P K I- S I- K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 26 (1998/1999) Številka 4 Strani 198-201
Marko Razpet:
NOŽIŠCNE KRIVULJE KROŽNICE
Ključne besede: matematika, praktično delo, nožišcne krivulje, Pasca-lov polž.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/26/1376-Razpet.pdf
© 1999 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
NOŽIŠČNE KRIVULJE KROŽNICE
Iz dane ravninske krivulje K lahko na različne načine naredimo nove krivulje, npr. z raztegi in zrcaljenji. Obstajajo pa tudi bolj zapleteni postopki pridobivanja krivulj. Ogledali si bomo nožiščne krivulje dane krožnice.
V splošnem pridemo do nožiščne krivulje Kp dane ravninske krivulje K tako, da najprej v ravnini te krivulje izberemo točko P. nato pa jo pravokotno projiciramo na vse tangente krivulje K. Množica vseh nožišč N, t.j. presečišč pravokotnic skozi P na vse tangente krivulje K. je nožiščna krivulja Kp krivulje K glede na pol P.
Premica ni zanimiva, saj je sama
sebi tangenta. Nožiščna "krivulja"
premice glede na katerokoli točko je
točka. Kaj pa nožiščna krivulja krož-
nice? V tem primeru so reči nekoliko
,.	...	Slika t. Nastanek nožiščne krivulje,
bolj zapletene, toda zanimivejše.
Problema se lotimo z analitičnimi orodji. Vzemimo v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy krožnico K s polmerom R in a središčem v točki S(R, 0). Ni težko najti njene enačbe x2 + y2 = 2Rt. Točko T na K podajmo s središčnim kotom ip (slika 2). Točka T ima očitno koordinati (/i(l + cos ip), R sin ip). Spomnimo se, da ima tangenta na krožnico x2 + y2 = 2Rx v točki T(io,i/o) enačbo xqx + y$y = R(x + j^o)- Ce vanjo vstavimo a;o = ii(l + cos ip) in y0 = i? siri tp, dobimo naslednji rezultat: tangenta i na /C v točki T je premica z enačbo rrcos^ + ysin^ = - R( 1 -1- cos (¿j).
Naj bo točka F(—a, 0) pol, glede na katerega bomo iskali nožiščno krivuljo K.p. Zaradi simetrije krožnice lahko brez škode za spi oš nos t vzamemo P čisto poljubno, za lažji račun jo postavimo kar na abscisno os. Skozi P narišemo pravokotnico n na tangento t. Enačba premice n je y = = (2: + a) tan ¡p oz. (x + a) sin ip — y cos <p = 0. Druga oblika je splošnejša, ker dopušča tudi, da je ^ — ±7r/2, česar prva oblika ne prenese. Vse tangente na K dobimo, ko kot. <p preteče interval [0, 2tt).
Slika 2. Nožiščna krivulja krožnice. Nožišče N ima koordinati y), kjer sta x in y rešitvi sistema enačb:
icos<p + i/sint£> = /£(1 + cosi^) x sin <+> — y cos ip — —a sin <p
Sistem rešimo brez posebnih težav in dobimo:
x = ((H + a) cos ip + R) cos <p — a y = ({R + a) cos ip + R) sin tp
Gornji enačbi podajata iskano krivuljo v parametrični obliki. Kot ip igra vlogo parametra. Ko ta teče po intervalu [0, 2tt), točka N(x,y) ravno enkrat obhodi vso krivuljo. Točki 0(0,0) in A(2R, OJ, v katerih je tangenta na krožnico K. navpična, sta na novi krivulji Kp. Ce je P zunaj krožnice K., potem neka tangenta na K poteka skozi P. Torej je v tem primeru tudi P na ICp.
Oblika, nožiščne krivulje krožnice je odvisna od a. Na sliki 2 smo izbrali a > 0. Lepo lahko opazujemo krivulje K.p za različne pole P z računalniškim programom C abri-géomètre. Takoj bi opazili, da niso vse dobljene krivulje zavozlane tako kot naša na sliki 2.
Premica n, ki je vzporedna z daljico ST, oklepa z osjo x kot tp. Označimo z g razdaljo od P do N. Iz koordinat točke N takoj razberemo
g = (R + a) cos tp+ R.
(1)
Da hi rezultatu dali drugačen geometrijski pomen, načrtamo krožnico K.' skozi P in S. s središčem v točki 5', razpolovišču daljice PS. Premer fce krožnice je R + a. Premica n seka to krožnico v točki Al. Ni težko ugotoviti, da je daljica MS vzporedna z daljico NT in da je štirikotnik STNM pravokptnjk.
Iz pravokotnega trikotnika PSM razberemo, da je razdalja r od P do M enaka (R + a) cos <p. Pri danem kotu ip je torej razdalja g za R večja od razdalje r.
Če vzamemo točko P za pol, za polarno os pa poltrak s kraj iščem v P, usmerjen v pozitivni smeri osi x, dobimo polarni koordinatni sistem, v katerem ima krožnica tC' enačbo r — [R + a) cosi^, K. p pa enačbo (1).
Krivulja Kip je poseben primer krivulje, ki ima v polarnih koordinatah {q, ip) enačbo
kjer sta d in b pozitivni števili. Taki krivulji pravimo Pascalov polž. Par scalov polž po točkah konstruiramo tako, da, načrtamo najprej krožnico s premerom 2d. imenovano osnovnica polža, nato v enem krajišču premera potegnemo poltrak. Iz presečišča poltraka s krožnico na.nesemo razdaljo b po poltraku na obe strani in dobimo eno ali dve točki Pasealovega polža. Nato opisano konstrukcijo ponavljamo za več poltrakov in dobljene točke povežemo. Tudi ta konstrukcija je primerna za računalniški program C abri-géomètre.
Torej je nožiščna krivulja krožnice glede na katerokoli točko Pascalov polž, pri katerem je 2d =■■ R + a, in b = R.
g = 2d cos ip + b,
(2)
Slika 3. Primera Pascalovih polžev.
V posebnem primeru a = 0 je enačba krivulje fC.p v polarnih koordinatah g — ii(l + ros (p). kar predstavlja srčnico ali iardioido (slikii 3 levo). Ce je P znotraj IC, Pascalov polž nima značilne male zanke (slika 3 desno), kot jo ima tisti na sliki 2.
Pascalov polž je zanimiv tudi kot trisektrisa, to je krivulja, ki pomaga razdeliti kot na tri enake dele, V ta namen je treba vzeti tisti primer polža, ko je d — b. Tedaj ima polž pentljo, ki sega ravno do središča krožnice, njegove osnovnice (slika 4).
Na sliki 4 je kot o = <PSQi. Daljico skozi Q\ in S podaljšamo tako, da seka polža v točki Q2. Premica skozi Q2 in P seka osnovnieo polža v točki P'. Zaradi posebne izbire le-tega sta trikotnika PSP' in S P '(¿2 enakokraka. Naj bo £ = <P'SQ2 = <P'Q'2S. Potem je <PP'S = — <SPP ' — 21, saj je v trikotniku vselej zunanji kot enak vsoti notranjih, nepriležnih kotov. Kot q je kot zunanji kot trikotnika PSQi enak vsoti notranjih, nepriležnih kotov, torej a = 3e. Ugotovili smo torej, da je <LSP'Q2 = §•
Obliko Pascalovega polža imajo menda pri železnici ekscentri za dviganje in spuščanje signalov, ki povedo stanje kretnic. Oblika poskrbi, da se naprava najhitreje vrti na sredi vrtljaja, na začetku in koncu pa najpočasneje, da ne prihaja do nepotrebnih sunkovitih gibanj.