Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 54 Peter Kočman, mag. inž. teh. var. peter.kocman@fgg.uni-lj.si izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, univ. dipl. inž. grad. sebastjan.bratina@fgg.uni-lj.si doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek, univ. dipl. inž. grad. jerneja.kolsek@fgg.uni-lj.si Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova cesta 2, 1000 Ljubljana Znanstveni članek UDK/UDC: 624.012.3:624.072(078.9) NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI NUMERICAL ANALYSIS OF A POST- TENSIONED CONCRETE BEAM WITH UNBONDED CURVED CABLES Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Povzetek V članku predstavimo matematični model in ustrezen numerični postopek za analizo mehanskega odziva naknadno predna- petega betonskega nosilca z nepovezanimi ukrivljenimi kabli pri delovanju kratkotrajne statične obtežbe. Betonski del nosilca, ki je v splošnem armiran z mehko armaturo, modeliramo z Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca, prednapete kable, ki potekajo znotraj betonskega nosilca, pa z modelom vrvi. Pri tem upoštevamo, da se kabel in betonski nosilec na medsebojnem stiku lahko zamakneta, ne moreta pa se razmakniti. Pojava lokalizacije deformacij in mehčanja betona v tlaku, ki običajno nasto- pita pri visokih nivojih obremenitev, modeliramo s t. i. »crack-band« modelom, s katerim omenjena pojava omejimo na končno dolžino nosilca. Primernost in natančnost razvitega modela prikažemo s primerjavo numeričnih in eksperimentalnih rezultatov mehanskega odziva prostoležečega in kontinuirnega nosilca, za katera so v literaturi na voljo dobro dokumentirani eksperimen- talni rezultati. Ugotovimo zelo dobro ujemanje rezultatov. Ključne besede: prednapeti beton, ukrivljeni kabli, naknadno napenjanje, numerični model, prostoležeči nosilec, kontinuirni nosilec Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 55 Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Summary The paper presents a mathematical model and a corresponding numerical procedure for the analysis of the mechanical respon- se of a post-tensioned concrete beam with unbonded curved cables under short-term static loading. The concrete part of the beam, which can be reinforced with soft reinforcement, is modeled with Reissner's in-plane beam model and the prestressed cables running inside the concrete beam are modeled with the rope model. It is assumed that the cable and the concrete beam may displace side-by-side, but cannot displace apart at the point of contact between them. The phenomena of localiza- tion of deformation and softening of the concrete under compression, which usually occur at high loads, are modeled with a well-established »crack-band« model, which limits these phenomena to the finite length of the beam. The suitability and accuracy of the developed model is demonstrated by comparing numerical and experimental results of a simply supported and a continuous beam, for which well documented experimental results are available in the literature. Finally, a very good agreement of the results is found. Key words: prestressed concrete, curved cables, post-tensioning, numerical model, simply supported beam, continuous beam Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 56 čemer se potencialnim divergenčnim problemom izogne- mo z uporabo »crack-band« modela ([Bažant, 1989], [Bratina, 2004]), s katerim omenjena pojava omejimo na končno dol- žino elementa (na t. i. »kratek« element), vzdolž katere pred- pišemo konstanten potek deformacij. To nam omogoča, da odziv konstrukcije uspešno analiziramo tudi v območju mejne in postkritične nosilnosti. Primernost in natančnost razvitega matematičnega modela in numeričnega postopka prikaže- mo s primerjavo numeričnih in eksperimentalnih rezultatov mehanskega odziva prostoležečega in kontinuirnega nosilca, za katera so v literaturi na voljo dobro dokumentirani eksperi- mentalni rezultati. Članek ima poleg uvoda še štiri poglavja. V drugem poglavju predstavimo enačbe matematičnega modela, v tretjem po- glavju predstavimo postopek numerične analize, v četrtem in petem poglavju pa prikažemo dva računska primera. Na kon- cu podamo zaključke. 2 MATEMATIČNI MODEL MEHANSKEGA ODZIVA PREDNAPETEGA AB-NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Opazujemo mehanski odziv naknadno prednapetega be- tonskega nosilca z ravno težiščno osjo in s konstantnim preč- nim prerezom s površino Ac, ki je simetričen glede na navpič- no os in je izpostavljen kratkotrajnemu delovanju zunanje mehanske obtežbe. Nosilec je v splošnem armiran s klasično (mehko) vzdolžno armaturo, pri čemer z As označimo plošči- no njenega prečnega prereza. Pri tem predpostavimo, da je armatura togo povezana z betonom (kompatibilnost defor- macij na medsebojnem stiku). Zaradi večje nazornosti na- daljnjih izpeljav predpostavimo, da je nosilec prednapet le z enim ukrivljenim kablom s ploščino prečnega prereza Ap. Predpostavimo, da ga napnemo z desne strani z začetno silo prednapetja Np,0, na levi strani pa je kabel ustrezno sidran. Ker kabel in betonski nosilec med seboj nista povezana, se med napenjanjem oziroma deformiranjem nosilca medsebojno zamakneta, vzdolž njune stične površine pa se aktivira trenje. V nadaljevanju osnovne enačbe, s katerimi opišemo nape- tostno in deformacijsko stanje takšnega nosilca, predstavimo ločeno za betonski del nosilca s pripadajočo vzdolžno meh- ko armaturo (ta del v nadaljevanju poimenujemo armirano- betonski del nosilca) in ločeno za ukrivljen kabel. V besedilu in v enačbah uporabimo oznako (●)c za količine, ki pripadajo betonskemu delu nosilca, oznako (●)s za količine, ki pripada- jo vzdolžni mehki armaturi, oznako (●)p pa za količine, ki pri- padajo prednapetemu kablu. Nedeformirano in deformirano konfiguracijo prednapetega nosilca prikažemo na sliki 1. 2.1 Kinematične enačbe Deformiranje nosilca opišemo v tridimenzionalnem točkov- nem evklidskem prostoru. Koordinate prostorskega koordinat- nega sistema označimo z x, y, z, pripadajoče tangentne vektor- je pa z e1, e2, e3 = e1 x e2 (glej sliko 1). Za opazovališče izberemo točko (0, 0, 0) in jo označimo z 0. Postavimo jo na začetek no- silca, in sicer v težišče prečnega prereza armiranobetonskega dela nosilca v nedeformirani konfiguraciji. Vpliv kabla in meh- ke armature na lego težišča pri tem zanemarimo. Posledično tudi težiščna os nosilca v nedeformirani konfiguraciji sovpada 1 UVOD Prednapeti betonski nosilec je eden izmed najpogostejših konstrukcijskih elementov, ki se uporablja za premostitev večjih razponov pri različnih gradbenih objektih. Prednapeti beton, v katerega z napenjanjem jeklenega kabla vnesemo tlačne obremenitve, ima v primerjavi z armiranim betonom kar nekaj prednosti. Mednje štejemo predvsem večjo nosil- nost betonskega prereza, ki omogoča gradnjo konstrukcij več- jih razpetin oziroma prihranke vgrajenega materiala, mehka armatura in prednapeti kabli so zaradi tlačno obremenjenih prerezov bolj zaščiteni proti zunanjim vplivom, prednapenja- nje konstrukcij pa omogoča tudi razvoj novih tehnologij grad- nje. Glede na čas napenjanja obstajata dva načina prednape- njanja, in sicer predhodno in naknadno prednapenjanje. Pri prvem se kabel za prednapenjanje napne pred betoniranjem in sila prednapetja se vnese v ustrezno strjen beton preko spri- jemnih napetosti med kablom in betonom, pri drugem pa je postopek napenjanja obraten, in sicer silo prednapenjanja vnašamo v strjeni beton preko sidrišč in kontaktnih napeto- sti vzdolž stika med kablom in betonom. Na začetku so kabli nepovezani z betonskim nosilcem, naknadno sprijemnost pa dosežemo z injektiranjem kabelskih cevi z ustrezno injekcijsko maso. Prednapeti nosilec je sestavljen iz dveh komponent, iz armi- ranobetonskega nosilca in jeklenega kabla, pri čemer je sled- nji lahko raven, velikokrat pa je ukrivljen. Pri tem sta kabel in betonski ovoj, odvisno od izbire zgoraj omenjenega nači- na prednapenjanja, med seboj povezana (adhezijsko) ali pa nepovezana. Dosledno upoštevanje vpliva ukrivljenega kabla na deformiran betonski nosilec je relativno zahtevna naloga tako pri formulaciji matematičnega modela prednapetega elementa kot pri numeričnem reševanju izpeljanih enačb. V preteklosti se je vpliv ukrivljenih kablov na betonski nosilec pogosto nadomeščalo z ekvivalentno obtežbo, ki se med de- formiranjem konstrukcije ni spreminjala. Žal pa z omenjeno poenostavitvijo v analizi ni bilo mogoče zajeti morebitne po- rušitve takšnega kompozitnega nosilca zaradi odpovedi kabla oziroma stika med kablom in betonom v primeru polne po- vezanosti. Danes pa naprednejši računski modeli vpliv kabla na betonski nosilec upoštevajo na različne načine z ustreznimi veznimi enačbami, ki so odvisne predvsem od izbire matema- tičnega modela. Primeri takšnih modelov so objavljeni v tuji literaturi (kot npr. [Burns, 1991], [Durand, 2023], [Jancy, 2023], [Lou, 2016]). Pri tem raziskovalci za modeliranje betonskega nosilca uporabijo enačbe 2D in 3D trdnega telesa ali pa no- silec matematično opišejo z modelom linijskega elementa. Izkaže se, da je slednji opis bistveno enostavnejši, k čemur največ prispeva bistveno manjše število končnih elementov, s katerimi diskretiziramo model v postopku numeričnega reševanja. V tem članku predstavimo matematični model in ustrezen numerični postopek za analizo mehanskega odziva betonske- ga nosilca, prednapetega z nepovezanimi ukrivljenimi kabli. Betonski nosilec, armiran z mehko vzdolžno armaturo, mate- matično opišemo z modelom linijskega elementa, pri čemer kabel modeliramo ločeno. V modelu upoštevamo materialno nelinearnost. Na območju betonskega dela nosilca dodatno upoštevamo tudi možnost pojava lokalizacije deformacij ter mehčanja betona v tlaku pri visokih nivojih obremenitev, pri Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 57 z vzdolžno osjo x omenjenega koordinatnega sistema. Upo- števamo Bernoullijevo predpostavko o ravnih prečnih prerezih. Dodatno predpostavimo, da je prečni prerez, ki je v nedefor- mirani konfiguraciji pravokoten na težiščno os nosilca, nanjo pravokoten tudi v deformirani konfiguraciji. Za parametrizacijo težiščne osi ukrivljenega kabla, ki leži v ravnini (x, z), izberemo naravni parameter sp (slika 1). Slednji je definiran na intervalu [0, ls], pri čemer je ls dolžina kabla. 2.1.1 Vezni enačbi Pri izpeljavi veznih enačb opazujemo dve točki, točko Tc na ar- miranobetonskem nosilcu v neposredni bližini kabla, ki ima koordinate (xc, 0, zc), ter točko Tp na kablu, ki ima ločno koordi- nato sp * oziroma prostorske koordinate (xp(sp*), 0, zp(sp*)). Točki sta v nedeformirani konfiguraciji zamaknjeni, v deformirani konfiguraciji pa sta soležni (glej sliko 1). V nedeformirani konfi- guraciji je točki Tc soležna točki Pp na kablu z ločno koordinato sp. Lego točke Tc v nedeformirani konfiguraciji torej določimo s krajevnim vektorjem: (1) lego točke Tp na kablu, prav tako v nedeformirani konfiguraciji, pa s krajevnim vektorjem: (2) V deformirani konfiguraciji je lega točke Tc armiranobetonske- ga dela nosilca določena s krajevnim vektorjem: (3) lega točke Tp na kablu pa s krajevnim vektorjem: (4) V enačbah (1)–(4) je uc vodoravni pomik, wc navpični pomik težiš- čne osi armiranobetonskega dela nosilca pri koordinati xc, φc je zasuk prečnega prereza, ki gre skozi točko Tc, up in wp pa sta vodoravni oziroma navpični pomik točke Tp kabla. Ker sta točki Tc in Tp v deformirani konfiguraciji soležni, velja rc=rp oziroma v komponenti obliki: (5) (6) Ob predpostavki, da so pomiki, zasuki in zamiki prednapete- ga nosilca majhni, lahko vezni enačbi (5) in (6) lineariziramo okoli začetne nedeformirane konfiguracije [Hughes, 1978] in dobimo: (7) (8) V enačbah (7)–(8) s φp0 označimo kot, ki ga oklepa tangenta krivulje kabla s težiščno osjo armiranobetonskega dela nosilca pri ločni koordinati sp v začetni nedeformirani konfiguraciji (v točki Pp). 2.1.2 Armiranobetonski del nosilca Ob že omenjeni predpostavki, da so pomiki in zasuki nosilca med deformiranjem majhni, lahko konsistentno lineariziramo tudi osnovne kinematične enačbe linijskega nosilca [Reissner, 1972]. Pri tem dobimo: (9) (10) (11) V enačbah je εc0 specifična sprememba dolžine (osna defor- macija), κc pa ukrivljenost (upogibna deformacija) armirano- betonskega dela nosilca v njegovi težiščni osi. 2.1.3 Ukrivljen kabel Tudi deformiranje kabla za prednapenjanje, ki je v nedeformi- rani konfiguraciji ukrivljen, opišemo s konsistentno linearizira- nimi Reisnerjevimi enačbami [Reissner, 1972]: (12) (13) (14) Pri tem je εp specifična sprememba dolžine kabla (osna defor- macija), κp ukrivljenost kabla, φp pa kot, ki ga oklepa tangenta krivulje kabla s težiščno osjo armiranobetonskega dela nosilca pri ločni koordinati sp v deformirani konfiguraciji. Zasuk φp lah- ko s pomočjo veznih in kinematičnih enačb izrazimo z ostali- mi kinematičnimi in deformacijskimi količinami. 2.2 Ravnotežne enačbe 2.2.1 Ravnotežne enačbe armiranobetonskega dela nosilca Ravnotežne enačbe armiranobetonskega dela nosilca zapiše- mo v obliki treh diferencialnih enačb prvega reda [Reissner, 1972], ki so v linearizirani obliki izražene kot: Slika 1. Nedeformirana in deformirana konfiguracija pred- napetega nosilca. Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 58 (15) (16) (17) V enačbah (15)–(17) je Nc osna sila, Qc prečna sila in Mc upogib- ni moment v armiranobetonskem delu nosilca, qx,c in qz,c sta zunanji linijski obtežbi nosilca v smeri osi x oziroma z, mc je momentna linijska obtežba okrog osi y, px,c in pz,c pa sta kom- ponenti kontaktne linijske obtežbe v smeri osi x oziroma z na stiku med armiranobetonskim delom nosilca in kablom. 2.2.2 Ravnotežne enačbe kabla Pri izpeljavi ravnotežnih enačb kabla upoštevamo, da ima za- nemarljivo upogibno in strižno togost. Posledično se ravno- težni enačbi izrazita kot: (18) (19) V enačbah (18)–(19) je Np osna sila v kablu, pt,p in pn,p sta strižna oziroma normalna komponenta kontaktne linijske obtežbe na stiku med kablom in armiranobetonskim delom nosilca. S κp0 označimo ukrivljenost kabla v začetni nedeformirani konfigura- ciji in jo izračunamo s pomočjo naslednje enačbe [Kline, 1977]: (20) 2.2.3 Statični vezni enačbi Poleg kinematičnih veznih enačb moramo v modelu zagotoviti tudi ravnotežje kontaktnih sil na stiku med armiranobetonskim delom nosilca in ukrivljenim kablom. To zagotovimo s statični- ma veznima enačbama, ki ju zapišemo v komponentni obliki: (21) (22) Komponenti kontaktne linijske obtežbe v smeri osi x oziroma z, s katerimi kabel učinkuje na armiranobetonski del nosilca (glej ravnotežne enačbe armiranobetonskega nosilca (15)–(17)), pa izračunamo s pomočjo naslednjih izrazov: (23) (24) 2.3 Konstitucijske enačbe 2.3.1 Konstitucijske enačbe betonskega dela nosilca in togo povezane mehke vzdolžne armature Zaradi Bernoullijeve predpostavke o ravnih prečnih prerezih osno deformacijo poljubnega vzdolžnega vlakna betonskega dela nosilca zapišemo kot εc = εc0 + zcκc, osno deformacijo j-te vzdolžne armaturne palice pa kot εs,j = εc0 + zs,jκc, kjer je zs,j od- daljenost j-te armaturne palice od težiščne osi nosilca. Tako določenim deformacijam s pomočjo konstitucijskih zakonov oz. zvez v obliki σi – εi (i = c, s), ki jih dobimo s standardnimi eno- osnimi preizkusi materialnih vzorcev ali pa jih povzamemo iz dostopne literature, pripišemo še pripadajoče normalne nape- tosti σi. S pomočjo slednjih lahko definiramo konstitucijski osni sili Nc,c in Ns,c oziroma konstitucijska upogibna momenta Mc,c in Ms,c armiranobetonskega dela nosilca ter ustrezni konstitucijski enačbi: (25) (26) V tem članku zvezo med normalno napetostjo in deforma- cijo tlačno obremenjenega betona opišemo z nelinearnim konstitucijskim zakonom po Desayiju in Krishnanu [Desayi, 1964], zvezo med napetostjo in deformacijo natezno obreme- njenega betona pa z bilinearnim konstitucijskim zakonom po Berganu in Holandu [Bergan, 1979] (glej sliko 2(a)). Pri tem je fcm tlačna trdnost betona, dosežena pri deformaciji εc1, εcu je mejna (porušna) tlačna deformacija betona, fct je natezna trdnost betona, εct1 je pripadajoča natezna deformacija, εctu je mejna natezna deformacija betona, Ec pa je modul elastičnosti betona. Zvezo med napetostjo in deformacijo armature, tako v nate- gu kot tlaku, opišemo z idealiziranim bilinearnim diagramom, ki ga povzamemo po standardu SIST EN 1992-1-1 [SIST, 2005]. Parametri modela so: fyk je karakteristična napetost na meji elastičnosti, Es je modul elastičnosti armature, ftk je karakte- ristična natezna trdnost armature, εsu pa je mejna (porušna) deformacija. V konstitucijskih modelih betona in armature do- datno upoštevamo tudi izotropno utrjevanje. 2.3.2 Konstitucijske enačbe prednapetega kabla Podobno kot smo definirali prispevek mehke vzdolžne arma- ture Ns,c h konstitucijski osni sili armiranobetonskega dela no- silca (glej enačbo (25)), definiramo tudi konstitucijsko osno silo prednapetega kabla Np,c ter ustrezno konstitucijsko enačbo: (27) Pri tem je εp0 začetna elastična deformacija kabla zaradi pred- napenjanja, ki jo izračunamo kot: (28) kjer je Np0 začetna sila prednapetja. Zvezo med napetostjo in osno deformacijo kabla opišemo z idealiziranim bilinearnim diagramom, ki ga prav tako povza- memo po standardu SIST EN 1992-1-1 [SIST, 2005]. Prikazuje- mo ga na sliki 2(b). Pri tem so parametri modela sledeči: f p0,1k je napetost jekla za prednapenjanja pri 0,1-odstotni nepovratni deformaciji, Ep je modul elastičnosti, fpk je karakteristična na- tezna trdnost jekla in εpu mejna (porušna) deformacija. Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 59 2.3.3 Konstitucijski zakon stika V predstavljenem modelu sta kabel in okoliški beton nepo- vezana. Ob premikanju kabla, ki poteka v posebnih ceveh, se vzdolž stika aktivira le sila trenja (strižna komponenta kontak- tnih napetosti pt,p), ki je odvisna od normalne komponente kontaktih napetosti pn,p. Njuno zvezo zapišemo v obliki: (29) kjer je kt koeficient trenja, ki je v splošnem podatek proizva- jalca. 2.4 Robni pogoji Za reševanje predstavljenih enačb, s katerimi opišemo mehan- sko obnašanje prednapetega betonskega nosilca, so ključne- ga pomena robni pogoji. Prvo skupino robnih pogojev imenu- jemo kinematični robni pogoji, s katerimi predpišemo pomike oz. zasuke nosilca. V drugo skupino pa uvrstimo statične robne pogoje, s katerimi v prednapetem nosilcu predpišemo notra- nje statične količine. V skladu z variacijsko formulacijo pred- stavljenih enačb v obliki modificiranega izreka o virtualnem delu, ki v prikazanem modelu predstavlja osnovo za numerič- no reševanje enačb z metodo končnih elementov, lahko robne pogoje predpišemo le v vozliščih mreže končnih elementov. Robne pogoje, ločeno za armiranobetonski del nosilca in za kabel, predstavimo v preglednici 1. Pri tem pa lahko izberemo le kinematični ali statični robni pogoj, nikoli pa ne obeh hkrati. Dodatno v preglednici 1 definiramo še sile in momente, s ka- terimi kabel učinkuje na armiranobetonski del nosilca na nje- govih koncih, tj. na mestu sidranja oziroma napenjanja (sidrna in napenjalna glava). 3 NUMERIČNO REŠEVANJE ENAČB Z METODO KONČNIH ELEMENTOV Sistem enačb (preglednica 2) armiranobetonskega nosilca, prednapetega z ukrivljenim kablom, moramo reševati nume- rično, saj je problem nelinearen. Pri reševanju enačb upora- bimo metodo končnih elementov, pri kateri interpoliramo Slika 2. Konstitucijski zakon (a) betona in (b) kabla. (a) (b) Robni pogoji za armiranobetonski del nosilca: uc (0)=uc,0 ali Nc (0)+Sc,1=0 wc (0)=wc,0 Qc (0)+Sc,2=0 φc (0)=φc,0 Mc (0)+Sc,3=0 uc (L)=uc,L Nc (L)–Sc,4=0 wc (L)=wc,L Qc (L)–Sc,5=0 φc (L)=φc,L Mc (L)–Sc,6=0 Robni pogoji za kabel: up (0)=uc (0)+zp (0) φc (0) ali Np (0)+Sp,1 (0)=0 ∆up (L)=∆uc (L)+zp (L)∆φc (L) Np0–Sp,4 (L)=0 Vpliv kabla na obeh koncih armiranobetonskega dela nosilca: Sc,1 (0)=Np (0) cos φp0 (0) in Sc,4 (L)=–Np0 cos φp0 (L) Sc,2 (0)=–Np (0) sin φp0 (0) Sc,5 (L)=Np0 sin φp0 (L) Sc,3 (0)=Sc,1 (0) zp (0) Sc,6 (L)=Sc,4 (L) zp (L) Preglednica 1. Robni pogoji za prednapeti betonski nosilec. Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 60 deformacijske količine [Markovič, 2013]. V nasprotju s klasič- nimi končnimi elementi, ki so zasnovani na interpolaciji po- mikov, so deformacijski končni elementi veliko bolj stabilni in odporni proti različnim oblikam blokiranja. Numerične težave, ki se pojavijo pri lokalizaciji deformacij in mehčanju betona pri velikih tlačnih obremenitvah, pa rešimo z vpeljavo že ome- njenega »kratkega« elementa ([Bažant, 1989], Bratina, 2004]), pri čemer je njegova dolžina lcr odvisna od energije drobljenja betona v tlaku Gf c in poteka konstitucijskega modela betona v območju mehčanja (glej diagram na sliki 2(a)). Pri označevanju deformacijskih končnih elementov vpeljemo naslednji oznaki: standardni element označimo z Em-n, kjer indeks m predstavlja stopnjo Lagrangejevega interpolacijskega polinoma, s kate- rim interpoliramo deformacijske količine vzdolž elementa, n pa stopnjo numerične Lobattove integracije, s katero izvred- notimo integrale v enačbah končnega elementa. »Kratek« element označimo z E0-1, saj so vzdolž njegove dolžine defor- macijske količine konstantne, ravnotežje količin pa zadošča- mo le v prečnem prerezu na sredini elementa ([Bažant, 1989], [Bratina, 2004]). Z znanimi postopki v numerični teoriji konstrukcij v nadaljeva- nju vse enačbe združimo v enačbo konstrukcije G (x, λ) = 0. Pri tem z x označimo vektor neznanih vozliščnih pomikov in za- sukov ter statičnih količin na robovih končnih elementov, λ pa je obtežni faktor konstrukcije. Za izbrani obtežni faktor sistem enačb konstrukcije rešimo iterativno (i = 0, 1, 2,…), v splošnem z Newtonovo metodo, ki je med inkrementno-iteracijskimi me- todami najpreprostejša: (30) Izraz ∇xG imenujemo tangentna togostna matrika konstrukcije. Člene le-te izvrednotimo numerično. Ker pa se izkaže, da v ob- močju mejne obtežbe konstrukcije Newtonova metoda odpo- ve, raje uporabimo standardno metodo ločne dolžine [Crisfield, 1981]. Pri tej metodi vodimo posplošene vozliščne pomike, zato takšna inkrementno-iteracijska metoda omogoča rešitev enačb konstrukcije tudi v območju kritične in poskritične no- silnosti. 4 PRVI RAČUNSKI PRIMER: PREDNAPETI PROSTOLEŽEČI NOSILEC V prvem računskem primeru obravnavamo mehan- ski odziv naknadno prednapetega prostoležečega no- silca, izpostavljenega kratkotrajnemu delovanju sta- tične obtežbe, za katerega v literaturi obstajajo dobro dokumentirani rezultati preizkusa [Hussien, 2012]. Na sliki 3 prikazujemo osnovne geometrijske podatke pre- dnapetega nosilca, ki je armiran z vzdolžno (4 palice pre- mera 10 mm) in strižno armaturo. Pri starosti 28 dni je bil obojestransko prednapet z enim nepovezanim kablom (Ap = 0,99 cm 2). Po končanem napenjanju je izmerjena sila prednapenjanja v kablu na sredini razpetine nosilca znašala 104 kN. Med preizkusom sta se navpični točkovni sili ciklično povečevali vse do porušitve nosilca. Med preizkusom so bili merjeni navpični poves nosilca, vzdolžne deformacije kabla, mehke armature in betona, zabeležen pa je bil tudi način porušitve nosilca (plastifikacija mehke armature, ki mu je sledilo drobljenje tlačenega betona in nato porušitev kabla). Vrednosti materialnih parametrov, ki jih potrebujemo za us- pešno izvedbo mehanske analize, predstavimo v preglednici 3. Podatke o trdnostih materialov smo povzeli iz vira [Hussein, Vezne enačbe: Kinematične enačbe armiranobetonskega dela nosilca: Kinematične enačbe kabla: Ravnotežne enačbe armiranobetonskega dela nosilca: Ravnotežne enačbe kabla: Konstitucijske enačbe armiranobetonskega dela nosilca: Konstitucijska enačba kabla: Neznanke: Preglednica 2. Sistem enačb in nabor neznanih količin. Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 61 2012], preostale vrednosti pa smo določili s pomočjo standar- da SIST EN 1992-1-1 [SIST, 2005] in drugih virov ([Bergan, 1979], [CEB-FIP, 1993], [Kratzig, 2004]). Vrednost koeficienta trenja med prednapetim kablom in plastično cevjo smo ocenili s po- močjo predhodnih parametričnih analiz, opravljenih v sklopu te raziskave. V numerični analizi nosilec modeliramo z 8 linijskimi konč- nimi elementi tipa E4-5 in 5 "kratkimi" elementi tipa E0-1, kot to prikazuje slika 4. "Kratke" elemente uporabimo na sredini razpetine nosilca, kjer se med analizo pojavijo največje tlač- ne obremenitve v betonu (elementi 5 do 9). Obtežno-defor- macijsko krivuljo določimo s pomočjo standardne metode ločne dolžine. Skladno s to metodo vozliščne pomike nosilca inkrementno povečujemo od začetnega, neobteženega stanja (P = 0) pa do njegove porušitve. Za to potrebujemo 62 obtežnih inkrementov. Na sliki 5 najprej predstavimo primerjavo med izračunanim in izmerjenim razvojem navpičnega pomika wc na sredini razpe- tine opazovanega nosilca v odvisnosti od velikosti obtežbe P. Preglednica 3. Vrednosti materialnih parametrov, upoštevanih v numerični analizi. Ugotovimo, da se izračunani pomiki zelo dobro prilegajo iz- merjenim [Hussien, 2012]. Izračunano obtežno-deformacijsko krivuljo dodatno opremimo s šestimi karakterističnimi točka- mi (točke od A do F). Slednje označujejo šest izmed 62 ob- težnih inkrementov, pri katerih se zgodijo spremembe stanja v analiziranem nosilcu. Ta stanja so opisana v preglednici 4. Plastifikacija mehke armature (točka B) nastopi pri obtežbi P = 106,8 kN oziroma pomiku wc = 18,9 mm (izmerjene vrednos- ti so bile 115 kN oz. 29,2 mm [Hussien, 2012]), računsko določe- na največja obtežba nosilca (točka F) pa znaša Pmax = 139,6 kN pri pomiku wc = 84,6 mm. Izmerjeni mejni vrednosti sta bili 141 kN in 76 mm [Hussien, 2012]. Med preizkusom je bila po- rušitev nosilca posledica porušitve kabla [Hussien, 2012], v numerični analizi pa se je to odrazilo s prekoračitvijo porušne deformacije kabla (materialno mehčanje kabla). Med nume- rično analizo (od točke E dalje) smo zaznali tudi mehčanje be- tona v tlaku in lokalizacijo deformacij v območju med navpič- nima silama, a omenjena pojava nista bila tako izrazita in nista povzročila tlačne porušitve betona (|εc|<|εcu|). Slika 3. Prostoležeči nosilec, prednapet z nepovezanim uk- rivljenim kablom [Hussien, 2012] (dimenzije so v cm). Slika 4. Mreža končnih elementov, uporabljena v numerični analizi. Slika 5. Razvoj navpičnega pomika na sredini razpetine nosilca v odvisnosti od obtežbe. Beton Armatura Kabel fcm 4,3 kN/cm2 fyk 47 kN/cm2 fp0,1k 167,4 kN/cm2 εc1 -0,00225 ftk 61 kN/cm2 fpk 186 kN/cm2 εcu -0,0035 εsu 0,05 εpu 0,013 εct1 0,0001 Es 20000 kN/cm2 Ep 19500 kN/cm2 εctu 0,0007 kt 0,1 Ec 3400 kN/cm2 Gf c 12,8 N/mm lcr 20 cm lastna teža 1,36 kN/m Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 62 V nadaljevanju na sliki 6 prikažemo še izračunane deformira- ne oblike nosilca, na sliki 7 pa potek izračunanih sil v kablu, ki pripadajo karakterističnim točkam od A do F, prikazanih na obtežno-deformacijski krivulji. S slike 6 ugotovimo, da je pred- napet nosilec pred nastopom obtežbe deformiran navzgor, kar je seveda pričakovano. Na sliki 7 pa je lepo viden nastop plastifikacije kabla ob sidrišču (σp = fp0,1k; krivulja za karakteri- stično točko C), nastop plastifikacije kabla v polju (krivulja za D) ter dosežena natezna trdnost kabla ob sidrišču (σp = fpk, krivulja za F). 5 DRUGI RAČUNSKI PRIMER: PREDNAPETI NOSILEC PREKO DVEH POLJ V drugem računskem primeru obravnavamo mehanski odziv naknadno prednapetega armiranobetonskega kontinuirnega nosilca preko dveh polj. Rezultate pre- izkusa podajata Chen [Chen, 2008] in Lou s sodelav- ci [Lou, 2016], ki je nosilec tudi numerično analiziral z lastnim matematičnim modelom nosilca. Na sliki 8 pri- kazujemo osnovne geometrijske podatke nosilca, ki je armiran z vzdolžno in strižno armaturo. Naknadno je bil prednapet z enim kablom (Ap = 1,4 cm 2) z začetno silo pred- napetja Np0 = 165 kN. Med preizkusom je bil nosilec obtežen s štirimi navpičnimi točkovnimi silami, ki so se povečevale vse do porušitve nosilca. Med preizkusom sta bila merjena navpič- ni poves na sredini obeh polj nosilca in sila v kablu. Vrednosti materialnih parametrov, ki jih potrebujemo za uspešno izvedbo mehanske analize, predstavimo v pregled- nici 5. Podatke o trdnostih lastnosti materialov povzamemo iz vira [Lou, 2016], vrednosti preostalih parametrov pa oce- nimo s pomočjo standarda SIST EN 1992-1-1 [SIST, 2005] in napotkov iz drugih virov ([Bergan, 1979], [CEB-FIP, 1993], [Kratzig, 2004]). V analizi upoštevamo, da je bil kabel pred- napet le z desne strani. Vrednost koeficienta trenja med prednapetim kablom in plastično cevjo smiselno izberemo na podlagi predhodnih parametričnih analiz, opravljenih v sklopu te raziskave. Za izpolnitev sovisnosti med energijo drobljenja betona Gf c in dolžino »kratkega« elementa lcr (glej sliko 2(a)) konstitucijski zakon betona v območju mehčanja ustrezno korigiramo, in sicer upoštevamo linearno zmanjše- vanje tlačnih napetosti vse do vrednosti 0, ki je dosežena pri deformaciji εcu. Analizirani nosilec modeliramo s 14 linijskimi elementi tipa E4-5 in 6 "kratkimi" elementi tipa E0-1, kot to prikazujemo na sliki 9. Kratke elemente uporabimo na mestih, kjer pričakujemo naj- večje tlačne obremenitve v betonu, tj. na sredini obeh razpetin in ob vmesni podpori (elementi 3, 4, 10, 11 ter 17 in 18). Tudi v tem primeru obtežno-deformacijsko krivuljo določimo s po- A B C D E F 1. inkrement 16. inkrement 29. inkrement 38. inkrement 58. inkrement 60. inkrement neobtežen nosilec (samo lastna teža) plastifikacija spod- nje armature v polju plastifikacija kabla ob sidrišču plastifikacija kabla v polju mehčanje betona v tlaku v polju Pmax; dosežena natezna trdnost kabla ob sidrišču Preglednica 4. Stanja v analiziranem nosilcu pri karakterističnih točkah na obtežno-deformacijski krivulji. Slika 6. Izračunane deformirane oblike nosilca, ki pripadajo karakterističnim točkam od A do F na obtežno-deformacij- ski krivulji. Slika 8. Kontinuirni prednapeti nosilec z nepovezanim uk- rivljenim kablom [Lou, 2016] (dimenzije so v cm). Slika 7. Izračunane sile v kablu, ki pripadajo karakteristič- nim točkam od A do F na obtežno-deformacijski krivulji. Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 63 močjo standardne metode ločne dolžine. Skladno s to meto- do vozliščne pomike nosilca inkrementno povečujemo od za- četnega, neobteženega stanja (P = 0) pa do njegove porušitve. Za to potrebujemo 41 obtežnih inkrementov. Tudi pri drugem računskem primeru najprej predstavimo primerjavo med izračunanim in izmerjenim razvojem nav- pičnega pomika wc na sredini levega polja nosilca v odvi- snosti od velikosti obtežbe P (glej sliko 10). Tudi v tem pri- meru se izračunani pomiki zelo dobro prilegajo izmerjenim. Obtežno-deformacijsko krivuljo zopet opremimo s šestimi karakterističnimi točkami (točke od A do H). Te točke pred- stavljajo 8 izmed 41 obtežnih inkrementov, pri katerih se zgo- dijo spremembe stanja v analiziranem nosilcu. Ta stanja so opisana v preglednici 6. Najprej nastopi plastifikacija zgornje (natezne) armature ob vmesni podpori (točka B na obtežno- deformacijski krivulji), ki ji hitro sledi še mehčanje betona v tlačni coni (točka C), kar se odraža v lokalizaciji deformacij v kratkih elementih 10 in 11 ob vmesni podpori (glej črtka- no krivuljo na sliki 11(a)). Pri nadaljnjem naraščanju obtežbe nosilca pride še do plastifikacije natezne armature in meh- čanja betona v prvem polju nosilca (točki D in E na obtežno- deformacijski krivulji), ki ji brž sledi še plastifikacija tlačne armature (točka F). Posledično zaznamo lokalizacijo defor- macij tudi v kratkih elementih 3 in 4 (polna krivulja na sli- ki 11(a)). Računsko določena največja obtežba nosilca znaša Pmax = 161,8 kN pri navpičnem pomiku wc = 37,3 mm (točka G). Nato sledi zmanjševanje obtežbe P ob sočasnem narašča- nju deformacij nosilca. Računska porušitev nastopi v točki H, ko pride do tlačne porušitve betona v levem polju nosilca. Takrat je lokalizacija deformacij v kratkem elementu 4 v po- lju nosilca zelo izrazita (glej sliko 11(b)). Preglednica 5. Vrednosti materialnih parametrov, upoštevanih v numerični analizi. Preglednica 6. Stanja v analiziranem nosilcu pri karakterističnih točkah na obtežno-deformacijske krivulje. Slika 9. Mreža končnih elementov, uporabljena v numerični analizi. Slika 10. Razvoj navpičnega pomika na sredini levega polja nosilca v odvisnosti od obtežbe. Beton Armatura Kabel fcm 3,83 kN/cm2 fyk,ϕ10(16; 18) 36,1(38,4; 36,4) kN/cm2 fp0,1k 176 kN/cm2 εc1 -0,0022 ftk,ϕ10(16; 18) 40,3(42,6; 40,6) kN/cm2 fpk 194,1 kN/cm2 εcu -0,03 εsu 0,04 εpu 0,02 εct1 0,0001 Es 20000 kN/cm2 Ep 19700 kN/cm2 εctu 0,0007 kt 0,02 Ec 3300 kN/cm2 Gf c 55 N/mm lcr 10 cm lastna teža 1,13 kN/m A B C D 1. inkrement 12. inkrement 15. inkrement 22. inkrement neobtežen nosilec (samo lastna teža) plastifikacija zgornje arm. ob vmesni podpori mehčanje betona v tlaku ob vmesni podpori plastifikacija spodnje arm. v polju E F G H 24. inkrement 26. inkrement 32. inkrement 41. inkrement mehčanje betona v tlaku v polju plastifikacija zgornje arm. v polju dosežena največja obtežba Pmax tlačna porušitev betona v polju Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 64 Pri pojavu lokalizacije deformacij, kot jih prikazujemo na sliki 11, in sočasnem materialnem mehčanju betona v tlaku (naraš- čanju tlačnih deformacij ob zmanjševanju napetosti), je treba še posebej izpostaviti, da v kolikor tega problema ne bi reševa- li s pomočjo »kratkih« elementov, bi imeli v numerični analizi težave s konvergenco računskega postopka. To bi se v primeru obravnavanega kontinuirnega nosilca, ki je v osnovi statično nedoločena konstrukcija in pri kateri je možna prerazporedi- tev obremenitev, zgodilo, še preden bi bila v analizi dosežena mejna obtežba nosilca. V nadaljevanju na sliki 12 predstavimo še spreminjanje napeto- sti v kablu, prav tako na sredini levega polja. V tem primeru je ujemanje nekoliko slabše, vendar še vedno v mejah inženirske natančnosti. Razhajanje rezultatov je lahko posledica napačne izbire koeficienta trenja v numerični analizi oziroma napak pri meritvah. Je pa na sliki 12 lepo vidna razbremenitev kabla v zadnji fazi numerične analize. 6 SKLEP V prispevku smo predstavili matematični model za analizo me- hanskega odziva naknadno prednapetega armiranobetonske- ga nosilca z nepovezanimi ukrivljenimi kabli, ki je izpostavljen kratkotrajni statični obtežbi. Izpeljane enačbe, ki smo jih zapi- sali ločeno za betonski nosilec z mehko armaturo in za kabel, smo rešili s pomočjo metode končnih elementov. Primernost in natančnost razvitega matematičnega modela smo prikazali na dveh primerih naknadno prednapetih nosilcev, za katera so v literaturi na voljo dobro dokumentirani eksperimentalni- mi rezultati. V prvem računskem primeru smo analizirali me- hanski odziv prednapetega prostoležečega nosilca. Ugotovili smo zelo dobro ujemanje med izračunanim in izmerjenim ra- zvojem navpičnega pomika na sredini razpetine nosilca v od- visnosti od velikosti navpične obtežbe vse do porušitve. Med preizkusom je bila porušitev nosilca posledica porušitve kabla, v numerični analizi pa se je to odrazilo s prekoračitvijo porušne deformacije kabla. V drugem računskem primeru pa smo ana- lizirali mehanski odziv prednapetega nosilca preko dveh polj. Tudi v tem primeru smo ugotovili zelo dobro ujemanje med izračunanim in izmerjenim razvojem navpičnega pomika na sredini levega polja kontinuirnega nosilca v odvisnosti od ve- likosti navpične obtežbe, medtem ko je bilo ujemanje spre- minjanja napetosti v kablu nekoliko slabše, vendar še vedno v mejah inženirske natančnosti. Računska porušitev nosilca je bila posledica tlačne porušitve betona v levem polju nosilca. Med numerično analizo mehanskega odziva nosilca smo na več mestih v nosilcu zaznali tudi pojav lokalizacije deformacij in sočasnega mehčanja betona v tlaku. Ta pojav smo numerič- no uspešno rešili s pomočjo »kratkih« elementov. Na podlagi zapisanega lahko zaključimo, da je predstavljen model zanes- ljiv, natančen in numerično učinkovit. V nadaljevanju ga bomo nadgradili tako, da bo omogočal simulacijo mehanskega od- ziva prednapetih elementov tudi v pogojih požarne obtežbe. 7 ZAHVALA Delo P. Kočmana, J. Č. Kolšek in S. Bratine financira Javna agencija za znanstvenoraziskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije (ARiS) v sklopu raziskovalnega programa P2-0158. Za podporo se zahvaljujemo. 8 LITERATURA Bažant, Z. P., Pijaudier-Cabot, G., Measurement of Characte- ristic Length of Nonlocal Continuum, Journal of Engineering Mechanics, 115(4), 755–767, https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733- 9399(1989)115:4(755), 1989. Bergan, P. G., Holand, I., Nonlinear finite element analysis of concrete structures, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 17–18, 443–467, https://doi.org/10.1016/0045- 7825(79)90027-6, 1979. Bratina, S., Saje, M., Planinc, I., On materially and geometrically non-linear analysis of reinforced concrete planar frames, Inter- national Journal of Solids and Structures, 41(24–25), 7181–7207, https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2004.06.004, 2004. Burns, N. H., Helwig, T., Tsujimoto, T., Effective Prestress For- ce in Continuous Post-Tensioned Beams With Unbonded Slika 11. Potek upogibne deformacije v betonu kc vzdolž armiranobetonskega nosilca, ki pripada karakteristični točki: (a) C in F ter (b) H na obtežno-deformacijski krivulji. Slika 12. Spreminjanje napetosti v kablu na sredini levega polja. Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI Gradbeni vestnik letnik 73 marec 2024 65 Tendons, ACI Structural Journal, 88(1), 84–90, https://doi. org/10.14359/2780, 1991. CEB-FIP Model Code 1990: Design Codes, Comite Euro-Inter- national du Beton and Federation International de la Precon- traint, London: Thomas Telford, 1993. Chen, Y. W., The experimental researches on unbonded parti- ally prestressed concrete continuous beams, Changsha, China: Hunan University, 2008. Crisfield, M. A., A Fast Incremental/Iterative Solution Proced- ure That Handles “snap-through”, Computers and Structures, 8(1–3), 55–62, https://doi.org/10.1016/0045-7949(81)90108-5, 1981. Desayi, P., Krishnan, S., Equation for the Stress-Strain Curve of Concrete, ACI Journal Proceedings, 61(3), 345–450, https://doi. org/10.14359/7785, 1964. Durand, R., Vieira, J. F., Farias, M. M., Numerical analysis of bon- ded and unbonded prestressed RC beams using cohesive and non-compatible rod elements, Engineering Structures, 288, 116157, https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2023.116157, 2023. Hughes, T. J. R., Pister, K. S., Consistent linearization in mecha- nics of solids and structures, Computers & Structures, 8(3–4), 391–397, https://doi.org/10.1016/0045-7949(78)90183-9, 1978. Hussien, O. F., Elafandy, T. H. K., Abdelrahman, A. A., Abdel Baky, S. A., Nasr, E. A., Behavior of bonded and unbonded prestres- sed normal and high strength concrete beams, HBRC Journal, 8(3), 239–251, https://doi.org/10.1016/j.hbrcj.2012.10.008, 2012. Jancy, A., Stolarski, A., Zychowicz, J., Experimental and Nume- rical Research of Post-Tensioned Concrete Beams, Materials, 16(11), 4141, https://doi.org/10.3390/ma16114141, 2023. Kline, M., Calculus: an intuitive and physical approach (2nd ed., Vol. 61). Wiley, https://doi.org/10.1017/S0025557200085132, 1977. Krätzig, W. B., Pölling, R., An elasto-plastic damage model for reinforced concrete with minimum number of material pa- rameters, Computers & Structures, 82(15–16), 1201–1215, https:// doi.org/10.1016/j.compstruc.2004.03.002, 2004. Lou, T., Lopes, S. M. R., Lopes, A. V., Response of continuous con- crete beams internally prestressed with unbonded FRP and steel tendons, Composite Structures, 154, 92–105, https://doi. org/10.1016/j.compstruct.2016.07.028, 2016. Markovič, M., Krauberger, N., Saje, M., Planinc, I., Bratina, S., Non-linear analysis of pre-tensioned concrete planar beams, Engineering Structures, 46, 279–293, https://doi.org/10.1016/ j.engstruct.2012.08.004, 2013. Reissner, E., On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane problem, Zeitschrift Für Angewandte Mathema- tik Und Physik ZAMP, 23(5), 795–804, https://doi.org/10.1007/ BF01602645, 1972. SIST EN 1992–1–1:2005, Evrokod 2, Projektiranje betonskih kon- strukcij–Del 1–1, Splošna pravila in pravila za stavbe, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2005. Peter Kočman, izr. prof. dr. Sebastjan Bratina, doc. dr. Jerneja Češarek Kolšek NUMERIČNA ANALIZA MEHANSKEGA ODZIVA NAKNADNO PREDNAPETEGA BETONSKEGA NOSILCA Z NEPOVEZANIMI UKRIVLJENIMI KABLI