α α
Σ Povzetek
Prispevek predstavlja tematski sklop Potence in koreni, v ka-
terega so načrtno vključene bralne učne strategije VŽN, PV3P 
in grafični organizator (miselni vzorec, primerjalna matrika, 
zaporedje dogodkov) kot elementi kognitivnega vidika ključ-
ne kompetence učenja učenja. Vsebina tematskega sklopa Po-
tence in koreni temelji večinoma na predznanju dijakov, kar 
jim omogoča samostojno delo pri usvajanju nove snovi, ki ga 
je z uporabo bralnih učnih strategij ob uporabi IKT najlažje 
izvesti. Vodilo za delo dijaka je v nadaljevanju prikazan učni 
list, ki omogoča sistematično in pregledno izgrajevanje baze 
znanja dijakov, k čemur učitelj kot vodja in koordinator učne-
ga procesa s svojimi napotki, pripombami in nasveti samo še 
pripomore. 
V sklepu je predstavljen izsek iz evalvacije uporabe bralnih uč-
nih strategij pri učenju dijakov na vzorcu 28 dijakov programa 
ekonomske gimnazije, ki se nanaša posebej na matematiko.
Ključne besede: bralne učne strategije (VŽN, PV3P, grafični 
organizator), potence in koreni
elena rudolf
Srednja ekonomska šola 
Maribor
Σ Abstract
The article presents the learning unit »Exponents and square 
roots« with intentionally incorporated reading and learning 
strategies, i.e. KWL, SQ3R and graphic organisers (mind map, 
Obravnava potenc in 
korenov z vključevanjem 
bralnih učnih strategij
Incorporation of Reading and Learning 
Strategies in Discussing Exponents and 
Square Roots 
Matematika v šoli ∞ XX. [2014] ∞ 53-68

54
Obravnava potenc in korenov z vključevanjem bralnih učnih strategij
a  Vsebinsko-didaktična 
priprava tematskega sklopa 
Potence in koreni 
Z obravnavo tematskega sklopa Potence 
in koreni v 2. letniku gimnazijskega oddelka 
želimo uresničiti naslednje operativne cilje iz 
UN za GIM:
•	 razv i j a n j e	m a t em a t ičn e	k o m p et en ce;
• 	 razvi ja n j e	 k o m p et en ce	 učen ja	 učen ja 	
(načrtovanje lastnih dejavnosti, od-
govornost za lastno znanje, samostoj-
no učenje, razvijanje metakognitivnih 
znanj, delovne navade);
•	 razv i j a n j e	 k o m p et en ce	 s p o razum e va n j a	
v maternem jeziku (bralno razumevan-
je, pisno in govorno sporočanje).
Operativni cilji (vsebinski, proceduralni, 
odnosni oz. kot so opredeljeni v UN)
1
 so:
1 http://portal.mss.edus.si/msswww/programi2008/
programi/media/pdf/un_gimnazija/un_matemati­ ka_gimn.pdf (dostop: 17. 7. 2013)
• 	 u t em e l ji t i	 in	 u p o ra b l j a t i	 p ra v i l a	 za	 ra-
čunanje s potencami z naravnim eks-
ponentom, s celim eksponentom, z 
racionalnim eksponentom in jih med-
sebojno primerjati;
•	 u p o ra b l j a t i	 p ra v i l a	 za	 rač un a n j e	 s	 k vad­
ratnimi in kubičnimi koreni ter koreni 
poljubnih stopenj in jih medsebojno 
primerjati;
• 	 s p r et n o	 u p o ra b l j a t i 	 žep n o	 rač un a lo	 za 	
računanje n-tih korenov;
•	 p r e o b li k o va t i	 za p i s	 n­t ega	 k o r en a	 v	 za-
pis potence z racionalnim eksponen-
tom in obratno;
•	 p o v e za t i	 in	 p r im er j a t i	 r eš e va n j e	 n a log	 z	
n-timi koreni z reševanjem s potencami 
z racionalnimi eksponenti;
•	 p r ep o zn a t i	 iracio n a ln o	 en ač b o	 t er	 j o	 r e-
šiti in utemeljiti korake pri reševanju in 
interpretirati rezultate;
• 	 razvi ja t i	 ma t ema t ičn o	 miš l j en j e:	 a b-
straktno-logično mišljenje;
comparative matrix, sequence of events) as elements of the 
learning to learn key competence’s cognitive aspect. Contents of 
the learning unit »Exponents and square roots« is mostly based 
on the students’ background knowledge, which enables inde­ pendent study for assimilating new information. This can be 
easily achieved through implementation of reading and learn­ ing strategies, aided by ICT. The worksheet presented later on 
in the article serves as guidelines for the students, as it provides 
them with a tool for systematic and comprehensive knowledge 
acquisition. The teacher’s role is that of a leader and coordina­ tor of the learning process by giving instructions, comments and 
advice.
Results of a survey regarding use of reading and learning strate­ gies for study of mathematics, carried out on a sample of 28 high 
school of economics students, are presented in the final section.
Keywords: reading and learning strategies (KWL, SQ3R, 
graphic organiser), exponents and square roots

55
• 	 izraža t i	 s e	 v	 ma t ema t ičnem	 j e zi k u , 	
ustno, pisno in drugih izraznih oblikah;
• 	 u p o ra b i t i 	 m a t em a t i k o 	 v	 k o n t e ks t i h 	 in 	
povezovati znanje znotraj matematike;
•	 s p o zn a va t i	 m a t em a t i k o	 k o t	 p r o ces,	 raz-
vijati ustvarjalnost ter zaupati v lastne 
matematične sposobnosti;
• 	 s p o zn a va t i 	 in	 u p o ra b l j a t i 	 različn e 	 IKT 	
kot pomoč za učinkovitejše učenje in 
reševanje problemov;
• 	 razv i j a t i	 s p os o b n os t	 k o m unicira n j a	 in 	
sodelovanja z drugimi.
V danem tematskem sklopu so pričako-
vani dosežki /rezultati v zvezi z operativnimi 
cilji iz UN za gIM naslednji:
Dijak/dijakinja:
• 	 o b v l ad a	 t em e l jn a	 m a t em a t ičn a	 zn a n j a	
in veščine izbranega tematskega sklopa;
• 	 za u p a	 v	 l a s t n e	 m a t em a t ičn e	 s p os o b n o-
sti;
•	 j e	 zm o žen/zm o žn a	 izrazi t i	 sv o j o	 u s t va r-
jalnost in učinkovito uporabo matema-
tičnega znanja;
• 	 izkazu j e	 do b r o	 razum e va n j e	 izb ra n e 	
vsebine in jo zna povezati in uporabi-
ti pri drugih matematičnih problemih, 
medpredmetno in drugih življenjskih 
situacijah;
•	 j e	 zm o žen/zm o žn a	 log ičn ega	 s k lep a n j a	
in posploševanja;
•	 zn a	a bs t ra k t n o	razmi š l j a t i;
• 	 razum e	 in	 u p o ra b l j a	 m a t em a t ični	 j e zi k 	
(branje, pisanje, sporočanje, iskanje in 
upravljanje z viri);
•	 im a	 razv i t e	 učin k o v i t e	 b ra ln e	 s t ra t eg i j e	
za učenje;
• 	 j e	 zm o žen/zm o žn a	 n ačr t o va n j a,	 izv e d-
be in evalvacije lastnega procesa učen-
ja, pri delu je samostojen/samostojna 
in ima razvita metakognitivna znanja 
(odgovornost za lastno znanje, delovne 
navade);
•	 j e	 v eš č/v eš č a	 u p o ra b e	 IKT	 p r i	 u sva j a n j u	
novih matematičnih pojmov in izvajan-
ju matematičnih postopkov ter reševan-
ju matematičnih problemov.
Pri izpeljavi tematskega sklopa je načrto-
vana uporaba naslednjih didaktičnih pristo-
pov (strategij):
•	 k o m p et en čni	p r i s t o p;
•	 a k t i v n e	 m et o de	 p o u ka	 (di s k u si j a,	 de lo	 z	
viri, didaktična igra, reševanje proble-
ma, strukturiranje podatkov v sistem);
• 	 a k t i v n e 	 o b li k e	 p o u ka	 (in di v id u a ln o	 in 	
tandemsko delo, sodelovalno učenje, 
možganska nevihta);
• 	 u p o ra b a	 IKT	 (in t era k t i v n a	 t a b l a,	 p r o-
gram x-mind, portal e-um).
V tematski sklop so vključene bralne stra-
tegije učenja – VŽN, grafični organizatorji 
(miselni vzorec, primerjalna matrika, zapo-
redje dogodkov).
b  Shematski prikaz dejavnosti učite-
lja in dijaka, vezanih na organiza-
cijo učnega procesa, iz katerih je 
razvidno spodbujanje KKUU
PRED UČENJEM DIJAKA
Dejavnosti učitelja
Zaradi začetka izvedbe učnega procesa z 
uporabo bralne učne strategije VŽN učitelj 
pozove dijake, da si v zvezek pripravijo zapis 
prazne tabele s tremi stolpci 
– V (Kaj že vem?), 
– Ž (Kaj želim vedeti?), 
– N (Kaj sem se naučil?). 
V 1. stopnji izvedbe bralne učne strategije 
VŽN učitelj z uvodno motivacijo: (Z dve-
ma števkama zapiši izraz, ki ima največjo 

56
vrednost: 9
9
) napelje dijake na zapis zelo 
velikih in zelo majhnih številk s potencami. 
Ilustrira primere zapisa velikih števil s po-
tencami:
1 svetlobno leto je dolgo 9,461 · 10
12
 km
Premer vijačnice DNK je 2 nm = 2 · 10
–9
 m
Avogadrovo število NA = 6,022 · 10
23
 mol
−1 
- 
št. delcev v 1 molu 
Učitelj zastavlja vprašanja: 
– Kaj že veš o potencah in korenih? 
– Potence s kakšnimi eksponenti že poznaš? 
Potence z naravnimi in celimi eksponenti.
– Kdo je prvi uporabil simbole za pisanje 
potenc? Diofant (200–284) iz Aleksandrije
– Kje v življenju se pojavljajo potence? Pri 
fiziki, kemiji, biologiji, elektrotehniki, stroj­ ništvu, gradbeništvu, računalništvu, astro­ nomiji, ekonomiji, geografiji ….
– V katerih strokah se uporablja potenca 
10
n
 za zapisovanje količin?
– Katera števila glede na velikost je smisel-
no zapisovati s potencami? Zelo majhna 
in zelo velika števila.
– Kdo je prvi znal zapisati
 
√2 na 8 decimalk 
natančno? Babilonci – dolžina diagonale 
kvadrata s stranico 1.
– Kdo je prvi ugotovil, da se √2 ne da izrazi-
ti z ulomkom? Pitagorejci.
– Od kod izvira izraz koren? Indijci – izraz 
mula za koren pri rastlini, prevod v latin­ ščino radikand.
– Kdo je prvi uporabil znak √2 za zapis ko-
rena? Christoff Rudolff (1525)
– Zakaj je dobro, da poznaš potence in ko-
rene?
– Kaj o potencah in korenih moramo še iz-
vedeti? 
Na 2. stopnji izvedbe bralne učne strate-
gije VŽN učitelj pozove dijake, da odgovo-
rijo na vprašanje, kaj o potencah in korenih 
želimo še vedeti, in z dijaki ponovi osnovne 
matematične pojme v zvezi s potencami in 
koreni. Z metodo možganske nevihte (bra-
instorming) učitelj vodi dijake do zapisa že 
znanih pojmov o potencah in korenih na 
tablo. Nato pozove dijake, da poiščejo med-
sebojne povezave med navedenimi pojmi in 
poskušajo strukturirati zapis v obliki misel-
nega grafičnega organizatorja. Dijake razdeli 
v dve skupini, pri tem pa 1. skupina vihari na 
temo potenca, 2. skupina pa na temo koren. 
Dejavnosti dijaka
Dijaki v zvezku izpolnjujejo 1. stolpec ta-
bele VŽN in si zastavljajo vprašanja, kaj že 
vemo o potencah in korenih. Zapišejo tudi 
svoje ideje o tem, česa še ne znajo o tej tema-
tiki, ter razmislijo o smiselnosti znanja o po-
tencah in korenih. Pri odgovarjanju na vpra-
šanja učitelja aktivirajo svoje predznanje. Na 
podlagi svojih izkušenj navedejo vsakdanje 
primere, kjer se pojavljajo potence in koreni 
(fizika, kemija, elektrotehnika, strojništvo, 
gradbeništvo, ekonomija, računalništvo, 
astronomija …). Na 2. stopnji izvedbe bral-
ne učne strategije VŽN dijaki izpolnjuje-
jo 2. stolpec tabele VŽN in odgovarjajo na 
vprašanje, kaj o potencah in korenih želimo 
še vedeti, in z učiteljem ponovijo osnovne 
matematične pojme v zvezi s potencami in 
koreni ter izdelajo ustrezen grafičen organi-
zator. 
Glavni poudarki učnega sklopa, ki se 
nanašajo na razvijanje kompetence učenja 
učenja
•	 s p o d b u j a n j e	rado v e dn os t i;
Obravnava potenc in korenov z vključevanjem bralnih učnih strategij

57
•	 u p o ra b n os t	 zn a n j a	 o	 p o t en c a h	 in	 k o r e-
nih;
• 	 s mi s e l n os t	 p o zn a va n j a	 p o t en c	 in 	 k o r e-
nov.
MED UČENJEM DIJAKA
1. Potence z racionalnimi eksponenti
Dejavnosti učitelja
Učitelj razdeli učne liste, kjer so zbrana 
vsa gradiva iz tematskega sklopa Potence 
in koreni, omenjena v prispevku. Usmerja 
delo dijakov, poda navodila za samostojno 
delo dijakov z bralnimi učnimi strategijami 
(VŽN, grafični organizatorji) ob uporabi 
učbenika in učnega lista. Dijakom veli, da 
preberejo besedilo in iščejo odgovore na za-
stavljena vprašanja ter v tandemu izpolnjuje-
jo učni list, ki je oblikovan v obliki primer-
jalne tabele (Priloga 1). Opozori dijake, da za 
začetek izpolnijo prva dva stolpca v primer-
jalni tabeli, ki se nanašata na definicijo in ra-
čunanje s potencami z naravnimi in celimi 
eksponenti, ter pri tem spodbuja aktiviranje 
njihovega predznanja.
Definira pojem potence z racionalnim 
eksponentom in dijake usmeri k temu, da s 
sklepanjem po analogiji zapišejo pravila za 
računanje s takimi potencami v 3. stolpec 
primerjalne tabele na učnem listu.
NAVODILO
Izpolni učni list s pomočjo svojega predznanja in uporabo učbenika. Rešitve preveri pri sošolcih in 
učitelju.
1. Potence z racionalnimi eksponenti
NAVODILO
Dopolni naslednje trditve.
Z dvema števkama zapiši izraz, ki ima največjo vrednost: __________
Zapiši primere uporabe potenc v drugih strokah: __________________________________________
__________________________________________________________________________________
Zapiši nekaj namenov uporabe potenc v drugih strokah: _____________________________________
______________________________________
Zapiši pomen potence a
n
: _____________________________________________________________
Potenca je krajši zapis______________________ enakih faktorjev.
NAVODILO
Izpolni tabelo s pomočjo svojega učbenika.
Potence Potence z naravnimi 
eksponenti
Potence s celimi 
eksponenti
Potence z racionalnimi 
eksponenti
Definicija (opis)
Pravila za računanje
[Priloga 1]  Potence z racionalnimi eksponenti

58
Ko dijaki izpolnijo celotno primerjalno 
tabelo o potencah, učitelj pozove dijake k 
reševanju učnega lista (Priloga 2), na kate-
rem so naloge za utrjevanje pridobljenega 
znanja o vseh treh vrstah obravnavanih po-
tenc. Naloge so zapisane v obliki križanke, 
katere skrito geslo se glasi: Naše napake so 
naši najboljši učitelji. V prilogi 2 ne nava-
jamo vseh primerov, podajamo samo nekaj 
ilustrativnih primerov.
Dejavnosti dijaka
Dijaki z bralnimi učnimi strategijami, ob 
podpori učbenika in učnih listov gradijo in 
dopolnjujejo svoje predznanje o posamez-
nih vrstah potenc. Svoje znanje utrjujejo na 
praktičnih primerih, zapisanih na učnem 
listu. Pravilnost svojih rezultatov preverja-
jo z žepnim računalom. Sproti si izpisujejo 
pojme, povezane s potencami, in preverjajo 
njihovo razumevanje (sošolci, učitelj, obisk 
spletnih strani, npr. e-um …)
NAVODILO
Pri vsaki nalogi poenostavi dani izraz, obkroži pravilen rezultat in črko pred pravilnim odgovorom 
prenesi v spodnji lik, kjer boš ob pravilni rešitvi vseh nalog lahko prebral skrito geslo.
Skrito geslo je:
[Priloga 2]  Naloge za utrjevanje – križanka
Obravnava potenc in korenov z vključevanjem bralnih učnih strategij
1
N
2
A
3
Š
4
E
1
N
2
A
5
P
2
A
6
K
4
E
7
S
8
O
1
N
2
A
3
Š
9
I
1
N
2
A
10
J
11
B
8
O
12
L
10
J
3
Š
9
I
13
U
14
Č
9
I
15
T
4
E
12
L
10
J
9
I
2. (–4)
–3
 =
          O)  64 I) 
1
64  
A) 
 
– 
1
64 
13. 0,2
–2
 –81
0,75
 + 32
1,4
 – 25
1
2
   =
          R)  93 H)  71
 
U)  1
3. 
 
– 
3
7 
0
 =
          Š)  1 T)  – 
5
8  
S)  0
8.  
t
3
v
4
8s
3
p
2
 
–2
:
  
 
t
2
v
3
4sp
2
 
–2
 =
          L)  
s
4
2t
2
p
2
 
 O) 4s
4
t
–2
v
–2
  
T) 
2s
4
t
2
v
2
 
11.  2
q+2
 
q–2
∙
 
2
(q–1)
2
 
: 4
q(q–1)
 =
          S)  8 B) 2
–4q–3
  
A) 
 
0,125

59
2. Koreni poljubnih stopenj
Dejavnosti učitelja
Učitelj pojasni dijakom, da lahko vsako 
potenco z racionalnim eksponentom zapiše-
mo kot koren in obratno, in jim to pokaže 
na konkretnih primerih. Pozove dijake, da 
aktivirajo svoje predznanje in v primerjalno 
tabelo na učnem listu (Priloga 3) zapišejo de-
finicijo kvadratnega in kubičnega korena ter 
pravila za računanje z obema vrstama kore-
nov. Učitelj definira pojem korena n-te stop-
nje in veli dijakom, da s sklepanjem po ana-
logiji poskusijo zapisati pravila za računanje 
s takimi koreni. Njihove odgovore komen-
tira, po potrebi doda še razlago in dopolni 
zapis. Pojasni tudi določilne pogoje za obstoj 
n-tega korena realnega števila in predstavi 
nekatere posebnosti. 
[Priloga 3]  Koreni poljubnih stopenj
2. Koreni poljubnih stopenj
NAVODILO
Dopolni naslednje trditve.
DEFINICIJA
Vsako potenco z racionalnim eksponentom lahko zapišemo kot _______ poljubne stopnje in obratno.
   Zapiši potence s koreni:  Zapiši korene s potencami:
NAVODILO
Izpolni tabelo s pomočjo svojega učbenika.
Koreni Kvadratni koren Kubični koren
Definicija (opis)
Pravila za računanje
Koreni Koreni s sodim korenskim 
eksponentom
Koreni z lihim korenskim 
eksponentom
Definicija (opis)
Pravila za računanje
a
2
3
 =
a
–
3
4
 =
a
m
n
 =
√a
2
=
√a
–5
 
=
7

60
Ko dijaki izpolnijo celotno primerjalno 
tabelo o korenih, učitelj pozove dijake k reše-
vanju učnega lista (Priloga 4), kjer se nahaja-
jo naloge za utrjevanje pridobljenega znanja 
o vseh vrstah obravnavanih korenov. Tudi v 
tej prilogi navajamo le nekaj tipičnih nalog, 
ki smo jih zastavili dijaku.
Dejavnosti dijaka
Dijaki z bralnimi učnimi strategijami, 
učbenikom in učnim listom gradijo in do-
polnjujejo svoje predznanje o posameznih 
vrstah korenov. Sproti si izpisujejo pojme, 
povezane s koreni, in preverjajo njihovo ra-
zumevanje (sošolci, učitelj, obisk spletnih 
strani, npr. e-um …)
Svoje znanje utrjujejo na praktičnih pri-
merih, zapisanih na učnem listu. Pravilnost 
svojih rezultatov preverjajo z žepnim raču-
nalom, v primeru težav pa se po potrebno 
pomoč obrnejo na učitelja, ki je v vlogi koor-
dinatorja celotne aktivnosti in posredovalca 
povratne informacije.
[Priloga 4]  Naloge za utrjevanje
NAVODILO
Dopolni.
POSEBNOSTI
NAVODILO
V nadaljevanju je navedenih nekaj nalog, pri katerih poenostavi dani izraz s koreni poljubnih stopenj:
Obravnava potenc in korenov z vključevanjem bralnih učnih strategij

61
3. Delno korenjenje
Dejavnosti učitelja
Učitelj z dijaki ponovi pojem delnega ko-
renjenja in jim osveži spomin na delno kore-
njenje kvadratnih in kubičnih korenov, nato 
pa jih pozove, da z uporabo učbenika sami 
raziščejo, kako delno korenimo korene po-
ljubnih stopenj. V primeru nejasnosti dodat-
no razloži in dopolni zapis.
Dejavnosti dijaka
Dijaki z bralnimi učnimi strategijami, 
učbenikom in učnim listom gradijo in do-
polnjujejo svoje predznanje o delnem kore-
njenju. Svoje znanje utrjujejo na praktičnih 
primerih, zapisanih na učnem listu (Priloga 
5). Pravilnost svojih rezultatov preverjajo z 
žepnim računalom, v primeru težav pa se po 
potrebno pomoč obrnejo na učitelja, ki je v 
vlogi koordinatorja celotne aktivnosti in po-
sredovalca povratne informacije.
[Priloga 5]  Delno korenjenje
3. Delno korenjenje
NAVODILO
Opiši, kako delno korenimo. 
Korenimo le nekatere _____________________________ korenjenca, druge faktorje pa pustimo pod 
____________________.
NAVODILO
Navedenih je nekaj korenov poljubnih stopenj. Pravilno razvrsti korene po stolpcih tabele in dopolni 
tabelo s pomočjo svojega predznanja in uporabo učbenika.
Kvadratni koren Kubični koren Koren poljubne stopnje

62
4.  Racionalizacija imenovalca 
ulomka
Dejavnosti učitelja
Učitelj z dijaki ponovi pojem racionaliza-
cije imenovalca na ulomkih, ki imajo v ime-
novalcu kvadratni oz. kubični korenm, nato 
pa jih pozove, da z uporabo učbenika sami 
raziščejo še dva tipa racionalizacije imeno-
valcev ulomkov. V primeru nejasnosti do-
datno razloži in dopolni zapis.
Dejavnosti dijaka
Dijaki z bralnimi učnimi strategijami, uč-
benikom in učnim listom (Priloga 6) gradijo 
in dopolnjujejo svoje predznanje o racionali-
zaciji imenovalcev ulomkov. Svoje znanje utr-
jujejo na praktičnih primerih, zapisanih na 
učnem listu. Pravilnost svojih rezultatov pre-
verjajo z žepnim računalom, v primeru težav 
pa se po potrebno pomoč obrnejo na učitelja, 
ki je v vlogi koordinatorja celotne aktivnosti 
in posredovalca povratne informacije.
[Priloga 6]  Racionalizacija imenovalca ulomka
[Priloga 7]  Iracionalna enačba
4. Racionalizacija imenovalca ulomka
NAVODILO
Opiši, kaj pomeni racionalizacija imenovalca. 
Je odpravljanje ______________________________ iz imenovalca ulomka z ___________________
________________________ ulomka.
NAVODILO
Izpolni tabelo s pomočjo svojega predznanja in ob uporabi učbenika. V 1. stolpcu so ulomki, ki imajo 
v imenovalcu le en kvadratni koren, v 2. stolpcu so ulomki, ki imajo v imenovalcu vsoto oz. razliko 
kvadratnih korenov, v 3. stolpcu pa so ulomki, katerih imenovalec je koren poljubne stopnje.
TIP 1 TIP 2 TIP 3
5. Iracionalna enačba
NAVODILO
Opiši, kaj je iracionalna enačba.
Je enačba, ki ima neznanko ___________________________________.
NAVODILO
Navedenih je nekaj iracionalnih enačb. Reši enačbe in zapiši množico rešitev enačbe.
Obravnava potenc in korenov z vključevanjem bralnih učnih strategij

63
5. Iracionalna enačba
Dejavnosti učitelja
Učitelj vpelje pojem iracionalne enačbe in 
pojasni njeno reševanje ter interpretira re-
zultate. Opozori na neekvivalentnost enačb 
v poteku reševanja iracionalne enačbe in po-
sledično potrebo po preizkusu. Pozove dijake, 
da ob uporabi učbenika sami rešijo konkretne 
primere enačb na učnem listu (Priloga 7) in 
zapišejo zaporedne korake pri reševanju iraci-
onalnih enačb v pripravljeno shemo (grafiični 
organizator zaporedje dogodkov) na učnem 
listu (Priloga 8). V primeru nejasnosti dodat-
no razloži in dopolni zapis (Priloga 9).
Dejavnosti dijaka
Dijaki z bralnimi učnimi strategijami, uč-
benikom in učnim listom gradijo in dopol-
njujejo svoje znanje o reševanju iracionalnih 
enačb. Svoje znanje utrjujejo na praktičnih 
primerih, zapisanih na učnem listu. Pravil-
nost svojih rezultatov preverjajo z žepnim 
računalom, v primeru težav pa se po potreb-
no pomoč obrnejo na učitelja, ki je v vlogi 
koordinatorja celotne aktivnosti in posredo-
valca povratne informacije. Ob koncu zapi-
šejo zaporedje korakov v postopku reševanja 
iracionalnih enačb na zadnjo stran učnega 
lista.
[Priloga 8]  Reševanje iracionalne enačbe [Priloga 9]  Rešitev
Reševanje iracionalne enačbe
NAVODILO
V spodnje oblačke vpiši zaporedne korake pri 
reševanju iracionalnih enačb. Po potrebi lahko 
dodaš ali odvzameš kakšen oblaček oz. korak
Reševanje iracionalne enačbe – 
zaporedje dogodkov – rešitev
Poskušamo osamiti koren
Potenciramo obe strani enačbe
Rešimo dobljeno enačbo
Preskus za vsako potencialno rešitev
Zapišemo rešitve prvotne enačbe

64
Glavni poudarki učnega sklopa, ki se 
nanašajo na razvijanje kompetence učenja 
učenja
• 	 u p o ra b a	 B US	 (VŽN,	 g ra f ični	 o r ga ni-
zator – primerjalna matrika, zaporedje 
dogodkov);
• 	 razv i j a n j e	 b ra ln e	 p i sm en os t i	 in	 m a t e-
matičnega izražanja; 
•	 n ačr t o va n j e	l a s t n ega	p r o ces a	učen j a;
• 	 p r e vzema n j e	 o dg o v o r n os t i	 za	 las t n o 	
znanje,;
• 	 razvi ja n j e	 met a k og ni t i vni h	 ka t eg o r i j 	
(samostojnost, delovne navade);
PO UČENJU DIJAKA
Dejavnosti učitelja
1. Pripravi učni list z nalogami za ponav-
ljanje in preverjanje znanja.
2. Posreduje domačo nalogo:
 Na spletnem naslovu www.e-um si naj 
dijak samostojno sestavi test z nabo-
rom 10 nalog. Dijak naj naloge reši in 
na spletnem naslovu preveri rešitve ter 
z odstotki oceni svoj dosežek.
3.  Dijake pozove, da naredijo kratek pov-
zetek obravnavane teme v obliki poljub-
nega grafičnega organizatorja (priporo-
ča jim uporabo programa X-mind).
4.  Z dijaki opravi evalvacijo obravnave te-
matskega sklopa Potence in koreni ob 
uporabi bralnih učnih strategij. 
Dejavnosti dijaka
1.  Dijaki rešijo učni list in preverijo svoje 
znanje tematskega sklopa.
2.  Opravijo domačo nalogo in rešijo test 
na spletni strani e-um.
3.  Z uporabo grafičnih organizatorjev na-
redijo kratek povzetek obravnavane te-
matike.
4.  Rešijo anketni vprašalnik, s katerim 
ovrednotijo način dela z bralnimi učni-
mi strategijami pri matematiki. Odgo-
varjajo na vprašanja učitelja in sošolcev 
ter preverijo, ali so dobili odgovore na 
zastavljena vprašanja z začetka obrav-
nave nove snovi. 
Glavni poudarki učnega sklopa, ki se 
nanašajo na razvijanje kompetence učenja 
učenja
• 	 razvi ja n j e	 met a k og ni t i vni h	 ka t eg o r i j 	
(samostojnost, samoevalvacija, ustvar-
jalnost);
• 	 e va l vaci j a	 s a m os t o jn ega	 učen j a	 z	 B US 	
(prednosti, slabosti) in predlogi za spre-
membe/izboljšave.
γ  Mnenja učitelja in vtisi o 
izvedbi
Tvorba vprašanj pri strategiji VŽN se je 
dijakom v prvi fazi zdela nepotrebna in ča-
sovno potratna, v fazi končavanja in eval-
viranja pa so bila zapisana vprašanja dober 
vodnik pri iskanju odgovorov in povzemanju 
učne snovi.
Dijakom razdeli anketne vprašalnike in 
jim zastavlja vprašanja:
– Kaj ste se novega naučili?
– Kaj je bistveno?
– Kje lahko novo znanje uporabimo?
– Kaj bi naslednjič napravili drugače?
– Je bilo učenje z bralnimi učnimi strategi-
jami dobro in učinkovito?
– Vam ta način dela ustreza?
– V čem je ta način dela boljši/slabši od kla-
sičnih učnih metod?
– Smo dosegli zastavljene cilje?
Obravnava potenc in korenov z vključevanjem bralnih učnih strategij

65
Pri uporabi strategije grafičnih organiza-
torjev (miselni vzorec) je bila izbira vrste in 
oblike grafičnega organizatorja ter izdelava 
le-tega (prostoročno, ob uporabi programa 
X-mind) prepuščena dijakom, ki so delali v 
tandemu ali skupini, kar se je izkazalo kot 
dobro, saj so tako še bolj lahko razvijali svojo 
ustvarjalnost. Izdelava povzetka tematskega 
sklopa z grafičnimi organizatorji po mojem 
mnenju s svojo strukturiranostjo prispeva k 
boljšemu pomnjenju informacij, razumevan-
ju učne snovi in trajnosti znanja, medsebojni 
odnosi med elementi v sistemu pa so na ta 
način nazorno prikazani in predstavljivi tudi 
slabšim poznavalcem določene tematike.
Nevralgične točke sklopa
Ob obravnavi tematskega sklopa poten-
ce in koreni sem opazila nekaj nevralgičnih 
točk.
Presenetilo me je slabo predznanje dija-
kov o potencah in korenih, saj se večina di-
jakov ni spomnila definicije kvadratnega in 
kubičnega korena, še več težav pa so imeli 
pri uporabi pravil za računanje z njimi na 
konkretnih primerih (zamenjevali so sešte-
vanje in množenje korenov, napačno delno 
korenili in zapisovali korene kot potence z 
negativnim eksponentom). 
PRIMERI napak dijakov:
3 ·
 
√28 = 3 · √4 
·
 
7 = (3 + 2) · √7
 
= 5 · √7
 
3 ·
 
√28 = 3 · √4 
·
 
7 = 12 · √7
3 ·
 
√28 = 3 · √4 
·
 
7 = 21 · √4
 
√5 = 5
–2
 
√4 = 4
–3
Dijaki so izkazovali tudi težave z abstrakt-
nim razmišljanjem, ki se je kazalo pri preho-
du z lažjih nalog s številskimi korenjenci na 
težje naloge, kjer so bili korenjenci algebrski 
izrazi. Ko so dijaki morali samostojno zapi-
sati pravila za računanje s potencami z raci-
onalnimi eksponenti, so imeli velike težave s 
sklepanjem po analogiji, saj jim ni bilo jasno, 
da so v eksponentu ulomki, za katere velja-
jo znana računska pravila. Glede na to, da so 
dijaki večino učnega lista reševali samostoj-
no ob uporabi učbenika in šele v sklepni fazi 
pregledali rešitve z učiteljem, so imeli nekate-
ri učno šibkejši dijaki težave z razumevanjem 
snovi. Največ težav pri izvedbi je bilo z moti-
vacijo dijakov za vztrajanje pri samostojnem 
učenju, saj so številni dijaki ob najmanjšem 
nerazumevanju hoteli iskati takojšnjo pomoč 
učitelja v obliki dodatne razlage in se izogniti 
samostojnemu iskanju odgovorov na zastav-
ljene probleme ob uporabi učbenika.
δ  Refleksija dijakov
Po obravnavi tematskega sklopa Potence 
in koreni z uporabo bralnih učnih strategij, 
ki je temeljila na samostojnem delu dijakov, 
sem z dijaki enega oddelka ekonomske gim-
nazije (28 dijakov) opravila evalvacijo z na-
vedenim anketnim vprašalnikom (Priloga 
10). Zanimali so me zlasti naslednji elementi 
refleksije:
•	 n ačini	 učen j a	 (učn e	 s t ra t eg i j e),	 k i	 ji h	 di-
jak uporablja doma,
•	 š t e v i lo	di j a k o v ,	k i	u p o ra b l j a	B US	do m a,
•	 ci l j	in	smi s e ln os t	u p o ra b e	B US,
• 	 izk u šn j e	 in	 mn en j e	 di j a k o v	 o	 u p o ra b i 	
BUS,
•	 p r e dn os t i	B US,
•	 p o m a n jk l ji v os t i	B US.
3

66
Analiza ankete je pokazala, da se večina 
dijakov (20 dijakov – 71 %) samostojno uči 
iz zvezka in učbenika, pri tem pa največji 
pomen pripisujejo svojim dobro izdelanim 
zapiskom (24 dijakov – 86 %), saj se v njih 
odraža tudi osebna nota dijaka in specifič-
ni poudarki učitelja pri posamezni temi. 
Najmanj dijakov se uči s poslušanjem, kar 
[Priloga 10]  Anketa za dijake – bralne učne strategije
Anketni vprašalnik za dijake po uporabi učnih strategij
V okviru projekta Učenje učenja sem vam predstavila bralne učne strategije. V zvezi s strategijami 
želim pridobiti še nekaj informacij, zato te prosim, da pazljivo prebereš vsako vprašanje in nanj čim 
bolj celovito odgovoriš. 
Za sodelovanje se Ti iskreno zahvaljujem!
Če ti zmanjka prostora za pisanje, piši na drugi strani. 
1.  Navedi načine učenja (učne strategije), ki jih uporabljaš doma. Podčrtaj ustrezen odgovor.
•	 p i s a n j e	za p i s k o v
•	 p i s a n j e	p o vzet k o v	(izp i s k o v)
•	 p o dčr t o va n j e	in	r o b n e	o zn a k e
•	 mi s e lni	vzo r ci
•	 učen j e	s	p os l u š a n j em
•	 učen j e	iz	uč b eni ka
•	 učen j e	iz	zv e zka
•	 učen j e	n a	g l a s	in	p o n a v l j a n j e	b es e di l a	v	mi s li h
•	 dr ug o	(n a p i ši)
2.  Ali si bralne strategije učenja že uporabljal/a pri učenju doma? Obkroži ustrezen odgovor. 
 DA NE
3. Kaj je po tvojem mnenju cilj bralnih učnih strategij? Podčrtaj ustrezen odgovor.
•	 s a m os t o jn o	de lo	in	učen j e
•	 b o l jš e	razum e va n j e	in	p o mn j en j e	vs e b in e	b es e di l a
•	 učen j e	izde l a v e	izp i s k o v
•	 l ažj e	in	učin k o v i t o	učen j a
•	 b o l jš a	o r ga nizira n os t	in	s t r u k t ur ira n os t	inf o r m aci j
•	 dr ug o	(n a p i ši):
4. Kakšne so tvoje izkušnje oz. tvoje mnenje o uporabi bralnih učnih strategij pri učenju? 
5. V čem vidiš prednosti bralnih učnih strategij?
6. Kaj so po tvojem mnenju pomanjkljivosti oz. slabosti bralnih učnih strategij?
Obravnava potenc in korenov z vključevanjem bralnih učnih strategij

67
nakazuje na to, da so le maloštevilni avditiv-
ni učni tipi. BUS pri učenju uporablja sko-
raj dve tretjini dijakov testiranega razreda 
(64 %), kar je razveseljivo glede na načrtno 
vložen trud po popularizaciji teh strategij 
učenja v zadnjih dveh šolskih letih.
Cilj uporabe bralnih učnih strategij je po 
mnenju dijakov njihov prispevek k boljšemu 
razumevanju in pomnjenju obravnavane te-
matike (18 dijakov – 64 %) in zlasti bistven 
gradnik pri samostojnemu delu in učenju 
(20 dijakov – 71 %). 
Izkušnje dijakov z uporabo BUS pri ma-
tematiki so različne – učno šibkejši dijaki so 
izpostavljali časovno potratnost omenjenih 
učnih strategij in potrebo po izdatni dodat-
ni pomoči učitelja, samostojnejši in dobro 
organizirani dijaki pa so hvalili prispevek 
BUS k boljši strukturiranosti informacij. 
Kot primerne jih ocenjujejo zlasti za učenje 
družboslovnih predmetov, kot so zgodovina, 
geografija in sociologija (20 dijakov – 71 %), 
pri matematiki in naravoslovju pa se jim 
zdijo pomembne za povzemanje bistvenih 
informacij. Pri tem so najverjetneje pomislili 
na grafične organizatorje (pojmovne mape, 
zaporedje dogodkov, ribja kost, miselni vzo-
rec), ki smo pri učnih urah največkrat upora-
bljali za izdelavo povzetkov.
Med prednostmi BUS dijaki navajajo pris-
pevek k samostojnosti dijaka in primernost 
za poglobljen študij določene tematike, med 
pomanjkljivostmi pa neuporabnost pri vseh 
učnih predmetih in že omenjeno zahtevnost 
teh strategij v povezavi z dalj časa trajajočim 
potekom njihove priprave. Med drugimi 
slabostmi so dijaki navajali še nesmiselnost 
uporabe teh strategij pri pouku pred začet-
kom 4. letnika in dolgočasnost, saj so njiho-
vo uporabnost vezali le na njihovo primer-
nost za samostojni študij določene vsebine.
ε  Sklep in predlogi  
za nadaljnje delo
Načrtovanje in izvedba tematskega sklopa 
z vključevanjem BUS kot KKUU v pouk ma-
tematike je smiselna obogatitev obstoječega 
načina učenja matematike, saj dijake navaja 
na samostojnost in lastno organizacijo pro-
cesa učenja, kar sicer zahteva njihovo ne-
nehno aktivnost in popolno zbranost, hkrati 
pa so tako pridobljene veščine dijakom nuj-
no potrebne tudi po koncu srednješolskega 
izob raževanja in jih usposabljajo za samo-
stojni študij. 
Med dijaki različnih spolov, starosti in 
sposobnosti, je pomembno, da učitelj osmi-
šljeno vodi svoje aktivnosti in prepozna 
sposobnosti, spretnosti in interese pri po-
sameznikih ter vsakega od njih z različnimi 
pristopi vodi do skupnega cilja.
Bistvenega pomena za dosego zastavlje-
nih ciljev je tudi dobro razvita sposobnost 
dijaka, da se zaveda svojih učnih spretnosti 
in sposobnosti, načinov učenja in zna opre-
deliti svoja močna in šibka področja. Zato je 
prav, da dijake od 1. do 4. letnika sistematič-
no navajamo na uporabo kognitivnih, meta-
kognitivnih in motivacijskih strategij, bodisi 
z obravnavo vsaj enega tematskega sklopa 
letno pri posameznem predmetu bodisi z 
vključevanjem teh strategij pri posameznih 
urah določenega predmeta ali v obliki med-
predmetnih povezav (timsko poučevanje, 
kurikularne povezave), ki pa bi si sledile po 
vnaprej zastavljenem načrtu (opredeljenem 
v LDN šole). Strokovni aktiv matematike 
na šoli, kjer poučujem, si je letos npr. zadal 
za cilj, da z bralnimi učnimi strategijami v 
1. letniku gimnazije usvaja tematski sklop 
Geometrija v ravnini, v 2. letniku Potence in 
koreni, v 3. letniku Geometrijska telesa in v 

68
4. Letniku Funkcije. Vsi štirje izbrani temat-
ski sklopi omogočajo samostojno delo dija-
kov, saj temeljijo predvsem na predznanju 
dijakov in hierarhični gradnji matematičnih 
pojmov skozi štiri leta srednješolskega izob-
raževanja.
Z uporabo različnih učnih strategij, ki jih 
bodo dijaki spoznali med srednješolskim 
izobraževanjem, bodo lahko izbrali sebi last-
no strategijo, ki jim bo pomagala do učinko-
vitega učenja, kar jim bo omogočalo samo-
stojnost pri učenju in študiju v prihodnosti. 
Dolgoročno je pričakovati, da bi tako uspo-
sobljeni posamezniki lažje in bolje dosegali 
svoje zastavljene učne cilje in jih tudi prese-
gali, seveda pa bo praksa pokazala svoje. 
ζ  Viri in literatura:
1. Pečjak, S., Gradišar, A. (2012). Bralne učne strategi-
je. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo.
2. http://portal.mss.edus.si/msswww/programi2008/
programi/media/pdf/un_gimnazija/un_matemati-
ka_gimn.pdf (dostop: 17. 7. 2013)
Obravnava potenc in korenov z vključevanjem bralnih učnih strategij