Geometrija za nižje gimnazije. Spisal BI. Matek, c. kr. gimnazijski profesor v Mariboru. Drugi del. 97 slik. Kot učna knjiga pripuščena po vis. ukazu c. kr. ministerstva za bogočastje in pouk z dne 18. oktobra 1896, štev. 25 273. Cena mehko vezani knjigi 1 K 80 h, trdo vezani 2 K 20 h. V Ljubljani. Natisnila in založila Ig. pl. Kleinmayr & Ped. Bamberg. 1896. 03000g$2£, Vsebina. Stran § 35. Piramida v obče.77 § 36. Površje in prostornina pokončne piramide.80 § 37. Stožec v obče.83 § 38. Površje in prostornina pokonč¬ nega stožca.86 § 39. Krogla v obče.87 § 40. Prostornina in površje krogle . 90 § 41. Pravilna telesa.92 § 42. Prostornina teles, ki nimajo določene geometrijske podobe 96 Vadbe in naloge. § 1 . 98 §2.99 §3.100 §4.101 §5.102 §6.103 §7.104 §8 . 110 §§ 9-, 10.111 Stran §§ 11., 12.112 §§ 13., 14.113 §§ 15., 16, 17.114 §18.115 §19.116 §20.117 §§ 21., 22., 23., 24. 118 §25.119 §§ 26., 27., 28. 120 §§ 29., 30. 121 §31.122 §32.124 §33.125 §34. 126 §35.128 §36.129 §37.130 §38.131 §39.132 § 40.133 §41.134 §42.135 Ploščina. § 1. Primerjanje likov z ozirom na njih ploščino. Vsak lik meje črte. Vsota vseh mejnih črt se imenuje obseg; ravna ploskev, katero oklepajo mejne črte, zove se ploščina. Ako imata dva lika jednako ploščino, imenujemo ju ploščinsko jednaka. Dva lika sta ploščinsko jednaka: 1. ako sta skladna, 2. ako ju sestavljajo ploščinsko jednaki deli. a) Paralelogram. Načrtuj mo dva paralelograma z isto osnovnico in isto višino! V sliki 1. imata paralelograma ABCD in ABEF isto osnovnico AB in isto višino A G. Paralelogram ABCD sestav- Slika 1. ljata trapez ABED in trikotnik BCE\ paralelogram ABEF sestavlja isti trapez ABED in trikotnik ADF. Trikotnika BCE in ADF sta skladna (II.)*, zato ploščinsko jednaka. Paralelo¬ grama ABCD in ABEF sta torej sestavljena iz ploščinsko jednakih delov in zato ploščinsko jednaka. Kar velja o para¬ lelogramih ABCD in ABEF, velja tudi o vsakem drugem paralelogramu (torej tudi o pravokotniku), katerega osnovnica je jednaka AB in katerega višina je jednaka AG. * (II.) pomeni drugi izrek o skladnosti. Matek, Geometrija. 1 Obseg. Ploščina. Ploščinko jednak = flachengleich. Osnovni resnici o ploščinsko jednakih likih. Ploščinsko jednaki paralelogrami. 2 Dva paralelograma sta plošči n s ko jednaka, ako imata jednaki osnovnici in jednaki višini. Vsak poševnokotni paralelogram j e ploščinsko jednak pravokotniku z jednako osnovnico in jed- nako višino. b) Trikotnik. Trikotnik in paralelogram. Ploščinsko jednaki trikotniki. Slika 2. Načrtajmo trikotnik in paralelogram z isto osnovnico in isto višino! V sliki 2. imata trikotnik ABD in paralelogram ABCD isto osnovnico AB in isto višino DE. Diagonala BD deli pa¬ ralelogram ABCD na dva skladna trikotnika (I.). Trikotnik ABD je torej polovica paralelograma ABCD. Vsak trikotnik je polo¬ vica paralelograma, ki ima isto osnovnico in isto vi¬ šino kakor trikotnik. Ker so paralelogrami z jednakimi osnovnicami in jedna- kimi višinami ploščinsko jednaki, morajo tudi trikotniki (polovice paralelogramov) z jednakimi osnovnicami in jednakimi višinami biti ploščinsko jednaki. Dva trikotnika sta ploščinsko jednaka, ako imata jednaki osnovnici in jednaki višini. c) Trapez. Načrtajmo trapez ABCD (slika 3.), razpolovimo njegovo nevzporednico BC ter narišimo skoz oglišče D in razpolovišče E premico, ki seče podalj¬ šano trapezovo vzpored¬ nico AB v točki F\ Trikotnik AFD, ki smo ga stvorili na ta način, hočemo primerjati tra¬ pezu ABCD. Trapez A G BF ABCD sestavljata tra- pezoid ABED in tri¬ kotnik ECD\ trikotnik AFD sestavlja isti trapezoid ABED in trikotnik EBF. Trikotnika ECD in EBF sta skladna (I.) 3 in zato ploščinsko jednaka. Iz skladnosti navedenih trikotnikov izvajamo, da je trapezova vzporednica CD jednaka daljici BF. Trapez ABCD in trikotnik AFD sta ploščinsko jednaka, ker ju sestavljajo ploščinsko jednaki deli; oba imata isto višino 1) ti, in trikotnikova osnovnica AF je jednaka vsoti trapezovih vzporednic AB in CD. . Vsak trapez je ploščinsko jednak trikotniku, ki ima isto višino, in katerega os n ovni ca j e jed - naka vsoti trapezovih vzporednic. Slika 4. d) Četverokotnik s pravokotno stoječima diagonalama. Načrtajmo dve pravokotno stoječi daljici AC in BD (slika 4.) ter jima spojimo krajišča z daljicami! Tako stvorimo četvero¬ kotnik ABCD , katerega diagonali stojite pravokotno druga na drugi. Ako narišemo skoz četverokotnikova oglišča A, B, C in D vzporednice z diagonalama, dobimo pravokotnik E F GII. ka¬ terega stranice so jednake diago- naloma četverokotnika ABCD. V sliki 4. imamo štiri dvojice skladnih trikotnikov, in sicer I in I', II in H', III in III', IV in IV'. Trikotnika vsake dvojice sta skladna po prvem izreku o skladnosti. V pravo¬ kotniku EFGH se nahajajo vse štiri dvojice omenjenih trikot¬ nikov, v četverokotniku ABCD pa je od vsake dvojice le jeden trikotnik; četverokotnik ABCD je torej polovica pravokot¬ nika EFGH. Četverokotnik s pravokotno stoječima diago¬ nalama je polovica pravokotnika, ki ima diagonali tega četverokotnika za stranice. e) Pravilni mnogokotnik. Ako spojimo središče O pravilnega mnogokotnika ABCDE (slika 5.) z vsemi oglišči, razpade mnogokotnik na pet skladnih trikotnikov. Ploščina mnogokotnika ABCDE je torej petkrat tolika kakor n. pr. ploščina trikotnika AOB. Ce načrtamo na i* Trapez in ploščinsko jednak trikotnik. Četverokotnik s pravokotno stoječima diagonalama in pravokotnik. 4 Pravilni mnogokotnik ii trikotnik. Krogov izsek in trikotnik. podaljšani mnogokotnikovi stranici AB ostale mnogokotnikove stranice in jim spojimo krajišča s središčem O , dobimo trikot¬ nike JOH, HO A, AOB, BOH in BOG, ki imajo isto višino OL in jednake osnovnice JH — HA — AB — BF — FG in so Slika 5. D zato ploščinsko jednaki. Vsi ti trikotniki skupaj tvorijo trikotnik JO G, katerega osnovnica JG je petkrat tolika kakor mnogo- kotnikova stranica AB, t. j. osnovnica J G je jednaka obsegu pravilnega mnogokotnika ABCDE. Trikotnik JOG je torej petkrat tolik kakor n. pr. trikotnik AOB, ali: trikotnik JOG je ploščinsko jednak pravilnemu mnogokotniku ABCDE. Pravilni mnogokotnik je ploščinsko jednak trikotniku, katerega osnovnica je jednaka mnogo- kotnikovemu obsegu, in katerega višin a j e j e d n aka razdalji mnogokotnikovega središča od stranice. Slika 6. f) Krogov izsek. Ako razdelimo lok krogovega izseka OAB (slika 6.) na toliko jednakih delov, da si smemo te majhne loke misliti kakor daljice, in ako spojimo dobljena razdelišča s središčem O, razpade izsek OAB na toliko trikotnikov, na kolikor delov smo razdelili lok. Višina vsakega teh trikot¬ nikov je jednaka polumeru O A. Ge na- črtamo skoz točko A tangento na izsek, na tej tangenti pa narišemo daljice, ki so jednake osnovnicam izsek sestavljajočih trikotnikov, ter spojimo dobljena razdelišča s središčem O, stvorimo trikotnike AOC', C'OD' in D'OB', ki so ploščinsko jednaki trikotnikom AOC, COD in DOB ; kajti 5 navedeni trikotniki imajo jednake osnovnice in jednake višine. Krogov izsek OAB je torej ploščinsko jednak trikotniku AOB ', katerega osnovnica je jednaka dolžini loka AB, in katerega višina je jednaka polumeru O A. Krogov izsek je ploščinsko jednak trikotniku, kateremu je lokova dolžina osnovnica, polumer pa višina. g) Krog. Ako ravnamo s krožno ploskvijo ravno tako, kakor smo Krog poprej ravnali s krogovim izsekom, stvorimo ploščinsko jednak trikotnik, katerega osnovnica je jednaka krogovemu obodu, in katerega višina je jednaka polumeru. Krožnina je torej ploščinsko jednaka trikot¬ niku, kateremu je obod osnovnica, polumer pa višina. § 2. Pretvarjanje premočrtnih likov. Določen lik pretvorimo v drugega, ako načrtamo lik, Pretvoriti, ki ustreza določenim pogojem in je prvemu ploščinsko jednak. ^er^andein 1. Pretvori raznostranični trikotnik ABC v jednakokrakega (slika 7.)! Slika 7. Slika 8. D C Načrtaj osnovnici AB somernico ter nariši skoz vrb C vzporednico z AB\ Točka D, v kateri se sečete somernica in vzporednica, je vrh iskanega jednakokrakega trikotnika. Tri¬ kotnika ABC in ABD imata isto osnovnico in jednaki višini in sta zato ploščinsko jednaka. Zakaj ste višini jednaki? 2. Pretvori določeni trikotnik ABC v drugega, v katerem se nahaja določeni kot m (slika 8.)! Načrtaj na stranico AB v točki A kot m, skoz vrh C pa nariši vzporednico z ABl Tako stvoriš presečišče D, ki je 6 iskanemu trikotniku vrh. Zakaj sta trikotnika ABC in ABD ploščinsko jednaka? Ako je kot m pravi kot, pretvoriš določeni trikotnik ABC v pravokotnega. 3. Pretvori določeni trikotnik ABC v drugega, v katerem se nahaja določena osnovnica o (slika 9.)! Prenesi določeno osnovnico o na stranico AB od točke A do točke D, spoji D z vrhom C ter nariši skoz oglišče B vzporednico z 1)0 ! Tam, kjer vzporednica BE seče podaljšano stranico AC, je vrh iskanega trikotnika ADE. — Trikotnika ABC in ADE sestavljajo ploščinsko jednaki deli. Kateri deli sestavljajo trikotnik ABC ? kateri pa trikotnik ADE ? Katera ploskev je obema trikotnikoma skupna? V čem sta omenjena trikotnika različna? Primerjaj trikotnika DCB in DCE drugega Slika 9. Slika 10. E drugemu! Ta trikotnika imata isto osnovnico DC in jednaki višini, zato sta ploščinsko jednaka. Kje je vrh trikotnika DCB1 kje pa trikotnika DCE ? Zakaj ste višini zadnjih dveh trikot¬ nikov jednaki? Kaj dobimo, ako prištejemo trikotniku ADC trikotnik DOB ? in kaj, ako prištejemo istemu trikotniku ADC trikotnik DCE ? Ako je osnovnica o daljša ko AB, je načrtovanje na¬ vedenemu popolnoma slično; točka D leži potem na podaljšani osnovnici AB, točka E pa na stranici AC. 4. Pretvori določeni trikotnik ABC v drugega, v katerem se nahaja določena višina v (slika 10.)! Postavi v točki A pravokotnico na stranico AB ter jo napravi jednako določeni višini v ! Tako dobiš točko F. Skoz F nariši vzporednico z AB\ Ta vzporednica seče podaljšano stranico AC 7 v točki E, ki je iskanemu trikotniku vrh. Če spojiš točki E in B ter načrtaš skoz oglišče C vzporednico z BE, najdeš v stranici AB tretje oglišče iskanega trikotnika ADE. —■ Trikot¬ nika ABC in ADE sestavljajo ploščinsko jednaki deli. Kateri? Ako je višina v manjša ko višina določenega trikotnika ABC, je načrtovanje navedenemu popolnoma slično; točka E leži potem na stranici A C in točka D na podaljšani osnovnici AB. 5. Pretvori določeni trikotnik ABC v para¬ lelogram, ki ima s trikotnikom isto osnovnico (slika 11.)! Razpolovi trikotnikovo stra¬ nico AC v točki D, nariši skoz D vzporednico z AB in skoz oglišče B vzporednico z ACl — Tri¬ kotnik ABC in paralelogram ABED sta sestavljena iz plo¬ ščinsko jednakih delov. Iz ka¬ terih ? Katera ploskev je obema likoma skupna? V čem se lika razlikujeta? Trikotnika BFE in FCD sta skladna (I.). 6. Pretvori določeni paralelogram ABCD v trikotnik, ki ima s paralelogramom isto višino (slika 12.)! Načrtaj v paralelogramu ABCD diagonalo BI) , skoz oglišče C pa nariši vzporednico z BD ! Ta vzporednica določuje Slika 11. Slika 12. Slika 13. D v podaljšani paralelogramovi osnovnici AB iskanemu trikotniku AED tretje oglišče. — Paralelogram ABCD in trikotnik AED sta sestavljena iz ploščinsko jednakih delov. Iz katerih? 7. Pretvori določeni mnogokotnik ABCDE v drugega, ki ima jedno stranico manj (slika 13.)! 8 Slika 14. G Načrtaj v določenem mnogokotniku diagonalo BD, skoz oglišče C pa. nariši vzporednico z BD\ Ta vzporednica določuje v podaljšani stranici AB iskanemu mnogokotniku AFDE oglišče F. — Mnogokotnika ABCDE in AFDE sestavljajo ploščinsko jednaki deli. Kateri? Ako ponavljamo navedeno načrtovanje, pretvorimo vsak mnogokotnik v trikotnik. 8. Pretvori določeni pravokotnik ABCD v kva¬ drat (slika 14.)! Prenesi večjo pravokotnikovo stranico CB na krajšo CD od točke C do točke E, načrtaj nad CE polukrog, podaljšaj AD, da preseče polukrog v točki F, ter spoji točki F in Cl Daljica CF je stra¬ nica iskanega kvadrata. Ako načrtaš nad CF kva¬ drat CFGH, mora stranica F G ležati na podaljšani da¬ ljici EF\ kajti kot EFC je kot v polukrogu in zato pravi kot. Če spojiš točki H 'm E in istotako točki B in F, stvoriš trikotnika CBFi n CEH, ki sta sklad¬ na (II.) in zato ploščinsko jednaka. V katerih sesta¬ vinah se ujemata? Trikot¬ nik CBF in pravokotnik CBAD imata isto osnov¬ nico CB in jednaki višini. Zakaj ste višini jednaki? Trikotnik CBF je zato polovica pravokotnika CBAD. Tri¬ kotnik CHE in kvadrat CHGF imata tudi isto osnovnico CH in jednaki višini; trikotnik CHE je zato polovica kvadrata CHGF. Če pa je po navedenem polovica določenega pravokotnika jednaka polovici iskanega kvadrata, morate tudi celoti teh dveh likov biti jednaki, t. j. pravokotnik ABCD je ploščinsko jednak kva¬ dratu CFGH. ' 9 § 3. Deljenje premo- in krivočrtnih likov. 1. Razdeli določeni trikotnik ABC na tri j e d - nake dele (slika 15.)! Nalogo rešiš, ako razdeliš osnovnico AB na tri jednake dele in spojiš razdelišča z vrhom C. Trikotniki ADC, DEC in EBC imajo isto višino in jednake osnovnice, zato so ploščinsko jednaki. Slika 15. Slika 16. 2. Razdeli določeni paralelogram ABCI) s po¬ močjo vzporednic na tri jednake dele (slika 16.)! Nalogo rešiš, ako razdeliš osnovnico AB na tri jednake dele in skoz razdelišča narišeš vzporednice z AD. Paralelogrami AEHD, EFGH in FBCG imajo jednake osnovnice in jednake višine, zato so ploščinsko jednaki. Slika 17. 3. Razdeli določeni paralelogram ABCD iz oglišča A na šest jednakih delov (slika 17.)! Ako narišeš v paralelogramu ABCD diagonalo AC, raz¬ deliš ga na dva ploščinsko jednaka trikotnika. Da nalogo rešiš, 10 treba ti je še vsakega izmed stvorjenih trikotnikov razdeliti na tri jednake dele. Če bi hotel paralelogram ABCD (slika 17.) razdeliti iz oglišča A na tri jednake dele, rešiš nalogo, ako razdeliš dolo¬ čeni paralelogram na šest jednakik delov in potem zbereš dva taka dela v jednega. Primeijaj sliko 17.! 4. Razdeli določeni trapez natri jednake dele! Nalogo rešiš, ako razdeliš vsako izmed trapezovih vzpo¬ rednic na tri jednake dele ter spojiš primerna razdelišča; kajti trapezi, ki imajo jednake višine in jednake vzporednice, so ploščinsko jednaki. Slika 18. D 5. Razdeli določeni trapezoid ABCD na tri jednake dele (slika 18.)! Nalogo rešiš, ako razdeliš trapezoidovo diagonalo A C na tri jednake dele in razdelišča spojiš z ogliščema B in D. Četvero¬ kotniki ABED, EBFD in FBCD so ploščinsko jednaki, ker jih sestavljajo ploščinsko jednaki trikotniki. 6. Razdeli določeno krožnino na petjednakih delov! Nalogo rešiš, ako razdeliš krogov obod na pet jednakih delov ter spojiš razdelišča s središčem. Stvorjeni izseki so skladni, zato ploščinsko jednaki. 7. Razpolovi določeni krogov izsek (odsek)! Nalogo rešiš, ako načrtaš loku, ki meji izsek (odsek), somermco. § 4. Obseg premočrtnih likov. Premočrtnemu liku določimo obseg, ako mu premerimo vse njegove stranice in seštejemo njih merska števila. Če pa je lik jednakostraničen, izračunamo mu obseg, ako pomnožimo mersko število jedne stranice s številom stranic, v znakih O — n s. V tem obrazci zaznamuje 0 obseg, s stranico in n število stranic. 11 Pri merjenji stranic pripeti se prav pogostokrat, da se stranice ne dado čisto natanko izmeriti. N. pr. Ako položimo merilo na določeno stranico tako, da se jedno krajišče te stra¬ nice stika z začetno črto na merilu, utegne se drugo straničino krajišče stikati z nekim razdeliščem na merilu, ali pa leži med dvema sosednima razdeliščema. V prvem slučaji moreš stranico izmeriti popolnoma natanko; kajti treba ti je le določiti, do katerega (kolikega) razdelišča sega dotična stranica. V drugem slučaji pa moreš stranico izmeriti le približno; kajti določiti in povedati ti je treba, kateremu (kolikemu) razdelišču leži bliže drugo straničino krajišče. Ce leži drugo straničino krajišče ravno v sredi med dvema sosednima razdeliščema, smeš vzeti za mersko število dotične stranice ali poprejšnje ali pa naslednje razdelišče na merilu. Ako izmerimo stranice približno, nahaja se v merskem številu pogrešek; toda ta pogrešek ne znaša nikdar več ko polovico (O - 5) tiste dolgostne jednote, ki je na merilu zazna¬ movana kot najmanjša. Ce je n. pr. merilo razdeljeno na mili¬ metre, določiti moreš mersko število približno na milimetre. Pogrešek, ki ga napraviš, znaša manj ali ravno pol (0'5) mili¬ metra, t. j. najdeno mersko število je za manj ali ravno za pol milimetra premajhno ali preveliko. Ce je pa merilo razdeljeno na centimetre, določiti moreš mersko število približno na centi¬ metre; pogrešek znaša v tem slučaji manj ali ravno pol (0'5) centimetra i. t. d. Merska števila, ki so čisto natanko določena, imenujemo popolna števila, merska števila pa, ki so določena le pri¬ bližno, nepopolna števila. Popolnim številom smemo pri¬ pisati ničle kot decimalke (ali si misliti pripisane); pri nepopolnih številih pa ne smemo tega storiti. Nepopolno število zaznamu¬ jemo na ta način, da mu na desni pridenemo dve piki, n. pr. 8'54 . . dnt. Kako natanko je to število določeno? Kolik je pogrešek? Pri računanji z nepopolnimi števili treba je gledati na to, da se opusti vse nepotrebno računanje, in da se znesek določi ali tako natanko, kakor je sploh mogoče, ali pa tako natanko, kakor je nalogi primerno. Kako se da to doseči, bomo spoznali iz nalog tega in naslednjih odstavkov. Natanko in približno merjenje daljic. Pogrešek pri približnem merjenji daljic. Popolno število = die vollstandige Zahl. Nepopolno število = die unvollstandige Zahl. Računanje z nepopolnimi števili. 12 Seštevanje nepopolnih števil. Popravek = die Correctur. Kako se pomnoži nepopolno število. 2STa,log-e. 1. Izračunaj obseg četverokotnika, katerega stranice pogrešek 4 krat pol milimetra ali nekoliko manj. Iz tega spoznaš, da ne moreš vsote približno izračunati na milimetre, temveč le na centimetre. Ker je vsota 17 milimetrov bliže 20 ko 10 milimetrom, treba bo centimetrom (t. j. na¬ slednjim decimalkam) 2 prišteti. To število (ki se naslednjim decimalkam prišteje) imenuje se popravek. Kar se tiče popravka, treba si je zapomniti, da se jemlje 1 za popravek, ako leži vsota iz zadnjih decimalk med 5 in 15 ; od 15 do 25 jemlje se 2 za popravek; od 25 do 36 je popravek 3 i. t. d. V konečni vsoti 28 • 4 . . dni znaša pogrešek manj ko pol centimetra; obseg je torej določen približno na centimetre. Pri nalogi b) ste dve stranici določeni popolnoma natanko, ostali dve pa le približno, in sicer jedna na centimetre, druga pa na milimetre. Vsota se da izračunati približno na decimetre; kajti na milimetre se ne da izračunati zato, ker ne poznamo v jednem sumandu milimetrov, in na centimetre tudi ne, ker bi utegnil pogrešek znašati več ko pol centimetra. Prej ko se v tem slučaji zvrši seštevanje, treba je okrajšati prvi in tretji sumand na toliko decimalk, kolikor jih ima drugi sumand. Zadnji sumand je popolno število in sme zato tudi imeti manj ko dve decimalki; kajti tukaj smemo decimalke, ki jih manjka, nadomestiti z ničlami. Od odbitih decimalk 9 in 8 (t. j. od njih vsote) vzeti se mora popravek, da pogrešek ne postane prevelik. Potem se zvrši seštevanje kakor pri nalogi a). Primerjaj obe nalogi! 2. Izračunaj obseg a) pravilnega šesterokotnika s stra¬ nico 7’28 . . dm, b) pravilnega oseminštirideseterokotnika s stranico 3'79 . . dm\ a) 7 • 28.. dm x 6 b) 3 ■ 7|9. . dm x 48 43-7 ..dm 1516 303 182.. dm Pri nalogi a) je stranica določena približno na milimetre. Ce pomnožiš milimetre (t. j. zadnjo decimalko) s 6, dobiš produkt 48; v tem produktu bi utegnil pogrešek znašati 6krat pol milimetra, t. j. 3 mm. Obsega torej ni moči določiti približno na milimetre, temveč le na centimetre. Zato vzameš od produkta, ki ga dobiš pri množenji zadnje decimalke, popravek ter ga prišteješ produktu, ki ga dobiš pri množenji naslednje decimalke. 13 Pri nalogi b) utegnil bi pogrešek znašati 48 krat pol milimetra, t. j. 24 mm. Ker pa je 24 mm že več ko 2 cm, zato ni moči obsega izračunati približno na centimetre, temveč le na decimetre. Množitev zvršiš v tem slučaji tako-le. Prvi delski produkt izračunaš, ako pomnožiš multiplikand s 4, ne oziraje se na decimalno točko. Pri tem delskem produktu ne vzameš nobednega popravka; pogrešek, ki se nahaja v njem, bode se konečno pri seštevanji delskih produktov popravil. Drugi delski produkt mora se pri navadnem mno¬ ženji pomakniti za jedno mesto proti desni. Da ne bo treba v našem slučaji tega storiti, okrajša se multiplikand za jedno številko, t. j. odbije se mu pred množitvijo zadnja decimalka. Od odbite številke vzame se popravek kakor pri nalogi a), in ta se prišteje produktu, ki ga najdeš, če pomnožiš okrajšani multiplikand z 8. Potem sešteješ oba delska produkta in vzameš pri seštevanji zadnjih številk, ki se nahajajo v delskih produktih, popravek. Sedaj je treba še določiti mestno vrednost konečnemu produktu, in to se zgodi tako-le. Prvi delski produkt si dobil, da si pomnožil multiplikand z deseticami (t. j. z 10). Pri množitvi z 10 se decimalna točka pomakne za jedno mesto proti desni. Zadnja multiplikandova številka dobi potem vrednost desetin, in to vrednost imate zadnji številki obeh delskih produktov; zadnja številka konečnega pro¬ dukta ima torej vrednost celot. 3. Kolo parnega stroj a preteče v vsaki minuti 528'7. . m ; koliko a) v 864 minutah, b) v 2093 minutah? a) 0'52|8 L 7. . hm x 864 b) 0 - 5|2|8[7. . hm x 2093 42296 3172 211 4 5 6'8 . . km 10574 476 16 1107 ..km Pri nalogi a) utegnil bi pogrešek znašati 864 krat pol decimetra, t. j. nekoliko čez 400 dm ali 40 m. Produkt se da torej približno določiti na stotice metra. Da ložje zaznamujemo stotice metra, pretvorimo multiplikand na km. Delske produkte izračunamo zaporedoma tako-le. Prvi delski produkt najdemo, ako pomnožimo multiplikand z 8, ne oziraje se na decimalno točko' in tudi ne na popravek. Drugi delski produkt najdemo, ako odbijemo mult= plikandu zadnjo številko, potem pomnožimo okrajšani multiplikand s 6 in temu produktu prištejemo popravek, ki ga izračunamo od odbite številke. Tretji delski produkt najdemo, ako odbijemo multiplikandu zopet jedno šte¬ vilko in potem računamo kakor pri drugem delskem produktu. Ker se pri izračunanji drugega in vsakega naslednjega delskega produkta multiplikand okrajša za jedno številko, ni treba delskih produktov pomikati proti desni, temveč pišejo se drugi pod drugega kakor sumandi pri seštevanji. Mestna vrednost konečnega produkta se določi navadno s pomočjo prvega delskega produkta. Pri prvem delskem produktu se množi multiplikand s stoticami (t. j. s 100). Ker se v tem slučaji decimalna točka premakne za dve mesti proti desni, ostanete v multiplikandu še dve decimalki, in toliko decimalk se nahaja v vsakem delskem produktu. Konečni produkt ima jedno deci¬ malko manj. 14 Navadna in okrajšana množitev. Krog, v črtani pravilni šesterokotnik in očrtani kvadrat. Krog je pravilni mnogokotnik. Pri nalogi b) utegnil bi pogrešek znašati nekoliko čez 1000 dm ali 100 m. Produkt se da določiti približno na km. Delske produkte izračunaš zaporedoma ravno tako kakor pri nalogi a). Za multiplikatorjevo ničlo moraš odbiti v multiplikandu tudi številko; kajti ničla da tudi svoj delski produkt, samo da se ta produkt ne zapiše, ker je = 0. Mestno vrednost določiš koneč- nemu produktu kakor pri nalogi a). Množitev, ki se zvršuje na ta način, kakor se je zgodilo pri navedenih nalogah, imenuje se okrajšana množitev. Glavni razloček med navadno in okrajšano množitvijo je ta, da se pri navadni množitvi celi multiplikand množi z vsako multiplikatorjevo številko in se delski produkti zaporedoma pomaknejo vsak za jedno mesto proti desni, pri okrajšani množitvi pa se pri izračunanji drugega in vsakega naslednjega delskega produkta multiplikand okrajša za jedno številko in se delski produkti zapišejo drugi pod drugega tako, da stoje njih zadnje številke druga pod drugo. Na okrajšani način se mora množiti, kadar je multiplikand nepopolno število. § 5. Merjenje krogovega oboda z dolgostno mero. Krog je po svoji velikosti popolnoma določen, če poznamo njegov premer. Iz premera se mora torej dati dolgost krožnice izračunati. Kako se to zvrši, spoznali bomo iz naslednjega. Načrtajmo krog z določenim premerom AB = 2 r = d ter včrtajmo mu pravilni šesterokotnik in očrtajmo kvadrat (slika 19.)! Obseg pravilnega šestero- kotnika leži znotraj kroga in je manjši od krožnice; kvadratov obseg pa leži zunaj kroga in je večji od krožnice. Ker je šesterokotnikov obseg jednak trikratnemu premeru in kvadratov obseg jednak štirikratnemu premeru, mora torej krožnica biti v e čj a ko trikratni premer, pa manjša ko štirikratni premer. Da bomo natančneje spoznali, kolikokrat je krožnica večja od premera, včrtajmo in očrtajmo določenemu krogu najprej pravilni šesterokotnik, potem pravilni dvanajsterokotnik, potem pravilni štiriindvajseterokotnik i. t. d. Ce na ta način podvajamo število stranic včrtanega in očrtanega mnogokotnika, uvidimo takoj iz slike, da se obsegi včrtanili mnogokotnikov vedno večajo in bližajo krožnici, obsegi očrtanih mnogokotnikov pa se vedno manjšajo in tudi bližajo krožnici. Slika 19. 15 Ko postane število stranic včrtanega (oziroma očrtanega) mnogo- kotnika jako veliko, so posamezne stranice tako majhne, da jih ni več ločiti od pripadajočih lokov. Krog smemo torej smatrati za pravilni m nogo kotnik z neskončno majhnimi, pa brezštevilno mnogimi stranicami. — Kar smo uvideli iz slike, to potrdi račun. Ako izračunamo zaporedoma obsege vseh navedenih mnogokotnikov, začenši pri pravilnem šesterokotniku, ter primerjamo zneske med seboj, prepričamo se, da se obsegi včrtanik mnogokotnikov večajo, obsegi očrtanih pa manjšajo. Ko postane število mnogo- kotnikovih stranic jako veliko, ujemata se obsega včrtanega in očrtanega mnogokotnika do šeste decimalke, in iz tega se da določiti, da je krožnica približno 3 • 14159.. krat večja od premera. Število 3 ■ 14159. . imenujemo Ludolfovo število Ludolfovo ter ga zaznamujemo z grško črko rc. Ludolfovo število Ludoiphische se ne da popolnoma natanko določiti, temveč le Zahl - približno; ono pomeni razmerje med krogovim obodom in premerom, t.j. kolikokrat je obod večji od premera. Ako načrtamo različne kroge ter izmerimo njih premere in s pomočjo niti tudi njih obode, najdemo v vsakem slučaji, da je obod približno 3 j-krat večji od premera, kar se ujema s poprej navedenim. Krožnico ali krogov obod izračunaš torej, ako Kako se izračuna pomnožiš premer z Ludolfovim številom, v znakih O — di r, ali O — 2rsr. Iz navedenega smemo dalje sklepati, da je premer toliki del krogovega oboda, kakor kaže Ludolfovo število, in polumer je polovica tega kvocijenta. Krogov premer izračunaš, Ludolfovim številom, v znakih 2 r — O : n. ako deliš obod z Kako se iz - računata premer in polumer iz krogovega oboda. Krogov polumer izračunaš, ako deliš obod z dvojnim Ludolfovim številom, v znakih r — O : 2 n. 16 23T a-logre. 1. Kolika je krožnica, če znaša premer a) 23• 5 cm, b) 1*478.. m? a) 2r = 23'5 cm 0 = ? _ 0 = 73'827. . m = 73'8.. cm 3*141 l 5|9 . . X 23-5 628318 94248 15708 73-827 . . ali 3• 1 L 4 L 1159 . . X 23-5 6283 942 157 73-8 . . b) 2 r = 1-478.. m 0 = ? 0 = 4-64.. m L 1- L 4 L 7 L 8. . X 3-14169 4434 148 59 1 1 4-64 . . Množenje nepopolnih števil in sicer tako natanko, kakor je mogoče, in pa tako, kakor je nalogi primerno. Pri nalogi a) je jeden izmed faktorjev nepopolno število. Nepopolno število moraš vzeti za multiplikand; kajti če bi obratno napravil, bil bi pogrešek v vseh številkah zadnjega delskega produkta. Ko si določil multi¬ plikand, zvršiš množitev na okrajšani način kakor pri nalogah poprejšnjega odstavka. Konečni produkt utegneš ali tako natanko izračunati kakor mogoče, ali pa tako, kakor je nalogi primerno. V prvem slučaji se ne sme multiplikand pri izračunanji prvega delskega produkta okrajšati.* V drugem slučaji pa se multiplikand takoj okrajša na toliko decimalk, kolikor se jih potrebuje. Pri naši nalogi n. pr. izračunamo krožnico dovolj natanko, če ji določimo približno milimetre. V konečnem produktu bo torej treba jedne decimalke, v delskih produktih pa dveh. Če bi pa pomnožili neokrajšani multiplikand s prvo multi- plikatorjevo številko, dobili bi v prvem delskem produktu štiri decimalke, torej dve več, ko jih je treba. Multiplikand smeš zato okrajšati za dve številki. Od odbitih številk moraš vzeti popravek pri izračunanji prvega delskega produkta. Pri nalogi b) sta oba faktorja nepopolni števili. V takih slučajih se določi produkt navadno tako natanko, kakor je mogoče. Za multiplikand se izbere tisti faktor, ki ima manj veljavnih številk; kajti če bi napravil obratno, nahajal bi se pogrešek v vseh številkah zadnjega delskega produkta. Množitev zvršiš na okrajšani način. Ko odbiješ multiplikandu zadnjo številko, vzameš od nje popravek in ga zapišeš kakor delski produkt. V računih a) in b) izpustili smo ime iz različnih in po sebi umevnih razlogov. Zato smo na levi strani vsakega računa napravili pregleden načrt, v katerem smo prav kratko zaznamovali pogojni in vprašalni stavek in znesek računa. * Produkt določiš tako natanko, kakor je mogoče, če ga rabiš še za kak drug račun (posebno za množenje), ali če se ne da nalogi primerno določiti. 17 2. Krožnica meri a) 52'68 dm , b) 17'845. . m\ kolik je premer prvega kroga, kolik polumer drugega? n) O = 52'68 dni 2 r = ? _ 2 r = 16-7686.. dm = 16'77. . dm b) 0 — 17-845.. r — ? r = 2-840.. ali 52-68 00 : 212641 24146 2155 270 19 0 52-68 : 2126 241 21 (- 1 ) 17-845. . 5279 253 2 3- L l L 4 L l l 5 l 9. . = 16-7686. 3-^1159.. = 16-77. . 6-|2|8|3|2£. = 2-840.. Pri nalogi a) je divizor nepopolno število. Kvocijent se določi v takih slučajih ali tako natanko kakor mogoče,* ali pa tako, kakor je nalogi primerno. Na prvi način izračunaš kvocijent tako-le. Da se ni treba med računanjem ozirati na decimalno točko, določiš najprej mestno vrednost prve kvocijentove številke. V ta namen poiščeš oni dividendov del, v katerem se nahajajo divizorjeve celote, in mestna vrednost tega dividendovega dela je tudi mestna vrednost prve kvocijentove številke. Pri naši nalogi se 3 nahaja v 5; ker ima 5 mestno vrednost desetic, pomeni torej prva kvocijentova številka desetice. Potem prirediš divizorju prvi delski dividend; pri navedeni nalogi je treba v ta namen dividendu pripisati dve ničli (ali si misliti pripisani); včasih se mora dividendu kaka številka odbiti in od odbite številke vzeti takoj popravek. Ko si iz prvega delskega dividenda določil prvo kvocijentovo številko, pomnožiš divizor s to številko ter odšteješ produkt od prvega delskega dividenda. Ostanek, ki ga najdeš, je drugi delski dividend. Da je moči delitev nadaljevati, okrajšaš divizor za jedno številko. Ko si iz drugega delskega dividenda določil drugo kvocijentovo številko, pomnožiš okrajšani divizor s to številko, prišteješ produktu popravek iz odbite številke ter odšteješ ta popravljeni produkt od drugega delskega dividenda. Ostanek, ki ga najdeš, je tretji delski dividend. Naslednje kvocijentove številke izračunaš ravno tako, kakor si izračunal drugo. Delitev se konča, ko se divizor ne da več okrajšati. Pri zadnji kvocijentovi številki treba je gledati, da jo določiš približno; to pa spoznaš iz zadnjega ostanka. Ako je ta ostanek manjši ko polovica zadnjega divizorja, določil si zadnjo kvocijentovo številko približno. Ako hočeš pri nalogi a) kvocijent izračunati tako natanko, kakor je nalogi primerno, treba ti je ravnati tako-le. Krogov premer je določen dovolj natanko, če poznamo približno milimetre. Ker pomeni prva kvocijentova šte¬ vilka desetice, imel bo kvocijent štiri veljavne številke, in najmanj toliko jih Deljenje ne¬ popolnih števil, in sicer tako natanko, kakor je mogoče, in pa tako, kakor je nalogi primerno. * Kvocijent določiš tako natanko, kakor je mogoče, če ga rabiš še za kak drug račun (posebno za množenje), ali če se ne da nalogi primerno določiti. Matek, Geometrija. 2 18 Navadno in okrajšano deljenje. Dolgost ločnih jednot. Razmerje med dvema lokoma v dolgostni in ločni meri. mora imeti divizor. Pri naši nalogi pa ima divizor šest veljavnih številk, torej dve več, ko jih je treba. Divizor smeš zato okrajšati za dve številki. Temu okrajšanemu divizorju je treba potem prirediti prvi delski dividend. Kvocijentove številke izračunaš zaporedoma ravno tako kakor poprej. Pri nalogi b) sta dividend in divizor nepopolni števili. Kvocijent se v takih slučajih določi navadno tako natanko, kakor je mogoče. Prva kvoci- jentova številka ima mestno vrednost jednic ; kajti 6 se nahaja v 17, in 17 ima mestno vrednost jednic. Potem prirediš dividend in divizor drugega dru¬ gemu tako,* da imata ali oba jednako veliko številk, ali pa divizor jedno manj ko dividend. V divizorju je treba jedne številke manj ko v dividendu, kadar se prva divizorjeva številka ne nahaja v prvi dividendovi kakor n. pr. pri naši nalogi. Ko si dividend in divizor priredil drugega drugemu, izračunaš kvocijent ravno tako kakor pri poprejšnji nalogi. Vsako deljenje, ki se zvršuje tako kakor pri navedenih nalogah a) in b), imenuje se okrajšano deljenje. Glavni razloček med navadnim in okrajšanim deljenjem je ta, da ostane divizor pri navadnem deljenji neizpremenjen, in da se ostankom pripisujejo zaporedoma dividendove številke ali ničle; pri okraj¬ šanem deljenji pa se divizor pri izračunanji vsake kvocijentove številke okrajša za jedno številko, in nastali ostanki so zaporedoma drugi za drugim delski dividendi. § 6. Merjenje loka z dolgostno mero. Loke merimo z ločno in dolgostno mero. Kako se da iz mer¬ skega števila jedne mere izračunati mersko število druge mere? Ločna stopinja je 360ti del krogovega oboda; dolgost ločne stopinje je torej: 1 ločna stopinja = ~ ^ ■ Ločna minuta je 60 ti del ločne stopinje, in ločna sekunda 60 ti del ločne minute, v znakih 1 ločna minuta = , 1 ločna sekunda = .o’',,,,. 648000 Ako postane mersko število loka v ločni meri 2-, 3-, 4krat večje, mora tudi mersko število loka v dolgostni meri postati 2-, 3-, 4 krat večje, in obratno, t. j.: Razmerje med dvema lokoma jednakih polu- merov ima v dolgostni in ločni meri isto vrednost, v znakili , , L: l j = a : a,. * Dividend in divizor se tukaj ne smeta ob jednem okrajšati, temveč okrajšati se mora le tisto število, ki ima preveč številk. 19 V tem obrazci pomeni l dolgost jednega loka in l x dolgost drugega loka; a in s, ste merski števili istih dveh lokov v ločni meri. Ker je lok mera pripadajočega obsrediščnega kota, smemo zgoraj navedeno sorazmerje izraziti tudi tako-le: Dva loka jednakih polumerov sta si kakor pri¬ padajoča obsrediščna kota. Ako primerjamo dolgost loka polukrogovi dolgosti, dobimo sorazmerje l : rn — a : 180, t. j. Razmerje med lokom in polukrogom ima v d o 1 - gostni in ločni meri isto vrednost, ali: lok in polu- krog sta si kakor pripadajoča obsrediščna kota. S pomočjo tega sorazmerja izračunaš: 1. dolgost loka, če poznaš polumer in mersko število loka v ločni meri (ali pripadajoči obsrediščni kot); 2. krogov polumer, če poznaš lok v dolgostni in ločni meri; 3. mersko število loka v ločni meri (ali pripadajoči ob¬ središčni kot), če poznaš lokovo in polukrogovo dolgost. Števili a in 180 v zadnjem obrazci pomenite ločne sto¬ pinje. Ce se v a nahajajo stopinje, minute in sekunde, treba je a in 180 tako pretvoriti, da imate obe števili isto ime. iTa-log-e. 1. Polumer kroga meri 2160 cm ; kako dolga je ločnaminuta? rn r — 2160 cm 1 ' = ? _ 1' == 0'62832.. cm 1 ločna minuta = 10800 2160 tc 21-6: 10800 - 108" 3’141|5|9.. x 21-6 628318 31416 18849 67-858. . 67-858.. : 1|0|8 = 0-62832.. 305 898 34 2 0 Da odpadejo ničle v imenovalci nakazanega zneska, treba je števec in imenovalec deliti (ali okrajšati) s 100. Množitev zvršiš na okrajšani način tako natanko, kakor je mogoče. Pri delitvi je divizor popolno število. <3e hočeš kvocijent določiti tako natanko, kakor je mogoče, začneš deliti na okrajšani način še le potem, ko si že vzel vse dividendove številke v poštev. Razmerje med lokom in polukrogom v dolgostni in ločni meri. 2 * 20 2. Kako dolg je lok 22° 30', če v = 8‘5 cm a = 22» 30' = l = ? 7 = 3 ■ 3. . etn l-.rti — a : 180 l:8-btz = 1350:10800 7: 8'5ji =1:8 7 = = 26-7. . :8 = 3'3. . O 3. Lok 36° 25'40" znaša 12-6.. , 7 = 12'6.. cm ali p = o • g- Produkt iz osnovnice in višine predstavlja dvojno trikot¬ nikovo ploščino. Iz tega izvajamo: 25 Trikotnikovo višino najdemo, ako razdelimo dvojno ploščino z osnovnico, v znakili v = 2p : o. Trikotnikovo osnovnico najdemo, ako raz¬ delimo dvojno ploščino z višino, v znakih o — 2p :v. e) Trapez. Vsak trapez je po svoji ploščini jednak tri- Trapezova kotniku, ki ima jednako višino in katerega osnovnica je jednaka plos ' ma ' vsoti trapezovih vzporednic. Trapezova ploščina je torej jednaka polovici produkta iz vsote obeh vzporednic in višine, v znakih _ (« + f>) v F 2 V tem obrazci pomenita a in & trapezovi vzporednici. Trapezovo ploščino najdemo tudi, ako pomno¬ žimo polovico vsote obeh vzporednic (t. j. srednico) z višino, ali vsoto obeh vzporednic s polovico višine* v znakih P = ' v, ali p — (« -j- b) ■ j- Produkt iz vsote obeh vzporednic in višine predstavlja dvojno trapezovo ploščino. Iz tega izvajamo: Trapezovo višino najdemo, ako razdelimo dvojno ploščino z vsoto obeh vzporednic, v znakih v = 2p : (a -(- b). Vsoto trapezovih vzporednic najdemo, ako raz¬ delimo dvojno ploščino z višino, v znakih a -j- b = 2p : v. f) Četverokotnik s pravokotno stoječima diago¬ nalama. Četverokotnik, v katerem stojite diagonali pravokotno druga na drugi, je polovica pravokotnika, kateremu ste diagonali tega četverokotnika stranici. Ploščina četverokotnika s pravokotno stoječima diagonalama je torej jednaka polovici produkta iz obeh diagonal, v znakih Ploščina četverokotnika s pravokotno stoječima diagonalama. V tem obrazci pomenita d in d 1 diagonali. 26 Ploščina pravilnega mnogokotnika. Ploščina nepravilnega mnogokotnika. Po navedenem pravilu izračunamo n. pr. ploščino deltoidovo, rombovo in kvadratovo. Ker ste v kvadratu diagonali jednaki, dobimo pravilo: Kvadratova ploščina je jednaka polovici druge potence njegove diagonale, v znakih g) Pravilni mnogokotnik. Vsak pravilni mnogokotnik je po svoji ploščini jednak trikotniku, kateremu je mnogo- kotnikov obseg osnovnica, polumer včrtanega kroga pa višina. Ploščina pravilnega mnogokotnika je torej jednaka polovici produkta iz obsega in polumera včrtanega kroga, v znakih ns .r -P = 2 " V tem obrazci pomeni s stranico, r polumer včrtanega kroga, n pa število mnogokotnikovih stranic. Slika 22. h) Nepravilni mnogokotnik. Ako narišemo v mnogo- kotniku ABCDE (slika 22.) iz oglišča A vse mogoče diagonale, razpade mnogokotnik na trikotnike. Ce izračunamo nastalim trikotnikom ABC, ACD in AT)E ploščine ter jih seštejemo, določimo ploščino nepravilnega mnogokotnika ABCDE. Ako načrtamo v mnogokotniku FGHJKL (slika 22.) n. pr. diagonalo LH, in iz oglišč F, Gr, J m K narišemo pravokotnice na LH, razpade mnogokotnik na štiri trikotnike in dva trapeza. Ce določimo trikotnikom FfL, Gg H, Ji H, KlcL in trapezoma FGgf JKki. ploščine ter jih seštejemo, najdemo ploščino nepravilnega mnogokotnika FGHJKL. 27 i) Krog. Krožnina je ploščinsko jednaka trikotniku, ki mu je obod osnovnica, polumer pa višina. Krogova ploščina je torej jednaka polovici produkta iz oboda in polumera, v znakih Or ^ = 1T Ker pa je O — 2 m, dobimo t. j. krogovo ploščino tudi določimo, ako pomnožimo polumerov kvadrat z Ludolfovim številom. Ako razdelimo krogovo ploščino z Ludolfovim številom, najdemo polumerov kvadrat; če poiščemo potem temu kvocijentu kvadratni koren, določimo polumer. Polumer torej določimo, ako razdelimo ploščino z Ludolfovim številom in temu kvocijentu poiščemo kvadratni koren, v znakih r= Vv- k) Kolobar. Ako odvzamemo od ploščine kroga nari¬ sanega s polumerom O A — R (slika 23.) ploščino kroga na- črtanega s polumerom OB = r , ostane kolobarjeva ploščina; to je v znakih p = R 2 n — r 2 n = (R 2 — r 2 ) n. Kolobarjevo ploščino najdemo torej, ako odšte¬ jemo od ploščine večjega kroga ploščino manjšega, ali: ako pomnožimo razliko kvadratov obeh polumerov z Ludolfovim številom. l) Krogov izsek. Krogov izsek je po svoji ploščini jednak trikotniku, kateremu je lokova dolžina osnovnica, polumer pa višina. Ploščina krogovega izseka je torej jednaka polo¬ vici produkta iz loka in polumera, v znakih Ir P = T' Slika 23. Krogova ploščina. Kolobarjeva ploščina. Ploščina krogovega izseka. 28 V kakšni zvezi so kvadrati nad stranicami pravokotnega trikotnika. Krogovi izseki, ki pripadajo jednakim obsrediščnim kotom v istem krogu, so skladni. Zato postane izsek 2-, 3-, 4 krat večji, če postane pripadajoči obsrediščni kot 2-, 3-, 4 krat večji, t. j. razmerje med dvema izsekoma istega kroga je jed- nako razmerju pripadajočih obsrediščnih kotov, ali: dva izseka sta si kakor pripadajoča obsrediščna kota, v znakih ^ „ P : Pi = « : «i- V tem obrazci pomenita p in p, ploščini dveh izsekov, katerima pripadata obsrediščna kota a in Ako primerjamo krogov izsek in krožnino, najdemo sorazmerje p:r » JC = a: 360 , t. j. ploščina krogovega izseka in krožnina ste si kakor pripadajoča obsrediščna kota. S pomočjo tega sorazmerja lahko izračunaš: 1. ploščino krogovega izseka, če poznaš polumer in pri¬ padajoči obsrediščni kot; 2. krogov polumer, če poznaš izsekovo ploščino in pripa¬ dajoči obsrediščni kot; 3. pripadajoči obsrediščni kot, če poznaš izsekovo ploščino in polumer. Števili a in 360 v zadnjem obrazci pomenite kotne sto¬ pinje. Ce je a mnogoimensko število, treba je a in 360 pretvoriti tako, da imate obe števili isto ime. § 8. Pitagorov izrek. Načrtajmo pravokotni trikotnik ABC in nad hipotenuzo BC kvadrat BCDE (slika 24.)! Ako narišemo potem iz kva- dratovih oglišč D va E pravokotnici na AB, oziroma na po¬ daljšano AB, in iz oglišč C in E pravokotnici na DE, dobimo trikotnike I, II, III in IV, ki so zaporedoma skladni drugi z drugim po prvem izreku o skladnosti. V katerih sestavinah se ujemajo? Iz skladnih trikotnikov I, II in III izvajamo, da so stranice AB, EG in AVjednake; četverokotnik EGE J je torej kvadrat, katerega stranica je jednaka kateti AB pravokotnega trikotnika ABC. Iz skladnih trikotnikov I in IV izvajamo, da je CA — CH\ četverokotnik A CM F je torej kvadrat, katerega stranica je jednaka kateti AC pravokotnega trikotnika ABC. 29 Ako prištejemo peterokotniku BCHJE trikotnika III in IV, dobimo kvadrat BCDE nad hipotenuzo pravokotnega trikot¬ nika A 71C: če pa prištejemo istemu peterokotniku BCHJE trikot¬ nika 1 in II, dobimo vsoto kvadratov ACHF in ECrEJ, katerih stranice so jednake katetama pravokotnega trikotnika ABC. V pravokotnem trikotniku je torej kvadrat nad hipotenuzo jednak vsoti kvadratov nad katetama. Slika 24. D Slika 25. C Navedena lastnost pravokotnega trikotnika se imenuje Pitagorov izrek. Ako odštejemo od kvadrata nad hipotenuzo kvadrat nad jedno kateto, mora po navedenem izreku ostati kvadrat nad drugo kateto, t. j.: V pravokotnem trikotniku je kvadrat nad vsako kateto jednak razliki kvadratov nad hipo¬ tenuzo in drugo kateto. Ako zaznamujemo v pravokotnem trikotniku ABC (slika 25.) hipotenuzo z a in kateti z b in c , zapišemo Pitagorov izrek v znakih tako-le: BC 2 — AC 2 -f AB 2 , ali a 2 — b* -j- c 2 ; in AC 2 = BC 2 — AB 2 , ali b 2 = a 2 — c 2 ; AB 2 = BC 2 — AC 2 , ali c 2 = a 2 — b 2 . ^T&logre. 1. Načrtaj kvadrat, ki je jednak vsoti dveh določenih kvadratov s stranicama b in c! Nalogo razrešiš, ako načrtaš pravokotni trikotnik, v katerem ste dolo¬ čeni daljici b in c kateti. Hipotenuza tega pravokotnega trikotnika je stranica kvadrata, kojega iščeš. 30 Mera in mersko število določene daljice. Geometrijsko razmerje med daljicama = das geometrische Verhaltnis zvveier Strecken. Ako ponavljaš to razrešitev, določiš kvadrat, ki je jednak vsoti treh, štirih, . . . določenih kvadratov, če ste kateti b in c jednaki, je kvadrat nad hipotenuzo dvakrat tolik kakor kvadrat nad vsako kateto. 2. Načrtaj kvadrat, ki je jednak razliki dveh določenih kvadratov s stranicama a in bi Nalogo razrešiš, ako načrtaš pravokotni trikotnik, v katerem je krajša daljica b jedna kateta in daljša daljica a hipotenuza. Druga kateta tega pravokotnega trikotnika je stranica kvadrata, kojega iščeš. 3. Izračunaj iz dveh določenih stranic pravokotnega trikotnika tretjo! Ako poznaš kateti b in c (slika 25.), je po Pitagorovem izreku a 2 = b 2 + c 2 . Iz tega izvajamo a = ~\/b 2 c 2 , t. j. hipotenuza pravokotnega trikotnika je jednaka kvadrat¬ nemu korenu iz vsote kvadratov nad k at e tarna Če poznaš hipotenuzo a in kateto b, je po Pitagorovem izreku c 2 = a 2 — b 2 . Iz tega izvajamo c = -y/a 2 — A 2 , t j. kateta pravokotnega trikotnika je jednaka kvadratnemu korenu iz razlike med kvadratoma nad hipotenuzo in drugo kateto. Podobnost. § 9. Razmerje dveh daljic. Daljica, ki se da na kaki drugi daljici večkrat načrtati brez ostanka, imenuje se mera zadnje daljice; število, ki pove, kolikokrat se prva daljica nahaja v zadnji, zove se mersko število druge daljice. Slika 26. 4ece i e c ! Ako načrtamo na polutraku AU (slika 26.) več jednakih daljic drugo poleg druge, in ako primerjamo n. pr. daljici AI) in AB ter preiskujemo, kolikokrat se nahaja daljica AB v Al), pravimo, da merimo daljico Al) z daljico AB, ali da iščemo (geometrijsko) razmerje med daljicama Al) i n AB. V našem slučaji se AB nahaja v Al) trikrat, v znakih AD : AB = 3. 31 Izraz «AD : AB se imenuje razmerje med daljicama AD in AB ter pomeni, da se AB naliaja nekolikokrat v Al ); AD zoverno prednji, AB zadnji člen, število 3 pa količnik ali kvocijent razmerja. Kvocijent razmerja naznanja, koliko¬ krat ze zadnji člen naliaja v prednjem. Razmerje med daljicama AD in AB določimo tudi na ta-le način. Daljici AD in AB imate skupno mero, t. j. na vsaki izmed navedenih daljic se da načrtati neka določena da¬ ljica (v našem slučaji AB, ali BC, ali CD) jeden — ali večkrat brez ostanka. Ker se skupna mera nahaja v AD trikrat, v AB pa jedenkrat, smemo reči, da je razmerje med daljicama AD in AB toliko, kolikoršno je med številoma 3 in 1, v znakih AD:AB= 3: 1. (Čitaj: AD in AB ste si kakor 3 in 1, ali: AD in AB ste v razmerji 3 proti 1.) Ako primerjamo dve drugi daljici, n. pr. A h' in AE, spoznamo iz slike 26., da se četrti del daljice AE nahaja v daljici AE petkrat, v znakih AF : AD = f. (Citaj: razmerje med AF in AD je jednako f.) Kvocijent v obliki ulomka pomeni, da se toliki del zadnjega člena, kakor kaže imenovalec, nahaja tolikokrat v prednjem členu, kakor kaže števec. Razmerje med daljicama A A 1 in AD določimo tudi tako-le. AF in AE. imate skupno mero AB\ v AF se nahaja skupna mera petkrat, v AE pa štirikrat. Razmerje med daljicama AF in AE je torej toliko, kolikoršno med številoma 5 in 4, v znakih AF : AD = 5:4. V navedenih slučajih smo primerjali večjo daljico manjši. Daljice pa tudi lahko primerjamo obratno, in sicer manjšo večji, n. pr. AB in AD. AE in AF. V prvem slučaji se nahaja tretji del od AD v AB jedenkrat, ali skupna mera daljic AB in AD se nahaja v AB jedenkrat, v AD pa trikrat, v znakih AB : AD = i, ali AB : AD = 1:3. V drugem slučaji se nahaja peti del od AF v AE štirikrat, ali skupna mera daljic AE in AF se nahaja v AE štirikrat in v AF petkrat, v znakih AE:AF=± ali AE : AF =4:5. Prednji člen = das Vorderglied. Zadnji člen = das Hinterglied. Količnik = der Quotient. Kako določamo razmerje med daljicami. 32 Jednaka razmerja. Sorazmerne daljice = proportionale Strecken. Iz navedenih primerov uvidimo torej, da določimo razmerje med dvema daljicama, ako preiskujemo, kolikokrat se j e d n a daljica ali določen delte daljice nahaja v drugi; ali pa, ako povemo, kolikokrat se skupna mera obeh daljic nahaja v prvi in kolikokrat v drugi daljici. Razmerje med tremi daljicami določimo, ako povemo, kolikokrat seskupnameravsehtrehdaljic nahaja v vsaki daljici. N. pr. Razmerje med daljicami AC, AD in A F (slika 26.) je toliko, kolikoršno med števili 2, 3 in 5, v znakih AC:AD:AF = 2:3:5. § 10. Sorazmerne daljice. Načrtajmo dva polutraka in na vsakem več jednakih daljic! Daljice, ki se nahajajo na jednem polutraku, naj bodo različne od daljic na drugem polutraku (slika 27.). Ako primer¬ jamo n. pr. daljici AD in A K, potem daljici L O in Tj P, naj¬ demo razmerji AD : AE = | in LO : LP = f, ki imate isti kvocijent. Taki dve razmerji imenujemo jednaki. O daljicah dveh jednakih razmerij pra- Slika 27. } g C P _ E _> l_ m g _ 2 _ E. vi m o, da so sorazmerne. V našem slučaji ste daljici AD in AE sorazmerni z daljicama LO in LP. Poišči v sliki 27. dve drugi dvojici sorazmernih daljic! Dve jednaki razmerji smemo izjednačiti, t. j. reči in pisati smemo, da ima prvo razmerje isto vrednost kakor drugo, v znakih AD:AE=LO : LP. (čitaj: AD in AE ste si kakor LjO in ZP, ali: daljici AD in AE ste sorazmerni z daljicama LO m LP.) 33 Dve izjednačeni (geometrijski) razmerji tvo¬ rite (geometrijsko) sorazmerje. Sorazmerje sestavljajo štirje členi, ki se imenujejo zaporedoma od leve proti desni prvi, drugi, tretji in četrti člen. Prvi in četrti člen se imenu¬ jeta zunanja, drugi in tretji člen pa notranja člena. Četrti člen (posebno, če je neznan in ga je treba poiskati) se zove četrta (geometrijska) sorazmernica prvih treh členov. Ae Slika 28. HB Geometrijsko sorazmerje = die geometrische Proportion. Zunanji člen = das aufiere Glied. Notranji člen = das innere Glied. Četrta geometrijska sorazmernica = die vierte geometrische Proportionale. O Stalno sorazmerje = die stetige Proportion. Srednja geometrijska sorazmernica = die mittlere geometrische Proportionale Tretja geometrijska sorazmernica = Načrtajmo tri daljice AB, CD in EF, v katerih se nahaja skupna mera oziroma 9-, 6- in 4krat (slika 28.)! Ako pri¬ merjamo te daljice, najdemo razmerji AB:CD = f = f in CD : EF = f = f; iz teh razmerij stvorimo sorazmerje AB:CD= CD: BF, v katerem sta notranja člena jednaka. Vsako tako sorazmerje imenujemo stalno sorazmerje. Notranji člen CD se zove srednja (geometrijska) sorazmernica, in četrti člen je tretja die dritte stetige (geometrijska) sorazmernica prvega in notranjega člena. Pr °P° rtlonaIe - Načrtajmo iz točke A dva polutraka AM in AN in na polutraku AM več jednakih daljic, n. pr. AB — BC — CD — DE = EF (slika 29.)! Ako narišemo potem skoz razdelišča B, C, D, E 'm F vzpored¬ nice BL, CK, D J, EH in F G, dobimo na polutraku AN isto- toliko jednakih daljic. V sliki 29. imamo so¬ razmerne daljice. Tako ste n. pr. daljici AC in AF sorazmerni z AK in AG', kajti razmerje prvih dveh daljic ima isto vrednost Matek, Geometrija. 3 Slika 29. 34 Istoležne daljice = gleichliegende, homologe oder entsprechende Strecken. kakor razmerje zadnjih dveh. Kolik je kvocijent teh razmerij ? Iz istega razloga ste tudi daljici A C in CF sorazmerni z A K in KG. Kolik je kvocijent teh razmerij ? V obče smemo reči, da ste dve daljici, ležeči najednem polutraku, sorazmerni z daljicama na drugem polutraku, če imate zadnji dve daljici z ozirom na vzporednice isto lego kakor prvi dve. Daljice, ki imajo z ozirom na vzporednice isto lego, imenujejo se istoležne daljice. Kateri daljici ste istoležni a) z AI) in CE, b) z BE in D F, c) z CF in DE? Kolik je kvocijent daljic v prvem, drugem in tretjem slučaji? § 11. Naloge o sorazmernih daljicah. 1. Razdeli določeno daljico AB v razmerji 3:5 (slika 30.)! Načrtaj skoz krajišče A polutrak in na njem 3 -j- 5 jed- nakih daljic drugo poleg druge! Ako spojiš zadnje razdelišče D s točko B in narišeš skoz tretje razdelišče C vzporednico z BI), najdeš točko E, katera deli določeno daljico AB v razmerji 3 : 5. Kajti če načrtaš skoz vsako razdelišče na polutraku vzpored¬ nico z BD, razdeliš AB na osem jednakih delov. Na AE se na¬ hajajo trije in na EB pet jednakih delov; zato je AE: EB — f. 2. Zmanjšaj določeno daljico AB v razmerji 3 : 2 (slika 31.)! Po pogoju naloge morate določena daljica AB in iskana zmanjšana daljica biti v razmerji 3 : 2, t. j. na AB morajo biti trije, na zmanjšani daljici pa dva jednaka dela. Ako načrtaš na polu¬ traku, ki gre skoz A, tri jednake daljice in spojiš zadnje raz¬ delišče D s točko B ter narišeš skoz drugo razdelišče C vzpo¬ rednico z BD, najdeš zmanjšano daljico AE. 35 3. Povečaj določeno d alj ico AB v ra z m erj i 3:4 (slika 32.)! Na določeni daljici AB morajo biti trije, na iskani povečani daljici pa štiri jednaki deli. Nalogo razrešiš, ako načrtaš na polutraku, ki gre skoz A . štiri jednake daljice, spojiš tretje raz- delišče C s točko B ter narišeš skoz četrto razdelišče D vzpo¬ rednico z BC. Na podaljšani daljici AB najdeš točko E , katera meji povečano daljico A E. Slika 32. Slika 33. 4. Razdeli določeno daljico AB v r a z m e r j i dveh določenih daljic m in n (slika 33.)! Načrtaj skoz krajišče A polutrak, prenesi na njega dolo¬ čeno daljico m od točke A do točke C in določeno daljico n od točke C do točke D , spoji točko D s krajiščem B ter nariši skoz C vzporednico z BDI Da si res na ta način razdelil daljico AB v razmerji določenih daljic m in n, uvidiš tako-le. Daljici AC = m in CD — n imate neko skupno mero, t. j. na njih se d& neka (v našem slučaji sicer neznana) daljica večkrat načrtati brez ostanka. Ako bi to skupno mero daljic m in n res načrtal na AC in CD, kolikorkrat je mogoče, in ako bi potem narisal skoz vsa razdelišča vzporednice z BD, dobil bi na AE in EB istotoliko jednakih delov, kolikor jednakik daljic si načrtal na A C in CD. Zato mora razmerje med AE in EB biti jednako razmerju med daljicama m in n. 5. Poišči trem določenim daljicam a, J in c (slika 34.) četrto sorazmernico! Po pogoju naloge morate si biti daljici a in b ravno tako, kakor ste si daljica c in daljica x, koje iščeš. Da razrešiš nalogo, načrtaj iz točke A dva polutraka, napravi na jednem AB — a, BC = b, na drugem polutraku pa A D — c, spoji 3 * 36 točki B in D ter nariši skoz točko C vzporednico z BI )! Daljica DE — x je četrta sorazmernica določenim daljicam a, b in c. Primerjaj nalogo 4.! 6. Poišči določenima daljicama a in b (slika 35.) ti'e tj o sorazmernico! Slika 35. Po pogoju naloge morate si biti daljici a in b ravno tako, kakor ste si daljica b in daljica x, koje iščeš. Nalogo razrešiš na isti način kakor prejšnjo; daljica c prejšnje naloge je v tem slučaji jednaka b. § 12. Sorazmerni obsegi in sorazmerne ploščine. 1. Obsega dveh pravilnih mnogokotnikov z istim številom stranic izračunamo po obrazcih 0 1 = ns j in 0 2 = m .s 2 . Iz teh obrazcev dobimo sorazmerje O l : O s — n s j : n s 2 , ali če ga okrajšamo O l : 0 2 = s, : 37 t. j. obsega dveh pravilnih mnogokotnikov z istim številom stranic sta si kakor njiju stranici. 2. Oboda dveh krogov sta si kakor njiju polu- mera ali premera, v znakih Oi : 0 a = r x : r 2 = 2 r t : 2 r 3 . 3. Ploščini dveh paralelogramov ste si kakor produkta iz njunih osnovnic in višin, v znakih Vi -Pi = Oi^i = o a » a . 4. Ploščini dveh paralelogramov z isto osnov¬ nico ste si kakor njiju višini; kajti iz obrazcev Vi — ov { in — ov 2 dobimo sorazmerje V\ ' Ih = v, : n 2 . 5. Ploščini dveh paralelogramov z isto višino ste si kakor njiju osnovnici, v znakih Vi ■ Pi = Oi : o a . 6. Ploščini dveh trikotnikov ste si kakor pro¬ dukta iz njunih osnovnic in višin, v znakih Pi '■ Vi — °i v i '■ °2 V 2- 7. Ploščini dveh trikotnikov z isto osnovnico ste si kakor njiju višini, v znakih Vi • Pi = »i *V 8. Ploščini dveh trikotnikov z isto višino ste si kakor njiju osnovnici, v znakih Pi ’• Pi = °i ■ °i- 9. Ploščini dveh kvadratov ste si kakor drugi potenci njunih stranic, v znakih Pi : Pi = s j 2 : s 2 2 - 10. Ploščini dveh krogov ste si kakor kvadrata (drugi potenci) njunih polumerov, v znakih Pi-Pi = V ; V- Primerjaj izreke 3 in 6, 4 in 7, 5 in 8! § 13. Podobni trikotniki. Načrtujmo trikotnik ABC (slika 36.) ter razdelimo n. pr. stranico AC na pet jednakih delov! Ako narišemo potem skoz vsa razdelišča vzporednice z AB, dobimo na BC pet jednakih Podobni trikotniki = ahnliche Dreiecke. 38 V kakšni zvezi so sestavine podobnih trikotnikov. Slika 36. daljic; če pa narišemo skoz ista razdelišča vzporednice z BC, razdelimo AB na pet jednakih delov. Vsaka vzporednica odreže od prvotnega trikotnika nov trikotnik, katerega sestavine so s sestavinami prvotnega tri¬ kotnika v prav tesni zvezi. Da to zvezo natančneje spoznamo, iz¬ berimo neko vzporednico, n. pr. DE, ter primerjajmo sestavine trikotnika DEC sestavinam prvot¬ nega trikotnika ABC\ Oba tri¬ kotnika se ujemata v kotih; kajti kot pri C je jima skupen, kota pri D in A, oziroma kota pri E in B, sta protikota, ležeča na vzpo¬ rednicah, in zato jednaka. Ako primerjamo istoležne stranice ome¬ njenih trikotnikov, in sicer CD in CA, CE in CB, DE in AB, najdemo razmerja CD : CA — », CE : CB — f, DE : AB = f, t. j. istoležne stranice trikotnikov DEC in ABC so sorazmerne, v znakih CD : CA = CE:CB= DE: AB. Kar velja o trikotniku DEC , velja tudi o vsakem drugem trikotniku, katerega kaka druga vzporednica odreže od prvot¬ nega trikotnika. — Ce se veča število razdelišč na A C, bližajo se sosedna razdelišča vedno bolj drugo drugemu, in misliti si smemo, da nam predstavlja vsaka točka v stranici A C neko razdelišče. Tudi za ta skrajni slučaj velja naše poprejšnje umovanje in sklepanje. Zato smemo trditi: Ako načrtamo v določenem trikotniku skoz katerokoli točko v jedni stranici vzporednico s kako drugo stranico, stvorimo nov trikotnik, ki se ujema s prvotnim v kotih; istoležne stranice prvotnega in novega trikotnika so sorazmerne. Ako si mislimo, da se v trikotniku ABC (slika 36.) stranica AB porniče vzporedno navzgor, ohranijo med tem pomikanjem notranji trikotnikovi koti svoje prvotne velikosti, 39 stranice pa se manjšajo vedno bolj in bolj. Velikost prvotnega trikotnika se torej izpreminja med navedenim pomikanjem, oblika pa ostane ista. Ko pride premikajoča so stranica A TI v lego DE, zmanjšajo se stranice prvotnega trikotnika v raz¬ merji 5 : 3. Trikotnik DEC ni torej nič drugega kakor zmanj¬ šani trikotnik ABC (toda ne v razmerji 5 : 3). Obratno si lahko mislimo trikotnik ABC kakor povečani trikotnik DEC. Dva trikotnika, ki imata lastnosti, katere smo spoznali na trikotnikih ABC in DEC, imenujeta se podobna. Dva podobna trikotnika imata isto obliko. Dva podobna trikotnika se ujematavkotih, in njiju istoležne stranice so sorazmerne. Ako načrtamo v določenem trikotniku vzpo¬ rednico s katerokoli stranico, stvorimo nov tri¬ kotnik, ki je podoben prvotnemu. V podobnih trikotnikih ležijo istoležne stranice jed- nakim kotom nasproti. N. pr. Istoležni stranici DC in AC ležite jednakima kotoma pri E in pri B nasproti. § 14. Izrek o podobnosti dveh trikotnikov. Načrtajmo dva trikotnika ABC in A'B'C' , ki se ujemata v kotih! V sliki 37. je -$C A = Al, ^ B — B' in C = C". Ako prenesemo stranico A'C" na A D od točke C Slika 37. do točke D, in ako na¬ rišemo skoz D vzpored¬ nico z AB, stvorimo nov trikotnik DEC, ki je skladen s trikotnikom A'B’C' (I.). V katerih sestavinah se ujemata trikotnika DEC in A B A A'B’C' ? Ker smemo torej trikotnik A’B'C' zamenjati s trikotnikom DEC, in ker sta trikotnika DEC in ABC podobna drugi drugemu po poprejšnjem odstavku, morata tudi trikotnika ABC in A'B'C’ biti podobna. Dva trikotnika sta podobna drugi drugemu, če se ujemata v vseh kotih. Kedaj smemo sklepati na podobnost dveh trikotnikov. 40 Kako sta si obsega dveh podobnih trikotnikov. Kako ste si istoležni višini dveh podobnih trikotnikov. § 15. Razmerje med obsegoma in istoležnima višinama dveh podobnih trikotnikov. Načrtajmo dva podobna trikotnika ABC in A'B'C' (slika 38.)! Ako zaznamujemo vrednost razmerja dveh istoležnih stranic z občnim številom m, potem je AB : A'B' = m, BC:B'C' = m, CA : C'A' == m, ali AB = m . A'B' BC = m . B'C' CA = m . C'A’. Ce seštejemo zadnje izraze, dobimo AB -f BC + CA = m . (A'B' + B’C' -f C’A'), t. j. obseg trikotnika ABC je m krat tolik, kolikoršen je obseg trikotnika A'B'C'. Raz¬ merje med obsegoma stika 38. trikotnikov AB C in A'B'C’ je torej = m, ali jednako razmerju dveh istoležnih stranic. Obsega dveh podobnih trikotni¬ kov sta si kakor po dve istoležni stra¬ nici, v znakih O : 0, = AB : A'B' = BC : B’C = CA : C'A'. Ako narišemo v podobnih trikotnikih ABC in A'B'C' (slika 38.) istoležnima stranicama AB in A'B' pripadajoči višini CD in C'D', dobimo trikotnika ACD in A'C'D’, ki sta po izreku prejšnjega odstavka podobna drugi drugemu. Višini CD in CD' ste torej sorazmerni z istoležnima stranicama AC in A’C'. Ker pa ste stranici AC in A’C' sorazmerni s strani¬ cama AB in A'B' ali z BC in B'C', morate višini CD in C'D' biti tudi sorazmerni s temi stranicami. Višine, ki pripadajo istoležnim stranicam, imenujemo istoležne višine. V podobnih trikotnikih ste dve istoležni višini sorazmerni z istoležnimi stranicami, v znakih CD : CD' = AB : A’B' — BC : B'C' = CA : C'A'. 41 § 16. Razmerje med ploščinama dveh podobnih trikotnikov. Načrtajmo dva podobna trikotnika ABC in ABC' (slika 39.), v katerih je razmerje po dveh istoležnih stranic n. pr. = j 1 Ako narišemo skoz oglišči B in C, oziroma skoz istoležni oglišči B' in C', vzporednice z nasprotnimi stranicami, stvorimo paralelograma ABDC in A 'B'D'C', ki imata s tri¬ kotnikoma ABC in A'B'C' isti osnovnici in isti višini. Ce razdelimo potem vsako izmed stranic AB in AC na štiri, vsako izmed istoležnih stranic A'B' in A'C' pa na tri jednake dele, in če načrtamo skoz ta razdelišča vzporednice z 4C in AB, oziroma z A'C' in A' B', razdelimo paralelograma ABDC in A'B'D'C’ na manjše, med seboj skladne paralelograme. Ker Slika 39. je paralelogram ABDC sestavljen iz 4X4=16, in paralelo¬ gram AB D C' iz 3X3 = 9 ploščinsko jednakih paralelo¬ gramov, sta si paralelograma ABDC in AB D C' kakor 16:9, t. j. kakor kvadrata merskih števil 4 in 3 dveh istoležnih stranic. Kar velja o paralelogramih ABDC in AB'D'C' , velja tudi o podobnih trikotnikih ABC in ABC, ki sta polovici omenjenih paralelogramov; kajti jasno je, da ste si polovici ravno tako kakor celoti. Ploščini dveh podobnih trikotnikov ste si kakor kvadrata dveh istoležnih stranic, v znakih AABC:AA'B'C' = AB 2 : Alf ' 2 = AC 2 : AC ' 2 = BC 2 : B'C' 2 . O resnici ravno navedenega izreka se prepričamo tudi lahko na drug način. Iz § 12. vemo, da ste si ploščini dveh trikotnikov kakor produkta iz njunih osnovnic in višin. Katero vrednost ima razmerje med produktoma iz osnovnic in višin v podobnih trikotnikih, treba je še določiti. V podobnih tri¬ kotnikih ABC in A’B'C' (slika 38.) ste istoležni stranici AB Kako ste si ploščini dveh podobnih trikotnikov. 42 Kedaj imenujemo dva mnogokotnika podobna. in A’B' sorazmerni z istoležnima višinama CD in C'D'. če zaznamujemo vrednost razmerja dveh istoležnih stranic z občnim številom m, ie ’ J AB : AB = m, CD : C'D' = m. Ako ta izraza pomnožimo (kakor se ulomek množi z ulomkom), dobimo AB. CD: A'B' ,C'D' = m •; če pa pomnožimo razmerje dveh istoležnih stranic, n. pr. AB : A'B' — m s samim seboj, dobimo AB 2 : AB' 2 = m 2 , t. j. razmerje med produktoma iz osnovnic in višin ima isto vrednost kakor raz m e r j e med kvadratoma dveh istoležnih stranic. Iz navedenega se torej vidi, da ste si ploščini dveh podobnih trikotnikov kakor kvadrata dveh istoležnih stranic. § 17. Podobni mnogokotniki. Načrtajmo mnogokotnik ABCDE (slika 40.) in iz oglišča A obe mogoči diagonali! Ako narišemo skoz katerokoli točko B', ki leži v podaljšani stranici AB, vzporednico z mnogokotnikovo stranico BC, najdemo v podalj¬ šani diagonali AC točko C"; če narišemo skoz C' vzporednico z mnogokotnikovo stranico CD, najdemo v podaljšani diagonali AD točko D '; in če narišemo skoz D' vzporednico z mnogo¬ kotnikovo stranico DE, najdemo v podaljšani stranici AE točko E'. V kakšni zvezi so sestavine mnogokotnika AB'C’D'E', ki smo ga na ta način stvorih, s sestavinami prvotnega mnogokotnika ABCDE , to hočemo v naslednjem preiskovati. Mnogokotnika ABCDE in AB'C'D'E' imata kot pri A skupen; koti pri B in B', oziroma pri C in C', ali pri D Slika 40. 43 in D', ali pri E in E’ imajo vzporedne krake v istem smislu in so zato jednaki. Mnogokotnika ABCDE in AB C'D'E’ se torej ujemata v vseli kotih. Ako primerjamo trikotnika ABC in AB'C, oziroma trikotnika ACD in A C'D’, ali trikotnika ADE in AD’E', spoznamo takoj iz slike, da so navedeni trikotniki po dva in dva podobni drugi drugemu, ker se ujemajo v vseh kotih. Mnogokotnika ABCDE in AB'C'D'E' sta torej v istem smislu sestavljena iz podobnih trikotnikov. Ker so v podobnih trikotnikih istoležne stranice soraz¬ merne, je v trikotnikih ABC in AB'C' razmerje med strani¬ cama AB in AB' jednako razmerju med stranicama BC in B’C’, in to razmerje je jednako razmerju med stranicama (mnogokotnikovima diagonalama) AC in AC’. V podobnih tri¬ kotnikih ACD in ACD' je razmerje med stranicama AC in AC' jednako razmerju med stranicama CD in C’D', in to razmerje je jednako razmerju med stranicama (mnogokotnikovima diagonalama) AD in Al) ' i. t. d. V mnogokotnikih ABCDE in AB'C'D'E' so torej stranice, ki v istem smislu oklepajo jednake kote, sorazmerne med seboj in tudi sorazmerne z diagonalami, ki spajajo vrhe jednakih kotov. Dva mnogokotnika, ki imata lastnosti, katere smo zpo- znali na mnogokotnikih ABCDE in ABC D'E', imenujeta se podobna. Stranice, ki v istem smislu oklepajo jednake kote podobnih mnogokotnikov, imenujemo istoležne. Tudi diagonale so istoležne, če spajajo oglišča, v katerih se stikajo istoležne stranice. Dva podobna mnogokotnika sta v istem smislu sestavljena iz podobnih trikotnikov. Dva podobna mnogokotnika se ujemata v vseh kotih. V podobnih mnogokotnikih so istoležne stra¬ nice in diagonale med seboj sorazmerne. Iz navedenih lastnostij podobnih mnogokotnikov smemo izvajati ta-le izreka: 1. Dva mnogokotnika sta podobna, če sta v istem smislu sestavljena iz podobnih trikot¬ nikov. 44 Kako sta si obsega, kako ploščini dveh podobnih mnogokotnikov. 2. Dva mnogokotnika sta podobna, če se uje¬ mata v vseh kotih, in če so stranice, ki oklep a j o jednake kote, zaporedoma sorazmerne. Dva pravilna mnogokotnika z istim številom stranic sta vselej podobna. Zakaj ? Ali sta dva kroga vsigdar podobna? § 18. Razmerje med obsegoma in ploščinama dveh podobnih mnogokotnikov. Načrtajmo dva podobna mnogokotnika ABCDE in A'B'C'D'E' (slika 41.), v katerih so AB in A'B', BC in B'C' i. t. d. istoležne stranice! Ce zaznamujemo vrednost razmerja dveh istoležnih stranic z občnim številom m, je Slika 41. AB : A'B' = m, in BC : B'C' = m » CD : C'D' = m » DE: DE' = m » EA : E’A' = m * AB = m . A B' BC = m. B' C' CD = m. C’D' DE — m . D’E' E A — m . E’A’. Ako seštejemo zadnje izraze, dobimo AB -(- BC -j- CD -|- DE -}- EA — m . (A’B' -f B'C' + C'D' + D'E' + E'A'), t. j. obseg mnogokotnika ABCDE je mkrat tolik, kolikoršen je obseg mnogokotnika A'B’C D 'E'. Razmerje med obsegoma mnogokotnikov ABCDE in A'B'C'D'E’ je torej = m , ali jednako razmerju med dvema istoležnima stranicama. Obsega dveh podobnih mnogokotnikov sta si kakor po dve istoležni stranici, v znakih 0:0,= AB: A'B’ = BC: B'C' = i. t. d. 45 Podobni mnogokotniki so v istem smislu sestavljeni iz podobnih trikotnikov. Ker so ploščine podobnih trikotnikov sorazmerne s kvadrati istoležnih stranic, in ker je vrednost zadnjega razmerja v našem slučaji = m 2 (primerjaj § 16.), je ABC : A'B'C' = m \ in ABC = m*. A'B'C' ACD: ACD' = m * » ACD = m 2 . A C'D" ADE : A'D'E' = m i » = m 2 . A'D 'E'. Ako seštejemo zadnje izraze, dobimo ABC -f ACD + ADE = m *. (A\5' C" -f A'C'D' -)- A'D 'E'), t. j. ploščina mnogokotnika ABCDE je m 2 krat tolika, kolikoršna je ploščina mnogokotnika A'B'C'D'E'. Razmerje med plošči¬ nama mnogokotnikov ABCDE in A'B'C'D'E' je torej = m 2 , ali jednako razmerju med kvadratoma dveh istoležnih stranic. Ploščini dveh podobnih mnogokotnikov ste si kakor kvadrata dveh istoležnih stranic, v znakih ABCDE : A’B'C'D’E' == AB 2 : A'B' 2 == BC 2 : B'C’ 2 = i. t. d. Daljic, ki jih izmerimo v naravi, ne načrtavamo na papir v njih pravi velikosti, temveč v zmanjšanem merilu. N. pr. Da¬ ljice, ki so v naravi po 1 km dolge, predočujemo v sliki z 1 cm. Kako si je treba potem misliti daljico v sliki z ozirom na daljico v naravi? kako daljico v naravi z ozirom na daljico v sliki? Kolikokrat je v našem primeru daljica v sliki manjša od daljice v naravi? kolikokrat daljica v naravi večja od daljice v sliki? Razmerje med daljico v sliki in daljico v naravi je torej = 1: 100.000. To razmerje se imenuje merilo, po katerem je slika (zemljevid) napravljena. Ker daljice meje like, so liki na papirji zmanjšani z ozirom na like v naravi, in sicer tako, da so podobni drugi drugim. Lastnosti, katere smo spoznali na podobnih trikotnikih in mnogokotnikih, veljajo zato tudi tukaj. § 19. Raznovrstne naloge. 1. Načrtaj določenemu mnogokotniku ABCDE po¬ doben mnogokotnik, in sicer tako, da razdeliš določeni mnogokotnik na trikotnike iz točke P, ki leži a) v stra¬ nici AB, b) znotraj določenega mnogokotnika, in da bo razmerje po dveh istoležnih stranic =3:2 (slika 42.)! V kakšni zvezi so liki v slikah z liki v naravi. Merilo = der MaCstab 46 Ako spojiš točko P z vsemi oglišči določenega mnogo- kotnika ter zmanjšaš jedno izmed daljic, n. pr. PB ali PC, v razmerji 3:2, najdeš oglišče B' ali oglišče C' mnogokotuika A'B'C'D'E', ki ga iščeš; ostala oglišča najdeš z vzporednicami. Slika 42. Primerjaj sliko! Mnogokotnika ABCDE in A'B'C'D'E' sta v istem smislu sestavljena iz podobnih trikotnikov in zato podobna drugi drugemu. Ako bi naj bilo določeno razmerje po dveh istoležnih stranic 2:3, treba bi bilo daljico PB ali PC povečati v raz¬ merji 2:3. Poprečno merilo 2. Načrtaj desetinsko poprečno merilo! Transversai- Ako bi na zmanjšanem merilu A T) (slika 43.) hoteli dol- MaSstab. gostno jednoto AB — BC = CD — 1 m razdeliti na decimetre in centimetre, postali bi zadnji razdelki tako majhni, da bi jih ne bilo mogoče razločevati natanko. Da se izognemo tej nepri- liki, treba je urediti merilo nekoliko drugače, uporabljajoč lastnosti podobnih trikotnikov. V to svrho postavimo v točki B 47 pravokotnico na A D, na tej pravokotnici načrtajmo deset jed- nakih daljic ter narišimo skoz vsako razdelišče vzporednico z Al)\ Potem razdelimo AB na deset jednakili delov (na deci¬ metre) ter načrtajmo skoz razdelišča vzporedne prečnice, kakor jih kaže slika 43.! Prečnica, ki spaja točki 0 in 1, odreže od prve horizontalne vzporednice nad AB daljico 1 cm, od druge horizontalne vzporednice nad AB daljico 2 cm, .in od zadnje (zgornje) horizontalne vzporednice nad AB daljico 10 cm — 1 dm. Ravno tako odreže tudi vsaka druga prednica od vsake naslednje horizontalne vzporednice nad AB daljico, ki je 1 cm daljša ko na prejšnji vzporednici. Daljica, ki sega od / do g, meri torej 2 m 5 dm 6 cm. Števila, ki stoje spodaj na prednicah, zaznamujejo deci¬ metre, števila na horizontalnih vzporednicah pa centimetre. Vsako zmanjšano merilo, ki je ure¬ jeno tako kakor v sliki 43., imenuje se desetinsko poprečno merilo. 3. Izračunaj kvadratu diago¬ nalo, deje njega stranica — s (slika 44.)! Po Pitagorovem izreku je diagonala d — [/s 2 -f s 3 = [/2 s a = s |/2.* Slika 44. Kvadratovo diagonalo najdeš torej, ako po¬ množiš njega stranico z y 2 (drugim korenom iz 2). 4. Stranica jednakostraničnega trikotnika je — s; izračunaj a) višino, b) ploščino, c) polumer včrtanega in očrtanega kroga (slika 45.)! a) Po Pitagorovem izreku je višina Višino jednakostraničnega trikotnika najdeš torej, ako pomnožiš polovico njegove stranice z V3. b) Trikotnikovo ploščino izračunamo po obrazci: O p = 2 •»; * Primerjaj pravila o potencah in korenih v aritmetiki! V2 = 1 * 41421. .; V 3 = 1-73205.. 48 če nadomestimo v našem slučaji vrednosti za o in v, dobimo Ploščino jednakostraničnega trikotnika najdeš torej, ako pomnožiš kvadrat iz polovice njegove stra¬ nice z V3, ali: ako pomnožiš četrtino kvadrata iz nje¬ gove stranice z V3. c) Višine jednakostraničnega trikotnika so ob jednem so- mernice njegovih stranic in njegovih kotov; njih presečišče je središče očrtanega in včrtanega kroga. V sliki 45. je OD = OB polumer včrta¬ nega, O C = O A pa polumer očrtanega kroga. V pravokotnem trikotniku AOD meri j eden kot 30°; kateta OD, ki leži temu kotu nasproti, je jednaka polovici hipotenuze O A. Polumer očrtanega kroga je torej 2 krat tolik ko polumer včrtanega kroga. Ce je pa OD polovica od O C, mora OD znašati jedno tretjino in OC dve tretjini višine CD. V jednakostraničnem trikotniku znaša polu¬ mer včrtanega kroga A, polumer očrtanega kroga pa f trikotnikove višine, v znakih <■ = i” = r iV* = 5. Stranica pravilnega šestero kotni kaj e = $; iz¬ računaj a) ploščino, b) polumer včrtanega in očrta¬ nega kroga! a) Ako spojimo središče pravilnega šesterokotnika z oglišči, razpade šesterokotnik na šest skladnih jednakostraničnih trikot¬ nikov. Ploščina šesterokotnikova je torej jednaka šestkratni ploščini jednega teh trikotnikov, v znakih b) Polumer včrtanega kroga je jednak višini jednega izmed jednakostraničnih trikotnikov, ki sestavljajo pravilni Slika 45. 2 49 šesterokotnik; polumer očrtanega kroga pa je jednak šestero- kotnikovi stranici, v znakih r = J [/Š, R = s. 6. Krogu s polumerom r je pravilni šestero¬ kotnik včrtan in očrtan; izračunaj stranico vsa¬ kega teh mnogokotnikov (slika 46.)! a) Stranica včrtanega pravilnega šesterokotnika (sekstan- tova tetiva) je jednaka polumeru, v znakih s — r. b) Ako načrtamo iz krogovega središča O (slika 46.) pravokotnico na stranico AB včrtanega pravilnega šestero¬ kotnika ter jo podaljšamo do krož¬ nice, najdemo točko D', v kateri se stranica A'B’ očrtanega pra¬ vilnega šesterokotnika dotika dolo¬ čenega kroga. Trikotnika A'B' 0 in ABO sta podobna drugi drugemu; istoležni osnovnici A'B' in AB ste torej sorazmerni z istoležnima višinama OD' in OD, v znakih AB’ : AB = OD ': OD. Ker je v našem slučaji AB = r, OD' — r in OD (višina jednakostraničnega trikotnika s stra¬ nico r) = ’ V 3, da se iz navedenega sorazmerja izračunati stranica A B' = S očrtanega pravilnega šesterokotnika. Račun je ta-le: S: r = r : ^ S: r — 2 r : r |/3 S:r = 2 : |/3 Matek, Geometrija. 4 50 Stereometrija. § 20. Premica in ravnina v obče. Osnovne resnice Skoz določeno točko A v prostoru moreš načrta ti brez o premici števila premic. Skoz dve določeni točki A in B v pro- storil moreš načrtati le jedno premico. Dve premici, ki imate dve skupni točki, pokrivate druga drugo. Vsaka ploskev, v kateri moreš premice risati na vse strani, imenuje se ravna ploskev ali ravnina. Vsaka premica, ki ima z ravnino dve točki skupni, leži popolnoma v tej ravnini. Kako določimo Skoz določeno točko A v prostoru moreš položiti brez ravnmi lego števila ravnin. Skoz dve določeni točki A in B v prostoru popolnoma. r moreš položiti tudi brez števila ravnin. Kajti točki A in B določujete premico; ako položiš skoz premico AB ravnino ter jo zavrtiš okoli AB, pride ravnina zaporedoma v neizrečeno veliko različnih leg. V vsaki izmed teh ravnin se nahajate točki .A in .B. Skoz tri določene točke A, B m C v prostoru, ki ne leže v jedni in isti premici, da se položiti le jedna ravnina. Kajti ako načrtaš skoz točki A in B premico, skoz Slika 47. I II HI med vsemi mogočimi legami te ravnine le jedna taka ravnina, v kateri leže vse tri določene točke A, B in C. Tri točke A, B, C v prostoru, ki ne leže v jedni in isti premici, določujejo tudi te-le stvore: a) premico AB in točko C zunaj te premice (slika 47. I.); b) dve sekajoči se premici AB in AC (slika 47. II.); c) dve vzporedni premici AB in CI) (slika 47. III.); kajti vzporednih premic si ne moremo drugače misliti, ko v jedni ravnini ležeče. 51 Iz navedenega torej spoznamo, da določujejo ravnini lego popolnoma: 1. tri točke, ki ne leže v jedni in isti premici; 2. premica in točka zunaj te premice; 3. dve sekajoči se premici; 4. dve vzporedni premici. Ravnina nastane: a) ako se pomika premica AB po dveh drugih sekajočih Kako nastane se premicah, ali pa po dveh vzporednih premicah (slika 48. I.); ravmna ' b) ako se vrti premica AB okoli jedne svojih točk in ob jednem drči po neki drugi premici (slika 48. II.); c) ako se pomika premica AB po kaki drugi premici tako, da ostane vedno vzporedna s svojo prvotno lego (slika 48. III.); d) ako se pravi kot vrti okoli jednega svojih krakov (slika 48. IV.). I Slika 48. n m iv Ravnina utegne biti: 1. neomejena, 2. na pol ome¬ jena, 3. popolnoma omejena. Ako govorimo o neomejeni ravnini, imenujemo jo naravnost ravnino. Vsaka prema črta, ki jo narišemo v neomejeni ravnini, razdeli to ravnino na dva poluomejena dela, ki ju imenujemo polu ravni ni. Popolnoma omejeni ravnini pravimo raven lik ali ravna ploskev. Kakšne ravnine razločujemo. Poluravnina = die Halbebene. § 21. Medsebojna lega'dveh premic v prostoru. Dve premici v prostoru utegnete imeti druga proti drugi trojno lego: a) premici ležite v jedni ravnini in imate jedno skupno točko; premici sc sečete; b) premici ležite v jedni ravnini ter nimate nobedne skupne točke; premici ste vzporedni; Trojna medsebojna lega dveh premic. 4 * 52 Navskrižen = windschief. Križati se = sich kreuzen. Osnovna resnica o vzporednem premikanji sekajočih se premic. Lastnosti kotov z vzporednimi kraki. Premica vzpo¬ redna z ravnino. Premica naklonjena proti ravnini. Podnožišče = der FuOpunkt. c) premici ne ležite v jedni ravnini ter nimate nobedne skupne točke; premici ste navskrižni ali se križate. Dve sekajoči se premici AB in CD ne morete izpremeniti svoje medsebojne lege, ako se pomičete po prostoru tako, da ostane vsaka vedno vzporedna s svojo prvotno lego, in da drči njiju presečišče 0 po neki premi črti 00’. Koti, katere tvorite premici, ohranijo torej v vsaki novi legi svojo prvotno velikost. Primerjaj sliko 49.! Iz navedenega izvajamo te-le lastnosti: 1. Dva kota v prostoru sta jednaka, ako imata, vzporedne krake v isto mer. N.pr. BOD = B O'D'. Kateri kraki so vzporedni? 2. Dva kota v prostoru sta jednaka, ako imata vzporedne krake v nasprotno mer. N. pr. BOD — A'O'C'. Kaj je bil A'0'C' v prvotni legi z ozirom na BOD ? Kateri kraki so vzporedni? 3. Dva kota v prostoru sta suplementarna, ako imata dva kraka vzporedna v isto mer, druga dva kraka pa vzporedna v nasprotno mer. N. pr. c in a -j- c j> b. Iz navedenega izvajamo: Lastnost robovnih kotov trirobnega ogla. Slika 68. robovnih kotov večja od tretjega. Ako se večajo robovni koti določenega ogla, postaja ogel Lastnost vedno bolj in bolj top. Če ležijo konečno vse obstranske ploskve ' vtakega ogiT v jedni in isti ravnini, izgine ogel in vsota vseh robovnih kotov znaša v tem slučaji štiri prave kote. Iz tega izvajamo: V vsakem oglu znaša vsota vseh robovnih kotov manj ko štiri prave kote. § 30. Prizma v obče. Mislimo si mnogokotnik ABCDE (slika 69. I.), ki se po- Prizma = das mika po prostoru do lege A'B'C'B'E' tako, da drči n. pr. Ka |f 0 r 'n™ a tane oglišče A po določeni daljici AA' in da ostane vsaka mnogo- prizma, kotnikova stranica vzporedna s svojo prvotno lego! Med takim pomikanjem načrtajo mnogokotnikova oglišča daljice AA', Matek, Geometrija. 5 66 Prizmatični prostor = der prismatische Raum. Tvornica = die erzeugende Gerade. Vodnica = die Leitlinie oder das Leitpolygon, Osnovna ploskev = die Grundflache. Obstranska ploskev = die Seitenflache. Rob = die Kante. Osnovni rob = die Grundkante. Obstranski rob = die Seitenkante. Oglišče = der Eckpunkt. Ogel = die Ecke. BB' , . . ., ki so vzporedne in jednake, mnogokotnikove stranice narišejo paralelograme, in mnogokotnikova ploskev načrta telo, ki se imenuje prizma. Prizma utegne nastati tudi na drug način. Ako drči pre¬ mica po obsegu določenega mnogokotnika ABC (slika 69. II.) tako, da ostane vedno vzporedna s svojo prvotno lego, nastane na dve strani neomejen prostor, ki ga zovemo prizmatični prostor. Premikajočo se premico imenujemo (premico) tvor¬ il ico, mnogokotnikov obseg pa, po katerem drči tvornica, zo- Šlika 69. vemo (črto) vodnico. Ako presečemo prizmatični prostor z dvema vzporednima ravninama, stvorimo med tema ravninama telo, ki se zove prizma. Prizmo omejujeta dva vzporedna in skladna mnogokotnika in ob straneh toliko paralelogramov, kolikor ima vsak izmed mnogokotnikov stranic. Vzporedna in skladna mnogokotnika se imenujeta osnovni ploskvi, paralelogrami ob straneh pa obstranske ploskve. Presečnice po dveh mejnih prizminih ploskev se zovejo prizmini robi. Robi so osnovni in obstranski; v osnovnih robih so sečejo obstranske ploskve z osnovnima ploskvama, v obstranskih robih pa le obstranske ploskve med seboj. Ob¬ stranski robi so vzporedni in jednaki. Ali se na¬ hajajo med osnovnimi robi tudi vzporedni in jednaki? Točke, v katerih se sečejo po trije prizmini robi, ime¬ nujejo se pri zm in a oglišča. Pri zrni n ogel je prostor, 67 katerega omejujejo po tri prizmine ploskve, ki se sečejo v jedni in isti točki. Kolikerorobni so prizmini ogli? Pravokotnica, spuščena od jedne osnovne ploskve na drugo, se zove p r i z m i n a višina. Z ozirom na lego obstranskih robov proti osnovnima plos¬ kvama, delimo prizme v pokončne in poševne. Primerjaj sliko 69.! V pokončnih prizmah stoje obstranski robi pravo¬ kotno na osnovnih ploskvah, v poševnih pa poševno. Prizma se imenuje jednakorobna, ako so vsi njeni robi jednaki. Pokončna prizma, katere osnovni ploskvi ste pravilna mnogo- kotnika, zove se pravilna prizma. Z ozirom na število obstranskih ploskev ali obstranskih robov razločujemo tristranične ali trirobne, četverostra- nične ali četverorobne, . . . mnogostraniene ali mnogo- robne prizme. V pokončnih prizmah je višina jednaka obstranskim robom; v poševnih prizmah je višina manjša od obstranskega roba. Zakaj? Prizma, katere osnovni ploskvi ste paralelograma, imenuje se paralel ep iped. Paralelepipedi so pokončni in poševni. Sest paralelogramov meji vsak paralelepiped; po dva nasprotna paralelograma sta vzporedna in skladna in utegneta biti paralele- pipedu osnovni ploskvi. Prizmina višina. Pokončna in poševna prizma = das gerade und schiefe Prisma. Jednakorobna prizma = das gleichkantige Prisma. Pravilna prizma = das regelmaOige oder regulare Prisma. Tristranična prizma = das dreiseitige Prisma. Paralelepiped = das Parallelepiped. Slika 70. t Ako ste osnovni ploskvi pokončnega paralelepipeda pravo¬ kotnika, pravimo mu pravokotni paralelepiped (slika 70.1.). Sest pravokotnikov meji pravokotni paralelepiped. Ako je pravokotni paralelepiped jednakoroben, imenuje se kocka ali kub (slika 70.11.). Sestjednakih kvadratov meji kocko. Pravokotni paralelepiped -- das rechtvvinklige Parallelepiped. Kocka = der Wurfel oder Cubus 68 Romboeder = das Rhomboeder. Ako je poševni paralelepiped jednakoroben, zove se romboeder (slika 70. III.). Sest rombov meji romboeder. Ako presedemo prizmo z ravnino, ki je vzporedna z osnovno ploskvijo, je presek mnogokotnik, ki je skladen z osnovno ploskvijo. Slika 71. Vzporedni presek = der Parallelschnitt. Poprečni presek = der Querschnitt. I n Pravokotni presek = der Normalschnitt. Diagonalni presek = der Diagonalschnitt. Kako izračunaš diagonalo pravokotnega paralelepipeda. Ta presek se ime¬ nuje vzporedni presek. Primerjaj sliko 71.1.! Lik vsa¬ kega drugega p o - prečnega pre¬ seka (t. j. preseka, ki zadene vse ob¬ stranske robe) je mnogokotnik, ki ima toliko stranic, kolikor jih ima osnovna ploskev. Pri poševnih prizmah je važen pravo¬ kotni ali normalni presek, t. j. tisti poprečni presek, ki stoji pravokotno na obstranskih robih. Primerjaj sliko 71. II.! Ako položimo skoz dva nasprotna obstranska roba (t. j. dva roba, ki ne ležita v jedni in isti obstranski ploskvi) ravnino, dobimo za presek paralelogram. Ta presek se imenuje diagonalni pre¬ sek. Diagonalnih presekov se nahaja v prizmi toliko, kolikor ima vsaka osnovna ploskev diagonal. Z diagonalnimi preseki razdelimo vsako mnogostranično prizmo na tristranične prizme. Na koliko? Primerjaj sliko 72.! V paralelepipedu se imenuje daljica, ki spaja dvoje nasprotnih oglišč diagonalnega preseka, paralele- pipedova diagonala. Vsak paralelepiped ima štiri diagonale. Povej diagonale pravokotnega paralelepipeda v sliki 70. I.! V pravokotnem trikotniku BDH (slika 70. I.) je po Pi¬ tagorovem izreku d2=]WiJrC ^ in iz pravokotnega trikotnika ABD izračunamo po istem izreku BI D = a 2 -j- č> 2 ; Slika 72. 69 torej je d 2 = a 2 + 6» + c 2 , t. j. Kvadrat nad diagonalo pravokotnega para- lelepipeda je jednak vsoti kvadratov treh stika¬ jočih se robov. Diagonale pravokotnega paralelepipeda so jednake; kajti robi vsakega ogla so a, b in c. Kockina diagonala je d = J/a 2 -j- a 2 -|- Kako torej izračunaš kockino diagonalo ? Ako načrtamo v rav¬ nini vse prizmo meječe plos¬ kve drugo poleg druge tako, da dad6 izrezane in primerno zložene prizmo, dobimo p ri z - mino mrežo. Slika 73. predočuje mrežo tristranične prizme. BD = BC in AE = AC. = [/3« 2 = a [/3. Slika 73. § 31. Površje pokončne prizme. Vsoto vseh mejnih prizminih ploskev imenujemo priz¬ mi no površje, vsoto vseh obstranskih ploskev pa pri z min plašč (obstransko površje). Ako odvijemo vse obstranske ploskve pokončne prizme ter jih razgrnemo v jedni in isti ravnini, stvorimo pravokotnik, katerega osnovnica je jednaka obsegu osnovne ploskve, in ka¬ terega višina je jednaka obstranskemu robu. Plašč pokončne prizme je torej jednak produktu iz obsega osnovne ploskve in obstranskega roba, v znakih p = o X v. Prizmino površje najdemo, ako prištejemo dvojni osnovni ploskvi plašč, v znakih P — 20 -j- p. Prizmina mreža = das Netz des Prisma. Površje = die Oberflache. Obstransko površje = die Seitenoberflache. Plašč = der Mantel. Kako izračunaš plašč in površje pokončne prizme. 70 Kako izračunaš kockino površje. Prostornina = d er Rauminhalt oder das Volumen. Mersko število = die Mafizahl. Jednota telesne mere = die Einheit des Volumens. Kubični meter = das Cubikmeter. Neposredno merjenje prizmine prostornine. Prostorno jednak = inhaltsgleich. Kako izračunaš prostornino pravokotnega paralelepipeda. Kockino površje najdemo, ako pomnožimo plo¬ ščino jednega mejnega kvadrata s 6, v znakih P = 6 s 2 . Površji dveh kock ste sorazmerni s kvadratoma njunih robov. Kajti iz obrazcev P, = 6V in P a = 6 s 2 2 najdeš sorazmerje Pi - P* = s , 2 : s a 2 . § 32. Prostornina pokončne prizme. Prostor, katerega oklepajo mejne prizmine ploskve, ime¬ nujemo prizmino prostornino. Ako je prizmi določiti pro¬ stornino, treba je izbrati neko znano telo (kocko) za jednoto telesne mere ter poiskati, kolikokrat se to znano telo nahaja v prizmini prostornini. Število, katero to pove, zove se mersko število prostornine. Za jednoto telesne mere jemljemo kocko, katere robi so jednaki dolgostni jednoti (t. j. 1 m, 1 dm, 1 cm, 1 mm), ter jo imenujemo kubični meter (m 8 ), kubični decimeter (dm 3 ) i. t. d. Prizmi določimo prostornino s tem, da povemo, koliko kubičnih metrov, kubičnih decimetrov i. t. d. se nahaja v njej. Ako bi hoteli izmeriti n. pr. prostornino šolske sobe, položili bi v njo kubični meter tolikokrat, kolikorkrat je mogoče; ako bi dobili ostanek, ki je manjši od kubičnega metra, položili bi v njega kubični decimeter tolikokrat, kolikorkrat je mogoče; naslednji ostanek bi istotako izmerili s kubičnim centimetrom. Na ta način bi zvedeli, koliko kubičnih metrov, decimetrov in centimetrov meri šolska soba. Toda tako neposredno mer¬ jenje prizmine prostornine je premudno in dostikrat celo ne¬ mogoče; zato določamo prizmino prostornino posredno tako, da jo izračunamo iz merskih števil daljic in ploskev, od katerih je odvisna. Dve prizmi, ki imate jednaki prostornini, imenujemo prostorno jednaki. 1. Prostornina pravokotnega paralelepipeda. Načrtujmo pravokotni paralelepiped (slika 74.), katerega osnovna roba merita 4 dm in 3 dm, obstranski rob pa 5 dm\ Osnovna ploskev temu paralelepipedu je pravokotnik, katerega 71 ploščina znaša 4X3= 1 2 kvadratnih decimetrov. Ako po¬ ložimo na osnovno ploskev 12 kubičnih decimetrov, pokrijemo jo popolnoma; v paralelepipedu dobimo plast, ki je 1 dm visoka. Na to prvo plast moremo položiti drugo, ravno tako veliko in visoko plast, t. j. plast, katero sestavlja 12 dm 3 . Ce ponavljamo tako po¬ laganje kubičnih deci¬ metrov v pravokotni pa- ralelepiped, dobimo v njem toliko jednakih pla- stij, kolikorkrat se na¬ haja višina jedne plasti v paralelepipedovi višini, t. j. pet plastij. Paralele- pipedova prostornina znaša torej 5 krat 12 = 60 kubičnih decimetrov. Iz navedenega umo¬ vanja smemo izvajati ta le izrek: Mersko število za prostornino pravokotnega pa- ralelepipeda najdemo, ako pomnožimo mersko število osnovne ploskve z merskim številom njegove višine. Ali krajše: Prostornina pravokotnega paralelepipeda je jednaka produktu iz osnovne ploskve in višine, v znakih /fc = 0 X v. Slika 74. Ker izračunamo osnovno ploskev iz dveh osnovnih stika¬ jočih se robov, in ker je višina jednaka obstranskemu robu, smemo tudi reči: Prostornina pravokotnega paralelepipeda je jednaka produktu treh stikajočih se robov, v znakih k — a X h X c. Vsako kocko smemo smatrati za pravokotni paralelepiped. Kako izračunaš Navedeno umovanje velja torej tudi o kocki. Ker so kockini pr £Xmino robi jednaki, dobimo za njeno prostornino obrazec k — s K 72 Kockina prostornina je jednaka tre tj i potenci njenega roba. Prostornini dveh kock ste sorazmerni s tret¬ jima potencama njunih robov, v znakih lc 1 : Jc 2 = s y 3 : s 2 3 . Kako so odvisne Ker je 1 m = 10 dm — 100 cm — 1000 mm, najdeš po jed note telesne l l • , , , pravilu za kockino prostornino: mere druga od r * druge ' lm 3 = 1000 dm 3 = 1,000.000 cm 3 = 1000,000.000 mm 3 , 1 dm 3 — 1000 cm 3 = 1,000.000 mm 3 , 1 cm 3 = 1000 mm 3 . Kubični decimeter se rabi tudi kot mera za tekočine in se imenuje v tem slučaji liter (T) ; 100 l je 1 hektoliter (hi). 1 l = 1 dm 3 , 1 hi — 100 l — 100 dm 3 = 0• 1 m 3 . 2. Prostornina pokončne prizme. Prizma se stvori, ako se porniče določena ploskev (osnovna ploskev) vzporedno s seboj po prostoru do neke nove lege. Med tem pomikanjem ostane velikost osnovne ploskve vedno ista, izpreminja se le njena razdalja od prvotne lege (t. j. prizmina višina). Ravno tako, kakor se veča ta razdalja, mora se večati tudi prizmi Od česa je od- prostornina. Kajti če postane razdalja dve-, tri-, štirikrat . . . prostornina tolika, dobimo v prizmmi prostornim oziroma dve-, tri-, štiri¬ krat . . . toliko manjših prizem, ki imajo jednake osnovne ploskve in jednake višine in se dad6 vsaj v mislih druga v drugo položiti tako, da se stikajo vse njih mejne ploskve. Priz¬ mina prostornina je torej odvisna od prizmine višine. Razume se samo po sebi, da je prizmina prostornina odvisna tudi od velikosti premikajoče se osnovne ploskve; čim večja je osnovna ploskev, tem več prostora mora zavzimati. Mislimo si dve prizmi, ki imate jednaki osnovni ploskvi in jednaki višini (slika 75.)! Ako razdelimo višini obeh prizem na istotoliko jednakih delov, in ako napravimo skoz vsako razdelišče vzporedni presek, dobimo iz vsake prizme istotoliko manjših prizem (plastij); vse te plasti imajo jednake osnovne ploskve in jednake višine. Navedeno deljenje prizem ponavljamo lahko (vsaj v mislih) tako dolgo, dokler ne postanejo posamezne plasti neizrečeno tanke. Te plasti so podobne prizmam, ki imajo neizrečeno majhno višino; imenovati jih hočemo prvotne 73 plasti. Ker se v prvotnih plasteh že skoro stikate spodnja in zgornja ploskev, smemo trditi, da so prvotne plasti obeh prizem prostorno jednake. Vsako izmed prizem v sliki 75. sestavlja potem istotoliko prvotnih plastij, ki so med seboj prostorno jednake. Slika 75. prostornino pokončne prizme. Iz navedenih pojasnil smemo izvajati to-le osnovno resnico: Dve prizmi, ki imate jednaki osnovni ploskvi Kavaiieri jevo i n j e d n a k i višini, ste prostorno jednaki. Grundsatz oder Ta osnovna resnica (Kavalieri-j evo načelo) ne velja das Princip von samo o pokončnih prizmah, temveč o vseh prizmah sploh. Po Kavalieri-jevem načelu je vsaka prizma prostorno Kako izračunaš jednaka pravokotnemu paralelepipedu, ki ima jednako osnovno ploskev in jednako višino kakor prizma. Prizmino prostornino izračunaš torej po istem pravilu, po katerem določiš prostornino pravokotnega paralelepipeda. Prizmina prostornina je jednaka produktu iz osnovne ploskve in višine, v znakih k = 0 X v - Prostornini dveh prizem z jednakima osnov¬ nima ploskvama ste si kakor njuni višini. Kajti iz obrazcev k 1 = OXv 1 in £ a = O X najdeš sorazmerje ^1 1 — - Vi 1 V 2 * Prostornini dveh prizem z jednakima višinama ste si kakor njuni osnovni ploskvi, v znakih k x : k 2 = 0 1 : 0 3 - 74 Valj = der Cylinder. Kako nastane valj. Valjev prostor = der cylindrische Raum. Valjeva ploskev = die Cylinderflache. Tvornica = die erzeugende Gerade. Vodnica = die Leitlinie oder der Leitkreis. Osnovni ploskvi. Plašč. Višina. Os = die Achse. Valjeva stranica = die Seitenlinie des Cylinders. § 33. Valj v obče. Ako se krožna ploskev pomika po prostoru do neke nove lege tako, da ostane vedno vzporedna s svojo prvotno lego in da drči središče O po določeni daljici 00' (slika 76. I.), nariše krožnica krivo ploskev (valjevo ploskev ali valjev plašč), krožna ploskev načrta telo (valj), in posamezne točke v krožnici narišejo vzporedne in jednake daljice (valjeve stranice). Slika 76. Valj nastane tudi na drug način. Ako drči premica CC' (slika 76. II.) po obodu določenega kroga tako, da ostane vedno vzporedna s svojo prvotno lego, načrta krivo ploskev (valjevo ploskev). Ta ploskev oklepa na dve nasprotni strani ne¬ omejen prostor, ki se imenuje valjev prostor. Ako presečemo valjev prostor z vzporednima ravninama, dobimo valj. Premico, ki nariše valjevo ploskev, imenujemo tvornico, krožnico pa, po kateri drči tvornica, zovemo vodnico. Valj je telo, katero meje dva vzporedna in jednaka kroga in ob straneh kriva ploskev. Kroga se imenujeta osnovni ploskvi, kriva ploskev ob straneh pa se zove v a 1 j c v plašč. Razdalja osnovnih ploskev (t. j. pravokotnica, spuščena od jedne osnovne ploskve na drugo) je valjeva višina. Daljici, ki spaja središči osnovnih ploskev, je ime os, in tistemu delu tvornice, ki leži med osnovnima ploskvama, pravimo valjeva stranica. Valjeve stranice so vzporedne in jednake osi. 75 Valj je ali pokončen ali poševen. Pokončen je valj, ako stoji njegova os pravokotno na osnovni ploskvi, sicer pa je poševen. V pokončnem valji so višina, os in stranice med seboj jednake; v poševnem valji so stranice jednake osi, višina pa je manjša od osi. Pokončen valj stvorimo, ako zavrtimo pravokotnik okoli jedne stranice. Tisti pokončni valj, v katerem je premer osnovne ploskve jednak stranici, imenuje se jednakostraničen (slika 77. L). Ako presečemo valj z ravnino, ki je vzporedna z osnovno ploskvijo, do¬ bimo vzporedni pre¬ sek; lik tega preseka je krog, ki je jednak osnovni ploskvi. Če pa presečemo valj z ravnino, ki ni vzpo¬ redna z osnovno ploskvijo, ki pa zadeva vse valjeve stranice, dobimo za presek podolgovato krivo črto, ki se imenuje elipsa (slika 77. II.). Ako položimo ravnino skoz os, nastane osji presek. Liki osjih presekov v pokončnem valji so skladni pravokotniki; liki osjih presekov v poševnem valji so poševno- kotni paralelogrami; liki osjih presekov v jednakostraničnem valji so jednaki kvadrati. Primerjaj sliki 76. in 77.1 Ako prerežemo plašč pokončnega valja po neki stranici, ga odvijemo in razgrnemo v ravnino, do¬ bimo pravokotnik, katerega osnovnica je jednaka obodu osnovne ploskve, in kate¬ rega višina je jednaka va¬ lj e vi stranici. Mrežo pokonč¬ nega valja sestavljata dva jednaka kroga, ki se dotikata pravokotnika, čegar osnovnica je jednaka 3 hkrat¬ nemu krogovemu premeru (slika 78.). Slika 78. Pokončni in poševni valj = der gerade und schiefe Cylinder. Jednakostranični valj = der gleichseitige Gylinder. Vzporedni presek. Poprečni presek. Elipsa = die Ellipse. Osji presek = der Achsenschnitt. Odviti valjev plašč. Valjeva mreža. 76 plašč in površje pokončnega valja. Sorodnost med Ako primerjamo pojasnila pri valji pojasnilom pri prizmi, in'prizmo spoznamo takoj sorodnost teli dveh teles. Valj smemo sma¬ trati za prizmo, kateri ste osnovni ploskvi pravilna mnogokotnika z brezštevilno mnogimi stranicami § 34. Površje in prostornina pokončnega valja. Površje in prostornino pokončnega valja izračunamo po istih občnih pravilih, katera smo navedli pri prizmi. Kako izračunaš 1. Površje. Površje p o k o n č n eg a v a 1 j a d o 1 o č i m o, ako prištejemo dvojni osnovni ploskvi plašč, v znakih P — 2 O -j- p, O = 7' 2 7T. Plašč pokončnega valja najdemo, ako pomno¬ žimo obod osnovne ploskve s stranico, v znakih p — 2 r n . s. Pri jednakostraničnem valji izpremenijo se nave¬ deni obrazci v 0 — r 2 n, p=ir 2 7t, P — 6r 2 n. Primerjaj osnovno ploskev, plašč in površje jednako- straničnega valja, ter povej in zapiši, kako sta si osnovna ploskev in plašč, osnovna ploskev in površje, plašč in površje! Kako sta si plašča, oziroma površji dveh jednakostraničnih valjev? 2. Prostornina. Valjeva prostornina je jednaka produktu iz osnovne ploskve in višine, v znakih k = r 2 n . v. Prostornino jednakostraničnega valja izraču¬ namo po obrazci , , k = r n . 2r — 2r 8 n. Prostornini dveh val jev z jednakima osnov¬ nima ploskvama ste si kakor njuni višini, v znakih k 1 \k i — : v a . Prostornini dveh valjev zjednakima višinama ste si kakor kvadrata njunih polumerov, v znakih k j : k 2 — Y-y : r 2 • Prostornini d veh j ed nakos tran ičn i h valjev ste si kakor tretji potenci njunih polumerov, v znakih k t : k 2 = rp : tp. Kako izračunaš valjevo prostornino. 77 § 35. Piramida v obče. Ako se vrti polutrak O A (slika 79.) okoli svojega kra- jišča O in ob jednem drči po obsegu določenega mnogokotnika ABCD, dokler ne pride v svojo prvotno lego, nariše vrteči se polutrak toliko ravnin, kolikor stranic ima mnogokotnik. Te ravnine oklepajo na jedno stran neomejen prostor, ki se zove telesni ogel ali piramidast prostor. Vrteči se polutrak imenujemo tvornico, obseg določenega mnogokotnika, po ka¬ terem drči tvornica, pa zovemo vodnico. Ako presečemo pira¬ midast prostor z ravnino tako, da zade¬ nemo vse robe, stvorimo telo, ki se imenuje piramida. Piramido meji mnogokotnik in ob straneh toliko trikotnikov, kolikor stranic ima mnogokotnik. Mnogokotnik ime¬ nujemo osnovno ploskev, trikotnike ob straneh obstranske ploskve in vsoto vseh obstranskih ploskev pira¬ mid i n plašč. Presečnice osnovne ploskve z obstranskimi ploskvami so osnovni robi, presečnice po dveh sosednih obstranskih ploskev pa so obstranski robi. Točka O, v kateri se stikajo vsi obstranski robi in vse obstranske ploskve, zove se vrh ali teme. Pravokotnica O (J, spuščena iz vrha na osnovno ploskev, imenuje se višina. Višina vsake obstranske ploskve (n. pr. OE) se zove obstranska višina. Kolikero- stranični so ogli na osnovni ploskvi ? Kolikeroroben je ogel ob vrhu? Po številu obstranskih ploskev ali po številu obstranskih robov razločujemo tristranične ali trirobne, četvero- stranične ali četver or obne, . . . piramide. Ako so ob¬ stranski robi jednaki, imenuje se piramida pokončna, sicer pa poševna. Tista pokončna piramida, katere osnovna ploskev je pravilni mnogokotnik, zove se pravilna. V pokončni pira¬ midi je višinino podnožišče jednako oddaljeno od vseh oglišč osnovne ploskve in smatrati ga smemo za središče kroga, ki je osnovni ploskvi očrtan. Obstranske ploskve pokončne pira¬ mide so jednakokraki trikotniki, obstranske ploskve pravilne piramide pa so skladni jednakokraki trikotniki. Slika 79. Piramida = die Pyramide. Piramidast prostor = der pyramidale Raum. Tvornica. Vodnica. Osnovna ploskev. Obstranske ploskve. Plašč. Osnovni rob. Obstranski rob. Vrh ali teme = die Spitze oder der Scheitel. Višina. Obstranska višina = die Seitenhohe. Tristranična ali trirobna piramida. Pokončna, poševna in pravilna piramida. 78 Jednakorobna piramida = die gleichkantige Pyramide. Vzporedni presek. Lik vzporednega preseka je podoben osnovni ploskvi. Piramida, kateri so vsi robi jednaki, imenuje se jednakorobna. Ker so obstranski robi take piramide jednaki, da se osnovni ploskvi očrtati krog, in ker so tudi osnovni robi jednaki, mora osnovna ploskev biti pravilni mnogokotnik. Torej je vsaka jednakorobna piramida pravilna. Obstranske ploskve so skladni jednakostranični trikotniki. Ker meri vsak kot jednakostraničnega trikotnika 60°, in ker znaša pri vsakem oglu vsota vseh robovnih kotov manj ko 360°, morejo sestavljati ogel ob vrhu jednakorobne piramide ali trije ali štirje ali pet jednakostraničnih trikotnikov. Jednakorobne piramide so torej ali tri- ali četvero- ali p eter o st rani čn e. Ako presečemo piramido O ABC. . (slika 80.) z ravnino, ki je vzporedna z osnovno ploskvijo, dobimo za presek mnogokotnik DEF . . ., ki ima isto- toliko stranic kakor osnovna ploskev. Stranice mnogokotnika DEF ... so zaporedoma vzporedne s stranicami osnovne ploskve ABC . . . Povej, katere stranice so vzporedne in zakaj ! Koti mnogokotnikov DEF ... in ABC . . . imajo torej vzporedne krake v istem smislu in so zato jednaki, in sicer je <£ FDE — CAB,

,: t> 2 . Prostor ninidvehjed n a k os tranični h stožcev ste si kakor tretji potenci njiju pol um ero v, v znakih k l : k 2 — r, 3 : r./. § 39. Krogla v obče. Načrtajmo polukrog ABE (slika 88.) ter zavrtimo ga okoli premera A B tako, da se povrne v svojo prvotno lego! Med tem vrtenjem načrta polukrog krivo ploskev, kroglino ploskev, in vsaka v polukrogu ležeča točka, kakor n. pr. C , ali D i. t. d., nariše krožnico, kiji pravimo kroglin krog. Ali so vsi kroglini krogi jed- naki? Kateri je večji ? kateri manjši? Telo, katero omejuje kroglina ploskev, imenuje se krogla. Vsaka v kroglini ploskvi ležeča točka je od točke O jednako oddaljena. Kroglina ploskev je torej geometrijsko mesto vseh tistih točk, ki so od do¬ ločene točke v prostoru jednako oddaljene. Ta točka se zove središče krogline ploskve ali kroglino sre¬ dišče. Daljica, ki spaja točko krogline ploskve s središčem, imenuje se polu mer. Vsi polumeri jedne in iste krogle so jednaki. Daljica, ki spaja dve točki krogline ploskve, zove se tetiva; tista tetiva pa, ki gre skoz kroglino središče, imenuje Slika 88. A Krogla = die Kugel. Kroglina ploskev = die Kugelflache. Središče krogline ploskve ali krog¬ lino središče = der Mittelpunkt oderdas Gentrum der Kugelflache oder der Kugel. Polumer. Tetiva. Premer. 88 Trojna lega točke z ozirom na kroglo. Sre¬ diščna razdalja = der Central- abstand. Trojna lega pre¬ mice z ozirom na kroglo. Trojna lega rav¬ nine z~ozirom na kroglo. Dotikalna'rav¬ nina = die Beriihrungs- oder Tangential- ebene. Dotika- lišče = der Beruhrungs- punkt. Kroglin krog = der Kugelkreis. Največji ali glavni kroglin krog = der grofite Kugel¬ kreis oder der Hauptkreis. se premei’. Premer je dvakrat tolik kakor polumer. Vsi premeri jedne in iste krogle so jednaki. Z ozirom na določeno kroglo utegne imeti točka trojno lego. Točka leži znotraj krogline ploskve; v tem slučaji je daljica, ki spaja dotično točko s kroglinim središčem (središčna raz¬ dalja), manjša od polumera. Točka leži v kroglini ploskvi, ako je njena središčna razdalja jednaka polumeru. Točka leži zunaj krogline ploskve, ako ji je središčna razdalja večja- od polumera. Premica utegne s kroglino ploskvijo imeti ali dve ali jedno skupno točko, ali pa nima nobedne skupne točke. V prvem slučaji je pravokotnica iz kroglinega središča na dotično premico (središčna razdalja) manjša od polumera, v drugem jednaka polumeru in v tretjem večja od polumera. Tudi ravnina utegne z ozirom na določeno kroglo imeti trojno lego. Ako je pravokotnica iz kroglinega središča na dotično ravnino (središčna razjdalja) večja od polumera, nima ravnina s kroglo nobene točke skupne. Ce je središčna razdalja jednaka polumeru, ima ravnina s kroglo jedno skupno točko. Taki ravnini pravimo dotikalna ravnina, skupni točki pa dotikališče. Dotikalno ravnino stvorimo, ako n. pr. zavrtimo krog, ki mu je načrtana tangenta, okoli premera sto¬ ječega pravokotno na tangenti. V dotikalni ravnini se nahajajo vse tiste tangente, katere moremo načrtati skoz določeno točko krogline ploskve. Dotikalna ravnina stoji pravokotno na polumeru, načrtanem do dotikališča. — Ako je središčna razdalja manjša od polumera, ima ravnina s kroglo več skupnih točk; v tem slučaji pravimo: ravnina seče kroglo. Lik vsakega takega preseka je krog (kroglin krog). Krog¬ lini krogi so tem večji, čim bližje je presek središču. Največji kroglin krog je tisti, ki gre skoz kroglino središče. Pri¬ merjaj sliko 88.! Največji kroglini krogi se imenujejo tudi glavni kroglini krogi. Vsi glavni kroglini krogi jedne in iste krogle so jednaki. Polumer q kroglinega kroga izračunaš po Pitagorovem izreku iz središčne razdalje d tega kroga in iz kroglinega polu¬ mera r (slika 89.). () -> _ r t _ ^2 Slika 89. 89 Slika 90. A Ako presedemo določeno kroglo z vzporednimi ravninami, dobimo krogline kroge različnih velikostij in imenujemo jih kroge vzporednike. Primerjaj sliki 88. in 90.! Krogi vzpo¬ redniki so tem večji, čim manjša je njih središčna razdalja. Največji izmed krogov vzpo¬ rednikov je ravnik, ki gre skoz kroglino središče. Pre¬ mer AB, ki stoji pravokotno na krogih vzporednikih, zove se os, in osji kraj išči A in B se imenujete t e č aj a krogov vzporednikov. Vsi krogi vzporedniki imajo jedno in isto os in ista dva tečaja. Ako položimo skoz os krogov vzporednikov več rav¬ nin, dobimo krogline kroge, katere imenujemo polu- dnevnike ali meridijane. Vsi poludnevniki jedne in iste krogle so jednaki. Primerjaj sliko 90.! Na vsaki krogli je brez števila krogov vzporednikov in poludnevnikov. Vsak ravninski presek razdeli kroglo na dva dela, ki se imenujeta kroglina odseka. Krožna ploskev (osnovna ploskev) in del kroglinega površja (kroglina kapica) omejujeta vsak kroglin odsek. Višino krogline kapice (CA v sliki 91.) določimo, ako postavimo v središči osnovne ploskve pravokotnico na to ploskev ter jo podaljšamo do kroglinega površja. Kroglina odseka sta jednaka, kadar gre presek skoz kroglino središče; v tem slučaji pravimo odse¬ koma polukrogli. Ako pre¬ sedemo kroglo z dvema vzporednima ravninama, razpade krogla na tri dele, na dva odseka in na kroglino plast, t. j. tisti del krogle, ki leži med vzporednima ravninama. Kroglino plast Slika 91. A Krogi vzpored¬ niki = die Parallelkreise. Ravnik = der Aequator. Os = die Achse. Tečaj = der Pol. Poludnevnik = der Meridian. Kroglin odsek = der Kugel- abschnitt oder das Kugel- segraent. Kroglina kapica = die Kugel- kappe, Kugel- miitze oder Galotte. Polukrogla = die Halbkugel. Kroglina plast = die Kugel- schichte. 90 Kroglin pas = die Kugelzone. Sferiona razdalja = der spharische Abstand. mejita dva kroga (osnovni ploskvi) in del kroglinega po¬ vršja (kroglin pas). Razdalja med osnovnima ploskvama krogline plasti (t. j. CD v sliki 91.) se imenuje višina krogline plasti ali kroglinega pasa. Razdaljo dveh točk na kroglini ploskvi določimo, ako položimo skoz določeni točki glavni krog ter izme¬ rimo ali izračunamo manjši, med točkama ležeči lok tega kroga. To razdaljo imenujemo sferično raz¬ daljo dotičnih dveh točk. V sliki 92. predočuje lok CD sferično razdaljo točk C in D. Kroglina ploskev se ne da odviti in razgrniti v ravnino; zato se tudi njena mreža ne da načrtati popolnoma natanko. Slika 92. § 40. Prostornina in površje krogle. Primerjanje 1. Prostornina. Načrtajmo pravokotni jednakokraki tri- S ijenegfvaija°in" kotnik ABC (slika 93.) ter zavrtimo ga okoli premice (osi), poiukrogie glede ki gre skoz oglišče B in je vzporedna s kateto AC ! Tri- na prostornino, kotnik ABC načrta valj, ki je od zgoraj navzdol stožkasto Slika 93. izdolbljen. To telo hočemo primerjati glede na prostornino s polukroglo, katere polumer je jednak kateti trikotnika ABC. Osnovni ploskvi obeh teles ste ploščinsko jednaki, ker ste kroga jednakih polumerov. Ako presečemo vsako izmed teh teles z ravnino, ki je vzporedna z osnovno ploskvijo in od nje 91 jednako oddaljena, dobimo pri polukrogli krogi in krog in pri stožkasto izdolbljenem valji kolobar za presek. Ploščina polu- kroglinega preseka je Pl = Q = (»’ 2 — h*) jr, in ploščina preseka na izdolbljenem valji p =. r 2 n — q 2 tc = (: r 2 — Q‘)n — O' 2 — h, 1 ) n-. Primerjaj sliko 93.! Zakaj je o = h? Iz navedenih obrazcev spoznamo, da so vzporedni preseki na polukrogli in na stož¬ kasto izdolbljenem valji ploščinsko jednaki, ako so jednako oddaljeni od osnovnih ploskev. Če umujemo in sklepamo ravno tako, kakor smo storili pri piramidi, uvidimo, da sestavlja polukroglo in stožkasto izdolbljeni valj istotoliko prvotnih plastij, ki so zaporedoma po dve in dve prostorno jednake. Polukrogla je torej prostorno jednaka stožkasto izdolbljenemu valju. Pro¬ stornino tega valja pa najdemo, ako odštejemo od prostornine neizdolbljenega valja prostornino stožca, v znakih k = r 2 n . r — A r 2 rt. r = f r 2 n. Polukroglino prostornino izračunaš po obrazci Kako izračunaš „ kroglino prostor- k = f nino . in prostornino cele krogle po obrazci k — -f r 3 7r. Kroglina prostornina se d& tudi še drugače določiti. Ako načrtamo v mislih na krogli neizrečeno mnogo krogov vzporednikov in poludnevnikov, razdelimo kroglino površje na jako majhne dele p,, p 2 , p 3 i. t. d., ki si jih smemo misliti kakor zelo majhne ravne ploskve. Ce spojimo obseg vsake take ploskve s kroglinim središčem, razpade krogla na toliko piramid, na kolikor delov smo razdelili površje. Vsaki teh piramid je kroglin polumer višina. Ako izračunamo in seštejemo prostornine vseh piramid, najdemo kroglino prostornino, v znakih & = iPi ■ r + iP* ■ r + iPa • r + . . . = = i(Pi +P» + P» + • • -) r - Ker je vsota P i +P* +Ps + • • • jednaka kroglinemu površju, dobimo za kroglino prostornino obrazec k = \P.r, t: j. 92 Kako izračunaš kroglino površje. Občna osnovna resnica o pro¬ stornini dveh teles. Pravilno telo = der regelmaCige Korper oder das regulare Poly- eder. K r o g 1 i n a prostornina je jednaka tretjini pro¬ dukta iz površja in pol um er a. Prostornini dveh krogel ste si kakor tre tj i potenci njunih pol um e rov; kajti iz obrazcev k l = | r^ic in k 2 = f r^n dobimo sorazmerje _ ,. , k l : k% — v l v % . 2. Površje. Iz obrazcev k = ir 3 n in k — \P. r, ki smo jih našli za kroglino prostornino, določimo obrazec za kroglino površje, ako izjednačimo navedeni vrednosti za k, v znakih iP. r = frV, ter to jednačbo razrešimo z ozirom na neznanko P. P — 4r 2 ?r. Kroglino površje je jednako štirikratni ploščini največjega kroglinega kroga. Površji dveh krogel ste si kakor kvadrata njunih polumerov, v znakih P, : P 2 = r x *: r,\ Ako pregledamo in preudarimo umovanja, po katerih smo določili prostornino prizmi, piramidi in krogli, spoznamo to-le občno osnovno resnico: Dve telesi ste prostorno jednaki, ako ste njiju osnovni ploskvi ploščinsko jednaki, in ako so njiju vzporedni preseki v jednakih razdaljah od osnovnih ploskev ploščinsko jednaki. Ta občna resnica se imenuje Kavalieri-jevo načelo. § 41. Pravilna telesa. Telo se imenuje pravilno, ako ga meje skladni pravilni mnogokotniki, in ako so njega ogli skladni in pravilni. Ker znaša vsota vseh robovnih kotov pri vsakem oglu manj ko štiri prave kote, moremo iz jednakostraničnih trikot¬ nikov stvoriti le tri pravilne ogle, in sicer tri-, četvero- in peterorobni ogel. Kolika je vsota vseh robovnih kotov pri prvem, drugem in tretjem oglu? Telesa, na katerih se nahajajo omenjeni ogli, so tetraeder, oktaeder in ikozaeder. 93 Tetraeder ali četverec je tristranična jednakorobna piramida, katero meje štirje skladni jednakostranični trikotniki. Tetraeder ima šest robov in štiri trirobne ogle (slika 94. I.). Tetraedrovo površje je jednako štirikratni plo¬ ščini jednakostraničnega trikotnika, v znakih P = s 2 /Š. Ako spojimo podnožišče tetraedrove višine z jednim ogli- ščem osnovne ploskve, stvorimo pravokotni trikotnik, ki ima Slika 94. I 11 obstranski rob za hipotenuzo, tetraedrovo višino za jedno kateto in polumer kroga, ki je očrtan osnovni ploskvi, za drugo kateto. Po Pitagorovem izreku najdemo obrazec za tetraedrovo višino, v znakih r = riV 3 = il / > 3s = 9 6 s 2 9 * = 3 V e Tetraedrovo prostornino izračunaš po pravilu, ki velja o piramidini prostornini, v znakih k = g Ov k ■ZVi-M-iV* iv- Tetraedrovo mrežo sestavljajo štirje skladni jednako¬ stranični trikotniki (slika 94. II.). Tetraeder = das Tetraeder. Kako izračunaš tetraedrovo po¬ vršje, višino in prostornino. 94 Oktaeder = das Oktaeder. Kako izračunaš oktaedrovo po¬ vršje in prostor¬ nino. Oktaeder ali osmerec sestavljate dve četverostra- nični jednakorobni piramidi, ki imate skupno osnovno ploskev (slika 95. I.). Zakaj je osnovna ploskev četverostranične jed- nakorobne piramide kvadrat? Osem skladnih jednakostraničnih trikotnikov omejuje oktaeder. Koliko mejnih ploskev se stika v vsakem oglu? Koliko je robov, koliko oglov? Slika 95. I II Oktaedrovo površje je jednako osmerokratni ploščini jednakostraničnega trikotnika, v znakih P = 2 s 2 |/3. Višino BO = v če tver o str ani čn e j e dn ak or o bn e piramide izračunaš iz pravokotnega trikotnika AOB, v ka¬ terem je kateta AO = r jednaka polumeru kroga, ki je očrtan osnovni ploskvi (t. j. polovica kvadratove diagonale), v znakih = s 2 — r‘\ r — — [/2 Oktaedrovo prostornino najdeš, ako pomnožiš pro¬ stornino četverostranične jednakorobne piramide z dvema, v znakih - „ . „. _ k = 2.-3'- = 3- s *'iV 2 = W 2 - Oktaedrovo mrežo sestavlja osem skladnih jednako¬ straničnih trikotnikov (slika 95. II.). 95 Dvajset skladnih jedriakostraničnih trikotnikov omejuje ikozaeder = ikozaeder ali d vaj seterec. Izmed 3 X 20 = 60 trikotni- das Ikosaeder kovih stranic se stikate po dve v vsakem robu; ikozaeder ima torej 30 jednakih robov. Izmed 60 kotov, ki se nahajajo v 20 trikotnikih, tvori po pet kotov ikozaedrov ogel; ikozaeder ima torej 12 skladnih peterostraničnih oglov. Slika 96. Ikozaedru določiš površje, ako pomnožiš ploščino iednakostraničnega trikotnika z 20, v znakih P — 5 s‘ \ .3. Ikozaedrova prostornina se ne da izračunati na tej stopnji. Ikozaedrovo mrežo sestavlja 20 skladnih jednakostraničnih trikotnikov (slika 96. II.). Iz kvadratov moreš sestaviti le trirobni ogel. Ta ogel se nahaja na telesu, ki se imenuje heksaeder, šesterec ali kocka. O kocki smo govorili že pri prizmah. Vsak notranji kot pravilnega peterokotnika meri 108°. Iz treh skladnih pravilnih peterokotnikov se da napraviti pra¬ vilni ogel. Ta ogel se nahaja na telesu, ki se imenuje dodeka- rede ali dvanajsterec (slika 97.1.). Dvanajst skladnih das Dodokaeder pravilnih peterokotnikov omejuje dodekaeder. Koliko je robov, koliko oglov? D o d e k a e d r o v o p o v r š j e in p r o s t o r n i n a se ne daste izračunati na tej stopnji. Kako izračunaš ikozaedrovo po¬ vršje. Heksaeder ali kocka = das Hexaeder oder der Wiirfel. Dodekaeder = 96 Slika 97. II. predočuje dodekaedrovo mrežo. Iz pravilnih šesterokotnikov in drugih pravilnih nmogo- kotnikov se ne dajo napraviti telesni ogli. Zakaj ne? Pravilnih teles imamo torej samo pet. Slika 97. i n Središče pravil- V vsakem pravilnem telesu se nahaja neka točka, ki je de^Mittdpunkt j^nako oddaljena od vseh oglišč in jednako oddaljena od vseh des rcgeimafiigen mejnih ploskev. Ta točka se imenuje središče pravilnega Poiyeders. telesa, in smatrati jo smemo za središče krogle, ki je pravil¬ nemu telesu očrtana, oziroma v črtan a. Ako spojimo v mislih središče pravilnega telesa z vsemi oglišči, razpade telo na toliko pravilnih piramid, kolikor je mejnih ploskev. Vse te piramide so prostorno jednake. Zakaj? § 42. Prostornina teles, ki nimajo določene geometrijske podobe. Ako hočeš določiti prostornino posode ali kake votline, ki nima določene geometrij ske podobe, treba ti je posodo ali votlino napolniti z vodo, to vodo potem preliti v znano prizmatično ali valjasto posodo ter izmeriti, kako visoko sega voda. Prostornino trdnega telesa določiš, ako položiš telo v znano prizmatično ali valjasto posodo, vliješ toliko vode vanj, da je telo popolnoma pod vodo, ter zaznamuješ, kako visoko stoji voda. Potem vzameš dotično telo iz posode in izmeriš, za koliko se zniža gladina vode. 97 Namesto vode smeš rabiti tudi droben pesek. Ako je trdno telo skoz in skoz iste gostosti, moreš pro¬ stornino telesa izračunati iz njegove teže. Teža je dvojna, absolutna in specifična. Absolutna je teža, kadar povemo, koliko tehta telo ne oziraje se na prostor, ki ga zavzima. Specifična je teža, kadar povemo, koliko tehta prostorska jednota (1 dni 3 ) dotičnega telesa. Ce govorimo o teži telesa sploh, mi¬ slimo vsigdar na absolutno težo; specifično težo razumevamo le tedaj, kadar poudarjamo to izrecno. Ako izračunamo, kolikokrat se teža prostorske jednote nahajavteži telesa (izraženi v kilogramih), določimo, koliko kubičnih decimetrov zavzima telo. Absolutna in specifična teža = das absolute und specifische Gewicht. Matek, Geometrija. 7 Vadbe in naloge § i- Kaj je lik? Kaj likov obseg, kaj ploščina? Kedaj pravimo, da sta dva lika ploščinsko jednaka? (Pojasnilo, osnovni resnici.) a) Paralelogram in njegove občne lastnosti: notranji koti (njih vsota, suplementarni, jednaki); stranice (vzporedne, jednake, vzpored¬ nice med vzporednicama, pravokotnice med vzporednicama); diagonali (lastnost njiju presečišča). Vrste paralelogramov: romboid (koti, stra¬ nice, medsebojna lega diagonal); romb (koti, stranice, medsebojna lega diagonal, somernici, včrtani krog); pravokotnik (koti, stranice, med¬ sebojna lega in dolgost diagonal, somernici, očrtani krog); kvadrat (koti, stranice, medsebojna lega in dolgost diagonal, somernice, očrtani in včrtani krog, središče). Kedaj sta dva paralelograma ploščinsko jednaka? Kedaj je po- ševnokotni paralelogram ploščinsko jednak pravokotniku? Kako se prepričaš o tej lastnosti? b) Trikotnik in njegove občne lastnosti: razmere med strani¬ cami (vsota in razlika dveh stranic z ozirom na tretjo); razmere med koti (med notranjimi, med notranjimi in vnanjimi, med vnanjimi); razmere med nasprotnimi sestavinami (jednake in nejednake stranice in njim nasprotni koti). Daljičina in kotova somernica in njiju last¬ nosti. Vrste trikotnikov: jednakostranični trikotnik (stranice, koti, somernice, središče); jednakokraki trikotnik (osnovnica, kraka, kota na osnovnici, kot ob vrhu, somernica); raznostranični trikotnik (stra¬ nice, osnovnica, vrb, višina, straničine in kotove somernice, očrtani in včrtani krog); ostrokotni trikotnik (koti in nasprotne stranice); pravokotni trikotnik (hipotenuza, kateti, komplementarna kota, naj¬ večja stranica, kedaj je jedna izmed katet jednaka polovici hipote- nuze?); topokotni trikotnik (koti in nasprotne stranice). Skladni tri¬ kotniki: v čem se ujemajo? istoležne sestavine, izreki o skladnosti. Kedaj je trikotnik jednak polovici paralelograma? Kedaj sta dva trikotnika ploščinsko jednaka? Kako se prepričaš o teh lastnostih? 99 c) Trapez in njegove lastnosti: vzporedne in nevzporedne stra¬ nice, koti na vzporednicah, trapezova srednica. Jednakokraki trapez in njegove lastnosti: kraka, koti na vzporednicah, koti na krakih, nasprotni koti. Kedaj je trapez ploščinsko jednak trikotniku? Kako se prepričaš o tej lastnosti? d) Kako sta si četverokotnik s pravokotno stoječima diagonalama in pravokotnik, ki ima diagonali tega četverokotnika za stranice? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Imenuj paralelograma, v katerih stojite diagonali pravokotno druga na drugi! V katerem trapezoidu stojite dia¬ gonali vselej pravokotno druga na drugi? Deltoid in njegove lastnosti: jednake stranice, jednaka kota, diagonala somernica, včrtani krog. e) Mnogokotnik in njegove lastnosti: vsota vseh notranjih kotov, diagonale iz jednega in istega oglišča. Pravilni mnogokotnik in nje¬ gove lastnosti: stranice, koti, središče, soinernice, očrtani in včrtani krog. Načrtovanje pravilnega mnogokotnika. Kateremu trikotniku je pravilni mnogokotnik ploščinsko jednak? Kako se prepričaš o tej lastnosti? f) in g) Krog, njega deli in lastnosti: krožnica (obod ali peri¬ ferija), lok (kvadrant, sekstant, oktant), krožnina, središče, polumer, tetiva, premer, odsek, izsek, polukrog. Lega točke (premice) z ozirom na krog, središčna razdalja točke (premice) z ozirom na krog, do- tikalnica, dotikališče, sečnica. Načrtovanje dotikalnice. Tetiva in njena središčna razdalja. Obsrediščni in naobodni koti, njih mera, kot v polukrogu. Somernica (krogova, tetivina in njej pripadajočih krogovih delov). Medsebojna lega dveh krogov: istosrediščna in raznosrediščna kroga, kolobar, središčnica, kroga sečeta drugi drugega, kroga se dotikata drugi drugega, kroga nimata nobedne skupne točke. Cernu je krogov izsek ploščinsko jednak? Cernu krožnina? Kako se prepričaš o teh lastnostih? Ponovi še vse vrste kotov in njih lastnosti! Sokoti, sovršni koti, protikoti, izmenični koti, pri koti, koti z vzporednimi kraki, koti s pravokotno stoječimi kraki. Merjenje kotov. § 2. ITalog-e. 1. Pretvori določeni a) ostrokotni, b) topokotni trikotnik v pravokotnega! 2. Pretvori določeni pravokotni trikotnik v jednak o k ra k ega! 3. Pretvori določeni topokotni trikotnik v drugega, ki ima a) večjo, b) manjšo osnovnico! 7 * 100 4. Pretvori določeni topokotni trikotnik v drugega, ki ima a) večjo, b) manjšo višino! 5. Pretvori določeni pravokotni trikotnik v drugega, ki ima a) večjo osnovnico, b) večjo višino, c) manjšo osnovnico, d) manjšo višino! 6. Načrtaj trikotnik s stranicami 4 cm, 3 cm in 2 cm ter ga pretvori: a) v jednakokraki trikotnik, ki mu meri osnovnica 5 cm ; b) v pravokotni trikotnik, kateremu meri kateta 3 cm; c) v trikotnik s kotom 60°; d) v trikotnik, ki mu meri osnovnica 35 mm; e) v trikotnik, ki je 26 mm visok; f) v trikotnik, ki mu meri kot 30°, osnovnica pa 3 cm; g) v trikotnik, ki mu meri kot 45°, višina pa 25 mm. (Pri nekaterih izmed navedenih nalog se nahaja dvoje pretvarjanj. N. pr. Na¬ logo a) razrešiš, ako pretvoriš določeni trikotnik v drugega z osnovnico 5 cm, tega pa v jednakokrakega.) 7. Pretvori določeni trikotnik v pravokotnik a) z jednako osnovnico, b) z jednako višino! 8. Pretvori določeni paralelogram v pravokotnik! 9. Pretvori določeni trapez a) v paralelogram z isto višino, b) v pravokotnik z isto višino! (Pri obeh nalogah je osnovnica neznanega paralelograma, oziroma pravokotnika jednaka trapezovi srednici.) 10. Pretvori določeni paralelogram (pravokotnik) v drugega a) z večjo osnov¬ nico, b) z večjo višino, c) z manjšo osnovnico, d) z manjšo višino! 11. Pretvori določeni paralelogram v kvadrat! (Pri tej nalogi je treba določeni paralelogram pretvoriti v pravokotnik, pravo¬ kotnik pa v kvadrat.) 12. Pretvori določeni trikotnik v kvadrat! Primerjaj nalogi 7. in 11.! 13. Pretvori določeni trapezoid v kvadrat! (Pri tej nalogi je treba trapezoid pretvoriti v trikotnik, trikotnik v pravo¬ kotnik, pravokotnik pa v kvadrat.) 14. Pretvori a) določeni peterokotnik, b) določeni pravilni šesterokotnik v kvadrat! § 3. IST a,l©g-e.. 1. Razdeli določeni trikotnik na 4, 5 jednakih delov! 2. Razdeli določeni paralelogram na 8 jednakih delov, in sicer a) z vzpored¬ nicami, b) iz določenega oglišča! 3. Razdeli določeni paralelogram na 5, 7 jednakih delov, in sicer a) z vzpo¬ rednicami, b) iz določenega oglišča! 4. Razdeli jednakokraki trapez na 3, 4 jednake dele! 5. Razdeli a) določeni deltoid na 5 jednakih delov, b) določeni trapezoid na 6 jednakih delov! 6. Razdeli določeno krožnino na 3, 8, 9, 10 jednakih delov! 7. Razdeli krogov izsek na 4, 8 jednakih delov! 8. Načrtaj paralelogram, ki je f- določenega paralelograma ABCD\ 9. Pretvori f- določenega trikotnika a) v pravokotnik, b) v kvadrat! 101 § d. Kako določimo premočrtnemu liku obseg? Kako izračunamo jednakostraničnemu liku obseg? Zapiši obrazec za ta slučaj ter povej pomen znakov, ki se nahajajo v obrazci! Katero mersko število se imenuje popolno, katero nepopolno? Kako dobimo nepopolno število? Kako ga zaznamujemo? Kolik je pogrešek, ki se nahaja v nepopolnem številu? Kedaj smemo številu pripisati ničle kot decimalke ali si pripisane vsaj misliti? Opiši kratko, kako se nepopolna števila seštevajo, in sicer: a) če so vsi sumandi nepopolna števila z istotolikimi decimalkami, h) če niso vsi sumandi nepopolna števila z istotolikimi decimalkami! Opiši kratko, kako množiš nepopolno število a) z jednoštevilčnim, b) z dvoštevilčnim, c) s trištevilčnim številom i. t. d.! Katera množitev se imenuje okraj¬ šana? Povej glavni razloček med navadno in okrajšano množitvijo! Kedaj se mora množitev zvršiti na okrajšani način? iTalogre. 1. V trikotniku merijo stranice: a) 8 • 7 dm, 6 • 52 dm, 5 • 9 dm ; b) 3f- »», 5-f m, 4f »»; c) 14-58 ..dm, 11-63 ..dm, 12-75..*»; d) 9-587 . .»», 7-48.. m, 10-614..»»; kolik je obseg ? 2. V pravokotniku je osnovnica o in višina v ; izračunaj obseg, ako znaša: a) o = 24-81.. dm, v — 13 75. . dm ; b) o = 8-95.. »», v = 5'486.. »»; c) o = 15-3765 m, v — 7-443. . m\ 3. Kolik je kvadratov obseg, ako meri stranica a) 6'578 »», b) 3'5846. . km, e) 13'59. . dm ? 4. V peterokotniku merijo stranice 4 536. .m, 3'87. . m, 4-92 m, 5'894. . m, in 6-125»»; kolik je obseg? 5. Kolik je obseg pravilnega šesterokotnika, ako znaša njegova stranica a) 13-56 .. dm, b) 3 -784.. m, c) 5'390..»»? 6. V pravilnem mnogokotniku je stranica s in število stranic n-, kolik je obseg, ako znaša: a) s = 1'78. . dm, n = 24, 36; b) s — 1 • 094. . m, n = 64, 96; c) s = 0'186.. m, n = 128, 384? 7. Ob ravni cesti stoji na vsaki strani 568 dreves; kako dolga je cesta, ako stoje drevesa po 9'78..»» vsaksebi? 8. Vlak preteče v jedni minuti 486 1 75 ..m ; koliko a) v 3 urah 48 minutah, b) v 18 urah 26 minutah? 102 § 5. Kaj določa- krog po velikosti popolnoma? Ali se da natanko ali le približno določiti, kolikokrat je krožnica večja od premera? Kako se to zgodi ? Povej Ludolfovo število! Kaj pomeni to število ? Ali je popolno ali nepopolno ? Kako ga zaznamujemo ? Kako iz¬ računaš krožnico? Kako izračunaš iz krogovega oboda premer? kako polumer ? Zapiši obrazec za krožnico, za premer, za polumer! Povej pomen znakov, ki se nahajajo v prvem obrazci! Kako zvršiš množitev, če je jeden izmed faktorjev nepopolno število? Kateri faktor vzameš za multiplikand? in zakaj? Kako na¬ tanko moreš določiti produkt? Kedaj ga določiš tako natanko kakor mogoče? kedaj nalogi primerno? Po čem se razlikujete množitvi v teh dveh slučajih? Kako zvršiš množitev, če sta oba faktorja ne¬ popolni števili? Kateri faktor ti je v tem slučaji multiplikand? Kako natanko določiš produkt v tem slučaji? Kedaj in kako se delitev zvrši na okrajšani način? Povej glavni razloček med navadno in okrajšano delitvijo! Kako določiš mestno vrednost prvi kvocijentovi številki? Kako natanko moreš določiti kvocijent pri okrajšani delitvi? Kedaj ga določiš tako natanko kakor mogoče ? kedaj nalogi primerno ? Kako prirediš določenemu divizorju prvi delski dividend ? Kako prirediš divizor in dividend drugega drugemu, če je treba določiti kvocijent nalogi primerno? Kako prirediš divizor in dividend drugega drugemu, če sta nepopolni števili? Iz česa spoznaš, da si zadnjo kvocijentovo številko določil približno? USTalog-e: 1. Kolik je krogov obod, če znaša premer a) 1 m, b) 4'56 dm, c) 37'68. . dm ? 2. Izračunaj krogu obod, če meri polumer a) 7'8 dm, b) 265’8.. cm\ B. Kolik je premer krogu, katerega obod znaša a) 18;2c«i, b) 1'543.. ml 4. Kolik polumer ima krog, katerega obod meri a) 275 dm, b) 339'2. . cm? 5. Kolik obod ima kazalo ure na zvoniku, če znaša njega premer l'96m? 6. Deblo ima na debelejšem konci 16 dm 2 cm v obsegu; kolik je premer? 7. Kolik je premer zemeljskega poludnevnika, ki meri 40.000 km ? 8. Kako dolgi so obroči štirih voznih koles, če meri polumer sprednjega kolesa 0'758. . m, zadnjega pa 0'994. . m? 9. Oboda dveh istosrediščnih krogov znašata 27'9 cm in 22'6 cm ; kako širok je kolobar? 10. Kako debela je cev, pri kateri meri vnanji obseg 1'57 m in notranji 1-413 m? 11. Vozno kolo se zavrti na 7500 (8675) m dolgi poti 2545krat (približno 2677'9krat); kolik je a) kolesov obseg, b) njegov premer? 103 12. Sprednje vozno kolo meri 1*2 m, zadnje 1*7 m v premeru; kolikokrat se zavrti prvo večkrat nego drugo na 4 km dolgi poti? (Izračunaj najprej, kolikokrat se zavrti sprednje, kolikokrat zadnje kolo.) 13. Koliko zobcev gre na kolo, ki ima 1*975 m v premeru, če je zobec od zobca (sreda zobca od srede zobca) 156 mm oddaljen? 14. Mlinsko kolo ima 24 lopat, ki so po 3 * 5 cim narazen; kolik je premer kolesu? 15. Kolik polumer ima okrogla miza, okoli katere sedi osem oseb, če se računa na vsako po 7*2 dtn vsega obsega? 16. Koliko dreves je moči nasaditi ob okroglem ribniku, ki ima 87 m v premeru, da bode drevo od drevesa po 4*5 m oddaljeno? 17. Pešcu je treba 10 minut, da obhodi okrogel ribnik, če prehodi vsako sekundo 1 m 2 dm\ kolik je premer ribniku? 18. Krogla, ki ima 92 mm v premeru, zavrti se na nekem kegljišči 36krat,; kako dolgo je kegljišče? 19. Kolikokrat se zavrti krogla, ki ima 8 cm v premem, na 16 m dolgem kegljišči ? 20. Kolo, katerega obseg meri 16 m, zavrti se vsako minuto 45krat; kolika je hitrost katerekoli točke na obodu, t. j. koliko metrov preteče v 1 sekundi ? (Koliko pot preteče točka na obodu, če se kolo zavrti jedenkrat? koliko, če se kolo zavrti 45krat? Koliko pot preteče torej točka na obodu v 1 minuti? koliko v 1 sekundi?) 21. Kolik premer mora imeti kolo, ki se zavrti vsako minuto 72 krat, da bode hitrost katerekoli točke na obodu znašala 21 m? (Koliko pot preteče točka na obodu v 1 sekundi? koliko v 1 minuti? Kolikokrat se je med tem zavrtelo kolo ? Koliko cele poti pride torej na jeden vrtež? In to je kolesov obseg.) 22. Kolo se zavrti v 1 minuti 20 sekundah 120 krat; kolik je premer kolesu, če znaša hitrost točke na obodu 21*98 m? 23. Kolikokrat se mora v 1 minuti zavrteti mlinski kamen, ki ima 1*35 m v premeru, da dobode točka na obodu hitrost 10'5 m? (Kamen se v 1 minuti tolikokrat zavrti, kolikokrat se njega obod nahaja v poti, katero preteče točka na obodu v 1 minuti.) § 6 . Na koliko načinov se dado meriti loki? Kako merimo loke z ločno mero ? Kaj je jednota ločni meri ? Kako merimo loke z dol- gost.no mero? Kako si moramo lok pretvoriti v mislih, da ga je moči izmeriti z dolgostim mero? Kaj je jednota dolgostni meri? Ali imajo ločne stopinje različnih krogov isto dolgost? Kedaj ima ločna stopinja večjo dolgost? kedaj manjšo? Kako izračunaš dolgost ločne stopinje? kako dolgost ločne minute in ločne sekunde? Kako sta si dva loka istega polumera? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Zapiši to lastnost v znakih! Kako sta si lok in polukrog? Zapiši ta izrek v znakih! Kako sta si lok in krogov obod? Kaj je moči izračunati iz obrazca, ki zaznamuje razmerje med lokom in polukrogom? 104 ^Talog-e: 1. Koliko meri a) ločna stopinja, b) ločna minuta, c) ločna sekunda na krogu, katerega polumer znaša 1 m (5 cm, 28 cm)? 2. Kako dolga je ločna stopinja na kotomeru, katerega polumer znaša a) 40 mm, b) 25 cm ? 3. Kolik mora biti polumer kroga, na katerem je ločna sekunda 1 mm dolga? 4. Kako dolg je lok 30°, 75°, 100°, 150°, 210° na krogu, katerega polumer znaša 24 m ? 6. Izračunaj dolgost loka a) 20° 45', b) 100° 12’ 36", če znaša polumer 1'8 dm ! 6. Izračunaj polumer kroga, na katerem je lok 36° jednak 10 m\ 7. Sekstant meri 4 cm ; kolik je polumer ? 8. Izračunaj polumer loka, kateri meri v dolgostni meri Z in v ločni meri a! a) l — 5'25 cm, b) l — 9'43 m, c) l — 7'3 dm a = 45° a = 72° 45' a = 35° 30'15''. 9. Koliko stopinj znaša lok, ki je 3 cm dolg, če meri polumer 20 cm ? 10. Izračunaj obsrediščni kot, ki pripada loku 75 cm (2'28 din), če znaša polumer 8 dm 1 11. Kako dolg je lok, ki pripada obsrediščnemu kotu 148° 37'45", če meri kotu 7° 40" pripadajoči lok 46'8 cm? 12. Na krogovem obodu, ki meri 19'954 m, leži lok5'414w< dolgosti; koliko znaša ta lok v ločni meri? § 7 . Kako določimo liku ploščino? Kako ga izmerimo neposredno, kako posredno? Kaj je mersko število lika? Kaj je jednota ploskovni meri ? Povej navadne ploskovne jednote ter zapiši njih znamenja! a) Kako določimo kvadratu ploščino? Kako izračunamo iz kva- dratove ploščine stranico? Zapiši obrazec za vsako teh dveh pravil! Kaj je ar, hektar, kvadratni kilometer, kvadratni miriameter? Imenuj vse ploskovne jednote, zapiši njih znamenja ter povej, kako so od¬ visne druga od druge! 2ST alog-e: 1. Izračunaj kvadratu ploščino, če mu meri stranica a) 27 cm, b) 6'45 dm, c) 9 • 807 m, d) 38 • 75.. dm ! 2. Kolika je kvadratova ploščina, če znaša obseg a) 2'58 m, b) 43'6 dm, c) 19-356.. m? 3. Kvadratova ploščina znaša a) 36-9664 m 2 , b) 14 a 49 m 2 25 dm 2 16 cm 2 , c) 349-390864 a, d) 8-5384. . m 2 , e) 678-52. .cm 2 -, kolika je stranica? 4. Kolika je a) vsota, b) razlika kvadratoma dveh daljic, ki merite 8'15 m in 6 m 3 dm ? 5. Kolika je stranica kvadrata, ki je tolik, kolikoršna sta kvadrata s stra¬ nicama a) 2'58 dm in 9-34 dm, b) 4-576. . m in 6'108. . m skupaj? 6. Koliko velja 12 kvadratastih steklenih plošč, ako meri stranica vsake plošče 4 • 8 dm in se računa m 2 po 6 K 80 h ? 105 b) Kako določimo pravokotniku ploščino? kako višino? kako osnovnico? Zapiši dotične obrazce! alcefe: 1. Izračunaj pravokotniku ploščino, ako meri a) osnovnica 7'4 m in višina 3'5 »», b) osnovnica 75 ' 4 dm in višina 26'82 ..din, c) osnovnica 3'125.. »a in višina 1 ■ 59. . »»! 2. V pravokotniku znaša a) ploščina 12 a in osnovnica Han, b) ploščina 424 m 2 80 dm 2 in osnovnica 35'4 m, c) ploščina 1205 m 2 in osnovnica 90'4. . »»; kolika je višina? 3. V pravokotniku znaša a) ploščina 33 dm 2 in širina 2 m, b) ploščina 556'634. . m 2 in širina 13'55 m, c) ploščina 90'9534. . m 8 in širina 178'34. . dm\ kolika je dolžina? 4. Pravokotnikov obseg meri 32'196 m in jedna stranica 5'1 ni ; kolika je ploščina ? 5. Kvadrat ima isti obseg kakor pravokotnik, katerega stranici merite 48 (6'24)«» in 32 (4'16)«»; kateri lik ima večjo ploščino? 6. Pravokotnik je 1'52 m dolg in 0'75»» širok; za koliko se mu zmanjša a) obseg, b) ploščina, če mu odrežeš okoli in okoli 0'19 m širok rob? 7. Pravokotnik je 2'52 m dolg in 1'2 m širok; za koliko se mu mora povečati širina, če se zmanjša dolžina za 0'24 m, da ostane ploščina ista? 8. A obzida kvadratast vrt, katerega stranica meri 23 »»; B pa ploščinsko jednak pravokoten vrt, katerega dolžina znaša 48 )»»; kateremu je treba več obzidja napraviti? 9. Stavbišče, ki je 52'2 m dolgo in 36'4 m široko, velja 14250'6 K; koliko velja m 2 ? 10. Njiva je 124 m dolga in 20 «» široka; koliko pšenice je treba za setev, ako se poseje na 1 ha 3 1 M ? 11. Sprednjo stran 25 m dolge in 13 m visoke hiše je treba pobarvati z oljnato barvo; koliko bo plačati, ako se računa za kvadratni meter 1 K 70 b in je treba za vrata in okna odbiti deseti del? 12. V vežo, 14'4 m dolgo in 3'2 »» široko, položijo se kamenite plošče; koliko plošč bo treba, ako je vsaka 3 dm dolga in 2 dm široka, in koliko bode veljal tlak, ako se plača za vsako ploščo z vlaganjem vred 2 \ K? 13. Streha je 34'1 m dolga in 5'6«i visoka; koliko je treba strešnih opek, ako so opeke po 24 cm dolge in 19 cm široke, in ako pokriva vsaka opeka sosedno opeko 35 mm počez in 42 mm po dolgem ? c) Kako določimo poševnokotnemu paralelogramu ploščino? kako višino? kako osnovnico? Zapiši dotične obrazce! a,log"e: 1. Osnovnica poševnokotnega paralelograma meri 151'4 in in višina 77'6 »»; kolika je ploščina? 2. Romboidova ploščina znaša 6 a 27'9875 m 2 ; kolika je osnovnica, če meri višina 23'85 ml 106 3. Ploščina poševnokotnega paralelograma znaša 1 a, osnovnica 16 m ; kolika je višina, ki pripada tej osnovnici? Kolika je druga osnovnica, če meri druga višina 12'8 m? 4. V poševnokotnem paralelogramu meri osnovnica 3 4 m in pripadajoča višina 1*5 m; kolik je obseg, če meri druga višina 3 m? 5. Kom boi d, katerega osnovnica meri 28 cm in višina 22 cm , je treba pre¬ tvoriti v ploščinsko jednak 16 cm visok pravokotnik; koliko meri pravokotni kova osnovnica ? 6. V rombu meri jedna stranica 52 (8*24) dm in jeden notranjih kotov 30°; kolika je ploščina? 7. V rombu meri višina 8*4 (17*8) dm in jeden notranjih kotov 30°; kolika je ploščina? d) Kako izračunaš trikotniku ploščino? kako osnovnico? kako višino? Zapiši dotične obrazce! 2STa,log*e- 1. V trikotniku znaša: a) osnovnica 47f- m, višina 19-g- m; b) » 2*345 m, » 1*724.. m; c) » 76*84.. dm, » 42*96.. dm\ kolika je ploščina? 2. Kolika je osnovnica trikotniku, ako meri: a) ploščina 9424 cm 2 , višina 1*52 m; b) » 4*3 m 2 , » 1*72 m? 3. Kolika je višina trikotniku, ako znaša: a) ploščina 8'58. . m' 2 , osnovnica 3*25.. m ; b) » 27*5625 m 2 , > 5*25.. m? 4. Kolika je ploščina pravokotnega trikotnika, ako merite kateti a) 7*02 m in 5*6 m, b) 83*06 dni in 65*83. . dm? 5. V pravokotnem trikotniku znaša: a) ploščina 0*7 a in jedna kateta 14 m; b) » 4 08 dm 2 » » » 34 cm ; kolika je druga kateta? 6. Dve trikotnikovi stranici merite 344 cm in 183 cm, in višina, ki pripada prvi stranici, 167*5 cm\ kolika je višina, ki pripada drugi stranici? 7. Dve trikotnikovi stranici, ki oklepate kot 30°, merite 48 dm in 36 dm ; kolika je ploščina? 8. V trikotniku meri osnovnica 7*25 m in višina 4*8 m; kolika je stranica ploščinsko jednakega kvadrata? 9. Trikotnik je ploščinsko jednak kvadratu z obsegom 98 m\ koliko meri trikotnikova osnovnica, ako znaša njega višina 12*8 m? 10. Trikotnik je ploščinsko jednak paralelogramu, katerega osnovnica meri 16 (15*2) m in višina 12*5 (8*4) m; kolika je trikotnikova osnovnica, ako znaša njega višina 20 (12) m? 107 11. Koliko velja trioglata plošča iz kovine, katere osnovnica meri 4*6 m , višina pa 3'2 in, ako telita m 2 14 kg in velja 1 kg 1 K 28 h ? 12. Njiva ima obliko pravokotnega trikotnika, katerega kateti merite 103 m in 67'6 m; koliko je njiva vredna, ako se računa ar po 22 K? e) Kako izračunaš trapezu ploščino? kako višino? kako vsoto obeh vzporednic? kako srednico? Zapiši dotične obrazce! IbTalog-e. 1. Izračunaj trapezu ploščino, ako merite: a) vzporednici 9*35 m in 8'25 m, višina pa 3*15 m\ b) » 24*6 m in 27*8 m, » » 15 64.. w! 2. V trapezu meri višina 3'7 (7J) w in srednica 5'2 (3■§■)«*; kolika je ploščina? 3. Trapezova ploščina znaša 1022 m 2 , višina pa 12 m; kolika je srednica? 4. V trapezu meri ploščina 340 (124'8) ni 2 , višina 5 (6'4) m in jedna vzpo¬ rednih stranic 12 (12*8) m; kolika je druga vzporedna stranica? 5. Kolika je dolžina 5'2 m širokega pravokotnika, kije ploščinsko jednak trapezu, katerega višina znaša 6'3 m, vzporednici pa 11 m in 9'4 m? 6. Travnik ima obliko trapeza, katerega vzporednici merite 168'42 m in 109'3 m, in katerega ploščina znaša 1'5 ha ; kolika je razdalja vzporednih stranic? 7. Dvorišče ima obliko trapeza, katerega vzporednici merite 20'4 m in 18'5 m in ste druga od druge oddaljeni 15 m; koliko kamenitih plošč je treba, da se pomosti dvorišče, ako meri vsaka plošča 25 dm 2 ? 8. Pri kamnoseku se naroči trapezasta plošča; njeni vzporednici morate meriti 1*9 m in 1'2 m, njiju razdalja pa 11 m; koliko velja plošča, ako se računa m 2 po 31 K 8 h? 9. Streha ima dve trikotniški ploskvi, dve pa trapezasti; trikotnika in tra¬ peza imata isto višino, namreč 3'6 m; osnovnica vsakega trikotnika meri 8 m, vzporednici vsakega trapeza pa znašate po 18 m in 10 m; koliko opek je treba, da se pokrije streha, ako meri vsaka opeka 5 dm 2 ? f) Imenuj nekatere četverokotnike, v katerih stojite diagonali pravokotno druga na drugi! Kako določiš ploščino četverokotniku s pravokotno stoječima diagonalama? Kako izračunaš iz ploščine in jedne diagonale drugo diagonalo? Kako določiš kvadratu ploščino iz diagonale? Kako izračunaš iz kvadratove ploščine njega diagonalo? Zapiši dotične obrazce! l^Talog-e. 1. Kvadratova diagonala meri a) 8*7 dm, b) 68'45 ni, c) 508'76.. »«; ko¬ lika je ploščina? 2. Kvadratova ploščina znaša a) 1 >« 2 , b) 2'89 m 2 , c) 17'25.. kolika je diagonala ? 3. Izračunaj rombu ploščino, ako merite diagonali a) 38'4 m in 25'6 m, b) 452'6. . m in 708'8. . mi 108 4. V rombu je ploščina = p in jedna diagonala = d ; kolika je druga diagonala? a) p = 2'44 m 2 , b) p = 209'55 dm 2 , c) p = 57210 m 2 d — 2'275 m d = 16'5 dm d — 286'4. . m. 5. Izračunaj deltoidu ploščino, ako merite diagonali a) 33 dm in 44 dni, b) 6'75.. m in 10'8m! 6. Deltoidova ploščina znaša 96 dm ' 2 (1643'52 m 2 ) in jedna diagonala 12 din (38'4); kolika je druga diagonala? 7. Kolika je ploščina četverokotnika s pravokotno stoječima diagonalama, ako znašajo razdalje vseh štirih oglišč od presečišča obeh diagonal po vrsti 42 dni, 38 dm, 15 dm in 55 dm ? g) Kako določiš pravilnemu mnogokotniku ploščino? Zapiši obrazec! iTalog-e. 1. V pravilnem mnogokotniku meri obseg 42'5 dni in polumer včrtanega kroga 0'84»«; kolika je ploščina? 2. Kolika je ploščina pravilnega peterokotnika, ako meri stranica 1'5 m, in ako je polumer včrtanega kroga približno 0'68819krat tolik kakor stranica? 3. Izračunaj ploščino pravilnega osmerokotnika (deseterokotnika), ako znaša stranica 8'25 dm, in ako je razstoj središča od stranice približno 1'20711 (1'53884) krat tolik kakor stranica! h) Kako določimo nepravilnemu mnogokotniku ploščino? ISTalog-e. 1. V trapezoidu ABCD meri diagonala AC — 5'24 (1'72)»», pravokotnici iz oglišč B in D na diagonalo AC znašate 3'56 (0 72) m in 2'35 (0'58) »k; kolika je ploščina ? 2. V peterokotniku ABCDE merite diagonali A C = 7'5 m in y1D = 8'2»j, razstoja oglišč B in D od diagonale AC znašata 3'2 m in 4'6 m; razstoj oglišča E od diagonale AD meri 2 5 m. Kolika je ploščina? 3. Načrtaj v šesterokotniku ABCDEF diagonalo AD in spusti iz oglišč B, C, E in F pravokotnice BB', CC', EE' in FF' na AD\ Kolika je ploščina šesterokotnikova, ako merijo BB’ — 15, CC’ = 30, EE' = 40, FF' — 22, AB' = 10, AF' = 20, AC' = 50, AE' = 60, AD = 90 cm? i) Kako izračunamo krogu ploščino? Kako izračunamo iz kro- gove ploščine polumer? Zapiši dotične obrazce! UST a-log"e. 1. Izračunaj krogu ploščino, ako meri polumer a) 3'7 dm, b) 83j dm ; c) 0'865.. m ! 2. Krogov obod meri a) 17'96 dm, b) 5'875 m, c) 6'154.. m-, kolik je polumer, kolika ploščina? 3. Krog ima a) 10 dm 2 , b) 0 8659 m 2 , c) 31'47.. cm 2 ploščine; kolik je njega polumer? 4. Kolik je obod kroga, katerega ploščina znaša a) 2464 m 2 , b) 654'68 cm 2 c) 17'5684.. dm 2 ? 109 0. Izračunaj polumer kroga, kateri ima toliko ploščino kakor kvadrat s stra¬ nico a) 2 m 3 dm, b) 0'875 m! 6. Kolika je stranica kvadrata, ki je ploščinsko jednak krogu s polumerom 5 • 6 dm ? 7. Nad daljico s — l'624 »i stoji polukrog in pravokotnik, katerega stranice se dotikajo polukroga; kolika je ploskev med polukrogoni in pravokotnikovim obsegom ? 8. Kvadratu s stranico 7'2 dm je včrtan krog; kolika je ploskev med krožnico in kvadratovim obsegom ? 9. Krogu s polumerom 5'4 dm je včrtan kvadrat; kolika je razlika obeh ploskev ? k) Kako določimo kolobarju ploščino? Kako najdemo kolobar- l'evo širino? Zapiši dotične obrazce! I>T a,log"e. 1. Polumera dveh istosrediščnih krogov merita a) 5'8 dm in 3'95 dm, b) 6'89. . dm in 4'73. . dm ; kolik je kolobar? 2. Izračunaj kolobar, ako znaša ploščina notranjega kroga 42'18 cm 1 (5'1445 m 2 ) in kolobarjeva širina 4 cm (0'994 m) 1 3. Izračunaj kolobar, ako merita oboda notranjega in vnanjega kroga 30 m in 40 m ! 4. Kolika je kolobarjeva ploščina, ako meri obod vnanjega kroga 162'7834 m in kolobarjeva širina 2'56 m? 5. Kako širok je kolobar, ako znaša njega ploščina 10 cm 2 (2'3 m 2 ) in polumer notranjega kroga 3 cm (0'6 m) ? 6. Kolik je polumer kroga, ki je ploščinsko jednak kolobarju s polumeroma 29 cm in 21 cm (1 dm in 6 cm)? l) Kako izračunamo ploščino krogovega izseka? Kako sta si izsek in krožnina? kako lok in krožnica? Ali sta si izsek in krož- nina tako, kakor sta si lok in krožnica ? Zapiši dotične obrazce! IŠT alog^e. 1. V krogovem izseku je a) r = 4 m, I = 5 m\ b) r — 16'8 m, l = 8'75 m; kolika je izsekova ploščina? 2. Polumer krogovega izseka meri »• in pripadajoči obsrediščni kot a; kolika je izsekova ploščina? a) r = 2'71 m, b) r = 0'25 m, c) r = 68'5 cm a = 63° a = 30° 18' a = 36° 36'36". 3. Ploščina krogovega izseka znaša p in pripadajoči obsrediščni kot a; kolik je polumer? a) p = 24 m 2 , b) p — 2 dm 2 , c) p = 0'276 m 2 , a = 40° a = 7° 12' a = 48° 17'30". 4. Ploščina krogovega izseka je p, polumer pa >•; kolik je pripadajoči obsrediščni kot? a) p = 7'9 cm 2 , b) p — 12300 dm 2 , c) p = 10'942 m 2 r — 8'3 cm ' r --- 164 dm r — 2'408 m. 110 5. Krog meri 35 m 2 , izsek pa 25 m 2 ; kolik je obsrediščni kot, b) polumer, c) pripadajoči lok? 6. Lok nekega kroga meri 1 m in pripadajoči izsek 1 m 2 ; a) kolik je polumer, b) koliko stopinj meri pripadajoči lok? § 8 . Kako se glasi Pitagorov izrek? Čemu je jednak kvadrat nad hipotenuzo pravokotnega trikotnika? čemu je jednak kvadrat nad vsako kateto pravokotnega trikotnika? Kako se prepričaš o resnici Pitagorovega izreka? Zapiši ta izrek v znakih! Zapiši, čemu je jednaka hipotenuza pravokotnega trikotnika, čemu kateta! iTalog^e. 1. Načrtaj kvadrat, ki je jednak vsoti 2, 3, 4 določenih kvadratov! 2. Načrtaj kvadrat, ki je 2-, 3-, 4krat tolik kakor določeni kvadrat! 3. Načrtaj kvadrat, ki je jednak razliki dveh določenih kvadratov! 4. Načrtaj kvadrat, ki je jednak polovici določenega kvadrata! (Načrta pravokotni jednakokraki trikotnik s pomočjo polukroga!) 5. Načrtaj kvadrat, ki je jednak vsoti (razliki) dveh določenih pravokotnikov (trapezov)! 6. Načrtaj kvadrat, ki je jednak vsoti treh določenih paralelogramov (tri¬ kotnikov)! 7. V pravokotnem trikotniku merite kateti a) 35 m in 12 m, b) 7'2<7«i in 3'84 dm-, kolika je a) hipotenuza, [3) ploščina, f) višina na hipotenuzo? (Višino na hipotenuzo najdeš, ako deliš dvojno ploščino s hipotenuzo.) 8. V pravokotnem trikotniku meri a) hipotenuza 68 dm, jedna kateta 32 dm, b) hipotenuza 5'46 m, jedna kateta 2'72 m; kolik je obseg, kolika ploščina? 9. Kvadratova stranica meri a) 9'3 dm, b) 0'276 »t; kolika je diagonala? (Kvadratova diagonala je hipotenuza pravokotnega trikotnika, katerega kateti ste kvadratovi stranici.) 10. Kvadratova diagonala meri a) 7 '5 dm, b) 90’8 cm -, kolika je stranica? 11. Kolika je diagonala 6"5 m dolgega in 3'3 m širokega pravokotnika? (Napravi sliko!) 12. V pravokotniku meri diagonala 73 dm, jedna stranica 4'8 dm-, kolika je stranica ploščinsko jednakega kvadrata? 13. V jednakokrakem trikotniku meri osnovnica 4'8 (16'8) dm in vsak krak 2'5 (20'5) kolika je a) višina, b) ploščina? (Napravi sliko ter poišči pravokotni trikotnik, iz katerega izračunaš višino!) 14. Kolik je obseg jednakokrakega trikotnika, katerega osnovnica meri 10'2 (3• 36) dm, višina pa 6'8 (4'25) dm ? 15. V jednakostraničnem trikotniku meri stranica a) 8'5 cm, b) 23'4 dm, c) 3’76. . dm-, kolika je a) višina, (3) ploščina? 16. V rombu merite diagonali a) 3'12 m in 1-3»», b) 2'26 dm in 1'75 dm ; kolika je stranica? 17. Kolik je rombov obseg, v katerem znaša ploščina 21 m 2 , jedna diagonala pa 35 dm ? 111 18. Izračunaj ploščino pravilnega šesterokotnika, katerega stranica meri a) 5'2 cm, b) 7'5 din ? 19. Krogu s polumerom 6 (Im je včrtan pravilni šesterokotnik; kolika je ploskev, ki leži med krožnico in šesterokotnikovim obsegom? 20. V krogu s polumerom 10'1 (l'97j dni meri neka tetiva 4 (3'9 ) dni kolika je njena središčna razdalja? 21. Kolika je tetiva v krogu s polumerom 29 (26'5) m, če meri njena sre¬ diščna razdalja 2 1 (2 ■ 3) m ? § 9. Kuj je mera, kaj mersko število določene daljice? Pojasni ta izraza s primerom! Kedaj iščemo razmerje dveh daljic? Kaj pomeni izraz «LM : NO », če ste LM in NO določeni daljici? Kako ime¬ nujemo LM. kako NO, kako ves navedeni izraz? Kaj je količnik ali kvocijent razmerja? Kam ga zapišemo? Kateri pomen ima količnik v obliki ulomka? Kedaj je količnik celo število, kedaj ulomek? Kako izrazimo razmerje dveh daljic s celima številoma? Kaj pomenite celi števili, s katerima izrazimo razmerje dveh daljic? Na koliko in na katere načine določujemo razmerje dveh daljic? Kako določimo raz¬ merje treh daljic? £TaJ.og-e. 1. Kedaj ste si dve daljici kakor a) 1 : 3, b) 2:5, c) 7:4? 2. Načrtaj dve daljici, ki ste v razmerji a) 2:3, b) 6:8, c) 2 : 1 j, d) li : lf. (Pri nalogi b) se določeno razmerje lahko okrajša, t. j. izrazi z manjšima šte¬ viloma; pri nalogah c) in d) je treba najprej določeni razmerji izraziti s celimi števili). 3. Načrtaj tri daljice, ki so si kakor a) 2:3:4, b) 2 : 2-g-: 3, c) 2-g-: 3-g-: 5 J (Določeno razmerje pri nalogi b), oziroma c), izraziš s celimi števili, ako pomnožiš tema razmerjema vsak člen z najmanjšim skupnim mnogokratnikom vseh imenovalcev, ki se nahajajo v dotičnem razmerji. Če imajo vsi členi razmerja kako skupno mero, se razmerje okrajša s to mero). § io. Katera razmerja imenujemo jednaka? Kedaj smemo razmerja izjednačiti? Kaj je sorazmerje? Koliko členov ga sestavlja? Katera člena sta notranja, katera zunanja? Kako pravimo četrtemu členu sorazmerja? Katero sorazmerje imenujemo stalno? Kako se zove notranji člen, kako četrti člen stalnega sorazmerja? Katere daljice imenujemo sorazmerne? Kedaj ste dve dvojici daljic sorazmerni? Ali je pri sorazmernih daljicah skupna mera prve dvojice jednaka skupni meri druge dvojice? Kako najdemo sorazmerne daljice? Ka¬ tere daljice se imenujejo istoležne? Ali so istoležne daljice sorazmerne? 112 USTalog - ©. 1. Načrtaj dve dvojici sorazmernih daljic! 2. Načrtaj tri, štiri dvojice sorazmernih daljic! 3. Načrtaj tri daljice, ki tvorijo stalno sorazmerje! 4. Izračunaj trem določenim daljicam a = 7 75 (0’25) m, b — 3 11 (2 'la) m in c = 10'54 (1) m četrto sorazmemieo! 5. Izračunaj daljicama a = 16 (113'6) cm in b = 20 (28'4) cm tretjo so- razmernico! 6. Izračunaj daljicama a = 4• 5 (27'9) dm in b = 24'5 (12'4) rim srednjo sorazmernico 1 § H- IŠT etlog-e. 1. Razdeli določeno daljico AB na 5, 7, 9 jednakih delov! 2. Razdeli določeno daljico A B v razmerji a) 3:8, b) 1^:2, c) 2: 2\: 3^! 3. Zmanjšaj določeno daljico AB v razmerji a) 6:5, b) 7:3! 4. Povečaj določeno daljico AB v razmerji a) 2:5, b) 4:9! 5. Načrtaj dve nejednaki daljici in potem dve drugi daljici, ki ste soraz¬ merni s prvima! 6. Načrtaj tri nejednake daljice ter jim poišči četrto sorazmernico! 7. Načrtaj dve nejednaki daljici ter jima poišči tretjo sorazmernico! § 12 . 2nT a,log-e. 1. Načrtaj dva kroga, katerih oboda sta v razmerji 2:3! 2. Načrtaj dva pravilna šesterokotnika, katerih obsega sta si kakor 3:4! 3. Razdeli določeni trikotnik a) na dva trikotnika, ki sta si kakor 3:5; b) na tri trikotnike, ki so si kakor 2:3:4! 4. Razdeli določeni paralelogram a) na dva paralelograma, ki sta si kakor 2:3; b) na tri paralelograme, ki so si kakor 4:5:6! 5. Razdeli določeni paralelogram iz ogliščp na dva dela, ki sta si a) kakor 1:3, b) kakor 2:5! 6. Razdeli določeni paralelogram iz oglišča na tri dele, ki so si a) kakor 2:3:5, b) kakor 4:3:2! 7. Načrtaj dva kroga, katerih ploščini ste v razmerji 16 : 25! 8. Načrtaj dva kroga in dva kvadrata, katerih ploščine so sorazmerne! 9. Stranici dveh pravilnih peterokotnikov merite a) in 7'7 dm, b) 0'65 m in 0'39 m; kako sta si obsega? (Izrazi razmerje z najmanjšima celima številoma!) 10. Polumera dveh krogov znašata a) 8'1 dm in 2'7 dm, b) 5'7 » in 3'8 m ; kako sta si a) oboda, b) ploščini ? 11. Osnovnici dveh paralelogramov (trikotnikov) merite 8 (8 • 4) dm in 4'2 (5 ■ 5) dm njiju višini pa 35 (33) cm in 25 (28) cm ; kako ste si ploščini ? 12. Ploščini dveh paralelogramov z isto osnovnico ste v razmerji 3:7; kolika je višina drugega paralelograma, če meri v prvem 5 dm 1 cm? 13. Ploščina nekega paralelograma, katerega osnovnica je 18 cm dolga, znaša 112 cm 2 ; kolika je ploščina drugega paralelograma z isto višino, če meri njegova osnovnica 2’7 cm? 113 14. Osnovnici dveh jednako visokih trikotnikov ste v razmerji 11 : 9; kolika je ploščina prvega trikotnika, če znaša v dragem 6 dm 5 30 cm a ? 15. Izmed dveh trikotnikov z isto osnovnico je prvi 3f-krat večji od dru¬ gega ; kolika je višina drugega trikotnika, če znaša v prvem 1 dm 2 mm ? 16. Ploščina nekega kvadrata znaša 36'75 dm 2 ; kolika je stranica drugega kvadrata, ki je 5 j,-krat večji od prvega? 17. Polumer nekega kroga meri 0 34 (5'7)«7«f; kolik je polumer drugega kroga, katerega ploščina je 9 (25)krat večja? 18. Polumer kroga, ki ima 165 25 (7‘82) m 2 ploščine, je r\ kolika je plo¬ ščina drugega kroga, katerega polumer je 1-| (10)krat večji? 19. Krogu meri polumer 5 8 dm\ kolik polumer mora imeti drug krog, da je njegova ploščina 2^ krat tolika? 20. Krog ima 315 mm v polumeru; kolik premer ima drug krog, ako je razmerje med ploščino tega in prvega kroga 9:4? § 13 . Katere lastnosti imata podobna trikotnika? V čem se ujemata, po čem razlikujeta? V kakšni zvezi so njiju koti, v kakšni stranice? Katere stranice so v podobnih trikotnikih istoležne? Kako najdemo najlažje določenemu trikotniku podoben trikotnik? 2^"a,log"e. 1. Načrtaj določenemu trikotniku podoben trikotnik ter zapiši v znakih, v kakšni zvezi so njiju koti, v kakšni stranice! 2. Načrtaj trikotnik, v katerem merijo stranice 21 (135), 35 (120) in 28 (85) mm, razdeli potem jedno izmed stranic v razmerji 3:4 (7:3), nariši skoz razdelišče vzporednico z drugo stranico ter izračunaj stranice nastalega podobnega trikotnika! 3. Načrtaj pravokotni trikotnik s katetama 48 mm in 55 mm, razdeli prvo kateto v razmerji 3 : 5, načrtaj skoz razdelišče vzporednico s hipotenuzo ter izračunaj stranice nastalega podobnega trikotnika! § 14 . Iz česa sklepamo na podobnost dveh trikotnikov? Ali sta dva trikotnika podobna, če se ujemata v dveh kotih? Kako se prepričaš o tej lastnosti? ^Talogre. 1. Načrtaj nad določeno daljico A'B' trikotnik A'B'C, ki je podoben dolo¬ čenemu trikotniku ABC\ (Nalogo razrešiš s pomočjo izreka o podobnosti dveh trikotnikov.) 2. Načrtaj določenemu trikotniku ABC podoben trikotnik A'B'C' tako, da bodo njiju istoležne stranice v razmerji a) 5:3, b) 4:7, c) •§■:•§•, d) 3f- : lij! (Pri teh nalogah je treba najprej zmanjšati, oziroma povečati osnovnico dolo¬ čenega trikotnika ABC v določenem razmerji; potem razrešiš te naloge kakor prejšnjo.) Matek, Geometrija. 8 114 3. Določi, ali sta a) dva jednakostranična, b) dva pravokotna jednakokraka trikotnika podobna! 4. Stranice nekega trikotnika merijo: AB — 9 dm , AC — 12 dtn in BC = S dm- v podobnem trikotniku A'B'C' meri stranica A r B r , ki je z AB isto- ležna, 6 dm. Izračunaj ostali dve stranici trikotnika A'B'C'1 5. V trikotniku, katerega stranice znašajo a = 7 dm , b = 7*7 dm in c = 8’4 dm, je prečnica d, ki je s stranico c vzporedna, 1 • 68 dm dolga; koliki so odseki, katere napravi prečnica na stranicah a in b? 6. V trikotniku ABC je AB : AC —2:3 in AB : BC =4:5; izračunaj razmerje med stranicama AC in BCl 7. Načrtaj dva podobna trikotnika, v katerih je razmerje med istoležnimi stranicami a) 2 : 3, b) 3 : 4, c) 7 : 3! 8. Vodoravna senca nekega stolpa meri 36 3 m, in senca navpične 1 m dolge palice znaša ob istem času 0'55 m; kako visok je stolp? § lo- Kako sta si obsega, kako istoležni višini dveh podobnih tri¬ kotnikov? Kako se prepričaš o teh lastnostih? 2STsbl©g r e. 1. V trikotniku meri osnovnica 2*5 dm in višina 3 dm ; kolika je višina po¬ dobnega trikotnika, če meri pripadajoča osnovnica 7 * 5 dm ? 2. Obseg nekega trikotnika znaša 185 w; kolik je obseg podobnega trikot¬ nika, če je razmerje dveh istoležnih stranic = 7 : 8 (5 : 3)? 3. Istoležni stranici dveh podobnih trikotnikov merite 1*2 m in 0'8 m; kolik je obseg drugega trikotnika, če meri obseg prvega 3*5 m? § 16 - Kako ste si ploščini dveh podobnih trikotnikov? Kako se pre¬ pričaš o tej lastnosti? ZbTa-log-e. 1. Istoležne stranice dveh podobnih trikotnikov so si kakor 2:3 (5:7). Ploščina prvega trikotnika znaša 5‘4 m 2 ; kolika je ploščina drugega trikotnika? 2. Osnovnica nekega trikotnika meri 14 m, ploščina pa 400 m 2 ; kolika mora biti osnovnica podobnega trikotnika, da bode njega ploščina 2 (3)krat tolika? 3. Obsega dveh podobnih trikotnikov znašata 0*54 m in 0*42 m; kolika je ploščina drugega trikotnika, če znaša v prvem 2*16m 2 ? 4. Ploščini dveh podobnih trikotnikov znašate 5*67 m 2 in 0*07 m 2 ; kolik je obseg drugega trikotnika, če znaša v prvem 10 * 2 m ? § 17 - Katere lastnosti imata dva podobna mnogokotnika ? V čem se ujemata, po čem razlikujeta? V kakšni zvezi so njiju koti, v kakšni stranice? Katere stranice, katere diagonale se imenujejo istoležne? S čim so istoležne diagonale sorazmerne? Kako si je treba dva po- 115 dobna mnogokotnika misliti sestavljena? Kedaj smemo trditi, da sta dva mnogokotnika podobna? Kako načrtamo najlažjo določenemu mnogokotniku podoben mnogokotnik ? £Ta-log"e. 1. Zmanjšaj določenemu peterokotniku vse stranice v razmerji 3:2! 2. Povečaj določenemu šesterokotniku vse stranice v razmerji 3:4! 3. Načrtaj dva podobna peterokotnika, katerih istoležne stranice so v raz¬ merji a) 4 : 5, b) 6 : 5! 4. Načrtaj določenemu šesterokotniku podoben mnogokotnik tako, da bodo njiju istoležne stranice v razmerji a) 4 : 3, b) 2 : 3! § 18 . Kako sta si obsega, kako ploščini dveh podobnih mnogokotnikov ? Kako se prepričaš o teh lastnostih? Kako načrta varno daljice, kijih izmerimo v naravi? Kaj pomeni merilo, po katerem je napravljen zemljevid ali slika? V kakšni zvezi je lik v sliki z dotičnim likom v naravi? Kako sta si taka lika? kako njiju stranice, kako obsega, kako ploščini? £Ta,log-e. 1. V sliki, napravljeni po merilu 1 : 2000, znaša razdalja dveh točk 82 mm ; kolika je razdalja teh točk a) v naravi, b) v sliki, napravljeni po merilu 1 : 5000? 2. Koliko meri daljica 1 km na zemljevidu, napravljenem po merilu 1 : 150000? 3. Na zemljevidu so razdalje treh točk A, B, C te-le: AB = 130 mm, BC = 190 mm, AC = 200 mm. Koliko km znašajo razdalje teh točk v naravi, če je zemljevid napravljen po merilu 1 : 200 000? 4. Razdalje treh točk A, B, C na polji znašajo: AB = 350 m, BC = 300 m, AC = 275 m; trikotnik, ki ga določujejo te točke, naj se načrta po merilu a) 1 : 2500, b) 1 : 5000! 5. Razdalje treh krajev A, B, C v naravi so: AB = 15 km, BC = 20 km, AC = 24: km. V sliki je zmanjšana daljica AC = 120 mm\ a) po katerem merilu je slika napravljena, b) koliko merite daljici AB in BC v sliki? 6. Določeni mnogokotnik naj se tako poveča, da postane njegova ploščina 4-, 9-, 16krat tolika; v katerem razmerji moraš povečati stranice tega mnogokotnika? 7. Istoležni stranici dveh podobnih mnogokotnikov ste s = 15 cm in = 12 cm. Kolika je ploščina drugega mnogokotnika, če znaša v prvem a) 1 dm 2 , b) 0*3325 m 2 ? 8 V sliki, napravljeni po merilu 1 : 100, znaša ploščina nekega mnogokot¬ nika 1*5423 dm 2 ; kolika je ploščina tega mnogokotnika a) v naravi, b) v sliki na¬ pravljeni po merilu 1 : 150? 9. Ako znaša stranica 1 cm, je ploščina pravilnega peterokotnika = 1*7205.. cm 2 , » » šesterokotnika = 2*5981.. cm 2 , » » osmerokotnika = 4'8285.. cm 2 , » » deseterokotnika = 7 * 6941. . cm 2 . Kolika je ploščina v vsakem slučaji, če meri stranica a) 1 dm, b) Sem, c) 1*3 dm, d) 2 34 m? 8 * 116 IbT a,log"e. 1. Načrtaj določenemu trapezoidu podoben četverokotnik tako, da razdeliš določeni trapezoid na trikotnike iz točke, ki leži a) v jednem oglišči, b) v jedni stranici, c) znotraj določenega t.rapezoida, in da bo razmerje po dveh istoležnih stranic = 3:5 (4:3)! 2. Načrtaj določenemu peterokotniku (šesterokotniku) podoben mnogokotnik po istih pogojih, ki se nahajajo v prejšnji nalogi! 3. Povej in zapiši obrazec za diagonalo določenega kvadrata! Kako najdeš ta obrazec? 4. Povej in zapiši obrazce: a) za višino in za ploščino jednakostraničnega tri¬ kotnika, b) za polumer kroga, ki je jednakostraničnemu trikotniku včrtan, oziroma očrtan! Kako najdeš te obrazce ? 5. Povej in zapiši obrazce: a) za ploščino pravilnega šesterokotnika, b) za polumer kroga, ki je pravilnemu šesterokotniku včrtan, oziroma očrtan! Kako najdeš te obrazce? 6. Povej in zapiši obrazec za stranico pravilnega šesterokotnika, ki je do¬ ločenemu krogu očrtan! Kako najdeš ta obrazec? 7. Povej in zapiši približno vrednost a) za "j/2, b) za l/3! 8. Stranica nekega kvadrata meri aj 5'87 dm, b) 3|- dm, c) 0'694.. w; kolika je diagonala? 9. Stranica jednakostraničnega trikotnika znaša 43'5 cm (852- . mm)-, kolika je a) višina, b) ploščina, c) polumer včrtanega in očrtanega kroga? 10. Stranica pravilnega šesterokotnika znaša a) 735 mm, b) 83-g- cm, c) 8'47.. dm ; kolika je ploščina, kolik polumer včrtanega kroga? 11. Polumer kroga meri 89 (71'6..) cm; kolika je stranica očrtanega pra¬ vilnega šesterokotnika? 12. Kolik premer ima krog, ki je ploščinsko jednak vsoti dveh krogov s premeroma 9'6 dm in 12 dm 8 cm? (Množenje z Ludolfovim številom smeš tukaj opustiti. Zakaj ?) 13. Kolik polumer je treba dati krogu, da bode njegova ploščina jednaka razliki dveh krožnin, ki imate polumera 8'5 dm in 51 cm? Primerjaj nalogo 12.1 14. Polumer kroga meri 41 cm; a) kolika je stranica včrtanega in očrtanega kvadrata? b) za koliko je krogov obod večji, oziroma manjši, nego sta obsega včrta¬ nega in očrtanega kvadrata ? 15. Kvadratu s stranico 43'5 cm je jeden krog včrtan, drugi pa očrtan; za koliko je kvadratova ploščina večja, oziroma manjša, nego ste ploščini včrtanega in očrtanega kroga ? 16. Krogu s polumerom 15 cm je včrtan in očrtan kvadrat; koliko meri ploskev med obsegoma obeh kvadratov? 17. Pravokotniku s stranicama 10'4 dm in 7'8 dm je očrtan krog; kolik je obseg podobnega pravokotnika, ki je temu krogu očrtan? (Načrtaj podobni pravokotnik s pomočjo diagonal in somernic določenega pravokotnika tako, da so istoležne stranice obeh pravokotnikov vzporedne! Po izreku, da so v podobnih trikotnikih istoležne stranice sorazmerne z istoležnimi viši¬ nami, najdeš stranice očrtanega pravokotnika.) 117 18. Kolika je razlika a) med obodoma, b) med ploščinama dveh krogov, izmed katerih je jeden očrtan, drugi pa včrtan jednakostraničnemu trikotniku z obsegom 45 cm? 19. Krogu s polumerom 1*9 dm je včrtan in očrtan pravilni šesterokotnik; koliko znaša razlika med ploščinama teh dveh mnogokotnikov ? 20. Kolik je polumer kroga, ki je ploščinsko jednak jednakostraničnemu tri¬ kotniku s stranico 1 • 8 dm ? 21. Kolik je premer kroga, ki je ploščinsko jednak pravilnemu šesterokotniku z obsegom 8*4 dm? 22. V jednakokrakem trapezu merite vzporednici 1*8 dm in 1*2 dm, kraka pa po 5 cm ; kolika je višina, kolika ploščina? (Razdeli določeni trapez na paralelogram in na jednakokraki trikotnik ter poišči temu trikotniku višino!) 23. V trapezu meri jedna vzporednica 33 dm , vsaka izmed ostalih stranic pa 17 dm ; kolika je ploščina ? Primerjaj nalogo 22.! 24. V pravokotniku meri diagonala 12 cm in kot, katerega oklepate diagonali, 60°; kolik je obseg? 25. Za koliko je ploščina kroga s polumerom r — 1 dm večja od ploščine včrtanega pravilnega šesterokotnika, in za koliko manjša od ploščine očrtanega kvadrata? 26. Kolika je ploščina krogovega odseka, katerega lok meri 60° (120°), polumer pa 5 (8*6) dm? (Ploščino krogovega odseka najdeš, ako odšteješ od ploščine pripadajočega izseka ploščino trikotnika, katerega omejujejo tetiva in dva polumera.) 27. Kolika je ploščina krogovega odseka, ki pripada a) kvadrantovi tetivi b) sekstantovi tetivi, če meri polumer 4 dm? Primerjaj nalogo 26.! 28- V krogu s polumerom 6 cm meri neka tetiva 4 cm\ kolika je tetiva, ki pripada za polovico manjšemu loku? 29. Krogu vzporedniku, ki gre skoz Dunaj, meri stopinja 74'314.. km ; kolik je polumer tega vzporednika? 30. Ljubljana ima 46° 3' zemljepisne širine; koliko kilometrov je od ravnika (ekvatorja) oddaljena, če meri poludnevnik 40000 km? § 20 . Kaj določuje premici lego v prostoru popolnoma? Ali morete dve različni premici imeti dve skupni točki? Kako spoznamo in se prepričamo o ploskvi, da je ravnina? Kedaj leži premica popolnoma v ravnini? Kaj določuje ravnini lego popolnoma? koliko točk, in kateri drugi stvori? Kako si pojasniš vsakega izmed teh slučajev? Kako nastane ravnina? Pojasni vse te slučaje s primernimi slikami! Kakšne ravnine razločujemo? Kaj je poluravnina in kako jo dobimo? Kaj je raven lik ali ravna ploskev? 118 § 21 . Kolikero medsebojno lego utegnete imeti dve premici v prostoru? Kedaj se sedete? Kedaj ste vzporedni? Kedaj ste navskrižni ali se križate ? Pokaži to trojno lego s pomočjo dveh ravnih palčic! Poišči v šolski sobi dve premici (ali dva roba), ki a) se sečete, b) ste vzporedni, c) ste navskrižni! Kako se morate pomikati dve premici po prostoru, da ne izpremenite svoje medsebojne lege? Kako se morata kraka določenega kota pomikati po prostoru, da ohrani kot svojo prvotno velikost? Kedaj so koti z vzporednimi kraki jednaki, kedaj suplementarni? Ali veljajo te lastnosti le o kotih v prostoru, ali tudi o kotih v jedni in isti ravnini? Načrtaj vse te slučaje a) za jedno in isto ravnino, b) za prostor! § 22 . Kolikero lego more imeti premica z ozirom na določeno rav¬ nino? Kedaj je premica vzporedna z ravnino? Kedaj seče premica ravnino? Kaj je podnožišče preme črte? Pokaži s pomočjo ravne deščice in ravne palčice glavni legi med premico in ravnino! Kolikero lego more imeti ravnina z ozirom na določeno ravnino? Kedaj je ravnina vzporedna z ravnino? Kedaj seče ravnina ravnino? Kaj je presečnica dveh ravnin? Kakšna črta je presečnica? Kako se pre¬ pričaš, da je presečnica dveh ravnin prema črta? Pokaži s pomočjo dveh ravnih deščic glavni legi med ravninama! § 23 . Kedaj pravimo, da stoji premica pravokotno na ravnini? Kako spoznaš to lastnost? Kako jo zapišeš v znakih? Koliko pravokotnic se da načrtati iz točke, ležeče zunaj določene ravnine, na to ravnino? Kako spoznaš to resnico? Kaj določuje razdaljo med točko in določeno ravnino? Katero lastnost ima razdalja med točko in dolo¬ čeno ravnino? Kakšno medsebojno lego imate daljici, ki stojite pravo¬ kotno na jedni in isti ravnini? Kedaj stojite vzporednici pravokotno na jedni in isti ravnini? Kako se prepričaš o teh lastnostih? Poišči v šolski sobi daljice, ki stojijo pravokotno na jedni in isti ravnini! § 24 . Kaj je vzmet točke na določeno ravnino? Kako ga najdeš? Kako najdeš vzmet daljice na določeno ravnino? Kateri trikotnik se imenuje vzmetni trikotnik? Kaj je naklonski kot določene daljice 119 proti določeni ravnini? Katero lastnost ima ta kot? Kako se pre¬ pričaš o tej lastnosti? Ali more naklonski kot biti večji ko 90°? Kedaj stoji daljica pravokotno na ravnini, kedaj poševno? Od česa je odvisna velikost vzmeta določene daljice na določeno ravnino? Kakšen postaja vzmet, če se veča, oziroma manjša naklonski kot? Kedaj je vzmet jednak daljici, kedaj jednak daljičini polovici? Kedaj je vzmet določene daljice = 0? Kako izračunaš vzmet določene daljice, če znaša naklonski kot 30°, 45°, 60 °? Kako izračunaš iz znanega vzmeta dolgost daljice, če meri naklonski kot 30°, 45°, 60 °? Kako določiš vzmet in naklonski kot daljice, ki leži popolnoma zunaj do¬ ločene ravnine? Kedaj imajo jednake daljice jednake vzmete? Kje ležijo podnožišča jednakih daljic, ki jih načrtamo iz iste točke na jedno in isto ravnino? Kako so vzporedne daljice naklonjene proti jedni in isti ravnini? Kako se prepričaš o teh lastnostih? £Ta,log"e. 1. Naklonski kot 1 m dolge palice proti določeni ravnini znaša O 8 , 30°, 45°, 60°, 90°; kolik je v vsakem slučaji vzmet? 2. Štiri daljice so po 0°, 30°, 45°, 60° naklonjene proti jedni in isti rav¬ nini; koliko meri vsaka teh daljic, ako znaša njen vzmet 1 m? 3. Kolik je vzmet daljice, ki je a) 3 dm, b) 15’7 cm, c) 8'64.. dm, d) 9f m dolga, če meri naklonski kot 30°, 45°, 60°? 4. Kako dolga mora biti daljica, da meri vzmet a) 5 dm, b) 3'9 m, c) 14 • 58. . dm, d) 13 % cm, ako znaša naklonski kot 30°, 45°, 60°? 6. Kolik je vzmet daljice l na določeno ravnino, ako ste daljičini krajišči po m in n dolgostnih jednot oddaljeni od te ravnine? a) l = S'b m b) l = 27'85 cm c) l = 4 72 ..dm m = 9 • 8 m m = 23 • 5 cm m = 8 • 96. . dm n = 8 ■ 1 m n — 8'46 cm n == 5 • 37.. dm 6. Kolika je daljica, katere vzmet meri p, ako ste daljičini krajišči po m in n dolgostnih jednot oddaljeni od vzmetne ravnine (t. j. ravnina, v kateri leži vzmet)? a) p = 30 cm b) p = 91 dm c) p = 26 m m — 31 cm m — 105 dni m = 133/, m n — 15 cm n = 45 dm n = 80 m § 25. Kedaj je presečnica dveh ravnin vzporedna z določeno premico? Kedaj je premica vzporedna z določeno ravnino? Ali je v tem slu¬ čaji premica tudi vzporedna s premicami, ki ležijo v določeni rav¬ nini, in s katerimi? Kako se prepričaš o teh lastnostih? Poišči v šolski sobi presečnico dveh ravnin, ki je vzporedna z določeno ravnino! 120 § 26. Kako nastane ploskovni kot ali klin dveh ravnin ali poluravnin? Kaj je ploskovni kot? Kako se imenujete ravnini, ki ga mejite? kako njiju presečnica? Kako zaznamuješ in zapišeš v znakih plos¬ kovni kot? Od česa je odvisna velikost ploskovnega kota? Kakšne ploskovne kote razločujemo? Kedaj je ploskovni kot oster (prav, top)? S čim merimo velikost ploskovnega kota? Kaj je naklonski kot dveh ravnin? V čem se razlikujeta naklonski in ploskovni kot dveh ravnin? Kaj določa naklonski kot? Kako ga najdeš? Kedaj stoji ravnina na ravnini pravokotno, kedaj poševno? Ali more naklonski kot dveh ravnin biti večji od 90 °? S čim merimo velikost ostrega in pravega ploskovnega kota? s čim velikost topega ploskovnega kota? § 27. Kako stvorimo ravnino, ki stoji na določeni ravnini pravokotno? Kako dve ali več takih ravnin? Kako si pojasniš to lastnost ? Kedaj stoji presečnica dveh ravnin pravokotno na tretji ravnini ? Katera ravnina se imenuje navpična, katera vodoravna? Koliko je navpičnih, koliko vodoravnih ravnin? Kakšno medsebojno lego imate navpična in vodoravna ravnina? Pokaži s pomočjo dveh ravnih deščic a) dve ravnini, ki stojite pravokotno druga na drugi, b) navpično in vodo¬ ravno ravnino! Poišči v šolski sobi ravnine za navedena slučaja! § 28. Kedaj stoji jedna in ista premica pravokotno na dveh ravninah? Kedaj stoji premica pravokotno na vzporednih ravninah? Kako si pojasniš to lastnost? Kakšno medsebojno lego imajo presečnice, ki ležijo v vzporednih ravninah? Kako najdeš take presečnice? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Kakšno dolgost imajo vzporednice, kakšno pravokotnice med vzporednima ravninama? Kako si pojasniš to last¬ nost? Kaj nam določa razdaljo dveh vzporednih ravnin? Kedaj se ne izpremeni naklonski kot med premico in ravnino? Kako se mora pomikati premica, kako ravnina? Kakšne naklonske kote tvori jedna in ista premica z vzporednimi ravninami? Kedaj se ne izpremeni na¬ klonski kot med ravninama? Kako se morate pomikati ravnini? Kakšne naklonske kote tvori določena ravnina z vzporednimi ravni¬ nami? Ali morete dve navpični ravnini biti vzporedni? Ali se morete sekati dve vodoravni ravnini? Poišči v šolski sobi a) vzporedne pre¬ sečnice, b) vzporednice med vzporednima ravninama, c) pravokotnice med vzporednima ravninama! 121 § 29. Kaj je telesni ogel? Kako se stvori? Kako se imenujejo ravnine, ki meje telesni ogel? kako njih presečnice? kako njih presečišče? Kateri koti se imenujejo robovni, kateri ploskovni? Kaj so stranice telesnega ogla? Koliko robov, koliko robovnib in koliko ploskovnih kotov se nahaja na telesnem oglu? Kako razvrščamo telesne ogle? Kaj so tri-, četvero-, peterorobniki? Kako imenujemo te ogle še drugače? Kateri ogli so jednakostranični, jednakokotni, pravilni, skladni, somerni? Kaj je mreža telesnega ogla? Kako jo stvorimo? Katero lastnost imajo robovni koti trirobnega ogla? katero pa robovni koti vsakega ogla? Kako se prepričaš o teh lastnostih? Poišči ogle v šolski sobi ter določi število obstranskih ploskev, robov, robovnih in ploskovnih kotov! Ali so robovni, oziroma ploskovni koti na teh oglih ostri, ali pravi, ali topi? Ali najdeš v šolski sobi dva skladna, dva somerna ogla? ^Talog^c. 1. Naertaj mrežo tri-, četvero-, peterorobnega ogla ter napravi iz te mreže dotični ogel! 2. Napravi iz mreže a) dva skladna, b) dva somerna trirobnika! 3. Napravi iz mreže pravilni trirobnik, v katerem merijo robovni koti a) po 60°, b) po 90 °! § 30. Kako nastane prizma? kako prizmatični prostor? Kaj je tvorniea, kaj vodnica prizmatičnega prostora? Katero telo se imenuje prizma? Kako se zovejo mejne ploskve na prizmi? Kakšni ste osnovni ploskvi? Kakšne so obstranske ploskve? Kaj so prizmini robi? Kateri robi so osnovni, kateri obstranski? Katero lastnost imajo obstranski robi? Kaj in kakšni so prizmini ogli? Povej razloček med oglom in ogliščem! Kaj je prizmina višina? Katera prizma je pokončna, katera poševna? Katera prizma se imenuje jednakorobna, katera pravilna? Kakšne prizme razločujemo z ozirom na število obstranskih ploskev ali robov? Kedaj je prizmina višina jednaka obstranskemu robu? kedaj je manjša od obstranskega roba? Kaj je paralelepiped? Kakšne paralelepipede razločujemo? Kateri paralelepiped je pravokoten? Kateri paralelepiped se imenuje kocka, kateri romboeder? Kakšne so mejne ploskve na pravokotnem paralelepipedu? kakšne na kocki? kakšne na romboedru? Kakšne preseke imamo na prizmi? Katera preseka sta med poprečnimi preseki najvažnejša? Kateri presek se imenuje 122 vzporeden, kateri pravokoten ali normalen? Ali more vzporedni presek biti ob jednern pravokoten, in kedaj? Kateri presek se zove diago¬ nalen? Povej, kakšen je lik vsakemu izmed omenjenih presekov! Kaj je paralelepipedova diagonala? Ali imajo ogli, katere spaja paralelepipedova diagonala, skupno mejno ploskev? Kako izračunaš diagonalo pravokotnega paralelepipeda ? kako kockino diagonalo? Koliko diagonal je v pravokotnem paralelepipedu in kakšne so? Kaj je prizmina mreža? Kako jo načrtaš? 2tT alog-e. 1. Načrtaj a) kockino mrežo, b) mrežo pravokotnega paralelepipeda, c) mrežo pravilne tri- in šesterostranične prizme! 2. Robi pravokotnega paralelepipeda merijo: a) a — 8 dm, b = 6 dm, c — 24 dm-, b) a = 24 cm, b — 29 cm, c = 48 cm ; c) a — 10'4 cm, b = 7'8 cm, c — 31-2 cm-, d) a = 5'52 dm, b = 6'67 dm, c = 11'04 dm. Kolika je paralelepipedova diagonala, in kolika je ploščina diagonalnega preseka, ki gre skoz rob c? 3. Kolika je kockina diagonala, in kolika ploščina diagonalnega preseka, ako meri rob a) 9 dm, b) 8'7 cm, c) 2'74 dm, d) 1-856.. ml 4. Kockina diagonala znaša a) 15 dm, b) 9 8 cm, cJ4’67 dm, d) 2'098. . m; kolik je rob in kolika ploščina diagonalnega preseka? § 31. Kaj je prizmino površje? kaj prizmin plašč? Kakšen lik stvo- rimo iz plašča pokončne prizme, ako ga odvijemo in razgrnemo v ravnino? Kaj je temu liku osnovnica, kaj višina? Kako izračunaš plašč pokončne prizme? Kako izračunaš prizmino površje? Kaj ti ostane, ako odšteješ dvojno osnovno ploskev od prizminega površja? Kako izračunaš osnovno ploskev iz površja in plašča? Kako izračunaš obstranski rob pokončne prizme iz plašča? Ali se da določiti iz plašča in obstranskega roba pokončne prizme osnovni rob? Kako najdeš kockino površje? Kako izračunaš kockin rob iz površja? Kako ste si površji dveh kock? IŠTalog-e. 1. Zapiši obrazce, po katerih izračunaš a) prizmin plašč, b) prizmino površje, c) kockino površje; razreši te jednačbe z ozirom na vsako občno število, ki se nahaja v njih, ter raztolmači dobljene rezultate! 2. Koliko je kockino površje, ako meri rob a) 78 cm , b) 6’49 dm, c) 18 \ cm, d) 2*569.. m ? 123 3. Izračunaj iz kockinega površja P rob! a) P — 365-04 cm*, b) P = 7166-3616 cm*, c) P — 4-5038. . m*. 4. Kako ste si površji dveh kock, ako merita njuna roba a = 7 (l '8) dm in b = 21 (5 "4) dm ? 5. Koliko je površje pravilne četverostranične prizme, ako znaša osnovni rob s in obstranski rob v ? a) s = 12 cm, p = 18 cm-, b) s = 3-8 dm, v = 16'5 dm; «0 s == 5-f m, v — l\ m. 6. Izračunaj osnovni rob pravilne četverostranične prizme iz višine v in plašča pl a) v = 2"05 m, p — 28'7 m 2 ; b) v = 43-5 cm, p = 53'418 dm*. 7. Izračunaj višino pravilne četverostranične prizme iz osnovnega roba s in površja Pl a) s = 7-3 cm, P = 204-62 cm*-, b) s = 15-6 dm, P = 10-73904 m 2 . 8. Koliko je površje pravokotnega paralelepipeda, kateremu sta a in b osnovna roba in c obstranski rob? a) a — 14 cm, b — 24 cm, c = 36 cm; b) a == 2|- dm, b — dm, c = 2§ rfm. 9. Pokončna tristranična prizma je » dm visoka in ima za osnovno ploskev pravokotni trikotnik, katerega kateti merite a dm in b dm; koliko je površje? a) » = 3-08, a = 2 72, b = 2 25; b) v = 24-6, a= 10-6, b = 20-8; c) v — 15-6, a = 9-72, b = 7-48. 10. Osnovna ploskev pokončne tristranične prizme je pravokotni trikotnik, kateremu je « jedna kateta in c hipotenuza; koliko je površje, ako je obstranski rob = v? a) a — 10'8 cm, c = 13’5 cm, v = 24'6 cm; b) a = 9-87 dm, c = 15'75 tfm., k = 19-4 rfm. 11. Pravilna tristranična prizma je v dm visoka; koliko je površje, ako znaša osnovni rob s dm ? a) v = 28, s — 15; b) v — 13'25, s — 6 • 7; cj v = 8-f, s = 2f-. 12. Izračunaj površje pravilne tristranične prizme, katere obstranski rob je jednak osnovnemu robu s! a) s = 36 cm ; b) s — 4-5 dm; cj s = 6f- dm. 13. Izračunaj višino pravilne tristranične prizme iz osnovnega roba s in površja Pl a) s = 4 dm, P = 313-856 dm*; b) s = 5'7 dm, P = 187-166.. dm 2 . 14. Koliko je površje pravilne šesterostranične prizme, katere osnovni rob je = s in obstranski rob = »? a) s — 3’5 dm, v = 4'5 dm; b) a = 0'675. . m, v = 0 974. . m. 15. Kolika je višina pravilne šesterostranične prizme, ako je osnovni rob = s in površje = P? a) s — 6-45 dm, P= 832-456 dm 2 ; a = 1-02 m, P= 16-728. . m 2 . 124 § 32. Kaj je prizmina prostornina? kaj jednota telesne mere? kaj mersko število prizmine prostornine? Imenuj nekatere jednote telesne mere ter zapiši njih znamenja! Kako določimo prizmino prostornino neposredno? Kedaj določimo prizmino prostornino posredno? Kako izračunaš prostornino pravokotnega paralelepipeda ? kako kockino pro¬ stornino? Kako si pojasniš te pravili? Od česa je odvisna prizmina prostornina? Kedaj ste dve prizmi prostorno jednaki? Kako se imenuje ta osnovna resnica? Kako si jo pojasniš? Kako izračunaš prizmino prostornino? Kako izračunaš osnovno ploskev iz prostornine in višine? kako višino iz prostornine in osnovne ploskve? Kako so jednote telesne mere odvisne druga od druge? Kaj je liter, kaj hektoliter? ISTa-log^e. 1. Zapiši obrazce, po katerih izračunaš prostornino a) pravokotnega paralele¬ pipeda, b) kocke, c) pokončne prizme; razreši te jednačbe z ozirom na vsako občno število, ki se nahaja v njih, ter raztolmači dobljene rezultate! 2. Pravokotni paralelepiped je a dm dolg, b dm širok in c dni visok; kolika je njegova prostornina ? a) a — 42, b — 15, c — 12; b) a = 24*7, b =■ 18 5, c = 9 3; c) a = 7 • 43.., b = 6 • 82.., c = 8 • 95..; d) a = 8|, b = 6|, c = 12f. 3. Kolika je višina pravokotnega paralelepipeda, ako meri dolžina a cm , širina b cm in prostornina k cm 3 ? a) a = 75, b = 36, k = 21600; b) a = 8*4, b = 5*6, k == 635*04; c) a = 9|, b = 7|, k = 380^. 4. Kako dolga je 4'6 (5§) m široka in 3'2 (4^) m visoka soba, ako znaša njena prostornina 100'096 (183y ! 0 ) /n 3 ? 5. Prizmatična posoda je znotraj 7 m dolga, 4-| rn široka in 3 m visoka; koliko hi vode drži? 6. Osnovna ploskev prizmatične posode je 2 m dolg in 1 • 2 m širok pravo¬ kotnik; kako globoka mora biti posoda, da bode držala 12 hi? 7. Hrastovo bruno je 4’2 m dolgo, 9‘1 dm široko in istotoliko debelo; koliko velja to bruno, ako se plača 1 rn 3 po 50 K? 8. V pokončnem paralelepipedu znašate kvadratni osnovni ploskvi 200 tfm 2 , plašč pa 590‘4 dm 2 ; kolika mu je prostornina? 9. Koliko velja zid iz opeke, ki je 57 m dolg, 0'47 m širok in 2'5 rn visok, ako je vsaka opeka 0'316 m dolga, 0'158 m široka in 79 mm debela in ako se plača za tisoč opek 40 ■ 8 K ? 10. Kolika je koekina prostornina , ako meri rob a) 17 cm, b) 4'25 dni t c) 3'689 m, d) 3|- m? 11. Kolika je koekina prostornina, ako znaša njeno površje a) 521 • 1744 dm 2 , b) 2578-6084 m 2 ? 125 12. Kolik je koekin rob, ako znaša njena prostornina a) 21'952 m 3 , b) 248-858189 dm 3 , c) 876■ 256784 dm 3 , d) 1-157621 m 3 ? 13. Izračunaj rob kocke, katera ima toliko prostornino kakor dve kocki skupaj, katerih roba merita 5'4 cin in 7• 2 cm! 14. Koliko je površje kocke, katera je prostorno jednaka trem kockam z robi a, b, c? a) a = 3 dm, b = 4 dm, c = 5 dm ; b) a = 48 cm, b = 64 cm, c = 108 cm ; c) a — 5• 1 m, b = 6■ 8 m, e = 8'5»; d) a = 2-82 m, b — 3'76 m, c = 4-7 m. 15. Izračunaj rob kocke, katera je prostorno jednaka pravokotnemu paralele- pipedu, ki je 63 cm dolg-, 28 cm širok in 42 cm visok! 16. Osnovna ploskev 18 "5 dm visoke pokončne prizme je pravokotni tri¬ kotnik, katerega hipotenuza meri 12'5 dm, jedna kateta pa 7'5 dm-, kolika je prostornina ? 17. Tristranična pokončna prizma je 8"4 dm visoka in ima za osnovno ploskev jednakokraki trikotnik, katerega osnovnica meri 5'36 dm, krak pa 3'35 dm-, kolika je njena prostornina ? 18. Osnovni rob pravilne tristranične prizme, ki je 5'6 dm visoka, meri 4^-8 dm-, kolika je prostornina? 19. Na pravilni tristranični prizmi meri vsak rob 3'2 dm-, kolika je pro¬ stornina ? 20. Prostornina pravilne četverostranične prizme znaša 48'654 m 3 , njena višina pa 8'5 dm ; kolik je osnovni rob? 21. Izračunaj prostornino pravilne šesterostranične prizme, ako meri vsak rob 15 (2'7) cm ! § 33. Kako nastane valj? kako valjev prostor? kako valjeva ploskev? Kaj je tvornica, kaj vodnica valjeve ploskve? Kaj je valj? Kakšne ploskve ga meje? Kaj je valjeva os, kaj višina, kaj stranica? Katero lastnost imajo valjeve stranice? Kakšni so robi na valji? Koliko jih je? Ali so na valji ogli? Zakaj jih ni? Kedaj je valj pokončen, kedaj poševen, kedaj jednakostraničen? Kedaj je valjeva višina jed¬ naka osi? kedaj različna od osi? Kateri presek se imenuje vzpo¬ reden? Kakšen je lik vzporednega preseka? Kakšen je lik poprečnega preseka, ki zadeva vse stranice? Kateri presek se zove osji presek? Kakšen je lik osjega preseka? Kedaj je lik osjega preseka kvadrat, kedaj pravokotnik, kedaj poševnokotni paralelogram? Kakšen lik stvorimo, ako odvijemo in razgrnemo plašč pokončnega valja v rav¬ nino? Kaj je temu liku osnovnica, kaj višina? Kakšna je mreža pokončnega valja? Ali je valj soroden s prizmo? Ali smemo valj smatrati za prizmo? Po čem se razlikujeta valj in prizma? 126 2?Ta.lcg"e. 1. Stranica poševnega valja meri 8'5 dtn, višina pa 7 5 dm-, kolik je vzmet osi na osnovno ploskev? 2. Os poševnega valja meri 14 1 3 d m, njen vzmet na osnovno ploskev pa 5'5 dni ; kolika je višina? 3. Kolika je os poševnega valja, ako meri njen vzmet na osnovno ploskev 6'5 cm, višina pa 15'6 cm? 4. Os poševnega valja meri 45 cm in je a) 30°, b) 45°, c) 60° naklonjena proti osnovni ploskvi; za koliko so osji vzmeti na osnovno ploskev med seboj različni? § 34. Kako izračunaš valjevo površje? Kako najdeš plašč pokončnega valja? Kako izračunaš plašč in površje jednakostraničnega valja? Povej, kako sta si osnovna ploskev in plašč, kako osnovna ploskev in površje, kako plašč in površje jednakostraničnega valja! Kako sta si plašča, kako površji dveh jednakostraničnih valjev? Kako iz¬ računaš prostornino pokončnega valja? kako prostornino jednako¬ straničnega valja? Kako ste si prostornini dveh valjev a) z jednakima višinama, b) z jednakima osnovnima ploskvama? Kako ste si pro¬ stornini dveh jednakostraničnih valjev? ZtTalog-e. 1. Zapiši obrazce, po katerih izračunaš a) plašč, b) površje, c) prostornino pokončnega valja; razreši te jednačbe z ozirom na vsako občno število, ki se nahaja v njih, ter raztolmači dobljene rezultate! 2. Zapiši obrazce za plašč, površje in prostornino jednakostraničnega valja ter stori to, kar se zahteva v nalogi 1.! 3. V pokončnem valji meri a) polumer osnovne ploskve 38 cm, višina pa 56 cm, b) premer osnovne ploskve 2 * 7 dm, stranica pa 1 • 85 dm, c) polumer osnovne ploskve 0 1 846. . m, višina pa 1734.. m\ kolik je plašč, koliko površje? 4. Izračunaj plašč in površje jednakostraničnega valja, če meri njegova stranica a) 5 dm, b) 4 dm ! 5. Koliko je površje pokončnega valja, ki je 15 (23‘4) dm visok in katerega osji presek meri 280 (370-8) dm 2 ? 6. Osji presek jednakostraničnega valja meri 3136 (182*25) dm 2 -, kolik je plašč in koliko površje? 7. Koliko je površje pokončnega valja, ako meri obod osnovne ploskve 6*28 (17*4) dm, višina pa 14*4 (7 - 5) dm? 8. Plašč pokončnega valja znaša 5882*9 cm 2 , polumer osnovne ploskve pa 23*4 cm ; kolika je višina? 9. Površje pokončnega valja meri 340 * 608 dm 2 , polumer osnovne ploskve pa 3*9 dm ; kolika je višina? 10. Kolik je polumer osnovne ploskve pokončnega 1*5 m visokega valja, ako meri plašč 1*1386 m 2 ? 127 11. Kolika je stranica jednakostraničnega valja, ako znaša površje a) 678 • 68 cm a , b) 8 dm 2 ? 12. Kolika je prostornina pokončnega valja, ako meri a) polumer osnovne ploskve 3'8 dni in višina b'6dm; b) premer osnovne ploskve 1'568.. to, stranica pa 0'965 ..to? 13. Izračunaj prostornino jednakostraničnega valja, ako meri a) polumer osnovne ploskve 4 '1 dm, b) stranica 14'668. . to! 14. Koliko litrov drži valjasta posoda, katere premer znaša 54 cm, višina pa 90 cm? 15. Koliko hektolitrov vode je v vodnjaku, ki ima 2 to v premem, če stoji voda 4'5 to visoko? 16. Valj ima 37'268 dm 3 prostornine; kolika je višina, ako meri polumer osnovne ploskve 3 • 7 dm ? 17. Valj je 4‘3 dm visok in ima 20 dm 3 prostornine; kolik je polumer osnovne ploskve? 18. Kolik je polumer jednakostraničnega valja, ako znaša prostornina a) 10 dm 3 , b) 2256-748 dm 3 ? 19. Valjasta posoda drži 17in ima 108'4 mm svetlobe; kolika je njena višina? 20. Valjasta posoda drži \ lil in je 399 'Stoto visoka; kolik je premer osnovne ploskve? 21. Okroglo hrastovo bruno je 3 m dolgo in ima 9'42 dm v obsegu; kolika je njegova prostornina? 22. Za okrogel, 2'3 dm dolg in 66 cm debel hlod se plača 177 K; po čem se računa l m 3 ? 23. Notranji premer valjaste, 5 cm debele cevi meri 18 cm, višina pa 2'85 to; kolik je notranji in kolik zunanji plašč? 24. Valjasta cev je 32 dm dolga in ima 1'4 dm svetlobe; kolika je njena prostornina, če je stena 5 cm debela? (Prostornina valjaste cevi je razlika med prostorninama dveh valjev, v znakih le = ič 2 k . v ■— r 2 t: . v = (R 2 — r 2 ) it. v. 25. Višina valjastega stolpa, čegar vnanji obseg meri 13 m, znaša 7'2 to, debelina zidu pa 86 cm; koliko m 3 zidu se nahaja v stolpu? 26. Cev je 3'2 m dolga in 12 cm debela; a) koliko dm 2 pločevine je treba za to cev; b) koliko velja cev, ako se plača 1 to 2 pločevine po 7 K? 27. Prizmatično bruno, ki je 5'2 m dolgo, 3 dm široko in 2’6 m visoko, je po dolgem valjasto izdolbljeno; kolika je njega prostornina, ako ima votlina 18 cm v premeru ? 28. Koliko lesa odpade od valjastega hloda, ki je 7'8 m dolg in 53 cm debel, če izsekaš iz njega bruno naj večjega kvadratnega preseka? 29. Koliko lesa odpade od hloda v prešnji nalogi, ako je presek bruna pravokotnik, katerega jedna stranica meri 28 cm ? 30. Dva pokončna valja z jednakima višinama imata 3'5 dm in 4'9 dm v premeru; kako ste si osnovni ploskvi, kako plašča, kako prostornini teh valjev? 31. Dva pokončna valja imata jedtiaki osnovni ploskvi; kako sta si plašča, kako prostornini teh valjev, ako merite njuni višini 7 dm 2 cm in 9 dm 6 cm? 128 32. Polumera dveh jednakostraničnih valjev merita 3'2 cm in 8*4 cm\ kako ste si osnovni ploskvi, kako plašča, kako površji, kako prostornini teh valjev? 33. Stranici pravokotnika merite a = 3 5 dm in b = 2 • 1 cim ; kako ste si površji in kako prostornini teles, ki nastanete, ako zavrtiš pravokotnik okoli vsake stranice tako, da se povrne v svojo prvotno lego? § 35 . Kako nastane piramidast prostor? Kaj mu je tvornica, kaj vodnica? Kako stvoriš piramido? Kakšne ploskve meje piramido? Kaj je piramidin plašč? Kakšne robe razločujemo na piramidi? Kateri robi so osnovni, kateri obstranski? Kako se zove točka, v kateri se stikajo vsi obstranski robi? Kaj se še stika v tej točki? Kaj je piramidina višina, kaj obstranska višina? Katera teh višin je manjša? Koliko oglov je na piramidi? Kolikerostranični so ogli na osnovni ploskvi? Kolikeroroben je ogel ob vrhu? Kakšne piramide razločujemo po številu obstranskih robov ali ploskev? Katera piramida je pokončna, katera poševna, katera pravilna, katera jednakorobna? Kakšno lastnost ima osnovna ploskev pokončne piramide? Kako so naklonjeni obstranski robi pokončne piramide proti osnovni ploskvi? Kakšne so obstranske ploskve a) na pokončni, b) na poševni, c) na pravilni, d) na jednakorobni piramidi? Kakšna je osnovna ploskev pri vsaki izmed navedenih piramid? Zakaj je vsaka jednakorobna piramida pravilna? Kolikerostranične utegnejo biti jednakorobne piramide? Kakšne preseke razločujemo na piramidi? Kakšen je lik vzporednega preseka? Zakaj je ta lik podoben osnovni ploskvi? Kakšen je lik poprečnega preseka, ki zadeva vse obstranske robe? Na kaj razdeli vzporedni presek piramido? Kaj je prisekana, kaj dopolnilna piramida? Kakšne ploskve meje prisekano piramido? Kako ste si višini prvotne in dopolnilne piramide? Kako ste si osnovni ploskvi teh piramid? Kako se prepričaš o teh lastnostih? Kako sta si osnovna ploskev in vzporedni presek vsake piramide? Kateri piramidini presek se imenuje diagonalni presek? Kakšen je lik diagonalnega preseka? Na kaj razdelijo diagonalni preseki pira¬ mido? Kako načrtaš piramidino mrežo? sulog^e. 1. Načrtaj mrežo a) pokončne, b) pravilne, c) jednakorobne, d) poševne tristranične piramide! 2. Načrtaj mrežo četverostranične piramide, ki je a) pokončna, b) pravilna, c) jednakorobna, d) poševna! 3. Načrtaj mrežo pravilne šesterostranične piramide! 129 4. Višina pravilne eetverostranične piramide meri 32 cm in osnovna ploskev 256 cm 2 ; ako razdelimo višino te piramide na štiri jednake dele ter napravimo skoz vsako razdelišče vzporedni presek, koliko znaša ploščina vsakega preseka, in kolika je njegova stranica? 5. Osnovna ploskev 45 cm visoke piramide meri 3240 cm 2 ; kolika je višina dopolnilne piramide, ako meri njena osnovna ploskev a) 2250 cm 2 , b) 360 cm 2 ? 6. Kolika je osnovna ploskev 25 cm visoke piramide, ako meri vzporedni presek, ki je 13 cm oddaljen od osnovne ploskve, 81 cm 2 ? 7. Osnovni rob pravilne eetverostranične piramide meri 8*8 dm , višina pa 13'2 dm ; v kateri razdalji od osnovne ploskve je treba napraviti vzporedni presek, da bode njegova ploščina dvakrat (štirikrat) manjša od osnovne ploskve? § 36. Kako izračunaš piramidino površje, kako piramidin plašč? Kako najdeš plašč pravilne piramide? Kedaj ste dve piramidi prostorno jednaki? Kako se imenuje ta osnovna resnica? Kako si jo pojasniš? Kako ste si pokončna tristranična prizma in tristranična piramida z jednakima osnovnima ploskvama in jednakima višinama? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Kako izračunaš piramidino prostornino? Kako izračunaš piramidino višino iz prostornine in osnovne ploskve? kako osnovno ploskev iz prostornine in višine? Kako ste si prostornini dveh piramid a) z jednakima višinama, b) z jednakima osnovnima ploskvama? Kako se prepričaš o teh lastnostih? a-log-e. 1. Zapiši obrazca, po katerih izračunaš a) površje, b) prostornino pokončne piramide; razreši te jednačbi z ozirom na vsako občno število, ki se nahaja v njih, ter raztolmači dobljene rezultate! 2. Izračunaj površje tristranične piramide, na kateri meri vsak rob 5 dm\ 3. Osnovna ploskev pokončne piramide je kvadrat, katerega stranica meri 2 m b dm; koliko je površje, ako meri obstranska višina 4 m 8 dm? 4. Koliko je površje pravilne četverostranične piramide, ako meri osnovni rob 7 ■ 8 (8'62) din in obstranski rob 6'5 (7 • 1) dm ? 6. Osnovni rob pravilne četverostranične piramide, ki je 4'8 (6'8)w; visoka, meri 7‘2 (10'2)»»; koliko znaša površje? 6. Osnovna ploskev pokončne četverostranične piramide je pravokotnik s stra¬ nicama 8'4 dm in 7'2 dm; kolik je plašč, ako meri piramidina višina 4'8 dm? 7. Pokončni četverostranični piramidi je osnovna ploskev pravokotnik, katerega stranici merite 10 cm in 16 cm; koliko je površje, ako je obstranski rob = 13 cm? 8. Izračunaj površje pravilne šesterostranične piramide, ako meri osnovni rob 4'8 (6) dm in obstranski rob 6'1 (7 1 8) dm ! 9. Izračunaj plašč pravilne šesterostranične piramide, ako meri piramidina višina 6'8 (6‘08) m in osnovni rob 34 (4’56j m! 10. Osnovni rob pravilne eetverostranične piramide meri 2’3 m; kolika je prostornina, ako znaša višina 8• 7 m? Matek, Geometrija. 9 130 11. Izračunaj prostornino pravilne a) tristranične, b) šesterostranične piramide, ako je višina = 8‘9 dm in osnovni rob = 4*7 dm ! 12. Kako visoka je piramida, ki ima 600 dm 3 prostornine in katere osnovna ploskev meri 30 ‘75 dm 2 ? 13. Osnovna ploskev pokončne piramide je 11 dm dolg* in 9 dm širok pra¬ vokotnik; kolika je višina, ako znaša prostornina 118‘8 dm 3 ? 14. Prostornina pravilne četverostranične piramide, kije 0'9 (7* 5) dm visoka, znaša 15J (40) dm 3 ; kolika je stranica osnovne ploskve? 15. Izračunaj prostornino pokončne piramide, kateri je osnovna ploskev pra¬ vokotnik s stranicama 14 cm in 6‘4 cm, ako meri obstranski rob 1 dm ! 16. Na pravilni šesterostranični piramidi meri osnovni rob 14 cm, obstranska višina pa 36 kolika je prostornina? 17. Izračunaj prostornino pravilne četverostranične piramide, ako meri osnovna ploskev 289 cm 2 (21*78 dm 2 ), obstranski rob pa 13 cm (6*5 dm)\ 18. Izračunaj prostornino jednakorobne četverostranične piramide, ako meri osnovna ploskev 196 dm 2 ! 19. Površje pravilne četverostranične piramide znaša 56 • 25 m s , osnovni rob pa 2*5 m j kolika je prostornina? § 37. Kako nastane stožčeva ploskev, kako stožcev prostor, kako stožec? Kaj je tvornica, kaj vodnica stožčeve ploskve? Kakšni rav¬ nini mejite stožec? Kako jima je ime? Kaj je vrh ali teme stožčevo? kaj os, kaj višina, kaj stranica? Ali se nahajajo na stožci robi? Kedaj je stožec pokončen, kedaj poševen, kedaj jednakostraničen? Kedaj se stika stožčeva višina z osjo ? Kakšne preseke razločujemo na stožci? Kateri presek se imenuje vzporeden? Kakšen je lik tega preseka? Kako sta si polumera osnovne in presečne ploskve? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Na kaj razdeliš stožec z vzporednim presekom? Kakšne ploskve meje prisekani, kakšne dopolnilni stožec? Kako ste si višini prvotnega in dopolnilnega stožca? Kako ste si osnovna in vzporedna presečna ploskev? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Kateri presek se zove osji presek? Kakšen je lik osjega preseka? Kedaj je lik osjega preseka jednakokraki, kedaj razno- stranični, kedaj jednakostranični trikotnik? Kakšna je mreža po¬ končnega stožca? Kakšno ploskev stvorimo, ako odvijemo in raz¬ grnemo stožcev plašč v ravnino? Ali je stožec soroden s piramido? Ali smemo stožec smatrati za piramido? Po čem se razlikujeta stožec in piramida? Kako nastane popolna stožčeva ploskev? Kako dvojni stožec? Kakšni so preseki na dvojnem stožci? Kedaj je presek krog, kedaj elipsa, kedaj parabola, kedaj hiperbola? Kako se te krive črte zovejo s skupnim imenom? 131 alog^e. 1. Polumer pokončnega stožca meri 4'8 dm, višina pa 15 dni ; kolik je vzporedni presek, ki je 4 dm od vrha oddaljen? 2. Premer pokončnega stožca znaša 25'2 cm, višina pa 16’8 cm; kolik je polumer, kolika stranica dopolnilnega stožca, ki je 8 cm visok? 3. Stranica pokončnega stožca meri 1 3 m, polumer osnovne ploskve pa 5 dm, za koliko mora vzporedni presek biti oddaljen od vrha, da znaša njega premer 6 dm? § 38. Kako izračunaš plašč, kako površje pokončnega stožca? Kako najdeš plašč, kako površje jednakostraničnega stožca? Povej, kako sta si osnovna ploskev in plašč, kako osnovna ploskev in površje, kako plašč in površje jednakostraničnega stožca? Kako sta si plašča, kako površji dveh jednakostraničnih stožcev? Kako izračunaš pro¬ stornino pokončnega stožca? Kako najdeš višino jednakostraničnega stožca? Povej obrazec, po katerem izračunaš prostornino jednako¬ straničnega stožca! Kako ste si prostornini dveh stožcev a) z jednakima višinama, b) z jednakima osnovnima ploskvama? Kako ste si pro¬ stornini dveh jednakostraničnih stožcev? 1. Zapiši obrazce, po katerih izračunaš a) plašč in površje pokončnega stožca, b) plašč in površje jednakostraničnega stožca, c) prostornino pokončnega stožca, d) prostornino jednakostraničnega stožca; razreši te jednačbe z ozirom na vsako občno število, ki se nahaja v njih, ter raztolmači dobljene rezultate! 2. Polumer pokončnega stožca meri 34 cm (3 • 81 dm) , stranica pa 140 cm (5'26 dm)-, kolik je plašč, koliko površje? 3. Izračunaj a) plašč, b) površje pokončnega stožca, katerega višina meri 63 (20'4) cm, polumer pa 16 (8'5 ) cm\ 4. Izračunaj a) plašč, b) površje jednakostraničnega stožca, ako meri m polumer 4'3 dm, n stranica 7'6 dm\ 5. Plašč pokončnega stožca meri 427'04 dm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 , stranica pa 17 dm; kolik je premer osnovne ploskve, kolika višina? 6. Plašč pokončnega stožca meri 23'55 dm 2 , polumer osnovne ploskve pa 1'5 dm; kolika je stranica in kolika višina? 7. Osnovna ploskev pokončnega stožca meri 15 dm 2 , stranica pa 4 dm; kolik je plašč? 8. Površje jednakostraničnega stožca znaša 2530 cm 2 ; kolik je polumer osnovne ploskve, kolika višina? 9. Kolika je prostornina pokončnega stožca, ako meri a) polumer osnovne ploskve lom in višina 6 dm, b) premer osnovne ploskve 2'3 dm in višina 3'6 dm? 10. Izračunaj prostornino pokončnega stožca, ako meri a) polumer osnovne ploskve 3'04 dm in stranica 4'25 dm, b) premer osnovne ploskve 70 dm in stra¬ nica 37 dml 132 11. Stranica jednakostraničnega stožca meri 6*5 dm ; kolika je prostornina? 12. Kolika je višina pokončnega stožca, ako znaša premer osnovne ploskve 6‘4 dm, prostornina pa 160*768 dm 3 ? 13. Prostornina pokončnega stožca znaša 397'3632 dm 8 , višina pa 12 dm] kolik je polumer osnovne ploskve? 14. Izračunaj prostornino pokončnega stožca, ako meri plašč 1570 dm 2 in stranica 25 dm ! 15. Kolik je polumer jednakostraničnega stožca, ako znaša prostornina a) 48*918 m 8 , b) 1811*78 dm s , c) 100*6176 rfw s ? 16. Prostornina jednakostraničnega stožca znaša 160 dm z \ koliko je površje? 17. Površje jednakostraničnega stožca meri 2530 cm 2 ; kolika je prostornina? 18. Stožkast lijak ima 2 * 1 dm v premeru in 2*8 dm dolgo stranico; koliko dm 2 pločevine je treba zanj? 19. Kako visok mora biti lijak, kateri ima 2 dm (30 cm) v premeru, da bode držal ravno 1 l (5 T)? 20. Kako sta si plašča, kako prostornini dveh jednakostraničnih stožcev, ako merita premera osnovnih ploskev 3*9 dm in 5*2 dm? 21. Kako sta si plašča, kako prostornini dveh stožcev, ki nastaneta, ako zavrtimo pravokotni trikotnik s katetama a = 18 dm in b = 24 dm okoli vsake katete tako, da se povrne v svojo prvotno lego? 22. Koliko je površje, kolika prostornina stožca, ki nastane, ako zavrtiš jed- nakokraki trikotnik, katerega krak meri 26 dm,, osnovnica pa 20 dm , okoli višine tako, da se povrne v svojo prvotno lego ? 23. Koliko je površje, kolika prostornina dvojnega stožca, ki nastane, ako zavrtiš jednakokraki trikotnik prejšnje naloge okoli osnovnice tako, da se povrne v svojo prvotno lego ? 24. Izračunaj površje in prostornino dvojnega stožca, ki nastane, ako zavrtiš pravokotni trikotnik s katetama a = 64 cm in b — 48 cm okoli hipotenuze tako, da se povrne v svojo prvotno lego! § 39 . Kako nastane kroglina ploskev? Kaj je krogla, kaj so kroglini krogi, kaj je kroglino središče, kaj kroglin polumer, kaj kroglina tetiva? Katera tetiva se zove kroglin premer? Katero lastnost imajo kroglini polumeri (premeri)? Kaj je središčna razdalja točke z ozirom na določeno kroglo? Kolikero lego more imeti točka z ozirom na določeno kroglo? Kedaj leži točka znotraj krogline ploskve, kedaj v kroglini ploskvi, kedaj zunaj krogline ploskve? Kaj je središčna razdalja premice z ozirom na določeno kroglo? Kolikero lego more imeti premica z ozirom na določeno kroglo? Kedaj ima premica s kroglo jedno točko, kedaj dve točki skupni? Kedaj nima premica s kroglo nobedne skupne točke? Kaj je središčna razdalja ravnine z ozirom na določeno kroglo? Kolikero lego utegne imeti ravnina z ozirom na določeno kroglo? Kedaj nima ravnina s kroglo nobedne 133 skupne točke? Kedaj ima ravnina s kroglo jedno skupno točko? Kako se imenuje taka ravnina, kako skupna točka? Kako stvori mo dotikalno ravnino? Kedaj seče ravnina kroglo? Kakšen je lik kroglinega preseka, in kako mu je ime? Kedaj je kroglin krog večji, kedaj manjši? Kedaj je kroglin krog največji? Kako in iz česa izračunaš polumer kroglinega kroga? Kaj so krogi vzporedniki? Od česa je odvisna njih velikost? Kateri izmed vzporednikov je največji, in kako mu je ime? Kaj je os, in kaj sta tečaja krogov vzporednikov? Kaj so polu- dnevniki? Koliko je krogov vzporednikov in poludnevnikov? Na kaj razdeli kroglo vsak ravninski presek? Kako se imenujeta ta dela? Kaj meji vsak kroglin odsek? Kaj je kroglina kapica, kaj višina krogline kapice? Kaj je osnovna ploskev kroglinega odseka? Kaj je polukrogla? Kako jo stvoriš? Na kaj razpade krogla, ako jo presedemo z dvema vzporednima ravninama? Kako se imenujejo ti deli? Kaj je kroglina plast? Kakšne ploskve jo meje? Kaj ste osnovni ploskvi, kaj je pas krogline plasti? Kaj je višina krogline plasti, oziroma kroglinega pasa? Kako določimo razdaljo dveh točk na kroglini ploskvi? Ali se da kroglina ploskev odviti in razgrniti v ravnino? £TaJ.og-e. 1. Kolika je tetiva krogle s polumerom 2'05 dm, ako je 1'33 dm oddaljena od središča? 2. Kolika je središčna razdalja krogline tetive, ki je 9 cm dolga, ako meri kroglin polumer 5*1 cm? 3. Kolik je kroglin polumer, če meri kroglina tetiva 10 12 cm in njena središčna razdalja 4 * 08 cm ? 4. Ravnina preseče kroglo s polumerom 5'3 dm v središčni razdalji 4’5 cm ; kolik je polumer, obod in ploščina kroglinega preseka? 5. V kateri središčni razdalji je treba kroglo, katere polumer znaša 5 '22 dm, presekati z ravnino, da bode meril obod kroglinega kroga 23*7384 dm? 6. Polumer kroglinega kroga, ki je 4’2 dm oddaljen od središča, znaša 11*2 dm\ kolik je obod, kolika ploščina največjega kroglinega kroga? 7. Koliko meri lok 46° 18' kroglinega kroga v naloga 4.? 8. Dunaj ima 34° 12' 36" zemljepisne dolžine in 48° 12' 35" zemljepisne širine; kako daleč je Dunaj oddaljen a) od ravnika, ako meri zemeljski poludnevnik 40 000 km, b) od glavnega ali prvega meridijana, ako meri polumer vzporednika, ki gre skoz Dunaj, 4237-jj hm? § 40. Po katerih obrazcih izračunaš kroglino prostornino? Kako najdeš prvi, kako drugi obrazec za kroglino prostornino? Kako ste si prostornini dveh krogel? Po katerem obrazci izračunaš kroglino 134 površje? Kako najdeš ta obrazec? Kako ste si površji dveh krogel? Kedaj smemo trditi, da ste dve telesi prostorno jednaki? Kako se imenuje ta občna resnica? IŠTalog-e. 1. Kolika je prostornina krogle, katere polumer meri a) 2'4 dm , b) 25’4 cm, c) 0'875 m? 2. Solnčni premer je 112 krat večji od zemeljskega premera; kako ste si pro¬ stornini solnca in zemlje ? 3. Kolik je polumer krogle, če znaša prostornina a) 904'32 tf rn 3 , b) 24'41664 dm 3 , c) 3'05208 t?;« 3 ? 4. Koliko je površje krogle, če znaša polumer a) 4'5 dm, b) 3'85 m, c) 48'76. . cm? 5. Koliko je a) površje, b) prostornina meseca, če znaša njega premer 3482 km ? 6. Izračunaj površje in prostornino zemlje, če jo smatramo za popolno kroglo s premerom 12739'7 km ! 7. Kolik je premer krogle, ako znaša površje a) 153'86 dm*, b) 78'5 cm*, c) 2'1471625 m*? 8. Kako ste si prostornini dveh krogel, če ste njiju površji v razmerji a) 48 : 75, b) 275 : 396? 9. Kako ste si površji dveh krogel, ako ste njiju prostornini v razmerji a) 243 : 1125, b) 704 :1875? 10. Iz kocke z robom 15 cm se izreže tako velika krogla, kakor je mogoče; koliko znaša odpadek? 11. Zunanji polumer votle krogle meri 145 mm, notranji polumer pa 133 mm; kolika je prostornina krogline lupine ? 12. Kako debela je lupina votle krogle, če meri njeno zunanje površje 6'28 (5'372) m 2 , prostornina votlega prostora pa 904'32 dm z (1'13864 m 3 )? 13. Koliko litrov drži votla krogla, katere lupina je 15 mm debela, ako znaša zunanji premer 34 cm? § 41. Katero telo se imenuje pravilno? Kakšne so mejne ploskve pravilnega telesa? Kakšni so ogli? Naštej vsa pravilna telesa! Zakaj je le pet pravilnih teles? Opiši vsako izmed pravilnih teles, t. j. povej, koliko in kakšne ploskve ga meje, koliko ima robov, koliko oglov, in kolikerorobni so ogli! Kako izračunaš tetraedrovo višino, površje in prostornino? Kako najdeš te obrazce? Kako izračunaš oktaedrovo površje in prostornino? Kako najdeš ikozaedrovo površje? Kako izračunaš kockino diagonalo, površje in prostornino? ItTalog^e. 1. Izračunaj površje pravilnega a) tetraeda, b) oktaedra, c) ikozaedra, ako meri rob 8 (7 • 6) cm ! 2. Površje pravilnega a) tetraedra, b) oktraedra, c) ikozaedra meri 120 etn 2 ; kolik je rob ? 135 3. Kolika je prostornina pravilnega a) tetraedra, b) oktotaedra, ako meri rob 5 (13) dm? 4. Prostornina pravilnega a) tetraeda, b) oktaedra znaša 45 cm 3 ; kolik je rob ? 5. Koliko je površje pravilnega a) tetraedra, b) oktaedra, ako znaša prostor¬ nina 172 cm 3 ? 6. Kocka z robom 2 dm je prostorno jednaka pravilnemu a) tetraedra, b) oktaedra; kolik je tetraedrov in oktaedrov rob? 7. Krogla s premerom 1 dm ima a) s kocko, b) s pravilnim tetraedrom, c) z oktaedrom jednako površje; kolika je prostornina vsakega izmed navedenih teles? § 42 . Kako najdeš prostornino posode ali votline, ki nima določene geometrijske podobe? Kako določiš prostornino trdnega telesa? Na koliko načinov? IT sulogre. 1. Prizmatična posoda, ki je 64 (47) cm dolga in 25 (32) cm široka, je de¬ loma napolnjena z vodo; ako se potopi kamen v tej posodi, zviša se gladina vode za 35 (12) cm. Kolika je prostornina kamena? 2. V valjasti posodi, ki ima 75*36 cm v obsegu, stoji voda 16 cm visoko; ako se potopi nepravilno telo v tej vodi, stoji voda 20*5 cm visoko. Kolika je pro¬ stornina nepravilnega telesa? 3. Prizmatična posoda, katere osnovna ploskev meri 9 dm 2 , je 6 dm 4 cm visoko napolnjena z vodo; kolik je tlak na dno, ako telita 1 dm 3 vode 1 kg ? 4. Koliko tehta voda, kar je drži 165 cm dolga, 85 cm široka in 7 dni glo¬ boka posoda? 5. Koliko prostornino ima posoda, katera tehta prazna 1*5 kg, z vodo na¬ polnjena pa 14*8 kg? 6. Valjasta cev, katere dno meri 1 cm 2 , je 760 mm visoko napolnjena z živim srebrom; kolik je tlak na dno, ako je specifična teža živega srebra 13*59? 7. Kolik je notranji premer valjaste cevi, ki je 47 mm visoko napolnjena z živim srebrom, ako tehta to srebro 585*5 mg? 8. Bakrena plošča je 1*6 m dolga, 4*6 dm široka in 5*5 cm debela; koliko velja ta plošča, ako tehta 1 dm 3 bakra 8 * 88 kg in se plača 1 kg bakra po 2 * 7 K ? 9. Osnovna ploskev 8 dm visoke prizme je kvadrat; kolik je osnovni rob, ako tehta prizma 135 kg in 1 dm z njene snovi 2*7 kg ? 10. Svinčena kocka tehta 1 kg ; kolik je njen rob, ako je specifična teža svinca 11*35? 11. Iz rumene medi, kateri je specifična teža 8*38, ulijejo se valjaste uteži po 5 kg ; koliko cm znaša premer teh utežij, če je njih višina dvakrat tolika kakor premer ? 12. Koliko velja 1*6 m dolga in lem debela cev iz litega železa, ki ima 7*2 specifične teže, ako meri premer svetlobe 1 *8 dm in se računa 1 kg železa po 0*3 K? 13. Kako težka je četverostranična pravilna piramida iz granita, ki mu je specifična teža 2*91, ako meri osnovni rob 0 9 m, obstranski pa 2*4 m? 136 14. Stožec iz litega železa telita bOkg; kolika je njegova višina, ako meri polumer osnovne ploskve 12 cm in ako tehta 1 dm 3 železa 7'2 kg ? 15. Krogla tehta 101'74 lip 1 in ima v premeru 30 cm ; kolika je specifična teža snovi? 16. Koliko krogel se da iz 1000 kg železa uliti, ako znaša premer vsake krogle 2 • 4 dm in je specifična teža litega železa 7 ■ 2 ? 17. Koliko je površje kocke, ki ima štirikrat toliko prostornino kakor druga kocka z robom \\ dni ? 18. Pokončna, 6 dm visoka piramida ima za osnovno ploskev pravilni šestero- kotnik s stranico 2'6 dm-, kolik je rob prostorno jednake kocke? 19. Dve krogli imate po 28 cm in 15 cm v premeru; kolik je polumer tretje krogle, ki ima istotoliko površje kakor prvi dve skupaj ? 20. Premera dveh krogel merita 3 dm in 1 dm 8 cm ; kolik je premer tretje krogle, ki ima istotoliko prostornino kakor prvi dve skupaj ? 21. Poprečni presek 42 m dolgega in 3'5 m visokega zidu je trapez, katerega vzporednici merite lm in 0'64 m; kolika je prostornina zidu in koliko velja lm 3 , ako se mora plačati za ves zid 1024'59 K? 22. V valjasti posodi, ki je 5 (80) cm visoko napolnjena z vodo, potopi se krogla s premerom 5'5 (30) cm; kako visoko stoji voda v posodi, ako meri njen premer 6 (40) cm ? 23. Votla železna krogla, ki je 5 kg težka, potopi se v vodi tako, da gleda za polovico iz nje; kolik je a) zunanji polumer, b) stenina debelost krogle, ako je specifična teža železa 7*2? 24. Kocki z robom 2 dm je včrtana krogla; kolika je razlika med površjem kocke in včrtane krogle? 25. Kocki z 6 dm dolgim robom je očrtana krogla ; za koliko je kroglina pro¬ stornina večja od kockine? 26. Kocki je včrtan valj; kolika je razlika a) med površjema, b) med pro¬ storninama teh teles, ako meri kockin rob 2 dm ? 27. Kako ste si a) površji, b) prostornini pravilne šesterostranične prizme in očrtanega valja, ako meri osnovni rob prizme a — 1 dm, obstranski rob pa b = 2'5 dm? 28. Pravilni tristranični jednakorobni prizmi je včrtan in očrtan valj ; izračunaj razmerje a) med površji, b) med prostorninami teh treh teles! 29. Pravilni četverostranični piramidi je včrtan in očrtan stožec; kako so si plašči teh treh teles, ako meri piramidina višina 20 cm in osnovni rob 30 cm ? 30. Pravilni šesterostranični piramidi je včrtan in očrtan stožec; izračunaj razlike med prostorninami teh treh teles, ako meri osnovni rob piramide 10 cm , ob¬ stranski rob pa 26 cm ! 31. Jednakostraničnemu valju je očrtana pravilna četverostranična prizma; za koliko je valjev plašč manjši od prizminega, ako meri valjeva stranica 4 dm? 32 Pokončnemu valju, katerega polumer znaša 3 dm, stranica pa 5 dm, je včrtana pravilna a) četverostranična, b) šesterostranična prizma; za koliko je valjevo površje večje od površja četverostranične prizme, in za koliko valjeva prostornina večja od prostornine šesterostranične prizme? 137 33. Za koliko se razlikujeta plašča jednakostraničnega stožca in očrtane pra¬ vilne četverostranične piramide, ako meri stožčeva stranica s — 10 cim ? 34. Pokončnemu stožcu, katerega stranica meri 17 cm, višina pa 15 on, je včrtana pravilna šesterostranična piramida; kako ste si površji, kako prostornini teh teles ? 35. Kako ste si prostornini dveh jednakostraničnih valjev, ako je površje jednega dvakrat toliko kakor površje drugega valja? 36. Krogli je očrtan jednakostraničen valj; kako ste si površji, in kako pro¬ stornini teh dveh teles? 37. Pravokotnik, katerega stranici merite 6 d/n in 4 dni, zavrti se jedenkrat okoli večje in drugokrat okoli manjše stranice tako, da se povrne v svojo prvotno lego. Kako sta si a) plašča, b) površji, c) prostornini nastalih teles ? 38. Pravokotniku s stranicama 12 cm in 5 cm je očrtan krog; izračunaj po¬ vršja in prostornine teles, ki nastanejo, ako zavrtiš pravokotnik okoli somernice a) večje, b) manjše stranice tako, da se povrne v svojo prvotno lego! 39. Rombovi diagonali merite 3 cim in 1 • 6 d/n ; kako ste si a) površji, b) pro¬ stornini teles, ki nastanete, ako zavrtiš romb okoli večje in okoli manjše diagonale tako, da se povrne v svojo prvotno lego? 40. Jednakostraničnemu trikotniku s stranico 2 dm je včrtan in očrtan krog; izračunaj površja in prostornine teles, ki nastanejo, ako zavrtiš trikotnik okoli višine tako, da se povrne v svojo prvotno lego. 41. Kvadratu je včrtan in očrtan krog; kako so si površja, kako prostornine teles, ki nastanejo, ako zavrtiš kvadrat okoli jedne diagonale tako, da se povrne v svojo prvotno lego? „ NARODNA IN UNIUERZITETNA 8 KNJIŽNICA 00000330G75