ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 1 Strani 20-23
Jože Grasselli: O ŠTEVILIH 11... 1
Ključne besede: matematika, teorija števil, praštevila. Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1323-Grasselli.pdf
© 1997 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
O ŠTEVILIH 11... 1
V zapisu števil
1, 11, 111, 1111,..., 11...1,... (1)
nastopa le števka 1. (Osnova je deset.) Ogledali si bomo dve njihovi lastnosti. Znak ./„ naj pomeni število oblike (1) z n enkami, npr. J- = = 1 111 111.
Prva lastnost se tiče deliteljev števil oblike (1), Vsa so liha, zato niso deljiva z 2; pa tudi s 5 ne, saj se ne končujejo na 0 ali 5. Za delitelje pridejo tako v poštev le števila tuja 10. In zanimivost:
A. Vsako število, ki je tuje 10, je med delitelji števil oblike (1).
Prepričajmo se!
Naj bo n naravno število, večje od 1 in tuje 10. Poglejmo števila
(2)
Po delitvi z n jih lahko zapišemo
Ji = kin + ri, J2 = k^n + T^-, ■ ■ ■, Jn = knn + rn, Jn+\ = + •
(3)
Kvocienti kif fes,..., kn, &„+i so ne negativ na. cela števila, ostanki j*i ,r2, ■ ■ ■, r„, i'„+i imajo vrednosti med števili
0, 1, 2,..., n-l.	(4)
Števil (2) je n + 1, ostankov (4) je možnih le n. Zato morata vsaj dva ostanka v (3) imeti isto vrednost. Naj bo npr.
rt = r3 ; 1 < s < i < n + 1,	(5)
torej sledi
Jt — Js = (fc( - fe3)Tl .
Po drugi strani velja
J% — Ju — 10° ■ Jt—s ■
Sledi
(kt - ks)n = 10" ■ Jt_s .	(6)
Po privzetku je n tuj številu 10. Zato (6) pove, da n deli J t _ 3. Toda to je eno od števil ./l5 J2,..., Jn, saj je 1 < t — s < n zaradi (5). Trditev A je dognana.
Ugotovitev A velja seveda posehej za vsako praštevilo, različno od 2 in 5. To pomeni, da se med prafaktorji števil (1) nahajajo vsa praštcvila razen 2 in 5.
Praštevilski razcep začetnih števil iz (1) navaja preglednica:
J2 =	11 = 11
J3 =	111 = 3-37
J4 =	1111=11.101
Jh =	11 111 — 41 ■ 271
J&=	111 111 =3- 7- 11 • 13-37	(7)
J7 =	1 111 111 = 239-4649
Js =	11 111111 =11-73- 101 ■ 137
J0 =	llllli m = 32 -37-333667 J]0 - 1 111 111 111 = 11-41 271 9091
Videli smo, daje pri n tujem 10 vsaj eno od števil Ji,J2,...,Jn deljivo z n, Najmanjši indeks, za katerega to velja, zaznamujemo s c(n). Iz prvih treh vrstic v (7) izhaja, da 101 ni delitelj za Ji — 1, J-2, J a, pač pa 101 deli ,/4. Zato je ¿(101) = 4.
Ker je med števili J), J2,..., J„ vsaj eno, ki je deljivo z n. je izpolnjena ocena
c(n) < n .	(8)
S pomočjo (7) sestavimo preglednico števil c(n) za n, 1 < n < 41, ki so tuja 10; kjer c(n) iz (7) ni razviden, je postavljen vprašaj:
c(3) = 3	c(13) — 6	c(23) = ?	c(33) = 6
e(7) = 6	c{17) = ?	c(27) = ?	c(37) = 3
C (9) = 9	c(19) = ?	c(29) = ?	c(39) = 6
c(ll) = 2	e(21) <= 6	c(31) = ?	c(41) = 5
Pri vprašajih lahko z računom preverimo, da je:
Ker je zaradi (9) in (10)
c(3) =■ 3 c(9) = 9 c(27) = 27 ,
ocene (8) ne moremo izboljšati. V podrobnejši opis, kako je c(n) odvisen od n, se ne borno spuščali.
Obrnimo se k drugi lastnosti števil (l).
Naslonili se bomo na znano dejstvo: Če je naravno število a večje od 1 in tuje 10, je decimalni zapis za £ čisto periodičen. Npr. ^ = 0,3 in dolžina (osnovne) periode je ena; = 0,0099 in dolžina periode je štiri.
V nadaljnjem naj bo q praštevilo, večje od tri. Ce je p tako praštevilo, da ima i dolžino periode enako je
- = 0,cic2...c,	(11)
P
in števke d, c2,..., ct] so vzete ined vrednostmi 0,1,2,, ..,9. Ker ima ^ periodo dolžine ena, dolžina periode v (11) pa je q > 5, je p ^ 3. Če ^ množimo z lO9 in nato odštejemo jj. dobimo iz (11)
10 ~1 = ci • 109"1 + c2 • 10""2 + ... + c» -P
Če označimo naravno število na desni z b, je
10'' - 1 = bp
in zaradi 109 — 1 — 9Jf/ tudi
9 Jq = bp.
Dobljena enakost pove, da p deli 9.J,,; potem pa p deli Jq, saj za praštevilo p velja p ^ 3.
Tako smo ugotovili: Vsako piaštevilo p, pri katerem je dolžina periode števila ~ enaka praštevilu q > 5, je faktor v Jq. Z nekaj več priprave je
mogoče dognati: Če je q praštevilo nad tri in praštevilo p faktor v Jq, je dolžina periode števila ~ enaka q. Z drugimi besedami:
13. Ce je praštevilo q večje od tri, se praštevilap. za katera ima ~ dolžino periode q, natančno ujemajo S prafaktorji števila Jq.
Vzemimo kot zgled q = 5* Iz (7) vidimo, da je J5 produkt prafaktor-jev 41 iu 271. Velja
1
— = 0.02439 41
—	= 0,00369 271
in števili ^ imata res dolžino periode enako pet; po trditvi E sta 41, 271 edini praštevili p, za kateri ima ^ dolžino periode pet.
Opomba. Kadar n ni prastevilo, nastopajo v Jn tudi prafaktorji p, pri katerih je dolžina periode števila ~ manjša od n. Po (7) ima Jg prafaktorje 11, 73, 101, 137. Tuje
—	= 0,09 11
1
1Q1 = 0,0099
= 0,01369863
73
-= 0,00729927
137
in pojavljajo se periode dolžin 2, 4 in 8. Naloge.
1.	Pokaži, da za n > 2 velja j- = 0,0... 09 z dolžino periode n.
2.	Če je n sestavljeno število, n = ab, 1 < a < b < rc, je Jn deljiv z Ja in Jf,; torej tudi z najmanjšim skupnim večkratnikom števil Ja in J^.
3.	Število Jn je prastevilo kvečjemu tedaj, ko je n praštevilo, (Pri n < 113 se to zgodi le za n = 2,19. 23.)
4.	Prepričaj se, daje c(17) — 16.
5.	Z indukcijo doženi, da je c^) = 3J, j — 1,2,3,....
Jože Grasselli