© Strojni{ki vestnik 48(2002)11,601-612 © Journal of Mechanical Engineering 48(2002)11,601-612 ISSN 0039-2480 ISSN 0039-2480 UDK 621.983.3:621.979:62-86 UDC 621.983.3:621.979:62-86 Izvirni znanstveni ~lanek (1.01) Original scientific paper (1.01) Optimiranje pogonskega mehanizma stiskalnice za globoki vlek Optimization of Link-Drive Mechanism for Deep Drawing Me-chanical Press Bojan Vohar - Karl Gotlih - Jo`e Fla{ker V prispevku se ukvarjamo z optimiranjem večzgibnega pogona paha stiskalnice za globoki vlek pločevine. Sedanja konstrukcija ne izpolnjuje vseh postavljenih zahtev, zato jo želimo čimbolj prilagoditi idealnim zahtevam tehnološkega postopka. Osnovni namen je prilagoditi sedanjo hitrostno karakteristiko paha zahtevam delovanja v določenem območju. Zato je bilo treba izdelati analizo pogona in njegov matematični model ter izvesti optimizacijo. Uporabljena metoda za nelinearno optimizacijo je sekvenčno kvadratno programiranje. Ker je postopek časovno odvisen, optimizacijskega modela ni moč uporabiti neposredno, ampak je treba primer prevesti v časovno neodvisno obliko, ki je primerna za reševanje s standardnim optimizacijskim postopkom. Cilj optimiranja je določiti takšne izmere pogonskega mehanizma, ki bi čimbolj izpolnile zahteve. V sklepu je prikazana primerjava doseženih rezultatov optimirane konstrukcije večzgibnega pogona z začetnim stanjem pred optimizacijo. © 2002 Strojniški vestnik. Vse pravice pridržane. (Ključne besede: globoki vlek, stiskalnice za globoki vlek, optimiranje pogoniv, modeliranje) This paper deals with an example of a link-drive for a deep-drawing mechanical press. The existing design has proved unsatisfactory and does not meet all the demands and constraints which are required for this metal-forming process. Optimization of the drive is therefore necessary. The intention of this optimization is to achieve the required velocity characteristics in a defined area of movement. Firstly, the drive is analysed and a mathematical model is made. The whole process is time-dependent, so it cannot be used directly in the optimization algorithm. This mathematical model has first to be transformed into a form suitable for the standard non-linear optimization procedure and then the optimization is carried out. We use the method of sequential quadratic programming. The final objective of the optimization process is to find the dimensions of the link-drive members such that the given requirements are satisfied in the best possible manner. In conclusion, the results are described and compared with the initial design. © 2002 Journal of Mechanical Engineering. All rights reserved. (Keywords: deep drawing, deep drawing press, link-drive mechanizm, optimization, modelling) 0 UVOD Globoko vlečenje je zahteven preoblikovalni postopek. Največji vpliv na potek vlečenja ima oblika končnega izdelka in posledično oblika orodja ter vrsta materiala, ki ga obdelujemo. Poleg teh in drugih tehnoloških dejavnikov na kakovost in pravilen potek vlečenja zelo vpliva hitrost vlečenja pločevine. Odvisna je od stiskalnice, na kateri se vlečenje opravlja. Vsak material ima neko optimalno vlečno hitrost. Največja hitrost vlečenja pločevine je tako ena izmed pomembnejših omejitev pri izbiri stiskalnice. Želje po večji produktivnosti preoblikovalnih strojev narekujejo iskanje novih konstrukcijskih rešitev in izboljšav. Najlažji način povečanja produktivnosti stiskalnic za globoki vlek je povečanje 0 INTRODUCTION Deep drawing is a complex metal-forming proc-ess. The quality of the products made with this proc-ess is mainly influenced by their required shape and the material used. Many technological parameters influence the quality and the course of the whole process, for example, friction contact and lubrication of the tool. However, the slide velocity is one of the most important factors; this velocity depends only on the press design parameters. Each material has its optimum drawing velocity; therefore, maximum draw-ing velocity is one of the deciding factors when se-lecting an appropriate press. The demands for increased productivity en-courage the search for better solutions and improve-ments in the production of metal-forming machines. gfin^OtJJIMISCSD 02-11 stran 601 |^BSSITIMIGC Vohar B., Gotlih K., Fla{ker J.: Optimiranje pogonskega mehanizma - Optimization of a Link-Drive njihove obratovalne hitrosti, torej vrtilne frekvence pogonskega motorja. Vendar hitrosti ni moč poljubno povečevati, ker prevelike vlečne hitrosti povzročajo trganje materiala in druge težave [3], saj material nima na voljo dovolj časa za zadostno tečenje. Hidravlične stiskalnice te probleme zaradi učinkovitega krmiljenja zlahka odpravijo, njihova pomanjkljivost pa je višja cena v primerjavi z mehanskimi stiskalnicami ter drago in zahtevno vzdrževanje. Pri mehanskih stiskalnicah je to težje, ker je pot paha omejena z vnaprej določenim gibom, ki ga določa kinematika in izmere pogonskega mehanizma. Ena takšnih izboljšav v mehanskih stiskalnicah je večzgibni pogon paha [3]. Takšen pogon je zaradi svojih karakteristik primernejši od običajnega ročičnega pogona, saj je njegovo delovanje mogoče veliko bolje prilagajati zahtevam posameznih preoblikovalnih postopkov. Imenujemo ga tudi mehanizem s pospešenim povratnim gibom. Njegova glavna lastnost je, da je hitrost paha med delovnim gibom tudi za polovico manjša od običajnih ročičnih stiskalnic pri enaki obratovalni hitrosti ter zelo pospešena pri vračanju v izhodno lego. Takšna hitrostna karakteristika je zelo podobna hidravličnim stiskalnicam, le da celoten krog poteka pri mehanskih stiskalnicah občutno hitreje. Ker je največja hitrost vlečenja pločevine hkrati omejitev obratovalne hitrosti stroja, lahko stiskalnice s takšnim pogonom obratujejo veliko hitreje kakor običajne, saj te hitrosti ne bodo prekoračile. Tak primer prikazuje slika 1 [3], kjer je prikazana razlika v obratovalni hitrosti med običajno ročično stiskalnico ter stiskalnico z večzgibnim pogonom. Razvidno je, da lahko v stvarnem primeru na sliki stiskalnica z večzgibnim pogonom obratuje s 37 gibi na minuto, medtem ko običajna ročična stiskalnica obratuje z največ 20 gibi na minuto (da ne pride do prekoračitve vlečne hitrosti); torej dosežemo z večzgibnim pogonom za 85 % večjo produktivnost (na minuto 17 kosov več). S slike 1 [3] je razvidna še ena prednost večzgibnega pogona, namreč skoraj nespremenljiva vlečna hitrost v delovnem področju, kar omogoča občutno boljše razmere za tečenje materiala, izboljša kakovost izdelka ter podaljša dobo trajanja orodja. Takšen večzgibni pogon obravnavamo v prispevku, prikazan je na sliki 2. Pogon je izveden prek pogonskega zobnika z izsrednostjo, na katerega je vezana ojnica, ki je na eni strani prek veznega droga povezana z okrovom stiskalnice, na drugi strani pa se gibanje prenaša na drsnik. Na tega je nato prek drogov pritrjen pah. Mehanizem je 6-zgibni ročični s končnim drsnim členom in je v bistvu sprememba običajnega 4-zgibnega ročičnega mehanizma z drsnikom. Želeno hitrostno karakteristiko dobimo zaradi podaljšane ojnice in vezave le-te na vezni drog in okrov, kar spremeni sinusoidni potek hitrosti v že prej omenjeni in prikazani krog, značilen za večzgibne pogone. ^BSfirTMlliC | stran 602 The simplest way to increase the productivity of mechanical presses is to increase their operating speed (the rotational velocity of their driving engine). However, such an increase has its limits, since too high drawing velocities cause tearing of the material and some other problems that occur when there is not enough time available for the material to flow [3]. The issue is not relevant in the case of hydraulic presses due to efficient control and slide control, but their high price and maintenance costs are the main disadvantages. This sort of slide control is hard to implement with mechanical presses, because the motion of the slide is constrained and defined by the dimensions and kinematics of the driving mechanism. However, during the past few years press manufacturers have begun to incorporate special link-drives into their presses [3]. Because of their characteristics these drives (also called quick-re-turn drives) are much more appropriate than con-ventional crankshaft and eccentric gear drives, they are more flexible and easier to adapt for each indi-vidual metal-forming process. Their main advan-tage is a much lower slide velocity during the work-ing part of the cycle. This kind of velocity charac-teristic is very similar to hydraulic presses, except that the whole process runs much faster in me-chanical presses. Since the maximum drawing velocity is also the limit of the press’s operational speed, the presses with the link-drive can operate at higher speeds than conventional versions with-out exceeding the maximum drawing-velocity limit. Figure 1 demonstrates the difference in the velocity characteristics between a classic crankshaft press and one with a link-drive [3]. Whereas a linkdrive press operates at 37 strokes/min, the crank-shaft version can run at 20 strokes/min – at most – before the maximum drawing-speed limit is ex-ceeded. That means 85% more production with the link-drive press (17 pieces/min more than with the conventional press). Another important feature of link-drive presses, which is also evident in Figure 1, is the almost constant slide velocity in the working part of the cycle. This considerably improves the conditions for material flow, the quality of the products, and prolongs the lifetime of the tool. Figure 2 presents the link-drive that is considered in this paper. The drive of the press is accomplished through an eccen-tric driving gear that is linked with a coupler link. On one side the coupler is connected to the press frame via an additional link, and the other end is connected to an output slider-link combination. The mechanism is a 6-bar slider-crank mechanism, which is a modifi-cation of a standard 4-bar slider-crank version. A modified velocity characteristic (lower velocity in the working part of the cycle) is achieved through an extended coupler link and its connection to the press frame. Vohar B., Gotlih K., Fla{ker J.: Optimiranje pogonskega mehanizma - Optimization of a Link-Drive hitrost paha slide velocity 43 [m/min] 24 pričetek vlečenja KS pričetek vlečenja SVP draw start CCP draw start LDP \/ ^NV|\ SML / ^\ \ltp X ZML 1 1WV /Si UTP |\V^ //^7 1 223° \~/ _ KS 20 gibov/min CCP 20 strokes/min KS 37 gibov/min CCP 37 strokes/min SVP 37 gibov/min LDP 37 strokes/min 0° 360° 90° 180° 270° kot zavrtitve pogonskega zobnika driving gear rotation angle Sl. 1. Primerjava enega kroga klasične stiskalnice (KS) in stiskalnice z večzgibnim pogonom (SVP) Fig. 1. Comparison of one cycle of the classic crankshaft press (CCP) and the link-drive press (LDP) +Y \ Y R2(r2) + I.Af2 R5 Sl. 2. Shema večzgibnega pogona Fig. 2. Scheme of deep drawing mechanical press link-drive Želimo optimirati dani pogon glede na določene kriterije, torej poiskati optimalne izmere ročic in lege vrtišč, da bo ustrezal naslednjim zahtevam: - Hitrost v delovnem območju naj bo čimbolj nespremenljiva, predvsem v predpisanem območju od okoli 75 do 150 mm pred spodnjo mrtvo lego. - Mehanizem naj doseže spodnjo mrtvo lego v območju zasuka izsrednika od 190 do 230 stopinj (običajni ročični mehanizem pri 180 stopinjah) - s Sl. 3. Kinematična shema mehanizma Fig. 3. Kinematic scheme of the link-drive mechanism The final objective of the optimization is to find the dimensions of the link-drive members such that the following requirements are satisfied in the best possible manner: - Slide velocity in the working part of the cycle should be as constant as possible, especially in the range from 75 to 150 mm before the lower toggle point (bottom dead centre), - The mechanism should reach the lower toggle point in the range of the eccentric gear rotation angle from 190° to 230°, so as to achieve a longer gfin^OtJJIMISCSD 02-11 stran 603 |^BSSIrTMlGC Vohar B., Gotlih K., Fla{ker J.: Optimiranje pogonskega mehanizma - Optimization of a Link-Drive tem je zagotovljen daljši čas dejavnega dela delovnega giba (kakovostno tečenje materiala). - Hitrost v delovnem krogu naj bo čim manjša (manjša stična hitrost in manjša preoblikovalna hitrost). - Če je le mogoče, naj bodo spremembe izmer čim manjše; izmere ročic naj variirajo v območju okoli ±20%, prav tako naj se čim manj spreminja gib paha. Za sam postopek optimiranja je treba izdelati matematični model mehanizma ter izbrati namensko funkcijo, ki jo bomo optimirali. Zato moramo najprej opraviti kinematično analizo mehanizma, kjer bodo prikazane funkcijske odvisnosti med vsemi spremenljivkami, ki bodo udeležene v optimizacijskem postopku. 1 KINEMATIČNA ANALIZA POGONA Na podlagi kinematične sheme (sl. 3) izupveljemo kinematično analizo mehanizma. Z R 2 do R 6 smo označili vse ročice (R3 in R5 sta skupaj ena ročica -ojnica R3-5), R1 pomeni podlago, v s pa vektor lege paha (dolžina v s se spreminja s časom). V oklepajih so označene dolžine posameznih vektorjev. Mehanizem ima samo eno prostostno stopnjo - torej je njegovo gibanje moč opisati s funkcijo ene same spremenljivke; v našem primeru bo to kot pogonske ročice R4-j4. Zanima nas potek gibanja paha ter njegove hitrosti in pospeškov, zato moramo poiskati zvezo med vhodno in izhodno veličino, torej funkcijsko odvisnost s=s(4 B = 2 (K4 sin cp1 - sin 4 D = K5+K4 cos #>1 + K3 cos (4 E = 2(K4sin^ + sin#>4) C = K5-K4 cos #>1 + K3 cos (4 Za vsak kot (j2 in j3) sta mogoči dve rešitvi (obe realni in enaki, kompleksno konjugirani ali realni in različni), ustrezno določimo s kinematično shemo. Prva stopnja je v celoti določena, za poljubni čas t lahko izračunamo vse potrebne parametre in sledi analiza druge stopnje. Iz kinematične sheme 2. stopnje (sl. 4) je razvidno, da je kot j5 vezan na kot j3, saj ročici R3 in R5 sestavljata eno ročico - ojnico R3-5. Zato ga zapišemo kot: ,j3 2arctan e±4e2-4df 2D (3), where the following notations are used: r2 + r2 -r2 +r2 K1 K2 K3 K4 K 2r2r4 (4). -r +r 2r3r4 For every angle j2 and j3 two solutions are possible (both real and equal, complex conjugated or real and different). The appropriate solution is cho-sen according to the kinematic scheme. The first stage of the mechanism is completed, for an arbitrary time t all the parameters can be computed. The second step of the kinematic analysis follows according to the kinematic scheme of utvhe secounv d stage of the mechanism (Fig. 4). The membeuvrs R 3 and R 5 together form one member – the coupler link R3-5, therefore the angle j5 is dependent on the angle j3, and can be written as: j3 + j35 - p (5), kjer je j35 kot trikotne ojnice, torej kot med ročicama R3 in R5. Izhodna veličina, katere funkcijsko where j35 is the angle ofuv the triuvangular coupler (the angle between members R 3 and R 5 ). The output quan- Sl. 4. Kinematična shema 2. stopnje mehanizma Fig. 4. Kinematic scheme of the second stage I IgfinHŽslbJlIMlIgiCšD I stran 605 glTMDDC Vohar B., Gotlih K., Fla{ker J.: Optimiranje pogonskega mehanizma - Optimization of a Link-Drive odvisnost potrebujemo, je gib oz. pozicija paha tity, whose functional relation we are looking for, is (drsnika) - dolžina vektorja s . Zapišemo lahko naslednje zveze: s = y6 +y7, y6=r4sinj4+r5sinj the slide position – the length of the vector s . The following relations can be written: y7 x6 d = arcsin y7 tan d 6 x6 r4 cosj4 + r5 cosj5 x6 = r4 cosj4 + r5 cosj5 tan d (6), tan 6 J J oziroma: hence: r4 sinj4 + r5 sinj5 + r4 cosj4 + r5 cosj5 tan (7). Vse odvisne veličine na desni strani enačbe (7) so funkcije kota j4 in smo tako dobili želeno zvezo med vhodno ter izhodno veličino: s = f(j4). Hitrosti in pospeške paha je sedaj moč preprosto dobiti z odvajanjem (7). Iz rezultatov analize je razvidno, da je zveza (7) nelinearna, kar pogojuje način optimiranja Rezultate kinematične analize prikazujejo krivulje: gib, hitrost in pospešek pehala v odvisnosti od vhodnega kota j4 (in s tem posredno časa t) na sliki 5. Iz grafov je vidna tipična karakteristika večzgibnega pogona: SML se pojavi kasneje kakor pri običajnem ročičnem pogonu, v območju delovnega giba je hitrost manjša in ima enakomernejši potek, čemur sledi skokovito povečanje hitrosti pri vračanju paha navzgor. Za obravnavani pogon smo izdelali računalniški program v programskem jeziku v The desired relation s= f(j4 ) is derived, and all the quantities on the right-hand side of the equa-tion are dependent only on the angle j4. The slide velocity and the acceleration can now be easily obtained with a derivation of (7). It is clear that the relation (7) is highly nonlinear and there-fore a nonlinear optimization procedure has to be chosen. The results of the kinematic analysis are shown in Figure 5. The typical characteristics of the link-drive are clear from the graphs: the lower toggle point oc-curs much later than with the classic crankshaft drive; the slide velocity in the working part of the cycle is lower and more constant; there is a rapid velocity increase in the returning part of the cycle. A FORTRAN algorithm was made which, for given input gib paha, stroke s mm 800 600-400-200- a) lega paha, slide position hitrost paha, slide velocity s& mm/s 400 200 b) hitrost paha, slide velocity kot pogonske ročice driving gear rot angle j4 rad -200 -400 3p 2 2p kot pogonske ročice driving gear rot. angle j4 rad 2p območje enakomernejše hitrosti paha, area with more uniform slide velocity pospešek paha, slide a mm/s2 tionf 200- c) pospešek paha, slide acceleration -200 -400 -600 2p kot pogonske ročice, driving gear rot. angle j4 rad Sl. 5. Rezultati kinematične analize večzgibnega pogona (a - lega, b - hitrost, c -pospešek) Fig. 5. Results of the kinematic analysis (a - position, b - velocity, c - acceleration) 1 BnnBjfokJ][p)l]Olf|ifrSO I I ^SSfuTMlGC I stran 606 p Vohar B., Gotlih K., Fla{ker J.: Optimiranje pogonskega mehanizma - Optimization of a Link-Drive FORTRAN, ki za dane vhodne podatke izračunava kinematične veličine (lego, hitrost, pospešek in gib paha, lego SML, največji absolutni pospešek in njegovo lego). Izračunani podatki za obravnavani mehanizem so naslednji: - SML pri j4 = 208°, - gib mehanizma = 903,48 mm, - predpisano območje (okoli 75 do 150 mm pred SML): j4 = 155°-176°, - največji absolutni pospešek na predpisanem območju = 198,8 mm/s2 (j 4 = 176°). Kinematična analiza pogona je končana, znani so vsi potrebni parametri, ki jih potrebujemo za optimizacijo. 2 OPTMIRANJE POGONA A) Splošni optimizacijski model Osnovni cilj vsakega optimizacijskega postopka, ki temelji na metodah matematičnega programiranja, je poiskati odgovor na vprašanje “kaj je najboljše?” pri problemih, pri katerih lahko kakovost odgovora izrazimo kot numerično vrednost. Ali drugače: poiskati takšno kombinacijo parametrov (projektnih spremenljivk), ki bodo minimizirali izbrano veličino (namensko funkcijo). Optimizacijski problem je najprej treba spremeniti v matematično obliko. Splošni model optimizacijskega problema zapišemo v obliki: poišči tak vektor projektnih spremenljivk x e Rn , ki bo minimiziral namensko funkcijo f(x,z) e Rn, ob upoštevanju pogojev: data (the drive geometry), calculates the required kinematic quantities (slide position, velocity and acceleration, stroke, position of the lower toggle point, maximum absolute acceleration and its position) in the required resolution step. The calculated values are: - lower toggle point at j4 = 208° - stroke = 903.48 mm - desired working part of the cycle approximately 75 to 150 mm before the lower toggle point): j4 = 155° to 176° - maximum absolute slide acceleration in the de-sired range = 198.8 mm/s2 (j4 = 176°) The kinematic analysis of the drive is finished, and all the parameters required for the optimization procedure are known. 2 OPTIMIZATION OF THE LINK-DRIVE A) General optimization model The basic objective of every optimization procedure based on methods of mathematic programming is to find an answer to the question “What is the best?” concerning problems where the quality of the solution can be expressed and evaluated as a numerical value. In other words: to find such a combination of parameters (design variables) that will minimize the chosen quantity (cost function). But first, the optimization problem has to be transformed into a mathematical formulation. The general optimization model can be expressed in the following form: find such a vector of design variables x e Rn which minimizes the cost function f(x, z) e Rn , subjected to following constraints: 1,2,...,k (omejitve projektnih spremenljivk/constraints of design variables, lower/upper bounds) g (x,z)<0 j=1,2,...m (omejitvene funkcije/inequality constraints) (8), hl(x,z) = 0 l = 1,2,...m' (odzivne enačbe sistema/equality constraints, system-response equations) kjer z pomeni vektor odzivnih oz. sistemskih spremenljivk (hitrosti, pospeški, reakcije itn.), x pa vektor projektnih spremenljivk (parametri, katerih optimalne vrednosti iščemo, da zadostimo zahtevanim kriterijem). Namenska funkcija je tista, ki jo izberemo kot merilo za uspešnost optimiranja in katere minimum iščemo. Če je katerakoli od definiranih funkcij (namenska, omejitvene itn.) nelinearna, imamo opravka z nelinearnim optimiranjem. Optimizacijski problem rešujemo iterativno, za njegov zagon pa potrebujemo začetno točko x0 (ocena ali sedanja varianta projekta, ki ga želimo izboljšati). Optimizacijski problem v obliki (8) ni neposredno uporaben, kadar imamo opravka z dinamičnimi sistemi, kakor je npr. večzgibni pogon, ki ga obravnavamo. Pri takšnih sistemih se pojavlja nova neodvisna spremenljivka - čas, zaradi česar postane where z is the state variable vector of the system-response variables (velocity, acceleration, reaction forces, etc.) and x is the vector of the design variables (parameters for which optimum values are to be found to satisfy given criteria and constraints). The cost function is the one which is chosen accordingly as a measure of the efficiency of the optimization procedure. If any of the defined functions (cost, con-straint, etc.) are nonlinear, the nonlinear optimization algorithm has to be used. The optimization problem is solved iteratively, for its start the starting point x0 is required (current project status or estimation). However, the optimization model in the form of (8) cannot be used directly in the cases of dynami-cal systems, for example, in a link-drive. With these systems a new independent variable arises, time t, which makes the vector of the system variables, z, Vohar B., Gotlih K., Fla{ker J.: Optimiranje pogonskega mehanizma - Optimization of a Link-Drive vektor odzivnih spremenljivk z odvisen od časa t. Obstaja več metod, kako časovno odvisen problem predelati v splošno obliko, ki bo primerna za reševanje. Ena od možnosti ([1] in [2]) je npr., da tak problem prevedemo v zaporedje časovno neodvisnih problemov. V našem primeru smo izbrali metodo z uvedbo nove spremenljivke [1]. Ker nas pri analizi dinamičnih sistemov v nekem časovnem razponu običajno zanima največja vrednost odziva sistema, ki jo želimo zmanjšati oz. optimirati (največji pospeški, hitrosti itn.), lahko namensko funkcijo za tak problem zapišemo kot: time dependent. There are various methods for trans-forming time-dependent problems into a suitable form for the general optimization model. Some methods ([1] and [2]) translate the time-dependent problem into a sequence of time-independent problems. In our case the method of introducing a new artificial variable [1] was chosen. In the analyses of dynami-cal systems the maximum values of a measure of the system response in a certain time interval are usually the required quantities (maximum velocity, accelerations, etc.) and these also tend to be the quan-tities to be optimized. Therefore, the cost function for such a dynamic system can be expressed as: y0 = max f0(x,z(t),t) (9). Da bi takšno namensko funkcijo lahko uporabili v splošnem optimizacijskem modelu (8), se moramo znebiti funkcije max iz namenske funkcije ter časovne odvisnosti iz omejitev. To dosežemo z uvedbo nove umetne spremenljivke xk 1, ki pomeni zgornjo mejo f0, za katero velja: f0(x,z(t),t)- S tem postane vektor konstrukcijskih spremenljivk oblike: To use the above form of the cost function in the general optimization model (8), the maximum value func-tion from the cost function and the time dependency of the constraint functions have to be removed. This can be achieved with the introduction of a new, artificial variable xk+1, which represents the upper limit f0, subjected to: <0 00 0 ;f(t)<0 The transformed problem is now stated in the following form: find such a vector x e Rn, which mini-mizes xk+1 e R, subjected to following constraints: (13). y = }(f0(x,z,t)-xk+1dt = 0 0 t yj=\{gj (x,z,t))dt = 0 0 hl(x,z(t),t) = 0 i =1,2,...,k,k +1 j = 1,2,...m l =1, 2,...m' (14). Tako smo dobili obliko, ki jo predpisuje splošni optimizacijski model (8) in jo lahko uporabimo v postopku optimiranja. The optimization problem is now formulated according to the general optimization model (8), and can be used with the standard optimization procedure. 1 BnnBjfokJ][p)l]Olf|ifrSO | | ^SSfiflMlGC | stran 608 Vohar B., Gotlih K., Fla{ker J.: Optimiranje pogonskega mehanizma - Optimization of a Link-Drive B) Optimizacijski model večzgibnega pogona Najprej je treba izbrati namensko funkcijo. Osnovni cilj našega optimiranja je določiti parametre mehanizma tako, da bo hitrost paha v predpisanem območju čim bolj nespremenljiva. Zato bi morali biti pospeški na tem območju enaki nič ali pa se temu čim bolj približati. Kot namensko funkcijo zato določimo največji absolutni pospešek na predpisanem območju, naš cilj pa je ta pospešek zmanj sati v največji mogoči meri. Namenska funkcija za obravnavani problem se torej glasi: B) Link-drive optimization model First, the cost function has to be chosen. The primary objective of this link-drive optimization is to determine the link-drive parameters in such a way that the slide velocity in the defined range of move-ment is as constant as possible. This means that the slide acceleration in this range has to be zero or close to zero. Therefore, a suitable cost function for this problem is defined as the maximum absolute slide acceleration, and the purpose is to lower this accel-eration as much as possible. The cost function is: f = max &s& (x,j4 ) j4 <(D <