i
i
“1193-Pisanski-0” — 2010/7/19 — 12:24 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 21 (1993/1994)
Številka 6
Strani 368–375
Tomaž Pisanski:
CASUS IRREDUCIBILIS, Ob 240. obletnici rojstva
Jurija Vege
Ključne besede: novice, matematika, zgodovina matematike, Jurij Vega.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/21/1193-Pisanski.pdf
c© 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
I~OI"II[E
CASUS IRREDUCIBILlS
Ob 240. obletnici rojstva Jurija Vege
V gričevju, ki spremlja levi breg Save na vijugasti pot i od Ljubljane do
Litije, leži Zagorica . Pred 240 leti , natančneje 23. marca 1754, se je v
Zagorici revnim sta ršem rodil slovenski matematik Jurij Vega . Rojen je bil
v vznemir ljivih časih vladanja Marije Terezije, od ra šča l v obdobju reform
njenega sina Jožefa II., kot častnik avst rijske vojske pa je na bojišču doživljal
začetek konca turškega imperij a v bojih za Beligrad ter posledice francoske
revolucije v števi lnih bitkah zoper Francoze ob Renu, da vojne s Prusi niti ne
omenjamo.
Vegovo matematično delo poznamo predvsem po zbirki logaritmovnikov,
s katerimi je zaslovel po vsem svetu in so jih uporabljali še dolgo po njegovi
smrti . Manj znane, vendar nič manj zanim ive, so njegove znanstvene razprave .
Najpomembnejša je gotovo tista , v kateri je i z r a ču n a l 140 decimalk števila
7r. Z njo je več kot pol stoletja držal "rekord" pri računanju decimalk te
najznamenitejše matematične konstante.
Vega je za svoje delo dobival številna priznanja . Za državo, oziroma
cesarja, je bil najpomembnejši njegov dosežek na področju balistike, ko je
konstruiral izvrsten možnar . Leta 1800, le dve leti pred smrtjo, je bil povzdig-
njen v barona . Jurij Vega je bil eden redkih Slovencev , ki se je dokopal do
družinskega grba . Prav gotovo pa je bil edini, ki si je grb zaslužil s svojim
delom in ga ni pridobil zaradi bogastva in moči : na grbu je naslikana prižgana
bomba (slika 1).
Vega si je po končanem šolanju v Ljubljani, kjer sta bila zLinhartom
sošolca , v resnici služil kruh tako kot večina matematikov vseh časov : s
poučevanjem. Učil je na to pniški šoli na Dunaju . Svoja predavanja je izdal v
obliki učbenika Vorlesungen iiber die Mathematik (Predavanja o matematiki) .
S tem se je postavil na čelo vrsti izvrstnih slovenskih piscev matematičnih
učbenikov . Dokler smo bili Slovenci še vključeni v Avstro-Ogrsko, je bilo
razumljivo , da so učbenike Vega , Močnika, Hočevarja in Zupančiča tiskali v
nemščini in prevajali v druge jezike . Kasneje je tudi Plemelj izdal monografijo
v angleščini, vendar je postalo jasno, da je iz male države mnogo teže prodreti
na svetovni trg . Tako smo pravzaprav v paradoksalnem položaju . Slovenski
matematiki dandanes mnogo laže izdajamo v tujini svoje znanstvene spise
kakor pa učbenike.
369
Slika 1. Vegov grb
Vsakomur mora biti jasno, da so učbeniki izpred dvesto let zastareli .
Kljub temu pa je vredno pogledati, kaj je Vega pisal v svojih Vorlesungen ilber
die Mathematik. Naša matematična nrav nam narekuje, da se spomnimo tega
velikana na način, ki matematikom najbolje pristoji. Poskusimo podoživeti
nekaj razmislekov, ki jih je Vega prelil na strani svojega učbenika.
Oglejmo si dodatek druge knjige, ki nosi naslov: Analytische Darstellung
der Sinus fiir jeden dritten Grad von O bis 900 (Analitična predstavitev sinusa
za vsako tretjo stopinjo od O° do 900 ) . Gre za razpredelnico vrednosti sin o ,
za kote o = 00 , 3 0,6 0 , . . . ,90 0 (tabela 1) .
Matematik pa si ob tej razpredelnici nehote zastavi več vprašanj . Neka-
tera med njimi utegnejo zanimati tudi bralce Preseka:
• Zakaj so sinusi privilegirani? Zakaj ni še razpredelnic za tangense in
kotangense?
• Zakaj niso koreni v raz predelnici izračunani, ampak so puščeni v "anali-
tični obliki"?
• Zakaj je korak v razpredelnici ravno 30 in ne morda 10 , 20,40 ali 50?
• Kako si lahko sami izračunamo takšno razpredelnico, če bi jo potrebovali?
• Ali je razpredelnica v dobi računalnikov zastarela, odveč?
Preden odgovorimo na zastav ljena vprašanja, le bežno ponovimo defini-
cije trigonometrijskih funkcij (sin us, kosinus, tangens, kotangens, sekans in
kosekans) za ostre kote, torej za kote v pravokotnem trikotniku .
370
Za prav okotni trikotnik s katetama a , b , hipotenuzo c , kotom o nasproti
a in kotom 90 0 - o nasproti b definiramo:
I
. a
Sin o := - ,
c
b
coso '= -. c '
a
ta n 0'= -. b '
b
co t 0 := - ,
a
c
sec o := - ;
a
c
csco := b'
Vse trigonometrijske funkcije je mogoče izraziti samo s sinusom:
cos ce = )1- sin 2 0= sin(900 - o) ,
sin o 1
t an o = - - , cot o = --,
cos o tan o
1 1
seco = - - , csco = -.- - .
cos o Sin o
Zato je razumljivo, da lahko vrednosti drugih tr igonometr ijskih funkcij
iz ra čunamo s seštevanj em , odštevanjem , množenjem in deljenjem iz vrednosti
sinusov . S t em smo odgovorili na prvo vprašanje .
No , natančnejši pogled na razpredelnico poka že , da je uporabniku pre-
g lednic e Vega pripravil vse potrebno za r a ču n a nj e sinusov. Na začetku stoj ijo
naslednje ira cion alne konstante: -
1,414213562373
1,732050807569
2 ,236067977500
2 ,689994047856
Njegove konstante se potem nadaljujejo z
Vse te pa je mogoče izračunati iz osnovnih štirih konstant s celimi števili in z
elementarn im i računskimi o perac ijami .
Odgovor na drugo vprašanje je skoraj očiten . Vega je spregled nico
omogočil , da si sami izra čunamo t a belirane sinuse s poljubno natančnostjo.
Za vse prakti čne račune seveda zadoščajo konstan te , i z raču n a n e na 12 de ci-
maln ih mest .
Zakaj si je Vega izbra l ravno korak 30 pri svoji razpredelni ci? Ali gr e za
sl učaj? Kako to , da je mogoče izrazi ti sinuse vseh teh kotov skoreni?
371
sin3° =cos8?" =H-v1- vf + '.11 + Jff + VS+ J5 - V1S+3J5]
sin 6° =cos84° = H - 1 - J5 + V 30 - 6 vs)
sin 9° =cos 81° = 1- [vf + '.11-~]
sin 12° =cos78° =t [ .J3 - ViS + V lO + 2 J5]
sin 15° = cos 7So =~ (v1 - Vf)
sin18° =cos72° = 1- (-1 + J5)
sin 21° =cos69' =H - v1 + vf + '.11 - Jff + VIS - 3 J5 + V S - J5]
sin 24° =cos66° = H .J3 + ViS - VlO - 2 J5]
sin 2?" =cos63° = 1- [Vf - A + VS + J5]
sin 30' =cos 60° = ~
sin 33° =cosS?" =H-v1 - vf + '.11 + Jff - VS + J5 + VIS + 3 J5]
sin36' =cosS4' =1-[ VlO - 2 J5]
sin39' =cosS1° =H v1 + vf + '.11 + Jff - VIS - 3 J5 + VS - J5]
sin 42° =cos 48° = HI -J5 + V 30 + 6 vs)
sin 45° =cos4So = vf
sin48° =cos42° =H-.J3+ ViS + V10+2J5]
sin 51° =cos39° =H v1- vf - A + Jff + VIS - 3J5 + VS - J5]
sin 54° =cos36° =1- (1 + J5)
sin S?" =cos33° = t [A - vf + A - Jff + VS+ J5 + V1S+3J5]
sin 60° =cos 30° = ~.j3
sin 63° =cos2?" = 1-[-Vf + '.11 + v'5+75]
sin 66° =cos 24° =H1 + J5 + V30 - 6 VS]
sin 69° =cos21° =H v1 + vf + '.11 + Jff + VIS - 3 J5 - VS - VS]
sin72° =cos18° =1- (V10+2J5)
sin 75° =cos 15° = ~ ( A + Vf)
sin 78° =cos 12° = H -1 + VS + Vr-30-+-6-J5-S]'
sin81° =cos9° =1-[ vf + '.11 +~]
sin 84° =cos6° =t [.j3 + ViS + VlO - 2 VS]
sin8?" =cos3° =H-A + vf - VII + Jff + VS + J5 + VIS + 3 VS]
Tabe la 1. Vegova razpredelnica sinusov. Vrstni red členov v izrazih je nekoliko spremenjen .
372
Ponovimo Vegov razmislek. Upoštevati moramo zvezi:
sin( cx + (3) = sin cx cos {3 + cos cx sin (3
sin(cx - (3) = sin cx cos{3 - cos o sin{3,
ki ju spoznamo v srednji šoli pri pouku trigonometrije .
Od tod zlahka izpeljemo obrazce za sinuse dvojnih , trojnih in petkratnih
kotov :
sin 2cx = 2 sin cx cos cx , sin 3cx = 3 sin cx - 4 sin3 cx,
sin 5cx = 5 sin cx - 20 sin3 cx + 16 sin5 cx .
Uporabili bomo še zvezi
. cx \1' \/'sin - = - 1 + sin cx - - 1 - sin cx
2 2 2
cos o = )1- sin2 cx
ter znano dejstvo , da sinus narašča , ko kot narašča od O° do 90° . Iz izrojenega
trikotnika dobimo:
sin 0° = O, sin 90° = 1 .
Le znamo izračunati sin 3° , lahko z obrazcem za sinus vsote načeloma
izračunamo sinuse vseh manjkajočih kotov. Izpeljava lahko poteka takole: .
Ker je 30° tretjina 90°, označimo x = sin 30° in iz zveze za sinus trojnega
kota
dobimo enačbo
1 = 3x - 4x 3 ,
ki ima rešitve Xl = - 1, x2 ,3 = ~ . Ker je O < x = sin 30° < 1, mora biti
sin 30° = ~ . Isti trik lahko uporabimo pri r a ču n a nj u y = sin 18° . Razlika
je le v tem , da izberemo obrazec za sinus petkratnega kota . Rešiti moramo
enačbo
1 = 5y - 20y3 + 16y5 .
I 373
Koren YI = 1 uganemo, potem pa dobimo enačbo 4. stopnje 16y4 +
+ 16y 3 - 4y 2 - 4y + 1 = 0, ki je kvadrat kvadratne enačbe
(4y2+2y-1)2=0 .
Le-ta ima dve dvojni rešitvi : Y2,3 = -!( J5+ 1), Y4,5 = !(J5- 1) . Ker
iščemo sin 18° na intervalu (O , !), ustreza temu pogoju le ena dvojna rešitev .
Tako imamo
sin 18° = ~(J5 -1) .
Iz obrazca za sinuse polovičnih kotov dobimo
sin 15° = sin 3~0 = ~V1 + sin 30° - ~V1- sin 30° =~A-~/f
Le uporabimo še obrazec za sinus razlike kotov za kota a = 18° in
(3 = 15° , dobimo
sin 3° = sin(18° - 15°) = sin 18° cos 15° - cos 18° sin 15°.
Pri tem dobimo manjkajoče vrednosti za kosin use iz obrazca
cosa = V1-sin2a .
Tako imamo
ln
Končni rezultat je torej
Obliko je izbral računalniški sistem Mathematica. Z računalnikom smo
preverili (bralec pa naj se o tem prepriča brez računalnika) , da je vrednost
enaka tisti , ki jo je zapisal Jurij Vega:
374
Ko smo z Mathematico preračunavali sinuse , smo opazili, da je mogoče
)2 + v3 izraziti s ..fi in V6. Ali lahko ugotovite , kako? Le tega niste storili
že prej, zdaj brez težav pokažete enakost gornjih izrazov za sin 3°.
Računalnikarji pa si ob pogledu na Vegovo razpredelnico zastavimo
naslednje vprašanje: Koliko časa bi porabili, da bi po navodilih iz tabele
izračunali sinuse na n decimalnih mest? Zanima nas torej časovna zahtevnost.
Ob tem moramo upoštevati nekaj predpostavk.
1. Računanje n decimalk iracionalnega kvadratnega korena iz majhnega
celega števila zahteva približno n2 operacij.
2. Računanje n decimalk produkta dveh iracionalnih števil zahteva približno
n2 operacij.
3. Računanje n decimalk kvocienta dveh iracionalnih števil zahteva približno
n2 operacij . Pri tem mora biti deljenec znan na 2n decimalk.
4. Računanje n decimalk vsote dveh iracionalnih števil zahteva približno n
operacIJ.
5. Računanje n decimalk razlike dveh iracionalnih števil zahteva približno
n operacij.
6. Razpolavljanje iracionalnega števila (prvih n decimalk) zahteva približno
n operacij.
Ob teh predpostavkah lahko ugotovimo, da je za računanje razpredelnice
po Vegovi metodi potrebnih 16n 2 + 90n operacij: 16 zahtevnejših in 90
linearnih. Ker je 1j..fi = ..fij2 , bi lahko število konstant, ki jih je potrebno
računanti s kvadratnim algoritmom, zmanjšali na 15. Ni pa jasno, ali ni
mogoče tega števila še zmanjšati . Zato lahko takoj zastavimo naslednje
vprašanje:
Kolikšno je najmanjše število korenov (iracionalnih konstant) , s kate-
rimi lahko potem izrazimo vse sinuse samo s seštevanjem , odštevanjem in
razpolavljanjem? (Namesto razpolavljanja bi lahko dopustili tudi deljenje s
celimi števili .)
Zakaj torej Vega ni zapisal obrazca za računanje 4J = sin 1° (in drugih
sinusov)? 4J je rešitev enačb e
a = 3x - 4x3 , kjer je a = sin 3° .
Pastopek za ratunanje decimalk te bnrtante so poznali Zc v ppetnajrtern 
stoletju Arabci. ACKaEi je priblizke ra r&tw dobil takalc: 
in tako naprej. Torcj dobirno #,(n = 1,2,3, ...) rekurzivno 
Enarba tretje stopnje ima eksaktno rditev. Poi?Remo jo lahko s Car- 
danovim obrazcem. V konkrttntm primerw lahko z Mathematico tudi pairre- 
mo reSitvt cnaEbe 
ral  s t  reKitve anaEbe izrafajo s kompleksnimi konni. KO jih poskusimo izraziti 
z realnimi opuacijami. nam to  uspt It tako, da prcvedwno raEunanjc na 
trigonomttrijo. Privztti moramo, da vcmo, kdiko je sin lo. To pa je circulw 
vitiosus (zahrani knog). V Vcgovih bsih matematiki 3;e nisa vedtli, da je ta 
bnkrctna enaZZtra nuegljiva z realnimi h n i .  Kasnejt so dokazali, da kubihra 
enaEba t racionalnimi koeficienti, ki irna tri m l n e  re5ikt in ni razctpna v 
racionalnih Steviiih, nima rditev, k i  bi s t  jih dala izraziti t raalnirni b n i .  
Tak primer kubiEnc enaEbc so poimenavali casus imducibilis (primer, k i  se 
ne $6 poenwtaviti). In prav enaEbs ra sin lo jt asus irrcducibilis. To pa 
ima za Vegwo tabelo globoke poriledics, Jasno je, $a nobcnega sinusa s 
nlimi stopinjarni, k i  niso v tabdi, ni mogds izrarunati s b a n i .  To pomeni, 
da je Vega izratunal vse, kar jt mogote kraEunati. (No, lahko bi izraEunali 
sin 1'30'. vcndar nas t o  ni zanimalo.) 
NajlepEe sc zahvaljujsm kolcgu Marku Patkovgku za sodslcvanje pri 
nastanku tega prispevka. 
Toma2 Pisanski