i
i
“1193-Strnad-0” — 2010/7/19 — 12:21 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 21 (1993/1994)
Številka 6
Strani 362–366
Janez Strnad:
O ZAČETNIH ŠTEVKAH V NIZIH ŠTEVIL
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/21/1193-Strnad.pdf
c© 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
'-1-/'/"
r L ""
o ZAČETNIH ŠTEVKAH V NIZIH ŠTEVil
Vzemite v roke telefonski imenik in upoštevajte prvih tisoč naročn ikov, pri
kate rih je v naslovu navedena hišna številka . Tako dobite na primer na prvih
šestih straneh in delu prvega stolpca na naslednji na začetku imenika za
Lj ubljano (od st rani 5 do prvega stolpca na strani 11) tisoč hišnih številk , to
je števil. Koliko od njih se začenja s št evko (cifro) 1? Koliko se j ih začenja z
2 in tako po vrst i s 3, 4 , 5, 6,7, 8, 9? Pri tem se ne oziramo na to , ali ima
število eno , dve ali tri mesta , ampak se zanimamo samo za prvo števko. Ali
je vsaka od devetih števk na prvem mestu zastopana približno enako krat , to
je 1000/9 = l l l-krat? Ne, nikakor ne, kakor kažeta preglednica in diagram
(slika 1).
1
325
0,325
0,301
2
189
0,189
0,176
3
121
0,121
0,125
4
88
0,088
0,097
5
79
0,079
0,079
6
64
0,064
0,067
7
54
0,054
0,058
8
38
0,038
0,051
9
42
0,042
0,046
V prvi vrstici so navedene števke in v drugi pogostnost, s katero se
pojavljajo na prvem mestu . Tretja vrstica vsebuje relativno pogostnost ali
delež, ki ga dobimo, ko pogostnost delimo s celotnim številom. V našem
primeru je to 1000, tako da deleža ni težko izračunati.
0,3
0,2
0,1
~-_ ._ --
~
o
2 3 4 5 6 7 8 9
Slika 1. Delež hišnih številk, ki se začenjajo s števkami od 1 do 9 , za prvih tisoč telefonskih
naročnikov v Ljubljani (sklenjene črte) in napovedi Benfordovega zakona (črtkane črte).
I 363
Največkrat je na prvem mestu števka 1, sled ijo j i po vrsti 2, 3 in tako
dalje . Devetica j e v na šem primeru na prvem m estu sicer pogosteje kot
osmica , a to je posled ica razmeroma majhnega celotnega števila . Opazimo
namreč, kak o se postopno ka že urej e nost , ko upoštevamo več in več š t evil
(s lika 2) .
0,3
0,2
O,,
° 4 5 6 7
323
728
8 9
Slika 2 . Delež hišnih šte vilk, ki se začenjajo s števka mi od 1 do 9, za prvih 32 3 (pr ve t ri
strani ) telefonskih naročn i kov v Ljubljani (s klenje ne č rte) in za prvih 72 8 (prvih pet str a ni)
telefonsk ih naročn ikov (črt kane črte ). Pri manjšem št evilu zaje tih št evil so od stopanja
večja.
Ugotovitev , o kateri poročarno im a zanimivo zgodovino . Simon New-
comb (1835 do 1909), profesor matematike in as t ronom ije , j e vel iko dela
vložil v izdelavo novih in natančnejših tabli c za gibanje planetov in Lune . Pri
svojem r a ču n a nj u je opazil , kot že drugi pred njim, da so knj ige zloga ritmi
bolj zdelane na začetku . Za logaritme ni mogoče reči , da so j ih bralci za če l i
brati , pa nad njim obupali kakor nad slabim romanom . Zato je Newcomb leta
1881 pojav poskušal okvirno pojasniti .
Temelj iteje se je ukvarjal z vprašanjem fiz ik Frank Benford pri ameri ški
družbi General Electric . Leta 19 38 je objavil članek z naslovom Zakon ano-
ma/nih števil. Po Benfordovem zakonu se delež števi l, ki se začenjajo s števko
n , z naraščajočim številom .preiskanih podatkov bliža
n+ 1
Pn = log- - , n = 1, 2, . . . , 9.
n
Po tej enačbi i z raču n a n e deleže navaja zadnja vrstica preglednice.
364
Benford je raziskal prve števke v dvajsetih nizih podatkov, med njirru
površine porečje 335 rek, relativne atomske mase tisoč kemijskih spojin ,
hišne številke 342 znamenitih Američanov. V celoti je obdelal več kot 20
tisoč podatkov. V njih se je enica pojavila z največjim deležem 0,306, . ..
devetica pa z najmanjšim deležem 0,047, kar se dobro ujema z zakonom.
Od posami čnih nizov so se nekateri zakonu bolje prilegali, drugi slabše. Med
zadnjimi so bili na primer kvadratni koreni naravnih števi l. Mednje sodijo tudi
telefonske številke iz našega telefonskega imenika , saj se ljubljanske številke
sploh ne za čenjajo s 6, 7, 8, 9. Benford j e sodil. da velja njegov zakon za
števila , ki jih dobimo pri merjenju kake količine, na primer določene snovne
lastnosti za različne snovi , če izida ne moremo napovedati . Zato je govorilo
anoma/nih števi/ih.
V fiziki poznamo več podobnih zakonov . Logaritem razmerja med
vpadnim svetlobnim tokom in tokom , ki ga prepu šča plast enakomerno ab-
sorbirajo če snovi, je sorazmeren z debelino plasti . Logaritem razmerja zače­
tnega števila atomskih jeder in števila atomskih jeder, ki preostane pri radioak -
tivnem razpadanju po določenem času , je sorazmeren s časom. V fiziologiji
velja za odziv čutil Weber-Fechnerjev zakon, po katerem je odziv sorazmeren
zlogaritmom dražljaja, na primer izdat nost občutka zvoka , to je glasnost, je
sorazmerna z logaritmom jakosti zvoka . Navadno mislimo na inverzno odvis-
nost in govorimo o eksponentnem zakonu . Tak zakon velja tud i v biologiji za
število bitij določene vrste pri neomejeni rasti .
Leta 1991 sta J .Burke in E.Kincanon preskusi la Benfordov zakon na os-
novnih fizikalnih konstantah in poročala o tem v American Journal of Physics .
Izbrala sta dvajset konstant od atomske enote mase preko Avogadrovega
števila do mase protona in hitrosti svetlobe. Za tako maloštevilen niz ne
pričakujemo dobrega ujernanja z zakonom. Zares ni konstante, ki bi se začela
s 4 ali 7, a začuda se jih z 1 začenja 8, z 9 pa samo 2. Skoraj vse konstante
imajo enoto, kar pomeni , da je njihovo mersko število odvisno od uporabljenih
osnovnih enot. Običajno jih navedemo v mednarodnem sistemu enot , a Burke
in Kincanon sta jih za primerjavo navedla tudi z angleškimi osnovnimi enotami
in nista dobila nič slabšega ujemanja .
Zares pričakujemo , da ugotovljena lastnost obsežnega niza podatkov ni
odvisna od izbire enote, če gre za izide merjenja kake fizikalne kol ičine. Hitro
uvidimo , da Benfordov zakon obvelja, če pomnožimo vsa števila danega niza
z izbranim številom . To je napeljalo nekatere na misel, da je zakon povezan
s kaosom in fraktali , za katere vemo , da so samopodobni in neob čutljivi na
merilo .
365
Leta 1993 so B.Buck, A.C.Merchant in S .M .Perez v European Journal
of Physics poročali o svojem delu z razpolovnimi časi atomskih jeder , ki
razpadajo z radioaktivnim razpadom Q . Pri takem razpadu izstreli jedro
delec Q , to je jedro helijevega atoma , in se spremeni v jedro elementa ,
ki pride v periodni preglednici na vrsto dve mesti prej . Vrazpolovnem
času razpade polovica začetnega števila jeder. Razpolovni časi segajo od
majhnih delov sekunde do milijard let. Trije fiziki so raziskovali podrobnosti
radioaktivnega razpada in poskušali pojasniti izmerjene razpolovne čase s
teorijo . Porazdelitev podatkov po prvih številkah je bil samo stranski proizvod
tega raziskovanja . Ugotovili so, da so se izmerjeni razpolovni časi za 477
jeder dobro prilegali Benfordovemu zakonu : delež 1 je bil 0,296, . . . delež 9
pa 0 ,052. Podobno so ugotovili za te razpolovne čase, ki jih napove teorija:
delež 1 je bil 0,310, .. . delež 9 pa 0 ,044. Pri nizu , ki vsebuje le 477 podatkov,
moramo biti pripravljeni tudi na nekaj odstopanja .
Doslej smo poročali o tem, kaj ugotovimo, če se zanimamo za začetne
števke v nizih števil. Ali je ugotovitev mogoče pojasniti? Mnenja o tem niso
enotna .
S .Newcomb je izhajal iz dejstva , da lahko vsako pozitivno število a
. zapišemo v obliki lOs z realnim številom s = loga , če mislimo na logaritme
z osnovo 10. Tisti, ki so še računali z logaritmi , se spominjajo, da celi del
s določa lego decimaine vejice v številu a , število samo, ne glede na vejico,
in s tem tudi njegovo prvo števko , pa določa del s za vejico . Newcombu se
je zdelo samo ob sebi umljivo , da je neceli del s enakomerno porazdeljen na
intervalu [0,1). Tako bi že on lahko odkril Benfordov zakon .
Tudi Benford je mislil , da gre za zakon narave , ki ga ni treba podrobno
pojasnjevati. Po njegovem mnenju "narava šteje" na primer takole 1, 1 ·2
= 2, 2·2 = 4 , 4·2 = 8 , 8·2 = 16 , . . . V tem primeru so deleži števil , ki se
začenjajo s posamičnimi števkami , sorazmerni z dolžino , ki ustreza tej števki
na logaritmičnem računalu (slika 3) . Pred tremi desetletj i so z njimi računali
študenti , dokler jih niso izpodrinila žepna računala .
Leta 1944 sta fizika S .A .Goudsmit in W .H .Furry ugovarjala , da gre
zgolj za posledico našega pisanja števil. To sta W.H .Furry in matematik
H.Hurwitz poskusila naslednje leto v isti reviji dodatno utemeljiti . Namesto
Benfordovega zakona bi dobili Pn = ]ogA[(n + 1)/ nj, n < A, če bi pisali
števila v številskem sistemu z osnovo A , ne v desetiškem. Pri tem pomeni
logA logaritem z osnovo A.
~Yika 3. Na Ingdrnirnern remnaiu ustrez$o doIrine delezem zaX!etnih ~ r ~ i l k ;  d e l e  
podatkuv z 2 na pwm mestu in ddeE podatkov z 1 na pwem mestu eta v enakem mzmerju 
kor da@ca rnd 3 in 2 in daljica mad 2 in 1 ~e hli C ali D. 
B.J.Flehingerjeva je leta 1966 v reviji American Mathematical M~nthly  
izhajala od delda Mevkc n na pwern mcstu v niru naravnih Mwil n < N. 
Deld Jtevke 1 se na primer yrrtmEnja x N ,  povprtije, povpreEje pwprelEja . . . 
sera A! - oa blifajo log2. V isti rcuiji je leta 19.69 R.A.Raimi raziskal pogojc, 
pri katarih dobimo Benfordov zakon, in je pri tam vkljulEit ncadvisnost od 
merila. Rarprava, ki smo jo nakazali, j e  zahtwna. Zato sa je najbolje ornejiti 
na to, da ugotavljama, kako dobro velja za doloren nir podatkov Benfordov 
"zakon", in se ne ukvarjati s teitavarni. 
Jenu Strnad