Univerza v Mariboru

Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko

Inštitut za elektroniko in telekomunikacije





Tomaž Dogša





CAE/CAD v elektroniki





Analiza in načrtovanje toleranc





Maribor 2010





Copyright 2010. Druga popravljena izdaja, junij 2010.



Prva izdaja, september 2007.



NASLOV: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc

AVTOR: izr. prof. dr. Tomaž Dogša

VRSTA PUBLIKACIJE: učbenik v elektronski obliki. Dostopen je v digitalni knjižnici UKM in na naslovu http://saturn.uni-mb.si/~dogsa/rnv/rnv.html.

RECENZENTI: izr. prof. Tadej Tuma, Fakulteta za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani, izr. prof. Rudolf Babič, izr. prof. Gorazd Lešnjak, Fakulteta za

elektrotehniko,

računalništvo in informatiko, Univerza v Mariboru

PRELOM STRANI IN OBLIKOVANJE OVITKA: Tomaž Dogša

LEKTORIRANJE: Tina Škrajnar

Vse pravice so pridržane.

Popravki, rešitve nalog itd.: http://saturn.uni-mb.si/~dogsa/rnv/rnv.html CIP - Kataložni zapis o publikaciji

Univerzitetna knjižnica Maribor

621.38.049.77:004.92(075.8)

DOGŠA, Tomaž

CAE/CAD v elektroniki. Analiza in načrtovanje toleranc [Elektronski vir] / Tomaž Dogša. -

2. popravljena izd. - Maribor : Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Inštitut za elektroniko in telekomunikacije, 2010

Način dostopa (URL): http://saturn.uni-mb.si/~dogsa/rnv/rnv.html

ISBN 978-961-248-233-6

COBISS.SI-ID 65052417

Avtorjev naslov:

Tomaž Dogša

Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko,

Smetanova 17, 2000 Maribor

tdogsa@uni-mb.si



Datoteke: G_C_Analiza_in_nacrtovanje_toleranc_OVITEK.DOC,

G_C_Analiza_in_nacrtovanje_toleranc.doc,

G_D_Statistika.doc .



Datum pretvorbe v pdf format: 1. julij 2010



PREDGOVOR





Ta učbenik je namenjen predvsem študentom, ki poslušajo predmet

Računalniško načrtovanje vezij oziroma jih zanima problematika načrtovanja vezij. V učbeniku sem predpostavil, da je bralec seznanjen z osnovnimi analizami vezij oziroma s simulatorjem SPICE ter da obvlada osnove

elektronike. Osnovne analize vezij s simulatorjem SPICE so opisane v mnogih tujih1 in domačih knjigah [TUMA, 1997].



Težavnost učbenika je prilagojena novim bolonjskim učnim programom:

dodano je dosti zgledov, izpuščena je nepotrebna teorija in naprednim

študentom je omogočeno poglabljanje. Nekatera poglavja so sicer dokaj obširna, vendar so dodana zato, da je z njimi zaokrožena celotna problematika.

Konkretne zahteve glede potrebnega znanja so podrobneje definirane v učnem načrtu.



Proučevanje vpliva variabilnosti parametrov je zelo zanimiv segment

načrtovanja, ki je v učbenikih pogosto zanemarjen. Ker so teoretični temelji občutljivosti zelo temeljito opisani v učbeniku [BRATKOVIČ, 1992], sem se osredotočil bolj na praktično uporabo. Ker je bila v preteklosti uporaba računalnika povezana z nakupom dragih delovnih postaj in ustrezne programske opreme, se je le malo inženirjev ukvarjalo s problematiko, ki je povezana s tolerancami. S pocenitvijo računalniške opreme so tudi CAE/CAD orodja

postala dostopna širši strokovni javnosti. Sodobni simulatorji omogočajo uporabo skriptnih jezikov, s pomočjo katerih je možno implementirati mnoge zahtevnejše analize, kot je na primer analiza najbolj neugodnega primera. Kljub določeni avtomatizaciji je potrebno razumevanje ozadja teh analiz. Prav to pa je namen tega učbenika.



Vsebina učbenika je razdeljena na devet poglavij. Naloge, ki so povezane z nekim računanjem, so dodane le na koncu poglavij. Rešitve, ki naj olajšajo pripravo študentov na izpit, bodo kasneje izdane v posebni publikaciji. Do izdaje bodo dostopne na mojih spletnih straneh2. V vsakem poglavju je mnogo konkretnih zgledov, pri katerih je uporabljen simulator SPICE firme Intusoft, ki temelji na Berkleyevem simulatorju 3f4. Večina izpisov oziroma analiz je napravljena s pomočjo skriptov oziroma skriptnega jezika.



Po uvodu sledi poglavje, ki je namenjeno definiciji tolerance. Ker se koeficienti občutljivosti uporabljajo skoraj v vseh poglavjih, je poglavje z naslovom Analiza občutljivosti skoraj takoj na začetku. Razumevanje tega poglavja je za nadaljnje analize zelo pomembno. Analiza toleranc je razdeljena na dva dela: na analizo najbolj neugodnega primera in na oceno statistične tolerance. Ker je pri slednji potrebno obvladati osnove statistike in verjetnosti, je v zadnjem poglavju dodana kratka razlaga osnov statistike. Podrobnejše razlage so v mnogih 1 [HYMOWITZ, 1988], [TUINENGA, 1988], [LAMEY, 1994], [RASHID, 2003].

2 http://saturn.uni-mb.si/~dogsa/





učbenikih, od katerih najbolj priporočam [ČIBEJ, 1998] in [CHATFIELD,

1983]. Po kratkem poglavju Primerjava metod za analizo toleranc sledi pomembno poglavje Načrtovanje toleranc. Za razumevanje tega poglavja je potrebno obvladati vsa predhodna poglavja. Na koncu je našteta literatura, ki naj študenta vpelje v podrobnejšo problematiko načrtovanja in analize toleranc ter statistike. V prilogi je še dodana lestvica vrednosti po DIN IEC 63.





Predgovor k drugi izdaji



Večjih sprememb ni. Popravil sem samo vse najdene napake. Ta izdaja obstaja samo v elektronski obliki.



Junij, 2010

Kazalo





1. Uvod........................................................................................................................ 7

2. Definicija in meritev toleranc............................................................................... 9

2.1 Meritev toleranc .................................................................................................. 12

2.2 Standardne vrednosti parametrov ........................................................................ 14

2.3 Naloge za poglavje 2 ........................................................................................... 16

3. Analiza občutljivosti.............................................................................................. 17

3.1 Meritev občutljivosti (perturbacijska metoda) .................................................... 19

3.2 Analitični izračun občutljivosti ........................................................................... 20

3.3 Normirana občutljivost........................................................................................ 21

3.4 Določitev občutljivosti s simulatorjem................................................................ 25

3.5 Naloge za poglavje 3 ........................................................................................... 28

4. Pregled metod za analizo toleranc ....................................................................... 31

5. Analiza najbolj neugodnega primera .................................................................. 32

5.1 Analitična metoda................................................................................................ 32

5.2 Linearizacija lastnosti v prostoru toleranc........................................................... 35

5.3 Metoda z vsemi možnimi kombinacijami vrednosti parametrov......................... 38

5.4 Metoda z izborom ekstremnih vrednosti parametrov .......................................... 39

5.5 Izbor ustreznih ekstremnih vrednosti parametrov s pomočjo

podatkov o občutljivosti ................................................................................ 40

5.6 Naloge za poglavje 5 ........................................................................................... 43

6. Ocena statistične tolerance in izmeta .................................................................. 45

6.1 Hitra ocena statistične tolerance.......................................................................... 45

6.2 Statistična ocena z Monte Carlo analizo ............................................................. 47

6.3 Lastnosti in uporaba Monte Carlo analize........................................................... 49

6.4 Računalniško podprta Monte Carlo analiza ........................................................ 50

6.5 Simulacija proizvodnje........................................................................................ 54

6.6 Naloge za poglavje 6 ........................................................................................... 58

7. Primerjava metod za analizo toleranc................................................................. 60

8. Načrtovanje toleranc parametrov........................................................................ 61

8.1 Predpisana je (statistična) toleranca samo ene lastnosti ...................................... 63

8.2 Predpisan je najbolj neugoden primer za eno lastnost –

poenostavitev z linearizacijo........................................................................... 64

8.3 Predpisan je najbolj neugoden primer za več

nelinearnih lastnosti......................................................................................... 65

8.4 Predpisan je najbolj neugoden primer za več lastnosti –

poenostavitev z linearizacijo........................................................................... 69

8.5 Naloge za poglavje 8 ........................................................................................... 74





9. Osnove statistične analize ................................................................................... 76

9.1 Diskretna porazdelitev ........................................................................................ 78

9.2 Zvezna porazdelitev........................................................................................... 84

9.3 Frekvenčna porazdelitev.................................................................................... 85

9.4 Kumulativna frekvenčna porazdelitev ............................................................... 89

9.5 Gostota verjetnosti............................................................................................. 90

9.6 Zvezna porazdelitvena funkcija......................................................................... 92

9.7 Mere povprečja .................................................................................................. 93

9.8 Mere razpršenosti............................................................................................... 96

9.9 Enakomerna porazdelitev .................................................................................. 98

9.10 Normalna ali Gaussova porazdelitev ................................................................. 99

9.11 Ocenitev standardne deviacije celotne

populacije s pomočjo vzorca ............................................................................ 104

9.12 Naloge za poglavje 9 .......................................................................................... 105

10. Literatura ............................................................................................................ 107

11. Priloge................................................................................................................... 109

11.1 Lestvice vrednosti po DIN IEC 63 ................................................................... 109

12. Stvarno kazalo ....................................................................................................... 111





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 7



1. Uvod

Načrtovanje vezja se začne s postavitvijo zahtev oziroma specifikacij, ki morajo biti definirane v obliki intervalov (glej sliko 1.1). Nato sledi načrtovanje z idealnimi vrednostmi elementov in drugih parametrov. Idealni so zato, ker pri njih ne upoštevamo njihove neizogibne variabilnosti. Tem vrednostim pravimo tudi nazivne ali nominalne. Najprej poiščemo takšne nazivne vrednosti

elementov, da je zadoščeno specifikacijam. Ker variacija vrednosti elementov (npr. temperature, baterijske napetosti, vrednosti uporov) povzroči tudi variacijo lastnosti vezja, sledi načrtovanje toleranc, ki pove, v kakšnem obsegu lahko variirajo parametri, ne da bi presegli dovoljene meje, podane v specifikacijah. S

postopkom, ki mu pravimo analiza toleranc, nato preverimo vpliv zunanjih dejavnikov (npr. temperature) in pravilnost načrtovanja toleranc.





Slika 1.1 Načrtovanje in analiza toleranc v razvojnem ciklusu.



8

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Tako poteka vsako načrtovanje, ki je namenjeno masovni proizvodnji. Tipična vprašanja, na katera mora načrtovalec odgovoriti, so3:



• Ali bo vezje še delovalo znotraj dopustnih odstopanj, če se bo

temperatura spreminjala v -20 ºC do 60 ºC?

• Ali bo ojačevalnik še vedno deloval, ko bo napetost padla za 20 %?

• Kolikšne so lahko tolerance uporov in kondenzatorjev?

• Ali je komponenta LM741 primerna za doseganje postavljenih zahtev?





Proučevanje vpliva variiranja vrednosti elementov je glavni namen tega učbenika. Ker vedno velja, da se z oženjem toleranc elementov viša njihova cena, je načrtovanje toleranc zelo pomembna aktivnost. Robustnost je lastnost vezja, ki pove, v kolikšni meri je odporno na spremembo vrednosti elementov, iz katerih je zgrajeno. Z dobrim načrtovanjem lahko zelo zmanjšamo vpliv toleranc elementov oziroma povečamo robustnost.



V poglavjih, ki sledijo, se bomo podrobneje seznanili s celotnim postopkom analize in načrtovanja toleranc.





3 Vprašanja se nanašajo na zgled, ki je na sliki 1.1.



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 9



2. Definicija in meritev toleranc

Vzroke za spremembe lastnosti vezja lahko razdelimo v dve skupini:

notranji in zunanji vzroki. Notranji vzroki so povezani z lastnostmi gradnikov.

Tovarna, ki izdeluje 10nF kondenzatorje, nikakor ne more izdelovati

popolnoma enakih kondenzatorjev. Vrednost neke lastnosti, ki je bila pri izdelavi zahtevana, bomo imenovali nazivna ali nominalna vrednost. Razlike, ki se bodo vedno pojavljale med posameznimi gradniki, nastanejo zaradi tehnoloških postopkov in merilne negotovosti. Zunanji vzroki so povezani s spremembo okolja (npr. temperatura), staranjem elementa (npr. napetost baterije) in variacijo zunanjih virov oziroma bremen (npr. na izhod usmernika lahko priključimo različna bremena). V večini primerov na zunanje vzroke ne moremo vplivati, saj so sestavni del zahtev. Zaradi tega dejstva mora vsak kvantitativni opis lastnosti ali parametra vsebovati tudi dopustno

odstopanje, kar pomeni, da mora biti definiran z odprtim ali zaprtim intervalom. Temu intervalu pravimo toleranca. Za toleranco obstajata dve vrsti definicij.



1. definicija: toleranca je dopustna razlika med najvišjo in najnižjo dovoljeno vrednostjo nekega parametra oziroma lastnosti.



V bistvu gre za maksimalno in minimalno vrednost parametra oziroma

lastnosti. Odstopanje je lahko simetrično ali nesimetrično. Najpogosteje imamo opravka s simetrično podano toleranco.





Zgled:



1. simetrično podana toleranca: U = 5 V ± 0,5 V ali (5 ± 0,5)V ali 5 V ± 10 %

2. nesimetrično podana toleranca: 7 V do 10 V nominalna vrednost 9 V





Prva definicija zadošča, kadar govorimo o nekaj primerkih. V primeru masovne proizvodnje se toleranca nanaša na večje število primerkov. Ker nikoli ne moremo zagotovo vedeti, kolikšna bo dejanska vrednost parametra naslednjega primerka, oziroma lastnosti, je njegova vrednost naključni dogodek, ki ga lahko obravnavamo s stališča verjetnosti oziroma statistike. Večina proizvodnih procesov je takšne narave, da se izmerjene vrednosti, s katerimi podajamo neko lastnost, distribuirajo po Gaussovi porazdelitveni funkciji. Zato se po dogovoru definira toleranca kot področje, v katerega pade 99,73 % vseh vrednosti, oziroma (glej sliko 2.2) :





x o ± 3σ (2.1)





10

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 2. definicija: toleranca je področje, v katerega pade 99,73 % vseh primerkov.





Tako definirana toleranca pomeni, da še vedno obstaja približno 0,3 %

verjetnosti, da bo vrednost nekega primerka ležala izven tolerančnega intervala (glej tabelo 2.1). V množici elementov se bo največkrat pojavil takšen, ki bo imel nominalno vrednost in zelo redko ekstremne vrednosti. Tipičen zgled je upor, npr. 1kΩ±5 %.





Slika 2.2 Gaussova porazdelitev vrednosti neke lastnosti x in upora 1kΩ±5 %



V praksi se vedno ne srečujemo z Gaussovo porazdelitvijo, saj pogosto

proizvajalci izločijo elemente, ki imajo ožje tolerance (glej sliko 2.3a). Izločene elemente ponujajo kot elemente, ki so izdelani v ožjem tolerančnem razredu.

Občasno se pojavlja tudi enakomerna porazdelitev, kjer obstaja enaka

verjetnost, za vsako vrednost znotraj intervala xº ± 3σ (glej sliko 2.3b).





Tabela 2.1 Verjetnost pri različnih vrednostih σ.



k

P{-k <X <k }

P{-k >X >k }

σ

68.26 %

31,74 %

2σ

95.44 %

45,60 %

3σ

99.73 %

0,27 %

4σ 99.9936

%

6,4·10-3 %

5σ

99.999 9426 %

5,7·10-5 %

6σ

99.999 999 802 %

1,98·10-7 %

7σ

99.999 999 999 74 %

2,6·10-10 %





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 11





Variacije parametrov niso vedno statistično neodvisne, ampak so lahko tudi korelirane. Npr. pri proizvodnji integriranih vezij imajo vsi difuzijski upori bodisi preveliko ali pa premajhno vrednost.





fr



x

x° +3σ





Slika 2.3 a. Porazdelitev, pri kateri so izločeni elementi z ožjimi tolerancami in b. enakomerna porazdelitev.





Lastnosti vezij so lahko definirane tudi z grafi. Tudi tukaj uporabljamo simetrični in nesimetrični način podajanja tolerančnega območja, npr. narišemo lahko nominalno karakteristiko in območje ±3σ.





Slika 2.4 Tolerančno področje neke karakteristike (a) in tolerančno območje delovne točke tranzistorja (b).





12

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Zahteva





B

A





960

1000

104

R [Ω]



Slika 2.5 Zgled – Porazdelitev upornosti 1kΩ±5 % v vzorcu 40 uporov.

Proizvajalec A: srednja vrednost =1001Ω, s = 5Ω. Proizvajalec B: srednja vrednost = 984Ω, s = 7Ω. Zahtevano : srednja vrednost = 1000Ω, s = 17Ω.





Porazdelitev Hfe

14

12

10

acn 8

6

rekveF 4

2

0

200

250

300

350

400

450

500

550

Hfe



Slika 2.6 Porazdelitev izmerjenih vrednosti tokovnega ojačenja tranzistorja BC547B. (Podatki v katalogu: tipična vrednost 450, minimalna 200.)



2.1 Meritev toleranc

Če imamo veliko število elementov, izberemo samo vzorec le-teh, s pomočjo katerega nato ocenimo standardno deviacijo celotne populacije. Predpostavili bomo, da imamo naključno izbranih N primerkov in da lahko pri meritvi

določene lastnosti oziroma parametra zanemarimo merilni pogrešek. Naj bo s standardna deviacija vzorca in σ standardna deviacija celotne populacije. Le pri velikem N je srednja vrednost vzorca približno enaka nominalni vrednosti celotne populacije, iz katere smo izbrali N primerkov. Isto velja za standardno deviacijo: σ ≈ s. Z manjšanjem števila primerkov se natančnost ocene slabša (glej tabelo 2.2 in sliko 2.7). Npr. pri 100 vzorcih in pri 95 % stopnji zaupanja je standardna deviacija celotne populacije σ = s±14 %. Šele pri 200 primerkih pade natančnost ocene na ±10 % Pri oceni standardne deviacije celotne



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 13



populacije vzamemo najbolj neugoden primer, to je pozitivno vrednost napake. Na sliki 2.7 je to označeno s polno črto.



σ

s

N



Slika 2.7 Z večanjem števila primerkov se manjša interval, znotraj katerega leži σ. Polna črta je najbolj pesimistična ocena, črtkana pa najbolj optimistična.





Tabela 2.2 Standardna deviacija celotne populacije σ v odvisnosti od števila primerkov za 95 % stopnjo zaupanja. Standardna deviacija vzorca je označena s črko s. Prikazan je najbolj neugoden primer.





N

σ



10 s+44

%



50 s+20

%



100 s+14

%



200 s+10

%





Zgled 1

Iz množice istih napetostnih virov z znano toleranco ±20 % smo vzeli

različno velik vzorec naključnih primerkov. Na podlagi tega vzorca smo ocenili standardno deviacijo celotne populacije oziroma toleranco (glej tabelo 2.3). Vidimo, da se rezultat neprestano spreminja in šele pri

velikem številu primerkov se ocena približa dejanski toleranci.



Tabela 2.3 Statistični podatki za napetostni vir UG = 10V±20 %. Velikost vzorca je označena z N. Stopnja zaupanja je 95 %.

UG N=10 N=50 N=100 N=200 N=500 N=∞

Sred. vred. 10,05 10,06 9,97 9,98 9,99 10,00

Stand. dev. s 0,743 0,585 0,610 0,568 0,626 0,666

Toleranca 3σ 31,9 % 20,8 % 20,9 % 18,7 % 19,9 % 20,0 %

Max. vred. 11,61 11,61 11,61 11,61 11,93 12,00

Min. vred. 8,940 8,779 8,77 8,77 8,28 8,00





14

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc





Zgled 2



Iz množice kondenzatorjev smo naključno izbrali 10 primerkov in

izmerili njihovo kapacitivnost. Izmerjene so bile naslednje vrednosti v pF: 25, 24, 22, 25, 26, 20, 25, 24, 26, 21. Približno oceni, kolikšne so tolerance.



Rešitev:



Kondenzatorji v vzorcu imajo kapacitivnost med 20 pF in 26 pF. Srednja vrednost vzorca je 24 pF in standardna deviacija je 2 pF. Ker imamo zelo majhen vzorec (samo 10 primerkov), ocenjujemo, da leži σ celotne

populacije nekje v intervalu 2 pF±44 % oziroma 1,12 pF..2,88 pF. Ker

bomo upoštevali najbolj neugoden primer, bomo izbrali za sigmo

vrednost: 2 pF+44 % ≈ 3 pF. Na podlagi vzorca ocenjujemo, da imajo

kondenzatorji v celotni seriji kapacitivnost (24±9) pF.



Popolnoma napačen je zaključek, da je toleranca kondenzatorjev

20 pF ... 26 pF, saj se ti podatki nanašajo le na vzorec in ne na celotno populacijo!





2.2 Standardne vrednosti parametrov



Večina vrednosti parametrov oziroma lastnosti lahko zavzame katerokoli vrednost in katerokoli toleranco. Npr. ojačevalnik ima lahko moč 22W±7 % in integriran upor upornost 11,2K±5 %. Zaradi enostavnejšega načrtovanja in ekonomskih vzrokov je pogosto smotrno, da lastnosti gradnikov zavzamejo točno določene standardizirane vrednosti, ki imajo tudi določeno toleranco.

Npr. diskretni upor ima lahko vrednost 150K±20 %, medtem ko kombinacija 180K±20 % ne obstaja.



Po standardu DIN IEC 63 so vrednosti parametrov in njihove tolerance izbrane tako, da brez lukenj pokrijejo določeno področje. Niz vrednosti je definiran z izrazom, ki ga je potrebno pravilno zaokrožiti:





i 1

−

10

ln( )



x( i) = 100 N

e

(2.2)





i: zaporedni indeks v seriji, N: število vrednosti v dekadi.



Niz vrednosti ima oznako E<N>, kjer je N število vrednosti v dekadi. Npr. E6

pomeni, da je dekada razdeljena na 6 vrednosti. Po dogovoru ima naslednja vrsta vedno dvakrat več vrednosti: E3, E6, E12, itd. (glej tabelo 2.4). Število vrednosti v dekadi in toleranca ter cena so seveda povezani: več je vrednosti, nižja je toleranca in višja je cena. Npr. lestvica E6 ima v dekadi 6 vrednosti, T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 15



druga po vrsti je 150±20 %. Pri izbiri vrednosti je pogosto potrebno izbrati eno izmed sosednjih vrednosti. Če poznamo občutljivost4, je odločitev enostavna.





Tabela 2.4 Standardizirana lestvica vrednosti5.



E3 (50 %)

E6 (20 %)

E12 (10 %)



100

100

100

120

150

150



180

220

220

220

:

: : :



Tudi načrtovalci integriranih vezij so pri izbiri dimenzij vezani na tehnološke parametre: vsaka dimenzija mora biti mnogokratnik določene konstante.



4 Občutljivost bo razložena v naslednjem poglavju.

5 Celotna tabela je v prilogi.



16

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 2.3 Naloge za poglavje 2



1. Tovarna proizvaja ojačevalnike z nazivno močjo 24W. Iz tekočega traku smo vzeli 10

ojačevalnikov in izmerili njihovo moč. Oceni toleranco moči ojačevalnikov, ki jih proizvaja tovarna.



Rezultati meritev: 25W, 24W, 22W, 25W, 26W, 22W, 25W, 24W, 26W, 21W.



2. Imamo usmernik z napetostjo 5±1V. Kolikšna je verjetnost, da bo napetost na njegovem izhodu ležala v intervalu 4,8 do 5,2V? Kolikšna je verjetnost, da bo napetost manjša od 4,5V? Predpostavi, da so vrednosti napetosti porazdeljene po Gaussovi porazdelitvi6.





6 Za rešitev te naloge je potrebno obvladati podpoglavje Normalna ali Gaussova porazdelitev, ki se nahaja v poglavju Osnove statistike.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 17



3. Analiza občutljivosti

Proučevanje vpliva majhne spremembe nekega parametra na določeno

lastnost vezja je osrednji problem, s katerim se ukvarja analiza občutljivosti (sensitivity analysis). V bistvu nas zanima, v kolikšni meri je neka lastnost vezja občutljiva na spremembo posameznih parametrov. Npr. za ojačevalnik na sliki 3.1 nas zanima, v kolikšni meri vpliva sprememba napajalne napetosti UCC na kolektorski tok Ic.





Slika 3.1 Preprost ojačevalnik.



To bi enostavno ugotovili tako, da bi najprej izmerili tok delovne točke, nato pa povišali napetost UCC za 2V. Ugotovili bi, da se je tok povečal za 4mA.

Kvantitativno ovrednotimo občutljivost tako, da izračunamo kvocient:





sprememba lastnosti

I

Δ

4

c

mA



=

=

= 2 mA/ V (3.1)

sprememba parametra

U

Δ

V

2

CC





Občutljivost običajno označujemo s črko S, ki ji lahko dodamo tudi dva parametra:



S Ic = 2 mA / V ali S( Icc, Ucc) = 2 mA / V

UCC





Rezultat preberemo in interpretiramo na naslednji način: občutljivost toka Icc na spremembo napetosti Ucc v delovni točki je 2mA/V, kar pomeni, da se pri dvigu napetosti za 1V tok poveča za 2mA.



Podatki o občutljivostih so zelo uporabni, saj jih potrebujemo pri:



1. analizi in načrtovanju toleranc,



18

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 2. pravilnem zaokroževanju nazivnih vrednosti7,

3. iskanju parametra, s katerim bomo korigirali lastnost,

4. identifikaciji kritičnih elementov.





Občutljivost lahko izračunamo na več načinov: na analitični način, s

perturbacijsko metodo, s pomočjo Tellegenovega teorema in inkrementalnega vezja8. V nadaljevanju bomo obravnavali samo prvi dve metodi.



Sedaj skušajmo idejo o občutljivosti posplošiti. Vezje, ki ga načrtujemo, mora zadostiti več zahtevam oziroma mora imeti določene lastnosti, npr.: vhodna upornost, ojačenje, zgornja frekvenčna meja, prenosna karakteristika itd. Npr.: 2

U



P =

= F ( U, R ,

1 R )

2

1

R + R 2

1



k ' W / L

n

a

a

A = −

= F W , L , W , L

u

'

2 (

a

a

b

b )

k W / L

p

b

b





Te lastnosti bomo označili s F1, F2, … Lastnost Fj je odvisna od strukture, vrednosti posameznih komponent9 in zunanjih dejavnikov (npr. temperatura).

Vrednosti komponent in zunanjih dejavnikov bomo poimenovali parametri.

Splošno odvisnost vseh lastnosti od m parametrov lahko zapišemo kot niz funkcij, ki imajo m argumentov:





F = F ( x , x ,.., x ) = F ( x) 1

1

1

2

m

1

F = F ( x , x ,.., x ) = F ( x) 2

2

1

2

m

2

(3.2)

:

F = F ( x , x ,.., x ) = F ( x) n

n

1

2

m

n





Iz niza vseh lastnosti bomo izbrali samo na eno in jo označili s F. Lastnost F je v matematičnem smislu funkcija, ki je lahko definirana na analitični način, s tabelo ali pa z grafom. Pri obravnavi se bomo omejili samo na vezja in na funkcije, ki so definirane v realnem prostoru. Če je vezje že zgrajeno, lahko lastnost F in parametre tudi izmerimo. Tudi s simulatorjem lahko določimo lastnost F le, če poznamo ustrezen model vezja in vrednosti parametrov. Torej bo pogoj, ki ga bomo postavili takoj na začetku, to, da lahko na neki način določimo lastnost F, če poznamo vrednosti parametrov.





7 Glej poglavje 2.2 Standardne vrednosti parametrov.

8 Več o tem pristopu glej v [BRATKOVIČ, 1992].

9 Pri ojačevalniku na sliki 3.1 je bila lastnost kolektorski tok Ic.



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 19



Ne smemo pozabiti, da lastnost F ni odvisna samo od vrednosti parametrov, ampak tudi od strukture vezja. Izbor strukture vezja je odvisen od zahtevanih lastnosti, razpoložljive tehnologije in od znanja, ki ga ima načrtovalec. V večini primerov velja, da sprememba vrednosti parametrov ali strukture povzroči tudi spremembo lastnosti.



3.1 Meritev občutljivosti (perturbacijska metoda)

Najprej nas bo zanimalo, kako majhna sprememba samo enega izmed

parametrov vpliva na lastnost F. Ker bomo parameter xi spremenili samo za majhno vrednost, nas bo zanimalo obnašanje F v okolici določene točke (glej sliko 3.2). To točko, ki jo bomo poimenovali nominalna ali nazivna vrednost, bomo označili z: x° = ( o o

o

x , x ,.. x . Parameter x

1

2

m )

i za malenkost spremenimo

(ostali parametri morajo ostati nespremenjeni!) in izmerimo spremembo Δ F (za zgled glej izraz 3.1):





F

Δ

F( x + x

Δ ) − F( x )



F

i

i

i

Sˆ ≈

=

(3.3)

x

o

i

x= x

x

Δ

( x + x

Δ ) − ( x )

i

o

=

i

i

i

x x





Tako izračunani občutljivosti pravimo inkrementalna občutljivost.



Perturbacijska metoda je uporabna, kadar lahko parametre enostavno

spreminjamo in merimo spremembo lastnosti. Če vezje še ni zgrajeno, lahko s simulatorjem to meritev zelo enostavno simuliramo.



Če bi izbrali drugo točko oziroma nazivno vrednost parametrov, bi se razen izjem, občutljivost spremenila.



Z manjšanjem spremembe parametra ∆xi se razlika med diferencialno in

inkrementalno občutljivostjo manjša. Ker v imenovalcu računamo razliko med dvema skoraj enakima številoma, lahko pride pri majhnih spremembah do

velikih pogreškov. Pri meritvi na točnost tudi vpliva kakovost instrumenta.

Velikost spremembe je običajno 10 % do 30 % nazivne vrednosti. Če je

toleranca znana, potem običajno izberemo σ, 2σ ali pa 3σ.



Največja prednost perturbacijske metode je njena enostavnost oziroma

univerzalnost, saj ne zahteva analitičnega izraza za opis lastnosti F. Pri velikem številu parametrov postane nepraktična, saj moramo za m parametrov izvesti m+1 meritev10 oziroma simulacij. Ker obstajajo tudi druge metode, kjer lahko z eno ali dvema simulacijama dobimo občutljivosti neke lastnosti na vse

parametre, lahko to štejemo za njeno slabost.





10 Ena meritev oziroma simulacija je potrebna tudi za določitev vrednosti lastnosti pri nominalnih vrednosti parametrov.



20

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Zgled

S perturbacijsko metodo11 izračunaj občutljivost resonančne frekvence

nihajnega kroga na spremembo induktivnosti (L = 0,01H, C = 0,01F).



Nominalna vrednost resonančne frekvence:



ω = F



R

( L, C)

1

1

1

=

=

= 100 −

s

−2

−2

LC

10 ⋅10



Izberemo 10 % povišanje L. Pri L = 0,011H je frekvenca:



1

1

ω =

=

3

,

95

−

s

R

−2

−2

1

,

1 ⋅10 ⋅10



∧ ω

F

Δ

3

,

95 −100

S

3

1

−

1

−

L =



o =

= − ,

4 7 ⋅10 s / H = − ,

4 7 s / mH

L x= x

Δ

,

0 001



Če se induktivnost poveča za 1mH, pade frekvenca za 4,7s-1.





3.2 Analitični izračun občutljivosti

Če je F v tej točki odvedljiva, je občutljivost lastnosti F na majhno spremembo parametra xi definirana kot parcialni odvod F po xi: F

∧

F

∂



S x =

(3.4)

i

o

x= x

x

∂ i



F

∧

Ker gre za infinitezimalno majhne spremembe, bomo S x poimenovali i

diferencialna občutljivost12 lastnosti F na spremembo parametra xi.

Pogosto ji pravimo kar koeficient občutljivosti oziroma občutljivost lastnosti F

na parameter xi.





11 Če poznamo analitični izraz za lastnost, raje uporabimo analitični pristop, ki je v nadaljevanju opisan. Tukaj je samo zaradi zgleda uporabljena perturbacijska metoda.

12 Strešico smo dodali zato, da bomo lahko razlikovali med normirano in nenormirano občutljivostjo.



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 21



F

F

S xi

Fº

xºi

xi



Slika 3.2 Spreminjanje neke lastnosti v odvisnosti od parametra xi. Občutljivost v delovni točki je v bistvu vrednost odvoda v tej točki, ki je odvisna tudi od položaja točke oziroma nominalne vrednosti parametra.

Zgled

Izračunaj občutljivost resonančne frekvence nihajnega kroga na

spremembo induktivnosti (L = 0,01H, C = 0,01F).



Občutljivost frekvence na spremembo L:



∧ ω

F

∂

1

−3 / 2

1

S

−3 / 2

−2

−2

1

−

L =

o = −

( LC) C = − (10 ⋅10 ) ⋅ 01

,

0

= −5000 s / H

L x= x

∂

2

2



Kadar so pričakovane spremembe oziroma nazivna vrednost precej

manjše, kot je osnovna vrednost enote, ustrezno spremenimo enoto

parametra. Ker je nazivna vrednost 10mH, bomo občutljivost podali v

enoti s-1/mH:



∧ ω

F

∂

S

1

−

1

−

L =



o =

5000

−

s / H = −5 s / mH

L x= x

∂



Kot smo pričakovali, se rezultata za malenkost razlikujeta.



3.3 Normirana občutljivost

Spremembo oziroma odvod lahko izrazimo tudi v procentih. Pogosto želimo ugotoviti, kako vpliva relativna sprememba parametra, izražena v procentih, na spremembo lastnosti. Če je ena izmed sprememb izražena v procentih, potem govorimo o normirani občutljivosti. To ugotovimo s primerjavo posameznih občutljivosti. Za primerjavo med raznimi občutljivostmi je primerno normiranje na relativno spremembo parametra:





F

o

Δ F

Δ F x



i

S x =

=

⋅

(3.5)

i

Δ x

Δ

i

x 100

100

i

o

xi



22

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Enota tako definirane občutljivosti se nanaša na en procent spremembe. Na primer 5 V/% pomeni, da se bo napetost povečala za 5V, če se poveča vrednost parametra za 1 %. Občutljivost lahko normiramo tudi na nominalno vrednost lastnosti:



F

F

Δ

100



S x =

⋅

(3.6)

i

o

x

Δ

F

i



Če gre za zelo majhne spremembe, se pogosto uporablja enota ppm (parts per million – milijoninka), npr.: 2·10-3/V = 2000ppm/V.



Normiramo lahko hkrati na nominalno vrednost lastnosti in parametra:





F

o

F

Δ

x



S

i

x =

⋅

(3.7)

i

o

x

Δ

F

i



Zgoraj definirana občutljivost nima enote in se podaja v razmerju %/%.





Zgled 1

Nazivna vrednost nekega stabiliziranega vira pri 27 °C je 2V. Če se

temperatura dvigne za 2 °C, se napetost poveča na 2,0008V. Izračunaj

občutljivost in jo normiraj na različne načine.



U

∧

U

Δ

2 − 0008

,

2

S T =



o =

= 4 mV / C

°

T x= x

Δ

27 − 29

U

U

Δ

T

(2 −

)

0008

,

2

27

S T =

⋅

=

= 08

,

1

mV / %

T

Δ

100

(27 −

100

)

29

U

U

Δ

100

(2 −

)

0008

,

2

⋅100

S T =

⋅

=

=

%

2

.

0

/ C

° = 2000 ppm / C

°

T

Δ

U

(27 −

)

29 2

U

Δ U T

(2 −

)

0008

,

2

27

S T =

⋅

=

=

%

0054

,

0

/ %

Δ T U

(27 −

)

29 2





Pogosto ne poznamo analitičnega izraza za neko lastnost, ampak samo

občutljivost. Če sprememba parametra ni prevelika, lahko kljub temu

izračunamo posledico, ki jo povzroči majhna sprememba parametra xi (glej sliko 3.3):





F

F

Δ ≈ Sˆ ⋅ x

Δ

x

i

i





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 23





F ( x o + x

Δ

≈ F o + F

Δ = F o + Sˆ ⋅ x

Δ (3.8)

i

i )

F

x

i

i





V bistvu smo linearizirali lastnost F v okolici delovne točke. Popolnoma natančen rezultat bi dobili, če bi vrednost spremembe vstavili v funkcijo: F = F( x o + x

Δ

i

i )





ε

F(xº +Δxº )

S Δ

. x

F(xº)

xº xº+Δx



Slika 3.3 Z večanjem spremembe parametra (Δx) se veča tudi napaka ε.



Označimo z ΔF(xi) spremembo lastnosti, ki je posledica spremembe i-tega parametra.





F

Δ ( x ≈ Sˆ ⋅ x

Δ

i )

F

x

i

i





Če je občutljivost normirana na relativno spremembo, izraženo v procentih (enačba 3.5 ), potem mora biti tudi Δ x izražen v %. Če se hkrati spremeni več parametrov in so te spremembe majhne, je skupna sprememba kar vsota ΔF(xi):





m



Δ F ≈ ∑Δ F( x

(3.9)

i )

i=1

oziroma



m

F

Δ ≈ S F x

Δ + S F x

Δ +...+ S F x

Δ =

(3.10)

1

2

1

2

∑ SF x

Δ = ST ⋅ x

x

x

x

m

x

i

m

i

i=1





24

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Zgled 2



Z analizo občutljivosti filtra smo določili občutljivost mejne frekvence na spremembo posameznih parametrov13. Za koliko se spremeni mejna

frekvenca, če se C1 poveča za 10 % in R2 zmanjša za 5 %?





Parameter

S [Hz/%]

VCC -3,9·10-6

VEE -1,3·10-2

C1

20

R1 -50

R2 -50

C2 -117





fzg

Δ

≈ S fzg C

Δ 1+ S fzg R

Δ 2 = 20 Hz / %⋅ %

10 + − 50

/ % − %

5

= 450

C 1

R 2

(

Hz

)(

)

Hz



Mejna frekvenca filtra se je dvignila za 450Hz.





V nekaterih primerih so parametri odvisni od neke skupne spremenljivke, npr.

napajalne napetosti, temperature:





F( T ) = F( x ( T ),... x ( T ) (3.11) 1

m

)



V tem primeru občutljivost na temperaturo izračunamo tako, da vsak parameter dodatno odvajamo po T:





F

∧

F

∂

F

∂ dx

F

∂ dx

F

∂ dx



S

1

2

m

T =

=

+

+...+

(3.12)

T

∂

x

∂ dT

x

∂

dT

x

∂

dT

1

2

m





13 Na sliki je Sallen-Keyev filter.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 25





F

F

x

F

x

F

x

∧

∧

∧ 1

∧

∧ 2

∧

∧ m

F

∂



ST =

= S x

(3.13)

1 S T + S x 2 S T + ... + S x

S

m

T

T

∂



Xm

∧

V tem primeru imenujemo S T temperaturni koeficient parametra xm.





Zgled 3

Izračunaj občutljivost napetosti U na spremembo temperature.





U = I R in

2

R = R + kT . Nazivne vrednosti: I

G

0

G = 0,1A, R = 100Ω,

k = 2Ω/ºC2, T = 25 ºC



Rešitev:



Ker so znani analitični izrazi, bomo uporabili analitični izračun

občutljivosti:



U

∧

U

∂

U

∂ dI

∂

G

U dR

S T =

=

+

= 0 + 2 I kT

T

∂

I

∂

dT

R

∂ dT

G

G



Občutljivost v točki, ki jo določa nazivna vrednost:



U

∧

S

o

T = 2 I kT = 2 ⋅

1

,

0 ⋅ 2 ⋅ 25 = V

10 / C

G



3.4 Določitev občutljivosti s simulatorjem

Večina simulatorjev ima vgrajen ukaz le za izračun diferencialne občutljivosti delovne točke14 na spremembo posameznih parametrov. Za izračun drugih

občutljivosti je potrebno simulirati ustrezno meritev (perturbacijska metoda) oziroma uporabiti ustrezni skript15.





14 Delovna točka vezja so vse vrednosti enosmernih tokov in napetosti. Pogosto merimo samo najpomembnejše napetosti in tokove.

15 To je poseben jezik, s katerim lahko krmilimo delovanje simulatorja.





26

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Zgled 1 – Izračun občutljivosti s simulatorjem



Zanima nas občutljivost napetosti v vozlišču številka 1 na spremembe

vseh parametrov. Ker gre za občutljivost delovne točke, uporabimo ukaz

.SENS V(1), ki sproži analizo diferencialne občutljivosti. Izpis

prikazuje slika 3.4.



Spremembo lastnosti F dobimo tako, da pomnožimo normiran koeficient občutljivosti, ki ga izpiše SPICE, kar z odstotno vrednostjo spremembe parametra. Npr. če je ΔR2 = 10 %, je sprememba napetosti



ΔV(1) = 0,125V.





DC SENSITIVITIES OF OUTPUT V(1)



ELEMENT ELEMENT ELEMENT NORMALIZED

NAME VALUE SENSITIVITY SENSITIVITY

(VOLTS/UNIT) VOLTS/PERCENT)



R2 2.000D+03 6.250D-04 1.250D-02

R3 2.000D+03 6.250D-04 1.250D-02

R1 1.000D+03 -2.500D-03 -2.500D-02

VG 1.000D+01 5.000D-01 5.000D-02

I1 2.500D-06 9.815D+04 2.454D-03

Q4

BF 1.000D+02 6.238D-04 6.238D-04



Slika 3.4 Zgled izpisa rezultatov16 analize občutljivosti (verzija SPICE 2G6).





Zgled 2: Izračun občutljivosti s simulatorjem IsSpice4





Zanima nas občutljivost napetosti UR oziroma V(2) na spremembe

parametrov.





Diferencialna občutljivost



Vgrajen ukaz .sens izračuna samo nenormirane koeficiente

občutljivosti delovne točke.



16 D+03 pomeni 103. Črka D pomeni, da gre za dvojno, E pa za enojno natančnost.



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 27





E:\..\ZGLED-DELILINK.CIR SENS

*#SAVE V(1) @V1[I] @V1[P] V(2) @R1[I] @R1[P] @R2[I]

*#SAVE @R2[P] @R3[I] @R3[P]

*#ALIAS UIZH

*#SENS V(2)

*#PRINT ALL

V1 1 0 DC=10

R1 1 2 1K

R2 2 0 2K

R3 2 0 2K

.END





ELEMENT

ELEMENT ELEMENT

NAME

VALUE SENSITIVITY



r1

1.000e+003 -2.500e-003

r2

2.000e+003 6.250e-004

r3

2.000e+003 6.250e-004

v1.dc

1.000e+001 5.000e-001



Slika 3.5 Diferencialna občutljivost napetosti UR (verzija IsSpice4).



Inkrementalna občutljivost



Isto nalogo lahko rešimo tudi s perturbacijsko metodo. Velikost

spremembe parametrov naj bo 1/3 vrednosti tolerance oziroma σ. Ker

imamo 4 parametre, je potrebno izvesti 5 simulacij. Problem hitreje

rešimo, če uporabimo ustrezen skript za izračun občutljivosti. Kljub obstoju takšnega skripta, je potrebno napisati še lastni skript, ki izračuna določeno lastnost. Ker gre v našem primeru za preprosto lastnost

(napetost UR), je ta skript zelo enostaven.





PARAMETER NOMINALNA

SPREMEMBA

OBČUTLJIVOST

RELATIVNA

VREDNOST

PARAMETRA

[V/ENOTO]

OBČUTLJIVOST

[V/%]

r1 1,0K

66,667

-2,41e-3

-2,41e-002

r2 2,0K

133,33



5,95e-4

1,19e-002

r3 2,0K

133,33



5,95e-4

1,19e-002

v1 10,0

0,66667



5,00e-1

5,00e-002





Slika 3.6 Inkrementalna občutljivost UR na posamezne parametre.





Če primerjamo diferencialno in inkrementalno občutljivost napetosti UR, vidimo, da se za malenkost razlikujeta.





28

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 3.5 Naloge za poglavje 3

1. Lastnost F je opisana s funkcijo F = 4

2

x x + 3 2

x − 2 . Nominalna vrednost delovne

1 2

1

točke je o

x = 1 o

x = . Kateri parameter najbolj vpliva na F?

1

,

2

2



2. Pri temperaturi 25 ºC je bila izhodna napetost 250mV, pri 30 ºC pa 245mV. Kolikšna je občutljivost napetosti na temperaturo (temperaturni koeficient)? Občutljivost izrazi na dva načina: v enotah mV/ ºC in v ppm/ ºC.



3. Nazivna vrednost toka je 200μA, občutljivost toka na spremembo napajalne napetosti pa 100ppm/V. Za koliko μA se bo povečal oziroma zmanjšal tok, če se bo povečala napajalna napetost za 2V?

2

U

4. Disipacija nekega vezja je opisana z izrazom:

2

P = I R +

. Nominalne vrednosti so:

1

R 2

I = 2A, U = 4V, R1 = 6Ω in R2 = 1Ω. Kolikšna je nazivna moč? Na spremembo katerega parametra bo moč najbolj občutljiva? Kolikšna je sprememba moči, če se upor R1 poveča za 2 %, napetost U pa zmanjša za 4 %? Spremembo moči izračunaj na dva načina.



5. Izračunaj na dva načina občutljivost izhodne napetosti na spremembe vrednosti uporov: z analitično in perturbacijsko metodo. Kolikšna je natančnost izračuna ΔUizh s pomočjo občutljivosti, če pričakujemo naslednje spremembe:



ƒ povečanje posameznega upora za 10 %,

ƒ povečanje posameznega upora za 0,5Ω in

ƒ upora R1 in R2 se povečata za 10 % in R3 se zmanjša za 5 %?





IG = 1A, R1 = 2Ω, R2 = 16Ω, R3 = 6Ω.



6. Določi potek moči na uporu RG v odvisnosti od napetosti UG.

a. Kolikšna je občutljivost moči na uporu R na spremembo napetosti UG?

b. Kolikšna je občutljivost moči na uporu RG na spremembo napetosti UG?

c. Kolikšna je občutljivost moči na uporu R na spremembo upora R?

Občutljivosti izrazi v enoti W/%.





(RG = 1Ω, UG = 10V, R = 9Ω)





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 29





7. Kolikšna je občutljivost toka I na spremembo napetosti UG? Uporabi perturbacijsko metodo. (RG = 1Ω, UG = 10V, R = 9Ω, R1 = 10Ω, IB = 5A). Izberi 5 % spremembe parametrov. Občutljivost izrazi v enoti [%/V].





8. S pomočjo občutljivosti ugotovi, za koliko se spremeni tok I, če se upor R zmanjša za 5

%? Vezje je enako kot pri nalogi 7. Uporabi analitični izračun občutljivosti.



9. Z nominalnimi parametri smo izvedli simulacijo 1. Nato smo Vdd povišali na 5,5V in izvedli simulacijo 2. Parameter W2 smo povečali za 0,8 μm in izvedli simulacijo 3. Nato smo povečali temperaturo za 100 ºC in izvedli simulacijo 4. Vsakič smo spremenili samo en parameter. Izračunaj občutljivost toka na spremembo napajalne napetosti in na spremembo dimenzije W2. (Izračunaj nenormirano in vse variante normirane občutljivosti.)





Simulacija 1

Simulacija 2 Simulacija 3

Simulacija 4



+ΔVdd

+ΔW2

+ΔT





V( 2 ) 2.96e+000

3.21e+000

2.88e+000

2.89e+000

V( 1 ) 1.35e+000

1.47e+000

1.39e+000

1.32e+000

V( 3 ) 5.00e+000

5.50e+000

5.00e+000

5.00e+000

tok

4.68e-005

6.44e-005

5.22e-005

3.89e-005





30

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 10. Glej podatke iz prejšnje naloge. Kolikšna je občutljivost V(2) na spremembo napajalne napetosti? Občutljivost izrazi v enoti V/%. Kolikšen je temperaturni koeficient toka izražen v ppm/ ºC?



11. Zanima nas občutljivost toka delovne točke Ic na spremembe upornosti in napajalne napetosti oziroma kateri element najbolj vpliva na Ic? Tokovno ojačenje tranzistorja je 500.





12. Imamo enak ojačevalnik kot pri prejšnjem zgledu. Kateri upor najbolj vpliva na diferencialno vhodno upornost v vozlišču 2?



13. Kako bi s pomočjo simulatorja SPICE določil, kateri element najbolj vpliva na zgornjo frekvenčno mejo ojačevalnika? Na kratko opiši postopek.



14. Znani so podatki o naslednjih občutljivostih: S Uizh

ˆ

=

V

1

,

0

/ C

° , SUizh = ,

0 01 V / % ,

T

R 1

S Uizh = − ,

0 02 V / % . Kolikšna bo sprememba Uizh, če se temperatura dvigne za 20 °C, R 2

obe upornosti pa se povečata za 10 %?





15. Toleranca katerega izmed uporov R1 in R4 najbolj vpliva na Rvh?



R4



R3 = R2 = 10Ω, R4 = 20Ω, R1 = 5Ω



R3



R2

Rvh





R1

16. Izračunaj normirano občutljivost [/%] napetostnega ojačenja na spremembe uporov.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 31



4. Pregled metod za analizo toleranc

Analiza toleranc je postopek, kjer iščemo toleranco določene lastnosti vezja, pri čemer poznamo tolerance in nominalne vrednosti parametrov (glej zgled na sliki 4.1). V

razvojnem ciklusu vezja (glej sliko 1.1) najprej načrtujemo z nominalnimi vrednostmi, šele nato sledi načrtovanje toleranc parametrov. Tipični variabilni parametri so: temperatura, napajalne napetosti in tolerance diskretnih elementov (npr. hFE). V bistvu nas zanima, kako vplivajo variacije vseh parametrov na spremembo lastnosti. V večini primerov analiziramo tolerance zato, da bi preverili, ali smo pravilno določili tolerance parametrov.



Glede na definicijo tolerance lahko metode za analizo razdelimo v dve skupini. V prvi, ki je usmerjena v iskanje najbolj neugodnega primera (worst case analysis), so naslednje metode:



1. analitična metoda,

2. linearizacija lastnosti,

3. vse možne kombinacije vrednosti parametrov,

4. ustrezen izbor ekstremnih vrednosti,

5. matematično programiranje,

6. izkušnje (empirična ocena toleranc),

7. genetski algoritmi in

8. poskušanje.



V drugo skupino spadajo metode, kjer iščemo tolerančno območje, ki je definirano s področjem ±3σ. Med temi metodami, ki jim pravimo tudi statistične metode, je najbolj znana Monte Carlo analiza.





Slika 4.1 Zgled za analizo toleranc – znane so nominalne vrednosti in tolerance parametrov, iščemo toleranco dveh lastnosti: UR in Rvh.



Če poznamo dopustno toleranco lastnosti, potem s to analizo tudi preverjamo, ali dejanska toleranca lastnosti presega dopustno.





32

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 5. Analiza najbolj neugodnega primera

V prejšnjem poglavju smo ugotovili, da se vrednosti parametrov glede na posamezen primerek spreminjajo, vendar ležijo vedno znotraj predpisanega tolerančnega območja. Te spremembe se odražajo tudi v spremembah lastnosti.

Najbolj neugoden primer17 je takšna kombinacija vrednosti parametrov, pri katerih doseže variacija lastnosti maksimalno vrednost. Zgodi se lahko, da vrednost lastnosti preseže dopustna odstopanja, ali pa da vezje sploh ne deluje pravilno. Načrtovalca zanima, kolikšne so vrednosti lastnosti v najbolj neugodnem primeru in kolikšna je verjetnost, da se to zgodi. Pri iskanju najbolj neugodnega primera verjetnostnega vidika ne bomo upoštevali. Predpostavili bomo, da obstaja zadostna verjetnost, da se najbolj neugoden primer zgodi.



5.1 Analitična metoda

Lastnost F (npr. napetost usmernika, moč, cena) naj bo odvisna od m parametrov. x1 .. xm. Parametri so lahko dimenzije (npr. W = 2μm) ali pa vrednosti elementov (npr. R = 10K, UG = 5V), vrednosti parametrov v modelih polprevodnikov (npr. hFE, UT), vrednosti generatorjev, s katerimi vzbujamo vezje in pa vsi drugi dejavniki, ki kakorkoli vplivajo na lastnost F (npr.

temperatura). Pri proizvodnji integriranih vezij so to procesni parametri.



Označimo z n število lastnosti, ki nas zanimajo:



F = F ( x , x ,.., x ) = F ( x) 1

1

1

2

m

1

F = F ( x , x ,.., x ) = F ( x) 2

2

1

2

m

2

:

F = F ( x , x ,.., x ) = F ( x) n

n

1

2

m

n





Znane so tolerance vsakega parametra: min

°

max

x

≤ x ≤ x

. Vsi intervali, znotraj

i

i

i

katerih se gibljejo vrednosti parametrov, tvorijo parameterski prostor. Pri analizi najbolj neugodnega primera iščemo maksimum18 in minimum funkcij Fj na prostoru, ki ga definirajo tolerance parametrov. Če problem prevedemo v matematični jezik, v bistvu iščemo maksimum in minimum

funkcije F j v omejenem prostoru. Tiste z največjimi oziroma najmanjšimi vrednostmi bomo poimenovali absolutni, ostale pa lokalni minimumi oziroma maksimumi. Ker imajo te funkcije v večini primerov več parametrov, iskanje ekstremov ni enostavno. Če gre za samo en parameter, je problem zelo

enostaven:



ƒ Poiščemo točke, v katerih ima funkcija odvod enak nič.

ƒ Z drugim odvodom določimo, ali so ekstremi maksimumi ali minimumi.



17 Angl. worst case (WC).

18 Maksimum oziroma minimum bomo označili z naslednjo notacijo:

[

min F ( x)

.

j

], [

max F ( x)

j

]



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 33



ƒ Izračunamo vrednosti na robovih intervala.

ƒ Iz podatkov, dobljenih v 2. in 3. koraku, določimo absolutne ekstreme.





Zgled

Neko vezje ima dve lastnosti F1 in F2. Obe sta odvisni samo od enega

parametra, ki lahko zavzame vrednost 3 ≤ x ≤ 6. Nominalna vrednost parametra je xº = 4.



F = f

(natančen potek lastnosti je v tem zgledu zahtevna funkcija,

1

( x)

zato je samo simbolično podana)



F = (

2 x − 2)2

2



Če poteke lastnosti narišemo, lahko takoj odčitamo območje, znotraj

katerega se bosta gibali obe lastnosti. Problem bomo rešili na analitični način.



Rešitev za lastnost F1:



Izračunamo odvod F1: '

F = x −

x −

x −

x −

. Znotraj

1

(

5

,

0 )(

)1(

5

,

3 )(

5)

parameterskega prostora sta samo dve ničli: x = 3,5 in x = 5. Vrednosti lastnosti v teh lokalnih ekstremih sta: F ( x = 5

,

3

=

in

1

) ,52

F ( x = 5 = .

1

) 2



Izračunamo še vrednosti na robovih: F ( x = 3 = in F ( x = 6 = .

1

) 7

1

) 4

Sedaj lahko izberemo absolutna ekstrema:



max

F

= F ( x = 6 = in min

F

= F ( x = 5 =

1

) 2

1

) 7



Najbolj neugoden primer oziroma toleranca lastnosti F1 je:



2 ≤ F ≤ 7

1



Nominalna vrednost lastnosti: F o ( x = 4 =

1

) 3



Rešitev za lastnost F2:



'

F =

x −

Ničle odvoda 0 = 4( x − 2) so pri x = 2. Ker te vrednosti 2

(

4

2)

parameter ne more zavzeti19, nas ta ekstrem ne zanima. Izračunamo

vrednosti na robovih: F ( x = 3 = in F ( x = 6 =

. Takoj vidimo,

2

) 32

2

) 2

da sta edina ekstrema tista, ki sta na robovih. Najbolj neugoden primer oziroma toleranca lastnosti F2 je



2 ≤ F ≤ 32

2



19 Vrednost leži zunaj prostora, ki ga definirajo tolerance parametrov.





34

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Nominalna vrednost lastnosti: F o ( x = 4 =

2

) 8



Pri spremembi parametra 3 ≤ x ≤ 6, lahko pričakujemo spremembe lastnosti:

2 ≤ F ≤ 7 in 2 ≤ F ≤ 32 .

1

2



Na sliki 5.1 sta prikazana poteka obeh lastnosti.





Slika 5.1 Potek obeh lastnosti, ki sta odvisni samo od enega parametra. Funkcija na desni ima več lokalnih ekstremov.



V večini primerov je potek lastnosti znotraj parameterskega prostora monotona funkcija (glej sliko 5.2) in ekstremi so na robovih parameterskega prostora.

Velika dinamika (več lokalnih ekstremov), ki jo kaže slika 5.1, je zelo redka. S

tem zgledom smo skušali samo pokazati, da ne velja vedno, da se ekstremne vrednosti lastnosti pojavljajo pri ekstremnih vrednostih parametrov.



Če imamo več kot en parameter, se postopek zelo zaplete, tako da v splošnem ni možno določiti ekstremnih vrednosti lastnosti F na analitični način in si je potrebno pomagati z numeričnimi postopki. Pri optimizacijskih metodah gre za zelo podoben problem20. Bistvena razlika je v tem, da je pri optimizaciji prostor, ki ga lahko zavzamejo parametri, dosti večji. Pri analizi toleranc gre za zelo ozko področje, kjer lahko pogosto predpostavimo, da je F približno linearna.



Le analitična metoda lahko garantira natančne meje toleranc oziroma določi absolutno najbolj neugodno vrednost lastnosti F. Z vsemi drugimi metodami lahko določimo meje le z neko določeno verjetnostjo. Z numeričnimi metodami sicer lahko poiščemo ekstreme lastnosti F, vendar zelo težko ugotovimo, ali gre za lokalne ali pa za absolutne ekstreme.





20 Več o tej problematiki je v literaturi, ki obravnava optimizacijo (glej npr. [BRATKOVIČ, 1992]).





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 35





Slika 5.2 Tipične oblike poteka lastnosti znotraj parameterskega prostora.



Analitična metoda ne zahteva nobenih omejitev glede velikosti sprememb parametrov, saj so le-te lahko poljubno velike. Rezultat, ki ga dobimo pri velikih spremembah parametrov, je pogosto potrebno zapisati v nesimetrični obliki. Problem analize najbolj neugodnega primera se poenostavi, če so tolerance parametrov majhne, saj lahko takrat funkcijo F v okolici nazivne vrednosti lineariziramo.



5.2 Linearizacija lastnosti v prostoru toleranc

F

ΔF

Fmin

Fmin’

Δx

x° xmax

xmin

x



Slika 5.3 Fmin’ je dejanski minimum, Fmin pa vrednost, ki jo dobimo, če lastnost F v delovni točki lineariziramo. Pri maksimalnih vrednostih je napaka v tem zgledu dosti manjša.





36

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Kadar so tolerance parametrov relativno majhne, lahko nelinearen potek lastnosti v tem intervalu poenostavimo z linearizacijo. Pri analizi občutljivosti smo poiskali povezavo med majhnimi spremembami parametrov in spremembo lastnosti F:



Δ

F

F ≈ $ Δ x

S



x

i

i



(5.1)



Če so spremembe parametrov zelo majhne in funkcija ni pretirano nelinearna, potem je sprememba lastnosti kar enaka vsoti prispevkov posameznih

parametrov. Ker ima sprememba Δx lahko pozitiven ali pa negativen predznak, izberemo takšnega, da se vsi prispevki seštejejo ali pa odštejejo. Prispevek k spremembi lastnosti, ki nastane zaradi spremembe parametra xi, bomo označili z F

Δ ( x

Δ

. Če spremembe niso prevelike, velja:

i )





F

Δ ≈ F

Δ ( x

Δ

(5.2)

1 ) +

F

Δ ( x

Δ 2 )+ ... F

Δ ( x

Δ m )





F

F

F

Δ F ≈ S Δ x + S Δ x + S

...

Δ x (5.3)



x

1

x

2

x

m

1

2

m



Če so tolerance parametrov nesimetrične, je tudi toleranca lastnosti

nesimetrična.



Zgled 1



Tok nekega tokovnega generatorja je odvisen od dveh parametrov: Rb in

UG. V kolikšnem območju leži IG?



Nazivne vrednosti parametrov:

Rbº = 12K, Rb = 10K…20K

UGº = 5V, UG = 5,2V…3V



Občutljivosti toka tokovnega generatorja sta:

S I = %

2 / V in S I = − %

3 / Ω

k

UG

Rb



Rešitev:



+ΔRb = 8k in –ΔRb = 2k

+ΔUG = 0,2V in –ΔUG = 2V



I

Δ = S I UG

Δ

+ S I Rb

Δ



UG

Rb

max

Δ I

= %

2 / V ⋅ ,

0 2 V + (− %

3 / Ω

k )(− 2 Ω

k ) = + ,

6 %

4

min

Δ I

= %

2 / V (− 2 V )+ (− %

3 / Ω

k )(8 Ω

k ) = − %

28





Enačba 5.3 se poenostavi, če so tolerance parametrov simetrične: v najbolj neugodnem primeru dobimo kar vsoto posameznih sumandov. Seveda je tudi toleranca lastnosti zaradi tega simetrična:





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 37





F

F

Δ = S

+ S

+ ... + S

(5.4)

1 Δ

1

2 Δ

2

Δ

x

x

F

x

x

F

xm

xm





m



Δ F = ∑ S F Δ

. xi (5.5)

i=1

i

x



.

Ekstremni vrednosti F sta:

[ F( x)]= F o

max

+ F

Δ in

[ F( x)]= F o

min

− F

Δ





Ta metoda je uspešna le, če je F monotona funkcija in če jo lahko brez velikih pogreškov zamenjamo z linearno. V tem primeru ležita ekstrema lastnosti pri ekstremnih vrednostih parametrov.





Zgled 2



Nominalna vrednost UR = 5V in znane so občutljivosti. Oceni najbolj

neugoden primer UR.





ELEMENT Nominalna Občutljivost Normirana

vrednost občutljivost

[V/enoto] [V/%]



R2 2,000E+03 6,250E-04 1,250E-02

R3 2,000E+03 6,250E-04 1,250E-02

R1 1,000E+03 -2,500E-03 -2,500E-02

VG 1,000E+01 5,000E-01 5,000E-02



Ker so vse tolerance parametrov simetrične, lahko kar seštejemo

prispevke vsakega parametra:



U

Δ

= ,

1 25 ⋅10 2

− ⋅ 20 + ,

1 25 ⋅10 2

− ⋅ 20 + 5

,

2 ⋅10−2 ⋅ 20 + 5 ⋅10 2

− ⋅ 20 = V

2

R

oziroma 40 %





URmax = 7V in URmin = 3V





38

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 5.3 Metoda z vsemi možnimi kombinacijami vrednosti parametrov Če bi za vsako možno vhodno kombinacijo parametrov analizirali vezje, bi dobili vse možne vrednosti, ki jih lahko zavzame določena lastnost vezja.



To je najenostavnejša, vendar časovno najzahtevnejša metoda. Z njo bi lahko ugotovili tudi absolutne ekstremne vrednosti. Če so vrednosti parametrov zvezne veličine, razdelimo tolerančno območje parametrov na končno število enako oddaljenih točk Δxi. Če to število označimo z w, potem je za m parametrov potrebnih wm simulacij ali izračunov ali meritev. Iz dobljenih rezultatov izberemo ekstremne vrednosti.





Slika 5.4 Če ima funkcija F samo en parameter, lahko to metodo tudi enostavno ilustriramo. Iz slike je razvidno, da se v tem zgledu ekstremne vrednosti F ne nahajajo pri ekstremnih vrednostih parametra.





Zgled

UR = f ( R 1, R 2, R 3, UG) 1



R1 = 10±2Ω

R2 = 10±2Ω

R3 = 5±2Ω

UG = 5±2V



Rešitev:



Odločimo se, da iz intervala, v katerem leži vrednost parametra, izberemo 5 enako oddaljenih vrednosti (Δx = 1Ω in Δx = 1V):



R1



8.0 9.0 10.0 11.0 12.0

R2



8.0 9.0 10.0 11.0 12.0

R3



3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

UG

3.0 4.0 5.0 6.0 7.0





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 39



Ker obstaja 54 = 625 kombinacij, moramo opraviti prav toliko izračunov ali meritev ali simulacij. Iz dobljenih rezultatov nato poiščemo ekstremne vrednosti UR.



5.4 Metoda z izborom ekstremnih vrednosti parametrov

Ker je prejšnja metoda zahtevala izredno veliko število simulacij, bomo poskušali množico kombinacij zmanjšati s tem, da ne bomo izbrali prav vseh kombinacij, ampak samo tiste, za katere velja velika verjetnost, da bodo odkrile maksimum oziroma minimum funkcije F. Če tolerance niso prevelike in je F

monotona funkcija, se ekstremne vrednosti nahajajo na robovih parameterskega (tolerančnega) prostora. Torej pri tej metodi izbiramo samo ekstremne vrednosti parametrov (npr. maksimalno in minimalno temperaturo, maksimalno in minimalno napetost baterije).



Za ocenitev toleranc po tej metodi imamo na razpolago tri pristope:



1. Poskusimo z vsemi možnimi kombinacijami ekstremnih vrednosti parametrov. Ker si lahko za vsak parameter izberemo eno izmed dveh

možnosti (maksimalna ali minimalna vrednost), je potrebno za m

parametrov preveriti 2m kombinacij.



2. Z empiričnim poznavanjem lastnosti vezja določimo predznake

občutljivosti in nato izberemo pravo kombinacijo.



3. Z analizo občutljivosti določimo predznake in nato izberemo ustrezno kombinacijo.



To metodo se uporablja, kadar imamo majhno število parametrov oziroma kadar proučujemo vpliv variacije zunanjih dejavnikov. Tipična parametra, katerih vpliv variacije je potrebno skoraj vedno preveriti, sta temperatura in napajalna napetost.





Zgled



Pri načrtovanju integriranih vezij na lastnosti vezja vplivajo variacije v samem proizvodnem procesu. Variacije nastopajo med posameznimi

šaržami, znotraj rezine so relativno majhne. Proizvajalec nikakor ne more zagotoviti konstantnih procesnih razmer, kar pomeni, da bodo tudi

parametri tranzistorjev21 variirali okrog tipičnih vrednosti. Te spremembe parametrov se odražajo v variaciji hitrosti preklopa22. Če narišemo možne vrednosti hitrosti, dobimo območje, ki ima približno obliko

paralelograma (glej sliko 5.5). Proizvajalci navajajo tipični model za NMOS in PMOS tranzistor in štiri ekstremne modele, ki ležijo v

ogliščih.





21 Predvsem gre za debelino oksida, pragovno napetost (±15 % do ±20 %) in dolžino kanala.

22 Povečanje pragovne napetosti povzroči zmanšanje toka v območju nasičenja in s tem znižanje hitrosti.





40

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Tabela 5.1 Oznake modelov za MOS tranzistorje.





NMOS PMOS

TT tipična hitrost

tipična hitrost

FF hiter

hiter

SS počasen počasen

FS hiter

počasen

SF počasen hiter





Načrtovalec mora preveriti, ali bo vezje delovalo pri tej variaciji hitrosti.

Pri analizi izbere vse štiri ekstremne vrednosti. Če k temu še dodamo

variacijo zunanjih parametrov (napajalne napetosti, temperatura), dobimo 4 parametre. Zraven simulacije s tipičnimi (nominalnimi vrednostmi) je potrebno opraviti še 24 simulacij. Pri tej analizi, ki ji pravimo analiza ogliščnih točk 23 , gre v bistvu za analizo najbolj neugodnega primera, kjer preizkusimo vezje z vsemi kombinacijami ekstremnih vrednosti nekaterih pomembnih parametrov.





rosthit

PMOS



Slika 5.5 Območje, znotraj katerega ležijo hitrosti preklopa PMOS in NMOS

tranzistorjev. Ogliščne točke so označene s črno barvo.





5.5 Izbor ustreznih ekstremnih vrednosti parametrov s pomočjo podatkov o občutljivosti



Namesto da bi izbrali prav vse možne kombinacije ekstremnih vrednosti

parametrov, izberemo samo tiste, za katere velja velika verjetnost, da bodo 23 Angl. Corner analysis.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 41



odkrile pravi ekstrem. Ko na ta način določimo pravo kombinacijo ekstremnih vrednosti parametrov, s simulacijo, izračunom ali meritvijo določimo

maksimalno in minimalno vrednost oziroma toleranco F ( x).

V nekaterih primerih variacije parametrov niso neodvisne, ampak so

povezane. Npr. pri proizvodnji integriranih vezij imajo vsi difuzijski upori bodisi preveliko ali pa premajhno vrednost.



Če je občutljivost parametra xi pozitivna, to pomeni, da večanje parametra povzroči večanje F (glej sliko 5.6). Za maksimalno vrednost F torej v tem primeru izberemo maksimalno vrednost parametra xi. Če je občutljivost negativna, izberemo minimalno vrednost parametra. Označimo tako dobljeno kombinacijo parametrov z x max*. Za izračun minimalne vrednosti F izberemo ravno komplementarne vrednosti. Označimo tako dobljeno kombinacijo parametrov z x min*.



Sedaj lahko s simulacijo, izračunom ali meritvijo določimo maksimalno in minimalno vrednost oziroma toleranco F ( x):



ma [

x ( )] = ( max*

F x

F x

)

mi [

n ( )] = ( min*

F x

F x

)



Za kontrolo monotonosti poteka lastnosti F lahko izračunamo občutljivosti pri ekstremnih vrednostih parametrov. Če je lastnost monotona funkcija, se predznaki občutljivosti ne bodo spremenili. Ker dejanski potek funkcije ne poznamo, lahko trdimo le, da obstaja verjetnost, da je funkcija monotona. Če se predznak spremeni, potem potek funkcije zagotovo ni monoton, kar pomeni, da obstaja lokalni ekstrem znotraj prostora, ki ga definirajo tolerance. Če še vedno vztrajamo pri tej metodi, potem poskusimo tudi z izborom ravno

nasprotne ekstremne vrednosti parametra.





Slika 5.6 Povezava med občutljivostjo in izborom ekstremne vrednosti

parametra dveh lastnosti F1 = F1(x) in F2 = F2(x).





42

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Zgled



Kolikšna je najmanjša oziroma največja napetost UR? Preveri tudi

monotonost UR.





Rešitev:



S simulatorjem ali pa na analitični način določimo občutljivosti:





nenormirana

občutljivost



[V/Ω], [V/V]

R2

6.250D-04

R3

6.250D-04

R1 -2.500D-03

VG

5.000D-01





Glede na predznak občutljivosti izberemo maksimalno ali minimalno

vrednost parametra. Nato s simulacijo določimo URmax in URmin pri

obeh izbranih kombinacijah vrednosti parametrov. Dobimo dve

vrednosti: UR = 7,2V in UR = 3,2V. Za test monotonosti v obeh delovnih točkah ponovno izračunamo občutljivosti24. Ker nobena ni spremenila predznaka, predvidevamo, da je potek funkcije monoton in da smo izbrali pravo kombinacijo ekstremnih vrednosti.





nenormirana

ustrezna kombinacija za

občutljivost



V/[Ω], V/V

Urmax URmin

R2

6,250D-04 R2max=2,4K R2min=1,6K

R3

6,250D-04 R3max=2,4K R3min=1,6K

R1 -2,500D-03 R1min=0,8K R1max=1,2K

VG

5,000D-01

VGmax=12V VGmin=8V





24 Rezultati te analize niso prikazani v zgledu.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 43



5.6 Naloge za poglavje 5

1. Na dvopolni element, ki je opisan s karakteristiko i = u( 2

u / 3 − 3 u + )

8 , je pritisnjena

napetost u0 = 4,5V±1,5V. Z matematično analizo ugotovi, v kolikšnem območju leži tok delovne točke i0?



2. Karakteristika dvopola je enaka kot pri vaji 1. Delovna točka je u0 = 6V±20 %. Kolikšna je toleranca i0? Skiciraj karakteristiko.



3. Kolikšna je nazivna vrednost toka? V kolikšnem območju leži vrednost toka? Kolikšna je verjetnost, da bo tok večji od izračunane zgornje meje?





4. Resonančna frekvenca nekega oscilatorja je opisana z izrazom: fr = k 2

1Ra

- k2Rb.

( Ra =1k±20 %, Rb =100±20 %, k1 = 10-3Hz/Ω2, k2 = Hz/Ω). Kolikšna je nazivna vrednost fr? Kolikšna je zgornja oziroma spodnja meja resonančne frekvence?



5. S pomočjo rezultatov simulacije izračunaj najbolj neugoden primer Uizh, če je toleranca uporov 5 %, baterije 20 % in hfe = 150±35 %.

VCC

10

4

R1

R2

500

20k

Uizh

2

R3

5k

Q3

3

5

2N2222

V1

0





IME IN NOM,VRED,LASTNOSTI uizh = 5,026V



PARAMETER NOMINALNA_VREDNOST OBČUTLJIVOST[ENOTA/%]



r3:resistance 5,0000K -2,0e-002

r1:resistance 500,00 -1,2e-002

r2:resistance 20,000K 3,1e-002

vcc:dc 10,0000 2,5e-002

q3_tol.bf 150,00 -9,8e-003



5.1 Imamo enako vezje kot pri prejšnji nalogi, vendar drugačne tolerance. Izračunaj najbolj neugoden primer Uizh, če je toleranca uporov 5%, baterije 6…11V in hfe=50…200.



6. Stabiliziran vir, ki naj bi imel toleranco 5V±2 %, mora delovati v temperaturnem območju od -30 ºC do 100 ºC. Napetost 9V baterije lahko pade za največ 3V. Kolikšna je toleranca vira? Preveri tudi, ali vezje ustreza zahtevam. Znane so občutljivosti pri nazivnih vrednostih temperature (25 ºC) in napajalne napetosti (9V):





44

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc SUizh = −50 ppm / C

° , SUizh = 10 mV / V

T

Ubat



7. Izpelji analitični izraz za napetost UR in izračunaj toleranco napetosti UR z metodo, ki linearizira lastnost. Tolerance uporov so 10 %, tokovnega generatorja pa 30 %.





Diferencialne občutljivosti napetosti UR za nominalni primer:

PARAMETER VREDNOST OBČUTLJIVOST NORMIRANA

PARAMETRA OBČUTLJIVOST [V/%]



R1 2,000E+03 -7,500E-04 -1,500E-02

R2 4,000E+03 -2,500E-04 -1,000E-02

R3 2,000E+03 2,500E-04 5,000E-03

IG 2,000E-03 -1,000E+03 -2,000E-02



8. Glej podatke iz naloge 5. Kolikšne naj bodo vrednosti parametrov, da bomo lahko simulirali najbolj neugoden primer Uizh?

R 2

9. Moč nekega vezja je določena z izrazom: P =

1

⋅ k . Vrednosti parametrov so:

R + R

1

2

R1 = 1±20 %, R2 = 2±20 %, k = 1W/Ω. Kolikšna je toleranca oziroma območje P?

Uporabi metodo z ustreznim izborom ekstremnih vrednosti.



10. Izpelji analitični izraz za napetost UR in določi najbolj neugoden primer. R = 1k±20 %, Ug = 10V±20 %. Uporabi ustrezen izbor ekstremnih vrednosti parametrov.

R

Ug

+

R

UR





11. Reši nalogo 7 z ustreznim izborom ekstremnih vrednosti. Z izračunom občutljivosti pri ekstremnih vrednostih parametrov preveri monotonost poteka lastnosti.



12. Izračunaj najbolj neugoden primer za napetostno ojačenje na dva načina: a. z ustreznim izborom ekstremnih vrednosti in b. z linearizacijo lastnosti. Upori imajo 10 % toleranco.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 45



6. Ocena statistične tolerance in izmeta

6.1 Hitra ocena statistične tolerance

Podobno kot pri iskanju najbolj neugodnega primera nas tudi tukaj zanima, kako vpliva variabilnost parametrov na variabilnost lastnosti. Tokrat bomo upoštevali tudi verjetnost. Prispevek k spremembi lastnosti, ki nastane zaradi spremembe parametra xi, bomo označili z F

Δ ( x

Δ . Če spremembe x

Δ niso prevelike, potem velja:

i )

i



F

Δ ( x

Δ

≈ S ⋅ x

Δ

i )

F

x

i

i



Spremembe parametrov naj bodo sedaj izražene s statističnimi merami npr. σ. Če se hkrati spremeni več parametrov, potem se rezultat vseh sprememb oceni z enačbo: F

Δ ≈

F

Δ 2 ( x

Δ )+ F

Δ 2

...

(6.1)

1

( x

Δ )+

F

Δ 2

2

( x

Δ m )



Če za spremembo parametra izberemo 3σ, potem se izračunana sprememba lastnosti ΔF tudi nanaša na velikost 3σ. Na ta način lahko hitro ocenimo statistično toleranco lastnosti (glej zgled na naslednji strani).



Najbolj neugoden primer smo ocenili z:





F

Δ

≈ F

Δ

x

Δ

+ F

Δ

x

Δ

+ ... + F

Δ

x

Δ

(6.2)

wc

( 1)

( 2 )

( m )



Takoj vidimo, da velja:



F

Δ

> F

Δ

wc

To pomeni, da je vrednost najbolj neugodnega primera vedno večja kot statistično določene meje. Verjetnost, da zavzame lastnost vrednost, ki je večja ali enaka toleranci25, je približno 0,15 %. Če je porazdelitev vseh parametrov normalna, je verjetnost nastopa najbolj neugodnega primera vedno manjša kot 0,15 %.





Slika 6.1 Najbolj neugoden primer vedno leži nad 3σ.



25 Statistična toleranca je vrednost, ki ustreza 3σ. Glej tudi tabelo 2.1.





46

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Zgled

Za narisano vezje poznamo normirane občutljivosti. URº = 5V.

Oceni (statistično) toleranco napetosti UR.





PARAMETER Toleranca Normirana

občutljivost

[%] [V/%]



R2 20 1,250E-02

R3 20 1,250E-02

R1 20 -2,500E-02

VG 20 5,000E-02



Rešitev:



Prispevek k spremembi lastnosti, ki nastane zaradi spremembe parametra xi: F

Δ ( x

Δ

≈ S

x

Δ

i )

F

x

i

i



UR

Δ

≈

F

Δ 2 ( R

Δ 2)+ F

Δ 2 ( R

Δ )

3 + F

Δ 2 ( R

Δ )

1 + F

Δ 2 ( UG

Δ

)



PARAMETER Δx

F

Δ

x

Δ

F

Δ 2 x

Δ

i Normirana

( i )

( i )

občutljivost

[%] [V/%]



R2 20 1,250E-02 0,25 0,0625

R3 20 1,250E-02 0,25 0,0625

R1 20 -2,500E-02 -0,50 0,2500

VG 20 5,000E-02 1,00 1,0000



Σ





2,00 1,37





Sprememba vsakega parametra je bila enaka vrednosti tolerance oziroma 3σ.



Statistična ocena tolerance je UR

Δ

=

37

,

1

=

V

17

,

1

oziroma 23 %.

Ocenjena σ = 0,39. Najbolj neugoden primer je ΔUR = 2,00V.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 47



fr

UR

5 6,17

3,83

7





Z analizo najbolj neugodnega primera smo za to vezje ugotovili, da je URmax = 7. Ta vrednost je za približno 5σ oddaljena od nominalne vrednosti. Verjetnost, da bo UR≥7, je 2,35·10-5 % (glej tabelo 6.1).



6.2 Statistična ocena z Monte Carlo analizo

Monte Carlo analiza, ki je v bistvu simulacija proizvodnje, poteka v treh zaporednih korakih:



1. naključni izbor parametrov za vsak primerek,

2. simulacija vezij (primerkov) in izračun lastnosti,

3. statistična analiza.



Ker je možno vse tri korake avtomatizirati, je ta analiza vgrajena v večino simulatorjev vezij. Celoten postopek bomo podrobneje prikazali kar na

konkretnem zgledu, kjer bo UR lastnost, ki nas zanima.



R1 = 5Ω±20 %, R2 = 5Ω±10 %, UG = 4V±10 %





1. korak – naključni izbor parametrov



Pri Monte Carlo analizi naključno izbiramo vrednosti parametrov. Na primer, če je v vezju napetostni vir UG = 10V±20 %, potem bomo izbirali vrednosti znotraj intervala 8V do 12V v skladu z ustrezno porazdelitvijo (glej sliko 6.2), ki velja za ta parameter.





V tem zgledu si bomo izbrali zelo malo primerkov26, saj bomo računali brez uporabe računalnika. Odločimo se za 10 primerkov (N = 10) in pripravimo tabelo, kamor vpisujemo naključne vrednosti parametrov.



26 Za resno izvedeno Monte Carlo analizo je potrebno večje število primerkov.



48

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc fr

fr

x

x°

x°

x

x° -3σ

x° + 3σ

x° -3σ

x° + 3σ



a b



fr fr

x

x°

x

x° -3σ

x° + 3σ

x°

x° -3σ

x° + 3σ





c d



Slika 6.2 Najpogosteje uporabljene porazdelitve parametrov: a. Gaussova, b.

Gaussova, ki ima izločen srednji del, c. enakomerna in d. binarna.



Območje

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

parametra

3,6 ≤UG≤4,4 4,3 3,7 4,0 4,1 3,9 4,2 3,8 4,0 3,9 3,7

4,0 ≤R1 ≤6,0 5,0 5,2 4,8 5,9 4,5 5,0 4,7 4,2 5,8 5,3

4,5 ≤R2≤5,5 5,4 5,2 4,6 5,1 4,7 4,9 5,2 5,3 5,3 5,0





Dobili smo 10 primerkov vezja, katerih parametri imajo naključne vrednosti, ki se nahajajo znotraj toleranc.



2. korak – simulacija vezij



V drugem koraku vsak primerek simuliramo in dobimo N naključnih vrednosti lastnosti F: F(1), F(2), …F(N). Namesto simulacije bomo UR kar izračunali in vrednosti UR vpisali v tabelo 6.1.



R 2



UR =

UG (6.3)

R 1+ R 2





Tabela 6.1 Naključne vrednosti lastnosti UR



j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

UR 2,2 1,9 1,7 1,9 2,0 2,1 2,0 2,2 1,9 1,8



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 49





Podoben niz dobljenih naključnih vrednosti bi dobili, če bi zgradili N vezij. V

bistvu z Monte Carlo analizo simuliramo proizvodnjo. Postopek se ne spremeni, če nas zanima več lastnosti hkrati.



3. korak – statistična analiza



V zadnjem koraku se izvede statistična analiza naključnih vrednosti lastnosti F(j), kjer je j = 1..N (glej tabelo 6.1) .





F o ≈ F (6.4)





Δ F = σ

3 (6.5)



Pri velikem vzorcu je standardna deviacija vzorca približno enaka standardni deviaciji celotne populacije (σ ≈ s). Isto velja za povprečno vrednost.

Povprečno vrednost lastnosti računamo zgolj za kontrolo, saj pravo nominalno vrednost lastnosti večinoma poznamo27. Večji je vzorec, bolj natančna in zanesljiva bo ocena tolerance (več o tem glej v poglavju Osnove statistične analize).



Rezultati statistične analize:



• Srednja vrednost: UR =

V

97

,

1



• Nominalna vrednost: UR o =

V

0

,

2



• Standardna deviacija vzorca: s =

V

16

,

0



• Standardna deviacija celotne populacije28: σ ≈ 16

,

0

⋅ ,

1 44 = ,

0

V

23

• Najbolj neugoden primer v nizu: UR max = ,

2 V

2 in UR min =

V

7

,

1



• Toleranca lastnosti UR = (2 ± 0,7)V



V nizu lastnosti je zanimivo poiskati ekstremne vrednosti lastnosti F (to bomo poimenovali iskanje najbolj neugodnega primera s poskušanjem). Verjetnost naključnega odkritja pravega najbolj neugodnega primera je seveda izredno majhna in odvisna od porazdelitve in števila N.





6.3 Lastnosti in uporaba Monte Carlo analize

V primerjavi s predhodnimi metodami dobimo tukaj tudi porazdelitev lastnosti

F. Za vsako vrednost F lahko izračunamo tudi verjetnost, da se bo zgodila. Z

analitično metodo smo sicer lahko poiskali resnične ekstremne vrednosti lastnosti F, vendar nismo mogli podati ocene, kolikšna je verjetnost, da se bodo zgodili. To pomanjkljivost odpravlja Monte Carlo analiza, saj lahko ocenimo29: 27 Nominalno vrednost lastnosti dobimo, če za parametre izberemo njihove nominalne vrednosti.

28 Ker imamo samo 10 primerkov, je standardna deviacija celotne poulacije za 44 % večja (glej tabelo 2.2 in sliko 2.7).

29 Glej zgled, ki sledi.





50

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc





• Koliko vezij ne bo ustrezalo zahtevam oziroma kolikšen bo izmet30?

• Katere vrednosti se bodo najpogosteje pojavljale?

• Kolikšna je verjetnost, da se bo pojavila najbolj neugodna kombinacija parametrov?



Nekatere prejšnje metode so bile uporabne le, če tolerance parametrov niso bile prevelike. Za Monte Carlo metodo ta omejitev ne velja. Edini pogoj, ki ga moramo izpolniti, je poznavanje porazdelitvene funkcije parametrov. Slabost te analize je, da potrebujemo veliko primerkov, če hočemo zanesljivo ocenjevati tolerance oziroma verjetnost najbolj neugodne kombinacije parametrov. Z

večanjem računalniških zmogljivosti postaja ta problem čedalje manjši.



Le če gre za ozke tolerance, se vrsta porazdelitve ohranja. Npr., če so vsi parametri porazdeljeni po Gaussovi distribuciji, bo tudi porazdelitev lastnosti F

porazdeljena po Gaussovi. Razlika bo le v srednji vrednosti in standardni deviaciji. Velike spremembe parametrov oziroma nelinearnost funkcije F lahko povzroči tudi preoblikovanje porazdelitvene funkcije.



Pri navadni Monte Carlo analizi predpostavljamo, da so variacije med parametri statistično neodvisne. Ker to vedno ne velja (npr. pri proizvodnji integriranih vezij), dobimo bolj pesimistične ocene31, kot jih dajejo kasnejše meritve.



6.4 Računalniško podprta Monte Carlo analiza

Ker je vse tri korake možno avtomatizirati, Monte Carlo analizo podpira večina simulatorjev. Če lastnost ni delovna točka (npr. zgornja frekvenčna meja), je potrebno napisati skripte, ki pri vsaki simulaciji iz rezultatov izračunajo vrednost lastnosti.





Zgled



Vrednosti parametrov v narisanem vezju so porazdeljene po Gaussovi

porazdelitvi. Določi toleranco napetosti UR. Računalniško analizo izvedi s 50 primerki vezij. Za primerjavo ponovi analizo z 10, 100, 200 in 500

primerki vezij. Vezje ustreza naročnikovim zahtevam, če leži UR znotraj intervala 5V±10 %. Kolikšen bo izmet?





30 Angl. prevod yield.

31 PCA (Principal Components Analysis) Monte Carlo analiza odpravlja ta problem. Zgled take analize je v članku [CANTATORE, 1999].





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 51



Rešitev:



Nominalno vrednost poznamo: UR = 5 V, določiti je potrebno samo 3σ

področje. V simulatorju elementom dodamo toleranco, izberemo

Gaussovo porazdelitev in opravimo 50 analiz. Standardna deviacija tako dobljenih 50 vrednosti UR je s = 0,346 V. Ker gre za vzorec in ker

nimamo velikega števila podatkov, ne moremo predpostaviti, da je σ = s.

S pomočjo tabele 6.1 ugotovimo, da standardna deviacija celotne

populacije σ leži v intervalu s±20 %. Za najbolj neugoden primer

izračuna deviacije je σ = s+20 %≈0,4.



Statistična ocena toleranc (3σ) je: UR = 5V ± 1,2 V oziroma UR = 5V ±

24 %. URmax = 6,2 V in URmin = 3,8 V.



Na podoben način izvedemo analizo za druge vrednosti N. Iz podatkov iz tabele 6.2 je razvidno, da smo se že pri 50 primerkih zelo dobro približali dejanski toleranci, ki naj bi znašala 22,7 %.





Tabela 6.2 Statistični podatki v odvisnosti od števila primerkov.

UR N=10 N=50 N=100 N=200 N=500 N=∞

Sred. vred. 5,047 5,055 4,990 4,984 4,992 5,000

Stand. dev. 0,387 0,346 0,346 0,356 0,370 0,391

Toleranca 33,2 % 24,6 % 23,7 % 24,5 % 22,2 % 22,7 %

Max. vred. 5,750 5,750 5,750 5,951 6,107 7,200

Min. vred. 4,514 4,320 4,295 3,958 3,958 3,200



Opomba: N = ∞; vrednosti so dobljene na analitični način, razen

tolerance, ki velja za N = 2000. Standardna deviacija se nanaša na vzorec, toleranca pa na celotno populacijo.





Slika 6.3 Variacija UR v odvisnosti od j-tega primerka. S črtkano črto je označena tolerančna meja.



52

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 10.0

yg

6.00

2.00

1

3.66

4.36

5.06

5.76

ur





Slika 6.4 Porazdelitev vrednosti izhodne napetosti UR, prikazane v obliki histograma za N = 50.



Za kontrolo smo izrisali tudi porazdelitev napetostnega vira UG (glej

sliko 6.5) in ocenili toleranco, ki je sicer bila znana. Toleranca, dobljena s simulacijo, je znašala 20,9 %, dejanska pa je bila 20 %.



V tem zgledu nas tudi zanima, kolikšen bo izmet oziroma kolikšna je

verjetnost, da bo UR ležala izven 5±10 % intervala. Ta podatek dobimo z enostavnim odštevanjem verjetnosti, ki jih odčitamo na kumulativni

distribuciji32(glej sliko 6.6) lastnosti UR:

{ PUR < }5,

4

=

3

,

16 % in {

P UR <

}

5

,

5

=

5

,

95 %



Verjetnost, da je UR znotraj intervala:

{

P 5

,

4 < UR <

}

5

,

5

=

5

,

95 % −

3

,

16 % =

,

79 2%



Verjetnost, da je UR zunaj intervala:

{

P 5

,

4 > UR >

}

5

,

5

=

%

100 −

,

79 %

2 =

%

8

,

20

≈

%

21



21 % vezij ne ustreza naročnikovim zahtevam, saj pri njih leži UR izven intervala 5±10 %.





32 Kumulativna distribucija prikazuje verjetnost P{UR<ur}.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 53





N = 50 N = 1000



Slika 6.5 Porazdelitev (parametra) napajalne napetosti UG = 10V±20 %, prikazana v obliki histograma za 50 in za 1000 primerov.





90.0

UR= 5.50 , P = 95.5%

70.0

]

[%

50.0

nost

Verjet

30.0

UR = 4.50 , P = 16.3%

10.0

3.60

4.30

5.00

5.68

ur



Slika 6.6 Kumulativna porazdelitev UR. Vezje je sprejemljvo, če velja 5V±10 %. Na sliki odčitamo, da bo izplen 95,5 % - 16,3 % = 79,2 % oziroma izmet bo znašal 20,8 %.





54

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 6.5 Simulacija proizvodnje

Na sliki 6.7 je prikazan zelo preprost diferenčni ojačevalnik, ki ga bomo uporabili za zgled. Diferenčni ojačevalnik mora ojačevati samo razliko vhodnih napetosti. Če sta vhodni napetosti popolnoma enaki in če je tudi leva stran enaka desni, je napetost U enaka nič. Ker vrednosti parametrov rahlo variirajo (npr. upornost R1, R2, pragovna napetost itd.), na izhodu vedno obstaja neka napetost, ki ji pravimo preostala napetost33. Preostala napetost naj bo lastnost, ki nas bo v tem zgledu zanimala.





Slika 6.7 Preprost diferenčni ojačevalnik

Nekorelirani parametri. Pri najpreprostejši proizvodnji je vezje sestavljeno iz diskretnih elementov, ki so povezani na tiskanini. Vsak element ima vrednost znotraj določenih toleranc (npr. ΔR = ±5 %). Med dejanskimi vrednostmi parametrov ni nobene povezave. Tudi nominalna vrednost vsakega parametra med proizvodnjo se bistveno ne spreminja. Dejanska vrednost R1 je popolnoma neodvisna (nekorelirana) od vrednosti, ki jo ima upor R2 (glej sliko 6.8). Z

enostavno Monte Carlo analizo, ki smo jo predhodno opisali, bi določili tolerančno območje U oziroma ocenili izmet.





Slika 6.8 Nekorelirane vrednosti dveh uporov 100±5 %.



33 Ang. offset voltage.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 55





Korelirani parametri. Narava proizvodnje nekaterih elektronskih elementov je takšna, da se nominalna vrednost parametrov občasno spremeni. To je še posebej izrazito pri proizvodnji integriranih vezij. Natančnost izdelanih elementov je odvisna od natančnosti orodij in homogenosti materiala. Vrednost upornosti integriranega upora je odvisna od njegovih dimenzij in plastne upornosti materiala. Plastna upornost je predvsem odvisna od količine primesi.

Če proizvodnjo čez čas ponovijo (nova serija)34, so dimenzije uporov še vedno iste, vendar je količina primesi rahlo spremenjena, saj tehnologi ne morejo zagotoviti popolnoma enakih pogojev (temperatura, količina primesi itd.), kot so bili pri prejšnji seriji. Zato imajo vsi upori lahko rahlo prevelike ali pa premajhne vrednosti, kar se v porazdelitvi kaže kot premik nominalne

vrednosti35 (glej sliko 6.9 in sliko 6.10). Na sliki 6.7 bi imela oba upora pri prvi seriji npr. vrednost 108Ω, pri drugi 99Ω, tretji 80Ω itd. To variabilnost med serijami bomo imenovali variabilnost procesa. S primernim načrtovanjem lahko vpliv variabilnosti procesa izdelave pogosto odpravimo36.





Slika 6.9 Porazdelitev upornosti 100Ω integriranega upora, kadar so razlike med serijami velike (a) in majhne (b).



Kljub temu, da bomo na eni rezini izdelali upore, ki naj bi bili enaki, nastanejo med njimi zelo majhne razlike37, ki so večinoma posledica nenatančnosti orodij.



34 Sinonim je šarža. Angl. prevod je lot.

35 Angl. global process variations, intra-die variations.

36 Kljub povečani vrednosti uporov (glej sliko 6.7) bi preostala napetost bila enaka nič, saj bi bila padca napetosti na obeh uporih enaka.

37 Angl. local mismatch.





56

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc To variabilnost znotraj serije bomo poimenovali variabilnost elementov. Npr.

pragovna napetost med tranzistorji, ki so na isti rezini, variira za nekaj desetink mV, med rezinami pa celo do 150mV [TARIM, 1999].



Ugotovili smo, da pri proizvodnji integriranih vezij vrednosti parametrov variirajo zaradi variabilnosti procesa in variabilnosti elementov. Označimo tolerance (izražene v procentih) med serijami s TLOT in tolerance znotraj serije s TDEV. Pričakujemo lahko, da bo v vseh serijah največja in najmanjša vrednost nekega parametra x znašala:





T

T

T

T

min

⎛

o

LOT

⎛

⎞

DEV ⎞

max

⎛

o

LOT

⎛

⎞

DEV ⎞

x

= x ⎜1+

⎜

⎟ 1+

⎟ x

= x ⎜1−

⎜

⎟ 1−

⎟

⎝

100 ⎝

⎠

100 ⎠

⎝

100 ⎝

⎠

100 ⎠





Za proizvodnjo integriranih vezij velja, da je TLOT> TDEV. Zaradi variabilnosti procesa so nekateri, sicer različni parametri (npr. R in pragovna napetost) med seboj tudi delno korelirani, kar zelo zaplete natančno simulacijo proizvodnje in določevanje izmeta38. Z določeno poenostavitvijo lahko simulacijo izvedemo tudi s cenejšimi simulatorji (PSpice, Intusoft). V takih primerih je potrebno opisati variabilnost parametrov z dvema tolerancama39: prva se nanaša na variabilnost procesa, druga pa variabilnost elementov. Prav tako je potrebno izbrati zadostno število primerkov v eni seriji in število serij40. V tabeli 6.3 so prikazane dejanske vrednosti treh enakih uporov, ki se pojavljajo v štirih serijah. Za vsako serijo je prikazanih prvih pet primerkov vezij.



Slika 6.10 Korelirane vrednosti dveh uporov Rº = 100Ω iz različnih serij (glej tudi tabelo 6.3).



38 Več o tem glej v [MICHAEL, 1993], [TARIM, 1999].

39 Zelo pogosto sta to parametra LOT in DEV. LOT je za variabilnost procesa in DEV za veriabilnost elementov.

40 V Intusoftovem simulatorju sta to parametra CASES in LOTS.



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 57





Tabela 6.3 Naključno izbrane vrednosti41 za enake upore R1, R2 in R3. Znotraj štirih serij se vrednosti uporov razlikujejo za 5 %, med serijami pa za 40 %.



CASE=1

CASE=2

CASE=3

CASE=4

CASE=5

Serija 1

76.214 78.033

76.505

77.672

77.915



78.883 79.575

75.993

75.687

78.770



77.678 77.275

78.647

77.134 76.662

Serija 2

105.72 104.89

105.45

104.30 103.47



104.48

103.59 103.31

102.69

105.31

105.39

102.60



104.70

101.37

103.18

Serija 3

80.846 83.023 82.040

80.460

82.982



80.643 82.177

83.658

84.027

83.042



80.866 81.336

81.120

82.406 86.130

Serija 4

103.98 106.78

101.42

104.28

104.48



104.64 104.26 106.27

101.92

106.17

103.39



103.67

106.33

105.20

106.54



41 Simulirano s simulatorjem SPICE/Intusoft (LOT=40%, DEV=5%).





58

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 6.6 Naloge za poglavje 6

1. Določi toleranco UR oziroma najbolj neugoden primer napetosti UR na naslednje načine: 1. najbolj neugoden primer z linearizacijo lastnosti,

2. najbolj neugoden primer z ustreznim izborom ekstremnih vrednosti,

3. s hitro oceno statistične tolerance,

4. s statistično metodo (Monte Carlo metoda, sam si naključno izberi 10 vrednosti).



R1 = 5Ω±20 %, R2 = 5Ω±10 %, UG = 4V±10 %





2. Oceni najbolj neugoden primer in statistično toleranco Uizh.

VCC

10

4

R1

R2

500

20k

Uizh

2

R3

5k

Q3

3

5

2N2222

V1

0





IME IN NOM.VRED.LASTNOSTI uizh = 5.026V



PARAMETER TOLERANCA OBČUTLJIVOST

[ENOTA/%]



r3:resistance 5 % -2,0e-002

r1:resistance 5 % -1,2e-002

r2:resistance 5 % 3,1e-002

vcc:dc 20 % 2,5e-002

q3_tol.bf 35 % -9,8e-003



W / L

3. Ojačenje NMOS ojačevalnika je definirano z

1

1

A = −

. Vrednosti parametrov

u

W / L

2

2

so: W1 = 10μm, L1 = 1μm, W2 = 1μm, L2 = 10μm. Vsi parametri imajo toleranco ±0,2μm.

Oceni najbolj neugoden primer ojačenja na dva načina.



4. Imamo isti ojačevalnik kot pri prejšnji nalogi. Z Monte Carlo analizo (10 primerov) izračunaj toleranco ojačenja. Pravilnost izračuna preveri s hitro oceno statistične tolerance.



5. S simulacijo smo dobili potek kumulativne distribucije za moč P.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 59



a. Kolikšna je verjetnost, da bo moč P manjša od 80mW?

b. Kolikšen bo približno izmet, če je zahtevano, da velja 80mW<P<100mW?

c. Kolikšna je nazivna vrednost moči?





2

90.0

70.0

]s

a

[%

tivnla st in 50.0

u

o

m

tn

Ku

rjeve

30.0

10.0

40.0m

80.0m

120m

160m

200m

p [W]





6. Oceni statistično toleranco ojačenja in najbolj neugoden primer. Upori imajo 10 %

toleranco.





60

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 7. Primerjava metod za analizo toleranc

Vezje, ki ga prikazuje slika 7.1, smo analizirali z vsemi obravnavanimi metodami, razen z analitično metodo. Rezultati, ki se nahajajo v tabeli 7.1, kažejo, da očitno ležijo ekstremne vrednosti UR na robovih, ki jih določajo ekstremne vrednosti parametrov. Ker so bile vrednosti parametrov normalno porazdeljene, obstaja izredno majhna verjetnost, da se bo pojavil najbolj neugoden primer. Tudi v 500 primerkih (glej tabelo 7.2) se največja in najmanjša vrednost v znatni meri razlikujeta od dejanskega najbolj neugodnega primera.





Slika 7.1 Vezje, ki smo ga analizirali z vsemi metodami.





Tabela 7.1 Rezultati analiz

Najbolj neugoden primer

URmin

URŮrmax

Analitična metoda

3,20

5,00 7,20

(-36 %)

(+44 %)

Linearizacija lastnosti

3,00

5,00 7,00

(-40 %)

(+40 %)

Ustrezen izbor ekstremnih vrednosti

3,20

5,00 7,20

(-36 %)

(+36 %)

S poskušanjem (N = 50)

4.32



5,75





Ocena statistične tolerance

σ

Toleranca

Hitra ocena toleranc

0,39

5V ± 1,17 V oz. 5V ± 23 %

Statistična metoda – Monte

0,4 V

5V ± 1,2 V oz. 5V ± 24 %

Carlo (N = 50)

Statistična metoda – Monte

0,4 V

5V ± 1,2 V oz. 5V ± 23 %

Carlo (N = 1000)





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 61



8. Načrtovanje toleranc parametrov

Z načrtovanjem toleranc (parametrov) začnemo šele, ko s pravilno izbiro nominalnih vrednosti parametrov uspemo, da so nominalne vrednosti lastnosti znotraj dopustnih območij. Sedaj nas zanima, za koliko lahko variirajo vrednosti preostalih parametrov (glej sliko 8.1). Naloga načrtovalca je, da določi takšne tolerance parametrov, pri katerih so lastnosti še vedno znotraj dopustnih odstopanj. Nekatere tolerance oziroma območja so včasih že znana (npr. temperaturno območje).



Robustnost vezja je lastnost, ki pove, v kolikšni meri je odporno na spremembo vrednosti elementov, iz katerih je zgrajeno. V večini primerov želimo čim večjo robustnost, saj se z oženjem toleranc elementov viša njihova cena. Ugotovili bomo, da v večini primerov obstaja neskončno rešitev in le v izjemnih primerih rešitev ne obstaja oziroma je samo ena: vse tolerance so enake nič.





Element

Nominalna Toleranca

Lastnost Nominalna Toleranca

(parameter) vrednost

oziroma

vrednost

območje

R1

1K

?

UR

5V

15 %

R2 2K

? RVH

2K 12

%

R3 2K

?



UG 10V

?



temperatura 25 ºC

30 ºC…100 ºC





Slika 8.1 Pri načrtovanju toleranc (parametrov) poznamo nominalne vrednosti parametrov in znane so tolerance lastnosti F. Iščemo, kolikšne so lahko tolerance parametrov.

Načrtovanje toleranc parametrov je torej obraten postopek kot analiza toleranc. Podobno kot pri analizi tudi tukaj ločimo:



• načrtovanje toleranc za predpisan najbolj neugodnem primer in

• načrtovanje toleranc za predpisano statistično toleranco lastnosti.



Večinoma z enostavnimi metodami določimo približne začetne vrednosti

toleranc parametrov, nakar z analizo preverimo, kolikšna je toleranca lastnosti.

V primeru preseženega odstopanja gremo v drugi krog načrtovanja: na podlagi občutljivosti spremenimo vrednosti nekaterih toleranc in ponovimo analizo. To delamo tako dolgo, dokler ne najdemo ustreznih toleranc ali pa ugotovimo, da





62

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc je potrebno spremeniti nominalne vrednosti ali pa celo strukturo vezja. V praksi je torej načrtovanje iterativni proces, v katerem si pomagamo z analizo toleranc in analizo občutljivosti. Na sliki 8.3 je prikazan zgled takega načrtovanja. Ker nismo uspeli že v prvi iteraciji, se moramo odločiti: ali bomo povečali korektnost, ali pa zožili tolerance parametrov. Kljub temu da smo se v drugi iteraciji odločili za korekcijo nominalne vrednosti, je zgornja meja še vedno izven dopustnega področja. Zato se v tretji iteraciji odločimo še za zoženje toleranc parametrov in uspemo.



Zahteve:

nominalne vrednosti parametrov

tolerance lastnosti

načrtovanje toleranc

analiza toleranc

popravki toleranc

največje dovoljene

izračunane tolerance

tolerance

primerjava

Tolerance parametrov, pri katerih je zadoščeno zahtevam

Slika 8.2 Načrtovanje toleranc je iterativni proces.



Robustnost vezja lahko v nekaterih primerih povečamo tudi z ustrezno

spremembo nominalnih vrednosti, s čimer se ukvarjajo optimizacijski postopki, ki vključujejo tudi robustnostne kriterije [BÜRMEN, 2002], [BÜRMEN, 2003].





Slika 8.3 Zgled načrtovanja toleranc

Predno začnemo z načrtovanjem toleranc, moramo ugotoviti, kateri parametri že imajo določeno toleranco. Npr. pri vezju na sliki 8.1 je to temperatura.

Parametrov, ki že imajo predpisano toleranco, ne moremo spreminjati, njen vpliv pa je vseeno potrebno upoštevati.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 63



8.1 Predpisana je (statistična) toleranca samo ene lastnosti

Najprej se bomo omejili samo na tiste primere, kjer je simetrična toleranca samo ene lastnosti. To je najbolj enostaven primer načrtovanja toleranc. Pri načrtovanju vedno izhajamo iz enačbe, ki smo jo uporabili pri analizi. Pri hitri analizi toleranc smo ugotovili, da kadar je lastnost monotona funkcija, je statistična toleranca lastnosti odvisna od vsote kvadratov vseh prispevkov parametrov:



F

Δ 2 ≈ F

Δ 2 ( x

Δ )+ F

Δ 2



1

( x

Δ )+K+ F

Δ 2

2

( x

Δ m )



Enačba velja le, če funkcija ni preveč nelinearna in hkrati ne nastopajo prevelike spremembe parametrov. Prispevke posameznih parametrov lahko

izrazimo z občutljivostmi:





2

F

Δ

≥ ( F

S

x

Δ

+ S

x

Δ

+ K+ S

x

Δ



(8.1)

x )2

F

F

1

( )2

1

( x )2

2

( )

( xm)2

2

2

( m )2



Dobili smo enačbo, s pomočjo katere lahko določimo tolerance parametrov. Ker je predpisano maksimalno odstopanje ∆F, je lahko desna stran enačbe seveda tudi manjša. Edine neznanke v tej enačbi so tolerance parametrov, ki jih izbiramo tako, da je zadoščeno zgornji enačbi.



Če nobena izmed toleranc ni že predpisana, imamo m neznank in samo eno neenačbo. Izberemo si lahko m-1 toleranc, eno pa nato izračunamo. Večanje tolerance enega parametra zahteva nižanje drugih. Če si izberemo prevelike tolerance parametrov, se lahko zgodi, da rešitev ne obstaja. Na podlagi medsebojne primerjave normiranih občutljivosti se lahko odločimo, katere parametre bomo zanemarili. Tako lahko problem določevanja parametrov delno omilimo.



Pri izboru toleranc tudi upoštevamo ceno, ki je povezana s toleranco. Npr. upor s toleranco 1 % je zagotovo cenejši kot napajalnik z enako toleranco.



Zgled 1 Kolikšne naj bodo tolerance parametrov, če naj bo UR=5V±5 %?





URº = 5V



PARAMETER Normirana

občutljivost[V/%]



R2 1,250E-02

R3 1,250E-02

R1 -2,500E-02

VG 5,000E-02



64

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc





Rešitev:



5 % od UR = 5V je 0,25V



−3

5

,

62 ⋅10 ≥ ( SUR Δ

+

Δ

+

Δ

+

Δ

R )2

R

SUR

R

SUR

R

SUR

UG

1

( )2

1

( R )2

2

(

)2

2

( R )2

3

(

)2

3

( UG )2(

)2



−3

−3

5

,

62 ⋅10 ≥ ,

0 625 ⋅10 ( R

Δ

+ 156

,

0

⋅10−

R

Δ

+ 156

,

0

⋅10−

R

Δ

+ 5

,

2 ⋅10−

UG

Δ

1 )2

3 ( 2 )2

3 ( 3 )2

3 (

)2



Odločimo se, da si bomo toleranco ΔUG izbrali in da bodo imeli vsi upori enake tolerance. Če izberemo ΔUG = 4 %, potem zanaša prispevek

−3

5

,

2 ⋅10 (Δ UG)2

−3

= 5

,

2 ⋅10 (4)2

−3

= 40 ⋅10 in za upore ostane 22,5·10-3.



3

−

3

5

,

62 ⋅10 ≥ ,

0 625 ⋅10− (Δ R)2

3

+ 156

,

0

⋅10− (Δ R)2

3

+ 156

,

0

⋅10− (Δ R)2

3

+ 5

,

2 ⋅10− ⋅ ( %

4 )2



5

,

62 − 40

Δ R ≤

=

%

9

,

4

≈ %

5

625

,

0

+ 156

,

0

+ 156

,

0



Vsi upori naj imajo 5 % toleranco, napajalni vir pa 4 %.



Z analizo napravimo kontrolo:



Hitra ocena toleranc:

URº = 5,0000 ΔUR = 0,234V (4,68 %) ΔURmax = 5,23V ΔURmin = 4,77V



Monte Carlo (N=100):

URº = 4,99869 ΔUR = 0,237V (4,75 %) ΔURmax = 5,21V ΔURmin = 4,79V





Predpisan je najbolj neugoden primer za eno lastnost – poenostavitev z linearizacijo



Zopet bomo obravnavali najenostavnejši primer, kjer nas zanima samo ena lastnost, ki je odvisna od m parametrov in jo je možno v izbrani točki tudi linearizirati:



F = F( x , x ,... x ) = F( x) 1

2

m



Predpisan je tudi najbolj neugoden primer lastnosti Fmax in Fmin. Zahtevali bomo, da funkcija ni preveč nelinearna in da hkrati ne bodo nastopale prevelike spremembe parametrov ter da poznamo občutljivosti. Pri analizi toleranc smo poiskali povezavo med majhno spremembo parametrov in spremembo lastnosti.

Najbolj neugoden primer lastnosti smo izračunali po enačbi :





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 65



m

F

Δ F ≥

F

S .

(8.2)

1

x

.

...

.

.

1

S 2 x 2

S m x

S

x

x Δ

+

F

x

Δ + + Fx Δ =

m

∑

Δ i

i=1

i

x





V tej enačbi so edine neznanke tolerance parametrov, ki jih izbiramo tako, da je zadoščeno zgornji enačbi.





Zgled 2



Prepustni pas F nekega filtra je odvisen od dveh kondenzatorjev. Občutljivosti prepustnega pasu so: ˆ

S F = 5

,

0 kHz / % in ˆ S F = 1 kHz / % . Dopustno

C 1

C 2

odstopanje prepustnega pasu je F

Δ = 2

± kHz . Kolikšni sta lahko toleranci C1

in C2?



1. rešitev:

Če se odločimo za enaki toleranci C

Δ = C

Δ

= C

Δ , lahko toleranco kar

1

2

izračunamo:



Δ F

2



Δ C =

=

=

%

3

,

1

(8.3)

m

F

5

,

0 + 1

ˆ

∑ Si

i 1

=





2. rešitev:

Če si izberemo toleranco prvega parametra: Δ C = 2% , potem je lahko 1

toleranca drugega: Δ C = 1% .

2



3. rešitev:

Če pa si izberemo za toleranco prvega parametra: Δ C = 4% , potem že 1

prispevek tega parametra presega dovoljeno toleranco F in v tem primeru rešitev ne obstaja.





8.3 Predpisan je najbolj neugoden primer za več nelinearnih lastnosti V večini primerov mora vezje zadostiti ne samo eni, temveč več zahtevam, npr.

P = 100W±20 %, fzg = 100Hz ±10 %, cena = 1000SIT±10 %. Načrtovanje

toleranc se sedaj zelo zaplete, saj sprememba enega parametra lahko vpliva hkrati na več lastnosti:





66

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc F = F ( x , x ,.., x ) = F ( x) 1

1

1

2

m

1

F = F ( x , x ,.., x ) = F ( x) 2

2

1

2

m

2

:



F = F ( x , x ,.., x ) = F ( x) n

n

1

2

m

n





Če je F odvisna samo od dveh parametrov in je opisna z enostavnim analitičnim izrazom, je problem kljub temu relativno enostavno rešljiv.





F = F ( x , x )

1

1

1

2



F = F ( x , x )

2

2

1

2 (8.4)



Znani naj bosta tudi zgornji in spodnji meji obeh lastnosti: min

max

F

, F

in

1

1

min

max

F

, F

. Tudi pri izboru vrednostih parametrov smo v splošnem omejeni,

2

2

saj le-ti zaradi fizikalnih in drugih omejitev ne morejo zavzeti poljubne vrednosti. Npr. pri uporu smo omejeni samo na pozitivne vrednosti. Z

upoštevanjem še teh omejitev dobimo naslednje pogoje, katerim mora zadostiti rešitev:



min

max



F

≤ F ≤ F

1

1

1



min

max



F

≤ F ≤ F

2

2

2



min

max



x

≤ x ≤ x

1

1

1

(8.5)

min

max



x

≤ x ≤ x

2

2

2





Torej množica parov x1, x2, ki ustreza vsem štirim pogojem, predstavlja vrednosti, ki jih lahko zavzameta x1 in x2. Označimo z konst F

maksimalno

1

oziroma minimalno vrednost lastnosti F1. Če sta enačbi 8.4 relativno preprosti, lahko izrazimo eksplicitno odvisnost parametra x2:





'

x

F ( F konst

=

, x )

2

1

1

1



V tem izrazu je sedaj Fkonst parameter.





Zgled 3



F = 4

− x − 5 + x

1

(

)2

1

2

x = 4 x − 5 + F

2

(

)2

1

1



Če sedaj narišemo obe funkciji za min

F

in max

F

, predstavlja površina med

1

1

obema krivuljama množico rešitev (slika 8.4). Ker parametra ne moreta v splošnem zavzeti katerekoli vrednosti, na grafu označimo veljavni interval.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 67



Podobno napravimo še z drugo lastnostjo. Sedaj vrišemo še obe krivulji, med katerima ležijo rešitve za drugo lastnost. Če se ti krivulji sekata s tistima, ki smo ju pred tem narisali, potem dobimo v pravokotniku množico parov x1, x2, ki ustrezajo vsem štirim pogojem (8.5). Množica možnih rešitev se je glede na sliko 8.4 drastično zmanjšala. Lahko se tudi zgodi, da rešitev sploh ne obstaja –

krivulje so vzporedne ali pa se sekajo v tistem področju, kateremu ne ustrezajo omejitve glede parametrov.





Slika 8.4 Množica rešitev, ki ustreza enačbam: min

max

F

≤ F ≤ F

,

1

1

1

min

max

x

≤ x ≤ x

in min

max

x

≤ x ≤ x

.

1

1

1

2

2

2





Slika 8.5 Šrafiran pravokotnik je množica rešitev.





68

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Zgled 4



Dopustno odstopanje toka in moči za najbolj neugoden primer je: I° ± 20 % in P° ± 10 %. Določi najprej nominalne vrednosti in nato toleranci R1 in R2.

Toleranci UG2 in UG1 zanemari. Rešitev preveri z ustrezno analizo.





5

5

25

25

Izpeljemo izraza za tok in moč: I =

−

P =

+



1

R

R 2

R 2

1

R



Nominalne vrednosti so: I° = 0,5A in P° = 7,5W.



Pmax = 8,25 W Pmin = 6,75 W

Imax = 0,6 A Imin = 0,4 A



Funkciji sta hiperboli in zato jih lahko enostavno narišemo, vrišemo nominalne točke in nato vrišemo največji možni pravokotnik. Ker obstaja neskončno rešitev, bomo prikazali samo dve.



Ena izmed možnih rešitev: 4,7Ω<R1<5,2Ω in 9Ω<R2<11Ω



Oziroma, če se odločimo za simetrične tolerance: R1 = 5±4 % in



R2 = 10±10 %





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 69



Druga možna rešitev: 4,6Ω<R1<5,3Ω in 10,5Ω<R2<9,5Ω



Oziroma, če se odločimo za simetrične tolerance: R1 = 5±6 % in R2 = 10±5 %





Z analizo napravimo kontrolo:



Uporabili bomo kar ustrezen izbor ekstremnih vrednosti parametrov. Preverili bomo pravilnost prve rešitve 4,7Ω<R1<5,2Ω in 9Ω<R2<11Ω:



max

5

5

5

5

I

=

−

=

−

= 61

,

0

A

R 1min

R 2max

7

,

4

11

min

5

5

5

5

I

=

−

=

− = ,

0 41 A

R 1max

R 2min

,

5 2 9

max

25

25

25

25

P

=

+

=

+

= W

1

,

8



R 2min

R 1min

9

7

,

4

min

25

25

25

25

P

=

+

=

+

=

W

1

,

7



R 2max

R 1max

11

,

5 2



Vidimo, da smo določili prave tolerance uporov.





8.4 Predpisan je najbolj neugoden primer za več lastnosti – poenostavitev z linearizacijo



Pri pravkar obravnavani analitični metodi smo zahtevali, da je F zapisana v analitični obliki. Glede nelinearnosti nismo postavljali nobenih omejitev, prav 70

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc tako ne za velikost oziroma simetričnost tolerance. Če odvisnost lastnosti od parametrov ni izrazito nelinearna, lahko funkcije v okolici točke lineariziramo in celoten postopek poenostavimo. Ta pristop seveda zahteva simetrično podane tolerance in pa poznavanje občutljivosti.



F 1

F 1

F

F

Δ 1 ≥ S

x

Δ + S

x

Δ + S

... 1 x

Δ

x 1

1

x 2

2

m

m

F 2

F 2

F

Δ 2 ≥

Δ +

Δ + ... 2Δ



F

S

x

S

x

S

x

x 1

1

x 2

2

m

m

:

Fn

Fn

Fn

Fn

Δ

≥ S

x

Δ + S

x

Δ + S

...

x

Δ

x 1

1

x 2

2

m

m



Dobimo sistem n neenačb z m neznankami. V redkih primerih je m = n in če se hkrati odločimo za maksimalne možne tolerance, se neenačaji spremenijo v enačaje. Takrat obstaja samo ena rešitev, ki jo dobimo, če rešimo sistem enačb.



Če imamo samo dva parametra, je problem relativno enostavno rešljiv.





F 1

F 1

F

Δ 1 ≥ S

x

Δ + S

x

Δ

1

x

1

x 2

2

F 2

F 2

F

Δ 2 ≥ S

x

Δ + S

x

Δ



1

x

1

x 2

2 (8.6)

:

Fn

Δ

≥ S Fn x

Δ + S Fn x

Δ

1

x

1

x 2

2





Ko izrazimo eksplicitno odvisnost ∆x2, dobimo niz neenačb:



F 1

Sx

Δ F

1

1

Δ x ≤ −

Δ x +

2

F 1

1

F 1

S

S

x 2

x 2

F 2

Sx

Δ F

1

2

Δ x ≤ −

Δ x +

2

F 2

1

F 2

S

S

x 2

x 2

:

S Fn

x

Δ Fn

1

Δ x ≤ −

Δ x +

2

Fn

1

S

S Fn

x 2

x 2

Δ x ≥ 0

2

Δ x ≥



0

1





(8.7)

Ker je lahko ∆F pozitiven ali negativen, smo v enačbi upoštevali pozitivno vrednost kvocienta ∆F/S. Dobili smo niz premic, katerih sivo področje

predstavlja množico rešitev (glej sliko 8.6). Ker sta ∆x1 in ∆x2 statistično neodvisna, ležijo prave rešitve v vrisanem pravokotniku, ki se začne v koordinatnem izhodišču. Podobno kot prej je tudi tukaj možno vrisati več različnih pravokotnikov.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 71



∆x2

F1

F2

F3

∆x2max

∆x1

∆x1max



∆x2

∆x2max

∆x1max

∆x1



Slika 8.6 Sivo področje so dopustne vrednosti, ki zadoščajo vsem lastnostim (narisane so samo F1, F2 in F3). Vrišemo lahko neskončno pravokotnikov.

Prikazani sta dve možnosti.



Zgled 5 (enako vezje in zahteve kot pri zgledu 4)



S perturbacijsko metodo s simulatorjem izračunamo normirane občutljivosti42: F

o

F

Δ

x

S

i

x =

⋅



i

o

x

Δ

F

i



Parameter Občutljivost P

Občutljivost I

R2

-0,33 %/%

0,99 %/%

R1

-0,66 %/%

-1,98 %/%





Če se parameter R2 poveča za 1 %, se moč zmanjša za 0,33 %.





42 Pri simulaciji smo izbrali ∆R1 = ∆R2 = 1 %.





72

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc P

S

P

Δ

R

R

1

Δ

≤ −

R

Δ +

2

P

1

P

S

S

R 2

R 2

I

S

I

Δ

R

R

1

Δ

≤ −

R

Δ +

2

I

1

I

S

S

R 2

R 2





Ko vstavimo vrednosti v enačbo, dobimo meje področja, znotraj katerih se lahko gibljeta toleranci ∆R1, ∆R2 izraženi v procentih:





Δ R ≤ − 00

,

2

Δ R +

3

,

30

2

1

Δ R ≤ 00

,

2

Δ R + ,

20 2

2

1



Δ R ≥ 0

2

Δ R ≥ 0

1





∆R2[%]

30,3

A

25,3

B

20,2

15,3

2,6

5

∆R1[%]





Napravimo skico področja, ki ga definirajo enačbe in vrišemo pravokotnik, ki se mora začeti v koordinatnem izhodišču. Takoj vidimo, da lahko pravokotnik vrišemo na neskončno načinov. Izberemo ΔR2 = 20 % in sedaj lahko iz prve enačbe izračunamo položaj desnega zgornjega vogala (točka B): ΔR1 = 5 %.



Toleranci uporov sta: R1 = 5±5 % in R2 = 10±20 %.





Analiza



Z analizo najbolj neugodnega primera bomo preverili, ali rešitev R1 = 5±5 % in R2 = 10±20 % ustreza postavljenim zahtevam:



P = 7,5W ± 10 %, Pmax = 8,25 W,

Pmin = 6,75 W

I = 0,5A ± 20 %, Imax = 0,6 A,

Imin = 0,4 A



Najbolj neugoden primer (pri mejnih vrednostih parametrov):



Pmax = 8,38 W oz. +12 %



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 73



Pmin = 6,84 W oz. -9 %

Imax = 0,63 A oz. +27 %

Imin = 0,32 A oz. -35 %



Vidimo, da moč rahlo presega dovoljeno odstopanje, medtem ko je tok izrazito prevelik. Če pogledamo občutljivosti, vidimo, da je potrebno zmanjšati toleranco R2 za približno 15 %. Tudi če bi zmanjšali toleranco R1 na nič, bi se s tem zmanjšala toleranca I samo za 5 %·1,98 % ≈10 % točk.



V drugem krogu načrtovanja bi ustrezno spremenili vrednosti toleranc in ponovno preverili načrtovanje.



74

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 8.5 Naloge za poglavje 8

1. Predpisane so zahteve za statistično toleranco vhodne upornosti: Rvh = 2k±5 %. Določi tolerance uporov.





R1

2

1

UG

R2

R3

UR

RVH

0





Občutljivostni koeficienti:



PARAMETER VREDNOST NORMIRANA NORMIRANA

PARAMETRA OBČUTLJIVOST UR OBČUTLJIVOST RVH





[V/%] [Ω/%]

R2 2,000D+03 1,250D-02

5

R3 2,000D+03 1,250D-02

5

R1 1,000D+03 -2,500D-02

10

VG 1,000D+01 5,000D-02

0





2. Za vezje iz naloge 1 so predpisane zahteve za najbolj neugoden primer napetosti: UR =

5±1V. Pripravi naslednje možne rešitve:



a. vse tolerance so enake

b. izberemo UG±15 %

c. izberemo R±2 %

d. izberemo UG±25 %





3. Kolikšne so lahko tolerance kondenzatorjev v nizkoprepustnem filtru, če je zahtevana statistična toleranca zgornje frekvenčne meje ±5 %? Toleranca uporov je 2 %.

PARAMETER NOMINALNA

NORMIRANA

VREDNOST OBČUTLJIVOST[%/%]





c1

1N

0,2





r1

10K

-0,5





r2

10K

-0,5





c2

1N

-1,2





4. Napravili smo analizo občutljivosti za Uizh in za tok ICC, ki teče iz baterije. Izhodna napetost nikakor ne sme preseči intervala Uizh = 5±15 %. Kolikšne so lahko tolerance uporov in napajalne napetosti, če je hfe = 150±35 %? Poišči najmanj dve rešitvi: a) če izberemo ΔVCC = ±10 %, b) če izberemo toleranco uporov 1 %.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 75



VCC

10

4

R1

R2

500

20k

Uizh

2

R3

5k

Q3

3

5

2N2222

V1

0





IME IN NOM.VRED.LASTNOSTI uizh = 5.0267V



PARAMETER NOMINALNA_VREDNOST OBČUTLJIVOST[ENOTA/%]



r3:resistance 5,0000K -2,01558e-002

r1:resistance 500,00 -1,26834e-002

r2:resistance 20,000K 3,154205e-002

vcc:dc 10,0000 2,561671e-002

q3_tol.bf 150,00 -9,80126e-003





IME IN NOM,VRED,LASTNOSTI vcc#branch43 = -9,9467M



PARAMETER NOMINALNA_VREDNOST OBČUTLJIVOST[ENOTA/%]



r3:resistance 5,0000K -4,03115e-005

r1:resistance 500,00 7,360934e-005

r2:resistance 20,000K 6,308410e-005

vcc:dc 10,0000 -1,48767e-004

q3_tol.bf 150,00 -1,96025e-005





5. Kolikšne so tolerance parametrov pri prejšnji nalogi, če so zahtevane statistične tolerance: Uizh = 5V±15 % in ICC=10mA±10 %. Tokovno ojačenje tranzistorja ima toleranco hfe =

150±35 %, ΔVCC = ±10 %.





43 Tako označuje simulator SPICE tok skozi baterijo VCC.



76

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 9. Osnove statistične analize



Kadar imamo opravka s proizvodnjo nekega sistema, je potrebno njegove

lastnosti opisati na statističen način. Čeprav je statistična analiza ena izmed zelo uporabnih vej matematike, je mnogokrat zapostavljena. V tem poglavju bodo na kratko in na poenostavljen način razložena nekatera poglavja iz statistične analize. Poudarek bo na tisti snovi, ki jo potrebujemo za razumevanje nekaterih poglavij pri analizi toleranc. Pri obravnavi bomo marsikatere probleme poenostavili oziroma se ne bomo spuščali v podrobnosti.



Slučajni ali naključni dogodek: je dogodek, za katerega nikoli ne moremo z absolutno gotovostjo trditi, da se bo v predpisanem trenutku zgodil (npr.

odpoved računalnika, število pik pri metu kocke itd.). Slučajni dogodek je rezultat nekega pojava, eksperimenta ali opazovanja. Dogodek, ki se bo vedno zgodil, je gotov dogodek. Dogodek, ki se ne bo nikoli zgodil, imenujemo nemogoč dogodek. Gotov in nemogoč dogodek v bistvu nista slučajna, saj vemo da se bo prvi zagotovo zgodil, drugi pa nikoli. Kljub temu oba prištevamo k slučajnim. Slučajni dogodek bomo označili z X, število opazovanj oziroma eksperimentov pa z N.



Vse možne izide nekega eksperimenta lahko predstavimo z množico, ki jo imenujemo vzorčni prostor1. Označili jo bomo z D. Vrednosti v vzorčnem prostoru so lahko zvezne (npr. napetost baterije) ali pa diskretne (npr. število napak).



Ko računamo s slučajnimi dogodki, moramo paziti, da ne bomo uporabili

matematičnih operacij, ki so za določen tip podatka nesmiselne. Glede na smiselnost matematičnih operacij lahko vrste podatkov (dogodkov) razdelimo v štiri kategorije, ki so opisane v tabeli 9.1.





Tabela 9.1

Ime



dovoljene (smiselne)

kategorije

zgled

matematične

operacije

nominalna

spol, odpoved, logično stanje

= ≠

ordinalna

vrstni red na tekmi

= ≠ > <

intervalna

temp. v C°

= ≠ > < + -

racionalna

temp. v K°, napetost, ojačenje

= ≠ > < + - * /



1 Sinonim

je

zaloga vrednosti.



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 77



Zgled 1

Slučajni dogodek je število pik pri metu kocke. Ker je možnih natanko 6

različnih vrednosti, je število pik diskretni dogodek. Dogodek X = 1,214

npr. ne obstaja. Število pik spada v intervalno kategorijo. Vzorčni prostor je: D = {1,2,3,4,5,6}.



Zgled 2



Napoved jutranje temperature. Množica možnih vrednosti so vsa realna

števila med 0 °K in ∞ °K. Ta podatek uvrščamo v racionalno kategorijo.

Vzorčni prostor je množica pozitivnih realnih števil.





Zgled 3



Na tekočem traku proizvajamo enake ojačevalnike. Izbrali smo 12

ojačevalnikov in izmerili ojačenje. Ojačenje vsakega ojačevalnika je

vrednost slučajne spremenljivke. Vzorčni prostor je množica pozitivnih realnih števil.





i Au

1 163

2 140

3 110

4 150

5 130

6 143

7 145

8 126

9 150

10 184

11 148

12 135



Slika 9.1 Vrednost ojačenja Au dvanajstih ojačevalnika



Navadna spremenljivka je popolnoma definirana, če povemo, kakšne vrednosti lahko zavzame oziroma kakšna je zaloga njenih vrednosti. Npr.: y∈ℜ pomeni, da lahko y zavzame katerokoli realno število. Tudi slučajnim dogodkom lahko priredimo neko spremenljivko, ki je običajno označena z veliko črko, npr. X.

Slučajna spremenljivka je popolnoma definirana, če poznamo njen vzorčni prostor oziroma zalogo vrednosti in neki zakon, ki pove, kolikšna je verjetnost posameznega dogodka.



Temu zakonu pravimo porazdelitveni zakon ali na kratko porazdelitev2.

Porazdelitev je vedno možno opisati na več načinov. Najbolj pogosta sta:



2 Sinonim

je

distribucija.



78

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc verjetnostna funkcija in porazdelitvena funkcija. Med obema nastopa preprosta povezava, ki jo bomo kasneje podrobneje opisali.



Najprej bomo obravnavali diskretne porazdelitve, nato pa zvezne. Če je porazdelitveni zakon formalno opisan (npr. z analitičnim izrazom), potem takšno porazdelitev uvrščamo med teoretične. Porazdelitve, ki so dobljene na podlagi poskusov ali opazovanj, bomo uvrščali med empirične.





9.1 Diskretna porazdelitev

Diskretni porazdelitveni zakon podajamo na dva načina:



1. z diskretno verjetnostno funkcijo ali verjetnostno shemo ali

2. z diskretno porazdelitveno funkcijo3.



Kadar ne bo nobenega dvoma, da govorimo o diskretnih oziroma zveznih

porazdelitvah, bomo atribut diskretni oziroma zvezni izpuščali.



Verjetnostna shema je lahko tabela ali matrika, v kateri so naštete vse mogoče vrednosti in pripadajoče verjetnosti.





⎡ x ,....., x ⎤



X

1

n

=

(9.1)

⎣⎢ p ,....., p

1

⎦⎥

n





Verjetnostno shemo lahko prikažemo tudi grafično s paličastim grafom. Na abscisi narišemo vzorčni prostor, tako da označimo vse vrednosti v

naraščajočem zaporedju. Običajno dogodke oštevilčimo (npr. dež naj bo

dogodek štev. 1, sonce dogodek štev. 2 itd.). Z dolžino debele črte označimo velikost verjetnosti (glej sliko 9.2).





Zgled 4

Možni so štirje dogodki. Verjetnost, da se zgodi dogodek štev. 1, je 0,1, verjetnost dogodka številka 2 je 0,3, dogodka številka 3 je 0,5 in dogodka številka 4 je 0,1. To lahko prikažemo z naslednjo verjetnostno shemo:





⎡ 1

2

3

4 ⎤



X =



⎣⎢0 1

,

0 3

,

0 5

,

0, ⎦⎥

1





3 Sinonim je kumulativna distribucija





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 79





Slika 9.2 Diskretna verjetnostna funkcija. Verjetnost, da se zgodi dogodek štev.

3, je 0,5. To lahko zapišemo kot P{X = 3} = 0,5.



Običajno opisujemo verjetnostno funkcijo z ustreznim analitičnim izrazom in opisom vzorčnega prostora (zaloge vrednosti). Npr. porazdelitev, ki jo imenujemo binomska, je opisana z izrazom:





{

⎛ ⎞

P X = }

x = p( n, p, x)

n

x

=

p (1− p) n− x

⎜⎜⎝ x⎟⎟



⎠





Najbolj preprosta je enakomerna porazdelitev, kjer za vsako vrednost naključne spremenljivke obstaja enaka verjetnost, da se zgodi.



p(i)

0.2

1

2

3

4

5

i



Slika 9.3 Zgled enakomerne diskretne porazdelitve.



Pogostost pojavljanja slučajnega dogodka, ki smo ga opazili, lahko prikažemo s tabelo ali pa s funkcijo oziroma grafom. To funkcijo bomo označili s fg. Če število teh dogodkov delimo s številom poskusov, dobimo relativno frekvenco f(i). To empirično porazdelitev imenujemo tudi frekvenčna porazdelitev.



80

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Zgled 5

Imamo 5 računalnikov, ki delujejo v mreži. Če mreža razpade, lahko

sistem diagnostike identificira odpoved samo enega računalnika. Takoj, ko se kateri izmed njih pokvari, ga pošljemo v servis, kjer ga popravijo.

Vsakič torej peljemo samo en računalnik na popravilo. Slučajni dogodek naj bo številka računalnika, ki se je pokvaril. Če označimo vsak

računalnik s številko od 1 do 5, je vzorčni prostor D = {1,2,3,4,5}.

Število odpovedi smo vpisali v tabelo.





i

f

f ( i)



g(i)

f i

g

( ) = N





1 ////

4 0,133

2 /////

/ 6 0,200



3 /////

///// 10 0,333

4 /////

5 0,167

5 /////

5 0,167



N

30 Σ = 1



fg(i)

f(i)

10

0,33

6

0,20

4

0,17

1

2

3

4

5

i

1

2

3

4

5

i





Slika 9.4 Frekvenčna (empirična) porazdelitev odpovedi petih računalnikov.

Verjetnost, da bo odpovedal računalnik številka 2, je približno 0,20.



Če bi računalnike v zgledu 5 opazovali dlje časa, bi se število odpovedi povečalo in frekvenčna porazdelitev bi se neprestano delno spreminjala. Šele pri neskončno dolgem času bi porazdelitev limitirala proti določeni obliki. Takoj se seveda pojavi vprašanje, kateri teoretični distribuciji ustreza naša empirična. Če bi znali zelo dobro opisati mehanizem odpovedovanja računalnikov, bi lahko izpeljali izraz za porazdelitveno funkcijo. Ker tega ne poznamo, lahko samo s primerjavo znanih porazdelitev ugibamo, kateri je najbolj podobna. S posebnimi statističnimi testi lahko izračunamo verjetnost, da neka empirična porazdelitev ustreza določeni teoretični.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 81



Če je N (število podatkov oziroma poskusov) dovolj velik, potem velja, da je vrednost točke i v frekvenčni distribuciji približno enaka verjetnosti, da se dogodek številka i zgodi. Če povečujemo število poskusov ( N→∞), potem konvergira relativna frekvenca v verjetnost oziroma frekvenčna distribucija postane verjetnostna funkcija4:





{

P X = i} ≈ f ( i) (9.2)





Npr. verjetnost odpovedi prvega računalnika iz prejšnjega zgleda je približno 0,133.





Zgled 6

Mečemo kovanec. Možna sta dva izida: številka ali žival. Prvi slučajni dogodek bo žival, drugi pa številka. Opravimo 10 metov in žival se

pojavi 6-krat, številka 4-krat. Porazdelitev bomo prikazali s paličastim grafom (glej sliko 9.5). Ta porazdelitev, ki smo jo narisali na podlagi opazovanja, je empirična. Če ponovimo poskus, v večini primerov ne

bomo dobili enakih rezultatov.



V tem primeru lahko kar s preprostim sklepanjem ugotovimo, kakšna je

teoretična porazdelitev. Pri kovancu, ki ni dodatno predelan, je verjetnost, da se pri metu pojavi žival, enaka verjetnosti, da se pojavi številka. Torej obe verjetnosti sta enaki, to je 0,5. Takoj lahko vidimo, da gre za

enakomerno porazdelitev. Z večanjem števila poskusov se spreminja

oblika empirične porazdelitve. Pri neskončnem številu metov bi oblika

empirične porazdelitve konvergirala proti teoretični.





f(i)

p(i)

N=10

Ν=∞

0.6

žival : 1

številka : 2

0.5

0.4

0.2

1

2

i

1

2

i

a



b



Slika 9.5 Empirična oziroma frekvenčna porazdelitev (a) in teoretična

porazdelitev oziroma verjetnostna funkcija (b).





4 V anglosaksonski literaturi se za to verjetnostno funkcijo pogosto uporablja tudi kratica pdf, ki izvira iz: probability density function.



82

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Le redko lahko na tako enostaven način določimo teoretično porazdelitev oziroma verjetnostno funkcijo.





Lastnosti verjetnostne funkcije in frekvenčne porazdelitve





1. Za empirično in teoretično diskretno porazdelitev velja, da nobena vrednost ne more biti negativna.





f ( i) ≥ 0 za vsak i∈ D

(9.3)



2. Vsota verjetnosti vseh možnih dogodkov je 1.



n



∑ f i() =1 (9.4)

i=1



3. Iz obeh pogojev sledi, da se vrednosti f(i) nahajajo med 0 in 1: 0 ≤ f ( i) ≤ 1



S seštevanjem verjetnosti dogodkov lahko izračunamo verjetnost sestavljenega dogodka, to je dogodka, ki je sestavljen iz več drugih dogodkov. Npr.

verjetnost, da odpove prvi ali drugi računalnik, je:





{

P X = 1 ali X = }

2 = p 1

( ) + p(2)



To lahko tudi krajše zapišemo v naslednji obliki:





{

P X ≤ }

2 = p 1

( ) + p(2)



Če to posplošimo, potema velja, da je vsota verjetnosti na nekem intervalu [j,k]

enaka verjetnosti, da bo slučajna spremenljivka zavzela vrednost na tem intervalu.





P{ j ≤ X ≤ k} = ∑ p i() (9.5)

j≤ i≤ k



Npr. verjetnost, da odpove 2. ali 3. ali 4. računalnik, je 0,2 + 0,333 + 0,167 =

0,7





Porazdelitvena funkcija



Izračun, kot smo ga pravkar napravili, lahko poenostavimo, če si že vnaprej izračunamo verjetnost, da zavzame slučajna spremenljivka vrednost enako ali





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 83



manjšo od i. To funkcijo, ki jo bomo označili s F, imenujemo porazdelitvena funkcija5:



i



F i

( ) = {

P X ≤ i} = ∑ p( j) (9.6)

j=1



Ker so verjetnosti ali frekvence pozitivna števila, je F(i) monotono skokoma naraščajoča funkcija, katere začetna vrednost je 0 in končna 1.





Slika 9.6 Pri vrednosti i funkcija skoči na vrednost F(i).



V nekaterih primerih nas zanima {

P X > }

i . Če sta možna samo dve možnosti,

potem velja, da je {

P X ≤ }

i + {

P X > }

i = 1. Iz tega lahko izračunamo

verjetnost {

P X > }

i :



{

P X > }

i = 1− {

P X ≤ }

i = 1− F( i)



{

P X > }

i = 1− F( i)



(9.7)





Če poznamo F(i), lahko z odštevanjem izračunamo verjetnost, da pade X v določen interval:





{

P j ≤ X ≤ k} = F( k) − F( j) (9.8) Spoznali smo dva načina podajanja porazdelitve: z verjetnostno ali pa s porazdelitveno funkcijo. Oba načina sta enakovredna.



Včasih je v besedilu potrebno razlikovati med empirično in teoretično

porazdelitvijo. Empirično porazdelitveno funkcijo, ki je dobljena s seštevanjem frekvenc, bomo poimenovali kumulativna frekvenčna porazdelitev ali vsota frekvenc.



5 V tuji literaturi se za to porazdelitev pogosto uporablja tudi kratica cdf, ki izvira iz: cumulative distribution function (kumulativna porazdelitvena funkcija).



84

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc





Zgled 7

Podatki so enaki kot pri zgledu številka 5. Nariši empirično

porazdelitveno funkcijo. Kolikšna je približno verjetnost, da bo

odpovedal prvi ali drugi računalnik?





i

fg(i)

f i

( )

F i

( )

g



f i

( ) = N





1 ////

4 0,133

0,133



2 /////

/ 6 0,200

0,333



3 /////

///// 10 0,333

0,666



4 /////

5 0,167

0,833



5 /////

5 0,167

1



N

30 Σ = 1





Iz tabele ali iz grafa (glej sliko 9.7) odčitamo {

P X ≤ }

2 = F(2) = 333

,

0

.

F(i)

1

0,833

0,666

0,333

0,133

1

2

3

4

5

i





Slika 9.7 Empirična porazdelitvena funkcija. Verjetnost, da bo odpovedal prvi ali drugi računalnik je 0,333 in ne 0,133.



9.2 Zvezna porazdelitev

Koncept zvezne porazdelitve je v mnogih delih zelo podoben diskretnemu.

Slučajna spremenljivka je popolnoma definirana, če je definirana zaloga vrednosti, ki jih lahko zavzame in porazdelitev.



Naj bo vzorčni prostor slučajne spremenljivke X množica realnih števil na neskončnem ali pa na končnem intervalu D = (c,d). Slučajna spremenljivka T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 85



lahko torej zavzame katerokoli vrednost na realni osi oziroma znotraj nekega intervala.



Podobno kot pri diskretnih porazdelitvah je tudi tukaj porazdelitev lahko teoretična ali empirična. Empirično zvezno porazdelitev prikazujemo na dva načina:



1.

s frekvenčno porazdelitvijo ali

2.

s kumulativno frekvenčno porazdelitveno funkcijo.



Teoretično pa:



1.

z gostoto verjetnosti ali

2.

z (zvezno) porazdelitveno funkcijo.





9.3 Frekvenčna porazdelitev

Najprej si bomo pogledali, kako opišemo zvezno empirično porazdelitveno funkcijo. Zalogo vrednosti oziroma vzorčni prostor razdelimo na enako široke intervale, ki jim pravimo tudi razredi. Večinoma definicijsko območje D

razdelimo na 5 do 20 intervalov. Glede na največjo in najmanjšo vrednost slučajne spremenljivke določimo širino posameznih razredov. Na začetku in na koncu območja, v katerem ležijo podatki, dodamo še en interval, v katerega pa ne bo padla nobena vrednost. Ta dva intervala potrebujemo za pravilno risanje približnega poteka frekvenčne porazdelitve. Nato preštejemo6, koliko slučajnih dogodkov pade v vsak razred. Ker nikakor ne moremo vnaprej predvideti, v kateri interval bomo uvrstili dogodek, je število dogodkov v intervalu slučajna diskretna spremenljivka.



Če to število delimo s številom vseh podatkov N, dobimo diskretno empirično porazdelitev (frekvenčno porazdelitev), katere lastnosti smo obravnavali že v prejšnjem poglavju:





f ( i) ≥ 0 za vsak i∈ D in

(9.9)





N



∑ f i() =1 (9.10)

i =1





6 Izračunamo frekvenco.



86

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc f(i)

f(x)

0,4

0.4

N=50

0.3

0,2

0.2

1

2

3

4

5

i

A

B

C

D

E

x

a

b



Slika 9.8 Histogram (a) in diskretna porazdelitev (b).



Grafično prikazujemo tako dobljeno porazdelitev kot histogram (glej sliko 9.8a). Le-ta je sestavljen iz enako širokih stikajočih pravokotnikov, katerih višina je proporcionalna frekvenci. Na abscisi označimo indekse razredov ali pa njihove sredine. Ker gre za zvezne slučajne spremenljivke, je način risanja drugačen kot pri diskretnih porazdelitvah (glej sliko 9.8b). Pri diskretnih slučajnih spremenljivkah smo uporabili odebeljene črte, ki se niso stikale in tako nedvoumno poudarili, da vmesne vrednosti ne obstajajo.



Približen potek frekvenčne porazdelitve dobimo, če v histogramu potegnemo krivuljo skozi točke, ki so določene s sredino razreda in višino posameznega stolpca (glej sliko 9.9). Tako dobljenemu grafu pravimo frekvenčni poligon.

Zaradi dodanih razredov na začetku in na koncu se ta krivulja vedno začne in konča z vrednostjo nič. Kasneje bomo spoznali, da tako dobimo empirično gostoto verjetnosti.





Širina razreda je 10.

f(x)

0,4

Približen potek f(x)

dodatni interval na desni

0,2

15 25 35

x

45 55



Slika 9.9 Iz histograma izrišemo (empirično) zvezno porazdelitev.



Kot bomo videli na naslednjem zgledu, je celoten postopek določevanja

frekvenčne porazdelitve zelo enostaven.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 87





Zgled 8





Nariši frekvenčno porazdelitev, če se spremenljivka X pojavlja z naslednjimi vrednostmi.



11 24,2 25 22 33 34,3

32 33 38 35





34 37 43 45,1

48 45 44 44 56 51





Ker imamo malo podatkov, se odločimo za 5 razredov. Ker so vrednosti med 10

in 60, se odločimo, da bo interval širok 10.



i

Δx

sredina

fg(i)

f ( i)

g

=



razreda

f ( i)

N

1

-∞ - 10

5 0

0

2

11 - 20

/

15

1

0.05

3

21 - 30

///

25

3

0.15

4

31 - 40

///// ///

35

8

0.4

5

41 - 50

///// /

45

6

0.3

6

51 - 60

//

55

2

0.1

7

61 - ∞

65 0

0

N





Σ=20 Σ=1



Najprej narišemo histogram, nato pa povežemo sredine stolpcev.





Slika 9.10 Histogram in frekvenčna porazdelitev.





Za zelo velik N oziroma za N→∞ je frekvenca vsakega razreda enaka

verjetnosti, da pade slučajna spremenljivka vanj.





88

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc





{

P X ∈ i} ≈ f i

( ) (9.11)



Npr. v prejšnjem zgledu je verjetnost, da pade X v 5. interval (41,50), enaka 0,3. To lahko zapišemo tudi takole:

{ PX ∈ }5= 3,

0 , če se verjetnost nanaša na indeks intervala,



ali

{ PX ∈( 50

,

41

)}= 3,

0 , če se verjetnost nanaša na interval.





f(i)

f(i)

f(i)

N=10

N=50

N=200

1

2

3

4

5

i

3

4

5

i

3

4

5

i



1

2



1

2



Slika 9.11 Oblika empirične porazdelitve je odvisna tudi od števila podatkov.



Število podatkov zelo vpliva na obliko porazdelitve in seveda tudi na

natančnost statistične analize (glej sliko 9.11). Velja preprosto pravilo: z večanjem števila podatkov se veča natančnost7. Pri majhnem številu podatkov ne smemo pozabiti, da pri ponovitvi eksperimenta oziroma opazovanja vsakič ne dobimo enake porazdelitve, saj vsakokrat dobimo drugačen niz slučajnih podatkov (glej sliko 9.12).





Slika 9.12 Ponovitev eksperimenta pri majhnem številu podatkov ne daje popolnoma enake porazdelitve. Večji je N, večja je podobnost.





7 Natančnejša povezava se nahaja v [CHATEFIELD, 1978], [SPIEGEL, 1972].



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 89



9.4 Kumulativna frekvenčna porazdelitev

Podobno kot pri diskretni porazdelitvi (glej enačbo 9.6) lahko tudi tukaj tvorimo varianto empirične porazdelitve, ki prikazuje, kolikšna je verjetnost, da bo slučajna spremenljivka X enaka ali manjša od vrednosti v izbranem intervalu.



i



F i

( ) = {

P X ≤ i} = ∑ f ( j) (9.12)

j=1



Tudi ta funkcija je monotono naraščajoča in se vzpenja od 0 do 1. Enako kot pri diskretni porazdelitvi tudi tukaj veljata izraza:





{

P X > }

i = 1− F( i)





{

P j < X ≤ k}= F( k) − F( j)



Zgled 9



Imamo enake podatke kot pri prejšnjem zgledu. Kolikšna je verjetnost, da bo X ≤ 39? Kolikšna je verjetnost, da bo 19 ≤ X ≤ 40? Nariši približen potek porazdelitve in odčitaj verjetnosti.



i

Δx

sredina

fg(i)

f ( i)

g

=

F(i)

razreda

f ( i)

N

1

-∞ - 9

5 0

0 0

2

10 - 20

/

15

1

0.05

0.05

3

21 - 30

///

25

3

0.15

0.20

4

31 - 40

///// ///

35

8

0.4

0.60

5

41 - 50

///// /

45

6

0.3

0.90

6

51 - 60

//

55

2

0.1

1.00

7

61 - ∞

65 0

0

N





Σ=20 Σ=1





x = 39 se nahaja v 4 intervalu: P{X ≤ 39} = F( i = 4) = 0,6.



P{19 ≤ X ≤ 40} = F( i = 4) - F( i = 2) = 0,6 - 0,05 = 0,55



Če narišemo graf kumulativne frekvenčne porazdelitve, lahko te podatke zelo hitro odčitamo tudi iz grafa (glej sliko 9.13).





90

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Slika 9.13 Kumulativna frekvenčna porazdelitev. Če potegnemo krivuljo skozi sredine stolpcev, dobimo približek zvezne porazdelitve8.



9.5 Gostota verjetnosti

Z oženjem intervalov in večanjem števila opazovanj lahko frekvenčno

distribucijo aproksimiramo z zvezno funkcijo, ki ji pravimo gostota verjetnosti (glej sliko 9.14).





Slika 9.14 Gostota verjetnosti.

Gostota verjetnosti f(x) je funkcija, ki je definirana na definicijskem območju D

= (c,d) in ima naslednje lastnosti:



1. vrednosti so vedno večje ali enake nič.





f ( x) ≥ 0 za vsak x∈D (9.13)





8 Zvezna porazdelitev bo opisana v nadaljevanju.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 91



2. Z oženjem intervalov se je seštevanje pretvorilo v izračun površine pod krivuljo, ki jo lahko izračunamo tudi z integralom. Iz tega sledi, da je površina znotraj definicijskega območja D vedno 1.





d



∫ f ( x) dx =1 (9.14)

c



3. Površina pod gostoto verjetnosti v intervalu (a,b) je enaka verjetnosti, da

X pade v interval (a,b).



b



{

P a ≤ X ≤ }

b = ∫ f ( x) dx (9.15)

a





Slika 9.15 Površina pod grafom gostote verjetnosti na intervalu (a,b) je enaka verjetnosti, da X pade v interval (a,b).



Iz enačbe (9.15) sledi, da je:





P{ X = a} = 0 (9.16)



Torej vrednosti f(x) ne moremo interpretirati kot verjetnost, da X zavzame vrednost x. To je možno samo pri empirični porazdelitvi (frekvenčni porazdelitvi), kjer se verjetnost nanaša na interval.





Zgled 10

f(x)

0.25

1

2

3

4

5

x





Kolikšna je verjetnost, da X pade v interval (2,4)?





92

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Če želimo izračunati verjetnost, da zavzame X vrednost med 2 in 4,

moramo izračunati črtkano površino. To lahko storimo z integriranjem ali pa kar s preprostim geometrijskim izračunom:



4

{

P 2 ≤ X ≤ }

4 = f ( x)

= 2 ⋅ ,

0 25 = 5

,

0

∫

dx



2





9.6 Zvezna porazdelitvena funkcija

Pri diskretni slučajni spremenljivki smo s seštevanjem posameznih verjetnosti dobili porazdelitev F( x) = {

P X ≤ x}. To lahko tukaj storimo z izračunom

določenega integrala, ki ima spremenljivo zgornjo mejo:



x



{

P X ≤ }

x = ∫ f ( w) dw

(9.17)

−∞





Izračunana površina pod f(x) predstavlja verjetnost, da bo dogodek X zavzel vrednost enako ali manjšo od x. To funkcijo, ki jo bomo označili s F(x), imenujemo zvezna porazdelitvena funkcija9. Podobno kot diskretna porazdelitev je tudi monotono naraščajoča funkcija, ki je zvezna in ni nikoli negativna. Njena začetna vrednost je nič, konča pa se pri ena.



Izračun zvezne porazdelitvene funkcije s pomočjo integrala je primeren le za teoretične porazdelitve. Če rišemo empirično zvezno porazdelitev, potem je njen približek enak kumulativni frekvenčni porazdelitvi (glej sliko 9.16).





F(i)

F(x)

1

1

0,5

0,6

1

2

i

3

4

5

15 25 35 45 55

x

15 25 35

x

45 55

a

b



Slika 9.16 a) Empirična zvezna porazdelitev za slučajno spremenljivko iz zgleda 9. b) Verjetnost, da je X≤ 35, je 0,6. Verjetnost, da je X> 35, je 1- 0,6 = 0,4.





9 Ker gre za integral gostote verjetnosti, imenujemo to funkcijo tudi verjetnostni integral.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 93



Razlika med porazdelitvama



Zvezna slučajna spremenljivka je popolnoma definirana, če poznamo njen vzorčni prostor (zalogo vrednosti) in njeno porazdelitev. Npr. slučajno spremenljivko X iz zgleda 8 in 9 bi opisali z:



• opisom zaloge vrednosti: 9<x<61

• opisom frekvenčne ali kumulativne frekvenčne porazdelitve (glej sliko 9.17).



Za katero vrste porazdelitve naj se odločimo? Iz frekvenčne porazdelitve (gostote verjetnosti) lažje razberemo, kako so porazdeljene verjetnosti. Npr.

največja je verjetnost, da pade spremenljivka v tretji interval (glej sliko 9.17).

To ni tako razvidno na kumulativni porazdelitvi, ki pa je zelo primerna za računanje raznih verjetnosti.



Slika 9.17 Frekvenčna porazdelitev (levo) in kumulativna frekvenčna

porazdelitev (desno) spremenljivke X iz zgledov 8 in 9.



Namesto prikazovanja porazdelitve je pogosto enostavneje, če lastnosti slučajne spremenljivke opišemo z določenimi parametri, ki so preproste skalarne vrednosti. Najpogostejša sta: povprečna vrednost in razpršenost.





9.7 Mere povprečja

Če imamo nek niz podatkov, nas pogosto zanima, kolikšna je tipična vrednost.

V statistiki se uporablja več načinov izračunavanja povprečja. Najbolj pogosti so naslednji:



1. aritmetična sredina,

2. modus

in

3. mediana.





Mere povprečja izberemo glede na obliko frekvenčne distribucije in kategorijo podatkov.



Niz podatkov je včasih tako velik, da raje izberemo samo podmnožico, ki ji pravimo vzorec, celotni niz pa menujemo celotna populacija. Npr, proizvodnja kondenzatorjev predstavlja neskončno veliko populacijo. Z analizo vzorca nato 94

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc sklepamo, kakšne so lastnosti celotne populacije. Ocenjevanje lastnosti celotne populacije zahteva dodatne izračune, ki pa jih ne bomo obravnavali.

Zapomnimo si le preprosto pravilo, večji je vzorec, večja je natančnost analize.





1. aritmetična sredina



Kadar bomo izračunavali povprečno vrednost celotne populacije, bomo to označili z μ. Ker v izračunu seštevamo posamezne vrednosti, morajo podatki spadati najmanj v intervalno lestvico.



Za vzorec iz populacije:



N

∑ xi



x

i

= =1

(9.18)

N

Za celotno populacijo:

∑ Nxi



μ = i=1 (9.19)

N





Pogosto želimo na podlagi vzorca določiti srednjo vrednost celotne populacije.

Vrednost aritmetične sredine vzorca je odvisna od števila podatkov v vzorcu ali z drugimi besedami: vrednost aritmetične sredine vzorca leži znotraj nekega intervala, ki se z večanjem vzorca manjša.





Zgled 11

Kupili smo 10000 enakih uporov. Iz te zaloge jemljemo različno velike

vzorce (število uporov) in izračunavamo aritmetično sredino vrednosti

upora v vzorcu. Npr. štirikrat po 5 uporov, nato štirikrat po 20 uporov itd.

Rezultate prikazuje naslednja tabela:





N

x

x

x

x

5 24,2 20,2 23,4 19,2

20 19,9 22,9 20,0 23,9

30 21,0 22,3 21,9 21,0

50 21,2 21,1 21,4 21,2





Kolikšna je aritmetična sredina celotne populacije? Pri petih podatkih se je srednja vrednost gibala med 19,2 in 24,2, pri 50 pa med 21,1 in 21,4.

Vidimo, da števila počasi limitirajo proti neki vrednosti. Kolikšne so T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 95



meje, znotraj katerih se nahaja aritmetična sredina celotne populacije, je možno določiti s posebnim statističnim testom10.





2. modus



Naslednje merilo za opis povprečja je modus. Modus je vrednost podatka oziroma vrednost intervala, ki se najpogosteje pojavlja. Primeren je za podatke, ki spadajo v nominalno lestvico.





Zgled 12



Znana je frekvenčna porazdelitev. Določi modus.



fr(i)

1

2

3

4

5

6

7

i





Najbolj pogosto se pojavljajo dogodki, ki jih uvrščamo v tretji interval.

Modus je tri.





3. mediana



To je točka (vrednost vzorca), ki razdeli površino pod frekvenčno distribucijo na dva enaka dela. Primerna je za podatke, ki spadajo vsaj v ordinalno lestvico.

f(x)

0.6

0.4

0.2

50%

50%

-1

1 2 3 4

x



Slika 9.18 Mediana je približno 2,3.



10 Več o tem je v vsaki knjigi, ki podrobneje obravnava statistiko.





96

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Samo za simetrične porazdelitve z enim modusom velja: x = x

= x

!!

mediana

modus



fr(i)



1

2

3

4

5

6

7

i



Slika 9.19 Ker je oblika porazdelitvene funkcije simetrična, je aritmetična srednja vrednost enaka modusu (i = 4).



Če ne poznamo porazdelitve, se lahko zgodi, da izberemo popolnoma

napačno merilo za oceno povprečja. Za podatke na sliki 9.20 bi izračunali, da je aritmetična sredina približno 4 interval, vendar v njem sploh ni nobenega podatka.





fr(i)

1

2

3

4

5

6

7

i



Slika 9.20 Aritmetična sredina je približno 4 interval, vendar v njem sploh ni nobenega podatka.



9.8 Mere razpršenosti11

To so merila, ki povedo, kako so razpršeni podatki.





Slika 9.21 Porazdelitvi f1 in f2 imata približno enaki povprečni vrednosti x = 4 , vendar so pri f2 podatki bolj razpršeni kot pri f1.



11 Sinonimi so: mere variabilnosti, disperzija.



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 97





Najbolj pogoste mere:



1. variacijski razmik,

2. povprečni absolutni odklon,

3. standardna deviacija in

4. varianca.



Variacijski razmik



To najpreprostejše merilo je razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo v nizu podatkov.





Povprečni absolutni odklon:



N

∑ x − x

i



MD

i

= =1

(9.20)

N





Standardna deviacija12:



2

2

∑ N(

N

x − μ

∑( x − μ

i

)

i

)



σ = i=1

s

i

=

=1

(9.21)

N

N −1



za celotno populacijo za vzorec iz populacije





Varianca ali disperzija:





To je kvadrat standardne deviacije.





12 Vsak povprečen kalkulator ima to funkcijo. Če je nima, si moramo pomagati s tabelo.



98

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Zgled 13

Izračunaj vsa obravnavana merila razpršenosti.



8 10 7 11 12 8 8 9 10 7





x

i

x − x ( x − xi )2

i



8 1

1

10 1

1

7 2

4

11 2

4

12 3

9

8 1

1

8 1

1

9 0

0

10 1

1

7 2

4

Σ

90 14 26





x = 9



1. variacijski razmik xmax - xmi n = 5

2. povprečni absolutni odklon = 1,4

3. standardna deviacija (za celotno populacijo) = 1,61

4. varianca = 2,60.



Opomba: če imamo na kalkulatorju funkcijo za standardno deviacijo,

tabele ne potrebujemo.





9.9 Enakomerna porazdelitev

Med zveznimi porazdelitvami je najbolj enostavna enakomerna porazdelitev.



f(x)

F(x)

c

1

a

b

x

a

b

x

a

b



Slika 9.22 Gostota verjetnosti (a) in porazdelitvena funkcija (b).

Ker mora biti površina pod f(x) enaka ena, je vrednost c določena z izrazom: T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 99





c = 1

b − a



Porazdelitvena funkcija linearno narašča znotraj intervala, v katerem je definirana slučajna spremenljivka X:





x

−

F( x) = {

P X ≤ }

x a

x = f ( x dx =

∫ )

b − a



a





Empirična gostota oziroma frekvenčna porazdelitev je samo približno

konstantna.





Zgled 14

Narisana je empirična porazdelitev. Kolikšna je verjetnost, da zavzame slučajna spremenljivka katerokoli vrednost znotraj posameznih razredov?



f(x)

0,1

1

10

x





Verjetnost, da zavzame slučajna spremenljivka katerokoli vrednost

znotraj posameznih razredov, je približno 0,1.





9.10 Normalna ali Gaussova porazdelitev

To je zvezna teoretična porazdelitev, pri kateri je gostota verjetnosti opisana z naslednjo funkcijo:



2

1

1

⎛ x−μ ⎞

− ⎜

⎟

2

f ( x)

⎝

⎠

=

σ

e



σ 2π

(9.22)





100

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Slika 9.23 Gostota verjetnosti (Gaussova porazdelitev), ki je opisana z izrazom (9.22).



Pri empirični porazdelitvi izračunamo srednjo vrednost μ in standardno deviacija σ z naslednjima izrazoma:





∑ N

N

2

x

∑( x − μ

i

)

i

μ = i=1 σ = i=1



N

N





Kadar imamo opravka z vzorcem, je potrebno izraz za σ ustrezno korigirati.

Mnogo pojavov v naravi ustreza tej distribuciji in zato lahko pogosto

predpostavimo, da je empirična distribucija dejansko Gaussova. Z uvedbo standardiziranega odklona (spremenljivka z) se izraz (9.22) poenostavi: x − μ



z =

σ (9.23)

2

1

z

− 2

f ( z) =

e



2π

(9.24)





Ker je izračun določenega integrala, s katerim bi lahko izračunali

porazdelitveno funkcijo F(x) oziroma F(z), zapleten, se uporablja samo numerična integracija, katere rezultati so v tabeli 9.2. Tej inačici Gaussove funkcije pravimo standardizirana ali normirana Gaussova funkcija.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 101



y

0,4

0,3

0,2

0,1

-3

-2

-1

0

1

2

3

z





Slika 9.24 Potek standardizirane Gaussove funkcije.





Nekaj vrednosti površin, s katerimi se pogosto srečamo:





Interval z

Površina

μ±1σ

-1…1 0,6826

μ ±1,96σ

-1,96..1,96 0,9500

μ ±2σ

-2…2 0,9545

μ ±3σ

-3…3 0,9973





y

0.4

površina je 0,6827

-3

-2

-1

0

1

2

3

z





Slika 9.25 Površina, ki ustreza intervalu ±1σ.





102

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc Tabela 9.2 Površina pod standardizirano normalno distribucijo v intervalu od 0 do z z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549

0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998

3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 103



Zgled 15

Kolikšna je površina pod krivuljo v intervalu 0 < z < 2,24?





Iz tabele 9.2 odčitamo, da je pri z = 2,24 površina 0,4875.





Zgled 16

Vrednosti napetosti so distribuirane po normalni distribuciji. Srednja vrednost je 230 V, standardna deviacija pa 8. Kolikšna je verjetnost, da bo napetost večja od 245 V?



Najprej napravimo preprosto skico poteka gostote verjetnosti in označimo iskano površino.





245 − 230

z =

= 875

,

1

≈ 88

,

1



8



Iskano površino izračunamo z odštevanjem dveh površin:



Za celotno desno polovico velja P{0 < z < +∞ } = 0,5000 in za

P{ 0 < z <1,88 } = 0,4699



P{ 1,88 < z <+∞ }= 0,5000 - 0,4699 = 0,0301



Verjetnost, da bo napetost večja od 245, je 3 %.



104

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 9.11 Ocenitev standardne deviacije celotne populacije s pomočjo vzorca Pogosto bi radi na podlagi vzorca ocenili, kolikšna je standardna deviacija celotne populacije (npr. ocenjevanje toleranc). Iz celotne populacije naključno izberemo N elementov in izračunamo standardno deviacijo. Postopek

ponavljamo. Vedno bomo dobili drugačno vrednost. Z večanjem števila

podatkov se bo interval, znotraj katerega se nahajajo izračunane standardne deviacije vzorca, ožil.



Če za populacijo velja normalna porazdelitev, je interval zaupanja, v katerem leži standardna deviacija celotne populacije, določen z naslednjim približnim izrazom:



z ⋅ s

⎛

z ⎞

⎛

s

Δ ⎞



σ = s ±

= ⎜

s 1±

⎟ = ⎜

s 1±

⎟ (9.25)

2 N

⎝

2 N ⎠

⎝

s ⎠



σ : standardna deviacija celotne populacije

s : standardna deviacija vrednosti v vzorcu

N : število vzorcev

z: : standardiziran odklon



Z večanjem števila podatkov v vzorcu se veča natančnost ocene. Pri N → ∞, je σ = s.



V spodnji tabeli je prikazana povezava med velikostjo vzorca in relativno napako ocene za 95 % stopnjo zaupanja (z = 1,96).



Tabela 9.3 Nekaj tipičnih vrednosti.

N

Δ s

s

10 0,44

50 0,20

100 0,14

200 0,10



Zgled 17

Iz tekočega traku, na katerem izdelujemo 5 V usmernike, smo naključno

izbrali 100 usmernikov. Povprečna vrednost v vzorcu je bila 4,95 V,

standardna deviacija pa 0,1 V. Kolikšna je standardna deviacija napetosti usmernikov, ki prihajajo s tekočega traku? Ocena naj velja za 95 %

stopnjo zaupanja.



s = (0 1

, ± 0 1

, ⋅ 0 1

, 4) V = (0 1

, ± 0 0

, 14) V = 0, (

1 1± 0 1

, 4) V



Torej s 95 % verjetnostjo lahko trdimo, da leži standardna deviacija vseh usmernikov v intervalu 0,086 V - 0,114 V.



T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 105



9.12 Naloge za poglavje 9



1. Naključni dogodek je število pik pri metu ene kocke.



1. Določi vzorčni prostor.

2. Nariši verjetnostno funkcijo.

3. Nariši porazdelitveno funkcijo.

4. Kolikšna je verjetnost, da bomo vrgli 5 pik?

5. Kolikšna je verjetnost, da bomo vrgli najmanj 5 pik?

6. Kolikšna je verjetnost, da bomo vrgli najmanj 2 in ne več kot 4 pike?





2. Kolikšen je vzorčni prostor slučajne spremenljivke X? Ali je f(x) porazdelitvena funkcija?





f ( x )

0 . 2

0 . 1

1

2

3

4

5

x





3. Znana je gostota verjetnosti f(x).



1. Preveri, ali gostota verjetnosti f(x) ustreza vsem zahtevam.

2. Določi verjetnost, da bo X≤3.

3. Določi verjetnost, da bo X>3.

4. Določi verjetnost, da bo 1≤X≤3

5. Nariši porazdelitveno funkcijo F(x) in ponovi izračune od 2 do 4.



f(x)

0.3

0.2

0.1

-1

1 2

3 4

x



4. Nariši empirično gostoto verjetnosti (frekvenčno distribucijo). Kolikšna je verjetnost, da bo X>11?



12 10 9 11 12 14 13 14 15 12

9 11 12 13 11 12 10 12 13 11



5. V laboratoriju smo merili napetost usmernikov. Podatki so zbrani v tabeli. Enote so volti.



106

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc





12,1 17,4 13,2 16,8 15,9 17,5 12,4 16,3 13,0 16,2

15,3 14,3 11,5 13,7 16,4 14,7 15,5 11,3 13,4 15,0

16,1 17,2 16,1 16,1 16,2 17,9 15,7 16,0 16,1 16,7

12,9 13,4 16,1 15,9 18,8 13,6 12,6 17,5 15,3 20,6





1. Kaj je slučajni dogodek?

2. Kolikšen je približno vzorčni prostor?

3. Nariši empirično gostoto verjetnosti (frekvenčno distribucijo).

4. Nariši kumulativno frekvenčno distribucijo.

5. Komentiraj frekvenčno distribucijo. Kaj lahko iz nje razbereš?

6. Kolikšna je ocena verjetnosti, da je napetost manjša od 14,0V?

7. Kolikšna je ocena verjetnosti, da se napetost nahaja med 12,2V in 16,8V?

8. Kolikšna je ocena verjetnosti, da je napetost večja od 12,0V?

9. Kolikšna je ocena verjetnosti, da je napetost enaka 16,0V?





6. Povprečna vrednost zgornje frekvenčne meje (fzg) 500 ojačevalnikov je 151 MHz in σ = 15 MHz. Podatki so porazdeljeni skladno z normalno porazdelitvijo.



1. Koliko ojačevalnikov ima zgornjo frekvenčno mejo med 120 MHz in 155 MHz?

2. Specifikacije zahtevajo, da mora imeti ojačevalnik zgornjo frekvenčno mejo večjo od 120 MHz. Koliko procentov ojačevalnikov specifikacijam ne ustreza?





7. Glej podatke iz naloge 4. Predpostavi, da so vrednosti porazdeljene po Gaussovi porazdelitvi. Kolikšna je ocena verjetnosti, da bo X>11?



8. Glej podatke v nalogi 5. Predpostavi, da se dogodki distribuirajo po Gaussovi distribuciji.

Odgovori na vprašanja od 6 do 9 iz iste naloge.



9. S tekočega traku smo naključno vzeli 12 ojačevalnikov in izmerili napetostno ojačenje.

Pogreške, ki nastanejo pri meritvi, bomo zanemarili.



i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Au 163 140 110 150 130 143 145 126 150 184 148 135



Določi in nariši frekvenčno in kumulativno frekvenčno distribucijo. Kolikšna je ocena verjetnosti, da bo ojačenje med 130 in 160? Kolikšna je ocena verjetnosti, da bo ojačenje 150?





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 107



10. Literatura



[BRATKOVIČ, 1992] F. Bratkovič: " Računalniško načrtovanje vezij – občutljivost in optimizacija" , Fakulteta za elektrotehniko v Ljubljani, Ljubljana, 1992.

[BÜRMEN, 2002] A. Bürmen, D. Strle, F. Bratkovič, J. Puhan, I. Fajfar, T. Tuma: " Penality Function Approach to Robust Analog IC Design", Informacije MIDEM 32 (2002)3, Ljubljana, 2002.

[BÜRMEN, 2003] A. Bürmen, D. Strle, F. Bratkovič, J. Puhan, I. Fajfar, T. Tuma:

"Automated robust design and optimization of integrated circuits by means of penalty functions" . AEÜ – International Journal of Electronics and Communications, 2003, 57, štev.

1, str. 47-56.

[CALAHAN, 1972] D. A. Calahan: " Computer Aided Network Design" , McGraw Hill, 1972.

[CANTATORE, 1999] E. Cantatore, F. Corsi, C. Marzocca, G. Matarrese: " Relative Robustness Against Process Fluctuations of Basic Building Blocks for Analog Front-End of Particle Detectors" , Proceedings

of The Fifth Workshop On Electronics For LHC

Experiments, University of Winsconsin, 1999.

[HYMOWITZ, 1988] L. G. Meares and C. E. Hymowitz: " Simulating with Spice" , Intusoft, San Pedro, CA, 1988.



[LAMEY, 1994] Robert Lamey: " Illustrated Guide to Pspice", Thomson Delmar Learning, 1994.



[MICHAEL, 1993] C. Michael and M. Ismail: " Statistical Modeling for Computer-Aided Design of Analog MOS Integrated Circuits" , Norwell, MA: Kluwer, 1993.



[RASHID, 2003] Muhammad H. Rashid: " Introduction to PSpice Using OrCAD for Circuits and Electronics", Prentice Hall; 3, izdaja, 2003.



[TUMA, 1997] Tadej Tuma: " Analiza vezij s programom SPICE3", Fakulteta za elektrotehniko, 1. izdaja, Ljubljana, 1997.



[TUINENGA, 1988] Paul W. Tuinenga: " Spice: A Guide to Circuit Simulation and Analysis Using PSpice", Prentice Hall College Div, New Jersey, 1988.



[TARIM, 1999] T. B. Tarim and M. Ismail, " Statistical Design and Yield Enhancement of CMOS Analog VLSI Circuits", IEEE Circuits and Devices Magazine, marec, 1999, str. 12-22.



[VADNAL, 1972] Alojzij Vadnal: " Elementarni uvod v verjetnostni račun", DZS, Ljubljana, 1972.



108

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc





[CHATFIELD, 1983] Christopher Chatfield: " Statistics for technology", John Wiley&Sons, London, 1983.

[SPIEGEL, 1972] Murray R. Spiegel: " Theory and problems of statistics", Schaum's Outline Series, McGraw-Hill, New York, 1972.

" Engineering Statistics Handbook", december 2000:

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/main.htm

[ČIBEJ, 1998] Jože Andrej Čibej: "Matematika: Kombinatorika, Verjetnosti račun, Statistika" , DZS, Ljubljana, 1998.





T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 109



11. Priloge



11.1 Lestvice vrednosti po DIN IEC 63





E3 (50 %): 1; 2,2; 4,7



E6 (20 %): 1; 1,5; 2,2; 3,3; 4,7; 6,8



E12 (10 %): 1; 1,2; 1,5; 1,8; 2,2; 2,7; 3,3; 3,9; 4,7; 5,6; 6,8; 8,2



E24 (5 %): 1; 1,1; 1,21; 1,33; 1,47; 1,62; 1,78; 1,96; 2,15; 2,37; 2,61; 2,87; 3,16; 3,48; 3,83; 4,22; 4,64; 5,11; 5,62; 6,19;

6,81; 7,50; 8,25; 9,09

E48 (2 %): 100; 105; 110; 115; 121; 127; 133; 140; 147; 154; 162; 169; 178; 187; 196; 205; 215; 226; 237; 249; 261; 274; 287; 301;

316; 332; 348; 365; 383; 402; 422; 442; 464; 487; 511; 536; 562;

590; 619; 649; 681; 715; 750; 787; 825; 866; 909; 953;

E96 (1 %) 100; 102; 105; 107; 110; 113; 115; 118; 121; 124; 127; 130; 133; 137; 140; 143; 147; 150; 154; 158;

162; 165; 169; 174; 178; 182; 187; 191; 196; 200; 205;

210; 215; 221; 226; 232; 237; 243; 249; 255; 261; 267;

274; 280; 287; 294; 301; 309; 316; 324; 332; 340; 348;

357; 365; 374; 383; 392; 402; 412; 422; 432; 442; 453;

464; 475; 487; 499; 511; 523; 536; 549; 562; 576; 590;

604; 619; 634; 649; 665; 681; 698; 715; 732; 750; 768;

787; 806; 825; 845; 866; 887; 909; 931; 953; 976;

E192 (0,5 %) 100; 101; 102; 104; 105; 106; 107; 109; 110; 111; 113; 114; 115; 117; 118; 120; 121; 123; 124; 126;

127; 129; 130; 132; 133; 135; 137; 138; 140; 142; 143;

145; 147; 149; 150; 152; 154; 156; 158; 160; 162; 164;

165; 167; 169; 172; 174; 176; 178; 180; 182; 184; 187;

189; 191; 193; 196; 198; 200; 203; 205; 208; 210; 213;

215; 218; 221; 223; 226; 229; 232; 234; 237; 240; 243;

246; 249; 252; 255; 258; 261; 264; 267; 271; 274; 277;

280; 284; 287; 291; 294; 298; 301; 305; 309; 312; 316;

320; 324; 328; 332; 336; 340; 344; 348; 352; 357; 361;

365; 370; 374; 379; 383; 388; 392; 397; 402; 407; 412;

417; 422; 427; 432; 437; 442; 448; 453; 459; 464; 470;

475; 481; 487; 493; 499; 505; 511; 517; 523; 530; 536;

542; 549; 556; 562; 569; 576; 583; 590; 597; 604; 612;

619; 626; 634; 642; 649; 657; 665; 673; 681; 690; 698;

706; 715; 723; 732; 741; 750; 759; 768; 777; 787; 796;

806; 816; 825; 835; 845; 856; 866; 876; 887; 898; 909;

920; 931; 942; 953; 965; 976; 988;





110

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc 111



12. Stvarno kazalo

A

G

absolutni minimum · 32

Gaussova porazdelitev · 10, 100

analiza najbolj neugodnega primera

gostota verjetnosti · 90

ustrezen izbor ekstremnih vrednosti



parametrov · 40

analitična metoda · 32

definicija · 32

H

linearizacija lastnosti v prostoru toleranc · 35

metoda z vsemi možnimi kombinacijami

vrednosti parametrov · 37

hitra ocena statistične tolerance · 45, 65

metoda z z izborom ekstremnih vrednosti

histogram · 86

parametrov · 39

analiza občutljivosti · 17

analiza občutljivosti

I

perturbacijska metoda · 19

analitični izračun · 20

inkrementalna občutljivost · 19, 27

določitev s simulatorjem · 25

integrirana vezja · 55

analiza ogliščnih točk · 40

intervalna kategorija · 76

analiza toleranc

IsSpice4 · 26

definicija · 31

izmet · 50

aritmetična sredina · 94

K

C

kategorija podatkov · 76

CASES · 56

koeficient občutljivosti · 20

corner analysis · 40

korelirani parametri · 55

kumulativna porazdelitev · 53

kumulativna frekvenčna porazdelitev · 83, 89

D

delovna točka · 25

L

DEV · 56

diferencialna občutljivost · 20, 26

local mismatch · 55

DIN IEC 63 · 14

lokalni minimum · 32

diskretna porazdelitev · 78

lot · 55

disperzija · 97

LOT · 56

E

M

empirična porazdelitev · 78

mediana · 93, 95

enakomerna porazdelitev · 98

mere povprečja · 93

mere razpršenosti · 96

meritev občutljivosti

F

perturbacijska metoda · 19

meritev toleranc · 12

frekvenčna porazdelitev · 79, 85

modus · 95

frekvenčni poligon. · 86

Monte Carlo analiza · 47, 60



Principal Components Analysis · 50



112

T. Dogša: CAE/CAD v elektroniki: Analiza in načrtovanje toleranc





N

simetrično podana toleranca · 9

simulacija proizvodnje · 54

skript · 25, 27

načrtovanje toleranc · 61

slučajna spremenljivka · 77

načrtovanje toleranc

slučajni dogodek · 76

predpisan je najbolj neugoden primer za več

SPICE 2G6 · 26

lastnosti · 69

standardizirana lestvica vrednosti · 15

predpisan je neugoden primer ene lastnosti · 64

standardne vrednosti parametrov · 14

predpisana je statistična toleranca ene lastnosti ·

standardizirana Gaussova porazdelitev · 100

62

standardna deviacija · 97

predpisanih je več nelinearnih lastnosti · 65

ocenitev · 104

najbolj neugoden primer



analitična metoda · 60

definicija · 32

nazivna vrednost · 9, 19

Š

nekorelirani parametri · 54

nesimetrično podana toleranca · 9

nominalna vrednost · 9, 19

šarža · 55

nominalna kategorija · 76

normalna porazdelitev · 99

normirana občutljivost. · 21

T

temperaturni koeficient parametra · 25

O

toleranca

navadna definicija · 9

občutljivost na temperaturo · 24

statistična definicija · 10

ordinalna kategorija · 76

tolerančni prostor · 39



teoretična porazdelitev · 78

P

V

pdf · 81

variabilnost elementov · 55

parameter · 18

variabilnost procesa · 55

parameterski prostor · 39

variacijski razmik · 97

perturbacijska metoda · 19

varianca · 97

porazdelitveni zakon · 77

verjetnostna funkcija · 81

povprečni absolutni odklon · 97

verjetnostna shema · 78

probability density function · 81

vsota frekvenc · 83



vzorčni prostor · 76



W

R

worst case analysis · 31

racionalna kategorija · 76

relativna frekvenca · 79

robustnost · 8, 61, 62

Z

zaokroževanje nazivnih vrednosti · 17

S

zvezna porazdelitev · 84

zvezna porazdelitvena funkcija · 92

sensitivity analysis · 17





Document Outline


G_C_Analiza_in_nacrtovanje_toleranc_1.del.pdf

G_D_Statistika.pdf