaero in upog) in v vektor zunanjih motenj (veter). Ravnotežna točka časovno nespremenljivega sistema brez krmilnih vhodnih signalov, je definirana z: (2.180) kjer je i = 0 in u = 0 ali konstanten. Motenj vetra tu ne upoštevamo. Sistem je v mirovanju, če so vsi časovni odvodi enaki 0. Uravnotežen let je definiran kot pogoj, v katerem so vse spremenljivke, ki opisujejo gibanje, konstantne ali enake 0 in vsi pospeški enaki 0. Tej definiciji ustreza uravnotežen let naravnost (steady wings-level flight) in uravnoteženo zavijanje (steady turning flight). Pri tem smo predpostavili konstantno maso letala in uporabo enačb gibanja, za katere veljajo omejitve iz Priloge A. Če zanemarimo še spremembo gostote zraka glede na nadmorsko višino, potem lahko za uravnotežena leta smatramo tudi steady pull-up (push-over), kar pomeni konstantno prevračanje in steady roll, kar pomeni konstantno valjanje. Steady pull-up pomeni let, pri katerem se letalo vrti s konstantno kotno hitrostjo okrog osi y (prevračanje -pitch) oziroma dela "luping", steady roll pa pomeni let, pri katerem se letalo vrti s konstantno kotno hitrostjo okrog osi x (valjanje - roll) oziroma dela "sodček". Spremenljivke, ki opisujejo pozicijo letala v koordinatnem sistemu Zemlje xe, ye in H, ne tvorijo povratne zanke v enačbe gibanja, zato jih pri obravnavi uravnoteženih letov lahko izpustimo. Ostane 9 spremenljivk stanj v 70 2 Nelinearni matematični model letala enačbah, ki so bile izpeljane in veljajo za raven model Zemlje. Podane so z enačbo 2.181: (2.181) Naslednje zahteve določajo natančne pogoje za uravnotežene lete: Izpolnjeni pogoji p,q,r = 0 povzročijo, da so aerodinamični navori in navori zaradi delovanja pogona konstantni ali enaki 0. Podobno izpolnjeni pogoji V, ?, ?=0 povzročijo, da so aerodinamične sile konstantne ali enake 0. Tem zahtevam ustrezata tudi načina leta steady pull-up in steady roll. Kljub vsemu je koristno uravnotežiti letalo tudi za slednja načina leta, saj letalo in njegov sistem vodenja (avtopilot) nadzira letalo tudi v takšnih položajih. V ta namen moramo v uravnoteženih pogojih leta model letala linearizirati in pridobiti potrebne podatke za načrtovanje vodenja. Da bi zagotovili uravnotežen let, je potrebno rešiti sklop nelinearnih diferencialnih enačb, ki sledijo iz modela. Zaradi kompleksnih funkcijskih odvisnosti, ki sledijo iz modela, v splošnem teh enačb ni mogoče rešiti analitično. Zato je potrebno uporabiti numerični pristop, ki iterativno izboljšuje neodvisne spremenljivke, dokler ni dosežen kateri od kriterijev. Na ta način dobljena rešitev je približek, vendar se s čim ostreje postavljenimi kriteriji tem bolje približamo točni vrednosti. Toda rešitev ni enolična. Za primer uravnoteženega leta naravnost pri dani moči motorja obstaja rešitev za dve različni hitrosti leta V in dva vpadna kota a. Poznavanje obnašanja letala nam v takšnih primerih pomaga pri določitvi prave rešitve. Pred izvedbo postopka uravnoteženja je potrebno nekaterim spremenljivkam vrednosti določiti, druge pa določi algoritem za doseganje uravnoteženega leta. Glede na zasnovo modela letala in na njem osnovanem algoritmu uravnoteženja je 2.10 Uravnoteženje modela letala 71 potrebno uporabniku pred izvedbo postopka uravnoteženja določiti odklon krilc ?f in vrtljaje motorja n. Za preostale vhodne spremenljivkev splošnem ni mogoče določiti kakršnihkoli analitičnih pogojev. Te spremenljivke mora določiti numerični algoritem uravnoteženja. Tri spremenljivke stanj, ki določajo pozicijo letala (xe, ye, H) lahko začasno izključimo iz obravnave, ker je edina pomembna komponenta višina leta H, ki pa mora biti uporabniško določena. Za uravnotežen let naravnost morajo biti spremenljivke stanj ?, p, p, q, r enake 0, spremenljivka ? pa mora biti uporabniško določena. Nedoločene ostanejo le še spremenljivke V, a, ? in ?. Kot bočnega drsenja ? mora algoritem uravnoteženja določiti tako, da je sila Fy enaka 0. Preostanejo le še spremenljivke V, a in ? . V algoritem za uravnotežen let naravnost uporabniško določimo še hitrost V, s katero naj letalo leti, vrednosti spremenljivkam a in ? tako določi algoritem. Za preostale uravnotežene lete je potrebno uporabniško določiti druge spremenljivke stanj in spet druge določi algoritem. V pomoč algoritmom pri določanju vrednosti spremenljivk lahko za preostale tri načine leta {steady turning flight, steady pull-up, steady roll) uporabimo nekatere odvisnosti, ki jih lahko analitično opišemo. Več o teh odvisnostih je podano v [12]. Algoritem uravnoteženja določi pogoje leta z iskanjem ustreznega vektorja stanj x ter vhodnega vektorja Uaero in upog, za katere so odvodi spremenljivk stanj V,a, ?, p, q, r enaki nič. Skalama kriterijska funkcija, ki predstavlja kriterij pri določitvi ustreznega vektorja stanj x ter vhodnih vektorjev uaero in upog, je podana spodaj: (2.182) Konstanteso utežnostne konstante. Jedro algoritma uravnoteženja predstavlja minimizacijska funkcija. Pri realizaciji v programu Matlab smo uporabili funkcijo fminsearch. Algoritem uravnoteženja, ki je bil poenostavljeno predstavljen v tem podpoglavju, je zasnovan na podlagi algoritma uravnoteženja letala v FDC Toolbox [12]. 72 2 'Nelinearni matematični model letala 2.11 Linearizacija modela letala V kolikor bi želeli analitično izračunati prenosne funkcije nelinearnega modela letala, ki smo ga razvili skozi predhodne razdelke, bi nedvomno imeli vrsto težav. Zaradi načrtovanja vodenja ali analize stabilnosti potrebujemo model letala, zapisan v drugačni obliki. Zapisa s prenosnimi funkcijami ali v prostoru stanj sta primernejša. Na zgrajenem nelinearnem modelu lahko izvedemo postopek identifikacije, ki pa je dokaj zapleten in zahteva dobro poznavanje pristopov k identifikaciji. Tudi sicer se identifikacije poslužujemo v primerih, ko o sistemu, razen vhodno-izhodnih podatkov, ne vemo nič, ali imamo le malo drugih podatkov o sistemu. Nelinearni model letala pa v našem primeru imamo in poznamo njegovo zgradbo. Zato se v tem primeru raje poslužimo linearizacije. Nelinearni model letala sestavlja dvanajst diferencialnih enačb prvega reda, ki opisujejo gibanje letala. V namen linearizacije jih ponovno podajmo: /j =V = —\FxcosacosP + FvsinP + F2sinacosfn, (2.183) m y f2 =d = — (-Fxsina + Fz cosa)+ q-{pcosa + rsina)tanB, (2.184) Vmcos/3 f3 = P' = —(-Fxcosa sin p + Fy cos p - Fz sina sin /?)+ p sina - rcosa, (2.185) f4=P = PPpP2 + PpqP" + PprPr + Pqqq2 + Pqrqr +Pnr2 + P,L + PmM + PnN, (2.186) fs=q = QPPP2 + Q„pq + Qprpr + Qqqq2 + Qqrqr + Q„r2 + QtL + QmM + QnN, (2.187) f6=r = Rppp2+Rpqpq + Rprpr + Rqqq2+Rqrqr+Rrrr2+RlL + RmM + RnN, (2.188) , . q sin (p + r cos m f'=W= cosB ' <2189> f8=0 = qcos