Univ erza v Marib oru F akulteta za logistik o Zbirk a nalog iz matemati£nih meto d 2 MAJA F O’NER in BENJAMIN MAR CEN Celje 2015 Naslo v: Zbirk a nalog iz matemati£nih meto d 2 A vtor: red.prof.dr.Ma ja F o²ner in Benjamin Mar en Re enzen t: red.prof.dr.Ajda F o²ner Zaloºila: F akulteta za logistik o Univ erze v Marib oru, Celje Na£in dostopa (URL): h ttps://e ampus..um.si/login/(dostopno z geslom) Prv a dop olnjena in p opra vljena izda ja, 2015. 2 Predgo v or Zbirk a nalog iz Matemati£nih meto d I I vsebuje naloge in re²itv e elotne sno vi, ki je p o u£nem na£rtu predpisana za ²tuden te drugega letnik a univ erzitetnega ²tudijsk ega programa T ehni²k a logistik a na F akulteti za logistik o Univ erze v Marib oru. Pra v tak o vsebuje zbirk a nalog primere izpito v, k ar do datno omo- go £a temeljit pregled predmeta Matemati£ne meto de I I. Namen zbirk e nalog je z nalogami p o dkrepiti sno v u£b enik a Matemati£ne me- to de I I in na ta na£in b olj²e razumev anje in ustrezna up oraba sno vi, v p o v eza vi z ostalimi aktivnostmi v sklopu predmeta Matemati£ne meto de I I. 4 Kazalo 1 Odv o d 7 1.1 Odv o d, geometrijski p omen o dv o da, pribliºno ra£unanje . . . . 7 1.2 Analiza funk ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Optimiza ijsk e naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 In tegral 35 2.1 Nedolo £eni in tegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Dolo £eni in tegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Up oraba in tegrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Diferen ialne ena£b e 53 3.1 Diferen ialne ena£b e prv ega reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Diferen ialne ena£b e drugega reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 F unk ije v e£ spremenljivk 95 5 V erjetnostni ra£un 125 5.1 V erjetnost slu£a jnega dogo dk a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2 V erjetnost vsote in pro dukta ter p ogo jna v erjetnost . . . . . . . 128 5 6 P ogla vje 1 Odv o d 1.1 Odv o d, geometrijski p omen o dv o da, pribli- ºno ra£unanje 1. Izra£una jte o dv o de naslednjih funk ij: (2x4 + 3x − 2 + 2 − 1 ) (a) x x2 p√ (−2 16x + 4x) (b) p √ x x(1 − 1 ) ( ) x √ (x 2 x3 + 2) · ( 2 + 3x) (d) x4 x3+x−2 (e) 3−x2 ln x (f ) e2x x2 √ (g) (x2+x)2 e2x+3 (h) x2−3x−4 sin(x2) (i) x−3 ln(cos( x2+1)) (j) x tan(ln(4x)) (k) 1+cos2 x (l) 1+cos 2x 7 R e²itev. (a) F unk ijo preoblikujemo. f (x) = 2x4 + 3x − 2 + 2x−1 − x−2. Odv a jamo vsak £len p oseb ej. f ′(x) = 2 · 4x3 + 3 + 2 · (−1)x−2 − (−2)x−3 = 8x3 + 3 − 2x−2 + 2x−3. (b) F unk ijo preoblikujemo. 1 1 1 f (x) = −2 · ((16x) 2 2 ) + 4x = −2 · ((16x)4 ) + 4x = 1 −2 · 2 · (x)4 + 4x. Odv a jamo. 3 3 f ′(x) = −4 · 1x−4 + 4 = −x−4 + 4 4 . ( ) Izraz preoblikujemo. 1 1 3 3 1 f (x) = (x · x 2 2 ) · (1 − 1 ) = x4 · (1 − 1 ) = x4 − x−4 x x . Odv a jamo. 1 5 f ′(x) = 3x− 4 + 1x− 4 . 4 4 (d) F unk ijo preoblikujemo. 3 5 f (x) = ((x · x2 ) + 2) · (2x−4 + 3x) = (x2 + 2) · (2x−4 + 3x) = 3 7 2x− 2 + 3x2 + 4x−4 + 6x. Odv a jamo. 5 5 5 5 f ′(x) = 2 · (−3)x−2 + 3 · 7x2 + 4 · (−4)x−5 + 6 = −3x−2 + 21x2 + 2 2 2 −16x−5 + 6. (e) Odv a jamo k ot kv o ien t funk ij. f ′(x) = (3x2+1)·(3−x2)−(x3+x−2)(−2x) = (9x2−3x4+3−x2)−(−2x4−2x2+4x) = (3−x2)2 (3−x2)2 −x4+10x2−4x+3 (3−x2)2 . (f ) Odv a jamo k ot kv o ien t funk ij. 1 f ′(x) = x·e2x−ln x·e2 = e2−e2 ln x = 1−ln x (e2x)2 e4x2 e2x2 . 8 (g) F unk ijo preoblikujemo nato pa o dv a jamo k ot kv o ien t. f (x) = x2 x2+x . f ′(x) = 2x·(x2+x)−x2·(2x+1) = 2x3+2x2−2x3−x2 = x2 = 1 . (x2+x)2 (x2+x)2 x2·(x+1)2 (x+1)2 (h) Odv a jamo k ot kv o ien t funk ij. e2x+3 odvajamo kot sestavljeno funk ijo. f ′(x) = e2x+3(2)·(x2−3x−4)−e2x+3(2x−3) = e2x+3(2x2−8x−5). (x2−3x−4)2 (x2−3x−4)2 (i) Odv a jamo k ot kv o ien t funk ij. sin(x2) odvajamo kot sestavljeno funk ijo. f ′(x) = cos(x2)(2x)(x−3)−sin(x2)·(1) = 2x2 cos(x2)−6x cos(x2)−sin(x2). (x−3)2 (x−3)2 (j) Odv a jamo k ot sesta vljeno funk ijo. f ′(x) = 1 · (cos(x2+1))′ = 1 · (− sin(x2+1)) · (x2+1)′ = cos( x2+1 ) x cos( x2+1 ) x x x x 1 · (− sin(x2+1)) · ((x2−1)) = −(x2−1) tan(x+ 1 ) x . cos( x2+1 ) x x2 x2 x (k) Odv a jamo k ot sesta vljeno funk ijo. f ′(x) = 1 ·(ln(4x))′ = 1 · 1 ·(4x)′ = 1 ·4 1 = cos2(ln(4x)) cos2(ln(4x)) 4x cos2(ln(4x)) 4x 1 . xcos2(ln(4x)) (l) Odv a jamo k ot kv o ien t. f ′(x) = 2 cos x(− sin x)·(1+cos(2x))−(1+cos2x)·(− sin(2x))(2) . (1+cos(2x))2 9 2. Z up o²tev anjem pra vil za o dv a janje izra£una jte o dv o de naslednjih funk ij x0 in vrednost o dv o da v . (2x2 + 5x − 3)8 x0 = 0 (a) , e2x−4 x0 = 2 (b) , √ x x2 + 9 x0 = 4 ( ) , e2x x0 = −1 (d) 1+e4x , tan(2x2), x0 = pπ (e) 2 sin x·cos2 x x0 = π (f ) 1+cos2 x , 2 1 x0 = e (g) x·ln x , xe2x2+3 x0 = 1 (h) , ln3 x x0 = 1 (i) 4x , R e²itev. (a) Odv a jamo k ot sesta vljeno funk ijo. f ′(x) = 8(2x2 + 5x − 3)7(4x + 5) f′(0) = 87480. , (b) Odv a jamo k ot sesta vljeno funk ijo. f ′(x) = e2x−4 · (2) f′(2) = 2. , ( ) Odv a jamo k ot pro dukt. √ 1 f ′(x) = 1 x2 + 9 + x1(x2 + 9)− 2 2x f ′(4) = 41. 2 , 5 (d) Odv a jamo k ot kv o ien t. f ′(x) = 2e2x(1+e4x)−(e2x)(4e4x) f ′(−1) = −2e−2(e−4−1). (1+e4x)2 , (e−4+1)2 (e) Odv a jamo k ot sesta vljeno funk ijo. f ′(x) = 1 4x f ′(p π ) = 4pπ . cos2(2x2) , 2 2 10 (f ) Odv a jamo k ot kv o ien t. f ′(x) = (sin x·cos2 x)′(1+cos2 x)−(sin x·cos2 x)(1+cos2 x)′ = (1+cos2 x)2 (cos x cos2 x+sin x(2 cos x(− sin x)))(1+cos2 x)−(sin x·cos2 x)(2 cos x(− sin x) (1+cos2 x)2 f ′( π ) = 0. 2 (g) F unk ijo preoblikujemo. 1 = (x · ln x)−1. x·ln x Odv a jamo k ot sesta vljeno funk ijo. f ′(x) = −1(x · ln x)−2(x · ln x)′ = −(x · ln x)−2(ln x + x 1 ) = x −(x · ln x)−2(ln x + 1) f′(e) = − 2 . , e2 (h) Odv a jamo k ot pro dukt. f ′(x) = 1e2x2+3 + x(e2x2+3(4x)) f ′(1) = 5e5. , (i) Odv a jamo k ot kv o ien t. f ))(4x) ′(x) = (ln3 x)′(4x)−(ln3 x)(4x)′ = (3 ln2 x( 1x −(ln3 x)(4) f ′(1) = 0. (4x)2 (4x)2 , 3. Zapi²ite prvi in drugi o dv o d funk ije. √1 + 2x3 (a) ln(x2 + 2) (b) e−x cos x ( ) x2(2 ln x − 3) (d) R e²itev. √ 1 1 y = 1 + 2x3, y′ = 1(1 + 2x3)−2 (6x2) = (3x2) · (1 + 2x3)−2 (a) 2 1 3 y′′ = 6x(1 + 2x3)− 2 − 9x4(1 + 2x3)−2 . y = ln(x2 + 2), y′ = 1 (2x), y′′ = 2(x2+2)−2x(2x) = −2x2+4. (b) (x2+2) (x2+2)2 (x2+2)2 11 y = e−x cos x, y′ = −e−x cos x − e−x sin x = −e−x(cos x + sin x), ( ) y′′ = 2e−x sin x. y = x2(2 ln x − 3), y′ = 2x(2 ln x − 3) + x2 2 = 4x(ln x − 1), (d) x y′′ = 4(ln x − 1) + 4x( 1 ) = 4 ln x. x 4. Impli itno o dv a ja jte funk ijo. 3x2 − 2y2 = 100 (a) 12x3 + 3x2y + y3 = 120 (b) y3 + y − x2 + 4x + xy − 12 = 0 ( ) R e²itev. y Pri impli itno p o dani funk iji up o²tev amo, da je funk ija spremeljivk e x (y = y(x)) in jo je zato treba odvajati kot posredno funk ijo. 6x − 4yy′ = 0, y′ = 6x. (a) 4y 36x2 + 3(2xy + x21y′) + 3y2y′ = 0, y′ = −36x2+6xy (b) 3x2+3y2 . 3y2y′ + 1y′ − 2x + 4 + y + xy′ = 0, y′ = 2x−4−y . ( ) 3y2+1+x y = sin(−x) + 2e2x y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y 5. Na j b o . Izra£una jte . R e²itev. • y(x) P otrebujemo prvi, drugi in tretji o dv o d funk ije . • y′ = − cos(−x) + 4e2x. • y′′ = − sin(−x) + 8e2x. • y′′′ = cos(−x) + 16e2x. • y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = cos(−x) + 16e2x − 6(− sin(−x) + 8e2x) + 11(− cos(−x) + 4e2x) − 6(sin(−x) + 2e2x) = −10 cos(−x). 12 y(t) = A cos(wt) + B sin(wt) A, B, w 6. Na j b o ( so k onstan te). Dok aºite, y′′ + w2y = 0 da je . R e²itev. • y(t) P otrebujemo prvi in drugi o dv o d funk ije . • y′(t) = −A sin(wt)(w)+B cos(wt)(w) = −Aw sin(wt)+Bw cos(wt). • y′′(t) = −Aw2 cos(wt) − Bw2 sin(wt). • y′′+w2y = −Aw2 cos(wt)−Bw2 sin(wt)+w2·(A cos(wt)+B sin(wt)) = 0. y = x2 + x T (2, 6) 7. Zapi²ite ena£b o tangen te na krivuljo v to £ ki . R e²itev. • T Smerni k o e ien t tangen te na graf funk ije v to £ ki je enak o dv o du f ′(x0) = kt funkije v tej to £ ki. ( ) • (y − y0) = kt · (x − x0) Ena£ba tangen te je enak a . • f′(x) = 2x + 1, f′(2) = 5. • T (2, 6) Zapi²imo seda j ena£b o tangen te v to £ ki . (y − 6) = 5 · (x − 2) y = 5x − 4 ali . f (x) = x T (−2, y) 8. Zapi²ite ena£b o tangen te na graf funk ije x3+4 v to£ki . R e²itev. • y = f(x) = f(−2) = 1. 2 • f′(x) = −2x3+4, f′(−2) = 5 (x3+4)2 4 . • T (−2, 1) Zapi²imo ena£b o tangen te v to £ ki 2 . (y − 1) = 5 · (x − (−2)) y = 5 x + 3. 2 4 ali 4 13 y = x2 + 2x − 8 9. Zapi²ite ena£b o normale na krivuljo v to £ ki z abs iso 4. R e²itev. • x x = 4, y = 16. Abs isna os je -os, zato je • f′(x) = 2x + 2, f′(4) = 10. • Normala je pravokotna na tangento. T kn = − 1 , kn = − 1 . Smerni k o e ien t normale v to £ ki je enak kt 10 • T (4, 16) Zapi²imo ena£b o normale na graf funk ije v to £ ki . (y − 16) = − 1 · (x − 4)) y = − 1 x + 82. 10 ali 10 5 f (x) = 2−x 10. Zapi²ite ena£b o normale na graf funk ije 2+x v to£ki z ordinato 2. R e²itev. • y x = −2, y = 2. Ordinatna os je -os, zato je 3 • f′(x) = −1(2+x)−(2−x)(1) = −4 , f′(−2) = −9 (2+x)2 (2+x)2 3 4 . • T (−2, 2) Zapi²imo ena£b o normale na graf v to £ ki 3 . (y − 2) = −9 · (x + 2)), y = −9x + 1. 4 3 4 2 f (x) = tan(x) 11. Zapi²ite ena£b o tangen te in normale na graf funk ije v T ( π , y) to £ ki 4 . R e²itev. • y = f(x) = tan(x), f(π ) = 1, T (π , 1). 4 4 • f′(x) = 1 , f ′( π ) = 2 (cos2 x) 4 . • (y − 1) = 2 · (x − π ) y = 2x − π + 1. Ena£ba tangen te je enak a: 4 ali 2 14 y = x2 − x − 2 12. Izra£una jte v k ateri to £ ki krivulje je tangen ta vzp oredna y = 2x − 6 premi i . R e²itev. • Vzporedne premi e imajo isti smerni koe ient. • Koe ient dane premi e je 2, torej je tudi smerni koe ient iskane (f ′(x0) = 2) tangen te . • x0 f ′(x0) = 2 I²£emo to £ k o , ki ustreza . • f ′(x0) = 2x − 1 = 2 x0 = 3 Re²itev ena£b e je 2 . • x0 = 3, y0 = −5 Isk ana to £ k a ima k o ordinate 2 4 . a f (x) = ax3 x = 3 13. Za k ateri je normala na graf funk ije v to £ ki z abs iso x − 9y − 81 = 0 vzp oredna premi i ? R e²itev. • Vzporedne premi e imajo isti smerni koe ient. • y = 1 x − 9. Premi o preoblikujemo: 9 • 1 K o e ien t dane premi e je 9 , torej je tudi smerni koe ient normale 1 enak 9 . • f ′(x0) = −9 Smerni k o e ien t tangen t je tak o enak ( ). • a f ′(3) = a33 = −9 I²£emo vrednost , kjer je re²itev ena£b e . • a = −1 Re²itev je 3 . • f (x) = −1x3 Isk ana funk ije je 3 . 15 f (x) = 2x3 − 6x 14. Na grafu funk ije dolo £ite to £ k e, v k aterih je tangen ta vzp oredna z abs isno osjo. R e²itev. • 0 Smerni k o e ien t abs isne osi je enak , torej je tudi smerni k o e- 0 ien t tangen te, ki je vzp oredna abs isni osi, enak . • x0 f ′(x0) = 0 I²£emo to £ k e , ki ustreza jo ena£bi . • f ′(x) = 6x2 − 6 = 0 x0 = ±1 Re²itev ena£b e je . • T1 = (1, −4) T2 = Prv a isk ana to £ k a ima k o ordinate , druga pa (−1, 4). y1 = 1 y2 = x2+1. 15. Izra£una j k ot med krivuljama x2 in 2 R e²itev. • Kot med krivuljama je kot med pripadajo£ima tangentama v pre- ²e£i²£u krivulj. • tan ϕ = k2−k1 . Up orabimo naslednjo form ulo 1+k2k1 • Poi²£imo prese£i²£e krivulj. 1 = x2+1, 0 = x4 + x2 − 2, 0 = (x2 − 1)(x2 + 2) x2 2 . • (x2 − 1) = 0 Ker smo v mnoºi i realnih ²tevil je v elja vna re²itev: , (x − 1)(x + 1) = 0 o d k o der sledi . • x1 = 1, x2 = −1 Krivulji se sek ata v to £ k ah . • x1 = 1 Izra£una jmo na jprej k ot med krivuljama v to £ ki . • f ′(1) = −2 Smerni k o e ien t tangen te na prv o krivuljo je enak , f ′(1) = 1 smerni k o e ien t tangen te na drugo pa . • tan ϕ = 1 −(−2) = 3 ϕ = 71, 56◦. K ot med krivuljama je , 1+(−2)(1) • x1 = −1 Izra£una jmo ²e k ot med krivuljama v to £ ki . • f ′(−1) = 2 Smerni k o e ien t tangen te na prv o krivuljo je enak , f ′(−1) = −1 smerni k o e ien t tangen te na drugo pa . • tan ϕ = −1−2 = 3 ϕ = 71, 56◦. K ot med krivuljama je , 1+(−1)(2) 16 f (x) = x2−4 16. Izra£una jte, p o d k olik²nim k otom sek a graf funk ije x2+4 abs i- sno os? R e²itev. • Poiskati moramo to£ke, v katerih graf funk ije seka abs isno os. • f(x) = x2−4 = 0, x2−4 = 0, (x−2)(x+2) = 0, x x2+4 1 = 2, x2 = −2. • f′(x) = 16x . x f ′(2) = (x2+4)2 1 Smerni k o e ien t tangen te v to £ ki je enak 1 x f ′(−2) = −1 2 2 , v to £ ki pa 2 . • Kot med prvo tangento in abs isno osjo je enak: 1 tan ϕ = 2−0 = 1, ϕ = 26, 56◦. 1+ 1 2 2 ·0 • Kot med drugo tangento in abs isno osjo pa: 1 tan ϕ = − 2 −0 = , ϕ = 26, 56◦ 1 − 1 = 1 . 1+(− ) 2 2 2 ·0 f (x) = e2x 17. K olik²en je naklonski k ot tangen te na graf funk ije v prese£i- ²£u z ordinatno osjo? R e²itev. • f ′(0) = 2e2·0 = 2 Smerni k o e ien t tangen te je enak . • tan ϕ′ = 2−0 = 2, ϕ′ = 63, 63◦ Naklonski k ot tangen te je enak: 1+2·0 , 90◦ − ϕ′ = 26, 37◦. y = x3 − 13x ◦ 18. V k aterih to £ k ah krivulje ima normala naklonski k ot 45 ? R e²itev. • 45◦ Naklonski k ot normale je enak , torej je naklonski k ot tangen te 180◦ − 45◦ = 135◦. enak • tan ϕ = k2−k1 . Up orabimo seda j form ulo 1+k2k1 tan 135◦ = −1, −1 = k1, 0 = k2. −1 Smerni k o e ien t tangen te je . • f ′(x) = 3x2 − 13 = −1 x0 = ±2 Re²itev ena£b e je . • T1(2, −14) T2(−2, 14) in sta to £ ki v k aterih ima normala na krivuljo 45◦ naklonski k ot . 17 19. Z up orab o L'Hospitalo v ega pra vila izra£una jte limite: √ lim x+12−4 x √ (a) →4 x−4 lim ln(sin 4x) x (b) →0 ln(sin 2x) lim (1−ex)x3 x ( ) →0 sin x limx (x + 3x2)e−2x (d) →∞ limx (e) →0 x2 ln x R e²itev. x = 4 0 (a) ƒe v ulomek vsta vimo , dobimo nedolo £en izraz 0 . Up orabimo seda j L'Hospitalo v o pra vilo. √ √ lim x+12−4 ( x+12−4)′ x = lim →4 √ √ x x −4 →4 ( x−4)′ 1 √ √ √ lim 2 x+12 2 x−4 x−4 x = lim = lim = 0 = 0. →4 1 x √ x √ √ →4 2 x+12 →4 x+12 4 2 x−4 −∞ . (b) Ulomek je oblik e −∞ lim ln(sin 4x) (ln(sin 4x))′ 2 cos 4x sin 2x x = lim = lim . →0 · lim ln(sin 2x) x→0 (ln(sin 2x))′ x→0 cos 2x x→0 sin 4x 2 · lim 2 cos 2x x = 2 · 2 = 1. Drugi £len o dv a jamo in dobimo: →0 4 cos 4x 4 0 . ( ) Ulomek je oblik e 0 lim (1−ex)x3 −x3ex+3x2−3x2ex x = lim = 0. →0 sin x x→0 cos x ∞ . (d) Ulomek je oblik e ∞ lim x+3x2 1+6x x (x + 3x2)e−2x = lim = lim →∞ x→∞ e2x x→∞ 2e2x lim (1+6x)′ 6 3 x = lim = lim = 0. →∞ (2e2x)′ x→∞ 4e2x x→∞ 2e2x limx (e) →0 −x2 ln x lim ln x x−1 x2 x = lim = lim = 0. →0 −x2 ln x = limx→0 −x−2 x→0 2x−3 x→0 2 18 20. Z up orab o diferen iala ustrezne funk ije pribliºno izra£una jte vrednosti. cos 500 (a) √30 (b) ln 0, 75 ( ) R e²itev. a V rednost funk ije blizu k ak²ne lep e to £ k e o enimo z vrednostjo na tan- (a, f (a)) f (a + h) = gen ti funk ije sk ozi to £ k o ; to je z up orab o form ule f (a) + f ′(a)h. • cos 50◦ = f(50◦) = f(10π ) = cos 10π . (a) 36 36 • f(x) = cos x, a = π , h = π . 4 36 • f′(x) = − sin x, f(π ) = 0, 707, f′(π ) = −0, 707. 4 4 • f(a + h) = f(π + π ) = f(50◦) ≈ 0, 707 + (−0, 707) π = 0, 64. 4 36 36 √ • 30 = f (30). (b) √ • f(x) = x, a = 36, h = −6. • f′(x) = 1√ , f(36) = 6, f′(36) = 1 . 2 x 12 • f(30) ≈ 6 + 1 (−6) = 11. 12 2 • ln 0, 75 = f(0, 75). ( ) • f(x) = ln x, a = 1, h = −0, 25. • f′(x) = 1 , f(1) = 0, f′(1) = 1. x • f(0, 75) ≈ 0 + 1 · (−0, 25) = −0, 25. f 21. Zapi²ite T a ylory ev p olinom tretje stopnje za funk ijo v ok oli i dane to £ k e. (2x2 + 3x − 4)e2x, a = 0 (a) sin x, a = π (b) 2 ln(2x2 − 1), a = 1 ( ) 19 R e²itev. f a T a ylory ev p olinom n-te stopnje za funk ijo v ok oli i dane to £ k e : Tf (x) = f (a) + f′(a) (x − a) + f′′(a)(x − a)2 + ... + f(n)(a)(x − a)n. 1! 2! n! • f′(x) = (4x2 + 10x − 5)e2x, f′′(x) = (8x2 + 28x)e2x, f′′′(x) = (a) (16x2 + 72x + 28)e2x • f(0) = −4, f′(0) = −5, f′′(0) = 0, f′′′(0) = 28 • Tf(x) = −4 + −5(x) + 0 (x)2 + 28(x)3 1! 2! 3! • Tf(x) = −4 − 5x + 14(x)3. 3 • f′(x) = cos x, f′′(x) = − sin x, f′′′(x) = − cos x (b) • f(π ) = 1, f′(π ) = 0, f′′(π ) = −1, f′′′(π ) = 0 2 2 2 2 • Tf(x) = 1 + 0 (x − π ) + −1(x − π )2 + 0 (x − π )3 1! 2 2! 2 3! 2 • Tf(x) = 1 − 1(x − π )2. 2 2 • f′(x) = 4x , f′′(x) = −8x2−4 , f′′′(x) = 64x5+64x3−48x ( ) 2x2−1 (2x2−1)2 (2x2−1)4 • f(1) = 0, f′(1) = 4, f′′(1) = −12, f′′′(1) = 80 • Tf(x) = 4 (x − 1) + −12(x − 1)2 + 80(x − 1)3 1! 2! 3! • Tf(x) = 4(x − 1) − 6(x − 1)2 + 40(x − 1)3. 3 1.2 Analiza funk ij 1. P oi²£ite in klasi ira jte sta ionarne to £ k e funk ij: f (x) = 2x2−3x−2 (a) x2+1 f (x) = x4 − 4x3 + 4x2 (b) f (x) = 3ex − e3x ( ) f (x) = 2 cos x + cos 2x (d) √ f (x) = x 4 − x2 (e) f (x) = x (f ) ln x 20 R e²itev. f f ′(x) = 0. Sta ionarne to £ k e funk ije so re²itv e ena£b e V sta ionarni x0 f ′′(x0) < 0 to £ ki je lok alni maksim um, £e je in lok alni minim um, £e je f ′′(x0) > 0. • f′(x) = 3x2+8x−3, f′′(x) = −6x5−24x4+12x3−16x2+18x+8. (a) (x2+1)2 (x2+1)4 • x1 = 1, x2 = −3. Sta ionarni to £ ki: 3 • f′′(1) > 0 x 3 1 , v to £ ki je lok alni minim um. • f′′(−3) < 0 x2 , v to £ ki je lok alni maksim um. • f′(x) = 4x3 − 12x2 + 8x, f′′(x) = 12x2 − 24x + 8. (b) • x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2. Sta ionarni to £ ki: • f′′(0) = 8 > 0 x1 , v to £ ki je lok alni minim um. • f′′(1) = −4 < 0 x2 , v to £ ki je lok alni maksim um. • f′′(2) = 8 > 0 x3 , v to £ ki je lok alni minim um. • f′(x) = 3ex − 3e3x, f′′(x) = 3ex − 9e3x. ( ) • x1 = 0. Sta ionarna to £ k a: • f′′(0) = −6 < 0 x1 , v to £ ki je lok alni maksim um. • f′(x) = −2 sin x − 2 sin 2x, f′′(x) = −2 cos x − 4 cos 2x. (d) • Sta ionarne to£ke: x1 = kπ, x2 = 2π + 2kπ, x + 2kπ, k ∈ Z. 3 3 = − 2π 3 • f′′(kπ) < 0 x1 , v to £ k ah je lok alni maksim um. • f′′(2π + 2kπ) > 0 x 3 2 , v to £ k ah je lok alni minim um. • f′′(−2π + 2kπ) > 0 x 3 3 , v to £ k ah je lok alni minim um. √ • f′(x) = 4 − x2 − x2 √ , f ′′(x) = −12x+2x3 √ (e) 4−x2 ( 4−x2)·(4−x2) √ √ • x1 = 2, x2 = − 2. Sta ionarni to £ ki: √ • f′′( 2) = −4 < 0 x1 , v to £ ki je lok alni maksim um. √ • f′′(− 2) = 4 > 0 x2 , v to £ ki je lok alni minim um. 21 • f′(x) = ln x−1, f′′(x) = 2−ln x. (f ) ln2 x x ln3 x • x1 = e. Sta ionarna to £ k a: • f′′(e) = 1 < 0 x e 1 , v to £ ki je lok alni maksim um. 2. P oi²£ite sta ionarne to £ k e, prev o je ter obmo £ja k on v eksnosti in k onk a v- nosti funk ije. f (x) = x(x − 2)3 (a) f (x) = x2−1 (b) x2−4x+4 f (x) = x ln x ( ) f (x) = x + cos x (d) R e²itev. f f ′′(x) > 0 f ′′(x) < 0 F unk ija je k on v eksna, kjer je in k onk a vna, kjer je . f ′′(x) = 0. Prev o ji so re²itv e ena£b e • f′(x) = (x − 2)2(4x − 2), f′′(x) = 12x2 − 36x + 24. (a) • x1 = 2, x2 = 1 Sta ionarni to £ ki: 2 . • f′′(2) = 0 f ′′( 1) = 9 ni ekstrema; 2 lok alni minim um. • f ′′(x) = 12x2 − 36x + 24 = 0, x3 = 2, x4 = 1 Prev o ji: . • f ′′(x) > 0, 12x2 − 36x + 24 > 0, (x − 2)(x − 1) > 0 K on v eksna: (−∞, 1) ∪ (2, ∞) interval konveksnosti. • f ′′(x) < 0, 12x2 − 36x + 24 < 0, (x − 2)(x − 1) < 0 K onk a vna: (1, 2) interval konkavnosti. • f′(x) = −4x2+10x−4, f′′(x) = 8x3−30x2+24x+8. (b) (x2−4x+4)2 (x2−4x+4)3 • x1 = 2, x2 = 1. Sta ionarni to £ ki: 2 x1 = 2 F unk ija v ni denirana! • f′′(1) = 32 2 27 lokalni minimum. • f ′′(x) = 8x3 − 30x2 + 24x + 8 = 0, x3 = 2, x4 = −1. Prev o ji: 4 • f ′′(x) > 0, 8x3 − 30x2 + 24x + 8 > 0, K on v eksna: 2(x − 2)2(4x + 1) > 0 : (−1, 2) 4 in terv al k on v eksnosti. • f ′′(x) < 0 : (−∞, −1)∪(2, ∞) K onk a vna: 4 in terv al k onk a vnosti. 22 • f′(x) = ln x + 1, f′′(x) = 1 . ( ) x • x1 = 1 Sta ionarna to £ k a: e , lokalni minimum. • f ′′(x) = 1 = 0. Prev o ji: x Prev o jev ni! (0, ∞) F unk ija je denirana na in terv alu . • f ′′(x) > 0, 1 > 0, K on v eksna: x (0, ∞) interval konveksnosti. • f′(x) = 1 − sin x, f′′(x) = − cos x. (d) • x1 = π + 2kπ, (k ∈ Z). Sta ionarne to £ k e: 2 • f′′(π + 2kπ) = 0, 2 ni lok alnega ekstrema. • f ′′(x) = − cos x = 0, x1 = π + kπ. Prev o ji: 2 • f ′′(x) > 0, − cos x > 0 : K on v eksna: ( π + 2kπ, 3π + 2kπ) 2 2 in terv al k on v eksnosti. • f ′′(x) < 0 : − cos x < 0 : K onk a vna: ( 3π + 2kπ, 5π + 2kπ) 2 2 in terv al k onk a vnosti. 3. Za vsak o o d danih funk ij dolo £ite: • Deni ijski obmo£je, obna²anje funk ije na robu deni ijskega ob- mo £ja, • ni£le, • ekstreme, intervale nara²£anja in padanja, • prevoje, intervale konveksnosti in konkavnosti. f (x) = x2 (a) x2−9 f (x) = 6x−6 (b) x2+3 f (x) = x4 + x3 − x2 ( ) 4 3 f (x) = x3 (d) x2−4 f (x) = 3ex − e3x (e) f (x) = 3 cos 2x (f ) f (x) = e2x−x2 (g) √ f (x) = x 8 − x2 (h) f (x) = x3 ln x (i) R e²itev. 23 f (x) = x2 (a) x2−9 • Df = R \ {−3, 3}. • f(x) = 0; x2 = 0, x1,2 = 0 so ni£le funk ije. • f′(x) = −18x , f′′(x) = 54x2+162 (x2−9)2 (x2−9)3 f ′(x) = 0; x3 = 0 sta ionarna to£ka. f ′′(0) < 0 lokalni maksimum. • (−∞, 0) F unk ija nara²£a na in terv alu (0, ∞). ter pada na in terv alu • f′′(x) = 0; 54x2 + 162 = 0, Prevojev ni! • f′′(x) > 0; 54x2+162 > 0 (x2−9)3 (−∞, −3) ∪ (3, ∞)interval konveksnosti. • f′′(x) < 0; 54x2+162 < 0 (x2−9)3 (−3, 3)interval konkavnosti. f (x) = 6x−6 (b) x2+3 • Df = R. • f(x) = 0; 6x − 6 = 0, x1 = 1 je ni£la funk ije. • f′(x) = 6(x2−2x−3), f′′(x) = 12(x3−3x2−9x+3) (x2+3)2 (x2+3)3 f ′(x) = 0; x2 = 3, x3 = −1 f ′′(3) < 0 sta ionarni to £ ki. lok alni f ′′(−1) > 0 maksim um. lok alni minim um. • f′′(x) = 0; 12(x3−3x2−9x+3) = 0, (x2+3)3 x4 = −2, 06, x5 = 0, 30, x6 = 4, 75 prevoji. • f′′(x) < 0; (−∞, −2.06) ∪ (0.3, 4.75)interval konkavnosti. • f′′(x) > 0; (−2.06, 0.3) ∪ (4.75, ∞)interval konveksnosti. f (x) = x4 + x3 − x2 ( ) 4 3 • Df = R. • f(x) = 0; x4 + x3 − x2 = 0, 4 3 √ √ x1,2 = 0, x3 = 2(−1 − 10), x (−1 + 10) 3 4 = 2 3 ni£le. • f′(x) = x(x2 + x − 2), f′′(x) = 3x2 + 2x − 2. f ′(x) = 0; x5 = 0, x6 = −2, x7 = 1 sta ionarne to£ke. f ′′(0) < 0 f ′′(−2) > 0 f ′′(1) > 0 maksim um. minim um. mini- m um. • f′′(x) = 0; 3x2 + 2x − 2 = 0, √ √ x8 = 1(−1 + 7), x (−1 − 7) 3 9 = 1 3 prev o ja. 24 f ′′(x) < 0; (−1.2, 0.6)interval konkavnosti. f ′′(x) > 0; (−∞, −1.2) ∪ (0.6, ∞)interval konveksnosti. f (x) = x3 (d) x2−4 • Df = R \ {2, −2}. • f(x) = 0; x3 = 0, x x2−4 1,2,3 = 0 ni£le. • f′(x) = x2(x2−12), f′′(x) = 8x(x2+12). (x2−4)2 (x2−4)3 √ √ f ′(x) = 0; x4 = −2 3, x5 = 2 3, x6,7 = 0 sta ionarne to£ke. √ f ′′(−2 3) < 0 maksimum. √ f ′′(2 3) > 0 minimum. • f′′(x) = 0 : 8x(x2 + 12) = 0, x6 = 0 prevoj. f ′′(x) < 0; (−∞, 0)interval konkavnosti. f ′′(x) > 0; (0, ∞)interval konveksnosti. f (x) = 3ex − e3x (e) • Df = R. • f(x) = 0; 3ex − e3x = 0, x1 = ln3 2 ni£la. • f′(x) = −3ex(e2x − 1), f′′(x) = 3ex − 9e3x. f ′(x) = 0; x2 = 0 sta ionarna to£ka. f ′′(0) < 0 maksimum. • f′′(x) = 0; 3ex − 9e3x = 0, x6 = −ln 13 2 prev o j. f ′′(x) < 0; (−ln 13 , ∞) 2 in terv al k onk a vnosti. f ′′(x) > 0; (−∞, −ln 13 ) 2 in terv al k on v eksnosti. f (x) = 3 cos 2x (f ) • Df = R. • f(x) = 0; 3 cos 2x = 0, x = π + kπ , (k ∈ Z) 4 2 ni£le. • f′(x) = −6 sin 2x, f′′(x) = −12 cos 2x. f ′(x) = 0; −6 sin 2x = 0, x = kπ , (k ∈ Z) 2 sta ionarne to £ k e. f ′′(0) < 0, xmax = kπ maksimum. f ′′(0) > 0, xmin = π + kπ 2 minim um. • f′′(x) = 0; −12 cos 2x = 0, x = π + kπ , (k ∈ Z) 4 2 prev o j f ′′(x) < 0; (−π + kπ, π + kπ) 4 4 in terv al k onk a vnosti. f ′′(x) > 0; ( π + kπ, 3π + kπ) 4 4 in terv al k on v eksnosti. 25 f (x) = e2x−x2 (g) • Df = R. • f(x) = 0; e2x−x2 ni£le ni! • f′(x) = −2e−(x−2)x(x − 1), f′′(x) = e−(x−2)x(4x2 − 8x + 2) f ′(x) = 0; x1 = 1 sta ionarna to£ka. f ′′(0) < 0 maksimum. • f′′(x) = 0; e−(x−2)x(4x2 − 8x + 2) = 0, √ √ x 2 2 2 = 1 + , x 2 3 = 1 − 2 prevoj. √ √ f ′′(x) < 0; (1 − 2, 1 + 2) 2 2 in terv al k onk a vnosti. √ √ f ′′(x) > 0; (−∞, 1 − 2) ∪ (1 + 2, ∞) 2 2 in terv al k on v eksnosti. √ f (x) = x 8 − x2 (h) √ √ • Df = − 8, 8. √ √ √ • f(x) = 0; x 8 − x2 = 0, x1 = 0, x2 = −2 2, x3 = 2 2 ni£le. • f′(x) = −2(x2−4) √ , f ′′(x) = 2x(x2−12) 8 3 −x2 (8−x2) 2 f ′(x) = 0; −2(x2−4) √ = 0, x 8 4 = 2, x5 = −2 sta ionarni to£ki. −x2 f ′′(2) < 0 f ′′(−2) > 0 maksim um. minim um. • f′′(x) = 0; 2x(x2−12) = 0, x 3 6 = 0, prevoj. (8−x2) 2 √ f ′′(x) < 0; (0, 8)interval konkavnosti. √ f ′′(x) > 0; (− 8, 0)interval konveksnosti. f (x) = x3 ln x (i) • Df = R > 0 • f(x) = 0; x3 ln x = 0, x1 = 1 je ni£la funk ije. • f′(x) = 3x2 ln x + x2, f′′(x) = 6x ln x + 5x 1 f ′(x) = 0; x2 = e−3 sta ionarna to£ka. 1 f ′′(e− 3 ) < 0 lokalni maksimum. 1 • (0, e−3 ) F unk ija pada na in terv alu 1 (e− 3 , ∞). ter nara²£a na in terv alu 5 • f′′(x) = 0; 6x ln x + 5x = 0, x3 = e−6 je prevoj! • f′′(x) > 0; 6x ln x + 5x > 0 5 (e− 6 , ∞)interval konveksnosti. • f′′(x) < 0; 6x ln x + 5x < 0 5 (0, e−6 )interval konkavnosti. 26 f (x) = x2 Slik a 1.1: x2−9 f (x) = 6x−6 Slik a 1.2: x2+3 f (x) = x4 + x3 − x2 Slik a 1.3: 4 3 27 f (x) = x3 Slik a 1.4: x2−4 f (x) = 3ex − e3x Slik a 1.5: f (x) = 3 cos 2x Slik a 1.6: 28 f (x) = e2x−x2 Slik a 1.7: √ f (x) = x 8 − x2 Slik a 1.8: f (x) = x3 ln x Slik a 1.9: 29 1.3 Optimiza ijsk e naloge f 1. P oi²£ite na jv e£jo in na jmanj²o vrednost funk ije na danem in terv alu: f (x) = x2−1 , [−2, 3] (a) x3−4x2+4 f (x) = x2 ln x, [2, 6] (b) f (x) = x + cos x, [0, π] ( ) f (x) = e2x−x2, [−3, 2] (d) √ f (x) = x2 − 1, [5, 10] (e) R e²itev. Odv edljiv a funk ija na danem (zaprtem) in terv alu doseºe na jv e£jo in na jmanj²o vrednost b o disi znotra j in terv ala v sta ionarni to £ ki b o disi v kra ji²£ih in terv ala. P ostop ek isk anja na jv e£je in na jmanj²e vrednosti: • Poi²£emo sta ionarne to£ke znotraj intervala. • Izra£unamo funk ijske vrednosti v teh sta ionarnih to£kah. • Izra£unamo funk ijski vrednosti v kraji²£ih intervala. • (fmax) Med izra£unanimi funk ijskimi vrednostmi izb eremo na jv e£jo (fmin) in na jmanj²o . • f′(x) = −x4+3x2 . (a) (x3−4x2+4)2 • −x4 + 3x2 = 0, x1 = 0. Sta ionarna to £ k a: • f(0) = −1, f(−2) = − 3 , f(3) = −8. 4 20 5 • fmax = f(−2) = − 3 , f . 20 min = f (3) = − 85 • f′(x) = x(2 ln x + 1). (b) • x(2 ln x + 1) = 0, x1 = 0, x2 = 1 √ . Sta ionarna to £ k a: e • f(0) = 0, f( 1 √ ) = − 1 , f (2) = 2, 76, f (6) = 64, 50. e 2e • fmax = f(6) = 64, 50, fmin = f( 1 √ ) = − 1 . e 2e 30 • f′(x) = 1 − sin x. ( ) • 1 − sin x = 0, x1 = π + 2kπ. Sta ionarna to £ k a: 2 • f(π + 2kπ) = π + 2kπ, k ∈ Z, f(0) = 1, f(π) = π − 1. 2 2 • fmax fmin = f (0) = 1. ne obsta ja, • f′(x) = e2x−x2(2 − 2x). (d) • e2x−x2(2 − 2x) = 0, x1 = 1. Sta ionarna to £ k a: • f(1) = e, f(−3) = e−15, f(2) = 1. • fmax = f(1) = e, fmin = f(−3) = e−15. • f′(x) = x √ . (e) x2−1 • x = 0 Sta ionarna to £ k a: , v endar funk ija ni denirana v tej to £ ki, zato nimamo sta ionarnih to £ k. √ √ • f(5) = 24, f(10) = 99. √ √ • fmax = f(10) = 99, fmin = f(5) = 24. 2. Dolo £i ²tevilo tak o, da b o vsota tega ²tevila in njego v ega kv adrata na j- manj²a. R e²itev. • a Isk ano ²tevilo ozna£imo z . • f (a) = a + a2 Zapi²imo funk ijo . • f (a) = I²£emo na jmanj²o vrednost (globalni minim um) funk ije a + a2 f ′(a) = 1 + 2a. na eli realni osi: • f ′(a) = 1 + 2a = 0, a = −1. Sta ionarna to £ k a: 2 • x0 = a = −1 f V to £ ki 2 je globalni minimum funk ije . 31 3. Imamo 100 m ºi£ne ogra je. Z njo namera v amo omejiti pra v ok otno ze- mlji²£e, ki na j na eni strani meji na ºe obsto je£ ra v en zid. K olik o lahk o na jv e£ zna²a p o vr²ina zemlji²£a? R e²itev. • p = a · b Plo²£ina pra v ok otnega zemlji²£a je . • o = 2a + b = 100 Obseg pra v ok otnik a brez ene strani e je • p(a) = a · b = a · (100 − 2a) = 100a − 2a2 Zapi²imo funk ijo . • p(a) = 100a− I²£emo na jv e£jo vrednost (globalni maxim um) funk ije 2a2, p′(a) = 100 − 4a • f ′(a) = 100 − 4a = 0, a = 25m, b = 50m Sta ionarna to £ k a: • a · b = 3750m2 P o vr²ina (oz. plo²£ina) zemlji²£a je enak a . x y y + 3x = 6 4. V pra v ok otnem trik otniku je zv eza med k atetama in , . z K olik o morata zna²ati k ateti, da b o hip oten uza na jmanj²a? R e²itev. • Ker imamo pravokotni trikotnik je zveza med katetama in hipote- z2 = x2 + y2 n uzo enak a . • y y = Up orabimo zv ezo med k atetama ter izrazimo k ateto. V elja: 6 − 3x. • z(x) = px2 + (6 − 3x)2 Zapi²imo funk ijo . • z(x) = I²£emo na jmanj²o vrednost (globalni minim um) funk ije √x2 + (6 − 3x)2. • z′(x) = 10x−18 √ . (10x2−36x+36) • z′(x) = 10x−18 √ = 0 x = 9, y = 3 Sta ionarna to £ k a: , (10x2 5 5 . −36x+36) • x = 9 V to £ ki 5 je globalni minimum. 32 P = 18π 5. Kateri p ok on£ni stoºe z dano p o vr²ino ima na jv e£jo prostor- nino. R e²itev. • P = πr2 + πrs, s P o vr²ina p ok on£nega stoº a je kjer je stransk a vi²ina stoº a. 2 • 18π = πr2 + πrs s2 = ( 18π−πr2 ) Iz ena£b e sledi, da je πr . • v r s Izrazimo vi²ino stoº a s p omo £jo p olmera ter stransk e vi²ine . q 2 • v2 = s2 − r2 v = ( 18π−πr2 ) − r2 Ker je sledi, da je πr . • V = πr2v . Prostornina stoº a je enak a 3 q 2 • V (r) = 1πr2( ( 18π−πr2 ) − r2). Zapi²imo funk ijo 3 πr q 2 • V (r) = 1 πr2( ( 18π−πr2 ) − r2). I²£emo na jv e£jo vrednost funk ije 3 πr • V ′(r) = 108π2r−24π2r3 . Sta ionarna to £ k a: 1 324π2r2−36π2r4 2 q • r = 9 = 2, 12, s = 26, 5. 2 6. Kak²ne so razseºnosti kv adra, pri k aterem je dolºina dv akrat dalj²a o d 400m3 ²irine, prostornina meri , p o vr²ina pa je minimalna. R e²itev. • V = a · b · c = (2b) · b · c = 400m3 Prostornina kv adra je . • P = 2ab + 2ac + 2bc = 2(2b)b + 2(2b)c + 2bc P o vr²ina kv adra je . • P (b) = 2(2b)b + 2(2b)( 200 ) + 2b( 200 ) Zapi²imo funk ijo b2 b2 . • P (b) = I²£emo na jmanj²o vrednost (globalni minim um) funk ije 2(2b)b + 2(2b)( 200 ) + 2b( 200 ). P ′(b) = 8b − 1200. b2 b2 b2 • P ′(b) = 8b−1200 = 0, b = 5, 31m, a = 10, 62m, c = Sta ionarna to £ k a: b2 7, 1m. 33 34 P ogla vje 2 In tegral 2.1 Nedolo £eni in tegral 1. Izra£una jte nedolo £ene in tegrale: R (3x4 + 5x − 2)dx (a) R (x − 2)(3 − x2)dx (b) √ R (−2 x + 4)dx ( ) R (2x4−3x)dx (d) x √ R (x 2 x3 + 2 )dx (e) x4 R x dx (f ) x−3 R 4·3x−3·4x dx (g) 3x √ R px x(1 − 1)dx (h) x R tan2xdx (i) R 1+cos2x dx (j) 1+cos(2x) R 1 dx (k) x2−3x−4 R x2+1 dx (l) x2+x 35 R e²itev. R (3x4 + 5x − 2)dx = R 3x4dx + R 5xdx + R −2dx = 3 R x4dx + (a) 5 R xdx − 2 R dx = 3x5 + 5x2 − 2x + C. 5 2 R (x − 2)(3 − x2)dx = R (3x − x3 − 6 + 2x2)dx = 3 R xdx − R x3dx − (b) 6 R dx + 2 R x2dx = 3 x2 − 1x4 − 6x + 2x3 + C. 2 4 3 √ R 1 3 (−2 x + 4)dx = −2 R x2 dx + 4 R dx = −22x2 + 4x + C. ( ) 3 R (2x4−3x)dx = R (2x4 − 3x)dx = R (2x3 − 3)dx = 1x4 − 3x + C. (d) x x x 2 √ R 3 7 9 (x2 2 x3 + 2 )dx = R (x2x2 +2x−4)dx = R (x2 +2x−4)dx = 2x 2 + 2 x−3+ (e) x4 9 −3 C. R x dx = R x−3+3dx = R (x−3 + 3 )dx = R dx + 3 R 1 dx = (f ) x−3 x−3 x−3 x−3 (x−3) x + 3 ln(x − 3) + C. R 4·3x−3·4x dx = R (4·3x )dx = 4 R 3x dx − 3 R 4x dx = 4 R dx − (g) 3x 3x − 3·4x 3x 3x 3x x 3 R ( 4)xdx = 4x − 3 · (4) 3 + C. 3 ln( 4 ) 3 √ R p 3 3 1 7 x x(1 − 1 )dx = R x4 (1 − 1 )dx = R (x4 − x−4 )dx = 4x4 − (h) x x 7 4 3 x 4 + C. 3 R tan2xdx = R sin2 x dx = R 1−cos2 xdx = R 1 dx − R cos2 xdx = (i) cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x tan x − x + C. R 1+cos2x dx = R 1+1(cos 2x+1) 2 dx = R 1 dx + 1 R dx = 1 tan x + (j) 1+cos(2x) 1+cos(2x) 1+cos 2x 2 2 1 x + C. 2 R 1 dx = R 1 dx (k) x2−3x−4 (x+1)(x−4) . 1 = A + B . P omaga jmo si z par ialnimi ulomki. (x+1)(x−4) (x+1) (x−4) (x + 1)(x − 4) Ena£b o p omnoºimo z . 1 = A(x − 4) + B(x + 1) 1 = (A + B)x + (B − 4A) ; . A + B = 0 B − 4A = 1 A = −1 B = 1. Ker je in v elja, da je 5 in 5 R 1 dx = −1 R 1 dx + 1 R 1 dx = 1 ln( x−4) + C. (x+1)(x−4) 5 (x+1) 5 (x−4) 5 x+1 36 R x2+1 dx = R x2+1 dx. (l) x2+x x(x+1) x2+1 = Ax+B + C . P omaga jmo si z par ialnimi ulomki. x(x+1) x (x+1) x(x + 1) Ena£b o p omnoºimo z . x2 + 1 = A · x2 + (A + B + C) · x + B. A = 1 B = 1 C = −2 Od to d v elja, da je , in . R x2+1 dx = R (x+1 + −2 )dx = In tegral lahk o seda j zapi²emo k ot x(x+1) x x+1 R (1 + 1 )dx − 2 R 1 dx = x + ln x − 2 ln(x + 1) + C. x (x+1) 2. Z uv edb o no v e neznank e izra£una jte nedolo £ene in tegrale: R (5x − 3)8dx (a) R dx (b) 3x+2 R dx ( ) 3 √2x−3 R e7x−4dx (d) √ R x x2 + 3dx (e) R e2x dx (f ) 1+e4x R tan xdx (g) R sin x·cos2 x dx (h) 1+cos2 x R 1 dx (i) x·ln x R sin(2x − 1)dx (j) R xe2x2+3dx (k) R 2x sin(x2 + 3)dx (l) R ln x dx (m) x R ln3 x dx (n) 4x R dx (o) (x+1)(x−2) R dx (p) x2+5x+6 R e²itev. t = 5x − 3 dt = 5dx R (5x − 3)8dx = (a) No v a neznank a je , . T orej je 1 R t8dt = 1 t9 + C = 1 · (5x − 3)9 + C. 5 45 45 37 t = 3x + 2 dt = 3dx R dx = 1 R dt (b) No v a neznank a je , . Iz tega sledi 3x+2 3 t 1 R dt = 1 ln t + C = 1 ln (3x + 2) + C. 3 t 3 3 t = 2x − 3 dt = 2dx R dx = ( ) No v a neznank a je , . P otem je 3 √2x−3 1 R dt 2 2 = 1 R t−1 3 dt = 3 t 3 + C = 3 (2x − 3) 3 + C. 2 1 t 2 4 4 3 t = 7x − 4 dt = 7dx R e7x−4dx = (d) No v a neznank a je , . P otem je 1 R etdt = 1et + C = 1e7x−4 + C. 7 7 7 √ t = x2+3 dt = 2xdx R (x x2 + 3)dx = (e) No v a neznank a je , . Iz tega sledi √ √ 3 R 1 3 x t dt = 1 R tdt = 1 R t2 dt = 1t2 + C = 1(x2 + 3) 2 + C. 2x 2 2 3 3 t = e2x dt = 2e2xdx R e2x dt = (f ) No v a neznank a je , . Iz tega sledi 1+t2 2e2x 1 R 1 dt = 1 arctan t + C = 1 arctan(e2x) + C. 2 1+t2 2 2 t = cos x dt = − sin xdx R tan xdx = (g) No v a neznank a je , . Iz tega sledi R sin x dx = R sin x dt = − R 1dt = − ln t + C = − ln(cos x) + C. cos x t − sin x t t = cos x dt = − sin xdx R sin x·t2 dt = (h) No v a neznank a je , . P otem je 1+t2 − sin x − R t2 dt = − R t2+1−1dt = −(R t2+1dt − R 1 dt) = −(R dt − 1+t2 t2+1 t2+1 t2+1 R 1 dt) = −(t − arctan t) + C = − cos x + arctan(cos x) + C t2+1 . t = ln x dt = dx R 1 dx = R 1 xdt = (i) No v a neznank a je , x . Potem je x·ln x x·t R 1 dt = ln t + C = ln(ln x) + C. t t = 2x − 1 dt = 2dx R sin(2x − 1)dx = (j) No v a neznank a je , . P otem je R sin(t)dt = −1 cos t + C = −1 cos(2x − 1) + C. 2 2 2 t = 2x2 + 3 dt = 4xdx R xe2x2+3dx = (k) No v a neznank a je , . P otem je R xet dt = 1 R etdt = 1et + C = 1e2x2+3 + C. 4x 4 4 4 t = x2+3 dt = 2xdx R 2x sin(x2 + 3)dx = (l) No v a neznank a je , . P otem je R 2x sin t dt = R sin t = − cos t + C = − cos(x2 + 3) + C. 2x t = ln x dt = dx R ln x dx = R txdt = (m) No v a neznank a je , x . Potem je x x R tdt = t2 + C = (ln x)2 + C. 2 2 38 t = ln x dt = dx R ln3 x dx = R t3xdt = (n) No v a neznank a je , x . Potem je 4x 4x 1 R t3dt = 1 t4 + C = t4 + C = ln4 x + C. 4 4 4 16 16 1 (o) Na jprej zapi²imo ulomek (x+1)(x−2) kot vsoto dveh ulomkov, torej 1 = A + B (x+1)(x−2) (x+1)(x−2) x+1 x−2 . Pomnoºimo enakost z izrazom . 1 = A(x − 2) + B(x + 1) A + B = 0 P otem je , iz £esar sledi in −2A + B = 1 A = −1 B = 1 . 3 , 3 . R dx = −1 R dx + 1 R dx = −1 ln(x + 1) + Iz tega sledi (x+1)(x−2) 3 x+1 3 x−2 3 1 ln(x − 2) + C = 1 ln(x−2) + C. 3 3 x+1 1 = A + B (p) K ot v prej²njem primeru zapi²emo x2+5x+6 x+3 x+2 . K o p o- x2 + 5x + 6 1 = A(x + 2) + mnoºimo zapisano enak ost z izrazom , je B(x + 3) A + B = 0 2A + 3B = 1 . T orej je in . Re²itev tega sistema B = 1 A = −1 R dx = R −dx +R dx = je in . Iz tega sledi, da je x2+5x+6 x+3 x+2 − ln(x + 3) + ln(x + 2) + C = ln(x+2) + C. x+3 3. Z meto do p er partes izra£una jte nedolo £ene in tegrale: R ((5x + 7)e3x+2)dx (a) R (x2 · e2x)dx (b) R ((x + 2) cos 3x)dx ( ) R (e2x · sin x)dx (d) R (sin x(3 − x))dx (e) R (ln(−3x))dx (f ) R ((x2 + x) · ln(x))dx (g) R e²itev. In tegriranje p o delih (meto da p erpartes): Z Z udv = uv − vdu 39 u = 5x + 7 dv = e3x+2dx du = 5dx (a) V p eljemo in . P otem je in v = 1e3x+2 R (5x + 7)e3x+2dx = 1(5x + 7)e3x+2 − 3 . Iz tega sledi 3 R 5 e3x+2dx = 1(5x + 7)e3x+2 − 5e3x+2 + C. 3 3 9 u = x2 dv = e2xdx du = 2xdx R dv = (b) V p eljemo in . P otem je ter R e2xdx v = 1e2x R x2·e2xdx = x2·1e2x−R xe2xdx in o d to d 2 . T orej je 2 . u = x dv = P ono vno up orabimo in tegriranje p o delih. V p eljemo in e2xdx R xe2xdx = x1e2x − R 1e2xdx = x1e2x − 1e2x + C . P otem je 2 2 2 4 . x2 · 1e2x − x1e2x + 1e2x + C. K on£na re²itev je 2 2 4 u = x + 2 dv = cos 3xdx du = dx ( ) Uv edemo in ter izra£unamo , v = 1 sin 3x R ((x + 2) cos 3x)dx = (x + 2)1 sin 3x − 3 . P otem je 3 R 1 sin 3xdx = (x + 2)1 sin 3x + 1 cos 3x + C. 3 3 9 u = e2x, dv = sin xdx du = 2e2xdx v = (d) Uv edemo in izra£unamo ter − cos x R e2x sin xdx = −e2x cos x+2 R e2x cos xdx+C. . Iz tega sledi R e2x cos xdx In tegral seda j p ono vno zapi²emo s p omo £jo p erpar- tesa. R e2x cos xdx = e2x sin x − 2 R e2x sin xdx. Kon£en integral je tako R e2x sin xdx = −e2x cos x + 2e2x sin x − 4 R e2x sin xdx + C. enak R e2x sin xdx u Seda j uv edemo namesto no v o neznank o . Od to d do- u = −e2x cos x + 2e2x sin x − 4u + C bimo . u = −e2x cos x+2e2x sin x + C 5 u = 3 − x dv = sin xdx du = dx v = (e) Uv edemo , in izra£unamo ter − cos x R (3−x) sin xdx = −(3−x) cos x+R cos xdx = . Iz tega sledi −(3 − x) cos x + sin x + C. u = ln(−3x) dv = dx du = dx v = x (f ) Uv edemo , in izra£unamo x , . R ln(−3x)dx = x ln(−3x) − R xdx = x ln(−3x) − R dx = P otem je x x ln(−3x) − x + C. u = ln x dv = (x2 + x)dx du = dx (g) Uv edemo , in izra£unamo x ter v = x3 + x2 R (x2 + x) · ln(x)dx = (x3 + x2 ) ln x − 3 2 . P otem je 3 2 R (x3 + x2 ) · 1dx = (x3 + x2 ) ln x − R (x2 + x)dx = (x3 + x2 ) ln x − 3 2 x 3 2 3 2 3 2 ( x3 + x2 ) + C. 9 4 40 4. Izra£una jte nedolo £ene in tegrale: R sin3 x dx (a) cos4 x R ln(x+2) dx (b) x2 R ex−1 dx ( ) ex+1 R 1 dx (d) cos x R ln2(2x)dx (e) R e²itev. sin3 x = (sin2 x) · (sin x) = (a) ’tev e zapi²emo nek olik o druga£e: (1 − cos2 x) · (sin x). R sin3 x dx In tegral cos4 x zapi²emo k ot razlik o dv eh R sin x dx −R sinx dx. t = cos x in tegralo v cos4 x cos2 x Uv edemo no v o neznank o , dx = dt . R sin x dx = − R 1 . R sin x dx − sin x P otem je cos4 x t4 P o dobno cos2 x . Re- 1 + 1 = 1 + 1 + C. zultat je tak o enak t3 t (cos x)3 cos x R ln(x+2) dx R ln(x + 2)x−2dx (b) In tegral x2 zapi²emo nek olik o druga£e . ln(x + 2) = u, x−2dx = dv. Seda j up orabimo in tegriranje p o delih. R ln(x+2) dx = −ln(x+2) + R 1 dx. x2 x (x)(x+2) Za izra£un drugega in tegrala 1 = A + B si p omagamo s par ialnimi ulomki (x)(x+2) x x+2 . Od tod sledi R 1 dx = 1 R 1 dx − 1 R 1 dx. R ln(x+2) dx = (x)(x+2) 2 x 2 (x+2) Rezultat je enak x2 −ln(x+2) + 1 R 1 dx− 1 R 1 dx = −ln(x+2) + 1 ln x− 1 ln(x+2)+C. x 2 x 2 (x+2) x 2 2 ex − 1 = ex + 1 − 2. ( ) ’tev e zapi²emo nek olik o druga£e: . Od to d R ex−1 dx = R ex+1−2dx = R ex+1dx − 2 R 1 dx = R 1dx − v elja ex+1 ex+1 ex+1 ex+1 2 R 1 dx. ex+1 Drugi in tegral re²imo tak o, da uv edemo no v o neznank o t = ex+1, dt = exdx. R 1 dx = R 1 dt. T em u sledi ex+1 (t)(t−1) Seda j up o- R 1 dt = − R 1dt + R 1 dt. rabimo par ialne ulomk e (t)(t−1) t t−1 Rezultat − ln t+ln(t−1)+C = − ln(ex+1)+ln(ex)+ drugega in tegrala je enak C. R ex−1 dx = x+2 ln(ex +1)−2 ln(ex)+C. K on£en rezultat je enak ex+1 cos x R cos x dx (d) ’tev e in imeno v ale p omnoºimo s . Dobljeni in tegral cos2 x R cos x dx zapi²emo nek olik o druga£e 1 . Uv edemo no v o neznank o −sin2 x t = sin x, dt = cos xdx R 1 dt . Dobljeni in tegral 1−t2 razpi²emo s 1 R 1 dt + 1 R 1 dt p omo £jo par ialnih ulomk o v k ot 2 1+t 2 1−t . P o uv edbi 41 1 (ln(t + 1) − ln(t − 1)) + C. no vih neznank dobimo 2 K on£na re²itev 1 ln(t+1) + C = 1 ln(sin x+1) + C je tak o enak a 2 t−1 2 sin x−1 . u = ln2(2x), dv = dx (e) Up orabimo in tegriranje p o delih. . Od du = 2 ln(2x) 1 2dx, v = x. to d sledi 2x In tegral seda j zapi²emo R ln2(2x)dx = x ln2(2x) − R (x · (2 ln(2x) 1 2))dx = x ln2(2x) − k ot 2x 2 R ln(2x)dx. Za izra£un drugega integrala ponovno uporabimo in- u = ln(2x), du = 1 , dv = dx, v = x tegriranje p o delih. x . K on£en R ln2(2x)dx = x ln2(2x) − 2(x ln(2x) − R dx) + C = rezultat je enak x ln2(2x) − 2x ln(2x) + 2x + C. 2.2 Dolo £eni in tegral 1. Izra£una jte dolo £ene in tegrale. R 2 (3x2 − 4)dx (a) −1 R 3(x + 2)(x − 3)dx (b) 0 R 1(ex + 7x3 + sin x)dx ( ) 0 R 3( 1 + x − 2)dx (d) 1 3 √ 2 x R π sin xdx (e) 0 π R 2 cos xdx (f ) 0 R e²itev. R 2 (3x2 − 4)dx = 3 R 2 x2dx − 4 R 2 dx = x3|2 (a) −1 −1 −1 −1 − 4x|2 −1 = ((8 − (−1)) − 4((2) − (−1)) = 9 − 12 = −3. R 3(x + 2)(x − 3)dx = R 3(x2 − x − 6)dx = (x3 − x2 − 6x)|3 = (b) 0 0 3 2 0 (9 − 9 − 18) − 0 = 9 − 9 − 18 = −13, 5. 2 2 42 R 1(ex + 7x3 + sin x)dx = (ex + 7x4 − cos x)|1 = (e + 7 − cos 1) − (1 + ( ) 0 4 0 4 0 − 1) = (e + 7 − cos 1). 4 R 3 1 ( 1 + x − 2)dx = R 3(x−23 + x − 2)dx = (3x3 + x2 − 2x)|3 (d) 1 3 √x2 1 2 1 = 1 4 (3 · 33 + 9 − 6) − (3 + 1 − 2) = 33 − 3. 2 2 R π sin xdx = (− cos x)|π = − cos π − (− cos 0) = 1 + 1 = 2. (e) 0 0 π π R 2 cos xdx = sin x| 2 − sin 0 = 1 − 0 = 1. (f ) 0 0 = sin π 2 2. Z uv edb o no v e neznank e izra£una jte dolo £ene in tegrale. √ R 1 x + 1dx (a) 0 R 2 ( x )dx (b) −1 x2+4 R 2 √ ( ex )dx ( ) ln 3 e2x−1 R eπ sin(ln x) dx (d) 1 x R 1(2x + 1)5dx (e) 0 R 1 e7x−3dx (f ) 0 π R 2 (cos x · sin2 x)dx (g) 0 R e ln2 x dx (h) 1 x R e²itev. t = x + 1 dt = dx (a) V dolo £eni in tegral vp eljemo no v o neznank o , . t Meji za neznank o sta: • x = 0 t = 1 sp o dnja meja: k o je je . • x = 1 t = 2 zgornja meja: k o je je . √ √ √ R 1 x + 1dx = R 2 tdt = 2( 8 − 1). Od to d sledi 0 1 3 t = x2+4 dt = 2xdx R 2 ( x )dx = (b) V p eljemo no v o neznank o , . P otem je −1 x2+4 R 8 x · dt = 1 R 8 1dt = 1 ln t|8 = 1(ln 8 − ln 5). 5 t 2x 2 5 t 2 5 2 t = ex dt = exdx R 2 √ ( ex )dx = ( ) V p eljemo no v o neznank o , . P otem je ln 3 e2x−1 √ R e2 √ 1 dt = 1 ln ( t−1)|e2 3 √ = 1(ln ( e2−1 ) − ln ( −1 √ )). 3 t2−1 2 t+1 3 2 e2+1 3+1 43 t = ln x dt = 1 dx R eπ sin(ln x) dx = (d) V p eljemo no v o neznank o , x . P otem je 1 x R π sin(t)dtx = R π sin tdt = − cos t|π = (− cos π) − (− cos 0) = 1 + 1 = 0 x 0 0 2. t = 2x + 1 dt = 2dx R 1(2x + (e) V p eljemo no v o neznank o , . P otem je 0 1)5dx = R 3(t)5dx = t6 |3 ) − (1) = 727. 1 6 1 = ( 243 4 6 12 t = 7x−3 dt = 7dx R 1 e7x−3dx = (f ) V p eljemo no v o neznank o , . P otem je 0 R 4 et dt = 1et|4 = 1(e4 − e−3). −3 7 7 −3 7 π t = sin x dt = cos xdx R 2 cos x · sin2 xdx = (g) V p eljemo no v o neznank o , . P otem je 0 R 1 cos x · t2 dt = R 1 t2 = t3 |1 − 0) = 1. 0 cos x 0 3 0 = ( 1 3 3 t = ln x dt = dx R e ln2 x dx = (h) V p eljemo no v o neznank o , x . Potem je 1 x R 1 t2xdt = R 1 t2dt = t3 |1 = (1) − (0) = 1. 0 x 0 3 0 3 3 3 3. Z meto do p er partes izra£una jte dolo £ene in tegrale. R 1 (2x + 3)exdx (a) −1 R e 2 ln xdx (b) 1 R 1 x2 · e−xdx ( ) −1 π R 2 x · sin 2xdx (d) 0 R e²itev. In tegriranje p o delih: Z b Z b udv = uv|b vdu. a − a a u = 2x + 3 dv = exdx du = 2dx (a) V p eljemo in . P otem je in v = ex R 1 (2x + 3)exdx = (2x + 3)ex|1 ex2dx = . Sledi −1 −1 − R 1 −1 (5e1) − (e−1) − 2ex|1 = 5e − (e−1) − 2(e − e−1) = 3e + e−1. −1 u = ln x dv = dx du = dx v = x (b) Uv edemo , . P otem je x in . Sledi 2 R e ln xdx = 2(x ln x|e dx) = 2(e − x|e 1 1 − R e 1 1) = 2(e − (e − 1)) = 2. 44 u = x2 dv = e−xdx du = 2xdx v = ( ) Uv edemo , . P otem je in −e−x R 1 x2 · e−xdx = x2(−e−x)|1 (−e−x2x)dx = . Sledi −1 −1 − R 1 −1 x2(−e−x)|1 +2(R 1 e−xxdx) = x2(−e−x)|1 +2(x(−e−x)|1 +R 1 e−xdx) = −1 −1 −1 −1 −1 −e−1 + e + 2(−e−1 − e + (−e−x)|1 ) = −e−1 + e + 2(−e−1 − e + −1 (−e−1 + e)) = −5e−1 + e. u = x dv = sin 2xdx du = dx v = −1 cos 2x (d) Uv edemo , . Sledi in 2 . π π π R 2 x · sin 2xdx = (−x1 cos 2x)| 2 2 (−1 cos 2x)dx = T orej je 0 2 0 − R0 2 π π ((−π cos π) − (0)) + 1 R 2 cos 2xdx = π + 1(sin2x)| 2 . 4 2 0 4 2 2 0 = π 4 4. Izra£una jte p osplo²ene in tegrale. R ∞ dx (a) 1 x3 R ∞ dx √ (b) 1 x5 R ∞ 1 1 dx ( ) (1+x2)(2+x) 2 R ∞ e−xdx (d) 0 R ∞ xe−x2dx (e) 0 R e²itev. R ∞ dx = lim R b b x−3dx = limb |b = (a) 1 x3 →∞ 1 →∞ − x−2 2 1 limb ( + 1) = 1. →∞ − b−2 2 2 2 R ∞ dx R b dx R b 5 3 √ = limb √ = limb x− 2 dx = limb x− 2 |b (b) 1 x5 →∞ 1 x5 →∞ 1 →∞ − 2 3 1 = 3 limb ( b− 2 + 2) = 2. →∞ − 2 3 3 3 1 dx 1 ( ) Na jprej izra£unamo nedolo £eni in tegral (1−x2)(2+x) . Ulomek (1−x2)(2+x) 1 = A + B + C zapi²emo k ot vsoto treh ulomk o v, torej (1−x2)(2+x) 1−x 1+x 2+x . (1 − x)(1 + x)(2 + x) P omnoºimo enak ost z izrazom . P otem je 1 = (A − B − C)x2 + (3A − B)x + (2A + 2B + C), od koder sledi A − B − C = 0 3A − B = 0 2A + 2B + C = 1 A = 1 B = 1 , in . 6 , 2 C = −1 R dx = R ( 1 + 1 − 1 )dx = ter 3 . Sledi (1−x2)(2+x) 6(1−x) 2(1+x) 3(2+x) 1 ln(1 − x) + 1 ln(1 + x) − 1 ln(2 + x) + C 6 2 3 R ∞ 1 R b 1 1 dx limb 1 dx. P osplo²eni in tegral (1+x2)(2+x) lahk o zapi²emo k ot →∞ (1+x2)(2+x) 2 2 limb ( 1 ln(1 − x) + 1 ln(1 + x) − 1 ln(2 + x))|b = Sledi →∞ 6 2 3 1 2 45 R ∞ e−x = lim R b b e−xdx = limb (−e−x)|b (−e−b + (d) 0 →∞ 0 →∞ 0 = limb→∞ 1) = 1. R xe−x2dx (e) Na jprej izra£una jmo in tegral . V p eljemo no v o neznank o −x2 = t −2xdx = dt. in P otem je Z 1 Z 1 1 xe−x2dx = − etdt = − et + C = − e−x2 + C. 2 2 2 Iz tega sledi Z ∞ Z b xe−x2dx = lim xe−x2dx 0 b→∞ 0 1 1 1 = lim − e−x2|b0 = lim − (e−b2 − 1) = . b→∞ 2 b→∞ 2 2 f I 5. Izra£una jte p o vpre£no vrednost dane funk ije na in terv alu . √ f (x) = 2 + x I = [−2, 2] (a) , f (x) = x I = 1 , 1 (b) 2x2+1 , 2 f (x) = e3x−1 I = [0, 2] ( ) , f (x) = ln x I = [1, e] (d) , f (x) = sin2 x I = [0, π] (e) , f [a, b] R e²itev. P o vpre£na vrednost in tegrabilne funk ije na in terv alu : f = 1 R b f(x)dx (b−a) a √ 1 3 3 f = 1 R 2 ( 2 + x)dx = 1 R 4 t2 dt = 2 (2 + x) 2 |2 (2 + x) 2 |2 (a) 4 −2 4 0 12 −2 = 1 6 −2 = ( 8) − (0) = 4. 6 3 f = 2 R 1 x R 3 dt 1 dx t = 2x2 + 1 3 = (b) 2x2+1 . Uv edemo no v o neznank o . 4t 2 2 1 ln(2x2 + 1)|1 = 1 ln (3) − 1 ln (3) = 1 ln 2. 2 1 2 2 2 2 2 f = 1 R 2 e3x−1dx t = 3x − 1 dt = 3dx ( ) 2 0 . Uv edemo no v o neznank o , . 1 R 5 et dt = 1e3x−1|2 e5) − (1e−1) 2 −1 3 6 0 = ( 1 6 6 46 f = 1 R e ln xdx u = ln x dv = dx du = dx (d) e−1 1 . Uv edemo , . P otem je x v = x 1 R e ln xdx = 1 (x ln x|e dx) = 1 x(ln x − 1)|e in . e−1 1 e−1 1 − R e 1 e−1 1 = 1 ((e − 1) + 1) = e e−1 e−1 f = 1 R π sin2 xdx = 1 −1 R π cos 2x − 1dx = − 1 (R π cos 2xdx)− (e) (π) 0 (π) 2 0 (2π) 0 R π dx) = − 1 (1 sin 2x − x)|π = (− 1 (0 − π)) + 0 = 1 0 (2π) 2 0 (2π) 2 2.3 Up oraba in tegrala √ f (x) = 2x + 1 1. Izra£una jte plo²£ino lik a, omejenega s funk ijami in g(x) = 7 − x ter abs isno osjo. R e²itev. Za p omo £ si nari²emo graf funk ije ter izra£unamo prese£i²£a. F unk- √2x + 1 = 7 − x ijsk a zapisa ena£imo . Od to d dobimo, da je edina x = 4 pra v a re²itev . Za izra£un plo²£ine tak o zapi²emo dolo £eni in tegral. √ R 4 1 2x + 1dx + R 7 (7 − x)dx = 27 ≈ 13, 5. − 4 2 2 f (x) = x + 2 g(x) = 2. Izra£una jte plo²£ino lik a, omejenega s funk ijami in x2. R e²itev. R 2 (2 + x − x2)dx = 9 ≈ 4, 5. −1 2 f (x) = 1 + x2 3. Izra£una jte plo²£ino lik a, omejenega s funk ijami 2 in g(x) = x2. R e²itev. √ √ R 2 √ ((1 + x2 ) − x2)dx = 4 2 ≈ 1, 88. − 2 2 3 f (x) = x2 + 2x − 3 4. Izra£una jte plo²£ino lik a, omejenega s funk ijami in g(x) = x − 1. 47 R e²itev. R 1 (2 − x − x2)dx = 9 ≈ 4, 5. −2 2 f (x) = sin x g(x) = 5. Izra£una jte plo²£ino lik a, omejenega s funk ijami , cos x in ordinatno osjo. R e²itev. π √ R 4 (cos x − sin x)dx = 2 − 1 ≈ 0, 41. 0 f (x) = x2 g(x) = 2x 6. Izra£una jte plo²£ino lik a, omejenega s funk ijami , in ordinatno osjo. R e²itev. R 2 (2x − x2)dx = 9−8ln2 ≈ 1, 66. 0 3 ln 2 f (x) = cos x g(x) = 7. Izra£una jte plo²£ino lik a, omejenega s funk ijami , 2 − |x| in abs isno osjo. R e²itev. π 2 · (R 2 (2 − x)dx − R 2 (cos x)dx) ≈ 2. 0 0 f (x) = x2 − 2x + 2 8. Izra£una jte plo²£ino lik a, omejenega s funk ijamo 2 , in tangen tama nanjo v to £ k ah z abs isama 1 in 4. R e²itev. f ′(x) = x − 2 Smerni k o e ien t tangen te na graf funk ije v dolo £eni to £ ki je enak pr- v em u o dv o du funk ije v tej to £ ki. f ′(x1) = kt , f ′(1) = −1 = k , f′(4) = 2 = k 1 t1 t2 (y − y0) = kt (x − x0), (y − 1) = −1(x − 1), y1 = −x + 3 Ena£bi tangen t: 1 2 2 (y − y0) = kt (x − x 2 0), (y − 2) = 2(x − 4), y2 = 2x − 6 π 2 · (R 2 (2 − x)dx − R 2 (cos x)dx) ≈ 2 0 0 48 √ f (x) = 2x + 1 g(x) = 7 − x Slik a 2.1: in f (x) = x + 2 g(x) = x2 Slik a 2.2: in 49 f (x) = 1 + x2 g(x) = x2 Slik a 2.3: 2 in f (x) = x2 + 2x − 3 g(x) = x − 1 Slik a 2.4: in 50 f (x) = sin x g(x) = cos x Slik a 2.5: , in ordinatno osjo f (x) = x2 g(x) = 2x Slik a 2.6: , in ordinatno osjo 51 f (x) = cos x g(x) = 2 − |x| Slik a 2.7: , in abs isno osjo f (x) = x2 − 2x + 2 Slik a 2.8: 2 , in tangen tama nanjo v to £ k ah z abs isama 1 in 4 52 P ogla vje 3 Diferen ialne ena£b e 3.1 Diferen ialne ena£b e prv ega reda 1. P oi²£ite splo²ne re²itv e diferen ialne ena£b e z lo £ljivima spremenljiv- k ama: y′ = x2 + 3 (a) 2y′x = y (b) y′(x2 + 3)3 = 2x ( ) y′x = ln5 x (d) y′(x + 5)(−x + 4) = y (e) y′ = 3x2(1 + y2) (f ) (sin x)dy = 2y(cos x)dx (g) yy′ = 2(xy + x) (h) y′ − 2x = 0 (i) xyy′ = 1 − x2 (j) tan ydx − cot xdy = 0 (k) y′ = y2+1 (l) x2+1 (x + 2)dy + y2dx = 0 (m) xy′ − y = y3 (n) 53 R e²itev. dy = x2 + 3 dy = (x2 + 3)dx R dy = R (x2 + 3)dx (a) Ker je dx , je in zato . y = x3 + 3x + C Iz tega sledi, da je 3 . dy = dx R dy = R dx ln y = (b) Vidimo, da je y 2x in zato y 2x . P otem je 1 ln x 2 + ln C, kar pomeni, da je 1 1 ln y = ln Cx 2 y = Cx 2 . T orej je . dy (x2 + 3)3 = 2x dy = 2x dx ( ) Ker je dx je (x2+3)3 . V p eljemo no v o neznank o t = x2 + 3 dt = 2xdx R 2x dx = R dt = R t−3dt = , . P otem je (x2+3)3 t3 −t−2 + C = −(x2+3)−2 + C 2 2 . Iz tega sledi, da je re²itev diferen ialne y = −(x2+3)−2 + C ena£b e 2 . dy x = ln5 x dy = ln5 x dx R ln5 x dx (d) Ker je dx je x . Izra£una jmo in tegral x . t = ln x dt = dx R ln5 x dx = V p eljemo no v o neznank o , x . T orej je x R t5dt = t6 + C = ln6 x + C 6 6 . Iz tega sledi, da je re²itev diferen ialne y = ln6 x + C ena£b e 6 . R dy = R dx = R ( 1 + 1 )dx (e) Re²itev enak osti y (x+5)(−x+4) 9(x+5) 9(−x+4) je ln y = 1 ln(x + 5) + 1 ln(−x + 4) + ln C 9 9 oziroma zapisano druga£e 1 y = ((x + 5)(−x + 4))9 C. dy = 3x2(1+y2) dy = 3x2dx R dy = R 3x2dx (f ) Ker je dx , je (1+y2) in zato (1+y2) . tan y = x3 + C y = arctan(x3 + C) Iz tega sledi, da je in . R dy = R cos xdx t = (g) Re²itev enak osti 2y sin x . V p eljemo no v o neznank o sin x dt = cos xdx dx = dt R dy = R cos x dt , in cos x . Odtod sledi 2y t cos x in 1 ln y = ln sin x + ln C y = (C sin x)2. 2 . Re²itev je enak a y dy = 2(xy+x) ydy = 2(xy+x)dx ydy = 2x(y+1)dx (h) dx o d to d sledi in . R y dy = R 2xdx t = y + 1 dt = dy y+1 . V p eljemo no v o neznank o , . R t−1 dt = R 2xdx R (t − 1)dt = 2 R xdx (y + 1) − ln(y + 1) = t je t t in x2 + C. 54 dy = 2x 1dy = 2xdx R 1dy = R 2xdx (i) Ker je dx , je in zato . Iz tega y = x2 + C sledi, da je . xyy′ = 1 − x2 y dy = 1−x2 R ydy = R 1−x2 dx (j) sledi dx x in x . Odto d dobimo √ y2 = ln x − x2 + C y = 2 ln x − x2 + 2C. 2 2 in tan ydx − cot xdy = 0 − cot xdy = − tan ydx 1 dy = (k) je . V elja tan y 1 dx sin y = C cot x in cos x . dy = y2+1 dy = dx R 1 dy = R 1 dx (l) Ker je dx x2+1 , je y2+1 x2+1 in zato y2+1 x2+1 . Iz tan y = tan x + C tega sledi, da je . (x + 2)dy + y2dx = 0 dy = − dx R dy = − R dx (m) sledi y2 (x+2) in y2 (x+2) . Odtod −1 = − ln x + 2 + ln C y = 1 . dobimo y in ln( x+2 ) C xy′ − y = y3 x dy = y + y3 R dy = R dx (n) sledi dx . V elja y(1+y2) x . In tegral R dy R dy = R 1 dy+R −y dy y(1+y2) zapi²emo kot vsoto integralov y(1+y2) y 1+y2 . R −y dy t = Za izra£un drugega in tegrala 1+y2 uv edemo no v o neznank o 1 1 1 + y2 ln(1 + y2)− 2 ln y + ln(1 + y2)− 2 = ln x + ln C in dobimo . Sledi . y = Cx Skupna re²itev je 1 . (1+y2) 2 2. P oi²£ite tiste re²itv e diferen ialnih ena£b z lo £ljivima spremenljivk ama, ki zado²£a jo danim p ogo jem: y − y′x = 2y′ y(1) = 1 (a) , y′e−5x = x + 3 y(0) = 1 (b) , y′ = x cos(3x) y( π ) = 0 ( ) , 3 (2x2 + 1)y′ − 10xy = 4x y(0) = 1 (d) , 2 R e²itev. y′(x + 2) = y dy = dx (a) Vidimo, da je in zato y x+2 . Iz tega sledi, da je ln y = ln(x + 2) + ln C y = C(x + 2) . T orej je . Ker je p o dan p ogo j y(1) = 1 1 = 3C C = 1 y = 1(x + 2) , je in zato 3 . Re²itev je 3 . 55 y′ = (x + 3)e5x dy = (x + 3)e5xdx (b) Ni teºk o prev eriti, da je in zato . R (x + 3)e5xdx Z meto do p er partes izra£unamo in tegral . Uv edemo u = x + 3 dv = e5x du = dx v = 1e5x in . P otem je in 5 . Sledi R (x + 3)e5xdx = 1(x + 3)e5x − R 1e5xdx = 1(x + 3)e5x − 1 e5x + C 5 5 5 25 . y = 1(x + 3)e5x − 1 e5x + C Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 5 25 . y(0) = 1 1 = 3 − 1 +C 1 = 14 +C Glede na p o dan p ogo j je 5 25 oziroma 25 . C = 11 y = 1(x + 3)e5x − 1 e5x + 11. T orej je 25 . Re²itev naloge je 5 25 25 R dy = R x cos(3x)dx R x cos(3x)dx ( ) Ker je , b omo izra£unali s p omo- u = x dv = cos(3x)dx du = dx £jo p erpartesa. Uv edemo , in zato , v = 1 sin(3x) R x cos(3x)dx = 1x sin(3x)−R 1 sin(3x)dx = 3 . T orej je 3 3 1 x sin(3x) + 1 cos(3x) + C. 3 9 Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je y = 1 x sin(3x) + 1 cos(3x) + C. y( π ) = 0 3 9 Ker je dan p ogo j 3 , je 0 = 1 · π sin(π) + 1 cos(π) + C 0 = −1 + C 3 3 9 oziroma 9 . Iz tega sledi, C = 1 y = 1 x sin(3x) + 1 cos(3x) + 1 da je 9 . Re²itev naloge je 3 9 9 . (2x2 +1)y′−10xy = 4x (2x2 +1)dy = 4x+10xy dy = 2x(2+5y) (d) , dx . V elja dx 2x2+1 R dy = R 2x dx t = 2+5y in 2+5y 2x2+1 . Uv edemo no v o neznank o o d k o der dt = 5dy h = 2x2 + 1 dh = 4xdx sledi . P o dobno v elja in . T ak o R dt 1 1 = R dh 1 ln t = 1 ln h+ln C (2+5y)5 = C(2x2 +1)2 je 5t 2h . Velja 5 2 in . 3. P oi²£ite splo²ne re²itv e linearnih diferen ialnih ena£b prv ega reda: y′ + 2 y = x3 (a) x x2 y′ + xy = xe 2 (b) y′ + y + 2x = 0 ( ) y′ + y = 2x2 + 3 (d) (y′ + y)(1 + ex) = 2 (e) (4 − x2)y′ + xy = 2x (f ) 3xy′ + y = 6x3 (g) 2y′ + y = ex (h) xy′ + 2(1 − x2)y = 1 (i) y′ + y tan x = 1 (j) cos x 56 xy′ + y = x2 ln x (k) xy′ + xy = 1 − y (l) x2y′ + xy + 1 = 0 (m) y′ − 2x+1 y = 2x+1 (n) x2+x x2+x xy′ + y = ln x + 1 (o) y′ + 2xy = e−x2 (p) xy′ + 2y = x3 (q) R e²itev. y′ + f (x)y = g(x). Linerana diferen ialna ena£ba prv ega reda je oblik e y′ + 2 y = x3 (a) x Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y y′ + 2 = 0 x y y′ = −2x dy dx = −2 y x Z dy Z dx = −2 y x ln y = −2 ln x + ln C ln y = ln x−2 + ln C ln y = ln Cx−2 y = Cx−2. y = C(x)x−2 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je C(x)x−2 C′(x)x−2 − 2C(x)x−3 + 2 = x3. x Iz tega sledi C′(x) = x5 57 in zato Z x6 C(x) = x5dx = + D. 6 y = ( x6 + D)x−2. Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 6 x2 y′ + xy = xe 2 (b) Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y′ + xy = 0 y′ = −xy dy = −xdx y Z dy Z = − xdx y x2 ln y = − + ln C 2 x2 ln y = ln e− 2 + ln C x2 ln y = ln Ce− 2 x2 y = Ce− 2 . x2 y = C(x)e− 2 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je x2 x2 x2 x2 C′(x)e− 2 − C(x)xe− 2 + C(x)e− 2 x = xe 2 . Iz tega sledi x2 x2 C′(x)e− 2 = xe 2 Z Z C′(x) = xex2, C′(x) = xex2dx. t = x2 P o uv edbi no v e neznank e dobimo 1 C(x) = ex2 + D. 2 x2 y = ( 1ex2 + D)e− 2 . Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 2 58 y′ + y + 2x = 0 ( ) Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y′ + y = 0 y′ = −y dy = −dx y Z dy Z = − dx y ln y = −x + ln C ln y = ln e−x + ln C ln y = ln Ce−x y = Ce−x. y = C(x)e−x Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je C′(x)e−x − C(x)e−x + C(x)e−x = −2x. Iz tega sledi Z Z C′(x)e−x = −2x, C′(x) = −2 xexdx. R xex Izra£una jmo seda j in tegral s p omo £jo p erpartesa. Z uv edb o u = x exdx = dv in dobimo C(x) = −2xex + 2ex + D. y = (−2xex + 2ex + D)e−x. Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 59 y′ + y = 2x2 + 3 (d) Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y′ + y = 0 y′ = −y dy = −dx y Z dy Z = − dx y ln y = −x + ln C ln y = ln e−x + ln C ln y = ln Ce−x y = Ce−x. y = C(x)e−x Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je C′(x)e−x − C(x)e−x + C(x)e−x = 2x2 + 3. Iz tega sledi Z Z C′(x)e−x = 2x2 + 3, C′(x) = −2 (2x2 + 3)exdx. R (2x2 + 3)ex Izra£una jmo seda j in tegral s p omo £jo p erpartesa. Z u = 2x2 + 3 exdx = dv uv edb o in dobimo Z C(x) = (2x2 + 3)ex − 4 xexdx + D. S p ono vno up orab o p erpartesa dobimo C(x) = (2x2 + 3)ex − 4xex + 4ex + D. Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je y = ((2x2 + 3)ex − 4xex + 4ex + D)e−x. 60 (y′ + y)(1 + ex) = 2 (e) Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y′ + y = 0 y′ = −y dy = −dx y Z dy Z = − dx y ln y = −x + ln C ln y = ln e−x + ln C ln y = ln Ce−x y = Ce−x. y = C(x)e−x Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je 2 C′(x)e−x − C(x)e−x + C(x)e−x = . 1 + ex Iz tega sledi 2 2ex C′(x)e−x = , C′(x) = . 1 + ex 1 + ex t = 1 + ex Z uv edb o no v e neznank e dobimo C(x) = ln(1 + ex)2 + D. y = (ln(1 + ex)2 + D)e−x. Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 61 (4 − x2)y′ + xy = 2x (f ) Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: x y′ + ( )y = 0 4 − x2 x y′ = −( )y 4 − x2 dy x = − dx y 4 − x2 Z dy Z x = − dx y 4 − x2 4 − x2 = t, −2xdx = dt Z dy 1 Z dt = y 2 t 1 ln y = ln(4 − x2) + ln C 2 1 ln y = ln (4 − x2)2 + ln C 1 ln y = ln C(4 − x2)2 1 y = C(4 − x2)2 . 1 y = C(x)(4 − x2)2 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je 1 1 1 1 2x C′(x)(4 − x2)2 + C(x) (4 − x2)−2 (−2x) + C(x)x(4 − x2)−2 = . 2 (4 − x2) Iz tega sledi 1 2x 3 C′(x)(4 − x2)2 = , C′(x) = 2x(4 − x2)−2 . (4 − x2) t = 4 − x2 Z uv edb o no v e neznank e dobimo 1 C(x) = 2(4 − x2)−2 + D. 1 1 y = (2(4−x2)−2 +D)(4 − x2)2 . Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 62 3xy′ + y = 6x3 (g) Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y y′ + ( ) = 0 3x y y′ = −3x dy dx = − y 3x Z dy 1 Z dx = − y 3 x 1 ln y = − ln x + ln C 3 1 ln y = ln x− 3 + ln C 1 ln y = ln Cx− 3 1 y = Cx− 3 . 1 y = C(x)x− 3 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je 1 1 4 1 4 C′(x)x− 3 − C(x)x3 + C(x)x3 = 2x2. 3 3 Iz tega sledi 1 7 C′(x)x− 3 = 2x2, C′(x) = 2x3 in zato 3 10 C(x) = x 3 + D. 5 10 1 y = ( 3 x 3 + D)x− 3 . Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 5 63 2y′ + y = ex (h) Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y y′ + ( ) = 0 2 y y′ = −2 dy dx = − y 2 Z dy 1 Z = − dx y 2 1 ln y = − x + ln C 2 1 ln y = ln e− x 2 + ln C 1 ln y = ln Ce− x 2 1 y = Ce− x 2 . 1 y = C(x)e− x 2 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je 1 1 1 1 1 ex C′(x)e− x x x 2 − C(x)e−2 + C(x)e−2 = . 2 2 2 Iz tega sledi 1 ex 1 3x C′(x)e− x 2 = , C′(x) = e 2 2 2 in zato 1 3x C(x) = e 2 + D. 3 3x 1 y = ( 1e x 2 + D)e− 2 . Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 3 64 xy′ + 2(1 − x2)y = 1 (i) y′ + 2(1−x2)y = 1 . Ena£b o preoblikujemo in dobimo x x Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: 2(1 − x2) y′ + y = 0 x 2(1 − x2) y′ = − y x dy (−2 + 2x2)dx = y x Z dy Z 1 Z = −2 dx + 2xdx y x ln y = −2 ln x + x2 + ln C ln y = ln x−2 + ln ex2 + ln C ln y = ln Cx−2ex2 y = Cx−2ex2. y = C(x)x−2ex2 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je 2(1 − x2) 1 C′(x)x−2ex2 + C(x)(ex22xx−2 + ex2(−2x−3)) + (C(x)x−2ex2) = . x x Iz tega sledi 1 C′(x)x−2ex2 = , C′(x) = xe−x2 x in zato 1 C(x) = − e−x2 + D. 2 y = (−1e−x2 + D)x−2ex2. Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 2 65 y′ + y tan x = 1 (j) cos x Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y′ + y tan x = 0 y′ = −y tan x dy = −tanx y Z dy Z = − tan xdx y ln y = −(− ln(cos x)) + ln C ln y = ln(cos x) + ln C y = C cos x. y = C(x) cos x Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je sin x 1 C′(x) cos x − sin xC(x) + C(x) cos x = . cos x cos x Iz tega sledi 1 1 C′(x) cos x = , C′(x) = cos x cos2 x in zato C(x) = tan x + D. y = (tan x + D) cos x. Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 66 xy′ + y = x2 ln x (k) y′ + y = x ln x. Ena£b o preoblikujemo in dobimo x Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y y′ + = 0 x y y′ = −x dy dx = − y x Z dy Z dx = − y x ln y = − ln x + ln C C ln y = ln x C y = . x y = C(x) Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om x . T orej je C′(x) − C(x)x−2 + C(x)x−2 = xlnx. x Iz tega sledi C′(x) = xln x, C′(x) = x2 ln x x in zato x3 x3 C(x) = ln x − + D. 3 9 y = ( x3 ln x − x3 + D) 1 . Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 3 9 x 67 xy′ + xy = 1 − y (l) y′ + x+1y = 1 . Ena£b o preoblikujemo in dobimo x x Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: x + 1 y′ + y = 0 x x + 1 y′ = − y x dy x + 1 = − dx y x Z dy Z x + 1 = − dx y x Z Z 1 ln y = −( dx + dx) + ln C x ln y = −x − ln x + ln C e−x y = C . x y = C(x) e−x Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om x . T orej je e−x 1 1 1 x + 1 1 C′(x) − C(x) − C(x) + C(x) = . x xex x2ex xex x x Iz tega sledi e−x 1 C′(x) = , C′(x) = ex x x in zato C(x) = ex + D. y = (ex + D) e−x . Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je x 68 x2y′ + xy + 1 = 0 (m) y′ + y = − 1 P o ureditvi dobimo x x2 Re²itev homogenega dela diferen- ialne ena£b e je: y y′ + = 0 x y y′ = −x dy dx = − y x Z dy Z dx = − y x ln y = − ln x + ln C C ln y = ln x C y = . x y = C(x) Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om x . T orej je C′(x) C(x) 1 + C(x)(−x−2) + = − . x x2 x2 Iz tega sledi C′(x) 1 = − x x2 in zato C(x) = − ln x + D. y = (− ln x + D) 1 . Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je x 69 y′ − 2x+1 y = 2x+1 (n) x2+x x2+x Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: 2x + 1 y′ − y = 0 x2 + x 2x + 1 y′ = y x2 + x dy 2x + 1 = dx y x2 + x Z dy Z 2x + 1 = dx y x2 + x x2 + x = t, (2x + 1)dx = dt, Z 2x + 1 dt ln y = t 2x + 1 ln y = ln t + ln C ln y = ln(x2 + x)C y = (x2 + x)C. Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om y = C(x)(x2 + x). T orej je C(x)(2x + 1)(x2 + x) 2x + 1 C′(x)(x2 + x) + C(x)(2x + 1) − = . x2 + x x2 + x Iz tega sledi 2x + 1 C′(x) = , x2 + x = t, (2x + 1)dx = dt, (x2 + x)2 in zato Z 1 1 C(x) = dt, C(x) = − + D t2 x2 + x y = (− 1 + D)(x2 + x). Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je x2+x 70 xy′ + y = ln x + 1 (o) y′ + y = ln x+1. Ena£b o preoblikujemo in dobimo x x Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y y′ + = 0 x y y′ = −x dy dx = − y x Z dy Z dx = − y x ln y = − ln x + ln C C ln y = ln x C y = . x y = C(x) Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om x . T orej je C′(x) C(x) C(x) ln x + 1 − + = . x x2 x2 x Iz tega sledi C′(x) = ln x + 1 in zato Z Z C(x) = ln xdx + dx, C(x) = x ln x + D. y = x ln x+D . Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je x 71 y′ + 2xy = e−x2 (p) Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: y′ + 2xy = 0 y′ = −2xy dy = −2xdx y Z dy Z = −2 xdx y ln y = −x2 + ln C ln y = ln e−x2 y = Ce−x2. y = C(x)e−x2 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je C′(x)e−x2 − 2xC(x)e−x2 + 2xC(x)e−x2 = e−x2. Iz tega sledi C′(x) = 1 in zato C(x) = x + D. y = (x + D)e−x2. Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 72 xy′ + 2y = x3 (q) Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je: 2y y′ + = 0 x 2y y′ = − x dy −2dx = y x Z dy Z dx = −2 y x ln y = −2 ln x + ln C ln y = ln x−2 + ln C y = Cx−2. y = C(x)x−2 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je C′(x)x−2 − 2x−3C(x) + 2x−3C(x) = x2. Iz tega sledi C′(x) = x4 in zato x5 C(x) = + D. 5 y = ( x5 + D)x−2. Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 5 73 4. P oi²£ite splo²ne re²itv e Bernoullijevih diferen ialnih ena£b: y′ + y = y2 (a) xy′ + y = −xy2 (b) y′ − y = 1 ( ) x 2y √ y′ + xy = x y (d) 2 y′ + y = xy 3 (e) 1 2y′ + 3y = 3y 3 (f ) x ln x 1 xy′ + y + x2y4 = 0 (g) 2 xdy = (x2y + x2y3)dx (h) R e²itev. y′ + f (x)y = g(x)yn Bernoullijev a diferen ialna ena£ba je oblik e y′ + y = y2 (a) z = y1−n. Uv edemo no v o neznank o n = 2 Iz p o dane ena£b e je razvidno, da je . z = y−1 No v a neznank a je enak a . z z′ = −1y−2y′ Odv a ja jmo neznank o k ot funk ijo: . y2 y′ + 1 = 1 Prv otno ena£b o delimo z in dobimo y2 y . −z′ + z = 1 Zamanja v a z no v o neznank o nam da . Dobljena diferen ialna ena£ba je linearna diferen ialna ena£ba pr- v ega reda. P o preoblik o v anju je linearna diferen ialna ena£ba enak a: z′ − z = −1. 74 Re²itev homogenega dela linearne diferen ialne ena£b e je: z′ − z = 0 z′ = z dz = 1dx z Z dz Z = 1dx z ln z = x + ln C ln z = ln Cex z = Cex. y = C(x)ex Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je C′(x)ex + C(x)ex − C(x)ex = −1. Iz tega sledi C′(x) = −e−x −x = t, dx = −dt in zato C(x) = et + D oziroma C(x) = e−x + D zs = (e−x + D)ex Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je z = 1 Seda j up o²tev a jmo ²e uv edb o no v e neznank e y . y = 1 K on£na re²itev je tak o (e−x+D)ex . xy′ + y = −xy2 (b) y′ + y = −y2 Ena£b o preoblikujemo x . z = y1−n. Uv edemo no v o neznank o n = 2 Iz p o dane ena£b e je razvidno, da je . 75 z = y−1 z = 1 No v a neznank a je enak a oziroma y . z z′ = −1y−2y′ Odv a ja jmo neznank o k ot funk ijo: . y2 y′ + 1 = −1 Prv otno ena£b o delimo z in dobimo y2 xy . −z′ + 1 z = −1 P o zamanja vi z no v o neznank o dobimo x . Dobljena diferen ialna ena£ba je linearna diferen ialna ena£ba pr- v ega reda. P o preoblik o v anju je linearna diferen ialna ena£ba enak a z′ − 1 z = 1 x . Re²itev homogenega dela linearna diferen ialne ena£b e je: 1 z′ − z = 0 x z z′ = x dz dx = z x Z dz Z dx = z x ln z = ln x + ln C ln z = ln Cx z = Cx. y = C(x)x Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je C(x)x C′(x)x + C(x) − = 1. x Iz tega sledi 1 C′(x) = x in zato C(x) = ln x + D. zs = (ln x + D)x. Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je z = 1 Seda j up o²tev a jmo ²e uv edb o no v e neznank e y . y = 1 K on£na re²itev je tak o ((ln x+D)x . 76 y′ − y = 1 ( ) x 2y y′ − y = 1y−1 Ena£b o preoblikujemo x 2 . z = y1−n. Uv edemo no v o neznank o n = −1 Iz p o dane ena£b e je razvidno, da je . z = y2 No v a neznank a je enak a . z z′ = 2yy′ Odv a ja jmo neznank o k ot funk ijo: . y−1 y′ = 1 Prv otno ena£b o delimo z in dobimo y−1 − y2 x 2 . 1 z′ − z = 1 P o zamenja vi z no v o neznank o dobimo 2 x 2 Dobljena diferen ialna ena£ba je linearna diferen ialna ena£ba pr- v ega reda. P o preoblik o v anju je linearna diferen ialne ena£ba enak a z′ − 2 z = 1 x . Re²itev homogenega dela linearna diferen ialne ena£b e je: 2 z′ − z = 0 x 2z z′ = x dz dx = 2 z x Z dz Z dx = 2 z x ln z = 2 ln x + ln C ln z = ln Cx2 z = Cx2. y = C(x)x2 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je 2C(x)x2 C′(x)x2 + 2C(x) − = 1. x Iz tega sledi 1 C′(x) = x2 in zato 1 C(x) = − + D. x 77 zs = (− 1 + D)x2 Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je x z = y2 Seda j up o²tev a jmo ²e uv edb o no v e neznank e . q y = (− 1 + D)x2 K on£na re²itev je tak o x . √ y′ + xy = x y (d) 1 y′ + xy = xy 2 Ena£b o preoblikujemo . z = y1−n. Uv edemo no v o neznank o n = 1 Iz p o dane ena£b e je razvidno, da je 2 . 1 z = y 2 No v a neznank a je enak a . z z′ = 1 y′ Odv a ja jmo neznank o k ot funk ijo: 2 1 . y 2 1 y y′ 2 + x y = x Prv otno ena£b o delimo z in dobimo 1 1 . y 2 y 2 2z′ + xz = x. P o zamenja vi z no v o neznank o dobimo Dobljena diferen ialna ena£ba je linearna diferen ialna ena£ba pr- v ega reda. P o preoblik o v anju je linearna diferen ialna ena£ba enak a z′ + x z = x 2 2 . Re²itev homogenega dela linearna diferen ialne ena£b e je: x z′ + z = 0 2 xz z′ = − 2 dz xdx = − z 2 Z dz 1 Z = − xdx z 2 x2 ln z = − + ln C 4 x2 ln z = ln Ce− 4 x2 z = Ce− 4 . 78 x2 y = C(x)e− 4 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je x2 x2 x x2 x x C′(x)e− 4 + C(x)e− 4 (− ) − C(x)e− 4 (− ) = . 2 2 2 Iz tega sledi x2 x C′(x) = e 4 ( ) 2 x2 x t = , dt = dx 4 2 in zato Z C(x) = etdt in x2 C(x) = e 4 + D. x2 x2 zs = (e 4 + D)e− 4 . Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 1 z = y 2 Seda j up o²tev a jmo ²e uv edb o no v e neznank e . x2 x2 y = ((e 4 + D)e− 4 )2 K on£na re²itev je tak o . 2 y′ + y = xy 3 (e) z = y1−n. Uv edemo no v o neznank o n = 2 Iz p o dane ena£b e je razvidno, da je 3 . 1 z = y 3 No v a neznank a je enak a . z z′ = 1 y′ Odv a ja jmo neznank o k ot funk ijo: 3 2 . y 3 2 y y′ 3 + y = x Prv otno ena£b o delimo z in dobimo 2 2 . y 3 y 3 3z′ + z = x P o zamenja vi z no v o neznank o dobimo Dobljena diferen ialna ena£ba je linearna diferen ialna ena£ba pr- v ega reda. z′+ 1z = x P o preoblik o v anju je linearna diferen ialna ena£ba enak a 3 3 . 79 Re²itev homogenega dela linearna diferen ialne ena£b e je: 1 z′ + z = 0 3 z z′ = −3 dz dx = − z 3 Z dz 1 Z = − dx z 3 1 ln z = − x + ln C 3 x ln z = ln Ce− 3 x z = Ce− 3 . x z = C(x)e− 3 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je x x 1 x 1 x C′(x)e− 3 + C(x)e− 3 (− ) + C(x)e− 3 ( ) = . 3 3 3 Iz tega sledi x x C′(x) = ( )e 3 . 3 Up orabimo meto do p erpartes: x x u = , dv = e 3 dx 3 in zato Z x x C(x) = xe 3 − e 3 dx ter x x C(x) = xe 3 − 3e 3 + D. x x x zs = (xe 3 − 3e 3 + D)e− 3 . Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 1 z = y 3 Seda j up o²tev a jmo ²e uv edb o no v e neznank e . x y = (x − 3 + De− 3 )3 Splo²na re²itev je tak o . 80 1 2y′ + 3y = 3y 3 (f ) x ln x 1 y′ + 3y = 3y 3 Ena£b o preoblikujemo 2x ln x 2 . z = y1−n. Uv edemo no v o neznank o n = 1 Iz p o dane ena£b e je razvidno, da je 3 . 2 z = y 3 No v a neznank a je enak a . z z′ = 2 y′ Odv a ja jmo neznank o k ot funk ijo: 3 1 . y 3 2 1 y y′ 3 3 + 3y = 3 Prv otno ena£b o delimo z in dobimo 1 y 2x ln x 2 . 3 3 z′ + 3z = 3. P o zamenja vi z no v o neznank o dobimo 2 2x ln x 2 Dobljena diferen ialna ena£ba je linearna diferen ialna ena£ba pr- v ega reda. P o preoblik o v anju je linearna diferen ialna ena£ba enak a z z′ + = 1. 2x ln x Re²itev homogenega dela linearna diferen ialne ena£b e je: z z′ + = 0 2x ln x z z′ = −2xln x dz dx = − z 2x ln x Z dz 1 Z dx = − z 2 x ln x dx t = ln x, = dt x1 ln z = − ln t + ln C 2 1 ln z = ln C(ln x)− 2 1 z = C(ln x)− 2 . 1 y = C(x)(ln x)− 2 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je 1 1 3 1 3 C′(x)(ln x)− 2 + C(x)(− )((ln x)− 2 ) − C(x)(− )((ln x)− 2 ) = 1. 2x 2x 81 Iz tega sledi 1 C′(x) = (ln x) 2 Up orabimo meto do p erpartes: 1 u = (ln x) 2 , 1dx = dv. in zato Z 1 1 C(x) = x(ln x) 2 − ln xdx 2 ter 1 x ln x x C(x) = x(ln x) 2 − + + D. 2 2 1 zs = (x(ln x)2 − x lnx + x + Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 2 2 1 D)(ln x)− 2 . 2 z = y 3 Seda j up o²tev a jmo ²e uv edb o no v e neznank e . 1 1 2 y = ((x(ln x) 2 − xln x + x + D)(ln x)−2 )3 . Splo²na re²itev je tak o 2 2 1 xy′ + y + x2y4 = 0 (g) 2 y′ + 2y = −2xy4 Ena£b o preoblikujemo x . z = y1−n. Uv edemo no v o neznank o n = 4 Iz p o dane ena£b e je razvidno, da je . No v a neznank a je enak a z = y−3. z z′ = −3y′ Odv a ja jmo neznank o k ot funk ijo: y4 . y4 y′ + 2 = −2x Prv otno ena£b o delimo z in dobimo y4 xy3 . −1z′ + 2 z = −2x P o zamenja vi z no v o neznank o dobimo 3 x Dobljena diferen ialna ena£ba je linearna diferen ialna ena£ba pr- v ega reda. z′ +− 6 z = P o preoblik o v anju je linearna diferen ialna ena£ba enak a x 6x. 82 Re²itev homogenega dela linearna diferen ialne ena£b e je: 6 z′ + − z = 0 x dz 6 = dx z x Z dz Z 1 = 6 dx z x ln z = 6 ln x + ln C ln z = ln Cx6 z = Cx6. y = C(x)x6 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je C′(x)x6 + C(x)6x5 − C(x)6x5 = 6x. Iz tega sledi 6 C′(x) = x5 in zato 3 C(x) = − + D. 2x4 zs = (− 3 + D)x6 Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je 2x4 z = y−3 Seda j up o²tev a jmo ²e uv edb o no v e neznank e . 1 y = ( 1 ) 3 Splo²na re²itev je tak o ( 3 . − 2x4 +D)x6 xdy = (x2y + x2y3)dx (h) y′ − xy = xy3 Ena£b o preoblikujemo . z = y1−n. Uv edemo no v o neznank o n = 3 Iz p o dane ena£b e je razvidno, da je . No v a neznank a je enak a z = y−2. z z′ = −2y′ Odv a ja jmo neznank o k ot funk ijo: y3 . y3 y′ = x Prv otno ena£b o delimo z in dobimo y3 − x y2 . 83 −1z′ − xz = x. P o zamenja vi z no v o neznank o dobimo 2 Dobljena diferen ialna ena£ba je linearna diferen ialna ena£ba pr- v ega reda. P o preoblik o v anju je linearna diferen ialna ena£ba enak a z′ + 2xz = −2x. Re²itev homogenega dela linearna diferen ialne ena£b e je: z′ + 2xz = 0 dz = −2xdx z Z dz Z = −2 xdx z ln z = −x2 + ln C ln z = ln Ce−x2 z = Ce−x2. y = C(x)e−x2 Splo²no re²itev diferen ialne ena£b e re²imo z nasta vk om . T orej je C′(x)e−x2 + C(x)e−x2(−2x) − C(x)e−x2(2x) = −2x. Iz tega sledi C′(x) = −2xex2 t = x2, dt = 2xdx Z Z C′(x) = −2 xex2dx ter Z Z C′(x) = − etdt in zato C(x) = −ex2 + D. zs = (−ex2 + D)e−x2. Splo²na re²itev diferen ialne ena£b e je z = y−2 Seda j up o²tev a jmo ²e uv edb o no v e neznank e . q y = 1 Splo²na re²itev je tak o ((−ex2 +D)e−x2) . 84 3.2 Diferen ialne ena£b e drugega reda Linearne diferen ialne ena£b e drugega reda s k onstan tnimi k o e ien ti so oblik e y′′ + a1y′ + a0y = f (x), a1, a0 kjer so realna ²tevila. Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e dobimo s p omo £jo k arakteri- y′′ y′ λ2 λ sti£nega p olinoma. Namesto in up orabimo ter . λ2 + a1λ + a0 = 0. Karakteristi£ni p olinom je tak o enak Ni£le k arakteristi£nega p olinoma nam b o do dale re²itev homogenega dela di- feren ialne ena£b e. P omagamo si z naslednjimi nasta vki: • λ1 λ2 Ni£li k arakteristi£nega p olinoma in sta razli£ni realni ²tevili: yH = C1eλ1x + C2eλ2x. • λ1 = λ2 = λ Ni£la k arakteristi£nega p olinoma je realna in dv o jna, : yH = C1eλx + C2xeλx. • Ni£li karakteristi£nega polinoma sta konjugirani kompleksni ²tevili, λ1 = a + ib λ2 = a − ib , : yH = eax(C1 cos(bx) + C2 sin(bx)). 85 P artikularno re²itev diferen ialne ena£b e p oi²£emo z nasta vk om: f (x) nasta v ek Ceαx Axseαx pn(x)eαx Pn(x)xseαx x2ex (Ax2 + Bx + C)xsex C sin(βx) xs(A sin(βx) + B cos(βx)) C cos(βx) xs(A sin(βx) + B cos(βx)) pn(x)(C sin(βx) + D cos(βx)) xs(Pn(x) sin(βx) + Qn(x) cos(βx)) pn(x)eαx(C sin(βx) + D cos(βx)) xs(Pn(x) sin(βx) + Qn(x) cos(βx))eαx s = 0 α α + iβ , £e oziroma ni ni£la k arakteristi£nega p olinoma. s = 1 α α + iβ , £e oziroma je ni£la k arakteristi£nega p olinoma. s = 2 α , £e je dv o jna ni£la k arakteristi£nega p olinoma. 1. P oi²£ite splo²ne re²itv e diferen ialnih ena£b drugega s k onstan tnimi k o- e ien ti: y′′ + 4y = 8x2 (a) y′′ + 2y′ + y = (x + 1)e2x (b) 1 y′′ + 4y′ + y = e x 2 ( ) y′′ + y′ = x2 + x (d) 2y′′ + y = ex + x2ex (e) y′′ + 3y′ − 10y = x2ex (f ) y′′ + y′ − 6y = e2x cos 2x (g) y′′ + 2y′ + 5y = 16ex + sin 2x (h) 86 R e²itev. y′′ + 4y = 8x2 (a) Karakteristi£ni p olinom pripada jo £e diferen ialne ena£b e je enak λ2 + 4 = 0. λ1 = 0 + 2i λ2 = 0 − 2i Ni£li k arakteristi£nega p olinoma sta ter . Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je enak a yH = C1 cos(2x) + C2 sin(2x). P oi²£imo seda j partikularno re²itev diferen ialne ena£b e. 8x2 Desni del ena£b e predsta vlja p olinom druge stopnje . Seda j lahk o up orabimo drugi nasta v ek v na²i tab eli. pn(x)eαx Pn(x)xseαx. pn(x)eαx = 8x2e0x α = 0 . Od to d sledi, da je . Iz tab ele v elja, α s = 0 £e ni ni£la k arakteristi£nega p olinoma p otem je . (Ax2 + Bx + C)x0e0x Nasta v ek je tak o enak: oziroma (Ax2 + Bx + C). A, B, C P oi²£imo manjk a jo £e vrednosti danega partikularnega na- sta vk a. yp = P otrebujemo prvi in drugi o dv o d partikularnega nasta vk a. Ax2 + Bx + C, y′ = 2Ax + B, y′′ = 2A. p p y′′ + 4y = 8x2 2A + 4Ax2 + 4Bx + 4C = 8x2. Ker je v elja enak ost 4Ax2 + 4Bx + 2A + 4C = 8x2 + 0x + 0. Od to d sledi 4A = 8, 4B = 0, 2A + 4C = 0. Dele ob neznank ah ena£imo A, B, C A = 2, B = 0, C = −1. Manjk a jo £e neznank e so enak e yp = 2x2 − 1. P artikularni del re²itv e je enak 2x2 − 1 + C1 cos(2x) + C2 sin(2x). K on£na, skupna re²itev je enak a 87 y′′ + 2y′ + y = (x + 1)e2x (b) Karakteristi£ni p olinom pripada jo £e diferen ialne ena£b e je enak λ2 + 2λ + 1 = 0. λ1 = λ2 = −1 Ni£li k arakteristi£nega p olinoma sta . Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je enak a yH = C1e−x + C2xe−x. P oi²£imo seda j partikularno re²itev diferen ialne ena£b e. Desni del ena£b e predsta vlja pro dukt p olinom ter eksp onen tne funk- (x + 1)e2x ije . Seda j up orabimo drugi nasta v ek v na²i tab eli. pn(x)eαx Pn(x)xseαx. pn(x)eαx = (x + 1)e2x α = 2 . Od to d sledi, da je . Iz tab ele v e- α α + iβ lja, £e oziroma ni ni£la k arakteristi£nega p olinoma p otem s = 0 je . (Ax + B)x0e2x (Ax + B)e2x Nasta v ek je tak o enak: oziroma . A, B, C P oi²£imo manjk a jo £e vrednosti danega partikularnega na- sta vk a. P otrebujemo prvi in drugi o dv o d partikularnega nasta vk a. yp = (Ax+B)e2x, y′ = Ae2x +2(Ax+B)e2x, y′′ = 4Ae2x +4(Ax+ p p B)e2x. y′′ + 2y′ + y = (x+ 1)e2x 4Ae2x + 4(Ax+ B)e2x + Ker je v elja enak ost 2(Ae2x + 2(Ax + B)e2x) + (Ax + B)e2x = (x + 1)e2x. (6A + 9B)e2x + (9A)xe2x = e2x + xe2x. Od to d sledi 6A + 9B = 1, 9A = 1. Dele ob neznank ah ena£imo A, B A = 1, B = 1 . Manjk a jo £i neznanki sta enaki 9 27 yp = (1x + 1 )e2x. P artikularni del re²itv e je enak 9 27 yS = (1x+ 1 )e2x+C1e−x+C2xe−x. K on£na, skupna re²itev je enak a 9 27 88 x y′′ + 4y′ + y = e 2 ( ) Karakteristi£ni p olinom pripada jo £e diferen ialne ena£b e je enak λ2 + 4λ + 1 = 0. √ √ λ1 = −2 + 3 λ2 = −2 − 3 Ni£li k arakteristi£nega p olinoma sta , . Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je enak a √ √ y 3)x 3)x H = C1e(−2+ + C2e(−2− . P oi²£imo seda j partikularno re²itev diferen ialne ena£b e. x e 2 Desni del ena£b e predsta vlja eksp onen tna funk ija . Seda j up orabimo prvi nasta v ek v na²i tab eli. Ceαx Axseαx. 1 Ceαx = 1e x 2 α = 1 α . Od to d sledi, da je 2 . Iz tab ele v elja, £e α + iβ s = 0 oziroma ni ni£la k arakteristi£nega p olinoma p otem je . 1 1 Ax0e x x 2 Ae2 Nasta v ek je tak o enak: oziroma . A, B, C P oi²£imo manjk a jo £e vrednosti danega partikularnega na- sta vk a. P otrebujemo prvi in drugi o dv o d partikularnega nasta vk a. 1 1 1 y x x x p = Ae 2 , y′ = 1Ae2 , y′′ = 1Ae 2 . p 2 p 4 x 1 1 1 1 y′′+4y′+y = e 1 x x x x 2 Ae 2 +4( 1 Ae2 )+Ae 2 = e2 . Ker je v elja enak ost 4 2 1 1 ( 13A)e x x 2 = e2 . Od to d sledi 4 13 A = 1. A Dele ob neznank ah ena£imo 4 Manjk a jo £a neznank a je A = 4 . enak a 13 1 y x p = 4 e 2 . P artikularni del re²itv e je enak 13 1 √ √ y x 3)x 3)x S = 4 e 2 +C1e(−2+ +C2e(−2− . K on£na, skupna re²itev je enak a 13 89 y′′ + y′ = x2 + x (d) Karakteristi£ni p olinom pripada jo £e diferen ialne ena£b e je enak λ2 + λ = 0. λ1 = 0 λ2 = −1 Ni£li k arakteristi£nega p olinoma sta , . Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je enak a yH = C1 + C2e−x. P oi²£imo seda j partikularno re²itev diferen ialne ena£b e. x2 + x Desni del ena£b e predsta vlja p olinom druge stopnje . Seda j up orabimo drugi nasta v ek v na²i tab eli. pn(x)eαx Pn(x)xseαx. pn(x)eαx = (x2 + x)e0x α = 0 . Od to d sledi, da je . Iz tab ele α α + iβ v elja, £e je oziroma ni£la k arakteristi£nega p olinoma p o- s = 1 tem je . (Ax2 + Bx + C)x1e0x (Ax2 + Bx + Nasta v ek je tak o enak: oziroma C)x. A, B, C P oi²£imo manjk a jo £e vrednosti danega partikularnega na- sta vk a. yp = P otrebujemo prvi in drugi o dv o d partikularnega nasta vk a. Ax3 + Bx2 + Cx, y′ = 3Ax2 + 2Bx + C, y′′ = 6Ax + 2B. p p y′′ + y′ = x2 + x 6Ax + 2B + 3Ax2 + 2Bx + C = Ker je v elja enak ost x2 + x. 3Ax2 + (6A + 2B)x + 2B + C = 1x2 + 1x + 0. Od to d sledi 3A = 1, 6A + 2B = 1, 2B + C = 0. Dele ob neznank ah ena£imo A, B, C A = 1, B = −1, C = 1. Manjk a jo £e neznank e so enak e 3 2 yp = 1x3 − 1x2 + x. P artikularni del re²itv e je enak 3 2 yS = 1 x3 − 1x2 + x + C1 + C2e−x. K on£na, skupna re²itev je enak a 3 2 90 2y′′ + y = ex + x2ex (e) Karakteristi£ni p olinom pripada jo £e diferen ialne ena£b e je enak 2λ2 + 1 = 0. q q λ 1 1 1 = 0 + i λ2 = 0 − i Ni£li k arakteristi£nega p olinoma sta 2 , 2 . Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je enak a r 1 r 1 yH = (C1 cos( x) + C x)). 2 2 sin( 2 P oi²£imo seda j partikularno re²itev diferen ialne ena£b e. Desni del ena£b e predsta vlja p o preoblik o v anju pro dukt p olinoma ex(1 + x2) druge stopnje z eksp onen tno funk ijo . Seda j up orabimo drugi nasta v ek v na²i tab eli. pn(x)eαx Pn(x)xseαx. pn(x)eαx = (x2 + 1)e1x α = 1 . Od to d sledi, da je . Iz tab ele v elja, α α + iβ £e oziroma ni ni£la k arakteristi£nega p olinoma p otem je s = 0. (Ax2 + Bx + C)x0e1x (Ax2 + Bx + Nasta v ek je tak o enak: oziroma C)ex. A, B, C P oi²£imo manjk a jo £e vrednosti danega partikularnega na- sta vk a. yp = P otrebujemo prvi in drugi o dv o d partikularnega nasta vk a. (Ax2 + Bx + C)ex, y′ = (Ax2 + 2Ax + Bx + B + C)ex, y′′ = p p (Ax2 + 4Ax + Bx + 2A + 2B + C)ex. 2y′′ + y = ex + x2ex 2((Ax2 + 4Ax + Bx + 2A + Ker je v elja enak ost 2B + C)ex) + (Ax2 + Bx + C)ex = ex + x2ex. (3A)x2ex+(8A+3B)xex+(4A+4B+3C)ex = x2ex+ex. Od to d sledi 3A = 1, (8A + 3B) = 0, (4A + 4B + Dele ob neznank ah ena£imo 3C) = 1. A, B, C A = 1, B = Manjk a jo £e neznank e so enak e 3 −8, C = 29. 9 27 yp = (1x2 − 8x + 29)ex. P artikularni del re²itv e je enak 3 9 27 yS = (1x2 − 8x + 29)ex + C1e−x + K on£na, skupna re²itev je enak a 3 9 27 q q (C 1 1 1 cos( x) + C x)). 2 2 sin( 2 91 y′′ + y′ − 6y = e2x cos 2x (f ) Karakteristi£ni p olinom pripada jo £e diferen ialne ena£b e je enak λ2 + λ − 6 = 0. λ1 = 2 λ2 = −3 Ni£li k arakteristi£nega p olinoma sta , . Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je enak a yH = C1e2x + C2e−3x. P oi²£imo seda j partikularno re²itev diferen ialne ena£b e. Desni del ena£b e predsta vlja pro dukt eksp onen tne funk ije s k o- e2x cos 2x sin usno funk ijo . Seda j up orabimo p eti nasta v ek v na²i tab eli. Ceαx cos(βx) xseαx(A sin(βx) + B cos(βx)). Ceαx cos(βx) = e2x cos 2x α = 2 β = 2 . Od to d sledi, da je in . Iz α α+iβ tab ele v elja, £e oziroma ni ni£la k arakteristi£nega p olinoma s = 0 p otem je . x0e2x(A sin(2x)+B cos(2x)) e2x(A sin(2x)+ Nasta v ek je tak o enak: oziroma B cos(2x)). A, B P oi²£imo manjk a jo £e vrednosti danega partikularnega nasta vk a. yp = P otrebujemo prvi in drugi o dv o d partikularnega nasta vk a. e2x(A sin(2x) + B cos(2x)), y′ = 2e2x((A p − B) sin(2x) + (A + B) cos(2x)), y′′ = 4e2x( p −2B sin(2x) + 2A cos(2x)). y′′ + y′ − 6y = e2x cos 2x 4e2x(−2B sin(2x) + Ker je v elja enak ost 2A cos(2x))+2e2x((A−B) sin(2x)+(A+B) cos(2x))−6(e2x(A sin(2x)+ B cos(2x))) = e2x cos 2x. 10A − 4B = 1, −4A − 10B = 0. Od to d sledi Manjk a jo £i neznanki A, B A = 5 , B = − 1 . sta enaki 58 29 yp = e2x( 5 sin(2x) − 1 cos(2x)). P artikularni del re²itv e je enak 58 29 yS = e2x( 5 sin(2x) − 1 cos(2x)) + K on£na, skupna re²itev je enak a 58 29 C1e2x + C2e−3x. 92 y′′ + 3y′ − 10y = x2ex (g) Karakteristi£ni p olinom pripada jo £e diferen ialne ena£b e je enak λ2 + 3λ − 10 = 0. λ1 = −5 λ2 = 2 Ni£li k arakteristi£nega p olinoma sta , . Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je enak a yH = C1e−5x + C2e2x. P oi²£imo seda j partikularno re²itev diferen ialne ena£b e. Desni del ena£b e predsta vlja pro dukt p olinoma druge stopnje z ek- x2ex sp onen tno funk ijo . Seda j up orabimo tretji nasta v ek v na²i tab eli. x2eαx (Ax2 + Bx + C)xsex. x2eαx = x2e1x α = 1 α . Od to d sledi, da je . Iz tab ele v elja, £e α + iβ s = 0 oziroma ni ni£la k arakteristi£nega p olinoma p otem je . (Ax2 + Bx + C)x0e1x (Ax2 + Bx + Nasta v ek je tak o enak: oziroma C)ex. A, B, C P oi²£imo manjk a jo £e vrednosti danega partikularnega na- sta vk a. yp = P otrebujemo prvi in drugi o dv o d partikularnega nasta vk a. (Ax2 + Bx + C)ex, y′ = (Ax2 + 2Ax + Bx + B + C)ex, y′′ = p p (Ax2 + 4Ax + Bx + 2A + 2B + C)ex. y′′+3y′−10y = x2ex (Ax2+4Ax+Bx+2A+2B+ Ker je v elja enak ost C)ex+3((Ax2+2Ax+Bx+B+C)ex)−10((Ax2+Bx+C)ex) = x2ex. (−6A)x2ex+(10A−6B)xex+(2A+5B −6C)ex = x2ex. Od to d sledi −6A = 1, (10A−6B) = 0, (2A+5B− Dele ob neznank ah ena£imo 6C) = 0. A, B, C A = −1, B = Manjk a jo £e neznank e so enak e 6 − 5 , C = − 31 . 18 108 yp = (−1x2 − 5 x − 31 )ex. P artikularni del re²itv e je enak 6 18 108 yS = (−1x2− 5 x− 31 )ex+C1e−5x+ K on£na, skupna re²itev je enak a 6 18 108 C2e2x. 93 y′′ + 2y′ + 5y = 16ex + sin 2x (h) Karakteristi£ni p olinom pripada jo £e diferen ialne ena£b e je enak λ2 + 2λ + 5 = 0. λ1 = −2 + 2i λ2 = −2 − 2i Ni£li k arakteristi£nega p olinoma sta , . Re²itev homogenega dela diferen ialne ena£b e je enak a yH = e−2x(C1 cos(2x) + C2 sin(2x)). P oi²£imo seda j partikularno re²itev diferen ialne ena£b e. Desni del ena£b e predsta vlja vsoto eksp onen tne funk ije s sin usno 16ex + sin 2x funk ijo . P artikularni nasta v ek dob o dobili, k ot vsoto dv eh nasta vk o v. Ceαx Dxseαx Prvi nasta v ek je enak : . Ceαx = 16e1x α = 1 α . Od to d sledi, da je . Iz tab ele v elja, £e α + iβ s = 0 oziroma ni ni£la k arakteristi£nega p olinoma p otem je . Dex Prvi nasta v ek je tak o enak: . C sin(βx) = xs(A sin(βx) + B cos(βx)). Drugi nasta v ek dobimo iz Ceαx sin(βx) = e0x sin 2x α = 0 β = 2 . Od to d sledi, da je , . Iz ta- α α + iβ b ele v elja, £e oziroma ni ni£la k arakteristi£nega p olinoma s = 0 p otem je . A sin(2x) + B cos(2x) Drugi nasta v ek je tak o enak: . A, B P oi²£imo manjk a jo £i vrednosti danega partikularnega nasta vk a. yp = P otrebujemo prvi in drugi o dv o d partikularnega nasta vk a. Dex+A sin(2x)+B cos(2x), y′ = Dex+2A cos(2x) = p −2B sin(2x), y′′p Dex − 4A sin(2x) − 4B cos(2x). y′′ + 2y′ + 5y = 16ex + sin 2x Dex −4A sin(2x)− Ker je v elja enak ost 4B cos(2x)+2(Dex +2A cos(2x)−2B sin(2x))+5(Dex +A sin(2x)+ B cos(2x)) = 16ex + sin 2x. 8Dex + (A − 4B) sin(2x) + (4A + B) cos(2x) = 16ex + Od to d sledi 1 sin(2x) + 0 cos(2x). 8D = 16, (A−4B) = 1, (4A+B) = 0. Dele ob neznank ah ena£imo A, B, D A = 1 , B = − 4 , D = 2. Manjk a jo £e neznank e so enak e 17 17 yp = 2ex + 1 sin(2x) + − 4 cos(2x). P artikularni del re²itv e je enak 17 17 yS = 2ex + 1 sin(2x) + − 4 + K on£na, skupna re²itev je enak a 17 17 e−2x(C1 cos(2x) + C2 sin(2x)). 94 P ogla vje 4 F unk ije v e£ spremenljivk 1. P oi²£ite nara vna deni ijsk a obmo £ja funk ij dv eh spremenljivk: f (x, y) = py2 − x2 (a) f (x, y) = p81 − x2 − y2 (b) f (x, y) = ln (25 − x2 − y2) ( ) f (x, y) = ln (y − x2 + 3) (d) f (x, y) = 16 − 3x − y (e) f (x, y) = 7x + 3xy − 4ex2+xy+2 (f ) f (x, y) = 7xy (g) y2+x2 f (x, y) = 5x (h) y2−x2 f (x, y) = 3y (i) y−4x √ f (x, y) = 2 2x + y − 1 + p6 − x2 − y2 (j) f (x, y) = ln(2x ln(y − 3x)) (k) f (x, y) = 2 arcsin y − 7p4x − 4x2 − y2 (l) x √ 7 f (x, y) = −3 arctan 5y − x + sin (2 − 3xy) + 9(4 − 7x5)y (m) R e²itev. (x, y) ∈ R2 (a) F unk ija je denirana za vse tiste pare , za k atere je y2 − x2 ≥ 0 y2 ≥ x2 |y| ≥ |x| oziroma . Od to d dobimo . 95 (x, y) ∈ R2 (b) F unk ija je denirana za vse tiste pare , za k atere je 81 − x2 − y2 ≥ 0 x2 + y2 ≤ 81 oziroma . T o so to £ k e, ki leºijo na 9 krogu s sredi ²£em v k o ordinatnem izho di²£u in p olmerom . (x, y) ∈ R2 ( ) F unk ija je denirana za vse tiste pare , za k atere je 25 − x2 − y2 > 0. To so to£ke, ki leºijo znotraj kroga s sredi²£em v 5 k o ordinatnem izho di²£u in p olmerom . y − x2 + 3 > 0 (d) F unk ija je denirana na obmo £ju, kjer je , sa j je logaritem deniran samo za p ozitivna realna ²tevila. T orej je y > x2 − 3 y = x2 − 3 . T o so to £ k e, ki leºijo nad parab olo . (x, y) ∈ R2 (e) F unk ija je denirana za vse to £ k e . (x, y) ∈ R2 (f ) F unk ija je denirana za vse to £ k e . 0 (g) F unk ija je denirana p o vso d razen tam, kjer je imeno v ale enak . x2 +y2 = 0 (x, y) = (0, 0) T orej funk ija ni denirana, £e je oziroma . y2 − x2 = 0 |x| = |y| (h) F unk ija ni denirana, £e je , k ar p omeni . y − 4x = 0 y = 4x (i) F unk ija ni denirana, £e je oziroma . (x, y) ∈ R2 y ≥ 1−2x (j) F unk ija je denirana za vse to £ k e , za k atere je x2 + y2 ≤ 6 in . 2x ln(y − 3x) > 0 (k) F unk ija je denirana na obmo £ju, kjer je : x > 0 ln(y − 3x) > 0 x > 0 y − 3x > 1 i. in , k ar p omeni in , x < 0 ln(y − 3x) < 0 x < 0 y < 3x + 1. ii. in , k ar p omeni in arcsin [−1, 1] (l) Ker je funk ija denirana na in terv alu , je deni ijsk o (x, y) ∈ R2 obmo £je mnoºi a paro v , za k atere v elja y −1 ≤ ≤ 1 (2x − 1)2 + y2 ≤ 1. x in (x, y) ∈ R2 x 6= 0 y ≤ x T orej je to mnoºi a paro v , za k atere v elja , , −x ≤ y (2x − 1)2 + y2 ≤ 1. in (x, y) ∈ R2 (m) Deni ijsk o obmo £je je mnoºi a to £ k , za k atere v elja y ≥ x y 6= 0 5 in . 96 2. S p omo £jo niv o jni in prerezo v predsta vite funk ije: F unk ijo dv eh spremenljivk lahk o geometrijsk o p onazorimo s p omo £jo a ∈ R niv o jni in prerezo v. Na j b o ²tevilo iz zaloge vrednosti funk ije f (x, y). Denirajmo Na = {f(x, y) ∈ D|f(xy) = a}. f a T ej mnoºi i pra vimo niv o jni a funk ije pri vrednosti . O£itno vsak a (x, y) ∈ D to £ k a leºi na natank o eni niv o jni i funk ije. Druºina vseh f (x, y) = a D a niv o jni nap olni elotno obmo £je , k o prete£e vse vre- f dnosti funk ije . T orej, niv o jni a p o v ezuje to £ k e na isti vi²ini. T o lahk o primerjamo z izohipsami na zemljevidu, ki p o v ezujejo iste vi²insk e to £ k e. f (x, y) = x2 + y2 (a) f (x, y) = p4 − x2 − y2 (b) f (x, y) = −p9 − x2 − y2 ( ) f (x, y) = 3x + 4y (d) f (x, y) = 2px2 + y2 (e) f (x, y) = x2 + y2 (f ) 4 16 √ f (x, y) = x + y (g) f (x, y) = ln(4x2 − 3y) (h) f (x, y) = y(x2 − 1) (i) f (x, y) = x (j) y2+x2 R e²itev. f (x, y) = x2 + y2 (a) f (x, y) = a : Niv o jni e, N0, x2 + y2 = 0. T0 = (0, 0) Dobljena ena£ba je ena£ba kroºni e s sredi²£em v to £ ki √ r = 0 = 0. ter radijem √ N1, x2 + y2 = 1, T1 = (0, 0), r = 1 = 1. √ N2, x2 + y2 = 2, T2 = (0, 0), r = 2 = 1, 41. √ N3, x2 + y2 = 3, T3 = (0, 0), r = 3 = 1, 73. 97 f (x, y) = 3x + 4y (b) f (x, y) = a : Niv o jni e, N0, 3x + 4y = 0. y0 = −3x. Dobljena ena£ba je ena£ba premi e 4 N1, 3x + 4y = 1, y1 = 1 − 3x. 4 4 N2, 3x + 4y = 2, y2 = 1 − 3x. 2 4 N3, 3x + 4y = 3, y3 = 3 − 3x. 4 4 N4, 3x + 4y = 4, y4 = 1 − 3x. 4 f (x, y) = p4 − x2 − y2 ( ) f (x, y) = a : Niv o jni e, N0, p4 − x2 − y2 = 0, x2 + y2 = 4, Dobljena ena£ba je ena£ba √ T0 = (0, 0) r = 4 = 2. kroºni e s sredi²£em v to £ ki ter radijem √ N1, p4 − x2 − y2 = 1, x2 + y2 = 3, T1 = (0, 0), r = 3. N2, p4 − x2 − y2 = 2, x2 + y2 = 0, T2 = (0, 0), r = 0. f (x, y) = −p9 − x2 − y2 (d) f (x, y) = a : Niv o jni e, N0, −p9 − x2 − y2 = 0, x2 + y2 = 9. T0 = (0, 0) Dobljena ena£ba je ena£ba kroºni e s sredi²£em v to £ ki √ r = 9 = 3. ter radijem √ N1, −p9 − x2 − y2 = −1, x2 + y2 = 8, T1 = (0, 0), r = 8 = 2, 82. √ N2, −p9 − x2 − y2 = −2, x2 + y2 = 5, T2 = (0, 0), r = 5 = 2, 23. √ N3, −p9 − x2 − y2 = −3, x2 + y2 = 0, T3 = (0, 0), r = 0 = 0. f (x, y) = 2px2 + y2 (e) f (x, y) = a : Niv o jni e, N0, 2px2 + y2 = 0. T0 = (0, 0) Dobljena ena£ba je ena£ba kroºni e s sredi²£em v to £ ki r = 0. ter radijem N1, 2px2 + y2 = 1, T1 = (0, 0), r = 1. 2 N2, 2px2 + y2 = 2, T2 = (0, 0), r = 1. N3, 2px2 + y2 = 3, T3 = (0, 0), r = 3. 2 98 f (x, y) = x2 + y2 (f ) 4 16 f (x, y) = a : Niv o jni e, N1, x2 + y2 = 1. 4 16 T0 = (0, 0) Dobljena ena£ba je ena£ba elipse s sredi²£em v to £ ki ter a = 2, b = 4. manj²o in v e£jo p olosjo N2, x2 + y2 = 2. 4 16 x2 + y2 = 1. Ena£b o preoblikujemo 8 32 T0 = (0, 0) Dobljena ena£ba je ena£ba elipse s sredi²£em v to £ ki ter √ √ a = 8, b = 32. manj²o in v e£jo p olosjo N3, x2 + y2 = 3. 4 16 x2 + y2 = 1. Ena£b o preoblikujemo 12 48 T0 = (0, 0) Dobljena ena£ba je ena£ba elipse s sredi²£em v to £ ki ter √ √ a = 12, b = 48. manj²o in v e£jo p olosjo N4, x2 + y2 = 4. 4 16 x2 + y2 = 1. Ena£b o preoblikujemo 16 64 T0 = (0, 0) Dobljena ena£ba je ena£ba elipse s sredi²£em v to £ ki ter a = 4, b = 8. manj²o in v e£jo p olosjo √ f (x, y) = x + y (g) f (x, y) = a : Niv o jni e, √ N0, x + y = 0. y = −x. Dobljena ena£ba je ena£ba premi e √ N1, x + y = 1, y = 1 − x. √ N2, x + y = 2, y = 4 − x. √ N3, x + y = 3, y = 9 − x. √ N4, x + y = 4, y = 16 − x. f (x, y) = ln(4x2 − 3y) (h) f (x, y) = a : Niv o jni e, N0, ln(4x2 − 3y) = 0, ln(4x2 − 3y) = ln e0, y = 4x2 − 1. 3 3 N1, ln(4x2 − 3y) = 1, ln(4x2 − 3y) = ln e1, y = 4x2 − e. 3 3 N2, ln(4x2 − 3y) = 2, ln(4x2 − 3y) = ln e2, y = 4x2 − e2 . 3 3 N3, ln(4x2 − 3y) = 3, ln(4x2 − 3y) = ln e3, y = 4x2 − e3 . 3 3 N4, ln(4x2 − 3y) = 4, ln(4x2 − 3y) = ln e4, y = 4x2 − e4 . 3 3 Dobljene niv o jni e so parab ole. 99 f (x, y) = y(x2 − 1) (i) f (x, y) = a : Niv o jni e, N0, y(x2 − 1) = 0, y = 0 . x2−1 N1, y(x2 − 1) = 1, y = 1 . x2−1 N2, y(x2 − 1) = 2, y = 2 . x2−1 N3, y(x2 − 1) = 3, y = 3 . x2−1 N4, y(x2 − 1) = 4, y = 4 . x2−1 Dobljene niv o jni e so ra ionalne funk ije. f (x, y) = x (j) y2+x2 f (x, y) = a : Niv o jni e, N1, x = 1. y2+x2 x2 − x + y2 = 0, (x − 1)2 − 1 + y2 = 0, Ena£b o preoblikujemo: 2 4 (x − 1)2 + y2 = 1. 2 4 T1 = (1, 0), r = 1. Dobljena ena£ba je ena£ba kroºni e s sredi²£em 2 2 N2, x = 2. y2+x2 x2 − x + y2 = 0, (x − 1)2 − 1 + y2 = 0, Ena£b o preoblikujemo: 2 4 16 (x − 1)2 + y2 = 1 . 2 16 T2 = (1, 0), r = 1. Dobljena ena£ba je ena£ba kroºni e s sredi²£em 4 4 N3, x = 3. y2+x2 x2 − x + y2 = 0, (x − 1)2 − 1 + y2 = 0, Ena£b o preoblikujemo: 3 6 36 (x − 1)2 + y2 = 1 . 6 36 T3 = (1, 0), r = 1. Dobljena ena£ba je ena£ba kroºni e s sredi²£em 6 6 N4, x = 4. y2+x2 x2 − x + y2 = 0, (x − 1)2 − 1 + y2 = 0, Ena£b o preoblikujemo: 4 8 64 (x − 1)2 + y2 = 1 . 8 64 T3 = (1, 0), r = 1. Dobljena ena£ba je ena£ba kroºni e s sredi²£em 8 8 100 f (x, y) = x2 + y2 Slik a 4.1: f (x, y) = 3x + 4y Slik a 4.2: 101 f (x, y) = p4 − x2 − y2 Slik a 4.3: 102 f (x, y) = −p9 − x2 − y2 Slik a 4.4: 103 f (x, y) = 2px2 + y2 Slik a 4.5: f (x, y) = x2 + y2 Slik a 4.6: 4 16 104 √ f (x, y) = x + y Slik a 4.7: 105 f (x, y) = ln(4x2 − 3y) Slik a 4.8: 106 f (x, y) = y(x2 − 1) Slik a 4.9: f (x, y) = x Slik a 4.10: y2+x2 107 a f 3. Dolo £ite ²tevilo tak o, da b o funk ija , p o dana s predpisom x2 + y2; x2 + y2 ≤ 9 f (x, y) = £e , a; si er zv ezna. a f R e²itev. ’tevilo moramo dolo £iti tak o, da b o funk ija zv ezna na K = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 9} K mnoºi i to £ k . Mnoºi a predsta vlja 3 f kroºni o s p olmerom . F unk ijsk a vrednost funk ije v p oljubni to £ ki, K f (x, y) = x2 + y2 = 9 a = 9 ki leºi na kroºni i , je . T orej mora biti . V notranjosti kroga je funk ija o £itno zv ezna. f (0, 0) 4. Ali je funk ija zv ezna v to £ ki ? 2xy ; (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2+y2 (a) 0; (x, y) = (0, 0) ( ) xy x2−y2 ; (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2+y2 (b) 0; (x, y) = (0, 0) ( ) x2y ; (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2+y2 ( ) 0; (x, y) = (0, 0) ( ) x2y2 ; (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2+y2 (d) 0; (x, y) = (0, 0) ( xy3 √ ) ; (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2+y2 (e) 0; (x, y) = (0, 0) ( ) x2−y2 ; (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2+y2 (f ) 0; (x, y) = (0, 0) R e²itev. f (x, y) (a, b) ∈ D F unk ija dv eh spremenljjivk je v to £ ki zv ezna, £e za ǫ > 0 δ > 0 |f(x, y) − f(a, b)| < ǫ (x, y) ∈ vsak obsta ja tak , da je za vsak D (a, b) δ (x − a)2 + (y − b)2 < δ2. , ki je o d to £ k e o ddaljen za manj k ot : 108 f (x, y) x = r cos ϕ, y = (a) ƒe funk ijo izrazimo v p olarnih k o ordinatah r sin ϕ) , je 2r2 cos ϕ sin ϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) = r2(cos2 ϕ + sin2 ϕ) = 2 cos ϕ sin ϕ = sin 2ϕ. Iz tega sledi, da je f (r cos ϕ, r sin ϕ) − f(0, 0) = 2 cos ϕ sin ϕ = sin 2ϕ f (x, y) (0, 0). k ar p omeni, da funk ija ni zv ezna v to £ ki f (x, y) x = r cos ϕ, y = (b) ƒe funk ijo izrazimo v p olarnih k o ordinatah r sin ϕ) , je r2(cos2 ϕ − sin2 ϕ) f (r cos ϕ, r sin ϕ) = r2 cos ϕ sin ϕ r2(cos2 ϕ + sin2 ϕ) 1 = r2 sin 2ϕ cos 2ϕ. 2 ǫ > 0 δ > 0 1 r2 sin 2ϕ cos 2ϕ < P ok azati ºelimo, da za vsak obsta ja tak , da je 2 √ ǫ r < δ. δ = ǫ , £e je ƒe izb eremo , sledi ºeleno. f (x, y) x = r cos ϕ, y = ( ) ƒe funk ijo izrazimo v p olarnih k o ordinatah r sin ϕ) , je r cos2 ϕ sin ϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) = r2(cos2 ϕ + sin2 ϕ) ǫ > 0 δ > 0 r cos2 ϕ sin ϕ < P ok azati ºelimo, da za vsak obsta ja tak , da je r2(cos2 ϕ+sin2 ϕ) ǫ r < δ. δ = 1 , £e je ƒe izb eremo ǫ , sledi ºeleno. f (x, y) x = r cos ϕ, y = (d) ƒe funk ijo izrazimo v p olarnih k o ordinatah r sin ϕ , je r2 cos2 ϕr2 sin2 ϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) = r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ = r2 cos2 ϕ sin2 ϕ. 109 ǫ > 0 δ > 0 r2 cos2 ϕ sin2 ϕ < P ok azati ºelimo, da za vsak obsta ja tak , da je √ ǫ r < δ. δ = ǫ , £e je ƒe izb eremo , sledi ºeleno. f (x, y) x = r cos ϕ, y = (e) ƒe funk ijo izrazimo v p olarnih k o ordinatah r sin ϕ , je r cos ϕr3 sin3 ϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) = pr2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ = r3 cos ϕ sin3 ϕ. ǫ > 0 δ > 0 r3 cos ϕ sin3 ϕ < P ok azati ºelimo, da za vsak obsta ja tak , da je √ ǫ r < δ. δ = 3 ǫ , £e je ƒe izb eremo , sledi ºeleno. f (x, y) x = r cos ϕ, y = (f ) ƒe funk ijo izrazimo v p olarnih k o ordinatah r sin ϕ , je r2(cos2 ϕ − sin2 ϕ) f (r cos ϕ, r sin ϕ) = r2(cos2 ϕ + sin2 ϕ) = cos 2ϕ Iz tega sledi, da je f (r cos ϕ, r sin ϕ) − f(0, 0) = cos 2ϕ f (x, y) (0, 0). k ar p omeni, da funk ija ni zv ezna v to £ ki 5. Izra£una jte prv e par ialne o dv o de funk ije: f (x, y) = 5xy3 + 7x4y − 13 (a) f (x, y) = −3x7 − 6yx + 2 ln(x3y) (b) f (x, y) = p7x2y − 11xy + 3 ( ) f (x, y) = cos6(−2x4 − 5xy2 + 7) (d) f (x, y) = 6y−3e−x3y2+7x−2 (e) f (x, y) = 5x2y3 (f ) 3x7+y4 1 f (x, y) = (5y2−x)5 (g) x3+y2 f (x, y, z) = −9x3z2 − 7xyz3 + 5x2y + 14 (h) 110 f (x, y, z) = sin(x2yz) (i) f (x, y, z) = sin4 (xyz2 − 3xz5 + 8y) (j) 2 f (x, y, z) = x2ze xy + 3xpyz2 − 11 (k) R e²itev. P ar ialni o dv o d (p o neki spremenljivki) ra£unamo k ot obi£a jni o dv o d funk ije (p o isti spremenljivki), pri £emer vse ostale spremenljivk e obra vna v amo k ot k onstan te (tj. jih ksiramo). x (a) P ar ialni o dv o d p o spremenljivki : fx(x, y) = 5y3 + 28x3y. y P ar ialni o dv o d p o spremenljivki : fy(x, y) = 15xy2 + 7x4. x (b) P ar ialni o dv o d p o spremenljivki : fx(x, y) = −21x6 − 6y + 6x−1. y P ar ialni o dv o d p o spremenljivki : fy(x, y) = −6x + 2y−1. ( ) Re²itev je 1 1 fx(x, y) = (7x2y − 11xy + 3)−2 y(14x − 11) 21 1 fy(x, y) = (7x2y − 11xy + 3)−2 x(7x − 11) 2 (d) P ar ialna o dv o da izra£unamo p o pra vilu za p osredno o dv a janje: fx(x, y) = 6(−8x3 − 5y2) cos5(−2x4 − 5xy2 + 7) sin(−2x4 − 5xy2 + 7), fy(x, y) = −10xy cos5(−2x4 − 5xy2 + 7) sin(−2x4 − 5xy2 + 7). (e) Re²itev je fx(x, y) = 6y−3e−x3y2+7x−2(−3x2y2 + 7) fy(x, y) = e−x3y2+7x−2(−18y−4 − 2x3y) 111 (f ) P ar ialna o dv o da izra£unamo p o pra vilu o dv a janja ulomk o v: 10xy3(3x7 + y4) − 5x2y3(21x6) fx(x, y) = , (3x7 + y4)2 15x2y2(3x7 + y4) − 5x2y3 fy(x, y) = . (3x7 + y4)2 (g) Re²itev je 1 1 · (5y2 − x)−45 (x3 + y2) − 3(5y2 − x)5 x2 f 5 x(x, y) = (x3 + y2)2 1 2y(5y2 − x)−45 (x3 + y2) − (5y2 − x)5 2y fy(x, y) = (x3 + y2)2 (h) Re²itev je fx(x, y, z) = −27x2z2 − 7yz3 + 10xy fy(x, y, z) = −7xz3 + 5x2 fz(x, y, z) = −18x3z − 21xyz2 (i) Re²itev je fx(x, y, z) = 2xyz cos x2yz fy(x, y, z) = x2z cos xyz fz(x, y, z) = x2y cos xyz (j) Re²itev je fx(x, y, z) = 4z2(y − 3z3) sin3(xyz2 − 3xz5 + 8y) cos(xyz2 − 3xz5 + 8y) fy(x, y, z) = 4(xz2 + 8) sin3(xyz2 − 3xz5 + 8y) cos(xyz2 − 3xz5 + 8y) fz(x, y, z) = 4x(2yz − 15z4) sin3(xyz2 − 3xz5 + 8y) cos(xyz2 − 3xz5 + 8y) (k) Re²itev je 2 2 f xy x(x, y, z) = ze (1 − ) + 3pyz2 y 2 3 1 f xy y(x, y, z) = −2xzy−2e + xzy−2 2 2 1 f xy z (x, y, z) = x2e + 3xy 2 6. Izra£una jte prv e in druge par ialne o dv o de funk ije: 112 √ f (x, y) = x9y3 − 5 xy (a) f (x, y) = ln(x3y + 7y + 1) (b) f (x, y) = cos(7xy) ( ) f (x, y) = xe5xy + y4 (d) 3 f (x, y) = px3y + 2y − 1 − 5yx5 (e) . R e²itev. (a) Drugi par ialni o dv o di so denirani k ot par ialni o dv o di prvih o d- v o do v. Na jprej izra£unamo oba prv a par ialna o dv o da: 5 1 1 5 1 1 fx(x, y) = 9x8y3 − y 2 x−2 , f x2 y−2 . 2 y (x, y) = 3x9y2 − 2 Drugi par ialni o dv o di so: 5 1 3 fxx(x, y) = (fx(x, y))x = 72x7y3 + y 2 x−2 , 45 1 1 fxy(x, y) = (fx(x, y))y = 27x8y2 − y−2 x−2 , 45 1 1 fyx(x, y) = (fy(x, y))x = 27x8y2 − y−2 x−2 , 4 5 3 1 fyy(x, y) = (fy(x, y))y = 6x9y + y−2 x2 . 4 Ker je obra vna v ana funk ija (zv ezno) par ialno o dv edljiv a, so me- ²ani o dv o di med seb o j enaki. (b) Prv a par ialna o dv o da: 3x2y x3 + 7 fx(x, y) = , f . x3y + 7y + 1 y (x, y) = x3y + 7y + 1 Drugi par ialni o dv o di: 6xy(x3y + 7y + 1) − 9x4y2 fxx(x, y) = , (x3y + 7y + 1)2 3x2(x3y + 7y + 1) − 3x2y(x3 + 7) fxy(x, y) = , (x3y + 7y + 1)2 fyx(x, y) = fxy(x, y), −(x3 + 7)(x3 + 7) fyy(x, y) = . (x3y + 7y + 1)2 113 ( ) Prv a par ialna o dv o da: fx(x, y) = −7y sin(7xy), fy(x, y) = −7x sin(7xy). Drugi par ialni o dv o di: fxx(x, y) = −49y2 cos(7xy), fxy(x, y) = −7 sin(7xy) − 49xy cos(7xy), fyx(x, y) = fxy(x, y), fyy(x, y) = −49x2 cos(7xy). (d) Prv a par ialna o dv o da: xe5xy + y4fx(x, y) = e5xy(1 + 5xy), fy(x, y) = 5x2e5xy + 5y3. Drugi par ialni o dv o di: fxx(x, y) = 5ye5xy(2 + 5xy), fxy(x, y) = 5xe5xy(2 + 5xy), fyx(x, y) = fxy(x, y), fyy(x, y) = 5(5x3e5xy + 3y2). (e) Prv a par ialna o dv o da: 3 1 2 fx(x, y) = x2y(x3y + 2y − 1)−2 − 3yx−5 , 21 1 3 fy(x, y) = (x2 + 2)(x3y + 2y − 1)−2 − 5x5 . 2 Drugi par ialni o dv o di: 1 9 3 6 7 fxx(x, y) = 3xy(x3y + 2y − 1)−2 − x4y2(x3y + 2y − 1)−2 + yx−5 , 4 5 3 1 3 3 2 fxy(x, y) = x2(x3y + 2y − 1)−2 − x2y(x3 + 2)(x3y + 2y − 1)−2 − 3x−5 , 2 4 1 3 fyy(x, y) = − (x3 + 2)2(x3y + 2y − 1)−2 . 4 f (x, y) = ex+y−ex−y 7. Na j b o 3 . P ok aºite, da je: fx(x, y) − fy(x, y) = −2ex−y (a) 3 fxx(x, y) + fyy(x, y) = 2f (x, y) (b) fxx(x, y) + 2fxy(x, y) + fyy(x, y) = 4ex+y ( ) 3 114 R e²itev. fx(x, y) = f (x, y) fy(x, y) = ex+y+ex−y fx(x, y)− (a) Ker je in 3 , sledi ºeleno fy(x, y) = −2 ex−y 3 . fxx(x, y) = fyy(x, y) = f (x, y) fxx(x, y) + fyy(x, y) = (b) Ker je , je 2f (x, y). fxy(x, y) = fy(x, y) ( ) Up o²tev a jmo, da je , k ar nas priv ede do ºelene enak osti. a f (x, y) = 5y3 + ax2y 8. P oi²£ite tak o realno ²tevilo , da b o za funk ijo fxx(x, y) = 5fyy(x, y) v eljalo . fxx(x, y) = 2ay fyy(x, y) = 30y R e²itev. Up o²tev a jmo, da je in , iz £esar a = 3 sledi . f (x, y) = ln(x2y2(x2 + y2)) xfx(x, y) + yfy(x, y) 9. Na j b o . Izra£una jte . xfx(x, y) + yfy(x, y) = 6 R e²itev. Ni teºk o prev eriti, da je . f (x, y) = 4e−3x cos y fxx(x, y) = −9fyy(x, y) 10. P ok aºite, da za funk ijo v elja . fyy(x, y) = −4e−3y cos x fxx(x, y) = 36e−3y cos y R e²itev. Ker je in , sledi ºeleno. f (x, y) = ex−y+cos(y−x) −fx(x,y)−fy(x,y) = 2(x+y) 11. Na j b o x2y2 . P ok aºite, da je ex−y+cos(y−x) x3y3 . R e²itev. Ker je (ex−y + sin(y − x))x2y2 − (ex−y + cos(y − x))2xy2 fx(x, y) = , x4y4 (−ex−y − sin(y − x))x2y2 − (ex−y + cos(y − x))2x2y fy(x, y) = , x4y4 sledi ºelena enak ost. 115 12. S p omo £ jo izrek a o diferen ialu pribliºno izra£una jte: √2.992 + 3.022 (a) √ √ ln( 3 1.06 + 4 0.94 − 1) (b) 1.023.01 ( ) R e²itev. f (x, y) = px2 + y2 (a) Na j b o . P otem je 1 1 fx(x, y) = x(x2 + y2)−2 fx(x, y) = y(x2 + y2)−2 . in T orej je f (2.99, 3.02) ≈ f(3, 4) + fx(3, 4) · (−0.01) + fy(3, 4) · (0.02) 3 −1 4 2 = 5 + · + · = 5.01. 5 100 5 100 √ √ f (x, y) = ln( 3 x + 4 y − 1) (b) Na j b o . P otem je 1 2 √ √ 1 3 √ √ fx(x, y) = x− 3 ( 3 x+ 4 y−1)−1 f y−4 ( 3 x+ 4 y−1)−1. 3 y(x, y) = in 4 T orej je √ √ ln( 3 1.06 + 4 0.94 − 1) ≈ f(1, 1) + fx(1, 1) · (0.06) + fy(1, 1) · (−0.06) 1 6 1 −6 ≈ 0 + · + · = 0.01. 3 100 4 100 f (x, y) = xy (1.02, 3.01) ( ) Izra£unati moramo vrednost funk ije v to £ ki . Ker je fx(x, y) = yxy−1 fy(x, y) = xy ln x, in je 1.023.01 ≈ f(1, 3) + fx(1, 3) · (0.02) + fy(1, 3) · (0.01) 2 = 1 + 3 · = 1.06. 100 116 13. S p omo £jo diferen iala izra£una jte, za k olik o o dstotk o v se p o v e£a v olu- r v 2 % men v alja, £e se radij in vi²ina v alja p o v e£ata za . V = πr2v. dV = Vrdr+Vvdv . R e²itev. V olumen v alja je Zanima nas V V Up o- dr = 1 dv = 1 dV = 6 ²tev a jmo, da je r 100 in v 100 , iz £esar sledi V 100 . Torej se je 6 % v olumen v alja p o v e£al za . f (a, b) 14. Na j b o tak a preslik a v a, da paru priredi ²tevilo na naslednji na£in: g(x) = x2 + ax + b f (a, b) £e ima funk ija realne k orene, p otem paru priredi v e£jega o d k oreno v. f (a) Dolo £ite deni ijsk o obmo £je funk ije . f (−1.01, −1.97) (b) Izra£una jte pribliºno vrednost . R e²itev. √ f (a, b) = −a+ a2−4b (a, b) ∈ R2 (a) F unk ija 2 je denirana za tak e pare , a2 − 4b ≥ 0 b ≤ a2 da je oziroma 4 . (b) Ker je 1 1 1 fa(a, b) = (a(a2 − 4b)−2 − 1) f 2 , 2 b(a, b) = −(a2 − 4b)− in je f (−1.01, −1.97) ≈ f(−1, −2) + fa(−1, −2) · (−0.01) + fb(−1, −2) · (0.03) −2 −1 −1 3 599 = 2 + · + · = . 3 100 3 100 300 15. Zapi²ite T a ylorjev p olinom druge stopnje funk ije: f (x, y) = x3 + xy2 (2, 1) (a) v ok oli i to £ k e f (x, y) = xy (1, 1) (b) v ok oli i to £ k e f (x, y) = 2x2 − xy − y2 − 6x − 3y + 5 (1, −2) ( ) v ok oli i to £ k e R e²itev. 117 (x, y) (a) Prv e in druge par ialne o dv o de, izra£unane v p oljubni to £ ki (2, 1) in to £ ki , na jdemo v sp o dnji tab eli: f fx fy fxx fxy fyy (x, y) x3 + xy2 3x2 + y2 2xy 6x 2y 2x (2, 1) 10 13 4 12 2 4 T a ylorjev pribliºek je enak: f (x, y) ≈ 10+13(x−2)+4(y−1)+6(x−2)2+2(x−2)(y−2)+2(y−1)2. (x, y) (b) Prv e in druge par ialne o dv o de, izra£unane v p oljubni to £ ki (1, 1) in to £ ki , na jdete v sp o dnji tab eli: f fx fy fxx fxy fyy (x, y) xy yxy−1 xy ln x y(y − 1)xy−2 xy−1 + yxy−1 ln x xy ln2 x (1, 1) 1 1 0 0 1 0 T a ylorjev pribliºek je enak: f (x, y) ≈ x + (x − 1)(y − 1). ( ) T a ylorjev p olinom: f (x, y) ≈ 5 + 2(x − 1)2 − (x − 1)(y + 2) − (y + 2)2. 118 f (x, y) = x 16. Zapi²ite T a ylorjev p olinom tretje stopnje funk ije y (0, −1) (a) v ok oli i to £ k e (1, −2) (b) v ok oli i to £ k e R e²itev. (x, y) Prv e, druge in tretje par ialne o dv o de, izra£unane v p oljubni to £ ki , (0, −1) (1, −2) to £ ki in to £ ki , na jdemo v sp o dnji tab eli: f fx fy fxx fxy fyy fxxx fxxy fxyy fyyy (x, y) xy−1 y−1 −xy−2 0 −y−2 2xy−3 0 0 2y−3 −6xy−4 (0, −1) 0 −1 0 0 −1 0 0 0 −2 0 (1, −2) −1 −1 −1 0 −1 −1 0 0 −1 −3 2 2 4 4 4 4 8 T a ylorjev pribliºek je enak: (a) −1(x − 0) −2(x − 0)(y + 1) 3 · (−2)(x − 0)(y + 1)2 f (x, y) ≈ 0 + + + 1! 2! 3! = −x − x(y + 1) − x(y + 1)2. (b) 1 −1(x − 1) − 1(y + 2) f (x, y) ≈ − + 2 4 2 1! 2 · (−1)(x − 1)(y + 2) − 1(y + 2)2 + 4 4 2! 3 · (−1)(x − 1)(y + 2)2−3(y + 2)2 + 4 8 3! 1 1 1 1 = − − (x − 1) − (y + 2) − (x − 1)(y + 2) 2 2 4 4 1 1 1 − (y + 2)2 − (x − 1)(y + 2)2 − (y + 2)2. 8 8 16 119 17. Zapi²ite T a ylorjev p olinom tretje stopnje funk ije: f (x, y) = ex sin y (0, 0) (a) v ok oli i to £ k e f (x, y) = ex+y (1, −2) (b) v ok oli i to £ k e R e²itev. f (x, y) ≈ y + xy + 1(3x2y − y3) (a) T a ylorjev p olinom: 6 . f (x, y) ≈ 1 + x + y + 1(x + y)2 + 1(x + y)3. (b) T a ylorjev p olinom: 2 3 f (x, y) = (1 − x − y + 18. Zapi²ite T a ylorjev p olinom £etrte stopnje funk ije xy)−1 (0, 0). v ok oli i to £ k e R e²itev. T a ylorjev p olinom: f (x, y) ≈ 1+x+y+x2+xy+y2+x3+x2y+xy2+y3+x4+x3y+x2y2+xy3+y4 19. P oi²£ite in klasi ira jte vse lok alne ekstreme naslednjih funk ij: (a, b) f (x, y) Na j b o sta ionarna to £ k a dv akrat zv ezno o dv edljiv e funk ije fxx(a, b) = A; fxy(a, b) = B; fyy(a, b) = C : in na j b o do P otem v elja: ∆ = AC − B2 > 0 (a, b) (a) ƒe je , je v to £ ki lok alni ekstrem in v elja: A < 0 (a, b) i. ƒe je , je v lok alni maksim um, A > 0 (a, b) ii. ƒe je , je v lok alni minim um. ∆ = AC − B2 < 0 (a, b) (b) ƒe je , v to £ ki funk ija nima lok alnega ekstrema. ∆ = AC − B2 = 0 ( ) ƒe je , na p o dlagi drugih par ialnih o dv o do v obi£a jno o obsto ju ekstrema ne moremo sklepati. 120 f (x, y) = 5x2 + 2y2 − 10(x + y) + 7 (a) f (x, y) = x3 + y3 − 3yx (b) f (x, y) = x2 + xy + y2 − 8x − 4y ( ) f (x, y) = ex − ln(2y) − x + 2y (d) f (x, y) = xy + 4x−1 + 2y−1 (e) f (x, y) = (x2 + 3)e−x2−y2 (f ) 4 f (x, y) = e−(x2+y2) + 1 (g) f (x, y) = x3 + y2 − 6xy − 39x + 18y + 20 (h) f (x, y) = 3x + 6y − x2 − xy + y2 (i) x f (x, y) = e 2 (x + y2) (j) f (x, y) = ex(x2 + 2y2) (k) R e²itev. (a) Re²itev sistema fx(x, y) = 10x − 10 = 0 fy(x, y) = 4y − 10 = 0 in T (1, 5) AC − B2 ∆(1, 5) je sta ionarna to £ k a 2 . Ker je oziroma 2 v T (1, 5) > 0 A = f ) = 10 2 xx(1, 5 in 2 , je v tej to £ ki lok alni minim um funk ije. (b) Re²itev sistema fx(x, y) = 3x2 − 3y = 0 fy(x, y) = 3y2 − 3x = 0 in T0(1, 1) T1(0, 0) sta sta ionarni to £ ki in . S p omo £jo drugih par- fxx(x, y) = 6x fxy(x, y) = −3 fyy(x, y) = 6y ialnih o dv o do v , in izra£unamo: ∆(1, 1) > 0 fxx(1, 1) = 6 T0(1, 1) i. in , k ar p omeni, da je v to £ ki lok alni minim um, ∆(0, 0) < 0 T1(0, 0) ii. , k ar p omeni, da v to £ ki ni lok alnega eks- trema. 121 ( ) Re²itev sisitema fx(x, y) = 2x + y − 8 = 0 fy(x, y) = x + 2y − 4 = 0 in T (4, 0) fxx(x, y) = 2 fxy(x, y) = 1 je sta ionarna to £ k a . Ker je , , fyy(x, y) = 2 ∆(4, 0) > 0 , je . Iz tega sledi, da je v sta ionarni to £ ki T (4, 0) lokalni minimum funk ije. (d) Re²itev sisitema fx(x, y) = ex − 1 = 0 fy(x, y) = −y−1 + 2 = 0 in T (0, 1) fxx(x, y) = je sta ionarna to £ k a 2 . S pomo£jo par ialnih odvodov ex fxy(x, y) = 0 fyy(x, y) = y−2 ∆(0, 1) > 0, , , izra£unamo 2 iz £esar T (0, 1 ) sledi, da je v sta ionarni to £ ki 2 lok alni minim um funk ije. (e) Ker je fx(x, y) = y − 4x−2 = 0 fy(x, y) = x − 2y−2 = 0, in y(1−y3) = 0 T (2, 1) je , iz £esar sledi, da je sta ionarna to £ k a (zaradi y = 0 deni ijsk ega obmo £ja funk ije re²itev ne up o²tev amo). S fxx(x, y) = 8x−3 fxy(x, y) = 1 p omo £jo drugih par ialnih o dv o do v , , fyy(x, y) = 4y−3 ∆(2, 1) > 0 fxx(2, 1) = 1 > 0 izra£unamo . Ker je , T (2, 1) je v sta ionarni to £ ki lok alni minim um funk ije. (f ) Re²itv e sistema 1 3 fx(x, y) = −2e−x2−y2x(x2− ) = 0 f ) = 0 4 y(x, y) = −2e−x2−y2 y(x2+ in 4 T1(0, 0) T2(1 , 0) T3(−1, 0). so tri sta ionarne to £ k e , 2 in 2 S p omo £jo drugih par ialnih o dv o do v 1 fxx(x, y) = −e−x2−y2(−4x4 + 7x2 − ), 2 fxy(x, y) = e−x2−y2xy(4x2 − 1), 3 fyy(x, y) = e−x2−y2(x2 + )(4y2 − 2) 4 izra£unamo: ∆(0, 0) < 0 T1(0, 0) i. , torej v to £ ki ni ekstrema, ∆( 1, 0) > 0 T2(1, 0) ii. 2 , v to £ ki 2 je lok alni maksim um, ∆(−1, 0) > 0 T3(−1, 0) iii. 2 , v to £ ki 2 je lok alni maksim um. 122 (g) Re²itev sistema fx(x, y) = −2e−(x2+y2)x = 0 fy(x, y) = −2e−(x2+y2)y = 0 in T (0, 0) fxx(x, y) = je sta ionarna to £ k a . S p omo £jo par ialnih o dv o do v 2e−(x2+y2)(2x2−1) fxy(x, y) = 4xye−(x2+y2) fyy(x, y) = 2e−(x2+y2)(2y2− , in 1) ∆(0, 0) > 0 fxx(0, 0) = −2 < 0 prev erimo, da je . Ker je , je v sta ionarni to £ ki lok alni maksim um. (h) Re²itvi sistema fx(x, y) = 3x2 − 6y − 39 = 0 fy(x, y) = 2y − 6x + 18 = 0 in T1(1, −6) T2(5, 6) sta to £ ki in . S p omo £jo drugih par ialnih o dv o do v T1(1, −6) T2(5, 6) prev erimo, da v to £ ki ne nastopi ekstrem, v to £ ki pa je lok alni minim um. (i) S p omo £jo par ialnih o dv o do v funk ije pridemo do zaklju£ k a, da funk ija nima ekstrema. (j) Re²itev sistema x 1 1 x fx(x, y) = e 2 ( x + y2 + 1) = 0 f 2 y = 0 2 2 y(x, y) = 2e in T (−2, 0). je sta ionarna to £ k a S p omo £jo drugih par ialnih o dv o do v funk ije prev erimo, da je v tej to £ ki lok alni minim um. (k) Re²itev sistema fx(x, y) = ex(x2 + 2x + 2y2) = 0 fy(x, y) = 4yex = 0 in T1(0, 0) T2(−2, 0). T1 sta sta ionarni to £ ki in V to £ ki je lok alni mi- T2 nim um funk ije, v to £ ki pa ni ekstrema. 123 124 P ogla vje 5 V erjetnostni ra£un 5.1 V erjetnost slu£a jnega dogo dk a 1. Hkrati vrºemo 2 (p o²teni) igralni k o ki. Izra£una jte v erjetnost, da je (a) vsota pik na ob eh k o k ah je so do ²tevilo, (b) pro dukt pik na ob eh k o k ah je v e£ji o d 7. P = m n R e²itev. V erjetnost ra£unamo k ot k oli£nik n , kjer je ²tevilo vseh m izido v in ²tevilo ugo dnih izido v za dani dogo dek. Pri metu dv eh k o k (1, 1), (1, 2), . . . , (2, 1), (2, 2), . . . , (6, 6) je ²tevilo vseh izido v (to je paro v ) 36 enak o . m = 18 (a) ’tevilo ugo dnih izido v (vsota so do ²tevilo) je , v erjetnost P = 18 36 . m = 22 (b) ’tevilo ugo dnih izido v (pro dukt v e£ji o d 7) je , v erjetnost P = 22 36 . 2. V ²k atli imamo 15 krogli , o²tevil£enih o d 1 do 15. Iz ²k atle (na slep o) p otegnemo eno krogli o. K olik²na je v erjetnost, da ²tevilo na izbrani krogli i (a) ni v e£je o d 12, 125 (b) je manj²e o d 5, ( ) ni v e£je o d 15? i (1 ≤ i ≤ 15) R e²itev. Izid je ²tevilo na izbrani krogli i, ²tevilo izido v n = 15 je . m = 12, P = 12 (a) 15 m = 5, P = 5 (b) 15 m = 15, P = 15 = 1 ( ) 15 Da b o ²tevilo na izbrani krogli i kv e£jem u 15 je goto v dogo dek. e 3. Na loteriji je 5000 listk o v, vsak izmed njih stane 10 . Eden izmed njih e e e e zadene 200 , ²tirje p o 100 , 10 listk o v zadene p o 40 , 20 p o 20 , e e 150 p o 10 in 300 p o 2 . K olik²na je v erjetnost, da z nakup om enega listk a (a) nimamo izgub e, (b) zasluºimo? n = 5000 R e²itev. (²tevilo listk o v). m = (a) ’tevilo ugo dnih izido v je ²tevilo listk o v, ki zadenejo vsa j 10 E, 185 P = 185 ; 5000 m = (b) ’tevilo ugo dnih izido v je ²tevilo listk o v, ki zadenejo vsa j 20 E, 35 P = 35 ; 2500 4. V prvi ²k atli je 10 krogli , o²tevil£enih o d 1 do 10; v drugi ²k atli je 10 krogli , o²tevil£enih o d 11 do 20. Iz vsak e ²k atle p otegnemo p o eno krogli o. K olik²na je v erjetnost, da je vsota ²tevil na izbranih krogli ah (a) enak a 24, (b) ni manj²a o d 12, ( ) ni v e£ja o d 20? 126 n = 100 R e²itev. Moºnih izido v (paro v ²tevil) je . m = 7, P = 7 (a) 100 m = 100, P = 1 (b) (Goto v o je vsota vsa j 12.) m = 5, P = 5 ( ) 25 5. V ²k atli i z zv e£ilnimi gumiji imamo 7 pak etk o v 'Soft y', 9 pak etk o v 'ƒunga-Lunga' in 4 pak etk e 'Bazo ok a' ºv e£ilnih gumijev. (a) Izvle£emo eno pak etek. K olik²na je v erjetnost, da smo izbrali 'ƒunga- Lunga' ? (b) Izvle£emo eno pak etek. K olik²na je v erjetnost, da smo izbrali 'ƒunga- Lunga' ali 'Soft y' ? ( ) Izvle£emo dv a pak etek a. K olik²na je v erjetnost, da nismo izbrali 'Soft y' ? (d) Izvle£emo dv a pak etek a. K olik²na je v erjetnost, da smo izbrali kro- gli i 'Soft y' in 'Bazo ok a' ? (e) Izvle£emo tri pak etk e. K olik²na je v erjetnost, da smo izbrali 2 pa- k etk a 'Bazo ok a' in en pak etek 'ƒunga-Lunga' ? (f ) Izvle£emo tri pak etk e. K olik²na je v erjetnost, da smo izbrali vsa j en pak etek 'Soft y' ? Op omb a: Naloge so vzor£ne. T ak o k ot pak etk e, lahk o izbiramo k ark oli (k ar zah tev a naloga), na primer: krogli e, zah tev ane k arte, ²tuden te, ki so opra vili izpit z dolo £eno o eno, k ak o v ostne ali nek ak o v ostne izdelk e, . . .. R e²itev. n = 20, m = 9, P = 9 (a) 20 n = 20, m = 9 + 7, P = 16 (b) 20 n = 20, m = 13, P = 39 ( ) 2 2 95 n = 20, m = 7 · 4, P = 14 (d) 2 95 n = 20, m = 4 · 9, P = 9 (e) 3 2 190 127 (f ) V erjetnost nasprotnega dogo dk a (nob ena izvle£en pak etek ni 'Soft y'): n = 20, m = 13, ¯ P = 143 3 3 570 V erjetnost danega dogo dk a (vsa j ena izvle£ena krogli a je b ela): P = 1 − ¯ P = 427 570 6. Izpit je opra vljalo 90 ²tuden to v. 15 jih je opra vilo izpit z o eno vsa j 8, 20 jih je dobilo o eno 7, 35 pa o eno 6. Kak²na je v erjetnost, da trije naklju£no izbrani ²tuden tje niso opra vili izpita? R e²itev. n = 90, m = 3 , P = 19 7. 3 20 1958 5.2 V erjetnost vsote in pro dukta ter p ogo jna v erjetnost 1 1. V erjetnost, da pri metu (nep o²tene) igralne k o k e pade ²esti a, je 3 ; vsi ostali izidi (pade o d 1 do 5 pik) so enak o v erjetni. Izra£una jte v erjetnost, da pri metu tak²ne k o k e (a) padejo vsa j 3 pik e, (b) pade ²tevilo, ki je v e£ kratnik ²tevila 2 in 3. ( ) pade ²tevilo, ki je v e£ kratnik ²tevila 2 ali 3. Di i R e²itev. Ozna£imo z dogo dek pade pik. P (D6) = 1, P (D1) = P (D2) = P (D3) = P (D4) = P (D5) = 2 V elja: 3 15 . šeleni dogo dek je vsota nezdruºljivih dogo dk o v. P (D3) + P (D4) + P (D5) + P (D6) = 1 + 3 · 2 = 11 (a) 3 15 15 P (D6) = 1 (b) ’tevilo, ki je deljiv o z dv a in s tri je ²tevilo ²est. 3 P (D2) + P (D3) + P (D4) + P (D6) = 3 2 + 1 = 9 ( ) 15 2 10 128 2. Dv akrat zap oredoma vrºemo (p o²teno) igralno k o k o. Izra£una jte v erje- tnost, (a) nismo vrgli p eti e, (b) nismo vrgli niti dv e niti tri. R e²itev. šeleni dogo dek je pro dukt neo dvisnih dogo dk o v. P = 5 · 5 = 25 (a) 6 6 36 P = 4 · 4 = 16 (b) 6 6 36 3. Naklju£no izb eremo ²tevilo med 1 in 999. K olik²na je v erjetnost, da je izbrano ²tevilo deljiv o (a) s 4, (b) s 3 in s 4, ( ) s 3 ali s 4, (d) s 3 ali s 4 ali s 5? Di i R e²itev. Ozna£imo z dogo dek izbrano ²tevilo je deljiv o z . P (D 999 4) = 249 = 249 (a) 999 (’tevilo ugodnih je: 4 ) P (D3 · D4) = P (D12) = 83 (b) 999 Dogo dk a nista neo dvisna. P (D3 + D4) = P (D3) + P (D4) − P (D3 · D4) = 333 + 249 − 83 = 499 ( ) 999 999 999 999 Dogo dk a nista nezdruºljiv a. P (D3+D4+D5) = P (D3)+P (D4)+P (D5)−P (D3·D4)−P (D3·D5)− (d) − P (D4 · D5) = 333 + 249 + 199 − 83 − 66 − 49 = 583 999 999 999 999 999 999 999 4. Prv a ²k atla vsebuje 4 rde£e in 8 mo drih krogel, v drugi ²k atli je 7 rde£ih in 5 mo drih krogel. Iz vsak e ²k atle izvle£emo eno. Izra£una jte v erjetnost, da smo izvlekli (a) 2 mo dri krogli, 129 (b) krogli razli£nih barv, ( ) krogli iste barv e. R e²itev. Ozna£imo dogo dk e: R1 iz prve ²katle smo izvlekli rde£o kroglo, M1 iz prve ²katle smo izvlekli modro kroglo, R2 iz druge ²katle smo izvlekli rde£o kroglo, M2 iz druge ²katle smo izvlekli modro kroglo. Dogo dki z indeksom 1 in 2 so medseb o jno neo dvisni. P (M1 · M2) = 8 · 5 = 40 (a) 12 12 144 P (R1 · M2 + M1 · R2) = 4 · 5 + 8 · 7 = 76 (b) 12 12 12 12 144 P (R1 · R2 + M1 · M2) = 4 · 7 + 8 · 5 = 68 ( ) 12 12 12 12 144 5. V erjetnost, da ºarni a v dolo £enem dnevu pregori, je 0.02. Izra£una jte v erjetnost, (a) da b o ºarni a gorela brez napak e vsa j 50 dni, (b) da b o ºarni a pregorela 30 dan. R e²itev. Ozna£imo dogo dk e: Fi i P (Fi) = 2 stro j se -ti dan p okv ari, 100 , ¯ Fi i P ( ¯ Fi) = 98 stro j se -ti dan ne p okv ari, 100 . Dogo dk a, ki se zgo dita ob razli£nih dnevih, sta neo dvisna. P ( ¯ F ¯ ¯ 1F2F3... ¯ F50) = ( 98 )50 (a) 100 P ( ¯ F ¯ ¯ 1F2F3... ¯ F27F28) = ( 98 )27 · 2 (b) 100 100 6. Hkrati vrºemo dv e igralni k o ki. K olik²na je v erjetnost, (a) da na ob eh k o k ah hkrati pade 5 pik, (b) da na ob eh k o k ah hkrati pade 5 pik, £e v emo, da je vsota pik v e£ja o d 8, ( ) da je vsota pik na ob eh k o k ah manj²a o d 8, 130 (d) da je vsota pik na ob eh k o k ah manj²a o d 8, £e v emo, da je na prvi k o ki padlo manj k ot 4 pik e? R e²itev. Ozna£imo dogo dk e: Pi (P>i, P i, < i) na prvi k o ki pade pik, Di (D>i, D i, < i) na drugi k o ki pade pik, Vi (V>i, V i, < i) vsota pik je . Dogo dek na prvi k o ki je neo dvisen o d dogo dk a na drugi k o ki. P (P5D5) = 1 (a) 36 P (P5D5/V>8) = P(P5D5V>8) (b) P (V>8) . V erjetnost, da na ob eh k o k ah hkrati P (P5D5V>8) = 1 pade 5 pik in je vsota pik v e£ja o d 8 je: 36 . Verje- P (V>8) = 10 P (P5D5/V>8) = tnost, da je vsota pik v e£ja o d 8 je: 36 P (P5D5V>8) = 1 P (V>8) 10 P (V<8) = 21 ( ) 36 P (V<8/P<4) = P(V<8P<4) (d) P (P<4) V erjetnost, da na prvi k o ki pade manj P (V<8P<4) = 15 k ot 4 pik e in je vsota pik manj²a o d 8 je: 36 . Verje- P (V<8) = 21 P (P5D5/V>8) = tnost, da je vsota pik manj²a o d 8 je: 36 P (P5D5V>8) = 15 P (V>8) 21 7. V ²k atli je 10 b elih 6 rde£ih in 4 £rne krogli e. Hkrati izvle£emo iz ²k atle 2 krogli i. K olik²na je v erjetnost, (a) da sta ob e izvle£eni krogli i rde£e barv e, £e v emo, da nob ena ni b ela, (b) da sta izvle£eni krogli i razli£nih barv, £e v emo, da nob ena ni b ela, R e²itev. (a) Zaradi p ogo ja nob ena ni b ela lahk o razmi²ljamo, k ak or da b ela krogli ni v ²k atli. (6) P = 2 = 1 (10) 3 2 P = 4·6 = 8 (b) (10) 15 2 131 8. V erjetnost, da b o izdelek prv o vrsten je 0.4; v erjetnost, da b o neup orab en je 0.05. Izra£una jte v erjetnost, da b omo kupili (a) prv o vrsten izdelek, £e v emo, da je up orab en, (b) neup orab en izdelek, £e v emo, da ni prv o vrsten. R e²itev. Ozna£imo dogo dk e: F P (F ) = 0.4 izdelek je prv o vrsten, , U P (U) = 0.95 izdelek je up orab en, , ¯ U P ( ¯ U) = 0.05 izdelek je neup orab en, . P (F/U) = P (F U) = P (F ) = 0, 421 (a) P (U ) P (U ) P ( ¯ U/ ¯ F ) = P ( ¯U ¯ F ) = P(¯U) = 0, 083 (b) P ( ¯ F ) P ( ¯ F ) 132 133 134 Literatura [1℄ Bogata j L., F erbar L.: Matematik a I. Osno v e, linerana algebra, funk ije. UL, EF, Ljubljana, 2005. [2℄ Cedilnik, A.: Matemati£ni priro £nik. Didakta, Rado vlji a, 1997. [3℄ Dolinar G., Dem²ar U.: Re²ene naloge iz matematik e I za VSP . Univ erza v Ljubljani, F akulteta za elektrotehnik o, Ljubljana, 2004. [4℄ F o²ner M.: Matemati£ne meto de 1. F akulteta za logistik o, Celje, 2010. [5℄ F o²ner M., Gor²e M., P o vh J., Pusta vrh S., Zalar B.: Matemati£ne meto de v up orabi. DMF A (v pripra vi). [6℄ F o²ner M., Zalar B.: Zbirk a nalog iz up orab e matemati£nih meto d v logistiki I. F akulteta za logistik o, Celje, 2008. [7℄ F o²ner M., Zmazek B., šero vnik J.: Matemati£ne meto de v logistiki: za- piski preda v anj. F akulteta za logistik o, Celje, 2008. [8℄ Jamnik R.: Matematik a. DMF A, Ljubljana, 1994. [9℄ Men inger M.: Zbirk a re²enih nalog iz matemati£ne analize in algebre. Univ erza v Marib oru, F akulteta za gradb eni²tv o, Marib or, 2006. [10℄ Mizori-Oblak P .: Matematik a za ²tuden te tehnik e in nara v oslo vja, 1.del. Univ erza v Ljubljani, F akulteta za stro jni²tv o, Ljubljana, 2001. [11℄ Usenik J.: Matemati£ne meto de v prometu. Univ erza v ljubljani, F akul- teta za p omorstv o in promet, P ortoroº, 1998. [12℄ šero vnik J., Bani£ I., Hrastnik I., ’pa apan S.: Zbirk a re²enih nalog iz tehni²k e matematik e, Univ erza v Marib oru, F akulteta za stro jni²tv o, Marib or 2003 135 Document Outline Odvod Odvod, geometrijski pomen odvoda, približno racunanje Analiza funkcij Optimizacijske naloge Integral Nedoloceni integral Doloceni integral Uporaba integrala Diferencialne enacbe Diferencialne enacbe prvega reda Diferencialne enacbe drugega reda Funkcije vec spremenljivk Verjetnostni racun Verjetnost slucajnega dogodka Verjetnost vsote in produkta ter pogojna verjetnost