i
i
“5-4-Pucelj-naslov” — 2009/3/27 — 12:17 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 5 (1977/1978)
Številka 4
Strani 195–197
Ivan Pucelj:
PRAVOKOTNI TRIKOTNIK
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/5/5-4-Pucelj.pdf
c© 1978 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA___II
PRAVOKOTNI TRIKOTNIK
Saj poznaš Pitagorov izrek:
če je trikotnik pravokotni , je vsota kvadratov krajših dveh
stranic enaka kvadratu najdaljše stranice.
10b r a t Pita goro v e ga iz reka. Poglejmo trikotnik s stranicamia = 7, b = 24, (J = 25. Zlahka preverimo, da velja a 2 + b? = (J2 ,
saj je 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 25 ~. Nastane pa vprašanje,
ali je ta trikotnik tudi pravokotni? Seveda, rečete, preskusi-
mo to z risanjem in z merjenjem. Nerodno pri tem pa je, da iz-
meriti s kotomerom poljubnega kota pravzaprav natančno ne mo-
remo. S tem vprašanjem pridemo v zad rego še bolj v primeru
a = 6887, b = 2184, (J = 7225; tudi zdaj lahko preveriš, da ve-
lja 6887 2 + 2184 2 = 7225 ~ načrtovanje tega trikotnika pa pov-
zroča težave že zaradi velikosti stranic. No, obe zadnji nalo-
gi sta le posebna primera tele: Ali je pravilen izrek:
(1) če je vsota kvadratov krajših dveh stranic trikotnika ena-
ka kvadratu največje stranice, je trikotnik pravokotni .
Ta izrek drži! Poglejmo namreč premislek, ki ga potrjuje!
Recimo, da ima naš trikotni k ABG stranice a, b i n (J in da ve-
lja a 2 + b 2 = c 2 . Načrtajmo poleg njega pravi kot 1hOk. Prene-
simo na krak h stranico a = BG in na krak k stran ico b = AG,
začetna točka pa naj bo vedno izhodišče O, končni točki ozna-
čimo Aj , B j , torej imamo a = DA J , b = OBj ' Tako smo dobili
poleg trikotnika ABG še pravokotni trikotnik A j BjO , ki ima
najdaljšo stranico Aj B j. Zanj seveda velja Pitagorov izrek in
195
k
A
a B , h
b
a B
zato je pravi lna enakost DAr + OBr = Aj Br, torej a 2 + b 2 = Aj B f·
Toda vemo, da je a 2 + b 2 = c 2 in ta ko s kl epamo , da mora vel ja-
ti A jB j = c . Vidimo, da so stran ice tri kotni kov ABC in OA jB l
paroma ena ke. Zda j se še sp omnimo: ee se dva t ri kot ni ka u j ema-
ta v stranicah , s t a si skl adna . Torej sta si t ud i naša dva
t r ikotnika s kl adna , kar pomeni, da je potemta kem tudi ABC pra-
vokot ni triko tnik .
Izrek (1) i menuj emo obratni izre k k Pitagorovemu.
V prime ru A sta tedaj oba tri kotni ka pravokotna; zani mi v i so
tudi d rugi t ri kot ni ki s c e l o š t e vi l č n i m i stranicami a , b , c , ki
ustrezajo pogoju a 2 + b 2 = c 2 . Tak e t r ojice ( a , b, c) imenujemo
2
Pi t agOr Sk e t rojice .
Pi t ago rske t r oj i c e . Naj sta m , n ce l i šte vili, m > n. Nared i mo
t r oj i co
( 2) a = m2 - n 2 b = 2mn c = m2 + n 2
Vidn o j e , da vel ja: (m2 - n2 ) ~ + (2 mn )l. = (m2 + n 2) , ka r po-
meni, da je ( 2) pitago rs ka troji ca. š t ev i l t m in n se i menu je -
ta gene ratorja pitagors ke trojic e . ee števila a , b , c v ( 2)
ni majo skupnega faktorja, imenuj emo ( a, b, c) pri miti vna pit a-
gorska trojica . Na podlag i (2) lahko oblikujemo poljubno mnogo
ta kih trojic; ne kaj jih kaže tabela
m n a b c
2 1 3 4 5
3 2 5 12 13
7 6 13 84 85
11 6 8 5 132 157
196
Pftagorrke t ~ o j f c e  JmaJo premnoge ranfmive  l a s t n o s t f ;  poglejano 
nekatere: 
V p r j m i t i v n f  pitagorskl  t r o j f c i  j e  eno fzmed J t e v i l  d e l j i v ~  3 3 .  
To v f d i m ~  taka: Pri deldenju  celcpa Ztevila s 3 so aagoEl o- 
s tank i  0, I ,  2. Hadal j e  v e t j a ,  t e  ina p r l  del j e n j u  s 3 t t e v l l o  
estanke 0, 1, 2 ,  fma kvadrat tega Stevila ostanke 0, 1 ,  1 .  
Ldaj pa oparuJemo t a b e l o  ra pftagorrka trodice gtede na ostan- 
ke prI d e l j e n j u  s S t e v f l o a  tr4. 
Ee 9e w d e t j i v  s 3 a l i  pa €a j e  n daljiw s 3, j a  b del j f v  s 3 .  
Ee pa w i n  n nista d e l j l v a  s 3 ,  Je  r2 - n2 * o d e l j f v  s 3 .  Y 
printttvnlh trcjfcah (arb,c) c n 3 k o l l  n i  d e l  j f v  s 3 ,  
Poskusi dokazati, da j e  trojica ( a , b , e )  p r i m f t i v n a  n l tanko  te -  
daj, t o  j c  n t u j  proti n tn  nCsta oba l i h a .