SIMULACIJA OBNAŠANJA SC SIGMA-DELTA MODULATORJEV V ČASOVNI DOMENI Z UPOŠTEVANJEM NEIDEALNOSTI Dušan Prelog, Janez Stergar, Bogomir Horvat Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Maribor, Slovenija Kjučne besede: Sigma-Delta modulator, modeliranje, neidealnosti, SC, simulacija, MATLAB, SIMULINK. Izvleček; V prispevku je predstavljen kompleten nabor modelov v programskem orodju SIMULINK, s katerim je mogoča izčrpna simulacija poljubnega sc' Sigma-Delta (ZA) modulatorja v časovni domeni. Predlagan nabor modelov zajema večji del neidealnosti XA modulatorja; podrhtavanje vzorčeval-nega signala, preklopni termični šum in neidealnosti operacijskega ojačevalnika (beli šum, končno ojačanje, pasovno širino, iztiodno odzivnost^ in napetost nasičenja^). Naštete neidealnosti so obravnavane ločeno, njihov vpliv je demonstriran na primeru simulacije nizkoprepustnega SC ZA modulatorja 2. reda. Time-domain Behavioral Simulation of SC Sigma-Delta Modulators Considering Non-idealities Keywords: Sigma-Delta modulator, modeling, non-idealities, switched-capacitor, simulation, MATUXB, SIMULINK. Abstract: Sigma-Delta (ZA) modulators are the most suitable A/D converters for low-frequency, high resolution applications, considering their inherent linearity, reduced anti-aliasing filtering requirements and robust analog implementation. A typical block diagram of an oversampling ZA A/D converter consists of anti-aliasing filter, modulator and decimator (figure 1). Anti-aliasing filter eliminates the spectral components from the input signal above half the sampling frequency To shape the quantization noise, the input signal is highly oversampled and quantized. Oversampling reduces the noise uniformly while noise shaping additionaly pushes the noise out of the band of interest. The decimator then filters all the components out of the signal band and reduces the sampling frequency. The result is a signal coded with a large number of bits at Nyquist rate. A significant problem in the design of ZA modulators in practice is the estimation of their performance, since they are mixed-signal nonlinear circuits. Typically, large set of parameters have to be optimized, including the performance of the building blocks, in order to achieve the desired SNR or SNDR. Due to the inherent nonlinearity of the ZA modulator loop, the performance optimization has to be carried out with behavioral time-domain simulations /2/. Therefore, a complete set of SIMULINK models will be presented, which allow exhaustive behavioral simulations of an arbitrary ZA modulator, taking most of the non-idealities, such as sampling jitter, switches thermal noise and operational amplifier non-idealities (white noise, finite gain, finite bandwidth, slew-rate and saturation voltages) into account. Each of the models is presented and described. Using the presented building blocks, the simulation of any SC ZA modulator is possible. The basic concept of the proposed simulation environment is the evaluation of the output samples from their ideal values. The overall performance of the ZA modulator is evaluated in the frequency domain after proper Fast Fourier Transform of the output samples. Simulations were carried out on a classical 11. order SO low-pass ZA modulator architecture. We performed several simulations (figure 3), where only the non-idealities of the first integrator of the modulator were considered, since their effects are not attenuated by the noise shaping /2/. The simulation parameters used are summarized in table 2 and do correspond to audio standards. For audio performance, a minimum SNDR of 96 dB is required. In table 3 the SNDR with the corresponding resolution in bits of the ideal modulator is compared with results of the ideal modulator and the case when only one single non-ideality at a time and all non-idealities are introduced. In figure 11 the PSD of the ideal modulator is presented, while figures 12 and 13 compare the PSD at the output of the ideal modulator when two of the most significant non-idealities were taken into consideration. The output signal spectra show that thermal noise increases the in-band noise floor while the slew-rate produces harmonic distortion. 1 Uvod Nizkoprepustne SA modulatorje uvrščamo med ustrezne- jše A/D pretvornike za uporabo na področju visokoločljive 2A modulacije ne moremo uvrstiti med novejše modulaci- digitalizacije analognih signalov, katerih pasovna širina je jske postopke. Predstavlja tehnologijo iz 70-tih let, katere za več razredov manjša od vzorčevalne frekvence. Ključne razmah je bil pogojen šele z nedavnimi tehnološkimi ino- prednosti ZA so v linearnosti in robustni analogni imple-vacijami na področju digitalnega avdia in telekomunikacij. mentaciji. Ker njihova arhitektura ni prekompleksna in so relativno neobčutljivi na neidealnosti gradnikov, lahko z uporabo standardnih integriranih tehnologij dosegajo visoke -1-:---^--ločljivosti (19-21 bitov in več) /2, 3, 4/. Zaradi omenjenih angl. switched-capacitor lastnosti so SA modulatorji razširjeni v avdio aplikacijah (za angl. slew rate pretvorbo nizkopasovnlh signalov vse do ločljivosti 20 bi- ^ angl. saturation tov), v telekomunikacijskih sistemih (za neposredno A/D pretvorbo moduliranih pasovno omejenih medfrekvenčnih signalov (IF'*)) ter v senzorskih in merilnih vezjih. Implementacija 2A modulatorjev temelji na t.i. časovno-zvezni® tehniki ali podatkovnem vzorčenju®. Najbolj pogost pristop implementacije temelji na podatkovnem vzorčenju v t.i. SC realizaciji. V nadaljevanju se bomo zato osredotočili na SC ZA modulatorje, ki jih lahko učinkovito realiziramo v standardni CMOS tehnologiji. Pri načrtovanju visoko zmogljivih SC EA modulatorjev mora načrtovalec: izbrati ustrezno arhitekturo modulatorja, za katero predvideva, da bo zadostila zahtevanim pogojem implementacije in predvideti zahteve posameznih blokov znotraj modulatorja za izbrano arhitekturo. Pri zasnovi ZA modulatorjev v praksi se pojavlja problem določitve njihovih parametrov glede na zmogljivost, saj imamo opravka z nelinearnimi kombiniranimi^ vezji. Zaradi nelinearnosti ZA modulatorja mora biti optimizacija zmogljivosti izvedena s simulacijo obnašanja v časovni domeni. V primeru sistema visoke zmogljivosti je simulacija dokaj težavna. Za zadostitev zahtev sistema visokih zmogljivosti je potrebna natančna simulacija številnih neidealnosti. Prav tako je potrebna primerjava zmogljivosti različnih arhitektur za izbiro najboljše rešitve /2/. Za zasnovo SC ZA modulatorja visoke ločljivosti je potrebno optimizirati niz parametrov vključno z zmogljivostjo posameznih blokov v strukturi za dosego potrebnega razmerja signal-šum (SNR) ali popačitvenega SNR - SNDR®. Zato bomo v nadaljevanju predstavili kompleten nabor modelov v ustreznem simulacijskem okolju (SIMULINK), ki omogočajo izčrpno simulacijo obnašanja poljubnega SC ZA modulatorja. SIMULINK je simulacijsko okolje, ki po kriterijih natančnosti, hitrosti in fleksibilnosti najustreznejše za časovne simulacije prehodnih pojavov oz. za t.i. tran-zientno analizo /2/. V simulacijo so zajete najpomembnejše neidealnosti: podrhtavanje vzorčevalnega signala®, termični šum (kT/C) ter neidealnosti operacijskega ojačevalnika (beli šum, končno ojačanje, končna pasovna širina, izhodna odzivnost in napetosti zasičenja). 2 SIGMA-DELTA modulacija Pretvorniki s prevzorčenjem, ki temeljijo na ZA modulaoiji, so zaradi visoke ločljivosti, robustnega delovanja in nizke angl. intermediate frequency ® angl. continuous-time ® angl. sampled-data ^ angl. mixed-signal ® angl. Signal to Noise Distortion Ratio ® angl. sampling jitter občutljivosti na neidealnosti gradnikov zelo primerni za implementacijo visoko zmogljivih A/D vmesnikov v submikron-ski tehnologiji nizkih napetosti, kjer je načrtovanje preciznih analognih gradnikov, v primerjavi s preprosto realizacijo hitrih digitalnih vezij, težavno. Slika 1: Blokovni diagram A/D pretvornika s ZA modulatorjem Figure 1: ADC with ZA modulator block diagram Na sliki 1 je prikazan blokovni diagram SD A/D pretvornika, katerega sestavni bloki so: a) Filter za preprečitev spektralnega prekrivanja, ki iz vhodnega signala odstrani spektralne komponente v frekvenčnem pasu nad polovico vzorčevalne frekvence. Prevzorčenje olajšuje načrtovanje takega filtra, saj ni potrebe po strmi prenosni karakteristiki filtra v zapornem pasu. b) Modulator. Signal se vzorči in kvantizira. Izhod modulatorja y je kodiran z nizko ločljivostjo (običajno 1 bit) pri nazivni vzorčevalni hitrosti. Modulator preoblikuje spekter šuma tako, da se velik del kvantizaci-jskega šuma (odvisno od reda modulatorja) nahaja izven frekvenčnega pasu filtriranega signala in ga izločimo s t.i. digitalnim filtriranjem. c) Decimirni filter. Digitalni filter izloči komponente izven frekvenčnega pasu filtriranega signala vključno z večjim deležem kvantizacijskega šuma. Filtriranju sledi vzorčenje navzdol oz. decimiranje, ki zmanjša vzorčevalno frekvenco vse do Nyquistove. Ločljivost izhodnega signala y,, se zaradi opisanega procesa poveča. Model ZA modulatorja lahko matematično predstavimo v z-prostoru z naslednjim izrazom: Y{z)^STF{Z}X(Z)+NTF(Z}E(Z) (D Funkciji X(z) in E(z) predstavljata z-transformaciji vhodnega signala in kvantizacijskega šuma, STF(z) in NTF(z) pa pripadajoči prenosni funkciji modulatorja, ločeno za vhodni signal in kvantizacijski šum. Prenosni funkciji sta pogojeni z arhitekturo modulatorja. Z vstavitvijo prenosne funkcije časovno diskretnega integratorja dobimo za izhod modulatorja 1. reda: (2) 10 angl. shaping function ki je torej digitalna oblika vsote časovno zakasnjenega vhoda in kvantizacijskega šuma pomnoženega s funkcijo preoblikovanja^". V časovni domeni poteka izračun kvantizacijskega šuma z odštevanjem vsakega vzorca od pred- Inodnega. Tako je moč kvantizacijskega šuma v nizkofre-kvenčnem območju manjša, saj so razlike med sosednjimi vzorci manjše. Modulatorji višje stopnje bolj slabijo kvan-tizacijski šum znotraj frekvenčnega pasu signala. Za faktor prevzorčenja, ki je večji od 2, je efektivna vrednost šuma «o znotraj frekvenčnega območja signala določljiva z izrazom: -M Z,+l/2 V2Z + 1 (3) kjer je L stopnja modulatorja, M faktor pr6VZ0rCGnj3, Gms kvantizacijska napaka A/D pretvornika ^ms - pa kvantizacijski interval q = V idealnem SA modulatorju je razmerje signal-šum (SNR) med izhodno močjo Ps pri frekvenci vhodnega sinusnega signala in močjo Pn kvantizacijskega šuma znotraj frekvenčnega pasu signala: R, n, o 10-log - 3-(21 +1} M v / 2l + 1 \ 2-n 2L dB (4) kjer je A amplituda vhodnega sinusnega signala in N število kvantizacijskih bitov. Poleg kvantizacijskega šuma prispevajo k celotnemu šumu znotraj signalnega pasu še druge neidealnosti, ki jih upoštevamo v naslednjem izrazu: SNDR =10- Ps P.-^Po = 10-i Pc p., dB -I (5) 3 Neidealnosti SA modulatorja v splošni teoretični analizi je edini izvor napake EA modulatorja zgolj kvantizacijski šum. Vendar pa zmogljivost modulatorja degradirajo še drugi vplivi (t.i. neidealnosti modulatorja), izraženi kot dodaten šum in/ali popačenje v frekvenčnem pasu signala, kijih povzročajo razne neidealnosti v samem vezju. V praksi, še posebej ko so specifikacije zmogljivosti modulatorja zahtevne, lahko moč šuma zaradi neidealnosti preseže moč kvantizacijskega šuma, kar upravičuje pomembnost modeliranja neidealnosti v sami simulaciji modulatorja. Neidealnosti, ki vplivajo na obnašanje ZA modulatorja lahko razčlenimo v dve skupini /5/: a) neidealnosti, ki povzročajo spremembe v prenosni funkciji signala (STF) in šumni prenosni funkciji (NTF). Odvisne so predvsem od arhitekture modulatorja. Mednje uvrščamo: končno enosmerno (DC) ojačanje operacijskega ojačevalnika in odstopanje razmerja kapacitet kondenzatorjev, ki določajo utežitev ojačanja integratorja^^. b) neidealnosti, ki jih lahko modeliramo kot izvor napake na integratorjevem vhodu in ne vplivajo na lego polov in ničel v prenosnih funkcijah modulatorja. Mednje uvrščamo: omejitve integratorjevega dinamičnega odziva (produkt ojačanja in pasovne širine (GBW), izhodna odzivnost, napetost zasičenja ter končno in nelinearno DC ojačanje odprte zanke), termični šum ter ostale neidealnosti, ki so sekundarnega pomena (podrhtavanje urinega signala, nelinearnost kapacitivnosti kondenzatorjev, histereza in zakasnitev komparatorja, nelinearnost večbitnega kvan-tizatorja). Tabela 1:Neidealnosti, ki vplivajo na delovanje EÄ modulatorja Table 1: Non-ldealities degrading the performance of EÄ modulator Gradnik Ncidealtiost Vpliv neidealnosti DC ojačanje Povečan kvantizacijski šum, harmonično popačenje operacijski ojačevalnik Izhodna odzivnost flamionično popačenje g G13W Napaka ustalitve' E Napetost zasičenja Preobrenienilev' M Termični šum Heli šum Stikala Upornost Ron večja od 0 Napaka ustalitve, termični šum Kotidcnzalorji Nelinearnost, odstopanje abs. vrednosti Povečan kvantizacijski šum, harmonično popačenje Ura Podrhtavanje Šuns podrhtavanja Komparalorji Histereza, zakasnitev Povečan kvantizacijski šum Večbitni kvaiuizatorji Nelinearnost Hannonično popačenje Za SC realizacije ZA modulatorja je značilno, da so vsi bloki oz. gradniki modulatorja ustrezno sinhronizirani. Z modeli, ki jih bomo predstavili, je mogoča simulacija kateregakoli SC ZA modulatorja. V osnovi poteka simulacija z izračunavanjem izhodnih vzorcev v časovnem prostoru. Predhodno navedene neidealnosti vplivajo na odstopanja vrednosti izhodnih vzorcev od idealnih. Parametre, ki določajo zmogljivost modulatorja, izračunamo v frekvenčni domeni s postopkom hitre Fou-rierjeve transformacije (FFT). Za simulacijo neidealnosti smo izbrali klasični 1-bitni ZA modulator II. stopnje, saj so modulatorji z enojno zanko višjih stopenj (3 in več) le pogojno stabilni. Zato se za doseganje visokih ločljivosti pri izbiri arhitekture modulatorja raje odločamo za kaskadiranje ZA modulatorjev II. ali manjše stopnje, kot pa za izbiro arhitekture enojne zanke. ^^ angl. integrator weight ^^ angl. settling error 13 , ' angl. overload \ i\tC2i'LUor ii 1 Slika 2: iJzi modulator II. stopnje Figure 2: II. order I:A modulator Izračun SNR oz. SNDR EA modulatorja iz izhodnih podatl<;-ov oz. vzorcev se izvede v dveh korakih /2/. V prvem koraku izločimo sinusni signal (S) iz zaporedja N^^ izhodnih vzorcev (vrednost O. je na izhodu v trenutku t) z izračunom diskretne Fourierjeve transformacije (DFT) za izhodni signal (O) pri frekvenci Nr • cos (27t/,.„/ .y (6) kjer w^ označuje funkcijo oknenja signala (ponavadi Han-ningovo okno). Razlika med dobljenim in izhodnim signalom v časovni domeni je šumni signal (A'',. ), ki vsebuje samo šum in popačenja. V drugem koraku z uporabo FFT izračunamo spekter signala (Sj) in spekter šuma pri čemer uporabimo enako obliko okna kot pri DPT. Končno moč signala (P^) in šuma ) dobimo z integriranjem močnostnega spektra signala in šuma: Nb m ^N + D ~ X ^N + D (O (7) kjer Ng = Ng-BW/označuje število otipkov ustrezno zahtevani pasovni širini BW pri vzorčevalni frekvenci Naslednja podpoglavja podrobno opisujejo vsak posamezen model neidealnosti. Tem sledijo simulacijski rezultati, ki potrjujejo obetavnost predlaganih modelov. Vse simulacije so izvedene v programskem orodju SIMULINK na podlagi klasičnega SC ZA modulatorja II. stopnje (slika 3). 3.1 Sum integratorja Najpomembnejša izvora šuma, ki vplivata na delovanje SC ZA modulatorja sta termični šum, povezan s preklopi pri vzorčenju (preklopni šum) in notranji šum operacijskega ojačevalnika. Skupna moč šuma je vsota teoretične moči kvantizacijskega šuma, moči preklopnega šuma in moči šuma operacijskega ojačevalnika. Zaradi velikega nizkof-rekvenčnega ojačanja prvega integratorja je velikost šuma ZA modulatorja določena pretežno s preklopnim šumom in šumom operacijskega ojačevalnika vhodne stopnje. Ci> Integrator kl/C z-1 1-Z-1 Slika 4: Model šumnega integratorja Figure 4: Model of a noisy integrator Te vplive lahko simuliramo s SIMULINK-om z uporabo šumnega integratorja (slika 4). Koeficient b v izrazu za prenosno funkcijo integratorja (9) predstavlja ojačanje integratorja in je glede na shemo SC integratorja na sliki 5 enak razmerju CjCf. Vsak vir šuma bomo podrobneje razložili v naslednjih razdelkih. 3.1.1 Termični šum stikal Termični šum povzroča naključno valovanje nosilcev zaradi termične energije in je prisoten tudi v stanju ravnovesja transistorja (npr. MOSFET v območju 'ON' in vrednosti toka nič). Termični šum ima t.i. beli spekter (enakovredne vrednosti amplitud spektra vsebovanih frekvenc) in široko pasovno območje, omejeno samo s časovno konstanto preklopnega kondenzatorja ali pasovno širino operacijskega ojačevalnika. Zato je potrebno upoštevati tako stikala kot operacijske ojačevalnike (OpO) v SC vezju. Vzorčevalni kondenzator v SC integratorju je v zaporedni vezavi s Komparatof Siika 3: Blokovni diagram SC I:A modulatorja II. stopnje i/ SIMULINK-u Figure 3: Block diagram of II. order SC 2'zi modulator in SIMULINK Slika 5: SC integrator Figure 5: SC integrator parom stikal (z upornostjo RJ, ki periodično vzorči šumno napetost na kondenzatorju. Skupno šumno moč OpO lahko določimo z integralom: e,. = 4kTR kT o l + (2Tc/i?„„Cj C,, (8) kjer je ^ Boltzmanova konstanta, T absolutna temperatura, upornost pa je modelirana z zaporedno vezavo izvora šuma in izvorom moči, ekvivalentnim Johnsonovemu šumu 4m„„A/. Kljub temu, da je generator termičnega šuma upor, je skupna moč šuma odvisna zgolj od kapacitivnosti kondenzatorja Cs. Prenosna funkcija integratorja H, {z) ni odvisna od absolut-nifi vrednosti kapacitivnosti, temveč od razmerja kapacitivnosti, kar je prednost SC vezij (9). C. C, 1-z" 1 (9) Termična šumna napetost stikala ej (t.i. kTjC šum) je dodana k vhodni napetosti x{t)\ y{t)=[x{t)+eM-b = ■b (10) kjer nit) označuje Gaussov naključni proces s standardno deviacijo, b = CjCj- pa ojačanje integratorja. Izraz (10) je implementiran v modelu na sliki 6: Če je pol, ki je odvisen od časovne konstante RC, pri frekvenci veliko višji kot je vzorčevalna frekvenca (kar je za SC vezja ponavadi pogoj), potem lahko predpostavimo, da se ves termični šum nahaja v območju O do fjl. Tako je končni spekter bel s spektralno gostoto: S///(a 6: Modeliranje termičnega šuma stiiiai (biol< l določeno s pasovno širino BW oz. časovno konstanto integratorja t = l/(2n GBW). Ti dve področji lahko opišemo ločeno. Slika 9 podaja izhod SC integratorja v^^it) v času n-te periode integracije (v fazi c|)2 urinega cikla): l-e 17 Slika 9: Stopnični odziv integratorja Figure 9: Integrator output step response kjer je V^ = v začetni fazi integracije («7; - Tj2). Naklon te krivulje (15) je največji v trenutku t = 0. d ,(0 = a- V.. (16) Sedaj upoštevamo dve možnosti: a) Vrednost po en. (16) je manjša od SR OpO. V tem primeru SR ne predstavlja omejitve. Izhod integratorja je celo periodo integracije določen z en. (15). b) Vrednost po en. (16) je večja od SR OpO. V tem primeru je naklon izhodne napetosti OpO v trenutku t < <0 linearen in omejen s SR. Ob predpostavki, daje t„ < Tj2, veljata naslednji enačbi: l-e (17) (18) Z upoštevanjem zveznosti odvodov en. (17) in (18) v trenutku dobimo: h = a F, SR -T (19) angl. leakage Če je < > Tj2, velja en. (17) celo periodo integracije. Za izračun vrednosti izhoda v„(if) v trenutku T^, ki bo zaradi omejitve ojačanja, BW in SR različen od V^, zgoraj navedene enačbe v simulaciji implementiramo v bloku MATLAB function (slika 8). Končna SR in BW povzročata harmonično popačenje, kar zmanjšuje SNDR ZA modulatorja. 3.2.3 Napetost zasičenja Dinamika signalov ima v ZA modulatorjih pomembno vlogo. Zato je pomembno upoštevati izhodne nivoje zasičenja simuliranega operacijskega ojačevalnika. To lahko v SIMULINKU enostavno izvedemo z uporabo bloka 'Saturation' znotraj povratne vezave integratorja (slika 8). Vpliv napetosti zasičenja je zanemarljiv, če izhodno območje integratorja za vsaj 50% presega območje vhodnega analognega signala /6/. 3.3 Podrhtavanje urinega signala Na podrhtavanje ure so najbolj občutljivi signali večjih am-plitud in visokih frekvenc, saj vtem primeru prihaja do največjega odstopanja pri vzorčenju ob nepravih trenutkih vzorčenja. Ker SD modulatorji vzorčijo vhodni signal s frekvenco, veliko večjo od Nyquistove, vpliv podrhtavanja lahko postane v aplikacijah višjih frekvenc dominanten vir napak. Delovanje SC vezij temelji na pretoku energije glede na urin cikel (fazi (t)i-([)2). Po vzorčenju vhodnega analognega signala variacija ure nima neposrednega vpliva na delovanje SC vezja. Zato je učinek podrhtavanja urinega cikla na SC vezje popolnoma opisan z vplivom na vzorčenje vhodnega signala in ni odvisen od strukture ali stopnje modulatorja /1/. Vzorčevalni učinek podrhtavanja urinega cikla povzroča neekvidistantne trenutke vzorčenja vhoda ter posledično povečanje napake na izhodu kvantizatorja. Magnituda te napake je funkcija statističnih lastnosti podrhtavanja urinega cikla in vhodnega signala v konverter. Napaka se pojavi, kadar je sinusni signal amplitude A in frekvence J],, vzorčen v trenutku, ki ne sovpada z mnogokratnikom vzorčevalne periode T/. x{nT + S)~ x{nT)^ In f-JA cos {in J]„T, )= 5~x{t) (20) dt Učinek, ki ga podaja zgoraj navedeni izraz (20), lahko simuliramo v SIMULINKU z uporabo modela na sliki 10. Domnevamo, da je vzorčevalna nepravilnost 5, Gaussov naključni proces n{t) s standardno deviacijo At (gradnik 'delta' na sliki 10). Ker smo predpostavili, da je spekter učinka podrhtavanja urinega cikla 'bel', ima rezultirajoča napaka konstantno spektralno gostoto moči PSD med O in fjl s skupno močjo (in /„At aJ /l. V tem primeru je skupna moč napake manjša za faktor prevzorčenja M: Zero-Order Hold2 Pj- (27iy;,,ÄT AJ 2-M (21) Zgornja meja tolerance podrhtavanja urinega cikla bi bila /6/: Ax < V2M/3 27t B 2" (22) 4 Rezultati simulacije Za oceno posameznih vplivov neidealnosti, ki vplivajo na delovanje SC 2A modulatorja, smo izvedli vrsto simulacij s programskim orodjem MATU\B in SIMULINK. Simulacija je izvedena na nizkopasovnem ZA modulatorju II. stopnje (slika 3), kjer smo upoštevali neidealnosti samo prvega in-tegratorja v kaskadi, saj se vplivi integratorja ne zmanjšajo s preoblikovanjem šuma. Simulacijski parametri so zbrani v tabeli 1 in ustrezajo avdio standardom (zato je zahtevano razmerje SNDR določeno z 96dB, kar odgovarja ločljivosti 16 bitov). 0- OUIII I-1 \J\J I ■o— ■^hj/cJ- Random Zero-Order Number Hold Q Slika 10: Modeliranje podrhtavanja vhodnega signala Figure 10: Modeling sampling jitter Da bi bila simulacija smiselna, smo za navedene vrednosti posameznih neidealnosti v simulaciji načrtno izbrali vrednosti v območju realnih razmer, ki vidno vplivajo na SNDR modulatorja. Npr. za izhodno odzivnost smo izbrali vrednost 15F/|xs, saj je njen vpliv nad I.IA/T^ (v našem primeru nad l9V/ixs) zanemarljiv /6/. Tabela 2: Simulacijsl