Predikatna logika1
FRANE JERMAN
UVOD
Če hočemo izraziti logično strukturo stavčnih povezav, kot jih pozna npr. Aristotelova logika, potem nam sredstva stavčne logike ne zadostujejo. To lahko vidimo iz klasičnega primera: Če so vsi ljudje umrljivi in so vsi bclci ljudje, potem so vsi belci umrljivi. V njem čutimo logično nujnost, ki pa je z zgolj stavčno logičnimi sredstvi ni mogoče izraziti. Kar poglejmo:
(p a q) r
Stvar jc v tem, da tiči logičnost v notranji strukturi teh stavkov in ne samo v medstavčnih odnosih. Kar oglejmo si začetni stavek:
Vsi ljudje so umrljivi
V njem razločimo subjekt, predikat in besedico, ki govori o tem, na koliki del subjekta sc predikat nanaša. Besedica "ljudje" ima splošni značaj, jc pojem, ki ga lahko pojmujemo kot "množico" individuumov, ali kot "razred" individuumov. Takšnim pojmom pravimo v logiki individualne variable. Služijo nam prav za oznako takšnih pojmov ter jih ponazarjamo s črkami iz konca latinske abecede:
x 7. y.
Ti pojmi označujejo neko abstraktno množico (skratka "nekaj"), ki jo je treba pobliže kvalificirati, ker ima lahko takšne ali drugačne lastnosti. To storimo s tako imenovanimi predikati, ali kakor jih v logiki imenujemo s predikatnimi konstantami, ki jih simboliziramo z latinskimi črkami iz sredine abecede:
f g h. /=^,(4
Članek jc nasul na podlagi predavanj iz logike, kjer se jc pokazala potreba po dopolnitvi v slovenščini dosegljivih besedil o predikatnem računu na eni in Aristotelovo silogistiko na drugi strani. Članek seveda predpostavlja poznavanje temeljnih simbolov stavčne logike in načel tako imenovane naravne dcdukcijc. Uporabil sem različne učbenike logike od poljskih preko ameriških do nemških.
Lahko pa jih ponazorimo kako drugače npr. 7. velikimi črkami z začetka abecede (A, B, C) itd., kar bomo storili tudi mi pri obravnavi teorije silogizmov. Pomenijo pa lastnosti množice ali razreda.
Nadaljna posebnost predikatne logike so kvantifikatorji. To so izrazi, ki povedo, na koliki del subjekta se predikat nanaša. Tu nam logika ponuja nekaj možnosti, izmed katerih se bomo odločili za najbolj preprosto. Predikat se lahko namreč nanaša na subjekt predvsem na dva načina: tako da se nanaša na ves subjekt ali pa samo na njegov del. V prvem primeru imamo opraviti s splošnim kvantifikatorjem, v drugem pa z delnim, ali kakor tudi pravimo eksistencialnim kvantifikatorjem. Lahko pa uvedemo tudi kvantifikatorje z omejenim delovanjem - to možnost s pridom izkorišča sodobna matematika. V tej predstavitvi predikatne logike bomo obravnavali samo dva kvantifikatorja in sicer splošnega in delnega (eksistencialnega). Simboliziramo jih takole: (x) je splošni kvanifikator (Ex) je eksistencialni k vantifikator
Oba kvantifikatorja vežeta individualno variablo in samo njo. Ni si mogoče zamisliti, da bi jo uporabili v individualnem ali singularnem stavku, to je stavku, katerega subjekt je lastno ime.
Poleg kvantificiranih stavkov pa poznamo vsaj še dve vrsti stavkov. To so na eni strani individualni stavki, po drugi pa nedoločni. Individualni stavki so tisti, kijih uvaja lastno ime, kar - kot vemo - pomeni izključno nekaj individulnega. V logiki je lastno ime vsak izraz, ki določa nekaj posameznega, torej ne samo imena in priimki! Lastna imena označujemo z malimi latinskimi črkami z začetka abecede, torej
a b c.
Individualni stavki imajo veliko vlogo v predikatni logiki, ker služijo kot argumenti v teoriji dokazovanja. Tako je npr, dokazana resničnost nekega eksistencialnega stavka, če lahko navedemo vsaj en resničen individualni primer.2
Nedoločni stavki nimajo kvantificiranega subjekta, ki pa je nujno splošno ime (če bi bilo lastno, bi bil stavek pač individualni ali - kot tudi rečemo - singularni stavek). Zavoljo njihove nedoločnosti in s tem tudi cliptičnosti jih običajno v logiki prevajamo v eksistencialne stavke.3 Tako smo obogatili slovar terminov stavčne logike za nekaj novih izrazov. Tako dobimo naslednji seznam logiških tčrminov:
1.	Individualne variable a,b,c ...
2.	Individualne konstante A, B,C... ali f, g, h
3.	Univerzalni kvantifikator (x) ali "Za vse x velja, da..."
4.	Eksistencialni kvantifikator (Ex) ali "Za vsaj en x velja, da...)
5.	Stavčne variable p, q, r...
6.	Logične konstante	^ 7W1 1	:f^k	* (
a = konjunkcija v =disjunkcija —»= implikacija <-> = ekvivalcnca, ter
-1 = negacija (ki je edini monadični logični veznik!) 7. Običajna oklepajna znamenja. ((.))
2
Trditev "Nekatere kovine »o tekoče" verificira obstoj živega srebra! ^ Če rečemo "Rože so lepe", to pravzaprav pomeni, da je "vsaj ena roža lepa"!
PREVAJANJE PREDIKATNIH STAVKOV
V slovenščini poznamo več vrst predikatnih stavkov, nastane pa problem, kako jih prevajati v logično prcdikalno formo. Vzamimo za primer stavek
Vsi ljudje so umrlivi.
Ta stavek poznajo vsi učbeniki tradicionalne logike, vidimo pa, da ga sestavljajo predikat "so umrljivi", subjekt "ljudje" in splošni ali univerzalni kvantifikator "vsi". Vse to so elementi, ki smo jih našteli v seznamu predikatne logike. Predikat bomo označili kar s "P", subjekt s "S", splošni kvantifikator pa s formulo "(x)". Najbolj jasno opredelimo splošnost stavka z implikacijskim odnosom med subjektom in predikatom, pri čemer imamo tudi subjekt za lastnost neke množice., Ta kvantifikator uvaja individualno spremenljivko ali variablo "Za vse x velja...", kar pomeni naslednje: če jc nekaj človek, potem mora biti to nekaj tudi unirljivo bitje. Subjekt in predikat sta torej dve lastnosti omenjene variable ("nekaj"!). Zato prevedemo gornji stavek v predikatno formo takole:
Za vse x velja: če je x človek, potem je tudi umrljiv
kar izrazimo z logičnimi sredstvi v naslednji formuli
(x)(Sx->Px).
Malce drugače prevedemo eksistencialni ali delni stavek. Vzemimo naslednji primer
Nekateri učitelji so telovadci.
Gre pravzaprav za presek dveh razredov in sicer razreda učiteljev in razreda telovadcev. Z njunim presekom dobimo poseben "presečni" razred tistih učiteljev, ki so telovadci in tistih telovadcev, ki so učitelji. Ali s simboliko predikatnega računa:
(EX)(SxaPX)
Presečni razred označujemo s konjunkcijo, saj gre za razred tistih elementov, ki so eno in drugo, torej v našem primeru učitelji in telovadci.
S tem lahko prevedemo v logično formo vse stavke, ki jih poznamo iz tako imenovanega logičnega trikotnika: A, E, I in O stavke (splošno trdilnc, splošno nikalnc, delno trdilnc in delno nikalnc).
A = (x) (Sx -> Px) E = (x) (Sx -> -i Px) I = (Ex)(Sx a Px) 0=(Ex)(Sxa-iPx)
Glede na to nastane vprašanje, ali lahko ponazorimo s sredstvi predikatne logike tudi Aristotelovo teorijo kategoričnega silogizma? Odgovor jc seveda pritrdilen, toda ne brez "preostanka", kot bomo videli kasneje.
Logika ni sama sebi namen, ampak služi predvsem kot instrument dokaza. Zato mora imeti posebej zgrajeno teorijo. Za zdaj je najbolj prikladna oblika takšne teorije dokaza sistem naravne dedukcija, ki temelji na uporabi posebej izbranih logičnih pravil in posebej izbranih pravil zgradbe dokaza. Ker jc naravna dedukcija teorija dokaza za
stavčno logiko, ki je temelj vsake logike (torej tudi predikatne), že zgrajena, se tudi sistem naravne dedukcije za predikatno logiko začne z njo.
Naravna dedukcija pozna tako imenovana primarna in sekundama pravila izpeljevanja. Najprej si oglejmo deset primarnih stavčnih deduktivnih pravil.
LK	Priključitev	Opustitev
—»	Iz izpeljanega P ob predpostavki a (ali drugih predpostavk), izpeljemo a->P	Iz a p in a sledi P
A	Iz a in p sledi aA p	Iz a a P sledi ali a ali P
V	Iz a sledi ali av p lahko pa tudi pva	Iz a v p ter-, P sledi a ali iz a v p ter-.a sledi p
	Iz a->p in p->a sledi a P	Iz a <-> p sledi a-»pali p-»a
—I	Iz izpeljanega izraza P a —i p na podlagi hipoteze a sledi —i a	Iz izpeljanega izraza P a—i P na podlagi hipoteze—i a sledi a
Izraza a in p nadomestujeta katerikoli logično pravilno oblikovan izraz. Pravilo za opustitev implikacije imenujemo tudi Modus ponens ali s kratico kar MP, za druga pravila pa uporabljamo oznake kot so PI (Priključitev implikacije), PK in OK (Priključitev in opustitev konjunkcije), OD in PD (Priključitev in opustitev disjunkcije) ter analogno PE (ekvivalcnce) in OE, ter pravilo, ki zadeva tako imenovano posredno sklepanje in ga imenujemo kar (KON)(-tradikcija).
Razen teh primarnih pravil za izpeljevanje poznamo še nekaj pomembnih sekundarnih, se pravi izpeljanih pravil:
Modus tolens	Iz ctApin —i p sledi —i a	MT
Pravilo prehodnosti	Iz a aP in Pay sledi clay	PP
Dvojna negacija	Iz a izpeljemo—i —i a in narobe	DN
De Morganovi zakoni	Iz oca p sledi -i ( a v -i P) in na narobe Iz -i (a a B) sledi -i a v -i p in narobe Iz a a -i p sledi ( a v B) in narobe Iz —i (—i a a -. P) sledi avp in narobe	DM
Definicijska substitucija	a ->p\= —i avp -i a ->p =avp a-»p = —i (oa p) -i (a-> P) = a a -i p	DS
Kontrapozicija	Iz a—»p sledi —> P —> -i a in narobe Iz a—► p sledi P —> -i a in narobe Iz —»a—>P sledi -i P -> a in narobe.	KP
Pravila gradnje dokaza so preprosta. Najprej izpisujemo v vsako posebej oštevilčeno vrsto hipoteze (prve člene implikacij). To označimo ob strani s črko h. Ko dobimo z uporabo pravil in že dokazanih tez zadnji člen implikacije (konsekvens), smo dokaz zaključili. Za dokazovanje uporabljamo navedena pravila in vse že dokazane teze, ki nam služijo kot sekundarna pravila, zakaj vsako/pravilo sklepanja ali dedukcijsko pravilo sledi iz dokazane teze in jc njeno preoblikovanje.
Sistem narave dedukcije za prcdikaUii račun temelji na istih pravilih. Razlika jc samo v tem, da tu veljajo še posebna pravila, ki zadevajo oba kvantifikatorja.
Prvo pravilo jc pravilo opustitve splošnega kvantifikatorja. Če je izraz opremljen s splošnim kvantifikatorjem, potem lahko izpeljemo iz njega katerikoli primer, kar pomeni, da lahko v izrazu nadomestimo individualne variable z individualnimi konstantami (lastnimi imeni) brez kakršnekoli omejitve. To pravilo zapišemo s kratico OUK. Pravilo za priključitev univerzalnega kvantifikatorja praviloma ne moremo upoštevati, razen tam, kjer gre za končno število preverljivih primerov. Iz posameznega
primera namreč ne moremo sklepati na njegovo splošno veljavnost, razen v primeru, ko gre za končno število primerov, kar pa je treba posebej dokazati.
Pri pravilu opustitve eksistencialnega kvantifikatorja pa moramo upoštevati naslednjo omejitev: Iz eksistencialno opremljenega izraza lahko izpeljemo posamezen primer, če se uvedeno ime (individualna konstanta)6e nahaja že v samem izrazu ali v vrsti argumentov pred njim. Pravilo simboliziramo s simbolom OEK. Da bi se izognili možni napaki, vedno opravimo (kjer je to mogoče) najprej OEK in šele nato OUK. Razlog te omejitve je seveda možen napačen sklep. Saj npr. iz trditve "Nekateri politiki so demokrati" ali
(Ex) (PxaDx)
ne moremo sklepati brez posebnega razloga, daje poljubni politik (a) demokrat.
Oba kvantifikatorja med seboj lahko zamenjujemo. Če predpostavljamo končno število stavkov, potem lahko predstavimo izraz, opremljen s splošnim kvanlifiktorjem kot konjunkcijo končne množice individualnih stavkov, torej
fa! a fa2a fa3 a...afa„
Za eksistencialni kvantifikator pa lahko vzamemo disjunkcijo končnega števila stavkov, saj je disjunkcija resnična, če je vsaj en stavek resničen. Torej:
faj v f&2 vfa3 v...vfa„.
Da vladajo med konjunkcijo in disjunkcijo posebni odnosi, ki jih označujejo De Morganovi zakoni, že vemo. Iz tega spoznanja tudi sledi, da konjunkcijo lahko izrazimo z disjunkcijo in narobe. Na podlagi tega premisleka lahko postavimo med univerzalnim in eksistencialnim kvantifikatorjem naslednja dva relevantna odnosa:
Iz -i (x)a sledi (Ex) -.a in iz -i (Ex)a sledi (x) -i a.
Oba sledita iz De Morganovih zakonov o odnosu med konjunkcijo in disjunkcijo vključno z vsemi možnimi kombinacijami z negacijo. Sam postopek zamenjave kvantifikatorjev označimo s kratico ZQ.
Naj to ponazorimo še s tabelo:
Opustitev splošnega kvantifikator OUK	Iz sploš. stavka lahko izpeljemo katerikoli primer
Opustitev eksistencialnega kvantifikatorja OEK	Iz eksistencialnega stavka lahko izpeljemo katerikoli primer, ob pogoju da se uvedeno ime ne nahaja niti v simbolizaciji preverjanega stavka niti v vrstah dokaza pred njim.
Zamenjava kvantifi-katorjev ZQ	Iz -.(x)«, izpeljemo (Ex)—.ocx Iz -i(Ex)ax izpeljemo (x)-,ax
Kako dokazujemo znotraj predikativne logike z uporalx) pravil naravne dedukcije, naj pokažemo na teoriji kategoričnega silogizma.
KA TEGORIČNISILOGIZEM
Kategorični silogizem jc tročlensko sklepanje iz dveh premis na sklep. Sklep omogoča termin, ki jc skupen za obe premiji, in ga označujemo z znakom M (terminus mcdiusl. Glede na njegovo mesto, poznamo štiri figure: v prvi je M subjekt prve in predikat druge premise (M - P, S - M); v drugi figuri jc M predikat obeh premis; v tretji jc M subjekt obeh premis, v četrti figuri pa jc M predikat prve in subjekt druge premise. Aristotel ni priznaval četrte figure in je imel za veljavne samo štirinajst silogizmov. V predikatni logiki jc mogoče dokazati petnajst silogizmov, v tradicionalni logiki, z uporabo sholastičnih transformacijskih pravil, jc mogoče dokazati devetnajst silogizmov.
Ob upoštevanju sholastičnega poimenovanja silogizmom, jc mogoče dokazati v 1. figuri naslednje moduse: bArbArA4' cElArEnt, dž\rll in fErlO, v 2. figuri modusc cEsArE, cAmEstrEs, fEstlnO, bArOcO; v 3. figuri modusc dArAptl, dlsAmls, dAtlsI, fElAptOn, bOcArdO, fErlsOn in v četrti figuri modusc brAmAntlp, cAmEnEs, dlmArls, fEsApO, frEsIsOn, torej devetnajst modusov.
V predikatni logiki moramo izvzeti naslednje štiri modusc: darapti, felapton, bramantip in fesapo. Razloge bomo še navedli.
Omenjenih silogizmov pa ne moremo dokazovati neposredno, se pravi tako, da zadnji člen izpeljemo neposredno. Dokazovanje jc posredno, kar pomeni, da dokazujemo negacijo tega, kar hočemo dokazati. Če izpeljemo protislovje, potem smo dokazali, da drži negacija naše ncgacijc, torej trditev, ki smo jo hoteli dokazati.
Oglejmo si dokaze vseh štirih veljavnih modusov prve figure: bArbArA	/ „
*
(x) (Mx ->Px); (x) (Sa -> Mx); ]—(x) (Sx-> Px)
1.	(x)(Mx-»Px)	h
2.	(x) (Sa —» Mx)	h
3.	—i(x) (Sx Px)	hpd
4.	(Ex)-,(Sx->Px)	ZQ3
5.	-<Sa -» Pa)	OEK 4
6.	Sa ->Ma	OUK 2
7.	Ma Pa	OUK 1
8.	Sa A-Pa	DS 5 (dcf. sub.)
9.	-.Pa	OK 8
10.	-.Ma	Mt7,9
11.-.Sa	Mt6,10
12.	Sa	OK8
13.	SaA-Sa	PK 11,12: (KON),torej
14.	(x) (Sx —> Px)	3
4
Inicialke pomenijo vrsto predikatnega suvka glede na Uko imenovani logični kvadrat. Navidezno nesmiselne besede pa vsebujejo tudi navodila /.» dokazovanje v okviru Aristotelovega načina dokazovanja. Glej npr. mojo knjižico Logika za mlade, 1979, str. 81/82.
cElArEnt
(x) (Mx -> -Px); (x) (Sx	Mx); |—(x) (Sx -> -Px)
1.	(x)(Mx-»-Px)	h
2.	(x) (Sx -> Mx)	h
3.	—r(x) (Sx -> —iPx)	hpd
4.	(Ex) —.(Sx—.Px)	ZQ3
5.	-.(Sa -Pa)	OEK 4
6.	Sa -> Ma	OUK 2
7.	Ma —» —Pa	OUK 1
8.	Sa a Pa	DS 5
9.	Sa	OK 8
10.	Ma	Mp6,9
11.	-.Pa	Mp7,10
12.	Pa	OK 8
13.	Pa a -.Pa	PK 11,12 (KON), lorcj
14.	(x) (Sx -Px)	3
dArll	J
(x) (Mx -> Px); (Ex) (Sx a Mx);|— (Ex) (Sx a Px)
1.	(x)(Mx->Px)	h
2.	(Ex) (Sx a Mx)	h
3.	-.(Ex) (Sx a Px)	hpd
4.	(x) -i(SxaPx)	ZQ3
5.	SaAMa	OEK 2
6.	-.(Sa a Pa)	OUK 4
7.	Ma —>Pa	OUK 1
8.	Sa—>-.Pa	DS 6
9.	Sa	OK 5
10.-.Pa	Mp8,9
11.	Ma	OK 5
12.	Pa	Mp7,l 1
13.	Pa a -Pa	PK 10,12 (KON); torcj
14.	(Ex) (Sx aPx)	3
fErlO	J H
(x) (Mx -.Px); (Ex) (Sx a Mx); (— (Ex) (Sx a -Px)
1.	(x) (Mx —»—.Px)	h
2.	(Ex) (Sx a Mx)	h
3.	-.(Ex) (Sx a -Px)	hpd
4.	(x) —.(Sx a Px)	ZQ3
5.	Sa a Ma	OEK 2
6.	-.(Sa a -Pa)	OUK 3
7.	Ma -> -.Pa	OUK 1
8.	Sa -> Pa	DS 6
9.	Sa	OK 5 10. Pa	Mp8,9
11.	Ma	OK 5
12.	-Pa	Mp7,l 1
13.	Pa a-Pa	PK 10,12 (KON), torcj
14.	(Ex) (Sx a -Px)	3
Na podoben način lahko dokazujemo tudi druge moduse preostalih figur. Tako npr. dokažemo modus druge figure
eEsArE
(x) (Px -.Mx); (x) (Sx -> Mx); h— (x) (Sx -> -Px)
1.	(x) (Px-,Mx)	h
2.	(x) (Sx -> Mx)	h
3.	-i(x) (Sx -.Px)	hpd
4.	(Ex) —i(Sx —» —Px)	ZQ3
5. -.(Sa —» -.Pa)	OE4
6. Pa -.Ma	OU1
7. Sa —> Ma	OU2
8. SaAPa	DS 5
9. Pa	OK8
10. -.Ma	Mp5,9
11. Sa	OK 8
12. Ma	Mp 6,11
13. Ma a -.Ma	PK 10,12 (KON):
14. (x) (Sx-»-.Px)	3
Zdaj se lahko vrnemo k vprašanju nedokazljivosti prej omenjenih štirih modusov.
Gre za štiri moduse, pri katerih sklepamo iz dveh splošnih premis na delni sklep. Ker sklepamo tako, da izpeljemo posredni dokaz, se pravi, da izhajamo iz negacije tega, kar hočemo dokazati, dobimo kol hipotezo posrednega dokaza (hpd) zanikani kvantifikator. Ker na njem ne moremo uporabiti nobene operacije, ga moramo spremeniti s postopkom zamenjave kvantifikatorjev. Tako dobimo iz I in O stavkov splošne stavke. Iz dveh implikacij pa v tem primeru ni mogoče dobiti ustreznega sklepa, torej takega, ki bi pomenil negacijo naše hipoteze posrednega dokaza. Primer:
fElAptOn (3. figura) (x) (Mx -Px); (x) (Mx -> Sx); h— (Ex) (Sx a -Px)
1 .(x) (Mx —»—Px)	h
2.(x)(Mx	->Sx)	h
3.-i(Ex)(Sx	a -Px)	hpd
4.(x)-i(Sx	a —.Px)	ZQ3
5.Ma	—»-Pa	OUK 1
6.Ma	Sa	OUK 2
7.	-i(Sa a-Pa)	OUK 4
8.Sa-»Pa
DS 7
Iz treh implikacij nc moremo dobiti negacije hipoteze posrednega dokaza. Tu nam ne pomaga niti pravilo o kontrapoziciji in prehodnosti. Protislovje dobimo samo, če dodamo predpostavljamo Ma.
S tem postopkom lahko rešimo tudi preostale tri silogizme. To pa nam dokazuje še enkrat, daje Aristotelova teorija kategoričnega silozima vendarle poseben logiški račun, ki ga s sodobnimi sredstvi lahko samo ponazarjamo, in nič drugega.
Prcdikatna logika jc sicer zelo močno orodje, s katerim pa jc treba znati ravnati vešče pa tudi previdno. O tem, kaj nam prinaša, pa v naslednji številki.
9.	Ma
10.	-.Pa
11.	Sa
12.	Pa
dh (dodatna hipoteza)
MP 9,5 MP 9,6 MP 11,8
13.	Pa a-Pa
14.	(Ex) (Sx a-.Px)
PK 11,12 (KON), torej 3