SEK LETNIK it 113) ŠTEVILKA 6 > t Tli >J-mM nm ej pri j^avkali košaric te razdaije čredno majhne. Koti med zapo-redmrm hstL cvetovi ah hiskanu so pri veam rasthn natanka ^eaenL odvrni so le od rastime oz. njene frtotakee. Na fotografijah k! smo jih posneh za Presek tega razum^vo ne moremo raztocino opazovati, v naravi ea je snovi za opaznvanje dovolj. Koti, ki pripadajo posameznim vrednostim filota- kre, so enaM /d-1//k+;L ■ 360°, k = 2,3,4,____To so zapored koti: ■ 180% 120°, 144°, 135°, Z38.S°, 137.1°..... Ker zaporeclje kvocientov ^jk1 zaporednih Fibonaccijevih števil konvergira k razmerju zlatepa reza t = 1,618(0339..., konvergira zaporedje filotaks k vrednosti 1 - t-1 = 0,3819)660... in z njim zgonnje za- 6 pzese, 40 (doia/zrns) ° poredje kotov proti ■ (1 - T"1) ■ 360° = 0,3819660 ■ 360° = 137,5°. Ta kot imenujemo tudi Fibonaccijev kot. Zanimivopovezavo med posameznimi vrednostmi filotakse najdemo v knjigi Introduction to geometry H. Si. M. Coxe terja, od koder je tudi sliko 6. Nk sliki je osikazano površje ananas a kot plašč pokončnega krožnega valja, razgrnjenega v ravnino. Šestkotne luske so oštevilčene v vrstnem redu glede na njihovo oddaljenost od vodoravne osnove. Da se videti, da je kot med zaporednima luskama Fibonaccijev kot. Luska 0 ima za sosede lusOe z oznakomi 5, 13 in 8, ki dolocajo vidne smeri v vzorcu. SLiKA 6. Če eeakomereo raotegujemo sliko v eavpitei smeri, se maejša topi kot med smerema od središta luske 0 proti luskama 5 ie 8, dokler ee postane pravi kot. Tedaj šestkotne luske preidejo v pravokotnike. Vrste (na valju vijacnice), ki pripadajo luski 13, postanejo manj razločne, tri nove vrste, dvigajoče se proti levi, pa postanejo bolj opazne. Tako preprostejšo ureditev smo opazili pri storžu pinije. Nadaljnje raztegovanje bi zakrilo smeri, ki pripadajo številu 8, in odkrilo dve novi smeri, usmerjeni proti desni. Tako ureditev listov smo npr. opazili pri hrastu. Če pa vzorec stiskamo v navpični smeri, raste kot med smerema od luske 0 proti luskama 8 in 13, dokler ne postane pravi. Tedaj nastopi Fibonaccijevo število 21 kot sosed števila 0, odmakne pa se število 5. Pri raztegovanju in stiskanju valja njegovega obsega nismo spreminjali. Za spreminjanje vzorca je torej odločilno razmerje višine in premera valja. Ce se valj hitreje debeli, kot pridobiva na višini, lahko en par Fibonaccijevih števil preide v drugega, kar se včasih res zgodi pri rasti iste rastline. Ce valj nadomestimo s stožcem, kot je primer pri jelki, ne dobimo vijacnic, ampak polžaste spirale. Ce privzamemo, da so tvorilke stožca cedalje bolj pravokotne na os stožca, dobimo mejni primer (marjetica, soncnica), pri katerem polžaste spirale preidejo v logaritmicne spirale. Kak:o razkriti skrivnost oatne naklonjenosti narave zlatemu razmerju? Ah morda ve^ da rastime slede nas^njma praviloma, ki ju je za Fibonaccijev kot odkril Vogel? ■ Vsak nov hst ah cvet je postavljen na mes^ ki je za hksen kot a zavrteno od potožaja prejšnjega hsta ali cveta. ■ pozicijski vektor vsakega novega hsta ah cveta kaže v najširšo obstojeco vrzel med pozicijskimi vek> torji starejših hstov ah cvetov. Gotovo ne gre ugovarjati tema osnovmma predpostavkama (druga je z vidika iskanja svetlobe še kako smise^a^ vendar sta nezadostnk kot ugotavlja RT dley, strokovnjak: s tega podrocja. pojasnjuje: Medtem, ko je razumno domnevati, da rastline vsebujejo genetsko mformacijo za dolocanje velikosti fiksnega vmesnega kota, je povsem nemogoce samo na tej osnovi fiksnati vmesni kot do take neverjetne natančnosti kot jo opažamo v naravk kajti naravna variacija je pri bioloških pojavih normalno precej velika. Natancinost je res neverjetna. pri številnih cvetovih soncimc sta npr. opazm spirali 55 in 89. To pa pomeni, da mora pri njih ležati izbrani kot med 55 in ||, kar zahteva relativno napako manjšo od 4895. Povejmo še, da se pri nekaterih rastlinah filotaksa izraža s posplošenimi Fibonaccijevimi števili, npr. 2, 1, 3, 4, 7, 11, ..., pa 3, 1, 4, 5, 9, ...ali 5, 2, 7, 9, 16, ..., katerih zaporedni kvocienti ne konvergirajo k zlatemu razmerju. Zato neobremenjeni zakljucimo z mislijo, da filotaksa ni kak splošni zakon, ampak osupljivo prevla-dujoca težnja rastlin. pRESEk40 (2012/2013) 6 7 Fibonaccijeva fcestila Zaporedje Fibonacc:i,je;v/i]:i šlt^vil {fk,k e N} je ločeno s predpisom: ii = f2 = 1 .^ív^íí = fk n k e hI. Za1 etek zaporje torrepj takLe: j 1 1, 2, 3, 5, 8e 13, 2Z b4, 555, 89, 144, 233e ... Zaporedje levorientov aajporedmh Fibonacrijevüi site-vül ^ je: 1' 2'3'5'8' V3' 21' 34'"" vrednosti la.^Loj^Esil^fii^ lea so kvocienli ke-1, kjer je l- = fk+l-fk _ 1 _ /ll+l /i+I Ck+1 ' Zlato raznrrje Če daljico rri^z.^d'Eíl^Eaci na dva dela tako, ds ja raemerje dolžin veijega in manj lega dela bnako razmerju dolžni dane daljice in večseiga d,.1!;!, pravimo, cu^ai smo daljico razdelili v zlatem rezu. Delilna rozmerje imenujemo z!ato racmerje in ga običajno onnacimo u t. razmerj e je pozjtivna rešitev enačbe u2 - t -I-5O, insicerje VŠ+l T = 2 de 1,6180339. -vezamed alatim razmerjem in Filionaccijevimi števili Številu t jeitijerds neskončni v/ctižui ulomek, v kate-rcm so vsi Slini nnaki 1, totej: >/5-1-1 T = 2 = 1 + i r^ 1 + 1 Med aaemi aerižrnam ulomki Va ulomek naj^íüasneje konaergéa. IDe^n^ uldmka ve^i^iiž.nega u^l^anlca šVeaUa t so eneki kooc^nVom /k+i/fk zafcdrectmh Frtioncsaijoaih šVji va. Za üusVraaijo i žvačunajmo nelcoj aacieVmli aj dnosOo ■-r e4-2-Uj -iVi' i-t la-rerc SLiKA 7. HRAST levo zgoraj) in KR-VE NKA (des no zg o raj) imata filotaksn 2E5. O2NJENI TRN (levo spodaj) 1/3, LIPA (desno spodaj) pa 1/2. To pomeni, da zaporedje kvocientov fkNs/fk zaporednih Fibonaccijevih števtf k:onvergira k t. Zaporedje reciprocnih števil fk/fkNE konvergna k t-e o t - E o 0,6180339..., količniki fk-s, s katerimi se iz- fkNE ' raža filotaksa, pa konvergirajo proti E -t e o g - t o _ XXX 8 presek 40 (2012/2013) 6 Sluh ^ ^ ^ JANEZ STRNAD • Od petih čutov sta dva povezana z valovanjem; z njima spoznavamo okolico in prenašamo sporočila na srednjih in velikih razdaljah. Zvok in svetloba pa se tudi močno razlikujeta. Zvok potuje samo po snovi in to z veliko manjšo hitrostjo od svetlobe in ima veliko manjšo frelcvenco. Na drugi strani pa imamo ljudje poleg sprejemnika tudi izvor zvoka, a nimamo izvora sveüobe. Zajnsa o merjenju zvoka in hrupu v drugi številki Preseka lahko izkoristimo za nekaj dodatnili ugotovitev o sluhu. Poleg podatka o tem, katere frekvence so zastopane v zvoku, je pomembna jakost zvoka. Frekvenca meri število nihajev v sekundi, jakost pa gostoto energijskega toka, to je energijo, ki jo zvok v sekundi prenese skozi okvir s ploščino kvadratnega metra, pravokotnega na smer potovanja zvoka. Jakost je odvisna od gostote snovi, po kateri potuje zvok, od frekvence in od amplitude odmika, to je največjega odmika delov snovi od ravnovesne lege. Namesto amplitude odmika lahko podamo amplitudo tlaka, to je največji odmik tlaka v zvoku od ravnovesnega tlaka. S tem smo opredelili zvok po fizikalni strani. Pomemben pa je tudi občutek, ki ga izzove zvok, kar opredeljuje zvok po fiziološki strani. Zveza med občutkom in jakostjo je zapletena. Predvsem je odvisna od frekvenče, saj zvoka z manjšo frekvenčo od 16 Hz in z večjo od 20 000 Hz sploh ne slišimo. 1 hertz, Hz ali 1 s-1 je enota za merjenje frekvenče. Iskanje zveze si olajšamo, če se omejimo na zvok z določeno frekvenčo, ki mu v fiziki pravimo ton. V prvem koraku vpeljemo glasnost prek razmerja med dano jakostjo zvoka in najmanjšo jakostjo, ki jo uho še zazna. Pri tem se odločimo, da upoštevamo neodvisno od frekvenče slišni prag j0 = 10-12 W/m2. Zvoku z jakostjo j0 priredimo glasnost 0 dB (deci- presek 40 (2012/2013) 6 9 10 100 1000 10000 250 500 1000 2000 3000 Orekvenca He 4000 E000 8000 100000 frekvenca Ho SLiKAI. ObrisienakeglasnostiizISOStandarda 226:2003. Nanav-pičnoosnanesemoglasnostvdecibelih,navodoravnoospa frekvenco. Črtkane dele so dobili z oceno. Glasnost v fonih je navedena kot parameter. Diagram je dvojno logaritmičen, naobeh osehenakiodseki ustrezajoenakimrazmerjem, ne enakimrazlikam,kakornavadno.Tudivangleščinišenieno-tnega poimenovanja. ISOpriporočaza merilniksound level meterSLM,za glasnostvdB soundpressurelevelSPL,za glasnost v fonih, kot kaže, niposebnega imena. V slovenščini še ni ustaljenih izrazov.Za zdajjesmiselnogovoriti oglasnostiinizenotrazbrati,aligrezalestvico zdecibeli ali zalestvicos foni.Lestvicossoniuporabljajo leporedko. http://en.wikipedia.org/wiki/Fletcher-Munson_curves belov), z jakostjo 10 j0 glasnost 10 dB, z jakostjo 100 j0 glasnost 20 dB, z jakostjo 1000 j0 glasnost 30 dB, ...z jakostjo 1012j0 = 1 W/m2 glasnost 120 dB. S tem smo upoštevali, da uho zazna zvok na zelo širokem območju jakosti: „glasnosti seštevamo, ko jakosti množimo". Nismo pa še upoštevali, daje občutek odvisen od frekvence. Občutka ni mogočo naravnost izmeriti z merilnikom, vsak čiivok dijamo zvik nekoliki pi svijo. Zato jo treba vključiti v piskus veliki ljudi in so nazadnje digiviriti za pivpročjo. Lota 1933 si v Bel-livih labiratirijih v ZDA izvedli ibsožno piskuso to vrsto. Pri tem so udeleženci piskusa primerjali gla- SLIKA 2. Občutljivost ušesa se s starostjo zmanjša. Na navpično os nanesemo zmanjšanje glasnosti v decibelih, na vodoravno pafrekvenco. Starost je navedena kot parameter na desni strani. Spomnimo se, kako smo vpeljali glasnost. Iz podatka v decibelih dobimo ustrezno razmerje jakosti: 0 dB ustreza razmerju f 1 dB razmerje 1 0,rdB razmerje' 00..... 120 dB fazmerjelO12. Ziagramjedelo J.Zf Laafaiz medicinskega centra aniverre vLLiSnz in jzpoLaeipoZianLuL.F. J- Her-mansagtazaziesrv EurodZydks Lgwsjanukrja20az. snost tona s frekvenco, ki so jo po potrebi naravnali, z glasnostjo tona s frekvenco 1000 Hz pri različnih glasnostih. Ni lahko ugotoviti, kdaj se zdita tona z različnima frekvencama enako glasna. Povprečja, ki so jih dobili, so ponazorili s krivuljami enake glasnosti. Vrsto poskusov so ponovili leta 1956 v Angliji in dobili so nekoliko drugačne krivulje. Leta 2003 je Mednarodna organizacija za standardizacijo ISO merjenja obnovila in izdala ISO Standard 226: 2003 (slika 1) z obrisi enake glasnosti (Equal Loudness Contours). Novo ime poudari, da gre za primerjavo občutkov, ki vključuje povprečje in v podrobnosti ni nujno uporabna za posamičnega opa-zovalča. Dobljene podatke za glasnost izrazimo z novo enoto fon in jih tako razločimo od podatkov na podlagi enotnega slišnega praga v dečibelih. Ker izhajajo od frekvenče 1000 Hz, se pri tej frekvenči podatki za glasnost v fonih ujemajo s podatki v dečibelih. Obris pri 0 fonih kaže, da je uho najobčutljivejše pri frekvenči na pasu med 2000 in 4500 Hz. To povezujejo z resonančo zvočne poti v ušesu. Pri frekvenči 1000 10 PRESEK 40 (2012/2013) 6 Hz komaj zaznamo ton z glasnostjo štiri fone, kar pomeni, daje pri tej frekvenci slišni prag 2!,5 ■ 10-12 W/m2 vecji kot j0. Na pasu od 500 do 1000 Hz je odvisnost od frekvence šibka in so obrisi pribliono vodoravni. Pri monjših frekvencoh kot 500 Hz in večjih kot 5000 Hz pa je uho precej manj občutljivo. Slednje so pokaže predvnem pri majhni glasnosti in mashni Orekvenci. Ton s frekvenco 100 Hz se npr. pri glasnosti 30 dB zdi enako glasen 0ot ton s freOvenco 1000 Hz pri glnsnosti 10 dB. Ton s frekvenco 20 Hz se pri glasnosti 75 dB zdi enako glasen kot ton s frekvenco 1000 Hz pri glasnosti 10 dB. Zaradi tega pri poslušanju glasbe z majhno glasnostjo basi ne pridejo. do izraza. Radijski sprejemniki imajo poseben gumb, s katerim lahko v takem primeru base dodatno ojacimo. Glasnost v ionih pogaja slišni občuteS, SoliSos je to mogoče. Venlas messSo število ni sosaemesno e občutSom. V ta namen so leta V936 vpeljali še gsugo lestvico e enoto son. Ugotovili so, ga glasnost osSe-stsov leži meg 40 in 100 ioni in ga mosa v Soncestni gvosani nasasti glasnost ea V0 fonov, ga se evok egi gvaSsat glasnejši. Zato so glasnosti 40 ionov emse-gili en son, glasnosti 50 ionov gva sona, glasnosti go fonov štisi sone, .. .in glasnosti V00 ionov 64 sonov. TaSo nps. glasbeni oenaSi ff (fostissimo, eelo glasno) dribližno psisegijo 64 sonov, oenaSi i (foste, glasnoi d6 sonov, onnaSi p (piano, tiho) štisi sone, oznaSi dp (pianimimo, eelo tiho) en son. Tugi psa eaenava-nju svetlobe je vigni občutek v očesu ogvisen og isv Tvence. Tugi psi očesu je gostota najmanjšega enes-pijsSega tpSa, Si ga še eaknamo psi valovni golžim 565 nm, psi Satesi je oSo najho-j občutljivo, enalla pp-12 W/m2. Toga uho je v neSem poglegu emo-gljiverše og očesa: v večji mesi saeloči sestavine e eaeličnimi fsePvencsmi. OSo eaenn belo, če so v svetlobi zastopan e vge speStsalne basve ali samo sgeča in zelena a_li samo modro in rumena ... Uho pa loci zvena, t/ me mešanici honov, ce se ne ujemsSa po deležu sestovin z razlicnimi frekvencarüii. Pri svetlobi povezava med fizikalnim merilom in fiziološkim merilom ni odvisna od jakosti in jo podamo z mno samo krivuljo, relativno občutljivostjo ocesa. Pri zvoku pa moramo navesti obrise enake glasnosti za vec glasnosti. To je najbrž tudi razlog, da so fiziološko merilo pri svetlobi vpeljali drugace kot pri zvoku. Fiziološko enoto za svetilnost, kandelo, so celo uvrstili med osnovne enote mednarodnega sistema enot. Pri zvenih je smiselno za vsak ton uporabiti na- +5 o -5 -10 i -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 ; i a C /b a 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 SLIKA3. Podatkev merilnikuza glasnostv odvisnosti od frekvence pomnožimospopravkomA,dadobimoglasnostvdB(A), ki jeblizu glasnostiv fonih. Krivuljapribližnoustrezaobratni vrednosti obrisaenake glasnosti za40fonov.Tuditadia-gram jedvojno logaritmičen. Pomnožimo tako,dalogaritem prištejemo,delimopatako,dalogaritemodštejemo.Popra-vekCje boljravenindaglasnost vdB(C),karjeblizuglasno-stivdecibelih.PopravekBseredkouporablja.http://www. sfu.ca/sonicstudio/handbook/Sound_Level_Meter.html ved ene ugotovitve in prispevke sešteti po vseh zastopanih frekvencah. Podobno ravnamo pri šumih, ki imajo zvezni spekier. Veliko je še dodatnih zapletov. Udeleženci poskusov, pri katerih primerjajo glasnost za različne frekvence, pred poskusom ne-Zaj casa ne smejo biti izpostavljeni hrupu. Zvoki, ki jih primerjajo, morago trabati vsaj sekundo ali nekaj sekund. Zvok, ki traja mani casa, npr. 0,1 sekunde, se zdi manj gCasen, Enako velja za zvok, ki traja precej vec, npr. pet minut. Izidi se spreminjajo tudi iz dežele v deželo, za Japonce so npr. nekoliko drugačni kot za Evropejce. Obrise so dobili z udeleženci starimi od 18 do 25 let. Obcutljivost z leti namrec precej izrazito pojema. Te pejemapje z lrt- pestaja ser -zeaz-trjšr -p er pezpa pcerbpc pe- vrgj- frekvenc- (el-ka 2). Pe- frekvenc- 2000 Hz pe- 50--h let-h -zgub-me 15 ZB, kot Za b- er jakoet pe-bl-spe te-Zrertaeat zmapjšala, pe-75--h lrt-h 30 ZB, kot Za b- er jakoet t-eegaeat zmapjšala. Pe- ferJo-jc- 88000 Hz pe- 50--h lrt-h -zgub-mo 2o ZB, kot Za b- er jakoet stokrat zmapjš2la, pe- 70--h lrt-h pa grlo 60 Z B, k-ot da b- er jakoet ^l-l-jo^arat zmapjšala. PoZatrk, Zla el-šimo zvok Zo freavepge 20 000 He, je potemtaaem tetbil epjerjet- e pe-doSao^j. Vej pe-bbl-šno za mlaOe ljuZ-. Z lrt- er moja, ki je PRESEK4O(2012/20 13) I- 11 dokaj zabrisana, premika k vse nižjim frekvencam in se po 70-em letu premakne tudi pod 8000 Hz. To pri poslušanju radia ne moti veliko, ker lahko povečamo jakost. Bolj moti pri pogovoru dveh v množici ljudi. Soglasnike p, t, k, f, s prepoznamo predvsem po njihovih sestavinah z veliko frekvenco. Zato jih v starosti slabše slišimo, posebno ko se pogovarjamo v množici, in slabše razločimo. Pri pogovoru s sogovornikom se osredotocimo na zvok, ki prihaja iz dolocene smeri. To lahko dolo-cimo v smeri naprej celo na eno do dve stopinji na-tancno. Pri tem izkoristimo dva pojava. Prvi je zakasnitev, s katero odmik delov zraka doseže levo in desno uho. Pri tem mora biti valovna dolžina vecja od razdalje med ušesoma. V ta namen so uporabne frekvence, manjše od 1500 Hz. Toda v dvoranah pogosto prevladuje hrup z majhno frekvenco, ker se zvok pri odboju tem manj oslabi, cim manjša je frekvenca. Zato opisani pojav ni posebno uporaben. Uporabnejša je zakasnitev, s katero jakost zvoka doseže levo in desno uho. Pri tem ne moti uklon le, ce je valovna dolžina manjša kot razdalja med ušesoma. Uporaben je tedaj le zvok s frekvenco nad 3000 Hz. Ker ta zvok stari ljudje slabše zaznavajo, ne morejo izkoristiti tudi drugega pojava. Pomagajo si lahko tako kot naglušni ljudje, ki opazujejo ustnice govo-recega. Ali se vam ni zdela zgodba o decibelih, fonih in sonih precej zapletena? Pri tem niste osamljeni. Podobnega mnenja so tudi strokovnjaki, ki zato opu-šcajo glasnost v fonih. Pri tem jim pomaga dejstvo, da sodobni merilniki zvok mimogrede razstavijo na sestavine z različnimi frekvencami. Tako je mogoče z elektronskim vezjem upoštevati, da je uho za sestavine pri manjši frekvenci od 2000 Hz in pri vecji frekvenci od 4500 Hz manj obcutljivo (slika 3). Merilnik potem pokaže glasnost v dB(A), ki približno ustreza glasnosti v fonih. V tem primeru je bolje, da podatki niso zelo natancni. Tako smo na koncu bolje spoznali pomen kolicine, s katero smo zaceli prispevek o hrupu. Jakost zvoka j = |cp(2nvs0)2 = 2p0>/(cp). c je hitrost zvoka, p gostota snovi, v frekvenca, s0 ampli-tuda odmika, p0 = 2nvcps0 amplituda tlaka. Na slišnem pragu je pri frekcvenci 1000 Hz v zraku v navadnih okolišcinah s0 -1,1 ■ 106-11 m in p0 = 2,8 ■ 10-5 N/m2. Glasnost v decibelih je g = 10log(j/j0), log pomeni desetiški logaritem. XXX Uho ANDREJLIKAR - "V dolgem razvoju živih bitij so se čutila zelo izpopolnila. Za pgeživetje se pomembna, oaj bitju zmzgzčijz, da zazna nevarnzoi in najde hranz. Tz-krat oi v grzbem zglejmz, kakz kz°enoki oeoalri zaznavajo zvzkm. UsOroj in delovanje ušes ota °ri njih ^eoenetšjjva ^dzltna. Nakratere arste ao raat vte ohjh dz neverjeenrili meja. Tako se netz°irji e ozshišanjem odmevov lastnega glasu zelo titano no oaienthrojo in iščejo žužšlke, sovo v heiu ae vodt v pltnu njšgovo šnreblianjb v tiave alj pod snegom. Oe merjenje in prenoa zvokt uporabljamo mikro-ion. V nssm v ritmu zvočnih vatov niha tanka jeklene npna. Njeno nihanje st spremeni v nihanje električnt napetosti meO izhodnima žičkama, ki sta zvezani na Oelovni upor R. Zaradi nihanja opne se spreminja kaperitela ploščatega kondenzatorja, pri katerem je mpna ena plošča, druga pa je debela kovinokt plošča z luVnjičami, ki primerno dušijo nihanja membrane (slika 1). Napetost ie mikrofona lah ko v pr ikijuče-nih eleOtronskih napravah podrabneje obdelujemo. Naipogosteja jo le ojatimo in prenesemo do botj ali manj oddaljenega tvodnika, ki šo spel spremeni v zvok. Tedi eho gjtstjtze zae it z degtto Ve žico, imtoo-teno bobnic, oe Vettji jt pritrjene djokneVošojce -aiedivca liliVe 2). Te gjtVe neirotelca in stjtmtnce pjtdtsč dihenjt bobnics a notranjč eho. Ogni s Vo-šhicemi gjevijo v mtdiciai ijtdnjt erho, zenenjč eho ge ehlie in šlehovode do bobniče. Uho jt gjve sto-gnja gji jezgozoeveoje zvoke, Vi st ogjevi v vtliVi mčji v mojgenih. Ntieej gosle v ttj smtji ge ogjevi jjt- noljgnjč eho s ttm, de jezstevi zvok go fjtisvto-ceh in teka oh)dtlentg;e neto gjčnčlč v možgent go slešnem živce. Tojšenje uho tvorn ruiZd- polž, ia- ge nev-j v konti. Intolaged ge r tekoš-no, i- oe po fizileln-a lertnorjiji nelo podobne vod-. Ze op-r delovenge ge precej po- 12 šresev e-e i2c^t/l0š3) v membrana SLiKA 1. Zgradba in delovanje mikrofona. Sestavlja ga kondenzator (C), upor (R) in napetostni vir (U). Kondenzator tvorita tanka napeta opna (O) in kovinska plošča z luknjicami (P). Z nihanjem opne se spreminja kapaciteta kondenzatorja, to pa povzroča tok skozi upor in padec napetosti na njem. Opna niha v skladu z nihanjem tlaka v zraku. "r" izenačevalna cevka kladivce x=32 mm i nakovalce ovalna okence skala vestibuli skala timpani t bazilarna múmhnns okroglo okence bobnič membrana slušni polž zunanje uho srednje uho notranje uho Notranje uho tvori slušni polž, ki je zavit v ko SLiKA 2. Bobnič (B), kladivce (K), nakovalce (N) in stremence (S) tvorijo srednje uho. Stremence prenaša tresljaje v polž (P) preko ovalnega okenca (O). Slušni polž je polžasto zavita votli-nica, ki jo omejuje kost in je napolnjena s tekočino z lastnostjo vode. Bazilarna membrana deli polž na dva povezana dela. Polž smo razvili, da je slika bolj pregledna. Skala vestibuli je votlinica, ki se razteza na zgornjem delu od ovalnega okenca s stremencem do vrha polža, skala timpani pa je spodnja votlinica od vrha do okroglega okenca, ki z upogljivo membrano preprečuje, da bi tekočinastekla iz polža. enostavimo. Najprej ga v mislih razvijemo v ravno, ožeco se cevko, ki je predeljena s tanko membrano na dve povezani cevki, ki ju imenujemo skala vestibuli in skala timpani (slika 3). Membrana se namreč tik pred najožjim delom polža konča. Membrana je elastična in prenaša svoje nihanje na drobne slušne celice, ki posredujejo njeno nihanje preko vlaken slušnega živca v možgane. Membrani pravijo bazilarna membrana. Stremence pritiska preko ovalnega okenca na tekočino skale vestibuli, na isti strani skale timpani pa se tanka opna okroglega okenca upogiba v srednje uho. Dolžina razvitega polža Lp je le 32 mm. Ker je hitrost zvoka v vodi 1500 m/s, bi bila valovna dolžina tona s frekvenco 1 kHz, ki jo uho najbolj zazna, v njej dolga kar 1,5 m. To je krepko nad dolžino polža. Za večino frekvenc, ki jih uho zaznava, lahko zato obravnavamo slušni polž kot togo votlinico, ki je napolnjena z nestisljivo te- v (Hz) 2-104 2-103 - 2-102 - 2-101 x(mm) SLiKA 3. Lastna frekvenca bazilarne membrane kot funkcija lege x na logaritmičnem diagramu. presek40 (2012/2013)6 13 kocino, po kateri se širi zvok z neskončno veliko hitrostjo. Zaradi pregrade, ki jo tvori bazilarna membrana, nastane med skalama tlačna razlika, ki poganjal nihanje bazilarne membrane. Izracunajmo tiačno razliko vzdolž bazilarne membrane. Denimo, da niha stremeence harmonično z am-plitudo z0 in kotno frekvenco v0, torej ■ z(t) = z0 sin (v°t). Ker je tekočina v obeh skalah nestisljiva, mora sle-blti nihaoju stremenca. "Vsak del tekočine terej niha prav tako kot stremence. Sila, ki poganja del teko-Oine od mesta, ki je za x oddaljeno od stremenca da okroglega okenca, mora biti zaradi 2. Newtonovega zakona ■ F = m(x)a, kjer smo z m(xj aznacili maso opazovanegb dela tekocine, z a pa njen pospešek. Tlak na tem mestu je potem , , F m(x)a - p(x1 = s = —s-. Pospešek a hprmceeicno zpihajo^e tekocine _je pove-aap a amplitiido in frekvenco tako, kot pri nihalu, in sicer veljai ■ a(t) =-z0iVq sinco0t =-(v^z(t). Masa m(x) je aa cevko s konstantnim prerezom S kar sorazmernz a dolžino opazovanega dela tekočine l = L - x, kjer smo a L označili celotno dolžino obeh skal, ki je L = 2Lp = (Mmm. Prostornina obaaovanega dete tekočine je torej V{x) = (L - x)S, masa pa ■ m(x) = q(L - z)S. Tlalc vadhlž skal je torea m p (x) = g (L - x)v^z(t). Tlak torea enakomerno pada od stremenca do konca f>olža in še napTOm dn oproglega okenca, kjer jk aelo bliau mcle, sak se opna okroglega okenca podaja sko-raj brez tlaka. Razlika tlakov, ki poganja bazilarno membrano, torej prav/ tako enakomerno pada od naj- večje vrednosti p(0)do nič na koncu polža, kjer se tekočini v skalah stikata: ■ op{X( t) = g(LP - x)vqz(1;). Zaradi te tlačne raelike sen bazilarna membrana podaja. Membrana je elastična, njene lastnosti pa sue; veclelž membrane močno spreminjajo. Na začetku, ob ovalnem okennu, kamor je pripeto stremenče, je? zelo toga, poOem pa vse mehke, šo. Tudi njena debelina se spreminja, na začetku jn tenka, na konču pa poseaja vse debelejša. Z meajenji in računanjem se dognali, da .lev njena masa na površmsko enoto po dana z iznazom ^S = 0,770eKOxna, koefičient vzmeti kg (m s)' . Kon- na površinsko enoto p a -g = 2, l.lO^g-*** stanti v eksponente! imata vrodnosš Km = ŠCta— m ž = 210m-1, x pa enšo merimo ood stremenca prop koncu polža. Tak:a ^^z^jpeoii^i^d^ti^v mase in koeficienta prožnosti ]ir'i'^(ed(e do tl€sg5;El, da tahlao opremo Mza tamo membrano luot meeo^:i-max: (-)Lp ■ UJman I^alc!3^mEilna lirožina ^i^eelc^enca vmax ustreza tonom nž žgornji olišnš medi, šo je 20 kHo, minimalna otmln po ton om na spodnji meji, to je 20 Hz. Na začetku, ko eo x = 0, je lastna krožna erelovenca membrane oo(0j = comax, itr^fjti^ loncu polže, lloo je x j= L-, p= tii^foičla^^t oona^jjfia, coilp) = comin = ^kj (=lika4). n1:l-hak ;>o> tudi moono dušena, ne^lrlo onjan^ej kri koncu polžac Zžrždi tlžšnr razlika, ki nihž s frakvantn poslušž-nagž tnnž v0, sa tžko mnšnn ndznva la dal membrana, ažš tisti, ki ja ubržn nž to frakvantn. Nž sliki 5 ja arikžzžnih nakžj odzivov zž ržzlišna frekvenca. Zžrždi pndžjžnjž bžzilžrna mambržna sa spremeni tudi ^lž^nži ržzlikž vr skžlžh. Tegž lu na bomo pjo-drobnala obravnevžli, nž stiki ]ž je tv vpliv upošte-vzn. Tlak ntt slikžh earadi artglednoiti ni arikžzžn v pržpam merilu. Amalibudp nihžnjž stremenšž j a pri vrah trah frakvanšžh anakž, zžoetnž ictrTmininii krivu-jja tlakž )a bi moržjž lttiiti rhržzmernn z vb Nlill^nte iD^^^l^rna mambržnv f)j'e;n^^ír;^jo v ]:jlož:g;mee celica, ki ar s nžnkimi ^^ski rozaeOe ^eeci ]:neir^1^]jl^^rio jn t.i. tallnoria:lno ^ar:n::j1l]|la1no. (z=1d nihi^n,^u b3;azil;irn(j 14 i^fie^eek; r^O (2012/'201^) r kost 200 200 slušni živec 200 SLIKA 4. Nihanja bazilarne membrane pri nekaj frekvencah. Dušenje membrane je za visoke frekvence nekoliko manjše od dušenja, ki ga pričakujemo od instrumentov, proti nižjim frekvencam pa nekoliko pojema. Računali smo s konstantnim dušenjem. Krivulje tlaka zaradi preglednosti niso narisane v enakem merilu pri vseh treh frekvencah. Amplitude nihanja membrane so podane pri konstantni amplitudi stremenca. Potemnjeni del prikazuje amplitudo nihanja v odvisnosti od kraja, pikčasta krivulja pa podaja odmik bazilarne membrane od mirovne lege v trenutku, ko smo zajeli krivuljo tlaka. SLIKA 5. Prečniprerez cevkeslušnegaLolža.V arednjem žela je pri-Sazan Ceaaijevornan,či omogoča pLeeežLreseppaŽLzilecsg memLračeča ceSceelaski.OrsaezpgježjLm v obliki arčžA ¡mpečežo zprzpbovvdolžežlčtneeolžpseecčvii membnavz czticz aOeivievja vjihavč tasOož, Oi nihajo pvevdž inzdjszbe>jnoga senCžvzgv g-bonja obeh pzp-bevv (atžka €>i_ Morda preseneča, da se znatno odboae zelo ve-ans dol bazilarne membrane na ton z eno samo fre-kaenco. Pred oči nam stopi črtast spekter, ki ga imajo toni inpričakujemo, da se bo ton b polžu preslikal na bjhanje bazilarne membrane na podoben način. To utrjuje še dejstvo, da lahko glasb eno nadarjeni Oju-dje ločijo med tonoma, Ui se po frekvenci ločita le za nekaj nihajev a kekundi_ Zavedatr pav se moramo, Ua ie uhb le prva stopnja pri zoznavi tonov. Mnogo, na način, ki ga še ne razumemo v celoti, priopevajo možgano Bazilarna membrana bi se aičer lahko odzvala v mnogo objem pasu, če bi nihala manj dušeno. Uri razpoznavanju zvoka pa bi bila to ovira> saj bi se mombrana tresl a tudi po tem, ko zvoko no bi bilo več. krav taba bi kratkotrajne tone slišali slabše kot aone, ki brajajo dlje časa. Vse pa kažea da na (Sušenje bazilarne membrane aktivno vplivajo na določen tok uglašene čeliče z laski tako,da se v pravjlnem ritmu trčijo an raztezajo in s tem močno ojačijo nihanje bazilarne membrane prav v področju največjega pasivnega odmika. Rečemo lahko, da se dušenje na mestu, kjer je nihanje membrane največje, za trenutek zelo zmanjša, morda čelo vzbuja nihanje, namesto da bi ga zaviralo. Uho je tati glete občutljivosti ikretea ibstrameat. Slišimo še toae s frekvenco 1 kHk ia gostoto eaer- 18 TO__ iS 5 tt PRESEK 40 (2012/2013) 6 15 iv y Nagradna križanka 16 presek 40 (2012/2013) 6 pločnik največji pritok krke 12 telesna preobčut- epdtski kralj kraj pri bovcu elton john dvojica zadnji soglasnh in samoglasnik naslovni junak opere jakova gotovca voda vtrdnem stanju severno-amefušig družabni ples barvit svetlobni pojav na nebu tanjše beblo z« napeti verigo pri vozu gospodar mehiški rockovski kitarist (carlos) rimska 1000 junakinja schwarz-koblerb visoške kronike reka v švici atlantski pakt tir za smučarski tek podredni veznik zdravilna rastlina neceučni mikroorganizmi mali oplov terenec odmik stran nemški otok v sev. morju 10 prodorno elektromagnetno sevanje 0MFA violinistka bukovec naš nogometni trener (matjaž) pevec smolar delec snovi naša pevka (iva) prebivalec alpske doline ob soči TOČm gorivo 11 kotel na vrhu vulkana uživalec hrane fr. fizik in astronom (dominique) najdišče VSyETl deželi maškara iz vzhodne slovenue košarkar drabč 16 atletski klub T! rt na :h. obau ;panue pevka žnibarič žuželka, kipiči azijski veletok lepotna zmagovalka zgoden jutranji milujo-ninka metra luc menaše otok ob obali sardinije 15 0MFA naša vater-pousta (matej injure) NACRADNi RAZPiS • Črke iz označenih polj po vrsti zapišite na Preseku priloženo dopisnico, dodajte tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopisnico pošljite na Presekov naslov (poštnina je že plačana) do 01. avgusta 2013, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo za nagrado prejeli Presekov paket. _ XXX presek 40 (2012/2013) e 17 15 IX > Ol ■o IX gijskega toka 10"12 W/m2, pri katerem nihajo deli zraka le za del polmera molekul. Tolikšna občutljivost je na meji, da bi slišali motnje zaradi termičnega šuma v polžu. Mikrofoni le s težavo sledijo ušesu, ko gre za zelo tih zvok. Opisano ojačevanje v polžu gotovo pripomore k tolikšni občutljivosti ušesa. Celice z laski se v ušesu ne obnavljajo. Prevelik hrup lahko te celice onesposobi tako, da se laski potrgajo. To vodi v gluhost, ki se je ne da ozdraviti. SLIKA 6. Celice z laski se vzbudijo, ko medsebojno strižno nihata ba-zilarna in tektorialna membrana. _ XXX www.presek.si www.dmfa.si www.dmfa.si Razmisli in poskusi XXX ^ ^ MITJA ROSINA -r PREGLED VPRAŠANJ iN NALOG Dragi misleci iv poizkuševalci! V prejšnjih Presekih se je zvrstilo že mvogo zgledov iz vsakdanjega življenja, pa tuRi nenavadnih pojavov. Škoda bi bilo, ce bi potonili v pozabo. Marsikatere ste preskočili, pa jih lahko še vedno poiščete v starih številkah Preseka. Ce pokukate v odgovore, lahko sami tudi po svoje razmislite in poskuse dopolnite. Veseli bomo, ce nam boste poslali svoje rezultate v uredništvo Preseka. Pojavi okrog pes pes vedno znova presenečajo! Zgledi, označeni z *, pa predstavljajo poseben izziv, saj nanje še nismo objavili odgovorov. Časa za razmislek iv poizkuse bo med počitnicami več kot dovolj. Vabljeni k razmisleku iv poizkušavju. 1. [33, št. 1, str. 20] Ali lahko premakneš roko z večjim pospeškom, kot je pospešek prostega pada? Spusti svinčnik in ga poskusi ujeti! 2. [33, št. 1, str. 20] Ali lahko brez opeklin zdržiš temperaturo peR 1000° C? Zamahni s prstom skozi plamen sveče! 3. [33, št. 1, str. 20] Kdaj te napetost 10000 V ve ubije? Počeši se! 4. [33, št. 1, str. 21] Ali v jasvi voči vidiš žarnico va Krvavcu? Kot zvezdo prve magnitude - če ne bi bilo svetlobnega onesnaženja. 5. [33, št. 1, str. 21] Aleksander Veliki je v puščavi razlil vrč vode. Koliko molekul te vode je daves v tvojem kozarcu soka? 6. [33, št. 1, str. 21] Kako ribi uspe v divergentnem toku mirovati glede va breg? Ce prehiti, jo hitrejša voda odnese nazaj. 7. [33, št. 1, str. 21] Ali se les močno poda pri tlaku (108Pa)? Zbodi s šivanko, pa boš videl, da ne. 8. [33, št. 1, str. 21] Ali lahko napihneš balov va tlak, ki je za 10000 Pa višji od zunanjega? Poskusi pihati s cevko v en meter globoko vodo! 18 presek 40 (2012/2013)6 9. [33, št. 1, str. 21] Ali lahko poženeš zrak na nadzvočno hitrost? Zaploskaj! Potisnjeni zrak požene sunek zvočnih valov - pok, toda ne doseže zvočne hitrosti. 10. [33, št. 1, str. 21] Zakaj se oblak ali megla ne spuščata k tlom? Saj se, vendar počasi, kak meter na uro. 11. [33, št. 5, str. 9] Ali lahko dosežeš mehanično moč ene konjske moči (750 W)? Stopi na mizo! 12. [33, št. 5, str. 9] Kolikšen navor zmoreš pri su-kanju izvijača ali svedra?Zavrtaj izvijač v dolgo pravokotno palico in poskusi! 13. [33, št. 5, str. 9] S kolikšno močjo greje mikrovalovna pečiča? Na naši mikrovalovki piše 600 W. Ali verjameš vse, kar piše? Izmeri čas, potreben da zavre kozareč vode! 14. [33, št. 5, str. 9] Sobo prijetno grejemo s pečjo 1kW. Koliko ljudi mora biti v sobi, da peč ni potrebna? Upoštevaj, da vsak oddaja kakih 100 W! 15. [33, št. 5, str. 9] Kako visok jez bi morali postaviti v Zidanem Mostu, da bi s hidroelektrarno nadomestili jedrsko elektrarno Krško (700 MW)? Ali bi potopili Ljubljano? 16. [33, št. 5, str. 9] Koliko avtomobilskih akumulatorjev s 60 Ah bi potreboval avtomobil na električni pogon z močjo 50 kW? Oceni, ali bi bili težji od avta! 17. [33, št. 5, str. 9] Iz magnetkov v obliki krožnih ploščic ali palčk sestavi verigo, mnogokotnik in druge like. Katere oblike so stabilne? Malo se igraj! 18. [33, št. 5, str. 9] Ali ima večjo navidezno velikost Sonce ali Luna? Pomisli na soncev mrk! 19. [33, št. 5, str. 9] Knjige v direktni sončni svetlobi niti ob polni Luni ne moremo brati. S primerjavo z osvetlitvijo z znano žarnico na raznih razdaljah oceni osvetljenost Zemlje opoldne in ob polni Luni! 20. [33, št. 5, str. 9] Ali je mogoče na Plutonu brati? To bi bilo večerno branje ob luci. 21. [35, št. 1, str. 15] Kako daleč lahko sega kupček kart preko roba mize? Ali uspeš naložiti 10 ali celo 20 kart? 22. [35, št. 1, str. 18] Trenje navite vrviče. Zakaj lahko obesiš na škripcu na eno stran veliko težjo utež kot na drugo? 23. [35, št. 1, str. 18] Zakaj britviča plava? Koliko sme biti težka? 24. [35, št. 2, str. 12] Murphyjev zakon. Tudi po Newtonovem zakonu se kruhek pri padcu obrne. 25. [35, št. 3, str. 15] Ali je papir prožen? Je, ce ga ne zvijemo prevec; sicer se pa nepopravljivo zmecka. 26. [35, št. 4, str. 18] Stisljivost snega. Pomisli, da je v snegu večji volumen zraka kot vode; en meter se sesede do 20 ali celo 10 centimetrov. 27. [35, št. 5, str. 18] Za koliko bi se spremenila gladina morja, ce bi se ves arktični led stalil? Koliko se dvigne voda v kozarcu z ledom! 28. [35, št. 6, str. 19] Ali lahko skuhaš čaj na sveči v papirnatem kozarcu? Da! 29. [36, št. 1, str. 22] Gugalnica. Zakaj v smeri naprej noge stegneš, v smeri nazaj pa jih skrčiš? 30. [36, št. 2, str. 15] Kako deluje javorjevo seme kot propeler? Primerjaj ga s helikopterjem! 31. [36, št. 3, str. 19] Kako se vesoljec tehta? Na vzmetni tehtnici izkoristi vztrajnost, ne pa teže. 32. [36, št. 4, str. 15] Kako se vesoljec obrne? Ali se tako kot ti, ko lebdiš v vodi? 33. [36, št. 5, str. 20] Kako mocno dežuje? Za kvantitativno oceno štej število kapljic na m2s. 34. [36, št. 6, str. 15] Spekter morskih valov. Ali je res vsak sedmi val mocnejši oz. šibkejši? 35. [37, št. 2, str. 20] Hoja po hlodu. Po kako debelem hlodu uspeš hoditi? 36. [37, št. 4, str. 22] Brenkanje na elastiko. Umeri oz. uglasi tako „glasbilo"! 37. [37, št. 5, str. 19] Zaigrajmo s kozarci! Z dolivanjem vode uglasi tako „glasbilo"! 38. [37, št. 6, str. 22] Odboj vrtavke ali žoge. Razloži, zakaj se pri namiznem tenisu „rezana" žogica cudno odbije! 39. [38, št. 1, str. 21] Lok in fraca. Oceni pro-žnostno energijo in ugotovi, koliko se je spremeni v kineticno! 40. [38, št. 2, str. 19] Zakaj slamnata streha drži vodo? Pomisli na površinsko napetost! 41. [38, št. 3, str. 15] Borromejski obroci. Izdelaj tri med seboj prepletene obroce! 42. [38, št. 5, str. 22] Kako hitro se svincnik prevrne? Tudi ce ga pazljivo postaviš navpicno, ne zdrži niti sekunde. 43* [38, št. 6, str. 19] Ali so „varcne žarnice" zares varčne? Sam imam raje diode. 44. [39, št. 2, str. 20] Guncanje. S katero silo nadoknadiš izgube zaradi trenja? 45. [39, št. 3, str. 18] Opis barv s tremi barvnimi koordinatami. Dandanes je zelo lahko sestavljati barve, kar na računalniku. 46. [39, št. 4, str. 20] Stopinje in tračnice v snegu. Pošljite nam kako trofejo s preteklih zim! 47* [39, št. 5, str. 19] Preprost kompas Vzemi na- presek 40 (2012/2013) 6 19 magneteno šivanko, ki plava na vodi. 48* [39, št. 6, str. 21] Kako najbolje ohladimo prevroč caj? Prelij ga, toda kdaj? 49. [40, št. 1, str. 12] Slapovi in tolmuni. Kako visok mora biti slap, da se bo voda segrela vsaj za eno stopinjo? 50* [40, št. 2, str. 18] Kakšna skladovnica iz ploščic je stabilna? Nariši sile in preveri ravnovesje sil ter navorov na slikah v članku! 51* [40, št. 3, str. 15] Kako visok stolp iz kock lahko zgradiš? Poskusi, ali imaš tako mirno roko, da dosežeš več kot en meter! 52* [40, št. 4, str. 14] Ali led plava na alkoholu? Ce ga dovolj razredčiš. 53* [40, št. 5, str. 11] Geometrijsko središce Slovenije. Izreži zemljevid, podpri ga z bučko in preveri, ali je tam res Slivna nad Vačami! _ XXX Poizkuševalnica in poizkuševalci SLIKA 1. Voda v kozarcu deluje kot leča. Knjige v ozadju, ki jih opazujemo skoznjo, vidimo prezrcaljene čez navpično ravnino [1]. MOJCA ČEPIČ • Dragi bralci in poizkuševalci V šolskem letu 2006/2007 smo se v uredništvu PRESEKa odločili, da vpeljemo novo rubriko, poimenovano POIZKUŠEVALNICA. Slovar slovenskega knjižnega jezika te besede ne pozna, seveda pa ni težko uganiti njenega pomena. Rubrika je namenjena mlajšim, pa tudi starejšim bralcem PRESEKa, ki radi sami preverjajo, kaj se dogaja ob različnih pojavih v naravi. Sestavljajo modele dogajanj v naravi,ob njih načrtno spreminjajo posamezne vplive ter ugotavljajo različne povezave med načrtno narejenimi spremembami okoliščin in njihovimi posledicami. Tako aktivnost v znanosti in poučevanju imenujemo poskus, poizkus ali eksperiment. Od tod tudi ime rubrike. Rubrika je zastavljena na naslednji način. V eni številki je zastavljena naloga, predstavljena kot enostaven poizkus, ki ga lahko braleč izvede v kuhinji, dnevni sobi, kopalniči ali na vrtu. V (praviloma) naslednji številki so predstavljeni rezultati takega poizkusa, ki so ga izvedli avtorji, skupaj z razlago in morda nekaj novimi poizkusi, ki dogajanje dodatno osvetlijo. V nalogah smo se posvetili različnim področjem fizike in naravoslovja. Pri sestavi nalog so sodelovali štirje avtorji: Mojca Cepič, Ana Gostin-čar Blagotinšek, Gorazd Planinšič in Nataša Vaupotič. Pri pripravi poizkusov sta pogosto pomagala Gregor Tarman in Goran Iskrit:, za koordinačijo rubrike pa je skrbela Mojča Cepič. Teme so bile različne. Namig za večino med njimi je nastal ob vsakdanjih dogodkih, ob dogajanjih v naravi ali pa smo se posvetili izvedbi nekaterih splošno znanih in zanimivih poskusov. Relativno velik delež poizkusov so bili najrazličnejši poizkusi s svetlobo. Ogledovali smo si različne poslediče loma svetlobe (slika 1, [1]) in odboja svetlobe (slika 2, [2]). Ogledovali smo si tudi bolj eksotične zadeve, npr. ukrivljenosti vodne povr- 20 presek 40 (2012/2013)6 l;i^C:]jjja rr ^i;1o mti>jjinijjn ]rrosfij^l(an>tonct lto]:jlojneJ;;;č ]rtt;djte;i;c]il|a), Ci so u^jc i^narlatona^jTjo sje^^Sro piocieib^ nih ^liočei.^. IC;^n.as lelsšuo ^.5=janCoSolž::ufí ^č:ve]^(íCo č ]es^e,ji ei i-olaitji, ^ ieim^it ^n poveCali c)olž^(3 (3^nj)anico d1 E K -jg; M E R 0 v I N G T ■'S pr Ž I R X s A T I N I 'w Í m N "5" R T C E ra A S A TT ŠE ¡¡j H p A l ess Tsar e š "l e D 0 ¥ A T •s* # G A n T b a R 0 N A "T w V L n A T T N 0 G X f 0 N s. jSL U R T T i i R "0 D E SE JL 0 b A S t 0 š K 0 T e 0 0 R J A K - C i l i n d E r S H t A R SB S i V K 0 v x Č N T a G a r a ■SET i t A I J A ft X v i l a K J 0 t 0 MS A L e K S I A C is J e ¥ i¿S¡£ Š e Ji T J A K 0 b a e t T J n k a t e t A sss K S SS A V a as a M s Z d R A h A rešitev NAGRADNE križanke presek 40/5 • Pravilna rešitev nagradne križanke iz pete številke 40. letnika Preseka je Računanje točnih vrednosti. Izmed pravilnih rešitev smo izžrebali Predraga Grujica iz Zagorja, Žiga Mavrarja iz Grahovega ob Bači in Anko Dudaric iz Celja, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX presek 40 (2012/2013) 6 25 Vizualna kriptografija -Šum skrivnosti MARTIN PEČAR • Predstavljajte si, da izhajate iz rodbine kapitanov Sinjebradcev, ki so jim legende pripisovale bajna bogastva. To bogastvo pa žal vas ni doseglo, saj je eden od Sinjebradcev, kot zgleden gusarski ka^ta^ zaldad namesto v sef švicarska banke za-lcopal v nedrja zemlje enega od otokov. Na sreco pa na podstresju najdete del zemljevida... Najprej si oglejmo, s cim se sploh ukvarja kriptografija. Pošiljatelj (Sinjebradec) ima sporočilo, polno skrivnih informacij, zato ga po šifrirnem sistemu za-šifrira (raztrga zemljevid) in dobi tajnopis. Ta tajno-pis pošlje naslovniku (svojim potomcem), ki ga od-šifrira (zloži kose1 zemljevida) in prebrre sporočilo. Ves čas pa na tajnopis prežijo tudi napadalci, ki bi se radi dokopali do skrivnih informacij ali pa naslovniku podtaknili lažne informacije. Krlptografi pa so tisti, ki tekmujejo v sestavljanju in izboljševanju šifrirnih sistemov ter iskanju napadov na te sisteme. Vsi šifrirni sistemj, ki se zanašajo na računsko varnost, temellijo na tem, da po dolocenem sistemu „premešajo" informacijo oz. tposocilo, Kljuc imenujemo podrvke (parametjpj, ki v okviru danega šifrirnega sistema (algoritma) natancno Volocajo, kako iz sporocila narediti tajnopts in kako potem vrniti premešane informacijo oz. tajnopis v jsrvoVno obliko. Kljuv se obicadno precej krajši od sporoiila, vistem pa je jem brSsši, cim veS možnih kljucev mora napadalec preizkusiti na voti do rešitve. Ob tem je smiselno upoštevat. Ktrdkroffov prmcip, ki predpostavlja, da napadalec pozna uporrbljeni Sjfrjrni aistem, ne pa tudi kljuna. Napadalec ve, kdaj je prišel na cilj: ko ima tajnopis, razvozlan po dolocenem sisdemu, 26 presek 40 (2012/2013)6 računalništvo slika 1. Zem lj evitdotc^ka SLIKA. 2. r^žec ozr^a^^uje s kriti zaklad smiseln poman, ja to zalo verjetno izvorno sporočilo. Verjetnost, da bi dobil smiselno, a napačno sporočilo, je neznatna, če je le tajnopis dovolj dolg. Mogoče je pokazati, da je pri sistemu, kjer vsako črko nadomestimo z neko drugo črko oz. zamenjamo abe-čedo, za angleško sporočilo potrebna dolžina približno 25 črk. Vrnimo se k zakopanemu zakladu. Če je najdeni del zemljevida dovolj velik, boste lahko prepoznali otok. Na najdenem delu pa žal ni označenega mesta, kje točno je zaklad zakopan. Gotovo bi vam skrito bogastvo prišlo zelo prav, zato lahko vzamete kramp in lopato, se odpravite na otok ter ga vsega preko-pljete. Kriptografibi to imenovali napad z grobo silo, saj morate v okviru informačije, ki jo imate (uporabljeni šifrirni sistem oz. ime otoka), preizkusiti vse možnosti (uporabiti vse mogoče ključe o z. prekopati vsak kvadratni meter). Če boste problemu namenili bovolj najlepših let svojega življenja, boste zaklad prej ali slej našli. Vsi, ki želite zakopati zaklad na skrivnem mestu, pa lahke iskalcem Ve bolj otežite delo, ce boste le prebrali nadalievanje Članka. Seveda pa ga lahko preberete tudi lo iz radovednosti. Ker nismo gusarji stare šole, bomo zemljevide namesto na pergament risali na prosojnice. Neuki Si-njebradec bi zemljevid na prosojnici verjetno narisal takole: na eno prosojnico sliko otoka, na drugo pa križec, ki oznacuje zakopani zaklad (slika 1, slika 2). Kž pržsžjnizi poravnamo lo prebrijemž, ja sbrie-nžst razbrita. Tudi eetbt pržsžjoiza atea razbrije nekaj ioform2zije. Tabž nam prea razbrije, na bata-ram žtžbu nas zaba aablad. V nadaljevanju se bžmž naučili, kako prosojnici porisati tako, da z vsake po-dvbvj nihcv nv bo mogvl pridobiti nikakršne informacij v, obe skupzj pa bosta razkrili skrivnost (dako-pvaoč 0 + 0 = 1). V prvjšnjvm stolvtju so sv kriptografi domislili, kako ineormacijo zakriai tako, dk jv brez kljuZa nihcv ta bo mzgvl razkriti. V lariptkarEifiji tvmu pravimo pepoZnp varnoat. Dosvšvmo jo tako, de informacijo "zlijvmo" s povsvm nekljucnjmi podatkL Tako onv-mogocimo napadalcv, saj morajo lv-ti tdstraniti ne-pljucnv podatkv, s cimvr pa lahko dzbijo povstm trugacno sporocilo (primvr a). Ob danvm tajnoplsu jv vea(ct sporocilo istv doliinv vnako vvrjvtno. V taj-nopiau lahko najdvi, akr]akld Iš^ta, zato ni vvc samo tnv smisvlnv rvšttvv. Tajnopis pa odšzfriramo taPo, da odstranim o prvj d odanv oakljucnv podatkz. Primer 1. Pravi kljuc jv kljucnvga pomvna, cvtudi jv nakljucen. k r u h = P (1. sporočilo) v i n o = P1 (2. sporočilo) a s k f = K (1. ključ) n b s ž = K = K + P - P (2. ključ) l k h o = C ( tajnopis) l k h o = C ( tajnopis) V poimeoa 1 se zlivanje istzležnih cok (navpično) presek 40 (2012/2013)6 27 izvede kot seštevanje zaporednih številk crk v abecedi ('k' + 'a' = 'l', saj je 12 + 1 = 13), kjer se ta ciklično ponavlja (za ,'ž' pride spet 'a'). Ce napadalec prestreže tajnopis C, ne more dolociti sporocila, ker sta oba kljuca K in K' (s tem pa tudi sporocili P in P') enako verjetna, saj sta nakljucna. Kdor pa pozna kljuc, lahko odkrije sporocilo tako, da od tajnopisa odšteje kljuc. Najvecji problem pri tem šifrirnem sistemu je dolžina kljuca — kljuc je enako dolg kot sporocilo samo. Pri drugih sistemih je kljuc obicajno bistveno krajši. Pri enoabecedni zamenjavi je potrebno npr. poznati le zamenjavo za vsako crko, pa lahko s temi manj kot 30-imi podatki zašifriramo in odšifriramo celotno knjigo. Opisana shema za dosego popolne varnosti se imenuje enkratni šcit (angl. one-time-pad), saj kljuc kakor šcit prekrije podatke, uporabimo pa ga lahko samo enkrat (tudi vitezi so morali polomljene šcite zamenjati). Ce bi ga uporabljali veckrat, bi napadalec lahko podtaknil njemu poznano sporocilo P, potem pa iz prestreženega tajnopisa C izračunal kljuc K = C - P. Ce je ključ razkrit, sistem ne ponuja nobene varnosti več. Vemo, da vsako sporočilo lahko zapišemo v dvoji-škem zapisu, torej kot zaporedje ničel in enic. Prekrivanje z enkratnim ščitom se v dvoeiškem zapisu na istoležnih bitih izvedekot dvojiški izeZ/ušnj (ek-skluzivni) aliXOh (tabela 1). X0R 0 1 0 0 X 1 1 n ou 10 1 0 0 1 1 1 1 rabimo operacijo navadni ali OR (tabela 2). Na ta nacin slike zašifriramo, ko pa jih odšifriramo, so malce spremenjene, a še vedno prepoznavna. Najpomembneje pa je, da je vizualna kriptogra-fija po sistemu enkratnega šcita podedovala popolno varnost. To pomeni, da napadalec ne more prepo-znaii zašifrirane elike, cetudi ima še tako veliko časa in racunske moci. Slaba str an popelne var nosti pa je, da je kljuc prav tako delg (obsežen- iot samo sporocilo; zaradi tege ni bistvene razlike medkljucem in zašifriranimrporoiilem (primerjaj sliko 3 in sliko 4). Poglejme si idejo malce podrobneje: slikobomo razstavili na dve razlicni, a enako veliki dalni sliki jslika 3, slika 4). Vrako tecko (angl. pixel) originalne zlike bomo na obeh delnih slikah na istoležnih mestih nadomeseili s plošcicama, ki imaia eno polovice belo, drugo pa crno (tabela 3). Na prvi delni slig) bomo p^šcico obrnili nakljucne, na drugi pa bo njena leea odvisna ob barve originalne tec je in lege prve plošcice. Ce je bila originalna tocka bela, bo lega druge plošcice enaka legi prve, sicer pa jo položimo zrcalno. Z malo razmisleka ugotovimo, da sta legi obrh plošcic nakljucni, saj smo za prvo to privzeli, drugo pa smo položili glede na prvo, ki leži naklju-cno. Dešifriranje peteka nejejije drugače. Predrlaa-ljajme r), da mreže pieščic narišeme na prerejnice, Tate pa, če je pleščica (ea. njen del) črna, urlreza-ječi del na prerejnici pebaraame r črne barae. Petem ebe prerejnici prearijeme. Kjer je bila araj ena ed prerejnic pobarvana, aidime črne, drujjje pa je prerejne. Kjer re prekrijeca enake ebrnjeni pleščici (npr. praa a agernji arrtici in druga a rpodnji vrstici sivo. Kjer pp se prekrijeta razlicco obrnjeni ploščici TABELA P TABELA 2. Izključni ali Ali Izvorno sporočilo razkrijemo tako, dč tajnopis še enkrat prekrijemo s Cljučem, saj je pri dvojiškem zapisu seštevanje enako odštevanju. Leta 1994 sta se znana kriptografa A di Shamir, so-tegajpltelj sistema pavne kriptografije RSA, in Moni Naom domislila vinualdn kriptografije. Ideja je podobna ennr atnemu ščitu, le d a nomesto zaporedja bitov uporabimo ravnino, tlakovano s dirnimi in belimi nloščičami, ki predstavljajo vrednouti bitov. Poleg; tega pa namesto operacije 'izključm ali' (XOR) upo- oe^etnoct p = 0.5 p = o.s na prvi aelni sliloi 1 i originalna slika črno | belo črno belo nadrugidelnisliki okc) ao D [J TABELA3. Po shemi točko zatočkopostopno gradimo delni sliki tabele 3), tam oko majhno crno-belo polje vidi kot 28 presek 40 (2012/2013)6 SLIKA 3. Prva delna slika SLIKA 4. Druga delna slika SLIKA 5. Zlita slika oziroma prekriti delnislikiraz-krijeta skrivnost SLIKA 6. Originalna slika (npr. prva v zgornji vrstici in prva v spodnji vrstici tabele 3), pa vidimo crno polje. Torej: originalno pliko razbijemo na dvr enako veliki delni rliki, na katerih je vraka tocka naključno bela ali crna (to imenujemo šum). Ko obe delni sliki prekrijemo, zagledamo skrito podobo. Ta podoba ie malce spremonpsna (slika 5), saj tam, kjer so bile na originalni sliki bele ploščice, dobimo napol crne. Če so plošcice dovolj majhne, oko napol crne plošcice vidi kot sive. Torej iz crno-bele slike dobimo crno-sivo sliko. Kljub tej izgubi kontrasta so enostavne slike še vedno prepoznavne. Opisali smo osnoano idejo vizualne ksiptogsafije. Kmalu pa so se začele pojavljati nadgradnje te zamisli. Psao sta podala že Naos in Shamis a saojem članku. Kako zašifsisati sliko, ki ni le čsno-bela, ampak asebgje tudi siae tone? Možen odgoaos je: gpo-sabimo oksogle ploščice. Na psai delni kliki ploščico zaastimo za naključen kot. iN a dsggi delni sliki jo moložimo enako, če je osiginalna ploščica bela (pse-ksiti psosoknici bi pokazali napol čsn ksog), naspso-tno, če je osigmalna ploščica črna (pseksiti psosoinici pokmžeta čm ksog), in ustsezno zaasteno (psosojnici pokažeta ksoga katesega aeč kot poloaica je čsna) ob uotoezno siai ploščici (tabela 4). Na ta način dobimo noao psostostno stopnjo (zaezne tone sipine) z (pae- znim) vrtenjem plošAUc. Žal pa je ta način, čeprav zelo eleganten, precej nepriAleden za izvedbo s pomočjo rečunalniAa, zato so nove ideje zelo dobrodo-Ale. prvidnl Al^lz¡del O o ® TABELA 4. Okrogle ploščice nam omogočijo šifriranje sive slike Deljenjeskrivnosti Vizualna kriptografija je tesno povezana s podčo-Zjem deljenja skrivnosti (glej Zlanek [1]). Spomnimo se zopet kapitana Sinjebčadca; imel je tči sinove in namesto aentnega vačZevanja jim je namenil del na-čopanega bogastva, lei ga le po stači gusačski šegi zakopal. Bal pa se je pčetičanega pohlepa sinov. Keč pe želzl oličaniti vsdj nekaj dčueinske sloge, naj lbi pči izkapavanju zaklada sodelovala vsaj dva bčata; en sam sc ne bi mogel polastiti vsega bogastva. Zato je jpčoti konzu Zlenka že bolj kIiztogčafsko sešZ) ka- presek 40 (2012/2013)6 2 9 računa lništvo pitan zemljevid razdelil na tri delne slike na prosoj-nicah tako, da se skrivnost razkrije, ko sta prekriti vsaj dve delni sliki. To je t. i. shema 2-od-3. Možno je skonstruirati tudi bolj zapletene sheme, ki so sestavljene iz vec delnih slik, med katerimi so lahko nekatere bolj, druge pa manj pomembne. Oglejmo si preprost primer konstrukcije sheme 2-od-3 (tabela 5, tabela 6). Ko gredimo tri delne slike, ze vseko točko uporabimo tabelo 5, ce je tocke ne originelni sliki črne (ime vrednost 1), oz. tebelo 6, ce je tocke bele (ime vrednost 0); stolpce izbrene tebele nekljucno pre-mešemo, vrstice premešene tebele pe zeporedome predstavljejo ploščiee ne posemeznih delnih slikeh (slike 7). Enostevno povedano: ce je originelne točke bele, so na delnih slikah istoležni kosi ploščic enekt, 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 □E TABELA5. Šifriranječrne točke. TABElA 6. Šifriranje Eele Točke. slika7. Ploščica,kipresta-vlja drugo vrstico tabele5(010). [2] D. Stinson, Visual cryptography & threshold schemes, Dr. Dobb's Journal, april 1998, 36-43. _ XXX www.presek.si www.dmfa.si www.dmfa-zaloznistvo.si xxx čk pe jk Aile Trne, se istolkžni kosi razlikujejo. "V vsakem premkru pa so naključno rezporkšknš. Tu gre po eni strani ze varnosB (vsake ploščfce ne dklni sliki jk 1/3 Ttne), po Arugi pe za kontrast. Čk prkkri-jkmo ploščici ne dklnih slikah, ki prkdsOavljata originalno Ael o točko, nemrkč doAimo 1/3 Trn o ploščico, čkpa prkdsOavliata originalna črno totrkno, doAimo 2Š3 črno ploščico - kontrast jk 1/3. Pocirolsnkjšk ne-petkk jk moč najti v članku [2], (dlenki o Aarvni vizualni kriptografiji in drugih zanimivostih pe so dosk-gljivi tudi ne splktu z iskanjkm po ključnih Akskdah visual cryptography in secret sharing. Čk Ai kapitan SinjkAradkč rkdno Aral Prkskk, Ai gotovo vkdkl, kako doskči popolno vernost ze svojk skrivnosti. Morda pe Ai ga Arenjk teko prkvzklo, de Ai mu zmanjkalo časa ze gusarskk podvigk. Literatura [1] A. Jurišic, Kako deliti skrivnosti, Presek 29 2002, 6, 358-364. sLiKE K CLANKu pregled prispevkov ¡f*-^ v 2. 1 3. r ~ . t3s? -- 30 presek 40 (2012/2013) 6 Pregled prispevkov ^ ^ ALEŠ MOHORIČ • Če hodimo naokoli z odprtimi očmi, lahko na vsakem koraku opazimo čudeže narave. Nekateri med njimi so tudi lepi, prav vsi pa so osupljivi. Če le morete, jih ovekovečite s fotoaparatom. Slike opazujte z „odprtimi ocmi". Oglejte si skrivnosti, ki jih kaže, in poskušajte razumeti vse pojave, ki pripomorejo k njenemu nastanku. Tako se vam bo odprl čudovit svet naravnih zakonitosti. V tokratni rubriki vam namesto ene fotografije z njenim opisom ponujamo izbor nekaterih fotografij iz starih številk. Takole skupaj na enem mestu, vam mogoče še bolje pričarajo pisanost pojavov okoli nas. slika 1.-17. 1. Pojav sončnega stebra, ko se svetloba odbija na drobnih kristalih ledu v ozračju. 2. Buča napolnjena z vodo deluje kot zbiralna leča in na glavo postavi vasico v daljavi. 3. Tudi vodna kapljica, ujeta med padom, je lahko leča. 4. Rožnat lunin mrk še dodatno polepša večerno romantiko. 5. Pajčevina se sveti v mavričnih barvah zaradi uklona svetlobe 6. Sren pobeli naravo tudi kadar ne sneži. 7. Mavrico lahko naredimo tudi na vrtu, pomagata nam lom in razklon. 8. Za rdečkasto zarjo sončnega zahoda se zahvalimo Rayleighovemu sipanju. 9. Morje megle se pretaka z Jelovice. 10. Morje lučk, nekatere od njih so samo interferenčne slike. 11. Orošena regratova lučka. 12. Ostri trni pokažejo globinsko ostrino. 13. Tudi letala mečejo sence, kar na oblakih. 14. Vodi me pot v daljave,o gledano s prave perspektive. 15. Grejo sončni žarki res tako narazen? Ne, prav vzporedni so. 16. Laserski curek ne najde poti ven zaradi popolnega odboja. 17. Sonce si je nadelo venec. XXX presek 40 (2012/2013) 6 31